Eureka! Nr.54

DIMENSIES UITREKENEN

HOE MOEILIJK KAN HET ZIJN?

Jaargang 14 –september 2016

Nummer 54

Eureka! is een uitgave van de studievereniging De Leidsche Flesch in samenwerking met de Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen van de Universiteit Leiden. De Leidsche Flesch is de studievereniging van de opleidingen Natuurkunde, Sterrenkunde, Wiskunde en Informatica.

WAT IS EEN METING? Interview met Ignas Snellen

REDACTIONEEL

Beste lezer, De septembereditie van Eureka! Is altijd een grote uitdaging. In de zomer moet het schrijven en eindredigeren namelijk concurreren met verre vakanties en nabije feesten. Al die mooie ervaringen kunnen echter ook inspiratie vormen.

Zo verbaasde het Kelvingrove Art Gallery and Museum in Glasgow mij deze zomer met haar diverse tentoonstellingen. De inwoners van Glasgow bedachten dat, als zij een enorm statig gebouw neer gingen zetten, daar maar beter natuurhistorie, volkenkunde en beeldende kunst alle bij elkaar in gehuisd konden worden. Eigenlijk kent Eureka! een vergelijkbare mentaliteit.

Hoofdzakelijk maken we uitstapjes naar allerlei verschillende onderzoeksgebieden binnen het alsmaar groeiende aantal studies dat aan onze vereniging gelieerd is. Zo komen in deze editie de fractaalanalyse van wiskunde en internationale netwerken onder bedrijven van informatica en economie aan bod. Met de vraag ‘Wat is een meting?’ wordt bovendien het grensvlak tussen kwantummechanica en filosofie betreden.

Daarnaast duiken we elke editie de geschiedenis in, op zoek naar de oorsprong of evolutie van allerlei wetenschappelijke activiteiten. Nu is de criminologie, van haar wortels in het oude China tot de laatste computionele toevoegingen uit de 21e eeuw, aan de beurt.

Het plantenrijk is vertegenwoordigd in de nieuwe fotoreportage over de Hortus Botanicus, de politiek in een artikel over de toekomst van wetenschap en milieu in Amerika. Alsof dit alles nog niet genoeg is, biedt deze Eureka! twee praesesvoorwoorden, van onze uitgaande en inkomende praesides, die terugblikken en vooruitkijken op mooie jaren voor de vereniging en haar leden.

Kortom: aan inspiratie geen tekort. Veel leesplezier!

Lotte Konings Hoofdredacteur Eureka!

Lotte Konings

Hoofdredacteur Eureka!

Bachelorstudent Wiskunde en Geschiedenis

✉ 2

lotte@deleidscheflesch.nl

Eureka! nummer 54 – september 2016

5 Wat is een meting?

De vraag ‘Wat is een meting?’ lijkt simpel genoeg.

Experimenteel natuurkundige Tjerk Oosterkamp bespreekt waarom het antwoord op deze vraag alles behalve simpel of eenduidig is.

Lees verder op pagina 5



20 Topology and Community Structure of the Global ­System of Corporate Control Using the tools of the new interdisciplinary research field of network science, Frank Takes analyses the interconnectedness of the international corporate system.

Lees verder op pagina 20



INHOUD

8 Interview met Ignas Snellen Ignas Snellen ontving dit jaar een ERC-Advanced grant voor zijn onderzoek naar de atmosferen van exoplaneten. Die atmosferen kunnen ons van alles vertellen over de planeten en of daar wellicht leven mogelijk zou zijn.

Lees verder op pagina 8



Nieuws

4

Wat is een meting?

5

Interview met Ignas Snellen

8

Dimensies uitrekenen: hoe moeilijk kan het zijn?

12

Fotoreportage: Hortus Botanicus Leiden

16

Forensic Science a history of scientific crime solving

18

Topology and Community Structure of the Global System of Corporate Control 20 Toen wetenschap een mening werd 24

24

De Leidsche Flesch

27

Puzzel

30

Toen wetenschap een ­mening werd De verkiezingen in de Verenigde Staten beloven een waar spektakel te worden. Martijn Janse dook de partijprogramma’s in om te zien wat de kandidaten te zeggen hadden over wetenschap en technologie.

Lees verder op pagina 24



Eureka! is een uitgave van de studievereniging De Leidsche Flesch in samenwerking met de Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen van de Universiteit Leiden. De Leidsche Flesch is de studievereniging van de opleidingen Natuurkunde, Sterrenkunde, Wiskunde en Informatica.

Eureka! nummer 54 – september 2016

3

NIEUWS

Fred Janssen benoemd tot hoogleraar Didactiek van de natuurwetenschappen Dr.ir. Fred Janssen is met ingang van 1 september 2016 benoemd tot hoogleraar Didactiek van de natuurwetenschappen bij het ICLON. Hij is in Utrecht gepromoveerd op zijn proefschrift 'Learning Biology by Designing: Exemplified and Tested for Immunology'. Sinds 1999 heeft hij gewerkt als docent, educator en onderzoeker in de biologie bij het ICLON.

Venibeurzen voor negentien jonge Leidse onderzoekers Negentien pas gepromoveerde onderzoekers van de Universiteit Leiden ontvangen een Veni-beurs van maximaal 250.000 euro.

Wetenschapsfinancier NWO kent in deze financieringsronde in totaal 158 Veni-beurzen toe, waarvan zo’n 12 procent naar de Universiteit Leiden gaat.

Studenten op bezoek bij Chinese Silicon Valley

Maxim Allaart benoemd als nieuwe assessor faculteits­ bestuur Het College van Bestuur van de Universiteit Leiden heeft Maxim Allaart, studente LST, benoemd tot assessor van het faculteitsbestuur van de faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen, voor het collegejaar 2016-2017. De assessor is het studentlid van het faculteitsbestuur en zorgt voor het dagelijks bestuur van alles wat met studenten te maken heeft binnen de faculteit.

Maxim, heel veel succes gewenst met deze functie het komende jaar!

Vier Leidse studenten namen in juli deel aan het internationale programma ‘Seeds for the Future’ bij telecomgigant Huawei in China. De informatica, wis- en natuurkunde studenten volgden in de eerste week een cursus Chinese taal en cultuur in Beijing. Daarna kreeg de groep college en werkten ze aan een case study op het hoofdkwartier van Huawei in Shenzen, oftewel de Chinese Silicon Valley. Hier leerden ze over de nieuwste telecomontwikkelingen, maar ook over het reilen en zeilen bij een groot bedrijf. Voor de vier studenten een geslaagde trip, waarbij ze niet alleen nuttige vakkennis hebben opgedaan, maar ook het werkelijke China hebben leren kennen.

Joris Carmiggelt, Lars Suanet, Lars Koekenbier en Erik de Vos (onder) 4

Eureka! nummer 54 – september 2016

WETENSCHAP

WAT IS EEN METING in de kwantummechanica?

Door: Tjerk Oosterkamp

Je zou van een experimenteel natuurkundige toch wel een antwoord mogen verwachten op een dergelijke eenvoudige vraag: 'Wat is een meting?'

De mensen die gewend zijn om eigenhandig (of anders dan toch samen met onze fijnmechanici en elektronici) een meetinstrument in elkaar te zetten kunnen steeds nauwkeuriger, steeds sneller, onder steeds extremere condities of op steeds meer verschillende samples de meest uiteenlopende metingen verrichten. Toch blijft de vraag moeilijk te beantwoorden.

Een theoretisch natuurkundige zal misschien sneller antwoord kunnen geven: ''Een kwantumsysteem in superpositie wordt beschreven door een golffunctie. Het kwadraat van deze golffunctie beschrijft de kans dat het systeem zich, na een meting, in een bepaalde toestand bevindt (Fig. 1). Een meting zorgt ervoor dat de golffunctie instort. Een meting is dus datgene wat je doet om de kansverdeling te meten die bij een golffunctie hoort. Maar meten dat

doen we niet zelf. Dat laten we graag over aan die andere natuurkundigen die steeds met schroevendraaiers en soldeerbouten in de weer zijn, om een golffunctie in te laten storten. Vaak met een oscilloscoop of zo... uhm ... zo'n ding met een groen scherm en heel veel knopjes... dacht ik.''

Niels Bohr, de naamgever van de weg waar ons natuurkunde gebouw aan gebouwd is, en met hem de hele Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica heeft het zo aan ons gepresenteerd. Alleen werd dat gedaan zonder erbij te vermelden wat een meetinstrument tot een meetinstrument maakt. 'Shut up and calculate' wordt daar door anderen vaak aan toegevoegd.

Je hoeft in elk geval geen hardcore pragmaticus te zijn om niet al te veel vragen over de betekenis van de kwantummechanica te stellen. Nog een keer nadenken over vragen als 'Wat is een golffunctie en is een golffunctie een echt

Shut up and calculate

Eureka! nummer 54 – september 2016

5

WETENSCHAP

|ψ|2 pixels

Figuur 1: In rood de golffunctie van een elektron nadat het door een

14

|ψ|2

dubbele spleet is gegaan en de bijbehorende kansverdeling, die beschrijft wat de kans is dat het elektron gedetecteerd zal worden door een pixel op een camera. In blauw de kansverdeling nadat het elektron gedetecteerd is door pixel nummer 14.

Een ­elektron kan tege­ lijk op meerdere plekken zijn maar een stoel kan dat niet. Of toch wel?

6

ding of alleen een wiskundig bedenksel?', 'Bestaat een elektron dan wel echt, als het geen deeltje want ook een golf is en samen met een positron uit het vacuüm tevoorschijn kan komen?' levert niet zoveel nieuwe experimenten op, ook niet na honderd jaar nadenken.

Ondertussen blijft het superpositiebeginsel wel aanleiding tot doorvragen. Een elektron kan tegelijk op meerdere plekken zijn of tegelijk meerdere verschillende snelheden hebben, maar een stoel kan dat niet.

Of toch wel?

Sinds Dirk Bouwmeester met anderen [1] een eerste voorstel deed voor een experiment om een mechanische resonator naar de kwantum-grondtoestand te brengen en daarna in superpositie te brengen, is het niet meer duidelijk of de kwantum mechanica ophoudt bij elektronen, atomen of grote symmetrische moleculen. Intussen zijn er veel groepen die zich met deze experimenten bezig houden en ook met succes [2,3].

Omdat deze experimenten mechanisch van aard zijn ligt de analogie met een multimeter voor de hand. In een denkbaar experiment zou dit er als volgt uit kunnen zien: net als elektronen die tegelijk twee verschillende snelheden kunnen hebben, kan in een supergeleidende ring stroom tegelijk met de klok mee én tegen de klok in bewegen. Een meting van de stroom in een dergelijke stroomkring zou dan met een klassieke multimeter kunnen gebeuren (Fig. 2). De vraag die dan rijst is: 'Kan het wijzertje op de multimeter tegelijk naar links en naar rechts uitslaan?'

Eureka! nummer 54 – september 2016

elektronenkanon

Op dit punt komen twee redeneringen samen en stellen ze ons voor een grotere filosofische vraag. Enerzijds gaan natuurkundigen ervan uit dat er 'iets' is dat grote dingen bijzonder maakt waardoor ze niet op twee plaatsen tegelijk kunnen zijn.

Anderzijds wordt gewerkt aan experimenten om steeds grotere objecten juist wel in een dergelijke superpositie te brengen.

Dat werpt de filosofische vraag op of het niet ook denkbaar is dat er veel parallelle universa naast elkaar bestaan zodat een meting niet écht een keuze hoeft te maken tussen de verschillende mogelijke uitkomsten. Veel mensen gaan er echter van uit dat er slechts één enkele werkelijkheid is.

Bij een lezing bij de kwantumfysici die in Delft een kwantumcomputer proberen te realiseren, stelde een spreker die te gast was de vraag aan de zaal. Één derde van de aanwezigen gaf aan te geloven in de Everett interpretatie van de kwantummechanica waarin vele parallelle universa worden aangeroepen. In het kader geef ik aan waarom ik dat een problematische score vind door een handzaam apparaat aan u voor te stellen; de 'male bonding quantum

ampère

-

+

Figuur 2: Onder een SQUID, een superconducting quantum interference device, bestaat uit een supergeleidende ring die onderbroken is door twee minuit een paar atoomlagen oxide. In een dergelijke

N

draaibaar

ring kan de stroom tegelijk linksom én rechtsom

Z

der goed geleidende stukken, meestal bestaande

bewegen. Een klassieke stroom meter bestaat uit een spoel waar de te meten stroom door gaat. Die stroom zorgt voor een magnetische kracht die een wijzer doet bewegen. De stroom in de SQUID kan

stroom

gemeten worden door de stroommeter. Zou het wijzertje van de stroommeter tegelijk naar links én naar rechts kunnen uitslaan?

roulette gun’, omdat er toch nog genoeg universa over blijven als we er in een dronken bui er een paar naar de gallemiezen helpen.

Met dank aan Jelmer Wagenaar voor de figuren.

Ter afsluiting wil ik nog een argument aanvoeren tegen een 'Many Worlds Interpretatie' Ik vind het nog lang niet nodig om een zo verregaande interpretatie van de kwantummechanica aan te hangen. Er ontbreekt immers nog een essentieel onderdeel in de kwantummechanica: de zwaartekracht.

De zwaartekracht is niet zo makkelijk in te passen in de kwantummechanica als de elektrische kracht, omdat de zwaartekracht geen kracht is. De ruimte wordt krom door de massa die voor de ‘zwaartekracht’ zorgt. Het probleem is dat als een massa op twee plaatsen tegelijk is de ruimte op twee verschillende manieren gekromd zou moeten zijn, terwijl de algemene relativiteitstheorie slechts voorziet in een beschrijving waarin de ruimte op één manier gekromd is. Tegelijk staat de kwantummechanica erop dat het superpositiebeginsel staande blijft. En dat lukt niet meer als de kromming van de ruimtetijd verandert wanneer de massa tegelijk op een andere plek is en er toch maar één manier is waarop de ruimte gekromd is. Daarom zal het de komende jaren heel spannend zijn om experimenten te doen aan zware objecten die in superpositie gebracht worden. We mogen ervan uitgaan dat we niet op voorhand kunnen voorspellen wat de uitkomst van dergelijke experimenten zal zijn! En dat is erg belangrijk voor experimenteel onderzoek.

[1] W. Marshall, S. Christoph R. Penrose, and D.

Referenties

Bouwmeester, Towards Quantum Superpositions of a Mirror, Phys. Rev. Lett. 91, 130401, 2003 [2] A . D. O’Connell e.a., Quantum ground state and single-phonon control of a mechanical resonator, Nature 464, 697-703, 2010 [3] J. D. Teufel e.a., Sideband cooling of micromechanical motion to the quantum ground

!

state, Nature 475, 359–363, 2011

Zwaarte­ kracht is niet zo makkelijk in te passen in de kwantummechanica

Over de auteur - Tjerk Oosterkamp Tjerk Oosterkamp heeft tijdens zijn promotieonderzoek als eerste de geheimen ontrafeld van minuscule pilaartjes waarin elektronen opgesloten zitten. Zijn onderzoek is onder andere beloond met een VICI en recentelijk een investering NWO Groot. Hij geeft leiding aan een onderzoeksgroep die toepassingen van tastmicroscopie bestudeert, onder meer om individuele eiwitten in celmembranen zichtbaar te maken en om de grondslagen van de kwantummechanica te kunnen onderzoeken.

✉

oosterkamp@physics.leidenuniv.nl

Eureka! nummer 54 – september 2016

7

INTERVIEW

Interview met

IGNAS SNELLEN

Door: Lotte Konings en Martijn Janse Foto’s door: Pim Overgaauw

Ignas Snellen is hoogleraar observationele astrofysica aan de Universiteit Leiden. Dit jaar kreeg hij een ERC-Advanced grant voor zijn onderzoek naar de atmosferen van exoplaneten.

Door hun atmosferen te bestuderen kunnen we veel te weten komen over planeten buiten ons zonnestelsel. Wellicht kunnen we zelfs ontdekken of leven zou kunnen bestaan op die planeten.

8

Eureka! nummer 54 – september 2016

“Exoplaneten zijn planeten die niet rondom onze eigen zon draaien, maar rond andere sterren. Om meer over deze planeten te weten te komen, wil je de atmosferen waarnemen en dat is ontzettend moeilijk. Allereerst zijn we op zoek naar een zogenaamde overgang. Dat is als de oriëntatie van een baan precies goed is en een exoplaneet vanaf de aarde gezien voor zijn ster langs trekt. Hierbij verduistert de planeet een beetje sterlicht. We meten de hoeveelheid licht van een bepaalde ster en wanneer daar bijvoorbeeld elke 3,5 dagen een dipje in gemeten wordt, dan wijst dat op een exoplaneet met geschikte oriëntatie. Door de mate van verduistering kun je bovendien de relatieve grootte van de planeet schatten ten opzichte van zijn ster.

“We gebruiken ook andere methoden om exoplaneten op te sporen, bijvoorbeeld de Doppler methode. Wanneer een planeet om een ster heen draait, draaien eigenlijk zowel de planeet als de ster om een gezamenlijk zwaartepunt. Door de enorme massa van de ster ligt dat zwaartepunt zeer dicht bij de ster. We nemen dit waar doordat de ster lijkt te wiebelen: hij draait hele kleine cirkeltjes rond het gezamenlijke zwaartepunt.

“De snelheid van de wiebelende ster kun je meten aan de hand van het Doppler effect, een rood- of blauwverschuiving bij elke wiebel. Daaruit kun je de massa van de planeet die er om heen draait afleiden. Wanneer de

planeet voor de ster langsgaat kan de straal geschat worden en zo komen we aan de dichtheid. Zo weten we al aardig wat over een exoplaneet. Mijn onderzoek richt zich op de atmosferen van deze objecten. Wanneer zo’n planeet voor zijn ster langs trekt, filtert er een beetje sterlicht door de atmosfeer. Verschillende gassen absorberen licht op verschillende golflengtes en op die manier kunnen we achterhalen wat voor gassen er in de atmosfeer zitten.

“We kijken nu nog vooral naar gasreuzen, zoals Jupiter, want dat is het makkelijkst, die zijn het grootst.

Een belangrijke vereiste is bovendien dat een planeet een korte baan heeft. Stel, je zou de aarde willen onderzoeken, dan moet je steeds 365 dagen wachten op je volgende waarneming en hopen dat het niet net even bewolkt is op je thuisplaneet.

“Hete gasreuzen bestaan vooral uit waterstofgas en helium, maar er komen ook kleine hoeveelheden andere gassen in voor, zoals koolstofmonoxide en waterdamp. Momenteel zijn dat de twee gassen die het beste waar te nemen zijn. Met geld van de ERC-grant komt er een nieuw instrument, waarmee we waarnemingen hopen te kunnen doen die een factor twintig beter zijn. Dan kunnen we ook naar andere gassen, zoals methaan, en naar andere planeten -koelere en kleinere objecten- gaan kijken.

“Wij gebruiken telescopen hier op aarde. Dat heeft voor- en nadelen. Een voordeel is dat we hier zeer grote telescopen kunnen bouwen die veel meer licht en dus gegevens ontvangen dan bijvoorbeeld de Hubble-ruimtetelescoop. Een groot nadeel is dat dat licht eerst door onze atmosfeer moet komen om opgevangen te worden door de telescoop. De atmosfeer kan het sterbeeld troebel maken. Doordat zo’n ster erg ver weg staat komen de lichtgolven prachtig vlak aan, maar temperatuurverschillen en bellen en bubbels in onze atmosfeer doen die golffronten wiebelen en maken het beeld onscherp. Bovendien doet de atmosfeer de lichthoeveelheid fluctueren: wij zien sterren fonkelen.

Wanneer je onderzoekt staat op de kleine fluctuaties in de lichthoeveelheid, is dit problematisch.

“Wij lossen dit op door naar hoge spectrale resolutie

te gaan: we meten het lichtspectrum met een precisie van een honderdduizendste van de golflengte. Atomen absorberen licht in lijnen, maar een moleculair gas absorbeert licht in een band. Toch zijn dat, wanneer je bij hele hoge spectrale resolutie kijkt, weer allemaal lijnen. De band van koolstofmonoxide zit rond de 2,3 micron. Daar in de buurt liggen ook een heel aantal absorptielijnen van gassen in onze atmosfeer, van methaan en waterdamp bijvoorbeeld. Die wil je er uit filteren.

“Daartoe merk je op dat de exoplaneet met een enorme snelheid om zijn ster heen draait, en dus worden de absorptielijnen afkomstig van gassen in de atmosfeer van de exoplaneet verschoven, terwijl die van gassen in onze eigen atmosfeer statisch zijn. Zo kunnen we de overbodige absorptielijnen eruit filteren. Bovendien weten we waar de exoplaneet zich in zijn baan bevindt en kunnen we verschoven lijnen optellen en bepalen welk gas een gevonden absorptielijn veroorzaakte.

“Deze methode kan niet worden toegepast in de ruimte, omdat de telescopen daar niet groot genoeg zijn voor de zeer hoge spectrale resolutie die je nodig hebt. Wat je met telescopen daar ziet, zijn brede absorptiebanden, dan wel alleen van de atmosfeer van de exoplaneet, maar wel brede en overlappende banden. Bij een meting aan het resulterende spectrum is het lastig te achterhalen welk gas de absorptie veroorzaakte.

“Zo lossen we dus een van de grote problemen van telescopen op aarde op. Tussen de telescopen op aarde en in de ruimte blijft een wedloop ontstaan. Enige tijd waren de Very Large Telescope en de Hubble ongeveer even goed. Sinds een paar jaar heeft de Hubble een nieuw instrument, waardoor het iets beter is.

Volgend jaar krijgen wij weer een nieuw instrument en dan kun je dit soort onderzoek weer beter vanaf de grond doen. Je wilt in beide methoden blijven investeren, en dat gebeurt ook: in 2018-2019 wordt de opvolger van de Hubble, de James Webb Telescope gelanceerd en op de grond wordt de ELT, de Extremely Large Telescope, gebouwd: beide zijn enorme sprongen voorwaarts. Als astronoom kunnen we dus wel allerlei slimme trucjes verzinnen om betere waarne-

Zo lossen we dus een van de grote problemen van telescopen op aarde op

Eureka! nummer 54 – september 2016

9

INTERVIEW

mingen te kunnen doen, maar de grote vooruitgangen komen toch van de technische kant. Telescopen en instrumenten worden heel veel beter, op relatief korte tijdschalen.

“De hoge spectrale resolutie op aarde heeft nog een voordeel: het is zeer gevoelig voor blauw- en roodverschuivingen, waardoor we ook snelheden kunnen meten. Zo hebben we bij één waarneming al kunnen opvangen dat er waarschijnlijk winden in die atmosfeer voorkomen. De oorzaak van deze winden ligt erin dat de hete en grote planeet met korte baan rond zijn ster door getijdenwerking altijd met dezelfde kant naar zijn ster staat. Op dezelfde manier zien wij altijd dezelfde kant van de maan. Dit heeft tot gevolg dat één kant van de planeet heel heet wordt en de andere een stuk koeler. Hierdoor stroomt gas in de atmosfeer van de voorkant naar de achterkant.

Dit kunnen wij observeren doordat het gas onze kant, weg van de ster, lijkt te stromen.

“Ook hebben we voor het eerst rotatie waargenomen. Van deze exoplaneet waren de koolstofmonoxidelijnen niet nauw, maar juist een stuk breder.

Dit komt doordat de planeet om zijn as draait, waardoor een gedeelte van de atmosfeer naar ons toe komt en een deel van ons af gaat en de absorptielijnen verschuiven. De ene helft van de lijnen is blauw verschoven, de andere helft van de lijnen is rood verschoven en de koolstofmonoxidelijn verbreedt. De verbreding vertelt ons hoe snel de planeet roteert en hoe lang een dag daar duurt.

