OBJETIVOS • Comprenderá el concepto de Amortización y su aplicación. • Identificará los diferentes casos de amortización, como es el Sistema de amortización gradual, Amortización constante y Amortización con renta variable. • Aprenderá
a
construir
e
interpretar
cuadros
de
amortización y de fondo de inversión. • Identificará los diferentes casos de depreciación de un bien, en problemas financieros, utilizando el método de Línea recta, Porcentaje fijo, Suma de dígitos, Unidades de producción o servicios y Fondo de amortización. • Aprenderá
a
construir
depreciación de un bien.
e
interpretar
cuadros
de
Problema resuelto 2
Una deuda de $14 500.00, con interés de 16% compuesto semestralmente, se tiene que amortizar con pagos semestrales iguales durante los próximos tres años.
Solución Datos A = C = $14 500 i = 0.16/2 = 0.08 semestral n = 3 años = 6 semestres Incógnita R Cálculo del pago semestral:
Datos R1 - 5 = $3 137 i = 0.16/2 = 0.08 semestral n = 6 semestres Incógnita último pago X
X + 3 137(5.86661)(1.08) = 23 009.678 X + 19 875.84 = 23 009.678 X = $3 133.84
Cuadro 6.3 Amortización con renta fija redondeada al peso y tasa de interés constante
Figura 6.1 Amortización con cinco rentas fijas redondeada al peso, X es el valor del último pago (R6).
Problema resuelto 3
El señor Efraín Nava pide prestado $30 000, que se van a amortizar mediante nueve pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el abono mensual.
Solución Datos A = C = $30 000 i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 9 meses El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación: Incógnita R
Cuadro 6.4 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
Se realizarán nueve pagos mensuales vencidos de $3 675.46 que amortizan una deuda con valor de $30 000.00, con interés de 24% anual capitalizable mensualmente.
Problema resuelto 4
El contador Abraham Levi pide un préstamo de $2 000 a Banco Invex; acuerda realizar pagos trimestrales, durante dos años, a una tasa 24% capitalizable mensualmente. Elaborar un cuadro de amortización.
Solución Datos A = C = $2 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 2 años = 8 trimestres Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual
El pago trimestral
Elaborar un cuadro de amortización (programa completo de amortización).
Cuadro 6.5 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto 5
El centro de reciclado de pet “Reciclado del Sur”, realizó la compra de una compresora de pet, la cual tiene un precio de contado de $60 000. El dueño solo cuenta con la cantidad de $25 000, esta cantidad le sirve para realizar el enganche del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando realizar seis pagos mensuales, siendo la tasa de interés 23% anual capitalizable mensualmente. a) Calcular el valor de la renta. b) ¿Cuánto pagó de intereses? c) Construir una tabla de amortización.
Solución Datos Enganche = $25 000 C = 60 000 - 25 000 = $35 000 i = 0.23/12 = 0.0191666 mensual n = 6 meses Incógnita R El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:
El interés total pagado es de $2 385.05 Cuadro 6.6 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto 6
El Cabo Juan Antonio Solís está pagando un préstamo a 10 años, siendo abonos iguales al final de cada año, el interés que cobra Banejército es de 20%, se sabe que la cantidad pagada en el quinto año es de $1 238.15. Calcular: a) La cantidad del préstamo y la cantidad del principal pagada en el séptimo año. b) El monto de los 10 años del principal.
Solución a) Se calcula el principal pagado en el séptimo año. Como se sabe que la columna de principal tiene la relación (1 + i ) entonces: 1 238.15(1.2)! = 1 782.936 b) Cálculo del monto de los 10 años del principal.
Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.7. Cuadro 6.7 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Cuando se pide una cantidad prestada C y se van a realizar pagos iguales R al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo para amortizar la deuda A y se desea conocer o analizan un caso específico k en el programa de amortización (1 ≤ k ≤ n) se utilizan los siguientes casos: •
El saldo insoluto después del (k - 1)-ésimo pago, es el valor descontado de los n - (k - 1) = n - k + 1 pagos restantes.
