Comprendre les maths - Tome 2 - extrait by Van In Fondamental

TOME 2

Comprendre

TOME 2 TRAITEMENT DE DONNÉES ARITHMÉTIQUE - ALGÈBRE

les maths pour bien les enseigner

Comprendre les maths pour bien les enseigner

Cet ouvrage est destiné aux enseignants et futurs enseignants de l’école maternelle, primaire et du début du secondaire. Il explicite et illustre de façon rigoureuse et accessible LA MATIÈRE à enseigner : de QUOI s’agit-il ? POURQUOI est-ce important dans le parcours de l’élève ? ✔ Les définitions s’adressent aux adultes, leur donnant une signification explicite, précise, juste de la matière. ✔ Des illustrations variées contextualisent ces définitions pour évoquer des situations possibles dans les différents niveaux d’enseignement. ✔ Des points d’attention ciblent une difficulté, un abus, une particularité, une erreur… dont il faut prendre conscience en tant qu’enseignant. ✔ Des pourquoi ponctuent régulièrement le texte pour faire valoir l’articulation des notions à enseigner, les obstacles à faire dépasser, la production de sens et favoriser la compréhension par les élèves. ✔ Des renvois sommaires à des activités de Math & Sens et d’autres ouvrages didactiques jalonnent ces différents éléments et ouvrent ainsi sur des « comment » multiples. Le présent tome complète le tome 1 avec les domaines de la RÉSOLUTION DE PROBLÈMES, du TRAITEMENT DE DONNÉES NUMÉRIQUES, le domaine des NOMBRES, des OPÉRATIONS et du CALCUL ainsi que le domaine de l’ALGÈBRE.

Comprendre

les maths pour bien les enseigner

2,5/14 ans

De Boeck

ISBN XXX

vanin.be

F. Baret C. Géron F. Lucas M. Nolmans C. Van Pachterbeke P. Wantiez

TOME 2 TRAITEMENT DE DONNÉES ARITHMÉTIQUE - ALGÈBRE

Comprendre

les maths pour bien les enseigner

2,5/14 ans

F. Baret C. Géron F. Lucas M. Nolmans C. Van Pachterbeke P. Wantiez

Auteurs : Françoise Baret, Christine Géron, Françoise Lucas, Maud Nolmans, Chantal Van Pachterbeke, Patricia Wantiez

Couverture et maquette : Polaire Mise en page : Softwin

L’orthographe telle que rectifiée le 6 décembre 1990 par le Conseil Supérieur de la langue française est d’application dans la collection. Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2023, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition 2023

ISBN 978-2-8041-9776-6 D/2023/0078/146 Art. 590316/01

Sommaire INTRODUCTION

RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

NOMBRES

Introduction 1. Éléments de combinatoire 2. Éléments de probabilités 3. Éléments de statistique

TRAITEMENT DE DONNÉES NUMÉRIQUES

Introduction 1. Problèmes ou situations problèmes ? 2. Qu’est-ce qu’une situation problème ? 3. Trois fonctions possibles des situations problèmes 4. Compétences de « résolveur » de situations problèmes 5. Paramètres et grille d’analyse des situations problèmes 6. Situations à modélisation spécifique

Introduction 1. Les nombres naturels 2. Les supports structurants 3. Les différents types de nombres 4. La numération

10 11 12 13 15 18 22

30 31 42 58

88 89 111 124 129

OPÉRATIONS ET CALCUL

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Introduction 1. Opérations, un monde vaste et complexe 2. Définitions mathématiques des opérations 3. Sens des opérations 4. Propriétés des opérations 5. Extension des opérations aux autres nombres 6. Puissances et racines 7. Calcul 8. Familles de nombres

148 149 150 166 192 206 220 225 281

ALGÈBRE Introduction 1. Objets fondamentaux 2. Calcul algébrique 3. Transformations d’égalités

310 311 317 322

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

LES POURQUOI

329

BIBLIOGRAPHIE

331

INDEX

337 337

Index TOME 2

341

Index TOME 1

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TABLE DES MATIÈRES

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Introduction Comprendre les mathématiques pour bien les enseigner

Cet ouvrage est un référentiel de matière à destination des enseignants de maternelle, du primaire et du début du secondaire. Une des conditions incontournables pour un enseignement qui conduise l’élève à la compréhension de ce qu’il découvre et apprend est que l’enseignant lui-même ait la maitrise de la matière qu’il fait travailler. Il s’agit pour lui de comprendre la signification, la complexité des notions et, notamment, la nécessaire progressivité à envisager selon les obstacles à faire dépasser par les élèves. Il s’agit aussi de cerner les liens entre elles, la terminologie et la symbolisation spécifiques qui leur sont adjointes. C’est fort de cela que l’enseignant pourra gérer les propositions des élèves, leurs débats, leurs multiples essais et ajustements. C’est fort de cela aussi qu’il pourra faire des choix méthodologiques efficaces. Cet ouvrage veut expliciter et articuler les contenus mathématiques de façon rigoureuse mais néanmoins accessible. Il se veut une ressource utile et efficace pour : l’enseignant qui souhaite se réapproprier une matière, un concept, être au clair avec les termes et symboles adéquats ;

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des enseignants en concertation (intra et inter cycles) qui souhaitent débattre, se mettre d’accord sur un contenu spécifique.

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Il convient néanmoins de prendre quelques précautions. –

L’ensemble des définitions présentées dans ce référentiel est une ressource à consulter par l’enseignant, elles ne sont pas là pour devenir des objets à faire étudier par les élèves.

Faire produire par ceux-ci un texte du type « définition » peut être intéressant après un long temps d’exploration et d’analyse mais, parfois, produire ce type de texte, même de façon moins formelle, n’est tout simplement pas nécessaire.

Certains contenus ne sont pas au programme de l’année ou du niveau où l’enseignant travaille. Il est néanmoins utile d’en savoir plus que le contenu strictement réservé aux élèves. L’enseignant trouvera intéressant d’approfondir le chapitre qu’il consulte.

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Pour les auteurs de cet ouvrage, « faire des mathématiques », c’est les construire lentement mais sûrement, dans une logique de résolution de problèmes ; c’est en permettre une appropriation par chacun, basée sur la mise en liens et le sens ; ce n’est certainement pas collectionner des concepts plus ou moins bien définis, comme une galerie de chasse, une collection d’animaux empaillés et donc sans vie une fois que le chasseur en a fini avec eux.

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Les auteurs ont parfois fait des choix de définitions, de formulations, de symbolisations ; ils se sont volontairement arrêtés dans certains développements. Ils s’en expliquent par divers biais : introduction, note de bas de page, point d’attention…

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

Un ouvrage structuré Ce référentiel de matière est structuré selon plusieurs principes.

La succession des chapitres : pas de hasard La résolution de problèmes arrive en premier pour valoriser l’idée que les mathématiques ne sont pas vides de sens et que l’appropriation par les élèves de concepts et de procédures mathématiques sert à résoudre des situations problèmes qu’on peut rencontrer de façon concrète dans la vie de tous les jours.

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Le traitement de données numériques prolonge la partie 1 du tome 1 : le traitement de données au sens large. Ici, les données sont numériques et le traitement regroupe des éléments de base de combinatoire, de probabilités et de statistique.

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La partie sur les nombres précise les caractéristiques et les spécificités des différents types de nombres sur lesquels pourront agir des opérations. Elle présente aussi les supports structurants permettant d’en avoir de solides images mentales, notamment pour calculer. Cette partie retrace aussi les principes de la numération de position décimale dont la maitrise est également indispensable pour opérer et calculer.

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La partie sur les opérations et calculs développe longuement toutes les spécificités des opérations de base de l’arithmétique (addition, soustraction, multiplication, division) : définitions, sens divers et propriétés qui sont prioritairement à mobiliser face à un calcul à résoudre. Cette partie explicite aussi leur extension aux différentes sortes de nombres, les notions de racines et puissances ainsi que les notions liées aux familles de nombres, à la divisibilité. Le développement du calcul se décline autour du calcul automatisé, du calcul réfléchi et du calcul écrit en rassemblant les démarches essentielles.

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La partie algèbre clarifie ce qu’est la pensée algébrique, prolongeant les démarches arithmétiques abordées en primaire. Elle précise la nature des objets fondamentaux de cette discipline, les bases du calcul algébrique et les transformations d’égalités en lien avec la résolution d’équations.

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Au départ, une brève introduction générale aide le lecteur à se faire une idée des contenus qui suivent et à s’orienter pour répondre aux questions qu’il se pose.

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Dans chaque chapitre, une logique de présentation

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Il s’agit de clarifier le QUOI enseigner. Le référentiel propose donc des définitions en gras avec le ou les termes définis en surbrillance grise. Ces termes sont repris en index. Ces définitions prennent sens dans plusieurs exemples notés en fins caractères noirs. Parfois les exemples précèdent les définitions.

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Certaines notions présentent une complexité, une particularité ou une difficulté qui méritent un développement, un point d’attention, présenté dans un cadre bleu et texte bleu .

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Des POURQUOI émaillent régulièrement l’explicitation et les illustrations de notions dans des pavés orange. Ils posent des questions de SENS .

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es renvois à des COMMENT possibles font référence à diverses sources, dont des ouvrages de la D collection « Math & Sens » (disponibles chez le même éditeur). Parfois le renvoi dirige le lecteur vers des compléments d’explication de la matière.

L e pro j et

Au terme de l’ouvrage, encore des portes d’entrée La table des POURQUOI permet au lecteur de retrouver toutes les questions de sens traitées dans l’ouvrage et de s’orienter dans ses recherches, aussi à partir de ce point de vue. La BIBLIOGRAPHIE donne aux lecteurs un répertoire d’ouvrages de référence qui ont nourri la réflexion des auteurs et qu’ils peuvent bien sûr consulter.

L’INDEX reprend tous les concepts abordés dans ce référentiel avec des renvois aux pages principales en élucidant la signification et l’usage. Cet outil s’avère efficace pour retrouver rapidement les endroits du référentiel utiles pour la recherche engagée.

Le projet

Naissance du projet

Ce projet a été initié fin 2016 par le groupe des Mathophiles, constitué de professeurs de mathématiques et de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles des trois réseaux d’enseignement en Communautés française et germanophone de Belgique. Les Mathophiles se réunissent depuis 2001, cinq fois par an, et le débat est souvent intense autour du partage d’outils et de pratiques professionnelles concernant la formation des enseignants de maternelle, du primaire et du début du secondaire.

Le constat d’une difficulté à maitriser les contenus d’enseignement en mathématiques, chez les étudiants mais aussi chez les enseignants de terrain, a motivé le groupe à chercher à les outiller de façon rigoureuse mais accessible sur la matière à enseigner, d’autant plus que les référents adaptés en ce domaine ne sont pas légion. Par ailleurs, le recours à Internet permet de trouver rapidement beaucoup d’informations, mais celles-ci sont souvent divergentes, parfois contradictoires ou approximatives.

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Huit membres du groupe, qui en compte une petite trentaine, se sont proposés pour écrire le QUOI et le POURQUOI dans les domaines du traitement de données, de la géométrie et des grandeurs. Six des huit auteures du tome 1 ont poursuivi l’écriture du tome 2 portant sur la résolution de problèmes, le traitement de données numériques, l’arithmétique et l’algèbre.

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Auteures du projet

Le travail d’écriture de ce deuxième tome référentiel n’a pu s’enrichir et s’améliorer en lisibilité qu’à travers les nombreuses et intenses discussions entre les auteures et à travers leurs relectures à la fois bienveillantes et exigeantes. Françoise BARET : licenciée en mathématiques, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la section primaire, depuis 1986, à la Haute École Libre Mosane (HELMo). Christine GERON : docteure en sciences, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans les sections primaire et secondaire, depuis 2004, à la Haute École de la ville de Liège (HEL), collaboratrice pendant 3 ans dans les recherches sur la liaison primaire-secondaire en mathématiques menées par l’a.s.b.l. Hypothèse, formatrice dans le cadre de la formation continuée, membre du comité de la section belge francophone du Rallye Mathématique Transalpin, coauteure de l’ouvrage Apprivoiser l’espace et le monde des formes de la collection « Math & Sens », chercheuse dans le cadre de l’expérience pilote relative à l’implémentation de dispositifs de différenciation et d’accompagnement personnalisé en mathématiques au 1er degré de l’enseignement secondaire (dans le cadre de la mise en place du Pacte pour un enseignement d’excellence), en collaboration avec l’ULiège (2019-2021).

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

Françoise LUCAS : licenciée en mathématiques, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles pendant 31 ans, principalement dans les sections primaire et préscolaire, détachée au service pédagogique de la fédération de l’enseignement fondamental dans le réseau libre durant 9 ans, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire des enseignants du fondamental et du début du secondaire, coauteure et directrice de la collection « Math & Sens » aux éditions De Boeck-Van In. Maud NOLMANS : ingénieure civil et institutrice primaire, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la section primaire, depuis 2013, de la Haute École Libre Mosane (HELMo).

Chantal VAN PACHTERBEKE : licenciée en mathématiques, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la section primaire, depuis 1988, de la Haute École NamurLiège-Luxembourg (Henallux), formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire, participation occasionnelle à des projets de formation d’instituteurs primaires au Maroc, coauteure de l’ouvrage Élucider la numération pour mieux calculer ! de la collection « Math & Sens ».

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Patricia WANTIEZ : docteure en sciences, chercheuse au Centre de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques (CREM) à Nivelles pendant 2 ans, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la Haute École Bruxelles-Brabant, catégorie pédagogique Defré (HE2B), depuis 2002, actuellement dans les sections primaire et préscolaire, coauteure de l’ouvrage Apprivoiser l’espace et le monde des formes de la collection « Math & Sens ».

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Résolution de problèmes

PA R T I E 1 : R É S O LU T I O N D E P R O B L È M E S

Introduction Une des visées essentielles de la formation mathématique à l’école est d’amener les élèves à s’approprier les outils – concepts et procédures – pour résoudre des problèmes. « Il s’agit d’éviter que les mathématiques ne tournent à vide, mais de veiller à en renforcer le sens en lien notamment avec le quotidien et le vécu des élèves1 ».

Les différents aspects de la résolution de problèmes explicités dans cette partie ne doivent pas être « enseignés », mais doivent être vécus à travers la diversité des situations proposées aux élèves avec une attention focalisée sur les démarches mises en œuvre. Dans cette partie, nous clarifions d’emblée la notion de situation problème afin d’ouvrir à quantité de situations possibles ne se limitant pas aux seuls énoncés numériques. Nous en donnons les caractéristiques principales valorisant l’aspect créatif de cette activité.

Nous développons ensuite les trois fonctions possibles des situations problèmes : construire du nouveau savoir, apprendre à chercher, intégrer et consolider des acquis. Des exemples de situations très différentes sont analysés en profondeur. Il est important de rencontrer ces trois fonctions à l’école. Nous répertorions et déplions les compétences de résolveur de problèmes. Nous insistons sur ces apprentissages transversaux et nous les justifions par une série d’arguments solides. Dans la suite, nous détaillons les paramètres permettant de distinguer les différentes sortes de situations problèmes à soumettre aux élèves : problèmes ouverts, fermés, ou semi-ouverts ; problèmes à une ou plusieurs solutions. Nous proposons à l’enseignant une grille d’analyse des situations proposées aux élèves afin d’en assurer largement la diversité.

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Cette partie se termine avec les situations à modélisation spécifique. Nous renvoyons au tome 1 pour les situations de proportionnalité qui y sont largement développées. Dans ce tome 2, nous explicitons les problèmes de partages inégaux, les problèmes d’intervalles et les problèmes liant des données commerciales ou autres. Ces situations appellent à des schématisations particulières aidant à progresser vers l’abstraction et à passer progressivement d’une résolution arithmétique à une résolution algébrique.

Enjeux et objectifs généraux du Référentiel de Mathématiques pour le tronc commun. Fédération Wallonie-Bruxelles, Pacte pour un enseignement d’excellence, 2021. 1

P r o b l è m e s o u s i t uat i o n s p r o b l è m e s ?

1. Problèmes ou situations problèmes ? Le mot « problème » est un mot familier utilisé dans la vie courante. Il désigne souvent une difficulté majeure, une situation désagréable, parfois douloureuse, qui met dans l’embarras et n’est pas évidente à faire évoluer. Il est utilisé à l’école depuis très longtemps. Problèmes sur les fractions, problèmes de proportionnalité, problèmes arithmétiques…

Il désigne le plus souvent un énoncé, un type de texte très spécifique avec des phrases donnant une série d’informations et une phrase interrogative, invitant le lecteur à trouver la solution. Beaucoup d’énoncés sont d’ordre numérique. Il faut très souvent enchainer des opérations pour les résoudre. L’école a longtemps restreint ce que peut être un problème.

Donner aux élèves exclusivement des problèmes de ce type risque de les enfermer dans une vision des problèmes et dans des habitudes de résolution stéréotypées. Odette Bassis relate l’énoncé suivant, proposé à bon nombre d’élèves, ainsi que leurs résolutions : « Sur un bateau, il y a 26 moutons et 10 chèvres. Quel est l’âge du capitaine ? ». De 70 % à 80 % des élèves trouvent une solution en opérant sur les données numériques de l’énoncé (notamment 36 ans en additionnant, 16 ans en soustrayant…).

Ces élèves ne remettent pas en cause l’absence de lien entre la question et le contexte. Ils ne recherchent pas le sens, mais ils tentent de rencontrer l’attente sous-jacente à ce type d’énoncé : il faut effectuer un calcul avec les nombres donnés pour répondre à la question posée !

Ceci interpelle les pratiques en matière de résolution de problèmes et appelle à ouvrir largement la manière de les présenter et de les travailler.

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Bassis O., Mathématique : les enfants prennent le pouvoir, Paris, Fernand Nathan Éducation, 1984. En guise d’avant-propos : le problème sans questions… ou comment enlever les questions pour commencer à s’en poser, p. 3-13.

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L’expression « situation problème » est aussi une expression familière, aujourd’hui adoptée dans le monde scolaire. Elle ouvre à diverses formes de présentation : vécue, dessinée, verbale, matérielle… La situation n’est pas forcément numérique et sa résolution engage davantage une réelle diversité de ressources pour aboutir à une ou des solutions. Ces dernières années, plusieurs publications sur la résolution de problèmes réhabilitent le mot « problème » pour lui rendre l’ouverture qu’on trouve dans l’expression « situation problème ».

PA R T I E 1 : R É S O LU T I O N D E P R O B L È M E S

2. Qu’est-ce qu’une situation problème ? Une situation problème est une situation qui est déstabilisante, est nouvelle ou non, mais dont les modalités et les moyens de « s’en sortir » n’apparaissent pas d’emblée ;

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est complexe, appelle de multiples mises en relation et un but à atteindre ;

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demande une recherche, de l’invention, de la créativité, pas nécessairement dans les opérations2 utiles pour résoudre, mais en tout cas dans leur enchainement.

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Résoudre des situations problèmes est une des visées de formation en mathématique3. Une situation problème peut apparaitre dans la vie courante, dans toutes les disciplines. – Réaliser un plan de tables pour une fête de famille réunissant une cinquantaine de personnes. – Réaliser le montage d’un meuble dont on a perdu le plan de montage. – Présenter tous les scores des élèves à la journée sportive qui vient de se dérouler. – Rédiger les consignes de traçage d’une figure donnée pour le voisin ne la voyant pas. – Calculer l’aire d’une figure complexe. – Trouver un nombre produit d’une table à partir d’un autre nombre produit d’une autre table.

À l’école, il est important de sortir du formalisme souvent trop précoce des énoncés de type verbal écrit et numérique. En saisissant des situations qui se présentent sous d’autres modes (action pratique, question orale, dessin ou schéma interpelant…), il est possible d’éveiller la curiosité, l’envie de chercher, de faire réfléchir et de relever des défis.

Par ailleurs, les situations proposées ne doivent pas se cantonner au seul registre arithmétique. Certains exemples ci-dessus posent des questions de traitement de données, de géométrie ou de grandeurs.

Une situation problème est personnelle : ce qui pose question à une personne n’interpelle pas nécessairement une autre, ne constitue pas une difficulté ou un obstacle pour cette dernière.

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Aux caractéristiques énoncées ci-avant, on peut en ajouter d’autres qui en découlent.

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Une situation problème l’est à un moment donné : en effet, si elle a été résolue et qu’elle se représente, elle devrait moins poser question.

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Une situation problème, pour être résolue par l’élève, doit être adaptée à son bagage cognitif : si la situation est trop complexe, le dépasse complètement, il ne va pas pouvoir s’y investir ; si elle est trop simple, sans obstacle pour lui, il ne la considèrera plus véritablement comme problème.

La perception et la résolution d’une situation problème sont enrichies par les interactions sociales : après avoir exploré seul une situation, la confrontation avec les autres peut aider à y voir plus clair, à rebondir sur des pistes prometteuses.

Le mot opération est pris au sens large, il ne se réduit pas aux opérations arithmétiques (voir Opérations et calcul § 1.). La définition de situation problème, ici donnée, s’inspire de plusieurs documents et auteurs. Du premier projet de Socles de Compétences, 1994, au Référentiel des Mathématiques, 2021, édités par la Fédération Wallonie-Bruxelles, la résolution de problèmes est une des visées des mathématiques à l’école. De Vecchi G., Carmona-Magnaldi N., 2002, p. 47, Fagnant A. et al., 2013, Cycle 8/10, p. 10, et Le Rallye Mathématique Transalpin (RMT), dossier d’octobre 2013, p. 9, donnent des critères de définition et des pistes d’activités. 2 3

T r o i s f o nc t i o n s p o s s i b l e s d e s s i t uat i o n s p r o b l è m e s

3. Trois fonctions possibles des situations problèmes On peut déterminer trois fonctions de la résolution de situations problèmes4. APPRENDRE À CHERCHER

INTÉGRER, CONSOLIDER DES ACQUIS, LES ÉVALUER

Les situations sont porteuses Les situations sont complexes, d’un obstacle matière à dépasser. mais ne mobilisent pas des savoirs Pour résoudre la situation, les mathématiques de haut niveau. élèves vont devoir construire C’est plutôt l’enchainement des un nouveau savoir, disqualifier opérations, l’organisation d’un d’autres savoirs non pertinents. cheminement qui est à trouver.

Les situations sont complexes et intègrent (mettent en relation) plusieurs savoirs préalablement travaillés par les élèves. Ici, ils sont à mobiliser de façon originale et articulée pour résoudre la situation, ils deviennent opérationnels, fonctionnels.

CONSTRUIRE DU NOUVEAU SAVOIR

Le savoir construit ne sert généralement qu’à cette situation. La démarche organisationnelle par Ce type de situation peut être un contre est souvent transférable. outil d’évaluation de haut niveau5.

La résolution de situations problèmes est alors une MÉTHODOLOGIE D’APPRENTISSAGE

un OBJECTIF D’APPRENTISSAGE

un OUTIL D’INTÉGRATION et un OUTIL D’ÉVALUATION

On vise l’apprentissage de la résolution de problèmes

On vise le développement de compétences spécifiques mathématiques et autres.

On vise le développement des compétences de résolveur de problèmes.

On sollicite d’autres compétences.

On sollicite les compétences de résolveur de problèmes.

On vérifie la mobilisation intégrée des acquis.

On vise l’apprentissage par la résolution de problèmes.

Analysons trois situations en lien avec ces trois fonctions. Situation de l’aquarium6 et son analyse Un aquariophile aimerait aménager l’aquarium dans lequel ses pensionnaires pourront trouver les conditions idéales : « plus c’est grand, mieux c’est ! »… sauf pour le portefeuille !

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Il prévoit un aquarium de 60 cm de haut avec une toise de renfort en verre. Le prix des vitres est de 45 € le m². L’épaisseur du verre est de 1 cm. La masse volumique du verre est de 3 kg/dm³. Aidez cet amateur à calculer le cout de sa réalisation ainsi que la masse (poids) de la cuve vide et de la cuve pleine.

Voici une vue du dessus de la cuve. 1m

60 cm

Toise de renfort

20 cm

90 cm

4 Voir les auteurs suivants : Charnay R., 1996 ; Descaves A., 1992 ; Rouche N., 2004 ; Gilbert Th., Ninove L. et le Gem, 2017 ; Demonty I., Fagnant A., 2012. 5 Utiliser la résolution de problèmes pour vérifier des acquis chez les élèves, c’est recourir au plus haut niveau des outils d’évaluation. Il s’agit donc d’en user avec précaution quand les élèves sont déjà aguerris à résoudre des problèmes. Évaluer des acquis doit se réaliser avec une variété d’outils et de niveaux taxonomiques. 6 Situation proposée par Vanmuysen A., Cours de mathématique en formation des instituteurs/trices primaires, HELMo Liège, 2000.

PA R T I E 1 : R É S O LU T I O N D E P R O B L È M E S

L’énoncé de cette situation donne plusieurs informations numériques très différentes et un plan qui, ensemble, ne laissent pas entrevoir d’emblée un cheminement pour trouver le cout et la masse (poids) de la cuve (à vide et remplie). Cette situation est de toute évidence complexe7. Elle mobilise et demande de mettre en relation, d’articuler des connaissances construites au préalable : le théorème de Pythagore, des formules de calcul d’aires de polygones, des formules de calcul de volumes de prismes droits, la relation de proportionnalité entre des aires et des prix, la relation de proportionnalité entre des volumes et des masses (poids). Il s’agit ici de construire un enchainement pertinent et rigoureux d’opérations permettant de calculer les éléments demandés.

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Situation des carrés8 et son analyse

Combien de carrés peut-on trouver dans un carré de 5 sur 5, de 8 sur 8 et dans un carré de n sur n ?

Dans ce carré, on peut trouver 14 carrés.

Avec ce type de situation, on est davantage dans la fonction d’INTÉGRATION, de CONSOLIDATION, voire d’ÉVALUATION des acquis. En effet, on peut apprécier la capacité des élèves à les mobiliser, à les articuler, à leur donner du sens, à comprendre leur utilité.

Cette situation ne fait appel à aucun savoir complexe. Elle demande par contre d’aller au-delà du tâtonnement, des essais-erreurs au profit d’une observation minutieuse du glissement des plus petits carrés dans les grands carrés donnés selon la direction de leur base et de leur hauteur, de traduire ce phénomène par des calculs. La demande de généralisation oblige à comparer les cas particuliers étudiés, à y repérer des régularités, des similitudes et à les exprimer alors de manière algébrique.

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Avec ce type de situation, on est davantage dans la fonction APPRENDRE À CHERCHER. En effet, ce type de situation amène à chercher un peu à l’aveugle au départ puis de manière de plus en plus structurée9 pour aboutir à la construction d’une formule générale peu transférable à d’autres situations. Tout ce processus et son aboutissement donnent souvent un fort sentiment de satisfaction, la fierté d’y être arrivé, d’avoir relevé le défi. Situation du pavage10 et son analyse

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Cet ensemble de polygones réguliers constitue-t-il un vrai* pavage du plan ? Pourquoi ?

Reconstruis les preuves mathématiques nécessaires. *Les pavés doivent être parfaitement jointifs. Il ne faut ni trou ni chevauchement. Le recouvrement doit pouvoir se poursuivre à l’infini.

Le dessin du pavage demande de vérifier mathématiquement qu’il est possible et oblige à s’interroger sur les amplitudes des angles des polygones réguliers. Cette situation amène à CONSTRUIRE UN NOUVEAU SAVOIR : la formule permettant de calculer rapidement la valeur de l’amplitude d’un angle de n’importe quel polygone régulier11. Elle l’est davantage si on envisage de prendre en compte le mode de raccord entre les faces latérales de la cuve (biseautage, ou non, du verre) (la situation s’adressera alors à des techniciens de la construction). 8 Situation de dénombrement classique reprise dans des répertoires d’énigmes, de type dénombrement. Voir sa résolution géométrique sur https://www.enigme-facile.fr/enigme-combien-de-carres-5818 (consulté en mars 2022). 9 Voir tome 1, Traitement de données § 3. Pourquoi travailler ces organisations : ranger, trier, classer, hiérarchiser, croiser ? 10 Situation proposée par Annoye M., Des polygones pour construire la géométrie, Louvain-La-Neuve, GEM, 1990, p. 19. 11 Cf. Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018. LA MATIÈRE § 4.7.6. Les angles des polygones réguliers. 7

Co m pé t e nc e s d e « r é s o lv e u r » d e s i t uat i o n s p r o b l è m e s

Lorsque les amplitudes des angles des polygones réguliers sont calculées puis connues, il suffit de vérifier que la somme des amplitudes des angles des polygones juxtaposés autour d’un sommet vaut 360 degrés, propriété d’un vrai pavage du plan.

Une situation ne correspond pas par nature à l’une de ces trois fonctions. C’est l’enseignant qui, en tenant compte de son public, des apprentissages vécus et d’un objectif qu’il se donne avec ce public, décide de faire jouer telle ou telle fonction à la situation. Par exemple, la situation du pavage peut être une situation pour : – construire le mode de calcul des amplitudes des angles des polygones réguliers si ce n’est pas connu ; – chercher les diverses sortes de pavages possibles avec une sorte puis plusieurs sortes de polygones réguliers ; – consolider et intégrer des connaissances sur les polygones réguliers et faire éliminer ou non, en justifiant, le pavage proposé.

À travers ces trois grandes fonctions et au-delà, la résolution de problèmes peut viser d’autres objectifs plus spécifiques comme apprendre à se poser des questions, changer de point de vue, faire des hypothèses et les tester, chercher plusieurs démarches, oser une démarche originale, modéliser…

4. Compétences de « résolveur » de situations problèmes

La résolution d’une situation problème est un cheminement complexe qui passe par plusieurs phases et mobilise des compétences de haut niveau. Ce cheminement n’est pas linéaire, il procède de va-et-vient entre la situation, la résolution, les pistes de solutions et il nécessite souvent des retours en arrière et de nombreuses vérifications. On peut retenir quatre compétences incontournables12 de « résolveur de problèmes » et schématiser leurs liens ainsi :

iti

La situation problème

Éd

Représenter

Résoudre

Communiquer

Vérifier

Voyons ce que peut recouvrir chacune de ces compétences, sans chercher à être exhaustif.

