OBJETIVOS • Resolverá problemas de anualidades determinando el valor del dinero a través del tiempo: § Monto § Capital y valor presente § Plazo § Renta
Problema resuelto 2. El hermano del arquitecto Demetrio Duarte deposita cada tres meses $50 000.00 en su cuenta de inversión, la cual paga 1.32%. ¿Cuánto dinero tendrá después del depósito del 31 de marzo de 2017, si el primer depósito se realizó el 31 de marzo de 2013? Solución Datos: R= $50 000 Incógnita M T = 1.32% A.C.T. i = 0.0033 trimestral n = 17 trimestres (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏. 𝟎𝟎𝟑𝟑)𝟏𝟕 − 𝟏 𝑴 = 𝑹$ + = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎 $ + 𝒊 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝟏. 𝟎𝟓𝟖𝟐𝟎𝟑 − 𝟏 𝟎. 𝟎𝟓𝟖𝟐𝟎𝟑 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎 0 3 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎 0 3 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝑴 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏𝟕. 𝟔𝟑𝟕𝟑𝟓) = 𝟗𝟐𝟏𝟓𝟐𝟐. 𝟏𝟔 Problema resuelto 3 Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $40 000 anuales durante seis años, a una tasa de interés de 18%. Solución Datos: R= $40000 T= 18% A n= 6 años Incógnita M Desarrollo: (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏. 𝟏𝟖)𝟔 − 𝟏 + = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 $ + 𝒊 𝟎. 𝟏𝟖 𝟐. 𝟔𝟗𝟗𝟓𝟓𝟒 − 𝟏 𝟏. 𝟔𝟗𝟗𝟓𝟓𝟒 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 0 3 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 0 3 𝟎. 𝟏𝟖 𝟎. 𝟏𝟖 𝑴𝟏 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟗. 𝟒𝟒𝟏𝟗𝟔𝟕) = 𝟑𝟕𝟕𝟔𝟕𝟖. 𝟕𝟎 𝑴𝟏 = 𝑹 $
Problema resuelto 4 Para abrir una cuenta de inversión en Banejército se requiere depositar $3 000 y mantener un saldo promedio de $1 500 mensuales. El capitán Antonio Suárez abre una cuenta el 1 de febrero en Banejército, a partir de 1 de marzo 2013 empieza a realizar depósitos de $400 mensuales durante seis años. El primero de marzo de 2019 empezará a realizar retiros de $300 mensuales durante cuatro años. ¿Cuál es el saldo que tendrá el capitán Suárez en su cuenta de inversión después de haber realizado el último retiro (1 de febrero de 2023) si la tasa de interés es de 4.5% convertible mensualmente.
Figura 5.3
𝑀 = 𝑀% + 𝑀& − 𝑀' 𝑀 = 4700.98 + 32992.33 − 15745.15 𝑀 = $21948.16 𝑀% = 3000 01 + 𝑀% = $4700.98
0.045 %&( 3 = 3000(1.00375)%&( = 3000(1.566992) 12
𝑀& = 400(82.48082) = 32992.33 (1.00375))* − 1 1.96814 − 1 0.193814 + = 300 0 3 = 300 E F 0.00375 0.00375 0.00375 𝑀' = 300(52.483833) = 15745.15 𝑀' = 300 $
5.1.1. Valor actual (A) o presente (VP) en anualidades vencidas 5
¿Cuál es el valor actual de una renta mensual de $2 000 si los depósitos se realizaron al final de cada mes durante seis meses en la institución financiera Banejército que ofrece una tasa de interés de 12% anual capitalizable mensualmente?
6
Figura 5.4 Anualidad, renta e intervalo de tiempo Datos R = $2 000 T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n=6 Incógnita A 1.- Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equivalentes:
a) Poner los datos en el orden de la progresión: 𝐴 = 2000(1.01)+% + 2000(1.01)+& + 2000(1.01)+' + 2000(1.01)+) + 2000(1.01)+, + 2000(1.01)+- 𝐴 = $11590.95 Cuadro 5.5 Progresión geométrica de una anualidad Progresión geométrica Anualidad S Suma A Valor actual 𝑡% Primer término R(1 + 𝑖)+% Primer término R Razón (1 + 𝑡)+% Razón n Número de términos n Periodo b) Serie geométrica
c) Sustituyendo en la serie geométrica la simbología de anualidades término por término, se obtiene:
d) Simplificando algebraicamente obtenemos la siguiente relación:
Con la ecuación 5.3 se obtiene el cálculo del valor actual de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. Problema resuelto 7
Cálculo del valor actual de la renta mensual empleando la ecuación 5.3:
Datos R = $2 000.00 T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n=6
Incógnita C
Solución: 1 − (1 + 𝑖)+. + 𝑖 1 − (1.01)+1 − (0.942045) 0.0579547 = 2000 $ + = 2000 $ + = 2000 0 3 0.01 0.01 0.01 𝐴 = 2000(5.795476) = 11590.95 𝐴 = 𝑅$
Problema resuelto 8 Encontrar el valor actual pagado por un calentador solar si se dio un enganche de $2 500 y se realizaron seis pagos mensuales vencidos de $2 300 y un séptimo pago de $1 000. La tasa de interés pactada es de 24% capitalizable mensualmente.
Figura 5.5 Anualidad Datos: Enganche= $2500 R= $2500 Séptimo pago= $1000 T= 24% A.C.M. n= 6 meses Incógnita A i= 0.02 mensual Desarrollo: El valor actual pagado por el calentador solar sería: 1 − (1.02)++ + 1000(1.02)+/ 0.02 1 − 0.887971 𝐴 = 2500 + 2300 0 3 + 1000(0.87056) 0.02 𝐴 = 2500 + 2300(5.601431) + 870.56 𝐴 = 2500.00 + 12883.29 + 870.56 = $16253.85 𝐴 = 2500 + 2300 $
Problema resuelto 9
El señor Juan Alberto firmó un contrato con una mueblería por la compra de una sala, esta le pidió de enganche $4 000 y pagos mensuales de $480 durante cinco años, con una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. El señor Juan Alberto no realizó los primeros siete pagos. ¿Cuánto debe pagar en el octavo mes para saldar el total de la deuda?
Solución Sea X el pago requerido al señor Juan Alberto, este debe realizar los ocho primeros pagos más el valor descontado de 60 - 8 = 52.
Figura 5.6 Anualidad. (1.01)* − 1 1 − (1.01)+,& 𝑋 = 480 $ + + 480 $ + 0.01 0.01 1.0828567 − 1 1 − 0.596058 = 480 0 3 + 480 0 3 0.01 0.01 0.0828567 0.403942 𝑋 = 480 0 3 + 480 0 3 = 480(8.28567) + 480(40.394194) 0.01 0.01 = 3977.12 + 19389 𝑋 = $23366.34 Problema resuelto 10
La distribuidora AMAC firmó un contrato con la fábrica Tremek por la compra de herramienta. La distribuidora dio un enganche de $300 000 y pagos mensuales de $35 000 durante seis años, a una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. Al principio del cuarto año después de haber realizado 36 pagos el contrato es vendido a Banorte a un precio que rinde al comprador 15% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto debe pagar Banorte? Solución X es el precio que debe pagar el comprador. X es el valor descontado de los 72 - 36 = 36 pagos a una tasa de 15% capitalizable mensualmente. 1 − (1.0125)+'𝑋 = 35000 $ + 0.0125 1 − 0.63941 0.36059 𝑋 = 35000 0 3 = 35000 0 3 0.0125 0.0125 𝑋 = 35000(28.847267) = 1009654.35
Problema resuelto 11
La panificadora La Espiga analiza la posibilidad de adquirir una nueva batidora con valor de $80 000, se estima que el valor de salvamento sea de $12 000 al final de 10 años. Los costos de los seguros contra robo y mantenimiento del equipo $400 pagaderos al final de cada mes. La misma batidora se puede arrendar por 10 años por $1 500 mensuales de arrendamiento, este incluye el seguro contra robo y de mantenimiento, el arrendatario gana 18% capitalizable mensualmente sobre su capital. El administrador de la panadería debe tomar una decisión entre comprar o rentar la batidora.
