Collection dirigée par Françoise Lucas Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d’un même «nœud-matière» et d’un même réseau de compétences.
5/8 ans
5/8
Résoudre des problèmes : pas de problème !
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Résoudre des problèmes :
Ce guide propose aux enseignants des pistes méthodologiques accompagnées d’une «batterie» d’activités «prêtes à l’emploi» visant à développer des compétences de résolution de problèmes chez les enfants de 5 à 8 ans. Comment les élèves appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’aborder les problèmes ? Quelles stratégies pourraient-ils mettre en place pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer ces apprentissages en classe ?
pas de problème !
Au travers des activités proposées, l’ouvrage tente de répondre concrètement à toutes ces questions en s’appuyant sur des recherches et des expériences menées en classe par des enseignants. Nouvelle édition revue et colorisée pour une meilleure compréhension des concepts. Accès gratuit à des documents reproductibles en ligne comprenant les tableaux récapitulatifs et énoncés des situations-problèmes présentées. Consultez cet ouvrage seul, en équipe de cycle, ou en équipe école, selon l’entrée qui correspond le plus à vos besoins !
Résoudre
des problèmes : pas de problème ! Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne Annick FAGNANT Isabelle DEMONTY Geneviève HINDRYCKX
De Boeck ISBN 978-2-8041-9742-1 580685
vanin.be
Résoudre
des problèmes : pas de problème !
Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d'un même «nœud-matière» et d'un même réseau de compétences.
Résoudre des problèmes : pas de problème ! Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 5/8 ans Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 8/10 ans Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 10/12 ans Construire la multiplication et les tables Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans Oser les fractions dans tous les sens Guide méthodologique et documents reproductibles 5/12 ans Mobiliser les opérations avec bon sens ! Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans Explorer les grandeurs – se donner des repères Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans Élucider la numération pour mieux calculer Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans Apprivoiser l’espace et le monde des formes Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans
5/8 ans
Résoudre
des problèmes : pas de problème ! Guide méthodologique
et documents reproductibles en ligne Annick FAGNANT Isabelle DEMONTY Geneviève HINDRYCKX
Le présent ouvrage tient aussi compte des simplifications orthographiques proposées par le Conseil Supérieur de la langue française et approuvées par l’Académie française en 1991. Il suit la règle typographique qui impose l’accentuation des majuscules. Annick Fagnant est docteure en Sciences de l’Éducation. Elle a réalisé sa thèse de doctorats dans le domaine de la résolution de problèmes arithmétiques. Elle est chargée de cours à l’Université de Liège et responsable du service de didactique générale et intervention éducative. Isabelle Demonty est régente en mathématiques et docteure en Sciences de l’Éducation. Elle a réalisé sa thèse de doctorat dans le domaine des mathématiques à la transition entre l’école primaire et secondaire. Elle est maitre de conférences à l’Université de Liège et chercheuse au service d’analyse des systèmes et des pratiques d’enseignement de l’Université de Liège, service dirigé par Dominique Lafontaine. Geneviève Hindryckx est titulaire d’un master en Sciences de l’Éducation et chercheuse au service d’analyse des Systèmes et des Pratiques d’enseignement de l’Université de Liège, service dirigé par Dominique Lafontaine. L’école maternelle constitue un de ses domaines de prédilection, notamment en matière de développement d’outils avec des enseignants (production écrite, langage oral, résolution de problèmes). Une collection dirigée par Françoise Lucas, professeure de mathématiques en Haute École et formatrice en formation continue et complémentaire pour les enseignants du fondamental et du début du secondaire (y compris le spécialisé). Voici le code qui vous donnera accès aux documents reproductibles en ligne liés au présent ouvrage.
Pour activer ce matériel complémentaire, rendez-vous sur www.vanin.be/myvanin et suivez-y la procédure d’inscription. • Une fois votre accès activé, vous pourrez consulter le matériel complémentaire aussi souvent que vous le désirez et aussi longtemps que la version imprimée du présent ouvrage ne sera pas remplacée par une nouvelle édition. • L’accès au matériel complémentaire ne peut être utilisé que par une seule personne. • L’accès au matériel complémentaire vous est fourni gratuitement à l’achat du guide « Résoudre des problèmes : pas de problème ! (5/8 ans) », issu de la collection Math & Sens. Aucune indemnité ne sera exigible en cas de non fonctionnement ou d’indisponibilité du site hébergeant le matériel complémentaire ou du matériel complémentaire en lui-même, pour quelque raison que ce soit. • En cas de non-fonctionnement et/ou de question, nous sommes à votre disposition par courriel à l’adresse support@vanin.be. © Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2018, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 3e édition 2018 ISBN 978-2-8041-9742-1 D/2018/0078/59 Art. 580685/01
REMERCIEMENTS Cet ouvrage est le résultat d’une recherche de trois ans commanditée par l’Administration générale de l’Enseignement et de la Recherche scientifique (Direction de la Recherche en Pédagogie, du Pilotage de l’Enseignement de la Communauté française et des Relations avec les entreprises). La recherche a été réalisée par une équipe de l’unité d’analyse des Systèmes et des Pratiques d’enseignement (sous la direction de Dominique Lafontaine, professeure), en étroite collaboration avec des membres de l’inspection et des enseignants du réseau de la Communauté française. Nous remercions vivement : ■ Le comité d’accompagnement, organisé par Monsieur Alexis Deweys, pour son suivi tout au long de ce projet de recherche ; ■ Mesdames Catherine Carlier, Françoise Frippiat, Judith Thomas, inspectrices de l’enseignement fondamental, Monsieur Edmond Debouny, inspecteur de l’enseignement spécialisé, Monsieur Pol Collignon, inspectrice coordinateur de l’enseignement fondamental et le regretté Monsieur Carlo Benedetti, Inspecteur de l’enseignement secondaire ordinaire ; ■ Mesdames Fabienne Geelen, Ghislaine Haas et Martine Hendrickx, chargées de mission, Madame Marie-Pierre Stellian, anciennement chargée de mission et actuellement directrice d’une école fondamentale ; ■ Mesdames Mercedes Crowin, Brigitte Dejardin, Magali Delabie, Stéphanie Guilmot, Nadine Hay, Josette Jouret, Laurette Laboureur, Marie-Claude Papin, Alexandra Plateaux, Patricia Rouxhet et Valérie Wauters, enseignantes en 3e maternelle ; ■ Mesdames Michèle Billen, Esméralda Cantillon, Aurore Closson, Nancy Desablins, Rita Dierick, Colette Dubois, Nadine Lardot, Christelle Lepez, Dominique Thelen, Fabienne Widy, Chantal Wintgens, enseignantes en 1re et 2e primaire ; ■ Mesdames Janine Bernard, Sandra Collinet, Claude Svensson et Anne Wallens, Monsieur Jean-Luc Petit, enseignants au niveau de maturité II de l’enseignement spécialisé ; ■ Mesdames Anne-Marie Alestra, Silvana Guarneri et Anne Van Damme, secrétaires et auxiliaire de recherche à l’aSPe ; ■ Ainsi que tous les élèves qui ont participé aux différentes activités et toutes les directions d’établissements qui ont soutenu ce projet.
Remerciements
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TABLE DES MATIÈRES 5
INTRODUCTION.....................................................................................................................................................
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LA REPRÉSENTATION DU PROBLÈME...............................................................................................................
23
DE QUESTIONS EN RÉPONSES...............................................................................................................................
