Matematisk fundament: Spill i grenseland

Snorr e Har ald Christiansen

Spill i grenseland MATEMATISK FUNDAMENT

Matematiskfundament Spilligrenseland

c Universitetsforlaget2023

ISBN978-82-15-06566-3

Materialetidennepublikasjoneneromfattetavåndsverklovens bestemmelser.Utensærskiltavtalemedrettighetshaverneerenhver eksemplarfremstillingogtilgjengeliggjøringbaretillattidenutstrekning deterhjemletilovellertillattgjennomavtalemedKopinor, interesseorganforrettighetshaveretilåndsverk.Utnyttelseistridmed lovelleravtalekanmedføreerstatningsansvaroginndragningogkan straffesmedbøterellerfengsel.

Henvendelserombokenkanrettestil

UniversitetsforlagetAS

Postboks508Sentrum

0105Oslo

www.universitetsforlaget.no

Omslag:EllenLorenzen

Sats:SnorreHaraldChristiansen

Trykkoginnbinding:AksellAS

Innbinding:BokbinderietJohnsenAS

Bokenersattmed:ComputerModern11pt

Papir:90gArcticMatt

Tildevitelystne, demetodisketvilerne ogdetvilsommemetodister.

Tildemedtropårasjonalitet, håpomforståelse, ogenforkjærlighetforklarhet.

Tildesomelskerfaget, bådehåndverketogkunsten.

Tildesombegjærerdetukjente, ogandrenysgjerrigperer.

Festspill

Matematikkensfundament, slikdetvilblipresentertidenneboken,er beinhardtstoff.Menjegblirfortlittlyrisknårjegtenkerpådet.

Hvilketspill,ihvilketgrenseland, invitererjegtil?Viharsomambisjon ågripefattimatematikkenveddensrøtter,derhvordengrensermotdet usigelige,detstoreintet.Idettegrenselandetvokserdetmatematisketreet frempåmirakuløstvis.Premissene,deførsteutsagnenevibyggerpå,kan virkebådeselvfølgeligeogvilkårlige.Matematikkenfremstårdasomen lek,dervistårfritttilåvelgeregler,sålengevifølgerdemnøyaktig.Det erenuendeligkreativprosess.Devalgtespilleregleneskillersegutsom spesieltfruktbare,delederinniparadisiskehager.Dennevidunderlige verdenerbådetidløsogunderkonstantutvikling.

Matematikkerenfest, avogformennesker.Enfestforøyet,muligens, detsomkananeperfeksjonbakjordeligeformer.Forøret,somervartpå språketsfinurligheter.Forhånden,somlarossskrivenedogbegripede mestabstraktetanker.Fornesen,somerintuisjonenssymbolivårjakt påhimmelskeopplevelser.Enfestforintelligensen,densom–følsomt–kanviseveimotdeklassiskeidealene:detsanne,detvakre,detgode. Envandringsveisomkangitilfredsstillelse,meningogglede:somlaross spekulereovertidløsegåter,utviklesylskarpeverktøy,avdekkemønstre ogandrerariteter,forståstoresammenhengerogheltenkelt se,bådeklart oglangt.

Matematikkeretfyrtårnforvitenskapeneogenvitenskapfordevisjonære.

S.H.Christiansen. Matematiskfundament.

Thereisgeometryinthehummingofthestrings,thereismusic inthespacingofthespheres.

Pytagoras1

Philosophyiswritteninthatgreatbookwhicheverisbeforeour eyes–Imeantheuniverse–butwecannotunderstanditifwe donotfirstlearnthelanguageandgraspthesymbolsinwhichit iswritten.Thisbookiswritteninmathematicallanguage,and thesymbolsaretriangles,circlesandothergeometricalfigures,withoutwhosehelpitisimpossibletocomprehendasingle wordofit;withoutwhichonewandersinvainthroughadark labyrinth.

GalileoGalilei2

Idon’tknowwhatImayseemtotheworld,butastomyself,I seemtohavebeenonlylikeaboyplayingonthesea-shoreand divertingmyselfinnowandthenfindingasmootherpebbleor aprettiershellthanordinary,whilstthegreatoceanoftruth layallundiscoveredbeforeme.

IsaacNewton3

Withmathematicswestandpreciselyatthepointofintersectionofrestraintandfreedomthatmakesuptheessenceofman itself.

HermannWeyl4

1 Sitertfra TheMysteryofMatter (1965)red.LouiseB.Young,s.113.

2 Fra TheAssayer (1623),oversattavThomasSalusbury(1661),s.178,sitertfra TheMetaphysicalFoundationsofModernScience (2003)avEdwinArthurBurtt,s. 75.

