Anualidades

OBJETIVOS  Comprenderá el concepto de anualidad y su aplicación.  Identificará los diferentes tipos de anualidades como son las simples, vencidas u ordinarias, anticipadas, diferidas, generales y a perpetuidad.  Resolverá problemas de anualidades determinando el valor del dinero a través del tiempo:

   

Monto Capital y valor presente Plazo Renta

5.1.

Introducción

En la actualidad, el término anualidad se encuentra muy arraigado en la matemática financiera, siendo esta una sucesión de pagos iguales que se realizan al final de cada año. El concepto de anualidad también se emplea en periodos de pago cuya frecuencia puede ser: semestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal, diaria o cualquier otra. En los siguientes casos se efectúan una serie de pagos iguales, a intervalos iguales, en un plazo determinado por el deudor y acreedor. En lugar de realizar pagos anuales durante un plazo determinado. El pago mensual por compra a crédito de un automóvil, el pago mensual a tarjeta de crédito por la compra de un servicio o artículo a meses sin intereses, el pago mensual por la renta (anticipada) de una casa habitación, el abono mensual por dividendo de acciones, los abonos a un fondo de amortización, el descuento se le realiza al trabajador vía nómina para el pago quincenal de un seguro de vida o para el pago a FONACOT por un artículo del hogar adquirido por el trabajador, el pago mensual de cuotas al IMSS por parte del patrón.

Definición La anualidad es una serie de pagos, depósitos o retiros iguales que se efectúan a intervalos iguales con interés compuesto. Cuando los periodos de pago son menores a un año se acostumbra a utilizar el término renta para realizar el pago de una anualidad.

Definición La renta en una anualidad es el pago, depósito o retiro que se realiza en forma periódica y se simboliza con la letra R. Definición La anualidad es una serie de pagos, depósitos o retiros iguales que se efectúan a intervalos iguales con interés compuesto. Cuando los periodos de pago son menores a un año se acostumbra a utilizar el término renta para realizar el pago de una anualidad.

Intervalo o periodo de pago Figura 5.1 Plazo de la anualidad, renta e intervalo. Es importante aprender el significado de los siguientes conceptos: Periodo o intervalo de pago es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo de la anualidad es el tiempo transcurrido desde la fecha inicial del primer pago hasta la fecha final del último pago.

Clasificación de las anualidades

Cuadro 5.1 Clasificación de las anualidades Criter io

Tipo de anualid ad Cierta Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.

Tiem po

Interé s

Contingentes o EVentual La fecha del primer pago, segundo o ambos no se determinan con anterioridad, esto va a depender de que el suceso ocurra, pero se desconoce la fecha. Simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. General El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Vencido u ordinario Los pagos se efecTÚAN al vencimiento del periodo o intervalo.

Pago s

Anticipados Los pagos se efecTÚAN al principio de cada periodo o intervalo. Inmediatos El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la formalización del trato. Anticipada Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

Iniciaci ón

Diferida Se pospone la realización de los pagos. No se realizan a partir del primer periodo.

5.2. Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua Es otro tipo de anualidad, con la característica de que no se conoce cuándo se realizará el último pago de la renta (o por tiempo ilimitado).

5.3.

Anualidades vencidas

Existen varios tipos de anualidades vencidas, entre las más comunes encontramos: Anualidad simple Se conoce así porque el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Anualidad cierta Donde las fechas de pago se determinan con anterioridad y son fijas. Anualidad vencida Consiste en efectuar los pagos al vencimiento del periodo.

Anualidad inmediata Se presenta cuando se realiza el pago en el primer periodo después de la formalización del trato. En el cuadro 5.2 se explica cómo identificar los diferentes tipos de anualidades vencidas cuando son planteadas para resolver un ejemplo o problema:

Cuadro 5.2 Forma de identificar la anualidad vencida Criterio Anualidad vencida Ejemplo Las fechas son fijas y se determinan Al final del mes (el día 28 o 30 Tiempo (Cierta) con anterioridad. o 31). Tiempo que transcurre desde la fecha El plazo puede ser de dos Plazo de su emisión hasta la fecha de su años. vencimiento. El pago o cobro tiene lugar en el Al final del mes de mayo (el Iniciación primer periodo, inmediatamente día 31). después de la emisión de un (Inmediata) empréstito (formalización del trato). Los pagos se efectúan al vencimiento •Al finaldel mes. del periodo o intervalo. •Eldíaúltimodel mes. Pagos •Eldía31del mes (elperiodoquecomprendedeldí a 1 al día 31 de mayo). Cuando el periodo de pago coincide Periodo de pago de un mes y Interés con el periodo de capitalización de los la tasa de interés es de 10% intereses. anual convertible (Simple) mensualmente. 5.3.1. Monto en anualidades vencidas El ejemplo que se presenta a continuación permitirá comprender cómo calcular el monto de una anualidad mediante varios depósitos de renta fija. Primero se encontrará la solución utilizando los conocimientos de progresiones, interés compuesto y de ecuaciones equivalentes y después se obtendrá la expresión para calcular el monto de la anualidad vencida. Problema resuelto 1. Para incrementar el saldo promedio mensual se depositará una cantidad

mínima de $150.00 mes con mes y por medio de ellos poder escalar en los niveles de ahorro que le permitan participar en sorteos bimestrales para poder ganar un premio, el alumno Alejandro Ortiz se pregunta, ¿qué cantidad de dinero necesitaría acumular en un año si depositara $150.00 al final de cada mes en una cuenta de inversión que rinde 4.8% anual convertible mensualmente? Datos: T = 4.8% anual R = $150.00 n = 12 meses

Incógnita M

Figura 5.2 Plazo de la anualidad, renta e intervalo (de tiempo). 1. Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equivalentes: Poner los datos en el orden de la serie: 11

M =$ 150.00+$ 150.00 ( 1.004 ) +$ 150.00 ( 1.004 ) + $ 150.00 ( 1.004 ) + $ 150.00 ( 1.004 ) + $ 150.00 Cambiando el orden de la serie se tiene: 1

M =$ 150.00+$ 150.00 ( 1.004 ) + $ 150.00 ( 1.004 ) + $ 150.00 ( 1.004 ) + $ 150.00 (1.004 ) + $ 150.00 ( M =$ 1840.13 Al estar el orden invertido se puede ver que el monto es una serie geométrica. La serie geométrica se define como:

Donde: Cuadro 5.3 Serie geométrica Suma S t 1 Primer término Razón r Número de término n Al sustituir la simbología de anualidades en la serie geométrica se tiene: Cuadro 5.4 Serie geométrica de una anualidad Serie geométrica Suma M S t1 Primer término R Razón (1+t) r Número de términos n n Utilizando la siguiente forma algebraica:

Simplificando en forma algebraica se obtiene:

Anualidad Monto Renta Razón Periodo

R = pago periódico de la anualidad n = número de periodos de conversión de interés durante el tiempo de la anualidad i = tasa de interés por periodo de conversión M = Valor acumulado o suma de una anualidad Valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 cada uno valor acumulado de $1 por periodo.

[

Factor de acumulación de n pagos

( 1+i)n−1 i

]

La ecuación 5.2 permite obtener el cálculo del monto de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata. 2. Cálculo del monto de la anualidad vencida con las fórmulas 5.1 y 5.2: a) Se utiliza la fórmula 5.1: 12

$ 150.0−$ 150.00 ( 1.004 ) $ 150.00−$ 150.00(1.04907) = 1−1.004 −0.004 $ 150.00−$ 157.3605 −7.3605 S= = =$ 1840.125 −0.004 −0.004 S=

b) Ahora se emplea la fórmula 5.2:

[

]

( 1.004 )12−1 1.04907−1 0.04907 =$ 150.00 =$ 150.00 0.004 0.004 0.004 M =150.00 ( 12.268 )=1840.13 M =$ 150.00

[

]

[

]

Problema resuelto 2. El hermano del arquitecto Demetrio Duarte deposita cada tres meses $50

000.00 en su cuenta de inversión, la cual paga 1.32%. ¿Cuánto dinero tendrá después del depósito del 31 de marzo de 2017, si el primer depósito se realizó el 31 de marzo de 2013? Solución Datos: R= $50 000 Incógnita M T = 1.32% A.C.T. i = 0.0033 trimestral n = 17 trimestres

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 (1.0033 )17 −1 1.058203−1 0.058203 M =R =50000.00 =50000.00 =50000.00 i 0.0033 0.0033 0.0033 M =50000 ( 17.63735 )=921522.16

[

]

Problema resuelto 3. Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $40 000

anuales durante seis años, a una tasa de interés de 18%. Solución

[

]

Datos: R= $40000 T= 18% A n= 6 años Incógnita M Desarrollo:

[

]

[

(1+i )n−1 ( 1.18 )6−1 M 1=R =40000 i 0.18

[

]

[

]

2.699554−1 1.699554 =40000 0.18 0.18 M 1=40000 ( 9.441967 )=377678.70

¿ 40000

]

Problema resuelto 4. Para abrir una cuenta de inversión en Banejército se requiere depositar $3 000

y mantener un saldo promedio de $1 500 mensuales. El capitán Antonio Suárez abre una cuenta el 1 de febrero en Banejército, a partir de 1 de marzo 2013 empieza a realizar depósitos de $400 mensuales durante seis años. El primero de marzo de 2019 empezará a realizar retiros de $300 mensuales durante cuatro años. ¿Cuál es el saldo que tendrá el capitán Suárez en su cuenta de inversión después de haber realizado el último retiro (1 de febrero de 2023) si la tasa de interés es de 4.5% convertible mensualmente.

Figura 5.3

M =M 1+ M 2 −M 3

[

0.045 12 M 1=$ 4700.98 M 1=3000 1+

M =4700.98+ 32992.33−15745.15 120

]

M =$ 21948.16

=3000 ( 1.00375 )120 =3000 ( 1.566992 )

M 2=400 ( 82.48082 )=32992.33

[

] [

( 1.00375 )48−1 1.96814−1 0.193814 =300 =300 0.00375 0.00375 0.00375 M 3=300 ( 52.483833 )=15745.15 M 3=300

] (

)

5.3.2. Valor actual (A) o presente (VP) en anualidades vencidas 5. ¿Cuál es el valor actual de una renta mensual de $2 000 si los depósitos se realizaron al final de cada mes durante seis meses en la institución financiera Banejército que ofrece una tasa de interés de 12% anual capitalizable mensualmente? 6.

Figura 5.4 Anualidad, renta e intervalo de tiempo

Datos R = $2 000 T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n = 6 Incógnita A 1. Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equivalentes: a) Poner los datos en el orden de la progresión: −1

−2

−3

−4

−5

A=2000 ( 1.01 ) +2000 ( 1.01 ) +2000 ( 1.01 ) +2000 ( 1.01 ) +2000 ( 1.01 ) + 2000 ( 1.01 ) A=$ 11590.95

t1 R n

Cuadro 5.5 Progresión geométrica de una anualidad Progresión geométrica Anualidad Suma A Valor actual Primer término R Primer término −1

Razón Número de términos

(1+i) (1+t)−1 n

Razón Periodo

b) Serie geométrica

c) Sustituyendo en la serie geométrica la simbología de anualidades término por término, se obtiene:

d) Simplificando algebraicamente obtenemos la siguiente relación:

Con la ecuación 5.3 se obtiene el cálculo del valor actual de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. Problema resuelto

−6

7. Cálculo del valor actual de la renta mensual empleando la ecuación 5.3:

Datos R = $2 000.00 Incógnita C T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n = 6 Solución:

A=R

[ [

1− (1+i )−n i

]

−6

]

[

]

[

1−( 1.01 ) 1−( 0.942045 ) 0.0579547 =2000 =2000 0.01 0.01 0.01 A=2000 ( 5.795476 )=11590.95

¿ 2000

]

Problema resuelto 8. Encontrar el valor actual pagado por un calentador solar si se dio un enganche

de $2 500 y se realizaron seis pagos mensuales vencidos de $2 300 y un séptimo pago de $1 000. La tasa de interés pactada es de 24% capitalizable mensualmente.

Figura 5.5 Anualidad Datos: Enganche= $2500 R= $2500 Séptimo pago= $1000 T= 24% A.C.M. n= 6 meses Incógnita A i= 0.02 mensual Desarrollo: El valor actual pagado por el calentador solar sería:

A=2500+ 2300

[

1−( 1.02 )−6 +1000 ( 1.02 )−7 0.02

]

[

]

1−0.887971 +1000 ( 0.87056 ) 0.02 A=2500+ 2300 (5.601431 ) +870.56 A=2500.00+ 12883.29+ 870.56=$ 16253.85 A=2500+ 2300

Problema resuelto

9. El señor Juan Alberto firmó un contrato con una mueblería por la compra de

una sala, esta le pidió de enganche $4 000 y pagos mensuales de $480 durante cinco años, con una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. El señor Juan Alberto no realizó los primeros siete pagos. ¿Cuánto debe pagar en el octavo mes para saldar el total de la deuda? 10.

Solución Sea X el pago requerido al señor Juan Alberto, este debe realizar los ocho primeros pagos más el valor descontado de 60 8 = 52.

Figura 5.6 Anualidad.