25
LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS...............................................................................................................................
37
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REMERCIEMENTS...................................................................................................................................................
37
Le bus et ses passagers..................................................................................................................................
46
Dessine-moi un problème............................................................................................................................
56
Raconte-moi un problème...........................................................................................................................
75
LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE DU PROBLÈME....................................................................................
85
DE QUESTIONS EN RÉPONSES...............................................................................................................................
87
LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS...............................................................................................................................
99
La chasse aux figures géométriques............................................................................................................
99
Les mosaïques...............................................................................................................................................
108
Des défis à gogo.............................................................................................................................................
115
Sherlock Holmes au pays des souris............................................................................................................
126
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Le jeu du magasin........................................................................................................................................
133
DE QUESTIONS EN RÉPONSES...............................................................................................................................
135
LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS...............................................................................................................................
141
Les collations ................................................................................................................................................
141
Majorité de filles ou de garçons ?.................................................................................................................
150
Les gommettes de couleur............................................................................................................................
160
LA VÉRIFICATION DE LA DÉMARCHE ET DE LA SOLUTION.........................................................................
173
DE QUESTIONS EN RÉPONSES...............................................................................................................................
175
LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS...............................................................................................................................
181
Le chipeur de trésors.....................................................................................................................................
181
Chaque chose à sa place...............................................................................................................................
189
La folie des mesures......................................................................................................................................
196
INDEX PAR CONTENUS........................................................................................................................................
205
INDEX PAR COMPÉTENCES TRANSVERSALES.................................................................................................
207
RÉFÉRENCES............................................................................................................................................................
209
Éd
iti
LA COMMUNICATION DE LA SOLUTION..........................................................................................................
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Table des matières
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on
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INTRODUCTION
s
on
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Éd VA N
IN
1. Préambule La capacité à résoudre des problèmes constitue un élément clé de la compétence mathématique.
IN
Les directives officielles ainsi que les travaux récents dans le domaine de la recherche en didactique des mathématiques s’accordent sur cette idée. De plus, la résolution de problèmes, l’élaboration de concepts et de procédures mathématiques sont intimement liées : l’apprentissage des mathématiques par la résolution de problèmes apparait comme une démarche à privilégier pour développer des compétences et des connaissances durables chez les élèves. Cela leur permet notamment de donner du sens aux concepts mathématiques et de réinvestir des procédures dans un contexte qui justifie leur utilisation. Résoudre un problème est loin d’être évident pour bon nombre d’élèves.
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N
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Certains pensent qu’il suffit de faire une opération avec tous les nombres de l’énoncé ou d’appliquer la procédure qui vient d’être vue en classe. Pour d’autres, résoudre un problème, c’est faire le bon calcul ; il n’y a donc qu’une et une seule « bonne » façon d’arriver à l’unique solution acceptable. Certains ne répondent pas à la question posée, etc.
VA
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De telles démarches superficielles (c’est-à-dire non fondées sur une analyse approfondie des problèmes) sont parfois efficaces, mais elles révèlent rapidement leurs limites lorsque les enfants sont confrontés à de véritables problèmes, c’est-à-dire lorsqu’il ne s’agit pas d’exercices d’application.
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Mais comment aider les enfants à résoudre des problèmes ?
iti
Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’aborder les problèmes ? Quels outils pourraient-ils développer pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer en classe des apprentissages qui prennent comme point de départ les démarches effectivement mises en œuvre par les enfants ? Toutes ces questions sont actuellement peu envisagées dans les documents scolaires.
Éd
Quand peut-on proposer des problèmes aux jeunes élèves ? Dès les premiers apprentissages, les problèmes permettent le développement des stratégies informelles de résolution et la création de liens entre ces stratégies et les opérations arithmétiques. Les jeunes élèves résolvent des problèmes en jouant l’histoire avec du matériel manipulable et en s’appuyant sur leurs compétences de dénombrement. Ceci permet entre autres de donner du sens aux concepts d’addition et de soustraction. Il n’est donc pas nécessaire d’avoir installé des « prérequis » pour développer les compétences des élèves en matière de résolution de problèmes. Ce document destiné aux enseignants rassemble un éventail d’activités pour apprendre aux élèves du cycle 5-8 et du niveau de maturité II de l’enseignement spécialisé à développer des compétences leur permettant de faire face à des problèmes variés. Cet outil méthodologique est ciblé sur la résolution de problèmes. Différents contenus mathématiques sont abordés au fil des activités, mais ce n’est pas leur apprentissage proprement dit qui est au centre des préoccupations.
Introduction
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En matière de résolution de problèmes, deux objectifs sont poursuivis en parallèle : ■■ ■■
développer chez les enfants des compétences propres à chaque phase du processus de résolution ; promouvoir l’installation de représentations positives par rapport aux problèmes et à leur résolution.
IN
Ce document n’est pas un manuel classique à suivre du début à la fin. Il est prévu pour être utilisé de manière flexible : chaque enseignant peut aborder les compétences avec ses élèves dans l’ordre qui lui convient le mieux, en fonction des préoccupations et des difficultés plus spécifiques de sa classe. La variété des séquences proposées au sein de chaque phase de la démarche facilite une telle utilisation du document.
N
L’outil méthodologique proposé ici vise à apporter une aide en ce sens: fournir aux enseignants un bagage d’activités (téléchargeables sur le site myvanin.be grâce au code personnalisé que vous trouverez à la dernière page de cet ouvrage) pour apprendre aux élèves de 10-12 ans à développer des compétences leur permettant de faire face à des problèmes variés.
VA
L’outil 5-8 ans s’inscrit dans la continuité de deux outils méthodologiques comparables destinés aux élèves de 8-10 ans (Demonty, Fagnant & Lejong, 2017) et à ceux de 10-12 ans (Fagnant, Demonty, 2016). Dans une perspective de continuité des apprentissages, il est intéressant d’utiliser le même type d’approche avec les élèves tout au long de la scolarité.
on
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L’intégralité de la formation mathématique des enfants de cet âge n’est pas envisagée ici: l’enseignement de l’ensemble des compétences disciplinaires n’est pas directement visé dans les situations proposées. Comme son titre l’indique, l’outil méthodologique que nous avons développé porte explicitement sur la résolution de problèmes. Différents contenus mathématiques sont abordés, mais ce n’est pas leur apprentissage proprement dit qui est au centre des préoccupations 1.
Éd
iti
L’outil proposé est le résultat de trois années de recherche commanditée par le Ministère de la Communauté française (Administration générale de l’Enseignement et de la Recherche scientifique – Direction de la Recherche en Pédagogie, du Pilotage de l’Enseignement de la Communauté française et des Relations avec les entreprises) et réalisée en étroite collaboration avec des enseignants et des inspecteurs, de l’ordinaire et du spécialisé. Ainsi, une vingtaine d’enseignants se sont « jetés à l’eau » pour découvrir l’outil méthodologique et essayer les activités avec leurs élèves. C’est grâce à la richesse des échanges que le matériel proposé par les chercheuses a pu être retravaillé afin de s’adapter au mieux à la réalité des classes. C’est également grâce à ces essais que l’ensemble du document a pu être illustré par des productions d’enfants et par des exemples de déroulement. Cette collaboration fructueuse devrait donc permettre de déboucher sur un document pratique et utilisable directement par les professionnels de terrain. Nous espérons que tel est le cas.
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À toutes fins utiles, un index par contenu est proposé en annexe du document.