3 Sitertfra MemoirsoftheLife,Writings,andDiscoveriesofSirIsaacNewton (1855)avSirDavidBrewster(Vol.II.Kap.27).

4 MeddettesitatetkonkludererMichaelHarriskapittelet ”Whymathematics?”,you mightask i[16]s.966.

Introduksjon–ommatematikk

«Altertall.» Detpytagoreiskemotto(fraca.500f.Kr.)oppsummerteet verdensbildesompåmystiskvisforentearitmetikkmedgeometri,musikk ogastronomi.Studietavtallisegselvogirelasjontilrom,tidogtidromskullelededeinnviddetilenenhetligforståelseavkosmosogmot kontemplasjonavdeguddommeligeharmonier.Lengebletreningidisse firekunstartene,somtilsammenutgjordequadrivium,ansettforåvære densikresteveientilinnsiktomdeklassiskeidealene:detsanne,detvakre ogdetgode.

Ordetmatematikkkommerfra mathesis,greskfordetålæreogderetterlærenselv.Derifraerveienkorttiltankenomatmatematikkrepresentererenoverordnetkunnskapsform,modellforen mathesisuniversalis, enuniversellvitenskapforespeiletspesieltavRenéDescartes(1596–1650) ogGottfriedWilhelmLeibniz(1646–1716).Detteforblirnokenuoppnåeligdrøm,mendengjenspeilerhvoraltomfattendeogdyptgripendedet matematisketankesettetkanvære.

Imatematikkenesviomnoenspillereglersomgjørossistandtilå identifiserekorrekteuttrykksformerogkorrektargumentasjon.Vietterstreberklarhetifremstillingeneoggodkommunikasjon.Sliksettbygger matematikkpågrammatikk,logikkogensmuleretorikk,dedisiplinene somtilsammenutgjordetriviumidenklassiskedannelsen,forløperentil quadrivium.

Meddenlogiskerammenpåplassognoenstjerneråorientereossetter kanvitafattpåhovedanliggendetidenneboken:åbyggedetmatematiske tempelet.Deteretmøysommeligarbeidogviskalbareleggeengrunnmur.

Menvihar,medandreord,denstoregledenav åskapeennybegynnelse Mangematematikk-kursrepresentereretsprangiforholdtildeforegående ogintroduserernyetenkemåter.Dettestoffetskillersegutvedåvære konseptueltheltselvforsynt.

Irestenavdenneoversiktenskaljegførstsilittommodernematematikk,omskjønnhetenstveeggedesverdogomdetofteparadoksaleforholdettilandrevitenskaper.Deretterskaljegginoenhistorisk-filosofiske betraktningerrundtbegrepetbevisogdetåbyggeoppenteoristrengt logisk.

Matematikkidag Deførstesymbolenehomosapiensseruttilåha nedtegnetvartall,iformavhakkogstreker,ibeinogstein.5 Åbeherske ogutvikleslikesymbolskehjelpemidler,istadigmersofistikertevarianter, girinnsiktogmakt.Denneutviklingenharakselerert,ogietterkrigstiden hardatamaskineneåpnetforeneksplosivvekstiverktøykassen.

Peridagerdetingensomvilleværeistandtilåginoeannetennet overfladiskoverblikkoverdenmenneskeligematematiskeproduksjon.Man regnergjerneHenriPoincaré(1854–1912)ogDavidHilbert(1862–1943) somdesisteuniversalister,produktiveideflestegreneravmatematikken.

Matematiskekunsterogteknikkerhardesenereårenehattstorinnflytelsepåverdensutviklingen,militært,politisk,økonomiskogkulturelt.

MankannevneRSA-kryptering(relevantforbank-transaksjoner),mp3formatet(bruktforoverføringavmusikk)ogPageRank(somdannetutgangspunktetforGooglessøkemotor),someksemplerpåinformasjonsteknologiermedenvesentligmatematiskkomponent.Dennematematikken kanundervisespåbachelornivå.Deutgjørnoenspesieltsynligetopper påetisfjellavnyvinninger,iethavavmuligheter.Matematikkharlengeutgjortryggradeniingeniørkunsten.Heltsidenpyramidenestidhar deninspirertmesterverk.Fremtidsvisjonenifilmen 2001:Enromodyssé (1968)ernestenrealitet.Hvemvethvorkunstigintelligensviltaoss?

Matematiskekonsepterogtenkemåterergrunnleggendeforalledagens vitenskaper.Matematiskeverktøyerenvesentligkomponentidefleste teknologierviomgirossmed.Matematiskemodellererenviktigdelav beslutningsgrunnlagettiløkonomiskeogpolitiskeaktører.Matematikken erlevende,idenforstandatdenundervises,reflekteresoverogvidereutvikles,ikkebareveduniversiteter.Matematikkgirmakt.Matematikere griperstadigdypereinnitilværelsenogdensgåter.