Dit is een van de pijlers van mijn onderzoek en het is ook waar ik de ERC-grant voor heb gekregen. We gaan voor een heel ensemble van dit soort objecten metingen doen en rotaties bepalen. Vervolgens willen we

inzicht krijgen in de reden waarom sommige planeten sneller draaien dan andere.

“We vermoeden dat dit met de vorming en de massa te maken heeft. Als je bijvoorbeeld de spinsnelheid tegen de massa van de planeten in ons zonnestelsel uitzet, dan zie een mooie relatie: hoe zwaarder een planeet is, hoe sneller die om zijn as draait. Een planeet wordt gevormd uit een schijf met gas en stof met een kern die steeds meer van dat stof en gas aantrekt. Hoe meer de kern aantrekt, hoe sneller hij gaat spinnen. Jonge planeten zijn ook nog heet en groot. Wanneer ze afkoelen, krimpen ze ook. Vergelijk het met een ijsdanseres: wanneer zij haar armen intrekt, gaat ze sneller draaien. Zo werkt dat voor deze objecten ook.

“Uiteindelijk willen we ook van gasreuzen overstappen naar kleinere, koelere planeten zoals aarde en onderzoeken hoe die gevormd worden.

Van die soort hebben we in ons zonnestelsel drie planeten: Venus, Aarde en Mars.

Daar zijn echter de onderliggende verschillen zo groot dat je er weinig over kunt zeggen.

Dat is alsof je Darwin een aap, een olifant en een mier geeft en hem vraagt om zijn evolutietheorie daarmee te ontwikkelen. We hebben grote populaties objecten nodig en daarom moeten we op zoek naar exoplaneten. Vervolgens kun je op zoek gaan naar biomarkers in de atmosfeer; gassen die uit chemisch evenwicht zijn gebracht door toedoen van leven, zoals zuurstof en methaan. We zijn nu al bezig met vraagstukken als: welke technieken en instrumenten hebben we nodig om straks zuurstof waar te nemen? Het doel is om een eerste aanwijzing te vinden dat er ergens anders leven is, maar daarvoor moet er nog een hoop gebeuren.” !

Ook hebben we voor het eerst rotatie waargenomen

OVER DE GEÏNTERVIEWDE – IGNAS SNELLEN Ignas Snellen is hoogleraar observationele astrofysica aan de Universiteit Leiden. Hij haalde in 1997 zijn PhD in Leiden, werkte drie jaar aan het Institute of Astronomy in Cambridge, waarna hij een aantal jaar lesgaf aan de Universiteit van Edinburgh en in 2004 terugkeerde naar Leiden. Dit jaar kreeg hij een ERC-Advanced grant voor zijn onderzoek naar de atmosferen van exoplaneten.

✉ snellen@strw.leidenuniv.nl 10

Eureka! nummer 54 – september 2016

ZIE HET ALS DE VOLGENDE STAP IN JE CARRIÈRE

TMC is dé innovatieve dienstverlener in de high-tech sector. Wij zetten hoogopgeleide professionals in binnen technische omgevingen. TMC onderscheidt zich door het leveren van schaarse competenties die nodig zijn voor de ontwikkeling van complexe producten en projecten.

Op dit moment zijn we op zoek naar: > Ervaren Fysici > Software Developers > Mechanical Designers Ben jij die hoogopgeleide ervaren professional met een ondernemende instelling en wil je aan het roer staan van je eigen carrière? Bezoek dan onze website. Hier vind je meer informatie over de vacatures bij TMC voor diverse gerenommeerde klanten.

www.tmc-employeneurship.com Eureka! nummer 54 – september 2016

11

WETENSCHAP

Dimensies uitrekenen: hoe moeilijk kan het zijn?

M.H. Kolkhuis Tanke

Fractalen zijn een van de meest gebruikte objecten om wiskunde visueel te maken.

Iedereen is wel bekend met de guren van de Mandelbrot- en Juliaverzamelingen. Hoe mooi deze fractalen visueel zijn, zo lastig is het om ze wiskundig te analyseren. Het meest gangbare gereedschap om fractalen te bestuderen is fractale dimensie, waarbij Hausdorffdimensie de meest gebruikelijke is. Fractalen en hun dimensie kunnen gebruikt worden om enkele getaltheoretische problemen op te lossen.

Een voorbeeld daarvan is Zaremba's vermoeden, dat de aanleiding was voor mijn scriptieonderzoek. In de artikelen van Bourgain en Kontorovich [6, 2] wordt de fractale dimensie van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt om dit vermoeden aannemelijker te maken. In dit artikel worden Hausdorffdimensie en de door Bourgain en Kontorovich gebruikte Cantorverzamelingen geïntroduceerd. Daarna wordt Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott [5, 4] bekeken dat, voor de Hausdorffdimensie van onze verzamelingen, een superexponentiële benadering geeft.

Cantorverzamelingen

Cantorverzamelingen zijn fractalen in [0; 1] die iteratief bepaald worden. Een zeer bekend voorbeeld hiervan is de middelderde Cantorverzameling die te zien is in Figuur 1. Deze verzameling is bijzonder omdat ze overaftelbaar oneindig veel punten bevat, maar geen lengte heeft. In ons geval beschouwen we de afgeknotte Gaussafbeelding.

12

Eureka! nummer 54 – september 2016

E0 2 analyseren. Het Het meest meest gangbare gangbare gereedschap gereedschap om om1fractalen fractalen te te bestuderen bestuderen frac1 2 analyseren. isis fractalegangbare dimensie, waarbij Hausdorffdimensie deFractalen meest is. Fractalen tale analyseren. dimensie, Hausdorffdimensie meest gebruikelijke tale dimensie, waarbij Hausdorffdimensie de meest is. 3Fractalen en1 gebruikelijke eren.

Hetdimensie, meest gangbare gereedschap om fractalen te bestuderen is is. frac3 0de gebruikelijke 1 en Het meest om teis. bestuderen isenfracE 3 E 3fractalen 0waarbij gereedschap om fractalen te is frac1gereedschap 1 bestuderen 1 2 tale waarbij Hausdorffdimensie de meest gebruikelijke Fractalen en tale dimensie, waarbij Hausdorffdimensie de meest gebruikelijke en Eis. 1 Fractalen E0 is.kunnen 0 om 3 waarbij 3E 1 hun dimensie kunnen gebruikt worden om enkele getaltheoretische problemen hun tale dimensie gebruikt worden enkele getaltheoretische problemen hun0Hausdorffdimensie dimensie kunnen gebruikt worden om enkele getaltheoretische problemen mensie, waarbij de meest gebruikelijke is.

Fractalen en dimensie, Hausdorffdimensie de meest gebruikelijke is.

Fractalen en dimensie de meest gebruikelijke Fractalen en 2 2 hun dimensie dimensie kunnen E gebruikt worden om om enkele enkeleEgetaltheoretische getaltheoretische problemen hun kunnen gebruikt worden problemen E 2 E1 E1 om problemen te lossen. op te lossen. op0 te lossen. mensie kunnen gebruikt worden enkeleopgetaltheoretische problemen hun dimensie kunnen gebruikt worden om Eenkele getaltheoretische problemen worden om enkele getaltheoretische E op te lossen.

E op te lossen.

3 3 E1 Een voorbeeld E 3 ossen.

Een voorbeeld daarvan is Zaremba’s vermoeden, dat de aanleiding was voor Een voorbeeld daarvan is Zaremba’s vermoeden, dat de aanleiding was voor daarvan is Zaremba’s vermoeden, dat de aanleiding was voor op te lossen.

E E 2 de 2is Zaremba’s Een voorbeeld voorbeeld daarvan daarvan Zaremba’s vermoeden, vermoeden, dat de aanleiding aanleiding2 was was voor voor Een 1E4dat E4 is E2 scriptieonderzoek. mijn scriptieonderzoek.

In de artikelen van Bourgain en Kontorovich [6, 2] wordt mijn scriptieonderzoek.

In de artikelen van Bourgain en Kontorovich [6, 2] wordt mijn In de artikelen van Bourgain en Kontorovich [6, 2] wordt nremba’s voorbeeld daarvan is Zaremba’s vermoeden, dat de aanleiding was voor E Een voorbeeld daarvan is Zaremba’s vermoeden, dat de aanleiding was voor vermoeden, dat de aanleiding was voor 4 3 E 3 2] wordt 0artikelenvan 1 3 artikelen mijnscriptieonderzoek. scriptieonderzoek. In InEde de vanBourgain Bourgain en3 Kontorovich [6, mijn 1 2 en Kontorovich [6, 2] wordt E 0 de fractale dimensie van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt om dit verde fractale dimensie van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt om dit verde fractale dimensie van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt om dit vercriptieonderzoek.

In de artikelen van Bourgain en Kontorovich [6, 2] wordt mijn scriptieonderzoek.

In de artikelen van Bourgain en Kontorovich [6, 2] wordt E tikelen van Bourgain en Kontorovich [6, 2] wordt 3 3 0 1om de fractale fractale3dimensie dimensie van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt om dit verver- is verkregen E E de van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt dit 4 middel-derde 4 middel-derde Figuur 1: De Cantorverzameling.

Deze verzameling is verkregen 1: De Cantorverzameling.

Deze verzameling x E0 Figuur moeden aannemelijker te maken.

In dit artikel worden Hausdorffdimensie en de moeden aannemelijker te maken.

In dit artikel worden Hausdorffdimensie en de moeden aannemelijker te maken.

In dit artikel worden Hausdorffdimensie en de ctale dimensie van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt om dit verde fractale dimensie van bepaalde Cantorverzamelingen gebruikt om dit ver0 1 E lde moeden Cantorverzamelingen gebruikt om dit ver1 E4 Figuur 1: Cantorverzameling. Deze verzameling is verkregen 1 1 1 De middel-derde moeden aannemelijker aannemelijker te maken.

In dit artikel worden Hausdorffdimensie en de te maken.

In dit artikel worden Hausdorffdimensie en de in drie gelijke stukken te snijden en dan het middoor van elk interval van E in drie gelijke stukken te snijden en dan het middoor van elkdit interval van E i gebruikte i Ete door Bourgain en Kontorovich Cantorverzamelingen ge¨ Ĺntroduceerd.

7 3 2 door Bourgain en Kontorovich gebruikte Cantorverzamelingen ge¨ Ĺntroduceerd. door en Kontorovich gebruikte Cantorverzamelingen ge¨ Ĺntroduceerd. n. In aannemelijker maken.

In artikel worden Hausdorffdimensie en de moeden aannemelijker te maken.

In dit artikel worden Hausdorffdimensie en de 1 Bourgain dit artikel worden Hausdorffdimensie en de E in drie gelijke stukken te snijden en dan door van elk interval van E 2 i door Bourgain en Kontorovich gebruikte Cantorverzamelingen ge¨ Ĺntroduceerd. door Bourgaindelste en Figuur Kontorovich Cantorverzamelingen ge¨Ĺntroduceerd.

Figuur 1:weg De middel-derde Cantorverzameling.

Deze verzameling is voor verkregen het mid1:weg DeAlgoritme middel-derde Cantorverzameling.

Deze verzameling is verkregen te krijgen. stuk te laten om zo E4]i+1 te krijgen. stuk tegebruikte laten om zo E i+1 1: De middel-derde Cantorverzameling.

Deze Daarna wordt Algoritme 1 weg van Jenkinson en Pollicott [5, 4]Gauss-afbeelding bekeken dat, Daarna wordt 1delste van Jenkinson en Pollicott [5, bekeken dat, voor E2 Figuur Daarna wordt Algoritme 1envan Jenkinson en Pollicott [5, 4] bekeken dat, voor Bourgain en Kontorovich gebruikte Cantorverzamelingen ge¨ Ĺntroduceerd. door Bourgain Kontorovich gebruikte Cantorverzamelingen ge¨ Ĺntroduceerd. gebruikte Cantorverzamelingen ge¨ Ĺntroduceerd.

Figuur 2: De afgeknotte met te krijgen. delste stuk te laten om zo E i+1 E Daarna wordt Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott [5, 4] bekeken dat, voor Daarna van Jenkinson en Pollicott [5, 4] bekeken voor en Figuur wordt 1: De Algoritme middel-derde Cantorverzameling.

Deze verzameling isdat, verkregen 3verkregen in gelijke stukken te snijdeneen dan het midvan elk interval van E in drie gelijke stukken te het middoor van1bekeken interval van Edoor isnijden i van verzameling iselk door van elk interval van Ei invoor . voor de Hausdorffdimensie van onze verzamelingen, een superexponenti¨ le benadeHausdorffdimensie van onze verzamelingen, superexponenti¨ edan le2,benadedePollicott Hausdorffdimensie van onze verzamelingen, een superexponenti¨ le benadeaJenkinson wordt Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott 4] bekeken dat, Daarna wordt Algoritme 1[5, Jenkinson eneen Pollicott [5,edrie 4]= bekeken dat, E en [5, 4] dat, voor {1, 4, 6}.

Figuur 2: De afgeknotte Gauss-afbeelding met A 3 de de Hausdorffdimensie van onze verzamelingen, een superexponenti¨ e le benadededoor Hausdorffdimensie van onze een superexponenti¨ eleombenadeinverzamelingen, drie gelijke stukken teteweg snijden en dan het van elk interval E4iweg E driedelste gelijke stukken te snijden endelste dan het middelste stuk stuk laten zo midEi+1 te krijgen. krijgen. stuk laten om zo E i+1 ring geeft. ring geeft. ringvan usdorffdimensie onze verzamelingen, een superexponenti¨ ele te benadede Hausdorffdimensie van onze verzamelingen, een superexponenti¨ ele benadeverzamelingen, superexponenti¨ elete benade4geeft. ring geeft. ring geeft. weg latenom omzo zo Ei+1 te tekrijgen. krijgen. delste stukEeen weg tete laten 1 1 eeft. eft. ring geeft.

1 1 2 Figuur 1: De middel-derde Cantorverzameling.

Deze verzameling is verkregen T (x) 0middel-derde 3 3Deze verzameling 1 is verkregen T (x) Figuur 1: De Cantorverzameling.

Cantorverzamelingen T (x) 1 kettingbreuken ECantorverzamelingen In dit is EA1 Cantorverzamelingen devan verzameling van oneindige effici¨ enten gelijke te snijden enmet danco¨ het middoor vangeval interval Ei in drie Cantorverzamelingen Cantorverzamelingen te snijden enstukken dan het middoor van elk 0interval Eelk i in drie gelijke stukken 1in van orverzamelingen Cantorverzamelingen E1 delste A. Deze verzameling staat centraal in het onderzoek naar Zaremba’s verweg laten om te krijgen. delste stuk weg te latenstuk om zo Ei+1 T (x) i+1 Tte (x) Cantorverzamelingen zijn fractalen in [0, 1] die worden. Een Cantorverzamelingen zijn fractalen [0,teiteratief 1]krijgen. die iteratief bepaald worden.

Een bepaald Cantorverzamelingen zijn fractalen in zo [0, E 1]in die bepaald worden.

Eeniteratief E2 T (x) Cantorverzamelingen zijn fractalen fractalen in [0, [0,1] 1] die die iteratief bepaald bepaald worden. Een EenPollicott [5, 4] hebben Cantorverzamelingen zijn in iteratief worden. moeden door Bourgain en Kontorovich [2].

Jenkinson en zeer bekend voorbeeld hiervan is de middel-derde Cantorverzameling die te zien zeer bekend voorbeeld hiervan is de middel-derde Cantorverzameling die te zien zeer bekend voorbeeld hiervan is de middel-derde Cantorverzameling die te zien rverzamelingen zijn fractalen in [0, 1] die iteratief bepaald worden.

Een Cantorverzamelingen zijn fractalen in [0, 1] die iteratief bepaald worden.

Een alen zeer in [0, 1] die voorbeeld iteratief bepaald worden.

Een E3 zeer bekend voorbeeld hiervan de middel-derde middel-derde Cantorverzameling die tebenadering zien bekend hiervan isis de die te zien een algoritme gevonden datCantorverzameling een superexponenti¨ ele geeft voor de is in Figuur 1.

Deze verzameling is bijzonder omdat ze overaftelbaar oneindig is in Figuur 1.

Deze verzameling is bijzonder omdat ze overaftelbaar oneindig is in Figuur 1.

Deze verzameling is bijzonder omdat ze overaftelbaar oneindig ekend voorbeeld hiervan is de middel-derde Cantorverzameling die te zien zeer bekend voorbeeld hiervan is de middel-derde Cantorverzameling die te zien de ismiddel-derde die te zien omdat EDeze 4Deze verzameling is in in Figuur Figuur 1.

1.Cantorverzameling verzameling bijzonder omdat ze overaftelbaar overaftelbaar oneindig oneindig 1 isis bijzonder ze Hausdorff-dimensie van Eoveraftelbaar . bevat, 1 A veel punten maar geen lengte heeft.

In ons geval beschouwen we de veel punten bevat, maar geen lengte heeft.

In ons geval beschouwen we de veel punten bevat, maar geen lengte heeft.

In ons geval beschouwen we de iguur 1.

Deze verzameling is bijzonder omdat ze oneindig is in Figuur 1.

Deze verzameling is bijzonder omdat ze overaftelbaar oneindig g isveel bijzonder overaftelbaar oneindig veel puntenomdat bevat,zeTmaar maar geen lengte lengte heeft. In In ons ons geval geval beschouwen beschouwen we we de de punten bevat, geen heeft. (x) afgeknotte Gauss-afbeelding. afgeknotte Gauss-afbeelding. afgeknotte Gauss-afbeelding. unten bevat, maar geen lengte heeft.

In ons geval beschouwen we de veel punten bevat, maar geen lengte heeft.

In ons geval beschouwen we de Figuur 1: De middel-derde Cantorverzameling.

Deze verzameling is verkregen T (x) lengte heeft. In ons geval beschouwen we de

afgeknotte Gauss-afbeelding. afgeknotte Gauss-afbeelding.

In ons is de functie s →te−s log | 1interessant, aangezien Ingeval ons geval isBedford de mod functie is de [1] functie sheeft → −s s → log−s |Tlog | interessant, |T | interessant, aangezien aangeB 1 1 |T drie gelijke stukken snijden en het middoorDe vanDe elkGauss-afbeelding interval vangeval EGauss-afbeelding. i in is otte Gauss-afbeelding.

De Gauss-afbeelding de afbeelding xgeval → 1.

De Gauss-afbeelding is de afbeelding →dan mod 1.In ons Gauss-afbeelding de afbeelding mod 1.is afgeknotte

is de afbeelding 1.

1 x → x xmod 1 Hausdorffdimensie x

x In ons is de functie s →

−s log |T | interessant, aangezie aangez

In ons geval is de functie s →

−s log |T | interessant, aangezi sde De Gauss-afbeelding Gauss-afbeelding is de afbeelding x →

mod 1.

De is de afbeelding x →

mod 1.

In ons geval is de functie →

−s log |T | interessant, |) de Hausdorffdimenbewezen dat het nulpunt van de functie s →

P (−s log |T delste stuk weg te laten om zo E te krijgen.

1 |) de |H bewezen bewezen dat het dat nulpunt het nulpunt van van functie de functie s →

P s (−s →

P log (−s |T log |T 1 i+1 In ons geval is de functie s →

−s log |T | interessant, aangezien Bedford [1 x 1 In ons geval is de functie s →

−s log |T | interessant, aangezien Bedford [1] heeft x eenmet eindige niet-lege verzameling met |A| ≼van 2.

Dan is Zij nu A ⊂afbeelding N≼1 N≼1 een eindige niet-lege verzameling met |A|Dan ≼ 2. is het Zij nu A ⊂een eindige niet-lege verzameling |A| ≼ 2. is Dandat Zijx1 numod Ade ⊂ N≼1 Gauss-afbeelding is afbeelding x →

mod 1.

De Gauss-afbeelding is de x →

mod 1.

Zij nu een eindige niet-lege verzameling beelding x →

1. x

x |) d bewezen nulpunt de functie s →

P (−s log |T x |) bewezen dat het nulpunt van de functie s →

P (−s log |T

van een eindige eindige niet-lege verzameling met |A| ≼ 2.

Dan is Zij nu nu A A⊂ ⊂ NN≼1 is niet-lege verzameling met |A| ≼ 2.

Dan is Zij |) bewezen dat het nulpunt de functie s →

P (−s log |T ≼1 een In ons geval is de functie s →

−s . sie is van E In ons geval is de functie s →

−s log |T | interessant, aangezi In ons geval is de functie s →

−s log |T interessant, aangezien Bedford [1] hee . . sie sie van is E van E |) de Hausdorffd bewezen dat het nulpunt van de functie s →

P (−s log |T In ons geval is de functie s →

−s log |T | interessant, aangezien Bedford [1] A |) de Hausdorffdimenbewezen dat het nulpunt van de functie s →

P (−s log |T A A Hausdorffh om Hausdorffdimensie van een verzamemet |A|manieren ≼ 2. Danverzameling is de A ⊂ Nverzameling een eindige niet-lege met sie |A| ≼ 2.

Dan is Zij nu A ⊂veel Nis≼1 metniet-lege . verzameling Dan ≼1 een eindige -lege met |A|Er ≼zijn 2.

Dan isverschillende ≼1

. is van E

. sie is van E

Aeenvoudigste |)|)voorbeelden de bewezen het de functie → P (−s log |T .van is van E het nulpunt ded Een deiseenvoudigste en bekendste voorbeelden isgedefini¨ de middel-derde Can|) bewezen dat het nulpunt van de s|T → P (−s log |T is geval is de functie ssie −s log |T | interessant, aangezien Bedford [1]Hausdorffdim heeft Edat A In onsdefini¨ geval de s In → −s log |Tsie | interessant, aangezien Bedford [1] heeft

bewezen het nulpunt van de functie ssbewezen → Pfunctie (−sdat log deHausdorffdimen van Een de van de eenvoudigste en bekendste en bekendste voorbeelden isvan de mi .dat is van

.van sie is ling van E te Infunctie ons eA erd in termen AEen 1nulpunt 1 → 1 Hausdorffdimensie 1ons 1 wordt 1geval e Tren.

1 A 1 nulpunt het de bekendste Een de eenvoudigste en bekendste voorbeelden isisisde van 11: en bekendste 1uit

Een van de eenvoudigste en bekendste voorbeelden de .Een sie is(−s van E → [0, 1] T : , → [0, 1] T , → [0, 1] : , A van de eenvoudigste en voorbeelden db . sie is van E . sie is van E torverzameling Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is . sie is van E |) de Hausdorffdimenbewezen dat nulpunt van de functie s →

P (−s log |T |) de Hausdorffdimenbewezen dat het van functie s →

P log |T

torverzameling torverzameling uit Figuur uit Figuur 1.

De 1. afbeelding De afbeelding T horende T horende bij die

A A Een van de eenvoudigste en bekendste voorbeelden is de middel-derd A 1 Een van de eenvoudigste voorbeelden is middel-derde Canwordt de voorbeelden is de middel-derde Can van f+: E →Als [0,a1] 1] 1a→ 1R een continue TT1::1 1 2 ,,druk.

1 T (x) mathematische +functie 2uit Figuur a 1 2 is, dan atorverzameling 1 eenvoudigste 1A a→ + 1[0, Een van de en bekendste torverzameling 1.

De afbeelding T horende bij 1

uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij → [0, 1] T : , a∈A a a + 1 a∈A a∈A → [0, 1] T : , a + 1 a torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bi → [0, 1]torverzameling , Een van de eenvoudigste en bekendste voorbeelden is de middel-derde C Een van de eenvoudigste en T : 0, âˆŞ , 1 met x →

3x mod 1.

Dit geeft een Hausdorffdimensie van Een van de eenvoudigste en bekendste voorbeelden is de . sie is van E . sie is van E In In ons ons geval geval is is de de functie functie s s →

→

−s −s log log |T |T | | interessant, interessant, aangezien aangezien Bedford Bedford [1] [1] heeft heeft

T : 0, T : 0, âˆŞ âˆŞ , 1 met , 1 x met →

x 3x →

mod 3x mod 1.

