Mer matematikk, takk! by Universitetsforlaget

Til hver oppgave følger det en grundig beskrivelse av hvordan aktivi teten kan gjennomføres sammen med elevene, en forklaring av matematikken som ligger bak oppgaven, samt didaktiske tips. Oppvarmingsoppgaver kan bidra til å skape en positiv start på mate matikktimen. Kanskje vil flere elever ønske seg «mer matematikk, takk»? Gaute Hovtun jobber som universitetslektor på grunnskolelærer utdanningen ved Universitetet i Stavanger. Der underviser han lærerstudenter og lærere i matematikkdidaktikk. Han har tidligere jobbet som matematikklærer i grunnskolen.

ISBN 978-82-15-03555-0

MER MATEMATIKK, TAKK!

Denne boken gir ikke et endelig svar på dette spørsmålet, men den kan være et nyttig verktøy for å få med seg elevene fra starten av timen. Boken inneholder 37 oppvarmingsoppgaver. Disse er utfor met slik at de skal skape engasjement og gi mestringsfølelse hos elevene fra starten av timen. De er morsomme, har lav terskel for del takelse og bidrar til å fremme flere av de faktorene som er nødven dige for å skape indre motivasjon for læring hos elevene.

Gaute Hovtun

De fleste matematikklærere har nok hørt utsagn som disse: «Mate matikk er så kjedelig.» «Jeg kommer aldri til å få bruk for dette.» Hvordan kan læreren skape et motiverende læringsmiljø for hele klassen med et slikt utgangspunkt?

Gaute Hovtun

MER MATEMATIKK, TAKK!

Oppvarmingsoppgaver som engasjerer elevene

(1,1)

Mer matematikk, takk!

(2,1)

(3,1)

Gaute Hovtun

Mer matematikk, takk! Oppvarmingsoppgaver som engasjerer elevene

UNIVERSITETSFORLAGET

(4,1)

© Universitetsforlaget 2020 ISBN 978-82-15-03555-0 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel. Henvendelser om denne utgivelsen kan rettes til: Universitetsforlaget AS Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo www.universitetsforlaget.no Omslag: Endre Barstad Sats: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Trykk: 07 Media – 07.no Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS Boken er satt med: 10,5/14 Garamond Pro Papir: 100 g Arctic Matt Kristine Fløtre Hovtun har illustrert Gruvespillet. Øvrige illustrasjoner er laget av forfatteren.

(5,1)

Innhold Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapittel 1 Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?. . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivasjon i matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva er en oppvarmingsoppgave? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blir elevene motivert av å jobbe med oppvarmingsoppgaver? . . . . . . Oppbygningen av boken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lærerens rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 15 17 19 23 25

Kapittel 2 Matemagiske oppvarmingsoppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen av fem firesifrede tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenk på to ensifrede tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Førstemann til tjue! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magisk kalender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bevis at 2 ¼ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Knekk koden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenk på et tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svaret er 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen av fire tall i et rutenett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hundrekartet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 28 31 33 35 41 43 45 50 52 55

Kapittel 3 Konkurranser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nærmest 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruvespillet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvem skal ut? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 60 62 68

(6,1)

6 Innhold

Brøkspillet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ta stilling til tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Storeslem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Euclid-spillet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Will it float?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 73 74 77 79

Kapittel 4 Logiske oppvarmingsoppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mattemind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fotballtrøbbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einsteins gåte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinsessens friere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nå setter vi strek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pytagoras’ puslespill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 84 87 90 92 94 97

Kapittel 5 Symmetrioppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Speilografoppgave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetri i GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesselering i GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 102 107 110

Kapittel 6 Oppvarmingsoppgaver designet for å skape dialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenk først, kalkuler etterpå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgavestrenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvikkbilder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kortelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lag det tallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 116 120 123 126 128

(7,1)

Innhold

Kapittel 7 Nedvarmingsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematikkstafett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ledig stilling som matematiker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Langfinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen av to stambrĂ¸ker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131 132 135 138 143 146

Kreditering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Vedlegg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 1 Magisk kalender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 2 Knekk koden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 3 Hundrekartet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 4 Spillbrett til Storeslem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 5 Einsteins gĂĽte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 6 Speilografoppgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 7 Kvikkbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 8 Ressurser til Ledig stilling som matematiker . . . . . . . . . . Vedlegg 9 Geobrett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 10 Gruvespillet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 11 Pytagorasâ&#x20AC;&#x2122; puslespill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vedlegg 12 Matematikkstafett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 156 157 158 159 160 161 163 165 168 169 171 172

Referanser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

(8,1)

(9,1)