Skjønnhet MatematikerenHermannWeyl(1885–1955)haruttalt,med glimtiøyet:

Myworkalwaystriedtounitethetruthwiththebeautiful, butwhenIhadtochooseoneortheother,Iusuallychosethe beautiful.

Matematikkerskremmendeeffektivt.Deterenkampkunstiflereavordetsbetydninger[6]:Detersentraltikrigføring,menkanogsåværeen

5 Manharforeksempelfunnetetca.30000årgammeltulvebeinmed55hakk organisertigrupperpå5,medetekstramarkeringetter25.Sekapittel1i[30].Seogså Seksjon1.6 Matematikkensfremvekstogtallteorienshistorie i[22].

indremeditativprosess.LeonardCohensynger(i FirstwetakeManhattan):«We’reguidedbythebeautyofourweapons.»Hvabestårda matematikkensfarligeskjønnheti?

Matematiskskolerteguidervilkunnesimyeomkjenteturistmål.FlismønstreneiAlhambraillustrerervisstnokallede17krystallografiskesymmetrigruppene.Atdetgylnesnittopptrersåoftebådeikunstognatur, fratemplertilsolsikker,kansespåsometsøketterdenperfekteharmoni.Detseruttilåværerelaterttilatdeterdetmestirrasjonaletallet –detsomvanskeligstlarsegapproksimereavbrøker.Deterogsånært beslektetmedkontruksjonenavpentagonetmedpasseroglinjal,etav høydepunkteneiEuklidsverk Elementene (ca.300f.Kr.).Pentagonetkan forøvrigikkebrukestilåflisleggeenveggperiodisk,menderimoten sfære,derdengiropphavtildodekaedret,detmestmystiskeavdeplatonskelegemene.Kvasiperiodiskeflismønstre,medpentagonalsymmetri, harogsåblittoppdaget,imatematikkogsenereinaturen–muligensvar deogsåkjentblantmiddelalderensarabiskekunstnere.Gittalledisseforbindelseneerdetkanskjeikkesårartatdenamerikanskemilitærmaktens symbol,pentagonet,treffer.

ForvitenskapspersonersomJohannesKepler(1571–1630)ogPaulDirac(1902–1984),forbareånevnedisseto,varestetiskeprinsipperog anelseravmatematisknaturrettesnorerforutforskningenavuniverset. Deførtetilbanebrytendenaturvitenskapeligeoppdagelser.Keplerslover forplanetbaneneblesenereprøvesteinforIsaacNewtons(1643–1727)revolusjonerendeteorier,ogvargullverdtihansarbeidmedåutvikledem. Diracpåsinsideformodeteksistensenavennypartikkel,positronet,på bakgrunnavlikningenhanformulerte.Fysiskeeksperimenterskullesenere bekrefteintuisjonenehans.NewtonsogDiracslikningervaroppfinnelser somførtetiloppdagelser,ogviceversa.Disseeksempleneantyderatdet kanværefruktbart,tilogmedklokt,åsøkedetskjønne.

DetskalogsåsiesatKepler,i MysteriumCosmographicum,førstspekulerteiomdetvarnoenforbindelsemellomdetatdetvar5kjente planeterog5platonskelegemer,spesieltomdettekunneforklareavstandenmellomplanetbanene...Matematikkkanforføreogbortføretanken, pågodtogvondt.Newtonselv,hvisbidragrepresenterervannskilleri matematikk-ogfysikkhistorien,ogformangebegynnelsenpåmoderne matematisknaturvitenskapogteknologi,varogsåmystikerogalkymist.

IfølgeøkonomenJohnMaynardKeynes(1883–1946)varhandensiste magiker.

Noenmodernefysikeretarforbeholdmotidealetommatematiskskjønnhet[31].Naturlovkonsepteterdelvisavledetavdeneldreidéenomgude-

gittelover.Fortsattvilmangeforskerekunneuttrykkesinaktivitetsom atdesøkerinnsiktiGudstanker.Selverjegmestopptattavatviskal snakkesammespråk.

Etteoremerbådeetmirakelogenkatastrofe[7].Dettarossforbi etvippepunkt.Banebrytendeoppdagelser,hentetvedokkultekilder,har sinpris.PrometeusblesomkjenthardtstraffetavZevsforåhabrakt gudenesildtilmenneskene.OdinmåttegiMimeettøyeipantforsin kunnskap.

Sannhet Matematikkharetspesieltforholdtilbegrepetsannhet.Sett utenifraerdetkanskjematematikkensevnetilånåabsoluttesannheter somerfascinerende.

