Zwiso gebruikswijzer leerjaar 5 by Uitgeverij Zwijsen België

WISo wijsen wiskunde onderwijs

gebruikswijzer leerjaar 5

Inhoudstafel Inleiding

Gebruikswijzer

Hoofdstuk 1: Uitgangspunten van zWISo 5 Hoofdstuk 2: Materialen Leerkrachtmateriaal

• Gedrukte materialen

• Handelingsmaterialen

• Digitale materialen

Leerlingmateriaal

• Gedrukte materialen

• Handelingsmaterialen

Hoofdstuk 3: zWISo-leerlijn vijfde leerjaar Getallen

Bewerkingen

Meten

Meetkunde

Hoofdstuk 4: Aanpak Getallen

• Natuurlijke getallen tot 10 miljoen

• Negatieve getallen

• Kommagetallen

• Breuken

• Procent

• Relatie breuken, kommagetallen en percentages

Bewerkingen

• Optellen en aftrekken

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Vermenigvuldigen

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Delen

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Breuken

Meten

Meetkunde

105

Vraagstukken

107

Hoofdstuk 5: Observatie, remediëring en evaluatie 111

Inleiding

Gebruikswijzer

Beste leerkracht of begeleider van het vijfde leerjaar, Je hebt besloten om met zWISo van start te gaan! Om je daarbij optimaal te begeleiden hebben we deze gebruikswijzer geschreven. Hij legt de belangrijkste kenmerken en de manier van werken van de methode uit. Deze tekst helpt je bij het doorgronden van de opbouw en de filosofie van zWISo en de bijbehorende materialen. Na het doornemen van deze gebruikswijzer kun je dus zonder problemen aan de slag. Het eerste hoofdstuk beschrijft de visie, uitgangspunten en algemene kenmerken van zWISo. Het geeft je met andere woorden inzicht in het fundament van de methode. Het volgende hoofdstuk behandelt de materialen van zWISo en het gebruik ervan. Je krijgt van al het leerkrachten leerlingmateriaal een beschrijving van hoe het eruitziet en wat het bevat. Vervolgens wordt beschreven hoe je het materiaal kunt gebruiken. Het derde hoofdstuk licht de leerlijn van het vijfde leerjaar toe. Deze leerlijn laat zien hoe de leerplandoelen van het vijfde leerjaar bereikt worden, met aandacht voor methodegebonden keuzes. Dit alles met het oog op het bereiken van de eindtermen op het einde van het zesde leerjaar. In hoofdstuk vier verduidelijken we de manier waarop getallenkennis, bewerkingen, meten, meetkunde en vraagstukken worden behandeld. We beschrijven ook hoe het gebruik van de materialen hierbij aansluit. Het laatste hoofdstuk verduidelijkt de manier van observatie, remediëring en evaluatie in zWISo.

zWISo, een 100 % Vlaamse methode zWISo is een wiskundemethode die volledig ontwikkeld is door Vlaamse leerkrachten, docenten en pedagogen. De coördinatie- en adviesgroep van zWISo bestaat uit Andrea Jacobs (lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool Sint-Lieven, Sint-Niklaas), Annemie Deklerck (voormalig lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool ZW-Vlaanderen, Tielt), Francine Vervenne (voormalig lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool Mechelen) en Patrick Winne (ereadviseur OVSG). Het auteursteam van het vijfde leerjaar bestaat uit Miet Daniels, Stijn Dekelver, Sandra Janssens, Hilde Noelmans en Truus Verstocken, onder coördinatie van Andrea Jacobs en Francine Vervenne. De loper- en ladderkaarten van de zWISo-box werden geschreven door Greet Absillis en Tanya Verellen. De verdiepingsoefeningen zijn uitgewerkt door Hendrik Coucke en Annemie Deklerck, onder coördinatie van deze laatste.

Hoofdstuk 1 • Uitgangspunten van zWISo Meer en meer dringt de laatste jaren in het onderwijs het besef door hoe belangrijk de toepasbaarheid en praktische bruikbaarheid van wiskundige kennis en vaardigheden zijn. Deze visie op wiskunde vraagt om een specifieke didactische aanpak. zWISo, een vernieuwende wiskundemethode, werkt aan wezenlijk inzicht in de wiskundige procedures en kennis om zo te komen tot functionele gecijferdheid. Dat is het hoofddoel van zWISo.

Functionele en schoolse gecijferdheid Gecijferdheid is ‘het adequaat kunnen omgaan met wiskundige situaties in het persoonlijke en maatschappelijke leven, in combinatie met het vermogen om kennis en vaardigheden flexibel te kunnen aanpassen aan nieuwe eisen in een continu veranderende maatschappij’. Gecijferdheid valt uiteen in vier componenten: wiskundige kennis en vaardigheid; omgaan met wiskundige situaties; het verwerven en verwerken van nieuwe informatie en leervaardigheden. zWISo werkt aan alle vier de componenten van gecijferdheid. Het doel van deze rekenmethode is dus om leerlingen wiskundige kennis en vaardigheden bij te brengen zodat ze in staat zijn zelfstandig te handelen en beslissingen te nemen in wiskundige situaties. Kinderen leren wiskundige problemen herkennen en creatieve oplossingen bedenken (bijvoorbeeld het werken met ronde getallen of het gebruik maken van visuele ondersteuning) door hun kennis en vaardigheden flexibel in te zetten. Enkele voorbeelden van concrete contexten en situaties die aan bod komen in zWISo zijn: de benodigdheden voor een verjaardagsfeest bepalen, de ingrediënten van een recept omrekenen, de juiste maateenheid kiezen bij metingen (bijvoorbeeld de eigen lichaamslengte meten), bij een groepsuitstap de totale prijs berekenen, … Doordat de leerstof hun in verschillende situaties geïntegreerd wordt aangereikt, ontdekken de leerlingen de samenhang in onderwerpen en leerlijnen. Behalve naar deze functionele gecijferdheid streeft zWISo ook naar schoolse gecijferdheid. Want niet alleen praktisch en creatief kunnen rekenen, maar ook schoolse gecijferdheid is een belangrijke voorwaarde voor succes in de verdere (school)loopbaan. Voorbeelden van schoolse gecijferdheid in het vijfde leerjaar zijn het verwerven van inzicht in getallen, het bepalen van percentages, het uitvoeren van bewerkingen met breuken, het verder uitbouwen van het cijferalgoritme, ...

Gebruikswijzer

Dit vraagt van de leerlingen algemene wiskundige inzichten, vaardigheden en het vermogen om wiskundig te redeneren. zWISo streeft ernaar om leerlingen een brede basis bij te brengen die verder kan worden ontwikkeld. Dat wordt gerealiseerd door het geven van opdrachten binnen een betekenisvolle concrete context en het handelend verwerven van kennis en vaardigheden. zWISo wordt gekenmerkt door vijf pijlers: inzicht, zorg, structuur, automatiseren en leer- en lesgeefplezier. Op deze pijlers gaan we hieronder dieper in.

1 Inzicht Betekenisvolle contexten zWISo is een realistische rekenmethode. Om zowel het inzicht als de betrokkenheid van de leerlingen te verhogen sluiten we zoveel mogelijk bij de leefwereld van de kinderen aan. Doordat er met betekenisvolle contexten en herkenbare materialen wordt gewerkt, realiseren de leerlingen zich dat wiskundige kennis en vaardigheden zinvol en toepasbaar zijn. De context waar we van uitgaan wordt wiskundig bekeken en uitgewerkt, waarna we naar de context terugkeren. Er wordt bij dit alles veel belang gehecht aan handelen en ervaren. Enkele van de betekenisvolle contexten die in zWISo aan bod komen zijn: het leggen van breuken met de breukendoos, werken met euro's, het onderzoeken van meetkundige figuren, percentages meten met de procentmeter, ... Deze lesopbouw impliceert dat leerkrachten de leerlingen niet enkel leiden, maar ook begeleiden. Behalve klassikale instructie bieden de leerkrachten ook ondersteuning tijdens het samenwerkend leren en het wiskundig redeneren. Hierbij maken ze gebruik van gevarieerde organisatiemodellen (zelfstandig werk, partnerwerk, groepswerk en klassikale instructie) en werkvormen (leeractiviteiten, leergesprekken, zelfstandig leren, samenwerkend leren en klassikale instructie).

Inleiding Uitgangspunten van zWISo

Leren door te handelen

Opbouw van een basisles

zWISo werkt vanuit de handelingstheorie. Het uitgangspunt van deze theorie is dat het kind zich ontwikkelt doordat het handelend in de wereld staat. Kinderen worden in zWISo uitgedaagd om rekenhandelingen in concrete situaties uit te voeren. Ze onthouden immers beter wat ze zien dan wat ze horen vertellen. En ze onthouden nog beter wat ze zelf doen dan wat ze alleen maar zien doen. De speciale aandacht voor handelen uit zich in het gebruik van concrete materialen of betekenisvolle contextsituaties vooraleer we evolueren naar een abstracter niveau. Elke leerling beschikt ook over 'Doe!'. Dit onderdeel van het scheurblok bevat de 'Ik doe mee!'-bladen, knipbladen, opdrachtkaarten, ... die de leerlingen gebruiken tijdens de leeractiviteiten. zWISo heeft hierbij aandacht voor de zone van de naaste ontwikkeling. De leerkracht biedt de nodige ondersteuning om leerlingen te brengen tot activiteiten die ze nog niet zelfstandig aankunnen, of creëert nieuwe situaties om leerlingen naar een hoger ontwikkelingsniveau te tillen. De leerlingen bouwen op deze manier de leerstof inzichtelijk op en leren die flexibel en functioneel toe te passen. Als basismodel voor de handelingstheorie wordt in zWISo het concreet-schematisch-abstract model gebruikt. De volgende tabel geeft daar enkele voorbeelden van.

Het concreet-schematisch-abstract model is ook terug te vinden in de opbouw van de lessen. De meeste lessen beginnen met een leeractiviteit die integraal deel uitmaakt van de instructie. Door de leerlingen, al dan niet in interactie met andere klasgenoten, te laten handelen en ervaren, bieden we ze de mogelijkheid hun wiskundige kennis en vaardigheden inzichtelijk op te bouwen. Bij het aanbrengen van nieuwe leerstof wordt er zoveel mogelijk uitgegaan van een concrete situatie of een betekenisvolle context. De gehanteerde wiskundige modellen, die in verschillende leerjaren worden gebruikt, worden aangebracht met de bedoeling het leerproces te vergemakkelijken. De modellen moeten een middel zijn om tot leerresultaten te komen en mogen geen doel op zich worden. Door begrippen en handelingen te verwoorden en erover te discussiëren met klasgenoten leren de leerlingen bewust met wiskundige begrippen om te gaan. Op basis van de vaststellingen van de leeractiviteit worden besluiten genomen en modellen opgebouwd. De verschillende oplossingswijzen die de leerlingen aanbrengen worden in deze fase systematisch gestroomlijnd tot een standaard oplossingsprocedure die snel tot goede oplossingen leidt. De aangebrachte modellen, strategieën of procedures worden dan verder ingeoefend. De werkboeken bevatten de verwerking van de inhouden van de leeractiviteiten en sluiten dus naadloos aan bij de uitgevoerde handelingen.

Abstract niveau

Oppervlakte van een parallellogram

Procent

Formule b x h (niet voor OVSG en GO)

60 % van 150 = 90 De leerlingen stellen dit voor op de procentstrook. Voorbeeld: een kind dat 150 cm groot is.

Schematisch niveau

Een parallellogram staat afgebeeld op een ruitjespatroon en de leerlingen bepalen de oppervlakte door deze om te structureren naar een rechthoek.

: 10 0

0 % 10 %

150

60 %

100 %

: 10

De leerlingen verknippen een papieren parallellogram en vormen met de twee stukken een rechthoek.

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

✂

Concreet niveau

De leerlingen maken met een elastiek een procentmeter met daarop de streepjes van 0 %, 10 %, 20 %, …, 100 %.

Ze meten met deze elastiek de verhouding van de beenlengte tot hun totale lengte door het streepje van 0 % aan de voeten te houden en de elastiek zo uit te rekken dat het streepje van de 100 % ter hoogte van het hoofd komt. Ze kunnen dan aflezen dat de beenlengte ongeveer 60 % van hun totale lengte is.

Gebruikswijzer

Na deze verwerkingsfase volgt er vaak nog een reflectiemoment waarin kritisch wordt nagedacht en waarin verbanden tussen bepaalde inhouden worden gelegd.

2 Zorg zWISo is uiterst geschikt voor alle kinderen in het lager onderwijs. Er wordt specifiek aandacht geschonken aan zwakkere rekenaars, snelle en betere rekenaars en taalzwakke leerlingen. In zWISo werken we met één leertraject, dat alle leerlingen op hun niveau doorlopen. Het leertraject van het vijfde leerjaar is afgebeeld op pagina 8. In het basisniveau komen alle door de eindtermen en leerplannen voorgeschreven inhouden aan bod. De bedoeling is dat elke leerling deze sleutelinhouden beheerst op het einde van het vijfde leerjaar. In een doorsnee Vlaamse klas tref je een brede waaier aan individuele verschillen tussen leerlingen aan. Uit onderzoek blijkt dat de kloof tussen sterke en zwakkere leerlingen in Vlaanderen groot is. In zWISo wordt bij voorbaat uitgegaan van het bestaan van die verschillen en wordt er met zorg omgegaan met deze diversiteit. Er wordt zoveel mogelijk aangesloten bij het individuele niveau van alle leerlingen.

Differentiatie voor zwakkere rekenaars In alle fasen van het leertraject kan extra aandacht geschonken worden aan zwakkere rekenaars.

het concretere niveau kan de leerling een bepaalde inhoud, strategie of procedure (verder) inzichtelijk opbouwen. Dit inzichtelijk werken is een voorwaarde voor de ontwikkeling van functionele gecijferdheid en flexibel inzetbare kennis en vaardigheden. zWISo voorziet naast het leerjaarspecifiek handelingsmateriaal ook verschillende andere differentiatiemiddelen: het tafelrooster, de zWISowijzer (zie hoofdstuk 2), de KomMatz-kaartjes, ...

Oefenlessen Tijdens de oefenlessen wordt de aangebrachte leerstof ingeoefend. De leerlingen maken de oefeningen in het scheurblok zelfstandig. Hierdoor krijgt de leerkracht de ruimte om de zwakkere leerlingen te begeleiden bij het maken van de oefeningen. De speelse inoefening gebeurt aan de hand van rekenspellen. Die zijn zeker ook voor de zwakkere leerlingen een extra stimulans om te oefenen.

Observatie, remediërings- en evaluatiefase In elk blok van zWISo wordt aan het begin van de laatste week een observatietoets afgenomen. Deze toets heeft een preventief en proactief doel. Hij gaat na in hoeverre de leerlingen de sleutelinhouden van het blok beheersen. Leerlingen die de vooropgestelde norm van een toets niet behalen, krijgen in de daaropvolgende lessen remediëring, extra oefeningen en een afsluitende eindtoets. De manier van observeren, remediëren en evalueren wordt uitgebreid beschreven in hoofdstuk vijf (vanaf pagina 111).

Basislessen Tijdens basislessen kunnen deze leerlingen extra uitleg (verlengde instructie) of begeleiding krijgen. Tijdige en doelgerichte observatie moet leiden tot een gerichte aanpak om problemen te voorkomen of tijdig bij te sturen. De handleiding bevat observatiepunten en aanwijzingen voor extra begeleiding of aanpassingen voor de zwakkere leerlingen vanaf de basislessen. De verwerking in het werkboek doorloopt de gemiddelde leerling zelfstandig, zodat de leerkracht de handen vrij heeft om de zwakkere leerlingen onder begeleiding door deze verwerkingsoefeningen te loodsen. Leerlingen moeten bovendien de mogelijkheid krijgen om in elke fase van het leerproces terug te grijpen naar concreet materiaal (bijvoorbeeld breukendoos) of terug te keren naar een fase van een lager abstractieniveau. Door een stap terug te zetten naar

Het zWISo-leertraject

*Blokken 1 en 7 beslaan vier weken.

en Doe!-bladen

Verlengde instructie

Inleiding Uitgangspunten van zWISo

Gebruikswijzer

Differentiatie voor snellere en betere rekenaars

materiaal en/of met minder tussenstappen te laten werken.

Voor de snellere en betere rekenaars kan het basisaanbod aan oefenmateriaal van het werkboek en het scheurblok uitgebreid worden. Deze leerlingen zullen sommige oefeningen in het werkboek erg snel oplossen of meer uitdaging aankunnen. Zij kunnen aan de slag met oefeningen uit de zWISo-box. Deze box bevat loper- en ladderkaarten. De loperkaarten bestaan uit oefeningen die qua moeilijkheidsgraad aansluiten bij de oefeningen van het werkboek en zijn dus inzetbaar voor een groot deel van je leerlingen. De zWISo-box behoort dan ook tot het basismateriaal van de methode. Naast deze kaarten voor tempodifferentiatie voorzien we ook kaarten voor niveaudifferentiatie (ladderkaarten). Deze oefeningen hebben een hogere moeilijkheidsgraad en werken dus uitdagend en motiverend voor de sterkere leerlingen. Aan de hand van de extra-toets in de kopieermap kun je nagaan in welke mate de leerlingen de inhouden van de ladderkaarten beheersen. Meer uitleg over het opzet en de inhoud van de zWISo-box vind je in hoofdstuk 2.

Voor de echt sterke rekenaars (hoogbegaafde leerlingen) kun je behalve de verdiepingsmap ook gebruik maken van niet-methodegebonden materiaal zoals Rekentijger van Zwijsen.

Differentiatie voor taalzwakke leerlingen Sommige leerlingen vallen uit in de wiskundeles door de talige aspecten. zWISo is uniek door de aandacht die het schenkt aan taalzwakke rekenaars. Dat blijkt op verschillende gebieden.

• Ontdekken en verwoorden wanneer een getal deelbaar is door 2, door 5 en door 10.

les 11 • loperkaart 1

Vul de zinnen aan.

Een getal is deelbaar ...

door 2 als het laatste cijfer __ of __ of __ of __ of __ is. door 5 als het laatste cijfer ___ of ___ is.

les 11 • loperkaart 1

• De rest bepalen bij delingen door 2, door 5 en door 10.

door 10 als het laatste cijfer ___ is.

Zet een kruisje in het juiste vak. 26 308

25 620

DEELBAAR

NEE

DEELBAAR

door 2

door 5

door 10

34 005

NEE

724

DEELBAAR

NEE

DEELBAAR

door 2

door 5

door 10

232 051

12 000

DEELBAAR

NEE

DEELBAAR

door 2

door 5

door 10

door 2

door 5

door 10

Kleur de getallen die deelbaar zijn door 5 en niet door 2 of door 10.

745

222

3601

12 865

1 000 000

60 475

300

885

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, zWISo-box

Blok 3

9005

In de zWISo-handleidingen is er in elke les aandacht voor de specifieke rekentaal enerzijds en de ruimere contexttaal anderzijds. Daardoor kan de leerkracht bij de lesvoorbereiding aandacht schenken aan de lesspecifieke woordenschat. Als de les begint, kan indien nodig gepolst worden of alle leerlingen de vereiste woordenschat begrijpen en beheersen. In de leerlingmaterialen worden de opdrachten aan de hand van korte instructieteksten gegeven.

Voor de allersterkste leerlingen kun je oefeningen uit de verdiepingsmap inzetten. Het zijn opdrachten van een beduidend hogere moeilijkheidsgraad dan de oefeningen uit het werkboek en de zWISo-box. Deze 'breinkrakers' zullen dan ook maar inzetbaar zijn voor enkele leerlingen van je klas. In de opdrachtkaarten van de zWISo-box en de verdiepingsoefeningen wordt geen nieuwe leerstof aangereikt. Dat heeft als voordeel dat er geen twee verschillende snelheden binnen de klas ontstaan. Deze diversiteit aan differentiatiemateriaal voor de betere rekenaars biedt de mogelijkheid aan te sluiten bij het niveau van de individuele leerling. De oefeningen zijn ook flexibel inzetbaar en vereisen weinig begeleiding door de leerkracht.

In de werkboeken wordt gebruik gemaakt van enkele wiskundespecifieke pictogrammen. Deze pictogrammen zijn zeer herkenbaar voor de leerlingen en keren terug in de verschillende materialen. De oefeningen worden soms visueel ondersteund. Bij ingeklede bewerkingen bijvoorbeeld is er soms een afbeelding toegevoegd ter ondersteuning. Hierdoor ligt de klemtoon op het vertellen van het rekenverhaal en het verwoorden van de wiskundige redenering. We stimuleren het mondeling taalgebruik bij het verwoorden van oplossingsstrategieën en wiskundige redeneringen. Dit draagt bij tot de taalen reken-ontwikkeling van de leerlingen.

Behalve de verwijzing naar loper- en ladderkaarten bevat de handleiding bij de basislessen ook observatiepunten en aanwijzingen om de instructie of de verwerking moeilijker te maken. Zo wordt er aangeraden om de betere rekenaars sneller zonder

Inleiding Uitgangspunten van zWISo

3 Structuur

Duidelijk en haalbaar

Doorgaande lijn

De auteurs van zWISo hebben een zorgvuldige analyse gemaakt van de eindtermen en leerplandoelen van de verschillende onderwijsnetten. De verzameling van al deze voorgeschreven inhouden is verwerkt in de zWISo-basislessen: niets minder, maar ook niets meer! Bij zWISo is de leerstof in zeven blokken van vier of vijf weken verdeeld. Een blok is opgebouwd uit basislessen en gevarieerde oefenmomenten. Tijdens de laatste week schenken we na het afnemen van een observatietoets aandacht aan remediëring en verdieping. Die week wordt indien nodig besloten met een eindtoets of, voor de sterkere leerlingen, met een extra-toets. Die doordachte opbouw levert een tijdsbuffer van ongeveer drie schoolweken op, wat zich vertaalt in een haalbare jaarplanning. Door die buffer kunnen bepaalde lessen uitgebreider gegeven worden of kun je leerstof herhalen als de leerlingen dat nodig hebben. Elke les duurt 50 minuten, de toetsmomenten nemen meestal 100 minuten in beslag. Dit zorgt samen voor de wettelijk vastgelegde norm van 6 eenheden van 50 minuten per week.

De doorgaande lijn van het eerste tot en met het zesde leerjaar is een wezenlijk kenmerk van zWISo. De lessen van blok 1 van het vijfde leerjaar sluiten inhoudelijk aan bij de leerplandoelen van het vierde leerjaar. Er is in elk leerjaar bijzondere aandacht voor de overgang van het vorige naar het volgende leerjaar, zodat die zo vloeiend mogelijk verloopt. Verder is er bijzonder veel aandacht geschonken aan goed doordachte leerlijnen (zie hoofdstuk 3). Dit garandeert een gestructureerde opbouw van de leerstof, waarbij alle facetten van functioneel wiskundeonderwijs aan bod komen. Door voortdurend en consequent het beoogde einddoel voor ogen te houden, is de coördinatieen adviesgroep erin geslaagd de leerinhouden evenwichtig te spreiden, in overeenstemming met alle leerplannen. Op die manier zit er steeds één vloeiende lijn in de stof en verloopt het aanbrengen ervan zonder stijlbreuken. De leerlijnen zijn bovendien een goede illustratie van de methodespecifieke keuzes die gemaakt werden. In het laatste blok van een leerjaar en het eerste blok van het daaropvolgende leerjaar wordt de leerstof hoofdzakelijk herhaald. Zo verloopt de overgang tussen de verschillende leerjaren zonder problemen en krijgen de leerlingen de mogelijkheid de inhouden beter te verankeren. Ook bij de keuze van de methodieken, modellen, procedures en lesmaterialen is deze doorgaande lijn het uitgangspunt geweest (zie hiervoor hoofdstukken 2 en 4). Daardoor wordt de beschikbare onderwijstijd efficiënt gebruikt. Opgebouwde denkmodellen zijn onmiddellijk toepasbaar, maar werpen bovendien vaak hun vruchten af in een latere fase van het leertraject en dus ook in een later leerjaar.

De planning van een blok ziet er als volgt uit:

Gebruikswijzer

4 Inoefenen Uitgebreid marktonderzoek heeft aangetoond dat automatiseren en inoefenen een blijvend aandachtspunt is voor de meeste leerkrachten. Hoewel het unaniem als cruciaal wordt aangevoeld, is het in de perceptie van de leerlingen vaak een saai en vervelend proces. De in zWISo geboden oplossing voor dit dilemma mag gerust uniek genoemd worden. zWISo kiest voor frequente momenten van inoefening, waar formele en speelse inoefening elkaar afwisselen. De leerlingen prenten zich nieuwe leerstof sneller in wanneer de oefening kort na het instructiemoment volgt. zWISo moedigt de leerkracht er zelfs toe aan om de frequentie van korte oefenmomenten nog te vergroten.

Formeel inoefenen Voor de invulling van deze oefenmomenten biedt zWISo enerzijds klassieke, formele inoefening. Die is vooral te vinden in de zWISo-scheurblokken waarmee leerlingen individueel oefenen. Door zelfstandig deze oefeningen te doorlopen ontwikkelen leerlingen probleemoplossende vaardigheden, leren ze reflecteren over hun eigen manier van denken en aanpak van wiskundige problemen en worden

ze gestimuleerd om zelfstandig te leren. Ze kunnen op deze manier ook deel uitmaken van bijvoorbeeld contractwerk.

Speels inoefenen Anderzijds biedt zWISo uitgebreid de kans om op speelse wijze te oefenen. Behalve tot de verankering van wiskundige kennis en vaardigheden draagt deze speelse inoefening sterk bij tot het leerplezier en de motivatie van de leerlingen. Een grote waaier aan spelvormen is te vinden in de zWISo-kopieermap en de zWISo-box. Deze rekenspellen zijn niet vrijblijvend. Ze maken integraal deel uit van de methode! Ze zijn afgestemd op de leerinhouden en rekenniveaus van het desbetreffende blok en bieden herkenbare, consequent gebruikte modellen en procedures. Het deskundig en evenwichtig gebruik van deze gevarieerde oefenvormen maakt dat oefenen ook leuk kan zijn voor de leerlingen. In de visie van zWISo op inoefenen krijgen leerlingen van alle niveaus deze speelse oefenvormen, zodat iedereen succeservaringen heeft. Dit betekent dat ook de zwakkere rekenaars intensief aan de slag kunnen met de rekenspellen tijdens de lessen, de verlengde instructie, bij de zorgleerkracht of zelfs thuis. Een extra voordeel van de vele rekenspellen is dat ze deel kunnen uitmaken van de rekenhoek na in een oefenmoment te zijn aangebracht. Op deze manier kunnen de leerlingen er tijdens het schooljaar voortdurend naar terugkeren.

Uitgangspunten van zWISo

5 Leer- en lesgeefplezier Leerplezier Bij de interpretatie van resultaten van internationaal onderzoek naar wiskundeonderwijs wordt vaak voorbijgegaan aan de attitude die kinderen ten opzichte van het vak wiskunde hebben. Die is in Vlaanderen helaas uitgesproken negatief. Vlaamse kinderen rekenen goed, maar ze doen het niet graag. Daar brengt zWISo verandering in! Alle uitgangspunten van de methode hebben als doel bij te dragen tot het leerplezier van de leerlingen. Vooral het werken met betekenisvolle contextsituaties, de speelse oefenvormen, de band met de leefwereld van de leerlingen en de leeractiviteiten dragen bij tot een positieve attitude ten opzichte van wiskunde. In zWISo wordt ervan uitgegaan dat elk kind op zijn niveau zoveel mogelijk kansen op succeservaringen moet krijgen. We beperken de basislessen tot de essentie, zodat elke leerling dat basisniveau doorgrondt en succes ervaart. Door de aanhoudende aandacht voor betrokkenheid, motivatie en welbevinden creĂŤren we een positieve ingesteldheid tegenover het vak wiskunde, zonder aan leerwinst in te boeten. Dat laatste is zeer belangrijk, want leerresultaten en leerplezier gaan hand in hand.

De gevarieerde, kleurrijke en overzichtelijke zWISomaterialen motiveren de leerlingen om met wiskunde aan de slag te gaan. De werkboeken en scheurblokken hebben een overzichtelijke bladspiegel, voldoende invulruimte en kenmerken zich door een heldere instructietaal.

Lesgeefplezier De duidelijke structuur en de haalbare planning van zWISo maken het voor de leerkracht zeer plezierig om met zWISo te werken. Bij de ontwikkeling van de zWISo-materialen is namelijk de grootste zorg besteed aan de beleving van de methode door de leerkracht. De handleidingen zijn praktisch en duidelijk gestructureerd en de werkboeken zijn visueel aantrekkelijk. De klassikale materialen staan steeds ten dienste van demonstratie en inzetbaarheid in de klas. En uiteraard zal het leerplezier van de leerlingen ook de lesgeefervaring van de leerkracht positief beĂŻnvloeden!

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

Hoofdstuk 2 â&#x20AC;˘ Materialen 1 Leerkrachtmateriaal

Gebruikswijzer

Gedrukte materialen

Het lesverloop staat beschreven in de centraal geplaatste tekst die doorloopt over de twee bladzijden in de handleiding.

â&#x20AC;˘ Verzamelband

Basislessen

De verzamelband bevat de zeven handleidingen, de correctiesleutel van de toetsen en het doelenkatern.

Elke basisles is genummerd en draagt een titel. Rechtsboven is steeds weergegeven in welk domein van de wiskunde deze les thuishoort.

Handleiding Bij de beschrijvingen van de basislessen uit het leertraject wordt onderscheid gemaakt tussen leeractiviteit, verwerking en reflectie.

In zWISo is er voor elk blok een handleiding. De verzamelband voor de leerkracht bevat dus zeven handleidingen, telkens in een apart boekje. In elke handleiding worden de lessen van ĂŠĂŠn blok uitvoerig beschreven. Wij adviseren je de handleidingen goed door te nemen en ze te gebruiken als leidraad bij de lessen.

In het onderdeel leeractiviteit worden de verschillende stappen van de instructiefase uitgebreid beschreven. Vaak wordt het verloop van het leergesprek beknopt weergegeven aan de hand van voorbeeldvragen en/of stapsgewijze redeneringen. De antwoorden tussen haakjes zijn mogelijke antwoorden van de leerlingen. Het is belangrijk om het gesprek te voeren gesteund op de inbreng van deÂ leerlingen.

De handleiding biedt lesbeschrijvingen die aangeven hoe de les goed opgebouwd kan worden. Je vindt er ook aanwijzingen voor de organisatie van de les en differentiatiemogelijkheden.

eerjaar 5 blok 1

leerjaar

Advies Annemie Deklerck Patrick Winne Illustraties Anjo Mutsaars, Paul de Becker, Brigitte Frier Steward, Hilbert Bolland, Wim Euverman, Eric Heuvel, Ruud Bruijn, Mark Janssen, Hester van der Grift, Saskia Halfmouw, Gemma de Roos, Ina Hallemans

Vormgeving Steurs nv graphic solutions

Projectredacteurs Inne Van Herbruggen Ann Weyn Productie Ellie Kloots Redactie Herman Jacobs

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Aan het verwerven, waar nodig, van toestemming tot overname is door de uitgever de uiterste zorg besteed. Zou desondanks blijken dat een rechthebbende over het hoofd is gezien, dan verzoeken wij deze contact op te nemen met Uitgeverij Zwijsen.be.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieĂŤn, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot de reproductie vindt u op www.reprobel.be.

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

blok b

Uitgever Patrick Vandevelde Projectleider Saskia dâ&#x20AC;&#x2122;Haenens Projectredacteurs Inne Van Herbruggen Ann Weyn Productie Ellie Kloots Redactie Herman Jacobs Vormgeving Steurs nv graphic solutions

ISBN 978-905535-5235 NUR 192

789055 355235

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Zwijsen.be

789055 354931

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

wijsen wiskunde onderwijs

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Vormgeving Steurs nv graphic solutions

ISBN 978-905535-5228 NUR 192

Zwijsen.be

Projectleider Saskia dâ&#x20AC;&#x2122;Haenens

uitgeverij

Zwijsen.be

ISBN 978-905535-xxxx NUR 192

789055 354948

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Uitgever Patrick Vandevelde

blok

uitgeverij

blok

Fotografie Rob Doolaard, Kasper van â&#x20AC;&#x2122;t Hoff, Lokin Fotografie, Renate Reitler, Studio Zwijsen

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Herman Jacobs

ISBN 978-905535-4948 NUR 192

789055 355211

Illustraties Anjo Mutsaars, Paul de Becker, Brigitte Frier Steward, Hilbert Bolland, Wim Euverman, Eric Heuvel, Ruud Bruijn, Mark Janssen, Hester van der Grift, Saskia Halfmouw, Gemma de Roos, Ina Hallemans

WISo

5WISo

Fotografie Rob Doolaard, Kasper van â&#x20AC;&#x2122;t Hoff, Lokin Fotografie, Renate Reitler, Studio Zwijsen, Annemie Deklerck

blok

6 Zwijsen.be

Ellie Kloots rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs Redactie

door de uitgever de uiterste zorg besteed. Zou desondanks blijken dat een rechthebbende over het hoofd is gezien, dan verzoeken wij deze contact op te nemen met Uitgeverij Zwijsen.be.

Advies Annemie Deklerck Patrick Winne

ÂŠ 2011 Uitgeverij Zwijsen BelgiĂŤ N.V., Antwerpen Maakt deel uit van de WPG groep. Voor de ontwikkeling en realisatie van deze uitgave van â&#x20AC;&#x2DC;zWISoâ&#x20AC;&#x2122; konden wij rekenen op de medewerking en deskundigheid van het projecten auteursteam van â&#x20AC;&#x2DC;Wizwijsâ&#x20AC;&#x2122;, realistische rekenen wiskundemethode voor het basisonderwijs van Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg. D/2011/1919/99

uitgeverij

Vormgeving Steurs nv graphic solutions

enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot de reproductie vindt u op www.reprobel.be. ISBN 978-905535-5211 Aan het verwerven, waar nodig, van toestemming tot overname isNUR 192

handleiding

789055 354931

Productie

wiskundemethode voor het lager onderwijs

blok

Andrea Jacobs Francine Vervenne

Redactie Herman Jacobs Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd Vormgeving gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige Steurs wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieĂŤn, opnamen, of nv graphic solutions

leerjaar

CoĂśrdinatie Andrea Jacobs Francine Vervenne Advies Annemie Deklerck Patrick Winne

wijsen

Zwijsen.be

Projectleider Saskia dâ&#x20AC;&#x2122;Haenens Projectredacteurs Inne Van Herbruggen Ann Weyn

Productie Ellie Kloots Redactie Herman Jacobs

Uitgever Patrick Vandevelde

WIS 3 o Sowieso

Aan het verwerven, waar nodig, van toestemming tot overname is door de uitgever de uiterste zorg besteed. Zou desondanks blijken dat Auteursteam een rechthebbende over het hoofd is gezien, dan verzoeken wij deze Miet Daniels, Stijn Dekelver, Sandra Janssens en Truus Verstocken contact op te nemen met Uitgeverij Zwijsen.be.

uitgeverij

Fotografie Rob Doolaard, Kasper van â&#x20AC;&#x2122;t Hoff, Lokin Fotografie, Renate Reitler, Studio Zwijsen

ISBN 978-905535-xxxx NUR 192

WISo

blok

wijsen wiskunde onderwijs CoĂśrdinatie

Projectleider Saskia dâ&#x20AC;&#x2122;Haenens ÂŠ 2010 Uitgeverij Zwijsen BelgiĂŤ N.V., Antwerpen Projectredacteurs Maakt deel uit van de WPG-groep. Voor de ontwikkeling en realisatie van deze uitgave van â&#x20AC;&#x2DC;zWISoâ&#x20AC;&#x2122; Inne Van Herbruggen konden wij rekenen op de medewerking en deskundigheid van Ann Weyn het projecten auteursteam van â&#x20AC;&#x2DC;Wizwijsâ&#x20AC;&#x2122;, realistische rekenen wiskundemethode voor het basisonderwijs van Uitgeverij Zwijsen Productie B.V., Ellie Kloots Tilburg.

handleiding

Projectredacteurs Inne Van Herbruggen Ann Weyn

Uitgever Patrick Vandevelde

D/2010/1919/xxx

Zwijsen.be

Projectleider Evi Triest

CoĂśrdinatie Andrea Jacobs Francine Vervenne

uitgeverij

Uitgever Patrick Vandevelde

Fotografie Rob Doolaard, Kasper van â&#x20AC;&#x2122;t Hoff, Lokin Fotografie, Renate Reitler, Studio Zwijsen

wijsen

Auteursteam Miet Daniels, Stijn Dekelver, Sandra Janssens, Sanne Ramaekers en Truus Verstocken

leerjaar

handleiding

Fotografie Rob Doolaard, Kasper van â&#x20AC;&#x2122;t Hoff, Lokin Fotografie, Renate Reitler, Studio Zwijsen

leerjaar

wijsen

handleiding

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag Projectredacteurs worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd Inne Van Herbruggen gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige Ann Weyn wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieĂŤn, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming Productie van de uitgever. Ellie Kloots Informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot de reproductie vindt u op www.reprobel.be. Redactie Herman Jacobs Aan het verwerven, waar nodig, van toestemming tot overname is door de uitgever de uiterste zorg besteed. Zou desondanks blijken dat Vormgeving een rechthebbende over het hoofd is gezien, dan verzoeken wij deze Steurs nv graphic solutions contact op te nemen met Uitgeverij Zwijsen.be.

handleiding leerjaar 5 blok 4 blok

wijsen wiskunde onderwijs Sowieso

WISo

Sowieso

handleiding leerjaar 5 blok 6

Advies Annemie Deklerck Patrick Winne

WIS oo 1 WIS

handleiding leerjaar 5 blok 7

wijsen wiskunde onderwijs

CoĂśrdinatie Andrea Jacobs Francine Vervenne

WISo

handleiding

Advies Annemie Deklerck Patrick Winne

Auteursteam Miet Daniels, Stijn Dekelver, Sandra Janssens en Truus Verstocken

wijsen wiskunde onderwijs

handleiding

CoĂśrdinatie Andrea Jacobs Francine Vervenne

Fotografie ÂŠ 2010 Uitgeverij Zwijsen.be, Antwerpen Rob Doolaard, Kasper van â&#x20AC;&#x2122;t Hoff, Lokin Fotografie, Renate Reitler, Maakt deel uit van WPG Uitgevers BelgiĂŤ N.V., Antwerpen. Studio Zwijsen Voor de ontwikkeling en realisatie van deze uitgave van â&#x20AC;&#x2DC;zWISoâ&#x20AC;&#x2122; konden wij rekenen op de medewerking en deskundigheid van Uitgever het projecten auteursteam van â&#x20AC;&#x2DC;Wizwijsâ&#x20AC;&#x2122;, realistische rekenen Patrick Vandevelde wiskundemethode voor het basisonderwijs van Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg. Projectleider D/2010/1919/312 Evi Triest

wijsen

zWISo â&#x20AC;˘ Leerjaar 5 Blok 6

en Truus Verstocken

handleiding

Aan het verwerven, waar nodig, van toestemming tot overname is door de uitgever de uiterste zorg besteed. Zou desondanks blijken dat een rechthebbende over het hoofdAuteursteam is gezien, dan verzoeken wij deze contact op te nemen met Uitgeverij Zwijsen.be. Miet Daniels, Stijn Dekelver, Sandra Janssens, Hilde Noelmans

Advies Annemie Deklerck Patrick Winne

leerjaar

WISo

ÂŠ 2010 Uitgeverij Zwijsen BelgiĂŤ N.V., Antwerpen Maakt deel uit van de WPG groep. Voor de ontwikkeling en realisatie van deze uitgave van â&#x20AC;&#x2DC;zWISoâ&#x20AC;&#x2122; konden wij rekenen op de medewerking en deskundigheid van het projecten auteursteam van â&#x20AC;&#x2DC;Wizwijsâ&#x20AC;&#x2122;, realistische rekenen wiskundemethode voor het basisonderwijs van Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg. D/2010/1919/xxx

leerjaar

WISo

Sowieso

zWISo â&#x20AC;˘ Leerjaar 5 Blok 4

wijsen

CoĂśrdinatie Andrea Jacobs Francine Vervenne

zWISo â&#x20AC;˘ Leerjaar 5 Blok 2

Fotografie, Renate Reitler,

WISo

Auteursteam Miet Daniels, Stijn Dekelver, Sandra Janssens, Hilde Noelmans en Truus Verstocken

zWISo â&#x20AC;˘ Leerjaar 5 Blok 7

wijsen

Sowieso

WISWIS oo

leerjaar

wijsen wiskunde onderwijs Sowieso

ÂŠ 2010 Uitgeverij Zwijsen.be, Antwerpen Maakt deel uit van WPG Uitgevers BelgiĂŤ N.V., Antwerpen. Voor de ontwikkeling en realisatie van deze uitgave van â&#x20AC;&#x2DC;zWISoâ&#x20AC;&#x2122; konden wij rekenen op de medewerking en deskundigheid van het projecten auteursteam van â&#x20AC;&#x2DC;Wizwijsâ&#x20AC;&#x2122;, realistische rekenen wiskundemethode voor het basisonderwijs van Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg. D/2010/1919/311

handleiding leerjaar 5 blok 2

Frier Steward, Hilbert Bolland, n, Mark Janssen, Hester van Roos, Ina Hallemans

handleiding leerjaar 5 blok 5

handleiding leerjaar 5 blok 3 zWISo â&#x20AC;˘ Leerjaar 5 Blok 3

ssens, Hilde Noelmans

zWISo â&#x20AC;˘ Leerjaar 5 Blok 5

zWISo â&#x20AC;˘ Leerjaar 5 Blok 1

WISo

rekenk en wiskundemethode ik d h d voor h het llager onderwijs d ij

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Op deze manier kan een les gestructureerd verlopen en kun je het onderwijs aanpassen aan de individuele noden van de leerlingen. Door de planning die in de handleiding wordt aangegeven te volgen kun je de leerlingen de nodige kennis en vaardigheden in een haalbaar tempo bijbrengen. Deze planning zorgt bovendien voor een goede aansluiting met het zesde leerjaar. De handleiding geeft je inzicht in de ontwikkeling van wiskundige kennis en vaardigheden bij de leerlingen. Daardoor kun je de lesopbouw of de inhouden die aan bod komen desgewenst afstemmen op de behoeften en de interesses van de leerlingen. Omwille van de praktische toepasbaarheid zijn de lesbeschrijvingen van zWISo zo bondig mogelijk gehouden. Elke les beslaat meestal precies twee bladzijden. Zo vind je in ĂŠĂŠn oogopslag alle informatie vlot terug.

