Matematikk i praksis, 7. utgave by Universitetsforlaget

bakside: 216 mm

Boken gir en engasjerende og lett tilgjengelig innføring i matematiske metoder. Forfatterne viser gjennom en rekke eksempler og oppgaver hvordan sentrale matematiske tema, som funksjoner av én og flere variable, derivasjon, integrasjon, differensiallikninger og lineær algebra, brukes i praksis. Matematikkens praktiske nytteverdi og tilknytning til andre fag er sentral gjennom hele boken. Denne 7. utgaven er oppdatert og utvidet med stoff om programmering samt tilhørende eksempler og oppgaver.

høyde: 226 mm

På bokens nettside www.nettressurser.no/matematikk_i_ praksis finner du flere oppgaver og et eget hefte som går grundigere inn i det programmeringsfaglige. Matematikk i praksis er skrevet for studenter innen ulike realfaglige retninger ved universiteter og høgskoler. Passende bakgrunn for å bruke boken er to år med matematikk fra videregående skole.

tor gulliksen | amir m. hashemi | arne hole matematikk i praksis 7. utgave

Hvordan bruker vi matematikk når vi skal løse praktiske problemer eller faglige spørsmål i fag som biologi, medisin, fysikk og kjemi? Matematikk i praksis handler om nettopp dette.

rygg: 24 mm

forside: 216 mm

tor gulliksen amir m. hashemi | arne hole

7 . utgave

tor gulliksen er professor emeritus i matematikk

ved Universitetet i Oslo. amir m. hashemi er universitetslektor ved Høgskolen

i Bergen og Universitetet i Bergen. arne hole er førsteamanuensis i matematikk ved

omslag av stian hole

isbn: 978-82-15-06277-8

Trykklart omslag matematikk i praksis 7utg.indd 1

Institutt for lærerutdanning og skoleforskning ved Universitetet i Oslo.

30.04.2022 08:35

rygg: 24 mm

Eksponentialfunksjoner og logaritmer a x · a y = a x+y a −x =

1 ax

a x b

ax bx

ln(xy) = ln x + ln y

eln x = x

ln(ex ) = x

x y

Komplekse tall

(ab)x = a x · bx a0 = 1 √ n a m/n = a m a x = e(ln a)x

(a x )y = a x·y

= ln x − ln y

loga (a x ) = x

1 x

i 2 = −1

ln a x = x ln a

= − ln x

loga x =

ln x ln a

sin2 x + cos2 x = 1

sin 2x = 2 sin x cos x

Derivasjon (sin x)� = cos x

(cos x)� = − sin x

(x n )� = nx n−1 for n �= 1 (arcsin x)� = √

(tan x)� =

(arccos x)� = √

1 − x2

1 = 1 + tan2 x cos2 x

(a x )� = ln a · a x

(ex )� = ex −1

(arctan x)� =

1 − x2

(ln |x|)� =

1 1 + x2

(cot x)� =

1 x

−1 sin2 x

(arccot x)� =

Integrasjon Delvis integrasjon: Substitusjon:

�

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −

f (u(x))u� (x)dx =

Omdreining om x-aksen: V = π

u (x)v(x)dx

[f (x)]2 dx

der F � (u) = f (u).

Omdreining om y-aksen: V = 2π

Rekker 1 − kn a + ak + ak 2 + · · · + ak n−1 = a for k �= 1 1−k a a + ak + ak 2 + ak 3 + · · · = for |k| < 1 1−k

Taylorrekke:

f (a) + f � (a)(x − a) +

Trykklart omslag matematikk i praksis 7utg.indd 2

f �� (a) f �� (a) (x − a)2 + (x − a)3 + · · · 2 2·3

Lineær algebra −1 1 + x2

Skalarprodukt: a · b = a1 b1 + · · · + an bn = |a| · |b| · cos θ � � � e1 e2 e3 � � � |a × b| = |a| · |b| sin θ Vektorprodukt: a × b = � a1 a2 a3 � � � b1 b2 b3 � � a1 � Trevektorprodukt: a · (b × c) = � b1 � c1

�

f (u)du = F (u(x)) + C,

r1 eiθ · r2 eiφ = r1 r2 ei(θ +φ)

b dy + ay = b gir y(t) = Ce−at + dt a dy B −A = a(y − A)(y − B) gir y(t) = A + hvis A �= B dt 1 + Cek(B−A)t ⎧ r1 t r2 t hvis reelle røtter r1 �= r2 ⎨ Ae + Be �� rt y(t) = Ae + Btert ay + by + cy = 0 gir hvis én reell rot r ⎩ ut ut Ae cos vt + Be sin vt hvis røtter r = u ± iv. ⎧ n Ar + Br2n hvis reelle røtter r1 �= r2 ⎪ ⎪ ⎨ 1n n hvis én reell rot r axn+2 + bxn+1 + cxn = 0 gir xn = Ar� + Bnr � ⎪ ⎪ ⎩ ρ n A cos(nθ ) + B sin(nθ ) hvis røtter r = ρei(±θ ) .

cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

reiθ = (r cos θ ) + (r sin θ )i

a + bi = a − bi

Differensiallikninger og differenslikninger

Trigonometriske funksjoner cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

innside av omslag

x · f (x) dx

Determinanter:

� �a � �c

Flervariabelteori

Gradient: ∇f (a) =

a2 b2 c2

� b �� = ac − bd d�

� a3 � � b3 � = volumet av parallellepipedet utspent av a, b, c � c3 � �a � �d � g

� � � � b c� �e f � �d � � � − b �� e f � = a� � h i g � h i

� � �d f �� + c �� i g

� e �� h�

� ∂f � ∂f (a), . . . , (a) ∂x1 ∂xn

Retningsderivert: Dv f (a) = ∇f (a) · v = |∇f (a)| cos θ Lineærtilnærming: L(x) = f (a) +

∂f ∂f (a) · (x1 − a1 ) + · · · + (a) · (xn − an ) ∂x1 ∂xn

Lagrangemetoden: ∇f (a) = λ · ∇g(a)

30.04.2022 08:35

Matematikk i praksis

Tor Gulliksen, Amir M. Hashemi og Arne Hole

Matematikk i praksis 7. utgave

Universitetsforlaget

©Universitetsforlaget 2022 1. utgave 1981 ISBN 978-82-15-06277-8 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel.

