Zwiso gebruikswijzer leerjaar 4 by Uitgeverij Zwijsen België

WISo wijsen wiskunde onderwijs

gebruikswijzer leerjaar 4

Inhoudstafel

Gebruikswijzer

Inleiding

Hoofdstuk 1: Uitgangspunten van zWISo

Hoofdstuk 2: Materialen

Leerkrachtmateriaal • Gedrukte materialen

• Handelingsmaterialen

Leerlingmateriaal

• Gedrukte materialen

• Handelingsmaterialen

Hoofdstuk 3: zWISo-leerlijn vierde leerjaar

Getallen

Bewerkingen

Meten

Meetkunde

Hoofdstuk 4: Aanpak

Getallen

• Natuurlijke getallen tot 100 000

• Negatieve getallen

• Kommagetallen

• Breuken

• Relatie breuken en kommagetallen

Bewerkingen • Optellen en aftrekken

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Vermenigvuldigen en delen

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Breuken

Meten

Meetkunde

Vraagstukken

Hoofdstuk 5: Observatie, remediëring en evaluatie

Inleiding

Gebruikswijzer

Beste leerkracht of begeleider van het vierde leerjaar, Je hebt besloten om met zWISo van start te gaan! Om je daarbij optimaal te begeleiden hebben we deze gebruikswijzer geschreven. Hij legt de belangrijkste kenmerken en de manier van werken van de methode uit. Deze tekst helpt je bij het doorgronden van de opbouw en de filosofie van zWISo en de bijbehorende materialen. Na het doornemen van deze gebruikswijzer kun je dus zonder problemen aan de slag. Het eerste hoofdstuk beschrijft de visie, uitgangspunten en algemene kenmerken van zWISo. Het geeft je met andere woorden inzicht in het fundament van de methode. Het volgende hoofdstuk behandelt de materialen van zWISo en het gebruik ervan. Je krijgt van al het leerkrachten leerlingmateriaal een beschrijving van hoe het eruitziet en wat het bevat. Vervolgens krijg je een beschrijving van hoe je het materiaal kunt gebruiken. Het derde hoofdstuk licht de leerlijn van het vierde leerjaar toe. Deze leerlijn laat zien hoe de leerplandoelen van het vierde leerjaar bereikt worden, met aandacht voor methodegebonden keuzes. Dit alles met het oog op het bereiken van de eindtermen op het einde van het zesde leerjaar. In hoofdstuk vier verduidelijken we de modellen voor het aanbrengen van getallenkennis, bewerkingen, meten en meetkunde. We beschrijven ook hoe het gebruik van de materialen hierbij aansluit. Het laatste hoofdstuk verduidelijkt de manier van observatie, remediëring en evaluatie in zWISo.

zWISo, een 100% Vlaamse methode zWISo is een wiskundemethode die volledig ontwikkeld is door Vlaamse leerkrachten, docenten en pedagogen. De coördinatie- en adviesgroep van zWISo bestaat uit Andrea Jacobs (lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool Sint-Lieven, Sint-Niklaas), Annemie Deklerck (voormalig lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool ZW-Vlaanderen, Tielt), Francine Vervenne (voormalig lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool Mechelen) en Patrick Winne (ereadviseur OVSG). Het auteursteam van het vierde leerjaar bestaat uit Inge Picqueur, Marijke Van Kerckvoorde en Lief Verstringe, onder coördinatie van Andrea Jacobs en Francine Vervenne. De loper- en ladderkaarten van de zWISo-box werden geschreven door Greet Absillis. De verdiepingsoefeningen zijn uitgewerkt onder coördinatie van Annemie Deklerck.

Hoofdstuk 1 • Uitgangspunten van zWISo Meer en meer dringt de laatste jaren in het onderwijs het besef door hoe belangrijk de toepasbaarheid en praktische bruikbaarheid van wiskundige kennis en vaardigheden zijn. Deze visie op wiskunde vraagt om een specifieke didactische aanpak. zWISo, een vernieuwende wiskundemethode, werkt aan wezenlijk inzicht in de wiskundige procedures en kennis om zo te komen tot functionele gecijferdheid. Dat is het hoofddoel van zWISo.

Functionele en schoolse gecijferdheid Gecijferdheid is ‘het adequaat kunnen omgaan met wiskundige situaties in het persoonlijke en maatschappelijke leven, in combinatie met het vermogen om kennis en vaardigheden flexibel te kunnen aanpassen aan nieuwe eisen in een continu veranderende maatschappij’. Gecijferdheid valt uiteen in vier componenten: wiskundige kennis en vaardigheid; omgaan met wiskundige situaties; het verwerven en verwerken van nieuwe informatie en leervaardigheden. zWISo werkt aan alle vier de componenten van gecijferdheid. Het doel van deze rekenmethode is dus om leerlingen wiskundige kennis en vaardigheden bij te brengen zodat ze in staat zijn zelfstandig te handelen en beslissingen te nemen in wiskundige situaties. Kinderen leren wiskundige problemen herkennen en creatieve oplossingen bedenken (bijvoorbeeld het werken met ronde getallen of het gebruik maken van visuele ondersteuning) door hun kennis en vaardigheden flexibel in te zetten. Enkele voorbeelden van concrete contexten en situaties die aan bod komen in zWISo zijn: de benodigdheden voor een verjaardagsfeest bepalen, de ingrediënten van een recept omrekenen, de juiste maateenheid kiezen bij metingen (bijvoorbeeld de eigen lichaamslengte meten), bij een groepsuitstap de totale prijs berekenen, … Doordat de leerstof hun in verschillende situaties geïntegreerd wordt aangereikt, ontdekken de leerlingen de samenhang in onderwerpen en leerlijnen. Behalve naar deze functionele gecijferdheid streeft zWISo ook naar schoolse gecijferdheid. Want niet alleen praktisch en creatief kunnen rekenen, maar ook schoolse gecijferdheid is een belangrijke voorwaarde voor succes in de verdere (school)loopbaan. Voorbeelden van schoolse gecijferdheid in het vierde leerjaar zijn het verwerven van inzicht in getallen, het uitvoeren van bewerkingen met breuken, het verder uitbouwen van het cijferalgoritme, ...

Gebruikswijzer

Dit vraagt van de leerlingen algemene wiskundige inzichten, vaardigheden en het vermogen om wiskundig te redeneren. zWISo streeft ernaar om leerlingen een brede basis bij te brengen die verder kan worden ontwikkeld. Dat wordt gerealiseerd door het geven van opdrachten binnen een betekenisvolle concrete context en het handelend verwerven van kennis en vaardigheden. zWISo wordt gekenmerkt door vijf pijlers: inzicht, zorg, structuur, automatiseren en leer- en lesgeefplezier. Op deze pijlers gaan we hieronder dieper in.

1 Inzicht Betekenisvolle contexten zWISo is een realistische rekenmethode. Om zowel het inzicht als de betrokkenheid van de leerlingen te verhogen sluiten we zoveel mogelijk bij de leefwereld van de kinderen aan. Leren begint dan ook vaak in speelse situaties binnen de vertrouwde omgeving van de klasgroep. Doordat er met betekenisvolle contexten en herkenbare materialen wordt gewerkt, realiseren de leerlingen zich dat wiskundige kennis en vaardigheden zinvol en toepasbaar zijn. De context waar we van uitgaan wordt wiskundig bekeken en uitgewerkt, waarna we naar de context terugkeren. Er wordt bij dit alles veel belang gehecht aan handelen en ervaren. Enkele van de betekenisvolle contexten die in zWISo aan bod komen zijn: het leggen van breuken met de breukendoos, werken met euro's, het onderzoeken van meetkundige figuren, ... Deze lesopbouw impliceert dat leerkrachten de leerlingen niet enkel leiden, maar ook begeleiden. Behalve klassikale instructie bieden de leerkrachten ook ondersteuning tijdens het samenwerkend leren en het wiskundig redeneren. Hierbij maken ze gebruik van gevarieerde organisatiemodellen (zelfstandig werk, partnerwerk, groepswerk en klassikale instructie) en werkvormen (doe-activiteiten, leergesprekken, zelfstandig leren, samenwerkend leren en klassikale instructie).

Uitgangspunten van zWISo

Leren door te handelen

Opbouw van een basisles

zWISo werkt vanuit de handelingstheorie. Het uitgangspunt van deze theorie is dat het kind zich ontwikkelt doordat het handelend in de wereld staat. Kinderen worden in zWISo uitgedaagd om rekenhandelingen in concrete situaties uit te voeren. Ze onthouden immers beter wat ze zien dan wat ze horen vertellen. En ze onthouden nog beter wat ze zelf doen dan wat ze alleen maar zien doen. De speciale aandacht voor handelen uit zich in het gebruik van concrete materialen of betekenisvolle contextsituaties vooraleer we evolueren naar een abstracter niveau. Elke leerling beschikt ook over 'Matz doet'. Dit onderdeel van het scheurblok bevat de 'Ik doe mee!'-bladen, knipbladen, opdrachtkaarten, ... die de leerlingen gebruiken tijdens de doe-activiteiten. zWISo heeft hierbij aandacht voor de zone van de naaste ontwikkeling. De leerkracht biedt de nodige ondersteuning om leerlingen te brengen tot activiteiten die ze nog niet zelfstandig aankunnen, of creĂŤert nieuwe situaties om leerlingen naar een hoger ontwikkelingsniveau te tillen. De leerlingen bouwen op deze manier de leerstof inzichtelijk op en leren die flexibel en functioneel toe te passen. Als basismodel voor de handelingstheorie wordt in zWISo het concreet-schematisch-abstract model gebruikt. De volgende tabel geeft daar enkele voorbeelden van. In zWISo wordt de koppeling tussen werkelijkheid, modellen en getallen over de hele lijn doorgetrokken.

Het concreet-schematisch-abstract model is ook terug te vinden in de opbouw van de lessen. De meeste lessen beginnen met een doe-activiteit die integraal deel uitmaakt van de instructie. Door de leerlingen, al dan niet in interactie met andere klasgenoten, te laten handelen en ervaren, bieden we ze de mogelijkheid hun wiskundige kennis en vaardigheden inzichtelijk op te bouwen. Bij het aanbrengen van nieuwe leerstof wordt er zoveel mogelijk uitgegaan van een concrete situatie of een betekenisvolle context. De gehanteerde wiskundige modellen, die in verschillende leerjaren worden gebruikt, worden aangebracht met de bedoeling het leerproces te vergemakkelijken. De modellen moeten een middel zijn om tot leerresultaten te komen en mogen geen doel op zich worden. Door begrippen en handelingen te verwoorden en erover te discussiĂŤren met klasgenoten leren de leerlingen bewust met wiskundige begrippen om te gaan. Op basis van de vaststellingen van de doeactiviteit worden besluiten genomen en modellen opgebouwd. De verschillende oplossingswijzen die de leerlingen aanbrengen worden in deze fase systematisch gestroomlijnd tot een standaard oplossingsprocedure die snel tot goede oplossingen leidt. De aangebrachte modellen, strategieĂŤn of procedures worden dan verder ingeoefend. De werkboeken bevatten de schematische en abstracte neerslag van de klassikale oefenmomenten en sluiten dus naadloos aan bij de uitgevoerde handelingen.

Abstract niveau

Getalbegrip

Breuken

4808

2 4 1 1 2 1 3

De leerlingen leggen 4808 met 'Matz De Bouwer'-kaarten. Schematisch niveau

4808

1 4

De leerlingen leggen 2 met 4 de stroken op het breukenbord.

2 4

1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12

De leerlingen verdelen een papieren De leerlingen bekijken de hoogte Concreet niveau van bergen (bijvoorbeeld 4808 meter).

strook in vier gelijke delen en kruisen 2 aan. 4

Gebruikswijzer

Na deze verwerkingsfase volgt er vaak nog een reflectiemoment waarin kritisch wordt nagedacht en waarin verbanden tussen bepaalde inhouden worden gelegd.

2 Zorg zWISo is uiterst geschikt voor alle kinderen in het lager onderwijs. Er wordt specifiek aandacht geschonken aan zwakkere rekenaars, snelle en betere rekenaars en taalzwakke leerlingen. In zWISo werken we met één leertraject, dat alle leerlingen op hun niveau doorlopen. Het leertraject van het vierde leerjaar is afgebeeld op pagina 8. In het basisniveau komen alle door de eindtermen en leerplannen voorgeschreven inhouden aan bod. De bedoeling is dat elke leerling deze sleutelinhouden beheerst op het einde van het vierde leerjaar. In een doorsnee Vlaamse klas tref je een brede waaier aan individuele verschillen tussen leerlingen aan. Uit onderzoek blijkt dat de kloof tussen sterke en zwakkere leerlingen in Vlaanderen groot is. In zWISo wordt bij voorbaat uitgegaan van het bestaan van die verschillen en wordt er met zorg omgegaan met deze diversiteit. Er wordt zoveel mogelijk aangesloten bij het individuele niveau van alle leerlingen.

Differentiatie voor zwakkere rekenaars In alle fasen van het leertraject kan extra aandacht geschonken worden aan zwakkere rekenaars.

het concretere niveau kan de leerling een bepaalde inhoud, strategie of procedure (verder) inzichtelijk opbouwen. Dit inzichtelijk werken is een voorwaarde voor de ontwikkeling van functionele gecijferdheid en flexibel inzetbare kennis en vaardigheden. zWISo voorziet naast het leerjaarspecifiek handelingsmateriaal ook verschillende andere differentiatiemiddelen: het tafelrooster, de zWISowijzer (zie hoofdstuk 2), getallendoos 3, ...

Oefenlessen Tijdens de oefenlessen wordt de aangebrachte leerstof ingeoefend en geautomatiseerd. De leerlingen maken de oefeningen in het scheurblok zelfstandig. Hierdoor krijgt de leerkracht de ruimte om de zwakkere leerlingen te begeleiden bij het maken van de oefeningen. De speelse automatisering gebeurt aan de hand van rekenspellen. Die zijn zeker ook voor de zwakkere leerlingen een extra stimulans om tot automatisering te komen.

Observatie, remediërings- en evaluatiefase In elk blok van zWISo wordt aan het begin van de laatste week een observatietoets afgenomen. Deze toets heeft een preventief en proactief doel. Hij gaat na in hoeverre de leerlingen de sleutelinhouden van het blok beheersen. Leerlingen die de vooropgestelde norm van een toets niet behalen, krijgen in de daaropvolgende lessen remediëring, extra oefeningen en een afsluitende eindtoets. De manier van observeren, remediëren en evalueren wordt uitgebreid beschreven in hoofdstuk vijf (vanaf pagina xx).

Basislessen Tijdens basislessen kunnen deze leerlingen extra uitleg (verlengde instructie) of begeleiding krijgen. Tijdige en doelgerichte observatie moet leiden tot een gerichte aanpak om problemen te voorkomen of tijdig bij te sturen. De handleiding bevat observatiepunten en aanwijzingen voor extra begeleiding of aanpassingen voor de zwakkere leerlingen vanaf de basislessen. De verwerking in het werkboek doorloopt de gemiddelde leerling zelfstandig, zodat de leerkracht de handen vrij heeft om de zwakkere leerlingen onder begeleiding door deze verwerkingsoefeningen te loodsen. Leerlingen moeten bovendien de mogelijkheid krijgen om in elke fase van het leerproces terug te grijpen naar concreet materiaal (bijvoorbeeld breukendoos) of terug te keren naar een fase van een lager abstractieniveau. Door een stap terug te zetten naar

Uitgangspunten van zWISo

Het zWISo-leertraject 8

Gebruikswijzer

Differentiatie voor snellere en betere rekenaars Voor de snellere en betere rekenaars kan het basisaanbod aan oefenmateriaal van het werkboek en het scheurblok uitgebreid worden. Deze leerlingen zullen sommige oefeningen in het werkboek erg snel oplossen of meer uitdaging aankunnen. Zij kunnen aan de slag met oefeningen uit de zWISo-box. Deze box bevat loper- en ladderkaarten. De loperkaarten bestaan uit oefeningen die qua moeilijkheidsgraad aansluiten bij de oefeningen van het werkboek en zijn dus inzetbaar voor een groot deel van je leerlingen. De zWISo-box behoort dan ook tot het basismateriaal van de methode. Naast deze kaarten voor tempodifferentiatie voorzien we ook kaarten voor niveaudifferentiatie (ladderkaarten). Deze oefeningen hebben een hogere moeilijkheidsgraad en werken dus uitdagend en motiverend voor de sterkere leerlingen. Aan de hand van de extra-toets in de kopieermap kun je nagaan in welke mate de leerlingen de inhouden van de ladderkaarten beheersen. Meer uitleg over het opzet en de inhoud van de zWISo-box vind je in hoofdstukÂ 2. Voor de allersterkste leerlingen kun je oefeningen uit de verdiepingsmap inzetten. Het zijn opdrachten van een beduidend hogere moeilijkheidsgraad dan de oefeningen uit het werkboek en de zWISo-box. Deze 'breinkrakers' zullen dan ook maar inzetbaar zijn voor enkele leerlingen van je klas. In de opdrachtkaarten van de zWISo-box en de verdiepingsoefeningen wordt geen nieuwe leerstof aangereikt. Dat heeft als voordeel dat er geen twee verschillende snelheden binnen de klas ontstaan. Deze diversiteit aan differentiatiemateriaal voor de betere rekenaars biedt de mogelijkheid aan te sluiten bij het niveau van de individuele leerling. De oefeningen zijn ook flexibel inzetbaar en vereisen weinig begeleiding door de leerkracht. Behalve de verwijzing naar loper- en ladderkaarten bevat de handleiding bij de basislessen ook observatiepunten en aanwijzingen om de instructie of de verwerking moeilijker te maken. Zo wordt er aangeraden om de betere rekenaars sneller zonder materiaal en/of met minder tussenstappen te laten werken.

Voor de echt sterke rekenaars (hoogbegaafde leerlingen) kun je behalve de verdiepingsmap ook gebruik maken van niet-methodegebonden materiaal zoals Rekentijger van Zwijsen.

Differentiatie voor taalzwakke leerlingen Sommige leerlingen vallen uit in de wiskundeles door de talige aspecten. zWISo is uniek door de aandacht die het schenkt aan taalzwakke rekenaars. Dat blijkt op verschillende gebieden: In de zWISo-handleidingen is er in elke les aandacht voor de specifieke rekentaal enerzijds en de ruimere contexttaal anderzijds. Daardoor kan de leerkracht bij de lesvoorbereiding aandacht schenken aan de lesspecifieke woordenschat. Als de les begint, kan indien nodig gepolst worden of alle leerlingen de vereiste woordenschat begrijpen en beheersen. In de leerlingmaterialen worden de opdrachten aan de hand van korte instructieteksten gegeven. In de werkboeken wordt gebruik gemaakt van enkele wiskundespecifieke pictogrammen. Deze pictogrammen zijn zeer herkenbaar voor de leerlingen en keren terug in de verschillende materialen. De oefeningen worden aanvankelijk sterk visueel ondersteund. Bij ingeklede bewerkingen bijvoorbeeld is er geregeld een afbeelding toegevoegd ter ondersteuning. Hierdoor ligt de klemtoon op het vertellen van het rekenverhaal en het verwoorden van de wiskundige redenering. We stimuleren het mondeling taalgebruik bij het verwoorden van oplossingsstrategieĂŤn en wiskundige redeneringen. Dit draagt bij tot de taal- en rekenontwikkeling van de leerlingen.

Uitgangspunten van zWISo

3 Structuur

Duidelijk en haalbaar

Doorgaande lijn

De auteurs van zWISo hebben een zorgvuldige analyse gemaakt van de eindtermen en leerplandoelen van de verschillende onderwijsnetten. De verzameling van al deze voorgeschreven inhouden is verwerkt in de zWISo-basislessen: niets minder, maar zeker ook niets meer! Bij zWISo is de leerstof in zeven blokken van vier of vijf weken verdeeld. Een blok is opgebouwd uit basislessen en gevarieerde oefenmomenten. Tijdens de laatste week schenken we na het afnemen van een observatietoets aandacht aan observatie, remediëring en verdieping. Die week wordt indien nodig besloten met een eindtoets of, voor de sterkere leerlingen, met een extra-toets. Die doordachte opbouw levert een tijdsbuffer van ongeveer drie schoolweken op, wat zich vertaalt in een haalbare jaarplanning. Door die buffer kunnen bepaalde lessen uitgebreider gegeven worden of kun je leerstof herhalen als de leerlingen dat nodig hebben. Elke les duurt 50 minuten, de toetsmomenten nemen meestal 100 minuten in beslag. Dit zorgt samen voor de wettelijk vastgelegde norm van 6 eenheden van 50 minuten per week. De planning van een blok ziet er als volgt uit:

De doorgaande lijn van het eerste tot en met het zesde leerjaar is een wezenlijk kenmerk van zWISo. De lessen van blok 1 van het vierde leerjaar sluiten inhoudelijk aan bij de leerplandoelen van het derde leerjaar. Er is in elk leerjaar bijzondere aandacht voor de overgang van het vorige naar het volgende leerjaar, zodat die zowel emotioneel als inhoudelijk zo vloeiend mogelijk verloopt. Verder is er bijzonder veel aandacht geschonken aan goed doordachte leerlijnen (zie hoofdstuk 3 voor details). Dit garandeert een gestructureerde opbouw van de leerstof, waarbij alle facetten van functioneel wiskundeonderwijs aan bod komen. Door voortdurend en consequent het beoogde einddoel voor ogen te houden, is de coördinatieen adviesgroep erin geslaagd de leerinhouden evenwichtig te spreiden, in overeenstemming met alle leerplannen. Op die manier zit er steeds één vloeiende lijn in de stof en verloopt het aanbrengen ervan zonder stijlbreuken. De leerlijnen zijn bovendien een goede illustratie van de methodespecifieke keuzes die gemaakt werden. In het laatste blok van een leerjaar en het eerste blok van het daaropvolgende leerjaar wordt de leerstof hoofdzakelijk herhaald. Zo verloopt de overgang tussen de verschillende leerjaren zonder problemen en krijgen de leerlingen de mogelijkheid de inhouden beter te verankeren. Ook bij de keuze van de methodieken, modellen, procedures en lesmaterialen is deze doorgaande lijn het uitgangspunt geweest (zie hiervoor hoofdstukken 2 en 4). Daardoor wordt de beschikbare onderwijstijd efficiënt gebruikt. Opgebouwde denkmodellen zijn onmiddellijk toepasbaar, maar werpen bovendien vaak hun vruchten af in een latere fase van het leertraject en dus ook in een later leerjaar.

Gebruikswijzer

4 Automatiseren en inoefenen Uitgebreid marktonderzoek heeft aangetoond dat automatiseren en inoefenen een blijvend aandachtspunt is voor de meeste leerkrachten. Hoewel het unaniem als cruciaal wordt aangevoeld, is het in de perceptie van de leerlingen vaak een saai en vervelend proces. De in zWISo geboden oplossing voor dit automatiseringsdilemma mag gerust uniek genoemd worden. zWISo kiest voor frequente momenten van automatiseren, waar formele en speelse automatisering elkaar afwisselen. De leerlingen prenten zich nieuwe leerstof sneller in wanneer de oefening kort na het instructiemoment volgt. zWISo moedigt de leerkracht er zelfs toe aan om de frequentie van korte oefenmomenten nog te vergroten.

Formeel automatiseren en inoefenen Voor de invulling van deze automatiseringsmomenten biedt zWISo enerzijds klassieke, formele inoefening. Die is vooral te vinden in de zWISo-scheurblokken waarmee leerlingen individueel oefenen. Door zelfstandig deze oefeningen te doorlopen ontwikkelen leerlingen probleemoplossende vaardigheden, leren ze reflecteren over hun

eigen manier van denken en aanpak van wiskundige problemen en worden ze gestimuleerd om zelfstandig te leren. Ze kunnen op deze manier ook deel uitmaken van bijvoorbeeld contractwerk.

Speels automatiseren en inoefenen Anderzijds biedt zWISo uitgebreid de kans om op speelse wijze te automatiseren. Behalve tot de verankering van wiskundige kennis en vaardigheden draagt deze speelse inoefening sterk bij tot het leerplezier en de motivatie van de leerlingen. Een grote waaier aan spelvormen is te vinden in de zWISo-kopieermap en de verschillende werkboeken. Deze rekenspellen zijn niet vrijblijvend. Ze maken integraal deel uit van de methode! Ze zijn afgestemd op de leerinhouden en rekenniveaus van het desbetreffende blok en bieden herkenbare, consequent gebruikte modellen en procedures. Het deskundig en evenwichtig gebruik van deze gevarieerde oefenvormen maakt dat automatiseren ook leuk kan zijn voor de leerlingen. In de visie van zWISo op automatiseren en inoefenen krijgen leerlingen van alle niveaus deze speelse oefenvormen, zodat iedereen succeservaringen heeft. Dit betekent dat ook de zwakkere rekenaars intensief aan de slag kunnen met de rekenspellen tijdens de lessen, de verlengde instructie, bij de zorgleerkracht of zelfs thuis. Een extra voordeel van de vele rekenspellen is dat ze deel kunnen uitmaken van de rekenhoek na in een oefenmoment te zijn aangebracht. Op deze manier kunnen de leerlingen er tijdens het schooljaar voortdurend naar terugkeren.

Inleiding

5 Leer- en lesgeefplezier Leerplezier Bij de interpretatie van resultaten van internationaal onderzoek naar wiskundeonderwijs wordt vaak voorbijgegaan aan de attitude die kinderen ten opzichte van het vak wiskunde hebben. Die is in Vlaanderen helaas uitgesproken negatief. Vlaamse kinderen rekenen goed, maar ze doen het niet graag. Daar brengt zWISo verandering in! Alle uitgangspunten van de methode hebben als doel bij te dragen tot het leerplezier van de leerlingen. Vooral het werken met betekenisvolle contextsituaties, de speelse oefenvormen, de band met de leefwereld van de leerlingen en de doeactiviteiten dragen bij tot een positieve attitude ten opzichte van wiskunde. In zWISo wordt ervan uitgegaan dat elk kind op zijn niveau zoveel mogelijk kansen op succeservaringen moet krijgen. We beperken de basislessen tot de essentie, zodat elke leerling dat basisniveau doorgrondt en succes ervaart. Door de aanhoudende aandacht voor betrokkenheid, motivatie en welbevinden creĂŤren we een positieve ingesteldheid tegenover het vak wiskunde, zonder aan leerwinst in te boeten. Dat laatste is zeer belangrijk, want leerresultaten en leerplezier gaan hand in hand.

De gevarieerde, kleurrijke en overzichtelijke zWISomaterialen motiveren de leerlingen om met wiskunde aan de slag te gaan. De werkboeken en scheurblokken hebben een overzichtelijke bladspiegel, voldoende invulruimte en kenmerken zich door een heldere instructietaal. Ook Matz, de klaspop in de tweede graad, draagt bij tot het leerplezier van de leerlingen.

Lesgeefplezier De duidelijke structuur en de haalbare planning van zWISo maken het voor de leerkracht zeer plezierig om met zWISo te werken. Bij de ontwikkeling van de zWISo-materialen is namelijk de grootste zorg besteed aan de beleving van de methode door de leerkracht. De handleidingen zijn praktisch en duidelijk gestructureerd en de werkboeken zijn visueel aantrekkelijk. De klassikale materialen staan steeds ten dienste van demonstratie en inzetbaarheid in de klas. En uiteraard zal het leerplezier van de leerlingen ook de lesgeefervaring van de leerkracht positief beĂŻnvloeden!

Hoofdstuk 2 • Materialen 1 Leerkrachtmateriaal Gedrukte materialen

Het lesverloop staat beschreven in de centraal geplaatste tekst die doorloopt over de twee bladzijden in de handleiding.

• Verzamelband

Basislessen

De verzamelband bevat de zeven handleidingen, de correctiesleutel van de toetsen en het doelenkatern.

Elke basisles is genummerd en draagt een titel. Rechtsboven is steeds weergegeven in welk domein van de wiskunde deze les thuishoort.

Gebruikswijzer

Handleiding In zWISo is er voor elk blok een handleiding. De verzamelband voor de leerkracht bevat dus zeven handleidingen, telkens in een apart boekje. In elke handleiding worden de lessen van één blok uitvoerig beschreven. Wij adviseren je de handleidingen goed door te nemen en ze te gebruiken als leidraad bij de lessen. De handleiding biedt lesbeschrijvingen die aangeven hoe de les goed opgebouwd kan worden. Je vindt er ook aanwijzingen voor de organisatie van de les en differentiatiemogelijkheden. Op deze manier kan

een les gestructureerd verlopen en kun je het onderwijs aanpassen aan de individuele noden van de leerlingen. Door de planning die in de handleiding wordt aangegeven te volgen kun je de leerlingen de nodige kennis en vaardigheden in een haalbaar tempo bijbrengen. Deze planning zorgt bovendien voor een goede aansluiting met het vijfde leerjaar. De handleiding geeft je inzicht in de ontwikkeling van wiskundige kennis en vaardigheden bij de leerlingen. Daardoor kun je de lesopbouw of de inhouden die aan bod komen desgewenst afstemmen op de behoeften en de interesses van de leerlingen.

Bij de beschrijvingen van de basislessen uit het leertraject wordt onderscheid gemaakt tussen instructie en verwerking. In het onderdeel instructie worden de doeactiviteiten uitgebreid beschreven. Vaak wordt het verloop van het leergesprek beknopt weergegeven aan de hand van voorbeeldvragen en/of stapsgewijze redeneringen. Op die manier kunnen ook leerkrachten die nog niet vertrouwd zijn met de zWISo-methodiek zich snel en grondig voorbereiden.

Vervolgens volgt een overzicht van de oefeningen die aan bod komen tijdens de verwerkingsfase van de basisles. Hier wordt verwezen naar de bladzijden uit het werkboek die door de leerlingen zelfstandig of begeleid worden opgelost. Indien nodig wordt voor jou als leerkracht extra toelichting gegeven bij de opdrachten. In de reflectiefase koppel je met de leerlingen terug naar de doe-activiteit of de verwerking. Hierbij bespreek je een bepaalde oefening, herhaal je kort een belangrijke inhoud of denk je met de leerlingen verder na over de inhoud van die bepaalde les.

Omwille van de praktische toepasbaarheid zijn de lesbeschrijvingen van zWISo zo bondig mogelijk gehouden. Elke les beslaat in de regel precies twee bladzijden. Zo vind je in één oogopslag alle informatie vlot terug.

Leerkrachtmateriaal

In de linkerbalk van elke lesbeschrijving worden de hoofd- en nevendoelen van de les beschreven. De hoofddoelen beschrijven de methode-eigen lesdoelen waar je hoofdzakelijk aan werkt tijdens die les. Nevendoelen zijn doelen waar je in de les aan werkt omdat de gelegenheid ertoe zich voordoet of doelen die niet nieuw zijn in de les maar die wel essentieel zijn voor een goed verloop van de les. Ze zijn echter niet het hoofddoel van de les.

In de volgende rubriek volgt een opsomming van het benodigde materiaal. Het kan gaan om materialen uit de kopieermap, de materialenset of de handleiding, het werkboek of het scheurblok. Maar het kan ook gaan om materiaal dat je van tevoren moet verzamelen om de les te kunnen geven. Meestal is het makkelijk te vinden, kosteloos of goedkoop en onmiddellijk bruikbaar.

De duur van een les wordt ook steeds aangegeven in de zijbalk van de lesbeschrijving. In de regel geldt dat een basisles 50 minuten duurt, een toetsles 100Â minuten.

In het onderdeel organisatie worden de voorbereidingen beschreven die voor de les moeten worden getroffen. Moeten bepaalde opstellingen voorbereid worden? Moeten er kopies gemaakt worden uit de zWISo-kopieermap voor klassikaal gebruik? Moet je hoeken inrichten of de banken anders schikken? Het loont om deze rubriek enige tijd van tevoren door te nemen.