Op die manier kunnen ook leerkrachten die nog niet vertrouwd zijn met de zWISo-methodiek zich snel en grondig voorbereiden. Vervolgens volgt een overzicht van de oefeningen die aan bod komen tijdens de verwerkingsfase van de basisles. Hier wordt verwezen naar de bladzijden uit het werkboek die door de leerlingen zelfstandig of begeleid worden opgelost. Indien nodig wordt voor jou als leerkracht extra toelichting gegeven bij de opdrachten. In de reflectiefase koppel je met de leerlingen terug naar de leeractiviteit of de verwerking. Hierbij bespreek je een bepaalde oefening, herhaal je kort een belangrijke inhoud of denk je met de leerlingen verder na over de inhoud van die bepaalde les.

Inleiding Leerkrachtmateriaal

In de linkerbalk van elke lesbeschrijving worden de hoofd- en nevendoelen van de les beschreven. De hoofddoelen beschrijven de methode-eigen lesdoelen waar je hoofdzakelijk aan werkt tijdens die les. Nevendoelen zijn doelen waar je in de les aan werkt omdat de gelegenheid ertoe zich voordoet of doelen die niet nieuw zijn in de les maar die wel essentieel zijn voor een goed verloop van de les. Ze zijn echter niet het hoofddoel van de les.

In de volgende rubriek volgt een opsomming van het benodigde materiaal. Het kan gaan om materialen uit de kopieermap, de materialenset, de handleiding, het werkboek of het scheurblok. Maar het kan ook gaan om materiaal dat je van tevoren moet verzamelen om de les te kunnen geven.

Les 1 • Negatieve getallen

Blok 3

Leeractiviteit

Hoofddoel ➜ In concrete situaties positieve en negatieve getallen vergelijken, rangschikken en het verschil bepalen. ➜ Positieve en negatieve getallen op een getallenlijn plaatsen.

Nevendoel ➜ Gegevens van een staafen lijndiagram aﬂezen en hiermee eenvoudige bewerkingen uitvoeren. ➜ Temperatuur aﬂezen en noteren in graden Celsius.

Materiaal

De duur van een les wordt ook steeds aangegeven in de zijbalk van de lesbeschrijving. In de regel geldt dat een les 50 minuten duurt, de eerste toetsles 100 minuten.

➜ Kaarten hoger-lager: 2°C, 5°C, -4°C, -7°C, -2°C, 6°C, -1°C en 0°C ➜ Kaarten wizteens (KM p. 3-1) ➜ Per 3 leerlingen:

2. Getallen vergelijken De getallen op de acht kaarten zijn nu allemaal zichtbaar. Laat twee kaarten zien. Een leerling schrijft telkens het symbool < of > tussen de twee getallen (zie bordschema). • Waarom heb je het symbool >/< gekozen? Verwijs hierbij eventueel naar de thermometer en naar de positie van de getallen op de getallenlijn.

1. Positieve en negatieve getallen Leg het hoger-lagerspel kort uit en speel klassikaal. De eerste kaart wordt omgedraaid (kaart met 2°C). Een leerling voorspelt of de temperatuur op de volgende kaart hoger (een groter getal) of lager (een kleiner getal) zal zijn. Hij doet dat door zijn duim naar boven of naar beneden te houden. Is het juist? Laat de kaart staan en herhaal de activiteit met de volgende kaart. Is het fout? Neem de kaart weg en zet het spel voort met de volgende kaart. De volgende kaart wordt omgedraaid (kaart met 5°C). Speel het spel zo verder tot alle kaarten omgedraaid zijn.

3. Het verschil bepalen tussen twee getallen Hang telkens een kaart met een Wizteen boven een getal op de getallenlijn. Bijvoorbeeld: - De getallen 1 en 6 (beide getallen zijn positief). Hoeveel sprongen zijn ze van elkaar verwijderd? - De getallen -7 en -4 (beide getallen zijn negatief). Hoeveel sprongen zijn ze van elkaar verwijderd? - De getallen -3 en 5 (een negatief en een positief getal). Hoeveel sprongen zijn ze van elkaar verwijderd? Laat de leerlingen telkens verwoorden als: ‘Het verschil tussen ... en ... is …’ Noteer op het bord (zie bordschema). De leerlingen kunnen het verschil bepalen door sprongen te tellen. Kom eventueel tot een verkorting bij het tellen van de sprongen tussen positieve en negatieve getallen: bekijk de sprong tot nul, tel dan de sprongen van nul tot het negatieve getal en tel

• Welke getallen staan er op de kaarten? (positieve en negatieve getallen) Plaats samen deze acht getallen op de getallenlijn waarop het getal 0 al genoteerd is. Vul de getallenlijn verder aan. Verwijs eventueel naar de positieve en negatieve getallen op een thermometer. Noteer de termen positieve getallen en negatieve getallen bij de getallenlijn (zie bordschema). • Waar zien we negatieve getallen in het dagelijkse leven? (thermometer, weerbericht in de krant of op het nieuws, diepvriesproducten, …)

spelregels Heksenspel (KM Rekenspellen p. 7), pijl Heksenspel (KM Rekenspellen p. 8), spelbord Heksenspel (KM Rekenspellen p. 9),

Bord

getalkaartjes Heksenspel

In het onderdeel organisatie worden de voorbereidingen beschreven die voor de les moeten worden getroffen. Moeten bepaalde opstellingen voorbereid worden? Moeten er kopies gemaakt worden uit de zWISo-kopieermap voor klassikaal gebruik? Moet je hoeken inrichten of de banken anders schikken? Het loont om deze rubriek enige tijd van tevoren door te nemen.

(KM Rekenspellen p. 10) en schaar ➜ Werkboek p. 2 en 3

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

negatieve getallen

Duur Voorbeeld

50 minuten

2°C

positieve getallen

5°C

Tussen 1 en 6 zijn er 5 sprongen. Het verschil tussen 1 en 6 is 5. Tussen -7 en -4 zijn er 3 sprongen. Het verschil tussen -7 en -4 is 3. Tussen -3 en 5 zijn er 8 sprongen. Het verschil tussen -3 en 5 is 8.

Waar het zinvol is, wordt onder aan de lesbeschrijving het bordschema weergegeven. Dit is het bordschema dat bij goed verloop van de les ontstaat na het uitvoeren van de instructie en de leeractiviteit. Het loont om deze bordschema’s vooraf goed te bestuderen en in de praktijk zo dicht mogelijk te benaderen.

Gebruikswijzer Aangezien er in zWISo veel aandacht is voor taalzwakke rekenaars, is er bij elke lesbeschrijving een aparte rubriek taal, waarin de essentiële woorden die in die les aan bod komen worden opgesomd. Binnen deze rubriek wordt onderscheid gemaakt tussen specifieke rekentaal en contexttaal. Onder rekentaal staat de wiskundige terminologie die in de les aan bod komt. De leerlingen moeten deze begrippen correct kunnen verwoorden en gebruiken. Door deze woorden herhaaldelijk (niet alleen in deze les) duidelijk en nadrukkelijk te gebruiken, ontstaat de attitude om bij het verwoorden van wiskundige verschijnselen de juiste termen te gebruiken. Onder contexttaal is de woordenschat opgenomen die de leerlingen minimaal moeten beheersen om de situatieschetsen en de leeractiviteiten volledig te begrijpen. Het is essentieel dat leerlingen beoordeeld worden op hun rekenkundige vaardigheden en niet op hun talige vaardigheden. De leerkracht kan in de beginfase van de les extra aandacht schenken aan deze woorden en niet gekende woorden eventueel verduidelijken aan de hand van een voorbeeld of een afbeelding.

Blok 3

Getallen

beide getallen op. Hang een Wizteen boven bijvoorbeeld -2. • Hang de andere Wizteen op een plaats die vier sprongen van de eerste verwijderd is. Bespreek beide mogelijkheden. (-6 en 2) Herhaal met een andere positie en een andere sprong. Geef het verschil (het aantal sprongen) op en de leerlingen hangen de Wizteens boven de getallenlijn. Bijvoorbeeld: - Het verschil tussen de getallen is 6. (De Wizteens moeten zes sprongen van elkaar verwijderd hangen.) - Het verschil tussen de getallen is 17. (De Wizteens moeten 17 sprongen van elkaar verwijderd hangen.) - … Bespreek telkens verschillende mogelijkheden. Sluit af met het Heksenspel. De leerlingen spelen het spel met zijn drieën. Geef elke groep een spelbord, een pijl, de spelregels en het blad met de getalkaartjes. De leerlingen knippen de pijl uit en verknippen de kaartjes. Doorloop samen de spelregels en speel het spel even samen.

groot flatgebouw met 53 verdiepingen boven en 4 verdiepingen onder de grond. De familie White woont op verdieping 17. Hun garage bevindt zich op -4, hun kelder op -1. Lees en vul in.

Leg het spel in de rekenhoek!

het hoger-lagerspel (zie materiaal) en zet ze zo dat de leerlingen ze niet kunnen

Werkboek pagina 3

zien in deze volgorde op de

3. Wie heeft welke diepvriezer en/of koelkast? Lees de volgende fragmenten en noteer bij elke persoon de juiste letter(s) van het toestel dat of de toestellen die hij/zij heeft. 4. Vliegtuigen moeten heel wat temperatuurverschillen doorstaan. Op de grond kan het warm zijn (zie grafiek), in het luchtruim is het altijd zeer koud, afhankelijk van de hoogte. Vul telkens de temperatuur in en bereken het temperatuurverschil.

rand van het bord of hang ze op: 2°C, 5°C, -4°C, -7°C, -2°C, 6°C, -1°C en 0°C. ➜ Teken een getallenlijn van -10 tot 10 op het bord. Noteer de nul er al bij in een andere kleur. ➜ Kopieer de Wizteens, knip ze uit en kleef ze op stevig papier. ➜ Kopieer het materiaal voor het Heksenspel.

➜ Voor de leerkracht: - Voor les 5, blok 3: Verzamel twee op de verpakking staat (bv. een doos deegwaren en een glazen potje kruiden). Maak ook de papieren

Rekentaal

Contexttaal

➜ positief

➜ combi

➜ negatief

➜ luchtruim

➜ temperatuurverschil ➜ graden Celsius

stroken. - Voor les 9, blok 3: Zorg voor een kalender van het huidige jaar, waar ook de

Verwerking

Bij observatie worden enkele aanwijzingen gegeven voor de gerichte observatie van de leerlingen. Op deze manier kan er snel worden ingegrepen bij onduidelijkheden of problemen en kan een grote achterstand vermeden worden. Het zijn vaak vragen voor jou als leerkracht die kunnen helpen bij het vaststellen of de leerlingen wel of geen problemen hebben met bepaalde leerstofonderdelen.

Ta a l

producten waarvan het nettogewicht

Ti p

Organisatie ➜ Maak de kaarten voor

Als één van de volgende lessen specifiek materiaal vereist, wordt dat al aangegeven in een voorafgaande les, bij het icoon van het winkelkarretje. Dat geeft je de mogelijkheid om het benodigde materiaal tijdig te verzamelen.

weeknummers op staan. Kijk hiervoor

Werkboek pagina 2

eens bij de bank, de apotheker of op

1. Vul in.

een scheurkalender waarop de tijdstippen

2. Op stap in New York! Hier zie je een doorsnede van een stuk van een zeer

vermeld staan.

internet. Zorg ook voor een blaadje van van de zonsopgang en de zonsondergang

-/+

Differentiatie

Makkelijker Verwerking: De leerlingen gebruiken de getallenlijn.

zWISo-box

In de rubriek differentiatie worden er mogelijkheden gegeven om de les aan te passen aan de verschillende behoeften van de leerlingen. Hierbij wordt een onderscheid gemaakt tussen makkelijkere en moeilijkere differentiatie. Hiernaast wordt er met pictogrammen ook aangegeven of er bij deze les loper- en/of ladderkaarten beschikbaar zijn.

In een gekleurd kadertje zijn bij sommige lessen tips opgenomen. Het zijn soms vrijblijvende ideetjes om een extra speels element toe te voegen of een wat uitgebreider muzisch staartje te breien aan de leeractiviteit. Soms zijn het tips om de organisatie van de leeractiviteit vlotter te laten verlopen.

Waar mogelijk is een notitieruimte open gehouden waarin je je eigen bedenkingen of opmerkingen bij het verloop van deze les kunt noteren. Zo wordt deze handleiding je persoonlijke werkinstrument waarmee je de zWISo-methodologie optimaal kunt laten renderen. Het kan een hulpmiddel zijn wanneer collega’s of stagiaires tijdelijk je lessen moeten overnemen.

Inleiding Leerkrachtmateriaal

Oefenlessen De oefenlessen worden in de zWISo-handleiding op een soortgelijke manier beschreven als de basislessen. Ze beslaan ook steeds twee bladzijden en zijn opgebouwd volgens hetzelfde stramien. In de beschrijving van de verwerking wordt, waar nodig, uitleg gegeven bij het verloop van de oefenles. Dan volgen de verwijzingen naar de bladzijden uit het Oefen!-scheurblok en uit de kopieermap die in deze les gebruikt zullen worden. De oefenblaadjes zijn op de volgende bladzijde van de handleiding verkleind afgebeeld, zodat je makkelijk kunt zien welke oefeningen de leerlingen maken. In de reflectiefase wordt een aantal goedgekozen oefeningen klassikaal besproken. Hier kan bijvoorbeeld het verwoorden van diverse oplossingsstrategieën aan bod komen. In de zijbalken zijn, indien van toepassing, dezelfde rubrieken opgenomen als in de basislessen: doelen, materialen, duur, organisatie, taal, observatie en differentiatie. Toetslessen en remediëringslessen In de handleiding zijn ook de toetslessen opgenomen en beschreven. Deze lessen dragen de naam ‘Alleen 1’ (voor de observatietoets) en ‘Alleen 2’ (voor de eindtoets en de extra-toets). De beschrijving van deze lessen is analoog aan die van de basislessen. De zijbalken bevatten indien van toepassing dezelfde herkenbare rubrieken. Ook de remediëringslessen (de twee lessen tussen 'Alleen 1' en 'Alleen 2') zijn opgenomen in de handleiding. Ze dragen de naam ‘Oefen je nog eens mee?’. Ze zijn op analoge wijze opgebouwd als de basislessen.

Correctiesleutel toetsen De oplossingen van de observatietoetsen, de eindtoetsen en de extra-toetsen van elk blok zijn verzameld in één katern, dat is opgenomen in de verzamelband met de handleidingen. Deze correctiesleutel kan een hulpmiddel zijn bij het verbeteren van de toetsen. Soms is meer dan één oplossing mogelijk. In de correctiesleutel zijn dan voorbeeldoplossingen opgenomen. Belangrijk om hierbij op te merken is dat de pagina's in de correctiesleutel een verkleinde weergave vormen van de werkboekpagina's. De afmetingen van figuren, lijnstukken, ... komen dus niet overeen met de reële afmetingen. De opzet van de evaluatie in zWISo wordt uitgebreid beschreven in hoofdstuk vijf van deze gebruikswijzer.

Doelenkatern In het doelenkatern wordt een overzicht gegeven van alle lesdoelen die worden behandeld, zowel de hoofddoelen als de nevendoelen. Deze doelen zijn geordend per blok en per les. In zWISo worden alle leerplandoelen van de drie onderwijsnetten behandeld. Elk lesdoel wordt dan ook gekoppeld aan het corresponderende doel in de drie leerplannen. Ook de koppeling met de eindtermen kan van de tabel afgelezen worden. Het doelenkatern is als aparte bundel opgenomen in de verzamelband met de handleidingen. Het is een handig instrument bij het invullen van de agenda. Dankzij dit boek kun je snel een beeld krijgen van wat de leerlingen op een bepaald moment al gezien hebben en wat er in de volgende lessen aan bod zal komen. Op de website www.zwiso.be zijn de doelenkaternen digitaal beschikbaar.

Gebruikswijzer

• Gebruikswijzer

• Kopieermap

In dit boek worden de algemene uitgangspunten, de leerlijn, de materialen, de modellen en de manier van observeren, remediëren en evalueren in zWISo beschreven. Het hoofdstuk uitgangspunten heeft als doel de leerkrachten van het vijfde leerjaar die met zWISo werken een beeld te geven van de pedagogischdidactische visie achter de methode. Dit kan een verduidelijking vormen van de modellen, de lesopbouw en de materialen die in zWISo gebruikt worden. In het onderdeel materialen worden zowel de gedrukte materialen als de handelingsmaterialen beschreven. Op deze manier krijgt de leerkracht een duidelijk overzicht van de beschikbare materialen, hun functie en hoe ze gebruikt kunnen worden. In het derde hoofdstuk wordt de leerlijn van het vijfde leerjaar beschreven. Aan de hand daarvan kan de leerkracht snel een beeld krijgen van welke leerstof de leerlingen wanneer zullen zien. In het vierde hoofdstuk wordt de aanpak van de domeinen getallen, bewerkingen, meten en meetkunde behandeld. Deze verduidelijking van de modellen biedt de leerkracht een goed overzicht van de opbouw van enkele fundamentele rubrieken (bijvoorbeeld het getalbegrip). Een goed overzicht van de ontwikkeling van deze constructen is essentieel voor het inzichtelijk aanbrengen van deze inhouden. Daarnaast wordt ook de aanpak van vraagstukken behandeld. In het laatste deel van de gebruikswijzer wordt de manier van observeren, remediëren en evalueren en de filosofie daarachter beschreven.

In de rubriek ‘materiaal’ van de lesbeschrijvingen in de handleiding wordt regelmatig naar de zWISokopieermap verwezen. Deze map bevat afbeeldingen, schema’s, spelborden, pictogrammen en dergelijke voor de leerlingen en de leerkracht die onmisbaar zijn bij het opbouwen van een volledige les. Het materiaal in de kopieermap is gerangschikt per blok en vaak gekoppeld aan een les. De kopieermap bevat schema’s, pictogrammen en modellen die de leerlingen kunnen helpen bij het verankeren van bepaalde procedures en inhouden. We gaan bijvoorbeeld bij het vergelijken van kommagetallen met een verschillend aantal decimalen of bij het uitvoeren van bewerkingen hiermee verwijzen naar het pictogram knipperlicht. Op deze manier herinneren we de leerlingen eraan dat ze moeten opletten bij deze oefeningen. Visuele ondersteuning van de leerstof en de mogelijkheid om ze al handelend op te bouwen draagt bij tot een goede verankering van de aangeleerde kennis en vaardigheden.

Inleiding Leerkrachtmateriaal

Het zWISo-team hecht ook veel belang aan een rijk en gedifferentieerd oefenaanbod. De kopieermap bevat verschillende rekenspellen die kunnen worden gebruikt bij het speels inoefenen van de kennis en vaardigheden die aan bod kwamen tijdens de basislessen. Hoewel deze spellen onvervreemdbaar deel uitmaken van het basisaanbod van de methode, kunnen de materialen ook worden gebruikt bij het hoeken- en het contractwerk. De kopieermap bevat ook de observatie-, eind- en extra-toetsen die afgenomen worden in de loop van de laatste week van elk blok. Het bijbehorende registratiesysteem inclusief de doelstellingen van het blok, de zWISo-meter, is ook terug te vinden in de map. Het gebruik van de toetsen wordt toegelicht in hoofdstuk vijf.

Les

• Alleen 2

De zWISo-box bevat loperkaarten (tempodifferentiatie) en ladderkaarten (niveaudifferentiatie). Je kunt die als zelfstandig differentiatiemateriaal gebruiken in de wiskundelessen (basislessen, oefenlessen en remediëringslessen) of bij het hoeken- of contractwerk. In de handleiding vind je bij elke les onder de rubriek differentiatie of er loper- of ladderkaarten beschikbaar zijn. Dat betekent dat de kaarten vanaf deze les gebruikt kunnen worden. Leerlingen kunnen dus in een latere les ook kaarten uit een eerdere les maken. Het kan bijvoorbeeld zinvol zijn om leerlingen in een les in verband met optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken eerst nog een kaart te laten maken met bewerkingen met gelijknamige breuken. Voorts kunnen leerlingen tijdens lessen waar bijvoorbeeld niet in een ladderkaart is voorzien een ladderkaart uit een vorige les maken.

• • • •

Naam: Datum:

Stel voor op het lijnstuk. Noteer de bewerkingen en formuleer een antwoordzin.

les 9 • loperkaart 1

Met de jeugdbeweging maken we een vijfdaagse fietstocht. We hebben al 2 of 46 km afgelegd. Hoeveel km zullen we afgelegd 5 hebben na die vijf dagen?

. Antwoord:

2 Zoek het geheel. Stel voor op het lijnstuk. Reken uit en controleer.

4 6

7 9

van ? = 264

Controle:

van ? = 105

Controle:

Getallen:

Een kommagetal vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 100. Een kommagetal vermenigvuldigen met 100 of met een veelvoud van 100. Een kommagetal vermenigvuldigen met 1000. Bij vermenigvuldigingen de wisseleigenschap toepassen.

les 9 • lope loperkaart 1

Blok 2

• zWISo-box

De leerlingen van het vijfde leerjaar houden een lintjeswedstrijd. Elke groep legt een aantal lintjes van een bepaalde lengte achter elkaar in een lange rij. Wie maakt de langste sliert? Vul de tabel aan. Kruis de winnende groep aan.

Aantal lintjes

Lengte van een lint

1,4 m

0,7 m

100

0,3 m

1,2 m

2,3 m

3,4 m

0,7 m

4,6 m

3,65 m

0,6 m

Bewerking

Totale lengte

Groep

. 5

Noteer de lengte van elke zijde. Trek de gelijke zijden in een zelfde kleur over. Bereken de omtrek. Omtrek:

Bereken het product. 100 x 0,09 = _____________

10 x 24,35 = ____________ __

0,325 x 1000 = _____________

1000 x 0,6 = ____________ __

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, zWISo-box

Blok 2

De loperkaarten bevatten oefeningen die qua moeilijkheidsgraad aansluiten bij de oefeningen van het werkboek. Het doel van deze kaarten is het zelfstandig verder oefenen van de leerinhouden die aan bod kwamen in de basislessen.

. © Uitgeverij Zwijsen.be 2011

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, blok 2, Alleen 2

2 2-19

zWISo-meter: Leerjaar 5, Blok 2, Alleen 2 (Eindtoets)

Quotering © Uitgeverij Zwijsen.be 2011 Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, blok 2, zWISo-meter

2-23

Naam van de leerling

oef. 1

oef. 2

oef. 3

oef. 4

oef. 5

oef. 6

oef. 7

oef. 8

oef. 9

DS 1

DS 2

DS 3 & 7

DS 4

DS 5 & 6

DS 8

DS 9

DS 10

totale score

20/25

Naast deze kaarten voor tempodifferentiatie voorzien we ook in kaarten voor niveaudifferentiatie, dit zijn de ladderkaarten. De oefeningen of spellen die hierin aan bod komen hebben een hogere moeilijkheidsgraad dan die in het werkboek. Deze uitdagende en creatieve oefeningen werken erg motiverend voor je sterkere leerlingen. Toch kunnen je gemiddelde leerlingen af en toe ook eens een ladderkaart proberen in te vullen. De doelstellingen die in de ladderkaarten behandeld worden, sluiten aan bij die van de basislessen. We lopen dus niet vooruit op de inhoud die aan bod komt in de basislessen, wat het ontstaan van twee snelheden binnen je klasgroep voorkomt. Vooraan in de box vind je een uitvinderskaart. Hierop kunnen de leerlingen zelf oefeningen noteren. De andere leerlingen kunnen deze oefeningen eventueel op een later moment maken.

Gebruikswijzer

Registratieformulier Blok 5

Rekentaal i.v.m. breuken gebruiken. Een breuk nemen van een grootheid. Een breuk nemen van een getal tot 100. Gelijkwaardige breuken noteren. Het geheel bepalen als de gematerialiseerde breuk gegeven is.

les 11 • ladderkaart 1

• • • • •

les 11 • ladderkaart 1

Welk deel van het geheel is gekleurd? Vul in.

. ___ .

Naam leerlingen

Les 1

Les 3

Les 5

Les 7

Les 10

Les 13

Les 14

Les 15

Les 16

Les 21

Les 23

Extra-toets

. ___ .

Schrijf gelijkwaardige breuken in de ballonnen met dezelfde kleur!

3 ___ 4

3 ___ 6

20 ___ 28

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, zWISo-box

12 ___ 20

• Correctiesleutel Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, zWISo-box

Blok 1

De kaarten in de box zijn zoals gezegd onderverdeeld volgens type, namelijk loper- en ladderkaarten. Binnen deze twee categorieën zijn de kaarten chronologisch geordend. De kleur van de balken van de kaarten geeft aan bij welk domein ze aansluiten: • geel: getallen; • oranje: hoofdrekenen; • rood: cijferen; • blauw: meten; • groen: meetkunde. Met behulp van deze kleurcode kun je als leerkracht de leerlingen makkelijk sturen. Zo kun je een leerling die nog moeilijkheden heeft met cijferen de opdracht geven om vooral rode kaarten te maken. Let op! Bij het oplossen van ladder- en loperkaarten kiezen de leerlingen de oplossingswijze die zij het makkelijkst vinden. Werken ze aan een rode kaart (cijferen) en rekenen ze de bewerking al hoofdrekenend uit, ook goed!

De zWISo-correctiesleutel bevat de oplossingen van de opdrachten uit de zeven zWISo-werkboeken en het zWISo-scheurblok 'Oefen!'. Ze zijn verzameld in één ringmap. Je kunt de ingevulde opgaven gebruiken bij het corrigeren van de werkboeken en het scheurblok van de leerlingen. De correctiesleutel kan ook gebruikt worden door de leerlingen. Door zelf hun oplossingen te controleren zullen ze bewuster gaan nadenken over hun fouten en hierdoor hun kennis en vaardigheden verder ontwikkelen. Door deze werkwijze komt er voor jou als leerkracht extra tijd vrij voor het begeleiden van leerlingen die behoefte hebben aan verlengde instructie of ondersteuning bij de verwerking van de leerstof. Belangrijk om hierbij op te merken is dat de pagina's in de correctiesleutel een verkleinde weergave vormen van de pagina's in het werkboek en het scheurblok. De afmetingen van figuren, lijnstukken, ... komen dus niet overeen met de reële afmetingen.

Behalve de loper- en de ladderkaarten bevat de box ook de correctiesleutel van alle opdrachtkaarten. Die kan door jou of door de leerlingen gebruikt worden bij het controleren van ingevulde kaarten. De zWISo-box bevat ook een methodegebonden registratiesysteem waar flexibel mee kan worden omgesprongen. Dat geeft jou als leerkracht de vrijheid om het registratiesysteem naar eigen inzicht te gebruiken. Naast een leerkrachtformulier is er ook een leerlingregistratieblad. Op die formulieren wordt er per les aan de hand van een pictogram weergegeven welke kaarten (loper- of ladderkaarten) er voorzien zijn.

Inleiding Leerkrachtmateriaal

• Verdiepingsmap

Handelingsmaterialen

De sterkste rekenaars zullen niet genoeg hebben aan de oefeningen uit de werkboeken en de zWISobox. Door deze leerlingen aanvullende, uitdagende opdrachten te geven kunnen we ze op hun niveau succeservaringen bieden, zonder ze nieuwe leerstof aan te reiken. Deze oefeningen zijn terug te vinden in een aparte zWISo-verdiepingsmap.

Het handelingsmateriaal van het vijfde leerjaar is verzameld in een materialenset. Deze set bevat volgende materialen:

zWISo

De oefeningen van de verdiepingsmap behoren niet tot het basisaanbod van zWISo. Deze inhouden hoeven dus niet verwerkt te worden om de eindtermen te bereiken. Toch is het zWISo-team ervan overtuigd dat ze een erg waardevolle aanvulling kunnen zijn op het basispakket en sterk motiverend kunnen werken voor de sterke rekenaars. De oefeningen zijn flexibel inzetbaar en kunnen worden gebruikt op verschillende momenten van het leertraject, afhankelijk van de samenstelling van de klas en de organisatie van de lessen.

zWISo biedt voor het oplossen van ingeklede bewerkingen een methodespecifiek stappenplan. In de materialenset zitten vier pictogrammen die dat stappenplan ondersteunen. De vier pictogrammen zien er als volgt uit: © 2011 uitgeverij Zwijsen.be

De opdrachten in de verdiepingsmap hebben een hogere moeilijkheidsgraad dan de ladderkaarten uit de zWISo-box. Deze breinbrekers zijn dus alleen bedoeld voor de zeer sterke rekenaars, die deze zelfstandig of met zijn tweeën kunnen maken. De verdiepingsmap bevat gevarieerd en uitdagend oefenmateriaal in de vorm van speelse oefeningen, rekenraadsels, vraagstukken, … Ze reiken geen nieuwe leerstof aan maar bouwen verder op de klassikale leerstof door de leerlingen andere oefenvormen, denkmodellen, strategieën en invalshoeken te laten verkennen. De doelstellingen van de oefeningen komen overeen met de lesinhouden van het respectieve blok. Op deze manier wordt er dus geen andere snelheid gecreëerd, maar kunnen de leerlingen wel aan de slag met oefeningen op hun niveau. Er is ook in een correctiesleutel van de verdiepingsoefeningen voorzien. Deze oplossingsbladen kunnen zowel door de leerkracht als door de leerlingen gebruikt worden.

• Pictogrammen ingeklede bewerkingen

 Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

• Klassikale getallenlijnen Als leerkracht beschik je ook over twee klassikale getallenlijnen voor kommagetallen die met uitwisbare stift beschreven kunnen worden. De getallenlijn tussen de gehelen 0 en 1 is verdeeld in tien en honderd gelijke delen (tienden en honderdsten). De andere getallenlijn is op soortgelijke wijze onderverdeeld. Op deze lijn zijn geen gehelen aangeven, waardoor de getallenlijn flexibel kan worden gebruikt. De getallenlijnen komen van pas bij het positioneren van kommagetallen, het wegnemen/aanvullen tot het vorige/volgende geheel en het voorstellen van bewerkingen met kommagetallen. Je vindt deze getallenlijnen ook in de leerkrachtassistent.

 Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

Gebruikswijzer

• Meetkundige figuren Het leerkrachtmateriaal van het vijfde leerjaar omvat een set met 33 meetkundige figuren. De leerlingen kennen deze figuren al van uit het vierde leerjaar. De set bestaat uit een grote variëteit aan veelhoeken en niet-veelhoeken. Bij de selectie van de figuren is gelet op een rijk aanbod op het gebied van evenwijdigheid, loodrechte stand, eigenschappen van de diagonalen, ... In de lessen meten en meetkunde gaan de leerlingen aan de slag met deze figuren: ze onderzoeken de zijden, de hoeken en de diagonalen om zo tot besluiten te komen. De figuren kunnen met magneten aan het bord bevestigd worden en zijn beschrijfbaar met uitwisbare stift. Ze worden geregeld gebruikt in de lessen meten en meetkunde. Leerlingen gaan er ook mee aan de slag tijdens groepswerk. Je vindt deze set meetkundige figuren ook digitaal terug in de leerkrachtassistent van zWISo.  Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

Niet-veelhoeken Figuur

Omschrijving

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Vlakke figuur begrensd door lijnstukken en gebogen lijnen

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Vlakke figuur begrensd door lijnstukken en gebogen lijnen

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Veelhoeken Driehoeken

Figuur

Omschrijving

Rechthoekige, gelijkbenige driehoek

Rechthoekige, ongelijkbenige driehoek

Scherphoekige, ongelijkbenige driehoek

Gelijkzijdige driehoek

Scherphoekige, gelijkbenige driehoek

Stomphoekige, gelijkbenige driehoek

Stomphoekige, ongelijkbenige driehoek

Inleiding Leerkrachtmateriaal

Vierhoeken

Diagonalen Figuur

Passendste naam

Diagonalen zijn even lang

Diagonalen snijden elkaar middendoor

Diagonalen staan loodrecht op elkaar

Vierkant

Rechthoek

Ruit

Parallellogram

Ruit

Rechthoekig, gelijkbenig trapezium

Gelijkbenig trapezium

Trapezium

Vierhoek

Vierhoek (vliegerfiguur)

Gelijkbenig trapezium

Vierhoek

Vierhoek (vliegerfiguur)

Vierhoek

x x

Vijfhoeken Zeshoeken Figuur

Omschrijving

Vijfhoek

Regelmatige zeshoek

Vijfhoek

Zeshoek met gelijke hoeken

Regelmatige vijfhoek

Zeshoek met gelijke zijden

Digitale materialen • Leerkrachtassistent De softwaretoepassing voor het digitale schoolbord bevat twee onderdelen. Enerzijds zitten de werkboekpagina’s, scheurblokpagina’s, toetsen en kopieerbladen in het digimenu. Ook de correctiesleutels van deze materialen zijn opgenomen in de software. Anderzijds omvat de leerkrachtassistent een modellentool waarin alle modellen van het vijfde leerjaar alsook enkele modellen van het vierde zijn opgenomen.

Figuur

Voor het vijfde leerjaar vind je hier bijvoorbeeld de breukendoos, de meetkundige figuren, de procentstrook, alle euromunten en -biljetten en dergelijke. De leerkrachtassistent biedt dus in alle fasen van de les ondersteuning voor de leerkracht en voor de leerlingen. Op deze manier is het een duidelijke meerwaarde voor zowel instructie als verwerking. Voor het meest recente overzicht van de digitale materialen zie www.zwiso.be.

Gebruikswijzer

2 Leerlingmateriaal Gedrukte materialen • Werkboeken

De kennis en de vaardigheden die aan bod komen tijdens de basislessen worden in het werkboek verwerkt. Net zoals bij de handleidingen is er voor elk blok ook een werkboek. In een leerjaar wordt dus met zeven werkboeken gewerkt. Het zWISo-auteursteam vindt het belangrijk dat de kennis en de vaardigheden die tijdens de leeractiviteit worden aangebracht ook grondig verwerkt worden. Om de nieuwe leerstof te verankeren lossen de leerlingen tijdens de meeste lessen oefeningen in hun werkboek op. De leerlingen doen dat, al dan niet onder begeleiding van de leerkracht, tijdens het laatste deel van de basislessen. Het is belangrijk dat de leerlingen tevoren de benodigde kennis en vaardigheden verwerven tijdens het instructiemoment. De leeractiviteit is dus een onmisbare schakel in het leerproces van de leerlingen. Alleen de combinatie van beide werkvormen zal leiden tot wiskundig inzicht en functionele gecijferdheid en tot een vlotte overgang van het concrete naar het abstracte niveau. In je handleiding wordt steeds duidelijk aangegeven welke werkboekpagina’s bij de respectieve les horen, welke opdrachten er aan bod komen en wat de eventuele aandachtspunten daarbij zijn.

• Scheurblok Het scheurblok bestaat uit twee delen: ‘Doe!’ en ‘Oefen!’. ‘Doe!’ is het onderdeel van het scheurblok waarin alle ‘Ik doe mee!’-bladen, knipbladen, opdrachtkaarten en dergelijke zijn opgenomen die gebruikt worden tijdens de leeractiviteit. In zWISo wordt veel belang gehecht aan het handelend en inzichtelijk opbouwen van de leerstof. Als aanvulling bij manipuleren met concreet materiaal zijn de ‘Doe!’-bladen uitstekende middelen om de activiteit, het inzicht en de betrokkenheid van de leerlingen te bevorderen. Les 11 • Breuken 1

Doe! - Blok 1

Kleur elk deel in de gegeven kleur. Schrijf er telkens de breuk bij. blauw

groen

rood geel

€

1 4

1 2

Noteer breuken die evenveel zijn. Vul de naam in. 1 = 2 3 = 9 Dit zijn

breuken.

De volledige kaas kost € 24. Hoeveel kost elk stuk kaas? Vul in. Teken de stroken.

De werkboeken bevatten ook de verwerkingsoefeningen van de remediëringslessen uit de vierde/ vijfde week van een blok.

Inleiding Leerlingmateriaal

In de regel wordt er in groep of klassikaal met de Doe!-bladen gewerkt. Bij sommige lessen kun je de sterkste leerlingen eventueel deze pagina's zelfstandig laten maken. ‘Oefen!’ bevat de oefeningen die een keer per week in de oefenles van 50 minuten worden gemaakt. Behalve aan speelse inoefening aan de hand van rekenspellen (zie kopieermap en zWISo-box) wordt in zWISo veel belang gehecht aan formele inoefening. Het doel van ‘Oefen!’ is het formeel inoefenen van de aangeleerde kennis en vaardigheden. Door deze frequente momenten van inoefening kan de leerstof goed vastgezet en geïntegreerd worden. In lessen 6, 12, 18 en eventueel les 24 (in blokken 2 tot en met 6) is er zelden een instructiemoment. De leerlingen werken dan vooral individueel in hun scheurblok. Het verdient de voorkeur om de benodigde bladzijden uit het scheurblok te halen en door de leerlingen zelfstandig te laten invullen. Op dat moment kun je eventueel herinstructie geven aan leerlingen die het nodig hebben. De ‘Oefen!’-bladen kunnen verzameld worden in een mapje. Tijdens deze lessen biedt de zWISo-wijzer een meerwaarde als hulp voor de leerlingen en als stimulans voor zelfstandig werk.

• zWISo-wijzer De zWISo-wijzer is een boek waarin de leerlingen tijdens het zelfstandig werk informatie kunnen opzoeken. In dit boek worden de verschillende inhouden tot en met het vijfde leerjaar weergegeven. Door het gebruik van de zWISo-wijzer kunnen leerlingen belangrijke vaardigheden als het zelfstandig opzoeken van informatie en het oplossen van problemen ontwikkelen. Het is belangrijk het gebruik van de zWISo-wijzer te stimuleren en de leerlingen hier geregeld op te wijzen. In de eerste lessen waarin de zWISo-wijzer gebruikt kan worden is het belangrijk om expliciet aandacht te schenken aan de manier van opzoeken (trefwoordenlijst) en aan situaties waarin het opzoeken in de zWISo-wijzer zinvol is. Op deze manier ontwikkel je bij de leerlingen een attitude om geregeld naar de zWISo-wijzer te grijpen. De zWISowijzer kan zowel in de basislessen, de oefenlessen en de toetslessen als in de remediëringslessen worden gebruikt en is een ideaal middel om te werken aan zelfstandig leren. De tabbladen in de zWISo-wijzer hebben dezelfde kleurcode als de kaarten in de zWISo-box: • geel: getallen; • oranje: hoofdrekenen; • rood: cijferen; • blauw: meten; • groen: meetkunde. Dit faciliteert het gebruik van de zWISo-wijzer tijdens het zelfstandig werken aan de kaarten uit de box.

Gebruikswijzer

Handelingsmaterialen â&#x20AC;˘ Breukendoos Elke leerling beschikt over een breukendoos die in het vierde, vijfde en eventueel het zesde leerjaar wordt gebruikt. Deze rechthoekige doos bevat twee breukenborden, verschillende breukenstroken, een kommagetallenstrook en een procentstrook. Alle materialen zijn verdeeld over opbergvakken in de breukendoos. De noemer van de respectieve breuken wordt weergegeven op de bodem van de doos. Op deze manier weten de leerlingen steeds waar ze de stroken moeten opbergen. De leerlingen gebruiken deze doos voor het vergelijken van breuken, het ontdekken van gelijkwaardige breuken, het gelijknamig maken en het initieel uitvoeren van bewerkingen met breuken. We gebruiken de breukendoos ook om het verband tussen breuken, kommagetallen en percentages te ontdekken. Dat doen we met behulp van de twee speciaal hiervoor gemaakte stroken. De klassikale breukendoos vind je terug in de leerkrachtassistent. ď&#x201A;&#x2019; Gebruik: zie Hoofdstuk 4 â&#x20AC;˘ Aanpak

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

vuurtoren

manege

haven

kiezelstrand molen

camping zandstrand natuurreservaat

Hoofdstuk 3 • zWISo-leerlijn vijfde leerjaar In zWISo is de grootste zorg besteed aan goed doordachte leerlijnen die naadloos op elkaar aansluiten. We bouwen voort op de ontwikkelingsdoelen van het kleuteronderwijs en zorgen voor een doorgaande lijn van het eerste tot en met het zesde leerjaar. Dit garandeert een gestructureerde opbouw van de leerstof, waarbij alle facetten van functioneel wiskundeonderwijs aan bod komen. Door voortdurend en consequent het beoogde einddoel voor ogen te houden, is de coördinatieen adviesgroep erin geslaagd de leerinhouden evenwichtig te spreiden, in overeenstemming met de eindtermen en alle leerplandoelen. Op die manier zit er steeds één vloeiende lijn in de stof en verloopt het aanbrengen ervan zonder stijlbreuken. In dit hoofdstuk geven we de zWISo-leerlijn van het vijfde leerjaar weer.

Gebruikswijzer

lijn voor schatten is uitgewerkt. Het zWISo-team is ervan overtuigd dat schattend rekenen en afronden in de realiteit vaak voldoende is om te controleren of je geen rekenfout gemaakt hebt. Goed en spontaan schatten en schattend rekenen vereist voldoende zelfvertrouwen. Om dat te bereiken moeten leerlingen zo snel mogelijk beginnen te schatten. In zWISo gebeurt dat al in de eerste lessen van het eerste leerjaar. Deze lijn wordt doorgetrokken tot in het zesde leerjaar. Alleen zo zullen leerlingen op de duur kunnen beoordelen wanneer schattend rekenen een goed idee is, hoe ze daarbij te werk kunnen gaan en hoe ze het aldus verkregen geschatte resultaat kunnen beredeneren. De aandacht voor werken met betekenisvolle contextsituaties en aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen uit zich in de zWISo-leerlijn in een apart onderdeel ‘contextualiseren’ binnen het domein getallen.

