vbhfdst_Pienter-3XL-D-leerwerkboek by VAN IN

Pi enter

Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke

Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme

MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere

LEERJAAR 3

Eddy Magits

Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

3 4 5

oo f

Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden.

dh or

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.

Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

XL 3 D deel 1

Leer zoals je bent

LEERJAAR 3

Pi enter

Pienter XL 3 D deel 1

ISBN 978-90-306-9989-7 597596

9 789030

699897

vanin.be

oo f

uk st

Leerjaar 3

oo fd

Pienter XL 3 D deel 1

Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Eddy Magits

oo fd

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

Hoofdstuk 1

De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek

Hoofdstuk 5 Inleiding tot reële functies

205 235

oo fd

Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek

149

Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen

101

Hoofdstuk 2 De reële getallen

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

oo fd

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

REEKS A

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen: eenvoudige toepassingen

REEKS B basisniveau

REEKS C verdiepingsniveau

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.

ICT

Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine. Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.

Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien.

Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

GeoGebra

instructiefilmpje

oo fd

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.

Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.

VERDIEPING

Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren en voor extra leerstof.

het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

oo fd

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.

Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten. Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.

Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

1.4 Rekenen met Pythagoras

1.5 Constructies

1.2 Meetkundige voorstellingen

40 43

1.7

oo fd

1.6 Afstand tussen twee punten Pythagoras in de ruimte

Pienter problemen oplossen

Studiewijzer

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.1

De stelling van Pythagoras formuleren

1.1.1 Op onderzoek Vul de tabel verder in. b 1

a (mm)

b (mm)

c (mm)

104

b 2

a 2 + b 2

c 2

Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?

a 2

be 5

GeoGebra

driehoek

oo fd

6 7

8 9 10 11

1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek Een rechthoekige driehoek bestaat uit • twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek)

: en

c a

• een schuine zijde of hypothenusa :

8 HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

GeoGebra

1.1.3 De stelling van Pythagoras Stelling

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is

Stelling

Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je Pythagorische drietallen. Het eenvoudigste Pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.

De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd.

oo fd

Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig. De 3-4-5-regel

GeoGebra

Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen.

• B ind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden. • V orm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft. • Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.

Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.

In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘Pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is.

De Pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken. De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.

De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan 1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen. De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten. Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid. Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Oefeningen REEKS A

Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. b

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

7 cm

5 dm

12 dm

15 dm

14 dm

13 dm

60 mm

80 mm

90 mm

100 mm

110 mm

20 m

21 m

27 m

29 m

31 m

9 cm

12 cm

15 cm

18 cm

21 cm

oo fd

Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras. a)

2 3

e o n

9 10 11

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B Onderzoek of de driehoek met gegeven zijden rechthoekig is. zijden

niet rechthoekig

2 mm

2,1 mm

2,9 mm

4 cm

7,5 cm

8,5 cm

3,4 cm

2,1 cm

2,8 cm

4,5 cm

7,5 cm

6 cm

0,12 m

0,35 m

0,37 m

18 cm

32 cm

24 cm

1,4 cm

4,8 cm

5 cm

16 m

34 m

30 m

40 cm

41 cm

90 mm

7 dm

24 cm

25 cm

oo fd

Toon zonder geodriehoek aan dat a ^ b.

rechthoekig

Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel. a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm

c) rechthoekszijde: 12 dm =

rechthoekszijde: 80 cm = 4 ? 20 cm

rechthoekszijde: 16 dm =

schuine zijde:

b) rechthoekszijde: 15 m =

d) rechthoekszijde: 90 mm =

rechthoekszijde: 20 m =

rechthoekszijde: 120 mm =

schuine zijde:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Toon aan zonder te meten. a) Parallellogram PLAK is een rechthoek.

D = 16 cm d = 12 cm

K 10 cm

17 m

8m K

b) Parallellogram KLAP is een ruit.

P 15 m

oo fd

Los op.

a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?

2 3

b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?

Antwoord:

6 7

Antwoord:

10 11 12

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C 8

Primitieve Pythagorische drietallen zijn Pythagorische drietallen die geen natuurlijke veelvouden zijn van andere Pythagorische drietallen. Voorbeeld: 9, 12 en 15 zijn een Pythagorisch drietal, maar niet primitief. Enkele van de kleinste primitieve Pythagorische drietallen zijn: 3

12 13

24 25

9 40 41

12 35 37

Kies twee natuurlijke getallen m en n, waarbij m > n, m ≠ 0 en n ≠ 0. b = m 2 − n 2

Voorbeeld

oo fd

Stel m = 5 en n = 3 a = b = c =

gegeven

Controle: Bewijs.

c = m 2 + n 2

a = 2mn

Om zelf primitieve Pythagorische drietallen op te stellen, ga je als volgt te werk.

m en n zijn natuurlijk getallen, waarbij m > n, m ≠ 0 en n ≠ 0

a = 2mn b = m 2 − n 2 c = m 2 + n 2

te bewijzen

a 2 + b 2 = c 2 bewijs

besluit

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Stel Pythagorische drietallen samen.

Voor de grondplaat van een tuinhuis maakt Brent een houten bekisting. Daarbij is het erg belangrijk dat de hoeken recht zijn. Brent maakt daarvoor gebruik van een vouwmeter (maximale lengte 2 m) en een timmermanspotlood. Hoe gaat Brent te werk om een rechte hoek uit te zetten? Maak een stappenplan en maak daarbij een schets.

berekeningen

oo fd

2 3

6 7

8 9 10

11 12

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bewijs. tekening

gegeven

rechthoek ABCD te bewijzen Voor elk punt P binnen de rechthoek geldt: 2

bewijs

oo fd

|AP | + |PC | = |BP | + |DP | .

besluit

GeoGebra

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

In een parallellogram is de som van de kwadraten van de diagonalen gelijk aan de som van de kwadraten van de zijden. Bewijs. tekening

gegeven

te bewijzen

bewijs

oo fd

2 3

6 7

besluit

10 11

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

GeoGebra

1.2

Meetkundige voorstellingen

1.2.1 De stelling van Pythagoras Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C.

oo fd

Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek. Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.

c a

instructiefilmpje

GeoGebra

De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b 2 = cm2 en c 2 = cm2. De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is .

In symbolen:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.2.2 De Pythagorasboom

5 4

4 3

oo fd

1) Teken een willekeurig vierkant. 2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant. 3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. 4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant. 5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.

Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.

2 3

De boom van Pythagoras noem je een fractaal.

6 7

8 9 10

Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen: • zelfgelijkvormigheid: Binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug; • oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.

11 12

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Oefeningen REEKS A Vul de ontbrekende maatgetallen van de oppervlakten van de vierkanten in. 26

24 10 20

oo fd

Bepaal de lengte van de zijde.

11 236 m

3 136 m

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B 15

De oppervlakte van de halve cirkel op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlakten van de halve cirkels op de rechthoekszijden. Verklaar.

oo fd

REEKS C 16

De ‘maantjes van Hippocrates’ worden gevormd door een rechthoekige driehoek en drie halve cirkels met diameter a, b en c. Toon aan dat de som van de oppervlakten van de maantjes gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoekige driehoek.

1 2

6 7

9 10

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.3

De stelling van Pythagoras bewijzen

Stelling

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. tekening

gegeven

• Daaromheen teken je een vierkant met zijde a + b, zodat de hoekpunten van het vierkant met zijde c op de zijden van het grote vierkant liggen.

te bewijzen

c a

oo fd c

een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c

• Op de schuine zijde van de driehoek teken je een vierkant met zijde c.

a 2 + b 2 = c 2

instructiefilmpje

bewijs

De oppervlakte van de volledige figuur kun je op twee manieren berekenen: =

oppervlakte groot vierkant

oppervlakte klein vierkant + oppervlakte vier driehoeken

ﬂ

(a + b)

a 2 + 2ab + b 2

a 2 + b 2

definitie oppervlakte vierkant en driehoek

c 2 + 4 ?

ﬂ =

merkwaardig product en breuken vereenvoudigen

c 2 + 2ab

ﬂ =

a b 2

eigenschappen gelijkheden

c 2

GeoGebra

besluit

a 2 + b 2 = c 2

De stelling van Pythagoras is een van de meest bewezen stellingen uit de vlakke meetkunde. Momenteel zijn er meer dan 350 verschillende bewijzen voor die stelling bekend.