Solución: Para cada caso se debe calcular el Valor Presente Neto (VPN) VPN = Valor presente de entradas en efectivo - Valor presente de salidas en efectivo %+(%1(.(%,)!"#$
VPN de Compras = 12000(1.015)+%&( − L80000 + 400 M
(.(%,
NO
VPN de Compras = 2010.28 − [80000.00 + 400(55.498454)] VPN de Compras = 2010.28 − (80000.00 + 22199.38) VPN de Compras = 2010.28 − 102199.38 VPN de Compras = −$100189.1 %+(%1(.(%,)!"#$
VPN de Renta = 1500 L
(.(%,
O
VPN de Renta = 1500(55.498454) VPN de Renta = $83247.68 Como el VPN de renta es de menor valor absoluto que el VPN de compra, entonces la panificadora La Espiga debe rentar la batidora. Problema resuelto 12 La psicóloga María José Flores para saldar la deuda de una beca-crédito contraída con la Universidad del Caribe para realizar su tesis, acuerda realizar 18 pagos de $800 al final de cada trimestre y un pago final de $389.50 nueve meses después, la tasa de interés compuesto trimestralmente es de 24%. ¿Cuánto adeuda la psicóloga María José Flores? Solución:
Figura 5.7 Anualidad 𝑋 = 800 $
1 − (1.06)+%* + + 389.50(1.06)+&% 0.06 1 − 0.350344 = 800 0 3 + 389.50(0.294155) 0.06
0.649656 𝑋 = 800 % + + 114.573529 = 800(10.8276) + 114.57 = 8662.08 + 114.57 0.06
𝑋 = $8776.65 Problema resuelto
13 ¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar el sociólogo Alejandro Fuentes durante los próximos seis años para acumular $800 000, ya que desea dar el enganche para una casa de interés social? Una
institución Banorte le ofrece una tasa de interés de 8.5% convertible mensualmente.
Solución Datos: M = $800000 n = 6 años = 72 meses i = 0.0070833 mensual 𝑅=
Incógnita R
𝑀(𝑖) 800000(0.0070833) 5666.64 5666.64 = = = = $8556.08 𝑚𝑒𝑛 (1 + 𝑖)! − 1 (1.0070833)"# − 1 1.662296 − 1 0.662296
Problema resuelto 14 El Capitán Solís solicita a Banejército un crédito de seis meses de su sueldo. La cantidad que ledeposita en su cuenta de inversión la Secretaría de Marina es de $30 000 quincenales. El contrato firmado con Banejército establece que los pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo de 18 meses, y una tasa de interés de 24% anual convertible quincenalmente. El pago quincenal no incluye el iva. ¿Cuánto debe pagar el Capitán Solís quincenalmente? Solución Datos: M= 30000(12) = $360000 n = 18 meses = 36 quincenas T= 24% A.C. Quincenal 𝑅=
Incógnita R
𝑀(𝑖) 360000(0.24/24) 3600 3600 = = = = $8357.15 𝑞𝑢𝑖𝑛. ! $% (1 + 𝑖) − 1 (1.01) − 1 1.430768 − 1 0.430768
Problema resuelto 15 La pastelería El Globo en su sucursal de Cd. Jardín estima que será necesario cambiar el horno de pan dentro de 12 años, a un costo $680 000. ¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión si el banco ofrece una tasa 4?0% anual? Solución Datos: M = $680000 n = 12 años T = 4% anual 𝑅=
Incógnita R
𝑀(𝑖) 680000(0.04) 27200 27200 = = = = $ 45255.47𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 (1 + 𝑖)! − 1 (1.04)&# − 1 1.601032 − 1 0.601032
Problema resuelto 16 El señor José Acevedo compra a crédito un multifuncional de $4 990 más iva. El señor Acevedo acuerda pagarla en 12 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés que le cobran es de 1.8% mensual? Solución Datos: A = $4 990.00 + iva A = $4 990.00 + $798.40 A = $5 788.40 n = 12 meses T = 1.8% mensual 𝑹=
Incógnita R
𝑨(𝒊) 𝟓𝟕𝟖𝟖. 𝟒𝟎(𝟎. 𝟎𝟏𝟖) 𝟏𝟎𝟒. 𝟏𝟗𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟒. 𝟏𝟗𝟏𝟐 = = = +𝒏 +𝟏𝟐 𝟏 − (𝟏 + 𝒊) 𝟏 − (𝟎. 𝟎𝟏𝟖) 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟎𝟕𝟐𝟖𝟒𝟔 𝟎. 𝟏𝟗𝟐𝟕𝟏𝟓 = $𝟓𝟒𝟎. 𝟔𝟓 𝒎𝒆𝒏
Problema resuelto 17 ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador a la caja de ahorros del sindicato de la UNAM, por un crédito de $80 000 pagaderos a dos años a una tasa de interés de 3% mensual? Solución Datos: A = $80 000 Incógnita R n = 2 años = 24 pagos i = 0.03 mensual 𝑨(𝒊) 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟎. 𝟎𝟑) 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝑹= = = = 𝟏 − (𝟏 + 𝒊)+𝒏 𝟏 − (𝟏. 𝟎𝟑)+𝟐𝟒 𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟗𝟏𝟗𝟑𝟑𝟕 𝟎. 𝟓𝟎𝟖𝟎𝟔𝟔 = $𝟒𝟕𝟐𝟑. 𝟕𝟗 𝒎𝒆𝒏 Problema resuelto 19
¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $1 500.00 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $24 000.00, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 24% convertible mensualmente? Solución Datos T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual R = $1 500.00
Incógnita n
A = $24 000.00 Obtener los pagos mensuales vencidos (n):
𝑛=
1 𝑙𝑜𝑔 Z 𝐴 𝑖 [ 1− 𝑅
1 𝑙𝑜𝑔 Z [ 24000(0.02) 1− 1500
1 1 480 [ 𝑙𝑜𝑔 L1 − 0.32O 1 − 1500 = 𝑙𝑜𝑔(1.02) 𝑙𝑜𝑔(1.02)
𝑙𝑜𝑔 Z
= = 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖) 𝑙𝑜𝑔(1.02) 1 𝑙𝑜𝑔 M0.68N 𝑙𝑜𝑔(1.470588) 0.167491 = = = = 19.4757 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑔 (1.02 𝑙𝑜𝑔 (1.02 0.00860
No se pueden realizar 19.4757 pagos, entonces existen dos alternativas: 1.- Hacer 19 pagos de 1 500 pesos + un pago menor Si el adeudo es de $24 000 primero se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 19 meses. 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖). = 24000.00(1.02)%6 = 24000(1.4568112) = 34963.47 Posteriormente debemos encontrar el valor futuro de los 19 pagos realizados al final de cada mes. (𝟏 + 𝒕)𝒏 − 𝟏 (𝟏. 𝟎𝟐)𝟏𝟗 − 𝟏 𝟏. 𝟒𝟓𝟔𝟖𝟏𝟏𝟐 − 𝟏 𝑴 = 𝑹C F = $𝟏𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎 C F = 𝟏𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎 % + = 𝒕 𝟎. 𝟎𝟐 𝟎. 𝟎𝟐 𝟎. 𝟒𝟓𝟔𝟖𝟏𝟏𝟐 𝑴 = 𝟏𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎 M N 𝟎. 𝟎𝟐
𝑀 = 1500(22.84) = 34260.84
Cuando ya se realizó el pago 19 todavía existe un adeudo y se desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la siguiente forma: 𝑀78 − 𝑀9.:;7<=;= = 34963.47 − 34260.84 = $702.63 El adeudo anterior se tiene que pagar a final del mes 20, por lo que es necesario calcular su valor futuro: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖). = 702.63(1.02)% = $716.68 que corresponde a un pago en el mes 20. 2.- Hacer 18 pagos de $1 500 y un pago final mayor. Se calcula el valor futuro del adeudo al final del mes 18. 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖). = 24000(1.02)%* = 24000(1.428246) = 34277.90 Entonces el valor futuro de los 18 pagos realizados al final de cada mes sería. (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 (𝟏. 𝟎𝟐)𝟏𝟖 − 𝟏 𝟏. 𝟒𝟐𝟖𝟐𝟒𝟔 − 𝟏 𝑴 = 𝑹C F = 𝟏𝟓𝟎𝟎 C F = 𝟏𝟓𝟎𝟎 % + 𝒊 𝟎. 𝟎𝟐 𝟎. 𝟎𝟐 𝟎. 𝟒𝟐𝟖𝟐𝟒𝟔 = 𝟏𝟓𝟎 % + = 𝟎. 𝟎𝟐
𝑴 = 𝟏𝟓𝟎𝟎(𝟐𝟏. 𝟒𝟏𝟐𝟑𝟏𝟐𝟒) = $𝟑𝟐𝟏𝟏𝟖. 𝟒𝟕
Después de realizar el pago 18 el deudor todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente a este último adeudo se calcula en la forma siguiente: 𝑀78 − 𝑀9.:;7<=;= = 𝐶(1 + 𝑖). − 𝑅 $
(1 + 𝑖). − 1 + = 34277.90 − 32118.47 𝑖
= 2159.43 El adeudo anterior se tiene que pagar al final del mes 19, por lo que se necesita calcular su valor futuro. 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)! = 2159.43(1.02)& = $2202.62 el cual representa un pago en el
mes 19 Problema resuelto 20
¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $19 238 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $850 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 18% convertible mensualmente? Solución Datos: T = 18% A.C. Mensual i = 0.015 mensual R = $19 238 C = $850 000
𝑛=
1 log V A iZ 1− R log(1 + i)
=
Incógnita n
1 log V Z 850000(0.015) 1− 19238 log(0.015)
=
1 log V 12750Z 1 − 19238 log(1.015)
1 log [1 − 0.66275081\ = log(1.015)
1 log L0.33724919O log(2.96516646) 0.47204908 = = = 73 pagos mensulaes log(1.015) log(1.015) 0.006466042 Problema resuelto 21
Se desea acumular la cantidad de $89 950, para reunirla se hacen depósitos de $1 000 bimestrales vencidos, en una cuenta de inversión la cual paga 4.5% anual capitalizable bimestralmente. ¿En cuánto tiempo se reunirán los $89 950? Solución Datos: T = 4.5% A.C.B.
