Stat 130 chapter 4

Page 1

Stat 130 – Intro to Math Stat for CS Chapter 4 Reviewer

Parameter - constant that determines the specific form of the density function Parameter Space - set of all possible values that the parameter can take on Discrete Distributions 1. Discrete Uniform Distribution -

-> đ??¸(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ âˆź đ??ˇ âˆŞ (đ?‘ ) 1

pmf: đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = đ??ź{1,2,...,đ?‘ } 2

2

đ?‘ +1 2

-> đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ) =

đ?‘ 2 −1 12

2. Poisson Distribution - Model for the # of occurances of a certain event (usually rare) in a specified space or time interval - Properties: a) Possible to partition a specified time or space interval into many smaller nonoverlapping subinterval b) # of outcomes in one subinterval is independent of another c) The probability that a single outcome will occur in a very short subinterval is proportional to the length of the subinterval d) The probability that more than 1 outcome will occur in such a shirt subinterval is almost đ?œ™ - đ?‘Ľ âˆź đ?‘ƒ0 (â‹‹)

-

pmf: đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) =

-

đ??¸(đ?‘Ľ) =â‹‹

;

đ?‘’ −⋋⋋đ?‘Ľ đ?‘Ľ!

đ??ź[đ?‘œ,1,2,...} (đ?‘Ľ) ;

â‹‹> 0

đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ) =â‹‹

3. Binomial Distribution - F -> fixed # of n trials, đ?‘› > 1 - I -> independence - T ->two possible outcomes (success or failure) - S -> same probability of a success for each observation

-

đ?‘Ľ âˆź đ??ľđ?‘– (đ?‘›1 đ?‘ƒ)

-

pmf: đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = ( ) đ?‘ƒ đ?‘Ľ (1 − đ?‘ƒ)đ?‘›âˆ’đ?‘Ľ đ??ź{0,1,2,...,đ?‘›} đ?‘Ľ ; 0 ≤ đ?‘ƒ ≤ 1;

-

đ??¸(đ?‘Ľ) = đ?‘›đ?‘?;

đ?‘› đ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘›đ?‘?đ?‘ž -> đ?‘ž = 1 − đ?‘?

1

SRSWR

đ?‘› ∈ đ?‘§+

4. Bernoulli Distribution

-

đ?‘›=1 đ?‘Ľ âˆź đ??ľđ?‘’(đ?‘?) đ??¸(đ?‘Ľ) = đ?‘? đ?‘Ľ (1 1−đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) pmf: đ?‘ƒđ?‘Ľ =đ?‘ƒ − đ?‘?) đ??ź{0,1} (đ?‘Ľ) đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘ž

5. Hypergeometric Distribution - đ?‘Ľ~đ??ťđ?‘Śđ?‘?(đ?‘›1 đ?‘€1 đ?‘˜) -> n = sample space; M = # of elements in population; k = # of successes đ?‘˜

[đ?‘? = đ?‘€] -

pmf: đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) =

-

đ??¸(đ?‘Ľ) =

đ?‘›đ?‘˜ đ?‘€

;

đ?‘˜ đ?‘€âˆ’đ?‘˜ ( )( ) đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’đ?‘Ľ đ??ź{đ?‘œ, 1, . . . , min(đ?‘›, đ?‘˜)}(đ?‘Ľ) đ?‘€ ( ) đ?‘› đ?‘˜ đ?‘€âˆ’đ?‘˜ đ?‘€âˆ’đ?‘›

đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘› đ?‘€

đ?‘€

SRSWOR

đ?‘€âˆ’1

6. Geometric Distribution

-

-

-

đ?‘Ľ~đ??şđ?‘’(đ?‘?) pmf: đ?‘?đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = đ?‘?(1 − đ?‘?)2 đ??ź{0,1,2, . . . }(đ?‘Ľ) -> “BEFOREâ€? : đ?‘?đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = đ?‘?(1 − đ?‘?)đ?‘Ľâˆ’1 đ??ź{1,2, . . . }(đ?‘Ľ) -> “UNTILâ€? đ?‘ž đ?‘ž đ??¸(đ?‘Ľ) = đ?‘? ; đ?‘ž = 1 − đ?‘? đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘?2 “probabilities of success remains constant from trial to trialâ€? Concluded only after the first success is observed X = # of failures before the first success # of successes is fixed at 1 # of trials unknown

7. Negative Binomial Distribution

-

đ?‘Ľ~đ?‘ đ??ľ(đ?‘&#x;1 đ?‘?)

-

pmf: đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = (

đ?‘&#x; + đ?‘Ľ − 1 đ?‘&#x; (1 )đ?‘? − đ?‘?)đ?‘Ľ 1{0,1,2, . . . , }(đ?‘Ľ) -> # of failures BEFORE the rth đ?‘Ľ

success

đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘&#x; ) đ?‘? (1 − đ?‘?)đ?‘Ľâˆ’đ?‘&#x; -> # of trials UNTIL the rth success đ?‘&#x;−1 đ?‘&#x;đ?‘ž đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘?2

: đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = (

-

đ?‘&#x;đ?‘ž

đ??¸(đ?‘Ľ) = đ?‘?2

2

Continuous Distribution 1. Normal Distribution - đ?‘Ľ~đ?‘ (đ?œ‡, đ?œŽ 2 )

-

pdf: đ?‘“đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) =

1 đ?œŽ

√2đ?œ‹

-

−(đ?‘Ľâˆ’đ?œ‡)2 } 2đ?œŽ2

{

đ??ź(−âˆ?, âˆ?)(đ?‘Ľ);

−âˆ?< đ?œ‡ <âˆ? +đ?œŽ 2 > 0

đ?‘‰(đ?‘Ľ) = đ?œŽ 2

- đ??¸(đ?‘Ľ) = đ?œ‡; -

đ?‘’