Forord

Kjære matematikklærer Har du noen gang opplevd å ha elever som ikke liker matematikk? Elever som melder seg ut allerede før matematikkundervisningen starter? Elever som gang på gang opplever å mislykkes med matematikkfaget? Elever som aktivt går inn for å unngå å jobbe med matematikk? Sannsynligheten er stor for at du kan svare ja på flere av disse spørsmålene. Det kan i hvert fall jeg. Og nettopp det gjør meg litt trist. Det er vårt ansvar som matematikklærere å sørge for at elevene får utvikle et positivt forhold til matematikkfaget. Det er vårt ansvar å legge til rette for at elevene får oppleve gledene det medfører å mestre en matematikkoppgave. Men hvordan kan vi få til dette? Jeg husker godt høsten 2006. Zinedine Zidane hadde nettopp skallet ned Marco Materazzi, og jeg hadde akkurat startet på allmennlærerutdanningen. Her fikk jeg mitt første eksplisitte møte med oppvarmingsoppgaver. Natasha Blank, matematikklærerutdanneren min, startet opp en av timene med det hun kalte en oppvarmingsoppgave. Hun skrev a ¼ b på tavlen, gjorde deretter en rekke tilsynelatende korrekte regneoperasjoner og endte opp med at 2 ¼ 1.1 «Hvordan er det mulig? Hun har jo gjort alt rett? Men det må jo være en feil et sted, for 2 er ikke lik 1» – tankene for gjennom hodet mitt, og jeg kjente på en enorm trang til å fordype meg i problemet for å finne ut hva som var feil med utregningene. Noen år senere fikk jeg et vikariat på en ungdomsskole. Her skulle jeg være vikar i en matematikktime for en klasse på 8. trinn. I forkant av timen ville den assisterende rektoren ha en prat med meg. Han sa at det var en ut1

Se side 41 for nærmere beskrivelse av «beviset» for at 2 ¼ 1.

(10,1)

10 Forord

fordrende elev i klassen. Han var kjent for å sabotere undervisningen, og derfor var det alltid en lærer som fotfulgte denne eleven. Med dette i bakhodet gikk jeg til klasserommet. Jeg startet timen med Førstemann til tjue! 2 – en aktivitet der elevene skal telle etter tur, og målet er å komme først til tjue. Elevene jobbet engasjert med oppgaven, og vi kom gjennom alt jeg hadde planlagt for timen. Eleven jeg hadde blitt advart mot, bød ikke på noen negative utfordringer. Noen dager etter denne matematikktimen hadde jeg vakt i et friminutt. Da kommer eleven springende mot meg med et stort smil om munnen. Han stiller seg opp framfor meg og sier bestemt: «1, 2.» Jeg smiler tilbake og forstår at denne «utfordrende» eleven, som bare var ute etter å sabotere undervisningen, har funnet systemet i Førstemann til tjue!, som gjør at han vil vinne hver gang. Enda noen år senere ble jeg kontaktlærer for en ny klasse på 8. trinn. En dag kom norsklæreren til klassen min og ville ta opp et problem hun hadde med en av elevene. Eleven var utfordrende i norsktimene, han lagde mye støy, var lite interessert i det som skjedde, og var med på å skape et dårlig læringsmiljø. Jeg stusset litt på dette, for det var absolutt ikke det inntrykket jeg hadde av eleven. Men jeg sa at jeg skulle ta en prat med ham. Da eleven ble konfrontert med norsklærerens påstander, benektet han dem ikke, men svarte at «Det er så kjedelig i norsktimene». Jeg sa at det er mange som også synes at matematikk er kjedelig. Hvorfor klarte han da å oppføre seg i matematikktimene? Da svarte han: «Men i matematikktimene har vi i alle fall oppvarmingsoppgavene!» Disse tre historiene er eksempler på hvordan oppvarmingsoppgavene i seg selv har fungert som en motivasjonsfaktor. Denne motivasjonen, samt mestringsfølelsen både jeg og elevene fikk etter å ha løst oppgavene, er mye av grunnen til at jeg har jobbet så mye med oppvarmingsoppgaver opp gjennom årene, både som lærer, lærerutdanner og forsker. På bakgrunn av dette arbeidet vil jeg nå legge fram en rekke påstander: Bruk av oppvarmingsoppgaver fører til at elevene får et mer positivt forhold til matematikkundervisningen. Det fører til at elevene blir mer engasjerte. Elevene ønsker å være med på oppvarmingsoppgavene, de prøver ikke å sno seg unna. 2

Se side 33 for nærmere beskrivelse av Førstemann til tjue!

(11,1)

Forord

Og sist, men ikke minst: Elevene får mulighet til å oppleve mestring i matematikkundervisningen. Å påstå at oppgavene i denne boken kan være med på å bidra til alt dette, kan virke som en ambisiøs påstand, men jeg vil la det være opp til leseren å bedømme påstandens troverdighet. Til slutt har jeg lyst til å takke alle som har hjulpet meg med å få denne boken til å bli en realitet. Takk til alle lærere og lærerutdannere som har lært meg forskjellige oppvarmingsoppgaver. Takk til alle elever og studenter som har latt meg prøve ut oppgavene på dem. Takk til kollegene mine ved Universitetet i Stavanger. En særlig takk til Natasha Blank og Janne Fauskanger, som har hjulpet og støttet meg i forskningsarbeidet mitt, til Cato Tveit for gode og konstruktive tilbakemeldinger, og til kollegene mine som har latt meg bruke oppgaver de har utviklet. En stor takk til min kone Kristine, som har støttet meg gjennom hele prosessen, samt vært med på å illustrere deler av boken. Sist, men ikke minst: Takk til deg som har kjøpt boken! Ved å gjøre det har du samtidig støttet Namikhate primary School3 i Malawi. Fem prosent av bokens inntekter går til denne skolen, slik at enda flere elever skal få muligheter til å oppleve mestring i matematikk.