Se représenter la situation – – – –

C’est en percevoir toutes les composantes et leurs liens : les éléments du contexte, les données de divers ordres, les relations entre elles, les opérations en jeu… C’est cerner la ou les questions qui se posent, celles qui sont à résoudre, le but à atteindre. C’est entrevoir les éléments utiles, intéressants, pertinents ou non pour engager un cheminement. C’est la mimer, la reformuler, la dessiner, la schématiser…

Résoudre la situation –

C’est parfois rechercher des données manquantes nécessaires pour commencer un traitement des données et avancer vers le but recherché. Cf. Introductions Demonty I., Fagnant A. et al. 15

PA R T I E 1 : R É S O LU T I O N D E P R O B L È M E S

C’est parfois décomposer le problème en plusieurs « sous-problèmes » à résoudre.

–

C’est choisir une démarche parmi plusieurs envisagées.

–

C’est apprécier régulièrement l’écart entre les avancées réalisées dans le traitement et le but recherché.

–

C’est parfois abandonner une démarche qui mène à une impasse au profit d’une autre.

–

C’est parfois prendre en compte certaines contraintes imposées par la situation.

–

C’est mobiliser divers acquis utiles et les articuler.

–

C’est parfois réaliser un organigramme de l’enchainement opératoire des données utiles vers la solution ou au contraire de la solution vers les données (voir tome 1, Traitement de données § 4.3.4.).

–

C’est parfois construire ou mettre en œuvre une modélisation spécifique (voir Résolution de problèmes § 6.) ou, au contraire, c’est oser une stratégie personnelle, originale.

–

C’est apprécier, interpréter la ou les solutions obtenues en cohérence avec la situation et le but recherché. …

–

Communiquer

C’est un acte complexe qui peut prendre diverses formes : orale, écrite, dessinée, schématique… C’est donc parfois respecter une forme imposée, attendue.

–

C’est un acte qui engage un émetteur et un récepteur. À l’école, communiquer est à envisager de façon adaptée à l’âge de l’émetteur et à l’interlocuteur auquel on s’adresse.

–

C’est expliciter la situation, sa représentation, sa résolution, la ou les solutions.

–

Ce n’est pas juste proposer des calculs et une solution numérique. C’est plus largement avoir le souci de rendre compréhensible à l’interlocuteur sa démarche, son cheminement liant l’analyse de la situation à l’obtention d’un ou de plusieurs résultats.

–

C’est confronter un ou des résultats obtenus au contexte de la situation et aux questions posées.

–

C’est parfois expliciter les choix réalisés dans la résolution en fonction du caractère ouvert de la situation ou au contraire en fonction des contraintes imposées.

–

…

iti

–

Éd

Vérifier

Tout au long du processus, que ce soit dans la représentation, la résolution ou la communication, des oublis, des erreurs peuvent surgir. Dès lors, vérifier est une compétence transversale à mobiliser régulièrement. – C’est revenir sur le travail de représentation de la situation, sur la démarche de résolution, sur la ou les solutions et les articuler pour s’assurer • de l’exactitude des données utilisées ; • du non-oubli de l’une d’elles ; • de la correction des opérations appliquées et des calculs réalisés ; • de la rigueur des écritures (notamment des écritures mathématiques) utilisées ; • de la plausibilité, de la cohérence de la ou des solution(s) trouvée(s) par rapport aux questions posées ou par rapport aux contraintes de la situation. – C’est aussi confronter son cheminement avec d’autres et s’interroger sur les différences pour éventuellement le revoir et l’ajuster. Fagnant A. et al., Résoudre des problèmes : pas de problèmes !, Bruxelles, De Boeck, coll. Math & Sens. Cycle 5/8 ans, 2018 ; cycle 8/10 ans, 2013 ; cycle 10/12 ans, 2016. Activités pour développer des compétences de résolveur de problèmes.

Pourquoi travailler les compétences de

résolveur de situations problèmes pour elles-mêmes, les choisir comme objectif d’apprentissage ?

Les compétences de résolveur de problèmes sont transversales. Elles sont utiles pour toutes les disciplines à l’école et dans la vie : la vie quotidienne et la vie professionnelle. Il est donc intéressant de les travailler de manière explicite et consciente à l’école.

Les compétences de résolveur de problèmes ne se développent pas suffisamment lorsqu’on les sollicite dans des situations pour construire du nouveau savoir ou dans des situations d’intégration des acquis. En effet, dans ces deux cas, l’essentiel n’est pas là. La prise de conscience par l’élève de ce que sont ces compétences et de la manière d’amplifier leur développement risque de ne pas se réaliser.

En travaillant chacune de ces compétences pour elle-même, avec des moyens adaptés et explicités, l’élève se responsabilise davantage sur cet objectif et apprécie ses progrès.

Les compétences de résolveur de problèmes sont des compétences de haut niveau dont l’élève ne dispose pas naturellement et d’emblée. Il est donc important de les travailler chacune à chaque cycle de l’école.

Le travail sur chacune des compétences de résolveur de problèmes participe au développement des autres compétences.

– Prendre le temps de se représenter la situation, de se l’approprier est une attitude spécifique au résolveur expert et permet de résoudre plus efficacement ensuite.

– Éprouver des difficultés dans la résolution conduit à revoir la situation, à améliorer sa représentation. – Communiquer de façon compréhensible son cheminement oblige souvent à rendre plus explicites des éléments de résolution.

Les compétences de résolveur de problèmes relèvent d’une haute expertise proche de celle du mathématicien chercheur. Il est important, par des situations variées de vraie recherche, de faire sentir aux élèves qu’il n’est pas judicieux de se précipiter dans une résolution. Au contraire, ces expériences doivent leur faire découvrir qu’ils peuvent prendre leur temps, réfléchir en profondeur, faire preuve de patience et de persévérance. Au terme de plusieurs démarches réflexives de ce type, ils pourront répertorier des attitudes et des stratégies prometteuses.

Éd

iti

– Vérifier chaque phase du cheminement amène à mieux prendre conscience de ce qu’implique chacune de ces compétences : représenter, résoudre, communiquer.

IN N

Éd

iti

Traitement de données numériques

PA R T I E 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

Introduction Cette partie prolonge le traitement de données du tome 1 en développant plus spécifiquement le traitement de données numériques. Nous proposons trois domaines mathématiques relatifs à ce type de traitement.

Dans le chapitre « éléments de combinatoire », nous explicitons la recherche de toutes les possibilités d’associations d’éléments en nombre fini. Nous nous limitons aux situations les plus courantes, accessibles dès le primaire : les situations « produits », les permutations, les arrangements et les combinaisons. Nous développons divers outils d’organisation des possibilités afin de pouvoir les dénombrer, voire les calculer aisément : arbres, tableaux, diagrammes. Dans ce chapitre, c’est davantage les démarches et leurs représentations graphiques pour déterminer les solutions qui sont importantes que les formules pour les calculer.

Dans le chapitre « éléments de probabilités », nous clarifions d’abord la spécificité de la pensée probabiliste (pensée non déterministe) en référence aux notions d’expérience aléatoire, de hasard et d’évènement. Une première évocation intuitive de probabilité est alors possible. Nous nous limitons aux notions élémentaires de probabilité dans une double approche : l’approche expérimentale qui s’appuie sur de très nombreuses répétitions (loi des grands nombres) d’une expérience aléatoire et l’observation de la fréquence d’apparition d’un évènement ;

–

l’approche théorique qui s’appuie sur la notion d’équiprobabilité des évènements élémentaires d’une situation aléatoire.

–

Nous illustrons ces notions par des situations accessibles, comme le lancement d’objets, pour montrer qu’une initiation à ces notions est possible avec de jeunes élèves.

Dans le chapitre « éléments de statistiques », nous caractérisons le questionnement statistique de phénomènes, le prélèvement et le traitement de très nombreuses données. Nous développons les outils propres à ce domaine en suivant la démarche statistique. Il s’agit d’abord de cerner la situation et de collecter des données. Nous développons plus particulièrement ce qu’est un sondage sur un échantillon de la population concernée par le phénomène étudié. Les éléments de ce processus sont clarifiés, comme les questions de sondage pertinentes, le type de données recherchées, les facteurs influençant les résultats d’un sondage et les caractéristiques d’un échantillon représentatif.

–

Il faut ensuite organiser, présenter et analyser les données. Les notions de série statistique, de tableau des effectifs et de fréquence statistique sont les premiers concepts indispensables à une organisation des données récoltées. L’analyse des données est facilitée par diverses représentations graphiques des séries statistiques : le diagramme à tige et à feuille, le diagramme circulaire, le diagramme en bâtonnets et l’histogramme.

–

Enfin, il est possible d’interpréter des données par des indicateurs statistiques : un indicateur de dispersion des données, l’étendue ; des indicateurs de position, la moyenne arithmétique, le mode et la médiane. Ce sont moins des formules que le sens à donner à ces notions que nous développons afin d’arriver à des interprétations utiles, des conclusions pratiques, des prises de décisions pertinentes.

Éd

iti

–

É l é m e n t s d e co m b i n ato i r e

1. Éléments de combinatoire

La combinatoire1 est une partie des mathématiques qui s’intéresse à différentes sortes d’associations qu’on peut réaliser à partir d’un ensemble fini d’objets. Il s’agit d’énumérer ces associations de manière exhaustive et/ou de les dénombrer. – Quels sont tous les habillages différents possibles avec 2 blouses, 3 pantalons ? – Quels autres drapeaux que le drapeau belge peut-on faire en utilisant les 3 couleurs (noir, jaune, rouge) placées l’une à côté de l’autre ? – Combien de codes de 2 lettres distinctes peut-on faire avec les 4 lettres de LOIC ? – Quelles paires d’enfants parmi 4 peut-on faire pour une danse à 2 ?

Dans certaines situations, produire l’inventaire de toutes les possibilités nécessite l’utilisation d’outils ou de stratégies efficaces, qui sont décrits plus loin dans ce texte. De plus, lorsque le nombre de possibilités est grand, le dénombrement gagne à être réalisé par calcul. La recherche et l’application de formules adéquates sont un sujet abordé dans l’enseignement secondaire ; les problèmes envisagés en primaire en constituent toutefois les prémices.

Les associations possibles sont nombreuses et variées. Nous nous limitons ici aux plus courantes et aux plus accessibles.

Une approche trop abstraite et formelle de ces notions est à éviter avec les élèves. Matérialiser les différents objets à associer (« vrais » objets ou étiquettes, images les représentant) permet une mobilité de ceux-ci et la réalisation, en tout ou en partie, des associations demandées. Cela permet de réfléchir à la logique des associations, d’élaborer des organisations qui en témoignent et de comprendre le dénombrement qui s’en dégage.

Éd

iti

Les différentes associations d’objets sont présentées et définies ci-après. Néanmoins, leurs définitions strictes isolées sont peu parlantes et n’ont pas grand intérêt. Elles ne sont pas à retenir et à faire étudier. C’est bien leur ancrage dans des situations visualisables qui leur donne sens.

1.1. Les situations « produits »

Le produit cartésien de deux ensembles2 A et B est l’ensemble de tous les couples qu’il est possible de réaliser en prenant, comme premier élément du couple, un élément du premier ensemble et, comme deuxième élément du couple, un élément du deuxième ensemble. Cet ensemble se note A × B et se dit « A croix B ». On le nomme produit cartésien. Un couple, élément de cet ensemble, se note (a, b), a appartenant à A et b appartenant à B. Le couple (a, b) est différent3 du couple (b, a) qui, lui, appartient à l’ensemble produit B × A.

Voici des situations appelant à réaliser le produit cartésien de deux ensembles (ou plus). – Quels sont tous les habillages différents possibles avec 2 blouses, 3 pantalons ? (1) – Combien de codes différents possibles peut-on envisager pour un cadenas à 4 chiffres ? (2) La combinatoire est aussi appelée l’analyse combinatoire. Il est possible d’envisager le produit cartésien de 3 ensembles A × B × C comprenant des triplets (a, b, c) ; a appartenant à A, b à B et c à C (et le produit cartésien de n ensembles comprenant des n-uplets). On a A × B × C = (A × B) × C = A × (B × C). 3 (a, b) ≠ (b, a) contrairement à la notion de paire d’éléments (voir tome 1, Traitement de données, § 4.1.1.1.) : {a, b} = {b, a}. 1 2

Pa r t i e 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

en effet, elles mettent en jeu deux ensembles d’objets (ou plus) : – ensemble de blouses, ensemble de pantalons ; – ensemble des dix chiffres de 0 à 9 à considérer 4 fois pour réaliser un code de 4 chiffres. il s’agit alors de prendre un élément par ensemble de toutes les façons possibles. on réalise ainsi un produit cartésien d’ensembles. reprenons la situation des habillages possibles en couplant des blouses et des pantalons (1).

soit un ensemble constitué de 2 blouses :

{

soit un autre ensemble constitué de 3 pantalons :

} ou {b1, b2}.

{

■

} ou {p1, p2, p3}.

cherchons tous les couples (blouse, pantalon) possibles. recourons à trois supports qui permettent l’énumération de ces couples : un graphe sagittal, un tableau, un arbre.

Un graphe sagittal :

•

ce type de recherche commence de manière brouillonne, par essais-erreurs, ajustements. le besoin d’organiser la recherche s’impose pour être sûr de trouver toutes les possibilités sans en oublier et sans répéter deux fois la même. les supports comme ceux qui suivent sont utiles.

iti 2

(b1, p1) ; (b2, p1)

(b1, p2) ; (b2, p2)

(b1, p3) ; (b2, p3)

Éd

on obtient 6 possibilités. Graphiquement, 6 correspond au nombre de flèches entre les deux ensembles. • Un tableau à double entrée :

(b1, p1)

(b1, p2)

(b1, p3)

(b2, p1)

(b2, p2)

(b2, p3)

on obtient 6 possibilités. Graphiquement, 6 correspond au nombre de cases dans le tableau à deux entrées : 2 rangées de 3 ou 3 colonnes de 2 donc 2 × 3 ou 3 × 2 . 32

É l É m e n t s d e co m b i n ato i r e

•

Un arbre de dénombrement :

(b1, p2)

(b1, p3)

(b2, p1)

(b2, p2)

(b2, p3)

(b1, p1)

on obtient 6 possibilités.

Graphiquement, 6 correspond au nombre de branches terminales de l’arbre.

Par ces supports (graphe sagittal, tableau, arbre) (voir tome 1, Grandeurs § 6.1.1. et traitement de données § 4.2. et § 4.3.), on voit que le nombre de possibilités correspond au produit du nombre d’éléments du premier ensemble par le nombre d’éléments du second ensemble (voir opérations et calcul § 2.1.5.). Le cardinal d’un ensemble est son nombre d’éléments. Le cardinal de l’ensemble A se note #A.

Le cardinal du produit cartésien de deux ensembles est le produit des cardinaux de ces deux ensembles. On note #(A × B) = #A × #B. reprenons la situation du code de 4 chiffres (2). le support qui, ici, permet un dépliage complet et clair des différentes possibilités est l’arbre de dénombrement. il n’est même pas nécessaire d’y notifier toutes ses composantes.

iti

■

Éd

1er chiffre

2e chiffre

3e chiffre

4e chiffre 0

0000 0001 0002 Etc.

0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

on obtient 10 000 possibilités. 33

PA R T I E 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

La structure en arbre montre bien l’obtention du nombre final de possibilités par la multiplication des nombres (toujours 10) de chiffres possibles en 1re, 2e, 3e et 4e position.

1.2. Les permutations Une permutation d’une suite ordonnée de n éléments différents est une réorganisation de cette suite de n éléments dans un ordre différent, sans qu’aucun d’eux ne soit répété.

Reprenons la situation des couleurs du drapeau belge pouvant donner lieu à d’autres drapeaux recourant aux 3 couleurs juxtaposées (1).

■

On note le nombre de permutations de n éléments distincts Pn. – Une permutation de la suite a, b, c est, par exemple, la suite b, a, c ; une autre est b, c, a. – Quels autres drapeaux que le drapeau belge peut-on réaliser en utilisant les 3 couleurs (noir, jaune, rouge) placées l’une à côté de l’autre ? (1) – De combien de façons possibles 6 enfants peuvent-ils être alignés pour une photo ? (2)

1re pl. 2e pl. 3e pl.

Pour ce drapeau, 3 couleurs sont à permuter. Pour la 1re place, les 3 couleurs sont possibles. Pour la 2e place, la couleur de la 1re place étant choisie, il reste 2 couleurs possibles. Pour la 3e place, les couleurs de la 1re place et de la 2e place étant choisies, il reste une couleur possible. Ceci peut se déplier en arbre.

2e place

3e place

Éd

iti

1re place

On obtient 6 possibilités. En passant d’une place à la suivante, il y a un élément de moins possible. On a donc un produit de facteurs « dégressifs » d’une unité chaque fois : 3 3 1 3 2 3 2 1 6 .

É l É m e n t s d e co m b i n ato i r e

■

considérons la photo de 6 enfants alignés pouvant donner lieu à d’autres alignements.

Voici les dessins des 6 enfants. Pour la 1re place, les 6 enfants sont possibles. Pour la 2e place, 5 enfants restent possibles. Pour la 3e place, 4, et ainsi de suite. cela peut être montré avec un arbre. 1re place

3e place

4e place

5e place

6e place

Éd

iti

2e place

on obtient 720 possibilités.

le nombre total de possibilités peut vite devenir grand ! si, dans le cas des couleurs du drapeau belge, il est possible de trouver par tâtonnement toutes les possibilités (6), c’est fastidieux, voire impossible, dans le cas des six enfants à permuter (720). c’est là qu’on mesure la puissance des outils organisateurs tels que les arbres. la construction et l’utilisation de ces supports sont bien plus importantes que l’application de formules. ces dernières prennent sens à travers ces supports.

on retrouve dans ces deux exemples un produit de facteurs « dégressifs » d’une unité à chaque fois. On appelle factorielle n, notée n!, le produit de n facteurs dégressifs d’une unité, depuis le premier facteur n jusqu’au dernier facteur 1. On a n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 1. – Dans la situation des drapeaux, on avait factorielle 3, notée 3! 3 2 1 . – Dans la situation des enfants, on a factorielle 6, notée 6 ! 6 5 4 3 2 1. Pour n éléments distincts, on a donc n! permutations possibles. 35

PA R T I E 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

Le nombre de permutations de n éléments distincts, Pn , vaut n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 1. Cette définition est valable à partir de n = 2. On pose par convention que 1! = 1 et que 0! = 1. Cette convention est néanmoins compréhensible en partant d’autres factorielles. Par exemple : 3! =

3! 2! 4! 1! et 2! = ; donc 1! = = 1 et 0! = = 1. 3 2 4 1

1.3. Les arrangements

Un arrangement de k éléments différents4 pris dans un ensemble de n éléments est une suite ordonnée de ces k éléments. On note le nombre de tels arrangements Ak, n. – Combien de codes de 2 lettres distinctes peut-on faire avec les 4 lettres de LOIC ? (1) – Combien de podiums 1 2 3 différents peut-on avoir pour une course de 5 enfants ? (2)

Ces situations demandent de réaliser des tirages successifs d’éléments dans un ensemble fini donné : premier tirage pour une première lettre, pour la place 1 du podium ;

–

puis deuxième tirage pour une deuxième lettre, pour la place 2 du podium ;

–

enfin troisième tirage pour la place 3 du podium.

–

L’ordre des éléments a de l’importance. En effet, le code LO est différent du code OL ;

–

le podium « Sarah en 1, Hugo en 2, Chedid en 3 » diffère du podium « Hugo en 1, Chedid en 2, Sarah en 3 ».

■

Voyons la situation du code de 2 lettres parmi les 4 lettres LOIC (1).

–

Éd

iti

Ici, vu le peu d’éléments à arranger, il est possible de trouver ces codes en visualisant les associations de deux lettres à partir des 4 données :

LO LI LC

et donc aussi

OL IL CL

OI OC

et donc aussi

IO CO

et donc aussi

Ce qui donne 12 possibilités.

On peut aussi envisager la situation en deux tirages successifs d’une lettre : – si je tire L comme première lettre, il me reste pour le second tirage 3 lettres possibles : O, I, C ; – si je tire O comme première lettre, il me reste pour le second tirage 3 lettres possibles : L, I, C ; – si je tire I… ; si je tire C… Quelle que soit la première lettre tirée parmi les 4 disponibles, il y a ensuite 3 lettres possibles pour le second tirage.

On pourrait envisager le prélèvement des k éléments avec remise, on pourrait alors avoir des répétitions d’un même élément. Nous ne développons pas ce cas dans cet ouvrage. 4

É l é m e n t s d e co m b i n ato i r e

On peut alors envisager un arbre de dénombrement lié à ces deux tirages successifs. 2e place O I C

LO LI LC

On retrouve les 12 possibilités.

L I C

OL OI OC

On voit clairement ce 12 comme produit du nombre de possibilités pour la 1re lettre par le nombre de possibilités pour la 2e lettre.

O C

IO IC

L O I

CL CO CI

Les 2 facteurs du produit correspondent aux 2 niveaux de l’arbre, c’est-à-dire aux 2 places à prendre dans chaque code.

1re place L

Voyons la situation du podium 1 2 3 avec 5 enfants : Sarah, Hugo, Chedid, Emma, Ali (2).

■

L’arbre montre ici, de façon plus évidente, l’obtention du produit dont le 1er facteur est 4 et le 2e facteur est 3. Il montre aussi qu’on s’arrête à ce deuxième éventail de 3 branches pour obtenir les codes de 2 lettres. Cet arbre est une partie d’un arbre de permutation, une permutation étant un arrangement particulier de n éléments pris parmi n.

La place 1 peut être obtenue par 5 enfants différents. La 1re place étant prise par un enfant, la place 2 peut encore être obtenue par 4 enfants différents.

iti

La 2e place étant prise par un enfant, la place 3 peut encore être obtenue par 3 enfants différents. Place 2

Place 3

Sarah

Hugo

Chedid

Sarah, Hugo, Chedid

Emma

Sarah, Hugo, Emma

Ali

Sarah, Hugo, Ali

Éd

Place 1

Chedid Emma Ali

Hugo Chedid Emma Ali 5

On obtient 60 possibilités.

PA R T I E 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

Le nombre total d’arrangements correspond au produit du nombre de possibilités pour la place 1 par le nombre de possibilités restantes pour la place 2, par le nombre de possibilités restantes pour la place 3. Les 3 facteurs du produit correspondent aux 3 niveaux de l’arbre, c’est-à-dire aux 3 places à prendre dans chaque arrangement (3 places sur le podium). Dans ces deux situations, on trouve un produit de facteurs dégressifs d’une unité comme dans les permutations, mais la dégression ne va pas jusqu’au facteur 1. On peut généraliser. Dans la situation du code de 2 lettres parmi 4, on a 4 × 3 possibilités.

Dans la situation du podium de 3 places pour 5 enfants, on a 5 × 4 × 3 possibilités. Ces produits commencent comme les factorielles, mais s’arrêtent. Les arbres montrent bien comment, en fonction de la situation donnée et de ses contraintes, occuper les places successives et s’arrêter. Le nombre de facteurs est le nombre de « places » à occuper.

3 places

4! = 4 × 3 × 2 × 1

2 places

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Cela donne 60 possibilités.

Cela donne 12 possibilités.

On peut retrouver nos résultats à partir des factorielles. 12 = 4 × 3 =

4! 4 × 3 × 2 ×1 = 2! 2 ×1

60 = 5 × 4 × 3 =

5! 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 2! 2 ×1

2! qui est aussi (4 – 2) !

2! qui est aussi (5 – 3) !

On peut exprimer de manière générale le nombre d’arrangements de k éléments distincts pris dans un ensemble de n éléments différents, noté Ak, n. Ainsi : Ak, n = �

n k !

iti

Plus simplement, ceci correspond à k facteurs dégressifs d’une unité à partir de n, comme le montrent les exemples : Ak, n = n × (n – 1) × (n – 2) × … (n – k + 1)

Éd

k facteurs, k places

L’écriture d’une formule comme celle-ci, sous forme littérale, est le résultat d’une généralisation théorique. Le dénombrement des cas possibles d’arrangements de k éléments distincts parmi n se calcule en s’inspirant des permutations. Pour arriver à cette formule, on s’éloigne de ce qui se fait concrètement. Il est plus important de comprendre ce qui se passe dans ce genre de situation que de restituer une formule et de l’appliquer. D’autres formules complètent celle-ci en analyse combinatoire. Les accumuler et vouloir les retenir risque souvent de provoquer un encombrement mental et un dégout.

On peut remarquer qu’une permutation est un arrangement de n éléments pris parmi n. En appliquant le mode de calcul des arrangements possibles, on trouve Pn = An, n =

n! n!n!

n! n!n! n! n!n!

= =

n nn nn n ! ! ! 0!0!0! 111

= n!

É l É m e n t s d e co m b i n ato i r e

1.4. Les combinaisons Une combinaison de k éléments pris dans un ensemble de n éléments différents5 est un sousensemble de k éléments de cet ensemble. On note le nombre de telles combinaisons Ck, n. – Quelles paires d’enfants parmi 4 peut-on former pour une danse à 2 ? (1) – Cherchez toutes les collations différentes qu’on peut obtenir en sélectionnant 3 friandises distinctes parmi 5 proposées. (2) ces situations demandent de réaliser et de dénombrer des sous-ensembles d’un ensemble d’éléments donnés. les éléments pris sont différents et l’ordre n’a pas d’importance. Prenons la situation des paires d’enfants pour une danse, pris parmi 4 (1). soit un ensemble de 4 enfants, noté {alice, liam, bob, elio}. on peut déterminer les sous-ensembles de 2 enfants comme ceci :

■

{Alice, Liam}, {Alice, Bob}, {Alice, Elio} Liam

Bob

{Liam, Bob}, {Liam, Elio} Alice

Elio

{Bob, Elio}

Alice Alice

ceci donne 6 possibilités.

Liam

Bob

Elio

Alice, Liam

Alice, Bob

Alice, Elio

Liam, Bob

Liam, Elio

Liam

Bob, Elio

Bob

Elio

dans le tableau ci-joint, on élimine –

les situations du genre « alice danse avec alice » ;

–

les doublons du genre : « liam danse avec alice » puisqu’on a déjà « alice danse avec liam ».

Éd

iti

dans la situation où il fallait faire des codes de 2 lettres en les prenant parmi les 4 lettres de loic (voir § 1.3.), il y avait 12 possibilités, car l’ordre avait de l’importance. ici, l’ordre est indifférent. le duo {alice, liam} est égal au duo {liam, alice}. il est inutile de considérer les permutations de ces éléments, on garde un duo sur deux par rapport à une situation d’arrangements. il y a donc ici deux fois moins de possibilités : 6 au lieu de 12. le tableau à deux entrées, qui s’applique ici à la situation particulière de composition de paires, montre bien cette réduction de moitié. Prenons la situation des collations de 3 friandises parmi 5 proposées (2). soit les collations différentes suivantes : une pomme, un jus, un biscuit, un caramel, une tartine. le tableau suivant permet de repérer et de noter les trios possibles. ce tableau permet de répertorier de façon structurée les 10 trios de friandises différents possibles. ■

3 1

X X X X X X

X X X

X X X X X

X X X

X X X X X

si on compare à la situation des podiums possibles ( 1 2 3 ) pour 5 coureurs, on avait 60 possibilités. c’est beaucoup plus, puisque, dans ce cas, l’ordre importait. ici, pour un trio tel que {pomme, jus, biscuit}, on n’a pas besoin de considérer toutes les permutations de ces trois éléments.

5 On pourrait envisager le prélèvement des k éléments avec remise, on pourrait alors avoir des répétitions d’un même élément. Nous ne développons pas ce cas dans cet ouvrage.

PA R T I E 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

On a 6 permutations possibles : {pomme, jus, biscuit}, {pomme, biscuit, jus}, {jus, biscuit, pomme}, {jus, pomme, biscuit}, {biscuit, pomme, jus}, {biscuit, jus, pomme}. On en garde une sur six.

J B

B J

PJB PBJ

B P

P B

JBP JPB

Le nombre de permutations se trouve en calculant 3! = 3 × 2 × 1.

P J

BPJ

Donc dans une situation de combinaisons de 3 éléments parmi 5, on a 6 fois moins de possibilités que pour une situation d’arrangements de 3 éléments parmi 5.

BJP

On peut donc relier les combinaisons aux arrangements et généraliser.

12 4×3 = 2 2 ×1

10 = 60 =

6 =

Nombre d’arrangements de 3 éléments parmi 5

Nombre d’arrangements de 2 éléments parmi 4

5× 4 ×3 3 × 2 ×1

Nombre de permutations de 3 éléments : 3! = 3 × 2 × 1 = 6

Nombre de permutations de 2 éléments : 2! = 2 × 1 = 2

On peut exprimer de manière générale le nombre de combinaisons de k éléments pris dans un Ak , n

ensemble de n éléments différents : Ck , n

n k ! k!

Éd

iti

Rappelons que le travail de généralisation de la recherche, ici en tableau, est intéressant et que la généralisation en une formule de calcul pour elle-même n’a pas grand intérêt. Il est plus important de comprendre ce qui se passe dans une situation que de tenter de restituer une formule et de l’appliquer.