Dit 1. geeft Dit geeft een Hausdo een H

torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzame uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is A A fa gegeven door uit a∈A 3 3 2 223 1. De afbeelding T horende bij die verzameling 1113 Figuur + 31a∈A a + 1 a torverzameling T T2: : 3 0, druk a van a+1 a âˆŞ , ,11. met xP → 3x mod 1.

Dit geeft een Hau horende middel-derde 0,0, âˆŞxfunctie 13x met x → 3x mod 1.

Dit geeft een Hau 3bekendste a∈A 1de 2 van a∈A torverzameling uit Figuur De afbeelding T bij die verzamelin T : âˆŞ , 1 met x →

3x mod 1.

Dit geeft een Ha A torverzameling uit Figuur 1.

D De berekening is 3x eena∈A leuke opgave voor lezer. log1 3 2. torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij 3 3 Een van de eenvoudigste en voorbeelden is de CanEen de eenvoudigste en bekendste voorbeelden is de middel-derde Can3 |) |) de de HausdorffdimenHausdorffdimenbewezen bewezen dat dat het het nulpunt nulpunt van van de de functie s s →

→

P (−s (−s log log |T |T 2.

De 2. berekening De berekening is een is leuke een leuke opgave opgave voor voor de lezer. de lezer. log log 2 1 T : 0, âˆŞ , 1 met →

mod 1.

Dit geeft een Hausdorffdimens T : 0, âˆŞ , 1 met x →

mod 1.

Dit geeft een Hausdorffdimensie van te is 3 met x 3 → 3x mod 1. Dit geeft een Hausdorffdimensie 3te 3 , 1

in T va 3 âˆŞ2voorbeeld 3: 1 3 3

de Een afgeknotte Gauss-afbeelding.

Een hiervan is te vinden in Figuur de Gauss-afbeelding.

Een voorbeeld hierde afgeknotte afgeknotte Gauss-afbeelding.

Een voorbeeld hiervan vinden in Figuur de afgeknotte Gauss-afbeelding. voorbeeld hiervan is vinden Figuur 3log xeen 2voor 1opgave x0,horende 2 1 De berekening isisis opgave de T De berekening opgave voor de lezer.

0vinden 1leuke :uit 0, âˆŞ ,32.

132. met xisBedford → 3x mod 1.

Dit geeft eenverzameling n−1 0 isvoorbeeld 1log 2.

De berekening een leuke voor delezer. lezer. de afgeknotte afgeknotte Gauss-afbeelding.

Gauss-afbeelding.

Een voorbeeld hiervan isafbeelding te|Tlog in Figuur 3n 3 : 0, âˆŞ1. ,Hausdorffdimensie 1 geeft met xeen → Hau 3x de Een hiervan islog te vinden in Figuur Tlog :berekening 0, âˆŞ , 1leuke met xeen → 3x mod Dit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die is torverzameling uit Figuur 1.

De T bij die verzameling isTleuke .lezer. sie sie is van van E E In ons geval de stetorverzameling → −s |de interessant, aangezien [1] heeft

3 3 De berekening een opgave voor de lezer. x 1 1 1is 2.

De berekening is een leuke opgave voor log 1functie 1 1is A A.2. n

2.

De een leuke opgave voor de lezer. log n 3 3 3 3 0 1 1 3

3

3 eknotte Gauss-afbeelding.

Een voorbeeld hiervan is vinden in Figuur 2.

Zij E ⊂ [0, 1] de verzameling van x ∈ [0, 1] zodanig dat T (x) ∈ [0, 1] voor 2.

Zij E van vinden in 2. 7Zij de 1] Figuur de verzameling xlog [0,ver1]nnzodanig dat T (x)1] [0, 1]in voor 2. Zijhiervan EA is ⊂ [0, 1]⊂vinden de[0,verzameling van xA ∈ [0,Een 1]∈ zodanig dathiervan T (x) ∈ dete afgeknotte Gauss-afbeelding. voorbeeld is3k[0, te Figuur Een is te in Figuur A 1∈.2voor 1opgave voor de lezer.

2(x) 1 2x vinden 7 2.

De is een log 3van exp fxberekening T → x )met =1] 2. voorbeeld Zij E EAA ⊂ ⊂ [0, [0,1] 1] de de verzameling van [0, 1]lim zodanig dat Tvan ∈eenvoudigste [0, 1] voor 3∈ 2.isisopgave De een leuk log verzameling van ∈∈nulpunt [0, dat Tvan (x) [0, 1] voor 2.

Zij De berekening is een leuke voor de is lezer. log T n:n3x 0,2Een âˆŞ 1 → met 3x 1.13 leuke Ditvoorbeelden Hausdorffdimensie van Tvan :n x 0, ∈13 [0, âˆŞ ,Px1(f xzodanig → mod 1.

Dit geeft een Hausdorffdimensie vaneen Een de de eenvoudigste en en bekendste bekendste voorbeelden de deberekening middel-derde middel-derde CanCan|) de Hausdorffdimenbewezen dat het van de functie s,voor P (−s log |T 3 2. n 7 mod 2geeft 31] 3 Zaremba’s vermoeden 3de n→∞ Zaremba’s Zaremba’s vermoeden vermoeden E ⊂x [0,∈1][0, de verzameling 1]1] zodanig dat Tnvan (x) ∈ [0, 1] alle n ∈dat N geldt, oftewel: ndat ∈ NTE geldt, oftewel: alle n zameling ∈alle N 2. geldt, oftewel: x 31 x Zij ⊂ [0, 1] verzameling x ∈ [0, zodanig dat T (x) ∈ [0, 1] voor A gA van 1] zodanig (x) ∈ [0, voor A 0 n 0 1 T x=x k=0 alle nn ∈∈ NN geldt, geldt, oftewel: oftewel: alle 2.

De berekening is een leuke opgave voor de lezer. log 1 1 1 2.

De berekening is een leuke opgave voor de lezer. log Zaremba’s vermoeden 1 1 1 torverzameling torverzameling uit uit Figuur Figuur 1.

1.

De De afbeelding afbeelding T T horende horende bij bij die die verzameling verzameling is is . sie is van E Zaremba’s vermoeden A vermoeden 3 vermoeden x211 Zaremba’s 1 22Zaremba’s 7 Zaremba’s vermoeden ∈ N geldt, oftewel:voor Zaremba’s vermoeden alle geldt, oftewel: 0Zaremba alle n ∈3N1 geldt, oftewel: 34, 2 heeft 7 het 3 in 11972 vermoeden Figuur 2: Gauss-afbeelding met ACan=volgende {1, 2,volgende 4,Hausdorffdimensie 6}.

1afgeknotte Figuur 2:[7] Deheeft met =gesteld. {1, 2, 6}.

Zaremba Zaremba heeft [7] in 1972 in 1972 het heteen vermoeden vermoeden gesteld. gesteld Zaremba’s ∞ ∞volgende ∞ Gauss-afbeelding TT 0, 0, 33De âˆŞ âˆŞafgeknotte ,,11A met met xafgeknotte xvermoeden → → 3x mod mod 1.

1.

Dit Dit geeft geeft een van van Een van de eenvoudigste en:: bekendste is[7]3x de middel-derde

Zaremba’s Zaremba’s vermoeden 33voorbeelden Figuur 2: De Gauss-afbeelding metHausdorffdimensie Agesteld. =vermoeden {1,vermoeden 2, 4, 6}.gesteld. ∞ ∞ 7 3 2 ZarembaZaremba [7] heeft 1972 hetin volgende vermoeden [7] heeft 1972 het volgende Zaremba [7] heeft in 1972 het volgende vermoeden gesteld.

E −n in −n −n

Zaremba [7] heeft invoor 1972de het volgende vermoeden gesteld. ∞ x Zaremba [7] heeft in 1972 het volgende vermoeden gesteld. ∞ Zaremba [7] heeft in 1972 het volgende vermoeden gesteld.

E = T ([0, 1]) . ∞ E = T ([0, 1]) . = T ([0, 1]) .

2 2.

2.

De De berekening berekening is is een een leuke leuke opgave opgave voor de lezer. lezer. log log torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is ∞ 0 1 −n A A A −n

3∈ 3 N

vermoeden Zaremba’s vermoeden E 2:vermoeden.

1 ([0, Zaremba [7] heeft in getal.

1972 het volgende vermoeden gesteld.

1A 1 T E = ([0,1]) 1])Zij .Gauss-afbeelding Zaremba’s A een positief geheel Zij Rmet deA .Zaremba’s verzameling van eindige kettingbreuken met coÍfficiÍnZaremba’s Zaremba’s vermoeden. vermoeden.

A Zij ∈ positief A N2,≼1 ∈ N een positief een positief geheel gehe ged A= ≼1 A Zij −n ≼1 −n 2 Tafgeknotte 2: ([0, De afgeknotte Gauss-afbeelding =een {1, 4,[7] 6}.

Figuur met A = {1, 2, 4, 6}.

Zaremba heeft in 1972 het Zaremba [7] heeft het volgende vermoeden gesteld.

Zaremba’s vermoeden.

ZijinA1972 ∈ Nvan geheel getal.

Zijgeheel RA vo 70, 1 ([0, 3De n=0 n=0 E ≼1 1]) âˆŞ , .1 2 met xAn=0 → 3x mod 1.

Dit geeft een Hausdorffdimensie =Figuur T −n 1]) .ffici¨ A=T: T = T −n ([0, 1]) . EA Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positief Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positief gehee ≼1 3 3 ≼1 Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positief gehe n=0 verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e e nten in {1, . . . , A}: n=0 ≼1 verzameling verzameling van eindige van eindige kettingbreuken kettingbreuken met co¨ met e ffici¨ co¨ e e nten ffici¨ e nten in {1, i ten in Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positief geheel getal.

Zij Figuur Zaremba’s 2: De afgeknotte Gauss-afbeelding met A = {1, 2, 4, 6}. vermoeden.

Zij A ∈ N een positief geheel getal.

Zij R de x ≼1 ≼1 A verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten in {1, . . . , A}: 0 in 1972 Zaremba [7] heeft in 1972 het1volgende vermoeden gesteld.

Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positiefmet geheel getal.

Zij in R Zaremba [7]berekening heeft het volgende vermoeden gesteld. n=0 2. De n=0 ≼1 een leuke opgave voor deverzameling lezer. log n=0 van eindige kettingbreuken co¨ e ffici¨ e nten 1isgeval 1n=0 1 verzameling verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten in 3 Zaremba’s Zaremba’s vermoeden vermoeden verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten in Zaremba’s vermoeden.

Zij A Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positief gehee de van oneindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten In dit is E

Inverzameling dit geval is deeindige verzameling oneindige ketverzameling vanmet oneindige kettingbreuken met co¨ ffici¨ e nten In dit is Evan kettingbreuken met co¨ verzameling van eindige kettingbreuken co¨effici¨ e≼1 nteninin{1, {1,e. ...,.A}: ,eA}:

met co¨ ffici¨ ntendein {1, . . . ,eA}: A{1, A de 7van 3A 2 verzameling van eindige kettingbreuken met .ffici¨ Figuur 2: geval De afgeknotte Gauss-afbeelding 2,e4, 6}.

In geval iseE verzameling van oneindige kettingbreuken co¨ nten

k =dit k effici¨ k entenmet A k 1 1 1

verzameling van eindige kettingb

verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten in R = x ∈ [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x = [a , . . . , a ] .

Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positief geheel getal.

Zij R de R = x ∈ [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x = [a , . . , a ] . in A. Deze verzameling staat centraal in het onderzoek naar Zaremba’s verZaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ N een positief geheel getal.

Zij R de ∃ ∃ R R = x = ∈ [0, x 1] ∈ [0, {a 1] } {a ⊂ } {1, ⊂ . . {1, . , A} . . . : , x A} = : [a x = , . . [a . ,1 in A. Deze verzameling staat centraal in het onderzoek naar Zaremba’s vertingbreuken met coĂŤfficiĂŤnten ∃ ix i=1 1 A kA A i i=1 1 kA ≼1 ≼1 A i ∃gesteld.

11 . Deze verzameling 1 het

A i=1 kikki=1 naar xvermoeden

== Zaremba Zaremba [7] [7] heeft heeft in in 1972 1972 het volgende volgende vermoeden gesteld. onderzoek 0 in1isA. Deze verzameling staat centraal in het Zaremba’s ver k∈ 1 R = ∈ [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x [a , .

1 E 1 verzameling 1 In ditk van 1 R = x ∈ [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x [a , ∃ 1 ∃

A i 1 k A i 1 Zaremba’s vermoeden R = x [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x = [a de verzameling van oneindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten geval E de oneindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten In dit geval is ∃ i=1

i=1 verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten in {1, . . . , A}: moeden door Bourgain en Kontorovich [2].

Jenkinson en Pollicott [5, 4] hebben verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten in {1, . . . , A}: A i 1

A A moeden door Bourgain en Kontorovich [2].

Jenkinson en Pollicott [5, 4] hebben staat centraalRFiguur in7=het x2: onderzoek Zaremba's {aii}}i=1 R[aR ∈ ⊂ A} =[a[a1 ,1., [5, , ka]khebben ] . . {ai }i=1 ⊂moeden {1, . .ver. , door A} : xBourgain = ,=. = . en .x ,{1, axKontorovich ]2,[0, . 1]6}. i=1::xx= 3∈ [0, 21] ∃ naar A1A [0, 1] ∃ ⊂ {1, .. .. .. ,,kA} .. .. ,.a4] A k∈ ∃{a De afgeknotte Gauss-afbeelding met = 4, i=1 Jenkinson [2]. enRPollicott {1, Zij de verzameling noemers van de breuken in :getal. deA. verzameling van oneindige kettingbreuken met co¨ eDZij ffici¨ eAnten In dit geval iseen EAinalgoritme AR A in A. Deze verzameling staat centraal in het onderzoek naar Zaremba’s verDeze verzameling staat centraal in onderzoek naar Zaremba’s Zij DABourgain de verzameling noemers van de het breuken in :A Rde = x ∈ A[0, R =N x ∈ [0,noemers 1] {a ⊂ {1, . . de .in , A} :R x1] = ∃ [a D de D verzameling de verzameling noemers noemers van de van breuken breuken R in :R R :{a een algoritme gevonden dat een superexponenti¨ e≼1 leverbenadering geeft voor ∃ Zaremba’s Zaremba’s vermoeden. vermoeden.

Zij Zij A A ∈ ∈ N een een positief positief geheel getal.

Zij Zij de gevonden dat een superexponenti¨ e le benadering geeft voor de

moeden door en Kontorovich [2].

Jenkinson Zij verzameling van de breuken in

AZij A

A i }geheel 1 ,i A Ade ≼1 A A i=1 Zaremba [7] heeft inhet 1972 volgende vermoeden gesteld. een algoritme gevonden dat een superexponenti¨ elevan benadering geeft voor de DDD

het [5, in k verzameling van oneindige kettingbreuken met co¨ effici¨ eKontorovich nten In dit gevalverzameling is Emoeden k 2, Zij de verzameling noemers de breuken in R : A de Zij de verzameling noemers van de breuken R : in A. Deze staat centraal in onderzoek naar Zaremba’s verA A A A Figuur 2: De afgeknotte Gauss-afbeelding met A = {1, 4, 6}.

Zij de verzameling noemers van de breuken in R : moeden door Bourgain en [2].

Jenkinson en Pollicott [5, 4] hebben door Bourgain en Kontorovich [2].

Jenkinson en Pollicott 4] hebben

A A

R = x ∈ [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x = [a , . . . , a ] .

Hausdorff-dimensie van E .

R = x ∈ [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x = [a , . . . , a ] . verzameling verzameling van van eindige eindige kettingbreuken kettingbreuken met met co¨ co¨ e e ffici¨ ffici¨ e e nten nten in in {1, {1, . . . . . , , A}: A}:

Hausdorff-dimensie van E . ∃ enZij Pollicott 4] hebben dat : Zij DAD de verzameling noemers in R RAA:kb: ∃ verzameling noemers van van de de breuken breuken1 in DA de[5,verzameling noemers van deHausdorff-dimensie in R A Zij i i=1 AA A een i breuken A algoritme A :de i=1 gevonden in A. door DezeBourgain verzameling centraal in het onderzoek naar Zaremba’s ver-vanbDEAA1= . d ∈ Nk ≼1 ∃b : ggd(b, ∈ RAde ∈ Nnoemers d) = 1verzameling ∧breuken . R b b Dvan ≼1

moeden en staat Kontorovich [2].

Jenkinson Pollicott 4] e algoritme een le benadering geeft Zij noemers een algoritme gevonden superexponenti¨ e[5, led) benadering voor de ∃b de verzameling de Zaremba’s Zij A ∈gevonden een positief geheel Zij R de A∈de A d= een superexponentiĂŤle benadering de Haus A∈ geeft

dat

Rgeeft ∈en N≼1 =[2]. ddat ∈een Neen :Nggd(b, =hebben 1Zij ∧ Dsuperexponenti¨ .D D ≼1 A ∃b

R ∈ N ∃b N = ∈ N d ∈ N : ggd(b, :dvoor ggd(b, d) = in 1d) ∧ =A1:∈∧ D Avermoeden. ≼1 voor AAgetal. b ≼1 ≼1 ≼1 ≼1 A b

moeden door Bourgain en Kontorovich Jenkinson en Pollicott [5, 4] hebben

b

k k b

b

d b∈noemers een algoritmedorff-dimensie gevonden dat een superexponenti¨ ele geeft voor de d∈∈ ∃b ∃b ∈ N = dd..dN ∈ N :.1:.ggd(b, d) ===.11d.1∧∧∧ ∈ D van E∧ .∈ ∈∈d) NN = ∈ N ggd(b, d) DD Hausdorff-dimensie van EAHausdorff-dimensie . ∃b A

∃b Zij Dbenadering de de verzameling van de breuken in R :x

D deE verzameling noemers van breuken in R : ∃ A ≼1 ≼1 A verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten in {1, . . . , A}: R R = = x x [0, [0, 1] 1] {a {a } } ⊂ ⊂ {1, {1, . . . . , , A} A} : : x = = [a [a , , . . . . , , a a ] ] . .

A ≼1 ≼1

van . ∃b = ∈ N : ggd(b, d) de verzameling van oneindige kettingbreuken met co¨ e ffici¨ e nten In ditZij geval ∃ A A is A ∈ R D = d ∈ N ∃b ∈ N ggd(b, = 1 ∧ A A i i 1 1 k k

A ≼1 ≼1 A

∈ R ∈ : ggd(b, d) = ∧ = d ∈ N D A ≼1 ≼1 A een algoritme gevonden dat een superexponenti¨ e le benadering geeft voor de i=1 i=1 ∈ R ∈ N : ggd(b, d) = 1 = d ∈ N .

D

≼1 A ≼1 A ≼1 ≼1 kettingbreuken dbd d is er eenAZ ∈ N zodanig Hausdorffdimensie dat DZ = N geldt.

Hausdorffdimensie dd de verzameling van oneindige met co¨effici¨eDan nten In dit geval is EAvan Hausdorff-dimensie EA . Averzameling ∈ Zaremba’s Hausdorffdimensie d in Dan A. staat centraal in Nhet onderzoek naar dat

zodanig = d)d = ∈ 1N∧ ∈= ND≼1 = d Ndat : D ggd(b, D Hausdorff-dimensie van Deze EisAstaat .er een ≼1 ∃b ≼1 ∃b Z ∈ in N zodanig DZk Zaremba’s = geldt.

Dan er is eenerZeen ∈ANZ ∈verN ∈zodanig Ddat NZ geldt. = NA geldt.

in A. Deze verzameling centraal het onderzoek ver-Dan is Z naar b b d Bourgain en Kontovorich [2] hebben in 2014 bewezen dat er een A ∈ N

Zij Zij D D de de verzameling verzameling noemers noemers van van de de breuken breuken in in R R : : R = x ∈ [0, 1] {a } ⊂ {1, . . . , A} : x = [a , . . . , a ] . moeden door Bourgain en Kontorovich [2].

Jenkinson en Pollicott [5, 4] hebben Hausdorffdimensie Dan iser erR een zodanig dat ∃ Dan een zodanig =verzameA A≼1 A AD Dan is er een Z ∈dat zodanig dat D geldt. i∈Hausdorffdimensie 1∈ Er zijn verschillende om de Hausdorffdimensie van een ∈D N =manieren dereen ∈= NDan :k.Z∈ ggd(b, d) ∧ .geldt.

D ∈ N = dHausdorffdimensie ∈ :4]Dan ggd(b, 1Z ∧ Dzodanig zijn manieren om de van een verzameZZR is een Z ∈is N zodanig D ==N N1 dat geldt. moedenEr door Bourgain en Kontorovich Jenkinson en ∃b Pollicott [5, er een ∈NNN zodanig dat =NNNgeldt. geldt.

Ahebben ≼1 ≼1Z A A [2]. ≼1 A Z= Z= Hausdorffdimensie Dan is erd) ∈ is∃b N zodanig dat D geldt.

Dan isveel er verschillende een Z ∈ NA datNveel D Ni=1 geldt.

Z Z = Er zijn veel verschillende manieren om de Hausdorffdimensie van een verzamemet d d Bourgain en Kontovorich [2] hebben in 2014 bewezen dat er een A ∈ N is

Bourgain Bourgain en Kontovorich en Kontovorich [2] hebben [2] hebben in 2014 in 2014 bewezen bewezen dat

een algoritme gevonden dat een superexponenti¨ e le benadering geeft voor de een algoritme gevonden dat een superexponenti¨ e le benadering geeft voor de Er zijn veel verschillende de HausdorffBourgain en Kontovorich [2]Dan hebben inin 2014 bewezen lingwordt teom defini¨ eren. In ons geval wordt Hausdorffdimensie eis erd termen ling te defini¨ eren. In onsmanieren geval Hausdorffdimensie gedefini¨ eis erd termen 1 gedefini¨ Hausdorffdimensie Z ∈ N er zodanig da Z Kontovorich ∈ N hebben zodanig dat Db= =een Nin geldt.

Hausdorffdimensie Zbewezen er ineen ber ling teons defini¨ eren.

InDan ons geval wordt Hausdorffdimensie e2014 erd in termen Bourgain en [2] hebben bewezen Bourgain en Kontovorich [2] in 2014 bewezen Bourgain en Kontovorich [2] in 2014 dat een A A∈dd |DA ∊in lim [1, Nvan ]|hebben 1gedefini¨ Hausdorff-dimensie van ED . de Bourgain en Kontovorich [2] hebben in2014 bewezen Averschillende met R Zij verzameling noemers van de breuken R :≼1 met Hausdorff-dimensie .definiĂŤren. zijn veel verschillende manieren om de Hausdorffdimensie een verzamedimensie van een te In dat er een ishebben met Bourgain Kontovorich [2] 2014 bewezen dat er een Er zijn veel manieren om de van een verzameBourgain en Kontovorich [2] hebben inZ Hausdorffdimensie 2014 bewezen dat er een A ∈ N is A → een continue functie is, dan wordt de van druk. fin : en E A ∈ ∈ R R ∃b ∃b ∈ ∈ N N = = dd ∈ ∈met N N : : ggd(b, ggd(b, d) d) = = 1 1 ∧ ∧ . .

D D Nde →∞ → R1iseen continue functie is, dan wordt van mathematische druk.

Als fEr :mathematische E N A A AAls ≼1 ≼1 ≼1 A A A Dan er een Z ∈ N zodanig dat D = N geldt.

Dan isA erverzameling een Zvan ∈ NE zodanig dat D = N geldt. fZ: EA → R een continue 1[2]Bourgain is, dan wordt de vanein mathematische druk.

Als met met met d1dfunctie met Er zijn veel verschillende manieren omons dedruk van een verzameEr zijn veel verschillende manieren om de Hausdorffdimensie van een verzameen Kontovorich [2] Bourgain en Kontovorich 2014 d gegeven Hausdorffdimensie

ling te ren.