Tilsammenlikningharlitteraturenskraftblittanalysertundertitlene mathesis,mimesis,semiosis.RolandBarthes[4]laidemlitteraturens evnetilårepresenterekunnskap,etterliknelivetogarbeidemedspråks symboliseringsmuligheter.Matematikkfremstårdasomensæregengren avdetmenneskeligekunnskapsprosjekt,medsittegetkorpus(fleretusen årgammeltogstadigstørre),sineegnekunster(viteoriserer,praktiserer ogskapermatematikk)ogsineegnefremstillingsmåter(meduovertruffen symbolbruk).

Inaturvitenskapenefremsettermanhypoteserogkonfrontererprediksjonermedeksperimenter.Foratennaturvitenskapeligteoriskalvære god,mådenstemmemedobservasjonene.Vitenskapeneharlengeinspirert utviklingavnyematematiskekonsepterogmetoder.Spesielthargjensidig påvirkningmedfysikk(tidligerekaltnaturfilosofi)værtsterk.Matematikkenblirofteomtaltsomvitenskapenesspråk,damyeavkjerneniengitt vitenskaputtrykkesvedhjelpavmatematiskekonsepter.Atmatematiske modellerkanbrukestilåbeskrivedetvikanobservere,ogforutsinaturfenomenermedsåhøypresisjon,kanfremståsomlittavetmirakel.

Matematikkinnebærerenspesiellmåteåbrukespråket.Etlogiskfundamentkrevesforådiskuterematematikk.Utsagnkanbehandlesmekaniskellerformelt,utenhensyntilnoetenktmeningsinnehold.Matematikk kanogsåbrukestilåanalyserespråk,entenformelleellernaturlige.Matematiskeverktøykanbrukesilogikk.Matematisklogikkkansiinteressante tingikkebareomargumenter,menommatematikkensomhelhet.Denne grenengirogsåetteoretiskfundamentforinformatikk,behandlingenav informasjonvedhjelpavdatamaskin.

Geometrierenavdeeldstegreneneavmatematikken.Etymologisk kommerordetfrasammenstillingenavdegreskeordene ge (jord)og metria

(måling),ogtidliggeometrivarbeskjeftigetmedlandoppmåling.Foreksempelvardet,idetgamleEgypt,etteratNilenhaddegåttoversine bredder,viktigåkunnegjenopprettetomtegrenser.Menjegtroraten indregeometrisksansogundringogsåspilteenrolle.Nårplangeometrien førstblekodifisertidetgamleHellas,innebardetåabstraherevekkreferansertildenobserverbareverdenogåutvikleetspråkforåbeskriveog argumentereomidéer.

Ogsåimodernetidfårmatematikkenbrynesegpåomverdenen.I grenselageterikkespillereglenebarematematiske.Deleravspråketkan værehentetutenifra,fraandrevitenskaper.Metodeneogmålsettingene likeså.Noengangerkrevesdetnymatematikkforågjørefremskritther, andregangerkandetværenokåfinnefremideneksisterende.Siden

1950-talletharvihatteneksplosivfremvekstavensynergimellommatematiskteori,kraftendatamaskinergirogproblemstillingerfradetvi kaller,medenvissømhet,denvirkeligeverden.Modelleringogalgoritmikk,somvitenskapeligmetode,breromseg.Enmatematiskteorirundt disseaktiviteteneerunderkonstantutvikling.Dettefagfeltetharfåttdet littmisvisendenavnet«anvendtmatematikk».Nyeanvendelsesområder inkluderermeteorologi,industrielldesign,bildebehandling,finans,helse, klimaogmangeflere.

Itrådmeddengenerelletendensentilstørrespesialisering,ognoen gangerforådistanseresegfradetmilitærindustriellekomplekset,velger noenmatematikereåkonsentreresegutelukkendeominterneproblemstillinger.Detteerkunstforkunstensskyld,pågodtogvondt.Dentaross motetavdenmenneskeligeerkjennelsesytterpunkter.Medenvissprektighetkallesdenneaktiviteten«renmatematikk».Foreksempelkanstore deleravtallteoriensiesåværeren.Menkryptologene(kodeknekkerne) følgernøyemed!Uttrykkene«ren»og«anvendt»erupresiseoglittkontroversielle.StorhetersomNewton,Euler,GaussogPoincaréoperertepå beggesideravskillet.Dehaddebeggebeinagodtplantetimatematikken –mendehaddeogsåenfotiomverdenen!Idagharvietøkosystemav matematiskefagsomutviklersegpåuforutsigbaremåter,mednyebroer segimellom,nyebåndtilomverdenenogstadigdypereteori.

Selvomjegtarinnovermegsidervedsamspilletmeddeandrevitenskapene,erhovedtanken,idenneboken,åfremstillematematikksomen autonomogsæregenkunnskapsgren.

