OBJETIVOS Comprenderá el concepto de Amortización y su aplicación. Identificará los diferentes casos de amortización, como es el Sistema de amortización gradual, Amortización constante y Amortización con renta variable. Aprenderá a construir e interpretar cuadros de amortización y de fondo de inversión. Identificará los diferentes casos de depreciación de un bien, en problemas financieros, utilizando el método de Línea recta, Porcentaje fijo, Suma de dígitos, Unidades de producción o servicios y Fondo de amortización. Aprenderá a construir e interpretar cuadros de depreciación de un bien.
6.1 Introducción La amortización es muy utilizada en la actualidad cuando se compran a crédito bienes: una casa, un departamento, un vehículo de transporte, maquinaria, herramienta, una cocina integral, un refrigerador, fertilizantes, granos, minerales, entre otros. En matemáticas financieras la palabra amortizar se emplea para cancelar una deuda y cada pago (o abono) que se realiza sirve para abonar los intereses y reducir el importe de la deuda.
La amortización es la parte del abono que se emplea para reducir la deuda (el saldo insoluto), mientras que la cantidad restante de ese saldo se utiliza para pagar los intereses que se devengan durante un periodo. Abono = amortización + intereses 6.1 A la deuda se llama saldo insoluto o principal insoluto y es el valor descontado de todos los pagos que no se han realizado. En la amortización de un crédito existen diferentes sistemas de amortización de una deuda, los más usuales son: el sistema de amortización gradual, amortización constante y amortización con renta variable. Amortización gradual Es el sistema más común para liquidar deudas con pagos periódicos, ya que estos tienen la misma frecuencia y cantidades iguales. Aquí se utilizan las anualidades ordinarias, en donde el capital que se amortiza es el valor presente. El valor de la renta debe ser mayor que los intereses producidos en el primer periodo, de lo contrario la deuda se incrementaría con el transcurso del tiempo y nunca se podría cancelar en su totalidad. Amortización constante Este sistema se caracteriza porque la porción del abono que amortiza al capital es constante, es la misma en todos los pagos, lo que hace que cada renta se reduzca en el tiempo, aunque este sistema no es muy usado porque en situaciones económicas con inflación alta los abonos crecen.
Amortización con renta variable Este sistema, a diferencia de los anteriores, se caracteriza porque cada abono realizado y su correspondiente porción de amortización son mayores. Los primeros pagos son pequeños, en algunas ocasiones no cubren los intereses del periodo, lo que origina que la deuda aumente en lugar de disminuir, pero posteriormente comienza a reducir cuando los pagos son más grandes. La acción que ejercen las tasas de interés en operaciones de inversión y crédito son muy importantes en el sistema financiero, más aún, si se considera al crédito como el punto más vulnerable. Los efectos que produce el alza significativa en las tasas de interés en los créditos contratados se muestra mediante la descomposición del pago periódico del capital y el interés. El instrumento analítico que permite ver esa descomposición es el cuadro de amortización (tabla de amortización) y también se puede apreciar cómo disminuye sustancialmente el adeudo y cómo se acumula el pago de los intereses a través del tiempo hasta llegar a la extinción de la deuda. Si bien las tasas de interés provocan directamente incremento del capital, existen variables macroeconómicas que inciden en su comportamiento, pero la inflación es el mejor ejemplo. Amortización gradual En esta unidad solo se analizará la amortización gradual, en donde la renta periódica debe ser mayor que los intereses que se generen durante el primer periodo para evitar que la deuda aumente. Problema resuelto 1. La química Andrea pide prestado $20 000, que se van a amortizar mediante seis pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el abono mensual. Solución Datos A = C = $20 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 6 meses El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:
Cuadro 6.1 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
Realizando un análisis del cuadro 6.1 se puede llegar a las siguientes conclusiones: a) Al primer pago de $3 570.52 (E10) le corresponde un interés de $400 (D10) y también reduce su saldo insoluto (o principal insoluto) en $3 170.52 (C10) dejándolo en $16 829.48 (F10). b) El total de los pagos periódicos es igual (E10 a la E15) al total de los intereses (D16) más el total pagado (C16). 20 000 + 1 423.10 = 21 423.10 c) Los elementos de la columna del principal pagado (C10 a la C15) están en la relación (1 + i).
d) También se observa que la cantidad total del principal pagado (C16) es igual a la deuda original (F9), que es de $20 000. e) Al realizar seis pagos mensuales vencidos de $3 570.52 se amortiza una deuda de $20 000.00 con interés de 24% anual capitalizable mensualmente.
Problema resuelto 2. Una deuda de $14 500.00, con interés de 16% compuesto semestralmente, se tiene que amortizar con pagos semestrales iguales durante los próximos tres años. Solución Datos A = C = $14 500 i = 0.16/2 = 0.08 semestral n = 3 años = 6 semestres Incógnita R Cálculo del pago semestral:
Datos R1 5 = $3 137 i = 0.16/2 = 0.08 semestral n = 6 semestres Incógnita último pago X
X + 3 137(5.86661)(1.08) = 23 009.678 X + 19 875.84 = 23 009.678 X = $3 133.84
Cuadro 6.3 Amortización con renta fija redondeada al peso y tasa de interés constante
Figura 6.1 Amortización con cinco rentas fijas redondeada al peso, X es el valor del último pago (R6).
Problema resuelto
3. El señor Efraín Nava pide prestado $30 000, que se van a amortizar mediante nueve pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el abono mensual. Solución Datos A = C = $30 000 i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 9 meses El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación: Incógnita R
Cuadro 6.4 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
Se realizarán nueve pagos mensuales vencidos de $3 675.46 que amortizan una deuda con valor de $30 000.00, con interés de 24% anual capitalizable mensualmente.
Problema resuelto 4. El contador Abraham Levi pide un préstamo de $2 000 a Banco Invex; acuerda realizar pagos trimestrales, durante dos años, a una tasa 24% capitalizable mensualmente. Elaborar un cuadro de amortización.
Solución Datos A = C = $2 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 2 años = 8 trimestres Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual
El pago trimestral
Elaborar un cuadro de amortización (programa completo de amortización).
Cuadro 6.5 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto 5. El centro de reciclado de pet “Reciclado del Sur”, realizó la compra de una compresora de pet, la cual tiene un precio de contado de $60 000. El dueño solo cuenta con la cantidad de $25 000, esta cantidad le sirve para realizar el enganche del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando realizar seis pagos mensuales, siendo la tasa de interés 23% anual capitalizable mensualmente. a) Calcular el valor de la renta. b) ¿Cuánto pagó de intereses? c) Construir una tabla de amortización. Solución Datos Enganche = $25 000 C = 60 000 25 000 = $35 000 i = 0.23/12 = 0.0191666 mensual n = 6 meses Incógnita R El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:
El interés total pagado es de $2 385.05 Cuadro 6.6 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto 6. El Cabo Juan Antonio Solís está pagando un préstamo a 10 años, siendo abonos iguales al final de cada año, el interés que cobra Banejército es de 20%, se sabe que la cantidad pagada en el quinto año es de $1 238.15. Calcular: a) La cantidad del préstamo y la cantidad del principal pagada en el séptimo año. b) El monto de los 10 años del principal. Solución a) Se calcula el principal pagado en el séptimo año. Como se sabe que la columna de principal tiene la relación (1 + i ) entonces: 1 238.15 (1.2)2 = 1 782.936 b) Cálculo del monto de los 10 años del principal.
Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.7. Cuadro 6.7 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Cuando se pide una cantidad prestada C y se van a realizar pagos iguales R al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo para amortizar la deuda A y se desea conocer o analizan un caso específico k en el programa de amortización (1 ≤ k ≤ n) se utilizan los siguientes casos:
El saldo insoluto después del (k 1)ésimo pago, es el valor descontado de los n (k 1) = n k + 1 pagos restantes.
El interés pagado en el késimo pago es:
El késimo pago de la amortización es:
Para calcular el saldo insoluto P de una deuda que se amortiza con pagos R iguales al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo, existen dos métodos el prospectivo (viendo hacia el futuro) y el retrospectivo (viendo hacia el pasado) como se muestra en la figura 6.2.
Figura 6.2 Amortización de deuda A con pagos R iguales al final del periodo con tasa i por periodo durante n periodos.
Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del késimo pago, será igual al valor descontado de los n k pagos que quedan por realizar.
Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del késimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los késimo pagos hechos hasta la fecha.
Problema resuelto 7. El dueño de una lavandería está pagando un préstamo de $45 000 por la compra de dos lavadoras de 16 kilogramos; este se va a amortizar con pagos mensuales iguales durante dos años a una tasa de interés de 25% capitalizable mensualmente. Calcular: a) El saldo insoluto después de seis meses. b) El interés del séptimo pago. c) La amortización (A) del séptimo pago. d) La renta mensual con la tasa continua de 25%. Solución Datos C = $45 000 i = 0.25/12 = 0.0208333 mensual n = 24 meses k = 6 Incógnitas R, P6, I7 y A7 Cálculo del abono mensual:
El saldo insoluto P, después de seis pagos:
P = 50 926.225 2 401.72(6.321316795) P = 50 926.225 15 182.033 P = $35 744.19
La parte del interés en el séptimo pago: I = (35 744.19)(0.020833) = 744.65871 ≈ $744.66 Amortización “A” (o valor del principal): A = R I = 2 401.72 744.66 = $1 657.06 Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.8.
Cuadro 6.8 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual
El pago mensual
El saldo insoluto P, después de seis pagos:
P = 49 732.69 2 294(6.257815716) P = 49 732.69 14 355.42925 P = $35 377.26
La parte del interés en el séptimo pago: I = (35 377.26)(0.01680633) = 594.5619061 ≅ $594.56 I = (35 377.26)(0.01680633) = $594.56 Amortización “A” (o valor del principal): A = R I = 2 294 594.56 = $1 699.44 Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.9. Cuadro 6.9 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto 8. La familia Martínez adquiere una casa en condominio valuada en $4 800 000 por el cual paga un enganche de $1 200 000. El resto se financia con préstamo de Banorte a 20 años, con tasa de interés de 9% convertible mensualmente. Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) El saldo insoluto al final de los 15 años. Solución Datos Precio de contado $ 4 800 000 Enganche $1 200 000 Cantidad a financiar $3 600 000 T = 9% A.C. Mensual i = 0.0075 mensual n = 20 años = 240 meses n15 = 180 meses Incógnitas R y P180 a) Cálculo de la renta:
R = $32 390.13 b) Saldo insoluto al final de los 15 años.
P = 3 600 000(3.838043267) 32 390.13(378.4057689) P = 13 816 955.76 12 256 612.05 P = $1 560 343.71 En 15 años habrá liquidado menos de $1 560 343.71 del préstamo original.
Problema resuelto 9. La familia Aragón adquirió un condominio valuado en $650 000 el 1 de febrero del año pasado, por el cual dieron un enganche de 20%. El resto se financia con crédito hipotecario de Banejército a 20 años, con tasa de interés de 10% convertible mensualmente sobre el saldo iniciando en el mes de marzo del mismo año, el préstamo se amortizará con pagos al final de cada mes. Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) ¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su declaración anual de persona física del año pasado, el tiempo límite que tiene para realizar su declaración es el día 30 de abril del presente año? Solución Datos Precio de contado $650 000 Enganche $130 000 Cantidad a financiar A = $520 000 T = 10% A.C. Mensual i = 0.008333 mensual n = 20 años = 240 meses n1 = 10 meses Incógnitas R e I110 a) Cálculo de la renta:
R = $5 018.11 b) Saldo insoluto al final de los 10 meses, en el primer año de la compra del departamento.
P110 = 564 994.95 5 018.11(10.38345593) P110 = 564 994.95 52 105.32 P110 = $512 889.6378 c) La amortización el año pasado de marzo a diciembre:
d) El total de intereses pagados el año pasado son:
El señor Aragón puede declarar $43 070.73 en su declaración fiscal como deducción por el préstamo hipotecario (este documento lo extiende la institución financiera con la cual se tiene contratado el préstamo, es el documento oficial que reconoce el SAT). Cuadro 6.10 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
En los ejemplos anteriores se mostró la forma de construir un cuadro de amortización, ahora describiremos la construcción de un cuadro de amortización en el que se incluirá el cálculo del impuesto al valor agregado (IVA) con tasa fija y renta fija.
Problema resuelto 10. Construir un cuadro de amortización que incluye el cálculo del iva (16%) con un plan de financiamiento por dos años para la compra de un automóvil Sedán. Cuadro 6.11 Amortización con IVA de un plan de financiamiento por dos años para la compra de un auto El precio de lista (incluye el IVA)
$214 500.00
La inversión inicial mínima (enganche) 35%
$75 075.00
Comisión por apertura de crédito. Pago que debe efectuarse al contado (incluye el IVA)
$1 200.00
Seguro automotriz de cobertura amplia. Se debe pagar de contado por un año (incluye gastos de expedición e IVA) más un año gratis.
$14 400.00
Tasa de interés fija
5.4% anual
Monto a financiar
$153 825.00
Otros gastos Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (mayor a $250 000) sin incluir el IVA, lo anterior solo aplica en el D.F.
No aplica
Placas
$1 650.0 0
Gestoría
$300 .00
Verificación (calcomanía doble cero), solo aplica en el D.F.