Se https://www.facebook.com/malawischoolproject/ for mer informasjon om dette prosjektet.

(12,1)

(13,1)

Kapittel 1

Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?

Håvard er nyutdannet matematikklærer. Han jobber på en ungdomsskole og har ansvaret for matematikkundervisningen til en klasse på 8. trinn. Nå er Håvard på vei til klasserommet for å ha en ny økt med elevene sine. De skal ha om forskjellige tallsystemer. På veien til klasserommet nynner han på en melodi mens han tenker med seg selv: «Nå har jeg forberedt hvordan jeg vil innlede timen, jeg har valgt ut hvilke matematiske mål jeg ønsker at elevene skal nå, jeg har funnet noen gode og spennende oppgaver om tallsystem, jeg har tenkt gjennom hvilke misoppfatninger elevene kan ha til temaet, jeg har tenkt gjennom hvilke tilbakemeldinger jeg kan gi for å veilede elevene videre, jeg har tenkt på hvordan jeg kan tilpasse undervisningen til de sterkeste og svakeste elevene, jeg har tenkt gjennom hvilke momenter som egner seg til diskusjon i plenum, og jeg har tenkt gjennom hvordan jeg vil avslutte timen. Dette må jo bli en god og lærerik time!»

Men når Håvard viser seg i klasserommet, er det disse kommentarene som møter ham: «Å nei, vi skal ha matematikk!» sukker Kari. «Matte er sååå kjedelig!» slår Vidar fast. «Hvorfor må vi lære alt dette? Vi får jo aldri bruk for det», spør Ola. «Se så fint vær det er ute! Kan vi ikke ha utetime heller? Vær så snill?» sier Susanne. «Utetime! Utetime! Utetime!» kommer det unisont fra klassen.

(14,1)

Det er stor sannsynlighet for at du som lærer har vært i eller kommer til å oppleve en lignende situasjon som det Håvard gjør her. Håvard har brukt mye tid på å planlegge en matematikktime, han har tatt mange grep slik at alle elevene, uansett evnenivå, skal få et matematisk utbytte. Men i dette tilfellet mistet han elevene allerede før han fikk en sjanse til å starte undervisningen. Selv om dette er et fiktivt eksempel, er innholdet i historien reelt. Det kan se ut til at norske elever har relativt lav indre motivasjon for å jobbe med matematikk, de har dårlig utholdenhet, og denne tendensen ser ut til å forsterkes med alderen (Kunnskapsdepartementet, 2015). Hvorfor har norske elever relativt lav indre motivasjon for å lære matematikk? Det finnes mange hypoteser rundt dette spørsmålet, og det er vanskelig å finne et endelig svar. Kunnskapsdepartementet mener likevel at de kan ha funnet en medvirkende årsak. I rapporten Tett på realfag peker de på at det er for lite variasjon i norske matematikklasserom (Kunnskapsdepartementet, 2015). En typisk norsk matematikktime vil være at læreren går gjennom teori og viser eksempler, elevene jobber deretter med oppgaver som ligner på lærerens eksempler (Kunnskapsdepartementet, 2015). Denne type undervisning kan føre til at elevene utvikler det Skemp (1976) omtaler som instrumentell forståelse. Her er det selve innlæringen av prosedyrer og algoritmer som står i sentrum. Denne forståelsen står i kontrast til relasjonsforståelse, der individet forstår hvorfor og hvordan prosedyrene og algoritmene faktisk fungerer. Dersom norske matematikklasserom stort sett er preget av en instrumentell undervisning, kan dette være en medvirkende årsak til at elevenes indre motivasjon er relativt lav (Van de Walle, 2007). Kunnskapsdepartementet peker altså på for lite variasjon og for mye vekt på prosedyrekunnskap som to medvirkende årsaker til den lave indre motivasjonen. Men hva er egentlig indre motivasjon?

(15,1)

Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?