Waar het zinvol is, wordt onder aan de lesbeschrijving het bordschema weergegeven. Dit is het bordschema dat bij goed verloop van de les ontstaat na het uitvoeren van de instructie en de doe-activiteit. Het loont om deze bordschemaâ&#x20AC;&#x2122;s vooraf goed te bestuderen en in de praktijk zo dicht mogelijk te benaderen.

Gebruikswijzer Aangezien er in zWISo veel aandacht is voor taalzwakke rekenaars, is er bij elke lesbeschrijving een aparte rubriek taal, waarin de essentiële woorden die in die les aan bod komen worden opgesomd. Binnen deze rubriek wordt onderscheid gemaakt tussen specifieke rekentaal en contexttaal. Onder contexttaal is de woordenschat opgenomen die de leerlingen minimaal moeten beheersen om de situatieschetsen en de doe-activiteiten volledig te begrijpen. Het is essentieel dat leerlingen beoordeeld worden op hun rekenkundige vaardigheden en niet op hun talige vaardigheden. De leerkracht kan in de beginfase van de les extra aandacht schenken aan deze woorden en niet gekende woorden eventueel verduidelijken aan de hand van een voorbeeld of een afbeelding. Onder rekentaal staat de wiskundige terminologie die in de les aan bod komt. De leerlingen moeten deze begrippen correct kunnen verwoorden en gebruiken. Door deze woorden herhaaldelijk (niet alleen in deze les) duidelijk en nadrukkelijk te gebruiken, ontstaat de attitude om bij het verwoorden van wiskundige verschijnselen de juiste termen te gebruiken.

Waar mogelijk is een notitieruimte open gehouden waarin je je eigen bedenkingen of opmerkingen bij het verloop van deze les kunt noteren. Zo wordt deze handleiding je persoonlijke werkinstrument waarmee je de zWISo-methodologie optimaal kunt laten renderen. Het kan een hulpmiddel zijn wanneer collega’s of stagiaires tijdelijk je lessen moeten overnemen.

Bij observatie worden enkele aanwijzigen gegeven voor de gerichte observatie van de leerlingen. Op deze manier kan er snel worden ingegrepen bij onduidelijkheden of problemen en kan een grote achterstand vermeden worden. Het zijn vaak vragen voor jou als leerkracht die kunnen helpen bij het vaststellen of de leerlingen wel of geen problemen hebben met bepaalde leerstofonderdelen.

In de rubriek differentiatie worden er mogelijkheden gegeven om de les aan te passen aan de verschillende behoeften van de leerlingen. Hierbij wordt een onderscheid gemaakt tussen makkelijkere en moeilijkere differentiatie. Hiernaast wordt er met pictogrammen ook aangegeven of er bij deze les loper- en/of ladderkaarten beschikbaar zijn.

Als één van de volgende lessen specifiek materiaal vereist, wordt dat al aangegeven in een voorafgaande les, bij het icoon van het winkelkarretje. Dat geeft je de mogelijkheid om het benodigde materiaal tijdig te verzamelen.

In een gekleurd kadertje zijn bij sommige lessen tips opgenomen. Het zijn soms vrijblijvende ideetjes om een extra speels element toe te voegen, of een wat uitgebreider muzisch staartje te breien aan de doeactiviteit. Soms zijn het tips om de organisatie van de doeactiviteit te vergemakkelijken of vlotter te laten verlopen.

Leerkrachtmateriaal

Oefenlessen De oefenlessen – ‘Matz oefent’ – worden in de zWISohandleiding op een soortgelijke manier beschreven als de basislessen. Ze beslaan ook steeds twee bladzijden en zijn opgebouwd volgens hetzelfde stramien. De lessen starten met een beschrijving van de instructie met doe-activiteit (als die voorkomt). Soms wordt voorafgaand aan het eigenlijke oefenen met de werkblaadjes en de spellen nog een korte activiteit ingelast die elementen uit de voorgaande basislessen herhaalt of opfrist. Dat duurt meestal maar erg kort. In de beschrijving van de verwerking wordt, waar nodig, uitleg gegeven bij het verloop van de oefenles. Dan volgen de verwijzingen naar de bladzijden uit het ‘Matz oefent’-scheurblok en uit de kopieermap die in deze les gebruikt zullen worden. De oefenblaadjes zijn onderaan of op de volgende bladzijden van de handleiding verkleind afgebeeld, zodat je makkelijk kunt zien welke oefeningen de leerlingen maken.

Correctiesleutel toetsen De oplossingen van de observatietoetsen, de eindtoetsen en de extra-toetsen van elk blok zijn verzameld in één katern, dat is opgenomen in de verzamelband met de handleidingen. Deze correctiesleutel kan een hulpmiddel zijn bij het verbeteren van de toetsen. Soms is meer dan één oplossing mogelijk. In de correctiesleutel zijn dan voorbeeldoplossingen opgenomen. De opzet van de evaluatie in zWISo wordt uitgebreid beschreven in hoofdstuk vijf van deze gebruikswijzer.

Doelenkatern In de reflectiefase wordt een aantal goedgekozen oefeningen klassikaal besproken. Hier kan bijvoorbeeld het verwoorden van diverse oplossingsstrategieën aan bod komen. In de zijbalken zijn, indien van toepassing, dezelfde rubrieken opgenomen als in de basislessen: doelen, materialen, duur, organisatie, taal, observatie en differentiatie. Toetslessen en remediëringslessen In de handleiding zijn ook de toetslessen opgenomen en beschreven. Deze lessen dragen de naam ‘Alleen 1’ (voor de observatietoets) en ‘Alleen 2’ (voor de eindtoets en de extra-toets). De beschrijving van deze lessen is analoog aan die van de basislessen. De zijbalken bevatten indien van toepassing dezelfde herkenbare rubrieken. Ook de remediëringslessen (de twee of drie lessen tussen 'Alleen 1' en 'Alleen 2') zijn opgenomen in de handleiding. Ze dragen de naam ‘Oefen je nog eens mee?’. Ze zijn op analoge wijze opgebouwd als de basislessen.

In het doelenkatern wordt een overzicht gegeven van alle lesdoelen die worden behandeld, zowel de hoofddoelen als de nevendoelen. Deze doelen zijn geordend per blok en per les. In zWISo worden alle leerplandoelen van de drie onderwijsnetten behandeld. Elk lesdoel wordt dan ook gekoppeld aan het corresponderende doel in de drie leerplannen. Ook de koppeling met de eindtermen kan van de tabel afgelezen worden. Het doelenkatern is als aparte bundel opgenomen in de verzamelband met de handleidingen. Het is een handig instrument bij het invullen van de agenda. Dankzij dit boek kun je snel een beeld krijgen van wat de leerlingen op een bepaald moment al gezien hebben en wat er in de volgende lessen aan bod zal komen. Op de website www.zwiso.be zijn de doelenkaternen digitaal beschikbaar.

Gebruikswijzer

• Gebruikswijzer

• Kopieermap

In dit boek worden de algemene uitgangspunten, de leerlijn, de materialen, de modellen en de manier van observeren, remediëren en evalueren in zWISo beschreven. Het hoofdstuk uitgangspunten heeft als doel de leerkrachten van het vierde leerjaar die met zWISo werken een beeld te geven van de pedagogischdidactische visie achter de methode. Dit kan een verduidelijking vormen van de modellen, de lesopbouw en de materialen die in zWISo gebruikt worden. In het onderdeel materialen worden zowel de gedrukte materialen als de handelingsmaterialen beschreven. Op deze manier krijgt de leerkracht een duidelijk overzicht van de beschikbare materialen, hun functie en hoe ze gebruikt kunnen worden. In het derde hoofdstuk wordt de leerlijn van het vierde leerjaar beschreven. Aan de hand daarvan kan de leerkracht snel een beeld krijgen van welke leerstof de leerlingen wanneer zullen zien. In het vierde hoofdstuk wordt de aanpak van de domeinen getallen, bewerkingen, meten en meetkunde behandeld. Deze verduidelijking van de modellen biedt de leerkracht een goed overzicht van de opbouw van enkele fundamentele rubrieken (bijvoorbeeld het getalbegrip). Een goed overzicht van de ontwikkeling van deze constructen is essentieel voor het inzichtelijk aanbrengen van deze inhouden. In het laatste deel van de gebruikswijzer wordt de manier van observeren, remediëren en evalueren en de filosofie daarachter beschreven.

In de rubriek ‘materiaal’ van de lesbeschrijvingen in de handleiding wordt regelmatig naar de zWISokopieermap verwezen. Deze map bevat afbeeldingen, schema’s, spelborden, pictogrammen en dergelijke voor de leerlingen en de leerkracht die onmisbaar zijn bij het opbouwen van een volledige les. Het materiaal in de kopieermap is gerangschikt per blok en vaak gekoppeld aan een les. De kopieermap bevat schema’s, pictogrammen en modellen die de leerlingen kunnen helpen bij het verankeren van bepaalde procedures en inhouden. We gaan bijvoorbeeld vermenigvuldigingen inzichtelijk opbouwen aan de hand van een postzegelvel. Visuele ondersteuning van de leerstof en de mogelijkheid om ze al handelend op te bouwen draagt bij tot een goede verankering van de aangeleerde kennis en vaardigheden.

Leerkrachtmateriaal

Het zWISo-team hecht ook veel belang aan een rijk en gedifferentieerd oefenaanbod. De kopieermap bevat verschillende rekenspellen die kunnen worden gebruikt bij het speels automatiseren van de kennis en vaardigheden die aan bod kwamen tijdens de basislessen. Hoewel deze spellen onvervreemdbaar deel uitmaken van het basisaanbod van de methode, kunnen de materialen ook worden gebruikt bij het hoeken- en het contractwerk. De kopieermap bevat ook de observatie-, eind- en extra-toetsen die afgenomen worden in de loop van de laatste week van elk blok. Het bijbehorende registratiesysteem inclusief de doelstellingen van het blok, de zWISo-meter, is ook terug te vinden in de map. Het gebruik van de toetsen wordt toegelicht in hoofdstuk vijf.

â&#x20AC;˘ zWISo-box De zWISo-box bevat loperkaarten (tempodifferentiatie) en ladderkaarten (niveaudifferentiatie). Je kunt die als zelfstandig differentiatiemateriaal gebruiken in de wiskundelessen (basislessen, oefenlessen en remediĂŤringslessen) of bij het hoeken- of contractwerk. In de handleiding vind je bij elke les onder de rubriek differentiatie of er loper- of ladderkaarten beschikbaar zijn. Dat betekent dat de kaarten vanaf deze les gebruikt kunnen worden. Leerlingen kunnen dus in een latere les ook kaarten uit een eerdere les maken. Het kan bijvoorbeeld zinvol zijn om leerlingen in een les in verband met het vermenigvuldigen van TE x HTE eerst nog een kaart te laten maken met oefeningen van het type E x HTE. Voorts kunnen leerlingen tijdens lessen waar bijvoorbeeld niet in een ladderkaart is voorzien een ladderkaart uit een vorige les maken. De loperkaarten bevatten oefeningen die qua moeilijkheidsgraad aansluiten bij de oefeningen van het werkboek. Het doel van deze kaarten is het zelfstandig verder oefenen van de leerinhouden die aan bod kwamen in de basislessen. Naast deze kaarten voor tempodifferentiatie voorzien we ook in kaarten voor niveaudifferentiatie, dit zijn de ladderkaarten. De oefeningen of spellen die hierin aan bod komen hebben een hogere moeilijkheidsgraad dan die in het werkboek. Deze uitdagende en creatieve oefeningen werken erg motiverend voor je sterkere leerlingen. Toch kunnen je gemiddelde leerlingen af en toe ook eens een ladderkaart proberen in te vullen. De doelstellingen die in de ladderkaarten behandeld worden, sluiten aan bij die van de basislessen. We lopen dus niet vooruit op de inhoud die aan bod komt in de basislessen, wat het ontstaan van twee snelheden binnen je klasgroep voorkomt.

Gebruikswijzer

De zWISo-box bevat ook een methodegebonden registratiesysteem waar flexibel mee kan worden omgesprongen. Dat geeft jou als leerkracht de vrijheid om het registratiesysteem naar eigen inzicht te gebruiken. Naast een leerkrachtformulier is er ook een leerlingregistratieblad. Op die formulieren wordt er per les aan de hand van een pictogram weergegeven welke kaarten (loper- of ladderkaarten) er voorzien zijn.

Opdrachten met een open karakter en meer dan één oplossing kunnen door leerlingen op verschillende manieren opgelost worden. De volledigheid en complexiteit van de oplossing van deze oefeningen is afhankelijk van het niveau van de leerling die de opdracht maakt. Dezelfde oefening kan dus zowel tempo- als niveaudifferentiatie zijn. Deze kaarten zitten dan ook als loper- én als ladderkaart in de zWISo-box. De kaarten in de box zijn zoals gezegd onderverdeeld volgens type, namelijk loper- en ladderkaarten. Binnen deze twee categorieën zijn de kaarten chronologisch geordend. De kleur van de balken van de kaarten geeft aan bij welk domein ze aansluiten: • geel: getallen; • oranje: hoofdrekenen; • rood: cijferen; • blauw: meten; • groen: meetkunde. Met behulp van deze kleurcode kun je als leerkracht de leerlingen makkelijk sturen. Zo kun je een leerling die nog moeilijkheden heeft met cijferen de opdracht geven om vooral rode kaarten te maken. Let op! Bij het oplossen van ladder- en loperkaarten kiezen de leerlingen de oplossingswijze die zij het makkelijkst vinden. Werken ze aan een rode kaart (cijferen) en rekenen ze de bewerking al hoofdrekenend uit, ook goed! Behalve de loper- en de ladderkaarten bevat de box ook de correctiesleutel van alle opdrachtkaarten. Die kan door jou of door de leerlingen gebruikt worden bij het controleren van ingevulde kaarten.

• Correctiesleutel De zWISo-correctiesleutel bevat de oplossingen van de opdrachten uit de zeven zWISo-werkboeken en het zWISo-scheurblok ‘Matz oefent’. Ze zijn verzameld in één ringmap. De correctiesleutel kan zowel door de leerkracht als door de leerlingen gebruikt worden. Je kunt de ingevulde opgaven gebruiken bij het corrigeren van de werkboeken en het scheurblok van de leerlingen. De correctiesleutel kan ook gebruikt worden door de leerlingen. Door zelf hun oplossingen te controleren zullen ze bewuster gaan nadenken over hun fouten en hierdoor hun kennis en vaardigheden verder ontwikkelen. Door deze werkwijze komt er voor jou als leerkracht extra tijd vrij voor het begeleiden van leerlingen die behoefte hebben aan verlengde instructie of ondersteuning bij de verwerking van de leerstof.

• Leerkrachtassistent De softwaretoepassing voor het digitale schoolbord bevat twee onderdelen. Enerzijds zitten de werkboekpagina’s, scheurblokpagina’s, toetsen en kopieerbladen in het digimenu. Ook de correctiesleutels van deze materialen zijn opgenomen in de software.

Leerkrachtmateriaal

Anderzijds omvat de leerkrachtassistent een modellentool waarin alle modellen van het vierde leerjaar zijn opgenomen. Voor het vierde leerjaar vind je hier bijvoorbeeld de KomMatz-kaarten, de meetkundige figuren, de cijferschema’s, alle euromunten en -biljetten en dergelijke. De leerkrachtassistent biedt dus in alle fasen van de les ondersteuning voor de leerkracht en voor de leerlingen. Op deze manier is het een duidelijke meerwaarde voor zowel instructie als verwerking.

• Verdiepingsmap De sterkste rekenaars zullen niet genoeg hebben aan de oefeningen uit de werkboeken en de zWISobox. Door deze leerlingen aanvullende, uitdagende opdrachten te geven kunnen we ze op hun niveau succeservaringen bieden, zonder ze nieuwe leerstof aan te reiken. Deze oefeningen zijn terug te vinden in een aparte zWISo-verdiepingsmap. De opdrachten in de verdiepingsmap hebben een hogere moeilijkheidsgraad dan de ladderkaarten uit de zWISo-box. Deze breinbrekers zijn dus alleen bedoeld voor de zeer sterke rekenaars, die deze zelfstandig of met zijn tweeën kunnen maken. De verdiepingsmap bevat gevarieerd en uitdagend oefenmateriaal in de vorm van speelse oefeningen, rekenraadsels, vraagstukken, … Ze reiken geen nieuwe leerstof aan maar bouwen verder op de klassikale leerstof door de leerlingen andere oefenvormen, denkmodellen, strategieën en invalshoeken te laten verkennen. De doelstellingen van de oefeningen komen overeen met de lesinhouden van het respectieve blok. Op deze manier wordt er dus geen andere snelheid gecreëerd, maar kunnen de leerlingen wel aan de slag met oefeningen op hun niveau. Er is ook in een correctiesleutel van de verdiepingsoefeningen voorzien. Deze oplossingsbladen kunnen zowel door de leerkracht als door de leerlingen gebruikt worden.

Handelingsmaterialen Het handelingsmateriaal van het vierde leerjaar is verzameld in een materialenset. Deze set bevat volgende materialen:

• Matz In het derde en het vierde leerjaar werkt zWISo met een klaspop, Matz. Matz heeft, in tegenstelling tot Wisse in de eerste graad, een vrij beperkte functie. Het speelse element van Matz draagt echter bij tot het leerplezier van de leerlingen en dus tot de houding en de motivatie ten aanzien van wiskunde. De pop wordt af en toe in de lessen gebruikt. De afbeelding van Matz is in alle werkboeken en in het scheurblok meermaals terug te vinden. Je kunt Matz ook gebruiken tijdens het verder automatiseren van bijvoorbeeld de deeltafels.

• Pictogrammen ingeklede bewerkingen zWISo biedt voor het oplossen van ingeklede bewerkingen een methodespecifiek stappenplan. In de materialenset zitten vier pictogrammen die dat stappenplan ondersteunen. De vier pictogrammen zien er als volgt uit:

De oefeningen van de verdiepingsmap behoren niet tot het basisaanbod van zWISo. Deze inhouden hoeven dus niet verwerkt te worden om de eindtermen te bereiken. Toch is het zWISo-team ervan overtuigd dat ze een erg waardevolle aanvulling kunnen zijn op het basispakket en sterk motiverend kunnen werken voor de sterke rekenaars. De oefeningen zijn flexibel inzetbaar en kunnen worden gebruikt op verschillende momenten van het leertraject, afhankelijk van de samenstelling van de klas en de organisatie van de lessen.  Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

Gebruikswijzer

• Klassikale getallenlijnen

• Meetkundige figuren

Als leerkracht beschik je ook over twee klassikale getallenlijnen voor kommagetallen die met uitwisbare stift beschreven kunnen worden. De getallenlijn tussen de gehelen 0 en 1 is verdeeld in tien en honderd gelijke delen (tienden en honderdsten). De andere getallenlijn is op soortgelijke wijze onderverdeeld. Op deze lijn zijn geen gehelen aangeven, waardoor de getallenlijn flexibel kan worden gebruikt. De getallenlijnen komen van pas bij het positioneren van kommagetallen, het wegnemen/aanvullen tot het vorige/volgende geheel en het voorstellen van bewerkingen met kommagetallen. Je vindt deze getallen ook in de leerkrachtassistent.

Het leerkrachtmateriaal van het vierde leerjaar omvat een set met 33 meetkundige figuren. De set bestaat uit een grote variëteit aan veelhoeken en niet-veelhoeken. Bij de selectie van de figuren is gelet op een rijk aanbod op het gebied van evenwijdigheid, loodrechte stand, eigenschappen van de diagonalen, ... In de lessen meten en meetkunde gaan de leerlingen aan de slag met deze figuren: ze onderzoeken de zijden, de hoeken en de diagonalen om zo tot besluiten te komen. De figuren kunnen met magneten aan het bord bevestigd worden en zijn beschrijfbaar met uitwisbare stift. Ze worden geregeld gebruikt in de lessen meten en meetkunde. Leerlingen gaan er ook mee aan de slag tijdens groepswerk. Je vindt deze set meetkundige figuren ook digitaal terug in de leerkrachtassistent van zWISo.  Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

 Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

Niet-veelhoeken Figuur

Omschrijving

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Vlakke figuur begrensd door lijnstukken en gebogen lijnen

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Vlakke figuur begrensd door lijnstukken en gebogen lijnen

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Veelhoeken Driehoeken

Figuur

Omschrijving

Rechthoekige, gelijkbenige driehoek

Rechthoekige, ongelijkbenige driehoek

Scherphoekige, ongelijkbenige driehoek

Gelijkzijdige driehoek

Scherphoekige, gelijkbenige driehoek

Stomphoekige, gelijkbenige driehoek

Stomphoekige, ongelijkbenige driehoek

Leerkrachtmateriaal

Vierhoeken

Meest passende naam

Figuur

Diagonalen Diagonalen zijn even lang

Diagonalen snijden elkaar middendoor

Diagonalen staan loodrecht op elkaar

Vierkant

Rechthoek

Ruit

Parallellogram

Ruit

Rechthoekig, gelijkbenig trapezium

Gelijkbenig trapezium

Trapezium

Vierhoek

Vierhoek (vliegerfiguur)

Gelijkbenig trapezium

Vierhoek

Vierhoek (vliegerfiguur)

Vierhoek

Omschrijving

Vijfhoek

Regelmatige vijfhoek

Zeshoeken

Figuur

x x

Vijfhoeken

Figuur

Omschrijving

Regelmatige zeshoek

Zeshoek met gelijke hoeken

Zeshoek met gelijke zijden

x x

Gebruikswijzer

2 Leerlingmateriaal Gedrukte materialen • Werkboeken

De kennis en de vaardigheden die aan bod komen tijdens de basislessen worden in het werkboek verwerkt. Net zoals bij de handleidingen is er voor elk blok ook een werkboek. In een leerjaar wordt dus met zeven werkboeken gewerkt. Het zWISo-auteursteam vindt het belangrijk dat de kennis en de vaardigheden die tijdens de doe-activiteit en de rest van de instructiefase worden aangebracht ook grondig verwerkt worden. Om de nieuwe leerstof te verankeren lossen de leerlingen tijdens de meeste lessen oefeningen in hun werkboek op. De leerlingen doen dat al dan niet onder begeleiding van de leerkracht, tijdens het laatste deel van de basislessen. Het is belangrijk dat de leerlingen tevoren de benodigde kennis en vaardigheden verwerven tijdens het instructiemoment. De doe-activiteit is dus een onmisbare schakel in het leerproces van de leerlingen. Alleen de combinatie van beide werkvormen zal leiden tot wiskundig inzicht en functionele gecijferdheid en tot een vlotte overgang van het concrete naar het abstracte niveau. In je handleiding wordt steeds duidelijk aangegeven welke werkboekpagina’s bij de respectieve les horen, welke opdrachten er aan bod komen en wat de eventuele aandachtspunten daarbij zijn.

• Scheurblok Het scheurblok bestaat vanaf het vierde leerjaar uit twee delen: ‘Matz doet’ en ‘Matz oefent’. ‘Matz doet’ is het onderdeel van het scheurblok waarin alle ‘Ik doe mee!’-bladen, knipbladen, opdrachtkaarten en dergelijke zijn opgenomen die gebruikt worden tijdens de doe-activiteit. In zWISo wordt veel belang gehecht aan het handelend en inzichtelijk opbouwen van de leerstof. Als aanvulling bij manipuleren met concreet materiaal zijn de ‘Matz doet’-bladen uitstekende middelen om de activiteit, het inzicht en de betrokkenheid van de leerlingen te bevorderen.

De werkboeken bevatten ook de verwerkingsoefeningen van de remediëringslessen uit de vierde/ vijfde week van een blok.

Leerlingmateriaal

‘Matz oefent’ bevat de oefeningen die een keer per week in de oefenles van 50 minuten worden gemaakt. Behalve aan speelse automatisering en inoefening aan de hand van rekenspellen (zie kopieermap en zWISo-box) wordt in zWISo veel belang gehecht aan formele inoefening. Het doel van ‘Matz oefent’ is het formeel automatiseren van de aangeleerde kennis en vaardigheden. Door deze frequente momenten van inoefening kan de leerstof goed vastgezet en geïntegreerd worden. In lessen 6, 12, 18 en eventueel les 24 (in blokken 2 tot en met 6) is er zelden een instructiemoment. De leerlingen werken dan vooral individueel in ‘Matz oefent’. Het verdient de voorkeur om de benodigde bladzijden uit het scheurblok te halen en door de leerlingen zelfstandig te laten invullen. Op dat moment kun je eventueel herinstructie geven aan leerlingen die het nodig hebben. De ‘Matz oefent’-bladen kunnen verzameld worden in een mapje. Tijdens deze lessen biedt de zWISo-wijzer een meerwaarde als hulp voor de leerlingen en als stimulans voor zelfstandig werk.

• zWISo-wijzer De zWISo-wijzer is een boek waarin de leerlingen tijdens het zelfstandig werk informatie kunnen opzoeken. In dit boek worden de verschillende inhouden tot en met het vierde leerjaar weergegeven. Door het gebruik van de zWISo-wijzer kunnen leerlingen belangrijke vaardigheden als het zelfstandig opzoeken van informatie en het oplossen van problemen ontwikkelen. Het is belangrijk het gebruik van de zWISo-wijzer te stimuleren en de leerlingen hier geregeld op te wijzen. In de eerste lessen waarin de zWISo-wijzer gebruikt kan worden is het belangrijk om expliciet aandacht te schenken aan de manier van opzoeken (trefwoordenlijst) en aan situaties waarin het opzoeken in de zWISo-wijzer zinvol is. Op deze manier ontwikkel je bij de leerlingen een attitude om geregeld naar de zWISo-wijzer te grijpen. De zWISowijzer kan zowel in de basislessen, de oefenlessen en de toetslessen als in de remediëringslessen worden gebruikt en is een ideaal middel om te werken aan zelfstandig leren.

Handelingsmaterialen • KomMatz-kaarten zWISo voorziet ook in methodespecifiek leerlingmateriaal om kommagetallen te leggen. Elke leerling beschikt over een uitdrukvel met daarin 9 rode schijfjes, 36 t-kaartjes, 35 h-kaartjes en 24 d-kaartjes. De rode schijven kennen de leerlingen van getallendoos 3, die stellen de eenheden voor. De overige kaartjes vormen een voorstelling van de tienden, de honderdsten en de duizendsten. De klassikale KomMatz-kaarten vind je terug in de kopieermap en in de leerkrachtassistent. Door de kommagetallen met concreet materiaal te leggen bouwen de leerlingen de kommagetallen inzichtelijk op en krijgen ze inzicht in de positionele waarde van de cijfers in kommagetallen. De KomMatz-kaarten worden gebruikt in de lessen over kommagetallen en bewerkingen met kommagetallen.

 Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

Gebruikswijzer

â&#x20AC;˘ Breukendoos Elke leerling beschikt over een breukendoos die in het vierde, vijfde en eventueel het zesde leerjaar wordt gebruikt. Deze rechthoekige doos bevat twee breukenborden, verschillende breukenstroken, een kommagetallenstrook en een procentenstrook. Alle materialen zijn verdeeld over opbergvakken in de breukendoos. De noemer van de respectieve breuken wordt weergegeven op de bodem van de doos. Op deze manier weten de leerlingen steeds waar ze de stroken moeten opbergen en kunnen ze de stroken vlot terugvinden. De leerlingen gebruiken deze doos voor het vergelijken van breuken, het ontdekken van gelijkwaardige breuken, het gelijknamig maken en het initieel uitvoeren van bewerkingen met breuken. We gebruiken de breukendoos ook om het verband tussen breuken, kommagetallen en procenten te ontdekken. Dat doen we met behulp van de twee speciaal hiervoor gemaakte stroken. De klassikale breukendoos vind je terug in de leerkrachtassistent. ď&#x201A;&#x2019; Gebruik: zie Hoofdstuk 4 â&#x20AC;˘ Aanpak

Hoofdstuk 3 • zWISo-leerlijn vierde leerjaar In zWISo is de grootste zorg besteed aan goed doordachte leerlijnen die naadloos op elkaar aansluiten. We bouwen voort op de ontwikkelingsdoelen van het kleuteronderwijs en zorgen voor een doorgaande lijn van het eerste tot en met het zesde leerjaar. Dit garandeert een gestructureerde opbouw van de leerstof, waarbij alle facetten van functioneel wiskundeonderwijs aan bod komen. Door voortdurend en consequent het beoogde einddoel voor ogen te houden, is de coördinatieen adviesgroep erin geslaagd de leerinhouden evenwichtig te spreiden, in overeenstemming met de eindtermen en alle leerplandoelen. Op die manier zit er steeds één vloeiende lijn in de stof en verloopt het aanbrengen ervan zonder stijlbreuken. In dit hoofdstuk geven we de zWISo-leerlijn van het vierde leerjaar weer.

Gebruikswijzer

lijn voor schatten is uitgewerkt. Het zWISo-team is ervan overtuigd dat schattend rekenen en afronden in de realiteit vaak voldoende is om te controleren of je geen rekenfout gemaakt hebt. Goed en spontaan schatten en schattend rekenen vereist voldoende zelfvertrouwen. Om dat te bereiken moeten leerlingen zo snel mogelijk beginnen te schatten. In zWISo gebeurt dat al in de eerste lessen van het eerste leerjaar. Deze lijn wordt doorgetrokken tot in het zesde leerjaar. Alleen zo zullen leerlingen op de duur kunnen beoordelen wanneer schattend rekenen een goed idee is, hoe ze daarbij te werk kunnen gaan en hoe ze het aldus verkregen geschatte resultaat kunnen beredeneren. De aandacht voor werken met betekenisvolle contextsituaties en aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen uit zich in de zWISo-leerlijn in een apart onderdeel ‘contextualiseren’ binnen het domein getallen.

Opbouw van de zWISo-leerlijn De zWISo-leerlijn is opgebouwd uit vier grote leerdomeinen: getallen, bewerkingen, meten en meetkunde. Deze indeling stemt overeen met de indeling van de leerplannen die werden opgesteld door de drie onderwijsnetten. Toch zijn er enkele belangrijke verschillen. Zo zijn er in zWISo, anders dan in de leerplannen van het Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs en het Gemeenschapsonderwijs, geen afzonderlijke clusters ‘domeinoverschrijdende doelen’, ‘problemen oplossen’ en ‘attitudes’. Het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, wiskundige strategieën en een positieve attitude ten aanzien van wiskunde worden als essentieel ervaren bij zWISo. Deze vaardigheden komen daarom geïntegreerd aan bod in de vier domeinen over de hele zWISo-leerlijn. Enkele voorbeelden van deze integratie zijn: • De lessen beginnen meestal met een probleemsituatie die de leerlingen uitdaagt om strategieën uit te denken en hun probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen. • De leerstof wordt vaak verwerkt en ingeoefend aan de hand van vraagstukken (zie Hoofdstuk 4 Aanpak). • Het gebruik van realistische situaties en de nadruk op doe-activiteiten vergroten het leerplezier van de leerlingen. Dit resulteert in een positieve attitude ten aanzien van wiskunde.

Uitleg over de opbouw van de zWISoleerlijn van het vierde leerjaar Op de volgende bladzijden geven we de zWISo-leerlijn van het vierde leerjaar weer. Nieuwe leerstof wordt vermeld bij het desbetreffende blok. Zodra een bepaalde inhoud aan bod is gekomen, worden de daaropvolgende vakken ingekleurd. Als een vak ingekleurd is en er geen tekst in staat betekent dat dat er in het blok geen nieuwe leerstof in verband met dat onderwerp wordt aangebracht. De leerstof die in een vorig blok werd aangeleerd kan in dit blok wel herhaald worden. Als een kader niet ingekleurd is, kwam er nog geen leerstof in verband met die deelcategorie aan bod.

