Stat 130 – Intro to Math Stat for CS Chapter 6 Reviewer
Jointly Distributed RV’s 1) Joint FMFs for TWO DISCRETE RVs:
-
đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘ƒ(đ?‘‹ = đ?‘Ľ, đ?‘Œ = đ?‘Ś) đ?‘ƒ[(đ?‘‹, đ?‘Œ)đ??¸đ??´] = ∑(đ?‘‹,đ?‘Œ) ∑đ??¸đ??´ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)
-
đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) is a joint pmf if it satisfies the ff: a) đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≼ 0 for all x and y
-
Marginal PMFs:
b) ∑đ?‘‹ ∑đ?‘Œ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 1 đ?‘ƒđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = ∑đ?‘Œ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)
đ?‘ƒđ?‘Ś (đ?‘Ś) = ∑đ?‘‹ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)
2) Joint PDFs for TWO CONTNUOUS RVs:
đ?‘ƒ[(đ?‘‹, đ?‘Œ)đ??¸đ??´] = âˆŹ
đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś đ??´
-
If 2d rectangle -> {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?, đ?‘? ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘‘}, then, đ?‘?
đ?‘‘
đ?‘ƒ[(đ?‘‹, đ?‘Œ)đ??¸đ??´] = đ?‘ƒ(đ?‘Ž ≤ đ?‘‹ ≤ đ?‘?, đ?‘? ≤ đ?‘Œ ≤ đ?‘‘) = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
-
đ?‘?
Properties: a) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≼ 0, for all x and y âˆ?
�
b) âˆŤâˆ’âˆ? âˆŤâˆ’âˆ? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = 1 -
Marginal PMFs: �
�
đ?‘“đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = âˆŤâˆ’âˆ? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś
đ?‘“đ?‘Ś (đ?‘Ś) = âˆŤâˆ’âˆ? đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ
Independence of RVs ďƒ˜ Independent iff: a) đ?‘?(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘?đ?‘Ľ (đ?‘Ľ)đ?‘?đ?‘Ś (đ?‘Ś) when x and y are discrete b) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘“đ?‘Ľ (đ?‘Ľ)đ?‘“đ?‘Ś (đ?‘Ś) when x and y are continuous Conditional Distributions ďƒ˜ cond. pdf of Y given that X=x is:
đ?‘“đ?‘Ś|đ?‘Ľ (đ?‘Ś|đ?‘Ľ) =
đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘“đ?‘Ľ (đ?‘Ľ)
Expected Values, Covariance, Correlation â„Ž(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľđ?‘Ś 1) đ??¸(đ?‘Ľđ?‘Ś) = ∑đ?‘Ľ ∑đ?‘Ś đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľ, đ?‘Ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ??¸(đ?‘‹đ?‘Œ) = âˆŹ đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś when independent, đ??¸(đ?‘Ľđ?‘Ś) = đ??¸(đ?‘Ľ)đ??¸(đ?‘Ś) 1