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Oefeningen REEKS A 17

Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening

gegeven

r q

bewijs

2 3

6 7

besluit

9 10

11 12

te bewijzen

oo fd

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening

gegeven c a

oo fd

bewijs

te bewijzen

besluit

GeoGebra

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Vul het bewijs voor de stelling van Pythagoras aan. tekening

gegeven

oo fd

bewijs

te bewijzen

2 3

besluit

6 7

8 9 10

GeoGebra

11 12

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C Bewijs de stelling van Pythagoras. tekening

gegeven B

vierkant ABCD punt E op een zijde van het vierkant driehoek ABE: |AB | = a, |AE | = b en |BE | = c

te bewijzen

bewijs 1) Constructie:

E’ C

b E

diagonaal EE

E’

vierhoek EBED

oo fd

r(B, 90º) (ABE) = CBE

2) Bewijs met oppervlakte:

besluit

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.4 Rekenen met Pythagoras 1.4.1 Inleiding Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken. Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn. Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen. Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.

80 cm 150 cm

x cm

oo fd

200 cm

300 cm

Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.

1.4.2 Algemeen

6 7

8 9 10 11 12

Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn. a 2 = c 2 – b 2 ﬁ a = c 2 – b 2

b 2 =

ﬁ b =

1.4.3 Voorbeelden

c = a + b ﬁ c = a + b 2

De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn.

GeoGebra

In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang. Hoe lang is de schuine zijde? (op 0,1 nauwkeurig)

In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm. Hoe lang is de andere rechthoekszijde? (op 0,1 nauwkeurig)

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.4.4 De stelling van Pythagoras met ICT

Is de schuine zijde gegeven?

a2 + b 2 = c

a2 – b 2 = c

nee

oo fd

a, b

De werkwijze om de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als er twee zijden gegeven zijn, kun je als volgt samenvatten: • Je voert de lengtes van de gegeven zijden in. • Je kijkt of twee rechthoekszijden of één rechthoekszijde en de schuine zijde gegeven zijn. • Je kiest de passende formule om de derde zijde te berekenen. Dat kun je grafisch voorstellen in een organogram.

Waarom wordt links in de formule gebruikgemaakt van de absolute waarde en rechts niet?

REKENMACHINE actie

Open de programma-editor. Kies voor een nieuw programma en geef een programmanaam in.

knoppen draw

prgm

scherm

entry solve 2

enter

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Ruwweg kun je een programma onderverdelen in drie onderdelen: • invoer van de gegevens, • verwerking van de gegevens (formules), • uitvoer van de resultaten. Daarvoor beschik je in de programma-editor over twee menu’s met commando’s: • programmabesturingscommando’s (CTL),

actie

knoppen

Kies het menu met commando’s voor programmabesturing.

draw

scherm

oo fd

prgm

draw

prgm

Kies het menu met commando’s voor in- of uitvoer.

• in- en uitvoercommando’s (I/O).

Om gegevens in te voeren, gebruik je hoofdzakelijk 1:Input en 2:Prompt. Resultaten tonen doe je hoofdzakelijk met 3:Disp en 6:Output.

Hieronder vind je een programma om de lengte van de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als de lengtes van de andere twee zijden gegeven zijn. : WisHome

Zo start je altijd met een leeg scherm.

: Prompt A,B

Geef de gegeven lengtes in.

: Input “SZ GEGEVEN ( J OF N )?”,H

Is de schuine zijde gegeven, ja of nee?

: If H=J

Als het antwoord J(a) is,

: Then

dan

bereken je de lengte van de rechthoekszijde

: Disp R

en toon je die.

: Else

Anders

bereken je de lengte van de schuine zijde

: Disp S

2 3

(abs(A2 – B2)) Æ R

(A2 + B2) Æ S

10 11 12

GEOGEBRA EN PYTHON HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

en toon je die.

Oefeningen REEKS A 21

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de zijde x in de rechthoekige driehoeken. c)

a) x

oo fd

25,5

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in de rechthoekige driehoeken.

rechthoekszijde

bewerkingen

schuine zijde

b = 7 cm

b) a = 1,2 dm

b = 0,8 dm

a) a = 4 cm

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de rechthoekszijde in de rechthoekige driehoeken. rechthoekszijde

schuine zijde

bewerkingen

rechthoekszijde

a) b = 3 cm

c = 4 cm

b) b = 1,5 dm

c = 2,7 dm

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, x in de rechthoeken. a)

oo fd

Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c.

a 5

be d)

e) f)

19,30

23,41

41,60

78,22

128

6 7

8 9

6,50

315,10

89,23

426,90

130,08

10 11

4,32

7,18

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

berekeningen

REEKS B 26

Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

oo fd

Antwoord:

Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.

Antwoord:

Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep. Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.

Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen. Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

oo fd

Antwoord:

De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.

2 3

Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.

8 9 10

11 12

Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.

Antwoord:

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.

oo fd

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.

Antwoord:

Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm.

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.

oo fd

Antwoord:

2 3

Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel omgeschreven aan een vierkant met een zijde van 4 m.

6 7

8 9 10 11 12

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken de oppervlakte van de gelijkbenige driehoeken (zonder de hoogte te meten). Bepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig. • In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de top ook de middelloodlijn op de basis. b h • De formule voor de oppervlakte van een driehoek: A = . 2 c)

4 cm

5 cm h cm

Antwoord:

oo fd

4 cm

7 cm

Antwoord:

6 cm

5 cm 5 cm

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

De lengte van een rechthoek is driemaal zo lang als de breedte. De diagonalen van de rechthoek zijn 10 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de omtrek van die rechthoek.

oo fd

Een ladder is 0,5 m langer dan een gebouw hoog is. Als je de voet van de ladder 2,5 m van de muur plaatst, komt de top van de ladder tegen de bovenkant van het gebouw. Hoe hoog is dat gebouw? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord:

2 3

8 9 10

Antwoord:

11 12

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS C 42

De grootte van een tv-scherm wordt meestal uitgedrukt in inches. De opgegeven maat is de lengte van de diagonaal. Een 16 : 9-scherm (de lengte en de breedte verhouden zich als 16 en 9) heeft een diagonaal van 42 inches (105 cm). Bereken de lengte en de breedte. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig.

oo fd

Antwoord:

Bij kitesurfing word je voortgetrokken door een kleine parachute. De parachute bevindt zich op een horizontale afstand van 10 m van de surfer. Door een veranderende wind daalt de parachute 7 m en wordt de horizontale afstand tot de surfer 9 m groter. Op welke hoogte bevond de parachute zich oorspronkelijk? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken de oppervlakte van de willekeurige D ABC zonder te meten. Bepaal je antwoord op 0,01 cm² nauwkeurig. De drie zijden zijn gegeven. Tip: stel |CD | = x, dan is |BD | = A

h cm

x cm C

2 3

6 7

8 9 10 11

Antwoord:

oo fd

14 cm

10 cm

6 cm

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

De oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlakten van de gelijkzijdige driehoeken op de rechthoekszijden. Verklaar.

oo fd

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.5

Constructies

1.5.1 Constructie van een schuine zijde Modeloefening 1: Construeer een lijnstuk c met lengte van 13 cm. 2

Stel 13 = 4 + 9 = 2 + 3 , dan is c = a 2 + b 2 met c = 13 cm, a = 2 cm en b = 3 cm.

Stap 1: Teken een lijnstuk a van 2 cm. Stap 2: Construeer het lijnstuk b van 3 cm loodrecht op a in een grenspunt.

Stap 3: V erbind de vrije grenspunten.

instructiefilmpje

Het gevonden lijnstuk is 13 cm.

oo fd

1.5.2 Constructie van een rechthoekszijde

Modeloefening 2: Construeer een lijnstuk a met een lengte van 12 cm. 2

Stel 12 = 16 – 4 = 4 – 2 , dan is a = c 2 – b 2 met a = 12 cm, b = 2 cm en c = 4 cm.

Stap 1: Teken een lijnstuk b van 2 cm en een loodrechte op b in een van de grenspunten.

Stap 2: Construeer een boog met een straal van 4 cm vanuit het andere grenspunt. Stap 3: V erbind het vrije grenspunt van b met het snijpunt van de boog met de loodrechte.