Motivasjon i matematikk Det er forsket mye på indre og ytre motivasjon, og det finnes mange definisjoner. En av teoriene som har fått mest gjennomslag, er selvbestemmelsesteorien (se blant annet Wæge og Nosrati, 2018). Ifølge denne teorien er en elev indre motivert når han deltar i en aktivitet fordi han synes aktiviteten i seg selv er interessant. Det er også elevens valg å delta i aktiviteten (Gagné & Deci, 2005). Når det gjelder ytre motivasjon, vil det være en form for press til stede. Elevene får en følelse av at de må delta, deres egne valgmuligheter er begrenset. Faktorer som kan oppleves som press, er blant annet karakterer, forventninger fra lærere og foreldre, framtidsutsikter, belønninger og straff. Det er likevel ikke slik at en elev bare er ytre eller indre motivert for å lære matematikk. Det kan være både indre og ytre faktorer som driver eleven, det viktigste er at det er en god balanse mellom de indre og ytre faktorene (Wæge & Nosrati, 2018). En elev som bare jobber med matematikkoppgaver han opplever som interessante, vil ikke lære matematikken som ligger i de oppgavene han opplever som kjedelige. På den andre siden kan en elev som bare jobber med matematikk på grunn av ytre faktorer, miste gleden av å jobbe med matematikk (Wæge & Nosrati, 2018). Det er her Kunnskapsdepartementet (2015) peker på at det er dårlig balanse – de indre motivasjonsfaktorene vektlegges for lite. Bandura (1994) har forsket mye på hva som gjør elevene mer eller mindre indre motivert. Han peker på at når elevene opplever mestring, kan elevenes mestringstro øke. Dersom de har en høy mestringstro, har de stor tro på at de kommer til å mestre oppgavene de blir utsatt for. Når de i utgangspunktet har tro på at de vil mestre oppgaven, vil det være lettere å starte opp arbeidet med den. Det kan være med på å skape indre motivasjon for oppgaven, og det gjør det lettere for eleven å fordype seg i den (Bandura, 1994). Elever med lav mestringstro vil ikke arbeide med samme iver og engasjement – de vil i større grad være avhengig av ytre faktorer, og i verste fall vil de ikke jobbe med oppgavene i det hele tatt (Martin, 2007). For en lærer kan det være utfordrende å vite hvordan han kan tilrettelegge for at elevene skal bli indre motivert for å jobbe med matematikken. Stipek, Salmon, Givvin og Kazemi (1998) har identifisert fem faktorer som de mener bør være til stede for at elevene skal bli nettopp dette:

(16,1)

16 Kapittel 1

a) Elevene bør få mulighet til å utforske og forstå de matematiske konseptene som ligger bak oppgaven. Dette kan vi knytte opp til det Skemp (1976) og Van de Walle (2007) skriver om relasjonsforståelse. Utvikling av relasjonsforståelse kan i seg selv være en motivasjonsfaktor. b) Elevene bør få mulighet til å utvikle sin egen selvtillit i matematikk. Dette knytter Stipek et al. (1998) blant annet opp til Banduras teorier om mestringstro. Elevene bør få oppleve mestring for å utvikle sin matematiske selvtillit. c) Læreren bør oppfordre elevene til å jobbe med matematikkoppgaver der det er en risiko for at de ikke mestrer dem med en gang. Mange elever synes det er ubehagelig å arbeide med oppgaver de opplever som utfordrende. De er redde for å framstå som dumme dersom de ikke får til oppgaven. Derfor vil det å ikke starte på oppgaven framstå som et bedre alternativ. d) Elevene bør få muligheter til å oppleve glede i matematikkfaget. Dette vil ha mange positive effekter. Det kan blant annet være med på å gjøre at den indre motivasjonen til elevene stiger, og det igjen kan føre til at elevene blir mer utholdende når de jobber med oppgavene (Stipek et al., 1998). e) Læreren bør prøve å bygge opp positive følelser til matematikkfaget hos elevene. Noen elever har i utgangspunktet negative følelser til faget, og det vil i mange tilfeller føre til at de utvikler strategier for å unngå å jobbe med det. På den andre siden kan positive følelser være med på å skape et ønske om å jobbe med faget. Elevene til Håvard, som synes at matematikk er kjedelig og viser motvilje mot å ha matematikk, kan være elever med lav mestringstro og mange negative følelser knyttet til matematikkfaget. I denne boken skal vi se på hvordan matematikklæreren kan starte undervisningen med oppvarmingsoppgaver som er designet for å bygge opp mestringstroen og de positive følelsene til faget, og som i neste omgang kan være med på å bygge opp elevenes indre motivasjon.

(17,1)

Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?

