Zwiso gebruikswijzer leerjaar 6 by Uitgeverij Zwijsen België

WISo wijsen wiskunde onderwijs

gebruikswijzer leerjaar 6

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 1

17/08/12 13:30

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 2

17/08/12 13:31

Inhoudstafel Inleiding

Gebruikswijzer

Hoofdstuk 1: Uitgangspunten van zWISo 5 Hoofdstuk 2: Materialen Leerkrachtmateriaal

• Gedrukte materialen

• Handelingsmaterialen

• Digitale materialen

Leerlingmateriaal

• Gedrukte materialen

• Handelingsmaterialen

Hoofdstuk 3: zWISo-leerlijn zesde leerjaar Getallen

Bewerkingen

Meten

Meetkunde

Hoofdstuk 4: Aanpak Getallen

• Natuurlijke getallen tot 100 miljard

• Negatieve getallen

• Kommagetallen

• Breuken

• Procent

• Relatie breuken, kommagetallen en percentages

Bewerkingen

• Optellen en aftrekken

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Vermenigvuldigen

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Delen

- Hoofdrekenen

- Schatten

- Cijferen

• Breuken

Meten

Meetkunde

110

Vraagstukken

113

Hoofdstuk 5: Observatie, remediëring en evaluatie 117

1 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 1

17/08/12 13:31

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 2

17/08/12 13:31

Inleiding

Gebruikswijzer

Beste leerkracht of begeleider van het zesde leerjaar, Je hebt besloten om met zWISo van start te gaan! Om je daarbij optimaal te begeleiden hebben we deze gebruikswijzer geschreven. Hij legt de belangrijkste kenmerken en de manier van werken van de methode uit. Deze tekst helpt je bij het doorgronden van de opbouw en de filosofie van zWISo en de bijbehorende materialen. Na het doornemen van deze gebruikswijzer kun je dus zonder problemen aan de slag. Het eerste hoofdstuk beschrijft de visie, uitgangspunten en algemene kenmerken van zWISo. Het geeft je met andere woorden inzicht in het fundament van de methode. Het volgende hoofdstuk behandelt de materialen van zWISo en het gebruik ervan. Je krijgt van al het leerkrachten leerlingmateriaal een beschrijving van hoe het eruitziet en wat het bevat. Vervolgens wordt beschreven hoe je het materiaal kunt gebruiken. Het derde hoofdstuk licht de leerlijn van het zesde leerjaar toe. Deze leerlijn laat zien hoe de leerplandoelen van het zesde leerjaar bereikt worden, met aandacht voor methodegebonden keuzes. Dit alles met het oog op het bereiken van de eindtermen. zWISo, een 100 % Vlaamse methode In hoofdstuk vier verduidelijken we de manier waarop getallenkennis, bewerkingen, meten, meetkunde en vraagstukken worden behandeld. We beschrijven ook hoe het gebruik van de materialen hierbij aansluit. Het laatste hoofdstuk verduidelijkt de manier van observatie, remediëring en evaluatie in zWISo.

zWISo is een wiskundemethode die volledig ontwikkeld is door Vlaamse leerkrachten, docenten en pedagogen. De coördinatie- en adviesgroep van zWISo bestaat uit Andrea Jacobs (lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool Sint-Lieven, Sint-Niklaas), Annemie Deklerck (voormalig lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool ZW-Vlaanderen, Tielt), Francine Vervenne (voormalig lector Wiskunde aan de Katholieke Hogeschool Mechelen) en Patrick Winne (ereadviseur OVSG). Het auteursteam van het zesde leerjaar bestaat uit Miet Daniels, Stijn Dekelver, Sandra Janssens, Annemie Deklerck, Kristiaan Pipijn, Sanne Ramaekers, Els Van De Venne en Truus Verstocken, onder coördinatie van Andrea Jacobs en Francine Vervenne. De loper- en ladderkaarten van de zWISo-box werden geschreven door Lief Verstringe, Greet Absillis, Christine Vandenberg, Kristiaan Pipijn, Pamela Kerkhove, Hendrik Coucke en Annemie Deklerck. De verdiepingsoefeningen zijn uitgewerkt door Hendrik Coucke en Annemie Deklerck, onder coördinatie van deze laatste.

3 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 3

17/08/12 13:31

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 4

17/08/12 13:31

Hoofdstuk 1 • Uitgangspunten van zWISo Meer en meer dringt de laatste jaren in het onderwijs het besef door hoe belangrijk de toepasbaarheid en praktische bruikbaarheid van wiskundige kennis en vaardigheden zijn. Deze visie op wiskunde vraagt om een specifieke didactische aanpak. zWISo, een vernieuwende wiskundemethode, werkt aan wezenlijk inzicht in de wiskundige procedures en kennis om zo te komen tot functionele gecijferdheid. Dat is het hoofddoel van zWISo.

Functionele en schoolse gecijferdheid Gecijferdheid is ‘het adequaat kunnen omgaan met wiskundige situaties in het persoonlijke en maatschappelijke leven, in combinatie met het vermogen om kennis en vaardigheden flexibel te kunnen aanpassen aan nieuwe eisen in een continu veranderende maatschappij’. Gecijferdheid valt uiteen in vier componenten: wiskundige kennis en vaardigheid; omgaan met wiskundige situaties; het verwerven en verwerken van nieuwe informatie en leervaardigheden. zWISo werkt aan alle vier de componenten van gecijferdheid. Het doel van deze rekenmethode is dus om leerlingen wiskundige kennis en vaardigheden bij te brengen zodat ze in staat zijn zelfstandig te handelen en beslissingen te nemen in wiskundige situaties. Kinderen leren wiskundige problemen herkennen en creatieve oplossingen bedenken (bijvoorbeeld het werken met ronde getallen of het gebruik maken van visuele ondersteuning) door hun kennis en vaardigheden flexibel in te zetten. Enkele voorbeelden van concrete contexten en situaties die aan bod komen in zWISo zijn: de benodigdheden voor een verjaardagsfeest bepalen, de ingrediënten van een recept omrekenen, de juiste maateenheid kiezen bij metingen (bijvoorbeeld de eigen lichaamslengte meten), bij een groepsuitstap de totale prijs berekenen, … Doordat de leerstof hun in verschillende situaties geïntegreerd wordt aangereikt, ontdekken de leerlingen de samenhang in onderwerpen en leerlijnen. Behalve naar deze functionele gecijferdheid streeft zWISo ook naar schoolse gecijferdheid. Want niet alleen praktisch en creatief kunnen rekenen, maar ook schoolse gecijferdheid is een belangrijke voorwaarde voor succes in de verdere (school)loopbaan. Voorbeelden van schoolse gecijferdheid in het zesde leerjaar zijn het verwerven van inzicht in getallen, het bepalen van percentages, het uitvoeren van bewerkingen met breuken, het verder uitbouwen van het cijferalgoritme, ...

Gebruikswijzer

Dit vraagt van de leerlingen algemene wiskundige inzichten, vaardigheden en het vermogen om wiskundig te redeneren. zWISo streeft ernaar om leerlingen een brede basis bij te brengen die verder kan worden ontwikkeld. Dat wordt gerealiseerd door het geven van opdrachten binnen een betekenisvolle concrete context en het handelend verwerven van kennis en vaardigheden. zWISo wordt gekenmerkt door vijf pijlers: inzicht, zorg, structuur, automatiseren en leer- en lesgeefplezier. Op deze pijlers gaan we hieronder dieper in.

1 Inzicht Betekenisvolle contexten zWISo is een realistische rekenmethode. Om zowel het inzicht als de betrokkenheid van de leerlingen te verhogen sluiten we zoveel mogelijk bij de leefwereld van de kinderen aan. Doordat er met betekenisvolle contexten en herkenbare materialen wordt gewerkt, realiseren de leerlingen zich dat wiskundige kennis en vaardigheden zinvol en toepasbaar zijn. De context waar we van uitgaan wordt wiskundig bekeken en uitgewerkt, waarna we naar de context terugkeren. Er wordt bij dit alles veel belang gehecht aan handelen en ervaren. Enkele van de betekenisvolle contexten die in zWISo aan bod komen zijn: werken met euro's, de oppervlakte van meetkundige figuren bepalen, korting berekenen, ... Deze lesopbouw impliceert dat leerkrachten de leerlingen niet enkel leiden, maar ook begeleiden. Behalve klassikale instructie bieden de leerkrachten ook ondersteuning tijdens het samenwerkend leren en het wiskundig redeneren. Hierbij maken ze gebruik van gevarieerde organisatiemodellen (zelfstandig werk, partnerwerk, groepswerk en klassikale instructie) en werkvormen (leeractiviteiten, leergesprekken, zelfstandig leren, samenwerkend leren en klassikale instructie).

5 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 5

17/08/12 13:31

Inleiding Uitgangspunten van zWISo

Leren door te handelen

Opbouw van een basisles

zWISo werkt vanuit de handelingstheorie. Het uitgangspunt van deze theorie is dat het kind zich ontwikkelt doordat het handelend in de wereld staat. Kinderen worden in zWISo uitgedaagd om rekenhandelingen in concrete situaties uit te voeren. Ze onthouden immers beter wat ze zien dan wat ze horen vertellen. En ze onthouden nog beter wat ze zelf doen dan wat ze alleen maar zien doen. De speciale aandacht voor handelen uit zich in het gebruik van concrete materialen of betekenisvolle contextsituaties vooraleer we evolueren naar een abstracter niveau. Elke leerling beschikt ook over 'Doe!'. Dit onderdeel van het scheurblok bevat de 'Ik doe mee!'-bladen, knipbladen, opdrachtkaarten, ... die de leerlingen gebruiken tijdens de leeractiviteiten. zWISo heeft hierbij aandacht voor de zone van de naaste ontwikkeling. De leerkracht biedt de nodige ondersteuning om leerlingen te brengen tot activiteiten die ze nog niet zelfstandig aankunnen, of creëert nieuwe situaties om leerlingen naar een hoger ontwikkelingsniveau te tillen. De leerlingen bouwen op deze manier de leerstof inzichtelijk op en leren die flexibel en functioneel toe te passen. Als basismodel voor de handelingstheorie wordt in zWISo het concreet-schematisch-abstract model gebruikt. De volgende tabel geeft daar enkele voorbeelden van.

Het concreet-schematisch-abstract model is ook terug te vinden in de opbouw van de lessen. De meeste lessen beginnen met een leeractiviteit die integraal deel uitmaakt van de instructie. Door de leerlingen, al dan niet in interactie met andere klasgenoten, te laten handelen en ervaren, bieden we ze de mogelijkheid hun wiskundige kennis en vaardigheden inzichtelijk op te bouwen. Bij het aanbrengen van nieuwe leerstof wordt er zoveel mogelijk uitgegaan van een concrete situatie of een betekenisvolle context. De gehanteerde wiskundige modellen, die in verschillende leerjaren worden gebruikt, worden aangebracht met de bedoeling het leerproces te vergemakkelijken. De modellen moeten een middel zijn om tot leerresultaten te komen en mogen geen doel op zich worden. Door begrippen en handelingen te verwoorden en erover te discussiëren met klasgenoten leren de leerlingen bewust met wiskundige begrippen om te gaan. Op basis van de vaststellingen van de leeractiviteit worden besluiten genomen en modellen opgebouwd. De verschillende oplossingswijzen die de leerlingen aanbrengen worden in deze fase systematisch gestroomlijnd tot een standaard oplossingsprocedure die snel tot goede oplossingen leidt. De aangebrachte modellen, strategieën of procedures worden dan verder ingeoefend. De werkboeken bevatten de verwerking van de inhouden van de leeractiviteiten en sluiten dus naadloos aan bij de uitgevoerde handelingen.

Abstract niveau

Omtrek van een cirkel

Combinaties

formule π x 2 x r of π x d (uitbreidingsleerstof voor GO!)

aantal combinaties: 2 x 3 = 6

De leerkracht stelt de omtrek en de diameter op het bord voor door middel van lijnstukken. Schematisch niveau

wit hartje

blauwe bloemblaadjes

oranje hartje wit hartje

omtrek diameter De omtrek is ongeveer drie keer de diameter. omtrek cirkel = ± 3 keer de diameter

Concreet niveau

De leerlingen stellen de combinaties voor in een boomdiagram.

De leerlingen meten de omtrek en de diameter van een cirkelvormig voorwerp. Ze delen vervolgens de omtrek door de diameter en stellen op basis hiervan vast dat dit bij alle voorwerpen ongeveer 3 is.

soorten bloemen

rode bloemblaadjes

oranje hartje wit hartje

gele bloemblaadjes

De leerlingen krijgen een envelop met witte en oranje papieren bloemhartjes en gele, rode en blauwe papieren bloemblaadjes. Ze krijgen de opdracht om alle mogelijke combinaties te vormen. De verschillende mogelijkheden stel je voor in een tabel op het bord.

oranje hartje

wit hartje blauwe

bloem-

oranje hartje

blaadjes rode

bloem-

blaadjes gele bloemblaadjes

6 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 6

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

Na deze verwerkingsfase volgt er vaak nog een reflectiemoment waarin kritisch wordt nagedacht en waarin verbanden tussen bepaalde inhouden worden gelegd.

2 Zorg zWISo is uiterst geschikt voor alle kinderen in het lager onderwijs. Er wordt specifiek aandacht geschonken aan zwakkere rekenaars, snelle en betere rekenaars en taalzwakke leerlingen. In zWISo werken we met één leertraject, dat alle leerlingen op hun niveau doorlopen. Het leertraject van het zesde leerjaar is afgebeeld op pagina 8. In het basisniveau komen alle door de eindtermen en leerplannen voorgeschreven inhouden aan bod. De bedoeling is dat elke leerling deze sleutelinhouden beheerst op het einde van het zesde leerjaar. In een doorsnee Vlaamse klas tref je een brede waaier aan individuele verschillen tussen leerlingen aan. Uit onderzoek blijkt dat de kloof tussen sterke en zwakkere leerlingen in Vlaanderen groot is. In zWISo wordt bij voorbaat uitgegaan van het bestaan van die verschillen en wordt er met zorg omgegaan met deze diversiteit. Er wordt zoveel mogelijk aangesloten bij het individuele niveau van alle leerlingen.

Differentiatie voor zwakkere rekenaars In alle fasen van het leertraject kan extra aandacht geschonken worden aan zwakkere rekenaars.

het concretere niveau kan de leerling een bepaalde inhoud, strategie of procedure (verder) inzichtelijk opbouwen. Dit inzichtelijk werken is een voorwaarde voor de ontwikkeling van functionele gecijferdheid en flexibel inzetbare kennis en vaardigheden. zWISo voorziet naast het leerjaarspecifiek handelingsmateriaal ook verschillende andere differentiatiemiddelen: het tafelrooster, de zWISowijzer (zie hoofdstuk 2), de breukendoos, ...

Oefenlessen Tijdens de oefenlessen wordt de aangebrachte leerstof ingeoefend. De leerlingen maken de oefeningen in het scheurblok zelfstandig. Hierdoor krijgt de leerkracht de ruimte om de zwakkere leerlingen te begeleiden bij het maken van de oefeningen. De speelse inoefening gebeurt aan de hand van rekenspellen. Die zijn zeker ook voor de zwakkere leerlingen een extra stimulans om te oefenen.

Observatie, remediërings- en evaluatiefase In elk blok van zWISo wordt aan het begin van de laatste week een observatietoets afgenomen. Deze toets heeft een preventief en proactief doel. Hij gaat na in hoeverre de leerlingen de sleutelinhouden van het blok beheersen. Leerlingen die de vooropgestelde norm van een toets niet behalen, krijgen in de daaropvolgende lessen remediëring, extra oefeningen en een afsluitende eindtoets. De manier van observeren, remediëren en evalueren wordt uitgebreid beschreven in hoofdstuk vijf (vanaf pagina 117).

Basislessen Tijdens basislessen kunnen deze leerlingen extra uitleg (verlengde instructie) of begeleiding krijgen. Tijdige en doelgerichte observatie moet leiden tot een gerichte aanpak om problemen te voorkomen of tijdig bij te sturen. De handleiding bevat observatiepunten en aanwijzingen voor extra begeleiding of aanpassingen voor de zwakkere leerlingen vanaf de basislessen. De verwerking in het werkboek doorloopt de gemiddelde leerling zelfstandig, zodat de leerkracht de handen vrij heeft om de zwakkere leerlingen onder begeleiding door deze verwerkingsoefeningen te loodsen. Leerlingen moeten bovendien de mogelijkheid krijgen om in elke fase van het leerproces terug te grijpen naar concreet materiaal (bijvoorbeeld breukendoos) of terug te keren naar een fase van een lager abstractieniveau. Door een stap terug te zetten naar

7 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 7

17/08/12 13:31

*Blokken 1 en 7 beslaan vier weken.

en Doe!-bladen

Verlengde instructie

Inleiding Uitgangspunten van zWISo

Het zWISo-leertraject 8 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 8

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

Differentiatie voor snellere en betere rekenaars

materiaal en/of met minder tussenstappen te laten werken.

Voor de snellere en betere rekenaars kan het basisaanbod aan oefenmateriaal van het werkboek en het scheurblok uitgebreid worden. Deze leerlingen zullen sommige oefeningen in het werkboek erg snel oplossen of meer uitdaging aankunnen. Zij kunnen aan de slag met oefeningen uit de zWISo-box. Deze box bevat loper- en ladderkaarten. De loperkaarten bestaan uit oefeningen die qua moeilijkheidsgraad aansluiten bij de oefeningen van het werkboek en zijn dus inzetbaar voor een groot deel van je leerlingen. De zWISo-box behoort dan ook tot het basismateriaal van de methode. Naast deze kaarten voor tempodifferentiatie voorzien we ook kaarten voor niveaudifferentiatie (ladderkaarten). Deze oefeningen hebben een hogere moeilijkheidsgraad en werken dus uitdagend en motiverend voor de sterkere leerlingen. Aan de hand van de extra-toets in de kopieermap kun je nagaan in welke mate de leerlingen de inhouden van de ladderkaarten beheersen. Meer uitleg over het opzet en de inhoud van de zWISo-box vind je in hoofdstuk 2.

Voor de echt sterke rekenaars (hoogbegaafde leerlingen) kun je behalve de verdiepingsmap ook gebruik maken van niet-methodegebonden materiaal zoals Rekentijger van Zwijsen.

• Een kommagetal delen door een natuurlijk getal kleiner dan 10.

les 17 • loperkaart 1

Dominospel! Vul de dominostenen aan

Start

___

3 x 0,7

______ 600 : 100

______

100 x 0,04

______

__ x 0,8

___

4,12 : __

1,03

6 x __

0,12

______

6,3 : 9

______

135 : 100

62,5

800

___ : 3

2,6

8 x 0,9

______

In de zWISo-handleidingen is er in elke les aandacht voor de specifieke rekentaal enerzijds en de ruimere contexttaal anderzijds. Daardoor kan de leerkracht bij de lesvoorbereiding aandacht schenken aan de lesspecifieke woordenschat. Als de les begint, kan indien nodig gepolst worden of alle leerlingen de vereiste woordenschat begrijpen en beheersen. In de leerlingmaterialen worden de opdrachten aan de hand van korte instructieteksten gegeven.

7,2 : 6

______ ___ x 6,25

2,24 : 7

0,15 : 5

Sommige leerlingen vallen uit in de wiskundeles door de talige aspecten. zWISo is uniek door de aandacht die het schenkt aan taalzwakke rekenaars. Dat blijkt op verschillende gebieden.

les 17 • loperkaart 1

• Een kommagetal vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 10.

Differentiatie voor taalzwakke leerlingen

Einde

Hoeveel kosten de planten per stuk? Vul de tabel aan.

petunia

geranium

vlijtig liesje

viooltje

lobelia

bacopa

€ 6,57/9 stuks

€ 3,36/4 stuks

€ 1,29/stuk

€ 2,48/8 stuks

€ 3/10 stuks

€ 0,95/5 stuks

Controleer je resultaat met de correctiesleutel!

bewerking

vlijtig liesje lobelia bacopa viooltje geranium petunia

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

ZwisoBox_Fiches_6-1_Loper.indd 15

21/06/12 15:00

zWISowijzer

Voor de allersterkste leerlingen kun je oefeningen uit de verdiepingsmap inzetten. Het zijn opdrachten van een beduidend hogere moeilijkheidsgraad dan de oefeningen uit het werkboek en de zWISo-box. Deze 'breinkrakers' zullen dan ook maar inzetbaar zijn voor enkele leerlingen van je klas. In de opdrachtkaarten van de zWISo-box en de verdiepingsoefeningen wordt geen nieuwe leerstof aangereikt. Dat heeft als voordeel dat er geen twee verschillende snelheden binnen de klas ontstaan. Deze diversiteit aan differentiatiemateriaal voor de betere rekenaars biedt de mogelijkheid aan te sluiten bij het niveau van de individuele leerling. De oefeningen zijn ook flexibel inzetbaar en vereisen weinig begeleiding door de leerkracht.

In de werkboeken wordt gebruik gemaakt van enkele wiskundespecifieke pictogrammen. Deze pictogrammen zijn zeer herkenbaar voor de leerlingen en keren terug in de verschillende materialen.

Blok 1

prijs per stuk € 1,29 € ______ € ______ € ______ € ______ € ______

De oefeningen worden soms visueel ondersteund. Bij ingeklede bewerkingen bijvoorbeeld is er soms een afbeelding toegevoegd ter ondersteuning. Hierdoor ligt de klemtoon op het vertellen van het rekenverhaal en het verwoorden van de wiskundige redenering. We stimuleren het mondeling taalgebruik bij het verwoorden van Les 9 • Optelllen en aftrek kken met nattuurlijk ke oplossingsstrategieën en wiskundige redeneringen. Dit draagt bij tot de taalen rekenontwikkeling van de leerlingen. € 1,80

€ 3,29

€ 2,85

€ 0,63

In de superm rm markt. Hoeveel mo oet je telkens betalen? Nottee eerr de bewerking, re reken uit en n vul in. Ik koop…

€ 2,45

Bewerking

Totaal

een stuk kaas en een doosje hagelslag.

€

een pot jam en een pot pindakaas.

€

een pot stroop en een stuk kaas.

€

Bere eken telken ns het prijsverrschil. Reken uit en formuleer ee en antwoordzi zin. Hoeveel is de jam duurder dan de hagelslag? Bewerking: Antwoord:

Hoeveel kost de jam minder dan de pindakaas? Bewerking: Antwoord:

Behalve de verwijzing naar loper- en ladderkaarten bevat de handleiding bij de basislessen ook observatiepunten en aanwijzingen om de instructie of de verwerking moeilijker te maken. Zo wordt er aangeraden om de betere rekenaars sneller zonder

Hoeveel is een doosje hagelslag goedkoper dan een stuk kaas? Bewerking: Antwoord:

Pieterr is de nieuwe e to t pscorer in het computerspel zWISo-schieten n.

!! Nieuwe hoogste score !!

1. Pieter

7 240 000

2. Linus

6 493 000

3. Dorien

6 070 000

4. Jasmien

5 249 000

5. Alexander

3 281 000

9 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 9

17/08/12 13:31

Inleiding Uitgangspunten van zWISo

3 Structuur

Duidelijk en haalbaar

Doorgaande lijn

De auteurs van zWISo hebben een zorgvuldige analyse gemaakt van de eindtermen en leerplandoelen van de verschillende onderwijsnetten. De verzameling van al deze voorgeschreven inhouden is verwerkt in de zWISo-basislessen: niets minder, maar ook niets meer! Bij zWISo is de leerstof in zeven blokken van vier of vijf weken verdeeld. Een blok is opgebouwd uit basislessen en gevarieerde oefenmomenten. Tijdens de laatste week schenken we na het afnemen van een observatietoets aandacht aan remediëring en verdieping. Die week wordt indien nodig besloten met een eindtoets of, voor de sterkere leerlingen, met een extra-toets. Die doordachte opbouw levert een tijdsbuffer van ongeveer drie schoolweken op, wat zich vertaalt in een haalbare jaarplanning. Door die buffer kunnen bepaalde lessen uitgebreider gegeven worden of kun je leerstof herhalen als de leerlingen dat nodig hebben. Elke les duurt 50 minuten, de toetsmomenten nemen meestal 100 minuten in beslag. Dit zorgt samen voor de wettelijk vastgelegde norm van 6 eenheden van 50 minuten per week.

De doorgaande lijn van het eerste tot en met het zesde leerjaar is een wezenlijk kenmerk van zWISo. De lessen van blok 1 van het zesde leerjaar sluiten inhoudelijk aan bij de leerplandoelen van het vijfde leerjaar. Er is in elk leerjaar bijzondere aandacht voor de overgang van het vorige naar het volgende leerjaar, zodat die zo vloeiend mogelijk verloopt. Verder is er bijzonder veel aandacht geschonken aan goed doordachte leerlijnen (zie hoofdstuk 3). Dit garandeert een gestructureerde opbouw van de leerstof, waarbij alle facetten van functioneel wiskundeonderwijs aan bod komen. Door voortdurend en consequent het beoogde einddoel voor ogen te houden, is de coördinatieen adviesgroep erin geslaagd de leerinhouden evenwichtig te spreiden, in overeenstemming met alle leerplannen. Op die manier zit er steeds één vloeiende lijn in de stof en verloopt het aanbrengen ervan zonder stijlbreuken. De leerlijnen zijn bovendien een goede illustratie van de methodespecifieke keuzes die gemaakt werden. In het laatste blok van een leerjaar en het eerste blok van het daaropvolgende leerjaar wordt de leerstof hoofdzakelijk herhaald. Zo verloopt de overgang tussen de verschillende leerjaren zonder problemen en krijgen de leerlingen de mogelijkheid de inhouden beter te verankeren. Ook bij de keuze van de methodieken, modellen, procedures en lesmaterialen is deze doorgaande lijn het uitgangspunt geweest (zie hiervoor hoofdstukken 2 en 4). Daardoor wordt de beschikbare onderwijstijd efficiënt gebruikt. Opgebouwde denkmodellen zijn onmiddellijk toepasbaar, maar werpen bovendien vaak hun vruchten af in een latere fase van het leertraject.

De planning van een blok ziet er als volgt uit:

10 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 10

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

4 Inoefenen Uitgebreid marktonderzoek heeft aangetoond dat automatiseren en inoefenen een blijvend aandachtspunt is voor de meeste leerkrachten. Hoewel het unaniem als cruciaal wordt aangevoeld, is het in de perceptie van de leerlingen vaak een saai en vervelend proces. De in zWISo geboden oplossing voor dit dilemma mag gerust uniek genoemd worden. zWISo kiest voor frequente momenten van inoefening, waar formele en speelse inoefening elkaar afwisselen. De leerlingen prenten zich nieuwe leerstof sneller in wanneer de oefening kort na het instructiemoment volgt. zWISo moedigt de leerkracht er zelfs toe aan om de frequentie van korte oefenmomenten nog te vergroten.

Formeel inoefenen Voor de invulling van deze oefenmomenten biedt zWISo enerzijds klassieke, formele inoefening. Die is vooral te vinden in de zWISo-scheurblokken waarmee leerlingen individueel oefenen. Door zelfstandig deze oefeningen te doorlopen ontwikkelen leerlingen probleemoplossende vaardigheden, leren ze reflecteren over hun eigen manier van denken en aanpak van wiskundige problemen en worden

Blok 7

ze gestimuleerd om zelfstandig te leren. Ze kunnen op deze manier ook deel uitmaken van bijvoorbeeld contractwerk.

Speels inoefenen Anderzijds biedt zWISo uitgebreid de kans om op speelse wijze te oefenen. Behalve tot de verankering van wiskundige kennis en vaardigheden draagt deze speelse inoefening sterk bij tot het leerplezier en de motivatie van de leerlingen. Een grote waaier aan spelvormen is te vinden in de zWISo-kopieermap en de zWISo-box. Deze rekenspellen zijn niet vrijblijvend. Ze maken integraal deel uit van de methode! Ze zijn afgestemd op de leerinhouden en rekenniveaus van het desbetreffende blok en bieden herkenbare, consequent gebruikte modellen en procedures. Het deskundig en evenwichtig gebruik van deze gevarieerde oefenvormen maakt dat oefenen ook leuk kan zijn voor de leerlingen. In de visie van zWISo op inoefenen krijgen leerlingen van alle niveaus deze speelse oefenvormen, zodat iedereen succeservaringen heeft. Dit betekent dat ook de zwakkere rekenaars intensief aan de slag kunnen met de rekenspellen tijdens de lessen, de verlengde instructie, bij de zorgleerkracht of zelfs thuis. Een extra voordeel van de vele rekenspellen is dat ze deel kunnen uitmaken van de rekenhoek na in een oefenmoment te zijn aangebracht. Op deze manier kunnen de leerlingen er tijdens het schooljaar voortdurend naar terugkeren.

Domino vormleer

Blok 7

Domino vormleer ✂

Aantal spelers: 2 Begin: Verknip de dominostenen en leg ze voor jullie op tafel.

een gelijkbenige driehoek die niet gelijkzijdig is

Verloop: Vorm een gesloten ﬁguur door om beurten een dominosteen te leggen.

✂

de diameter

Denk eraan: bij elke steen hoort een juiste omschrijving. een rechte

Einde: Je bent klaar als alle stenen gelegd zijn!

een regelmatige zeshoek

✂

d e

een parallellogram dat geen rechthoek of ruit is

een kubus

een piramide

een stompe hoek

een rechte hoek

twee rechten die loodrecht op elkaar staan

een stomphoekige driehoek

een rechthoekige driehoek

een ruit die geen vierkant is

een kegel

een diagonaal van een vierhoek

een trapezium dat geen parallellogram is

een gelijkzijdige driehoek

een balk

een vierhoek die geen trapezium is

het grondvlak van een piramide

✂

twee evenwijdige rechten

een hoekpunt

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 7, les 5

een lijnstuk P

een cilinder

een bol

een scherpe hoek

een vierkant

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 7, les 5

11 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 11

17/08/12 13:31

Uitgangspunten van zWISo

5 Leer- en lesgeefplezier Leerplezier Bij de interpretatie van resultaten van internationaal onderzoek naar wiskundeonderwijs wordt vaak voorbijgegaan aan de attitude die kinderen ten opzichte van het vak wiskunde hebben. Die is in Vlaanderen helaas uitgesproken negatief. Vlaamse kinderen rekenen goed, maar ze doen het niet graag. Daar brengt zWISo verandering in! Alle uitgangspunten van de methode hebben als doel bij te dragen tot het leerplezier van de leerlingen. Vooral het werken met betekenisvolle contextsituaties, de speelse oefenvormen, de band met de leefwereld van de leerlingen en de leeractiviteiten dragen bij tot een positieve attitude ten opzichte van wiskunde. In zWISo wordt ervan uitgegaan dat elk kind op zijn niveau zoveel mogelijk kansen op succeservaringen moet krijgen. We beperken de basislessen tot de essentie, zodat elke leerling dat basisniveau doorgrondt en succes ervaart. Door de aanhoudende aandacht voor betrokkenheid, motivatie en welbevinden creĂŤren we een positieve ingesteldheid tegenover het vak wiskunde, zonder aan leerwinst in te boeten. Dat laatste is zeer belangrijk, want leerresultaten en leerplezier gaan hand in hand.

De gevarieerde, kleurrijke en overzichtelijke zWISomaterialen motiveren de leerlingen om met wiskunde aan de slag te gaan. De werkboeken en scheurblokken hebben een overzichtelijke bladspiegel, voldoende invulruimte en kenmerken zich door een heldere instructietaal.

Lesgeefplezier De duidelijke structuur en de haalbare planning van zWISo maken het voor de leerkracht zeer plezierig om met zWISo te werken. Bij de ontwikkeling van de zWISo-materialen is namelijk de grootste zorg besteed aan de beleving van de methode door de leerkracht. De handleidingen zijn praktisch en duidelijk gestructureerd en de werkboeken zijn visueel aantrekkelijk. De klassikale materialen staan steeds ten dienste van demonstratie en inzetbaarheid in de klas. En uiteraard zal het leerplezier van de leerlingen ook de lesgeefervaring van de leerkracht positief beĂŻnvloeden!

12 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 12

17/08/12 13:31

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 13

17/08/12 13:31

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

14 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 14

17/08/12 13:31

Hoofdstuk 2 • Materialen 1 Leerkrachtmateriaal Gedrukte materialen

Het lesverloop staat beschreven in de centraal geplaatste tekst die doorloopt over de twee bladzijden in de handleiding.

• Verzamelband

Basislessen

De verzamelband bevat de zeven handleidingen, de correctiesleutel van de toetsen en het doelenkatern.

Elke basisles is genummerd en draagt een titel. Rechtsboven is steeds weergegeven in welk domein van de wiskunde deze les thuishoort.

Gebruikswijzer

Handleiding In zWISo is er voor elk blok een handleiding. De verzamelband voor de leerkracht bevat dus zeven handleidingen, telkens in een apart boekje. In elke handleiding worden de lessen van één blok uitvoerig beschreven. Wij adviseren je de handleidingen goed door te nemen en ze te gebruiken als leidraad bij de lessen. De handleiding biedt lesbeschrijvingen die aangeven hoe de les goed opgebouwd kan worden. Je vindt er ook aanwijzingen voor de organisatie van de les en differentiatiemogelijkheden.

Bij de beschrijvingen van de basislessen uit het leertraject wordt onderscheid gemaakt tussen leeractiviteit, verwerking en reflectie. In het onderdeel leeractiviteit worden de verschillende stappen van de instructiefase uitgebreid beschreven. Vaak wordt het verloop van het leergesprek beknopt weergegeven aan de hand van voorbeeldvragen en/of stapsgewijze redeneringen. Op die manier kunnen ook leerkrachten die nog niet vertrouwd zijn met de zWISo-methodiek zich snel en grondig voorbereiden.

Op deze manier kan een les gestructureerd verlopen en kun je het onderwijs aanpassen aan de individuele noden van de leerlingen. Door de planning die in de handleiding wordt aangegeven te volgen kun je de leerlingen de nodige kennis en vaardigheden in een haalbaar tempo bijbrengen. De handleiding geeft je inzicht in de ontwikkeling van wiskundige kennis en vaardigheden bij de leerlingen. Daardoor kun je de lesopbouw of de inhouden die aan bod komen desgewenst afstemmen op de behoeften en de interesses van de leerlingen.

De antwoorden tussen haakjes zijn mogelijke antwoorden van de leerlingen. Het is belangrijk om het gesprek te voeren gesteund op de inbreng van de leerlingen.

Omwille van de praktische toepasbaarheid zijn de lesbeschrijvingen van zWISo zo bondig mogelijk gehouden. Elke les beslaat meestal precies twee bladzijden. Zo vind je in één oogopslag alle informatie vlot terug.

In de reflectiefase koppel je met de leerlingen terug naar de leeractiviteit of de verwerking. Hierbij bespreek je een bepaalde oefening, herhaal je kort een belangrijke inhoud of denk je met de leerlingen verder na over de inhoud van die bepaalde les.

Vervolgens volgt een overzicht van de oefeningen die aan bod komen tijdens de verwerkingsfase van de basisles. Hier wordt verwezen naar de bladzijden uit het werkboek die door de leerlingen zelfstandig of begeleid worden opgelost. Indien nodig wordt voor jou als leerkracht extra toelichting gegeven bij de opdrachten.

15 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 15

17/08/12 13:31

Inleiding Leerkrachtmateriaal

In de linkerbalk van elke lesbeschrijving worden de hoofd- en nevendoelen van de les beschreven. De hoofddoelen beschrijven de methode-eigen lesdoelen waar je hoofdzakelijk aan werkt tijdens die les. Nevendoelen zijn doelen waar je in de les aan werkt omdat de gelegenheid ertoe zich voordoet of doelen die niet nieuw zijn in de les maar die wel essentieel zijn voor een goed verloop van de les. Ze zijn echter niet het hoofddoel van de les.

In de volgende rubriek volgt een opsomming van het benodigde materiaal. Het kan gaan om materialen uit de kopieermap, de materialenset, de handleiding, het werkboek of het scheurblok. Maar het kan ook gaan om materiaal dat je van tevoren moet verzamelen.

Les 15 • Grootste gemeenschappelijke deler en

Blok 3

Leeractiviteit

Hoofddoel

1. Herhaling wiskundige termen De leerlingen nemen Doe! pagina 43, oefening 1 en kleurpotloden. Geef de leerlingen de onderstaande opdrachten: • Kleur het zevenvoud van 12 geel. (84) • Kleur de even getallen tussen 35 en 43 blauw. (36, 38, 40, 42) • Kleur de grootste deler van 16 groen. (16) • Kleur alle delers van 24 paars. (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) • Kleur alle veelvouden van 11 rood. (0, 11, 22, 44, 88, 121) Bespreek telkens wat de leerlingen gekleurd hebben en hoe ze aan dat/die getal(len) zijn gekomen. Illustreer op het bord. De volgende elementen kunnen aan bod komen: - Hoe bereken je het zevenvoud van 12? (7 x 12 = 84) - Wat is een even getal? (een getal dat deelbaar is door 2, een veelvoud van twee, ...) - Hoe kun je een even getal herkennen? (Het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8.) - Wat is de grootste deler van een getal? (het getal zelf) - Kan de grootste deler groter zijn dat het getal? (neen) - Hoe noteer je de delers van een getal om te vermijden dat je delers vergeet?

➜ De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meer natuurlijke getallen bepalen. ➜ Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van twee of meer natuurlijke getallen bepalen.

Materiaal ➜ Per leerling: kleurpotloden en zWISowijzer ➜ Doe! p. 43 ➜ Werkboek p. 26 en 27

De duur van een les wordt ook steeds aangegeven in de zijbalk van de lesbeschrijving. In de regel geldt dat een les 50 minuten duurt, de eerste toetsles 100 minuten.

Duur 50 minuten

Organisatie

Illustreer op het bord door de delers van 24 systematisch op te schrijven (zie bordschema). - Wat zijn de gevonden veelvouden van 11? Zijn er leerlingen die 111 hebben gekleurd? - Wat is het kleinste veelvoud van een getal, bijvoorbeeld 5? Merk op dat 0 een veelvoud is van 5 en van 11 (en van alle andere getallen). - Wat valt je op aan de veelvouden van 11 verschillend van 0? (Ze bestaan altijd uit twee dezelfde cijfers. Dat cijfer is gelijk aan het veelvoud dat je neemt: bijvoorbeeld het achtvoud van 11 is 88). Merk op dat dit enkel geldt voor veelvouden kleiner dan 100 (11 x 11 = 121). - … 2. Grootste gemeenschappelijke deler De leerlingen noteren de delers van 24 en van 16 op hun Doe!-blad, oefening 2. Merken de leerlingen op dat ze de delers van 24 al hebben gekleurd bij oefening 1? Ze omcirkelen de gemeenschappelijke delers en noteren de grootste gemeenschappelijke deler. Laat de leerlingen dit eventueel ook opzoeken in hun zWISo-wijzer. 3. Kleinste gemeenschappelijk veelvoud De leerlingen noteren de veelvouden (kleiner dan 80) van 8 en 12 op hun Doe!-blad, oefening 3. Ze omcirkelen de gemeenschappelijke veelvouden en noteren het kleinste

➜ Teken de tabel van Doe!, oefening 1 op het bord.

Bord

In het onderdeel organisatie worden de voorbereidingen beschreven die voor de les moeten worden getroffen. Moeten bepaalde opstellingen voorbereid worden? Moeten er kopies gemaakt worden uit de zWISo-kopieermap? Moet je hoeken inrichten of de banken anders schikken? Het loont om deze rubriek enige tijd van tevoren door te nemen.

101

111

121

de delers van 24: 1 , 2 , 3, 4 , 6, 8 , 12 en 24 de delers van 16: 1 , 2 , 4 , 8 en 16 De grootste gemeenschappelijke deler van 16 en 24 is 8.

veelvouden van 8 kleiner dan 80: 0 , 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 72 veelvouden van 12 kleiner dan 80: 0 , 12, 24, 36, 48, 60, 72 Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 8 en 12 is 24.

Waar het zinvol is, wordt onder aan de lesbeschrijving het bordschema weergegeven. Dit is het bordschema dat bij goed verloop van de les ontstaat na het uitvoeren van de instructie en de leeractiviteit. Het loont om deze bordschema’s vooraf goed te bestuderen en in de praktijk zo dicht mogelijk te benaderen.

16 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 16

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer Aangezien er in zWISo veel aandacht is voor taalzwakke rekenaars, is er bij elke lesbeschrijving een aparte rubriek taal, waarin de essentiële woorden die in die les aan bod komen worden opgesomd. Binnen deze rubriek wordt onderscheid gemaakt tussen specifieke rekentaal en contexttaal. Onder rekentaal staat de wiskundige terminologie die in de les aan bod komt. De leerlingen moeten deze begrippen correct kunnen verwoorden en gebruiken. Door deze woorden herhaaldelijk (niet alleen in deze les) duidelijk en nadrukkelijk te gebruiken, ontstaat de attitude om bij het verwoorden van wiskundige verschijnselen de juiste termen te gebruiken. Onder contexttaal is de woordenschat opgenomen die de leerlingen minimaal moeten beheersen om de situatieschetsen en de leeractiviteiten volledig te begrijpen. Het is essentieel dat leerlingen beoordeeld worden op hun rekenkundige vaardigheden en niet op hun talige vaardigheden. De leerkracht kan in de beginfase van de les extra aandacht schenken aan deze woorden en niet gekende woorden eventueel verduidelijken aan de hand van een voorbeeld of een afbeelding.

kleinste gemeenschappelijk veelvoud gemeenschappelijk veelvoud. Laat de leerlingen dit eventueel ook opzoeken in hun zWISo-wijzer. • Wat is het kleinste veelvoud van beide getallen? (0) • Wat is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van 8 en 12? (24) Herhaal dat het kleinste gemeenschappelijk veelvoud verschilt van 0.

Verwerking Werkboek pagina 26

Blok 3

Getallen

Ta a l

Tip

Rekentaal ➜ deler

Het willekeurig opschrijven van de delers kan leiden tot het vergeten van één of meer delers. Stimuleer de leerlingen om de delers systematisch op te schrijven.

➜ veelvoud ➜ gemeenschappelijk

Reflectie Bespreek de oefeningen van het werkboek.

1. Noteer telkens alle delers. Vul in. 2. Noteer telkens de eerste tien veelvouden. Vul in. Werkboek pagina 27 3. Waar of niet waar? Kruis aan. 4. Jannes ontmoet zijn vriend Peter vandaag, donderdag, op het tennisveld van de club zWIEp-Zo!. Jannes tennist om de vier dagen en Peter om de zes dagen. Na hoeveel dagen zien ze elkaar voor het eerst terug op het tennisveld? Welke dag is het dan? 5. Zoek telkens de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van de drie getallen.

Oefening 1: merk op dat: - sommige getallen slechts twee delers hebben (1 en zichzelf); - 1 altijd een gemeenschappelijke deler is; - 1 de grootste gemeenschappelijke deler kan zijn; - als een van de getallen een deler is van het andere getal, dit getal de grootste gemeenschappelijke deler is. Oefening 2: merk op dat: - 0 een veelvoud is van alle getallen; - het kleinste gemeenschappelijk veelvoud soms het product is van de getallen; - als een van de getallen een veelvoud is van het andere getal, dit getal het kleinste gemeenschappelijk veelvoud is.

Bij observatie worden enkele aanwijzingen gegeven voor de gerichte observatie van de leerlingen. Op deze manier kan er snel worden ingegrepen bij onduidelijkheden of problemen en kan een grote achterstand vermeden worden. Het zijn vaak vragen voor jou als leerkracht die kunnen helpen bij het vaststellen of de leerlingen wel of geen problemen hebben met bepaalde leerstofonderdelen.

Als één van de volgende lessen specifiek materiaal vereist, wordt dat al aangegeven in een voorafgaande les, bij het icoon van het winkelkarretje. Dat geeft je de mogelijkheid om het benodigde materiaal tijdig te verzamelen.

Oefening 3: laat de leerlingen verwoorden waarom ze waar of niet waar hebben aangekruist. Oefening 4: hoe hebben de leerlingen het vraagstuk opgelost? Wie maakte een schets? Oefening 5: merken de leerlingen op dat als 1 de grootste gemeenschappelijke deler is van de drie getallen, het kleinste gemeenschappelijk veelvoud het product is van de getallen? Observatie Noteren de leerlingen de verschillende delers op een systematische manier?

-/+

Differentiatie

zWISo-box

In de rubriek differentiatie worden er mogelijkheden gegeven om de les aan te passen aan de verschillende behoeften van de leerlingen. Hierbij wordt een onderscheid gemaakt tussen makkelijkere en moeilijkere differentiatie. Hiernaast wordt er met pictogrammen ook aangegeven of er bij deze les loper- en/of ladderkaarten beschikbaar zijn.

3939

In een gekleurd kadertje zijn bij sommige lessen tips opgenomen. Het zijn soms vrijblijvende ideetjes om een extra speels element toe te voegen of een wat uitgebreider muzisch staartje te breien aan de leeractiviteit. Soms zijn het tips om de organisatie van de leeractiviteit vlotter te laten verlopen.

Waar mogelijk is een notitieruimte open gehouden waarin je je eigen bedenkingen of opmerkingen bij het verloop van deze les kunt noteren. Zo wordt deze handleiding je persoonlijke werkinstrument waarmee je de zWISo-methodologie optimaal kunt laten renderen. Het kan een hulpmiddel zijn wanneer collega’s of stagiaires tijdelijk je lessen moeten overnemen.

17 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 17

17/08/12 13:31

Inleiding Leerkrachtmateriaal

Oefenlessen De oefenlessen worden in de zWISo-handleiding op een soortgelijke manier beschreven als de basislessen. Ze beslaan ook steeds twee bladzijden en zijn opgebouwd volgens hetzelfde stramien. In de beschrijving van de verwerking wordt, waar nodig, uitleg gegeven bij het verloop van de oefenles. Dan volgen de verwijzingen naar de bladzijden uit het Oefen!-scheurblok en uit de kopieermap die in deze les gebruikt zullen worden. De oefenblaadjes zijn op de volgende bladzijde van de handleiding verkleind afgebeeld, zodat je makkelijk kunt zien welke oefeningen de leerlingen maken. In de reflectiefase wordt een aantal goedgekozen oefeningen klassikaal besproken. Hier kan bijvoorbeeld het verwoorden van diverse oplossingsstrategieën aan bod komen. In de zijbalken zijn, indien van toepassing, dezelfde rubrieken opgenomen als in de basislessen: doelen, materialen, duur, organisatie, taal, observatie en differentiatie. Toetslessen en remediëringslessen In de handleiding zijn ook de toetslessen opgenomen en beschreven. Deze lessen dragen de naam ‘Alleen 1’ (voor de observatietoets) en ‘Alleen 2’ (voor de eindtoets en de extra-toets). De beschrijving van deze lessen is analoog aan die van de basislessen. De zijbalken bevatten indien van toepassing dezelfde herkenbare rubrieken. Ook de remediëringslessen (de twee lessen tussen 'Alleen 1' en 'Alleen 2') zijn opgenomen in de handleiding. Ze dragen de naam ‘Oefen je nog eens mee?’. Ze zijn op analoge wijze opgebouwd als de basislessen.

Correctiesleutel toetsen De oplossingen van de observatietoetsen, de eindtoetsen en de extra-toetsen van elk blok zijn verzameld in één katern, dat is opgenomen in de verzamelband met de handleidingen. Deze correctiesleutel kan een hulpmiddel zijn bij het verbeteren van de toetsen. Soms is meer dan één oplossing mogelijk. In de correctiesleutel zijn dan voorbeeldoplossingen opgenomen. Belangrijk om hierbij op te merken is dat de pagina's in de correctiesleutel een verkleinde weergave vormen van de werkboekpagina's. De afmetingen van figuren, lijnstukken, ... komen dus niet overeen met de reële afmetingen. De opzet van de evaluatie in zWISo wordt uitgebreid beschreven in hoofdstuk vijf van deze gebruikswijzer.

Doelenkatern In het doelenkatern wordt een overzicht gegeven van alle lesdoelen die worden behandeld, zowel de hoofddoelen als de nevendoelen. Deze doelen zijn geordend per blok en per les. In zWISo worden alle leerplandoelen van de drie onderwijsnetten behandeld. Elk lesdoel wordt dan ook gekoppeld aan het corresponderende doel in de drie leerplannen. Ook de koppeling met de eindtermen kan van de tabel afgelezen worden. Het doelenkatern is als aparte bundel opgenomen in de verzamelband met de handleidingen. Het is een handig instrument bij het invullen van de agenda. Dankzij dit boek kun je snel een beeld krijgen van wat de leerlingen op een bepaald moment al gezien hebben en wat er in de volgende lessen aan bod zal komen. Op de website www.zwiso.be zijn de doelenkaternen digitaal beschikbaar.

18 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 18

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

• Gebruikswijzer

• Kopieermap

In dit boek worden de algemene uitgangspunten, de leerlijn, de materialen, de modellen en de manier van observeren, remediëren en evalueren in zWISo beschreven.

aar 6

Het hoofdstuk uitgangspunten heeft als doel de leerkrachten van het zesde leerjaar die met zWISo werken een beeld te geven van de pedagogischdidactische visie achter de methode. Dit kan een verduidelijking vormen van de modellen, de lesopbouw en de materialen die in zWISo gebruikt worden. In het onderdeel materialen worden zowel de gedrukte materialen als de handelingsmaterialen beschreven. Op deze manier krijgt de leerkracht een duidelijk overzicht van de beschikbare materialen, hun functie en hoe ze gebruikt kunnen worden. In het derde hoofdstuk wordt de leerlijn van het zesde leerjaar beschreven. Aan de hand daarvan kan de leerkracht snel een beeld krijgen van welke leerstof de leerlingen wanneer zullen zien. In het vierde hoofdstuk wordt de aanpak van de domeinen getallen, bewerkingen, meten en meetkunde behandeld. Deze verduidelijking van de modellen biedt de leerkracht een goed overzicht van de opbouw van enkele fundamentele rubrieken (bijvoorbeeld het getalbegrip). Een goed overzicht van de ontwikkeling van deze constructen is essentieel voor het inzichtelijk aanbrengen van deze inhouden. Daarnaast wordt ook de aanpak van vraagstukken behandeld. In het laatste deel van de gebruikswijzer wordt de manier van observeren, remediëren en evalueren en de filosofie daarachter beschreven. leerjaar

© 2012 Uitgeverij Zwijsen België N.V., Antwerpen Maakt deel uit van de WPG groep. Voor de ontwikkeling en realisatie van deze uitgave van ‘zWISo’ konden wij rekenen op de medewerking en deskundigheid van het project- en auteursteam van ‘Wizwijs’, realistische rekenen wiskundemethode voor het basisonderwijs van Uitgeverij Zwijsen B.V., Tilburg. D/2012/1919/247

zWISo • Gebruikswijzer leerjaar 6

Aan het verwerven, waar nodig, van toestemming tot overname is door de uitgever de uiterste zorg besteed. Zou desondanks blijken dat een rechthebbende over het hoofd is gezien, dan verzoeken wij deze contact op te nemen met Uitgeverij Zwijsen België N.V.

