HuiswerkopgaventervoorbereidingopdeProefstudeerdagWiskunde: Waarkomendie9’stochvandaan?DeStellingvanMidy
Vrijdag22november2024
1Decimaleontwikkelingen
Weschijvengetallennormaalgesprokeninhun decimaleontwikkeling.Datbetekentdatwe2024, 1122 moetenlezenals
Alseengetaltussen0en1ligt,danheefthetdevorm
vooreenofanderrijtjedecimalen a1 ,a2 ,a3 ,... datbestaatuitallemaalcijferstussen0en9.Alsditrijtje cijferszichopeengegevenmomentgaatherhalen,danheetdedecimaleontwikkeling periodiek endelengte vanhetkleinsteblokcijfersdatzichsteedsherhaaltheetde periode vandeontwikkeling.
Opgave1
(a)Berekendedecimaleontwikkelingvandegetallen
, 2 99
(b)Schrijfvooriedervandezegetallenhetkleinsteblokcijfersopdatzichsteedsherhaalt.
(c)Bekijkdeblokkenuit(b)voorgetallenmeteendecimaleontwikkelingmeteenevenperiodeenwaarvoor denoemereenpriemgetalis.(Een priemgetal iseengeheelgetalgroterdan1datalleendoorzichzelfen door1deelbaaris.)Valtjeietsopalsjedeeerstehelftvandecijfersvergelijktmetdetweedehelft?
Voordevolgendeopgavekunjede meetkundigereeks gebruiken.Vooreengetal r tussen0en1heetde reeks1+ r +
+ demeetkundigereeksenergeldtdat
Opgave2
Eengetalheefteenperiodiekedecimaleontwikkelingalshetteschrijvenisals
voorzekercijfers a1 ,a2 ,...,an eneenzeker n ≥ 1.Gebruikdemeetkundigereeksomtelatenziendat
UitOpgave2volgtdateengetalmeteenperiodiekedecimaleontwikkelingaltijdeenrationaalgetalis.
2Modulo
Vooriedergeheelgetal q ≥ 2kunnenwe congruentiemodulo q defini¨erendoortezeggendattweegehele getallen k, congruentzijnmodulo q als k q weereengeheelgetalis.Weschrijvendan k ≡ (mod q).
Voorbeeld:16 ≡ 1(mod5),want 16 1 5 =3.
Eenanderemanieromhierovernatedenkenisdat k ≡ (mod q)alsereengeheelgetal m iszodat k = mq + .Inhetvoorbeeld,16=3 5+1.
Opgave3
(a)Bepaalof10en1congruentzijnmodulo7.
(b)Vindallegehelegetallenwaar100congruentaanismodulo3.
Opgave4
(a)Bepaalhetkleinstegehelegetal r ≥ 1waarvoorgeldtdat10r ≡ 1mod3,10r ≡ 1mod7,10r ≡ 1mod 11en10r ≡ 1mod13.Kunjeookhetkleinstegehelegetal r ≥ 1waarvoorgeldtdat10r ≡ 1mod31?
(b)Vergelijkjeantwoordenbij(a)metjeantwoordenbijOpgave1(b).Watvaltjeop?
NBWegebruikendagelijkscongruentiemodulo12alsweklokkijken:13 ≡ 1(mod12)en18 ≡ 6(mod12).
3Priemontbinding
Iedergeheelgetalgroterdan1isopeenuniekemanierteschrijvenalseenproductvanpriemgetallen. Voorbeeld:2024=23 11 23.Ditheetdeontbindinginpriemfactorenvan2024.
Opgave5
(a)Schrijfdeontbindinginpriemfactorenopvan10,100,999.
(b)Kunjelatenziendatalsvooreenpriemgetal q engehelegetallen k, ,m geldtdat k = mq,dat q dan voorkomtindeontbindinginpriemfactorenvan k of ?