Interés Simple_S1

FINANZAS INTERÉS SIMPLE

OBJETIVOS • Comprenderás el concepto de Interés simple y aprenderá a aplicarlo. • Entenderás y aprenderás aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado, ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tipo de interés. • Entenderás y aprenderás aplicar los conceptos de: descuento simple, valor descontado, pagaré, tasa de rendimiento.

3.1 El interés simple se utiliza generalmente en el cálculo de operaciones financieras en préstamos de dinero a corto plazo (de un año o menos). El interés simple se utiliza generalmente en el cálculo de operaciones financieras en préstamos de dinero a corto plazo (de un año o menos). Definición El interés es el pago por el uso del dinero ajeno que se hace durante un periodo determinado y se representa con la letra I.

También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma productiva, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias. También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma productiva, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias.

También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma productiva, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias. Se usarán los siguientes conceptos con la siguiente nomenclatura: • C = Capital, principal o valor presente de M, o valor presente de M, o la ganancia • M = Monto, o cantidad, o valor futuro de C, o valor acumulado de C, o valor pagadero de C. • n = Tiempo

El interés se obtiene de restar al monto del capital el capital prestado inicialmente, entonces se utiliza la expresión:

I =M - C Otra forma de calcular el interés simple cuando no se conoce el valor futuro del préstamo.

I = CnT El interés simple, en una operación financiera pactada a un año, se obtiene al multiplicar el capital por la tasa de interés dividida entre 100.

I= Cn ( T ) 100 T = tasa de interés o tipo de interés en tanto por ciento (T = 16% anual). i = tasa de interés o tipo de interés en tanto por uno (i = 0.16 anual).

T 100

Cuando se desea calcular el interés con base en una unidad monetaria.

I = Cni La tasa de interés simple aplica desde la fecha de inicio hasta la fecha final. Esto quiere decir que los intereses se pagan hasta el final del periodo (en la fecha final).

La tasa de interés se calcula como la razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo n (debe estar en años).

I cn

El plazo o tiempo es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre la fecha inicial y la fecha final en una operación financiera. Cuando el tiempo está dado en días se calcula El interés simple exacto o real: a) Año calendario en tiempo exacto es 365 días.

I= C(

n T )( ) 100 365

Las instituciones financieras calculan los intereses de las tarjetas de crédito y débito, con base en el año real o exacto. b) Año bisiesto en tiempo exacto es 366 días.

I= C(

n T )( ) 100 366

El interés simple ordinario: a) Año comercial en tiempo real es 360 días.

I= C(

n T )( ) 100 360

El año comercial está constituido por 12 meses y cada mes del año tiene 30 días, entonces el año comercial está formado por 360 días. Con este año las instituciones financieras acostumbran calcular los intereses. Cuando el tiempo está en meses:

I= C(

n T )( ) 12 100

El primer banco moderno se funda en 1407 en Génova, Italia. El nombre de este banco es la “Casa de San Giorgio”.

Problema resuelto 1. El ingeniero Juan López abrió una cuenta de inversión en el banco al depositar $20 000.00, después de un año recibe $22 348.00 por su inversión. Calcular: a) El interés b) La tasa de interés c) El tipo de interés

Solución a) El interés se obtiene sustituyendo el valor del capital y el monto en la ecuación 3.1.

Datos:

Desarrollo:

C = $20 000.00 I = M - C M = $22 348.00 I = 22 348.00 - 20 000.00 n = Un año I = $2 348.00

I=M–C I = 22 348.00 - 20 000.00 I = $2 348.00

Incógnita I.

b) La tasa de interés Incógnita i. i= I/Cn=2348/20000=0,1174 anual

c) El tipo de interés Incógnita T. T = (0.1174)(100) T = 11.74% anual

Problema resuelto 2. ¿A qué tasa de interés simple se acumularán intereses de $350.00 por $2 100.00 a seis años? Solución Datos: C = $2 100.00 I = $350.00 n = 6 años Incógnita T. El interés simple se clasifica: Interés Simple

Ordinario o Comercial (lo) el año es de 360 días

Tiempo exacto

Tiempo aproximado

Exacto o Real (le) el año de 365 días

Tiempo exacto

Tiempo aproximado

Figura 3.1

3.1.1 Tiempo exacto El tiempo exacto se refiere a los días que tiene cada mes del año. Cuadro 3.1 Días de los meses del año (Tiempo real)

Existen dos métodos para calcular el número de días exactos: 1) Contar el día inicial para el pago de intereses y no contar el día final. Este caso se emplea en Europa. El uno de marzo se depositan $2 000.00 en su cuenta de inversión, y el día 28 de marzo lo retira. • Desde el uno de marzo genera intereses hasta el día 27 de marzo. • El día 28 no genera intereses.