In de zWISo-leerlijn zijn de vier grote domeinen opgedeeld in verschillende deelcategorieën. Een van de opmerkelijke dingen in onze methode is dat er, zowel bij getallen als bij bewerkingen, een aparte

Getallen

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

1. Getallen Contextualiseren

Betekenis geven aan alle natuurlijke getallen tot 10Â 000.

Tellen

-H een en terug tellen met sprongen van 1000. -H een en terug tellen met sprongen van 1, 10 en 100 rond de zuivere D.

Heen en terug tellen met sprongen van 1, 10 en 100 rond zuivere DH.

Getallen tot 10 000 vergelijken. Getallen tot 10 000 samenstellen en splitsen.

Getallen van het type DH samenstellen en splitsen.

1.1 Natuurlijke getallen

Gegevens van een tabel aflezen.

Vergelijken en verbanden zien

- Gegevens van een grafiek (lijn-, staaf- en cirkelgrafiek) lezen en interpreteren en er eenvoudige bewerkingen mee uitvoeren. - Grafieken (lijnen staafgrafiek) opbouwen.

In een rij getallen het patroon zoeken en de getallenrij aanvullen. Even en oneven getallen herkennen. Vraagstukken oplossen door de gegevens voor te stellen in een verhoudingstabel. In concrete situaties rechtevenredigheid ontdekken. - Vanuit concrete situaties een invulling geven aan het begrip gemiddelde. - Het gemiddelde in eenvoudige situaties berekenen.

Voorstellen en symboliseren

Getallen tot 10 000 lezen en schrijven. Getallen tot 10 000 positioneren op de getallenlijn.

Positioneren Negatieve getallen positioneren op de getallenlijn.

1.2 Negatieve getallen

Positionele waarde

De waarde van elk cijfer in een getal tot 10 000 kennen. Negatieve getallen in concrete situaties (temperatuur) vergelijken, lezen en noteren.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Betekenis geven aan alle natuurlijke getallen tot 100 000. Heen en terug tellen met sprongen van 10 000.

Getallen tot 100 000 vergelijken. Getallen tot 100 000 samenstellen en splitsen.

Getallen tot 100 000 lezen en schrijven. Getallen tot 100 000 positioneren op de getallenlijn.

De waarde van elk cijfer in een getal tot 100 000 kennen.

Getallen

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

Een breuk nemen van een grootheid. Een breuk nemen van een tafelproduct en van een tienvoud van tafelproducten. De termen breuk, breukstreep, teller en noemer gebruiken.

Een breuk met teller 1 benoemen als een stambreuk. Breuken vergelijken door gebruik te maken van de breukendoos.

1.3 Breuken

Stambreuken en breuken met eenzelfde noemer vergelijken.

1.4 Kommagetallen

Kommagetallen lezen in functie van het werken met geld.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Gelijkwaardige breuken nemen van een grootheid. Gelijkwaardige breuken nemen van een getal. Invoeren van het begrip gelijkwaardige breuken.

Gelijknamige en gelijkwaardige breuken op een getallenlijn plaatsen. - De gelijkheid tussen breuken en decimale getallen vaststellen. - Eenvoudige breuken omzetten in een decimale breuk/ kommagetal. - Vaststellen dat er breuken bestaan waarvan de teller groter dan of gelijk aan de noemer is. - Breuken herstructureren. Breuken vereenvoudigen. - Kommagetallen met twee decimalen lezen en noteren. - De symbolen t en h gebruiken.

- Kommagetallen met drie decimalen lezen en noteren. - Het symbool d gebruiken.

- In een kommagetal de waarde van elk cijfer kennen. - Kommagetallen voorstellen met schijven en kaartjes. - Kommagetallen situeren tussen twee opeenvolgende gehele getallen. - Een kommagetal met ĂŠĂŠn of twee decimalen aanvullen/ verminderen tot het volgende/ vorige gehele getal. Kommagetallen positioneren op de getallenlijn. Kommagetallen vergelijken. Het verband tussen eenheden, tienden en honderdsten vaststellen.

Het verband tussen eenheden, tienden, honderdsten en duizendsten vaststellen. Tellen met sprongen van 0,1, 0,01 en 0,001.

In een rij kommagetallen het patroon zoeken en de getallenrij aanvullen. Kommagetallen herstructureren.

Kommagetallen omzetten in een breuk met noemer 10 of 100 en omgekeerd.

- Kommagetallen omzetten in een breuk met noemer 1000 en omgekeerd. - De gelijkheid tussen breuken en decimale getallen vaststellen. - Eenvoudige breuken omzetten in een decimale breuk/ kommagetal.

Getallen en bewerkingen

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

1.5 Procenten

Leerlijn leerjaar 4

1.6 Schatten en afronden

Strategieën voor het schatten van ongestructureerde hoeveelheden ontdekken. Getallen tot 10 000 afronden naar het vorige en het volgende honderdtal of duizendtal.

2. Bewerkingen Symboliseren

Optellen / aftrekken

Herhalen van de symbolen +, -, x en :. Herhalen van alle types optellingen (twee of drie termen) tot 1000.

Optellingen van de types D + D, D + H, D + DH, DH + D, DH + H en DH + DH maken.

- Optellingen van de types DHT + HT = D en DHT + HT = DH maken. - Aanvullen tot het volgende duizendtal.

Herhalen van alle types aftrekkingen (twee of drie termen) tot 1000.

Aftrekkingen van de types D - D, D - H, D - DH, DH - D, DH - H en DH - DH maken.

Aftrekkingen van de types D - HT, D - T en D - E maken.

De commutatieve eigenschap bij optellen herhalen. Rekentaal voor de optelling en de aftrekking gebruiken.

Herhalen van vermenigvuldigingen van de types E x T, E x H, E x TE, E x HE, E x HT en E x HTE waarbij het product maximaal 1000 is.

2.1.1 Natuurlijke getallen

2.1 Hoofdrekenen

Bij optellen en aftrekken een doelmatige oplossingswijze kiezen op basis van de aard van de getallen en de eigenschappen van de bewerkingen. Vermenigvuldigingen van de types T x T, T x TE, TE x TE, T x HTE, TE x HTE en E x D maken. De commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen herhalen. In aangeboden situaties een vermenigvuldiging herkennen.

Vermenigvuldigen / delen

-O pgaande delingen (deeltal < 100) buiten de tafels maken door het deeltal zinvol te splitsen (deler < 10). -O pgaande delingen waarvan het deeltal een tienvoud is van een tafelproduct, maken. -O pgaande delingen van het type HTE : E maken door het deeltal zinvol te splitsen. -H et quotiënt en de rest van niet-opgaande delingen tot 100 binnen het tafelbereik bepalen.

-V eelvouden van 10 < 10 000 delen door 10. -V eelvouden van 100 < 10 000 delen door 10 en 100. -O pgaande delingen van het type DHTE : E maken door het deeltal zinvol te splitsen. -O pgaande delingen van het type DHTE : E naar analogie met de tafels maken. -O pgaande delingen van het type DHTE : E buiten de tafels maken door het deeltal zinvol te splitsen.

Rekentaal voor de vermenigvuldiging en de deling gebruiken. - Veelvouden van 10 op een handige manier delen door 5. - Veelvouden van 100 op een handige manier delen door 50.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Getallen tot 100 000 afronden naar het vorige en volgende tienduizendtal.

Optellingen met ronde getallen tot 100 000 van alle types maken.

Aftrekkingen met ronde getallen tot 100 000 van alle types maken.

Vermenigvuldigingen met ronde getallen tot 100 000 waarvan één van de factoren bestaat uit één cijfer maken.

Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal ≤ 10, het quotiënt is < 1.

- Veelvouden van 5 op een handige manier delen door 5. - Veelvouden van 50 op een handige manier delen door 50.

Bewerkingen

Leerlijn leerjaar 4

2.1.1 Natuurlijke getallen

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

Vermenigvuldigen / delen (vervolg)

Automatiseren

Herhalen van maal- en deeltafels.

2.1 Hoofdrekenen

2.1.2 Breuken

Gelijknamige breuken optellen en aftrekken. (De eenheid wordt niet overschreden.)

2.1.3 Kommagetallen

Optellen / aftrekken

Vermenigvuldigen /

2.1.4 Procenten

2.2 Schatten

Herhalen van de schatprocedures bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met getallen tot 10 000.

Het resultaat van een bewerking controleren door de uitkomst te vergelijken met de schatting.

BLOK 3

Vermenigvuldigingen van het type TE x TE schatten.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

- Vaststellen dat als een van de factoren vermenigvuldigd wordt met 10, 100 of 1000, het product ook vermenigvuldigd wordt met 10, 100 of 1000. - Vaststellen dat als het deeltal vermenigvuldigd wordt met 10, 100 of 1000, het quotiënt ook vermenigvuldigd wordt met 10, 100 of 1000.

Ervaren dat het quotiënt van een deling gelijk blijft als beide factoren met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden.

BLOK 6

BLOK 7

Ervaren dat het product gelijk blijft als een van de factoren vermenigvuldigd wordt met en de andere gedeeld wordt door hetzelfde getal.

Het quotiënt afhankelijk van de context zinvol afronden.

Gelijknamige breuken optellen en aftrekken. (De eenheid wordt overschreden.) - Kommagetallen met hoogstens twee decimalen optellen. - Een natuurlijk getal en een kommagetal met hoogstens twee decimalen optellen.

Kommagetallen met hoogstens drie decimalen optellen.

- Kommagetallen met hoogstens twee decimalen aftrekken. - Een natuurlijk getal aftrekken van een kommagetal met hoogstens twee decimalen. - Een kommagetal aftrekken van een natuurlijk getal.

Kommagetallen met hoogstens drie decimalen aftrekken.

- Een kommagetal met een natuurlijk getal ≤ 10 vermenigvuldigen. - Een kommagetal vermenigvuldigen met 100.

Kommagetallen handig vermenigvuldigen met 5 en 50.

- Kommagetallen delen door een natuurlijk getal ≤ 10. (Het kommagetal is te herleiden tot een tafelproduct.) - Een natuurlijk getal delen door een natuurrlijk getal ≤ 10, het quotiënt is < 1.

De schatprocedure bij optellen en aftrekken met getallen tot 100 000 toepassen.

- De schatprocedure bij vermenigvuldigingen en delingen met getallen tot 100 000 toepassen. - De schatprocedure bij optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen met kommagetallen toepassen. Het resultaat van een bewerking met de schatting vergelijken om de plaats van de komma te controleren.

Bewerkingen en meten

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

Cijferend optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met getallen tot 1000 herhalen.

2.3.1 Natuurlijke getallen

Het cijferalgoritme van vermenigvuldigen uitbreiden tot TE x HTE (product is ≤ 10 000). -H et quotiënt berekenen van delingen van het type HTE : E waarbij H < deler. -H et quotiënt berekenen van delingen van het type DHTE : E.

Het quotiënt berekenen van delingen van het type DHTE : E waarbij D < deler.

2.3.2 Kommagetallen

2.3 Cijferen

Cijferend optellen en aftrekken met getallen tot 10 000.

Bewerkingen uitvoeren met de zakrekenmachine.

2.4 ZRM

Het resultaat van een bewerking controleren met de zakrekenmachine.

3. Meten

3.1 Lengte

- I nvoeren van de standaardmaateenheid de millimeter. - L engten tot op 1 mm nauwkeurig meten, lezen en tekenen. -D e rij van de gekende lengtematen opbouwen en daarbij de symbolen mm, cm, dm, m en km gebruiken. -R eferentiematen voor lengte hanteren. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. Een lengte schatten en de schatting vergelijken met het meetresultaat. De termen maat, maatgetal en maateenheid correct gebruiken. - Vanuit concrete situaties een invulling geven aan het begrip schaal. - Het verband zien tussen de schaal en de mate van verkleinen/vergroten. - De werkelijke afmeting berekenen als de schaal en de tekening gegeven zijn.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Cijferend optellen en aftrekken met getallen tot 100 000. Cijferend vermenigvuldigen met getallen tot 100 000. Cijferend delen met getallen tot 100 000.

Natuurlijke getallen cijferend delen door een natuurlijk getal < 10 tot op 1t, 1h of 1d nauwkeurig.

Het resultaat van een aftrekking en een deling controleren door de omgekeerde bewerking uit te voeren. Cijferend optellen, aftrekken en vermenigvuldigen (vermenigvuldiger < 100) met kommagetallen.

Kommagetallen cijferend delen door een natuurlijk getal < 10.

Kommagetallen intoetsen op de zakrekenmachine. Met de zakrekenmachine ontdekken dat een breuk een deling is.

- De schaal afleiden door de reĂŤle afmeting te vergelijken met de afmetingen op een tekening. - De werkelijke afmeting van voorwerpen bepalen door de vastgestelde verhouding toe te passen.

Meten

Leerlijn leerjaar 4

3.2 Inhoud

3.1 Lengte (vervolg)

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

- De omtrek van veelhoeken berekenen en hierbij gebruik maken van de eigenschappen van de zijden. - Vierkanten en rechthoeken met een gegeven omtrek tekenen. - Invoeren van de standaardmaateenheid de milliliter. - Inhouden tot op 1 ml nauwkeurig meten, lezen en tekenen. - De rij van de gekende inhoudsmaten opbouwen en daarbij de symbolen ml, cl, dl en l gebruiken. - Referentiematen voor inhoud hanteren. Eenvoudige herleidingen uitvoeren.

3.3 Gewicht

De termen maat, maatgetal en maateenheid correct gebruiken.

3.4 Oppervlakte

De begrippen oppervlak en oppervlakte hanteren.

- Oppervlakten vergelijken. - Oppervlakten meten met natuurlijke maateenheden.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Introductie van het begrip snelheid: - I n concrete situaties de verhouding vaststellen tussen het aantal handelingen en de duur en tussen de snelheid van handelen en het aantal handelingen. - I n concrete situaties het verband tussen snelheid en afstand vaststellen. - I n concrete situaties het verband tussen afstand en tijd vaststellen.

- Het begrip ton introduceren. - De rij van de gekende gewichtsmaten opbouwen. - Het verband 1 ton = 1000 kg 1 ton (0,1 ton) = 100 kg en 10 kennen. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid correct gebruiken. Betekenis geven aan de begrippen bruto, tarra en netto. - Invoeren van de standaardmaateenheden vierkante meter, vierkante decimeter en vierkante centimeter. - De symbolen m², dm² en cm² gebruiken. - Vierkanten met een oppervlakte van 1 m², 1 dm² en 1 cm² vormen. - De verhouding tussen de oppervlaktematen m² en dm² enerzijds en dm² en cm² anderzijds kennen. - Referentiematen voor oppervlaktematen hanteren. Oppervlakten schatten en meten door te bedekken.

- De oppervlakte van een rechthoek en een vierkant bepalen door te bedekken. - De formule l x b (WKBaO) of b x h (OVSG en GO) voor de oppervlakteberekening van een rechthoek en een vierkant toepassen.

De oppervlakte van veelhoeken bepalen door omstructureren. (Veelhoeken verdelen in rechthoeken en driehoeken.)

Meten

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3.5 Volume

3.4 Oppervlakte (vervolg)

Inzien dat figuren met dezelfde oppervlakte een verschillende vorm en/of een verschillende omtrek kunnen hebben.

- Een bedrag in euro en eurocent gepast betalen. - Teruggeven door aanvullend tellen. - De prijs van meerdere producten bepalen.

3.6 Geld

Geldwaarden noteren als kommagetal en lezen als … euro en … eurocent. Het verband leggen tussen 1 euro en 1, 10, 20 en 50 eurocent. Eenvoudige herleidingen uitvoeren.

-D e analoge en digitale klok lezen tot op één minuut nauwkeurig. - E en klok met Romeinse cijfers lezen.

De analoge en digitale klok lezen tot op één seconde nauwkeurig.

3.7.1 Tijdstip

Het tijdstip op een analoge en digitale klok aangeven. Tijdstippen bepalen als de tijdsduur gegeven is. Een datum op verschillende manieren noteren.

3.7 Tijd

Het verband tussen uur en minuut kennen.

De passendste maateenheid voor tijd kiezen.

3.7.2 Tijdsduur 3.8 Temperatuur

Het verband tussen minuut en seconde kennen.

- E en tijdsduur uitdrukken in uren en minuten. - E en tijdsduur in dagen bepalen aan de hand van de kalender.

- Een tijdsduur uitgedrukt in seconden ervaren. - Een tijdsduur uitdrukken in uren, minuten en seconden.

- De kalender aflezen. - Het aantal dagen van elke maand kennen. - De termen schrikkeljaar en eeuw gebruiken. - Temperatuur (incl. negatieve getallen) aflezen van verschillende soorten thermometers. - Temperatuur uitdrukken in graden Celsius. - Temperaturen vergelijken. - Temperatuurverschillen bepalen.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

De termen maat, maatgetal en maateenheid correct gebruiken.

Betekenis geven aan de begrippen inkoopprijs, verkoopprijs, winst en verlies.

Tijdtabellen lezen en interpreteren.

Tijdtabellen maken.

Als begintijd/eindtijd en tijdsduur gegeven zijn eindtijd/ begintijd bepalen. De termen trimester, kwartaal en semester gebruiken.

Meten en meetkunde

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3.9 Hoeken

Hoeken vergelijken en ordenen. Hoeken meten met een natuurlijke maateenheid.

4. Meetkunde Het verband leggen tussen driedimensionale situaties en hun tweedimensionale voorstelling en omgekeerd. Op een plan de plaats van de fotograaf aangeven. 4.1 Ruimtelijke oriëntatie

-V an een bouwsel een grondplan maken en de hoogtegetallen noteren en omgekeerd. -A an de hand van verschillende aanzichten (driedimensionaal) een bouwsel maken.

-H et hoekpunt en de benen van een hoek aanduiden. -H oeken benoemen als hoek A en Â. -H oeken benoemen als recht, scherp en stomp. - E rvaren dat de lengte van de benen geen invloed heeft op de grootte van de hoek.

4.2.1 In het vlak

4.2 Vormleer

-V lakke figuren herkennen aan voorwerpen. - F iguren benoemen als veelhoek of niet-veelhoek. -V eelhoeken benoemen volgens het aantal hoeken en zijden. -D e eigenschappen van een rechthoek en een vierkant verwoorden. -V ierkanten en rechthoeken construeren. -D e termen overstaande/ tegenoverliggende zijden en hoeken gebruiken.

- E igenschappen van de driehoeken (hoeken en zijden) onderzoeken. -D riehoeken benoemen als scherphoekige, stomphoekige en scherphoekige driehoeken. -D riehoeken benoemen als gelijkzijdige, gelijkbenige en ongelijkbenige/ongelijkzijdige driehoeken. -O p ruitjespapier driehoeken tekenen.

- De eigenschappen (hoeken en zijden) van vierhoeken onderzoeken. - Classificeren van vierhoeken volgens evenwijdigheid van zijden, gelijkheid van zijden en aantal rechte hoeken. - Vierhoeken benoemen als trapezium, parallellogram of ruit. - Vierhoeken met opgegeven eigenschappen vormen.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

- Tweedimensionale aanzichten met het corresponderende bouwsel verbinden. - Van een bouwsel voor- en zijaanzichten tekenen.

- E rvaren dat de schaduw van een voorwerp verschillende vormen kan hebben i.f.v. de positie van een voorwerp t.o.v. de lichtbron (zon of lamp). -H et verband leggen tussen de schaduw en de plaats van de lichtbron en tussen het tijdstip van de dag en de plaats en de vorm van de schaduw.

- Invulling geven aan het begrip diagonaal. - Diagonalen in vierhoeken onderzoeken en hun eigenschappen verwoorden. - Diagonalen in vierhoeken tekenen.

De zijden van een rechthoek benoemen als lengte en breedte (VVKBaO) of als basis en hoogte (OVSG en GO).

Meetkunde

Leerlijn leerjaar 4

BLOK 2

BLOK 3

4.2.1 In het vlak (vervolg)

BLOK 1

4.3.1 Evenwijdigheid 4.3.2 Loodrechte stand

- L oodrechte stand herkennen en aangeven. - L oodrechte stand controleren met de geodriehoek. - ( Loodrecht) snijdende rechten tekenen. - Het symbool gebruiken.

4.3.3 Spiegelen

- E venwijdige rechten herkennen en aangeven. - E venwijdigheid controleren met de geodriehoek. - Evenwijdige rechten tekenen. - Het symbool // gebruiken.

4.3.4 Gelijkvormigheid

4.3 Meetkundige relaties

4.2.2 In de ruimte

4.2 Vormleer

Leerlijn leerjaar 4

Gelijkvormigheid ontdekken bij voorwerpen.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

- Cirkels herkennen en benoemen. - Het middelpunt, de middellijn (diameter) en de straal van een cirkel benoemen. - Eigenschappen van de cirkel onderzoeken en verwoorden. - Cirkels met een gegeven straal tekenen met een passer. De termen horizontaal en verticaal gebruiken. Ruimtefiguren onderzoeken.

- Spiegelbeelden ontdekken door gebruik te maken van een spiegel. - Bij spiegelingen de termen spiegelbeeld, spiegeling en spiegelas gebruiken. - De spiegelas tekenen tussen figuur en spiegelbeeld. - De eigenschappen van een spiegeling onderzoeken. - Symmetrieassen ontdekken door een spiegel te gebruiken en door te vouwen. - Bij symmetrische figuren de plaats van de spiegel of de vouwlijn benoemen als symmetrieas (niet voor OVSG). - Een symmetrieas tekenen.

- E en rechthoek bedekken met gegeven pentominovormen. -G elijkvormigheid ontdekken bij figuren.

Hoofdstuk 4 • Aanpak 1 Getallen

Gebruikswijzer

• Het hoeveelheidsaspect van getallen

wat in blok vier aan bod komt, werk je analoog. In zWISo vinden we het belangrijk om ook betekenis te geven aan deze grote getallen. We werken bijvoorbeeld met kilometerstanden, aantal inwoners, aantal bezoekers van een pretpark, …

Beginsituatie

• Positioneren van getallen

In het derde leerjaar werd het getalbereik uitgebreid tot 1000 door de leerlingen hoeveelheden tot 1000 te laten tellen, vergelijken en schatten. De leerkracht schonk hierbij veel aandacht aan het groeperen per tien en per honderd. Het gebruik van rekentaal als meer dan, minder dan, evenveel als, … kwam hierbij uitvoerig aan bod. De leerlingen koppelden de hoeveelheden aan de voorstelling met de rode schijven, de 10-zakken en de 100-kisten uit getallendoos 3. Het duizendtal werd voorgesteld als een 1000-container. De leerlingen bouwden het duizendtal inzichtelijk op door tien 100-kisten om te wisselen voor een 1000-container.

Beginsituatie

Natuurlijke getallen tot 100 000

Vierde leerjaar In het vierde leerjaar wordt het getalbereik van de leerlingen uitgebreid tot 100 000. In het eerste blok van het vierde leerjaar introduceer je de getallen tot 10 000. We maken hierbij gebruik van betekenisvolle contexten als postcodes, de hoogte van bergen, prijzen van auto’s, … We geven de leerlingen ook de opdracht om getallen tot 10 000 op te zoeken in reclameblaadjes, kranten, … Op deze manier krijgen de getallen tot 10 000 een concrete betekenis. Je geeft de leerlingen de opdracht om hoeveelheden tot 10 000 te vergelijken en te schatten. Het gebruik van rekentaal als minder dan, meer dan en evenveel als is hierbij erg belangrijk. Kinderen van een vierde leerjaar hebben al voldoende inzicht in de natuurlijke getallen ontwikkeld en kunnen al op een vrij abstract niveau redeneren. Daarom stappen we vanaf het vierde leerjaar af van de concrete voorstelling van hoeveelheden als 1000-containers, 100-kisten, 10-zakken en schijven. Leerlingen die toch concrete voorstellingen nodig hebben kunnen tijdelijk nog aan de slag met getallendoos 3. Je kunt voor deze leerlingen in je klas in enkele getallendozen 3 voorzien. Bij het uitbreiden van het getalbereik tot 100 000,

In het derde leerjaar kregen de leerlingen geregeld de opdracht om getallen te leggen met de 1000-, 100-, 10-kaarten en de rode schijven uit de getallendoos. Hierbij stelde de leerkracht vragen als ‘Uit hoeveel honderdtallen, tientallen en eenheden bestaat dit getal?’, ‘Is dit meer of minder dan x?’ en ‘Welk getal komt hier juist voor?’ De getallenlijn tot 1000 werd in het derde leerjaar opgebouwd door de klassikale getalkaarten van de zuivere honderdtallen in de juiste volgorde aan het bord te hangen. De leerkracht koppelde hier de voorstelling met de 100-kisten aan. De leerlingen maakten geregeld sprongen op de getallenlijn. Hierbij werd de richting (zin) van het springen sterk benadrukt (naar links of naar rechts), om zo het tekenen van bewerkingen op de lege getallenlijn voor te bereiden. De leerlingen positioneerden ook getallen op de getallenlijn of op delen daarvan. Door het gebruik van verschillende getallenlijnen (gaande van gestructureerd tot minder gestructureerd) ontwikkelden de leerlingen een goed verankerd en soepel bruikbaar getalbegrip. Bij het positioneren van getallen schonk de leerkracht veel aandacht aan het gebruik van rekentaal als voor, achter, links, rechts, tussen, in het midden, …

Vierde leerjaar In het vierde leerjaar wordt de getallenlijn verder uitgebreid. In de eerste les over getallen tot 10 000 stellen de leerlingen de getallenlijn samen door de zuivere duizendtallen in de juiste volgorde aan een getallenlijn op het bord op te hangen. Tijdens deze activiteit tellen de leerlingen hardop met sprongen van 1000. Je geeft de leerlingen ook geregeld de opdracht om een getal te situeren tussen bijvoorbeeld twee opeenvolgende duizendtallen en dit getal op de getallenlijn te positioneren. Schenk hierbij voldoende aandacht aan het verwoorden van de positie van het getal (juist voor, juist na, in het midden, tussen, …). De leerlingen tellen ook regelmatig heen en terug met sprongen, om de positie van getallen goed te verankeren. Voor het uitbreiden van het getalbereik tot 100 000 werken we analoog.

Aanpak

• Positionele waarde van cijfers Beginsituatie In het derde leerjaar legden de leerlingen geregeld getallen met de schijven en de kaarten uit getallendoos 3. Op deze manier werd de positionele waarde van de verschillende cijfers in het getal visueel waarneembaar, wat bijdraagt tot het inzichtelijk opbouwen van het getalbegrip. De leerlingen verwoordden de getallen als x 100-kisten, y 10-zakken en z losse. Het getal 364 werd bijvoorbeeld als volgt voorgesteld:

voor de tienduizendtallen, de duizendtallen, de honderdtallen, de tientallen en de eenheden. We schenken veel aandacht aan het lezen van getallen en het verwoorden van de positionele waarde van de cijfers van een getal. Bij het onderzoeken van het getal 8902 vraag je de leerlingen bijvoorbeeld om het getal te noteren als 8D + 9H + 2E. Ze verwoorden dit als acht duizendtallen, negen honderdtallen en twee eenheden. Hierbij stel je dan ook vragen als ‘Tussen welke twee duizendtallen ligt dit getal?’, ‘Welk getal is twee honderdtallen kleiner dan 8902?’, … De kopieermap bevat ook ‘Matz de bouwer’-kaarten waarmee de leerlingen getallen tot 10 000 kunnen vormen. 8902 vormen ze bijvoorbeeld door de kaart van het zuivere duizendtal 8000, die van het zuivere honderdtal 900 en die van 2 op elkaar te leggen. Op deze manier wordt de positionele waarde van de cijfers van een getal op een inzichtelijke manier opgebouwd.

Het concept duizendtal werd opgebouwd door tien 100-kaarten te wisselen voor een 1000-kaart. De getallendoos van het derde leerjaar bevat ook ‘Matz de bouwer’-kaarten. Dat zijn kaarten van alle zuivere honderdtallen, tientallen en eenheden. De leerlingen vormden getallen door ‘Matz de bouwer’kaarten op elkaar te leggen. Op deze manier werd de positionele waarde van de getallen op een abstracter niveau opgebouwd. De leerlingen schreven ook geregeld getallen in het positieschema. Hierbij ging veel aandacht naar het verwoorden van getallen als x honderdtallen, y tientallen en z eenheden. De leerkracht stimuleerde hierbij het gebruik van rekentaal als meer dan, minder dan, tussen, ... De leerlingen legden ook getallen in het schema met de gele, de groene en de rode schijven, dit ter voorbereiding op het leggen van cijferoefeningen met de schijven. Indien het inzicht in getallen tot 1000 van je leerlingen onvoldoende is, dien je bovenstaande opdrachten te herhalen. Als bepaalde inhouden niet verwerkt zijn, is het in zWISo heel belangrijk steeds terug te keren naar een concreter niveau. Het kan dan ook zinvol zijn enkele getallendozen van het derde leerjaar in je klas ter beschikking te hebben.

Vierde leerjaar In het vierde leerjaar gebruiken we, zoals hierboven al beschreven, geen visuele voorstelling meer

Leerlingen schrijven ook geregeld getallen in het positieschema. Ook bij deze activiteit gaat er veel aandacht naar het verwoorden van een getal als w duizendtallen, x honderdtallen, y tientallen en z eenheden. In een eerste fase hebben de letters in het positieschema nog dezelfde kleur als de 1000-container, de 100-kist, de 10-zak en de schijven. Zo behouden we tijdelijk een band met de concrete voorstelling die in de eerste drie leerjaren werd gebruikt. Dit kleurgebruik kan een houvast vormen voor sommige leerlingen. Vanaf het tweede blok van het vierde leerjaar verwachten we van de leerlingen al een abstracter getalinzicht en stappen we dus af van deze kleurcode. De uitbreiding van het getalbereik tot 100 000 wordt op dezelfde manier uitgewerkt.

Gebruikswijzer

• Splitsen

Negatieve getallen

Beginsituatie

In het vierde leerjaar maken de leerlingen voor het eerst kennis met negatieve getallen, zij het wel alleen in concrete situaties (bijvoorbeeld temperatuur, hoogtemeters, verdiepingen, …). Op die manier leren de leerlingen negatieve getallen die ze in het dagelijkse leven tegenkomen juist te interpreteren. Negatieve getallen zonder context komen in het vierde leerjaar dus niet aan bod.

In het derde leerjaar hebben de leerlingen getallen tot 1000 gesplitst met het oog op het zinvol splitsen bij een deling (bijvoorbeeld 720 splitsen in 600 en 120). De leerlingen stelden de splitsing voor op de getallenlijn, noteerden ze in het splitsschema en schreven ze als een optelling.

Vierde leerjaar In het vierde leerjaar wordt het splitsen van getallen verder uitgebreid tot getallen tot 100 000, opnieuw met het oog op het zinvol splitsen bij delen. Bij het splitsen van deze grote getallen leggen we het verband met het splitsen van getallen tot 100. Bij het splitsen van bijvoorbeeld 50 000 in 24 000 en 26 000 verwijzen we naar het splitsen van 50 in 24 en 26. Door een beroep te doen op het inzicht in getallen tot 100 zal het inzicht in het splitsen van getallen tot 100 000 sneller opgebouwd en beter verankerd worden. We splitsen getallen in twee of drie termen.

De leerlingen stellen een splitsing voor aan de hand van splitsbeentjes en noteren ze als een optelling. Ze krijgen ook geregeld de opdracht om een rekenzin aan te vullen (bijvoorbeeld 6300 = 2000 + .).