Detervanskeligådefinerematematikksettutenifra.Fagfelteterparadoksalt:Sidendeterrentanke,ogdermedintimtknyttettilobservatøren,hvordankandetpåberopesegperfektobjektivitet?Bokenerskrevet utifraenfølelseavatdetmatematiskespråketikkebareeretformelt

spill,medtildelsvilkårligereglerogobjekter.Jegpåståratdetuttrykker noeessensieltogvesentlig,påmenneskeligepremisser.Matematisktekst oppstårgjernesomentenktdialogmedenleser.Stringensenispråket fungerersomfundamentforennærmestperfektverden,hvordefinisjonsmakteneruendelig.Atrammenersåpresis,menmulighetenesåmange, gjøratkreativitetenfårbrynesegpåutalligefruktbareproblemstillinger. Matematikkerentenkemåte.Ikkeallesannematematiskeutsagnerlike interessante,såhererdetogsåmulighetforåutviklepersonligstil,for ikkeåsismak.Menakkurathvahandlerdetom?Godtspørsmål!Jeg harikkenoebedresvarennåvisetilinnholdetidennebokenfornoen utfyllendeeksempler.

Bevisogmatematiskebyggverk Detsomkarakteriserermatematikeres omgangmedpåstander,eratsannhetenetableresvedhjelpavbevis.Selv omallefagfeltharsinargumentasjon,stårdenmatematiskevarianteni ensærstilling.

Matematikereenespåforhåndomhvasomergrunnleggendesannheter oghvasomutgjørgyldigargumentasjon.Vierikkeistandtilådefinere allematematiskeobjekter.Noenvilforeksempelsiatnaturligetaller etslagsurkonsept,somikkelarsegdefinerevedhjelpavenklerekonsepter.Menvikanenesomnoengrunnleggendeegenskaperveddenaturlige tallene,somvikallerforaksiomer.ForeksempelkanmanbrukePeanos aksiomer(1889)(viformulererdemiAksiom3.1.1).Derettervilvikunne utledemerkomplisertepåstanderomdenaturligetallene,foreksempel atdeharenunikprimtallsfaktorisering(ditkommerviiTeorem7.2.4).

Eventueltkanvispekulereoveruløsteproblemstillinger.Detmestkjente erkanskjeriemannhypotesen(1859).DeteretavMillenniumprisproblemeneformulertavClayMathematicsInstitute.

Bevistepåstandersomfremstårsomspesieltviktige,kallesteoremer. Påveifraaksiomenetilteoremeneintroduseresgjernenyematematiske objekter,vedhjelpavdefinisjoner.IHilbertsaksiomatiseringavgeometrien(1899)varforeksempel«punkter»,«linjer»og«plan»urkonsepter.

Deteruviktighvilkenavnmanbrukerforåbetegneegenskapervedobjekter:prinsipieltskullemankunneerstattedetreordenemed«bord», «stol»og«øl-glass»,6 sålengemanerenigeomhvilkerelasjonersomgjeldermellomdemogmanerkonsistentiordbruken.Deretter,utifradisse urkonseptene,vilmanforeksempelkunnedefinerehvaentrekanter,og kunnebeviseegenskapervedtrekanter,somathøydenemøtesietpunkt.

6 Detteertittelenpåetkapitteli[29].

Nårmantenkeraksiomatisk,forandresfokusfrahvamatematiskeobjektererisegselv,tilhvamankangjøremeddem,hvordanderelaterer tilhverandre.Detharblittsagtomaksiomeratdeerdefinisjoneriforkledning.

Etavdemestkjenteteoremeneieuklidskgeometrierdetoppkaltetter Pytagoras.Pytagoras’teoremerenrelasjonmellomarealenetiltrekvadraterknyttettilsideneientrekantmedenrettvinkel.Dennepåstanden erikkeopplagt,ogsannhetsinneholdetkanfremståsomnoeåstudere, kontemplereogmeditereover.Etymologientilordet teorem tilsierogså det.7 ForPytagoras’disiplervarikkereligionogvitenskapadskiltsomi dag.Pytagoras’teoremvarforøvrigtidligerekjentiMesopotamia,India ogKina,medvarierendegradavgeneralitetiformuleringenogstringens iargumentasjonen.

HvavildetsiåbevisePytagoras’teorem?ForPytagorasbestonok argumentetessensieltiintuitivtopplagtebetraktningerkringenfigur, hvordetikkeerheltklarthvamantarforgitt,hvautgangspunkteter. Euklidsverk Elementene inneholdertobevisforPytagoras’teorem,ut ifradefinisjonerogaksiomer.Defærrestemodernematematikerevilleha noeåutsettepådissebevisene.Deterbemerkelsesverdighvorgodtbyggverketharståttseg.Mankanlikevelstusseoveratdenførstesetningeni Elementene erdefinisjonen«Etpunkterdetsomikkeharnoendeler»,og atdenførsteproposisjonenfaktiskikkefølgeravaksiomene.Euklidvar ikkeklarovernødvendighetenavudefinertekonsepter.Sompoengtertav Leibnizmanglerdet,foråbeviseProposisjon1,etaksiomsomgaranterer attosirklersomgårigjennomhverandressentrevirkeligmøtes,dvs.har fellespunkter.8