2) No contar el día inicial para el pago de intereses y sí contar el día final. Este caso es el utilizado en México. El día 28 de marzo se depositan $6 500.00 en una cuenta de ahorros, y se retiran el 20 de abril. • El día 28 no genera intereses. • A partir del día 29 marzo hasta el 20 de abril inclusive genera intereses.

3.1.2 Tiempo aproximado Es el periodo en el que se considera el mes de 30 días, este caso corresponde al año comercial.

Cuadro 3.2 Días de los meses del año (Tiempo aproximado)

Interés real o exacto:

Ie=

Cni 365

Interés comercial u ordinario:

Ie=

Cni 360

Relación del Interés Comercial u Ordinario (Io) y el Interés Real o Exacto (Ie). El interés exacto es menor que el interés ordinario

Ie = 0.9863 El interés ordinario es mayor que el interés exacto

Ie = 1.0139 De las ecuaciones 3.10 y 3.11 se observa que el interés ordinario siempre es mayor que el interés exacto (Io > Ie).

le/lo=0.9863

Problema resuelto 9. ¿Qué interés produce un capital de $10,600.00 a 6% durante el mes de marzo? Solución a) Interés simple, comercial y tiempo exacto. Año comercial 360 días Tiempo exacto, el mes tiene 31 días. Io = 10 600(0.06)(31/360) = $54.76 b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado. Año comercial 360 días Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días. Io = 10 600(0.06)(30/360) = $53.00 c) Interés simple, real y tiempo exacto. Año real 365 días Tiempo exacto, el mes tiene 31 días. Ie = 10 600(0.06)(31/365) = $54.02 d) Interés simple, real y tiempo aproximado. Año real 365 días Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días. Ie = 10 600(0.06)(30/365) = $52.27

3.2 Cálculo del monto El monto o valor futuro del capital se obtiene de la suma del capital más el interés simple ganado. El monto se simboliza por la letra M.

M=C+IM = C(1+ni) Problema resuelto 12. Calcular el monto de un préstamo de $4 150.00 a 26% de interés simple, durante dos años. Solución Datos C = $4 150.00 T = 26% anual i = 0.26 n = 2 años Incógnita M

Desarrollo M = C(1 + ni ) M = 4 150.00[1 + (0.26)(2)] M = 4 150.00(1.52) M = $6308

3.3 Valor presente o actual Se entiende por valor presente al valor del dinero en cualquier fecha que nos convenga y se simboliza con VP. La fecha de conveniencia puede ser el día de hoy o dentro de una semana o dentro de dos meses, en un semestre, entre otros. El valor presente de un valor futuro (M) es la cantidad de dinero invertida el día de hoy a una determinada tasa de interés.

Para entender estos conceptos supongamos que el día de hoy nos dan un peso, el valor de este peso recibido el día de hoy no tiene el mismo valor que dentro de un año. ¿Por qué razón no tiene el mismo valor? La respuesta es debido a la inflación y esta tiene repercusiones en la economía de las personas y de los países. El dinero por si solo tiene un poder de compra, si el día de hoy se tiene un peso y existe la inflación, el peso perderá poder de compra en una fecha futura, otra forma de explicarlo es si el peso que recibimos en una fecha futura vale menos que un peso recibido el día de hoy. Ahora analicemos el caso en que un peso es invertido durante un periodo. Si invertimos un peso el día de hoy en una institución financiera, ¿cuál será el valor del dinero dentro de un año? Para poder contestar correctamente es necesario plantear tres posibles resultados: 1) Si la inflación es mayor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale menos en una fecha futura (pierde poder de compra). 2) Cuando la inflación es menor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale más en una fecha futura (gana poder de compra). 3) La cuenta de inversión es contratada en udis peso más tasa de interés más inflación, entonces el peso invertido no debe perder su valor al transcurso del tiempo, porque estas cuentas de inversión están pensadas para que el peso aumente siempre su poder adquisitivo, en otras palabras el peso nunca vale menos en el transcurso del tiempo. Problema resuelto 18. El señor Alfonso Godínez es el dueño de una tienda y solicita un préstamo a una institución de crédito. El día de hoy recibe $38 000.00 a pagarse dentro de 10 meses con una tasa de interés simple de 8% anual. ¿Cuál es el valor futuro (M) del préstamo? Solución M = 38 000.00[1 + (0.08/12)(10)] = $40 533.30. Para interpretar el resultado anterior y el concepto de valor presente se plantean tres casos: 1) El día de hoy, los $38 000.00 son equivalentes a $40 533.30 dentro de un año, por haber sido invertidos a una tasa de interés simple de 8% anual. 2) El señor Godínez deberá de pagar $40 533.30, que son el monto o valor futuro de $38 000.00 del préstamo.