Hva er en oppvarmingsoppgave? En oppvarmingsoppgave er en oppgave som tilfredsstiller følgende kriterier (Hovtun, 2019): 1 Oppgaven har en lav inngangsterskel, samtidig som den er utfordrende: En oppvarmingsoppgave skal vekke interesse hos alle elevene, ikke bare de høytpresterende. Det er derfor viktig at oppgaven er konstruert på en slik måte at alle elevene har mulighet til å engasjere seg i den. 2 Oppgaven har en tydelig matematisk profil: Oppgaven bør ikke reduseres til en spennende og morsom aktivitet som bare har en matematisk kamuflasje. Slike oppgaver vil ikke nødvendigvis skape mer motiverte elever som lærer mer (Botten, 2005). 3 Oppgaven har som mål å fange elevenes interesse: Målet med matematikkundervisning er at elevene skal lære matematikk. For å nå dette målet er det viktig å fange elevenes interesse. Gode og velvalgte oppgaver i starten av timen vil være med på å skape interesse hos elevene. Hvor vellykket denne oppstarten er, vil være med på å avgjøre timens kvalitet i sin helhet (Helle, 2013). 4 Oppgaven varer ca. 5–10 minutter: Selve oppvarmingsoppgaven bør ikke ta for lang tid. Når læreren har klart å fange elevenes interesse, kan han kanalisere denne interessen mot det som er læringsmålet for timen. Etter å ha presentert denne definisjonen melder et nytt spørsmål seg: Hva er det egentlig som skiller oppvarmingsoppgaver fra andre oppgavetyper? Det eksisterer allerede mange forskjellige typer oppgaver i matematikk. Ifølge Olafsen og Maugesten (2015) blir det ofte snakket om fire forskjellige:

Lukkede oppgaver med ett riktig svar og én riktig framgangsmåte. Problemløsningsoppgaver der elevene ikke kjenner til algoritmen på forhånd.

(18,1)

18 Kapittel 1

Rike oppgaver som kan løses på flere forskjellige måter, og som enkelt kan gjøres mer eller mindre utfordrende. Denne type oppgaver blir også omtalt som LIST-oppgaver4 (Klaveness, Karlsen & Kverndokken, 2019). Åpne oppgaver der elevene selv får velge problemstillinger og løsningsmetoder. Det finnes oppvarmingsoppgaver innenfor alle disse oppgavetypene. Det som er spesielt med oppvarmingsoppgavene, er særlig vektleggingen av punkt 3 i definisjonen fra forrige side. Oppgavene må fange elevenes interesse. Dette påpekte George Polya allerede i 1945. Han skriver at når læreren velger oppgaver til undervisningen, bør dette være oppgaver som elevene faktisk har et indre ønske om å løse (Polya, 2014). Han legger også deler av ansvaret for å skape denne interessen hos læreren. Det er han som er ansvarlig for å finne gode oppgaver. Av erfaring vet jeg at det ikke alltid er like lett å finne matematikkoppgaver som elevene faktisk har lyst til å løse. Det er i slike tilfeller jeg håper at denne boken vil være til hjelp. Oppvarmingsoppgavene du finner her, vil forhåpentligvis interessere, engasjere og overraske elevene dine. Et annet element som er spesielt med oppvarmingsoppgavene, er tidsbruken. Elevene kan jobbe flere timer med en problemløsningsoppgave, LIST-oppgave eller en åpen oppgave. En oppvarmingsoppgave skal engasjere elevene med én gang, men tar som regel ikke mer enn 5 til 10 minutter å gjennomføre. Så er det opp til læreren å ta tak i den interessen som oppstår under arbeidet med oppvarmingsoppgaven, og overføre den til resten av undervisningen. Et konkret eksempel er oppgaven Magisk kalender.5 Her tar selve aktiviteten ca. 5 minutter, men læreren kan velge å dykke dypere ned i oppgaven for å se nærmere på hvorfor den magiske kalenderen er bygd opp slik den er.

Se https://www.mattelist.no/ for mer informasjon om denne oppgavetypen.

Se side 35 for mer informasjon om oppgaven Magisk kalender.

(19,1)

Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?

Blir elevene motivert av å jobbe med oppvarmingsoppgaver? For noen år siden arbeidet jeg med nettopp dette spørsmålet (se Hovtun, 2019). Jeg fulgte matematikkundervisningen til en niendeklasse over et halvt år. Blant disse elevene fulgte jeg ti av dem ekstra tett. Jeg hadde blant annet et intervju med dem på starten av semesteret. Da snakket vi om hva slags forhold de hadde til matematikk. Etter intervjuene ledet jeg klassen gjennom fire oppvarmingsoppgaver: Summen av fem firesifrede tall, Førstemann til tjue!, Gruvespillet og Hvem skal ut? 6 Til slutt hadde jeg nye intervjuer med de ti elevene, der de fortalte meg om hvordan de opplevde å starte timen med en oppvarmingsoppgave. Intervjuene antyder at oppvarmingsoppgavene fungerte som en motivasjonsfaktor på følgende måter:

De kan øke elevenes mestringsfølelse. De kan oppleves som en positiv avveksling. Konkurranseaspektet oppleves som motiverende. De har lav inngangsterskel. De skaper undring.

Mestringsfølelsen Samtlige av elevene pekte på at de opplevde mestring da de jobbet med oppvarmingsoppgavene. De påpekte at mestring var viktig for dem, og at det gjorde dem mer motiverte for å jobbe med matematikken. Johanne setter ord på hvor viktig det er å oppleve denne mestringen: Intervjuer: […] Dersom du fikk velge – synes du at lærere burde bruke oppvarmingsoppgaver i matematikkundervisningen sin, eller synes du det er bortkastet tid og at du heller har lyst til å bruke tiden på for eksempel å øve til tentamen og så videre? Johanne: Jeg synes ikke det er bortkastet tid. Vanligvis ligger jeg og halvsover i starten av timene, og synes bare at dette er noe dritt. «Jeg hater matte», liksom,

Se side 28, 33, 62 og 68 for mer informasjon om disse oppgavene.