Opbouw van de zWISo-leerlijn De zWISo-leerlijn is opgebouwd uit vier grote leerdomeinen: getallen, bewerkingen, meten en meetkunde. Deze indeling stemt overeen met de indeling van de leerplannen die werden opgesteld door de drie onderwijsnetten. Toch zijn er enkele belangrijke verschillen. Zo zijn er in zWISo, anders dan in de leerplannen van het Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs en het Gemeenschapsonderwijs, geen afzonderlijke clusters ‘domeinoverschrijdende doelen’, ‘problemen oplossen’ en ‘attitudes’. Het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, wiskundige strategieën en een positieve attitude ten aanzien van wiskunde worden als essentieel ervaren bij zWISo. Deze vaardigheden komen daarom geïntegreerd aan bod in de vier domeinen over de hele zWISo-leerlijn. Enkele voorbeelden van deze integratie zijn: • De lessen beginnen meestal met een probleemsituatie die de leerlingen uitdaagt om strategieën uit te denken en hun probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen. • De leerstof wordt vaak verwerkt en ingeoefend aan de hand van vraagstukken (zie Hoofdstuk 4 Aanpak). • Het gebruik van realistische situaties en de nadruk op leeractiviteiten vergroten het leerplezier van de leerlingen. Dit resulteert in een positieve attitude ten aanzien van wiskunde.

Uitleg over de opbouw van de zWISoleerlijn van het vijfde leerjaar Op de volgende bladzijden geven we de zWISo-leerlijn van het vijfde leerjaar weer. Nieuwe leerstof wordt vermeld bij het desbetreffende blok. Zodra een bepaalde inhoud aan bod is gekomen, worden de daaropvolgende vakken ingekleurd. Als een vak ingekleurd is en er geen tekst in staat betekent dat dat er in het blok geen nieuwe leerstof in verband met dat onderwerp wordt aangebracht. De leerstof die in een vorig blok werd aangeleerd kan in dit blok wel herhaald worden. Als een kader niet ingekleurd is, kwam er nog geen leerstof in verband met die deelcategorie aan bod.

In de zWISo-leerlijn zijn de vier grote domeinen opgedeeld in verschillende deelcategorieën. Een van de opmerkelijke dingen in onze methode is dat er, zowel bij getallen als bij bewerkingen, een aparte

Getallen

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

Contextualiseren

Betekenis geven aan alle natuurlijke getallen tot 100 000.

Betekenis geven aan alle natuurlijke getallen tot 1 000 000.

Tellen

Tellen met sprongen.

BLOK 3

1. Getallen

Getallen tot 100 000 vergelijken.

Getallen tot 1 000 000 vergelijken.

Getallen tot 100 000 samenstellen en splitsen.

Getallen tot 1 000 000 samenstellen en splitsen.

Een staafdiagram aanvullen.

Een tabel lezen en aanvullen.

- Gegevens van een grafiek (staafdiagram, lijngrafiek en cirkeldiagram) lezen en interpreteren. - Een grafiek opbouwen. - Verschillende soorten grafieken met elkaar vergelijken.

Vraagstukken oplossen door de gegevens voor te stellen in een verhoudingstabel. - De grootste gemeenschappelijke deler van twee natuurlijke getallen kleiner dan 100 bepalen. - Het kleinst gemeenschappelijk veelvoud van twee natuurlijke getallen kleiner dan 20 bepalen.

Vergelijken en verbanden zien 1.1 Natuurlijke getallen

Ontdekken en verwoorden wanneer een getal deelbaar is door 2, door 5 en door 10. - Het gemiddelde berekenen (ook van negatieve getallen). - Het ontbrekende getal zoeken wanneer het gemiddelde, het aantal getallen en op ĂŠĂŠn na alle getallen gegeven zijn.

Getallen tot 100 000 lezen en schrijven.

Getallen tot 1 000 000 lezen en schrijven.

Voorstellen en symboliseren

- Getallen met Romeinse cijfers lezen en schrijven. - Getallen met Romeinse cijfers omzetten in Arabische cijfers en omgekeerd.

Positioneren

Getallen tot 100 000 positioneren op de getallenlijn.

Getallen tot 1 000 000 positioneren op de getallenlijn.

Positionele waarde

De waarde van elk cijfer in getallen tot 100 000 kennen.

De waarde van elk cijfer in getallen tot 1 000 000 kennen.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Betekenis geven aan alle natuurlijke getallen tot 10 000 000.

Getallen tot 10 000 000 vergelijken. Getallen tot 10 000 000 samenstellen en splitsen. - Grafieken i.v.m. afstand en tijd lezen en interpreteren. - De legende bij een grafiek aanvullen. - De resultaten van de kansberekening en van het bijbehorende experiment voorstellen in een staafdiagram.

Hoeveelheden voorgesteld d.m.v. een beelddiagram bepalen.

Ontdekken en verwoorden wanneer een getal deelbaar is door 4, door 25 en door 100.

Ontdekken en verwoorden wanneer een getal deelbaar is door 3 en door 9. De mediaan berekenen (niet voor OVSG en GO).

Doordenken over een wiskundige situatie om een verklaring te ontdekken.

Getallenpatronen herkennen.

Verwoorden waarom in een vraagstuk de grootheden recht evenredig of omgekeerd evenredig zijn. - Een ongelijke verdeling maken als het totaal en het verschil tussen de delen gegeven zijn. - Een ongelijke verdeling schematisch voorstellen.

Een ongelijke verdeling maken als het totaal en de verhouding tussen de delen gegeven zijn.

- Getallen tot 10 000 000 lezen en schrijven. - Ronde getallen groter dan 100 000 noteren als kommagetal (bv. 1,2 miljoen) en omgekeerd.

Getallen tot 10 000 000 positioneren op de getallenlijn. De waarde van elk cijfer in getallen tot 10 000 000 kennen.

Getallen

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3 - In concrete situaties positieve en negatieve getallen vergelijken, rangschikken en het verschil bepalen. - Negatieve getallen op een getallenlijn plaatsen.

1.2 Negatieve getallen

Leerlijn leerjaar 5

Een breuk nemen van een grootheid. Een breuk nemen van een getal. Rekentaal i.v.m. breuken gebruiken. Gelijkwaardige breuken noteren.

Breuken vereenvoudigen.

- Een gegeven situatie waarin breuken voorkomen, voorstellen op een strook/lijnstuk. -H et geheel bepalen als de gematerialiseerde breuk gegeven is. Breuken beredeneerd vergelijken.

1.3 Breuken

Breuken interpreteren als een deling en noteren als kommagetal. -B reuken als een verhouding verwoorden, interpreteren en gebruiken. - I n concrete situaties verhoudingen vaststellen tussen de delen onderling en tussen een deel en het geheel. -D e delen bepalen als de verhouding en het geheel gegeven zijn.

Kommagetallen met drie decimalen lezen en noteren.

1.4 Kommagetallen

Het verband tussen eenheden, tienden en honderdsten vaststellen. -D e waarde van elk cijfer in een kommagetal kennen. -K ommagetallen voorstellen met schijven en kaartjes. Kommagetallen omzetten in een breuk met noemer 10, 100 of 1000 en omgekeerd. Kommagetallen positioneren op de getallenlijn. Kommagetallen vergelijken.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

De gelijkwaardigheid tussen percentages en breuken vaststellen en gebruiken.

- Een kans weergeven als een breuk. - In een experiment de berekende kans toetsen. Breuken gelijknamig maken. Breuken groter dan 1 noteren als een gemengd getal. Een ongelijke verdeling maken als het totaal en de verhouding tussen de delen gegeven zijn.

Getallen en bewerkingen

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

1.4 Kommagetallen (vervolg)

Kommagetallen samenstellen en splitsen. -K ommagetallen situeren tussen twee opeenvolgende gehele getallen. - E en kommagetal aanvullen/ verminderen tot het volgende/ vorige gehele getal.

1.5 Procent

Tellen met sprongen.

1.6 Schatten en afronden

StrategieĂŤn voor het schatten van ongestructureerde hoeveelheden gebruiken. Kommagetallen en natuurlijke getallen afronden.

2. Bewerkingen Symboliseren

Herhalen van de symbolen +, -, x en :.

2.1.1 Natuurlijke getallen

2.1 Hoofdrekenen

Optellingen en aftrekkingen met ronde getallen tot 100 000 van alle types maken.

Optellingen en aftrekkingen met ronde getallen tot 1 000 000 van alle types maken.

Optellingen en aftrekkingen met verschillende termen maken. Rekentaal voor de optelling en de aftrekking gebruiken. Optellen / aftrekken

Bij optellingen en aftrekkingen een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van de aard van de getallen en de eigenschappen van de bewerkingen. De commutatieve eigenschap bij optellen herhalen. De associatieve eigenschap bij optellen herhalen.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Vaststellen dat procent in verschillende concrete situaties wordt gebruikt. Op gestructureerd materiaal een percentage voorstellen. Het begrip procent verwoorden als â&#x20AC;Ś van de/op de/per 100. Het symbool % benoemen en noteren. De gelijkwaardigheid tussen percentages, kommagetallen en breuken vaststellen en gebruiken.

De gelijkwaardigheid tussen percentages en breuken vaststellen en gebruiken. Eenvoudige procentberekeningen maken met de verhoudingstabel.

- Percentages aflezen m.b.v. de procentmeter. - De procentstrook gebruiken. - Het deel berekenen als het percentage en het totaal gegeven zijn. - Het totaal berekenen als het percentage en het deel gegeven zijn.

Het percentage berekenen als het totaal en het deel gegeven zijn.

Ervaren en vaststellen dat er gerekend mag worden met benaderde waarden. Getallen zinvol afronden met het oog op het voorstellen van de gegevens op een grafiek.

Optellingen en aftrekkingen met ronde getallen tot 10 000 000 van alle types maken.

Bewerkingen

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3 Bij het aftrekken van verschillende termen vaststellen dat de plaats van het aftrektal behouden blijft, maar dat de volgorde van de aftrekkers veranderd mag worden.

Optellen / aftrekken

Als er verschillende bewerkingen moeten worden uitgevoerd, toepassen dat: - e erst de bewerkingen tussen haakjes opgelost moeten worden. - vermenigvuldigen/delen voor optellen/aftrekken gaat.

(vervolg)

- Vermenigvuldigingen maken met ronde getallen tot 100 000 waarvan één van de factoren kleiner is dan 100. - Een natuurlijk getal vermenig vuldigen met 10 en met 100. -O pgaande delingen maken waarvan de deler bestaat uit één cijfer. -V eelvouden van 10 delen door 10. -V eelvouden van 100 delen door 100.

- Natuurlijke getallen delen door 10 en 100. - Natuurlijke getallen delen door 5 en 50. - Bij niet-opgaande delingen de rest bepalen.

Bij vermenigvuldigingen en delingen een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van de aard van de getallen en de eigenschappen van de bewerkingen.

2.1.1 Natuurlijke getallen

2.1 Hoofdrekenen

Rekentaal voor de vermenigvuldiging en de deling gebruiken.

Vermenigvuldigen / delen

-B ij vermenigvuldigingen vaststellen dat het product gelijk blijft als één van de factoren vermenigvuldigd wordt met en de andere gedeeld wordt door hetzelfde getal. -B ij delingen vaststellen dat het quotiënt gelijk blijft als deeltal en deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden.

- Handig vermenigvuldigen met 5, 50 en 25. - Handig vermenigvuldigen met 9, 19, 29, …

- Bij vermenigvuldigingen vaststellen dat als één van de factoren met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het product in dezelfde mate verandert. - Bij delingen vaststellen dat als de deler gelijk blijft en het deeltal met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het quotiënt in dezelfde mate verandert. - Bij delingen vaststellen dat als het deeltal gelijk blijft en de deler met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het quotiënt omgekeerd evenredig verandert. De commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen herhalen. De associatieve eigenschap bij vermenigvuldigen herhalen. Het quotiënt afhankelijk van de context zinvol afronden. Bij het delen door verschillende getallen vaststellen dat de plaats van het deeltal behouden blijft maar dat de volgorde van de delers veranderd mag worden. Als er verschillende bewerkingen moeten worden uitgevoerd, toepassen dat: - eerst de bewerkingen tussen haakjes moeten opgelost worden. - vermenigvuldigen/delen voor optellen/aftrekken gaat.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Getallen vermenigvuldigen met veelvouden van 10, 100 of 1000.

- Natuurlijke getallen delen door 1000. - Natuurlijke getallen delen door 25.

Getallen delen door veelvouden van 10, 100 of 1000.

- Een natuurlijk getal delen door een kommagetal. - Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal, het resultaat is een kommagetal.

Bewerkingen

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

2.1.2 Breuken

Leerlijn leerjaar 5

Optellen / aftrekken

Kommagetallen met hoogstens drie decimalen optellen en aftrekken.

2.1.3 Kommagetallen

2.1 Hoofdrekenen

De commutatieve eigenschap bij optellen herhalen. - Een kommagetal vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 10. - Een kommagetal vermenigvuldigen met 10 en met 100.

- Een kommagetal vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 100. - Een kommagetal vermenigvuldigen met een veelvoud van 100. - Een kommagetal vermenigvuldigen met 1000. - H andig vermenigvuldigen met 5, 50 en 25. - Handig vermenigvuldigen met 9, 19, 29, â&#x20AC;Ś

Vermenigvuldigen / delen

De commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen herhalen.

2.2 Schatten

2.1.4 Procent

- Kommagetallen delen door 10 en 100. - Kommagetallen delen door 5 en 50.

Het resultaat van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen met getallen tot 100 000 (natuurlijke getallen en kommagetallen) schatten.

Het resultaat van een bewerking controleren door de uitkomst te vergelijken met de schatting.

Het resultaat van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen met getallen tot 1 000 000 (natuurlijke getallen en kommagetallen) schatten.

Het resultaat van een deling door een tweecijferig getal schatten.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

- Gelijknamige breuken optellen en aftrekken. - Ongelijknamige breuken optellen en aftrekken. - Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal. - Een natuurlijk getal vermenigvuldigen met een breuk. Een breuk delen door een natuurlijk getal.

Een kommagetal vermenigvuldigen met een kommagetal.

Een kommagetal delen door een natuurlijk getal.

- Vaststellen dat vermenigvuldigen met 0,1 hetzelfde is als delen door 10. - Vaststellen dat vermenigvuldigen met 0,01 hetzelfde is als delen door 100. - Het deel berekenen als het percentage en het totaal gegeven zijn. - Het totaal berekenen als het percentage en het deel gegeven zijn.

Het percentage berekenen als het totaal en het deel gegeven zijn.

- Het resultaat van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen met getallen tot 10 000 000 (natuurlijke getallen en kommagetallen) schatten. - Het resultaat van een deling door een driecijferig getal schatten.

Bewerkingen

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

Optellingen en aftrekkingen met getallen tot 100 000 cijferend uitvoeren.

2.3 Cijferen

2.3.1 Natuurlijke getallen

Natuurlijke getallen cijferend vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 100.

- Natuurlijke getallen tot 100 000 cijferend delen door een getal kleiner dan 10. - Het quotiĂŤnt bepalen tot op een t, h of d nauwkeurig. - De waarde van de rest bepalen.

2.3.2 Kommagetallen

Kommagetallen cijferend vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 1000.

Bij een vermenigvuldiging de komma plaatsen door het resultaat te vergelijken met de schatting.

- Kommagetallen cijferend delen door een getal kleiner dan 10. - De waarde van de rest bepalen.

Kommagetallen intoetsen op de zakrekenmachine.

2.4 Zakrekenmachine

Natuurlijke getallen delen door een natuurlijk getal kleiner dan 100 tot op een t, h of d nauwkeurig.

Optellingen en aftrekkingen met kommagetallen cijferend uitvoeren. Kommagetallen cijferend vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 100.

Natuurlijke getallen cijferend vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1000.

Kommagetallen delen door een natuurlijk getal kleiner dan 100 tot op een t, h of d nauwkeurig.

Met de zakrekenmachine de relatie tussen deling, breuk en kommagetal ontdekken.

Het resultaat van een bewerking controleren met de zakrekenmachine. Ervaren wanneer het gebruik van de zakrekenmachine zinvol is. Met de zakrekenmachine ontdekken dat niet alle zakrekenmachines op dezelfde manier rekenen (volgorde van bewerkingen).

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Bij een vermenigvuldiging de negenproef maken. Natuurlijke getallen cijferend delen door een natuurlijk getal kleiner dan 1000 tot op een t, h of d nauwkeurig.

Een natuurlijk getal cijferend delen door een kommagetal bestaande uit hoogstens drie cijfers.

- Het resultaat van een deling controleren door de omgekeerde bewerking te maken. - Ontdekken dat bij een niet-opgaande deling deler x quotiĂŤnt + rest = deeltal.

Bij een vermenigvuldiging de negenproef maken. Kommagetallen delen door een natuurlijk getal kleiner dan 1000 tot op een t, h of d nauwkeurig. - Het resultaat van een deling controleren door de omgekeerde bewerking te maken. - Ontdekken dat bij een niet-opgaande deling deler x quotiĂŤnt + rest = deeltal. De functie van de procenttoets op de zakrekenmachine verkennen en deze toets gebruiken.

Meten

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3. Meten - De lengte van voorwerpen meten met standaardmaateenheden. - De rij van de gekende lengtematen (mm, cm, dm, m en km) opbouwen. - Referentiematen voor lengte hanteren. - Het geschikte meetinstrument kiezen. - Het resultaat van een meting noteren in de meest geschikte maateenheid. De lengte van voorwerpen schatten. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden.

3.1 Lengte

- De omtrek van veelhoeken en niet-veelhoeken bepalen. - Bij het bepalen van de omtrek van vierhoeken gebruik maken van de eigenschappen van de zijden. - Vierhoeken met een gegeven omtrek tekenen. - In een context het begrip snelheid verwoorden. - De snelheid berekenen als de tijd en de afstand gegeven zijn. - De afstand/tijd berekenen als de tijd/afstand en de snelheid gegeven zijn. - De verhouding tussen een lengte op een tekening en de werkelijke lengte noteren als een breuk. Deze verhouding benoemen als breukschaal. - Een lijnschaal lezen en interpreteren. - Een breukschaal noteren als een lijnschaal en omgekeerd. - De werkelijke lengte berekenen als de breukschaal/ lijnschaal en de lengte op de tekening gegeven zijn. - De lengte op de tekening berekenen als de breukschaal/ lijnschaal en de werkelijke lengte gegeven zijn. - De breukschaal/lijnschaal bepalen als de werkelijke lengte en de lengte op een tekening gegeven zijn.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Het verband ontdekken tussen de omtrek van de gegeven figuur en de omtrek van de figuur op schaal.

Grafieken i.v.m. afstand en tijd lezen en interpreteren.

Afbeeldingen tekenen op schaal.

Op een kaart met vermelding van de schaal een wandeling van een bepaalde lengte uitstippelen.

Vreemde lengtemaateenheden omzetten in conventionele maateenheden.

Meten

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

3.2 Inhoud

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

- De inhoud van voorwerpen meten met standaardmaateenheden. - De rij van de gekende inhoudsmaten (ml, cl, dl en l) opbouwen. - Referentiematen voor inhoud hanteren. - Het geschikte meetinstrument kiezen. - Het resultaat van een meting noteren in de meest geschikte maateenheid. De inhoud van voorwerpen schatten. Eenvoudige herleidingen uitvoeren.

3.3 Gewicht

De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden. - Het gewicht van voorwerpen meten met standaardmaateenheden. - De rij van de gekende gewichtsmaten (g, kg en ton) opbouwen. - Referentiematen voor gewicht hanteren. - Het geschikte meetinstrument kiezen. - Het resultaat van een meting noteren in de meest geschikte maateenheid. Het gewicht van voorwerpen schatten. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden. - De begrippen bruto, netto en tarra in concrete situaties gebruiken en de relatie ertussen toepassen. - In situaties het begrip laadvermogen verklaren en gebruiken.

- De rij van de gekende oppervlaktemaateenheden (cmÂ˛, dmÂ˛ en mÂ˛) opbouwen. - Referentiematen voor oppervlakte hanteren.

3.4 Oppervlakte

Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden. - De oppervlakte van een parallellogram bepalen door om te structureren. - De oppervlakte van een parallellogram bepalen door de formule b x h toe te passen (niet voor OVSG en GO). Inzien dat figuren met dezelfde oppervlakte een verschillende vorm kunnen hebben.

- De oppervlakte van een driehoek bepalen door om te structureren. - De oppervlakte van een driehoek bepalen door de formule (b x h) : 2 toe te passen (niet voor OVSG en GO).

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Vreemde gewichtmaateenheden omzetten in conventionele maateenheden. - Invoeren van de standaardmaateenheid de vierkante kilometer. - Het symbool kmÂ˛ gebruiken. - Referentiemaat voor kmÂ˛ hanteren.

De oppervlakte van een ruit bepalen door om te structureren naar figuren waarvan de oppervlakte berekend kan worden.

De oppervlakte van nietveelhoeken (o.a. figuren met een grillige vorm) bepalen.

Meten

Inleidingleerjaar 5 Leerlijn

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3.5 Volume

3.4 Oppervlakte (vervolg)

Leerlijn leerjaar 5

Gepast betalen en teruggeven. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. - De begrippen inkoopprijs, verkoopprijs, winst en verlies in concrete situaties gebruiken. - In vraagstukken de inkoopprijs, de verkoopprijs, de winst of het verlies berekenen.

3.6 Geld

Vraagstukken i.v.m. eenheidsprijs en totale prijs berekenen.

In vraagstukken de inkoopprijs, de verkoopprijs, de winst of het verlies berekenen (de onderlinge relatie kan in breukvorm gegeven zijn).

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

- De landmaten ca, a en ha gebruiken. - Het verband tussen a en ha en tussen a en ca kennen. - Het verband tussen landmaten en oppervlaktematen kennen. - Eenvoudige omzettingen tussen landen oppervlaktematen maken. Landmaten zijn uitbreidingsleerstof voor OVSG. Het verband ontdekken tussen de oppervlakte van de gegeven figuur en de oppervlakte van de figuur op schaal. Ervaren dat de oppervlakte van een veelvlak gelijk is aan de som van de oppervlakte van de grensvlakken. - Het begrip volume in concrete situaties gebruiken. - Het volume van voorwerpen (o.a. balken) bepalen met natuurlijke maateenheden door voorwerpen te vullen/na te bouwen. - De passendste natuurlijke maateenheid kiezen om het volume van een voorwerp te bepalen. - Het verband tussen maatgetal en maateenheid ervaren en verwoorden.

- De betekenis van korting verwoorden. - Vraagstukken over korting oplossen. - De begrippen kapitaal, intrest en rentevoet verwoorden en gebruiken. - De enkelvoudige intrest berekenen van een kapitaal dat gedurende een bepaalde tijd uitgezet wordt tegen een bepaalde rentevoet. - Eenvoudige omrekeningstabellen voor vreemde munten lezen. - Bedragen in euro omzetten in vreemde valuta en omgekeerd.

Meten en meetkunde

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3.7.1 Tijdstip

De tijd op een digitale klok lezen. Een tijdstip op verschillende manieren noteren. Verschillende soorten dienstregelingen lezen en interpreteren. Een tijdsduur in uren en minuten berekenen. 3.7.2 Tijdsduur

3.7 Tijd

Een datum op verschillende manieren noteren.

- Een tijdsduur in jaren, maanden, weken en/of dagen bepalen aan de hand van een kalender. - Een tijdsduur tot op een seconde nauwkeurig bepalen. - De begrippen trimester, kwartaal en semester gebruiken (kwartaal niet voor OVSG en GO). - De begrippen jaar, schrikkeljaar en eeuw kennen.

3.9 Hoeken

3.8 Temperatuur

Temperatuur aflezen en noteren in graden Celsius (positieve en negatieve temperaturen).

4. Meetkunde

4.1 Ruimtelijke oriĂŤntatie

- Van een bouwsel het grondplan maken en de hoogtegetallen noteren. - Van een bouwsel het vooren het bovenaanzicht en de zijaanzichten tekenen. - Aan de hand van verschillende aanzichten een bouwsel maken.

- Aan de hand van een beschrijving een route op een plattegrond volgen. - Op een kaart posities bepalen.

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Een decimale tijdsaanduiding noteren in …uren … minuten of in … minuten en … seconden.

- De maateenheid graad invoeren. - Het symbool voor graad (°) gebruiken. Hoeken meten met een graadboog (op een geodriehoek) en het meetresultaat noteren. Hoeken tekenen.

Een bouwsel met een opgegeven aantal blokken en gegeven aanzichten maken.

- Coördinaten gebruiken om een plaats in een rooster aan te geven of om een plaats terug te vinden. - Een route beschrijven. Constructies met voorschriften op foto uitvoeren. In complexe figuren patronen ontdekken. - Ontdekken dat de lengte en de richting van de schaduw afhankelijk zijn van het tijdstip. - De verschillende schaduwbeelden van een vierkant en een kubus onderzoeken. - Ontdekken dat de lengte van de schaduw van een voorwerp evenredig is met de lengte van het voorwerp en deze eigenschap gebruiken om de hoogte van voorwerpen/ gebouwen te bepalen.

Meetkunde

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

Hoeken benoemen als scherp, recht en stomp.

- Vlakke figuren onderverdelen in veelhoeken en nietveelhoeken. - Veelhoeken benoemen volgens het aantal hoeken en zijden. De termen overstaande/ tegenoverliggende zijden en hoeken gebruiken

4.2.1 In het vlak

4.2 Vormleer

- Driehoeken volgens de soorten hoeken indelen en benoemen. - Driehoeken met opgegeven eigenschappen tekenen. - Scherphoekige, stomphoekige en rechthoekige driehoeken tekenen.

- Driehoeken volgens de eigenschappen van de zijden indelen en benoemen. -V aststellen dat een gelijkzijdige driehoek scherphoekig is. -V aststellen dat een gelijkbenige driehoek recht-, scherpof stomphoekig kan zijn. -V aststellen dat een ongelijkbenige driehoek (ongelijkzijdige driehoek voor OVSG en GO) recht-, scherpof stomphoekig kan zijn. - Eigenschappen (van zijden en hoeken) van vierhoeken onderzoeken en verwoorden. - Vierhoeken benoemen als trapezium, parallellogram, rechthoek, ruit of vierkant. - Vierhoeken met opgegeven eigenschappen tekenen. - Vierhoeken een naam geven door de hoekpunten te benoemen. - In een parallellogram de basis en de corresponderende hoogte aangeven.

In een driehoek een basis en de bijbehorende hoogte aangeven.

Gebruikswijzer

BLOK 4 Vaststellen dat een rechte hoek 90° is.

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Vaststellen dat een kwartdraai 90°, een halve draai 180° en een volledige draai 360° is. Met tangramstukken naar voorschrift veelhoeken vormen.

Vaststellen dat de som van de hoeken van een driehoek 180° is.

Vaststellen dat de som van de hoeken van een vierhoek 360° is.

- Het lijnstuk dat twee niet opeenvolgende diagonalen in een veelhoek verbindt, benoemen als diagonaal. - In veelhoeken de diagonalen tekenen. - De eigenschappen van de diagonalen in vierhoeken onderzoeken en verwoorden. - Vlakke figuren met een opgegeven aantal diagonalen tekenen. - Het middelpunt, de middellijn (diameter) en de straal van een cirkel herkennen en deze begrippen correct gebruiken. - Een cirkel met een gegeven straal tekenen met een passer. - Verwoorden dat alle punten van een cirkel even ver van het middelpunt af liggen. - Ontdekken dat er oneindig veel symmetrieassen/ spiegelassen in een cirkel zijn. Een lijnstuk en de lengte ervan noteren als bv. [AB] = … cm.

Meetkunde

Leerlijn leerjaar 5

BLOK 2

BLOK 3

4.2.2 In de ruimte

BLOK 1

- Evenwijdige rechten tekenen m.b.v. een geodriehoek. - Het symbool // gebruiken.

- Loodlijnen tekenen m.b.v. een geodriehoek. - Het symbool gebruiken.

4.3.3 Spiegelen

- Bij spiegelingen de termen spiegelbeeld, spiegeling en spiegelas gebruiken. - De eigenschappen van een spiegeling onderzoeken. - Het spiegelbeeld van een vlakke figuur tekenen op ruitjespapier.

4.3.4 Gelijkvormigheid

4.3 Meetkundige relaties

4.3.2 Loodrechte stand

4.3.1 Evenwijdigheid

4.2 Vormleer (vervolg)

Leerlijn leerjaar 5

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5 - Ruimtefiguren/lichamen indelen in veelvlakken en nietveelvlakken. - Bij de niet-veelvlakken de cilinder, de bol en de kegel herkennen en benoemen. - De veelvlakken classificeren volgens het aantal zijvlakken. - Bij veelvlakken de ribben, de hoekpunten en de zijvlakken herkennen en benoemen. - Bij de veelvlakken de kubus, de balk en de piramide herkennen en benoemen.

BLOK 6

BLOK 7

Een kubus vouwen a.h.v. een stappenplan.

Evenwijdigheid van ribben en zijvlakken onderzoeken.

Loodrechte stand van ribben en zijvlakken onderzoeken.

- Symmetrie ontdekken en controleren door een spiegel te gebruiken of door te vouwen. - Een symmetrieas/spiegelas van een figuur herkennen en tekenen. - Ontdekken dat er oneindig veel symmetrieassen/ spiegelassen in een cirkel zijn. De resultaten van knipfiguren onderzoeken en voorspellen. - Een tekening maken op schaal. - Van een figuur gelijkvormige en niet-gelijkvormige figuren tekenen. - Ontdekken dat bij figuren op schaal de figuren gelijkvormig zijn, d.w.z. dat de hoekgrootte niet verandert en dat de lengte van de zijden in dezelfde verhouding verandert.

Met tangramstukken gelijkvormige figuren vormen.

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

80 54

1 0 0

50 P R IJ S

Hoofdstuk 4 • Aanpak 1 Getallen Natuurlijke getallen tot 10 miljoen

Gebruikswijzer

is ontwikkelen de leerlingen inzicht in de betekenis van 1 miljoen. In het vijfde blok komen getallen tot 10 miljoen aan bod. Hier werken we met de bevolkingsaantallen van een aantal landen.

• Hoeveelheidsaspect van getallen Beginsituatie In het vierde leerjaar werd het getalbereik uitgebreid tot 100 000. Hierbij werd er gebruik gemaakt van betekenisvolle contexten als postcodes, de hoogte van bergen, prijzen van auto’s, kilometerstanden, … De leerlingen kregen ook de opdracht om getallen te zoeken in reclamebladen, kranten, … Door de realistische situaties waarin getallen van deze orde van grootte voorkomen krijgen de getallen meer betekenis voor de leerlingen. In de eerste drie leerjaren gebruikten we concrete voorstellingen voor hoeveelheden: een rode schijf voor de eenheden, een 10-zak voor de tientallen, een 100-kist voor de honderdtallen en een 1000-container voor de duizendtallen.

Ook in het vijfde leerjaar schenken we aandacht aan het schatten van ongestructureerde hoeveelheden. In het eerste blok schatten de leerlingen het aantal mensen op een foto. We schenken aandacht aan de schatstrategie (bijvoorbeeld een gebied afbakenen, het aantal mensen in dat gebied bepalen en dan schatten hoeveel keer dit gebied in de afbeelding kan). In blok 6 werken we de verschillende strategieën bij het schatten verder uit. Daar krijgen de leerlingen bijvoorbeeld de opdracht om het aantal bewoners van een flatgebouw te bepalen. Hiervoor doen ze een beroep op gekende schatstrategieën alsook op hun ervaringskennis (Hoeveel mensen wonen er ongeveer in één appartement?).

• Positioneren van getallen Beginsituatie

Kinderen van het vierde leerjaar hebben al voldoende inzicht in de natuurlijke getallen ontwikkeld en kunnen al op een vrij abstract niveau redeneren. Vandaar stappen we vanaf het vierde leerjaar af van deze concrete voorstellingen.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we het getalbereik in het tweede blok uit tot 1 miljoen. Ook bij getallen van deze orde van grootte vinden we het erg belangrijk om de leerlingen contexten aan te bieden waarin zulke getallen voorkomen. In het tweede blok werken we bijvoorbeeld met het aantal inwoners van de provinciehoofdplaatsen. Zo kunnen de leerlingen meer betekenis geven aan grote getallen, wat ongetwijfeld tot hun getalbegrip bijdraagt. De leerlingen krijgen bij de eerste les over getallen tot 1 miljoen de opdracht om sprongen van 100 000 te maken, beginnend bij 0. Het is belangrijk om de sprong die volgt na 900 000 goed te bespreken. Door te benadrukken dat 1 miljoen duizend keer duizend

In het vierde leerjaar werd de getallenlijn, voortbouwend op de getallenlijn tot 1000 van het derde leerjaar, verder uitgebreid tot 100 000. In het eerste blok van het vierde leerjaar stelden de leerlingen een getallenlijn tot 10 000 samen door de zuivere duizendtallen in de juiste volgorde aan een getallenlijn op het bord te hangen. Tijdens deze activiteit telden de leerlingen hardop met sprongen van 1000. De leerlingen kregen ook geregeld de opdracht om getallen op de getallenlijn te situeren. Hierbij werd veel aandacht geschonken aan het verwoorden van de positie van het getal (juist voor, juist na, ligt tussen … en …, …). De leerlingen telden ook regelmatig met sprongen om de positie van getallen goed te verankeren. Voor het uitbreiden van de getallenlijn tot 100 000 werd analoog gewerkt.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we de getallenlijn verder uit. Bij de uitbreiding van het getalbereik tot 1 miljoen

Inleiding Aanpak

in het tweede blok vullen de leerlingen de zuivere honderdduizendtallen aan op een getallenlijn. Ze tellen hierbij van 0 tot 1 miljoen met sprongen van 100 000. De leerlingen plaatsen verschillende getallen op deze getallenlijn. Het plaatsen op de getallenlijn blijft wel vaak beperkt tot het situeren van getallen. We werken immers steeds met een getallenlijn waarop slechts enkele ankerpunten zijn aangegeven. Het is belangrijk dat je als leerkracht hierbij voldoende aandacht schenkt aan de verwoording van de positie van de getallen: juist voor, juist na, ligt tussen … en …, …

200 000

500 000

De leerlingen krijgen ook geregeld de opdracht om heen en terug te tellen met sprongen en om getallen te vergelijken en te rangschikken. Op deze manier ontwikkelen ze een flexibel inzetbaar inzicht in de getallenrij. Het uitbreiden van de getallenlijn tot 10 miljoen werken we analoog uit.

• Positionele waarde van cijfers Beginsituatie In het vierde leerjaar schonken we veel aandacht aan het lezen van getallen en het verwoorden van de positionele waarde van de cijfers van een getal. Bij het onderzoeken van bijvoorbeeld het getal 8902 noteerden de leerlingen het getal als 8D + 9H + 2E. Dit werd dan ook verwoord als acht duizendtallen, negen honderdtallen en twee eenheden. De leerlingen maakten ook geregeld oefeningen met vragen als ‘Tussen welke twee duizendtallen ligt dit getal?’, ‘Welk getal is twee honderdtallen kleiner dan 8902?’, ‘Is dit getal groter of kleiner dan 9000?’, … De leerlingen vormden ook getallen met Matz de bouwer-kaarten. 8902 vormden ze bijvoorbeeld door de kaart van het zuivere duizendtal 8000, die van het zuivere honderdtal 900 en die van 2 op elkaar te leggen. Zo werd de positionele waarde van de cijfers van een getal op een inzichtelijke manier opgebouwd.

8000 900 2 In tegenstelling tot in het derde leerjaar zijn deze kaarten niet terug te vinden in een getallendoos,

maar wel op een Doe!-blad. De leerlingen verknipten dit blad en stopten de kaartjes in een doosje. De leerlingen schreven ook geregeld getallen in een positieschema. Daarbij ging veel aandacht naar het verwoorden van een getal als w duizendtallen, x honderdtallen, y tientallen en z eenheden. Indien het inzicht in getallen tot 100 000 van je leerlingen onvoldoende is, dien je bovenstaande activiteiten te herhalen. Als bepaalde inhouden niet verworven zijn, is het in zWISo heel belangrijk steeds terug te keren naar een concreter niveau. Het kan dan ook zinvol zijn om de leerlingen in het eerste blok van het vijfde leerjaar getallen eens te laten leggen met Matz de bouwer-kaarten (zie hierboven).

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar lezen de leerlingen getallen tot 10 miljoen en verwoorden ze ook geregeld de positionele waarde van de cijfers. Het getal 5 500 510 bijvoorbeeld noteren de leerlingen als 5M + 5HD + 5H + 1T. Dit kan voorafgegaan worden door het noteren van het getal in een positieschema. Iets nieuws in het vijfde leerjaar is het lezen van grote getallen die genoteerd staan als kommagetal. 1,2 miljoen lezen de leerlingen bijvoorbeeld als één miljoen en twee tiende van een miljoen. We schenken hierbij aandacht aan het verband 0,1 miljoen = 1 van 1 miljoen = 100 000. Steunend 10 op dit inzicht lezen de leerlingen 1,2 miljoen als 1 200 000. De leerlingen krijgen ook de opdracht om grote getallen te noteren als kommagetal. In blok vijf krijgen ze bijvoorbeeld de opdracht om het getal 5 500 510 te noteren als kommagetal. Ze ronden het getal hiervoor af tot op het dichtstbijgelegen honderdduizendtal (5 500 000) en noteren het getal dan als 5,5 miljoen. We maken ook geregeld oefeningen waarin de leerlingen getallen samenstellen en ontbinden. Bij deze oefeningen doen leerlingen een beroep op verschillende belangrijke aspecten van het getalbegrip: inzicht in de positionele waarde van de cijfers, inzicht in de getallenrij, kennis en begrip van rekentaal, …

Gebruikswijzer

560 000 is 300 000 en

. .

is 700 000 is acht keer

is 10 meer dan

is het dubbele van

800 000 -

450 000 +

komt net na is het viervoud van

500 000 in 450 000 en 50 000 op de analogie met de splitsing van 500 in 450 en 50.

300 000 +

500 000 = =

• Splitsen

Beginsituatie In het vierde leerjaar werd het splitsen van getallen verder uitgebreid tot getallen tot 100 000, met het oog op het ontwikkelen van een flexibel inzetbaar getalbegrip en op het zinvol splitsen bij delen. Bij het splitsen van grote getallen werd het verband gelegd met het splitsen van getallen tot 100. Bij het splitsen van bijvoorbeeld 72 000 in 60 000 en 12 000 werd er verwezen naar het splitsen van 72 in 60 en 12. Voor het splitsen van grotere getallen wordt beroep gedaan op het inzicht in getallen tot 100 omdat de transfer op die manier makkelijker te maken is. In het vierde leerjaar splitsten we getallen in twee of drie termen. De leerlingen stelden een splitsing voor aan de hand van splitsbeentjes en noteerden de splitsing ook als een optelling. Ze kregen ook geregeld de opdracht om rekenzinnen aan te vullen (bijvoorbeeld 6300 = 2000 + .).

is de helft van

is 1 meer dan

Net als in het vierde leerjaar splitsen we getallen in twee of drie termen.

Negatieve getallen Beginsituatie In het vierde leerjaar maakten de leerlingen voor het eerst kennis met negatieve getallen, zij het alleen in concrete situaties (bijvoorbeeld bij temperaturen, dieptemetingen, verdiepingen, …). Op die manier leerden ze negatieve getallen die ze in het dagelijkse leven aantreffen te interpreteren. Negatieve getallen zonder context kwamen in het vierde leerjaar niet aan bod. Tijdens de lessen over negatieve getallen werd er ruime aandacht geschonken aan de nul. Bij het aflezen van temperaturen bijvoorbeeld werd er benadrukt dat je steeds bij de nul moet beginnen om juist af te lezen. De leerlingen kregen de opdracht om negatieve getallen in een betekenisvolle context te vergelijken en te rangschikken. De getallenlijn met negatieve getallen bouwde de leerkracht van het vierde leerjaar op door het verband te leggen met een thermometer. Aan de hand van deze activiteit benadrukte de leerkracht dat negatieve getallen op de getallenlijn links van de nul staan en dat deze nul het beginpunt is bij het tellen.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar bouwen we de leerlijn splitsen verder uit door ook getallen tot 10 miljoen te splitsen. De werkwijze is dezelfde als die in het vierde leerjaar. Bij het splitsen van grote getallen wijzen we op de analogie met het splitsen van getallen tot 1000. Je wijst bijvoorbeeld bij de splitsing van

In een volgende fase bepaalden de leerlingen ook het verschil tussen positieve en negatieve temperaturen.

Inleiding Aanpak

Het temperatuurverschil werd ook voorgesteld op de getallenlijn aan de hand van sprongen.