[

] [

[

] [

( 1.01 )8−1 1−( 1.01 )−52 1.0828567−1 1−0.596058 X =480 +480 =480 + 480 0.01 0.01 0.01 0.01

] [

]

0.0828567 0.403942 +480 =480 ( 8.28567 ) +480 ( 40.394194 )=3977.12+19389 0.01 0.01 X =$ 23366.34 X =480

Problema resuelto 11. La distribuidora AMAC firmó un contrato con la fábrica Tremek por la compra

de herramienta. La distribuidora dio un enganche de $300 000 y pagos mensuales de $35 000 durante seis años, a una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. Al principio del cuarto año después de haber realizado 36 pagos el contrato es vendido a Banorte a un precio que rinde al comprador 15% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto debe pagar Banorte? 12.

Solución X es el precio que debe pagar el comprador. X es el valor descontado de los 72 36 = 36 pagos a una tasa de 15% capitalizable mensualmente.

[

]

[

]

[

−36 1−0.63941 0.36059 1− (1.0125 ) X =35000 =35000 X =35000 0.0125 0.0125 0.0125 X =35000 ( 28.847267 )=1009654.35

]

Problema resuelto 13. La panificadora La Espiga analiza la posibilidad de adquirir una nueva batidora

con valor de $80 000, se estima que el valor de salvamento sea de $12 000 al final de 10 años. Los costos de los seguros contra robo y mantenimiento del equipo $400 pagaderos al final de cada mes. La misma batidora se puede arrendar por 10 años por $1 500 mensuales de arrendamiento, este incluye el seguro contra robo y de mantenimiento, el arrendatario gana 18% capitalizable

mensualmente sobre su capital. El administrador de la panadería debe tomar una decisión entre comprar o rentar la batidora. Solución: Para cada caso se debe calcular el Valor Presente Neto (VPN) VPN = Valor presente de entradas en efectivo Valor presente de salidas en efectivo

[

1−( 1+ 0.015 )−120 0.015 VPN de Compras ¿ 2010.28−[ 80000.00+ 400 ( 55.498454 ) ] VPN de Compras ¿ 2010.28−( 80000.00+ 22199.38 ) VPN de Compras ¿ 2010.28−102199.38 VPN de Compras ¿−$ 100189.1 1−( 1+ 0.015 )−120 VPN de Renta ¿ 1500 0.015 VPN de Renta ¿ 1500 (55.498454 ) VPN de Renta ¿ $ 83247.68 VPN de Compras ¿ 12000 (1.015 )−120 − 80000+400

[

(

)]

]

Como el VPN de renta es de menor valor absoluto que el VPN de compra, entonces la panificadora La Espiga debe rentar la batidora. Problema resuelto 14. La psicóloga María José Flores para saldar la deuda de una becacrédito

contraída con la Universidad del Caribe para realizar su tesis, acuerda realizar 18 pagos de $800 al final de cada trimestre y un pago final de $389.50 nueve meses después, la tasa de interés compuesto trimestralmente es de 24%. ¿Cuánto adeuda la psicóloga María José Flores? Solución:

Figura 5.7 Anualidad

[

]

1−( 1.06 )−18 1−0.350344 X =800 +389.50 ( 1.06 )−21=800 +389.50 ( 0.294155 ) 0.06 0.06

[

]

0.649656 +114.573529=800 ( 10.8276 ) +114.57=8662.08+ 114.57 0.06 X =$ 8776.65 X =800

5.3.3. Renta La renta es el pago periódico de la misma cantidad que se realiza en tiempos iguales. Para calcular el valor de una renta se analizan primero los datos del problema para identificar si se conoce el valor del monto o del valor actual.

Si se conoce el valor del valor futuro (M), se deberá despejar la renta de la ecuación 5.2:

M =R

[

(1+i)n−1 i

]

5.2

Obteniendo la ecuación:

M (i) (1+i)n−1

5.4

Cuando el capital o el valor actual (A) se conocen, se despeja la renta de la ecuación 5.3:

A=R

[

1−(1+i)−n i

]

5.3

Se obtiene:

A (i) 1−( 1+i )−n

5.5

Problema resuelto 15. ¿Cuánto debe aportar la señora Andrea Méndez al final de cada mes en la caja

de ahorros de su trabajo, si desea hacerle arreglos a su baño y cocina dentro de tres años? Ella estima que en el último depósito debe contar con una cantidad acumulada de $95 000.00. La tasa de interés que aplica la caja de ahorros es de 4% mensual. Solución: Datos M= $95000.00 n= 3 años = 36 meses i= 0.04 mensual

Incógnita R

M ( i ) 95000 ( 0.04 ) 3800 3800 = = = =$ 1224.25 mensual n 36 ( 1+i ) ( 1.04 ) −1 4.103933−1 3.103933

Problema resuelto 16. ¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar el sociólogo Alejandro

Fuentes durante los próximos seis años para acumular $800 000, ya que desea dar el enganche para una casa de interés social? Una institución Banorte le ofrece una tasa de interés de 8.5% convertible mensualmente. Solución Datos: M = $800000 n = 6 años = 72 meses i = 0.0070833 mensual

Incógnita R

M (i) 800000 ( 0.0070833 ) 5666.64 5666.64 = = = =$ 8556.08men n 72 1.662296−1 0.662296 ( 1+i ) −1 ( 1.0070833 ) −1

Problema resuelto 17. El Capitán Solís solicita a Banejército un crédito de seis meses de su sueldo.

La cantidad que ledeposita en su cuenta de inversión la Secretaría de Marina es de $30 000 quincenales. El contrato firmado con Banejército establece que los pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo de 18 meses, y una tasa de interés de 24% anual convertible quincenalmente. El pago quincenal no incluye el iva. ¿Cuánto debe pagar el Capitán Solís quincenalmente? Solución Datos: M= 30000(12) = $360000 n = 18 meses = 36 quincenas T= 24% A.C. Quincenal

Incógnita R

M (i) 360000 ( 0.24 / 24 ) 3600 3600 = = = =$ 8357.15 quin. n 36 1.430768−1 0.430768 ( 1+i ) −1 ( 1.01 ) −1

Problema resuelto 18. La pastelería El Globo en su sucursal de Cd. Jardín estima que será necesario

cambiar el horno de pan dentro de 12 años, a un costo $680 000. ¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión si el banco ofrece una tasa 4? 0% anual? Solución Datos: M = $680000 Incógnita R n = 12 años T = 4% anual

M (i) 680000 ( 0.04 ) 27200 27200 = = = =$ 45255.47 anual n 12 1.601032−1 0.601032 ( 1+i ) −1 ( 1.04 ) −1

Problema resuelto 19. El señor José Acevedo compra a crédito un multifuncional de $4 990 más iva.

El señor Acevedo acuerda pagarla en 12 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés que le cobran es de 1.8% mensual? Solución Datos: A = $4 990.00 + iva Incógnita R A = $4 990.00 + $798.40 A = $5 788.40 n = 12 meses T = 1.8% mensual

A (i) 5788.40 ( 0.018 ) 104.1912 104.1912 = = = =$ 540.65 men −n −12 1−0.8072846 0.192715 1−( 1+i ) 1−( 0.018 )

Problema resuelto

20. ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador a la caja de ahorros del

sindicato de la UNAM, por un crédito de $80 000 pagaderos a dos años a una tasa de interés de 3% mensual? Solución Datos: A = $80 000 n = 2 años = 24 pagos i = 0.03 mensual

Incógnita R

A (i) 80000 ( 0.03 ) 2400 2400 = = = =$ 4723.79 men −n −24 1−0.4919337 0.508066 1−( 1+i ) 1−( 1.03 )

5.3.4. Plazo El número de periodos (plazo o tiempo) de pago en una anualidad vencida se calcula de la siguiente manera: Analizar los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Cuando se conoce el valor actual (A) se despeja el periodo de la expresión de anualidad vencida de valor actual de la ecuación 5.3.

Ai 1−(1+i)−n

5.5

Para obtener n se pueden utilizar las ecuaciones 5.6 o 5.6a:

[ ]

1 Ai 1− R n= log(1+ i) log

[

A (i) R log (1+i)

(

log 1−

n=−

)

]

5.6

5.6ª

Si se conoce el monto (M) se despeja el periodo (n) de la ecuación 5.2 de anualidad vencida de monto.

M =R

[

(1+i) −1 i

]

5.2

Para obtener n se utiliza la ecuación 5.7:

log n= Problema resuelto

( MR i +1)

log(1+i)

5.7

21. Se tiene que saldar una deuda al día de hoy de $18 000. Realizando pagos de

$3 000 al final de cada bimestre con una tasa de interés de 11% bimestral. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $3 000 tendrá que hacer para saldar su deuda? Solución Datos: T = 11% bimestral i = 0.11 bimestral R = $3 000 A = $18 000

Incógnita R

[ ] [

] [ ]

1 1 1 log log 18000 ( 0.11 ) Ai 1980 1 1− 1− 1− log R 3000 3000 0.34 n= = = = log ( 1+ i ) log ( 1.11 ) log ( 1.11 ) log ( 1.11 ) log ( 2.941176 ) 0.4685211 n= = =10.33 pagos bimestrales 0.0453229 log ( 1.11 ) log

[ ]

1. . Hacer 10 pagos de $3 000 + otro pago menor Con n pagos bimestrales que se obtuvieron se encuentra el valor futuro del adeudo (al final de los 10 bimestres): Si el adeudo es de $18 000, se debe calcular el valor futuro del adeudo al final de los 10 bimestres.

M =C ( 1+i )n=18000 ( 1.11 )10 =18000 ( 2.839421 )=51109.58 Posteriormente, debemos encontrar el valor futuro de los 10 pagos realizados al final de cada bimestre.

M =R

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 ( 1.11 )10−1 2.839421−1 =3000 =3000 i 0.11 0.11

M =3000

[

]

1.839421 =3000 (16.722 ) 0.11

[

]

M =$ 50166.01

Después de realizar el pago 10 todavía se tiene un adeudo, pero se desconoce de cuánto es:

M lC −M Anualidad =51109.58−50166.01=$ 943.55

El adeudo anterior se tiene que pagar a final del bimestre 11, para lo cual es necesario calcular su valor futuro. n

M =C ( 1+i ) =943.55 ( 1.11 ) M =$ 1047.34 loque representaun pago menor pra el bimestre 11 2. Hacer 9 pagos de $3 000 + otro pago mayor Se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 9 bimestres.

M =C ( 1+i )n=18000 ( 1.11 )9 =18000 ( 2.55804 )=46044.72

Como segundo paso encontraremos el valor futuro de los 9 pagos realizados al final de cada bimestre.

M =R

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 ( 1.11 )9−1 1.558 =3000 =3000 =3000 ( 14.1639 ) =42490.90 i 0.11 0.11

[

]

Después de realizar el noveno pago todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la manera siguiente:

M lC −M Anualidad =46044.72−42491.70=$ 3553.02

El adeudo anterior se tiene que pagar al final del décimo bimestre, por lo que es necesario calcular su valor futuro correspondiente: n

M =C ( 1+i ) =3553.02 ( 1.11 ) =$ 3943.85 El décimo pago es mayor al pago bimestral normal. Problema resuelto 22. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $1 500.00 se tendrían que realizar

para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $24 000.00, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 24% convertible mensualmente? Solución Datos T = 24% A.C. Mensual Incógnita n i = 0.02 mensual R = $1 500.00 A = $24 000.00 Obtener los pagos mensuales vencidos (n):

log n=

[ ] [ 1 Ai 1− R

log ( 1+ i )

log

1 24000 ( 0.02 ) 1− 1500 log ( 1.02 )

] [ ] log

1 480 1− 1500

log (1.02 )

[

1 1−0.32 = log ( 1.02 ) log

]

1.02 ¿ 1.02 ¿ log ¿ log ¿ 1 log 0.68 ¿ ¿

( )

No se pueden realizar 19.4757 pagos, entonces existen dos alternativas: 1. Hacer 19 pagos de 1 500 pesos + un pago menor Si el adeudo es de $24 000 primero se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 19 meses.

M =C ( 1+i ) =24000.00 ( 1.02 ) =24000 ( 1.4568112 )=34963.47 Posteriormente debemos encontrar el valor futuro de los 19 pagos realizados al final de cada mes.

[

]

[

]

( 1+ t )n −1 ( 1.02 )19−1 1.4568112−1 M =R =$ 1500.00 =1500.00 =¿ t 0.02 0.02 M =1500.00

( 0.4568112 0.02 )

[

]

M =1500 ( 22.84 ) =34260.84

Cuando ya se realizó el pago 19 todavía existe un adeudo y se desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la siguiente forma:

M lC −M Anualidad =34963.47−34260.84=$ 702.63 El adeudo anterior se tiene que pagar a final del mes 20, por lo que es necesario calcular su valor futuro:

M =C ( 1+i )n=702.63(1.02)1=$ 716.68 que corresponde a un pago en el mes 20. 2. Hacer 18 pagos de $1 500 y un pago final mayor. Se calcula el valor futuro del adeudo al final del mes 18. n

M =C ( 1+i ) =24000 ( 1.02 ) =24000 ( 1.428246 )=34277.90 Entonces el valor futuro de los 18 pagos realizados al final de cada mes sería.