Henvendelser om boken kan rettes til Universitetsforlaget AS Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo www.universitetsforlaget.no

Omslag: Stian Hole Trykk: 07 Media – 07.no Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS Boken er satt med: Times 10 pkt. Papir: 90 g Artic Matt 1,0

Forord

Forord Matematiske metoder og bruk av matematiske modeller får innpass i stadig flere fag. I mange studieretninger er det en fordel å ha god trening i matematikk. Dette gjelder også fagområder som tidligere har vært lite matematikkrevende, for eksempel biologi. Denne boken er først og fremst beregnet for studenter i ulike typer realfag. To år matematikk i den videregeående skolen burde være et godt grunnlag for å lese den. Noe av stoffet vil være kjent fra skolen, men er tatt med av hensyn til studenter som har behov for repetisjon. Både i eksempler og oppgavestoff, og i fremstillingen for øvrig, er det lagt vekt på matematikkens praktiske nytteverdi og tilknytning til andre fag. Der vi har ment at forståelsen er bedre tjent med en intuitiv forklaring, en figur eller et konkret eksempel istedenfor et stringent bevis, har vi valgt det første. Foruten å gi kunnskap om en del viktige matematiske begreper og metoder har det vært vårt mål å trene leseren i å bruke denne kunnskapen til å løse praktiske problemer. Dette gjenspeiler seg i oppgavestoffet, der det foruten tradisjonelle, ferdig oppstilte oppgaver også fins uoppstilte problemer. Matematikk i praksis ble opprinnelig skrevet som lærebok i et innføringskurs i matematikk (MA 001) ved Universitetet i Oslo tilsvarende et halvt semesters arbeid. Første utgave av boken kom ut i 1981. Etter hvert har den fått utbredelse også utenfor Universitetet i Oslo, og nye brukergrupper har kommet med ønsker om å inkludere nytt stoff. Hver ny utgave av boken har søkt å ta hensyn til ønsker fra brukerne. I denne 7. utgaven er det gjort endringer basert på erfaringene med 6. utgave. Alle eksempler på anvendelser fra de tidligere utgavene er beholdt, men oppgavematerialet er ytterligere utvidet. Det vesentligste nye innholdselementet i 7. utgave er programmering og numerisk orientert matematikk. Etter LK20 er programmering og algoritmisk tenkning innarbeidet på alle trinn i skolematematikken. Dette gir nye muligheter for å arbeide med programmering som en integrert del av matematikken på universitetsnivå. Den nye utgaven av Matematikk i praksis følger opp dette, ved at det nå er lagt inn oppgaver som benytter programmering i arbeidet med matematikken. Disse oppgavene kan løses ved bruk av ulike programmeringsspråk. Videre er det lagt inn fire nye delkapitler med stoff om programmering og numeriske metoder: • • • •

1.12: Programmering i Python 6.10: Newtons metode 7.7: Numerisk integrasjon 9.9: Numeriske løsninger av differensiallikninger

Forord

Delkapittel 1.12 inneholder elementært stoff om programmeringsstoffet Python, som i skrivende stund brukes i norsk videregående skole. Målet med dette delkapitlet er at det skal være mulig for lesere uten bakgrunn i programmering å henge seg på, gitt at det legges inn noe ekstraarbeid. Som før er to år matematikk i videregående skole (per i dag R1) en god bakgrunn for å lese boken. Boken er skrevet ut fra den grunnholdning at introduksjonsbøker på universitetsnivå bør ha en “encyklopedisk” karakter; dvs. de bør være brede og mest mulig komplette fremstillinger som også repeterer og konsoliderer stoffet studentene bør ha vært gjennom på forhånd. Man må så gjennom kursopplegget peke ut hvilke deler av boken som bør kunne fungere som tilnærmet selvstudium, eller som kan gjennomgås raskt.

Hvordan lese boken Notasjonsmessig følger boken de vanlige standardene, men der er et unntak: Vi bruker desimalpunkt istedenfor desimalkomma. Dette betyr at desimaltallet 2,5 her skrives 2.5 (les: to punkt fem), som er vanlig internasjonalt. Fordelen er at man da unngår å forveksle desimalkomma med komma brukt som skilletegn. Det er tvetydig hvis punktet (2.8, 0.6) i planet blir skrevet (2, 8, 0, 6). Når du skal arbeide med en bok som denne, er det viktig at du er klar over grunntrekkene ved systematisk oppbygd matematisk teori. Formelt sett består slik teori av tre typer byggeklosser, nemlig definisjoner, teoremer og bevis. Teoremer kalles også setninger, lover eller resultater. Definisjonene innfører ny terminologi, de beskriver det matematiske språket. Det gir ingen mening å bevise en definisjon, for definisjonen forteller bare om språklige og notasjonsmessige valg vi gjør. Teoremene, derimot, representerer det matematiske “innholdet" i teorien, og til hvert av dem trengs et bevis. Beviset gir kort og godt en begrunnelse for at teoremet er riktig, ut fra de definisjoner som er gjort, og tidligere teoremer. I kortform kan man si at definisjoner er ting man har funnet på, mens teoremer er ting man har funnet ut. Blar du fremover, vil du kunne finne ulike ting som er merket “Definisjon", “Teorem" eller “Bevis". Imidlertid er langt fra alle forekomstene merket på denne måten. Teksten inneholder små definisjoner, teoremer og bevis rundt omkring ellers også; vi innfører begreper og gjør resonnementer hele veien. Begreper som defineres i teksten markeres vanligvis med fete typer, eventuelt med kursiv. Noen spesielt krevende bevis er markert med stjerne: ∗. Teoremer, definisjoner og eksempler er nummerert fra 1 i hver seksjon, og de refereres så til ved kapittelnummer, seksjonsnummer og sitt eget nummer. Så “eksempel 6.3.2” er altså eksempel 2 i seksjon 6.3. Ved starten av hvert kapittel er det angitt hvilke av de foregående kapitlene det aktuelle kapitlet bygger på. Oppgavene i de blandede samlingene som finnes ved slutten av kapitlene, har egne seksjonsnumre i referansene. Eksempel: Kapittel 2 har fire ordinære seksjoner 2.1 til 2.4, og samlingen med blandede oppgaver bakerst i kapittel 2 er da “seksjon 2.5”. Med “oppgave 2.5.9” menes dermed oppgave 9 i samlingen