In ons wordt inin geval wordt Hausdorffdimensie gedefiniĂŤerd met ling tefdefini¨ eren.door In geval wordt Hausdorffdimensie gedefini¨ erd in termen met |D lim ∊door [1, Nwat ]| geval = van fdefini¨ |D lim ∊|D[1, N ∊termen ]|[1, =N1]|bewezen =1 druk van gegeven 1 limgedefini¨ Aterin 12015 door eHausdorffdimensie Huang [3] is aangescherpt naar: 1hebben A 11Aeerd

b druk van f gegeven door N →∞ 1 N 1 N →∞ N →∞ N N |D lim ∊ [1, N ]| = 1 te defini¨ e ren.

In ons geval wordt Hausdorffdimensie gedefini¨ e erd in termen Hausdorffdimensie |D lim ∊ [1, N ]| = 1 lingling te defini¨ eren.

In ons geval wordt Hausdorffdimensie gedefini¨ e erd in termen A |D lim ∊ [1, N ]| = 1 met met Bourgain en Kontovorich [2] hebben in 2014 bewezen dat er een A ∈ N is

A Bourgain en Kontovorich [2] hebben in 2014 bewezen dat er een A ∈ N is A |D lim ∊ [1, N ]| = 1 → R een continue functie is, dan wordt de van mathematische druk.

Als f : E : E → R een continue functie is, dan wordt de van mathematische druk.

Als f men van mathematischeDdruk. een ∈ RD ∃b ∈is Ner d ∈ N≼1|D : ggd(b, = 1 ∧A dat .= A |DAN∊ lim [1, NN ]| = 1A →∞ lim [1, Neen ]|een = ZZ 1 ∈∈d) A = Als ≼1 A

Dan is er N Nde zodanig zodanig D = N NN geldt. geldt. →∞ A∊

N →∞ Dan ZZN 1N N →∞N Hausdorffdimensie 1 is → R een continue functie is,n−1 dan wordt mathematische druk.

Als E d dat n−1 →∞ Huang N →∞ N [3] Nis →Huang een continue functie is, dan wordt de vanvan mathematische druk. :: door EAAom

wat infAls 2015 [3] aangescherpt naar: met wat in wat 2015 in 2015 door N door Huang [3] aangescherpt isNaangescherpt met

f gegeven door druk van

druk van gegeven door continue functie is,ff dan wordt de druk gegeven |D lim ∊ [1, ]| =|D 1A Er zijn veel verschillende manieren deRHausdorffdimensie van een verzamelim ∊naar: [1, Nnaar: ]| = 1 lim

5 1 n−1 1 wat in k2015wat door Huang [3] is aangescherpt naar:

NHuang →∞ druk van fdefini¨ gegeven door 1exp NT k[3] 1 Peerd kdat er →∞ in 2015 door aangescherpt naar: Nis →∞ wat in 2015 door Huang [3] is aangescherpt naar: N 1 log f x . (f ) = lim wat in 2015 door Huang [3] is aangescherpt naar: log exp f T x .

P (f ) = lim druk van ftegegeven door ling e ren.

In ons geval wordt Hausdorffdimensie gedefini¨ in termen Bourgain Bourgain en en Kontovorich Kontovorich [2] [2] hebben hebben in in 2014 2014 bewezen bewezen dat er een een A A ∈∈ N NNis is wat in 2015 door Huang [3] is aangescherpt naar: wat in 2015 door Huang [3] is aangescherpt naar: doorEr zijn wat in 2015 door Huang [3] is aangescherpt naar: |D lim ∊ [1, N ]| = 1 |D lim ∊ [1, N ]| = 1 veelis verschillende manieren om de Hausdorffdimensie van een verzameA

A

log exp f T x .

P (f ) = lim n→∞ n→∞ n

Dan er een Z ∈ N zodanig dat D = N geldt.

1 Zdan wordt 1 1 n n−1 continue functie is, de van mathematische druk. Als f : EA → R een n n−1TNn→∞

n−1 1 N →∞ N N T in x=x n→∞ k=0 x=x k=0 n wat in 2015 door Huang [3] is a wat 2015 door Huang [3] is aangescherpt naar:

1

In dat bewijs is het cruciaal dim E > geldt.

Daarom zijn er met met

|D lim ∊ [1, N ]| = 1 H {1,2} |D lim lim ∊ ]|[1,=N1]| = 1 naa

n x=x 1gedefini¨eerd inTlim 1n−1 ling tedoor defini¨e1ren. In wordt termen 11152=∊|D 5N ons geval

k=0 kN Hausdorffdimensie 5 [1, N 1[1, druk van f gegeven 5k∊ N →∞ 1Nf∈|D 11exp 1log NT →∞ N N→∞ N log xlim . ]|snel Pdoor (f )in= exp flim T kbewezen x[3] . aangescherpt P door (fen ) =Kontovorich lim [3]

|D ∊ [1, N ]| = 1 |D lim ∊ [1, N ]| = 1 manieren gezocht om deze Hausdorffdimensie te berekenen, waarbij he

5 wat in 2015 Huang is naar: 5 wat in 2015 Huang is aangescherpt naar: log exp f T x .

P (f ) = lim N →∞ |D lim ∊ [1, N ]| = 1 1 Bourgain [2] hebben 2014 dat er een A N is ∊ [1, ]| = 15 lim |D lim ∊[1, [1, N N]| = = 1→∞ 1 NNN |DA5T→ lim ∊k [1, 1 n→∞ functie een is, dan|D wordt de|D druk.

Alsnf : E n→∞ n 1 vanlim 5]|N A A∊ →∞ N →∞

N n exp xR N .]| = Pvan (f ) mathematische = n→∞ lim n logT continue 1N bleek te zijn.

1 Algoritme Jenkinson enk=0 Pollicott snelste n T2 x=x N N →∞ →∞ x=x k=0 n−1 N →∞ N het N N N →∞ N fT2 n k=0 1

met lim n→∞ |D lim H ∊{1,2} [1, ]|geldt. =11 geldt. n1 is nx=x 5E druk van f gegeven door In dat bewijs het cruciaal dim E > geldt.

Daarom zijn er naar geldt.

In dat In bewijs dat bewijs is het is cruciaal het cruciaal dim dim E > Daarom Daar k H {1,2} H N 2 H E{1,2} In dat 2bewijs is het 1cruciaal dim >N 12{1,2} er k=0 log T x=x exp f T x 1 .1 P (f ) = lim N →∞ 2 > N →∞ 1112 zijn

n→∞ In dat bewijs is het cruciaal dim E > geldt.

Da wat wat in in 2015 2015 door door Huang Huang [3] [3] is is aangescherpt aangescherpt naar: naar: In dat bewijs is het cruciaal dim E > geldt.

D n 1 1 H |D lim ∊ [1, N ]| = 1 geval de functie functie Inberekenen, dat bewijs het cruciaal |D lim [1, Nbewijs ]|manieren 1In InInons geval isis de sx=x → log | interessant, interessant, aangezien Bedford [1] heeft {1,2} {1,2} dat bewijs isis het cruciaal dim E >22te |DIn lim ∊ [1, N ]|== 1manieren 5waarbij 5 manieren gezocht om−s deze Hausdorffdimensie snel te het H geldt. gezocht gezocht om deze om deze Hausdorffdimensie snel snel bereken te be {1,2} A∊ E >H dat is het cruciaal dim Daarom zijn eD k=0 Inonsdat bewijs is hetT cruciaal dim|T E > geldt.

Daarom zijn er naar 2 geldt. manieren gezocht om deze Hausdorffdimensie snel te berekenen, waarbij

H {1,2}Hausdorffdimensie H {1,2}

N →∞ 2 N →∞ N 2 N Jenkinsons en Pollicotts algoritme N →∞ N 2

n−1

2

2 1 manieren gezocht om deze Hausdorffdimensie snel te bere manieren gezocht om deze Hausdorffdimensie snel te bere

Bedford heeft bewezen het geldt.

Daarom zijn er naar manieren gezocht om deze |)gezocht de Hausdorffdimenbewezen dat van de functie s−s → P (−s log |Tte In ons geval is|isinteressant, de functie → log |T interessant, aangezien Bedford [1] heeft Inhet geval de saangezien → −s log[1] |T | snelste interessant, aangezien Bedford [1]deze heeft In ons is de functie sgeval → −s log Bedford [1] heeft gezocht om Hausdorffdimensie snel te ber In−s ons isnulpunt de functie sfunctie → −ssdat log |T |nulpunt interessant, aangezien Bedford [1] heeft In ons geval is|heeft de functie skmanieren → −s log |T | interessant, aangezien Bedford [1] heeft geval is degeval functie saangezien → log |T |ons interessant, aangezien Bedford In dat bewijs is het cruciaal di

Algoritme 1[1]|T van Jenkinson en Pollicott het bleek te zijn.

In dat bewijs is het cruciaal dim E > geldt.

D Algoritme Algoritme 1 van 1 Jenkinson van Jenkinson en Pollicott en Pollicott het snelste het snelste bleek bleek zijn t 1 manieren om deze Hausdorffdimensie snel te berekenen, waarb H manieren gezocht om deze Hausdorffdimensie snel berekenen, waarbij het {1,2} Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott het snelste bleek te zijn. waar 2 1 van 1 Jenkinson

exp Het 2nulpunt 11gelukt aangescherpt Algoritme 2 de Hausdorffdimensie log f(−s Tnog xHausdorffdimensie .lim P (f =Huang lim dede 1]|]|te 1(−s Algoritme en Pollicott het snelste bleek te wat in 2015 door [3] isdat naar: van Jenkinson en Pollicott het snelste bleek te is niemand om voor |A| ≼ van E 2) → van de functie Hausdorffdisnel berekenen, waarbij het .dat isbewezen vanfunctie E |) de Hausdorffdimenbewezen dat het van de functie s →

P log |T |D |D lim ∊ ∊ [1, [1, N N = = 1 1 |) de Hausdorffdimenbewezen dat het nulpunt van de functie s →

P log |T |) de Hausdorffdimenbewezen dat hetsie nulpunt van de functie sis P|T (−s log |T Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott het snelste bleek te |) de Hausdorffdimendat het nulpunt van functie s →

P (−s log |T |) de Hausdorffdimenbewezen dat het nulpunt van de functie s →

P (−s log |T P (−s log |) Hausdorffdimenn dat het nulpunt van de s →

manieren gezocht om deze Hau manieren gezocht om deze Hausdorffdimensie snel te bere A 5 5 In bewijs is het cruciaal dim E > geldt.

Daarom zijn er naar In bewijs het cruciaal dim E > geldt.

Daarom zijn er naar de Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott het snelste bleek te zijn.

Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott het snelste bleek te zijn.

H n→∞ H {1,2} {1,2} 2 2Bedford In ons geval is de functie s → −s log |T |ninteressant, heeft N N[1] →∞ →∞ N N1een uitis te rekenen.

Als singleton is, Algoritme dan geldt dim (EJenkinson ) = 0. Gelukki x=x aangezien Tn k=0 H A isvan van ..van Eengezocht bekendAlgoritme van Jenkinson Pollicott het snelste Een deE eenvoudigste en bekendste voorbeelden de middel-derde Can. .de eenvoudigste sie isis Evan sie E . mensie sie isvan sie isen van ansie EAis. van EA 1 het van Algoritme 1Aen van Jenkinson en Pollicott snelste bleek AA manieren deze Hausdorffdimensie snel teen berekenen, waarbij het enteP manieren om deze Hausdorffdimensie snel te berekenen, waarbij het Avan A . Jenkinsons Jenkinsons endePollicotts 1 Egezocht en Pollicotts algoritme |)om deJenkinsons Hausdorffdimenbewezen dat het nulpunt van functie s → Palgoritme (−s log |T hebben Jenkinsons en Pollicotts algoritme Pollicotts 4] | interessant, aangezien Bedford [1] heeft Jenkinson en Pollicott [5, Algoritme 1algoritme uitgevonden. Daarin word 1 1 torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is ste en voorbeelden is de middel-derde Cantorverzamebleek te zijn.

Een van dedeeenvoudigste en bekendste voorbeelden is de middel-derde Can|D lim ∊eenvoudigste [1, Nhet ]| Can=Jenkinsons 1 Een van eenvoudigste bekendste voorbeelden is de middel-derde CanEeneenvoudigste van de eenvoudigste en bekendste voorbeelden isen de middel-derde Een van de eenvoudigste en bekendste voorbeelden is de middel-derde CanEen van de en bekendste voorbeelden is de middel-derde Canvan de bekendste voorbeelden is de middel-derde Can5van Algoritme 1 Jenkinson en Pollicott het snelste bleek te zijn.

Algoritme 1 van Jenkinson en Pollicott het snelste bleek te zijn. en Pollicotts algoritme In In dat dat bewijs bewijs is is het cruciaal cruciaal dim dim E E > > geldt. geldt.

Daarom Daarom zijn zijn er er naar Jenkinsons en Pollicotts algoritme

H H

{1,2} {1,2} Jenkinsons en algoritme Pollicotts algoritme 22 van EA te benaderen. Ditnaar was he druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van E1A . 2 N →∞ N Jenkinsons en Pollicotts Jenkinsons en Pollicotts algoritme |) de0, Hausdorffdimens → P (−s logsie|Tis Het isFiguur nog niemand gelukt om voor |A| ≼ 2berekenen, de Hausdorffdimensie van 2 Het is nog niemand gelukt om voor |A| ≼ 2 de Hausdorffdimensie van E T : âˆŞ , 1 met x →

3x mod 1.

Dit geeft een Hausdorffdimensie van ling uit Figuur 1.

De afbeelding horende bij die vertorverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is Het is Het nog is niemand nog niemand gelukt gelukt om voor om voor |A| ≼ |A| 2 ≼ de 2 Hausdorffdi de Hausd torverzameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is torverzameling uit 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is ameling uit Figuur 1.

De afbeelding T horende bij die verzameling is A manieren manieren gezocht gezocht om om deze deze Hausdorffdimensie Hausdorffdimensie snel snel te te berekenen, waarbij waarbij het het 3 3

grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebruiken we de Ruell

Jenkinsons en Pollicotts Jenkinsons en Pollicotts algoritme Een van de eenvoudigste en bekendste voorbeelden is de middel-derde Can

22 11 Het is nog niemand gelukt om voor |A| ≼ 2 de Hausdor 2 1 2 1 Het is nog niemand gelukt om voor |A| ≼ 2 de Hausdo 1 T : 20, 1 âˆŞ 2 , log uit te rekenen.

Als A een singleton is, dan geldt dim (E ) = 0.

Gelu 1 Het is nog niemand gelukt om voor |A| ≼ 2 de Hausdo H A uit te rekenen.

Als A een singleton is, dan geldt dim (E ) = 0.

Gelukkig 2.

De berekening is een leuke opgave voor de lezer.

T : 0, âˆŞ , 1 met x →

3x mod 1.

Dit geeft een Hausdorffdimensie van is met Jenkinsons en Pollicotts âˆŞmet met 3x mod Dit geeft een Hausdorffdimensie van ,x 1het TâˆŞ :1.

0, → 3x mod 1.3gelukt Dit geeft een Hausdorffdimensie van uit te uit rekenen. te rekenen.

Als A Als een een singleton is, is,functie geldt dan geldt dim dim (EzAH ) T3x : isx0, ,31 geeft → 3xxT mod 1. H Dit een Hausdorffdimensie van : →Algoritme 0, âˆŞ ,van 1van met xniemand → 3x mod 1.4].

Dit een Hausdorffdimensie x1zameling →Het mod een Hausdorffdimensie isoperator nog gelukt om voor |A| ≼ 2continue de Hausdorffdimensie H A nog niemand om voor |A| ≼ Het de Hausdorffdimensie van E v Algoritme 1geeft 11. van Jenkinson Jenkinson en en Pollicott Pollicott het het snelste snelste bleek bleek te tedan zijn. zijn.

In dat bewijs cruciaal dim E23{1,2} > geldt.

Daarom zijn er naar 3met uit artikelen [5, Zij vgeeft :A Csingleton → Calgoritme een op van CHen ∈va A 3 3is 3Dit 3 uit 3 , 13 met 3 âˆŞ 2uit Jenkinsons en Pollicotts algoritme Jenkinsons en Pollicotts torverzameling Figuur 1.3is De afbeelding T3algoritme horende bij die verzameling is ste voorbeelden middel-derde Cante rekenen.

Als A een singleton is, dan geldt dim (E uit te Als A een singleton is, dan dim (E hebben Jenkinson en Pollicott [5, 4] Algoritme 1 4] uitgevonden.

Daarin w de geeft een leuke HH uit teberekenen, rekenen.

Als A een singleton is, dan geldt dim ( Het isgeldt nog niemand gelukt om Jenkinson eneen Pollicott [5, 4]dan Algoritme 1complex uitgevonden.

Daarin wordt Het is nog niemand gelukt om voor |A| ≼ (E de Hausdor 2.2.

De berekening isdeze een leuke opgave voor de lezer. log . Dit een Hausdorffdimensie van . De bereHet isrekenen. nog niemand gelukt om4] de log De berekening islezer. een leuke opgave voor de lezer.

H ishebben opgave voor de hebben hebben Jenkinson Jenkinson en Pollicott en Pollicott [5, [5, Algoritme Algoritme 12geldt uitgevonden 1= uitgevo 2.

De berekening iseen leuke opgave voor de lezer.

2.

De berekening isH een leuke opgave voor de lezer. log een getal, dan is de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: Delog berekening is een leuke voor de lezer. uit te rekenen.

Als A een singleton is, dan dim ) 0.

Ge uit te rekenen.

Als A singleton is, geldt dim (E ) = 0.

Gelukkig 2opgave 1log manieren gezocht om Hausdorffdimensie snel te waarbij het 3 3 H A 3 2. De berekening A 3 3 T : bij 0, 3dieâˆŞ verzameling , 1 met xis → 3x mod 1. Dit geeft een Hausdorffdimensie van elding T horende hebben Jenkinson en Pollicott [5, 4] Algoritme 1 uitgevond te benaderen.

Dit was druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van E hebben Jenkinson en Pollicott [5, 4] Algoritme 1 uitgevon 3 A hebben Jenkinson en Pollicott [5, 4] Algoritme 1 uitgevon uit te rekenen.

Als A een sing

te benaderen.

Dit was het druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van E uit te rekenen.

Als A een singleton is, dan geldt dim (E Het is nog niemand gelukt om voor |A| ≼ 2 de Hausdorffdimensie van E kening is een leuke opgave voor degelukt lezer.

Hausdorffdimensie van rekenen.

Het is nog niemand om voor hebben |A|het 2Adruk de Hausdorffdimensie van EA uit te −1 te druk gebruikt gebruikt om wordt de om[5, Hausdorffdimensie de4] Hausdorffdimensie van Evan EAbenadere Jenkinson en Pollicott Algoritme 1 uitgevonden.

Daarin H Jenkinson Pollicott [5, 4] Algoritme 1 ≼uitgevonden.

Daarin A bena A te Algoritme 1en van Jenkinson en Pollicott snelste bleek te zijn.

Zaremba’s vermoeden 2. hebben De berekening isvan een leuke opgave voor de lezer. log3Hausdorffdimensie Jenkinsons Jenkinsons en en Pollicotts Pollicotts algoritme algoritme . Dit geeft een grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebruiken we de Ru te druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van Een te benad druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van EE vdim (z + a)

AA tebenad bena druk gebruikt om degeldt Hausdorffdimensie van hebben Jenkinson grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebruiken we de Ruellehebben Jenkinson en Pollicott [5, 4] Algoritme 1 uitgevon uit te rekenen.

Als A een singleton is, dan (E ) = 0.

Gelukkig een singleton is, dan geldt .

GelukAPollicott uit te rekenen.

Als A een singleton is, dan geldt dim (E ) = 0.

Gelukkig grootste grootste gedeelte gedeelte van mijn van mijn scriptieonderzoek. scriptieonderzoek.

Hiervoor Hiervoor gebruike geb te benaderen.

Dit w druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van E te benaderen.

Dit was het druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van E H A H A A A Zaremba’s vermoeden Zaremba’s vermoeden Zaremba’s vermoeden Zaremba’s vermoeden Zaremba’s vermoeden mba’s v(z) = .

L ve voor vermoeden de lezer. Zaremba s operator uit artikelen [5, 4].

Zij v : C → C een continue functie op C en z gedeelte van scriptieonderzoek.

Hiervoor gebru 2s grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebr [7] heeft in van 1972 heten volgende vermoeden gesteld. grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor geb druk gebruikt om deAwordt Hausdorff operator uit artikelen [5,Pollicott 4]. hebben ZijHet v[5, : is C C niemand een en continue op C |A| en ∈ tewe benad druk gebruikt om dezmijn Hausdorffdimensie van E Pollicott [5, 4] Algoritme uitgevonden.

Daarin hebben Jenkinson 4]→ Algoritme 1 grootste uitgevonden.

Daarin wordt Zaremba's vermoeden kigfunctie hebben Jenkinson en Pollicott [5, Algoritme Het isJenkinson nog nog niemand gelukt gelukt om om voor voor |A| ≼ ≼ 212CZij de de Hausdorffdimensie van van E E operator operator uit artikelen uit artikelen [5, 4].

[5, 4]. vHausdorffdimensie :Zij v→ :C C4]→ een C continue een continue functie grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebruiken de R (z +Ca) grootste gedeelte mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebruiken we de RuelleA A fu a∈A Jenkinsons en Pollicotts algoritme een complex getal, dan is de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: operator uit artikelen [5, 4].

Zij vvv: :continue → CCC een continue fun operator uit artikelen [5, 4].

Zij → een continue fun vermoeden Zaremba in 1972 het volgende vermoeden gesteld.

Zaremba [7] heeft in 1972 het volgende vermoeden [7]Zaremba’s heeftZaremba inZaremba 1972 het volgende vermoeden gesteld. operator uiten artikelen [5, 4].

Zij :CC C → een continue fu [7] heeft inheeft 1972 het volgende vermoeden [7] heeft ingesteld.

1972 het volgende vermoeden gesteld. a Zaremba [7] heeft in 1972 het volgende vermoeden gesteld. grootste gedeelte van mijn een complex getal, dan is devZaremba Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebr te benaderen.

Dit was hetscrip druk gebruikt om de van E te benaderen.

Dit was het druk gebruikt om de Hausdorffdimensie van E [7] heeft in[7] 1972 het volgende vermoeden 1gesteld. uitgevonden.

Daarin wordt druk gebruikt om de uit uit te te rekenen. rekenen.

Als Als A A een een singleton singleton is, is, dan dan geldt geldt dim dim (E (E = = 0.

0.

Gelukkig Gelukkig een complex een complex getal, getal, dan is dan de is Ruelle-operator de Ruelle-operator volgt als volgt gedefinie ged operator uit artikelen [5, 4].

Zij v : C → C een functie op C en operator uit artikelen [5, 4].

Zij : C → C een continue functie op C z ∈ C A AHausdorffdimensie H H A A)) als Zaremba’s vermoeden. Zij A ∈ N≼1 een positief Als geheel getal.

Zij Rgetal, de dan s metals Ruelle-operator A dan complex isiseigenwaarde gedefi = dim (EA )uit geldt, isdan de van hoogste modulu een complex getal, de Ruelle-operator als volgt gedefi H een complex getal, isde de Ruelle-operator als volgt gede uit [5,wordt 4].

Zij operator artikelen [5, 4].

Zij vbenaderen. :C Cwe continue fun −1 grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor de Ruelle een |A|volgt grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebruiken dedan Ruellegesteld.

Hausdorffdimensie van tegebruiken Dit was hebben hebben Jenkinson Jenkinson en en Pollicott Pollicott [5, [5, 4] 4]we Algoritme Algoritme 1A 1operator uitgevonden. uitgevonden.