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 (1.02 )18−1 1.428246−1 0.428246 M =R =1500 =1500 =150 =¿ i 0.02 0.02 0.02 M =1500 ( 21.4123124 ) =$ 32118.47

[

] [

]

Después de realizar el pago 18 el deudor todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente a este último adeudo se calcula en la forma siguiente:

M lC −M Anualidad =C (1+i )n −R

[

]

( 1+i )n−1 = 34277.90−32118.47=2159.43 i

El adeudo anterior se tiene que pagar al final del mes 19, por lo que se necesita calcular su valor futuro. n 1 M =C ( 1+i ) =2159.43 ( 1.02 ) =$ 2202.62 el cual representa un pago en el mes 19 Problema resuelto 23. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $19 238 se tendrían que realizar para

saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $850 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 18% convertible mensualmente? Solución

Datos: T = 18% A.C. Mensual i = 0.015 mensual R = $19 238 C = $850 000

[ ] [

Incógnita n

] [

1 1 1 log log 850000 ( 0.015 ) Ai 12750 1 1− 1− 1− log R 19238 19238 1−0.66275081 n= = = = log ( 1+ i ) log ( 0.015 ) log ( 1.015 ) log ( 1.015 ) log

log

[

]

[

]

1 0.33724919 log ( 2.96516646 ) 0.47204908 = = =73 pagos mensulaes 0.006466042 log ( 1.015 ) log ( 1.015 )

Problema resuelto 24. Se desea acumular la cantidad de $89 950, para reunirla se hacen depósitos

de $1 000 bimestrales vencidos, en una cuenta de inversión la cual paga 4.5% anual capitalizable bimestralmente. ¿En cuánto tiempo se reunirán los $89 950? Solución Datos: T = 4.5% A.C.B. i = 0.0075 bimestral R = $1 000 M = $89 950

log n=

Incógnita n

( 0.0075 ) 674.625 +1 ) log ( +1 ) ( MR( i ) +1) = log ( 899501000 1000 log ( 0.674625+1 ) = =

log ( 1+i ) log (1+ 0.0075 ) log ( 1.0075 ) log ( 1.674625 ) 0.22391757 n= = =69 pagos bimestrales 0.00324505 log ( 1.0075 )

5.4.

log ( 1.0075 )

Anualidades anticipadas

La anualidad anticipada puede ser: Simple Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Cierta Porque las fechas se determinan con anterioridad y estas son fijas.

]

Anticipada Porque los pagos se efectúan al principio del periodo. Inmediata Porque se realiza el pago en el mismo periodo después de la formalización del trato. En el cuadro 5.6 se indica la forma de identificar una anualidad anticipada cuando es planteada como un problema. Cuadro 5.6 Forma de identificar la anualidad anticipada Criterio Anualidad anticipada Tiempo (Cierta) Plazo

Iniciación (Inmediata ) Pagos Interés (Simple)

Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad. Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato o firma del crédito). Los pagos se efectúan al inicio del periodo o intervalo Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Ejemplo El primer día del mes. Al principio de la quincena (día 16). El día cuatro de cada mes.

Un bimestre o un semestre o un año o tres años. Primer día en que se inicia el periodo de pago. El día 16 de cada mes. El primer día de cada bimestre. El primer día de semana. El día 25 de mayo de cada año Periodo de pago de un mes y la tasa de interés 12% anual convertible mensualmente o 24% convertible semestralmente.

Las figuras 5.8 y 5.9 muestran la diferencia de la anualidad anticipada y vencida.

Figura 5.8 Anualidad anticipada.

Figura 5.9 Anualidad anticipada

5.4.1. Monto en anualidades anticipadas El monto se calcula con la ecuación 5.8:

[

( 1+ i )n +1−1 M =R −1 i

]

[

(1+ I ) 5.8 M =R −1 I

]

5.8 a En la ecuación 5.8a se plantea con 13 periodos vencidos (siendo n = 12). El pago de más está representado por 1, el cual se descuenta al utilizar la fórmula de anualidad vencida con plazo de un año.

Figura 5.10 Anualidad anticipada valor futuro con 13 pagos (R). El plazo es de 12 meses y la manera de utilizar la fórmula de anualidad vencida donde solo se recorre el punto de origen de la gráfica al lado izquierdo (en 1) y el número de pagos considerados son en total de 13.

Problema resuelto 25. Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $100 al principio de cada mes.

Si la cuenta paga 1% de interés mensual. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año? Solución Datos: R = $100 n = 12 meses i = 1% mensual 1.

Incógnita M

1.1. En este primer caso se encuentra el monto utilizando la anualidad vencida durante el periodo 11, realizando para ello 12 pagos.

M 11=R

[

] [

( 1+t )n−1 ( 1+ 0.01 )12 −1 0.126825 =100 =100 =$ 1268.25 t 0.01 0.01

]

1.2. Para cubrir el plazo de un año, hace falta calcular el periodo número 12, ya que, en el cálculo anterior, el periodo inicio en el punto 1 y el cálculo del monto se realizó hasta el periodo 11.

Si , M 11 =C 1 2.

2.1. En este segundo caso utilizaremos la ecuación 5.9 que se deduce de los pasos planteados en los incisos 1.1 y 1.2:

M =R 3.

M 12=C1 ( 1+i ) =1268.25 ( 1.01 ) =1280.93

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 ( 1.01 )12−1 ( 1+i )1=100 ( 1.01 )1=1280.93 i 0.01

3.1. En el tercer caso, los cálculos se hacen con base en 12 periodos, por lo que se tendrán que realizar 13 pagos. Para calcular el monto se utiliza la ecuación de la anualidad vencida en la que se deberá restar del pago 13:

M =R

[

] [

]

( 1+ t )n −1 (1.01 )13−1 =100 =$ 1380.93 t 0.01

3.2. El monto de 13 pagos calculado con la anualidad vencida en 12 periodos es superior al calculado en los incisos 1.1 y 2.1 porque se realizó un pago de más. Para corregir dicho pago, debemos corregir la ecuación de la siguiente forma:

[

]

[

]

( 1+ t )n −1 ( 1.01 )13 −1 M =R −R=100 −100=1380.93−100=$ 1280.93 t 0.01 3.3. De los pasos anteriores se deduce que la ecuación para calcular el monto de la anualidad anticipada es:

M =R

[

( 1+ i )n −1 −1 −1 i

]

Si sustituimos los valores del problema, encontraremos el mismo resultado de los incisos 1.2, 2.1 y 3.2:

[

]

( 1.01 )13−1 M =100 −1 = $ 1280.93 0.01

Problema resuelto 26. Encuentre el monto de 20 pagos de $2 000 que se realizan al principio de cada

bimestre por la química Rosa Suárez en la compra de una centrifugadora para su laboratorio. El tipo de interés es de 20% anual capitalizable bimestralmente. Solución Datos: R = $2 000 n = 20 bimestres T = 20% A.C. Bimestral i = 0.0333 bimestral

M =R

[

Incógnita M

]

[

]

( 1+ i )n −1 ( 1.0333 )20−1 1.92543357−1 ( 1+i )1=2000 ( 1.033 )=2000 (1.033 ) i 0.033 0.033

M =2000

[

]

0.92543378 ( 1.033 ) =2000 ( 28.0434 ) ( 1.033 )=2000 ( 28.96888 )=57937.76 0.033

Problema resuelto 27. Encuentre el monto de ocho pagos que debe realizar el día uno de cada mes el

carpintero Tomás Baroja, por la cantidad de $1 550 para adquirir herramienta

para su carpintería. El tipo de interés contratado es de 24% anual capitalizable mensualmente. Solución Datos: R = $1 550 n = 8 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual

Incógnita M

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 ( 1.02 )8−1 1.1716594−1 1 M =R ( 1+i ) =1550 (1.02 ) =1550 (1.02 ) i 0.02 0.02 M =1550

[

]

0.1716594 ( 1.02 )=1550 ( 8.582969 ) (1.02 ) =1550 ( 8.754628 )=13569.67 0.02

5.4.2. Valor actual en anualidades anticipadas

Figura 5.11 Anualidad anticipada valor actual para 12 pagos.

Figura 5.12 Anualidad anticipada valor actual para 13 pagos.

Utilizando la ecuación de anualidad vencida para el cálculo del valor actual se debe considerar que se realiza con base en 13 pagos vencidos. Si realizamos un ajuste al exponente, obtenemos la siguiente relación:

[

1− (1+i )−n A=R i

]

Así que es necesario efectuar un ajuste al exponente, con lo cual se obtiene la relación siguiente:

[

1− (1+i )−n +1 A=R i

]

5.9

Ahora bien, a la ecuación debemos sumarle una renta para completar los 13 pagos para obtener el valor actual de una anualidad anticipada (5.10):

[

1− (1+i ) A=R i

−n +1

]

Factorizando a R

[

A=R 1+

1−( 1+i )−n+ 1 i

]

5.10

Problema resuelto 28. ¿Cuál es el valor de contado de una casa que compró Esmeralda en la colonia

Lomas Verdes, hace 20 años, si realizaba pagos anticipados de $60 000 mensuales, con una tasa de interés de 18% anual convertible mensualmente? Solución Datos: R = $60 000 Incógnita A n = 240 meses T = 18% A.C.M. i = 0.015 mensual

[

1−( 1+i ) A=R 1+ i

−n+ 1

]

[

−240+1

1− ( 1.015 ) =60000 1+ 0.015

65.76766807 1+64.76766807=60000 ¿ 0.971515 A=60000 1+ = 60000¿ 0.015

[

]

[

=60000 1+

1−0.028484978 0.015

A=$ 3946060.08

Problema resuelto 29. ¿Cuál es el valor actual de 18 pagos trimestrales anticipados de $2 855, con un

interés de 17.89% anual capitalizable trimestralmente? Solución Datos R = $2 855 n = 18 trimestres T = 17.89% A.C.T. i = 0.044725 trimestral

[

A=R 1+

Incógnita A

]

[

]

1−( 1+i )−n+ 1 1− ( 1.044725 )−18+1 1−0.4752982 =2855 1+ =2855 1+ i 0.044725 0.044725

1+11.7317384=2855(12.7317384)=$ 36349.11 0.524702 A=2855 1+ = 2855¿ 0.044725

[

Problema resuelto

]

[

]

30. Encontrar el valor de contado de un teléfono celular, por el cual se realizaron

24 pagos mensuales anticipados de $499 con una tasa de interés de 23.6% convertible mensualmente. Solución Datos: R = $499 n = 24 meses T = 23.6% A.C.M. i = 0.019666 mensual

[

A=R 1+

Incógnita A

]

[

]

1−( 1+i )−n+ 1 1− ( 1.019666 )−24+1 1−0.6389508 =2855 1+ =2855 1+ i 0.019666 0.019666

[

A=2855 1+

[

]

0.361049 =2855 (1+18.35905621 )=2855 ( 19.35905621 )=55270.11 0.019666

Problema resuelto 31. El chofer Francisco Méndez compró un camión a crédito de 40 asientos para

transporte. Él tiene que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $17 650, con intereses de 14% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado del camión? Solución Datos: R = $17 650 n = 24 meses T = 14% A.C.M. i = 0.011666 mensual

[

Incógnita A

]

[

]

1−( 1+i )−n+ 1 1− (1.01166 )−24+1 1−0.7659575 A=R 1+ =17650 1+ = 17650 1+ i 0.011666 0.011666

[

]

0.2340425 =17650 ( 1+20.06193211 ) 0.011666 A=17650 ( 21.06193211 ) =$ 371743.10 A=17650 1+

5.4.3. Renta en anualidades anticipadas Para calcular el valor de la renta primero se tienen que analizar los datos del problema e identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Si se conoce el monto, deberá despejarse la renta de la ecuación 5.8, se obtiene la ecuación 5.11:

Problema resuelto

]

32. ¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Aldama por la compra de un

comedor para su casa, si él acuerda con la mueblería realizar sus pagos el día uno de cada mes? Cuando realizó su pago 12 acumuló $53 726 y la tasa de interés aplicada fue de 24% anual convertible mensualmente. 33.

Solución Datos: M = $53 726 n = 12 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual

Incógnita R

[

n+1

( 1+i ) −1 −1 i

][

53726 12+1

( 1.02 ) −1 −1 0.02

][

53726

( 1.02 )13−1 −1 0.02

]

53726 53726 53726 53726 = = = [ 14.680331−1 ] 13.680331 1.2936−1 0.2936 −1 −1 0.02 0.02 R=$ 3927.24 R=

[

] [

]

Problema resuelto 34. La diseñadora gráfica Estrella Uribe tiene que pagar $150 000 por un préstamo

que solicitó para la compra de material de una maqueta que tiene que elaborar y vender, los préstamos personales que ofrece Banorte es a un plazo de tres años y la forma de pago es al principio de cada mes. ¿Cuánto debe pagar mensualmente la diseñadora Uribe, si la tasa de interés aplicada es de 26% anual convertible mensualmente? Solución Datos: M = $150 000 n = 36 meses T = 26% A.C.M. i = 0.021666 mensual

[

][

150000

][

] [

36+1

150000

]

( 1+i ) −1 ( 1.021666 ) −1 ( 1.021666 )37−1 −1 −1 −1 i 0.021666 0.021666 150000 150000 150000 150000 R= = = = 54.859386 ( 55.859386−1 ) 2.210196−1 1.210196 −1 −1 0.021666 0.021666 R=$ 2734.26

[

n+1

Incógnita R

]

Otra manera de conocer la renta es despejar la (R) de la ecuación del valor actual de anualidad anticipada, con lo que obtendremos su valor con base en el capital o valor actual.