Forord

vii

med blandede oppgaver til kapittel 2. Oppgaver som involverer programmering, er merket med en boks rundt oppgavenummeret: 17 Noen av oppgavene er hentet fra eksamenssett ved Universitetet i Oslo. Disse er merket (UiO).

Nettressurser til boken Du vil finne en rekke tilleggsressurser til boken på bokens nettside under nettressurser.no. Løsningsforslag til oppgaver i boken vil også legges ut der. For oppgaver som involverer programmering i Python finner du komplette forslag til programmer både som pdf og som kjørbare .py-filer som kan lastes ned og testes. Noen av løsningsforslagene er passordbelagt, og forbeholdt forelesere. Forelesere bes henvende seg om dette ved å sende en e-post til matematikkipraksis@universitetsforlaget.no eller ved å registrere seg via nettsiden. Forfattere og forlag bestreber seg på å få boken mest mulig feilfri. Skulle du likevel oppdage en feil, eller har andre kommentarer, vennligst gi beskjed om dette ved å sende en e-post til ovennevnte adresse.

Takk I forbindelse med de ulike utgavene av boken er det mange som har bidratt med hjelp og innspill, og som fortjener stor takk. Spesielt må nevnes Arne Strøm for computergrafikk og Arve Michaelsen for all teknisk hjelp med tidligere utgaver. Hans Foosnæs, Erik Plathe og Jan Søreng skal ha takk for kontruktive innspill til tredje utgave. Takk til Kari Grete N. Børve og Ragnar Soleng for innspill til 5. utgave. Takk også til studentene for deres tallrike tilbakemeldinger gjennom alle år. Når det gjelder den foreliggende utgaven, vil vi først og fremst takke vår forlagsredaktør Jannicke Bærheim. En stor takk rettes også til Jonas Gahr Sturtzel Lunde og Kristine Baluka ved UiO, og Jarle Peder Berntsen, Anita Gjesteland og Erik A. Hanson ved UiB, som har gitt oss tilgang til modelleringsog programmeringsoppgaver i oppgavesamlingene deres ved UiO og UiB.

Oslo/Bergen, mars 2022 Tor Gulliksen, Amir M. Hashemi og Arne Hole

Innhold

1. Generelt grunnlag 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

Mengder 2 Tallinjen og de reelle tallene 4 Regning med reelle tall 6 Røtter 14 Relativ økning og vekstfaktor 15 Rasjonale og irrasjonale tall 18 Polynomdivisjon 20 Logiske slutninger 22 Løsning av likninger 24 Summetegn 29 Litt plangeometri 33 Programmering i Python 39

2. Funksjoner 2.1 2.2 2.3 2.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Funksjoner og deres anvendelser 52 Inverse funksjoner 64 Lineær programmering 67 Skifte av lineær skala 71

3. Periodiske fenomener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1 Periodiske funksjoner. Sinus og cosinus 78 3.2 Trigonometriske funksjoner 82 3.3 Noen setninger om trekanter 87 3.4 Harmoniske svingninger 89 3.5 Omskriving av harmoniske svingninger 93 3.6 Addisjon av harmoniske svingninger 96 4. Kontinuitet og grenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Begrepene kontinuitet og grense 104 4.2 Beregning av grenser 110 4.3 Nullpunkter og ekstremalpunkter 116

103

Innhold

4.4 Følger 118 4.5 Rekker 122 5. Eksponentialfunksjoner, logaritmer og potensfunksjoner

. . .

129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

5.1 Eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner 130 5.2 Logaritmer 133 5.3 Eksponentiell vekst. Matematiske modeller 137 6. Derivasjon 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Introduksjon 152 Infinitesimal-notasjon 157 Betydningen av den deriverte 160 Høyere ordens deriverte 166 Derivasjon av inverse funksjoner 168 Funksjonsdrøfting 171 Fysisk tolkning av derivasjon 174 L’Hôpitals regel 181 Taylorpolynomer og Taylorrekker 183 Newtons metode 187

7. Integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Ubestemte integraler 198 7.2 Bestemte integraler 201 7.3 Anvendelser av det bestemte integralet 209 7.4 Integrasjon ved substitusjon 216 7.5 Delvis integrasjon 221 7.6 Alternativ teori for eksponentialfunksjoner og logaritmer 223 7.7 Numerisk integrasjon 228

197

8. Komplekse tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Hva er komplekse tall? 238 8.2 Regning med komplekse tall 241 8.3 Kvadratrøtter 244 8.4 Andregradslikninger 246