Introduction
2. Les étapes de la résolution de problèmes À l’heure actuelle, il est généralement admis de considérer la résolution de problèmes comme un processus complexe de modélisation mathématique (Verschaffel, Greer & De Corte, 2000). Ce processus complexe peut se traduire par la mise en œuvre d’une démarche de résolution impliquant plusieurs phases :
■■ ■■ ■■ ■■
comprendre la situation décrite ; construire un modèle mathématique qui décrit les éléments et les relations principaux qui sont imbriqués dans la situation ; travailler sur base du modèle pour voir ce qui en découle ; interpréter les résultats découlant du modèle de façon à proposer une solution à la situation de départ qui a donné naissance au modèle mathématique ; évaluer ce résultat qui a été interprété en relation avec la situation originale ; communiquer ce résultat interprété.
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Notre approche s’inspire de cette conception et est représentée dans le schéma ci-dessous. Les doubles flèches indiquent l’aspect circulaire du modèle : il est en effet toujours possible de revenir aux étapes précédentes. Les différentes étapes de la résolution de problèmes
Résolution
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Représentation
Communication
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Problème
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LE PROBLÈME
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Vérification
Quelles sont les caractéristiques des problèmes proposés dans ce recueil ? ■■
■■ ■■
La situation doit véritablement poser « problème » à la personne qui la découvre : si on connait d’emblée la démarche qui fournira la réponse, il n’y a pas de problème à résoudre. La définition d’un problème est relative et la situation seule ne suffit pas pour définir le problème. D’autres facteurs doivent également être pris en compte : les acquis de la personne qui découvre la situation, le contexte dans lequel elle se trouve, les apprentissages qui ont été réalisés au préalable… Les situations proposées ici partent généralement de jeux, d’histoires, d’activités qui s’insèrent dans le vécu de la classe ou de mises en contexte qui sont proposées aux élèves. De façon à créer des ponts entre les mathématiques abordées à l’école et la vie réelle, la plupart des problèmes proposés veillent à présenter un caractère réaliste important. On évite ainsi d’amener les élèves à penser que leurs connaissances de la vie de tous les jours ne leur sont d’aucune utilité en mathématiques. À côté de cela, quelques problèmes se situent dans un monde imaginaire (un chipeur de trésors,
Introduction
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■■
des souris qui font une partie de cartes…) mais on peut alors y distinguer clairement le caractère humoristique sous-jacent, ce qui plait généralement beaucoup aux élèves. Les situations proposées présentent également certaines particularités visant à promouvoir l’installation de représentations positives auprès des élèves : certaines situations favorisent une variété de démarches de résolution ou permettent plusieurs solutions, certains problèmes proposent des données inutiles contrecarrant l’idée qu’il faut faire un calcul avec toutes les données de l’énoncé…
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LA REPRÉSENTATION
N
L’étape de représentation est déterminante dans le processus de résolution de problèmes. Au cycle 5-8, il est apparu important de mettre l’accent sur une variété d’approches visant à apprendre aux élèves à construire des représentations appropriées de différentes situations problématiques.
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On peut travailler cette étape en amenant les élèves à jouer concrètement la situation ou en utilisant du matériel symbolique permettant la manipulation et le dénombrement. Dans ces premières approches, les étapes de représentation et de résolution sont en partie enchevêtrées. Il est dès lors important de proposer aussi des situations conduisant les élèves à détacher ces deux étapes ; autrement dit, à développer une représentation préalable à la résolution. Il est alors intéressant que cette représentation soit concrétisée, que l’on en garde des traces et qu’elle puisse servir de base d’analyse et de réflexion avec les élèves. On peut inviter les élèves à représenter le problème sous la forme d’un dessin, d’un schéma… ou pourquoi pas en collant du matériel prédessiné (pour alléger la tâche de dessin qui peut parfois s’avérer complexe pour les jeunes élèves). On peut également leur proposer des activités qui impliquent de poser des questionnements, de formuler et d’inventer des problèmes.
LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE
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C’est sur la base d’une représentation appropriée de la situation qu’il convient de mettre en œuvre le processus de résolution. Au cycle 5-8, nous avons choisi de mettre l’accent sur la variété des démarches de résolution. Plusieurs activités invitent ainsi les élèves à analyser la situation a priori pour imaginer, construire et mettre en œuvre une variété de démarches de résolution. Dans d’autres activités, c’est le développement de démarches originales de résolution qui est privilégié. Les élèves sont ainsi amenés à procéder par essais-erreurs, à s’appuyer sur le dénombrement, à manipuler du matériel varié, à procéder par tâtonnement, par dessin… Enfin, d’autres activités incitent les élèves à analyser des démarches variées, en confrontant les diverses démarches développées au sein de la classe ou même en leur proposant des démarches fictives dont ils devront analyser la pertinence et l’exactitude.
LA COMMUNICATION Lorsque le problème est résolu sur la base d’une représentation appropriée de la situation, il faut encore communiquer la solution de façon à répondre clairement à la question posée. Au cycle 5-8, nous avons choisi de mettre l’accent sur ce double objectif : « répondre à la question posée » et « répondre clairement » (c’est-à-dire de façon compréhensible par autrui).
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Introduction
Dans de nombreuses situations, il est possible de formuler plusieurs questionnements au départ d’une même source de données. Chaque questionnement engendre la création d’un nouveau problème auquel il convient de répondre de façon précise. Deux activités s’intéressent spécifiquement à cette problématique en amenant les élèves à formuler ou à préciser des questionnements et à y répondre précisément.
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Communiquer la solution d’un problème, c’est aussi la rendre compréhensible par autrui. Dans une activité qui se présente sous la forme d’un jeu, ce sont des décompositions de nombres qui devront être communiquées de façon à faire découvrir aux autres la carte que l’on a piochée.
LA VÉRIFICATION
N
La démarche de résolution met en œuvre un système complexe de compétences. Au cours de la mobilisation de ces compétences, des erreurs peuvent survenir à différents niveaux. Il est donc nécessaire d’accompagner la démarche de résolution par la mise en œuvre d’un processus de vérification.
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Dans une certaine mesure, on peut se demander s’il est réellement envisageable de demander à de jeunes élèves du cycle 5-8 de mettre en œuvre un processus de vérification.
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Trois activités proposées dans cet ouvrage ont tenté de relever ce pari, en proposant des situations simples qui invitent les élèves à aborder la vérification sous différents angles. Dans une situation, les élèves se rendent compte qu’une erreur est survenue en cours d’activité et l’on se demande alors comment ils vont réagir. Dans une autre activité, l’enseignant se refuse à attester de l’aspect correct ou non des solutions proposées et aide les élèves à prendre en main le processus de vérification-correction. Enfin, une activité amène les élèves à procéder à des vérifications par confrontation avec l’estimation de départ…
Introduction
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3. La structure de l’outil méthodologique Le document est composé de quatre chapitres correspondant aux différentes étapes de la démarche de résolution : ■■ ■■ ■■
la représentation du problème ; la résolution proprement dite du problème ; la communication de la solution ; la vérification de la démarche et de la solution.
Chaque chapitre est composé de deux parties :
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■■
la partie « De questions en réponses » donne les informations de base : ce que recouvre chaque étape et comment travailler les compétences correspondantes ; la partie « Les séquences d’activités » propose des outils concrets pour apprendre aux élèves à résoudre une grande palette de problèmes.