Despejando (R) de la ecuación 5.10 se obtiene la ecuación 5.11:

Problema resuelto 35. El sociólogo Dimas Martínez desea regalarle a su hermana, el día de su boda,

una batería de cocina de 11 piezas con un precio de $6 400.00 y también decide comprarle una olla de presión de aluminio de 6 litros con un precio de $1 499.00. ¿Cuánto debe pagar al inicio de cada mes durante 12 meses, si la tasa de interés es de 28% anual capitalizable mensualmente? Solución Datos: A = 6 400 + 1 499 = $7 899 n = 12 meses T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual

[

−n+1

1−( 1+i ) 1+ i

][

Incógnita R

7899 −12+1

1−( 1.023333 ) 1+ 0.02333

][

7899 1−( 1.023333 )−11 1+ 0.023333

]

7899 7899 7899 7899 = = = 1−0.775913 0.224087 ( 1+9.603737 ) 10.603737 1+ 1+ 0.023333 0.023333 R=$ 744.92 R=

[

][

]

Problema resuelto 36. Una tienda departamental pone a la venta en el mes de diciembre motocicletas,

con valor de $18 950 al contado o mediante 24 pagos mensuales anticipados. Si Margarita Rosas se decide a comprar la motocicleta a crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes, si el interés a pagar es de 23.5% anual capitalizable mensualmente? Solución Datos: A = $18 950 n = 24 meses T = 23.5% A.C.M. i = 0.019583 mensual

Incógnita R

[

−n+1

1−( 1+i ) i

18950

][

−24+1

1−( 1.019583 ) 0.019583

18950

][

−23

1− (1.019583 ) 0.019583

]

18950 18950 18950 18950 = = = 1−0.64014339 0.35986566 [ 1+18.3759695 ] 19.3759695 1+ 1+ 0.019583 0.019583 R=$ 978.02 R=

[

][

]

5.4.4. Plazo en anualidad anticipada Para conocer el número de periodos de pago en una anualidad anticipada, primero se analizan los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Si se conoce el valor actual se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de valor actual.

Cuando se conoce el monto se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de monto:

Problema resuelto 37. El bufete de abogados Mariles, S.A., desea comprar una mesa y 18 sillas para

su sala de juntas con valor de $68 000 al contado. La casa de muebles para oficina ofrece venderlos en abonos anticipados mensuales de $3 699, siendo el interés de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos tendría que hacer el bufete de abogados si se decide hacer la compra? Solución Datos:

[ [

n=1−

[

]

[

]

1473.33 3699 log [ 1.021666−0.39830585 ] =1− log1.02666 log ( 1.021666 )

log ( 1.021666 ) −

n=1− n=1−

] [

[

( 68000 ) ( 0.021666 ) Ai log ( 1.021666 )− R 3699 =1− log ( 1+ i ) log ( 1.021666 )

[

log ( 1+i )−

[

] [

log ( 0.62336 ) −0.205261 =1− =1− (−22.05 ) 0.009309224 log ( 1.021666 )

]

n=23.05 pagos

Problema resuelto 38. La arqueóloga Itzayana Sotelo desea comprar un paquete de utensilios de

cocina para campamento, el cual cuesta al contado $18 586, ella decide pagarlo en abonos con una tasa de interés de 22% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de $985 al principio de cada mes? Solución Datos: A = $18 586 T = 22% A.C.M. i = 0.018333 mensual R = $985

[

]

] [

( 18586 ) ( 0.018333 ) 340.7433 log ( 1.018333 )− 985.00 985.00 =1− log ( 1.018333 ) log ( 1.018333 )

log ( 1.018333 )−

n=1− n=1−

Incógnita n

] [

[

log ( 1.018333−0.34593232 ) log ( 0.672401 ) =1− log (1.018333 ) log ( 1.018333 )

]

−0.17237166 ( 0.0078899598 )=1−(−21.847) =22.85 pagos

n=¿1−

Problema resuelto 39. La tienda Benedetti vende de contado una bicicleta de montaña en $9 580 o

mediante pagos mensuales anticipados de $995. El interés es de 22.64% anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar si se compra a crédito? Solución Datos: A = $9 580 T = 22.64% A.C.M. i = 0.018866 mensual R = $995

Incógnita n

]

[

n=1−

[

n=1−

[

]

] [

( 9580 )( 0.018866 ) 180.74 log ( 1.018866 ) − 995.00 995.00 =1− log (1.018866 ) log ( 1.018866 )

log ( 1.018866 ) −

] [

[

log [ 1.018866−0.1816509 ] log ( 0.837215745 ) =1− log ( 1.018866 ) log (1.018866 )

]

=1−(−9.50588 )=10.51 pagos ( −0.0771626 0.00811735 )

n=1−

5.5.

Anualidades diferidas

Una anualidad diferida es aquella en la que el inicio de los cobros o depósitos se realizan después de que transcurrió algún tiempo desde el momento en que se formalizó la operación. Al tiempo comprendido desde el momento inicial o de convenio hasta el inicio del plazo se le conoce como periodo de gracia o periodo de diferimiento. En el cuadro 5.7 se describe la manera de identificar una anualidad vencida cuando es planteada en un ejemplo o problema a solucionar:

Cuadro 5.7 Identificación de una anualidad vencida Criterio Anualidad vencida  Tiempo Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad. (Cierta) Plazo

Tiempo que transcurre desde la fecha de emisión hasta la fecha de vencimiento.

Iniciación (Diferida)

El pago o cobro se realiza después del periodo de gracia.

Pagos

Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo.

Simple

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

       

Ejemplo Tres mesesdegraciayplazode1 8 meses Un año Seis meses Un trimestre Tres meses Un bimestre Dos años A finales de mes, el día30o31decada mes. Periodo de pago es de un mes y la tasa de interés de 10% anual capitalizable mensualmente.

En la figura 5.13 se muestra que el primer pago de la anualidad es diferido en cuatro meses y el plazo de la anualidad es de seis meses, la renta es de $350 y se paga al final del periodo, por esta razón el comienzo del plazo de la anualidad vencida se ubica en el tercer mes.

Figura 5.13. Anualidad diferida cuatro meses, plazo seis meses y renta de $350 cada mes. Para resolver los problemas de anualidades diferidas no se necesitan nuevas fórmulas, se utilizan las de anualidades vencidas o anticipadas. 5.5.1. Monto en anualidades diferidas El monto se calcula utilizando las mismas ecuaciones de anualidades vencidas o anticipadas según sea el caso, ya que durante el periodo de gracia no se cobran intereses.

Problema resulto 40. El señor Fernando Valdez compró a crédito un molino de nixtamal el día de hoy

para su negocio y su acreedor le concede un periodo de gracia de un año; sin embargo, realizará seis pagos semestrales anticipados de $54 800 por la compra del molino de nixtamal, si el interés es de 8% anual convertible semestralmente, encontrar el monto. Solución Datos: R = $54 800 Incógnita M n = 6 semestres Periodo de gracia un año = dos semestres T = 28% A.C.S. i = 0.02 semestral

Figura 5.14 Anualidad diferida dos semestres, plazo seis semestres y renta de $54 800 cada mes Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (pagos semestrales anticipados).

M =R

[

]

[

]

[

( 1+ i )n +1−1 ( 1.02 )6 +1−1 ( 1.02 )7−1 −1 =54800 −1 =54800 −1 i 0.02 0.02

[

]

[

]

1.148685668−1 0.148685668 −1 =54800 −1 =54800 (7.434283−1 ) 0.02 0.02 M =54800 ( 6.4342834 ) =$ 352598.73 M =54800

Problema resuelto 41. Encontrar el pago total que debe realizar el señor Héctor Serrano por la compra

de una computadora el día de hoy, si después de tres meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $999 con un interés de 28% anual convertible mensualmente. Solución Datos: R = $999 T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual n = 12 meses

Incógnita M

Figura 5.15 Anualidad diferida dos meses, plazo 12 meses y renta de $999 cada mes. Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (al inicio de cada mes).

[

] [

( 1+ i )n +1−1 (1.023333 )12 +1−1 ( 1.023333 )13−1 M =R −1 =999 −1 = 999 −1 i 0.0233333 0.023333

[

] [

]

1.34965438−1 0.34965438 −1 =999 −1 =999 ( 14.9851877−1 ) 0.023333 0.023333 M =999 ( 13.9851877 )=$ 13971.20 M =999

Problema resuelto 42. Encontrar el pago que debe realizar la astrónoma Silvia Torres por la compra

de un telescopio electrónico portátil el día de hoy. Acuerda con su acreedor que después de cuatro meses realiza 12 pagos al final de cada mes de $50 950 con un interés de 23% anual convertible mensualmente. Solución Datos: R = $50 950 Incógnita M T = 23% A.C.M. i = 0.0191666 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 4 meses

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 (1.0191666 )12−1 1.25586377−1 =50950 =50950 i 0.0191666 0.0191666 13.34941409 0.25586377 M =$ 680152.65 M =50950 =50950 ¿ 0.0191666 M =R

[

]

Problema 43. ¿Cuál es el monto de una renta semestral de $20 000 durante ocho años, si el

primer pago vencido semestral se realiza dentro de tres años y el interés es de 18% capitalizable semestralmente? Solución Datos: Primer pago = después de 3 años Incógnita M m = periodo de gracia 6 meses n = 16 semestres R = $20 000 T = 18% A.C.S. i = 0.09 semestral

Figura 5.17 Anualidad diferida tres años y medio, plazo ocho años y renta de $20 000 cada mes. Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada semestre).

M =R

[

]

[

]

( 1+ i )n −1 ( 1.09 )16−1 3.97030588−1 =20000 =20000 i 0.09 0.09

M =20000

[

]

[

2.97030588 =20000 ( 33.00339868 ) 0.09

]

M =$ 660067.97

5.5.2. Valor presente en anualidades diferidas En el cálculo del valor presente de una anualidad diferida los intereses generados dentro del periodo de gracia se capitalizan.

Figura 5.18 Anualidad diferida valor actual. Donde m es igual al periodo de gracia y n el periodo pactado para la inversión o transacción comercial.

Problema resuelto 44. El dueño de una vulcanizadora compra una compresora industrial con un pago

inicial de $6 000 y ocho mensualidades de $3 800 cada una, pagando la primera mensualidad después de cuatro meses de la compra; además, le cobran 20% de interés anual capitalizable mensualmente. Encontrar el precio del equipo. Solución Datos: Pago inicial = $6 000 Incógnita A Primer pago después de 4 meses = $3 800 m = periodo de gracia = 3 meses n = 8 meses R = $3 800 T = 20% A.C.M. i = 0.01666 mensual

Figura 5.19 Anualidad diferida valor actual para ocho pagos mensuales de $3 800

Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).

[

]

[

]

1− (1+i )−n 1−( 1+ 0.016666 )−8 −m A=R ( 1+i ) =3800 (1+ 0.0166666 )−3 i 0.016666

[

]

1−0.87613559 0.1238644 ( 1.016666 )−3=3800 ( 1.0166666 )−3 0.016666 0.016666 A=3800 ( 7.4318645 ) ( 0.9516215 )=$ 26874.82 A=3800

Precio = A + Pago inicial

(

)

Precio = 26 874.82 + 6 000 Precio = $32 874.82 Problema resuelto 45. El director de una secundaria particular compra mobiliario para un salón de

clases a crédito, en el mes de mayo, y acepta pagarlo mediante 12 mensualidades de $2 800 con una tasa de interés de 26% anual convertible mensualmente. El primer pago lo realizará a finales del mes de agosto del mismo año. ¿Cuál es el valor de contado? 46.

Solución Datos: Primer pago = finales de agosto m = periodo de gracia 2 meses n = 12 meses R = $2 800 T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual

Incógnita A

Figura 5.20 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $2 800. Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).

[

]

[

]

1− (1+i )−n 1−( 1+ 0.021666 )−12 −m A=R ( 1+i ) =2800 ( 1+0.021666 )−3 i 0.021666

[

]

1−0.77319549 0.2268045 ( 1.021666 )−3=2800 (1.021666 )−3 0.021666 0.021666 A=2800 ( 10.4679 ) ( 0.9377199 )=$ 25772.94 A=2800

(

)

Problema resuelto 47. ¿Cuál es el valor presente de una renta semestral vencida de $8 000 durante

10 años, si el primer pago semestral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de 18% capitalizable semestralmente? Solución Datos: Primer pago = Después de 3 años y medio

Incógnita A

m = periodo de gracia 6 semestres n = 20 semestres R = $8 000 T = 18% A.C.S. i = 0.09 semestral

Figura 5.21 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $8 000.

[

]

[

]

1− (1+i )−n 1−( 1+0.09 )−20 −m A=R ( 1+i ) =8000 ( 1+0.09 )−6 i 0.09

[

]

1−0.17843089 0.8215691 ( 1+0.09 )−6 =8000 ( 1.09 )−6 0.09 0.09 A=8000 ( 9.1285567 ) ( 0.59626733 )=$ 43544.43 A=8000

(

)

Problema resuelto 48. Determina el valor presente por la compra de una pantalla plana el día de hoy,

si después de dos meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $680 con un interés de 28% anual convertible mensualmente. Solución Datos: R = $680 Incógnita M T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 2 meses

Figura 5.22 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $680.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (al inicio de cada mes).

[

A=R 1+

[

]

[

]

1−( 1+i )−n+ 1 1−( 1+0.023333 )−12+1 ( 1+i )−m=680 1+ (1+ 0.023333 )−1 i 0.023333

A=680 1+

]

1− (1+ 0.023333 )−11 1−0.775910 ( 1.023333 )−1=680 1+ ( 1.023333 )−1 0.023333 0.023333

(

)

0.977199

[

]

0.224084238 −1 ( 1.023333 ) =680 ( 1+ 9.60383245 ) ¿ 0.02333 A=680 ( 10.60383245 ) ( 0.977199 )=$ 7046.20 A=680 1+

5.5.3. Renta en anualidades diferidas Para calcular el valor de la renta se deben analizar primero los datos del problema, lo que permitirá identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Cuando se conoce el capital o el valor actual, pero se desea conocer la renta, esta se despeja de la ecuación del valor actual de la anualidad diferida (5.15).