$385 .00
Solución a) La tasa de interés está en forma anual, por lo que debe transformarse a una tasa de interés mensual.
b) Cálculo del interés a pagar durante el primer periodo: I = 153 825(1) (0.0045) I = $692.21
c) Cálculo del IVA sobre los intereses generados en el primer periodo: IVA = 692.21 (0.16) IVA = $110.75 para el primer mes
Entonces: Intereses + IVA = 692.21 + 110.75 = 802.964
d) La renta es el pago total en la columna de la tabla de amortización:
R = $6776.10 cada mes
Cuadro 6.12 Amortización con renta fija, tasa fija e IVA (16%)
Problema resuelto 11. Una tienda de electrodomésticos en el mes de julio de este año ofrece una promoción de compre ahora y realice su primer pago el último día de enero del año entrante y los siguientes seis pagos en los meses subsecuentes, con una tasa de interés de 24% capitalizable mensualmente. El arquitecto Camargo compra un refrigerador con valor de $ 13 500.00 el último día de septiembre. Encontrar el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de amortización
Solución Datos C = $ 13 500 T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual n = 6 pagos a) Como el arquitecto Camargo disfruta desde el día 30 de septiembre de su refrigerador, entonces desde este día contrae la deuda. Primero se realiza el cálculo de su deuda al 31 de enero, que es de:
b) El cálculo para conocer el valor del pago (renta) se hace a partir de una anualidad vencida:
R = $2 608.7674 c) En el mes de septiembre el saldo es $13 500.00, y el interés generado en ese mes es de: I = Saldo (n) (T) = 13 500(1) (0.02) = $270.00 M = 13 500.00 + 270 = $13 770 d) En octubre el saldo es de $13 770.00. En el mes de octubre el interés generado es: I = Saldo (n) (T) = 13 770(1) (0.02) = $275.4 M = 13 770.00 + 275.4 = $14 045.40 e) Se continúan realizando los cálculos del interés y el saldo insoluto para los meses de noviembre, diciembre y enero, como se realizó para el mes de octubre y de febrero a julio los cálculos se realizan con base en lo estudiado para la construcción del cuadro de amortización. Cuadro 6.13 Amortización diferida con renta fija y tasa fija
6.2 Inflación En los casos analizados anteriormente, el manejo del dinero se realizó partiendo de una situación económica en donde la inflación tenía un valor de cero, pero no es la única causa para que no exista inflación:
Se puede suponer que el aumento de precios en los bienes o servicios es tan lento o tan pequeño que no se considera para tomar decisiones al respecto por los individuos o las empresas. La inflación también origina que el poder de compra (adquisitivo) del dinero disminuya.
Inflación Es el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por la economía de un país. Inflación baja Se alcanza cuando el poder adquisitivo de la moneda es estable o cuando el nivel precios no ha disminuido sino que su aumento ha sido a un ritmo menor. Cuando la estabilidad se rompe entonces surge el fenómeno de inflación económica, que es nociva para un país y trae como consecuencia:
a) El crecimiento económico inestable hace más riesgosos los proyectos de inversión b) Se elevan las tasas de interés, tanto activas como pasivas c) Se deteriora el poder adquisitivo de la moneda d) Disminuye la demanda de bienes y servicios e) Disminuye el otorgamiento de créditos ¿Qué es lo que puede originar principalmente la inflación en un país? a) El aumento de la moneda circulante (moneda o billete) sin incrementar en forma equivalente la producción de bienes o servicios. b) La emisión de dinero por parte del gobierno para cubrir un déficit presupuestal. Al aumentarse la moneda circulante, las personas tienen más dinero para comprar y trae como consecuencia un incremento de la demanda de bienes y servicios. Deflación Es cuando los precios de los bienes o servicios disminuyen de un periodo a otro. Todo inversionista espera que la tasa de interés que recibe por su inversión sea lo suficientemente alta para compensar la pérdida del poder adquisitivo originado por la inflación en el capital invertido y al mismo tiempo obtener ganancias por su inversión. Rendimiento real obtenido Si al vencimiento de una inversión, la tasa de inflación resulta mayor que la anticipada por el inversionista, el rendimiento real obtenido será menor que el esperado.
Prima de riesgo y la tasa real no negativa Cuando el rendimiento real obtenido es menor que el esperado, origina que las tasas nominales tengan una prima de riesgo, debido a la incertidumbre por no saber cuál será la tasa de inflación durante el plazo de la inversión. Cuando el inversionista no sabe a cuánto asciende la tasa de interés tendrá que pedir una tasa superior para cubrir el riesgo, de tal forma que evite que la inflación sea mayor que la tasa de interés pactada y de esta forma tener una tasa real no negativa. Derechos transferidos de un bien con inflación Problema resuelto 12. El señor José Juan Sotelo compró un departamento hace tres años. El valor del inmueble era de $2 250 000.00 y $ 200 000.00 en gastos fijos (escrituración, avalúo, entre otros). El señor Sotelo dio de enganche 40% del valor, y el 60% restante, lo pagaría con un crédito hipotecario otorgado por Banorte durante cinco años de plazo contados desde el día de la compra en abonos mensuales vencidos. El día de hoy el señor Sotelo quiere saber en realidad cuánto vale el departamento si le cobran intereses con una tasa de 18% anual capitalizable mensualmente. El valor del inmueble aumentó 0.5% mensual con la inflación.
Solución Datos Valor del inmueble = $ 2 250 000.00 Gastos fijos = $200 000.00 Enganche = 40% del valor de la casa Crédito hipotecario = 60% del valor de la casa Inflación = 0.5% Tasa de interés = 18% A.C. Mensual i = 0.18/12 = 0.015 mensual a) El valor presente de las mensualidades es igual a 60% del precio de la casa: C = (Porcentaje de crédito hipotecario) (Valor del inmueble) C = 0.60 ($2 250 000.00) C = $1 350 000 b) Encontrar el valor de la renta para los cinco años:
R = $34 281.13 c) Después de dos años se han pagado 24 mensualidades, por lo tanto el saldo insoluto es igual al valor presente de los 36 meses restantes.
C = 34 281.13 (27.66068431) = $948 239.51 d) La diferencia del crédito inicial es lo que se ha transferido al señor Sotelo (deudor): Diferencia del crédito inicial = C Saldo insoluto Diferencia del crédito inicial = 1 350 000 948 239.51 Diferencia del crédito inicial = $ 401 760.49
e) Entonces el señor Sotelo es propietario de los gastos fijos, el enganche y el nuevo capital (después de dos años) C2 = 200 000 + (0.40) (2 250 000) + 401 760.49 C2 = 200 000 + 900 000 + 401 760.49
C2 = $1 501 760.49
f) El valor futuro de este nuevo capital (C2) después de dos años y con la inflación a una tasa de 0.5% por mes será de: M2 = 1 501 760.49 (1+0.005)24 M2 = 1 501 760.49 (1.127159776) M2 = $1 692 724.02
Cambio de tasas de interés y amortización constante Problema resuelto 13. El director de una secundaria compró el 10 de enero de 2014 una pantalla de proyección de $12 500.00; él acuerda pagar en nueve pagos mensuales. Para los primeros cinco meses se aplica una tasa de interés de 18% y en los últimos cuatro meses una tasa de 21%, ambas con capitalización mensual y si además debe amortizarse una novena parte de la deuda por pago. ¿Cómo serán sus pagos y la amortización de esta deuda? Construir un cuadro de amortización que muestre los cambios en las tasa de interés considerando una amortización constante.
Solución Datos Precio de contado: $12 500 n = 9 pagos mensuales T = 18% primeros 5 meses T = 21% últimos 4 meses a) La amortización es constante, por lo que debemos dividir el precio de contado entre los nueve meses de plazo:
b) Convertir la tasa anual en tasa mensual:
c) Se calcula el interés a pagar el 10 de febrero:
I = C (1) (T) = $12 500(1) (0.015) = $187.50 d) Pago por periodo: R = A + I = $1 388.89 + $187.5 = $1 576.39 e) Repetir los pasos a), b), c) y d), para cada mes hasta el quinto mes. f) Convertir la segunda tasa anual en tasa mensual:
g) Se calcula el interés que se va a pagar el 10 de julio: I = C(1)(i ) = 5 555.56(1)(0.0175) = $97.2223 h) Pago por periodo: R = A + I = $1 388.89 + 97.2223 = $1 486.11 i) Repetir los pasos a), b), c) y d), con la segunda tasa para cada mes hasta terminar el cuadro en el noveno mes (cuando el saldo sea cero). En el cuadro 6.14 de Excel se muestra la amortización con cambio de tasas de interés y amortización constante.
