Interés Simple

OBJETIVOS  Comprenderá el concepto de Interés simple y aprenderá a aplicarlo.  Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado, ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tipo de interés.  Resolverá problemas de: - Interés simple - Monto - Capital y valor presente - Plazo - asa de interés y tipo de interés  Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: descuento simple, valor descontado, pagaré, tasa de rendimiento.  Resolverá problemas de: - escuento simple - Valor descontado - Tasa de rendimiento

¿QUÉ SABES? Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema   



¿Qué interés simple produce un capital de $15 600.00, a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 11.9% anual? Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $25 350.00 a 9.52% en 240 días. El dueño de la tlapalería del pueblo recibe un préstamo de $18 650.00 a dos años. Si la tasa de interés es de 1.5% trimestral, ¿cuánto pagará dentro de dos años? Un banco entrega al licenciado Aldama la cantidad $1 255 000.00 por un préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%, ¿cuál es el capital inicial del préstamo? Una deuda de $7 545.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque cuyo importe es de $8 800.00. Si la tasa de interés simple es de 11.75%, ¿cuánto tiempo estuvo prestado? Se descuenta un préstamo de $150 000.00 a un plazo de 91 días, con una tasa de descuento de 13% anual. Calcular:

¿De cuánto es el descuento al momento de recibir el préstamo?

¿Qué cantidad recibe? Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor de $368 056.00, con una tasa de descuento de 13% anual. Si la fecha de vencimiento es el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía? La señora Mendoza solicita un préstamo por una determinada cantidad de dinero. El plazo es de siete meses y la tasa de descuento de 12%. Calcular la tasa mensual de rendimiento. El arquitecto Rodríguez recibe la cantidad de $80 500.00 por un préstamo a pagar en ocho meses, con una tasa de descuento de 15% anual. ¿Qué cantidad de dinero se debe solicitar prestada? El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de descuento? El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial 18%, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?

3.1

Introducción

El interés simple se utiliza generalmente en el cálculo de operaciones financieras en préstamos de dinero a corto plazo (de un año o menos). Definición El interés es el pago por el uso del dinero ajeno que se hace durante un periodo determinado y se representa con la letra I. También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma productiva, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias. Los prestamistas en la Edad Media cobraban a los particulares intereses hasta de 42% anual, y en operaciones comerciales el interés variaba desde 12 hasta 20% anual. En la actualidad la mayoría de los países establecen mecanismos de regulación o leyes que prohíben la usura. A toda cantidad de dinero prestada o invertida se le conoce como capital, siendo esta una operación financiera que en el transcurso del tiempo se incrementa a un valor M.

Se usarán los siguientes conceptos con la siguiente nomenclatura:   

C = Capital, principal o valor presente de M, o valor presente de M, o la ganancia M = Monto, o cantidad, o valor futuro de C, o valor acumulado de C, o valor pagadero de C n = Tiempo

El interés se obtiene de restar al monto del capital el capital prestado inicialmente, entonces se utiliza la expresión: I  M  C

3.1

Otra forma de calcular el interés simple cuando no se conoce el valor futuro del préstamo. I  CnT

3.2

El interés simple, en una operación financiera pactada a un año, se obtiene al multiplicar el capital por la tasa de interés dividida entre 100. I=

Cn(

T ) 100

3.3

T = tasa de interés o tipo de interés en tanto por ciento (T = 16% anual).

i = tasa de interés o tipo de interés en tanto por uno (i = 0.16 anual). I=

T 100

3.4

Cuando se desea calcular el interés con base en una unidad monetaria. I  Cni

3.5

La tasa de interés simple aplica desde la fecha de inicio hasta la fecha final. Esto quiere decir que los intereses se pagan hasta el final del periodo (en la fecha final). La tasa de interés se calcula como la razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo n (debe estar en años). i=

I Cn

3.6

El plazo o tiempo es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre la fecha inicial y la fecha final en una operación financiera. Cuando el tiempo está dado en días se calcula El interés simple exacto o real: a) Año calendario en tiempo exacto es 365 días. I=

T n )( ) 100 365

3.7

Las instituciones financieras calculan los intereses de las tarjetas de crédito y débito, con base en el año real o exacto. b) Año bisiesto en tiempo exacto es 366 días. I=

T n )( ) 100 366

3.7a

El interés simple ordinario: a) Año comercial en tiempo real es 360 días. I=

T n )( ) 100 360

3.7b

El año comercial está constituido por 12 meses y cada mes del año tiene 30 días, entonces el año comercial está formado por 360 días. Con este año las instituciones financieras acostumbran calcular los intereses. Cuando el tiempo está en meses: I=

T n )( ) 100 12

3.7c

Interés simple tomando como base en días y la tasa al tanto por uno (expresada en forma mensual).

Cni 30

3.7d

El primer banco moderno se funda en 1407 en Génova, Italia. El nombre de este banco es la “Casa de San Giorgio”.

Problema resuelto 1. El ingeniero Juan López abrió una cuenta de inversión en el banco al depositar $20 000.00, después de un año recibe $22 348.00 por su inversión. Calcular: a) El interés b) La tasa de interés c) El tipo de interés Solución a) El interés se obtiene sustituyendo el valor del capital y el monto en la ecuación 3.1

Problema resuelto 2. ¿A qué tasa de interés simple se acumularán intereses de $350.00 por $2 100.00 a seis años? Solución

Datos: C = $2 100.00 I = $350.00 n = 6 años Incógnita T.

Desarrollo: i=

I 350.00 = =0.022777 anual Cn 2100.00

T = 2.77% anual

Problema resuelto 3. La doctora Martínez compra un automóvil y pacta pagarlo en dos años, a una tasa de interés de 13.5%. El automóvil cuesta $219 850.00. Determinar el interés simple a pagar por la doctora Martínez. Incógnita I Solución Datos:

Desarrollo:

C = $219 850.00

Desarrollo:

T = 13.5% anual

I = Cni

i = 0.135 anual

I = 219 850.00(2)(0.135)

n = 2 años

I = $59 359.50

Problema resuelto 4. Un banco paga 4% anual en sus cuentas de inversión inmediata, los intereses simples se abonan trimestralmente. ¿Cuánto se recibirá de intereses por los primeros 90 días, si el depósito fue de $7 400.00? Solución Datos:

T = 4% anual

C = $7 400.00

n = 90 días

Incógnita I

I = C(T/100)(n/360)

Desarrollo:

I = 7 400.00(0.04)(90/360) I = $74.00

Problema resuelto 5. ¿Qué interés simple produce un capital de $46 400.00, a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 5% anual? Solución Datos:

Desarrollo:

C = $46 400.00

I = C(T/100)(n/52)

T = 5% anual

I = 46 400(0.05)(13/52)

n = 13 semanas

I = $580.00

Incógnita I

Problema resuelto 6. Prestar un capital a 4.8% simple anual es más redituable que invertirlo a 0.15% simple semanal. Solución Primer paso: Datos:

Desarrollo:

C = $1.00

I = C(T/100)(n)

T = 4.8% anual

I = (1)(0.048)(1)

n = 1 año

I = $0.048 en un año

Incógnita I

Segundo paso: Datos

Incógnita I

C = $1.00 T = 0.15% semanal

Desarrollo:

n = 1 semana

I = C(T/100)(n )

I = (1)(0.0015)(1)

I = (1)(0.0015)(52) = $0.078 en un año

I = $0.0015 en una semana Lo más recomendable es invertir a 0.15% semanal.

Problema resuelto 7. La licenciada Adriana recibió un préstamo personal de una institución financiera por $30 000.00 y acuerda pagarlo en un año, a una tasa de interés de 26.5%. Determinar el interés simple a pagar por la licenciada Adriana. Incógnita I Datos

Desarrollo

C = $30 000.00

I = Cni

T = 26.5% anual

I = 30 000.00(1)(0.265)

i = 0.265 anual

I = $7 950.00

n = 1 año

Problema resuelto 8. La tasa de interés aplicable a las personas que compran a crédito en “Puerto de Veracruz, S.A.” es la TIIE de 18.75% anual más 15.65 puntos porcentuales. Encontrar la tasa de interés aplicable. Las instituciones financieras y comerciales calculan las tasas de interés sumando puntos porcentuales a las tasas de referencia en la mayor parte de los casos. Tasa de interés (T) = 18.75 + 15.65 = 34.40% anual

El interés simple se clasifica: Interés simple Ordinario o Comercial (Io) el año es de 360 días

Tiempo exacto Figura 3.1

Tiempo aproximado

Exacto o Real (Ie) el año es de 365 días

Tiempo exacto

Tiempo aproximado

3.1.1 Tiempo exacto El tiempo exacto se refiere a los días que tiene cada mes del año. Cuadro 3.1 Días de los meses del año (Tiempo real) Mes del año Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre Abril, Junio, Septiembre, Noviembre Febrero Febrero (año bisiesto)

Días 31 30 28 29

Existen dos métodos para calcular el número de días exactos: 1) Contar el día inicial para el pago de intereses y no contar el día final. Este caso se emplea en Europa. El uno de marzo se depositan $2 000.00 en su cuenta de inversión, y el día 28 de marzo lo retira.  

Desde el uno de marzo genera intereses hasta el día 27 de marzo. El día 28 no genera intereses.

Día inicial

Día del pago final

. . .