De leerlingen zoeken in hun omgeving temperaturen (koelkast, diepvriezer, woonkamer, …). De gevonden gegevens worden besproken en je schenkt op deze manier extra aandacht aan de negatieve temperaturen. Bij het aflezen van temperaturen van een thermometer benadruk je dat je steeds bij de nul moet beginnen om juist af te lezen. Je geeft de leerlingen ook de opdracht om temperaturen te vergelijken en te rangschikken. Je bouwt de getallenlijn met negatieve getallen op door het verband te leggen met een thermometer. Je tekent of hangt een thermometer horizontaal aan het bord boven een getallenlijn. Je zet vervolgens de nul op de getallenlijn ter hoogte van de nul op de thermometer. Op dezelfde manier plaats je de positieve en de negatieve getallen op de getallenlijn; je stelt samen vast dat de negatieve getallen links van de nul staan. De nadruk op de nul als beginpunt bij het tellen is ook hier van belang.

In een volgende fase bepaal en interpreteer je het verschil tussen positieve en negatieve temperaturen. Je geeft de leerlingen bijvoorbeeld de opdracht om het temperatuurverschil tussen maandag (-2 °C) en dinsdag (1 °C) te bepalen. Dit verschil wordt dan verwoord als: ‘Maandag is het drie graden kouder dan dinsdag.’ Het temperatuurverschil kan dan eventueel bepaald worden door sprongen te tekenen op de getallenlijn of door eerst tot nul te tellen.

Aanpak

Kommagetallen Beginsituatie De leerlingen maakten in het tweede en het derde leerjaar op een veeleer informele manier kennis met kommagetallen. Toen kwamen deze getallen enkel aan bod in betekenisvolle contexten, vooral in verband met meten (hoofdzakelijk geld).

Vierde leerjaar In het vierde blok van het vierde leerjaar introduceren we de kommagetallen op een formele manier. Zoals bij alle andere zWISo-inhouden brengen we de kommagetallen contextueel en functioneel aan. De tienden, honderdsten en duizendsten worden aangebracht uit het domein meten, namelijk in verband met inhoud en lengte. De leerlingen handelen hierbij veel en bouwen op deze manier kommagetallen inzichtelijk en werkelijheidsgetrouw op. Introductie van de tienden De kommagetallen worden geïntroduceerd door op allerlei voorwerpen intuïtief kommagetallen te zoeken en te bestuderen. Na deze fase voeren we de tienden in. We beginnen met getallen kleiner dan 1 en gaan uit van de twee hierboven beschreven betekenisvolle contexten: inhoud en lengte. Deze koppeling met de werkelijkheid leidt tot een inzichtelijke opbouw van de kommagetallen. Inhoud De doe-activiteit begint met het ijken van een literfles door er steeds de referentiemaat van 1 dl in te gieten. 1 Je herhaalt hier de relatie 1 l = 10 dl en 1 dl = 10 l en noteert op een papieren strook op de fles telkens de hoeveelheid. Hier wordt ook de decimale breuk bij 1 l, 2 dl = 2 l, … vermeld: 1 dl = 10 10 Na deze activiteit nemen de leerlingen een voorwerp met inhoud 0,2 l (bijvoorbeeld een brikje) en gieten dit 2 leeg in de geijkte fles. Samen stel je vast dat 2 dl = l 10 = 0,2 l. Het getal komt ook in het schema van l en dl en wordt besproken: 0,2 l is minder dan een liter (dus 0 liter in de kolom van de liter). Het verwoorden is bij kommagetallen zeer belangrijk en gaat hier als volgt: twee tiende van een liter, nul gehelen twee tiende, twee deciliter.

Door deze activiteit te herhalen met andere inhouden bouw je de kommagetallen tussen 0 en 1 inzichtelijk op. Tijdens deze activiteit wordt voldoende aandacht geschonken aan het bespreken van de positie van de kommagetallen (minder dan een liter, twee tiende van een liter, nul gehelen twee tiende, …) en het voorstellen van tienden als ‘t’. Lengte Na het werken met de liter en de deciliter maken we kommagetallen inzichtelijk aan de hand van de meter en de decimeter. Je neemt een strook van 1 meter verdeeld in tien gelijke delen en noteert hier 1 m bij. Een leerling meet één van de tien gelijke delen en komt tot het besluit dat elk deel 1 dm lang is. De verbanden 1 m = 10 dm en 4 1 dm = 10 m worden herhaald. Vervolgens laat je de leerlingen een strook van bijvoorbeeld 4 dm meten en 4 dit noteren als 4 dm = 10 m = 0,4 m. Naar analogie met de kommagetallen bij inhoud verwoorden de leerlingen dit als vier dm is vier tiende meter. De getallen komen in het schema van m en dm en deze activiteit wordt herhaald met verschillende andere afmetingen. KomMatz-kaarten Nadat de kommagetallen aldus via meten zijn aangebracht, gaan de leerlingen aan de slag met methodespecifiek materiaal om kommagetallen te leggen. Elke leerling beschikt over een uitdrukvel met daarin negen rode schijfjes, 36 t-kaartjes, 35 h-kaartjes en 24 d-kaartjes. De rode schijfjes kennen ze van getallendoos 3, die stellen de eenheden voor. De leerlingen leren getallen leggen met deze kaartjes (bijvoorbeeld 0,7: zeven t-kaartjes). De betekenis van de t (tiende) en de koppeling tussen de decimale breuk, het kommagetal en de kaartjes is bij elke oefening van groot belang. De KomMatz-kaarten spelen ook een inzichtelijke rol bij het opbouwen van de getallenlijn tussen 0 en 1: op het bord komt een lijn van 1 meter, verdeeld in tien 1 gelijke delen met onder elk streepje 0,1, 0,2, …, 10 , 2 10 , …en het juiste aantal t-kaartjes. Het lezen is ook hier zeer belangrijk: één tiende, twee tiende, …

Gebruikswijzer

Aan het einde van de getallenlijn worden het cijfer 1, de tien t-kaartjes en het rode schijfje van de eenheid gehangen. De KomMatz-kaarten zijn een differentiatiemiddel bij uitstek. Je kunt de leerlingen ze steeds laten gebruiken bij lessen over kommagetallen. Ook bij bewerkingen met kommagetallen kunnen ze een goede ondersteuning zijn voor de leerlingen. Door de getallen geregeld te leggen met concreet materiaal ontwikkelen ze een goed inzicht in de positionele waarde van de cijfers en in de betekenis van een kommagetal. Kommagetallen groter dan 1 introduceer je aan de hand van enkele flessen met een inhoud van meer dan een liter (bijvoorbeeld 1,5 l). De leerlingen verwoorden een dergelijk getal als één geheel en vijf tiende, positioneren het op de getallenlijn en lezen dit getal als vijftien tiende. Ook kommagetallen groter dan 1 worden gelegd met de KomMatz-kaarten.

Bij een volgende stap bouw je met de leerlingen het verband tussen tienden en honderdsten op door een strook van bijvoorbeeld 20 cm te meten. Stel samen vast dat 2 dm = 20 cm, dat 20 cm = 0,20 m en dat 2 dm = 0,2 m om op deze manier tot het besluit te komen dat twintig honderdste gelijk is aan twee tiende en dat dus één tiende = tien honderdste. Inhoud In een volgende fase ga je met de leerlingen uit van twee even grote recipiënten, waarbij de inhoud van de ene in centiliter en die van het andere in liter is uitgedrukt (bijvoorbeeld 0,25 l en 25 cl). De gelijkheid van de inhouden wordt vastgesteld aan de hand van maatbekers. Naar analogie met de lengtematen kom 25 je tot het volgende besluit: 25 cl = 100 l = 0,25 l. Je leest dit als 25 honderdste liter en stelt het voor in het schema van de inhoudsmaten. Geld

Introductie van de honderdsten In de les volgend op de introductie van de tienden behandelen we de honderdsten, op een vrij gelijklopende manier. We gaan bij de honderdsten opnieuw uit van de context van meten. Lengte De leerlingen meten bijvoorbeeld een strook van 7 cm en noteren het resultaat in meter. Door het verband te leggen met de meetactiviteit bij de tienden en door te 1 wijzen op het verband 1 m = 100 cm en 1 cm = 100 m komen ze tot het besluit dat je 7 cm kunt noteren als 7 100 m. De lengte komt in het schema van de lengtematen en wordt verwoord als korter dan een meter en korter dan een decimeter. Door het plaatsen van de komma na de kolom van de meter kom je samen tot het besluit dat 7 cm zeven honderdste van een meter (0,07) is. Aandacht schenken aan het voorstellen van honderdsten als h is hier belangrijk. Deze activiteit wordt herhaald met nog een aantal andere stroken van verschillende lengte en je stelt samen vast dat 1 = 100h. De leerlingen leggen vervolgens kommagetallen met twee decimalen met de t- en h-kaartjes. Het is belangrijk dat je deze concrete voorstelling met de KomMatz-kaarten steeds koppelt aan de decimale breuk en het bijbehorende kommagetal.

Kommagetallen groter dan 1 introduceer je aan de hand van enkele geldwaarden groter dan 1 euro (bijvoorbeeld € 3,65). De leerlingen verwoorden de positie van het getal als meer dan drie euro, minder dan vier euro. Schenk ook voldoende aandacht aan het lezen van het getal als drie gehelen en 65 honderdsten. Deze getallen worden ook voorgesteld met de KomMatz-kaarten. Het positieschema wordt uitgebreid door een kommagetal in het positieschema te schrijven en de getallen achter de komma te benoemen als tienden en honderdsten.

Ter voorbereiding op bewerkingen met kommagetallen ga je met de leerlingen geregeld kommagetallen aanvullen/verminderen tot het volgende/vorige gehele getal. De klassikale getallenlijnen vormen hierbij een handig didactisch hulpmiddel. Deze getallenlijnen vind je ook terug in de leerkrachtassistent.

Aanpak

Het is belangrijk dat je ook bij de kommagetallen tot op honderdsten veel aandacht schenkt aan het lezen van kommagetallen: bijvoorbeeld 56,79 lezen als 56 gehelen, zeven tienden en negen honderdsten en als 56 gehelen en 79 honderdsten. Laat leerlingen ook geregeld getallen rangschikken en situeren tussen twee opeenvolgende gehele getallen. Het vergelijken van getallen als 0,6 en 0,65 is bij dergelijke oefeningen een belangrijk aandachtspunt. Introductie van de duizendsten In het vijfde blok van het vierde leerjaar introduceren we de duizendsten. Net als bij de tienden en de honderdsten gaan we uit van het domein meten, meer bepaald gewicht. De leerlingen beginnen met het onderzoeken van kommagetallen met drie decimalen door gewichten op enkele verpakkingen te bestuderen. Ze verwoorden het verband tussen kilogram en gram als ‘1 g is één duizendste kilogram’. Op deze manier wordt het getalbereik inzichtelijk uitgebreid. Op basis van deze activiteiten wordt de d toegevoegd aan het positieschema. Vervolgens stellen de leerlingen getallen met drie decimalen voor met de t-, h- en d-kaartjes. Opnieuw wordt er voldoende aandacht geschonken aan het lezen van de kommagetallen. 0,215 lezen de leerlingen bijvoorbeeld als nul gehelen en 215 duizendsten of als nul gehelen, twee tienden, één honderdste en vijf duizendsten. Ook de duizendsten worden visueel voorgesteld door de getallenlijn tussen 0 en 1 uit te breiden. Met behulp van een elastiek en van de klassikale getallenlijn tussen 0 en 1 maak je de duizendsten tastbaarder. Je begint met het onderverdelen van een elastiek van 1 meter in tien gelijke delen en benoemt de streepjes als 0t, 1t, 2t, … en als 0, 0,1, 0,2, … De leerlingen krijgen vervolgens de opdracht om kaartjes met kommagetallen met één decimaal met een touwtje op te hangen aan het elastiek. Tegelijk worden de getallen in het positieschema genoteerd. Deze activiteit herhaal je op de klassikale getallenlijn aan het bord. In een volgende fase geef je de leerlingen de opdracht om het elastiek te verdelen in honderd gelijke delen. Benoem deze delen als een centimeter of als één honderdste meter. De leerlingen hangen dan, net zoals bij de onderverdeling in tienden, kaartjes met kommagetallen aan het elastiek. Stel samen vast dat

het vastmaken van de kaartjes moeilijk gaat. Om de honderdsten duidelijker weer te geven rek je het elastiek uit. Op deze manier kunnen de leerlingen de touwtjes nauwkeuriger aan het elastiek bevestigen. Door deze activiteit ervaren de leerlingen dat elk deel van de getallenlijn op zich nog eens kan worden onderverdeeld en dat de grootte van één honderdste op een getallenlijn dus afhankelijk is van de lengte van de getallenlijn. In de daaropvolgende, schematische fase herhaal je de activiteit door het deel van de getallenlijn tussen 0 en 0,1 uitvergroot op het bord te tekenen. Dit stuk wordt verdeeld in tien gelijke delen en benoemd als 0h, 1h, 2h, … en als 0; 0,01; 0,02; … Hierbij gaat aandacht naar de gelijkheid van de getallen 0,1 en 0,10. Om over te gaan naar de duizendsten keer je terug naar de concrete voorstelling met het elastiek. Je vertelt de leerlingen dat we 1 cm willen verdelen in tien gelijke delen. Je rekt een honderdste uit om het deel in tien gelijke delen te verdelen. Merk op dat elk deeltje een duizendste is en dat 10d = 1h. Op de getallenlijn op het bord (schematisch) stel je het deel tussen 0 en 0,01 uitvergroot voor. Je verdeelt dit interval in tien gelijke delen en benoemt elk streepje: 1d/0,001; 2d/0,002, … Schenk ook aandacht aan de gelijkheid tussen tien duizendste en één honderdste.

In de volgende lessen schenken we veel aandacht aan het lezen en het vergelijken van kommagetallen, aan het situeren van kommagetallen tussen twee opeenvolgende honderdsten, tienden of gehelen, aan het positioneren van kommagetallen op de getallenlijn, aan het tellen met sprongen bij kommagetallen en aan het herstructureren van kommagetallen. Deze vaardigheden zijn essentieel voor het ontwikkelen van een goed verankerd getalinzicht in kommagetallen. Het is dan ook belangrijk om deze activiteiten, ook buiten de daarvoor ingeplande lessen, geregeld te herhalen.

Gebruikswijzer

Hoe lezen en schrijven we kommagetallen?

Vierde leerjaar

Zoals hierboven vaak aangehaald schenken we erg veel aandacht aan het lezen van kommagetallen omdat dit sterk bijdraagt tot het inzicht in de kommagetallen en belangrijk is voor latere bewerkingen met kommagetallen. Het is dus belangrijk om de leerlingen regelmatig kommagetallen te laten lezen op verschillende manieren, bijvoorbeeld 2,15 lezen als twee gehelen, één tiende en vijf honderdsten, als twee gehelen vijftien honderdsten of eventueel als 215 honderdsten. Vermijd wel het lezen van 2,15 als twee komma vijftien. Voornamelijk voor vermenigvuldigen en delen met kommagetallen is het lezen een goede voorbereiding. Bij deze bewerkingen steunen we immers sterk op het verwoorden van de getallen (zie Aanpak Bewerkingen – Vermenigvuldigen en delen).

In het eerste blok van het vierde leerjaar herhaal je het nemen van een breuk van een grootheid, van een hoeveelheid en van een getal. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld de opdracht om van een strook 26 te kleuren. Ze benoemen de strook als het geheel en verwoorden de betekenis van teller en noemer: de noemer geeft aan in hoeveel delen je het geheel verdeelt en de teller hoeveel van de gelijke delen je neemt.

Breuken Beginsituatie In het derde leerjaar kregen de leerlingen de opdracht om grootheden en hoeveelheden te verdelen in x gelijke delen en y van de x gelijke delen te nemen. Ze koppelden hier de bijbehorende breuk aan. Het nemen van een breuk van een hoeveelheid werd geïllustreerd door klein materiaal gelijk te verdelen over een aantal potjes (potjesmodel). Vervolgens bepaalden de leerlingen hoeveel elke leerling kreeg; de ene leerling kreeg bijvoorbeeld 25 van 30 knikkers, dus twee van de vijf gelijke delen. Deze handeling werd voorgesteld in een verdeelschema. De bewerkingen 30 : 5 en 2 x 5 werden hier onmiddellijk aan gekoppeld. Door deze activiteiten bouwden de leerlingen het concept breuk inzichtelijk op. Met het verdelen van concreet materiaal en het tekenen van het verdeelschema werd na verloop van tijd geleidelijk opgehouden. Op deze manier evolueerden de leerlingen van het nemen van een breuk van een hoeveelheid naar een breuk van een getal. De leerkracht schonk veel aandacht aan het verwoorden van de betekenis van een breuk en aan het gebruik van termen als teller, noemer, breukstreep en breuk.

Het nemen van een breuk van een getal stellen de leerlingen voor in een verdeelschema. Schenk voldoende aandacht aan het verwoorden van de verschillende tussenstappen. 26 van 24 bijvoorbeeld werk je als volgt uit: het geheel is 24, ik verdeel 24 in zes gelijke delen (koppel hier de deling 24 : 6 aan) en ik neem twee van de zes gelijke delen (koppel hier de vermenigvuldiging 2 x 6 aan). Kom tot het besluit dat van 24 8 is. In zWISo krijgen de leerlingen de vrijheid de tussenstappen te noteren die zij nodig hebben. Leerlingen die geen behoefte hebben aan visuele ondersteuning of aan het noteren van tussenstappen mogen daar al snel mee ophouden. Dat geeft nog meer de mogelijkheid te differentiëren en komt ook de motivatie van de betere rekenaars ten goede.

2 6

Je kunt leerlingen die het nemen van een breuk van een getal nog moeilijk vinden, eerst nog eens een breuk van een hoeveelheid laten nemen aan de hand van klein materiaal en potjes, het potjesmodel genoemd in zWISo. Het terugkeren naar concreet materiaal zorgt ervoor dat de leerlingen inzicht opbouwen in het concept breuken en daadwerkelijk ervaren wat het nemen van een breuk betekent. Bij 26 van 24 nemen de leerlingen een potje met bijvoorbeeld 24 parels. Ze zetten hier zes potjes onder en verdelen vervolgens de 24 parels in zes gelijke groepen. Verwijs hierbij naar de noemer. Vervolgens nemen de leerlingen twee van de zes gelijke delen (de teller). Op deze manier ervaren de leerlingen al handelend dat 26 van 24 8 is. In het tweede blok van het vierde leerjaar wordt de term ‘stambreuken’ geïntroduceerd. Je benoemt breuken met noemer 1 als stambreuken en stelt samen met de leerlingen door het nemen van verschillende stambreuken van papieren stroken vast dat hoe groter

Aanpak

de noemer is, hoe kleiner de breuk. Bij het vergelijken van gelijknamige breuken besluit je dat hoe groter de teller is, hoe groter de breuk.

De breukendoos introduceer je in blok drie. Het begrip breuken, dat voor sommige leerlingen toch een moeilijk te vatten, vrij abstract iets is, krijgt aan de hand van de breukendoos een concrete betekenis. Je laat de leerlingen de inhoud van de doos verkennen en stelt samen vast dat de bovenste strook op het breukenbord het geheel voorstelt. Je geeft de leerlingen opdrachten als ‘leg 12 op je breukenbord, wat is de kleur van de stroken met noemer 3, leg 18 en 18 en zoek in de doos een strookje dat even lang is ( 28 ), …’ De doos wordt onder andere gebruikt bij het vergelijken van breuken (stambreuken, gelijknamige en ongelijknamige breuken). Je geeft de leerlingen bijvoorbeeld de opdracht om de stroken 16 en 36 op hun breukenbord te leggen en de breuken te vergelijken. Door het vergelijken van gelijknamige breuken aan de hand van de breukendoos bevestig je de vaststelling bij breuken met gelijke noemers: hoe groter de teller is, hoe groter de breuk. De conclusie die je formuleerde bij het vergelijken van stambreuken van een grootheid (zie hierboven) wordt bevestigd door het vergelijken van stambreuken aan de hand van de breukendoos. De breukendoos wordt ook gebruikt tijdens de verwerkingfase van de les of in de toetsen. Je kunt besluiten dat op de toets te noteren. Aan de hand van een pictogram worden oefeningen aangegeven waarin de breukendoos gebruikt kan worden aangegeven. De breukendoos vormt dan ook een differentiatiemiddel bij uitstek. Leerlingen die breuken nog moeilijk vinden kunnen steeds teruggrijpen op dit materiaal. In het derde blok van het vierde leerjaar geef je de leerlingen de opdracht om een reep chocolade van zes partjes te verdelen over drie boterhammen. De leerlingen benoemen één deel als 13 of 26 . Door deze

opdracht ervaren de leerlingen op een speelse manier het concept gelijkwaardige breuken.

In een volgende fase nemen de leerlingen de breuken 34 , 6 , 8 en 9 van een zelfde papieren strook. Door 8 9 12 de stroken onder elkaar te hangen en de gekleurde delen te vergelijken stellen de leerlingen de gelijkheid 9 tussen de breuken 34 , 68 en 12 al handelend vast. Vervolgens noteer je het aantal totale delen en het aantal gekleurde delen in een verhoudingstabel op het bord. Zo geef je gelijkwaardige breuken overzichtelijk weer. Je maakt een soortgelijke opdracht met breuken van een hoeveelheid. Tijdens de reflectiefase van deze les kun je eventueel op basis van de ervaringen van de leerlingen het verband tussen de gelijkwaardige breuken bespreken (teller en noemer zijn gedeeld door of vermenigvuldigd met hetzelfde getal). Het is echter niet de bedoeling om dit als formeel besluit van de les te formuleren. Het handelend ervaren en inzichtelijk vaststellen is op dit moment het belangrijkste. Het zoeken van gelijkwaardige breuken doe je ook aan de hand van de breukendoos. Je geeft de leerlingen bijvoorbeeld de opdracht om de strook van 23 in de breukendoos te leggen. Ze leggen vervolgens hun meetlat verticaal achter de strook en gaan na welke stroken even lang zijn als de strook van Op deze manier stel je samen vast dat 23 = 46 = 69 = 1 1 2 2 3

1 3 1 4 1 5

4 6

1 6 1 7 1 8

6 9

1 9 1 10 1 11 1 12

1 12

2 3. 8 . 12

Gebruikswijzer

In blok vijf plaats je gelijknamige en gelijkwaardige breuken op de getallenlijn. De leerlingen werken tijdens deze les met een Matz doet-blad. Ze zoeken in hun breukendoos een strook die even lang is als de getekende strook en de getallenlijn op hun blad (het geheel). Ze noteren vervolgens de cijfers 0 en 1 bij het begin en het einde van de getallenlijn en verwoorden dat de gegeven lijn even lang is als één geheel. Ze leggen dan de strook van 24 op de getallenlijn en geven met een streepje aan tot waar de strook komt. Ze noteren de breuk onder het streepje. De leerlingen herhalen deze activiteit met de breuken 14 en 34 . Op deze manier bouwen we de getallenlijn tussen 0 en 1 van de breuken met noemer 4 inzichtelijk op. Schenk voldoende aandacht aan het benoemen van 1 als 44 , vier van de vier gelijke delen. In een volgende fase geef je de leerlingen de opdracht om in de breukendoos bijvoorbeeld stroken te zoeken die even lang zijn als de strook van 24 . Ze leggen de stroken op de opgebouwde getallenlijn en noteren op deze manier de gelijkwaardige breuken op de juiste plaats bij de getallenlijn. Aan de hand van een soortgelijke activiteit stel je ook de gelijkheid tussen breuken en decimale getallen vast (zie ‘Relatie breuken en kommagetallen’). In het zesde blok van het vierde leerjaar introduceer je breuken waarvan de teller groter is dan de noemer. Aan de hand van concrete situaties stellen de leerlingen vast dat er ook breuken bestaan die groter zijn dat het geheel. Je gaat uit van de context van een verjaardagsfeest: ‘Sander nodigt negen vriendjes uit en trakteert met taart. De taarten zijn verdeeld in zes gelijke delen. Hoeveel gelijke delen hebben we in totaal nodig? Hoe noteer je dit als breuk?’ Je illustreert dit aan de hand van twee afbeeldingen van een taart.

Bij het leggen van breuken waarbij de teller groter is dan de noemer met de breukendoos stel je vast dat het breukenbord te klein is. Je geeft de leerlingen vervolgens het tweede breukenbord (zonder vermelding van de stambreuken). De leerlingen leggen bijvoorbeeld 45 en doen er 35 bij. Ze besluiten dat dat in totaal 75 is en dat 75 = 55 + 25 of 1 + 25 . Scholen die het leerplan VVKBaO volgen, gebruiken de notatie 1 + 25 . Andere scholen kunnen ook werken met de notatie 1 25 . Je schenkt voldoende aandacht aan dit herstructureren van breuken. Hierbij is het erg belangrijk om steeds te verwoorden hoeveel het geheel is (bijvoorbeeld 55 ). Je positioneert breuken waarvan de teller groter is dan de noemer ook op de getallenlijn. Daartoe verleng je de getallenlijn tussen 0 en 1, onderverdeeld in vijf gelijke delen.

In blok zes is er ook aandacht voor het vereenvoudigen van breuken. Je geeft de leerlingen de opdracht om aan de hand van de breukendoos breuken te zoeken die dezelfde waarde hebben als 48 . De leerlingen zoeken verbanden tussen de breuken (ze zijn even groot, de teller en de noemer zijn gedeeld door of vermenigvuldigd met hetzelfde getal, bij 12 zijn de teller en de noemer het kleinst, bij 12 zijn de deeltjes vier keer groter dan bij 48 , dus je moet er vier keer minder nemen, …). Je stelt samen vast dat het het makkelijkst is om met de breuk van de eenvoudigste vorm te werken. De breuk met de kleinste teller en de kleinste noemer wordt benoemd als de breuk van de eenvoudigste vorm. In een volgende fase vereenvoudigen de leerlingen breuken zonder de breukendoos. Ze maken bijvoorbeeld de breuk 36 eenvoudiger door zowel de teller als de noemer te delen door 3. Let op, leerlingen die het vereenvoudigen van breuken zonder de breukendoos nog moeilijk vinden, mogen steeds terugkeren naar dit concrete materiaal.

Je stelt samen vast dat je tien gelijke delen nodig hebt en dat we dat noteren als 10 6 . Deze breuk wordt met de leerlingen besproken: de teller is groter dan de noemer, de breuk is groter dan een geheel, de breuk is gelijk aan 66 en 46 , ...

Aanpak

Relatie breuken en kommagetallen

2 Bewerkingen

In het vijfde blok van het vierde leerjaar stel je samen met de leerlingen de gelijkheid tussen breuken en decimale getallen vast. Het koppelen van de decimale breuken aan de overeenkomstige kommagetallen is het uitgangspunt. Daartoe wordt een getallenlijn in tien gelijke delen verdeeld en worden de kommagetallen en de breuken met noemer 10 bij de streepjes geschreven. In een volgende fase onderzoek je ook de gelijkheid tussen niet-decimale breuken en kommagetallen. Aan de hand van de breukendoos zoeken de leerlingen bijvoorbeeld breuken die dezelfde waarde hebben 2 als 15 . Zo merken ze op dat 10 gelijk is aan 15 . Je koppelt hier het kommagetal 0,2 aan. Op deze 2 = 1 = manier stellen de leerlingen de gelijkheid 10 5 0,2 op een inzichtelijke manier vast. In een volgende les introduceer je de kommagetallenstrook van de breukendoos. De leerlingen krijgen hier bijvoorbeeld de opdracht om de strook van 15 in de getallendoos te leggen. Ze nemen vervolgens een meetlat en leggen die verticaal achter 2 de strook. Zo stellen ze vast dat 15 overeenkomt met 10 en met het getal 0,2 (dit kunnen ze aflezen van de kommagetallenstrook).

Optellen en aftrekken

Deze gelijkheid controleer je samen met de leerlingen door 1 te delen door 5 op de zakrekenmachine. De leerlingen noteren vervolgens de gelijkheid 1 : 5 = 0,2 = 15 . 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10

1 10

1 11 1 12 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

• Hoofdrekenen Natuurlijke getallen Beginsituatie In het derde leerjaar werden optellingen en aftrekkingen met getallen tot 1000 behandeld. De types optellingen en aftrekkingen werden stapsgewijs uitgebreid. Eerst werden optellingen en aftrekkingen zonder overschrijding van het tiental en het honderdtal behandeld, vervolgens ging het naar optellingen en aftrekkingen met overschrijding van het tiental en van het honderdtal. Bij een optelling legden de leerlingen in de eerste fase beide termen met de materialen uit getallendoos 3 (1000-container, 100-kisten, 10-zakken en rode schijven). Vervolgens voegden ze beide samen om het resultaat te bepalen. Bij optellingen met brug wisselden de leerlingen bijvoorbeeld tien 10-zakken om voor één 100-kist. Deze handeling werd onmiddellijk gekoppeld aan de voorstelling op de lege getallenlijn en aan de bijbehorende rekenzin. Aandacht voor het verwoorden was bij alle voorgaande stappen van groot belang en blijft dat in het vierde leerjaar zeker ook. Een aftrekking werkten de leerlingen ook uit met getallendoos 3: de eerste term leggen en vervolgens 100-kaarten, 10-kaarten en schijven wegnemen. Bij oefeningen met brug werden er kaarten ingewisseld. Al vrij snel werden de leerlingen gestimuleerd om de bewerking niet meer te leggen met het concrete materiaal en enkel nog op de lege getallenlijn te tekenen. Hierbij zetten de leerlingen de uitgangshoeveelheid steeds vast door die aan te geven met een kruisje. Bij de optelling wordt het kruisje links op de getallenlijn gezet, omdat er naar rechts wordt gesprongen. De leerlingen schreven de eerste term steeds onder het kruisje en stelden vervolgens de bewerking voor met sprongen naar keuze. Aangezien een lege getallenlijn geen ijking heeft is de exacte positie van de getallen en de grootte van de bogen van geen belang. De getallenlijn is immers een hulpmiddel en geen doel op zich.

Gebruikswijzer

Volgens de standaardprocedure bij het uitvoeren van optellingen werden eerst de honderdtallen, dan de tientallen en ten slotte de eenheden bij de eerste term opgeteld. Leerlingen mochten echter bogen tekenen naar keuze. Als zij meer of minder bogen nodig hadden en ook tot de juiste oplossing kwamen, was dat ook goed.

Laat leerlingen die het maken van optellingen en aftrekkingen moeilijk vinden eventueel nog eens werken met getallendoos 3 (zie beginsituatie). Volgens de algemene strategie gaan we eerst de honderdtallen, dan de tientallen en vervolgens de eenheden optellen of aftrekken. Tekenen de leerlingen meer of andere bogen? Ook goed! Wat is het voordeel van de lege getallenlijn?

Aftrekkingen werden analoog voorgesteld. De leerlingen zetten de eerste term aan de hand van een kruisje rechts op de getallenlijn (omdat er naar links wordt gesprongen) en stelden de sprongen voor met bogen. In de loop van het derde leerjaar mochten de leerlingen de bewerkingen steeds voorstellen op de lege getallenlijn en indien nodig opnieuw van een gestructureerde getallenlijn gebruik maken. Leerlingen die een concretere voorstelling nodig hadden mochten de bewerkingen ook nog leggen met het materiaal uit getallendoos 3. Deze verscheidenheid aan differentiatiemiddelen bood de leerkracht de mogelijkheid om aan te sluiten bij het niveau van alle leerlingen. Belangrijk is wel dat de leerkracht steeds het gebruik van een zo min mogelijk gestructureerde getallenlijn en het tekenen van grote bogen stimuleerde. In het derde leerjaar werd de leerlijn handig rekenen verder uitgebreid. Er werd aandacht geschonken aan het kijken naar de getallen en het uitwerken van doelmatige oplossingswijzen op basis van de aard van de bewerkingen. Het hele leerjaar door werd er aan deze attitude gewerkt.