Je kunt niet alle lijnstukken met een opgegeven lengte op die manier construeren.

1.5.3 Toepassing • Construeer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 1.

1 2

GeoGebra

Het gevonden lijnstuk is 12 cm.

6 7

8 9

• De schuine zijde is dan 1 + 1 = 2 . • Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

• De schuine zijde van die driehoek is

(

• ... HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1 1

2 ) + 1 = 3.

• Gebruik de gevonden schuine zijde als rechthoekszijde voor een volgende rechthoekige driehoek.

1 1

1 1 1

Oefeningen REEKS A Construeer via de schuine zijde van een rechthoekige driehoek. a) een lijnstuk van 20 cm

b) een lijnstuk van 10 cm

oo fd

Construeer via een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek. a) een lijnstuk van 7 cm

b) een lijnstuk van 5 cm

REEKS B

Construeer.

a) een lijnstuk van 11 cm

b) een lijnstuk van 17 cm

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Construeer op twee verschillende manieren een lijnstuk van 8 cm. a) via de schuine zijde

b) via een rechthoekszijde

oo fd

Bereken de andere rechthoekszijde.

n+1 2

n–1 2

Die eigenschap kun je ook gebruiken om een lijnstuk met een gegeven lengte te construeren.

a) een lijnstuk van 5 cm

Construeer.

1 2

6 7

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

b) een lijnstuk van 8 cm

1.6

Afstand tussen twee punten Bereken de afstand tussen A (2, 4) en B (6, 2).

Bereken de afstand tussen A (x A , y A ) en B (x B , y B ). y

y A

yB – yA

2–4

B(xB , yB)

A (xA , yA)

1 6–2 –1

xB – xA

x 5

–1

oo fd

Construeer het punt C als snijpunt van een horizontale door B en een verticale door A. In driehoek ABC geldt: 2 2 2 | AB | = | CB | + | AC | (stelling van Pythagoras)

| AB | = | CB | + | AC | (stelling van Pythagoras)

afstand tussen C en B: | CB | = | 6 – 2 |

| CB | = | x B – x A |

afstand tussen A en C: | AC | = | 2 – 4 | 2

Formule

| AC | =

| AB | =

| AB | = =

| AB | =

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: 2

| AB | = (x B – x A ) + (y B – y A )

Voorbeeld

Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5). | AB | = =

GeoGebra

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bijzondere gevallen Afstand van een punt tot de oorsprong y

co(O) = (0, 0) co(A) = (x A , y A )

= x A2 + y A2

Algemeen

A (xA , yA )

| OA | = (x A – 0)2 + (y A – 0)2

oo fd

Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .

Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat y A (xA , yA )

co(A) = (x A , y A ) co(B) = (x B , y B ) = (x A , y B ) (x B = x A )

| AB | = (x A – x A )2 + (y B – y A )2

= 0 + (y B – y A )2 = (y B – y A )2

B (xB , yB )

= yB – y A

Algemeen

Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |. Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat co(A) = (x A , y A ) co(B) = (x B , y B )

2 3

A (xA , yA )

= (x B , y A ) (y B = y A )

8 9 10 11 12

Algemeen

= (x B – x A )2 + 0 = (x B – x A )2 = xB – x A

6 7

| AB | = (x B – x A )2 + (y A – y A )2

B (xB , yB )

Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |. Voorbeelden co(O) = (0, 0) en co(A) = (5, –2)

co(A) = (2, 1) en co(B) = (2, –2)

co(A) = (–2, 1) en co(B) = (3, 1)

| OA | =

| AB | =

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Oefeningen REEKS A 51

Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)

B A

oo fd

| AB | = y

| EF | =

x H

x O

–1

| CD | =

| GH | = HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig. a) [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2) I AB I = b) [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7) I OC I =

c) [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1) I DE I =

d) [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0) I FO I =

oo fd

e) [GH] met co(G) = (7, −3) en co(H) = (−7, 3) I GH I =

f) [OI] met co(O) = (0, 0) en co(I) = (0, −6)

I OI I =

REEKS B

Teken de driehoek LAT en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. co(L) = (4, –2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)

2 3

6 7

8 9 10

11 12

5 4 3 2 1

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

y 6

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

–2 –3 –4 –5

x 1

De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn. Alle trajecten zijn recht. De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen: co(A) = (1, 2) co(B) = (6, 3) co(C) = (4, 11) Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?

oo fd

Antwoord:

Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen: co(X) = (5, 4) co(Y) = (−6, 2) co(Z) = (−4, −3) Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?

Antwoord:

Een computerscherm heeft een resolutie van 1 280 bij 1 024 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800). Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen: co(D) = (1, 3) co(E) = (2, −1) co(F) = (−2, 1) Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.

oo fd

Antwoord:

De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km. Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? y

Niels bevindt zich hier

Antwerpen

Brugge

Turnhout

Roeselare

Gent

Mechelen

Aalst

Hasselt

Brussel

Mons

2 3

6 7

9 10

11 12

Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Charleroi

Liège Namur Marche-en-Famenne

Arlon

REEKS C 59

Het punt P met co(P) = (x P , y P ) voldoet aan de volgende voorwaarde: (x P – 5) + (y P + 1) = 3. a) Omschrijf de ligging van het punt P in het assenstelsel.

b) Geef twee verschillende punten P die aan die voorwaarde voldoen. co(P1 ) = ( , ) en co(P2) = ( , )

oo fd

c) Hoeveel verschillende punten P voldoen aan die voorwaarde?

Wat stel je vast?

d) Bepaal met ICT alle punten die aan de gegeven voorwaarde voldoen. Stel die punten voor in het assenstelsel.

y 6 5 4 3 2 1

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –1 –1 O –1

x 1

–2 –3 –4 –5 –6

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

1.7

Pythagoras in de ruimte

1.7.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus B

gegeven een kubus met ribbe 4 cm gevraagd

Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig.

oplossing G

oo fd

antwoord

De diagonaal is

instructiefilmpje

1.7.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide

gegeven

oplossing

6 7

antwoord

gevraagd Bereken de hoogte EH op 0,01 nauwkeurig.

een piramide met vierkant grondvlak Elke ribbe is 4 cm.

GeoGebra HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

De hoogte is

Oefeningen REEKS A 60

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven B

gevraagd | DF |

oplossing

een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm

oo fd

b E

antwoord

| DF | =

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd

| AE | oplossing

or vo

gegeven

antwoord | AE | =

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

REEKS B 62

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm M is het midden van [AE ]. N is het midden van [FG ].

gevraagd

| MN |

oplossing

oo fd

antwoord

gevraagd C

oplossing

antwoord

De omtrek van CEG is

de omtrek van CEG

gegeven een kubus met ribbe 3 cm

1 2

Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.

| MN | =

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.

oo fd

Antwoord:

Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?

Antwoord:

Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?

Antwoord:

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de oppervlakte van BGE B

oplossing

oo fd

antwoord

De oppervlakte van BGE is

REEKS C Bewijs.

2 3

te bewijzen 2

| DF | = l + b + h

bewijs

een balk met ribben l, b en h

gegeven

8 9

G b

10 11 12

besluit 2

| DF | = l + b + h

In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l + b + h . HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde a en opstaande ribbe b. a) Stel een formule op om de hoogte h van de piramide te berekenen. b

oo fd

b) Bereken het volume van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 4 cm en een opstaande ribbe van 7 cm. Bepaal je antwoord op 0,01 cm3 nauwkeurig.

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Snijd je van een kubus een hoek af, dan verkrijg je een viervlak. Dat viervlak bestaat uit een willekeurige driehoek en drie rechthoekige driehoeken. Er bestaat een merkwaardig verband tussen de oppervlakten van die driehoeken. Bewijs dat verband. tekening

gegeven C B

kubus viervlak ABCD

te bewijzen 2

(ABCD)

oo fd

2 3

6 7

8 9 10 11

besluit

= (AABC) + (AADB) + (AACD)

bewijs

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras voor de leerling

1.1 De stelling van Pythagoras formuleren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

–  + –  +

KUNNEN De stelling van Pythagoras formuleren en toepassen.

1.2 Meetkundige voorstellingen

–  + –  +

KUNNEN

Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken.

oo fd

Toepassingen op meetkundige voorstellingen van de stelling van Pythagoras verklaren.