Cuadro 6.14 Amortización con cambio de tasas de interés y amortización constante
6.3 Unidades de inversión (UDI) ¿Cómo se puede conocer el valor real de una inversión, un crédito u otro tipo de operación financiera cuando son afectadas por el efecto inflacionario?
Un mecanismo muy simple para obtener este valor real es mediante las Unidades de Inversión (UDI), que es un instrumento financiero creado para tomar en cuenta el efecto inflacionario en las operaciones financieras.
Estas unidades de inversión se crearon en México desde el 4 de abril de 1995 con el objetivo de tener un sistema de referencia para realizar operaciones financieras y bancarias que permitieran contrarrestar los efectos de incertidumbre inflacionaria.
El Banco de México es el organismo encargado de calcular y publicar el valor en moneda nacional de las UDI y cada día 10 del mes se publica el valor que corresponde al periodo que comprende entre el 11 y el 25 de dicho mes, a más tardar el día 25 de cada mes se publicará el valor correspondiente del día 26 de ese mes al día 10 del mes inmediato siguiente.
La variación porcentual del valor de la UDI entre el 10 y el 25 de cada mes será igual a la variación del Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC) de la segunda quincena del mes inmediato anterior.
La variación del valor de la UDI del día 25 de un mes al día 10 del mes inmediato siguiente será igual a la variación del INPC en la primera quincena del mes referido en el primer término. La variación será uniforme durante esos días para garantizar que quienes requieran hacer operaciones tengan un mínimo de certidumbre.
Las UDI iniciaron su cotización el día 4 de abril de 1995 y su valor era de $1.00 por cada UDI; a partir de ese día su valor se ha incrementado diariamente de acuerdo con la tasa de inflación, así por ejemplo: Si después de 90 días el INPC crece 6%, entones una UDI tiene un valor mayor en 6% a lo que costaba el día de su lanzamiento (4 de abril de 1995) entonces el día 4 de julio de 1995 vale $1.06. Si se considerara que la inflación acumulada en un año es de 30%, entonces cada UDI tiene un valor de $1.30 (del 4 de abril de 1995 al 4 de abril de 1996).
6.3.1 Tasas negativas En las inversiones tradicionales a corto y largo plazos las tasas nominales por muy altas que sean siempre estarán por debajo de la tasa de inflación, obteniéndose entonces tasas negativas. La ventaja de invertir en UDI es que incrementan su valor en la misma proporción que el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC) haciendo con esto que las
inversiones en UDI siempre estén protegidas de la inflación. Por ello, es bueno invertir en UDI cuando la inflación es alta; sin embargo, cuando la inflación es baja no se recomienda invertir ya que la tasa de interés real es baja o casi nula y solo se recibe la parte proporcional al fenómeno inflacionario.
Problema resuelto 14. El señor Joel Sánchez compra una computadora con valor de $15 600.00 más IVA y acuerda realizar seis pagos mensuales en UDI con una tasa de interés de 18% anual capitalizable cada mes, el primero de los pagos se hace al final del mes, si en el momento en que se celebra la operación el valor de las UDI es de $4.90594 y se supone una inflación mensual de 0.43%; calcule el pago mensual en pesos. ¿Cuál es el valor de la renta (el pago mensual)? Solución Datos C = 15 600 + 2 496 = $18 096 T = 0.18/12 = 0.015 mensual n = 6 meses UDI = $4.90594 Los pagos constituyen una anualidad simple cierta, vencida e inmediata con valor actual de $15 600.00 más IVA. a) Valor de la deuda en UDI:
b) El pago mensual en UDI será:
R = 647.44 UDI c) Con una inflación de 0.43% mensual, el pago mensual en pesos será de: Pago mensual en pesos = (Pago mensual en UDI) (Valor de la UDI al final del mes) Pago mensual en pesos = (647.44 UDI) (4.90594) Pago mensual en pesos = $3 176.30
6.4 Fondos de amortización
El fondo de amortización es inverso de la amortización, porque se crea para pagar una obligación en fecha futura, como pueden ser:
La compra de equipo nuevo para sustituir el equipo depreciado u obsoleto, para prevenir gastos de jubilación de empleados en una compañía, para comprar un automóvil, para la construcción de un inmueble, para el mantenimiento de equipo e inmuebles, o cualquier otro bien o servicio a futuro.
El fondo de amortización acumula cantidades de dinero con pagos iguales al inicio o al vencimiento de periodos iguales que devengan intereses para alcanzar el monto deseado utilizando una cuenta de inversión.
Al utilizar la cuenta de inversión se reúne la cantidad de dinero necesario en la fecha futura deseada; es decir, el fondo de amortización es la acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda futura.
El tener un fondo de inversión le permite al inversionista ganar intereses y de esta manera acumular con mayor tranquilidad la cantidad de dinero pensada a futuro.
Este tipo de instrumento financiero genera el hábito del ahorro.
Otra ventaja de tener un fondo de inversión es la de disponer de su propio dinero para comprar lo deseado de contado, evadiendo de esta manera el pago de intereses, que por lo regular son altos, y otros cargos por comprar a crédito.