237

9. Differensiallikninger

251

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hva er en differensiallikning? 252 Differensiallikningsmodeller for populasjoner 254 Retningsdiagrammer og integralkurver 257 Differensiallikningen y’=ay 260 Lineære første ordens likninger 266 Differensiallikningen y’=ay2 +by+c 272 Separable differensiallikninger 277

Innhold

9.8 9.9 9.10 9.11

En modell for allometrisk vekst 280 Numeriske løsninger 281 Annen ordens likninger 286 Differenslikninger 291

10. Lineær algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Vektorregning 304 10.2 Avstand. Plan 311 10.3 Lineære likningssystemer 314 10.4 Gauss-Jordan-eliminasjon 316 10.5 Matriser 320 10.6 Determinanter 328 10.7 Inverse av matriser 334 10.8 Egenverdier og egenvektorer 339 10.9 Matrisedynamikk 344 10.10 Populasjonsdynamiske modeller 352 10.11 Vektorproduktet 355 10.12 Trevektorproduktet 358 10.13 Lineærkombinasjoner og underrom 360 10.14 Matriser som funksjoner 366

303

11. Differensiallikningssystemer . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Innledning 378 11.2 Løsning av homogene lineære differensiallikningssystemer 380 11.3 Inhomogene differensiallikningssystemer 388 11.4 Lotka-Volterras modell. Grafisk drøfting 391

377

12. Funksjoner av flere variable . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Introduksjon 400 12.2 Grenser, kontinuitet og ekstremalpunkter 405 12.3 Partielle deriverte 410 12.4 Andrederiverttesten 419 12.5 Vektorfunksjoner 422 12.6 Kurver 429 12.7 Gradienter og retningsderiverte 435 12.8 Lagrangemetoden 441

399

Fasit . . . . . . Det greske alfabetet Symbolliste . . . . Stikkord . . . . .

453 467 469 471

. . . .

Kapittel 1 Generelt grunnlag

Dette kapitlet innholder stoff som går langt nedover i skolematematikken. Les likevel gjennom alt for å få repetert oppbygningen og gjennomgått notasjonen (skrivemåtene) vi skal bruke videre i boken. All erfaring viser at manglende grunnlag i temaer som algebra, løsning av likninger og ren tallregning er det største hinder for suksess i typiske startkurs på universitets- og høyskolenivå. Det er bemerkelsesverdig mange studenter som har huller i dette, gjerne til tross for at de har to eller tre års matematikk fra videregående skole.

Kapittel 1: Generelt grunnlag

1.1 Mengder I dagligtalen har vi stadig bruk for å sammenfatte et utvalg av objekter og betrakte dem under ett, f.eks. “sjøfuglene i Norge” eller “maleriene i Nasjonalgalleriet.” I matematikken kalles en slik sammenfatning av objekter en mengde. Objektene i en mengde kalles elementer i mengden. Å skrive en mengde på listeform betyr å lage en liste med alle elementene i mengden. Man bruker da krøllparenteser foran og bak. Eksempel: A = {1, 10, 20}. Dette betyr at mengden A har tallene 1, 10 og 20 som elementer. Den tomme mengden skrives ∅. Den har ingen elementer. Annen notasjon: x∈A

x er element i mengden A

x, y ∈ A

x og y er begge elementer i A Tilsvarende for flere enn to elementer. Eksempel: At x, y, z ∈ A betyr at x ∈ A, y ∈ A og z ∈ A.

x∈ /A

x er ikke element i mengden A

A⊆B

Mengden A er inneholdt i mengden B, dvs. alle elementene i A er også elementer i B. Vi sier at A er en delmengde av B.

Eksempel 1 Hvis A = {1, 3, 5, 7, 9} og B = {1, 3, 5}, har vi for eksempel at 3 ∈ A og 4 ∈ / A. Vi kan også skrive 3, 5 ∈ B, for tallene 3 og 5 er begge elementer i B. Mengden B er inneholdt i mengden A, dvs. B ⊆ A. Derimot er det ikke sant at A ⊆ B; for eksempel er 7 ∈ A og 7 ∈ / B. De følgende tre notasjonsvariantene brukes ofte. La A = {1, 2, 3, 4, 5} i eksemplene. Tegnet “%=” betyr “er ikke lik”. {x | krav }

Mengden av alle objekter x som er slik at “krav” er oppfylt. Eks: {x | x ∈ A og x %= 2} = {1, 3, 4, 5}. Leses “Mengden av alle x slik at x ∈ A og x %= 2”.

{x ∈ A | krav }

Mengden av alle objekter x ∈ A som er slik at “krav” er oppfylt. Eks: {x ∈ A | x %= 5} = {1, 2, 3, 4}. Leses “Mengden av alle x ∈ A slik at x %= 5”.

{f orm | krav }

Mengden av alle objekter på formen “form” som oppfyller “krav”. Eks: {2 · x | x ∈ A} = {2, 4, 6, 8, 10}. Leses “Mengden av alle 2x, der x ∈ A”.

Seksjon 1.1: Mengder

Merk at man i de to første variantene leser den vertikale streken “slik at”, mens man i den siste varianten leser den “der”. La nå A og B være to mengder. Vi definerer A ∪ B = {x | x ∈ A eller x ∈ B}

(unionen av A og B)

A ∩ B = {x | x ∈ A og x ∈ B} B \ A = {x ∈ B | x ∈ / A}

(snittet av A og B) (differansen mellom B og A)

Se figur 1.1.1 Terminologien kan oppsummeres slik:

• Unionen A ∪ B består av alle objekter som er med i enten A eller B (eller begge), dvs. A ∪ B er mengdene A og B slått sammen. • Snittet A ∩ B består av alle elementer som er felles for A og B. Hvis A ∩ B = ∅, sier vi at A og B er disjunkte.