Marzo

2 Hoy

2) No contar el día inicial para el pago de intereses y sí contar el día final. Este caso es el utilizado en México. El día 28 de marzo se depositan $6 500.00 en una cuenta de ahorros, y se retiran el 20 de abril.  

El día 28 no genera intereses. A partir del día 29 marzo hasta el 20 de abril inclusive genera intereses.

Día inicial

Día del pago final

M 29

Hoy

30(MARZO) . . . 18

3.1.2 Tiempo aproximado

20 ABRIL

Es el periodo en el que se considera el mes de 30 días, este caso corresponde al año comercial. Cuadro 3.2 Días de los meses del año (Tiempo aproximado) Mes del año Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre Abril, Junio, Septiembre, Noviembre Febrero Febrero (año bisiesto)

Días 30 30 30 30

Interés real o exacto: Ie=

Cni 365

3.8

Ie=

Cni 360

3.9

Interés comercial u ordinario:

Relación del Interés Comercial u Ordinario (Io) y el Interés Real o Exacto (Ie). El interés exacto es menor que el interés ordinario Ie  0.9863

3.10

El interés ordinario es mayor que el interés exacto Ie  1.0139

3.11

De las ecuaciones 3.10 y 3.11 se observa que el interés ordinario siempre es mayor que el interés exacto (Io > Ie).

¿ =0.9863 lo

3.12

Problema resuelto 9. ¿Qué interés produce un capital de $10 600.00 a 6% durante el mes de marzo?

Solución a) Interés simple, comercial y tiempo exacto. Año comercial 360 días Tiempo exacto, el mes tiene 31 días. Io = 10 600(0.06)(31/360) = $54.76 b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado. Año comercial 360 días

Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días. Io = 10 600(0.06)(30/360) = $53.00 c) Interés simple, real y tiempo exacto. Año real 365 días Tiempo exacto, el mes tiene 31 días. Ie = 10 600(0.06)(31/365) = $54.02 d) Interés simple, real y tiempo aproximado. Año real 365 días Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días. Ie = 10 600(0.06)(30/365) = $52.27

Problema resuelto 10. Una persona invierte $20 000.00 desde el 17 de mayo de 2013 hasta el 9 de abril de 2014, a 8.5% de interés simple. ¿Cuál es el interés ganado? Solución: a) Interés simple, comercial y tiempo exacto. Año comercial 360 días Tiempo exacto es 325 días. Io = 20 000(0.085)(325/360) = $1 534.72 b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado. Año comercial 360 días Tiempo aproximado es 320 días. Io = 20 000(0.085)(320/360) = $1 511.11 c) Interés simple, real y tiempo exacto. Año real 365 días Tiempo exacto es 325 días. Ie = 20 000(0.085)(325/365) = $1 513.69 d) Interés simple, real y tiempo aproximado. Año real 365 días Tiempo aproximado es 320 días. Ie = 20 000.00(0.085)(320/365) = $1 490.41

Problema resuelto 11. Calcular el interés exacto que se paga por un préstamo de $35 042.00 al 24.32% durante 154 días. Solución Datos

Desarrollo

C = $35 042.00

Ie = Cn(i/365)

T = 24.32%

Ie = 35 042.00(0.2432)(154/365)

n = 154 días

Ie = $3 595.67

Incógnita Ie

3.2 Cálculo del monto El monto o valor futuro del capital se obtiene de la suma del capital más el interés simple ganado. El monto se simboliza por la letra M. Tasa de interés anual (T ) C

M = C+i

Hoy un año Figura 3.4 Diagrama valortiempo para determinar el valor del monto al final del plazo. M = C+i M =C (1 + ni )

Problema resuelto 12. Calcular el monto de un préstamo de $4 150.00 a 26% de interés simple, durante dos años. Solución Datos

Desarrollo

C = $4 150.00

M = C(1 + ni )

T = 26% anual

M = 4 150.00[1 + (0.26)(2)]

i = 0.26

M = 4 150.00(1.52)

n = 2 años

M = $6 308

Incógnita M

3.13 3.14

Problema resuelto 13. El profesor Álvaro Fernández Aguilera consigue un préstamo de $18 000.00 a dos años, para comprar una computadora, la tasa de interés simple es de 4% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 12 bimestres? Solución Datos:

Desarrollo:

C = $18 000.00

M = C(1 + ni )

T = 4% bimestral

M = 18 000.00[1 + (0.04)(12)]

t = 0.04 bimestral

M = 18 000.00[1 + (0.48)]

n = 12 bimestres

M = 18 000.00[1.48]

Incógnita M

M = $26 640.00

Problema resuelto 14. Armando Morales depositó en su cuenta de ahorros $33 000.00 el día 6 de marzo y el día 25 de marzo lo retira, la tasa de interés simple es de 3.7% anual. Calcular el monto, considerando que el año es bisiesto. Datos: C = $33 000.00 T = 3.7% anual

Incógnitas:

1. Los días transcurridos n = 25 6 = 19 días 2. Monto

Desarrollo

[

M =33000.00 1+

0.037 (19) 366

]

M =$ 33063.39

Problema resuelto 15. Calcular el monto de un préstamo de $7 300.00 a una tasa de interés simple de 26% anual, con un plazo del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año bisiesto. Solución C = $7 300.00

Incógnitas:

T = 26% anual

M a) Los días transcurridos Cuadro 3.3 Mes

Días

Septiembre

30  3  27

Octubre

Noviembre

Diciembre

Total

116

b) Monto

Desarrollo:

[

M =7300.00 1+

0.26 (116) 366

]

M =$ 7901.55

Problema resuelto 16. Calcular el monto de un préstamo que solicitó Gabriel García de $35 000.00 a 26% de interés simple, durante tres años, al banco IVURSA.

Solución Datos:

Desarrollo:

C = $35 000.00

M = C(1 + ni )

T = 26% anual `

M = 35 000[1 + (0.26)(3)]

i = 0.26

M = 35 000[1.78]

n = 3 años

M = $62 300.00

Problema resuelto 17. ¿Qué monto hay que pagar al Monte Pio por el empeño de una pulsera de oro de 24 quilates, la cantidad recibida por el préstamo es de $18 000.00 a 12% anual, y después de 1 año y 6 meses, recupera la pulsera?

Solución Datos:

Desarrollo:

C = $18 000.00

M = C(1 + ni )

n = 18 meses T = 12% anual Incógnita M

[

M =18000.00 1+(

0.12 )(18) 12

]

M = 18 000.00[1 + (0.01)(18)] M = $21 240.00

3.3 Valor presente o actual Se entiende por valor presente al valor del dinero en cualquier fecha que nos convenga y se simboliza con VP. La fecha de conveniencia puede ser el día de hoy o dentro de una semana o dentro de dos meses, en un semestre, entre otros. El valor presente de un valor futuro (M) es la cantidad de dinero invertida el día de hoy a una determinada tasa de interés. Para entender estos conceptos supongamos que el día de hoy nos dan un peso, el valor de este peso recibido el día de hoy no tiene el mismo valor que dentro de un año. ¿Por qué razón no tiene el mismo valor? La respuesta es debido a la inflación y esta tiene repercusiones en la economía de las personas y de los países. El dinero por si solo tiene un poder de compra, si el día de hoy se tiene un peso y existe la inflación, el peso perderá poder de compra en una fecha futura, otra forma de explicarlo es si el peso que recibimos en una fecha futura vale menos que un peso recibido el día de hoy. Ahora analicemos el caso en que un peso es invertido durante un periodo. Si invertimos un peso el día de hoy en una institución financiera, ¿cuál será el valor del dinero dentro de un año? Para poder contestar correctamente es necesario plantear tres posibles resultados: 1) Si la inflación es mayor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale menos en una fecha futura (pierde poder de compra). 2) Cuando la inflación es menor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale más en una fecha futura (gana poder de compra). 3) La cuenta de inversión es contratada en udis peso más tasa de interés más inflación, entonces el peso invertido no debe perder su valor al transcurso del tiempo, porque estas cuentas de inversión están pensadas para que el peso aumente siempre su poder adquisitivo, en otras palabras el peso nunca vale menos en el transcurso del tiempo.

Problema resuelto 18. El señor Alfonso Godínez es el dueño de una tienda y solicita un préstamo a una institución de crédito. El día de hoy recibe $38 000.00 a pagarse dentro de

10 meses con una tasa de interés simple de 8% anual. ¿Cuál es el valor futuro (M) del préstamo? Solución M = 38 000.00[1 + (0.08/12)(10)] = $40 533.30. Para interpretar el resultado anterior y el concepto de valor presente se plantean tres casos: 1) El día de hoy, los $38 000.00 son equivalentes a $40 533.30 dentro de un año, por haber sido invertidos a una tasa de interés simple de 8% anual. 2) El señor Godínez deberá de pagar $40 533.30, que son el monto o valor futuro de $38 000.00 del préstamo. 3) Los $38 000.00 del préstamo son el valor presente o actual de los $40 533.30 a pagar por el señor Godínez en un futuro. Para calcular el valor presente, se requiere despejar a C de la ecuación 3.14, obteniéndose: C =

M 1+¿

3.15

o también

C=M (1+¿)−1

3.16

Problema resuelto 19. Encontrar el valor presente de $38 000.00, pagaderos a 10 meses, con tasa de interés simple de 8%. VP = ? M = 38 Solución 000.00 Incógnita VP T = 8%

Datos: M = $38 000.00

Hoy

T = 8% anual

VP = 38 000.00[1 + (0.08)(10/12)]1

n = 10 meses

VP = $35 625.00

Problema resuelto

20. ¿Cuánto debe invertir la contadora Axel de la Rosa el día de hoy, si la tasa de interés es de 1.23% trimestral, para disponer de $500 000.00 dentro de cuatro años? Solución Datos:

Desarrollo:

M = $500 000.00

C = 500 000.00[1+ (16)(0.0123)]1

T = 1.23% trimestral

C = 500 000.00(0.78125)

n = 16 trimestres

C = $417 780.75

Incógnita C

C=?