De grote meerwaarde van de lege getallenlijn is dat leerlingen volledig vrij zijn om de bogen te tekenen die zij willen. Bij het tekenen op de getallenlijn zal blijken dat er een grote verscheidenheid is in de voorstellingen van de leerlingen. De sterkere rekenaars zullen grotere bogen tekenen en sneller afstappen van het gebruik van de lege getallenlijn, terwijl zwakkere rekenaars er vaker gebruik van maken. De lege getallenlijn is dus een differentiatiemiddel bij uitstek. Een ander voordeel van de lege getallenlijn is dat ze de leerkracht een uitstekende mogelijkheid biedt om de leerlingen te observeren. Door hun voorstelling op de lege getallenlijn te bekijken, kun je veel te weten komen over het denkproces en de probleemgebieden van de leerlingen. Leerlingen die bijvoorbeeld bij het tekenen van de bewerking 3600 + 700 de honderdtallen van de eerste term nog steeds aanvullen tot 4000, hebben de brug duidelijk nog niet geautomatiseerd. Dat is een signaal om daaraan in de toekomst extra aandacht te schenken. Het voorstellen van een bewerking op de lege getallenlijn vormt ook een hulpmiddel voor het verwoorden van de verschillende tussenstappen bij het maken van een bewerking. Als de leerlingen op die manier het oplossen van bewerkingen moeten analyseren, wordt hun inzicht in getallen en bewerkingen sterk bevorderd. Het verwoorden kan leerlingen helpen om bij een foutieve voorstelling de fouten te ontdekken. Leerlingen zien zo waar ze nog fouten maken en kunnen daar dan extra aandacht aan schenken. Nog een voordeel van de lege getallenlijn is dat de leerlingen geen eindeloze reeks tussenstappen hoeven te noteren bij het maken van bewerkingen. Zo kunnen ze ook geen fouten maken doordat ze zich vergissen in het schrijven van de tussenstappen.

Vierde leerjaar Optellingen en aftrekkingen tot 100 000 In het eerste blok van het vierde leerjaar herhalen we optellingen en aftrekkingen tot 1000. Je stelt de bewerkingen voor op de lege getallenlijn. Schenk voldoende aandacht aan het zetten van het kruisje (links voor de optelling en rechts voor de aftrekking) en aan het verwoorden van de sprongen.

In het vierde leerjaar wordt het getalbereik verder uitgebreid tot 100 000. Bewerkingen met deze getallen zijn al vrij complex. Een van de uitgangspunten van zWISo is het streven naar functionele gecijferdheid. We werken in het

Aanpak

basistraject dan ook bewust alleen met ronde getallen. Het uit het hoofd uitrekenen van bewerkingen met getallen tot op de eenheid (bijvoorbeeld 3427 + 1983) is immers vooral voor zwakkere rekenaars een zware opdracht. In het dagelijkse leven zullen we deze bewerkingen al cijferend of met de zakrekenmachine oplossen. Dit zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook voldoende aandacht aan schenken. Let op! De oefeningen die aan bod komen in de werkboeken (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, dus ook voor de zwakkere rekenaars. Met het oog op hun latere functioneren in de samenleving is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen. In het tweede blok van het vierde leerjaar behandel je optellingen en aftrekkingen van de types D +/- D (bv. 2000 + 3000), D +/- H (bv. 5000 - 700), D +/- DH (bv. 4000 + 2300), DH +/- D (bv. 7100 - 2000), DH +/- H (bv. 2800 - 900) en DH +/- DH ( bv. 6200 + 1900) zonder en met overschrijding van het duizendtal. De leerlingen stellen deze bewerkingen voor op de lege getallenlijn en verwoorden hun oplossingswijzen. Schenk hierbij voldoende aandacht aan rekentaal als som en verschil. De standaardprocedure van de voorbije jaren wordt aangehouden: we behouden de eerste term (vastzetten met een kruisje op de lege getallenlijn) en gaan vervolgens eerst de duizendtallen en dan de honderdtallen, de tientallen en de eenheden optellen of aftrekken. De leerlingen mogen, zoals hierboven werd beschreven, steeds meer of andere bogen tekenen. Je stimuleert hen om indien mogelijk het tekenen op de lege getallenlijn achterwege te laten. Leerlingen die dit hulpmiddel nog nodig hebben, mogen het natuurlijk blijven gebruiken.

In het derde blok van het vierde leerjaar geef je de leerlingen de opdracht om getallen aan te vullen tot het volgende zuivere duizendtal. Je behandelt bijvoorbeeld de opgave 3850 + . = 4000. Beide getallen worden op een lege getallenlijn geplaatst en vervolgens wordt de sprong tussen beide getallen bepaald. De leerlingen stellen dit voor door een sprong van 50 en een van 100 of door een sprong van 150 te tekenen. Deze oefeningen dragen bij tot een goed verankerd en flexibel bruikbaar getalinzicht en het opbouwen van het inzicht in bewerkingen. In blok drie worden de types optellingen en aftrekkingen verder uitgebreid. In dit blok geven we ook optellingen en aftrekkingen van de types DHT + HT = D (bv. 2850 + 150 = 3000), DHT + HT = DH (bv. 4320 + 480 = 4800), D - HT (9000 - 360), D â&#x20AC;&#x201C; T (bv. 6000 - 20) en D â&#x20AC;&#x201C; E (bv. 1000 - 7) op. We werken op dezelfde manier als tijdens de vorige blokken: tekenen op de getallenlijn en aandacht voor verwoorden. In het vierde blok behandel je na de introductie van de getallen tot 100 000 ook bewerkingen met ronde getallen tot 100 000. De werkwijze is analoog aan die van bewerkingen met getallen tot 10 000. Het is belangrijk om, zodra het getalinzicht en het inzicht in bewerkingen opgebouwd is, voldoende aandacht te schenken aan het oefenen van de bewerkingen. De optellingen en aftrekkingen worden dan ook voortdurend geoefend aan de hand van zeer verscheiden oefenvormen: vrij formele oefeningen, vraagstukken, rekenspellen, ... Deze oefeningen zijn terug te vinden in de kopieermap, in Matz oefent en in de zWISo-box. Leerlingen die meer uitdaging nodig hebben kunnen aan de slag met de verdiepingsmap. Handig rekenen

Je stelt samen met de leerlingen ook vast dat bij het oplossen van optellingen de bewerking eenvoudiger kan zijn als de wisseleigenschap gebruikt wordt: bijvoorbeeld 2000 + 7500 oplossen als 7500 + 2000.

In zWISo schenken we geregeld aandacht aan handig rekenen omdat het bijdraagt tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige oplossingswijzen uit te werken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan werken. Wijs de leerlingen er daarom bij elke bewerking op dat ze naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen.

Gebruikswijzer

In het derde leerjaar berekenden de leerlingen bijvoorbeeld +/- 99 en +/- 98 door eerst een honderdtal op te tellen of af te trekken en er vervolgens 1 of 2 af te trekken of bij te tellen. Behalve aan bovenstaande vorm van handig rekenen, namelijk het compenseren, schonken we ook aandacht aan allerlei andere types. Zo stelden de leerlingen stelden ook samen vast dat je optellingen en aftrekkingen van verschillende termen soms handig kunt oplossen door termen die een rond getal vormen eerst samen te nemen of af te trekken (bijvoorbeeld 240 + 130 + 160 oplossen als 400 + 130). Een andere vorm van handig rekenen is aanvullend tellen. Bij een bewerking als 856 – 848 is het gemakkelijker om door te tellen tot 856, beginnend bij 848. Het kan het ook handig zijn om termen van een optelling van plaats te wisselen (bijvoorbeeld 106 + 254 oplossen als 254 + 106). De leerlijn handig rekenen wordt in het vierde leerjaar verder uitgebreid. We werken met getallen tot 100 000 en blijven aandacht schenken aan de diverse handige rekenstrategieën die vanaf het tweede leerjaar werden opgebouwd. Enkele basislessen zijn expliciet gewijd aan dit onderwerp. Verder is het ook belangrijk om de leerlingen tijdens alle lessen in verband met bewerkingen te laten kijken naar de getallen en de aard van de bewerking.

Let wel: leerlingen hoeven niet handig te rekenen. We brengen deze vaardigheid wel aan omdat ze een meerwaarde kan zijn voor het uitvoeren van bewerkingen, maar als leerlingen bij elke bewerking de standaardprocedure toepassen is het ook goed. Handig rekenen vergt immers veel inzicht in de getallen en de bewerkingen, waardoor het voor

zwakkere rekenaars moeilijk is. Toch vinden we het in zWISo belangrijk dat ook zwakkere rekenaars op zijn minst kennismaken met deze rekenvorm. Oefeningen waarin handig gerekend kan worden, worden aangegeven met een pictogram . Op deze manier weten de leerlingen dat de aangegeven oefeningen op een handige manier uitgerekend kunnen worden en leren ze bewust naar de getallen te kijken.

Kommagetallen In het vierde blok van het vierde leerjaar beginnen we onmiddellijk na het introduceren van kommagetallen met twee decimalen met het maken van optellingen en aftrekkingen met kommagetallen. We beginnen met optellingen van kommagetallen met één decimaal. De leerlingen krijgen de opdracht om bijvoorbeeld 0,2 en 0,3 op te tellen. Ze leggen beide getallen met hun KomMatz-kaarten en verwoorden dit als twee tiende en drie tiende. Vervolgens voegen ze de kaartjes samen, eventueel door jou ondersteund met de klassikale KomMatzkaarten (die terug te vinden zijn in de kopieermap en in de leerkrachtassistent).

Je komt samen met de leerlingen tot het besluit dat twee tiende + drie tiende = vijf tiende. Door het gebruik van concreet materiaal bij het uitvoeren van bewerkingen met kommagetallen ontwikkelen de leerlingen een goed verankerd inzicht in de getalstructuur van en in bewerkingen met kommagetallen. De koppeling van een concrete voorstelling aan een abstracte bewerking zorgt ervoor dat deze bewerkingen betekenis krijgen. Leerlingen weten dus wat ze aan het doen zijn als ze kommagetallen optellen en aftrekken, wat leidt tot een vlotte overgang naar het abstracte niveau (oplossen van bewerkingen met kommagetallen zonder materiaal). Na verloop van tijd worden de leerlingen gestimuleerd om het leggen van bewerkingen met de kaarten achterwege te laten. Leerlingen die hier wel nog behoefte aan hebben, mogen steeds terugkeren naar dit concrete niveau, ook in het vijfde leerjaar. De bewerking wordt net zoals bewerkingen met natuurlijke getallen voorgesteld op de lege getallenlijn. 0,2 komt links op de getallenlijn met een kruisje en vervolgens teken je de boog van 0,3. Als leerlingen bewerkingen met kommagetallen nog

Aanpak

moeilijk vinden, kun je de bewerking ook voorstellen op de gestructureerde getallenlijn. De klassikale getallenlijnen die overschrijfbaar zijn met uitwisbare stift vormen hiervoor een handig didactisch middel.

In het vijfde blok behandel je optellingen met kommagetallen met drie decimalen. De werkwijze is vergelijkbaar met die voor het optellen van getallen met ĂŠĂŠn of twee decimalen.

Optellingen met kommagetallen met twee decimalen worden op dezelfde manier aangepakt: de getallen leggen met de KomMatz-kaarten en ze samenvoegen. Ook hier schenk je voldoende aandacht aan het verwoorden van de getallen (bijvoorbeeld 0,33 verwoorden als 3 tienden en 3 honderdsten en leggen met drie t-kaartjes en 3 h-kaartjes).

Aftrekkingen met kommagetallen worden op dezelfde manier uitgewerkt als de optellingen: de leerlingen leggen het aftrektal met de KomMatzkaarten en nemen vervolgens het aantal kaartjes van de aftrekker weg. Je schenkt ook hierbij voldoende aandacht aan de verwoording en stelt de bewerking voor op de lege getallenlijn. De aftrekking 0,75 â&#x20AC;&#x201C; 0,33 wordt dus:

Bij aftrekkingen met een verschillend aantal decimalen wordt het knipperlicht weer van belang. Stel samen met de leerlingen vast dat je bewerkingen gemakkelijker kunt maken door bij beide getallen het aantal cijfers na de komma gelijk te maken. De verwoording is hierbij essentieel. In een volgende fase komen optellingen met twee getallen met een verschillend aantal decimalen aan bod. De leerlingen leggen de getallen met hun KomMatz-kaarten en voegen die samen. Na het uitvoeren van dit type optellingen met de KomMatz-kaarten volgt er een erg belangrijke bespreking, waarin je samen vaststelt dat je bij optellingen van kommagetallen met hetzelfde aantal decimalen de getallen gewoon optelt. Bij optellingen van kommagetallen met een verschillend aantal decimalen, bijvoorbeeld 0,2 + 0,15, tel je niet gewoon de 2 en de 15 op. Het pictogram wijst de leerlingen ook op deze moeilijkheid. Schenk voldoende aandacht aan deze knipperlichtoefeningen: illustreer met de KomMatz-kaarten, noteer een nul in kleur zodat het aantal decimalen gelijk is en stel voor op de klassikale getallenlijn. Inzicht in de getalstructuur van kommagetallen is hiervoor essentieel.

Let op! De KomMatz-kaarten worden niet bij alle oefeningen gebruikt. Om verwarring met cijferen te vermijden worden oefeningen waarin veel ingewisseld moet worden alleen voorgesteld op de getallenlijn. Bij optellingen en aftrekkingen met kommagetallen is het belangrijk dat de leerlingen goed naar de getallen kijken en zo een oplossingsstrategie toepassen die het meest aansluit bij hun eigen getalinzicht. Laat de leerlingen steeds goed verwoorden wat ze eerst optellen of aftrekken. De optellingen 2,62 + 4,25 bijvoorbeeld kan op verschillende manieren opgelost worden:

Schenk voldoende aandacht aan de verschillende oplossingswijzen van de leerlingen en laat die steeds goed verwoorden. In zWISo mogen de leerlingen de oplossingsstrategie toepassen die zij verkiezen. We stellen wel een algemene strategie voor, namelijk eerst de eenheden, dan de tienden, dan de honderdsten en tenslotte de duizendsten optellen/ aftrekken.

Gebruikswijzer

Het is erg zinvol om voor het uitrekenen van de opdracht het resultaat al beredeneerd te schatten. Bij de aftrekking 5 – 0,85 bijvoorbeeld stel je samen met de leerlingen vast dat het verschil groter zal zijn dan vier. Ter voorbereiding op het maken van optellingen en aftrekkingen met brug krijgen de leerlingen de opdracht om kommagetallen aan te vullen tot het volgende gehele getal en te verminderen tot het vorige gehele getal. Dit wordt voorgesteld op de klassikale gestructureerde getallenlijn en de leerlingen verwoorden de positie van het kommagetal steeds goed (komt juist voor …, ligt tussen … en …, …). Deze activiteit is erg belangrijk voor de verdere opbouw van bewerkingen met kommagetallen.

Bewerkingen met brug worden aanvankelijk opgelost door ze te leggen met de KomMatz-kaarten, te verwoorden en voor te stellen op de getallenlijn. Bij de optelling 0,7 + 0,5 stellen de leerlingen vast dat dit twaalf tiende is (twaalf t-kaartjes). Ze wisselen vervolgens tien t-kaartjes om voor een rood schijfje. Op deze manier ervaren de leerlingen zelf dat de eenheid overschreden wordt. Bij de voorstelling op de getallenlijn en de bijbehorende verwoording splits je 0,5 in 0,3 en 0,2. Dit wordt verwoord als: ‘0,3 erbij tot 1 en dan nog 0,2 erbij.’ De voorstelling op de getallenlijn ziet er dan als volgt uit:

Bij aftrekkingen met brug bespreek je na het leggen van de bewerking met de KomMatz-kaarten hoeveel je al wegneemt tot het vorige gehele getal en hoeveel je vervolgens nog weg moet nemen.

• Schatten Het hoofddoel van zWISo is de leerlingen tot functionele gecijferdheid te brengen. We willen ze namelijk kennis en vaardigheden bijbrengen die hen in staat stellen om wiskundige problemen in hun dagelijks leven op te lossen. Een van de vaardigheden om daartoe te komen is het schatten. We schenken hieraan in zWISo dan ook veel aandacht. In de praktijk zullen we immers dagelijks verschillende malen schatten, zowel hoeveelheden als de resultaten van bewerkingen. We willen bepalen hoeveel we ongeveer zullen moeten betalen, hoeveel kilometer we nog moeten rijden, … Leerlingen die kunnen schatten, kunnen veel wiskundige situaties in hun omgeving aan. Wegens het belang van schatten is er in zWISo zelfs een aparte leerlijn schatten uitgeschreven, die van het eerste tot het zesde leerjaar doorloopt. De leerlingen leren vanaf het eerste leerjaar in verschillende situaties schatten. We leggen hen hierbij een grote verscheidenheid aan opdrachten voor. Hou goed voor ogen dat de getallen waarmee geschat wordt steeds zorgvuldig gekozen moeten worden. De aangeboden oefeningen moeten immers zinvol zijn. Juist omdat we functionele gecijferdheid bij de leerlingen beogen, leert zWISo de leerlingen functioneel te schatten. Dat betekent dat leerlingen bij het schatten een idee leren krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Bij het cijferen met kommagetallen vormt de schatting een erg handig controlemiddel. Door de rangorde van het berekende resultaat met de schatting te vergelijken, kunnen de leerlingen nagaan of ze de komma op de juiste plaats gezet hebben. Als leerkracht biedt je de leerlingen ondersteuning bij het kijken naar getallen en het schatten van het resultaat van een bewerking. Het verschil in getalinzicht van leerlingen heeft als gevolg dat de ene leerling tot een nauwkeuriger schatting kan komen dan de andere. De verschillen in die schattingen zijn een boeiend en leerrijk uitgangspunt voor een klasgesprek.

Beginsituatie In het derde leerjaar schatten de leerlingen als volgt: de tweede term werd afgerond tot een rond getal. De eerste term lieten ze ongewijzigd, naar analogie van de standaardprocedure bij hoofdrekenen. Vervolgens werd de som/het verschil van die twee termen berekend. Dit resultaat werd afgerond tot een rond getal.

Aanpak

De optelling 387 + 575 werd als volgt geschat: 387 + 575  387 + 600 = 987  1000 De aftrekking 334 - 145 werd als volgt geschat: 334 - 145  334 - 100 = 234  200

Vierde leerjaar In het vierde leerjaar wordt de schatprocedure verder uitgebreid. Aangezien we werken met grotere en moeilijkere getallen, ronden we beide getallen af. Bij een optelling of aftrekking met getallen kleiner dan 10 000 ronden we beide termen af naar een beduidend cijfer. De bewerking 4748 + 2120 schatten we dus als volgt: 4748 + 2120  5000 + 2000 = 7000. De algemene strategie bij het optellen en aftrekken van termen > 10 000 met dezelfde rang is als volgt: we ronden beide termen af naar twee beduidende cijfers en berekenen het resultaat van deze optelling of aftrekking. De bewerking 46 183 + 22 228 schatten we dus als 46 000 + 22 000 = 68 000. Bij optellingen en aftrekkingen van termen met een verschillende rang ronden we het kleinste getal af naar een beduidend cijfer. Vervolgens ronden we de andere term af tot een getal van dezelfde rang. De aftrekking 64 782,23 – 5267,5 schatten we bijvoorbeeld als volgt: 64 782,23 – 5267,5  65 000 – 5000 = 60 000.

Let op! In het vierde leerjaar gaan we soepeler om met schatten. Aangezien de getallen steeds complexer worden en de niveauverschillen tussen de leerlingen toenemen, is het ook bij het schatten nodig om aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Leerlingen schatten dus volgens hun eigen getalinzicht.

De bewerking 46 183 + 22 228 kan dus ook bijvoorbeeld als 50 000 + 20 000 = 70 000 geschat worden. Belangrijk om als leerkracht te weten is dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Ronden de leerlingen de getallen bijvoorbeeld af op een getal met één beduidend cijfer en komen ze op deze manier ook tot een zinvolle schatting? Ook goed!

• Cijferen In het vierde blok van het derde leerjaar begonnen de leerlingen met cijferend optellen en aftrekken. Om meer inzicht in het cijferen te krijgen, legden de leerlingen de bewerkingen met de schijven uit getallendoos 3. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De bewerking werd tegelijkertijd in een schrijfschema geschreven. De leerkracht begeleidde deze activiteit door mee te doen aan het bord met de magnetische bordschijven (of de leerkrachtassistent) en de bewerking te noteren in een schrijfschema. De leerlingen verwoordden de verschillende stappen van het cijferalgoritme steeds goed. Voor ze een bewerking cijferend uitrekenden, maakten de leerlingen geregeld een schatting. De schatting vormt een goed controlemiddel voor de uitkomst na het cijferen. Als leerlingen voldoende inzicht hadden ontwikkeld in het cijferen, werd het leggen achterwege gelaten. In het vierde leerjaar schenken we in de basislessen niet expliciet aandacht aan het leggen van cijferoefeningen met getallendoos 3. In de regel noteren de leerlingen cijferoefeningen enkel in een schrijfschema. Voor leerlingen die het cijferalgoritme nog moeilijk vinden kan het zinvol zijn om nog eens op een concreter niveau te werken en dus het leggen van de bewerking met de schijven te herhalen. Hieronder volgt een beschrijving van hoe het cijferend optellen en aftrekken werd aangebracht in het derde leerjaar. Wat het materiaal betreft: de legschema’s en de schrijfschema’s zijn opgenomen in de kopieermap van het vierde leerjaar. De schijven zijn terug te vinden in getallendoos 3. Zoals in het onderdeel ‘Getallen’ ook al werd beschreven, kan het handig zijn om enkele van deze getallendozen in je klas ter beschikking te hebben.

Gebruikswijzer

Beginsituatie

Optellen De optelling 387 + 575 werd als volgt uitgewerkt en verwoord:

5 12

1) Klaarleggen Je legt met de gekleurde magnetische bordschijven het getal 387 in het legschema (drie gele bij de H, acht groene bij de T en zeven rode bij de E). Je verwoordt dit getal als â&#x20AC;&#x2DC;drie honderdtallen, acht tientallen en zeven eenheden'. Je vraagt welke bewerking het is en laat de leerlingen verwoorden dat ze gaan optellen, gaan bijdoen. De term die bij dit getal wordt opgeteld is 575. Je legt dit getal met de bordschijven onderaan in het legschema (vijf gele bij de H, zeven groene bij de T en vijf rode bij de E). Verwoord: vijf H, zeven T en vijf E. De twee termen moeten duidelijk zichtbaar en van elkaar onderscheiden zijn. De leerlingen doen mee en leggen de schijven uit de getallendoos op hun legschema. H

Beide getallen worden eveneens in het schrijfschema geschreven. Schenk hierbij aandacht aan het netjes onder elkaar schrijven van de getallen. Het is een optelling, dus je zet een plusteken ter hoogte van de dikke lijn.

Je vraagt de leerlingen wat er dan moet gebeuren. Kom tot het besluit dat je tien van de twaalf eenheden gaat wisselen voor een tiental. De leerlingen nemen tien rode schijven uit het legschema weg en wisselen die voor een groene schijf. De gewisselde schijf leggen ze in de grijze zone van de tientallen. De 1 van de 12 in het schrijfschema wordt met groen doorgestreept en in het groen in de grijze onthoudzone van de tientallen geschreven. H

5 12

Vervolgens ga je over naar de tientallen. Je laat de leerlingen de schijven bij de tientallen bij elkaar schuiven en vraagt hen hoeveel tientallen dat samen zijn. Schenk aandacht aan het bijtellen van het tiental in de grijze onthoudzone. De leerlingen schrijven het getal 16 onder de dikke lijn in de kolom van de tientallen. H

1 3

De bewerking in het leg- en het schrijfschema is nu klaar om uitgevoerd te worden.

Je begint bij de eenheden, dat is een afspraak. Je gebruikt een pion om de beginpositie aan te geven. Je laat de leerlingen de schijven bij de eenheden bij elkaar schuiven en vraagt hen hoeveel eenheden dat samen zijn. Ze schrijven het getal 12 in het schrijfschema onder de dikke lijn in de kolom van de eenheden. Je doet steeds mee in het leg- en het schrijfschema op het bord.

2) Uitvoeren

Je laat de leerlingen tien tientallen wisselen voor een honderdtal. De leerlingen nemen tien groene schijven weg en leggen een gele schijf in de grijze onthoudzone bij de honderdtallen. De 1 van de 16 in het schrijfschema wordt met groen doorgestreept en in het groen in de grijze onthoudzone van de honderdtallen geschreven. H

Aanpak

Ten slotte kijk je naar de honderdtallen. Je laat de leerlingen de schijven bij de honderdtallen bij elkaar schuiven. Je laat hen verwoorden dat het samen negen honderdtallen zijn. De leerlingen schrijven dit getal onder de dikke lijn in de kolom van de honderdtallen. H

Besluit met de verwoording: ‘De som van 387 en 575 is 962’. Alle optellingen werden analoog uitgewerkt. Aftrekken

2) Uitvoeren Je begint bij de eenheden, dat is een afspraak. Je gebruikt een pion om de beginpositie aan te geven. Benadruk nog eens dat je een aftrekking gaat maken en dat je dus schijven gaat wegnemen. Je laat de leerlingen verwoorden dat ze vijf eenheden moeten wegnemen, maar dat er geen vijf eenheden in het aftrektal zijn. Kom samen tot het besluit dat je een tiental moet wisselen voor tien eenheden. Neem een groene schijf uit het legschema weg en wissel die voor tien rode schijven. Verwijs hierbij naar het leegmaken van een 10-zakje met tien losse. Leg deze tien rode schijven in de kolom van de eenheden. Streep in het schrijfschema 3 bij de tientallen door en schrijf 2 in de grijze zone bij de tientallen. Vervolgens streep je 4 in de kolom van de eenheden door en schrijf je 14 in de grijze zone bij de eenheden. H

De aftrekking 334 – 145 werd als volgt uitgewerkt en verwoord: 1) Klaarleggen

Omdat het een aftrekking is (wegnemen), wordt enkel het eerste getal voorgesteld in het legschema. Je legt met de gekleurde magnetische bordschijven het getal 334 in het legschema (drie gele bij de H, drie groene bij de T en vier rode bij de E). De leerlingen doen mee en leggen de schijven uit de getallendoos op hun legschema. Je verwoordt dit getal als drie honderdtallen, drie tientallen en vier eenheden. Je vraagt welke bewerking het is en laat de leerlingen verwoorden dat ze gaan aftrekken, wegdoen. De term die wordt afgetrokken is 145. Beide getallen worden in het schrijfschema geschreven. Let hierbij op het netjes onder elkaar schrijven van de getallen. Het is een aftrekking, dus je zet een minteken ter hoogte van de dikke lijn. T

De bewerking in het leg- en het schrijfschema is nu klaar om uitgevoerd te worden.

Je laat de leerlingen nu vijf schijven van de eenheden naar beneden schuiven. Die leggen ze onder het legschema. Verwoord dit als het wegnemen van vijf eenheden. Stel samen vast dat er nu nog negen schijven in de kolom van de eenheden liggen. De leerlingen schrijven 9 onder de dikke lijn in de kolom van de eenheden. Je doet steeds mee in het leg- en het schrijfschema op het bord.

5 9

Vervolgens ga je over naar de tientallen. Je laat de leerlingen verwoorden dat ze vier tientallen moeten wegnemen, maar dat er geen vier tientallen in het aftrektal zijn. Kom samen tot het besluit dat je een honderdtal moet wisselen voor tien tientallen. Neem een gele schijf uit het legschema weg en wissel die voor tien groene schijven. Leg die tien groene schijven in de kolom van de tientallen. Streep in het schrijfschema 3 bij de honderdtallen door en schrijf 2

Gebruikswijzer

in de grijze zone bij de tientallen. Vervolgens streep je 2 in de kolom van de tientallen door en schrijf je 12 in de grijze zone bij de tientallen.

12 14 2

5 9

Je laat de leerlingen nu vier schijven van de tientallen naar beneden schuiven. Ze leggen die onder het legschema. Verwoord dit als het wegnemen van vier tientallen. Stel samen vast dat er nu nog acht schijven in de kolom van de tientallen liggen. De leerlingen schrijven 8 onder de dikke lijn in de kolom van de tientallen. H

12 14 2

In het vierde leerjaar wordt het cijferalgoritme uitgebreid tot optellingen en aftrekkingen met getallen tot 100 000. Cijferoefeningen worden vaak gegeven in contextsituaties, om de praktische bruikbaarheid van cijferen te benadrukken. In de regel noteren de leerlingen de cijferoefening enkel in het schrijfschema. Het kan echter zinvol zijn om de leerlingen die cijferen moeilijk vinden nog eens een bewerking te laten leggen met de schijven uit getallendoos 3 (zie hierboven). Schenk bij het cijferen voldoende aandacht aan het schikken van de cijfers in het schrijfschema en aan het lenen en het onthouden. Laat de leerlingen het cijferalgoritme steeds goed verwoorden. Vanaf het tweede blok van het vierde leerjaar noteren de leerlingen de cijferoefeningen op een ruitjespatroon. Schenk hierbij voldoende aandacht aan het netjes onder elkaar schrijven van de getallen.

Ten slotte kijk je naar de honderdtallen. Je laat de leerlingen een schijf van de honderdtallen naar beneden schuiven. Ze leggen die onder het legschema. Verwoord dit als het wegnemen van een honderdtal. Stel samen vast dat er nu nog één schijf in de kolom van de honderdtallen ligt. De leerlingen schrijven 1 onder de dikke lijn in de kolom van de honderdtallen. H

Vierde leerjaar

12 14 2

Besluit met de verwoording ‘Het verschil van 334 en 145 is 189.’

De leerlingen krijgen geregeld de opdracht om de bewerking te schatten. Dit vormt een zinvol controlemiddel voor het berekende resultaat. In het zesde blok van het vierde leerjaar controleren de leerlingen aftrekkingen door het uitvoeren van de omgekeerde bewerking. Het uitvoeren van deze controles is een attitude die we de leerlingen willen bijbrengen. Deze controles geven de leerlingen immers een indicatie van de correctheid van hun berekende resultaat en dragen dus bij tot de praktische bruikbaarheid van cijferen. Door de leerlingen deze controlemechanismen aan te reiken kunnen we ze cijferoefeningen op een doordachtere manier laten aanpakken. Voorts controleren ze het resultaat ook met de zakrekenmachine. Deze activiteit vormt een toepassing op het werken met de zakrekenmachine, een vaardigheid die we door alle leerjaren heen opbouwen. We willen leerlingen ertoe aanzetten om de zakrekenmachine op een zinvolle manier te

Aanpak

gebruiken bij wiskundige problemen. Vooral voor de zwakkere rekenaars draagt dit hulpmiddel bij tot het functioneren in het leven van alledag.

Vermenigvuldigen en delen

We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij de oefening in kwestie en bij hun getalinzicht. In het vierde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of een bewerking hoofdrekenend of cijferend moet worden uitgerekend.

Natuurlijke getallen

Let op! Van bepaalde oefeningen die deel uitmaken van het basistraject blijven we verwachten dat ze uit het hoofd uitgerekend worden. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen kunnen rekenen met ronde getallen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor hun latere functioneren in de samenleving. Bij het cijferen met kommagetallen (blok 5) benadruk je dat het cijferalgoritme ongewijzigd blijft. Schenk wel voldoende aandacht aan de plaats van de komma en aan het aanvullen van de nul bij het cijferen met knipperlichtgetallen. Bij het cijferend optellen en aftrekken van kommagetallen vormt de schatting een erg zinvol controlemiddel. De orde van grootte van de schatting geeft de leerlingen een indicatie of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma dus op de juiste plaats gezet hebben. Aanvankelijk noteren de leerlingen de cijferoefening nog in een schrijfschema, maar ook hier wordt er snel overgestapt naar het noteren op een ruitjespatroon.