(20,1)

20 Kapittel 1 og jeg forstår ikke at jeg kommer til å få bruk for dette her. Jeg bare sitter der og rett og slett synes det er dritt. Men når du begynner med slike oppvarmingsoppgaver, så begynner tankene dine å surre litt og du begynner å kjenne på at «å ja, nå forstår jeg», «å ja, nå vil jeg også være med», og nå vil jeg også bevise at dette forstår jeg, endelig noe i matematikk jeg forstår. Så jeg synes at lærerne burde tatt med en slik oppvarmingsoppgave i timen og bare få oss i gang, og så kan vi begynne på det andre. For det å bare forstå litt gir kanskje litt mer motivasjon til neste oppgave. Så du tenker «okay, nå skal jeg bare klare denne oppgaven her for å få kjenne på den mestringsfølelsen». Det er sikkert veldig mange som ikke har fått den mestringsfølelsen i matte. I hvert fall ikke jeg. Men da jeg forsto disse her, så kjente jeg virkelig på det at «wow, jeg mestret faktisk noe».

Det virker som om Johanne har fått oppleve for få situasjoner der hun mestret matematikken. Det virker også som om hun har mange negative følelser knyttet til faget. Dette kom også til syne under det første intervjuet jeg hadde med henne. Der fortalte hun meg at hun hatet matematikk, og at hun bare jobbet med faget fordi foreldrene presset henne. Det kan virke som om det bare var ytre faktorer (foreldrene) som presset henne til å jobbe med matematikk. Etter å ha jobbet med oppvarmingsoppgavene forteller hun at hun jobber med oppgavene fordi hun ønsker å få kjenne på mestringsfølelsen. Dette kan tyde på to ting: For det første kan det virke som om det er indre motivasjonsfaktorer som driver henne i arbeidet med oppvarmingsoppgavene; for det andre virker det som om mestringstroen hennes har økt. Hun har faktisk en tro på at hun kan løse oppgavene. Johanne sier også at hun vanligvis ligger og halvsover, og at hun hater matematikk. Hun har altså mange negative følelser knyttet til matematikkfaget. Men når hun jobber med oppvarmingsoppgaver, kjenner hun på at «å ja, nå forstår jeg» og «å ja, nå vil jeg også være med». Dette kan tyde på at hun gjennom arbeidet med oppvarmingsoppgaver får mulighet til å knytte flere positive følelser til matematikkfaget. Johannes utsagn er på mange måter et bilde på hvorfor jeg brenner for oppvarmingsoppgaver, og hvorfor jeg ønsker å skrive denne boken. Elever må få oppleve en eller annen form for matematisk mestring i løpet av hver eneste matematikktime. Det kan være med på å øke elevenes mestringstro, samtidig som de bygger opp om indre motivasjonsfaktorer.

(21,1)

Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?

Positiv avveksling Kunnskapsdepartementet (2015) har som sagt antydet at det er for lite variasjon i norske klasserom og for stor vekt på instrumentell undervisning. I min studie sier elevene mye av det samme. De omtaler «vanlig undervisning» som å jobbe individuelt med oppgaver de opplever som teoretiske og vanskelige, og de savner variasjon i undervisningen. Disse elevene sier de ble motivert av oppvarmingsoppgavene fordi det var en velkommen variasjon til den «vanlige matematikkundervisningen». (Å jobbe med oppvarmingsoppgaver) er noe annet enn å bare sitte og gjøre oppgaver for seg selv, og gjerne ikke få det til. Og du må sitte lenge og vente på at læreren skal komme bort når du rekker opp hånden. Ja, det blir litt annerledes. Jonas

Variasjon trekkes også fram av Bobis, Anderson, Martin og Way (2011). De peker på at alle elever er forskjellige, og at de har forskjellige måter å lære på. Dersom læreren utelukkende underviser på én bestemt måte, vil det sannsynligvis være noen elever denne stilen ikke passer for. Det er derfor viktig for elevenes motivasjon at læreren varierer undervisningen slik at det blir tatt hensyn til elevenes forskjellige måter å lære på (Bobis et al., 2011).