A ∪B

A ∩B

Figur 1.1.1 Skravert: Snitt og union av to mengder A og B

• Differansen B \ A består av alle elementer i B som ikke ligger i A. Hvis A ⊆ B, kalles B \ A også for komplementet til A i mengden B. • Vi kan også ta union og snitt av flere enn to mengder. Eksempler: A ∪ B ∪ C er mengden av alle objekter som er med i A, B eller C A ∩ B ∩ C er mengden av alle objekter som er i både A, B og C. Eksempel 2 La A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} og B = {1, 2, 3, 4, 5}. Da er A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11} A ∩ B = {1, 3, 5} B \ A = {2, 4}

A \ B = {7, 9, 11}

1.1 Oppgaver 1. La A = {3, 4, 5} og B = {3, 5}. Hvilke av følgende utsagn er sanne?

a) 3 ∈ B

d) B ⊆ A

b) 4, 5 ∈ A

e) A ⊆ B

c) 2 ∈ A

f) 7 ∈ /A

2. Gitt mengden M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Skriv følgende mengder på listeform:

a) {x ∈ M | x # = 2 og x # = 5}

b) {x + 7 | x ∈ M}

3. La R = {1, 3, 5, 7} og S = {3, 5, 7, 9}. Finn R ∩ S, R ∪ S, R \ S og S \ R.

4. Gamle-Erik på Tynset barberer de mennene i bygden som ikke barberer seg selv, og ingen andre. Barberer Gamle-Erik seg selv?

5. Russells paradoks. La D være mengden av alle mengder som ikke har seg selv som element.

a) Begrunn at hvis D ∈ D, så er D ∈ / D. b) Begrunn at hvis D ∈ / D, så er D ∈ D. Kommentar til oppgave 5. Egentlig er paradokset bare en ny versjon av historien om Gamle-Erik. Det forteller oss at dersom vi vil unngå å få “selvmotsigelser” inn i teorien vår, kan vi ikke godta at vilkårlige “samlinger” regnes som mengder. En måte å løse problemet på er å basere seg på et fast system av grunnleggende antakelser, såkalte aksiomer, for mengdelæren. Kun de samlingene hvis eksistens kan bevises ut fra aksiomene godtas da som mengder. Der fins aksiomsystemer som sikrer eksistens av alle mengder vi trenger i all vanlig matematikk, og som samtidig (såvidt man vet!) er frie for selvmotsigelser. Derfor er det i praksis helt greit å tenke på en mengde som en samling objekter, slik vi skrev i innledningen til denne seksjonen. Vi må bare passe på å ikke definere mengder som kan tenkes å inneholde seg selv som element, og slikt. Og det har vi ikke tenkt å gjøre.

Kapittel 1: Generelt grunnlag

1.2 Tallinjen og de reelle tallene Vårt tallsystem er resultat av en lang historisk utvikling og er tilpasset de stadig mer kompliserte beregningsoppgavene som menneskene har stått overfor. For å sette det i relieff, la oss se på tallbegrepet hos baktamanene på Ny-Guinea. De bruker kroppsdeler for å anskueliggjøre tallene, og teller slik: Én, to, to-én, toto, tommel, håndledd, underarm, albue, overarm, skulder, nakke, øre, øye, nese, andre-øye, andre-øre, osv. Noe større tall enn 27 fins ikke hos baktamanene. (Fredrik Barth: “Ritual and Knowledge among the Baktaman of New Guinea,” Yale University Press, 1975.) I vår kultur bruker vi tallinjen for å vise tall. Det er en rett linje der tallene 0 og 1 er plassert i to forskjellige punkter, og der de øvrige tallene har sin naturlige plassering i forhold til disse.

−2

−1

Figur 1.2.1 Tallinjen

Hvert tall tilsvarer altså et bestemt punkt på tallinjen, og omvendt vil hvert punkt på tallinjen tilsvare et bestemt tall. Alle disse tallene kaller vi de reelle tallene. Mengden av alle reelle tall skrives R. Punktet som tilsvarer 0, kalles origo. Nøyaktigheten på tegningen ovenfor er nok til å plassere tall med høyst én desimal forskjellig fra 0. For å plassere tall med to desimaler ulik 0 må vi gjøre oppdelingen ett hakk finere. Og så videre. Tallene til venstre for origo kalles negative tall, mens tallene til høyre for origo kalles positive. Tallene 0, 1, 2, 3, . . . kalles naturlige tall, og mengden av alle disse skrives N. Tar vi med de negative hele tallene også, får vi mengden Z av alle hele tall.

Tegnene for “større enn” og “mindre enn” Med absoluttverdien |a| av et reelt tall a menes avstanden fra a til origo på tallinjen. Altså | − 3| = 3 og |2| = 2, for eksempel. At tallet a er større enn tallet b, betyr at a ligger lenger til høyre på tallinjen enn b. Vi skriver da a > b. Vi kan også si at tallet b er mindre enn tallet a og skrive b < a. Skrivemåten a ≥ b betyr at a > b eller a = b, mens a ≤ b betyr at a < b eller a = b. Uttrykk der tegnene >, ≥, < eller ≤ inngår, kalles ulikheter. Dersom kun > eller < inngår, kalles ulikheten streng.

