Vbpg pienter2

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

Herhaling

Getallenleer

Herhaling

Meetkunde

4

Hoofdstuk 1 Machten van rationale getallen met natuurlijke exponent

5

Hoofdstuk 2 Spiegelen, verschuiven en draaien

27

Hoofdstuk 3 Machten van rationale getallen met gehele exponent

77

Hoofdstuk 4 Hoeken

99

Hoofdstuk 5 AlgebraĂŻsch rekenen

129

Hoofdstuk 6 Congruente figuren

165

Hoofdstuk 7 Merkwaardige producten

217

Hoofdstuk 8 Driehoeken

233

Hoofdstuk 9 Vergelijkingen en formules

263

Hoofdstuk 10 Vierhoeken

287

Hoofdstuk 11 Evenredigheden

335

Hoofdstuk 12 Gelijkvormige figuren

379

Hoofdstuk 13 Ontbinden in factoren

405

Hoofdstuk 14 Ruimtemeetkunde

425

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

2.1

Spiegelen, verschuiven en draaien van figuren

28

2.2

Spiegelen

32

2.3

Verschuiven

43

2.4

Draaien

53

2.5

Eigenschappen van spiegelen, verschuiven en draaien

Studiewijzer

70 75

Om punten, rechten en figuren te kunnen transformeren, heb je een passer nodig en een lat, om te construeren.

Wat een symmetrieas zoal doet met een figuur, leer je straks, in dit prachtig stukje vakliteratuur.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

27

2 SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN 2.1 Spiegelen, verschuiven en draaien van figuren 2.1.1 Inleiding Welke veranderingen heeft de hond Grappo ondergaan?

Hond B is telkens het resultaat van een verandering van hond A.

B

De hond Grappo is

A

B

A

De hond Grappo is

B

De hond Grappo is A

1 2 3 4 5

Spiegelingen, draaiingen en verschuivingen noem je transformaties van het vlak.

6 7 8

Transformatie komt van het Latijnse woord transformatio.

Dat betekent vervorming, gedaanteverandering, verandering, verzetting, wijziging, wisseling.

In het dagelijks leven gebruik je vaak transformatoren. Dat zijn toestellen die elektrische spanning veranderen in een andere spanning.

Een gsm-lader bijvoorbeeld verlaagt de spanning van 230 V wisselspanning naar 3,7 V gelijkspanning.

9 10 11 12 13 14

28

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

OEFENINGEN REEKS A 1

Herken je in de onderstaande figuren een spiegeling, een verschuiving of een draaiing? Vink aan. a)

d)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

b)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

e)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing. f)

c)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

29

2

Herken je in de onderstaande figuren een spiegeling, een verschuiving of een draaiing? Vink aan. a)

d)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

e)

b)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

1

f)

c)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ik herken een 12 13

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

14

30

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

REEKS B 3

Herken je in de onderstaande figuren een spiegeling, een verschuiving en/of een draaiing? Vink aan. a)

c)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

b)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

d)

Ik herken een

❒ spiegeling. ❒ verschuiving. ❒ draaiing.

REEKS C 4

Vervolledig de onderstaande patronen. a)

b)

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

31

2.2 Spiegelen 2.2.1 Inleiding In je omgeving word je vaak met spiegelingen geconfronteerd.

Ook Thomas merkte een spiegeling op toen hij de foto’s van zijn bezoek aan de zoo bekeek.

A

A

x

x

A’

A’

Zelf kan je héél makkelijk een figuur spiegelen.

Maak een vlek op een blanco blad. Vouw het blad dicht zodat de vlek een afdruk geeft.

Als je het blad nu openvouwt, merk je dat de vlek gespiegeld is ten opzichte van de vouwlijn.

De vouwlijn is de spiegelas.

vouwlijn A

A’

B

B’

1 2 3

A

4 5

A’

B

6 7 8

vouwlijn B’

9 10 11 12

Vaststelling

13

Een spiegeling wordt bepaald door een spiegelas.

14

32

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

2.2.2 Een punt spiegelen Bepaal het beeld van het punt A door een spiegeling ten opzichte van de rechte x.

Noem het spiegelbeeld A⬘. x

x A’

7 6

10 170

5

20 160

4 3

30 150

2 1

40 140

1 0

2

A

1 50 130

3

1

4 2

H RIE OD GE

5 0 17 0 1

6 7

16 20 0

K OE

7 11 0 0

A

3

60 120

2

80 0 11

3 90 150 30

140 40

130 50

120 60

110 70

100 80

S Sv

Werkwijze stap 1: Teken de loodlijn op de rechte x door het punt A. stap 2: Teken A⬘ op die loodlijn zodat d(A, x) = d(A⬘, x).

Notatie: sx (A) = A⬘ (s komt van het woord spiegeling) Lees:

Het spiegelbeeld van A ten opzichte van de spiegelas x is A⬘.

Opmerking • x is de middelloodlijn van [AA⬘] want AA⬘ ⊥ x en d(A, x) = d(A⬘, x).

• Het spiegelbeeld van een punt A wordt meestal A⬘ genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk.

Voorbeelden Bepaal sa (A), sa (B), sa (C) en s a (䉭DEF). a A

B

C D

F

E Vaststelling

Het spiegelbeeld van een punt op de spiegelas is het punt zelf.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

33

OEFENINGEN REEKS A 5

Soms zie je op een ziekenwagen het woord ‘ambulance’ eigenaardig geschreven staan.

Wat is daar de reden voor?

6

Spiegel ten opzichte van de rechte y. y

A B

D

1 2

C

F

3

E

4 5 6

G

7

I

8

H

9 10 11

K

12 13 14

34

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

J

7

Teken het beeld door de spiegeling sa .

B

D C E

A F

a

REEKS B 8

Teken het beeld van de volgende figuren door de gevraagde spiegeling. Geef de notatie. a)

A

b)

B

C C

a B

D

D

b E

A

Notatie:

9

Notatie:

De rechtertekening zou het spiegelbeeld moeten zijn van de linkertekening.

De tekenaar was echter verstrooid. Omcirkel de acht fouten op de rechtertekening.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

35

10

De onderstaande klokken staan in spiegelbeeld. Hoe laat is het? a)

11

b)

c)

Vul in. punt

spiegelas

spiegelbeeld

K

a

L

lijnstuk

spiegelas

spiegelbeeld

[PQ]

k

[RS]

a) sa(A) = B b)

12

Vul in.

a) b) st([MN]) = [VW]

13

1

Bepaal sb (A), sa (B), sb (C), sc (D) en sc (E). a

b

2 3

c

4 5

D

6

E

7

C

8 9 10

B

11 12

A

13 14

36

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

14

Schrijf in woorden. a) sa (B) = B⬘ b) sx (P) = P⬘

15

Schrijf in symbolen. a) Het spiegelbeeld van X ten opzichte van de spiegelas b is X⬘. b) Het spiegelbeeld van D ten opzichte van de spiegelas y is D⬘.

16

Vink de juiste notaties aan. a)

b) b

Q = Q’

c) R

P

P = P’

R = R’

P

R’

Q’

P’

d

a

P’

R

Q

R’ Q = Q’

❒ sb (P) = P⬘ ❒ sb (Q) = Q⬘ ❒ sb (R) = R⬘

17

❒ sa (P) = P⬘ ❒ sa (Q) = Q⬘ ❒ sa (R) = R⬘

❒ sd (P) = P⬘ ❒ sd (Q) = Q⬘ ❒ sd (R) = R⬘

Vul in. k

j A

m

H

G

B

I

n C

D

F

E

a) sn (A) =

g) s

(C) = C

b) sk (D) =

h) sm (

)=A

c) sm (I) =

i) sm (

) = [GF]

d) sn ([CE]) =

j) s

e) sk ([HD]) =

k) sj (

f) sm ([FD]) =

l) s

([GI]) = [IE]

) = [AE]

([IG]) = [IE]

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

37

18

Is de figuur F2 het beeld van de figuur F1 door een spiegeling? Teken indien mogelijk de spiegelas. a)

c)

A

I

B

A'

K

J

D'

F1 G

H

C'

C

B D

F2

D' E

K'

B'

A

J'

F1

I'

F2

C' CC

A'

G' H'

E'

B' D

❒ ja ❒ neen

❒ ja ❒ neen

b)

d)

B

B

C F1

F1

D'

B'

A

C

C'

D

A F2

F2

A'

A'

C'

❒ ja ❒ neen

B'

❒ ja ❒ neen

1

19

2 3

Teken, indien mogelijk, de spiegelas x zodat sx (A) = A′ en sx (B) = B′.