•
El interés pagado en el k-ésimo pago es:
•
El k-ésimo pago de la amortización es:
Para calcular el saldo insoluto P de una deuda que se amortiza con pagos R iguales al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo, existen dos métodos el prospectivo (viendo hacia el futuro) y el retrospectivo (viendo hacia el pasado) como se muestra en la figura 6.2.
Figura 6.2 Amortización de deuda A con pagos R iguales al final del periodo con tasa i por periodo durante n periodos.
Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, será igual al valor descontado de los n - k pagos que quedan por realizar.
Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del késimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los k-ésimo pagos hechos hasta la fecha.
Problema resuelto 7
El dueño de una lavandería está pagando un préstamo de $45 000 por la compra de dos lavadoras de 16 kilogramos; este se va a amortizar con pagos mensuales iguales durante dos años a una tasa de interés de 25% capitalizable mensualmente. Calcular: a) El saldo insoluto después de seis meses. b) El interés del séptimo pago. c) La amortización (A) del séptimo pago. d) La renta mensual con la tasa continua de 25%.
Solución Datos C = $45 000 i = 0.25/12 = 0.0208333 mensual n = 24 meses k=6 Incógnitas R, P6, I7 y A7 Cálculo del abono mensual:
El saldo insoluto P, después de seis pagos:
P = 50 926.225 - 2 401.72(6.321316795) P = 50 926.225 - 15 182.033 P = $35 744.19
La parte del interés en el séptimo pago: I = (35 744.19)(0.020833) = 744.65871 ≈ $744.66 Amortización “A” (o valor del principal): A = R - I = 2 401.72 - 744.66 = $1 657.06 Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.8. Cuadro 6.8 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual
El pago mensual
El saldo insoluto P, después de seis pagos:
P = 49 732.69 - 2 294(6.257815716) P = 49 732.69 - 14 355.42925 P = $35 377.26
La parte del interés en el séptimo pago: I = (35 377.26)(0.01680633) = 594.5619061 ≅ $594.56 I = (35 377.26)(0.01680633) = $594.56 Amortización “A” (o valor del principal): A = R - I = 2 294 - 594.56 = $1 699.44 Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.9.
Cuadro 6.9 Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante
Problema resuelto 8
La familia Martínez adquiere una casa en condominio valuada en $4 800 000 por el cual paga un enganche de $1 200 000. El resto se financia con préstamo de Banorte a 20 años, con tasa de interés de 9% convertible mensualmente. Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) El saldo insoluto al final de los 15 años.
Solución Datos Precio de contado $ 4 800 000 Enganche $1 200 000 Cantidad a financiar $3 600 000 T = 9% A.C. Mensual i = 0.0075 mensual n = 20 años = 240 meses
n15 = 180 meses Incógnitas R y P180 a) Cálculo de la renta:
R = $32 390.13 b) Saldo insoluto al final de los 15 años.
P = 3 600 000(3.838043267) - 32 390.13(378.4057689) P = 13 816 955.76 - 12 256 612.05 P = $1 560 343.71 En 15 años habrá liquidado menos de $1 560 343.71 del préstamo original.
Problema resuelto 9
La familia Aragón adquirió un condominio valuado en $650 000 el 1 de febrero del año pasado, por el cual dieron un enganche de 20%. El resto se financia con crédito hipotecario de Banejército a 20 años, con tasa de interés de 10% convertible mensualmente sobre el saldo iniciando en el mes de marzo del mismo año, el préstamo se amortizará con pagos al final de cada mes.
Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) ¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su declaración anual de persona física del año pasado, el tiempo límite que tiene para realizar su declaración es el día 30 de abril del presente año? Solución Datos Precio de contado $650 000 Enganche $130 000
Cantidad a financiar A = $520 000 T = 10% A.C. Mensual i = 0.008333 mensual n = 20 años = 240 meses n1 = 10 meses Incógnitas R e I1-10 a) Cálculo de la renta:
R = $5 018.11 b) Saldo insoluto al final de los 10 meses, en el primer año de la compra del departamento.
P1-10 = 564 994.95 - 5 018.11(10.38345593) P1-10 = 564 994.95 - 52 105.32 P1-10 = $512 889.6378 c) La amortización el año pasado de marzo a diciembre:
d) El total de intereses pagados el año pasado son:
El señor Aragón puede declarar $43 070.73 en su declaración fiscal como deducción por el préstamo hipotecario (este documento lo extiende la institución financiera con la cual se tiene contratado el préstamo, es el documento oficial que reconoce el SAT).