Daarin Daarin wordt Het inis nog niemand gelukt om voor ≼ 2sgedefinieerd: de Hausdorffdimensie van E volgt

→Lartikelen een een getal, isgetal. de Ruelle-operator gedefinieerd: een complex getal, dan is de Ruelle-operator als Zaremba [7] 1972 het volgende vermoeden gesteld. +als a) volgt

verzameling van eindige kettingbreuken met co¨ effici¨ ecomplex nten in . .geheel . geheel ,dan A}: vermoeden.

Zij ∈een N een R Zaremba’s vermoeden.

Zij AZij ∈ N eenpositief positief getal.

Zij R de(z Zaremba’s vermoeden.

Zij ∈ N een positief geheel getal.

Zij R de1.Zij Zaremba’s vermoeden.

Zij A ∈ NA positief geheel getal.

Zij Reen depositief −1 Zaremba’s vermoeden.

A ∈ N geheel getal.

Zij−1RA−1 de ba’s vermoeden.

Zij A heeft ∈Zaremba’s N een positief geheel getal.

R de gelijk aan ≼1 AAvde ≼1 ≼1 A{1, ≼1 AZij ≼1 ≼1A A

v (z + a) een complex getal, dan is de Ru een complex getal, dan is de Ruelle-operator als volgt gedefi v (z v + a) (z + a) operator uit artikelen [5, 4].

Zij v : C → C een continue functie op C en z ∈ C

operator uit artikelen [5, 4].

Zij v : C → C een continue functie op en z ∈ C het Hgrootste scriptieonderzoek. te te benaderen. benaderen.

Dit Dit−1 was was het het druk druk gebruikt gebruikt om omgeldt de de Hausdorffdimensie Hausdorffdimensie van vanvan E EAA mijn uit te rekenen. Als A een singleton is, dan dim (EA ) L=sgedeelte 0. = Gelukkig

−1 −1 vermoeden gesteld. verzameling van kettingbreuken co¨ effici¨ enten .v(z) 2s verzameling van eindige kettingbreuken co¨ effici¨ e{1, nten {1,. ..met . ,. A}: , A}: verzameling vankettingbreuken eindige kettingbreuken met co¨effici¨ e{1, nten {1, co¨ .van . e.met ,met A}: eindige verzameling vanco¨ eindige kettingbreuken met ffici¨ enten in . in . ,{1, A}: verzameling eindige kettingbreuken co¨eLffici¨ eLnten in {1, . v..v. (z , A}:

.in eling van eindige met effici¨ nten . .= . in ,positief A}: −1 v −1 + ++a) a)

v(z) .uitgevonden.

Liss≼1 (zwe a).2s + a) v(z) = v(z) =

Zaremba’s vermoeden.

Zij eA ∈ in N een geheel getal.

Zij RAgebruiken de Daarin swordt s(z een complex getal, dan de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: . (z een complex getal, dan de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: grootste grootste gedeelte gedeelte van van mijn scriptieonderzoek. scriptieonderzoek.

Hiervoor Hiervoor gebruiken gebruiken we de RuelleRuellehebben Jenkinson en Pollicott [5, 4]+ Algoritme 1ismijn Zaremba's vermoeden Zij een positief Hiervoor we de Ruelle­ o+perator uit artikelen k v (z a) v (z a) 2s

a∈A 2s de

R A = x ∈ [0, 1] ∃ . . . , A} (z :x +=a)[a1 , . . . , ak ] . L v(z) {1, −1 . .. === a∈A {a v(z) = LLL

(z + a) (z++a)2s a) i }i=1 ⊂

s3sv(z) v(z) sv(z) 2s a∈A (z =met eindige kettingbreuken co¨ea∈A ffici¨ nten in .{1, . [5, , A}: 2s zz ∈ operator

Zij C→ → Cwas een continue functie op C en ∈C C operator uit 2s artikelen artikelen [5, 4].

4].

Zij een functie op en te benaderen.

DitC het druk gebruikt omLsde Hausdorffdimensie van EA. .[5,

geheel getal.

Zij 4]. Zij Zij eencontinue continue functie op en geheel getal.

R de k k euit ∈ [0, k k k vv:: sC kvan ≼1 een positiefverzameling A de 2s v . (z + a) (z ++C a) (z a) =[0, {1, ,.= A} :1 x = [a ,geldt, ,. a,{1, R ∈{a {a }.(z .= ,[0, A} :H ∃ = a]k ]. .is. ,de =1] ∃ x∈ 1] ∃⊂{a {1, .x, ∃ A} = [a .i=1 .+ ,.⊂ ]{1,.x:s.. .x∈ ∃ R{1, x 1] }x.1] ⊂ .⊂ ,k= A} [a1] ,x .(E .{a .A ,ia[a ∃a{a R }1ki=1 A} : x = [a , . . . , a ] . a∈A −1 RA = xR∈A[0, {a[0, .i=1 . .R,⊂ A} :=x. .x = [a ,:i.1] .i=1 , ] −1 a∈A A∈ i1}{1, k A i,i=1 1]., .. ..⊂ i }= (z + a) Als dim ) dan eigenwaarde van L met hoogste mod A Aa 1 k a) i }i=1 1[0, k a∈A s v(z) L v(z) = .

L s a∈A s a∈A v (z + a) v (z + a)

een complex getal, dan is de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: een complex getal, dan is de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: grootste gedeelte van mijn scriptieonderzoek.

Hiervoor gebruiken we de Ruelle met co¨effici¨entenZij in D {1, .de . . , A}: in R : Als 2s s = dimH (E dan de eigenwaarde van met modulus de is breuken sLL Als =s dim s == dim (EAH) (E geldt, dan isdan de is eigenwaarde de eigenwaarde Ls hm noemers (z + van a) Lvan A ) geldt, k van A Alsverzameling A aan gelijk Hhoogste A ) geldt, s met a∈A RA = x ∈ [0,uit 1] ∃ {ai }i=1 [5, ⊂ L{1, . Zij . . ,= A} : x→ = [a , . . .continue , 1. aAls ]s. v(z) .s=== s v(z) operator artikelen 4]. v : C C functie op C en z ∈ C Eureka! nummer 54 –.september 2016 13

1een k 2s Als s dim (E ) geldt, dan is de eigenwaarde van 2s

s dim (E ) geldt, dan is de eigenwaarde van m H A sssme H A Als dim (E ) geldt, dan is de eigenwaarde vanLLL m gelijk 1. dan H A D verzameling de breuken in R : Zij D noemers van de breuken in R : DA de verzameling noemers breuken innoemers R gelijk gelijk aan 1. aan 1. de

Zij sD de verzameling noemers van de breuken in R : Zij de verzameling noemers van de breuken in R : Als s = dim (E ) geldt, dan is de eigenwaarde van L met hoogste m deZijverzameling noemers van deaan breuken in R : (z + a) Als = dim (E ) verzameling geldt, is de eigenwaarde van L met hoogste modulus (z + a) Avan A Ade A A :D −1 −1 AZij A A van A H A s A H Ade s a∈A a∈A v v (z (z + + a) a) als volgt gedefinieerd: {1, . . . , A} : x = [a1 , . . . , ak ] een . complex getal, dan is de Ruelle-operator

b gelijk aan 1. gelijk aan 1. gelijk aan 1.

Als s = dim (E ) geldt, dan i Als s = dimH (E ) geldt, dan is de eigenwaarde van Ls me

= 1 ∧ N : ggd(b, gelijk aan 1. R N≼1 van ∈ H A aanD1.

Zij D gelijk ∃b ∈ d∈ A Ls.sv(z) = A breuken R 32s b in d) A = noemers verzameling A de A: bv(z) b = 2s b.. b de ≼1 d b L n

2 2 Daarom 1: Choose −1|i|−1 benadering kan het volgende afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt worden: dt. zijn naar j!

1: Choose aaN N{1, ∈∈N. 2: for aller n ∈ .N. .deze . , N }Hausdorffdimensie dos T r xm=1 x|i| jberekenen, m te Nsnel

i 2 j=1 jwaarbij l het xl het l=1 i∈Axl 1 − (− manieren gezocht om manieren gezocht omnaar dezem=1 Hausdorffdimensie waarbij E{1,2} > 12waarbij geldt.

Daarom zijn er

j! snel

j berekenen, x∈Nj≼1 j=1 i∈A l=1 te r x (−z) n x∈N berekenen, het r=0 T 1 − (−1) ≼1 2: n. for for all allnAlgorithm n∈∈{1, {1, ., ,N N1}}do do 3: Compute all. . .strings i− ∈ zL A s )with |i| = n. bleek i with |i| 2: = |i|−1 Jenkinsons en Pollicotts algoritme.

1en + .j n Pollicotts algoritme. r 2s 1 van Jenkinson en Pollicott snelste tesnelste zijn. j!bleek te zijn.

1det(I van Jenkinson Pollicott het orffdimensie snel teAlgoritme berekenen, waarbij het≈het j r=0 |i|−1

nn nstrings eek teAlgoritme zijn.

2 xkj=m T xi x−1 j

m N with with |i| |i| = = n. n.

3: 3: Compute Compute all i i ∈ ∈ A A 4: for all1: iChoose ∈all Astrings do xl l x =m |i| j

k m=1 j=1 i∈A l=1 r (−z) a N ∈ N. x∈N k=1 r=0 icott het snelste bleek te zijn.

T x 1 − (−1) ≼1 k=1 i nn ) ≈ 1 + det(I − zL s for all all ii∈∈AAxdo = ∈[i1{1, , . ....,.i,nN , i , . . . , i , i1 , . . .]. , i , . . . , 4: i5:4: . .].Compute |i|−1 i do j n , i1 , .for j! r r=0 2: for all n }1 do nalgoritme do m=1 j=1 x∈N l=1 i∈A 1 − (−1)|i| 1 Jenkinsons n−1algoritme WETENSCHAP T xi en Pollicotts xk =m Jenkinsons 5: Compute Compute xw xiii==[i[i1en ,.all . .Pollicotts .,T ,inirn, ,ix1i1i, ,. .i .∈., ,iA in,n,i1iwith ..]..].

1,r=0 n 1, ,. . k=1 6: Compute n 5: x . r=0

i 3: Compute strings |i| = n.

Algoritme 1 bestaat uit niets anders dan deze benadering uit niets anders ilgoritme ∈ A with |i| = n.

n−1 Algoritme 1n−1 bestaat dan deze benadering uitrekenen.

De com x =m 2s rr

w N xxi i . .≼ 6: Compute Compute wwi iall = =enom Het 6: niemand voor |A| 2 voor de Hausdorffdimensie van plexiteit EA Het nog niemand gelukt |A| ≼ vanalgoritme E Algorithm algoritme.

N 2 de Hausdorffdimensie 4: 1isJenkinsons for i Pollicotts ∈r=0 Ai TnT do r=0 van 1 is O N |A| wat zeer slecht is. . om 7:is nog Define Fgelukt ausdorffdimensie van EAplexiteit i (s) = 1−(−1) 2. van algoritme 1 is O N |A| wat zeer slecht is. Gelukkig is Ade con2s 2sn w 2 ww ibestaat i 1: Choose a N ∈ N. Algoritme 1 uit niets anders dan deze benadering uitrekenen.

De comi iA uit te rekenen.

Als A een singleton is, dan geldt dim (E ) = 0.

Gelukkig uit te rekenen.

Als een singleton is, dan geldt dim (E ) = 0.

Gelukkig oor |A| ≼ 2 de Hausdorffdimensie van E 5: Compute x = [i , . . . , i , i , . . . , i , i , . . .].

H A

H A A , .H. .(E , inA,7: i , . . . , i , i , . . .]. i 1 n 1 n 1

Algoritme 1 bestaat uit niets anders dan deze benadering uitrekenen. De c (s) (s) = = . .

7: Define Define F F 1m 1 n 1 n n 2 2 0.2:end Gelukkig

forn ∈ {1,i i. . . , N } n−1 r N2 1−(−1) 1−(−1) ww for all do wordt 2|A| )8: = Jenkinson on N ii N n−1 hebben en Pollicott [5, 4] Algoritme 1 uitgevonden.

Daarin wordt rdan geldt hebben Jenkinson en Pollicott [5, 4] Algoritme 1 uitgevonden.

Daarin is, dim (E ) = 0.

Gelukkig n plexiteit van algoritme is O N |A| wat zeer slecht is.

Gelukkig is de conH A plexiteit van algoritme 1 is O N |A| wat zeer slecht is.

Gelukkig is de c 4+2p x .

6: Compute w = T 1 x .

T i i with |i| = n.

3: Compute all strings i ∈ A vergentiesnelheid van s naar dim (E ) wel hoog, gevonden. wordt N H A 8: 8:i Daarin end endfor for r=0 vergentiesnelheid van sr=0 naar dimH (EA ) wel hoog, namelijk O 9: Define cn (s) = (s). namel N 2s i∈An Fi (s).

5+2p n n

2s Dit was het druk gebruikt om Hausdorffdimensie van te benaderen.

Dit was het druk om de Hausdorffdimensie van E 4] Algoritme 1 Daarin wordt

2 4: uitgevonden. for allde igebruikt ∈A do wiEA te benaderen.

A w 1 1 N

i |i|=n benaderen. was7:Compute nnF 4+2p 9: Define Define cchet (s)== F F 2|A|H (EA ) wel hoog, namelijk O nn(s) i ,i(s). .9: EDit vergentiesnelheid van sDe dim n j 2 5: te grootste xiDefine = [in1 ,i∈A .i∈A . van .was , iin ,(s) imijn .(s). .= . , iscriptieonderzoek. .Hiervoor .].njw2 .

4+2p n nscriptieonderzoek.

N naar 1het n , i1j, .

1−(−1) 5+2p grootste gedeelte van mijn gebruiken we de Ruellegedeelte Hiervoor gebruiken we de Ruelle−(−1) w benaderen.

Dit mensie van met p = max A. complexiteit en convergentiesnelheid A de Ruelle-met p De(−1) (−1) i j we vergentiesnelheid van sNi naar O = n−1 max A. complexiteit endim convergentiesnelheid van algoritme 1 zijn H (EA ) wel hoog, namelijk |i|=n |i|=n r gebruiken 5+2p 10: l=1 c6:x Define dn (s)end = (s). (s). 8:Compute xi . wi = T r l j=1 l=1 cx l j!een r=0 j! j j for

operator uit artikelen [5, 4].

Zij v : C → C continue functie op C en z ∈ C operator uit artikelen 4].

Zij v → C een continue functie op C en ∈ C onderzoek.

Hiervoor gebruiken we de Ruellebeide een nieuw resultaat het scriptieonderzoek. met p= max A.z De complexiteituit en convergentiesnelheid van algoritme 1 nn j j: C (−1) (−1) j[5,

beide een nieuw resultaat uit het scriptieonderzoek. w z ∈ C ue functie op C en een complex getal, dan isndel=1 Ruelle-operator Jenkinson heeft in 2004 [4] met dit algoritme de Hausx∈N 10: 10: Define ddnn(s) (s) =met ccxxl l(s). (s). en convergentiesnelheid 1 (s) = j=1 . ≼11 A. 7:Define Define Fi= j=1 l=1 j! j! beide een nieuw resultaat uit het scriptieonderzoek. n 9: Define c (s) = F (s). p = max De complexiteit van algoritme 1 zijn 1−(−1) w F (s). een complex getal, dan is de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: n i een complex getal, dan is de Ruelle-operator als volgt gedefinieerd: C → C een continue functie op C en z ∈ C i∈A i ∈A jj n j heeft Jenkinson heeft in{1,2} 2004 [4]54met dit algoritme de Hausdor

Jenkinson in |i|=n 2004 [4] met dit algoritme de Hausdorffdimensie van E gedefinieerd: 8: end als volgt dorffdimensie decimalen nauwkeux∈N x∈N for gedenieerd: ≼1 ≼1 Jenkinson heeftvan in 2004 [4] metop dit algoritme de Hausdorffdimensie van E{ i|=n xnieuw =n k =n een beide resultaat uit het scriptieonderzoek. e-operator als jvolgt gedefinieerd:

j j (s). op 54 decimalen nauwkeurig uitgerekend: j

(−1) k=1

9: j Define cnop (s) 54 = n1 decimalen F nauwkeurig uitgerekend: rig uitgerekend: n j (−1) op 54 decimalen nauwkeurig uitgerekend: i i∈A −1 −1 x =n =n kk d|i|=n = cxl (s). de Hausdorffdimensie van E{1,2} cxl (s).Define Jenkinson vheeft (z + (z + a)algoritme n (s) x

in a) 2004 dit [4]vj!met l=110: 11: end j=1 l=1 for 1 j! k=1 k=1 j

n N j (−1) j

−1 Define d (s) =L v(z) x∈N x∈N

10: c (s). = . v(z) = .

L n x s s ≼1 v (z + a) j=1 l=1 ≼1 j! op 54 decimalen nauwkeurig uitgerekend:

dimH EE = 0, 531205062772051416244686473684717854930591090183 ...

2s 11: 11: end endfor for 2s 12: Define ∆N (s) dim = 1 + dn=(s). s).j dim n=1 H {1,2} {1,2} = 0, 5312050627720514162446864736847178 E 0, 531205062772051416244686473684717854930591090183 .... x∈N

j a) (z + (z + a) H {1,2}

N N a∈A a∈A . x =n xk =n 12: 12: Define Define ∆ (s) (s) 1++det d=n dnL 2s ∆ 13: This ∆== is an=1 Taylor polynomial of s1(s) → (I ).polynomial k of order N of s → det (I − Ls ).

NNN n(s).

N s(s). n=1 x−

(z + a)of order k=1 k=1 van Bourgain en Hieruit volgt dimH E{1,2} > 12 ., . dus a∈A = ∆Nofof(s).

Kontovo 13: 13:

This This ∆ ∆ (s) (s) is is a a Taylor Taylor polynomial polynomial order order N N of of s s →

→

det det (I (I − − L L ). ). dim E 0, 531205062772051416244686473684717854930591090183 .> . het1 ,bewijs 14: Compute the largest zero s = s of s →

s → ∆ (s).

N N s s H N {1,2} N ofAls Ndim 1 s = (E ) geldt, dan is de eigenwaarde van L met hoogste modulus Als s = dim (E ) geldt, dan is de eigenwaarde van L met hoogste modulus Als geldt, dan is de eigenwaarde van Hieruit volgt dus het bewijs van 11: for dus het bewijs van E Hieruit volgt dim 11: end forA end H s H A s E nietBour berek blijft waar.

Zonder de bovenstaande methoden kon dim H {1,2} H E > , dus het bewijs van Bourgain en Kontovorich Hieruit volgt dim {1,2}

2 hoogste modulus ofNs{1,2}

N 2(s).

NLs met14:

14: Compute Compute the the largest largest zero zero s(s). == sNH s → → ∆∆ 15: return sL .met 12:van Define ∆ (s) = 11. + dsn= N of NN(s).

N N worden, dus en het antwoord opbovenstaande de titel is: Ja, hetmethoden kan moeilijkkon zijn dim om dimenE gelijk aan e eigenwaarde hoogste modulus hoogste modulus gelijk aan Bourgain Kontovorich dgelijk 12: Define ∆ (s) 1s+ dn1. (s). blijft waar.

Zonder de s met n (s). aan 1.

Nn=1

H n=1 n=1 E niet berekend blijft waar.

Zonder de bovenstaande methoden kon dim H {1,2} 13:

This ∆ (s) is a Taylor polynomial of order N of s →

det (I − L ).

1 N s te berekenen.

15: return returns13: sof .

NN. order E{1,2} > , dusofhet bewijs van Bourgain en Kontovorich volgt Taylor15: polynomial N Hieruit of s s → det (Isdim −a∆LHNTaylor blijft waar.

Zonder de bovenstaande This ∆ is → polynomial order N moeilijk ofworden, s → det (Iom − ). het op de titelmethoden is: Ja, hetkon kan moeili s ).

N santwoord 14: Compute theworden, largest zero =het sN(s) ofantwoord (s).op dus Ldimensies dus de titel2 is: Ja, het kan zijn niet E blijft waar.

Zonder de bovenstaande methoden kon dim s . o s = sN of s15: →return ∆N (s).

Dus voor de Hausdorffdimensie functie berekend worden, dus het ant14: N Compute the largest zero s =wordt sN ofdes → ∆N (s).

H {1,2} niet berekend te berekenen. te berekenen.

3 3 4 voorz15:de Hausdorffdimensie wordt de functie → det zLskan ) woord bekedus het antwoord op dez titel is: (I Ja,−het moeilijk zijntitel om is: dimensies wordt de Dus functie →return det (Iworden, − bekeop de Ja, het kan moeilijk zijn om sNzL . s ) bekeken.

3 Dus voor voor de de Hausdorffdimensie Hausdorffdimensie wordt wordt de de functie functie → →te det det(I(I− −zL zLss)voor ) dimensies bekebekeken.Dus Deze functie is niet in niet elementaire functies uit tezzschrijven, maar de te berekenen. taire functies uit te schrijven, maar voor Deze functie is in de elementaire functies uit te berekenen. !

Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie z → det (I − zLs ) beke4 4 ken. ken. Deze Deze functie functie is is niet niet in in elementaire elementaire functies functies uit uit te te schrijven, schrijven, maar maar voor voor de de benadering kan het volgende afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt worden: notte Taylorpolynoom gebruikt worden: schrijven, de benadering kan het volgende ken. Deze functie is maar niet in voor elementaire functies uit te schrijven, maar voor de hetvolgende volgende afgeknotte gebruikt worden: benadering kan kankan het het volgende afgeknotte afgeknotte Taylorpolynoom Taylorpolynoom gebruikt worden: worden: afgeknotte Taylorpolynoom worden: Referenties imensiebenadering wordtbenadering de functie z voor → det − zLsTaylorpolynoom ) gebruikt bekeDus de(IHausdorffdimensie wordt degebruikt functie 4 z → det (I − zLs ) beke|i|−1 |i|−1

[1] Tim Bedford. of dynamical systems theory to functie

schrijven, 2s elementaire functies uit te maar voor de |i|−1 2s ken. is niet in elementaire functies uit te schrijven, maar voorApplications de −1

−1 Deze r r 2s −1 T xi xl j x mxi N |i|−1 j T rxlxi |i|−1 j j j m NT j

l

fractals - a study of cookie-cutter Cantor sets. In Fractal

worden: 2s 2s e afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt (−z) (−z) benadering kan het volgende afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt worden: (−z) −1 −1 r r r=0 xx r=0 . TT xxi i det(I 1 + NN mm jj + . det(I − zL−s )zL≈s ) 1≈ r=0 jj

j!.(−z)

|i| |i|−1 and analysis (Montreal, PQ, 1989), volume 346 2|i|−1 l l r r=0 (−z) |i|−1 j! m=1 j=1 i∈A l=1 j! det(I geometry

x∈N x 2. .

T xr=0 1 − (−1) x 2 j |i|m=1 |i|−1 i|i| lzL j=1 r x∈N ) ) ≈ ≈ 1 1 + + det(I −−zL l=1 i∈A l 1 − (−1) l=1 i∈A r s s of NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., pages 1{44.

T x |i|−1 1 − (−1) −1 T x x r=0 ≼1 2s

i |i|−1 |i|−1 i

j! j!

22 r

−1rr 2s r jj xx |i| |i| r=0 jT=m ll m=1 j=1 j=1 i∈A l=1 l=1i∈A x xm=1 x∈N x∈N T xiAcad. Publ., Dordrecht, 1991. xT j j j(−1) 11j−− (−1) N lr=0 ≼1 ≼1i m i i Kluwer l T xx x (−z)

m k =m (−z) r=0 k=1 j j r=0 r=0 r=0

. dan deze Algoritme 1 sbestaat anders benade[2] Jean Bourgain and. Alex Kontorovich. On Zaremba's conjec)niets ≈ |i|−1 1 +uit niets det(I − zL =m uit anders dan benadering uitrekenen.