Teken daarna het beeld van C en D ten opzichte van de spiegelas x. a)

4

b)

5

B = B’

C

C

6

A = B’

7

A

8 9

B = A’

10 11

A’

12

D

13 14

38

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

D

REEKS C 20

Zet de punten A, B, C, D, en E in het assenstelsel.

Bepaal de coördinaat van het beeld door een spiegeling ten opzichte van de x-as en de y-as. y

1

x O

1

A(2, 3)

sx (A) =

sy (A) =

B(0, 2)

sx (B) =

sy (B) =

C(−2, −3)

sx (C) =

sy (C) =

D(−3, 4)

sx (D) =

sy (D) =

E(4, 0)

sx (E) =

sy (E) =

a) Bij een spiegeling ten opzichte van de x-as blijft / wordt de x-coördinaat Bij een spiegeling ten opzichte van de x-as blijft / wordt de y-coördinaat b) Bij een spiegeling ten op zichte van de y-as blijft / wordt de x-coördinaat Bij een spiegeling ten op zichte van de y-as blijft / wordt de y-coördinaat

21

Je moet met de witte biljartbal de rode bal raken, zonder de gele bal te raken.

Daarvoor moet je via de band werken.

R’ B R G

W

a) Waar moet de witte biljartbal (W) de bovenste korte band van de biljarttafel raken om de rode biljartbal (R) te raken?

b) Waar moet de witte biljartbal (W) de rechter lange band van de biljarttafel raken om de rode biljartbal (R) te raken?

R R

G

G W

W

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

39

2.2.3 Symmetrieassen m

Wat is de betekenis van dit verkeersbord?

n o

Welke spiegelas zorgt ervoor dat de figuur op zichzelf wordt afgebeeld?

Deze spiegelas noem je een symmetrieas.

Definitie

Symmetrieas Een symmetrieas van een figuur is een spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt.

In symbolen: m is een symmetrieas van een figuur F Voorbeelden Teken alle symmetrieassen van de volgende figuren.

Noteer onder elke figuur het aantal symmetrieassen.

aantal:

aantal:

aantal:

aantal:

aantal:

aantal:

aantal:

aantal:

aantal:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

40

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

OEFENINGEN REEKS A 22

Teken alle symmetrieassen in de onderstaande tekeningen. a)

23

b)

Teken alle symmetrieassen in de onderstaande vlakke figuren.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

41

REEKS B 24

25

Teken alle symmetrieassen. a)

c)

e)

aantal symmetrieassen:

aantal symmetrieassen:

aantal symmetrieassen:

b)

d)

f)

aantal symmetrieassen:

aantal symmetrieassen:

aantal symmetrieassen:

Vul aan tot een symmetrische figuur. a)

b)

1 2 3 4

REEKS C

5

26

Kleur zo weinig mogelijk hokjes in zodat d 1 en d 2 symmetrieassen zijn.

6

a) 7

d1

b)

d1

8 9 10

d2

11 12 13 14

42

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

d2

2.3 Verschuiven 2.3.1 Inleiding Seb, Léon en Oona zitten in een jeugdbeweging en moeten tijdens een spel de controlepost vinden.

Ze kregen elk een eerste instructie mee: ‘Ga naar het kruispunt van de Zwanendreef en de Mostweg’.

Daar aangekomen krijgt elk een tweede instructie via sms toegestuurd.

Waar vinden Seb, Léon en Oona de controlepost?

Seb SMS 1 ‘NEEM DE ZWANENDREEF’

Zwanendreef Colliemolendreef Mostweg

Léon Mostweg

SMS 2 ‘GA NAAR HET BOS’

Zwanendreef 1 cm = 25 stappen Kunnen de kinderen elk afzonderlijk de controlepost vinden?

Oona

Seb, Léon en Oona hebben zowel een richting, een zin als een afstand gebruikt om de controlepost te vinden. Deze drie wiskundige begrippen stel je samen voor door een georiënteerd lijnstuk.

Definitie

SMS 3 ‘ZET 75 STAPPEN’

Georiënteerd lijnstuk Een georiënteerd lijnstuk is een lijnstuk dat wordt bepaald door een richting, een zin en een afstand.

A A’

䉴

notatie: AA⬘

De verschuiving op een glijbaan wordt bepaald door een georiënteerd lijnstuk.

De punten A en B worden verschoven volgens AA⬘ . 䉴

A A B A’

B

A’

B’ B’

Vaststelling

Een verschuiving wordt bepaald door een georiënteerd lijnstuk.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

43

2.3.2 Een punt verschuiven 䉴

Zoek het beeld van het punt P door een verschuiving bepaald door het georiënteerd lijnstuk AA⬘ .

Noem het schuifbeeld P⬘.

A’ A’ P’

A

A

P

P

Werkwijze stap 1:

Teken een rechte evenwijdig met AA⬘ door P.

richting

stap 2: Bepaal de zin waarin je P moet verschuiven.

zin

stap 3: Teken P⬘ op die evenwijdige zodat d(A, A⬘) = d 共P, P⬘兲.

afstand

Notatie : t AA⬘ (P) = P⬘ (t komt van het woord translatie, wat verschuiving betekent) c

Lees

䉴

: Het schuifbeeld van P bepaald door het georiënteerd lijnstuk AA⬘ is P⬘.

Opmerking Het schuifbeeld van een punt P wordt meestal P⬘ genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk.

Voorbeelden Bepaal t AA⬘ (K) , t AA⬘ (L) en t AA⬘ (䉭DEF). c

c

c

A’ A 1

K

L

2

E

3 4 5 6

D

F

7

Vaststelling

8

Het schuifbeeld van een lijnstuk is een evenwijdig lijnstuk.

9 10 11

Het verkeersbord hiernaast wijst op eenrichtingsverkeer.

Wiskundig gezien zou het eenzinsverkeer moeten zijn.

12 13 14

44

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

OEFENINGEN REEKS A 27

Teken het beeld van de gegeven punten volgens t PP⬘ . c

a)

b) P

A B

A

P’

C P’ B

P C

28

Teken het beeld van [BC], nDEF en vierhoek GHIJ volgens t AA⬘ . c

H G

A B

I

C

A’

D

J F

29

E

Teken het beeld van [AB] en nCDE volgens t FF⬘ .

A c

B

C F E

F’

D

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

45

REEKS B 30

Zoek het schuifbeeld. Welk woord zoeken we?

B

O

J

G U

R

L

F P

K E S

Q

D

C

M N

A

H

T V

W

t QD (F) =

t FE (B) =

t GQ (D) =

t LO (M) =

t DN (A) =

t FG (P) =

t TD (K) =

t NK (N) =

c

c

c

c

c

c

c

c

Welk woord zoeken we?

31

1 2

De rechterfoto zou het schuifbeeld moeten zijn van de linkerfoto. De tekenaar was echter verstrooid.

Omcirkel de acht fouten op de rechtertekening.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

46

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

32

a) Teken het beeld van K, G en [VW] volgens t AB . c

b) Teken het beeld van nOPQ volgens t CD . c

A

B=G O

W K

V

C

Q

P

D

33

Vink de foutieve beweringen aan. Aan welke voorwaarde is niet voldaan? a)

b)

c) A

E C

E

F

D

C B

F

A

B

B

A

E

D C

F

D

❒ t AB (C) = (D)

❒ t AB (C) = D

❒ t AB (C) = D

❒ t AB (E) = F

❒ t AB (E) = F

❒ t AB (E) = F

❒ richting

❒ richting

❒ richting

❒ zin

❒ zin

❒ zin

❒ afstand

❒ afstand

❒ afstand

c

c

c

c

c

c

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

47

34

Vul in.

a)

lijnstuk

georiënteerd lijnstuk

[PQ]

RS

schuifbeeld

c

[VW]

b) t AA⬘ ([FG]) = [HI] c

35

Schrijf in woorden. a) t AB (C) = D c

b) t PP⬘ (A) = A⬘ c

36

Schrijf in symbolen. c

a) Het schuifbeeld van P bepaald door AB is Q. c

b) Het schuifbeeld van X bepaald door VW is X⬘.

37

Teken het beeld van de volgende figuren bepaald door de verschuiving t PP⬘ .

Geef de correcte notatie. c

a)

b) C

S

1

O P

2

B

R

D

3 4

Q

5 6

P’

A

7

P

8

P’

9 10 11 12

Notatie:

13 14

48

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

Notatie:

38

Vul in.

B

A

a) t FE (A) =

e) t FM (M) =

b) t AB (E) =

f) t

c

c

c

M

F

C

c) t AM (

)=D

c

D

E

39

(C) = B

d) t

g) t CD (A) = c

h) t MA (

(B) = C

)=M

c

Het punt P′ is het beeld van het punt P bepaald door een verschuiving.

