Interés Compuesto_S2

FINANZAS INTERÉS COMPUESTO

OBJETIVOS •

Comprenderá el concepto de interés compuesto.

•

Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital,

valor presente, valor descontado, ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tasas equivalentes.

Introducción En la unidad de interés simple se estudió el caso en el que el capital permanece constante desde la fecha inicial de la operación hasta la fecha final. En el caso del interés compuesto el capital no permanece constante desde la fecha inicial hasta la final del plazo, ya que el capital va a cambiar al final de cada periodo (se agrega al capital inicial los intereses al término del periodo), este nuevo capital genera intereses en el siguiente periodo y así sucesivamente mientras dure la operación financiera, entonces se dice que los intereses se capitalizan en cada periodo.

4.2 Monto Definición Periodo de capitalización. Es el tiempo que existe entre dos fechas consecutivas en la que los intereses se le adicionan al capital

M=C+I I = Cni

4.1 4.2

Problema resuelto 1. El abogado Martínez deposita $15 000.00 el día 2 de mayo de 2013 en ICA Banco. Él retirará su dinero dentro de un año. Al retirar el capital inicial también le entregarán los intereses generados en el periodo (M = C + I ). Solución Analicemos el problema, si el periodo es de un año por consecuencia el plazo también lo será y la tasa de interés T = 4% anual, la expresión matemática que cumple con estas características es la del interés simple.

I = 15 000(0.04)(1) = $600 M = 15 000 + 600 = $15 600 Entonces el 2 de mayo del 2014 el abogado Martínez recibirá $600.00 de intereses más los $15 000.00 que invirtió.

Si el abogado Martínez decide recibir sus intereses de manera mensual, en vez de cada año, entonces el periodo será de un mes. Si el plazo de la inversión es de un año, se tendrán 12 periodos de capitalización mensual, de esta manera el abogado Martínez recibirá 12 pagos de intereses al transcurso de un año, en lugar de un pago único de intereses al final del año.

El interés simple siempre será menor que el interés compuesto. El comportamiento del capital se muestra en forma algebraica en el cuadro 4.2.

Del cuadro 4.2 se ve que los valores acumulados sucesivos forman una progresión geométrica [C(1 + i ), C(1 + i )2, C(1 + i )3,…] cuyo n-ésimo término es:

M = C (1 + i )n

4.3

Donde: C = Valor inicial, valor presente de M o valor descontado M. M = Valor compuesto de C, valor acumulado de C o monto. T = Tasa nominal de interés (anual). i = Tasa de interés en el periodo. n = Número total de periodos de capitalización que intervienen. (1 + i )n = Factor de acumulación o factor de interés compuesto. La ecuación 4.3, solo se puede aplicar en periodos de capitalización unitarios, algunos ejemplos: un mes, un bimestre, un semestre, un año. Problema resuelto 3. El costo del predial en la casa de don Jesús se incrementa en 6% al bimestre. ¿Cuánto tendrá que pagar en el próximo bimestre?, si su tarifa bimestral es de $930.00. Solución Datos C = $930.00 n = un bimestre T = 6% bimestral Incógnita M

Desarrollo M = 930.00 [1 + 0.06 ]1 = $985.80

En la actualidad las instituciones financieras ofrecen diferentes planes de inversión con periodos de capitalización menores a un año (ver cuadro 4.3). A este número de veces que en un año los intereses se capitalizan se le conoce como frecuencia de capitalización y se denota por la letra p.