Incógnita n
i = 0.0075 bimestral R = $1 000 M = $89 950 𝑴(𝒊) 𝟖𝟗𝟗𝟓𝟎(𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓) 𝒍𝒐𝒈 M 𝑹 + 𝟏N 𝒍𝒐𝒈 M + 𝟏N 𝒍𝒐𝒈 b𝟔𝟕𝟒. 𝟔𝟐𝟓 + 𝟏c 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒏= = = 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓) 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟎𝟕𝟓) 𝒍𝒐𝒈(𝟎. 𝟔𝟕𝟒𝟔𝟐𝟓 + 𝟏) = 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟎𝟕𝟓)
𝒏=
𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟔𝟕𝟒𝟔𝟐𝟓) 𝟎. 𝟐𝟐𝟑𝟗𝟏𝟕𝟓𝟕 = = 𝟔𝟗 𝒑𝒂𝒈𝒐𝒔 𝒃𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟎𝟕𝟓) 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟐𝟒𝟓𝟎𝟓
Problema resuelto 23
Encuentre el monto de 20 pagos de $2 000 que se realizan al principio de cada bimestre por la química Rosa Suárez en la compra de una centrifugadora para su laboratorio. El tipo de interés es de 20% anual capitalizable bimestralmente. Solución Datos: R = $2 000 n = 20 bimestres T = 20% A.C. Bimestral i = 0.0333 bimestral
Incógnita M
(1 + 𝑖)% − 1 (1.0333)'( − 1 1.92543357 − 1 𝑀 = 𝑅$ + (1 + 𝑖)& = 2000 $ + (1.033) = 2000 0 5 (1.033) 𝑖 0.033 0.033
𝑀 = 2000 %
0.92543378 + (1.033) = 2000(28.0434)(1.033) = 2000(28.96888) = 57937.76 0.033
Problema resuelto 24
Encuentre el monto de ocho pagos que debe realizar el día uno de cada mes el carpintero Tomás Baroja, por la cantidad de $1 550 para adquirir herramienta para su carpintería. El tipo de interés contratado es de 24% anual capitalizable mensualmente. Solución Datos: R = $1 550 n = 8 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual
Incógnita M
(1 + 𝑖)! − 1 (1.02)+ − 1 1.1716594 − 1 𝑀 = 𝑅C F (1 + 𝑖)& = 1550 C F (1.02) = 1550 % + (1.02) 𝑖 0.02 0.02 0.1716594 𝑀 = 1550 % + (1.02) = 1550(8.582969)(1.02) = 1550(8.754628) = 13569.67 0.02
Problema resuelto 26
¿Cuál es el valor actual de 18 pagos trimestrales anticipados de $2 855, con un interés de 17.89% anual capitalizable trimestralmente? Solución Datos R = $2 855 n = 18 trimestres T = 17.89% A.C.T. i = 0.044725 trimestral
Incógnita A
1 − (1 + 𝑖),!-& 1 − (1.044725),&+-& F = 2855 C1 + F 𝑖 0.044725 1 − 0.4752982 = 2855 %1 + + 0.044725 0.524702 𝐴 = 2855 %1 + + = 2855(1 + 11.7317384 = 2855(12.7317384) = $36349.11 0.044725 𝐴 = 𝑅 C1 +
Problema resuelto 27
Encontrar el valor de contado de un teléfono celular, por el cual se realizaron 24 pagos mensuales anticipados de $499 con una tasa de interés de 23.6% convertible mensualmente. Solución Datos: R = $499 n = 24 meses T = 23.6% A.C.M. i = 0.019666 mensual
Incógnita A
1 − (1 + 𝑖),!-& 1 − (1.019666),#.-& F = 2855 C1 + F 𝑖 0.019666 1 − 0.6389508 = 2855 %1 + + 0.019666 0.361049 𝐴 = 2855 %1 + + = 2855(1 + 18.35905621) = 2855(19.35905621) = 55270.11 0.019666 𝐴 = 𝑅 C1 +
Problema resuelto 28
El chofer Francisco Méndez compró un camión a crédito de 40 asientos para transporte. Él tiene que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $17 650, con intereses de 14% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado del camión? Solución Datos: R = $17 650 n = 24 meses T = 14% A.C.M. i = 0.011666 mensual
Incógnita A
1 − (1 + 𝑖),!-& 1 − (1.01166),#.-& F = 17650 C1 + F 𝑖 0.011666 1 − 0.7659575 = 17650 %1 + + 0.011666
𝐴 = 𝑅 C1 +
0.2340425 3 = 17650(1 + 20.06193211) 0.011666 𝐴 = 17650(21.06193211) = $371743.10
𝐴 = 17650 01 +
5.1.2. Renta en anualidades anticipadas Para calcular el valor de la renta primero se tienen que analizar los datos del problema e identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Si se conoce el monto, deberá despejarse la renta de la ecuación 5.8, se obtiene la ecuación 5.11:
Problema resuelto 29
¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Aldama por la compra de un comedor para su casa, si él acuerda con la mueblería realizar sus pagos el día uno de cada mes? Cuando realizó su pago 12 acumuló $53 726 y la tasa de interés aplicada fue de 24% anual convertible mensualmente. Solución Datos: M = $53 726 n = 12 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual
Incógnita R
𝟓𝟑𝟕𝟐𝟔 𝟓𝟑𝟕𝟐𝟔 = 𝟏𝟐1𝟏 (𝟏 + (𝟏. 𝟎𝟐) (𝟏. 𝟎𝟐)𝟏𝟑 − 𝟏 −𝟏 −𝟏 − 𝟏3 − 𝟏3 − 𝟏3 0 0 0 𝒊 𝟎. 𝟎𝟐 𝟎. 𝟎𝟐 𝟓𝟑𝟕𝟐𝟔 𝟓𝟑𝟕𝟐𝟔 𝟓𝟑𝟕𝟐𝟔 𝟓𝟑𝟕𝟐𝟔 𝑹= = = = 𝟏. 𝟐𝟗𝟑𝟔 − 𝟏 𝟎. 𝟐𝟗𝟑𝟔 L 𝟎. 𝟎𝟐 − 𝟏O L 𝟎. 𝟎𝟐 − 𝟏O [𝟏𝟒. 𝟔𝟖𝟎𝟑𝟑𝟏 − 𝟏] 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟎𝟑𝟑𝟏 𝑹 = $𝟑𝟗𝟐𝟕. 𝟐𝟒 𝑹=
𝑴
𝒊)𝒏1𝟏
=
Problema resuelto 30
La diseñadora gráfica Estrella Uribe tiene que pagar $150 000 por un préstamo que solicitó para la compra de material de una maqueta que tiene que elaborar y vender, los préstamos personales que ofrece Banorte es a un plazo de tres años y la forma de pago es al principio de
cada mes. ¿Cuánto debe pagar mensualmente la diseñadora Uribe, si la tasa de interés aplicada es de 26% anual convertible mensualmente? Solución Datos: M = $150 000 n = 36 meses T = 26% A.C.M. i = 0.021666 mensual
150000 150000 = '-1% (1 + (1.021666) (1.021666)'/ − 1 −1 −1 0 − 13 0 − 13 0 − 13 i 0.021666 0.021666 150000 150000 150000 150000 𝑅= = = = 2.210196 − 1 1.210196 (55.859386 − 1) 54.859386 L 0.021666 − 1O L0.021666 − 1O R = $2734.26
R=
M
Incógnita R
i)?1%
=
Otra manera de conocer la renta es despejar la (R) de la ecuación del valor actual de anualidad anticipada, con lo que obtendremos su valor con base en el capital o valor actual.