Uitgeverij

Zwijsen BE

demethode voor het lager onderwijs

WISo wijsen wiskunde onderwijs

gebruikswijzer

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot de reproductie vindt u op www.reprobel.be.

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

17/08/12 09:13

In de rubriek ‘materiaal’ van de lesbeschrijvingen in de handleiding wordt regelmatig naar de zWISokopieermap verwezen. Deze map bevat afbeeldingen, schema’s, spelborden, pictogrammen en dergelijke voor de leerlingen en de leerkracht die onmisbaar zijn bij het opbouwen van een volledige les. Het materiaal in de kopieermap is gerangschikt per blok en vaak gekoppeld aan een les. De kopieermap bevat schema’s, pictogrammen en modellen die de leerlingen kunnen helpen bij het verankeren van bepaalde procedures en inhouden. We gaan bijvoorbeeld bij het vergelijken van kommagetallen met een verschillend aantal decimalen of bij het uitvoeren van bewerkingen hiermee verwijzen naar het pictogram knipperlicht. Op deze manier herinneren we de leerlingen eraan dat ze moeten opletten bij deze oefeningen. Visuele ondersteuning van de leerstof en de mogelijkheid om ze al handelend op te bouwen draagt bij tot een goede verankering van de aangeleerde kennis en vaardigheden. Pictogram knipperlicht

1-2

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 1

19 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 19

17/08/12 13:31

Inleiding Leerkrachtmateriaal

Racespel

Blok 7

Aantal spelers: 2

Het zWISo-team hecht ook veel belang aan een rijk en gedifferentieerd oefenaanbod. De kopieermap bevat verschillende rekenspellen die kunnen worden gebruikt bij het speels inoefenen van de kennis en vaardigheden die aan bod kwamen tijdens de basislessen. Hoewel deze spellen onvervreemdbaar deel uitmaken van het basisaanbod van de methode, kunnen de materialen ook worden gebruikt bij het hoeken- en het contractwerk. Rekenspellen die in het werkboek staan zijn ook opgenomen in de bundel Rekenspellen van de kopieermap. Zo kunnen ook deze spelletjes meerdere keren gespeeld worden (eventueel in hoeken- of contractwerk).

• zWISo-box

Materiaal: 2 keer 15 schijfjes van dezelfde kleur, kladblad en zakrekenmachine Doel: Maak om ter eerst een aansluitende weg van start naar ﬁnish! Begin: Begin bij start en kies één van de omliggende getallen.

Verloop: Neem je startgetal. Tel bij of trek af tot je een getal hebt dat eindigt op drie nullen. Je maakt hiervoor een getal dat bestaat uit twee of drie cijfers. Je kiest uit deze cijfers: 0

Ik kies het startgetal 4570. Ik kan naar 4000 of naar 5000 gaan. Welk getal maak ik?

Schrijf je bewerking op een kladblad.

De andere speler controleert met de zakrekenmachine.

- Is je antwoord goed? Leg een schijfje op het gekozen getal. l.

- Is je antwoord fout? Dan mag je tegenspeler een van jouw schijfjes vervangen door één van hem/haar.

Einde: Degene die het eerst een aaneensluitende weg heeft van start naar ﬁnish is de winnaar! ﬁnish

1355

4654

570

2655

5950

966

9539

1484

4959

2354

7685

8986

565

4570

1365

2395

7355

9855

5644

7459

9654

8570

3856

De zWISo-box bevat loperkaarten (tempodifferentiatie) en ladderkaarten (niveaudifferentiatie). Je kunt die als zelfstandig differentiatiemateriaal gebruiken in de wiskundelessen (basislessen, oefenlessen en remediëringslessen) of bij het hoeken- of contractwerk.

654

9850

start

3565

855

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 7, les 10

Lessen 26 en 27 • Alleen 1

Blok 6

20 %

6 12

2 5

0,95

Snelverkoop. Vul de tabel aan. prijs

korting

Ik betaal …

kaas

€4

20 %

€ __________

soepgroenten

product

€ 3,10

30 %

vleessla

€ 1,60

25 % Je mag een verhoudingstabel gebruiken!

Bepaal de prijs van ...

Hartjes

Smarties

Gummetjes

Snoepspek

€ 5,25/kg

€ 13/kg

€ 8,60/kg

€ 9,60/kg

140 %

september

200 g hartjes kost € _______. 400 g smarties kost € ________.

oktober

sinaasappelsap l

1 4

sinaasappelsap l

12 %

frambozensap

0,1

aardbeiensap

0,3

aardbeiensap

3 5

citroensap

% 100 %

250 g gummetjes kost €________. 125 g snoepspek kost € _______.

appelsap

totaal

100 %

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

Blok 3

totaal

les 5 • loperkaart 1

Tijdens het middageten verkoopt men op onze school ook vruchtensappen. Je ziet een overzicht van het aantal verkochte flesjes in de maanden september en oktober. Hoeveel procent van de verkochte flesjes vruchtensap voor de maand september en voor de maand oktober waren flesjes met appelsap? Vul in.

appelsap

- de hoeveelheid voor een gegeven prijs bepalen.

- de prijs voor een gegeven hoeveelheid bepalen;

3 2

1,05

- de eenheidsprijs bepalen;

In totaal heb ik € ______ korting gekregen.

Verbind de getalkaarten met de juiste plaats op de getallenlijn. 0,3

• Bij vraagstukken over inhoud, gewicht en geld:

Naam: Datum:

• Vraagstukken over korting oplossen.

les 5 • loperkaart 1

De kopieermap bevat ook de observatie-, eind- en extra-toetsen die afgenomen worden in de loop van de laatste week van elk blok. Het bijbehorende registratiesysteem inclusief de doelstellingen van het blok, de zWISo-meter, is ook terug te vinden in de map en op www.zwiso.be. Het gebruik van de toetsen wordt toegelicht in hoofdstuk vijf.

In de handleiding vind je bij elke les onder de rubriek differentiatie of er loper- of ladderkaarten beschikbaar zijn. Dat betekent dat de kaarten vanaf deze les gebruikt kunnen worden. Leerlingen kunnen dus in een latere les ook kaarten uit een eerdere les maken. Het kan bijvoorbeeld zinvol zijn om leerlingen in een les in verband met toepassingen op oppervlakte eerst nog een kaart te laten maken met als onderwerp herleidingen tussen oppervlaktematen. Voorts kunnen leerlingen tijdens lessen waar bijvoorbeeld niet in een ladderkaart is voorzien een ladderkaart uit een vorige les maken. De loperkaarten bevatten oefeningen die qua moeilijkheidsgraad aansluiten bij de oefeningen van het werkboek. Het doel van deze kaarten is het zelfstandig verder oefenen van de leerinhouden die aan bod kwamen in de basislessen.

. 2

ZwisoBox_Fiches_6-3_loper.indd 3

De leerkrachten van basisschool De Bengels organiseren elk jaar een wandelzoektocht. Vorig jaar bracht de zoektocht € 3500 op. Dit jaar hadden ze 20 % meer opbrengst. Hoeveel bracht de wandeltocht dit jaar op?

Antwoord:

Getallen: 6-24

. 5

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 6, lessen 26 en 27, Alleen 1

6-32

zWISo-meter: Leerjaar 6, Blok 6, Alleen 1 (Observatietoets)

oef. 1 oef. 2 oef. 3 oef. 4 oef. 5 oef. 6 oef. 7 oef. 8 oef. 9

Quotering Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 6, Alleen 1, zWISo-meter

Naam van de leerling

DS 1

DS 2

DS 4

DS 5

DS 6 &7

DS 3 &8

DS 9, 12 & 13

oef. 11

oef. 12

oef. 13

oef. 14

oef. 15

oef. 16

oef. 17

oef. 18

oef. 19

DS 10, 12 & DS 14 13

oef. 10

DS 11 t.e.m. 13

DS 15

DS 16

DS 16 & 17

DS 18

DS 19

DS 20

score 1

score 2a

score 2b

/35

7,5/10

3,5/5

22/06/12 10:01

Naast deze kaarten voor tempodifferentiatie voorzien we ook in kaarten voor niveaudifferentiatie, dit zijn de ladderkaarten. De oefeningen of spellen die hierin aan bod komen hebben een hogere moeilijkheidsgraad dan die in het werkboek. Deze uitdagende en creatieve oefeningen werken erg motiverend voor je sterkere leerlingen. Toch kunnen je gemiddelde leerlingen af en toe ook eens een ladderkaart proberen in te vullen. De doelstellingen die in de ladderkaarten behandeld worden, sluiten aan bij die van de basislessen. We lopen dus niet vooruit op de inhoud die aan bod komt in de basislessen, wat het ontstaan van twee snelheden binnen je klasgroep voorkomt. Vooraan in de box vind je een uitvinderskaart. Hierop kunnen de leerlingen zelf oefeningen noteren. De andere leerlingen kunnen deze oefeningen eventueel op een later moment maken.

20 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 20

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

zoeken. • Vlekkenopgaven oplossen.

les 7 • ladderkaart 1

Mama morste kofﬁe op het huiswerk van Lieze. Vul de cijferoefeningen van Lieze aan. Geef bij de vermenigvuldiging de twee oplossingen. 4 5 . 3

Leerkrachtregistratieblad Blok 4 Naam leerlingen

Les 1

Les 4

Les 5

Les 7

Les 10

Les 13

Les 14

Les 15

Les 16

Les 17

Les 19

Les 22

Les 23

Extra-toets

4 5 6, 8 7 1 .

. 3

2 6, . .

+ 3 . . 5

4 5 x

les 7 • ladderkaart 1

kleiner dan 1000. • Een deling controleren door de gelijkheid deeltal = deler x quotiënt + rest te onder-

ZwisoBox-6_registratiesysteem.indd 5

• Natuurlijke getallen en kommagetallen cijferend delen door een natuurlijk getal

3 . . 5

Van een deling is het quotiënt 52 en de rest 620. De deler is 827. Wat is het deeltal? ____________________

Vul de tabel aan. Als je het eerste getal deelt door het tweede en je telt het resultaat op bij het derde getal, dan bekom je telkens 100. 22/06/12 09:24

Bijvoorbeeld: 1248 : 48 = 26 en 26 + 74 = 100

ZwisoBox_Fiches_6-4_ladder.indd 5

127

__________

8330

__________

12 753

__________

45,5

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

• Correctiesleutel

Blok 4

1248 914,4

22/06/12 10:10

De kaarten in de box zijn zoals gezegd onderverdeeld volgens type, namelijk loper- en ladderkaarten. Binnen deze twee categorieën zijn de kaarten chronologisch geordend. De kleur van de balken van de kaarten geeft aan bij welk domein ze aansluiten: • geel: getallen; • oranje: hoofdrekenen; • rood: cijferen; • blauw: meten; • groen: meetkunde. Met behulp van deze kleurcode kun je als leerkracht de leerlingen makkelijk sturen. Zo kun je een leerling die nog moeilijkheden heeft met cijferen de opdracht geven om vooral rode kaarten te maken. Let op! Bij het oplossen van ladder- en loperkaarten kiezen de leerlingen de oplossingswijze die zij het makkelijkst vinden. Werken ze aan een rode kaart (cijferen) en rekenen ze de bewerking al hoofdrekenend uit, ook goed!

De zWISo-correctiesleutel bevat de oplossingen van de opdrachten uit de zeven zWISo-werkboeken en het zWISo-scheurblok 'Oefen!'. Ze zijn verzameld in één ringmap. Je kunt de ingevulde opgaven gebruiken bij het corrigeren van de werkboeken en het scheurblok van de leerlingen. De correctiesleutel kan ook gebruikt worden door de leerlingen. Door zelf hun oplossingen te controleren zullen ze bewuster gaan nadenken over hun fouten en hierdoor hun kennis en vaardigheden verder ontwikkelen. Door deze werkwijze komt er voor jou als leerkracht extra tijd vrij voor het begeleiden van leerlingen die behoefte hebben aan verlengde instructie of ondersteuning bij de verwerking van de leerstof. Belangrijk om hierbij op te merken is dat de pagina's in de correctiesleutel een verkleinde weergave vormen van de pagina's in het werkboek en het scheurblok. De afmetingen van figuren, lijnstukken, ... komen dus niet overeen met de reële afmetingen.

Behalve de loper- en de ladderkaarten bevat de box ook de correctiesleutel van alle opdrachtkaarten. Die kan door jou of door de leerlingen gebruikt worden bij het controleren van ingevulde kaarten. De zWISo-box bevat ook een methodegebonden registratiesysteem waar flexibel mee kan worden omgesprongen. Naast een leerkrachtformulier is er ook een leerlingregistratieblad. Op die formulieren wordt er per les aan de hand van een pictogram weergegeven welke kaarten (loper- of ladderkaarten) er voorzien zijn.

21 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 21

17/08/12 13:31

Inleiding Leerkrachtmateriaal

• Verdiepingsmap

Handelingsmaterialen

De sterkste rekenaars zullen niet genoeg hebben aan de oefeningen uit de werkboeken en de zWISobox. Door deze leerlingen aanvullende, uitdagende opdrachten te geven kunnen we ze op hun niveau succeservaringen bieden, zonder ze nieuwe leerstof aan te reiken. Deze oefeningen zijn terug te vinden in een aparte zWISo-verdiepingsmap.

Het handelingsmateriaal van het zesde leerjaar is verzameld in een materialenset. Deze set bevat volgende materialen:

zWISo

De oefeningen van de verdiepingsmap behoren niet tot het basisaanbod van zWISo. Deze inhouden hoeven dus niet verwerkt te worden om de eindtermen te bereiken. Toch is het zWISo-team ervan overtuigd dat ze een erg waardevolle aanvulling kunnen zijn op het basispakket en sterk motiverend kunnen werken voor de sterke rekenaars. De oefeningen zijn flexibel inzetbaar en kunnen worden gebruikt op verschillende momenten van het leertraject, afhankelijk van de samenstelling van de klas en de organisatie van de lessen.

zWISo biedt voor het oplossen van ingeklede bewerkingen een methodespecifiek stappenplan. In de materialenset zitten vier pictogrammen die dat stappenplan ondersteunen. De vier pictogrammen zien er als volgt uit: © 2011 uitgeverij Zwijsen.be

De opdrachten in de verdiepingsmap hebben een hogere moeilijkheidsgraad dan de ladderkaarten uit de zWISo-box. Deze breinbrekers zijn dus alleen bedoeld voor de zeer sterke rekenaars, die deze zelfstandig of met zijn tweeën kunnen maken. De verdiepingsmap bevat gevarieerd en uitdagend oefenmateriaal in de vorm van speelse oefeningen, rekenraadsels, vraagstukken, … Ze reiken geen nieuwe leerstof aan maar bouwen verder op de klassikale leerstof door de leerlingen andere oefenvormen, denkmodellen, strategieën en invalshoeken te laten verkennen. De doelstellingen van de oefeningen komen overeen met de lesinhouden van het respectieve blok. Op deze manier wordt er dus geen andere snelheid gecreëerd, maar kunnen de leerlingen wel aan de slag met oefeningen op hun niveau. Er is ook in een correctiesleutel van de verdiepingsoefeningen voorzien. Deze oplossingsbladen kunnen zowel door de leerkracht als door de leerlingen gebruikt worden.

• Pictogrammen ingeklede bewerkingen

 Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

• Klassikale getallenlijnen Als leerkracht beschik je ook over twee klassikale getallenlijnen voor kommagetallen die met uitwisbare stift beschreven kunnen worden. De getallenlijn tussen de gehelen 0 en 1 is verdeeld in tien en honderd gelijke delen (tienden en honderdsten). De andere getallenlijn is op soortgelijke wijze onderverdeeld. Op deze lijn zijn geen gehelen aangeven, waardoor de getallenlijn flexibel kan worden gebruikt. De getallenlijnen komen van pas bij het positioneren van kommagetallen, het wegnemen/aanvullen tot het vorige/volgende geheel en het voorstellen van bewerkingen met kommagetallen. Je vindt deze getallenlijnen ook in de leerkrachtassistent.

 Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

22 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 22

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

• Meetkundige figuren Het leerkrachtmateriaal van het zesde leerjaar omvat een set met 33 meetkundige figuren. De leerlingen kennen deze figuren al van uit het vierde en het vijfde leerjaar. De set bestaat uit een grote variëteit aan veelhoeken en niet-veelhoeken. Bij de selectie van de figuren is gelet op een rijk aanbod op het gebied van evenwijdigheid, loodrechte stand, eigenschappen van de diagonalen, ... In de lessen meten en meetkunde gaan de leerlingen aan de slag met deze figuren: ze onderzoeken de zijden, de hoeken en de diagonalen om zo tot besluiten te komen. De figuren kunnen met magneten aan het bord bevestigd worden en zijn beschrijfbaar met uitwisbare stift. Ze worden geregeld gebruikt in de lessen meten en meetkunde. Leerlingen gaan er ook mee aan de slag tijdens groepswerk. Je vindt deze set meetkundige figuren ook digitaal terug in de leerkrachtassistent van zWISo.  Gebruik: zie Hoofdstuk 4 • Aanpak

Niet-veelhoeken Figuur

Omschrijving

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Vlakke figuur begrensd door lijnstukken en gebogen lijnen

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Vlakke figuur begrensd door lijnstukken en gebogen lijnen

Vlakke figuur enkel begrensd door een gebogen lijn

Veelhoeken Driehoeken

Figuur

Omschrijving

Rechthoekige, gelijkbenige driehoek

Rechthoekige, ongelijkbenige driehoek

Scherphoekige, ongelijkbenige driehoek

Gelijkzijdige driehoek

Scherphoekige, gelijkbenige driehoek

Stomphoekige, gelijkbenige driehoek

Stomphoekige, ongelijkbenige driehoek

23 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 23

17/08/12 13:31

Inleiding Leerkrachtmateriaal

Vierhoeken

Diagonalen Figuur

Passendste naam

Diagonalen zijn even lang

Diagonalen snijden elkaar middendoor

Diagonalen staan loodrecht op elkaar

Vierkant

Rechthoek

Ruit

Parallellogram

Ruit

Rechthoekig, gelijkbenig trapezium

Gelijkbenig trapezium

Trapezium

Vierhoek

Vierhoek (vliegerfiguur)

Gelijkbenig trapezium

Vierhoek

Vierhoek (vliegerfiguur)

Vierhoek

x x

Vijfhoeken Zeshoeken Figuur

Omschrijving

Figuur

Omschrijving

Vijfhoek

Regelmatige zeshoek

Vijfhoek

Zeshoek met gelijke hoeken

Regelmatige vijfhoek

Zeshoek met gelijke zijden

Digitale materialen • Leerkrachtassistent De softwaretoepassing voor het digitale schoolbord bevat twee onderdelen. Enerzijds zitten de werkboekpagina’s, scheurblokpagina’s, toetsen en kopieerbladen in het digimenu. Ook de correctiesleutels van deze materialen zijn opgenomen in de software. Anderzijds omvat de leerkrachtassistent een instructiehulp waarin alle modellen van het zesde leerjaar alsook enkele modellen van het vijfde zijn opgenomen.

Voor het zesde leerjaar vind je hier bijvoorbeeld de breukendoos, de meetkundige figuren, de procentstrook, alle euromunten en -biljetten en dergelijke. De leerkrachtassistent biedt dus in alle fasen van de les ondersteuning voor de leerkracht en voor de leerlingen. Op deze manier is het een duidelijke meerwaarde voor zowel instructie als verwerking. Voor het meest recente overzicht van de digitale materialen zie www.zwiso.be.

24 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 24

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

2 Leerlingmateriaal Gedrukte materialen • Werkboeken leerjaar

leerjaar

Naam:

WISo

leerjaar

Naam:

WISo

leerjaar

Naam:

WIS 1 o

wijsen wiskunde onderwijs

WIS 3 o

Naam:

WIS 5 o blok

6 w e r k b o e k

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Het zWISo-auteursteam vindt het belangrijk dat de kennis en de vaardigheden die tijdens de leeractiviteit worden aangebracht ook grondig verwerkt worden. Om de nieuwe leerstof te verankeren lossen de leerlingen tijdens de meeste lessen oefeningen in hun werkboek op. De leerlingen doen dat, al dan niet onder begeleiding van de leerkracht, tijdens het laatste deel van de basislessen. Het is belangrijk dat de leerlingen tevoren de benodigde kennis en vaardigheden verwerven tijdens het instructiemoment. De leeractiviteit is dus een onmisbare schakel in het leerproces van de leerlingen. Alleen de combinatie van beide werkvormen zal leiden tot wiskundig inzicht en functionele gecijferdheid en tot een vlotte overgang van het concrete naar het abstracte niveau. In je handleiding wordt steeds duidelijk aangegeven welke werkboekpagina’s bij de respectieve les horen, welke opdrachten er aan bod komen en wat de eventuele aandachtspunten daarbij zijn.

blok

7 w e r k b o e k

blok

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

De kennis en de vaardigheden die aan bod komen tijdens de basislessen worden in het werkboek verwerkt. Net zoals bij de handleidingen is er voor elk blok ook een werkboek. In een leerjaar wordt dus met zeven werkboeken gewerkt.

WISo

blok

w e r k b o e k

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

Naam:

wijsen wiskunde onderwijs

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

w e r k b o e k

blok

wijsen wiskunde onderwijs

leerjaar

Naam:

wijsen wiskunde onderwijs

w e r k b o e k

Wiztee zWISolan an 100 0 zWI 10 Sola nd

w e r k b o e k

Wizteen n 10 olaa zWIS oland zWIS 1000

WISo

blok

Wizteen 10 laan zWISo land 1000 zWISo

leerjaar

Naam:

wijsen wiskunde onderwijs

rekenen wiskundemethode voor het lager onderwijs

• Scheurblok Het scheurblok bestaat uit twee delen: ‘Doe!’ en ‘Oefen!’. ‘Doe!’ is het onderdeel van het scheurblok waarin alle ‘Ik doe mee!’-bladen, knipbladen, opdrachtkaarten en dergelijke zijn opgenomen die gebruikt worden tijdens de leeractiviteit. In zWISo wordt veel belang gehecht aan het handelend en inzichtelijk opbouwen van de leerstof. Als aanvulling bij manipuleren met concreet materiaal zijn de ‘Doe!’-bladen uitstekende middelen om de activiteit, het inzicht en de betrokkenheid van de leerlingen te bevorderen.

De werkboeken bevatten ook de verwerkingsoefeningen van de remediëringslessen uit de vierde/ vijfde week van een blok.

25 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 25

17/08/12 13:31

Inleiding Leerlingmateriaal

In de regel wordt er in groep of klassikaal met de Doe!-bladen gewerkt. Bij sommige lessen kun je de sterkste leerlingen eventueel deze pagina's zelfstandig laten maken. ‘Oefen!’ bevat de oefeningen die een keer per week in de oefenles van 50 minuten worden gemaakt. Behalve aan speelse inoefening aan de hand van rekenspellen (zie kopieermap en zWISo-box) wordt in zWISo veel belang gehecht aan formele inoefening. Het doel van ‘Oefen!’ is het formeel inoefenen van de aangeleerde kennis en vaardigheden. Door deze frequente momenten van inoefening kan de leerstof goed vastgezet en geïntegreerd worden. In lessen 6, 12, 18 en eventueel les 24 (in blokken 2 tot en met 6) is er zelden een instructiemoment. De leerlingen werken dan vooral individueel in hun scheurblok. Het verdient de voorkeur om de benodigde bladzijden uit het scheurblok te halen en door de leerlingen zelfstandig te laten invullen. Op dat moment kun je eventueel herinstructie geven aan leerlingen die het nodig hebben. De ‘Oefen!’-bladen kunnen verzameld worden in een mapje. Tijdens deze lessen biedt de zWISo-wijzer een meerwaarde als hulp voor de leerlingen en als stimulans voor zelfstandig werk.

• zWISo-wijzer De zWISo-wijzer is een boek waarin de leerlingen tijdens het zelfstandig werk informatie kunnen opzoeken. In dit boek worden de verschillende inhouden tot en met het zesde leerjaar weergegeven. In het vierde en het vijfde leerjaar werkten de leerlingen ook al met een zWISo-wijzer. Door het gebruik van de zWISo-wijzer kunnen leerlingen belangrijke vaardigheden als het zelfstandig opzoeken van informatie en het oplossen van problemen ontwikkelen. Het is belangrijk het gebruik van de zWISo-wijzer te stimuleren en de leerlingen hier geregeld op te wijzen. In de eerste lessen waarin de zWISo-wijzer gebruikt kan worden is het belangrijk om expliciet aandacht te schenken aan de manier van opzoeken (trefwoordenlijst) en aan situaties waarin het opzoeken in de zWISo-wijzer zinvol is. Op deze manier ontwikkel je bij de leerlingen een attitude om geregeld naar de zWISo-wijzer te grijpen. De zWISowijzer kan zowel in de basislessen, de oefenlessen en de toetslessen als in de remediëringslessen worden gebruikt en is een ideaal middel om te werken aan zelfstandig leren. De tabbladen in de zWISo-wijzer hebben dezelfde kleurcode als de kaarten in de zWISo-box: • geel: getallen; • oranje: hoofdrekenen; • rood: cijferen; • blauw: meten; • groen: meetkunde. Dit faciliteert het gebruik van de zWISo-wijzer tijdens het zelfstandig werken aan de kaarten uit de box.

26 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 26

17/08/12 13:31

Gebruikswijzer

Handelingsmaterialen â&#x20AC;˘ Breukendoos De breukendoos wordt gebruikt in het vierde, vijfde en eventueel het zesde leerjaar. Deze rechthoekige doos bevat twee breukenborden, verschillende breukenstroken, een kommagetallenstrook en een procentstrook. Alle materialen zijn verdeeld over opbergvakken in de breukendoos. De noemer van de respectieve breuken wordt weergegeven op de bodem van de doos. Op deze manier weten de leerlingen steeds waar ze de stroken moeten opbergen. De leerlingen gebruiken deze doos voor het vergelijken van breuken, het ontdekken van gelijkwaardige breuken, het gelijknamig maken en het initieel uitvoeren van bewerkingen met breuken. We gebruiken de breukendoos ook om het verband tussen breuken, kommagetallen en percentages te ontdekken. Dat doen we met behulp van de twee speciaal hiervoor gemaakte stroken. De klassikale breukendoos vind je terug in de leerkrachtassistent. ď&#x201A;&#x2019; Gebruik: zie Hoofdstuk 4 â&#x20AC;˘ Aanpak

27 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 27

17/08/12 13:32

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

28 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 28

17/08/12 13:32

Hoofdstuk 3 • zWISo-leerlijn zesde leerjaar In zWISo is de grootste zorg besteed aan goed doordachte leerlijnen die naadloos op elkaar aansluiten. We bouwen voort op de ontwikkelingsdoelen van het kleuteronderwijs en zorgen voor een doorgaande lijn van het eerste tot en met het zesde leerjaar. Dit garandeert een gestructureerde opbouw van de leerstof, waarbij alle facetten van functioneel wiskundeonderwijs aan bod komen. Door voortdurend en consequent het beoogde einddoel voor ogen te houden, is de coördinatieen adviesgroep erin geslaagd de leerinhouden evenwichtig te spreiden, in overeenstemming met de eindtermen en alle leerplandoelen. Op die manier zit er steeds één vloeiende lijn in de stof en verloopt het aanbrengen ervan zonder stijlbreuken. In dit hoofdstuk geven we de zWISo-leerlijn van het zesde leerjaar weer.

Gebruikswijzer

lijn voor schatten is uitgewerkt. Het zWISo-team is ervan overtuigd dat schattend rekenen en afronden in de realiteit vaak voldoende is om te controleren of je geen rekenfout gemaakt hebt. Goed en spontaan schatten en schattend rekenen vereist voldoende zelfvertrouwen. Om dat te bereiken moeten leerlingen zo snel mogelijk beginnen te schatten. In zWISo gebeurt dat al in de eerste lessen van het eerste leerjaar. Deze lijn wordt doorgetrokken tot in het zesde leerjaar. Alleen zo zullen leerlingen op de duur kunnen beoordelen wanneer schattend rekenen een goed idee is, hoe ze daarbij te werk kunnen gaan en hoe ze het aldus verkregen geschatte resultaat kunnen beredeneren. De aandacht voor werken met betekenisvolle contextsituaties en aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen uit zich in de zWISo-leerlijn in een apart onderdeel ‘contextualiseren’ binnen het domein getallen.

Opbouw van de zWISo-leerlijn De zWISo-leerlijn is opgebouwd uit vier grote leerdomeinen: getallen, bewerkingen, meten en meetkunde. Deze indeling stemt overeen met de indeling van de leerplannen die werden opgesteld door de drie onderwijsnetten. Toch zijn er enkele belangrijke verschillen. Zo zijn er in zWISo, anders dan in de leerplannen van het Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs en het Gemeenschapsonderwijs, geen afzonderlijke clusters ‘domeinoverschrijdende doelen’, ‘problemen oplossen’ en ‘attitudes’. Het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, wiskundige strategieën en een positieve attitude ten aanzien van wiskunde worden als essentieel ervaren bij zWISo. Deze vaardigheden komen daarom geïntegreerd aan bod in de vier domeinen over de hele zWISo-leerlijn. Enkele voorbeelden van deze integratie zijn: • De lessen beginnen meestal met een probleemsituatie die de leerlingen uitdaagt om strategieën uit te denken en hun probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen. • De leerstof wordt vaak verwerkt en ingeoefend aan de hand van vraagstukken (zie Hoofdstuk 4 Aanpak). • Het gebruik van realistische situaties en de nadruk op leeractiviteiten vergroten het leerplezier van de leerlingen. Dit resulteert in een positieve attitude ten aanzien van wiskunde.

Uitleg over de opbouw van de zWISoleerlijn van het zesde leerjaar Op de volgende bladzijden geven we de zWISo-leerlijn van het zesde leerjaar weer. Nieuwe leerstof wordt vermeld bij het desbetreffende blok. Zodra een bepaalde inhoud aan bod is gekomen, worden de daaropvolgende vakken ingekleurd. Als een vak ingekleurd is en er geen tekst in staat betekent dat dat er in het blok geen nieuwe leerstof in verband met dat onderwerp wordt aangebracht. De leerstof die in een vorig blok werd aangeleerd kan in dit blok wel herhaald worden. Als een kader niet ingekleurd is, kwam er nog geen leerstof in verband met die deelcategorie aan bod.

In de zWISo-leerlijn zijn de vier grote domeinen opgedeeld in verschillende deelcategorieën. Een van de opmerkelijke dingen in onze methode is dat er, zowel bij getallen als bij bewerkingen, een aparte

29 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 29

17/08/12 13:32

Getallen

Leerlijn leerjaar 6 Inleiding

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

1. Getallen Contextualiseren

Betekenis geven aan getallen tot 10 miljoen.

Tellen

Tellen met sprongen.

Betekenis geven aan getallen tot 1 miljard.

Betekenis geven aan getallen tot 100 miljard.

Getallen tot 10 miljoen vergelijken.

Getallen tot 1 miljard vergelijken.

Getallen tot 100 miljard vergelijken.

Getallen tot 10 miljoen samenstellen en splitsen.

Getallen tot 1 miljard samenstellen en splitsen.

Getallen tot 100 miljard samenstellen en splitsen.

-- Het gemiddelde berekenen (ook met negatieve getallen). -- Het ontbrekend getal zoeken wanneer het gemiddelde, het aantal getallen en op één na alle getallen gegeven zijn. -- De mediaan berekenen (niet voor OVSG en GO). -- Gegevens van een tabel lezen. -- Gegevens van een staafdiagram aflezen en interpreteren. -- Een grafiek opbouwen.

-- Gegevens van een lijngrafiek, cirkeldiagram en beelddiagram aflezen en interpreteren. -- Gegevens van een tabel omzetten in een grafiek en omgekeerd. -- Een legende lezen. Vraagstukken oplossen door de gegevens voor te stellen in een verhoudingstabel.

Vergelijken en

-- Het aantal combinaties bepalen als er 2 of 3 variabelen gegeven zijn. -- Het aantal combinaties voorstellen m.b.v. een boomdiagram of een rooster.

1.1 Natuurlijke getallen

verbanden zien

Verwoorden wanneer een getal deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 en 100. -- De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meer natuurlijke getallen bepalen. -- Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van twee of meer natuurlijke getallen bepalen.

Voorstellen en symboliseren

-- Getallen tot 10 miljoen lezen en schrijven (ook getallen die genoteerd zijn als kommagetal en als breuk). -- Ronde getallen groter dan 100 000 noteren als kommagetal (bv. 1,2 miljoen) en omgekeerd.

Getallen tot 1 miljard lezen en schrijven (ook getallen die genoteerd zijn als kommagetal en als breuk).

Getallen tot 100 miljard lezen en schrijven (ook getallen die genoteerd zijn als kommagetal en als breuk).

Betekenis geven aan het symbool +/-. De betekenis van de symbolen <, > en = herhalen.

Positioneren

Getallen tot 10 miljoen positioneren op de getallenlijn.

Getallen tot 1 miljard positioneren op de getallenlijn.

Getallen tot 100 miljard positioneren op de getallenlijn.

Positionele waarde

De waarde van elk cijfer in getallen tot 10 miljoen kennen.

De waarde van elk cijfer in getallen tot 1 miljard kennen.

De waarde van elk cijfer in getallen tot 100 miljard kennen.

30 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 30

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

- Een ongelijke verdeling (2 of 3 delen) maken als het totaal en het verschil tussen de delen gegeven zijn. - Een ongelijke verdeling (2 of 3 delen) maken als het totaal en de verhouding tussen de delen gegeven zijn.

Kennismaken met andere talstelsels.

31 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 31

17/08/12 13:32

Getallen

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

1.2 Negatieve getallen

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

Het gemiddelde berekenen (ook met negatieve getallen).

Een breuk nemen van een grootheid. Een breuk nemen van een getal. Het geheel bepalen als de gematerialiseerde breuk gegeven is. Rekentaal i.v.m. breuken gebruiken. Breuken beredeneerd vergelijken. Gelijkwaardige breuken noteren. Breuken vereenvoudigen.

1.3 Breuken

Breuken groter dan 1 noteren als gemengd getal. Breuken gelijknamig maken. De gelijkheid tussen percentages, breuken en kommagetallen gebruiken. De kans bepalen dat een gegeven combinatie voorkomt. -- Breuken interpreteren, verwoorden en gebruiken als verhouding. -- De verhouding vaststellen tussen de delen onderling en tussen een deel en het geheel. -- De delen bepalen als de verhouding tussen de delen en het geheel gegeven is.

Kommagetallen met drie decimalen lezen en noteren. De waarde van elk cijfer in een kommagetal kennen.

1.4 Kommagetallen

Kommagetallen positioneren op de getallenlijn. Kommagetallen omzetten in een breuk met noemer 10, 100 of 1000 en omgekeerd.

De gelijkheid tussen percentages, breuken en kommagetallen gebruiken.

Kommagetallen vergelijken. Kommagetallen samenstellen en splitsen. Kommagetallen situeren tussen twee opeenvolgende gehele getallen. Een kommagetal aanvullen/ verminderen tot het volgende/ vorige gehele getal. Tellen met sprongen.

32 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 32

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Een ongelijke verdeling (2 of 3 delen) maken als het totaal en de verhouding tussen de delen gegeven zijn.

33 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 33

17/08/12 13:32

Getallen en bewerkingen

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

Het begrip procent verwoorden als â&#x20AC;Ś van de/op de/per 100. De betekenis van het symbool % herhalen. De gelijkheid tussen percentages, breuken en kommagetallen gebruiken. 1.5 Procent

-- Het deel berekenen als het percentage en het totaal gegeven zijn. -- Het totaal berekenen als het percentage en het deel gegeven zijn. -- Het percentage berekenen als het totaal en het deel gegeven zijn.

1.6 Schatten en afronden

Betekenis geven aan het symbool +/-. Kommagetallen en natuurlijke getallen afronden. Ervaren dat het in bepaalde situaties voldoende is om te werken met benaderende waarden.

2. Bewerkingen De betekenis van de symbolen +, -, x en : herhalen. Symboliseren

2.1.1 Natuurlijke getallen

2.1 Hoofdrekenen

Optellingen en aftrekkingen met ronde getallen van alle types maken. Rekentaal voor de optelling en de aftrekking gebruiken. Bij optellingen en aftrekkingen een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van de aard van de getallen en de eigenschappen van de bewerkingen. Optellen / aftrekken

De commutatieve eigenschap bij optellen herhalen. De associatieve eigenschap bij optellen herhalen. Optellingen en aftrekkingen met verschillende termen maken. Bij het aftrekken van verschillende termen vaststellen dat de plaats van het aftrektal behouden blijft maar dat de volgorde van de aftrekkers veranderd mag worden.

34 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 34

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Vraagstukken oplossen waarin een toename of een vermindering procentueel uitgedrukt wordt.

Werken met minder gangbare percentages (o.a. 17 %, 22 %, …). - Het begrip promille verwoorden en hanteren. - Het symbool ‰ benoemen.

Een hoeveelheid schatten.

Andere symbolen voor de vermenigvuldiging kennen (. en *).

35 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 35

17/08/12 13:32

Bewerkingen

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3 Als er verschillende bewerkingen moeten worden uitgevoerd, toepassen dat: -- eerst de bewerkingen tussen haakjes moeten opgelost worden. -- vermenigvuldigen/delen voor optellen/aftrekken gaat.

Optellen / aftrekken (vervolg)

-- Vermenigvuldigingen maken met ronde getallen waarvan één van de factoren kleiner is dan 100. -- Een natuurlijk getal vermenigvuldigen met 100 en met 1000. -- Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal kleiner dan 10, het quotiënt is een natuurlijk getal. -- Een natuurlijk getal delen door 10, 100 en 1000, het quotiënt is een natuurlijk getal. -- Een natuurlijk getal delen door 10, 100 en 1000, het quotiënt is een kommagetal. -- Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal kleiner dan 10, het quotiënt is een kommagetal.

2.1.1 Natuurlijke getallen

2.1 Hoofdrekenen

Rekentaal voor de vermenigvuldiging en de deling gebruiken. Het quotiënt afhankelijk van de context zinvol afronden.

Vermenigvuldigen / delen

-- Bij vermenigvuldigingen vaststellen dat het product gelijk blijft als één van de factoren vermenigvuldigd wordt met en de andere gedeeld wordt door hetzelfde getal. -- Bij vermenigvuldigingen vaststellen dat als één of beide factoren met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld word(t)(en), het product in evenredig verandert. -- Bij delingen vaststellen dat het quotiënt gelijk blijft als deeltal en deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden. -- Bij delingen vaststellen dat als de deler gelijk blijft en het deeltal met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het quotiënt in evenredig verandert.

Bij het delen door verschillende getallen vaststellen dat de plaats van het deeltal behouden blijft maar dat de volgorde van de delers veranderd mag worden.

Een natuurlijk getal delen door een kommagetal. Bij vermenigvuldigingen en delingen een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van de aard van de getallen en de eigenschappen van de bewerkingen. De commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen herhalen. De associatieve eigenschap bij vermenigvuldigen herhalen.

36 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 36

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

37 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 37

17/08/12 13:32

Bewerkingen

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

2.1.1 Natuurlijke getallen

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3 Als er verschillende bewerkingÂ en moeten worden uitgevoerd, toepassen dat: -- eerst de bewerkingen tussen haakjes moeten opgelost worden. -- vermenigvuldigen/delen voor optellen/aftrekken gaat. -- Handig vermenigvuldigen met 5, 50 en 0,5. -- Handig vermenigvuldigen met 15 en 1,5. -- Handig vermenigvuldigen met 4. -- Handig vermenigvuldigen met 25. -- Handig vermenigvuldigen met 9, 19, 29, â&#x20AC;Ś

Vermenigvuldigen / delen (vervolg)

-- Handig delen door 5, 50 en 0,5. -- Handig delen door 25. -- Handig delen door 4.

2.1.2 Breuken

-- Breuken optellen en aftrekken. -- Een breuk en een kommagetal optellen/aftrekken en omgekeerd. Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal en omgekeerd. Een breuk delen door een natuurlijk getal. Optellingen en aftrekkingen met kommagetallen tot 1000 van alle types maken.

Een breuk en een kommagetal optellen/aftrekken en omgekeerd.

2.1.3 Kommagetallen

2.1 Hoofdrekenen

Rekentaal voor de optelling en de aftrekking gebruiken. -- Een kommagetal vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 10. -- Een kommagetal vermenigvuldigen met 10, 100 en 1000.

Een kommagetal vermenigvuldigen met een kommagetal.

-- Een kommagetal delen door een natuurlijk getal kleiner dan 10. -- Een kommagetal delen door 10, 100 en 1000.

Een kommagetal delen door een kommagetal.

Rekentaal voor de vermenigvuldiging en de deling gebruiken. Vaststellen dat vermenigvuldigen met 0,1/0,01 hetzelfde is als delen door 10/100. -- Handig vermenigvuldigen met 5, 50 en 0,5. -- Handig vermenigvuldigen met 15 en 1,5. -- Handig vermenigvuldigen met 4. -- Handig vermenigvuldigen met 25.

2.1.4 Procenten

-- Handig delen door 5, 50 en 0,5. -- Handig delen door 25. -- Handig delen door 4. -- Het deel berekenen als het percentage en het totaal gegeven zijn. -- Het totaal berekenen als het percentage en het deel gegeven zijn. -- Het percentage berekenen als het totaal en het deel gegeven zijn.

38 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 38

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Een breuk vermenigvuldigen met een breuk. Een natuurlijk getal delen door een stambreuk.

Vraagstukken oplossen waarin een toename of een vermindering procentueel uitgedrukt wordt.

Werken met minder gangbare percentages (o.a. 17 %, 22Â %, â&#x20AC;Ś).

39 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 39

17/08/12 13:32

Bewerkingen

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

2.2 Schatten

Het resultaat van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen (natuurlijke getallen en kommagetallen) schatten. Het resultaat van een bewerking controleren door de uitkomst te vergelijken met de schatting. Ervaren dat het in bepaalde situaties voldoende is om te werken met benaderende waarden. Optellingen en aftrekkingen met natuurlijke getallen cijferend uitvoeren.

2.3.1 Natuurlijke getallen

Een natuurlijk getal cijferend vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 1000. Het resultaat van een vermenigvuldiging controleren door de negenproef te maken. -- Een natuurlijk getal cijferend delen door een natuurlijk getal kleiner dan 1000. -- Het quotiënt bepalen tot op een t, h of d nauwkeurig. -- De waarde van de rest bepalen.

Een natuurlijk getal cijferend delen door een kommagetal (De deler telt maximaal 3 cijfers.).

2.3 Cijferen

Optellingen en aftrekkingen met kommagetallen cijferend uitvoeren.

2.3.2 Kommagetallen

Een kommagetal cijferend vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 1000.

Een kommagetal cijferend vermenigvuldigen met een kommagetal.

Een kommagetal cijferend vermenigvuldigen met een kommagetal (Eén factor bestaat uit hoogstens 3 cijfers.).

Bij een vermenigvuldiging de komma plaatsen door het resultaat te vergelijken met de schatting. Het resultaat van een vermenigvuldiging controleren door de negenproef te maken. -- Een kommagetal cijferend delen door een natuurlijk getal kleiner dan 1000. -- Het quotiënt bepalen tot op een t, h of d nauwkeurig. -- De waarde van de rest bepalen.

Een kommagetal cijferend delen door een kommagetal (De deler telt maximaal 3 cijfers.).

40 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 40

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Het resultaat van een deling controleren door de omgekeerde bewerking te maken (deeltal = deler x quotiĂŤnt + rest). Het resultaat van een aftrekking controleren door de omgekeerde bewerking te maken.

41 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 41

17/08/12 13:32

Bewerkingen en meten

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

2.4 Zakrekenmachine

Het resultaat van een bewerking controleren met de zakrekenmachine.

3. Meten -- De lengte van voorwerpen meten met standaardmaateenheden. -- De rij van de gekende lengtematen (mm, cm, dm, m en km) herhalen. -- Referentiematen voor lengte hanteren. -- Het geschikte meetinstrument kiezen. -- Het resultaat van een meting noteren in de meest geschikte maateenheid. De lengte van voorwerpen schatten.

3.2 Inhoud

3.1 Lengte

Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden. De omtrek van grillige vormen bepalen.

De omtrek van veelhoeken bepalen.

-- De formule om de omtrek van de cirkel te bepalen gebruiken. -- De omtrek en de diameter van een cirkel meten.

-- De snelheid berekenen als de tijd en de afstand gegeven zijn. -- Een snelheid in m/sec. omzetten naar km/uur en omgekeerd.

Vraagstukken i.v.m. snelheid oplossen.

-- De inhoud van voorwerpen meten met standaardmaateenheden. -- De rij van de gekende inhoudsmaten (ml, cl, dl en l) herhalen. -- Referentiematen voor inhoud hanteren. -- Het geschikte meetinstrument kiezen. -- Het resultaat van een meting noteren in de meest geschikte maateenheid. De inhoud van voorwerpen schatten. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden.

42 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 42

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

Percentages berekenen met de zakrekenmachine.

Snelheid uitdrukken in mijl per uur en in knopen.

-- Lengten lezen en noteren in verschillende maateenheden (kilometer, meter, mijl en zeemijl). -- Vreemde lengtemaateenheden omzetten in conventionele maateenheden en omgekeerd. Windkracht uitdrukken in beaufort en in km per uur. De betekenis van hellingspercentages onderzoeken en toepassen.

43 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 43

17/08/12 13:32

Meten

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3.3 Gewicht

3.2 Inhoud (vervolg)

Leerlijn leerjaar 6

-- Het gewicht van voorwerpen meten met standaardmaateenheden. -- De rij van de gekende gewichtsmaten (g, kg en ton) herhalen. -- Referentiematen voor gewicht hanteren. -- Het geschikte meetinstrument kiezen. -- Het resultaat van een meting noteren in de meest geschikte maateenheid. Het gewicht van voorwerpen schatten. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden.

3.4 Oppervlakte

-- De rij van de gekende oppervlaktemaateenheden (cm², dm², m² en km²) herhalen. -- Referentiematen voor oppervlakte hanteren. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. De termen maat, maatgetal en maateenheid gebruiken en de relatie ertussen verwoorden. De oppervlakte van veelhoeken (inclusief rechthoek, vierkant, parallellogram, ruit en driehoek) bepalen.

44 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 44

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

- Een lijnschaal en een breukschaal lezen en interpreteren. - Een breukschaal noteren als een lijnschaal en omgekeerd. - De werkelijke lengte berekenen als de schaal en de lengte op de tekening gegeven zijn. - De lengte op de tekening berekenen als de schaal en de werkelijke lengte gegeven zijn. - De schaal bepalen als de werkelijke lengte en de lengte op een tekening gegeven zijn. - De relatie tussen de werkelijk oppervlakte van een figuur en de oppervlakte van deze figuur op schaal vaststellen. Vraagstukken i.v.m. prijsberekening bij mengsels oplossen. - Vaststellen dat 1 dm続 gelijk is aan 1 l. - Het verband tussen volumematen en inhoudsmaten vaststellen. - Inhoudsmaten omzetten in volumematen en omgekeerd. - De gelijkheid 1 cc = 1 cm続 kennen.

- De begrippen bruto, netto en tarra in concrete situaties gebruiken en de relatie ertussen toepassen. - Het begrip laadvermogen verklaren en gebruiken. Vraagstukken i.v.m. prijsberekening bij mengsels oplossen. Ervaren en verwoorden dat een bepaald volume van elk materiaal een eigen gewicht heeft.

- De oppervlakte van regelmatige veelhoeken bepalen. - De formule om de oppervlakte van de cirkel te bepalen gebruiken.

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 45

Het gewicht berekenen als het volume (of de afmetingen) en het gewicht van 1 dm続 van het materiaal gegeven zijn.

De oppervlakte van nietveelhoeken bij benadering bepalen.

45 17/08/12 13:32

Meten

Inleidingleerjaar 6 Leerlijn

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3.5 Volume

3.4 Oppervlakte (vervolg)

Leerlijn leerjaar 6

Vraagstukken i.v.m. geld oplossen. Vraagstukken i.v.m. eenheidsprijs en totale prijs oplossen.

3.6 Geld

Vraagstukken i.v.m. korting oplossen. -- De verkoopprijs berekenen als de inkoopprijs en de winst of het verlies procentueel uitgedrukt t.o.v. de inkoopprijs gegeven zijn. -- De winst of het verlies bepalen t.o.v. de inkoopprijs. -- De inkoopprijs berekenen als de verkoopprijs gegeven is en de winst procentueel is uitgedrukt t.o.v. de inkoopprijs.

46 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 46

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

De relatie tussen de werkelijk oppervlakte van een figuur en de oppervlakte van deze figuur op schaal vaststellen. Een oppervlakte uitdrukken in landmaten (uitbreidingsleerstof voor OVSG). De oppervlakte van een kubus, een balk en een cilinder bepalen. en ontbrekende afmeting berekenen als de oppervlakte gegeven is. Inzien dat ruimtefiguren met een zelfde volume een verschillende oppervlakte kunnen hebben. De betekenis van bevolkingsdichtheid verwoorden en toepassen. -- Invoeren van de standaardmaateenheden kubieke centimeter, kubieke decimeter en kubieke meter. -- De symbolen cm³, dm³ en m³ gebruiken. Eenvoudige herleidingen uitvoeren. Het volume van een balk (ook kubus) bepalen.

-- Het volume van een lichaam met een grillige vorm bij benadering bepalen. -- Het volume van een cilinder bepalen. -- Vaststellen dat 1 dm³ gelijk is aan 1 l. -- Het verband tussen volumematen en inhoudsmaten vaststellen. -- Inhoudsmaten omzetten in volumematen en omgekeerd. -- De gelijkheid 1 cc = 1 cm³ kennen. Onderzoeken hoe het volume verandert als een of meer afmetingen in dezelfde mate veranderen. Het verband tussen de neerslag uitgedrukt in liter per vierkante meter en in mm onderzoeken en vaststellen. Ervaren en verwoorden dat een bepaald volume van elk materiaal een eigen gewicht heeft.

Het volume berekenen als het totale gewicht en het gewicht van 1 dm³ van het materiaal gegeven zijn.

Een ontbrekende afmeting berekenen als het volume gegeven is. Inzien dat ruimtefiguren met een zelfde oppervlakte een verschillend volume kunnen hebben.