Intervaller En delmengde U ⊆ R kalles et intervall hvis den har følgende egenskap: Hvis s og t er to vilkårlige tall i U , så inneholder U også alle tall mellom s og t,

Seksjon 1.2: Tallinjen og de reelle tallene

dvs. alle tall x ∈ R slik at s < x < t. Tabellen nedenfor viser fire typer av intervaller. Her står a og b for to gitte tall slik at a ≤ b. Symbol

Lesemåte

Intervallet består av de tallene x som oppfyller

'a, b(

Det åpne intervallet fra a til b

a<x<b

[a, b(

Det halvåpne intervallet fra og med a til b

a≤x<b

'a, b]

Det halvåpne intervallet fra a til og med b

a<x≤b

[a, b]

Det lukkede intervallet fra a til b

a≤x≤b

Merk: Her er a < x < b en forkortet skrivemåte for “a < x og x < b”. Vi bruker altså klammeparentes dersom endepunktene i et intervall er med i intervallet, og vinkelparentes ellers. Vi kan også ha intervaller som går fra et gitt tall a og opp til “uendelig”, eller fra “minus uendelig” og opp til a. Notasjon: [a, ∞, = {x ∈ R | x ≥ a}

-−∞, a, = {x ∈ R | x < a}

Intervallene -a, ∞, og -−∞, a] defineres tilsvarende. Symbolene “∞” og “−∞” står for “uendelig” og “minus uendelig”. På figuren under er intervallene -−∞, 2] og -4, 6] illustrert.

1.2 Oppgaver 1. Skriv følgende mengder som intervaller: a) {x ∈ R | x ≤ 10}

b) {x ∈ R | 2 < x ≤ 5}

2. Hvilke mengder er like? A = {x ∈ R | 2 ≤ x < 5}

B = {x ∈ R | 2 < x ≤ 5} C = {x ∈ R | x ≤ 5}

D = {x ∈ R | 2 < x }

E = '2, ∞(

F = [2, 5(

G = '2, 5]

H = '−∞, 5]

3. Skriv følgende uttrykk som et enkelt intervall (eller som den

tomme mengden, ∅, om nødvendig). a) [1, 3] ∩ '2, 4] c) [1, 3] ∩ [3, 4]

e) '−∞, 3( ∩ '2, ∞(

b) [1, 3] ∪ '2, 4]

d) '1, 3( ∩ '3, 4(

f) '−∞, 30( ∩ {30}

4. I teksten foran ble det gitt en formell definisjon av begrepet intervall. Bruk denne definisjonen til å bevise at dersom U og V er to intervaller som har minst to tall felles, så er også snittet U ∩ V et intervall.

Kapittel 1: Generelt grunnlag

1.3 Regning med reelle tall Vi minner om at vi har fire grunnleggende regneoperasjoner definert på mengden R av reelle tall. Hvis a, b ∈ R, kan vi regne ut summen a +b, differansen a −b, produktet a ·b og kvotienten a : b, det siste dog kun hvis b %= 0. Istedenfor a : b skriver vi vanligvis a/b eller ab , disse uttrykkene kalles brøker. Istedenfor a · b skriver vi ofte bare ab, bortsett fra når a og b begge er konkrete tall. Som kjent er 2 · 3 %= 23. Definisjonen av de fire regneoperasjonene ovenfor tar vi for gitt her i boken. Vi skal nå gå videre og definere nye operasjoner på grunnlag av disse fire. Definisjon 1 Potensuttrykk La a være et reelt tall, og la n ≥ 1 være et helt tall. Vi definerer a n = a! · a"#· · · a$ n ganger

a0 = 1

a −n =

1 an

der vi forutsetter a %= 0 i de to definisjonene til høyre. Uttrykket a n kalles en potens med grunntall a og eksponent n. Uttrykket leses “a opphøyd i n-te”. Uttrykket a 2 kalles ofte kvadratet av a, eller “a kvadrert”.

Eksempel 1 23 = 2 · 2 · 2 = 8, 70 = 1 og 2−3 =

1 1 = . 3 2 8

Notasjonskonvensjoner En notasjonskonvensjon er noe man har blitt enige om i forbindelse med skrivemåter, dvs. notasjon. Disse konvensjonene er aktuelle nå: • For å slippe å skrive så mye parenteser har man blitt enige om at operasjonen a b “binder” sterkere enn ab og a/b, mens ab og a/b binder sterkere enn a + b og a − b. Eksempel: % & 6 6 ab + bcd − betyr (ab) + (b(cd )) − c c • Når det står et parentesløst, sammensatt uttrykk med kun pluss og minus mellom leddene, skal man begynne fra venstre og regne seg bortover. Eksempel: a − b + c skal regnes som (a − b) + c, ikke a − (b + c). • Pga. de assosiative lovene (2) i boksen på neste side trenger vi ikke skrive parenteser i sammensatte uttrykk med bare plusstegn eller bare gangetegn. Vi kan altså skrive a + b + c + d og abcd, for eksempel.

Seksjon 1.3: Regning med reelle tall

Teorem 1 Grunnleggende regneregler for reelle tall Følgende regler gjelder for alle reelle tall a, b, c og hele tall n, m. Tall som det deles på, forutsettes å være forskjellige fra 0. a+b =b+a

1. (Kommutative lover) 2. (Assosiative lover)

a + (b + c) = (a + b) + c a(b+c) = ab+ac

3. (Distributive lover)

a+0=a

4. (Tallene 0 og 1)

a−a =0

5. (Motsatte tall)

a(bc) = (ab)c a(b−c) = ab−ac

a·1=a a · (1/a) = 1

a − b = a + (−b)

6. (Minus og dele)

ab = ba

a/b = a · (1/b)

7. Hvis a < b og b < c, så er a < c. 8. Hvis verken a < b eller a > b, så er a = b. 9. Hvis a < b, så er a + c < b + c. 10. Anta a < b. Hvis c > 0, er ac < bc. Hvis i stedet c < 0, er ac > bc. 11. Hvis ab = 0, så er a = 0 eller b = 0. |a + b| ≤ |a| + |b|

12. (Trekantulikheten) 13. (Minusregler)

a −(b+c) = a −b−c

14. (Eksponenter)

anam

15. (Eksponenter)

' a (n

16. (Brøker) 17. (Brøker)

a n+m

(a n )m

a −(b−c) = a −b+c

a nm

(ab)n = a n bn

an an = a n−m b bn am a b a+b a b a−b + = − = c c c c c c ac a a b ab a ab = · = ·b = bc b c d cd c c =

Bevis Droppes, da vi tar disse reglene for gitt. Imidlertid bør du gå gjennom reglene og overbevise deg om at de er riktige når a, b og c er hele tall. Velg da noen konkrete tall og sett inn. Som eksempel tar vi reglene (14): 23 · 24 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 27 = 23+4

(32 )3 = (3 · 3)3 = (3 · 3) · (3 · 3) · (3 · 3) = 36 = 32·3 (4 · 5)3 = (4 · 5) · (4 · 5) · (4 · 5) = 43 · 53 .