Kommagetallen

Vijfde leerjaar

Beginsituatie

In het vijfde leerjaar bouwen we de leerlijn negatieve getallen verder uit. We vinden het belangrijk om, met het oog op het ontwikkelen van een functionele gecijferdheid, negatieve getallen vaak aan te bieden in een betekenisvolle context. Het is belangrijk dat leerlingen weten in welke situaties negatieve getallen voorkomen en dat ze deze getallen, afhankelijk van de context, kunnen interpreteren. Daarom hebben we bewust niet te veel aparte lessen over negatieve getallen gemaakt, maar laten we die aan bod komen in verschillende toepassingen: bepalen van het gemiddelde, grafieken, tabellen, â&#x20AC;Ś

In het vierde blok van het vierde leerjaar werden de kommagetallen geĂŻntroduceerd. We brachten kommagetallen contextueel en functioneel aan, met name vanuit het domein meten. Deze koppeling met de werkelijkheid leidde tot een inzichtelijke opbouw van de kommagetallen. Bij de introductie van de tienden ijkte de leerkracht een literfles door er steeds de referentiemaat van 1 dl in te gieten (flesje yoghurtdrank, zie Meten). Hierbij werd de relatie 1 dl = 1 l herhaald. Vervolgens werd 10 er een brikje met daarop een inhoudsvermelding van 0,2 l leeggegoten in de geijkte literfles. Door middel van deze activiteit ervoeren de leerlingen dat 2 dl = 2 l = 0,2 l. Vanaf deze eerste les over 10 kommagetallen werd er veel aandacht geschonken aan het lezen van kommagetallen. De geijkte literfles zag er op het einde van de les als volgt uit:

De leerlingen zijn echter dankzij de betekenisgeving aan negatieve getallen in het vierde leerjaar en de mogelijkheid tot abstracter redeneren in staat om deze getallen ook zonder context te begrijpen. Daarom behandelen we in het vijfde leerjaar ook negatieve getallen die niet in een context gegeven zijn. Het blijft wel belangrijk om voldoende aandacht te schenken aan de getallenlijn en aan de positie van de negatieve getallen ten opzichte van de nul. Leerlingen krijgen in blok 3 de opdracht om het verschil te bepalen tussen getallen. Bij het bepalen van het verschil tussen bijvoorbeeld -3 en 5 mogen de leerlingen een beroep doen op de getallenlijn en de sprongen tussen -3 en 5 tellen/tekenen. Het is belangrijk om dit ook steeds te verwoorden: het verschil tussen -3 en 5 is 8. Bij het bepalen van het verschil tussen twee getallen komen we na enkele oefeningen waarin de sprongen worden voorgesteld op de getallenlijn tot een verkorting bij het tellen van de sprongen: de leerlingen bepalen het aantal sprongen van het positieve getal tot nul, het aantal sprongen van nul tot het negatieve getal en tellen dan beide getallen op. Ook bij het vergelijken van getallen kun je verwijzen naar de getallenlijn. -10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

negatieve getallen

-3

-2

-1

positieve getallen

Vervolgens werkte de leerkracht ook soortgelijke opdrachten uit rondom lengte, bijvoorbeeld 4 dm verwoorden als 4 tiende van een meter en dan hieraan 0,4 m koppelen. De introductie van honderdsten ging vrij analoog aan het aanbrengen van de tienden. Door het verband te leggen met de meetactiviteit bij de tienden en door te wijzen op het verband 1 m = 100 cm en 1 cm = 1 m werd besproken dat je 7 cm ook 100 kunt noteren als 0,07 m. Er werden ook soortgelijke oefeningen over inhoud en geldwaarden gemaakt. Nadat de kommagetallen via meten werden aangebracht, gingen de leerlingen aan de slag met de KomMatz-kaarten.

De leerlingen kregen bijvoorbeeld de opdracht om 0,2 te leggen met de kaarten. Ze legden dan twee kaartjes met een t erop. Tegelijkertijd werd hier de verwoording 2 tiende aan gekoppeld. De leerlingen kregen vervolgens ook de opdracht om dit op een andere manier te leggen (20 h-kaartjes). De kommagetallen werden in deze eerste fase ook steeds

Gebruikswijzer

genoteerd in het positieschema. Op deze manier ontwikkelden de leerlingen een goed inzicht in de tientallige structuur van kommagetallen. Een goed verankerd inzicht in de getalstructuur is onontbeerlijk voor het maken van bewerkingen met kommagetallen. Ook bij het opbouwen van de getallenlijn tussen 0 en 1 werd er veel aandacht geschonken aan het verband tussen eenheden, tienden en honderdsten. De leerlingen kregen geregeld de opdracht om getallen te positioneren op de getallenlijn tussen 0 en 1 en om steunpunten te noteren bij een ‘lege’ getallenlijn om een gegeven getal te plaatsen.

situeren tussen twee opeenvolgende honderdsten/ tienden/gehelen, te positioneren op de getallenlijn en samen te stellen en te ontbinden (bijvoorbeeld 1 = 0,8 + .).

Ter voorbereiding op bewerkingen met kommagetallen maakten de leerlingen geregeld oefeningen op het aanvullen/verminderen van kommagetallen tot het volgende/vorige gehele getal. De klassikale getallenlijnen vormen hierbij een handig didactisch hulpmiddel. Deze getallenlijnen zijn ook terug te vinden in de leerkrachtassistent.

We beginnen met een klasgesprek over de kommagetallen die de leerlingen vonden op voorwerpen/folders thuis. Door kommagetallen te koppelen aan een context bouwen de leerlingen dit leerdomein inzichtelijk op. Na dit klasgesprek herhaal je nog eens de activiteit met de geijkte literfles (zie Beginsituatie). Door bijvoorbeeld de inhoud van een maatbeker met daarop 0,5 l in de geijkte fles te gieten ervaren de leerlingen nog eens dat 0,5 l = 5 l = 5 dl. 10 De leerlingen leggen ook nog eens enkele getallen met de KomMatz-kaarten. Hierbij wordt veel aandacht geschonken aan het lezen van de kommagetallen op verschillende manieren en dus aan het verband tussen eenheden, tienden, honderdsten en duizendsten. Je illustreert dit ook aan de hand van de getallenlijn.

In het vijfde blok van het vierde leerjaar werden de duizendsten geïntroduceerd. Net als bij de tienden en de honderdsten werd er uitgegaan van het domein meten, meer bepaald gewicht. De leerlingen verwoordden het verband tussen kilogram en gram als ‘1 gram is één duizendste van een kilogram’. Op deze manier werd het getalbereik inzichtelijk uitgebreid. Na de introductie van de duizendsten legden leerlingen ook getallen met drie decimalen met de KomMatz-kaarten. Ze plaatsten deze getallen ook op de getallenlijn door in te zoomen op een deel van de getallenlijn dat is onderverdeeld in honderd gelijke delen. Ook hier werd er steeds veel aandacht geschonken aan het lezen van de kommagetallen op verschillende manieren.

De leerlingen kregen ook geregeld de opdracht om kommagetallen te vergelijken, te rangschikken, te

Vijfde leerjaar In het eerste blok van het vijfde leerjaar trekken we heel wat tijd uit voor het herhalen van de kommagetallen. Het is immers erg belangrijk dat de leerlingen het inzicht in deze tientallige structuur goed ontwikkeld hebben vooraleer we weer bewerkingen met kommagetallen behandelen.

Je koppelt ook geregeld de decimale breuk aan het kommagetal. Voor meer informatie over hoe de relatie tussen breuken en kommagetallen en vanaf blok vier ook de relatie met percentages worden aangepakt, zie Relatie breuken, kommagetallen en percentages. De KomMatz-kaarten zijn een differentiatiemiddel bij uitstek. In het vijfde leerjaar maakt dit methodespecifieke materiaal geen deel meer uit van het basispakket. We gebruiken deze kaarten enkel in de eerste les over kommagetallen in blok 1. Haal deze kaarten eventueel in het vierde leerjaar. Je kunt leerlingen die nog onvoldoende inzicht in de tientallige structuur van kommagetallen hebben een paar oefeningen met deze kaarten laten maken. Ook bij bewerkingen met kommagetallen kunnen ze een goede ondersteuning zijn voor de leerlingen. Door kommagetallen nog eens te leggen met concreet materiaal ontwikkelen de leerlingen inzicht in de positionele waarde van de cijfers in een kommagetal. Het kan dan ook zinvol zijn enkele sets KomMatzkaarten in je klas ter beschikking te hebben.

Inleiding Aanpak

De leerlingen maken vergelijkbare opdrachten als in het vierde leerjaar: positioneren op de getallenlijn, de waarde van elk cijfer in kommagetallen bepalen, tellen met sprongen, kommagetallen samenstellen en ontbinden, vergelijken en rangschikken, …

manieren, bijvoorbeeld 2,15 lezen als twee gehelen, één tiende en vijf honderdsten, als twee gehelen vijftien honderdsten of eventueel als 215 honderdsten. Het lezen van kommagetallen op deze manier is vooral belangrijk bij het vergelijken van kommagetallen, bij het aanvullen/verminderen tot het volgende/vorige gehele getal en bij het maken van bewerkingen met kommagetallen. Voornamelijk voor vermenigvuldigen en delen met kommagetallen is het lezen een goede voorbereiding. Bij deze bewerkingen steunen we immers sterk op het verwoorden van de getallen (zie Bewerkingen – Vermenigvuldigen en Delen). In andere situaties kunnen kommagetallen ook gelezen worden als x komma y, bijvoorbeeld bij het cijferen met kommagetallen.

Breuken De leerlingen krijgen ook geregeld de opdracht om, met het oog op het plaatsen van een kommagetal op de getallenlijn, steunpunten bij de getallenlijn te noteren. Na het maken van enkele oefeningen stel je samen met de leerlingen vast dat je: - bij een getal met één cijfer na de komma gehelen als steunpunt noteert; - bij een getal met twee decimalen getallen met één decimaal als steunpunt noteert; - bij een getal met drie decimalen getallen met twee decimalen als steunpunt noteert. 7,6

24,59

24,5

1,36

7,7

1,365

24,6

1,37

Beginsituatie In het eerste blok van het vierde leerjaar werd het nemen van een breuk van een grootheid herhaald. De leerlingen kregen bijvoorbeeld de opdracht om 2 6 van een strook te kleuren. Hierbij schonk de leerkracht veel aandacht aan het verwoorden van de betekenis van teller en noemer: de noemer geeft aan in hoeveel delen je het geheel verdeelt en de teller hoeveel van de gelijke delen je neemt. Het nemen van de breuk van een getal stelden de leerlingen in een eerste fase nog voor in een verdeelschema. Daarbij werd er veel aandacht geschonken aan de verwoording. Bijvoorbeeld bij 2 6 van 24: het geheel is 24, ik verdeel 24 in zes gelijke delen (hier werd de deling 24 : 6 aan gekoppeld) en ik neem twee van de zes gelijke delen (hier werd de vermenigvuldiging 2 x 6 aan gekoppeld). Dit werd voorgesteld als volgt:

In de derde graad komen er geen nieuwe inhouden wat betreft getallenkennis bij kommagetallen meer bij. Het blijft echter belangrijk om de leerlingen deze stof geregeld te laten oefenen. In zWISo voorzien we zeer verscheiden oefenvormen: vrij formele oefeningen, rekenspellen, rekenraadsels, … waarbij de leerlingen kommagetallen positioneren op de getallenlijn, verwoorden, tellen met sprongen, aanvullen/ wegnemen tot het volgende/vorige gehele getal, …

Hoe lezen en schrijven we kommagetallen? We schenken erg veel aandacht aan het lezen van kommagetallen, omdat dit sterk bijdraagt tot het inzicht in de kommagetallen en belangrijk is voor het maken van bewerkingen met kommagetallen. Het is dus belangrijk om de leerlingen regelmatig kommagetallen te laten lezen op verschillende

Leerlingen kregen steeds de vrijheid om de tussenstappen te noteren die zij nodig hadden. Ze werden wel gestimuleerd om na verloop van tijd het verdeelschema achterwege te laten. Als leerlingen nog moeilijkheden hadden met het nemen van een breuk van een getal, liet de leerkracht hen eerst nog eens een breuk van een hoeveelheid nemen aan de hand van klein materiaal en potjes, het

Gebruikswijzer

‘potjesmodel’ genoemd in zWISo. Door terug te keren naar concreet materiaal kunnen de leerlingen inzicht ontwikkelen in het concept breuken en daadwerkelijk ervaren wat het nemen van een breuk betekent. Bij 2 van 24 namen de leerlingen een potje met 24 6 parels. Ze zetten hier zes potjes onder en verdeelden vervolgens de 24 parels in zes gelijke groepen. Hierbij werd er verwezen naar de noemer. Vervolgens namen de leerlingen twee van de zes gelijke delen (de teller). Op deze manier ervoeren de leerlingen al handelend dat 2 van 24 8 is. 6

In het tweede blok introduceerde de leerkracht de term stambreuk. Na het uitvoeren van verschillende activiteiten stelden de leerlingen vast dat hoe groter de noemer is, hoe kleiner de breuk. Bij het vergelijken van gelijknamige breuken stelden ze vast dat hoe groter de teller is, hoe groter de breuk. In het vierde leerjaar werkten de leerlingen geregeld met de breukendoos. De doos werd onder andere gebruikt bij het vergelijken van breuken (stambreuken, gelijknamige en ongelijknamige breuken). De leerlingen kregen bijvoorbeeld de opdracht om de stroken 1 en 3 op hun breukenbord te leggen en ze 6 6 te vergelijken. Door het vergelijken van gelijknamige breuken aan de hand van de breukendoos werd de vaststelling bevestigd dat hoe groter de teller is, hoe groter de breuk. Aan de hand van het pictogram werden oefeningen aangegeven waarin de breukendoos gebruikt kan worden. Algemeen geldt dat leerlingen de breukendoos alleen gebruiken als ze die nodig hebben. De leerkracht stimuleerde leerlingen die al een goed inzicht in het concept breuken hadden ontwikkeld om de breukendoos achterwege te laten. Leerlingen die breuken nog moeilijk vonden, mochten echter steeds terugkeren naar dit concrete materiaal. In het derde blok van het vierde leerjaar introduceerde de leerkracht de term gelijkwaardige breuken. Door kleuractiviteiten op stroken stelden de leerlingen de gelijkheid tussen de breuken 3 , 6 en 9 vast. 4 8 12 De leerlingen noteerden het aantal gekleurde delen en het totale aantal delen in een verhoudingstabel. Tijdens de reflectiefase van deze les werd het verband tussen de gelijkwaardige breuken (teller en noemer zijn gedeeld door of vermenigvuldigd met hetzelfde getal) besproken. Het was echter niet de bedoeling om dit als formeel besluit te formuleren. Het handelend ervaren en het inzichtelijk vaststellen was op dat moment het belangrijkste. De leerlingen zochten ook gelijkwaardige breuken aan de hand van de breukendoos. Ze legden bijvoorbeeld bij het zoeken van gelijkwaardige breuken van 2 3 de strook van 2 op het breukenbord. Ze legden 3 vervolgens hun meetlat verticaal achter de strook en stelden zo vast dat 2 = 4 = 6 = 8 . 3

1 1 2 2 3

1 3 1 4 1 5

4 6

1 6 1 7 1 8

6 9

1 9 1 10 1 11 1 12

1 12

In blok vijf van het vierde leerjaar plaatsten de leerlingen ook breuken op de getallenlijn. Dit plaatsen van breuken op de getallenlijn vormt een belangrijke vaardigheid voor het bepalen van het geheel als een deel gegeven is en het uitvoeren van bewerkingen met breuken (zie Getallen – Breuken – Vijfde leerjaar en Bewerkingen – Breuken). Bij het plaatsen van 3 bijvoorbeeld verdeelden de leerlingen 4 het geheel (stuk op de getallenlijn tussen 0 en 1) in vier gelijke delen en benoemden ze het derde streepje als 3 . De leerkracht schonk hierbij aandacht aan het 4 benoemen van het geheel als 4 . 4

In het zesde blok kwamen breuken waarvan de teller groter is dan de noemer aan bod. Aan de hand van concrete situaties stelden de leerlingen vast dat er ook breuken zijn die groter zijn dan het geheel. De leerlingen legden deze breuken ook met de breukendoos. Hierbij stelden ze vast dat het breukenbord te klein is. Bij het leggen van onechte breuken werkten de leerlingen met twee breukenborden. Ze legden het breukenbord zonder vermelding van de stambreuken naast het breukenbord met de stambreuken en legden daar dan bijvoorbeeld de breuk 7 op. Door deze breuk voor te 5 stellen met de stroken stelden de leerlingen vast dat 7 = 5 + 2 of 1 + 2 . 5

Scholen die het leerplan VVKBaO volgen, gebruiken de notatie 1 + 2 . Andere scholen werken met de 5 notatie 1 2 . 5

De leerlingen plaatsten deze breuken ook op de getallenlijn.

Inleiding Aanpak

In blok zes was er ook aandacht voor het vereenvoudigen van breuken. De leerlingen kregen bijvoorbeeld de opdracht om gelijkwaardige breuken van 4 te noteren. De breuk met de kleinste teller en 8 de kleinste noemer werd benoemd als de breuk van de eenvoudigste vorm. In een eerste fase werkten de leerlingen nog met de breukendoos, maar ze werden wel gestimuleerd om die achterwege te laten. Ze vereenvoudigden breuken door de vaststelling die ze deden bij gelijkwaardige breuken (teller en noemer delen door hetzelfde getal) toe te passen.

Het bordschema van deze activiteit ziet er als volgt uit: blauw 1 8

groen

1 8

2 8

1 4

rood geel 1 2

Les 14 • Breuken vereenvoudigen 1

Welke breuken zijn gelijkwaardig aan de eerste breuk? Omcirkel.

2 4

1 4

4 8

2 5

1 2

2 3

1 2

2 4

4 6

6 9

1 2

4 9

3 5

2 4

5 10

Door de leerlingen actief te betrekken bij deze les en een visuele ondersteuning te geven bij het herhalen van de basisbegrippen van breuken wordt het concept breuken inzichtelijk (her)opgebouwd. Het is belangrijk dat de leerlingen de betekenis van teller en noemer goed verankerd hebben vooraleer we ook aan de slag gaan met breuken die niet ingebed zijn in een context.

Zoek de eenvoudigste vorm van de breuken. Vul in.

2 8

. .

4 10

. .

9 12

. .

4 6

. .

6 9

. .

3 6

. .

6 10

. .

4 12

. .

3 9

. .

Geef gelijkwaardige breuken dezelfde kleur.

3 4

6 9

2 3

6 8

5 10

9 12

4 6

1 2

2 4

3 6

Vijfde leerjaar In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhalen we het nemen van een breuk van een grootheid. De leerlingen krijgen de opdracht om bij een gegeven vierkant dat verdeeld is in elk deel de corresponderende breuk te noteren.

De leerlingen vouwen hiervoor een vierkant vouwblaadje volgens de horizontale, de verticale en de diagonale lijn. Zo ervaren leerlingen dat het geheel (het vierkant) verdeeld is in acht gelijke delen. Je benoemt een deel als 1 en schenkt hierbij aandacht 8 aan de betekenis van teller en noemer. We koppelen hier ook onmiddellijk de term stambreuk aan. Bij het benoemen van het groene deel ( 1 ) bespreek 4 je zeker ook dat dit deel 2 van het volledige 8 vierkant is. De leerlingen kunnen dat immers op hun vouwblaadje zien (dit is in acht gelijke delen verdeeld). Je noteert de gelijkheid van deze breuken op het bord en koppelt er de term gelijkwaardige breuken aan.

In deze les werken de leerlingen ook met de breukendoos. In het vijfde leerjaar adviseren we de aankoop van één breukendoos per twee kinderen. Deze doos wordt immers minder vaak klassikaal gebruikt. Leerlingen werken bijvoorbeeld wel eens met zijn tweeën met de breukendoos, maar in hoofdzaak zetten we dit concrete materiaal in als differentiatiemateriaal. Leerlingen die breuken moeilijk vinden, mogen steeds van dit materiaal gebruik maken. Je kunt het werken met de breukendoos steeds illustreren met de klassikale breukendoos in de leerkrachtassistent van het vijfde leerjaar (zie Materialen – Leerkrachtmateriaal – Digitale materialen). Bij het zoeken van gelijkwaardige breuken met de breukendoos leggen de leerlingen bijvoorbeeld de strook van 1 op het breukenbord en zoeken ze, 2 eventueel door een lat achter de strook van 1 te 2 leggen, stroken die even lang zijn. Je noteert de gelijkheid 1 = 2 = 4 op het bord. 2 4 8 De leerlingen onderzoeken bij zo’n reeks breuken de verbanden tussen tellers/noemers. Tijdens een klasgesprek hierover stel je vast dat je gelijkwaardige breuken kunt vormen door teller en noemer te delen door of te vermenigvuldigen met hetzelfde getal. Dat is een erg belangrijke vaardigheid met het oog op het optellen en aftrekken van breuken (zie Bewerkingen – Breuken). In het eerste blok komt ook het nemen van een breuk van een getal aan bod. Hierbij is het belangrijk om te herhalen dat je het geheel verdeelt in x aantal gelijke delen (noemer) en vervolgens een aantal van deze gelijke delen neemt (teller). De leerlingen stellen dit eventueel voor op een lijnstuk. Bij het bepalen van 3 van 1500 verdelen ze 5

Gebruikswijzer

een lijnstuk in vijf gelijke delen (koppel hier de deling 1500 : 3 aan) en nemen ze drie van de gelijke delen (3 x 300 = 900). De voorstelling op het lijnstuk ziet er als volgt uit: 1500 300

Een nieuwe inhoud binnen de leerlijn breuken is het bepalen van het geheel als de breuk gegeven is. In een eerste fase werken we dit uit met behulp van de breukendoos. We beginnen met een opgave waarin de gegeven breuk een stambreuk is. Je geeft in de eerste les over dit onderwerp de volgende situatie aan: ‘Een vierde van een bol kaas kost 8 euro. Hoeveel kost de volledige bol kaas?’. De leerlingen stellen de volledige bol kaas voor door middel van de strook van het geheel uit de breukendoos. Ze nemen uit hun breukendoos de strook van 1 en 4 leggen die onder de strook van het geheel. Ze stellen deze situatie ook voor op hun Doe!-blad en noteren de prijs, 8 euro, ook in de strook van 1 . Ten slotte 4 bepalen ze het geheel door dit vierde deel vier keer te nemen. De voorstelling op het Doe-blad ziet er als volgt uit:

In een volgende fase laten we het werken met de breukendoos achterwege en stellen de leerlingen de situatie voor op een lijnstuk. Het plaatsen van breuken op de getallenlijn, wat al aan bod kwam in het vierde leerjaar en herhaald wordt in het vijfde leerjaar, vormt hier een belangrijke voorbereiding op. De opgave 3 van . = 1800 lossen de leerlingen als 4 volgt op: - Ze verdelen het lijnstuk in vier gelijke delen.

- Ze geven drie delen aan met een boog en noteren er 1800 boven. 1800

- Ze berekenen de waarde van één deel (1800 : 3 = 600). 1800

600

geheel 1 4

2400

1 4

1 van 4

1800 600

Het geheel is 4 x 8 dus 32.

Hierna geef je een situatie aan waarin de gegeven breuk geen stambreuk is: ‘ 2 van een cake wordt 5 verkocht voor € 6. Hoeveel kost de hele cake?’. De leerlingen stellen ook deze situatie voor met de breukendoos en schetsen ze op hun Doe!-blad. Schenk ook hier voldoende aandacht aan het geheel. Bij het bepalen van het geheel stellen de leerlingen vast dat 2 niet precies x aantal keer in het geheel 5 past. Je besluit samen dat je eerst de stambreuk gaat zoeken en dit getal vervolgens vermenigvuldigt met vijf. De voorstelling op het Doe-blad ziet er als volgt uit: geheel 1 5

- Ten slotte bepalen ze de waarde van het geheel (4 x 600 = 2400).

2 van 5

1 van 5

Het geheel is 5 x 3 dus 15.

Je controleert door 3 van 2400 te berekenen. 4

Belangrijk om hierbij op te merken is dat bij het voorstellen van situaties/oefeningen de verdelingen op een lijnstuk worden geschetst. Bij bovenstaande oefening hoeven de vier delen dus niet exact even groot te zijn. De voorstelling op het lijnstuk is immers maar een hulpmiddel voor de leerlingen, een ondersteuning van hun denkproces. We willen leerlingen ertoe aanzetten om een wiskundig probleem steeds goed te analyseren en de oplossingswijze toe te passen die het best bij de gegeven situatie past. Het werken met de pictogrammen vraagstukken (zie Vraagstukken) is een goede manier om de leerlingen gestructureerd en doordacht een wiskundig probleem te leren aanpakken. In de eerste les over het bepalen van een geheel werken we met deze pictogrammen om de leerlingen de situatie goed te laten analyseren en stapsgewijs te laten oplossen. In het vijfde leerjaar schenken we ook meer aandacht aan het beredeneerd vergelijken van breuken. In het vierde leerjaar deden de leerlingen hiervoor vaak een beroep op de breukendoos. Hier stappen we in

Inleiding Aanpak

het vijfde leerjaar grotendeels van af. We willen de leerlingen leren kijken naar de teller en noemer van de breuken en hen allerlei strategieën bijbrengen om breuken te vergelijken. De breuken zijn zo gekozen dat ze beredeneerd vergeleken kunnen worden. Het is dus niet noodzakelijk om de breuken gelijknamig te maken of de breukendoos te gebruiken.

In blok twee schenken we aandacht aan de breuk als verhouding. We werken met een kralenketting die gemaakt is uit witte en blauwe kralen. De leerlingen omschrijven eerst in eigen woorden het patroon van de ketting, bijvoorbeeld een van de vier kralen is blauw, drie van de vier kralen zijn wit, voor elke blauwe kraal zijn er drie witte, een vierde van de kralen is blauw, …

In blok twee voorzien we een volledige les over het vergelijken van breuken. We beginnen met het vergelijken van gelijknamige breuken. Hierbij herhalen we de eigenschap dat hoe groter de teller is, hoe groter de breuk. Je schenkt hierbij veel aandacht aan de betekenis van teller en noemer en verwoordt dat als volgt: de delen zijn even groot, dus hoe meer ik er neem, hoe groter de breuk. Bij het vergelijken van breuken met gelijke tellers maken we onderscheid tussen stambreuken en nietstambreuken. Bij bijvoorbeeld het vergelijken van 1 7 en 1 stel je vast dat 1 het kleinst is omdat het geheel 3 7 in meer deeltjes verdeeld is en dat de deeltjes dus kleiner zijn. Je formuleert hierbij het volgende besluit: hoe kleiner de noemer is, hoe groter de breuk. Je herhaalt dit besluit nog eens bij het vergelijken van niet-stambreuken met dezelfde teller (bijvoorbeeld 2 3 en 2 ). 7 In deze les vergelijk je ook ongelijknamige breuken. Bij deze breuken is het niet mogelijk om een algemeen besluit te formuleren. We reiken de leerlingen verschillende strategieën aan om breuken te vergelijken. De volgende soorten komen aan bod: - Een breuk kleiner dan 1 en een breuk groter dan 1 (bijvoorbeeld 4 en 7 ): hier stellen de 7 6 leerlingen vast dat de ene breuk minder is dan het geheel en de andere meer. - Breuken waarvan de ene noemer de deler is van de andere ( 2 en 5 ): de leerlingen vergelijken 3 9 deze breuken door 2 om te zetten in de breuk 3 met noemer 9, namelijk 6 (zie vergelijken 9 gelijknamige breuken). - Een breuk kleiner dan de helft en een breuk groter dan de helft (bijvoorbeeld 2 en 3 ). 5 4 - Breuken waarvan de teller 1 minder is dan de 5 8 noemer (bijvoorbeeld en ): hier stellen 6 9 de leerlingen vast dat er bij beide breuken één deeltje minder is dan het geheel ( 1 en 1 ). 9 1 is groter dan 1 (zie vergelijken 6stambreuken) 6 5 9 8 dus is kleiner dan . 6

Na deze eerste bespreking vullen de leerlingen vanuit de tekening de verhoudingstabel aan. Vervolgens lossen ze vragen als ‘Ik gebruik vijf blauwe kralen. Hoeveel witte kralen heb ik dan nodig?’ op met behulp van de verhoudingstabel. Na het maken van een aantal soortgelijke oefeningen bespreek je de verbanden tussen de kolommen (bijvoorbeeld als het aantal blauwe kralen verdubbelt, dan verdubbelt ook het aantal witte). Bij het bespreken van het verband tussen de rijen bouw je samen met de leerlingen het verband tussen het aantal blauwe kralen en het aantal witte kralen ( 1 ), het aantal blauwe kralen en het totale aantal 3 kralen ( 1 ) en het aantal witte kralen en het totale 4 aantal kralen ( 3 ) op. Leerlingen omschrijven steeds 4 in eigen woorden wat ze opmerken en hier koppel je dan de breukvorm aan. De leerlingen noteren bij de drie verhoudingen telkens een aantal gelijkwaardige breuken. Het bordschema bij deze opdracht ziet er als volgt uit: 5x 2x

Aantal blauwe kralen

Aantal witte kralen

Totale aantal kralen

3x 4x

10 x

Aantal blauwe kralen = 1 = 2 = 5 = 8 = 10 Aantal witte kralen 3 6 15 24 30 Aantal blauwe kralen = 1 = 2 = 5 = 8 = 10 Totale aantal kralen 4 8 20 32 40 Aantal witte kralen = 3 = 6 = 15 = 24 = 30 Totale aantal kralen 4 8 20 32 40

De breuk als kans komt aan bod in blok vier van het vijfde leerjaar. In deze les voeren de leerlingen allerlei activiteiten uit met dobbelstenen. In een eerste fase krijgen ze de opdracht om 18 keer te gooien met een dobbelsteen. Vooraleer de leerlingen het experiment uitvoeren bepalen ze vanuit hun ervaringen de kans om bijvoorbeeld 2 te gooien ( 1 ). 6 De resultaten van het groepswerk (gooien met een dobbelsteen) worden tijdens de klassikale bespreking samengevat in een tabel en vergeleken. Vervolgens bereken je voor elke worp het gemiddelde (Hoeveel

Gebruikswijzer

keer wordt 1 gemiddeld geworpen?). Hierbij stel je vast dat de gemiddelde waarden ongeveer gelijk zijn en overeenstemmen met de verwachting en dat de som van deze gemiddelden achttien is (na afronding). Je schenkt hierbij aandacht aan het verwoorden van de betekenis van de berekende gemiddelden, bijvoorbeeld ‘In achttien worpen gooien we drie keer zes.’. In een tweede fase werken we met twee dobbelstenen. Vooraleer de groepen de opdracht krijgen om 36 keer te gooien met twee dobbelstenen bespreek je de verschillende mogelijke totalen. Na dit experiment volgt een systematisch onderzoek van de kans om een bepaald totaal te gooien met twee dobbelstenen. De leerlingen stellen de verschillende combinaties voor in zes tabellen. Ze voeren vervolgens allerlei kleuropdrachten uit, bijvoorbeeld ‘Kleur alle vakjes met som 5.’.

van het experiment. Daarbij stellen ze vast dat de bevindingen van het experiment wel aansluiten bij de berekende kansen, maar dat die niet altijd precies overeenkomen. Hierbij benadruk je dat toeval een rol speelt. Ten slotte stellen de leerlingen de resultaten van hun experiment en de berekende kansen ook voor in een staafdiagram. Dat vormt een zinvolle toepassing op het voorstellen van gegevens in een diagram en biedt je de mogelijkheid om deze opdracht uitgebreider en diepgaander te bespreken. Je kunt hierbij vragen stellen als: Welke som komt het vaakst voor?, Welke staven zijn even hoog? Wat betekent dat?, … We vinden het belangrijk om in dergelijke toepassingslessen het kritisch denkvermogen van de leerlingen verder te ontwikkelen en ook verbanden te leggen met andere inhouden/vaardigheden (bijvoorbeeld het opbouwen van een staafdiagram). 36 worpen met twee dobbelstenen

Aantal worpen

12 11 10 9 8 7 6 5 4

berekende sommen

experiment van je groep

2 1

De verschillende mogelijkheden worden in het werkboek samengevat in een tabel met dubbele ingang. Hier stel je vast dat er 36 combinaties voorkomen.

Som

Kijk naar de rode staven. Vul in. Welke som komt het vaakst voor? Welke staven zijn even hoog? Bij welke staven is het verschil het grootst?

Procent

Na het maken van de kleuropdrachten volgt er een grondige nabespreking waar de leerlingen de kans op bijvoorbeeld het gooien van 5 bepalen. Daartoe vormen ze een breuk met in de teller het aantal juiste mogelijkheden en in de noemer het aantal combinaties. Op 36 combinaties komt 5 vier keer voor. De kans om 5 te gooien met twee dobbelstenen is dus 4 op 36 of 4 . Hier wordt ook aandacht 36 geschonken aan het vereenvoudigen van de breuk, namelijk het noteren van de breuk als 1 . 9 Na dit systematisch onderzoek vergelijken de leerlingen de berekende kans met de worpen

Procent is een belangrijke nieuwe inhoud in het vijfde leerjaar. We brengen die aan in het vierde blok. Dat geeft je de ruimte om alle inhouden die nodig zijn om het concept procent op te bouwen, zoals het noteren van de decimale breuk, breuken vereenvoudigen, werken met de verhoudingstabel, … grondig te herhalen. In zWISo vinden we het belangrijk om inhouden inzichtelijk aan te brengen en hierbij steeds het verband met de werkelijkheid te leggen. We beginnen in de eerste les over procent dan ook met het bekijken van het materiaal met vermelding van een percentage dat de leerlingen mee hebben gebracht. Verder bespreek je ook een collage met daarop verschillende krantenknipsels en advertenties met een percentage erop.

Inleiding Aanpak

De leerlingen omcirkelen op deze collage telkens het %-teken en je bespreekt aan de hand van de collage en het meegebrachte materiaal in welke situaties procent gebruikt wordt. Op deze manier krijgt het begrip procent ook echt betekenis voor de leerlingen, wat onontbeerlijk is voor het oplossen van vraagstukken en abstractere oefeningen over procent.

belangrijk dat de leerlingen het geheel, 100 %, correct kunnen benoemen. Algemeen geldt dat we in het vijfde leerjaar hoofdzakelijk werken met de eenvoudigere, ronde percentages. We focussen ons echt op de basis, zodat leerlingen die goed beheersen en het concept procent inzichtelijk wordt opgebouwd. We willen vermijden dat het rekenwerk dat leerlingen hebben (bijvoorbeeld bij vraagstukken met een percentage als 37 %) een obstakel vormt bij het oplossen van vraagstukken over procent.

Bij de bespreking van het %-teken schenk je aandacht aan de twee nullen en verwijs je naar het Franse woord ‘cent’. Je benoemt dit als procent of percent. Deze begrippen zijn synoniemen en we gebruiken ze dan ook door elkaar om leerlingen in contact te brengen met beide benamingen. Om het begrip procent inzichtelijk op te bouwen laten we de leerlingen kleuropdrachten uitvoeren op roosters en stroken met 100 hokjes op Doe!-bladen. Ze krijgen bijvoorbeeld de opdracht om in een rooster 50 hokjes te kleuren. Je verwoordt dat als ‘50 van de 100/50 op de 100 hokjes zijn gekleurd’ en benoemt dit als de helft, 1 . Na het 2 uitvoeren van elke soortgelijke kleuropdracht bespreek je met de leerlingen dat er telkens … van de 100 hokjes gekleurd zijn en noteert dit ook als … procent of … %. De leerlingen vullen de percentages, de bijbehorende breuken met noemer 100 en eventueel de vereenvoudigde breuken aan op hun Doe!-blad. Het bordschema van dit deel van de les ziet er als volgt uit: Bord %

procent

25 van de 100

0 van de 100

10 van de 100

Stroken 100 van de 100 20 van de 100

75 van de 100

80 van de 100

50 100 25 100 0 100 10 100

de helft

een vierde

niets

een tiende

100 100 20 100 75 100 80 100

alles

1 2 1 4

1 10

een vijfde

drie vierde

acht tiende -

1 5 3 4 8 10

50 procent

25 procent

Bord (vervolg)

Aantal gekleurde hokjes Aantal hokjes

100

150

200

100

200

300

400

1 op 2, 1 of 50 % 2

50 % 25 %

0 procent

10 procent

10 %

100 procent -

100 %

20 procent

20 %

75 procent

75 %

80 procent

80 %

In deze eerste les beperken we ons tot vrij eenvoudige percentages als 50 %, 25 % en 20 %. We behandelen ook de percentages 0 % (niets) en 100 % (het geheel). Bij het opbouwen van het begrip procent schenken we veel aandacht aan het verwoorden van het geheel. Met het oog op het oplossen van vraagstukken over procent is het immers

Je voert deze opdracht vervolgens ook uit met een aantal andere percentages.

percent

Roosters 50 van de 100

In deze eerste les stellen we percentages ook voor in een verhoudingstabel. Bij het bespreken van de kleuropdracht van 50 % stel je dit percentage eerst voor in een verhoudingstabel (50 van de 100 hokjes zijn gekleurd) en geef je de leerlingen vervolgens allerlei opdrachten waarin ze het aantal gekleurde hokjes moeten bepalen. Je vraagt hen bijvoorbeeld hoeveel hokjes er per twee of per drie leerlingen zijn gekleurd. Je vraagt hen ook hoeveel hokjes er per 50 hokjes gekleurd zijn. De leerlingen illustreren dit op hun gekleurde rooster door hun lat verticaal achter vijftig hokjes te leggen. Op deze manier stellen ze vast dat er 25 hokjes gekleurd zijn. Door te variëren met het geheel ervaren de leerlingen dat procent … voor elke 100 betekent, maar dat het geheel kan variëren en dus niet steeds de hoeveelheid 100 is. Na het uitvoeren van deze oefeningen vergelijk je samen met de leerlingen de bovenste rij getallen van de verhoudingstabel met de onderste rij en stel je vast dat telkens de helft, 1 op 2 of 1 gekleurd is.

Voor meer informatie over hoe de relatie tussen breuken, kommagetallen en percentages wordt aangepakt, zie Getallen – Relatie breuken, kommagetallen en percentages. In een volgende fase maak je samen met de leerlingen enkele eenvoudige procentberekeningen. Je geeft bijvoorbeeld de volgende situatie aan: ‘Bij een snelheidscontrole rijdt 10 procent van de bestuurders te snel. Hoeveel bestuurders rijden te snel als er 300 bestuurders gecontroleerd worden?’. Je schenkt eerst aandacht aan de betekenis van 10 % (10 op de 100, 10 , een tiende, …) en vult 100 dit in een verhoudingstabel in. De leerlingen lossen het vraagstuk vervolgens op door tussenstappen te noteren in de verhoudingstabel.

Gebruikswijzer

Ook hier geldt dat de leerlingen die tussenstappen mogen zetten die zij het handigst vinden.

In blok vijf maken de leerlingen een procentmeter. Je begint met het tonen van drie elastieken van verschillende lengte waarop een begin- en een eindstreep zijn aangegeven. De leerlingen benoemen die als 0 % (niets) en 100 % (het geheel). Vervolgens vraag je de leerlingen waar je 10 % kunt schrijven. Je illustreert dit op een getekende strook op het bord door het stuk tussen de begin- en de eindstreep te verdelen in tien gelijke delen en het eerste verdeelstreepje te benoemen als 10 %. De strook ziet er bij het einde van de activiteit als volgt uit: 0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

Na dit klassikale moment gaan de leerlingen zelf aan de slag in groepjes. Ze krijgen een lang en een kort elastiek (bijvoorbeeld een elastiek van 20 cm en een van 90 cm) met daarop een begin- en eindstreep en geven hierop de percentages 10 %, 20 %, … aan. Het is belangrijk om de groepen te laten werken met elastieken van verschillende lengte. Op deze manier ervaren de leerlingen nog eens dat de grootte van het geheel kan variëren. Vervolgens krijgen de leerlingen de opdracht om de verhouding van hun beenlengte tot hun totale lengte te bepalen met behulp van hun procentmeter. Ze houden het streepje van 0 % (niets) bij hun voeten en rekken het elastiek zo uit dat de eindstreep ter hoogte van hun hoofd komt. Zo kunnen ze het percentage van de beenlengte aflezen. Bij de bespreking vat je de resultaten van de leerlingen samen in een tabel op het bord. Je noteert er ook telkens de lengte van de gebruikte procentmeter bij. Op deze manier stellen de leerlingen vast dat het niet uitmaakt welke procentmeter je gebruikt. De leerlingen verwoorden de verhouding van hun beenlengte tot hun totale lengte als ruim … %, bijna … %, ongeveer … %, … Je besluit dat de meetresultaten onderling wel wat verschillen, maar dat de gemiddelde beenlengte toch ongeveer 60 % van de totale lengte is.

De leerlingen maken vervolgens nog enkele soortgelijke oefeningen, waarbij ze afhankelijk van de te meten verhouding de passende procentmeter kiezen.

De leerlingen bepalen ook bij een satéstokje welk percentage gekleurd is. Deze gegevens gebruiken we bij de introductie van de procentstrook. Dat is een schematische voorstelling van de procentmeter die de leerlingen gebruiken bij het maken van procentberekeningen. De leerlingen bepaalden in de les over de procentmeter dat 40 % van het satéstokje gekleurd is. Ze krijgen de opdracht om de totale lengte van het stokje (25 cm) en de lengte van het gekleurde deel (10 cm) te meten. Ze noteren deze afmetingen bij de afbeelding van het stokje in hun werkboek. Onder dit stokje staat een procentstrook. De leerlingen noteren 0 % bij de beginstreep en 100 % bij de eindstreep, naar analogie van het maken van de procentmeter. De leerlingen noteren 40 % ter hoogte van het einde 25 cm van het gekleurde deel van het stokje. Vervolgens 10 cm noteren ze de afmetingen van het satéstokje op 0 cm 10 cm 25 cm de procentstrook. De procentstrook ziet er dan als volgt uit: 0% 40 % 100 % Je werkt dit voorbeeld ook uit in de verhoudingstabel. 4x Lengte gekleurd deel in cm

Totale lengte in cm

100 4x

40 %

40 % van 25 cm = 10 cm

Ook de verhouding van de beenlengte tot de totale lengte illustreer je door de afmetingen en de bijbehorende percentages op de procentstrook te noteren.

Inleiding Aanpak

Je werkt hierbij met de gemiddelde lengte van een elfjarige. 0 cm

90 cm

60 %

150 cm

bezet. Dat zijn 400 stoelen. Hoeveel stoelen zijn er in totaal in deze theaterzaal?’. De leerlingen lossen ook dit wiskundige probleem op op de manier die zij het handigst vinden. Je bespreekt de verschillende mogelijke oplossingswijzen:

100 % Bord (vervolg)

Bij het oplossen van vraagstukken schenken we veel aandacht aan de analyse van de gegevens en het gevraagde. Door die voor te stellen op de procentstrook wordt de onderlinge verhouding tussen de gegevens duidelijk en vormt het oplossen van het vraagstuk niet zo’n moeilijke opdracht meer. We beginnen met het berekenen van het deel als het percentage en het totaal gegeven zijn. Je geeft bijvoorbeeld de volgende situatie aan: ‘Julie behaalt 80 % op haar rapport voor wiskunde. Hoeveel punten op een totaal van 40 behaalde ze?’. Na het aanvullen van de gegevens en het gevraagde zien de procentstrook en de verhoudingstabel er als volgt uit: ?