47 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 47

17/08/12 13:32

Meten en meetkunde

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

3.6 Geld (vervolg)

Leerlijn leerjaar 6

3.7.1 Tijdstip

De tijd op een analoge en een digitale klok lezen. Weten dat een seconde in tien delen wordt verdeeld.

3.7 Tijd

Een tijdstip op verschillende manieren noteren.

3.7.2 Tijdsduur

Tijdsduur tot op een duizendste van een seconde nauwkeurig lezen. Tijdsduur in uren, minuten en seconden berekenen. Tijdsduur op verschillende manieren noteren.

3.8 Temperatuur

De gemiddelde temperatuur berekenen (ook met negatieve temperaturen).

De betekenis van het symbool Â° herhalen.

3.9 Hoeken

Hoeken meten met een graadboog (op een geodriehoek) en het meetresultaat noteren. Hoeken tekenen. Het verband onderzoeken tussen de afgelegde weg van een rijdend voorwerp en de helling (grootte van de hoek) van de baan.

4. Meetkunde

4.1 Ruimtelijke oriĂŤntatie

Van een ruimtelijke situatie een voorstelling maken in twee dimensies en omgekeerd.

48 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 48

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

-- De begrippen kapitaal, intrest en rentevoet verwoorden en gebruiken. -- De enkelvoudige intrest berekenen van een kapitaal dat gedurende een bepaalde tijd uitgezet wordt tegen een bepaalde rentevoet. Eenvoudige omrekeningstabellen voor vreemde munten lezen en interpreteren.

Dienstregelingen lezen en interpreteren.

De temperatuur lezen in graden Celsius en graden Fahrenheit.

-- Van een bouwsel het vooraanzicht, de zijaanzichten en het bovenaanzicht tekenen en het grondplan met hoogtegetallen maken. -- Een bouwsel met een opgegeven aantal blokken en gegeven aanzichten maken. -- Een gegeven bouwsel met zo weinig mogelijk blokken aanvullen tot een balk of kubus. -- Schaduwvorming met de zon als lichtbron en een lamp als lichtbron onderzoeken. -- Vaststellen en toepassen dat de lengte van de schaduw van een voorwerp evenredig is met de lengte van het voorwerp en deze eigenschap gebruiken om de hoogte van voorwerpen te bepalen. -- Kijklijnen ervaren in de werkelijkheid. -- Kijklijnen aangeven op een tekening. -- Kijklijnen gebruiken om te bepalen wat in het gezichtsveld ligt.

49 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 49

17/08/12 13:32

Meetkunde

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

4.1 Ruimtelijke oriëntatie (vervolg)

Leerlijn leerjaar 6

Hoeken benoemen als scherp, recht en stomp.

4.2.1 In het vlak

4.2 Vormleer

-- Eigenschappen (van zijden en hoeken) van vierhoeken onderzoeken en verwoorden. -- Vierhoeken benoemen als trapezium, parallellogram, rechthoek, ruit of vierkant. -- Vierhoeken met opgegeven eigenschappen tekenen.

In een parallellogram bij een basis de bijbehorende hoogte tekenen.

-- Driehoeken volgens de soorten hoeken indelen en benoemen. -- Driehoeken volgens de eigenschappen van de zijden indelen en benoemen. -- Vaststellen dat een gelijkzijdige driehoek scherphoekig is. -- Vaststellen dat een gelijkbenige driehoek recht-, scherp- of stomphoekig kan zijn. -- Vaststellen dat een ongelijkbenige driehoek (ongelijkzijdige driehoek -- voor OVSG en GO) recht-, scherp- of stomphoekig kan zijn. -- Vaststellen dat de som van de hoeken van een driehoek altijd gelijk is aan 180°. -- Driehoeken met opgegeven eigenschappen tekenen. -- Vaststellen dat de drie hoogten van een driehoek elkaar snijden in één punt. -- In een driehoek bij een basis de bijbehorende hoogte tekenen. -- De straal, de diameter/middellijn en het middelpunt van een cirkel benoemen en tekenen. -- Het symbool voor straal (r), diameter/middellijn (d) en pi (π) gebruiken.

50 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 50

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7

-- Coรถrdinaten gebruiken om een plaats in een rooster aan te geven of om een plaats terug te vinden. -- Aan de hand van een beschrijving een route op een plattegrond aangeven. -- Een route beschrijven. -- Een oplossing voor een ruimtelijk probleem (puzzel) bedenken. -- Rechthoeken en vlakke figuren vormen met gegeven pentominovormen.

-- In vierhoeken diagonalen tekenen. -- De eigenschappen van de diagonalen in vierhoeken onderzoeken en verwoorden. -- Vaststellen dat bepaalde eigenschappen gelden voor alle vierhoeken van een bepaalde soort. -- Constructies maken volgens voorschriften (o.a. m.b.t. de diagonalen). Driehoeken construeren m.b.v. een passer.

-- Eigenschappen (van zijden en hoeken) van veelhoeken onderzoeken en verwoorden. -- Veelhoeken benoemen als regelmatige veelhoek. -- Vaststellen dat een regelmatige n-hoek (bijvoorbeeld vijfhoek) verdeeld kan worden in n (5) gelijke driehoeken. -- Regelmatige veelhoeken tekenen m.b.v. een graadboog en een passer. -- De som van de hoeken van een regelmatige veelhoek bepalen.

51 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 51

17/08/12 13:32

Meetkunde

Leerlijn leerjaar 6

BLOK 1

BLOK 2

BLOK 3

4.3.1 Evenwijdigheid

-- Loodlijnen tekenen m.b.v. een geodriehoek. -- Het symbool â&#x201D;´ gebruiken.

4.3.3 Spiegelen

4.3.2 Loodrechte stand

4.2.2 In de ruimte

-- Ruimtefiguren/lichamen indelen in veelvlakken en nietveelvlakken. -- Bij veelvlakken de kubus, de balk en de piramide benoemen. -- Bij veelvlakken de ribben, de hoekpunten en de zijvlakken (waaronder grondvlak en bovenvlak) benoemen. -- Bij niet-veelvlakken de cilinder, de bol en de kegel benoemen. -- Van een kubus en een balk een ontvouwing tekenen. -- Van ontvouwingen nagaan welke een kubus of een balk opleveren. -- Evenwijdige rechten tekenen m.b.v. een geodriehoek. -- Het symbool // gebruiken.

4.3.4 Gelijkvormigheid

4.3 Meetkundige relaties

4.2 Vormleer

4.2.1 In het vlak (vervolg)

Leerlijn leerjaar 6

Een tekening op schaal maken.

52 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 52

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

BLOK 4

BLOK 5

BLOK 6

BLOK 7 Toepassingen op het gebruik van passer en graadboog (geodriehoek) bij het tekenen van cirkels en veelhoeken maken.

De zijvlakken van een kubus, een balk en een cilinder onderzoeken.

Constructies maken volgens voorschriften.

- Bij spiegelingen de begrippen spiegelbeeld, spiegeling en - spiegelas gebruiken. - De eigenschappen van een spiegeling onderzoeken. - Symmetrieassen/spiegelassen in figuren tekenen. - Het spiegelbeeld van een vlakke figuur tekenen op ruitjespapier.

53 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 53

17/08/12 13:32

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

54 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 54

17/08/12 13:32

Hoofdstuk 4 • Aanpak 1

Getallen

Natuurlijke getallen tot 100 miljard • Hoeveelheidsaspect van getallen Beginsituatie In het tweede blok van het vijfde leerjaar breidden we het getalbereik uit tot 1 miljoen. We plaatsten dit telkens in een betekenisvolle context, bijvoorbeeld het aantal inwoners van de provinciehoofdplaatsen. Zo krijgen de getallen voor de leerlingen meer betekenis, wat ongetwijfeld tot hun getalbegrip bijdraagt.

Gebruikswijzer

contexten. Door de realistische situaties waarin getallen van deze orde van grootte voorkomen krijgen de getallen meer betekenis voor de leerlingen. We werken bijvoorbeeld rond de lonen van supersterren, het aantal bezoekers van websites, inwonersaantallen, … Deze getallen zijn geregeld voorgesteld in een grafiek of in een tabel. Bij het behandelen van getallen tot 10 miljard, wat in blok 3 voor het eerst aan bod komt, werk je rond bevolkingsaantallen van een aantal landen en gebieden, afstanden in het heelal, het aantal gekende sterren in de Melkweg, …

• Positioneren van getallen In het vijfde blok van leerjaar 5 kwamen getallen tot 10 miljoen ter sprake. Hier werkten we met de bevolkingsaantallen van een aantal landen. In het vijfde leerjaar behandelden we ook het schatten van ongestructureerde hoeveelheden. In het eerste blok schatten de leerlingen het aantal mensen op een foto. Hierbij besprak de leerkracht de schatstrategie (bijvoorbeeld een gebied afbakenen, het aantal mensen in dat gebied bepalen en dan schatten hoeveel keer dit gebied in de afbeelding kan), zodat leerlingen dit schatten doordacht leren aanpakken. Ze kregen ook de opdracht om het aantal bewoners van een flatgebouw te bepalen. Behalve op de schatstrategieën werd er hier ook een beroep gedaan op de ervaringskennis van de leerlingen (Hoeveel mensen wonen er ongeveer in één appartement?).

Zesde leerjaar In het eerste blok van het zesde leerjaar is er een les waarin getallen tot 10 miljoen worden herhaald. De leerlingen lezen een krantenartikel op hun Doe!-blad met allerlei grote getallen en markeren de getallen groter dan 100 000. In blok 1 introduceer je het symbool ±. Dit symbool tref je geregeld aan in krantenknipsels, rapporten, … Het is dan ook belangrijk om de leerlingen hiermee te confronteren. Ze verwoorden dit als ongeveer, plusminus, … In blok 2 breiden we het getalbereik uit tot 1 miljard. Ook bij getallen van deze grootte werken we met betekenisvolle

Beginsituatie In het vijfde leerjaar werd de getallenlijn, voortbouwend op de getallenlijn tot 100 000 van het vierde leerjaar, verder uitgebreid tot 10 miljoen. Bij de uitbreiding van het getalbereik tot 1 miljoen in het tweede blok van leerjaar 5 vulden de leerlingen de zuivere honderdduizendtallen aan op een getallenlijn. Ze telden hierbij van 0 tot 1 miljoen met sprongen van 100 000. Extra aandacht kreeg de sprong die volgt na 900 000. Door te benadrukken dat 1 miljoen duizend keer duizend is, krijgen de leerlingen inzicht in de betekenis van 1 miljoen. De leerlingen plaatsten verschillende getallen op deze getallenlijn. Dit bleef wel vaak beperkt tot het situeren van getallen. Er werd immers steeds gewerkt met een getallenlijn waarop slechts enkele ankerpunten waren aangegeven. De leerlingen verwoordden de positie van de getallen als: juist voor …, juist na …, ligt tussen … en …, … De leerlingen kregen ook geregeld de opdracht om met sprongen heen en terug te tellen en om getallen te vergelijken en te rangschikken. Op deze manier ontwikkelen ze een flexibel inzetbaar inzicht in de getallenrij. Het uitbreiden van de getallenlijn tot 10 miljoen werd analoog uitgewerkt.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar breiden we de getallenlijn verder uit. Bij het uitbreiden van het getalbereik tot 1 miljard in blok 2 geef je de leerlingen de opdracht om met sprongen van honderd miljoen te tellen. Duizend miljoen benoem je als één miljard. Je noteert deze rij op het bord en de leerlingen doen mee op hun Doe!-blad.

55 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 55

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

100 miljoen

200 miljoen

5 100 000 000

300 miljoen

400 miljoen

500 miljoen

600 miljoen

700 miljoen

800 miljoen

900 miljoen

Gebruik de gegeven bezoekersaantallen van oefening 4. Noteer de naam van het pretpark waarvan: 500 000 000 700 000 000

1000 miljoen

1 miljard 1 000 000 000

het cijfer 6 een tienduizendtal is:

Net als in het vijfde leerjaar krijgen de leerlingen geregeld de opdracht om getallen te positioneren 6 op een getallenlijn. Let erop dat de positie van een getal goed verwoord wordt. Bij het plaatsen van 250 miljoen bijvoorbeeld merk je op dat dit getal precies in het midden tussen 200 miljoen en 300 miljoen ligt. De 7leerlingen maken ook geregeld oefeningen op het tellen met sprongen. het cijfer 8 een duizendtal is:

het aantal bezoekers ruim 4 000 000 is:

Lees het rekenraadsel. Welk getal kan het zijn? Vul in. n 60 en 70. Dit getal ligt tusse acht honderdsten. Het getal heeft eenheden is even de van r cijfe Het 3. en deelbaar door tienden is de helft Het cijfer van de de eenheden. van het cijfer van geen nullen! Het getal heeft . Het getal is

Het getal telt zes cijfers. Het getal is deelbaar door 100 maar niet door 1000. Alle cijfers zijn even. Het honderdduizendtal is groter dan 5 en is een veelvoud van 4. Het cijfer van de tienduizendtallen is een vierde van het cijfer van de honderdduizendtallen. Het cijfer van de honderdtallen is een veelvoud van 3. Het cijfer van de 2 duizendtallen is van het cijfer van de honderdtallen. 3 Het getal is .

Welk getal ligt het dichtst bij …? Omcirkel.

11,89

12,16

12,12

304

303,92

305

304,082

12,105

303,91

11,8

De leerlingen maakten ook geregeld oefeningen waarin ze getallen moesten samenstellen en ontbinden.

304,81 Denk aan het positieschema!

Vul in. Het kleinste getal staat steeds vooraan. Sprong van ...

3 241 220

100 100

2 678 951

1000

1 302 400

10 000

6 781 000

100 000

5 840 000

100 000

Zesde leerjaar

8 258 000

Sprong van ... 0,1 0,01 0,05

tweehonderdduizend. De leerlingen kregen ook de opdracht om grote getallen te noteren als kommagetal. Het getal 5 500 510 bijvoorbeeld rondden ze af tot op het dichtstbijgelegen honderdduizendtal (5 500 000) en noteerden het dan als 5,5 miljoen.

16,1 8 12,15

Het uitbreiden van de getallenlijn tot 100 miljard werken we analoog uit.

In blok 1 krijgen de leerlingen de opdracht om de hoofding van een positieschema aan te vullen en hier verschillende getallen in te noteren. Op deze manier verduidelijk je de positionele waarde van de cijfers van een getal.

Beginsituatie

In het eerste blok lezen de leerlingen ook grote getallen die genoteerd staan als kommagetal. De leerlingen noteren deze getallen in de eerste fase van de les ook in het positieschema. Door voort te bouwen op het verband 0,1 miljoen = 1 van een 10 miljoen = 100 000 lezen de leerlingen bijvoorbeeld 1,6 miljoen als 1 miljoen zes tiende van een miljoen en 1 miljoen zeshonderdduizend. Je geeft ook geregeld de opdracht om een getal af te ronden en te noteren als kommagetal. Je schenkt ook aandacht aan getallen kleiner dan 1 miljoen. Die noteer je als 0,. miljoen.

In het vijfde leerjaar lazen de leerlingen getallen tot 10 miljoen en verwoordden ze ook geregeld de positionele waarde van de cijfers. Het getal 5 500 510 bijvoorbeeld noteerden de leerlingen als 5M + 5HD + 5H + 1T. Eventueel noteerden ze eerst het getal in een positieschema. De leerlingen maakten ook geregeld oefeningen met vragen als ‘Tussen welke twee honderdduizendtallen ligt dit getal?’, ‘Welk getal is twee tienduizendtallen kleiner dan 5 500 510?’, ‘Is dit getal groter of kleiner dan 6 miljoen?’, …

In blok 2 komen de getallen tot 1 miljard aan bod. Deze worden vaak genoteerd als .,. miljard. Laat de leerlingen ook getallen lezen en interpreteren die op die manier genoteerd zijn. Ze lezen bijvoorbeeld 1,3 miljard als 1 miljard 300 miljoen en noteren als 1 300 000 000. Of ze krijgen de opdracht om bijvoorbeeld het getal 246 miljoen te noteren als 0,246 miljard. Door getallen op verschillende manieren te lezen en te noteren ontwikkelen de leerlingen een flexibel inzetbaar getalbegrip.

Nieuw in het vijfde leerjaar is het lezen van grote getallen die genoteerd staan als kommagetal. 1,2 miljoen lazen de leerlingen bijvoorbeeld als één miljoen en twee tiende van een miljoen. De leerkracht wees hierbij op het verband 0,1 miljoen = 1 van 1 miljoen = 100 000. Steunend op dit 10 inzicht, lazen de leerlingen 1,2 miljoen als 1 miljoen

Ook het samenstellen en ontbinden van getallen komt aan bod. Bij deze oefeningen doen leerlingen een beroep op verschillende belangrijke aspecten van het getalbegrip: inzicht in de positionele waarde van de cijfers, inzicht in de getallenrij, kennis en begrip van rekentaal, …

Ook bij het positioneren van grote getallen die genoteerd zijn als kommagetallen, zorg je ervoor dat de positie van het getal goed verwoord wordt. Bij het plaatsen van 4,2 miljard merk je op dat dit meer is dan 4 miljard en minder dan 5 miljard en dat 4,2 miljard 4 miljard en 2 tiende van een miljard is.

• Positionele waarde van cijfers

56 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 56

17/08/12 13:32

Notee er het getal.

Noteer eventueel in het positieschema op de vorige pagina.

4M + 3TD + 8D + 2T + 1E = 9M + 3HD + 8H + 5E =

Vul in. Het kleinste e getal staat steeds voor oraa aan n. Sprong van ... 100 4 589 300 5 685 000

10 000

5 811 000

100 000

8 750 000

100 000

Gebruikswijzer

4 236 270

1000 10 000

1 230 000

Vul in.

Negatieve getallen

x 1 100 000

4 000 000 +

Beginsituatie

het dubbele van

5 500 000 = 750 000 meer dan

6 000 000 -

+ 4 999 999

13 3

In blok 3 breid je het getalbereik uit tot getallen tot 100 miljard. Hierbij voeren de leerlingen gelijkaardige opdrachten uit. Ze noteren getallen in een positieschema, verwoorden de waarde van de verschillende cijfers in het getal, ronden grote getallen af en noteren deze als kommagetal, …

In het vierde leerjaar maakten de leerlingen voor het eerst kennis met negatieve getallen. In het vijfde leerjaar werd deze leerlijn verder uitgebouwd. Deze getallen werden meestal aangeboden in een betekenisvolle context, soms in aparte lessen, maar meestal in toepassingen zoals het bepalen van het gemiddelde, grafieken, tabellen, ...

• Splitsen

-7

-6

-5

-4

-3

-2

2,5 miljard

aantal inwoners:

bevolkingsdichtheid: 20,8 inwoners per km² munteenheid: Zweedse kroon

bevolkingsdichtheid: 360,6 inwoners per km² munteenheid: euro

SEK (1 euro =

SEK)

typisch Belgisch: chocolade, frietjes, Atomium, …

typisch Zweeds: Ikea, Pipi Langkous, …

Zweden (Stockholm)

België (Ukkel)

hoeveelheid neerslag per maand in mm

Nov Dec

gemiddelde temperaturen (°C)

5 0

Dec

Okt

Sep

Nov

Jul

Jun

Aug

Jan

Apr

Feb

-5 -10

Mei

Dec

Okt

gemiddeld aantal uren zonneschijn per dag

Maa

max. temp. min. temp.

0 -5 -10

Jun Jul Aug Sep Okt

Nov Dec

gemiddelde temperaturen (°C)

Jan Feb Maa Apr Mei

10 Jun Jul Aug Sep Okt

Jan Feb Maa Apr Mei

gemiddeld aantal uren zonneschijn per dag

Vul aan. 1 van 1 miljard is 100 2 van 1 miljard is 5 100 miljoen minder dan 1 miljard is

. . . .

100 miljoen minder dan 10 miljard is

aantal inwoners:

In het zesde leerjaar komt er geen nieuwe leerstof meer bij over negatieve getallen. De leerlingen komen er wel mee in contact in allerlei toepassingen zoals het bepalen van het

Jul Aug Sep Okt Nov Dec

100 000 000

ofﬁciële landstaal: Nederlands, Frans en Duits totale oppervlakte: 30 528 km²

Jan

10 miljard

hoofdstad: Brussel

Feb Maa Apr Mei Jun

15 000 000 000

(gegevens 2011)

naam van het land: België

ofﬁciële landstaal: Zweeds

Sep

miljard

totale oppervlakte: 449 964 km² m²

Nov

5 000 000 000 20 000 000 000

miljoen

hoofdstad: Stockholm

Aug

150 miljoen 0,25 miljard

naam van het land: Zweden

Jul

35 miljard

miljoen

Floris gaat deze zomer op vakantie naar Zweden. Hij heeft wat informatie over dit land opgezocht. Vul aan en vergelijk met de informatie over België.

Jul Aug Sep Okt Nov Dec

999 000 000

70 miljard

Jan

1 miljard

positieve getallen

Jun

Splits de getallen. Vul in.

Apr

De leerlingen kregen in blok 3 de opdracht om het verschil te bepalen tussen getallen. Bij het bepalen van het verschil tussen bijvoorbeeld -3 en 5 mochten de leerlingen de getallenlijn gebruiken en de sprongen tussen -3 en 5 tellen/tekenen. Ze verwoordden dit als ‘Het verschil tussen -3 en 5 is 8.’ Na enkele oefeningen waarin sprongen werden voorgesteld op de getallenlijn, kwam de leerkracht samen met de leerlingen tot een verkorting bij het tellen van de sprongen: de leerlingen bepaalden het aantal sprongen van het positieve getal tot nul, het aantal sprongen van nul tot het negatieve getal en telden dan beide getallen op. Ook bij het vergelijken van getallen werd verwezen naar de getallenlijn.

Zesde leerjaar Net als in het vijfde leerjaar splitsen we getallen in twee of drie termen.

-1

negatieve getallen

Feb

In het zesde leerjaar bouwen we de leerlijn splitsen verder uit door ook getallen tot 100 miljard te splitsen. De werkwijze is dezelfde als in het vijfde leerjaar. Bij het splitsen van grote getallen wijzen we ook in het zesde leerjaar op de analogie met het splitsen van getallen tot 1000.

-8

Mei

Zesde leerjaar

-9

Maa

In het vijfde leerjaar splitsten de leerlingen getallen in twee of drie termen. De leerlingen stelden een splitsing voor aan de hand van splitsbeentjes en noteerden de splitsing ook als een optelling. Ze kregen ook geregeld de opdracht om rekenzinnen aan te vullen (bijvoorbeeld 500 000 = 450 000 + .).

-10

Jan

In het vijfde leerjaar werd het splitsen van getallen verder uitgebreid tot getallen tot 10 miljoen, met het oog op het ontwikkelen van een flexibel inzetbaar getalbegrip en op het zinvol splitsen bij delen. Bij het splitsen van grote getallen legden we het verband met het splitsen van getallen tot 1000. Bij het splitsen van bijvoorbeeld 720 000 in 600 000 en 120 000 werd verwezen naar het splitsen van 720 in 600 en 120. Voor het splitsen van grotere getallen werd een beroep gedaan op het inzicht in getallen tot 1000, omdat de transfer op die manier makkelijker te maken is.

De leerlingen van het vijfde leerjaar hebben dus al kennisgemaakt met negatieve getallen en ze zijn ook al beter in staat om abstract te redeneren. Daarom behandelden we in het vijfde leerjaar ook negatieve getallen die niet in een context gegeven zijn. Daarbij besteedden we ook aandacht aan de getallenlijn en aan de positie van de negatieve getallen ten opzichte van de nul.

Feb Maa Apr Mei Jun

Beginsituatie

Vul in. meer dan 10 miljard

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 57

5 keer

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

gemiddelde, het aflezen van grafieken, het bepalen van een temperatuurverschil, ... Door deze opdrachten met negatieve getallen in een betekenisvolle context leren de kinderen negatieve getallen interpreteren die ze in het dagelijkse leven aantreffen en zo ontwikkelen ze een functionele gecijferdheid.

dan twee kaartjes met een t op. Tegelijkertijd werd hier de verwoording 2 tiende aan gekoppeld. Vervolgens probeerden ze om dit ook op een andere manier te leggen (20 h-kaartjes). Zo kregen de leerlingen een goed inzicht in de tientallige structuur van kommagetallen. Een goed verankerd inzicht in de getalstructuur is onontbeerlijk om bewerkingen met kommagetallen te maken.

Kommagetallen Beginsituatie In het vierde blok van het vierde leerjaar werden de kommagetallen geïntroduceerd. We brachten kommagetallen contextueel en functioneel aan, met name vanuit het domein meten. Deze koppeling met de werkelijkheid leidde tot een inzichtelijke opbouw van de kommagetallen. Bij de introductie van de tienden ijkte de leerkracht een literfles door er steeds de referentiemaat van 1 dl in te gieten (flesje yoghurtdrank, zie Meten). Hierbij werd de relatie 1 dl = 1 l herhaald. Vervolgens 10 werd er een brikje met een inhoudsvermelding van 0,2 l leeggegoten in de geijkte literfles. Zo stelden de leerlingen vast dat 2 dl = 2 l = 0,2 l. Vanaf deze 10 eerste les was er veel aandacht voor het lezen van de kommagetallen. De leerlingen verwoordden dit als 2 tiende van een liter. Vervolgens werkte de leerkracht gelijkaardige opdrachten uit rond lengte, bijvoorbeeld 4 dm verwoorden als 4 tiende van een meter en dan hieraan 0,4 m koppelen.

De KomMatz-kaarten zijn een differentiatiemiddel bij uitstek. In het vijfde en zesde leerjaar behoort dit methodespecifiek materiaal niet meer tot het basispakket. Je kunt leerlingen die nog problemen hebben met de tientallige structuur bij kommagetallen toch nog oefeningen laten maken met deze kaarten. Als ze de kommagetallen nog eens leggen met concreet materiaal, krijgen ze een beter inzicht in de positionele waarde van de cijfers in een kommagetal. Het kan dan ook zinvol zijn enkele sets KomMatzkaarten in je klas ter beschikking te hebben. Ook bij het opbouwen van de getallenlijn tussen 0 en 1 ging er veel aandacht naar het verband tussen eenheden, tienden, honderdsten en duizendsten. De leerlingen kregen geregeld de opdracht om getallen te positioneren op de getallenlijn tussen 0 en 1 en om steunpunten te noteren bij een ‘lege’ getallenlijn om een gegeven getal te plaatsen. Bij het plaatsen van getallen met drie decimalen werd er ingezoomd op een deel van de getallenlijn die is onderverdeeld in honderd gelijke delen.

De introductie van honderdsten gebeurde vrij analoog aan het aanbrengen van de tienden. Door het verband te leggen met de meetactiviteit bij de tienden en door te wijzen op het verband 1 m = 100 cm en 1 cm = 1 m werd besproken dat je 7 cm ook 100 kunt noteren als 0,07 m. Er volgden gelijkaardige oefeningen over inhoud en geldwaarden. In het vijfde blok van het vierde leerjaar werden de duizendsten geïntroduceerd. Net als bij de tienden en de honderdsten vertrokken we vanuit het domein meten, meer bepaald gewicht. De leerlingen verwoordden het verband tussen kilogram en gram als ‘1 gram is één duizendste van een kilogram’. Ze noteerden dan 215 g als 0,215 kg. Nadat de kommagetallen via meten waren aangebracht, gingen de leerlingen aan de slag met de KomMatz-kaarten.

De leerlingen kregen bijvoorbeeld de opdracht om 0,2 te leggen met de kaarten. Ze legden

Als voorbereiding op bewerkingen met kommagetallen maakten de leerlingen geregeld oefeningen in het aanvullen/verminderen van kommagetallen tot het volgende/vorige gehele getal. De klassikale getallenlijnen zijn hierbij een handig didactisch hulpmiddel. Deze getallenlijnen vind je ook in de Leerkrachtassistent.

58 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 58

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

De leerlingen kregen ook geregeld de opdracht om kommagetallen te vergelijken, te rangschikken, te situeren tussen twee opeenvolgende honderdsten/ tienden/ gehelen, te positioneren op de getallenlijn en samen te stellen en te ontbinden (bijvoorbeeld 1 = 0,8 + .). In het vijfde leerjaar kwamen er geen nieuwe inhouden bij over getallenkennis bij kommagetallen. Leerlingen kregen wel geregeld opdrachten waarbij ze bijvoorbeeld kommagetallen moesten plaatsen op een getallenlijn, de waarde van elk cijfer bij kommagetallen bepalen, tellen met sprongen, … Of ze moesten, met het oog op het plaatsen van een kommagetal op de getallenlijn, steunpunten bij de getallenlijn te noteren. Ook in het vijfde leerjaar werden deze getallen vaak aangeboden in een betekenisvolle context. Door getallen te koppelen aan een context krijgen de leerlingen stapsgewijs inzicht in dit leerdomein. Kommagetallen werden geregeld gekoppeld aan de overeenkomstige decimale breuk en het overeenkomstige percentage (na de introductie van procent in blok 4 van het vijfde leerjaar).

Zesde leerjaar Het eerste blok van leerjaar 6 heeft twee lessen waarin we de kommagetallen herhalen. Het is immers belangrijk dat het inzicht in deze tientallige structuur goed verankerd is, vooraleer we weer bewerkingen met kommagetallen behandelen. In deze lessen ga je weer terug naar de basis. Start met het lezen van kommagetallen op verschillende manieren (zie hieronder) en laat de leerlingen kommagetallen in het positieschema noteren. De leerlingen benoemen het deel voor de komma als de gehelen. Je koppelt hier ook de decimale breuk aan. Leerlingen formuleren bijvoorbeeld de gelijkheid 0,2 = 2 . 10 De leerlingen plaatsen ook getallen op de getallenlijn. Je behandelt systematisch getallen met één, met twee en ten slotte met drie decimalen. Besteed hierbij aandacht aan de ijk van de getallenlijn en aan de verwoording van de positie van het kommagetal. Bij het plaatsen van bijvoorbeeld 1,84 merken de leerlingen op dat ze dit getal tussen 1 en 2 en meer bepaald tussen 1,8 en 1,9 plaatsen en dat het getal dichter bij 1,8 dan bij 1,9 ligt. De leerlingen krijgen in deze les een getallenlijn waarop enkel de tienden zijn aangegeven. Ze stellen vast dat het getal 1,84 niet exact kan geplaatst worden en ze gaan inzoomen op een deel van de getallenlijn. Op deze manier herhaal je de gelijkheid 1t = 10h. Het plaatsen van een getal met drie decimalen werk je analoog uit. Op deze manier herhaal je het verband 1h = 10d.

Het bordschema bij deze activiteit ziet er als volgt uit:

0,2

1 10 t

0,10 0,11 0,12 0,13

0,120

0,20

0,126

0,20

2 20 t

1,5

0,250

1,80

0,30

1,84

1,90

3,40

3,1

3,43

3,50

0,130

Schenk veel aandacht aan het verband tussen E, t, h en d. Om bewerkingen met kommagetallen te maken, is het belangrijk dat leerlingen een flexibel inzetbaar getalbegrip ontwikkelen. In de volgende les ga je in op het noteren van steunpunten bij het plaatsen van een kommagetal op een getallenlijn. Na het positioneren van een aantal getallen stel je samen met de leerlingen nog eens vast dat: - bij een kommagetal met één decimaal de steunpunten natuurlijke getallen zijn; - bij een kommagetal met twee decimalen de steunpunten getallen met één decimaal zijn; - bij een kommagetal met drie decimalen de steunpunten getallen met twee decimalen zijn. In deze les maken de leerlingen ook oefeningen op het tellen met sprongen, het aanvullen tot het volgende gehele getal en het vergelijken van kommagetallen. Bij het vergelijken van getallen met een verschillend aantal decimalen verwijs je naar het knipperlicht . Dit herinnert leerlingen eraan dat ze eventueel een nul kunnen aanvullen zodat het aantal decimalen bij de getallen hetzelfde wordt. Dit maakt het vergelijken voor sommige leerlingen heel wat makkelijker. Je koppelt geregeld ook de decimale breuk en het percentage aan het kommagetal. Voor meer informatie over hoe de Les 1 • Natuurlijke getallen en kommagetallen relatie tussen breuken, kommagetallen en percentages wordt aangepakt, zie pagina 70. In de derde graad komen er geen nieuwe inhouden meer bij over getallenkennis bij kommagetallen. Het blijft echter belangrijk om de 1

Plaats 5,3; 5,21 en 5,225 op de getallenlijn.

De waarde van elk cijfer is gegeven. Welk getal? Noteer.

Rangschik de kommagetallen.

2T + 3E + 2h =

9E + 3d =

3M + 4TD + 6T + 4E =

45,3

45,32

99,1

45,324

99,12

99,199

Aantal bezoekers in pretparken over de hele wereld! Rond de getallen af tot op het dichtstbij gelegen honderdduizendtal. Noteer als kommagetal. pretpark

45,231

99,2

8M + 2D + 8H =

5H + 2d + 8t =

aantal bezoekers

Europapark (Duitsland)

4 225 000

Disney’s California Adventure (USA)

6 884 000

Phantasialand (Duitsland)

1 860 000

Universal Studios Hollywood (USA)

5 040 000

Island of Adventure (USA)

6 278 000

Toverland (Nederland)

afgerond aantal

kommagetal

miljoen

495 000

* gegevens van 2010 op www.pretparkbeest.be (De gegevens zijn bewerkt.)

59 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 59

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

leerlingen dit geregeld te laten inoefenen. zWISo biedt heel gevarieerde oefenvormen: vrij formele oefeningen, rekenspellen, rekenraadsels, … waarbij de leerlingen kommagetallen positioneren op de getallenlijn, tellen met sprongen, aanvullen/wegnemen tot het volgende/ vorige gehele getal, rangschikken, … Hoe lezen en schrijven we kommagetallen? Zoals gezegd, besteden we veel aandacht aan het lezen van kommagetallen. Dit versterkt namelijk het inzicht in de kommagetallen en is belangrijk als we er bewerkingen mee willen maken. Daarom laten we de leerlingen regelmatig kommagetallen lezen op verschillende manieren. Ze lezen bijvoorbeeld 2,15 als twee gehelen, één tiende en vijf honderdsten, als twee gehelen vijftien honderdsten of eventueel als 215 honderdsten. Het lezen van kommagetallen op deze manier is vooral van belang bij het vergelijken van kommagetallen, bij het aanvullen/verminderen tot een volgend/vorig geheel getal en bij het maken van bewerkingen met kommagetallen. Vooral voor vermenigvuldigen en delen met kommagetallen is het lezen van kommagetallen op verschillende manieren een goede voorbereiding. Bij deze bewerkingen steunen we immers sterk op het verwoorden van de getallen (zie Aanpak Bewerkingen - Vermenigvuldigen en Delen). In andere situaties kunnen kommagetallen ook gelezen worden als x komma y, bijvoorbeeld bij het cijferen met kommagetallen.

betekenis van teller en noemer: de noemer geeft aan in hoeveel delen je het geheel verdeelt en de teller hoeveel van de gelijke delen je neemt. De breuk 1 8 werd benoemd als stambreuk. Bij het benoemen van het groene deel kwam ook het begrip gelijkwaardige breuken ter sprake. De leerlingen noteerden hier het verband 1 = 2 . 4 8 De breuk met de kleinste teller en de kleinste noemer werd benoemd als de breuk van de eenvoudigste vorm. In heel het vijfde leerjaar werden de leerlingen gestimuleerd om breuken te vereenvoudigen. In deze les werkten de leerlingen ook met de breukendoos, bijvoorbeeld om gelijkwaardige breuken te zoeken. Daarvoor legden ze de strook van 1 op het breukenbord en zochten, eventueel door 2 een lat achter de strook van 1 te leggen, stroken 2 die even lang zijn. Hierbij noteerden ze de gelijkheid 1 = 2 = 4 . Bij een dergelijke reeks breuken 2 4 8 onderzochten de leerlingen ook de verbanden tussen de tellers en de noemers. In een klasgesprek stelden ze vast dat je gelijkwaardige breuken kunt vormen door teller en noemer te delen door of te vermenigvuldigen met hetzelfde getal. In het eerste blok behandelde de leerkracht ook het nemen van een breuk van een getal. De leerlingen stelden dit voor op een lijnstuk. Om 3 van 1500 te 5 bepalen verdeelden ze een lijnstuk in vijf gelijke delen (hier koppelden ze de deling 1500 : 3 aan) en namen ze drie van de gelijke delen (3 x 300 = 900). Hierbij ging ook veel aandacht naar de verwoording. 1500

Breuken 300

Beginsituatie In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhaalde de leerkracht het nemen van een breuk van een grootheid. De leerlingen kregen de opdracht om in elk stuk van een gegeven vierkant dat verdeeld is de corresponderende breuk te noteren. De leerlingen vouwden hiervoor 1 2 1 = een vierkant 8 1 8 4 8 vouwblaadje volgens rood de horizontale, de verticale en de geel diagonale lijn. Zo 1 stelden ze vast dat 2 het geheel verdeeld is in acht gelijke delen. De leerkracht benoemde een deel als 1 en verklaarde de blauw

groen

De leerlingen mochten telkens de tussenstappen tekenen of noteren die zij nodig hadden. Ze werden wel gestimuleerd om na verloop van het tijd het tekenen op het lijnstuk achterwege te laten. Als voorbereiding op deze voorstelling kregen de leerlingen de opdracht om breuken te plaatsen op de getallenlijn. Een belangrijke nieuwe inhoud binnen de leerlijn breuken in het vijfde leerjaar is het bepalen van het geheel als de breuk gegeven is. Daarvoor gebruikten we in een eerste fase de breukendoos. De leerkracht van het vijfde leerjaar startte met een opgave waarbij de gegeven breuk een stambreuk is. Door de strook van de stambreuk te leggen, bijvoorbeeld 1 , stelden de 4 leerlingen op hun breukenbord vast dat ze het geheel konden berekenen door dit deel vier keer te nemen. Daarna volgde een situatie waarin de gegeven breuk geen stambreuk is. De leerlingen stelden hier vast dat

60 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 60

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

je eerst de stambreuk moet zoeken en die dan weer x aantal keer moet nemen. In een volgende fase lieten de leerlingen de breukendoos achterwege en stelden ze de situatie enkel nog voor op een lijnstuk. De opgave 3 van . 4 = 1800 losten ze als volgt op: - Ze verdeelden het lijnstuk in vier gelijke delen.

- Een breuk kleiner dan de helft en een breuk groter dan de helft (bijvoorbeeld 2 en 3 ). 5 4 - Breuken waarvan de teller 1 minder is dan de noemer (bijvoorbeeld 5 en 8 ): hier stelden de 6 9 leerlingen vast dat er bij beide breuken één deeltje minder is dan het geheel ( 1 en 1 ). 1 is 6 9 6 groter dan 1 ; dus 5 is kleiner dan 8 . 9

- Ze gaven drie delen aan met een boog en noteerden hierboven 1800. 1800

- Ze berekenden de waarde van één deel (1800 : 3 = 600). 1800

600

- Tenslotte bepaalden ze de waarde van het geheel (4 x 600 = 2400). 2400 1800 600

Ze controleerden dit door

3 4

van 2400 te berekenen.

In het vijfde leerjaar behandelden we ook het beredeneerd vergelijken van breuken. We kozen hiervoor breuken waarbij het niet nodig was om ze gelijknamig te maken of om de breukendoos te gebruiken. In een eerste fase vergeleken de leerlingen gelijknamige breuken. Hierbij werd de volgende eigenschap herhaald: hoe groter de teller, des te groter de breuk. De leerlingen verwoordden dit ook op hun eigen niveau: de delen zijn even groot, dus hoe meer ik er neem, des te groter de breuk. Bij het vergelijken van breuken met gelijke tellers merkten de leerlingen op dat hoe kleiner de noemer is, des te groter de breuk. Bij het vergelijken van ongelijknamige breuken is het niet mogelijk om een algemeen besluit te formuleren. De leerkracht reikte de leerlingen verschillende strategieën aan om breuken te vergelijken. De volgende types kwamen aan bod: - Een breuk kleiner dan 1 en een breuk groter dan 1 (bijvoorbeeld 4 en 7 ): hier stelden de 7 6 leerlingen vast dat de ene breuk minder is dan het geheel en de andere meer. - Breuken waarvan de ene noemer de deler is van de andere ( 2 en 5 ): de leerlingen 3 9 vergeleken deze breuken door 2 om te zetten 3 naar de breuk met noemer 9, namelijk 6 . 9

In blok 2 van het vijfde leerjaar behandelden we de breuk als verhouding. We werkten hier met een kralenketting met witte en blauwe kralen. De leerlingen vulden vanuit de tekening de verhoudingstabel aan. Met behulp van deze tabel losten ze ook vragen op als ‘Ik gebruik vijf blauwe kralen. Hoeveel witte kralen heb ik dan nodig?’ De verbanden tussen de kolommen en tussen de rijen werden besproken. De leerlingen verwoordden dit op hun eigen niveau, bijvoorbeeld zo: ‘Als het aantal blauwe kralen verdubbelt, dan verdubbelt ook het aantal witte; het aantal blauwe kralen is 1 van het 3 aantal witte kralen, …’ De verbanden tussen de verschillende rijen werden voorgesteld met een breuk. Het bordschema bij deze opdracht zag er als volgt uit: 5x 2x

Aantal blauwe kralen

Aantal witte kralen

Totale aantal kralen

3x 4x

10 x

Aantal blauwe kralen = 1 = 2 = 5 = 8 = 10 Aantal witte kralen 3 6 15 24 30 Aantal blauwe kralen = 1 = 2 = 5 = 8 = 10 Totale aantal kralen 4 8 20 32 40 Aantal witte kralen = 3 = 6 = 15 = 24 = 30 Totale aantal kralen 4 8 20 32 40

De breuk als kans kwam aan bod in het vierde blok van het vijfde leerjaar. Via allerlei activiteiten

61 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 61

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

met dobbelstenen stelden de leerlingen vast dat de kans om bijvoorbeeld 5 te gooien kan uitgedrukt worden in een breuk met in de teller het aantal juiste mogelijkheden en in de noemer het aantal combinaties. Uit de werpactiviteit en een systematisch onderzoek in verschillende groepen bleek dat op 36 combinaties 5 gemiddeld vier keer voorkomt. De kans om 5 te gooien met twee dobbelstenen werd dus uitgedrukt als 4 en vereenvoudigd tot 1 . 36

Zesde leerjaar In het eerste blok van het zesde leerjaar herhaal je het nemen van een breuk van een getal. De leerlingen stellen dit in eerste instantie voor op een lijnstuk. Belangrijk om hierbij op te merken is dat bij het voorstellen van situaties/oefeningen de verdelingen op een lijnstuk worden geschetst. De delen hoeven dus niet allemaal exact even groot te zijn. De voorstelling op het lijnstuk is immers maar een hulpmiddel voor de leerlingen, een ondersteuning van hun denkproces. Leerlingen worden, net als in het vijfde leerjaar, gestimuleerd om dit schetsen op een lijnstuk achterwege te laten. Leerlingen die het bepalen van een breuk van een getal nog moeilijk vinden, mogen de opgave natuurlijk wel blijven schetsen. De opgave 3 van 480 000 wordt als volgt 4 voorgesteld: - De leerlingen tekenen een lijnstuk en benoemen dit als het geheel. Ze noteren 480 000 bij de boog die het volledige lijnstuk omvat. 480 000

- Om het gevraagde aan te geven verdelen ze het lijnstuk in vier gelijke delen en tekenen een boog over drie van de vier gelijke delen. Hierbij herhaal je de betekenis van teller en noemer: de noemer geeft aan in hoeveel gelijke delen je het geheel verdeelt, de teller hoeveel van die gelijke delen je neemt. 480 000

Deze opdracht is ook een goede toepassing op vermenigvuldigingen en delingen met grote getallen (zie Bewerkingen - Vermenigvuldigen en Delen). Door de leerlingen actief te betrekken bij deze les en hen een visuele ondersteuning te geven bij het herhalen van de basisbegrippen rond breuken, wordt het concept breuken inzichtelijk (her)opgebouwd. Het is belangrijk dat de leerlingen de betekenis van teller en noemer goed begrijpen voor we gaan werken met breuken die niet ingebed zijn in een context. In blok 1 herhalen we ook het bepalen van het geheel als de breuk gegeven is. Zoals in het vijfde leerjaar stellen de leerlingen dit voor op een lijnstuk. Je start met een situatie waarin een stambreuk gegeven is. Bij de opgave 1 van . = 50 tekenen de leerlingen een lijnstuk 3 en verdelen dit in drie gelijke delen. Ze benoemen één deel als 50. De leerlingen zullen vaststellen dat ze het geheel kunnen berekenen door 3 keer 50 te nemen. Het bordschema van deze oefening ziet er als volgt uit: ? 150

50 3 x 50 = 150 Controle: 1 van 150 = 50 3

Ook om het geheel te bepalen als een niet-stambreuk gegeven is, gaan de leerlingen dit voorstellen op een lijnstuk. Bij de opgave 4 van ? = 5200 doorlopen ze 5 de volgende stappen: - Ze stellen het geheel voor met een lijnstuk en schrijven hier een vraagteken bij. ?

- Ze verdelen het geheel in vijf gelijke delen, geven vier delen aan met een boog en noteren hierboven 5200. ? 5200

1 4

- De leerlingen bepalen vervolgens van 480 000 (480 000 : 4) en nemen dit drie keer (3 x 480 000).

- Ze berekenen het geheel door eerst één deel te zoeken en dit te vermenigvuldigen met 5. ? 6500 5200

480 000 ? 360 000

120 000

62 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 62

1300 5200 : 4 = 1300 5 x 1300 = 6500

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Ze controleren door 4 van 6500 te berekenen. 5

We willen de leerlingen ertoe aanzetten om een wiskundig probleem telkens goed te analyseren en de oplossingswijze te kiezen die het best bij de gegeven situatie past. Het werken met de pictogrammen vraagstukken (zie Aanpak - Vraagstukken) is een goede manier om de leerlingen gestructureerd en doordacht een wiskundig probleem te leren aanpakken. In de eerste les over breuken waarin we een breuk nemen van een getal en het geheel bepalen, werken we met deze pictogrammen om de leerlingen de situatie goed te laten analyseren en stapsgewijs te laten oplossen. In blok 2 behandel je het beredeneerd vergelijken van breuken. Je herhaalt hierbij de conclusies die de leerlingen maakten in het vijfde leerjaar. We willen de leerlingen leren kijken naar de teller en noemer van de breuken en hen allerlei strategieën bijbrengen om breuken te vergelijken. De breuken zijn zo gekozen dat ze beredeneerd vergeleken kunnen worden. Het is dus niet altijd nodig om de breuken gelijknamig te maken. In de eerste fase van deze les herhaal je het noteren van gelijkwaardige breuken. De leerlingen mogen de breukendoos gebruiken. Ze leggen bijvoorbeeld de strook van 5 en zoeken op het breukenbord 10 breuken die even groot zijn. Ze verwoorden dat ze teller en noemer met eenzelfde getal vermenigvuldigen of door eenzelfde getal delen. Dit is een heel belangrijke vaardigheid met het oog op het optellen en aftrekken van breuken (zie Bewerkingen - Breuken). Je schenkt ook aandacht aan het herstructureren van breuken. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld de opdracht om 3 te noteren 4 op verschillende manieren ( 1 + 1 , 3 x 1 , …). Door oefeningen als deze 2 4 4 verdiep je het getalinzicht van de leerlingen. In het zesde leerjaar wordt de breukendoos hoofdzakelijk ingezet als differentiatiemateriaal. We adviseren voor dit leerjaar de aankoop van een vijftal breukendozen. Het is zeker zinvol om met leerlingen die breuken moeilijk vinden, af en toe terug te grijpen naar dit concrete materiaal. Je kunt het werken met de breukendoos altijd illustreren met de klassikale breukendoos in de Leerkrachtassistent van het zesde leerjaar (zie Materialen - Leerkrachtmateriaal - Digitale materialen).

Bij het vergelijken van gelijknamige breuken merken de leerlingen dat hoe meer deeltjes je neemt, hoe groter de breuk is. Bij het vergelijken van breuken met gelijke tellers verwoorden de leerlingen dat hoe groter de noemer is, hoe kleiner de breuk, en omgekeerd. Ten slotte krijgen de leerlingen ook de opdracht om ongelijknamige breuken te vergelijken. Het is de bedoeling de leerlingen een aantal strategieën en ankerpunten aan te reiken die ze kunnen toepassen bij het vergelijken van breuken. De volgende types komen aan bod: - Een breuk kleiner dan 1 en een breuk groter dan 1 (bijvoorbeeld 2 en 5 ): hier stellen de 3 4 leerlingen vast dat de ene breuk minder is dan het geheel en de andere meer. - Een breuk kleiner dan de helft en een breuk groter dan de helft (bijvoorbeeld 2 en 3 ). 5 4 - Breuken waarvan de ene noemer de deler is van de andere ( 3 en 5 ): de leerlingen 4 8 vergelijken deze breuken door 3 om te zetten 4 naar de breuk met noemer 8, namelijk 6 . 8 - Breuken waarbij er telkens 1 deel minder is dan het geheel (bijvoorbeeld 3 en 4 ): hier stellen de 4 5 leerlingen vast dat er bij beide breuken één deeltje minder is dan het geheel ( 1 en 1 ). 1 is 4 5 4 groter dan 1 dus 3 is kleiner dan 4 . 5 4 5 - Bij het vergelijken van breuken als 2 en 1 3 5 merken de leerlingen op dat ze hiervoor de gelijkwaardige breuk met noemer 15 van beide breuken zoeken. Bij het vergelijken van bijvoorbeeld 5 en 4 geef je aan dat het handig is om 4 9 6 6 eerst te vereenvoudigen naar 2 en dan deze 3 breuk om te zetten naar een breuk met noemer 9. De bedoeling van al deze oefeningen is dat de leerlingen leren kijken naar de breuken en hun opgedane kennis leren toepassen. Les 4 • Breuken vergelijken 1

3 4

1 3

4 6

7 3

8 12

2 3

4 6

1 .

3 4

3 6

3 8

3 9

3 4

3 8

3 6

3 9

3 8

3 4

3 6

3 9

3 8

3 6

3 4

1 .

Welke breuk ligt het dichtst bij 1? Omcirkel.

B groter dan 1 4

1 .

7 8

Lees In welke en verbind. reeks zijn de vier breuken gerangschikt van klein naar groot? Omcirkel.

9 12

Vul de noemers in. kleiner dan 1 4

Vereenvoudig als je kunt!

Geef gelijkwaardige breuken dezelfde kleur.