DE QUESTIONS EN RÉPONSES
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Les parties « De questions en réponses » font le point sur ce qu’il faut savoir concernant chacune des phases de la résolution. Les réponses aux différentes questions sont illustrées par des exemples de démarches d’élèves, par des résultats d’une enquête auprès d’enseignants, par de brèves critiques d’exercices issus de manuels ou par des exemples de situations à proposer aux élèves.
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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS
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Les séquences d’activités offrent aux enseignants un éventail de situations « prêtes à l’emploi », accompagnées, dans la mesure du possible, de matériel directement photocopiable permettant de construire un plateau de jeu ou de fournir aux élèves du matériel manipulable.
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Des indications méthodologiques explicitent la démarche d’enseignement/apprentissage proposée. Les séquences sont illustrées par des productions d’enfants et par des exemples de déroulement dans les classes. Ces derniers (ainsi que certaines variantes proposées) fournissent des pistes aux enseignants pour les aider à adapter les activités au niveau de leurs élèves. Chaque séquence d’activités est présentée selon un découpage en plusieurs points. ■■ ■■ ■■ ■■ ■■
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L’activité en bref Ce qui est visé… Aperçu de la séquence Description détaillée de la séquence Matériel
Introduction
L’ACTIVITÉ EN BREF Ce premier point explique l’activité en quelques mots, en décrivant la mise en contexte proposée, les compétences visées et les contenus mathématiques mobilisés afin de permettre à l’enseignant de voir si l’activité semble globalement lui plaire… et dans ce cas de poursuivre la lecture. Elle précise également les niveaux scolaires prioritairement concernés.
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CE QUI EST VISÉ… Ce picto renvoie aux compétences qui sont développées tout au long de l’activité. Compétences à construire
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Ce picto renvoie aux représentations positives que l’activité vise à installer ou à renforcer.
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Représentations positives à installer
L’APERÇU
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les grandes étapes de la séquence ; le déroulement et l’organisation du travail ; le matériel requis pour mener la séquence.
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L’aperçu propose une vue d’ensemble de la séquence développée. Il permet à l’enseignant de se rendre compte concrètement du type d’activité qu’on lui propose et de l’approche méthodologique. Trois colonnes présentent :
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LA DESCRIPTION DÉTAILLÉE DE LA SÉQUENCE
Éd
Dans cette partie de la séquence, la méthodologie d’enseignement est expliquée de façon beaucoup plus détaillée que dans l’aperçu. La méthodologie est annotée par des commentaires inspirés des essais réalisés dans les classes lors des expérimentations des activités.
Ces commentaires permettent de préciser et de justifier certaines facettes et d’attirer l’attention de l’enseignant sur quelques points particuliers. De nombreuses illustrations accompagnent également cette méthodologie : il s’agit de productions d’élèves (dessins, démarches de résolution…) et de bref descriptifs de déroulement dans des classes où les activités ont été expérimentées lors de la recherche action qui a donné naissance à cet outil.
LE MATÉRIEL REPRODUCTIBLE Ce matériel est disponible sur le site myvanin.be (voir code et explications en p. 4 de cet ouvrage). Il s’agit généralement de dessins à photocopier pour permettre de mener à bien l’activité (par exemple, des images à coller pour construire des représentations, du matériel à manipuler ou des dessins permettant la construction d’un plateau de jeu).
Introduction
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4. La méthodologie d’enseignement proposée La méthodologie d’enseignement proposée vise à apprendre aux élèves à développer des démarches efficaces (analytiques et réflexives) de résolution de problèmes : ■■
IN
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par l’apprentissage explicite et intégré des compétences propres à chaque phase du processus de résolution ; par l’installation ou le renforcement de représentations positives à l’égard de la résolution de problèmes.
Ces deux aspects sont intimement liés dans la mesure où c’est au travers des activités centrées sur l’apprentissage d’une compétence spécifique qu’on cherche à « toucher » les représentations des élèves.
Enseigner les différentes compétences de manière explicite et intégrée
VA
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Plusieurs options méthodologiques ont été privilégiées au sein des différentes activités. Une place importante est accordée à l’enseignement des différentes compétences de chaque étape, tout en évitant de les isoler au sein d’activités trop spécifiques. Ainsi, dans chaque séquence, même si l’apprentissage visé se rapporte à l’une des étapes du processus, l’enfant est chaque fois amené à résoudre le problème. Cela permet ainsi d’intégrer chaque compétence au sein d’une démarche générale de résolution. S’appuyer sur les démarches des élèves pour construire l’apprentissage
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Les activités encouragent à partir de ce que les enfants savent déjà faire et visent à améliorer leurs compétences en leur fournissant des outils plus efficaces pour mener à bien chacune des étapes de la résolution de problèmes. Installer et renforcer des attitudes positives
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Les élèves plus âgés ont construit vis-à-vis des situations problèmes des systèmes de règles, influencées par leur vécu scolaire. Ils peuvent penser, par exemple, qu’il est nécessaire d’utiliser tous les nombres de l’énoncé, qu’il n’existe qu’une seule manière de trouver la bonne réponse ou que les mathématiques n’ont aucun lien avec la vie réelle. Ces « règles » ne sont pas nécessairement fausses dans certains contextes spécifiques mais elles deviennent incorrectes dans un contexte plus large et empêchent une démarche de résolution analytique et réflexive. On tente ici d’éviter le développement de tels présupposés en mettant en place des situations où certaines données sont superflues ou pour lesquelles plusieurs démarches sont possibles, par exemple.
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Gérer les apprentissages de manière flexible Les apprentissages visés ne doivent pas nécessairement s’organiser de manière séquentielle : chaque enseignant pourra ainsi aborder les compétences avec ses élèves dans l’ordre qui lui convient le mieux, en fonction des préoccupations et des difficultés plus spécifiques de sa classe. Il pourra par exemple envisager une activité de représentation, suivie d’une autre centrée sur la résolution proprement dite, puis développer à nouveau une activité de représentation avant d’envisager la phase de communication ou de vérification.
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Introduction
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Adapter les activités aux élèves
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Pour chaque activité, on précise les niveaux scolaires auxquels les activités paraissent les mieux adaptées. Ces informations ne sont bien sûr qu’indicatives : à chaque enseignant de voir ce qui semble le mieux convenir à sa classe et à adapter les activités en conséquence. Dans certains cas, les adaptations consistent à choisir telle variante plutôt que telle autre ; dans d’autres cas, il s’agit d’adapter le matériau lui-même (complexité des énoncés, taille des nombres mobilisés, quantité d’informations proposées…) ; dans d’autres cas encore, il peut être envisagé de ne réaliser que certaines étapes de l’activité et d’en laisser tomber d’autres. Développer des concepts mathématiques et des symbolisations
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Les activités impliquent la mobilisation de divers concepts mathématiques. Les élèves sont par exemple invités à développer les concepts d’addition et de soustraction en comptant le total des achats dans un magasin ou en comptant des passagers qui montent et descendent d’un bus. Même si les termes d’addition et de soustraction ne sont jamais employés en cours d’activité et même si à aucun moment les signes plus et moins ne sont inscrits, force est de constater que ce type d’activités confronte les élèves à ces notions et les encourage à les développer de façon informelle (par manipulation par exemple).