Problema resuelto 5. Encontrar la frecuencia de conversión de un depósito que paga 14% anual de interés capitalizable trimestralmente. Solución P=1año/(1 trimestre)=(12 meses)/(3 meses)=4 periodos de capitalización trimestral

4.2.1 Tasa de interés por periodo (T) Para conocer el interés por periodo se utiliza la siguiente fórmula:

Interés por periodo (T )=

(Tasa de interés nominal) (Número de periodos de capitalización en un año)

4.2.2 Número de periodos El número total de periodos por año se encuentra de la siguiente forma

Problema resuelto 6. Determinar el interés de cada periodo de capitalización y el número de periodos de capitalización, si la tasa nominal es de 18% capitalizable bimestralmente, durante cuatro años. Primero encontrar el número de periodos de capitalización

Después calcular el interés por periodo:

Por último, se encuentra el número total de periodos de capitalización para los cuatro años: m = 6 × 4 = 24 periodos de capitalización bimestral durante cuatro años. Cuando el periodo de capitalización de intereses no es anual y se desea conocer el monto de un capital, se emplea la siguiente expresión:

M=C(1+i/p)np

4.4

M=Ce∫∞( n)

4.5

Donde: n = plazo en años j∞ = tasa de interés anual con componente continuo e = base de los logaritmos naturales = 2.718

4.3 Comparación del interés simple con el interés compuesto Con el siguiente ejemplo se podrá comparar la diferencia que existe en la cantidad de dinero recibido con el interés simple y la cantidad recibida con el interés compuesto. Con ello podemos observar sus diferencias. Problema resuelto 12. Una persona invierte un capital de $10 000.00 a 10% anual durante cuatro años. a) Calcular el interés simple. b) Calcular el interés compuesto. Solución a) Cálculo del interés simple Datos: C = $10 000.00 T = 10% anual n = 4 años Incógnita I Desarrollo: I = Cni = 10 000(4)(0.10) = $4 000.00 El monto a cuatro años será: M = C + I = 10 000 + 4 000 = $14 000.00 b) Cálculo del interés compuesto Datos: Capital inicial $10 000.00 i = 0.10 anual n = un año Incógnitas I y M1 Desarrollo: I = C1ni = 10 000 (1) (0.10) = $1 000.00 El monto al primer año es: M1 = C + I = 10 000 + 1 000 = $11 000.00 El monto obtenido en el primer año (M1) se convierte en el capital inicial del segundo año (C2).

Datos: M1 = C2 = $11 000.00 i = 0.1 anual n = un año Desarrollo: I2 = 11 000 (1) (0.10) = $1 100.00 Monto final del segundo año es: M2 = 11 000 + 1 100 = $12 100.00 El monto del segundo año (M2) se convierte en el capital inicial en el tercer año (C3). Datos: M2 = C3 = $12 100.00 T = 0.1 anual n = un año Desarrollo: I3 = 12 100 (1) (0.10) = $1 210.00 Monto final al terminar el tercer año: M3 = 12 100.00 + 1 210.00 = $13 310.00 El monto del tercer año se convierte en el capital inicial en el cuarto año. Datos: M3 = C4 = $13 310.00 i = 0.10 anual n = un año Desarrollo: I4 = 13 310 (1) (0.10) = $1 331.00 Monto final al terminar el cuarto año: M4 = 13 310.00 + 1 331.00 = $14 641.00 Como observamos en los resultados del ejemplo, el interés compuesto es mayor que el interés simple, con un mismo capital, tasa y tiempo. La mejor forma de comparar los montos es dibujando la gráfica correspondiente.

El monto a interés compuesto crece en forma geométrica y su gráfica es una función exponencial, en donde para cada periodo existe un incremento que es mayor con respecto al periodo anterior, al hacer que la curva ascienda de izquierda a derecha cada vez con mayor velocidad. Su ecuación, como ya se indicó, es la de una función exponencial. M = C[1 + i]n En el interés simple el monto crece en progresión aritmética y la gráfica es una línea recta, en donde para cada periodo el incremento es constante. Su ecuación será la de una línea recta. M = C + (Ci ) n Y = b + mx El interés compuesto siempre será mayor que el interés simple, porque el primero gana intereses por sí mismo, mientras que el segundo no.

4.4 Valor actual o presente El valor actual es un concepto muy utilizado en las matemáticas financieras, porque permite conocer el valor en un determinado momento, de una cantidad que se recibirá, que deba pagarse o que se desea reunir en un tiempo futuro. A partir de la fórmula de monto en interés compuesto.