Despejando (R) de la ecuación 5.10 se obtiene la ecuación 5.11:
Problema resuelto 31
El sociólogo Dimas Martínez desea regalarle a su hermana, el día de su boda, una batería de cocina de 11 piezas con un precio de $6 400.00 y también decide comprarle una olla de presión de aluminio de 6 litros con un precio de $1 499.00. ¿Cuánto debe pagar al inicio de cada mes durante 12 meses, si la tasa de interés es de 28% anual capitalizable mensualmente? Solución Datos: A = 6 400 + 1 499 = $7 899 n = 12 meses T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual
Incógnita R
A 7899 = 1 − (1 + i)+?1% 1 − (1.023333)+%&1% 01 + 3 01 + 3 i 0.02333 7899 = 1 − (1.023333)+%% 01 + 3 0.023333 7899 7899 7899 7899 𝑅= = = = 0.224087 1 − 0.775913 (1 + 9.603737) 10.603737 L1 + 0.023333 O L1 + 0.023333O 𝑅 = $744.92 R=
Problema resuelto 32
Una tienda departamental pone a la venta en el mes de diciembre motocicletas, con valor de $18 950 al contado o mediante 24 pagos mensuales anticipados. Si Margarita Rosas se decide a comprar la motocicleta a crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes, si el interés a pagar es de 23.5% anual capitalizable mensualmente? Solución Datos: A = $18 950 Incógnita R n = 24 meses T = 23.5% A.C.M. i = 0.019583 mensual A 18950 𝑅= = +?1% 1 − (1 + i) 1 − (1.019583)+&)1% 01 + 3 01 + 3 i 0.019583 18950 = 1 − (1.019583)+&' 01 + 3 0.019583 18950 18950 18950 𝑅= = = 1 − 0.64014339 0.35986566 [1 + 18.3759695] L1 + 0.019583 O L1 + 0.019583 O 18950 = 19.3759695 𝑅 = $978.02
Problema resuelto 34
La arqueóloga Itzayana Sotelo desea comprar un paquete de utensilios de cocina para campamento, el cual cuesta al contado $18 586, ella decide pagarlo en abonos con una tasa de interés de 22% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de $985 al principio de cada mes?
Solución Datos: A = $18 586 T = 22% A.C.M. i = 0.018333 mensual R = $985 𝒏 = 𝟏−e
Incógnita n
(𝟏𝟖𝟓𝟖𝟔)(𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑) + 𝟗𝟖𝟓. 𝟎𝟎 f 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑)
𝒍𝒐𝒈 %(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑) −
𝟑𝟒𝟎. 𝟕𝟒𝟑𝟑 𝒍𝒐𝒈 [(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑) − 𝟗𝟖𝟓. 𝟎𝟎 \ =𝟏−V Z 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑)
𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑 − 𝟎. 𝟑𝟒𝟓𝟗𝟑𝟐𝟑𝟐) 𝒍𝒐𝒈(𝟎. 𝟔𝟕𝟐𝟒𝟎𝟏) 𝒏=𝟏−$ +=𝟏−$ + 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑) 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑) −𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟑𝟕𝟏𝟔𝟔 𝒏 == 𝟏 − E F = 𝟏 − (−𝟐𝟏. 𝟖𝟒𝟕) = 𝟐𝟐. 𝟖𝟓𝒑𝒂𝒈𝒐𝒔 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟖𝟖𝟗𝟗𝟓𝟗𝟖 Problema resuelto 35
La tienda Benedetti vende de contado una bicicleta de montaña en $9 580 o mediante pagos mensuales anticipados de $995. El interés es de 22.64% anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar si se compra a crédito? Solución Datos: A = $9 580 T = 22.64% A.C.M. i = 0.018866 mensual R = $995
Incógnita n
(𝟗𝟓𝟖𝟎)(𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔) 𝒍𝒐𝒈 %(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔) − + 𝟗𝟗𝟓. 𝟎𝟎 𝒏=𝟏−e f 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔) 𝟏𝟖𝟎. 𝟕𝟒 𝒍𝒐𝒈 [(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔) − 𝟗𝟗𝟓. 𝟎𝟎\ =𝟏−V Z 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔) 𝒍𝒐𝒈 [𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔 − 𝟎. 𝟏𝟖𝟏𝟔𝟓𝟎𝟗] 𝒍𝒐𝒈(𝟎. 𝟖𝟑𝟕𝟐𝟏𝟓𝟕𝟒𝟓) 𝒏=𝟏−C F=𝟏−C F 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔) 𝒍𝒐𝒈(𝟏. 𝟎𝟏𝟖𝟖𝟔𝟔) −𝟎. 𝟎𝟕𝟕𝟏𝟔𝟐𝟔 𝒏=𝟏−M N = 𝟏 − (−𝟗. 𝟓𝟎𝟓𝟖𝟖) = 𝟏𝟎. 𝟓𝟏𝒑𝒂𝒈𝒐𝒔 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟏𝟏𝟕𝟑𝟓
Problema resuelto 38
Encontrar el pago que debe realizar la astrónoma Silvia Torres por la compra de un telescopio electrónico portátil el día de hoy. Acuerda con su acreedor que después de cuatro meses realiza 12 pagos al final de cada mes de $50 950 con un interés de 23% anual convertible mensualmente.
Solución Datos: R = $50 950 T = 23% A.C.M. i = 0.0191666 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 4 meses
Incógnita M
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes). (1 + 𝑖). − 1 (1.0191666)%& − 1 1.25586377 − 1 + = 50950 $ + = 50950 0 3 𝑖 0.0191666 0.0191666 0.25586377 𝑀 = 50950 0 3 = 50950(13.34941409 0.0191666 𝑀 = $680152.65 𝑀 = 𝑅$
Problema 39
¿Cuál es el monto de una renta semestral de $20 000 durante ocho años, si el primer pago vencido semestral se realiza dentro de tres años y el interés es de 18% capitalizable semestralmente? Solución Datos: Primer pago = después de 3 años m = periodo de gracia 6 meses n = 16 semestres R = $20 000 T = 18% A.C.S. i = 0.09 semestral
Incógnita M
Figura 5.17 Anualidad diferida tres años y medio, plazo ocho años y renta de $20 000 cada mes.
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada semestre). (1 + 𝑖). − 1 (1.09)%- − 1 3.97030588 − 1 𝑀 = 𝑅$ + = 20000 $ + = 20000 0 3 𝑖 0.09 0.09 2.97030588 𝑀 = 20000 0 3 = 20000(33.00339868) 0.09 𝑀 = $660067.97
5.1.3. Valor presente en anualidades diferidas En el cálculo del valor presente de una anualidad diferida los intereses generados dentro del periodo de gracia se capitalizan.
Figura 5.18 Anualidad diferida valor actual. Donde m es igual al periodo de gracia y n el periodo pactado para la inversión o transacción comercial.
Problema resuelto 40
El dueño de una vulcanizadora compra una compresora industrial con un pago inicial de $6 000 y ocho mensualidades de $3 800 cada una, pagando la primera mensualidad después de cuatro meses de la compra; además, le cobran 20% de interés anual capitalizable mensualmente. Encontrar el precio del equipo. Solución Datos: Pago inicial = $6 000 Incógnita A Primer pago después de 4 meses = $3 800 m = periodo de gracia = 3 meses n = 8 meses R = $3 800 T = 20% A.C.M. i = 0.01666 mensual
Figura 5.19 Anualidad diferida valor actual para ocho pagos mensuales de $3 800
Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes). 1 − (1 + 𝑖)+. 𝐴 = 𝑅$ + (1 + 𝑖)+@ 𝑖 1 − (1 + 0.016666)+* = 3800 $ + (1 + 0.0166666)+' 0.016666 1 − 0.87613559 0.1238644 𝐴 = 3800 0 3 (1.016666)+' = 3800 E F (1.0166666)+' 0.016666 0.016666 𝐴 = 3800(7.4318645)(0.9516215) = $26874.82 Precio = A + Pago inicial Precio = 26 874.82 + 6 000 Precio = $32 874.82
Problema resuelto 41
El director de una secundaria particular compra mobiliario para un salón de clases a crédito, en el mes de mayo, y acepta pagarlo mediante 12 mensualidades de $2 800 con una tasa de interés de 26% anual convertible mensualmente. El primer pago lo realizará a finales del mes de agosto del mismo año. ¿Cuál es el valor de contado? Solución Datos: Primer pago = finales de agosto m = periodo de gracia 2 meses n = 12 meses R = $2 800 T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual
Incógnita A
Figura 5.20 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $2 800.
Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes). 1 − (1 + 𝑖)+. + (1 + 𝑖)+@ 𝑖 1 − (1 + 0.021666)+%& = 2800 $ + (1 + 0.021666)+' 0.021666 1 − 0.77319549 0.2268045 𝐴 = 2800 0 3 (1.021666)+' = 2800 E F (1.021666)+' 0.021666 0.021666 𝐴 = 2800(10.4679)(0.9377199) = $25772.94 𝐴 = 𝑅$
Problema resuelto 42
¿Cuál es el valor presente de una renta semestral vencida de $8 000 durante 10 años, si el primer pago semestral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de 18% capitalizable semestralmente? Solución Datos: Primer pago = Después de 3 años y medio m = periodo de gracia 6 semestres n = 20 semestres R = $8 000 T = 18% A.C.S. i = 0.09 semestra
Incógnita A
Figura 5.21 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $8 000. 1 − (1 + 𝑖)+. 1 − (1 + 0.09)+&( +@ (1 𝐴 = 𝑅$ + + 𝑖) = 8000 $ + (1 + 0.09)+- 𝑖 0.09
1 − 0.17843089 0.8215691 3 (1 + 0.09)+- = 8000 E F (1.09)+- 0.09 0.09 𝐴 = 8000(9.1285567)(0.59626733) = $43544.43 𝐴 = 8000 0
Problema resuelto 43
Determina el valor presente por la compra de una pantalla plana el día de hoy, si después de dos meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $680 con un interés de 28% anual convertible mensualmente. Solución Datos: R = $680 Incógnita M T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 2 meses
Figura 5.22 Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $680.
Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (al inicio de cada mes). 1 − (1 + 𝑖),!-& F (1 + 𝑖),/ 𝑖 1 − (1 + 0.023333),&#-& = 680 C1 + F (1 + 0.023333),& 0.023333 1 − (1 + 0.023333),&& 𝐴 = 680 C1 + F (1.023333),& 0.023333 1 − 0.775910 = 680 M1 + N (1.023333),& 0.023333 0.224084238 𝐴 = 680 %1 + + (1.023333),& = 680(1 + 9.60383245)(0.977199 0.02333 𝐴 = 𝑅 C1 +
𝐴 = 680(10.60383245)(0.977199) = $7046.20 Problema resuelto 45
El señor Darío Velásquez compra una cocina integral que tiene un precio de contado de $47 550, pero él decide realizar seis pagos mensuales, el primero debe realizarse cinco meses después de la compra y el interés es de 1.5% mensual. ¿De cuánto serán las mensualidades a pagar?
Solución Datos: A = $47 550 Incógnita R m = periodo de gracia = 4 meses n = 6 meses T = 1.5% mensual i = 0.015 mensual
Figura 5.24. Anualidad diferida valor actual para nueve pagos mensuales. 𝐴(1 + 𝑖)@ 47550(1 + 0.015)) 47550(1.06136355) = = +. +6 1 − (1 + 𝑖 ) 1 − (1 + 0.015) 1 − (1.015)+6 𝑖 0.015 0.015 1094987.61 1094987.61 1094987.61 𝑅= = = 1 − 0.87459224 0.125407759 3.135193995 0.04 0.04 𝑅 = $349256.73 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑅=
Problema resuelto 46
El dueño del restaurante de mariscos Al Estilo Nayarita deposita el día de hoy $100 000 en una cuenta de inversiones que paga 12% anual capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimestres comenzará a realizar retiros bimestrales vencidos hasta completar 24. ¿De qué cantidad serán estos retiros? Solución Datos: A = $100 000 m = periodo de gracia = 7 bimestres n = 24 bimestres T = 12% A.C.B. i = 0.02 bimestral
Incógnita R
Figura 5.25 Anualidad diferida valor actual para 24 retiros bimestrales.
𝐴(1 + 𝑖)@ 100000(1 + 0.02)/ 100000(1.14868567) = = +. +&) 1 − (1 + 𝑖 ) 1 − (1 + 0.02) 1 − (1.02)+&) 𝑖 0.02 0.02 114868.57 114868.57 114868.57 𝑅= = = 1 − 0.621721488 0.3782785121 18.9139256 0.02 0.02 𝑅 = $6073.23 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑅=
Problema resuelto 48
Claudia Salazar contrae una deuda por $78 585 por la compra de equipo fotográfico, el que comenzará a pagar dentro de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de $2 900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos debe realizar para saldar su deuda? Solución Datos: A = $78 585 R = $2 900 m = periodo de gracia = 5 meses T = 26% A.C.M. i = 0.021666 mensual
Incógnita n
Figura 5.27 Anualidad diferida, valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $2 900.
log 0 n=
2900 R 3 3 log 0 A R − [A(1 + i) ](i) 2900 − [78585(1.0216666), ](0.0216666) = log(1 + i) log(1.0216666)
2900 2900 log 0 5 log 0 5 2900 − [78585(1.11312697)](0.0216666) 2900 − (87475.08)(0.0216666) n= = log(1.02) log(1.02)
2900 2900 O log L O log [2.8862614] 0.46032853 2900 − 1895.29 1004.71 n= = = = log(1.021666) log(1.021666) log(1.021666) 0.00930894 n = 49.46 log L
Como n = 49.45 pagos, deberá pagar 49 pagos de $2 900 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación: (1.021666).1 − 1 X = C78585(1.021666)0. − 29000 m nF (1.021666) 0.021666 2.85849934 − 1 X = %78585(3.1818727) − 2900 M N+ (1.021666) 0.021666
1.85849934 F3 (1.021666) 0.021666 X = [250048.47 − 2900(85.779532)](1.021666) X = (250047.47 − 248760.64)(1.021666) = (1286.83)(1.021666) = $1314.71 X = 0250047.47 − 2900 E
También se pueden realizar 48 pagos de $2 900, más otro de mayor cantidad: (1.021666).+ − 1 𝑋 = C78585(1.021666)0$ − 2900 m nF (1.021666) 0.021666 2.7978805 − 1 𝑋 = %78585(3.1143962) − 2900 M N+ (1.021666) 0.021666
1.7978805 𝑋 = 0244744.83 − 2900 E F3 (1.021666) 0.021666 𝑋 = [244744.83 − 2900(82.98165159)](1.021666) 𝑋 = (244744.83 − 240646.79)(1.021666) = (4098.04)(1.021666) = $4186.83 Problema resuelto 50
Raquel compra un calentador solar para su casa a plazos. Ella acuerda con la ferretería realizar 12 pagos mensuales de $1 030. ¿Cuál es la tasa anual efectiva, si el precio de contado del calentador solar es de $10 300? Solución Datos: A = $10 300 R = $1 030 n = 12 meses 1.
Incógnita i
𝐴 1 − (1 + 𝐼)+. = 𝑅 𝑖 $10300.00 1 − (1 + 𝑖)+. = $1030.00 𝑖 1 − (1 + 𝑖)+. 10 = 𝑖
2. Si i = 0.03 entonces: 1 − (1 + 0.03)+%& 10 = 0.03 1 − (1.03)+%& 10 = 0.03 1 − 0.701379 10 = 0.03 0.29862 10 = 0.03 10 = 9.954 Si i = 0.028 entonces:
1 − (1 + 0.028)+%& 0.028 1 − (1.028)+%& 10 = 0.028 1 − 0.71793 10 = 0.028 0.282069 10 = 0.028 10 = 10.073897 10 =
3.
Figura 5.29 Interpolación cálculo de la tasa de interés.Con base en la figura 5.29 se realizan los siguientes cálculos: La proporción queda de la siguiente forma: 𝑑% 𝑑& = 𝑑 𝑑B 10.073897 − 9.954 0.028 − 𝑖 = 10.073897 − 9.954 0.028 − 0.03 0.073897 0.028 − 𝑖 = 0.119898 −0.002 0.028 − 𝑖 0.6163374 = −0.002 0.028 − 𝑖 = 0.6163374(−0.002) 0.028 − 𝑖 = 0.001232675 𝑖 = 0.0292327 𝑖 = 2.92% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 La tasa efectiva anual es: 𝑒 = (1 + 𝑖). 𝑒 = (1.02923)%& − 1 𝑒 = 1.413023 − 1 𝑒 = 0.413023 𝑒 = 41.3023% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
Problema resuelto 51
Jacinto realizó 20 depósitos trimestrales de $19 000.00 en el Banco del Atlántico, para juntar la cantidad de $400 000.00. ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente?
Solución Datos: M = $400 000.00 R = $19 000.00 n = 20 trimestres 1.
Incógnita i
𝑴 (𝟏 + 𝒊)𝒏 = 𝑹 𝒊 $𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 = $𝟏𝟗𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎 𝒊 𝒏 (𝟏 + 𝒊) − 𝟏 𝟐𝟏. 𝟎𝟓𝟐𝟔 = 𝒊
2. Si i = 0.005 entonces: (1 + 0.005)&( − 1 0.005 (1.005)&( − 1 21.0526 = 0.005 1.104895 − 1 21.0526 = 0.005 0.1048955 21.0526 = 0.005 21.0526 = 20.9791 21.0526 =
Si i=0.0055 entonces: (1 + 0.0055)&( − 1 0.055 (1.0055)&( − 1 21.0526 = 0.055 1.115942 − 1 21.0526 = 0.0055 21.0526 = 21.0803 21.0526 =
3.
