Zagłosujmy. Świetnie, ale jak?

Demokracja. Można się o nią kłócić, wytykać jej wady, ale pozostaje najlepszym wypróbowanym systemem rządów. Przynajmniej jest przewidywalna. Czy aby na pewno?

W takim razie czemu, stosując różne demokratyczne systemy głosowania, możemy uzyskać różne wyniki?

Tak, to prawda. W tym artykule przedstawię Wam kilka możliwości i na przykładzie pokażę, że sam system jest niemal tak samo ważny jak preferencje wyborców. Rozważymy sytuację, w której z czterech kandydatów należy wybrać jednego, a głosujących jest dwudziestu siedmiu. Klasyfikują oni pretendentów w sposób przedstawiony w tabeli.

A zwycięzcą jest…

W takiej sytuacji rozwiązaniem najbardziej naturalnym wydaje się być wybranie tego kandydata, którego najwięcej osób umieściło na pierwszym miejscu (lub po prostu, gdyby należało wskazać tylko jednego kandydata, zagłosowało na niego). Takie podejście nazywane jest większością względną i polega na tym, że zwycięża kandydat z największą liczbą głosów, nawet jeśli jego wynik nie przekracza połowy wszystkich głosów. Tak postępuje się chociażby w wyborach do polskiego Senatu. W naszym przykładzie w tym systemie większościowym wybory wygrałby kandydat F, uzyskując 12 głosów (szczegółowe wyniki widnieją na odpowiednim wykresie). Mamy zatem zwycięzcę i po problemie. Sprawa z głowy, prawda?

Nie do końca. Zauważmy, że w analizowanej sytuacji wszyscy pozostali głosujący (czyli 15, ponad połowa) od triumfu F woleliby zwycięstwo H lub I. Gdyby więc rozstrzygać tylko między H i F lub I i F, ten ostatni na pewno by nie wygrał. Widać, że coś tu jest nie tak.

Ten czy tamten?

Może więc kluczem do trafnego wyboru jest właśnie porównywanie parami? Pomogłoby ono odkryć, którego z dwóch kandydatów woli społeczność. W takim systemie, zwanym sekwencyjnym porównywaniem parami, wyborcy decydowaliby między dwoma kandydatami, następnie wybieraliby między zwycięzcą porównania a kolejnym pretendentem, a potem tymczasowy wygrany mierzyłby się z kolejnym kandydatem. Proces ten trwałby do wyłonienia ostatecznego zwycięzcy. W naszym przykładzie mogłoby to wyglądać następująco: głosujący rozstrzygają między kandydatami I i F. Wygrywa I (15:12) i jest porównywany z H. H zwycięża (24:3) i wyborcy decydują między nim a G. Ostatecznie wybory wygrywa G (12 głosów na niego do 8 na H).

Wygląda to całkiem nieźle. Ten system ma jednak bardzo poważną wadę . Otóż jeśli zmienimy odrobinę kolejność porównań, rezultat wyborów może być już zupełnie inny. Przykład? Bardzo proszę: tym razem zacznijmy od porównania G i H. G znów zwycięża 19 do 8, ale teraz nie oznacza to dla niego wygranej w wyborach, a jedynie udział w kolejnym porównaniu. Niech teraz jego przeciwnikiem będzie F. F wygrywa 17 do 10 i musi się zmierzyć z I. Jak już jednak wiemy, takie porównanie wypada na korzyść tego ostatniego (15:12). Całe wybory wygrałby więc I, którego szanse były marne. Widać wyraźnie, że ten system głosowania jest bardzo podatny na manipulacje. Kandydaci mogliby próbować forsować korzystną dla nich kolejność porównań. Należałoby więc poszukać innej metody przeprowadzenia wyborów.

Raz, dwa, trzy, odpadasz Ty!

Kolejny sposób dokonywania społecznego wyboru, który warto rozważyć, jest nieco podobny do pierwszego z omawianych w tym artykule. Głosujący znów wskazują po prostu najbardziej preferowanego kandydata, tyle tylko, że teraz nie wybiera się od razu człowieka z największą liczbą głosów, a jedynie odrzuca tego z najmniejszą. Następnie powtarza się cały proces, ale już z mniejszą liczbą kandydatów i biorąc pod uwagę to, na kogo przeszły głosy wcześniej oddane na odrzuconego kandydata. To natychmiastowa dogrywka, która może dawać zupełnie inne wyniki niż większość względna. W naszym przykładzie przy tym systemie na początku odpadłby kandydat I, gdyż wskazaliby go tylko trzej wyborcy. Te 3 głosy przeszłyby jednak na H. W związku z tym w kolejnym etapie F dalej miałby 12 głosów, G – 7, ale H już łącznie 8. Jako drugi odpadłby więc kandydat G. Wobec tego w ostatnim etapie zmierzyliby się pretendenci F i H. Ten ostatni jednak przejąłby też już głosy po G i ostatecznie pokonał F 15 do 12. Okazuje się więc, że końcowy zwycięzca na początku wyborów był dopiero na trzecim miejscu, ale sukcesywnie zyskiwał przy każdym odpadnięciu jakiegoś kontrkandydata i dlatego udało mu się wygrać całe głosowanie.

W takim systemie jednak pojawia się ten sam problem, co na początku. Aż 19 osób zamiast H na miejscu zwycięzcy wolałoby widzieć G. Może więc do tematu trzeba się zabrać w zupełnie inny sposób…

Liczymy punkciki!

Do tej pory przywiązywaliśmy małą wagę do tego, jak wyborcy szeregują kandydatów poza pierwszym. Może warto skupić się na tym. Wygodnym sposobem jest metoda Bordy, która swą nazwę bierze od nazwiska francuskiego matematyka z XVII wieku. Sposób ten polega na tym, że każdy wyborca najbardziej preferowanemu przez siebie kandydatowi przyznaje liczbę punktów równą liczbie kandydatów pomniejszonej o jeden. Kolejnemu kandydatowi daje o jeden punkt mniej, następnemu o jeszcze jeden mniej i tak dalej. Ostatni z uszeregowanych kandydatów otrzymuje od danego wyborcy zero punktów. Następnie sumuje się punkty zdobyte