Despejando la renta de la ecuación 5.15 se obtiene:

Problema resuelto 49. El papá de la alumna Andrea Martínez deposita el 5 de julio la cantidad de

$900 000 en un fondo de inversión, ese mismo día inscribe a su hija en la preparatoria. El papá tiene la idea de realizar nueve retiros semestrales a partir de cuándo inscriba a su hija en el mes de julio en la universidad. Encontrar el valor de cada retiro semestral que realizará si la tasa es de 8% anual capitalizable semestralmente. Solución Datos: A = $900 000 Incógnita R m = periodo de gracia = 5 semestres n = 9 semestres T = 8% A.C.S. i = 0.04 semestral

Figura 5.23. Anualidad diferida valor actual para nueve pagos semestrales

A ( 1+i ) 900000 ( 1+ 0.04 ) 900000 ( 1.2166529 ) = = −n −9 1−0.7025867 1−( 1+i ) 1−( 1+0.04 ) 0.04 i 0.04 1094987.61 1094987.61 109487.61 R= = = 1−0.70258674 0.29741326 7.43533161 0.04 0.04 R=$ 147268.16 en cada semestre R=

Problema resuelto 50. El señor Darío Velásquez compra una cocina integral que tiene un precio de

contado de $47 550, pero él decide realizar seis pagos mensuales, el primero debe realizarse cinco meses después de la compra y el interés es de 1.5% mensual. ¿De cuánto serán las mensualidades a pagar? Solución Datos: A = $47 550 m = periodo de gracia = 4 meses n = 6 meses T = 1.5% mensual i = 0.015 mensual

Incógnita R

Figura 5.24. Anualidad diferida valor actual para nueve pagos mensuales.

A ( 1+i )m 47550 ( 1+0.015 )4 47550 ( 1.06136355 ) = = −n −9 −9 1−( 1+i ) 1−( 1+0.015 ) 1−( 1.015 ) i 0.015 0.015 1094987.61 1094987.61 1094987.61 R= = = 1−0.87459224 0.125407759 3.135193995 0.04 0.04 R=$ 349256.73 en cada semestre R=

Problema resuelto 51. El dueño del restaurante de mariscos Al Estilo Nayarita deposita el día de hoy

$100 000 en una cuenta de inversiones que paga 12% anual capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimestres comenzará a realizar retiros bimestrales vencidos hasta completar 24. ¿De qué cantidad serán estos retiros? Solución Datos: A = $100 000 m = periodo de gracia = 7 bimestres n = 24 bimestres

Incógnita R

T = 12% A.C.B. i = 0.02 bimestral

Figura 5.25 Anualidad diferida valor actual para 24 retiros bimestrales.

A ( 1+i )m 100000 (1+ 0.02 )7 100000 ( 1.14868567 ) = = −n −24 −24 1−( 1+i ) 1−( 1+0.02 ) 1−( 1.02 ) i 0.02 0.02 114868.57 114868.57 114868.57 R= = = 1−0.621721488 0.3782785121 18.9139256 0.02 0.02 R=$ 6073.23 en cada bimest R=

5.5.4. Plazo en anualidades diferidas El número de periodos de pago en una anualidad diferida se calcula analizando los datos del problema para identificar cuándo se proporciona el valor actual o el valor del monto. 

Se calcula en valor del depósito inicial al final del periodo de gracia.



Cuando se conoce el valor actual se despeja la renta de la expresión de anualidad vencida de valor actual.

Problema resuelto 52. La comunicóloga Carmen Loera contrae una deuda de $125 000 por la compra

de equipo para una cabina de radio para transmitir por internet. Ella acordó comenzar a pagar dentro de tres meses, realizando cuantos pagos sean necesarios de $9 000 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para saldar su deuda? 53.

Solución Datos: A = $125 000 R = $9 000 m = periodo de gracia = 2 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual

Incógnita n

Figura 5.26 Anualidad diferida valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $9 000.

log n=

[

R R− [ A (1+i )m ] ( i ) log ( 1+i )

log n=

[

] [ log

9000 9000−[ 125000 ( 1.02 )2 ] ( 0.02 ) log ( 1.02 )

9000 9000−[ 125000 (1.0404 ) ] ( 0.02 ) log ( 1.02 )

[

]

] [ log

9000 9000− ( 130050 )( 0.02 ) log ( 1.02 )

]

] [ ]

9000 9000 log 9000−2601 6399 log [ 1.40646976 ] 0.148130399 n= = = = 0.0086 log ( 1.02 ) log ( 1.02 ) log ( 1.02 ) n=17.22 pagos log

Como n = 17.22 pagos, deberá pagar 17 pagos de $9 000 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación:

[

)]

( 1.02 )17−1 ( 1.02 ) X = 125000 (1.02 ) −9000 0.02 19

(

1.400241−1 ( )] ( 1.02 ) [ 0.02 1.40024142−1 X = 125000 (1.456811 )−9000 ( )] (1.02 ) [ 0.02 X = 125000 (1.456811 )−9000

X =[ 182101.38−9000 ( 20.012071 ) ] (1.02 ) X =( 182101.38−180.64 )( 1.02 )=( 1992.714 ) (1.02 ) =2032.57 También se pueden realizar 16 pagos de $9 000, más otro de mayor cantidad:

[

X = 125000 (1.02 ) −9000

(

)]

( 1.02 )16−1 ( 1.02 ) 0.02

[ [

( 1.372786−1 )] ( 1.02) 0.02 0.372786 X = 178530.75−9000 ( ( 1.02 ) 0.02 )] X = 125000 (1.428246 )−9000

X =[ 178530.75−9000 ( 18.6393 ) ] ( 1.02 ) X =( 178530.75−167753.7 ) ( 1.02 )=( 10777.05 ) ( 1.02 )=10992.73 Problema resuelto

54. Claudia Salazar contrae una deuda por $78 585 por la compra de equipo fotográfico, el que comenzará a pagar dentro de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de $2 900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos debe realizar para saldar su deuda? Solución Datos: A = $78 585 R = $2 900 m = periodo de gracia = 5 meses T = 26% A.C.M. i = 0.021666 mensual

Incógnita n

Figura 5.27 Anualidad diferida, valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $2 900.

log n=

[

R R− [ A (1+i )m ] ( i )

] [ log

log ( 1+i ) log

[

2900 2900−[ 78585 (1.0216666 )5 ] ( 0.0216666 ) log ( 1.0216666 )

2900 2900− [ 78585 ( 1.11312697 ) ] ( 0.0216666 ) log (1.02 )

[

]

[

] [ log

2900 2900− ( 87475.08 ) ( 0.0216666 ) log ( 1.02 )

]

2900 2900 log 2900−1895.29 1004.71 log [ 2.8862614 ] 0.46032853 n= = = = log ( 1.021666 ) log ( 1.021666 ) log ( 1.021666 ) 0.00930894 n=49.4 log

Como n = 49.45 pagos, deberá pagar 49 pagos de $2 900 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación:

[

)]

( 1.021666 )49−1 ( 1.021666 ) X = 78585 ( 1.021666 ) −29000 0.021666 54

(

2.85849934−1 ( 1.021666 ) ( [ 0.021666 )] 1.85849934 X = 250047.47−2900 ( ( 1.021666 ) [ 0.021666 )] X = 78585 ( 3.1818727 )−2900

X =[ 250048.47−2900 ( 85.779532 ) ] ( 1.021666 ) X =( 250047.47−248760.64 )( 1.021666 )=( 1286.83 ) ( 1.021666 )=$ 1314.71 También se pueden realizar 48 pagos de $2 900, más otro de mayor cantidad:

]

[

X = 78585 ( 1.021666 ) −2900

(

)]

( 1.021666 )48 −1 ( 1.021666 ) 0.021666

[ [

( 1.021666 ) ( 2.7978805−1 0.021666 )] 1.7978805 X = 244744.83−2900 ( (1.021666 ) 0.021666 )] X = 78585 ( 3.1143962 )−2900

X =[ 244744.83−2900 ( 82.98165159 ) ] ( 1.021666 ) X =( 244744.83−240646.79 ) ( 1.021666 )=( 4098.04 ) ( 1.021666 )=$ 4186.83 5.5.5. Tasa de interés en anualidades diferidas Como ya se ha estudiado, al realizar el pago de la renta al final de cada periodo se tiene que emplear la fórmula de valor presente para anualidad vencida.

La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor presente para anualidad vencida.

Como se observa en la expresión 5.18 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Entonces qué se puede hacer para conocer el valor de la tasa. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos: 1. Sustituir los valores en la expresión 5.18 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente.

2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado derecho de la expresión 5.18 sea lo más cercano al valor de k. 3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.18 para determinar el valor de i. Para entender con mayor facilidad los pasos anteriores, se utilizará un ejemplo: Problema resuelto 55. Gilberto debería pagar el día de hoy $22 648.28 por la compra de mercancía

para su mercería. Él había reestructurado su deuda con anticipación y acordó

con el banco realizar siete pagos trimestrales de $4 500.00. ¿Qué tasa de interés le están cobrando? Solución Datos: C = $22 648.28 R = $4 500.00 n = 7 trimestres 1.

A 1−( 1+ I ) = R i

Incógnita i

−n

$ 22648.28 1−( 1+i ) = $ 4500.00 i

5.03295=

1−( 1+i )−n i

2. Si i = 0.085 entonces:

1−( 1+0.085 )−7 5.03295= 0.085 5.03295=

1−0.564926 0.085

1−( 1.085 )−7 5.03295= 0.085 5.03295=

0.4350736 0.085

5.03295=5.118513

Si i = 0.087 entonces:

5.03295=

1−( 1+0.087 )−7 0.087

5.03295=

1−0.55769 0.087

5.03295= 5.03295=

1−( 1.087 )−7 0.087

0.4423096 0.087

5.03295=5.084

Si i = 0.098 entonces: −7

5.03295=

1−( 1+0.098 ) 0.098

5.03295=

1−0.519737 0.098

5.03295= 5.03295=

1−( 1.098 ) 0.098

0.480263 0.098

−7

5.03295=4.90064

3. El paso siguiente es interpolar los dos valores más cercanos a 5.03295, calculados en el paso anterior, la interpolación nos sirve para encontrar el valor más exacto de la tasa de interés i. 4. En todo procedimiento de interpolación se debe realizar un diagrama el cual mostrará las condiciones de la interpolación permitiendo analizar y comprender de una forma más clara los cálculos a realizar.

Figura 5.28 De Interpolación para el cálculo de la tasa de interés. Con base en la figura 5.28 se realizan los siguientes cálculos: La distancia total entre las cantidades 4.90064 y 5.084. Distancia total ( d t ) = 5.084 4.90064 = 0.18336 La distancia ( d 1 ) entre las cantidades 4.90064 y 5.03295

d 1=5.03295−4.90064=0.13231 Se plantea la relación:

d 1 0.13231 = =0.72159 d t 0.18336 La distancia ( d 3 ) entre las cantidades 0.098 e i.

d 3=i−0.098

La distancia ( d T ) entre las cantidades 0.087 y 0.098.

d T =0.087−0.098=−0.011 La proporción queda de la siguiente forma:

d1 d2 = d dT

5.03295−4.90064 i−0.098 = 5.084−4.90064 0.087−0.098

0.13231 i−0.098 = 0.18336 −0.011

i−0.098 i−0.098=0.72159 (−0.011 ) −0.011 i−0.098=−0.007937 i=−0.007937+0.098 i=0.090062 i=9.0062 trimestral 0.72159=

Comprobación de la mejor aproximación de la tasa de interés, utilizando la ecuación 5.18.

1−( 1.090062 )−7 1−0.5468165 0.04531835 = = =5.0319 0.090062 0.090062 0.090062 El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecuación 5.18.

5.0319=5.3295 La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00085 debido a las fracciones decimales en los cálculos. Problema resuelto 56. Raquel compra un calentador solar para su casa a plazos. Ella acuerda con la

ferretería realizar 12 pagos mensuales de $1 030. ¿Cuál es la tasa anual efectiva, si el precio de contado del calentador solar es de $10 300? Solución Datos: A = $10 300 R = $1 030 n = 12 meses 1.

Incógnita i

A 1−( 1+ I ) = R i

−n

1−( 1+i )−n 10= i

$ 10300.00 1−( 1+i ) = $ 1030.00 i

2. Si i = 0.03 entonces: −12

−12

1−( 1+0.03 ) 1−( 1.03 ) 10= 0.03 0.03 0.29862 10= 10=9.954 0.03 10=

10=

1−0.701379 0.03

Si i = 0.028 entonces:

1−( 1+0.028 )−12 1−( 1.028 )−12 10= 0.028 0.028 0.282069 10= 10=10.073897 0.028 10=

10=

1−0.71793 0.028

Figura 5.29 Interpolación cálculo de la tasa de interés. Con base en la figura 5.29 se realizan los siguientes cálculos: La proporción queda de la siguiente forma:

d1 d2 = d dT

10.073897−9.954 0.028−i = 10.073897−9.954 0.028−0.03

0.073897 0.028−i = 0.119898 −0.002

0.028−i 0.028−i=0.6163374 (−0.002 ) −0.002 0.028−i=0.001232675 i=0.0292327 i=2.92 efectiva mensual 0.6163374=

La tasa efectiva anual es:

e=( 1+i )

12 e=( 1.02923 ) −1 e=1.413023−1 e=41.3023 efectivamensual

e=0.413023

Problema resuelto 57. Jacinto realizó 20 depósitos trimestrales de $19 000.00 en el Banco del

Atlántico, para juntar la cantidad de $400 000.00. ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente? Solución Datos: M = $400 000.00 R = $19 000.00 n = 20 trimestres 1.