Kikker du på disse eksemplene, ser du at det ikke er tilfeldig at dette stemmer med reglene. Ut fra dette kan du se hvorfor reglene er riktige.

Kapittel 1: Generelt grunnlag

Det er definisjonene og reglene fra de to foregående sidene som ligger til grunn for all vanlig regning som man gjør med tall. Her er noen eksempler.

Multiplikasjon av negative tall Hvorfor må to negative tall ganget sammen bli positivt? Altså for eksempel (−3) · (−3) = 9. Hvorfor kunne man ikke like gjerne bestemme seg for at (−3) · (−3) skal være −9? Disse fortegnsreglene er faktisk en konsekvens av de grunnleggende regnereglene i boksen forrige side. Vi har nemlig (tallene over likhetstegnene markerer regler som brukes) ) * 3 0 = 3 · 0 = 3 · 3 + (−3) = 3 · 3 + 3 · (−3) = 9 + 3 · (−3).

For at dette skal stemme, må 3 · (−3) = −9, dvs. et positivt tall ganget med et negativt må bli negativt. Gitt dette, gir reglene ) * 3 0 = (−3) · 0 = (−3) 3 + (−3) = (−3) · 3 + (−3) · (−3) = −9 + (−3) · (−3).

Dermed må (−3) · (−3) = 9. En konsekvens av alt dette er at hvis du ganger sammen flere tall ulik null og antall minustegn er odde, blir svaret negativt. Ellers blir det positivt. Grunnen er at minustegn kansellerer hverandre to og to.

Brøkregning og forenkling av uttrykk Man kan forenkle brøkuttrykk ved å sette utenfor felles faktorer i teller eller nevner og forkorte. Videre kan man addere eller subtrahere brøker som ikke har samme nevner ved å gange oppe og nede slik at de får det. Eksempler x 2 y + 2y 3 y(x 2 + 2) 17 x 2 + 2 = = 5y 5y 5 5 2 17 5 · 3 2 · 4 15 8 16 15 + 8 23 + = + = + = = . 4 3 4·3 3·4 12 12 12 12

Multiplikasjon av parenteser. Kvadratsetningene Når du skal gange sammen to parenteser som har flere ledd med pluss eller minus mellom, kan du gange “alle ledd mot alle”. Eksempel: (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd. Her brukte vi lovene (3). Som du ser, blir effekten at alle ledd i første parentes ganges med alle i den andre. Så i praksis kan vi hoppe over mellomregningen.

Seksjon 1.3: Regning med reelle tall

Med kvadratsetningene menes følgende utsagn: 1. kvadratsetning:

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

2. kvadratsetning:

(a − b)2 = a 2 − 2ab + b2

3. kvadratsetning:

(a + b)(a − b) = a 2 − b2 .

Alle tre kan sjekkes ved å gange ut uttrykkene på venstre side. For eksempel den første: (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b2 = a 2 + 2ab + b2 .

Størrelser, enheter og forstavelser Når vi snakker om en størrelse, mener vi noe som kan gis en kvantitativ verdi ved måling, beregning eller telling. Det kan f.eks. være diameteren til et virus, temperaturen på Solens overflate, folketallet i Norge, osv. Eksempel 2 Diameteren til et influensavirus er d = 0.000 000 12 m. Her er diameteren gitt med målenheten meter (m). Tallet 0.000 000 12 kaller vi måltallet, og meter er enheten vi har brukt. Bruker vi i stedet enheten µm = 0.000 001 m, som kalles én mikrometer, får vi d = 0.12 µm. Måltallet er nå 0.12. Enheten mikrometer ble tidligere skrevet µ. Dette er en foreldet skrivemåte. Nå står µ for forstavelsen mikro, som igjen står for én milliondel. Symboler for enheter og forstavelser, vedtatt i det internasjonale enhetssystemet SI, finner du bl.a. i almanakker. Tabellen under viser noen av forstavelsene. Tierpotens

Forstavelse

Symbol

1 000 000 000 000 = 1012 1 000 000 000 = 109 1 000 000 = 106 1 000 = 103 100 = 102 10 = 101 0.1 = 10−1 0.01 = 10−2 0.001 = 10−3 0.000 001 = 10−6 0.000 000 001 = 10−9 0.000 000 000 001 = 10−12

tera giga mega kilo hekto deka desi centi milli mikro nano piko

T G M k h da d c m µ n p

Kapittel 1: Generelt grunnlag

Ubenevnte størrelser. Prosent I litteraturen møter vi ofte begrepet dimensjonsløs (eller ubenevnt) størrelse. Med det mener vi en ren tallstørrelse, f.eks. forholdet mellom vekten av hjernen og vekten av kroppen til et dyr. Vil man være formalist, så kan man godt oppfatte tallet 1 som enhet for dimensjonsløse størrelser. Man kan også oppfatte prosent (%) som en enhet, og denne enheten kan man sette lik tallet 1/100. Eksempel 3 I 1973 var det 722 nye studenter ved Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet ved Universitetet i Oslo. Av disse var 193 kvinner. Det gir en kvinneandel på 193 1 = 0.267 = 26.7 · = 26.7 %. 722 100