M = 500 000.00 T = 1.23%

Hoy

4 años

Problema resuelto 21. ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Porto el día de hoy, a una tasa de 0.8% simple bimestral para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años? Solución Datos:

Desarrollo:

M = $23 500

C = 23 500.00 [1+(24)(0.08)]−1

T = 0.8% bimestral

C = 23 500.00 [2.92]−1

n = 24 bimestres

C = $8 047.94

Problema resuelto 22. El Dr. Vicente Ramírez pagó $1 850 400.00, por un préstamo bancario a un año, seis meses y quince días, a una tasa de 15% por la compra de un camión de transporte de personal. Encontrar el capital inicial del préstamo. Datos:

Despejando n de 3.14 obtenemos:

M = $1 850 400.00

Desarrollo:

T = 15% anual

C = 1 850 400.00

n = 360 + 180 + 15 n = 555 días

[

(0.15)(555) 1+ 360

−1

]

C = 1 850 400.00 [1.23125]−1

C = 1 850 400.00(0.81218) C = $1 502 862.94

3.4 Cálculo del tiempo o plazo M −1 n= C 3.17 i O bien n=

M −C 3.18 Ci

Problema resuelto 23. El día de hoy depositamos $7 800.00 en una cuenta de inversión. ¿En cuánto tiempo se acumularían $9 500.00 a una tasa de interés de 11.2%? Solución Datos: C = $7 800.00 M = $9 500.00 T = 11.2% anual Incógnita n

n= M 9500.00 −1 −1 C 7800.00 1.2179−1 = = =1.946 años i 0.112 0.112 Cálculo de los meses y días Años = 1 Meses = 1.946 1 = 0.946 Meses = (0.946)(12) Meses = 11.352 Días = 11.352 11 Días = (0.352)(30) Días = 10.55

Desarrollo: Como la tasa está dada en forma anual, el periodo también es anual, entonces el resultado está expresado en años. n = 1 año 11 meses 10 días

Problema resuelto 24. ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $25 000.00, si el capital invertido es de $18 700.00 a una tasa de 4.5% anual? Solución Datos:

Desarrollo:

C = $18 700.00

M = $25 000.00 T = 4.5% anual

M 25000.00 −1 −1 C 18700.00 1.336898−1 = = =7.48663 años i 0.045 0.045 n = 7 años 5 meses 25 días

Problema resuelto 25. ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $7 550.00, si el capital invertido es de $4 800.00 a una tasa de 3.5% anual? Solución Datos:

Desarrollo:

C = $4 800.00

M = $7 550.00 T = 3.5% anual Incógnita n

M 7550 −1 −1 C 4800 1.57292−1 = = =16.369 años i 0.035 0.035 n = 16 años 4 meses 13 d

Problema resuelto 26. Una deuda de $18 000.00 se liquidó el 19 de noviembre con un cheque cuyo importe es de $20 500.00, y la tasa de interés aplicada de 23.75%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado el dinero? Solución Datos: C = $18 000.00 M = $20 500.00 T = 23.75% anual Incógnita n

Desarrollo:

M 20500.00 −1 −1 18000.00 1.13888−1 n= C = = =0.5848 años i 0.2375 0.2375 n = 7 meses 1 día Problema resuelto 27. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se triplique si la tasa de interés es de 10.5% anual? Solución Datos: Como el capital inicial es C, entonces el monto al final del plazo es el doble de C (M = 3C). M = C(1 + ni ) 3C = C(1 + ni )

3C =1+¿ C 3 = 1 + ni 3 1 = ni

2 =n i n=

2 =19 años 0.105

3.5 Descuento simple Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad C, se extiende un pagaré que es una promesa de pago, el cual ampara una cantidad de dinero con o sin interés, en una fecha determinada por el deudor y el acreedor o dueño del documento, este documento se suscribe a favor del acreedor. El descuento a los documentos se puede realizar de dos maneras: el llamado descuento comercial o bancario y el descuento real o justo. El descuento comercial o bancario o simplemente descuento, consiste en cobrar el interés en el momento en que se realiza el préstamo; en otras palabras, se cobran los intereses por anticipado y no hasta la fecha de vencimiento. Este se calcula considerando el valor final del documento (valor futuro del capital).

Descuento (D) Es la cantidad descontada, en un periodo (n), con una tasa de descuento simple (d) de una cantidad de dinero solicitado. El monto o valor final del documento, es la cantidad solicitada en el préstamo, pero esta nunca se recibe. D  Mnd

3.19

Problema resuelto 28. ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $4 800.00, a un plazo de siete meses, con una tasa de descuento simple de 12% anual? Solución Datos: M = $4 800.00 n = 7 meses d = 12% anual d = 0.12/12 = 0.01 Incógnita D

Desarrollo: D = Mnd = 4 800.00(7)(0.12/12) = $336.00

Problema resuelto 29. ¿Cuál es el descuento que hace Bansureste a un préstamo de $29 500.00, a un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual? Solución Datos: M = $29 000.00 n = 18 meses d = 24% anual d = 0.02 mensual Incógnita D

Desarrollo: D = Mnd = 29 500.00(18)(0.24/12) = $10 620.00

Problema resuelto 30. Un banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular el descuento que aplica el banco al señor Cabrera. Solución Datos: M = $5 500.00 n = 165 días T = 24% anual (es 24% de descuento bancario) Incógnita D

Desarrollo: D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00

Problema resuelto 31. Calcular el valor presente de $3 000.00 a 12% de interés simple a un plazo de 6 meses. ¿Cuál es el descuento que realizó Bansureste por el préstamo? Solución Datos: M = $3 000.00 n = 6 meses T = 12% anual i = 0.01 mensual Incógnitas VP y D Desarrollo:

VP = M (1+¿)−1 = 3 000 [1+(6)(0.01)]−1 = $2 830.19 D = M VP = 3 000 2 830.19 = $169.81

3.6 Valor descontado o ganancia Cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo, después de haber descontado anticipadamente los intereses del monto, también se le conoce como valor efectivo o líquido o actual, y se calcula como: C= M + D

3.20

C = M(1+ nd )

3.21

Problema resuelto 32. El profesor Juan López solicita un préstamo a la caja de ahorro de su trabajo de $30 000.00 a un plazo de diez meses, con una tasa de descuento de 1% mensual. a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Gómez?

Solución Datos: M = $30 000.00 n = 10 meses d = 1% mensual Incógnitas D y C

Desarrollo: D = Mnd = 30 000.00(10)(0.01) = $3 000

La cantidad que recibe el profesor López es de: C = M D = 30 000 3 000 = $27 000 El profesor López recibe $27 000.00, en lugar de los $30 000.00 solicitados, pero dentro de nueve meses debe pagar $30 000.00, porque la caja de ahorro le aplicó el descuento comercial.

Problema resuelto 33. La Compañía Electrolux, S.A., solicita $6 800 000.00 de préstamo a Banorte, a tres años, con una tasa de descuento de 18% anual. a. Calcular el descuento. b. ¿Qué cantidad recibe en realidad la Compañía Electrolux, S.A., por el préstamo? Solución Datos: M = $6 800 000.00 d = 18% anual n = 3 años Incógnitas D y C

Desarrollo: D = Mnd = 6 800 000.00(3)(0.18) = $3 672 000

La cantidad recibida por la Compañía Electrolux, S.A., es de: C = M D = 6 800 000 3 672 000 = $3 128 000

Problema resuelto 34. Un banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular la suma que recibe del banco el señor Cabrera. Solución Datos: M = $5 500.00 n = 165 días C = T = 24 % anual (es 24% de descuento bancario) Incógnita D

Desarrollo: D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00 M(1 nd ) = 5 500[1 (0.24)(165/360)] = $4 895 Problema resuelto 35. Banejército cobra 6% de descuento bancario en préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita $60 000.00, para pagarlos con intereses en cinco años. ¿Qué cantidad debe solicitar en préstamo y cuánto paga de interés? Solución Datos: M = $60 000.00 n = 5 años T = 6% anual Incógnitas C e I

Desarrollo: M = C (1−nd )−1 = 60 000 [1−(0.06)(5)]−1 = $85 714.28 I = M C = 85 714.28 60 000 = $25 714.28

3.7 Tasa de rendimiento En el descuento comercial, el prestamista dispone de inmediato del dinero generado por los intereses (al cobrarlos por adelantados). El deudor, al pagar por adelantado los intereses del préstamo, en realidad está pagando una mayor cantidad de intereses, que la estipulada (o pactada); a esta tasa se le conoce como tasa de rendimiento (R ). Despejando M de la ecuación 3.20 y sustituyendo el valor de D (ecuación 3.18) por el de I tenemos: M = C D

3.22

M = C Cni

3.23

La tasa de descuento (d ) y una tasa de interés (i ) son equivalentes, si producen el mismo valor presente (c) para una cantidad (M) si dan como resultado la misma cantidad al pagarse en n años. Al despejar i de la ecuación 3.23 se tiene: M =

M −C Cn

3.24

Como i = R, entonces: R =

M −C Cn

3.25

Otra forma de calcular es considerar que la tasa de descuento (d) y la tasa de interés (i ) son equivalentes, se igualan las ecuaciones: M(1 nd ) = M (1−nR)−1 R =

d 1−nd

Problema resuelto 36. El Banco de Centroamérica aplica un descuento de $64 120.00 a la tienda de ropa CITA, por un préstamo a ocho meses con una tasa de descuento de 25% anual, por la compra de lencería en su tienda. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?