Incógnita i

M ( 1+i ) = R i

n $ 400000.00 ( 1+i ) −1 = $ 19000.00 i

( 1+i )n−1 21.0526= i

2. Si i = 0.005 entonces:

21.0526=

( 1+0.005 )20−1 0.005

21.0526=

1.104895−1 0.005

21.0526= 21.0526=

( 1.005 )20−1 0.005

0.1048955 0.005

21.0526=20.9791

Si i=0.0055 entonces:

( 1+0.0055 )20−1 ( 1.0055 )20−1 21.0526= 0.055 0.055 1.115942−1 21.0526= 21.0526=21.0803 0.0055 21.0526=

Figura 5.30 Interpolación cálculo de la tasa de interés.

Con base en la figura 5.30 se realizan los siguientes cálculos: La proporción queda de la siguiente forma:

d1 d2 = d dT

21.0526−20.9791 i−0.005 = 21.0803−20.9791 0.0055−0.005

0.07353 i−0.005 = 0.1012 0.0005

i−0.005 i−0.005=0.72658 ( 0.0005 ) −0.0005 i−0.005=0.000363 i=0.000363+0.005 i=0.00536329 i=0.53633 trimestral 0.72658=

Comprobación

(1+0.0053633 )20−1 ( 1.0053633 )20−1 1.1129113−1 = = 0.0053633 0.0053633 0.0053633 0.1129113 =21.05258 0.0053633 El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecuación 5.18.

21.0526=21.05258 La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00002 debido a las fracciones decimales en los cálculos. 5.5.6. Tasa de interés en anualidad diferida La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor presente para anualidad vencida.

Como se observa en la expresión 5.21 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos: 1. Sustituir los valores en la expresión 5.21 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente.

Problema resuelto 58. ¿A qué tasa de interés anual de nueve pagos bimestrales anticipados de

$800.00 equivalen a un valor actual de $6 788.74? Solución La solución de la tasa de anualidad anticipada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.10, los cálculos se realizaron con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.

Cuadro 5.8 Cálculo de la tasa de interés en anualidad diferida (Valor actual)

d1 d3 = dt dT

i−0.0145 7.502257−7.48593 = 0.015050−0.0145 7.502257−7.48429

i−0.0145=0.95716 ( 0.00055 )

i−0.0145 0.03664 = 0.00055 0.03828

i−0.0145=0.005

i=1.5 bimestral

i=0.015

i=9 anual

Problema resuelto 59. ¿A qué tasa de interés anual de 15 pagos anuales anticipados de $1 800

acumulan un valor futuro de $481 831.24? Solución La solución de la tasa de anualidad anticipada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.8, los cálculos se realizarán con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.

Cuadro 5.9 Cálculo de la tasa de interés en anualidades anticipadas (monto)

d1 d3 i−0.32215 268.684022−268.561749 = = 0.32225−0.32215 268.806351−268.561749 dt dT i −0.32215 0.122273 = i−0.32215=0.499886 ( 0.0001 ) 0.0001 0.244602 i−0.32215=0.00004999 i=0.32219 i=32.21 bimestral

5.6.

Anualidades generales

Una anualidad general tiene la característica de que el periodo de pago nunca coincide con el periodo de capitalización. Existen dos casos de anualidades generales:  

Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización. El periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago

Cuadro 5.10 Cómo identificar una anualidad general, cuando es planteada en ejemplo o problema a resolver Criterio Anualidad general Ejemplo Tiempo Las fechas son fijas y se determinan con Antes de realizar la firma del anterioridad documento. (Cierta) Tiempo que transcurre desde la fecha de su Periodo Un año emisión hasta la fecha de su vencimiento. El pago o cobro tiene lugar en el primer Iniciación periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del (Inmediata) trato). Los pagos se efectúan al vencimiento del Al final de cada mes. Pagos periodo o intervalo. El día 30 o 31 El periodo de pago es de un Cuando el periodo de pago no coincide con el mes y la tasa de interés de General periodo de capitalización de los intereses. 10% anual convertible bimestralmente. Es necesario convertir la anualidad general en una anualidad simple, para posteriormente utilizar la ecuación de anualidad vencida y calcular la anualidad general.

Para convertir la anualidad general a simple se cuenta con los dos procedimientos: 1. Calcular la tasa de interés equivalente i′. 2. Encontrando el valor de la renta o pago periódico equivalente R ′. I. Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización Problema resuelto 60. Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre si el

interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. Solución Datos: R = $150 T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual n = 4 bimestres

Incógnita M

Figura 5.31 Anualidad general.

En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses de un mes, entonces, el periodo de pago es mayor que el de capitalización. Para encontrar la anualidad general primero se calcula la tasa de interés equivalente.

i ´ =6 ( 1.0404−1 )

i ´ =6 ( 0.0404 )

i =0.2424

i =24.24 A . C . Bimestral

i =0.0404 bimestral Una vez encontrada la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple.

M B=R

[

( 1+i´ ) −1

M B=150

i´

[

] [ =150

( 1+0.0404 )4−1 0.0404

]

1.17165938−1 =150 ( 4.249 )=637.35 0.0404

Encontrar la renta equivalente mensual (R ′) durante dos meses que sea equivalente a una renta bimestral (R) de $150; es decir, debemos calcular a partir del monto la renta mensual utilizando la fórmula de anualidad simple.

Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene:

150

[

][

( 1+ 0.02 ) −1 0.02 El monto M B=M M

[ ]

150 150 = =$ 74.26 1.0404−1 2.02 0.02

M M =R II.

( 1+i ´ ) i

=74.26

]

[

]

( 1+0.02 )8−1 =$ 637.37 0.02

Si el periodo de pago es más corto que el de capitalización

Problema resuelto 61. Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre, si el

interés es de 24% anual capitalizable trimestralmente. Solución Datos: R = $150 T = 24% A.C. Trimestral n = 4 bimestres

Incógnita M

a) En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses es cada tres meses, entonces, el periodo de pago es menor que el de capitalización. Para dar solución a este problema, a la anualidad general primero se le calcula la tasa de interés equivalente. b)

Figura 5.32 Anualidad general. Calcular la tasa de interés equivalente: ´ 6

( ) ( 1+

i 0.24 = 1+ 6 4

i ´ =6 [ √ ( 1.06 ) −1 ] 6

´ 6

) ( ) 1+

i 4 =( 1+0.06 ) 6

i ´ =0.23766

i 6 4 1+ =√ ( 1.06 ) 6

i ´ =23.766 A . C . Bimestral

c) Al encontrar la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple. d)

M =R

[

( 1+i´ ) −1 i

]

[

( 1+0.03961 ) 4−1 M =$ 150 0.03961

]

M =$ 636.60

e) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de tres meses.

R´ =R

[

( 1+t )P−1 t

]

R´ =150

[

]

Si R =R1 entonces :

R =$ 630.60 trimestral M =$ 227.21

[

( 1+0.03961 )0.5−1 0.03961

( 1+0.06 )24 / 9−1 0.06

]

M =$ 636.60

Problema resuelto 62. Encontrar el monto de 10 depósitos mensuales de $550, si el interés es de

23% anual capitalizable semestralmente. Solución Datos: R = $550 n = 10 depósitos mensuales T = 23% A.C. Semestral i = 11.5% efectivo semestral

Incógnita M

a) Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 11.5% también efectivo semestral.

Figura 5.33 Anualidad general.

(

i´ 1+ 12

) (

0.23 = 1+ 2

i =12 ( 1.018308−1 )

) (

i´ 1+ 12

)

=( 1+ 0.115 )

i =12 ( 0.018308 )

i =21.97 A . C . Mensual

√

i ´ 12 = √ 1.243225 12

i =0.219695

i =1.83 mensual

b) Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple. c)

[

] [

( 1+ i )n −1 ( 1+ 0.01830833 )10−1 0.19892762 M =R =550 =550 ´ 0.01830833 0.01830833 i M =550 ( 10.865416 )=5975.98

]

d) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de seis meses.

M =R

[

( 1+ i´ ) −1 i

]

Despejar R´ de la ecuación anterior y se obtiene:

[

] [

( 1+0.01830833 )6−1 0.11500234 =550 0.01830833 0.01830833 R´ =550 ( 6.22814216 ) =3454.78 R´ =550

[

]

( 1+ 0.115 )10 / 6 −1 0.1989234 =3454.78 0.115 0.115 M =3454.78 ( 1.72977 )=5975.97 M =3454.78

[

]

Problema resuelto 63. Encontrar el monto de nueve depósitos mensuales de $1 000 que realiza un

alumno de la universidad para comprarse una computadora, si el interés es de 2% capitalizable semestralmente. Solución Datos: Depósitos mensuales n = 9 R = $1 000 T = 2% A.C.S. i = 0.02/2 = 0.01 semestral a) De los datos del problema y como se muestra en la gráfica, se deduce que el periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago: b)

Figura 5.34 Anualidad general. Determinar la tasa de interés equivalente. Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 1% efectivo semestral. 6

i´ 0.02 = 1+ 6 2

( ) ( 1+

i =6 ( 0.0016598 )

√

)

i 6 1+ =√ 1.01 6

i =0.00996

i ´ =6 ( 1.0016598−1 )

i =0.996 mensual

c) Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple. d)

M =R

[

( 1+i´ ) −1

M =1000

[

] [

]

( 1+ 0.00996 )10−1 1.104185−1 =1000 =1000 0.00996 0.00996

]

0.104185 =1000 ( 10.460314 )=10460.31 0.00996

[

]

e) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de capitalización de seis meses. f) g)

M =R

[ ] ( 1+ i´ )

i´

Despejar R ′ de la ecuación anterior se obtiene:

[

]

( 1+ 0.00996 )6−1 1.061268−1 0.061268 =1000 =1000 0.00996 0.00996 0.00996 ´ R =1000 ( 6.151406 ) =6151.41 R´ =1000

[

]

[

(1+ 0.001 )10 / 6−1 ( 1.001 )1.666667−1 M =6151.41 =6151.41 0.01 0.01 M =6151.41

[

]

0.001667 =6151.41 ( 1.667 )=10254.40 0.01

5.6.1. Valor actual en anualidades generales Problema resuelto 64. Encontrar el valor actual de un conjunto de cuatro pagos trimestrales de $200,

si el interés es de 26% anual convertible mensualmente. Solución Datos: R = $200 n = 4 trimestres T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual

Incógnita A

a) Se resuelve utilizando la tasa equivalente. Para su cálculo se considera un solo trimestre. ´

1+i =( 1+ i )

i =( 1+0.021666 ) −1

i =0.0664165 trimestral

b) Para calcular el valor presente:

[

] [

1− (1+i )−n 1−( 1.0664165 )−4 1−0.7732013 A=R =200 =200 i 0.0664165 0.0664165 A=200

[

]

0.2267987 =200 ( 3.4147945 )=682.96 0.0664165

c) Para calcular el monto:

]

[

] [

( 1+ i )n −1 ( 1.0664165 )4−1 1.293324−1 M =R =200 =200 i 0.0664165 0.0664165 A=200

[

]

0.2933243 = 200 ( 4.4164372 )=883.29 0.0664165

O bien, si A = M entonces:

M =682.96 ( 1.0664165 )4 =682.96 ( 1.2933243 )=883.29 d) Para la renta equivalente, la solución es:

[

(1+t ) p−1 M =R t ´

R´ =

]

[

( 1.021666 )3−1 200=R 0.021666 ´

]

200=R ´

[

0.066416 0.021666

]

200 =$ 65.24 mensual 3.0654482

e) El cálculo del valor presente sería:

A=R

[

]

[

]

1− (1+i )−n 1−( 1.021666 )−12 1−0.7732013 =65.24 =65.24 i 0.021666 0.021666

A=65.24

[

]

0.226798 =65.24 ( 10.46791 ) 0.021666

[

]

A=$ 682.93

f) Para calcular el monto:

[

]

[

]

(1+t ) p−1 ( 1+ 0.021666 )12−1 0.293324 =65.24 =65.24 t 0.021666 0.021666 M =65.24 ( 13.53845 ) =883.25 mensual M =R´

[

]

Problema resuelto 65. ¿Cuál es el monto y el valor presente de un conjunto de 18 pagos bimestrales

de $10 600 si el interés es de 3% trimestral efectivo? Solución Encontrar la tasa efectiva bimestral equivalente a la efectiva trimestral:

( 1+ I )3 / 2=( 1+0.03 )

i =( 1.03 )

2/3

−1

i =1.0199013−1

i =0.019903 efectiva bimestral

M =10600

[

( 1+ 0.0199013 )18 −1 ( 1.0199013 )18−1 =10600 0.0199013 0.0199013

]

M =10600

[

1.42576−1 0.42576 =10600 =10600 ( 21.393609 )=226772.25 0.0199013 0.0199013

]