3) Los $38 000.00 del préstamo son el valor presente o actual de los $40 533.30 a pagar por el señor Godínez en un futuro. Para calcular el valor presente, se requiere despejar a C de la ecuación 3.14, obteniéndose:

C = M/(1+ni) o también

C=M(1+ni)-1

3.4 Cálculo del tiempo o plazo Despejando n de 3.14 obtenemos:

n= O bien

( M/C-1) 1 (M-C) Ci

Problema resuelto 23. El día de hoy depositamos $7 800.00 en una cuenta de inversión. ¿En cuánto tiempo se acumularían $9 500.00 a una tasa de interés de 11.2%? Solución Datos: C = $7 800.00 M = $9 500.00 T = 11.2% anual Incógnita n

Desarrollo: n= ( M/C-1)/i=(9500.00/7800.00-1)/0.112=(1.2179 -1)/0.112=1.946 años Cálculo de los meses y días Años = 1 Meses = 1.946 - 1 = 0.946 Meses = (0.946)(12) Meses = 11.352 Días = 11.352 - 11 Días = (0.352)(30)

Días = 10.55 Como la tasa está dada en forma anual, el periodo también es anual, entonces el resultado está expresado en años. n = 1 año 11 meses 10 días

3.5 Descuento simple Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad C, se extiende un pagaré que es una promesa de pago, el cual ampara una cantidad de dinero con o sin interés, en una fecha determinada por el deudor y el acreedor o dueño del documento, este documento se suscribe a favor del acreedor. El descuento a los documentos se puede realizar de dos maneras: el llamado descuento comercial o bancario y el descuento real o justo. El descuento comercial o bancario o simplemente descuento, consiste en cobrar el interés en el momento en que se realiza el préstamo; en otras palabras, se cobran los intereses por anticipado y no hasta la fecha de vencimiento. Este se calcula considerando el valor final del documento (valor futuro del capital). Descuento (D) Es la cantidad descontada, en un periodo (n), con una tasa de descuento simple (d) de una cantidad de dinero solicitado. El monto o valor final del documento, es la cantidad solicitada en el préstamo, pero esta nunca se recibe.

D = Mnd Problema resuelto 28. ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $4 800.00, a un plazo de siete meses, con una tasa de descuento simple de 12% anual?

Solución Datos: M = $4 800.00 n = 7 meses d = 12% anual d = 0.12/12 = 0.01 Incógnita D

Desarrollo: D = Mnd = 4 800.00(7)(0.12/12) = $336.00

Problema resuelto 29. ¿Cuál es el descuento que hace Bansureste a un préstamo de $29 500.00, a un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual? Solución

Datos: M = $29 000.00 n = 18 meses d = 24% anual d = 0.02 mensual Incógnita D

Desarrollo: D = Mnd = 29 500.00(18)(0.24/12) = $10 620.00

3.6 Valor descontado o ganancia Cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo, después de haber descontado anticipadamente los intereses del monto, también se le conoce como valor efectivo o líquido o actual, y se calcula como:

C=M-D C = M(1 - nd ) 32. El profesor Juan López s olicita un préstamo a la caja de ahorro de su trabajo de $30 000.00 a un plazo de diez meses, con una tasa de descuento de 1% mensual. a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Gómez?

Solución

Desarrollo: D = Mnd = 30 000.00(10)(0.01) = $3 000

Datos: M = $30 000.00 n = 10 meses d = 1% mensual Incógnitas D y C

La cantidad que recibe el profesor López es de: C = M - D = 30 000 - 3 000 = $27 000 El profesor López recibe $27 000.00, en lugar de los $30 000.00 solicitados, pero dentro de nueve meses debe pagar $30 000.00, porque la caja de ahorro le aplicó el descuento comercial.