Problema resuelto 15. Una tortillería obtiene un préstamo de $800 000 que debe liquidar en una sola exhibición dentro de cinco años. El dueño de la tortillería decide realizar reservas anuales iguales con el objetivo de pagar la deuda a su vencimiento mediante un fondo de inversión bancario con 6% de interés anual. Solución Datos C = $ 800 000 T = 6% anual n = 5 años a) Para obtener las reservas anuales para pagar la deuda utilizar la siguiente ecuación:
despejando R queda:
R = $141 917.12 b) Los cálculos que se deben realizar para elaborar el cuadro para el fondo de amortización son: a) El interés obtenido en un año, se calcula con la fórmula de interés simple. I = Cni I = 141 917.12 (1) (0.06) I = $8 515.03 b) Este interés se suma al total del ahorro para obtener la cantidad que se va a depositar durante el segundo periodo. Total que se suma al monto = $141 917.12 + 8 515.03 Total que se suma al monto = $150 432.15 c) El monto al final del año (5) se encuentra sumando al saldo del año anterior (4) el depósito anual, más los intereses del periodo. Monto al final del año (5) = Saldo del año anterior + Depósito anual durante el periodo más intereses Monto al final del año (5) Saldo = $620 832.91 + 141 917.12 + 37 249.97 Monto al final del año (5) = $800 000.00 Es decir, los $800 000.00 deseados. Cuadro 6.15 Comportamiento del fondo de amortización
Problema resuelto 16. El arquitecto Saturnino Torres debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $1 600 000, por la compra de un camión y para tener el dinero en la fecha de liquidación decide realizar depósitos mensuales en una cuenta de inversión que paga 9% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos en su cuenta de inversión? Construir un cuadro que muestre la forma en la que se acumula el fondo. Solución Datos C = $1 600 000 T = 9% A.C.M. i = 0.0075 mensual n = 6 meses a) Para calcular los depósitos en su cuenta se utiliza la siguiente ecuación:
Si despejamos R de la ecuación tenemos que:
R = $261 710.25 b) El cuadro sobre el fondo de amortización queda de la siguiente manera: Cuadro 6.16 Fondo de amortización
Problema resuelto 17. ¿Cuántos depósitos debe realizar la contadora Delia Morales si desea comprar de contado dos archiveros de $3 000 cada uno para su despacho? Para lograr esta compra, Delia deposita al principio de cada mes en la cuenta de inversión del despacho la cantidad de $423.38; si el banco paga una tasa de interés de 4.5% convertible quincenalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para poder realizar la compra de los archiveros? Solución Datos M = $6 000 R = $423.38 T = 4.5% A.C. Quincenal i = 0.001875 quincenal a) Los depósitos que deberá realizar serían:
n = 13.9998 ≈ 14 quincenas Cuadro 6.17 Fondo de amortización
6.5 Depreciación Cuando se adquiere un activo fijo, por ejemplo: equipo o maquinaria, mobiliario de oficinas, equipo de cómputo, edificios y otros; estos comienzan a perder valor con el transcurso del tiempo, a esta pérdida se le conoce como depreciación. De modo que los activos fijos reducen su valor desde el momento en que son adquiridos o se ponen en servicio u operación por el desgaste, descomposturas y cambios tecnológicos. La depreciación de un bien se debe a tres causas básicas: 1. Causas físicas Son los principales motivos de la depreciación de un bien, es decir, este se deprecia debido al uso, al desgaste, la acción de los elementos naturales y la combinación de estos. 2. Insuficiencia Se presenta cuando un activo no puede cubrir, alcanzar o hacer frente a las necesidades que se le piden. 3. Obsolescencia del activo La obsolescencia del activo se debe a que este sufre un desgaste mínimo de un periodo a otro pero el activo sigue trabajando, al transcurrir el tiempo se deberá sustituir porque en el mercado aparece un nuevo activo con mejoras técnicas. Este La palabra depreciación viene del latín y significa rebajar el precio o valor de una cosa.
nuevo activo es más eficiente que el anterior, por lo tanto deberá sustituirlo. Existe una excepción en la obsolescencia de los activos: los terrenos, que adquieren un valor mayor de un periodo a otro, es decir, crece su valor con el tiempo.
Valor del bien adquirido El valor del bien adquirido se registra en libros como uno de los activos fijos en el balance general, esto se realiza para efectos contables. La depreciación del equipo se registra en forma anual y los cargos de depreciación son determinados por el gobierno.
Depreciación Es la pérdida gradual en el valor de un activo fijo con el transcurso del tiempo, por su uso, desgaste, la acción de los elementos naturales, la insuficiencia, la obsolescencia o la combinación de estos. Se denota con la letra D. Activos fijos Son los bienes que están sujetos a descomposturas, desgaste, deterioro y a los cambios de las nuevas tecnologías. Vida útil de un activo fijo Se mide en años y se representa con la letra n. Es el tiempo que transcurre entre su compra y su retiro o remoción. Valor de desecho, de salvamento o de rescate de un activo fijo Se representa con la letra S y su valor puede ser positivo cuando se vende el activo a otros usuarios (clientes) porque representa una recuperación económica para la empresa. Se considera negativo si se requiere de un gasto adicional para su remoción (demoler un edificio, desinstalar equipo o maquinaria). Valor de salvamento de un activo fijo Es el que tiene o tendrá al final de su vida útil. El valor de todos los activos se reduce con el tiempo.
Otros conceptos empleados en el ámbito de la depreciación son:
Precio original o costo original del activo Es el valor que se toma como punto de partida de la depreciación y se representa con la letra C. Precio original o costo original del activo = C Depreciación acumulada Es la suma de la depreciación de cualquier año con la de años anteriores, con excepción de la del primer año de vida del bien.
Cargos por depreciación Contablemente son los cargos periódicos que se aplican a los resultados de la depreciación del activo fijo.
Valor en libros o valor contable Es el valor después de depreciarse que tiene el activo fijo al final del késimo año. Se representa con: Vk donde k = 1, 2, 3, …, n
Es muy importante entender que al comenzar la vida útil del activo, el valor en libros es igual al precio original. Con el transcurso del tiempo, la diferencia que existe entre el valor original y la depreciación acumulada hasta determinada fecha es la que se registra en los libros, en el último año el valor en libros debe coincidir con el valor de desecho. El valor en libros nunca corresponde con el valor del mercado, sobre todo en época de inflación alta, el valor de mercado es superior al de libros.
Costo total de depreciación o base a depreciar Es la diferencia entre el costo original y el valor de desecho de un activo fijo y es el valor que debe cargarse con el transcurso de los años. Es igual a la diferencia entre el precio original y el valor de desecho (C Sk). Este valor también puede ser nulo si el activo es un desperdicio total.
Valor que debe cargarse = Costo original Valor de desecho de un activo fijo Valor que debe cargarse = Precio original Valor de desecho Valor que debe cargarse = (C Sk)
Valor de desecho, valor de rescate o valor de salvamento Es el valor que tiene el activo al final de su vida útil y este debe coincidir con el valor en libros en esa fecha de desecho. Agotamiento Se utiliza cuando el activo no se puede remplazar por otro, esto significa literalmente: “consumir todo, terminar con una cosa o gastar todo”. Por ejemplo, en el ámbito petrolero agotar un yacimiento de petróleo o de gas; en la minería, agotar una mina de carbón, oro, plata, uranio, entre otros.
6.5.1 Método de línea recta Recibe este nombre porque al graficar el tiempo contra el valor en libros o contra la depreciación acumulada se obtiene una línea recta. Ventajas del método de línea recta:
El método de depreciación de línea recta es el único aprobado por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público para cumplir con las disposiciones fiscales. Es el método más sencillo de todos para calcular la depreciación de activos fijos.
Este método tiene como característica principal que la depreciación anual de un activo fijo, es constante para cada año de su vida útil (en cada año esta siempre es la misma).
Debilidades del método de línea recta:
La depreciación real es diferente a la encontrada con el método de línea recta puesto que los bienes se deprecian más rápido en los primeros años y menos en los últimos años de su vida útil. El valor de compra del activo fijo no es igual al valor de reposición, esta diferencia se debe a la inflación como principal causa. También los avances tecnológicos son un factor que interviene con esa diferencia. Cuando se crea el fondo de reserva de depreciación, la cantidad depositada al final del año 1 gana intereses, pero el método no contempla esta posibilidad.