Euklidsverkvaretfyrtårnforkulturenimillennier.Detharblittkalt verdensmestfremgangsrikelærebok.Fravårtsynspunkterdetlikevelet poengatHilbertryddetoppigrunnlagetdahanfremstilteennyaksiomatiseringavgeometrien.Dettearbeidetkomikjølvannetavoppdagelsenav ikke-euklidskegeometrier(iperioden1813–1832)ogendypereforståelse avparallellpostulatet.9 Selvomplangeometriikkelengersespåsomet sentralttemaimatematikken,skulleopprydningenfåstorinnflytelsepå

7 Fragresk, theorema (forestilling,skue,detmanbetrakter), theorein (sepå,spekulere), theoria (kontemplasjon,spekulasjon,betraktning), thea (syn,gudinne), theos (gud).

8 Meddegitteaksiomeneerdetikkenoeiveienforatmankunserpåpunkteriplanetmedrasjonalekoordinater.Davilikkesirkleneskjærehverandre.Argumentersom tolkeraksiomsystemerimerkompletteaksiomsystemerledettiltankenom modeller forgitteaksiomer.

9 Envarianter:Gittenlinje,ogetpunktikkepålinjen,finnesdetenuniklinjesom

vårmoderneforståelseavhvaenmatematiskteorier.DenvarenhjørnestennårHilbertformulerteettilsvarendeprogramformatematikkensom helhet.Spesieltvarmanuteetteråkunneutelukkeatdetvarselvmotsigelserimatematikken.Dendyperematematiskeforståelsenavhvageometri kanvære,skullebaneveiforEinsteinsrelativitetsteori(1915).

Mankanjobbemedgeometrivedhjelpavkoordinater.Selvomde gamlegrekernekunneutføredetviidagvilkallekoordinatutregninger, fårDescartesogFermat(ca.1630)ærenforatdettesynspunktetvirkelig fikkblomstre.Nårkoordinatererpåplass,kanmanbringeinnalgebra somverktøy.FradenmodernesynsvinkelenfremstårPytagoras’teorem nestensomendefinisjon.MantarutgangspunktiPytagoras’intuisjonfor ådefinerelengder(merpresist:skalarprodukt)ietgittkoordinatsystem ogutledersåPytagoras’teoremforgenerellerettvinkledetrekanter(ikke baredevisskatetererparallellemedkoordinataksene).

Grekernevarfortroligemedheletall.Lengdererikkeakkurattalli denfysiskeverden:dermåenmåleenhetspesifiseres.Menforholdmellom lengderfremstårsomrenetall.Forholdmellomheletallgiropphavtildet vikallerderasjonaletallene.Pytagoreernevarnokklaroveratforholdet mellomlengdenpådiagonalenienfirkantoglengdenpåsideneikkekan væreetrasjonalttall.LegendeneratHippasusmåttebøtemedlivetforå harøpetdenhemmeligheten(ca.450f.Kr.).Hvaslagstallerrotenavto da?Viskalkommetilbaketildetsenereiboken,bådehvordandettetallet, ogreelletallgenerelt,kandefineresfraaksiomer(detgjørviiKapittel 8)oghvordandetkanbevisesatdetikkekanværeetrasjonalttall(se Teorem1.5.15).

Manbehøverikkegåsålangtforåstøtepåinteressantepåstander.

BådeLeibniz(1704)ogPoincaré(1902)hardiskutertbevisforat 2+2=4

WhiteheadogRussellharpåsinsidepresentertbevisforat1+1=2,hva nådemåttemenemeddet.Iderestobindsverk PrincipiaMathematica (ca.1910)forekommerdettebevisetibind2,etteretlangtforspillog medenpikantfotnote.10 Detharblittspøketomat Principia barehar blittlestavKurtGödel.Sistnevntesteoremer(1931)skulleslåsprekkeri ambisjoneneiHilbertsprogram,dadeviseratinnenforhvertsterkenok aksiomatiskesystemvildetværeutsagnsomhverkenkanbeviseseller motbevises.Spesieltkanmanikkebevisekonsistensentilsystemet,atdet ikkefinnesselvmotsigelser.

erparallellmeddengittelinjenogsomgårgjennomdetgittepunktet.Mangetrodde detteaksiometkunneutledesavdeandre.