3.7 Tasa de rendimiento En el descuento comercial, el prestamista dispone de inmediato del dinero generado por los intereses (al cobrarlos por adelantados). El deudor, al pagar por adelantado los intereses del préstamo, en realidad está pagando una mayor cantidad de intereses, que la estipulada (o pactada); a esta tasa se le conoce como tasa de rendimiento (R ). Despejando M de la ecuación 3.20 y sustituyendo el valor de D (ecuación 3.18) por el de I tenemos:

M=C+D M = C + Cni La tasa de descuento (d ) y una tasa de interés (i ) son equivalentes, si producen el mismo valor presente (c) para una cantidad (M) si dan como resultado la misma cantidad al pagarse en n años. Al despejar i de la ecuación M = C + Cni se tiene:

Como i = R, entonces:

R = (M-C)/Cn Otra forma de calcular es considerar que la tasa de descuento (d) y la tasa de interés (i ) son equivalentes, se igualan las ecuaciones: M(1 - nd ) = M〖(1 - nR )〗^(-1)

R = d/(1- nd) Problema resuelto 36. El Banco de Centroamérica aplica un descuento de $64 120.00 a la tienda de ropa CITA, por un préstamo a ocho meses con una tasa de descuento de 25% anual, por la compra de lencería en su tienda. ¿Cuál es la tasa de rendimiento? Solución a) Calculamos el monto Datos: d = 25% anual D = $64 120.00 n = 8 meses

b) Calculamos el valor descontado C = M - D = 384 720 - 64 120 = $320 600

c) Se calcula el valor de la tasa de rendimiento R = (M-C)/Cn=(384720 - 320 600)/(320 600 ( 8 ))=64120/2564800=0.025 R = 2.5% mensual

Desarrollo: M = D/dn=64120/(0.25 (8 /12))=64120/0.1666=$384 720

3.8 Valor de vencimiento Cuando se desea liquidar un préstamo, es necesario sumar al capital el interés generado en el periodo, obteniendo la cantidad total a pagar o valor de vencimiento (M = C + I). • Si el pagaré no genera intereses, el valor al vencimiento es el mismo que el valor nominal. • Cuando el pagaré genera intereses, el valor de vencimiento es el valor nominal más el interés. VALOR DE VENCIMIENTO = VALOR NOMINAL + INTERESES

M=C+I

Problema resuelto 40. El señor José Soto descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $18 679.00, a una tasa de descuento de 22% anual, siendo el vencimiento del pagaré nueve meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento? Solución

Datos: a) Calculamos el descuento C = $18 679.00 n = 9 meses d = 22% anual d = 0.22/12 = 0.01833

b) Calcular el valor del monto M = C + D = 18 679.00 + 3 690.38 = $22 369.26

Desarrollo: D = Cnd/(1- nd)=((18679.00)(9)(0.01833)0.18/12)/(1-(9)(0.01833))=$3690.26

3.9 Tasa de descuento Las ganancias de capital se obtienen al comprar un pagaré a un valor menor y cobrarlo a futuro con su valor nominal, este tipo de operaciones es muy frecuente en valores que se venden con descuento. Entonces la diferencia que existe entre el precio de venta y el precio de cobro es la ganancia de capital. En los pagarés que se venden a un precio inferior al que tienen a su vencimiento, el precio de venta se determina calculando la tasa de descuento. Problema resuelto 43. El dueño de la chicharronera Santa Rosa vendió al Banco del Pacífico un pagaré a cuatro meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $23 555.00 y recibió del banco la cantidad de $20 165.00. Encontrar la tasa de descuento. Solución Datos: C = $20 165.00 M = $23 555.000 n = 4 meses Incógnita d

Desarrollo: D = M - C = 23 555.00 - 20 165.00 = $3 390.00 d = D/Mn=3390.00/((23555.00)(4))=3390.00/94220.00 = 0.03598 d = 3.598% mensual

Desarrollo: D = M - C = 23 555.00 - 20 165.00 = $3 390.00 d = D/Mn=3390.00/((23555.00)(4))=3390.00/94220.00= 0.03598 d = 3.598% mensual d = 43.18% anual