4 5

1 2

2 3

9 10

Tussen welke twee opeenvolgende breuken ligt de breuk 4 ? Geef aan op de getallenlijn. 5 0

Vergelijk. Vul aan. 4 5

5 5

2 9

1 2

1 .

1 9

1 .

2 5

2 7

5 .

5 8

4 5

. 9

3 8

1 3

Eerst goed kijken voor je begint te rekenen!

. 8 1 4

4 .

2 3

3 4

2 5

4 7

1 4

3 12

3 6

. 8

4 8

1 3

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

Kleur de breuken die je kunt vereenvoudigen. Noteer naast deze breuken de eenvoudigste breuk.

14 17

6 9 15 30

6 15

9 7

3 7 8 18

Rangschik de breuken van groot naar klein. 1, 1 , 1 , 1, 1 5 10 20 4 8

1, 3 , 1, 3, 3 8 12 2 8 4

2 , 9 , 1, 1 , 5 7 7 7 7

8 12

5 8 12 36

In blok 3 komt het onderwerp combinaties ter sprake. Groepjes leerlingen krijgen een envelop met bloemblaadjes in drie verschillende kleuren en hartjes

63 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 63

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

in twee verschillende kleuren. Ze gaan na hoeveel verschillende bloemen ze hiermee kunnen maken. De resultaten stel je voor in een tabel en in een boomdiagram. blauwe rode gele bloemblaadjes bloemblaadjes bloemblaadjes wit hartje

oranje hartje

de delen en het geheel noteren als breuk. Ze verwoorden dit zo: ‘De verhouding tussen het aantal rechthoekige en het totale aantal kralen is 1 op 5 en de verhouding tussen het aantal ronde en het totale aantal kralen is 4 op 5.’ Je koppelt hier ook de percentages 20 % en 80 % aan. Ook de verhouding tussen de delen onderling stel je voor als breuk. Het bordschema bij deze les ziet er als volgt uit:

Bord

blauwe bloemblaadjes wit hartje

rode bloemblaadjes

aantal ronde kralen

totale aantal kralen

100

4 = 8 = 24 = 12 = 64 = 80 % 10 30 15 80 5 = 6 = 3 = 16 = 25 % 24 12 64

In de derde graad komen er haast geen nieuwe inhouden meer bij over getallenkennis bij breuken. Wel zijn er lessen waarin we de belangrijkste onderdelen van deze leerlijn herhalen. Daarnaast laten we de leerlingen dit geregeld inoefenen. We bieden veel verschillende oefenvormen aan: vrij formele oefeningen, rekenspellen, ... waarin de leerlingen breuken vergelijken, rangschikken, samenstellen, een deel van een figuur benoemen als breuk, … • Breuken en percentages gebruiken als verhouding. • De verhouding tussen de delen onderling en tussen een deel en het geheel uitdrukken.

tomaten . .

kruiden . . radijzen . .

bonen . .

aardappelen . .

les 20 • ladderkaart 1

Thomas neemt uit een kaartspel alle kaarten van 1 tot en met 10. Hij legt met de kaarten een patroon waarbij hij alleen naar de kleur kijkt. R

R = rood en Z = zwart

Hoeveel keer kan hij het patroon leggen? aantal rode kaarten

Hoeveel hondenbrokken eten de honden samen? Reken uit en vul in.

aantal zwarte kaarten

Rex eet 3 kg in twee dagen. 4 Lady eet 1 kg per dag. 4 Samen eten ze in twee dagen

totale aantal kaarten

Rambo eet 1 kg per dag. 4 Belle eet 3 kg in twee dagen. 4 Samen eten ze in drie dagen bijna

geheel gegeven is.

bloemkolen . .

wortelen . .

• De delen bepalen als de verhouding tussen de delen onderling of tussen de delen en het

Tom maakt een plan voor zijn groentetuin. Welk deel van de groentetuin wordt er voor elke groente gebruikt? Noteer in elk vak de passende breuk. sla . .

Een breuk die een verhouding uitdrukt herhaal je ook in blok 3. Het enige nieuwe daarbij is dat de verhouding niet enkel wordt uitgedrukt als breuk, maar ook als percentage.

4x 5x

les 20 • ladderkaart 1

De leerlingen stellen vast dat er zes verschillende combinaties zijn. Na deze activiteit laat je een leerling in gedachten een bloem kiezen. Een ander raadt welke bloem hij gekozen heeft. Je stelt hierbij vragen als ‘Wat is de kans dat de juiste bloem gekozen wordt?’ en ‘Wat is de kans dat de juiste kleur gekozen wordt?’ De leerlingen verwoorden deze kansen als 1 op 6 en als 1 op 3. Na een aantal gelijkaardige vragen stel je samen met de leerlingen vast dat je telkens het aantal juiste mogelijkheden tegenover het aantal mogelijkheden plaatst.

aantal rechthoekige kralen 1 2 = = aantal ronde kralen 4 8

rode bloemblaadjes gele bloemblaadjes

aantal ronde kralen totale aantal kralen

blauwe bloemblaadjes oranje hartje

aantal rechthoekige kralen 1 = = 2 = 6 = 3 = 16 = 20 % 10 30 15 80 totale aantal kralen 5

gele bloemblaadjes

soorten bloemen

aantal rechthoekige kralen

kg.

Hij kan het patroon _____ keer leggen. Vul aan. Thomas gebruikt bij het leggen van het patroon _____ kaarten. Hij heeft _____ rode kaarten en _____ zwarte kaarten nodig. aantal rode kaarten = totale aantal kaarten

kg.

. .

aantal zwarte kaarten = totale aantal kaarten

aantal zwarte kaarten = aantal rode kaarten

. .

Als Thomas één reeks van vijf kaarten heeft gelegd, ligt er

Hoeveel blokjes zijn rood? Reken uit en vul in.

kaarten die hij uit het kaartspel heeft genomen.

. .

van de

20 blokjes

Dat is _____ % van de kaarten.

jes

blok

BLAUW

1 van de blokjes is geel. 5 1 van de blokjes is paars. 10 1 van de blokjes is groen. 4 1 van de blokjes is blauw. 4 De rest is rood.

de slaapkamer van Jesse

aantal l witte verf

aantal l blauwe verf

totale aantal l verf

de slaapkamer van Anke

aantal l witte verf

totale aantal l verf

Antwoord: ____________________________________________________________________ IJSWIT

ZwisoBox_Fiches_6-6_ladder.indd 13

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

Blok 6

Antwoord:

Jesse en zijn zus Anke willen elk de muren van hun slaapkamer blauw schilderen. Jesse mengt telkens 5 liter witte verf met 4 liter blauwe verf. Anke mengt 4 liter witte verf met 3 liter blauwe verf. Ze gebruiken elk 20 liter witte verf om hun kamer te schilderen. Hoeveel liter verf hebben ze elk nodig?

jes

20 blok

22/06/12 10:24

Zoals in het vijfde leerjaar bouwen de leerlingen vanuit een gegeven situatie een verhoudingstabel op en zoeken ze de verbanden tussen de kolommen en tussen de rijen. De leerlingen verwoorden dit op hun eigen niveau. Bij de gegeven kralenketting merken de leerlingen bijvoorbeeld op dat als het aantal rechthoekige kralen verdubbelt, ook het aantal ronde kralen verdubbelt; als het totale aantal kralen wordt gedeeld door twee, dan worden het aantal rechthoekige kralen en het aantal ronde kralen ook gehalveerd, … Vervolgens laat je de leerlingen de verhouding tussen

64 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 64

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Procent

Bord (vervolg)

Beginsituatie

Aantal hokjes

Procent is een van de belangrijkste nieuwe inhouden van het vijfde leerjaar. De eerste les daarover vind je in blok 4 van het vijfde leerjaar. Alle inhouden die nodig zijn om het concept ‘procent’ op te bouwen, worden in de voorafgaande blokken grondig herhaald: het noteren van de decimale breuk, het vereenvoudigen van breuken, het werken met de verhoudingstabel, ... In de eerste les kregen de leerlingen materiaal te zien waarin procenttekens voorkomen. Zo leerden ze in welke situaties dit teken gebruikt wordt. Bij de bespreking van het %-teken wees de leerkracht op de twee nullen en legde het verband met het Franse woord ‘cent’. Om inzicht te krijgen in het begrip procent maakten de leerlingen kleuropdrachten op roosters en stroken met 100 hokjes. Ze moesten bijvoorbeeld in een rooster 50 hokjes inkleuren. Dit werd verwoord als ‘50 van de 100 of 50 op de 100 hokjes zijn gekleurd’ en benoemd als de helft, 1 . Na enkele 2 gelijkaardige kleuropdrachten besloten we dat er telkens … van de 100 hokjes gekleurd zijn en we noteerden dit ook als … procent of … %. Het bordschema van dit deel van de les zag er als volgt uit: Bord %

procent

percent

Roosters 50 van de 100

25 van de 100

0 van de 100

10 van de 100

Stroken 100 van de 100 20 van de 100

75 van de 100

80 van de 100

Aantal gekleurde hokjes

50 100 25 100 0 100 10 100

de helft

een vierde

niets

een tiende

100 100 20 100 75 100 80 100

alles

1 2 1 4

1 10

een vijfde

drie vierde

acht tiende -

1 5 3 4 8 10

50 procent

50 %

25 procent

25 %

0 procent

10 procent

10 %

100 procent -

100 %

20 procent

20 %

75 procent

75 %

80 procent

80 %

Bij de bespreking van de kleuropdrachten stelde de leerkracht de resultaten ook voor in een verhoudingstabel. Bij de opdracht ‘Kleur 50 hokjes.’ stelden de leerlingen vast dat 50 van de 100 hokjes gekleurd zijn. Vervolgens stelde de leerkracht vragen als ‘Hoeveel hokjes zijn er gekleurd per twee leerlingen?’ en ‘Hoeveel hokjes zijn er gekleurd per 50 hokjes?’. De leerlingen die dit nodig vonden, mochten hiervoor de kleuropdrachten op hun Doe!blad bekijken: ze legden de gekleurde roosters van twee leerlingen samen of legden hun lat verticaal achter vijftig hokjes.

100

150

200

100

200

300

400

1 op 2, 1 of 50 % 2

Door te variëren met het geheel ervaren de leerlingen dat procent … voor elke 100 betekent, maar dat het geheel kan variëren en dus niet altijd de hoeveelheid 100 is. In een volgende fase maakten de leerlingen enkele eenvoudige procentberekeningen. Hierbij ging veel aandacht naar de betekenis van het percentage. 10 % bijvoorbeeld verwoordden de leerlingen als 10 op de 100, 10 voor elke 100, … In eerste instantie losten de leerlingen deze berekeningen op door tussenstappen te noteren in de verhoudingstabel. In deze eerste lessen beperkten we ons tot vrij eenvoudige percentages als 50 %, 25 % en 20 %. Bij het opbouwen van het begrip procent letten we op een zorgvuldige verwoording van het geheel. Om vraagstukken over procent op te lossen is het immers belangrijk dat de leerlingen het geheel, 100 %, correct kunnen benoemen. In blok 5 werd de procentstrook geïntroduceerd. De leerlingen kregen de opdracht om een procentmeter te maken. De leerkracht toonde elastieken van verschillende lengte waarop een begin- en een eindstreep waren aangeduid. De leerlingen benoemden deze als 0 % (niets) en 100 % (het geheel). Vervolgens verdeelden ze op hun elastiek het stuk tussen de begin- en de eindstreep in tien gelijke delen. De streepjes benoemden ze als 0 %, 10 %, … De strook zag er bij het einde van de activiteit als volgt uit:

0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 %

Door de leerlingen te laten werken met elastieken van verschillende lengte ontdekten ze nog eens dat de grootte van het geheel kan variëren. Vervolgens kregen de leerlingen de opdracht om de verhouding van hun beenlengte tot hun totale lengte te bepalen met behulp van hun procentmeter. Ze hielden het streepje van 0 % (niets) bij hun voeten en rekten het elastiek zo uit dat de eindstreep ter hoogte van hun hoofd kwam. Nu konden ze het percentage van de beenlengte aflezen. Bij de bespreking kwamen de resultaten in een tabel op het bord. De leerkracht noteerde er ook telkens de lengte van de gebruikte procentmeter bij. Daardoor

65 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 65

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

stelden de leerlingen vast dat het niet uitmaakt welke procentmeter je gebruikt. De leerlingen verwoordden de verhouding van hun beenlengte tot hun totale lengte als ruim … %, bijna … %, ongeveer … %, … Een vergelijking van de meetresultaten leerde hen dat er wel wat verschillen waren, maar dat de gemiddelde beenlengte toch ongeveer 60 % van de totale lengte was.

Blok vijf behandelde ook het omzetten van een percentage in een eenvoudige breuk, bedoeld om toepassingen op procent op te lossen door gebruik te maken van de corresponderende breuk. In blok 7 losten de leerlingen deze toepassingen ook op door het percentage te noteren als kommagetal. De leerlingen lossen bijvoorbeeld 80 % van 250 op als 0,8 x 250 = 8 x 25 = 200.

De leerlingen maakten vervolgens nog enkele oefeningen, waarbij ze afhankelijk van de te meten verhouding de passende procentmeter kozen.

In blok vijf maakten de leerlingen ook toepassingen op procent waarbij ze het totaal moesten berekenen als het percentage en een deel gegeven zijn. Zoals in deze situatie: ‘Juf Lies gaat met haar klas naar een musical. In de theaterzaal is 80 % van de stoelen bezet. Dat zijn 400 stoelen. Hoeveel stoelen zijn er in totaal in deze theaterzaal?’ Bij deze oefening werden verschillende oplossingsmogelijkheden besproken: Bord (vervolg) 5x

Verhoudingstabel

Breuk Aantal bezette plaatsen

Aantal plaatsen

100

400

80 % = 4 5

500

100

500

Procentstrook 0

Na deze activiteit introduceerde de leerkracht de procentstrook. Dit is een schematische voorstelling van de procentmeter. De leerlingen gebruikten deze strook om vraagstukken over procent op te lossen. Het eerste type vraagstukken ging over situaties waarin het deel berekend moest worden. In een eerste fase schonk de leerkracht aandacht aan het oplossen van vraagstukken met de procentstrook én met de verhoudingstabel. Bij de situatie ‘Julie behaalt 80 % op haar rapport voor wiskunde. Hoeveel punten op een totaal van 40 behaalde ze?’ zagen de procentstrook en de verhoudingstabel er na het invullen van de gegevens en het gevraagde als volgt uit: ?

80 % Behaalde punten

Totaal

100

100 %

De leerling kozen de handigste manier om de oefeningen over procent op te lossen. Bij het werken met de verhoudingstabel of met de procentstrook, maakten ze de tussenstappen die ze nodig vonden. Sommige leerlingen losten deze oefeningen bijvoorbeeld op door eerst 10 % te berekenen, anderen berekenden 20 %.

10 x :8

400

80 %

500

100 %

10 x

In blok 6 ten slotte kregen de leerlingen ook vraagstukken waarbij ze het percentage moesten berekenen als het totaal en een deel gegeven zijn. Bijvoorbeeld in deze situatie: ‘De atletiekclub De Lustige Spurters telt in totaal 120 leden. Van hen nemen er 30 deel aan een loopwedstrijd. Hoeveel procent van de leden neemt deel aan deze wedstrijd?’ De leerlingen mochten hun oplossingswijze kiezen. De voorstelling van deze oefening op de procentstrook zag er als volgt uit: :4 0

25 %

120

100 %

In dit blok lieten we de verdelingen op de procentstrook weg en werkten de leerlingen op een lege procentstrook. Ze mochten de positie van de getallen bij benadering weergeven. Naast het oplossen van vraagstukken op procent aan de hand van de procentstrook, de verhoudingstabel en het omzetten van een percentage naar een breuk of een kommagetal behandelde de leerkracht ook het gebruik van de %-toets op de zakrekenmachine. Blok 6 heeft een hele les over de werking van deze toets.

66 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 66

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

In het vijfde leerjaar werkten we hoofdzakelijk met eenvoudige, ronde percentages. Het gaat hier om basiskennis die de leerlingen goed moeten beheersen en begrijpen. We willen vermijden dat leerlingen zoveel rekenwerk hebben (bijvoorbeeld bij vraagstukken met een percentage van 37 %), dat dit een obstakel wordt bij het oplossen van vraagstukken over procent.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar starten de lessen over procent in blok 2. In dit blok zijn er drie lessen over procent, zodat je genoeg tijd hebt om de basisinhouden uit het vijfde leerjaar te herhalen. Het is belangrijk dat de leerlingen die goed beheersen vooraleer we de leerlijn procent verder uitdiepen. In zWISo vinden we het belangrijk om inhouden inzichtelijk aan te brengen en hierbij steeds de link te leggen met de werkelijkheid. In de eerste les over procent bekijken we dan ook allerlei voorwerpen waarop een percentage vermeld wordt. Je herhaalt hierbij het symbool % en verwijs naar het Franse woord ‘cent’. De begrippen percent en procent zijn synoniemen en worden in de methode door elkaar gebruikt. Je laat de leerlingen de percentages telkens verwoorden als … op de 100, … voor elke 100, … per 100, … Na deze instapopdracht voeren de leerlingen allerlei kleuropdrachten uit in hun werkboek. Je schenkt hierbij extra aandacht aan het geheel en koppelt hieraan het percentage 100 % , de breuk 100 en het 100 getal 1. Je vraagt de leerlingen bij de verschillende afbeeldingen telkens wat het geheel is. Zo ervaren ze dat het geheel kan variëren en dus niet altijd 100 is.

Voor meer informatie over de aanpak van de relatie tussen breuken, kommagetallen en percentages, zie pagina 70. In de tweede les over procent behandel je de drie types vraagstukken die ook al in het vijfde leerjaar aan bod kwamen. We willen leerlingen ertoe aanzetten om een wiskundig probleem altijd goed te analyseren en de oplossingswijze te kiezen die het best bij de gegeven situatie past. Het werken met de pictogrammen vraagstukken (zie Aanpak Vraagstukken) is een goede manier om de leerlingen gestructureerd en doordacht een wiskundig probleem te leren aanpakken. In de lessen vraagstukken over procent gaan de leerlingen geregeld eerst vraagstukken van de verschillende types analyseren en de gegevens en het gevraagde op de procentstrook of in de verhoudingstabel noteren vooraleer de vraagstukken op te lossen. Op die manier staan de leerlingen bewust stil bij wat berekend moet worden en bij de vraag hoe ze het vraagstuk kunnen oplossen. In deze eerste les toepassingen lossen de leerlingen de vraagstukken op met behulp van de procentstrook. Door de gegevens en het gevraagde voor te stellen op de procentstrook wordt de onderlinge verhouding tussen de gegevens duidelijk en is het oplossen van het vraagstuk niet meer zo moeilijk. Je bespreekt systematisch de verschillende types toepassingen: Het deel bepalen als het percentage en het totaal gegeven zijn

2 1

Kleur telkens de percentages op de stroken. Gebruik per percentage een andere kleur. Babypyjama

Jam van woudvruchten

Les 1 • Procent

Ingrediënten:

Ingrediënten jam

- 60 % fruit (25 % braambessen, 25 % frambozen, 25 % zwarte bessen,

. = .

25 % blauwe bessen)

95 % katoen

- 40 % suikers

5 % elastane

hokjes.

Besluit: Elke strook bestaat uit

hokjes gekleurd.

Er zijn telkens

Van de

Dit is

hokjes zijn er

100 % . = .

Test op elk moment de hoeveelheid

energie van uw batterij.

gekleurd.

Kleur de gebruikte schijfruimte van de externe harde schijf op de strook.

= . .

Kleur de beschikbare energie van de batterij op de strook.

Wrijf over de strook, de kleur geeft de beschikbare energie weer. Externe harde schijf:

totale grootte (capaciteit)

25 GB

100 % . = .

Gebruikte schijfruimte

= . .

5 GB

In deze les behandel je verschillende percentages. Je koppelt hier telkens de bijbehorende breuk aan en het corresponderende kommagetal. Het bordschema dat je tijdens deze les opbouwt, ziet er als volgt uit: De leerlingen stellen de gegevens en het gevraagde voor op de procentstrook. Deze ziet er dan als volgt uit:

Bord

% procent

cent = honderd

100 = 100 % = 1 alles, het geheel 100

75 = 75 % = 3 = 0,75 4 100

20 = 20 % = 1 = 0,2 5 100

80 = 80 % = 8 of 4 = 0,8 10 5 100

50 = 50 % = 1 (de helft) = 0,5 2 100

0 =0%=0 100

30 = 30 % = 3 = 0,3 10 100

15 = 15 % = 0,15 100

40 %

100 %

67 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 67

17/08/12 13:32

Aanpak Inleiding

Het totaal bepalen als het percentage en een deel gegeven zijn

In een volgende les over procent lossen de leerlingen de vraagstukken op met de verhoudingstabel. Ze noteren telkens de gegevens en het gevraagde vooraan in de tabel. Vervolgens kiezen ze de tussenstappen hen het beste liggen. Behandel Les 11 • die Vraagstukken: procent ook1 hier systematisch de drie verschillende types vraagstukken: Vul aan.

percentage

breuk met noemer 100

breuk (eenvoudigste vorm)

40 % 1 2

Het deel bepalen als het percentage en het totaal gegeven zijn 75 100

13 %

3 10

De leerlingen stellen de gegevens en het gevraagde voor op de procentstrook. Deze ziet er dan als volgt uit: 0

Tijdens de tennismatch van Kim Clijsters en Venus Williams slaat Venus 20 % van haar 120 eerste opslagen fout en moet ze een tweede keer opslaan. Hoeveel keer moet Venus een tweede keer opslaan?

Antwoord:

Het Zwiso-team gooit tijdens de wedstrijd 75 % van de vrije worpen in de ring, dat zijn 9 geslaagde vrije worpen. Hoeveel vrije worpen waren er?

Les 11 • Vraagstukken: procent

20 %

De leerlingen stellen de gegevens en het gevraagde 1 voor in de verhoudingstabel. Deze ziet er dan als volgt uit:

100 %

Vul aan.

percentage

breuk met noemer 100

breuk (eenvoudigste vorm)

40 % Antwoord:

Het percentage bepalen als een deel en het totaal gegeven zijn

2 had Barcelona gedurende 54 Voetbalmatch Barcelona - Anderlecht. In deze spannende match 75

van de 90 minuten de bal in bezit. Hoeveel procent van de tijd was Barcelona in balbezit? 10020 Aantal foute opslagen ? 13 % 3 10

2 Tijdensopslagen de tennismatch van Kim Clijsters en Venus Williams Totaal aantal 100 120slaat Venus 20 % van haar 120 eerste op-

slagen fout en moet ze een tweede keer opslaan. Hoeveel keer moet Venus een tweede keer opslaan?

Antwoord:

Het totaal bepalen als het percentage en een deel gegeven zijn Antwoord:

Het Zwiso-team gooit tijdens de wedstrijd 75 % van de vrije worpen in de ring, dat zijn 9 geslaagde vrije worpen. Hoeveel vrije worpen waren er?

Les 11 • Vraagstukken: procent 1

Vul aan. percentage

De leerlingen stellen de gegevens en het gevraagde voor op de procentstrook. Deze ziet er dan als volgt uit: 0

100 %

breuk met noemer 100

breuk (eenvoudigste vorm)

40 % Antwoord:

1 2 had Barcelona gedurende 54 Voetbalmatch Barcelona - Anderlecht. In deze spannende match 75 van de 90 minuten de bal in bezit. Hoeveel procent van de tijd was Barcelona in balbezit? 100 13 %

De leerlingen stellen de gegevens en het gevraagde 2 in de verhoudingstabel. Deze ziet er dan als voor 22 uit: volgt 3 10

Tijdens de tennismatch van Kim Clijsters en Venus Williams slaat Venus 20 % van haar 120 eerste opslagen fout en moet ze een tweede keer opslaan. Hoeveel keer moet Venus een tweede keer opslaan? Antwoord:

Aantal vrije worpen in de ring

Antwoord:

De leerlingen berekenen vervolgens het gevraagde. Ze kiezen hierbij de tussenstappen die zij handig vinden. Je bespreekt de verschillende oplossingswijzen en brengt deze aan het bord.

3 Het Zwiso-team gooit tijdens de wedstrijd 75 % van de vrije Totaal aantal vrije worpen 100 ? worpen in de ring, dat zijn 9 geslaagde vrije worpen. Hoeveel vrije worpen waren er?

Het percentage bepalen als een deel en het totaal gegeven zijn Antwoord:

Bord

(mogelijke oplossingswijze)

Oefening 1 0

Oefening 2

: 10

5x 12

225

40 %

100 %

20 %

100 %

22 0 % 10 %

Voetbalmatch Barcelona - Anderlecht. In deze spannende match had Barcelona gedurende 54 van de 90 minuten de bal in bezit. Hoeveel procent van de tijd was Barcelona in balbezit?

Antwoord:

5x : 10

Oefening 3

: 10

10 %

30 %

100 %

De leerlingen stellen de gegevens en het gevraagde voor in de verhoudingstabel. Deze ziet er dan als volgt uit:

: 10

68 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 68

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Aantal minuten balbezit Barcelona

Duur van de match in minuten

100

‘Tijdens de Antwerp Ten Miles werd er ook een marathon georganiseerd. In 2010 namen 2160 lopers deel aan deze marathon. Dat is 20 % meer dan in 2009. Hoeveel marathonlopers waren er in 2009?’ Hier ziet de procentstrook er als volgt uit:

De leerlingen berekenen vervolgens het gevraagde. Ze doen dat met de tussenstappen die zij handig vinden. Je bespreekt de verschillende oplossingswijzen en brengt deze aan het bord. (voorbeeldoplossingen)

Aantal foute opslagen

Totaal aantal opslagen

100

120

24 120 6x

:5 : 25

Aantal vrije worpen in de ring

Totaal aantal vrije worpen

100

9 12 3x 10 x

: 25 :9

Aantal minuten balbezit Barcelona

Duur van de match in minuten

100

60 100 10 x

procentstrook0?en

Naast de de verhoudingstabel behandel je met de leerlingen ook nog het omzetten van een percentage naar een breuk en naar een kommagetal. Leerlingen kiezen, afhankelijk van hun getalinzicht en van de aard van de getallen en het gevraagde, de oplossingswijze die hen het beste ligt. De bespreking van de gehanteerde oplossingswijzen laat leerlingen bewust stilstaan bij hun keuze en stimuleert hen om ook andere manieren van oplossen te verkennen. In blok 5 behandel je ook vraagstukken waarbij een toename of een vermindering procentueel uitgedrukt wordt. Dit type vraagstukken is vrij complex. Schenk daarom veel aandacht aan het analyseren van de situatie. Je begeleidt de leerlingen bij het oplossen van deze vraagstukken en stelt de gegevens en het gevraagde telkens voor op de procentstrook. Voor het uitrekenen kunnen de leerlingen werken met de procentstrook, de verhoudingstabel, met kommagetallen of breuken. In sommige situaties moeten ze de procentstrook verlengen. Bij het vraagstuk ‘In 2009 waren er ongeveer 25 000 deelnemers aan het loopevenement Antwerp Ten Miles. In 2010 was er ongeveer 10 % meer lopers. Hoeveel deelnemers waren er ongeveer in 2010?’ kom je tot de volgende voorstelling: 0

(27 500) 25 000 ? 10 %

100 % 110 %

In deze les komen ook vraagstukken voor waarin het geheel niet gegeven is. Bijvoorbeeld in deze situatie

2160 20 %

100 % 120 %

Door de gegevens en het gevraagde voor te stellen op de procentstrook worden deze oefeningen veel duidelijker en wordt het oplossen ervan minder moeilijk. Bij dergelijke oefeningen is het essentieel dat je bepaalt waarmee 100 % overeenkomt. 100 % is steeds het aantal waarmee je vergelijkt. Eens de leerlingen weten wat 100 % is, kunnen ze het vraagstuk oplossen op de manieren die hierboven werden beschreven. Zoals in het vijfde leerjaar werken we hoofdzakelijk met vrij eenvoudige percentages. Toch zijn er in blok 5 ook enkele vraagstukken met ‘moeilijkere’ percentages. De leerlingen bepalen bijvoorbeeld 23 % van 12 000. Ze mogen kiezen hoe ze dit oplossen (met de verhoudingstabel, met de procentstrook, door het percentage om te zetten naar een kommagetal, …). Bij deze oefeningen stimuleer je de leerlingen om hun resultaat te controleren. Je laat ze bijvoorbeeld hun resultaat vergelijken met 25 % van 12 000 of 1 4 van 12 000. We vinden het belangrijk om leerlingen deze controlerende houding bij te brengen en hen te stimuleren om een beroep te doen op deze basiskennis. We zorgen ervoor dat procent in heel uiteenlopende situaties geoefend wordt om zo de relatie met de realiteit duidelijk te maken. De leerlingen maken bijvoorbeeld procentberekeningen over korting, winst en verlies, intrest, …

Les 15 • Vraagstukken: procent 1

Een Vlaming verbruikt gemiddeld 120 liter water per dag. Het gemiddeld waterverbruik per dag voor het douchen is 18 liter. Hoeveel procent van het dagelijks g j waterverbruik is dat?

Je mag een zakrekenmachine gebruiken.

Antwoord:

Om gezond te leven moet je voldoende drinken! Joris heeft vandaag al 0,9 liter water gedronken, dat is 60 % van de dagelijks aanbevolen hoeveelheid. Hoeveel drink je het best per dag?

Antwoord:

an de ongeveer 7 miljard bewoners op de wereld heeft ongeveer 16 % geen zuiver water. Per dag sterven wereldwijd zoʼn 6000 mensen door gebrek aan water… (bron: Wikipedia)

Hoeveel mensen ongeveer hebben geen zuiver uiver water? Antwoord:

Dit lees je op het dashboard van papa zijn auto:

brandstofniveau laag 17 liter

Hoeveel brandstof kan er in totaal in deze brandstoftank?

liter

In blok 7 introduceer je het begrip promille. We werken hier rond bevolkingsdichtheid en de resultaten van een alcoholtest. De leerlingen lezen een krantenartikel waarin het begrip promille voorkomt. Bij de klassikale bespreking leg je het verband met de betekenis van procent: procent betekent per honderd, dus promille betekent per duizend. Je koppelt hier ook het symbool ‰ aan. 0,5 promille bijvoorbeeld laat je de leerlingen verwoorden als 0,5 per duizend en je noteert hier 0,5 ‰ bij. In de context van geboortecijfers laat je de leerlingen

69 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 69

17/08/12 13:32

Aanpak Inleiding

dit zo verwoorden: ‘Op duizend inwoners werden er ongeveer … kinderen geboren.’ Het is niet de bedoeling dat de leerlingen complexe vraagstukken in verband met promille oplossen. Het gaat hier eerder om een informele kennismaking. Dit wordt dan ook niet getoetst.

Les 14 • Tabellen, graﬁeken en diagrammen 1

Bord

Lees het artikel en los de vragen op.

Resultaten alcoholcontroles 2011

e lokale politie maakte zopas de resultaten bekend van een jaar lang intensief controleren op het gebruik van alcohol in Oost-Vlaanderen. Er werden 18 241 ademtesten afgenomen in 2011, waarvan 10 982 in het weekend (60,2 %). In totaal werden 831 personen betrapt op rijden met te veel alcohol in het bloed. Daarvan kregen er 252 een rijverbod van drie uur omdat een alcoholwaarde werd vastgesteld tussen 0,5 en 0,8 promille. (uit: Gazet Van Antwerpen: 06/02/2012)

aantal bestuurders onder invloed aantal gecontroleerde bestuurders

Ongeveer

% van de gecontroleerde bestuurders reed onder invloed.

0,5 promille =

per

25 van de 100

0 van de 100

10 van de 100

gram pure alcohol bevat.

Hoeveel gram alcohol heeft die persoon dan ongeveer in zijn lichaam als je weet dat een volwassen mens gemiddeld vier liter bloed heeft? Die persoon heeft dan

percent

Stroken 100 van de 100 -

Dit betekent dat 1 liter bloed

procent

Roosters 50 van de 100

gram pure alcohol in zijn lichaam.

Relatie breuken, kommagetallen en percentages

20 van de 100

75 van de 100

80 van de 100

50 100 25 100 0 100 10 100

de helft

een vierde

niets

een tiende

100 100 20 100 75 100 80 100

alles

1 2 1 4

1 10

een vijfde

drie vierde

acht tiende -

1 5 3 4 8 10

50 procent

50 %

25 procent

25 %

0 procent

10 procent

10 %

100 procent -

100 %

20 procent

20 %

75 procent

75 %

80 procent

80 %

De leerlingen stelden de gelijkheid tussen breuken en percentages ook vast door op het breukenbord van de breukendoos de procentstrook onder bijvoorbeeld de strook van 1 te leggen. Op deze 5 manier stelden ze vast dat 1 gelijk is aan 20 %. Door 5 hier ook de kommagetallenstrook onder te leggen merkten ze op dat 1 = 20 % = 0,2. 5

Beginsituatie

In het vijfde leerjaar herhaalde de leerkracht het verband tussen kommagetallen en breuken. Ze koppelde de decimale breuk en de breuk van de eenvoudigste vorm aan het corresponderende kommagetal (bijvoorbeeld 0,5 = 5 = 1 ). 10 2 Net als in het vierde leerjaar gebruikten de leerlingen in het vijfde leerjaar ook de zakrekenmachine om een breuk om te zetten in een kommagetal. Ze bepaalden bijvoorbeeld het overeenkomstige kommagetal van de breuk 1 door de deling 8 1 : 8 uit te voeren. Op deze manier kwamen ze tot de gelijkheid 1 = 0,125 = 125 . 8

1000

In blok 3 ging de leerkracht wat dieper in op breuken en hun overeenkomstige kommagetalen. De leerlingen bepaalden met behulp van hun zakrekenmachine de kommagetallen die horen bij de stambreuken tot noemer 12. Hierbij werd ook het repeterend deel van sommige stambreuken besproken. 1/3

= 0,33333

1/6 = 0,16666

1/9 = 0,111111

1/12 = 0,833333

1/11 = 0,090909 1/7

= 0,1428571

In blok 4 van het vijfde leerjaar introduceerde de leerkracht het begrip procent. Vanaf de eerste les over procent was er aandacht voor het verband tussen breuken en percentages. De leerlingen verwoordden percentages consequent als … op de 100 en noteerden deze dan als een breuk met noemer 100. Ze koppelden hier indien mogelijk ook de vereenvoudigde breuk aan. In een volgende fase koppelden ze ook kommagetallen aan de percentages door een beroep te doen op het verband tussen breuken en kommagetallen.

1 2 1 3 1 4 1 5

1 6 1 7 1 8 1 9

1 10

1 11 1 12 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

60 %

70 %

80 %

90 %

Zesde leerjaar In het eerste blok van het zesde leerjaar voorzien we in twee lessen waarin kommagetallen herhaald worden. De leerlingen koppelen in deze lessen de decimale breuk aan de kommagetallen. Bij het herhalen van het begrip procent in blok 2 koppelen ze hier ook het bijbehorende percentage aan. Het bordschema van deze les ziet er als volgt uit: Bord

% procent

cent = honderd

100 = 100 % = 1 alles, het geheel 100

75 = 75 % = 3 = 0,75 4 100

20 = 20 % = 1 = 0,2 5 100

80 = 80 % = 8 of 4 = 0,8 10 5 100

50 = 50 % = 1 (de helft) = 0,5 2 100

0 =0%=0 100

30 = 30 % = 3 = 0,3 10 100

15 = 15 % = 0,15 100

70 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 70

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

In blok 3 ga je wat dieper in op de relatie tussen breuken, kommagetallen en percentages. De leerlingen berekenen met hun zakrekenmachine het overeenkomstige kommagetal bij verschillende breuken. In deze les komen ook breuken als 1 en 3 3 aan bod. Hierbij stel je vast dat je de 7 kommagetallen die bij deze breuken horen niet zomaar als een decimale breuk kunt noteren. Je spreekt met de leerlingen af dat je deze kommagetallen gaat afkappen na twee decimalen. Bij het omzetten naar een breuk en een percentage noteren de leerlingen het symbool ±. Op het einde van deze les bekom je dit bordschema:

In blok 5 geef je de leerlingen de opdracht om percentages als 23 % en 11 % om te zetten naar een breuk. Hierbij stellen ze vast dat de breuken 23 en 11 de breuken van de meest eenvoudige 100 100 vorm zijn en dat je deze percentages ook kunt noteren als 0,23 en 0,11. Bij vraagstukken met deze moeilijkere percentages gebruiken de leerlingen de corresponderende kommagetallen om het resultaat te berekenen. 23 % van 12 000 bijvoorbeeld lossen ze op door 0,23 x 12 000. Het verband tussen percentages, breuken en kommagetallen wordt in de loop van het zesde leerjaar geregeld geoefend aan de hand van allerlei verschillende opdrachten en rekenspellen. Les 19 • Breuken, kommagetallen en percentages

Het vakjesspel

Blok 6

1 Doel: Vorm een geheel met breuken, percentages en kommagetallen.

Vul de tabel aan. De deling mag je uitvoeren met een zakrekenmachine. breuk

deling

(eenvoudigste vorm) Je speelt dit spel alleen of met z’n tweeën. Er is geen winnaar of verliezer.

breuk met noemer 10, 100 of 1000

kommagetal

percentage

4 5

• Kies een breuk of percentage uit rooster 1. 25 %

• Zoek in rooster 2 een breuk, een percentage of een kommagetal dat samen met je gekozen getal 1 vormt. Je mag meerdere breuken, kommagetallen en/of percentages uit rooster 2

1:7

combineren om 1 te maken.

Noteer je bewerkingen op het kladblad. • Doorstreep de gebruikte getallen in rooster 2. Het spel is gespeeld als je geen geheel meer kunt vormen.

1 3

25 %

1 2

50 %

1 4

1 10

1 8

10 %

1 6

De getallen uit rooster 1 mag je meer dan één keer gebruiken.

1l=

ROOSTER 2

1 liter

1 2

0,2

2 3

40 %

1 10

0,75

0,6

1 6

12,5 %

0,5

4 9

1 3

25 %

30 %

0,75

2 6

4 6

8 10

1 6

0,15

7 8

20 %

35 %

1 3

0,9

40 %

2 5

1 3

5 9

3 5

6 8

75 %

2 10

0,9

5 6

40 %

32 © Uitgeverij Zwijsen.be 2012

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 6, les 13

Optellen en aftrekken • Hoofdrekenen Natuurlijke getallen Beginsituatie In het vijfde leerjaar maakten de leerlingen optellingen en aftrekkingen met ronde getallen tot 10 miljoen. Ze stelden de bewerkingen voor op de lege getallenlijn. Hierbij zetten de leerlingen de uitgangshoeveelheid steeds vast door die aan te geven met een kruisje. Bij de optelling wordt het kruisje links op de getallenlijn gezet, omdat er naar rechts wordt gesprongen. De leerlingen schreven de eerste term steeds onder het kruisje en stelden vervolgens de bewerking voor met sprongen naar keuze. Aangezien een lege getallenlijn geen ijking heeft, is de exacte positie van de getallen en de grootte van de bogen van geen belang. Volgens de standaardprocedure bij het maken van optellingen werden eerst de miljoentallen, vervolgens de honderdduizendtallen, de tienduizendtallen, … en ten slotte de eenheden bij de eerste term opgeteld. De leerlingen mochten echter bogen tekenen naar keuze. Als zij meer of minder bogen nodig hadden en ook tot de juiste oplossing kwamen, was dat ook goed. Aftrekkingen werden analoog voorgesteld. De leerlingen zetten de eerste term aan de hand van een kruisje rechts op de getallenlijn (omdat er naar links wordt gesprongen) en stelden de sprongen voor met bogen. In het vijfde leerjaar werd de leerlijn handig rekenen verder uitgebreid. Er werd aandacht geschonken aan het kijken naar de getallen en het uitwerken van doelmatige oplossingswijzen op basis van de aard van de bewerkingen. Het hele leerjaar door werd er aan deze attitude gewerkt.

Zesde leerjaar

. l 5

1000 ml

1 liter

1000 ml

1 l siroop 5

Noteer hier je bewerkingen.

Bewerkingen

We maken limonade met water en siroop! Hoeveel siroop en water heb je telkens nodig voor 1 liter limonade? Geef eerst de hoeveelheid siroop in de maatbeker aan. Schrijf de hoeveelheden siroop en water telkens als breuk en ook als kommagetal.

ROOSTER 1 1 5

1 liter

1000 ml

1 l siroop 10

1 l siroop 3

siroop:

. .

siroop:

. .

siroop:

. .

water:

. .

water:

. .

water:

. .

In het eerste blok van het zesde leerjaar herhalen we optellingen en aftrekkingen met getallen tot 10 miljoen. Je stelt de bewerkingen voor op de lege getallenlijn. Je legt de nadruk op het zetten van het kruisje (links voor de optelling en rechts voor de aftrekking) en het verwoorden van de sprongen.

71 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 71

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

Volgens de algemene strategie gaan we eerst de miljoentallen, en vervolgens de honderdduizendtallen, de tienduizendtallen, de duizendtallen, de honderdtallen, de tientallen en ten slotte de eenheden optellen of aftrekken. Tekenen de leerlingen meer of andere bogen? Ook goed! Wat is het voordeel van de lege getallenlijn? De grote meerwaarde van de lege getallenlijn is dat leerlingen volledig vrij zijn om de bogen te tekenen die zij willen. Bij het tekenen op de getallenlijn zal blijken dat er een grote verscheidenheid is in de voorstellingen van de leerlingen. De sterkere rekenaars zullen grotere bogen tekenen en sneller afstappen van het gebruik van de lege getallenlijn, terwijl zwakkere rekenaars er vaker gebruik van maken. De lege getallenlijn is dus een differentiatiemiddel bij uitstek. Een ander voordeel van de lege getallenlijn is dat ze je als leerkracht een uitstekende mogelijkheid biedt om de leerlingen te observeren. Door hun voorstelling op de lege getallenlijn te bekijken, kun je veel te weten komen over het denkproces en de probleemgebieden van de leerlingen. Leerlingen die bijvoorbeeld bij het tekenen van de bewerking 690 000 000 + 40 000 000 eerst aanvullen tot 700 000 000 hebben de brug duidelijk nog niet geautomatiseerd. Dat is een signaal om daaraan in de toekomst extra aandacht te schenken. Het voorstellen van een bewerking op de lege getallenlijn vormt ook een hulpmiddel voor het verwoorden van de verschillende tussenstappen bij het maken van een bewerking. Als de leerlingen op die manier het oplossen van bewerkingen analyseren, wordt hun inzicht in getallen en bewerkingen sterk bevorderd. Het verwoorden kan leerlingen helpen om bij een foutieve voorstelling de fouten te ontdekken. Leerlingen zien zo waar ze nog fouten maken en kunnen daar dan extra op letten. Nog een voordeel van de lege getallenlijn is dat de leerlingen geen eindeloze reeks tussenstappen hoeven te noteren. Zo kunnen ze ook geen fouten maken doordat ze zich vergissen in de tussenstappen. Optellingen en aftrekkingen tot 10 miljard In het zesde leerjaar wordt het getalbereik uitgebreid. Bewerkingen met getallen van deze grootte zijn complex. Een van de uitgangspunten van zWISo is het streven naar functionele gecijferdheid. We werken in het basistraject dan ook bewust alleen

met ronde getallen. Het uit het hoofd uitrekenen van bewerkingen met getallen tot op de eenheid (bijvoorbeeld 3 340 527 + 2 198 123) is immers vooral voor zwakkere rekenaars een zware opdracht. In het dagelijkse leven zullen we deze bewerkingen al cijferend of met de zakrekenmachine oplossen. Dit zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook voldoende aandacht aan schenken. Let op! De oefeningen op hoofdrekenen die aan bod komen in de werkboeken en in het scheurblok (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, dus ook voor de zwakkere rekenaars. Met het oog op hun latere functioneren in de samenleving is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen. In blok 2 behandel je optellingen en aftrekkingen met getallen tot 1 miljard. Bij het oplossen van de bewerking 690 000 000 + 240 000 000 bijvoorbeeld verwijs je naar het optellen en aftrekken van getallen tot 1000. Je merkt op dat je de nullen eerst kunt wegdenken en dit kunt oplossen door de optelling 690 + 240 te maken en vervolgens nullen toe te voegen. We stimuleren de leerlingen om getallen van deze grootte te noteren als 690 miljoen en 240Â miljoen. Het rekenen zonder al deze nullen is een stuk makkelijker. Leerlingen die deze optellingen en aftrekkingen moeilijk vinden mogen deze voorstellen op de lege getallenlijn. De standaardprocedure van de voorbij jaren wordt aangehouden: we behouden de eerste term (vastzetten met een kruisje op de lege getallenlijn) en gaan vervolgens sprongen tekenen (eerst de M, dan de HD, â&#x20AC;Ś). De leerlingen mogen, zoals hierboven al werd beschreven, steeds meer of andere bogen tekenen. In blok 3 komen, na het uitbreiden van het getalbereik tot 10 miljard, ook optellingen en aftrekkingen met getallen van deze grootte aan bod. De werkwijze is analoog aan die bij bewerkingen met getallen tot 1 miljard. Je stelt samen met de leerlingen ook nog eens vast dat bij het oplossen van optellingen de bewerking eenvoudiger kan zijn als de wisseleigenschap gebruikt wordt. In het derde blok van onderzoeken de leerlingen de invloed van haakjes bij optellingen en aftrekkingen. Na het maken van een aantal bewerkingen met haakjes herhaal je de vaststelling dat de haakjes bij optellingen geen invloed hebben, maar dat de plaats van de haakjes bij aftrekkingen wel belangrijk is.

72 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 72

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

In deze les bespreek je ook de volgorde van bewerkingen. De leerlingen maken verschillende bewerkingen en vanuit hun bevindingen herhaal je dat als er verschillende bewerkingen voorkomen, je eerst vermenigvuldigt en/of deelt en daarna optelt en/of aftrekt. Het is belangrijk om, zodra het getalinzicht en het inzicht in bewerkingen opgebouwd is, voldoende aandacht te schenken aan het oefenen van de bewerkingen. De optellingen en aftrekkingen worden dan ook voortdurend geoefend aan de hand van zeer verscheiden oefenvormen: vrij formele oefeningen, vraagstukken, rekenspellen, ... Deze oefeningen zijn terug te vinden in het werkboek, in de kopieermap, in Oefen! en in de zWISo-box. Leerlingen die meer uitdaging nodig hebben kunnen aan de slag met de verdiepingsmap. • De standaardprocedure of handig rekenen toepassen bij: - vermenigvuldigen en delen van natuurlijke getallen en kommagetallen.

les 10 • ladderkaart 1

Vul het kruisrekenraadsel in. 1

les 10 • ladderkaart 1

- optellen en aftrekken van natuurlijke getallen en kommagetallen;

horizontaal

verticaal

(14 600 x 0,5) + (0,6 x 20) =________

146 280 : 20 = ________

4949 : 7 = ________

50 000 - 42 988 = ________

6100 + (4800 : 1200) = ________

6 x 56 + 2800 x 2,5 = ________

0,79 x 800 = ________

638 860 - 1130 - 3660 = ___________

7,37 : 0,01 =________

366 700 x 0,02 = ________

5730 + 414 + 1170 = ________

4,9 : 0,07 = ________

10 miljoen - 1 920 000 = _____________

20 x 0,5 = _______

Omcirkel de bewerking die past bij 4 horizontaal, 10 horizontaal en 11 verticaal. Vul het kruisrekenraadsel aan. 6850 : 50

264 x 0,5

1837 - 999

630 x 0,01

0,63 : 0,01

6,3 : 0,01

11 verticaal

4 x 82,5

1340 : 4

3,4 x 100

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

ZwisoBox_Fiches_6-4_ladder.indd 7

Blok 4

4 horizontaal 10 horizontaal

22/06/12 10:10

Handig rekenen In zWISo schenken we geregeld aandacht aan handig rekenen omdat het bijdraagt tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen te kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige oplossingswijzen uitwerken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan werken. Wijs de leerlingen er daarom op dat ze steeds naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen.

Behalve aan bovenstaande vorm van handig rekenen, namelijk het compenseren, kwamen ook allerlei andere types aan bod. Zo stelden de leerlingen samen vast dat je optellingen en aftrekkingen van verschillende termen soms handig kunt oplossen door termen die een rond getal vormen eerst samen te nemen of af te trekken (bijvoorbeeld 935 000 000 - 63 000 - 435 000 oplossen als 500 000 - 63 000). Bij dit type van handig rekenen is het belangrijk dat je benadrukt dat bij aftrekken de volgorde van de aftrekkers veranderd mag worden, maar dat het aftrektal niet van plaats veranderd mag worden. Er werd ook aandacht geschonken aan het aanvullen/wegnemen van de eerste term tot een rond getal. Bij de optelling 195 000 + 43 000 behandelde de leerkracht de oplossingswijze waarbij je eerst 5000 optelt. 195 000 + 43 000 = 238 000

+ 38 000

+ 5000

195 000

200 000

238 000

Een nog andere keer kan het ook handig zijn om termen van een optelling van plaats te wisselen. Bij de aftrekking 630 000 - 575 000 bijvoorbeeld behandelde de leerkracht ook het aanvullend tellen. Een oefening als deze losten de leerlingen op door vanaf 575 000 verder te tellen tot 630 000. De leerlijn handig rekenen wordt in het zesde leerjaar verder uitgebreid. We werken met getallen tot 10 miljard en blijven aandacht schenken aan de diverse handige rekenstrategieën die vanaf het tweede leerjaar werden opgebouwd. Enkele basislessen zijn expliciet gewijd aan dit onderwerp. Verder is het ook belangrijk om de leerlingen tijdens alle lessen in verband met bewerkingen te laten kijken naar de getallen en de aard van de bewerking. Enkele voorbeelden: + 800

1450 + 799 = 2250 - 1 = 2249

-1 2249 2250

1450

- 10

3460 - 470 = 2990

2990 3000

- 460

3460

In het vijfde leerjaar berekenden de leerlingen bijvoorbeeld + 29 000 door eerst 30 000 op te tellen en van dit tussenresultaat vervolgens 1000 af te trekken.

73 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 73

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

Let wel: leerlingen hoeven niet handig te rekenen. We brengen deze vaardigheid wel aan omdat ze een meerwaarde kan zijn voor het uitvoeren van bewerkingen, maar als leerlingen bij elke bewerking de standaardprocedure toepassen is het ook goed. Handig rekenen vergt immers veel inzicht in de getallen en de bewerkingen, waardoor het voor zwakkere rekenaars moeilijk is. Toch vinden we het in zWISo belangrijk dat ook zwakkere rekenaars op zijn minst kennismaken met deze rekenvorm. Oefeningen waarin handig gerekend kan worden, . Op worden aangegeven met een pictogram deze manier weten de leerlingen dat de aangegeven oefeningen op een handige manier uitgerekend kunnen worden en leren ze bewust naar de getallen te kijken.