Figura 5.30 Interpolación cálculo de la tasa de interés. Con base en la figura 5.30 se realizan los siguientes cálculos: La proporción queda de la siguiente forma: 𝑑% 𝑑& = 𝑑 𝑑B 21.0526 − 20.9791 𝑖 − 0.005 = 21.0803 − 20.9791 0.0055 − 0.005 0.07353 𝑖 − 0.005 = 0.1012 0.0005
𝑖 − 0.005 −0.0005 𝑖 − 0.005 = 0.72658(0.0005) 𝑖 − 0.005 = 0.000363 𝑖 = 0.000363 + 0.005 𝑖 = 0.00536329 𝑖 = 0.53633% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 0.72658 =
Comprobación (1 + 0.0053633)&( − 1 (1.0053633)&( − 1 1.1129113 − 1 = = 0.0053633 0.0053633 0.0053633 0.1129113 = 21.05258 0.0053633 El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecuación 5.18. 21.0526 = 21.05258 La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00002 debido a las fracciones decimales en los cálculos. Problema resuelto 53
¿A qué tasa de interés anual de 15 pagos anuales anticipados de $1 800 acumulan un valor futuro de $481 831.24? Solución La solución de la tasa de anualidad anticipada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.8, los cálculos se realizarán con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.
Cuadro 5.9 Cálculo de la tasa de interés en anualidades anticipadas (monto)
𝒅𝟏 𝒅𝟑 = 𝒅𝒕 𝒅𝑻 𝒊 − 𝟎. 𝟑𝟐𝟐𝟏𝟓 𝟐𝟔𝟖. 𝟔𝟖𝟒𝟎𝟐𝟐 − 𝟐𝟔𝟖. 𝟓𝟔𝟏𝟕𝟒𝟗 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟐𝟐𝟓 − 𝟎. 𝟑𝟐𝟐𝟏𝟓 𝟐𝟔𝟖. 𝟖𝟎𝟔𝟑𝟓𝟏 − 𝟐𝟔𝟖. 𝟓𝟔𝟏𝟕𝟒𝟗 𝒊 − 𝟎. 𝟑𝟐𝟐𝟏𝟓 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟐𝟕𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟎. 𝟐𝟒𝟒𝟔𝟎𝟐 𝒊 − 𝟎. 𝟑𝟐𝟐𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟗𝟖𝟖𝟔(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝒊 − 𝟎. 𝟑𝟐𝟐𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗𝟗𝟗 𝒊 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟐𝟏𝟗 𝒊 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟏% 𝒃𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 Problema resuelto 55
Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre, si el interés es de 24% anual capitalizable trimestralmente. Solución Datos: R = $150 T = 24% A.C. Trimestral n = 4 bimestres
Incógnita M
a) En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses es cada tres meses, entonces, el periodo de pago es menor que el de capitalización. Para dar solución a este problema, a la anualidad general primero se le calcula la tasa de interés equivalente.
Figura 5.32 Anualidad general. Calcular la tasa de interés equivalente: -
𝑖´ 0.24 ) „1 + … = E1 + F 6 4 -
𝑖´ „1 + … = (1 + 0.06)) 6 ´ 𝑖 ) 1 + = †(1.06)) 6 ) 𝑖 ´ = 6 L †(1.06)) − 1O 𝑖 ´ = 0.23766 𝑖 ´ = 23.766% 𝐴. 𝐶. 𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 b) Al encontrar la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple. c)
.
‰1 + 𝑖 ´ Š − 1 𝑀 = 𝑅ˆ ‹ 𝑖´ (1 + 0.03961)) − 1 𝑀 = $150 $ + 0.03961 𝑀 = $636.60 d) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de tres meses. (1 + 𝑡)F − 1 ´ 𝑅 = 𝑅$ + 𝑡 (1 + 0.03961)(., − 1 𝑅´ = 150 $ + 0.03961 𝑅´ = $630.60 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑖 𝑅´ = 𝑅% 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: (1 + 0.06)&)/6 − 1 𝑀 = $227.21 $ + 0.06 𝑀 = $636.60
Problema resuelto 56
Encontrar el monto de 10 depósitos mensuales de $550, si el interés es de 23% anual capitalizable semestralmente. Solución Datos: R = $550 n = 10 depósitos mensuales T = 23% A.C. Semestral i = 11.5% efectivo semestral
Incógnita M
a) Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 11.5% también efectivo semestral.
Figura 5.33 Anualidad general. %&
𝑖´ „1 + … 12
0.23 & = E1 + F 2
%&
𝑖´ „1 + … 12 "#
Ž1 +
𝑖´ 𝑖´ 𝑖´ 𝑖´ 𝑖´
= (1 + 0.115)&
𝑖´ "# = √1.243225 12
= 12(1.018308 − 1) = 12(0.018308) = 0.219695 = 21.97% 𝐴. 𝐶. 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 1.83% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
b) Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple. (1 + 𝑖). − 1 (1 + 0.01830833)%( − 1 0.19892762 𝑀 = 𝑅$ + = 550 $ + = 550 0 3 ´ 𝑖 0.01830833 0.01830833 𝑀 = 550(10.865416) = 5975.98 c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de seis meses.
.
‰1 + 𝑖 ´ Š − 1 𝑀=𝑅 ˆ ‹ 𝑖´ ´
Despejar 𝑅´ de la ecuación anterior y se obtiene: (1 + 0.01830833)- − 1 0.11500234 + = 550 0 3 0.01830833 0.01830833 𝑅´ = 550(6.22814216) = 3454.78 (1 + 0.115)%(/- − 1 0.1989234 𝑀 = 3454.78 $ + = 3454.78 0 3 0.115 0.115 𝑀 = 3454.78(1.72977) = 5975.97 𝑅´ = 550 $
Problema resuelto 57
Encontrar el monto de nueve depósitos mensuales de $1 000 que realiza un alumno de la universidad para comprarse una computadora, si el interés es de 2% capitalizable semestralmente. Solución Datos: Depósitos mensuales n = 9 R = $1 000 T = 2% A.C.S. i = 0.02/2 = 0.01 semestral a) De los datos del problema y como se muestra en la gráfica, se deduce que el periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago:
Figura 5.34 Anualidad general. Determinar la tasa de interés equivalente. Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 1% efectivo semestral. -
𝑖´ 0.02 % „1 + … = E1 + F 6 2 )
Ž1 +
𝑖´ 𝑖´ 𝑖´ 𝑖´
𝑖´ ) = √1.01 6
= 6(1.0016598 − 1) = 6(0.0016598) = 0.00996 = 0.996% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
b) Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple. . (1 + 0.00996)%( − 1 ‰1 + 𝑖 ´ Š − 1 1.104185 − 1 𝑀 = 𝑅ˆ ‹ = 1000 $ + = 1000 0 3 𝑖´ 0.00996 0.00996 0.104185 𝑀 = 1000 0 3 = 1000(10.460314) = 10460.31 0.00996 c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de capitalización de seis meses. d) 𝑀 = 𝑅´ 0
+
H%1< ´ I <´
3
Despejar R ′ de la ecuación anterior se obtiene: (1 + 0.00996)- − 1 1.061268 − 1 0.061268 𝑅´ = 1000 $ + = 1000 0 3 = 1000 0 3 0.00996 0.00996 0.00996 𝑅´ = 1000(6.151406) = 6151.41 (1 + 0.001)%(/- − 1 (1.001)%.-----/ − 1 𝑀 = 6151.41 $ + = 6151.41 $ + 0.01 0.01 0.001667 𝑀 = 6151.41 0 3 = 6151.41(1.667) = 10254.40 0.01 Problema resuelto 59
¿Cuál es el monto y el valor presente de un conjunto de 18 pagos bimestrales de $10 600 si el interés es de 3% trimestral efectivo? Solución Encontrar la tasa efectiva bimestral equivalente a la efectiva trimestral: (1 + 𝐼)'/& = (1 + 0.03) 𝑖 ´ = (1.03)&/' − 1 𝑖 ´ = 1.0199013 − 1 𝑖 ´ = 0.019903 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑀 = 10600 $
(1 + 0.0199013)%* − 1 (1.0199013)%* − 1 + = 10600 $ + 0.0199013 0.0199013
1.42576 − 1 0.42576 𝑀 = 10600 % + = 10600 % + = 10600(21.393609) = 226772.25 0.0199013 0.0199013
El valor presente es: 𝐶 = 226772.25(1.0199013)+%* = 226772.25(0.70138) 𝐶 = $159053.52
Problema resuelto 61
La banda Del Recodo debe pagar un préstamo para la compra de un autobús, el costo de contado es de $1 950 000 y lo debe liquidar con pagos mensuales de $134 400 comenzando un mes después de la
autorización del crédito, el interés es de 15% efectivo anual. ¿Cuántos pagos completos debe hacer? Solución La tasa mensual equivalente a 15% efectivo anual: %&
𝑖´ „1 + … = (1 + 0.15) 12 𝑖´ "# „1 + … = √1.15 12 𝑖´ 1+ = 1.01171492 12 𝑖 ´ = 12(0.01171492) 𝑖 ´ = 0.0140579 𝐴. 𝐶. 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 ´ = 0.0140579/12 = 0.011715 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 De la expresión de valor actual de la anualidad vencida se despeja n: ´ +.