Problema resuelto 44. El señor Luis Vega firmó un pagaré el uno de enero por la cantidad de $180 000.00, con vencimiento en agosto del mismo año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $11 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento? Solución Datos: M = $180 000.00 D = $11 240.50 n = 8 meses Incógnita d

Desarrollo: d = D/Mn=11240.50/((180000.00)(8))= 0.0078 d = 0.78% meses d = 9.36% anual

3.10 Relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento El descuento es:

D = Mnd

El valor descontado:

D = M-D

Sustituyendo D de 3.19 en la ecuación D = M-D obtenemos C = M-Mnd La tasa de rendimiento es:

R=(M-C)/Cn

Sustituyendo la ecuación C = M-Mnd en la ecuaciónR=(M-C)/Cn: R=(M-(M-Mdn))/(( M- Mdn )( n )) R=d/(1-dn) Se obtiene que d y n estén expresadas en la misma unidad de tiempo, por lo que R solamente depende de la tasa de descuento y del tiempo que dura el préstamo.

Datos: d = 20% anual d = 0.20/12 = 0.0166 mensual n = 9 meses

Desarrollo: R=d/(1-dn)=(( 0.01666 ))/(1-(0.01666 )( 9 ))=0.0196 R = 1.96% mensual R = 23.52% anual

3.11 Plazo Es común ofrecer un descuento a un pagaré en una fecha anterior a la de vencimiento. Cuando se decide vender el pagaré a una tercera persona se fija la cantidad deseada y se establece la tasa de descuento, entonces la pregunta que se debe hacer es: ¿en qué fecha se debe vender el documento?

d=D/Mn Despejando n se obtiene la ecuación de plazo:

n=D/Mn Problema resuelto 48. La distribuidora de agua Alpina descuenta un pagaré, por el cual recibe $48 545.00, a una tasa de descuento de 24% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $90 000.00? Solución Datos: M = $90 000.00 C = $48 545.00 d = 24% anual

Desarrollo: D = M - C = 90 000.00 - 48 545 = $41 455 n=D/Mn=41455.00/(90 000.00 ( 0.24 ))=0.191898 Plazo = 2 meses 9 días

3.12 Pagaré El pagaré o documento, es un compromiso por escrito para el pago de una determinada cantidad de dinero (la cual puede o no incluir intereses) por parte del deudor en una fecha de vencimiento determinada por el acreedor. • El deudor u otorgante es la persona que hace la promesa de pagar. • El acreedor o beneficiario o tenedor es la persona que cobra el pagaré. Elementos que intervienen en un pagaré: 1. Valor nominal. Es la cantidad estipulada en el pagaré. Siempre se presenta con números y palabras en el documento. Existen tres casos para indicar el valor nominal: a. Cuando en el pagaré se estipula que el capital causará intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal es el obtenido en el préstamo. b. En caso de que en el pagaré tenga una tasa de interés cero (0%), su valor nominal es el mismo del préstamo, y corresponderá a la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento. c. Si en el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal será el monto a pagar en la fecha de vencimiento. 2. Fecha. Es aquella fecha en la que se extiende y firma el pagaré. 3. Fecha de vencimiento. Es la fecha en que se pagará o liquidará el pagaré. 4. Plazo. Es el tiempo que transcurre entre la fecha de expedición y la fecha de vencimiento del pagaré. 5. Tasa. Es el porcentaje sobre el que se calcula el interés. 6. Valor de vencimiento o final. Es la suma de dinero que se debe de pagar (M) en la fecha de vencimiento.

Pueden presentarse los siguientes casos: a. Es el valor nominal más los intereses (estos deben estar especificados en el pagaré).

b. Cuando no se especifique ninguna tasa de interés, el valor nominal es igual al valor de vencimiento, ya que el pagaré no produce intereses (esto no es muy usual).

c. En algunos casos al capital se le suman los intereses, dando la impresión de que el préstamo original carecería de estos. La tasa de interés no se especifica en el pagaré.

Problema resuelto 50. Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a la “Compañía Sombeamex, S. A.”, el 6 de mayo de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 15%.