80 %

Behaalde punten

Totaal

100

100 %

De leerlingen lossen oefeningen op procent op zoals zij het het handigst vinden. Bij het werken met de verhoudingstabel of de procentstrook maken ze de tussenstappen die zij nodig hebben. Je schenkt voldoende aandacht aan het bespreken van de oplossingswijze die de leerlingen toepasten en aan de gemaakte tussenstappen. Bovenstaande oefening losten sommige leerlingen misschien op door eerst 10 % te berekenen, terwijl andere leerlingen 20 % bepaalden. In blok vijf schenken we ook aandacht aan het omzetten van een percentage in een eenvoudige breuk, met het oog op het oplossen van toepassingen op procent. Voor meer informatie over hoe de relatie tussen breuken, kommagetallen en percentages wordt aangepakt, zie Getallen – Relatie breuken, kommagetallen en percentages. In dit vijfde blok behandelen we ook voor het eerst toepassingen op procent waarbij de leerlingen het totaal berekenen als het percentage en het deel gegeven zijn. Je geeft bijvoorbeeld de volgende situatie aan: ‘Juf Lies gaat met haar klas naar een musical. In de theaterzaal is 80 % van de stoelen

Verhoudingstabel

Breuk Aantal bezette plaatsen

Aantal plaatsen

100

400

80 % = 4 5

500

100

500

Procentstrook 0

10 x :8

400

80 %

500

100 %

10 x

In blok zes introduceer je de lege procentstrook. Dat is een procentstrook waarop de verdelingen per 10 % niet meer zijn aangegeven. De leerlingen hoeven de getallen niet precies te plaatsen, ze geven de positie van de getallen bij benadering weer. In dit zesde blok komen toepassingen op procent waarin de leerlingen het percentage berekenen als het totaal en een deel gegeven zijn aan bod. Je geeft bijvoorbeeld de volgende situatie aan: ‘De atletiekclub De Lustige Spurters telt in totaal 120 leden. Hiervan nemen er 30 deel aan een loopwedstrijd. Hoeveel procent van de leden neemt deel aan deze wedstrijd?’. Ook hier kiezen de leerlingen hun oplossingswijze. De voorstellingen van deze oefening op de procentstrook zien er als volgt uit: :4

25 %

120

100 %

We willen leerlingen ertoe aanzetten om een wiskundig probleem steeds goed te analyseren en de oplossingswijze toe te passen die het best bij de gegeven situatie past. Het werken met de pictogrammen vraagstukken (zie Vraagstukken) is een goede manier om de leerlingen gestructureerd en doordacht een wiskundig probleem te leren aanpakken. In de lessen vraagstukken over procent gaan de leerlingen geregeld eerst vraagstukken van de verschillende types analyseren en de gegevens en het gevraagde op de procentstrook of in de verhoudingstabel noteren voor ze de vraagstukken oplossen. Op deze manier staan de leerlingen bewust stil bij wat berekend moet worden en hoe ze het vraagstuk kunnen oplossen. In blok zeven schenken we ook aandacht aan het noteren van een percentage als een kommagetal, met het oog op het oplossen van vraagstukken over procent. De leerlingen lossen bijvoorbeeld 80 % van 250 op als 0,8 x 250 = 8 x 25 = 200.

Gebruikswijzer

We bieden de leerlingen verschillende oplossingswijzen aan voor het oplossen van oefeningen op procent, namelijk de verhoudingstabel, de procentstrook, het omzetten van een percentage in een breuk en het omzetten van een percentage in een kommagetal. Leerlingen kiezen, afhankelijk van hun getalinzicht en van de aard van de getallen en het gevraagde, de oplossingswijze die zij het handigst vinden. De bespreking van de toegepaste oplossingswijzen zorgt ervoor dat leerlingen bewust stilstaan bij hun keuze en ook andere manieren van oplossen verkennen. In blok 6 onderzoeken de leerlingen de werking van de procenttoets op hun zakrekenmachine. Ze maken een aantal procentberekeningen met de zakrekenmachine en stellen daarbij vast dat je eerst het getal, dan het x-teken en dan pas het percentage (getal en %-toets) moet intoetsen. 50 % van 800

Ik toets in:

800

Ik zie:

800

400

We schenken veel aandacht aan het oefenen van procent in verschillende toepassingssituaties, om zo de overgang naar de werkelijkheid te faciliteren. De leerlingen maken bijvoorbeeld procentberekeningen over korting, intrest, â&#x20AC;Ś

Relatie breuken, kommagetallen en percentages Beginsituatie In het vijfde blok van het vierde leerjaar stelden de leerlingen de gelijkheid tussen decimale breuken en kommagetallen vast. Daartoe werd een getallenlijn in tien/honderd gelijke delen verdeeld en werden de kommagetallen en de breuken met noemer 10 en 100 bij de streepjes geschreven.

Deze gelijkheid werd ook nog eens bevestigd door de kommagetallenstrook onder de strook van 1 op het 5 breukenbord te leggen. 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10

1 10

1 11 1 12 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

De leerlingen gebruikten ook de zakrekenmachine om de gelijkheid tussen breuken en kommagetallen te controleren. Ze deelden bijvoorbeeld 1 door 5 en noteerden vervolgens de gelijkheid 1 = 1 : 5 = 0,2. 5

Vijfde leerjaar In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhalen we de kommagetallen. Hier koppel je de breuken met noemer 10/100/1000 aan de corresponderende kommagetallen (bijvoorbeeld 0,5 = 5 , 0,01 = 10 1 en 0,003 = 3 ). De leerlingen noteren 100 1000 de kommagetallen hiervoor eventueel in het positieschema. Net als in het vierde leerjaar gebruiken de leerlingen ook in het vijfde leerjaar de zakrekenmachine om een breuk om te zetten in een kommagetal. Ze bepalen bijvoorbeeld het overeenkomstige kommagetal van de breuk 1 door de deling 1 : 8 uit 8 te voeren. Het resultaat wordt ook genoteerd als breuk met noemer 10, 100 of 1000. Op deze manier komen we tot de gelijkheid 1 = 0,125 = 125 . 8

1000

In een volgende fase werd de gelijkheid tussen niet-decimale breuken en kommagetallen onderzocht. Met behulp van de breukendoos zochten de leerlingen bijvoorbeeld breuken die dezelfde waarde hebben als 1 . Zo merkten ze dat 1 gelijk is 5 5 aan 2 . Hier werd dan onmiddellijk het kommagetal 10 0,2 aan gekoppeld. Op deze manier stelden de leerlingen de gelijkheid 1 = 2 = 0,2 inzichtelijk vast. 5

Inleiding Aanpak

percentages. Leerlingen verwoorden percentages consequent als ... op de 100 en je noteert dit dan ook als een breuk met noemer 100. Je koppelt hier indien mogelijk ook de vereenvoudigde breuk (breuk van de eenvoudigste vorm of breuk met noemer 10) aan. Het bordschema van de eerste les over procent ziet er als volgt uit: Bord %

In blok 3 ga je wat dieper in op breuken en hun overeenkomstige kommagetallen. De leerlingen bepalen bijvoorbeeld met behulp van de zakrekenmachine de kommagetallen die horen bij de stambreuken tot noemer 12. Daar volgt een grondige nabespreking op waarin we het aantal decimalen behandelen. Bij de bespreking van de getallen met ĂŠĂŠn decimaal koppel je bijvoorbeeld de breuk 5 aan 0,5. Zo bouwen we de gelijkheid 10 1 = 0,5 = 5 op. 2 10 We noteren ook de kommagetallen met twee decimalen als breuk met noemer 100 en die met drie decimalen als een breuk met noemer 1000. 1/2 = 0,5 =

5 10

1/5 = 0,2 =

2 10

1/10 = 0,1 =

1 10

1/4 = 0,25 =

25 100

1/8 = 0,125 =

125 1000

procent

25 van de 100

0 van de 100

10 van de 100

Stroken 100 van de 100 20 van de 100

75 van de 100

80 van de 100

= 0,33333

de helft

een vierde

niets

een tiende

100 100 20 100 75 100 80 100

alles

1 2 1 4

1 10

een vijfde

drie vierde

acht tiende -

1 5 3 4 8 10

50 procent

25 procent

50 % 25 %

0 procent

10 procent

10 %

100 procent -

100 %

20 procent

20 %

75 procent

75 %

80 procent

80 %

De leerlingen stellen de gelijkheid tussen breuken en percentages ook vast door op het breukenbord van de breukendoos de procentstrook onder bijvoorbeeld de strook van 1 te leggen. Op deze 5 manier stellen de leerlingen vast dat 1 gelijk is aan 5 20 %. Door hier ook de kommagetallenstrook onder 1 te leggen merk je op dat = 20 % = 0,2. 5

1/6 = 0,16666

1/9 = 0,111111

1 1 2 1 3 1 4

1/12 = 0,833333

1 5

1 6 1 7

= 0,1428571

1 8

De leerlingen bepalen ook de overeenkomstige kommagetallen van gelijkwaardige breuken en stellen vast dat die gelijk zijn.

1 9

1 10

In het vierde blok introduceren we het begrip procent. Vanaf de eerste les over procent schenken we aandacht aan het verband tussen breuken en

1 10

1 11

Hou er bij de bespreking van deze oefeningen rekening mee dat sommige zakrekenmachines het kommagetal afronden, terwijl andere gaan afkappen. Schenk hier indien nodig aandacht aan bij de bespreking van de kommagetallen.

1/11 = 0,090909 1/7

50 100 25 100 0 100 10 100

In een volgende fase koppelen we ook kommagetallen aan de percentages door een beroep te doen op het verband tussen breuken en kommagetallen. Na het leggen van het verband tussen bijvoorbeeld 30 % en 3 stel je samen vast 10 dat 30 % = 3 = 0,3.

Voorts schenk je ook aandacht aan het repeterend deel bij de andere stambreuken. Je geeft het cijfer/ de cijfers die herhaald worden aan met kleur. Het bordschema van dit deel van de les ziet er als volgt uit: 1/3

percent

Roosters 50 van de 100

1 12

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 % 100 %

Gebruikswijzer

In blok 6 berekenen de leerlingen 55 % van 600 met behulp van de zakrekenmachine. De leerlingen berekenen vervolgens het product van 0,55 x 600 en stellen vast dat de resultaten dezelfde zijn. Je herhaalt hierbij het verband 55 % = 55 = 0,55. 100

Ik toets in:

2 Bewerkingen Optellen en aftrekken â&#x20AC;˘ Hoofdrekenen

Resultaat

55 % van 600

0,55 x 600 =

11 % van 300

0,11 x 300 =

22 % van 5000

0,22 x 5000 =

Het verband tussen percentages, breuken en kommagetallen wordt in de loop van het leerjaar geregeld geoefend aan de hand van allerlei verschillende opdrachten en rekenspellen.

Natuurlijke getallen Beginsituatie In het vierde leerjaar maakten de leerlingen optellingen en aftrekkingen met ronde getallen tot 100 000. Ze stelden de bewerkingen voor op de lege getallenlijn. Hierbij zetten de leerlingen de uitgangshoeveelheid steeds vast door die aan te geven met een kruisje. Bij de optelling wordt het kruisje links op de getallenlijn gezet, omdat er naar rechts wordt gesprongen. De leerlingen schreven de eerste term steeds onder het kruisje en stelden vervolgens de bewerking voor met sprongen naar keuze. Aangezien een lege getallenlijn geen ijking heeft, is de exacte positie van de getallen en de grootte van de bogen van geen belang. Volgens de standaardprocedure bij het maken van optellingen werden eerst de tienduizendtallen, vervolgens de duizendtallen, de honderdtallen, de tientallen en ten slotte de eenheden bij de eerste term opgeteld. De leerlingen mochten echter bogen tekenen naar keuze. Als zij meer of minder bogen nodig hadden en ook tot de juiste oplossing kwamen, was dat ook goed. Aftrekkingen werden analoog voorgesteld. De leerlingen zetten de eerste term aan de hand van een kruisje rechts op de getallenlijn (omdat er naar links wordt gesprongen) en stelden de sprongen voor met bogen. In het vierde leerjaar werd de leerlijn handig rekenen verder uitgebreid. Er werd aandacht geschonken aan het kijken naar de getallen en het uitwerken van doelmatige oplossingswijzen op basis van de aard van de bewerkingen. Het hele leerjaar door werd er aan deze attitude gewerkt.

Vijfde leerjaar In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhalen we optellingen en aftrekkingen tot 100 000. Je stelt de bewerkingen voor op de lege getallenlijn. Schenk voldoende aandacht aan het zetten van het

Inleiding Aanpak

kruisje (links voor de optelling en rechts voor de aftrekking) en aan het verwoorden van de sprongen. Volgens de algemene strategie gaan we eerst de tienduizendtallen en vervolgens de duizendtallen, de honderdtallen, de tientallen en ten slotte de eenheden optellen of aftrekken. Tekenen de leerlingen meer of andere bogen? Ook goed! Wat is het voordeel van de lege getallenlijn? De grote meerwaarde van de lege getallenlijn is dat leerlingen volledig vrij zijn om de bogen te tekenen die zij willen. Bij het tekenen op de getallenlijn zal blijken dat er een grote verscheidenheid is in de voorstellingen van de leerlingen. De sterkere rekenaars zullen grotere bogen tekenen en sneller afstappen van het gebruik van de lege getallenlijn, terwijl zwakkere rekenaars er vaker gebruik van maken. De lege getallenlijn is dus een differentiatiemiddel bij uitstek. Een ander voordeel van de lege getallenlijn is dat ze de leerkracht een uitstekende mogelijkheid biedt om de leerlingen te observeren. Door hun voorstelling op de lege getallenlijn te bekijken, kun je veel te weten komen over het denkproces en de probleemgebieden van de leerlingen. Leerlingen die bijvoorbeeld bij het tekenen van de bewerking 360 000 + 70 000 eerst aanvullen tot 400 000 hebben de brug duidelijk nog niet geautomatiseerd. Dat is een signaal om daaraan in de toekomst extra aandacht te schenken.

van bewerkingen met getallen tot op de eenheid (bijvoorbeeld 340 528 + 198 123) is immers vooral voor zwakkere rekenaars een zware opdracht. In het dagelijkse leven zullen we deze bewerkingen al cijferend of met de zakrekenmachine oplossen. Dit zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook voldoende aandacht aan schenken. Let op! De oefeningen op hoofdrekenen die aan bod komen in de werkboeken en in het scheurblok (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, dus ook voor de zwakkere rekenaars. Met het oog op hun latere functioneren in de samenleving is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen. In het tweede blok van het vijfde leerjaar behandel je optellingen en aftrekkingen tot 1 miljoen. De leerlingen stellen deze bewerkingen voor op de lege getallenlijn en verwoorden hun oplossingswijzen. Schenk hierbij voldoende aandacht aan rekentaal als som en verschil. De standaardprocedure van de voorbije jaren wordt aangehouden: we behouden de eerste term (vastzetten met een kruisje op de lege getallenlijn) en gaan vervolgens sprongen tekenen (eerst de HD, dan de TD, â&#x20AC;Ś). De leerlingen mogen, zoals hierboven al werd beschreven, steeds meer of andere bogen tekenen (zie bogen in stippellijn). Je stimuleert hen om indien mogelijk het tekenen op de lege getallenlijn achterwege te laten. Leerlingen die dit hulpmiddel nog nodig hebben, mogen het natuurlijk blijven gebruiken. + 70 000

Het voorstellen van een bewerking op de lege getallenlijn vormt ook een hulpmiddel voor het verwoorden van de verschillende tussenstappen bij het maken van een bewerking. Als de leerlingen op die manier het oplossen van bewerkingen analyseren, wordt hun inzicht in getallen en bewerkingen sterk bevorderd. Het verwoorden kan leerlingen helpen om bij een foutieve voorstelling de fouten te ontdekken. Leerlingen zien zo waar ze nog fouten maken en kunnen daar dan extra aandacht aan schenken.

180 000 + 70 000 = 250 000

180 000

+ 20 000 + 50 000

200 000

250 000 + 50 000

+ 200 000

480 000 + 250 000 = 730 000

+ 20 000 + 30 000

480 000

680 000 - 5000 - 2000

730 000

- 60 000

- 3000

283 000 - 65 000 = 218 000 218 000

220 000

283 000

223 000 - 70 000 - 30 000

- 40 000

640 000 - 70 000 = 570 000

Nog een voordeel van de lege getallenlijn is dat de leerlingen geen eindeloze reeks tussenstappen hoeven te noteren bij het maken van bewerkingen. Zo kunnen ze ook geen fouten maken doordat ze zich vergissen in het schrijven van de tussenstappen. Optellingen en aftrekkingen tot 10 miljoen In het vijfde leerjaar wordt het getalbereik uitgebreid tot 10 miljoen. Bewerkingen met deze getallen zijn al vrij complex. Een van de uitgangspunten van zWISo is het streven naar functionele gecijferdheid. We werken in het basistraject dan ook bewust alleen met ronde getallen. Het uit het hoofd uitrekenen

570 000

600 000

640 000

Je stelt samen met de leerlingen ook nog eens vast dat bij het oplossen van optellingen de bewerking eenvoudiger kan zijn als de wisseleigenschap gebruikt wordt: bijvoorbeeld 30 000 + 725 000 oplossen als 725 000 + 30 000. In het derde blok van het vijfde leerjaar onderzoeken de leerlingen de invloed van haakjes bij optellingen en aftrekkingen. Tijdens een klasgesprek stel je samen vast dat de haakjes bij optellingen geen invloed hebben, maar dat de plaats van de haakjes bij aftrekkingen wel belangrijk is. In deze les bespreek je ook de volgorde van bewerkingen. De leerlingen maken verschillende bewerkingen en vanuit hun

Gebruikswijzer

bevindingen stel je vast dat als er verschillende bewerkingen voorkomen, je eerst vermenigvuldigt en/ of deelt en daarna optelt en/of aftrekt. In het vijfde blok wordt het getalbereik uitgebreid tot 10 miljoen. Vanaf dit blok komen er geregeld optellingen en aftrekkingen met ronde getallen van deze orde van grootte aan bod. De werkwijze is analoog aan die bij bewerkingen met getallen tot 1 miljoen.

• Optellingen en aftrekkingen met ronde getallen tot 1 000 000 maken. • Optellingen en aftrekkingen met verschillende termen maken. • Bij optellen en aftrekken een doelmatige oplossingswijze op basis van de getallen en de eigenschappen van de bewerkingen kiezen en uitvoeren.

les 3 • ladderkaart 1

Zoek het ontbrekende getal. Het getal in de bovenste steen is steeds de som van de getallen eronder.

620 000

438 500

299 500

803 700

6900

240 000

80 000

437 000

125 000

les 3 • ladd ladderkaart 1

Het is belangrijk om, zodra het getalinzicht en het inzicht in bewerkingen opgebouwd is, voldoende aandacht te schenken aan het oefenen van de bewerkingen. De optellingen en aftrekkingen worden dan ook voortdurend geoefend aan de hand van zeer verscheiden oefenvormen: vrij formele oefeningen, vraagstukken, rekenspellen, ... Deze oefeningen zijn terug te vinden in de kopieermap, in Oefen! en in de zWISobox. Leerlingen die meer uitdaging nodig hebben kunnen aan de slag met de verdiepingsmap. 175 000

Zoek het ontbrekende getal. Er zijn telkens twee mogelijkheden.

Het verschil tussen twee getallen is 295 000. Eén van de getallen is 455 000. Wat kan het andere getal zijn? ________________ of ________________

maar dat het aftrektal niet van plaats veranderd mag worden. Er werd ook aandacht geschonken aan het aanvullen/wegnemen van de eerste term tot een rond getal. Bij de aftrekking 6470 - 490 behandelden we de oplossingswijze waarbij je eerst wegneemt tot 6000. 6470 - 490 = 6470 - 470 - 20 = 5980 Een nog andere keer kan het ook handig zijn om termen van een optelling van plaats te wisselen (bijvoorbeeld 106 + 254 oplossen als 254 + 106). De leerlijn handig rekenen wordt in het vijfde leerjaar verder uitgebreid. We werken met getallen tot 10 miljoen en blijven aandacht schenken aan de diverse handige rekenstrategieën die vanaf het tweede leerjaar werden opgebouwd. Enkele basislessen zijn expliciet gewijd aan dit onderwerp. Verder is het ook belangrijk om de leerlingen tijdens alle lessen in verband met bewerkingen te laten kijken naar de getallen en de aard van de bewerking.

Het verschil tussen twee getallen is 266 000. Eén van de getallen is 650 000. Wat kan het andere getal zijn? ________________ of ________________

Het verschil tussen twee getallen is 294 000. Eén van de getallen is 384 000. Wat kan het andere getal zijn? ________________ of ________________

Enkele voorbeelden:

Kijk in de tabel. Reken uit. Vul in.

Aantal inwoners per stad, afgerond tot het dichtstbijzijnde duizendtal. (statistieken NIS 01/01/2008)

Brussel

Antwerpen

1 000 000 472 000

Gent

237 000

Brugge

117 000

Hasselt

70 000

Het verschil in aantal inwoners tussen Brussel en Antwerpen tussen Gent en Brugge

________________

88 000 + 29 000 = 88 000 + 30 000 - 1000 = 117 000

______________________

Waar of niet waar? Reken uit en omcirkel. De stad Hasselt telt 903 000 inwoners minder dan de stad Brussel.

+ 30 000

waar

niet waar

- 1000

________________________________________________________________________________ Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, zWISo-box

Blok 2

Handig rekenen

88 000

195 000 + 43 000 = 238 000

In het vierde leerjaar berekenden de leerlingen bijvoorbeeld + 29 000 door eerst 30 000 op te tellen en van dit tussenresultaat vervolgens 1000 af te trekken. Behalve aan bovenstaande vorm van handig rekenen, namelijk het compenseren, schonken we ook aandacht aan allerlei andere types. Zo stelden de leerlingen samen vast dat je optellingen en aftrekkingen van verschillende termen soms handig kunt oplossen door termen die een rond getal vormen eerst samen te nemen of af te trekken (bijvoorbeeld 7320 - 540 - 1320 oplossen als 6000 - 540). Bij dit type van handig rekenen is het belangrijk dat je benadrukt dat bij aftrekken de volgorde van de aftrekkers veranderd mag worden,

195 000

118 000

+ 38 000

+ 5000

In zWISo schenken we geregeld aandacht aan handig rekenen omdat het bijdraagt tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen te kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige oplossingswijzen uit te werken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan werken. Wijs de leerlingen er daarom op dat ze steeds naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen.

117 000

200 000

238 000

935 000 - 63 000 - 435 000 = 500 000 - 63 000 = 437 000

Let wel: leerlingen hoeven niet handig te rekenen. We brengen deze vaardigheid wel aan omdat ze een meerwaarde kan zijn voor het uitvoeren van bewerkingen, maar als leerlingen bij elke bewerking de standaardprocedure toepassen is het ook goed. Handig rekenen vergt immers veel inzicht in de getallen en de bewerkingen, waardoor het voor zwakkere rekenaars moeilijk is. Toch vinden we het in zWISo belangrijk dat ook zwakkere rekenaars op zijn minst kennismaken met deze rekenvorm. Oefeningen waarin handig gerekend kan worden, worden aangegeven met een pictogram . Op deze manier weten de leerlingen dat de aangegeven oefeningen op een handige manier uitgerekend kunnen worden en leren ze bewust naar de getallen te kijken.

Inleiding Aanpak

Kommagetallen Beginsituatie In het vierde blok van het vierde leerjaar werden de kommagetallen geïntroduceerd. De eerste lessen optellen en aftrekken met kommagetallen volgden hier onmiddellijk op en stonden dus ook in dat zelfde blok. Er werd begonnen met het optellen en aftrekken van kommagetallen met hetzelfde aantal decimalen. In een eerste fase legden de leerlingen deze bewerkingen met de KomMatz-kaarten. Hierbij schonk de leerkracht veel aandacht aan de verwoording van de getallen. De bewerking 0,2 + 0,3 legden de leerlingen als volgt:

Leerlingen die bewerkingen met kommagetallen moeilijk vonden stelden de bewerking eventueel voor op een gestructureerde getallenlijn. De klassikale getallenlijnen die overschrijfbaar zijn met uitwisbare stift vormen hiervoor een handig didactisch middel. In een volgende fase kwamen optellingen en aftrekkingen van getallen met een verschillend aantal decimalen aan bod. De leerlingen legden de bewerkingen met hun KomMatz-kaarten en tekenden de bewerking ook op de lege getallenlijn. De leerkracht vulde steeds in kleur de nul aan, zodat het aantal decimalen gelijk werd. Ook hier is de verwoording van de kommagetallen essentieel. In het vierde leerjaar werd er veel aandacht geschonken aan deze moeilijkheid bij het optellen en aftrekken van kommagetallen. Het pictogram , dat geregeld voorkwam in het leerlingmateriaal, maakte de leerlingen hier attent op.

De kaartjes werden samengevoegd en hieraan koppelde de leerkracht de verwoording twee tiende plus drie tiende is vijf tiende. Aftrekkingen met kommagetallen werden op dezelfde manier uitgewerkt: de leerlingen legden het aftrektal met de KomMatz-kaarten en namen vervolgens het aantal kaartjes van de aftrekker weg. Ook hier werd aandacht geschonken aan de verwoording . De aftrekking 0,75 - 0,33 werd als volgt opgelost:

Optellingen en aftrekkingen met kommagetallen werden, net zoals bewerkingen met natuurlijke getallen, voorgesteld op de lege getallenlijn. In zWISo mogen de leerlingen bij het optellen en aftrekken van kommagetallen de oplossingsstrategie toepassen die zij verkiezen. In het vierde leerjaar werd wel een algemene strategie aangebracht, namelijk eerst de eenheden, dan de tienden, dan de honderdsten en tenslotte de duizendsten optellen/ aftrekken.

Ter voorbereiding op het maken van optellingen en aftrekkingen met brug kregen de leerlingen de opdracht om kommagetallen aan te vullen tot het volgende gehele getal en te verminderen tot het vorige gehele getal. Dit werd voorgesteld op de klassikale gestructureerde getallenlijn. De leerlingen verwoordden de positie van de kommagetallen ook steeds goed (komt juist voor …, ligt tussen … en …, …).

Bewerkingen met brug werden aanvankelijk voorgesteld door ze te leggen met de KomMatzkaarten, ze te verwoorden en ze voor te stellen op de getallenlijn. Bij de optelling 0,7 + 0,5 stelden de leerlingen vast dat dit twaalf tiende is (twaalf t-kaartjes). Ze wisselden vervolgens tien t-kaartjes om voor een rood schijfje. Op deze manier ervoeren de leerlingen zelf dat de eenheid overschreden wordt. Bij de voorstelling op de getallenlijn en de bijbehorende verwoording splitsten ze 0,5 in 0,3 en 0,2. Dit werd verwoord als: ‘0,3 erbij tot 1 en dan nog 0,2 erbij.’ De voorstelling op de getallenlijn zag er dan als volgt uit:

4,36 + 6,82 = 11,18 +6

+ 0,80 + 0,70

4,36

10,36

+ 0,02 + 0,10 11,06

11,16

11,18

Bij aftrekkingen met brug werd er na het leggen van de bewerking met de KomMatz-kaarten besproken hoeveel je al wegneemt tot het vorige gehele getal en

Gebruikswijzer

hoeveel je vervolgens nog weg moet nemen. Door het gebruik van concreet materiaal bij het uitvoeren van bewerkingen met kommagetallen ontwikkelden de leerlingen een goed verankerd inzicht in de getalstructuur van en in bewerkingen met kommagetallen. De koppeling van een concrete voorstelling aan een abstracte bewerking zorgt ervoor dat deze bewerkingen betekenis krijgen. Leerlingen weten dus wat ze aan het doen zijn als ze kommagetallen optellen en aftrekken, wat leidt tot een vlotte overgang naar het abstracte niveau (oplossen van bewerkingen met kommagetallen zonder materiaal). Na verloop van tijd werden de leerlingen gestimuleerd om het leggen van bewerkingen met de KomMatzkaarten achterwege te laten. Leerlingen die hier wel nog behoefte aan hadden, mochten steeds terugkeren naar dit concrete niveau.

aftrekken. De optelling 2,62 + 4,25 bijvoorbeeld kan op verschillende manieren opgelost worden:

In zWISo mogen de leerlingen de oplossingsstrategie toepassen die zij verkiezen. We stellen wel een algemene strategie voor, namelijk eerst de eenheden, dan de tienden, dan de honderdsten en tenslotte de duizendsten optellen/aftrekken. Ook bij het optellen en aftrekken van kommagetallen schenken we aandacht aan handig rekenen (zie Hoofdrekenen – Natuurlijke getallen). Enkele voorbeelden: -3

Let op! De KomMatz-kaarten werden niet bij alle oefeningen gebruikt. Om verwarring met cijferen te vermijden werden oefeningen waarin veel ingewisseld moet worden alleen voorgesteld op de getallenlijn.

24,4 + 12,8 + 13,6 = 38 + 12,8 = 50,8

Vijfde leerjaar

3,45 - 1,60 = 3,45 - 1,45 - 0,15 = 2 - 0,15 = 1,85

In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhalen we het optellen en aftrekken met kommagetallen. In het vijfde leerjaar komt hieromtrent geen nieuwe inhoud meer aan bod. Aan de hand van verschillende leeractiviteiten, oefeningen, rekenspellen, vraagstukken, … bouwen we het getalinzicht en het inzicht in bewerkingen met kommagetallen verder uit. In het vierde leerjaar legden de leerlingen optellingen en aftrekkingen met kommagetallen met de KomMatz-kaarten. In het vijfde leerjaar maken de KomMatz-kaarten geen deel meer uit van het basispakket van de methode. Bij leerlingen die nog onvoldoende inzicht hebben in bewerkingen met kommagetallen kan het echter erg waardevol zijn om hen nog eens een aantal optellingen en aftrekkingen te laten leggen met deze kaarten. Door een stap terug te zetten in het didactisch proces en de leerlingen te laten werken met concreet materiaal kun je hen het inzicht in optellingen en aftrekkingen met kommagetallen laten (her)opbouwen. Natuurlijk is het belangrijk om de leerlingen steeds te stimuleren om bewerkingen voor te stellen op de lege getallenlijn en na verloop van tijd het leggen met de kaarten achterwege te laten. Bij optellingen en aftrekkingen met kommagetallen is het belangrijk dat de leerlingen goed naar de getallen kijken en een oplossingsstrategie toepassen die het meest aansluit bij hun getalinzicht. Laat de leerlingen steeds goed verwoorden wat ze eerst optellen of

+ 0,05

3,75 - 2,95 = 0,80

0,75

0,80

3,75

• Schatten Het hoofddoel van zWISo is de leerlingen tot functionele gecijferdheid te brengen. We willen ze namelijk kennis en vaardigheden bijbrengen die hen in staat stellen om wiskundige problemen in hun dagelijks leven op te lossen. Een van de vaardigheden om daartoe te komen is het schatten. We schenken hieraan in zWISo dan ook veel aandacht. In de praktijk zullen we immers dagelijks verschillende malen schatten, zowel hoeveelheden als de resultaten van bewerkingen. We willen bepalen hoeveel we ongeveer zullen moeten betalen, hoeveel kilometer we nog moeten rijden, … Leerlingen die kunnen schatten, kunnen veel wiskundige situaties in hun omgeving aan. Wegens het belang van schatten is er in zWISo zelfs een aparte leerlijn schatten uitgeschreven, die van het eerste tot het zesde leerjaar doorloopt. De leerlingen leren vanaf het eerste leerjaar in verschillende situaties schatten. We leggen hen hierbij een grote verscheidenheid aan opdrachten voor. Hou goed voor ogen dat de getallen waarmee geschat wordt steeds zorgvuldig gekozen moeten worden. De aangeboden oefeningen moeten immers zinvol zijn. Juist omdat we functionele gecijferdheid bij de leerlingen beogen, leert zWISo de leerlingen functioneel te schatten. Dat betekent dat leerlingen bij het schatten een idee leren krijgen van de orde

Inleiding Aanpak

van grootte van het resultaat. Bij het cijferen met kommagetallen vormt de schatting een erg handig controlemiddel. Door de rangorde van het berekende resultaat met de schatting te vergelijken, kunnen de leerlingen nagaan of ze de komma op de juiste plaats gezet hebben. Het verschil in getalinzicht van leerlingen heeft als gevolg dat de ene leerling tot een nauwkeurigere schatting kan komen dan de andere. De verschillen in die schattingen zijn een boeiend en leerrijk uitgangspunt voor een klasgesprek.

Beginsituatie In het derde leerjaar pasten de leerlingen een vaste schatprocedure toe. Ze rondden de tweede term af tot een rond getal. De eerste term lieten ze ongewijzigd, naar analogie van de standaardprocedure bij hoofdrekenen. Vervolgens berekenden ze de som/het verschil van die twee termen. De resultaat werd dan ook afgerond tot een rond getal. De optelling 387 + 575 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 387 + 575 à 387 + 600 = 987 à 1000. In het vierde leerjaar werd de schatprocedure verder uitgebreid. Aangezien er dan al wordt gewerkt met grotere en moeilijkere getallen, werden beide getallen afgerond bij het schatten. Bij een optelling of aftrekking met getallen kleiner dan 10 000 werden beide termen afgerond naar een getal met één beduidend cijfer. De bewerking 4748 + 2120 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 4748 + 2120 à 5000 + 2000 = 7000. De algemene strategie bij het optellen en aftrekken van termen groter dan 10 000 met dezelfde rang was de volgende: beide termen afronden naar een getal met twee beduidende cijfers en het resultaat van de optelling/aftrekking bepalen. De bewerking 46 183 + 22 228 bijvoorbeeld werd dus geschat als 46 000 + 22 000 = 68 000. Bij optellingen en aftrekkingen van termen met een verschillende rang werd het kleinste getal afgerond naar een getal met één beduidend cijfer. Vervolgens werd de andere term afgerond tot een getal van dezelfde rang. De aftrekking 64 782,23 - 5267,5 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 64 782,23 - 5267,5 à 65 000 - 5000 = 60 000. Let op! Vanaf het vierde leerjaar gaan we soepeler om met schatten. Aangezien de getallen steeds complexer worden en de niveauverschillen tussen de leerlingen toenemen, is het ook bij het schatten nodig om aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Leerlingen schatten dus volgens hun eigen getalinzicht.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we de leerlijn schatten verder uit. De leerlingen schatten ook bij optellingen en aftrekkingen met getallen tot 10 miljoen volgens eigen getalinzicht. De optelling 127 981 + 283 464 bijvoorbeeld kan als volgt geschat worden: 127 981 + 283 464 à 130 000 + 280 000 = 410 000 of 127 981 + 283 464 à 100 000 + 300 000 = 400 000 Belangrijk om als leerkracht te weten is dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Ronden de leerlingen de getallen bijvoorbeeld altijd af tot een getal met één beduidend cijfer en komen ze op deze manier ook tot een zinvolle schatting? Ook goed! Zoals hierboven reeds beschreven werd, is het belangrijk om de verschillende schattingen van de leerlingen te bespreken en de leerlingen er attent op te maken welke informatie ze door het maken van een schatting verkrijgen.

• Cijferen Beginsituatie Om het cijferen inzichtelijk op te bouwen legden de leerlingen de bewerkingen in het derde leerjaar met schijven uit getallendoos 3. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De bewerking werd tegelijkertijd in een schrijfschema geschreven. Hierbij werd er veel aandacht geschonken aan de verwoording van het cijferalgoritme. Als leerlingen voldoende inzicht hadden ontwikkeld in het cijferen, werd het leggen achterwege gelaten. Voor de leerlingen een bewerking cijferend uitrekenden, maakten ze geregeld een schatting. De schatting vormt een goed controlemiddel voor de uitkomst na het cijferen. In het vierde leerjaar werd er in de basislessen geen expliciete aandacht geschonken aan het leggen van de cijferoefeningen met getallendoos 3.

Gebruikswijzer

In de regel noteerden de leerlingen cijferoefeningen dan alleen in een schrijfschema. Leerlingen die echt problemen hadden met cijferen legden eventueel wel nog eens een oefening met de schijven. Algemeen geldt dat leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces en dat je bij problemen steeds mag terugkeren naar instructie aan de hand van concreet materiaal. Voor een beschrijving van hoe het cijferend optellen en aftrekken werd aangebracht in het derde leerjaar kun je terecht in Gebruikswijzer 3. In het vierde leerjaar werd het cijferalgoritme uitgebreid tot optellingen en aftrekkingen met getallen tot 100 000. Er werd veel aandacht geschonken aan het schikken van de cijfers en aan het verwoorden van het algoritme. Vanaf het tweede blok van het vierde leerjaar werd het schrijfschema achterwege gelaten en noteerden de leerlingen de cijferoefeningen op een ruitjespatroon.

De aftrekking 98 022 - 5743 verwoord je als volgt:

In het zesde blok van het vierde leerjaar controleerden de leerlingen de aftrekking door de omgekeerde bewerking te maken. Bij het cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen werd er aandacht geschonken aan de plaats van de komma en aan het aanvullen van de nul bij het cijferen met knipperlichtgetallen (getallen met een verschillend aantal decimalen). Bij het cijferen met kommagetallen vormt de schatting een erg zinvol controlemiddel. De orde van grootte van de schatting geeft de leerlingen immers de indicatie of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma dus op de juiste plaats gezet hebben. Aanvankelijk noteerden de leerlingen de cijferoefeningen nog in een schrijfschema, maar ook bij het cijferend optellen/aftrekken van kommagetallen werd er snel overgestapt naar het noteren op een ruitjespatroon.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we het cijferalgoritme voor optellen en aftrekken uit tot getallen tot 10 miljoen. De verwoording van het cijferalgoritme blijft hetzelfde als in het derde en het vierde leerjaar. De verwoording van de bewerking 57 687 + 4266 gaat als volgt:

Inleiding Aanpak

Bij het cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen benadruk je dat het cijferalgoritme ongewijzigd blijft. Schenk wel voldoende aandacht aan het plaatsen van de komma tijdens het uitvoeren van het algoritme en aan het aanvullen van de nul bij het cijferen met knipperlichtgetallen. De schatting vormt hierbij een erg zinvol controlemiddel. Het gebruiken van controlemiddelen (zakrekenmachine, omgekeerde bewerking en schatting) is een attitude die we de leerlingen willen bijbrengen. Deze controles geven de leerlingen immers een indicatie van de correctheid van hun berekende resultaat en dragen dus bij tot de praktische bruikbaarheid van cijferen. Door de leerlingen deze controlemechanismen aan te reiken kunnen ze cijferoefeningen op een doordachtere manier aanpakken. Het controleren van cijferoefeningen met de zakrekenmachine vormt een toepassing op het werken met de zakrekenmachine, een vaardigheid die we door alle leerjaren heen opbouwen. We willen leerlingen ertoe aanzetten om de zakrekenmachine op een zinvolle manier te gebruiken bij wiskundige problemen. Vooral voor de zwakkere rekenaars draagt dit hulpmiddel bij tot het functioneren in het leven van alledag. We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij de oefening in kwestie en bij hun getalinzicht. In het vijfde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is bij sommige oefeningen dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of een bewerking uit het hoofd of cijferend moet worden uitgerekend. Let op! Van bepaalde oefeningen die deel uitmaken van het basistraject blijven we verwachten dat ze uit het hoofd uitgerekend worden. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen kunnen rekenen met ronde getallen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor hun latere functioneren in de samenleving.

Vermenigvuldigen â&#x20AC;˘ Hoofdrekenen Natuurlijke getallen Maal- en deeltafels In het derde leerjaar schonk de leerkracht tijdens de eerste maanden veel aandacht aan het automatiseren van de maal- en de deeltafels. Kennis van de tafels is immers essentieel voor het maken van vermenigvuldigingen en delingen met grotere getallen. Ook in het vierde leerjaar oefenden de leerlingen geregeld de tafels, dit aan de hand van een tafeldoosje, tafelspellen, de flitskaarten van materialenkist 3, â&#x20AC;Ś In het vijfde leerjaar schenken we geen expliciete aandacht meer aan het herhalen en oefenen van de tafels. Deze kennis, die als verworven wordt beschouwd, is essentieel voor het uitbreiden van de leerlijn vermenigvuldigen en delen. Als blijkt dat leerlingen nog onvoldoende inzicht hebben in de tafels, is het noodzakelijk om deze leerlingen extra uitleg te geven en hen geregeld te laten oefenen op de tafels. Roep hiervoor eventueel de hulp van de zorgleerkracht in. Een uitgebreid overzicht van hoe de tafels werden aangebracht vind je in de gebruikswijzer van het tweede leerjaar. De kopieermap van het vijfde leerjaar bevat een tafelrooster. Dit overzicht van de tafels, dat wordt ingevuld door de leerlingen zelf, vormt een handig differentiatiemiddel. Leerlingen die de tafels onvoldoende beheersen kunnen dit rooster gebruiken in de lessen waarin vermenigvuldigen en delen aan bod komen.

Het blijft wel belangrijk om deze leerlingen geregeld de tafels te laten oefenen.

Gebruikswijzer

Vermenigvuldigingen tot 10 miljoen Beginsituatie In het vierde leerjaar werden vermenigvuldigingen tot 100 000 behandeld. In het eerste blok herhaalden we kort vermenigvuldigingen van de vorm E x E, E x T en E x H. Bij vermenigvuldigingen van de vorm E x HTE splitsten de leerlingen het vermenigvuldigtal. Bij de vermenigvuldiging 4 x 128 bijvoorbeeld splitsten de leerlingen 128 in 100, 20 en 8, berekenden ze de tussenproducten en telden de resultaten bij elkaar op. De leerlingen noteerden enkel de tussenstappen die zij nodig hadden. Het schrijven van voor de leerling overbodige tussenstappen heeft immers geen meerwaarde voor de ontwikkeling van het inzicht in bewerkingen. Bij het vermenigvuldigen van natuurlijke getallen met 10, 100 en 1000 stelden de leerlingen vast dat er één, twee of drie nullen achter de andere factor worden geschreven. In het tweede blok van het vierde leerjaar werden ook vermenigvuldigingen van de vorm T x T, T x TE en TE x T behandeld. Aanvankelijk werden deze bewerkingen geïllustreerd op het Matz-postzegelvel (een afbeelding van verschillende postzegels, steeds onderverdeeld in tien rijen van tien). De leerlingen legden de meetlatten op het postzegelvel steeds op dezelfde manier: een meetlat horizontaal onder de vermenigvuldiger en een meetlat verticaal achter het vermenigvuldigtal. Bij de bewerking 20 x 16 bijvoorbeeld legden de leerlingen een lat onder de twintigste rij en een lat achter de zestiende kolom. Door het gebruik van deze concrete voorstelling kregen vermenigvuldigingen met grotere getallen betekenis. De structuur van het postzegelvel (onderverdeling per 10) maakt ook dat de splitsing visueel voorstelbaar werd. Het gebruik van dit concrete materiaal werd vrij snel achterwege gelaten. De leerlingen losten de bewerking 20 x 16 dan op door het vermenigvuldigtal te splitsen: 20 x 16 = 20 x 10 + 20 x 6 = 200 + 120 = 320. Ze werden gestimuleerd om de eerste tussenstap al snel achterwege te laten en alleen splitsbeentjes te tekenen.