Solución a) Calculamos el monto Datos:

C = M D = 384 720 64 120 = $320 600

d = 25% anual D = $64 120.00 n = 8 meses

c) Se calcula el valor de la tasa de rendimiento R =

M −C 384720−320 600 64120 = = =0.025 Cn 2564800 320 600(8) b) Calculamos el valor descontado

R = 2.5% mensual

Desarrollo: M =

D 64120 64120 = = =$ 384 720 dn 0.25(8/12) 0.1666

Problema resuelto 37. Calcular la tasa de rendimiento, si el valor descontado a los 13 meses es de $32 598.00, y el monto de $35 000.00. Solución

3.26

Datos:

Desarrollo:

M = $35 000.00

R =

C = $32 598.00 n = 13 meses Incógnita R

M −C 35000−32598 2402 = = =0.0057 Cn 423774 32598(13) R = 0.57% mensual R = 6.8% anual

Problema resuelto 38. El señor Jaime Moreno López solicita un préstamo por una determinada cantidad. El plazo es de seis meses y la tasa de descuento de 22%. Calcular la tasa mensual de rendimiento. Solución Datos:

Desarrollo:

d = 22%

R =

n = 6 meses Incógnita R

d 0.22/ 12 0.018333 = = =0.020599 1−nd 1−(0.22 /12)(6) 0.89 R = 2.0599% mensual R = 24.72% anual

Problema resuelto 39. El banco IXE cobra 18% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple le cobra el banco IXE a la señora Berenice Arámbula, por un préstamo de $4 000.00 a un plazo de nueve meses? Solución Datos:

Desarrollo:

d = 18%

R =

n = 9 meses Incógnita R

d 0.18 /12 0.015 = = =0.01734 1−nd 1−(0.18 /12)(9) 0.865 R = 1.73% mensual R = 20.81% anual

3.8 Valor de vencimiento

Cuando se desea liquidar un préstamo, es necesario sumar al capital el interés generado en el periodo, obteniendo la cantidad total a pagar o valor de vencimiento (M = C + I).  

Si el pagaré no genera intereses, el valor al vencimiento es el mismo que el valor nominal. Cuando el pagaré genera intereses, el valor de vencimiento es el valor nominal más el interés. VALOR DE VENCIMIENTO = VALOR NOMINAL  INTERESES

M = C + I

Problema resuelto 40. El señor José Soto descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $18 679.00, a una tasa de descuento de 22% anual, siendo el vencimiento del pagaré nueve meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento?

Solución Datos: a) Calculamos el descuento C = $18 679.00 n = 9 meses d = 22% anual d = 0.22/12 = 0.01833

b) Calcular el valor del monto M = C + D = 18 679.00 + 3 690.38 = $22 369.26

Desarrollo: D =

Cnd (18679.00)(9)(0.01833)0.18 /12 = =$ 3690.26 1−nd 1−(9)( 0.01833)

Problema resuelto

41. Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de 18% anual. Solución Datos: C = $19 540.00

Desarrollo:

n = 6 meses M

M =

d = 18% anual

C 19540 19540 = = =$ 21472.53 1−nd 1−(6)( 0.015) 0.91

d = 0.015 mensual

Problema resuelto 42. La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco, este le entrega la cantidad de $10 000.00, para pagar en 13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo?

Solución Datos: C = $10 000.00

Desarrollo:

n = 13 meses

M =

d = 22% anual

C 10000 10000 = = =$ 13129.10 1−nd 1−(13)(0.01833) 0.76166

d = 0.01833 mensual

3.9 Tasa de descuento Las ganancias de capital se obtienen al comprar un pagaré a un valor menor y cobrarlo a futuro con su valor nominal, este tipo de operaciones es muy frecuente en valores que se venden con descuento. Entonces la diferencia que existe entre el precio de venta y el precio de cobro es la ganancia de capital. En los pagarés que se venden a un precio inferior al que tienen a su vencimiento, el precio de venta se determina calculando la tasa de descuento.

Problema resuelto

43. El dueño de la chicharronera Santa Rosa vendió al Banco del Pacífico un pagaré a cuatro meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $23 555.00 y recibió del banco la cantidad de $20 165.00. Encontrar la tasa de descuento. Solución Datos:

Desarrollo:

C = $20 165.00

D = M C = 23 555.00 20 165.00 = $3 390.00

M = $23 555.000 n = 4 meses Incógnita d

d =

D 3390.00 3390.00 = = =0.03598 Mn (23555.00)(4) 94220.00 d = 3.598% mensual d = 43.18% anual

Problema resuelto 44. El señor Luis Vega firmó un pagaré el uno de enero por la cantidad de $180 000.00, con vencimiento en agosto del mismo año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $11 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento? Solución Datos: M = $180 000.00 D = $11 240.50 n = 8 meses Incógnita d

Desarrollo: d =

D 11240.50 = =0.0078 Mn (180000.00)(8)

d = 0.78% meses d = 9.36% anual

Problema resuelto 45. El dueño del restaurante Toitto vendió un pagaré tres meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $18 355.00 y recibió la cantidad de $16 835.00. Encontrar la tasa de descuento.

Solución Datos:

Desarrollo:

C = $16 835.00

D = M C = 18 355.00 16 835.00 = $1 520.00

M = $18 355.00

d =

n = 3 meses

D 1520.00 1520.00 = = =0.0276 Mn (18355.00)(3) 55065.00

Incógnita d

d = 2.76% mensual d = 33.12% anual

3.10 Relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento El descuento es: D Mnd

3.19

El valor descontado: C =MD

3.20

Sustituyendo D de 3.19 en la ecuación 3.20 obtenemos C =MMnd

3.20a

La tasa de rendimiento es: R=

M −C Cn

3.25

Sustituyendo la ecuación 3.20a en la ecuación 3.25: R=

M −(M −Mdn) ( M −Mdn)(n)

d 1−dn

3.26

Se obtiene que d y n estén expresadas en la misma unidad de tiempo, por lo que R solamente depende de la tasa de descuento y del tiempo que dura el préstamo. Problema resuelto 46. Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo a la distribuidora de agua Cristal, a pagar en nueve meses, con una tasa de descuento de 20% anual. Solución Datos: d = 20% anual

Desarrollo:

d = 0.20/12 = 0.0166 mensual n = 9 meses

(0.01666) d = =0.0196 1−dn 1−(0.01666)( 9)

R = 1.96% mensual R = 23.52% anual

Problema resuelto 47. El banco Alajuela descuenta un pagaré de $78 000.00, con vencimiento en 11 meses y una tasa de descuento de 22%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco? Solución Datos: d = 22% anual

Desarrollo:

( 0.22/12) d = 1−dn 1−(0.22 /12)(11)

(0.01833) =0.02296 1−(0.01833)(11)

d = 0.22/12= 0.01833 mensual n = 11 meses

R = 2.296% mensual R = 27.55% anual Problema resuelto 48. El banco IXEMEX ofrece $986 420.00 por una deuda de $1 000 000.00 a plazo de 91 días. 1) ¿Qué rendimiento tendrá el banco IXEMEX: a. con base en el descuento bancario

b. con base en el interés simple? 2) El banco IXEMEX vendió la deuda a Nacional Financiera a 45 días y recibió $989 978.00, calcular: c. ¿Cuál es la tasa de interés que ganó el banco? d. ¿Cuál es el rendimiento que tendrá el nuevo comprador con base en el descuento, hasta el final de la deuda? Solución Datos: M = $1 000 000.00 C = $986 420 n = 91 días a) D = M C = 1 000 000 986 420 = $13 580 d =

D 13580 13580 = = =0.05372 Mn 1000000( 91/360) 252777.77

d = 5.372% b) i =

I 13580 13580 = = =0. 05446 Cn 986420(91 /360) 249345 . 06

d = 5.446% c) I = M C = 989 978 986 420 = $3 558 r =

I 3558 13580 = = =0.02886 Cn 986420(45/360) 123302.5

r = 2.886% d) d =

I 3558 3558 = = =0 . 01408 Mn 1000000( 91/360) 252777 . 78

d = 1.408%

3.11 Plazo Es común ofrecer un descuento a un pagaré en una fecha anterior a la de vencimiento. Cuando se decide vender el pagaré a una tercera persona se fija la cantidad deseada y se establece la tasa de descuento, entonces la pregunta que se debe hacer es: ¿en qué fecha se debe vender el documento? d=

D Mn

3.27

despejando n se obtiene la ecuación de plazo: n=

D Mn

3.28

Problema resuelto 49. La distribuidora de agua Alpina descuenta un pagaré, por el cual recibe $48 545.00, a una tasa de descuento de 24% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $90 000.00? Solución

Desarrollo:

Datos:

D = M C = 90 000.00 48 545 = $41 455

M = $90 000.00 C = $48 545.00 d = 24% anual

D 41455.00 = =0.191898 Mn 90 000.00(0.24)

Plazo = 2 meses 9 días

Problema resuelto 50. Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré de $18 500.00 con vencimiento el 12 de julio del presente año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $4 350.00, con una tasa de descuento de 29% anual.