𝐴 = 𝑅ˆ
𝑛=
1 − ‰1 + 𝑖 Š 𝑖´
1 “ 𝐴𝑖 ´ 1− 𝑅 ‹ ∴ 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔 (1 + 𝑖 ´ ) 𝑙𝑜𝑔 ’
1 𝑙𝑜𝑔 ’ “ 1950000(0.011715) 1− 140000
1 22844.24“ 1 − 134400 0.005058189
𝑙𝑜𝑔 ’
= 𝑙𝑜𝑔 (1 + 0.011715 1 1 𝑙𝑜𝑔 M1 − 0.16317N 𝑙𝑜𝑔 M0.8300279N 𝑛= = 0.005058189 0.005058189 𝑙𝑜𝑔(1.1949858) 0.077362759 𝑛= = = 15.29 0.005058189 0.005058189
Tiene que realizar 15 pagos completos y un pago 16 de una cantidad menor.
Problema resuelto 63
La costurera María Pérez desea ahorrar $35 000 en los próximos tres años para comprar una máquina de tejido. Ella puede realizar depósitos semanales en una cuenta que paga 3.6% capitalizable mensualmente, ¿qué cantidad de dinero tiene que depositar María cada semana? Solución Se calcula la mensualmente
tasa
semanal ,&
equivalente
𝑖´ 0.036 %& „1 + … = E1 + F 52 12 𝑖´ ,# 1+ = †(1.003)%& 52
a
3.6%
capitalizable
1+
𝑖´ ,# = √1.0366 52
𝑖´ = 1.0006915 − 1 52 𝑖 ´ = 52(0.0006915) 𝑖 ´ = 0.03596 𝐴. 𝐶. 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 ´ = 0.3596/52 = 0.0006916 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 Despejando R
.
‰1 + 𝑖 ´ Š − 1 𝑀 𝑀 = 𝑅ˆ ‹ ∴ 𝑅 = (1 + 𝑖 ´ ). − 1 𝑖´ 0 3 𝑖´ 𝑀 35000 35000 𝑅= = = %,1.11386586 − 1 (1.0006915) − 1 (1 + 𝑖 ´ ). − 1 3 L 0.0006915 O 0 3 0 0.0006915 𝑖´ 35000 35000 𝑅= = = $212.55 0.11386586 L 0.0006915 O 164.665 Problema resuelto 64
Un nuevo plan de ventas de la mueblería Delher para un paquete de comedor, sala, recámara, cocina y refrigerador con valor de $97 325. El plan consiste en dar 25% de enganche del precio de contado, 36 pagos mensuales y la tasa de interés de 2.26% efectivo trimestral, ¿de cuánto es cada pago mensual? Solución La tasa mensual es: (1 + 𝑖)' = 1.0226 𝑖 ´ = √1.0226 − 1 = 0.0074773 El valor actual del adeudo Saldo = Precio - enganche = 97 325 - 0.25 (97 325) = 97 325 - 24 331.25 = $72 993.75 +.
1 − ‰1 + 𝑖 ´ Š 𝐴 = 𝑅ˆ 𝑖´
𝐴 (1 1 − + 𝑖 ´ )+. 0 3 𝑖´ 72993.75 72993.75 72993.75 𝑅= = = +'1 − 0.764769 0.235231 1 − (1 + 0.0074773) L O L O 0 3 0.0074773 0.0074773 0.0074773 72993.75 𝑅= = $2320.26 31.459288 ‹ ∴ 𝑅 =
Problema resuelto 66
Encontrar el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $5 500 si el interés es de 24% capitalizable trimestralmente.
Solución Encontrar la tasa efectiva semestral: &
𝑖´ 0.24 ) „1 + … = E1 + F 2 4 &
𝑖´ „1 + … = (1 + 0.06)) 2 𝑖´ # 1 + = †(1.262477) 2 𝑖 ´ = 2(1.1236 − 1) 𝑖 ´ = 2(0.1236) 𝑖 ´ = 0.2472 𝐴. 𝐶. 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑖 ´ = 0.1236 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 El valor actual de la anualidad anticipada: 1 − ‰1 + 𝑖 ´ Š 𝐴 = 𝑅ˆ 𝑖´
+.1%
1 − (1 + 0.1236)+&,1% + 1‹ = 5500 $ + 1+ 0.1236
1 − (1.1236)+&) 1 − 0.0609984 + 1+ = 5500 0 + 13 0.1236 0.1236 0.939 𝐴 = 5500 0 + 13 = 5500(8.5971) + 5500 = 47284.05 0.1236 𝐴 = 5500 $
Problema resuelto 68
Al día siguiente de su titulación, José Manuel deposita en su cuenta de inversión $30 000, la cual produce 4.5% capitalizable mensualmente. Él piensa realizar retiros trimestrales de $1 800 dentro de cuatro años, ¿cuántos retiros completos de $1 800 realizará? Solución Tasa equivalente: )
𝑖´ 0.045 %& „1 + … = E1 + F 4 12 )
𝑖´ „1 + … = (1 + 0.00375)%& 4 ´ 𝑖 . 1 + = †(1.0459398) 4 𝑖 ´ = 4(1.011292234 − 1) 𝑖 ´ = 4(0.011292234) 𝑖 ´ = 0.04517 𝐴. 𝐶. 𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑖 ´ = 0.0112925 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑥 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜 = 16 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 El valor del depósito antes de cumplir los cuatro años: 30000(1.0112925)%, = 30000(1.183450569) = 35503.64 Anualidad simple:
𝐴𝑖 ´ 𝑙𝑜𝑔 − E1 1 − ‰1 + 𝑖 Š 𝑅F 𝐴 = 𝑅ˆ ‹ ∴ 𝑛 = − 𝑖´ 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖 ´ ) 35503.64(0.0112925) 400.925 𝑙𝑜𝑔 E1 − F 𝑙𝑜𝑔 M1 − 1800 N 1800 𝑛=− =− 𝑙𝑜𝑔(1 + 0.0112925) 0.0048768 𝑙𝑜𝑔(1 − 0.222736) 𝑙𝑜𝑔(0.777264) 𝑛=− =− 0.0048768 0.0048768 0.1094315 𝑛= = 22.43 0.0048768 ´ +.
Él realiza 22 retiros completos de 1 800 pesos. Problema resuelto 70
La familia Rosales va a impermeabilizar el techo de su casa, lo cual costará $15 400; ellos también tienen la alternativa de poner piso anti derrapante plastificado, que también hace la función de impermeabilizar. Ellos saben que este gasto lo tienen que realizar cada cinco años (por siempre), se sabe que el impermeabilizante aumentará 2% anual (por siempre), ¿cuánto deben estar dispuestos a pagar los integrantes de la familia por el piso anti derrapante plastificado?, ellos pueden ganar 8% anual con su dinero. Solución 𝑨 = 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎(𝟏. 𝟎𝟐)𝟓 (𝟏. 𝟎𝟖),𝟓 + 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎(𝟏. 𝟎𝟐)𝟏𝟎 (𝟏. 𝟎𝟖),𝟏𝟎 + 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎(𝟏. 𝟎𝟐)𝟏𝟓 (𝟏. 𝟎𝟖),𝟏𝟓 +..
La progresión geométrica en general: 𝑡% , 𝑡% 𝑟, 𝑡% 𝑟 & , 𝑡% 𝑟 ' , ⋯ entonces la suma de los n primeros términos se escribe en la forma: 1 − 𝑟. … 1−𝑟 1 − 𝑟. 𝑡% 𝑡% 𝑟 . 𝑆. = 𝑡% „ …= − 1−𝑟 1−𝑟 1−𝑟 𝑆. = 𝑡% „
Cuando -1 < r < 1 y si n aumenta sin límite entonces el término 𝑟 . tiende a cero y 𝑆. tiende a 𝑡% /(1 - r). La suma de la progresión geométrica infinita se expresa de la siguiente forma: 𝑡% 𝑆= 1−𝑟 Como: 0 < 𝑟 = (1.02), (1.08)+, < 1 El valor descontado se calcula de la siguiente forma: 𝑡% 15400 15400 𝐴= = = , +, 1 − 𝑟 1 − (1.02) (1.08) 1 − (1.04080803)(0.680583197)
15400 15400 = = $61951.60 1 − 0.751418842 0.2485811573 La familia Rosales debe estar dispuesta a pagar hasta $61 951.60 por el piso anti derrapante. 𝐴=
Problema resuelto 71
Calcular el valor descontado de una perpetuidad creciente. La serie de pagos que se realizan son de $30 000 al final de año, iniciando el primer pago el 31 de diciembre de 2014 y se incrementan en $4 000 por siempre cada año, siendo el interés de 4.6%. 𝐴 = 30000(1.046)+% + 34000(1.046)+& + 38000(1.046)+' (1) Multiplicando por (1 + i) = 1.046, se obtiene: 1.046𝐴 = 30000 + 34000(1.046)+% + 38000(1.046)+&
(2)
Restando la ecuación (1) de (2):
𝑡% = (1.046)+% 𝑟 = (1.046)+% Suma de una progresión geométrica infinita: (1 + 𝑖)+% , (1 + 𝑖)+& , (1 + 𝑖)+' , (1 + 𝑖)+) , (1 + 𝑖)+, , ⋯ Donde i > 0, para este caso 𝑡% = (1 + 𝑖)+% y 𝑟 = (1 + 𝑖)+% , (-1 < r < 1). (1 + 𝑖)+% (1 + 𝑖)+% 1+𝑖 1 1 𝑆= = 0 3= = +% +% (1 + 𝑖 ) − 1 𝑖 1 − (1 + 𝑖 ) 1 − (1 + 𝑖 ) 1+1 Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene: (1.046)+% 1.046 (1.046)+% + (1.046)+%& + (1.046)+' + ⋯ = $ +0 3 +% 1 − (1.046) 1.046 1 1 = = 21.74 1.046 − 1 0.046 Sustituyendo en la ecuación (3): 0.046𝐴 = 30000 + 4000(21.74) = 30000 + 86960 = 116960 116960 𝐴= = $2542608.70 0.046 Problema resuelto 73
¿Cuál es el pago mensual de una perpetuidad de $675 000, suponiendo una tasa de interés 0.85% mensual?