M = C (1 + i )n

4.3

Despejando a C se tiene:

4.6

(1 + i )

O también puede escribirse como:

C = M(1 + i )-n C = M [(1 +

4.7

i np )p

4.8 4.9

C = M [(e)-(n)...)

Problema resuelto 15. ¿Qué cantidad tiene que depositar hoy en un fondo de inversión que paga 9.4% capitalizable mensualmente para tener $8 000.00 dentro de cuatro años?

Datos: M = $8 000.00 T = 9.4% A.C.M. C M np = 4 (12) = 48

Desarrollo:

4.4.1 Tiempo

El tiempo se puede calcular despejando “n” de la ecuación 4.4:

C = M [(1 +

i np ) p

4.4

Despejando a “n”

Aplicando logaritmos

Empleando la propiedad de logaritmos

Problema resuelto 18. Un capital de $11 873.15 produce intereses a una tasa de 20% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $19 459.55? Solución Datos: C = $11 873.15 M = $19 459.55 T = 20% A.C.M. Incógnita n Desarrollo

n = 2.4908 n = 2 años, 5 meses y 27 días Problema resuelto 19. ¿Cuánto tardarán $20 000.00 en acumular $36 000.00 de interés 4.9% capitalizable trimestralmente?

Solución Datos: C = $20 000.00 M = $36 000.00 T = 4.9% A.C.T.

Desarrollo

Incógnita n n = 12.06897 n = 12 años y 25 día En la capitalización diaria. • Se debe entender que el mes es de 30 días, sino se indica el nombre del mes en la redacción del problema. • Cuando en la redacción del problema dice el nombre del mes, se consideran los días calendario del mismo. Ejemplo: marzo número de días 31, febrero en año bisiesto 29 días. Problema resuelto 21. ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $89 999.00, para alcanzar la cantidad de $94 800.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 4% capitalizable trimestralmente?

Solución Datos: C = $89 999.00 M = $94 800.00 n = 4% A.C.T. Incógnita n

Desarrollo

n = 1 año, 3 meses y 20 días

4.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales 4.5.1 Cálculo de la tasa Es importante recordar que los periodos de la tasa de interés son periodos de capitalización y es en donde los intereses se acumulan al capital para que produzcan nuevos intereses. Problema resuelto 23. Banorte ofrece una tasa de interés de 4.6% capitalizable anualmente, mientras que Banco Aztek ofrece 4.6% con capitalización trimestral. ¿En qué banco es recomendable hacer la inversión?

Solución La respuesta es en el Banco Aztek, porque los intereses los pagan cada trimestre y al reinvertirse se ponen a trabajar el capital cuatro veces al año. Mientras que en Banorte solo se capitalizan los intereses una vez al año. Para comprobar el resultado anterior, se debe conocer la tasa real de interés que se obtiene con cada inversión. Para conocer esta tasa i es necesario despejarla de la ecuación de monto.

M = C (1 + i )n

4.11

Existen dos alternativas para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos.

4.5.2 Tasas equivalentes

Las tasas equivalentes son aquellas que producen el mismo interés durante un año con diferentes periodos de capitalización. Problema resuelto 26. ¿A qué tasa de interés compuesto mensualmente producirá el mismo monto, que a 9.5% capitalizable trimestralmente? Solución Monto acumulado a un año tasa capitalizable mensualmente. Monto acumulado en un año a 9.5% anual capitalizable trimestral:

Igualando los montos:

i = 12 (1.007855 - 1) i = 12 (0.007855) i = 0.09426 anual convertible mensualmente

La tasa de 9.426% anual convertible mensualmente es equivalente a la tasa de 9.5% anual convertible trimestralmente.

4.5.3 Tasa efectiva La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i) compuesta en (p) periodos por año. [Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año] Dividiendo ambos términos entre C se tiene:

La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.