Solución Datos: M = $18 500.00 D = $4 350.00 d = 29% anual

Desarrollo:

D 4350 = =0.8108 Mn 18500(0.29)

n = (0.8108)(360) n = 291.89 días = 292 días n = 9 meses 22 días n = 27 de septiembre del año pasado

3.12 Pagaré El pagaré o documento, es un compromiso por escrito para el pago de una determinada cantidad de dinero (la cual puede o no incluir intereses) por parte del deudor en una fecha de vencimiento determinada por el acreedor.

 

El deudor u otorgante es la persona que hace la promesa de pagar. El acreedor o beneficiario o tenedor es la persona que cobra el pagaré.

Elementos que intervienen en un pagaré: 1. Valor nominal. Es la cantidad estipulada en el pagaré. Siempre se presenta con números y palabras en el documento. Existen tres casos para indicar el valor nominal: a. Cuando en el pagaré se estipula que el capital causará intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal es el obtenido en el préstamo. b. En caso de que en el pagaré tenga una tasa de interés cero (0%), su valor nominal es el mismo del préstamo, y corresponderá a la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento. c. Si en el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal será el monto a pagar en la fecha de vencimiento. 2. Fecha. Es aquella fecha en la que se extiende y firma el pagaré. 3. Fecha de vencimiento. Es la fecha en que se pagará o liquidará el pagaré. 4. Plazo. Es el tiempo que transcurre entre la fecha de expedición y la fecha de vencimiento del pagaré. 5. Tasa. Es el porcentaje sobre el que se calcula el interés. 6. Valor de vencimiento o final. Es la suma de dinero que se debe de pagar (M) en la fecha de vencimiento. Pueden presentarse los siguientes casos: a. Es el valor nominal más los intereses (estos deben estar especificados en el pagaré). Valor inicial Valor inicial (Nominal) (Vencimiento) C M  C + I T% 0 n b. Cuando no se especifique ninguna tasa de interés, el valor nominal es igual al valor de vencimiento, ya que el pagaré no produce intereses (esto no es muy usual). Valor inicial Valor inicial vencimiento (Nominal) Nominal C M  C + l 1 . T=0 % 0 n

c. En algunos casos al capital se le suman los intereses, dando la impresión de que el préstamo original carecería de estos. La tasa de interés no se especifica en el pagaré. Valor inicial Valor inicial vencimiento (Nominal) Nominal C1 =C+l M  C1 T=0 % 0 n Problema resuelto 51. Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a la “Compañía Sombeamex, S. A.”, el 6 de mayo de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 15%.

Solución 1. Identificar los siguientes puntos del pagaré • En el pagaré, el señor Javier Barrera Daz es el deudor y la compañía “Sumbeamex, S. A,” es el acreedor o beneficiario. • El valor nominal del documento es por $1 200 000.00. • El diez de marzo de 2013 es la fecha en que fue expedido el documento, y el 18 de octubre de 2013 es la fecha de vencimiento, el plazo es de 222 días. 2. Calcular el valor de vencimiento del pagaré Datos: C = $1 200 000.00 n = 222 días T = 28% anual Incógnitas I y M

Desarrollo: I = Cni = 1 200 000.00(222)(0.28/365) = $204 361.64 M = C + I = 1 200 000.00 + 204 361.64 = $1 404 361.64

En el tercer paso se calcula el descuento y el valor descontado (valor efectivo), ya conociendo el valor de vencimiento. Datos: Desarrollo: M = $1 404 361.64 D = Mnd = 1 404 361.64(165)(0.15/365) d = 15% anual = $95 227.26 n = 165 días C = M D = 1 404 361.64 95 227.26 = Incógnitas D y C $1 309 134.38

Problema resuelto 52. Encontrar el valor descontado del pagaré del Centro Sport, S. A., del 25 de febrero de 2013, en un banco que ofrece una tasa de descuento de 20%. En este caso no es necesario calcular el valor de vencimiento del pagaré porque este no indica la tasa interés a pagar. Entonces se procede a calcular el descuento y el valor descontado (valor efecto), sabiendo que el valor de vencimiento es igual al valor nominal.

Solución Datos: M = $2 800 000.00 d = 20% anual n = 131 días Incógnitas D y C

Desarrollo: D = Mnd = 2 800 000.00(131)(0.20/360) = $203 777.78

C = M D = 2 800 000.00 203 777.78 = $2 596 222.22

Problema resuelto 53. El señor René Barbosa Hernández le firma un pagaré a la tienda Diasa, de material para construcción, con valor de $1 500 000.00 pagaderos a diez meses, con una tasa de interés de 24%. ¿Cuál es el valor descontado del pagaré siete meses antes de su vencimiento con la misma tasa de descuento? Solución Datos: C = $1 500 000.00 n 1 = 10 meses n2 = 7 meses T = 24% anual Incógnita M Desarrollo: M = C(1 + ni ) = 1 500 000[1 + (0.24/12)(10)] = $1 800 000 D = Mnd = 1 800 000.00(7/12)(0.24) = $252 000.00 C = M D = 1 800 000.00 252 000.00 = $1 548 000.00

Problema resuelto 54. Del siguiente pagaré encontrar el valor de vencimiento. Si este pagaré se liquidó 12 días después de su vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar.

Solución Datos: C = $834 000.00 d = 20% anual n = 316 días Incógnitas M e Im El valor de vencimiento del pagaré es: M =834 000.00

[ [

1+(

]

0.20 )(360) =$ 980 413.33 360

Interés moratorio: lm =980 413.33

(

]

0.48 )(12) = $ 15686.61 360

Cantidad a pagar = (capital + intereses ordinarios) + intereses moratorios Cantidad a pagar = 980 413.33 + 15 686.61 = $996 099.94

3.13 Aplicaciones Problema resuelto

55. El día de hoy, la señora Magali acude a empeñar una Tablet marca Sell, para lo cual presenta el equipo y su factura. El valuador le ofrece un préstamo de $5 400.00. El Monte Abellaneda carga un interés mensual de 3% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar la señora Magali para recuperar su Tablet, dos meses después?

Solución M = 5 400.00[1 + (0.03)(2)] = $5 724.00 Problema resuelto 56. El señor Armando Morales acude a empeñar una pulsera de oro. El valuador le ofrece un préstamo de $2 300.00. La casa de empeño Pesta Prend carga un interés semanal de 1.8% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Morales para recuperar su pulsera, después de 77 días de haber realizado la operación? Solución M = 2 300.00[1 + (0.018)(11)] = $2 755.40 Problema resuelto 57. El señor Gilberto acude al Monte Trigo el día 8 de marzo de 2014 a empeñar un refrigerador de la marca MIG, para lo cual presenta el equipo y su factura en donde indica que el valor de contado del refrigerador es de $6 799.00 y fue comprado el 20 de diciembre de 2013. El valuador le ofrece, con base en lo establecido, un tercio del valor del refrigerador (ya que tiene poco tiempo de uso y se encuentra en buenas condiciones). El monte de piedad carga un interés mensual de 2.8% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Gilberto para recuperar su refrigerador, a los 150 días de haber realizado la operación? Solución El valor de la factura es de $6 799.00, el préstamo fue: 6 799.00/3 = $2 266.33. M = 2 266.33[1 + (0.028)(5)] = $2 583.62 El señor Gilberto no acude el 9 de agosto de 2013 a desempeñar su refrigerador ni a pagar el refrendo. El Monte Trigo pone en remate el refrigerador y cuando este sea vendido se descuenta la cantidad prestada, los intereses más un cierto porcentaje por comisión y gastos, lo restante se le da al dueño del artículo. La fecha de venta fue el 15 de agosto del 2014 y el precio de venta del refrigerador fue de:

$5 500.00

Menos el préstamo

$2 266.00 $374.2 4 $339.9 0 $2 519.86

Menos intereses generados en los 5 meses Porcentaje por comisión y gastos 15% La diferencia se le entrega al señor por su refrigerador

El señor Gilberto tiene tres meses para recoger su dinero a partir de la notificación de venta del refrigerador.