1.3 De stelling van Pythagoras bewijzen

KUNNEN

De stelling van Pythagoras bewijzen.

–  + –  +

De stelling van Pythagoras bewijzen in een gewijzigde situatie.

1.4 Rekenen met Pythagoras

KUNNEN

–  + –  +

Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen. Een algoritme ontwerpen om een zijde in een rechthoekige driehoek te berekenen. De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.

1.5 Constructies

KUNNEN

–  + –  +

Via de stelling van Pythagoras lijnstukken met een bepaalde lengte construeren.

1.6 Afstand tussen twee punten KENNEN

–  + –  + 2

Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = (x B – x A ) + (y B – y A ) . Afstand van een punt tot de oorsprong.

Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 . Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|.

Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.

KUNNEN

–  + –  +

De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.

1.7 Pythagoras in de ruimte KUNNEN

–  + –  +

De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

❑ concreet materiaal

oo fd

tallen in de piramide, 1. Plaats natuurlijke ge staande vakjes elke twee naast elkaar in len tal ge de n va m zodat de so vakje erboven. het gemeenschappelijke in tal ge t he n aa is lijk ge 145

2. Plaats natuurlijke ge tallen in de piramide, zodat het product van de getallen in elke twee na ast elkaar staande vakje gelijk is aan het getal in s het gemeenschappelijke vakje erboven. 36 000

9 10 11 12

HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS

2.1 Decimale voorstelling van

rationale getallen

2.2 Vierkantswortels

60 68

2.3 De reële getallen

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

73 81

2.5 Reële getallen ordenen

2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal

Studiewijzer

oo fd

2.4 Irrationale getallen benaderen

100

Pienter problemen oplossen

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.1

Decimale voorstelling van rationale getallen

2.1.1 Inleiding b)

euro

euro euro

= =

euro

De waarde is een rationaal getal. Elk rationaal getal kan op twee manieren worden geschreven: Voorbeelden:

oo fd

• •

Voorbeelden:

2.1.2 Een breuk omvormen naar de decimale schrijfwijze

Om een breuk om te vormen naar de decimale schrijfwijze, deel je de teller van de breuk door de noemer. 24 = 25

31 = 250

17 = 8

2.1.3 Soorten decimale voorstellingen van rationale getallen

decimaal getal

29 = 20

2 3

Een decimaal getal is een begrensd kommagetal.

decimale vorm

zuiver repeterend

5 = 11

17 = 6

Een zuiver repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint.

Een gemengd repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij tussen de komma en de periode een niet-repeterend deel voorkomt.

• De periode van een decimale vorm is de cijfergroep na de komma die telkens herhaald wordt. Voorbeeld: 12,767 6... periode = 76

6 7

• Het niet-repeterend deel van een gemengd repeterende decimale vorm is de cijfergroep tussen de komma en de periode. Voorbeeld: 13,845 210 210... periode = 210 niet-repeterend deel = 845

8 9 10 11 12

gemengd repeterend

Afspraken

• Noteer de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes. • Begin de periode zo vroeg mogelijk. • Houd de periode zo kort mogelijk. GeoGebra

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.1.4 Een decimale schrijfwijze omvormen naar een breuk Decimale getallen voorbeeld

werkwijze

Zuiver repeterende decimale vormen met 0 voor de komma voorbeeld

werkwijze

• Stap 1: Noteer het kommagetal als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

5 11

REKENMACHINE

oo fd

0,454 5... 45 = 99

instructiefilmpje

• Stap 1: Noteer het getal als een breuk: ■ de teller is het getal zonder komma; ■ de noemer is een macht van 10 met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.

1,65 165 = 100 33 = 20

instructiefilmpje

Breuken invoeren en vereenvoudigen actie 1 785 in. 825

a-lock

stat plot f1

alpha

Y u

O v

P L2

be or

. Y

entry solve

enter

knoppen : L6

1 L1

Y i

P L5

Z L5

actie

Zet het decimaal getal 1,65 om naar een breuk.

scherm

Voer de breuk

knoppen

scherm

V L5

test

math

entry solve

enter Y i

: L6

1 a-lock

stat plot f1

5 Τ

alpha

V L5

entry solve

enter

actie

Zet de decimale vorm 0,454 5... om naar een breuk.

knoppen catalog

[

Om met de rekenmachine de omzetting naar een breuk te verkrijgen, moet je de periode soms tot zes keer herhalen.

: L4

0 L5

. U L4

5 L4

U L4

5 U L4

5 Y

Τ L5

scherm

Τ L5

4 Τ L5

5 test

math

entry solve

enter

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Zuiver repeterende decimale vormen met een ander getal dan 0 voor de komma voorbeeld

werkwijze

2,33... • Stap 1: Noteer het getal als de som van een aantal gehelen en een getal tussen 0 en 1.

= 2 + 0,33... 3 9

=2+

1 3

• Stap 2: Noteer het getal tussen 0 en 1 als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.

6 1 + 3 3

7 3

• Stap 4: Maak het geheel getal en de breuk gelijknamig.

oo fd

• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

=2+

• Stap 5: Bepaal de som van de breuken.

instructiefilmpje

Gemengd repeterende decimale vormen

2,161 212... 1 100

• Stap 1: Schuif de komma op naar rechts, zodat die juist voor de periode komt te staan, en deel door de passende macht van 10 om de gelijkheid te bewaren.

= 216,121 2... ?

werkwijze

voorbeeld

= 216 +

= 216 + =

• Stap 2: Noteer het zuiver repeterend kommagetal dat je daardoor vindt als een onvereenvoudigbare breuk.

1 12 ? 99 100

1 4 ? 33 100

1 2

1 100

= (216 + 0,121 2...) ?

6 7

instructiefilmpje

1 7 132 ? 33 100

7 132 3 300

1 783 825

9 10

1 7 128 4 + ? 33 33 100

• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.

11 12

Een repeterende decimale vorm omvormen naar een breuk: alternatieve methode

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

GeoGebra

Oefeningen REEKS A Duid het soort decimale schrijfwijze van de rationale getallen aan. zuiver repeterende decimale vorm

gemengd repeterende decimale vorm

a) 0,845

b) 0,88...

c) 1,141 4

d) 3,243 624 36...

e) 8,254 4...

g) 8,07 h) 781,787 8... i) 0,478 925 925...

3 5

1 8

19 12

210 111

14 37

17 15

2 3

892 45

45 33

80 33

508 125

309 125

14 15

25 12

85 72

Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze.

vo 3

j) 18,145 656

oo fd

f) 16,232 322...

decimaal getal

Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze en bepaal telkens de periode. decimale schrijfwijze

periode

8 21

7 13

625 7

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

e) 0,325

b) 0,4

f) 1,18

c) 2,7

g) 0,036

d) 1,25

h) 4,064

a) 0,29

b) 0,151 5...

c) 0,090 9...

d) 0,117 117...

e) 0,030 030...

f) 1,55...

oo fd

a) 0,77...

Schrijf de zuiver repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.

Schrijf de decimale getallen als een onvereenvoudigbare breuk.

h) 4,531 531...

Schrijf de gemengd repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk. a) 0,144...

1 2

g) 2,181 8...

b) 1,257 878...

c) 18,733...

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

REEKS B Noteer de rationale getallen in decimale schrijfwijze als een onvereenvoudigbare breuk. a) 2,131 3...

d) 72,727 2...

be or

c) 17,400...

h) 50,505 5...

oo fd

e) −0,212 312 3...

b) −1,02

g) −0,123 44...

f) 2,757 5...

i) −2,969 6...

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Bepaal de periode van de zuiver repeterende decimale vormen. a)

211 121

= 1,743 801 652 892 561 983 471 074 380 165 289 256 198 347 107 438 016 528 925 619 834 710 743 801 652 892 561 983 471 074 380 165 289 256 198 347 107 4...

24 11

= 1,411 764 705 882 352 941 176 470 588 235 294 117 647 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 470 588 235 294 117 647 058 823 529 411 764 705 882 352 9...

Toon aan dat 0,99... = 1.

oo fd

Bepaal de som 2,366... + 5,633... zonder rekenmachine.