In het vierde leerjaar legden de leerlingen optellingen en aftrekkingen met kommagetallen in de beginfase met de KomMatz-kaarten. De optelling 0,2 + 0,3 legden de leerlingen als volgt:

De kaartjes werden samengevoegd en hieraan koppelde de leerkracht de verwoording 2 tiende plus drie tiende is vijf tiende. Aftrekkingen met kommagetallen werden op dezelfde manier uitgewerkt: de leerlingen legden het aftrektal met de KomMatz-kaarten en namen vervolgens het aantal kaartjes van de aftrekker weg. Ook hier was de verwoording erg belangrijk. De aftrekking 0,75 - 0,33 legden ze als volgt:

Kommagetallen Beginsituatie In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhaalde de leerkracht het optellen en aftrekken met kommagetallen. Deze bewerkingen werden, net zoals bewerkingen met natuurlijke getallen voorgesteld op de lege getallenlijn. Bij optellingen en aftrekkingen met kommagetallen is het belangrijk dat de leerlingen goed naar de getallen kijken en een oplossingsstrategie toepassen die het meest aansluit bij hun getalinzicht. De leerlingen verwoordden steeds goed wat ze eerst optellen of aftrekken. De optelling 2,62 + 4,25 bijvoorbeeld werd op verschillende manieren opgelost:

In het vijfde leerjaar maakten deze kaarten geen deel meer uit van het basispakket van de methode. Ze werden enkel ingezet bij leerlingen die nog onvoldoende inzicht hadden in bewerkingen met kommagetallen. De leerlingen werden wel steeds gestimuleerd om bewerkingen voor te stellen op de lege getallenlijn en na verloop van tijd het leggen met de kaarten achterwege te laten. Ook bij het optellen en aftrekken van kommagetallen kwam handig rekenen aan bod (compenseren, aanvullen/wegnemen tot een rond getal, â&#x20AC;Ś).

Zesde leerjaar

In zWISo mogen de leerlingen de oplossingsstrategie toepassen die zij verkiezen. In het vierde leerjaar werd wel een algemene strategie aangebracht, namelijk eerst de eenheden, dan de tienden, dan de honderdsten en tenslotte de duizendsten optellen/aftrekken. Deze procedure werd ook toegepast in het vijfde leerjaar. Bij optellingen en aftrekkingen van getallen met een verschillend aantal decimalen vulden de leerlingen indien nodig in kleur de nul aan, zodat het aantal decimalen gelijk werd. In het vierde en het vijfde leerjaar werd er veel aandacht geschonken aan , dat geregeld deze moeilijkheid. Het pictogram voorkwam in het leerlingmateriaal, maakte de leerlingen hier attent op.

In het zesde leerjaar komt er, net als in het vijfde, geen nieuwe inhoud met betrekking tot optellingen en aftrekkingen met kommagetallen aan bod. In blok 1 herhaal je aan de hand van enkele vraagstukken verschillende types optellingen en aftrekkingen met kommagetallen. Je start met oefeningen waarbij de termen evenveel decimalen hebben. Bij de bewerking 2,25 + 3,69 bijvoorbeeld herhaal je de algemene strategie: het eerste getal behouden en het tweede getal splitsen. Je stelt deze bewerking ook voor op de lege getallenlijn: +3 2,25 + 3,69 = 5,94

2,25

+ 0,69 5,25

5,94

74 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 74

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Net als in de voorgaande jaren tekenen de leerlingen de bogen die zij nodig hebben. Je stimuleert hen wel om zo groot mogelijke bogen te tekenen. Bij aftrekkingen met kommagetallen behandel je naast de standaardprocedure ook het doortellen.

Vervolgens behandel je ook oefeningen waarbij de termen een verschillend aantal decimalen hebben. Je verwijst hierbij naar het pictogram knipperlicht en vult de nul in kleur aan. + 0,80

1,21 + 0,8 = 2,01

2,01

1,21

Je zet leerlingen aan om steeds goed naar de getallen te kijken en indien mogelijk een doelmatige oplossingswijze toe te passen. Enkele voorbeelden van dit handig rekenen bij optellen en aftrekken met kommagetallen zijn: 4,98 + 7,65 = 7,65 + 4,98 = 12,63

+5 - 0,02

7,65

12,63

12,65

117,30 + 2450 + 132,70 + 550 = 250 + 3000 = 3250

In het zesde leerjaar bevat de methode verschillende lessen waarin de leerlingen optellingen en aftrekkingen met Les 11 • De vier bewerkingen met kommagetallen kommagetallen oefenen. We bieden een grote diversiteit aan oefenvormen aan: rekenspellen, rekenraadsels, vrij formele oefeningen, vraagstukken, … 1

Reken uit en vul in.

2,05

17,99

5,3

0,68

321,4

79,85

0,8

3,8

0,07

12,1

23,4

x 0,4

5,06

40,35

11,15

102,95

Het hoofddoel van zWISo is de leerlingen tot functionele gecijferdheid te brengen. We willen ze namelijk kennis en vaardigheden bijbrengen die hen in staat stellen om wiskundige problemen in hun dagelijks leven op te lossen. Een van de vaardigheden om daartoe te komen is het schatten. We schenken hieraan in zWISo dan ook veel aandacht. In de praktijk zullen we immers dagelijks verschillende malen schatten, zowel hoeveelheden als de resultaten van bewerkingen. We willen bepalen hoeveel we ongeveer zullen moeten betalen, hoeveel kilometer we nog moeten rijden, … Leerlingen die kunnen schatten, kunnen veel wiskundige situaties in hun omgeving aan. Wegens het belang van schatten is er in zWISo zelfs een aparte leerlijn schatten uitgeschreven, die van het eerste tot het zesde leerjaar doorloopt. De leerlingen leren vanaf het eerste leerjaar in verschillende situaties schatten. We leggen hen hierbij een grote verscheidenheid aan opdrachten voor. Hou goed voor ogen dat de getallen waarmee geschat wordt steeds zorgvuldig gekozen moeten worden. De aangeboden oefeningen moeten immers zinvol zijn. Juist omdat we functionele gecijferdheid bij de leerlingen beogen, leert zWISo de leerlingen functioneel te schatten. Dat betekent dat leerlingen bij het schatten een idee leren krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Bij het cijferen met kommagetallen vormt de schatting een erg handig controlemiddel. Door de rangorde van het berekende resultaat met de schatting te vergelijken, kunnen de leerlingen nagaan of ze de komma op de juiste plaats gezet hebben.

- 2,75

Het verschil in getalinzicht van leerlingen heeft als gevolg dat de ene leerling tot een nauwkeuriger schatting kan komen dan de andere. De verschillen • De vier bewerkingen met kommagetallen in die schattingen zijn een boeiend en leerrijk uitgangspunt voor een klasgesprek. 1,2

Les 11

Blok 6

Denk aan handig rekenen!

2,73

+ 0,68

• Schatten

5,94

36,72

0,6

0,48

7,8

Reken uit.

De oplossing staat er al. Zet de haakjes op de juiste plaats.

125 x (0,6 - 0,2) =

37,45 + 12,55 : 0,5 =

125 x 0,6 - 0,2 =

(37,45 + 12,55) : 0,5 =

12,3 - 5,15 : 5 = 1,43

0,03 : 3 x 15 - 2 = 0,13

0,09 + 0,574

,9 99

2,7 x1 1,5

-5

7 60

0 +5 0,6

2 7,3

:4 ,2 33 2

6 4,9

,05 -8 ,6 73

1 x6 2

-5 0,5

43 000 x 0,001

0,03 x 0,6 25,99 + 36,49

6,2

1,1 3

33,2 x 0,02

3–

0,0

,11 -0 0,4

,2 79

6 0,6

x 60

15,2 : 8

,63

120 x 0,5

,83 12

11 ,0

8 3,0

0,93 + 1,47

0,9

-2

202,4 : 4

,68

,75 -8

,09

:2 5

,13

0,5

1,2

9,7 + 16,52

,3 44

0,7

7,1

,6 :0

,25

-1

22 2

25 8

124,96 - 62,48

12,37 + 14,5 + 16,13

Beginsituatie

Knipblad

1,2 : 0,5

✂

x1 2,7

0,93 + 1,47

25,99 + 36,49

1,2 : 0,5

+5 0 0,6

2 7,3

:4 2,2 33

6 4,9

1 x6 2

-5 ,05 -8 ,6 73

0,5

43 000 x 0,001

,63

1,5

-5

7,4 60

,11 -0 0,4

,66 x0

,2 79

0,03 x 0,6

15 6,2

0,0

-2

33,2 x 0,02

,83

,13

–1

8 3,0

11 ,03

0,9 3

15,2 : 8

0,09 + 0,574

9,7 + 16,52

,68

120 x 0,5

15,2 : 8

0,09 + 0,574

,75

202,4 : 4

:2 5

,13

0,5

1,2

9,7 + 16,52

-8

,09

124,96 - 62,48

0,7

7,1

,25

-1 75

22 2

25 8,3

12,37 + 14,5 + 16,13

In het derde leerjaar pasten de leerlingen een vaste schatprocedure toe. Ze rondden de tweede term af tot een rond getal. De eerste term lieten ze ongewijzigd, naar analogie van de standaardprocedure bij hoofdrekenen. Vervolgens berekenden ze de som/het verschil van die twee termen. Dit resultaat werd dan ook afgerond tot een rond getal. De optelling 387 + 575 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 387 + 575 D 387 + 600 = 987 D 1000.

9,9

0,7

8,3

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 75

✂

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

In het vierde leerjaar werd de schatprocedure verder uitgebreid. Aangezien er dan al wordt gewerkt met grotere en moeilijkere getallen, werden beide getallen afgerond bij het schatten. Vanaf het vierde leerjaar gaan we soepeler om met schatten. De getallen worden steeds complexer en de niveauverschillen tussen de leerlingen nemen toe. Daarom is het ook bij het schatten nodig om aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Leerlingen schatten dus volgens hun eigen getalinzicht. In het vijfde leerjaar breidden we de leerlijn schatten verder uit. De leerlingen schatten ook bij optellingen en aftrekkingen met getallen tot 10 miljoen volgens eigen getalinzicht. De optelling 127 981 + 283 464 werd bijvoorbeeld als volgt geschat: 127 981 + 283 464 D 130 000 + 280 000 = 410 000 of 127 981 + 283 464 D 100 000 + 300 000 = 400 000 De leerkracht besprak telkens de verschillende schattingen van de leerlingen.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar geldt dezelfde visie op schatten als in de voorgaande leerjaren. De leerlingen ronden de getallen af volgens eigen getalinzicht. De aftrekking 3 498 384 - 1 798 284 kan bijvoorbeeld als volgt geschat worden: 3 498 384 - 1 798 284 D 3 000 000 - 2 000 000 = 1 000 000 of 3 498 384 - 1 798 284 D 3 500 000 - 1 800 000 = 1 700 000 Belangrijk om als leerkracht te weten is dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Ronden de leerlingen de getallen bijvoorbeeld altijd af tot een getal met één beduidend cijfer en komen ze op deze manier ook tot een zinvolle schatting? Ook goed! Zoals hierboven reeds beschreven werd, is het belangrijk om de verschillende schattingen van de leerlingen te bespreken en de leerlingen er attent op te maken welke informatie ze door het maken van een schatting verkrijgen.

• Cijferen Beginsituatie Om het cijferen inzichtelijk op te bouwen legden de leerlingen de bewerkingen in het derde leerjaar met schijven uit getallendoos 3. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De bewerking werd tegelijkertijd in een schrijfschema geschreven. Hierbij werd er veel aandacht geschonken aan de verwoording van het cijferalgoritme. Voor de leerlingen een bewerking cijferend uitrekenden, maakten ze geregeld een schatting. De schatting vormt een goed controlemiddel voor de uitkomst na het cijferen. Als leerlingen voldoende inzicht hadden ontwikkeld in het cijferen, werd het leggen achterwege gelaten. In het vierde leerjaar werd er in de basislessen geen expliciete aandacht geschonken aan het leggen van de cijferoefeningen met getallendoos 3. In de regel noteerden de leerlingen cijferoefeningen dan alleen in een schrijfschema. Algemeen geldt dat leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces en dat je bij problemen steeds mag terugkeren naar instructie aan de hand van concreet materiaal. Voor een beschrijving van hoe het cijferend optellen en aftrekken werd aangebracht in het derde leerjaar kun je terecht in Gebruikswijzer 3. In het vierde leerjaar werd het cijferalgoritme uitgebreid tot optellingen en aftrekkingen met getallen 100 000. Vanaf het tweede blok van het vierde leerjaar werd het schrijfschema achterwege gelaten en noteerden de leerlingen de cijferoefeningen op een ruitjespatroon. De leerlingen controleerden de aftrekking door de omgekeerde bewerking te maken. In het vijfde leerjaar maakten de leerlingen cijferoefeningen met getallen tot 10 miljoen. Ook hier controleerden de leerlingen hun resultaat door het te vergelijken met de schatting, door het te berekenen met de zakrekenmachine of door de omgekeerde bewerking te maken (bij de aftrekking).

76 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 76

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Bij het cijferend optellen en aftrekken van kommagetallen, wat voor het eerst aan bod kwam in het vierde leerjaar, benadrukte de leerkracht dat het cijferalgoritme het zelfde is als bij natuurlijke getallen. Hierbij werd er aandacht geschonken aan de plaats van de komma en aan het aanvullen van de nul bij het cijferen met knipperlichtgetallen (getallen met een verschillend aantal decimalen). De schatting vormt hierbij een erg handig controlemiddel.

De aftrekking 98 022 - 5743 verwoord je als volgt:

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar breiden we het cijferalgoritme voor optellen en aftrekken uit tot getallen tot 10 miljard. Cijferoefeningen worden vaak gepresenteerd in contextsituaties, om de praktische bruikbaarheid van cijferen te benadrukken. De leerlingen noteren de cijferoefeningen op een ruitjespatroon. Je benadrukt hierbij het belang van het juist onder elkaar schrijven van de getallen. De verwoording van het cijferalgoritme blijft hetzelfde als in het vijfde leerjaar. De verwoording van de bewerking 57 687 + 4266 gaat als volgt:

Deze verwoording staat ook uitgebreid beschreven in de zWISo-wijzer. De leerlingen die deze ondersteuning nodig hebben, mogen hun zWISo-wijzer steeds raadplegen. Bij het cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen benadruk je dat het cijferalgoritme ongewijzigd blijft. Schenk wel voldoende aandacht aan het plaatsen van de komma tijdens het uitvoeren van het algoritme en aan het aanvullen van de nul bij het cijferen met knipperlichtgetallen. De schatting vormt hierbij een erg zinvol controlemiddel. De orde van grootte van de schatting geeft de leerlingen immers een indicatie of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma dus op de juiste plaats gezet hebben.

77 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 77

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

Le es 4 • Cijferend d optellen en aftrek kken Het gebruiken van controlemiddelen (zakrekenmachine, omgekeerde bewerking bij de aftrekking en schatting) is een attitude die we de leerlingen willen bijbrengen. Deze controles geven de leerlingen immers een indicatie van de correctheid van hun berekende resultaat en dragen dus bij tot de praktische bruikbaarheid van cijferen. Door de leerlingen deze controlemechanismen aan te reiken kunnen we ze cijferoefeningen op een doordachtere manier laten aanpakken. 1

In de ondersta aande tabel vind je de gemiddelde geb eboo oort rte- en sterftecijfe fers r per dag van 2009 per Vla 20 laamse provinc ncie ie. Gemiddeld geboortecijfer per dag

Gemiddeld sterftecijfer per dag

Provincie Antwerpen

56,64

44,97

Provincie Vlaams-Brabant

31,27

26,17

Provincie Limburg

24,27

18,28

Provincie Oost-Vlaanderen

44,79

37,68

Provincie West-Vlaanderen

31,87

32,71

Wat is het verscchil tussen het et gemiddeld geboorte- en sterrft f ecijfer van de d proviinc n ie Anttwe w rpen n in 200 09? Bewe werking: Sch hatting:

Antwoord:

Hoeveell kinderen n werden er in 2009 gemiddeld per dag gebore en in Oostt- en Wesst-Vlaan nderen samen?? Be ewerkin ng: Scha h tting::

Let op! Van bepaalde oefeningen die deel uitmaken van het basistraject blijven we verwachten dat ze uit het hoofd uitgerekend worden. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen kunnen rekenen met ronde getallen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor hun latere functioneren in de samenleving.

Antwoord:

Ho oeveel kiind n eren wer erden er in 2009 gem mid idde deld ld per dag geboren in heel Vla aanderen?? Bewe erk r ing: Schatting: g:

Antwoord:

Het controleren van cijferoefeningen met de zakrekenmachine vormt een toepassing op het werken met de zakrekenmachine, een vaardigheid die we door alle leerjaren heen opbouwen. We willen leerlingen ertoe aanzetten om de zakrekenmachine op een zinvolle manier te gebruiken bij wiskundige problemen. Vooral voor de zwakkere rekenaars draagt dit hulpmiddel bij tot het functioneren in het leven van alledag. We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij de oefening in kwestie en bij hun getalinzicht. In het zesde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is bij sommige oefeningen dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of een bewerking uit het hoofd of cijferend moet worden uitgerekend. In blok 6 voorzien we in een les waarin de leerlingen bij verschillende vraagstukken moeten afwegen of het noodzakelijk is om het precieze resultaat te berekenen of een schatting voldoende is. Bij heel wat wiskundige problemen Les 8 • Schatten, cijferen, hoofdrekenen of is een schatting van het resultaat voldoende. Het kunnen onderscheiden van de situaties waarbij een schatting voldoende is draagt bij tot de functionele gecijferdheid van de leerlingen. 1

Sinds 2011 zijn er ruim 7 miljard mensen op aarde. Hoeveel personen ongeveer zijn op dezelfde dag jarig als jij? Bewerking:

Schatting:

Antwoord:

Ik deel 18 door 0,49. Wat is het quotiënt ongeveer? Kruis aan. 9

Bewerking:

In de speelgoedfabriek Playwiz worden botsballen gemaakt. Per uur worden 3754 botsballen gemaakt. De ballen worden per 12 in een doos verpakt. Hoeveel dozen kunnen er in een uur tijd worden gevuld? Hoeveel botsballen blijven er dan over? Is schatten voldoende? ja / nee Kruis aan hoe je dit uitrekent. hoofdrekenen

zakrekenmachine cijferen

Antwoord:

In basisschool De Boomgaard is er een grote fruitdag gepland. Alle leerlingen krijgen fruit en ook een glaasje vruchtensap (0,2 l). In totaal telt deze school 275 leerlingen. Hoeveel liter vruchtensap moet de directie bestellen? Is schatten voldoende? ja / nee Kruis aan hoe je dit uitrekent. hoofdrekenen zakrekenmachine cijferen

Antwoord:

Vermenigvuldigen • Hoofdrekenen Natuurlijke getallen Maal- en deeltafels In het derde leerjaar schonk de leerkracht tijdens de eerste maanden veel aandacht aan het automatiseren van de maal- en de deeltafels. Kennis van de tafels is immers essentieel voor het maken van vermenigvuldigingen en delingen met grotere getallen. Ook in het vierde leerjaar oefenden de leerlingen geregeld de tafels, dit aan de hand van een tafeldoosje, tafelspellen, de flitskaarten van materialenkist 3, … In het vijfde en het zesde leerjaar is er geen expliciete aandacht voor het herhalen en inoefenen van de tafels. Deze kennis, die als geworven wordt beschouwd, is essentieel voor het uitbreiden van de leerlijn vermenigvuldigen en delen. Als blijkt dat de leerlingen nog onvoldoende inzicht hebben in de tafels, is het noodzakelijk om deze leerlingen extra uitleg te geven en hen geregeld te laten oefenen op de tafels. Roep hiervoor eventueel de hulp van de zorgleerkracht in. Voor een uitgebreid overzicht van hoe de tafels werden aangebracht kun je terecht Gebruikswijzer 2. De zWISo-wijzer van het zesde leerjaar bevat een tafelrooster. Dit overzicht van de tafels vormt een handig differentiatiemiddel. Leerlingen die de tafels onvoldoende beheersen kunnen dit rooster gebruiken in de lessen waarin een beroep wordt gedaan op vermenigvuldigen en delen. Het blijft wel belangrijk om deze leerlingen geregeld de tafels te laten oefenen. zWISo-wijzer 6

Hoofdrekenen: tafels x

100

78 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 78

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Vermenigvuldigingen tot 10 miljard

Bij vermenigvuldigingen van het type TE x natuurlijk getal splitsten de leerlingen de eerste factor.

Beginsituatie

23 x 1200 = 24 000 + 3600 = 27 600

In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhaalde de leerkracht vermenigvuldigingen met getallen tot 100 000. Eerst kwamen vermenigvuldigingen van het type E x natuurlijk getal aan bod. Aan de hand van enkele bewerkingen herhaalden ze de algemene strategie (splitsen). De leerlingen tekenden de splitsbeentjes en verwoordden wat deze betekenen. 8 x 560 = 4000 + 480 = 4480 500 60

Bij de bewerking 8 x 560 bijvoorbeeld verwoordden de leerlingen dat ze de som maken van de tussenproducten van 8 x 500 en 8 x 60. Ook vermenigvuldigingen van de types TE x TE, T x HTE en TE x HTE kwamen aan bod. De leerlingen losten deze bewerkingen op door de vermenigvuldiger of het vermenigvuldigtal te splitsen. Bij de bewerking 18 x 12 bijvoorbeeld kwamen de volgende oplossingswijzen aan bod:

Bij het oplossen van bewerkingen van de types E x T en T x E wees de leerkracht op de analogie met de tafels. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 3 x 90 legde de leerkracht de link met de vermenigvuldiging 3 x 9. De bewerking werd ook gelezen als 3 x 9T = 27T = 270. Vermenigvuldigingen als 30 x 50 losten de leerlingen op als volgt: 30 x 50 = 3 x 10 x 50 = 3 x 500 = 1500. Ook het vermenigvuldigen met 100 en 1000 werd in blok 1 behandeld. Dit werd geïllustreerd aan de hand van pijlenschema’s.

In blok 2 kwamen de operaties op factoren aan bod. Na het maken van een aantal vermenigvuldigingen stelden de leerlingen vast dat: - Het product van een vermenigvuldiging gelijk blijft als een van de factoren vermenigvuldigd wordt met en de andere gedeeld wordt door hetzelfde getal. - Als één van de factoren met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het product in dezelfde mate verandert. In de eerste basislessen rond operaties op factoren stelden de leerlingen de verbanden voor met pijlen. 350 x 20 :5

= 7000 5x

x 100

= 7000

Deze operaties op factoren vormen een erg belangrijke voorbereiding op het vermenigvuldigen van twee kommagetallen, wat ook in het vijfde leerjaar aan bod kwam. De leerlingen kregen ook de opdracht om bij een gegeven bewerking enkele vermenigvuldigingen te noteren met hetzelfde product. Op deze manier stelden ze vast dat een vermenigvuldiging eenvoudiger gemaakt kan worden door operaties op factoren uit te voeren. Na het uitbreiden van het getalbereik tot 10 miljoen in blok 5 maakten de leerlingen ook vermenigvuldigingen met getallen van deze orde van grootte. Ze losten deze oefeningen op op de manier die zij het handigst vinden. De leerkracht besprak telkens de verschillende oplossingswijzen. Bij de bewerking 200 x 7000 bijvoorbeeld kwamen de volgende oplossingswijzen aan bod: 200 x 7000 = 2 x 100 x 7000 = 2 x 700 000 = 1 400 000 : 100

200 x 7000 = 2 x 700 000 = 1 400 000

100 x

200 x 7000 = 100 x 14 000 = 1 400 000 2x

10 x

Zesde leerjaar 1000 x

10 x

In het eerste blok van leerjaar 6 voorzien we in een les waarin systematisch verschillende types vermenigvuldigingen met natuurlijke getallen aan bod komen. We werken hier met een Doe!-blad. Zoals reeds in het hoofdstuk materialen werd

79 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 79

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

beschreven, maken we in zWISo vaak gebruik van Doe!-bladen. Dat zijn bladen in een scheurblok die de leerlingen tijdens de leeractiviteit invullen. Op deze manier kunnen leerlingen door zelf actief aan de slag te gaan tijdens de instructiefase tot bepaalde vaststellingen komen. Door bepaalde verbanden zelf al handelend te ondervinden bouwen de leerlingen een goed verankerd inzicht in bewerkingen op. Je start met oefeningen van het type E x natuurlijk getal. Hierbij herhaal je de algemene strategie: aftrektal of aftrekker splitsen. Vervolgens geef je hen de opdracht om de bewerkingen 7 x 640 000 en 7 x 640 op te lossen. Bij het vergelijken van beide bewerkingen stel je vast dat als een van de factoren duizend keer groter is, het product ook duizend keer groter is. De leerlingen maken nog enkele gelijkaardige oefeningen. Benadruk dit werken naar analogie. Dit maakt vermenigvuldigingen met grote getallen een stuk eenvoudiger.

miljoen of … miljard. De bewerking 6 x 2 400 000 bijvoorbeeld wordt heel wat makkelijker als je dit noteert als 6 x 2,4 miljoen. In blok 2 komt het uitvoeren van operaties op factoren aan bod. Na het maken van een aantal oefeningen herhaal je de vaststellingen die de leerlingen ook al in het vijfde leerjaar maakten: - Het product van een vermenigvuldiging blijft gelijk als een van de factoren vermenigvuldigd wordt met en de andere gedeeld wordt door hetzelfde getal. - Als één van de factoren met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, verandert het product in dezelfde mate. Deze eigenschappen gebruiken de leerlingen bij het oplossen van vermenigvuldigingen als 3000 x 210. Deze vermenigvuldiging lossen de leerlingen bijvoorbeeld als volgt op: 3000 x 210 = 3 x 210 000 = 630 000. In tegenstelling tot in het vijfde leerjaar behandel je ook oefeningen waarbij beide producten veranderen. In deze les zoeken de leerlingen het product van 30 x 600 door 3 x 6 te berekenen. Hierbij verwoorden ze dat de ene factor in de eerste bewerking tien keer groter is en de tweede honderd keer groter. Het product is dus 1000 keer groter dan bij 3 x 6. Je stelt de verbanden voor met pijlen.

: 10

: 100

1000 x

Bij vermenigvuldigingen van het type T x natuurlijk getal noteer je de eerste factor als . x 10, bijvoorbeeld 30 x 250 000 = 3 x 10 x 250 000 = 3 x 2 500 000 = 7 500 000.

Je stelt samen met de leerlingen nog eens vast dat bij het oplossen van vermenigvuldigingen de bewerking eenvoudiger kan zijn als de wisseleigenschap gebruikt wordt: 35 000 x 6 oplossen als 6 x 35 000.

Vermenigvuldigingen van het type TE x natuurlijk getal lossen de leerlingen op door de aftrekker of het aftrektal te splitsen of door te werken naar analogie (zie hierboven). We bieden de leerlingen een aantal oplossingswijzen aan en zij kiezen deze die ze het handigst vinden.

In het derde blok van het zesde leerjaar onderzoeken de leerlingen de invloed van haakjes bij vermenigvuldigingen. Tijdens een klasgesprek stel je samen vast dat de haakjes bij vermenigvuldigingen geen invloed hebben. In deze les bespreek je ook de volgorde van bewerkingen. De leerlingen maken verschillende bewerkingen en vanuit hun bevindingen stel je vast dat als er verschillende bewerkingen voorkomen, je eerst vermenigvuldigt en/of deelt en daarna optelt en/of aftrekt.

Je illustreert steeds de verschillende werkwijzen aan bord. Door de leerlingen in contact te brengen met verschillende oplossingswijzen ontwikkelen ze een flexibel inzetbaar inzicht in bewerkingen. Na het maken van enkele vermenigvuldigingen met 100 of 1000 herhaal je dat je bij het vermenigvuldigen met 100/1000 twee/drie nullen achter de factor schrijft. Bij vermenigvuldigingen met grote getallen stimuleer je de leerlingen om de getallen te noteren als …

Let op! We beperken ons bij hoofdrekenen bewust tot ronde getallen. Het uit het hoofd uitvoeren van bewerkingen met getallen tot op de eenheid is immers weinig zinvol. In het dagelijkse leven zullen we zulke bewerkingen door te cijferen of met de zakrekenmachine oplossen. Dat zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook voldoende aandacht aan schenken.

80 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 80

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

De oefeningen die aan bod komen in de werkboeken (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, ook de zwakkere rekenaars. Met het oog op het functioneren in de maatschappij is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen. In blok 7 maken de leerlingen kennis met andere symbolen voor de vermenigvuldiging. Door de bewerkingstekens op een zakrekenmachine en op de computer te onderzoeken ontdekken de leerlingen dat * een alternatief is voor het x-teken. Daarnaast komt ook . als vermenigvuldigingsteken aan bod. Het is belangrijk om, zodra het getalinzicht en het inzicht in bewerkingen opgebouwd is, de bewerkingen voldoende te oefenen. We bieden zeer verscheiden oefenvormen aan: vrij formele oefeningen, vraagstukken, rekenspellen, ... Deze oefeningen zijn terug te vinden in het werkboek, in de kopieermap, in Oefen! en in de zWISo-box. Leerlingen die meer uitdaging nodig hebben kunnen aan de slag met de verdiepingsmap. Blok 7

Les 4 • Bewerkingen met natuurlijke getallen

OXO-spel 1

Aantal spelers: 2

Hulp nodig? Zoek het eens op in de zWISo-wijzer.

Los de rekenspinnen op.

Verloop: Je kiest om de beurt een oefening. De ene speler lost de oefening op, de andere speler controleert met de zakrekenmachine.

19 x

- 598

- Is je antwoord goed? Dan mag je een X of een O in het vak schrijven. - Is je antwoord fout? Dan mag je niets in het vak schrijven.

720

Probeer zoveel mogelijk het woord OXO te maken. Dat kan horizontaal, verticaal of

diagonaal.

25 x 8x :3

Einde: De speler die het meest OXO kan vormen is de winnaar!

+ 499

Weet je nog wat . betekent?

4800 . 0,01 =

8200 : 0,01 =

15 x

2,2 miljoen + 3,8 miljoen =

8000 - 4250 =

200 . 1,5 =

450 323 + 9999 =

5200 . 11 =

50 . 320 =

1 000 000 150 000 =

25 830 - 999 =

19 500 : 5 =

720 : 0,8 =

24 500 - 900 450 - 50 =

3 miljoen 250 000 =

(11 x 10) + 99 000 =

20 500 : 5 =

210,03 + 250,2 =

9660 : 3 =

25 000 . 4 =

59 000 - 99 =

140 miljoen

- 19 000 000

: 100

14,75 + 113,25 =

279 . 0,001 =

5600 : 0,07 =

45 000 + 555 000 =

64 640 : 8 =

135 000 - 45 000 =

4000 . 40 =

3,03 . 8 =

25 050 : 50 =

900 : 0,3 =

: 50

70 x + 270 000

kaarten. De bewerking 4 x 0,2 bijvoorbeeld stelden ze voor door vier keer 2 t-kaartjes te leggen. De leerlingen verwoordden dit als ‘vier keer 2 tiende is 8 tiende.’. Deze kaarten maakten in het vijfde leerjaar geen deel meer uit van het basispakket van de methode. Ze werden enkel ingezet bij leerlingen die nog onvoldoende inzicht hadden in bewerkingen met kommagetallen. In blok 2 van het vijfde leerjaar kwam ook het vermenigvuldigen van een kommagetal met een natuurlijk getal kleiner dan 100 aan bod. De leerlingen splitsten hierbij de vermenigvuldiger. of 17 x 0,2 = 2 + 1,4 = 3,4 10

Vermenigvuldigen met 10, met 100 en met 1000 kwam ook aan bod in het eerste trimester van het vijfde leerjaar. Belangrijk om hierbij op te merken is dat dit inzichtelijk werd opgebouwd. De leerlingen verwoordden dit als volgt: bij het vermenigvuldigen met 10/100/1000 wordt het getal tien-/honderd-/ duizendmaal groter. Eens dit goed verankerd was, werd de verwoording achterwege gelaten. De leerkracht herhaalde de vaststelling dat vermenigvuldigen met 100 hetzelfde is als twee keer vermenigvuldigen met 10 en dat je 1000 x op verschillende manieren kunt berekenen: 10 x, 10 x en 10 x of 100 x en 10 x of 10 x en 100 x. Ze stelde dit voor aan de hand van een pijlenschema.

Reken uit.

100 x

72 000 - 600 = 7 x 560 000 =

1000 x

3723 - 499 = 620 000 : 5 = 137 miljoen + 59 miljoen =

Turf telkens je OXO maakt. 9 x 740 =

Speler 1: Speler 2:

8 © Uitgeverij Zwijsen.be 2012

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 7, les 10

10 x

Kommagetallen Beginsituatie In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhaalde de leerkracht het vermenigvuldigen van kommagetallen met een getal kleiner dan tien. Hier was er, net als in het vierde leerjaar, veel aandacht voor het verwoorden en het tekenen van 8 x 0,03 = 8 x 3h = 24h = 0,24 3 x 2,30= 3 x 2 + 3 x 3t = 6 + 0,9 = 6,9 2

0,30

splitsbeentjes. Dit vermenigvuldigen van een kommagetal met een getal kleiner dan tien kwam voor het eerst aan bod in het vierde leerjaar. De leerlingen legden deze bewerkingen in de eerste fase met de KomMatz-

Bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met een zuiver tiental of zuiver honderdtal benadrukte de leerkracht de oplossingswijze waarbij factor 10 of 100 wordt afgezonderd. Bijvoorbeeld: 20 x 1,2 = 2 x 10 x 1,2 = 2 x 12 = 24 300 x 0,45 = 3 x 100 x 0,45 = 3 x 45 = 135 De leerlingen losten vermenigvuldigingen van een kommagetal met een natuurlijk getal ook op door operaties op factoren uit te voeren. Bij het oplossen van bijvoorbeeld de bewerking 200 x 0,85 behandelde de leerkracht zeker de volgende oplossingswijze: : 100

200 x 0,85 = 2 x 85 = 170 100 x

81 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 81

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

Deze operaties op factoren pasten de leerlingen ook toe bij het vermenigvuldigen van twee kommagetallen. De leerlingen losten dit op door van één van de kommagetallen een natuurlijk getal te maken. 10 x

: 10

0,6 x 0,9 = 6 x 0,09 = 0,54 : 10

0,6 x 0,9 = 0,06 x 9 = 0,54 10 x

Het vermenigvuldigen van twee kommagetallen behandel je in blok 2. Het uitvoeren van operaties op factoren vormt hier een belangrijke vaardigheid. De leerlingen lossen dit immers op door van één van de kommagetallen een natuurlijk getal te maken. Aangezien we in het vierde en het vijfde leerjaar en in blok 2 van het zesde leerjaar al veel aandacht schonken aan het uitvoeren van operaties op factoren vormt dit bij het vermenigvuldigen van twee kommagetallen geen obstakel meer. Daarna gaan de leerlingen gewoon de standaardprocedure voor vermenigvuldigen toepassen.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar komt er geen nieuwe inhoud met betrekking tot vermenigvuldigen met kommagetallen aan bod. In blok 1 herhaal je verschillende types vermenigvuldigingen met kommagetallen. Bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met een getal kleiner dan 10 is de verwoording erg belangrijk. 5 x 0,7 bijvoorbeeld verwoorden de leerlingen als 5 keer 7 tiende. Ze noteren dit eventueel ook als tussenstap: 5 x 0,7 = 5 x 7t = 35t = 3,5. Je stimuleert de leerlingen wel om na verloop van tijd het schrijven van deze tussenstappen achterwege te laten. De leerlingen tekenen, net als in het vierde en het vijfde leerjaar, splitsbeentjes indien nodig.

Het vermenigvuldigen van een kommagetal met 10, 100 en 1000 komt ook aan bod in dit eerste blok. De leerlingen lossen een aantal vermenigvuldigingen op en verwoorden hun oplossingswijze. De verwoording ‘de komma verschuift … plaats(en) naar rechts’ mag wel aan bod komen, maar het is belangrijk dat de leerlingen beseffen wat er gebeurt bij het vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000. Je stelt het vermenigvuldigen met 100 en 1000 eventueel voor met pijlenschema’s (zie Beginsituatie).

De bewerking 0,6 x 0,2 bijvoorbeeld lossen de leerlingen als volgt op: 10 x

10 x

0,6 x 0,2 = 6 x 0,02 = 0,12

0,6 x 0,2 = 0,06 x 2 = 0,12

: 10

In blok 3 biedt je ook nog andere oplossingswijzen voor dit type bewerkingen aan. De leerlingen steunen hierbij op de vaststellingen die ze deden bij het onderzoeken van vermenigvuldigingen waarbij één of beide factoren veranderen. De bewerking 0,6 x 0,2 los je in deze les op als volgt:

We vinden het belangrijk dat leerlingen leren kijken naar getallen en beroep kunnen doen op verschillende oplossingswijzen. We streven naar een flexibel inzetbaar inzicht in bewerkingen zodat leerlingen voor elke bewerking kunnen afwegen welke oplossingswijze zij het handigst vinden en deze dan ook kunnen toepassen. Les 23 • Rekenen met kommagetallen 1

Een schema tekenen, tussenstappen noteren, tekenen op een lege getallenlijn, …

Reken uit.

0,3 x 0,3

0,8 : 0,2

2,4 : 0,06

0,4 : 0,1

0,8 x 0,2

0,36 : 0,9

7 : 0,2 0,56 : 8 = 12 x 0,1

0,2 x 0,3 = 1,2 : 0,6 =

20 x 0,5

4 : 0,05 = 150 x 1,06 =

200 x 0,005 = 339,5 - 9,75 =

1,5 x 7

4,91 +

Ook bij het vermenigvuldigen van kommagetallen schenken we aandacht aan de wisseleigenschap. De bewerking 0,2 x 3 bijvoorbeeld wordt eenvoudiger als je de twee factoren van plaats wisselt. Je stimuleert de leerlingen om steeds goed naar de getallen te kijken en een oplossingswijze te kiezen die het best aansluit bij de aard van de getallen en bij hun getalinzicht.

= 10 2,7 : 0,3

Reken uit en vul in.

12,5

50 x 0,2

- 1,98

0,1 x

+ 11,125

Vul de rekenpiramide in. Het getal in een steen is telkens de som van de getallen in de twee stenen die eronder liggen.

- 2,78 :3 x 0,2 41,35

: 0,01

28,7

18,2

Ella heeft deze oefeningen opgelost, maar vergat soms de komma. Maak de bewerkingen juist door de komma’s te zetten.

1,7

1,3

346 - 322 = 313,8

2,23 + 777 = 10

1005 - 520 = 485

418 + 257 + 143 + 332 = 79

15 x 34 = 51

356 + 240 + 300 + 32 = 5788

0,25

0,7

0,5

1,2

Net zoals bij het vermenigvuldigen met natuurlijke getallen geldt dat vermenigvuldigingen met kommagetallen, eens deze inzichtelijk zijn opgebouwd, geregeld worden ingeoefend.

82 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 82

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Handig rekenen

0,01. De leerlingen stelden vast dat vermenigvuldigen met 0,1/0,01 hetzelfde is als delen door 10/100.

Beginsituatie Zesde leerjaar Net als bij optellen en aftrekken schenken we ook bij vermenigvuldigen aandacht aan handig rekenen. Dat draagt immers bij tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige oplossingswijzen uit te werken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan blijven werken. Wijs de leerlingen er daarom bij elke bewerking op dat ze naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen. In het vijfde leerjaar berekenden de leerlingen het product van de vermenigvuldiging 29 x 800 als volgt: 29 x 800 = 30 x 800 - 1 x 800 = 24 000 - 800 = 23Â 200. Behalve aan bovenstaande vorm van handig rekenen, namelijk het compenseren, schonken we ook aandacht aan het handig samennemen van factoren. De bewerking 4 x 7 x 2,5 bijvoorbeeld losten de leerlingen op door eerst 4 en 2,5 te vermenigvuldigen. Er werd ook aandacht geschonken aan het toepassen van de wisseleigenschap en het uitvoeren van operaties op factoren om vermenigvuldigingen eenvoudiger te maken (zie Vermenigvuldigen - Hoofdrekenen - Natuurlijke getallen en Kommagetallen). De leerlingen pasten ook een handige strategie toe bij het vermenigvuldigen met vijf, namelijk eerst vermenigvuldigen met tien en dan het resultaat delen door twee. Dit werd voorgesteld aan de hand van een pijlenschema: 5x 5 x 6,24 = 31,2

6,24

31,2 10 x

62,4

Handig vermenigvuldigen met vijftig werd analoog uitgewerkt. Bij het vermenigvuldigen met 25 stelden de leerlingen vast dat je 25 x ook kunt berekenen door eerst te vermenigvuldigen met 100 en dan te delen door 4. Ook dit werd voorgesteld in een pijlenschema. In blok 7 van het vijfde leerjaar schonk de leerkracht aandacht aan het vermenigvuldigen met 0,1 en

De leerlijn handig rekenen wordt in het zesde leerjaar verder uitgebreid. We werken met getallen tot 10 miljard en blijven aandacht schenken aan de diverse handige rekenstrategieĂŤn die vanaf het tweede leerjaar werden opgebouwd. In blok 3 komt ook het handig vermenigvuldigen met 4, 15 en 0,5 aan bod. Na het maken van enkele vermenigvuldigingen met 15 besluiten de leerlingen dat vermenigvuldigen met 15 handig kan door eerst te vermenigvuldigen met 10 en vervolgens de helft daarvan erbij te doen. Het handig vermenigvuldigen met 0,5 en met 4 stel je, net als het handig vermenigvuldigen met 5, 50 en 25, voor in een pijlenschema.

Enkele lessen zijn expliciet gewijd aan handig rekenen. Daarnaast is het ook belangrijk om de leerlingen tijdens alle lessen in verband met bewerkingen te laten kijken naar de getallen en de aard van de bewerking. Enkele voorbeelden: 2 x 72 x 5 = 10 x 72 = 720

83 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 83

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

• Schatten De algemene visie op schatten wordt uitgebreid beschreven bij Bewerkingen – Optellen en aftrekken – Schatten (zie pagina 75).

Beginsituatie In het derde leerjaar pasten de leerlingen een vaste schatprocedure toe. Ze rondden het vermenigvuldigtal af naar het dichtstbijgelegen ronde getal (één beduidend cijfer). Vervolgens berekenden ze het product van dit getal en de vermenigvuldiger. Tenslotte bepaalden de leerlingen of het product meer of minder zal zijn dan de schatting. De bewerking 3 x 165 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 3 x 165 D 3 x 200 = 600 Het product zal minder zijn dan 600. In het vierde leerjaar werd de schatprocedure verder uitgebreid. Net als bij het schatten van optellingen en aftrekkingen gaan we vanaf het vierde leerjaar ook soepeler om met het schatten van vermenigvuldigingen. Aangezien de getallen steeds complexer worden en de niveauverschillen tussen de leerlingen toenemen, is het ook bij het schatten van vermenigvuldigingen nodig om aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Leerlingen schatten in het vierde en het vijfde leerjaar dus volgens hun eigen getalinzicht. Mogelijke schattingen van de vermenigvuldiging 23 x 205 zijn: 23 x 205 D 20 x 200 = 4000 of 23 x 205 D 23 x 200 = 4600 De verschillende schattingen van de leerlingen werden telkens klassikaal besproken.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar geldt dezelfde visie op schatten als in de voorgaande leerjaren. De leerlingen ronden de getallen af volgens eigen getalinzicht. De vermenigvuldiging 23,5 x 2,34 bijvoorbeeld kan als volgt geschat worden: 23,5 x 2,34 D 20 x 2 = 40 of 23,5 x 2,34 D 24 x 2 = 48

Belangrijk om als leerkracht te weten is dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Ronden de leerlingen de getallen bijvoorbeeld altijd af tot een getal met één beduidend cijfer en komen ze op deze manier ook tot een zinvolle schatting? Ook goed! Zoals hierboven reeds beschreven werd, is het belangrijk om de verschillende schattingen van de leerlingen te bespreken en de leerlingen er attent op te maken welke informatie ze door het maken van een schatting verkrijgen. Schenk zeker aandacht aan de orde van grootte van het resultaat (bijvoorbeeld het product van 23,5 en 2,34 zal een getal met twee cijfers voor de komma zijn). Dit is immers erg belangrijke informatie voor het plaatsen van de komma bij het cijferend vermenigvuldigen (zie verder).

• Cijferen Beginsituatie Om het cijferen inzichtelijk op te bouwen legden de leerlingen de bewerkingen in het derde leerjaar met schijven uit getallendoos 3. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De bewerking werd tegelijkertijd in een schrijfschema geschreven. Hierbij werd er veel aandacht geschonken aan de verwoording van het cijferalgoritme. Voor de leerlingen een bewerking cijferend uitrekenden, maakten ze geregeld een schatting. De schatting vormt een goed controlemiddel voor de uitkomst na het cijferen. Als leerlingen voldoende inzicht hadden ontwikkeld in het cijferen, werd het leggen achterwege gelaten. In het vierde leerjaar werd er in de basislessen geen expliciete aandacht geschonken aan het leggen van de cijferoefeningen met getallendoos 3. In de regel noteerden de leerlingen cijferoefeningen dan alleen in een schrijfschema. Algemeen geldt dat leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces en dat je bij problemen steeds mag terugkeren naar instructie aan de hand van concreet materiaal. Voor een beschrijving van hoe het cijferend vermenigvuldigen werd aangebracht in het derde leerjaar kun je terecht in Gebruikswijzer 3. In het vierde leerjaar werd het cijferalgoritme uitgebreid tot vermenigvuldigingen met getallen tot

84 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 84

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

100 000. Er was, net als in het derde leerjaar, veel aandacht voor de verwoording van het algoritme. In het vierde leerjaar kwamen ook oefeningen van het type TE x HTE aan bod. Vanaf het vierde blok werd het schrijfschema achterwege gelaten en noteerden de leerlingen de cijferoefeningen op een ruitjespatroon. Bij het cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen, wat voor het eerst aan bod kwam in blok 5 van het vierde leerjaar, benadrukte de leerkracht het belang van de schatting. De leerlingen voerden dezelfde stappen uit als bij het cijferend vermenigvuldigen van natuurlijke getallen en plaatsten de komma na het cijferen door het resultaat te vergelijken met de schatting. In het vijfde leerjaar maakten de leerlingen cijferoefeningen met getallen tot 10 miljoen. In blok 2 behandelde de leerkracht ook vermenigvuldigingen met een driecijferig getal. Naar analogie met het vermenigvuldigen met een tweecijferig getal legde de leerkracht de link met hoofdrekenen door de vermenigvuldiger te splitsen. Daarna werd het cijferalgoritme uitgewerkt zoals bij vermenigvuldigingen met een getal kleiner dan 100. 274 x 1427 = 200 x 1427 + 70 x 1427 + 4 x 1427 200 7 4

1 4 2 7 x

5 9 9 2 8 5 + 3 9 0

7 8 4 9

0 9 0 9

8 0 0 8

211 412 1

De leerlingen kregen geregeld de opdracht om het product te controleren met de zakrekenmachine. In blok 7 controleerden de leerlingen voor het eerst een vermenigvuldiging door de negenproef te maken.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar breiden we het cijferalgoritme voor vermenigvuldigen uit tot getallen tot 10 miljard. De leerlingen noteren de cijferoefeningen op een ruitjespatroon. Je benadrukt hierbij het belang van het juist onder elkaar schrijven van de getallen. Bij het cijferend vermenigvuldigen schrijven de leerlingen de factor met het minste aantal cijfers onderaan. Hebben de getallen evenveel cijfers? Dan mogen de leerlingen de positie van de getallen kiezen. Cijfers van dezelfde rang worden telkens onder elkaar gezet.

De verwoording van de bewerking 9 x 2273 gaat als volgt: 2

1. Schrijf de twee factoren en het maalteken.

2. Begin bij de E.

3. Vermenigvuldig de E (9 x 3).

4. Schrijf 7 onder de lijn bij de E. Schrijf 2 rechts van het schema. 5. Vermenigvuldig de T (9 x 7) en vergeet de 2 naast het schema er niet bij te tellen. Schrap de 2.

3 9

6. Schrijf 5 onder de lijn bij de T. Schrijf 6 rechts van het schema. 7. Werk op dezelfde manier verder voor H en D.

3 9

8. Het product is 20 457.

Deze verwoording staat ook uitgebreid in de zWISowijzer. Leerlingen die moeilijkheden hebben met het cijferend vermenigvuldigen mogen steeds hun zWISowijzer raadplegen. Cijferoefeningen worden vaak gepresenteerd in contextsituaties, om de praktische bruikbaarheid van cijferen te benadrukken. Net als in de voorgaande jaren benadruk je het belang van het maken van een schatting. Vooral bij het cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen levert deze schatting erg zinvolle informatie op. De vermenigvuldiging 365 x 1,87 bijvoorbeeld kan geschat worden als 365 x 1,87 D 400 x 2 = 800. Deze schatting geeft de leerlingen de informatie dat het resultaat van de vermenigvuldiging een getal met drie cijfers voor de komma zal zijn. De leerlingen plaatsen de komma pas na het uitvoeren van het algoritme door het berekende resultaat te vergelijken met de schatting. Naast het maken van een schatting controleren de leerlingen cijferoefeningen ook nog door de negenproef te maken of door de bewerking uit te voeren met de zakrekenmachine.

De verwoording van het cijferalgoritme blijft hetzelfde als in het vijfde leerjaar.