Solución 1. Identificar los siguientes puntos del pagaré • En el pagaré, el señor Javier Barrera Daz es el deudor y la compañía “Sumbeamex, S. A,” es el acreedor o beneficiario. • El valor nominal del documento es por $1 200 000.00. • El diez de marzo de 2013 es la fecha en que fue expedido el documento, y el 18 de octubre de 2013 es la fecha de vencimiento, el plazo es de 222 días. 2. Calcular el valor de vencimiento del pagaré Datos: C = $1 200 000.00 n = 222 días T = 28% anual Incógnitas I y M

Desarrollo: I = Cni = 1 200 000.00(222)(0.28/365) = $204 361.64 M = C + I = 1 200 000.00 + 204 361.64 = $1 404 361.64

En el tercer paso se calcula el descuento y el valor descontado (valor efectivo), ya conociendo el valor de vencimiento. Datos: M = $1 404 361.64 d = 15% anual n = 165 días Incógnitas D y C

Desarrollo: D = Mnd = 1 404 361.64(165)(0.15/365) = $95 227.26 C = M - D = 1 404 361.64 - 95 227.26 = $1 309 134.38

3.13 Aplicaciones Problema resuelto 54. El día de hoy, la señora Magali acude a empeñar una Tablet marca Sell, para lo cual presenta el equipo y su factura. El valuador le ofrece un préstamo de $5 400.00. El Monte Abellaneda carga un interés mensual de 3% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar la señora Magali para recuperar su Tablet, dos meses después? Solución M = 5 400.00[1 + (0.03)(2)] = $5 724.00 Problema resuelto 55. El señor Armando Morales acude a empeñar una pulsera de oro. El valuador le ofrece un préstamo de $2 300.00. La casa de empeño Pesta Prend carga un interés semanal de 1.8% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Morales para recuperar su pulsera, después de 77 días de haber realizado la operación?

Solución M = 2 300.00[1 + (0.018)(11)] = $2 755.40

3.14 Inversión en CETES Problema resuelto 57. Calcular el descuento y precio del CETE para la siguiente emisión de certificados. Datos hipotéticos: Fecha de emisión 27 de diciembre de 2012. Fecha de vencimiento 24 de enero de 2013. Plazo 28 días Valor nominal $10.00 Tasa de descuento 4.35% En todos los cálculos de CETES se considera el año comercial (360 días). Solución a) Descuento =(10 )( 28 )(0.0435/360)=$0.033833 b) Precio de CETE = Valor nominal - Descuento Precio de CETE = 10 - 0.033833 = $9.966166 Problema resuelto 58. El contador Benjamín Sánchez compra en una casa de bolsa 110 000 CETES, y pagará por cada CETE la cantidad de $9.95055, a un plazo de 28 días. Calcular la utilidad de capital. Solución a) En la fecha de vencimiento el contador Benjamín Sánchez cobra la cantidad de: (10)(110 000) = $1 100 000.00 b) Su compra fue de: (110 000.00)(9.95055) = $1 094 560.50 c) Ganancia de capital = 1 100 000.00 - 1 094 560.50 = $5 439.50

3.15 Inversión en UDIS Problema resuelto El señor Dávila invierte el 4 de agosto de 2013 la cantidad $950 000.00 en UDIS. En este tipo de inversiones Bancréditos paga 5.4% de interés anual y el valor de las UDIS es de $4.884549. a) Encontrar el monto acumulado al 8 de enero de 2014, si el valor de las UDIS es de $5.084549 (los valores de las UDIS UDIS son hipotéticos). Solución Datos: C = $950 000.00 T = 5.4% anual n = 157 días Valor UDIS 4/Ago/2013 $4.884549 Valor UDIS 8/Ene/2014 $5.084549 El precio de las UDIS el 4 de agosto se divide entre la cantidad a invertir, para saber el número de UDIS que se pueden adquirir con $950 000.00. Número de UDIS=(950 000.00)/4.884549=194 490.8322 UDIS Se calcula el valor del monto con la fórmula de interés simple M=C (1+in)=194 490.83[1+(0.054)(157/360)]=199 071.089 UDIS Para saber el monto en pesos se multiplica el resultado anterior, por el valor de las UDIS el 8 de enero de 2014. M = (199 071.089) (5.084549) = $1 012 186.71