Cuadro 6.10 Amortización con renta fija y tasa de interés constante
En los ejemplos anteriores se mostró la forma de construir un cuadro de amortización, ahora describiremos la construcción de un cuadro de amortización en el que se incluirá el cálculo del impuesto al valor agregado (IVA) con tasa fija y renta fija.
Problema resuelto 10
Construir un cuadro de amortización que incluye el cálculo del iva (16%) con un plan de financiamiento por dos años para la compra de un automóvil Sedán. Cuadro 6.11 Amortización con IVA de un plan de financiamiento por dos años para la compra de un auto El precio de lista (incluye el IVA)
$214 500.00
La inversión inicial mínima (enganche) 35%
$75 075.00
Comisión por apertura de crédito. Pago que debe efectuarse al contado (incluye el IVA)
$1 200.00
Seguro automotriz de cobertura amplia. Se debe pagar de contado por un año (incluye gastos de expedición e IVA) más un año gratis.
$14 400.00
Tasa de interés fija
5.4% anual
Monto a financiar
$153 825.00
Otros gastos Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (mayor a $250 000) sin incluir el IVA, lo anterior soloaplica en el D.F.
No aplica
Placas
$1 650.00
Gestoría
$300.00
Verificación (calcomanía doble cero), solo aplica en el D.F.
$385.00
Solución a) La tasa de interés está en forma anual, por lo que debe transformarse a una tasa de interés mensual.
b) Cálculo del interés a pagar durante el primer periodo: I = 153 825(1) (0.0045) I = $692.21 c) Cálculo del IVA sobre los intereses generados en el primer periodo: IVA = 692.21 (0.16) IVA = $110.75 para el primer mes Entonces: Intereses + IVA = 692.21 + 110.75 = 802.964 d) La renta es el pago total en la columna de la tabla de amortización:
R = $6776.10 cada mes Cuadro 6.12 Amortización con renta fija, tasa fija e IVA (16%)
Problema resuelto 11
Una tienda de electrodomésticos en el mes de julio de este año ofrece una promoción de compre ahora y realice su primer pago el último día de enero del año entrante y los siguientes seis pagos en los meses subsecuentes, con una tasa de interés de 24% capitalizable mensualmente. El arquitecto Camargo compra un refrigerador con valor de $ 13 500.00 el último día de septiembre. Encontrar el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de amortización
Solución Datos C = $ 13 500 T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual n = 6 pagos a) Como el arquitecto Camargo disfruta desde el día 30 de septiembre de su refrigerador, entonces desde este día contrae la deuda. Primero se realiza el cálculo de su deuda al 31 de enero, que es de:
b) El cálculo para conocer el valor del pago (renta) se hace a partir de una anualidad vencida:
R = $2 608.7674 c) En el mes de septiembre el saldo es $13 500.00, y el interés generado en ese mes es de: I = Saldo (n) (T) = 13 500(1) (0.02) = $270.00 M = 13 500.00 + 270 = $13 770 d) En octubre el saldo es de $13 770.00. En el mes de octubre el interés generado es: I = Saldo (n) (T) = 13 770(1) (0.02) = $275.4 M = 13 770.00 + 275.4 = $14 045.40
e) Se continúan realizando los cálculos del interés y el saldo insoluto para los meses de noviembre, diciembre y enero, como se realizó para el mes de octubre y de febrero a julio los cálculos se realizan con base en lo estudiado para la construcción del cuadro de amortización. Cuadro 6.13 Amortización diferida con renta fija y tasa fija
Problema resuelto 16
El arquitecto Saturnino Torres debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $1 600 000, por la compra de un camión y para tener el dinero en la fecha de liquidación decide realizar depósitos mensuales en una cuenta de inversión que paga 9% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos en su cuenta de inversión? Construir un cuadro que muestre la forma en la que se acumula el fondo.