Problema resuelto 29. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 12% capitalizable bimestralmente. Solución T = 12% A.C. Bimestral

e = 12.62% anual Es lo mismo invertir a 12% capitalizable bimestralmente que a 12.61% con capitalización anual. Problema resuelto 30. Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 25.9% anual capitalizable semestralmente. Solución T = 25.9% A.C. Semestral

4.5.4 Tasa nominal La tasa nominal se aplica para todo el año y es convertible en (p) periodos.

Problema resuelto 32. Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 9%. Solución Datos: e = 9% p=6

Desarrollo

El 8.68% compuesto bimestralmente es equivalente a 9% de interés efectivo.

4.6 Ecuación de valor Una ecuación de valor en interés compuesto es la igualdad de dos conjuntos diferentes de obligaciones, la original y la propuesta en una fecha determinada en forma arbitraria; a la cual se le conoce como fecha focal, de comparación o fecha de evaluación (F.F.).

Para resolver un problema utilizando la ecuación de valor, es necesario seguir los pasos que se describen a continuación: 1. Identificar el primer conjunto de obligaciones, el conjunto original, el cual es intercambiado por un segundo conjunto de obligaciones, el propuesto, que es diferente al original en lo referente a pagos y vencimientos. 2. Trasladar los dos conjuntos de obligaciones a una fecha focal. 3. Plantear una ecuación de valor igualando los dos conjuntos de obligaciones, para ello, ambos conjuntos deben de referirse a una misma fecha focal (F.F.). a) Cualquier suma de dinero puede determinarse a futuro con:

M = C (1 + i )n b) Cualquier suma de dinero puede ser descontada, para poder anticipar su disponibilidad con:

C = M (1 + i )n

Problema resuelto 35. La compañía de bordados Viraza, S. A., tiene dos préstamos que debe pagar en fechas ya acordadas con Bancrédito. Después de realizar un minucioso estudio el nuevo administrador de la compañía decidió modificar la forma de pago a una sola exhibición, la cual fue fijada y acordada por ambas partes (F.F.). Solución a) Se tiene que fijar un punto en el tiempo (fecha focal). b) La fecha focal es propuesta por el administrador para cubrir la deuda en un solo pago, para ello, deberá trasladar a esta fecha (F.F.), las dos deudas, utilizando las expresiones de valor presente o el valor futuro (monto), según sea el caso. Ver figura 4.6.

En la figura 4.6, X1 y X2 representan las fechas de pago de las dos deudas de la compañía Viarza, F.F. ubica la nueva fecha de pago (único) la cual cubrirá las dos deudas originales y está fijada en común acuerdo por Bancrédito y la Compañía Viarza, las flechas representan el traslado de las deudas en el tiempo. Para trasladar el flujo X1 a la F.F. se utiliza la expresión de monto C = M (1 + i )n y para el flujo X2 se utiliza la expresión de valor presente

C = M (1 + i )-n En las ecuaciones de valor en interés compuesto los resultados del pago único o los pagos parciales no varían al cambiar la fecha focal. En el caso ya estudiado de las ecuaciones de valor en interés simple, al cambiar la fecha focal los resultados de los pagos van a ser diferentes.

4.7 Tiempo equivalente El tiempo es equivalente cuando en una fecha determinada se puede cancelar, mediante un pago, la suma de los valores de un conjunto de obligaciones que tienen diferentes fechas de vencimiento.

Problema resuelto 41. La química Susana Altamirano tiene que pagar las siguientes obligaciones de $18 000.00, $25 000.00 y $30 000.00 con diferentes fechas de pago en 3, 9 La química acordó con el banco realizar un pago único en una fecha, con una tasa de 24% capitalizable mensualmente.

Solución El pago único se determina a través del cálculo del tiempo equivalente. Para tener una idea más clara se grafica el problema, colocando los pagos en sus respectivas fechas de vencimiento y se ubica la fecha focal.

La fecha focal se determina de manera lógica, para este ejemplo se ubica en el doceavo mes, ya que en este, se cancelarán todas las obligaciones. El pago único será de 18 000 + 25 000 + 30 000 = $73 000 El tiempo entre el pago de $73 000 y la fecha focal en n, se obtiene planteando la siguiente ecuación de tiempo equivalente.