[

]

El valor presente es: −18

C=226772.25 (1.0199013 )

=226772.25 ( 0.70138 )

5.6.2. Plazo en anualidades generales Problema resuelto

C=$ 159053.52

66. Una persona desea acumular $20 395 mediante depósitos semestrales de

$911.90 en una cuenta que rinde 1.25% bimestral. Solución La tasa semestral equivalente a 1.25% bimestral: ´ 2

´ 2

( )

i 1+ =1.00623059 2

i ´ =2 (1.00623059−1 )

i ´ =2 ( 0.00623059 )

i =0.0124612 A . C . Semestral

i 1 =( 1+ 0.0125 ) 2

i 2 =√ 1.0125 2

i =0.0124612 / 2=0.00623059 semestral De la expresión de monto de la anualidad vencida se despeja n:

[ ]

log

´ n

M =R

( 1+i ) i

∴ n=

( Mri + 1)

log ( 1+ i´ )

1+0.00623059 ¿ log¿ 20395 ( 0.00623059 ) log +1 911.90 n= ¿

(

)

0.056657 =21 0.002697516

Problema resuelto 67. La banda Del Recodo debe pagar un préstamo para la compra de un autobús,

el costo de contado es de $1 950 000 y lo debe liquidar con pagos mensuales de $134 400 comenzando un mes después de la autorización del crédito, el interés es de 15% efectivo anual. ¿Cuántos pagos completos debe hacer? Solución La tasa mensual equivalente a 15% efectivo anual:

(

i´ 1+ 12

)

=( 1+ 0.15 )

i ´ =12 ( 0.01171492 )

(

i´ 12 = √ 1.15 12

)

i´ =1.01171492 12

i =0.0140579 A .C .mensualmente

i ´ =0.0140579 / 12=0.011715 mensual De la expresión de valor actual de la anualidad vencida se despeja n:

log

[

1−( 1+ i´ ) A=R ´ i

−n

]

∴n=

1 ´ Ai 1− R

( )

´ log ( 1+i )

1+ 0.011715 ¿ log ¿ 1 1 log log 1 1−0.16317 0.8300279 log n= = 1950000 ( 0.011715 ) 0.005058189 0.005058189 1− 140000 n= ¿ log ( 1.1949858 ) 0.077362759 n= = =15.29 0.005058189 0.005058189

(

)

(

)

Tiene que realizar 15 pagos completos y un pago 16 de una cantidad menor.

5.6.3. Renta en anualidades generales Problema resuelto 68. El 10 de febrero de 2014, el comerciante Miguel Mancera compró un local en

una nueva plaza comercial en el centro de la ciudad con valor de $4 000 000, dio de enganche 50% y el resto fue en un pago único el 10 de mayo 2015. El 20 abril de 2015, el señor Mancera acuerda con Banorte cambiar la forma de liquidar el local por seis pagos mensuales, realizando el primero el 10 de septiembre de 2015. La tasa de interés efectivo anual acordada es de 10.5%. ¿Cuánto tiene que pagar mensualmente el señor Mancera? Solución

Figura 5.35 Anualidad diferida, cálculo de la renta. Valor del local enganche = 4 000 000 0.5 (2 000 000) = $1 000 000 Periodo de gracia tres meses Seis pagos mensuales de = ? Tasa equivalente

( 1+i )12=1+ 0.105

1+i=12√1.105

i=1.0083552−1

i=0.0083552

El valor del adeudo al 10 de agosto de 2015 3

2000000 (1.0083552 ) =$ 2050551.22 La anualidad equivalente:

[

1−( 1.0083552 )−6 2050551.22=R 0.0083552 2050551.22=R

[

0.0486973 0.0083552

]

2050551.22=R

[

1−0.95130274 0.0083552

2050551.22 =$ 351821.68 5.8283822

]

Problema resuelto 69. La costurera María Pérez desea ahorrar $35 000 en los próximos tres años

para comprar una máquina de tejido. Ella puede realizar depósitos semanales en una cuenta que paga 3.6% capitalizable mensualmente, ¿qué cantidad de dinero tiene que depositar María cada semana? Solución Se calcula la tasa semanal equivalente a 3.6% capitalizable mensualmente

(

i´ 52

) (

= 1+

0.036 12

)

i ´ 52 ( 12 = √ 1.003 ) 52

i =1.0006915−1 i ´ =52 ( 0.0006915 ) 52 i ´ =0.3596 /52=0.0006916 semanal

i ´ 52 = √1.0366 52

i ´ =0.03596 A .C . semanalmente

Despejando R

M =R

[

( 1+i´ ) −1 i

[ [

´ n

( 1+i ) −1 ´

]

∴ R=

[

( 1+i ´ ) −1 i´

]

35000

][

156

( 1.0006915 ) −1 0.0006915

][

35000 1.11386586−1 0.0006915

]

35000 35000 = =$ 212.55 0.11386586 164.665 0.0006915

]

Problema resuelto 70. Un nuevo plan de ventas de la mueblería Delher para un paquete de comedor,

sala, recámara, cocina y refrigerador con valor de $97 325. El plan consiste en dar 25% de enganche del precio de contado, 36 pagos mensuales y la tasa de interés de 2.26% efectivo trimestral, ¿de cuánto es cada pago mensual? Solución La tasa mensual es:

( 1+i )3=1.0226

i ´ =√3 1.0226−1=0.0074773

El valor actual del adeudo Saldo = Precio enganche = 97 325 0.25 (97 325) = 97 325 24 331.25 = $72 993.75

[

´ −n

1−( 1+ i ) A=R ´ i

]

∴ R=

[

72993.75

[

−36

][

1−( 1+0.0074773 ) 0.0074773 72993.75 R= =$ 2320.26 31.459288

5.7.

−n

1−( 1+i´ ) i´

]

72993.75 72993.75 = 1−0.764769 0.235231 0.0074773 0.0074773

] [

]

Anualidades generales anticipadas

Problema resuelto 71. La historiadora Nitza Aragón realiza por anticipado depósitos quincenales

durante seis bimestres para acumular $23 000, a una tasa de interés capitalizable 24% cada mes. Solución Encontrar la tasa efectiva quincenal:

(

i´ 24

) (

= 1+

0.24 12

) (

i ´ =24 ( 1.00995−1 )

i´ 24

)

=( 1+ 0.02 )

i ´ =24 ( 0.00995 )

i ´ 24 ( = √ 1.2682418 ) 24

i =0.2388 A .C .quincenal

i =0.00995 quincenal Un bimestre tiene cuatro quincenas.

n=6 ( 4 )=24 M =R

[

( 1+i´ ) i

n+1

]

−1 ∴ R=

[

´ n+1

( 1+i ) −1 i´

−1

][

[

´ n +1

( 1+i ) −1 i´

−1

]

23000

( 1+0.00995 )24 +1−1 −1 0.00995

[

23000 23000 = 1.2808458−1 0.2808458 −1 −1 0.00995 0.00995

[

23000 23000 = =$ 844.80 28.2257−1 0.2808458 −1 0.00995

] [

]

Problema resuelto 72. Encontrar el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados

de $5 500 si el interés es de 24% capitalizable trimestralmente.

Solución Encontrar la tasa efectiva semestral: ´ 2

( ) ( 1+

i 0.24 = 1+ 2 4

´ 2

i´ 2 1+ =√ ( 1.262477 ) 2

) ( )

i ´ =2 (1.1236−1 )

i 4 =( 1+ 0.06 ) 2

i ´ =2 ( 0.1236 )

i =0.2472 A . C . Semestral

i ´ =0.1236 semestral El valor actual de la anualidad anticipada:

[

´ −n +1

] [

]

1− (1.1236 )−24 1−0.0609984 A=5500 +1 =5500 +1 0.1236 0.1236

]

A=R

1−( 1+ i ) i

[

A=5500

5.8.

[

−25+1

1−( 1+ 0.1236 ) +1 =5500 0.1236

]

[

]

0.939 +1 =5500 ( 8.5971 ) +5500=47284.05 0.1236

Anualidad general diferida

Problema resuelto 73. La mueblería RC ofrece una pantalla plana con 36 abonos semanales de $230

e intereses de 30% capitalizable mensualmente, el primer pago se realiza dentro de tres meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado de la pantalla plana? Solución La tasa de capitalización por semana equivalente a la tasa de 30% anual capitalizable mensualmente.

(

i´ 1+ 52

) (

0.30 = 1+ 12

i ´ =52 ( 1.005715−1 )

i´ 1+ 52

) =( 1+ 0.025)

i ´ =52 ( 0.005715 )

i 52 1+ = √ ( 1.344889 ) 52

i =29.716 A . C . Semanal

i ´ =0.005715 semenal El valor presente de la pantalla plana una semana antes de hacer el primero de los 36 pagos de $230 a la semana.

[

1−( 1+ i´ ) A=R i´

[

−n +1

] [ =230

1−( 1+0.29716 /52 ) 0.29716 / 52

−36

] [

1− (1+ 0.005715 ) 0.185467 =230 0.005715 0.005715 A=230 ( 32.452668 ) =$ 7464.11 A=230

−36

]

Para conocer el precio de contado de la pantalla se tiene que encontrar el valor actual 12 semanas antes del primer pago.

−12

C=7464.11 ( 1.005715 )

=7464.116 ( 0.9339 )=6970.74

Problema resuelto 74. Al día siguiente de su titulación, José Manuel deposita en su cuenta de

inversión $30 000, la cual produce 4.5% capitalizable mensualmente. Él piensa realizar retiros trimestrales de $1 800 dentro de cuatro años, ¿cuántos retiros completos de $1 800 realizará? Solución Tasa equivalente: 4

i´ 0.045 1+ = 1+ 4 12

( ) (

i´ 12 1+ =( 1+ 0.00375 ) 4

) ( )

i ´ =4 (1.011292234 −1 )

i 4 1+ = √ ( 1.0459398 ) 4

i ´ =4 ( 0.011292234 )

i =0.04517 A .C .Trimestral i =0.0112925 trimestral 4 años x 4 trimestres por año=16 bimestres El valor del depósito antes de cumplir los cuatro años: 15

30000 ( 1.0112925 ) =30000 ( 1.183450569 )=35503.64 Anualidad simple:

A=R

[

´ −n

1−( 1+ i ) i´

(

∴n=

A i´ R

)

log ( 1+ i´ )

35503.64 ( 0.0112925 ) 400.925 −log 1− 1800 1800 = 0.0048768 log (1+ 0.0112925 )

−log 1− n=

]

(

−log 1−

)

−log ( 1−0.222736 ) −log ( 0.777264 ) = 0.0048768 0.0048768

(

)

0.1094315 =22.43 0.0048768

Él realiza 22 retiros completos de 1 800 pesos.

5.9.

Anualidad general variable

Las anualidades estudiadas con anterioridad se caracterizaban porque la serie de pagos se realizaban a intervalos de tiempo iguales o uniformes a un importe constante o valor constante.

En la vida cotidiana se presentan casos en donde el importe es variable y la serie de pagos se realizan en intervalos uniformes, a estos casos se les conoce como anualidades variables.

En las anualidades variables como el importe es variables, este se puede incrementar o decrementar en forma de series aritméticas o geométricas y el conjunto de pagos que se realizan a intervalos iguales. En el caso de las anualidades variables aritméticas, cada término es el resultado de sumar o restar un mismo número al número anterior. En las anualidades geométricas, cada término es el resultado de multiplicar el anterior por un mismo número, el cual recibe el nombre de razón de la progresión geométrica r y el primer término se representa con t 1 .

La suma de los términos en una serie geométrica creciente o decreciente se encuentra utilizando las siguientes ecuaciones: Progresión decreciente, la razón es menor a uno (r < 1).

Progresión creciente, la razón es mayor a uno (r > 1).

Para calcular cualquier término basta con conocer el valor del primer pago (t) y la razón de la progresión (r).

Suma de términos: a) Progresión creciente en este caso la razón es mayor a 1 (r > 1)

b) Progresión creciente en este caso la razón es menor a 1 (r < 1).

5.9.1. Valor presente de una anualidad variable En el cálculo del valor presente de una anualidad variable es necesario trasladar todos los términos a la fecha focal que está ubicada en punto cero como se muestra en la figura 5.38.

Figura 5.38 Valor presente de una anualidad variable. En donde los n pagos al final de los periodos de interés son: R, 2R, 3R, . . . , n Rn

Multiplicando la ecuación (1) por (1 + i) se tiene:

Restando las ecuaciones 5.23 y 5.24:

Sea S n la suma de los n términos de la progresión geométrica siendo el primer término es t 1 = 1 y la razón común ( 1+i )−1 . n

S n=t i

1−r 1−r −1

−1

(

−2

)

1+ ( 1+ i ) + ( 1+i ) ⋯ ( 1+ i )− n−1 =t i −2

−( n−1)

1+ ( 1+ i ) + ( 1+i ) ⋯ ( 1+ i )

( )

−n

[

1−( 1+i )−n i

1−r 1−r

1+i 1−( 1+i ) = 1+i 1−( 1+i )−1

1+ ( 1+ i )−1 + ( 1+i )−2 ⋯ ( 1+ i )−( n−1)=( 1+i )

]

La ecuación 5.23 queda:

El valor acumulado S de la anualidad simple creciente se calcula con la siguiente ecuación:

Problema resuelto 75. Ángel Rivera invierte $9 000 al final de cada año, durante siete años, en un

fondo de inversión (FI) que paga 10%, el fondo paga los intereses al final de

cada año. La persona deposita su pago anual de intereses en una cuenta de inversión inmediata (CII) en EXE Banco, paga de intereses 4% anual. ¿Cuánto dinero tendrá dentro de siete años? Solución  Como los intereses se pagan al final de cada año, el señor Rivera tendrá al final de los siete años $63 000 en el fondo de inversión. 