Pourquoi est-il intéressant d’aborder

des situations de combinatoire en primaire et en secondaire ? En primaire, il s’agit d’aborder ce type de situation comme des situations pour apprendre à chercher. En effet, résoudre ces situations ne requiert pas au préalable de connaissances très élaborées. Il s’agit ici de développer des compétences de résolveur de problèmes (voir Résolution de problèmes § 4.) comme représenter la situation de départ : en l’analysant, en cherchant à comprendre…

–

résoudre, raisonner, argumenter : en agissant sur du matériel, en dessinant, en recourant à diverses schématisations, en cherchant des liens logiques…

–

communiquer sa démarche et ses résultats : en organisant sa recherche, en identifiant des étapes, des moyens utilisés…

–

vérifier les différentes étapes de la résolution : en se relisant, en confrontant avec les autres…

–

En primaire, il n’est pas utile de nommer et d’amener à discriminer les situations produits, des permutations, arrangements ou combinaisons. Par contre, il est important d’amener les élèves à réaliser qu’on passe, avec ce type de situations, à un dénombrement calculatoire et que cette dimension opératoire du dénombrement résulte d’organisations de la recherche et de régularités à dégager.

En secondaire, la distinction entre les divers regroupements d’éléments peut être observée, mais ce n’est néanmoins pas un but en soi, il est intéressant de percevoir que le dénombrement calculatoire peut se généraliser et s’écrire sous forme littérale. La généralisation de telles situations aide à passer de la pensée arithmétique à la pensée algébrique. Il est important dès lors de confronter les élèves à des situations du même type, d’ordonner des suites d’opérations, de chercher les schémas et les règles qui peuvent en découler.

En secondaire, ces situations dans lesquelles on recherche les cas possibles préparent le travail sur les probabilités et le traitement statistique (voir Traitement de données numériques § 2. et § 3.).

iti

Éd

Association Rallye Mathématique Transalpin (nombreux problèmes de combinatoire dès la 3e primaire). https:// rmt-belgique.be/problemotheque et http://www.armtint.eu/fr. Lyons M., Lyons R., Défi mathématique, manuels de l’élève pour les cycles 1, 2 et 3, Montréal, Chenelière Éducation, 2000. Demonty I., Vlassis J., Développer l’articulation arithmétique-algèbre entre le primaire et le secondaire, 10/14 ans, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018.

PA R T I E 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

2. Éléments de probabilités De façon générale et en termes simples, on peut dire que les probabilités constituent un domaine des mathématiques qui cherche à évaluer, à quantifier et à calculer la possibilité de réalisation d’un évènement, d’un résultat ou d’une issue6 dans des situations incertaines.

2.1.1. Expérience aléatoire, hasard et probabilité

2.1. Probabilités et pensée probabiliste

L’idée de probabilité s’oppose à celle de certitude absolue, de déterminisme, de cause à effet.

On parle de probabilité quand il s’agit de traiter des expériences spécifiques, liées au hasard et qualifiées d’aléatoires.

On est habitué en mathématique à traiter des situations dont les résultats sont déterminables, même s’il faut chercher des démarches pour y aboutir. Dès lors, ce domaine des probabilités peut être perçu comme déroutant et complexe. Il va falloir penser et raisonner autrement. Bien que les élèves puissent avoir dans le quotidien une familiarité avec des situations liées au hasard, ils sont loin d’en comprendre toutes les subtilités. Il faut donc, à l’école, leur proposer de nombreuses situations accessibles à vivre et à discuter.

Une expérience aléatoire possède plusieurs caractéristiques : son issue n’est pas prévisible parce qu’elle est liée au hasard ;

–

on peut répertorier à priori l’ensemble de toutes les issues possibles ;

–

elle peut se répéter à l’infini dans les mêmes conditions ;

–

cette répétition produit des issues différentes, on parle de variabilité des issues.

■

Des situations liées au hasard

iti

–

Éd

Des situations aléatoires classiques dans la vie, transposables à l’école.

– Tirages d’objets parmi un ensemble donné : des lettres, des boules numérotées, des billes de diverses couleurs… – Rotation de roues divisées en plusieurs secteurs porteurs de montants, couleurs, indications… – Rotation de compteurs à plusieurs rangs pouvant dérouler des chiffres, des lettres… – Lancers de pièces de monnaie, de capsules de bouteilles, de punaises, de divers dés… Lorsqu’on lance un dé cubique équilibré7, on est certain qu’il va rouler, se stabiliser et montrer sur la face du dessus un nombre de 1 à 6. Mais on ne sait pas prévoir quel nombre parmi les six possibles 6 Le terme « résultat » est un terme général relié à divers domaines mathématiques ; le terme « issue » est davantage spécifique à celui des probabilités. On parle parfois de cas possibles ou d’éventualités. 7 Un dé équilibré est un dé qui ne privilégie pas un résultat ou une issue par rapport aux autres. Ici, tous les nombres de 1 à 6 ont la même possibilité d’apparaitre. On parle aussi de dé non pipé ou non truqué.

É lé m e n t s d e p r ob a bili t é s

il affichera lors d’un lancer. Si on répète l’expérience quantité de fois dans les mêmes conditions (lancer le même dé, sur le même tapis, de la même façon), on obtient des résultats différents parmi les nombres de 1 à 6, sans logique entre eux.

Des situations de notre environnement, de notre quotidien. – Dans le domaine de la santé, l’issue d’un même traitement, sur un échantillon de personnes le requérant, n’est pas totalement assurée et peut donner des résultats différents. – En météorologie, les prévisions quotidiennes ne sont jamais totalement sures. – En gestion financière, le placement d’argent présente des risques qui ne sont pas totalement prévisibles. Martin V., Thibault M., Theis L., Enseigner les premiers concepts de probabilités. Un monde de possibilités !, Québec, Presses de l’Université du Québec, 2019. Introduction, 1.2. La pertinence de l’enseignement des probabilités à l’école.

La notion de hasard

■

Ministère de l’Éducation de l’Ontario, Guides d’enseignement efficace des mathématiques, Guides de la maternelle à la 3e année et de la 4e à la 6e année, chapitres traitement de données et probabilités, Ontario, 2009. https://edusourceontario.com/res/geem-m-3-Traitement-donnees https://edusourceontario.com/res/geem-4-6-TDP-fascicule1

Quand on dit que, dans une expérience aléatoire, le résultat est lié au hasard, cela ne veut pas dire qu’il y a un lien de cause à effet entre le hasard et ce résultat. Cela signifie que le résultat qui arrive, comme d’ailleurs tous les résultats, est totalement imprévisible. Lorsqu’on lance un dé, on peut prédire que le résultat sera par exemple 6, mais il n’est pas acquis que le 6 apparaitra. On peut se tromper avec cette prédiction. Les résultats des lancers suivants seront tout aussi incertains.

On parle d’issue liée au hasard quand on ne peut pas les prédire sans risque de se tromper.

iti

Ce sont ces notions d’imprévisibilité et de variabilité des résultats d’une expérience aléatoire qui sont délicates à comprendre. Beaucoup persistent à penser qu’il y a quand même dans le hasard des liens de cause à effet. Par exemple, dans le lancer du dé, un enfant dit : « Là, tu tombes sur le six plusieurs fois de suite ! C’est parce qu’avant tu tombais sur plein d’autres résultats ! »

Éd

Le langage courant n’aide pas avec des expressions comme « C’est le fruit du hasard » ou « Le hasard fait bien les choses ». Il faut être conscient de l’ambigüité de ces expressions et des fausses conceptions qu’elles peuvent induire et proposer des expériences simples et convaincantes pour les débusquer.

■

Les notions de chance, de risque et de possibilité

Les notions de chance et de risque sont souvent évoquées dans des situations d’incertitude liées au hasard. La chance est souvent associée à une issue heureuse, le risque à une issue malheureuse. Certains croient qu’on peut être doté de chance et que celle-ci peut, par avance, influencer un résultat. C’est faux, c’est seulement lorsque le résultat est là qu’on peut le déclarer heureux ou pas, chanceux ou pas. On parle aussi de chances au pluriel dans des comparaisons de résultats possibles : J’ai plus de chances de tirer une bille bleue d’un sac opaque où il y a 40 billes bleues et 10 billes rouges. J’ai moins de chances de tirer une bille rouge. Ici, le mot « chance » évoque qu’on a plus ou moins de possibilités de sortir une sorte de billes sans connotation affective. Les mots « chance » ou « risque » étant ambigus, il est préférable d’utiliser le mot « possibilité » qui est plus neutre.

PA R T I E 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

2.1.2. Expérience aléatoire et évènement En mathématique, on appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience. – L’univers du lancer de dé cubique équilibré est {1, 2, 3, 4, 5, 6}. – L’univers du tirage de lettres de notre alphabet est {a, b, c, d, …, x, y, z}.

Un évènement est une partie de cet univers, un sous-ensemble d’issues possibles. Il se traduit par un énoncé susceptible de se produire. – L’évènement « tomber sur un nombre pair » dans le lancer de dé est {2, 4, 6}. – L’évènement « tirer une voyelle » dans les lettres de notre alphabet est {a, e, i, o, u, y}. Un évènement élémentaire est une partie de l’univers, un ensemble d’une seule issue possible. – L’évènement élémentaire « tomber sur le nombre 5 » dans le lancer de dé est {5}. – L’évènement élémentaire « tirer la lettre y » dans les lettres de notre alphabet est {y}.

Il existe des évènements particuliers.

On parle ici de partie ou de sous-ensemble (voir tome 1, Traitement de données § 4.1.1.2.) : au maximum ce sous-ensemble est l’univers lui-même, au minimum ce sous-ensemble est vide. Un évènement certain est l’évènement qui correspond à toutes les issues possibles, à l’univers entier : l’énoncé le traduisant va toujours se produire.

Un évènement impossible est l’évènement qui ne correspond à aucune issue de l’univers, il correspond à un ensemble vide : l’énoncé le traduisant ne peut jamais se produire. – L’évènement, dans le lancer de dé, « tomber sur un nombre égal ou inférieur à 6 » aboutit à toutes les issues de l’univers : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. C’est un évènement certain. – L’évènement, dans le lancer de dé, « tomber sur un nombre supérieur à 6 » n’aboutit à aucune issue, le sous-ensemble d’issues possibles de l’univers est vide : { }. C’est un évènement impossible.

Éd

iti

On peut s’interroger à propos de la notion d’évènement. – Le mot « évènement » dans le quotidien évoque « tout fait qui se produit, arrive, surgit ». – Le mot « évènement » en probabilité évoque un ensemble de faits qui peuvent se produire ou pas, relativement à une expérience aléatoire. C’est donc un « sous-ensemble d’issues » liées à cette expérience aléatoire, un sous-ensemble de l’univers de l’expérience. Il ne faut pas confondre les mots « évènement » et « issue possible ». On lance un dé équilibré, va-t-on tomber sur un nombre pair ? – Ici, l’expérience est : « lancer le dé équilibré ». – Les issues possibles sont : tomber sur 1, tomber sur 2, tomber sur 3, tomber sur 4, tomber sur 5 ou tomber sur 6. L’univers du lancer de dé équilibré est donc l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}. – Les issues possibles pour l’évènement « tomber sur un nombre pair » sont : tomber sur 2, tomber sur 4, tomber sur 6. – L’évènement « tomber sur un nombre pair » dans le lancer de dé est l’ensemble de ces issues, à savoir {2, 4, 6}.

É lé m e n t s d e p r ob a bili t é s

2.1.3. Notion de probabilité

Il est important que, face à des situations aléatoires, les élèves distinguent, dans un premier temps, ce qui est certain, possible ou impossible. Ce n’est pas si évident. – Bon nombre d’enfants distinguent mal l’imaginaire du réel et l’impossible du possible. Un dé avec les couleurs jaune, rouge, bleue peut-il tomber sur une face noire ? Certains enfants disent oui, car dans un dessin animé vu récemment les personnages changent de couleur. – Beaucoup d’enfants croient que ce qui est possible est certain. Saint-Nicolas nous rendra visite la semaine prochaine, il est possible qu’il vienne déjà lundi. Les enfants sont persuadés qu’il sera en classe lundi ! – Beaucoup d’enfants confondent aussi ce qui ne s’est jamais produit et ce qui ne peut jamais se produire. Je ne suis jamais venu à l’école en bus ne veut pas dire que cela n’arrivera jamais.

La probabilité d’un évènement E quantifie la possibilité qu’a cet évènement de se produire. Elle s’exprime par un nombre compris entre 0 et 1 qui peut s’écrire sous forme de fraction. Elle se note P(E). – L’évènement « le dé équilibré va afficher le nombre cinq » est incertain. On perçoit néanmoins assez facilement que le nombre cinq a 1 possibilité sur 6 d’apparaitre. On peut associer à cet évènement 1 6

1 6

une probabilité égale à . On la note P ({5}) = .

– L’évènement « je vais tirer un y parmi les lettres de notre alphabet » a 1 possibilité sur 26 de se réaliser ou a une probabilité de On peut la noter P ({y}) =

1 . 26

– L’évènement « je vais tomber sur le secteur jaune de cette roue » 1 2

1 2

iti

a une probabilité de qu’on peut noter P ({Jaune}) = .

Éd

Par ces exemples simples8, on peut comprendre intuitivement que la valeur d’une probabilité se déduit d’une comparaison entre deux nombres de possibilités et s’exprime alors par une fraction rapport. – La probabilité de l’évènement « le dé équilibré va tomber sur un nombre égal ou inférieur à six » correspond à 6 possibilités sur 6, on a la probabilité maximale de 1. – La probabilité de l’évènement « le dé équilibré va tomber sur un nombre supérieur à six » correspond à 0 possibilité sur 6, on a la probabilité minimale de 0.

Un évènement certain a une probabilité 1 de se produire. Un évènement impossible a une probabilité 0 de se produire. Plus la probabilité d’un évènement est proche de 1, plus il a des possibilités de se réaliser.

8 Ces exemples, on le verra au § 2.3., relèvent de l’approche théorique des probabilités. Dans l’approche expérimentale, au § 2.2., nous verrons que la probabilité en lien avec la notion de fréquence correspond à un nombre de fois qu’apparait un évènement par rapport à un nombre total d’essais expérimentaux et s’exprime aussi par un rapport.

pa r t I e 2 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S N U M É R I Q U E S

■

On peut ordonner qualitativement des évènements selon leur probabilité.

On peut associer, à une expérience aléatoire et à ses évènements, une ligne continue de probabilités évoluant entre deux valeurs extrêmes : 0 et 1. L’aiguille s’arrête dans un secteur bleu. L’aiguille s’arrête dans un secteur jaune. L’aiguille s’arrête dans un secteur vert.

L’aiguille s’arrête dans un secteur qui n’est pas mauve. L’aiguille s’arrête dans un secteur rouge.

L’aiguille s’arrête dans un secteur qui n’est pas vert.

très probable

1 2

certain

peu probable

imposible

probable

pour cette roue et ces évènements9, on a la ligne de probabilité suivante.

L’évènement qui se trouve juste au milieu est un évènement qui a autant de possibilités de se produire que de ne pas se produire. sa probabilité vaut 1 .

■

On peut exprimer la probabilité par un pourcentage ou un nombre à virgule.

La fraction exprimant la probabilité d’un évènement peut s’écrire en pourcentage ou en nombre à virgule (voir tome 1, Grandeurs § 7.1.3.).

iti

– Dans l’exemple d’une roue aux cinq secteurs colorés équivalents, la probabilité de « tomber sur le 1 5

secteur rouge » est de 1 sur 5, soit = 20 % = 0,20. 1 2

Éd

– Pour le lancer d’une pièce de monnaie, la probabilité de tomber sur pile est = 50 % = 0,50.

Des fractions non décimales engendreront des pourcentages et des nombres à virgule illimités périodiques (voir tome 1, Grandeurs § 7.1.3.). Leur valeur pourra être arrondie. – Dans la situation de « tirage de la lettre y » parmi les lettres de l’alphabet, la probabilité est 1 = 0,038461538… qui peut être arrondie à 0,038 ou 3,8 %. Ces valeurs arrondies ne correspondent 26

néanmoins pas à la probabilité exacte de l’évènement. ■

On peut approcher les probabilités de façon subjective.

L’approche subjective se base sur l’analyse intuitive des informations se dégageant d’une situation aléatoire et sur l’expression d’opinions forgées sur cette analyse. C’est une approche très présente chez tout un chacun. Ces opinions prennent rarement en compte toute la complexité de telles situations. elles restent souvent peu argumentées alors qu’elles appellent à des vérifications par d’autres approches. – Une idée erronée est de penser que, si on lance six fois un dé, on tombera sur chaque face une fois. – Une idée simpliste à propos du lancer de deux dés est de conclure qu’on a 1 possibilité sur 11 de tomber sur une somme quelle qu’elle soit, puisqu’il y a 11 sommes de 2 à 12. C’est sans compter sur Situation proposée dans l’ouvrage Guide de l’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année - Traitement des données et probabilité, Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2009.

É lé m e n t s d e p r ob a bili t é s

le fait que certaines sommes (par exemple 7) peuvent être réalisées de plus de façons différentes que d’autres (par exemple 3). – Une idée farfelue est de croire à des influences possibles sur ce type de situations : en jouant au lotto les chiffres de sa date de naissance, on est plus chanceux ; celui qui joue toutes les semaines au lotto est plus expert et donc a plus de chances de gagner ; il faut éviter de jouer le nombre 13 en premier parce qu’il porte malheur ; jouer en ayant un porte-bonheur sur soi va augmenter les chances de gagner…

Même si ces opinions sont intuitives et peu fiables, elles ne sont pas à négliger. Souvent, les élèves ou les personnes qui les émettent y tiennent fortement. Mieux vaut opposer à ces croyances des approches plus rationnelles, des expériences effectives pour en relever les aspects intéressants ou inadéquats.

Pour amorcer une remise en cause d’une opinion subjective et chercher des pistes plus sures, on peut proposer ce type de réflexion : – D’après toi, combien de fois dois-tu lancer le dé pour qu’il tombe sur six ? – Lance maintenant le dé le nombre de fois que tu as indiqué. As-tu obtenu six dans le nombre de lancers que tu as estimé ? – Compare cette même réflexion avec les élèves de la classe, discute des constats avec ton groupe. Par ailleurs, une idée subjective peut se révéler parfois porteuse et proche d’un résultat probabiliste déterminé mathématiquement.

2.1.4. Pensée probabiliste

Comme annoncé au début de ce paragraphe, rentrer dans le monde des probabilités, c’est penser et raisonner autrement. Il s’agit de sortir d’une pensée déterministe, d’une logique de cause à effet, de l’idée de résultats uniques déterminables et de reconnaitre, en lien avec des situations aléatoires, leur variabilité et leur imprévisibilité… on parlera plutôt d’issues possibles.

–

Un raisonnement probabiliste implique de considérer non pas une seule issue, mais l’ensemble des issues possibles.

–

C’est intéressant d’exprimer ses premières intuitions, mais il faut s’en méfier, procéder à des vérifications expérimentales et comprendre l’utilité de très nombreuses répétitions de l’expérience pour mieux cerner une probabilité.

–

Il faut accepter la notion d’incertitude, mais chercher à l’évaluer, juger de son niveau et la quantifier en tenant compte des caractéristiques de la situation.

–

C’est important de cerner la notion d’évènement lié à une situation aléatoire, de décrire sa probabilité et de déduire sa valeur par une approche adaptée à la situation.

–

Une évaluation rigoureuse des probabilités en choisissant un modèle adéquat de traitement d’une situation aléatoire aide à faire des prédictions plus pertinentes et à prendre des décisions plus raisonnées.

Éd

iti

–

Les situations probabilistes font sortir les élèves des sentiers battus en mathématique et conduisent à changer de perspective. La pensée probabiliste et les raisonnements associés sont parfois déroutants, contrintuitifs, complexes. Deux approches (expérimentale et théorique) sont utiles pour en débusquer les subtilités, démonter des visions erronées et faire des choix éclairés.

Pourquoi aborder les probabilités

relativement tôt à l’école ? >

L’idée de probabilité s’oppose à l’idée de certitude absolue et correspond à la manière dont nous questionnons bon nombre d’évènements : – Quelle possibilité a tel évènement de se produire ? Dans quelle mesure est-il probable ? – Quels sont les risques d’accident sur ce parcours, les risques d’annulation des vols de telle compagnie, les risques d’intempéries à cette période de l’année ? – Quelles sont mes chances de gagner à tel jeu, de réussir à tel concours ?

Le fait que les mathématiques apportent souvent des réponses à ce genre de questions rassure. S’appuyer sur cet apport des mathématiques permet de mieux comprendre des situations incertaines et de prendre des décisions plus objectives. Les probabilités sont présentes dans notre quotidien, dans le domaine de la santé, de la météorologie, de la gestion financière, de la mobilité, des loisirs… S’approprier un minimum de notions et d’outils relatifs aux probabilités peut aider à gérer l’incertitude, à ne plus se sentir dépassé et ignorant dans ces situations du quotidien pour lesquelles on n’a pas nécessairement le contrôle de ce qui peut se passer.

Il est possible de trouver des situations abordables à l’école en s’appuyant sur des manipulations en lien avec des réalités de vie qui intéressent les élèves. Il est important néanmoins de rester dans une approche intuitive et qualitative des probabilités au primaire, de n’aborder des situations quantitatives qu’à la charnière primaire-secondaire. Il est intéressant d’ailleurs d’y privilégier les situations faciles à expérimenter et à représenter, sans s’engager dans des calculs et symbolisations complexes. La théorie des probabilités n’est abordable en profondeur que fin du secondaire.

Le domaine des probabilités permet de mobiliser des notions de divers domaines : des éléments de combinatoire, des supports organisateurs comme les arbres et tableaux, des éléments de théorie des ensembles et de logique, des fractions et des opérations sur les fractions.

Les probabilités sollicitent et entretiennent l’apprentissage de la modélisation. L’analyse de situations dans lesquelles intervient le hasard nécessite – de penser à un protocole d’expérience rigoureux ; – parfois d’élaborer une simulation d’expérience en adéquation ; – de construire une manière efficace de répertorier les résultats ; – de recourir à des outils de représentation simples et pertinents.

Éd

iti

L’étude des probabilités permet de développer une pensée critique et des compétences citoyennes. – Le raisonnement probabiliste suppose de ne pas s’attarder sur un seul résultat, mais de prendre en compte un ensemble de résultats, de traiter la variabilité de ces résultats. – Il s’oppose au raisonnement déterministe et invite à s’ouvrir à une autre façon de penser en remettant en cause et en faisant évoluer ses conceptions. L’approche précoce des expériences liées au hasard permet d’éviter que les élèves s’enferment dans une pensée mathématique exclusivement déterministe et qu’ils aient alors d’énormes difficultés à en sortir, à penser autrement. – Le recours à des outils de probabilité peut aider à sortir de l’illusion du contrôle sur toute situation, même aléatoire. – Les outils offerts par le domaine des probabilités peuvent aider à partager des points de vue, à construire des jugements plus justes, à prendre des décisions plus éclairées, à se responsabiliser davantage dans la société. Martin V., Thibault M., Theis L., Enseigner les premiers concepts de probabilités. Un monde de possibilités !, Québec, Presses de l’Université du Québec, 2019. Chapitre 2. Des fréquences aux probabilités. Apprendre à modéliser. Bernard Parzysz, Université d’Orléans.

iti

Éd s VA N

Nombres

PA R T I E 3 : N O M B R E S

Introduction Le tome 1 de ce référentiel de mathématiques présentait la géométrie et les grandeurs. Il nous semblait important que les nombres soient présentés à la suite de ces deux premiers domaines. En effet, l’enfant commence par appréhender son environnement. Ensuite, il est amené à concevoir – d’abord qualitativement puis de manière quantitative – les grandeurs des objets qu’il y rencontre. Quantifier une grandeur s’effectue par dénombrement ou par mesurage. Ainsi, les grandeurs sont une porte d’entrée intéressante pour les apprentissages liés aux nombres et aux opérations.

Cette partie s’articule autour de quatre chapitres. Les nombres sont traités dans les trois premiers et la numération dans le dernier. Les contenus de cette partie sont proches de ceux enseignés à l’école fondamentale. Surtout, ils permettent de mieux les comprendre, les articuler et ainsi être plus à l’aise pour les enseigner. Ces contenus ne sont donc en aucun cas à enseigner tels quels.

Dans le premier chapitre, nous étudions d’abord les nombres les plus utilisés : les nombres naturels. Leur utilisation quotidienne n’en garantit pas la bonne compréhension et n’assure pas que les bases nécessaires au calcul soient maitrisées. Nous en reprenons quelques-unes pour les appréhender dans toute leur richesse : leur double aspect (cardinal et ordinal), leurs fonctions et leurs désignations (dont la différence entre chiffre et nombre) ainsi que les principes liés au dénombrement. Nous insistons ensuite sur la mise en relation des nombres entre eux en présentant les décompositions – additives et multiplicatives – qui mèneront progressivement aux calculs.

Dans le deuxième chapitre, nous étudions les supports qui permettent de structurer les nombres et leurs relations. Plus particulièrement, nous présentons des familles de schèmes, la bande numérique, la droite des nombres ainsi que le tableau de 100.

Dans le troisième chapitre, nous élargissons le champ numérique en abordant les différents types de nombres : entiers relatifs, rationnels et réels. Dans ce chapitre, plus que de chercher à définir rigoureusement les nombres de manière ensembliste, il nous a semblé important d’étudier les types de nombres selon des situations concrètes équivalentes du point de vue du nombre.

Éd

iti

Nous clôturons cette partie par un chapitre sur la numération pour découvrir comment le système décimal a fini par s’imposer de manière quasi universelle. Pour le comprendre, il est important de maitriser les notions d’échanges et de groupements (par 10 dans notre système). Ces derniers pourront être matérialisés à l’école fondamentale pour en maitriser le fonctionnement. Nous terminons ainsi ce chapitre par des éléments d’analyse du matériel de numération.

L es n o m b r es nat u r els

1. Les nombres naturels Le nombre est un objet mathématique fréquemment rencontré et pourtant extrêmement abstrait. On le trouve dans une multitude de contextes et sous des formes (types ou écritures) très variées. Derrière chaque nombre (naturel, entier relatif, rationnel…), il existe de nombreuses situations concrètes différentes mais équivalentes du point de vue du nombre (voir § 3.).

Un nombre est une notion abstraite qui rend compte du résultat d’un dénombrement (d’une grandeur discontinue), d’un mesurage (d’une grandeur continue) ou d’un repérage (d’une position) (voir tome 1, Grandeurs § 1.2. et Géométrie § 1.2.3.). Dans les deux premiers cas, le nombre témoigne d’une quantité en répondant à la question « combien ? » et, dans le dernier, d’une position en répondant à la question « où ? » ou « le/la quantième ? ».

Nous nous centrons d’abord sur les nombres naturels1, qui sont les premiers nombres rencontrés, ceux à partir desquels les notions d’aspects cardinal et ordinal ou de dénombrement prennent leur sens.

Éd

iti

Pour créer la notion de nombre, il est capital de considérer comme indissociables ses aspects cardinal et ordinal. En effet, associer exclusivement le nombre à une quantité, c’est occulter une partie de sa complexité. Ainsi, pour exprimer explicitement une quantité d’objets sans prendre en compte une quelconque position, au lieu de parler uniquement de « nombre », on préfèrera la formule « nombre de », qui répond plus précisément à la question « combien de ? »

Sans pour autant s’y limiter exclusivement, car plusieurs notions relatives aux nombres naturels peuvent s’étendre aux autres nombres.

Pourquoi privilégier la formule « nombre de »

jusque dans les exercices sur feuille ?

Construire progressivement le passage de situations concrètes à l’abstraction du nombre est incontournable. Mieux vaut installer des bases solides que vouloir enseigner les nombres, les opérations et le langage mathématique abstrait trop rapidement.

Varier les mots utilisés enrichit le répertoire lexical des enfants et leur permet de comprendre qu’on peut employer les nombres dans de nombreuses situations, qu’elles soient de la vie courante (lorsqu’on utilise des « nombres de degrés Celsius », des « nombres de centilitres » ; quand on utilise des nombres de pommes, de cartes…) ou plus scolaires (quand on travaille sur des nombres de cases, de jetons, de points…).

Associer aussi longtemps que possible les objets (éventuellement mathématiques) aux nombres auxquels ils se rapportent permet un meilleur accès aux calculs. L’évocation des nombres commence par une approche orale, où il est naturel de préciser les objets auxquels se rapportent ces nombres. Une fois écrits sur feuille, ces mêmes nombres se trouvent privés de leurs objets, laissant les enfants seuls face à une écriture symbolique où la référence à des situations concrètes n’est plus du tout perceptible.

Penser « nombre de » augmente l’efficacité face aux calculs, surtout pour des calculs qui peuvent être considérés comme difficiles (la difficulté variant selon le moment de l’apprentissage). L’opération elle-même peut parfois être reformulée pour donner plus de sens. – Le calcul « 6 x 3 » peut poser problème : pense-t-on « paquets de » ou « multiplié par » ? Est-ce le 6 qui agit sur le 3 ou l’inverse ? Exprimer ce calcul « 6 pochettes de 3 crayons » est plus éclairant : cela fait 18 crayons. – Le résultat du calcul « 7 : 21 » n’est pas forcément évident à trouver. Par contre, se demander ce que

Oralement, on dira qu’il y a 2 élèves absents sur une classe de 21 élèves. Il y a donc 19 élèves présents. Sur feuille, on écrit « 21 – 2 = 19 ».

valent 7 euros par rapport à 21 euros permet de réaliser qu’ils en valent

Exprimer les nombres particuliers, comme les nombres à virgule ou les fractions, sous une forme de « nombre de », les rend plus accessibles. En outre, cela facilite les calculs les concernant. – Si l’écriture 0,002 ne permet pas toujours de percevoir ce nombre peu rencontré dans la vie courante, parler de 2 millièmes, 2 millimètres ou 2 millilitres est plus évocateur. – Lorsque le calcul « 0,2 + 0,13 » est exprimé sous la forme « 2 dixièmes + 13 centièmes », le besoin d’exprimer les deux nombres dans la même unité se fait directement sentir et une fois cela fait, additionner 20 centièmes et 13 centièmes ne pose pas davantage de problèmes que l’addition de 20 billes et de 13 billes.