Gjeldende siffer Tallene 0.037 og 0.0370 er matematisk sett like, men om f.eks. en avstand er målt, så er det ikke det samme om man oppgir 0.037 m eller 0.0370 m som svar. Det siste uttrykker større nøyaktighet enn det første, selv om ingen av dem i praksis kan være helt nøyaktige. I beste fall er de begge avrundede tilnærmingsverdier for en tenkt sann verdi. Oppgir man svaret 0.037 m, så er det underforstått at det sanne måltallet ligger mellom 0.0365 og 0.0375, eller rettere sagt i intervallet [0.0365, 0.0375,, fordi det nettopp er tallene i dette intervallet som avrundet gir 0.037. Oppgir man svaret 0.0370 m, så er det underforstått at det sanne måltallet ligger mellom 0.03695 og 0.03705. Vi sier at 0.037 har to gjeldende sifre, mens 0.0370 har tre gjeldende sifre. Antall gjeldende siffer bestemmes av hvordan et tall er skrevet. Vi definerer antall gjeldende sifre som det totale antall sifre, unntatt eventuelle nuller til venstre. Eksempel 4 Tallet 6000 har fire gjeldende sifre, 0.06 har ett gjeldende siffer og 0.0600 har tre gjeldende sifre. I vitenskapelig litteratur skriver man ofte positive tall på såkalt standardform, det vil si a · 10n , der n er et helt tall og a er et tall slik at 1 ≤ a < 10. Vi vedtar at antall gjeldende siffer i a · 10n skal bety antall gjeldende siffer i a. Eksempel 5 Tallet 2.0640 · 108 har fem gjeldende sifre. Når man angir svaret på en praktisk beregningsoppgave, bør man forsøke å gi en fornuftig avrunding slik at svaret ikke gir inntrykk av større nøyaktighet enn

rygg: 24 mm

Eksponentialfunksjoner og logaritmer a x · a y = a x+y a −x =

1 ax

a x b

ax bx

ln(xy) = ln x + ln y

eln x = x

ln(ex ) = x

x y

Komplekse tall

(ab)x = a x · bx a0 = 1 √ n a m/n = a m a x = e(ln a)x

(a x )y = a x·y

= ln x − ln y

loga (a x ) = x

1 x

i 2 = −1

ln a x = x ln a

= − ln x

loga x =

ln x ln a

sin2 x + cos2 x = 1

sin 2x = 2 sin x cos x

Derivasjon (sin x)� = cos x

(cos x)� = − sin x

(x n )� = nx n−1 for n �= 1 (arcsin x)� = √

(tan x)� =

(arccos x)� = √

1 − x2

1 = 1 + tan2 x cos2 x

(a x )� = ln a · a x

(ex )� = ex −1

(arctan x)� =

1 − x2

(ln |x|)� =

1 1 + x2

(cot x)� =

1 x

−1 sin2 x

(arccot x)� =

Integrasjon Delvis integrasjon: Substitusjon:

�

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −

f (u(x))u� (x)dx =

Omdreining om x-aksen: V = π

u (x)v(x)dx

[f (x)]2 dx

der F � (u) = f (u).

Omdreining om y-aksen: V = 2π

Rekker 1 − kn a + ak + ak 2 + · · · + ak n−1 = a for k �= 1 1−k a a + ak + ak 2 + ak 3 + · · · = for |k| < 1 1−k

Taylorrekke:

f (a) + f � (a)(x − a) +

Trykklart omslag matematikk i praksis 7utg.indd 2

f �� (a) f �� (a) (x − a)2 + (x − a)3 + · · · 2 2·3

Lineær algebra −1 1 + x2

�

f (u)du = F (u(x)) + C,

r1 eiθ · r2 eiφ = r1 r2 ei(θ +φ)

cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

reiθ = (r cos θ ) + (r sin θ )i

a + bi = a − bi

Differensiallikninger og differenslikninger

Trigonometriske funksjoner cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

innside av omslag

x · f (x) dx

Determinanter:

� �a � �c

Flervariabelteori

Gradient: ∇f (a) =

a2 b2 c2

� b �� = ac − bd d�

� a3 � � b3 � = volumet av parallellepipedet utspent av a, b, c � c3 � �a � �d � g

� � � � b c� �e f � �d � � � − b �� e f � = a� � h i g � h i

� � �d f �� + c �� i g

� e �� h�

� ∂f � ∂f (a), . . . , (a) ∂x1 ∂xn

Retningsderivert: Dv f (a) = ∇f (a) · v = |∇f (a)| cos θ Lineærtilnærming: L(x) = f (a) +

∂f ∂f (a) · (x1 − a1 ) + · · · + (a) · (xn − an ) ∂x1 ∂xn

Lagrangemetoden: ∇f (a) = λ · ∇g(a)

30.04.2022 08:35

bakside: 216 mm

høyde: 226 mm

tor gulliksen | amir m. hashemi | arne hole matematikk i praksis 7. utgave

Hvordan bruker vi matematikk når vi skal løse praktiske problemer eller faglige spørsmål i fag som biologi, medisin, fysikk og kjemi? Matematikk i praksis handler om nettopp dette.

rygg: 24 mm

forside: 216 mm

tor gulliksen amir m. hashemi | arne hole

7 . utgave

tor gulliksen er professor emeritus i matematikk

ved Universitetet i Oslo. amir m. hashemi er universitetslektor ved Høgskolen

i Bergen og Universitetet i Bergen. arne hole er førsteamanuensis i matematikk ved

omslag av stian hole

isbn: 978-82-15-06277-8

Trykklart omslag matematikk i praksis 7utg.indd 1

Institutt for lærerutdanning og skoleforskning ved Universitetet i Oslo.

30.04.2022 08:35