Teken het georiënteerd lijnstuk en het beeld van de overige punten. a)

P

b) B

A

P’ C

C P’

P B A

40

Het punt A′ is het beeld van het punt A door een verschuiving.

Teken het georiënteerd lijnstuk en teken vervolgens het beeld van de vlakke figuur. a)

B

A

b)

B

A

A’ D D

A’

C

C

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

49

41

Is de figuur F 2 het beeld van de figuur F 1 door een verschuiving?

Teken indien mogelijk het georiënteerd lijnstuk. c)

a)

A

A

F1

A' F1

C = C'

B = B' F2

B

C

F2 A'

B'

C'

❒ ja ❒ neen

❒ ja ❒ neen

b)

d)

A

E A

B F1

E

A'

F1

D

D

B C B'

C = C'

F2 D'

B'

D'

C'

E'

❒ ja ❒ neen

1

F2

A'

❒ ja ❒ neen

E'

2 3 4

42

5

Vul in. h d a A

6

f

G

f) s

a) t AG (I) =

e B

c

7

b) t IF ( c

)=D

(B) = F

g) t HB ( c

)=G

8

b

9

C

I

D

c) s f ([CE]) =

h) sHD(F) =

10

d) t

11 12

c E

13

g

H

14

50

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

(C) = G

i) t DF (A) = c

F

e) sg(

)=H

j) sb(

)=D

REEKS C 43

Teken de ontbrekende punten als je weet dat t PQ (A) = B en t PQ (K) = L. c

c

a)

c) Q B L

P

L B

P Q

b)

d)

P P

K

B

A

Q

Q L

44

Teken nKLM als je weet dat nABC het beeld is van nKLM door de verschuiving bepaald door c

het georiënteerd lijnstuk VW .

A

V

W C

B

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

51

45

Zet de punten A, B, C, D, P, Q, V en W in het assenstelsel en verbind A, B, C en D. Bepaal de gevraagde coördinaten. y

A(1, 4) B(3, 4) C(3, 2) 1

D(–1, –1)

x O

1

P(–1, 5) Q(2, 5) V(0, 5) W(5, –3)

t PQ (ABCD) = RSTU

t VW (ABCD) = KLMN

c

46

1

R(

,

)

T(

,

)

K(

,

)

M(

,

)

S(

,

)

U(

,

)

L(

,

)

N(

,

)

In een trapezium ABCD is de grote basis [AD] dubbel zo lang als de kleine basis [BC]. Verbind het midden M van de grote basis met de hoekpunten B en C zodat je drie driehoeken verkrijgt.

Onderzoek welke driehoeken elkaars beeld zijn door een verschuiving.

Bepaal ook telkens de verschuiving.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

52

c

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

2.4 Draaien 2.4.1 Georiënteerde hoek Léon en Lola moeten de code van een brandkast proberen te kraken. Ze krijgen elk een envelop met een tip. Door het cijferslot op de juiste manier te draaien, kunnen ze de code ontcijferen.

Een verkeerde poging vernietigt helaas de inhoud.

0 Léon

O

75

25

ENVELOP 1 ‘DRAAI OVER EEN HOEK VAN 144°’

50 Kunnen de kinderen elk afzonderlijk de code kraken?

Lola ENVELOP 2 ‘DRAAI HET SLOT IN TEGENWIJZERZIN’

Welk getal moeten Léon en Lola draaien?

Er kan zowel in wijzerzin als in tegenwijzerzin over een bepaalde hoek gedraaid worden. Om de hoekgrootte en de draaizin voor te stellen gebruik je een georiënteerde hoek.

Definitie

Georiënteerde hoek A

Een georiënteerde hoek is een hoek die wordt bepaald door een hoekgrootte en een (draai)zin.

O

B

—B notatie: A O —B Je spreekt over de georiënteerde hoek A O met de halfrechte [OA als beginbeen en de halfrechte [OB als eindbeen.

Afspraak

Positieve en negatieve zin Wanneer er in tegenwijzerzin wordt gedraaid, spreek je van een positieve zin.

Wordt er in wijzerzin gedraaid, dan spreek je van een negatieve zin.

georiënteerde hoek

beginbeen

eindbeen

notatie

draaizin

[OA

[OB

—B AO

negatief

[OB

[OA

—A BO

positief

A

O

B A

O

B

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

53

OEFENINGEN REEKS A 47

Duid de zin van de georiënteerde hoek aan met een pijl.

B

A

B A

A

B

−40°

B

90°

120°

−150°

—B positief is.

Vink aan in welke situaties de georiënteerde hoek A O a)

b)

c)

d) A

A

B

A B

A

O O

B

O

O B

❒

❒

❒

❒

1 2

49

3 4

Teken de gevraagde georiëñteerde hoek met 0 als hoekpunt. a)

b)

5

0

0

6 7 8 9 10 11 12

—K = −80° SO

13 14

54

A

O

O

O

O

48

d)

c)

b)

a)

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

—T = 125° KO

REEKS B

51

tegenwijzerzin

positieve zin

negatieve zin

Vink de juiste draaizin aan.

wijzerzin

50

a) In welke zin draait de volumeknop van de radio als je het geluid dempt?

❒

❒

❒

❒

b) In welke zin draai je als je een waterkraan dichtdraait?

❒

❒

❒

❒

c) In welke zin rijd je in België op een rotonde?

❒

❒

❒

❒

d) In welke zin draaien de wielen van een fiets die je ziet voorbijrijden van links naar rechts?

❒

❒

❒

❒

e) In welke zin draai je aan het stuur van een auto als je naar links afslaat?

❒

❒

❒

❒

f) In welke zin draai je de schroevendraaier om een schroef in de muur te draaien?

❒

❒

❒

❒

Josse staat voor een deur. Bepaal de draaizin om de deur te openen. a)

b)

❒ wijzerzin ❒ tegenwijzerzin

❒ wijzerzin ❒ tegenwijzerzin

Twee keer per jaar moet je de klok verdraaien.

Gedurende de zomermaanden moet je de klok een uur vooruitzetten (in wijzerzin). In de wintermaanden draai je ze een uur terug (in tegenwijzerzin). De zomertijd loopt vanaf de laatste zondag van maart tot de laatste zondag van oktober.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

55

2.4.2 Een punt draaien Léon en Lola vinden in de brandkast twee tickets voor een pretpark.

Bij het piratenschip worden ze met draaibewegingen geconfronteerd.

A A

O

O 120° B’

120° 120° B’

120°

B

B

A’ A’

Punt A en B zijn gedraaid • om een centrum O • volgens een georiënteerde hoek van 120°.

—A⬘ = B O —B⬘ = 120°.

• AO

A’ A’

O

O 120°

120° B

120°

120° B

B’

B’

A A

Punt A en B zijn gedraaid 1

• om een centrum O

2

• volgens een georiënteerde hoek van −120°.

—A⬘ = B O —B⬘ = −120°.

• AO

3 4

Vaststelling 5

Een draaiing wordt bepaald door een centrum en een georiënteerde hoek.

6 7 8

In een pretpark kun je verschillende draaiingen in één attractie opmerken. Bij de theekopjes wordt er om verschillende centra gedraaid. Zo merk je een centrum op bij ieder kopje, maar ook bij het centrum van de attractie.

Een extra factor die de kans op misselijkheid vergroot.

9 10 11 12 13 14

56

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

Bepaal het beeld van het punt A door een draaiing om een centrum O over een georiënteerde hoek van −70°. Noem het draaibeeld A⬘.

A’

α A

O O A

Werkwijze stap 1:

Teken de halfrechte [OA .

stap 2: Teken een even grote hoek als ␣ met 关OA als beginbeen. stap 3: Bepaal op het eindbeen een punt A⬘ zodat 兩 OA 兩 = 兩 OA⬘ 兩 Notatie: r 共O, ␣兲 (A) = A⬘ (r komt van het woord rotatie, wat draaiing betekent) Lees:

Het draaibeeld van A door de draaiing om het centrum O en over de georiënteerde hoek ␣ is A⬘.

Opmerking Het draaibeeld van een punt A wordt meestal A⬘ genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk.

Voorbeelden Bepaal r (O, 90°) (A), r (O, 120°) ([PQ]) A

Bepaal r (O, −45°) (䉭ABC) en r (O, 360°)(D) B

D

C

O

A O

P

Q Vaststelling

Het draaibeeld van een punt over een georiënteerde hoek van 360° is het punt zelf.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

57

OEFENINGEN REEKS A 52

Duid met groen het centrum van de draaiing aan op de volgende illustraties. a)

53

b)

Teken het beeld door de gegeven draaiingen. a)

c)

r (O, 40°)(A)

r (O, 100°)([AB]) O

A O

A B 1 2

b)

d)

r (O, −120°)([CD])

r (O, −45°)(䉭ABC)

3

C

4 5 6

O

7 8

O

A

9 10 11

D

12 13 14

58

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

C

B

REEKS B 54

Zoek telkens het draaibeeld.