Éd

iti

1 . 3

– Exprimer le calcul «

4 1 – », « 4 cinquièmes – 1 cinquième », en considérant que les « cinquièmes » 5 5

sont les noms des morceaux, permet de prendre conscience que son résultat est aussi évident que celui de « 4 pommes – 1 pomme ».

Deridder M.-P., Hoeben S., Voyage en Calculie, Sambreville, Atzéo, 2018, p. 15. Clé n° 1 « toujours avec mon dénominateur ». Van den Borre A., La Mathématique en français, Bruxelles, Labor, 2000.

L E S N o m b r E S N At u r E L S

1.1. Les aspects du nombre La notion de nombre naturel et ses deux aspects – cardinal et ordinal – se dégagent de la comparaison de collections d’objets. Cette comparaison ne porte pas sur la nature des objets ou sur leurs caractéristiques (couleur, taille, allure…), mais sur la possibilité de mettre (ou non) ces collections en correspondance terme à terme.

La correspondance terme à terme est l’association des éléments de deux collections de manière à faire correspondre à un élément de la première un et un seul élément de la seconde et réciproquement.

Chaque souris est associée à un et un seul fromage. Il n’y a pas de souris sans fromage ni de fromage sans souris. On dit qu’il y a correspondance terme à terme entre la collection des souris et celle des fromages.

Deux collections équipotentes sont deux collections qui peuvent être mises en correspondance terme à terme. S

La collection S des souris et la collection F des fromages ne sont pas équipotentes. Il y a plus de souris que de fromages. Il y a moins de fromages que de souris. C’est à partir de cette notion de correspondance terme à terme et de collections équipotentes qu’une définition du nombre naturel est établie.

Éd

iti

La collection S des souris et la collection F des fromages sont équipotentes. Il y a autant de fromages que de souris.

Un nombre naturel est une propriété commune de collections pouvant être mises en correspondance terme à terme ou, autrement dit, une propriété commune à toutes les collections équipotentes. Le nombre naturel trois est une propriété commune des collections A, B, C et D.

PA r t I E 3 : N O M B R E S

Cette propriété numérique des collections est appelée cardinal des collections. C’est leur nombre d’éléments. Le cardinal des quatre collections, A, B, C et D vaut 3. Ces collections ont le même nombre d’éléments : 3.

1.1.1. Aspect cardinal du nombre naturel

Des collections peuvent être comparées selon leur nombre d’éléments. on peut les classer en prenant comme critère « avoir le même nombre d’éléments ».

Soit, en vrac, des images de collections de fruits.

On classe ces images de collections de fruits en colonnes, selon le même nombre de fruits.

Coll. de 2

Coll. de 3

Coll. de 1

Coll. de 5

Éd

iti

Coll. de 4

Dégager les nombres naturels de cette activité de classement, c’est mettre en évidence leur aspect cardinal. L’aspect cardinal des nombres naturels correspond à une quantité égale d’éléments pour des collections différentes. Chaque classe de collections équipotentes donne l’idée du nombre dans sa cardinalité. Ce nombre qui permet de dire la quantité associée à chaque collection est appelé nombre cardinal. Les collections de 4 éléments donnent l’idée du nombre 4, indépendamment de leur nature et de leurs caractéristiques : 4 est le cardinal de ces collections, c’est un nombre cardinal. Arriver à cette généralisation de l’aspect cardinal du nombre naturel est essentiel pour parler plus globalement de maitrise du nombre nécessaire au calcul. En effet, pour arriver à comprendre qu’un calcul comme 2 + 3 donne 5, il faut à la fois pouvoir se référer à des collections et en même temps s’en distancier. Derrière chaque nombre 2, 3 et 5, il y a une multitude d’objets qui peuvent être mis ensemble, être collectés. Par exemple, 2 crayons gris et 3 autres crayons dans mon plumier, 2 biscuits et 3 bonbons pour ma collation, 2 « bidules » et 3 autres « bidules »… Sans cet accès à l’aspect cardinal du nombre, l’abstraction du calcul est impossible.

L E S N o m b r E S N At u r E L S

1.1.2. Aspect ordinal du nombre naturel Des collections peuvent être comparées selon leur nombre d’éléments. on peut les ranger, les ordonner en prenant comme critère « nombre croissant2 d’éléments ». On range les images de collections de fruits en ligne, selon le nombre croissant de fruits.

Il suffit de remettre dans l’ordre croissant les colonnes obtenues lors du classement précédent.

Coll. de 1

Coll. de 2

Coll. de 3

Coll. de 4

Coll. de 5

Dégager les nombres naturels de cette activité de rangement, c’est mettre en évidence l’aspect ordinal des nombres naturels.

L’aspect ordinal des nombres naturels correspond à des quantités d’éléments plus petites ou plus grandes (et donc inégales) pour des collections différentes.

iti

De la colonne de gauche à la colonne de droite, on voit dans chaque ligne qu’il y a de plus en plus de fruits dans les collections. on voit 1 banane puis 2 cerises puis 3 mandarines, puis 4 bananes et enfin 5 mandarines. Chaque ligne montre des nombres croissants de fruits.

Éd

Ici, tant dans le classement que dans le rangement, les collections sont traitées exclusivement du point de vue du nombre de leurs éléments : égal ou différent et croissant. Les diverses sortes de fruits dans les images ne sont pas prises en compte. Néanmoins, pour les jeunes élèves, ceci peut être perturbant. Les diverses tailles des fruits peuvent influencer leur perception et leur faire dire que 1 banane, c’est plus que 2 cerises, que 4 pommes c’est plus que 5 prunes. Spontanément, ils vont accorder de l’importance à ces diverses sortes de fruits et ne comparer que ce qui, pour eux, est comparable : les bananes entre elles, les cerises entre elles… Se détacher de cela est un pas supplémentaire dans l’abstraction qu’ils feront plus tard.

Chaque ligne de collections ordonnées donne ainsi l’idée d’ordre entre les nombres : 2 (fruits), c’est plus que 1 (fruit), le nombre 2 est plus grand que le nombre 1 ; 3 (fruits), c’est plus que 2 (fruits), le nombre 3 est plus grand que le nombre 2…

On pourrait aussi considérer le nombre décroissant d’éléments. 93

PA r t I E 3 : N O M B R E S

Arriver à cette généralisation de l’aspect ordinal du nombre naturel est tout aussi essentiel pour parler plus globalement de maitrise du nombre nécessaire au calcul.

Dans un calcul retrait comme 15 – 8 qui donne 7, pour enlever les 8 unités, il faut réaliser qu’il faut aussi en prendre dans la dizaine formant 15, puisque 5 unités, c’est moins que 8 unités, puisque 5 est plus petit que 8.

En se référant par ailleurs à des collections d’objets, quels que soient les objets, les enfants perçoivent bien qu’on ne peut pas retirer 8 objets hors de 5 objets, 8 objets étant plus que 5 objets.

1.1.3. Articulation entre aspect cardinal et aspect ordinal

Le nombre ne peut se concevoir que comme une idée abstraite qui lie de manière indissociable l’aspect cardinal et l’aspect ordinal. L’articulation entre ces deux aspects peut se voir au travers de diverses manipulations de collections. Classer et ranger des collections

■

Ces deux aspects se dégagent d’une double activité de classement et de rangement de collections, avec comme critère – de classement : avoir le même nombre d’éléments ; – de rangement : avoir un nombre croissant (décroissant) d’éléments.

Éd

iti

reprenons les images de collections de fruits et réalisons le classement et le rangement sous forme de tableau à double entrée, en suivant cette fois les différentes sortes de fruits (voir tome 1, traitement de données § 3.2.2. et § 3.1.).

Coll. de 1

Coll. de 2

Coll. de 3

Coll. de 4

Coll. de 5

L E S N o m b r E S N At u r E L S

Ce tableau montre les deux aspects des nombres. – Chaque ligne met en évidence l’accroissement des quantités des collections différentes, donc la succession ordonnée des nombres, leur position relative. C’est l’aspect ordinal. 4, c’est plus que 3 et moins que 5, le nombre 4 se situe entre 3 et 5 ; –

Chaque colonne met en évidence la permanence d’une même quantité pour des collections différentes. C’est l’aspect cardinal.

1 est le cardinal des collections :

■

lucaS F. et al., Élucider la numération pour mieux calculer, Louvain-la-Neuve, De boeck, coll. math & Sens, 2015. LA mAtIÈrE 2.1. Les aspects du nombre naturel.

Emboiter des collections

Lorsque les collections comparées sont constituées des mêmes objets qui s’accumulent, des mêmes objets en nombre croissant, on peut les emboiter3.

On recommande de manger 5 fruits et légumes par jour. Au fil de la journée, je consomme un fruit ou un légume de plus.

Dans une collection de 5 bananes, on voit celles de 4, de 3, de 2, de 1 banane. Dans une collection de points également.

Éd

iti

L’aspect cardinal correspond aux collections de même nombre d’objets : 3 fruits et légumes, 3 bananes, 3 points. Vu l’emboitement, l’inclusion des collections, on voit de manière plus explicite que tout nombre contient les précédents : dans 5, il y a 4, il y a 3, il y a 2, il y a 1. L’aspect ordinal correspond aux collections de nombre croissant d’objets avec le même ordre 1, 2, 3, 4, 5 qui se dégage de chaque série emboitée. Arriver à cette généralisation du lien entre les aspects cardinal et ordinal par l’emboitement de collections est aussi essentiel pour accéder à la maitrise du nombre nécessaire au calcul. En effet, pour comprendre un calcul retrait comme 5 – 3 qui donne 2, il faut voir derrière ces nombres 5, 3 et 2 une multitude de collections possibles, mais surtout il est important de comprendre que la collection de 3 fait partie de la collection de 5 et celle de 2 également. Il y a 5 crayons dans mon plumier, je retire les 3 crayons de couleur, il reste les 2 crayons gris. Plus généralement, il faut comprendre que « du 5 contient du 3 et du 2 ». Sans cet accès au lien entre aspect cardinal et aspect ordinal du nombre, l’abstraction de ce calcul est impossible. On retrouve cet emboitement dans certains livres pour enfants comme La chenille qui fait des trous de Carle E., réédité par Mijade en 1995. 3

PA R T I E 3 : N O M B R E S

Utiliser des collections de doigts levés Les doigts de la main sont un outil intéressant pour l’articulation entre le cardinal et l’ordinal. D’une part, ils montrent chaque aspect, selon que les doigts sont levés successivement ou simultanément. Pour indiquer la quantité d’éléments d’une collection, son cardinal, on lève simultanément le bon nombre de doigts. Pour indiquer la succession des nombres, pour marquer l’ordinalité, on lève les doigts un par un, successivement. Lorsqu’on lève les doigts un à un, on obtient une collection de doigts, qui se complète. Le cardinal est la vue globale de ce qui a été compté successivement. ■

1er élément d’une collection de 1 objet.

Le premier doigt levé constitue le

Le deuxième doigt levé constitue le 2e élément d’une collection de 2 objets.

Le troisième doigt levé constitue le 3e élément d’une collection de 3 objets.

Le quatrième doigt levé constitue le 4e élément d’une collection de 4 objets. ordinalité

cardinalité

elz E., Initiation aux mathématiques par le bon usage des doigts, Louvain-La-Neuve, Academia, V 2020.

1.1.4. Notions liées à ces deux aspects du nombre La notion de quantité est une propriété de collection et non une propriété d’objet. Il est important de comprendre que la quantité n’est pas une caractéristique d’un seul objet, comme le serait une de ses grandeurs, mais bien une caractéristique d’une collection (éventuellement de 1 objet) indépendamment de la nature des objets qui s’y trouvent. Les mots-nombres ou les écritures chiffrées, lorsqu’ils réfèrent au cardinal de collections et répondent à la question « combien de », expriment une quantité.

Éd

iti

■

Pour cette recette, j’ai besoin de six pommes et de 125 grammes de sucre. Le « six » nous dit combien de pommes il faut prendre et le « 125 » nous dit combien de grammes de sucre prévoir. « Six » et « 125 » nous disent des quantités d’ingrédients.

La notion de position peut être reliée à l’aspect ordinal des nombres naturels. Des collections rangées selon leur nombre croissant d’éléments font apparaitre un ordre entre les nombres, des nombres plus petits, plus grands, des nombres qui viennent avant, après… Un nombre vient juste après (avant) un autre quand il vaut un de plus (un de moins) que l’autre. ■

un 1

deux 2

trois 3

quatre 4

cinq un 5 1

deux 2

trois quatre cinq 3 4 5

Quatre vient après trois, car quatre, c’est un de plus que trois ; quatre vient avant cinq, car c’est un de moins que cinq. 96

L E S N o m b r E S N At u r E L S

Les nombres naturels évoquent donc aussi leur position les uns par rapport aux autres. Par extension, ils peuvent servir à désigner des positions d’éléments qu’on parcourt successivement. Le nombre, dans ce cas, n’est pas la propriété d’une collection, mais celle d’un élément.

deux

trois quatre cinq

six

sept

huit

Cinq désigne ici la position de l’élément de la série, parcourue dans le sens de la lecture à partir du premier élément. Cinq signifie ici cinquième. Ce nombre qui dit une position est appelé nombre ordinal.

« Cinq » qui désigne une position d’élément est synonyme de « cinquième » et est un nombre ordinal.

■

Les mots-nombres ou les écritures chiffrées, lorsqu’ils réfèrent à de l’ordinal et répondent à la question « où ? », « le quantième ? », expriment une position (dans une suite ordonnée). – Hier, nous avons réalisé les exercices 1 et 2 de la feuille. Aujourd’hui, nous recommençons à l’exercice 3 et nous poursuivons. Le « 3 » indique que l’exercice à réaliser est situé entre le deuxième et le quatrième. Il nous dit où se situe l’exercice sur la page. – Au touché-coulé, je propose la case A7. Le 7 désigne la septième colonne. – Je crois que je vais attendre encore un moment à la boucherie. J’ai le ticket 37 et c’est le 32 qui est servi pour le moment. Il reste plusieurs clients avant moi. – Nous avons rendez-vous le 13 mars à 10 h. Ce rendez-vous peut être positionné précisément dans l’agenda. Dans la litanie, les mots-nombres peuvent évoquer « du cardinal » ou « de l’ordinal ».

Imaginons les fromages d’une collection passés en revue, en associant à chacun un mot-nombre de la litanie (voir § 1.3.1.), récitée dans l’ordre.

Que signifient ces mots-nombres ? tout dépend de la façon dont on les relie physiquement ou mentalement aux éléments de cette collection. un

iti

deux

Éd

trois quatre

Chaque mot-nombre relié à un élément peut évoquer la position de l’élément dans l’énumération des fromages : un, le premier élément passé en revue puis deux, le deuxième élément passé en revue puis trois, le troisième… Les mots-nombres évoquent « de l’ordinal ».

cinq

un deux trois quatre

Chaque mot-nombre relié plutôt à une collection d’éléments évoque la quantité d‘éléments énumérés : un, déjà un fromage passé en revue puis deux (un et encore un), déjà deux fromages passés en revue, trois (deux et un de plus), on arrive à trois fromages passés en revue… Les mots-nombres évoquent « du cardinal ».

cinq

PA R T I E 3 : N O M B R E S

Souvent, le dernier mot récité est utilisé pour désigner la quantité de toute la collection. Ainsi, c’est important de s’assurer que ce dernier mot est bien compris comme représentant de la quantité et pas seulement comme le nom, le numéro, du dernier objet désigné (voir § 1.4.). Pour que le dernier mot prononcé corresponde au cardinal de la collection, il faut que les mots soient prononcés dans l’ordre, celui de la litanie (voir § 1.3.1.). ■

La distinction entre nombre cardinal et nombre ordinal est synthétisée dans ce tableau. Nombre cardinal

Nombre ordinal

collection

Le nombre est considéré comme mémoire d’une

quantité

La correspondance terme à terme (ou le comptage) s’effectue

sans ordre défini

Deux collections sont considérées comme équivalentes si leur composition est la même

du point de vue quantité

position

du point de vue ordre, position

quatre

un point 3

iti

évoque la position de l’élément pointé

quatre

un intervalle

Le nombre est représenté sur la droite des nombres (voir § 2.2.) par

avec ordre donné

évoque la quantité, le cardinal de la collection (idée de totalisation)

Lors de la récitation de la litanie face à une collection, le dernier mot-nombre prononcé

élément

Le nombre est vu comme la propriété d’une/d’un

1.2. Les fonctions des nombres

Éd

Au début de la scolarité, trois fonctions du nombre sont à retenir : comparer, mémoriser et anticiper.

1.2.1. Les nombres pour comparer Les nombres permettent de comparer des collections d’objets dans le cas où la différence n’est pas suffisante pour déterminer sans équivoque celle qui contient le plus d’éléments ou lorsque les collections sont éloignées ou encore si on veut une comparaison précise.

■

Pour des collections d’objets peu nombreux

On peut comparer les collections en s’appuyant sur la perception. C’est possible grâce au subitizing (voir § 2.).

D’un seul coup d’œil, Flora réalise qu’il lui reste autant de perles bleues que de perles vertes et qu’il lui reste moins de perles jaunes. Elle identifie directement qu’il reste trois perles bleues, trois vertes et deux jaunes.

L es n o m b r es nat u r els

■

Pour des collections plus importantes

On peut recourir à la correspondance terme à terme (voir § 1.1.) ou au comptage4 puis à la comparaison des résultats de ces comptages.

La comparaison entre deux collections peut s’effectuer selon l’aspect cardinal. Si on réalise une correspondance terme à terme entre deux collections A et B et que le résultat montre des éléments isolés dans A, on dira que le cardinal de A est plus grand que celui de B et que celui de B est plus petit que celui de A.

Flora place ses perles vertes et ses perles bleues, alignées, les unes en dessous des autres. Elle peut ainsi comparer les quantités qu’il lui reste : en effectuant mentalement une correspondance terme à terme, elle s’aperçoit qu’il lui reste plus de perles vertes.

Sur le plan cardinal, un nombre x est plus grand qu’un nombre y si x correspond au cardinal d’une collection contenant plus d’éléments qu’une autre de cardinal y. Il est plus petit dans le cas contraire.

Le nombre 6 est plus petit que le nombre 8, car il correspond au cardinal des collections comportant deux éléments de moins que celles dont le cardinal est 8. Les comparaisons portant sur les nombres peuvent également être effectuées selon l’aspect ordinal : un nombre x est plus grand qu’un nombre y s’il se trouve plus loin dans la liste ordonnée des motsnombres.

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

huit

neuf

■

Le nombre huit est plus grand que le nombre six (8 > 6), car il est situé plus loin dans la litanie des mots-nombres. Il est plus petit que le nombre neuf (8 < 9), car il est situé avant. Pour les collections d’un trop grand nombre d’objets

iti

On peut les regrouper et ce sont les nombres de groupements qui sont comparés. Cet accès au comptage de groupements est la base de tous les systèmes de numération (voir § 4.). Il demande une certaine abstraction, les groupements devenant la nouvelle unité de comptage.

Éd

Il reste trop de perles à Flora pour les compter une à une. Cette fois, elle réalise un maximum de paquets de dix perles. Dix paquets de dix perles forment un « gros paquet ». Elle a deux « gros paquets » de perles vertes et autant de perles bleues, mais quatre paquets de vertes contre deux paquets de bleues. Quel que soit le nombre de perles restantes, elle sait qu’il lui reste plus de perles vertes que de perles bleues.

Pris ici au sens familier pour signifier ce qu’on appellera plus rigoureusement dénombrement (voir § 1.4.).

PA R T I E 3 : N O M B R E S

1.2.2. Les nombres pour mémoriser Le nombre, dans son aspect cardinal, sert de mémoire d’une quantité. Il permet ainsi d’évoquer cette quantité et éventuellement de la communiquer, sans qu’elle soit présente. Madame Micheline doit faire des photocopies pour sa classe. Elle sait que sa classe compte 23 élèves, elle devra donc effectuer 23 copies pour qu’il y en ait une pour chacun. Dans son aspect ordinal, le nombre sert de mémoire d’une position, d’un ordre. Il permet ainsi d’évoquer la place dans une liste rangée.

Aujourd’hui, nous reprenons notre feuille d’exercices. Hier, nous avions terminé le troisième, aujourd’hui, nous devons commencer le quatrième.

1.2.3. Les nombres pour anticiper

Les nombres, utilisés dans les calculs, permettent également d’anticiper des résultats. Grâce à eux, le résultat d’une action, d’une opération, peut être connu avant même de la réaliser. Il est également possible d’anticiper le résultat d’une action dans le cas où les quantités ne sont pas visibles.

– Malo et Line déplacent des chaises dans un local. Il en faut 80 en tout. Malo en a déjà apporté 24 tandis que Line en a déjà déplacé 30. Il n’est pas nécessaire de retourner dans le local et de compter les chaises pour savoir qu’il y en a déjà 54 et qu’il en manque 26.

– L’institutrice montre une boite noire (opaque) aux élèves et annonce : « la boite contient 8 jetons ». Elle en ajoute 5. Les élèves sont invités à chercher, sans les voir, le nombre de jetons que contient la boite. La manipulation pourra confirmer le résultat qui aura été anticipé par les élèves et non constaté par un éventuel dénombrement.

1.3. Les désignations des nombres

iti

Le nombre est un objet mathématique abstrait qui nécessite de passer par une désignation si on souhaite en garder une trace ou le communiquer. Il faut, pour se le rappeler ou l’utiliser, lui donner un nom et le symboliser. Ainsi, on utilise

des désignations verbales (mots-nombres) pour dire les nombres : quatre pommes ;

–

des désignations schématiques5 pour les voir :

–

des désignations symboliques pour les écrire : 4 pommes.

Éd

–

100

Communément appelées représentations analogiques.

| | | | pommes ou

pommes ;

L E S N o m b r E S N At u r E L S

Chacune de ces désignations renvoie au nombre, mais aucune n’est le nombre. Verbaliser

quat�e

Objet nombre Schématiser

1.3.1. Désignations verbales des nombres

Symboliser

on peut désigner les nombres au moyen de mots : on les verbalise. Les mots-nombres, utilisés oralement pour dire les nombres, peuvent être écrits en lettres, on parle de l’écriture numérale des nombres (un, deux, trois…). La litanie, parfois appelée chaine numérique, est la suite orale ordonnée des mots-nombres désignant les nombres naturels à partir de un : un, deux, trois… Chaque mot de la litanie est une désignation verbale d’un nombre. Elle commence à un et non à zéro, car elle est utilisée pour dénombrer et on ne dénombre pas à partir de zéro.

Il existe différents stades de compréhension de la suite des mots-nombres, que nous ne développons pas ici. cHeValier a., Réussir l’entrée en mathématiques, mons, Couleur Livres, 2020, p. 58. Paragraphe sur la litanie des mots-nombres. PiaGet J., SzeMinSKa a., La genèse du nombre chez l’enfant, Paris, Delachaux et Niestlé, 1991.

iti

L’enfant qui dispose de la litanie comme d’une collection de mots distincts, mémorisés dans l’ordre, peut l’utiliser comme une collection intermédiaire. Lors du dénombrement, le dernier mot prononcé de la litanie correspond au nombre d’objets recensés dans la collection.

Éd

Tim met la table pour son anniversaire. Il compte le nombre d’invités et déclare « nous serons sept ». Face à la pile d’assiettes, il les compte une à une. Arrivé à sept, il sait qu’il peut prendre cette quantité d’assiettes pour assurer à chaque invité de recevoir sa part de gâteau.

1.3.2. Désignations schématiques des nombres on peut désigner les nombres à l’aide de dessins, de schémas : on les schématise. Les schémas utilisés pour évoquer les nombres sont souvent construits avec des points ou des barres, on parle de représentations analogiques des nombres. Les représentations analogiques sont des collections indépendantes du langage, qui permettent de voir le nombre, de le représenter, de le désigner de manière décontextualisée tout en gardant sa dimension quantitative. Voici un groupe d’amies : Pour garder trace du nombre d’amies dans ce groupe (ici six), il n’est pas nécessaire de les dessiner chacune, on peut se contenter de dessiner un point ou de tracer un trait par amie. 101

PA r t I E 3 : N O M B R E S

Ce nombre d’amies est représenté sous forme analogique par

||||||.

Ces collections de points, de traits, sont des représentations analogiques du nombre six. une collection d’objets semi-abstraits6 (traits, points…) qui sert à désigner un nombre, à en témoigner, est également appelée collection-témoin. Il s’agit d’une collection intermédiaire dont le cardinal correspond au nombre qu’on souhaite désigner.

Les traits gravés par le prisonnier sur les murs de sa cellule témoignent du nombre de jours passés en prison. L’ensemble de ces traits constitue une collection-témoin.

Les collections-témoins sont particulièrement utiles pour le jeune enfant qui n’a pas encore accès aux mots-nombres ou aux chiffres. Il peut ainsi exprimer des nombres en utilisant des collections-témoins, de doigts par exemple. Ces collections-témoins permettent également d’estimer, de comparer, voire de calculer sans devoir recourir à des écritures chiffrées. – Lorenzo voudrait trois biscuits. Pour montrer qu’il en veut trois, il lève trois doigts. – Tim aide à mettre la table pour le gouter. Il détermine le nombre d’invités en les énonçant sur ses doigts. À chaque prénom, il lève un doigt. À la fin, il a sept doigts levés. Cette collection de doigts témoigne du nombre de personnes qui auront besoin d’une assiette.

– Lorsqu’on compte les points des différents joueurs, plutôt que d’écrire 1 puis de barrer le chiffre pour écrire 2 et ainsi de suite, on préfèrera tracer un trait par point. En ayant pris soin de réaliser des groupements de 5 traits, on peut facilement déterminer le gagnant.

Les schèmes (voir § 2.1.) peuvent servir de représentations analogiques pour les petits nombres, jusque 10, voire jusque 20. Les schèmes des doigts, aussi appelés configurations de doigts, permettent de représenter les nombres.

Éd

iti

Ici, sept est montré par les cinq doigts d’une main (la main entière) et deux doigts de l’autre main. Ainsi représenté, sept se distingue aisément de six ou de huit.

Au-delà de 20 et plus particulièrement au-delà de 100, le matériel de numération devient un outil intéressant pour représenter les nombres sans les nommer ou les écrire (voir § 4.4.).

1.3.3. Désignations symboliques des nombres on peut désigner les nombres à l’aide de symboles : on les symbolise. Les symboles utilisés pour écrire les nombres sont des chiffres, on parle de l’écriture numérique des nombres (1, 2, 3…). Un chiffre est un symbole utilisé pour écrire un nombre. Contrairement aux représentations analogiques, ces écritures ne permettent pas un accès direct et intuitif au nombre représenté. Il faut avoir appris à décoder ces écritures et s’être créé des images mentales solides pour « voir » le nombre derrière ces écritures.

102

Voir tome 1, Traitement de données § 2.

L es n o m b r es nat u r els

1.3.3.1. Distinction entre chiffre et nombre Si le nombre est universel, son écriture est culturelle. Ainsi, on retrouve différents chiffres pour désigner un même nombre selon les cultures ou selon les époques, par exemple des chiffres romains ou des chiffres indo-arabes (voir § 4.2.). Le nombre

Le chiffre Un ou des symboles représentant la réalité : le signifiant

Le concept numérique universel

Un symbole, une représentation écrite, culturelle qui dépend du lieu, de l’époque

Le nombre naturel « sept », comme – les 7 jours de la semaine, les 7 couleurs de l’arc-en-ciel… – les 7 nains, leurs 7 chapeaux, leurs 7 pioches…

Quelques écritures de ce nombre, à l’aide de – un seul chiffre indo-arabe : 7 – un seul chiffre arabe : – trois chiffres romains : VII (une fois le V et le chiffre I répété deux fois) – sept chiffres babyloniens : (le chiffre répété sept fois)

Réalité représentée symboliquement : le signifié

Dans notre culture, l’écriture chiffrée est marquée par un système de codage très élaboré, positionnel et en base dix (voir § 4.3.1.). Ce système est d’une telle efficacité qu’il est aujourd’hui utilisé de façon universelle. Dans ce système de numération décimale, les nombres entiers de zéro à neuf s’écrivent à l’aide d’un seul chiffre tandis que les nombres à partir de dix s’écrivent à l’aide de minimum deux symboles, deux chiffres.

Une croyance populaire veut qu’on parle de chiffres pour désigner les quantités de 0 à 9 et de nombres à partir de 10. Il n’en est rien.

iti

Dire que « les chiffres, c’est de 1 à 9 et les nombres, c’est à partir de 10 », c’est ne pas comprendre que s’il existe dans notre système de numération des chiffres de 1 à 9, ils désignent également neuf nombres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9). De plus, c’est oublier de tenir compte du chiffre 0.