REEKS C

b) het 500e cijfer na de komma in de decimale vorm van

Bepaal het gevraagde cijfer.

a) het 100e cijfer na de komma in 5,123 123...

10 41

6 7

c) het 2 000e cijfer na de komma in de decimale vorm van

9 10 11

d) het 850e cijfer na de komma in 178,347 979 879 8...

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

4 15

Je kunt het aantal cijfers in de periode van een decimale vorm bepalen aan de hand van de noemer van de breuk. De tabel geeft een overzicht van het aantal cijfers (n) in de periode van een decimale vorm waarvan het gegeven priemgetal de noemer is van de breuk die hoort bij die decimale vorm. n

noemer breuk

101

137

239

271

noemer breuk

oo fd

Voor een breuk waarvan de noemer een veelvoud is van een van die priemgetallen, is het aantal cijfers in de periode gelijk aan het aantal cijfers in de periode van de breuk met dat grootste priemgetal als noemer. breuk 1 21

1 1 1 = 21 3 7

19 136

19 19 1 = 136 8 17

aantal cijfers in de periode

Bepaal het aantal cijfers (n) in de periode van de gegeven decimale vormen.

1 6

berekening

breuk

2 31

1 155

15 26

207 145

32 159

7 274

2 005 1 626

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.2

Vierkantswortels

2.2.1 Inleiding Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 1 600 cm2. Bereken de lengte van een zijde van een tegel.

2.2.2 Definitie Vierkantswortel van een positief getal

Definitie

oo fd

Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal. In symbolen

b is een vierkantswortel van a ¤ b 2 = a Opmerking

Waarom kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet bepalen?

2.2.3 Positieve en negatieve vierkantswortel van een getal

positieve vierkantswortel

• Bepaal een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2

( ) = 81

negatieve vierkantswortel • Bepaal een negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2

( ) = 81

• Besluit:

noem je de positieve vierkantswortel van 81.

noem je de negatieve vierkantswortel van 81.

• Notatie:

81 =

81 = –

Besluit

• Elk positief getal a, verschillend van 0, heeft twee vierkantswortels die tegengesteld zijn:

9 ■

de positieve vierkantswortel of kortweg de vierkantswortel van a is a

■

de negatieve vierkantswortel van a is − a

10 11 12

• 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0 zelf. • Elk negatief getal a, verschillend van 0, heeft geen vierkantswortels. HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS A

144

b) – – 100

0,25

h) – – 6 400

d) – – 1

0,81

e) – – 625

0,04

98 741

169

Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. a)

b) – – 3

490

d) – – 2

oo fd

Bereken zonder rekenmachine.

1 258

h) – – 965

147,2

j) – – 954,26

g) – – 158

Bepaal zonder rekenmachine de twee gehele getallen waartussen het resultaat van de vierkantswortels ligt. Controleer achteraf het resultaat met de rekenmachine.

ligt tussen de gehele getallen ...

verklaring

250

c) – – 12

d) – – 184

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

REEKS B Bepaal de gevraagde lengten op 0,001 cm nauwkeurig.

d) de diameter van een cirkel met een oppervlakte van 845 cm2

oo fd

b) de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een oppervlakte van 414 cm2

c) de straal van een cirkel met een oppervlakte van 120 cm2

Los de vergelijkingen op. a) x 2 – 25 = 0

d) 5x 2 = 180

x 2 = 25

x = 25 of x = – 25

of x = –5

x = 5

De oplossingen 5 en –5 noteer je in de oplossingsverzameling V = {–5, 5}.

b) x 2 + 7 = 71

2 3

e) 3x 2 – 63 = 300

a) de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 278 cm2 bedraagt

6 7

8 9 10 11 12

x2 = 28 7

x2 + 14 = 62 3

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Bepaal de lengte van een persoon aan de hand van de BMI en de massa van de persoon. Bepaal je antwoord op 0,01 m.

oo fd

De Body Mass Index wordt ook wel eens de queteletindex genoemd, naar de Belgische wiskundige en astronoom Adolphe Quetelet (1796-1874). Quetelet wordt beschouwd als een van de grondleggers van de moderne sociale statistiek, die zich bezighoudt met het organiseren van volkstellingen en het schetsen van de ‘modale’ mens. Hij was ook heel bedrijvig als sterrenkundige en is de stichter van de Sterrenwacht van Brussel, de voorloper van het Koninklijk Meteorologisch Instituut. m De Body Mass Index (BMI) van een persoon is het getal BMI = 2 . l Daarbij is m de massa in kilogram en l de lengte in meter. De ‘ideale’ BMI ligt tussen 18,5 en 25. Wie minder dan 18,5 scoort, is te mager. Wie een BMI hoger dan 25 heeft, is te zwaar. Een BMI hoger dan 30 levert het etiket ‘zwaarlijvig’ op.

a) BMI = 24

m = 78 kg

b) BMI = 20

m = 60 kg

c) BMI = 28

m = 50 kg

m = 94 kg

d) BMI = 18

Een klassiek probleem van de oude Grieken: ‘Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.’ Dat probleem is gekend als de kwadratuur van een cirkel. Stel: r is de straal van de cirkel. x is de zijde van het vierkant.

Dan: x 2 =  ? r 2

Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met een straal van 5 cm. Bepaal je antwoord op 0,001 cm nauwkeurig.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

REEKS C 20

Inthe en Ruben zijn op zoek naar een geschikt stuk bouwgrond. Tijdens een wandeling vinden ze op een stuk grond een bordje met de onderstaande gegevens. Bij navraag in de buurt komen ze enkel te weten dat de aanpalende stukken vierkant zijn. Bereken de oppervlakte van het stuk bouwgrond dat te koop is, op 0,01 m2 nauwkeurig. 657 m

Lot 1

985 m 2

Lot 2

Lot 3

TE KOOP

Een ‘wiskundige slinger’ bestaat uit een massa m die aan een staaf of kabel hangt met lengte l en waarvan de massa verwaarloosbaar is. Als de massa uit haar evenwichtstoestand wordt gebracht en daarna losgelaten, zal die heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht. De periode van de slinger is de tijd die de massa nodig heeft om één keer heen en weer te bewegen.

oo fd

Er geldt: T = 2

1 2

Van een wiskundige slinger met lengte 4 m wordt de periode gemeten. Die bedraagt 4,014 s. Bepaal daaruit een benaderde waarde, op 0,01 nauwkeurig, voor de valversnelling.

T is de periode in seconden, l is de lengte van de slinger in meter en g is de valversnelling in m/s 2 (de toename van de snelheid van een vallend voorwerp, per seconde, onder invloed van de zwaartekracht).

l . g

6 7

8 9 10 11

De valversnelling op de maan is zes keer kleiner dan de valversnelling op de aarde. Wat zal de invloed daarvan zijn op de periode van een slinger op de maan ten opzichte van eenzelfde slinger (massa en lengte zijn gelijk) op aarde?

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.3

De reële getallen

2.3.1 Getallen die je al kent Geheel getal

Rationaal getal

Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.

Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.

Een rationaal getal is een getal dat je verkrijgt bij de deling van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet 0 is.

5 is een natuurlijk getal.

−3 is een geheel getal.

Notatie: 5 Œ N

Notatie: −3 Œ Z

Lees: 5 is element van N.

Lees: −3 is element van Z.

2.3.2 Uitbreiding getallen Irrationale lengten

Natuurlijk getal

3 is een rationaal getal. 4 3 Notatie: Œ T 4 3 Lees: is element van T. 4

oo fd

Definitie

Om een tuinhek te verstevigen, plaats je vier diagonale balken. Bereken de lengte van een diagonale balk aan de hand van de afmetingen op de tekening.

Duid aan welk soort getal het resultaat voor de lengte van de diagonale balk zeker niet is.

r natuurlijk getal

r geheel getal

r rationaal getal

De rekenmachine is ontoereikend om na te gaan of het verkregen resultaat een rationaal getal voorstelt. Ook met de computer, die heel wat meer decimalen kan berekenen, kun je het einde van het getal niet ontdekken (decimaal getal?) en ook geen periode (decimale vorm?). Irrationale getallen

Er bestaan getallen met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode. Die getallen kun je niet als breuk schrijven en het zijn bijgevolg geen rationale getallen. Je noemt ze irrationale getallen. Voorbeelden:

• 2 = 1,414 213 562 3... • 0,123 456 789... • p = 3,141 592 653 589 793 238 46...