B

D N

U

C

O

J K M

A

F

I T

G H

R

E

r (O, −60°) (A) =

r (A, −100°) (B) =

r (F, −90°) (D) =

r (A, 180°) (O) =

r (D, 75°) (G)

r (F, 135°) (I)

=

r (D, −60°) (F) =

=

Welk woord zoeken we?

55

Vul in. punt

centrum

georiënteerde hoek

draaibeeld

S

P

−120°

T

lijnstuk

centrum

georiënteerde hoek

draaibeeld

[CD]

P

45°

[EF]

a) r (O, 60°)(P) = Q b)

56

Vul in.

a) b) r (G, −150°)([KL]) = [MN]

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

59

57

58

59

Schrijf in woorden. a)

r (O, 45°) (Y) = Y⬘

b)

r (O, −60°) (B) = B⬘

Schrijf in symbolen. a)

P⬘ is het draaibeeld van P om O over −120°.

b)

X⬘ is het draaibeeld van X om R over 45°.

Teken het beeld van de volgende vlakke figuren door de gegeven draaiing. a)

b)

B

C B

A

A

O

D O 1

D

C

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

r (O, −140°) (ABCD) =

12 13 14

60

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

r (O, 80°) (ABCD) =

60

Vink de juiste beweringen aan. a)

b)

c)

D

E

A

B A

O

B O

A

O

B

D

D E

❒ ❒ ❒ ❒

61

❒ ❒ ❒ ❒

r (O, 90°) (A) = B r (O, −70°) (A) = D r (O, −90°) (D) = A r (O, 170°) (B) = D

❒ ❒ ❒ ❒

r (O, 45°) (B) = E r (O, 45°) (A) = B r (O, 45°) (B) = D r (O, −90°) (B) = D

r (O, 120°) (A) = E r (O, 120°) (A) = D r (O, −120°) (D) = E r (A, −25°) (B) = E

Vul in.

N

O

B

C

P

A

b) r (X, −120°) (

Z

D Q

a) r (X, 60°) (K) =

M

)=N

)

(L) = J

g) r (X, 30°) (S) =

L X

E

K F

W

J

R

f) r (X,

G

H

S T

V

I U

c) r (X,

)

(B) = E

h) r (X, −90°) (

)=H

d) r (X, −150°) (G) =

i)

r (X,

e) r (X, 90°) (

j)

r (X, 180°) (Q) =

)=V

)

(R) = M

REEKS C 62

Teken de ontbrekende punten als je weet dat r (O, 45°)(A) = B, r (O, −100°) (C) = D en r (O, 150°) (E) = F. a)

b)

A

O

E

D E

O

B

D

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

61

63

Vul in. a) r (M, 60°) ([MB]) C

B

E

M

b) r (M, −120°) ([CD]) =

g) r (M, −60°) (

c) r (M, 180°) (䉭MDE) =

h) r (M,

d) r (M, −60°) (䉭BMC) =

i) r (M, 120°) (

e) r (M, 120°) (MDEF) =

j) r (M,

E

B

a) r (M,

([AF])

= [ED]

兲 )

(E)

= [BC =E

)

= 䉭ABF

)

(䉭CMD) = 䉭EMF

(A) = B

f) s

b) t AE (

)

=C

g) r (M, 90°) (

)=D

c) s HF (

)

=G

h) t GM (H)

=

=

i) s AB (E)

=

)

c

H

M

F

d) r (F, 180°) (B) D

G

C

e) t

(A)= B

Teken een ruit ABCD en noem het snijpunt van de diagonalen O. Teken het beeld van de ruit ABCD door de draaiing r (O, 90°) .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

62

)

Vul in.

A

65

f) r (M,

F

A

64

=

D

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

(B)

c

j) s AC (

)

=D

=D

66

Zet de punten A(1, 3) en B(4, −4) in het assenstelsel.

Bepaal de coördinaat van het draaibeeld volgens r (O, ␣) met co(O) = (0, 0). y

1

x O

1

␣

co (A)

90°

(1, 3)

(4, −4)

(

,

)

r (O, 90°) (P) = P⬘ ⇒ co (P⬘) = (

,

)

−90°

(1, 3)

(4, −4)

(

,

)

r (O, −90°) (P) = P⬘ ⇒ co 共P⬘兲 = (

,

)

180°

(1, 3)

(4, −4)

(

,

)

r (O, 180°) (P) = P⬘ ⇒ co (P⬘) = (

,

)

−180°

(1, 3)

(4, −4)

(

,

)

r (O, −180°) (P) = P⬘ ⇒ co (P⬘) = (

,

)

co (A⬘)

co (B)

algemeen voor P(x, y)

co (B⬘)

Vul met wat je hierboven hebt vastgesteld de coördinaat van het draaibeeld van A in. co(A)

co(A)

(−2, 5)

r (O, 90°)(A)= A⬘ ⇒ co (A⬘) (

,

)

(−1, 4)

r (O, −90°)(A) = A⬘ ⇒ co (A⬘) (

,

)

(3, 5)

r (O, 180°)(A)= A⬘ ⇒ co (A⬘) (

,

)

(6, 0)

r (O, −180°)(A) = A⬘ ⇒ co (A⬘) (

,

)

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

63

2.4.3 Puntspiegelingen

De hond Grappo wordt gedraaid om het punt O over een hoek van 180°.

A’

180° B’

O

B A

Merk op dat je hetzelfde beeld krijgt als je ‘spiegelt’ ten opzichte van het punt O. Je spreekt daarom over een puntspiegeling met centrum O. Vaststelling

Een draaiing met centrum O over een hoek van 180° is een puntspiegeling met centrum O. 䉭ABC werd gespiegeld om het centrum O. Bepaal het beeld van [AB] door te spiegelen om het punt O. A

B’

1

C’

A O

O

2 3

C

B

B

4 5

A’

6 7

Werkwijze

8 9 10 11

stap 1:

Teken de rechte OA.

stap 2:

Bepaal op de rechte een punt A⬘ zodat 兩OA兩 = 兩OA⬘兩.

stap 3:

Herhaal de bovenstaande stappen voor de overige punten.

12

Notatie: sO (A) = A⬘ (s komt nog steeds van het woord spiegeling)

13

Lees:

Het spiegelbeeld van A ten opzichte van het centrum O is A⬘.

14

64

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

OEFENINGEN REEKS C 67

Vink de puntspiegelingen met centrum O aan. a)

c)

O

O

O

❒

❒

b)

68

e)

❒

d)

f)

O

O

❒

❒

O

❒

Teken het beeld van de punten A, B en C door een puntspiegeling met centrum O. a)

b)

A C

O

B

O B

C

A

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

65

69

Duid het centrum O van de puntspiegeling aan. a)

70

b)

Bepaal sO (F), sO ([DE]) en sO (nABC).

E D O

A

B

C

71

Teken het beeld van de vlakke figuren door te spiegelen om het punt O. a)

1

F

b)

2

D

3

A

4 5 6

A

7

O B

9 10 11 12

C

13 14

66

O B

D

8

C

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

2.4.4 Symmetriemiddelpunten Wat is de betekenis van dit verkeersbord?

Door een draaiing om 180° kan de figuur op zichzelf worden afgebeeld.

Welk punt is het centrum van die draaiing?

Benoem dat punt met de letter O. Dat punt noem je het symmetriemiddelpunt.

Definitie

Symmetriemiddelpunt Een symmetriemiddelpunt van een figuur is het centrum van de draaiing over een hoek van 180° die de figuur op zichzelf afbeeldt.

In symbolen: O is het symmetriemiddelpunt van een figuur F als Voorbeelden Duid indien mogelijk het symmetriemiddelpunt van de volgende figuren aan.

Bij vriesweer zie je wel eens ijskristalletjes. Het kristal wordt gevormd doordat heel kleine (bevroren) waterdeeltjes zich rond een stofdeeltje vasthechten.

Onder een microscoop of een vergrootglas is de structuur goed zichtbaar.

Je merkt niet alleen symmetrieassen, maar je ziet ook een symmetriemiddelpunt.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

67

OEFENINGEN REEKS A 72

Duid het symmetriemiddelpunt aan. Noteer de soort vlakke figuur. b)

a)

soort vlakke figuur:

73

c)

soort vlakke figuur:

d)

soort vlakke figuur:

soort vlakke figuur:

Duid, indien mogelijk, het symmetriemiddelpunt aan. a)

d)

symmetriemiddelpunt?