Éd

Cette croyance erronée entretient la confusion entre le concept mathématique (le nombre, le signifié) et sa représentation (l’écriture chiffrée, le signifiant), qui dépend de conventions et peut varier selon les cultures. Cette confusion est renforcée par l’emploi, dans le langage courant, de formules telles que « chiffre d’affaires », « chiffre rond », « chiffre des dépenses ». Dans ces contextes de la vie courante, le terme chiffre désigne en réalité un nombre (représenté par des chiffres) et cela ne pose aucun problème de compréhension. Dans un contexte scolaire, où l’implicite peut être cause d’incompréhensions et de malentendus cognitifs pour certains élèves, il est préférable d’employer les termes mathématiquement corrects. On évitera ainsi de dire qu’on étudie le chiffre 6 si l’étude porte sur le nombre dans ses différents aspects. L’étude du chiffre 6, c’est l’étude graphique du symbole.

et 9 : le Pour comprendre la différence, on peut comparer les écritures chiffre 1 est plus grand que le chiffre 9, mais 9 est un nombre plus grand que 1. On peut également réaliser un parallèle avec la langue française : la majorité des mots s’écrivent à l’aide de plusieurs lettres, comme la majorité des nombres s’écrivent à l’aide de plusieurs chiffres. Pourtant, certains mots s’écrivent parfois à l’aide d’une seule lettre (« à », « y » par exemple), comme certains nombres s’écrivent à l’aide d’un seul chiffre (1 ou 9 par exemple).

103

PA R T I E 3 : N O M B R E S

1.3.3.2. Significations des écritures chiffrées Les écrits chiffrés peuvent prendre des significations différentes : il peut s’agir d’un nombre (cardinal ou ordinal) ou encore d’un numéro. Le tableau suivant montre les différences entre ces écritures chiffrées. Lorsque les écritures chiffrées expriment une quantité

une position

un nom, une désignation

« le quantième ? » (« où ? »)

« lequel, laquelle ? » (« qui ? »)

« combien ? » (« combien de ? ») ils désignent alors un nombre cardinal

numéro

iti

nombre ordinal

ils répondent à la question

et dans ce cas

Éd

on peut utiliser ces écritures chiffrées pour calculer, car il est possible d’opérer à partir de leur valeur.

on n’utilise jamais ces écritures chiffrées pour compter ou calculer. Ces numéros ne sont jamais écrits en lettres.

Les catégories d’écritures chiffrées permettent de s’y retrouver dans un univers complexe. Les chiffres peuvent être interprétés de différentes manières selon le contexte. Je dévore mon nouveau roman : je suis déjà à la page 246. Dans ce cas, 246 renvoie à l’aspect ordinal : je lis les pages dans l’ordre, après la 245 vient la 246. Toutefois, 246 renvoie aussi au nombre de pages déjà lues, ce qui correspond alors à l’aspect cardinal. Le langage courant prête parfois à confusion. Le mot numéro peut désigner des numéros de téléphone, de bus, de loterie… Dans ce cas, il est question de numéro au sens « désignation d’un objet pour le distinguer d’un autre ». Les numéros du loto sont sortis : il fallait jouer les numéros 11, 4, 6, 28, 5 et 42 pour gagner le gros lot.

104

L es n o m b r es nat u r els

Les chiffres peuvent désigner des numéros de maisons, de quai de gare… Dans ce cas, ces numéros désignent aussi un nombre ordinal, les éléments étant « numérotés » dans un ordre bien précis, pour indiquer leur position. – C’est au tour du n° 378 de passer au guichet. – Mathéo doit se rendre au numéro 56 de la rue Bonchemin. S’il est au numéro 12 de cette même rue, il sait dans quel sens se diriger et il peut estimer s’il est bientôt arrivé.

Parfois, il est difficile de trancher avec certitude et de trouver le mot exact pour exprimer un nombre, un chiffre ou un numéro. C’est le cas des chiffres de l’horloge. On peut dire que la petite aiguille pointe le chiffre 7 lorsqu’il est 7 h. On ne pourra pas en dire autant s’il est 10, 11 ou 12 h puisqu’il y a alors deux chiffres pointés. Dans le langage courant, heureusement, on peut se contenter de dire « la petite aiguille est sur le 10 ».

1.4. Le dénombrement

Lucas F. et al., Élucider la numération pour mieux calculer, Louvain-La-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. Activités 1.12. Cherchons des chiffres autour de nous. Cycle 2,5-5 ans. 1.14. Baignons dans les chiffres, lisons-les en lien avec les nombres. Cycle 2,5-5 ans. sur le site myvanin.be

Précédemment, on a utilisé le terme « compter » qui correspond souvent, dans le langage courant, à une action réalisée lorsqu’on souhaite trouver le cardinal d’une collection. En mathématique, cette notion est plus complexe qu’il n’y parait.

Compter, c’est associer, dans l’ordre et à partir de un, un mot-nombre à chaque objet d’une collection.

iti

Le plus souvent, on compte pour déterminer une quantité d’objets d’une collection. Parfois, le comptage ne permet pas de déterminer le cardinal d’une collection. C’est le cas lorsque le dernier mot-nombre prononcé n’est pas reconnu comme désignant la quantité d’objets de la collection, mais plutôt comme le nom du dernier objet pointé. On parle de comptage-numérotage.

Éd

Pour passer du comptage-numérotage au dénombrement, il faut totaliser les unités comptées. Totaliser, c’est exprimer combien il y en a en tout. Cette idée de totalisation, de cardinalisation, permet de distinguer le comptage du dénombrement. Dénombrer, c’est compter-numéroter ET totaliser. C’est déterminer la quantité d’objets présents dans une collection, c’est répondre à la question « combien ? ». On peut parler de comptage-dénombrement pour désigner explicitement le comptage qui permet de déterminer le nombre d’objets d’une collection, c’est-à-dire de dénombrer. Le dénombrement demande la mise en œuvre de quelques principes7. Identifier les « uns »

Principe 2 : adéquation unique

Compter (-numéroter)

Principe 3 : cardinalité Principe 4 : invariance du cardinal et non-pertinence de l’ordre

Totaliser (cardinaliser)

Dénombrer

Principe 1 : création mentale des unités

Ces principes sont inspirés de ceux de Gelman et Gallistel et des étapes de Brissiaud. Les numéros de ces principes sont bien ici des désignations, pas nécessairement ordonnées. 7

105

PA R T I E 3 : N O M B R E S

Le premier principe est un préalable aux suivants. Le deuxième correspond au comptage-numérotage, insuffisant pour accéder au dénombrement s’il n’est pas associé à une totalisation, qui découle quant à elle des deux derniers principes. Chaque principe est développé ci-dessous.

1.4.1. Le principe de création mentale des unités Créer mentalement les unités est une étape indispensable au dénombrement un par un.

Identifier les unités demande de reconnaitre chaque objet d’une collection comme étant une composante élémentaire d’une totalité. Cela demande de concevoir qu’il est possible de rassembler et de compter ensemble toutes sortes d’éléments, qu’ils soient de même nature ou non8. Les éléments de la collection peuvent, en effet, être les mêmes, semblables ou complètement différents.

– Une collection de jetons : les jetons sont tous les mêmes et sont souvent utilisés comme collection-témoin.

Il faudra faire preuve d’abstraction pour reconnaitre comme « un » chaque élément, quelles que soient sa taille, sa position ou sa nature.

– Une collection de pommes : à quelques différences près, chaque pomme ressemble aux autres, il est facile de les considérer comme faisant partie d’une même collection.

– Une collection d’animaux : chaque individu de la collection est reconnu pour sa qualité d’animal, même s’il ne ressemble pas aux autres. Une sauterelle vaut « un » au même titre que l’éléphant.

iti

1.4.2. Le principe d’adéquation unique Pratiquer l’adéquation unique, c’est associer à chaque objet d’une collection à dénombrer un mot, le plus souvent un mot-nombre. On parle également d’énumération.

Éd

Énumérer, c’est prendre en compte, sans répétition ni oubli, chaque objet d’une collection. Pour réussir l’adéquation unique, il s’agit de distinguer les objets déjà comptés de ceux qu’il reste à pointer. Si la verbalisation qui accompagne l’énumération est la récitation des mots-nombres successifs, il faut que ces derniers soient toujours récités dans le même ordre stable : celui de la litanie. Il n’est toutefois pas nécessaire que l’action associée à la prise en compte des unités soit la récitation de la litanie. Un seul mot peut être prononcé (« hop, hop, hop… » ou « et de un, encore un, encore un… ») ou un geste effectué (pointer du doigt ou déplacer légèrement l’objet pris en compte). Désigner les objets par leur nom, un par un, est déjà une première forme d’énumération. Lucas, 2 ans et passionné de voitures, observe trois bolides flamboyants. Son papa les désigne : « il y a une voiture rouge, une voiture noire et une voiture jaune ». Pour les désigner indépendamment de leur couleur, il pourrait lui dire « une voiture, une autre voiture et encore une autre » ou même « une, encore une et encore une ». Lorsque le mot prononcé lors du pointage est un mot-nombre, il y a une correspondance terme à terme entre les éléments de la chaine numérique (la litanie) et ceux de la collection. C’est en général ce qu’on veut dire lorsqu’on emploie le verbe « compter ». Lucas observe les voitures et demande combien il y en a. Son papa lui répond en les pointant chacune : « une, deux, trois ». 8

106

En général, on constitue une collection parce que les éléments présentent au moins un caractère commun.

L es n o m b r es nat u r els

Une fois le principe d’ordre stable établi, on peut gagner du temps en pratiquant le comptage par deux, par trois… Au lieu de pointer les objets un à un, on peut, par un geste ou un mot, désigner des duos d’éléments. Les mots prononcés seront ceux de la suite des nombres pairs. C’est le comptage par deux. L’énumération ne garantit pas la totalisation, pourtant indispensable à la conception du nombre. On peut énumérer sans totaliser. C’est le cas lors du comptage-numérotage, où le dernier mot prononcé est compris comme étant le nom du dernier objet pointé.

La totalisation découle des deux principes suivants.

1.4.3. Le principe de cardinalité

Le mot-nombre utilisé pour désigner le dernier élément de l’énumération doit être identifié comme le nombre d’éléments de la collection, à savoir son cardinal. Sans cela, le comptage est vide de sens. C’est ce qu’on observe lorsqu’on demande à un jeune enfant « combien y a-t-il de… » et qu’il répond par un nouveau comptage, sans parvenir à donner le dernier mot prononcé lorsqu’on lui demande « et donc, il y en a combien ? ».

cinq

1.4.4. Les principes d’invariance du cardinal et de non-pertinence de l’ordre

Percevoir l’invariance du nombre cardinal d’une collection, c’est parvenir à isoler le nombre d’éléments et réaliser qu’il est permanent malgré les modifications apportées à la forme, à la couleur, à la grandeur ou encore à la disposition des éléments qui composent la collection.

iti

■

Pour reconnaitre le dernier mot-nombre prononcé comme étant la quantité d’objets dénombrés, il faut percevoir l’invariance du nombre cardinal d’une collection et la non-pertinence de l’ordre.

Modification de couleur

Éd

Modification de forme

cinq ■

cinq

Modification de grandeur

cinq

Modification de disposition

cinq

Percevoir la non-pertinence de l’ordre, c’est observer que l’ordre dans lequel les éléments sont dénombrés et l’origine du dénombrement n’affectent pas le résultat (pourvu que le principe d’adéquation unique soit respecté). On parle aussi d’indépendance du cardinal. On dénombre en commençant par la droite. cinq

cinq On dénombre en commençant par la gauche. 107

Pourquoi enseigner

le comptage-dénombrement ? >

Le comptage peut permettre le dénombrement, mais ce n’est pas une évidence. Pour que le comptage fournisse une réponse à la question « combien ? », il faut dépasser le comptagenumérotage.

Le comptage-numérotage n’assure pas la totalisation. or, terminer par exprimer combien il y a en tout, en s’assurant que le mot-nombre est bien compris comme représentant de plusieurs éléments, est primordial.

trois

quatre,

« un et encore un, ça fait deux et encore un, ça fait trois et encore un, ça fait quatre »

« un deux il y a quatre balles »

Cette totalisation pourra être montrée de différentes manières et grâce à différents supports. – Face à une collection à dénombrer, au lieu de pointer les objets un à un avec un doigt, je lève chaque fois un doigt supplémentaire pour montrer la collection qui s’agrandit.

comptage-numérotage

comptage-dénombrement

– Face à la droite des nombres, au lieu de pointer chaque graduation, on peut insister sur la longueur du segment qui augmente. Cela peut se faire en partant de zéro jusqu’au nombre cité avec un mouvement qui devient de plus en plus ample. 1

iti

Éd

« un

« un deux trois quatre »

mise en évidence de l’ordinalité

deux etc. »

mise en évidence du cardinal qui s’agrandit

baruK S., Comptes pour petits et grands, pour un apprentissage du nombre et de la numération fondé sur le langage et le sens, Paris, magnard, 1997, chapitre 2 (petits). briSSiauD r., Premier pas vers les maths, Paris, retz, 2007, p. 21 et suite. § Dénombrer en construisant une collection-témoin : pourquoi, comment ? cHarnaY r., Comment enseigner les nombres entiers et la numération décimale ?, Paris, Hatier, 2013, p. 30-33. cHeValier A., Réussir l’entrée en mathématiques, mons, Couleur Livres, 2020, p. 52. § Les nombres pour dire des quantités. 108

IN N

Éd

iti

Opérations et calcul

PA R T I E 4 : O P É R AT I O N S E T C A LC U L

Introduction Après l’étude des nombres viennent les opérations sur ceux-ci. Dans cette partie, nous clarifions tout d’abord ce qu’on entend par « opération » en mathématique.

Nous définissons ce qu’on appelle « les quatre opérations fondamentales » – addition, soustraction, multiplication, division – à partir des notions de somme, différence, produit et quotient de nombres naturels. Les définitions sont centrées sur l’aspect cardinal des nombres. Elles ne doivent évidemment pas être enseignées telles quelles aux élèves. L’addition et la multiplication sont associées, chacune, à deux définitions différentes qui permettent de dégager des dynamiques opératoires distinctes. La soustraction et la division peuvent être vues comme opérations réciproques respectivement de l’addition et de la multiplication. Là aussi, plusieurs dynamiques opératoires apparaissent.

Le chapitre sur les sens des opérations développe ces dynamiques opératoires et les sens au quotidien, dans le champ additif d’une part, dans le champ multiplicatif d’autre part. Ils sont illustrés par des exemples, des représentations graphiques et enfin des schématisations plus abstraites. De nouveau, les dénominations et définitions de ces sens ne doivent pas être enseignées telles quelles, mais doivent être explorées à travers de nombreux exemples. C’est en s’appuyant sur ces différents sens qu’on peut comprendre, par la suite, les propriétés des opérations qu’il est possible d’étendre aux ensembles des nombres décimaux à virgule, rationnels et réels. Les notions de puissances et racines, s’appuyant sur les propriétés, peuvent alors être abordées.

Tous ces contenus trouvent leur utilité dans le chapitre consacré au calcul. Nous y présentons trois clés pour calculer (mobiliser des images mentales, les sens et les propriétés des opérations, le sens de l’égalité) et quatre grandes stratégies de calcul, dont l’utilisation de la calculatrice. Nous développons la construction des répertoires de calculs automatisés, les procédés essentiels de calcul réfléchi (décompositions, compensation) et les algorithmes de calcul écrit.

Éd

iti

Dans le dernier chapitre, nous nous appuyons sur les images mentales que sont les représentations figurées pour dégager différentes familles de nombres. Nous nous arrêtons ensuite sur le concept de divisibilité en définissant et en explicitant les notions de « diviseur » et de « multiple », de nombres premiers, de PGCD, de PPCM ainsi que les caractères de divisibilité… tout cela en passant par la construction, les représentations et la mémorisation des tables de multiplication.

148

O p é r at i o n s , u n m o n d e va s t e e t co m p l e x e

1. Opérations, un monde vaste et complexe 1.1. Qu’entend-on par « opération » ? Au sens général, une opération désigne le plus souvent une action concrète, méthodique, sur un objet ou un ensemble d’objets, qui vise à un résultat. Le mot « objet » est ici pris au sens large.

Au sens quotidien, les opérations peuvent être des actions concrètes. – Une opération chirurgicale, une opération de sauvetage, l’opération CAP48… – Transformer la maison en agrandissant certaines pièces, en repeignant les murs, en mélangeant des couleurs.

On peut effectuer des opérations dans divers domaines mathématiques. – Transformer des figures planes par des symétries, des rotations, des agrandissements… – Combiner des triangles en les juxtaposant pour obtenir certains quadrilatères.

Dans le domaine des nombres, les éléments sur lesquels on opère appartiennent souvent à différentes catégories. On peut opérer sur des grandeurs continues ou discontinues (voir tome 1, Grandeurs § 1.1. et § 1.2.), pouvant être prises dans leur aspect cardinal ou ordinal. – 6 chats + 2 chats = 8 chats : grandeur discontinue (nombre de chats), prise dans son aspect cardinal. – 6 × 1,5 kg = 9 kg : grandeur continue (masse), prise dans son aspect cardinal. – 2e étage + 3 étages = 5e étage1 : grandeur discontinue (nombre d’étages), prise dans ses aspects cardinal (3) et ordinal (2e, 5e). – Je pars à 7 heures, je roule pendant 2 heures et j’arrive à 7 h + 2 h = 9 h : grandeur continue (durée), prise dans ses aspects cardinal (2 h) et ordinal (7 h, 9 h).

iti

On peut aussi opérer sur des nombres sans contexte, souvent pour exercer divers procédés de calcul réfléchi2 et divers algorithmes de calcul écrit (voir Opérations et calcul § 7.5. et § 7.7.). Dès l’école secondaire, on se dirige vers de nouvelles abstractions en opérant sur des variables (x, y…) (voir partie Algèbre).

1.2. Opérer a-t-il toujours du sens ?

Éd

Quels que soient les « objets » sur lesquels on opère, certaines contraintes de sens sont à respecter.

■

Dans le champ additif

Si l’on veut additionner ou soustraire des grandeurs, elles doivent être de même nature. – Pour le gouter, j’ai 3 pommes et 4 poires, cela me fait 7 fruits3. – Pour réaliser 30 cl de ce délicieux cocktail, Tim a versé dans un verre 10 cl de porto et 20 cl de tonic. – Je pesais 50 kg et j’ai perdu 2 kg, je pèse maintenant 48 kg.

Il faut également que l’opération posée ait du sens par rapport au contexte. La longueur de mon auto est de 5 m et la hauteur de ma maison est de 11 m. Il s’agit bien de grandeurs de même nature, mais additionner ou soustraire ces deux longueurs n’aurait aucun sens par rapport à la situation décrite. Nous nous autorisons ici une écriture mélangeant aspects cardinal et ordinal, qui peut sembler abusive ou peu rigoureuse, mais qui correspond bien à la réalité de la situation. 2 On parle aussi de calcul mental. 3 Il est bien entendu qu’on ne peut pas « additionner des pommes et des poires », mais il est possible d’additionner des nombres de fruits. En effet, « être un fruit » est une caractéristique commune à l’ensemble des pommes et à l’ensemble des poires, on peut donc les réunir en un ensemble de fruits. 1

149

PA R T I E 4 : O P É R AT I O N S E T C A LC U L

■

Dans le champ multiplicatif

Ici aussi, l’opération posée doit avoir du sens par rapport au contexte.

Il est possible de multiplier ou diviser entre elles des mesures de grandeurs de même nature, mais aussi des mesures de grandeurs de natures différentes, continues ou discontinues. – La longueur de mon jardin est de 28 m et la largeur est de 11 m ; sa superficie est donc de 28 × 11 × 1 m² = 308 m². – Cette bouteille de 75 cl peut contenir la même quantité de liquide que 6 flacons de 125 ml, car 750 ml : 125 ml = 6. – J’achète 2 kg de pommes à 3,2 € le kilo, cela coutera 2 kg × 3,2 €/kg = 6,4 €. – J’ai effectué 20 km à vélo en 75 min (1 heure quart), ma vitesse moyenne était donc de 20 km : 1,25 h = 16 km/h. – Le camion-benne a déjà amené 3 cargaisons de 6 m³ de sable, cela fait en tout 3 × 6 m³ = 18 m³.

La longueur de mon auto est de 5 m et la hauteur de ma maison est de 11 m. Multiplier ou diviser ces deux longueurs n’aurait à nouveau pas de sens par rapport à la situation décrite.

Dans ce qui précède, nous avons volontairement écrit les unités dans tous les calculs, ce qui rend compte plus explicitement de certaines situations. Écrire les unités est utile notamment dans la résolution de problèmes en lien avec des grandeurs proportionnelles ou encore en physique. Dans la division « 20 km : 1,25 h = 16 km/h », l’écriture des unités traduit bien la réalité d’une distance comparée à une durée et elle justifie l’unité de mesure de vitesse.

iti

Par contre, dans d’autres situations, les unités, bien qu’elles reflètent la réalité de la situation, alourdissent l’écriture. Pour la multiplication « 2 kg × 3,2 €/kg = 6,4 € », on écrira plutôt « 2 × 3,2 € = 6,4 € ».

Éd

erger C. et al., Construire la multiplication et les tables, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. B Math & Sens, 2017. LA MATIÈRE, 2.3.3. Balleux L. et al., Mobiliser les opérations avec bon sens !, Bruxelles, De Boeck, coll. Math & Sens, 2013. 1.1. Sur quels objets opère-t-on ?

2. Définitions mathématiques des opérations Les quatre opérations fondamentales sont ici définies dans l’ensemble ℕ des nombres naturels, puis seront étendues à d’autres ensembles de nombres (voir Opérations et calcul § 5.).

Dans un souci de rigueur théorique, les concepts de somme, produit, différence et quotient seront préalablement définis à partir de la théorie des ensembles. Il en ira de même pour les définitions des différentes opérations. Les définitions seront donc centrées sur l’aspect cardinal des grandeurs (discontinues) sur lesquelles on opère.

150

D é f i n i t i o n s m at h é m at i q u e s d e s o p é r at i o n s

Pourquoi ne pas fournir de définitions

théoriques des opérations aux élèves ?

Ces définitions ont une forme abstraite et peu ou pas accessible aux élèves du primaire.

Plus que connaitre la définition de chacune de ces opérations, c’est mobiliser leurs divers sens possibles qui est essentiel et utile en calcul (voir Opérations et calcul § 3. et § 7.2.2.).

Les mathématiques sont plutôt un ensemble d’expériences permettant de donner du sens aux concepts et non un ensemble de définitions juxtaposées ; il convient donc de varier les situations et les approches des opérations.

En lien avec les définitions mathématiques, les situations, les approches variées et les illustrations concrètes permettent aux enfants de verbaliser ces dernières avec des mots de leur quotidien.

2.1. Les opérations « directes » : addition – multiplication 2.1.1. La somme de deux nombres naturels

La somme de deux nombres naturels peut se définir à partir de la théorie des ensembles. Soit deux ensembles disjoints A et B dont les nombres d’éléments respectifs sont a et b. La somme des nombres a et b est le nombre d’éléments de la réunion4 de ces deux ensembles : A U B. Elle se note a + b. AUB

iti

a 3

+ +

b 2

= =

? 5

Si on réunit deux collections, l’une de 3 objets et l’autre de 2, on obtient une collection de 5 objets.

Éd

Dans cette définition, les rôles de a et de b sont interchangeables, ils représentent chacun le nombre d’éléments d’un ensemble. Ceci entraine de manière évidente que a + b est égal à b + a.

2.1.2. L’addition vue comme une opération qui combine L’addition de nombres naturels est une relation qui, à tout couple de nombres naturels (a, b), associe le nombre naturel a + b qui est leur somme. Cette relation se représente schématiquement par : (a, b)

a+b

La somme des éléments de chaque couple de naturels est un nombre naturel. (0, 0)• (0, 1)•

•0 •1

(4, 3)•

•7

(5, 2)• (6, 3)• 4

•9

Voir tome 1, Traitement de données § 4.1.2.3. 151

PA R T I E 4 : O P É R AT I O N S E T C A LC U L

L’ensemble de tous les couples obtenus en associant chaque nombre naturel à un autre nombre naturel est appelé produit cartésien de ℕ avec lui-même et est noté5 ℕ X ℕ. Pour chaque élément de ℕ X ℕ, on peut trouver une somme dans ℕ. Réaliser la table d’addition permet de voir que l’opération est toujours possible : la première colonne donne le premier élément des couples de ℕ X ℕ et la première ligne donne le deuxième élément de ces couples. À l’intérieur du tableau apparait, dans chaque case, la somme associée à chaque couple. 0

…

Un même nombre naturel peut être la somme liée à plusieurs couples de naturels.

7 est la somme liée à (4, 3) ; (5, 2) et aussi à (0, 7) ; (1, 6) ; (2, 5) ; (3, 4) ; (6, 1) et (7, 0). Les nombres a et b intervenant dans l’addition sont appelés termes.

iti

Dans l’égalité 3 + 2 = 5, les nombres 3 et 2 sont les termes de l’addition.

2.1.3. L’addition vue comme une opération qui transforme

Éd

La notion d’opération est souvent associée à celle de fonction. Pour les nombres, la fonction numérique associée à une opération transforme chaque nombre en un autre. f(x) : x

y=x+3

L’addition dans ℕ est alors une fonction numérique « qui ajoute ». Elle transforme chaque nombre naturel en un autre nombre naturel. La fonction numérique de l’exemple peut se représenter de manière générale : +3 x

L’expression « + 3 » porte ici le nom d’opérateur. L’opérateur se compose du signe d’opération et d’un nombre. +3 +3 +3 2

Le signe « X » utilisé ici, qui se lit « croix », associé au produit cartésien (voir Traitement de données § 1.1.) de l’ensemble ℕ avec lui-même, ne doit pas être confondu avec le signe « × » associé au produit de deux nombres. 5

152

D é f i n i t i o n s m at h é m at i q u e s d e s o p é r at i o n s

Dans cette représentation, les rôles des deux termes se distinguent. Le premier terme est le nombre x de départ sur lequel on agit, le deuxième terme correspond au nombre de l’opérateur, c’est celui qui agit sur le premier. Le nombre y est le nombre transformé, il correspond à la somme des deux termes.

2.1.4. Les interprétations de l’addition Les mots du quotidien qui traduisent l’opération d’addition sont, selon les situations, « réunir », « avec », « ensemble », « et »… Dans le panier de fruits, il y a 3 pommes et 4 bananes ; en tout, il y a 7 fruits.

ou « ajouter », « mettre en plus »…

J’avais 6 € dans ma tirelire, mon parrain me donne 5 €, j’ai maintenant 11 €.

2.1.5. Le produit de deux nombres naturels

Il s’agit là de deux sens complémentaires ou possibles de l’addition, le premier faisant plutôt référence à l’opération qui combine et le second à l’opération qui transforme (voir Opérations et calcul § 3.3.).

Le produit de deux nombres naturels peut se définir à partir de la théorie des ensembles. Soit A et B deux ensembles disjoints contenant respectivement a et b éléments. Le produit des nombres a et b est le nombre de couples obtenus6 en associant chacun des éléments de A avec chacun des éléments de B. Il se note a × b. A

AXB

iti

a 3

× ×

b 2

= =

? 6

Éd

Si on forme tous les couples possibles en associant chacun des 3 éléments d’une collection avec chacun des 2 éléments d’une autre collection, on obtient 6 couples.

Une autre façon de présenter le produit cartésien A X B (ou B X A) est le tableau à double entrée (voir tome 1, Traitement de données § 4.2.). Les éléments de A X B et de B X A sont différents, mais leur nombre est le même.

AXB

BXA

Cet outil, plus visuel, amène une image mentale forte et efficace du produit de deux nombres sous forme de rectangle. Pour rappel, cet ensemble de couples obtenus en associant chacun des éléments du premier ensemble avec chacun des éléments du second ensemble s’appelle le produit cartésien des deux ensembles (voir Traitement de données § 1.1.). 6

153

PA R T I E 4 : O P É R AT I O N S E T C A LC U L

Dans cette définition, les nombres a et b ont le même statut et sont interchangeables. Ceci entraine de manière évidente que a × b est égal à b × a. a×b

est égal à

b×a

a b a

Dans cet ouvrage, nous notons « × » le signe de multiplication, ainsi qu’il est coutume de le faire à l’école primaire. Dans l’enseignement secondaire, ce signe sera remplacé par un point, afin de ne pas confondre avec le « x » utilisé comme lettre en algèbre. Plus tard, il disparaitra. L’expression « a × b » deviendra « a . b » puis enfin « ab ».

Du point de vue de la lecture orale, en Belgique francophone, le symbole « × » se dit généralement « fois », dans le sens « paquets de ». En France, ce même symbole se lit « multiplié par » (voir Opérations et calcul § 2.1.7.).

2.1.6. La multiplication vue comme opération qui combine

La multiplication de nombres naturels est une relation qui, à tout couple de nombres naturels (a, b), associe le nombre naturel a × b qui est leur produit.

Cette relation se représente schématiquement par : (a, b) a×b Le produit des éléments de chaque couple de naturels est un nombre naturel. (0, 0)•

iti

(0, 1)•

•0 •3

(2, 6)•

•12

Éd

(1, 3)•

(3, 4)• (4, 3)•

Pour chaque élément de l’ensemble noté7 ℕ X ℕ, on peut trouver un produit dans ℕ. Réaliser la table de multiplication permet de voir que l’opération est toujours possible : la première colonne donne le premier élément des couples de ℕ X ℕ et la première ligne donne le deuxième élément de ces couples. À l’intérieur du tableau apparait, dans chaque case, le produit associé à chaque couple.

7 Le signe « X » utilisé ici, qui se lit « croix », associé au produit cartésien (voir Traitement de données § 1.1.) de l’ensemble ℕ avec lui-même, ne doit pas être confondu avec le signe « × » associé au produit de deux nombres.

154

D é f i n i t i o n s m at h é m at i q u e s d e s o p é r at i o n s

…

5 6

…

Un même nombre naturel peut être le produit lié à plusieurs couples de naturels : 18 est le produit lié à (2, 9) ; (3, 6) ; (1, 18) ; (6, 3) ; (9, 2) et (18, 1).

Les nombres a et b intervenant dans la multiplication sont appelés facteurs. Dans l’égalité 3 × 5 = 15, les nombres 3 et 5 sont les facteurs de la multiplication.