â&#x20AC;˘ Hoofdrekenen

Maal- en deeltafels In het derde leerjaar schonk de leerkracht tijdens de eerste maanden veel aandacht aan het automatiseren van de maal- en de deeltafels. Kennis van de tafels is immers essentieel voor het maken van vermenigvuldigingen en delingen tot 1000. Ook in het vierde leerjaar blijft kennis van de tafels erg belangrijk. Geef leerlingen die hun tafels nog onvoldoende beheersen geregeld de opdracht om de tafels te oefenen. Dat kan aan de hand van een tafeldoosje, de tafelspellen (zie kopieermap derde leerjaar), de flitskaarten van materialenkist 3, â&#x20AC;Ś Als blijkt dat de leerlingen nog onvoldoende inzicht hebben in de tafels, is het noodzakelijk om de betekenis en de opbouw van de tafels te herhalen en eventueel terug te grijpen op een minder abstract niveau. Laat de leerlingen eventueel sprongen maken op de getallenlijn en verwijs naar het maken van groepen (zie gebruikswijzer tweede leerjaar). De kopieermap van het vierde leerjaar bevat ook een tafelrooster. Dit overzicht van de tafels dat wordt ingevuld door de leerlingen zelf vormt een handig differentiatiemiddel. Leerlingen die de tafels onvoldoende beheersen kunnen dit rooster gebruiken in de lessen waarin een beroep wordt gedaan op vermenigvuldigen en delen. Het is wel belangrijk om extra aandacht aan deze leerlingen te schenken en hen dagelijks de tafels te laten oefenen.

Gebruikswijzer

Vermenigvuldigingen met getallen tot 100 000 Beginsituatie In het tweede blok van het derde leerjaar begon de leerkracht met vermenigvuldigingen van de types E x T en E x H. De leerlingen kregen bijvoorbeeld de opdracht om de bewerking 4 x 20 op te lossen. Daarbij werd er uitgegaan van een betekenisvolle situatie (bijvoorbeeld vier munten van 20 eurocent). De leerkracht koppelde hier onmiddellijk de gedurige som (20 + 20 + 20 +20 = 80) en de notatie 4 x 2T = 8T aan. De vermenigvuldigingen van een eenheid met een zuiver honderdtal werkte de leerkracht op dezelfde manier uit. Door het behandelen van bewerkingen van de types T x E en H x E stelden de leerlingen de wisseleigenschap vast. In een volgende fase kwamen vermenigvuldigingen van de types T x T en E x TE aan bod. Deze bewerkingen werden aanvankelijk voorgesteld met de Matz-postzegelvellen. Dat is een afbeelding van verschillende postzegels, steeds onderverdeeld in tien rijen van tien. Door het gebruik van deze concrete voorstelling kregen vermenigvuldigingen met grotere getallen betekenis. De leerkracht stelde een vermenigvuldiging voor door een meetlat onder de eerste factor en een meetlat achter de tweede factor te leggen. De leerlingen leidden vervolgens de bijbehorende vermenigvuldiging af. Bewerkingen van het type E x TE werden analoog uitgewerkt. Zo kwamen de leerlingen tot de vaststelling dat bijvoorbeeld 4 x 26 handig berekend kan worden door 4 te vermenigvuldigen met 20 en met 6 en vervolgens de twee tussenproducten op te tellen. Deze splitsing werd ook visueel weergegeven door de getallen te leggen met de ‘Matz de bouwer’-kaarten. De leerlingen legden het getal 26 (een kaart met 20 met daarop een kaart met 6) en stelden door het uit elkaar halen van de kaarten vast dat 4 x 26 vier keer 20 en vier keer 6 is. In het zesde blok van het vierde leerjaar behandelde de leerkracht vermenigvuldigingen van het type E x HTE. Leerlingen splitsten hierbij het getal op in honderdtallen, tientallen en eenheden

en vermenigvuldigden die getallen met de vermenigvuldiger. Vervolgens berekenden ze de som van de tussenproducten. Deze splitsing werd voorgesteld aan de hand van splitsbeentjes. De bewerking 3 x 267 werd uitgewerkt als volgt:

De leerlingen verwoordden dit als drie keer tweehonderd, drie keer zestig en drie keer zeven. De notatie hierboven is de uitgebreidste. Leerlingen noteren echter de tussenstappen die zij nodig hebben. In het derde leerjaar schonk de leerkracht ook aandacht aan handig vermenigvuldigen. Bij het oplossen van bewerkingen als 46 x 2 x 5 werd het handig samennemen van de factoren 2 en 5 aangebracht. Verder losten leerlingen bewerkingen als 3 x 199 op als 3 x 200 - 3 x 1. Hier gold, net als bij handig optellen en aftrekken, dat de leerlingen ook steeds de standaardprocedure mochten toepassen. Handig rekenen wordt wel gestimuleerd, maar is geen verplichting.

Vierde leerjaar Vermenigvuldigingen met getallen tot 100 000 In het eerste blok van het vierde leerjaar worden kort vermenigvuldigingen van de types E x E, E x T en E x H herhaald. Daarna komen vermenigvuldigingen van de types E x HE en E x HTE aan bod. Schenk hierbij voldoende aandacht aan het gebruik van rekentaal in verband met vermenigvuldigen. Bij het oplossen van bijvoorbeeld de vermenigvuldiging 4 x 128 vorm je het getal 128 met de klassikale ‘Matz de bouwer’-kaarten (kopieermap of leerkrachtassistent). Je splitst dit getal in 100, 20 en 8 door de drie kaarten uit elkaar te schuiven. Door deze activiteit kom je samen tot het besluit dat je het product van 4 en 128 kunt berekenen door vier keer 100, vier keer 20 en vier keer 8 te berekenen en vervolgens de tussenproducten op te tellen. Ook hier noteren de leerlingen alleen de tussenstappen die zij nodig hebben. Het schrijven van voor de leerling overbodige tussenstappen heeft immers geen meerwaarde voor de ontwikkeling van het inzicht in bewerkingen. Vermenigvuldigingen van de types 10 x T en 10 x TE illustreer je aan de hand van het Matz-postzegelvel. We leggen de meetlatten op het postzegelvel steeds op dezelfde manier: een meetlat horizontaal onder de vermenigvuldiger en een meetlat verticaal achter het vermenigvuldigtal. Bij de bewerking

Aanpak

10 x 16 bijvoorbeeld leggen de leerlingen een lat onder de tiende rij en een lat achter de zestiende kolom. Je trekt bij het product de nul in kleur over.

Na het uitrekenen van enkele oefeningen van de verschillende types kom je samen tot het besluit dat als we vermenigvuldigen met 10, we een nul achter de andere factor schrijven. Je werkt analoog voor het vermenigvuldigen met 100 en met 1000. Door het uitrekenen van enkele oefeningen als 10 x 21 en 21 x 10 stellen de leerlingen de wisseleigenschap bij vermenigvuldigingen vast. In het tweede blok van het vierde leerjaar behandel je ook vermenigvuldigingen van het type T x T, T x TE en TE x T. Ook die bewerkingen maken leerlingen aan de hand van de postzegelvellen. De bewerking 20 x 12 lossen de leerlingen op als volgt: 20 x 12 = 20 x 10 + 20 x 2 = 200 + 40 = 240. Je stimuleert de leerlingen om de eerste tussenstap al vrij snel achterwege te laten. Ze mogen ook gewoon splitsbeentjes tekenen.

In een volgende fase komen vermenigvuldigingen van de types TE x TE, T x HTE en TE x HTE (T of E is nul) aan bod. De leerlingen lossen deze bewerkingen ook op door vermenigvuldiger of vermenigvuldigtal te splitsen. Ook hier passen de leerlingen de oplossingsstrategie toe die zij het makkelijkst vinden. De bewerking 18 x 12 bijvoorbeeld kan als volgt gesplitst worden:

Bij het oplossen van bewerkingen van de types E x T en T x E wijs je op de analogie met de tafels. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 3 x 90 verwijs je naar de vermenigvuldiging 3 x 9. Je leest de bewerking ook als drie keer negen tientallen en noteert dit als 3 x 9T. In het vierde blok van het vierde leerjaar geef je de leerlingen de opdracht om een reeks vermenigvuldigingen zoals 3 x 4, 3 x 40, 3 x 400 en 3 x 4000 op te lossen. Hierna volgt een klassikale bespreking waarin je besluit dat als één van de factoren 10, 100 of 1000 keer zo groot wordt, het product ook 10, 100 of 1000 keer zo groot wordt. In het zesde blok ga je een stap verder in deze operaties op factoren. Door het oplossen van enkele duo’s als 8 x 25 en 2 x 100 kom je samen met de leerlingen tot de vaststelling dat als je één van de factoren vermenigvuldigt met en de andere factor deelt door hetzelfde getal, het product hetzelfde blijft. Het spreekt voor zich dat bij bovenstaande oefeningen het inzicht in en de mate van automatiseren van de tafels essentieel is.

De leerlingen stellen deze verbanden tussen de factoren voor aan de hand van pijlen. Bij het maken van soortgelijke oefeningen vraag je de leerlingen welke oefening zij het makkelijkst vinden. Op deze manier maak je de leerlingen ervan bewust dat ze door het uitvoeren van operaties op factoren oefeningen eenvoudiger kunnen maken. Stimuleer hen om steeds te kijken naar de getallen en om de oefening indien mogelijk te vereenvoudigen. In blok vier behandel je ook voor het eerst vermenigvuldigingen met factoren groter dan 1000. Naast het maken van vermenigvuldigingen van de vorm 3 x 20 000 (E x TD) maak je ook bewerkingen als 6 x 2700 (vermenigvuldigingen tot 100 000 waarbij één van de factoren kleiner dan 10 is). Deze laatste opgave kan op twee manieren opgelost worden: oplossen naar analogie met bewerkingen tot 100 of oplossen door het vermenigvuldigtal te splitsen.

Gebruikswijzer

In het vijfde blok breid je de types vermenigvuldigingen uit door ook vermenigvuldigingen tot 100 000 waarbij een van de factoren kleiner is dan 100 te maken. Ook hier passen de leerlingen de oplossingsstrategie toe die zij het handigst vinden. De bewerking 20 x 3000 kan opgelost worden als volgt: 2 x 10 x 3000 of 2 x 3 x 10 000 of 2 x 3000 x 10, â&#x20AC;Ś Bewerkingen van de vorm 12 x 6500 lossen de leerlingen op door te splitsen. Breng steeds de verschillende oplossingswijzen op bord en bespreek.

Let op! We beperken ons bij hoofdrekenen bewust tot ronde getallen. Het uit het hoofd uitvoeren van bewerkingen met getallen tot op de eenheid is immers weinig zinvol. In het dagelijkse leven zullen we zulke bewerkingen door te cijferen of met de zakrekenmachine oplossen. Dat zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook voldoende aandacht aan schenken. De oefeningen die aan bod komen in de werkboeken (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, ook de zwakkere rekenaars. Met het oog op het functioneren in de maatschappij is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen. In alle blokken schenk je voldoende aandacht aan het automatiseren van vermenigvuldigingen, aan de hand van oefeningen in het scheurblok, de zWISo-box en de rekenspellen. Begeleid de zwakkere leerlingen waar nodig. Handig rekenen Net als bij optellingen en aftrekkingen schenken we ook bij vermenigvuldigingen en delingen aandacht aan handig rekenen. Dat draagt immers bij tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige oplossingswijzen uit te werken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan blijven werken. Wijs de leerlingen er daarom bij elke

bewerking op dat ze naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen. In het derde leerjaar berekenden de leerlingen bijvoorbeeld 3 x 199 door 3 x 200 te nemen en van dit product vervolgens 3 x 1 af te trekken. Behalve aan bovenstaande vorm van handig rekenen, namelijk het compenseren, schonk de leerkracht ook aandacht aan het handig samennemen van factoren (46 x 2 x 5 oplossen door eerst 2 en 5 met elkaar te vermenigvuldigen). De leerlijn handig rekenen wordt in het vierde leerjaar verder uitgebreid. We werken met grotere getallen en blijven aandacht schenken aan de diverse handige rekenstrategieĂŤn die vanaf het derde leerjaar werden opgebouwd. De vermenigvuldiging 99 x 13 bijvoorbeeld wordt opgelost als volgt: 99 x 13 = 100 x 13 - 1 x 13 = 1300 - 13 = 1287. Je benadrukt deze handige strategie door 100 x en -1 x in kleur te noteren. Voorts schenken we ook aandacht aan het uitvoeren van operaties op factoren om vermenigvuldigingen eenvoudiger te maken (zie hierboven). Enkele lessen zijn expliciet gewijd aan handig rekenen. Daarnaast is het ook belangrijk om de leerlingen tijdens alle lessen in verband met bewerkingen te laten kijken naar de getallen en de aard van de bewerking. Let wel: leerlingen hoeven niet handig te rekenen. We brengen deze vaardigheid wel aan omdat ze een meerwaarde kan zijn bij het uitvoeren van bewerkingen, maar als leerlingen bij elke bewerking de standaardprocedure toepassen is het ook goed. Handig rekenen vraagt immers veel inzicht in de getallen en de bewerkingen, waardoor het voor zwakkere rekenaars moeilijk is. Oefeningen waarin handig gerekend kan worden, worden aangegeven met een pictogram . Op deze manier weten kinderen dat de aangegeven oefeningen op een handige manier uitgerekend kunnen worden en leren ze bewust naar de getallen te kijken.

Delingen met getallen tot 100 000 Beginsituatie Voor het oplossen van alle types van delingen geldt dat er in het derde leerjaar veel aandacht werd geschonken aan het verwoorden van de deling en het gebruik van rekentaal in verband met delen (quotiĂŤnt, deler, deeltal en rest). Delingen werden

Aanpak

vaak aangebracht aan de hand van ingeklede bewerkingen. Vanaf het derde blok van het derde leerjaar behandelde de leerkracht delingen van de vorm HT : E. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 150 : 5 tekenden de leerlingen de bewerking met sprongen op de getallenlijn (sprongen van 5 tot 150) en noteerden ze de bewerking als 15T : 5 = 3T. Delingen van de types H : 100 en H(T) : 10 werkte de leerkracht analoog uit. Na enkele oefeningen van deze types stelden de leerlingen vast dat bij delen door 10 of door 100 de laatste nul of de laatste twee nullen verdwijnen. Delingen van het type HTE : E losten de leerlingen op door het deeltal zinvol te splitsen. De leerkracht benadrukte dat je bij het splitsen steeds naar de deler moet kijken en moet zoeken naar getallen naar analogie van de tafels (bijvoorbeeld bij de deling 260 : 4 260 splitsen in 240 en 20). Een volgende stap in de opbouw van de leerlijn delen was het maken van opgaande delingen buiten de tafels van het type TE : E. De bewerking 72 : 6 bijvoorbeeld werd opgelost door 72 te splitsen in getallen uit de tafel van zes, namelijk 60 en 12. De leerlingen tekenden hierbij een vergrootglas rond de deler, om te benadrukken dat er steeds naar de deler gekeken wordt om te splitsen. Leerlingen splitsten getallen volgens hun eigen getalinzicht. Bijvoorbeeld 96 bij de bewerking 96 : 3 in 90 en 6 of in 30, 30, 30 en 6, beide alternatieven zijn goed.

In het vijfde blok van het derde leerjaar werden nietopgaande delingen binnen het tafelbereik behandeld. Ook voor het oplossen van niet-opgaande delingen moet je eerst naar de deler kijken. Vervolgens zoek je het getal in de tafel dat kleiner is dan het deeltal. De bewerking werd voorgesteld op de getallenlijn en het resultaat werd verwoord als â&#x20AC;&#x2DC;Het quotiĂŤnt is x en de rest is yâ&#x20AC;&#x2122;. In het begin werd er gebruik gemaakt van een restemmertje als concrete voorstelling van de rest.

De bewerking 20 : 6 werd als volgt voorgesteld op het bord:

Vierde leerjaar Opgaande delingen tot 100 000 In het eerste blok van het vierde leerjaar herhaal je opgaande delingen buiten de tafels waarbij het deeltal maximaal 100 is. Schenk voldoende aandacht aan het gebruik van rekentaal in verband met delen. Uitgaande van het verdelen van een spel kaarten over vier personen vorm je de bewerking 52 : 4. De leerlingen lossen deze bewerking op door 52 te splitsen in 40 en 12. Benadruk dat je voor het splitsen steeds naar de deler moet kijken. Noteer dit op het bord als 52 : 4 = (40 + 12) : 4 = 10 + 3 = 13. Leerlingen noteren steeds de tussenstappen die zij nodig hebben. Je stimuleert hen wel om bijvoorbeeld de tussenstap met de haakjes achterwege te laten en eventueel gewoon splitsbeentjes onder 52 te tekenen. Ook hier splitsen de leerlingen het getal volgens hun eigen getalinzicht. Bij de bewerking 78 : 3 bijvoorbeeld kan het deeltal gesplitst worden in 60 en 18 of in 30, 30 en 18. De manier waarop leerlingen splitsen geeft je veel zinvolle informatie over hun getalinzicht en inzicht in bewerkingen. Het maken van opgaande delingen tot 100 000 werk je op dezelfde manier uit: de leerlingen kijken naar de deler en splitsen het deeltal volgens eigen getalinzicht. Bij delingen waarbij de honderdtallen van het deeltal kleiner zijn dan de deler stel je samen vast dat je dan gaat kijken of HT deelbaar is door de deler (bijvoorbeeld 168 : 4 splitsen in 160 en 8).

Gebruikswijzer

Zoals reeds in het hoofdstuk materialen werd beschreven, maken we in zWISo vaak gebruik van ‘Matz doet’-bladen. Dat zijn bladen in een scheurblok die de leerlingen tijdens de doe-activiteit invullen. Op deze manier kunnen leerlingen door zelf actief aan de slag te gaan tijdens de instructiefase tot bepaalde vaststellingen komen. Door bepaalde verbanden zelf al handelend te ervaren bouwen de leerlingen een goed verankerd inzicht in bewerkingen op. In het tweede blok geef je de leerlingen de opdracht om enkele reeksen als 24 : 8, 240 : 8 en 2400 : 8 op te lossen. Lees 240 : 8 eventueel als 24T : 8 = 3T. Merk op dat je steeds dezelfde oefening uit de tafels herkent en dat alleen het aantal nullen in het deeltal verschilt. Door de quotiënten van deze delingen te vergelijken kom je samen tot het besluit dat als het deeltal 10 of 100 keer groter wordt, het quotiënt ook 10 of 100 keer groter wordt. Na het maken van enkele delingen door 10 en door 100 stel je samen met de leerlingen ook vast dat er steeds één of twee nullen minder zijn in het quotiënt dan in het deeltal.

Bij delingen als 42 000 : 3 geef je verschillende oplossingswijzen aan: - 42 : 3 oplossen door 42 te splitsen in 30 en 12 en vervolgens dit quotiënt te vermenigvuldigen met 100 (oplossen naar analogie met de tafels). - 42 000 splitsen in 30 000 en 12 000, die getallen delen door 3 en dan de quotiënten optellen.

Algemeen geldt dat de leerlingen bij het oplossen van delingen steeds de volgende stappen doorlopen: Ik kijk naar de deler . Ik kijk naar het deeltal. Herken ik een product uit de tafels? Ja? Dan omcirkel ik dit getal en voer ik de deling uit. Neen? Dan moet ik splitsen. In alle blokken schenk je voldoende aandacht aan het automatiseren van delingen, aan de hand van oefeningen in het scheurblok, de zWISo-box en de rekenspellen. Begeleid de zwakkere leerlingen waar nodig. Handig rekenen

In blok drie van het vierde leerjaar behandel je het handig delen door 5 en door 50. Je deelt samen met de leerlingen enkele getallen door 10 en door 5 en geeft deze quotiënten overzichtelijk weer in een tabel. Door voor elk deeltal beide quotiënten te vergelijken besluit je samen met de leerlingen dat je delingen door 5 handig kunt oplossen door eerst te delen door 10 en dan het verkregen quotiënt te vermenigvuldigen met 2. Illustreer dit met een pijlenschema op het bord. Voor het handig delen door 50 werk je op dezelfde manier. Leerlingen rekenen de delingen door 50 hier wel uit met een zakrekenmachine.

In het vijfde blok ervaren de leerlingen door het oplossen van enkele duo’s als 360 : 8 en 90 : 2 dat het quotiënt gelijk blijft als beide factoren met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden. De leerlingen stellen deze verbanden tussen de factoren voor aan de hand van pijlen. Bij het uitvoeren van soortgelijke oefeningen vraag je de leerlingen welke oefening zij het makkelijkst vinden. Zo maak je leerlingen ervan bewust dat ze door het uitvoeren van operaties op factoren oefeningen eenvoudiger kunnen maken. Stimuleer hen om steeds te kijken naar de getallen en om de oefening indien mogelijk te vereenvoudigen Niet-opgaande delingen In blok één herhaal je niet-opgaande delingen tot 100 binnen het tafelbereik. Je gaat uit van een concrete situatie, namelijk het verpakken van twintig appels in schaaltjes van zes. Dit verdelen in groepen van x is de manier waarop de leerlingen de deeltafels geleerd hebben in het tweede leerjaar. Bij de deling

Aanpak

20 : 6 bijvoorbeeld stelden de leerlingen zich de vraag hoeveel groepen van 6 er in 20 gaan (zie gebruikswijzer tweede leerjaar). De werkwijze is analoog aan die van het derde leerjaar: je tekent een vergrootglas rond de deler om de leerlingen eraan te herinneren dat ze een getal kleiner dan het deeltal moeten zoeken dat deelbaar is door de deler. Vervolgens splitsen de leerlingen het getal en delen ze het afgezonderde tafelproduct door de deler (bijvoorbeeld 20 splitsen in 18 en 2 en 18 delen door zes). Wat er overblijft benoemen de leerlingen als de rest. In de eerste fase wordt die voorgesteld aan de hand van een restemmertje. Je kunt deze bewerking ook illustreren door drie sprongen van 6 te tekenen op de getallenlijn en vervolgens vast te stellen dat er dan nog 2 overblijft.

leerkracht uit de voorraadkamer halen? Hoeveel verpakkingen zijn leeg na het uitdelen van de sapjes?’ Deze opgave leert de leerlingen bewust na te denken over het wiskundige probleem en over de geschikte oplossingsstrategie.

Kommagetallen Vermenigvuldigen

Na het maken van enkele niet-opgaande delingen stel je met de leerlingen vast dat de rest steeds kleiner is dan de deler. In blok vijf behandel je ook niet-opgaande delingen buiten het tafelbereik. De bewerking 73 : 5 bijvoorbeeld lossen de leerlingen op door eerst 73 te splitsen in 50 en 23 en vervolgens door 23 te splitsen in 20 en 3.

In zWISo schenken we veel aandacht aan het oplossen van vraagstukken, om de leerlingen zo te leren omgaan met wiskundige situaties in de dagelijkse realiteit. Bij het oplossen van vraagstukken met niet-opgaande delingen krijgen leerlingen soms de opdracht om, afhankelijk van de context, het quotiënt zinvol af te ronden. Je geeft bijvoorbeeld de volgende situatie aan: ‘Alle 26 leerlingen van ‘De Regenboog’ krijgen een vruchtensapje. Hoeveel verpakkingen van zes vruchtensapjes moet de

In blok vijf, het blok na de introductie van kommagetallen, begin je met het vermenigvuldigen van kommagetallen met een natuurlijk getal kleiner dan 10. Je gaat uit van een betekenisvolle situatie en laat de leerlingen op basis hiervan vermenigvuldigingen samenstellen. De leerlingen berekenen bijvoorbeeld de inhoud van vier brikjes appelsap van elk 0,2 l. Ze koppelen hier de bewerking 4 x 0,2 aan en leggen die bewerking met hun KomMatz-kaarten (vier keer twee t-kaartjes). Vervolgens tekenen ze vier sprongen van twee tiende op de getallenlijn. Tijdens het leggen met de kaartjes en het tekenen op de getallenlijn verwoorden de leerlingen dit als 2t, 4t, 6t en 8t. Ten slotte noteren ze 8t in het positieschema en schrijven dit als 0,8. Schenk voldoende aandacht aan het verwoorden van de vermenigvuldiging. Door bovenstaande oplossingswijze bouwen de leerlingen vermenigvuldigingen met kommagetallen inzichtelijk op. Bij het oplossen van een bewerking als 7 x 0,2 stel je samen vast dat het product meer dan één geheel is. Bij het leggen met de KomMatz-kaarten zien de leerlingen dat ze veertien t-kaartjes hebben. Ze wisselen tien t-kaartjes om voor één rood schijfje en verwoorden dit als zeven keer twee tiende = veertien tiende = een geheel en vier tienden. Bij het oplossen van vermenigvuldigingen splitsen de leerlingen de getallen volgens eigen getalinzicht. Bekijk samen met de leerlingen welke splitsing voor hen het handigst is. Bij de bewerking 6 x 0,45 bijvoorbeeld kunnen de leerlingen 0,45 splitsen in 0,4 en 0,05 of in 0,40 en 0,05.

Gebruikswijzer

Schenk ook hier voldoende aandacht aan het verwoorden van de vermenigvuldiging en aan het noteren van tussenstappen.

vermenigvuldigen met 10 en dan het product te delen door 2. Dit wordt geïllustreerd met het pijlenschema op het bord. Handig vermenigvuldigen met 50 werk je op dezelfde manier uit.

Bij het vermenigvuldigen van kommagetallen groter dan 1 met een natuurlijk getal kleiner dan 10 kom je tot de vaststelling dat je eerst de gehelen vermenigvuldigt en daarna de cijfers na de komma. Ook hier splitsen de leerlingen het kommagetal volgens eigen getalinzicht. Het vermenigvuldigen van een kommagetal met 10 wordt op dezelfde manier uitgewerkt. Na het oplossen van enkele bewerkingen bespreek en vergelijk je met de leerlingen het vermenigvuldigen met 10 bij natuurlijke getallen en bij kommagetallen. Kom samen tot het besluit dat we bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met 10 geen nul toevoegen, maar de komma naar rechts verplaatsen. Het is belangrijk om beredeneerd tot dit besluit te komen. Het verplaatsen van de komma mag geen trucje zijn, leerlingen moeten inzien waarom ze het doen (het getal wordt bij het vermenigvuldigen met 10 tien keer zo groot). Bij het vermenigvuldigen van kommagetallen met 100 ga je uit van een context, namelijk het aankopen van tien pakken van telkens tien pakjes zakdoeken. Je geeft de leerlingen eerst de opdracht om de prijs van één pakje zakdoeken (0,24 euro) te vermenigvuldigen met 10. Dit product vermenigvuldigen ze vervolgens nog eens met 10. Aan de hand van een pijlenschema stel je voor dat je 100 x kunt berekenen door twee keer te vermenigvuldigen met 10.

In blok zes van het vierde leerjaar schenk je aandacht aan het handig vermenigvuldigen van kommagetallen met 5 en 50. Door het oplossen van enkele duo’s als 5 x 4,8 en 10 x 4,8 besluit je met de leerlingen dat je kommagetallen, net als natuurlijke getallen, handig kunt vermenigvuldigen met 5 door het getal eerst te

Delen In het zesde blok van het vierde leerjaar behandel je eenvoudige delingen van een kommagetal door een natuurlijk getal. In het vierde leerjaar, waar de leerplannen slechts een aanzet tot het maken van delingen met kommagetallen voorschrijven, beperken we ons tot delingen van een kommagetal door een natuurlijk getal kleiner dan of gelijk aan 10 waarbij het kommagetal te herleiden is tot een tafelproduct. Leerlingen hoeven de opgegeven delingen met kommagetallen niet volledig te beheersen in het vierde leerjaar. Deze bewerkingen komen immers in het vijfde leerjaar nog uitvoerig aan bod. De bewerking 0,8 : 4 bijvoorbeeld lossen de leerlingen op door de deling te verwoorden als acht tiende gedeeld door vier is twee tiende. In de eerste fase, bij het oplossen van deze eenvoudige delingen, kunnen de leerlingen de bewerking nog leggen met de KomMatz-kaarten. Ze leggen bijvoorbeeld acht t-kaartjes en verdelen die in vier gelijke delen. Dit leggen met de kaartjes wordt al vrij snel achterwege gelaten. Het oplossen van de delingen door het verwoorden is vaak minder complex dan het leggen met concreet materiaal. Bij het oplossen van delingen als 0,3 : 6 stellen de leerlingen vast dat ze 0,3 niet zomaar kunnen delen door 6. Leerlingen lezen 0,3 als dertig honderdste en delen dat vervolgens door 6 (0,3 : 6 = 30h : 6 = 5h = 0,05). Illustreer het verband tussen tienden en honderdsten eventueel op de klassikale getallenlijn tussen 0 en 1. Inzicht in de getalstructuur van kommagetallen is dus essentieel bij het oplossen van delingen met kommagetallen. Schenk dan ook voldoende aandacht aan het verband tussen tienden, honderdsten en duizendsten (zie Hoofdstuk vier – Getallen).

Aanpak

Je behandelt ook delingen van een natuurlijk getal door een natuurlijk getal kleiner dan 10 waarbij het quotiënt kleiner dan 1 is. De werkwijze is dezelfde als bij het delen van kommagetallen door een natuurlijk getal. De deling 4 : 5 bijvoorbeeld lossen de leerlingen op door 4 te lezen als veertig tiende en vervolgens veertig tiende te delen door 5 (acht tiende, 0,8). In blok zes komen ook delingen van de vorm 3,2 : 4 aan bod. De leerlingen lossen dit type delingen op door 3,2 te lezen als 32 tiende en dat vervolgens te delen door 4. Indien nodig schrijven de leerlingen het kommagetal in het positieschema. Dat ondersteunt het lezen van kommagetallen op verschillende manieren.

In een volgende fase behandel je delingen van een kommagetal door een natuurlijk getal waarbij je het kommagetal moet splitsen in tafelproducten. De werkwijze is dezelfde als bij het delen van natuurlijke getallen. De leerlingen lossen bijvoorbeeld de bewerking 0,42 : 3 op door het deeltal te splitsen in 0,30 en 0,12. Ze verwoorden dit als: Ik splits 42h in 30h en 12h. Het inzicht in kommagetallen en het beheersen van de tafels is hierbij essentieel. Na het delen van enkele kommagetallen door 10 vergelijk je samen met de leerlingen de deeltallen en de quotiënten. Bespreek de vaststellingen van de leerlingen, bijvoorbeeld het quotiënt is tien keer kleiner dan het deeltal, elk cijfer schuift een rang op, het cijfer van de eenheden is het cijfer van de tienden geworden, … Let op! We lossen het delen door 10 beredeneerd op. Het is niet de bedoeling dat leerlingen de komma zomaar een plaats naar links opschuiven.

• Schatten Het hoofddoel van zWISo is de leerlingen tot functionele gecijferdheid te brengen. We willen ze kennis en vaardigheden bijbrengen die hen in staat stellen om wiskundige problemen in hun dagelijkse omgeving op te lossen. Een van de vaardigheden om daartoe te komen is het schatten. We schenken hieraan in zWISo dan ook veel aandacht. In de praktijk zullen we immers dagelijks verschillende malen schatten, zowel hoeveelheden als de resultaten van bewerkingen. We willen bepalen hoeveel we ongeveer zullen moeten betalen, hoeveel kilometer we nog moeten rijden, … Leerlingen die kunnen schatten, kunnen veel wiskundige situaties in hun omgeving aan. Wegens het belang van schatten is er in zWISo zelfs een aparte leerlijn schatten uitgeschreven, die van het eerste tot het zesde leerjaar doorloopt. De leerlingen leren vanaf het eerste leerjaar in verschillende situaties schatten. We bieden hen daarbij een grote diversiteit aan opdrachten. Belangrijk is dat de getallen waarmee geschat wordt steeds zorgvuldig gekozen moeten worden. De aangeboden oefeningen moeten immers zinvol zijn. Juist omdat we de functionele gecijferdheid van de leerlingen beogen, leert zWISo de leerlingen functioneel schatten. Dat betekent dat leerlingen bij het schatten een idee leren krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Bij het cijferen met kommagetallen vormt de schatting een erg handig controlemiddel. Door de rangorde van het berekende resultaat met de schatting te vergelijken kunnen de leerlingen nagaan of ze de komma juist gezet hebben. Als leerkracht bied je de leerlingen ondersteuning bij het kijken naar getallen en het schatten van het resultaat van een bewerking. Het verschil in het inzicht in de getallen van leerlingen heeft als gevolg dat de ene leerling tot een nauwkeuriger schatting kan komen dan de andere. De verschillen in die schattingen zijn een boeiend en leerrijk uitgangspunt voor een klasgesprek.