3.14 Inversión en CETES Problema resuelto 58. Calcular el descuento y precio del CETE para la siguiente emisión de certificados. Datos hipotéticos: Fecha de emisión 27 de diciembre de 2012. Fecha de vencimiento 24 de enero de 2013. Plazo 28 días Valor nominal $10.00 Tasa de descuento 4.35% En todos los cálculos de CETES se considera el año comercial (360 días). Solución a) Descuento ¿ ( 10 ) ( 28 )

=$ 0.033833 ( 0.0435 360 )

b) Precio de CETE = Valor nominal Descuento Precio de CETE = 10 0.033833 = $9.966166 Problema resuelto 59. El contador Benjamín Sánchez compra en una casa de bolsa 110 000 CETES, y pagará por cada CETE la cantidad de $9.95055, a un plazo de 28 días. Calcular la utilidad de capital. Solución a) En la fecha de vencimiento el contador Benjamín Sánchez cobra la cantidad de: (10)(110 000) = $1 100 000.00 b) Su compra fue de: (110 000.00)(9.95055) = $1 094 560.50 c) Ganancia de capital = 1 100 000.00 1 094 560.50 = $5 439.50 Problema resuelto 60. El contador Tomás Rosales adquiere CETES a un plazo de 91 días, con valor nominal de $10.00 y una tasa de descuento de 4.8% anual. Encontrar el valor comercial del CETE. a) ¿A cuánto ascienden sus utilidades sin descontar impuestos, si invierte un millón de pesos? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual? Solución Datos: M = $10.00 valor nominal d = 0.048 n = 91 días

a) Valor comercial del CETE

[

P=10.00 1 – (0.048)(

]

91 ) = $ 9.8787 360

b) Total de certificados adquiridos:

1000 000.00 =101228.923 CETES 9.8787 En pesos a 91 días recibirá: 101 228.23(10.00) = $1 012 282.36 Sus utilidades sin descontar impuestos ascienden a: 1 012 289.19 1 000 000.00 = $12 282.36 c) Para conocer la tasa de interés anual, se despeja la tasa de la fórmula de monto de interés simple.

[(

]

10.00 −1 9.8786 0.01228 i= = =0.04858=4.858 anual 91 0.25277 360

)

3.15 Inversión en UDIS Problema resuelto 61. El señor Dávila invierte el 4 de agosto de 2013 la cantidad $950 000.00 en UDIS. En este tipo de inversiones Bancréditos paga 5.4% de interés anual y el valor de las UDIS es de $4.884549. a) Encontrar el monto acumulado al 8 de enero de 2014, si el valor de las UDIS es de $5.084549 (los valores de las UDIS UDIS son hipotéticos). Solución Datos: C = $950 000.00 T = 5.4% anual n = 157 días Valor UDIS 4/Ago/2013 $4.884549 Valor UDIS 8/Ene/2014 $5.084549 El precio de las UDIS el 4 de agosto se divide entre la cantidad a invertir, para saber el número de UDIS que se pueden adquirir con $950 000.00.

Número de UDIS=

950 000.00 =194 490.8322 UDIS 4.884549

Se calcula el valor del monto con la fórmula de interés simple

[

M =C ( 1+¿ )=194 490.83 1+(0.054)(

]

157 ) =199 071.089UDIS 360

Para saber el monto en pesos se multiplica el resultado anterior, por el valor de las UDIS el 8 de enero de 2014. M = (199 071.089) (5.084549) = $1 012 186.71

Problema resuelto 62. Virsa casa de bordado, S. A., en estos momentos tiene un problema de liquidez y decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $1 975 194.00 y fecha de vencimiento a 55 días, a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la fábrica textil de 85%, la tasa de descuento aplicada es de 26% y le cobrará de comisión 1%. a) Encontrar el valor aforado b) ¿De cuánto es el descuento? c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje? d ) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A? e) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A., después de cobradas las facturas? Solución a) Valor aforado = (1 975 194.00)(0.85) = $1 678 914.90 b) Descuento=( 1678914.90 ) (55 )

=$ 66 690.23 ( 0.26 360 )

c) Comisión = (1 678 914.90)(0.01) = $16 789.15 d ) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A.: = 1 678 914.90 66 690.23 16 789.15 = $1 595 435.52 e) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A. después de cobradas las facturas: = 1 975 194.00 1 678 914.90 = $296 279.10 Problema resuelto 63. La panificadora La Viga, S.A., decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $867 994.00 y fecha de vencimiento a 55 días a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la panificadora de 90%. La tasa de descuento es igual a la TIIE 4.8475% y le cobrará de comisión 0.9%. a) Encontrar el valor aforado b) ¿De cuánto es el descuento? c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje? d) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A.? e) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A. después de cobradas las facturas? Solución a) Valor aforado = (867 994.00)(0.90) = $781 194.60

Descuento=( 781194.60 ) ( 55 )

=$ 5788.43 ( 0.0485 360 )

c) Comisión = (781 194.60)(0.09) = $70 307.51 d) Cantidad que recibe la panificadora = 781 194.60 70 307.51 5 788.43 = $705 098.66 e) Cantidad que recibe la panificadora después de cobradas las facturas: = 867 994.00 781 194.60 = $86 799.40

3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor La ecuación de valor es una igualdad, que se emplea en operaciones financieras, cuando existen dos o más transacciones diferentes y se desea cambiar una o algunas de las formas de liquidar las obligaciones contraídas, mediante pagos y fechas diferentes a las originales. Para replantear las diferentes obligaciones en una ecuación de valor, en una operación única, es necesario trasladar todas las obligaciones originales a una sola fecha, denominada fecha focal, la cual es elegida en forma arbitraria dentro del tiempo que duran las obligaciones. En esta fecha focal todas las operaciones financieras replanteadas deben producir el mismo resultado económico y son equivalentes en valor a las obligaciones originales. Si la ecuación de valor equivalente está bien planteada, esta será básica para determinar cuál de las diferentes alternativas financieras es la más conveniente. Para lo cual se recomienda construir un diagrama de valor tiempo, siguiendo los pasos que a continuación se describen: 1. Trazar una línea horizontal. 2. Ubicar la fecha focal en la línea de valortiempo. La fecha focal está determinada en la redacción de los problemas de interés simple, ya que si se deja la alternativa a cada persona para seleccionar la fecha focal a su conveniencia, el resultado puede variar un poco. 3. En la línea de valortiempo, fijar las fechas de los préstamos (o deudas) y los pagos. El cero representa siempre el día de hoy.  Las operaciones de contratación de deuda se recomienda indicarlas en la parte superior de la línea de valortiempo.  Las operaciones de pago en la parte inferior de la línea de valortiempo. 4. Unir con una flecha las operaciones de adeudo con la fecha focal y también las operaciones de pago.

Problema resuelto 63. Una persona firma un pagaré por $4 000.00, para ser pagados en cuatro meses a 31% anual; dos meses después contrae otra deuda por $8 000.00 para pagarla dos meses después. A los tres meses de la primera fecha ofrece pagar $2 000.00 y el resto en un solo pago final a los seis meses después de la última fecha (cuarto mes). ¿Cuál debe ser el valor del pago final, para cancelar los adeudos? Solución Es importante colocar las operaciones de deuda y de pago en una tabla. OPERACIONES DEUDA

PAGOS

$4 000.00 a cuatro meses a 31%.

Tres meses después $2 000.00.

Dos meses después $8 000.00.

Pago final seis meses después de la última fecha.

Se debe trasladar las deudas a la fecha focal empleando la tasa de 31%, entonces la deuda de $4 000.00 debe avanzar seis meses, la deuda de $8 000.00 avanza seis meses. El pago de $2 000.00 debe avanzar del tercer mes hasta la fecha focal X. Al final todas las deudas ya tienen la misma fecha de vencimiento, se plantea la ecuación de la siguiente forma: OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO

[ [

][ ]

]

[

][

4 000.00 1+(0.31)(

4 6 2 6 ) 1+(0.31)( ) +8 000.00 1+( 0.31)( ) 1+(0.31)( ) 12 12 12 12

2 000.00 1+(0.31)(

7 ) +X 12

]

4 000.00(1.1033)(1.155) + 8 000.00(1.05166)(1.155) = 2 000.00(1.1808) + X 5 097.24 + 9 717.34 = 2 361.66 + X X = 14 814.58 2 361.66 X = $12 453.92 Problema resuelto 64. El licenciado Adolfo Pérez adquirió mercancía por $15 000.00 y ofrece hacer tres pagos iguales a su acreedor. El primero dentro de tres meses, el segundo en seis meses y el último en nueve meses. Si la tasa de interés es de 2% mensual. ¿Cuál es el valor de cada uno de los tres pagos?

OPERACIONES DEUDA

PA GO S

$15 000.00 en tres pagos iguales a 2% mensual.

Tres meses X Seis meses X Nueve meses X

15 000.00[1  (0.02)(9)]  X [1  (0.02)(3)]  X [1  (0.02)(6)]  X [1  (0.02)(9)]0 15 000.00[1.18] = X [1.06] = X [1.12] = X 17 700 =3.18X X=

17700 =$ 5 566.03 3.18

Nomenclatura empleada Interés simple

Monto

Capital

Valor actual o presente

Descuento único

V P

Tiempo

Tasa de interés (al tanto por ciento)

Tasa o tipo de interés (al tanto por uno)

Descuento

D u

Precio descontado

Interés moratorio

Tasa de descuento

Tasa de rendimiento

Valor descontado

Valor del vencimiento

Descuento

Glosario   

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 

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  

 

    

Acreedor. Es la persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado. Actividad financiera. Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado. Capital. En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (dinero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés. Cuentas de inversión. También conocidas como cuentas de ahorro. En estas cuentas las personas pueden hacer depósitos y retiros del capital, en cualquier momento (con tan solo solicitarlo) y los intereses son bajos. Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También se refiere a un conjunto de bienes y servicios adquiridos en el acto de compra. Compra a crédito. Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición, sino que en la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida.En bolsa es la adquisición de acciones financiada por medio de créditos por una autoridad bursátil. Compra a plazos. Contrato de compraventa en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra. Compra de contado. Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición. Comprador. Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compraventa. Compraventa. Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor) se obliga a entregar una cosa determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos que se revenden. Contado. Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida monetaria en ese mismo momento. Contrato. Negocio jurídico bilateral por el que dos o más personas físicas o jurídicas se obligan mutuamente a dar, hacer o no hacer algo, surgiendo entre ellas una relación obligatoria. Crédito. Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obligaciones financieras. Crédito a clientes. Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suministros que reciben. Debe. Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar un pago. Demora. Retraso en el cumplimiento de una obligación de pago de una deuda, desde el momento en que esta venció. Depósito a plazo. Es el dinero depositado en una cuenta bancaria por la persona o razón social; su retiro es en una sola fecha determinada, de común acuerdo por ambas partes.