2.1.7. Une autre définition du produit de deux nombres naturels

Soit a ensembles disjoints contenant chacun b éléments. Le produit des nombres a et b est le nombre d’éléments de la réunion8 de ces a ensembles de b éléments. Il se note a × b ou b × a.

Éd

iti

Le choix de l’écriture du produit dépend de la lecture qu’on en fait.

a×b=?

b×a=?

3×2=6

2×3=6

3 paquets de 2 = 6 ou 2 multiplié par 3 = 6

Si on réunit 3 collections de 2 objets chacune, on obtient une nouvelle collection de 6 objets. Dans cette définition, les nombres a et b n’ont pas le même rôle. Le nombre a représente le nombre d’ensembles, de « paquets », tandis que b représente le nombre d’éléments de chaque ensemble, de chaque paquet. Le nombre a « qui agit » s’appelle le multiplicateur et le nombre b « qui subit » s’appelle le multiplicande9.

8 9

Voir tome 1, Traitement de données § 4.1.2.3. On dit parfois aussi le « multiplié ». Les élèves ne doivent pas d’emblée retenir ces mots.

155

PA R T I E 4 : O P É R AT I O N S E T C A LC U L

Le produit dont le multiplicateur est a = 3 et le multiplicande b = 2 peut se représenter

Il s’écrit 3×2 en « vision active » (usitée en Belgique par exemple, le multiplicateur est « devant »).

Il se dit

2×3 en « vision passive » (usitée en France par exemple, le multiplicateur est « derrière »).

3 paquets10 de 2 3 fois (silence) 2 3 tas de 2

2 multiplié par 3 2 (silence) fois 3 2 pris 3 fois

2 × 3 (« 2 multiplié par 3 ») =2+2+2

3 × 2 (« 3 paquets de 2 ») =2+2+2

En se référant à ce qui précède et à la définition d’une somme (voir Opérations et calcul § 2.1.1.), cette approche présente le produit comme une somme (répétée) :

Cette façon d’envisager le produit de deux nombres naturels en lien avec la réunion d’ensembles correspond à un autre « sens » de la multiplication (voir Opérations et calcul § 3.4.). C’est pour cette raison que nous la présentons également ici. Les deux définitions du produit (voir Opérations et calcul § 2.1.5 et § 2.1.7.) ne sont pas contradictoires ; au contraire, on peut passer de l’une à l’autre.

Éd

iti

Représentons par exemple le produit 3 × 2 (« 3 paquets de 2 ») par un nombre de carrés, on a donc, selon la deuxième définition du produit : 2 carrés + 2 carrés + 2 carrés On peut les rassembler en un rectangle qui compte 3 lignes (« paquets horizontaux ») de 2 carrés ou encore 2 colonnes (« paquets verticaux ») de 3 carrés. De la même manière, le produit 2 × 3 (« 2 paquets de 3 ») peut se représenter, selon la deuxième définition : 3 carrés + 3 carrés On peut les rassembler en un rectangle, qui compte 2 lignes (« paquets horizontaux ») de 3 carrés, ou encore 3 colonnes (« paquets verticaux ») de 2 carrés. On retrouve dans les deux cas les rectangles de la première approche. Outre la commutativité de la multiplication (voir Opérations et calcul § 4.1.), ceci montre que le nombre de carrés, ici 6, dépend uniquement des nombres 2 et 3, ou 3 et 2, qui jouent le même rôle dans le calcul.

Deruaz M., Clivaz S., Des mathématiques pour enseigner à l’école primaire, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, 2018. Quand il s’agira de grandeurs continues, par exemple des longueurs, des capacités, des volumes…, le mot « paquets » ou « tas » ne sera pas très heureux. On pourra le remplacer par « morceaux », « entités », « parts », « regroupements »…

156

D é f i n i t i o n s m at h é m at i q u e s d e s o p é r at i o n s

2.1.8. La multiplication vue comme une opération qui transforme À l’instar de l’addition, la multiplication peut être associée à une fonction numérique. f(x) : x y = x × 3 ou f(x) : x

y = 3 × x qui devient f(x) : x y = 3 x

La multiplication dans ℕ est une fonction numérique « qui multiplie ». Elle transforme chaque nombre naturel en un autre nombre naturel. La fonction numérique de l’exemple peut se représenter de façon générale :

×3 y

L’opérateur est « x 3 ». ×3 6

×3

Dans cette représentation en diagramme fléché, si on lit de gauche à droite, il faut s’exprimer selon la « vision passive » donc dire (par exemple, pour le dernier graphe fléché) « 4 multiplié par 3 » ou « 4 (silence) fois 3 » ou encore « 4 pris 3 fois » (voir Opérations et calcul § 2.1.7.).

Pourquoi distinguer les deux interprétations

La verbalisation du signe « × », uniquement par le mot « fois », peut prêter à confusion, car elle peut s’interpréter de deux façons. Selon la manière de dire oralement « 2 fois 3 », on peut comprendre :

Éd

iti

de « fois » : « paquet(s) de » et « multiplié par » ?

2 fois (silence) 3,

2 (silence) fois 3,

(2 fois 3 boules ou 2 paquets de 3 boules) (2 boules, fois 3 ou 2 boules prises 3 fois)

La verbalisation qui privilégie la « vision active » (adoptée en Belgique francophone) suit la logique du langage courant, mais amène une incohérence dans l’écriture des opérateurs (voir Opérations et calcul § 2.1.7.). Ici, le « fois » signifie « paquet(s) de », donc le multiplicateur est le premier facteur de la multiplication. Dans « 2 × 4 », c’est le 2 qui agit sur le 4. Dans cette expression, l’opérateur, le nombre qui agit, est placé « devant », à gauche. Ceci est en désaccord avec les autres opérations pour lesquelles l’opérateur est placé « derrière », à droite : 4+2 4 : 2

mais

2×4

4 –2

157

Une mauvaise interprétation risque d’amener les élèves à proposer des représentations erronées. Par exemple, pour représenter « 2 × 3 = 6 » par un diagramme fléché, les élèves pourraient écrire les nombres dans l’ordre où ils les disent et les entendent, comme pour les autres opérations. *La vision active de 2 × 3 = 6 (2 paquets de 3) est représentée erronément par ×3 2

Ceci n’est pas correct, puisque l’opérateur est bien « 2 × » (2 paquets de) ; il convient donc de représenter

2× 6

*Par contre, la vision passive pour 2 × 3 = 6 (2 multiplié par 3 est égal à 6) ne pose pas cette difficulté et reste cohérente avec le graphe fléché.

×3

Ceci est important, car les diagrammes fléchés sont très utiles dans la résolution de problèmes mettant en jeu des grandeurs proportionnelles, par exemple. Il convient donc de les dessiner et de les lire correctement (voir tome 1, Grandeurs § 6.2.). Dans l’énoncé d’une multiplication écrite, la vision passive est préférable, le multiplicateur étant généralement le second facteur qu’on écrit en posant le calcul. 475

Par exemple, × 3 se lit : « 475 multiplié par 3 » ou « 475 (silence) fois 3 ».

Éd

iti

Cependant, lorsque le fonctionnement de l’algorithme est maitrisé, le rôle des deux facteurs est indifférent, le calcul écrit n’étant qu’un moyen d’obtenir la valeur du produit. Que l’on cherche le prix total pour 3 objets à 475 €, le nombre total de marqueurs dans un lot de 475 pochettes de 3 marqueurs ou l’aire d’un chemin de 3 m de large sur 475 m de long, le calcul écrit sera posé de la même manière : placer en dessous comme multiplicateur le nombre « qui a le moins de chiffres », car c’est sous cette forme que son fonctionnement est efficace.

2.1.9. Les interprétations de la multiplication Les mots du quotidien qui traduisent l’opération de multiplication sont, selon les situations, « prendre plusieurs fois », « faire des paquets de, des tas de »… J’achète 3 marqueurs à 2 €, cela me coute 6 €. ou « combiner », « coupler », « croiser »… Avec 3 jupes et 2 blouses, on peut obtenir 6 tenues différentes pour une poupée. Il s’agit là de deux sens complémentaires de la multiplication, le premier faisant référence à l’opération qui transforme, le deuxième à l’opération qui combine (voir Opérations et calcul § 3.4.).

158

iti

Éd s VA N

Algèbre

PA R T I E 5 : A LG È B R E

Introduction La partie sur l’algèbre vient clore cet ouvrage en mettant l’accent sur l’indispensable transition entre l’arithmétique et l’algèbre.

Cette partie s’articule autour de trois chapitres.

Les contenus de cette partie sont globalement ceux rencontrés au début de l’enseignement secondaire. Nous insistons sur le fait que tous ces concepts ne prennent sens que par leur ancrage dans le terreau de l’arithmétique et seulement si une attention particulière est portée au développement de la pensée algébrique. Amener ces concepts au départ d’activités porteuses de sens ne peut que renforcer la compréhension en profondeur de ces notions.

Dans le premier, nous définissons les objets fondamentaux de l’algèbre. Des points d’attention aident à comprendre les subtilités du vocabulaire choisi et leurs implications dans l’appropriation par les élèves des concepts en jeu.

Le deuxième chapitre explore le calcul algébrique et ses propriétés en veillant à leur donner du sens. Il s’agit d’éviter d’appliquer une succession de règles à retenir par cœur et d’utiliser quelques propriétés à bon escient en justifiant ses choix.

Éd

iti

Enfin, les transformations d’égalités en général et les équations en particulier constituent le troisième et dernier chapitre. Ici encore, l’accent est davantage mis sur le choix, la compréhension et la justification des propriétés utilisées pour transformer les égalités plutôt que sur l’utilisation de « trucs » ou raccourcis de langage, parfois vides de sens.

310

O b j e t s f o n d a m e n tau x

1. Objets fondamentaux L’algèbre est une partie des mathématiques qui met en relation des quantités connues ou inconnues à l’aide de lettres et de symboles opératoires. Elle est née d’un besoin de généraliser les connaissances sur les nombres pour envisager la résolution d’un ensemble de problèmes du même type et non plus des problèmes isolés.

Le terme « algèbre » apparait pour la première fois dans le titre du livre d’Al Khwarizmi, Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa-l-muqābala, paru en arabe au début du IXe siècle et traduit en latin au XIIe siècle. Il met à jour de nouvelles façons de résoudre des problèmes en utilisant des équations. On trouve aussi des traces de raisonnement algébrique moins formel, notamment dans les travaux d’Euclide (IIIe siècle av. J.-C.) et de Diophante (IIe ou IIIe siècle). C’est au XVIe siècle que François Viète introduit tout le symbolisme du calcul algébrique actuel.

Prendre appui sur l’algèbre pour résoudre des problèmes s’avère souvent très efficace. L’algèbre constitue aussi le point d’ancrage de bon nombre de domaines scientifiques tels que les relations entre grandeurs, les fonctions, la chimie, la physique, la programmation… Si son utilité est indéniable, son apprentissage au début de l’enseignement secondaire n’est pas toujours aisé. Ce passage à l’abstraction nécessite de donner du sens aux procédures algébriques sans se limiter à leur utilisation technique et mécanique, afin d’installer une compréhension plus fine des concepts en jeu et, notamment, de la lettre, des opérations et de leurs propriétés. Au-delà de l’aspect technique, c’est le développement de la pensée algébrique qui est visé.

La pensée algébrique est une manière de penser qu’on peut mobiliser tant dans des activités algébriques qu’arithmétiques. Ses deux composantes principales sont la généralisation de régularités et le raisonnement analytique qui s’appuient sur des quantités indéterminées, représentées par des symboles formels ou non, et sur lesquelles on peut opérer.

Pour résoudre un problème de partages inégaux1, plusieurs raisonnements sont possibles. « Guillaume a 12 ans de plus que Luka. Ensemble, ils ont 20 ans. Quel âge ont-ils chacun ? »

iti

Un élève qui résoudrait ce problème par essai-erreur, de manière systématique et réfléchie, développerait un raisonnement qui ne s’appuie pas sur des quantités indéterminées, mais bien sur des nombres. Si Luka a 6 ans, Guillaume doit en avoir 18, mais ensemble, ils ont 24 ans ; c’est trop.

Éd

Si Luka a 5 ans, Guillaume doit en avoir 17, mais ensemble, ils ont 22 ans ; c’est trop. Si Luka a 4 ans, Guillaume doit en avoir 16 et ensemble, ils ont 20 ans ; c’est la solution.

Ici, la pensée algébrique n’a pas encore émergé.

En revanche, un élève qui attribuerait à Luka une « part dessinée » et, à Guillaume, cette même « part dessinée » + 12 résoudrait ce problème grâce à un calcul schématisé du type +

+ 12 = 20.

Il aurait déjà développé une pensée algébrique, puisqu’il raisonne sur des quantités indéterminées, symbolisées ici par des rectangles, et opère sur celles-ci.

Ces partages sont aussi appelés partages inéquitables (voir Résolution de problèmes § 6.1.).

311

PA R T I E 5 : A LG È B R E

1.1. La lettre La lettre est un symbole utilisé en algèbre pour représenter des quantités indéterminées sur lesquelles on peut réaliser des opérations. Elle peut être envisagée comme –

une inconnue, un nombre particulier qu’il faut déterminer (dans les équations2) ; Si 2a + 4 = 3a + 6, que vaut a ? un nombre généralisé, représentant n’importe quel nombre (dans les calculs algébriques ou l’expression de propriétés) ;

–

L’égalité 3a + 4b + a – 2b = 4a + 2b est valable pour tous les nombres a, b et c. L’égalité (a + b) + c = a + (b + c) est valable pour tous nombres a, b et c.

une variable, représentant un ensemble de nombres qui entretient une relation de dépendance avec un autre ensemble de nombres (dans les formules ou les fonctions par exemple).

–

L’aire (y) et la longueur du côté (x) d’un carré sont des variables dont les valeurs dépendent les unes des autres et dont la relation peut être exprimée par la formule y = x².

À l’école primaire, les élèves ont déjà rencontré des lettres dans l’expression d’unités de mesure ou dans les formules de périmètre, d’aire ou de volume notamment. Penser que cette entrée en matière suffit pour acquérir une conception algébrique de la lettre est un leurre. En effet, à ce stade, les unités de mesure ne sont, pour la plupart des élèves, que des abréviations de mots, de même que les lettres utilisées dans les formules de périmètre, d’aire ou de volume.

P = (L + l) × 2 est verbalisé par le périmètre (d’un rectangle) est égal à « longueur plus largeur, multiplié par deux ».

Peu d’élèves perçoivent le concept de variable derrière ces symboles.

Éd

iti

Cette conception de la lettre comme associée à un « objet » peut par ailleurs constituer un obstacle à l’apprentissage de l’algèbre. Si cette conception entrave peu la réflexion dans le champ additif, elle ne peut soutenir le raisonnement dans le champ multiplicatif. En effet, si on peut encore concevoir que 3a + 2a = 5a 3 ananas + 2 ananas donnent 5 ananas, on ne peut imaginer ce que donne 3a ∙ 2a = 6a² 3 ananas « multipliés par » 2 ananas et encore moins ce que représenteraient des ananas au carré. Dans le même ordre d’idées, cette conception risque aussi d’entrainer des difficultés lors de la mise en équation de problèmes. Nathan a trois ans de plus que Marouane. Ensemble, ils ont 47 ans. Quel âge ont-ils chacun ? Si la lettre est associée à un « objet », comment accepter que ces âges différents soient représentés par des expressions utilisant la même lettre (par exemple x et x – 3) ?

312

Dans le cas particulier des équations indéterminées (qui se ramènent à 0 x = 0), la lettre prend le statut de nombre généralisé.

O b j e t s f o n d a m e n tau x

Il est donc nécessaire de travailler les conceptions algébriques de la lettre avec les élèves au travers d’activités mettant en jeu des quantités indéterminées (partages inégaux ou activités de généralisation par exemple) et à l’aide de matériel du type « tuiles algébriques » pour amener les élèves à se construire des images mentales. Demonty I., Vlassis J., Développer l’articulation arithmétique-algèbre entre le primaire et le secondaire, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018.

https://support.mathies.ca/fr/mainSpace/TuilesAlgebriques.php

En début de secondaire, le symbole de multiplication « × » est progressivement remplacé par le symbole « ∙ » afin de ne pas créer de confusion avec la lettre x. Dans certains cas, le symbole « ∙ » peut même disparaitre. Conventionnellement, il peut être omis dans tous les cas où l’écriture ne prête pas à confusion : – entre un nombre et une lettre, comme dans 2a ; – entre deux lettres, comme dans ab ; – entre une lettre (ou un nombre) et une parenthèse, comme dans a (b + 2) ; – entre deux parenthèses, comme dans (a + b) (a – b). Il convient toutefois de laisser le temps aux élèves de s’approprier ce changement.

1.2. Les expressions algébriques

Éd

iti

Une expression algébrique est une suite de lettres et de chiffres, représentant des nombres, reliés entre eux par des symboles opératoires. Les lettres sont des nombres généralisés3. Les nombres écrits en chiffres sont appelés coefficients lorsqu’ils multiplient des lettres. Ils sont appelés constantes si ce n’est pas le cas. – Dans l’expression « 2a », 2 est un coefficient et a est un nombre généralisé. – Dans l’expression « 4x + 6 », 4 est également un coefficient tandis que 6, non accompagné d’une lettre, est une constante ; x est un nombre généralisé. – Dans l’expression « 8abc – 5x² », les coefficients sont conventionnellement 8 et -5 (voir deuxième point d’attention ci-dessous) ; a, b, c et x sont des nombres généralisés. En général, quand le coefficient vaut 1, il n’est pas écrit. Dans l’expression « xy + 3 », le coefficient de xy est 1 et 3 est une constante ; x et y sont des nombres généralisés. Les lettres apparaissant dans les expressions algébriques représentent des nombres qui n’entretiennent pas nécessairement de relation de dépendance les uns envers les autres. Dans 2a + 3b, a et b ne sont pas liés. Pourtant, dans certains ouvrages de référence sur l’algèbre, les lettres des expressions algébriques sont conventionnellement appelées variables. Cela peut entretenir une certaine confusion chez les élèves. Les recherches plus récentes en didactique de l’algèbre parlent plutôt de lettres comme nombres généralisés dans les expressions algébriques et encouragent l’explicitation des différents statuts de la lettre pour les élèves, indépendamment du nom qu’on leur donne. Certains auteurs appellent ces lettres « variables » même s’il n’y a pas de relation de dépendance entre elles. Nous privilégions ici le vocabulaire adopté par les recherches plus récentes en didactique de l’algèbre.

313

PA R T I E 5 : A LG È B R E

L’interprétation du signe « moins » dans les expressions algébriques peut parfois prêter à confusion. – Dans l’expression 2x – 5, le signe « moins » pourrait être vu comme le symbole opératoire représentant la soustraction, auquel cas les deux termes de la soustraction seraient 2x d’une part et 5 d’autre part. – Dans la même expression 2x – 5, le signe « moins » pourrait aussi être vu comme le symbole indiquant que -5 est négatif. Dans ce cas, l’expression algébrique 2x – 5 serait vue comme une addition de deux termes 2x + (-5).

De prime abord, on a tendance à préférer la première interprétation, puisqu’on a l’habitude d’associer a – b à la différence entre a et b. Toutefois, cette interprétation a ses limites et peut poser problème aux élèves. Par exemple, certains pourraient ne pas comprendre pourquoi 2x – 5 = -5 + 2x, puisque « la soustraction n’est pas commutative ». Ainsi, c’est plutôt la deuxième interprétation qui guide implicitement le calcul algébrique, même si elle est moins intuitive.

Si l’expression 2x – 5 est vue comme 2x + (-5), alors les égalités 2x – 5 = 2x + (-5) = -5 + 2x prennent tout leur sens grâce à la commutativité de l’addition.

De plus, comme indiqué précédemment, les coefficients de l’expression algébrique 3x – 2y + 9 sont 3 et -2.

Il semblerait donc que cette expression soit un raccourci de l’expression 3x + (-2y) + 9. Cette écriture peut sembler plus « compliquée », mais elle permet de comprendre pourquoi le coefficient de y est -2 et pourquoi on peut aussi écrire cette expression sous la forme 3x + 9 + (-2y) ou 3x + 9 – 2y ou -2y + 3x + 9, grâce à la propriété de commutativité de l’addition.

Éd

iti

Cette façon de jongler avec le signe « moins », dans les nombres et dans les expressions algébriques, n’est pas simple. Elle s’appuie notamment sur la propriété « soustraire un nombre, c’est additionner son opposé » (voir Opérations et calcul § 4.7. et § 5.1.2.). Il est nécessaire de laisser aux élèves le temps de percevoir le sens de toutes ces écritures. Par ailleurs, le signe « moins » devant un nombre généralisé pose un autre type de problème. Souvent, les élèves envisagent l’expression -a comme un nombre négatif. Or, ce n’est pas toujours le cas, puisque sa valeur numérique dépend de la valeur de a. Si a est positif, -a est négatif. Si a est négatif, -a est positif. Le signe « moins » prend ici le sens d’opposé et non le sens du signe d’un nombre négatif, comme c’est le cas dans l’ensemble des nombres entiers. Ce saut conceptuel nécessite de prendre le temps pour donner du sens à ces écritures.

Vlassis J., Sens et symboles en mathématiques : Étude de l’utilisation du signe « moins » dans les réductions polynomiales et la résolution d’équations du premier degré à une inconnue, Berne, Thèse, Peter Lang, 2010. Demonty I. et al., Différencier en mathématiques au début de l’enseignement secondaire, activités d’enseignement et fiches conceptuelles, aout 2021. https://www.hel.be/wp-content/uploads/2022/10/HEL-Doc-enseignant-Ann%C3%A9e-2VF-2022.pdf

314

O b j e t s f o n d a m e n tau x

Quand une expression algébrique intervient dans une relation particulière entre des grandeurs, on parle de formule. – La formule pour exprimer le périmètre (P) d’un carré en fonction de la longueur de son côté (c) est P = 4c. – La formule liant le nombre de faces (F), d’arêtes (A) et de sommets (S) d’un polyèdre convexe est S + F = A + 2. Une valeur numérique d’une expression algébrique est obtenue en remplaçant les lettres par des nombres dans l’expression algébrique et en effectuant les opérations.

– Si a = -3 et b =

1 , la valeur numérique de 5a²b est 22,5. 2

– Si a = 2,5 et b = 4, la valeur numérique de 5a²b est 125.

Une expression algébrique peut prendre plusieurs valeurs en fonction des valeurs données aux nombres généralisés.

Les conditions d’existence d’une expression algébrique sont les conditions que doivent remplir les nombres généralisés de l’expression algébrique pour que les opérations puissent être effectuées. a est « b est un réel non nul (b ∈ ℝ0) ». b

– La condition d’existence de l’expression

y est « y est un réel positif (y ∈ ℝ+) ».

– La condition d’existence de l’expression

1.3. Les monômes et polynômes ■

Les monômes

Un monôme est une expression algébrique dans laquelle la seule opération utilisée est la multiplication4. 85ax² abc 2bd

iti

La partie littérale d’un monôme est la partie du monôme constituée par la (ou les) variable(s)5 ; l’autre partie est le coefficient du monôme. Dans 85ax², 85 est le coefficient du monôme et ax² est la partie littérale du monôme.

Éd

Deux monômes semblables sont des monômes qui possèdent la même partie littérale. 2a et 4355a sont des monômes semblables parce qu’ils ont la même partie littérale qui est a. 2a et 2a² ne sont pas des monômes semblables parce que la partie littérale de 2a est a tandis que celle de 2a² est a².

Les lettres dans les monômes sont conventionnellement écrites dans l’ordre alphabétique pour repérer plus facilement les monômes semblables.

■

Les polynômes

Un polynôme est une somme de monômes. – Le polynôme 3x² + 4y est une somme de deux monômes. Il est à deux variables (x et y). – Le polynôme 2a + 3 est une somme de deux monômes (dont un est une constante). Il est à une variable (a). – Le polynôme 2a + 3b – 4a est une somme de trois monômes. Il est à deux variables (a et b). – Le polynôme 8xy + 4 – 5x² – 11xy – 2 + 7y est une somme de 6 monômes. Il est à deux variables (x et y). La constante 5 peut être considérée comme un monôme si elle est vue comme 5 ∙ 1. On accepte ici l’emploi du mot « variable » au lieu de « nombre généralisé », car les monômes et les polynômes sont principalement utilisés dans le cadre des études de fonction. 4 5

315

PA R T I E 5 : A LG È B R E

Les polynômes des deux premiers exemples sont réduits. Les deux autres ne le sont pas. Réduire un polynôme ou une expression algébrique revient à additionner ou à soustraire les monômes semblables (de même partie littérale). Un polynôme réduit est un polynôme qui ne contient plus de monômes semblables. – Le polynôme 2a + 3b – 4a se réduit en 3b – 2a. – Le polynôme 8xy + 4 – 5x² – 11xy – 2 + 7y se réduit en -5x² – 3xy + 7y + 2.

Un binôme est un polynôme réduit constitué de deux monômes.

Un polynôme (à une variable) est dit ordonné lorsque les monômes qui le composent sont écrits par ordre croissant ou décroissant de degré6. – Le polynôme 13a² – 6a est ordonné. – Le polynôme 8x – x² + 2 n’est pas ordonné, mais il est équivalent aux polynômes -x² + 8x + 2 et 2 + 8x – x² qui, eux, sont ordonnés.

Deux binômes conjugués sont des binômes dont un terme est commun et dont l’autre terme diffère uniquement par son signe.

a + b et a – b 2xy – x et -2xy – x x – 1 et x + 1

Un trinôme est un polynôme réduit constitué de trois monômes.

1.4. L’égalité

Deux expressions algébriques équivalentes sont des expressions algébriques qui ont la même valeur numérique, quel que soit le nombre par lequel on remplace chaque lettre (en remplaçant chaque fois la même lettre par le même nombre). (n – 1) + n + (n + 1) et 3n sont équivalentes vu les propriétés d’associativité et de commutativité de l’addition, car, quel que soit le nombre par lequel on remplace n dans les deux expressions, on obtient toujours la même valeur numérique.

iti

On exprime cette équivalence en écrivant le signe « = » entre les deux expressions. Ce signe d’égalité représente une équivalence algébrique et de nombreuses égalités numériques.

Éd

(n – 1) + n + (n + 1) = 3n Si on remplace n par 1, on obtient 0 + 1 + 2 = 3 ∙ 1 ; si on remplace n par 23, on obtient 22 + 23 + 24 = 3 ∙ 23 ; si on remplace n par 117, on obtient 116 + 117 + 118 = 3 ∙ 117 ; …

Les expressions situées de part et d’autre du symbole « = » sont les membres de l’égalité. À gauche du symbole se trouve le premier membre, à droite du symbole se trouve le deuxième membre. Pour vérifier que deux expressions algébriques sont équivalentes en mettant l’accent sur la vision algébrique de l’égalité, il faut s’appuyer sur les propriétés des opérations (comme dans le premier exemple) plutôt que sur les valeurs numériques de chacun des membres (comme dans le deuxième exemple).

316

Le degré d’un monôme est la puissance à laquelle la variable est élevée.

C a lc u l a lg é b riq u e

2. Calcul algébrique Le calcul algébrique consiste à appliquer les propriétés des opérations et les règles de calculs pour transformer une expression algébrique en une autre qui lui est équivalente. Selon les besoins, ce calcul algébrique permet de vérifier que deux expressions sont équivalentes, de transformer une somme en produit, de transformer un produit en somme…

Dans le calcul algébrique, puisque les lettres représentent des nombres, les propriétés et les priorités des opérations s’appliquent de la même manière qu’en arithmétique (voir Opérations et calcul § 4. et § 7.6.). Dans les paragraphes qui suivent, seuls les calculs sur les polynômes seront développés7.

2.1. Somme et produit algébriques

La somme algébrique de deux monômes semblables est une expression algébrique qui leur est semblable (qui a la même partie littérale) et qui a pour coefficient la somme de leurs coefficients.

8abc + 9abc = (8 + 9) abc = 17abc -a + a = (-1 + 1) a = 0a = 0 (puisque 0 est absorbant pour la multiplication) Deux monômes opposés sont des monômes dont la somme vaut 0. a et -a sont opposés, puisque -a + a = 0 -2xy² et 2xy² sont opposés, puisque -2xy² + 2xy² = 0

Comme dans le domaine des nombres, soustraire un monôme revient à additionner son opposé (voir Opérations et calcul § 4.7. et § 5.1.2.). Une expression telle que x – 2x est donc également appelée somme algébrique, puisqu’elle pourrait s’écrire sous la forme x + (-2x). Pour additionner des polynômes, on effectue les sommes des monômes semblables.

iti

Additionner 3a – 2b + c² et 2a + b revient à réduire le polynôme 3a – 2b + c² + 2a + b. On obtient ainsi 5a – b + c².

Éd

Le produit algébrique de deux monômes est un monôme dont le coefficient est le produit des coefficients des deux monômes et dont la partie littérale est le produit des parties littérales des monômes. 3x ∙ 8y = 24xy

5a²b ∙ 7a³b² = 35 a5b³

Le produit de deux polynômes s’obtient en distribuant les termes du premier sur le deuxième (voir Opérations et calcul § 4.4. et Algèbre § 2.2.) et en réduisant les monômes semblables. Multiplier 2a + b et 3a – 2b + c² revient à effectuer la double distributivité et à réduire le polynôme ainsi obtenu. (2a + b) (3a – 2b + c²) = 6a² – 4ab + 2ac² + 3ab – 2b² + bc² = 6a² – ab + 2ac² – 2b² + bc²

Pour des calculs faisant intervenir des fractions algébriques par exemple, on peut se référer notamment à l’ouvrage de Chevalier et al. (2002).

317

PA R T I E 5 : A LG È B R E

2.2. Propriété de distributivité Le procédé de distributivité permet de développer une expression algébrique, c’est-à-dire remplacer une multiplication de facteurs par une addition ou une soustraction de termes (voir Opérations et calcul § 4.4.). Comme dans le domaine des nombres, la multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction au niveau algébrique. Si a, b et c sont des nombres réels, alors a (b + c) = ab + ac a (b – c) = ab – ac.

On parle alors de double distributivité.

Si a, b, c et d sont des nombres réels, alors (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b) (c – d) = ac – ad + bc – bd (a – b) (c + d) = ac + ad – bc – bd (a – b) (c - d) = ac – ad – bc + bd.

Dans ce cas, on parle de distributivité simple.

Une manière de donner du sens à ces égalités est de s’appuyer sur les grandeurs et la représentation en rectangle. Par exemple, si a, b, c et d sont positifs et représentent des longueurs, l’aire du grand rectangle correspond à (a + b) (c + d). d

Elle correspond aussi à la somme des aires de chacun des quatre rectangles colorés. Ainsi,

iti

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Éd

Ce procédé de distributivité est indispensable pour donner du sens aux règles des parenthèses et ainsi éviter de surcharger la mémoire des élèves avec un principe supplémentaire, réduit à un « truc ». Par exemple, pour enlever les parenthèses de l’expression 2a – (3b – 4c) on peut d’abord utiliser la propriété « soustraire une expression algébrique, c’est additionner son opposé » 2a + [- (3b – 4c)] = 2a + (-1) (3b – 4c) On peut ensuite appliquer la propriété de distributivité simple 2a + (-3b + 4c) et enfin appliquer la règle de suppression de parenthèses précédées d’un signe « + » : lorsque les parenthèses encadrant les termes d’une somme algébrique sont précédées du signe « + », ces parenthèses peuvent être supprimées sans rien changer à la somme. 2a – 3b + 4c

318

C a lc u l a lg é b riq u e

2.3. Identités remarquables

Une fois cette démarche comprise et installée, on peut éventuellement énoncer la règle telle qu’elle est souvent rencontrée : lorsque les parenthèses encadrant les termes d’une somme algébrique sont précédées du signe « - », ces parenthèses peuvent être supprimées à condition de changer les signes se trouvant à l’intérieur des parenthèses. a + (b + c) = a + b + c pour tous nombres a, b et c a – (b + c) = a – b – c pour tous nombres a, b et c

Les identités remarquables8 sont des équivalences algébriques particulières. Elles donnent directement une forme réduite de l’expression qu’on aurait obtenue en appliquant les procédés de distributivité. Ces équivalences lient souvent des puissances à des sommes (ou différences). En voici quelques-unes. Si a, b et c ∈ ℝ, alors (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² (a + b) (a – b) = a² – b² (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ (a – b)³ = a³ – 3a² b + 3ab² – b³ (a + b) (a² – ab + b²) = a³ + b³ (a – b) (a² + ab + b²) = a³ – b³

Les utiliser constitue une économie de « calcul ». Elles sont également utilisées « à l’envers », pour factoriser des expressions (voir Algèbre § 2.4.).

iti

Le recours à une représentation géométrique peut aider à la compréhension de certaines de ces égalités. Par exemple, si a et b sont positifs et représentent des longueurs, l’aire du grand carré est équivalente à la somme des aires des quatre parties qui le constituent. a b

Éd

Les deux rectangles non carrés ayant la même aire, on retrouve l’égalité suivante : (a + b)² = a² + 2ab + b² De même, dans la configuration suivante, si a et b sont positifs, avec a > b, et représentent des longueurs, l’aire du grand carré est équivalente à la somme des aires des quatre parties qui le constituent. a a–b

a–b

b 8 Les termes « produits remarquables » sont également rencontrés. Nous privilégions toutefois les termes « identités remarquables », puisque ces égalités peuvent être utilisées « dans les deux sens » pour développer ou factoriser une expression.

319

PA R T I E 5 : A LG È B R E

Les deux rectangles non carrés ayant la même aire, on retrouve l’égalité suivante : a² = (a – b)² + 2b (a – b) + b²

ce qui mène à

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Il est également possible de réaliser une représentation géométrique correspondant à l’égalité (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ au départ d’un cube prédécoupé (avec a et b positifs).

Certaines pièces constitutives du cube sont de même volume et chaque volume correspond à un des termes de la somme.

ab2

a2b

avec

(a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³

Dans ces identités remarquables, les lettres a et b peuvent être remplacées par n’importe quel nombre ou n’importe quelle expression algébrique. (2x – 3)² = 4x² – 12x + 9

(3a²b – ab) (3a²b + ab) = 9a4b² – a²b²

2.4. Méthodes de factorisation

Factoriser une somme algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.

iti

Il s’agit en quelque sorte du procédé inverse de la distributivité. Il est fréquemment utilisé dans la résolution d’équations ou, plus tard, dans la simplification des fractions algébriques ou les études de fonction.

Éd

Plusieurs outils de factorisation existent. Nous en développons trois9.

■

Mise en évidence

Pour factoriser une somme algébrique grâce à la mise en évidence, il faut d’abord repérer un facteur commun à tous les termes. L’expression ac – ad + ab peut être factorisée, puisque a est un facteur commun. L’expression 4x² + 2x²y – 8x peut être factorisée, puisque 2x est un facteur commun. L’expression ac – ad + bd ne peut pas être factorisée, puisque les termes n’ont pas de facteur commun.

Le facteur commun peut alors être mis en évidence, « écrit » devant une parenthèse qu’il multiplie. Entre les parenthèses se trouve la somme des quotients, par le facteur commun, de chacun des termes de la somme algébrique de départ. ac – ad + ab = a (

ac ad ab – + ) = a (c – d + b) a a a

4x² + 2x²y – 8x = 2x (2x + xy – 4)

320

D’autres outils viendront progressivement s’ajouter comme la méthode d’Horner.

C a lc u l a lg é b riq u e

Dans certains cas, la mise en évidence ne porte pas directement sur tous les termes de la somme algébrique, mais peut quand même mener à une factorisation si on applique le procédé une deuxième fois10. ax + 2a + bx + 2b = a (x + 2) + b (x + 2) = (x + 2) (a + b) Pour vérifier, il suffit de distribuer et d’appliquer les propriétés de l’addition. ■

Différence de carrés

Pour factoriser une somme algébrique grâce à la différence de carrés, il faut utiliser « à l’envers » une des identités remarquables. a² – b² = (a + b) (a – b)

Pour ce faire, il faut repérer dans l’expression algébrique à factoriser deux termes qui sont des carrés et qui sont de signes différents. Puisque la multiplication est commutative, les deux facteurs peuvent s’écrire dans n’importe quel ordre (a + b) (a – b) ou (a – b) (a + b).

9x² – 16b² = (3x + 4b) (3x – 4b) -9b² + 25 = 25 – 9b² = (5 – 3b) (5 + 3b)

Comme les lettres a et b peuvent être remplacées par n’importe quel nombre ou n’importe quelle expression algébrique, ce procédé peut même être utilisé de manière itérative.

81 – 16y4 = (9 + 4y²) (9 – 4y²) = (9 + 4y²) (3 – 2y) (3 + 2y)

Pour vérifier, il suffit de distribuer et d’appliquer les propriétés de l’addition. Ce procédé sera également utilisé avec des nombres non carrés, notamment dans les études de fonction, quand les élèves pourront utiliser les racines carrées (voir Opérations et calcul § 6.2.).

Trinôme carré parfait

■

7x² – 36y² = ( 7 x – 6y) ( 7 x + 6y)

Pour factoriser une somme algébrique grâce au trinôme carré parfait, il faut utiliser « à l’envers » une des identités remarquables. a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

iti

Éd

Pour ce faire, il faut repérer dans l’expression algébrique à factoriser trois termes dont deux sont des carrés précédés du même signe et dont le troisième est le double de leurs racines carrées (voir Opérations et calcul § 6.2.). Dans la somme élevée au carré, les deux termes peuvent s’écrire dans n’importe quel ordre. Pour s’en convaincre, il faut s’appuyer sur la commutativité de l’addition ou sur le fait que deux nombres opposés ont le même carré. 4a² + 9b² – 12ab = (2a – 3b)² = [ - (3b – 2a)]² = (3b – 2a)² 16 + 8x + x² = (4 + x)²

Pour vérifier, il suffit de distribuer et d’appliquer les propriétés de l’addition. Pour factoriser une expression algébrique, plusieurs procédés de factorisation peuvent s’appliquer consécutivement. -16 + 8x – x²

= - (16 – 8x + x²) = - (4 – x)²

x² + ax + 5a – 25 = x² – 25 + ax + 5a = (x – 5) (x + 5) + a (x + 5) = (x + 5) (x – 5 + a) 10

On parle parfois de la méthode des groupements.

321

PA R T I E 5 : A LG È B R E

3. Transformations d’égalités 3.1. Principes d’équivalence

■

Principe d’addition

Les principes d’équivalence sont des propriétés de l’égalité qui permettent de remplacer une égalité par une égalité équivalente. Ils sont utilisés pour justifier les étapes de résolution d’équations (voir § 3.2.). Nous énonçons ici les principes utiles pour la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue11.

Si a = b alors a + c = b + c où a, b et c sont des réels et réciproquement si a + c = b + c alors a = b, où a, b et c sont des réels.

Si on ajoute ou retranche le même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une autre égalité.

Pour s’en convaincre, on peut utiliser la comparaison de bandelettes12. Si deux bandelettes ont la même longueur au départ (a et b) et qu’on leur ajoute à chacune une même bandelette de longueur c, les bandelettes ainsi « allongées » sont également de même longueur (a + c et b + c).

iti

Si a = b alors a – c = b – c, où a, b et c sont des réels, et réciproquement

Éd

si a – c = b – c alors a = b, où a, b et c sont des réels. À nouveau, on peut comparer des bandelettes. Si deux bandelettes ont la même longueur au départ (a et b) et qu’on leur retire à chacune une même bandelette de longueur c, les bandelettes ainsi « rétrécies » sont également de même longueur (a – c et b – c).

a–c a

b–c b

Nous ne développons pas ici les principes utiles à la résolution d’équations du second degré ou de systèmes d’équations (principe des carrés égaux, principe de substitution, de transitivité, d’addition membre à membre…). 12 L’illustration concerne des nombres a et b positifs, mais on peut étendre cette propriété aux autres types de nombres. 11

322

Tr a n s f or m at io n s d ’ é g a li t é s

■

Principe de multiplication

Si on multiplie ou divise les deux membres d’une égalité par un même nombre non nul, on obtient une autre égalité. Si a = b alors a ∙ c = b ∙ c, où a, b et c sont des réels, et réciproquement, si a ∙ c = b ∙ c alors a = b, où a et b sont des réels et c un réel non nul. Le produit a ∙ c (ou b ∙ c) peut être représenté par un rectangle de largeur a (ou b) et de longueur c. Si a = b, les deux rectangles seront superposables, donc de même aire (a ∙ c = b ∙ c). c

Si a = b alors

a b = , où a et b sont des réels et c est un réel non nul, c c

■

et réciproquement si

a b = alors a = b, où a et b sont des réels et c est un réel non nul. c c

Principe du produit nul

Un produit est nul si et seulement si13 au moins un de ses facteurs est nul.

et réciproquement

Si a et b sont des réels et a ∙ b = 0, alors au moins un des deux facteurs est nul (a = 0 ou b = 0), si a = 0 ou b = 0 alors a ∙ b = 0, où a et b sont des réels. ■

Règle fondamentale des proportions

Une proportion est une égalité de deux rapports (voir tome 1, Grandeurs § 7.1.4).

iti

Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. a et c étant des réels et b et d étant des réels non nuls, a c = alors a ∙ d = b ∙ c b d

Éd

Pour le justifier, on peut utiliser le principe de multiplication en multipliant les deux membres de l’égalité par b ∙ d.

3.2. Équations Une équation est une égalité qui n’est vérifiée que pour certaines valeurs données aux inconnues qu’elle contient. – Dans l’égalité 3x + 5 = 20, l’inconnue est x et l’égalité n’est vraie que pour x = 5. – Dans l’égalité 2x + 7y = 16, les inconnues sont x et y. Cette égalité possède une infinité de solutions, puisque chaque fois qu’on attribue une valeur à une des deux inconnues, on peut trouver la valeur de 16

; si x = 1 alors y = 2 ; si x = alors y = ; si y = -1 alors x = 11,5 ; si y = 0 l’autre : si x = 0 alors y = 7 2 7 alors x = 8 ; … L’expression « si et seulement si » signifie que la propriété et sa réciproque sont vérifiées. Une autre formulation serait « si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul, et réciproquement ».

323

PA R T I E 5 : A LG È B R E

– Si on impose que les deux inconnues vérifient une deuxième équation, par exemple 3x + y = 5, on obtient alors un système de deux équations à deux inconnues14 2x + 7y = 16 3x + y = 5 et les seules valeurs de x et y qui vérifient les deux égalités en même temps sont x = 1 et y = 2.

En algèbre formelle, les inconnues sont représentées par des lettres, mais il n’est pas rare de rencontrer, dès le primaire, en résolution de problèmes, des équations dont l’inconnue est représentée par un point d’interrogation ou « ˽ » ou « … » ou un symbole signifiant « quelque chose dont on ne connait pas la valeur » (voir l’introduction et le « pourquoi » de cette partie). S’il n’y a qu’une inconnue à déterminer, on parle d’une équation à une inconnue.

5 est la solution de l’équation 3x + 5 = 20 On note S = {5}

Résoudre une équation à une inconnue, c’est déterminer la valeur15 de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Cette valeur est appelée solution de l’équation.

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation équivalente à une équation de la forme ax = b où a et b sont des nombres réels. On appelle a le coefficient de x et b le terme indépendant.

L’équation 3x + 5 = 20 est du premier degré, car l’inconnue est élevée à la puissance 1. C’est le degré le plus élevé de l’inconnue. Une équation de type x² + x + 2 est une équation du second degré, car le degré le plus élevé de l’inconnue est 2.

Éd

iti

Quand on utilise des équations écrites sous une forme plus générale, telles que ax + b = 0 ou ax = b, les coefficients et constantes deviennent des nombres généralisés, aussi représentés par des lettres (ici, a et b). Il convient dès lors d’expliciter le fait que, dans ce cas, le vocabulaire s’éloigne de celui utilisé pour les monômes et polynômes du calcul algébrique. Toutes les lettres n’ont plus le même statut : certaines sont des inconnues, d’autres sont des nombres généralisés (souvent appelés paramètres). Les coefficients ne sont plus nécessairement des nombres accompagnant des parties littérales, mais peuvent aussi être des lettres (envisagées comme des nombres généralisés) accompagnant des inconnues. Ainsi, dans ce cas, le coefficient de x est a. Il sera possible de trouver la solution de l’équation en fonction des paramètres a et b sous certaines conditions.

Lorsque le coefficient et le terme indépendant sont des nombres donnés et que le coefficient est non nul, la solution d’une telle équation est unique (dans l’ensemble des réels)16. Des équations de la forme ax + b = c (où a, b et c sont des nombres réels avec a non nul) sont aussi des équations du premier degré à une inconnue, puisqu’elles peuvent se ramener à des équations de forme ax = b, en utilisant les principes d’équivalence. Il en est de même pour ax + b = cx + d (où a, b, c et d sont des nombres réels avec a et c différents et non nuls) en utilisant aussi la mise en évidence.

14 Il s’agit ici d’un exemple illustrant nos propos. Nous ne développons pas davantage les systèmes d’équations. L’ouvrage de Chevalier et al. (2002) peut être consulté pour obtenir plus d’informations sur le sujet. 15 Si l’équation est indéterminée, l’inconnue peut prendre plusieurs valeurs. 16 Si le coefficient et le terme indépendant sont nuls, on obtient une équation indéterminée avec une infinité de solutions. Si seul le coefficient est nul, l’équation est impossible et il n’y a pas de solution.

324

Tr a n s f or m at io n s d ’ é g a li t é s

L’expression 3x + 5 = 20 est équivalente17 à 3x = 15, vu l’application du principe d’addition (on a soustrait 5 aux deux membres de l’égalité). La propriété à privilégier pour justifier le passage d’une égalité telle que 3x + 5 = 20 à l’égalité 3x = 15 est bien le principe d’addition (voir Algèbre § 3.1) : on soustrait 5 aux deux membres de l’égalité. On rencontre souvent des justifications telles que « le 5 change de membre en changeant de signe ». Cette formulation n’est pas à encourager.

D’une part, le nombre 5 ne change pas de signe, c’est le symbole opératoire d’addition qui devient un symbole opératoire de soustraction. D’autre part, de tels raccourcis entrainent des erreurs dans le champ multiplicatif. Il n’est pas rare qu’un élève en arrive à transformer 3x = 15 en x = 15 – 3 (« puisque le 3 change de membre, il change de signe ») ou encore en x = 15 (pour la même raison). –3

Les formulations des principes d’équivalence sont peut-être moins aisées, mais elles prêtent moins à confusion.

S = {5}

vu l’application du principe de multiplication (on a divisé par 3 les deux membres de l’égalité).

• 3x = 15 est équivalente à x=5

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on la transforme en équations équivalentes de plus en plus simples à l’aide des principes d’équivalence et des outils du calcul algébrique. L’équation de départ est résolue quand on a obtenu une équation dont le premier membre est l’inconnue et dont le second membre est un nombre. Traitons l'exemple précédent ainsi que de nouveaux exemples.

iti

• 6x + 7 = 4x + 3 est équivalente à 6x + 7 – 4x = 3

Éd

vu l’application du principe d’addition (on a soustrait 4x aux deux membres de l’égalité) qui est équivalente à 2x + 7 = 3 vu la réduction des termes semblables qui est équivalente à 2x = 3 – 7 vu l’application du principe d’addition (on a soustrait 7 aux deux membres de l’égalité) qui est équivalente à 2x = -4 vu la réduction des termes semblables qui est équivalente à x = -2 vu l’application du principe de multiplication (on a divisé par 2 les deux membres de l’égalité) S = {-2}

• 11 + 5x – (x + 3) = 4 est équivalente à 11 + 5x – x – 3 = 4 vu la propriété de distributivité ou règle de parenthèses Pour exprimer l’équivalence, il est également possible d’utiliser d’autres termes ou symboles tels que « si et seulement si » souvent abrégé en « ssi », « ⇔ »…

325

PA R T I E 5 : A LG È B R E

qui est équivalente à 8 + 4x = 4 vu la réduction des termes semblables qui est équivalente à 4 (2 + x) = 4 vu la mise en évidence qui est équivalente à 2+x=1 vu l’application du principe de multiplication (on a divisé par 4 les deux membres de l’égalité) qui est équivalente à x = -1 vu l’application du principe d’addition (on a soustrait 2 aux deux membres de l’égalité) S = {-1}

Il n’y a pas qu’une seule manière de résoudre une équation. Certains principes peuvent être appliqués dans des ordres différents. On peut aussi, par exemple, décider de se ramener à une équation du type ax = b ou à une équation du type ax + c = 0. Tant que les étapes sont correctes et justifiées, l’important est de trouver la valeur de l’inconnue.

Éd

iti

11 + 5x – (x + 3) = 4 est une équation qui aurait pu être résolue autrement. Elle est équivalente à 11 + 5x – x – 3 = 4 vu la propriété de distributivité ou règle de parenthèses qui est équivalente à 8 + 4x = 4 vu la réduction des termes semblables qui est équivalente à 8 + 4x – 4 = 0 vu l’application du principe d’addition (on a soustrait 4 aux deux membres de l’égalité) qui est équivalente à 4 + 4x = 0 vu la réduction des termes semblables qui est équivalente à 4(1 + x) = 0 vu la mise en évidence ce qui implique que 1+x=0 vu le principe du produit nul (4 ne pouvant être égal à 0) donc x = -1 vu l’application du principe d’addition (on a soustrait 1 aux deux membres de l’égalité) S = {-1}

D’autres résolutions de cette équation pourraient encore être proposées. Plus tard, il sera possible de rencontrer, dans la résolution de systèmes d’équations notamment, des équations impossibles telles que 0x = 5 ou encore des équations indéterminées telles que 0x = 0 pour lesquelles toutes les valeurs sont permises pour x.

Avant de se lancer dans l’écriture des équations équivalentes justifiées par les propriétés, le procédé de résolution peut aussi être présenté sous forme de diagramme fléché pour faire comprendre aux élèves l’ordre dans lequel les opérations sont réalisées pour retrouver x, quand l’inconnue est dans un seul membre de l’égalité. 4x + 15 = 17 En partant de x, on multiplie d’abord par 4 puis on ajoute 15 pour obtenir 17. En partant de 17, on soustrait d’abord 15 puis on divise par 4 pour obtenir x. ∙4 + 15 x

17 :4

326

– 15

Pourquoi développer la pensée algébrique

dès l’école primaire ?

L’arithmétique constitue un terreau fertile pour la pensée algébrique, il serait regrettable de ne pas saisir cette opportunité. Les occasions sont nombreuses de mettre en place un raisonnement proche d’un raisonnement algébrique, habituant de ce fait les élèves à penser autrement et ainsi faciliter la transition vers l’apprentissage de l’algèbre formelle. Il ne s’agit pas d’ajouter des contenus ni d’aborder l’algèbre dès le primaire, mais bien d’enrichir les activités déjà proposées aux élèves pour envisager les choses sous un autre angle. Par exemple, les activités de partages inéquitables (ou inégaux) ou celles de généralisation sont particulièrement pertinentes pour mettre en avant les quantités indéterminées et les relations entre elles.

Multiplier les expériences amène les élèves à créer des liens, à repérer des différences et à généraliser, ce qui constitue un pas vers le développement de l’abstraction. Prendre le temps d’analyser différentes situations ou différents problèmes pour réfléchir à la manière de représenter des quantités indéterminées et les relations entre elles, de comparer les façons de symboliser ces éléments, de donner du sens aux opérations est possible au primaire. Passer trop rapidement à un formalisme mathématique, parfois obscur, empêche les élèves d’accéder à la richesse de ces concepts. Promouvoir la compréhension des étapes du raisonnement plutôt que le mécanisme de calcul, même sur des nombres, met les élèves sur la voie de cette abstraction.

Intégrer la multiplication par 9, 99, 11 ou 101 dans un contexte plus large de décomposition de nombres et de distributivité plutôt que faire retenir mécaniquement quatre règles particulières telles que « multiplier par 9, c’est multiplier par 10 puis enlever une fois le nombre » concourt à cette mise en lien. Le sens « équivalence » du signe d’égalité mérite d’être travaillé de manière consciente et explicite avec les élèves. En effet, quand on résout des équations ou qu’on simplifie des expressions algébriques, le signe d’égalité ne signifie pas « donne comme résultat », mais bien « est équivalent à ». Ce sens peut également être travaillé dans le domaine des nombres, par exemple, quand on met un signe d’égalité entre deux expressions numériques qui donnent le même résultat, notamment lors du travail sur la décomposition ou la compensation (voir Opérations et calcul § 7.5.).

iti

17 + 26 = 20 + 23 42 + 33 = 40 + 30 + 2 + 3 9 × 58 = (10 – 1) × 58 = 10 × 58 – 1 × 58

Éd

Ce travail sur l’égalité permet aussi d’habituer les élèves à repérer les relations entre les nombres et expressions numériques, à analyser les opérations, pour ainsi dépasser la démarche calculatoire et pour entrainer la démarche algébrique, relationnelle. Multiplier par 10 puis diviser par 2 revient à multiplier par 5. Multiplier par 2 puis par 3 et ensuite diviser par 6 revient à multiplier par 1. Ajouter 6 puis multiplier par 2 ne donne pas le même résultat que multiplier par 2 puis ajouter 6.

Le sens « équivalence » de l’égalité doit également être convoqué dans la déconstruction de fausses égalités telles que 23 + 64 = 23 + 60 = 83 + 4 = 87. Dans cette suite d’égalités, le symbole tend plutôt à signifier « donne comme résultat » et suit le fil des calculs, mais cette écriture engendre de fausses égalités intermédiaires. Le recours à l’image de balances ou de bandelettes, pour représenter l’équivalence, peut aider. >

Le travail sur des quantités indéterminées, tant dans des activités de généralisation qu’en résolution de problème, est un bon tremplin vers l’algèbre. Il permet de susciter un questionnement sur la manière de les représenter : peut-on utiliser n’importe quel symbole (comme □ , ˽ , * ou …) ? Si deux quantités sont indéterminées, peut-on utiliser le même symbole pour les deux ? Y a-t-il un lien entre elles ?

327

En résolution de problème, c’est plus la quantité indéterminée en tant qu’inconnue qui est abordée. Lucile a 10 cartes de plus que Marion. Ensemble, elles en ont 80. Combien de cartes ont-elles chacune ? Dans ce type de problème, au-delà de la résolution numérique et technique du problème, c’est bien la représentation du problème, des données et des liens entre elles qui est intéressante. Avant de passer au calcul, comprendre qu’il y a deux quantités indéterminées, mais qu’elles sont liées par l’expression « 10 de plus » est tout l’enjeu du problème. Réaliser un schéma peut être utile à ce stade. Par exemple : Marion

Lucile

+10

Pour trouver le nombre de cartes de Marion, les élèves réalisent souvent deux calculs. 80 – 10 = 70 70 : 2 = 35

Le raisonnement est bien celui de la résolution d’une équation même si celle-ci n’apparait pas formellement.

Le passage au langage symbolique (même non formel) est aussi un élément sur lequel on peut s’arrêter si on veut que la résolution de ce problème travaille la pensée algébrique des élèves. Nombre de cartes de Marion □ Nombre de cartes de Lucile □ + 10 □ + 10 + □ = 80 □ = 35 Dans ce type de raisonnement, l’équation apparait davantage sous forme de « calcul à trous ».

Dessin n° 2

Dessin n° 3

Dessin n° 4

… Dessin n° 17

7 carrés

10 carrés

13 carrés

? carrés ?

iti

Dessin n° 1

Dans les activités de généralisation, c’est davantage la quantité indéterminée en tant que nombre généralisé qui est abordée.

4 carrés

Éd

On cherche à déterminer le nombre de carrés d’un dessin en fonction de son « numéro » (ou inversement), et ce, quel que soit ce numéro. L’intérêt de ce type d’activité réside surtout dans la manière adoptée par les élèves pour exprimer la régularité qu’ils repèrent et pour expliquer comment on peut trouver le nombre de carrés nécessaires pour réaliser n’importe quel dessin de la suite. L’idéal serait de faire évoluer un raisonnement arithmétique (ajouter 3 carrés d’un dessin à l’autre) vers un raisonnement algébrique (multiplier le numéro du dessin par 3 et ajouter 1), sans pour autant nécessairement le formaliser en 3 n + 1.

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Les POURQUOI Résolution de problèmes

Pourquoi travailler les compétences de résolveur de situations problèmes pour elles-mêmes, les choisir comme objectif d’apprentissage ? 17 21

Pourquoi proposer aux élèves des situations problèmes invitant à construire et à utiliser un modèle mathématique ?

Traitement de données numériques

Pourquoi proposer des situations problèmes variées à l’école ?

Pourquoi est-il intéressant d’aborder des situations de combinatoire en primaire et en secondaire ?

Pourquoi aborder les probabilités relativement tôt à l’école ?

48 57

Pourquoi prendre le temps d’enquêter, de collecter des données avec les élèves ?

Pourquoi s’arrêter sur la réalisation de représentations graphiques avec les élèves ?

Pourquoi engager les élèves dans ce processus d’étude statistique d’un phénomène ?

Nombres

87 90

Pourquoi enseigner le comptage-dénombrement ?

108

Pourquoi varier les types de schèmes présentés aux élèves ?

116

Pourquoi éviter le zéro sur la bande numérique ?

119

Pourquoi insister sur la construction de la droite des nombres et le passage de la bande numérique à la droite des nombres ?

122

Pourquoi éviter les expressions « zéro virgule », « un virgule », « deux virgule »… ?

127

Pourquoi l’apprentissage du zéro ne doit-il pas être introduit trop tôt ?

137

Pourquoi utiliser un type de matériel de numération plutôt qu’un autre ? Pourquoi utiliser encore un matériel de numération chez les grands ?

146

Opérations et calcul

147

Pourquoi ne pas fournir de définitions théoriques des opérations aux élèves ?

151

Pourquoi distinguer les deux interprétations de « fois » : « paquet(s) de » et « multiplié par » ?

157

Pourquoi est-il intéressant de recourir aux divers sens des opérations ?

190

Pourquoi être attentif, dès le primaire, à l’extension des opérations à d’autres types de nombres ?

207

Pourquoi enseigner le calcul à une époque où les machines peuvent calculer pour nous ?

231

Pourquoi utiliser des nombres arrondis et estimer le résultat d’un calcul avec les élèves ?

241

Pourquoi est-il important d’exercer les différents procédés de calcul réfléchi avec les élèves ?

257

Pourquoi dépasser l’utilisation « mécanique » des algorithmes de calcul écrit ?

260

Éd

iti

Pourquoi privilégier la formule « nombre de » jusque dans les exercices sur feuille ?

Pourquoi est-il intéressant d’articuler l’approche expérimentale et l’approche théorique des probabilités ?

329

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

270

Pourquoi aborder les nombres figurés avec les élèves ?

285

Pourquoi privilégier la représentation en rectangles des nombres-produits des tables ?

293

Pourquoi construire, organiser et mémoriser les tables de multiplication reste-t-il essentiel ?

298

Algèbre

309

Pourquoi développer la pensée algébrique dès l’école primaire ?

327

Éd

iti

Pourquoi aborder d’autres algorithmes de multiplication écrite avec les élèves ?