Terminología Letra
Signific ado
Letra
Signific ado
C
Costo original del activo
D
Depreciación anual
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
DA
Depreciación acumulada
VR
Valor de reemplazo
n
Vida útil en años
Vk
Valor en libros en el año k
d
Tasa de depreciación anual
B
Base de depreciación del activo
j
Tasa de inflación
Cálculo de la depreciación a) La depreciación para cada año se calcula a partir de la siguiente expresión:
b) La base de depreciación sería:
Problema resuelto 18. Un laboratorio compra un cromatógrafo con valor de $134 000. El administrador espera que la vida útil del equipo sea de nueve años con un valor de desecho de $9 000. a) Encontrar la base de depreciación. b) Calcular la depreciación anual. c) Valor de reemplazo. d) Construir el cuadro de depreciación. e) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros.
f) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada.
Solución Datos C = $134 000 S = $9 000 n = 9 años a) La base de depreciación: B = C S B = $134 000 9 000 B = $125 000 Representa la depreciación acumulada con el transcurso de los nueve años de la vida útil del activo. b) Depreciación anual:
D = $13 888.89 por año La depreciación anual es $13 888.89, que es la mínima que se debe guardar en el fondo de depreciación al final de cada año durante nueve años. c) El valor de reemplazo se obtiene de la siguiente manera: Valor de reemplazo (depreciación acumulada) (valor de desecho)
d) Cuadro de depreciación: Valor en libros al final del primer año V1 = 134 000 13 888.89 V1 = $120 111.11
Valor en libros al final del segundo año
V2 = 120 111.11 13 888.89 V2 = $106 222.22 e) Así sucesivamente podemos seguir calculando la depreciación hasta el último año (nueve años) como se muestra en el cuadro 6.19. Cuadro 6.19 Depreciación con el método de línea recta
En el cuadro 6.19, de depreciación en línea recta, se muestra cómo aumenta la depreciación acumulada y disminuye el valor en libros. El valor de $9 000.00 en el año 9 corresponde al valor de desecho, en el mismo año los $134 000.00 de depreciación acumulada representa la cantidad guardada en el fondo de reserva de depreciación, sin generar intereses. f) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros (con apoyo del Excel).
Figura 6.3 La pendiente de la línea recta es negativa; la interpretación de la pendiente negativa se debe a que por cada año que transcurre, el activo fijo se deprecia en $13 888.89.
g) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada.
Para calcular la depreciación acumulada:
Figura 6.4 Se puede observar que la pendiente de la línea recta es positiva y significa que por cada año que transcurre, la depreciación acumulada aumenta en $13 888.89, cantidad que representa el dinero que se encuentra en el fondo de depreciación.
Problema resuelto 19. Encontrar el valor de salvamento de un horno para panadería que costó $134 000.00 con una vida útil de 10 años. Este equipo se deprecia $12 500.00 cada año. Debido a la inflación su valor aumenta en promedio anual 5%. Solución Datos C = $ 134 000 D = $12 500 n = 10 j = 5% anual a) En el primer año el valor del horno para panadería aumenta 5%:
b) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería en un año será:
c) Al final del segundo año, el valor del horno para panadería aumenta 5%:
d) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería después del segundo año sería:
e) Esta forma de solucionar el problema es más complicada porque se tiene que calcular hasta los 10 años; sin embargo, existe otra forma para calcular el valor de salvamento utilizando la siguiente ecuación de valor:
Cuadro 6.20 Cálculo del valor de salvamento
6.5.2 Método del porcentaje fijo Es un método de depreciación anual que decrece con el tiempo, ya que emplea un porcentaje constante, llamado tasa de depreciación, la cual se aplica al valor que aparece en libros del activo fijo del año siguiente, por lo que a medida que transcurre el tiempo, su valor decrece (año con año). Los cargos de depreciación van a ser mayores en los primeros años de vida útil del activo y menores hacia los últimos años, esto quiere decir que decrecen con menor rapidez que en los primeros.
6.5.3 Valor en libros de un activo fijo
El valor en libros de un activo fijo que se deprecia con el método de tasa fija al final del késimo año es:
El valor en libros al final de la vida útil del activo fijo, k es igual a n, sustituyendo la n en la ecuación 3.7 se tiene:
Despejando la tasa de depreciación anual de la ecuación 6.15, obtenemos:
Si el valor de desecho es cero (S = 0). Entonces, la tasa de depreciación anual es igual a la unidad (d = 1). Lo que indica que en el primer año de vida útil el activo se deprecia en su totalidad, lo cual es muy difícil que ocurra, pero no imposible.
Terminología Letra
Signific ado
Letra
Signific ado
C
Costo original del activo
d
Tasa de depreciación anual
S
d’
Tasa de inflación anual equivalente
VR
Valor de desecho, rescate o salvamento Valor de reemplazo
DA
Depreciación acumulada
Vk
Valor en libros en el año k
n
Vida útil en años
Vn
Valor en libros al final de la vida útil
j
Tasa de inflación
Problema resuelto 20. El administrador de una carpintería compra una camioneta para transportar los closets, puertas, libreros y materia prima; esta tiene un valor de $450 000.00 de contado. Estimar su vida útil en cinco años y al final un valor de salvamento de $20 000.00. a) Encontrar la tasa de depreciación que debe aplicarse. b) Elaborar el cuadro de depreciación correspondiente.
Solución Datos C = $450 000 Incógnita d S = $20 000(Vn) n = 5 años
d ≈ 46% b) el cuadro de depreciación es:
Cuadro 6.22 Depreciación por el método de porcentaje fijo
Problema resuelto 21. El señor Montiel compró un camión de 24 asientos para el transporte de personal. El valor de contado es de $1 196 000.00. Se espera que tenga una vida útil de seis años y valor de salvamento de $290 000.00. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo. Solución Datos C = $1 196 000
D = $290 000 n = 6 años a) Calcular primero la tasa fija a aplicar:
d ≈ 21%
Cuadro 6.23 Depreciación por el método de porcentaje fijo
Mediante la función POTENCIA de EXCEL se calcula la tasa de depreciación: POTENCIA(valor a elevar, exponente)
Problema resuelto 22. Encontrar la depreciación anual de una batidora industrial con valor de $90 000.00, si se estima un valor de desecho de $15 000.00 dentro de seis años. Encontrar la depreciación hasta el tercer año. Solución
Datos C = $ 90 000 S = $15 000 n = 6 años k = 3 años a) Encontrar la tasa de depreciación fija.
d ≈ 26% b) Depreciación en el primer año:
c) Valor en libros
d) Depreciación en el segundo año:
e) Valor en libros:
f) Depreciación en el tercer año:
g) Valor en libros:
h) El problema se puede resolver de manera más rápida si se calcula primero el valor en libros al final del tercer año y después la depreciación acumulada hasta el tercer año.
i ) Depreciación acumulada al tercer año
j ) En la hoja electrónica del cuadro 6.24 se muestra la solución del problema. Cuadro 6.24 Depreciación del método de porcentaje fijo
6.6 Depreciación e inflación Para evaluar la depreciación anual considerando la inflación en el método de porcentaje fijo se requiere calcular la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación. Con base en este cálculo es posible considerar tres casos: 1. Cuando la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá al paso de los años y el factor (1 d ) será mayor de 1. 2. Si la tasa de inflación j es menor que la de depreciación d, el valor en libros decrecerá al paso de los años y el factor (1 d ) será menor de 1. 3. Cuando la tasa de inflación no se especifica en periodos de capitalización anuales, deberá encontrarse una tasa anual equivalente.