❒ ja

symmetriemiddelpunt?

❒ neen

b)

g)

❒ ja

symmetriemiddelpunt?

❒ neen

e)

❒ ja

❒ neen

h)

1 2 3 4 5

symmetriemiddelpunt?

❒ ja

6

symmetriemiddelpunt?

❒ neen

❒ ja

symmetriemiddelpunt?

❒ neen

❒ ja

❒ neen

7

c)

8

f)

i)

9 10 11 12

symmetriemiddelpunt?

13

❒ ja

❒ neen

14

68

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

symmetriemiddelpunt?

❒ ja

❒ neen

symmetriemiddelpunt?

❒ ja

❒ neen

REEKS B 74

Teken, indien mogelijk, alle symmetrieassen en symmetriemiddelpunten in de onderstaande letters. a)

b)

75

c)

e)

d)

f)

Z N C O

Het punt O is het symmetriemiddelpunt van een versieringsmotief. Vervolledig dit patroon. a)

b)

O

76

O

Teken een vlakke figuur waarvan het punt O het symmetriemiddelpunt is.

O

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

69

2.5 Eigenschappen van spiegelen, verschuiven en draaien a

L

K I

X M

J

–145°

A

B

E

Z

O

P

N

C

D

F

G V

H

Y

R

Q W

1 2 3 4 5

ABCD

6

EFGH is het beeld van ABCD door een spiegeling S a(ABCD)= EFGH

OPQR is het beeld van ABCD door een verschuiving t VW (ABCD) = OPQR

IJKL is het beeld van ABCD door een draaiing r (M, −145°)(ABCD) = IJKL

s a([AB]) = [EF]

t VW ([AB]) = [OP]

r (M, −145°)([AB]) = [IJ]

c

7

lengte of afstand

8

c

9

Meet de lengte of afstand van [AB] , [EF], [OP] en [IL].

10

兩AB兩 =

11

兩EF兩 =

12

Vaststelling 13 14

70

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

兩OP兩 =

兩IJ兩 =

—C) = E — s a(A B FG

hoekgrootte

—C) = O — t VW (A B PQ c

—C) = I— LK r (M, −145°)(A B

—C, E — Meet de hoekgrootte van A B F G, O — P Q en I — J K. —C = AB

E— FG =

O— PQ =

I— JK =

Vaststelling

loodrechte stand

s a([AB]) = [EF]

t VW ([AB]) = [OP]

r (M, −145°)([AB]) = [IJ]

s a([AD]) = [EH]

t VW ([AD]) = [OR]

r (M, −145°)([AD]) = [IL]

c

c

Wat is de onderlinge ligging van AB en AD, EF en EH, OP en OR en IL en IJ? AB

AD

EF

EH

OP

OR

IJ

IL

Vaststelling

evenwijdigheid

s a([AB]) = [EF]

t VW ([AB]) = [OP]

r (M, −145°)([AB]) = [IL]

s a([CD]) = [GH]

t VW ([CD]) = [QR]

r (M, −145°)([CD]) = [CD]

c

c

Wat is de onderlinge ligging van AB en CD, EF en GH, OP en QR en IL en KJ? AB

CD

EF

GH

OP

QR

IJ

KL

Vaststelling

rechtlijnigheid

s a([BC]) = [FG]

t VW ([BC]) = [PQ]

N ligt wel/niet op FG

Y ligt wel/niet op PQ

c

r (M, −145°)([BC]) = [KJ]

Schrap wat niet past.

Z ligt op BC

X ligt wel/niet op KJ

Vaststelling

Besluit

Een spiegeling, verschuiving en draaiing behoudt: • • • • •

de lengte of afstand; de hoekgrootte; de loodrechte stand; de evenwijdigheid; de rechtlijnigheid.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

71

OEFENINGEN REEKS A 77

Teken het beeld van de volgende figuren door zo weinig mogelijk punten te gebruiken.

Welke eigenschap(pen) heb je gebruikt? a) sa (m)

c) t PQ (AB) en t PQ (CD) c

c

a

D

C

B

A P

m

Hoeveel punten moet je minstens spiegelen?

Een spiegeling behoudt de

❒ ❒ ❒ ❒ ❒

lengte/afstand hoekgrootte loodrechte stand evenwijdigheid rechtlijnigheid

Q

Hoeveel punten moet je minstens verschuiven?

Een verschuiving behoudt de ❒ ❒ ❒ ❒ ❒

lengte/afstand hoekgrootte loodrechte stand evenwijdigheid rechtlijnigheid

—) d) r 共O, −150°兲 ( A

b) sc (a) en sc (b) a c

C

1

b

2

B

3 4

A

O

5 6 7 8 9

Hoeveel punten moet je minstens spiegelen?

10

Een spiegeling behoudt de

11 12 13

❒ ❒ ❒ ❒ ❒

14

72

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

lengte/afstand hoekgrootte loodrechte stand evenwijdigheid rechtlijnigheid

Hoeveel punten moet je minstens draaien?

Een draaiing behoudt de

❒ ❒ ❒ ❒ ❒

lengte/afstand hoekgrootte loodrechte stand evenwijdigheid rechtlijnigheid

REEKS B 78

Teken het beeld van de volgende figuren door zo weinig mogelijk punten te gebruiken.

Welke eigenschap(pen) heb je gebruikt? c) sa

a) t PQ

c

a P Q

C

D

B

A

A

Hoeveel punten moet je minstens verschuiven?

Hoeveel punten moet je minstens spiegelen?

Een verschuiving behoudt de ❒ lengte/afstand ❒ hoekgrootte ❒ loodrechte stand ❒ evenwijdigheid ❒ rechtlijnigheid

Een spiegeling behoudt de ❒ lengte/afstand ❒ hoekgrootte ❒ loodrechte stand ❒ evenwijdigheid ❒ rechtlijnigheid

b) r 共O, −170°兲

d) r 共O, 100°兲 B

B A

A

O

C D

O

D

C

Hoeveel punten moet je minstens draaien?

Hoeveel punten moet je minstens draaien?

Een draaiing behoudt de ❒ lengte/afstand ❒ hoekgrootte ❒ loodrechte stand ❒ evenwijdigheid ❒ rechtlijnigheid

Een draaiing behoudt de ❒ lengte/afstand ❒ hoekgrootte ❒ loodrechte stand ❒ evenwijdigheid ❒ rechtlijnigheid

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

73

REEKS C 79

Verklaar de volgende eigenschappen door ze te illustreren met een voorbeeld. a) Een verschuiving behoudt de lengte.

c) Een spiegeling behoudt de hoekgrootte.

B

a A

b) Een verschuiving behoudt de evenwijdigheid.

A

1 2 3

B

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

74

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

d) Een draaiing behoudt de rechtlijnigheid.

STUDIEWIJZER Spiegelen, verschuiven en draaien 2.1 Spiegelen, verschuiven en draaien van figuren KENNEN Spiegelingen, verschuivingen en draaiingen noem je transformaties van het vlak.

KUNNEN In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing.

2.2 Spiegelen KENNEN Een spiegeling wordt bepaald door een spiegelas.

Het spiegelbeeld van een punt op de spiegelas is het punt zelf.

Een symmetrieas van een figuur is de spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt.

KUNNEN Een punt, lijnstuk, halfrechte, rechte, hoek en vlakke figuur spiegelen ten opzichte van een rechte.

Het spiegelbeeld van een punt ten opzichte van een rechte symbolisch noteren.

De symbolische notatie van een spiegeling verwoorden.

Symmetrieassen in vlakke figuren bepalen.

2.3 Verschuiven KENNEN Een georiënteerd lijnstuk is een lijnstuk dat bepaald wordt door een richting, een zin en een afstand.

Een verschuiving wordt bepaald door een georiënteerd lijnstuk.

KUNNEN Een punt, lijnstuk, halfrechte, rechte, hoek en vlakke figuur verschuiven volgens een georiënteerd lijnstuk.

Het schuifbeeld van een punt ten opzichte van een rechte symbolisch noteren.

De symbolische notatie van een verschuiving verwoorden.

2.4 Draaien KENNEN Een draaiing wordt bepaald door een centrum en een georiënteerde hoek.

Het draaibeeld van een punt over een georiënteerde hoek van 360° is het punt zelf.

Een symmetriemiddelpunt van een figuur is het centrum van een draaiing over een hoek van 180° die de figuur op zichzelf afbeeldt.