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Dans la plupart des activités, les élèves sont également invités à produire des symbolisations informelles permettant de représenter ces opérations. Ils peuvent, par exemple, dessiner des passagers qui montent ou descendent d’un bus, représenter les achats que l’on peut réaliser si l’on dispose de 6 tickets au jeu du magasin… La production de ces symbolisations informelles aide les élèves à mieux comprendre les concepts mathématiques sous-jacents (par exemple, dessiner un passager hors du bus pour représenter qu’il descend n’est pas suffisant pour soustraire : il faut aussi et surtout éliminer un passager déjà présent dans le bus). Ces symbolisations informelles constituent aussi une voie d’accès porteuse de sens vers la construction de symbolisations plus formelles. C’est pourquoi on peut, par exemple, inviter les élèves du primaire à créer des liens entre leur représentation des passagers qui montent et descendent du bus et l’opération mathématique (le calcul) qui permet de représenter ces différentes actions et de résoudre le problème de manière plus formelle.
Éd
Attention de ne pas introduire trop précocement des symboles mathématiques formels qui risquent d’être mal compris et mal intégrés par les élèves.
Introduction
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Développement d’une démarche analytique et réflexive de résolution de problèmes Par l’installation ou le renforcement de représentations positives
Par l’apprentissage EXPLICITE et INTÉGRÉ de diverses compétences
IN
Quelques exemples d’activités Il est utile de bien se représenter le problème (de bien le comprendre) : il ne faut pas foncer tête baissée dans la résolution.
ÉTAPE DE REPRÉSENTATION DE LA
ÉTAPE DE RÉSOLUTION PROPREMENT DITE
on
ÉTAPE DE COMMUNICATION
La chasse aux figures géométriques
s
• Analyser la situation a priori pour imaginer une variété de démarches • Développer des démarches originales de résolution • Analyser des démarches variées
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• Formuler des questionnements et répondre de façon précise à des questionnements variés • Communiquer les solutions de façon claire et compréhensible par autrui
Il ne faut pas nécessairement utiliser toutes les données du problème. Il ne faut pas se fier aux mots-clés pour trouver l’opération à réaliser (ex. : ce n’est pas parce qu’on dit « gagner », qu’il faut additionner les données). Il y a différentes façons de résoudre un problème. Pour résoudre un problème, on peut développer une variété de démarches de résolution (calculs, dénombrements, démarches tâtonnantes, essais-erreurs, confrontation d’informations, manipulations...). On ne trouve pas toujours la solution d’un problème rapidement (du premier coup), il faut parfois chercher, essayer, recommencer... Un même problème peut avoir diverses solutions.
Éd
On peut inventer des problèmes variés au départ d’une même situation.
ÉTAPE DE VÉRIFICATION
• Vérifier par confrontation avec une information • Vérifier par confrontation avec des sources variées • Vérifier par confrontation avec l’estimation de départ
Il est essentiel de repérer et d’organiser les données importantes du problème ainsi que les relations qui les unissent.
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• Développer différentes façons de Le jeu du représenter les problèmes magasin • Construire des représentations dessinées • Formuler et inventer des problèmes
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SITUATION
Les mathématiques sont utilisées dans la vie de tous les jours. Il existe de multiples critères pour évaluer les démarches : efficacité, rapidité, économie, autonomie, transférabilité,… La folie des mesures
Pour résoudre un problème, il faut répondre précisément et sans ambigüité à la question posée. Il y a plusieurs façons de communiquer la solution d’un problème : il faut trouver une façon de communiquer qui soit compréhensible par autrui. Lorsque l’on a résolu un problème, il est utile de procéder à des vérifications en confrontant la solution obtenue à une ou plusieurs sources d’informations (ou à une estimation de départ).
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Introduction
5. Petit guide de lecture… Plusieurs voies d’entrée permettent d’aborder cet ouvrage : ■■ ■■ ■■
une découverte linéaire permettant d’analyser l’ensemble de la démarche proposée ; un plongeon au cœur même d’une séquence d’activités ; une incursion guidée par le développement de certaines compétences transversales (voir « Index par compétences transversales ») ; une mise en jambes via des problèmes centrés sur des contenus spécifiques ou sur un moment particulier du cycle (voir « Index par contenu »).
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Les trois autres voies d’entrée sont plus directes.
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L’entrée par une séquence d’activités permettra à l’utilisateur de découvrir d’emblée des situations concrètes. Nous lui conseillons alors de débuter par une séquence portant sur l’étape de représentation du problème dans la mesure où cette étape est fondamentale pour entrer pleinement dans une démarche efficace de résolution de problèmes. Une entrée par les compétences permettra une approche assez similaire. L’« Index des compétences transversales » permet en effet de repérer les compétences mises en œuvre dans chacune des séquences d’activités. La volonté de travailler tel ou tel ensemble de compétences pourra dès lors conduire au choix de telle ou telle séquence d’activités. Enfin, l’enseignant désireux de développer un contenu spécifique pourra consulter l’« Index par contenu » et repérer ainsi la (ou les) séquence(s) dans laquelle (lesquelles) ce contenu est abordé.
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Le lecteur intéressé par une présentation détaillée de la démarche proposée et de la philosophie sous-jacente, ainsi que par des développements théoriques, choisira la première voie d’entrée. La lecture des quatre parties « De questions en réponses » explicitera les divers aspects abordés dans les séquences proposées. Il pourra ainsi choisir de façon éclairée les activités à réaliser en classe avec ses élèves.
Éd
Lorsque les activités auront été découvertes par l’une ou l’autre de ces voies d’entrée, le lecteur ressentira probablement l’envie d’en savoir plus et pourra alors consulter la partie « De questions en réponses » liée à la séquence développée.
Introduction
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Pour en savoir plus… Apprendre à résoudre des problèmes : est-ce possible ? Il est largement reconnu que la résolution de problèmes arithmétiques pose d’importantes difficultés aux élèves dans l’enseignement primaire.
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Les enseignants sont en recherche de démarches d’enseignement/apprentissage pouvant aider les élèves à faire face à des problèmes variés. Ils leur enseignent différents types de stratégies, certaines pouvant s’avérer porteuses mais d’autres risquant au contraire de renforcer le développement de démarches superficielles (voir Fagnant & Burton, 2009 et pistes didactiques liées aux évaluations externes non certificatives de 2014).
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Mieux comprendre les difficultés des élèves et chercher à développer des pistes didactiques susceptibles de les aider sont donc des objectifs pédagogiques importants.
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Plusieurs auteurs critiquent les approches centrées sur l’enseignement de démarches de résolution de problèmes parce qu’elles seraient trop peu contextualisées (cf. micro-tâches, Coppé & Houdement, 2002 ; Houdement, 2003), tendraient à « démathématiser » l’enseignement (Mercier, 2008 ; Sarrazy, 2008) voire seraient tout bonnement « utopistes » parce que non suffisamment fondées sur les spécificités des contenus disciplinaires (Schneider & Mercier, 2014).