Konkurranseaspektet Av de ti elevene jeg intervjuet, pekte sju av dem på konkurranseaspektet som en motivasjonsfaktor. De tre siste elevene pekte på andre ting som de syntes var motiverende med oppvarmingsoppgaver, men de nevnte ikke eksplisitt konkurranseaspektet, verken med positivt eller negativt fortegn. De sju elevene sier blant annet at de ble motivert fordi «du vil jo prøve å slå den andre, du vil være bedre enn den andre» og «jeg har lyst til å vinne». På den ene siden høres jo dette negativt ut. Det ser ut til at det er ytre faktorer – ønsket om å vinne over medelevene – som skaper motivasjonen. Dette kan vi knytte opp til et forsøk Deci, Betley, Kahle, Abrams og Porac (1981) gjorde med 80 studenter. Alle studentene skulle løse et puslespill. 40 av dem

(22,1)

22 Kapittel 1

fikk beskjed om at det var en konkurranse, 40 av dem at det ikke var en konkurranse. Resultatet fra forsøket viste at det i stor grad var ytre motivasjon som drev studentene som konkurrerte, mens de som ikke konkurrerte, i større grad var drevet av indre motivasjon. Deci et al. (1981) hevdet faktisk at konkurranseaspektet så ut til å hemme studentenes indre motivasjon. På den andre siden var konkurransene med på å bygge opp om flere av faktorene Stipek et al. (1998) har definert. En av elevene som peker på konkurranseaspektet som en viktig motivasjonsfaktor, peker også på at det er mye mer moro å regne når man jobber med en oppvarmingsoppgave. En annen elev sier at han forsto hvordan han skulle mestre oppgaven, og at det ga motivasjon til videre arbeid. Det kan altså se ut som om oppgavene med konkurranseaspekt også kan være med på å bygge opp selvtilliten. De forsto matematikken bak oppgavene, de fikk en sjanse til å glede seg over matematikken, de klarte ved hjelp av matematikk å vinne over læreren, og de fikk flere positive følelser knyttet til matematikkfaget. Ernest (1986) peker på mye av det samme som elevene sier her. Han har funnet ut at spill med konkurranseaspekt kan fungere som en stor motivasjonsfaktor, men han sier ikke noe om hvorvidt elevene blir indre eller ytre motivert. Jeg finner det altså vanskelig å konkludere med om oppgavene med konkurranseaspekt bygger opp den ytre eller den indre motivasjonen.

Lav inngangsterskel Både sterke og svake elever pekte på lav inngangsterskel som en viktig motivasjonsfaktor. For de svake var dette viktig fordi de da fikk en mulighet til å oppleve mestring. Også de sterke pekte på mestring som viktig, men de opplevde det også som motiverende at hele klassen var sammen om en oppgave. Ingen av elevene falt utenfor, og oppgavene var med på å styrke fellesskapet i klassen. Det kjekkeste med oppvarmingsoppgavene var at alle kunne være med på dem. Håkon

(23,1)

Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?

Undring Fem av de ti elevene pekte på at oppgavene fikk dem til å tenke og undre seg over et matematisk problem. Elevene sier blant annet dette om Summen av fem firesifrede tall: «Jeg ville finne ut hvordan du i alle dager hadde klart det» og «Vi lurte veldig på hvordan læreren gjorde det. Og da ble jeg motivert til å finne ut hvordan han fikk det til». Her har vi to eksempler på elever som står framfor en matematisk utfordring, med et oppriktig ønske om å mestre den. Det ser altså ut som om elevene har et ønske om å løse en oppgave de ikke besitter løsningsmetoden til, noe som også er en av faktorene læreren bør bygge opp om (Stipek et al., 1998). For å oppsummere studien jeg gjorde, kan det se ut som om oppvarmingsoppgavene var med på å bygge opp om særlig tre av faktorene Stipek et al. (1998) snakker om. For det første kan det se ut som om oppgavene hadde en positiv påvirkning på elevenes matematiske selvtillit. Alle opplevde mestring, noe som kan være med på å bygge opp denne selvtilliten. For det andre kan det virke som om elevene i større grad relaterte matematikk til positive følelser, jamfør eksempelet med Johanne. For det tredje viste elevene tegn til at de ville jobbe med oppgaver som de opplevde som utfordrende. Jeg fant også tegn til de siste to faktorene, men ikke i stor nok grad til å si at det gjaldt for hele elevgruppen.

Oppbygningen av boken Du vil finne over 37 oppgaver og aktiviteter i denne boken. Disse er delt inn i seks kapitler. I kapittelet Matemagiske oppvarmingsoppgaver finner du oppgaver som gir elevene muligheter til å undre seg over matematiske problemer, og denne undringen vil forhåpentligvis gi dem motivasjon til å jobbe videre med oppgaven. Disse oppgavene kan bare brukes én gang. I Konkurranser finner du oppgaver som har et konkurransepreg, noe som i seg selv kan fungere som en motivasjonsfaktor (Hovtun, 2019). Oppgavene kan brukes flere ganger. I Logiske oppvarmingsoppgaver finner du oppgaver som ikke er eksplisitt knyttet til et matematisk emne, men der elevene må bruke logikk for å komme fram til løsningen. De fleste oppgavene kan justeres slik at de kan brukes flere ganger.