85 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 85

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

We vinden het belangrijk om leerlingen kritisch te leren omgaan met deze controlemiddelen. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld in het werkboek de opdracht om een negenproef te maken bij een vermenigvuldiging waarbij de komma in het product op de verkeerde plaats staat. Tijdens een klassikaal reflectiemoment stel je vast dat de negenproef toch klopt, maar dat het product fout was. Hierbij benadruk je nog eens de meerwaarde van het maken van een schatting. Het fout plaatsen van de komma zou immers opgemerkt zijn als er een schatting werd gemaakt. Hou bij het controleren van cijferoefeningen met de zakrekenmachine rekening met de werking van de gebruikte zakrekenmachines. Sommige zakrekenmachines ronden het kommagetal af terwijl andere gaan afkappen. Schenk hier indien nodig aandacht aan bij de bespreking van de cijferoefening. In blok 2 rekenen de leerlingen voor het eerst een vermenigvuldiging van twee kommagetallen cijferend uit. Ze noteren de getallen zo dat de komma’s precies onder elkaar staan. Na het cijferend uitrekenen plaatsen de leerlingen de komma door het verkregen product Les 25 • Een kommagetal vermenigvuldigen te vergelijken met de schatting. Als de leerlingen een aantal oefeningen gemaakt hebben volgt er een klasgesprek waarin je vaststelt dat het aantal decimalen in het product gelijk is aan de som van het aantal decimalen van de factoren. 1

De directie van school De Hoepel houdt een Italiaanse dag. Alle leerlingen en leerkrachten van de lagere school, dat zijn in totaal 235 personen, komen naar het spaghettifestijn. De directie wil weten hoeveel dat gaat kosten. Reken cijferend uit en vul de tabel aan. ingrediënt

gehakt

benodigde hoeveelheid

prijs per kilogram

19 kg

€ 6,79

€

23,5 kg

€ 2,34

€

€ 1,64

€

€ 11,93

€

spaghetti tomaten

37,6 kg

geraspte kaas

4,7 kg

gehakt

spaghetti

bewerking:

schatting:

tomaten

geraspte kaas

bewerking:

schatting:

totale prijs

Om een prijs te noteren rond je af tot op 2 cijfers na de komma!

We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij de oefening in kwestie en bij hun getalinzicht. In het zesde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is bij sommige oefeningen dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of een bewerking uit het hoofd of cijferend moet worden uitgerekend. Let op! Van bepaalde oefeningen die deel uitmaken van het basistraject blijven we verwachten dat ze uit het hoofd uitgerekend worden. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen kunnen rekenen met ronde getallen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor hun latere functioneren in de samenleving.

Delen • Hoofdrekenen Natuurlijke getallen Beginsituatie In het eerste blok van het vijfde leerjaar herhaalde de leerkracht verschillende types delingen. Bij het oplossen van opgaande delingen waarbij de deler kleiner is dan 10 benadrukte de leerkracht dat het belangrijk is om steeds naar de deler te kijken en met het oog hierop het deeltal te splitsen. Hij illustreerde dit door een vergrootglas rond de deler te tekenen. Enkele voorbeelden: 56 000

= 7000

72 000

= 10 000 + 8000 = 18 000

= 7000

40 000 32 000 37 500

+ 500

= 7500

35 000 2500

Ook bij het maken van delingen geldt dat leerlingen een oplossingswijze hanteren die aansluit bij hun getalinzicht en inzicht in de eigenschappen van bewerkingen. Bij de bewerking 78 000 : 3 kan het deeltal gesplitst worden in 60 000 en 18 000 of in 30 000, 30 000 en 18 000. De leerkracht behandelde ook het oplossen naar analogie met de tafels. Bij de deling 42 000 : 3 bijvoorbeeld werden verschillende oplossingswijzen aangereikt:

In het derde blok van het vijfde leerjaar onderzochten de leerlingen de invloed van haakjes bij delingen. Tijdens een klasgesprek stelden ze vast dat plaats van de haakjes bij delingen wel belangrijk is en dat deze dus niet zomaar mogen weggelaten worden. In deze les bespraken ze ook de volgorde van bewerkingen. De leerlingen maakten verschillende bewerkingen en vanuit hun bevindingen stelden ze vast dat als er verschillende bewerkingen voorkomen, je eerst vermenigvuldigt en/of deelt en daarna optelt en/of aftrekt.

86 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 86

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Bij het delen van een natuurlijk getal door 10 en door 100 behandelde de leerkracht verschillende types: - een natuurlijk getal delen door 10 en 100 waarbij het resultaat een natuurlijk getal is; bijvoorbeeld 3750 : 10 = 375 en 66 400 : 100 = 664 - een natuurlijk getal delen door 10 en 100 waarbij het resultaat een kommagetal is; bijvoorbeeld 6 : 10 = 60t : 10 = 6t = 0,6 : 100

175 : 100

0,4 62,5

0,625 6,25 : 10

Ook het delen door 1000 stelde de leerkracht voor aan de hand van een pijlenschema. De deling 1250 : 1000 werd bijvoorbeeld als volgt voorgesteld: : 1000

: 1000 1,25

125

: 10

12,5

: 10

= 1000

4000 : 5 = 800 2x

Belangrijk om op te merken is dat we het delen door 10 en door 100 beredeneerd aanpakken. Er volgde dan ook een klasgesprek na het maken van enkele delingen door 10 en door 100 waarbij de leerlingen hun vaststellingen deelden met de klas. Ze verwoordden dat delen door 100 hetzelfde is als twee keer delen door 10.

: 10

9000 : 9

: 100

: 10

1250

: 100

480 : 8 = 60

17,5 : 10

5,4 : 10 = 0,5 + 0,04 = 0,54

62,5 : 100

: 100

1,75

- een kommagetal delen door 10 en 100. bijvoorbeeld 0,7 : 10 = 70h : 10 = 7h = 0,07

900 000 : 900 = 1000

4000 : 10 = 400

175 : 10

Deze verbanden werden geïllustreerd met pijlen.

1250

1,25 : 10

125

: 100

: 8 = 10

Ze kregen ook de opdracht om bij een gegeven bewerking enkele delingen te noteren met hetzelfde quotiënt. Op deze manier stelden de leerlingen vast dat een deling eenvoudiger gemaakt kan worden door operaties op factoren uit te voeren. In het vijfde leerjaar kwamen ook niet-opgaande delingen aan bod. Er werd steeds vertrokken van een concrete situatie zodat leerlingen bij het oplossen van de deling steeds konden teruggrijpen naar een concreter niveau, namelijk het maken van groepjes. De leerlingen losten de deling 20 : 6 op door een getal te zoeken dat kleiner is dan het deeltal en dat deelbaar is door de deler. Dit werd in de verf gezet door een vergrootglas rond de deler te tekenen. De leerlingen splitsten het getal en deelden het afgezonderde tafelproduct door de deler (bijvoorbeeld 20 splitsen in 18 en 2 en de deling 18 : 6 uitvoeren).Wat overbleef benoemden de leerlingen als rest. Na het maken van enkele niet-opgaande delingen stelden de leerlingen vast dat de rest steeds kleiner is dan de deler.

: 1000

1250

1,25 : 100

12,5

: 10

In het tweede blok van het vijfde leerjaar kwamen operaties op factoren aan bod. Na het maken van een aantal delingen stelden de leerlingen vast dat: - Als deeltal en deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden, het quotiënt gelijk blijft. - Als de deler gelijk blijft en het deeltal met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het quotiënt in dezelfde mate verandert. - Als het deeltal gelijk blijft en de deler met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, het quotiënt omgekeerd evenredig verandert.

Bij het oplossen van vraagstukken met niet-opgaande delingen kregen leerlingen soms de opdracht om, afhankelijk van de context, het quotiënt zinvol af te ronden. Door bijvoorbeeld af te wegen of het quotiënt naar boven of naar beneden moet afgerond worden leren de leerlingen bewust na te denken over het wiskundige probleem. Dit is iets waar we doorheen de hele methode aan werken.

Zesde leerjaar In blok 1 herhaal je systematisch verschillende types delingen. We vertrekken vanuit een concrete situatie, namelijk een lottotrekking. De leerlingen krijgen enkele vragen voorgelegd en noteren hier de juiste delingen bij. Ze gaan telkens op zoek naar een getal

87 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 87

17/08/12 13:32

Inleiding Aanpak

uit de tafels en splitsen indien nodig. Enkele voorbeelden:

Bij bewerkingen als 4 200 000 : 6 benadruk je zeker het werken naar analogie. Je stimuleert leerlingen om eerst het quotiënt van 42 : 6 te berekenen en dan de link te leggen met de deling 4 200 000 : 6. Bij het splitsen van het deeltal, bijvoorbeeld bij de bewerking 2 450 000 : 7, teken je een vergrootglas rond de deler om de leerlingen eraan te herinneren dat de splitsing bepaald wordt door de deler. Ook bij het maken van delingen geldt dat leerlingen een oplossingswijze hanteren die aansluit bij hun getalinzicht en inzicht in de eigenschappen van bewerkingen. De leerlingen mogen dus kiezen hoe ze het deeltal splitsen. Schenk zeker aandacht aan de verschillende splitsingen van de leerlingen tijdens de klassikale bespreking. De manier waarop leerlingen splitsen geeft je veel zinvolle informatie over hun getalinzicht en inzicht in bewerkingen. In blok 1 herhaal je ook het delen door 10, 100 en 1000. Na het maken van verscheidene oefeningen verwoorden de leerlingen hun vaststellingen. Op deze manier denken de leerlingen bewust na wat er gebeurt bij het delen door 10, door 100 en door 1000 en ontwikkelen ze dus een goed verankerd inzicht in bewerkingen. Je stelt dit eventueel voor met pijlen.

Bij het uitvoeren van delingen met getallen tot 10 miljard stimuleer je de leerlingen om het deeltal te noteren als … miljoen of … miljard. De bewerking 1 500 000 000 : 3 wordt eenvoudiger als je dit noteert als 1,5 miljard : 3 of als 1500 miljoen : 3. Let op! We beperken ons bij hoofdrekenen bewust tot ronde getallen. Het uit het hoofd uitvoeren van bewerkingen met getallen tot op de eenheid is immers weinig zinvol. In het dagelijkse leven zullen we zulke bewerkingen door te cijferen of met de zakrekenmachine oplossen. Dat zijn twee vaardigheden waar we in zWISo dan ook voldoende aandacht aan schenken. De oefeningen die aan bod komen in de werkboeken (het basistraject) zijn bedoeld voor alle leerlingen van je klas, ook de zwakkere rekenaars. Met het oog op het functioneren in de maatschappij is het essentieel dat al je leerlingen dit basisniveau beheersen. In blok 2 herhaal je operaties op factoren. Na het maken van verschillende oefeningen op een Doe!blad herhaal je de volgende vaststellingen: - Als deeltal en deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden, blijft het quotiënt gelijk. - Als de deler gelijk blijft en het deeltal met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, verandert het quotiënt in dezelfde mate. - Als het deeltal gelijk blijft en de deler met een getal vermenigvuldigd of door een getal gedeeld wordt, verandert het quotiënt omgekeerd evenredig. De leerlingen mogen bovenstaande vaststellingen in eigen woorden omschrijven. Het is niet de bedoeling dat ze deze eigenschappen als formele besluiten kunnen citeren, wel dat ze deze kunnen toepassen bij het oplossen van delingen. Aan het eind van deze les geef je de leerlingen de opdracht om bij een gegeven deling een eenvoudigere deling te noteren door de deler en het deeltal te delen door hetzelfde getal.

88 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 88

17/08/12 13:32

Gebruikswijzer

Enkele mogelijke oplossingen bij de bewerking 420 000 : 140 zijn:

t-kaartjes te leggen en deze te verdelen in twee gelijke delen. De leerlingen verwoordden dit als ‘8 tiende gedeeld door 2 is vier tiende.’. Dit leggen met de kaartjes werd al vrij snel achterwege gelaten. Het oplossen van de delingen door het verwoorden is immers vaak minder complex dan het leggen met concreet materiaal. Deze kaarten maakten in het vijfde leerjaar geen deel meer uit van het basispakket van de methode. Ze werden enkel ingezet bij leerlingen die nog onvoldoende inzicht hadden in bewerkingen met kommagetallen.

Op deze manier ondervinden de leerlingen dat een deling eenvoudiger gemaakt kan worden door operaties op factoren uit te voeren. Het is belangrijk om voldoende aandacht te schenken aan het oefenen van de bewerkingen. Hoofdrekenend delen wordt dan ook voortdurend geoefend aan de hand van zeer verscheiden oefenvormen: vrij formele oefeningen, vraagstukken, rekenspellen, ... Deze oefeningen zijn terug te vinden in het werkboek, in de kopieermap, in Oefen! en in de zWISo-box. Leerlingen die meer uitdaging nodig hebben kunnen aan de slag met de verdiepingsmap. Les 10 • De vier bewerkingen met natuurlijke

getallen• Ronde en getallen kommagetallen tot 10 miljoen vermenigvuldigen, een van de getallen is kleiner dan 100. • Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal kleiner dan 10, het quotiënt is een natuurlijk getal.

les 16 • loperkaart 1

Reken uit. Vul het kruisrekenraadsel in. 1

Vier op een rij. Je speelt het spel met z’n tweeën.

les 16 • loperkaart 1

• Een natuurlijk getal delen door 10, 100 en 1000. Ik noteer tussenstappen, ik teken soms pijlen, …

Soms weet ik het zo!

Materiaal: dobbelsteen, 2 potloden van een verschillende kleur en kladblad

• Probeer ,  of  vier opeenvolgende cirkels in jouw kleur te krijgen.

• Spreek af wie begint.

• Speler 1 gooit met de dobbelsteen en lost de eerste oefening uit de passende

0,12

In blok 6 ging de leerkracht dieper in op delingen met kommagetallen. Daar werden de verschillende soorten delingen systematisch herhaald. De volgende types kwamen aan bod:

Juist? Speler 1 mag een cirkel kleuren op het spelbord. Fout? Speler 1 mag niet kleuren, de beurt gaat onmiddellijk naar speler 2.

• Wie zes gooit, mag meteen een cirkel kleuren.

• Daarna wisselen de spelers. Speler 2 gooit met de dobbelsteen en lost de

- Een kommagetal delen door een natuurlijk getal

volgende oefening uit de passende kolom op. Speler 1 controleert. horizontaal

• Het spel eindigt als iemand vier op een rij heeft.

verticaal

1. 16,4 : 0,1 =

1. 40 000 - 93 =

2. 2,5 x 32 000 x 4 + 60 =

2. 275 + 990 =

; Het product van 4 en 23,75 is

4. 11 x 11 + 18 800 : 2 =

36,12 : 6 = 6 + 0,02 = 6,02

kolom op. Hij streept de oefening door. Speler 2 controleert.

3. 60 x 16 =

In het vijfde blok van het vijfde leerjaar komt het delen met kommagetallen opnieuw aan bod. De leerlingen losten deze delingen, naar analogie met natuurlijke getallen, op door te kijken naar de deler en in functie hiervan het deeltal te splitsen.

. 3. 2 401 000 : 4 = 4. 32 : 0,8 =

; 16 000 x 0,01 =

5. 18,7 x 300 =

5. 1,5 x 46 =

; 0,1 : 0,01 =

6. 3,4 miljoen - 2,7 miljoen =

6. 6 540 000 - 6 335 000 =

Reken uit. Je mag je tussenstappen noteren.

8 x 13 000

680 000 : 4

40 x 160 000

24 x 60 000

810 000 : 4

910 000 : 7

14 x 7000

6 500 000 : 5

6 x 1 200 000

1 050 000 : 7

1000 x 2700

2 900 000 : 1000

10 000 000 : 8 10 x 42 000

660 000 : 6

63 900 : 3

0,8 : 2 = 8t : 2 = 4t = 0,4

780 000 : 3

2 x 370 000

2 x 460 000

1 400 000 : 100

100 x 91 000

3 450 000 : 1000

100 x 6800

3 600 000 : 9

12 x 420 000

2 360 000 : 100

687 000 : 10

1000 x 2300

2 461 000 : 10

3 x 190 000

4 350 000 : 2

5 x 3200

742 000 : 1000

4 x 82 500 10 x 405 000

650 : 50 = 54 : 0,09 =

2,4 : 6 = 24t : 6 = 4t = 0,4

(25 000 x 0,2) + (5 x 1,6) = 2575 + 1363 + 3425 = 300 738 + (80 000 : 5) =

ZwisoBox_Fiches_6-1_Loper.indd 13

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

Blok 1

Toets het resultaat van elke bewerking in op je zakrekenmachine. Draai je zakrekenmachine om. Welk woord lees je? Vul in.

21/06/12 15:00

13,6 : 4 = 3 + 0,4 = 3,4 ^ 12 1,6

Kommagetallen Beginsituatie Op het einde van het vierde leerjaar introduceerde de leerkracht het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal. In het vierde leerjaar, waar de leerplannen slechts een aanzet tot het maken van delingen met kommagetallen voorschrijven, beperkten we ons tot delingen van een kommagetal door een natuurlijk getal kleiner dan of gelijk aan 10 waarbij het kommagetal te herleiden is tot een tafelproduct. Leerlingen hoeven de opgegeven delingen met kommagetallen niet volledig te beheersen in het vierde leerjaar. Deze bewerkingen komen immers in het vijfde en het zesde leerjaar nog uitvoerig aan bod. De leerlingen legden in het vierde leerjaar delingen eerst met de KomMatz-kaarten. De bewerking 0,8 : 2 bijvoorbeeld stelden ze voor door acht

- Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal, het quotiënt is een kommagetal 2 : 5 = 20t : 5 = 4t = 0,4

Hierbij werd er veel aandacht geschonken aan het verwoorden van de kommagetallen (zie Getallen Kommagetallen). - Een natuurlijk getal delen door een kommagetal De leerlingen kregen de volgende situatie voorgeschoteld: ‘Lena geeft een verjaardagsfeestje. Ze heeft drie liter frisdrank die ze verdeelt over bekers van 0,2 liter. Hoeveel bekers kan ze daarmee vullen?’. Na het noteren van de bewerking 3 : 0,2 kregen de leerlingen de opdracht om deze bewerking op te lossen. Een mogelijke oplossingswijze is het uitvoeren van herleidingen en het verwoorden van de situatie

89 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 89

17/08/12 13:33

Inleiding Aanpak

als: ‘Ze heeft 30 dl frisdrank die ze verdeelt over bekers van 2 dl.’. Zo bekwamen de leerlingen een deling die ze wel kunnen maken (30 : 2 = 15). Deze oplossingswijze kunnen de leerlingen niet altijd toepassen. Daarom is het belangrijk om ook andere oplossingswijzen aan bod te laten komen. Delingen van dit type stelden de leerlingen ook voor op de getallenlijn. Bij de deling 3 : 0,2 stelden ze zich de vraag ‘Hoeveel keer kan 0,2 in 3?’ Deze verwoording sluit aan bij de manier waarop de deeltafels zijn aangeleerd in het tweede leerjaar. Voor meer uitleg over de verhoudingsdeling, zie Gebruikswijzer 2. De leerlingen stelden deze deling voor door op een getallenlijn sprongen van 0,2 te tekenen en het aantal sprongen te tellen. 0

0,2

0,4

0,6

0,8

Zesde leerjaar In het eerste blok van het zesde leerjaar herhaal je systematisch de verschillende types delingen. Je behandelt de volgende types bewerkingen: - Een kommagetal delen door een natuurlijk getal kleiner dan 10 Bij deze oefeningen is de verwoording erg belangrijk. Door de bewerking 0,8 : 4 te verwoorden als 8 tiende gedeeld door 4 wordt dit heel wat makkelijker. Je stimuleert de leerlingen wel om na verloop van tijd het schrijven van deze tussenstappen achterwege te laten. De leerlingen tekenen, net als in het vierde en het vijfde leerjaar, splitsbeentjes indien nodig.

0,2 gaat 15 keer in 3 dus 3 : 0,2 = 15

De leerkracht stimuleerde vooral het oplossen deze deling door het uitvoeren van operaties op de factoren. Deze oplossingswijze is te gebruiken bij alle delingen van dit type. Hierbij steunden ze op de eigenschap dat het quotiënt gelijk blijft als deeltal en deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden. 10 x

3 : 0,2 = 15 10 x 30 : 2 = 15

Na het maken van enkele gelijkaardige delingen stelden de leerlingen vast dat je delingen door een kommagetal eenvoudig kunt oplossen door de komma weg te werken uit de deler door operaties op factoren uit te voeren. De leerkracht benadrukte hierbij dat het deeltal telkens in dezelfde mate mee moet veranderen. De leerlingen deelden ook kommagetallen door 10 en 100. Belangrijk om op te merken is dat de leerlingen deze delingen beredeneerd hebben opgelost. Er volgde een klasgesprek na het maken van enkele delingen waarbij de leerlingen hun vaststellingen verwoordden. Het is niet de bedoeling dat de leerlingen de komma zomaar één of twee plaatsen naar links opschuiven. We vinden het belangrijk dat leerlingen weten wat er gebeurt bij het delen door 10 en 100 en niet gewoon een trucje toepassen.

- Een kommagetal delen door 10 en 100 Ook hier is de verwoording belangrijk. De leerlingen lossen de bewerking 7,5 : 10 op door deze te lezen als 750h gedeeld door tien. Zoals uit de beschrijving van de beginsituatie blijkt vinden we het belangrijk dat leerlingen weten wat er gebeurt bij het delen door 10 en 100 en niet gewoon de komma een aantal plaatsen verschuiven. Je stelt het delen door 100 ook voor met een pijlenschema:

- Een natuurlijk getal delen door 10, 100 en 1000, het quotiënt is een kommagetal Bij het delen van een natuurlijk getal door 10, 100 en 100 waarbij het quotiënt een kommagetal is geldt ook dat de verwoording essentieel is. Net als het delen door 100 stel je ook het delen door 1000 voor in een pijlenschema.

90 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 90

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

- Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal, het quotiënt is een kommagetal

De leerlingen pasten in het vijfde leerjaar een handige rekenstrategie toe bij het delen door 5, door 25 en door 50. Ze stelden dit eventueel voor in een pijlenschema.

Bewerkingen als 4 : 5 lossen de leerlingen op als volgt: 4 : 5 = 40t : 5 = 0,8.

In blok 2 komt het delen van een natuurlijk getal door een kommagetal aan bod. De leerlingen lossen bijvoorbeeld de bewerking 5 : 0,2 op door de komma weg te werken uit de deler. Je herhaalt hierbij de eigenschap dat het quotiënt niet verandert als het deeltal en de deler vermenigvuldigd worden met hetzelfde getal.

: 10

2x : 50

: 100

2x : 25

: 100

Daarnaast behandel je in dit blok ook het delen van een kommagetal door een kommagetal. Bij dit type bewerkingen werken de leerlingen ook de komma in de deler weg.

• Een kommagetal delen door een natuurlijk getal kleiner dan 10.

les 17 • loperkaart 1

Dominospel! Vul de dominostenen aan

Start

___

3 x 0,7

0,15 : 5

______

100 x 0,04

______

__ x 0,8

___

1,03

6 x __

0,12

______

6,3 : 9

______

135 : 100

62,5

800

___ : 3

2,6

8 x 0,9

______

4,12 : __

Einde

Hoeveel kosten de planten per stuk? Vul de tabel aan.

petunia

geranium

vlijtig liesje

viooltje

lobelia

bacopa

€ 6,57/9 stuks

€ 3,36/4 stuks

€ 1,29/stuk

€ 2,48/8 stuks

€ 3/10 stuks

€ 0,95/5 stuks

Controleer je resultaat met de correctiesleutel!

bewerking vlijtig liesje lobelia bacopa viooltje geranium petunia

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

prijs per stuk € 1,29 € ______ € ______ € ______ € ______ € ______ Blok 1

ZwisoBox_Fiches_6-1_Loper.indd 15

De leerlingen stelden ook vast dat bij het delen door verschillende getallen de volgorde van de delers mag veranderen. De deling 72 000 : 3 : 10 bijvoorbeeld losten de leerlingen op door eerst 72 000 te delen door 10 en dan 7200 te delen door 3.

Zesde leerjaar

7,2 : 6

______ ___ x 6,25

2,24 : 7

Er werd ook aandacht geschonken aan het toepassen van operaties op factoren om delingen eenvoudiger te maken (zie Hoofdrekenen).

les 17 • loperkaart 1

• Een kommagetal vermenigvuldigen met een natuurlijk getal kleiner dan 10.

______ 600 : 100

Net zoals bij het vermenigvuldigen met natuurlijke getallen geldt dat vermenigvuldigingen met kommagetallen, eens deze inzichtelijk zijn opgebouwd, geregeld worden ingeoefend.

21/06/12 15:00

Handig rekenen Beginsituatie Net als bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen schenken we ook bij delen aandacht aan handig rekenen. Dat draagt immers bij tot het inzicht in getallen en bewerkingen. Vanaf de eerste graad leren we de leerlingen kijken naar de getallen en op basis van de aard van de bewerkingen doelmatige oplossingswijzen uit te werken. Dat is een attitude waar we de hele lagere school door aan blijven werken. Wijs de leerlingen er daarom bij elke bewerking op dat ze naar de getallen moeten kijken om na te gaan op welke manier ze de bewerkingen het handigst kunnen oplossen.

Er komen een aantal nieuwe handige oplossingswijzen aan bod. Na het maken van enkele delingen door 0,5 stel je samen met de leerlingen vast dat het quotiënt telkens het dubbele is van het deeltal en dat delen door 0,5 dus hetzelfde is als vermenigvuldigen met twee. Je tekent hier het volgende pijlenschema bij:

Bij het delen door vier besluit je dat je dit ook kunt berekenen door twee keer te delen door twee.

91 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 91

17/08/12 13:33

Aanpak Inleiding

Bij delingen als 594 : 6 laat je de leerlingen het deeltal ook als een verschil schrijven. Je merkt hierbij op dat je eerst naar de deler kijkt.

De bewerking 622 : 3 bijvoorbeeld werd als volgt geschat: 622 : 3 D 600 : 3 = 200 Het product zal meer zijn dan 200.

• Schatten De algemene visie op schatten wordt uitgebreid beschreven bij Bewerkingen – Optellen en aftrekken – Schatten (zie pagina 75).

Beginsituatie In het derde leerjaar pasten de leerlingen een vaste schatprocedure toe. Ze rondden het deeltal af naar het dichtstbijgelegen ronde getal dat deelbaar is door de deler (één beduidend cijfer). Vervolgens berekenden de leerlingen het quotiënt en bepaalden ze of het quotiënt meer of minder zal zijn dan de schatting.

In het vierde leerjaar werd de schatprocedure verder uitgebreid. Net als bij het schatten van optellingen, aftrekkingen en vermenigvuldigingen gaan we vanaf het vierde leerjaar ook soepeler om met het schatten van delingen. Aangezien de getallen steeds complexer worden en de niveauverschillen tussen de leerlingen toenemen, is het ook bij het schatten van delingen nodig om aan te sluiten bij het individuele niveau van de leerlingen. Leerlingen schatten in het vierde en het vijfde leerjaar dus volgens hun eigen getalinzicht. De deling 45 236 : 4 bijvoorbeeld kon als volgt geschat worden: 45 236 : 4 D 40 000 : 4 = 10 000 of 45 236 : 4 D 44 000 : 4 = 11 000 In het vijfde leerjaar kwam ook het schatten van delingen door een twee- en een driecijferig getal aan bod. Algemeen geldt hier dat leerlingen eerst de deler afrondden naar een getal met één beduidend cijfer (het dichtstbijzijnde tiental of honderdtal). Dan rondden ze het deeltal af naar een rond getal dat makkelijk deelbaar is door de afgeronde deler. De deling 63 215,35 : 28 bijvoorbeeld kon als volgt geschat worden: 63 215,35 : 28 D 60 000 : 30 = 2000 of 63 215,35 : 28 D 63 000 : 30 = 2100 De verschillende schattingen van de leerlingen werden telkens klassikaal besproken.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar geldt dezelfde visie op schatten als in de voorgaande leerjaren. De leerlingen ronden de getallen af volgens eigen getalinzicht. Bij de deling 693 825 : 325 zijn mogelijke schattingen: 693 825 : 325 D 600 000 : 300 = 2000 of 693 825 : 325 D 690 000 : 300 = 2300

92 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 92

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

Belangrijk om als leerkracht te weten is dat in zWISo de ene schatting niet beter is dan de andere. De bedoeling van schatten is dat de leerlingen een idee krijgen van de orde van grootte van het resultaat. Ronden de leerlingen de getallen bijvoorbeeld altijd af tot een getal met één beduidend cijfer en komen ze op deze manier ook tot een zinvolle schatting? Ook goed! Zoals hierboven reeds beschreven werd, is het belangrijk om de verschillende schattingen van de leerlingen te bespreken en de leerlingen er attent op te maken welke informatie ze door het maken van een schatting verkrijgen. Schenk zeker aandacht aan de orde van grootte van het resultaat (bijvoorbeeld het quotiënt van 693 825 : 325 zal een getal met vier cijfers voor de komma zijn). Dit is immers erg belangrijke informatie voor het controleren van de plaats van de komma bij het cijferend delen (zie Cijferen).

• Cijferen

was, net als in het derde leerjaar, veel aandacht voor de verwoording van het algoritme. De leerlingen kregen geregeld de opdracht om te delen tot op een bepaald aantal decimalen. Ze vulden indien nodig nullen aan in het deeltal. In het vierde leerjaar kwamen ook delingen van het type HTE : E waarbij het cijfer van de honderdtallen kleiner is dan de deler aan bod. Bij het oplossen van bijvoorbeeld 175 : 5 merkten de leerlingen op dat 5 geen enkele keer in 1 gaat. Ze tekenden vervolgens een boogje over de honderdtallen en de tientallen en voerden het bekende cijferalgoritme uit. Bij het noteren van het quotiënt werd benadrukt dat er geen honderdtallen zijn in het quotiënt en dat het quotiënt dus kleiner is dan 100.

1 1

7 5

2 2

5 5

5 3 5

Beginsituatie Om het cijferen inzichtelijk op te bouwen legden de leerlingen de bewerkingen in het derde leerjaar met schijven uit getallendoos 3. De schijven uit de getallendoos zijn, naar analogie van de bordschijven, de 10-zakken, de 100-kisten en de 1000-container, rood voor de eenheden, groen voor de tientallen, geel voor de honderdtallen en blauw voor het duizendtal. De leerlingen legden het deeltal met de schijven in het legschema en maakten vervolgens groepjes van … (deler). De bewerking werd tegelijkertijd in een schrijfschema geschreven. Voor de leerlingen een bewerking cijferend uitrekenden, maakten ze geregeld een schatting. De schatting vormt een goed controlemiddel voor de uitkomst na het cijferen. Voor een beschrijving van hoe het cijferend delen werd aangebracht in het derde leerjaar kun je terecht in Gebruikswijzer 3. In het vierde leerjaar werd enkel in de eerste les gewerkt met de schijven uit de getallendoos. In de lessen die daarop volgden noteerden de leerlingen cijferoefeningen alleen in een schrijfschema. Algemeen geldt dat leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces en dat je bij problemen steeds mag terugkeren naar instructie aan de hand van concreet materiaal. In het vierde leerjaar werd het cijferalgoritme uitgebreid tot delingen met getallen tot 100 000. Er

Het quotiënt is 35. De rest is 0.

Vanaf het vierde blok werd het schrijfschema achterwege gelaten en noteerden de leerlingen de cijferoefeningen op een ruitjespatroon. Bij het cijferend delen met kommagetallen benadrukte de leerkracht dat het algoritme hetzelfde is. Bij het delen van de tienden zetten de leerlingen de komma in het quotiënt. De schatting vormt een erg zinvol controlemiddel bij deze bewerkingen. De leerlingen kunnen aan de hand hiervan controleren of ze de komma op de juiste plaats hebben gezet. De leerlingen kregen bij niet-opgaande delingen ook de opdracht om de waarde van de rest te bepalen. Naast de schatting gebruikten de leerlingen ook de zakrekenmachine als controlemiddel. In blok 6 van het vierde leerjaar controleerden ze het quotiënt van opgaande delingen ook door de omgekeerde bewerking uit te voeren. In het vijfde leerjaar maakten de leerlingen delingen met getallen tot 10 miljoen. In blok 3 deelden de leerlingen voor het eerst door een tweecijferig getal. Net als bij het delen door een getal kleiner dan tien stelden de leerlingen de vraag ‘Hoeveel keer gaat … in …?’.

93 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 93

17/08/12 13:33

Aanpak Inleiding

Cijferoefeningen worden vaak gepresenteerd in contextsituaties, om de praktische bruikbaarheid van cijferen te benadrukken. [afbeelding zWISo-box 6: ladderkaart les 7, blok 4, enkel de voorkant] In blok 1 herhaal je het cijferend delen van natuurlijke getallen en kommagetallen door een natuurlijk getal kleiner dan 1000. De leerlingen krijgen net als in de voorgaande jaren geregeld de opdracht om het resultaat van een deling te schatten. • Natuurlijke getallen en kommagetallen cijferend delen door een natuurlijk getal kleiner dan 1000.

• Een deling controleren door de gelijkheid deeltal = deler x quotiënt + rest te onderzoeken.

• Vlekkenopgaven oplossen.

D H T E 2 9 2 3 6 4 1 1

3 7 3 3 3 6 7 6 1 1

les 7 • ladderkaart 1

t h d

2 3 1 2 7 7 1

Mama morste kofﬁe op het huiswerk van Lieze. Vul de cijferoefeningen van Lieze aan. Geef bij de vermenigvuldiging de twee oplossingen. 4 5

. 3

4 5 6, 8 7 1 .

. 3

2 6, . .

3 . . 5

4 5

les 7 • ladderkaart 1

Schatting: 2937,33 : 23 ➞ 3000 : 20 = 150

3 . . 5

Van een deling is het quotiënt 52 en de rest 620. De deler is 827. Wat is het deeltal? ____________________

Quotiënt: 127,71

- Hoeveel keer gaat 23 in 29? - Hoeveel keer gaat 23 in 63? - … In een volgende fase behandelde de leerkracht ook delingen waarbij het getal gevormd door de eerste twee cijfers van het deeltal kleiner is dan de deler. Bij bijvoorbeeld de deling 16 814 : 67 stelden de leerlingen vast dat 16 kleiner is dan 67 en dat we dus 168 gaan delen door 67. Dit werd geïllustreerd aan de hand van een boogje. De cijferoefening werd dan uitgewerkt volgens het bekende cijferalgoritme.

Vul de tabel aan.

Als je het eerste getal deelt door het tweede en je telt het resultaat op bij het derde getal, dan bekom je telkens 100. Bijvoorbeeld: 1248 : 48 = 26 en 26 + 74 = 100

1248

914,4

127

__________

8330

__________

12 753

__________

45,5

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, zWISo-box

ZwisoBox_Fiches_6-4_ladder.indd 5

Blok 4

7 1 6 3 6 1 2 3 2 3 0

22/06/12 10:10

De verwoording van het cijferalgoritme blijft hetzelfde. Bij de bewerking 21 185 : 3 gaat dit als volgt: 2

8 5

1. Schrijf het deeltal en de deler en teken de lijnen.

2. Het is een deling dus begin links.

8 5

3. Hoeveel keer gaat 3 in 2? nul keer

3 2

4. Teken een boogje.

Het cijferend delen door een driecijferig getal werd analoog uitgewerkt. Bij een deling als 168,75 : 225 stelden de leerlingen vast dat het quotiënt kleiner zal zijn dan 1 omdat het deeltal kleiner is dan de deler. De schatting bevestigde deze vaststelling.

8 5

5. Hoeveel keer gaat 3 in 21?

3 7

6. Schrijf 7 bij het quotiënt.

7. Trek af bij de D.

De leerlingen maakten de omgekeerde bewerking om het resultaat van een deling te controleren. In tegenstelling tot in het vierde leerjaar, kwamen in het vijfde leerjaar ook niet-opgaande delingen aan bod. De leerlingen stelden hier vast dat deler x quotiënt + rest = deeltal.

1 0

8 5

8. Hoeveel keer gaat 3 in 1?

3 7 0

9. Schrijf 0 bij het quotiënt en maak de aftrekking.

1 0

Op het einde van het vijfde leerjaar rekenen de leerlingen voor het eerst de deling van een natuurlijk getal door een kommagetal al cijferend uit. Ze werkten de komma weg uit de deler door deeltal en deler te vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 (afhankelijk van het aantal decimalen in de deler). De deling 714 : 4,25 bijvoorbeeld werd 71 400 : 425. De leerlingen werkten deze deling dan uit volgens het bekende cijferalgoritme.

In het zesde leerjaar breiden we het cijferalgoritme voor delen uit tot getallen tot 10 miljard.

10. Hoeveel keer gaat 3 in 18? 11. Schrijf 6 bij het quotiënt.

12. Trek af bij de T.

13. Werk op dezelfde manier verder. 2

1 0

Zesde leerjaar

8 5

3 7

14. Het quotiënt is 7061. De rest is 2.

1 0 1

8 0 5 3 2

94 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 94

17/08/12 13:33

Les 7 • Cijferend delen 1

a twee jaar hard werken is de restauratie van het Atomium voltooid. De 6480 driehoekige aluminiumplaten zijn vervangen. Een ploeg van 48 werklieden heeft deze klus geklaard. Nu blinkt het Atomium als nooit tevoren. Hoeveel platen is dat gemiddeld per werkman?

Gebruikswijzer Bewerking: Schatting:

De schatting vormt een erg zinvol controlemiddel bij het cijferend delen met kommagetallen. De orde van grootte van de schatting geeft de leerlingen immers een indicatie of hun berekende resultaat kan kloppen en of ze de komma dus juist gezet hebben.

Naast het schatten gebruiken de leerlingen ook de zakrekenmachine en de omgekeerde bewerking (deler x quotiënt + rest = deeltal) om het resultaat van een deling te controleren. Antwoord:

De leerlingen krijgen ook steeds de opdracht om de waarde van de rest te bepalen. Ze kijken hiervoor naar het deeltal.

Tussen de bollen van het Atomium zijn er kokers met trappen, roltrappen en liften erin om je van de ene bol naar de andere te brengen. Zo is er een lift die je van de onderste bol in 23 seconden 102,84 m hoger brengt naar de hoogste bol. Hoeveel meter per seconde is dat? Bewerking: Schatting:

Deel tot alle cijfers gebruikt zijn.

Omgekeerde bewerking:

Bij een deling als 19,55 : 23 merken de leerlingen op dat het quotiënt kleiner dan 1 zal zijn omdat het deeltal kleiner is dan de deler. Ze noteren een nul en een komma bij het quotiënt en rekenen dan al cijferend uit. De verwoording bij deze oefening gaat als volgt: - Hoeveel keer gaat 23 in 19 (eenheden)? nul keer - We delen dus 195 door 23. Dit zijn 195 tienden. Hoeveel keer gaat 23 in 195? acht keer - … In blok 3 komen ook delingen waarbij deeltal en deler kommagetallen zijn aan bod. De leerlingen werken de komma weg uit de deler door deler en deeltal te vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000. De manier waarop deze operaties op factoren worden aangepakt, wordt beschreven bij Hoofdrekenen. Bij dergelijke bewerkingen geef je de leerlingen eens de opdracht om te schatten bij de oorspronkelijke bewerking en bij de bewerking waarbij de deler een natuurlijk getal is. De leerlingen stellen dan vast dat het quotiënt van beide schattingen hetzelfde is.

Antwoord:

Het uitvoeren van deze controles is een attitude die we de leerlingen willen bijbrengen. Deze geven de leerlingen immers een indicatie van de correctheid van hun berekende resultaat en dragen dus bij tot de praktische bruikbaarheid van cijferen. Door de leerlingen deze controlemechanismen aan te reiken kunnen we hen cijferoefeningen op een doordachtere manier laten aanpakken. Hou bij het controleren van cijferoefeningen met de zakrekenmachine rekening met de werking van de gebruikte zakrekenmachines. Sommige zakrekenmachines ronden het kommagetal af terwijl andere gaan afkappen. Schenk hier indien nodig aandacht aan bij de bespreking van de cijferoefening. We geven leerlingen geregeld de keuze tussen hoofdrekenen en cijferen. Op deze manier schenken de leerlingen bewust aandacht aan het kiezen van de oplossingsstrategie die het meest past bij de oefening in kwestie en bij hun getalinzicht. In het zesde leerjaar zijn er immers al grotere niveauverschillen tussen de leerlingen. Het is bij sommige oefeningen dan ook onmogelijk om voor alle leerlingen samen te bepalen of een bewerking uit het hoofd of cijferend moet worden uitgerekend. Let op! Van bepaalde oefeningen die deel uitmaken van het basistraject blijven we verwachten dat ze uit het hoofd uitgerekend worden. Het is belangrijk dat ook de zwakkere leerlingen kunnen rekenen met ronde getallen. Deze vaardigheid is immers essentieel voor hun latere functioneren in de samenleving.

95 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 95

17/08/12 13:33

Inleiding Aanpak

Breuken

Na een aantal oefeningen formuleerden de leerlingen het besluit dat je telkens breuken met dezelfde noemers zoekt en dan de tellers optelt/ aftrekt. Net als in het vierde leerjaar vertrokken we van een betekenisvolle situatie.

• Breuken optellen en aftrekken Beginsituatie In het vierde leerjaar losten de leerlingen optellingen en aftrekkingen van gelijknamige breuken op met behulp van de breukendoos. Na een aantal opdrachten met de breukendoos stelden ze vast dat je breuken met dezelfde noemers optelt/aftrekt door de tellers op te tellen/af te trekken en de noemer te behouden.

De leerkracht stimuleerde de leerlingen om het gebruik van de breukendoos achterwege te laten. Leerlingen die deze bewerkingen nog moeilijk vonden mochten wel steeds teruggrijpen naar dit concreet materiaal.

Zesde leerjaar

In het vijfde leerjaar maakten de leerlingen ook optellingen en aftrekkingen met ongelijknamige breuken. Ze stelden deze bewerkingen ook voor met behulp van de breukendoos.

In blok 2 herhaal je het optellen en aftrekken van breuken. De leerlingen verwoorden hier nog eens dat je breuken kunt optellen of aftrekken door de breuken gelijknamig te maken en dan de tellers op te tellen of af te trekken. Je benadrukt dat leerlingen telkens goed naar de breuken moeten kijken en moeten vereenvoudigen indien mogelijk. In deze les maken de leerlingen ook optellingen en aftrekkingen met breuken groter dan 1.

Bij de optelling 1 + 2 bijvoorbeeld legden ze de 2 5 strook van 1 en legden die van 2 er achter. 2 5 Door een lat verticaal achter de twee stroken te leggen konden ze de som 9 aflezen. 10 Ze noteerden de optelling ook als 5 + 4 = 9 10 10 10 en omcirkelden de gelijkwaardige breuken.

In het zesde leerjaar wordt de breukendoos hoofdzakelijk ingezet als differentiatiemateriaal. We adviseren voor dit leerjaar de aankoop van een vijftal breukendozen. Het is zeker zinvol om met leerlingen die bewerkingen met breuken moeilijk vinden, af en toe terug te grijpen naar dit concrete materiaal.

Voor een uitgebreid overzicht van hoe de leerlingen optellingen en aftrekkingen met breuken voorstelden met de breukendoos kun je terecht in de gebruikswijzer van het vierde leerjaar.

Je kunt het werken met de breukendoos altijd illustreren met de klassikale breukendoos in de Leerkrachtassistent van het zesde leerjaar (zie Materialen - Leerkrachtmateriaal - Digitale materialen).

1 11 22

2 5

1 3 1 4

Bij het optellen of aftrekken van een kommagetal en een breuk mogen de leerlingen kiezen hoe ze dit oplossen: een optelling/aftrekking van twee kommagetallen of van twee breuken. Voor meer informatie over hoe de relatie tussen breuken, kommagetallen en percentages wordt aangepakt, zie pagina 70.

1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10

Les 19 • Breuken optellen en aftrekken

Het vakjesspel

Blok 6

1 Doel: Vorm een geheel met breuken, percentages en kommagetallen.

1 11

Jan spaart voor een computerspel. Hij heeft al 2 van het bedrag gespaard. Twee maanden 5 later heeft hij nog eens 1 gespaard. Mama zegt dat zij de rest zal betalen. 4 Welk deel heeft Jan gespaard? Welk deel zal mama betalen?

Je speelt dit spel alleen of met z’n tweeën. Er is geen winnaar of verliezer. • Kies een breuk of percentage uit rooster 1. • Zoek in rooster 2 een breuk, een percentage of een kommagetal dat samen met je gekozen getal 1 vormt. Je mag meerdere breuken, kommagetallen en/of percentages uit rooster 2

1 12

combineren om 1 te maken. Noteer je bewerkingen op het kladblad.

Antwoord:

• Doorstreep de gebruikte getallen in rooster 2.

Het spel is gespeeld als je geen geheel meer kunt vormen.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Eerst vereenvoudigen. Reken uit. Vereenvoudig het resultaat als het kan.

ROOSTER 1 1 5

1 3

25 %

1 2

50 %

1 4

1 10

1 8

10 %

1 6

De getallen uit rooster 1 mag je meer dan één keer gebruiken.

ROOSTER 2 1 2

0,2

2 3

40 %

1 10

0,75

1 6

12,5 %

0,5

4 9

1 3

25 %

30 %

0,75

1 6

0,15

7 8

20 %

35 %

1 3

5 9

3 5

6 8

75 %

2 10

2 6

4 6

8 10

0,9

40 %

2 5

5 6

0,9

40 %

0,6

1+ 1= 4 6

7 +1= 10 2

5+1= 6 4

2-2= 5 8

1- 4 = 6

6-1= 9 5

2- 1 = 7

12 + . = 1 15 .

Reken uit. Vul de tabellen in. Vereenvoudig als het kan. +

1 + 2 = 9 2 5 10 5 + 4 = 9 10 10 10

5 8

1 2

5 8

1 2

5 8 1 4

Noteer hier je bewerkingen.

5 8 3 4

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 6, les 13

96 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 96

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

Het optellen en aftrekken van breuken wordt geregeld ingeoefend aan de hand van allerlei oefenvormen: vraagstukken, eerder formele oefeningen, rekenspellen, …

Na het maken van een aantal gelijkaardige bewerkingen die telkens worden voorgesteld op een lijnstuk herhaal je dat je bij het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal de teller vermenigvuldigt met het natuurlijk getal en de noemer behoudt.

• Vermenigvuldigen met breuken Een breuk vermenigvuldigen met een breuk Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal en omgekeerd

Het vermenigvuldigen van twee breuken komt aan bod in blok 5 van het zesde leerjaar. Je vertrekt van een betekenisvolle situatie.

Beginsituatie In het vijfde blok van het vijfde leerjaar kwam het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal voor het eerst aan bod. De leerkracht gaf de volgende situatie aan: ‘De twee kinderen van de familie Hermans eten elk 3 van een pizza. Welk 8 deel van de pizza eten ze op?’. De leerlingen stelden dit voor met de breukendoos en tekenden dit op een lijnstuk. Naast de optelling 3 + 3 koppelden ze 8 8 hier ook de vermenigvuldiging 2 x 3 aan. 8

2x3 3 + 3 =2x 3 = 6 8 8 8 8

De leerlingen schetsen de situatie op een strook en koppelen hier de bewerking 1 van 1 = 1 x 4 3 4 1 en eventueel ook de deling 1 :4 aan.

3 8

6 8

Na een aantal gelijkaardige oefeningen formuleerden de leerlingen het volgende besluit: om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, vermenigvuldig je de teller met het getal en behoud je de noemer.

Na het maken van een aantal gelijkaardige bewerkingen vergelijk je bij elke vermenigvuldiging de tellers van de factoren en de teller van het product. Je doet hetzelfde voor de noemers. De leerlingen verwoorden tijdens dit klasgesprek hun vaststellingen. Het is niet de bedoeling om formele besluiten te trekken.

In deze les noteerden de leerlingen bijvoorbeeld 1 van 12 ook als 1 x 12 en stelden ze vast de 4 4 wisseleigenschap ook geldt bij het vermenigvuldigen van een breuk en een natuurlijk getal.

Zesde leerjaar

• Delen met breuken In het zesde leerjaar komt het vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal voor het eerst aan bod in blok 2. De leerlingen krijgen de opdracht om bij een schematische voorstelling op hun Doe!-blad de bijbehorende bewerking te noteren.

Een breuk delen door een natuurlijk getal Beginsituatie In blok 6 behandelde de leerkracht van het vijfde leerjaar voor het eerst het delen van een breuk door een natuurlijk getal. Ook hier werd er vertrokken van een betekenisvolle situatie, namelijk de aanleg van een sportcomplex waarbij het terrein verdeeld wordt. De leerlingen stelden de bewerkingen voor op een strook. Bij de deling 1 : 4 bijvoorbeeld gaven de 3 leerlingen 1 aan op een strook en verdeelden de 3 strook vervolgens in vier gelijke delen.

Aan de voorstelling op de eerste getallenlijn koppelen ze naast de optelling 1 + 1 + 1 + 1 + 3 3 3 3 1 + 1 ook de vermenigvuldiging 6x 1 . 3

1 12

97 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 97

17/08/12 13:33

Aanpak

De leerlingen stelden ter controle de deling voor met de breukendoos. Ze legden de strook van 1 3 op het breukenbord en keken vervolgens naar de verdelingen op het bord. In het vijfde leerjaar werden geen formele besluiten getrokken over het delen van een breuk door een natuurlijk getal. De leerlingen verwoordden de vaststellingen op hun eigen manier en mochten steeds de breukendoos gebruiken of de situatie schetsen op een strook. Hier bouwen we in het zesde leerjaar op voort.

Je geeft de volgende situatie aan:’ Tijdens de pauze deelt de trainer bekertjes water uit. In elke beker giet hij 1 liter. Hoeveel bekers kan hij vullen met 5 1 liter?’. De leerlingen stellen zich bij dit probleem de vraag hoeveel keer 1 in 1 gaat. Ze stellen dit voor 5 met bogen op de getallenlijn en komen tot de bewerking 1 : 1 = 5. Het bordschema dat je 5 opbouwt ziet er als volgt uit:

Zesde leerjaar De leerlingen stellen, net als in het vijfde leerjaar, een deling van een breuk door een natuurlijk getal voor op een strook. Bij de bespreking schik je de delingen in twee kolommen: een kolom met delingen waarvan de teller van de breuk deelbaar is door het natuurlijk getal en een tweede kolom met delingen met breuken waarvan de teller 1 is of de teller niet deelbaar is door het natuurlijk getal. De leerlingen vullen na een klassikale bespreking het besluit op hun Doe!-blad aan: Als de teller deelbaar is, deel ik de teller door het getal en de noemer blijft hetzelfde. Als de teller niet deelbaar is, vermenigvuldig ik de noemer met dat natuurlijk getal.

Het is zeker niet de bedoeling dat de leerlingen een algemeen besluit formuleren. We pakken dit inzichtelijk aan en laten de leerlingen hun vaststellingen verwoorden.

Les 13 • Delen door een breuk 1

Trainer Tim verpakt 5 kg letterkoekjes in zakjes van

Gebruik een getallenlijn of maak een schets.

1 kg. Hoeveel zakjes kan hij vullen? 10

Antwoord:

2 Ik heb al 1 van mijn groentetuin omgespit. 4 Tijdens het weekend wil ik het overige deel omspitten. Ik wil op zaterdag en zondag evenveel omspitten. Welk deel moet ik zaterdag omspitten?