Properties of the Normal Curve: 1)Bell-shaped curve (symmetric about đ?œ‡) 2)Area below the curve = 1 3)Tails are asymptotical on the horizontal axis Standard Normal Distribution 1) Normally distributed RV with đ?œ‡ = 0 and đ?œŽ 2 = 1

2) � =

đ?‘Ľâˆ’đ?œ‡ đ?œŽ

3) From đ?‘Ľ âˆź đ?‘ (đ?œ‡, đ?œŽ 2 ) and đ?‘§ âˆź đ?‘ (0, 1) -

Theorem: Let a RV x have a poisson distribution, then for a fixed đ?‘Ž < đ?‘?,

đ?‘ƒ (đ?‘Ž < -

-

đ?‘Ľ −⋋ √⋋

≤ đ?‘?) ≈ đ?œ™(đ?‘?) − đ?œ™(đ?‘Ž)

De Moivre-Laplace Theorem : let a RV x have a Binomial Distribution, then for a fixed đ?‘Ž < đ?‘?, ->Gives a nominal approximation of the đ?‘Ľ − đ?‘›đ?‘? đ?‘ƒ (đ?‘Ž < ≤ đ?‘?) ≈ đ?œ™(đ?‘?) − đ?œ™(đ?‘Ž) binomial dist. for LARGE n √đ?‘›đ?‘?đ?‘ž ->Value of npq should be at least 5 Remarks

1) 2) 3) 4) 5) 6)

đ?‘ƒ(đ?‘§ > đ?‘§đ?‘Ž ) =âˆ? đ?‘ƒ(đ?‘§ > đ?‘§âˆ? ) = đ?‘ƒ(đ?‘§ < −âˆ?) =âˆ? đ?‘ƒ(đ?‘§ < −đ?‘§âˆ? ) = 1 − đ?‘ƒ(đ?‘§ > −đ?‘§âˆ? ) đ?‘ƒ(đ?‘§ > −đ?‘§âˆ? ) = 1−âˆ? −đ?‘§đ?‘Ž = đ?‘§1−âˆ?

usually Poisson and Binomial Dst. When using a continuous distribution to approximate a discrete distribution, we use the continuity cor.

đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) → đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ + 0.5); đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ − ) → đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ − đ?‘œ. 5) đ?‘ƒ(đ?‘Ž − 0.5 < đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž + 0.5); đ?‘ƒ(đ?‘Ľ = đ?‘Ž) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž) − đ?‘ƒ(đ?‘Ľ < đ?‘Ž) = đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ž) − đ??šđ?‘Ľ (−đ?‘Ž) đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž + 0.5) đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ − ) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ < đ?‘Ž) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž − 0.5)

3

2. Exponential Distribution

-

đ?‘Ľ âˆź đ??¸đ?‘Ľđ?‘?(â‹‹) pdf: đ?‘“đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) =â‹‹ đ?‘’ −⋋đ?‘Ľ đ??ź[0, âˆ?](đ?‘Ľ); 1

-

đ??¸(đ?‘Ľ) = â‹‹

đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = â‹‹2

-

Poisson

vs.

#of occurances Till success -

-

â‹‹> 0 cdf: đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = (1 − đ?‘’ −⋋đ?‘Ľ )đ??ź[0, âˆ?](đ?‘Ľ) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ľ)

1

Exponential -> usually for lifetimes or wasting times length of time til and occurrence

The length of the interval between successive happenings can be shown to have an exponential distribution provided that the number of happenings in a fixed time interval has a Poisson distribution y = # of occurrences in time t -> Poisson dist. with â‹‹= đ?‘Łđ?‘Ą it follows, x = length of time -> Expo. dist. with â‹‹= đ?‘Ł

-

đ?‘Ś âˆź đ?‘ƒđ?‘œ (â‹‹= đ?‘Łđ?‘Ą) → đ?‘Ľ âˆź đ??¸đ?‘Ľđ?‘?(â‹‹= đ?‘Ł) length of time mean rate/time

-

Memory-Less Property

đ?‘Ľ âˆź đ??¸đ?‘Ľđ?‘?(â‹‹= đ?‘Ł) → đ?‘ƒ(đ?‘Ľ > đ?‘Ž + đ?‘?|đ?‘Ľ > đ?‘Ž) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ > đ?‘?);

đ?‘Ž > 0 and đ?‘? > 0

3. Gamma Distribution - đ?‘Ľ âˆź đ??şđ?‘Ž(đ?‘&#x;,â‹‹) â‹‹đ?‘&#x;

đ?‘Ľ đ?‘&#x;−1 đ?‘’ −⋋đ?‘Ľ đ??ź[0, âˆ?](đ?‘Ľ);

-

pdf: đ?‘“đ?‘‹ (đ?‘Ľ) =

-

đ??¸(đ?‘Ľ) = â‹‹;

-

cdf: đ?‘ƒ(đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ľ) = đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = (1 − ∑đ?‘&#x;−1 đ?‘—=0

-

Like the exponential dist. but we are now interested in the RV as the length of time (area, vol.,etc) until the rth occurrence of an event Positively skewed dist. which usually results when the RV takes on only nonnegative values

-

đ?‘&#x;

đ?‘&#x;(đ?‘&#x;)

đ?‘&#x; > 0 â‹‹> 0

đ?‘&#x;

đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = â‹‹2

CREDITS: Notes by Camille Salazar Encoded by Gerald Roy CampaĂąano

4

đ?‘’ −⋋đ?‘Ľ (â‹‹đ?‘Ľ)đ?‘— đ?‘—!

đ??ź[đ?‘œ, âˆ?](đ?‘Ľ)

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.