In een volgende fase kwamen vermenigvuldigingen van de vorm TE x TE, T x HTE en TE x HTE (T of E is nul) aan bod. De leerlingen losten deze bewerkingen op door de vermenigvuldiger of het vermenigvuldigtal te splitsen. Let op! Leerlingen passen de oplossingsstrategie toe die zij het makkelijkst vinden. Ze mogen dus kiezen of ze de vermenigvuldiger of het vermenigvuldigtal splitsen. De bewerking 18 x 12 kan bijvoorbeeld als volgt opgelost worden:

Bij het oplossen van bewerkingen van de vorm E x T en T x E wees de leerkracht op de analogie met de tafels. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 3 x 90 wees de leerkracht op het verband met de vermenigvuldiging 3 x 9. De bewerking werd ook gelezen en genoteerd als 3 x 9T = 27T = 270. In het vierde blok van het vierde leerjaar stelden de leerlingen na het maken van enkele vermenigvuldigingen vast dat als één van de factoren 10, 100 of 1000 keer zo groot wordt, het product ook 10, 100 of 1000 keer zo groot wordt. In het zesde blok werden er ook oefeningen gemaakt waarin beide factoren van de vermenigvuldiging veranderden. Door het oplossen van enkele duo’s als 8 x 25 en 2 x 100 werd vastgesteld dat als je één van de factoren vermenigvuldigt met en de andere factor deelt door hetzelfde getal, het product hetzelfde blijft. De leerlingen stelden de verbanden tussen de factoren voor aan de hand van pijlen. Het spreekt voor zich dat bij bovenstaande oefeningen het inzicht in en het automatiseren van de tafels essentieel is. Bij soortgelijke oefeningen vroeg de leerkracht steeds welke oefening de leerlingen het makkelijkst vonden. Op deze manier werden de leerlingen zich ervan bewust dat ze door het uitvoeren van operaties op factoren oefeningen eenvoudiger kunnen maken.

Deze operaties op factoren vormen een erg belangrijke voorbereiding op het vermenigvuldigen van twee kommagetallen en het delen door een kommagetal, wat in het vijfde leerjaar aan bod komt. In blok vier behandelde de leerkracht, na het uitbreiden van het getalbereik tot 100 000, ook vermenigvuldigingen met factoren groter dan 1000.

Inleiding Aanpak

Behalve vermenigvuldigingen van de vorm E x TD (3 x 20 000) maakten de leerlingen ook bewerkingen als 6 x 2700 (vermenigvuldigingen tot 100 000 waarbij één van de factoren kleiner dan 10 is). Bij deze laatste bewerking werden twee oplossingswijzen behandeld: oplossen naar analogie van bewerkingen tot 100 of oplossen door het vermenigvuldigtal te splitsen.

10. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van een pijlenschema. Ook het vermenigvuldigen met duizend wordt voorgesteld met een pijlenschema. 100 x

10 x

1000 x

10 x

In het vijfde blok werden ook vermenigvuldigingen van grote getallen met een getal kleiner dan 100 behandeld. Ook hier pasten de leerlingen de oplossingsstrategie die zij het handigst vinden toe. De bewerking 20 x 3000 kan bijvoorbeeld opgelost worden als volgt: 2 x 10 x 3000 of 2 x 3 x 10 000 of 2 x 3000 x 10, … Bewerkingen van de vorm 12 x 6500 losten de leerlingen op door het vermenigvuldigtal of de vermenigvuldiger te splitsen. De leerkracht besprak steeds de verschillende oplossingswijzen.

Vijfde leerjaar In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhalen we vermenigvuldigingen tot 100 000. We behandelen eerst vermenigvuldigingen van de vorm E x natuurlijk getal. Aan de hand van enkele bewerkingen herhaal je de algemene strategie (splitsen). De leerlingen tekenen de splitsbeentjes en verwoorden wat ze berekenen.

10 x

Ten slotte herhalen we in het eerste blok van het vijfde leerjaar ook vermenigvuldigingen van de vorm TE x natuurlijk getal. De leerlingen splitsen hierbij de eerste factor. 23 x 1200 = 24 000 + 3600 = 27 600 20

Je stelt samen met de leerlingen nog eens vast dat bij het oplossen van vermenigvuldigingen de bewerking eenvoudiger kan zijn als de wisseleigenschap gebruikt wordt: 680 x 5 oplossen als 5 x 680. In het derde blok van het vijfde leerjaar onderzoeken de leerlingen de invloed van haakjes bij vermenigvuldigingen. Tijdens een klasgesprek stel je samen vast dat de haakjes bij vermenigvuldigingen geen invloed hebben. In deze les bespreek je ook de volgorde van de bewerkingen. De leerlingen maken verschillende bewerkingen en op basis van hun bevindingen stel je vast dat als er verschillende bewerkingen voorkomen, je eerst vermenigvuldigt en/of deelt en daarna optelt en/of aftrekt.

8 x 560 = 4000 + 480 = 4480 500 60

Bij de bewerking 8 x 560 bijvoorbeeld verwoorden de leerlingen dat ze de som maken van de tussenproducten van 8 x 500 en 8 x 60. In dit blok herhalen we ook vermenigvuldigingen met tien en met een zuiver tiental. Verwijs bij bewerkingen als 30 x 50 naar het verband 30 x 50 = 3 x 10 x 50 = 3 x 500 = 1500. Je kunt hierbij eventueel verwijzen naar de postzegelvellen (zie Beginsituatie).

In het vijfde leerjaar breiden we het getalbereik uit tot 10 miljoen. Leerlingen maken ook vermenigvuldigingen met deze grote getallen. Benadruk dat de werkwijze hetzelfde blijft en dat de leerlingen ook hier de oplossingswijze mogen kiezen die zij het handigst vinden. De bewerking 200 x 7000 kunnen de leerlingen op verschillende manieren oplossen: 200 x 7000 = 2 x 100 x 7000 = 2 x 700 000 = 1 400 000 : 100

200 x 7000 = 2 x 700 000 = 1 400 000

Je behandelt hier ook het vermenigvuldigen met honderd. Benadruk dat vermenigvuldigen met 100 hetzelfde is als twee keer vermenigvuldigen met

100 x

200 x 7000 = 100 x 14 000 = 1 400 000 2x

Gebruikswijzer

Je illustreert steeds de verschillende werkwijzen aan bord. Door de leerlingen geregeld in contact te brengen met verschillende oplossingswijzen ontwikkelen ze een soepel bruikbaar inzicht in bewerkingen.

350 x 20 :5

= 7000 5x

x 100

= 7000

In deze les behandelen we ook voorbeelden waarin het product verandert. De leerlingen stellen na het maken van enkele vermenigvuldigingen vast dat als één van de factoren met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het product evenredig verandert. 25

100

16 = 400 4x

16 = 1600

De leerlingen tekenen tijdens de eerste basislessen over operaties op factoren ook de pijlen. Op deze manier staan ze bewust stil bij de veranderingen bij de factoren en het product van de vermenigvuldigingen.

x 4000 x 1000

x 2000

x 20 000

Door het maken van deze en soortgelijke oefeningen met zinvol gekozen getallen stellen de leerlingen vast dat een vermenigvuldiging eenvoudiger gemaakt kan worden door operaties op factoren uit te voeren. Het is belangrijk om, zodra het getalinzicht en het inzicht in bewerkingen opgebouwd is, voldoende aandacht te schenken aan het oefenen van de bewerkingen. De vermenigvuldigingen worden dan ook voortdurend geoefend aan de hand van zeer verscheiden oefenvormen: vrij formele oefeningen, vraagstukken, rekenspellen, ... Deze oefeningen zijn terug te vinden in de kopieermap, in Oefen! en in de zWISo-box. • Getallen vermenigvuldigen met en delen door veelvouden van 10, 100 of 1000.

• Vermenigvuldigingen en delingen oplossen door de standaardprocedure toe te passen of door een doelmatige oplossingsmethode te kiezen op basis van de aard van de getallen en de eigenschappen van de bewerkingen. • Operaties op factoren bij delingen en vermenigvuldigingen toepassen.

les 13 • loperkaart 1

Op het Internet kun je tickets kopen voor verschillende muziekfestivals. Welk festival brengt het meest op door ticketverkoop? Vul de tabel in. Kruis aan. Prijs per ticket (in euro)

Aantal verkochte tickets

Opbrengst ticketverkoop (in euro)



12 000

_________ x ___________ = _____________________

 Dansfestival

101

23 000

_________ x ___________ = _____________________

 Rockfestival

200

14 000

_________ x ___________ = _____________________

 Folklorefestival

52 000

_________ x ___________ = _____________________

Bereken. Kleur het juiste quotiënt.

900 000 : 9000 = _________________________

10 000

1000

100

720 000 : 6 = ____________________________

1 200 000

12 000

120 000

9,5

0,905

9,05

5,26

52,6

2,63

480 000

240 000

48 000

6,05

6,5

45,25 : 5 = ______________________________ 526 : 100 = ______________________________ 2 400 000 : 50 = _________________________

32,5 : 5 = ________________________________

De Zweedse winkelketen Ikea is bekend voor zijn meubels. Je kunt er ook lekkere hotdogs voor 0,65 euro per stuk kopen. Als er 400 hotdogs worden verkocht, bedraagt de ontvangst dan meer of minder dan 250 euro? Hoeveel meer of hoeveel minder?

___________________________________________________________________________ Antwoord: ________________________________________________________________

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 5, zWISo-box

Blok 5

In blok twee herhalen we operaties op factoren bij vermenigvuldigen. Zoals reeds in het hoofdstuk materialen werd beschreven, maken we in zWISo vaak gebruik van Doe!-bladen. Dat zijn bladen in een scheurblok die de leerlingen tijdens de leeractiviteit invullen. Op deze manier kunnen de leerlingen door zelf actief aan de slag te gaan tijdens de instructiefase tot bepaalde vaststellingen komen. Door bepaalde verbanden zelf al handelend te ervaren bouwen ze een goed verankerd inzicht in bewerkingen op. De leerlingen maken een aantal bewerkingen op een Doe!-blad en stellen aan de hand daarvan nog eens vast dat het product van een vermenigvuldiging gelijk blijft als een van de factoren vermenigvuldigd wordt met en de andere gedeeld wordt door hetzelfde getal. Je stelt de verbanden tussen de factoren voor met pijlen.

25 100

les 13 • loperkaart 1

Let op! We beperken ons bij hoofdrekenen bewust tot ronde getallen. Het uit het hoofd uitvoeren van bewerkingen met getallen tot op de eenheid is immers weinig zinvol. In het dagelijkse leven zullen we zulke bewerkingen oplossen door te cijferen of met de zakrekenmachine. Dat zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook de nodige aandacht aan schenken. De oefeningen die aan bod komen in de werkboeken (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, ook de zwakkere rekenaars. Met het oog op het functioneren in de maatschappij is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen.

De leerlingen krijgen ook de opdracht om bij de bewerking 25 x 4000 enkele vermenigvuldigingen met hetzelfde quotiënt te noteren.

Leerlingen die meer uitdaging nodig hebben kunnen aan de slag met de verdiepingsmap.

Kommagetallen Beginsituatie In blok vijf van het vierde leerjaar, het blok na de introductie van de kommagetallen, werden voor het eerst vermenigvuldigingen van een kommagetal met een natuurlijk getal kleiner dan 10 behandeld. Om deze bewerkingen inzichtelijk op te bouwen werd er uitgegaan van een betekenisvolle situatie. De bewerking 4 x 0,2 bijvoorbeeld legden de leerlingen met de KomMatz-kaarten (vier keer twee t-kaartjes) en stelden ze voor op de getallenlijn (vier sprongen van twee tiende).Tijdens het leggen met de kaartjes en het tekenen op de getallenlijn verwoordden de leerlingen dit als 2t, 4t, 6t en 8t. Bij het oplossen van een bewerking als 7 x 0,2 stelden de leerlingen vast dat het product meer dan 1 geheel is. Bij het leggen met de KomMatz-kaarten wisselden de leerlingen tien t-kaartjes om voor één rood schijfje en verwoordden ze dit als zeven keer twee tiende is veertien tiende, is een geheel en vier tienden. Bij het oplossen van vermenigvuldigingen splitsten de leerlingen, net zoals bij het vermenigvuldigen van natuurlijke getallen, de getallen volgens hun eigen

Inleiding Aanpak

getalinzicht. Er werd ook steeds besproken welke splitsing de leerlingen het handigst vonden.

Je illustreert dit aan de hand van een pijlenschema:

100 x

Bij de bewerking 2 x 2,65 bijvoorbeeld kunnen de leerlingen 2,65 splitsen in 2 en 0,65 of in 2, 0,6 en 0,05. Na het oplossen van enkele vermenigvuldigingen van kommagetallen met 10 werd vastgesteld dat we hier geen nul toevoegen zoals bij natuurlijke getallen, maar dat de komma één plaats naar rechts wordt verschoven. Belangrijk om hierbij op te merken is dat dit een beredeneerd besluit is. Het is niet de bedoeling dat het verplaatsen van de komma een trucje is, de leerlingen moeten inzien waarom ze het doen (het getal wordt bij het vermenigvuldigen met 10 tien keer zo groot). Bij het vermenigvuldigen met 100 stelden de leerlingen vast dat je 100 x kunt berekenen door twee keer te vermenigvuldigen met tien. Dit wordt ook voorgesteld aan de hand van een pijlenschema.

10 x

In blok twee van het vijfde leerjaar vermenigvuldigen de leerlingen ook kommagetallen met een natuurlijk getal kleiner dan 100. Leerlingen splitsen de vermenigvuldiger volgens hun getalinzicht. De bewerking 42 x 1,2 bijvoorbeeld kan als volgt opgelost worden:

42 x 1,2 = 40 x 1,2 + 2 x 1,2 = 48 + 2,4 = 50,4 40

Vijfde leerjaar

Bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met een zuiver tiental of zuiver honderdtal behandel je zeker de oplossingswijze waarin de factor 10 of 100 wordt afgezonderd. Bijvoorbeeld: 20 x 1,2 = 2 x 10 x 1,2 = 2 x 12 = 24 300 x 0,45 = 3 x 100 x 0,45 = 3 x 45 = 135

In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhalen we vermenigvuldigingen van kommagetallen met een getal kleiner dan tien. Hier schenk je, net als in het vierde leerjaar, veel aandacht aan het verwoorden van de oplossingswijze en aan het tekenen van splitsbeentjes.

In blok twee behandel je ten slotte ook nog het vermenigvuldigen van een kommagetal met 1000. De leerlingen kiezen welke oplossingswijze ze toepassen (10 x, 10 x en 10 x of 100 x en 10 x of 10 x en 100 x). Je stelt dit eventueel voor aan de hand van een pijlenschema.

100 x

0,24

2,4 10 x

10 x

8 x 0,03 = 8 x 3h = 24h = 0,24 6 x 0,10 = 6 x 1t = 6t = 0,6

1000 x

7 x 0,20 = 7 x 2t = 14t = 1,4 (10t = 1) 3 x 2,30= 3 x 2 + 3 x 3t = 6 + 0,9 = 6,9 2

0,30

2 x 2,65 = 2 x 2 + 2 x 65h = 4 + 130h = 4 + 1,30 = 5,30 2

0,65

In diezelfde les herhalen we ook vermenigvuldigingen van kommagetallen met 10 en met 100. Hierbij herhaal je dat bij het vermenigvuldigen met 10 of 100 het getal tien- of honderdmaal groter wordt. Dat betekent dat de komma bij vermenigvuldigen met 10 of 100 één of twee plaatsen naar rechts opschuift. Schenk aandacht aan het toevoegen van de nul (bijvoorbeeld bij een bewerking als 100 x 2,3). Zoals hierboven reeds werd beschreven is het belangrijk dat dit vermenigvuldigen met 10 en met 100 inzichtelijk wordt opgebouwd. De verwoording van de bewerking (zie hierboven) is daarbij essentieel. Bij het vermenigvuldigen met 100 benadruk je ook dat dit hetzelfde is als twee keer vermenigvuldigen met 10.

10 x

Ook bij het vermenigvuldigen van kommagetallen schenken we aandacht aan de wisseleigenschap. De bewerking 0,2 x 3 bijvoorbeeld wordt eenvoudiger als je de twee factoren van plaats wisselt. Je stimuleert de leerlingen om steeds goed naar de getallen te kijken en een oplossingswijze te kiezen die het best aansluit bij de aard van de getallen en bij hun getalinzicht. De leerlingen lossen ook vermenigvuldigingen van een kommagetal met een natuurlijk getal op door operaties op factoren uit te voeren. Bij het oplossen van bijvoorbeeld de bewerking 200 x 0,85 schenk je zeker aandacht aan de volgende oplossingswijze:

Gebruikswijzer

: 100

200 x 0,85 = 2 x 85 = 170 100 x

We vinden het belangrijk dat leerlingen leren kijken naar getallen en verschillende oplossingswijzen ter beschikking hebben. We streven naar een soepel bruikbaar inzicht in bewerkingen, zodat leerlingen voor elke bewerking kunnen afwegen welke oplossingswijze zij het handigst vinden en die dan ook kunnen toepassen. Het uitvoeren van operaties vormt een belangrijke vaardigheid bij het vermenigvuldigen van twee kommagetallen, wat in blok vijf voor het eerst aan bod komt. De leerlingen lossen dit immers op door van één van de kommagetallen een natuurlijk getal te maken. Aangezien we in het vierde en het vijfde leerjaar al veel aandacht schonken aan het uitvoeren van operaties op factoren vormt dit bij het vermenigvuldigen van twee kommagetallen geen obstakel meer en passen de leerlingen daarna de standaardprocedure voor vermenigvuldigen toe. 10 x

: 10

0,6 x 0,9 = 6 x 0,09 = 0,54

0,6 x 0,9 = 0,06 x 9 = 0,54 10 x

: 10

In blok zeven schenken we aandacht aan het vermenigvuldigen met 0,1 en 0,01. De leerlingen delen een aantal getallen door 10 en door 100 en vermenigvuldigen deze getallen ook met 0,1 en 0,01.

oplossingswijzen uit te werken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan blijven werken. Wijs de leerlingen er daarom bij elke bewerking op dat ze naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen. In het vierde leerjaar berekenden de leerlingen het product van de vermenigvuldiging 99 x 13 als volgt: 99 x 13 = 100 x 13 - 1 x 13 = 1300 - 13 = 1287. Behalve aan bovenstaande vorm van handig rekenen, namelijk het compenseren, schonken we ook aandacht aan het handig samennemen van factoren. De bewerking 46 x 2 x 5 bijvoorbeeld losten de leerlingen op door eerst 2 en 5 te vermenigvuldigen. Er werd ook aandacht geschonken aan het toepassen van de wisseleigenschap en het uitvoeren van operaties op factoren om vermenigvuldigingen eenvoudiger te maken (zie Hoofdrekenen – Natuurlijke getallen en Kommagetallen). De leerlingen stelden ook vast dat je handig kunt vermenigvuldigen met vijf door eerst te vermenigvuldigen met tien en dan het resultaat te delen door twee. Dit werd voorgesteld aan de hand van een pijlenschema: 5x 5 x 6,24 = 31,2

6,24

31,2 10 x

0,1 x

0,01 x

: 10

62,4

: 100

160

Handig vermenigvuldigen met vijftig werd analoog uitgewerkt.

45 32,6 20 000 4 miljoen 2,4

Tijdens een klassikale bespreking stel je vast dat vermenigvuldigen met 0,1 hetzelfde is als delen door 10 en dat vermenigvuldigen met 0,01 hetzelfde is als delen door 100. Net zoals bij het vermenigvuldigen met natuurlijke getallen geldt dat vermenigvuldigingen met kommagetallen, zodra ze inzichtelijk zijn opgebouwd, geregeld worden geoefend.

Handig rekenen Net als bij optellen en aftrekken schenken we ook bij vermenigvuldigen aandacht aan handig rekenen. Dat draagt immers bij tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen te kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige

De leerlijn handig rekenen wordt in het vijfde leerjaar verder uitgebreid. We werken met getallen tot 10 miljoen en blijven aandacht schenken aan de diverse handige rekenstrategieën die vanaf het tweede leerjaar werden opgebouwd. In blok drie behandelen we ook het handig vermenigvuldigen met 25. Na het maken van een aantal oefeningen stellen de leerlingen vast dat je 25 x ook kunt berekenen door eerst te vermenigvuldigen met 100 en dan te delen door 4. Ook dit werd voorgesteld in een pijlenschema (zie verder). Enkele lessen zijn expliciet gewijd aan handig rekenen. Daarnaast is het ook belangrijk om de leerlingen tijdens alle lessen in verband met bewerkingen te laten kijken naar de getallen en de aard van de bewerking.

Inleiding Aanpak

De bewerking 3 x 165 werd dus als volgt geschat: Enkele voorbeelden:

3 x 165 à 3 x 200 = 600 Het product zal minder zijn dan 600.

4 x 7 x 2,5 = 10 x 7 = 70 29 x 800 = 30 x 800 - 1 x 800 = 24 000 - 800 = 23 200 5x 5 x 63 = 315

315 10 x

630

50 x 50 x 60,4 = 3020 60,4

3020 100 x

6040

Mogelijke schattingen van de vermenigvuldiging 23 x 205 zijn:

25 x 25 x 3,6 = 90

23 x 205 à 20 x 200 = 4000

3,6

90 100 x

360

• Schatten De algemene visie op schatten wordt uitgebreid beschreven bij Bewerkingen – Optellen en aftrekken – Schatten (zie pagina 75).

Beginsituatie In het derde leerjaar pasten de leerlingen een vaste schatprocedure toe. Ze rondden het vermenigvuldigtal af naar het dichtstbijgelegen ronde getal (één beduidend cijfer). Vervolgens berekenden ze het product van dit getal en de vermenigvuldiger. Ten slotte bepaalden de leerlingen of het product meer of minder zal zijn dan de schatting.

In het vierde leerjaar werd de schatprocedure verder uitgebreid. Net als bij het schatten van optellingen en aftrekkingen gaan we vanaf het vierde leerjaar ook soepeler om met het schatten van vermenigvuldigingen. Aangezien de getallen steeds complexer worden en de niveauverschillen tussen de leerlingen toenemen, is het ook bij het schatten van vermenigvuldigingen nodig om aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Leerlingen schatten in het vierde leerjaar dus volgens hun eigen getalinzicht.

of 23 x 205 à 23 x 200 = 4600 De verschillende schattingen van de leerlingen werden telkens klassikaal besproken.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we de leerlijn schatten verder uit. Leerlingen schatten ook bij vermenigvuldigingen tot 10 miljoen volgens hun eigen getalinzicht. De vermenigvuldiging 124 x 24,95 bijvoorbeeld kan als volgt geschat worden: 124 x 24,95 à 100 x 25 = 2500 of 124 x 24,95 à 100 x 20 = 2000 Belangrijk om als leerkracht te weten is dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Ronden de leerlingen de getallen bijvoorbeeld altijd af tot een getal met één beduidend cijfer en komen ze op deze manier ook tot een zinvolle schatting? Ook goed! Zoals hierboven reeds beschreven werd, is het belangrijk om de verschillende schattingen van de leerlingen te bespreken en de leerlingen er attent op te maken welke informatie ze door het maken van een schatting verkrijgen. Schenk zeker aandacht aan de orde van grootte van het resultaat (bijvoorbeeld het product van 124 en 24,95 zal een viercijferig getal zijn). Dit is immers erg belangrijke informatie voor het zetten van de komma bij het cijferend vermenigvuldigen (zie verder).

Gebruikswijzer

Cijferen Beginsituatie Om het cijferen inzichtelijk op te bouwen legden de leerlingen de bewerkingen in het derde leerjaar met schijven uit getallendoos 3. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De bewerking werd tegelijkertijd in een schrijfschema geschreven. Daarbij werd er veel aandacht geschonken aan de verwoording van het cijferalgoritme. Als leerlingen voldoende inzicht hadden ontwikkeld in het cijferen, werd het leggen achterwege gelaten. Voor de leerlingen een bewerking cijferend uitrekenden, maakten ze geregeld een schatting. De schatting vormt een goed controlemiddel voor de uitkomst na het cijferen. In het vierde leerjaar werd er in de basislessen geen expliciete aandacht geschonken aan het leggen van de cijferoefeningen met getallendoos 3. In de regel noteerden de leerlingen cijferoefeningen alleen in een schrijfschema. Leerlingen die echt problemen hadden met cijferen legden eventueel wel nog eens een oefening met de schijven. Algemeen geldt dat leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces en dat je bij problemen steeds mag terugkeren naar instructie aan de hand van concreet materiaal. Een beschrijving van hoe het cijferend vermenigvuldigen werd aangebracht in het derde leerjaar vind je in Gebruikswijzer 3.

In het derde en het vierde blok werd het cijferalgoritme uitgebreid tot vermenigvuldigingen met getallen tot 100 000. Vanaf het vierde blok werd het schrijfschema achterwege gelaten en noteerden de leerlingen de cijferoefeningen op een ruitjespatroon. Bij het cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen (blok 5) werd benadrukt dat het cijferalgoritme hetzelfde is als bij vermenigvuldigingen met natuurlijke getallen. Bij deze vermenigvuldigingen werd veel aandacht geschonken aan de schatting. De schatting geeft leerlingen immers een idee van de orde van grootte van het resultaat. Aan de hand van de schatting zetten de leerlingen dan de komma in het berekende product. Aanvankelijk noteerden de leerlingen deze cijferoefeningen nog in een schrijfschema, maar ook hier werd er snel overgestapt naar het noteren op een ruitjespatroon.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we het cijferalgoritme voor vermenigvuldigen uit tot getallen tot 10 miljoen. De verwoording van het cijferalgoritme blijft hetzelfde als in het derde en het vierde leerjaar. De verwoording van de bewerking 9 x 2273 gaat als volgt: 2

In het vierde leerjaar werd het cijferalgoritme verder uitgebreid. Er werd, net als in het derde leerjaar, steeds veel aandacht geschonken aan het verwoorden van het cijferalgoritme. Cijferoefeningen werden vaak gepresenteerd in contextsituaties, om de praktische bruikbaarheid van cijferen te benadrukken.

1. Schrijf de twee factoren en het maalteken.

2. Begin bij de E.

3. Vermenigvuldig de E (9 x 3).

In blok 2 van het vierde leerjaar maakten de leerlingen ook oefeningen van de vorm TE x HTE. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 14 x 156 wees de leerkracht erop dat deze bewerking ook in één cijferoefening kan worden opgelost. Om het cijferalgoritme inzichtelijk uit te breiden maakten de leerlingen eerst de bewerking al hoofdrekenend door 14 te splitsen in 10 en 4. Aan de hand van deze activiteit werd vastgesteld dat je 14 x 156 cijferend kunt oplossen door 156 eerst 156 te vermenigvuldigen met 14 x 4 en dan met 10 en vervolgens de 624 twee tussenproducten op te tellen. Bij 1560 het vermenigvuldigen met het tiental + 2184 werd er aandacht geschonken aan het noteren van een nul bij de eenheden.

4. Schrijf 7 onder de lijn bij de E. Schrijf 2 rechts van het schema. 5. Vermenigvuldig de T (9 x 7) en vergeet de 2 naast het schema er niet bij te tellen. Schrap de 2.

3 9

6. Schrijf 5 onder de lijn bij de T. Schrijf 6 rechts van het schema. 7. Werk op dezelfde manier verder voor H en D.

3 9

8. Het product is 20 457.

Inleiding Aanpak

In het eerste blok herhalen we ook vermenigvuldigingen van de vorm TE x HTE. In het tweede blok van het vijfde leerjaar behandelen we ook vermenigvuldigingen met een driecijferig getal. Naar analogie van het vermenigvuldigen met een tweecijferig getal wijs je op het verband met hoofdrekenen door de vermenigvuldiger te splitsen. Daarna wordt het cijferalgoritme uitgewerkt zoals bij vermenigvuldigingen met een getal kleiner dan 100. 274 x 1427 = 200 x 1427 + 70 x 1427 + 4 x 1427 200 7 4

1 4 2 7 x

5 9 9 2 8 5 + 3 9 0

7 8 4 9

0 9 0 9

8 0 0 8

211 412 1

Bij het cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen benadruk je dat het cijferalgoritme ongewijzigd blijft. De leerlingen zetten de komma na het cijferend vermenigvuldigen door het resultaat te vergelijken met de schatting. De vermenigvuldiging 124 x 24,95 wordt bijvoorbeeld geschat als 124 x 24,95 Ă 100 x 25 = 2500. Deze schatting geeft de leerlingen de informatie dat het resultaat van de vermenigvuldiging een viercijferig getal zal zijn. Na het uitvoeren van de cijferoefening zetten de leerlingen dan de komma in het resultaat:

5 0

De leerlingen krijgen geregeld de opdracht om het product te controleren met de zakrekenmachine. Hou er bij het controleren van cijferoefeningen met de zakrekenmachine rekening mee dat sommige zakrekenmachines het kommagetal afronden, terwijl andere gaan afkappen. Schenk hier indien nodig aandacht aan bij de bespreking van de cijferoefening. In blok 7 controleren de leerlingen vermenigvuldigingen ook aan de hand van de negenproef. We vinden het belangrijk om leerlingen hier toch kritisch mee te leren omgaan. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld in het werkboek de opdracht om een negenproef te maken bij een vermenigvuldiging waarin de komma in het product op de verkeerde plaats staat. Tijdens een klassikaal reflectiemoment

stel je vast dat de negenproef toch klopt, maar dat het product fout was. Hierbij benadruk je nog eens de meerwaarde van het maken van een schatting. Dat de komma op de verkeerde plaats stond zou immers opgemerkt zijn als er eerst een schatting was gemaakt. We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij de oefening in kwestie en bij hun getalinzicht. In het vijfde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is bij sommige oefeningen dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of een bewerking uit het hoofd dan wel cijferend moet worden uitgerekend. Let op! Van bepaalde oefeningen die deel uitmaken van het basistraject blijven we verwachten dat ze uit het hoofd uitgerekend worden. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen kunnen rekenen met ronde getallen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor hun latere functioneren in de samenleving.

Delen â&#x20AC;˘ Hoofdrekenen Natuurlijke getallen Beginsituatie In het eerste blok van het vierde leerjaar werden opgaande delingen buiten de tafels waarbij het deeltal maximaal 100 is herhaald. De bewerking 52 : 4 bijvoorbeeld losten de leerlingen op door 52 te splitsen in 40 en 12. De leerlingen noteerden bij het maken van delingen steeds de tussenstappen die zij nodig hebben. Ze werden wel gestimuleerd om bijvoorbeeld bij de bewerking 52 : 4 splitsbeentjes onder 52 te tekenen in plaats van de tussenstap 52 : 4 = 40 : 4 + 12 : 4 te noteren. Ook bij het maken van delingen geldt dat leerlingen een oplossingswijze toepassen die aansluit bij hun getalinzicht en inzicht in de eigenschappen van bewerkingen. Bij de bewerking 78 : 3 bijvoorbeeld kan het deeltal gesplitst worden in 60 en 18 of in 30, 30 en 18. De manier waarop leerlingen splitsen geeft veel zinvolle informatie over hun getalinzicht en inzicht in bewerkingen. Het maken van opgaande delingen tot 100 000 werd op dezelfde manier uitgewerkt: de leerlingen keken naar de getallen en splitsten het deeltal volgens

Gebruikswijzer

eigen getalinzicht. Bij het maken van delingen waarbij de honderdtallen van het deeltal kleiner zijn dan de deler stelden de leerlingen vast dat je dan kijkt naar de eerste twee cijfers van het deeltal, bijvoorbeeld 168 : 4 splitsen in 160 en 8. In het tweede blok van het vierde leerjaar maakten de leerlingen een reeks delingen en stelden ze aan de hand daarvan vast dat als het deeltal 10 of 100 keer groter wordt, het quotiënt ook 10 of 100 keer groter wordt (bijvoorbeeld bij het vergelijken van de delingen 24 : 8 en 240 : 8). De leerlingen stelden ook vast dat er bij het delen door 10 of door 100 telkens een of twee nullen minder zijn in het quotiënt dan in het deeltal. Bij delingen als 42 000 : 3 werden verschillende oplossingswijzen aangereikt: - oplossen naar analogie van de tafels; - 42 000 splitsen

Algemeen geldt dat leerlingen bij het oplossen van delingen steeds de volgende stappen doorlopen: - Ik kijk naar de deler. - Ik kijk naar het deeltal. Herken ik een product uit de tafels? Ja: dan voer ik de deling uit. Neen: dan moet ik splitsen. In het vijfde blok ervoeren de leerlingen door het oplossen van enkele duo’s als 360 : 8 en 90 : 2 dat het quotiënt gelijk blijft als beide factoren met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden.

De leerlingen stelden deze verbanden tussen de factoren voor aan de hand van pijlen. Bij het uitvoeren van dergelijke operaties op factoren vroeg de leerkracht geregeld welke oefening de leerlingen het makkelijkst vonden. Op deze manier werden de leerlingen zich ervan bewust dat ze door het uitvoeren van operaties op factoren oefeningen eenvoudiger kunnen maken. De leerlingen werden gestimuleerd om steeds te kijken naar de getallen en om de oefening indien mogelijk te vereenvoudigen. In blok één van het vierde leerjaar werden ook de niet-opgaande delingen tot 100 binnen het tafelbereik herhaald. Er werd steeds uitgegaan van een concrete situatie, zodat de leerlingen bij het oplossen van de deling steeds konden terugkeren naar een concreter niveau, namelijk het maken van groepjes. De leerkracht gaf bijvoorbeeld de volgende situatie aan: ‘Ik verpak twintig appels per zes. Hoeveel pakjes kan ik volledig vullen?’. De leerlingen vroegen zich bij deze situatie af hoeveel groepjes van 6 er in 20 gaan. Dit verdelen in groepjes van … is de manier waarop de leerlingen de deeltafels geleerd hebben in het tweede leerjaar. Voor meer uitleg over de verhoudingsdeling, zie Gebruikswijzer 2. De leerlingen losten de deling 20 : 6 op door een getal te zoeken dat kleiner is dan het deeltal en dat deelbaar is door de deler. Dit werd in de verf gezet door een vergrootglas rond de deler te tekenen. De leerlingen splitsten het getal en deelden het afgezonderde tafelproduct door de deler (bijvoorbeeld 20 splitsen in 18 en 2 en de deling 18 : 6 uitvoeren). Wat er overbleef benoemden de leerlingen als rest. De bewerking werd ook geïllustreerd door sprongen van zes te tekenen op de getallenlijn. Er werd vastgesteld dat er dan nog 2 overblijft. Na het maken van enkele niet-opgaande delingen stelden de leerlingen vast dat de rest steeds kleiner is dan de deler. In blok vijf behandelde de leerkracht ook nietopgaande delingen buiten het tafelbereik. De bewerking 73 : 5 bijvoorbeeld losten de leerlingen op door eerst 73 te splitsen in 50 en 23 en vervolgens door 23 te splitsen in 20 en 3.

Bij het oplossen van vraagstukken met niet-opgaande delingen kregen leerlingen soms de opdracht om, afhankelijk van de context, het quotiënt zinvol af te ronden. Door bijvoorbeeld af te wegen of het quotiënt naar boven of naar beneden moet worden afgerond leren de leerlingen bewust na te denken over het wiskundige probleem. Dit is een attitude waar we de hele methode lang aan blijven werken.

Inleiding Aanpak

- een natuurlijk getal delen door 10 en 100 waarbij het resultaat een kommagetal is;

Vijfde leerjaar In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhalen we opgaande delingen waarbij de deler kleiner is dan 10. De leerlingen krijgen verschillende situaties waar ze de bewerking uit moeten distilleren. In het eerste blok werken we bijvoorbeeld rondom het verdelen van bedragen over verschillende projecten. De leerlingen krijgen de volgende delingen: 56 000 : 8, 72 000 : 4 en 37 500 : 5. Bij de bespreking van deze bewerkingen benadruk je dat de leerlingen steeds naar de deler moeten kijken en met het oog hierop eventueel het deeltal moeten splitsen. Je illustreert dit door een vergrootglas rond de deler te tekenen. Bovenstaande bewerkingen worden als volgt uitgewerkt: 56 000

= 7000

72 000

= 10 000 + 8000 = 18 000

= 7000

+ 500

= 7500

35 000 2500

Ook bij het maken van delingen geldt dat leerlingen een oplossingswijze toepassen die aansluit bij hun getalinzicht en inzicht in de eigenschappen van bewerkingen. De leerlingen mogen dus kiezen hoe ze het deeltal splitsen. Schenk zeker aandacht aan de verschillende splitsingen van de leerlingen tijdens de klassikale bespreking. De manier waarop leerlingen splitsen geeft je veel zinvolle informatie over hun getalinzicht en inzicht in bewerkingen. In het eerste blok herhalen we ook het delen van een natuurlijk getal door 10 en door 100. Belangrijk om op te merken is dat we het delen door 10 en door 100 beredeneerd aanpakken. Er volgt dan ook een klasgesprek na het maken van enkele delingen door 10 en door 100 waarin de leerlingen hun vaststellingen delen met de klas. We vinden het belangrijk dat leerlingen weten wat er gebeurt bij het delen door 10 en door 100 en niet gewoon een trucje toepassen. In blok 3 behandelen we systematisch verschillende types met betrekking tot delen door 10 en 100: - een natuurlijk getal delen door 10 en 100 waarbij het resultaat een natuurlijk getal is (herhaling blok 1); bijvoorbeeld 3750 : 10 = 375 en 66 400 : 100 = 664

: 100

175 : 100

175

1,75 : 10

17,5 : 10

- een kommagetal delen door 10 en 100. bijvoorbeeld 0,7 : 10 = 70h : 10 = 7h = 0,07

5,4 : 10 = 0,5 + 0,04 = 0,54 5

0,4 : 100

62,5 : 100

62,5

0,625 : 10

40 000 32 000 37 500

bijvoorbeeld 6 : 10 = 60t : 10 = 6t = 0,6

6,25 : 10

Je schenkt bij het oplossen van deze delingen steeds aandacht aan het verwoorden en eventueel aan het splitsen van het deeltal. Bij het delen door 100 steunen we op de vaststelling dat delen door 100 hetzelfde is als twee keer delen door 10. Na het maken van verscheidene oefeningen van de verschillende types verwoorden de leerlingen hun vaststellingen. Op deze manier denken ze bewust na over wat er gebeurt bij het delen door 10 en door 100 en ontwikkelen ze dus een goed verankerd inzicht in bewerkingen. In blok vier behandel je ook het delen door 1000. Ook hier verwoorden de leerlingen hun vaststellingen op hun niveau. Het delen door 1000 stel je ook voor aan de hand van een pijlenschema. Je bespreekt hier de verschillende oplossingswijzen. De deling 1250 : 1000 wordt bijvoorbeeld als volgt voorgesteld: : 1000

: 1000

1250

1,25 : 10

125

: 10

12,5

: 10

1250

1,25 : 10

125

: 100

: 1000

1250

1,25 : 100

12,5

: 10

In het tweede blok van het vijfde leerjaar herhalen we operaties op factoren bij delen. De leerlingen maken een aantal bewerkingen op een Doe!-blad en stellen aan de hand daarvan nog eens vast dat het quotiĂŤnt gelijk blijft 900 000 : 900 = 1000 als deeltal en deler met hetzelfde getal : 100 : 100 vermenigvuldigd of door hetzelfde getal 9000 : 9 = 1000 gedeeld worden. Je stelt de verbanden tussen de factoren voor met pijlen.

Gebruikswijzer

In deze les behandelen we ook voorbeelden waarbij het quotiënt verandert. De leerlingen stellen na het maken van enkele delingen vast dat: - als de deler gelijk blijft en het deeltal met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het quotiënt evenredig verandert; - als het deeltal gelijk blijft en de deler met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het quotiënt omgekeerd evenredig verandert. Deze verbanden worden ook geïllustreerd met pijlen. Bijvoorbeeld: 4000 : 5 = 800 2x

4000 : 10 = 400 480

: 8 = 60

: 8 = 10

De leerlingen tekenen tijdens de eerste basislessen over operaties op factoren ook de pijlen. Op deze manier staan ze bewust stil bij de veranderingen in de factoren en het quotiënt van de delingen. De leerlingen mogen bovenstaande vaststellingen in eigen woorden omschrijven. Het is niet de bedoeling dat leerlingen deze eigenschappen als formele besluiten kunnen citeren, wel dat ze deze eigenschappen kunnen toepassen bij het oplossen van delingen. De leerlingen krijgen ook de opdracht om bij bijvoorbeeld de bewerking 20 000 : 500 enkele delingen te noteren met hetzelfde quotiënt.

20 000

500

2000

200

4000

100

1000

320

Door het maken van deze en soortgelijke oefeningen met zinvol gekozen getallen stellen de leerlingen vast dat een deling eenvoudiger gemaakt kan worden door operaties op factoren uit te voeren. Let op! We beperken ons bij hoofdrekenen bewust tot ronde getallen. Het uit het hoofd uitvoeren van bewerkingen met getallen tot op de eenheid is immers weinig zinvol. In het dagelijkse leven zullen we zulke bewerkingen oplossen door te cijferen of met de zakrekenmachine. Dat zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook voldoende aandacht aan schenken. De oefeningen die aan bod komen in de werkboeken (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, ook de zwakkere rekenaars. Met het oog op hun functioneren in de maatschappij is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen.