Problema resuelto 23. El arquitecto Juventino Andrade desea vender una revolvedora de cemento después de ocho años de uso que le costó $1 500 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 0.6% mensual, el arquitecto considera una tasa
de depreciación de porcentaje fijo de 7% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo. Solución Datos C = $1 500 000 n = 8 años j = 0.6 % mensual d = 7% anual a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente a 0.6% mensual:
b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la inflación y la de depreciación:
c) Como la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá con el paso de los años (véase el cuadro 6.25) y el factor (1 d) será mayor de 1. Cuadro 6.25 Depreciación del método de porcentaje fijo
Problema resuelto 24. La fundidora Cristal Contemporáneo desea vender un horno de fundición después de cinco años de uso que le costó $1 250 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 8% anual. El administrador considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 12% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
Solución Datos C = $1 250 000 n = 5 años j = 8% anual d = 12% anual a) Realizar la diferencia entre las dos tasas, inflación y depreciación: d′ = 0.12 0.08 d′ = 0.04
b) Como la tasa de depreciación d es mayor que la de inflación j, el valor en libros reducirá al paso de los años y el factor (1 d) será menor de 1, como puede observarse en el cuadro 6.26. Cuadro 6.26 Depreciación del método de porcentaje fijo Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Depreciación anual
Depreciación anual
$50 000.00
$50 000.00
$48 000.00
$98 000.00
$46 080.00
$144 080.00
$44 236.80
$188 316.80
$42 467.33
$230 784.13
$40 768.63
$271 552.76
$39 137.89
$310 690.65
$37 572.37
$348 263.03
Valor en libros $1 250 000.00 $1 200 000.00 $1 152 000.00 $1 105 920.00 $1 061 683.20 $1 019 215.87 $978 447.24 $939 309.35 $901 736.97
Problema resuelto 25. Encontrar el precio original de un refrigerador que se compró hace seis años, ya que el señor Juanito lo desea vender en $1 000. Él considera una tasa de depreciación de 7% anual y una tasa de inflación de 1.2% por bimestre. Solución Datos S = $ 1 000 n = 6 años j = 1.2% bimestral d = 7% anual a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente al 1.2% bimestral:
b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación: d ′ = 0.074194872 0.07 d ′ = 0.004194872 c) La incógnita es el precio original C:
C = $975.0932506 Costo de venta (original) d) Como la tasa de inflación es mayor que la tasa de depreciación, el activo aumentó su valor de venta por la tasa de inflación.
6.7 Método de la suma de dígitos o enteros Con la suma de dígitos o enteros se consigue que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros años de la vida útil del activo fijo y después año con año disminuya. Se utiliza por las empresas para depreciar contablemente su activo, aunque el método no es reconocido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público. Para calcular el cargo anual se debe multiplicar la base de depreciación del activo por una fracción que se obtiene realizando los siguientes pasos: 1. Se encuentra la base de depreciación del activo
2. Se suman los dígitos del año 1 al año n de vida esperada del activo fijo.
3. También se puede utilizar la fórmula:
en donde: s = Factor a depreciar 4. Los dígitos enteros correspondientes a los años de vida útil del activo fijo se ordenan de mayor a menor (años en orden invertido).
5. La depreciación para cada año se expresa por una fracción en donde el denominador es la suma(s) de los dígitos enteros correspondientes a los años de vida
útil estimada y en el numerador se tiene al entero que corresponde, en el orden invertido, al año de la depreciación que se calcula.
6. La fracción obtenida para depreciar se multiplica por la base de depreciación y así obtener el cargo anual (k) correspondiente.
Terminología Letra
Signific ado
Letra
Signific ado
C
Costo original del activo
DA
Depreciación acumulada
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
Dk
Depreciación por kilómetro, hora, etcétera
n
Vida útil en años
d
Tasa de depreciación anual
B
Base de depreciación del activo
Vk
Valor en libros en el año k
D
Depreciación anual
s
Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo
Problema resuelto 26. Una empresa compra equipo de cómputo con valor de $120 000. La empresa estima la vida útil de este activo en cinco años y un valor de desecho de $10 000. Elaborar un cuadro de depreciación por el método de suma de dígitos. Solución Datos: C = $120 000 S = $ 10 000 n = 5 años 1. Base de depreciación de activo: B = C S = 120 000 10 000 B = $110 000 2. Suma de dígitos:
3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente: Año
1
2
3
4
5
Numerador
5
4
3
2
1
Fracción
5/ 1 5
4/ 1 5
3/ 1 5
2/ 1 5
1/ 1 5
4. Calcular el cargo anual para el primer año:
5. Elaboración del cuadro 6.27 para calcular los cinco años. Cuadro 6.27 Método de la suma de dígitos o enteros
Problema resuelto 27. El administrador del hotel Del Fortín, en el estado de Puebla, compra colchones para sus cuartos con un costo de $2 950 000. Estima una vida útil de seis años y un valor de salvamento de $350 000. Elaborar el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma de dígitos.
Solución Datos: C = $2 950 000 S = $350 000 n = 6 años 1. Base de depreciación de activo: B = C S B = $2 950 000 $350 000 B = $2 600 000 2. Suma de dígitos:
3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente: Año
1
2
3
4
5
6
Numerador
6
5
4
3
2
1
Fracción
6/ 2 1
5/ 2 1
4/ 2 1
3/ 2 1
2/ 2 1
1/ 2 1
4. Calcular el cargo anual para el primer año:
5. Elaboración del cuadro 6.28 de depreciación para la vida útil de este bien.
Cuadro 6.28 Método de la suma de dígitos o enteros
6.8 Método de unidades de producción o servicio Al comprar un activo se espera buen servicio durante determinado tiempo (años, meses, días y horas) o bien que produzcan un determinado número de kilómetros, kilogramos o unidades. Se considera que se puede conocer la vida útil esperada del bien en función de estos parámetros. Entonces, el activo puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o de servicio que genera durante determinado periodo. Con este método la depreciación, por lo regular, es diferente para cada uno de los años de su vida útil. El fabricante de un activo es quien determina la capacidad de producción o de horas de servicio. Para conocer la depreciación del activo el analista se basa en la información histórica que tenga de activos semejantes. Terminología Letra
Signific ado
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
n
Vida útil en años
B
Base de depreciación del activo
D
Depreciación anual
Letra
Signific ado
DA
Depreciación acumulada
Dk
Depreciación por unidad de servicio (kilómetro, hora, etc.)
d
Tasa de depreciación anual
Vk
Valor en libros en el año k
s
Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo
Problema resuelto 28. Una compañía adquiere un automóvil con un costo de $340 000 y espera que la vida útil del automóvil sea de 80 000 kilómetros; el valor de desecho del automóvil será de $122 000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años es de: A ñ o
Kilómetros
1
40 000
2
48 000
3
42 000
To tal
130 000
a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido. b) Construir el cuadro de depreciación. Solución Datos C = $340 000 S = $122 000 T = 130 000 kilómetros n = 3 años a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido 1. Determinar la base de depreciación: B = C S = 340 000 122 000 B = $218 000 2. Calcular la depreciación por kilómetro recorrido: a) La base de depreciación se distribuye entre los kilómetros recorridos durante tres años
La depreciación por kilómetro es de 1.68
b) Construir el cuadro 6.29 sobre depreciación por unidad de producción o servicio.