10 Setegneserien[11]formeromdetteekstravaganteprosjektetogbrytningstiden detoppstoi.Se[33]eller[13]fororiginaltekster.

Nårvisøkersannheterdetistorgradforåoppnåenfølelse.André Weilharpoengtertatdenmatematisketilfredsstillelsenhardetfortrinnet atdenkanvareitimerogdager.Ihansselvbiografi, Theapprenticeship ofamathematician (1991)skriverhan:

Everymathematicianworthyofthenamehasexperienced...the stateoflucidexaltationinwhichonethoughtsucceedsanother asifmiraculously...thisfeelingmaylastforhoursatatime, evenfordays.Onceyouhaveexperiencedit,youareeagerto repeatitbutunabletodoitatwill,unlessperhapsbydogged work...

Ikrisenrundtmatematikkensfundament(ca.1870–1930)skulleErnst Zermelossåkalteutvalgsaksiom(1904)giosslikemyehodebrysomparallellpostulatetenganggjorde.Detteaksiometskalvidiskutereiboken (deterAksiom2.4.1),spesielthvordandetkanbrukestilåbeviseZorns lemma(formulertiLemma5.3.12).Pådenenesidenfølesaksiometunødvendigut,såopplagterdet.Pådenandresidenvekkerdetskonsekvenser demestblandedefølelser.Banach-Tarski-paradokset(1924),spesielt,er jofantastiskgøyalt.Detsieratmankandeleoppentredimensjonalball ifembiter,flytterundtpåbitene(vedhjelpavtranslasjonerogrotasjoner)ogoppnåtolikestoreballer!Andrekonsekvenser(somatenhver kroppharenalgebraisktillukning)erdetvanskeligågislipppå.KurtGödel(1938)harvistatutvalgsaksiometikkemedførerselvmotsigelser,med mindredeterselvmotsigelseralleredeivåreandreaksiomer.PaulCohen (1963)harvistatdetikkekanbevisesvedhjelpavdisse.OgsomJerry Bona(1977),enmatematikermedflerestrengerpåsingitar,spøkefullt sierdet,velvitendeomatdetreutsagneneerekvivalente:«TheAxiom ofChoiceisobviouslytrue,theWell-OrderingPrincipleobviouslyfalse, andwhocantellaboutZorn’sLemma?»

Dermedkanmanspørre,ogsåimatematikken:Hvaeregentligsannhet?

Introduksjon–omboken

Ambisjonenminidennebokenerdobbel.Deteråhuggeutenstringent fremstillingavmatematikkensfundament,ihenholdtilhvordanmoderne matematikkformuleresogmedfokuspådenlogiskeoppbyggningen.Det erogsååviseenveigjennomdettelandskapet,ihvertfalleninngangsport dit,somvekkerinteresseogskaperforståelse.Deviktigstegrunnleggende matematiskekonsepteneogverktøyenevilbliintrodusertgradvis.

Detbesterådetjegkangileseren,erågjørematematikkentilsin egen,kanskjeskrivesinegenbok,omennbareitankene.Matematikk erikkebareetkorpus,deterogsånoemangjør,enpraksis.Alleharvi gledeavågjøretinglittforskjellig.Omjeginoengradkanlærebortdet åbevisepåstander,avdekkemønstre,forståsammenhengerogfinneopp nyekonsepter,harjeglykkes.

Filmen Thebigshort (2015),omfinanskrisenanno2008,hvormatematikkspilteenvissrolle,servertedennegodbiten:

Truthislikepoetry.

Andmostpeoplefuckinghatepoetry.

Bethatasitmay,harjeginkludertnoendikt.Manbehøverikkelesedem. Menmatematikkskapernoesååsiutavintet,ikkeminstvedåbearbeide språket.Dengreskeetymologien poeisis betegnerenskaperaktivitet,det åbringenoetileksistens.Sliksettermatematikkenpoesi.

Bokenkansespåsometinnspilltilvårsamtid,dersannhetenharblitt erklærtdød[19].Matematikkerkanskjedenenestevitenskapenhvorman heltpåegenhåndkanavgjøredetsanne.Harmansattseginniden,står manbedrerustettilågyveløspådeandre.Detskalogsåfortsattvære mulig,fordesomønskerdet,åtrekkekontemplativelinjerfrateoremer oglogikktilTheosogLogos,settpåsombetegnelserforenguddommelig fruktbarintelligens.

Myeavmaterialetibokenerimplisittpensumpånorskvideregående. Fokushererpåargumentasjonogoppbygning,pådelogiskesammenhengenemellomdefinisjonerogresultater.Presisjons-ogabstraksjonsnivået tilsvarerdetsomernaturligdeførsteårenepåuniversitetet.Deflestevil oppleveetklartavbrekktilskolematematikken.Bokenforberedertilde meravansertebacheloremneneialgebraoganalyse,vedåryddeoppi kjelleren.