De com k=1 deze j! Algoritme 1xbestaat |i|−1 xxk k=m j! of 2 j k=1 |i| j N l x 2 (2), 180(1):137{196, 2014. i∈A l=1 |i| r l uitrekenen.

DeNcomplexiteit van algoritme 1l=1 isisi∈A ture. Ann. Math. m=1 j=1 x∈N≼1 plexiteitring van algoritme 1 is O |A| slecht is.

Gelukkig de conT wat xi zeer 1 − (−1) x∈N Tr x 1 − (−1) ≼1 i

Algoritme 1 bestaat uit niets anders dan deze benadering uitrekenen.

De comrs deze benadering uitrekenen.

De comj dan r=0

j

[3] ShinnYih Huang. An improvement to Zaremba's conjec r=0

4+2p N Nxk =m xknamelijk =m Algoritme Algoritme 11bestaat bestaat uit uit niets anders dan deze deze benadering benadering uitrekenen.

De comvan sN1niets naar (E wel hoog, O HconA )dan plexiteit van algoritme is isOdim wat zeer slecht is.uitrekenen.

Gelukkig isDe decomcon|A| 5+2p k=1 A| wat zeervergentiesnelheid slecht is. Gelukkig de anders N k=1 ture. Geom. Funct. Anal., 25(3):860{914, 2015.

11isisOO N NN wat 2 Oliver Jenkinson. On the density of Hausdorff dimensions plexiteit plexiteit van algoritme algoritme N |A| watzeer zeervan slecht slecht is. is. Gelukkig de[4] conconmetvan p = max A. De complexiteit convergentiesnelheid algoritme 1Gelukkig zijn isisde N N 2|A|

en

2|A| 2|A|

4+2p 4+2p beide een nieuw resultaat uit het scriptieonderzoek. ts anders dan dezenamelijk benadering uitrekenen.

2 2of bounded van s1N naar dim (Ecomwelconvergentiesnelhoog, O 5+2p NN Algoritme bestaat uitHDe niets anders dan deze benadering uitrekenen.

De comwel Oslecht wat zeer is. Gelukkig is type continued fraction sets: the Texan con 2|A| hoog, A ) vergentiesnelheid A )de H (E namelijk 2|A| Jenkinson heeft in 20045+2p [4] met dit algoritme de Hausdorffdimensie van E 4+2p 4+2p N {1,2} N vergentiesnelheid vergentiesnelheid van van s s naar naar dim dim (E (E ) ) wel wel hoog, hoog, namelijk namelijk O O wat zeer slecht is.

Gelukkig is de conO N |A| heid van naar hoog, wat namelijk jecture.

Dyn., 4(1):63{76, 2004.

NN algoritme HH A N |A| plexiteit van 1 isAO zeer slecht5+2p is. Gelukkig is Stoch. de conop 54 decimalen nauwkeurig uitgerekend: 5+2p 1 zijn

met p = max A. van De algoritme complexiteit en convergentiesnelheid van algoritme [5] 1 zijn n convergentiesnelheid

Oliver Jenkinson N2 2|A|

2

N 2|A| and Mark Pollicott. Computing the

met met p p = = max max A. A. De De complexiteit complexiteit en en convergentiesnelheid convergentiesnelheid van van algoritme algoritme 1 1 zijn zijn beide een nieuw resultaat uit het scriptieonderzoek.

4+2p criptieonderzoek. dim E = 0, 531205062772051416244686473684717854930591090183 . . . .

H {1,2} 4+2p dimension of dynamically dened sets: E2 and bounded ar dimH (EA ) wel hoog, namelijk O van5+2p vergentiesnelheid sscriptieonderzoek.

N naar dimH (EA ) wel hoog, namelijk O 5+2p beide beide een een nieuw nieuw resultaat resultaat uit het scriptieonderzoek.

Jenkinson heeft in 2004 uit [4]1het met dit algoritme de Hausdorffdimensie van E{1,2} it algoritme de Hausdorffdimensie van E{1,2} continued fractions. Ergodic Theory Dynam. Systems, en Kontovorich Hieruit volgt dimH E{1,2} > 2 , dus het bewijs van Bourgain

exiteit van algoritme 1 zijn en Jenkinson Jenkinson heeft heeft inin 2004 2004 [4] [4] met metmethoden dit ditalgoritme algoritme de de Hausdorffdimensie Hausdorffdimensievan van EE{1,2} op convergentiesnelheid 54 decimalen uitgerekend: ekend: en {1,2} met pnauwkeurig = max A. De complexiteit convergentiesnelheid van algoritme 1 zijn2001. met complexiteit convergentie21(5):1429{1445, blijft waar.

Zonder de bovenstaande kon dimen H E{1,2} niet berekend it het scriptieonderzoek. op op54 54decimalen decimalen nauwkeurig nauwkeurig uitgerekend: uitgerekend: worden, dus het antwoord op de titel is: Ja, het kan moeilijk zijn om dimensies beide een nieuw resultaat uit het scriptieonderzoek. snelheid van algoritme 1 zijn beide een nieuw resultaat [6] Alex Kontorovich. From Apollonius to Zaremba: local-glo

te berekenen.

4] met dit algoritme de Hausdorffdimensie van dim = 0,scriptieonderzoek.

531205062772051416244686473684717854930591090183 . .bal . . phenomena 51416244686473684717854930591090183 . . . E[4] {1,2} H E{1,2} uit in thin orbits. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Jenkinson heeft in. 2004 met dit algoritme de Hausdorffdimensie van E{1,2} het g uitgerekend: dim dimHH EE{1,2} = = 0, 0, 531205062772051416244686473684717854930591090183 531205062772051416244686473684717854930591090183 . . . .. {1,2} 50(2):187{228, 2013. op 54 decimalen nauwkeurig uitgerekend:

4 1 [7] S. K. Zaremba. La methode des \bons treillis" pour le calcul en volgt dimH Een us het Hieruit bewijs van Bourgain Kontovorich {1,2} > 121, dus het bewijs van Bourgain

Kontovorich

Algorithm 11 en Pollicotts algoritme.

Algorithm 1Zonder Jenkinsons en Pollicotts algoritme. . .algoritme. .bewijs .bewijs Algorithm Jenkinsons en Pollicotts algoritme.

Algorithm Algorithm 1Jenkinsons 11 Jenkinsons Jenkinsons en en Pollicotts Pollicotts algoritme. algoritme.

Algorithm 1dim Jenkinsons en Pollicotts algoritme.

Algorithm 11 Jenkinsons en Pollicotts Algorithm Jenkinsons en Pollicotts algoritme.

Algorithm 1 Jenkinsons en Pollicotts algoritme. des integrales In Applications of number theE{1,2} E > > , ,dus dus het het van van Bourgain Bourgain en en Kontovorich Kontovorich Hieruit Hieruit volgt volgt dim dim Algorithm 1 Jenkinsons en Pollicotts algoritme.

E niet berekend blijft waar. de bovenstaande methoden kon dim H HE E niet berekend e62772051416244686473684717854930591090183 methoden kon {1,2} {1,2} dim = 0, 531205062772051416244686473684717854930591090183 . . multiples. ..

Algorithm Jenkinsons en Pollicotts algoritme.

H {1,2} H H 2 2 {1,2}

Algorithm Jenkinsons enPollicotts Pollicotts algoritme.

Algorithm 11Jenkinsons en algoritme.

Algorithm 1 Jenkinsons enalgoritme.

Pollicotts algoritme.

Algorithm 1 Choose en Pollicotts 1:1:1: Choose aJenkinsons ∈ 1: Choose amoeilijk N ∈ N. 1:Choose Choose aN N N. Choose Choose aN N N ∈ ∈∈ N. aN. ory to numerical analysis (Proc. Sympos., Univ. Montreal, aaaN ∈ N. 1: a∈ N ∈ N. 1:1:Choose Choose aN. NN. ∈de N.bovenstaande E{1,2} nietdimensies berekend berekend blijft blijft waar. waar.

Zonder Zonder de bovenstaande methoden kon kon dim dim worden, dus het antwoord op de titelmethoden is: Ja, het kan moeilijk zijn niet om el is: Ja, het kan zijn om dimensies Choose N. HH E {1,2} 1: 1:1: Choose a N ∈ Algorithm enenPollicotts Algorithm 1 Jenkinsons Pollicotts algoritme.

Choose N ∈ N. Choose a∈nan N ∈1 N. 1:N Choose aJenkinsons N.

algoritme.

1 1:1: 1: a2: N. 2: for all n {1, ..{1, ..∈ 2: for all n ∈ .∈ }N do 2: for all ∈ {1, ,}volgt },,do do 2:2: for for all all n ∈ ∈ {1, ...N .,,.Bourgain ,N N N }do do do > Choose ,2: dus het bewijs van en for all do Montreal, Que., 1971), pages 39{119. Academic Press, New for all n ∈ {1, .,N ,N N }..}N 2: for all n{1, ∈ .}.do }op do 2: for all nhet {1, .,N N }op do worden, worden, dus dus het antwoord de deKontovorich titel titel is: is: > Ja, Ja,1het hetkan kanmoeilijk moeilijkzijn zijnom omdimensies dimensies te berekenen. for all n ∈ {1, .....antwoord ..,{1, 2: for all n ∈ {1, }.N do 22: E en Kontovorich Hieruit dim

H {1,2} n 2: for all n ∈ {1, . . . , } do 2 , dus het bewijs van Bourgain 1: Choose a N ∈ N. 2: for all n ∈ {1, . . . , N } do 2: for all n ∈ {1, . . . , N } do n n 1: Choose a N ∈ N. n n with n 2: for all nCompute ∈Compute {1, . kon .all .all ,all N }strings do

York, n n|i| n with = n.

3:3:3: Compute strings iiEi∈ A with |i| = 3: all strings i∈∈ ∈ A |i| = n.n.

3:te Compute all strings A nA with with |i| |i| = = n. n. all strings i{1,2} ii∈ ∈ A with |i| = n.

Compute strings ∈ A 3:Compute Compute strings with   3: Compute all strings i ∈ A with |i| = n. niet berekend staande dim 3: Compute all strings i ∈ A with |i| = n. temethoden berekenen. berekenen. with |i| = n.

Compute all strings i A H with |i| = n.

3: 3:3: Compute all strings ∈ A n n n berekend blijft waar.

Zonder kon dimH E{1,2} niet1972. n with |i| n.|i| = methoden Compute all strings in∈ for all n ∈ {1, ..do .n. ,.A N }∈}with do with ==n.

3:3:4: Compute strings AA with n.

3: Compute all strings ide ∈ bovenstaande A 2: for n ∈inA {1, ,iN do n nnn.ido |i| =|i| n. all ∈ n n 4:4: for all iall A do 4: 2: for all iall ∈ A for all iall nA 4: 4:Compute for for all all istrings ∈ ∈∈ A do do for all i∈ ∈ A do 4: for all do 4: for all ∈ A do p3: de titel is: Ja, het kan moeilijk zijn om dimensies 4: for i ∈ A do for all iiworden, ∈ A do 4: 4: for all i ∈ A do n n n n dus het antwoord op de is: Ja, het kan moeilijk zijn om dimensies 4 |i| for all Axixall do Compute strings 4:4:5: for iin∈∈do A 4: i all for all ixdo ∈ A with |i|=titel =.n. n.

3: Compute all strings ∈AAnwith 4: 5:4 all ∈ A [i ..,do 5: 3: Compute = Compute = 5:5:for Compute Compute = [i,1[i ...i,i1i.1,,n.ni,i∈ .,..,.]. .i.]. .].

1 Compute [i .[i Compute xxx 5: Compute = ,,.]. .....]. i= 5:5:Compute Compute x i.1.]. .]. i= 1 ix 1.,.[i 1 Compute xix= [i ,,= ..1,.....,[i iin. ,,.inn.,i in.. n,,1i1. ,n.ii,1 , ,i11 .,i. 1i,,1 .i.n,n ..1,. . ., .., .,.i..ii,i1.1,,n.ni, iin. ,,.inn.,iin..n,,1i1.,n.ii,1,,i11.,i.1i,,1.i.n,n..1,.]. i,i[i 1..].

5:5:5: Compute = [i , .]. ii= 1 nx n

i∈ 1 te berekenen.

4 4

n−1 5: Compute x = [i , . . . , i , i , . . . , i , i , . . .].

4: for all i A do 5: Compute x = [i , . . . , i , i , . . . , i , . . .].

5: Compute x = [i , . . . i , i , . . . i , i

4: for all i ∈ A do n−1 n−1

n−1 5: 6: Compute xi = [i .=.= .1n−1 ,1n−1 , irT , rr1nTx .rnr . rx. 1xx ,1. x i1 , i= n.n. .].

11 n 1 , . . .]. iin−1 n−1 nT 1n−1 r ri.r .n..,n.i 1 ,1 n−1 6: Compute .

Compute w 6: Compute w 6: Compute w T

r 6: 6: Compute Compute w w = = T

i i x 6: Compute w = T

x .

6: Compute w = T i i x .

6: Compute w = T i i

i i i i r=0 i i x .

6: Compute w = T i i n−1 r=0 i i n−1 n−1 r=0 r=0 r=0 6: wiw= T[i i n−1 r=0 r=0 ix rr=0 r=0 Compute xx = [i .,r.r.x ..2s ,.xii,i.niiT.,n.ir,1i,1x., .i. ...,. i,ni,ni,1i,1., .. .].

5:6:Compute Compute = . .]. ir=0 1x Compute = 2s 2s 6:6: 5:Compute Compute T,i2s = iw 1T 2s .r=0 6: wCompute 2s i i= ii2s w 2s i =w ii2sw w w r=0 Over de auteur - Mathijs Kolkhuis Tanke w r=0 2s r=0 T w

i i w iw ii 2s ww n−1 i n−1 2s 2s (s) = .

7:7:7: Define F r iww r 2s (s) = .

7: Define F n (s) = .

7: Define F 4 2 (s) (s) = = . .

7: 7: Define Define F F i (s) = .

Define F n n (s) = .

7: Define F 2 n n 2 i (s) = .

7: Define F i n 2 2 w i i 2 i i (s) n . nT Define i= 1−(−1) w1−(−1) iw 6:6:7: Define Compute T Compute w n iw 1−(−1) 1−(−1) == .w 7: FDefine in 2w i w22xx 1−(−1) 1−(−1) wiw w ii1−(−1) i ..

4 1−(−1) i= ir=0 2w 1−(−1) iF r=0 i i.i.i w ii 2 i.

1−(−1) w (s) = Define F(s) 7:7: Define F (s) = 7: Define F i n n n .

7: Define Fi (s) 2 i(s) 2 i= i i n 2 2s2s 1−(−1) 1−(−1) w wi 1−(−1) wi 1−(−1) wwiw 8:8:8: for Mathijs Kolkhuis Tanke is een eerstejaars end forfor 8:8: end end for end for for end for ii i 8: end 8: end for F end for 8:end end for

8: 8:8: end for

(s) = 7: Define

(s) = 7: Define

n n 2 .2 .

i i 1 1F end for 1 1 8:8:9: end for 8: end for 1 1 1−(−1) w 1−(−1) w 8: 9:9: end for 1 1 n masterstudent wiskunde aan de 1 n n i(s).

Define c (s) = (s). nn i nF n 1 9: Define c (s) = F (s).

Define c (s) = F (s). n 9: 9: Define Define c c (s) (s) = = F F (s). (s).

n i Define c (s) = F (s).

i∈A 9: Define c (s) = F n n i 9: Define c (s) = F (s). n i

i∈A i∈A n n i i n i i∈A i∈A i∈A n n 9: Define c (s) = F (s). n i i∈A 9: Define i.

9: Define cnDefine FnF (s). n1 nnni∈A i i∈A n n 1n 1=n ii∈A n n F (s). nnn1 n|i|=n Define (s) = F (s).

8:8: for 9:9:Define Define ccnn(s) (s) = (s).

9: cnend c (s) = end for |i|=n 9: (s) = F (s). n i Universiteit Leiden. Hij heeft in juli i∈A i |i|=n i |i|=n i∈A i∈A |i|=n |i|=n i |i|=n i∈A n |i|=n |i|=n n nn |i|=n

j j j

jj

1n 1

|i|=n

jj

n jj |i|=n j

(−1) |i|=n n(−1) (−1) n nn|i|=n jjjjj j n (−1) (−1) n j (−1) j(s). n

(−1) n 9: Define c (s) = F (s). (−1) 9: Define c (s) = F 2016 zijn bachelor afgerond met de n j (−1) n i i∈A n i i∈A n j (−1) 10: Define d (s) = c (s). n 10:10: Define dn(s) (s) = 10: Define (s) = cll=1 n j j l=1 10: 10: Define Define dndndn(s) (s) (s) = = (s).

x 10: Define cxjcclxcxx

Define d= = cc(s). j(−1) n 10: Define d= (s) = (s). x(s).

xllc j=1 j!(−1) l(s).

10: Define d = (s). lj(s). n xxll (s). n jl=1 lx j=1 n j=1 l=1 n jl=1 n (−1) j=1 j=1 l=1 10: j! j=1 l=1 10: Define ddnnDefine cl=1 (s). j!j! j! n(s) j j! j=1 (−1) j=1 j! j! j=1 j! |i|=n lcl=1 j |i|=n j=1 l=1 scriptie "Continued fractions with j jj j j!

10:Define Define (s) = (s). jj Define ddnn(s) = c (s).

10: d (s) = c (s). jj 0: 10: dn (s) = c (s). n(s) x x n x x∈N l x l l x∈N j=1 l=1 x∈N j=1 l=1 j=1 l=1 x∈N x∈N j j! x∈N j! l=1 jlj!j x∈N j=1 x∈N ≼1 j!

≼1 ≼1 ≼1 ≼1 ≼1 x∈N ≼1j (−1) nx∈N jj j≼1 n Define (−1) j≼1 ≼1 x∈N restricted digits and their Hausdorff jjjx∈N j ≼1 10: Define c (s). j jj 10: Definedndn(s) (s)=x∈N = c (s). jj x∈N≼1 ≼1 x

x

j ≼1 l

l

j=1 l=1 j=1 l=1 j!j! j

H e

j

j ≼1

xl

k

k=1

N 2|

2s i n

2 i

n

j

j ≼1

j

l

k

k=1

j

j ≼1

xl

k

k=1

N2 2|A|

xj k x =n x =n x=n =n xx =n k j=n k=n j x jxjkk=n k k kx j =n

dimension" onder begeleiding van Evgeny k xk=1

x∈N x∈N k =n k=1 k=1 ≼1 k=1 k=1 ≼1 k=1 =n xxkk=1 =n xk =n k xk=1 =n k=1 kk=1 j jk=1 Verbitskiy en Charlene Kalle. Daarnaast k=1 k=1

11: end for k=1 11: end for 11: end for 11: 11: end end for for for 11: end for 11: end 11:for end for 11: end for

11: end xkx=n

k =n

NNk=1 N NN

NN N 11: end for 11: end for 11: end for

11: end for is hij betrokken bij studievereniging 1: 12: end for N k=1 N Define ∆ (s) = 1 + d (s).

12: Define ∆ (s) = 1 + d (s).

12: Define ∆ (s) = 1 + d (s).

12: 12: Define Define ∆ ∆ (s) (s) = = 1 1 + + d d (s). (s).

NNN 12: Define (s) = 1 (s).

12: ∆ = 11n=1 + N nd 12: Define Define ∆= (s) = + dnn (s). (s).

N nN N n n n=1 n 12:Define Define ∆ (s) 1+++ (s).

N N n=1 N= n=1 N n=1 n=1 12: ∆∆ (s) 1(s) ddnndd (s).

N n N n=1 n=1 N n=1 n=1 De Leidsche Flesch en werkt hij 12: Define Define ∆ (s) = 1 + d (s).

11: end for 12: ∆ (s) = 1 + (s).

12: Define ∆ (s) = 1 + d (s).

12: 11: end for 2: 13: Define ∆ (s) = 1 + d (s).

N n N n N n N n n=1

This ∆ (s) is a Taylor polynomial of order N of s →

det (I − L ). n=1 n=1 13:

This ∆ (s) is a Taylor polynomial of order N of s →

det (I − L ).

13:

This ∆ (s) is a Taylor polynomial of order N of s →

det (I − L n=1 13: 13:

This This ∆ ∆ (s) (s) is is a a Taylor Taylor polynomial polynomial of of order order N N of of s s →

→

det det (I (I − − L L ).

NNN s 13: This (s) is aaTaylor Taylor polynomial ofoforder order NNofofofsN sN → det (I − L(I

∆∆ This ∆ is aaNTaylor polynomial of order of sdet det − N s).L 13: This This ∆ (s) is Taylor polynomial of N order ofdet s → → det (I − Lss). ).

N s).

N s). s). s).

13: 13: This ∆ (s) isa(s) Taylor polynomial order s → → (I − L N N N 13: (s) is polynomial of (I − L N s N s als student-assistent 13:

This ∆ (s) is a Taylor polynomial of order N of s →

det (I − L ).

12: Define ∆ (s) = 1 + d (s).

13:

This ∆ (s) is a Taylor polynomial of order N of s →

det (I − L ).

13:

This ∆ (s) is a Taylor polynomial of order N of s →

det (I − Ls ). aan het 12: Define ∆ (s) = 1 + d (s).

13: This azero Taylor polynomial of order 3: 14: Compute This ∆ (s) is alargest Taylor polynomial of order N(s). s → det (I − Ls ). ss N nof NN N N nof N Compute the largest zero ssszero = sssof → ∆ (s). n=1 14: the largest zero ss= = s= of sof → ∆ (s).

14: Compute the largest sn=1 = sof s → → ∆ (s).

14: 14: Compute Compute the the largest largest zero zero s= = s s of s s →

→

∆ ∆ (s). (s).

N 14: Compute the largest zero sN s →

∆ (s).

14: Compute the s of s →

∆ N N 14: Compute the largest = s s →

∆ (s).

N N N N N N N N 14: Compute the largest zero sszero = s of s ∆ (s).

N N N N 14: Compute the largest zero = s of →

∆ (s).

N N N N Mathematisch Instituut.

14: Compute the largest sNsNs → →(s). ∆NsN → (s).

13: This ∆∆largest (s) a= Taylor ofof det 14: Compute the largest zero sTaylor ofof s∆ → ∆ (s).

14: the zero =polynomial spolynomial of ∆ (s).

13: L This (s) a= orderNNofofs s → → det(I(I−−LL det 4: Compute the largest zero szero =isssissN of N15: of sreturn → det (I ). s ).

N Norder s ).

N return ssCompute 15: return 15: return s.− 15: 15: return return 15: sN .s N 15: return 15: return N N 15: return ssNs.N ..N..s.ssNN.. NN 15: return N 15: return s .

14: Compute the largest zero s = s of s →

∆ (s).

15: return s .

15: return s .

14: Compute the largest zero s = s of s →

∆ (s). the 5: return s14: NN NN NN N largest N .Compute

15: return 15:15: return sN. . returnsN

✉

mathijs@kolkhuistanke.nl

Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie zzzzz → det (I − zL )szL Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie z → → det (I − )bekebekeDus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie → det (I − )bekebekeDus Dus voor voor de de Hausdorffdimensie Hausdorffdimensie wordt wordt de de functie functie zz → → → det det (I (I − − zL zL )bekebekeszL Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie (I − zL bekeDus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie zdet → det (I )) bekes Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie zdet → det (I − zL bekes)zL s)s) Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie (I − zL ss Dus de Hausdorffdimensie wordt de functie → det (I − zL )− s s(I 14voor Eureka! nummer 54 – september 2016 Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie zdet → det (I − zL )− bekeDus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie zschrijven, → (I −smaar zL )bekebekeDus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie z− → det zL )debekeDus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie zuit → (Idet zL )maar bekes svoor sde ken.

Deze functie is niet in elementaire functies uit te schrijven, maar voor de ken.

Deze functie is niet in elementaire functies uit te schrijven, voor ken.