Solución Datos C = $1 600 000 T = 9% A.C.M. i = 0.0075 mensual n = 6 meses a) Para calcular los depósitos en su cuenta se utiliza la siguiente ecuación:
Si despejamos R de la ecuación tenemos que:
R = $261 710.25 b) El cuadro sobre el fondo de amortización queda de la siguiente manera: Cuadro 6.16 Fondo de amortización
Problema resuelto 17
¿Cuántos depósitos debe realizar la contadora Delia Morales si desea comprar de contado dos archiveros de $3 000 cada uno para su despacho? Para lograr esta compra, Delia deposita al principio de cada mes en la cuenta de inversión del despacho la cantidad de $423.38; si el banco paga una tasa de interés de 4.5% convertible quincenalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para poder realizar la compra de los archiveros?
Solución Datos M = $6 000 R = $423.38 T = 4.5% A.C. Quincenal i = 0.001875 quincenal a) Los depósitos que deberá realizar serían:
n = 13.9998 ≈ 14 quincenas Cuadro 6.17 Fondo de amortización
Problema resuelto 19
Encontrar el valor de salvamento de un horno para panadería que costó $134 000.00 con una vida útil de 10 años. Este equipo se deprecia $12 500.00 cada año. Debido a la inflación su valor aumenta en promedio anual 5%.
Solución Datos C = $ 134 000 D = $12 500 n = 10 j = 5% anual
a) En el primer año el valor del horno para panadería aumenta 5%:
b) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería en un año será:
c) Al final del segundo año, el valor del horno para panadería aumenta 5%:
d) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería después del segundo año sería:
e) Esta forma de solucionar el problema es más complicada porque se tiene que calcular hasta los 10 años; sin embargo, existe otra forma para calcular el valor de salvamento utilizando la siguiente ecuación de valor:
Cuadro 6.20 Cálculo del valor de salvamento
Problema resuelto 21
El señor Montiel compró un camión de 24 asientos para el transporte de personal. El valor de contado es de $1 196 000.00. Se espera que tenga una vida útil de seis años y valor de salvamento de $290 000.00. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
Solución Datos C = $1 196 000 D = $290 000 n = 6 años a) Calcular primero la tasa fija a aplicar:
d ≈ 21%
Cuadro 6.23 Depreciación por el método de porcentaje fijo
Mediante la función POTENCIA de EXCEL se calcula la tasa de depreciación: = POTENCIA(valor a elevar, exponente)
Problema resuelto 22
Encontrar la depreciación anual de una batidora industrial con valor de $90 000.00, si se estima un valor de desecho de $15 000.00 dentro de seis años. Encontrar la depreciación hasta el tercer año.
Solución Datos C = $ 90 000 S = $15 000 n = 6 años k = 3 años a) Encontrar la tasa de depreciación fija.
d ≈ 26% b) Depreciación en el primer año:
c) Valor en libros
d) Depreciación en el segundo año:
e) Valor en libros:
f) Depreciación en el tercer año:
g) Valor en libros:
h) El problema se puede resolver de manera más rápida si se calcula primero el valor en libros al final del tercer año y después la depreciación acumulada hasta el tercer año.
i ) Depreciación acumulada al tercer año
j ) En la hoja electrónica del cuadro 6.24 se muestra la solución del problema.
Cuadro 6.24 Depreciación del método de porcentaje fijo
Problema resuelto 24
La fundidora Cristal Contemporáneo desea vender un horno de fundición después de cinco años de uso que le costó $1 250 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 8% anual. El administrador considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 12% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.
Solución Datos C = $1 250 000 n = 5 años j = 8% anual d = 12% anual a) Realizar la diferencia entre las dos tasas, inflación y depreciación: d′ = 0.12 - 0.08 d′ = 0.04 b) Como la tasa de depreciación d es mayor que la de inflación j, el valor en libros reducirá al paso de los años y el factor (1 - d) será menor de 1, como puede observarse en el cuadro 6.26.
Cuadro 6.26 Depreciación del método de porcentaje fijo Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Depreciación anual
Depreciación anual
Valor en libros
$50 000.00 $48 000.00 $46 080.00 $44 236.80 $42 467.33 $40 768.63 $39 137.89 $37 572.37
$50 000.00 $98 000.00 $144 080.00 $188 316.80 $230 784.13 $271 552.76 $310 690.65 $348 263.03
$1 250 000.00 $1 200 000.00 $1 152 000.00 $1 105 920.00 $1 061 683.20 $1 019 215.87 $978 447.24 $939 309.35 $901 736.97
Problema resuelto 25
Encontrar el precio original de un refrigerador que se compró hace seis años, ya que el señor Juanito lo desea vender en $1 000. Él considera una tasa de depreciación de 7% anual y una tasa de inflación de 1.2% por bimestre.