2 met de computer berekend tot op 200 decimalen: 2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 47...

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.3.3 Bewijs: 2 is irrationaal Vermoeden Bij het berekenen van 2 ontdek je geen periode. Dat laat vermoeden dat 2 een irrationaal getal is. Je stelt een bewijs op, waarbij je aantoont dat 2 een irrationaal getal is. Bewijs uit het ongerijmde

Ofwel is 2 rationaal, ofwel is 2 irrationaal. Andere mogelijkheden zijn er niet. Veronderstel dat 2 rationaal is. Als je kunt aantonen dat dat onmogelijk is, dan is 2 irrationaal. Zo’n bewijsvorm noem je een bewijs uit het ongerijmde.

2 is een rationaal getal. definitie rationaal getal

ﬂ a b

onvereenvoudigbare breuk (a, b Œ N, b ≠ 0)

oo fd

Stel:

bewijs

rekenen in T

ﬂ a b

rekenen in T

ﬂ 2=

rekenen in T

ﬂ 2

2b = a (1) 2

Uit (1): 2b = a ﬂ

definitie even

a is even ﬂ

a is even (2)

2 3

4n 2

rekenen in T

ﬂ 2

b = 2n

a = 2n (n Œ N) (3)

ﬂ

2 is een irrationaal getal.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

a is een onvereenvoudigbare breuk b

De veronderstelling is foutief.

bewijs

is vereenvoudigbaar ﬂ

definitie even

b is even

a Æ even (uit (2)) b Æ even (uit (4))

rekenen in T

ﬂ

b is even (4)

2b = 4n

rekenen in T

ﬂ

b =

ﬂ Aangezien a even is, kun je a schrijven als 2n. ﬂ

grondtal van een even kwadraat is even

2b = (2n) (uit (1) en (3))

grondtal van een even kwadraat is even

2.3.4 Rationale en irrationale vierkantswortels irrationale vierkantswortels

•

121

•

1 4

•

5 4

•

6,25

•

10,02

rationale vierkantswortels

Besluit Een vierkantswortel van een rationaal getal heeft ofwel

• een rationaal getal als uitkomst. Voorbeelden:

Voorbeelden: GEOGEBRA EN PYTHON

2.3.5 Reële getallen

oo fd

• een irrationaal getal als uitkomst.

Definitie

Reëel getal

De rationale en de irrationale getallen samen noem je de reële getallen.

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De verzameling van de reële getallen noteer je als R.

R N

2 is een reëel getal. Notatie: 2 Œ R Lees: 2 is element van R Plaats de getallen in het venndiagram. 7,25

–2,4

2,345…

– 7

0,22…

–6

12 3

1 3

–

Enkele bijzondere deelverzamelingen van R: R0 : de reële getallen zonder 0 +

R : de positieve reële getallen –

R : de negatieve reële getallen De irrationale getallen bevinden zich in R, maar niet in T:

GeoGebra HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.3.6 Absolute waarde van een reëel getal Definitie

Absolute waarde De absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan het getal zonder toestandsteken (plus of min). Voorbeelden: – 3 = 0,123 45... = – =

Definitie

2.3.7 Tegengestelde van een reëel getal Tegengestelde

Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.

oo fd

Voorbeelden: –(– 2 ) = –(+p) = –(–1,246...) =

2.3.8 Omgekeerde van een reëel getal Definitie

Omgekeerde –1

–1

= (p) = (– 17 ) = –1

Voorbeelden:

1 2

Het omgekeerde van een reëel getal is gelijk aan 1 gedeeld door dat getal (verschillend van nul).

1 2

• Er bestaat een ‘wetenschap’ die zich bezighoudt met technieken om de cijfers van p te onthouden: de Piphilologie. Het bekendste geheugensteuntje komt van de schrijver en biochemicus Isaac Asimov (1920-1992): 'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!' In die zin staat het aantal letters van elk woord voor de opeenvolgende cijfers van het getal p : 3,141 592 653 589 79. Wie liever een Nederlandstalig zinnetje onthoudt, kan volgens hetzelfde systeem de eerste dertien cijfers van het getal p onthouden: 'Ook u kunt u zeker vergissen, uw zwakke brein kan immer verkeerd beslissen.'

6 7

8 9 10 11

• In 1897 werd in het parlement van de Amerikaanse staat Indiana een wet aangenomen waarin stond dat het getal p gelijkgesteld moest worden aan 3,2. Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, was de opsteller van die wet. Naast een ‘praktische’ reden had Goodwin er ook financieel belang bij. Door de ‘uitvinding’ van p = 3,2 kon hij een patent verkrijgen en zo royalty’s ontvangen. De wet werd nadien door de Senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van een wiskundige die de fouten kon aanwijzen die Goodwin gemaakt had om tot p = 3,2 te komen.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS A Plaats de getallen in het venndiagram. a) –12

c) 1,5

b) 0

3 4

g) –

f) – 5

h) –1,232 3...

j) 5,024 6...

l) –5

oo fd

b) 0,23

c) 4 585

f) 1,232 3...

k) p

g) −1,5

l) 0,047 47...

3 7

m) −8,113

n) – 2

j) 99

1 3

h) –

a) −5

be 1 6

Zijn de gegeven getallen rationaal of irrationaal? rationaal

irrationaal

a) 1,233...

b) 1,234 5...

c) p

e) 7 890

f) –8,5

Noteer de meest passende getallenverzameling. Kies uit N, Z, T of R.

d) 0,135 79...

i) 154

1 3

e) 0,33...

100

rationaal

irrationaal

g) – 7

1 5

j) –473

625

l) –

2 3

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

REEKS B

p+1

1 2

4 25

8 9 10 11 12

A (m2)

zijde rationaal

348

8 792

3 136

484

oo fd

Is de zijde van het vierkant, waarvan de oppervlakte A gegeven is, een rationale of een irrationale lengte? Zet een vinkje. zijde irrationaal

A (m2)

zijde rationaal

zijde irrationaal

3 487

144

11 025

14 972

Schrijf zonder absolutewaardeteken. a) –7

d) – –

b) 0,85

c) – 3

3 7

g) 1 – 2

e) – 1,233...

f) – –

i) –

0,166...

– 5

1 2

– 0,25

0,44...

0,44

Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort.

Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a) –(–8)

d) –(– 11 )

b) –( 2 )

e) –(+1,455...) =

c) –(p)

f) – –

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

5 2

– 5 +1 2

3– 7 4

Bepaal het omgekeerde van de reële getallen. Schrijf je antwoord als een decimaal getal. Rond, indien nodig, af op 0,001 nauwkeurig. –1

4 7

–1

b) (–2)

(

d) –

e) 1,33...

–1

f) 12

g) (5

h) (–0,35)

7 6

–1

Vul de getallenverzameling in.

b) N » Z

–

d) Z \ N

oo fd

e) R « T

f) R \ R

a) R « T

c) Z « Z

Verbind je de middens van de zijden van een vierkant, dan verkrijg je een vierkant zoals het groene vierkant op de tekening. De oppervlakte van het grote vierkant bedraagt 4 m2. Bereken de zijde van het kleine vierkant. Bepaal je antwoord op 0,001 m nauwkeurig. P

3) = –1

REEKS C 31

–1

1 4

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Een vierkantswortel uit een natuurlijk getal (n ≠ 0) is altijd een natuurlijk getal of een irrationaal getal. Vul het bewijs uit het ongerijmde verder in. bewijs Stel: n is een rationaal getal ﬂ a n = (onvereenvoudigbare breuk) (a Œ N, b Œ N0) b ﬂ

kwadrateren

n = (onvereenvoudigbare breuk) ﬂ

ﬂ b =

oo fd

ﬂ

n Œ N en onvereenvoudigbaar dus b =

a is een getal. b ﬂ

n is een getal. ﬂ

Als n een rationaal getal is, dan is het een getal. besluit

x= 5

xŒR

xŒT

c) –x Œ R

xŒR

1 2

Vul het best passende symbool in: ﬁ of ‹ of ¤. Maak zo de uitspraak waar. Geef een verklaring.