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Descuento. Disminución concedida por las empresas a sus clientes por diversas causas: por pronto pago, por volumen de venta, entre otros. Descuento en precios. Reducción en el precio de venta de un producto o servicio por motivos muy diversos: campañas de promoción, ferias, rebajas estacionales, fidelidad del comprador, liquidación de existencias. Descuento financiero. Operación financiera realizada por las entidades de crédito, consistente en abonar al prestatario el importe, con rebaja de intereses, de una letra de cambio u otro mercantil antes de la fecha de su vencimiento. Descuento por pronto pago. Descuento concedido por pagar las mercancías adquiridas al contado o en un plazo menor al establecido en la transacción comercial. Se trata de un porcentaje sobre las ventas que compensan el menor riesgo de insolvencia y la inmediata obtención de liquidez por parte de la empresa. Cuando se trata de descuento sobre compras por pronto pago, se refiere a una modalidad de descuento de proveedores en el que es la empresa la que reduce la cantidad a pagar a sus proveedores por realizar el pago dentro de unos días determinados por estos. Los descuentos se registran en las cuentas de pérdidas y ganancias bajo el epígrafe ingresos financieros. Descuento por volumen de compra. Descuento concedido a la empresa, cuando su volumen de compras con un determinado proveedor excede de una cierta cuantía en un periodo, independientemente del tamaño de los pedidos que haya ido realizando con anterioridad. Estos descuentos se registran en la cuenta de pérdidas y ganancias como un menor importe de la compra que los origina. Descuento por volumen de venta. Descuento que la empresa concede a sus clientes cuando su volumen de ventas con ellos en un periodo determinado supera una cierta cuantía. Descuento sobre compras. Descuento concedido a las empresas por sus proveedores por diversas causas: volumen de compras, por pronto pago, entre otros. Deuda. Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una obligación de pagar cierta cantidad de dinero. Deudor. Es la persona o razón social que solicita un dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormente, extendiendo para ello un pagaré. Dinero. Todo aquello aceptado como medio de pago o medición del valor. Las monedas y billetes de circulación son la forma final adoptadas por las economías como dinero. Es la suma de moneda circulante. Dinero circulante. Dinero en efectivo, es decir, tesorería que la empresa en un momento determinado tiene como consecuencia de su funcionamiento. Una gestión eficiente de tesorería que maximice su rentabilidad evitando fondos ociosos, incrementará el valor de la empresa. Dinero de plástico. Tarjetas (de crédito, débito, de prepago, etc.) que se utilizan como medio de pago sustituyendo al dinero. Dinero en circulación. Suma del efectivo en manos del público, compuesto de billetes y moneda metálica de curso legal más los depósitos de todo tipo en el sistema bancario. Empeñar. Entregar algo en prenda como garantía del pago de una deuda. Empresa. Unidad económica de producción y decisión que, mediante la organización y coordinación de una serie de factores (capital y trabajo),

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persigue obtener un beneficio produciendo y comercializando productos o prestando servicios en el mercado. Fábrica. Recinto en el que se instalan máquinas y otro tipo de equipos conjunta y ordenadamente para producción en masa de un determinado producto u objeto o para la transformación industrial de una fuente de energía. Fabricar. Producir bienes o servicios mediante la transformación de materias primas o productos intermedios, valiéndose de una maquinaria y organización determinadas, de unos sistemas respectivos y haciéndolo en gran volumen. Factura. Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa, por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos personales de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra. Moneda en circulación. Son las monedas constantes y sonantes (aleaciones de metales). También a los billetes se les llama papel moneda. Rédito. Renta de un capital. Tanto por uno. Es el rendimiento que produce una moneda. Tasa. También llamada tipo de interés o tanto por ciento, es el rendimiento que producen 100 unidades de moneda en una unidad de tiempo. Tiempo. Es el número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.

Tipo de tasas En el país las tasas de interés que se utilizan en las operaciones comerciales y financieras no permanecen constantes por periodos grandes, por lo que es necesario fijar tasas de referencia. Las tasas de referencia más utilizadas son: la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), el Costo Porcentual Promedio de Capitalización (cpp), el Costo de Capitalización a Plazo (ccp) y la tasa de los Certificados de la Tesorería de la Federación (cetes).   

Tasa de interés activas, son las tasas que los bancos cobran por los diferentes tipos de crédito a los usuarios de éstos. Tasa de interés pasivas, son las tasas de interés que los bancos pagan a los ahorradores e inversionistas. Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), es el punto de equilibrio entre las tasas de interés pasivas y activas; estas se obtienen a partir de la información que proporcionan diariamente al Banco de México (banxico) de las diferentes instituciones bancarias del país (por lo menos seis), a las 12:00 horas de la Ciudad de México.

Las tasas son precios reales que los bancos están dispuestos a pedir prestado o prestar a banxico. Existen diferentes plazos de la tiie, el más usual es 28 días.



Costo Porcentual Promedio de Capitalización (cpp), mide el costo al cual se fondean los bancos para cubrir sus pasivos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo el día 20 de cada mes en el Diario Oficial de la Federación. Costo de Capitalización a Plazo (ccp), es la estimación mensual del costo de capitalización a plazo por concepto de la tasa de interés de los pasivos a plazo en la moneda nacional a cargo de la banca múltiple y este se utiliza para la tasa de interés de créditos en pesos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo los días 21 y 25 de cada mes en el Diario Oficial de la Federación. Certificados de la Tesorería de la Federación (cetes), son instrumentos financieros de inversión cuya tasa de interés tiene un plazo de 28, 90 o 180 días y por lo regular, dicha tasa se utiliza como tasa de referencia.

Problemas para resolver Interés -

3.1 La contadora Alma invierte $5 000.00 y al término de un año recibe $5 250.00 por su inversión. Calcular: a) El interés b) La tasa de interés c) El tipo de interés 3.2 El señor Martínez solicitó un préstamo al issste de $18 500.00 a 9% anual durante un año. Calcular el interés simple a pagar. 3.3 ¿Cuál es la tasa de interés por un préstamo de $15 000.00 a un año, si se pagaron intereses de $1 900.00? 3.4 Un capital de $4 950 000.00 fue prestado a un fabricante de juguetes durante tres años, la compañía pagó un interés preferencial de $1 860 000.00. ¿Cuál fue la tasa de interés pactada? 3.5 El señor Tomás Baroja le presta a su cuñado la cantidad de $3 550.00 a una tasa de interés simple de 1.5% mensual, por 21 días. ¿Cuánto recibirá de intereses? 3.6 Si un automóvil se compra en $399 999.00 a pagarse en un año, a una tasa de interés simple de 12.4%. Calcular el interés simple y comercial correspondiente al primer mes de pago. 3.7 ¿Qué interés produce un capital de $1 500.00 a 4% durante el mes de marzo? Interés simple, comercial y tiempo exacto. Interés simple, comercial y tiempo aproximado. Interés simple, real y tiempo exacto. Interés simple, real y tiempo aproximado. 3.8 ¿Qué interés produce un capital de $8 500.00, a 4.6% de interés simple, del 18 de mayo de 2012 al 8 de abril de 2013? Interés simple, comercial y tiempo exacto. Interés simple, comercial y tiempo aproximado. Interés simple, real y tiempo exacto. Interés simple, real y tiempo aproximado.

3.9 ¿Qué interés produce un capital de $8 500, a 16% de interés simple, del 18 de mayo de 2006 al 8 de abril de 2007? 3.10 Calcular el interés exacto si el interés ordinario es de $189.25.

Cálculo del monto -

3.11 Calcular el monto de un préstamo de $3 150.00 a 16% de interés simple, durante 1.5 años. 3.12 El arquitecto Ignacio Aguilera Hernández consigue un préstamo de $9 000.00 a 15 bimestres, para comprar una computadora. La tasa de interés simple es de 2% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 15 bimestres? 3.13 El alumno Eduardo Arteaga Mora depositó en su cuenta de ahorros $3 000.00, lo que recibió de su beca, el día 5 de enero y el día 31 de enero lo retira para comprarse un teléfono celular. La tasa de interés simple es de 4.7% anual. Calcular el monto, considerando que el año es bisiesto. 3.14 Calcular el monto de un préstamo personal al Banco del Ejército, de $5 500.00 a una tasa de interés simple de 24% anual del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año, considerando que el año es bisiesto. 3.15 Calcular el monto de un préstamo de $18 000.00 a 26% de interés simple, durante dos años. 3.16 ¿Qué monto hay que pagar al issste por un crédito de corto plazo de $49 000.00 pesos a 9% anual, después de 1 año y 6 meses? 3.17 Magaly recibe un préstamo de Alexa, para adquirir calzado con valor de $32 500.00, acuerda pagar la deuda cuatro meses después con una tasa de interés de 24% anual. ¿Cuánto deberá pagar Magaly después de cuatro meses? 3.18 El comunicador Jesús Miguel deposita $55 000.00 en un fondo de inversión, que da un rendimiento de 0.9% mensual. Para comprar más equipo para su negocio, él decide retirar el depósito 28 días después. ¿Cuánto le entregarán al retirar capital e intereses? 3.19 El ingeniero Tomás Aguirre consigue un préstamo de $26 000.00 a dos años, para comprar una computadora; la tasa de interés simple es de 3% bimestral. ¿Cuánto deberá pagar dentro de dos años? 3.20 Calcular el monto acumulado al 24 de marzo de 2014, de un depósito de $22 600.00 realizado el 14 de octubre de 2013 en una cuenta que abona una tiie de 25.5% anual más 5.8 puntos porcentuales. Para dar solución al problema utilice el interés simple ordinario con tiempo aproximado.