330

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iti

Éd s VA N

Index TOME 1

barre de fraction 297 base(s) 80 – d’un cône circulaire droit 86

débit 198, 293 décagones 101, 125 définition d’un écran 199 définition en géométrie 87 degré, multiples et sous-multiples 239 dénominateur 297, 300 densité de population 198, 293 densité d’une matière 197 développement – de polyèdres 136 – de solide 134 diagonale – d’un polygone 101 – d’un quadrilatère 112 diagramme de Venn 18, 28 diagramme ensembliste 18 diamètre 127 différence – de deux ensembles 30 – symétrique de deux ensembles 30 direction(s) 55 – horizontales 58 – verticale 57 disjonction exclusive 45, 48 disjonction inclusive 45, 48 disque 127, 129 division – d’une fraction par un nombre entier 323 – d’un nombre ou une fraction par une fraction 324 dodécaèdre régulier 91 dodécagones 101, 126, 188 droite(s) 79 – horizontale 58 – gauches 56 – orthogonales 56 – parallèles 55 – perpendiculaires 56 – sécantes 56 – verticale 57 durée 197, 230, 235

iti

Éd B

capacité 196, 224 capacité de mémoire 198 caractéristique 87 carré 113, 115, 125 centre – du cercle 127 – du cercle circonscrit 110 – du cercle inscrit 109 – de gravité du triangle 109 – de symétrie d’une figure 163 cercle 127, 129, 181 – circonscrit à un polygone 128 – régulier 102 – inscrit à un polygone 128 cerf-volant 114, 115 chainage arrière ou avant 38 chronologie 232 classer 18, 23, 95, 208 comparaison(s) – de deux grandeurs de même nature 204, 206 – de fractions 314 – directe 206 – explicite 204 – implicite 204 – non quantifiée 205 – quantifiée par écart ou rapport 205 composition de transformations 175 concret 14 conjonction 44 cône circulaire droit 94, 142 connecteurs logiques 43, 48 conservation 202, 243, 247 constructions à la règle et au compas 184 convexe 78, 79, 101 coordonnées 69 corde 127 côté d’un polygone 101

côtés consécutifs 101 croiser (intersection) 21, 23, 95 cube 91, 92, 138 cylindre circulaire droit 94, 142

d’un cylindre circulaire droit 85 d’un parallélépipède, cube 85 d’un parallélogramme 82 d’un prisme 84, 91 d’une pyramide 85, 93 d’un rectangle, losange, carré 83 – d’un trapèze 81 – d’un triangle 83 bissectrice – dans un triangle 109 – d’un angle 99, 185 boule 94, 128, 129

abaques 217, 222, 223, 225, 229, 232, 249 abscisse 70 abstrait 14 additions de fraction 318 agrandissement 168 aire 196, 219, 257 – du carré 261 – du cerf-volant 261 – du disque 264 – du losange 261 – du parallélogramme 262 – du polygone régulier 263, 264 – du rectangle 258 – du trapèze 261, 262 – du triangle 261 amplitude 196, 239 angle(s) 97, 182 – adjacents 99 – aigu 99 – au centre d’un polygone 102 – complémentaires 99 – droit 99 – d’un polygone 101 – nul 98 – obtus 99 – plat 98 – plein 98 – rentrant 98 – saillant 98 – supplémentaires 99 année bissextile 231, 232 apothème 263 arbre(s) 18, 20, 36 – de décomposition/ composition opératoire 38 – de dénombrement de cas possibles 37 – d’enchainement opératoire 38 – organisationnel 36, 107, 121, 122, 123 arc de cercle 128 are (centiare, hectare) 221 arêtes 90 axe(s) – des abscisses 70, 71, 275 – des ordonnées 70, 71, 275 – de symétrie 106, 114, 123, 166

– – – – – –

E écart entre deux droites parallèles 56 échelle 279, 293 écriture décimale d’une fraction 304 337

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

faces 90 – latérales d’une pyramide 93 – latérales d’un prisme 91 figure(s) 78 – isométriques 159 – semblables 168 format – d’un écran 199 – de rectangles 171 forme 73 fraction(s) 297 – décimale 325 – équivalentes 307 – irréductible 309 – nombre 304 – opérateur 298 – rapport 305

icosaèdre régulier 91 image de la figure initiale 156 implication 46, 48 inclusion d’ensembles 19, 23, 28 instant 235 instruments – de mesure de grandeurs 218, 222, 224, 226, 229, 238 – de géométrie 178, 182 intersection d’ensembles 21, 29 invariance 202, 242, 247 inverse d’une fraction 323 isométrie du plan 158 isométriques 159

Éd

iti

hauteur – d’un cône circulaire droit 86 – d’un cylindre circulaire droit 85 – d’une pyramide 85 – d’un parallélépipède, cube 85 – d’un parallélogramme 82 – d’un prisme 84 – d’un rectangle, losange, carré 83 – d’un trapèze 81 – d’un triangle 83, 108 heptagones 101 hexagones 101, 125, 188 hiérarchiser 19, 23, 95 homothétie 170

kilogramme 227, 244

grade 240 gramme, multiples et sousmultiples 226, 228, 244 grandeur(s) 193 – approche qualitative 204 – approche quantitative 204 – composées 197 – continue 193 – directement proportionnelles 278, 281 – discontinue 193 – inversement proportionnelles 287 graphe sagittal ou graphe fléché 274, 283 graphique cartésien 275, 276, 284

338

médiane – d’un quadrilatère 112 – d’un triangle 109 médiatrice – dans un triangle 110 – d’un segment 110, 184 mesure 211 mesurer 212 mètre, multiples et sous-multiples 216, 243 mètre carré, multiples et sousmultiples 219, 243 mètre cube, multiples et sousmultiples 222, 244 mettre des fractions au même dénominateur 311 multiplication – de deux fractions 321 – d’un nombre et d’une fraction 320

éléments 27 empreinte 132 encadrement 212 ennéagones 101 ensemble(s) 27 – complémentaire(s) 17, 29 – défini(s) en compréhension 27 – défini(s) en extension 27 – disjoints 29 – sous-ensemble (paire, singleton) 28 – vide 28 équivalence 47 étalon 211 – conventionnel 215 – non conventionnel 213 euro 242

N négation 43, 48, 50 nœuds 65 numérateur 297, 300

O objet orienté 60 octaèdre régulier 91 octet 198 octogones 101, 125, 187 ordonnée 70 ordonner 16, 208 organiser 15, 23, 208 orientation 55 origine du repère 70, 275 orthocentre 109

ligne(s) 77 – du temps 234 litre, multiples et sous-multiples 224, 244 logiciel de géométrie 182 logique 42 longueur 196, 216 losange 113, 115

paire 28 parallélépipède (rectangle) 92, 138 parallélogramme 113, 114 partition 18, 23, 30 patron du solide 134 pavage – du plan 124 – régulier 125 – semi-régulier 125 pentagones 101, 125, 189 pente 295, 332 périmètre 252 – d’un disque 255 – d’un polygone 252

M mailles 65, 177 masse 196, 226 masse volumique 197, 293

I n d e x TO M E 1

radian 240 ranger 16 ranger 208 rapport(s) – de proportionnalité 281

tableau 18, 33 – de correspondance 274 – de proportionnalité 283 – opératoire 34 – organisationnel 33

Éd

iti

quadrilatère 101, 111, 118, 124 quadrillage(s) 65, 68 – au sens élargi 67 – au sens strict 66 – « mailles–bandes » 67 – « points–lignes » 67 quantificateur – existentiel 49, 50 – universel 49, 50

seconde, multiples et sousmultiples 230, 245 secteur circulaire 128 similitude 175 simplifier une fraction 309 simultanéité 232 singleton 28 solide 77, 90 solide de révolution 94 sommet(s) – consécutifs 101 – d’un polyèdre 90 – d’un polygone 101 – d’une pyramide 92 soustraction de fractions 318, 320 sphère 128, 129 superficie 196, 219, 257 surface 77, 97 symétrie orthogonale 164 symétrie centrale 162 système – centésimal 221, 222 – décimal 216 – international (SI) 216 – métrique 215 – millésimal 223

– relationnel 34 – tri ou classement 33 table de vérité 44 taille d’un écran 199 température 197 termes de la fraction 297 tétraèdre régulier 91, 93, 140 traitements de données 11 transformation du plan 156 transformation affine 175 translation 160 trapèze 113, 114 – isocèle 114, 115 – rectangle 114, 115 triangle(s) 101, 105, 125 – acutangle 106 – équilatéral 106 – isocèle 106 – obtusangle 106 – rectangle 106 – scalène 108 trier 16, 23, 208 tronçons 65

– externe 281 – internes 282, 288 rayon 127 rectangle 113, 114 réduction 168 règle de trois 285, 328 repérage – absolu 61 – relatif 60 repère – cartésien 70, 275 – normé 71 – orthogonal 71, 275 – orthonormé 68, 70, 71 réseau 65 résolution d’un écran 199 rotation 161

perspective – cavalière 148 – centrale 152 – isométrique 150 plan(s) 79 – directeurs 64 – horizontal 58, 64 – vertical 58 – de profil 64 – frontal 64 poids 196, 226 point(s) 77 point de fuite 152 point de vue 60 polyèdre (régulier) 90, 91 polygone (régulier) 100, 102, 186 positions absolues 63 positions relatives 64 pourcentage 326 – d’une grandeur 327 prisme 91 – droit (bases carrées) 92, 138 – régulier 92 prix 197, 241 projection – centrale 145 – orthogonale 144 – parallèle 143 proportionnalité – directe 281 – inverse 247, 287 proposition 42 propriétés en géométrie 87 propriétés quantifiables 193 pyramide (régulière) 92, 93

union de deux ensembles 29 unité(s) de mesure 211, 242 – conventionnelles 215 – non conventionnelles 213 unité(s) de mesure agraire(s) 221

V valeur de vérité 43 vision (de l’espace) – ordinale 64 – projective 63 – topologique 63 vitesse 197, 291, 294 vitesse de transmission de l’information 199 volume 196, 222, 268 – de la boule 273 – du cône 272 – du cube 270 – du cylindre 272 – du parallélépipède 268, 270 – de la pyramide 271 – du prisme 271 vue circulaire du temps 235 vue linéaire du temps 234 vues coordonnées 146

339

iti

Éd s VA N

Index TOME 2

facteurs 155 factorielle n 35 factoriser 320 fonctions de la résolution de situations problèmes 13 fréquence – d’un évènement 50 – relative 51 – statistique 66-68

gnomon 282 groupements répétés 129

H hasard 43

Éd

iti

calcul(s) – automatisé(s) 230, 233, 256 – de probabilité(s) 54, 55 – écrit 231, 260 – lacunaire 170 – mental 230 – posé 260 – réfléchi 230, 242, 256 calculer 225, 226, 229 caractère(s) de divisibilité 305-308 cardinal – des collections 92 – d’un ensemble 33 – du produit cartésien 33 carré (d’un nombre) 220 chance 43 chiffre 102-104 classe 138-140, 142 clés pour calculer 256 coefficient du monôme 315 collections équipotentes 91 collection-témoin 102 combinaison 39 combinatoire 31 commutativité 192, 242 compensation 196, 249, 253, 255 – croisée 196, 249, 250, 256 – parallèle 198, 250, 251, 256 composition de transformations 177, 184 comptage-dénombrement 105 comptage-numérotage 105

bande numérique 118, 119, 121-123 base (puissance) 220 base de numération 129, 136 bénéfice 26 binôme(s) 316 – conjugués 316

décimal 127 décomposition(s) 243, 245-247, 253, 255, 256 – additive 109 – en facteurs premiers 303 – multiplicative 109 dénombrer 105 développer une expression algébrique 318 différence 150, 159, 210 – de carrés 321 distributivité 201 – simple 201, 318 – double 202, 318 dividende 163 diviseur 162, 286-289 – arbre 304 – treillis 303 division 163 – contenance 187 – écrite 270 – euclidienne 163 – exacte 164 – partage 187 – rapport 187 droite des nombres 119-122 dynamique(s) – de combinaison 169, 171 – de comparaison 169, 173 – de transformation 169, 171 – opératoire(s) 167, 169, 171, 174

estimer 239-241 étendue de la fréquence relative 51 évènement 44 – certain 44 – élémentaire 44 – impossible 44 exposant 220 expression(s) algébrique(s) 313 – équivalentes 316

abaque des nombres 136 , 139, 140, 260 absorbant 204 addition 151-153 – écrite 261, 275 algèbre 311 arrangement 36 aspect cardinal 92, 94, 95 aspect ordinal 93, 94, 95 associativité 194

compter 105 conditions d’existence d’une expression algébrique 315 correspondance terme à terme 91 couple 31 cube (d’un nombre) 220

échantillon expérimental 50 écriture – numérale 101 – numérique 102 élément – neutre 203 – symétrique 204 énumérer 106 équation 323 – à une inconnue 324 – du premier degré à une inconnue 324 équiprobabilité 54

identités remarquables 319 inconnue 312 intervalle 24 invariance 107 inverse (nombre) 205

la loi des grands nombres 51 lettre 312 litanie 101 loi de probabilité 55

M matériel de numération 143-145 médiane 83, 84 membres de l’égalité 316 mise en évidence 320 mode 83, 84 341

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

iti

Éd O

opérateur 152, 157, 161, 165 opération réciproque 159

342

schéma opératoire 167 schème(s) 102, 111-117 signe d’égalité 229 signifiant 103 signifié 103 situation problème 12 somme 150, 151 – algébrique 317 soustraction 160, 161 – écart 179 – écrite 262 – écrite par compensation 263, 264 – écrite par emprunt 262 – retrait 179 subitizing 111 système de numération orale 141

parenthèses 258 – règles 318 partage inégal 22 partie littérale 315 pensée algébrique 311 période 126 permutation 34 perte 26 plus grand commun diviseur 300 plus petit commun multiple 300 polynôme 315, 316 – ordonné 316 – réduit 316 principes d’équivalence 322 priorité des opérations 259 prix – d’achat 26 – de revient 26 – de vente 26 probabilité(s) 42, 45 – expérimentale 50 – fréquentielle 53 – relative 53 – théorique 54 problème(s) – à solutions multiples 20 – à solution unique 19 – d’intervalles 24 – fermé 19 – ouvert 18 procédé de calcul 226, 256 produit(s) 150, 153, 155, 212 – algébrique 317 – cartésien 31 – partiels 267 propriétés des opérations 192

ne puissance d’un nombre 220 nombre(s) 89 – à virgule 137 – cardinal 92, 98 – carré 283 – décimal 126 – entiers relatifs 125 – entiers (relatifs) positifs 124, 125 – figurés 281 – généralisé 312 – impair 281 – irrationnel 128 – naturel 91 – négatif(s) 125 – opposés 120 – ordinal 97, 98 – pair 281 – périodiques 126 – premier 301 – premiers entre eux 301 – rationnels 126 – rectangulaire 282 – réels 128 – triangulaire 284 nombrer 111 notation scientifique 221 numération – décimale 129 – décimale positionnelle 135 – écrite 129 – (écrite) additive 130 – (écrite) positionnelle 130 – orale 129 – romaine 133

rang 130 report 261 représentations analogiques 101 reste 162, 275 retenue(s) 265, 266, 268 risque 43 roue de comptage 296

opposé (nombre) 205 ordonné (polynôme) 316 origine 119

monôme(s) 315 – opposés 317 – semblables 315 mots-nombres 101 moyenne 84 – arithmétique 79-80, 82-83 multiple 286-289 multiplicande 155 multiplicateur 155 multiplication 154, 157, 158 – « chinoise » 269 – écrite 265 – égyptienne 269 – per gelosia 268

T tableau des cents premiers nombres 123, 296 tableau des effectifs 66 table – d’addition 234 – de multiplication 236, 290 – des multiples 290 termes 152, 161 totaliser 105 trinôme 316 – carré parfait 321

question statistique 59 quotient 150, 162, 214 – exact 164

univers d’une expérience aléatoire 44

R racine – carrée 223 – cubique 224 – ne 223

V valeur absolue 120, 209 valeur numérique d’une expression algébrique 315 variable 312 virgule 137

Table des matières Sommaire

Introduction

Comprendre les mathématiques pour bien les enseigner Un ouvrage structuré Le projet

5 6 7

Partie 1 : Résolution de problèmes Introduction

Problèmes ou situations problèmes ?

Qu’est-ce qu’une situation problème ?

Trois fonctions possibles des situations problèmes

Compétences de « résolveur » de situations problèmes

Paramètres et grille d’analyse des situations problèmes

5.1. Une variété de paramètres 5.2. Problèmes ouverts, fermés, semi-ouverts 5.3. Problèmes à une ou plusieurs solutions 5.4. Grille d’analyse des situations problèmes

18 18 19 20

Situations à modélisation spécifique

6.1. Les problèmes de partages inégaux 6.2. Les problèmes d’intervalles 6.3. Les problèmes liant des données commerciales ou autres

Éd

iti

24 26

Partie 2 : Traitement de données numériques Introduction

Éléments de combinatoire

1.1. Les situations « produits » 1.2. Les permutations 1.3. Les arrangements 1.4. Les combinaisons

31 34 36 39

343

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

Éléments de probabilités

2.1. Probabilités et pensée probabiliste 2.1.1. Expérience aléatoire, hasard et probabilité 2.1.2. Expérience aléatoire et évènement 2.1.3. Notion de probabilité 2.1.4. Pensée probabiliste 2.2. Probabilité expérimentale 2.2.1. Approche qualitative de la notion de fréquence d’un évènement 2.2.2. Spécificités de l’approche expérimentale de la probabilité 2.2.3. Pertinence de l’approche expérimentale de la probabilité 2.2.4. Recours aux simulations et aux outils numériques 2.3. Probabilité théorique 2.3.1. Spécificités de l’approche théorique de la probabilité 2.3.2. Notions élémentaires de probabilités théoriques

42 42 44 45 47

Éléments de statistique

3.1. Cerner la situation et collecter des données 3.1.1. Poser une question statistique et enquêter 3.1.2. Enquêter au moyen d’un sondage

Des questions de sondage pertinentes Les types de données recherchées Les facteurs influençant les résultats d’un sondage Les caractéristiques d’un échantillon représentatif L’enregistrement des données récoltées

3.1.2.1. 3.1.2.2. 3.1.2.3. 3.1.2.4. 3.1.2.5.

3.2. Organiser, présenter, analyser les données 3.2.1. Une organisation de base : le tableau des effectifs 3.2.2. La notion de fréquence en statistique 3.2.3. Diverses représentations graphiques des séries statistiques Le diagramme à tiges et à feuilles Le diagramme circulaire Le diagramme en bâtonnets L’histogramme

Éd

iti

3.2.3.1. 3.2.3.2. 3.2.3.3. 3.2.3.4.

3.3. Interpréter des données par des indicateurs statistiques 3.3.1. Un indicateur de dispersion : l’étendue 3.3.2. Des indicateurs de position : les valeurs centrales

3.3.2.1. La moyenne 3.3.2.1.1. Moyenne et partage équitable 3.3.2.1.2. Moyenne arithmétique d’une série statistique 3.3.2.2. Le mode 3.3.2.3. La médiane

3.3.3. Interpréter au moyen des valeurs centrales

344

49 49 50 52 53 54 54 54

59 59 60 60 61 61 62 63 65 65 66 68 69 70 72 75 79 79 79 79 80 82 83 83 84

Ta b le des m ati è res

Partie 3 : Nombres 88

Les nombres naturels

1.1. Les aspects du nombre 1.1.1. Aspect cardinal du nombre naturel 1.1.2. Aspect ordinal du nombre naturel 1.1.3. Articulation entre aspect cardinal et aspect ordinal 1.1.4. Notions liées à ces deux aspects du nombre 1.2. Les fonctions des nombres 1.2.1. Les nombres pour comparer 1.2.2. Les nombres pour mémoriser 1.2.3. Les nombres pour anticiper 1.3. Les désignations des nombres 1.3.1. Désignations verbales des nombres 1.3.2. Désignations schématiques des nombres 1.3.3. Désignations symboliques des nombres

91 92 93 94 96

Introduction

1.3.3.1. Distinction entre chiffre et nombre 1.3.3.2. Significations des écritures chiffrées

98 98 100 100 100 101 101 102 103 104

Les supports structurants

111

iti

1.4. Le dénombrement 105 1.4.1. Le principe de création mentale des unités 106 1.4.2. Le principe d’adéquation unique 106 1.4.3. Le principe de cardinalité 107 1.4.4. Les principes d’invariance du cardinal et de non-pertinence de l’ordre 107 1.5. Les décompositions 109

111 112 115

Éd

2.1. Les schèmes 2.1.1. Types de schèmes 2.1.2. Critères d’analyse des schèmes 2.2. De la bande numérique à la droite des nombres 2.3. Le tableau des cent premiers nombres

118 123

Les différents types de nombres

124

3.1. Les nombres entiers relatifs 3.2. Les nombres rationnels 3.3. Les nombres réels 3.4. Les ensembles de nombres

125 126 128 128

La numération

129

4.1. Deux types de systèmes de numération écrite 4.1.1. Les numérations additives 4.1.2. Les numérations de position

129 130 130

345

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

Partie 4 : Opérations et calcul

149 149

Définitions mathématiques des opérations

150

2.1. Les opérations « directes » : addition – multiplication 2.1.1. La somme de deux nombres naturels 2.1.2. L’addition vue comme une opération qui combine 2.1.3. L’addition vue comme une opération qui transforme 2.1.4. Les interprétations de l’addition 2.1.5. Le produit de deux nombres naturels 2.1.6. La multiplication vue comme opération qui combine 2.1.7. Une autre définition du produit de deux nombres naturels 2.1.8. La multiplication vue comme une opération qui transforme 2.1.9. Les interprétations de la multiplication 2.2. Les opérations réciproques : soustraction – division 2.2.1. Différence de deux nombres naturels 2.2.2. Soustraction 2.2.3. Soustraction comme opération réciproque de l’addition 2.2.4. Interprétations de la soustraction 2.2.5. Quotient de deux nombres naturels 2.2.6. Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ? 2.2.7. Division euclidienne 2.2.8. Division exacte 2.2.9. Division exacte comme opération réciproque de la multiplication 2.2.10. Interprétations de la division

151 151 151 152 153 153 154 155 157 158 159 159 160 161 161 162 163 163 164 164 165

Sens des opérations

166

3.1. Quelques préalables pour organiser les sens des opérations 3.1.1. L’importance de lier les opérations à des situations 3.1.2. La variété des situations liées à la variété des contextes numériques

166 166 166

iti

346

148

1.1. Qu’entend-on par « opération » ? 1.2. Opérer a-t-il toujours du sens ?

Éd 3.

143

149

135 135 137 138 141

Opérations, un monde vaste et complexe

Introduction

132 132 133

4.2. Des numérations en évolution 4.2.1. L’évolution vers notre numération décimale de position 4.2.2. L’évolution du système romain 4.3. La numération décimale positionnelle à la loupe 4.3.1. La numération décimale positionnelle écrite : les grands principes 4.3.2. Les nombres à virgule 4.3.3. L’écriture des grands nombres 4.3.4. Notre numération décimale orale 4.4. Matériel de numération

Ta b le des m ati è res

171 171 171 173 174 175 175 176 178 179 180 180 182 185 187 192

4.1. Commutativité 4.1.1. Cas de l’addition et de la multiplication 4.1.2. Cas de la soustraction et de la division 4.2. Associativité 4.2.1. Cas de l’addition et de la multiplication 4.2.2. Cas de la soustraction et de la division 4.3. Compensation 4.3.1. Cas de l’addition et de la multiplication 4.3.2. Cas de la soustraction et de la division 4.4. Distributivité 4.4.1. Distributivité de la multiplication sur l’addition 4.4.2. Distributivité de la multiplication sur la soustraction 4.4.3. Double distributivité 4.4.4. Cas de la division 4.5. Élément neutre 4.5.1. Cas de l’addition et de la multiplication 4.5.2. Cas de la soustraction et de la division 4.6. Élément absorbant 4.7. Élément symétrique

192 193 193

iti

Éd 5.

166 169

Propriétés des opérations

3.1.3. De la situation vers l’opération : plusieurs étapes utiles 3.1.4. Poser un calcul et chercher le résultat 3.2. Les dynamiques opératoires essentielles et les sens au quotidien 3.2.1. Combiner 3.2.2. Transformer 3.2.3. Comparer 3.2.4. Tableau de synthèse 3.3. Les différents sens des opérations dans le champ additif 3.3.1. Combiner dans le champ additif 3.3.2. Transformer dans le champ additif 3.3.3. Comparer dans le champ additif 3.3.4. Différentes façons de penser une soustraction : retrait - écart 3.4. Les différents sens des opérations dans le champ multiplicatif 3.4.1. Combiner dans le champ multiplicatif 3.4.2. Transformer dans le champ multiplicatif 3.4.3. Comparer dans le champ multiplicatif 3.4.4. Différentes façons de penser une division : partage - contenance - rapport

194 195 195 196 196 198 201 201 201 202 203 203 203 204 204 204

Extension des opérations aux autres nombres

206

5.1. Extension des quatre opérations aux nombres entiers relatifs 5.1.1. Addition dans ℤ 5.1.2. Soustraction dans ℤ 5.1.3. Multiplication dans ℤ 5.1.4. Division dans ℤ

207 207 210 212 213

347

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

218

Puissances et racines

220

6.1. Notion de puissance 6.2. Notion de racine

220

5.2. Extension des quatre opérations aux nombres décimaux à virgule 5.2.1. Addition et soustraction de nombres décimaux à virgule positifs 5.2.2. Multiplication de nombres décimaux à virgule positifs 5.2.3. Division de deux nombres décimaux à virgule positifs 5.3. Extension des quatre opérations aux nombres rationnels 5.4. Extension des quatre opérations aux nombres réels

Calcul

7.1. Dépasser le comptage pour vraiment calculer 7.2. Trois clés pour pouvoir calculer 7.2.1. Mobiliser des images mentales des nombres 7.2.2. Mobiliser les sens et les propriétés des opérations 7.2.3. Mobiliser le sens de l’égalité 7.3. Quatre grandes stratégies de calcul 7.4. Construction du calcul automatisé 7.4.1. Répertoire de calculs automatisés dans le champ additif 7.4.2. Répertoire de calculs automatisés dans le champ multiplicatif 7.4.3. Calcul automatisé au service des estimations 7.5. Procédés de calcul réfléchi 7.5.1. Commuter les termes ou les facteurs 7.5.2. Décomposer puis réassocier ou distribuer

214 215 215 216 218

222 225 225 226 227 228 229 230 233 234 236 239

7.5.4. Étendre des procédés de calcul réfléchi aux nombres décimaux à virgule

253

7.5.3.1. Procédés de compensation dans le champ additif 7.5.3.2. Procédés de compensation dans le champ multiplicatif

242 242 243 243 245 249 249 250

7.5.2.1. Procédés de décomposition dans le champ additif 7.5.2.2. Procédés de décomposition dans le champ multiplicatif

Éd

iti

7.5.3. Agir sur un nombre et compenser sur l’autre

7.5.4.1. Calcul réfléchi avec les nombres décimaux à virgule dans le champ additif 7.5.4.2. Calcul réfléchi avec les nombres décimaux à virgule dans le champ multiplicatif

253 253

7.5.5. Tableau de synthèse des outils en calcul réfléchi 256 7.6. Usage des parenthèses dans les calculs et priorité des opérations 258 7.7. Algorithmes de calcul écrit avec les nombres naturels 260 7.7.1. Algorithme d’addition écrite 261 7.7.2. Algorithme de soustraction écrite 262 7.7.3. Algorithme de multiplication écrite 265 7.7.4. Algorithme de division écrite 270 7.8. Calcul écrit avec des nombres décimaux à virgule 275 7.8.1. Addition et soustraction écrites avec des nombres décimaux à virgule 275 7.8.2. Multiplication écrite avec des nombres décimaux à virgule 276 7.8.3. Division écrite avec des nombres décimaux à virgule 278

348

Ta b le des m ati è res

Familles de nombres

281

8.1. Familles de nombres en lien avec des configurations de points 8.1.1. Nombres pairs et impairs 8.1.2. Nombres rectangulaires et carrés 8.1.3. Nombres triangulaires 8.2. Divisibilité 8.2.1. Diviseurs et multiples d’un nombre 8.2.2. Tables de multiplication

281 281 282 284

8.2.2.1. 8.2.2.2. 8.2.2.3. 8.2.2.4.

Table des multiples et table de multiplication Représentations des tables Tableaux organisateurs des tables Outils de mémorisation des tables

8.2.3. PGCD et PPCM 8.2.4. Nombres premiers

8.2.5. Caractères de divisibilité

8.2.4.1. Ensemble infini des nombres premiers 8.2.4.2. Décomposition en facteurs premiers 8.2.4.3. Intérêts des décompositions en facteurs premiers

8.2.5.1. Caractères de divisibilité utilisant le(s) dernier(s) chiffre(s) du nombre 8.2.5.2. Caractères de divisibilité utilisant tous les chiffres du nombre

286 286 290 290 292 293 296 300 301 301 303 303 305 305 307

Partie 5 : Algèbre

310

Objets fondamentaux

311

1.1. La lettre 1.2. Les expressions algébriques 1.3. Les monômes et polynômes 1.4. L’égalité

312

316

Calcul algébrique

317

2.1. Somme et produit algébriques 2.2. Propriété de distributivité 2.3. Identités remarquables 2.4. Méthodes de factorisation

317

Éd

iti

Introduction

313 315

318 319 320

Transformations d’égalités

322

3.1. Principes d’équivalence 3.2. Équations

322 323

349

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

Les POURQUOI

329

Bibliographie

331

Index

337

Index TOME 1 337 Index TOME 2 341

Éd

iti

Table des matières

350

343