Vermenigvuldigen Beginsituatie In het derde leerjaar schatten de leerlingen een vermenigvuldiging door het vermenigvuldigtal af te ronden naar het dichtstbijgelegen ronde getal. Vervolgens berekenden ze het product van dit getal en de vermenigvuldiger. Ten slotte bepaalden ze of het product meer of minder zou zijn dan de schatting.

Gebruikswijzer

De bewerking 3 x 165 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 3 x 165  3 x 200 = 600. Het product zal minder zijn dan 600.

De ene schatting is niet beter dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Dat lukt ook met een minder nauwkeurige schatting.

Vierde leerjaar Net zoals bij het schatten van optellingen en aftrekkingen gaan we ook soepeler om met het schatten van vermenigvuldigingen. Aangezien de getallen steeds complexer worden en de niveauverschillen tussen de leerlingen toenemen, is het ook bij het schatten van vermenigvuldigingen nodig aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Leerlingen schatten dus volgens hun eigen getalinzicht. Mogelijke schattingen van bijvoorbeeld 23 x 205 zijn: 23 x 200, 20 x 200, … Schenk bij het schatten van vermenigvuldigingen steeds aandacht aan de verschillende schattingen van de leerlingen en bespreek. Hierbij moet wel voor ogen worden gehouden dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Dat lukt ook met een minder nauwkeurige schatting.

Delen Beginsituatie In het derde leerjaar schatten de leerlingen een deling door het deeltal af te ronden naar het dichtstbijgelegen ronde getal dat deelbaar is door de deler en dat getal te delen door de deler. Vervolgens bepaalden de leerlingen of het quotiënt meer of minder zou zijn dan de schatting. De bewerking 622 : 3 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 622 : 3  600 : 3 = 200. Het quotiënt zal meer zijn dan 200.

Vierde leerjaar Ook met het schatten van delingen gaan we in het vierde leerjaar soepeler om. Leerlingen schatten volgens hun eigen getalinzicht. Merk op dat je bij het schatten van een deling steeds naar de deler kijkt. Vervolgens rond je het deeltal af tot een rond getal dat makkelijk deelbaar is door de deler. De manier waarop leerlingen het deeltal afronden vertelt je meer over hun getalinzicht en schatstrategie. Mogelijke schattingen van bijvoorbeeld 6375 : 3 zijn 6000 : 3 en 6300 : 3. Schenk aandacht aan de verschillende schattingen van de leerlingen en bespreek.

• Cijferen Beginsituatie Om ze het cijferen inzichtelijk te laten opbouwen, voerden de leerlingen in het derde leerjaar de bewerking uit met concreet materiaal. Daarvoor gingen ze aan de slag met de schijven uit getallendoos 3 en met een legschema. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De bewerking werd ook in een schrijfschema geschreven. De leerkracht begeleidde deze activiteit door mee te doen aan het bord met de magnetische bordschijven (of de leerkrachtassistent). De leerlingen verwoordden steeds de verschillende stappen van het cijferalgoritme. Voor ze een bewerking cijferend uitrekenden, maakten ze geregeld een schatting. Die vormt een goed controlemiddel voor het resultaat na het cijferen. Als leerlingen voldoende inzicht hadden ontwikkeld in het cijferen, werd het leggen achterwege gelaten. In een volgende fase werden ook de onthoudcijfers bij het vermenigvuldigen niet meer geschreven. Hieronder volgt bij de beginsituatie een beschrijving van hoe het cijferend vermenigvuldigen en delen werd aangebracht in het derde leerjaar. Wat het materiaal betreft: de legschema’s en de schrijfschema’s zijn opgenomen in de kopieermap van het vierde leerjaar. De schijven zijn terug te vinden in getallendoos 3. Zoals in het onderdeel ‘Getallen’ ook al werd beschreven, kan het handig zijn om enkele van deze getallendozen in je klas ter beschikking te hebben.

Aanpak

Vermenigvuldigen De vermenigvuldiging 3 x 165 werd als volgt uitgewerkt: 1) Klaarleggen Je legt met de gekleurde magnetische bordschijven het getal 165 in het legschema (een gele bij de H, zes groene bij de T en vijf rode bij de E). Leg de magneten zó dat de hoeveelheid gemakkelijk in één oogopslag te overzien is. Je verwoordt dit getal als een honderdtal, zes tientallen en vijf eenheden. Je vraagt welke bewerking het is en laat de leerlingen verwoorden dat ze gaan vermenigvuldigen, een getal een aantal keer nemen. De leerlingen doen mee met de schijven uit de getallendoos. H

5 3

Beide getallen worden eveneens in het schrijfschema geschreven. Let daarbij op het netjes onder elkaar schrijven van de getallen. Het is een vermenigvuldiging, dus je schrijft een vermenigvuldigingsteken ter hoogte van de dikke lijn. De bewerking in het leg- en het schrijfschema is nu klaar om uitgevoerd te worden. 2) Uitvoeren Je begint bij de eenheden, dat is een afspraak. Je gebruikt een pion (uit de kopieermap) om de beginpositie aan te geven. Benadruk nog eens dat je een vermenigvuldiging gaat maken en dat je dus schijven een aantal keer gaat nemen. Je laat de leerlingen verwoorden dat ze eerst vijf eenheden drie keer moeten nemen. Je koppelt de bewerking 3 x 5 = 15 hieraan. De leerlingen leggen tien rode schijven bij in de kolom van de eenheden, zodat het totale aantal rode schijven vijftien is. Je schrijft 15 onder de dikke lijn in de kolom van de eenheden. H

5 3 15

Let op! Tijdens de eerste les cijferend vermenigvuldigen schrijf je de in te wisselen hoeveelheden aanvankelijk in het schrijfschema op het bord. Je veegt ze weg op het moment dat het te onthouden cijfer rechts naast het schema geschreven wordt. De leerlingen werken tijdens deze doe-activiteit dus niet mee in het schrijfschema. Ze noteren immers in hun schrijfschema het te onthouden cijfer onmiddellijk rechts naast het schema. Schenk hierbij veel aandacht aan het verwoorden van het cijferalgoritme: ‘Ik schrijf x en onthoud y. Ik schrijf y rechts naast het schrijfschema.’ Kom vervolgens samen tot het besluit dat je tien eenheden gaat wisselen voor een tiental. Neem tien rode schijven weg uit het legschema en leg een groene schijf onder de kolom van de tientallen. Schrijf het te onthouden tiental, namelijk 1, in het groen naast de tabel om te onthouden. De 1 (van 15) in het schrijfschema wordt weggeveegd. H

5 3

Vervolgens ga je over naar de tientallen. Je vraagt de leerlingen hoeveel tientallen er zijn en hoeveel keer we de zes tientallen moeten nemen. Koppel hier de vermenigvuldiging 3 x 6 = 18 aan. Merk op dat er nog een tiental van de inwisseling onder het legschema ligt. Samen zijn dat dus negentien tientallen. Schuif de groene schijf naar boven en streep de 1 naast het schema door. Schrijf 19 onder de dikke lijn in de kolom van de tientallen. H

5 3

Wissel tien tientallen voor een honderdtal. Neem tien groene schijven weg uit het legschema en leg een gele schijf onder de kolom van de honderdtallen. Schrijf het te onthouden honderdtal, namelijk 1, in het groen naast de tabel om te onthouden. 1 (van 19) in het schrijfschema wordt weggeveegd.

Gebruikswijzer

De bewerking in het leg- en het schrijfschema is nu klaar om uitgevoerd te worden.

2) Uitvoeren

1 1

Ten slotte ga je over naar de honderdtallen. Je vraagt de leerlingen hoeveel honderdtallen er zijn en hoeveel keer we een honderdtal moeten nemen. Koppel hier de vermenigvuldiging 3 x 1 = 3 aan. Merk op dat er nog een honderdtal van de inwisseling onder het legschema ligt. Samen zijn dat dus vier honderdtallen. Schuif de gele schijf naar boven en streep 1 naast het schema door. Schrijf 4 onder de dikke lijn in de kolom van de honderdtallen. H

5 3

Besluit met de verwoording ‘Het product van 3 en 165 is 495.’ Alle vermenigvuldigingen werden analoog uitgewerkt.

Merk op dat je bij het delen begint bij de honderdtallen, dat is een afspraak. Je zet de pion boven de honderdtallen. Benadruk nog eens dat je een deling gaat maken en dat je dus de schijven in groepen gaat delen. Je vraagt de leerlingen hoeveel groepen van drie ze kunnen maken met zes van de honderdtallen. Je koppelt de bewerking 6 : 3 = 2 hieraan. In zWISo wordt er bij het cijferend delen, net zoals bij de deeltafels, gewerkt met de verhoudingsdeling. De leerlingen gaan dus bepalen hoeveel groepen van x ze kunnen maken. De leerlingen zijn vertrouwd met deze manier van verwoorden uit de lessen over de deeltafels. Het cijferend delen werd dus in het tweede leerjaar goed voorbereid. Het grote voordeel aan deze werkwijze is dat de bewerking gelegd kan worden met materiaal en dus inzichtelijk wordt opgebouwd. De leerlingen kunnen hierdoor het quotiënt aflezen in het legschema door het aantal gevormde groepen bij de honderdtallen, de tientallen en de eenheden te tellen.

Delen De deling 622 : 3 werd als volgt uitgewerkt: 1) Klaarleggen Je legt met de gekleurde magnetische bordschijven het getal 622 in het legschema (zes gele bij de H, twee groene bij de T en twee rode bij de E). Leg de magneten zodanig dat de hoeveelheid gemakkelijk in één oogopslag te overzien is. Je verwoordt dit getal als zes honderdtallen, twee tientallen en twee eenheden. Je vraagt welke bewerking het is en laat de leerlingen verwoorden dat ze gaan delen. De leerlingen doen mee en leggen de schijven uit de getallendoos op hun legschema. deeltal H

E 6

De leerlingen maken met de zes gele schijven bij de honderdtallen twee groepen van drie. Omcirkel de twee groepen. Je schrijft 2 in het schema bij de honderdtallen onder de deler. Merk op dat je het cijfer hier noteert omdat je groepen hebt gemaakt bij de honderdtallen. Vraag de leerlingen hoeveel schijven ze hebben gebruikt om die twee groepen te maken. Laat hen verwoorden dat ze zes schijven hebben gebruikt, want 2 x 3 = 6. Merk op dat je nul honderdtallen overhoudt, want 6 – 6 = 0. Noteer deze aftrekking in het schrijfschema in de kolom van de honderdtallen van het deeltal. De leerlingen doen mee in hun schrijfschema.

deler -

Beide getallen worden eveneens in het schrijfschema geschreven. Schenk hierbij aandacht aan het schrijven van het deeltal links bovenaan in het schema. De deler wordt rechts geschreven.

6 6 0

3 2

Vervolgens ga je over naar de tientallen. Laat 2 in het schrijfschema dalen tot bij het verschil. Je laat de leerlingen verwoorden dat ze geen groep van drie kunnen maken met de 2 bij de tientallen. Schrijf 0

Aanpak

in het schema bij de tientallen onder de deler. Vraag de leerlingen hoeveel schijven ze hebben gebruikt. Laat hen verwoorden dat ze geen schijven hebben gebruikt, want ze konden geen groep van drie maken. Merk op dat je twee tientallen overhoudt, want 2 – 0 = 2. Noteer deze aftrekking in het schrijfschema in de kolom van de tientallen van het deeltal. De leerlingen doen mee in hun schrijfschema.

Besluit met de verwoording ‘Het quotiënt van 622 en 3 is 207. De rest is 1.’ Stel samen vast dat het quotiënt zichtbaar is in het legschema. Je kunt het quotiënt controleren door het aantal groepen in het legschema bij de honderdtallen, de tientallen en de eenheden te tellen. Alle delingen werden analoog uitgewerkt.

Vierde leerjaar H

6 6

2 0

3 2 0

Ten slotte ga je over naar de eenheden. Kom samen tot het besluit dat je de twee groene schijven van de tientallen gaat inwisselen voor twintig rode schijven van de eenheden. Merk op dat je nu 22 eenheden hebt. Laat twee van de eenheden in het schrijfschema dalen tot bij het verschil. Je laat de leerlingen verwoorden dat ze zeven groepen van drie kunnen maken met deze 22 eenheden. Je koppelt de bewerking 21 : 3 = 7 hieraan. De leerlingen maken met de 22 rode schijven bij de eenheden zeven groepen van drie. De ene schijf die overblijft, leggen ze onderaan in het legschema. Omcirkel de zeven groepen. Je schrijft 7 in het schema bij de eenheden onder de deler. Merk op dat je het cijfer hier noteert omdat je groepen hebt gemaakt bij de eenheden. Vraag de leerlingen hoeveel schijven ze hebben gebruikt om die zeven groepen te maken. Laat hen verwoorden dat ze 21 schijven hebben gebruikt, want 7 x 3 = 21. Merk op dat je één eenheid overhoudt, want 22 – 21 = 1.

6 6

2 0 7 quotiënt

0 2 2

2 1 1

quotiënt: 207

Noteer deze aftrekking in het schrijfschema in de kolom van de eenheden van het deeltal. De leerlingen doen mee in hun schrijfschema.

In het vierde leerjaar wordt het cijferalgoritme uitgebreid tot vermenigvuldigingen en delingen met getallen tot 100 000. Cijferoefeningen worden vaak gepresenteerd in contextsituaties, om de praktische bruikbaarheid van cijferen te benadrukken. Schenk bij het cijferen voldoende aandacht aan het schikken van de cijfers in het schrijfschema, aan het verwoorden van het cijferalgoritme en aan het gebruik van rekentaal in verband met de vermenigvuldiging en de deling. In de regel noteren de leerlingen de cijferoefening uitsluitend in het schrijfschema. Aangezien het cijferend delen pas in het laatste blok van het derde leerjaar werd geïntroduceerd, raden we aan om in de eerste lessen over cijferend delen de bewerking zeker nog eens voor te stellen met de schijven. Haal daarvoor de klassikale bordschijven en enkele getallendozen in het derde leerjaar. Het kan echter zinvol zijn om de leerlingen die cijferen moeilijk vinden vaker een vermenigvuldiging of een deling te laten leggen met de schijven uit getallendoos 3. Door terug te grijpen op dit concretere niveau, kun je de leerlingen het cijferalgoritme immers inzichtelijk laten (her)opbouwen. De leerlingen krijgen geregeld de opdracht om bewerkingen te schatten. Dat is een zinvol controlemiddel voor het berekende resultaat. In het zesde blok van het vierde leerjaar controleren de leerlingen delingen door het uitvoeren van de omgekeerde bewerking. Het uitvoeren van deze controles is een attitude die we de leerlingen willen bijbrengen. Deze controles geven de leerlingen immers een indicatie van de correctheid van hun berekende resultaat en dragen dus bij tot de praktische bruikbaarheid van cijferen. Door de leerlingen deze controlemechanismen aan te reiken, kunnen we hen cijferoefeningen op een doordachtere manier laten aanpakken. Voorts controleren ze het resultaat ook met de zakrekenmachine. Deze activiteit vormt een toepassing op het werken met de zakrekenmachine, een vaardigheid die we door alle leerjaren heen

Gebruikswijzer

opbouwen. We willen leerlingen ertoe aanzetten om de zakrekenmachine op een zinvolle manier te gebruiken bij het aanpakken van wiskundige problemen. Vooral voor de zwakkere rekenaars draagt dit hulpmiddel bij tot het functioneren in het leven van alledag. We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij een oefening en bij hun getalinzicht. In het vierde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of ze een bewerking hoofdrekenend of cijferend dienen uit te rekenen. Let op! Van bepaalde oefeningen die tot het basistraject behoren blijven we verwachten dat de leerlingen ze hoofdrekenend oplossen. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen met ronde getallen kunnen rekenen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor het functioneren in de samenleving. Vermenigvuldigen Schenk bij het oplossen van cijferoefeningen voldoende aandacht aan het correct noteren in het schrijfschema en laat de leerlingen het algoritme goed verwoorden. De vermenigvuldiging 3 x 276 verwoorden en noteren de leerlingen als volgt: - 3 x 6 = 18, ik schrijf 8 en ik onthoud 1(T). De leerlingen schrijven een 1 rechts naast het schema. - 3 x 7 = 21 en 21 + 1 = 22 (terwijl de leerlingen dit zeggen, strepen ze de 1 naast het schrijfschema door), ik schrijf nu 2. Ik onthoud 2(H) en schrijf een 2 naast het schrijfschema. - 3 x 2 = 6 en 6 + 2 = 8 (terwijl de leerlingen dit zeggen, strepen ze de 2 naast het schrijfschema door), ik schrijf nu 8. - Het product is 828. In blok twee van het vierde leerjaar breid je het cijferalgoritme uit door ook vermenigvuldigingen van het type TE x HTE te behandelen. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 14 x 156 wijs je erop dat je deze bewerking ook in ĂŠĂŠn cijferoefening kunt oplossen. De leerlingen voeren eerst de bewerking hoofdrekenend uit door 14 te splitsen in 10 en 4. Aan de hand van deze activiteit stel je samen met de leerlingen vast dat je deze oefening cijferend kunt oplossen door eerst 156 te vermenigvuldigen met 4 en dan met 10 en vervolgens de twee tussenproducten op te tellen.

Bij het vermenigvuldigen met de tientallen schenk je aandacht aan het noteren van een nul bij de eenheden.

In het derde en het vierde blok breid je het cijferalgoritme uit tot vermenigvuldigingen met getallen tot 100 000. De werkwijze blijft dezelfde. Vanaf het vierde blok van het vierde leerjaar noteren de leerlingen cijferoefeningen op een ruitjespatroon. Schenk hierbij voldoende aandacht aan het netjes onder elkaar schrijven van de getallen. Bij het cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen (blok 5) benadruk je dat het cijferalgoritme ongewijzigd blijft. Schenk wel voldoende aandacht aan de plaats van de komma en aan het verwoorden van het cijferalgoritme. Bij het cijferend vermenigvuldigen van kommagetallen vormt de schatting een erg zinvol controlemiddel. De orde van grootte van de schatting geeft de leerlingen een indicatie of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma dus op de juiste plaats gezet hebben. Aanvankelijk noteren de leerlingen de cijferoefening nog in een schrijfschema, maar ook hier wordt er snel overgestapt naar het noteren op een ruitjespatroon.

Delen In de eerste les cijferend delen raden we aan om de bewerking ook nog eens voor te stellen met de schijven (zie beginsituatie). Het cijferend delen werd immers pas in het laatste blok van het derde

Aanpak

leerjaar geïntroduceerd. Niet alle leerlingen zullen het cijferalgoritme dus al beheersen. Schenk bij het uitvoeren van een staartdeling voldoende aandacht aan het noteren in het schrijfschema en het verwoorden van het algoritme. De leerlingen noteren en verwoorden de deling 585 : 5 als volgt: - Hoeveel keer 5 in 5? (1 keer) - Ik schrijf 1 bij de H onder de deler. - 1 keer 5 is 5. - Ik schrijf 5 onder de 5 van de H van het deeltal. - 5 min 5 is 0. - Ik schrijf het verschil onder de H van het deeltal. - 8 laten dalen tot bij het verschil. - Hoeveel keer 5 in 8? (1 keer) - Ik schrijf 1 bij de T onder de deler. - 1 keer 5 is 5. - Ik schrijf 5 onder de 8 van de T van het deeltal. - 8 min 5 is 3. - Ik schrijf het verschil onder de T van het deeltal. - 5 laten dalen tot bij het verschil. - Hoeveel keer 5 in 35? (7 keer) - Ik schrijf 7 bij de E onder de deler. - 7 keer 5 is 35. - Ik schrijf 35 onder de 35 van de T en E van het deeltal. - 35 min 35 is 0. - Ik schrijf het verschil onder de T en E van het deeltal. - Er blijft 0 over. - Het quotiënt van 585 : 5 is 117. - De rest is 0.

In blok twee behandel je ook delingen van het type HTE : E waarbij het cijfer van de honderdtallen kleiner is dan de deler. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 175 : 5 merken de leerlingen op dat 5 geen enkele keer in 1 gaat. Ze trekken vervolgens een boogje over de honderdtallen en de tientallen en voeren het bekende cijferalgoritme uit. Werk eventueel uit met de bordschijven: wissel het ene gele schijfje (honderdtal) om voor tien groene schijven (tientallen) en voer vervolgens het cijferalgoritme uit. Bij het noteren van het quotiënt benadruk je dat we geen honderdtallen hebben en dat het quotiënt dus kleiner is dan 100, omdat we geen groepje konden maken bij de honderdtallen. In het derde en het vierde blok van het vierde leerjaar breid je het cijferalgoritme uit tot delingen met getallen

tot 100 000. De werkwijze hierbij is dezelfde als bij het cijferend delen met getallen tot 1000: we noteren de deling in een schrijfschema en verwoorden. Vanaf blok vier maken de leerlingen de delingen niet meer in een schrijfschema, maar noteren ze ze op een

ruitjespatroon. Schenk hierbij voldoende aandacht aan het netjes onder elkaar schrijven van de getallen. Bij het cijferend delen met kommagetallen in blok zes benadruk je dat het cijferalgoritme ongewijzigd blijft. Bij het delen van de tienden zetten de leerlingen de komma in het quotiënt. Schenk voldoende aandacht aan de plaats van de komma en aan het verwoorden van het cijferalgoritme. De schatting vormt bij het cijferend delen een erg zinvol controlemiddel. De orde van grootte van de schatting geeft de leerlingen immers een indicatie of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma dus juist gezet hebben. Laat de leerlingen steeds de waarde van de rest bepalen. Bij de deling 714,81 : 7 bijvoorbeeld formuleren de leerlingen de volgende antwoordzin: ‘Het quotiënt is 102,11 en de rest is 0,04’. Je geeft de leerlingen ook de opdracht om te delen tot op een bepaald aantal decimalen. Als ze bijvoorbeeld 5412,7 moeten delen door 6 tot op een duizendste nauwkeurig, vullen de leerlingen in het schrijfschema twee nullen aan in het deeltal en voeren ze vervolgens het bekende cijferalgoritme uit.

Gebruikswijzer

Breuken In het vierde leerjaar begin je met het maken van bewerkingen met breuken. We beperken ons hierbij tot het optellen en aftrekken van gelijknamige breuken. Optellen 2

In blok drie schets je de volgende situatie: ‘Ik eet 8 van een pizza en mijn broer eet 38 van de pizza. Welk deel van de pizza eten we samen?’ Illustreer dit met een afbeelding van een in acht gelijke delen verdeelde pizza. Je koppelt hier de bewerking 28 + 38 aan en komt door het tellen van het aantal delen van de pizza tot het besluit dat 28 + 38 = 58 . De leerlingen leggen deze bewerking ook met de breukendoos: ze leggen de strook van 28 en leggen er dan die van 3 8 achter. Vervolgens zoeken ze de strook die even lang is ( 58 ). Na het herhalen van deze activiteit met enkele andere breuken stel je vast dat je breuken met dezelfde noemer optelt door de tellers op te tellen en de noemers te behouden. Leerlingen verwoorden dit op hun eigen manier. Door te werken met betekenisvolle situaties en door het leggen met de breukendoos bouwen de leerlingen bewerkingen met breuken inzichtelijk op. Het optellen en aftrekken van breuken krijgt op deze manier immers een betekenis. Aftrekken

Verschuiven Ten slotte kunnen de leerlingen de bewerking 3 1 3 4 - 4 ook oplossen door de strook van 4 zo op het breukenbord te leggen dat de streepjes van de vierden zichtbaar zijn. De leerlingen denken 14 weg en stellen vast dat er nog 24 overblijft. Na het oplossen van enkele aftrekkingen met breuken besluit je dat je bij het aftrekken van breuken met dezelfde noemer de tellers van elkaar aftrekt en de noemer behoudt. De leerlingen verwoorden dit op hun eigen manier. Het maken van optellingen en aftrekkingen met breuken waarvan de teller groter is dan de noemer werk je op dezelfde manier uit. Voor het leggen van deze bewerkingen met de breukendoos gebruiken de leerlingen twee breukenborden.

Het aftrekken van gelijknamige breuken aan de hand van de breukendoos kan op drie verschillende manieren: Wegnemen 3

Bij het oplossen van de bewerking 4 - 4 kunnen de leerlingen de gelegde strook van 34 omwisselen in drie stroken van 14 en vervolgens één strook van 14 wegnemen. Op deze manier komen de leerlingen tot de vaststelling dat 34 - 14 = 24 . Vergelijken 3

Een andere manier om de bewerking 4 - 4 op te lossen is de strook van 34 op het breukenbord te leggen en er vervolgens de strook van 14 op te leggen. De leerlingen zoeken in hun breukendoos de strook die ze na 14 moeten leggen, zodat de strook van 34 volledig bedekt is (strook 24 ).

Aanpak

3 Meten Lengte, inhoud en gewicht In het vierde leerjaar worden de lengte-, inhoudsen gewichtsmaten verder uitgebreid. De maateenheden millimeter, milliliter en ton worden geïntroduceerd. Door verschillende meetopdrachten uit te voeren, ervaren de leerlingen de behoefte aan een grotere of een kleinere maat. Behalve het meten van verschillende voorwerpen, krijgen de leerlingen ook de opdracht om de lengte, de inhoud of het gewicht van voorwerpen te schatten en te vergelijken. Hierdoor bouwen ze de meetdomeinen inzichtelijk op en komen ze via het meten met natuurlijke maten tot de standaardmaten.

te noteren als kommagetal. Ze noteren 2 l 4 cl bijvoorbeeld als 2,04 l. Bij deze herleiding noteren ze 2 l en 4 cl in de tabel van de inhoudsmaten en leggen ze de strook met HTEthd erboven. Door de strook met de E boven de kolom van de l te leggen kunnen de leerlingen aflezen dat 2 l 4 cl = 2,04 l. Voorts geef je de leerlingen geregeld de opdracht om de juiste maat te kiezen bij een bepaalde meting en om meetresultaten op verschillende manieren te noteren. De gemaakte oefeningen op het schatten van de lengte, de inhoud of het gewicht van voorwerpen komen hier van pas. Geleidelijk aan wordt op deze manier het inzicht in (de verhouding tussen) de maateenheden inzichtelijk opgebouwd en geoefend. Heel de methode door werken we met zorgvuldig gekozen referentiematen. Die worden vanaf het eerste leerjaar ingevoerd. Deze maten worden ook in de hogere leerjaren gebruikt, zodat ook bij meten de doorgaande lijn gegarandeerd wordt. Het is dus belangrijk om samen met je collega’s de referentiematen te bekijken. Die moeten steeds zichtbaar zijn in de klas. Je kunt hiervoor een bepaalde hoek van de klas aankleden als meethoek. De referentiematen in de handleiding zijn slechts voorstellen. Je kunt uiteraard ook andere voorwerpen – die eventueel prominent aanwezig zijn in de schoolomgeving – als referentiematen gebruiken.

Je schenkt ook aandacht aan het maken van herleidingen, om zo het verband tussen de verschillende maateenheden te verankeren. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld de opdracht 4,12 m te lezen als 4 m 1 dm en 2 cm of als 4 m en 12 cm. Hiervoor noteren ze 4,12 in het positieschema en leggen ze een strookje met de lengtematen boven dit schema. Ze leggen het strookje zo dat m boven E staat. Op deze manier kunnen ze aflezen uit hoeveel meter, decimeter en centimeter de lengte 4,12 m bestaat. Nadat ze nog enkele van zulke opdrachten in verband met lengte, inhoud, gewicht en geld hebben uitgevoerd, stel je samen vast dat als de maateenheid tien keer kleiner wordt, het maatgetal tien keer groter wordt. Vervolgens geef je de leerlingen de opdracht om een maat die uitgedrukt is in verschillende maateenheden

Referentiematen die aan bod komen in het vierde leerjaar van zWISo zijn:

Lengte 1 mm

1 cm

1 dm

dikte breedte lengte vingernagel vingernagel handpalm

lengte nietje

afstand tussen buitenhoeken ogen

1 km

meterstok

van school tot …

breedte deur

grote stap

Gewicht 1g

100 g

1 kg

kauwgom

4 kleine plakjes kaas

pak suiker pak zout

Gebruikswijzer

Inhoud 1 ml

1 cl

1 dl

x druppels (afhankelijk van de druppelteller)

eetlepel

flesje yoghurtdrank

brik melk

fles water

De deeldomeinen lengte, inhoud en gewicht komen geregeld in vraagstukken aan bod. Hierbij kunnen de leerlingen gebruik maken van de verhoudingstabel. In het zevende blok worden de begrippen bruto, tarra en netto geïntroduceerd, wat hoofdzakelijk wordt geoefend in vraagstukken. Bij het introduceren van kommagetallen gaan we ook uit van de rijke context van meten, namelijk van inhoud en lengte (Hoofdstuk 4, zie Getallen).

In blok zes wordt het begrip snelheid geïntroduceerd. Snelheid is een begrip dat vaak erg eng wordt benaderd. In zWISo kiezen we er bewust voor om niet enkel de relatie tussen afstand en tijd te onderzoeken. Aan de hand van verschillende activiteiten ervaren de leerlingen het verband tussen het aantal handelingen en de duur enerzijds (bijvoorbeeld Hoeveel sprongen kun je maken in 15 seconden? In 60 seconden?) en tussen de snelheid van het handelen en het aantal handelingen anderzijds (bijvoorbeeld Vergelijk jouw aantal sprongen met deze van een andere leerling. Waarom hebben jullie een verschillend resultaat?). Door een dergelijke variëteit aan activiteiten komen de leerlingen tot een rijke invulling van het begrip snelheid. Pas in een volgende fase schenken we meer aandacht aan de meest voorkomende invulling van snelheid, namelijk afstand per tijdseenheid.

Oppervlakte Binnen het domein lengte schenk je ook aandacht aan het begrip omtrek. De leerlingen benoemen de rand van figuren als omtrek en berekenen deze omtrek door te meten en door gebruik te maken van de eigenschappen van de zijden van een figuur. In een volgende fase tekenen de leerlingen figuren met een gegeven omtrek. In het derde blok van het vierde leerjaar maken de leerlingen kennis met het begrip schaal. Door allerlei voorwerpen en afbeeldingen op schaal te onderzoeken komen ze tot een inzichtelijke invulling van dit begrip. Ze verwoorden schaal als ‘1 cm is in werkelijkheid x cm’. Vervolgens berekenen de leerlingen ook de werkelijke afmeting als de schaal gegeven is. In het zesde blok van het vierde leerjaar wordt dit onderwerp verder uitgediept. Leerlingen krijgen dan de opdracht om zelf de schaal te noteren als een breuk en een verhouding. Ten slotte bepalen ze de werkelijke grootte van voorwerpen door de verhouding tussen twee voorwerpen op schaal toe te passen.