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Le champ des problèmes arithmétiques est relativement bien circonscrit au niveau des contenus mathématiques impliqués que constituent les quatre opérations de base. Plusieurs auteurs en ont proposé des « catégorisations » mathématiques 2, mais celles-ci permettent-elles réellement de rendre compte de la diversité des problèmes rencontrés ? Qu’en est-il de l’impact de la formulation des problèmes, de la présence de données inutiles, d’une présentation textuelle ou imagée… variables dont l’impact a largement été démontré sur les performances des élèves (voir notamment Thevenot, Barrouillet & Fayol, 2015 ; Verschaffel, Greer & De Corte, 2007) ? Tous les problèmes proposés en primaire entrent-ils dans ces « catégorisations » ? Quid des problèmes non-routiniers (Pantziara, Gagatsis & Elia, 2009) ou des problèmes problématiques (Verschaffel & De Corte, 2008 ; Verschaffel, Greer & De Corte, 2000) ? Certes, il convient de ne pas « démathématiser » l’enseignement des problèmes et de ne pas perdre de vue la structure mathématique des problèmes impliqués (Sarrazy, 2008 ; Schenider & Mercier, 2014) mais faut-il pour autant rejeter toute approche méthodologique plus transversale visant à apprendre aux élèves des stratégies de résolution de problèmes ? Nous ne le pensons pas…
Éd
Par ailleurs, si l’on s’accordera quant au danger que peut représenter l’enseignement de micro-compétences isolées, envisager un apprentissage explicite de stratégies de résolution de problèmes s’intégrant dans une démarche globale de résolution semble néanmoins porteur.
L’approche proposée dans cet ouvrage s’inspire de l’approche de « modélisation mathématique » développée par les chercheurs de l’équipe de l’Université de Leuven, approche dont l’efficacité a été largement démontrée (voir Verschaffel et al., 2000 ; Verschaffel & De Corte, 2008 ; Van Dooren, Verschafel, Greer, De Bock, & Crahay, 2015). Il s’agit d’une approche pédagogique qui combine enseignement de stratégies cognitives, développement de stratégies métacognitives (comme l’identification du but, la planification, la vérification…) et recul réflexif sur l’ensemble du processus de résolution de problèmes.
2
Les problèmes arithmétiques peuvent être « catégorisés » selon la logique des champs conceptuels des structures additives et multiplicatives (en référence à Vergnaud, 1990) ou selon les structurations proposées dans le monde anglo-saxon (voir notamment Carpenter, Fennema, Franke, Levi & Empson, 2015).
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Introduction
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Ce type d’approches d’enseignement/apprentissage (qualifiée de « metacognitive instruction » dans la littérature anglosaxonne) a fait l’objet d’un rapport récent de l’OCDE (Mevarech & Kramarski, 2014). Les auteurs mentionnent qu’elles s’avèrent particulièrement efficaces face à des problèmes complexes et non-routiniers, sortant des sentiers battus de l’application plus ou moins directe des procédures mathématiques apprises antérieurement en classe. Elles semblent aussi jouer un rôle moteur dans le développement d’une motivation et d’émotions positives face aux mathématiques, éléments essentiels pour développer un apprentissages autorégulé (voir notamment Fagnant & Jaegers, 2017 ; Hanin & Van Nieuwenhoven, 2016 ; Jaegers, Lafontaine & Fagnant, 2016 pour quelques exemples d’études menées en Belgique francophone).
Introduction
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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS LE JEU DU MAGASIN L’ACTIVITÉ EN BREF
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Les élèves sont invités à jouer au magasin. Ce magasin peut prendre des formes variées : on achète des gaufres et des biscuits avec des tickets, on commande divers éléments d’un déjeuner en fonction des tickets dont on dispose… L’important est d’avoir un tarif de référence et une monnaie d’échange, les tickets. L’activité se veut progressive : on joue au magasin, puis on anticipe la note à « payer », on passe alors une commande et on finit par représenter et résoudre une variété de problèmes.
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Cette activité s’adresse aux élèves de troisième maternelle, de première et de deuxième années primaire, moyennant quelques adaptations.
CE QUI EST VISÉ…
Développer différentes façons de représenter un problème
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Plus spécifiquement, il s’agit ici de procéder en plusieurs étapes : ––jouer l’histoire, sans anticipation du résultat ; ––anticiper le résultat, par manipulation, avant de jouer l’histoire ; ––représenter l’histoire en passant une commande, par manipulation et collage ou par dessin ; ––représenter, par dessin ou par collage, les divers éléments importants d’un problème.
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Compétences à construire
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––Il est utile de bien se représenter le problème (de bien le comprendre) : il ne faut pas foncer tête baissée dans la résolution. ––Il est essentiel de représenter et d’organiser les données importantes du problème, ainsi que les relations qui les unissent. ––Il y a différentes façons de résoudre un problème. ––Un même problème peut avoir diverses solutions. ––Les mathématiques sont utilisées dans la vie de tous les jours.
Représentations positives à installer
La représentation du problème
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1. Aperçu de la séquence 2 Organisation de la séquence Les grandes étapes
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Proposer une série de commandes aux élèves et leur demander de trouver le nombre de tickets nécessaires pour chacune d’elles. Certaines commandes sont imprécises et peuvent conduire à des solutions variées. Pour poursuivre l’activité, on peut proposer de nouvelles situations où la valeur des produits est changée (on peut aussi modifier les types de produits eux-mêmes). Construire un tableau à double entrée pour synthétiser l’ensemble des commandes possibles et leur cout respectif.
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4. Remplir une série de commandes
5. Synthèse
Présenter le matériel aux enfants : les collations, les tickets et le référentiel.
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3. Passer des commandes écrites
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2. Jouer l’histoire concrètement
Expliquer le contexte du jeu du magasin : les élèves vont disposer d’une série de tickets qu’ils pourront échanger contre divers produits, selon un tarif à respecter. Présenter le référentiel de façon à indiquer la valeur de chaque produit. Dans une première situation, les enfants choisissent ce qu’ils désirent et payent au fur et à mesure avec des tickets. Dans une deuxième situation, les enfants doivent anticiper le nombre de tickets nécessaires (ou les achats possibles avec x tickets), avant de se rendre au magasin. Les enfants doivent indiquer leur commande sur un papier (en dessinant les objets ou en collant des images) et placer cette commande dans une enveloppe, avec le nombre de tickets nécessaires pour la payer. Au fur et à mesure que l’activité progresse, plusieurs contraintes peuvent être introduites.
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1. Découverte de la situation
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Le déroulement
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Placer le référentiel à un endroit bien visible pour tous les élèves. Les enfants doivent disposer d’une série de tickets. Un ou plusieurs vendeurs tiennent le magasin. Le référentiel reste présent. Chaque enfant (ou groupe) dispose d’une feuille de papier, d’une enveloppe et d’une série de tickets. On peut également leur donner une série d’images représentant les produits à commander. Le matériel de l’étape précédente peut ou non être retiré (voir la description détaillée). Dans la première phase, le référentiel reste présent. Dans la deuxième phase, le référentiel est retiré puisqu’il ne correspond plus aux situations proposées. Cette phase est proposée pour les élèves de primaire uniquement.
Des exemples de matériel à photocopier ainsi que de bons de commande présentés sous forme imagée ou écrite sont disponibles sur le site myvanin.be.
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La représentation du problème
2. Description détaillée de la séquence Étape 1 – Découverte de la situation ■■
Expliquer le contexte du jeu du magasin : les élèves vont disposer d’une série de tickets qu’ils pourront échanger contre divers produits, selon un tarif à respecter.
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Dans les pages qui suivent, l’activité est illustrée au départ d’une situation où l’on peut échanger des tickets contre des collations : des gaufres en cœur, des biscuits au chocolat et éventuellement des jus de fruits. Toute adaptation est possible. Les tickets sont toutefois préférables aux euros car ils permettent de travailler avec des unités entières, tout en évitant des situations où les couts seraient trop élevés par rapport à la réalité.