Fornoenkanbokenutgjøreetførstemøtemeduniversitetsmatematikk,mensdenforandrevilfungerebestlittsenere,somoppsummering ogutdypningavnoensentraletemaer.Altialtrepresentererbokenca. 15studiepoeng.Sammenliknetmedmangeengelskspråkligeintroduksjonertilbevisoggrunnleggendematematiskekonseptererdennebokenlitt strammere,littskarpere.Enforelesersveiledningkankommegodtmed!

Vinklingenernoengangerlittfilosofisk,ihåpomåpirrenysgjerrighetentiletvidtspekteravsannhetssøkere.

Iprinsippetskalikkepresentasjonenkrevematematiskeforkunnskaper.Detkanlikevelværeenfordelpåforhåndåhamøttnoenmatematiske konsepter,problemerogtenkemåter,forådannesegnoenbilderavhvilket byggverkvihartilhensiktåreise.Detvilogsågjøredetlettereåfordøye demerellermindrespiseligeidéene,ograskereåøveoppdeautomatismenesomtrengsforåbevegesegi,ogutforske,dettetidløsepalasset.Det utsmykkes,utformesogutvidesstadig.Ferdighetersomåkunnesetteseg inni–ogfølge–spillereglerellertaetskritttilbakeforåfåoversikter detsomtrengsiførsteomgang.

Leserensomkommertildennebokenharsannsynligvisalleredevært eksponertbådeforlittkalkulus(eksemplerpåfunksjoner)oglitttallteori (noenbetraktningeromprimtall).Vedkommendeharsikkertogsåetforholdtilkardinalitet(detåtelleobjekter).Alledissesteneneskalvivende ompå!Sliksettskalvifordetmestebevisetingvialleredevet.Menvi skalgjøredetheltfrabunnenav,fradetaksiomatiskegrunnlaget.Mottoet er:Tvilpåaltduharlært!Begynnpånytt!

Detkrevesstoreoglangsiktigeanstrengelserforånåforskningsfronten,menveienditerstrøddmedoverraskelser,ogvedrasteplassenekan manskueoverstorslåttelandskap.Tålmodighetogpresisjonitankegangenernødvendigforålæresegmatematikkogløsedensgåter.Forå skapematematikkkrevesdetfantasiogkreativitet.Mangefremheverat sistnevnteegenskapererdeviktigste.Utoverdetrommerfagetalleslags personligheter.Foretfagfeltsomtildegraderbeståriågripeinnitankeverdener,vilinnsikteripsykologiogfilosofiogsåkunnekommegodtmed. Såmåalleutviklesinpersonligemetode.Detblirikkedansmedmindre refleksenesitteriryggmargen.

Måletforbokeneraltsåikkesnauereennåleggegrunnmurenfordet matematisketempelet.Viønskeratrammeverketskalforblisåfleksibelt oglettsommulig.Vikanforberedeosspååmåtteomkonfigurerebyggverketomhøyeremaktervildetslik.

11 Kanskjetilogmedpakkesammen

11 Detersomsagtenvisshistoriskpresedensfordette.Itilleggkandetnevnesat

xxiiForspill

ogreisevidere.Isåfallkanvitrøsteossmedatdeterlikemyeprosessen somresultatetsomeravinteresse.Ogsådenmatematiskeveiblirtilmens mangår.Sporenevietterlaterossvilreflektereatvistammerfrahavet, allemulighetersmor.Pytagoras,foreksempel,kunnetilogmedhuskeat hanhaddeværtfisk.12

Forhåpentligviskandennebokenformidlenoeinspirerendeommatematikkenskraft,skjønnhetogmysterium.

tallsystemenevistuderer(foreksempeldeheletalleneogdereelletallene)bareer definertopptilunikisomorfi.Akkurathvilketvalgsombørgjøresblantallevariantene erlittuklart.Muligensvilkategoriteoretiskeperspektiverryddeoppislikeproblemer. 12 Sesidexviforordettil[12].

Matematisk fundament – Spill i grenseland er en lærebok i grunnleggende matematiske konsepter. Her får du innføring i klassisk logikk og mengdeteori, samt trening i abstraksjon og bevisføring. De fundamentale tallsystemene konstrueres fra bunnen. Forfatteren introduserer kardinalitet og relasjoner, og begynnende algebra, tallteori og analyse.

Boken fungerer som en bro mellom begynneremner i kalkulus og lineær algebra og de mer avanserte matematiske emnene i analyse, algebra og diskret matematikk.

Det er mange oppgaver å bryne seg på underveis, og de fleste av disse har løsningsforslag bak i boken.

Anbefalte forkunnskaper for å dra nytte av boken er full fordypning i matematikk fra videregående, litt matematisk modenhet og en god dose nysgjerrighet.

Snorre H. Christiansen er professor i matematikk ved Universitetet i Oslo. Han forsker på numeriske metoder for partielle differensiallikninger.

ISBN 978-82-15-06566-3