(24,1)

24 Kapittel 1

I Symmetrioppgaver er det oppgaver knyttet til symmetri og tesselering. De to siste oppgavene er også gode utgangspunkt for undervisning i dynamiske geometriprogram. Oppgavene kan i utgangspunktet bare brukes én gang. I Oppvarmingsoppgaver designet for å skape dialog finner du nettopp dette. Alle oppgavene i boken kan være gode utgangspunkt for dialog og diskusjon, men i dette kapittelet er dialog og diskusjon ekstra vektlagt. Oppgavene kan brukes flere ganger. Siste kapittel har jeg valgt å kalle Nedvarmingsoppgaver. Hensikten med disse aktivitetene er at de skal fungere som en ramme for undervisningen, og passer godt når du skal oppsummere et matematisk tema. Disse aktivitetene tar lengre tid enn en vanlig oppvarmingsoppgave, og de brukes mot slutten av undervisningen, ikke i starten. Flere av oppgavene kan brukes flere ganger. Hver oppgave blir presentert etter en mal som er mer eller mindre lik denne: Passer for Hvilke alderstrinn oppgaven passer for. Matematisk område Hvilke matematiske områder vi er innom. Utstyr Hva slags utstyr du trenger for å gjennomføre oppgaven. Poenget Et kort sammendrag av poenget med oppgaven. Gjennomføring I denne delen gir jeg et detaljert forslag til hvordan du kan gjennomføre aktiviteten med elevene dine. Matematikken bak oppgaven Her presenteres de matematiske ideene som ligger bak oppgaven.

(25,1)

Hvorfor varme opp til matematikkundervisningen?

Didaktiske tips Til slutt presenterer jeg noen didaktiske tips som kan være nyttige når du skal gjennomføre oppgaven med elevene. Dette kan være tips som går på alt fra hvordan du skal presentere oppgaven for å få alle elevene med deg, til vanlige misoppfatninger blant elevene.

Til enkelte oppgaver trenger du noen ressurser. Disse ressursene finner du som vedlegg til slutt i boken. Vedleggene kan også lastes ned fra bokens nettside: www.universitetsforlaget.no/mer-matematikk-takk. Her finner du også andre digitale ressurser, som for eksempel PowerPoint-presentasjoner til enkelte oppgaver.

Lærerens rolle Når det gjelder elevenes læring, kan ikke lærerens rolle overvurderes. Ifølge Hattie (2012) er læreren en av de faktorene som har størst innvirkning på elevenes læringsutbytte. Læreren må blant annet være lidenskapelig engasjert i undervisningsprosessen (Hattie, 2012). Dette gjelder også for oppvarmingsoppgaver. Du som matematikklærer bør ha en oppriktig interesse og fasinasjon over oppvarmingsoppgaven dere skal jobbe med. Dersom du ikke har det, vil elevene fort avsløre deg, og oppgaven kan da virke mot sin hensikt. Jeg vil derfor oppfordre deg til å bare velge de oppvarmingsoppgavene du selv finner interessante. Du bør også sette deg grundig inn i oppgavene på forhånd. Dersom det er mulig, bør du bruke litt tid på å løse oppgaven på egen hånd – ikke hopp rett til løsningsforslaget. Da får du en mulighet til å erfare hva elevene kan komme til å oppleve som vanskelig med oppgaven, og du blir bedre rustet til å lage en plan som kan hjelpe elevene videre. Det kan være utfordrende å vite hvordan vi på en best mulig måte kan støtte elevene. Ifølge Polya (2014) skal læreren hjelpe, men ikke for mye og ikke for lite. Elevene må få jobbe mest mulig selvstendig, slik at de selv får gjort en rimelig del av jobben. Den utfordrende

(26,1)

26 Kapittel 1

jobben til læreren blir da å balansere hvor mye eller lite hjelp de forskjellige elevene skal få. Det kan være lurt å tenke over hvilke matematiske områder elevene skal jobbe med i løpet av timen. Noen av oppvarmingsoppgavene kan være med på å bygge opp en bedre forståelse for matematiske konsepter, og der det er mulig, bør det være en sammenheng mellom oppvarmingsoppgaven og det matematiske målet for timen. Magisk kalender kan for eksempel være med på å bygge opp en forståelse for hvordan totallsystemet fungerer. Men det går også an å ha en oppvarmingsoppgave som står uavhengig fra de matematiske områdene som blir behandlet senere i timen. Flere av de logiske oppvarmingsoppgavene er eksempler på slike oppgaver. Når du skal starte timen med en oppvarmingsoppgave, er det et poeng at dette er det første som skjer når elevene har kommet seg på plass. Dette vil hjelpe elevene til å fokusere på matematikken helt fra starten av timen. Da vil det forhåpentligvis gå bort mindre tid til utenommatematiske elementer – som diskusjon rundt det som skjedde i friminuttet, unødvendig mobilbruk, krav om å få utetime og så videre.

ISBN 978-82-15-03555-0

MER MATEMATIKK, TAKK!

Gaute Hovtun

MER MATEMATIKK, TAKK!

Oppvarmingsoppgaver som engasjerer elevene