In het derde blok van het vijfde leerjaar onderzoeken de leerlingen de invloed van haakjes bij delingen. Tijdens een klasgesprek stel je samen vast dat de plaats van de haakjes bij delingen wel belangrijk is en dat ze dus niet zomaar weggelaten mogen worden. Je benadrukt dat je steeds eerst de bewerkingen tussen haakjes maakt. In deze les bespreek je ook de volgorde van de bewerkingen. De leerlingen maken verschillende bewerkingen en op basis van hun bevindingen stel je vast dat als er verschillende bewerkingen voorkomen, je eerst vermenigvuldigt en/of deelt en daarna optelt en/of aftrekt. Het is belangrijk om, zodra het getalinzicht en het inzicht in bewerkingen opgebouwd is, voldoende aandacht te schenken aan het oefenen van de bewerkingen. Hoofdrekenend delen wordt dan ook voortdurend geoefend aan de hand van zeer verscheiden oefenvormen: vrij formele oefeningen, vraagstukken, rekenspellen, ... Deze oefeningen zijn terug te vinden in de kopieermap, in Oefen! en in de zWISobox. Leerlingen die meer uitdaging nodig hebben kunnen aan de slag met de verdiepingsmap.

Kommagetallen Beginsituatie In het zesde blok van het vierde leerjaar behandelde de leerkracht voor het eerst eenvoudige delingen van een kommagetal door een natuurlijk getal. In het vierde leerjaar, waar de leerplannen slechts een aanzet tot het maken van delingen met kommagetallen voorschrijven, beperkten we ons tot delingen van een kommagetal door een natuurlijk getal kleiner dan of gelijk aan tien waarbij het kommagetal te herleiden is tot een tafelproduct. De leerlingen hoeven deze inhoud niet volledig te beheersen in het vierde leerjaar. Deze bewerkingen komen immers in het vijfde en het zesde leerjaar nog uitvoerig aan bod. De bewerking 0,8 : 4 bijvoorbeeld losten de leerlingen op door de deling te verwoorden als acht tiende gedeeld door vier is twee tiende. In de eerste fase stelden de leerlingen deze bewerking ook voor met de KomMatz-kaarten. Ze legden bijvoorbeeld acht t-kaartjes en verdeelden die in vier gelijke delen. Dit leggen met de kaartjes werd al vrij snel achterwege gelaten. Het oplossen van de delingen door het verwoorden is immers vaak minder complex dan het leggen met concreet materiaal.

Inleiding Aanpak

Bij het oplossen van delingen als 0,3 : 6 stelden de leerlingen vast dat ze 0,3 niet zomaar kunnen delen door 6. Ze lazen 0,3 als dertig honderdste en deelden dat vervolgens door 6 (0,3 : 6 = 30h : 6 = 5h = 0,05). Inzicht in de getalstructuur van kommagetallen is dus essentieel bij het oplossen van delingen met kommagetallen. In het vierde leerjaar werd er dan ook veel aandacht geschonken aan het verband tussen tienden, honderdsten en duizendsten (zie Getallen – Kommagetallen). In het vierde leerjaar werden ook delingen van een natuurlijk getal door een natuurlijk getal kleiner dan 10 waarbij het quotiënt kleiner is dan 1 behandeld. De werkwijze die de leerlingen toepasten is dezelfde als die bij het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal. De deling 4 : 5 bijvoorbeeld losten de leerlingen op door 4 te lezen als veertig tiende en vervolgens veertig tiende te delen door vijf (acht tiende, 0,8).

In blok zes gaan we dieper in op delingen met kommagetallen. Daar herhalen we systematisch de verschillende soorten delingen. De volgende soorten komen aan bod:

In het zesde blok kwamen ook delingen van de vorm 3,2 : 4 aan bod. De leerlingen losten dit op door 3,2 te lezen als 32 tiende en dat vervolgens te delen door 4. Indien nodig schreven de leerlingen het kommagetal in het positieschema. Dit ondersteunt immers het lezen van kommagetallen op verschillende manieren. In een volgende fase behandelde de leerkracht delingen van een kommagetal door een natuurlijk getal waarbij het kommagetal gesplitst moest worden in tafelproducten. De werkwijze is dezelfde als bij het delen van natuurlijke getallen. De leerlingen losten bijvoorbeeld de bewerking 0,42 : 3 op door het deeltal te splitsen in 0,30 en 0,12. Ze verwoordden dit als: Ik splits 42h in 30h en 12h. Het inzicht in kommagetallen en het beheersen van de tafels is hierbij essentieel.

Hierbij wordt er veel aandacht geschonken aan het verwoorden van de kommagetallen en het splitsten van het deeltal afhankelijk van de deler (zie Natuurlijke getallen en Kommagetallen – Beginsituatie).

De leerlingen deelden ook kommagetallen door tien. Belangrijk om op te merken is dat de leerlingen het delen door tien beredeneerd hebben opgelost. Er volgde dan ook een klasgesprek na het maken van enkele delingen door tien waarin de leerlingen hun vaststellingen verwoordden. Het is niet de bedoeling dat de leerlingen de komma zomaar een plaats naar links opschuiven. We vinden het belangrijk dat leerlingen weten wat er gebeurt bij het delen door tien en niet gewoon een trucje toepassen.

Je kunt de situatie ook verwoorden als ‘Ze heeft 30 dl frisdrank die ze verdeelt over bekers van 2 dl.’. Door het uitvoeren van herleidingen krijgen de leerlingen een deling die ze wel kunnen maken (30 : 2 = 15). Deze oplossingswijze kunnen de leerlingen echter niet altijd toepassen. Daarom is het belangrijk om ook de andere oplossingswijzen aan bod te laten komen.

Vijfde leerjaar In blok vijf herhalen we het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal. De leerlingen lossen dit, naar analogie van natuurlijke getallen, op door te kijken naar de deler en afhankelijk daarvan het deeltal te splitsen. 36,12 : 6 = 6 + 0,02 = 6,02 36

0,12

- Een kommagetal delen door een natuurlijk getal 0,8 : 2 = 8t : 2 = 4t = 0,4 2,4 : 6 = 24t : 6 = 4t = 0,4 13,6 : 4 = 3 + 0,4 = 3,4 ^ 12 1,6

- Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal, het quotiënt is een kommagetal 2 : 5 = 20t : 5 = 4t = 0,4

In een volgende fase delen de leerlingen een natuurlijk getal door een kommagetal. De leerlingen krijgen de volgende situatie voorgeschoteld: ‘Lena geeft een verjaardagsfeestje. Ze heeft drie liter frisdrank die ze verdeelt over bekers van 0,2 liter. Hoeveel bekers kan ze daarmee vullen?’. De bewerking die bij deze situatie hoort is 3 : 0,2. Je bespreekt verschillende oplossingswijzen: - Herleiden

- Tekenen op de getallenlijn Je kunt deze bewerking ook oplossen door de vraag ‘Hoeveel keer kan 0,2 in 3?’ te stellen. Deze verwoording sluit aan bij de manier waarop de deeltafels zijn aangeleerd in het tweede leerjaar. Voor meer uitleg over de verhoudingsdeling, zie Gebruikswijzer 2.

Gebruikswijzer

De leerlingen stellen deze deling voor door op een getallenlijn sprongen van 0,2 te tekenen en het aantal sprongen te tellen.

8100 : 50

: 50 81

8100 0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,2 gaat 15 keer in 3 dus 3 : 0,2 = 15

- Operaties op factoren De leerlingen lossen de deling op door operaties op factoren uit te voeren. Hierbij steunen ze op de eigenschap dat het quotiĂŤnt 3 : 0,2 = 15 gelijk blijft als deeltal en deler met 10 x 10 x hetzelfde getal vermenigvuldigd 30 : 2 = 15 worden. Na het maken van enkele soortgelijke delingen stel je samen met de leerlingen vast dat je delingen door een kommagetal eenvoudig kunt oplossen door de komma weg te werken uit de deler door operaties op factoren uit te voeren. Je benadrukt hierbij dat het deeltal telkens op evenredige wijze verandert.

Handig rekenen Net als bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen schenken we ook bij delen aandacht aan handig rekenen. Dat draagt immers bij tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen te kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige oplossingswijzen uit te werken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan blijven werken. Wijs de leerlingen er daarom bij elke bewerking op dat ze naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen. In het vierde leerjaar stelden de leerlingen vast dat je handig kunt delen door vijf door eerst te delen door tien en vervolgens het verkregen quotiĂŤnt te vermenigvuldigen met twee. De leerkracht illustreerde dit aan de hand van een pijlenschema.

162

: 100

8100 : 50 = 162

Er werd ook aandacht geschonken aan het toepassen van operaties op factoren om delingen eenvoudiger te maken (zie Hoofdrekenen). De leerlijn handig rekenen wordt in het vijfde leerjaar verder uitgebreid. We werken met getallen tot 10 miljoen en blijven aandacht schenken aan de diverse handige rekenstrategieĂŤn die vanaf het tweede leerjaar werden opgebouwd. Er komen ook een aantal nieuwe handige oplossingswijzen aan bod. In blok drie behandelen we het handig delen door 25. Na het maken van een aantal oefeningen stellen de leerlingen vast dat je : 25 ook kunt berekenen door eerst te delen door 100 en dan te vermenigvuldigen met 4. Ook dit werd voorgesteld in een pijlenschema (zie verder). De leerlingen stelden ook vast dat bij het delen door verschillende getallen wel de volgorde van de delers mag veranderen, maar dat het deeltal niet van plaats veranderd mag worden. Enkele lessen zijn expliciet gewijd aan handig rekenen. Voorts is het ook belangrijk om de leerlingen tijdens alle lessen in verband met bewerkingen te laten kijken naar de getallen en de aard van de bewerking. Enkele voorbeelden: : 100 20 000 : 500 = 2000 : 5 = 400 : 100 4x

De bewerking 3400 : 5 bijvoorbeeld werd als volgt opgelost:

240 : 25 = 960 : 100 = 9,6 4x

:2 340

3400 : 10

680

3400 : 5 = 680

800 : 16 = 400 : 8 = 50 :2

Het handig delen door vijftig werd analoog uitgewerkt.

Inleiding Aanpak

De bewerking 622 : 3 bijvoorbeeld werd als volgt geschat:

:5 31,5 : 5 = 6,3

31,5

6,3 : 10

3,15

622 : 3 à 600 : 3 = 200 Het product zal meer zijn dan 200.

: 50 1250 : 50 = 25

1250

25 : 100

12,5

: 25 3250 : 25 = 130

3250

130 : 100

32,5

72 000 : 3 : 10 = 72 000 : 10 : 3 = 7200 : 3 = 2400 6000

1200

Bij het schatten van delingen benadrukte de leerkracht dat er steeds eerst naar de deler gekeken wordt. De leerlingen rondden het deeltal af tot een rond getal dat makkelijk deelbaar is door de deler. De manier waarop de leerlingen het deeltal afronden geeft veel informatie over hun getalinzicht en schatstrategie. De verschillende schattingen van de leerlingen werden steeds besproken. Mogelijke schattingen van 9375,23 : 3 zijn: 9375,23 : 3 à 9000 : 3 = 3000 of 9375,23 : 3 à 9300 : 3 = 3100

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we de leerlijn schatten verder uit. De leerlingen schatten ook bij delingen tot 10 miljoen volgens eigen getalinzicht.

• Schatten

De deling 45 236 : 4 bijvoorbeeld kan als volgt geschat worden:

De algemene visie op schatten wordt uitgebreid beschreven bij Bewerkingen – Optellen en aftrekken – Schatten (zie pagina 75).

45 236 : 4 à 40 000 : 4 = 10 000 of 45 236 : 4 à 44 000 : 4 = 11 000

Beginsituatie

In het vijfde leerjaar komt ook het schatten van delingen door een twee- en een driecijferig getal aan bod. Algemeen geldt hier dat leerlingen eerst de deler afronden naar een getal met één beduidend cijfer (het dichtstbijzijnde tiental of honderdtal). Vervolgens ronden ze het deeltal af naar een rond getal dat makkelijk deelbaar is door de afgeronde deler.

In het derde leerjaar pasten de leerlingen een vaste schatprocedure toe. Ze rondden het deeltal af naar het dichtstbijgelegen ronde getal dat deelbaar is door de deler (één beduidend cijfer). Vervolgens berekenden de leerlingen het quotiënt en bepaalden ze of het quotiënt meer of minder zal zijn dan de schatting.

In het vierde leerjaar werd de schatprocedure verder uitgebreid. Net als bij het schatten van optellingen, aftrekkingen en vermenigvuldigingen gaan we vanaf het vierde leerjaar ook soepeler om met het schatten van delingen. Aangezien de getallen steeds complexer worden en de niveauverschillen tussen de leerlingen toenemen, is het ook bij het schatten van delingen nodig om aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Ze schatten in het vierde leerjaar dus volgens hun eigen getalinzicht.

Gebruikswijzer

De deling 63 215,35 : 28 bijvoorbeeld kan als volgt geschat worden: 63 215,35 : 28 à 60 000 : 30 = 2000 of 63 215,35 : 28 à 63 000 : 30 = 2100 Belangrijk om als leerkracht te weten is dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Ronden de leerlingen de getallen bijvoorbeeld altijd af tot een getal met één beduidend cijfer en komen ze op deze manier ook tot een zinvolle schatting? Ook goed! Zoals hierboven reeds beschreven werd, is het belangrijk om de verschillende schattingen van de leerlingen te bespreken en de leerlingen er attent op te maken welke informatie ze door het maken van een schatting verkrijgen. Schenk zeker aandacht aan de orde van grootte van het resultaat (bijvoorbeeld het quotiënt van 63 215,35 : 28 zal een viercijferig getal zijn). Dit is immers erg belangrijke informatie voor het controleren van de plaats van de komma bij het cijferend delen (zie Cijferen).

• Cijferen Beginsituatie Om het cijferen inzichtelijk op te bouwen legden de leerlingen de bewerkingen in het derde leerjaar met schijven uit getallendoos 3. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De leerlingen legden met de schijven het deeltal in het legschema en maakten vervolgens groepjes van … (deler). De bewerking werd tegelijkertijd in een schrijfschema geschreven. Hierbij werd er veel aandacht geschonken aan de verwoording van het cijferalgoritme. Als leerlingen voldoende inzicht hadden ontwikkeld in het cijferen, werd het leggen achterwege gelaten. Een beschrijving van hoe het cijferend delen werd aangebracht in het derde leerjaar vind je in Gebruikswijzer 3. Voor de leerlingen een bewerking cijferend uitrekenden, maakten ze geregeld een schatting. De schatting vormt een goed controlemiddel voor de uitkomst na het cijferen. Het cijferend delen werd pas in blok 7 van het derde leerjaar geïntroduceerd en daarom raden we aan om in de eerste les van het vierde leerjaar de bewerking nog eens voor te stellen met schijven. Door terug te keren naar dit concretere niveau, bouwen leerlingen

het cijferalgoritme inzichtelijk op. Na het uitvoeren van enkele bewerkingen met de schijven noteerden de leerlingen de cijferoefeningen alleen in een schrijfschema. Algemeen geldt echter dat leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces en dat je bij problemen steeds mag terugkeren naar instructie aan de hand van concreet materiaal. In het vierde leerjaar werd het cijferalgoritme verder uitgebreid. Er werd, net als in het derde leerjaar, veel aandacht geschonken aan het verwoorden van het cijferalgoritme. Cijferoefeningen werden vaak gepresenteerd in contextsituaties, om de praktische bruikbaarheid van cijferen te benadrukken. In het tweede blok werden delingen van het type HTE : E waarbij het cijfer van de honderdtallen kleiner is dan de deler behandeld. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 175 : 5 merkten de leerlingen op dat vijf geen enkele keer in één gaat. Ze tekenden vervolgens een boogje over de honderdtallen en de tientallen en voerden het bekende cijferalgoritme uit. Bij het noteren van het quotiënt werd benadrukt dat er geen honderdtallen zijn in het quotiënt en dat het quotiënt dus kleiner is dan 100.

1 1

7 5

2 2

5 5

5 3 5

Het quotiënt is 35. De rest is 0.

In het derde en het vierde blok van het vierde leerjaar werd het cijferalgoritme uitgebreid tot delingen met getallen tot 100 000. De leerkracht benadrukte dat de werkwijze dezelfde is als bij het cijferend delen met getallen tot 1000. Vanaf blok vier maakten de leerlingen de delingen niet meer in een schrijfschema, maar noteerden ze ze op een ruitjespatroon. Bij het cijferend delen van een kommagetal door een natuurlijk getal in blok zes benadrukte de leerkracht dat het cijferalgoritme hetzelfde is als bij het cijferen met natuurlijke getallen. Bij het delen van de tienden zetten de leerlingen de komma in het quotiënt. De leerlingen kregen geregeld de opdracht om het resultaat van een deling te schatten. Deze schatting vormt een erg zinvol controlemiddel bij het cijferend delen met kommagetallen. De orde van grootte van de schatting geeft de leerlingen immers een indicatie of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma dus juist gezet hebben.

Inleiding Aanpak

De leerlingen kregen ook steeds de opdracht om de waarde van de rest te bepalen. Bij de deling 714,81 : 7 bijvoorbeeld formuleerden de leerlingen de volgende antwoordzin: ‘Het quotiënt is 102,11 en de rest is 0,04.’.

8 5

5. Hoeveel keer gaat 3 in 21?

3 7

6. Schrijf 7 bij het quotiënt.

7. Trek af bij de D.

1 0

8 5

8. Hoeveel keer gaat 3 in 1?

3 7 0

9. Schrijf 0 bij het quotiënt en maak de aftrekking.

1 0 1

10. Hoeveel keer gaat 3 in 18? 11. Schrijf 6 bij het quotiënt.

12. Trek af bij de T.

13. Werk op dezelfde manier verder.

De leerlingen kregen in blokken zes en zeven ook de opdracht om te delen tot op een bepaald aantal decimalen. Ze vulden indien nodig nullen aan in het deeltal en voerden vervolgens het bekende cijferalgoritme uit.

1 0

8 5

3 7

14. Het quotiënt is 7061. De rest is 2.

1 0 1

8 0 5

In het zesde blok van het vierde leerjaar controleerden de leerlingen opgaande delingen door de omgekeerde bewerking uit te voeren. Voorts controleerden ze het resultaat ook met de zakrekenmachine. Het uitvoeren van deze controles is een attitude die we de leerlingen willen bijbrengen. Deze controles geven de leerlingen immers een indicatie van de correctheid van hun berekende resultaat en dragen dus bij tot de praktische bruikbaarheid van cijferen. Door de leerlingen deze controlemechanismen aan te reiken kunnen we hen cijferoefeningen op een doordachtere manier laten aanpakken. Dat is iets waar we in het vijfde leerjaar nog meer aandacht aan schenken.

3 2

Bij het cijferend delen van een kommagetal door een natuurlijk getal benadruk je dat het cijferalgoritme hetzelfde is als bij natuurlijke getallen. Schenk bij het delen van de tienden aandacht aan het zetten van de komma in het quotiënt. We laten de leerlingen ook steeds de waarde van de rest bepalen door naar het deeltal te kijken. De leerlingen krijgen ook geregeld de opdracht om te delen tot op een bepaald aantal decimalen. Ze vullen indien nodig nullen aan in het deeltal.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar breiden we het cijferalgoritme voor delen uit tot getallen tot 10 miljoen. De verwoording van het cijferalgoritme blijft hetzelfde als in het derde en het vierde leerjaar. De verwoording van de bewerking 21 185 : 3 gaat als volgt: 2

8 5

1. Schrijf het deeltal en de deler en teken de lijnen.

2. Het is een deling dus begin links.

8 5

3 2

3. Hoeveel keer gaat 3 in 2? nul keer 4. Teken een boogje.

Net als in het derde en het vierde leerjaar schatten de leerlingen vaak het quotiënt van de uit te rekenen deling. Zoals hierboven reeds beschreven werd levert de schatting bij het cijferend delen met kommagetallen veel nuttige informatie op. De leerlingen kunnen aan de hand hiervan controleren of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma juist gezet hebben.

Gebruikswijzer

In het derde blok delen de leerlingen voor het eerst door een tweecijferig getal. We beginnen met oefeningen waarin het getal gevormd door de eerste twee cijfers van het deeltal groter is dan de deler, bijvoorbeeld 2937,33 : 23. Je verwoordt dit op dezelfde manier als het delen door een getal kleiner dan tien. Schatting: 2937,33 : 23 ➞ 3000 : 20 = 150 D H T E 2 9 2 3 6 4 1 1

t h d

3 7 3 3 3 6 7 6 1 1

2 3 1 2 7 7 1

7 1 6 3 6 1 2 3 2 3 0

Het cijferend delen door een driecijferig getal, wat voor het eerst aan bod komt in blok 5, wordt analoog uitgewerkt. In deze les behandelen we ook delingen waarin het getal gevormd door de eerste drie cijfers van het deeltal kleiner is dan de deler (het quotiënt is kleiner dan 1), bijvoorbeeld 168,75 : 225. Bij oefeningen van deze vorm is de klassikale bespreking erg belangrijk. We willen leerlingen ertoe aanzetten om grondig na te denken over het resultaat van bewerkingen en niet zomaar slaafs een algoritme uit te voeren. Door geregeld aandacht te schenken aan het redeneren over bewerkingen wordt deze kritische houding van de leerlingen verder ontwikkeld. In bovenstaande oefening is het belangrijk om met de leerlingen tot de conclusie te komen dat het quotiënt kleiner zal zijn dan 1 omdat het deeltal kleiner is dan de deler. De schatting bevestigt deze bevinding. Bij het uitvoeren van de bewerking 168,75 : 225 stel je de volgende vragen:

Quotiënt: 127,71

Tijdens het uitvoeren van de cijferoefening stel je de volgende vragen: - Hoeveel keer gaat 23 in 29? - Hoeveel keer gaat 23 in 63? - Hoeveel keer gaat 23 in 177? -… Bij deze laatste vraag schatten de leerlingen hoeveel keer 23 in 177 gaat en maken ze de vermenigvuldiging. Indien het product groter is dan 177, verminderen ze de gebruikte vermenigvuldiger met 1 en voeren ze de vermenigvuldiging opnieuw uit. In een volgende fase behandelen we ook delingen waarin het getal gevormd door de eerste twee cijfers van het deeltal kleiner is dan de deler. In bijvoorbeeld de deling 16 814 : 67 stellen de leerlingen vast dat 16 kleiner is dan 67 en dat we dus 168 gaan delen door 67. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van een boogje. De cijferoefening wordt dan uitgewerkt volgens het bekende cijferalgoritme. Schatting: 16 814 : 67 ➞ 14 000 : 70 = 200 TD D H T

1 6 8 1 4 1 3 4 3 4 1 3 3 5 6 4 0 6 4 6 0 3 3 Quotiënt: 250,95 Rest: 0,35

h d

0 0

0 3 7 0 3 5 3 5

6 7 2 5 0 9 5

- Hoeveel keer gaat 225 in 168 (eenheden)? (nul keer) Je noteert een nul en een komma bij het quotiënt, want het quotiënt is kleiner dan 1. - Hoeveel keer gaat 225 in 1687? -… 168,75 : 225 ➞ 200 : 200 = 1 1 6 8 1 5 7 1 1 1 1

7 5 2 2 5 5 0 7 5 2 5 2 5 0

Antwoord: Een sleutelhanger kost € 0,75.

In blok vijf maken de leerlingen de omgekeerde bewerking om het resultaat van de deling te controleren. In het vierde leerjaar beperkten we ons tot het uitvoeren van de omgekeerde bewerking bij delingen zonder rest. In het vijfde leerjaar doen we dit ook bij niet-opgaande delingen. De leerlingen stellen hier vast dat deler x quotiënt + rest = deeltal. In blok zes gaan we voor het eerst een natuurlijk getal cijferend delen door een kommagetal. Vooraleer de leerlingen beginnen te cijferen maken ze van de deler een natuurlijk getal. Ze werken de komma weg uit de deler door deler en deeltal te vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 (afhankelijk van het aantal decimalen in de deler). De manier waarop deze operaties op factoren worden aangepakt wordt beschreven bij Hoofdrekenen. De deling 714 : 4,25 bijvoorbeeld wordt 71 400 : 425. De leerlingen werken deze deling dan uit volgens het bekende cijferalgoritme (zie hierboven).

Inleiding Aanpak

opgave

schatting

cijferoefening zonder komma

quotiënt

3252 : 1,9 4707 : 2,21

tellen en de noemer te behouden. Ze verwoordden dit op hun eigen manier. Door te werken met betekenisvolle situaties en door het leggen met de breukendoos bouwden de leerlingen optellingen met breuken inzichtelijk op.

732 : 3,35

De leerlingen krijgen ook geregeld de opdracht om het resultaat van een deling te controleren met de zakrekenmachine. Hou er bij het controleren van cijferoefeningen met de zakrekenmachine rekening mee dat sommige zakrekenmachines het kommagetal afronden, terwijl andere gaan afkappen. Schenk hier indien nodig aandacht aan bij de bespreking van de cijferoefening. We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij de oefening in kwestie en bij hun getalinzicht. In het vijfde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is bij sommige oefeningen dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of een bewerking uit het hoofd of cijferend moet worden uitgerekend.

Het aftrekken van gelijknamige breuken werd analoog uitgewerkt. Hier stelden de leerlingen vast dat je breuken met dezelfde noemer aftrekt door de tellers af te trekken en de noemer te behouden. Ook dit verwoordden de leerlingen op hun niveau.

Let op! Van bepaalde oefeningen die deel uitmaken van het basistraject blijven we verwachten dat ze uit het hoofd uitgerekend worden. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen kunnen rekenen met ronde getallen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor hun latere functioneren in de samenleving.

Bij het voorstellen van de bewerking 3 - 1 wisselden 4 4 de leerlingen de strook van 3 om voor drie stroken 4 van 1 . Ze namen vervolgens één strook van 1 weg.

Breuken • Breuken optellen en aftrekken

Het aftrekken aan de hand van de breukendoos kan op drie verschillende manieren: - Wegnemen

- Vergelijken Een andere manier om de bewerking 3 - 1 op te 4 4 lossen is de strook van 3 op het bord te leggen 4 en er vervolgens de strook van 1 op te leggen. De 4 leerlingen zochten in hun breukendoos de strook die ze na 1 moeten leggen zodat de strook van 3 4 4 volledig bedekt is ( 2 ). 4

- Verschuiven

Beginsituatie In het vierde leerjaar maakten de leerlingen enkel optellingen en aftrekkingen met gelijknamige breuken. In het derde blok van het vierde leerjaar gaf de leerkracht bijvoorbeeld deze situatie aan: ‘Ik eet 2 8 van een pizza en mijn broer eet 3 van de pizza. 8 Hoeveel eten we samen?’. De leerlingen koppelden hier de bewerking 2 + 3 aan en kwamen door het 8 8 tellen van het aantal stukken pizza tot het resultaat 5 . 8 De leerlingen legden deze optelling ook met de breukendoos: ze legden de strook van 2 en legden 8 er vervolgens 3 achter. 8 Na het herhalen van deze activiteit met een aantal optellingen stelden de leerlingen vast dat je breuken met dezelfde noemer optelt door de tellers op te

Ten slotte kun je ook nog de strook van 3 zo op het 4 breukenbord leggen dat de streepjes van de vierden 1 zichtbaar zijn. De leerlingen dachten weg en 4 stelden vast dat er nog 2 overblijft. 4

Het maken van optellingen en aftrekkingen met gelijknamige breuken waarvan de teller groter is dan de noemer werd op dezelfde manier uitgewerkt. Voor het leggen van deze bewerkingen met de breukendoos gebruikten de leerlingen het tweede breukenbord.

Vijfde leerjaar In het vierde blok van het vijfde leerjaar herhalen we eerst het optellen en aftrekken van gelijknamige breuken. Ook hier ga je uit van een concrete situatie:

Gebruikswijzer

‘In de koelkast ligt een reep chocolade die verdeeld is in acht gelijke delen. Zus eet 1 van de reep op en 8 papa 5 . Welk deel van de reep wordt opgegeten?’. 8 De leerlingen stellen de situatie voor met hun breukendoos (zie hierboven) en je koppelt hier de bewerking 1 + 5 = 6 aan. Schenk hierbij aandacht 8 8 8 aan het vereenvoudigen van de som naar 3 (zie 4 Getallen – Breuken). Na deze optelling bepalen de leerlingen hoeveel papa meer heeft gegeten dan zus. Ze stellen ook de aftrekking 5 - 1 voor met de breukendoos. 8

Na het uitvoeren van deze opdrachten herhaal je het besluit dat je breuken met dezelfde noemer optelt/ aftrekt door de tellers op te tellen/af te trekken en de noemer te behouden. Vervolgens behandel je het optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken. Net als in het vierde leerjaar geldt dat we bij het aanbrengen van nieuwe inhouden steeds uitgaan van een betekenisvolle situatie om bewerkingen met breuken inzichtelijk op te bouwen. Je begint met breuken waarvan de grootste noemer een veelvoud is van de kleinste noemer, bijvoorbeeld 3 + 1 . Bij het aanbrengen van deze 8 4 nieuwe inhoud stellen de leerlingen de bewerking nog voor met de breukendoos: ze leggen de strook van 3 en leggen die van 1 erachter. 8 4 Nadat ze hebben vastgesteld dat 3 + 1 = 5 , noteer 8 4 8 je de bewerking als 3 + 2 = 5 . Je verwijst hierbij 8 8 8 naar het breukenbord en omcirkelt de gelijkwaardige breuken 1 en 3 op het bord. 4

3 + 1 = 5 8 4 8 3 + 2 = 5 8 8 8

Na het uitvoeren van een vergelijkbare aftrekking besluit je dat je telkens breuken met dezelfde noemers hebt gezocht en dan de tellers hebt opgeteld/afgetrokken.

1 11 22

2 5

1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Je noteert de bewerking 5 + 4 = 9 onder de 10 10 10 optelling en omcirkelt opnieuw de gelijkwaardige breuken. 1 + 2 = 9 2 5 10 5 + 4 = 9 10 10 10

Na het maken van een vergelijkbare aftrekking stel je ook hier vast dat je eerst de breuken gelijknamig maakt en dan de tellers optelt/aftrekt.

Het optellen en aftrekken van breuken wordt geregeld geoefend aan de hand van allerlei oefenvormen: vraagstukken, vrij formele oefeningen, rekenspellen, …

Ten slotte komen ook optellingen en aftrekkingen met breuken waarvan de grootste noemer geen veelvoud is van de kleinste noemer aan bod. De leerlingen lossen bijvoorbeeld de bewerking 1 + 2 2 5 op door de strook van 1 en die van 2 achter elkaar 2 5 op het breukenbord te leggen. Door een lat verticaal achter de twee stroken te leggen kunnen ze de som 9 aflezen. 10

Aanpak

• Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal en omgekeerd

• Een breuk delen door een natuurlijk getal

In het vijfde blok introduceer je het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal. Je geeft de volgende situatie aan: ‘De twee kinderen van de familie Hermans eten elk 3 van een pizza. Welk deel van de pizza 8 eten ze op?’. De leerlingen stellen dit voor met de breukendoos en tekenen dit op een lijnstuk. Je koppelt hier behalve de optelling 3 + 3 ook de 8 8 vermenigvuldiging 2 x 3 aan.

In blok zes komt voor het eerst het delen van een breuk door een natuurlijk getal aan bod. Je gebruikt als context de aanleg van een nieuw sportcomplex, waarbij het beschikbare terrein verdeeld wordt. Je begint met een deling waarin de teller deelbaar is door het natuurlijk getal. Je vertelt dat de helft van 2 van het terrein bestemd is voor tennisvelden. De 3 leerlingen stellen dit voor op een strook en koppelen hier de deling 2 : 2 = 1 aan.

2x3 3 + 3 =2x 3 = 6 8 8 8 8

3 8

6 8

Na het maken van een aantal soortgelijke oefeningen bekijk je samen met de leerlingen de resultaten van de vermenigvuldigingen. Je besluit dat je, om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, de teller vermenigvuldigt met het getal en de noemer behoudt. In deze les vertel je de leerlingen ook dat je bijvoorbeeld 1 van 12 ook kunt schrijven als 1 x 12. 4

Je laat de leerlingen de vermenigvuldigingen 3 x 2 en 2 x 3 oplossen en stelt op deze manier 4 4 vast dat de wisseleigenschap ook geldt bij het vermenigvuldigen van een breuk en een natuurlijk getal.

1 3

In een volgende fase behandel je een deling waarvan de teller 1 is. Je geeft de volgende situatie aan: ‘Er worden vier tennisvelden aangelegd.’ De leerlingen tekenen op de strook de vier tennisvelden (horizontaal of verticaal). Je bespreekt de voorstellingen van de leerlingen en koppelt hier de deling 1 : 4 aan. Om te 3 verklaren welk deel gekleurd is verdelen de leerlingen elk derde deel van hun strook in vier gelijke delen en stellen ze vast dat er 1 gekleurd is. 12

1 12

De leerlingen stellen deze delingen ter controle voor met de breukendoos. Ze leggen de stroken en kijken vervolgens naar de verdelingen op het breukenbord.

Aan de hand van een pictogram worden oefeningen aangegeven waarin de breukendoos gebruikt kan worden. Algemeen geldt dat de leerlingen de breukendoos enkel gebruiken als ze die nodig hebben. Leerlingen die optellingen, aftrekkingen of vermenigvuldigingen met breuken nog moeilijk vinden mogen echter steeds gebruik maken van dit concrete materiaal.

De leerlingen maken nog een aantal oefeningen. Bij de klassikale bespreking rubriceer je de delingen in twee kolommen (delingen waarvan de teller deelbaar is door het natuurlijk getal en delingen waarvan de teller 1 is). De leerlingen verwoorden tijdens het klasgesprek wat ze opmerken (bij de eerste kolom: er zijn minder deeltjes, ik heb het aantal deeltjes gedeeld door …, ... en bij de tweede kolom: de teller blijft 1, de deeltjes worden kleiner, de noemer is vermenigvuldigd met de deler …). 2 :2= 1 3 3

1 :4= 1 3 12

6 :2= 3 8 8

1 :2= 1 5 10

4 :4= 1 9 9

1 :3= 1 2 6

Gebruikswijzer

Ten slotte behandelen we ook nog delingen waarin de teller (verschillend van 1) niet deelbaar is door het natuurlijk getal, bijvoorbeeld 3 : 2. 4 Ook dit wordt aangebracht aan de hand van een betekenisvolle situatie (verdelen van een bloemenperk). De leerlingen stellen de deling voor op een strook en besluiten dat 3 : 2 = 3 . 4 8 De leerlingen maken nog een aantal vergelijkbare oefeningen en verwoorden wat ze opmerken (we hebben evenveel deeltjes, maar de deeltjes zijn kleiner, de noemer is veranderd, de teller is niet veranderd, …).

In het vijfde leerjaar is het niet de bedoeling dat er formele besluiten worden getrokken over het delen van een breuk door een natuurlijk getal. We bouwen dit inzichtelijk op en laten de leerlingen op hun eigen manier hun vaststellingen verwoorden. De leerlingen mogen steeds de breukendoos gebruiken of de situatie op een strook schetsen.

3 Meten Lengte, inhoud en gewicht Beginsituatie In het vierde leerjaar werden de lengte-, inhouds- en gewichtsmaten verder uitgebreid. De maateenheden millimeter, milliliter en ton werden geïntroduceerd. Aan de hand van verschillende meetopdrachten ervoeren de leerlingen de behoefte aan een grotere of een kleinere maat. In het vierde leerjaar kregen de leerlingen geregeld de opdracht om de lengte, de inhoud of het gewicht van voorwerpen te schatten en te vergelijken. Zo werden de meetdomeinen inzichtelijk verder uitgebouwd. De leerlingen maakten ook geregeld herleidingen. Ze kregen bijvoorbeeld de opdracht om 4,12 m te lezen als 4 m 1 dm en 2 cm, als 4 m en 12 cm en als 412 cm. Hiervoor noteerden ze 4,12 in het positieschema en legden ze een strookje met de lengtematen boven dit schema. Ze legden het strookje zo dat m boven E stond. Op deze manier konden ze aflezen uit hoeveel meter, decimeter en centimeter de lengte 4,12 m bestaat. Nadat ze nog enkele van zulke opdrachten in verband met lengte, inhoud, gewicht en geld hadden uitgevoerd, werd er vastgesteld dat als de maateenheid tien keer kleiner wordt, het maatgetal tien keer groter wordt en omgekeerd. De leerlingen stelden deze verbanden voor met pijlen. Vervolgens kregen de leerlingen de opdracht om een maat die uitgedrukt is in verschillende maateenheden te noteren als kommagetal. Ze noteerden bijvoorbeeld 2 l 4 cl als 2,04 l. Bij deze herleiding noteerden ze 2 l en 4 cl in de tabel van de inhoudsmaten en legden ze de strook met HTEthd erboven. Door de strook met de E boven de kolom van de l te leggen konden de leerlingen aflezen dat 2 l 4 cl = 2,04 l.

Vijfde leerjaar In het vijfde leerjaar worden geen nieuwe maateenheden voor lengte, inhoud en gewicht geïntroduceerd. We voorzien wel geregeld lessen/ oefeningen waarin we het inzicht in de verschillende meetdomeinen verder uitbouwen en vastzetten.

Aanpak

De leerlingen gaan geregeld herleidingen tussen verschillende eenheden maken, zodat ze het verband tussen de verschillende maateenheden ingeprent krijgen. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld de opdracht om 5,4 dm te lezen als 5 dm 4 cm en als 54 cm. Ze noteren de maat daarvoor eventueel in de tabel met de lengtemaateenheden. Op deze manier kunnen leerlingen in het schema zien dat 5,4 dm = 5 dm 4 cm. In het vierde leerjaar werd er gewerkt met stroken. In het vijfde leerjaar herhalen we deze activiteit niet meer. Bij het maken van herleidingen schenken we veel aandacht aan het verwoorden, bijvoorbeeld als de maateenheid tien keer kleiner wordt, wordt het maatgetal tien keer groter. De leerlingen stellen dit ook steeds voor aan de hand van pijlen zodat het verband visueel waarneembaar wordt.

Heel de methode door werken we met zorgvuldig gekozen referentiematen. Die worden vanaf het eerste leerjaar ingevoerd en blijven dezelfde tot en met het zesde leerjaar zodat ook bij meten de doorgaande lijn gegarandeerd wordt. Het is dus belangrijk om samen met je collega’s de referentiematen te bekijken. Die moeten steeds zichtbaar zijn in de klas. Je kunt hiervoor een bepaalde hoek van de klas aankleden als meethoek. De referentiematen in de handleiding zijn slechts voorstellen. Je kunt uiteraard ook andere voorwerpen – die eventueel prominent aanwezig zijn in de schoolomgeving – als referentiematen gebruiken. We raden je dan wel aan deze maten voor de hele lagere school aan te passen. Referentiematen die aan bod komen in het vijfde leerjaar van zWISo zijn:

De herleiding 5,4 dm = … cm ziet er dan als volgt uit: Lengte wordt 10 keer groter

1 mm

5,4 dm

54 cm

wordt 10 keer kleiner

Eén van de belangrijkste kenmerken van zWISo is dat de leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces. Leerlingen die nog problemen hebben met het maken van herleidingen mogen dus eventueel nog eens werken met de tabellen en de stroken. Het is wel belangrijk om de relatie tussen de maateenheden steeds te verwoorden. Het blijft immers de bedoeling om het werken met de stroken na verloop van tijd achterwege te laten. De leerlingen moeten ook geregeld de juiste maat kiezen bij een bepaalde meting, meetresultaten op verschillende manieren noteren, lengten/gewichten/ inhouden samenstellen, ... De gemaakte oefeningen op het schatten van lengte, inhoud en gewicht komen hier zeker van pas. Door deze oefeningen wordt het inzicht in (de verhouding tussen) de verschillende maateenheden opgebouwd. Dit ‘maatgevoel’ is erg belangrijk om problemen in het leven van alledag het hoofd te kunnen bieden.

1 cm

1 dm

dikte breedte lengte vingernagel vingernagel handpalm afstand tussen buitenhoeken ogen

lengte nietje

1 km

meterstok

van school tot …

breedte deur of grote stap

Gewicht 1g

100 g

1 kg

gewicht kauwgom

gewicht 4 kleine plakjes kaas

gewicht pak suiker of

gewicht pak zout

Inhoud 1 ml x druppels (afhankelijk van de druppelteller)

1 cl

inhoud eetlepel

1 dl

inhoud flesje yoghurtdrank

1l inhoud brik melk of

inhoud fles water

De deeldomeinen lengte, inhoud en gewicht komen geregeld in vraagstukken aan bod. Daarin kunnen de leerlingen gebruik maken van de verhoudingstabel. De begrippen bruto, netto en tarra, die geïntroduceerd werden in het vierde leerjaar, worden ook ingeoefend in vraagstukken. De verhouding

100

Gebruikswijzer

tussen bruto, tarra en netto stellen we voor aan de hand van een schema met drie stroken: bruto netto

tarra

Op deze manier hebben de leerlingen een visuele voorstelling van de verhouding tussen bruto, tarra en netto waar ze steeds op kunnen terugvallen. Dit schema staat bijvoorbeeld ook afgebeeld in de zWISowijzer. Binnen het domein lengte schenk je ook aandacht aan het begrip omtrek. De leerlingen benoemen de rand van figuren als omtrek en berekenen deze omtrek door te meten en door gebruik te maken van de eigenschappen van de zijden van een figuur. In het tweede blok van het vijfde leerjaar bespreek je systematisch de omtrekberekening van verschillende vierhoeken. Het bordschema van deze les ziet er als volgt uit:

Bord vier gelijke zijden

juist twee gelijke zijden

vierkanten

trapezium

ruiten

Omtrek: 4 x zijde

Omtrek: 2 x zijde + ... + ...

twee paar gelijke zijden

zonder gelijke zijden

21 23

rechthoek parallellogram vlieger Omtrek: 2 x zijde + 2 x zijde

Het begrip snelheid, dat geïntroduceerd werd in het vierde leerjaar, wordt verder uitgediept in het vijfde leerjaar. In het vierde leerjaar werd het begrip snelheid bewust niet te eng benaderd en beperkten we ons niet tot de relatie afstand en tijd. Aan de hand van verschillende activiteiten ervoeren de leerlingen het verband tussen het aantal handelingen en de duur (bijvoorbeeld: Hoeveel sprongen kun je maken in 15 seconden? In 60 seconden?). Op deze manier ontwikkelden de leerlingen een rijke invulling van het begrip snelheid. In het vijfde leerjaar schenken we hoofdzakelijk aandacht aan de meest voorkomende invulling van snelheid, namelijk afstand per tijdseenheid. De leerlingen maken kennis met allerlei verschillende eenheden: km/uur, m/sec., m/uur, … De leerlingen lossen vraagstukken in verband met snelheid en schaal op met de verhoudingstabel. Vanaf blok zes noteren de leerlingen eerst de gegevens en het gevraagde in de verhoudingstabel. De gemaakte tussenstappen noteren ze in de kolommen daarna.

vierhoek Omtrek: ... + ... + ... + ... som van de zijden

10 x

De leerlingen tekenen ook figuren met een gegeven omtrek.