Antwoord:

Tante Mia heeft 5 kg kofﬁebonen gekocht. Ze vult zakjes van 1 kg. Hoeveel zakjes kan ze vullen? 4 Antwoord:

De familie Janssens koopt een groot blok marsepein. De marsepein wordt verdeeld onder mama, papa, Pieter en Laure. Laure deelt haar stuk met twee vriendinnen. Welk deel van het grote blok marsepein houdt Laure voor zichzelf?

Het verjaardagsfeestje van Anne is voorbij. Van de laatste taart is 3 opgegeten. Anne geeft de rest 5 van de taart aan oma en opa. Oma en opa verdelen de taart eerlijk onder hun tweetjes. es. Welk deel van de hele taart eet opa?

Antwoord:

Bord (vervolg) Oefening 3

5 :5= 6 4 :2= 7 6 :3= 9

5 :5= 1 6 6

1 6 2 7 2 9

1 :2= 5 1 :3= 2 1 :4= 4

1 10 1 6 1 16

2 :5= 2 3 15

1 :3= 1 2 6

Een natuurlijk getal delen door een breuk Een andere nieuwe inhoud binnen de leerlijn bewerkingen met breuken is het delen van een natuurlijk getal door een breuk. We beperken ons tot het delen door een stambreuk. Bij deze delingen werken we met de verhoudingsdeling. De leerlingen gaan telkens na hoeveel keer de stambreuk (deler) in het natuurlijk getal (deeltal) gaat.

98 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 98

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

Meten

Lengte, inhoud en gewicht Beginsituatie In het vierde leerjaar werden de lengte-, inhouds- en gewichtsmaten verder uitgebreid. De maateenheden millimeter, milliliter en ton werden geïntroduceerd.

in de verschillende meetdomeinen verder uitbouwen en vastzetten. Het eerste blok van het zesde leerjaar bijvoorbeeld heeft drie aaneensluitende lessen meten. In de eerste twee lessen voeren de leerlingen verschillende meetopdrachten uit. De domeinen lengte, inhoud, gewicht en geld komen aan bod in dit meetcircuit. Lessen 13 en n 14 • Meetciircuit len ngte, inhoud,

gewichtt en geld

Leng Le gte

In nhou ud

Be epaal je e li lichaamsle engte en je armsp pan n. Vu Vull de tab a el in. Reken uit. in cm

in m

Giet nu 2 liter water in de kom/vaas.

lichaamslengte (l)

In het vijfde leerjaar introduceerden we geen nieuwe maateenheden meer. Wel kregen de leerlingen geregeld de opdracht om de lengte, de inhoud of het gewicht van voorwerpen te schatten en te vergelijken en om herleidingen te maken.

Kruis aan. Het water staat

armspan (a)

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar worden, net als in het vijfde leerjaar, geen nieuwe maateenheden voor lengte, inhoud en gewicht geïntroduceerd. Wel zijn er geregeld lessen en oefeningen waarin we het inzicht

Mijn schatting is

te veel.

de streep.

ongeveer juist.

boven

a:l=

Vergelijk het quotiënt met dat van je groepsleden. Wat merk je op?

te weinig.

Neem m de ta aartvorm. Sch hat de e inhoud. Kruis aan. minder dan 1 l

juist 1 l

meer dan 1 l

Controleer met de maatbeker. Mijn schatting is

Mee et de aang aange gegev ven lengten.

te veel. ongeveer juist.

e v

Totale lengte (opdracht 1) (l)

Afstand hoofd tot vingertop (v)

Afstand hoofd tot elleboog (e)

Afstand navel tot je voeten (n)

te weinig.

Vul aan. In de emmer kan ongeveer 10 liter. Neem de mand/het kinderbad. Schat hoe hoog het water komt als je één emmer leeggiet in de mand/

het kinderbad. Duid aan met een streepje. Controleer. l:v=

v:e=

l:n=

Schat nu hoeveel liter water er in totaal in de mand/het kinderbad kan.

liter

Kun je een gevulde mand/kinderbad alleen verplaatsen?

Meet de omtrek van a je je hoofd en bepaal je hoedmaat.

Waarom (niet)? Hoofdomtrek in cm

52-53

54-55

De omtrek van mijn hoofd meet

Leerlingen kregen ook geregeld de opdracht om de juiste maat te kiezen bij een bepaalde meting, om meetresultaten op verschillende manieren te noteren en om lengten/gewichten/inhouden samen te stellen, … De oefeningen in het schatten van lengte, inhoud en gewicht kwamen hier zeker van pas.

onder op

Letteraanduiding/maat

Bij het herleidingen verwoordde de leerkracht van het vijfde leerjaar zorgvuldig het verband tussen maateenheid en maatgetal. De opdracht 5,4 dm = … cm verwoordden de leerlingen als: ‘De maateenheid wordt tien keer kleiner, dus het maatgetal wordt tien keer groter.’ De leerlingen kregen ook geregeld de opdracht om bijvoorbeeld 5,4 dm te lezen als 5 dm 4 cm. Hierbij noteerden ze de maat eventueel in de tabel met de lengtemaateenheden. In het vierde leerjaar gebruikten de leerlingen stroken bij het maken van herleidingen. Ze noteerden bijvoorbeeld 5,4 in een positieschema en legden een strookje met de lengtemaateenheden boven dit schema. Ze legden het strookje zo dat dm boven E stond. Zo konden ze aflezen uit hoeveel decimeter en hoeveel centimeter de lengte 5,4 dm bestaat. Een van de belangrijkste kenmerken van zWISo is dat de leerlingen steeds een stap terug mogen zetten in het didactisch proces. Leerlingen die nog problemen hebben met het maken van herleidingen mochten dus in het vijfde leerjaar nog werken met de tabellen en de stroken. Hierbij is het wel belangrijk om de relatie tussen de maateenheden steeds te verwoorden. Het blijft immers de bedoeling om het werken met de stroken na verloop van tijd achterwege te laten.

Neem em de do doorzichtige ge kom/vaas. Sch hat tot welk lke hoo oogt gte e twee liter kom mt. Zet een streep aa a n de bu buitenka kant.

58-59

60-61

62-63

64-65

XXL

XXXL

cm. Dit komt overeen met

Euro ropese schoenm maat

11 12 1 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 32 17 18 19 9 20 2 21 23 24

2 29 28

Bereken: 3 x (voetlengte + 1,5 cm) 2

33 34

36 6

Neem het e eierd rdopje en schat de inhoud. d

Meett de lengte te van je vo voet. Omcirkel. Welke schoenmaat stemtt daarmee e overeen?? Omcirk rkel. V etleng Vo ngte in ce entimete er

56-57

38 39 40 41 42 43 44 4 45 46 47 48 8

Ik schat

cl.

Controleer door een ﬂes ﬂes van 0 0,5 l te vullen met je eierdopje. 0,5 l =

cl = inhoud van

inhoud van 1 eierdopje =

Noteer het resultaat in cl tot op een tiende nauwkeurig.

eierdopjes cl =

Het bekomen getal zou jouw schoenmaat moeten zijn. Klopt dat?

23 2 3

In de les die daarop volgt herhaal je bij de bespreking van de resultaten van de leerlingen de verschillende maateenheden. Je maakt ook enkele herleidingen om het verband tussen de verschillende maateenheden te verankeren. Hierbij is het belangrijk om, net als in de vorige leerjaren, voldoende aandacht te schenken aan de relatie tussen de maateenheden en de maatgetallen. Bij de herleiding 325 mm = … dm geven de leerlingen aan dat de maateenheid honderd keer groter wordt en het maatgetal dus honderd keer kleiner. Het verband stel je voor aan de hand van pijlen.

Leerlingen moeten, net als in de voorgaande leerjaren, geregeld de juiste maat kiezen bij een bepaalde meting, meetresultaten op verschillende manieren noteren, lengten/gewichten/inhouden samenstellen, … Door deze oefeningen wordt het inzicht in (de verhouding tussen) de verschillende maateenheden opgebouwd. Dit ‘maatgevoel’ is erg belangrijk om problemen in het leven van alledag het hoofd te kunnen bieden. Doorheen heel de methode werken we met zorgvuldig gekozen referentiematen. Die worden vanaf het eerste leerjaar ingevoerd en blijven dezelfde tot en met het zesde leerjaar, zodat ook bij meten de doorgaande lijn gegarandeerd wordt. Het is dus belangrijk om samen met je collega’s de referentiematen te bekijken. Die moeten steeds zichtbaar zijn in de klas. Je kunt hiervoor een bepaalde hoek van de klas aankleden

99 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 99

17/08/12 13:33

Aanpak

Les 1 • Hellingspercentage

als meethoek. De referentiematen in de handleiding zijn slechts voorstellen. Je kunt uiteraard ook andere voorwerpen - die eventueel prominent aanwezig zijn in de schoolomgeving - als referentiematen gebruiken. We raden je dan wel aan deze maten voor de hele lagere school aan te passen.

samen met de leerlingen de betekenis van 1 hellingspercentages. De leerlingen verwoorden de betekenis van een stijgingspercentage van 7 % als volgt: ‘Als je 2100 m rijdt, dan stijg je 7 m.’ De km leerlingen stellen dit ook voor in een verhoudingstabel en tekenen de situatie op schaal in hun werkboek. Vul aan en omcirkel.

Als je

m rijdt,

stijg/daal je

Referentiematen die aan bod komen in het zesde leerjaar van zWISo zijn:

Als je

m rijdt,

stijg/daal je

Als je

m rijdt,

stijg/daal je

Neem de stok waarop 1 m is aangegeven en het satéstokje of het rietje. Bouw telkens de helling. Teken dan de constructie na op schaal 1 : 5. Meet de hoek. Vul de tabel aan.

a 7%

Lengte 1 mm

1 cm

1 dm

dikte breedte lengte vingernagel vingernagel handpalm afstand tussen buitenhoeken ogen

lengte nietje

1 km

meterstok

van school tot …

breedte deur of grote stap

De gevormde hoek meet

hoogteverschil

afgelegde weg

100 m

10 m

50 cm

70 cm

Gewicht 1g

100 g

1 kg

gewicht kauwgom

gewicht 4 kleine plakjes kaas

gewicht pak suiker of

gewicht pak zout

De begrippen bruto, netto en tarra die geïntroduceerd werden in het vierde leerjaar, worden ook ingeoefend met vraagstukken. De verhouding tussen bruto, tarra en netto stellen we voor aan de hand van een schema met drie stroken: bruto netto

Inhoud 1 ml x druppels (afhankelijk van de druppelteller)

1 cl

inhoud eetlepel

1 dl

inhoud flesje yoghurtdrank

1l inhoud brik melk of

inhoud fles water

De deeldomeinen lengte, inhoud en gewicht komen geregeld voor in vraagstukken. Om die op te lossen mogen de leerlingen gebruik maken van de verhoudingstabel. Belangrijk om hierbij op te merken is dat de labels die in de eerste kolom van de tabellen op de bordschema’s en in de correctiesleutel staan slechts voorstellen zijn. De leerlingen mogen dit ook anders omschrijven. We stimuleren de leerlingen ook om indien nodig een schets te maken. Ook om vraagstukken op te lossen met vreemde maten als mijl, pond… mogen de leerlingen de verhoudingstabel gebruiken. Als toepassing op het domein lengte en op het werken met percentages onderzoek je in blok 6

tarra

Op deze manier krijgen de leerlingen een visuele voorstelling van de verhouding tussen bruto, tarra en netto waarop ze steeds kunnen terugvallen. Dit schema staat ook in de zWISo-wijzer. Binnen het domein lengte behandel je ook het begrip omtrek. In het vijfde leerjaar bepaalden de leerlingen de omtrek van figuren door alle zijden te meten of door gebruik te maken van de eigenschappen van de zijden van een figuur. In het vijfde leerjaar werd de omtrekberekening van vierhoeken systematisch besproken. Het bordschema van deze les zag er als volgt uit: Bord vier gelijke zijden

juist twee gelijke zijden

vierkanten

trapezium

ruiten

Omtrek: 4 x zijde

Omtrek: 2 x zijde + ... + ...

twee paar gelijke zijden

zonder gelijke zijden

21 23

rechthoek parallellogram vlieger Omtrek: 2 x zijde + 2 x zijde

vierhoek Omtrek: ... + ... + ... + ... som van de zijden

100 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 100

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

Les 14 • Lijnschaal en breukschaal

In het zesde leerjaar bouwen we hierop voort. De leerlingen worden, net als in het vijfde leerjaar, gestimuleerd om bij het bepalen van de omtrek van vierhoeken gebruik te maken van de eigenschappen van de figuur. Om bijvoorbeeld de omtrek van een ruit te bepalen meten ze de lengte van één zijde en vermenigvuldigen ze deze met vier.

lijn- als breukschalen. De leerlingen verwoorden de schaal consequent als ‘1 cm op de kaart/tekening is in werkelijkheid x cm’. Ze krijgen de opdracht om de werkelijke afstand te Blok 3 Lesde 22 In blok 3 behandel je de omtrek van cirkel. bepalen, de afstand op • DeDe cirkel en pi leerlingen werken in de tekening te bepalen groepen en bepalen de en bij een gegeven Meetkaart Meetkaart omtrek van een werkelijke lengte en een Het voorwerp: Het voorwerp: cirkelvormig voorwerp gegeven lengte op de kaart de schaal af te leiden. Meet de omtrek. met een lintmeter of een Meet de omtrek. De omtrek is cm. De omtrek is cm. touw. Vervolgens meten In blok 4 pakken de leerlingen ook een probleem aan Meet de diameter. ze ook de diameter en waarbij de vergroting is uitgedrukt in een percentage. Meet de diameter. De diameter is cm. De diam eter onderzoeken is delen ze de omtrek door Ze wat er gebeurt met het aantal pagina’s cm. Deel nu de omtrek door de diameter. Ze vullen van een boek als je de letters 200 % vergroot. De de diameter. Deel nu de omtrek door de diameter. bewerking: : bewerking hun resultaten in op leerlingen tekenen hiervoor enkele letters op schaal : : Noteer het quotiënt tot op een honderdste. Noteer het quotiënt tot op een hond erdst Het quotiënt is e. omtrek is verdubbeld en dat de een meetkaart. en stellen vast dat de . Het quotiënt is ✂ . letters vier keer zo groot geworden zijn. Ze verwoorden Meetkaart Meetkaart De resultaten van de vervolgens op hun eigen niveau dat het boek ongeveer Het voorwerp: leerlingen vat je samen in een tabel. Op basis van de Het voorwvier erp: keer zoveel bladzijden zal bevatten. metingen van allerlei cirkelvormige voorwerpen van Meet de omtrek. Meet de omtrek. omtrek is verschillende grootte stel jeDevast dat het cm. resultaat van De omtreIn leerjaar kozen we er bewust voor om k is het vierde cm. de deling van de omtrek door dediame diameter telkens het begrip snelheid niet te eng te benaderen en Meet de ter. Meet de diameter. De diameter is cm. je π. In de ongeveer 3 is. Op deze manier introduceer ons niet te beperken tot de relatie afstand en tijd. In De diameter is cm. methode hanteren we steedsDeel 3,14 als de waarde verschillende activiteiten ondervonden de leerlingen nu de omtrek door de diameter. Deel nu de omtrek door de diameter. bewerking: van π. het verband tussen het aantal handelingen en de duur : bewerking: : Noteer het quotiënt tot op een honderdste. Noteer het(bijvoorbeeld: Stel de omtrek en de diameter van een cirkelvormig quotiënt tot op een hondHoeveel sprongen kun je maken in 15 erdste. Het quotiënt is . Het quotiënt is voorwerp vervolgens ook voor op het bord met seconden? In . 60 seconden?). Op deze manier kreeg lijnstukken. Merk op dat het korte lijnstuk (de het begrip snelheid voor hen een rijke invulling. 3-15 diameter) ongeveer drie keer in het lange lijnstuk (de In het vijfde en zesde leerjaar gaat het vooral over de omtrek) gaat. Het bordschema van deze les ziet er als meest voorkomende invulling van snelheid, namelijk volgt uit: de afstand per tijdseenheid. De leerlingen maken kennis met verschillende eenheden: km/uur, m/sec., m/uur, mijl/uur en knopen. 1

Vul in.

Schaal 1/100 000 of 1 : 100 000 betekent: 1 cm op de kaart is in werkelijkheid m of

km.

Bereken de werkelijke afstand in vogelvlucht tussen beide parkeerplaatsen. afstand op de kaart

afstand in werkelijkheid

Beide parkeerplaatsen liggen in werkelijkheid

1 cm

uit elkaar.

Omcirkel. Als we deze afstand te voet afleggen, moeten we minder ver / even ver / verder gaan. Hoe komt dat?

Bij dit plan hoort de volgende lijnschaal:

De afstand tussen Kortrijk en Oudenaarde is in vogelvlucht 24 km. Wat is de afstand op het plan als de volgende lijnschaal is gegeven?

4 km

afstand op de kaart

afstand in werkelijkheid

Op de kaart liggen de twee steden in vogelvlucht op een afstand van

uit elkaar.

Vul aan.

1 cm op de kaart is in werkelijkheid

✂

De breukschaal is 1 :

km of

m of

cm.

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 3, les 22

Les 20 • Vraagstukken: snelheid 1

Wat is telkens de g gemiddelde snelheid in km per uur? Reken uit en vul in. Ik reed met een gemiddelde snelheid van 250 km per uur.

Ik liep 100 m in 12 seconden.

afstand tijd

Antwoord:

Ik heb 20 minuten gereden over een afstand van 17 km.

afstand tijd

Antwoord:

Een Formule 1-piloot rijdt met een gemiddelde snelheid van 250 km per uur. Hij legt een afstand af van 1150 km. Hoelang deed hij over die afstand? afstand tijd Antwoord:

Lees de gegevens bij het vliegtuig. Kan dit vliegtuig 15 uur in de lucht blijven? Reken uit en vul in. Teken een verhoudingstabel of neem een blad. Airbus A340 Motoren: 4 Aantal stoelen: 335 Bemanning: 2 piloten Vliegbereik: 13 600 km Snelheid: 910 km/uur

Door de leerlingen zelf de waarde van pi te laten ontdekken bouwen ze de formule voor de omtrekberekening van een cirkel inzichtelijk op. Het begrip schaal werd in het vierde leerjaar geïntroduceerd en wordt in het vijfde en zesde leerjaar verder uitgediept. We behandelden zowel

Antwoord:

In blok 6 voorzien we ook in een les waar de leerlingen een grafiek waarop het verloop van een route (de afgelegde weg en de tijd) is aangegeven interpreteren.

101 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 101

17/08/12 13:33

Aanpak

De leerlingen lossen vraagstukken op over snelheid en schaal met de verhoudingstabel. Ze noteren eerst de gegevens en het gevraagde in de verhoudingstabel. De tussenstappen noteren ze in de kolommen die daarop volgen.

Tijdens de lessen over oppervlakte gebruikten de leerkrachten van het vierde en het vijfde leerjaar geregeld een klassikaal spijkerbord van 1 m² dat is onderverdeeld in 100 dm². De leerlingen werkten met een kleiner spijkerbord waarop ze figuren kunnen vormen. Door daarop verschillende figuren te vormen leerden ze dat figuren met dezelfde oppervlakte een verschillende vorm kunnen hebben.

Oppervlakte Beginsituatie In het vierde leerjaar werden de oppervlakte maateenheden m², dm² en cm² geïntroduceerd. In het vijfde blok van leerjaar 5 werd hier km² aan toegevoegd. De leerlingen werkten met een stadsplattegrond en een transparant vierkant (een vierkante kilometer op de schaal van de gebruikte plattegrond). Zo kunnen ze zich goed voorstellen hoe groot een vierkante kilometer is. Het spreekt voor zich dat je voor deze activiteit best een plattegrond van de omgeving gebruikt. De leerkracht behandelde uitvoerig het verband tussen de verschillende maateenheden. Aan de hand van een vierkante meter die is onderverdeeld in 100 vierkante decimeter (op de achterzijde van het klassikale spijkerbord) illustreerde hij bijvoorbeeld het verband 1 m² = 100 dm². Bij herleidingen werkten de leerlingen in de eerste fase nog met concreet materiaal. Om het aantal dm² in een halve m² te bepalen bedekten ze een halve vierkante meter met stroken van telkens 10 dm². Zo leerden ze dat 0,5 m² = 50 dm². Op deze manier kregen de leerlingen inzicht in het verband tussen de oppervlaktemaateenheden. De leerlingen noteerden de oppervlaktematen ook in het positieschema. Zo stelden ze vast dat bijvoorbeeld bij 0,10 m² het deel voor de komma (0) het aantal vierkante meter aangeeft en het deel na de komma (10) het aantal vierkante decimeter. Het positieschema bij deze herleiding zag er als volgt uit:

m² T

In een volgende fase werden de getallen niet meer in het positieschema genoteerd. De leerlingen stelden het verband tussen de maateenheden en het verband tussen de maatgetallen voor aan de hand van pijlen. Ze verwoordden dit ook als: ‘Als de maateenheid honderd keer kleiner wordt, dan wordt het maatgetal honderd keer groter.’

Het spijkerbord werd ook ingezet om de formules voor de oppervlakteberekening van een parallellogram en een driehoek inzichtelijk op te bouwen. Zo stelden de leerlingen vast dat de oppervlakte van een parallellogram dezelfde is als die van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte en dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft van de oppervlakte van een rechthoek met eenzelfde basis en hoogte. In het vijfde leerjaar bepaalden de leerlingen ook voor het eerst de oppervlakte van niet-veelhoeken. Hiervoor werden verschillende strategieën aangereikt: werken met een rooster (centimeterpapier), omstructureren en veelhoeken in of rond de figuur tekenen waarvan de oppervlakte wel berekend kan worden. Ook bij het bepalen van de oppervlakte van veelhoeken verdeelden de leerlingen de figuur in veelhoeken waarvan ze de oppervlakte wel kunnen berekenen of gingen ze omstructureren. In blok 4 van het vijfde leerjaar werden de landmaten hectare, are en centiare geïntroduceerd. Hierbij werd gewezen op het verband tussen de landmaten enerzijds en het verband tussen landen oppervlaktematen anderzijds. In blok 7 van leerjaar 5 bepaalden de leerlingen ook de oppervlakte van ruimtefiguren. Ze verknipten of beplakten een verpakking en bepaalden vervolgens de oppervlakte van de verschillende zijvlakken.

Zesde leerjaar

dm² E

In blok 2 worden de gekende oppervlaktemaateenheden herhaald met veel aandacht voor referentiematen.

0,10 m² = 0 m² 10 dm² = 10 dm²

102 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 102

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

De referentiematen voor oppervlakte zijn: 1 cm²

1 dm²

1 m²

1 km²

grootte vingernagel

grootte handpalm

grootte zijbord

grootte afgesproken gebied van je stad/dorp

Door referentiematen te gebruiken krijgen de leerlingen een goed beeld van de grootteorde van een eenheid en van de verbanden tussen de verschillende eenheden. In blok 2 gebruik je opnieuw het klassikale spijkerbord (zie Beginsituatie). Hierop illustreer je dat 1 m² = 1 dm² en dat 1 dm² = 1 m². 3 100 Het verband tussen dm² en cm² illustreer je op een vierkant van 1 dm². Vanuit bovenstaande verbanden leid je af dat 1 m² = 10 000 cm².

parallellogram volgens de getekende hoogte en vormen een rechthoek met de twee stukken. Op deze manier ervaren ze nogmaals dat de oppervlakte van een parallellogram dezelfde is als die van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte. Je herhaalt hierbij de formule b x h. Bij de activiteit in verband met de oppervlakte van een driehoek werken de leerlingen ook met uitgeknipte figuren. Ze vormen een parallellogram met twee identieke driehoeken. Hierbij verwoorden ze op hun niveau dat de oppervlakte van de driehoek de helft is van de oppervlakte van het parallellogram met dezelfde basis en hoogte. Hierbij herhaal je de formule (b x h) : 2.

Vul in.

. .

35 dm² =

9 dm² =

. .

m² =

m²

m² =

. .

20 dm² =

m²

. .

0,4 m² =

m² =

m²

dm²

Kleur 25 cm², 6 cm², 10 cm² en 0,13 dm² op de getekende dm². Gebruik telkens een andere kleur en begin bij een nieuwe lijn.

Vul in. . .

25 cm² =

6 cm² =

. .

10 cm² =

0,13 dm² =

dm² =

. .

dm²

dm² =

. .

dm² = . dm² .

dm² =

dm²

cm²

Vul in.

Bij herleidingen let je op een zorgvuldige verwoording. De herleiding 35 dm² = … m² verwoord je als volgt: de maateenheid wordt honderd keer groter; dus het maatgetal wordt honderd keer 9kleiner. 12,56 m² =

m²

2648 dm² =

7,5 m² =

m²

dm²

18 cm² = 0,18

0,02 dm² =

208 cm² =

cm²

dm²

cm²

In een eerste fase laat je de leerlingen dit nog voorstellen met stroken en losse dm². Ze stellen op deze manier vast dat 35 dm² 35 x 1 dm² of 35 x 0,01 m² is. Het is wel de bedoeling om het werken met stroken zo snel mogelijk achterwege te laten.

Let op! De formules voor de oppervlakteberekening van parallellogrammen en driehoeken hoeven niet gekend te zijn volgens de leerplannen van OVSG en GO. Leerlingen van deze netten bepalen de oppervlakte van parallellogrammen en driehoeken door omstructurering in andere vlakke figuren waarvan ze de oppervlakte kunnen berekenen. Bij het bepalen van de oppervlakte van een ruit geef je de leerlingen de opdracht om een uitgeknipte rechthoek eerst in de lengte en dan in de breedte in tweeën te vouwen. Ze verbinden de twee punten en knippen dan langs deze lijn zodat ze bij het openvouwen een ruit krijgen. Ze behouden de vier driehoeken die ze er afgeknipt hebben.

De leerlingen lezen 0,35 m² niet als 0 komma 35 vierkante meter maar wel als 0 vierkante meter 35 honderdste vierkante meter. Je geeft de leerlingen ook opdrachten waarbij ze de juiste maat bij een afbeelding moeten plaatsen of een maat op verschillende manieren moeten lezen (bijvoorbeeld 145 dm² = 1 m² 45 dm² = 1,45 m²). In blok 2 herhaal je kort de activiteit van het vijfde leerjaar in verband met de oppervlaktebepaling van een parallellogram en een driehoek. De leerlingen nemen een uitgeknipte parallellogram en tekenen de hoogte op een gekozen basis. Ze verknippen het

De leerlingen meten vervolgens de diagonalen van de bekomen ruit. Met de vier afgeknipte driehoeken vormen ze opnieuw een ruit. Ze stellen nu vast dat de oppervlakten van de uitgeknipte ruit en die van de ruit die gevormd werd met de vier afgeknipte driehoeken even groot zijn.

103 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 103

17/08/12 13:33

Aanpak

Tenslotte vormen de leerlingen weer de figuur waarmee ze begonnen zijn door de ruit met de vier afgeknipte driehoeken weer aan te vullen tot een rechthoek. Zo stellen ze vast dat de oppervlakte van de ruit de helft is van de oppervlakte van een rechthoek die als lengte en breedte de diagonalen van de ruit heeft. Het is niet de bedoeling om hier de formule (D x d) : 2 aan te koppelen. Het blijft bij een eerder informele vaststelling. De leerlingen bepalen de oppervlakte van een ruit door om te structureren of door de figuur te verdelen in figuren waarvan ze de oppervlakte wel kunnen berekenen. Je laat zien dat er verschillende manieren zijn om de oppervlakte van een ruit te bepalen:

Om de oppervlakte van veelhoeken te bepalen verdelen de leerlingen de figuur in veelhoeken waarvan ze de oppervlakte wel kunnen berekenen of gaan ze omstructureren. Bij het bepalen van de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek bijvoorbeeld schenk je zeker aandacht aan het verdelen van de vijfhoek in vijf gelijke driehoeken. Ook bij de oppervlaktebepaling van nietveelhoeken reik je de leerlingen verschillende werkwijzen aan: werken met een rooster (centimeterpapier), omstructureren en veelhoeken in of rond de figuur tekenen waarvan de oppervlakte wel berekend kan worden. Verwoord de oppervlakte als ‘ongeveer … cm², ruim … cm², bijna … cm², meer dan … cm², …’ 3

Je bespreekt met de leerlingen dat je de oppervlakte van dit parallellogram kunt berekenen door b x h. Door te verwijzen naar de oorspronkelijke cirkel laat je de leerlingen verwoorden dat de basis overeenkomt met de helft van de omtrek van de cirkel en dat de hoogte overeenkomt met de straal. Vanuit deze vaststelling leidt je de formule π x r x r af. Het bordschema dat je hierbij opbouwt ziet er als volgt uit:

Ter controle laat je de leerlingen een cirkel waarop vier vierkanten getekend zijn waarvan de zijde telkens gelijk is aan de straal van de cirkel, bedekken met klein materiaal, bijvoorbeeld kroonkurken. De leerlingen stellen vast dat er zo drie vierkanten en een klein stukje van het vierde vierkant bedekt kunnen worden of dat de oppervlakte van de cirkel gelijk is aan ruim drie keer de oppervlakte van het vierkant met zijde r. Dit komt overeen met de formule π x r x r.

Bereken de totale oppervlakte van deze plassen in het Rijksdomein van Hofstade. Omcirkel. Reken met de werkelijke afmetingen.

Welke vormen herken je? Rechthoeken, driehoeken, …

De leerlingen schuiven dan de twee verkregen figuren in elkaar en stellen vast dat de bekomen figuur op een parallellogram lijkt.

De totale oppervlakte is ongeveer . De oppervlakte is meer/minder dan 1 km2.

200 m

1000 m

Zoek eerst Martinique op in je atlas. Martinique is een deel van de eilandengroep de Franse Antillen in Midden-Amerika. Van noordwest naar zuidoost is het eiland ongeveer 60 kilometer lang. Het hoogste punt is de vulkaan Mont Pelée (1397 meter). (Bron: www.wikipedia.org) Bereken de oppervlakte van dit eiland.

De totale oppervlakte is ongeveer

km².

30 km

Bij de introductie van de formule om de oppervlakte van een cirkel te bepalen geef je de leerlingen de opdracht om een cirkel die voor de helft grijs is ingekleurd in twee te verdelen en vervolgens te knippen op de aangegeven verdeellijnen.

Via deze activiteiten krijgen je leerlingen stapsgewijs inzicht in de formule voor de oppervlakteberekening van een cirkel. Weten je leerlingen later niet meer hoe ze de oppervlakte van een cirkel moeten bepalen? Verwijs dan zeker naar bovenstaande activiteiten. Vaak kan dit voor de leerlingen voldoende zijn om zich de formule weer te herinneren.

104 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 104

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

In blok 7 van leerjaar 5 bepaalden de leerlingen ook de oppervlakte van ruimtefiguren. Ze verknipten of beplakten een verpakking en bepaalden vervolgens de oppervlakte van de verschillende zijvlakken. In blok 5 van het zesde leerjaar komt dit opnieuw aan bod. In deze les wordt dit meer systematisch aangepakt en moeten de leerlingen verwoorden hoe ze de oppervlakte van een kubus en een balk bepalen. Je schenkt tijdens deze les voldoende aandacht aan het handig bepalen van de oppervlakte van deze ruimtefiguren. Het is immers niet de bedoeling dat leerlingen de oppervlakte van de zes zijvlakken afzonderlijk bepalen. Bij het bepalen van de oppervlakte van een cilinder geef je de leerlingen de opdracht om hun cilinder te beplakken. Zo ervaren de leerlingen dat ze om de oppervlakte van een cilinder te vinden de oppervlakte van een cirkel en van een rechthoek moeten bepalen. Het bordschema dat tijdens deze les wordt opgebouwd ziet er als volgt uit:

In deze toepassingslessen komen ook af en toe de landmaten ter sprake. Leerlingen krijgen dan bijvoorbeeld de opdracht om oppervlaktematen om te zetten naar landmaten. Ze kunnen dit opzoeken in hun zWISo-wijzer.

Les 25 • Vraagstukken: oppervlakte Meet tot op een halve cm nauwkeurig!

Plattegrond van de kinderboerderij!

1 Schaal 1000 Dat betekent

ingang

. geiten eenden en ganzen paden speeltuin picknickruimte vijver speeltuin schapen

Bereken de oppervlakte in m2 en in are van:

Zoek eventueel op in je zWISo-wijzer.

- het schapen- en het geitenpark

de oppervlakte van het schapenpark: de oppervlakte van het geitenpark:

m2 = m2 =

a a

Volume Beginsituatie Het begrip volume kwam voor het eerst aan bod in blok 5 van het vijfde leerjaar. De plaats/ruimte die een voorwerp inneemt werd daar benoemd als het volume. De leerlingen bepaalden in deze les het volume van verpakkingen met verschillende soorten vulmateriaal (bijvoorbeeld knikkers, Duploblokken, kroonkurken, …). Deze activiteit leerde hen dat er behoefte is aan een standaardmaat. Ze stelden ook vast dat hoe groter het vulmateriaal (de maateenheid) is, des te kleiner het aantal keer dat het in de verpakking kan (maatgetal). Dit meten met kwalitatieve maten is een goede voorbereiding op de introductie van de volumemaateenheden in het zesde leerjaar en is volledig analoog aan de manier waarop de andere standaardmaateenheden aangebracht werden. De leerlingen bouwden in deze les ook balken met een opgegeven aantal blokken. Zo leerden ze dat balken met hetzelfde volume een verschillende vorm kunnen hebben. In deze les kwam ook ter sprake hoe je handig het volume van balken kunt bepalen. In het zesde leerjaar komt dit expliciet aan bod.

Zesde leerjaar

In het zesde leerjaar zijn er geregeld lessen met toepassingen op oppervlaktebepaling. Op deze manier diepen we de inhouden verder uit. Zo bepalen de leerlingen bijvoorbeeld in blok 7 de bevolkingsdichtheid van een land en verwoorden ze dit als het aantal inwoners per km². We koppelen oefeningen in verband met oppervlakte dikwijls aan schaal en aan ruimtelijke problemen.

In blok 4 van het zesde leerjaar introduceer je de volumemaateenheden cm³, dm³ en m³. In een klasgesprek stel je met behulp van verschillende soorten vulmateriaal vast dat hoe kleiner het materiaal is, des te meer je ervan nodig hebt om dezelfde doos te vullen. Op deze manier ervaren de leerlingen, net als in het vijfde leerjaar, dat er standaardmaateenheden nodig zijn. Bij de introductie van de kubieke decimeter werk je met een kubusvormige dm³. Je verwijst naar de eenheden voor lengte en oppervlakte. De leerlingen verwoorden dat de eenheid voor lengte dm is. Bij de oppervlaktemaat dm² schenk je aandacht aan de twee

105 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 105

17/08/12 13:33

Aanpak

richtingen (lengte en breedte) en verwijs je naar de ². Zo laat je de leerlingen zelf tot de conclusie komen dat de eenheid voor volume dm³ zal zijn. Je laat hen hierbij de drie richtingen bij de kubus aanwijzen en verwoordt dit als kubieke decimeter. In dezelfde les introduceer je ook de kubieke centimeter. Je geeft de leerlingen de opdracht om bijvoorbeeld het volume van een doosje bouillonblokjes te bepalen. Ze merken op dat ze hiervoor een kleinere maateenheid dan de kubieke decimeter nodig hebben en zo kom je tot de kubieke centimeter. De leerlingen ontdekken het verband tussen de kubieke decimeter en de kubieke centimeter door een kubusvormige kubieke decimeter gedeeltelijk te vullen met blokjes van 1 cm³. Ze stellen vast dat 1 dm³ = 1 dm³. Door de leerlingen 1000 cm³ en 1 cm³ = 1000 zelf dit verband te laten ontdekken bouwen ze deze nieuwe leerstof inzichtelijk op en zal die ook beter verankerd zijn.

Leerlingen krijgen geregeld de opdracht om de juiste maat te kiezen bij een bepaalde meting, om meetresultaten op verschillende manieren te noteren, om volumes samen te stellen, ... Door deze oefeningen groeit hun inzicht in (de verhouding tussen) de verschillende maateenheden. Een volgende stap in de leerlijn volume is het bepalen van het volume van een balk en een kubus. Als inleidende activiteit krijgen de leerlingen de opdracht om met acht kubusvormige blokjes zoveel mogelijk verschillende balken te bouwen. Zo leren ze dat • Volume van een balk balken Les met11 een zelfde volume van (kubus) vorm kunnen 1 verschillen. Vervolgens krijgen je leerlingen de opdracht om verschillende balken te bouwen. Hierbij bepalen ze telkens het aantal cm³ in de onderste laag, het aantal lagen en het volume van de balk. Ze noteren de gegevens in de tabel in hun werkboek. Bouw met acht blokken zoveel mogelijk verschillende balken. Vul de tabel aan. aantal blokken in een laag

Na deze activiteit bouw je systematisch de kubieke decimeter op. Hierbij schenk je aandacht aan de opbouw in lagen: ‘Op het grondvlak komen tien rijen van 10 cm³. Zo heb je 100 cm³. De kubieke decimeter bestaat uit 10 lagen van 100 cm³.’ De kubieke meter behandel je op een gelijkaardige manier. De leerlingen stellen vast dat ze om het volume van bijvoorbeeld een kamer te bepalen een grotere maateenheid nodig hebben. Ze benoemen die als kubieke meter en bouwen vervolgens een kubieke meter met buizenmateriaal. Het verband tussen kubieke decimeter en kubieke meter stel je op dezelfde manier vast als dat tussen kubieke decimeter en kubieke centimeter (zie hierboven). Bij herleidingen tussen volumemaateenheden let je, net als bij de andere herleidingen, telkens op een zorgvuldige verwoording. Je illustreert ook hier de verbanden met pijlen. Het bordschema van deze les ziet er als volgt uit:

aantal lagen

totale aantal blokken

Balken bouwen. Het grondvlak en het aantal lagen is telkens gegeven. balk 1

balk 2

vijf lagen hoog

vier lagen hoog

balk 3

drie lagen hoog Vul de tabel aan. aantal cm³ in onderste laag

aantal lagen

oppervlakte grondvlak in cm²

hoogte balk in cm

volume balk in cm³

Besluit:

Op deze manier kom je tot de conclusie dat je het volume van een balk kunt berekenen door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte. De leerlingen passen de formule lengte x breedte x hoogte vervolgens toe in allerlei vraagstukken. In blok 5 vind je ook een les waarin de leerlingen onderzoeken wat er met het volume van een balk gebeurt als de lengte van een of meer ribben verandert. De leerlingen krijgen in deze les de opdracht om bij een gegeven balk telkens één afmeting te veranderen. Ze veranderen achtereenvolgens de lengte, de breedte en de hoogte in dezelfde mate. Ze stellen vast dat het volume drie keer zo groot wordt als de lengte drie keer zo groot wordt, dat het volume negen keer zo groot wordt als de lengte en de breedte drie keer zo groot worden en dat het volume 27 keer zo groot wordt als de lengte, de breedte en de hoogte drie keer zo groot worden.

106 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 106

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

In blok 5 behandel je ook het verband tussen inhoud en volume. Je geeft de leerlingen de opdracht om met verschillende soorten vulmateriaal (water, zand…) telkens een maatbeker tot de maatstreep van 1 liter te vullen. Ze gieten vervolgens de inhoud van de maatbeker in een lege kubieke decimeter en stellen vast dat 1 dm³ = 1 l. Steunend op het verband tussen de volumemaateenheden, komen ze tot de vaststelling dat 1 cm³ = 1 ml en dat 1 m³ = 1000 l. Let ook hier op een zorgvuldige verwoording: ‘1 cm³ is 1000 keer kleiner dan 1 dm³ en de inhoudsmaat die 1000 keer kleiner is dan liter is milliliter. 1 cm³ is dus gelijk aan 1 ml.’ Je illustreert de verbanden ook aan de hand van pijlen.

In blok 5 introduceer je ook de eenheid cc. Je verwijst hierbij naar het Engelse cubic centimetre. Het bepalen van het volume van een cilinder komt pas in blok 6 aan bod. Je herhaalt de formule van het volume van een balk en vraagt de leerlingen om te onderzoeken of de formule oppervlakte grondvlak x hoogte ook geldt voor een cilinder. Je laat hen het volume van een cilinder bepalen door die te vullen met zand dat ze vervolgens in een maatbeker gieten. De leerlingen lezen de inhoud af en zetten die vervolgens om naar een volumemaat. Ze berekenen het volume van een cilinder ook door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte en stellen vast dat beide resultaten hetzelfde zijn. Op deze manier introduceer je de formule oppervlakte cirkel x hoogte. In blok 6 krijgen de leerlingen ook verschillende opdrachten waarbij ze een ontbrekende afmeting van een balk of een cilinder moeten bepalen. Bijvoorbeeld deze opdracht: ‘Bij het vullen van het plonsbad met een oppervlakte van 78,5 m² is er 20 000 l water gebruikt. Tot op welke hoogte is het plonsbad gevuld?’ Hier gebruiken de leerlingen de formule oppervlakte grondvlak x hoogte. Deze oefening los je als volgt op:

Door soortgelijke oefeningen diepen we de leerlijn volume verder uit en leren de kinderen flexibel omgaan met de formule oppervlakte grondvlak x hoogte. Dit type oefeningen zullen sommige leerlingen moeilijk vinden. Begeleid hen zeker bij het maken van de vraagstukken in het werkboek. Deze oefeningen vormen een uitdieping van de leerplandoelen en worden daarom ook niet getoetst. In het zesde blok behandel je ook de volumebepaling van voorwerpen met een grillige vorm. Je vraagt de leerlingen bijvoorbeeld hoe ze het volume van een kiwi kunnen bepalen. Ze merken op dat ze hiervoor de formule oppervlakte grondvlak x hoogte niet kunnen gebruiken. Je laat ze het volume van de kiwi schatten en vraagt hen vervolgens hoe ze het volume van de kiwi exact zouden kunnen bepalen. Je toont een maatbeker die tot op een bepaald niveau gevuld is en benoemt dit als het beginpeil. Je dompelt vervolgens de kiwi onder en leest het eindpeil af. Je berekent het verschil tussen het begin- en het eindpeil en zet deze inhoud om in een volumemaat. Ten slotte laat je de leerlingen hun geschat resultaat ook nog vergelijken met het berekende volume. De leerlingen vullen deze gegevens mee aan in een tabel in hun werkboek en bepalen vervolgens in groepjes het volume van een aantal voorwerpen met een grillige vorm. Les 5 • Het volume van een voorwerp met

Bepaal het volume van je voorwerpen. Vul de tabel aan. liter

liter

1000 ml

voorwerp

zWISowijzer

beginpeil

1000 ml

eindpeil

verschil

Vul het passende maatgetal in.

0,025 dm³ =

cm³

5,41 dm³ =

5349 cm³ =

dm³

Als toepassing op de relatie tussen inhoud en volume laat je de leerlingen ook het verband tussen neerslaghoeveelheid uitgedrukt in liter per vierkante meter en in mm onderzoeken. Bij deze activiteit ga je uit van twee weerberichten waarin de verschillende eenheden terug te vinden zijn. Op basis van verschillende activiteiten en steunend op het verband tussen inhouds- en volumematen stel je vast dat 1 liter water per m² betekent dat het water 1 mm hoog staat. Het bordschema bij deze les ziet er als volgt uit: 12 84 dm³ =

2l=

m³

8,23 m³ =

50 cl =

1 l= 5

cm³

dm³ =

4,01 m³ =

3 dm³ = 4

Pijlen tekenen kan soms helpen!

cm³

107 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 107

17/08/12 13:33

Aanpak

geregeld de opdracht om de prijs van een aantal producten of van een recept te bepalen, de korting te berekenen, de prijs van een mengsel te bepalen, …

In blok 6 onderzoeken de leerlingen ook het gewicht van een bepaald volume van verschillende stoffen. Aan de hand van allerlei proeven stellen de leerlingen vast dat eenzelfde volume van verschillende materialen een ander gewicht kan hebben en eenzelfde gewicht van verschillende materialen een ander volume. Je herhaalt hierbij nog eens de gelijkheid 1 l = 1 dm³ en merkt op dat 1 dm³ van verschillende materialen telkens een ander gewicht heeft. De leerlingen formuleren deze vaststellingen op hun eigen niveau. Het is niet de bedoeling om hier de termen soortelijk gewicht of dichtheid aan bod te laten komen. We laten de leerlingen kennismaken met deze 4 inhoud, zonder er diep op in te gaan. In het werkboek bij deze les staat een tabel met het gewicht van 1 dm³ van verschillende stoffen. De leerlingen maken in blokken 6 en 7 verschillende toepassingen met deze gegevens. Les

• Gewicht en volume

Je vult telkens een emmer tot aan het streepje. Bereken het gewicht. Kruis aan welke emmer je kunt dragen over een afstand van 20 meter. Ik vul de emmer met

gewicht

Neem de tabel met de gewichten van 1 dm3 van ... erbij!

water

spijkers (ijzer) kurken

8 liter =

klei

dm³

De mama van Jarne weegt ongeveer 60 kg. Jarne zegt tegen haar: ‘Mama, jij bent je gewicht in goud waard!’ Wat is ongeveer het volume van de hoeveelheid goud die evenveel weegt als Jarnes moeder? Kan dat g goud in jje rugzak? g

Antwoord:

Bereken het gewicht g van deze koperen medaille. e.

1 dm³ koper weegt

kg.

1 cm³ koper weegt

Op het einde van het vierde leerjaar werden de begrippen inkoopprijs, verkoopprijs, winst en verlies geïntroduceerd. In blok 2 van het vijfde leerjaar kwam de term eenheidsprijs ter sprake. In het zesde leerjaar komen deze begrippen geregeld aan bod in vraagstukken. De verhouding tussen inkoopprijs, verkoopprijs en winst/verlies stellen we net als in de voorgaande leerjaren voor aan de hand van een schema met drie stroken. Verkoopprijs (VP) Inkoopprijs (IP)

Winst (W)

Inkoopprijs (IP) Verkoopprijs (VP)

Verlies (V)

In blok 3 behandel je ook vraagstukken waarbij winst of verlies procentueel gegeven zijn. De leerlingen stellen hierbij de situatie telkens voor op de procentstrook. Indien nodig verlengen ze de procentstrook. De situatie ‘ Zalm wordt in de winkel verkocht aan € 15/kg. De visboer maakt hiermee een winst van 25 %. Hoeveel heeft hij betaald voor 1 kg zalm in de vismijn?’ stel je als volgt voor:

diameter: 6,8 cm hoogte: 0,5 cm

Antwoord:

Hoeveel weegt dit zilveren blokje?

Zoek het gewicht van een troy ounce eens op op internet.

afmetingen:

2,3 cm bij 4,3 cm bij 0,3 cm

Het blokje weegt

g dus 1 troy ounce is ongeveer

Geld Op het einde van het derde leerjaar kennen de leerlingen alle munten en biljetten van de euro. Ze kennen ook het verband tussen euro en eurocent. In de voorgaande leerjaren oefenden ze geregeld gepast betalen, lezen en samentellen van bedragen, ... In het zesde leerjaar wordt deze gekende leerstof verder ingeoefend en uitgediept. De leerlingen werken Les 5 • Vraagstukken over inhoud, gewicht en geld vaak met folders en prijslijsten om de situatie zo realistisch mogelijk te maken. Geld is een gegeven uit de werkelijkheid dat ook dikwijls gebruikt wordt in vraagstukken. Zo krijgen de leerlingen 1

Snelverkoop! Wat is de nieuwe prijs van elk product? Vul de tabel aan.

- 20 %

- 10

- 20 %

- 50

€ 1,80

€ 2,30

product

- 50

€ 1,60

€ 0,90

korting in €

Ik reken de korting uit.

€ 0,45

prijs in snelverkoop in €

kalkoenrollade fetakaas

bloemkool sla

yoghurt

In deze les benadruk je dat de inkoopprijs telkens overeenstemt met 100 %. In blok 6 van het vijfde leerjaar introduceerde de leerkracht de begrippen intrest, rentevoet en kapitaal. Deze begrippen komen ook in het zesde leerjaar voor in vraagstukken en worden opgelost met behulp van de verhoudingstabel.

Ik heb alles gekocht in snelverkoop. Hoeveel korting heb ik gekregen?

Vull telkens V Vu telk te ken e s het etiket e iket aan. et aan.

Je mag een verhoudingstabel gebruiken!

Trostomaten

BE CO 378 A EG

PR/KG: GEWICHT/POIDS: 0,750 kg € 2,00

Koel bewaren Tenir au frais

Vers sinaasappelsap

PRIJS-PRIX €

BE CO 378 A EG

PR/L: INHOUD/CONTENU:

€ 5,00

PRIJS-PRIX € 1,25

In blok 7 van het vijfde leerjaar maakten de leerlingen kennis met verschillende vreemde munten. In het laatste blok van leerjaar 6 komt dit onderwerp nog

+ 2 Koel bewaren Tenir au frais

108 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 108

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

eens aan bod. Ook hier wordt er bij het omrekenen van de vreemde munteenheid naar de euro gewerkt met de verhoudingstabel.

Tijd Op het einde van het vierde leerjaar kunnen de leerlingen de digitale en de analoge klok lezen tot op een seconde nauwkeurig. De leerlingen oefenen in het vijfde en zesde leerjaar verder op het lezen van de tijd en het bepalen van de tijdsduur. Ze bepalen bijvoorbeeld de tijdsduur tussen twee tijdstippen of bepalen de begin-/ eindtijd als de eind-/begintijd en de tijdsduur gegeven zijn. Je illustreert dit eventueel op een lijn.