In het derde blok van het vierde leerjaar komen de begrippen oppervlak en oppervlakte aan bod. De leerlingen vergelijken oppervlakten door figuren op elkaar te leggen en meten oppervlakten met natuurlijke maateenheden (bedekken met concreet materiaal). Door deze activiteiten ervaren de leerlingen dat hoe groter de maateenheid is waarmee gemeten wordt, hoe kleiner het maatgetal is. Zo ervaren ze ook de behoefte aan standaardmaten. In het vierde blok worden de oppervlaktematen vierkante centimeter, vierkante decimeter en vierkante meter geïntroduceerd. De leerlingen krijgen hierbij de opdracht om een vierkante centimeter, een vierkante decimeter en een vierkante meter te tekenen en te vormen met concreet materiaal. Ze bepalen de oppervlakte van voorwerpen door deze te beleggen met vierkante centimeters, vierkante decimeters en vierkante meters. We schenken ook aandacht aan de onderlinge verhouding van de oppervlaktematen. De referentiematen voor de oppervlaktematen zijn: 1 cm²

1 dm²

1 m²

vingernagel

handpalm

zijbord

Tijdens de lessen over omtrek en oppervlakte maken we gebruik van spijkerborden. Als leerkracht werk je met een klassikaal spijkerbord van 1 m² dat onderverdeeld is in 100 dm². De leerlingen hebben elk een individueel bord waarop ze figuren kunnen vormen. De oppervlakte van deze figuren wordt uitgedrukt in een aantal hokjes. Door verschillende

Aanpak

figuren te vormen op het spijkerbord ervaren de leerlingen dat figuren met dezelfde oppervlakte een verschillende vorm of een verschillende omtrek kunnen hebben. Inzichtelijk is dit belangrijk voor het latere functionele rekenen alsook voor het omstructureren van figuren om tot formules van oppervlakteberekening te komen (zie hieronder).

opdracht om de prijs van een aantal producten te bepalen en om terug te geven op een bepaald bedrag. In blok zeven introduceer je de begrippen inkoopprijs, verkoopprijs, winst en verlies. Ook dit zijn inhouden die hoofdzakelijk in vraagstukken aan bod komen.

Tijd

In het vijfde blok van het vierde leerjaar behandel je de oppervlakte van rechthoeken en vierkanten. De leerlingen ontdekken door het bedekken van figuren met papieren stroken de formule l x b (OVSG en GO) of b x h (VVKBaO). In het zesde blok ervaren de leerlingen al handelend dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek berekend kan worden door de helft te nemen van de oppervlakte van een rechthoek met dezelfde hoogte en basis. Deze eigenschap passen de leerlingen geregeld toe bij het berekenen van de oppervlakte van willekeurige figuren. Door de figuren op het spijkerbord of op papier om te structureren kunnen de leerlingen het meetdomein oppervlakte inzichtelijk verder opbouwen.

Geld Aan het einde van het derde leerjaar kennen de leerlingen alle munten en biljetten van de euro. Ze kennen ook het verband tussen euro en eurocent. In het vierde leerjaar worden er dus geen nieuwe inhouden voor het domein geld geĂŻntroduceerd. De al bekende leerstof wordt wel verder geoefend en uitgediept. De leerlingen betalen bedragen in euro en eurocent gepast. Ze leren ook een bedrag dat als kommagetal geschreven staat te lezen als x euro en y eurocent. Hierbij schenk je voldoende aandacht aan het verband tussen euro en eurocent. De leerlingen werken vaak met folders en namaakgeld om de situatie zo realistisch mogelijk te maken. Geld is een context die ook vaak gebruikt wordt in vraagstukken. Zo krijgen de leerlingen geregeld de

Aan het einde van het derde leerjaar kunnen leerlingen de analoge en digitale klok lezen tot op een minuut nauwkeurig (OVSG tot op vijf minuten). In het vierde leerjaar breiden we dit uit tot het lezen van het uur tot op een seconde nauwkeurig. Klokkijken blijft voor veel leerlingen ook in het vierde leerjaar moeilijk. We besteden in zWISo dan ook veel aandacht aan het verwoorden en zo eenduidig mogelijk aanbrengen van het begrip tijd. De leerlingen oefenen in het vierde leerjaar verder op het aangeven van de tijd en het aflezen van de klok. Daarbij kunnen ze gebruik maken van klokjes. Hiernaast schenk je ook aandacht aan het ervaren en het bepalen van tijdsduur. De leerlingen bepalen bijvoorbeeld de begintijd/eindtijd als de eindtijd/ begintijd en de tijdsduur gegeven zijn en zetten tijdstippen om van de analoge naar de digitale klok en omgekeerd. De nadruk op het feit dat een dag bestaat uit 24 uur en dat tijdstippen genoteerd kunnen worden als voor en na de middag helpt hen hierbij. De kopieermap bevat een 24-uurstijdlijn die een houvast kan zijn voor het lezen van de digitale klok en het aangeven van tijdstippen na de middag. Deze tijdlijn mag zo lang gebruikt worden als nodig. In het eerste blok van het vierde leerjaar schenken we aandacht aan het lezen van tijdstippen op een klok met Romeinse cijfers. Voorts behandel je begrippen als vandaag, morgen, gisteren, â&#x20AC;Ś en worden de termen schrikkeljaar en eeuw geĂŻntroduceerd. De leerlingen gaan ook aan de slag met kalenders om de volgorde van de maanden en het aantal dagen van de maanden op te zoeken, waarbij ook begrippen als trimester, kwartaal en semester betekenis krijgen. Je laat de leerlingen ook geregeld de tijdsduur in dagen/maanden op een kalender bepalen. Ten slotte

Gebruikswijzer

schenken we ook aandacht aan het noteren van data op verschillende manieren en aan het lezen en interpreteren van dienstregelingen, bijvoorbeeld van de trein.

Let op! Net zoals bij het aspect tijd dient er aan het aspect temperatuur systematischer aandacht te worden geschonken dan alleen in de daaraan gewijde lessen.

Hoeken

De opdrachten in verband met tijd die de leerlingen maken zijn meestal ingebed in betekenisvolle contexten. Het toepassen van de leerstof draagt ertoe bij om de brug naar de werkelijkheid te slaan en zo te komen tot functionele wiskunde. Let op! De leerlijn tijd wordt in zWISo benaderd als een procesdoel. Dat wil zeggen dat het niet voldoende is om er alleen in de lessen over klokkijken aandacht aan te schenken. Het is belangrijk dat je voortdurend mogelijkheden aangrijpt om het klokkijken te bevorderen. Het gebruik van spellen tijdens het hoekenwerk en het dagelijks aflezen van de klok dragen hiertoe zonder twijfel bij.

Temperatuur In het derde blok van het vierde leerjaar gaan de leerlingen op zoek naar voorwerpen om temperaturen af te lezen en geven ze die ook aan op een thermometer. Ze maken hiervoor gebruik van de term ‘graden Celsius’. 0°C krijgt extra aandacht, alsook het verschil tussen positieve en negatieve temperaturen. Voorts geef je de leerlingen de opdracht om temperatuursverschillen te bepalen, temperaturen voor te stellen in grafieken en positieve en negatieve temperaturen op de getallenlijn te plaatsen. Dat laatste geeft de leerlingen inzicht in het verschil tussen positieve en negatieve temperaturen en is bovendien een goede voorbereiding op latere, abstractere oefeningen.

In het derde leerjaar werd het begrip hoek geïntroduceerd. In het vierde leerjaar wordt dit onderwerp verder uitgediept in een doordachte, logische opbouw. De leerlingen onderzoeken eerst hoeken met een zwaaihoek (twee met een splitpen aan elkaar bevestigde repen karton). Ze vergelijken en rangschikken hoeken op deze manier van groot naar klein en omgekeerd.

Vervolgens gaan ze hoeken meten met papieren spieën van verschillende grootte. Op basis van deze activiteit stel je samen vast dat hoe kleiner de maateenheid is waarmee gemeten wordt, hoe groter het maatgetal is. Dit meten met een kwalitatieve maat is een goede voorbereiding op de volgende stap: het meten van hoeken met de graadboog (geodriehoek). Tijdens de lessen over hoeken komen de begrippen scherp, recht en stomp aan bod.

Aanpak

4 Meetkunde Voor het domein meetkunde geldt dat de inhouden net als in de voorgaande leerjaren handelend benaderd worden. De leerlingen ervaren de verschillende aspecten van meetkunde door bijvoorbeeld figuren te onderzoeken, te handelen met materiaal en zichzelf te verplaatsen in de ruimte. Hierbij bouwen we verder op de kennis en vaardigheden die de leerlingen de voorbije jaren opdeden. Stilaan maken we de overstap naar een meer abstracter niveau.

Ruimtelijke oriëntatie Het onderwerp richting onderzoek je samen met de leerlingen uit verschillende gezichtspunten door je te verplaatsen in de ruimte. Hierbij stimuleer je het gebruik van termen als links, rechts, voor, achter, … Ook blokkenbouwsels blijven geregeld een lesonderwerp. Je laat de leerlingen bouwsels nabouwen (op basis van foto’s en hoogtegetallen) en een grondplan met hoogtegetallen noteren. Ze verwoorden de aanzichten als voorkant, achterkant en zijkant (terminologie bij driedimensionale voorstellingen). In het vijfde blok van het vierde leerjaar introduceer je de begrippen vooraanzicht, bovenaanzicht en zijaanzicht (terminologie bij tweedimensionale voorstellingen). Leerlingen krijgen ook de opdracht om aan de hand van verschillende aanzichten een bouwsel te bouwen en om bij een bouwsel de aanzichten te tekenen.

krijgen ze ook de opdracht om hoeken te tekenen en te vormen. Op deze manier wordt het benoemen van hoeken als recht, scherp en stomp en het gebruik van de begrippen hoek, hoekpunt en benen, wat reeds aan bod kwam in het derde leerjaar, herhaald. In deze les onderzoeken de leerlingen de hoeken ook met een geodriehoek. (Zie ook 3. Meten – Hoeken voor meer uitleg.) In het tweede blok onderzoek je samen met de leerlingen driehoeken, rechthoeken en vierkanten. Na het classificeren van vlakke figuren als veelhoeken en niet-veelhoeken gaat er voldoende aandacht naar het benoemen van de figuren. De leerlingen onderzoeken de figuren grondig (hoeken en zijden) met behulp van de geodriehoek en ontdekken en benoemen op deze manier termen als overstaande/tegenoverliggende zijden en hoeken. In een volgende fase leren de leerlingen figuren met bepaalde eigenschappen te tekenen. Bij het onderzoeken van driehoeken krijgen de termen scherphoekige, rechthoekige en stomphoekige driehoek en gelijkzijdige, gelijkbenige, ongelijkzijdige/ongelijkbenige driehoek betekenis. In het derde blok van het vierde leerjaar classificeren de leerlingen vierhoeken volgens de evenwijdigheid van zijden en de gelijkheid van zijden en het aantal rechte hoeken. In dit blok krijgen ook de begrippen trapezium, parallellogram en ruit inhoudelijk betekenis. In het volgende blok worden de diagonalen van vierhoeken onderzocht. De leerlingen benoemen en tekenen diagonalen en onderzoeken en verwoorden er ook de eigenschappen van. In het vijfde blok van het vierde leerjaar ten slotte ontdekken, benoemen, onderzoeken en tekenen de leerlingen cirkels. De begrippen middellijn (diameter), middelpunt en straal krijgen tijdens de bijbehorende doe-activiteiten betekenis.

Vormleer In het vierde leerjaar worden de eigenschappen van vlakke figuren verder verkend, op een formelere manier dan in het derde leerjaar. In het eerste blok van het vierde leerjaar gaan de leerlingen aan de slag met een zwaaihoek en met spieën om allerlei hoeken te onderzoeken. Daarnaast

Gebruikswijzer

Meetkundige relaties Om voortbouwend op vorige leerjaren de leerlingen verder inzicht te geven in meetkundige relaties, laat je ze lijnen in de omgeving en aan vlakke figuren onderzoeken en benoemen als snijdende of evenwijdige rechten of als rechten in loodrechte stand/loodlijnen. Je geeft hen ook de opdracht om snijdende en evenwijdige rechten en loodlijnen te tekenen met behulp van een geodriehoek. Bij het aangeven van evenwijdige rechten en loodlijnen gebruiken de leerlingen de symbolen // en . De leerlingen onderzoeken net zoals in het derde leerjaar spiegelingen in de omgeving en in vlakke figuren. Ze gebruiken daarbij de termen spiegelbeeld, spiegelas en spiegeling. In het vierde blok van het vierde leerjaar ga je samen met de leerlingen een spiegelbeeld tekenen en onderzoeken. Je stelt bijvoorbeeld samen vast dat het voorwerp en het spiegelbeeld dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben, dat het voorwerp en het spiegelbeeld symmetrisch ten opzichte van de spiegelas liggen, …

Het ontdekken van symmetrie (een spiegeling waarbij je de volledige figuur ziet) doen de leerlingen in het vijfde blok van het vierde leerjaar door een spiegel te gebruiken en door te vouwen. Ze krijgen ook de opdracht om symmetrieassen te tekenen. Aangezien het gebruik van de term symmetrieas geen doel is in het leerplan van OVSG, omschrijven we een symmetrieas in het leerlingmateriaal ook als een spiegelas waarbij je de volledige figuur opnieuw ziet. Het verband tussen de plaats van de lichtbron en de schaduw en tussen het tijdstip van de dag en de plaats van de schaduw komt eveneens in het vierde leerjaar verder aan bod. Daartoe onderzoeken de leerlingen schaduwen, veroorzaakt door de zon of een andere lichtbron.

In het laatste blok van het vierde leerjaar bekijk je samen met de leerlingen verschillende ruimtefiguren. Het benoemen van de vlakke figuren aan de ruimtefiguren, mede door het ontvouwen van de ruimtefiguren, is hier belangrijk. Ter bevordering van het ruimtelijk inzicht geef je de leerlingen ook de opdracht om bepaalde figuren te vormen met pentomino-puzzelstukken.

5 Vraagstukken Het hoofddoel van zWISo is functionele gecijferdheid. Wij willen ertoe bijdragen dat leerlingen problemen die in het echte leven op hun weg komen kunnen aanpakken. Daarom hechten we in zWISo veel belang aan het behandelen van oefeningen in een betekenisvolle context, een context die aansluit bij de leefwereld van de leerlingen. In sommige leerplannen zijn deze vraagstukken opgenomen in een aparte rubriek toepassingen. Wij hebben bewust geen aparte leerlijn toepassingen opgenomen in de leerlijn omdat we ervan overtuigd zijn dat het oplossen van vraagstukken in elk domein en domeinoverschrijdend (bijvoorbeeld meten en bewerkingen) aan bod moet komen.

In de loop van het vierde leerjaar maken de leerlingen geregeld vraagstukken om de bekende schema’s (bijvoorbeeld getallenlijn, verhoudingstabel, cijferschema, positieschema, …) toe te passen en te oefenen. De opgaven zijn omvangrijker dan in het derde leerjaar, maar blijven wel geregeld vergezeld van een afbeelding, ter ondersteuning van het tekstuele. De gegevens zijn soms ook voorgesteld in een tabel of een grafiek.

Aanpak

Vanaf het vierde leerjaar reiken we ook vraagstukken met een opener karakter aan. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld de opdracht om zelf een vraagstuk te bedenken bij een gegeven oefening. Deze laatste opdrachten maken echter geen deel uit van het basistraject en zijn bijgevolg opgenomen in de zWISobox.

De vier pictogrammen zien er als volgt uit:

Het maken van vraagstukken vormt vaak een grote uitdaging voor de leerlingen. Het is belangrijk dat je voldoende aandacht schenkt aan het zorgvuldig lezen en analyseren van het vraagstuk. Om het oplossen van vraagstukken eenvoudiger te maken, werken we bij het berekenen van het resultaat met onbenoemde getallen. De leerlingen gebruiken dus geen maateenheden in de bewerkingen. Deze eenheid wordt pas bij het formuleren van een antwoordzin gekoppeld aan het resultaat. Op deze manier kunnen de leerlingen zich bij het maken van de bewerkingen volledig concentreren op het uitvoeren van de wiskundige procedure. zWISo biedt voor het oplossen van vraagstukken een methodespecifiek stappenplan dat de leerlingen ertoe aanzet om vraagstukken op een weldoordachte en gestructureerde manier aan te pakken. Het leerkrachtmateriaal omvat vier pictogrammen die dat stappenplan ondersteunen. Je kunt die kaarten in de klas ophangen en er bij het oplossen van vraagstukken naar verwijzen. De pictogrammen worden ook verkleind afgebeeld in het werkboek, om de leerlingen eraan te herinneren dat een vraagstuk volgens een bepaald stappenplan opgelost wordt.

Matz leest Als dit pictogram gebruikt wordt, lezen de leerlingen het vraagstuk en bepalen ze wat er gevraagd wordt. Matz denkt na In deze fase gaan de leerlingen na wat ze moeten weten om het vraagstuk op te lossen. Ze bepalen ook hoe ze de bewerkingen gaan oplossen. Matz doet Dit pictogram symboliseert het uitvoeren van de bewerkingen. Matz antwoordt Ten slotte formuleren de leerlingen een antwoord op de vraag.

Hoofdstuk 5 • Observatie, remediëring en evaluatie In een gemiddelde Vlaamse klas van het lager onderwijs zitten kinderen met uiteenlopende cognitieve vaardigheden. Het is belangrijk dat de leerkracht inspanningen doet om elk kind de kans te geven om zijn talenten, op zijn niveau, maximaal te ontplooien. Bovendien blijkt uit recent onderzoek dat in Vlaanderen de kloof tussen sterke en zwakkere leerlingen in het wiskundeonderwijs groot is. De overheid en de onderwijskoepels dringen er sterk op aan om daar extra aandacht aan te schenken.

Signaleren en diagnosticeren Bij het signaleren en diagnosticeren hebben we oog voor de leerling in zijn totaliteit: het gaat dus niet alleen om cognitief, maar ook om affectief en sociaal gedrag. Leermoeilijkheden hebben niet zelden te maken met gedragsproblemen die een emotionele of een sociale oorzaak hebben. Dat neemt echter niet weg dat tempotoetsen en observatie- en eindtoetsen waardevolle middelen zijn om rekenmoeilijkheden op te sporen en de aard ervan te achterhalen. Hoe eerder dat gebeurt, hoe groter de kans om deze problemen geheel of gedeeltelijk op te lossen. Op die manier kunnen ernstige leerachterstanden voorkomen worden. Als de rekenontwikkeling duidelijk te wensen overlaat, is de eerste vraag of deze problemen opgelost kunnen worden door herinstructie of verlengde instructie. Vervolgens komt de vraag aan de orde of er leerlingen zijn die specifieke pedagogisch-didactische behoeften hebben. Problemen bij de ontwikkeling van wiskundige kennis en vaardigheden kunnen immers ook te wijten zijn aan onvoldoende zelfsturing, beperkte mentale activiteit, gedragsproblemen (bijvoorbeeld ADHD) of zwakke taalkennis en taalvaardigheid. De diagnosestelling en de aanpak van deze problemen vereisen gespecialiseerde hulp. Ze vallen buiten het bestek van de zWISo-methode.

Preventie en interventie Preventie en interventie zijn de aangewezen wegen om in een zo vroeg mogelijk stadium gesignaleerde tekorten in de ontwikkeling van de wiskundige kennis en vaardigheden aan te pakken. Preventie van rekenproblemen vertaalt zich met name in de ontwikkeling van een goed inzicht en het aanleren van goede oplossingsstrategieën. Interventie vertaalt zich in het geven van extra instructie- en oefentijd aan leerlingen die uit de boot dreigen te vallen.

In een vroeg stadium heeft gerichte aandacht voor de rekenontwikkeling grote invloed. In zWISo wordt er daarom vanaf het eerste leerjaar gewerkt met doordachte wiskundige modellen die inzichtelijk worden opgebouwd. In het algemeen geldt dat zwakke rekenaars baat hebben bij gerichte en degelijke instructie. In de lesbeschrijving worden geregeld tips gegeven om het lesverloop en de verwerking aan te passen aan de behoeften van deze leerlingen. Voorts worden er in de lesbeschrijvingen ook aanwijzingen gegeven voor de gerichte observatie van de leerlingen. Door dit preventieve onderwijs kan er snel worden ingegrepen bij onduidelijkheden of problemen en kan een grote achterstand vermeden worden. Risicoleerlingen hebben, ook al wordt de groepsinstructie goed gegeven, meestal toch nog behoefte aan verlengde instructie of herinstructie en aan meer begeleiding bij het verwerken van de leerstof. Een belangrijke factor hierbij is de hoeveelheid tijd die een leerling daarvoor krijgt. Voor rekenen hebben deze leerlingen meestal extra tijd nodig om de aansluiting met de groep niet te verliezen. Aangezien de verwerking van de leerstof in het werkboek grotendeels zelfstandig werk is, komt er voor de leerkracht tijd vrij voor verlengde instructie en ondersteuning van de zwakkere rekenaars. De remediëringslessen tijdens de laatste week van elk blok zijn een uitgelezen moment om de zwakke rekenaars gericht bij te sturen. De extra hulp die deze leerlingen krijgen, kan het beste gegeven worden met de beschikbare materialen van de methode. De breukendoos, de KomMatz-kaarten en de getallenlijnen zijn uitstekende leermiddelen voor de remediëring van zwakke rekenaars. Het is ook belangrijk om extra aandacht te schenken aan taalzwakke leerlingen. De manier waarop zWISo hierop inspeelt wordt verduidelijkt in het onderdeel zorg in hoofdstuk 1.

Hoe verlopen observatie, remediëring en evaluatie in zWISo? Om goed te kunnen omgaan met verschillen tussen leerlingen moet je een nauwkeurig beeld van het niveau van elke leerling hebben. De meeste scholen gebruiken tegenwoordig een leerlingvolgsysteem dat alle leerjaren omvat en waarin de vorderingen van de leerlingen op de belangrijkste leergebieden zichtbaar gemaakt worden. Om zo vroeg mogelijk te kunnen ingrijpen bij rekenproblemen is echter een

Gebruikswijzer

Observatie, remediëring en evaluatie

methodegebonden en fijnmaziger volgsysteem noodzakelijk. In zWISo wordt er met behulp van observatie- en eindtoetsen op geregelde basis gedetailleerde informatie over de voortgang van het verwerven van wiskundige kennis en vaardigheden verzameld. Op basis hiervan is het mogelijk achterstanden of problemen vroegtijdig op te sporen (signaleren), na te gaan wat de oorzaak ervan kan zijn (diagnosticeren) en aanwijzingen te geven hoe achterstanden eventueel voorkomen of verholpen kunnen worden (preventie en remedie).

Om de rekenontwikkeling van je leerlingen te volgen mag je uiteraard niet wachten tot het toetsmoment. Reeds in de loop van het leertraject levert de observatie tijdens de basislessen belangrijke informatie op. In de lesbeschrijvingen in de handleiding worden geregeld gerichte aandachtspunten voor observatie aangegeven. Die kunnen je helpen bij het signaleren van eventuele onduidelijkheden of problemen. De laatste week van elk blok ziet er als volgt uit:

Rekenproblemen dienen zich vaak vroeg in de ontwikkeling van kinderen aan. De achtergrond van rekenproblemen kan sterk variëren. Hoe eerder zwakke rekenaars worden gesignaleerd, hoe groter de kans dat rekenmoeilijkheden voorkomen of geremedieerd kunnen worden. Daarom is er binnen zWISo een fijnmazig volgsysteem ontwikkeld. Om het leerproces van kinderen optimaal te kunnen begeleiden moet je als leerkracht een goed beeld hebben van de verschillen tussen kinderen. De middelen die zWISo biedt om zo nauw mogelijk aan te sluiten bij de ontwikkeling van elke leerling zijn aanwijzingen voor gerichte observatie in de lesbeschrijvingen en de observatie-, de extra- en de eindtoetsen. De aanwijzingen voor observatie tijdens de basislessen zijn gericht op het waarnemen van gedrag in de klas, terwijl de toetsen bestaan uit opgavenreeksen die op een nauwkeurig omschreven wijze moeten worden afgenomen. zWISo heeft gekozen voor één leertraject dat alle leerlingen doorlopen. De bedoeling is dat iedereen de aangeboden sleutelinhouden beheerst.

In het begin van de laatste week van elk blok wordt van alle leerlingen een observatietoets (‘Alleen 1’) afgenomen. Aan de hand van deze toets worden zowel de productdoelen (hoofddoelen) als de procesdoelen (nevendoelen) van het respectieve blok getoetst. Enkel oefeningen die de productdoelen

Gebruikswijzer

van het blok behandelen die aan bod komen in de remediëringslessen worden genormeerd. De andere doelen worden wel getoetst maar niet genormeerd. Het toetsen van deze doelen geeft wel een goed beeld van wat de leerlingen al kunnen. Voorts biedt dit ook de mogelijkheid om in de volgende lessen over het desbetreffende onderwerp extra aandacht te schenken aan de leerlingen die laag scoorden op deze doelen. Omdat de toetsen toegespitst zijn op de sleutelinhouden, ligt de norm per definitie steeds hoog. Leerlingen die op bepaalde onderdelen laag scoren, tonen immers aan dat ze bepaalde essentiële sleutelinhouden niet beheersen. Om te vermijden dat deze leerlingen in het vervolg van het leertraject een groeiende leerachterstand oplopen, is het van groot belang dat ze extra aandacht krijgen in de daaropvolgende lessen. De oefeningen zijn in de observatietoets per domein gegroepeerd: getallen, bewerkingen, meten en meetkunde. Er worden deelnormen worden vastgelegd. Zo wordt het mogelijk om vast te stellen welk rekendomein problemen oplevert, en dus op welke leerstof welke leerling geremedieerd moet worden. De resultaten van de observatietoets kunnen geregistreerd worden op de bijbehorende registratiebladen, met name de zWISo-meter. Die is steeds terug te vinden in de kopieermap. Eerst wordt een overzicht van de doelstellingen van het blok gegeven. Dit wordt gevolgd door het registratieblad zelf. Op dat blad schrijf je de scores per oefening van alle leerlingen op. Na het berekenen van de totaalscore per leerling kun je de scores vergelijken met de vooropgestelde normen. Die normen zijn terug te vinden op het registratieblad van de zWISo-meter (score 1). Vervolgens moeten deze scores geanalyseerd worden. Leerlingen die alle normen halen, worden

tijdens de rest van de week ingedeeld bij groep 1. Deze leerlingen hebben aangetoond dat ze de sleutelinhouden van het desbetreffende blok voldoende beheersen. Zij hebben geen extra instructie of oefenbegeleiding nodig. Score 1 op de observatietoets is voor deze leerlingen meteen de eindscore voor dat blok. De leerlingen die één of meerdere tussennormen niet halen, worden ingedeeld in groepen 2a en/of 2b. Deze indeling wordt gemaakt op basis van de doelstellingen van de twee remediëringslessen. Zoals gezegd stemt deze indeling waar mogelijk overeen met een opdeling per rekendomein. Oefeningen op doelstellingen die in de eerste remediëringsles worden behandeld, worden onderverdeeld in score 2a en die welke behandeld worden in de tweede les bij 2b. Het is dus mogelijk dat een leerling zowel tot groep 2a als tot groep 2b behoort. Het is evenzeer mogelijk dat een leerling slechts tot één van beide groepen behoort en voor het andere onderdeel meeloopt met groep 1. Op www.zwiso.be is een digitale versie van de zWISo-meter ter beschikking. Daarmee kun je een en ander makkelijker registreren en verwerken. Met kleurcodes wordt weergegeven welke leerlingen bij voorkeur welk traject doorlopen. Schenk voldoende aandacht aan een grondige foutenanalyse van de toets. Het is mogelijk dat leerlingen die de normen haalden toch uitvallen op een bepaalde inhoud. Hou dit zeker in de gaten en stuur bij waar nodig. De leerlingen van groep 1 kunnen de oefeningen van de remediëringslessen uit het zWISo-werkboek zelfstandig maken. Wanneer in die lessen blijkt dat sommige leerlingen uit groep 1 moeilijkere leerstof aankunnen, maken ze zelfstandig oefeningen uit de zWISo-box en de verdiepingsmap. De leerlingen van groep 2a en 2b krijgen verlengde instructie voor die basisdoelen waarop ze zwak presteerden en maken de bijbehorende oefeningen in het zWISo-werkboek onder begeleiding van de leerkracht. De oefeningen waarvoor ze de norm behaalden, maken ze zelfstandig. De leerlingen van groep 2 worden na de remediëring opnieuw geëvalueerd met de eindtoets.

Observatie, remediëring en evaluatie

De eindtoets (‘Alleen 2’) is op een soortgelijke manier samengesteld als de observatietoets. Hij behandelt echter alleen de geremedieerde doelen. Er is één globale norm voor de eindtoets. De oefeningen zijn van een evenwaardig niveau als bij de observatietoets. Het is daarom niet nodig om leerlingen die al in de observatietoets bewezen dat ze de leerstof beheersen, opnieuw te evalueren met deze toets. Wij adviseren daarom deze eindtoets alleen af te nemen bij leerlingen die in de observatietoets uitvielen voor een of ander onderdeel. Als leerlingen na verlengde instructie de norm op de toets niet halen is dit voor u als leerkracht een belangrijk signaal. Schenk extra aandacht aan deze leerlingen als er onderwerpen worden behandeld waarop zij uitvielen. Laat hen deze inhouden ook geregeld oefenen, bijvoorbeeld aan de hand van de rekenspellen in de kopieermap. Geef deze informatie ook door aan het zorgteam.

tot het basisniveau behoren, zijn de oefeningen enkel gequoteerd en niet genormeerd. Afhankelijk van het aantal gemaakte ladderkaarten en het niveau van de leerlingen kun je er voor kiezen om hen de volledige toets of slechts een selectie van de oefeningen te laten oplossen. Het registratiesysteem van de zWISo-box kan hierbij een handige leidraad vormen. De cijfers die een leerling op de toets (op de observatietoets en de eind- of de extra-toets) scoort kunnen eventueel gebruikt worden als cijfers op het schoolrapport. Met het zWISo-volgsysteem kan gedifferentieerd omgegaan worden in de rapportering en/of de communicatie voor de ouders. Het verdient aanbeveling om mee te geven of de gerapporteerde score werd behaald op de observatietoets dan wel op de eindtoets en welk traject de leerling heeft doorlopen tijdens de laatste week van het blok. De punten op de extra-toets kunnen ook opgenomen worden in de rapportering. Bij het afnemen van de toets is het belangrijk de opdrachten steeds goed uit te leggen en de leerlingen na het voorstellen van elke opgave genoeg tijd te geven om de oefening in te vullen. Aangezien het de bedoeling is na te gaan wat de leerlingen al kunnen, moeten ze de oefeningen alleen maken. De leerlingen hoeven zich wel niet bewust te zijn van de toetswaarde van de oefeningen. Het toetsmoment kan op dezelfde manier aangepast worden als een ‘Matz oefent’-les, wat ook zelfstandig werk is. Voor leerlingen met faalangst of concentratiemoeilijkheden kan dat een voordeel zijn. Bij leerlingen die tijdens de basis- en de oefenlessen nog concreet materiaal nodig hebben (bijvoorbeeld de breukendoos) kun je oordelen om hen deze materialen ook te laten gebruiken bij de toetsen. Je kunt er ook voor kiezen om leerlingen de zWISowijzer te laten gebruiken. Het is wel belangrijk om dat steeds op de zWISo-meter te vermelden. Het kan interessant zijn om deze zwakkere rekenaars één toets met materiaal en één toets zonder materiaal te laten maken. Zo kun je je een beeld vormen van hun reële niveau.

Terwijl een deel van de leerlingen de eindtoets maakt, kun je aan de hand van de extra-toets nagaan in welke mate de leerlingen de inhouden van de ladderkaarten van de zWISo-box beheersen. Aangezien de inhouden van de ladderkaarten niet

Notitieruimte

Gebruikswijzer

Notitieruimte

100

Notitieruimte

Gebruikswijzer

101