Solución Datos: C = $675 000 Incógnita R T = 0.85% mensual 𝑹 = 𝑪𝒊 = (𝟔𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎)(𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟓) = 𝟓𝟕𝟑𝟕. 𝟓𝟎 Problema resuelto 74
El empresario Ángel Licona establece que parte de sus bienes serán invertidos de tal forma que los intereses generados se paguen al Instituto Nacional de Cancerología mediante una renta perpetua de $450 500, al inicio de cada semestre. ¿Cuál es el valor presente de este legado, suponiendo que se encuentra invertido a 7.5% interés semestral? Solución Datos: R = $450 500 T = 7.5% semestral i = 0.0375 R = Ci
Incógnita R
∴ 𝑪 =
𝑹 𝟒𝟓𝟎𝟓𝟎𝟎 = = $𝟏𝟐𝟎𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟑𝟑 𝒊 𝟎. 𝟎𝟑𝟕𝟓
Problema resuelto 75
El señor Matías González compra un local en una plaza comercial al sur de la ciudad el valor del inmueble es de $1 960 000, el señor González el día 14 de abril entrega la cantidad de $160 000 de apartado y el enganche es de 25% del valor del inmueble, este se cubrirá con seis pagos quincenales a una tasa de 10.5% efectiva. El señor González solicita un crédito hipotecario a Banorte por 75% del valor del local, para ello realizará 120 pagos mensuales a una tasa nominal de 9.2%. Solución Valor de apartado $160 000 𝐶% = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 − 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 = 1960 − 160000 = $1800000 El enganche 25% del valor del local: 𝐶& = 0.25(𝐶% ) = 0.25(1960000) = 490000 Se tiene ahora que calcular la tasa de interés capitalizable por quincena equivalente a 10.5%. Un año = 24 quincenas &)
𝑖´ „1 + … 24
= (1 + 0.105)
𝑖´ #. = √1.105 24 𝑖 ´ = 24(1.0041689 − 1) 𝑖 ´ = 24(0.0041689) 𝑖 ´ = 0.100053312 1+
Se tiene dos anualidades: 1. De seis rentas vencidas quincenales. 2. Con 120 pagos mensuales. 3. 1 − (1 + 𝑖)+. + 𝑖 1 − (1 + 0.100053312)+490000 = 𝑅´ $ + 0.100053312 1 − 0.564309813 490000 = 𝑅´ 0 3 0.100053312 0.435690187 490000 = 𝑅´ 0 3 0.100053312 490000 = 𝑅´ (4.35580356) 490000 𝑅´ = = $112525.19 4.354580356 𝐶 = 𝑅´ $
La segunda anualidad diferida tres periodos mensuales, y está constituida de 120 mensualidades y una tasa nominal de 9.2%. El valor presente de la segunda anualidad es igual al valor futuro de 75% del precio del local comercial. 0.75(1960000) = 1470000 − 160000 = 1310000 𝑀 = 1310000(1 + 0.092/12)' 𝑀 = 1310000(1 + 0.0076666)' 𝑀 = 1310000(1.023176784) 𝑀 = $1340361.59 Ya conociendo el valor presente del local se calcula el valor de la renta. 1 − (1 + 𝑖)+. + 𝑖 1 − (1 + 0.076666)+%&( ´ 1340361.59 = 𝑅 $ + 0.076666 0.99985866 1340361.59 = 𝑅´ E F 0.076666 1340361.59 = 𝑅´ (13.0417481) 1340361.59 𝑅´ = = $134126.56 13.0417481 𝐶 = 𝑅´ $
Problema resuelto 76
Este problema está basado en un hecho real. Roberto Mendoza, estudiante de una universidad pública, a solicitud de su profesor Jesús Rodríguez, realizó una investigación para saber cuánto dinero tendría que gastar para su titulación y fiesta de graduación dentro de cuatro años. Roberto Mendoza piensa depositar en su cuenta de inversión inmediata $50.00 a principio de cada mes. Se estima que el banco pagará en promedio una tasa de 12% anual convertible mensualmente. ¿Cuánto podría ahorrar dentro de cuatro años?
Solución Datos: R = $50 T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n = 4 años
Incógnita M
a) Con los depósitos de $50 obtendría: (1 + 𝑖).1% − 1 (1.01))*1% − 1 0.628348 − 1+ = 50 $ − 1+ = 50 0 − 13 𝑖 0.01 0.01 𝑀% = 50(62.8348 − 1) = 50(61.8348) = 3091.74 𝑀J = 𝑅 $
b) Con los depósitos mensuales de $50 no podría cubrir los gastos estimados para el seminario de titulación y la fiesta de graduación dentro de cuatro años, por lo que Roberto se pregunta, ¿qué cantidad de dinero tiene que ahorrar al principio de cada mes durante cuatro años para cubrir estos gastos? Datos M = $11 200 n = 4 años (48 meses) T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual
Incógnita R
c) Partiendo del presupuesto estimado de $11 200 tendríamos que: 11200 11200 = )6 0.628348 (1 + (1.01) − 1 −1 M 0.01 − 1N 0 − 13 0 − 13 𝑖 0.01 11200 11200 𝑅= = = $181.13 (62.8348 − 1) 61.8348 𝑅=
𝑀
=
𝑖).1%
d) Con un depósito mensual de $181.13, Roberto alcanza la cantidad deseada de $11200 para ayudarse a cubrir los gastos de la fiesta y del seminario de titulación. Problema resuelto 77
Los socios de empresa de comunicación RR-Hermanos en el año 2014 deciden crear una fundación Apoyo Educativo para los hijos de comunicadores fallecidos, con un capital invertido de $2 500 000 a una tasa que dará pagos de $400 000 al final de cada año. a) ¿Qué tasa de interés gana la inversión? b) Después de pago del año 2017 se espera que la tasa cambie a 11%. c) La fundación decide seguir realizando pagos de $400 000, ¿cuántos pagos anuales podrá realizar? Solución a) Tasa de interés que gana la inversión: Datos: C = $2 500 000 𝑖=
𝑅 400000 = = 0.16 𝐶 2500000
b) Después de los tres primeros pagos. Datos: C = $2 500 000 R=? 𝑅 = 𝐶𝑖 = 2500000(0.11) = 275000𝑠𝑒𝑟í𝑎𝑒𝑙𝑝𝑎𝑔𝑜𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 c) Si la fundación decide seguir realizando pagos de 400 000, se procede al cálculo del número de pagos que podrá realizar. Datos: C = $2 500 000 R = $400 000 i = 0.11 1 − (1.11)+. 2500000 = 400000 „ … 0.11
2500000 1 − (1.11)+. = 400000 0.11 6.25(0.11) = 1 − (1.11)+. (1.11)+. = 1 − 0.6875 −𝑛𝑙𝑜𝑔(1.11) = 𝑙𝑜𝑔(0.3125) −𝑛𝑙𝑜𝑔(1.11) = −0.50515 0.50515 𝑛= = 11.15 0.045323 Se pueden realizar 11 pagos anuales más los tres ya realizados (2015, 2016 y 2017).
BIBLIOGRAFÍA Rodriguez, J., Rodríguez, E., & Pierdant, A. (2014). Matemáticas financieras. México: Patria. Gitman, L. (2007). Principios de Administración Financiera. México: Pearson. Ross S., Westerfield E., & Jordan B. (2018). Fundamentos de Finanzas Corporativas (11ª ed.). México: Mc Graw Hill Van Horne, J. C., & Wachowicz, J. M. (2010). Fundamentos de Administración Financiera (13 ª ed). México: Pearson.