Deze functie is niet in elementaire functies uit te schrijven, maar voor ken. ken.

Deze Deze functie functie is is niet niet in in elementaire elementaire functies functies uit te te schrijven, schrijven, maar voor voor de de ken.

Deze functie is niet in elementaire functies uit te maar de ken.

Deze functie is niet in elementaire functies uit te schrijven, maar voor ken.

Deze functie is niet in elementaire functies uit te schrijven, maar voor de ken.Deze Dezefunctie functieisisniet nietininelementaire elementairefuncties functiesuit uitteteschrijven, schrijven,maar maarvoor voordede de ken. ken.

Deze functie is niet elementaire functies uit schrijven, maar voor Dus voor de Hausdorffdimensie wordt de functie zgebruikt → det (I −− zL bekeken.

Deze functie isde niet ininniet elementaire functies uit teteschrijven, maar voor ken.

Deze functie is inafgeknotte elementaire functies uit te schrijven, maar voor Dus voor Hausdorffdimensie wordt de functie zgebruikt → det (I zL )de beke-de en.

Deze functie is niet in elementaire functies uit te schrijven, maar voor de → det (I − zL )kan bekes )sde s benadering kan het volgende afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt worden: benadering kan het volgende afgeknotte Taylorpolynoom worden: benadering het volgende afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt worden: benadering benadering kan kan het het volgende volgende afgeknotte afgeknotte Taylorpolynoom Taylorpolynoom gebruikt worden: worden: benadering kan het volgende afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt worden: benadering kan het volgende Taylorpolynoom gebruikt worden: benadering kan het volgende afgeknotte Taylorpolynoom gebruikt worden: benaderingkan kanhet hetvolgende volgendeafgeknotte afgeknotteTaylorpolynoom Taylorpolynoomgebruikt gebruiktworden: worden: benadering

Think talent, act career.

Werk maken van talent.

Keylane maakt werk van talent! Hoe? Heel simpel! We bieden je vanaf je eerste dag een groot scala aan opleiding, training en begeleiding.

Samen met jou stippelen we je ideale carrière uit en stimuleren wij je om te blijven leren en groeien! Vanaf de start werk je aan complexe projecten, waardoor je je kennis direct kunt toepassen! Dit kun je doen als software-engineer of als consultant.

careers.keylane.com

Keylane ontwikkelt en implementeert flexibele standaardsoftware voor de kernprocessen van verzekeraars en pensioeninstellingen.

Eureka! nummer 54 – september 2016

15

FOTOREPORTAGE

Hortus Botanicus Leiden

Tekst door Lotte Konings & Alex van Vorstenbosch, Foto’s door Alex van Vorstenbosch

Voor deze editie is de Eureka! op een bijzondere plek langs gegaan, de Hortus Botanicus! Hij is aangelegd in 1594 en daarmee is het de oudste hortus van Nederland. Bij de aanleg was het een tuin waarin studenten geneeskunde geneeskrachtige planten konden bestuderen.

Naast deze universitaire functie heeft de hortus ook altijd een publieksfunctie gehad. Zo zette Clusius, de eerste directeur van de tuin, elke vrijdag en zaterdag twee uur opzij om college te geven aan bezoekers.

De hortus begon enkel met de binnenplaats aan het Academiegebouw. Door de eeuwen heen is daar nog 3,5 hectare aan grond bij gekomen. De hortus is nu opgedeeld in 6 delen: de Rozentuin, de Chinese kruidentuin, de Von Siebold gedenktuin, de Clusiustuin, de Varentuin en de Systeemtuin.

van Von Een tuin ingericht naar Japanse traditie. Aan het uiteinde houdt een buste bekender dan in Siebold toezicht over zijn tuin. In Japan is de westerse Von Siebold eveel en was het zelfs ooit Nederland. Daar wordt hij geëerd als grootmeester in de geneeskund n lezen. gebruikelijk dat studenten Geneeskunde Nederlandse boeken moestenerkunne en staan een aantal Von Siebold heeft ook veel exotische planten naar Nederland gehaagldzijn. bomen in de tuin die van Von Siebold afkomsti

De Von Siebold gedenktuin: 16

Eureka! nummer 54 – september 2016

Deze tuin is pas in 2015 aangelegd.

Het is nog even uitproberen welke planten floreren in het Nederlandse klimaat en welke niet. In deze tuin, net als in de kassen staan de planten primair voor onderzoek en behoud.

De Chinese kruidentuin:

In deze tuin worden op basis van het systeem van Linnaeus verwantschappen tussen plantensoorten uitgelegd.

Linnaeus kon in zijn categorisatie slechts uitgaan van uiterli jke kenmerken en vandaaruit verwantschap deduceren, waardoor zijn systeem inmiddels achterhaald is.

De Clusiustuin:

Het oudste gedeelte van de Hortus. Het is een typische renaissancetuin, verdeeld in vier quadranten met een prieeltje in het midden.

De Systeemtuin:

In de Victoriakas, vinden we de grote trots van de hortus: de Victoria Amazonia, een waterlelie uit het Amazonegebied. De bladeren van deze lelie kunnen makkelijk 40 kilo dragen en de bloem is de grootste ter wereld.

De kassen:

waterlelie Eureka! nummer 54 – september 2016

17

GESCHIEDENIS

Forensic Science a history of scientific crime solving Written by: Jannetje Driessen

Science is what shapes civilisation. Without it, our civilisation would not evolve. However, this progress of ours is a double-edged sword. With morals comes the breaking of morals. With laws comes the breaking of laws. From petty crime to manslaughter; crime is relatively common. Of course, we try to fight crime, and our scientists fight along.

According to the Legal Dictionary, forensic science is the application of scientific knowledge and methodology to legal problems and criminal investigations. It includes anthropology, biology, chemistry, engineering, genetics, medicine and many more branches of science. Each of those branches was added to the list of forensic sciences at another time and in its own way.

The first book on forensic science was written in 1247 by a Chinese man called Sung Tz’u. He lived from 1186 to 1249 and collected historical cases of death investigations and wrote them down in great detail, with notes on his own experiences, and with an eye to avoiding injustice. His book was called ‘Xi Yuan Ji Lu’, which translates to ‘The Washing Away of Wrongs’. It was used in China as a handbook for coroners until the late eighteen hundreds. It has also been translated to several other languages and is still available. In it, one can read the description of all sorts of deaths. Therefore, the index reads along the lines of: ‘Death from Lightning’, ‘Death from Tiger Bites’, ‘When the Head and Trunk Are in Different Places’, and so on.

In those chapters, Sung describes how one can see the difference between suicide and murder, and what to look for when a body is found in a certain way. He also comments on terminology.

For instance, he states: ‘If the weapon is blunt, do not call it a stabbing.’

Amongst the vivid accounts in Sung’s book, the first know utilisation of entomology – the study

of insects – in forensics is described. The story is as follows: in 1235, there was a stabbing in a Chinese village. By testing different blades on an animal carcass it was determined that the wound was caused by a sickle. The investigator then had the villagers bring their sickles and lay them out. A type of parasitic flies called “blow flies” were attracted to the blood remains on one of the sickles, and thus the murderer was found.

In this way, the study of insects had joined the battle for injustice as well.

Anatomy and physical anthropology are a more obvious part of forensic science. Physical anthropology is considered to be a forensic science since it was introduced by Thomas Dwight (1843 – 1911), who was the first to write essays and give lectures on human skeletal identification. For instance, he researched methods for determining age, height and sex. He knew the stature of a person, even when the body had no arms or legs. Additionally, he used the closure of joints between the bones of the skull to determine the age of the deceased.

Surprisingly, the first collaboration between anatomy and law was not before 1849, when the Parkman murder shocked Harvard University. Two professors of anatomy at Harvard called Holmes and Wyman were asked to investigate a mysterious death. A dismembered body was found, rather ironically, in an anatomy lab. The face of the victim was unrecognisable due to severe burns. By reassembling the body,

If the weapon is blunt, do not call it a stabbing

18

Eureka! nummer 54 – september 2016

it was found out that the victim was Dr. George Parkman, a professor of Medicine. He turned out to be murdered over money. Since that occasion, anatomists assisted more often in criminal investigations. Nowadays, anatomy is essential in murder enquiries.

Likewise, serology is vital to homicide investigations in the present days, but that was not always the case. In 1901, Karl Landsteiner discovered the ABO groups; the four mayor blood groups. This made it possible to narrow down whose blood was found. Thus, serology – the study of bodily fluids – became more important for the law. Upon this discovery, Leon Lattes (1887-1954) developed a useful application for forensics. Lattes was a professor at the Institute of Forensic Medicine at the University of Turin.

After a man had gotten a little blood stain on his shirt and his wife wanted to know what had happened, Lattes set to work to find a means of dissolving the blood and testing it for types.

Eventually, he succeeded and it turned out that the blood was the man’s own. However, Lattes’ method for liquefying dried blood was far more useful than absolving misunderstandings, and is still used in the present day.

Step by step, forensic science keeps evolving. In 1869, DNA was discovered, but it was not until 1985 that it was first used for profiling. Nowadays, computers help analysing data, surveillance cameras provide visible evidence at courts of law, speech patterns can be digitally analysed, and so on. Thus, computer forensics was added to the list of branches of forensic science. We can see that science is crucial for implementing justice and upholding the law. To think otherwise would almost be a crime. !

We can see that science is crucial for implementing justice and upholding the law About the author – Jannetje Driessen Jannetje Driessen is a second-year Bachelor student at Leiden University, where she studies Mathematics. She is also an active member of student associations De Leidsche Flesch and De Blauwe Schuit. Jannetje works at Stichting Studiebegeleiding Leiden, where she gives secondary school students exam training in Economy.

She has been an editor for Eureka!

Magazine since October.

✉

jannetjedriessen@gmail.com

Eureka! nummer 54 – september 2016

19

WETENSCHAP

Topology and Community Structure of the Global System of Corporate Control Frank W. Takes LIACS, Leiden University & AISSR, University of Amsterdam

With the nowadays abundantly available amount of data, there is an ever increasing need to better understand and nd patterns. Data objects are no mere individual entities within a dataset, but interact, communicate or relate to other data objects, like users interact on an online social network, or webpages relate to each other via hyperlinks.

Data that has some sort of relational aspect is typically modeled using the notion of a network, in which nodes (objects) are linked by means of edges (relationships). There is wide interest in analyzing data using the notion of a network, from mathematicians and computer scientists to physicists and researchers in the social sciences. They all come together in the interdisciplinary research field of network science.

In this article we focus on the global corporate network, modeling the relationships that exist between firms, corporations and organizations in our global economy.

We live in a highly connected world, where firms do not operate as individualistic market actors, but are instead part of a connected network of business. This happens because firms trade with each other, own a percentage of one another, or lend

money to each other. Here, we focus on social ties between firms. We say that two firms are connected by an undirected edge if the two firms are governed by at least one common director or executive board member, resulting in the so-called board interlock network (see Figure 1 for an example).

Directors or CEOs often have more than one appointment, and it is well known that their involvement in multiple firms, referred to as a board interlock, opens up these firms to other firms’s information, resources and expertise, and in general fosters social cohesion [8].

The interdisciplinary CORPNET research group at the University of Amsterdam takes advantage of recent developments in the field of network science. It aims to better understand the power-political causes and consequences of the network of corporate control by studying a large-scale dataUS KROGER CO

US CVS CAREMARK CORPORATION

CH NESTLE S.A.

US VALERO ENERGY CORP

DE E.ON SE

US INTERNATIONAL BUSINESS MACHINES CORP

FR AXA

US WAL-MART STORES, INC.

FR TOTAL S.A.

NO STATOIL ASA

US GENERAL MOTORS COMPANY

DE SIEMENS AG

DE METRO AG

DE BASF SE

DE ALLIANZ SE

US CARDINAL HEALTH INC

US BOEING COMPANY (THE)

US PROCTER & GAMBLE CO

GB TESCO PLC

FR GDF SUEZ

DE VOLKSWAGEN AG

US AT&T INC.

US EXXON MOBIL CORP

DE E.ON GLOBAL COMMODITIES SE

US VERIZON COMMUNICATIONS INC

US GENERAL ELECTRIC COMPANY DE DAIMLER AG

GB ROYAL DUTCH SHELL PLC DE BAYERISCHE MOTOREN WERKE AG US BANK OF AMERICA CORPORATION

Figure 1: A sample of the board interlock network.

Figure 1: A sample of the board interlock network.

20

Eureka! nummer 54 – september 2016

etwork topology

set consisting of millions of firms connected via hundreds of millions of ties based on board interlocks and ownership. Since 2013, a sample of this network was studied that consisted of the largest one million firms across the globe. A geographical visualization of this network is given in Figure 2, highlighting how firms are densely connected through board interlocks.

Network topology

The considered board interlock network, that links firms if they share at least one senior level board member or director, consists of 391, 967 firms that form at least one interlock, in total having more than 1, 711, 968 interlock ties between them.

It turns out that the structure of the global network resembles that of many other real world networks. Specifically, it is sparse, meaning that there are very few links compared to the theoretical maximum.

Furthermore, there is a power-law degree distribution (see Figure 3), meaning that the number of nodes with very few connections is large, whereas there are a smaller number of hub-like nodes with a very high number of connections.

Moreover, nodes densely cluster together, forming a larger than random number of closed triangles of connections, as measured by the clustering coefficient of 0.76.

A randomly generated network with the same degree distribution would have a clustering coefficient of less than 1.0×10−6 .

with similar attributes. In network data, it may very well be that certain groups of nodes are more connected with each other, than with the rest of the network, resembling attribute similarity in clustering.

Such groups of nodes are called communities. Community detection algorithms take as input the structure of the network and output a division of this network into (usually non-overlapping) communities (also called partitions). We typically then indicate these communities using colors such as is done in Figure 1.

Figure 2: Geographical visualization of the global network of corporate control: around 400,000 firms and over 1,700,000 board interlocks.

Not all firms are directly or indirectly connected, but there is one giant component of 238,859 nodes and 90% of the edges. All other components consist of 60 nodes or less, so we focus our research on the more complex structure giant component.

Despite the fact that the network is very sparse, the average distance (i.e., the minimal number of edges) connecting two nodes is relatively low, as can be seen in Figure 5. This is known as the small world property [6], a phenomenon that occurs in a number of real world networks, such as (online) social networks, information net-

works such as Wikipedia and webgraphs.

Indeed, the corporate boards of firms across the globe are on average connected in 7.775 steps. To put this into context: given that boards of the larger companies typically meet once every month, it is often anecdotally noted that a deadly disease among the corporate elite could wipe out the majority of corporate leaders in little over half a year [3].

Community detection

In traditional data mining on tabular data, clustering can be used to find data objects

Table 1: Global network properties.

Global corporate network Nodes (firms) 391; 967 Edges (interlocks) 1, 711; 968 Density 2.229 x 10–5 Average degree 8.746 Connected components 55, 616 Giant component Nodes (firms) 238, 859 nodes (60.9%) Edges (interlocks) 1,533,030 (89.5%) Density 5.374 x 10–5 Average degree 12.83 Clustering coecient 0.751 Average distance 7.775 Radius 18 Diameter 34

One way of finding communities is by modularity maximization. Modularity is the number that indicates the quality of a particular division of a network into communities, where a higher number represents a better division into communities.

Well-known heuristic search algorithms such as hill-climbing methods, genetic algorithms or local search, e.g., the popular Louvain algorithm [1], can then be used to optimize the modularity value. These algorithms typically start with each node assigned to its own community, and then iteratively merge two nodes (or a node and a previously merged community) into the same community (node), as long as the value of the modularity increases. The iteration at which maximum modularity is attained then gives the optimal number and division of the network into communities. The algorithm can furthermore take a so-called resolution parameter that indicates how tough the algorithm should look for communities (at the sacrifice of the quality of the solution), resulting in more or fewer communities depending on whether we are considering a high or low resolution.

If we use community detection on the corporate board interlock network, we obtain, for a particular “low”, “medium” and “high” resolution, the divisions into communities as shown in Figure 7 and Figure 8. Here we have aggregated the firms into nodes representing countries, connected through weighted links denoting the number of firms that share directors between the linked countries. The position of nodes is determined based on the latitude and longitude of the center of the countries that they represent.

Eureka! nummer 54 – september 2016

21

WETENSCHAP 5

6

10

degree

10

component size (number of nodes)

5

10 4

10

4

frequency

frequency

10

3

10

3

10

2

10

102

101 100

1

10

1

10

100 degree

At a slightly higher resolution, Figure 8 shows a more fine-grained division of the network into communities. Here we see how a central European community forms, and how the middle East distinguishes itself from the rest of the world in a separate community and the British Commonwealth comes forward as well.

At an even more fine-grained division of the network into communities as shown in Figure 9, southern Europe falls apart into a Russia-oriented and Mediterranean-oriented community. We furthermore observe strong ties between the US, Canada, Ireland and The Netherlands, hinting towards a common well-known advantageous fiscal construction. Although this pattern is interesting, it does not resemble the real social ties between corporations that interlocking directorates research focuses on (as discussed in the beginning of this paper). Rather, this pattern indicates the influence of administrative ties on the observed results. This again highlights the importance of a sensible interpretation step of network analysis results.

Throughout this article, we have highlighted the results of using network analysis techniques to better understand corporate 22

Eureka! nummer 54 – september 2016

10

20

30

40

50

60

component size (number of nodes)

Figure 4: Component size distribution.

Figure 3: Degree distribution.

In Figure 7, we see how the first communities that “appear”, i.e., are visible at the lowest resolution, show a clear regional character. There is a Scandinavian/Baltic community, indicating that apparently firms in these countries are more connected with each other than with the rest of the world. The same is true for China and other Asian countries. There is furthermore an African community containing a number of tightly connected former French colonies.

0

network data based on board interlocks.

Network analysis reveals a number of patterns that are not evident in the underlying data, but become visible in the network perspective.

By modeling the data as a system of interactions rather than a set of objects, we are able to better understand the dense connectedness of the global economy. Furthermore, network community detection discovers cultural, historical, geographical and financial patterns that are far from visible in the underlying raw data, demonstrating the added value of network science for extracting knowledge from large-scale interaction data. !

References

spread of the poison pill through the intercorporate network. Administrative Science Quarterly, 36(4):583{613, 1991.

[4] E. M. Heemskerk and F. W. Takes. The community structure of the corporate elite of global capitalism. New Political Economy, 21(1):90{118, 2016.

[5] E. M. Heemskerk, F. W. Takes, J. Garcia-Bernardo, and M. J. Huijzer. Where is the global corporate elite? A large-scale network study of local and nonlocal interlocking directorates. arXiv 1604.04722, 29 pages, 2016.

[6] Kleinberg. The small-world phenomenon: An algorithmic perspective. In Proceedings of the 32nd Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC), pages 163{170, 2000.

[7] V. I. Lenin. Imperialism, the highest stage of capitalism. 1916.

[1] V. Blondel, J. Guillaume, R. Lambiotte, and E.

[8] M. S. Mizruchi. What do interlocks do? An ana-

Lefebvre. Fast unfolding of communities in

lysis, critique, and assessment of research

large networks. Journal of Statistical Mecha-

on interlocking directorates. Annual Review

nics: Theory and Experiment, 10:P10008, 2008.

of Sociology, 22:271{298, 1996.

[9] F. W. Takes. Afstanden in online sociale net-

[2] U. Brandes, G. Robins, A. McCranie, and S.

werken. Eureka! Magazine, 9(33):8{11, 2012.

Wasserman. What is network science? Net-

[10] F. W. Takes and W. A. Kosters. Computing the

work Science, 1(01):1{15, 2013.

[3] G. F. Davis. Agents without principles? The

eccentricity distribution of large graphs.

Algorithms, 6(1):100{118, 2013.

About the author - Frank Takes Frank Takes works as postdoctoral researcher and lecturer in the Algorithms and Software Technology research program at the Leiden Institute of Advanced Computer Science (LIACS), the computer science department within the Faculty of Science of Leiden University. He teaches a master course on Social Network Analysis in the fall semester and a bachelor course on Business Intelligence in the spring semester.

 ✉

https://franktakes.nl/ f.w.takes@liacs.leidenuniv.nl

TRANSACTION SECURITY UL-TS.COM/JOBS

GLOBAL DYNAMIC INNOVATIVE

EXCITING OPPORTUNITIES FOR TEST ANALYSTS DEVELOPERS CONSULTANTS COMMERCIAL SALES MOBILE PAYMENTS TRANSIT TICKETING GOVERNMENT

OUR CORE VALUES INTEGRITY | INDEPENDENT | INNOVATIVE COLLABORATIVE | COMMITTED | COMPETITIVE CUSTOMER FIRST | ENTREPRENEURIAL

Enthusiastic?

Result driven?

Ambitious?

We are looking for you!

UL-TS.COM/JOBS

Eureka! nummer 54 – september 2016

UL and the UL logo are trademarks of UL LLC © 2015

23

CULTUREEL

Toen wetenschap een Tenzij je de afgelopen maanden onder een steen hebt geleefd, kom je er niet onderuit: het nieuws over de presidentsverkiezingen in de Verenigde Staten. Het is misschien wel de meest absurde race in de geschiedenis van de verkiezingen: alles wat ik nu zeg kan binnen de kortste keren weer totaal zijn veranderd (en dan met name Trumps meningen). Maar tussen al het wapengekletter en moddergooien over e-mailschandalen en The Wall is er één thema dat bijzonder weinig aandacht krijgt: wetenschap en technologie. Tijd om daar verandering in te brengen!

Door: Martijn Janse

Klaar voor de toekomst

Laten we eerst naar de voorstellen van Hillary kijken. Wat heeft zij allemaal al geopenbaard over haar wetenschappelijke agenda? Verrassend veel, eigenlijk.

Om te beginnen bij het onderwijs is Clinton groot voorstander van meer aandacht voor computer science en STEM-onderwijs (oftewel Science, Technology, Engineering and Mathematics). Ze wil dan ook binnen tien jaar plaats voor meer dan 50.000 extra informaticadocenten in het onderwijs realiseren. Deze boost is mede bedoeld om de techkloof te dichten voor vrouwelijke en niet-blanke leerlingen. Kortom, minder buitenspelen en meer Python!

Een tekort aan ambitie valt haar zeker niet te verwijten.

24

Misschien nog veel ingrijpender is haar voornemen om voor 2020 te garanderen dat iedere Amerikaan toegang heeft tot goed en snel internet (broadband).

Momenteel ontbreekt de toegang hiertoe nog bij 19 miljoen inwoners. In plattelandsgebieden leeft maar liefst 25% van de mensen zonder toegang tot goed en snel internet. Zelfs waar er wel toegang is tot snel internet, zijn nog steeds 100 miljoen Amerikanen nog niet verbonden ermee.

Hillary’s internetboost is een essentieel onderdeel van haar beleid rondom technologie, omdat internet een basisvoorwaarde is voor haar andere plannen.

Zo is het van essentieel belang voor de sociale gelijkheid in de VS. Die sociale ongelijkheid is de onderliggende oorzaak voor de recente geweldsincidenten en de exposieve reacties daarop. Onderdeel van

Eureka! nummer 54 – september 2016

en mening werd die structurele ongelijkheid is de digital divide, de slechte toegang tot goed en snel internet voor arme en niet-blanke gemeenschappen. Schrijnend is dat in de blanke gemeenschap maar liefst 70% wél verbonden is met broadband internet.

Panelen en planten

Genoeg gepraat over beleid rondom technologie: wat zijn Clintons standpunten als het aankomt op wetenschapelijke onderwerpen zoals klimaatverandering en GMO’s (genetically modified organisms)?

Laten we beginnen bij klimaatverandering.

Clinton wil het liefst ten strijde trekken tegen de ‘deniers’, een niet te onderschatten grote groep Amerikanen die niet geloven in klimaatverandering en het wetenschappelijke onderzoek ernaar. In tegenstelling tot hen wil ze van de VS de grootste groene supermacht maken op deze aardbol. Hoe? Onder andere door 500 miljoen zonnepanelen te installeren en het energieverlies in alle overheidsgebouwen te verminderen, evenals de olieconsumptie. Een tekort aan ambitie valt haar zeker niet te verwijten.