Solución Datos S = $ 1 000 n = 6 años j = 1.2% bimestral d = 7% anual a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente al 1.2% bimestral:
b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación: d ′ = 0.074194872 - 0.07 d ′ = 0.004194872 c) La incógnita es el precio original C:
C = $975.0932506 Costo de venta (original) d) Como la tasa de inflación es mayor que la tasa de depreciación, el activo aumentó su valor de venta por la tasa de inflación.
Problema resuelto 27
El administrador del hotel Del Fortín, en el estado de Puebla, compra colchones para sus cuartos con un costo de $2 950 000. Estima una vida útil de seis años y un valor de salvamento de $350 000. Elaborar el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma de dígitos.
Solución Datos: C = $2 950 000 S = $350 000 n = 6 años 1. Base de depreciación de activo: B=C-S B = $2 950 000 - $350 000 B = $2 600 000 2. Suma de dígitos:
3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente: Año
1
2
3
4
5
6
Numerador
6
5
4
3
2
1
Fracción
6/21
5/21
4/21
3/21
2/21
1/21
4. Calcular el cargo anual para el primer año:
5. Elaboración del cuadro 6.28 de depreciación para la vida útil de este bien. Cuadro 6.28 Método de la suma de dígitos o enteros
Problema resuelto 29
El hotel Paraíso adquiere refrigeradores para los cuartos, con un costo de $171 400 y espera que la vida útil sea de 30 000 horas y que tenga un valor de desecho de $30 000. El número de horas de servicio de los refrigeradores durante los cuatro primeros años es de:
Año
Horas de servicio
1
2 000
2
1 950
3
1 800
4
1 900
Total
7 650
a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio. b) Construir la tabla de depreciación.
Solución Datos C = $171 400 S = $30 000 T = 7 650 horas n = 4 años a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio 1. Determinar la base de depreciación: B=C-S B = 171 400 - 30 000 B = $141 400 2. Calcular la depreciación por hora de servicio: a) La base de depreciación se distribuye entre las horas de servicio de cuatro años.
La depreciación por hora de servicio es de $18.48 b) Construir el cuadro sobre depreciación por hora de servicio.
Cuadro 6.30 Método de unidades de producción o servicio
Problema resuelto 31
El hotel Playa Linda compró 1 000 toallas para alberca por un valor de $330 000. Con la experiencia que tiene el administrador estima una vida útil promedio de seis años y ningún valor de desecho (cero pesos). Se sabe que la tasa promedio de interés es de 8% anual. Construir un cuadro de depreciación utilizando el método de fondo de amortización.
Solución Datos C = $330 000 S = $ 0.00 n = 6 años T = 8% anual a) Véase el cuadro 6.32. Cuadro 6.32 Depreciación por el método del fondo de amortización
Problema resuelto 32
El restaurante Camila compró mesas y sillas con valor de $470 690 y estima una vida útil para este mobiliario de 10 años. Al cumplir estos años se espera venderlas en $40 000. Considerando una tasa para depreciación de 14% anual, determinar: a) La base de depreciación. b) El cargo anual por depreciación. c) La depreciación acumulada. d) El valor en libros después de seis años de uso.
Solución Datos C = $470 690 S = $40 000 n = 10 años T = 14% anual i = 0.14 a) Base de depreciación: B = C - S = 470 690 - 40 000 B = $430 690 b) El cargo anual por depreciación:
c) La depreciación acumulada al sexto periodo.
d ) El valor en libros después de seis años de uso. Valor en libros = costo - depreciación acumulada
Valor en libros = $470 690 - $190 107.34 Valor en libros = $280 582.66 e) Se pueden comprobar los resultados de los incisos anteriores en el cuadro 6.33. Cuadro 6.33 Depreciación por el método del fondo de amortización
BIBLIOGRAFÍA Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.