Cuadro 6.29 Método de depreciación en unidades de servicio
Problema resuelto 29. El hotel Paraíso adquiere refrigeradores para los cuartos, con un costo de $171 400 y espera que la vida útil sea de 30 000 horas y que tenga un valor de desecho de $30 000. El número de horas de servicio de los refrigeradores durante los cuatro primeros años es de: A ñ o 1 2 3 4 T ot al
Horas de servicio 2 000 1 950 1 800 1 900 7 650
a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio. b) Construir la tabla de depreciación.
Solución Datos C = $171 400 S = $30 000 T = 7 650 horas n = 4 años a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio 1. Determinar la base de depreciación: B = C S B = 171 400 30 000 B = $141 400 2. Calcular la depreciación por hora de servicio: a) La base de depreciación se distribuye entre las horas de servicio de cuatro años.
La depreciación por hora de servicio es de $18.48 b) Construir el cuadro sobre depreciación por hora de servicio. Cuadro 6.30 Método de unidades de producción o servicio
6.9 Método del fondo de amortización Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva de depreciación y está determinado por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses ganados durante el periodo de referencia. La aportación anual del fondo de reserva de depreciación se obtiene a partir de la fórmula de renta de anualidad vencida.
Equivalencia de la nomenclatura de la anualidad vencida y la depreciación. Anualidad vencida
Depreciac ión
M
B
R
D
El monto es igual a la base de depreciación: B = M Porque el monto se acumula después de n años, a una tasa de interés i. Por otro lado, la renta es igual a la depreciación anual. D = R El cargo anual o aportación a realizar al fondo se calcula con la fórmula siguiente:
Problema resuelto 30. Un hotel de la ciudad de Cuernavaca compró equipo de aire acondicionado para sus oficinas con valor de $987 000, estiman un tiempo de vida útil de cinco años, al cabo de los cuales el valor de desecho será $196 500. Los cargos por depreciación anual se invierten en un fondo de reserva de depreciación que paga un interés de 10% anual. Calcular: a) La base de depreciación. b) El cargo anual por depreciación. c) Elaborar una tabla de depreciación. Solución Datos C = $987 000 S = $196 500
n = 5 años T = 10% anual a) La base de depreciación: B = C S B = 987 000 196 500 B = $790 500 b) El cargo anual por depreciación:
D = $129 481.91 La cantidad que se debe depositar en el fondo de reserva de depreciación al final de cada año es de $129 481.91 para alcanzar el monto de $790 500 en cinco años. c) Para elaborar el cuadro de depreciación se deben seguir los siguientes pasos. 1. La columna de interés ganado al final del año (columna E) se encuentra de la siguiente manera: (Depreciación del año anterior) (Tasa de interés 0.10) Interés ganado en ese segundo periodo
2. La columna de depreciación anual (columna F) en cualquier año se calcula: Depósito realizado (columna D ) Interés ganado (columna E) en ese año
3. La columna de depreciación acumulada (columna G) se obtiene: Depreciación acumulada del año anterior (columna G) depreciación anual (columna F) en ese año
Cuadro 6.31 Depreciación obtenida por el método del fondo de amortización
Problema resuelto 31. El hotel Playa Linda compró 1 000 toallas para alberca por un valor de $330 000. Con la experiencia que tiene el administrador estima una vida útil promedio de seis años y ningún valor de desecho (cero pesos). Se sabe que la tasa promedio de interés es de 8% anual. Construir un cuadro de depreciación utilizando el método de fondo de amortización. Solución Datos C = $330 000 S = $ 0.00 n = 6 años T = 8% anual a) Véase el cuadro 6.32. Cuadro 6.32 Depreciación por el método del fondo de amortización
Problema resuelto 32. El restaurante Camila compró mesas y sillas con valor de $470 690 y estima una vida útil para este mobiliario de 10 años. Al cumplir estos años se espera venderlas en $40 000. Considerando una tasa para depreciación de 14% anual, determinar: a) La base de depreciación. b) El cargo anual por depreciación. c) La depreciación acumulada. d) El valor en libros después de seis años de uso.
Solución Datos C = $470 690 S = $40 000 n = 10 años T = 14% anual i = 0.14 a) Base de depreciación: B = C S = 470 690 40 000 B = $430 690 b) El cargo anual por depreciación:
c) La depreciación acumulada al sexto periodo.
d ) El valor en libros después de seis años de uso. Valor en libros = costo depreciación acumulada Valor en libros = $470 690 $190 107.34 Valor en libros = $280 582.66 e) Se pueden comprobar los resultados de los incisos anteriores en el cuadro 6.33. Cuadro 6.33 Depreciación por el método del fondo de amortización
Formulario El saldo insoluto después del (k 1)ésimo pago, es el valor descontado de los n (k 1) = n k + 1 pagos restantes.
El interés pagado en el késimo pago es:
El késimo pago de la amortización es:
Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del késimo pago, será igual al valor descontado de los n k pagos que quedan por realizar.
Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del késimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los késimo pagos hechos hasta la fecha.
Valor de la operación = Derechos del deudor + Derechos del acreedor 6.6 Método de línea recta Terminología Le tra
Signific ado
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
VR
Valor de reemplazo
Vk VR
Valor en libros en el año k Valor de reposición
E
B
Base de depreciación del activo
D
Depreciación anual
DA
Depreciación acumulada
N
Vida útil en años
D
Tasa de depreciación anual
j
Tasa de inflación
Depreciación para cada año
Base de depreciación
Valor de reemplazo
Depreciación
Depreciación acumulada
Valor de reposición
Valor de desecho o salvamento
Método del porcentaje fijo Terminología Le tra
Signific ado
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
VR
Valor de reemplazo
Vk
Valor en libros en el año k
Vn
Valor en libros al final de la vida útil
D
Tasa de depreciación anual
d`
Tasa de inflación anual equivalente
DA
Depreciación acumulada
N
Vida útil en años
j
Tasa de inflación
Valor en libros
Valor en libros al final de la vida útil del activo fijo
Tasa de depreciación anual
Depreciación en el primer año
Valor en libros
Depreciación e inflación
Precio original C
Método de la suma de dígitos o enteros Terminología Let ra
Significa do
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
n
Vida útil en años
B
Base de depreciación del activo
D
Depreciación anual DA
Depreciación acumulada
Dk
Depreciación por unidad de servicio (kilómetro, hora, etc.)
d
Tasa de depreciación anual
Vk
Valor en libros en el año k
s
Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo
Depreciación del activo
Base de depreciación para obtener el cargo anual
Método de unidades de producción o servicio Terminología
Le tra
Signific ado
C
Costo original del activo
S
Valor de desecho, rescate o salvamento
n
Vida útil en años
B
Base de depreciación del activo
D
Depreciación anual
DA
Depreciación acumulada
Dk
Depreciación por kilómetro, hora, etcétera
d
Tasa de depreciación anual
Vk
Valor en libros en el año k
T
Total de kilómetros horas , etcétera
La base de depreciación
Método del fondo de amortización
El cargo anual o aportación a realizar al fondo
Bibliografía Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.
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