6 7

d) x 2 Œ R

9 10

+ 1 Œ R0 x

–

xŒR

x Œ R0

verklaring

11 12

Manuele berekening van een vierkantswortel HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.4 Irrationale getallen benaderen 2.4.1 Inleiding Bereken 5 . Rond af op het gegeven aantal decimalen.

Controleer de afgeronde waarde aan de hand van de definitie van een vierkantswortel. 2

• 0,01

ﬁ (

) =

• 0,001

ﬁ (

) =

• 0,000 1 :

ﬁ (

• 0,000 01 :

ﬁ (

2 2

) = 2

) =

Een irrationaal getal kan nooit exact worden geschreven als decimale vorm. De decimale vorm is enkel een benaderde waarde van dat irrationaal getal.

oo fd

2.4.2 Afronden

Het afronden van een irrationaal getal gebeurt in functie van de toepassing. Voorbeeld:

Koenraad berekent de lengte van het diagonale tussenschot van de afgebeelde tuinomheining. Hij zal de berekende waarde controleren door de meting uit te voeren met een vouwmeter.

60 cm

x cm

2.4.3 Wortelvormen

Omdat je een irrationale vierkantswortel toch niet exact kunt weergeven door een decimale vorm, kun je als eindresultaat van een opgave de vierkantswortel of een veelvoud ervan noteren.

Definitie

Wortelvorm

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.

Opmerking

• Bij een wortelvorm noteer je het rationaal gedeelte altijd vooraan. • Bij een wortelvorm mag je het vermenigvuldigingsteken weglaten. Voorbeelden 3 2 , –7 145 ,

1 3

15 ,

Benaderingen van p

op 2 decimalen nauwkeurig

op 6 decimalen nauwkeurig

op 20 decimalen nauwkeurig

22 7

355 113

428 224 593 349 304 136 308 121 570 117 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.4.4 Irrationale getallen benaderen met intervallen Interval

Tijdens een stralende zomerdag rust Fatima tussen 14u en 14u30 uit op een bank in het park. De tijd tussen 14u en 14u30 noem je een tijdsinterval.

Interval in R Definitie

Interval in R

halfopen interval

oo fd

Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.

{x Œ R | −1 < x £ 6}

]−1, 6]

halfgesloten interval

{x Œ R | −1 £ x < 6}

[−1, 6[

Soorten intervallen soort interval gesloten interval

interval

{x Œ R | −1 £ x £ 6}

[−1, 6]

{x Œ R | −1 < x < 6}

]−1, 6[

open interval

omschrijving

Irrationale getallen benaderen

Je kunt een irrationaal getal benaderen door aan te duiden tot welk interval, begrensd door twee rationale getallen, dat irrationaal getal behoort. GeoGebra

Opmerkingen

• Het aantal decimalen van de grenzen van het interval bepaalt de breedte van het interval. • Om irrationale getallen te benaderen, gebruik je open intervallen.

2 3

Voorbeeld

35 = 5,916 079 783

intervalbreedte

begrenzing

interval

5 < 35 < 6

]5, 6[

0,1

5,9 < 35 < 6,0

]5,9; 6,0[

6 7

8 9 10

0,01

5,91 < 35 <

]5,91; [

0,001

< 35 <

] ; [

0,000 1

< 35 <

] ; [

11 12

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS B Schrijf de gegeven uitdrukkingen als een wortelvorm. 3 2

f) – 33 (–14)

17 0,5

g) (–4) 2,7

h) –0,12 (– 12,8 ) =

12 j) – 15

1 (–4) 7

3 e) – 7 4

1 8

–

3 – 8

–1

Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek bij het huisnummer 4. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

afronding voor de controlemeting:

3,2 cm

meettoestel

2,6 cm

afronding

meetlat op 1 mm

schuifmaat op 0,02 mm

Een ring heeft een omtrek van 20 cm. Bereken de diameter van de ring. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

5 7

c) – 2 8

oo fd

afronding voor de controlemeting: meettoestel

afronding

meetlat op 1 mm

schuifmaat op 0,02 mm

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Vul de tabel in. omschrijving a)

{x Œ R | 3 £ x £ 11}

{x Œ R | –4 < x < 8}

{x Œ R | –1,5 £ x < –0,75}

]4, 16[

[1,7; 8,5]

– 3,

In welk open interval met gegeven breedte liggen de volgende irrationale getallen?

7,123 456...

0,1

0,01

– 21

148

−4,010 020 003...

0,000 1

– 1 214

0,001

vo 5

8 2

•

9 21

7 175

•

35 7

3 189

•

4 8

48 5

•

3 216

18 6

•

6 320

6 7

8 9 10 11 12

interval

Verbind een wortelvorm uit de eerste kolom met een wortelvorm uit de tweede kolom die een voorstelling is van hetzelfde irrationaal getal.

intervalbreedte

irrationaal getal

soort interval

oo fd

interval

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

REEKS C 41

Bereken de opening van de steeksleutel die je moet gebruiken om de moer los te draaien.

7,5 mm

oo fd

Juist of fout?

311 is een benadering van p op 3 decimalen nauwkeurig. 99

b) 3 32 = 3a 2 als a = 4

2 < x < 3 is een omschrijving van een gesloten interval.

d) p Œ [3,141 6; 3,141 7[

fout

Vul de wortelvormen aan met een geheel getal, zodat het irrationaal getal dat daardoor ontstaat, tot het gegeven interval behoort. a)

Œ ]2,4; 2,5[

f) ? 19

Œ ]34, 35[

Œ ]10,77; 10,78[

g) –14 ?

Œ ]–72, –71[

c) ? 2

Œ ]7, 8[

h) ? 110

Œ ]110, 120[

d) 3 ?

Œ ]7,93; 7,94[

i) –8 ?

Œ ]–58, –57[

e) –

Œ ]–3,47; –3,46[

j) ? 120

Œ ]–150, –140[

juist

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.5 Reële getallen ordenen 2.5.1 Inleiding <

≥

Voorbeelden

7 8

–114

0,850

3 2

–p

– 10

–141

Symbolen

oo fd

2.5.2 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten, kun je n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren. Voorbeelden

b) c = 63

a) b = 27

63 = 49 + 14 = 49 + 9 + 5 = 49 + 9 + 4 + 1 2 2 2 2 = 7 +3 +2 +1

27 = 25 + 2 = 25 + 1 + 1 2 2 2 = 5 +1 +1 2

Stap 1: Schrijf het getal n als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een tweede natuurlijk getal. Neem het kwadraat dat het dichtst bij het getal n ligt en kleiner is dan het getal n.

Stap 2: Splits dat tweede getal als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een derde natuurlijk getal. Stap 3: Doe dat verder tot alle termen kwadraten van een natuurlijk getal zijn.

GeoGebra

c 63

Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.

6 7

Stap 5: Pas de verkregen lengte n af en plaats het irrationaal getal op de getallenas.

8 9

10 11 12

0 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.5.3 Abscis van een punt op de getallenas Plaats de gegeven reële getallen bij de correcte stip op de getallenas.

0 Definitie

–

1 3

0,75

–1

Abscis van een punt

De abscis van een punt van de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas. A

Notatie: ab(A) = 0,5

0,5

oo fd

Met de rationale getallen kun je nog niet aan elk punt van de getallenas een abscis toekennen. Met de irrationale getallen erbij is dat wel mogelijk. Besluit

Elk punt van de getallenas komt overeen met één reëel getal. Elk reëel getal komt overeen met één punt van de getallenas.

2.5.4 Intervallen voorstellen op een getallenas

Voor het voorstellen van intervallen op een getallenas gelden de volgende richtlijnen:

• De breedte van het interval wordt voorgesteld met een groene of een vetgedrukte lijn.

[1, 3] 0

• De grenzen van het interval worden voorgesteld met een stip: ●

open

●

gesloten

●

]–1, 2[ 0

[–2, 0[

[–1, + •[

• Bijzondere intervallen: [–1, +∞[

+∞: plus oneindig

]–∞, 2[

−∞: min oneindig

]– •, 2[ 0

Opmerking Het interval is altijd open bij –∞ en +∞.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Oefeningen REEKS A

1 024

1 042

−79,14

−98

−89

3,002 345...

3,24

3,240

– 459

−21,424 2...