Valor presente o actual -

3.21 Encontrar el valor presente de $18 000.00, pagaderos a 9 meses, con tasa de interés simple de 10%. 3.22 ¿Cuál será el valor presente de $25 845.35, pagaderos a 12 meses, con tasa de interés simple de 26%? 3.23 Calcular el valor presente de $200 000.00, pagaderos a 19 meses, con tasa de interés simple de 22%. 3.24 Encontrar el valor presente de $23 480.00 de un pagaré que vencen dentro de seis meses, si la tasa de interés simple es de 6%.

3.25 ¿Cuánto debe invertir una psicóloga el día de hoy, si la tasa de interés es de 1.75% trimestral para disponer de $450 000.00 dentro de tres años? 3.26 ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Portos, el día de hoy, para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años, a una tasa de 0.8%? 3.27 Don Jacinto pagó $1 525 300.00, por un préstamo bancario con un plazo a dos años, seis meses y 28 días, a una tasa de 17% por la compra de un camión de carga. Encontrar el capital inicial del préstamo. 3.28 Una persona compró un automóvil compacto, por el cual pagó $212 480.00 el uno de diciembre, y lo vende el 31 de agosto del año entrante en $216 500.00. ¿Es conveniente la compra realizada si la tasa de interés que ofrece el banco es de 0.9% mensual?

Tiempo o plazo -

3.29 El uno de septiembre se depositan $9 500.00. ¿En cuánto tiempo se acumularían $11 000.00 a una tasa de interés de 6%? 3.30 ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $34 500.00, si el capital invertido es de $28 800.00 a una tasa de 5.1% anual? 3.31 ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $5 740.00, si el capital invertido es de $4 287.00 a una tasa de 4.5% anual? 3.32 Una deuda de $48 000.00 se liquidó el 11 de octubre con un cheque cuyo importe es de $50 800.00, y la tasa de interés aplicada de 23.73%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado el dinero? 3.33 ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se duplique si la tasa de interés es de 8.5% anual? Como el capital inicial es C; entonces el monto al final del plazo es el doble de C (M = 2C). 3.34 ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $1 500.00 alcance un monto de $3 000.00, si la tasa de interés es de 25% anual? 3.35 Encontrar el tiempo exacto y aproximado, del día 4 de mayo al 20 septiembre del mismo año.

Descuento simple -

3.36 ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $3 500.00, a un plazo de seis meses, con una tasa de descuento simple de 20% anual? 3.37 ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un préstamo de $19 500.00, a un plazo de 13 meses, con una tasa de descuento simple de 1.8% mensual? 3.38 ¿Cuál es el descuento que se hace en un préstamo de $8 300.00, a un plazo de ocho meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual? 3.39 ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un préstamo de $7 500.00, a un plazo de 16 meses, con una tasa de descuento simple de 1.5% mensual? 3.40 Un banco cobra 26% de interés por adelantado al señor Cabrera por un préstamo a corto plazo, de $10 000.00 del 2 de mayo al 30 de octubre del presente año. Calcular el descuento que aplica el banco al señor Cabrera.

3.41 Calcular el valor presente de $2 000.00 a 24% de interés simple a un plazo de 9 meses. ¿Cuál es el descuento que realizó Invemex Banco por el préstamo?

Valor descontado o ganancia -

3.42 El profesor Arriaga solicita un préstamo a Bansur de $12 000.00 a un plazo de 13 meses, con una tasa de descuento de 2.2% mensual. o ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? o ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Arriaga? 3.43 La “Compañía Electrohogar, S.A.”, solicita $3 500 000.00 de préstamo al banco de Sonora, a dos años con una tasa de descuento de 12% anual. Calcular el descuento. ¿Qué cantidad recibe en realidad la “Compañía Electrohogar, S.A.”, por el préstamo? 3.44 El administrador de la compañía papelera Gabo, S.A., solicita un préstamo al banco INBURSA de $13 500 000.00 a un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento de 1.2% mensual. a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el administrador Gómez? 3.45 El banco Inbursa cobra 7% de descuento bancario en préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita $40 000.00, para pagarlos con intereses en seis años. ¿Qué cantidad debe solicitar en préstamo y cuánto paga de interés?

Tasa de rendimiento -

3.46 Bansur aplica un descuento de $640 120.00 a la contadora Pamela Alfaro por un préstamo a seis meses, con una tasa de descuento de 19% anual, por la compra de remodelación de su despacho. ¿Cuál es la tasa de rendimiento? 3.47 Calcular la tasa de rendimiento, si el valor descontado a los 11 meses es de $22 948.00, y el monto de $24 000.00. 3.48 El abogado Amando Suárez Copel solicita un préstamo por una determinada cantidad de dinero. El plazo es de nueve meses y la tasa de descuento de 19%. Calcular la tasa mensual de rendimiento. 3.49 El Banco IXEMEX cobra 12% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple le cobra el Banco IXEMEX a la señora Ana Lucía Vega, por un préstamo de $14 000.00 a un plazo de seis meses?

Valor de vencimiento -

3.50 El doctor Jerry Alfaro descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $19 167.00, a una tasa de descuento de 20% anual, siendo el vencimiento del pagaré seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento? 3.51 Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de 18% anual.

3.52 Encontrar el valor de un pagaré, si ocho meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $8 450.00, a una tasa de descuento de 20% anual. 3.53 La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco, este le entrega la cantidad de $10 000.00, para pagar en 13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo? 3.54 El señor Durán solicita un préstamo al banco BANCA, este le entrega la cantidad de $20 000.00, para pagar en 12 meses, a una tasa de descuento de 23% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo? 3.55 El profesor de matemáticas descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $16 766.00, a una tasa de descuento de 23% anual, siendo el vencimiento del pagaré seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento?

Tasa de descuento -

3.56 El dueño de la tintorería De Héctor, vendió a un banco un pagaré 3 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $18 355.00 y recibió del banco la cantidad de $16 835.00. Encontrar la tasa de descuento. 3.57 El dueño de la tintorería De Héctor vendió a un banco un pagaré 6 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $19 355.00 y recibió del banco la cantidad de $17 855.00. Encontrar la tasa de descuento. 3.58 El señor Chavarría firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por la cantidad vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $21 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento? 3.59 Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo solicitado por el administrador Adrián Salvatorio, a pagar en seis meses, con una tasa de descuento de 18% anual. 3.60 Un banco descuenta un pagaré de $55 000.00, con vencimiento en 7 meses y una tasa de descuento de 22%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco? 3.61 El Banco del Bajío descuenta un pagaré de $150 000.00, con vencimiento en 9 meses y una tasa de descuento de 24%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco?

Plazo -

3.62 La compañía Londres, S. A., descuenta un pagaré, por el cual recibe $28 879.00, a una tasa de descuento de 30% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $70 000.00? 3.63 La casa de ropa Adrianos descuenta un pagaré, por el cual recibe $29 887.00, a una tasa de descuento de 26% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $60 000.00? 3.64 Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré de $34 000.00 con vencimiento el 12 de julio del presente año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $3 670.00, con una tasa de descuento de 26% anual.

Pagaré -

3.65 Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a Hielo del Atlántico, S. A., el 15 de julio de 2014 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 14%.

3.66 Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré, a la compañía Kolvi, S. A., del 30 de agosto de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 18%.

3.67 El agrónomo Javier Domínguez Pedrosa le firma un pagaré a la tienda de fertilizantes Viarsa con valor de $800 000.00 pagaderos a nueve meses, con una tasa de interés de 20%. ¿Cuál es el valor descontado del pagaré dos meses antes de su vencimiento con la misma tasa de descuento? 3.68 Del siguiente pagaré encontrar el valor de vencimiento. Si este pagaré se liquidó 12 días después de su vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar.

PROBLEMAS RETO 1. ¿Qué interés produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés simple de 12% anual? 2. Un capital de $5 000.00 se duplica en cuatro años con un tipo de interés simple de: 3. La señora Prudencia solicita a una institución financiera un préstamo de $6 500.00 a una tasa de interés simple de 18% con un plazo de 55 días. Calcular el interés comercial y exacto. 4. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 34% anual? 5. La señora Andrea López obtiene un préstamo por $3 000.00. Paga la cantidad de $3 400.00 después de siete meses. ¿Qué tasa de interés simple le cobraron?

Bibliografía Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.

Tamayo, A. (2021). Interés Simple [Presentación]. urlhttps://issuu.com/universidaddelasamericas8/docs/intere _s_simple.docx