KUNNEN Een punt, lijnstuk, halfrechte, rechte, hoek en vlakke figuur draaien om een centrum over een georiënteerde hoek.

Het draaibeeld van een punt om een centrum over een georiënteerde hoek symbolisch noteren.

De symbolische notatie van een draaiing verwoorden.

Het beeld van een vlakke figuur door een puntspiegeling bepalen.

Symmetriemiddelpunten in vlakke figuren bepalen.

In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een puntspiegeling.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

75

2.5 Eigenschappen van spiegelen, verschuiven en draaien KENNEN Een spiegeling behoudt de lengte.

Een spiegeling behoudt de hoekgrootte.

Een spiegeling behoudt de loodrechte stand.

Een spiegeling behoudt de evenwijdigheid.

Een spiegeling behoudt de rechtlijnigheid.

Een verschuiving behoudt de lengte.

Een verschuiving behoudt de hoekgrootte.

Een verschuiving behoudt de loodrechte stand.

Een verschuiving behoudt de evenwijdigheid.

Een verschuiving behoudt de rechtlijnigheid.

Een draaiing behoudt de lengte.

Een draaiing behoudt de hoekgrootte.

Een draaiing behoudt de loodrechte stand.

Een draaiing behoudt de evenwijdigheid.

Een draaiing behoudt de rechtlijnigheid.

KUNNEN De eigenschappen van een spiegeling verwoorden.

De eigenschappen van een spiegeling verklaren door ze te illustreren met voorbeelden.

De eigenschappen van een verschuiving verwoorden.

De eigenschappen van een verschuiving verklaren door ze te illustreren met voorbeelden.

De eigenschappen van een draaiing verwoorden.

De eigenschappen van een draaiing verklaren door ze te illustreren met voorbeelden.

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

76

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN DRAAIEN

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

9.1

Gelijkheden

264

9.2 Vergelijkingen

266

9.3 Formules

281

Studiewijzer

286

Vergelijkingen van de vorm, a maal x plus b is c dat klinkt heel indrukwekkend, maar wat doe je daar dan mee?

Bij het oplossen van vraagstukken, is het heel verstandig, ook om formules om te vormen zijn vergelijkingen erg handig.

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

263

9 VERGELIJKINGEN EN FORMULES 9.1 Gelijkheden 6 ⴢ 3 = 18 3ⴢ2=4+2 16 : 4 = 8 − 4

7 + 9 = 16 5 + 7 = 15 − 3 32 = 64 : 2

Al deze uitspraken noem je gelijkheden.

Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.

5+7

15 – 3

Benamingen Een gelijkheid bestaat uit twee delen.

5 + 7

=

15 − 3

⎫ ⎬ ⎭

⎪⎫ ⎬ ⎭⎪

eerste lid linkerlid

tweede lid rechterlid

Eigenschap 1

Eigenschap

5 + 7 = 15 − 3 en (5 + 7) + 8 = (15 − 3) + 8

5 ⴢ 2 = 10 en (5 ⴢ 2) − 7 = 10 − 7

a=b ⇔ a+c=b+c

a=b ⇔ a−c=b−c

Gelijkheid met termen Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Eigenschap 2

1

6−1=3+2 en (6 − 1) ⴢ 2 = (3 + 2) ⴢ 2

17 − 9 = 8 en (17 − 9) : 4 = 8 : 4

a = b ⇔ a ⴢ c = b ⴢ c met c ≠ 0

a = b ⇔ a : c = b : c met c ≠ 0

2 3 4 5

Eigenschap

6

Gelijkheid met factoren Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.

7 8

Opmerking

9

5 + 7 = 15 − 3 en 15 − 3 = 5 + 7

10 11 12

Vaststelling

18 : 3 = 3 + 3 en 3 + 3 = 18 : 3

Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen.

13

a=b ⇔ b=a

14

264

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

OEFENINGEN REEKS A 1

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a) 17 + 3 = 5 +

c) 8 −

b) 7 ⴢ (−3) = 2 −

d)

= −7 ⴢ 2

e) 36 : (−9) =

ⴢ 4 = 16 − 4

−7

ⴢ 7 = −28 : 2

f)

REEKS B 2

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a) 2,5 + )ⴢ

b) (1 +

3

−4

5+7 = 3

= 1,25 + 9 + 1,25

c)

1 1 = (0,65 + 1,05) ⴢ 2 2

d) (16 + 7) −

3

冉 冊

−3 = (25 − 7

)−

冉 冊 −3 7

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a) 2,5 +

= 17,8

d) 13 − 17 = 2 ⴢ

b) 50 −

= 21 : (−3)

e) 16 +

c) 8 −

1 23 = + 3 6

= −64 : 8

f) −(−15) +

=

60 2

REEKS C 4

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. Formuleer de gebruikte eigenschap. eigenschap

=3+4+8

a) 7 +

b)

冉 冊

3 1 3 3 ⴢ + = ⴢ (1 + 4 2 2 4

c) 2 ⴢ 8 −

3 =4ⴢ 4

)

−

3 4

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

265

9.2 Vergelijkingen 9.2.1 Vergelijkingen Definitie

Vergelijking Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal.

Meestal gebruik je de letter x om het onbekende element voor te stellen.

Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt.

De vergelijking x − 9 = −16 heeft als oplossing x = −7, omdat −7 − 9 = −16.

9.2.2 Even herhalen Vergelijkingen van de vorm x + a = b

Vergelijkingen van de vorm ax = b (a ≠ 0)

Overbrengen van termen

Overbrengen van factoren

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd.

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

x+a=b x−a=b

wordt wordt

x=b−a x=b+a

xⴢa=b x:a=b

wordt wordt

x=b:a x=bⴢa

Voorbeelden Na een korting van € 15 kost je nieuwe T-shirt nog € 38. Hoeveel kostte het T-shirt eerst?

Op een fuif krijgt Tom voor € 15 zes drankjes.

Hoeveel kost één drankje?

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• controle

• antwoordzin

• antwoordzin

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

266

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

9.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax + b = c met a ≠ 0 Voorbeeld 1 Tijdens een optocht in een safaripark zie je een stoet olifanten. Elke olifant houdt de staart van de vorige vast. In het midden van de stoet is er een bord van 7 m vastgemaakt aan de staart van de ene olifant en de slurf van de volgende.

Elke olifant is 3 m lang. Hoeveel olifanten lopen er mee als de hele stoet 31 m lang is?

• keuze van de onbekende x = het aantal olifanten • opstellen van de vergelijking 3 ⴢ x + 7 = 31 • oplossen van de vergelijking

Werkwijze

3x + 7 = 31 3x = 31 − 7 3x = 24 x = 24 : 3 x=8

a) b) c) d)

Breng de bekende termen naar hetzelfde lid.

Reken dat lid uit.

Breng de bekende factor naar het andere lid.

Bereken de onbekende.

• controle 3 ⴢ 8 + 7 = 24 + 7 = 31 • antwoordzin Er lopen 8 olifanten mee in de stoet.

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Voorbeeld 4

−5 + x = 7

6x = −24

2x + 6 = 12

Controle:

Controle:

Controle:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

267

OEFENINGEN REEKS A 5

6

7

1

Los de vergelijkingen op.

3 4 =− 5 4

a) −7 + x = −12

b) x + 2,5 = −3,6

c) x −

Controle:

Controle:

Controle:

a) −3x = 24

b) x : (−5) = 8

c) −

Controle:

Controle:

Controle:

a) 2x + 1 = 7

d) 9x − 12 = 69

g) 5x − 2 = 13

Controle:

Controle:

Controle:

b) 2x − 4 = 14

e) 15 + 3x = 36

h) 3x + 18 = 51

Controle:

Controle:

Controle:

c) 3x + 1 = 19

f) 3x + 2 = 5

i)

Controle:

Controle:

Controle:

Los de vergelijkingen op.

1 x=6 2

Los de vergelijkingen op.

2 3 4 5 6 7 8 9

2x − 12 = 4

10 11 12 13 14

268

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

8

Los op. a) Als je een getal vermindert met 36, verkrijg je −15. Wat is dat getal?

c) Zeven twaalfden van een getal is 14.

Wat is dat getal?

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• controle

• antwoordzin

• antwoordzin

b) In een driehoek is een hoek 38° en een andere hoek 55°.

Bepaal de grootte van de derde hoek.

d) Een rechthoek is 15 m lang.

Hoeveel meter is de breedte als de oppervlakte 90 m 2 bedraagt?

• keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• controle

• antwoordzin

• antwoordzin

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

269

REEKS B 9

Dit kun je al:

Maar je kunt ook: 1 x+ 2 x x x

Vaststelling

3 1 = 2 4 3 4x 2 + = 4 4 4 4x + 2 = 3 4x = 3 – 2 4x = 1 x+

3 = 4 3 1 − = 4 2 3 2 − = 4 4 1 = 4

x

Als je elke term van het linker- en rechterlid op gelijke noemer zet, dan mag je die noemer weglaten.

Los de vergelijkingen met de nieuw aangeleerde manier op. a) x −

1 5 = 6 12

d) 3 x − 13 = 3 2 5 2

b) −3x − 2 = 1 3 4

e) 2 − 2x = −8 14 7

c) x + 1 = −3 3 2 5

f) 5 x − 1 = 5 4 6 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

270

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

=

1 4

10

Los de vergelijkingen op. a) 2x + 3 = 4

d) 8 = 3x + 2

g) −x + 7 = 13

Controle:

Controle:

Controle:

b) 0,5x − 3,2 = 4,8

e) 5,26 − 3x = 28,36

h) 5,1 = 1,8 + 0,3x

Controle:

Controle:

Controle:

c)

x 3 2 − = 2 14 7

Controle:

11

f)

3 5 2 x+ =− 5 9 3

Controle:

i)

−8 3 = 2x − 3 4

Controle:

Het negenvoud van een getal verminderd met 14 is −32. Wat is dat getal?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

271

12

Als je de helft van een getal met 9 vermindert, krijg je −47. Wat is dat getal?

Antwoordzin:

13

De omtrek van de figuur bedraagt 72 m. Bereken de waarde voor x.

7m x 7m

x 7m

7m

7m

Antwoordzin:

14

Bepaal telkens de massa (in kg) van één goudklomp.

Stel voor elke balans een vergelijking op en los deze op.

1

a)

2

b)

3 4 2

5

GOUD x = ?

GOUD x = ?

6

1

2 2 2 4 4 1

6

GOUD x = ?

GOUD x = ?

GOUD x = ?

7 8 9 10

vergelijking:

vergelijking:

vergelijking oplossen:

vergelijking oplossen:

11 12 13

weegt

14

272

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

weegt

6 6 6

15

Voor elke deling met natuurlijke getallen geldt D = d ⴢ q + r.

Bereken met behulp van een vergelijking het quotiënt (q) als je weet dat het deeltal (D) 1 029 is, de deler (d) 14 is en de rest (r) 7 is.

Antwoordzin:

16

Een plank van 2,30 m zaag je in zeven gelijke stukken en je houdt nog 6 cm over.

Hoe lang zijn de gelijke stukken?

Antwoordzin:

REEKS C 17

In een gelijkbenige driehoek meet een been 6 cm langer dan de basis.

Hoe lang zijn de zijden van deze gelijkbenige driehoek als de omtrek 207 cm is?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

273

9.2.4 Vergelijkingen die te herleiden zijn tot de vorm ax + b = c Voorbeeld 1

Voorbeeld 3

Los de vergelijking op.

Los de vergelijking op.

3x + 5 = 2x

6 − (x + 3) = 12

Controle:

Controle:

Voorbeeld 2

Voorbeeld 4

Papa is een kwarteeuw ouder dan Saartje.

Samen zijn ze 45 jaar. Hoe oud is Saartje?

Het schooltoneel werd bijgewoond door 325 personen. Volwassenen betaalden € 3 en kinderen jonger dan 14 jaar € 2.

De kassa telde € 870 aan inkomsten.

Hoeveel volwassenen genoten van het toneel?

Schematische voorstelling

aantal kaarten opbrengst €2

45 jaar

€3

Saartje Papa

• keuze van de onbekende

Totaal

25 jaar

• keuze van de onbekende

leeftijd Saartje leeftijd papa

1 2

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• controle

• antwoordzin

• antwoordzin

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

274

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

OEFENINGEN REEKS B 18

19

Los de vergelijkingen op. a) 2x + 4 = x

d) 12x + 120 = 15x

b) 3x + 6 = x

e) 18 − 4x = 2x

c) −8x − 12 = –2x

f) 4x = −30 − x

Los de vergelijkingen op. a) 16 + (x − 5) = –4

d) 6x − 2 ⴢ (x − 2) = −12

b) 12 − (x + 4) = 6

e) −5x − (−3 − 6x) = −21

c) 5x + 3 ⴢ (x − 2) = 10

f) 2 + (−3x − 5) = −(–x − 3)

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

275

20

Verdeel € 7 000 onder drie personen. Jan krijgt tweemaal zoveel als Pol. Tom krijgt de helft van Jan. Hoeveel krijgt elk?

Antwoordzin:

21

Verdeel € 550 onder twee personen. Het deel van de eerste is € 50 minder dan driemaal dat van de tweede. Hoeveel krijgt elk?

Antwoordzin: 1 2

22

3

De tweede zijde van een driehoek is 5 cm langer dan de eerste. De derde zijde is 8 cm korter dan de tweede. De omtrek van de driehoek is 47 cm. Hoeveel cm is elke zijde?

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Antwoordzin:

14

276

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

23

Het zesvoud van een getal is 28 meer dan het dubbel van dat getal. Zoek dat getal.

Antwoordzin:

24

Oma, moeder en dochter zijn samen 112 jaar oud. Moeder is vijfmaal zo oud als haar dochter en oma is dubbel zo oud als moeder. Hoe oud zijn ze nu?

Antwoordzin:

25

Visar is de spits van zijn elftal. De drie voorbije competities scoorde hij in totaal 51 keer.

In het eerste seizoen maakte hij negen doelpunten minder dan in het derde.

In het tweede seizoen scoorde hij de helft van het derde seizoen.

Hoeveel goals scoorde Visar in elk van de drie laatste competities?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

277

26

Carl heeft schapen en duiven. Hij telt 86 koppen en 196 poten. Geen enkel dier heeft een gebrek.

Hoeveel schapen en duiven bezit Carl?

Antwoordzin:

27

Opa koopt voor zijn 17 kleinkinderen gsm-covers.

De covers kosten € 12 of € 15. Hij moet € 222 betalen.

Hoeveel covers van € 12 kocht opa?

Antwoordzin:

28

1 2 3

Om een vraagstuk op te lossen met behulp van vergelijkingen kies je meestal de kleinste waarde voor de onbekende, maar dat is niet noodzakelijk.

Verdeel € 500 onder Kris en Pauline. Kris krijgt € 50 meer dan Pauline. Hoeveel krijgt elk?

• keuze van de onbekende

4

Kris:

Pauline: x

• keuze van de onbekende Kris: x

Pauline:

5 6

• opstellen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• antwoordzin

• antwoordzin

7 8 9 10 11 12 13 14

278

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

REEKS C 29

Dit kun je al:

Maar je kunt ook:

2 ⴢ (x + 9)

=

24

2 ⴢ (x + 9)

=

24

2ⴢx+2ⴢ9

=

24

x+9

=

24 : 2

2x + 18

=

24

x+9

=

12

2x

=

6

x

=

12 − 9

x

=

3

x

=

3

Los de vergelijkingen met de nieuw aangeleerde manier op.

30

a) 3 ⴢ (x + 7) = 27

c) −2 ⴢ (2x + 1) = −10

b) 6 ⴢ (2x + 7) = 18

d) −3 ⴢ (6x − 2) = 24

Zes jaar geleden was vader vier maal zo oud als Els. Nu zijn ze samen 57 jaar.

Hoe oud zijn ze nu?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

279

31

32

Los de vergelijkingen op. a) 5x + 3 ⴢ (2x − 4) = 10

c) 28 + 2 ⴢ (5x − 2) = 6 ⴢ (2x + 2)

b) 4 ⴢ (x + 3) + 5 = 9

d) −2 ⴢ (3 − x) + 3 = −11

Pieter moet 30 vraagstukken oplossen. Hij krijgt € 0,50 per juist antwoord, maar moet 20 cent betalen voor elk foutief antwoord. In totaal ontvangt hij € 8.

Hoeveel vraagstukken loste Pieter juist op?

1 2 3 4

Antwoordzin:

5 6

Het symbool ‘=’ werd voor het eerst gebruikt in 1557.

Robert Recorde (1510–1558) gebruikte het in zijn boek The wetstone of Witte. Zo moest hij niet telkens ‘is gelijk aan’ schrijven.

Niet iedereen wilde zijn symbool meteen overnemen.

Sommigen schreven // of xx, anderen gebruikten ae van het Latijnse woord aequalis, wat gelijk betekent.

Robert Recorde omschreef zijn symbool als ‘twee evenwijdigen die even lang zijn’.

Recorde stierf in de gevangenis, waar hij opgesloten zat voor hoge schulden.