−0,001

0,000 1

2,99...

1,22...

1,234 5...

79,13

−4 897 324

−4 987 243

1 2

0,25

−7

3,002 343 4...

35,185

1 238

oo fd

3 7

– 48 –

15 19 10 12

3 2

Vul in met <, > of =.

n werd met een aantal rechthoekige driehoeken geconstrueerd. Bepaal n. a)

1 1

8 9

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

3 8

–4 3 −0,789 5 6 2 3

REEKS B Stel de irrationale getallen voor op de getallenas. Maak daarvoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken. a)

c) – 15

8 =

15 =

oo fd

b) – 22

33 33 =

22 =

R 0

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Construeer een lijnstuk van 38 cm op twee verschillende manieren met twee rechthoekige driehoeken. 38 =

38 =

oo fd

Wat is de abscis van de punten A en B? a)

2 3

6 7

8 9

10 11

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

4 B

Benoem de punten van de getallenas aan de hand van de gegeven abscis. ab(A) = 2

ab(C) = – 3

ab(B) = −1,5

ab(D) =

ab(E) = 2,8

3 4

ab(F) = –

ab(I) = 9

ab(G) = 7

7 3

ab(H) = –

9 5

ab(J) = 2 5

Bepaal de abscis van de benoemde punten van de getallenas.

ab(A) =

ab(B) =

b) G

ab(G) =

ab(H) =

ab(D) =

ab(I) =

ab(E) =

R H

ab(J) =

Stel de intervallen voor op de getallenas.

a) [1, 4]

b) ]−2, 2[

c) ]0, 5]

d) [3, +∞[

e) [−3, −1[

f) ]−∞, 4[

ab(C) =

ab(F) =

oo fd

E C

R 0

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Noteer als een interval. R

oo fd 1

voorstelling

omschrijving

{x Œ R | 0 £ x < 2}

]−∞, 0[

]−2, 3]

Vul de tabel in.

interval

{x Œ R | –1 < x < 3}

6 7

[−1, 4]

8 9 10 11 12

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

{x Œ R | –1 £ x £ 2}

REEKS C Noteer als een interval. =

d) R

–

e) R0

–

f) R \ R =

a) R b) R

c) R0

–

actie

knoppen

Voer de lijst getallen in en sla ze op in de werklijst L1.

{

2nd

scherm

√

2nd

oo fd

(

REKENMACHINE

Opmerking Als je na het sorteren wilt weten welke decimale benadering bij wat hoort, noteer dan de waarden.

U L5

rcl

stat

2nd

dh Y

L entry solve

}

)

list

}

2nd

sto

Sorteer L1 in oplopende volgorde en vraag L1 op.

enter

)

2nd

entry solve

enter

Rangschik de reële getallen van klein naar groot. a)

105

–

13 5 <

3,14

–7 <

22 7

– 5 <

42 5 <

–2,5

– 7

79 <

8,5 <

102 <

8,88... <

42 4

10,25

7 3

10 <

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal 2.6.1 Inleiding

Om de nodige componenten in de kubusvormige bluetooth speaker te kunnen stoppen, is een volume van 216 cm3 nodig. Bepaal de ribbe r van de bluetooth speaker. V = r 3 = 216 cm3

V = = 216 cm3

Om de zijde van de kubus te bepalen aan de hand van het volume, bereken je de derdemachtswortel van het volume.

2.6.2 Definitie

oo fd

Derdemachtswortel van een reëel getal

Definitie

De derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal. In symbolen

b is de derdemachtswortel van a ¤ b = a 3

REKENMACHINE

Notatie: a

actie

test

Bereken de derdemachtswortel van een getal.

knoppen

math

Voer het getal in.

entry solve

2 3

2.6.3 Voorbeelden 3

want = 8

•

3,375

want

•

8 27

want

–64

want

•

enter

6 7

•

9 10

•

11 12

Vaststelling

Elk reëel getal heeft juist één derdemachtswortel.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

scherm

Oefeningen REEKS A

–8

–1

125

216

15,625

–1 331

oo fd

Bereken met de rekenmachine. a)

27 4 096

–

91 125

–0,001

0,036

–81

Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. a)

2,458

= =

Bereken zonder rekenmachine.

–845

5 4

–

8 15

REEKS B

Bepaal de ribbe van de kubus waarvan het volume gegeven is. a) V = 21,952 m3

b) V = 4 913 cm3

c) V = 39,304 dm3

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Een kubus uit plexiglas heeft een volume van 2 750 cm3. Bereken de ribbe van de kubus op 0,01 cm nauwkeurig.

Een kubusvormige koelkast heeft een inhoud van 100 l. De wanden hebben een dikte van 3 cm. Bereken de zijde van de koelkast op 0,01 cm nauwkeurig.

oo fd

Bereken de zijde van een dobbelsteen met een volume van 2,4 cm3. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.

2 3

afronding voor de controlemeting: meettoestel

afronding

meetlat op 1 mm

schuifmaat op 0,02 mm

6 7

Kun je met 343 gelijke kubusjes een volledig gevulde grote kubus bouwen? Verklaar je antwoord.

9 10

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

De kubus van Rubik, met vlakken van 3 bij 3, heeft een volume van 166 cm3. Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de ribbe van een klein kubusje waaruit de vlakken zijn opgebouwd.

Los de vergelijkingen op. a) x3 + 5 = 2 749

c) 5x3 − 7 = 196 513

oo fd

b) 3x3 = 648

d) 2x3 + 63 = 9

Een kubusvormig zitkussen heeft een massadichtheid van 80 kg/m3 en een massa van 17 kg. m Bepaal de zijde van het zitkussen op 1 mm nauwkeurig. Gebruik de formule V = . r

REEKS C

Een voetbal heeft een inhoud van 5,5 liter. Bereken de straal van de voetbal op 1 mm nauwkeurig.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

STUDIEWIJZER De reële getallen voor de leerling

2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen KUNNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Decimale getallen, zuiver repeterende en gemengd repeterende decimale vormen van elkaar onderscheiden. De periode en het niet-repeterend deel van een decimale vorm aanduiden. Decimale schrijfwijze omvormen naar breuk.

Breuk omvormen naar decimale schrijfwijze.

2.2 Vierkantswortels

–  + –  +

KENNEN Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.

oo fd

KUNNEN

–  + –  +

De vierkantswortels van een positief getal berekenen.

2.3 De reële getallen

KENNEN

–  + –  +

Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.

De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zonder toestandsteken.

Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken. Het omgekeerde van een reëel getal is 1 gedeeld door dat reëel getal.

KUNNEN

–  + –  +

Getallen voorstellen in een venndiagram.

De absolute waarde van een reëel getal bepalen.

Het tegengestelde van een reëel getal bepalen. Het omgekeerde van een reëel getal bepalen.

2.4 Irrationale getallen benaderen

2 3

KUNNEN

Werken met intervallen. Irrationale getallen afronden in betekenisvolle situaties. Irrationale getallen benaderen met intervallen.

8 9 10 11 12

–  + –  +

Een interval in R is een verzameling van opeenvolgende reële getallen.

KENNEN

Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

–  + –  +

voor de leerling

2.5 Reële getallen ordenen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een abscis van een punt op de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.

KUNNEN

–  + –  +

Reële getallen ordenen.

De abscis van een punt op de getallenas bepalen. Intervallen voorstellen op een getallenas.

2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal KENNEN

Reële getallen voorstellen op een getallenas.

Irrationale lengten tekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.

–  + –  +

oo fd

Een derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.

KUNNEN

–  + –  +

De derdemachtswortel van een reëel getal berekenen.

Vraagstukken waarbij gebruikgemaakt wordt van derdemachtswortels, oplossen.

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

oo fd

n het vierkant. 1. Bereken de zijde x va gegevens op Gebruik daarvoor de de tekening. 9 3

3. Bepaal x.

2 3

3x 2x

8 9 10 11 12

100

60°

HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN

❑ concreet materiaal

60°

2. Bereken de oppervla kte van de gekleurd e driehoek, die bepaald wordt door de vier vierk anten. De zijde van het kleinste vierkant is 1.

vbhfdst_Pienter-3XL-D-leerwerkboek

Articles inside

Hoe werk je met Pienter?

Hoofdstuk 1 De stelling van Pythagoras