Het is belangrijk om te wijzen op het feit dat een dag bestaat uit 24 uur en dat tijdstippen genoteerd kunnen worden als voor en na de middag. In blok 2 van het zesde leerjaar behandel je tijdsduur die is genoteerd tot op een duizendste van een seconde. De bedoeling van deze les is de leerlingen te laten kennismaken met verschillende tijdnotaties en hen die te leren lezen en interpreteren. Je werkt hierbij met materialen die jijzelf of de leerlingen hebben meegebracht. De leerlingen krijgen in deze les ook allerlei opgaven in verband met tijdsduur. Ook deze opdrachten stel je voor op een lijn. De leerlingen gaan ook aan de slag met kalenders om bijvoorbeeld de tijdsduur in maanden, weken en dagen te bepalen. De leerlingen moeten ook data op verschillende manieren kunnen noteren en tijdstabellen leren lezen en interpreteren (bijvoorbeeld de dienstregeling van de trein). Bij de les over dienstregelingen gebruik je Les 2 • bij voorkeur een dienstregeling van bushaltes en stations uit de eigen omgeving. Soortgelijke uurtabellen vind je ook in de kopieermap. Dienstregeling van trein en bus

Blok 4

Dienstregeling in het station van Sint-Niklaas Tijd

18:04

18:15

18:19

18:26

18:36

18:43

18:44

Trein

L 2667

IC 3017

Dienstregeling

Spoor

Gent-Sint-Pieters [B] Sint-Niklaas [B] 18:04 - Belsele [B] 18:09 - Sinaai [B] 18:12 Lokeren [B] 18:17 - Beervelde [B] 18:34 Gent-Dampoort [B] 18:42 - Gentbrugge [B] 18:46 Gent-Sint-Pieters [B] 18:52

Gent-Sint-Pieters [B] Sint-Niklaas [B] 18:15 - Lokeren [B] 18:24 Gent-Dampoort [B] 18:36 - Gent-Sint-Pieters [B] 18:44

Antwerpen-Centraal [B] Sint-Niklaas [B] 18:19 - Antwerpen-Zuid [B] 18:30 Antwerpen-Berchem [B] 18:35 Antwerpen-Centraal [B] 18:40

Lille Flandres(f) Sint-Niklaas [B] 18:26 - Lokeren [B] 18:35 - Gent-Dampoort [B] 18:47 - Gent-Sint-Pieters [B] 18:55 • Waregem [B] 19:12 - Kortrijk [B] 19:21 - Moeskroen [B] 19:34 - Tourcoing (f) 19:41 - Roubaix (f) 19:45 - Lille Flandres(f) 19:55

IC 738

Antwerpen-Centraal [B] Sint-Niklaas [B] 18:36 - Antwerpen-Berchem [B] 18:50 Antwerpen-Centraal [B] 18:55

L 5738

Dendermonde [B] Sint-Niklaas [B] 18:36 - Belsele [B] 18:40 - Sinaai [B] 18:43 Lokeren [B] 18:48 - Zele [B] 18:55 - Dendermonde [B] 19:02

Oostende [B] Sint-Niklaas [B] 18:43 - Lokeren [B] 18:52 - Gent-Dampoort [B] 19:05 - Gent-Sint-Pieters [B] 19:13 - Aalter [B] 19:29 Brugge [B] 19:42 - Oostende [B] 19:57

Leuven [B] Sint-Niklaas [B] 18:44 - Temse [B] 18:51 - Bornem [B] 18:55 - Puurs [B] 18:59 • Mechelen [B] 19:17 - Boortmeerbeek [B] 19:28 - Haacht [B] 19:31 - Wespelaar-Tildonk [B] 19:34 Wijgmaal [B] 19:39 - Leuven [B] 19:44

IC 1817

IC 718

IC 1840

IR 2739

De opdrachten in verband met tijd zijn meestal ingebed in een betekenisvolle context. De toepassing van de leerstof draagt ertoe bij de brug naar de werkelijkheid te slaan en zo te komen tot functionele gecijferdheid. 18:47

18:54

IC 3038

L 2689

Antwerpen-Centraal [B] Sint-Niklaas [B] 18:47 - Beveren [B] 18:53 - Antwerpen-Zuid [B] 19:00 - Antwerpen-Berchem [B] 19:04 Antwerpen-Centraal [B] 19:09

Antwerpen-Centraal [B] Sint-Niklaas [B] 18:54 - Nieuwkerken-Waas [B] 18:58 Beveren [B] 19:03 - Melsele [B] 19:06 - Zwijndrecht [B] 19:10 - Antwerpen-Zuid [B] 19:15 - Antwerpen-Berchem [B] 19:19 - Antwerpen-Centraal [B] 19:24

Tot aan het teken • zijn alle stops vermeld, erachter slechts de belangrijkste stops.

city rail/L

IC/IR

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 4, les 2

4-1

Let op! De leerlijn tijd wordt in zWISo benaderd als een procesdoel. Dat wil zeggen dat het niet voldoende is om er alleen in de lessen over tijd aandacht aan te schenken. Het is belangrijk dat je voortdurend mogelijkheden aangrijpt om het tijdsbegrip van de leerlingen te verfijnen. Dat doe je bijvoorbeeld door dagelijks de klok te (laten) lezen, door de leerlingen zelf een treinrit te laten plannen, …

Temperatuur In het vierde leerjaar werd de eenheid graden Celsius geïntroduceerd. In het vijfde en het zesde leerjaar wordt deze leerstof verder geoefend en uitgediept. De leerlingen krijgen de opdracht om temperaturen te lezen van grafieken, temperatuurverschillen te bepalen, de gemiddelde temperatuur te berekenen, … We werken zowel met positieve als met negatieve temperaturen. Omdat er geen nieuwe leerinhoud over temperatuur wordt aangereikt, zijn er in het zesde leerjaar geen aparte lessen over dit onderwerp. De context temperatuur komt echter geregeld voor in vraagstukken, bijvoorbeeld in verband met gemiddelde, bij het werken met negatieve getallen, … In blok 5 van het zesde leerjaar is er een les waarin je allerlei vreemde maten behandelt. In deze les komt naast de eenheden mijl, zeemijl, beaufort en knopen ook graden Fahrenheit aan bod. Het is de bedoeling dat de leerlingen kennismaken met deze vreemde maateenheden. Deze maateenheden moeten ze niet echt beheersen en ze worden dan ook niet getoetst.

Hoeken Beginsituatie In het vierde leerjaar hebben de leerlingen in eerste instantie hoeken onderzocht met een zwaaihoek (twee met een splitpen aan elkaar bevestigde repen karton). In een volgende fase hebben ze een hoek gemeten door die te vullen met papieren spieën. De grootte werd dan als volgt uitgedrukt: hoek A meet x spieën. Op deze manier stelden de leerlingen vast dat hoe kleiner de maateenheid is waarmee gemeten wordt, des te groter het maatgetal is. Dit meten met een kwalitatieve maat werd kort herhaald in de eerst les over hoeken in het vijfde leerjaar. Dit is immers een goede voorbereiding op het meten van hoeken

109 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 109

17/08/12 13:33

Aanpak

met een graadboog. In blok 4 introduceerde de leerkracht de eenheid graad en het symbool °. De leerlingen kregen in dit blok ook de opdracht om hoeken van een bepaalde grootte te tekenen. In blok 5 van het vijfde leerjaar kwamen de begrippen kwart draai, halve draai en volledige draai voor het eerst aan bod. De leerlingen stelden tijdens deze les in verschillende activiteiten vast dat de som van de hoeken van een driehoek steeds 180° is en de som van de hoeken van een vierhoek steeds 360°.

Zesde leerjaar In het zesde leerjaar geef je de leerlingen geregeld de opdracht om hoeken te meten met de graadboog op hun geodriehoek en om hoeken van een bepaalde grootte te tekenen. Let erop dat de graadboog correct gebruikt wordt. Leerlingen kunnen ook steeds een beroep doen op hun zWISo-wijzer. Hierin worden het meten en tekenen van hoeken stapsgewijs beschreven. In de lessen vormleer herhaal je ook dat de som van de hoeken van een driehoek steeds 180° is en de som van de hoeken van een vierhoek steeds 360°. 138

Hoeken meten

De grootte van een hoek drukken we uit in graden. We gebruiken het symbool °. Elke rechte hoek meet 90°.

Is het moeilijk om

de hoek te meten?

Elke scherpe hoek meet minder dan 90°.

Verleng dan de benen.

Elke stompe hoek meet meer dan 90°.

Hoe meet je bijvoorbeeld hoek K?

1 Leg het midden van de lange zijde van de geodriehoek (0)

K = 50°

op het hoekpunt van de te meten hoek. Laat de zijde samenvallen met één been van de te meten hoek. Het andere been ligt onder de geodriehoek.

2 Lees de hoekgrootte af op de graadboog. Tel vanaf het

been dat samenvalt met de rand van de geodriehoek (0°, 10°, 20°, ...).

Meetkunde

Voor het domein meetkunde geldt dat de inhouden, net als in de voorgaande jaren, handelend benaderd worden. De leerlingen ervaren de verschillende aspecten van meetkunde door bijvoorbeeld figuren te onderzoeken, materiaal te hanteren (bijvoorbeeld een spiegel) en zichzelf te verplaatsen in de ruimte. Hierbij bouwen we verder op de kennis en de vaardigheden die de leerlingen de voorbije jaren opdeden. In het zesde leerjaar stappen we, nog meer dan in het vijfde leerjaar, over naar een abstracter niveau. We gaan dieper in op de inhouden door het maken van allerlei toepassingen.

Ruimtelijke oriëntatie Op verschillende manieren werken we aan de ontwikkeling van het ruimtelijk inzicht van de leerlingen. De leerlingen gaan Les 4 • Ga je mee op stap? geregeld aan de slag met kaarten en duiden daarop bijvoorbeeld een plaats aan met coördinaten. Of ze beschrijven een route (o.a. op een plattegrond/ kaart) en volgen aan de hand van een beschrijving een route op een plattegrond. Dergelijke opdrachten worden vaak gekoppeld aan het leerdomein schaal. 1

Je ziet hier een deel van het stadsplan van Mortsel. B

1 : 20 000

ADVERTEERDERS GROENE ZONE INDUSTRIE ZONE WATERWEGEN BELANGRIJKE WEGEN WEGEN EN PADEN FIETSPADEN GEMEENTEGRENS SPOORWEG KASTEEL KERK KERKHOF SPORTVELD VLIEGVELD PARKING FEDERALE POLITIE STADHUIS POST BIBLIOTHEEK ZWEMBAD SPORTHAL

Lees en geef de plaatsen aan op de kaart.

- Joran woont op de hoek van de Lusthovenlaan en de Edmond Thieffrylaan (5B).

- De slagerij bevindt zich in de Edegemsestraat tegenover de Gustaaf Lavastraat (5B).

- De bakkerij bevindt zich in de St.-Hathebrandstraat vlak tegenover de St.-Bernadettestraat (6B). - De bank is op het Gemeenteplein, waar de Statielei en de Mechelsesteenweg een Y-splitsing vormen (5C).

- Het ziekenfonds ligt op de hoek van de St.-Benedictusstraat en de Molenstraat (6D). Kleur de weg die mama ﬁetst groen.

Mama vertrekt thuis en fietst eerst naar de bakker en dan naar het ziekenfonds. Voor ze naar de slager gaat, haalt ze nog geld bij de bank. Daarna fietst ze terug naar huis. Welke afstand heeft mama ongeveer gefietst?

Mama neemt de kortste weg naar huis.

Kleur in het geel de weg die de twee meisjes samen volgen.

Evi woont in de Mortselveldenlaan ter hoogte van de Oudebaan (5C). Gitta woont in de Dorpstraat over de kerk (6D). Op woensdagnamiddag gaat Evi naar Gitta om samen te gaan zwemmen. Ze vertrekken om vijf over half 2. Kunnen ze voor 14.00 aankomen? Leg uit.

Ook blokkenbouwsels komen aan bod in het zesde leerjaar. De leerlingen krijgen verschillende opdrachten in verband met bouwsels: ze bouwen een bouwsel na op basis van een grondplan met hoogtegetallen of op basis van aanzichten, ze tekenen de aanzichten bij een gegeven bouwsel en ze vullen een bouwsel aan tot een balk of een kubus. In het zesde leerjaar stimuleren we de leerlingen, nog meer dan in het vijfde leerjaar, om zich de ruimtelijke situatie mentaal voor te stellen. Je vraagt de leerlingen bijvoorbeeld om de aanzichten van een bouwsel te tekenen zonder dit te maken. Het spreekt natuurlijk voor zich dat leerlingen die dit moeilijk vinden het bouwsel mogen bouwen en zich eromheen mogen bewegen. Je gaat wat dieper in op deze inhoud door vragen te stellen als ‘Kun je blokken wegnemen zonder dat de aanzichten veranderen? en ‘Kun je blokken toevoegen zonder dat de aanzichten veranderen?’. In blok 6 gaan de leerlingen aan de hand van verschillende activiteiten schaduwen onderzoeken.

110 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 110

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

Ze onderzoeken schaduwen met de zon en met een lamp als lichtbron. Zo ontdekken ze bijvoorbeeld dat de schaduwen van personen en voorwerpen op een zelfde tijdstip evenwijdig zijn aan elkaar, dat de persoon zich tussen de zon en zijn schaduw bevindt, dat de schaduw van een voorwerp evenredig is met de lengte ervan, … Ze passen deze laatste eigenschap toe bij vraagstukken over schaduw. Bij het onderzoeken van de schaduw met de lamp als lichtbron stellen de Les 9 • Schaduwen leerlingen aan de hand van allerlei opdrachten vast dat een schaduw zich rond een voorwerp verplaatst als je er een cirkelvormige beweging rond maakt en dat de schaduw langer wordt als je de lamp naar beneden beweegt. 1

Gebruik een verhoudingstabel.

Op deze tekening zie je een huis en zijn schaduw om 14 uur.

10,5 m

De boom is 8 m hoog. Hoe lang is de schaduw van deze boom om 14 uur?

Anders dan in het vierde en het vijfde leerjaar vertrek je hier van het vierkant en kom je zo tot de verschillende benamingen van vierhoeken.

Je ziet de schaduw van een appartement om 14 uur. Hoe hoog is dit appartement in werkelijkheid?

Hoeveel verdiepingen zou dit appartement hebben?

Werk met z’n drieën. Neem een stift en een zaklamp. Voer de volgende opdrachten uit. Vul in. • Plaats de stift verticaal op de bank.

Houd de lamp erboven en maak een cirkelvormige beweging (de lamp blijft op dezelfde hoogte).

Wat merk je op bij de schaduw?

• Houd de lamp opnieuw boven de stift en beweeg ze in een boog van boven naar beneden.

Watt merk me k je op bij de schaduw?

In het zesde leerjaar blijft er zeker ruimte voor creatieve en uitdagende lessen over ruimtelijke oriëntatie. Zo onderzoeken de Les 16 • Wat zie je? leerlingen in het vijfde blok kijklijnen met behulp van een touw, maken ze in het zesde blok allerlei opdrachten waarbij ze zich mentaal naar een ander ruimtelijk standpunt moeten verplaatsen en gaan ze aan de slag met pentominostukken. 1

In blok 6 onderzoeken de leerlingen de diagonalen van vierhoeken. Ze gaan na of de diagonalen even lang zijn en of ze elkaar middendoor of loodrecht snijden. Hun bevindingen worden besproken en samengevat in een tabel. In tegenstelling tot in het vijfde leerjaar is het in het zesde leerjaar wel de bedoeling om dit systematisch aan te pakken en besluiten te formuleren.

Op de draaibare tafel staan drie voorwerpen. De tafel draait in wijzerzin. Ondertussen neemt Annemie vanaf één plaats zes foto’s. De foto’s hieronder staan niet in de volgorde waarin Annemie ze genomen heeft. In welke volgorde werden de foto’s genomen? Nummer ze van 2 tot 6.

Vormleer In het zesde leerjaar herhalen we de eigenschappen van de vlakke figuren en diepen ze verder uit. In het eerste blok onderzoeken de leerlingen de zijden en de hoeken van vierhoeken met behulp van een geodriehoek. Tijdens een klassikale bespreking worden de eigenschappen en de benamingen van de verschillende vierhoeken herhaald. Het bordschema dat tijdens deze les wordt opgebouwd ziet er als volgt uit:

In het tweede blok onderzoeken de leerlingen de hoeken en de zijden van driehoeken. Tijdens deze les herhalen we de begrippen recht, stomp en scherp. De leerlingen benoemen driehoeken daarna als rechthoekig, scherphoekig of stomphoekig. Vervolgens behandel je de eigenschappen van de zijden van driehoeken. De leerlingen benoemen driehoeken als gelijkbenig, gelijkzijdig of ongelijkbenig/ongelijkzijdig. In het leerplan OVSG en GO wordt de term ongelijkzijdige driehoek gebruikt

111 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 111

17/08/12 13:33

Aanpak

voor driehoeken zonder gelijke zijden. In het leerplan VVKBaO spreekt men van ongelijkbenige driehoeken. In een latere fase benoemen leerlingen driehoeken ook volgens de hoeken en de zijden, bijvoorbeeld een gelijkbenige stomphoekige driehoek. De leerlingen krijgen ook de opdracht om de hoeken van een aantal driehoeken te meten en telkens de som te maken van de hoekgrootte van de drie hoeken. Zo stellen ze vast dat de som van de hoeken van een driehoek steeds 180° is. Bij het onderzoeken van de hoeken van gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken ontdekken ze dat er bij de gelijkbenige driehoeken telkens twee hoeken zijn die even groot zijn en dat bij de gelijkzijdige driehoeken de hoeken elk 60° zijn. In het tweede blok krijgen de leerlingen ook de opdracht om de drie hoogten te tekenen in een driehoek. Hierbij stellen ze vast dat de drie hoogten door één punt gaan, dat dit snijpunt in een rechthoekige driehoek samenvalt met het hoekpunt van de rechte hoek en dat dit bij een stomphoekige driehoek buiten de driehoek valt. In het tweede en het vierde blok construeren de leerlingen driehoeken. We stimuleren hierbij het gebruik van verschillende hulpmiddelen: de geodriehoek (voor het tekenen van loodlijnen en het tekenen van een hoek met een bepaalde grootte) en de passer.

In blok 4 introduceer je het begrip regelmatige veelhoeken. De leerlingen onderzoeken de hoeken en de zijden van een aantal figuren. Je benoemt de figuren waarvan alle zijden even lang en de hoeken even groot zijn als regelmatige veelhoeken. De figuren van de meetkundige set vormen hierbij een handig didactisch hulpmiddel. Vervolgens krijgen de leerlingen de opdracht om een regelmatige veelhoek te tekenen in een cirkel met middelpunt M waarop de hoekpunten van de veelhoek al gegeven zijn. De leerlingen verbinden de hoekpunten zodat ze een regelmatige veelhoek bekomen. Daarnaast verbinden ze de hoekpunten ook met het middelpunt van de cirkel en meten ze vervolgens de hoek M. Ze stellen

vast dat je de grootte van deze hoek kunt berekenen door 360° te delen door het aantal hoeken/zijden van de regelmatige veelhoek. Deze eigenschap passen ze toe bij het tekenen van regelmatige veelhoeken. De eigenschappen van de cirkel en de bijbehorende terminologie (straal, middelpunt en diameter/ middellijn) worden herhaald in blok 3. In dit blok krijgen de leerlingen ook de opdracht om cirkels met een gegeven straal te tekenen. In het derde blok onderzoeken en classificeren de leerlingen verschillende ruimtefiguren/lichamen. Op deze manier herhalen we de begrippen veelvlak en niet-veelvlak, …vlak (bijvoorbeeld zesvlak), kubus, balk, piramide, kegel, cilinder en bol. Het resultaat van deze activiteit wordt voorgesteld op het bord:

Daarnaast herhaal je ook de begrippen ribbe, hoekpunt, zijvlak, opstaand zijvlak, grondvlak en bovenvlak door de leerlingen deze te laten aanwijzen bij een voorwerp. Je geeft de leerlingen ook een aantal opdrachten als: zoek een veelvlak dat geen evenwijdige ribben heeft; wijs bij een veelvlak ribben aan die evenwijdig zijn; zoek een veelvlak met 12 ribben, … In dit blok behandel je ook ontvouwingen van balken en kubussen. De leerlingen verknippen een balkvormige verpakking volgens de vouwlijnen en merken op dat ze zes rechthoeken bekomen. Ze stellen op deze manier vast dat eenzelfde voorwerp verschillende ontvouwingen kan opleveren.

112 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 112

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

De leerlingen krijgen ook een uitgeknipte figuur die uit zes even grote vierkanten bestaat. Ze proberen hiermee een kubus te vormen. In een klassikale nabespreking verwoorden de leerlingen op hun niveau waarom het mogelijk/niet mogelijk is om een kubus te vormen met hun ontvouwing. In hun werkboek krijgen de leerlingen vervolgens de opdracht om de figuren door te strepen die geen ontvouwingen van een kubus zijn. Les 9 • Ontvouwingen van een balk en een kubus De leerlingen die dit te moeilijk vinden mogen uiteraard vouwen met de uitgeknipte figuren. 1

Streep door wat geen ontvouwing van een kubus is.

In blok 6 komen ook ontvouwingen van cilinders aan bod. De leerlingen brengen een strook aan rond een cilindervormig voorwerp en stellen zo vast dat het gebogen oppervlak van een cilinder een rechthoek is. 2

Streep door wat geen ontvouwing van een balk is.

Vind je dit moeilijk? Vraag aan je juf/meester het knipblad!

In blok 7 onderzoeken de leerlingen ontvouwde verpakkingen en maken ze zelf doosjes. Al de materialen hiervoor vind je in de kopieermap. In het leerplan GO! is het benoemen van een object uit de leefwereld van de leerlingen als prisma een differentieel doel. Dit doel komt niet voor in de andere leerplannen. Werk je met het leerplan GO!, dan kun je in de les over ontvouwingen in blok 7 deze term aan bod laten komen.

Meetkundige relaties In het eerste blok onderzoeken de leerlingen allerlei rechten en benoemen deze als snijdende of evenwijdige rechten. Bij snijdende rechten onderscheid je ook nog rechten in loodrechte stand/loodlijnen. Je geeft de leerlingen ook de opdracht om snijdende en evenwijdige rechten te tekenen met behulp van de geodriehoek (werkwijze zie zWISo-wijzer). Dit wordt ook toegepast bij het tekenen van vlakke figuren. Bij het aangeven van evenwijdige rechten en loodlijnen gebruiken de leerlingen de symbolen // en ┴.

In blok 5 onderzoeken de leerlingen, net als in de voorgaande leerjaren, spiegelingen in vlakke figuren en in de omgeving. Ze gebruiken daarbij de termen spiegelbeeld, spiegelas en spiegeling. De leerlingen gaan in het zesde leerjaar ook een spiegelbeeld tekenen en onderzoeken. Hierbij stellen ze nog eens vast dat de figuur en het spiegelbeeld dezelfde vorm en grootte hebben, dat de figuur en het spiegelbeeld even ver van de spiegelas liggen, dat de figuur en het spiegelbeeld een andere oriëntatie hebben en dat de verbindingslijn tussen een punt en zijn spiegelbeeld loodrecht op de spiegelas staat. Symmetrie (een spiegeling waarbij je de volledige figuur ziet) komt ook aan bod in blok 5. De leerlingen onderzoeken symmetrie door een spiegel te gebruiken. Hierna krijgen Les 3 • Spiegelingen ze ook de opdracht om symmetrieassen te tekenen. Aangezien het gebruik van de term symmetrieas geen doel is in het leerplan van OVSG, omschrijven we een symmetrieas in het leerlingmateriaal ook als een spiegelas waarbij je de volledige figuur opnieuw ziet. 1

s1, s2, s3 en s4 zijn spiegelassen. Teken het spiegelbeeld van de gegeven letter L. De getekende ﬁguur spiegel je opnieuw. Doe zo verder.

Controleer met je spiegel.

Teken in elke ﬁguur alle symmetrieassen/spiegelassen.

Als toepassing op gelijkvormigheid onderzoeken de leerlingen verschillende figuren die op schaal getekend zijn. Aan de hand van verschillende tekenen meetopdrachten ontdekken ze het verband tussen de omtrek van de gegeven figuur en de omtrek van de figuur op schaal, alsook het verband tussen de oppervlakten.

5 Vraagstukken Het hoofddoel van zWISo is functionele gecijferdheid. Wij willen ertoe bijdragen dat leerlingen problemen die in het echte leven op hun weg komen, kunnen aanpakken. Daarom hechten we in zWISo veel belang aan het behandelen van oefeningen in een betekenisvolle context, een context die aansluit bij de leefwereld van de leerlingen. In sommige leerplannen zijn deze vraagstukken opgenomen in een aparte rubriek toepassingen. Wij hebben bewust geen aparte leerlijn toepassingen opgenomen in de leerlijn, omdat we ervan overtuigd zijn dat het oplossen van vraagstukken in elk domein en domeinoverschrijdend (bijvoorbeeld meten en bewerkingen) aan bod moet komen.

113 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 113

17/08/12 13:33

Aanpak

In de loop van het zesde leerjaar maken de leerlingen geregeld vraagstukken om de bekende schema’s (bijvoorbeeld getallenlijn, verhoudingstabel, procentstrook, …) toe te passen en in te oefenen. In deelgebieden als lengte, inhoud, gewicht en geld wordt er in het zesde leerjaar haast geen nieuwe leerstof aangereikt. In zWISo hechten we echter veel belang aan het onderhouden en vastzetten van deze essentiële kennis. Naast het aanbieden van verschillende niet-contextgebonden oefeningen (bijvoorbeeld herleidingen, het samenstellen van een bepaalde lengte, inhoud, gewicht of prijs, het aanvullen tot …, …) komen er dan ook heel frequent vraagstukken over deze leerinhouden aan bod. Het onderhouden van deze kennis en meer bepaald de koppeling ervan aan realistische situaties is onontbeerlijk voor het verder uitbouwen van de functionele gecijferdheid. Les 5 • Vraagstukken over inhoud, gewicht en geld 1

Snelverkoop! Wat is de nieuwe prijs van elk product? Vul de tabel aan.

- 20 % - 10

- 20 %

- 50

€ 1,80

€ 2,30

product

- 50

€ 1,60

€ 0,90

korting in €

Ik reken de korting uit.

€ 0,45

prijs in snelverkoop in €

kalkoenrollade fetakaas bloemkool sla yoghurt

Ik heb alles gekocht in snelverkoop. Hoeveel korting heb ik gekregen?

Vull te V Vu telk telkens ken e s het et e etiket iket a aan. an. Je mag een verhoudingstabel gebruiken!

Trostomaten

Vers sinaasappelsap PRIJS-PRIX €

BE CO 378 A EG

PR/L: INHOUD/CONTENU: € 5,00

+ 2 Koel bewaren Tenir au frais

PRIJS-PRIX € 1,25

In deze fase gaan de leerlingen na wat ze moeten weten om het vraagstuk op te lossen. Ze bepalen ook hoe ze de bewerkingen gaan oplossen. Ze stellen de situatie eventueel voor met een schets of noteren de gegevens en het gevraagde al in de verhoudingstabel, op de procentstrook of … zWISo © 2011 uitgeverij Zwijsen.be zWISo © 2011 uitgeverij Zwijsen.be zWISo

Het maken van vraagstukken vormt vaak een grote uitdaging voor de leerlingen. Het is belangrijk dat je voldoende aandacht schenkt aan het zorgvuldig lezen en analyseren van het vraagstuk. Om het oplossen van vraagstukken eenvoudiger te maken, werken we bij het berekenen van het resultaat met onbenoemde getallen. De leerlingen gebruiken dus geen maateenheden in de bewerkingen. De eenheid wordt pas bij het formuleren van een antwoordzin gekoppeld aan het resultaat. Op deze manier kunnen de leerlingen zich bij het maken van de bewerkingen volledig concentreren op het uitvoeren van de wiskundige procedure.

Bij dit pictogram lezen de leerlingen het vraagstuk en bepalen ze wat er gevraagd wordt.

Er is ook geregeld voorzien in vraagstukken met een wat opener karakter. De leerlingen krijgen bijvoorbeeld de opdracht om zelf een vraagstuk te bedenken bij een gegeven oefening. Deze laatste opdrachten maken echter geen deel uit van het basistraject en zijn bijgevolg meestal opgenomen in de zWISo-box.

zWISo

PR/KG: GEWICHT/POIDS: 0,750 kg € 2,00

Koel bewaren Tenir au frais

zWISo biedt voor het oplossen van vraagstukken een methodespecifiek stappenplan dat de leerlingen ertoe aanzet om vraagstukken op een weldoordachte en gestructureerde manier aan te pakken. Het leerkrachtmateriaal omvat vier pictogrammen die dat stappenplan ondersteunen. Je kunt die kaarten in de klas ophangen en er bij het oplossen van vraagstukken naar verwijzen. De pictogrammen worden soms ook verkleind afgebeeld in het werkboek, om de leerlingen eraan te herinneren dat een vraagstuk volgens een bepaald stappenplan opgelost wordt. De vier pictogrammen zien er als volgt uit: © 2011 uitgeverij Zwijsen.be

BE CO 378 A EG

De opgaven van de vraagstukken zijn omvangrijker en complexer dan in het vijfde leerjaar, maar blijven wel geregeld vergezeld gaan van een afbeelding ter ondersteuning van het tekstuele. De gegevens worden soms ook voorgesteld in een tabel of een grafiek.

Belangrijk om hierbij op te merken is dat we in het zesde leerjaar de leerlingen, nog meer dan in de vorige leerjaren, willen aanzetten tot het gebruiken van een oplossingswijze die het best bij de gegeven situatie (de gebruikte getallen) en hun inzicht in getallen en bewerkingen past. Leerlingen die hoofdrekenen moeilijk vinden mogen bijvoorbeeld in een les vraagstukken bepaalde oefeningen oplossen met behulp van de zakrekenmachine. Bij deze leerlingen blijft het wel essentieel om voldoende aandacht te schenken aan het vastzetten en eventueel opnieuw verduidelijken van de aangeboden standaardprocedures (zie Bewerkingen).

Dit pictogram symboliseert het uitvoeren van de bewerkingen.

Ten slotte formuleren de leerlingen een antwoord op de vraag en controleren hun antwoord.

114 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 114

17/08/12 13:33

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 115

17/08/12 13:33

Les 1 â&#x20AC;˘ Tel je mee

Inleiding

116 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 116

17/08/12 13:33

Hoofdstuk 5 • Observatie, remediëring en evaluatie In een gemiddelde Vlaamse klas van het lager onderwijs zitten kinderen met uiteenlopende cognitieve vaardigheden. Het is belangrijk dat de leerkracht inspanningen doet om elk kind de kans te geven om zijn talenten, op zijn niveau, maximaal te ontplooien. Bovendien blijkt uit recent onderzoek dat in Vlaanderen de kloof tussen sterke en zwakkere leerlingen in het wiskundeonderwijs groot is. De overheid en de onderwijskoepels dringen er sterk op aan om daar extra aandacht aan te schenken.

Signaleren en diagnosticeren Bij het signaleren en diagnosticeren hebben we oog voor de leerling in zijn totaliteit: het gaat dus niet alleen om cognitief, maar ook om affectief en sociaal gedrag. Leermoeilijkheden hebben niet zelden te maken met gedragsproblemen die een emotionele of een sociale oorzaak hebben. Dat neemt echter niet weg dat tempotoetsen en observatie- en eindtoetsen waardevolle middelen zijn om rekenmoeilijkheden op te sporen en de aard ervan te achterhalen. Hoe eerder dat gebeurt, hoe groter de kans om deze problemen geheel of gedeeltelijk op te lossen. Op die manier kunnen ernstige leerachterstanden voorkomen worden. Als de rekenontwikkeling duidelijk te wensen overlaat, is de eerste vraag of deze problemen opgelost kunnen worden door herinstructie of verlengde instructie. Vervolgens komt de vraag aan de orde of er leerlingen zijn die specifieke pedagogisch-didactische behoeften hebben. Problemen bij de ontwikkeling van wiskundige kennis en vaardigheden kunnen immers ook te wijten zijn aan onvoldoende zelfsturing, beperkte mentale activiteit, gedragsproblemen (bijvoorbeeld ADHD) of zwakke taalkennis en taalvaardigheid. De diagnosestelling en de aanpak van deze problemen vereisen gespecialiseerde hulp. Ze vallen buiten het bestek van de zWISo-methode.

Preventie en interventie Preventie en interventie zijn de aangewezen wegen om in een zo vroeg mogelijk stadium gesignaleerde tekorten in de ontwikkeling van de wiskundige kennis en vaardigheden aan te pakken. Preventie van rekenproblemen vertaalt zich met name in de ontwikkeling van een goed inzicht en het aanleren van goede oplossingsstrategieën. Interventie vertaalt zich in het geven van extra instructie- en oefentijd aan leerlingen die uit de boot dreigen te vallen.

Gebruikswijzer

In een vroeg stadium heeft gerichte aandacht voor de rekenontwikkeling grote invloed. In zWISo wordt er daarom vanaf het eerste leerjaar gewerkt met doordachte wiskundige modellen die inzichtelijk worden opgebouwd. In het algemeen geldt dat zwakke rekenaars baat hebben bij gerichte en degelijke instructie. In de lesbeschrijving worden geregeld tips gegeven om het lesverloop en de verwerking aan te passen aan de behoeften van deze leerlingen. Voorts worden er in de lesbeschrijvingen ook aanwijzingen gegeven voor de gerichte observatie van de leerlingen. Door dit preventieve onderwijs kan er snel worden ingegrepen bij onduidelijkheden of problemen en kan een grote achterstand vermeden worden. Risicoleerlingen hebben, ook al wordt de groepsinstructie goed gegeven, meestal toch nog behoefte aan verlengde instructie of herinstructie en aan meer begeleiding bij het verwerken van de leerstof. Een belangrijke factor hierbij is de hoeveelheid tijd die een leerling daarvoor krijgt. Voor rekenen hebben deze leerlingen meestal extra tijd nodig om de aansluiting met de groep niet te verliezen. Aangezien de verwerking van de leerstof in het werkboek grotendeels zelfstandig werk is, komt er voor de leerkracht tijd vrij voor verlengde instructie en ondersteuning van de zwakkere rekenaars. De remediëringslessen tijdens de laatste week van elk blok zijn een uitgelezen moment om de zwakke rekenaars gericht bij te sturen. De extra hulp die deze leerlingen krijgen, kan het beste gegeven worden met de beschikbare materialen van de methode. De breukendoos en de getallenlijnen zijn uitstekende leermiddelen voor de remediëring van zwakke rekenaars. Het is ook belangrijk om extra aandacht te schenken aan taalzwakke leerlingen. De manier waarop zWISo hierop inspeelt wordt verduidelijkt in het onderdeel zorg in hoofdstuk 1.

Hoe verlopen observatie, remediëring en evaluatie in zWISo? Om goed te kunnen omgaan met verschillen tussen leerlingen moet je een nauwkeurig beeld van het niveau van elke leerling hebben. De meeste scholen gebruiken tegenwoordig een leerlingvolgsysteem dat alle leerjaren omvat en waarin de vorderingen van de leerlingen op de belangrijkste leergebieden zichtbaar gemaakt worden.

117 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 117

17/08/12 13:33

Inleiding remediëring en Observatie, evaluatie

Om zo vroeg mogelijk te kunnen ingrijpen bij rekenproblemen is echter een methodegebonden en fijnmaziger volgsysteem noodzakelijk. In zWISo wordt er met behulp van observatie- en eindtoetsen op geregelde basis gedetailleerde informatie over de voortgang van het verwerven van wiskundige kennis en vaardigheden verzameld. Op basis hiervan is het mogelijk achterstanden of problemen vroegtijdig op te sporen (signaleren), na te gaan wat de oorzaak ervan kan zijn (diagnosticeren) en aanwijzingen te geven hoe achterstanden eventueel voorkomen of verholpen kunnen worden (preventie en remedie).

mag je uiteraard niet wachten tot het toetsmoment. Reeds in de loop van het leertraject levert de observatie tijdens de basislessen belangrijke informatie op. In de lesbeschrijvingen in de handleiding worden geregeld gerichte aandachtspunten voor observatie aangegeven. Die kunnen je helpen bij het signaleren van eventuele onduidelijkheden of problemen. De laatste week van elk blok ziet er als volgt uit:

Rekenproblemen dienen zich vaak vroeg in de ontwikkeling van kinderen aan. De achtergrond van rekenproblemen kan sterk variëren. Hoe eerder zwakke rekenaars worden gesignaleerd, hoe groter de kans dat rekenmoeilijkheden voorkomen of geremedieerd kunnen worden. Daarom is er binnen zWISo een fijnmazig volgsysteem ontwikkeld. en Doe!-bladen

Om het leerproces van kinderen optimaal te kunnen begeleiden moet je als leerkracht een goed beeld hebben van de verschillen tussen kinderen. De middelen die zWISo biedt om zo nauw mogelijk aan te sluiten bij de ontwikkeling van elke leerling Verlengde instructies zijn aanwijzingen voor gerichte observatie in de lesbeschrijvingen en de observatie-, de extra- en de eindtoetsen. De aanwijzingen voor observatie tijdens de basislessen zijn gericht op het waarnemen van gedrag in de klas, terwijl de toetsen bestaan uit opgavenreeksen die op een nauwkeurig omschreven wijze moeten worden afgenomen.

*Blokken 1 en 7 beslaan vier weken.

zWISo heeft gekozen voor één leertraject dat alle leerlingen doorlopen. De bedoeling is dat iedereen de aangeboden sleutelinhouden beheerst. Om de rekenontwikkeling van je leerlingen te volgen Blok 5

Lessen

26 en 27

In het begin van de laatste week van elk blok wordt van alle leerlingen een observatietoets (Alleen 1) afgenomen. Aan de hand van deze toets worden zowel de productdoelen als de procesdoelen van het respectieve blok getoetst. Enkel oefeningen die de productdoelen van het blok behandelen die aan bod komen in de remediëringslessen worden genormeerd. De andere doelen worden wel getoetst maar niet genormeerd. Het toetsen van deze doelen geeft wel een goed beeld van wat de leerlingen al kunnen. Voorts biedt dit ook de mogelijkheid om in de

• Alleen 1 Naam: Datum:

Los de volgende vraagstukken op. In 2009 waren er ongeveer 12 000 deelnemers aan het evenement ‘Sport for live!’. In 2010 waren er ongeveer 10 % meer deelnemers. Hoeveel deelnemers waren er ongeveer in 2010? Wat zal ik gebruiken? Een procentstrook, een verhoudingstabel, een breuk, …?

Kaatje spaarde € 120. Ze besteedt hiervan 1 aan strips. Haar nieuwe oorbellen 6 kosten 20 % van het gespaarde bedrag. Ze geeft nog 1 van het gespaarde 3 bedrag uit aan een blits rokje. Hoeveel blijft er nog over van haar spaargeld?

. 2

In 2011 waren er 300 deelnemers voor het sportkamp ‘Alles met de bal!’. In 2010 waren er 15 % minder deelnemers dan in 2011. Hoeveel deelnemers waren er in 2010?

Het verschil van 245 miljoen en 48 miljoen is Antwoord:

Het product van 11 en 32,5 is

. .

De som van 3,6 miljard en 4 miljoen is

Reken uit.

83 000 - 400 =

Antwoord:

Reken uit. Het quotiënt van 2448 en 3 is

4728 - 399 = 820 000 : 5 =

Tijdens de sportdag kunnen de kinderen kiezen tussen balsporten, circustechnieken en watersporten. De helft van de kinderen kiest voor circustechnieken en 1 voor watersporten. 3 Welk deel van de kinderen kiest voor balsporten?

147 miljoen + 39 miljoen = 9 x 180 = 3 176 000 + 12 650 000 = 84 miljoen : 3 =

Antwoord:

15 x 470 =

. 2 In 2010 namen in totaal 600 kinderen deel aan de weekends ‘Sport is tof’, dat is 25 % minder dan in 2011. Hoeveel kinderen namen deel in 2011?

Antwoord:

2,17 miljoen : 1000 =

0,32 : 4 =

6 : 0,05 =

Antwoord:

Getallen:

150 x 2,08 =

. 6

200 x 0,007 =

Van alle vakantiegangers die vandaag vanuit de luchthaven vertrekken, reizen er 12 000 mensen naar een zonnige bestemming. De rest of een vijfde van het totale aantal vakantiegangers vertrekt vandaag op skivakantie. Hoeveel mensen vertrekken er in totaal vanop de luchthaven?

129,5 - 9,75 =

Schetsen kan helpen.

4 :2= 5

4,2 : 0,7 =

5-2

Los op. 3x 2 = 3

0,8 x 0,6 =

26 500 : 25 =

. Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 5, lessen 26 en 27, Alleen 1

42,5 x 0,5 = 15 x 2,4 = 6,93 +

Hoofdrekenen:

10 Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 5, lessen 26 en 27, Alleen 1

5-3

5-4

. 20

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 5, lessen 26 en 27, Alleen 1

118 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 118

17/08/12 13:33

Gebruikswijzer

volgende lessen over het desbetreffende onderwerp extra aandacht te schenken aan de leerlingen die laag scoorden op deze doelen.

observatietoets is voor deze leerlingen meteen de eindscore voor dat blok. De leerlingen die één of meerdere tussennormen niet halen, worden ingedeeld in groepen 2a en/of 2b. Deze indeling wordt gemaakt op basis van de doelstellingen van de twee remediëringslessen. Zoals gezegd stemt deze indeling waar mogelijk overeen met een opdeling per rekendomein. Oefeningen op doelstellingen die in de eerste remediëringsles worden behandeld, worden onderverdeeld in score 2a en die welke behandeld worden in de tweede les bij 2b. Het is dus mogelijk dat een leerling zowel tot groep 2a als tot groep 2b behoort. Het is evenzeer mogelijk dat een leerling slechts tot één van beide groepen behoort en voor het andere onderdeel meeloopt met groep 1.

Omdat de toetsen toegespitst zijn op de sleutelinhouden, ligt de norm per definitie steeds hoog. Leerlingen die op bepaalde onderdelen laag scoren, tonen immers aan dat ze bepaalde essentiële sleutelinhouden niet beheersen. Om te vermijden dat deze leerlingen in het vervolg van het leertraject een groeiende leerachterstand oplopen, is het van groot belang dat ze extra aandacht krijgen in de daaropvolgende lessen. De oefeningen zijn in de observatietoets per domein gegroepeerd: getallen, bewerkingen, meten en meetkunde. Er worden deelnormen vastgelegd. Zo wordt het mogelijk om vast te stellen welk rekendomein problemen oplevert, en dus op welke leerstof welke leerling geremedieerd moet worden. De resultaten van de observatietoets kunnen geregistreerd worden op de bijbehorende registratiebladen, met name de zWISo-meter. Die is steeds terug te vinden in de kopieermap. Eerst wordt een overzicht van de doelstellingen van het blok gegeven. Dit wordt gevolgd door het registratieblad zelf. Op dat blad schrijf je de scores per oefening van alle leerlingen op. Na het berekenen van de totaalscore per leerling kun je de scores vergelijken met de vooropgestelde normen. Die normen zijn terug te vinden op het registratieblad van de zWISo-meter (score 1). Vervolgens moeten deze scores geanalyseerd worden. Leerlingen die alle normen halen, worden tijdens de rest van de week ingedeeld bij groep 1. Deze leerlingen hebben aangetoond dat ze de sleutelinhouden van het desbetreffende blok voldoende beheersen. Zij hebben geen extra instructie of oefenbegeleiding nodig. Score 1 op de

Op www.zwiso.be is een digitale versie van de zWISometer ter beschikking. Daarmee kun je een en ander makkelijker registreren en verwerken. Met kleurcodes wordt weergegeven welke leerlingen bij voorkeur welk traject doorlopen. Schenk voldoende aandacht aan een grondige foutenanalyse van de toets. Het is mogelijk dat leerlingen die de normen haalden toch uitvallen op een bepaalde inhoud. Hou dit zeker in de gaten en stuur bij waar nodig.

De leerlingen van groep 1 kunnen de oefeningen van de remediëringslessen uit het zWISo-werkboek zelfstandig maken. Wanneer in die lessen blijkt dat sommige leerlingen uit groep 1 moeilijkere leerstof aankunnen, maken ze zelfstandig oefeningen uit de zWISo-box en de verdiepingsmap. De leerlingen van groep 2a en 2b krijgen verlengde instructie voor die basisdoelen waarop ze zwak presteerden en maken de bijbehorende oefeningen in het zWISo-werkboek onder begeleiding van de leerkracht. De zWISo-meter: Leerjaar 6, Blok 5, Alleen 1 (Observatietoets) oefeningen waarvoor ze de norm behaalden, maken ze zelfstandig. De leerlingen van groep 2 worden zWISo-meter: Leerjaar 6, Blok 5, Alleen 1 (Observatietoets) na de remediëring opnieuw geëvalueerd met de eindtoets. Blokdoelstellingen Getallen DS 1

Vraagstukken stukken oplossen waarin een toename of een vermindering procentueel uitgedrukt wordt.

5-10

Bewerkingen

Hoofdrekenen

Toepassingen waarin breuken voorkomen oplossen.

DS 3

Bewerkingen met breuken maken.

DS 4

Bewerkingen met natuurlijke getallen tot 1 miljard maken.

DS 5

Bewerkingen met kommagetallen maken.

DS 6

Rekentaal gebruiken.

Cijferen

DS 2

oef. 1 oef. 2 oef. 3 oef. 4 oef. 5 oef. 6 oef. 7 oef. 8 oef. 9

Quotering Het resultaat van een optelling, een aftrekking, trekking, een vermenigvuldiging en een deling

DS 8

Optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen met natuurlijke getallen

schatten. en kommagetallen cijferend uitvoeren. Meten DS 9 DS 10

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 5, lessen 26 en 27, zWISo-meter

DS 7

DS 2

/10

Naam van de leerling

DS 6

DS 2

DS 3

DS 7 &8

DS 9 & 10

oef. 10

oef. 11

oef. 12

oef. 13

oef. 14

oef. 15

oef. 16

oef. 17

oef. 18

DS 10 DS 12 DS 13 DS 14 DS 15 DS 16 DS 17 DS 18 DS 11 & 11 /2

score 1

score 2a

/55

7,5/10

2/3

groep 1

groep 2a

groep 2b

score 2b

Het verband kennen tussen volumematen en inhoudsmaten. Inhoudsmaten omzetten in volumematen en omgekeerd.

DS 11

Het volume van een balk bepalen.

DS 12

De oppervlakte van vlakke figuren berekenen.

DS 13

De oppervlakte van een balk en een cilinder bepalen.

DS 14

De enkelvoudige intrest berekenen van een kapitaal dat gedurende een bepaalde tijd uitgezet wordt tegen een bepaalde rentevoet.

Meetkunde DS 15

Symmetrieassen/spiegelassen in figuren tekenen.

DS 16

Weten dat het voorwerp zich tussen zijn schaduw en de zon bevindt.

DS 17

DS 1

DS 4 &5

Weten hoe het volume verandert als je een of meer afmetingen fmetingen in dezelfde mate verandert.

DS 18

Kijklijnen gebruiken om te bepalen wat in het gezichtsveld ligt.

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 5, lessen 26 en 27, zWISo-meter

5-9

119 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 119

17/08/12 13:33

Inleiding remediëring en Observatie, evaluatie

De eindtoets (Alleen 2) is op een soortgelijke manier samengesteld als de observatietoets. Hij behandelt echter alleen de geremedieerde doelen. Er is één globale norm voor de eindtoets. De oefeningen zijn van een evenwaardig niveau als bij de observatietoets. Het is daarom niet nodig om leerlingen die al in de observatietoets bewezen dat ze de leerstof beheersen, opnieuw te evalueren met deze toets. Wij adviseren daarom deze eindtoets alleen af te nemen bij leerlingen die in de observatietoets uitvielen voor een of ander onderdeel. Als leerlingen na verlengde instructie de norm op de toets niet halen is dit voor u als leerkracht een belangrijk signaal. Schenk extra aandacht aan deze leerlingen als er onderwerpen worden behandeld waarop zij uitvielen. Laat hen deze inhouden ook geregeld oefenen, bijvoorbeeld aan de hand van de rekenspellen in de kopieermap. Geef deze informatie ook door aan het zorgteam. Terwijl een deel van de leerlingen de eindtoets maakt, kun je aan de hand van de extra-toets nagaan in welke mate de leerlingen de inhouden van de ladderkaarten van de zWISo-box beheersen. Aangezien de inhouden van de ladderkaarten niet tot het basisniveau behoren, zijn de oefeningen enkel gequoteerd en niet genormeerd. Afhankelijk van het aantal gemaakte ladderkaarten en het niveau van de leerlingen kun je er voor kiezen om hen de volledige toets of slechts een selectie van de oefeningen te laten oplossen. Het registratiesysteem van de zWISo-box kan hierbij een handige leidraad vormen.

Blok 5

Les

• Extra-toets

Met het zWISo-volgsysteem kan gedifferentieerd omgegaan worden in de rapportering en/of de communicatie voor de ouders. Het verdient aanbeveling om mee te geven of de gerapporteerde score werd behaald op de observatietoets dan wel op de eindtoets en welk traject de leerling heeft doorlopen tijdens de laatste week van het blok. De punten op de extra-toets kunnen ook opgenomen worden in de rapportering. Bij het afnemen van de toets is het belangrijk de opdrachten steeds goed uit te leggen. Aangezien het de bedoeling is na te gaan wat de leerlingen al kunnen, moeten ze de oefeningen alleen maken. De leerlingen hoeven zich wel niet bewust te zijn van de toetswaarde van de oefeningen. Het toetsmoment kan op dezelfde manier aangepakt worden als een ‘Oefen!’-les, wat ook zelfstandig werk is. Voor leerlingen met faalangst of concentratiemoeilijkheden kan dat een voordeel zijn. Bij leerlingen die tijdens de basis- en de oefenlessen nog concreet materiaal nodig hebben (bijvoorbeeld de breukendoos) kun je oordelen om hen deze materialen ook te laten gebruiken bij de toetsen. Je kunt er ook voor kiezen om leerlingen de zWISowijzer te laten gebruiken. Het is wel belangrijk om dat steeds op de zWISo-meter te vermelden. Het kan interessant zijn om deze zwakkere rekenaars één toets met materiaal en één toets zonder materiaal te laten maken. Zo kun je je een beeld vormen van hun reële niveau.

Naam: Datum:

Basket in het Zwisenbergstadion!

C Golden Dunk speelt zijn thuiswedstrijden in het Zwisenbergstadion. De totale capaciteit van het stadion bedraagt 6500 plaatsen. Tijdens de laatste bekermatch waren er 5200 toeschouwers.

Prijs tickets voor een bekermatch: Categorie 1: € 8 (6 t.e.m. 15 jaar) Categorie 2: € 15 (vanaf 16 jaar)

Hoeveel procent van het stadion was tijdens de laatste bekermatch gevuld?

Per verkocht ticket van categorie 1 voor deze wedstrijd werden er drie tickets van categorie 2 verkocht. g voor de verkochte tickets tijdens j Hoeveel was de ontvangst de laatste bekermatch?

Antwoord:

3 Solden in de elektrowinkel K Knipper! Vul aan.

- 25 % - 15 %

€ 650

€

Dit blad hoort bij ‘zWISo’ leerjaar 6, blok 5, les 30, Extra-toets

. 2 5-15

120 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 120

17/08/12 13:33

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 121

17/08/12 13:33

Notitieruimte

Inleiding

122 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 122

17/08/12 13:33

Notitieruimte

Gebruikswijzer

123 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 123

17/08/12 13:33

Notitieruimte

Inleiding

124 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 124

17/08/12 13:33

Notitieruimte

Gebruikswijzer

125 zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 125

17/08/12 13:33

zWISo_gebruikswijzer_lj6.indb 126

17/08/12 13:33