7 8 9 10 11 12 13 14

280

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

9.3 Formules Voorbeeld 1

Een architect wil een rechthoekig raam van 3,75 m 2 in een huis plaatsen.

Bereken de lengte van het raam als je weet dat de breedte 1,25 m moet zijn.

manier 1

manier 2

Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.

Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.

A=lⴢb

formule oppervlakte rechthoek

3,75 = l ⴢ 1,25 gegevens invullen 3,75 =l 1,25

vergelijking oplossen

3=l

A=lⴢb lⴢb=A

formule oppervlakte rechthoek formule omvormen naar l

A b 3,75 l= 1,25 l=

gegevens invullen

l=3 Antwoordzin: De lengte van het raam is 3 m.

Antwoordzin: De lengte van het raam is 3 m.

Voorbeeld 2 De architect wil ook een rechthoekig raam met omtrek 12 m in het huis plaatsen.

Bereken de breedte van het raam als je weet dat de lengte 4 m moet zijn. manier 1

manier 2

Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.

Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.

P = 2 ⴢ (l + b)

formule omtrek rechthoek

12 = 2 ⴢ (4 + b) gegevens invullen 12 = 8 + 2b 2b + 8 = 12 2b = 12 − 8 2b = 4 b=2

vergelijking oplossen

Antwoordzin: De breedte is 2 m.

P = 2 ⴢ (l + b) P = 2l + 2b 2l + 2b = P 2b = P − 2l P − 2l 2 12 − 2 ⴢ 4 b= 2 b=2

formule omtrek rechthoek formule omvormen naar b

b=

gegevens invullen

Antwoordzin: De breedte is 2 m.

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

281

OEFENINGEN REEKS A 33

Los op. a) Bereken met de oppervlakteformule van een b) Een klaslokaal is 12 m lang en 2 m hoog. parallellogram de hoogte als je weet dat de Bereken de breedte van het lokaal als je weet 2 oppervlakte 18 m bedraagt en de basis 6 m is. dat het volume van de klas 144 m 3 is.

Antwoordzin:

Antwoordzin:

REEKS B 34

Een basisformule uit de elektriciteit is de wet van Ohm: U = R ⴢ l.

U staat voor spanning gemeten in volt (V).

R staat voor weerstand gemeten in ohm (⍀).

I staat voor stroomsterkte gemeten in ampère (A). a) Bereken de spanning als de weerstand 12 ⍀ en de stroomsterkte 3 A bedraagt.

Antwoordzin:

35

b) Bereken de weerstand als de spanning 15 V is en de stroomsterkte 3 A.

Antwoordzin:

Bereken de straal van een cirkel met omtrek 125,6 cm. Bereken tot op 0,01 nauwkeurig.

1

Antwoordzin:

2 3 4

36

5 6

In sommige landen drukt men de temperatuur uit in graden Fahrenheit.

De formule om graden Celsius (°C) om te zetten in graden Fahrenheit (°F) is f = 1,8 ⴢ c + 32 met f de temperatuur in °F en c de temperatuur in °C.

7 8

a) Hoeveel bedraagt een buitentemperatuur van 21 °C in graden Fahrenheit?

9

b) Met hoeveel graden Celsius komt 59 graden Fahrenheit overeen?

10 11 12 13

Antwoordzin:

14

282

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

Antwoordzin:

37

Voor haar jaarabonnement in de fitnessclub betaalt Nancy € 25 en € 1,50 per fitnessbeurt (n).

De totale kostprijs (t) voor haar fitnesshobby vind je door de formule: t = 1,50 ⴢ n + 25.

a) Nancy ging dit jaar al 18 keer naar de fitness.

Hoeveel kostte haar dat tot nog toe?

Antwoordzin:

b) Hoeveel kost haar dat gemiddeld per beurt?

Antwoordzin:

38

c) Als ze op het einde van haar abonnement in totaal € 82 gespendeerd heeft, hoeveel keer ging Nancy dan naar de fitnessclub?

Antwoordzin:

d) Hoeveel kost dat haar nu gemiddeld per beurt?

Antwoordzin:

Je hebt je zinnen op een coole laptop van € 860 gezet. Je telt je spaarcenten en beschikt over € 385. Je besluit elke maand € 25 extra te sparen voor die laptop. a) Stel een formule op voor de kostprijs van de laptop (k), je spaargeld (s), je maandelijkse betalingen (m) en het aantal betalingen (t).

c) Hoeveel maanden moet je sparen als je voor een laptop van € 735 zou kiezen?

Antwoordzin:

b) Hoeveel maanden moet je nog extra sparen?

Antwoordzin:

d) Als je de laptop van € 860 wilt betalen in 5 maanden, hoeveel moet je dan elke maand extra opzij leggen?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

283

39

De afstand die een auto nodig heeft om te stoppen (de stopafstand) is gelijk aan de som van de reactieafstand en de remafstand.

De reactieafstand is het aantal m dat wordt afgelegd tussen het moment dat de bestuurder het gevaar ziet en het moment dat hij het rempedaal indrukt.

3â´˘s met s de snelheid in km per uur.

De reactieafstand wordt benaderd met de formule 10 De remafstand is het aantal m dat wordt afgelegd vanaf het ogenblik dat de bestuurder het rempedaal indrukt en het moment dat de wagen stilstaat. s2 De remafstand wordt benaderd met de formule met s de snelheid in km per uur.

200

STOPAFSTAND

bestuurder ziet het gevaar

REACTIEAFSTAND

REMWEG

bestuurder drukt het rempedaal in

de auto staat stil

Bereken de stopafstanden voor de volgende snelheden. snelheid (km per uur)

reactieafstand

remafstand

stopafstand

30 50 70 90 120 140 1

160

2 3

REEKS C

4 5

40

6 7

Vorm de oppervlakteformule van een driehoek om naar de hoogte.

Bereken daarna de hoogte van de gevraagde driehoek. omvormen formule

driehoeken

8 9 10

oppervlakte

basis

18 m 2

3m

27,6 dm 2

0,6 m

9,24 dm 2

5,6 cm

11 12 13 14

284

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

hoogte

41

h kun je een benadering vinden van de temperatuur op 300 verschillende hoogtes. g is de grondtemperatuur in °C, h is de hoogte in m en t is de temperatuur in °C op de gegeven hoogte.

Met de formule t = g −

a) Bereken de temperatuur op een hoogte van 1 850 m bij een grondtemperatuur van 14 °C. Rond af op één tiende.

b) Vorm de formule om naar de grondtemperatuur g.

c) Op een hoogte van 1 030 m is het 11 °C. Bereken de grondtemperatuur op één tiende nauwkeurig.

d) Vorm de formule om naar de hoogte h.

e) De grondtemperatuur bedraagt 15 °C. Een flink stuk hoger is het 9 °C. Bereken de hoogte.

42

Temperatuur kun je uitdrukken in graden Celsius (°C), kelvin (K) of graden Fahrenheit (°F).

Met de volgende formules moet je in staat zijn om van de ene eenheid naar de andere om te schakelen. k = c + 273 met k de temperatuur in K, c de temperatuur in °C en f de temperatuur in °F f = 1,8 ⴢ c + 32 a) Vorm de formule k = c + 273 om naar c.

b) Met hoeveel graden Celsius stemt 182 K overeen?

c) Vorm de formule f = 1,8 ⴢ c + 32 om naar c.

d) Met hoeveel graden Celsius stemt 82 °F overeen?

e) Stel een formule op om de temperatuur in °F om te zetten naar een temperatuur in K.

f) Met hoeveel kelvin stemt 104 °F overeen?

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

285

STUDIEWIJZER Vergelijkingen en formules 9.1 Gelijkheden KENNEN Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen. a=b ⇔ b=a Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan. en a=b ⇔ a−c=b−c a=b ⇔ a+c=b+c Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan. en a = b ⇔ a : c = b : c met c ≠ 0 a = b ⇔ a ⴢ c = b ⴢ c met c ≠ 0

KUNNEN De eigenschappen van gelijkheden toepassen.

9.2 Vergelijkingen KENNEN Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal.

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd.

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

KUNNEN Vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen.

Vergelijkingen van de vorm ax = b met a ≠ 0 oplossen.

Vergelijkingen van de vorm ax + b = c met a ≠ 0 oplossen.

Vergelijkingen herleiden tot de vorm ax + b = c.

Vraagstukken oplossen met behulp van vergelijkingen.

9.3 Formules KUNNEN Grootheden berekenen uit een gegeven formule door gegevens in te vullen en dan de vergelijking op te lossen.

Grootheden berekenen uit een gegeven formule door de formule om te vormen en dan de vergelijking op te lossen.

1 2 3 4

CONTRACTWERK

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

286

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES