Comprendre les maths - Tome 1 - extrait by Van In Fondamental

TOME 1

Comprendre

TOME 1 TRAITEMENT DE DONNÉES GÉOMÉTRIE - GRANDEURS

les maths pour bien les enseigner

Comprendre les maths pour bien les enseigner

Cet ouvrage est destiné aux enseignants et futurs enseignants de l’école maternelle, primaire et du début du secondaire. Il explicite et illustre de façon rigoureuse et accessible LA MATIÈRE à enseigner : de QUOI s’agit-il ? POURQUOI est-ce important dans le parcours de l’élève ? ✔ Les définitions s’adressent aux adultes, leur donnant une signification explicite, précise, juste de la matière. ✔ Des illustrations variées contextualisent ces définitions pour évoquer des situations possibles dans les différents niveaux d’enseignement. ✔ Des points d’attention ciblent une difficulté, un abus, une particularité, une erreur… dont il faut prendre conscience en tant qu’enseignant. ✔ Des pourquoi ponctuent régulièrement le texte pour faire valoir l’articulation des notions à enseigner, les obstacles à faire dépasser, la production de sens et favoriser la compréhension par les élèves. ✔ Des renvois sommaires à des activités de Math & Sens et d’autres ouvrages didactiques jalonnent ces différents éléments et ouvrent ainsi sur des « comment » multiples. Le présent tome se centre sur les thèmes du TRAITEMENT DE DONNÉES, de LA GÉOMÉTRIE et des GRANDEURS. Un second tome développera les thèmes des nombres, des opérations et du calcul et poursuivra le traitement de données avec des éléments de combinatoire, de probabilité et de statistique.

Comprendre

les maths pour bien les enseigner

2,5/14 ans

De Boeck ISBN 978-2-8041-9775-9 590315

vanin.be

F. Baret C. Géron C. Goossens F. Lucas C. Mousset M. Nolmans C. Van Pachterbeke P. Wantiez

TOME 1 TRAITEMENT DE DONNÉES GÉOMÉTRIE - GRANDEURS

Comprendre

les maths pour bien les enseigner

2,5/14 ans

F. Baret C. Géron C. Goossens F. Lucas C. Mousset M. Nolmans C. Van Pachterbeke P. Wantiez

Auteurs : Françoise Baret, Christine Géron, Cécile Goossens, Françoise Lucas, Céline Mousset, Maud Nolmans, Chantal Van Pachterbeke, Patricia Wantiez Couverture et maquette : Polaire Mise en page : Softwin

L’orthographe telle que rectifiée le 6 décembre 1990 par le Conseil Supérieur de la langue française est d’application dans la collection. Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2020, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition 2020 ISBN 978-2-8041-9775-9 D/2020/0078/25 Art. 590315/01

Sommaire INTRODUCTION

Introduction 1. Quels types de données, quels types de traitements ? 2. Les données sur le curseur du concret à l’abstrait 3. Les organisations d’objets, de données 4. Des outils de représentation 5. Éléments de logique

GRANDEURS

Introduction 1. Le repérage 2. Les formes 3. Le passage 3D-2D 4. Les transformations du plan 5. Les outils en géométrie

GÉOMÉTRIE

TRAITEMENT DE DONNÉES

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iti

Introduction 1. La notion de grandeur 2. L’approche qualitative ou quantitative des grandeurs 3. Les grandeurs quantifiées en mesurant avec des étalons non conventionnels 4. Les systèmes d’unités de mesure conventionnelles de grandeurs 5. Calculer pour déterminer une grandeur : périmètre, aire et volume 6. Les relations entre grandeurs 7. Les fractions

10 11 14 15 27 42

54 55 73 130 156 176

192 193 204 211 215 251 274 297

TABLE DES « POURQUOI »

335

BIBLIOGRAPHIE

337

INDEX

341

TABLE DES MATIÈRES

345

iti

Éd VA N

Introduction Comprendre les mathématiques pour bien les enseigner

Cet ouvrage est un référentiel de matière à destination des enseignants de maternelle, du primaire et du début du secondaire. Une des conditions incontournables pour un enseignement qui conduise l’élève à la compréhension de ce qu’il découvre et apprend est que l’enseignant lui-même ait la maitrise de la matière qu’il fait travailler. Il s’agit pour lui de comprendre la signification, la complexité des notions et, notamment, la nécessaire progressivité à envisager selon les obstacles à faire dépasser par les élèves. Il s’agit aussi de cerner les liens entre elles, la terminologie et la symbolisation spécifiques qui leur sont adjointes. C’est fort de cela que l’enseignant pourra gérer les propositions des élèves, leurs débats, leurs multiples essais et ajustements. C’est fort de cela aussi qu’il pourra faire des choix méthodologiques efficaces. Cet ouvrage veut expliciter et articuler les contenus mathématiques de façon rigoureuse mais néanmoins accessible. Il se veut une ressource utile et efficace pour : l’enseignant qui souhaite se réapproprier une matière, un concept, être au clair avec les termes et symboles adéquats ;

–

des enseignants en concertation (intra et inter cycles) qui souhaitent débattre, se mettre d’accord sur un contenu spécifique.

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Il convient néanmoins de prendre quelques précautions. –

L’ensemble des définitions présentées dans ce référentiel est une ressource à consulter par l’enseignant, elles ne sont pas là pour devenir des objets à faire étudier par les élèves.

Faire produire par ceux-ci un texte du type « définition » peut être intéressant après un long temps d’exploration et d’analyse mais, parfois, produire ce type de texte, même de façon moins formelle, n’est tout simplement pas nécessaire.

Certains contenus ne sont pas au programme de l’année ou du niveau où l’enseignant travaille. Il est néanmoins utile d’en savoir plus que le contenu strictement réservé aux élèves. L’enseignant trouvera intéressant d’approfondir le chapitre qu’il consulte.

Éd

–

iti

Pour les auteurs de cet ouvrage, « faire des mathématiques », c’est les construire lentement mais sûrement, dans une logique de résolution de problèmes ; c’est en permettre une appropriation par chacun, basée sur la mise en liens et le sens ; ce n’est certainement pas collectionner des concepts plus ou moins bien définis, comme une galerie de chasse, une collection d’animaux empaillés et donc sans vie une fois que le chasseur en a fini avec eux.

–

Les auteurs ont parfois fait des choix de définitions, de formulations, de symbolisations ; ils se sont volontairement arrêtés dans certains développements. Ils s’en expliquent par divers biais : introduction, note de bas de page, point d’attention…

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

Un ouvrage structuré Ce référentiel de matière est structuré selon plusieurs principes.

La succession des chapitres : pas de hasard Le traitement de données au sens large arrive en premier. Il propose et définit des outils de traitement utiles à tous les contenus mathématiques et profitables aussi à d’autres disciplines ainsi que dans la vie quotidienne.

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La géométrie suit, en cohérence avec l’idée que l’élève s’approprie son environnement pour se repérer, se situer et situer les objets dans l’espace, puis pour explorer les caractéristiques spatiales des objets, et les formes dans tous leurs aspects.

–

Le chapitre suivant permet de poursuivre l’exploration des objets de l’espace en s’interrogeant sur leurs grandeurs, en les comparant sans mesurer d’abord, puis en mesurant, mais aussi l’exploration de l’environnement en mettant des grandeurs en relation pour comprendre des phénomènes.

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Ces dernières approches conduisent naturellement aux nombres et opérations. Ces sujets seront largement développés dans le tome 2 de ce référentiel.

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Dans chaque chapitre, une logique de présentation Au départ, une brève introduction générale aide le lecteur à se faire une idée des contenus qui suivent et à s’orienter pour répondre aux questions qu’il se pose.

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Il s’agit de clarifier le QUOI enseigner. Le référentiel propose donc des définitions en gras avec le ou les termes définis en surbrillance grise. Ces termes sont repris en index.

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Ces définitions prennent sens dans plusieurs exemples notés en fins caractères noirs. Parfois les exemples précèdent les définitions. Certaines notions présentent une complexité, une particularité ou une difficulté qui méritent

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–

un développement, un point d’attention, présenté dans un cadre bleu et texte bleu . Des POURQUOI émaillent régulièrement l’explicitation et les illustrations de notions dans des pavés orange. Ils posent des questions de SENS .

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Des renvois à des COMMENT possibles font référence à diverses sources, dont des ouvrages de la collection « Math & Sens » (disponibles chez le même éditeur). Parfois le renvoi dirige le lecteur vers des compléments d’explication de la matière.

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–

Au terme de l’ouvrage, encore des portes d’entrée La table des POURQUOI permet au lecteur de retrouver toutes les questions de sens traitées dans l’ouvrage et de s’orienter dans ses recherches, aussi à partir de ce point de vue. La BIBLIOGRAPHIE donne aux lecteurs un répertoire d’ouvrages de référence qui ont nourri la réflexion des auteurs et qu’ils peuvent bien sûr consulter. L’INDEX reprend tous les concepts abordés dans ce référentiel avec des renvois aux pages principales en élucidant la signification et l’usage. Cet outil s’avère efficace pour retrouver rapidement les endroits du référentiel utiles pour la recherche engagée.

L e pro j et

Le projet Naissance du projet

Ce projet a été initié fin 2016 par le groupe des Mathophiles, constitué de professeurs de mathématiques et de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles des trois réseaux d’enseignement en Communautés française et germanophone de Belgique. Les Mathophiles se réunissent depuis 2001, cinq fois par an, et le débat est souvent intense autour du partage d’outils et de pratiques professionnelles concernant la formation des enseignants de maternelle, du primaire et du début du secondaire.

Le constat d’une difficulté à maitriser les contenus d’enseignement en mathématiques, chez les étudiants mais aussi chez les enseignants de terrain, a motivé le groupe à chercher à les outiller de façon rigoureuse mais accessible sur la matière à enseigner, d’autant plus que les référents adaptés en ce domaine ne sont pas légion. Par ailleurs, le recours à Internet permet de trouver rapidement beaucoup d’informations, mais celles-ci sont souvent divergentes, parfois contradictoires ou approximatives.

Auteures du projet

Huit membres du groupe, qui en compte une petite trentaine, se sont proposés pour écrire le QUOI et le POURQUOI dans les domaines du traitement de données, de la géométrie et des grandeurs. Le projet devrait se poursuivre pour les domaines du traitement de données, des nombres et opérations.

Le travail d’écriture de ce premier tome référentiel n’a pu s’enrichir et s’améliorer en lisibilité qu’à travers les nombreuses et intenses discussions entre les auteures et à travers leurs relectures à la fois bienveillantes et exigeantes.

Françoise BARET : licenciée en mathématiques, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la section primaire, depuis 1986, à la Haute École Libre Mosane (HELMo) à Theux.

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Christine GERON : docteure en sciences, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans les sections primaire et secondaire, depuis 2004, à la Haute École de la ville de Liège (HEL), collaboratrice pendant 3 ans dans les recherches sur la liaison primaire-secondaire en mathématiques menées par l’a.s.b.l. Hypothèse, formatrice dans le cadre de la formation continuée, membre du comité de la section belge francophone du Rallye Mathématique Transalpin, coauteure de l’ouvrage Apprivoiser l’espace et le monde des formes de la collection « Math & Sens ». Cécile GOOSSENS : licenciée en mathématiques, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques depuis 1991 dans la section primaire de la Haute École Léonard de Vinci à Louvainla-Neuve et, depuis 2014, dans la section primaire en horaire adapté qui forme des adultes en reprise d’études, coordinatrice de la section en horaire adapté depuis sa création en 2014, membre du GEM depuis 2013 (Groupe d’Enseignement Mathématique), collaboratrice occasionnelle à des projets de formation d’instituteurs primaires ou préscolaires en Belgique, et à l’étranger, coauteure de l’ouvrage Mobiliser les opérations avec bon sens ! de la collection « Math & Sens ». Françoise LUCAS : licenciée en mathématiques, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans les Hautes Écoles pendant 31 ans, principalement dans les sections primaire et préscolaire, détachée au service pédagogique de la fédération de l’enseignement fondamental dans le réseau libre durant 9 ans, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire des enseignants du fondamental et du début du secondaire, coauteure et directrice de la collection « Math & Sens » aux éditions De Boeck-Van In. Céline MOUSSET : docteure en sciences, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques depuis 2006 dans la section primaire de la Haute École Louvain en Hainaut (HELHa) à Mons, membre du GEM (Groupe d’Enseignement Mathématique) et du CRIPEDIS (Centre de Recherche Interdisciplinaire sur les Pratiques Enseignantes et les Disciplines Scolaires). 7

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

Maud NOLMANS : ingénieure civil et institutrice primaire, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la section primaire, depuis 2013, de la Haute École Libre Mosane (HELMo) à Liège, Huy et Theux. Chantal VAN PACHTERBEKE : licenciée en mathématiques, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la section primaire, depuis 1988, de la Haute École NamurLiège-Luxembourg (Henallux) à Malonne, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire, participation occasionnelle à des projets de formation d’instituteurs primaires au Maroc, coauteure de l’ouvrage Élucider la numération pour mieux calculer ! de la collection « Math & Sens ».

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Patricia WANTIEZ : docteure en sciences, chercheuse au Centre de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques (CREM) à Nivelles pendant 2 ans, professeure de mathématiques et de didactique des mathématiques dans la Haute École Bruxelles-Brabant, catégorie pédagogique Defré (HE2B), depuis 2002, actuellement dans les sections primaire et préscolaire, coauteure de l’ouvrage Apprivoiser l’espace et le monde des formes de la collection « Math & Sens ».

IN N

Éd

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Traitement de données

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

Introduction Nous abordons cette partie en tête de ce référentiel parce qu’elle développe et précise des outils de réflexion et d’organisation qui traversent les autres domaines mathématiques et servent d’autres disciplines, ainsi que des situations de la vie quotidienne. Nous gardons l’appellation large de traitement de données tout en allant, dans le tome 2, jusqu’aux éléments de base des statistiques.

La plupart des contenus de cette partie ne sont pas à enseigner pour eux-mêmes dans l’enseignement maternel et primaire. Néanmoins, il est essentiel que l’enseignant maitrise la nature de ces différents outils, les discrimine, ait connaissance de leur diversité et de leur fonctionnalité. Fort de cela, il pourra en amener un usage pertinent en classe et il en parlera de manière adaptée à son public.

Cette partie du référentiel développe et distingue d’abord les types d’organisation que sont ranger, trier, classer, hiérarchiser et croiser. Si ces organisations s’ancrent dans des actions concrètes, elles se présentent sous diverses formes : ensembles, tableaux, arbres, qui permettent de ne pas les confondre, de s’en faire des représentations mentales et de les adopter en situation à bon escient.

Cette partie détaille ensuite les outils de représentation que sont les ensembles, les tableaux et les arbres. Ils sont en effet d’une diversité considérable, souvent méconnue des enseignants. Ce sont des supports synoptiques, extrêmement utiles pour faire aboutir des organisations d’objets, de données, d’informations, pour mener à terme des résolutions de situations de façon économique et efficace.

Les éléments de logique clôturent cette première partie du traitement de données. Ce domaine mathématique est assez complexe et ce référentiel n’en développe que les premières notions utiles aux raisonnements élémentaires et aux organisations. Le lecteur intéressé par la logique trouvera à réfléchir aux articulations correctes des langages usuel et mathématique. Les éléments de logique présentés ici ne sont pas à enseigner mais il est intéressant d’en trouver les définitions, les illustrations et les représentations précises.

Les éléments de combinatoire, de probabilités et de statistiques, qui relèvent davantage de traitements numériques, se retrouveront en tête du tome 2 sur les nombres et les opérations.

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iti

Plusieurs notions développées dans cette partie ne sont pas définies formellement d’un point de vue mathématique mais sont expliquées et illustrées pour rendre les concepts accessibles.

Q u els t y pes d e d o nn é es , q u els t y pes d e traite m ents ?

1. Quels types de données, quels types de traitements ? Il est fréquent que, face à des situations comportant un grand nombre d’objets ou d’individus porteurs eux-mêmes d’un grand nombre de caractéristiques, on cherche à clarifier des répartitions, des relations entre eux, des particularités, des fréquences… dans le but de cerner et mieux comprendre un phénomène. Des phénomènes à cerner et comprendre

– Quel type de téléphone utilises-tu ?

– Avec quel moyen de transport viens-tu habituellement à l’école ? – Quelle collation parmi ces trois-ci prends-tu aujourd’hui ? – Quel est le prix de tel produit alimentaire dans tel magasin ? – Quelle est la vitesse maximale des voitures fabriquées chez… ? – Combien de participants comptent les manifestations sur le climat de… ?

– Le type de téléphone portable qui a la cote chez les jeunes aujourd’hui. – Les moyens de transports utilisés pour venir à l’école. – La préférence en matière de collation chez les élèves de ma classe. – Le (les) magasin(s) qui propose(nt) les produits alimentaires les moins chers. – La vitesse maximale des voitures fabriquées par des marques françaises. – Le nombre de participants aux manifestations sur le climat.

Une question spécifique posée

■

Les réponses à cette question soumise à chacun des objets ou des individus constituent un ensemble de données brutes. Voyons les diverses caractéristiques des données amenées par les situations ci-dessus et ci-après.

Des données qualitatives (sans nombres) ou des données quantitatives (avec nombres) : – les moyens de transports utilisés, les types d’angles des triangles (qualitatives) ; – les prix des produits alimentaires de différents magasins (quantitatives).

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Des données géométriques, des données métriques ou des données numériques : – les types d’angles des triangles (géométriques) ; – les vitesses maximales des voitures (métriques) ; – les nombres de participants aux manifestations (numériques). Des données prélevées de diverses manières : – les types d’angles à rechercher, à marquer dans les triangles ; – les moyens de transports utilisés à déterminer par une enquête. Cette entrée en matière a en point de mire l’analyse statistique de données collectées par des moyens comme les enquêtes, les sondages, les interviews… avec des outils propres à la statistique (voir tome 2). Ces données appellent divers traitements qui vont faire évoluer les données brutes de façon à amener cette meilleure compréhension du phénomène abordé et qui peuvent être : – des sélections ; – des traductions sous d’autres formes ; – des comparaisons, des mises en relations ; – des organisations diverses ; – des applications d’opérations ; – …

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

Cependant, le traitement de données ne se limite pas à l’analyse statistique. Divers outils de traitements appliqués plus largement à des objets, des informations et des données sont exploitables en dehors du champ des statistiques. Les objets, les informations, les données peuvent provenir de la vie en société, mais aussi de situations de classe où on s’interroge sur les contenus disciplinaires étudiés. Bon nombre de ces outils de traitement trouvent néanmoins un prolongement et une utilité spécifique en analyse statistique. ■

Voyons deux exemples de situations pour envisager cette distinction entre traitement statistique ou pas.

Exemple 1 Pour se faire une idée de la mobilité relative au trajet domicile-école, un premier cycle du secondaire réalise une enquête auprès des 140 élèves du cycle sur les divers moyens de transport utilisés pour venir à l’école1.

Les données brutes de la situation sont les réponses à l’enquête relative aux moyens de transport utilisés pour venir à l’école. Un premier traitement de ces données consiste à identifier les différents moyens de transport utilisés ainsi que le nombre d’élèves empruntant un même moyen de transport et à les organiser. On obtient ainsi ce qu’on appelle une série statistique (voir tome 2) qui peut conduire à de nouveaux traitements : – établir la fréquence d’usage de chacun des moyens utilisés sous forme de fraction ; – traduire et approximer cette fréquence en pourcentage, en nombre décimal ; – organiser ces nouvelles informations en tableau.

En voiture

140

iti

En transports en commun

Totaux

16 140 1 140 71 140

11,4 %

0,114

0,7 %

0,007

50,7 %

0,507

52 140 140 140

37,1 %

0,371

99,9 % → 100 %

0,999 → 1

Éd

À vélo

Fréquence (nombre décimal arrondi au millième)

Fréquence (fraction)

À pied

Fréquence (pourcentage arrondi au dixième)

Nombre d’élèves

Moyens de transport

Ces différents traitements permettent d’identifier les moyens les plus utilisés, les moins utilisés et d’y réagir. On est clairement ici dans un traitement statistique de données (moyens de transport utilisés pour venir à l’école) recueillies par enquête. Exemple 2 Pour pouvoir mieux cerner de quoi est constituée la famille des triangles (après de nombreuses constructions exploratoires avec divers matériels), une classe de troisième primaire se questionne sur les sortes d’angles possibles dans une douzaine de triangles variés. Les données brutes de cette situation correspondent au marquage des angles dans chacun de ces triangles (discrimination avec l’angle droit de l’équerre) : en rouge les angles droits, en vert les angles moins ouverts que le droit, en bleu les angles plus ouverts que le droit.

Situation proposée par Chevalier et al., De Boeck, 2012, p. 387.

Q u els t y pes d e d o nn é es , q u els t y pes d e traite m ents ?

Un traitement de ces données brutes consiste à identifier les différents trios d’angles possibles dans un triangle et de répartir les triangles selon ces différents trios. Triangles ayant 2 angles aigus et 1 angle droit

Triangles ayant 2 angles aigus et 1 angle obtus

Triangles ayant 3 angles aigus

Les triangles s’organisent en trois classes (triangles acutangles, triangles rectangles, triangles obtusangles) disjointes dont la réunion est l’ensemble des triangles de départ. Les données traitées conduisent à un nouveau savoir sur les triangles qui pourra être mobilisé dans d’autres constructions géométriques. On n’est pas ici dans un traitement statistique des données prélevées par marquage dans les triangles (trios d’angles dans chaque triangle). On s’arrête à la répartition des triangles selon leurs types d’angles, le but étant ici de mieux cerner de quels triangles est constituée la famille des triangles. Néanmoins, cette idée de répartition en différentes classes disjointes est souvent la première étape d’un traitement statistique.

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iti

Il est important que les élèves soient critiques face à un prélèvement de données. Elles peuvent parfois être aberrantes, inexactes ou intruses. Par exemple : – un élève qui dirait avoir trouvé deux angles droits dans un triangle pourrait être invité à vérifier cette trouvaille en recourant rigoureusement à un instrument ; – un élève qui répondrait à l’enquête sur les moyens de transport pour venir à l’école en disant « j’y viens en avion » pourrait être invité à modifier sa réponse ou être enlevé de l’échantillon des personnes interrogées par l’enquête ; – …

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

2. Les données sur le curseur du concret à l’abstrait Souvent, lorsqu’on parle de traitement de données en général et de traitement statistique en particulier, on pense au traitement déjà très mathématisé de données chiffrées (quantitatives). On se projette d’emblée dans une grande abstraction. Or le traitement de données est déjà possible à l’école maternelle en travaillant sur des objets réels concrets ou sur des représentations figuratives de ces objets, du semi-concret.

D’une manière générale, on peut dire que : – le concret correspond aux objets réels, notamment de la vie de tous les jours ; – ensuite, on quitte le concret en prenant, comme support d’activités, des photos ou des images figuratives de ces objets réels (semi-concret2) ; – on s’éloigne encore davantage du concret en utilisant des représentations épurées, ne présentant plus que quelques liens avec ces objets réels (semi-abstrait2) ; – l’abstrait se réfère à des représentations universelles, épurées, souvent symboliques, n’ayant plus de liens avec les objets réels.

Ces quatre registres du concret à l’abstrait ne constituent pas des tiroirs séparés et étanches mais des étapes en continuité. On pourrait envisager des étapes intermédiaires supplémentaires. Il faut plutôt imaginer un curseur glissant du concret à l’abstrait. Concret

Semi-concret

Semi-abstrait

Abstrait

Éd

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La question du cheminement du concret à l’abstrait dans les apprentissages est transversale aux mathématiques, voire à d’autres disciplines. On a coutume d’associer la notion de concret à l’usage d’objets réels, que l’on peut prendre en main, voir, sentir, manipuler, et la notion d’abstrait à l’expression d’idées, de concepts, de théories. Mais tous les matériels didactiques proposés aux enfants sont-ils vraiment concrets ? Suffit-il qu’un matériel soit manipulable pour être qualifié de concret ? Ces matériels manipulables ne comportent-ils pas déjà des traces d’abstraction ? Démarrer du concret est-il vraiment judicieux, vu la complexité du réel et le nombre de distracteurs qu’il contient ? Nous invitons le lecteur à y réfléchir.

■

Voici un exemple d’application du curseur au nombre 5. Supports pour représenter le nombre 5

Concret

Semi-concret

Ma main, mon autre main, la main d’un copain, montrant toutes 5 vrais doigts.

La photo, un carton avec l’empreinte ou le dessin figuratif de mes 5 doigts.

Semi-abstrait

Abstrait

Un carton avec le Un carton avec dessin stylisé de - une organisation géométrique 5 doigts en forme de 5 points ou 5 barres ou… de barres. Ceci (schèmes), correspond au - un symbole conventionnel tel schème-doigts cinq. le chiffre arabe 5.

Ces appellations n’ont pas de définition établie. L’essentiel est l’idée du curseur.

L es o r g anisati o ns d ’o b j ets , d e d o nn é es

Concret De vraies mains « concrètes ».

Semi-concret Des représentations figuratives de ma vraie main.

Semi-abstrait

Abstrait

Une représentation stylisée, universelle, évoquant une main en général qui n’est celle de personne.

Une représentation épurée, universelle, de la quantité cinq en général, n’évoquant pas uniquement des doigts. Une représentation universelle symbolisée par un chiffre arabe.

Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. Lexique de symboles (site myvanin.be) : 1. Du concret vers l’abstrait. Cf. illustrations de ce curseur pour les notions de : mètre, quadrillage et rectangle.

Beaucoup d’enseignants pensent que les schèmes, les jetons, les réglettes… sont du concret. Non ! Ces matériels épurés sont proches de l’abstrait.

■

En effet, pour percevoir du nombre dans ces supports, il faut : – évoquer des collections variées (c’est cinq comme…) et en apprécier l’équivalence numérique malgré les variations d’objets et de dispositions dans l’espace ; – décomposer en quantités à mettre en relation (c’est 5 parce que je vois 4 et encore 1, je vois 3 et 1 de chaque côté…). Voici un exemple de situation ancrée dans le concret et traitée dans le semi-concret.

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Dans une classe maternelle, on souhaite mettre en évidence la collation qui a la préférence du plus grand nombre d’enfants. Pour ce faire, l’enseignante propose les traitements suivants : chacun… – prend l’image de son fruit préféré pour la collation du lendemain dans un panier rempli d’images d’une pomme, d’une banane, d’une mandarine ; – dépose son image dans une rangée du panneau au sol, dans la rangée verte si c’est celle d’une pomme, dans la jaune si c’est celle d’une banane, dans l’orange si c’est celle d’une mandarine.

Les données brutes de la situation sont les types de fruits choisis (qualitatives). Dans la répartition, ici, des images de fruits en rangées, apparaissent les nombres d’enfants ayant choisi un même fruit (effectifs, voir tome 2), visibles dans la longueur des rangées d’images. On est ici dans un traitement statistique et, après traitement, on voit quel fruit est préféré par le plus grand nombre d’enfants de la classe.

3. Les organisations d’objets, de données Les objets de la vie courante sont parfois mélangés, en désordre. Les données3 brutes issues d’une situation se présentent souvent de façon dispersée. Les premiers essais de résolution s’élaborent la plupart du temps de façon brouillonne. À un moment donné, pour y voir plus clair, pour aboutir, la nécessité d’organiser les objets, les données brutes ou construites s’impose. Plusieurs organisations et plusieurs outils graphiques pour les représenter sont envisageables. 3 Le terme « données » est pris ici au sens large et ne désigne pas nécessairement des données issues d’enquêtes, en vue d’un traitement statistique.

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

3.1. Ranger Ranger des objets ou des données, c’est : – prendre en compte une caractéristique quantifiable, une grandeur de ceux-ci ; – ordonner ces objets ou ces données selon cette grandeur croissante ou décroissante.

Cette opération de rangement4 vient souvent à la suite de comparaisons d’objets deux à deux selon une de leurs grandeurs (plus…, moins…, aussi ou autant… que) quand la comparaison s’élargit à au moins trois objets. Cela contribue à se construire des repères. Elle est aussi suscitée par le besoin de sortir du désordre peu exploitable. – Ranger les boites cubiques ou cylindriques de la plus petite (la moins volumineuse) à la plus grande (la plus volumineuse) pour faire une tour en équilibre, pour les emboiter ensuite. – Ranger quatre à dix objets donnés depuis celui qui est le plus léger jusqu’à celui qui est le plus lourd pour se créer des repères de masses/poids. – Ranger des données numériques dans leur forme abstraite, comme ranger les dates du calendrier, ranger des prix…

Un rangement d’objets selon une grandeur croissante ou décroissante est souvent très visuel. L’ordre apparait.

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Certaines grandeurs échappent à ce visuel parlant : – les masses/poids, car un objet lourd peut être peu volumineux et un objet léger peut occuper beaucoup d’espace ; – les amplitudes, car il s’agit de considérer des ouvertures entre côtés et non leurs longueurs apparentes ; – les nombres de… (les objets qui se comptent, grandeur discontinue), car les tailles des objets peuvent interférer. Par exemple, 5 cerises, c’est plus (en nombre) que 4 mandarines qui est plus que 3 pommes.

3.2. Réaliser des ensembles

Rassembler des objets, des données ayant une caractéristique commune et en faire un ensemble (voir Traitement de données § 4.1.) est utile pour sortir du désordre, de la dispersion, du vrac. Les situations complexes à traiter conduisent à réaliser plusieurs ensembles ayant des liens spécifiques entre eux. Voyons les différentes possibilités.

3.2.1. Trier : réaliser deux ensembles complémentaires Trier des objets ou des données, c’est : – prendre en compte une caractéristique particulière de ceux-ci ; – rassembler en un ensemble les objets ou les données possédant cette caractéristique ; – laisser de côté le reste : les objets ou les données sans cette caractéristique. 4

Cette opération de rangement s’appelle aussi réaliser une sériation. Ici, ranger et sérier sont synonymes.

L es o r g anisati o ns d ’o b j ets , d e d o nn é es

Le reste constitue un deuxième ensemble complémentaire du précédent, les deux réunis composent le tout. – Trier les blocs Duplo de la boite, sortir, isoler, rassembler les Duplo jaunes pour une construction, laisser les autres de côté, ceux qui ne sont pas jaunes, les non jaunes. – Trier les schèmes binaires jusque vingt, rassembler les schèmes qui sont des rectangles, qui représentent des doubles, des nombres pairs pour les mémoriser, laisser les autres de côté.

– Trier les calculs proposés, rassembler ceux dont la résolution serait facilitée en appliquant la compensation de l’opération, laisser de côté les autres où la compensation n’est pas facilitatrice, où un autre procédé serait plus judicieux, argumenter les choix afin de se donner des repères en calcul mental.

Ces exemples mettent aussi en évidence qu’on n’organise pas des objets ou des données pour le plaisir d’organiser… Il y a toujours une intention sousjacente, un but, une utilité.

Éd

iti

Le deuxième ensemble résultant d’un tri est moins naturel à définir. Il n’y a souvent pas de propriété commune aux éléments qui restent. Une façon d’énoncer néanmoins une propriété commune à ces éléments est de le faire par la négative, souvent plus fastidieuse à énoncer : les Duplo non jaunes, les calculs dont la résolution n’est pas intéressante par compensation. En général ce sont les éléments du premier ensemble qui vont être traités et pas ceux du deuxième ensemble. Ce deuxième ensemble est souvent implicite.

En bref, trier conduit à réaliser deux ensembles complémentaires de l’ensemble initial, c’est-àdire deux ensembles du type : oui/non ; exemples/contrexemples ; ont/n’ont pas ; sont/ne sont pas (voir Traitement de données § 4.1.2.1.). Voici différentes représentations du tri des Duplo. En diagramme ensembliste

En tableau

En arbre

Les Duplo de la boite

Les jaunes Les autres : les non jaunes Les jaunes Les jaunes

Les autres : les non jaunes

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

Un diagramme ensembliste ou diagramme de Venn5 est une représentation d’ensembles par des contours qui montrent les liens logiques possibles entre eux (voir Traitement de données § 4.1.1.1.). Les tableaux et les arbres seront définis aux § 4.2. et 4.3.

Les trois représentations données ci-dessus et dans la suite de ce paragraphe 3.2. veulent montrer les traces possibles qu’on peut garder d’actions d’organisation. Souvent on prend une photo des organisations réalisées. Il ne faut surtout pas imaginer qu’il faille chaque fois réaliser un diagramme de Venn ou un tableau ou un arbre. Ces représentations sont à réaliser si elles présentent une réelle utilité.

3.2.2. Classer : réaliser des ensembles disjoints

Classer des objets ou des données, c’est : – prendre en compte une caractéristique générale de ceux-ci et ses modalités particulières ; – rassembler en ensembles séparés les objets ou les données selon chacune de ces modalités ; – de telle sorte que la réunion de ces ensembles comprenne la totalité des objets, des données. – Classer les blocs Duplo de cette boite selon leur couleur en 5 modalités (rose, bleu, jaune, orange, vert) (il n’y a pas d’autre couleur dans cette boite) pour faciliter une construction. – Classer des récipients selon leur capacité en 3 modalités (supérieure à 1 litre, égale à 1 litre, inférieure à 1 litre) pour se construire des repères dans le domaine des capacités.

– Classer des additions données de deux nombres jusque 20 en 3 modalités, selon la manière de les manipuler et de les résoudre dans la boite de 20 (composée de deux boites de 10).

5+3=

8+1=

16 + 3 =

14 + 4 = 7 + 8 =

2+4=

12 + 4 = 5 + 3 =

iti

5+6= 9+3=

Je travaille dans la 1re boite

Je travaille dans la 2e boite

Je change de boite

8+1=

16 + 3 =

7+8=

Découpe et colle dans le tableau

13 + 2 = 8 + 5 =

4 + 15 =

Éd

2 + 11 = 6 + 8 =

En bref, classer conduit à réaliser une partition de l’ensemble initial (voir Traitement de données § 4.1.2.6.) : classer conduit à réaliser des sous-ensembles disjoints qui, réunis, donnent la totalité de l’ensemble initial. Voici différentes représentations de classes séparées de Duplo. En diagramme ensembliste

En tableau

En arbre

Les Duplo de la boite

Les orange

Les roses Les bleus

Les roses

Les orange

Les bleus

Les verts Les jaunes

Appelé diagramme de Venn, du nom de son inventeur, John Venn, dans les années 1880.

Les jaunes

Les verts

L es o r g anisati o ns d ’o b j ets , d e d o nn é es

Le passage de trier à classer n’est pas toujours évident. Les jeunes enfants visualisent d’abord des caractéristiques particulières et trient. Par exemple, ils reconnaissent, ils isolent parmi des ingrédients, des pommes mais ils ne réalisent pas qu’une poire, une pomme, une banane, une cerise engagent une caractéristique plus générale : « être un fruit ». Classer requiert d’avancer dans l’abstraction des caractéristiques, d’induire à partir de caractéristiques particulières une caractéristique générale. Les caractéristiques particulières sont les modalités de la caractéristique générale : « être une sorte de fruit ».

Repérer les modalités spécifiques à un critère de classement n’est pas toujours aisé. Il n’est pas rare de voir les jeunes enfants, mais aussi des élèves de fin de primaire ou début du secondaire, envisager, pour leurs ensembles, des modalités qui n’ont rien à voir entre elles et qui ne remontent pas vers un même critère.

Par exemple, des élèves peuvent proposer les solides qui ont 6 faces et les solides qui ont des faces triangulaires.

Pour sortir de ce mélimélo, il s’agit : – soit de se mettre d’accord sur un critère général que l’on comprend, par exemple le nombre de faces, et voir alors les différents nombres de faces qui peuvent se présenter dans les solides dont on dispose ; – soit de repartir d’une modalité particulière (par exemple avoir six faces) ; on détermine de quoi elle nous parle plus généralement (elle nous dit un nombre de faces), et on cherche alors d’autres modalités de même genre comme d’autres nombres de faces.

iti

3.2.3. Hiérarchiser : réaliser des ensembles emboités

Éd

Hiérarchiser des objets ou des données, c’est : – prendre en compte des caractéristiques qui se cumulent ; – rassembler alors les objets, les données en ensembles emboités montrant la particularisation de ces objets ou données. – Pour réaliser une construction particulière, trier les Duplo rouges de la boite puis, parmi ceux-ci, prendre ceux à base carrée. – Réaliser trois ensembles de triangles emboités : les triangles, figures à 3 côtés ; les triangles ayant au moins 2 côtés isométriques ; les triangles ayant 3 côtés isométriques. – Emboiter les ensembles de multiples de nombres : les multiples de 2 contenant les multiples de 4 (plus particuliers), contenant les multiples de 8 (plus particuliers encore).

En bref, hiérarchiser conduit à l’inclusion d’ensembles (voir Traitement de données § 4.1.1.2.), hiérarchiser conduit à réaliser des ensembles inclus les uns dans les autres.

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

Voici différentes représentations d’ensembles emboités de Duplo puis de triangles. En diagramme ensembliste

En arbre Duplo de la boite

Les Duplo de la boite

Duplo rouges de la boite

Duplo rouges de la boite, à base carrée

Les Duplo rouges de la boite, à base carrée

Les Duplo rouges de la boite

En diagramme ensembliste

En arbre

Triangles

Les triangles

Triangles isocèles

Triangles équilatéraux

Les triangles équilatéraux

Les triangles isocèles

Le tableau est une représentation qui ne se prête pas à la visualisation d’un emboitement. La tentation serait ici de proposer des tableaux de classements plus familiers mais FAUX en termes de liens logiques ! Duplo de la boite

■

Remarques à propos des représentations

Triangles

T. isocèles

T. équilatéraux

iti

Duplo rouges de la boite

Éd

Duplo rouges de la boite, à base carrée

Ces tableaux de classements faux disent : – qu’un Duplo rouge à base carrée est hors de l’ensemble des Duplo rouges, lui-même hors de l’ensemble des Duplo de la boite ; – qu’un triangle équilatéral n’est pas un triangle isocèle, qui lui-même n’est pas un triangle !

■

Les arbres présentés ci-dessus, arbres à une seule branche descendante, surprennent. La particularisation correspond à des tris successifs, des arbres à deux branches les rendent explicites (voir Traitement de données § 3.2.1.). Duplo de la boite Duplo non rouges de la boite

Duplo de la boite

Duplo rouges de la boite

Duplo rouges de la boite, à base non carrée

Duplo rouges de la boite, à base carrée

Dans les arbres à une branche, ces tris successifs sont implicites. 20

Duplo rouges de la boite Duplo rouges de la boite, à base carrée

L es o r g anisati o ns d ’o b j ets , d e d o nn é es

Généralement, les arbres se présentent en branches qui se dispersent, sans cycle et sans boucle. Dans le cas d’une hiérarchisation, l’arbre en tri successif peut devenir un schéma plus épuré, plus implicite qui ne retient que la particularisation d’un niveau de l’arbre au suivant. En avançant d’un niveau on ajoute une propriété. Nous choisissons de symboliser ce passage par une branche fléchée et d’appeler ce schéma spécifique d’une hiérarchisation « arbre » également. On voit ici que la représentation la plus explicite de l’emboitement est la représentation en diagramme ensembliste.

■

Lors d’organisations d’objets, de données, il est important de choisir la représentation la plus explicite des liens logiques à faire valoir.

3.2.4. Croiser : réaliser des ensembles qui se croisent

Croiser des objets ou des données c’est : – prendre en compte deux caractéristiques (au moins) de ceux-ci ; – rassembler ces objets ou données suivant qu’ils ont ou pas ces caractéristiques en ensembles qui se croisent. Un objet ou une donnée qui a les deux caractéristiques se trouve dans les deux ensembles. Prendre des Duplo spécifiques pour réaliser une tour fine et jaune : des Duplo jaunes et ayant deux attaches.

En bref, croiser conduit à l’intersection d’ensembles, croiser conduit à réaliser des ensembles qui se croisent (voir Traitement de données § 4.1.2.2.). Voici différentes représentations de sous-ensembles de Duplo qui se croisent. En tableau

iti

En diagramme ensembliste Les Duplo jaunes

Les Duplo à 2 attaches

Éd

Les Duplo

Les Duplo jaunes à 2 attaches

Les Duplo à 2 attaches

Les Duplo pas à 2 attaches

Les Duplo jaunes

En arbre Les Duplo

Les Duplo non jaunes Les Duplo jaunes

Les Duplo à 2 attaches

Les Duplo jaunes à 2 attaches

Le schéma dont les branches fléchées se séparent puis se croisent est spécifique à cette situation d’intersection. Généralement, les arbres se présentent en branches qui se dispersent, sans cycle, sans boucle. La dispersion seule, ici, ne permet pas de placer les éléments ayant les deux propriétés à la fois. Le croisement est nécessaire. Les objets qui apparaissent se particularisent, ont des propriétés supplémentaires. Nous décidons de nommer ce type de schéma arbre également.

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

Le croisement est nécessaire aussi au niveau des contours ensemblistes. Une production qui veut maintenir le dispersement des deux ensembles initiaux, telle que ce qui suit, n’est PAS correcte. Les Duplo jaunes

Les Duplo à deux attaches

Les Duplo jaunes à 2 attaches

En effet elle donne à penser que certains Duplo jaunes à deux attaches – x serait dans l’ensemble des Duplo jaunes mais pas dans l’ensemble des Duplo à deux attaches ; – o serait dans l’ensemble des Duplo à deux attaches mais pas dans l’ensemble des Duplo jaunes.

3.2.5. Difficultés de langage

Les mêmes mots relatifs à ces diverses organisations sont d’usage en mathématique et dans le langage courant mais pas nécessairement avec le même sens. Il n’est donc pas évident d’être rigoureux lors des activités mathématiques en classe à ce sujet. Par ailleurs il est impossible de modifier des expressions bien ancrées dans le langage courant. Dans la vie, les termes « ranger » et « rangement » sont moins spécifiques qu’en mathématique, ils évoquent même du classement.

–

Quand on demande par exemple de ranger sa chambre, son bureau, ses vêtements… on pense, en général, à remplacer une situation de désordre par une situation où les choses vont être rangées, c’est-à-dire vont retrouver des places assignées, comme les jouets dans le coffre à jouets, les vêtements dans la garde-robe, le matériel de bureau dans les tiroirs. Dans la garde-robe, on imagine les pantalons ensemble, les pulls ensemble…

Les termes « classer » et « classement » sont utilisés souvent abusivement dans le langage courant.

Éd

–

iti

Dans ce cas-là, ranger devient classer mais on ne dit jamais « va classer les objets de ta chambre ». On dit « va ranger ta chambre ». Dans la vie courante, on parle souvent de classement pour toute organisation, quelle qu’elle soit, même pour celles qui mathématiquement n’en sont pas. Ainsi on parle du classement des coureurs au terme d’une course, le premier arrivé, le suivant, le troisième, le quatrième… On ne crée pas de cette manière des ensembles de coureurs selon une caractéristique générale et ses modalités. On range les coureurs selon leur temps de course croissant. On ne les classe pas, même s’il peut y avoir très occasionnellement des ex-æquo. Classer les coureurs reviendrait par exemple à les rassembler selon leur équipe d’appartenance (caractéristique générale) en envisageant toutes les équipes participantes (modalités). À l’école, disons « rangez-vous du plus petit au plus grand » et non pas « classez-vous du plus petit au plus grand ». Dans le langage courant et notamment dans les médias, ne nous étonnons pas de continuer à entendre classer et classement là où en fait il y a des rangements, des mises en suite ordonnées. –

Les termes « trier » et « tri » sont aussi utilisés abusivement dans le langage courant. On parle entre autres de trier les déchets ou du tri des déchets. Cela correspond au tri mathématique s’il y a deux poubelles : l’une par exemple où on jette les déchets organiques et l’autre où on jette

L es o r g anisati o ns d ’o b j ets , d e d o nn é es

tout le reste. Mais souvent il y a plus de deux poubelles. On jette dans les différentes poubelles selon le critère « types de déchets » avec plusieurs modalités comme : les papiers/cartons, les plastiques, les verres, les métaux… On réalise un classement des déchets et pourtant on continue à parler de tri des déchets, c’est devenu commun dans le langage courant.

3.2.6. Tableau synthèse des organisations de base

Organiser des ensembles d’objets6 Réaliser des ensembles disjoints

Réaliser des ensembles emboités

Réaliser des ensembles qui se croisent

Trier

Classer

Hiérarchiser

Croiser

Il s’agit de : - repérer une caractéristique générale des objets et ses modalités ; - rassembler les objets en ensembles séparés selon ces modalités, qui rende le tout.

Il s’agit de : - repérer des caractéristiques cumulables des objets ; - rassembler les objets en ensembles emboités.

Il s’agit de : - repérer deux caractéristiques (au moins) des objets ; - rassembler les objets en ensembles qui se croisent.

Il s’agit de : - r epérer une caractéristique particulière de certains objets ; - l es isoler en un ensemble ; - l aisser le reste de côté (ensemble complémentaire).

Réaliser deux ensembles complémentaires

Ces organisations se représentent par… une partition

iti

un ensemble et son complémentaire

Éd

un tableau à 1 entrée

un arbre à deux branches, deux niveaux

une (des) inclusion(s)

une (des) intersection(s)

un tableau à 1 entrée

un tableau à 2 entrées

un arbre à plusieurs branches, deux niveaux

un arbre à une branche, un arbre à deux à plusieurs niveaux branches, à trois niveaux

Ces organisations sont profondément différentes, évitons de les confondre : leur forme graphique permet vraiment de les distinguer ! Parlons d’organisation et d’organiser dans un premier temps et précisons ensuite le type d’ensembles réalisés.

6 Nous parlons ici d’objets au sens large, ces objets peuvent être des objets réels, des représentations d’objets, des objets mathématiques, des données numériques…

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

3.2.7. Des organisations articulant plusieurs organisations de base La complexité des situations, des objets ou des données qu’elles amènent conduit souvent à des organisations articulant deux ou plus de ces organisations de base ainsi que, parfois, un rangement selon la grandeur. Donnons quelques exemples. Triangles équilatéraux TE

Triangles isocèles TI

Triangles T

Triangles rectangles TR

Triangles obtusangles TO

Triangles acutangles TA

Cette organisation articule un classement des triangles selon les types d’angles (TA, TR, TO) et une hiérarchie selon l’isométrie des côtés (T, TI, TE). On peut aussi y voir des intersections entre, par exemple, TI et TR, donnant des TRI (voir Géométrie § 2.3.4.3.).

Ici, les classes séparées de vignettes porteuses de dessins de fruits et le rangement des vignettes selon le nombre croissant de dessins de fruits mettent en évidence l’aspect cardinal du nombre par les colonnes et l’aspect ordinal du nombre par les rangées.

iti Éd TI

L’ensemble des quadrilatères7 s’organise de plusieurs façons : – en ensembles séparés (convexes, non convexes) ; – en ensembles emboités (les quadrilatères contiennent les trapèzes…) ; – en ensembles qui se croisent (les losanges et les rectangles) (voir Géométrie § 2.3.5.5.). 7

Nous n’avons pas pris en compte ici les quadrilatères non convexes croisés (voir Géométrie § 2.3.3.).

Pourquoi travailler ces organisations :

ranger, trier, classer, hiérarchiser, croiser ? Organiser des objets qui dans un premier temps arrivent en vrac, mélangés, permet d’y voir plus clair et d’envisager une utilisation plus efficace ou des liens possibles, intéressants. – Passer du bac de couverts revenant de la vaisselle au tiroir où chacun trouvera sa place, permet une réutilisation aisée.

– Ranger ses schèmes jusque dix sur la table permet de visualiser l’alternance impair/pair et la suite des amis de dix : 1/9 ; 2/8 ; 3/7 ; 4/6 ; 5/5.

Organiser des données construites lors d’une résolution de situation problème permet d’entrevoir et d’aboutir à une solution plus sûrement. Souvent, dans une résolution de situation complexe, on avance de manière hésitante, par essais/ erreurs avec de fréquents retours en arrière, des ratures, des ajouts en cours de réflexion. À un moment donné, la nécessité d’organiser, de classer, de ranger s’impose. Ceci permet de mieux percevoir un fil conducteur intéressant, des liens logiques prometteurs qui vont aider à poursuivre de façon plus méthodique et efficace.

iti

Voici un exemple de problème de dénombrement.

Éd

Dans le carré orange on peut trouver Pour le carré de 3 × 3, on voit les 9 carrés de 1 × 1 14 carrés. et 1 carré de 3 × 3. On voit ensuite des carrés de 2×2 à faire glisser Combien de carrés peut-on trouver sur les 2 côtés du carré initial pour en trouver 4 dans un carré de 5 sur 5, dans un (2 rangées de 2). carré de 8 sur 8 et finalement dans On vérifie que 9 + 1 + 4 = 14. un carré de n sur n ? Pour le carré de 5 × 5, on voit les 25 carrés de 1 × 1 et 1 carré de 25 × 25. Comme dans le carré de 3 × 3, on cherche les carrés de 2 × 2. On en a 16 (4 rangées de 4). Se dire ensuite qu’il y a des carrés de 3 × 3 et de 4 × 4 à dénombrer en les faisant glisser le long des 2 côtés du carré initial. Pour le carré de 8 × 8, on tente une organisation. C 1×1

C 2×2

C 3×3

C 4×4

C 5×5

C 6×6

C 7×7

C 8×8

…

8×8

7×7

6×6

…

1×1

C’est ce qui permet de généraliser à n × n.

PA R T I E 1 : T R A I T E M E N T D E D O N N É E S

Trier, classer, hiérarchiser, ranger permettent de conceptualiser. Quand on construit un concept, une manière de faire est de partir d’exemples et de contrexemples, on doit pouvoir distinguer les attributs8 qui le spécifient. On désigne alors cette combinaison d’attributs par un mot ou une expression qui nomme le concept. Sous cette dénomination, on peut regrouper tous les objets ayant cette combinaison d’attributs, malgré des différences. Ce sont des exemples du concept, les autres objets étant des contreexemples. C’est le tri qui soutient la conceptualisation. En mathématique : les polygones/les non-polygones ; les nombres pairs/les nombres impairs ; les unités conventionnelles/les unités non conventionnelles… Un concept peut aussi être mieux cerné, mieux compris par confrontation à des concepts voisins, mais différents. Les objets peuvent se classer selon ces concepts. Le classement soutient la conceptualisation. En mathématique : les solides par opposition aux surfaces, aux lignes, aux points.

Un concept se définit parfois comme une particularité d’un autre concept. En mathématique : des carrés qui sont des rectangles particuliers, des rectangles ayant leurs 4 côtés isométriques ; des carrés qui sont des losanges particuliers, des losanges ayant leurs 4 angles isométriques. Cela peut s’apprécier par des approches dynamiques de formes (voir Géométrie § 2.3.5.1.).

Les différents aspects d’un concept s’élaborent à la fois par du classement et du rangement. Il en est ainsi pour le concept de nombre naturel : c’est en classant et en rangeant des collections d’objets selon leur nombre d’éléments qu’on fait émerger l’aspect cardinal et l’aspect ordinal des nombres naturels. Travailler ces organisations à partir d’objets mathématiques mais aussi à partir d’objets d’autres disciplines permet de renforcer le caractère transversal de ces notions. Partir, par exemple, d’étiquettes de nombres (mathématique), de feuilles d’automne ramassées le matin (éveil, botanique), de petits textes donnés (français), d’images de peintures d’artistes (éducation plastique)… On aura, par exemple, du tri en deux « tas » complémentaires : les nombres entiers et les non entiers ; les feuilles simples et les composées ; les poèmes et les autres textes ; les œuvres impressionnistes et les autres…

Pour les élèves en difficulté de construction des concepts mathématiques tels que les nombres, les grandeurs, les formes… il est essentiel de travailler ces organisations logiques. – Un nombre correspond à une classe de collections ayant autant d’éléments (aspect cardinal). – Les nombres se rangent (aspect ordinal). – …

iti

L ucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). Nombreuses activités : rangeons des récipients ; rangeons des objets, d’abord triés en lourds ou légers ; rangeons des surfaces ; organisons ce que nous savons des angles ; organisons des mesures de longueurs en systèmes ; organisons les diverses sortes de grandeurs ; classons les unités de mesure.

Éd

Guéritte-Hess B. et al., Les maths à toutes les sauces, Paris, Le Pommier, 2005. Chapitres « Les classifications » et « La sériation ».

Vu le caractère transversal de ces outils d’organisation et de leurs représentations, il est utile, avec les élèves, de favoriser leur mise en lien pour en renforcer la compréhension et une mobilisation de plus en plus aisée. – Notre tableau à double entrée sur les collections d’objets ressemble à celui fait sur les mots ressources. Est-ce pareil ? Oui/non ? Pourquoi ? – On a des triangles répartis en trois ensembles séparés : T. acutangles, T. rectangles, T. obtusangles… Pourrait-on avoir la même chose avec des quadrilatères ? 8 Barth B.-M., 2004, propose un travail de tri en exemples/contreexemples ou exemples oui/exemples non pour construire un concept. Elle parle non pas de caractéristiques ou propriétés mais d’attributs : l’objet est … ou n’est pas… ; a… ou n’a pas…

iti

Éd VA N

Géométrie

PA R T I E 2 : G É O M É T R I E

Introduction Après une première partie sur le traitement de données qui propose des outils transversaux à tous les domaines mathématiques voire non mathématiques, nous choisissons d’entamer les contenus spécifiques par la Géométrie. C’est en cohérence avec l’idée que l’enfant découvre prioritairement son environnement, s’y repère et s’y déplace, y décrit des objets et leurs formes.

Les contenus de cette partie sont globalement ceux rencontrés à l’école fondamentale et au début de l’enseignement secondaire. Le langage géométrique est dense et complexe et mène à de nombreuses catégorisations. Nous insistons donc sur l’importance de ne pas enseigner ces contenus tels quels, comme une sorte de collection de concepts plus ou moins bien définis ou compris. La précision du langage géométrique et le besoin d’organisation des formes doivent naitre d’activités concrètes multiples.

Comme le jeune enfant qui apprend progressivement à se déplacer et se repérer dans son environnement, cette partie étudie d’abord les concepts liés au repérage, qui s’appuient sur des notions de base de la géométrie. Le repérage passe aussi par un vocabulaire spatial basé sur des visions différentes de l’espace. Le chapitre sur le repérage se conclut en analysant en profondeur le quadrillage, support révélant de nombreux aspects.

Cette partie aborde ensuite les formes géométriques avec une première réflexion sur la notion même de forme et quelques concepts généraux qui lui sont liés. Elle étudie alors les solides, puisque ce sont les premiers objets géométriques rencontrés par les enfants, ceux de leur environnement. Des solides, on passe naturellement aux surfaces. C’est l’occasion d’aborder les angles, seules surfaces illimitées vraiment étudiées à l’école. Viennent ensuite les notions liées aux polygones, en s’arrêtant sur les deux familles de polygones les plus travaillées : les triangles et les quadrilatères. On termine par une réflexion sur l’utilisation des pavages et par l’approche des formes rondes, parmi lesquelles le cercle et le disque.

iti

Le lien entre les solides et les surfaces se fait notamment par le passage des objets en 3 dimensions à leurs représentations possibles en deux dimensions. Ce chapitre étudie les différents modes de passage 3D-2D, en partant de la démarche la plus simple : la production d’empreintes de solides. On évoque ensuite les développements de solides en s’interrogeant sur le concept de développement et en donnant les développements les plus courants des solides rencontrés à l’école. Un dernier mode de représentation des objets 3D consiste à utiliser les projections, donnant des vues coordonnées ou des vues en perspectives.

Éd

Cette partie étudie ensuite les transformations du plan en s’arrêtant longuement sur les différentes isométries puisque celles-ci sont liées à des répétitions de formes, à l’identification de mouvements d’une forme à une autre. Un autre type de transformation visible à l’œil nu est lié aux agrandissements et réductions de figures. Ce chapitre se termine par une réflexion sur les liens entre les transformations abordées et sur la généralisation à d’autres transformations. Enfin, une approche géométrique passe obligatoirement par la construction ou la représentation de figures géométriques. Cette partie se termine donc par une étude des différents instruments de géométrie possibles ainsi que les logiciels de géométrie. Un dernier paragraphe intitulé « constructions à la règle et au compas » permet d’aborder les protocoles des tracés géométriques les plus couramment rencontrés à l’école.

L e rep é ra g e

1. Le repérage 1.1. Comment se repère-t-on ? Le repérage repose sur les notions mathématiques de ligne droite, direction, sens et parallélisme.

1.1.1. Parallélisme et perpendicularité

–

une direction 2 est donnée par une droite AB et toutes les parallèles à cette droite ; une orientation est un sens adopté sur cette direction parmi les deux sens possibles, un sens étant celui de A vers B et le sens opposé étant celui de B vers A.

–

Rappelons la différence entre direction et orientation :

Deux droites1 parallèles sont deux droites d’un même plan qui : – soit n’ont aucun point en commun, sont disjointes ; – soit sont confondues, donc ont tous leurs points en commun.

Les premières notions de repérage sont liées à notre corps, qui est orienté : il détermine un haut et un bas, un avant et un arrière, une gauche et une droite. Notre position d’équilibre en station debout nous amène à privilégier plus particulièrement, comme direction repère, la verticalité et, à partir de cette direction, les plans et droites verticaux, les plans et droites horizontaux.

Lorsqu’on doit traverser une rue, le regard balaie la direction donnée par la rue, dans un sens puis dans l’autre.

iti

Le parallélisme est très présent autour de nous. – Les poteaux d’éclairage plantés au bord de la route sont parallèles, les bords de la route elle-même sont le plus souvent parallèles. – Les rails du train ou du tram forment deux lignes parallèles.3

Éd

L’exemple des rails du train ou du tram montre que l’on peut évoquer également le parallélisme de lignes qui ne sont pas forcément droites, qui peuvent être courbes. Il est possible de définir le parallélisme de lignes courbes si on sait comment définir ou leur imposer une distance, un écart constant qui fera en sorte qu’elles ne se rencontre jamais3. C’est le cas, par exemple, des traces laissées dans le sable ou la terre par les roues d’une voiture : que sa trajectoire soit droite ou courbe, c’est l’écart entre les roues de la voiture qui impose l’écart constant entre les lignes-traces. La figure ci-contre, suggérant un stade, montre un exemple plus géométrique : les deux lignes sont parallèles car formées de segments de droites parallèles et de demicercles concentriques.

Voir Géométrie § 2.1.4. Dans la langue française, les mots « direction », « sens » et « orientation » sont parfois confondus. Par exemple, on entend souvent « prendre le train en direction de Paris » qui signifie « à destination de Paris », voire « vers Paris » : il s’agit ici d’un sens, d’une orientation adoptée sur la ligne qui relie la gare de départ à Paris. Lorsque l’on pose la question « Quelle direction a-t-il prise ? », la réponse implique à nouveau une orientation, un sens, on répondra par exemple « Il est parti vers Paris ». 3 Voir Baruk S., 2003. 1 2

PA R T I E 2 : G É O M É T R I E

L’exemple des rails du train ou du tram permet de mettre en évidence l’écart entre deux droites parallèles. L’écart entre deux droites parallèles disjointes se mesure perpendiculairement à celles-ci : c’est la longueur de n’importe quel segment mené perpendiculairement d’une droite à l’autre. L’écart entre les roues du train ou du tram reste toujours le même, il faut donc ce même écart partout entre les deux rails ; dans le cas du train, cet écart est également matérialisé par les traverses de chemin de fer.

Dans le plan, deux droites sécantes sont deux droites qui ne sont pas parallèles. Elles se coupent alors en un point d’intersection.

Dans la pratique, pour vérifier si deux droites sont parallèles, on peut donc tenter de déterminer cet écart à deux endroits bien séparés entre les deux droites et voir s’il est constant.

Deux droites sécantes déterminent 4 angles4 deux à deux superposables (de même amplitude).

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui déterminent 4 angles superposables (qui ont la même amplitude), donc 4 angles droits.

Dans l’espace, des droites gauches sont des droites qui ne sont pas parallèles et qui n’ont pas de point d’intersection. Deux droites gauches ne peuvent appartenir à un même plan.

Éd

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– Les traces d’avions peuvent donner l’impression d’être sécantes mais elles sont la plupart du temps décalées en hauteur et ne se rencontrent pas : elles sont gauches. – Si en plus ces traces paraissent perpendiculaires, semblent former un angle droit, mais sont en réalité décalées en hauteur, on dira qu’elles sont gauches et orthogonales.

Deux droites de l’espace sont dites orthogonales s’il existe une droite parallèle à l’une d’elles qui est perpendiculaire à l’autre. Des droites perpendiculaires sont un cas particulier de droites orthogonales. Une droite verticale et une droite horizontale sont toujours orthogonales : elles sont gauches orthogonales si elles ne se rencontrent pas, et perpendiculaires si elles se rencontrent (voir Géométrie § 1.1.2.).

Voir Géométrie § 2.3.2.

L e rep é ra g e

1.1.2. Direction verticale et directions horizontales

La direction verticale, la verticalité, c’est la direction prise par un objet lourd lâché au-dessus du sol. Elle est liée à la pesanteur et engendre les notions de haut et de bas. Une droite verticale est une droite de direction verticale5.

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C’est la direction du fil à plomb, de la pousse des arbres (en conditions normales), des bords du cadre suspendu, des colonnes de structure en architecture, des poteaux d’éclairage.

Éd

Dans un espace proche, balayé par notre regard, toutes les verticales sont parallèles, comme le montrent les photos ci-dessus. La direction verticale est donc la même pour toutes les personnes qui se trouvent dans un même espace restreint. Toutefois, à l’échelle de la Terre, elles ne sont plus parallèles, la référence à la pesanteur impliquant que toutes les verticales (en rouge ci-contre) convergent vers le centre de la Terre.

TERRE Centre de la Terre

On dit souvent « une verticale » pour « une droite verticale » ou « une direction verticale ».

PA R T I E 2 : G É O M É T R I E

Une droite verticale commune aux deux plans verticaux

Un plan vertical est un plan qui contient une droite verticale. C’est le plan d’une façade, d’un pignon, des panneaux montants d’une étagère, des murs de la classe…

Un plan vertical

Un autre plan vertical

Les plans verticaux ne sont pas nécessairement parallèles, ils sont souvent sécants.

Une droite horizontale est une droite de direction horizontale6.

Droites horizontales définissant un plan horizontal

Un plan horizontal est un plan qui contient plusieurs droites horizontales perpendiculaires à une verticale en un même point.

Droite verticale

Les directions horizontales sont des directions perpendiculaires à la verticale.

Ce sont les murs consécutifs d’une pièce.

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– Un plan horizontal peut être matérialisé par la surface d’une eau calme. – Il correspond à ce sur quoi nous nous tenons debout en équilibre : le sol de tous les étages de l’école, le dessus des marches d’un escalier, l’assise d’un banc. Si le sol était incliné, on y glisserait, on perdrait l’équilibre. – Le niveau à bulle est un instrument permettant de vérifier notamment si une surface ou une ligne est horizontale : il comprend, dans une petite fenêtre au moins, une fiole partiellement remplie d’un liquide coloré dans laquelle une bulle d’air est prisonnière ; deux traits indiquent la position où doit se trouver la bulle pour correspondre à la direction horizontale.

Éd

Tous les plans horizontaux sont parallèles, comme les différents sols des étages de l’école. Les droites horizontales ne sont pas nécessairement parallèles comme le sont les bords d’une route rectiligne ou les rails de chemin de fer ; elles sont souvent sécantes, comme les bords de deux routes rectilignes qui se croisent, ou gauches comme les droites qui portent le haut de la porte et le bas de la fenêtre carrée de la maison ci-avant. La verticalité fait avec l’horizontalité7 un angle droit. Il y a donc beaucoup d’angles droits autour de nous.

6 7

On dit souvent « une horizontale » pour « une droite horizontale » ou pour « une direction horizontale ». Nous nous autorisons ici un abus de langage : il faudrait plutôt parler de direction verticale et de direction horizontale.

L e rep é ra g e

Ces notions de droites et plans verticaux, horizontaux, parallèles, perpendiculaires s’observent dans l’espace réel en trois dimensions, comme en témoignent les illustrations données ci-avant. Elles sont néanmoins abordables dans un espace réduit. On pourrait ainsi imaginer le local de la classe figuré par un parallélépipède rectangle facile à observer. À l’école fondamentale, c’est d’ailleurs dans l’observation et l’analyse des relations liant les composantes de solides et plus particulièrement de polyèdres (faces et arêtes) que ces notions pourront être explicitées.

À partir d’objets concrets, tels qu’une boite, les élèves pourront repérer des faces et des arêtes verticales ou horizontales, parallèles ou perpendiculaires. Les exemples qui suivent sont d’un niveau nettement plus abstrait.

I l y a 2 plans horizontaux : ABCD9 et EFGH ; ils sont parallèles10. Le plan horizontal ABCD contient plusieurs directions horizontales : la direction de AB11 (qui est la même que celle de DC), la direction de BC (qui est la même que celle de AD), mais aussi la direction de AC (diagonale)…

–

Voici un parallélépipède rectangle, dessiné ici en perspective cavalière. On y perçoit plusieurs plans (contenant des faces) ou droites (contenant des arêtes)8.

–

Éd

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–

Il y a 4 plans verticaux : ABFE, DCGH, BCGF, ADHE ; chacun d’entre eux contient au moins une droite verticale : par exemple, le plan ABFE contient la droite verticale AE. Les plans verticaux ABFE et DCGH sont parallèles (de même que BCGF et ADHE) ; les plans verticaux ABFE et BCGF sont sécants (et même perpendiculaires)10. Les droites verticales AE, BF, CG et DH sont toutes parallèles. L es droites horizontales ne sont pas toutes parallèles : AB et DC le sont, mais AB et AC sont sécantes, et AB et BC sont en plus perpendiculaires. Les droites horizontales AB et EG sont gauches, et AB et EH sont gauches orthogonales. Une droite horizontale et une droite verticale qui se croisent forment un angle droit : c’est le cas par exemple de AB et AE.

Voir Géométrie § 2.2. pour les définitions liées aux solides et § 3.4. pour les notions de perspective. Pour désigner un plan, trois points non alignés situés dans ce plan suffisent. Nous choisissons ici de désigner chaque plan par quatre points en référence à la face qu’il contient. 10 Les notions liées aux positions relatives de plans sont complexes à définir. Ici, on les comprend intuitivement. Voir Chevalier A. et al., 2012. 11 Deux points suffisent à désigner une droite. 8 9

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1.1.3. Les composantes du repérage ■

Le repérage dans l’espace qui nous entoure peut se référer à l’axe vertical de notre posture debout et à l’axe horizontal de notre regard.

On parle de repérage relatif pour un repérage lié à la posture de l’observateur et à un regard. Les directions avant/arrière et gauche/droite qui s’en dégagent12 vont varier avec les changements de position de l’observateur ou le changement de regard. Les positions des objets s’expriment différemment, relativement à cet observateur ou à ce regard.

Fenêtre

– Devant le personnage A, il y a le tableau ; derrière lui, la porte du local. S’il se retourne, il a devant lui la porte du local et derrière lui le tableau. – Pour une autre personne (B) dans le local, regardant la fenêtre, le tableau est à droite et la porte à gauche.

Tableau

Porte

Les personnes ont un regard, de même que la plupart des animaux et certains objets. La notion de point de vue se réfère à un regard déterminé pour exprimer des positionnements. On peut choisir différents points de vue pour évoquer une scène, comme le montre l’exemple précédent. On peut la décrire selon son propre point de vue ou adopter un autre point de vue que le sien. Le personnage est à droite du cheval (d’après l’observateur de la photo ci-dessous) ; le personnage est à la gauche du cheval (du point de vue du cheval).

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Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. Activité 1.3. Retrouvons le point de vue du photographe. Cycles 5-8, 8-10, 10-12. Activité 1.5. Gauche, droite, relativisons notre position ! Cycle 10-12.

Un objet orienté est un objet auquel « un regard » peut être attribué. Il a clairement un avant/un arrière, une droite/une gauche. – Notre corps est un objet orienté. – Un arbre n’a pas de regard, il n’est pas orienté, il n’a pas d’ « avant » ni d’ « arrière », il n’a donc pas non plus de côté gauche ou de côté droit qui lui sont propres. – Une chaise épouse la posture d’une personne assise et prend son regard. Elle est orientée, elle a un avant, un arrière, une gauche, une droite. – Un tabouret n’est pas orienté car il n’épouse pas de façon univoque la posture d’une personne assise et donc son regard. Il n’a pas clairement un « avant/arrière » déterminé et donc une « gauche/droite » déterminée. Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. La matière § 1.3. et 1.4. Comme nous le verrons au § 1.2.2. de la partie Géométrie, la direction haut/bas, quoique liée au regard, est absolue (non relative) dans un espace proche car associée à la pesanteur. Elle est néanmoins relative à l’échelle de la Terre (voir Géométrie § 1.1.2.).

L e rep é ra g e

Souvent, le regard auquel on se réfère est implicite ou varie. Dans une activité de repérage, il faut être attentif au repère que les enfants doivent adopter et le rendre explicite quand c’est nécessaire. Le repère peut être l’enfant luimême ou une autre personne (voire une marionnette), un objet orienté ou un objet non orienté (à qui on prête un regard, souvent inconsciemment).

Imaginons des chaises dispersées dans un local de psychomotricité, placées dans tous les sens. L’enfant, à qui l’on demande de se placer derrière une chaise, va-t-il le faire par rapport au regard de l’enseignant (en se plaçant de l’autre côté de la chaise par rapport à l’enseignant) ou se placera-t-il derrière la chaise par rapport à l’orientation de celle-ci (donc contre le dossier de la chaise, de l’autre côté par rapport à l’assise) ? Les deux interprétations sont correctes du moment qu’elles sont explicitées.

Le repérage peut aussi utiliser des objets fixes de l’environnement et s’appuyer sur des termes qui seront compris de la même façon par tous.

■

Cela étant, l’implicite du message est souvent levé par le contexte qui, lui, est explicite. Par exemple, dans une classe, quand l’enseignant demande aux enfants de se placer derrière leur chaise, il s’agit d’une situation familière qui implique la même interprétation pour tous.

On parle de repérage absolu pour un repérage qui est indépendant de tout regard. – On écrit son nom sur la feuille, du côté des fenêtres. – On jette les papiers dans la poubelle qui est contre le mur. – On se dirige vers la poste en marchant le long du parc. – On avance son pion de trois cases vers le mur jaune.

Les repères conventionnels que sont les points cardinaux (nord, sud, est, ouest) relèvent aussi du repérage absolu car ils sont liés à notre planète Terre indépendamment d’un regard. Les repères absolus se généralisent à des espaces de plus en plus larges : la classe, l’école, le quartier, le pays, le continent…

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Le vocabulaire positionnel utilisé pour se repérer ou pour situer des objets dans l’espace est riche mais complexe d’utilisation, il s’agit d’être rigoureux.

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Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. La matière § 1.4. Le lexique de vocabulaire positionnel sur le site myvanin.be

Pourquoi faire prendre conscience aux élèves

de leur regard, du changement de point de vue ? >

Cela les amène à optimiser leur communication spatiale de position. Dans la vie quotidienne, nous sommes amenés à décrire la position d’objets autour de nous. Cette position est la plupart du temps donnée par rapport à nous-mêmes ou à d’autres objets. Ces situations quotidiennes sont chargées d’implicite, ce qui peut créer des malentendus (voir l’exemple des chaises dispersées dans le point d’attention précédent). Il est donc important de rendre les consignes spatiales explicites, de mettre en évidence la personne ou l’objet qui sert de repère, de vérifier si ce repère est orienté ou non orienté afin d’adapter le vocabulaire utilisé. 61

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C’est nécessaire pour décrire efficacement le déplacement spatial d’une autre personne. Nous devons pouvoir prendre le point de vue de la personne au moment où elle commence son déplacement, puis nous adapter à chaque changement de direction pendant le déplacement.

C’est important pour interpréter les représentations des positions dans l’espace données dans les manuels et sur Internet et pour débusquer les propositions erronées, ambigües ou non pertinentes. Voici l’exemple de deux illustrations issues de l’album de Pittau F. et Gervais B., Les contraires, Paris, Seuil Jeunesse, 2012.

Les mots « gauche » et « droite » sont ici donnés en référence au regard de l’observateur qui voit l’image et ne correspondent donc pas à la gauche et à la droite de l’éléphant. Par contre, les mots « avant » et « arrière » correspondent quant à eux à l’éléphant. Il y a ici un changement de point de vue qui rend l’utilisation de ces images ambigüe. Par ailleurs, dans la vie courante, les mots « avant » et « arrière » ne découpent pas l’objet en deux comme c’est le cas ici, il y a souvent une partie intermédiaire qui n’est pas définie précisément. Quand on parle de « l’avant de l’éléphant », on envisage en général sa tête et ses pattes avant mais pas forcément la moitié de son ventre… Le changement de point de vue favorise l’argumentation. En effet, plusieurs interprétations d’une même consigne spatiale sont parfois possibles. Par exemple, si on demande à un élève de placer un ballon à droite de la chaise, il peut le placer à droite par rapport à son regard, ou à droite de la chaise qu’il considère comme un objet orienté. L’important est de savoir comment il justifie son choix. C’est lors de ces justifications que les élèves vont exprimer leur conscience des différents points de vue, la façon dont ils articulent les objets dans l’espace, c’est là qu’ils vont utiliser, améliorer et préciser leur vocabulaire spatial.

La faculté de changer de point de vue est utile pour construire efficacement des images mentales d’objets géométriques. En effet, quand nous observons un solide par exemple, nous n’en percevons qu’une partie à la fois ; un changement de point de vue sur ce solide nous en montrera peut-être d’autres caractéristiques. Progressivement, une image mentale complète du solide va se construire à partir de ces diverses perceptions partielles.

Éd

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Plus largement, apprendre à changer de point de vue est un outil de pensée important. Souvent, lors de la résolution de problèmes, on piétine parce que l’on s’enferme dans le point de vue adopté. Changer d’angle d’attaque, s’autoriser à penser autrement et changer de perspective sont des stratégies qui peuvent s’avérer prometteuses. S’exercer à prendre le point de vue d’un autre est aussi nécessaire dans la vie sociale. Il faut pouvoir se décentrer, prendre en compte le regard de quelqu’un d’autre.

Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. Activité 1.5. Gauche, droite, relativisons notre position ! Cycle 10-12. Un référentiel des rapports de positions sur le site myvanin.be

L e rep é ra g e

1.2. Trois visions de l’espace Aujourd’hui nous imaginons difficilement de nous déplacer en voiture sans GPS. Un écran nous montre le circuit routier à suivre et une voix nous parle régulièrement, elle nous guide : « à 500 m, entrez dans le rond-point puis prenez la 3e sortie, continuez tout droit sur cette route, serrez à gauche… ». Par les mots « dans », « 3e sortie », « à gauche », le GPS nous donne des informations qui correspondent à plusieurs visions de l’espace. Il les combine.

1.2.1. La vision topologique de l’espace

Les jeunes enfants (2,5-8 ans) ont une vision très élastique de l’espace qui les environne, ce qui se manifeste dans leurs dessins, en donnant de cet espace une traduction déformée en traits mêlés. Dans l’exemple ci-contre, la tête du bonhomme est délimitée par une ligne fermée, les éléments du visage sont à l’intérieur de cette ligne, le corps est accroché à la tête qui, elle, est dilatée…

On parle de vision topologique de l’espace lorsque l’espace est vu comme déformable, souple, élastique. Il s’étire, se compresse mais sans brisure ou recollage.

Éléments structurant cette vision. – Les lignes ouvertes ou fermées. – Les lignes simples (sans nœud croisement) ou non simples (avec nœud(s)). – Les lignes connexes (qui se tracent sans lever le crayon) ou non. – Les lignes frontières d’une région (comme, par exemple, le cercle qui est la frontière du disque). – Les surfaces frontières qui délimitent une portion d’espace (comme la surface d’un cube, formée de 6 carrés, délimite ce qui est à l’intérieur du cube par rapport à ce qui est à l’extérieur du cube).

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Positions perçues dans cette vision. Ce sont celles liées à la notion de voisinage : près de, à côté de, loin de, entre, au milieu de, au bord de, autour, dans, hors de, à l’intérieur de, à l’extérieur de.

■

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Ces positions sont intrinsèques aux objets. Ce sont des positions absolues et donc indépendantes de toute orientation, de tout regard.

Éd

1.2.2. La vision projective de l’espace On parle de vision projective de l’espace lorsque l’espace est abordé par la conscience de la ligne droite, notamment l’axe du regard, qui se projette sur son environnement avec une direction et une orientation.

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Éléments structurant cette vision. Notre regard qui se projette sur l’environnement est porteur d’un axe, d’une direction. Plusieurs personnes côte à côte peuvent regarder dans cette même direction. Par rapport à cette direction, il y a deux orientations possibles : vers l’avant et vers l’arrière.

PA R T I E 2 : G É O M É T R I E

En haut PF

PH À gauche À droite Devant

Derrière PP

Trois plans directeurs s’articulent autour de cet axe du regard, de la posture debout : – le plan horizontal (PH) qui passe par les yeux ; – le plan vertical de profil (PP) qui passe par la colonne vertébrale et le nez ; – le plan vertical frontal (PF) qui passe par le front.

En bas

Positions perçues dans cette vision. Chacun de ces trois plans coupe l’espace en deux demi-espaces correspondant à des positions opposées13 : en haut/en bas, à gauche/à droite, devant/derrière. Ce sont aussi des positions comme : en face de, face à face, dos à dos…

■

Ces positions ne sont pas intrinsèques aux objets. Ce sont des positions relatives à un regard qui sert de repère, elles sont dépendantes de celui-ci.

Le regard peut être celui d’une personne, d’une autre personne, d’une marionnette, d’un animal, d’un objet orienté (chaise, camion…). C’est ce lien à un regard spécifique qui va rendre la communication de ces positions plus complexe que celles des autres positions liées au voisinage notamment.

1.2.3. La vision ordinale de l’espace

Éd

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On parle de vision ordinale d’une partie de l’espace lorsque celle-ci est vue comme un monde ordonné par les nombres. Des objets y apparaissent en suite ordonnée, leurs positions sont données par des nombres ordinaux : premier, deuxième, troisième…, quarantième…, cinquantesixième… – Pour aller à…, sur l’autoroute, prendre la sortie 7. – En classe, je dépose mon cartable dans le 3e casier de la 2e étagère. ■

Éléments structurant cette vision. Une ligne de comptage qui n’est pas nécessairement une droite mais une ligne qui passe par tous les éléments, les objets sans en oublier et sans y passer plus d’une fois ; ce peut être une ligne ouverte ou fermée, une ligne simple (sans nœud) ou non simple… mais cette ligne est obligatoirement porteuse d’un point d’origine et d’un point final (on va d’un premier élément à un dernier élément). Une orientation, c’est-à-dire un sens adopté dans le déroulement du comptage parmi les deux sens possibles sur la ligne reliant tous les éléments, les objets.

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Positions perçues dans cette vision. Ce sont celles liées à l’ordre des nombres naturels. Elles impliquent une origine, une ligne et une orientation de comptage : premier, deuxième, troisième, dernier, au début, à la fin…

Chaque élément de la suite a une position précise : le troisième élément suit le deuxième et précède le quatrième sur la ligne qui les relie tous. Ce sont des positions relatives à une origine et à un sens de comptage.

Il s’agit ici de la vision mathématique qui découpe rigoureusement l’espace en deux demi-espaces selon chaque plan directeur. Dans le quotidien, il existe des positions intermédiaires qui ne sont pas toujours bien déterminées, elles sont « entre les deux ».

L e rep é ra g e

Pourquoi évoquer et articuler les trois visions

de l’espace ? >

Ces trois visions de l’espace, utiles et complémentaires, sont spontanément utilisées par les élèves. C’est le cas quand on leur demande de décrire les positions d’objets les uns par rapport aux autres ou de décrire un assemblage d’objets.

Quand les élèves doivent décrire comment ranger l’étagère du coin magasin, les expressions suivantes peuvent être utilisées : – « le parfum est à côté du déodorant », « la trousse est entre le shampoing et le savon » (vision topologique de l’espace) ; – « le brie est au-dessus du camembert », « les pommes sont à droite des oranges » (vision projective de l’espace) ; – « je place les légumes sur la première planche et les fruits sur la deuxième » (vision ordinale de l’espace). Ces trois visions de l’espace sont utiles et complémentaires dans la vie et dans divers métiers. Elles sont notamment reprises par les divers outils technologiques de guidance spatiale, le GPS en étant l’exemple le plus familier.

Prendre conscience des différentes manières d’exprimer la position d’un objet dans l’espace oblige à être précis, rigoureux. Les imprécisions seront dès lors discutées, argumentées, notamment lorsque certaines descriptions permettent plusieurs positionnements.

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Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. Activités 1.1. à 1.5.

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1.3. Les quadrillages du plan 1.3.1. Quadrillage et réseau dans le plan Un quadrillage est un réseau particulier. Un réseau se caractérise par : – un ensemble de nœuds (des points), dont certains sont reliés par des tronçons (des lignes limitées) ; – les lignes du réseau qui découpent une partie du plan en régions appelées mailles (surfaces dont ces lignes constituent la frontière). Sur un réseau, il est toujours possible d’aller d’un point (extrémité ou jonction de lignes) à un autre, en circulant sur les tronçons de lignes.

PA R T I E 2 : G É O M É T R I E

Le réseau du métro à Bruxelles

Le réseau des ponts de Konigsberg

Voici deux exemples de réseaux au sens large.

Dans ces deux exemples, les mailles créées sont informes.

1.3.2. Quadrillage au sens strict

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Un quadrillage au sens strict est un ensemble de deux familles de lignes droites parallèles et équidistantes14 qui se croisent perpendiculairement. Les mailles créées sont des carrés.

Un quadrillage mathématique

Un quadrillage de rues à Barcelone

Un quadrillage fait partie de la famille des réseaux. Entre les réseaux au sens large et les quadrillages au sens strict existe une foule de réseaux possibles et de quadrillages moins stricts. Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. La matière § 1.5.3., appendice matière sur le site myvanin.be.

14 Si on a un ensemble de droites parallèles, on dit qu’elles sont équidistantes si deux droites voisines ont toujours le même écart (voir Géométrie § 1.1.1.).

L e rep é ra g e

1.3.3. Quadrillage au sens élargi Plus généralement, les réseaux qualifiés de quadrillages au sens élargi sont ceux caractérisés par deux familles de lignes droites parallèles équidistantes14 dans chaque famille. Le croisement de ces deux familles de droites crée dans le plan des régions, des mailles de différentes formes : parallélogrammes, losanges, rectangles ou carrés. La plupart du temps, la notion de quadrillage est assimilée à cette dernière forme (quadrillage au sens strict). Deux familles de droites équidistantes qui se croisent perpendiculairement

perpendiculairement

d1 ≠ d2

d1 = d2

1.3.4. Deux utilisations des quadrillages

Selon les usages du quadrillage, on privilégie l’une des approches suivantes. Le quadrillage « mailles–bandes » – Codage des bandes planes entre les lignes droites. – Repérage des mailles (intersections de bandes planes) appelées aussi cases : ici la case (3, E). – Déplacement dans les bandes planes, de maille en maille, de case en case.

iti

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Éd

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Le quadrillage « points–lignes » – Codage des lignes droites. – Repérage des points (intersections des lignes droites), appelés aussi nœuds : ici le point (3, D). – Déplacement sur les lignes droites, de nœud en nœud. Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. La matière § 1.5.6. et 1.5.7.

1.3.5. Utilité des quadrillages Le quadrillage est un outil qui permet : – de repérer, situer, positionner des points ou des régions du plan ; – de se déplacer et de décrire des déplacements dans le plan, ces déplacements se décomposant selon les deux directions du quadrillage.

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En outre, les quadrillages sont très présents autour de nous et sont utilisés dans une grande diversité de situations : – traçage de formes sur papier quadrillé ; – transformation de formes, par exemple agrandissements sur quadrillages, symétries, translations ; – mesurage d’aires par comptage de cases ; – organisation (tableau à double entrée notamment) ; – recouvrement de surfaces par des carrelages, mosaïques.

Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. La matière § 1.5.6.

1.4. Du quadrillage codé au repère orthonormé

Le repérage sur quadrillage « points-lignes » prépare au repérage dans un repère orthonormé.

Lorsque le quadrillage est muni d’un codage « lettres – nombres », la position de chaque nœud du quadrillage est donnée par un couple formé d’une lettre et d’un nombre. L’emplacement du codage peut varier et on peut choisir de citer d’abord la lettre ou d’abord le nombre, pourvu qu’il n’y ait pas d’ambigüité, autrement dit que chaque ligne du quadrillage ait un code différent.

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1.4.1. Plusieurs étapes utiles dans le passage de l’un à l’autre.

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… Dans tous les cas, le nœud codé D3 ou, de manière équivalente, 3D se trouve à l’intersection de la ligne codée D et de la ligne qui lui est perpendiculaire, codée 3.

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Pour déterminer la position d’un nœud d’un quadrillage « points-lignes » (ou d’une case d’un quadrillage « mailles-bandes »), on peut à priori coder chaque ligne (ou chaque bande) du quadrillage par n’importe quel symbole, pourvu que celui-ci permette d’identifier cette ligne (ou cette bande) sans ambigüité. Dans l’exemple de gauche, on peut évoquer le nœud qui est à l’intersection « cerise – étoile bleue », et cela suffit à le repérer sans ambigüité. Si on utilise un code « lettres – nombres » (à droite), certaines lettres ou certains nombres peuvent être oubliés sans que cela nuise à l’efficacité du repérage. L’utilisation conventionnelle d’un codage « lettres – nombres », outre qu’elle permet une communication plus aisée, est plus efficace sur des quadrillages contenant beaucoup de lignes puisque les lettres et les nombres sont porteurs d’un ordre qui permet de repérer plus facilement la ligne recherchée (par exemple, la ligne C est après la ligne B et avant la ligne D).

L e rep é ra g e

Il est donc important que les élèves prennent conscience de l’intérêt de coder les lignes (ou les bandes) d’un quadrillage pour y repérer efficacement des positions (et ce indépendamment de l’orientation du quadrillage), quel que soit le choix du code dans un premier temps. Le code conventionnel sera alors adopté en mettant en avant la facilité de communication qu’il implique. Pour préparer aux repères orthonormés, on privilégiera progressivement des quadrillages où le codage est placé en bas, de gauche à droite, et à gauche, de bas en haut15, du quadrillage (comme dans le premier exemple ci-avant).

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Il est possible également de coder un quadrillage uniquement par des nombres.

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Le codage peut être remplacé par deux droites graduées orientées qui se croisent en un nœud du quadrillage qui, par convention, correspondra au code (0,0).

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Dans ce cas, il faut définir un ordre conventionnel : on donne toujours d’abord le code de la ligne verticale (qui se lit en bas du quadrillage) puis le code de la ligne horizontale (qui se lit à gauche du quadrillage). Et pour bien différencier les deux nombres, ce code sera écrit sous forme d’un couple. Ici, le point rouge est donc codé (4,2) tandis que le point vert est codé (2,4). On voit donc que les couples (4,2) et (2,4) correspondent à des points (nœuds) différents.

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iti

L’utilisation de droites orientées graduées permet le passage du discret au continu puisqu’on peut non seulement repérer les nœuds du quadrillage mais aussi tous les autres points intérieurs au quadrillage (en utilisant des nombres à virgule).

On appelle coordonnées d’un point le couple de nombres qui permet de repérer la position du point. Comme ci-dessus, le premier nombre se lit sur l’axe horizontal et correspond à une ligne verticale : c’est l’abscisse du point. Le second nombre se lit sur l’axe vertical et correspond à une ligne horizontale : c’est l’ordonnée du point. Ainsi le point vert, qui est un nœud du quadrillage, a pour coordonnées (5,3). Le point rouge, qui n’est pas un nœud du quadrillage, a des coordonnées non entières qui sont (4,5 ; 5,2)16.

■

Lorsque les axes gradués sont donnés, le quadrillage, même s’il peut être une aide, n’est plus nécessaire. Pour placer le point de coordonnées (4,5 ; 5,2), on repère le point correspondant au nombre 4,5 sur l’axe horizontal et on trace une perpendiculaire à cet axe par ce point ; de la même façon, on repère le point correspondant au nombre 5,2 sur l’axe vertical et on trace une perpendiculaire à cet axe par ce point ; l’intersection des deux perpendiculaires donne le point recherché.

Les termes « gauche », « droite », « en bas », « en haut », « vertical » et « horizontal » feront ici référence à l’orientation conventionnelle de la feuille de papier, le quadrillage y étant tracé avec des lignes parallèles aux bords de la feuille. 16 Lorsque les coordonnées sont des nombres à virgule, on les sépare par « ; ». 15

PA R T I E 2 : G É O M É T R I E

■

Dans de nombreuses situations, il est utile d’étendre le repérage des points à l’ensemble des points du plan (donc par exemple également à gauche de l’axe vertical ou en dessous de l’axe horizontal) : les axes gradués s’étendent alors aux nombres négatifs.

1.4.2. Le repère orthonormé

Un repère orthonormé du plan est constitué de deux droites du plan perpendiculaires, orientées et graduées avec la même unité. Ces droites sont appelées axes et se coupent en un point appelé origine du repère. – L’axe tracé horizontalement, orienté de gauche à droite, s’appelle axe des abscisses ou axe x. – L’axe tracé verticalement, orienté de bas en haut, s’appelle axe des ordonnées ou axe y. – À chaque point du plan correspond un couple de coordonnées noté (x,y).

6 5 4 3 2

–3 –2

–1 –1

–4

–2 –3

6 B

–4

Éd

iti

Pour trouver les coordonnées d’un point A du plan, on trace, par ce point, une parallèle à chacun des axes : – une des parallèles coupe l’axe x en un point, le nombre correspondant à ce point est l’abscisse du point A, c’est le premier nombre du couple de coordonnées ; – l’autre parallèle coupe l’axe y en un point, le nombre correspondant à ce point est l’ordonnée du point A, c’est le second nombre du couple de coordonnées. Sur le dessin ci-dessus, le point A a pour coordonnées (-3, 4), le point B a pour coordonnées (6, -2) et le point C a pour coordonnées (-3,7 ; -2,5).

1.4.3. Les repères cartésiens Le § 1.4.1. ci-avant décrit le passage d’un quadrillage au sens strict (voir Géométrie § 1.3.2.) au repère orthonormé. Les mêmes étapes pourraient être envisagées à partir d’un quadrillage au sens large (voir Géométrie § 1.3.3.). Un repère cartésien est constitué d’un couple de deux droites graduées et orientées appelées axes, qui se coupent en un point appelé origine du repère. 70

L e rep é ra g e

Le premier axe est généralement tracé horizontalement et est appelé axe des abscisses. Le second axe est appelé axe des ordonnées. Les coordonnées d’un point A du plan dans un repère cartésien se déterminent de la même manière que pour les repères orthonormés. Selon le type de quadrillage choisi, on distingue différents types de repères cartésiens.

Un repère orthogonal est un repère dont les axes sont perpendiculaires. Un repère normé est un repère dont les axes sont gradués avec la même unité. Un repère orthonormé est un repère dont les axes sont perpendiculaires et gradués avec la même unité (il est à la fois orthogonal et normé). Axes non perpendiculaires

Axes gradués avec des unités différentes

Axes perpendiculaires

Axes gradués avec la même unité

Repère orthogonal non normé

Repère ni orthogonal ni normé

Repère orthonormé

iti

Repère normé non orthogonal

Éd

À l’école, les repères cartésiens sont utilisés pour créer des graphiques cartésiens, soit lorsqu’il s’agit de représenter une relation entre deux grandeurs (voir Grandeurs § 6.1.2.), soit lors d’études de fonctions. On utilise alors toujours un repère orthogonal, plus lisible et permettant de mieux interpréter les variations du graphique. Le choix d’un repère normé ou non dépend par contre de la situation.

- Pour tracer le graphique de la fonction y = x4 + x2, on calcule quelques couples pour des valeurs simples de x : les couples (1,2), (2,20), (3,90) appartiennent au graphique de la fonction. Pour placer ces couples dans un repère cartésien, il est alors nécessaire de graduer différemment les deux axes, comme le montre le graphique ci-contre.

PA R T I E 2 : G É O M É T R I E

Pourquoi travailler la diversité

des quadrillages ?

L’outil quadrillage est un instrument performant pour une série de tâches relatives aux figures de l’espace et aux grandeurs, du cycle 1 au cycle 4 et au début du secondaire. Dans ce chapitre, nous mettons l’accent sur l’outil permettant de décrire des positions et des déplacements.

On a besoin de l’un ou l’autre usage des quadrillages selon les situations à traiter. Les mailles et bandes semblent être des espaces plus préhensibles et plus accessibles pour les enfants avant 8 ans. Néanmoins, certaines situations proposées par des manuels leur permettent aussi d’appréhender les points et les lignes. Il est intéressant d’observer ce qu’ils en perçoivent et comment ils s’en servent. Ces concepts de mailles/bandes ou de points/lignes ne seront évidemment pas définis formellement.

Les quadrillages codés vont faciliter une communication spatiale efficace. Les quadrillages permettent de localiser, situer des points ou des mailles. Il faut donc mettre les élèves face à la nécessité de communiquer ou retenir la position d’un point ou d’une case d’un quadrillage. Au début, les élèves se contentent souvent d’une vision plutôt ordinale du positionnement (« la 4e case de la 3e ligne… »). Outre sa lourdeur, ce type de description ne résiste pas à un changement d’orientation du quadrillage. Progressivement, on construit alors le codage « lettres–nombres » comme un outil clair, rigoureux et efficace pour s’y retrouver. Dans une première approche, l’ordre de ce double codage est peu important, de même que l’endroit où on place les lettres et les nombres. C’est lors du passage au repérage par un couple de nombres que cet ordre deviendra conventionnel. Ce passage est nécessaire pour accéder aux repères orthonormés et à leurs applications.

Les déplacements dans les quadrillages préparent aux déplacements dans les réseaux du quotidien. Dans un quadrillage, les déplacements se limitent aux deux orientations dans les deux directions du quadrillage, et donc à quatre orientations opposées deux à deux. Dans les réseaux, les directions peuvent être plus nombreuses mais deux orientations opposées sont possibles sur chacune d’elles. Il faut par ailleurs toujours déterminer la distance de déplacement à réaliser (qui se mesure en nombre de mailles ou de tronçons sur quadrillage). Par des déplacements dans un quadrillage, les enfants apprennent donc les principes de base, les composantes de tout déplacement.

Au cycle 4, il est intéressant de faire construire le quadrillage d’un espace plan limité pour y repérer des points avec précision. Cela prépare aux repères orthonormés et aux systèmes de coordonnées très présents dans l’enseignement secondaire. À ce niveau d’enseignement, le repérage de points s’étendra à la totalité d’une droite ou d’un plan, obligeant à construire la notion de nombres relatifs (positifs ou négatifs). Ces repères deviendront alors la trame des représentations des fonctions étudiées à la fin du secondaire, la trame des représentations de calculs vectoriels, la trame pour déterminer les valeurs trigonométriques (sinus, cosinus…) dans le cercle trigonométrique, centré sur l’origine des axes orthonormés.

Éd

iti

Géron C. et al., Apprivoiser l’espace et le monde des formes, Louvain-la-Neuve, De Boeck, coll. Math & Sens, 2015. Activités 3.1. à 3.5.

iti

Éd VA N

Grandeurs

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

Introduction Les grandeurs se conçoivent et s’étudient essentiellement à partir d’objets. La partie de cet ouvrage qui s’intéresse à ce thème trouve donc tout naturellement sa place à la suite de celle traitant des objets géométriques que sont les solides et figures.

Même si les contenus présents dans cette partie sont globalement proches de ceux rencontrés à l’école fondamentale, ils ne doivent pas - à l’instar de tous ceux traités dans cet ouvrage - être enseignés tels quels. En effet, au risque de nous répéter, faire des mathématiques, ce n’est pas à nos yeux collectionner des savoirs et savoir-faire, mais bien résoudre des problèmes qui mobilisent des acquis antérieurs et qui stimulent le développement de nouveaux acquis. En outre, certains aspects « matière » sont ici approfondis afin de permettre au lecteur d’en saisir les subtilités et ainsi d’être plus à l’aise pour les aborder en classe.

Cette partie sur les grandeurs présente d’abord quelques thèmes transversaux, tels que la notion même de grandeur et le vocabulaire associé, l’invariance ou encore la distinction entre grandeurs discontinues et continues.

Ensuite, un chapitre précise les contenus sous-jacents à une approche des grandeurs de type qualitative et met en lumière la richesse, parfois insoupçonnée, d’un travail à ce niveau.

En suivant une logique didactique, après avoir appréhendé l’existence d’une grandeur en dehors de tout contexte de mesurage, vient la nécessité d’objectiver cette grandeur, de la quantifier. Il s’agit d’abord de s’arrêter sur la quantification à l’aide d’étalons non conventionnels, comme cela a été le cas dans la « conquête » du monde des grandeurs par l’Homme, puis à l’aide des unités conventionnelles des différentes grandeurs rencontrées à l’école. Elles sont définies et soigneusement reliées à des images mentales. Associées à une représentation visuelle des rapports (le plus souvent décimaux) entre unités et sur/sous-unités, elles sont une clé de développement des capacités d’estimation des élèves et garantissent une utilisation de l’outil abaque qui dépasse les manipulations techniques et qui fasse sens.

iti

L’étude du système métrique, système d’unités de mesure actuellement reconnues comme références, est intrinsèquement liée à l’élaboration des unités au cours de l’histoire de l’humanité. Il s’avère dès lors pertinent de teinter leur référencement de quelques informations historiques. Cette partie se poursuit avec les opérations sur les grandeurs, qui se rencontrent dans les trois situations suivantes. Les calculs de périmètres, aires et volumes : on s’intéresse ici à la détermination de grandeurs d’objets de façon indirecte, via l’utilisation de formules à élaborer.

Éd

■

192

La proportionnalité : après une introduction aux relations plus générales entre grandeurs, on aborde en particulier la relation de proportionnalité (directe ou inverse). Les premiers pas dans les relations entre grandeurs sont essentiels dans un cheminement vers l’étude des fonctions. Les fractionnements : l’étude des fractions doit s’ancrer dans des contextes concrets. C’est en travaillant dans ce lieu privilégié d’actions directes qu’il sera possible de donner plus tard du sens aux fractions nombres et aux opérations sur celles-ci.

L a n oti o n d e g ra n d e u r

1. La notion de grandeur 1.1. Qu’est-ce qu’une grandeur ? Une grandeur1 est une propriété quantifiable d’un objet.

Le mot « objet », ici, est pris au sens large : on peut associer des propriétés quantifiables à des personnes, des animaux, des événements… ou encore à des objets abstraits (des formes géométriques, par exemple). Dans la vie quotidienne, l’idée de grandeur émane du besoin de décrire des objets.

Le livre que je veux revendre, je peux le décrire : sa couverture est rectangulaire, il a une longueur de 25 cm et une largeur de 18 cm, il pèse 1200 g, il est vert et mauve, il compte 13 chapitres et 200 pages, il a reçu 2 récompenses, je l’ai acheté 21 € chez Beaulivre.

Parmi les propriétés de ce livre, certaines ne sont pas quantifiables : sa forme, sa couleur, sa provenance ; d’autres, par contre, sont des propriétés quantifiables, c’est-à-dire peuvent s’exprimer à l’aide d’un nombre : sa longueur, sa largeur, sa masse (poids), le nombre de pages, le nombre de chapitres, le nombre de récompenses reçues, son prix. Ce sont ces dernières propriétés que l’on appelle grandeurs.

1.2. Grandeurs discontinues et grandeurs continues

Une grandeur discontinue2 est une grandeur qui se quantifie par dénombrement.

Une grandeur continue est une grandeur qui se quantifie par mesurage. Pour l’exprimer, il faut utiliser une unité de mesure. Reprenons l’exemple précédent et les propriétés identifiées. Propriétés de l’objet

Pour ce livre, c’est

forme de la couverture couleur provenance

rectangulaire vert et mauve Beaulivre

Discontinues

nombre de pages nombre de chapitres nombre de récompenses

200 pages 13 chapitres 2 récompenses

Continues

longueur largeur masse (poids) prix3

25 cm 18 cm 1200 g 21 €

Éd

iti

Propriétés non quantifiables

Grandeurs

Regardons les différences fondamentales qui opposent les grandeurs continues et les grandeurs discontinues. Le tableau suivant (largement inspiré de Guéritte-Hess B., 2011 et Guéritte-Hess B., 2009) permet de mieux cerner leurs caractéristiques.

Pour être tout à fait rigoureux, il faudrait ajouter qu’une grandeur respecte aussi les propriétés de linéarité : à savoir r(a + b) = r(a) + r(b) et r(αa) = αr(a) où r représente une relation. Ainsi quand on met bout à bout deux morceaux de ficelle respectivement de longueur 5 cm et 3 cm, on obtient un morceau de longueur 8 cm (3 cm + 5 cm). Quand on prend 5 morceaux de ficelle de même longueur et qu’on les met bout à bout, on obtient un morceau de longueur 5 fois plus grande. 2 Ou « grandeur discrète ». Dans ce contexte, c’est un synonyme. 3 Le prix est une grandeur particulière, voir Grandeurs § 4.2.8. 1

193

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

Grandeurs discontinues

Grandeurs continues La masse (poids), la longueur, la capacité…

Le « un » existe à priori, c’est l’unité. Si on me place devant une assiette de sucres en morceaux et qu’on me demande d’en donner 3, je sais bien ce que je dois donner (je sais ce qu’est le « un »).

Il faut définir « un ». Si on me place devant une assiette de sucre en poudre et qu’on me demande d’en donner 3, je vais demander « 3 quoi ? » (je ne sais pas ce qu’est le « un »).

Les « uns » se voient, ils sont indépendants. Si je suis devant un auditoire de 200 places, je peux voir chacune des 200 places.

Les « uns » ne se voient pas, ils ne se distinguent pas. Quand je suis devant une motte de beurre de 250 g, je ne vois pas chacun des 250.

On compte, on utilise des techniques de dénombrement.

On mesure, on utilise le report d’étalons (porteurs du « un ») ou des instruments de mesure (gradués par rapport à ce « un »).

On commence à compter à 1. Quand on dénombre, on ne dit pas « zéro » avant de commencer. On pointe le premier objet et on dit « un ».

On commence à mesurer à 0. On constate l’état de la balance à vide, le début de la latte…

Le nombre issu du dénombrement est exact. Si j’ai bien compté et que j’affirme que le local contient 82 chaises, il y en a effectivement 82 très précisément.

La mesure n’est jamais exacte. Aussi précise soit-elle, une mesure comporte toujours une marge d’erreur.

Le cardinal et l’ordinal sont en accord. Lors du comptage, lorsque je dis « un », je montre le premier objet, quand je dis « deux », je montre le deuxième…

Le cardinal et l’ordinal sont en décalage. Un enfant qui nait a 0 an (cardinal) alors qu’il est dans sa première année. Lorsque je trace un trait en partant du bord de ma latte, j’ai déjà commencé le 1er centimètre avant d’atteindre la graduation 1.

iti

De manière générale, tout ce qui est de l’ordre du dénombrement (« nombre de »).

Éd

Comme on le voit, l’univers du dénombrement de grandeurs discontinues (quantités) et l’univers de la mesure de grandeurs continues (qu’on désignera plus communément par le terme « grandeurs » seul) sont fondamentalement différents, en particulier par l’absence de « uns » à compter et par le fait qu’il faille choisir un « un » que l’on va reporter. Le travail sur les grandeurs continues se doit d’être patient et progressif. En l’absence de la précision « discontinue » ou « continue », le mot « grandeur » désigne le plus souvent les grandeurs continues. C’est de celles-là dont nous nous occupons essentiellement dans cet ouvrage. Nous utilisons simplement le terme « grandeur » pour les désigner.

1.3. Les grandeurs usuelles En consultant des magazines publicitaires4, on en découvre un nombre important : des grandeurs continues ou discontinues, abordées à l’école, et d’autres liées aux multiples technologies de notre monde moderne. Magazines ici consultés : Aldi, Brico, Delhaize, Eldi, Hubo, Krefel, Krefel cuisine, Unigro. Attention, les abréviations de grandeurs y sont parfois écrites de façon non standardisée : gr au lieu de g, majuscules…

194

L a n oti o n d e g ra n d e u r

9,99 €

74,97 € Crédit : 3 x 16,24 € 4 pièces en céramique

Moelleux, éponge de qualité : 350g/m2 100 % coton lavable à 60° 2 serviettes de bain : 50 x 70 cm 2 serviettes : 35 x 50 cm 4 gants de toilette : 15 x 21 cm

3 casseroles + couvercle : Ø 16 cm/H 8 cm Ø 20 cm/H 10 cm ; Ø 24 cm/H 11 cm 1 poêle + couvercle : Ø 28 cm/H 5,5 cm

Frigo/ congélateur 399,99 €

– Nombre de pièces – Longueurs : diamètres et hauteurs

– Nombre de pièces – Masse (poids)/superficie – Température – Largeur/longueur 5

Lot éponge de 8 pièces

4 tranches/150 g

500 ml ou 1 L

– Nombre de pièces – Masse (poids)

13,99 €

Led

Pack de 3 ampoules 355 lumens

Le set 2,99 €

Mi-bas dames

Adoucissant

Polyamide/Elasthanne 20 deniers6 5 couleurs Pointures 35/38 – Nombre de et 39/42

2 x 60 doses

– Capacités

couleurs – Longueurs : pointures

– Superficie, aire

Lessiveuses

5 ans de garantie

Éd

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Soupe

Jambon cuit au four

– Longueur/hauteur – Capacité – Durée

699, 99 €

99 €

Canon au gaz

15 kW Pour pièces jusqu’à 300 m3

– Masse (poids) – Vitesse de rotation – Durée

Chauffage céramique

1000-2000 W Pour pièces de 25 m2 Fonction d’oscillation 90°

33,99 – Nombre d’ampoules – Luminosité

– Puissance électrique – Volume

€

– Puissance électrique – Superficie/aire – Amplitude

Les grandeurs quantifiées sont parfois notées avec moins de rigueur mathématique : 50 × 70 cm au lieu de 50 cm × 70 cm. Le denier est une unité de mesure spécifique à certaines fibres de tissus : 10 deniers correspondent à une fibre très fine et légère de 10 grammes pour 9 000 mètres de longueur masse (poids) de fil. Cette unité est associée aux collants, leggings, chaussettes… 5 6

195

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

1.3.1. Les grandeurs usuelles abordées à l’école 1.3.1.1. Grandeurs simples Parmi les principales grandeurs rencontrées à l’école fondamentale et dans la vie quotidienne, on distingue des grandeurs simples. La longueur est la grandeur associée à une ligne. Le drap housse d’une longueur de 200 cm ; un rectangle de 12 cm de périmètre.

L’aire ou superficie est l’étendue d’une surface. Une terrasse de 20 m2. L’amplitude est la grandeur associée à un angle, c’est l’ouverture entre les deux côtés de l’angle (dans le plan). Un angle droit a une amplitude de 90°.

Le volume est la place occupée par un solide dans l’espace. Un bloc de béton de 2 m³.

La capacité est le volume (« intérieur ») associé à un récipient, à un objet contenant. Par extension, elle désigne souvent le volume de liquide, de solide ou de gaz envisagé, consommé. Un réfrigérateur de 48 l ; un sac poubelle de 50 l ; un coffre de voiture de 298 l ; 40 l de terreau ; il faut boire 1,5 l d’eau par jour. La masse est la quantité de matière d’un objet. C’est aussi son aptitude à résister à une modification de sa position. Un camion de 35 t.

Le poids est la grandeur de la force d’attraction gravitationnelle exercée sur un objet. Un cosmonaute (75 kg de masse) a un poids de 686 N sur terre et 113 N sur la lune.

Éd

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Remarquons que « masse » et « poids » ne sont pas une seule et même grandeur. La masse (m) d’un objet ne varie pas avec le lieu où l’objet se trouve. Le poids (p) varie en fonction de l’accélération (g) communiquée par la gravité, selon la formule p = m × g. Le poids d’une même personne sera différent au pôle Nord, à l’équateur ou encore sur la Lune. – Pour un endroit déterminé, le poids d’un objet est donc directement proportionnel à sa masse : ce sont deux grandeurs interdépendantes. – Anciennement, les unités de poids (kgF pour kilogramme force) et de masse (kgm pour kilogramme masse) utilisées donnaient la même mesure pour un même objet, d’où la confusion dans l’usage. Aujourd’hui, les mesures de poids exprimées en Newton (N), et les mesures de masse exprimées en kilogrammes (kg) se distinguent. – Pourtant, la vie quotidienne entretient la confusion en nous confrontant plutôt au poids qu’à la masse. J’ai perdu du poids, poids lourd, poids plume… Au vu de ces arguments, on comprend qu’il n’est pas aisé de faire la distinction masse/ poids à l’école fondamentale. C’est pourquoi, dans ce référentiel, nous garderons les grandeurs masse et poids associées, en notant masse (poids).

Poffe C., Richard F., 126 grammes : la science qui se vit ; des démarches méthodologiques pratiquées dans l’enseignement fondamental à propos du poids et de la masse, Liège, Asbl Hypothèses, 2018, p. 8 et 9. Téléchargeable sur http://www.hypothese.be/index.php/brochures-thematiques/ Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). La matière § 4.5. Appendices matières 12 sur le site myvanin.be. Rouche N. et al., Du quotidien aux mathématiques. Nombres, grandeurs, proportions, Paris, Ellipses, 2006, p. 329. 196

L a n oti o n d e g ra n d e u r

La durée est la grandeur associée à un événement se déroulant dans le temps. Un spectacle de 45 min. La température7 caractérise de façon objective la sensation subjective de chaleur ou de froid laissée par le contact d’un corps. L’eau bout à 100 °C. Le prix est une valeur monétaire attribuée à un objet ou à un événement. J’ai payé ce livre 21 €.

La grandeur prix est une grandeur particulière non attachée physiquement à l’objet (voir Grandeurs § 4.2.8.).

Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). La matière § 1.6.

1.3.1.2. Grandeurs composées

Dans la vie courante, on rencontre aussi d’autres mots pour désigner des grandeurs particulières (voir Grandeurs § 1.5.2.).

À partir des grandeurs simples sont définies des grandeurs composées, rapports de grandeurs8 simples.

La vitesse d’un objet (une personne, un animal, un véhicule…) est le rapport entre un espace parcouru par cet objet et la durée de ce parcours. On l’exprime souvent comme la distance parcourue par unité de temps, par exemple en km/h (ou en m/s).

Sur l’autoroute la vitesse maximale autorisée est de 120 km/h. La verbalisation de l’unité km/h se fait habituellement sans énoncer de lien entre les kilomètres et les heures. En effet, on dit « kilomètres heure ».

Éd

iti

À l’école, particulièrement en début d’apprentissage, il est important de faire apparaitre ce lien pour donner sens à cette unité composée. On verbalisera par exemple, il a réalisé cette marche à une vitesse moyenne de 5 km/h en disant 5 kilomètres PAR heure.

La masse volumique d’une matière est le rapport entre la masse et le volume de cette matière. On l’exprime souvent comme la masse de la matière par l’unité de volume, par exemple en kg/m³, en kg/dm³… La masse volumique de l’huile d’olive est de 0,920 kg/dm³.

On rencontre aussi, plutôt que le terme « masse volumique » (ou « poids volumique »), le terme de « densité » : la densité d’une matière liquide ou solide est le rapport entre la masse volumique de cette matière et la masse volumique de l’eau (pure et à 4 °C). Il s’agit, ici, d’un nombre sans unité de mesure, qui est égal à la mesure9 de la masse volumique exprimée en kg/dm³. La densité de l’huile d’olive est 0,920.

Attention, la température n’est pas une grandeur au sens strictement mathématique car elle ne respecte pas le principe de linéarité. Les températures ne s’additionnent pas comme les autres grandeurs. Une eau à 30° à laquelle on va ajouter de l’eau à 50° ne va pas donner une eau à 80° par exemple. 8 Il peut s’agir d’un rapport entre deux grandeurs continues (ex : 25 km/h) ou d’un rapport entre une grandeur discontinue et une grandeur continue (ex : 2500 habitants/km2), voire d’un rapport entre deux grandeurs discontinues (ex : 50 personnes/wagon). 9 La notion de mesure est définie au § 3.2. de la partie Grandeurs. 7

197

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

On parle aussi de densité d’un gaz. La référence n’est plus l’eau mais l’air à même température et même pression. La densité de population d’un territoire est le rapport entre le nombre de personnes habitant ce territoire et la superficie de ce territoire. On l’exprime souvent comme le nombre moyen d’habitants par unité de superficie, par exemple en nombre d’habitants/km2. La densité de population de la Belgique est de plus de 360 habitants/km2.

Le 22 mai, le débit de la Meuse mesuré à Visé était de 53 m³/s.

Le débit10 d’un flot liquide est le rapport entre le volume de liquide écoulé et la durée de l’écoulement. On l’exprime souvent comme un volume par unité de temps, par exemple en m³/s.

1.3.2. D’autres grandeurs usuelles rencontrées dans la vie quotidienne

1.3.2.1. Dans le monde de l’informatique

C’est un choix mûrement réfléchi d’avoir placé dans le présent ouvrage ce paragraphe sur les grandeurs dans le monde de l’informatique. Cette matière est peu ou pas présente dans les programmes et les manuels scolaires. Or, ces grandeurs font partie du quotidien des élèves d’aujourd’hui – et à fortiori de demain – par l’utilisation des téléphones portables, des tablettes et d’autres supports liés à Internet notamment. On parle de la capacité de mémoire de ces divers supports en termes de « giga », « téra » : ces mots ne sont en fait que des préfixes, accolés au mot « octet ».

La capacité de mémoire d’un support informatique (ordinateur, tablette, téléphone mobile, appareil photo numérique, mémoire externe…) est le nombre d’unités d’information qui peuvent être emmagasinées dans la mémoire du support. Elle s’exprime souvent en kilobytes ou kilooctets (KB ou Ko), megabytes (MB), gigabytes (GB), terabytes (TB)… (voir Grandeurs § 4.4.1.).

Un ordinateur portable de 8 GB de mémoire de travail ; un smartphone de 2 GB de mémoire.

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La plus petite unité de stockage informatique est appelée « bit ». Pour tout support informatique usant du courant électrique, cette unité correspond au fait que ce courant passe ou ne passe pas. Son abréviation est b. Un octet (en français) ou un byte (en anglais) correspond à 8 bits, avec comme abréviations : o pour octet et B pour byte.

Éd

Traditionnellement, dans le monde informatique, les préfixes : « kilo », « méga », « giga »… ne représentent pas une puissance d’un nombre en base 10 (10³ = 1 000), mais une puissance d’un nombre en base 2 (210 = 1 024). En réalité : 1 kilobyte (KB) ou kilooctet (Ko) vaut 1024 bytes ; 1 megabyte (Mo ou MB) vaut 1024 kilobytes…

Une nouvelle norme a donc été créée pour noter les multiples de 210 = 1 024 : des préfixes binaires, les « kibi », « mébi », « gibi »… ont été introduits et commencent à se répandre, notamment dans les logiciels et les applications. Bien qu’ils existent depuis 1998, certains informaticiens, comme le grand public, sont réticents à utiliser ces nouveaux préfixes binaires.

La notion de débit, dans la vie quotidienne, s’élargit à d’autres grandeurs mais pour exprimer toujours une « quantité » (grandeur continue ou discontinue) par unité de temps : débit internet, écoulement de marchandises, clientèle traitée en un temps donné…

198

L a n oti o n d e g ra n d e u r

La vitesse de transmission de l’information d’un support à un autre exprime la quantité d’informations qui peut être transmise par unité de temps. Elle s’exprime en bits par seconde : b/s ou bps ; mais aussi en kilobits/s, megabits/s et terabits/s. Pour un scanner renseigné « USB 2 High speed » (haute vitesse), la vitesse de transmission avec l’ordinateur peut aller jusqu’à 480 Mb/s.

Ici, par contre, le système d’unités construit à partir du bit est bien un système décimal : 1 kilobit/s = 1 Kb/s = 10³ b/s 1 megabit/s = 1 Mb/s = 106 b/s 1 gigabit/s = 1Gb/s = 109 b/s 1 terabit/s = 1 Tb/s = 1012 b/s La taille d’un écran est la longueur de sa diagonale. Elle est exprimée fréquemment en pouces, parfois en centimètres, pour un téléviseur par exemple (1 pouce = 1’’ = 2,54 cm).

Un écran TV de 81 cm, un écran de GSM de 5,1 pouces, un écran d’ordinateur de 22 pouces.

Remarquons que des écrans de même taille (même diagonale, donc) n’ont pas nécessairement la même largeur et la même hauteur, ces dernières dépendant aussi du format : 4/3

16/9

21/9

Différence entre les formats d’image à diagonale équivalente

Le format11 d’un écran, c’est le rapport de sa largeur sur sa hauteur.

iti

Un format 16/9.

Éd

La définition d’un écran12 correspond au nombre de pixels présents sur la dalle. Les pixels (px) sont les points, les mini-surfaces d’intersection des colonnes et rangées, couvrant l’écran. Une définition FULLHD correspond à 1920 pixels en largeur par 1080 pixels en hauteur, c’est-à-dire un total de 2 073 600 pixels.

La résolution13 d’un écran est le nombre de pixels par unité de mesure. Elle s’exprime en « pixels par pouce ». Cette unité de mesure est abrégée PPP en français ou PPI en anglais (« Pixels Per Inch »). La résolution de cet écran est : (1024 : 13,65) PPP = (768 : 10,24) PPP ≃ 75 PPP

1.3.2.2. Autres grandeurs rencontrées Les illustrations au début du § 1.3. font apparaitre d’autres types de grandeurs, telles que la puissance électrique d’un appareil ménager, la vitesse de rotation, la luminosité… et d’autres encore plus courantes (comme la pointure) qui ne sont pas étudiées à l’école. On parle aussi du format de photos, de feuilles de papier… À ne pas confondre avec sa « résolution ». 13 Souvent, ce terme est utilisé, de manière erronée, à la place du terme « définition ». On parle parfois aussi de « densité » : en anglais « résolution » peut d’ailleurs se traduire par « pixel density ». 11 12

199

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

L’exploitation de publicités dans des domaines spécifiques (habillement, ameublement, bijouterie, informatique, mécanique, électricité, photographie, communication…) offre un univers de grandeurs possibles. Ceci demande aux enseignants des recherches. Le recours à des personnes ressources, des ouvrages spécifiques et Internet est incontournable. Cela sert à éveiller14 les élèves au monde d’aujourd’hui.

Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). Activité 3.4. Organisons diverses sortes de grandeurs. Cycles 8-10 et 10-12.

1.4. Distinction entre objet et grandeur(s) associée(s)

Souvent, dans un discours rapide et approximatif, on confond l’objet et sa grandeur (ou une de ses grandeurs associées). Pourquoi ?

Dites plutôt

« Classez ces différents volumes en polyèdres et non-polyèdres. »

Le volume est une grandeur, « Classez ces différents solides (ou pas un objet. boites) en polyèdres et non-polyèdres. »

« Les côtés de ce polygone sont égaux. »

Les côtés sont des segments « Les côtés de ce polygone sont de de droite, des objets différents. même longueur ou isométriques. »

« Calcule la surface du rectangle. »

Le rectangle est une surface. « Calcule l’aire ou la superficie ou Le mot surface ne désigne pas l’étendue du rectangle. » une grandeur mais un objet.

« La longueur du périmètre du rectangle. »

Le périmètre est une longueur « La longueur du contour du rectangle. » particulière. ou « Le périmètre du rectangle. »

« Cet angle vaut 90 degrés. »

Un angle est une surface « L’amplitude de cet angle vaut (objet), pas une grandeur. 90 degrés. »

iti

Ne dites pas…

Éd

On peut s’autoriser, bien sûr, certains abus de langage convenus, à partir du moment où cela ne nuit pas à la compréhension du message et de ce qui est à faire : « Retrouve dans ce dessin tous les angles de 90 degrés ». On peut aborder les objets du point de vue de leur forme ou de leur grandeur15 et, là aussi, on confond souvent les deux registres de vocabulaire. Clarifions-les dans ce tableau. L’objet (dans la vie)

L’objet mathématique Une grandeur associée sous-jacent

Des boites, des blocs de construction…

Des solides

Un terrain à cultiver, le mur, le sol de ma chambre… Des surfaces

Leur aire ou leur superficie

Des lignes Des contours

Leur longueur Leur longueur (périmètre)

Des ficelles, des cure-dents, des craies… Des terrains à clôturer…

14 15

200

Leur volume

Dans un esprit de découverte, il n’est évidemment pas question d’étudier par cœur les définitions. On pourrait regarder ces objets d’un autre point de vue : celui de leur fonctionnalité ou de leur esthétisme ou…

L a n oti o n d e g ra n d e u r

1.5. Les mots pour parler de grandeurs Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). Partie Méthodologie, principe 8. Découvrir, développer un vocabulaire particulièrement riche, précis, rigoureux.

1.5.1. Vocabulaire précis et adéquat

Pour bien se comprendre, il convient d’éviter certains abus de langage qui consistent à ne pas préciser la grandeur qu’on veut évoquer.

En effet, un objet se caractérise par de multiples grandeurs… de laquelle parle-t-on quand on n’évoque que l’objet ou quand on use de mots généraux tels que « grandeur » ou « grand » ? – Mesure ton banc. – Mon cartable est plus petit que le tien. Je mesure « quoi » du banc ? Sa longueur ? Sa largeur ? Sa profondeur ? Sa hauteur ? Sa masse (poids) ? Et mon cartable ? Est-il plus étroit ? Moins volumineux ? Moins lourd ? On pourrait rendre ces phrases plus explicites. – Mesure la longueur de ton banc. – Mon cartable est moins haut que le tien.

1.5.2. Polysémie et vocabulaire élargi

Certains mots sont polysémiques, ils désignent à la fois un objet géométrique et une grandeur.

■

C’est le cas de mots comme longueur, hauteur, largeur… ou encore rayon, base, arête…

Dans l’exemple « Quelle est la longueur du couloir ? », la signification est claire : on parle bien d’une grandeur du couloir ; il faut mesurer pour répondre à la question.

iti

Par contre, dans l’exemple « Quelle est la longueur de ce rectangle ? », la signification est moins claire : veut-on faire désigner un segment de droite, un côté du rectangle, ou bien veut-on, comme dans le premier exemple, faire exprimer le résultat d’un mesurage, 15 cm, par exemple ?

Éd

Il faut alors préciser la question ou la relier à un contexte pour distinguer la longueur comme un objet géométrique, un segment de droite, ou comme une grandeur de cette forme, la grandeur de ce segment. ■

Une même grandeur peut être désignée par divers mots : le vocabulaire s’élargit en fonction du contexte. C’est souvent la situation particulière, la disposition dans l’espace ou la complexité de l’objet qui invitent à l’usage d’un mot plutôt qu’un autre. – Quelle est la profondeur de la piscine ? – Quelle est la hauteur du local ? – Donne-moi l’épaisseur de la planche ! – Le diamètre d’un cercle vaut le double de son rayon.

Dans la vie quotidienne, les mots « profondeur », « hauteur », « épaisseur » désignent bien tous des longueurs. De même, le « rayon » et le « diamètre » sont des longueurs particulières définies en mathématique.

201

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

D’autres exemples de mots particuliers ou de synonymes. Largeur, hauteur, profondeur, épaisseur, dimension, stature, taille, altitude, pointure, envergure, carrure, périmètre, diamètre, circonférence…

Aire

Étendue, superficie

Amplitude

Ouverture

Volume

Grosseur, encombrement, cubage, place

Capacité

Contenance, volume intérieur

Durée

Période, âge…

…

Longueur

1.6. L’invariance ou la conservation de grandeur

L’invariance (ou la conservation) d’une grandeur est le fait que certaines transformations d’un objet n’altèrent pas cette grandeur. Ceci concerne aussi bien des transformations de position dans l’espace que des transformations de forme.

– La longueur d’une ficelle reste la même, qu’elle soit tendue horizontalement, verticalement ou en oblique, qu’elle soit « ouverte » ou « fermée ». – La capacité d’un verre ne change pas, qu’il soit posé au sol ou sur la table, le volume d’eau versé du verre dans une assiette profonde est le même. – La superficie d’une photo reste inchangée, qu’elle soit dans une enveloppe ou en dehors, la superficie du Tangram reste la même, quelle que soit la figure reproduite. – La masse de la boule de plasticine devenue boudin reste inchangée.

iti

Son apprentissage est fondamental, notamment parce qu’elle participe à la conceptualisation de la grandeur, c’est-à-dire au fait de pouvoir l’extraire de l’objet comme l’une de ses propriétés. Si l’idée de la conservation évolue parallèlement sur les différentes grandeurs, elle n’arrive pas à maturité en même temps pour chacune de ces grandeurs. Par exemple, la conservation des capacités précède la conservation des longueurs. 16 1718

Éd

Piaget16 a réalisé de nombreuses expériences pour comprendre comment cette idée d’invariance se construisait progressivement chez les enfants de 1 à 12 ans. L’apport des neurosciences et plus précisément de l’imagerie cérébrale a permis ensuite de nuancer ses conclusions et de réviser la conception piagétienne de la progression de l’intelligence par paliers successifs. Houdé17 la considère plutôt comme une évolution « par petits pas rapprochés, marqués d’arrêts, de retours en arrière et de faux pas ». Ainsi, ce n’est pas l’âge qui détermine ipso facto la capacité d’affirmer la conservation d’une notion, d’une grandeur, mais bien le niveau de maturation atteint grâce à des expériences vécues dans les domaines concernés. Cette maturation se développe par la sollicitation : – d’observations fouillées ; – d’actions verbalisées et donc de plus en plus conscientisées ; – de variations et d’une analyse des conditions qui donnent à penser qu’on peut conclure à la conservation de la grandeur. Il va de soi que commencer les expériences le plus tôt est le mieux pour l’enfant. La conservation des grandeurs est en lien avec la conservation de l’objet et la conservation du nombre18.

Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). Piaget J., Inhelder B., 1998. Houdé O., 2004. 18 Lucas F., Montulet I., 2017. 16 17

202

Pourquoi explorer le monde des grandeurs

à l’école ? >

En mathématique, le domaine des grandeurs est celui qui nous relie le plus à la vie, à notre environnement, au quotidien. Sans en avoir nécessairement conscience, nous sommes sans cesse confrontés aux grandeurs qui décrivent, en les quantifiant, l’espace où nous vivons et les objets qui nous entourent. Les grandeurs sont les notions mathématiques dont la fonctionnalité est la plus évidente.

Le domaine des grandeurs est un magnifique terrain de réalisations de calculs sensés. Les grandeurs aident à donner du sens aux calculs et aux nombres à deux niveaux : l’élève peut réaliser à quoi sert le calcul (connaitre l’aire de son mur pour ne pas acheter trop de peinture) ; on ne calcule pas uniquement pour réussir l’interro ;

–

les grandeurs donnent du sens aux opérations, aux nombres, aux fractions…

–

On réalise un cocktail de différents jus (15 cl de… + 3 cl de… + 12 litre de…) Combien vais-je pouvoir faire de verres ? (Sens de l’addition, de la division, des fractions.)

Les grandeurs quantifiées sont des constructions humaines nécessaires aux échanges sociaux. Elles sont en lien avec l’éveil scientifique, historique et géographique. Elles se verbalisent aussi par la langue de communication. Elles appellent indéniablement l’interdisciplinarité.

Les grandeurs quantifiées, aujourd’hui largement mondialisées, ne sont néanmoins pas perçues de la même façon partout. Elles ont un fort caractère culturel.

L’enfant qui se rend à l’école en voiture chez nous, n’a pas la même perception des distances (du kilomètre par exemple) que l’enfant qui, dans certaines régions du monde, met deux heures à pied pour se rendre à l’école. Nous ne perdons pas une minute dans nos horaires chargés alors que des heures de palabres sont le principe même des échanges dans d’autres cultures.

Une exploration approfondie des grandeurs, engageant les différents canaux sensoriels par les manipulations (canal kinesthésique), par les représentations (canal visuel) et par les formulations variées (canal auditif), permet de s’en faire de solides images mentales, fort utiles en résolution de problèmes. Ces images mentales favorisent l’élaboration d’une représentation de la situation aidant à la résolution. Elles soutiennent la démarche de vérification, notamment celle de la plausibilité d’une solution calculée.

Éd

iti

Travailler le domaine des grandeurs de manière ouverte, c’est aussi faire prendre conscience des nuances et différences culturelles.

203

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

2. L’approche qualitative ou quantitative des grandeurs On parle d’approche qualitative des grandeurs : – lorsqu’on aborde les grandeurs sans l’idée de nombre, sans l’idée de mesure ; – lorsqu’on qualifie la grandeur, en usant de mots de vocabulaire qui sont généralement des qualificatifs.

On parle d’approche quantitative des grandeurs : – lorsqu’on aborde les grandeurs avec l’idée de nombre, avec l’idée de mesure ; – lorsqu’on quantifie la grandeur, en usant d’un nombre, d’une mesure et d’une unité de mesure.

Pour toute grandeur, il est utile de faire vivre d’abord l’approche qualitative par des expériences nombreuses, riches et variées, et ensuite d’engager l’approche quantitative ; procéder ainsi favorise une appropriation de la grandeur sans la contrainte de traiter d’emblée des nombres.

Les grandeurs exprimées autour de nous sont souvent quantifiées.

Le trajet de chez moi à l’école (sa longueur) fait 500 mètres ; à pied, il dure (sa durée est de) 5 à 10 minutes maximum. Elles sont néanmoins appréhendables indépendamment de l’idée de nombre, de l’idée de mesure. On les évoque tout aussi souvent de cette manière.

Le trajet de chez moi à l’école (sa longueur) est court ; sa durée pour m’y rendre est minime.

2.1. Les comparaisons de grandeurs On ne peut comparer que des grandeurs de même nature. On peut comparer deux grandeurs de même nature ou plus.

iti

Comparer deux grandeurs de même nature, c’est les mettre en présence l’une de l’autre, effectivement ou mentalement, et exprimer leurs similitudes ou leurs différences.

Éd

Dans le quotidien, que l’on qualifie des grandeurs ou qu’on les quantifie, on établit presque toujours des comparaisons entre elles. – Soupeser plusieurs melons, prendre le plus lourd (comparaison de masse (poids)). – Déterminer le vainqueur d’une course parmi les participants (comparaison de durées). – Visualiser et citer le nom du bâtiment le plus élevé de la rue (comparaison de hauteurs).

2.1.1. Les comparaisons implicites ou explicites Dans une comparaison implicite, le deuxième élément ou les autres éléments de la comparaison ne sont pas énoncés, ils sont sous-entendus. Dans une comparaison explicite, le deuxième élément ou les autres éléments de la comparaison sont énoncés. On utilise alors des locutions conjonctives « plus…que… », « autant…que… », « moins…que… » Une comparaison implicite prête souvent à discussion : « Tu dis que ce trajet est court mais moi je le trouve long ! » Pour se comprendre il y a nécessité d’expliciter : « il est plus court que… », « plus long que… »

204

L’appro c h e q ualitati v e ou q ua n titati v e de s g ra n deur s

Lorsqu’on qualifie une grandeur, on établit une comparaison implicite. – Le trajet de chez moi à l’école est court : cela sous-entend que j’estime sa longueur courte par rapport aux longueurs d’autres trajets que je trouve plus longues. – Mon trajet ne dure pas longtemps : cela veut dire que sa durée me parait minime par rapport à d’autres activités qui durent plus longtemps. Souvent, les comparaisons de grandeurs sont explicites avec deux termes (ou plus) en confrontation. – La longueur du trajet de chez moi à l’école est plus courte que celle du trajet de chez moi à la gare. – Il dure aussi longtemps que le trajet pour me rendre au supermarché.

2.1.2. Les comparaisons non quantifiées ou quantifiées, leurs symbolisations

On parle de comparaison non quantifiée19 de grandeurs lorsque cette comparaison s’exprime sans nombre, sans mesure. Par opposition, on parle de comparaison quantifiée lorsque la comparaison s’exprime à l’aide d’une mesure ou d’un nombre : – la comparaison quantifiée peut exprimer un écart, une différence ; – la comparaison quantifiée peut exprimer un rapport.

Cette bouteille en plastique contient plus d’eau que cette bouteille en verre. Cette bouteille en plastique contient ½ litre de plus que cette bouteille en verre. Cette bouteille en plastique contient 1 fois et demi le contenu de cette bouteille en verre.

Comparaisons non quantifiées

iti

Comparaisons quantifiées, expressions d’un écart Comparaisons quantifiées, expressions d’un rapport

Le livre Bou est moins haut que la bande dessinée Jannie & Willy. La hauteur du livre Bou fait 15 cm de moins que celle de la bande dessinée. La hauteur du livre Bou vaut la moitié de celle de la bande dessinée.

Éd

Les comparaisons peuvent être exprimées par des graphes fléchés20 entre les grandeurs comparées. La comparaison non quantifiée peut recourir aux symboles d’inégalité (< ; >) et d’égalité (=)21. Comparaisons non quantifiées

Comparaisons quantifiées, écarts Comparaisons quantifiées, rapports

est plus petit que

est plus grande que

contient plus que contient moins que

+ 15 cm

×2

– 15 cm

2 × 12 ou :

– 500 ml

× 3

+ 500 ml

× 1,5

On parle aussi de comparaison qualitative. Ces symbolisations par flèches interviennent dans les résolutions de problèmes et dans les calculs sur des nombres. Cette représentation sera explicitée dans le tome 2. 21 Ces relations et symbolisations seront explicitées dans le tome 2. 19 20

205

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

2.1.4. Les modalités de comparaison

Les symboles d’égalité et inégalité sont abstraits. Il faut éviter de les introduire trop précocement et de manière formelle. Ils méritent d’être amenés par la manipulation concrète de niveaux par exemple, pour comparer des hauteurs. Le signe va coller ainsi à la comparaison de grandeurs que l’enfant maitrise. Du reste, ces signes doivent être liés au sens de la lecture, de gauche à droite.

On parle de comparaison directe lorsqu’on peut mettre en présence, rapprocher deux objets ou parties d’objets de manière à percevoir les grandeurs de même nature de part et d’autre et établir la relation de comparaison. Comparer la hauteur de deux livres dans la bibliothèque.

On parle de comparaison par un objet intermédiaire lorsque les objets ne peuvent être mis en présence l’un de l’autre, ne peuvent être rapprochés. On utilise alors un objet intermédiaire, porteur du même type de grandeur à comparer, pouvant, lui, être mis en présence du premier objet puis du deuxième objet. Comparer la hauteur de deux portes situées dans des locaux différents en recourant à la longueur d’un objet intermédiaire : une ficelle.

Les modalités de comparaison sont aisées quand, par exemple, les objets sont à proximité l’un de l’autre, mais sont souvent plus complexes voire impossibles dans d’autres situations.

Éd

iti

On parle de comparaison par une autre grandeur lorsque les grandeurs de même nature à comparer sont difficilement repérables, on use alors d’une grandeur d’une autre nature, proportionnelle à cellesci. La comparaison est déplacée sur cette autre grandeur. – Comparer la durée de deux parties successives de jeu en retournant le même sablier à chaque début de partie et en observant le volume écoulé ou la hauteur de sable obtenue à la fin. Se servir de hauteurs ou de volumes pour comparer des durées. – Comparer le volume de deux boules de plasticine en les pesant.

2.1.5. Les actions physiques et le vocabulaire associés aux comparaisons Les actions de mise en présence, de rapprochement de deux (ou plusieurs) objets pour comparer des grandeurs sont des actions physiques, des gestes spécifiques que l’on nomme par des verbes. L’expression du résultat de la comparaison des grandeurs recourt à un vocabulaire spécifique : – des qualificatifs souvent en duos de contraires (long/court…) ; – des adverbes : plus, moins, autant/aussi/même. Les mots « petit » et « grand » sont les termes généraux valant pour la plupart des comparaisons. Ils doivent néanmoins être particularisés à chaque situation de comparaison de grandeurs.

206

L’appro c h e q ualitati v e ou q ua n titati v e de s g ra n deur s

Comparer des grandeurs Actions physiques – juxtaposer – superposer – aligner

des longueurs : – de crayons – de lacets – de poteaux …

Vocabulaire de comparaison est aussi long que, est aussi court que plus moins moins plus a une longueur aussi, plus, moins grande que Selon les objets, les mots long et court deviendront : épais/mince ; haut/bas ; large/ étroit ; profond.

– juxtaposer – superposer – découper – plier

est aussi étendu que moins plus a une aire aussi grande que, moins grande que, plus petite que

des volumes : – de caisses, de boites diverses – de briques, de blocs – des containers

– juxtaposer – emboiter – immerger – remplir

est aussi volumineux que moins plus dispose de plus ou moins ou autant d’espace que, occupe plus ou moins ou autant d’espace que, prend plus ou moins ou autant de place que, a un volume plus grand que, plus petit que, égal à

des capacités : – de récipients – de liquides…

– juxtaposer – emboiter – verser d’un récipient à l’autre – transvaser dans un ou des récipients référents

contient plus ou moins ou autant de liquide que a une capacité plus grande que, plus petite que, égale à prend plus de place que, a un volume est plus important que

– soupeser avec les mains – placer aux deux bouts d’un cintre – placer sur les deux plateaux d’une balance – suspendre à un élastique

est aussi lourd que, est aussi léger que moins plus plus moins est aussi pesant que plus moins

des aires : – d’affiches – de tapis – de surfaces de papier…

Éd

iti

des masses ou poids : – d’objets – de marchandises…

Avec les qualificatifs « contraires » il est possible d’exprimer des quatuors de phrases et d’établir des liens entre ces phrases. Éléphant

Mouche E est plus lourd que M E est moins léger que M M est plus légère que E M est moins lourde que E

des amplitudes : – d’angles (plan)…

– juxtaposer – superposer

est aussi ouvert que, est aussi fermé que plus moins moins plus a une amplitude plus grande, plus petite, égale à

207

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

– retourner le sablier – marquer le top de début et de fin (situations qui débutent ensemble)

des durées : – d’évènements – d’actions – de tâches…

Vocabulaire de comparaison dure aussi longtemps que plus moins a une durée plus grande, plus petite, égale à a une durée plus longue, moins courte, aussi longue que

Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). Activité 1.1. Parlons de grandeurs. Cycles 5-8 et 8-10.

Comparer des grandeurs Actions physiques

2.2. Les organisations d’objets selon une grandeur

Rappelons que le terme organiser est un terme général recouvrant tous les types d’organisations. Les termes ranger (ordonner), trier et classer correspondent à des organisations ayant des fonctions spécifiques (voir Traitement de données § 3.) : – le tri et le classement permettent de réaliser des ensembles spécifiques ; – le rangement permet d’ordonner, de situer.

Parfois on range selon 2 grandeurs.

Éd

iti

Les objets qui nous entourent sont parfois rangés pêle-mêle et d‘autres fois, organisés selon divers critères. Les grandeurs des objets peuvent être des critères d’organisation de ceux-ci.

Je trie mes récipients et ne retiens que ceux de 1 litre.

Je sépare, je classe les assiettes en piles dans l’armoire selon leur diamètre.

J’ordonne, je range les livres de la bibliothèque selon leur hauteur croissante.

Parfois on range selon deux grandeurs : ranger les livres selon leur hauteur et leur épaisseur.

Comparer des objets selon une grandeur se réalise en général sur des duos d’objets. Ranger, ordonner des objets selon une grandeur croissante ou décroissante (on dit aussi sérier des objets) se réalise sur au minimum trois objets. Plus le nombre d’objets est grand plus l’enchainement des comparaisons deux à deux se complexifie. Il faut notamment tenir compte de la transitivité des comparaisons : si A est plus petit que B et que B est plus petit que C, alors A est plus petit que C. Inutile de chercher à comparer A et C. On peut s’économiser cette comparaison dans la recherche. 208

L’appro c h e q ualitati v e ou q ua n titati v e de s g ra n deur s

Certains objets mathématiques, comme les formes, peuvent être organisés selon une grandeur.

L ucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). Activité 1.2. Rangeons des récipients. Cycle 5-8. Activité 1.4. Rangeons des surfaces. Cycle 8-10. Activité 1.7. Organisons ce que nous savons des angles. Cycle 8-10.

On réalise ces organisations sur un matériel adapté pour : – éviter des propriétés distrayant inutilement : ranger des boites neutres plutôt que des boites très décorées ; – ne pas se perdre dans des actions de comparaison fastidieuses : ne pas comparer la superficie des feuilles d’automne récoltées mais plutôt des surfaces données par l’enseignant.

2.3. Les opérations sur les grandeurs quantifiées ou non Faire réaliser des opérations sur des grandeurs quantifiées, c’est faire résoudre des calculs22 impliquant des nombres (mesures)23 et des unités conventionnelles ou non.

iti

Il est néanmoins intéressant d’envisager des opérations sur des grandeurs non quantifiées. Faire réaliser des opérations sur des grandeurs non quantifiées c’est : – faire agir ces opérations ; – les faire verbaliser de façons variées (verser, compléter, mettre bout à bout, allonger, raccourcir, recouper, équilibrer, reporter, recouvrir, remplir, répéter, prendre plusieurs fois, partager, répartir, fractionner, couper, rompre en parts d’égale grandeur…) ; – les faire représenter, sans la contrainte des nombres et des unités de mesure. L ucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). La matière. Appendice matière 3 sur le site. Activité 1.8. Exprimons des opérations sur les grandeurs. Cycle 5-8.

Éd

Voici des situations opératoires sur des grandeurs non quantifiées : – verser le contenu des poubelles de table dans une seule poubelle (réunion de grandeurs) ; – réaliser une cabane plus volumineuse en ajoutant une caisse (ajout d’une grandeur) ; – recouper la nappe de papier trop longue pour le table (retrait d’une grandeur) ; – trouver l’objet dont la masse (poids) va équilibrer la balance à deux plateaux déjà remplis (recherche d’un écart). Dans le champ multiplicatif, les opérateurs, eux, sont quantifiés : – faire 5 fois le tour de la cour pour la course organisée par la classe (répétition de grandeur) ; – partager une feuille A4 en 4 morceaux de même aire à distribuer au groupe (partage d’une grandeur) ; – estimer combien de gobelets on va remplir avec cette bouteille d’eau (recherche d’un rapport). 22 23

Des calculs issus de situations problèmes, bien sûr. Voir des exemples Grandeurs § 5. et § 6. Voir Grandeurs § 3.2.

209

PA R T I E 3 : G R A N D E U R S

Voici un autre exemple : la recherche du périmètre de rectangles sur des longueurs non quantifiées. B+R+B+R= R+B+R+B= B+B+R+R=2B+2R = 2 × (B + R)

Lucas F. et al., Explorer les grandeurs, se donner des repères, Mont-Saint-Guibert, De Boeck Van In, coll. Math & Sens, 2018 (3e édition). Activité 6.1. Construisons le calcul du périmètre de rectangles. Cycle 8-10.

Pourquoi prendre le temps d’une approche

qualitative des grandeurs à l’école ?

Cette approche favorise une réflexion de haut niveau sur les grandeurs : – sur les spécificités de la grandeur à traiter pour la conceptualiser ; – sur des représentations de chacune des grandeurs dans l’esprit de l’élève pour en développer des images mentales ; – sur les actions de comparaisons pertinentes selon une grandeur à engager ; – sur l’organisation des comparaisons (ordonner plus de 3 objets) à réaliser pour aller vers un système de rangement ; – sur leurs verbalisations adéquates, riches et variées à exprimer.

Cette approche permet d’aborder les opérations sans les nombres. Les opérations sur les grandeurs quantifiées plongent l’élève d’emblée dans la complexité des nombres (mesures) et des unités de mesure. Il est intéressant d’envisager d’abord des opérations sur des grandeurs non quantifiées. L’accent est mis sur les dynamiques opératoires, leurs verbalisations variées et leurs représentations.

La nécessité de préciser les comparaisons et les opérations en quantifiant s’impose : c’est plus long, mais plus long « de combien » ? J’ajoute, mais j’ajoute combien ? La réflexion sur les grandeurs quantifiées s’appuie sur des bases solides.

Éd

iti

210

Table des matières Sommaire

Introduction

Comprendre les mathématiques pour bien les enseigner Un ouvrage structuré Le projet

5 6 7

Partie 1 : Traitement de données Introduction

Quels types de données, quels types de traitements ?

Les données sur le curseur du concret à l’abstrait

Les organisations d’objets, de données

3.1. Ranger 3.2. Réaliser des ensembles 3.2.1. Trier : réaliser deux ensembles complémentaires 3.2.2. Classer : réaliser des ensembles disjoints 3.2.3. Hiérarchiser : réaliser des ensembles emboités 3.2.4. Croiser : réaliser des ensembles qui se croisent 3.2.5. Difficultés de langage 3.2.6. Tableau synthèse des organisations de base 3.2.7. Des organisations articulant plusieurs organisations de base

16 16 16 18 19 21 22 23 24

Des outils de représentation

4.1. Les diagrammes ensemblistes et la théorie des ensembles 4.1.1. Les éléments primitifs de la théorie des ensembles

27 27 27 28 29 29 29 29 30 30 30 31 31

Éd

iti

4.1.1.1. Ensemble et appartenance 4.1.1.2. Sous-ensemble et inclusion

4.1.2. Les opérations sur les ensembles 4.1.2.1. 4.1.2.2. 4.1.2.3. 4.1.2.4. 4.1.2.5. 4.1.2.6.

Complémentaire Intersection Union Différence Différence symétrique Partition

4.1.3. Des représentations en diagrammes de Venn 4.1.4. Quelques situations de recherche pour les élèves 4.2. Les tableaux 4.2.1. Les tableaux organisationnels 4.2.2. Les tableaux relationnels 4.2.3. Les tableaux opératoires 4.2.4. Quelques réflexions sur les tableaux

33 33 34 34 35 345

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

36 36 37 38 38

Éléments de logique

5.1. Premiers éléments de logique 5.2. Les connecteurs logiques 5.2.1. La négation : « non », « ne… pas » 5.2.2. La conjonction : « et » 5.2.3. La disjonction inclusive : « ou » 5.2.4. La disjonction exclusive : « soit… , soit… », « ou » 5.2.5. L’implication : « si…, alors… » 5.2.6. L’équivalence : « si et seulement si… » 5.2.7. Quelques propriétés de connecteurs 5.3. Les quantificateurs logiques 5.3.1. Définition des quantificateurs 5.3.2. Usage des quantificateurs 5.3.3. Quelques propriétés des quantificateurs

4.3. Les arbres 4.3.1. Les arbres organisationnels 4.3.2. Les arbres de dénombrements 4.3.3. Les arbres de décomposition/composition 4.3.4. Les arbres d’enchainement opératoire

43 43 44 45 45 46 47 48 48 48 49 50

Partie 2 : Géométrie

Le repérage

1.1. Comment se repère-t-on ? 1.1.1. Parallélisme et perpendicularité 1.1.2. Direction verticale et directions horizontales 1.1.3. Les composantes du repérage 1.2. Trois visions de l’espace 1.2.1. La vision topologique de l’espace 1.2.2. La vision projective de l’espace 1.2.3. La vision ordinale de l’espace 1.3. Les quadrillages du plan 1.3.1. Quadrillage et réseau dans le plan 1.3.2. Quadrillage au sens strict 1.3.3. Quadrillage au sens élargi 1.3.4. Deux utilisations des quadrillages 1.3.5. Utilité des quadrillages 1.4. Du quadrillage codé au repère orthonormé 1.4.1. Plusieurs étapes utiles dans le passage de l’un à l’autre. 1.4.2. Le repère orthonormé 1.4.3. Les repères cartésiens

55 55 57 60

Éd

iti

Introduction

346

63 63 63 64 65 65 66 67 67 67 68 68 70 70

Ta b le des m ati è res

Les formes

2.1. Avant-propos 2.1.1. La notion de forme 2.1.2. Objet/forme/représentation de la forme 2.1.3. Solides/surfaces/lignes/points 2.1.4. Convexité 2.1.5. Bases et hauteurs

73 73 75 77 78 80 80 81 87

2.1.5.1. On trouve ces notions dans le quotidien… 2.1.5.2. On trouve également ces notions en mathématique mais…

Les triangles et leurs propriétés Les triangles et la symétrie Les triangles et leurs organisations possibles Les triangles et leurs éléments remarquables

2.3.4.1. 2.3.4.2. 2.3.4.3. 2.3.4.4.

2.1.6. Caractéristique/ propriété/ définition en géométrie 2.2. Les solides 2.2.1. Polyèdres et non polyèdres 2.2.2. Polyèdres particuliers 2.2.3. Non polyèdres particuliers 2.2.4. Des organisations de solides 2.3. Les surfaces 2.3.1. Généralités 2.3.2. Les angles 2.3.3. Les polygones 2.3.4. Les triangles

2.3.5. Les quadrilatères

Les quadrilatères et leurs angles Les quadrilatères et leurs segments remarquables Les quadrilatères particuliers et leurs définitions Les quadrilatères et leurs propriétés Les quadrilatères et leurs organisations possibles

iti

2.3.5.1. 2.3.5.2. 2.3.5.3. 2.3.5.4. 2.3.5.5.

97 97 97 100 105 105 106 107 108 111 111 112 113 118 120 124

2.3.6. Les pavages 2.4. Les formes rondes 2.4.1. Une ligne et une surface rondes dans le plan 2.4.2. Une surface et un solide ronds dans l’espace 2.4.3. Des définitions complémentaires

127 127 128 129

Le passage 3D-2D

130

3.1. Des représentations en 3D ou en 2D 3.2. Les empreintes 3.3. Les développements 3.3.1. Ce qu’est un développement de solide 3.3.2. Ce qui est conservé dans un développement de polyèdre 3.3.3. Quelques développements 3.4. Les représentations par projections 3.4.1. Les projections parallèles et projections centrales (coniques) 3.4.2. Les vues coordonnées 3.4.3. Les perspectives cavalières 3.4.4. La perspective isométrique

130

Éd 3.

90 90 91 94 95

132 134 134 136 137 143 143 145 148 150

347

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

3.4.5. Les perspectives centrales 3.4.6. Choix d’une représentation

152 154

Les transformations du plan

156

4.1. Qu’est-ce qu’une transformation du plan ? 4.2. Les isométries du plan 4.2.1. Les translations

156

4.2.1.1. Ce qui définit une translation 4.2.1.2. Pour construire l’image d’une figure par translation Ce qui définit une rotation Pour construire l’image d’une figure par rotation Une rotation particulière : la symétrie centrale Pour construire l’image d’une figure par symétrie centrale La notion de centre de symétrie d’une figure

4.2.3. Les symétries orthogonales

4.2.2.1. 4.2.2.2. 4.2.2.3. 4.2.2.4. 4.2.2.5.

4.2.2. Les rotations

4.2.3.1. Ce qui définit une symétrie orthogonale 4.2.3.2. Pour construire l’image d’une figure par symétrie orthogonale 4.2.3.3. La notion d’axe de symétrie d’une figure

158 160 160 160 161 161 162 162 163 163 164 164 165 166

176

5.1. Le tracé de figures 5.2. Des instruments pour tracer des figures 5.2.1. Quels instruments pour tracer des lignes droites ? 5.2.2. Quels instruments pour tracer des angles droits ou des droites perpendiculaires ? 5.2.3. Quels instruments pour tracer des droites parallèles ? 5.2.4. Quels instruments pour tracer des cercles ? 5.2.5. Quels instruments pour tracer des angles ? 5.3. Utilisation de logiciels de géométrie 5.4. Les constructions « à la règle et au compas » 5.4.1. Construction de la médiatrice d’un segment 5.4.2. Construction de la bissectrice d’un angle 5.4.3. Construction de quelques polygones réguliers

176

Les outils en géométrie

Éd

iti

4.3. Les agrandissements et réductions 168 4.3.1. Agrandissements ou réductions et proportionnalité entre grandeurs 169 4.3.2. Ce qui définit géométriquement un agrandissement ou une réduction 170 4.3.3. Identification d’un agrandissement ou d’une réduction d’une figure 171 4.4. Hiérarchie des transformations du plan 173

348

178 178 179 181 181 182 182 184 184 185 186

Ta b le des m ati è res

Partie 3 : Grandeurs Introduction

192

La notion de grandeur

193

1.1. Qu’est-ce qu’une grandeur ? 1.2. Grandeurs discontinues et grandeurs continues 1.3. Les grandeurs usuelles 1.3.1. Les grandeurs usuelles abordées à l’école

193

1.3.1.1. Grandeurs simples 1.3.1.2. Grandeurs composées

193

1.3.2. D’autres grandeurs usuelles rencontrées dans la vie quotidienne

1.3.2.1. Dans le monde de l’informatique 1.3.2.2. Autres grandeurs rencontrées

1.4. Distinction entre objet et grandeur(s) associée(s) 1.5. Les mots pour parler de grandeurs 1.5.1. Vocabulaire précis et adéquat 1.5.2. Polysémie et vocabulaire élargi 1.6. L’invariance ou la conservation de grandeur

200

L’approche qualitative ou quantitative des grandeurs

204

194 196 196 197 198 198 199 201 201 201 202

Les grandeurs quantifiées en mesurant avec des étalons non conventionnels

Éd

iti

2.1. Les comparaisons de grandeurs 204 2.1.1. Les comparaisons implicites ou explicites 204 2.1.2. Les comparaisons non quantifiées ou quantifiées, leurs symbolisations 205 2.1.4. Les modalités de comparaison 206 2.1.5. Les actions physiques et le vocabulaire associés aux comparaisons 206 2.2. Les organisations d’objets selon une grandeur 208 2.3. Les opérations sur les grandeurs quantifiées ou non 209

3.1. Les situations qui amènent au mesurage 3.2. Étalon, unité de mesure, mesure, mesurer, mesurage 3.3. Étalons non conventionnels et unités non conventionnelles

Les systèmes d’unités de mesure conventionnelles de grandeurs 4.1. Unités et étalons conventionnels de base 4.2. Systèmes d’unités de mesure conventionnelles 4.2.1. Les longueurs 4.2.1.1. 4.2.1.2. 4.2.1.3. 4.2.1.4.

211 211 211 213

215 215

216 216 Les unités conventionnelles de longueur 216 Le tableau des unités conventionnelles de longueur abordé à l’école 217 Le tableau des unités conventionnelles de longueur étendu 217 Les instruments de mesure de longueur 218

349

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

4.2.2. Les superficies ou les aires

219 4.2.2.1. Les unités conventionnelles de superficie ou d’aire 219 4.2.2.2. Le tableau des unités conventionnelles de superficie abordé à l’école 222 4.2.2.3. Les instruments de mesure de superficie 222 4.2.3. Les volumes 222 4.2.3.1. Les unités conventionnelles de mesure de volume 222 4.2.3.2. Le tableau des unités conventionnelles de volume abordé à l’école 223 4.2.3.3. Les instruments de mesure de volume 224 4.2.4. Les capacités 224 4.2.4.1. Les unités conventionnelles de capacité 224 4.2.4.2. Le tableau des unités conventionnelles de capacité abordé à l’école 225 4.2.4.3. Les instruments de mesure de capacité 226 4.2.5. Les masses (poids) 226 4.2.5.1. Deux unités conventionnelles de base de masse (poids) 226 4.2.5.2. Les unités conventionnelles de masse (poids) 228 4.2.5.3. Le tableau des unités conventionnelles de masse (poids) abordé à l’école 229 4.2.5.4. Les instruments de mesure de masse (poids) 229 4.2.6. Les durées 230 4.2.6.1. Les unités de durée et les durées de référence 230 4.2.6.2. Origine des unités de durée 231 4.2.6.3. Le tableau des unités de durée 232 232 4.2.6.4. Les deux axes du temps : chronologie et simultanéité 4.2.6.5. Se représenter des durées 233 234 4.2.6.6. Les deux formes du temps : linéaire et circulaire 4.2.6.7. Les deux aspects du temps : durée et instant 235 4.2.6.8. Les instruments de mesure de durée et de repérage dans le temps 238 4.2.7. Les amplitudes 239 4.2.7.1. Les unités conventionnelles d’amplitude 239 4.2.7.2. Les instruments de mesure d’amplitude 240 4.2.8. Les prix 241

249 249 249

Calculer pour déterminer une grandeur : périmètre, aire et volume

251

Éd

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4.3. Images mentales 4.3.1. Quelques images mentales 4.3.2. La proportionnalité inverse 4.4. À propos des abaques 4.4.1. Organisation et signification des préfixes dans les abaques 4.4.2. Écriture des mesures dans les abaques

5.1. Les procédures de calcul de périmètres 5.1.1. Périmètre des polygones 5.1.1.1. Formule générale 5.1.1.2. Cas particuliers

5.1.2. Périmètre des disques 5.2. Les procédures de calcul d’aires 5.2.1. Aire des polygones

5.2.1.1. Aire des rectangles 5.2.1.2. Aire des quadrilatères et des triangles 5.2.1.3. Aire des polygones réguliers

5.2.2. Aire des disques

5.2.2.1. « Intuition » de la formule

350

242 243 247

252 252 252 254 255 257 258 258 260 263 264 264

Ta b le des m ati è res

5.2.2.2. À partir des polygones réguliers 5.2.2.3. À partir d’un triangle

265 266

5.3. Les procédures de calcul de volumes 5.3.1. Volume des polyèdres

5.3.1.1. Volume des parallélépipèdes rectangles 5.3.1.2. Volume des prismes 5.3.1.3. Volume des pyramides

5.3.2. Volume des cylindres 5.3.3. Volume des cônes 5.3.4. Volume des boules

Les relations entre grandeurs

6.1. Les représentations des relations entre grandeurs 6.1.1. Le graphe sagittal et le tableau de correspondance 6.1.2. Le graphique cartésien 6.2. Les grandeurs directement proportionnelles 6.2.1. Comment les reconnaitre ? 6.2.2. La proportionnalité directe à la loupe

6.2.2.1. Propriétés 6.2.2.2. Représentations 6.2.2.3. La résolution de problèmes de proportionnalité

6.3. Grandeurs inversement proportionnelles 6.3.1. Comment les reconnaitre ? 6.3.2. La proportionnalité inverse à la loupe

6.3.2.1. Propriétés 6.3.2.3. Représentations

Éd

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6.3.3. Autres exemples 6.4. Grandeurs composées et proportionnalité 6.4.1. La vitesse 6.4.2. Autres cas : échelle, débit, masse (poids) volumique, prix au kilo, densité de population 6.5. Ordre des grandeurs, influence sur le rapport de proportionnalité 6.6. Proportionnalité et compensation

268 268 268 270 271 272 272 273 274 274 274 275 278 278 281 281 283 284 287 287 287 287 288 289 291 291 293 294 296

Les fractions

297

7.1. Notion de fraction 7.1.1. Fraction opérateur 7.1.2. De la fraction opérateur vers la fraction nombre 7.1.3. Fraction nombre 7.1.4. Fraction rapport 7.2. Autour des fractions équivalentes 7.2.1. Fractions équivalentes 7.2.2. Simplification de fraction et fraction irréductible 7.2.3. Mise au même dénominateur 7.2.4. Comparaison de fractions

297 298 302 304 305

7.2.4.1. Comparaison de fractions à l’unité 7.2.4.2. Comparaison de fractions entre elles

307 307 309 311 314 314 315

351

CO M P R E N D R E L E S M AT H S P O U R B I E N L E S E N S E I G N E R

7.3. Opérations sur les fractions 7.3.1. Addition (et soustraction) de fractions 7.3.2. Multiplication de fractions

7.3.2.1. Multiplication d’un nombre et d’une fraction 7.3.2.2. Multiplication de deux fractions

7.3.3. Division de fractions

7.3.3.1. Division d’une fraction par un nombre 7.3.3.2. Division par une fraction

7.4. Fractions décimales 7.5. Les pourcentages 7.5.1. Notion de pourcentage 7.5.2. Pourcentage d’une grandeur 7.5.3. Application successive de deux pourcentages 7.5.4. Pourcentage et pente

Les POURQUOI

Bibliographie

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Index

352

317 318 320 320 321 323 323 324 325 326 326 327 331 332 335 337 341