Problema resuelto Virsa casa de bordado, S. A., en estos momentos tiene un problema de liquidez y decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $1 975 194.00 y fecha de vencimiento a 55 días, a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la fábrica textil de 85%, la tasa de descuento aplicada es de 26% y le cobrará de comisión 1%. a) Encontrar el valor aforado

b) ¿De cuánto es el descuento? c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje? d ) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A? e) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A., después de cobradas las facturas? Solución a) Valor aforado = (1 975 194.00)(0.85) = $1 678 914.90 b) Descuento=(1678914.90)(55)(0.26/360)=$66 690.23 c) Comisión = (1 678 914.90)(0.01) = $16 789.15 d ) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A.: = 1 678 914.90 - 66 690.23 - 16 789.15 = $1 595 435.52 e) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A. después de cobradas las facturas: = 1 975 194.00 - 1 678 914.90 = $296 279.10

3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor La ecuación de valor es una igualdad, que se emplea en operaciones financieras, cuando existen dos o más transacciones diferentes y se desea cambiar una o algunas de las formas de liquidar las obligaciones contraídas, mediante pagos y fechas diferentes a las originales. Para replantear las diferentes obligaciones en una ecuación de valor, en una operación única, es necesario trasladar todas las obligaciones originales a una sola fecha, denominada fecha focal, la cual es elegida en forma arbitraria dentro del tiempo que duran las obligaciones. En esta fecha focal todas las operaciones financieras replanteadas deben producir el mismo resultado económico y son equivalentes en valor a las obligaciones originales. Si la ecuación de valor equivalente está bien planteada, esta será básica para determinar cuál de las diferentes alternativas financieras es la más conveniente. Para lo cual se recomienda construir un diagrama de valor tiempo, siguiendo los pasos que a continuación se describen: 1. Trazar una línea horizontal. 2. Ubicar la fecha focal en la línea de valor-tiempo. La fecha focal está determinada en la redacción de los problemas de interés simple, ya que si se deja la alternativa a cada persona para seleccionar la fecha focal a su

conveniencia, el resultado puede variar un poco. 3. En la línea de valor-tiempo, fijar las fechas de los préstamos (o deudas) y los pagos. El cero representa siempre el día de hoy. • Las operaciones de contratación de deuda se recomienda indicarlas en la parte superior de la línea de valor-tiempo. • Las operaciones de pago en la parte inferior de la línea de valor-tiempo. 4. Unir con una flecha las operaciones de adeudo con la fecha focal y también las operaciones de pago.

Problema resuelto 62. Una persona firma un pagaré por $4 000.00, para ser pagados en cuatro meses a 31% anual; dos meses después contrae otra deuda por $8 000.00 para pagarla dos meses después. A los tres meses de la primera fecha ofrece pagar $2 000.00 y el resto en un solo pago final a los seis meses después de la última fecha (cuarto mes). ¿Cuál debe ser el valor del pago final, para cancelar los adeudos? Solución Es importante colocar las operaciones de deuda y de pago en una tabla.

Se debe trasladar las deudas a la fecha focal empleando la tasa de 31%, entonces la deuda de $4 000.00 debe avanzar seis meses, la deuda de $8 000.00 avanza seis meses. El pago de $2 000.00 debe avanzar del tercer mes hasta la fecha focal X. Al final todas las deudas ya tienen la misma fecha de vencimiento, se plantea la ecuación de la siguiente forma: OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO 4 000.00 [1 +(0.31)(4/12)][1 +(0.31)(6/12)]+8 000.00[1 +(0.31)(2/12)][1 +(0.31)(6/12)] 2 000.00[1 +(0.31)(7/12)]+X 4 000.00(1.1033)(1.155) + 8 000.00(1.05166)(1.155) = 2 000.00(1.1808) + X 5 097.24 + 9 717.34 = 2 361.66 + X X = 14 814.58 - 2 361.66 X = $12 453.92

Problema resuelto 63. El licenciado Adolfo Pérez adquirió mercancía por $15 000.00 y ofrece hacer tres pagos iguales a su acreedor. El primero dentro de tres meses, el segundo en seis meses y el último en nueve meses. Si la tasa de interés es de 2% mensual. ¿Cuál es el valor de cada uno de los tres pagos?

15 000.00[1 + (0.02)(9)] = X [1 + (0.02)(3)] + X [1 15 000.00[1.18] = X [1.06] X [1.12] = X 17 700 = 3.18X X= 17700/3.18=$5 566.03 Nomenclatura empleada

(0.02)(6)] + X [1

(0.02)(9)]0

BIBLIOGRAFÍA Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.