Problema resuelto 42. El talabartero Ronaldo Montero es un pequeño fabricante de carpetas y llaveros de piel, requiere introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Para ello, decidió contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente manera: $40 000.00 con vencimiento en seis meses, $60 000.00 a ocho y $90 000.00 en 12 meses. El talabartero Ronaldo decide renegociar su deuda para realizar un pago único, a una tasa de 20% capitalizable mensualmente. Encontrar el tiempo equivalente.

La fecha focal se ubica en el doceavo mes, ya que en este se cancelarían todas las obligaciones. El pago único es de 40 000 + 60 000 + 90 000 = $190 000 El tiempo entre el pago de $190 000 y la fecha focal en n, se obtiene al plantear la siguiente ecuación de tiempo equivalente.

Entonces, existen 2.57805 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente para el pago único será el siguiente. Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (2 meses 17 días) = 9 meses y 13 días. El pago único será de $190 000 y deberá pagarse dentro de 9 meses y 13 días.

4.8 Inflación Es importante saber de qué manera se incorpora la inflación a un análisis financiero, ya que hasta este momento se ha estudiado en los dos capítulos el manejo del dinero sin considerar la inflación, o considerando un incremento tan bajo en los precios de los bienes o servicios que prácticamente este problema no se toma en consideración. ¿Qué efecto tiene la inflación en el poder adquisitivo? La respuesta es, el valor del dinero disminuye, por tanto el poder de compra. Lo anterior también se puede entender con un ejemplo: si con $64.00 se compran ocho gomas y cada una cuesta $8.00 en el mes de enero, con los mismos $64.00 en diciembre del mismo año solo se podrá comprar siete gomas y cada una

¡costará $8.32. Entonces, el incremento en el precio de cada goma será 4% en un año; por tanto, la inflación para el caso de los gomas será 4% anual. En la economía de un país no solo se venden y producen gomas, también diferentes bienes y servicio. La inflación se representa por lo regular en términos del porcentaje que presenta la tasa de incremento de los precios en una quincena, mes o año, con respecto a los precios de la quincena, mes o año anterior. Problema resuelto 46. Supón que la tasa de inflación anual se mantiene constante desde enero de 2006 hasta enero de 2015 (6.35%). Encontrar el precio de una silla para escritorio de piel en el mes de enero del 2015, si en el mes de enero del año 2006 costaba $6 700.00. Solución Datos: l = 6.35% anual C = $6 700.00 n = 9 años Incógnita M

Desarrollo:

El costo de una silla de piel para escritorio en enero del año 2015 será de $11 660.36. La inflación es un problema económico que tiene causas muy complejas. • El incremento de monedas y billetes circulantes, sin un incremento de la producción de bienes y servicios equivalente • Cuando se recurre a la emisión de dinero para cubrir el déficit presupuestal del gobierno. • Si la demanda de un bien o servicio es mayor que la oferta los precios suben. Esto se debe al exceso de moneda circulante, ya que la gente tiene más dinero para comprar entonces la demanda aumenta. Al hablar de una inflación baja, se debe entender como el incremento mínimo en los precios de los bienes o servicios en un periodo determinado; por ejemplo, una inflación anual de 0.5% o de 1.2%. La tasa de inflación se calcula con la siguiente expresión.

l Tasa de inflación. I1 Índice de precios al inicio del periodo. I2 Índice de precios al final del periodo. Fórmulas empleadas Capitalización anual:

Capitalización fraccionaria:

Cuando el periodo continuamente)

Valor actual o presente:

Tiempo:

tiene

componente

continuo

(capitalización

Tasa:

Tasa efectiva:

Tasa nominal:

Inflación: Tasa de inflación:

Tasa de inflación acumulada constante:

Tasa de inflación acumulada variable:

Tasa de inflación por periodo

Nomenclatura

BIBLIOGRAFÍA Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.