ProefstuderenWiskundeLeiden2024
Patroonvorming vandifferentiaalvergelijkingennaarzebravissen
Differentiaalvergelijkingen
Vergelijkingenals x2 +2x 3 = 0kunjeoplossenvoor x:deoplossingiseengetal,of(alsermeerdanéén oplossingis),meerderegetallen.Een differentiaalvergelijking iseenvergelijkingwaarvandeoplossing een functie is,zoals y( x) = ex ,enwaarbijdeafgeleidevandezefunctiedeelisvandevergelijking.Een bekendvoorbeeldis
y ′(x) = ay( x), (1)
met a eenwillekeurigvastgekozengetal.Wezoekenduseenfunctie y( x)dievoor iederex voldoetaan vergelijking(1).
1) Laatziendat y(x) = eax eenoplossingisvandedifferentiaalvergelijking(1).
2) Onderzoekwatdeinvloedvandewaardevan a isopdeoplossingvan(1).
3) Laatziendat y(x) = beax eenoplossingisdedifferentiaalvergelijking(1)voorwillekeurigvast gekozen b.Watkunjeconcluderenoverhetaantaloplossingenvanvergelijking(1)?
Eendifferentiaalvergelijkingkanookeentweedeafgeleidebevatten.Eenbelangrijkvoorbeeldis y ′′(x) = ω 2 y( x), (2) met ω eenwillekeurigvastgekozengetal.
4) Probeer y( x) = beax alsoplossingvanvergelijking(2).Watgaaterfout?
5) Laatziendat y( x) = sin(ω x)eenoplossingisvan(2).Kunjenogmeeroplossingenvandezevorm vinden?(hint:gebruikvraag3)
6) Mijnomazeialtijd:“waareensinusis,iseencosinusnooitverweg”.Kunjenogmeeroplossingen van(2)vinden?Watkunjeconcluderenoverhetaantaloplossingenvan(2)?
zieommezijde
Figure1:Degrafiekvan f ( x, y) = x2 + y2 indriedimensies.
Zebrastrepen
Defunctiesdiejetotnutoehebtgezienbijwiskunde,hebbenéénvariable,meestal x;bijvoorbeeld f (x) = sin(x).Degrafiekvanzulkefunctieskunjetekeneninhet(x, y)-vlak,met y = f ( x).Jekuntook functiesbekijkendievanmeerdanéénvariableafhangen,bijvoorbeeld f (x, y) = x2 + y2.Omdegrafiek vanzulkefunctiestetekenen,hebjedriedimensiesnodig,zieFiguur1.
7) GebruikGeoGebra[https://www.geogebra.org/3d]omdegrafiekvan f (x, y) = bx2 + by2 te tekenenvoorverschillendewaardenvan b (kiesooknegatievewaarden).
8) Tekennu,metbehulpvanGeoGebra,degrafiekvan f ( x, y) = sin(x).Hoekunjeaandegrafiek ziendatdewaardevan f ( x, y)nietvan y afhangt?
9) Schetsinhet( x, y)-vlakhetgebiedwaarvoorsin( x) > 0,dusalle(x, y)waarvoorgeldtdat f ( x, y) = sin(x)positievewaardenaanneemt.
10) Doehetzelfdevoordefunctie f ( x, y) = sin(x + y)envoordefunctie f (x, y) = sin( x) + sin(y).Wat voorpatronenziejeontstaan?