Présenter un référentiel aux enfants de façon à indiquer la valeur de chaque produit. Ce référentiel restera visible pendant pratiquement toute la durée de l’activité, de façon à permettre aux enfants d’y recourir chaque fois que nécessaire.
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Exemples de contextes développés dans des classes de l’enseignement primaire ou maternel –– Dans une classe de maternelle, une enseignante a organisé un petit déjeuner : les tartines valaient 1 ticket, la confiture 2 tickets, le lait 1 ticket, le jus d’orange 2 tickets… –– Dans une classe de première primaire, une enseignante avait apporté des pommes et des mandarines. Les tickets avaient été remplacés par des pièces en chocolat…
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Le nombre de produits utilisés et la valeur de chacun d’eux vont déterminer en partie la complexité de l’activité. Avec les jeunes élèves de maternelle, il est conseillé de se limiter à deux produits dont l’un vaut 1 ticket et l’autre 2 tickets. En primaire, on peut ajouter un troisième produit et/ou modifier la valeur de chacun d’eux (ex. : 3 tickets pour une gaufre et 2 tickets pour un biscuit au chocolat).
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Exemples de référentiels
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Ticket
Ticket
3
Ticket
2
Ticket
1
Ticket
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Étape 2 – Jouer l’histoire concrètement Placer le référentiel à un endroit bien visible pour tous les élèves. ■■
Dans une première situation, les enfants choisissent ce qu’ils désirent acheter et payent au fur et à mesure avec des tickets. Un ou plusieurs vendeurs tiennent le magasin, les autres enfants doivent chacun disposer d’une série de tickets.
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On peut placer les enfants par groupes de 4. Un élève joue le rôle du vendeur et tient le magasin et le stock de marchandises. Il peut s’agir de produits issus d’un jeu, d’emballages, de produits réels, d’images représentant divers produits… (des images exemples de gaufres, de biscuits et de jus de fruits sont proposées en fin d’activité). Les trois autres élèves sont les acheteurs, ils disposent chacun d’une série de tickets (10, par exemple).
Dans une deuxième situation, les enfants doivent anticiper le nombre de tickets nécessaires, avant de se rendre au magasin. Deux types de situations sont possibles :
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■■
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Cette première situation vise à familiariser les élèves avec le matériel et avec la valeur des différents produits. Elle ne nécessite aucun calcul et aucune anticipation du total des achats. Un élève vient au magasin, il commande un produit (ex. : une gaufre), donne le nombre de tickets correspondant (ex. : ici, deux tickets), puis commande un nouvel article s’il le désire et s’il lui reste des tickets. Il n’y a aucune obligation de tout dépenser. Si les élèves commandent d’emblée plusieurs produits, le principe de correspondance terme à terme peut toujours fonctionner (ex. : une gaufre et deux biscuits donc 2 tickets pour la gaufre, 1 pour le premier biscuit et 1 pour le second). Il n’est donc pas nécessaire de calculer le total des achats.
–– soit on demande à l’enfant de réfléchir à ses achats et de préparer les tickets avant d’aller au magasin ;
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–– soit on lui impose une contrainte du type : « tu as x tickets et tu dois les dépenser tous, réfléchis à ce que tu vas acheter. »
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Pour vérifier l’adéquation des solutions proposées, les enfants sont invités à payer chaque achat au fur et à mesure lorsqu’ils se rendent au magasin. Dans cette deuxième situation, les élèves sont donc amenés à développer une démarche de résolution de problèmes. Il peut être intéressant de les inciter à se servir de leurs tickets pour procéder par manipulation et dénombrement. –– Dans le cas d’une anticipation du total à payer, l’enfant peut simuler le payement pièce par pièce, comme dans la première situation, puis dénombrer l’ensemble de tickets nécessaires (ex. : 2 gaufres et 1 biscuit 2 tickets, 2 tickets et encore 1 ticket 5 tickets sont nécessaires). –– Dans le cas où l’on impose une contrainte, l’enfant doit imaginer différents achats possibles et vérifier si le total correspond (ex. : je dois dépenser 6 tickets essayons avec 2 gaufres et 1 biscuit 2 tickets, 2 tickets et 1 ticket donc un total de 5 tickets… je peux prendre encore 1 biscuit en plus et je commande donc 2 gaufres et 2 biscuits).
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La représentation du problème
Étape 3 – Passer des commandes écrites Le référentiel reste présent durant toute la troisième étape. ■■
Les enfants doivent indiquer leur commande sur un papier (en écrivant le nom des objets et leur nombre, en les dessinant ou en collant des images) et placer cette commande dans une enveloppe, avec le nombre de tickets nécessaires pour la payer.
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Chaque enfant (ou groupe) dispose d’une feuille de papier, d’une enveloppe et d’une série de tickets. On peut également leur donner une série d’images représentant les produits à commander.
Dans un premier temps, on peut laisser les enfants commander ce qu’ils veulent, pour autant qu’ils aient assez de tickets pour payer (situation sans contrainte).
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Au fur et à mesure que l’activité progresse, plusieurs contraintes peuvent être introduites de façon à complexifier la tâche et à proposer des problèmes variés (ex. : « vous commandez ce que vous voulez, mais il faudra mettre 6 tickets dans l’enveloppe », « vous devez commander au moins un produit de chaque sorte », « vous devez prendre au moins trois biscuits et une boisson »…).
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Exemple de déroulement dans une classe de 1re primaire
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Les produits mis en vente sont des yaourts (1 ticket), des jus d’orange (2 tickets) et des petits gâteaux (3 tickets). Le référentiel est au tableau. Les élèves sont placés par groupes de 4, avec un vendeur et trois acheteurs.
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–– Dans un premier temps, les vendeurs ne pensent pas à vérifier si le nombre de tickets correspond aux produits achetés et, souvent, les enfants donnent autant de tickets que de produits, sans prendre en compte la valeur de chacun. L’enseignante propose alors de procéder par correspondance terme à terme (tel produit vaut autant de tickets, tel autre produit vaut autant de tickets, etc.). Dans un deuxième temps, les enfants doivent anticiper le nombre de tickets nécessaires avant de se rendre au magasin. Les acheteurs ont tendance à se précipiter pour arriver les premiers au magasin et ils font des erreurs d’addition, surtout s’ils choisissent des produits différents. Il faut alors revenir à un dénombrement produit par produit avant de pouvoir compter le total de tickets. –– Lorsque l’enseignante ajoute la contrainte de dépenser 8 tickets, les enfants achètent tout d’abord un produit à la fois, en payant au fur et à mesure, pour s’assurer que tous les tickets sont dépensés à la fin. Après plusieurs essais, la plupart d’entre eux arrivent à définir leur commande avant d’aller au magasin. –– Ensuite, les enfants doivent écrire une commande et y joindre le nombre de tickets nécessaires. Cette tâche est assez difficile. Certains enfants écrivent un calcul ou calculent mentalement. D’autres recourent à la manipulation et mettent les tickets en correspondance avec les produits pour trouver la solution. Les commandes « incomplètes » où il s’agit de dépenser un certain nombre de tickets, quels que soient les produits, suscitent de nombreuses discussions et, pour y voir plus clair, les enfants reviennent à la manipulation.