Afstand

90 km

912 km

900 km

3 km

12 km

912 km

Tijd

1 uur 60 minuten

10 uur

2 minuten

8 minuten

10 uur en 8 minuten

10 x

In het vierde leerjaar werd het begrip schaal geïntroduceerd. De leerlingen kregen daar echter alleen te maken met de breukschaal. In het vijfde leerjaar behandelen we naast de breukschaal ook de lijnschaal door de leerlingen de schaalvermelding op kaarten te laten onderzoeken. De leerlingen verwoorden de schaal consequent als ‘1 cm op de tekening is in werkelijkheid x cm’. Ze krijgen de opdracht om de werkelijke afstand te bepalen, de afstand op de tekening te bepalen en bij een gegeven werkelijke lengte de schaal af te leiden.

: 30

Oppervlakte In het vierde leerjaar werden de oppervlaktemaateenheden m², dm² en cm² geïntroduceerd. In het tweede blok van het vijfde leerjaar herhalen we die. We schenken hierbij veel aandacht aan het verband tussen de verschillende maateenheden. Aan de hand van een vierkante meter die is onderverdeeld in 100 vierkante decimeter (op de achterzijde van het klassikale spijkerbord) illustreer je bijvoorbeeld het verband 1 m² = 100 dm². Bij het maken van herleidingen werken we in de eerste fase nog met concreet materiaal. Tijdens de

101

Aanpak

leeractiviteit van blok 2 bepalen de leerlingen hoeveel dm² een halve vierkante meter is. Ze bedekken hiervoor een halve vierkante meter met stroken van telkens 10 dm². Op deze manier ervaren de leerlingen dat 0,5 m² = 50 dm². Door deze activiteit een aantal keer te herhalen bouwen de leerlingen het verband tussen de oppervlaktemaateenheden inzichtelijk op. Oppervlaktematen worden ook in het positieschema genoteerd. Aan de hand daarvan illustreer je bijvoorbeeld dat bij 0,10 m² het deel voor de komma het aantal vierkante meter aangeeft en het deel na de komma (10) het aantal dm². Het positieschema bij deze herleiding ziet er als volgt uit:

m² T

De referentiematen voor oppervlakte zijn:

dm² E 0

t 1

In een volgende fase worden de getallen niet meer in een positieschema genoteerd. De leerlingen stellen dan bij het maken van herleidingen het verband tussen de maateenheden voor aan de hand van pijlen. Ze verwoorden dit ook als volgt: als de maateenheid honderd keer kleiner wordt, dan wordt het maatgetal honderd keer groter. De herleiding 1,47 m² = … dm² wordt als volgt genoteerd:

wordt 100 keer groter 1,47 m ²

147 dm²

wordt 100 keer kleiner Herleidingen tussen dm² en cm² werk je op dezelfde manier uit: eerst verschillende activiteiten met stroken en vierkanten om dan te evolueren naar het oplossen van herleidingen door het toepassen van het verband tussen de maateenheden. In blok 5 wordt de vierkante kilometer geïntroduceerd. We werken hier met een stadsplattegrond. In de kopieermap vind je een plattegrond van de stad Sint-Niklaas. Werk bij voorkeur de les analoog uit met een plattegrond van je eigen stad of gemeente. Als je werkt met referentiepunten die de leerlingen kennen, zullen ze ook echt betekenis kunnen geven aan de eenheid km². Bij de introductie van de vierkante kilometer krijgen de leerlingen eerst een blad met verschillende krantenknipsels met daarin km². Zo nemen ze kennis

102

1 cm²

1 dm²

1 m²

1 km²

grootte vingernagel

grootte handpalm

grootte zijbord

grootte afgesproken gebied van je stad/dorp

0,10 m² = 0 m² 10 dm² = 10 dm²

van verschillende situaties en bouwen ze een rijk beeld op van de vierkante kilometer. In een volgende fase gaan de leerlingen aan de slag met transparante vierkanten (een vierkante kilometer op de schaal van de gebruikte plattegrond). Het vierkant wordt hier na het onderzoeken van de zijden benoemd als een km² op schaal. De leerlingen voeren dan met dit vierkant verschillende opdrachten uit: is de oppervlakte van gebied x groter of kleiner dan 1 km², zoek een gebied van ongeveer 1 km² groot, … De leerlingen zoeken op de gebruikte stadsplattegrond een gebied dat ongeveer een vierkante kilometer groot is en gebruiken dat dan als referentiemaat.

Tijdens de lessen over oppervlakte maken we geregeld gebruik van spijkerborden. Als leerkracht werk je met een klassikaal spijkerbord van 1 m² dat onderverdeeld is in 100 dm². De leerlingen werken met een kleiner spijkerbord waarop ze figuren kunnen vormen. De oppervlakte van deze figuren wordt uitgedrukt in aantal hokjes. Deze spijkerborden werden ook al gebruikt in het vierde leerjaar. Je kunt dit materiaal eventueel gebruiken voor je lessen oppervlakte. Door verschillende figuren te vormen op het spijkerbord ervaren de leerlingen dat figuren met dezelfde oppervlakte een verschillende vorm kunnen hebben. Het spijkerbord wordt ook gebruikt om de formules voor de oppervlakteberekening van een parallellogram en een driehoek inzichtelijk op te bouwen. In blok 2 krijgen de leerlingen bijvoorbeeld de opdracht om een parallellogram te vormen op hun spijkerbord. Je illustreert dan op het klassikale spijkerbord dat de oppervlakte van een parallellogram met een gegeven basis en hoogte dezelfde is als die van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte. De leerlingen verknippen in deze les een papieren parallellogram en vormen dat om tot een rechthoek. Op deze manier ervaren ze zelf dat een parallellogram en een rechthoek met dezelfde basis en hoogte dezelfde oppervlakte hebben. De formule voor de oppervlakteberekening van driehoeken wordt op een soortgelijke manier inzichtelijk aangebracht in het derde blok van het

Gebruikswijzer

vijfde leerjaar. Ook bij het bepalen van de oppervlakte van een ruit werken we met het spijkerbord. Let op! De formules voor de oppervlakteberekening van parallellogrammen en driehoeken hoeven niet gekend te zijn volgens de leerplannen van OVSG en GO. Leerlingen van deze netten bepalen de oppervlakten van parallellogrammen en driehoeken door om te structureren naar of aan te vullen tot andere vlakke figuren waarvan ze de oppervlakte kunnen berekenen. In het vijfde leerjaar gaan de leerlingen voor het eerst ook de oppervlakte van niet-veelhoeken bepalen. Hiervoor reiken we hen verschillende strategieĂŤn aan: werken met een rooster (centimeterpapier), omstructureren en veelhoeken in of rond de figuur tekenen waarvan de oppervlakte wel berekend kan worden. Ook bij het bepalen van de oppervlakte van veelhoeken verdelen de leerlingen de figuur in veelhoeken waarvan ze de oppervlakte wel kunnen berekenen of gaan ze omstructureren. De oppervlakte van een ruit kan bijvoorbeeld op de volgende manieren berekend worden:

hoogte

een rechthoek maken

basis

verdelen in twee driehoeken

In blok 4 introduceer je de landmaten hectare, are en centiare. Via allerlei krantenknipsels stellen de leerlingen vast dat er behalve de bekende oppervlaktemaateenheden nog meer eenheden zijn die de grootte van een gebied aangeven. Je benadrukt de verbanden tussen de landmaten en je past die toe bij het maken van herleidingen. In blok 7 van het vijfde leerjaar bepalen de leerlingen ook de oppervlakte van ruimtefiguren door bijvoorbeeld een verpakking te verknippen en de oppervlakte van de zijvlakken te bepalen.

Volume In blok 5 benoem je de plaats/de ruimte die een voorwerp inneemt als het volume van dat voorwerp. De leerlingen bepalen in deze les het volume van verpakkingen met verschillende soorten vulmateriaal (bijvoorbeeld knikkers, Duploblokken, kroonkurken, â&#x20AC;Ś). Door deze activiteit ervaren ze de behoefte aan een standaardmaat. Ze stellen ook vast dat hoe groter het vulmateriaal (de maateenheid) is, hoe kleiner het aantal keer dat het in de verpakking kan (maatgetal). Dit meten met kwalitatieve maten vormt een goede voorbereiding op de introductie van de volumemaateenheden in het zesde leerjaar en is volledig analoog aan hoe de andere standaardmaateenheden aangebracht werden. De leerlingen gaan in deze les ook balken met een opgegeven aantal blokken bouwen. Op deze manier ervaren ze dat balken met hetzelfde volume een verschillende vorm kunnen hebben. We schenken in deze les ook aandacht aan het handig bepalen van het volume van balken.

hoogte

basis

hoogte

verdelen in vier driehoeken

basis

hoogte

Geld Aan het einde van het derde leerjaar kennen de leerlingen alle munten en biljetten van de euro. Ze kennen ook het verband tussen euro en eurocent. In de voorgaande leerjaren werd er geregeld geoefend op het gepast betalen en het lezen en samentellen van bedragen. In het vijfde leerjaar wordt deze gekende leerstof verder geoefend en uitgediept. De leerlingen werken vaak met folders en prijslijsten om de situatie zo realistisch mogelijk te maken. Geld is een gegeven uit de werkelijkheid dat ook vaak gebruikt wordt in vraagstukken. Zo krijgen de leerlingen geregeld de opdracht om de prijs van een aantal producten of van een recept te bepalen en terug te geven op een bepaald bedrag.

103

Aanpak

Op het einde van het vierde leerjaar werden ook de begrippen inkoopprijs, verkoopprijs, winst en verlies geïntroduceerd. De term eenheidsprijs introduceer je in blok 2. In het vijfde leerjaar komen deze zaken geregeld aan bod in vraagstukken. De verhouding tussen inkoopprijs, verkoopprijs en winst/verlies stellen we voor aan de hand van een schema met drie stroken. Verkoopprijs (VP) Inkoopprijs (IP)

Winst (W)

De leerlingen gaan ook aan de slag met kalenders om bijvoorbeeld de tijdsduur in maanden, weken en dagen te bepalen. Begrippen als trimester, semester en kwartaal, die al geïntroduceerd werden in het vierde leerjaar, worden ook herhaald in het vijfde leerjaar. Ten slotte schenken we ook aandacht aan het noteren van data op verschillende manieren en aan het lezen en interpreteren van tijdtabellen (bijvoorbeeld de dienstregeling van de trein).

Inkoopprijs (IP) Verkoopprijs (VP)

Verlies (V)

In blok 6 introduceer je de begrippen intrest, rentevoet en kapitaal. Deze begrippen komen enkel aan bod in vraagstukken en worden opgelost met behulp van de verhoudingstabel. 2 % rentevoet bedrag KAPITAAL

€ 100

€ 200

€ 50

extra INTREST na 1 jaar

€2

€4

€1

In blok 7 maken de leerlingen kennis met verschillende vreemde munten. Ook hier wordt er bij het omrekenen van de vreemde munteenheid naar de euro gewerkt met de verhoudingstabel.

Tijd Aan het einde van het vierde leerjaar kunnen de leerlingen de digitale en de analoge klok lezen tot op een seconde nauwkeurig. De leerlingen oefenen in het vijfde leerjaar verder op het lezen van de tijd en het bepalen van tijdsduur. Ze bepalen bijvoorbeeld de tijdsduur tussen twee tijdstippen of bepalen de begin-/eindtijd als de eind-/begintijd en de tijdsduur gegeven zijn. We illustreren dit eventueel op de 24-urentijdlijn. Het is belangrijk om voldoende aandacht te schenken aan het feit dat een dag bestaat uit 24 uur en dat tijdstippen genoteerd kunnen worden als voor en na de middag. Het bepalen van het tijdsverschil tussen 07.44 en 09.16 bijvoorbeeld stel je als volgt voor:

De opdrachten in verband met tijd die de leerlingen maken zijn meestal ingebed in een betekenisvolle context. Het toepassen van de leerstof draagt ertoe bij de brug naar de werkelijkheid te slaan en zo te komen tot functionele gecijferdheid. Let op! De leerlijn tijd wordt in zWISo benaderd als een procesdoel. Dat wil zeggen dat het niet voldoende is om er alleen in de lessen in verband met tijd aandacht aan te schenken. Het is belangrijk dat je voortdurend mogelijkheden aangrijpt om het tijdsbegrip van de leerlingen te bevorderen. Het gebruik van spellen, het dagelijks aflezen van de klok, het laten plannen van de treinrit door de leerlingen, … dragen hier toe bij.

Temperatuur In het vierde leerjaar werd de eenheid graden Celsius geïntroduceerd. In het vijfde leerjaar wordt deze leerstof verder geoefend en uitgediept. De leerlingen krijgen de opdracht om temperaturen af te lezen van een thermometer, temperaturen te lezen van grafieken, temperatuurverschillen

104

Gebruikswijzer

te bepalen, … We werken zowel met positieve als negatieve temperaturen. Bij het bepalen van een temperatuurverschil tussen een positieve en een negatieve temperatuur werken we met een getallenlijn (zie Getallen – Negatieve getallen). Door deze schematische voorstelling ontwikkelen de leerlingen een beter inzicht in de getallenrij. In het vijfde leerjaar zijn er, aangezien er geen nieuwe leerinhoud in verband met temperatuur wordt aangereikt, haast geen aparte lessen over dit onderwerp. De context temperatuur komt echter vaak voor in vraagstukken, bijvoorbeeld bij vraagstukken in verband met gemiddelde, bij het werken met negatieve getallen, …

4 Meetkunde

Hoeken

We werken op verschillende manieren aan de ontwikkeling van het ruimtelijk inzicht van de leerlingen. De leerlingen gaan geregeld aan de slag met kaarten en geven daar bijvoorbeeld een plaats op aan met coördinaten. Voorts gaan ze bijvoorbeeld een route beschrijven (onder andere op een plattegrond/kaart) en aan de hand van een beschrijving een route op een plattegrond volgen. Dergelijke dingen worden vaak gekoppeld aan het leerdomein schaal.

In het vierde leerjaar hebben de leerlingen in eerste instantie hoeken onderzocht met een zwaaihoek (twee met een splitpen aan elkaar bevestigde repen karton). In een volgende fase hebben ze een hoek gemeten door die te vullen met papieren spieën. De grootte werd dan uitgedrukt als volgt: hoek A meet x spieën. Op deze manier stelden de leerlingen vast dat hoe kleiner de maateenheid is waarmee gemeten wordt, hoe groter het maatgetal is. Dit meten met een kwalitatieve maat herhalen we kort in de eerste les over hoeken in het vijfde leerjaar. Dit is immers een goede voorbereiding op het meten van hoeken met een graadboog. In blok 4 meten de leerlingen eerst een hoek met spieën, daarna met een spieënboog en gaan dan over naar het meten met de graadboog en het uitdrukken van de grootte van hoeken met de eenheid graden en het symbool °.

Voor het domein meetkunde geldt dat de inhouden, net als in de voorgaande jaren, handelend benaderd worden. De leerlingen ervaren de verschillende aspecten van meetkunde door bijvoorbeeld figuren te onderzoeken, materiaal te hanteren en zichzelf te verplaatsen in de ruimte. Hierbij bouwen we verder op de kennis en de vaardigheden die de leerlingen de voorbije jaren opdeden. In het vijfde leerjaar stappen we, nog meer dan in het vierde leerjaar, over naar een abstracter niveau.

Ruimtelijke oriëntatie

Ook blokkenbouwsels komen aan bod in het vijfde leerjaar. Je laat de leerlingen bouwsels nabouwen (op basis van een grondplan met hoogtegetallen of op basis van aanzichten) en een grondplan met hoogtegetallen noteren. De leerlingen tekenen ook het vooraanzicht, de zijaanzichten en het bovenaanzicht van een gegeven bouwsel. In blok 6 gaan de leerlingen aan de hand van verschillende activiteiten op de speelplaats verschillende schaduwen onderzoeken.

In het vierde blok gaan de leerlingen ook hoeken van een bepaalde grootte tekenen. In blok 5 introduceer je de begrippen kwartdraai, halve draai en volledige draai. De leerlingen stellen tijdens deze les door middel van verschillende activiteiten vast dat de som van de hoeken van een driehoek steeds 180° is en dat de som van de hoeken van een vierhoek steeds 360 ° is.

105

Aanpak

Zo ontdekken ze bijvoorbeeld dat de lengte en de richting van een schaduw afhankelijk zijn van het tijdstip, dat de schaduw van bijvoorbeeld een vierkant verschillende vormen kan aannemen en dat de schaduw van een voorwerp evenredig is met de lengte van het voorwerp. Ze passen deze laatste eigenschap toe bij vraagstukken over schaduwen.

Het bordschema dat tijdens deze lessen wordt opgebouwd ziet er als volgt uit:

De leerlingen krijgen ook de opdracht om vierhoeken met bepaalde eigenschappen te tekenen.

In het vijfde leerjaar blijft er zeker plaats voor creatieve en uitdagende lessen rondom ruimtelijke oriĂŤntatie. Zo gaan de leerlingen in het vijfde blok aan de slag met een tangram, vouwen ze in blok 6 een kubus aan de hand van een visueel en tekstueel ondersteund stappenplan en onderzoeken ze in het zevende blok knipfiguren.

Vormleer In het vijfde leerjaar herhalen we de eigenschappen van de vlakke figuren en diepen ze verder uit. In het eerste blok onderzoeken de leerlingen de hoeken van driehoeken. Tijdens deze les herhalen we de begrippen recht, stomp en scherp. De leerlingen benoemen de driehoek daarna als rechthoekig, scherphoekig of stomphoekig. Ze krijgen hier ook de opdracht om driehoeken te tekenen. In het tweede blok onderzoeken de leerlingen de zijden van driehoeken. In deze les worden de begrippen gelijkbenig, gelijkzijdig en ongelijkbenig/ongelijkzijdig herhaald. In een latere fase benoemen leerlingen driehoeken ook volgens de hoeken en de zijden, bijvoorbeeld een gelijkbenige stomphoekige driehoek.

In blok 4 tekenen de leerlingen de diagonalen in veelhoeken. Bij de vierhoeken onderzoeken ze ook of de diagonalen even lang zijn, elkaar middendoor snijden of elkaar loodrecht snijden. Hun bevindingen worden besproken en samengevat in een tabel. De eigenschappen van de cirkel en de bijbehorende terminologie (straal, middelpunt en diameter/ middellijn) worden herhaald in blok 5. In dit blok krijgen de leerlingen ook de opdracht om cirkels met een gegeven straal te tekenen. Verder onderzoeken de leerlingen in dit blok voor het eerst systematisch ruimtefiguren/lichamen. Je introduceert de begrippen veelvlak en niet-veelvlak, â&#x20AC;Śvlak (bijvoorbeeld zesvlak), kubus, balk, piramide, kegel, cilinder en bol. De leerlingen onderzoeken en categoriseren in deze lessen verschillende voorwerpen. Het resultaat van deze activiteit wordt voorgesteld op het bord: Veelvlakken

kubus balk piramide

Het onderzoeken en classificeren van vierhoeken behandelen we in het vijfde leerjaar voor het eerst in blok 2. In deze lessenreeks onderzoeken de leerlingen verschillende figuren (hoeken en zijden) met behulp van de geodriehoek. Tijdens een klassikale bespreking worden de eigenschappen en de benamingen van de verschillende vierhoeken herhaald.

106

viervlak

vijfvlak

zesvlak

meer dan zes zijvlakken

Niet-veelvlakken

bol

kegel

cilinder

Gebruikswijzer

Meetkundige relaties Om voortbouwend op vorige leerjaren de leerlingen een dieper inzicht te geven in meetkundige relaties laat je hen lijnen onderzoeken en benoemen als snijdende of evenwijdige rechten. Bij snijdende rechten onderscheid je ook nog rechten in loodrechte stand/ loodlijnen. Je geeft de leerlingen ook de opdracht om snijdende en evenwijdige rechten te tekenen met behulp van de geodriehoek (werkwijze zie zWISowijzer). Dit wordt ook toegepast bij het tekenen van vlakke figuren.

Bij het aangeven van evenwijdige rechten en loodlijnen gebruiken de leerlingen de symbolen // en ⊥. De leerlingen onderzoeken, net als in de voorgaande leerjaren, spiegelingen in vlakke figuren en in de omgeving. Ze gebruiken daarbij de termen spiegelbeeld, spiegelas en spiegeling. De leerlingen gaan in het vijfde leerjaar ook een spiegelbeeld tekenen en onderzoeken. Hierbij stellen ze nog eens vast dat de figuur en het spiegelbeeld dezelfde vorm en grootte hebben, dat figuur en spiegelbeeld even ver van de spiegelas liggen, dat de figuur en het spiegelbeeld een andere oriëntatie hebben en dat de verbindingslijn tussen een punt en zijn spiegelbeeld loodrecht op de spiegelas staat. Voorbeeld Spiegelas K

3 cm A

2 cm

5,5 cm

4,5 cm S

3 cm 2 cm

Het ontdekken van symmetrie (een spiegeling waarbij je de volledige figuur ziet) doen de leerlingen in het vierde blok van het vijfde leerjaar. Ze onderzoeken symmetrie door een spiegel te gebruiken en door te vouwen. Hierna krijgen ze ook de opdracht om symmetrieassen te tekenen. Aangezien het gebruik van de term symmetrieas geen doel is in het leerplan van OVSG, omschrijven we een symmetrieas in het leerlingmateriaal ook als een spiegelas waarbij je de volledige figuur opnieuw ziet.

Als toepassing op gelijkvormigheid onderzoeken de leerlingen in blok 6 verschillende figuren die op schaal getekend zijn. Aan de hand van verschillende metingen ontdekken ze het verband tussen de omtrek van de gegeven figuur en de omtrek van de figuur op schaal, alsook het verband tussen de oppervlakten.

5 Vraagstukken Het hoofddoel van zWISo is functionele gecijferdheid. Wij willen ertoe bijdragen dat leerlingen problemen die in het echte leven op hun weg komen, kunnen aanpakken. Daarom hechten we in zWISo veel belang aan het behandelen van oefeningen in een betekenisvolle context, een context die aansluit bij de leefwereld van de leerlingen. In sommige leerplannen zijn deze vraagstukken opgenomen in een aparte rubriek toepassingen. Wij hebben bewust geen aparte leerlijn toepassingen opgenomen in de leerlijn, omdat we ervan overtuigd zijn dat het oplossen van vraagstukken in elk domein en domeinoverschrijdend (bijvoorbeeld meten en bewerkingen) aan bod moet komen.

5,5 cm

4,5 cm E

In de loop van het vijfde leerjaar maken de leerlingen geregeld vraagstukken om de bekende schema’s (bijvoorbeeld getallenlijn, verhoudingstabel, procentstrook, …) toe te passen en in te oefenen. In deelgebieden als lengte, inhoud, gewicht en geld wordt er in het vijfde leerjaar haast geen nieuwe

107

Aanpak

leerstof aangereikt. In zWISo hechten we echter veel belang aan het onderhouden en vastzetten van deze essentiële kennis. Naast het aanbieden van verschillende niet-contextgebonden oefeningen (bijvoorbeeld herleidingen, het samenstellen van een bepaalde lengte, inhoud, gewicht of prijs, het aanvullen tot …, …) komen er dan ook heel frequent vraagstukken over deze leerinhouden aan bod. Het onderhouden van deze kennis en meer bepaald de koppeling ervan aan realistische situaties is onontbeerlijk voor het verder uitbouwen van de functionele gecijferdheid.

108

In deze fase gaan de leerlingen na wat ze moeten weten om het vraagstuk op te lossen. Ze bepalen ook hoe ze de bewerkingen gaan oplossen. Ze stellen de situatie eventueel voor met een schets of noteren de gegevens en het gevraagde al in de verhoudingstabel, op de procentstrook of … zWISo

Belangrijk om hierbij op te merken is dat we in het vijfde leerjaar de leerlingen, nog meer dan in de vorige leerjaren, willen aanzetten tot het gebruiken van een oplossingswijze die het best bij de gegeven situatie (de gebruikte getallen) en hun inzicht in getallen en bewerkingen past. Leerlingen die

Bij dit pictogram lezen de leerlingen het vraagstuk en bepalen ze wat er gevraagd wordt.

Het maken van vraagstukken vormt vaak een grote uitdaging voor de leerlingen. Het is belangrijk dat je voldoende aandacht schenkt aan het zorgvuldig lezen en analyseren van het vraagstuk. Om het oplossen van vraagstukken eenvoudiger te maken, werken we bij het berekenen van het resultaat met onbenoemde getallen. De leerlingen gebruiken dus geen maateenheden in de bewerkingen. De eenheid wordt pas bij het formuleren van een antwoordzin gekoppeld aan het resultaat. Op deze manier kunnen de leerlingen zich bij het maken van de bewerkingen volledig concentreren op het uitvoeren van de wiskundige procedure.

zWISo

Er is ook geregeld voorzien in vraagstukken met een wat opener karakter. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld de opdracht om zelf een vraagstuk te bedenken bij een gegeven oefening. Deze laatste opdrachten maken echter geen deel uit van het basistraject en zijn bijgevolg meestal opgenomen in de zWISo-box.

De opgaven van de vraagstukken zijn omvangrijker en complexer dan in het vierde leerjaar, maar blijven wel geregeld vergezeld gaan van een afbeelding ter ondersteuning van het tekstuele. De gegevens worden soms ook voorgesteld in een tabel of een grafiek.

hoofdrekenen moeilijk vinden mogen bijvoorbeeld in een les vraagstukken bepaalde oefeningen oplossen met behulp van de zakrekenmachine. Bij deze leerlingen blijft het wel essentieel om voldoende aandacht te schenken aan het vastzetten en eventueel opnieuw verduidelijken van de aangeboden standaardprocedures (zie Bewerkingen). zWISo biedt voor het oplossen van vraagstukken een methodespecifiek stappenplan dat de leerlingen ertoe aanzet om vraagstukken op een weldoordachte en gestructureerde manier aan te pakken. Het leerkrachtmateriaal omvat vier pictogrammen die dat stappenplan ondersteunen. Je kunt die kaarten in de klas ophangen en er bij het oplossen van vraagstukken naar verwijzen. De pictogrammen worden ook verkleind afgebeeld in het werkboek, om de leerlingen eraan te herinneren dat een vraagstuk volgens een bepaald stappenplan opgelost wordt. De vier pictogrammen zien er als volgt uit:

Dit pictogram symboliseert het uitvoeren van de bewerkingen.

Ten slotte formuleren de leerlingen een antwoord op de vraag en controleren hun antwoord.

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

N W

O Z

110

Hoofdstuk 5 • Observatie, remediëring en evaluatie In een gemiddelde Vlaamse klas van het lager onderwijs zitten kinderen met uiteenlopende cognitieve vaardigheden. Het is belangrijk dat de leerkracht inspanningen doet om elk kind de kans te geven om zijn talenten, op zijn niveau, maximaal te ontplooien. Bovendien blijkt uit recent onderzoek dat in Vlaanderen de kloof tussen sterke en zwakkere leerlingen in het wiskundeonderwijs groot is. De overheid en de onderwijskoepels dringen er sterk op aan om daar extra aandacht aan te schenken.

Signaleren en diagnosticeren Bij het signaleren en diagnosticeren hebben we oog voor de leerling in zijn totaliteit: het gaat dus niet alleen om cognitief, maar ook om affectief en sociaal gedrag. Leermoeilijkheden hebben niet zelden te maken met gedragsproblemen die een emotionele of een sociale oorzaak hebben. Dat neemt echter niet weg dat tempotoetsen en observatie- en eindtoetsen waardevolle middelen zijn om rekenmoeilijkheden op te sporen en de aard ervan te achterhalen. Hoe eerder dat gebeurt, hoe groter de kans om deze problemen geheel of gedeeltelijk op te lossen. Op die manier kunnen ernstige leerachterstanden voorkomen worden. Als de rekenontwikkeling duidelijk te wensen overlaat, is de eerste vraag of deze problemen opgelost kunnen worden door herinstructie of verlengde instructie. Vervolgens komt de vraag aan de orde of er leerlingen zijn die specifieke pedagogisch-didactische behoeften hebben. Problemen bij de ontwikkeling van wiskundige kennis en vaardigheden kunnen immers ook te wijten zijn aan onvoldoende zelfsturing, beperkte mentale activiteit, gedragsproblemen (bijvoorbeeld ADHD) of zwakke taalkennis en taalvaardigheid. De diagnosestelling en de aanpak van deze problemen vereisen gespecialiseerde hulp. Ze vallen buiten het bestek van de zWISo-methode.

Preventie en interventie Preventie en interventie zijn de aangewezen wegen om in een zo vroeg mogelijk stadium gesignaleerde tekorten in de ontwikkeling van de wiskundige kennis en vaardigheden aan te pakken. Preventie van rekenproblemen vertaalt zich met name in de ontwikkeling van een goed inzicht en het aanleren van goede oplossingsstrategieën. Interventie vertaalt zich in het geven van extra instructie- en oefentijd aan leerlingen die uit de boot dreigen te vallen.

In een vroeg stadium heeft gerichte aandacht voor de rekenontwikkeling grote invloed. In zWISo wordt er daarom vanaf het eerste leerjaar gewerkt met doordachte wiskundige modellen die inzichtelijk worden opgebouwd. In het algemeen geldt dat zwakke rekenaars baat hebben bij gerichte en degelijke instructie. In de lesbeschrijving worden geregeld tips gegeven om het lesverloop en de verwerking aan te passen aan de behoeften van deze leerlingen. Voorts worden er in de lesbeschrijvingen ook aanwijzingen gegeven voor de gerichte observatie van de leerlingen. Door dit preventieve onderwijs kan er snel worden ingegrepen bij onduidelijkheden of problemen en kan een grote achterstand vermeden worden. Risicoleerlingen hebben, ook al wordt de groepsinstructie goed gegeven, meestal toch nog behoefte aan verlengde instructie of herinstructie en aan meer begeleiding bij het verwerken van de leerstof. Een belangrijke factor hierbij is de hoeveelheid tijd die een leerling daarvoor krijgt. Voor rekenen hebben deze leerlingen meestal extra tijd nodig om de aansluiting met de groep niet te verliezen. Aangezien de verwerking van de leerstof in het werkboek grotendeels zelfstandig werk is, komt er voor de leerkracht tijd vrij voor verlengde instructie en ondersteuning van de zwakkere rekenaars. De remediëringslessen tijdens de laatste week van elk blok zijn een uitgelezen moment om de zwakke rekenaars gericht bij te sturen. De extra hulp die deze leerlingen krijgen, kan het beste gegeven worden met de beschikbare materialen van de methode. De breukendoos, de KomMatz-kaarten (vierde leerjaar) en de getallenlijnen zijn uitstekende leermiddelen voor de remediëring van zwakke rekenaars. Het is ook belangrijk om extra aandacht te schenken aan taalzwakke leerlingen. De manier waarop zWISo hierop inspeelt wordt verduidelijkt in het onderdeel zorg in hoofdstuk 1.

Hoe verlopen observatie, remediëring en evaluatie in zWISo? Om goed te kunnen omgaan met verschillen tussen leerlingen moet je een nauwkeurig beeld van het niveau van elke leerling hebben. De meeste scholen gebruiken tegenwoordig een leerlingvolgsysteem dat alle leerjaren omvat en waarin de vorderingen van de leerlingen op de belangrijkste leergebieden zichtbaar gemaakt worden.

111

Gebruikswijzer

Inleiding remediëring en Observatie, evaluatie

Om zo vroeg mogelijk te kunnen ingrijpen bij rekenproblemen is echter een methodegebonden en fijnmaziger volgsysteem noodzakelijk. In zWISo wordt er met behulp van observatie- en eindtoetsen op geregelde basis gedetailleerde informatie over de voortgang van het verwerven van wiskundige kennis en vaardigheden verzameld. Op basis hiervan is het mogelijk achterstanden of problemen vroegtijdig op te sporen (signaleren), na te gaan wat de oorzaak ervan kan zijn (diagnosticeren) en aanwijzingen te geven hoe achterstanden eventueel voorkomen of verholpen kunnen worden (preventie en remedie).

mag je uiteraard niet wachten tot het toetsmoment. Reeds in de loop van het leertraject levert de observatie tijdens de basislessen belangrijke informatie op. In de lesbeschrijvingen in de handleiding worden geregeld gerichte aandachtspunten voor observatie aangegeven. Die kunnen je helpen bij het signaleren van eventuele onduidelijkheden of problemen. De laatste week van elk blok ziet er als volgt uit:

Rekenproblemen dienen zich vaak vroeg in de ontwikkeling van kinderen aan. De achtergrond van rekenproblemen kan sterk variëren. Hoe eerder zwakke rekenaars worden gesignaleerd, hoe groter de kans dat rekenmoeilijkheden voorkomen of geremedieerd kunnen worden. Daarom is er binnen zWISo een fijnmazig volgsysteem ontwikkeld. en Doe!-bladen

Om het leerproces van kinderen optimaal te kunnen begeleiden moet je als leerkracht een goed beeld hebben van de verschillen tussen kinderen. De middelen die zWISo biedt om zo nauw mogelijk aan te sluiten bij de ontwikkeling van elke leerling Verlengde instructies zijn aanwijzingen voor gerichte observatie in de lesbeschrijvingen en de observatie-, de extra- en de eindtoetsen. De aanwijzingen voor observatie tijdens de basislessen zijn gericht op het waarnemen van gedrag in de klas, terwijl de toetsen bestaan uit opgavenreeksen die op een nauwkeurig omschreven wijze moeten worden afgenomen.

*Blokken 1 en 7 beslaan vier weken.

zWISo heeft gekozen voor één leertraject dat alle leerlingen doorlopen. De bedoeling is dat iedereen de aangeboden sleutelinhouden beheerst. Om de rekenontwikkeling van je leerlingen te volgen

112

In het begin van de laatste week van elk blok wordt van alle leerlingen een observatietoets (Alleen 1) afgenomen. Aan de hand van deze toets worden zowel de productdoelen (hoofddoelen) als de procesdoelen (nevendoelen) van het respectieve blok getoetst. Enkel oefeningen die de productdoelen van het blok behandelen die aan bod komen in de remediëringslessen worden genormeerd. De andere doelen worden wel getoetst maar niet genormeerd. Het toetsen van deze doelen geeft wel een goed beeld van wat de leerlingen al kunnen. Voorts biedt dit ook

Gebruikswijzer

de mogelijkheid om in de volgende lessen over het desbetreffende onderwerp extra aandacht te schenken aan de leerlingen die laag scoorden op deze doelen. Omdat de toetsen toegespitst zijn op de sleutelinhouden, ligt de norm per definitie steeds hoog. Leerlingen die op bepaalde onderdelen laag scoren, tonen immers aan dat ze bepaalde essentiële sleutelinhouden niet beheersen. Om te vermijden dat deze leerlingen in het vervolg van het leertraject een groeiende leerachterstand oplopen, is het van groot belang dat ze extra aandacht krijgen in de daaropvolgende lessen. De oefeningen zijn in de observatietoets per domein gegroepeerd: getallen, bewerkingen, meten en meetkunde. Er worden deelnormen vastgelegd. Zo wordt het mogelijk om vast te stellen welk rekendomein problemen oplevert, en dus op welke leerstof welke leerling geremedieerd moet worden. De resultaten van de observatietoets kunnen geregistreerd worden op de bijbehorende registratiebladen, met name de zWISo-meter. Die is steeds terug te vinden in de kopieermap. Eerst wordt een overzicht van de doelstellingen van het blok gegeven. Dit wordt gevolgd door het registratieblad zelf. Op dat blad schrijf je de scores per oefening van alle leerlingen op. Na het berekenen van de totaalscore per leerling kun je de scores vergelijken met de vooropgestelde normen. Die normen zijn terug te vinden op het registratieblad van de zWISo-meter (score 1). Vervolgens moeten deze scores geanalyseerd worden. Leerlingen die alle normen halen, worden tijdens de rest van de week ingedeeld bij groep 1. Deze leerlingen hebben aangetoond dat ze de sleutelinhouden van het desbetreffende blok voldoende beheersen. Zij hebben geen extra instructie of oefenbegeleiding nodig. Score 1 op de

observatietoets is voor deze leerlingen meteen de eindscore voor dat blok. De leerlingen die één of meerdere tussennormen niet halen, worden ingedeeld in groepen 2a en/of 2b. Deze indeling wordt gemaakt op basis van de doelstellingen van de twee remediëringslessen. Zoals gezegd stemt deze indeling waar mogelijk overeen met een opdeling per rekendomein. Oefeningen op doelstellingen die in de eerste remediëringsles worden behandeld, worden onderverdeeld in score 2a en die welke behandeld worden in de tweede les bij 2b. Het is dus mogelijk dat een leerling zowel tot groep 2a als tot groep 2b behoort. Het is evenzeer mogelijk dat een leerling slechts tot één van beide groepen behoort en voor het andere onderdeel meeloopt met groep 1. Op www.zwiso.be is een digitale versie van de zWISo-meter ter beschikking. Daarmee kun je een en ander makkelijker registreren en verwerken. Met kleurcodes wordt weergegeven welke leerlingen bij voorkeur welk traject doorlopen. Schenk voldoende aandacht aan een grondige foutenanalyse van de toets. Het is mogelijk dat leerlingen die de normen haalden toch uitvallen op een bepaalde inhoud. Hou dit zeker in de gaten en stuur bij waar nodig. De leerlingen van groep 1 kunnen de oefeningen van de remediëringslessen uit het zWISo-werkboek zelfstandig maken. Wanneer in die lessen blijkt dat sommige leerlingen uit groep 1 moeilijkere leerstof aankunnen, maken ze zelfstandig oefeningen uit de zWISo-box en de verdiepingsmap. De leerlingen van groep 2a en 2b krijgen verlengde instructie voor die basisdoelen waarop ze zwak presteerden en maken de bijbehorende oefeningen in het zWISo-werkboek onder begeleiding van de leerkracht. De oefeningen waarvoor ze de norm behaalden, maken ze zelfstandig. De leerlingen van groep 2 worden na de remediëring opnieuw geëvalueerd met de eindtoets.

113

Inleiding remediëring en Observatie, evaluatie

De eindtoets (Alleen 2) is op een soortgelijke manier samengesteld als de observatietoets. Hij behandelt echter alleen de geremedieerde doelen. Er is één globale norm voor de eindtoets. De oefeningen zijn van een evenwaardig niveau als bij de observatietoets. Het is daarom niet nodig om leerlingen die al in de observatietoets bewezen dat ze de leerstof beheersen, opnieuw te evalueren met deze toets. Wij adviseren daarom deze eindtoets alleen af te nemen bij leerlingen die in de observatietoets uitvielen voor een of ander onderdeel. Als leerlingen na verlengde instructie de norm op de toets niet halen is dit voor u als leerkracht een belangrijk signaal. Schenk extra aandacht aan deze leerlingen als er onderwerpen worden behandeld waarop zij uitvielen. Laat hen deze inhouden ook geregeld oefenen, bijvoorbeeld aan de hand van de rekenspellen in de kopieermap. Geef deze informatie ook door aan het zorgteam. Terwijl een deel van de leerlingen de eindtoets maakt, kun je aan de hand van de extra-toets nagaan in welke mate de leerlingen de inhouden van de ladderkaarten van de zWISo-box beheersen. Aangezien de inhouden van de ladderkaarten niet tot het basisniveau behoren, zijn de oefeningen enkel gequoteerd en niet genormeerd. Afhankelijk van het aantal gemaakte ladderkaarten en het niveau van de leerlingen kun je er voor kiezen om hen de volledige toets of slechts een selectie van de oefeningen te laten oplossen. Het registratiesysteem van de zWISo-box kan hierbij een handige leidraad vormen.

114

De cijfers die een leerling op de toets (op de observatietoets en de eind- of de extra-toets) scoort kunnen eventueel gebruikt worden als cijfers op het schoolrapport. Met het zWISo-volgsysteem kan gedifferentieerd omgegaan worden in de rapportering en/of de communicatie voor de ouders. Het verdient aanbeveling om mee te geven of de gerapporteerde score werd behaald op de observatietoets dan wel op de eindtoets en welk traject de leerling heeft doorlopen tijdens de laatste week van het blok. De punten op de extra-toets kunnen ook opgenomen worden in de rapportering. Bij het afnemen van de toets is het belangrijk de opdrachten steeds goed uit te leggen en de leerlingen na het voorstellen van elke opgave genoeg tijd te geven om de oefening in te vullen. Aangezien het de bedoeling is na te gaan wat de leerlingen al kunnen, moeten ze de oefeningen alleen maken. De leerlingen hoeven zich wel niet bewust te zijn van de toetswaarde van de oefeningen. Het toetsmoment kan op dezelfde manier aangepakt worden als een ‘Oefen!’-les, wat ook zelfstandig werk is. Voor leerlingen met faalangst of concentratiemoeilijkheden kan dat een voordeel zijn. Bij leerlingen die tijdens de basis- en de oefenlessen nog concreet materiaal nodig hebben (bijvoorbeeld de breukendoos) kun je oordelen om hen deze materialen ook te laten gebruiken bij de toetsen. Je kunt er ook voor kiezen om leerlingen de zWISowijzer te laten gebruiken. Het is wel belangrijk om dat steeds op de zWISo-meter te vermelden. Het kan interessant zijn om deze zwakkere rekenaars één toets met materiaal en één toets zonder materiaal te laten maken. Zo kun je je een beeld vormen van hun reële niveau.

Notitieruimte

Inleiding

116

Notitieruimte

Gebruikswijzer

117