Los depósitos realizados en EXE Banco también se pagan al final de cada año, pero su primer pago de intereses será a partir del segundo año.

Figura 5.39 Anualidad variable.

M =9000 ( 1+i )=9000 ( 1.10 ) =9900

l=9000−9000=$ 900

Si l=R1 sustituyendo en la ecuación5.25

900 0.04

[[

1−( 1+0.04 )−6 ( 1+0.04 )6+1 −6 0.04

900 0.04

[[

1−0.790314525 ( 1.04 )7 −6 0.04

]

900 [ ( 5.242136857 ) (1.315931779 )−6 ] S=( 22500 )( 6.898294481−6 ) 0.04 S=( 22500 )( 0.898294481 ) S=$ 20211.62 S=

Problema resuelto 76. La familia Rosales va a impermeabilizar el techo de su casa, lo cual costará

$15 400; ellos también tienen la alternativa de poner piso anti derrapante plastificado, que también hace la función de impermeabilizar. Ellos saben que este gasto lo tienen que realizar cada cinco años (por siempre), se sabe que el impermeabilizante aumentará 2% anual (por siempre), ¿cuánto deben estar dispuestos a pagar los integrantes de la familia por el piso anti derrapante plastificado?, ellos pueden ganar 8% anual con su dinero. Solución 5

−5

−10

−15

A=15400+ 15400 ( 1.02 ) ( 1.08 ) + 15400 ( 1.02 ) ( 1.08 ) +15400 ( 1.02 ) ( 1.08 ) +. . La progresión geométrica en general: t 1 , t 1 r , t 1 r 2 , t 1 r 3 , ⋯ entonces la suma de los n primeros términos se escribe en la forma:

1−r n S n=t 1 1−r

( )

t1 t1 rn 1−r n S n=t 1 = − 1−r 1−r 1−r

( )

Cuando 1 < r < 1 y si n aumenta sin límite entonces el término r n tiende a cero y S n tiende a t 1 /(1 r). La suma de la progresión geométrica infinita se expresa de la siguiente forma:

t1 1−r

Como: 0<r =( 1.02 )5 ( 1.08 )−5 <1 El valor descontado se calcula de la siguiente forma:

t1 15400 15400 = = 5 −5 1−r 1−( 1.02 ) ( 1.08 ) 1−( 1.04080803 ) ( 0.680583197 )

15400 15400 = =$ 61951.60 1−0.751418842 0.2485811573

La familia Rosales debe estar dispuesta a pagar hasta $61 951.60 por el piso anti derrapante. Problema resuelto 77. Calcular el valor descontado de una perpetuidad creciente. La serie de pagos

que se realizan son de $30 000 al final de año, iniciando el primer pago el 31 de diciembre de 2014 y se incrementan en $4 000 por siempre cada año, siendo el interés de 4.6%.

A=30000 (1.046)−1 +34000( 1.046)−2 +38000(1.046)−3 (1) Multiplicando por (1 + i) = 1.046, se obtiene:

1.046 A=30000+34000 (1.046)−1 +38000(1.046)−2 (2) Restando la ecuación (1) de (2):

t 1 =( 1.046 )−1

−1

r= (1.046 )

Suma de una progresión geométrica infinita:

( 1+i )−1 , ( 1+i )−2 , ( 1+ i )−3 , ( 1+i )−4 , ( 1+i )−5 , ⋯ Donde i > 0, para este caso t 1 =( 1+ i )−1 y r= (1+i )−1 , (1 < r < 1).

( 1+i )−1 ( 1+i )−1 1+i 1 1 S= = = = −1 −1 1−( 1+i ) 1−( 1+ i ) 1+1 ( 1+i )−1 i

[ ]

Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene:

−1

−12

( 1.046 ) + ( 1.046 )

[

][ ]

( 1.046 )−1 1.046 + (1.046 ) + ⋯= −1 1.046 1−( 1.046 ) −3

1 1 = =21.74 1.046−1 0.046 Sustituyendo en la ecuación (3):

0.046 A=30000+ 4000 ( 21.74 ) =30000+86960=116960 116960 A= =$ 2542608.70 0.046

5.10.

Anualidades perpetuas

Esta anualidad se caracteriza porque el capital se mantiene constante y el valor de la renta es igual a los intereses generados durante el periodo (la tasa de interés nunca puede cambiar), por lo que los retiros se mantienen constantes de manera perpetua, siempre y cuando el capital original se mantenga invertido, lo cual hace que el plazo no tenga fin. A las anualidades perpetuas también se les conoce como rentas perpetuas o a perpetuidad, por ejemplo: Los dividendos de acciones preferentes de una empresa que son los intereses que se retiran al final de cada periodo para ser utilizados en beneficio de asociaciones civiles, centros de investigación o universidades, entre otras, son rentas perpetuas. Algunos puntos importantes de las anualidades a perpetuidad son: 



Desde un punto de vista idealizado los pagos de la renta nunca terminan, entonces: No es posible conocer el valor a futuro; sin embargo, el valor presente de la renta perpetua siempre será conocido. Ahora si analizamos la tasa de interés por periodo, esta puede ser simple o compuesta. Cuando la tasa se considera compuesta, no da oportunidad a que se capitalice al final del periodo, porque los intereses son retirados al final del mismo, originando que la tasa de interés compuesto actúe en la práctica como una tasa de interés simple. También se puede presentar el caso en el que la renta sea menor a los intereses generados durante el periodo: Lo que origina que el capital se incremente con el tiempo, obteniéndose un capital relativamente pequeño. Este caso no se tratará en este libro.

Valor de la renta a) Se obtiene a partir de la ecuación 5.30

Problema resuelto 78. Se tiene una renta perpetua de $800 000 pagadera al final de cada año. El

interés que paga la institución financiera por la inversión es de 10.15% anual. Calcular el valor actual del legado. Solución Datos: R = $800 000 Incógnita C T = 10.15% anual R = Ci

R 800000 ∴C= = =$ 7881773.40 i 0.1015

Problema resuelto 79. ¿Cuál es el pago mensual de una perpetuidad de $675 000, suponiendo una

tasa de interés 0.85% mensual? Solución Datos: C = $675 000 Incógnita R T = 0.85% mensual

R=Ci=( 675000 ) ( 0.0085 ) =5737.50 Problema resuelto 80. El empresario Ángel Licona establece que parte de sus bienes serán invertidos

de tal forma que los intereses generados se paguen al Instituto Nacional de Cancerología mediante una renta perpetua de $450 500, al inicio de cada semestre. ¿Cuál es el valor presente de este legado, suponiendo que se encuentra invertido a 7.5% interés semestral? Solución Datos: R = $450 500 Incógnita R T = 7.5% semestral i = 0.0375 R = Ci

R 450500 ∴C= = =$ 12013333.33 i 0.0375

Problema resuelto 81. El señor Matías González compra un local en una plaza comercial al sur de la

ciudad el valor del inmueble es de $1 960 000, el señor González el día 14 de abril entrega la cantidad de $160 000 de apartado y el enganche es de 25% del valor del inmueble, este se cubrirá con seis pagos quincenales a una tasa de

10.5% efectiva. El señor González solicita un crédito hipotecario a Banorte por 75% del valor del local, para ello realizará 120 pagos mensuales a una tasa nominal de 9.2%. 82. Solución Valor de apartado $160 000

C1 =Precio− Apartado=1960−160000=$ 1800000

El enganche 25% del valor del local:

C2 =0.25 ( C1 ) =0.25 ( 1960000 )=490000 Se tiene ahora que calcular la tasa de interés capitalizable por quincena equivalente a 10.5%. Un año = 24 quincenas

(

i´ 24

)

=( 1+ 0.105 )

i ´ 24 = √ 1.105 24

i ´ =24 ( 1.0041689−1 )

i =24 ( 0.0041689 )

i =0.100053312

Se tiene dos anualidades: 1. De seis rentas vencidas quincenales. 2. Con 120 pagos mensuales.

C=R´

[

1−( 1+i )−n i

490000=R´

[

]

490000=R´

1−0.564309813 0.100053312

]

490000=R´

R´ =

490000=R´ ( 4.35580356 )

[

1− ( 1+ 0.100053312 )−6 0.100053312

[

]

0.435690187 0.100053312

]

490000 =$ 112525.19 4.354580356

La segunda anualidad diferida tres periodos mensuales, y está constituida de 120 mensualidades y una tasa nominal de 9.2%. El valor presente de la segunda anualidad es igual al valor futuro de 75% del precio del local comercial.

0.75 ( 1960000 )=1470000−160000=1310000 M =1310000 ( 1+ 0.092 / 12 )

M =1310000 ( 1.023176784 )

M =1310000 ( 1+ 0.0076666 )

M =$ 1340361.59

Ya conociendo el valor presente del local se calcula el valor de la renta.

[

1−( 1+i ) C=R i ´

−n

1340361.59=R´ R´ =

]

[

1−( 1+0.076666 ) 1340361.59=R 0.076666

( 0.99985866 0.076666 )

1340361.59 =$ 134126.56 13.0417481

−120

]

1340361.59=R´ ( 13.0417481 )

Problema resuelto 83. Este problema está basado en un hecho real. Roberto Mendoza, estudiante de

una universidad pública, a solicitud de su profesor Jesús Rodríguez, realizó una investigación para saber cuánto dinero tendría que gastar para su titulación y fiesta de graduación dentro de cuatro años. Roberto Mendoza piensa depositar en su cuenta de inversión inmediata $50.00 a principio de cada mes. Se estima que el banco pagará en promedio una tasa de 12% anual convertible mensualmente. ¿Cuánto podría ahorrar dentro de cuatro años?

Solución Datos: R = $50 Incógnita M T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n = 4 años a) Con los depósitos de $50 obtendría:

[

] [

( 1+i )n+1−1 ( 1.01 )48+1−1 0.628348 −1 =50 −1 =50 −1 i 0.01 0.01 M 1=50 ( 62.8348−1 )=50 ( 61.8348 )=3091.74 M r=R

]

b) Con los depósitos mensuales de $50 no podría cubrir los gastos estimados para el seminario de titulación y la fiesta de graduación dentro de cuatro años, por lo que Roberto se pregunta, ¿qué cantidad de dinero tiene que ahorrar al principio de cada mes durante cuatro años para cubrir estos gastos Datos M = $11 200 Incógnita R n = 4 años (48 meses) T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual c) Partiendo del presupuesto estimado de $11 200 tendríamos que:

[

n+1

][

11200 49

](

( 1+i ) −1 ( 1.01 ) −1 −1 −1 i 0.01 11200 11200 R= = =$ 181.13 ( 62.8348−1 ) 61.8348

11200 0.628348 −1 0.01

)

d) Con un depósito mensual de $181.13, Roberto alcanza la cantidad deseada de $11200 para ayudarse a cubrir los gastos de la fiesta y del seminario de titulación. Problema resuelto 84. Los socios de empresa de comunicación RRHermanos en el año 2014

deciden crear una fundación Apoyo Educativo para los hijos de comunicadores fallecidos, con un capital invertido de $2 500 000 a una tasa que dará pagos de $400 000 al final de cada año. a) ¿Qué tasa de interés gana la inversión? b) Después de pago del año 2017 se espera que la tasa cambie a 11%. c) La fundación decide seguir realizando pagos de $400 000, ¿cuántos pagos anuales podrá realizar? Solución a) Tasa de interés que gana la inversión: b) Datos: C = $2 500 000

R 400000 i= = =0.16 C 2500000

c) Después de los tres primeros pagos. Datos: C = $2 500 000 R = ?

R=Ci=2500000 ( 0.11 )=275000 seríaelpagoanual d) Si la fundación decide seguir realizando pagos de 400 000, se procede al cálculo del número de pagos que podrá realizar. Datos: C = $2 500 000 R = $400 000 i = 0.11

2500000=400000

(

1−( 1.11 )−n 0.11

6.25 ( 0.11 )=1−( 1.11 )

−n

−nlog ( 1.11 ) =log ( 0.3125 ) n=

)

−n

2500000 1− (1.11 ) = 400000 0.11

( 1.11 )−n=1−0.6875 −nlog ( 1.11 ) =−0.50515

0.50515 =11.15 0.045323

Se pueden realizar 11 pagos anuales más los tres ya realizados (2015, 2016 y 2017).

Fórmulas empleadas Terminología de anualidades

Anualidades vencidas 

Monto



Valor actual o presente



Renta



Plazo

Anualidad anticipada 

Monto



Valor actual o presente



Renta



Plazo

Anualidades diferidas 

Valor presente



Renta



Plazo



Tasa en anualidad vencida



Tasa efectiva



Tasa en anualidad anticipada

Anualidad general variable 

Valor presente



Suma



Suma infinita

Anualidades perpetuas 

Renta

Tasa de interés 

Tasa



Tasa nomina



Tasa efectiva

BIBLIOGRAFÍA 

Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria.  Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson.  Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill  Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.

Tamayo, A. (2021). Anualidades[Presentación]. urlhttps://issuu.com/universidaddelasamericas8/docs/Anuali dades.docx