Het is wederom duidelijk te zien dat Clinton haar programma heeft aangepast op minderheden. Zo is ze dus groot voorstander van een groene economie, maar wel met de kanttekening dat gelijkheid boven alles gaat. In dat kader stelt ze de Clean Energy Challenge van 60 miljard dollar voor, om in samenwerking met staten, steden en plattelandsgebieden in met name armere gemeenschappen wind- en zonne-energie te promoten. Hillary is zich er namelijk van bewust dat de armere gemeenschappen het hardst getroffen worden door bijvoorbeeld vervuiling van lucht en water of milieuvervuiling door giftige stoffen.

Bij haar opinie over GMO’s wordt het pas echt interessant en zien we Clinton zoals haar tegenstanders haar graag neerzetten.

Ze is voorstander van GMO’s, maar haar motieven daarvoor zijn schimmig en verknoopt met de zakenwereld. Haar eigen Clinton Global Initiative (CGI) steunt openlijk Monsanto, een van de marktleiders in de GMO’s. Maar dat is niet het

enige: Jerry Crawford, een belangrijke campagneadviseur van Hillary, is ooit lobbyist geweest voor Monsanto. Ook Hillary zelf heeft vaak haar steun uitgesproken voor wetten en programma’s die de GMO’s van Monsanto gebruiken. Het komt dan waarschijnlijk niet als donderslag bij heldere hemel dat Monsanto de campagne en foundation van de Clintons financieel rijkelijk ondersteunt.

De grap van de Chinezen

Eén ding is zeker wel gebleken tijdens deze verkiezingen en dat is, zoals ik eerder al aangaf: als je denkt dat het niet gekker kan, dan is daar altijd nog The Donald.

Laten we als eerst kijken naar wat Trump tot op heden allemaal heeft gezegd als het aankomt op klimaatverandering, beginnend bij een tweet uit 2012: “The concept of global warming was created by and for the Chinese in order to make U.S. manufacturing non-competitive.”

Het is zorgwekkend om te bedenken dat Trump ook daadwerkelijk president van de VS zou kunnen worden. Hij zou daarmee de enige wereldleider zijn die klimaatverandering ontkent. Later gaf hij toe dat hij de tweet meer als een grapje bedoeld had, maar de boodschap die hij hiermee uitzond is hoe dan ook zorgelijk. Het houdt hier echter niet op. Zo tweette hij in 2013: “Ice storm rolls from Texas to Tennessee I'm in Los Angeles and it's freezing. Global warming is a total, and very expensive, hoax!”. Triest genoeg zijn deze twee representatief voor al zijn tweets over klimaatverandering.

Verder heeft hij zelf nog niet bijzonder veel geopenbaard over zijn agenda wat betreft klimaat en energie. Wel heeft Kevin Cramer, een Republikeinse afgevaardigde uit North Dakota en een klimaatscepticus, een programma opgesteld voor Trump.

Opvallend in dit programma is dat het, ondanks het klimaatscepticisme, wel maatregelen tegen CO2-uitstoot voorstelt en milieuwetgeving van Obama doorzet.

Hier betrappen we de Republikeinse presidentskandidaat dus op een tegenspraak, Eureka! nummer 54 – september 2016

25

WETENSCHAP

maar nu is dat ook niet zo’n verrassing. Zeker het vermelden waard is dat Cramers plan belang hecht aan het niet ‘straffen’ van fossiele brandstof. Cramer zelf komt uit een staat waar de economie zwaar hangt op kolen en olie.

Tot de maan en verder

Het zou dus zomaar kunnen dat Trump een kolonie op de maan wil starten

Los van zijn standpunten over wetenschappelijke zaken staat misschien nog wel een veel belangrijkere vraag: wat is het gevolg van Trump als president op de wetenschap? Wat dat betreft heeft Amerika met het hoogste aantal Nobelprijzen en een van de meest wetenschappelijk productieve status een naam hoog te houden. Het is fascinerend dat Trump als president óf de wetenschap een gouden eeuw kan opleveren, óf haar volledig naar de filistijnen kan helpen.

Enerzijds is het een feit dat Republikeinen historisch gezien vaak beter de wetenschap hebben gesteund dan de Democraten. Bovendien heeft Trump zelf aangegeven een groot fan te zijn van Ronald Reagan, oud-president en ook een exceptioneel figuur. Reagan was een grote promotor van overheidsinvesteringen in de wetenschap, waardoor bijvoorbeeld het International Space Station (ISS) mogelijk werd gemaakt.

Het is ook niet uit te sluiten dat Trump, gezien zijn machokarakter, graag wil opboksen tegen andere wereldmachten. Uit de Koude Oorlog weten we dat ruimtevaart een perfect middel is daarvoor met een boost voor de wetenschap als positief neveneffect. Het zou dus zomaar kunnen dat Trump een kolonie op de maan wil starten, wat nog aannemelijker wordt als je kijkt naar Trumps verleden in vastgoed.

Anderzijds is Trump voorstander van het weigeren van moslims aan de grens en andere visamaatregelen die negatief zullen uitpakken voor buitenlands 26

Eureka! nummer 54 – september 2016

wetenschappelijk talent dat zijn heil zoekt in de VS. Dit kan werken als een neerwaartse spiraal, want juist doordat er minder talent komt, zal er nog minder talent worden aangetrokken en verliest de VS zijn status als wetenschapsland van excellent niveau.

Wat bovendien misschien wel voor heel het zakenleven en de politiek, maar zeker ook voor de wetenschap geldt, is dat het stabiliteit nodig heeft om te gedijen. Met zijn onvoorspelbaarheid kan Trump dit helaas amper bieden. Dit werkt twee kanten op: aan de ene kant durven wetenschappers

niet meer alles te zeggen uit angst voor mogelijke, negatieve reacties van de president en daarmee reputatieschade en aan de andere kant is er de onzekerheid of ze wel genoeg geld en beurzen kunnen krijgen (of behouden) om hun onderzoek juist uit te kunnen blijven voeren.

Uiteindelijk zijn er twee belangrijke lessen die we kunnen leren als we de wetenschaps- en technologieprogramma’s van de presidentskandidaten Clinton en Trump naast elkaar leggen.

De eerste is dat het altijd op de tweede plaats zal komen en eigenlijk alleen echt aandacht krijgt tijdens grote debatten en op het nieuws als het gaat over politiek gevoelige onderwerpen, zoals klimaatverandering en GMO’s.

En de tweede les? Dat ook het wetenschaps- en technologieprogramma de karikaturen van Trump en Clinton heerlijk weerspiegelen: Clinton als beschemvrouwe van de minderheden en als marionet van het zakenleven, Trump als de boeroepende populist met inconsistente meningen. Ach, wat is wetenschap toch heerlijk apolitiek en rationeel...

Hop, en nu weer het lab in! !

Over de auteur - Martijn Janse Martijn Janse is een tweedejaars bachelorstudent Natuurkunde aan de Universiteit Leiden en lid van de Eureka!-redactie. Sinds 2013 heeft hij diverse opiniestukken geschreven voor onder andere De Volkskrant en nrc.next, maar ook populair-wetenschappelijke artikelen over bijvoorbeeld ‘onmogelijke’ quasarstructuren voor het kwartaalblad ‘Observator’ van de sterrenwacht Philippus Lansbergen in Middelburg.

✉

martijnjanse@outlook.com

DE LEIDSCHE FLESCH

Interview Bakcommissie Dit jaar is er een nieuwe commissie opgericht; de Bakcommissie.

De Bakcie is er voor alle activiteiten waar ‘bakken’ (in de breedste zin van het woord) bij komt kijken.

In deze commissie zitten Joost, Olaseji, Jasper, Jannetje, Nienke en Larissa.

Waarom is de Bakcommissie opgericht?

Olaseji vertelt dat er tijdens de diesweek eigenlijk cupcakes zouden worden gebakken, maar dat dit uiteindelijk niet ging zoals gehoopt.

Dat vond Olaseji erg jammer. Toen ze dat aan Larissa vertelde, kwam Larissa op het idee om een hele commissie te wijden aan bakken.

Joost zegt dat de Bakcommissie vooral is opgericht omdat bakken een leuke en gezellige bezigheid is, waarmee veel Flesschers blij kunnen worden gemaakt.

Wat voor activiteiten hebben jullie al georganiseerd?

De Bakcommissie heeft tot nu toe één activiteit georganiseerd;

de muffinlunch. Volgens Joost was deze succesvol; er waren verschillende smaken muffins en ze waren allemaal erg lekker. Jannetje omschrijft de muffinlunch kort en bondig: “Omnomnom”.

eigen activiteiten kan bedenken en dat er veel mogelijkheden zijn voor nieuwe ideeën. Ook zijn de commissieleden natuurlijk erg gezellig.

Bakken jullie zelf thuis wel eens?

Jannetje is waarschijnlijk de meest Welke activiteiten willen jullie nog fanatieke bakker van de commissie. organiseren?

Ze grijpt iedere gelegenheid aan Joost vertelt dat ze nog een DLFair om iets lekkers te maken. Het liefst willen houden. Het idee is om op maakt ze gemarmerde chocolade het grasveld voor het Huygens alle- sinaasappelcake. Ook Jasper bakt maal kraampjes neer te zetten met regelmatig cakes in verschillende lekkernijen. Jasper voegt toe dat smaken. Zijn specialiteit, de appelze bij deze fair ook graag andere cake, wordt vaak geprezen door commissies die met eten te maken degenen die ervan mogen hebben hebben, willen betrekken. Joost genieten. Joost bakt thuis eigenlijk vertelt dat er ook nog interessante nooit, maar hij vindt de appeltaarplannen voor een bakfietsrace zijn, ten van zijn moeder wel erg lekker. hierbij moet er vanuit de bakfiets koek worden gehapt door de deel- Olaseji benadrukt dat het er soms nemers. hard aan toe gaan bij de Bakcie. Een tijdje terug hadden Joost, Larissa Wat is er leuk aan de bakcommis- en zijzelf een vurig debat over wat sie? het verschil is tussen een cupcake Volgens Jasper is het leukste aan de en een muffin en welke van de twee Bakcie dat ze mensen erg blij kun- er nou beter is. Volgens Olaseji nen maken met lekkere baksels. weten we hier stiekem allemaal wel Joost vindt het het leukst dat je je het antwoord op; cupcakes.

Eureka! nummer 54 – september 2016

27

DE LEIDSCHE FLESCH

Lieve lezer, Een jaar geleden schreef ik mijn allereerste voorwoord. Vol enthousiasme en nog een beetje onwetend over wat me te wachten stond, keek ik vooruit op alles wat nog komen zou. Nu, een jaar later, kijk ik terug op een bijzonder jaar vol mooie ontmoetingen, gave activiteiten, leuke momenten en overwonnen hobbels. Een jaar waarin we vooral heel veel geleerd hebben over onszelf en over (het besturen van) de vereniging. Een jaar waarin de tijd voorbij is gevlogen.

Het begon natuurlijk allemaal met een grote groep nieuwe eerstejaars. Nadat we de wissel hadden gehad en we ons beleidsplan hadden gepresenteerd, kon alles beginnen en hebben we zo veel mogelijk ons best gedaan om iedereen op hun plek te laten voelen. Ik heb echt enorm genoten van die periode. Ik herinner me nog goed dat ik de beurt had om tot het einde te blijven op het allereerste feest. Het was enorm druk. De eerstejaars gingen volledig uit hun dak en ik genoot en was trots. Trots op de eerstejaars, trots op de vereniging en trots op mijn bestuursgenoten.

missies gevuld en activiteiten neergezet, maar ieder bestuur geeft zijn eigen draai aan zo’n jaar. Ons jaar stond in het thema van toegankelijkheid en betrokkenheid. We wilden dat iedereen, met iedere interesse, zich welkom zou voelen en dat er voor ieder wat wils was. Zo hebben we een historische commissie opgezet (zoals te lezen was in vorige Eureka!) en ons meer gericht op onderwijsactiviteiten. Ik denk dat we best trots mogen zijn op wat we bereikt hebben en daar wil ik mijn bestuursgenoten enorm voor bedanken.

Nu zit het erop en is het tijd om te gaan. We dragen het stokje over aan de volgende zes die staan te popelen om te beginnen. Boordevol enthousiasme en met een frisse blik zullen zij vanaf september de vereniging gaan besturen en ik heb het volste vertrouwen dat zij De Leidsche Flesch weer een beetje mooier zullen maken. Ik neem hier afscheid.

Het was me een genoegen om ieder kwartaal een stukje te schrijven voor de Eureka! om het Fleschblok mee in te luiden. Ik hoop dat u ervan genoten heeft. Bedankt en wie weet tot ziens!

Eigenlijk gaat het ieder jaar hetzelfde. Er komen nieuwe studenten bij, anderen stu- Tineke Nogarede deren af, er worden vrienden gemaakt, com- e.t. praeses

28

Eureka! nummer 54 – september 2016

Lieve lezer, Uitkijkend over een helderblauw meer, met aan weerszijden Noorse fjorden en in de verte het geruis van hier en daar een waterval, op een plek waar het nooit donker wordt en waar helaas ook weinig PokĂŠmons komen, begin ik aan een mooi avontuur. De vakantie is voor velen begonnen en de laatste activiteiten van het jaar van de vereniging zijn weer voorbij, bestaande uit onder andere een barbecue, een voetbaltoernooi en een waterfestijn, met de daarop volgende dag flink wat verbrande hoofdjes die ronddwarrelen op het Snellius. Ook het nieuwe (academisch) jaar zal vele activiteiten en avonturen met zich meebrengen.

eniging en om ze een handje op weg te helpen in het Leidse studentenleven, wat op zich ook al een heel groot avontuur is.

Voor ons als bestuur begint er ook nog een ander avontuur, namelijk een bestuursjaar bij De Leidsche Flesch. We zijn er al een klein beetje aan begonnen, omdat er veel ingewerkt moet worden, en omdat er een beleidsplan geschreven moet worden, waarin wij zeggen wat we allemaal voor de vereniging willen betekenen volgend jaar. n september begint dan eindelijk alles officieel en zal het stokje overgedragen worden. Dit voelt ontzettend spannend en we hebben er dan ook heel veel zin in. Niet lang na de bestuurswissel en het EerstejaarsweekDe eerste maanden van het nieuwe jaar end zal alles teruggaan naar zijn norzullen in het teken staan van de eerste- male gangetje. Dan zullen de eerstejaars jaarsstudenten, waarbij er uiteraard een hun plekje langzaam vinden en regelbarbecue, het Eerstejaarsweekend en matig langskomen voor gratis koffie. We nog veel meer leuke activiteiten georga- zullen hopelijk kunnen genieten van niseerd worden. Tijdens het Eerstejaars- veel leuke activiteiten van commissies. weekend met thema De Heilige Integraal Kortom, avonturen om naar uit te kijken. zullen we als jonkvrouwen en ridders Ik heb er zin in, en ik hoop jullie ook! afreizen naar de Stratumse heide. Deze activiteiten zijn er om de eerstejaarsstu- Eva van Weenen denten kennis te laten maken met de ver- h.t. praeses

Eureka! nummer 54 – september 2016

29

DE LEIDSCHE FLESCH

Koken met

RON

Spaanse gehaktballetjes

100 g fijngesneden Chorizo 4 + 4 fijngesneden teentjes knoflook Bosje fijngesneden krulpeterselie

Bereiden

60 g grof gehakte walnoten en/of amandelen

Meng het gehakt, de chorizo, 4 teentjes knoflook, peterselie, 2 eetlepels paneermeel, de noten, eieren en (flink wat) peter en zout in een grote kom. Draai daar minstens 30 balletjes van en rol deze door het paneermeel, schud ze daarna af.

Bak de balletjes 4 minuten op hoog vuur al roerend bruin in de olijfolie. Neem daarna het vlees de pan uit en zet het vuur laag. Smoor in het achtergebleven vet de uien met de resterende knoflook voor 10 minuten. Voeg daarna het komijnzaad en het paprikapoeder toe en bak deze een minuut mee. Blus het vervolgens af met de wijn en voeg tomatenblokjes en laurierblaadjes toe. Breng dit aan de kook en doe dan de balletjes erbij. Laat dit geheel op 25 minuten op laag vuur sudderen. Maak het tenslotte naar smaak af met peper en zout. De balletjes zijn zowel warm als op kamertemperatuur lekker. Eet smakelijk!

800 g gehakt 2 grote eieren 2 el paneermeel (plus extra voor jasje voor de ballen) 125 ml droge witte wijn 4 el olijfolie 2 gesnipperde grote uien 2 tl komijnzaad 2 tl (scherpe) paprikapoeder 2 pakjes tomatenblokjes (van 400 gr) 2 laurierblaadjes.

Puzzel Deze 15x15 sudoku werkt zoals een standaard 9x9. In elk van de 15 roosters moeten de getallen 1 tot en met 9 komen te staan, en ook de letters A tot en met F. Dit geldt ook voor elke rij en elke kolom. Geen van de tekens mag in een rij, kolom of rooster dubbel voorkomen.

1

D C 8 F

8 4 5 6 E 3

2 B 9 B 9

E

7

B 2 9 1 4 3 F

A

F

7

F 9 B

1 3

9

1

E 7 8

6 7

D A

B F C E 1 A

5

A

F

7

3

A

C

1 B

4 4

2 C E

9 3 9 8 B 2 D C

D

8

A 6 5

E

C E

9 6 3 7 A F

1

F D 4 8 7

1

3 C F D

4

9 5 3 2

C 6 8 1

6

9

Stuur de oplossing vóór 1 november op naar eureka@deleidscheflesch.nl en maak kans op een leuke prijs.

De puzzel van de vorige Eureka! werd door Denise Meerkerk als eerste opgelost: ze vond een prachtig Fleschlogo.

Ze kan haar prijs ophalen in de Flesschekamer.

30

Eureka! nummer 54 – september 2016

D B

Minimumjeugdloon September. Een nieuw collegejaar nemers, eerstejaars en vijfdejaars. De is begonnen en Leiden stroomt vol vijfdejaars krijgt ruim twee keer zo met kersverse eerstejaarsstudenten, veel betaald voor dezelfde inzet bij op zoek naar een kamer, vereniging, hetzelfde werk als de eerstejaars. sport, stamkroeg en werk. Een eer- De opbouw van het jeugdloon verstejaarsstudent heeft grofweg met bijstert me. Als wiskundige houd dezelfde uitgaven te maken als een ik van cijfers, dus hier zijn ze: vijfvijfdejaars: kamer en onderhoud, stu- tienjarigen beginnen met €2,66 per die, uitgaan en een potje onvoorzien. uur, of 35% van het volwassen miniOok heeft een eerstejaarsstudent in mumloon, een achttienjarige verdient veel takken van werk hetzelfde te bie- €4,04, of 45%. Via 52%, 61%, 72% en den als een vijfdejaars, als ze beide 85% loopt de curve traag op naar de net beginnen met bar staan, kranten- €8,87 op 23-jarige leeftijd. Ter vergewijken lopen of in retail werken: typi- lijking: in België zit een achttienjarige sche studentenbaantjes en typisch al op 82% en een eenentwintigjarige baantjes die op minimumloon wor- op 100%. den uitbetaald. Hierin zit dan ook het Afgelopen april was er voor het eerst enige verschil tussen de nieuwe werk- in 41 jaar een Kamermeerderheid

September

9 september

voor aanpassing van het minimumjeugdloon: de huidige plannen zijn om stapsgewijs de ingang van volwassenenloon van 23 naar 21 jaar te verlagen en tussen de 18 en 21 jaar het jeugdloon te verhogen, hoeveel is nog niet duidelijk. Het is een mooie eerste stap, maar we zijn nog lang niet klaar: het verschuift slechts de hierboven beschreven discrepantie tussen eerstejaars en vijfdejaars naar eerstejaars en derdejaars. Ook neemt het niet weg dat €2,66 een armoedig uurtarief is, zelfs voor een vijftienjarige die nog niet in zijn of haar eigen onderhoud hoeft te voorzien, of dat €3,50 te weinig is voor een zeventienjarige jonge student die dat al wel moet.

Oktober

LaTeX-workshop voor stu6 september denten Natuur- en Sterren- 3 oktober Algemene ledenvergade- kunde Leidens ontzet ring 15-18 september 14 oktober 6 september Eerstejaarsweekend Excursie Airbus Defence Opening academisch jaar 20 september and Space Wiskunde & Natuurwe- LaTeX-workshop voor stu- 15 oktober tenschappen denten Informatica Open Dag Universiteit Lei24 september den Bacheloropleidingen Leids Kampioenschap Pro- 20 oktober grammeren Faculty Party FWN

Colofon Eureka! jaargang 14 nummer 54, september 2016

Eureka! is een uitgave van een samenwerkingsverband tussen de Faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen aan de Universiteit Leiden en studievereniging De Leidsche Flesch en wordt ieder kwartaal gratis verspreid onder studenten en wetenschappelijk personeel van de opleidingen Natuurkunde, Wiskunde, Sterrenkunde en Informatica aan de Universiteit Leiden.

De redactie behoudt zich het recht artikelen te wijzigen of niet te plaatsen.

Anonieme artikelen worden in principe niet geplaatst.

Oplage ongeveer 2500

Redactieadres Eureka! Magazine p/a De Leidsche Flesch Niels Bohrweg 1 2333 CA Leiden eureka@deleidscheflesch.nl Hoofdredactie Lotte Konings Eindredactie Annette Mense, Jannetje Driessen, Heleen Otten, Simon Klaver, Tobias de Jong en Tom Warmerdam.

Rubrieksredactie Alex van Vorstenbosch, Ellen Riefel, Heleen Otten, Jannetje Driesen, Lotte Konings, Martijn Janse, Pim Overgaauw, Stefanie Brackenhoff en Tom Warmerdam.

Door Lotte Konings

Ontwerp en vormgeving Balyon, Katwijk Druk UFB, Universiteit Leiden Aan deze editie werkten verder mee: Marieke Vinkenoog, Ignas Snellen, Tjerk Oosterkamp, Jelmer Wagenaar, Frank Takes, Mathijs Kolkhuis Tanke, Tineke Nogarede, Eva van Weenen en Ron van Veen.

Referenties Het is helaas niet altijd mogelijk referenties naar andere publicaties op te nemen. Wilt u meer weten, neemt u dan contact op met de redactie.

22 oktober

Benelux Algorithm Programming Contest November 4 november

Masterdag FWN 15 november

SNiC VirtualIT

Adverteren Adverteren in de Eureka! is mogelijk door schriftelijk contact op te nemen met studievereniging De Leidsche Flesch, door te mailen naar bestuur@deleidscheflesch.nl.

Abonnement Het is voor € 8,- per jaar mogelijk een abonnement te nemen op Eureka!. Neemt u hiervoor contact op met de redactie.

Deadline Eureka! 55: 1 oktober 2016 Copyright Eureka! en al haar inhoud © studievereniging De Leidsche Flesch. Alle rechten voorbehouden.

ISSN 2214-4072

Eureka! nummer 54 – september 2016

31

Heb j ij een profie en te l natu chnie ur k of e natuu e n p r en g rofiel ezond Wil je heid? wete n hoe is om het na he t vwo bèta een studi e in L volge eiden n? te

INTERVIEW

Kom proef stude ervaa ren e r het n z elf!

Vrijda

g 25

Biologie - Bio-Farmaceutische Wetenschappen Informatica - Informatica & Biologie Informatica & Economie - Life Science & Technology - Molecular Science & Technology Natuurkunde - Sterrenkunde - Wiskunde Meer informatie of je direct aanmelden: www.opendageninleiden.nl/wiskunde-ennatuurwetenschappen/

32

Eureka! nummer 54 – september 2016

Bij ons leer je de wereld kennen

nove

mber