La représentation du problème
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Étape 4 – Remplir une série de commandes ■■
Proposer une série de commandes aux élèves et leur demander de trouver le nombre de tickets nécessaires pour chacune d’elles. Les commandes peuvent être lues oralement, présentées sous la forme d’un texte écrit ou sous la forme de dessins. Il est également intéressant de proposer quelques commandes imprécises qui peuvent conduire à des solutions variées.
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Pour les jeunes élèves (3e maternelle ou début primaire), on peut laisser l’ensemble du matériel à disposition de façon à toujours permettre la manipulation. Pour les plus grands (en primaire), le matériel peut être retiré en vue de favoriser d’autres démarches de résolution, dont notamment le recours à une représentation dessinée (l’activité se rapproche alors de l’activité intitulée « Dessine-moi un problème ») et le passage par le calcul (en procédant par addition réitérée ou en mettant en œuvre la multiplication). Durant la première phase, le référentiel reste présent parce qu’on ne modifie ni la valeur des produits, ni le type de produits vendus.
Exemples de commandes écrites
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Quelques exemples de commandes sont proposés ci-dessous, d’autres sont accessibles sur le site myvanin.be.
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Quelques exemples de commandes écrites sont proposés en fin de séquence. D’autres peuvent être construites en inventant des problèmes adaptés au niveau des élèves. La classe de 5e nous a donné 30 tickets mais nous avons perdu la commande. On sait qu’il y a 20 enfants et que chaque enfant a commandé une collation. Est-il possible de retrouver la commande ?
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Julie voudrait 1 gaufre et 2 biscuits au chocolat. Combien doit-elle donner de tickets ?
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Exemples de commandes imagées
Quelques exemples de commandes imagées sont proposés en fin de séquence. D’autres peuvent être construites par dessin ou en collant divers éléments. Si on utilise des commandes imagées, il convient de poser une question de recherche oralement. Par exemple, pour ces trois commandes, la question pourrait être : « trouve combien de tickets coute chaque commande. »
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La représentation du problème
Exemples de commandes imagées (suite)
Pour varier, on peut imaginer de proposer des commandes incomplètes. On donne alors le nombre total de tickets dépensés et les types de produits achetés, mais pas en quelle quantité. Les deux exemples suivants illustrent ce type de problème.
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? Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
Ticket
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Ticket
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Exemple de déroulement dans une classe de 3e maternelle
Dans cette classe, l’enseignante a mis en place un magasin de fleurs. Les enfants ont fabriqué deux types de fleurs : des marguerites (vendues un ticket chacune) et des tulipes (vendues 2 tickets chacune).
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–– Tout d’abord, chaque enfant a 6 tickets et achète les fleurs qu’il veut. En fait, les enfants achètent une fleur à la fois. Le fleuriste a pour consigne de vérifier si le nombre de tickets correspond à la fleur. Les enfants se familiarisent avec les prix des fleurs et font une correspondance entre les types de fleurs et leur valeur (en tickets).
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–– Dans un deuxième temps, les enfants doivent préparer les tickets avant d’aller au magasin. Chacun dispose de 6 tickets. Ils consultent le référentiel et préparent le nombre de tickets correspondant à chaque fleur souhaitée, une par une. Pour vérifier si le nombre de tickets correspond, le fleuriste prend les fleurs demandées et fait correspondre à chacune le nombre de tickets nécessaires en suivant le référentiel. Si l’acheteur a préparé trop de tickets, le fleuriste le voit, puisqu’il lui reste des tickets en main. S’il en manque, c’est que l’acheteur en a prévu trop peu. Plus les enfants font de commandes, plus ils intègrent le principe de devoir compter plusieurs fois le même prix : « Je veux deux marguerites, il me faut deux tickets. » Pour les achats de tulipes, cela reste plus compliqué : ils préparent les tickets pour chaque fleur et puis ils comptent le tout. –– Ensuite, les enfants doivent préparer une commande à envoyer par la poste car le magasin est fermé. Ils ont chacun 6 tickets, une enveloppe et une feuille. Ils dessinent chaque fleur autant de fois qu’ils en veulent, comptent les tickets correspondants et mettent le tout dans l’enveloppe. Personne ne pense à dessiner une fois la fleur et à indiquer le nombre par un chiffre. L’institutrice n’intervient pas. Le fleuriste ouvre les enveloppes une par une et vérifie par correspondance terme à terme. Avec la contrainte supplémentaire d’utiliser les 6 tickets, l’exercice se passe sans problème. –– Lorsque l’institutrice leur donne une commande écrite avec le dessin de chaque fleur demandée, tout va bien. Par contre, quand elle dessine une fois la fleur et indique la quantité par un nombre, les enfants ne comprennent plus et préparent autant de tickets que le nombre inscrit, sans plus se soucier du tarif… Un retour à la manipulation leur permet de comprendre.
La représentation du problème
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■■
Pour poursuivre l’activité, on peut proposer de nouvelles situations aux élèves, pour lesquelles la valeur des produits est changée. On peut également modifier les produits eux-mêmes, par exemple en vendant des produits supplémentaires ou en en vendant d’autres. On s’approche alors de situations de résolution de problèmes plus classiques, moins directement liées au contexte du jeu du magasin proposé en début d’activité.
Exemples de problèmes qui peuvent être proposés aux élèves
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Lors de cette phase, le référentiel doit être retiré puisqu’il ne correspond plus aux situations proposées. Ce prolongement, plus abstrait et décontextualisé, n’est donc sans doute pas à proposer en maternelle.
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Les ventes de gaufres et de biscuits ne rapportent pas assez. Il faut vendre les gaufres à 3 tickets et les biscuits à 2 tickets ; les jus d’orange peuvent rester à 3 tickets. Combien de tickets faudra-t-il alors demander à la classe de 3e année ?
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Rappel de la commande de la classe de 3e primaire – Chaque élève a commandé un produit. Il y a 23 élèves. En tout, il faut 10 gaufres, 8 biscuits et 5 jus d’orange. Combien faut-il demander de tickets pour l’ensemble de la classe ?
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Dans une autre classe, les élèves ont décidé d’organiser une vente de fruits frais. Les pommes sont proposées au prix de 2 tickets, les mandarines au prix d’un ticket et les petites grappes de raisins pour 3 tickets. Pierre a été chercher quelques provisions pour ses amis ; il a acheté 2 pommes, 2 mandarines et 2 petites grappes de raisins. Combien de tickets a-t-il dû donner ?
Étape 5 – Synthèse
Au terme de cette séquence d’activités, il est intéressant de construire un tableau qui permettrait de synthétiser l’ensemble des commandes possibles et leur cout respectif.
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Cette phase est proposée aux élèves de primaire uniquement car cette approche est sans doute trop formelle et abstraite pour les élèves de maternelle. Le référentiel utilisé durant les premières étapes de l’activité doit à nouveau être mis à la disposition des élèves.
Imaginons par exemple que l’on synthétise tous les cas possibles pour la situation suivante, avec un maximum de 6 tickets pour réaliser une commande. Chaque enfant réfléchit seul à ce problème, puis une mise en commun est organisée, afin de mettre en évidence tous les cas possibles. Exemple de référentiel
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La représentation du problème
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Exemple de tableau de synthèse
Je peux acheter (en utilisant tous mes tickets) Rien 1 biscuit 1 gaufre 2 biscuits 1 gaufre et 1 biscuit 3 biscuits ou 2 gaufres
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Si j’ai… 1 ticket 2 tickets 3 tickets 4 tickets 5 tickets 6 tickets
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