Elementarno kombinatorni zadaci

ELEMENTARN'

Pravilo mnoienja U svakodnemom Zivotu se desto $eiemo sa problemima iije deiavanje zahtijeva da se izraiuna broj svih moguiih rasporeda ljudi, predmeta, znakova i slidno,

ili broj naiina

na koje se moze

izvrsiti neka radnja.

Primjor 1.1 Tabela, koju po odrealenom pravilu treba popuniti, saddi dva polja (pmvougaonika) (slika 1.1).

slika

rl

i

Recimo daje pnvilom propisano da se u pr,,o polje moze upisatijedan od brojeva 1, 2, a u drugo polje, jedno od slova .l, ,.

Nakoliko natina

se moze

Rjeienje: U skladu

Slikr

sa

popuniti tabela?

Favilom, tabela

se moZe

popuniti na 4 naiina (slika I .2).

1.2

Pritnior 1.2 U ovom pdmjeru iemo pretpostaviti da se u pwo polje moZe upisati .jedan od brojeva 1, 2, a u dtugo polje, jedno od slova d, ,, c.

Na koliko nadina se sada moie popuniti iabela?

Rjesenje; U ovom slulaju tabela

se moze

popuniti na 6 natina:

a), (1, 6), (1, c), (2, a), (2, b), (2,c\.

Kako je 6=2-3, vidimo da je broj nadina na koje (1,

popuniti tabela (6 nadina), jednak prcizvodu broj a nadina na koj e se moze popuniti pflo polj e (2 nadina) ibroia nadina na koje se moze popuniii drugo polje (3 nadina). se moze

Primior 1.3 Od grada Gr do grada G, postoje dvije vrste prevoza, autobusom i vozom, a od grada G, do grada Gr, tri lTste prevoza, autobusom. vozom i avionom

(slika

128

1.3.).

G 1.

:

G2.

.

-).

_

\J2.

.. :*!'.r::ai!a*er:s:ra:,'dlt G 3.

Na koliko nadina se moze putovati od gmda Gl do $ada G3, prolazedi I(Ioz glad Cr? Rjesenjei Na izbor nadina putovanja od gmda Gr do grada Gj mozemo gledati kao na tabelu s dva polja, koja se popunjava tako Sto se u plro polje upisuje nadin putovanja od grada Gr do grada Gr, (upisuje se ,,autobus', ili ,,vot,), a u drugo polje, nadin putovanja od gada G, do grada Gr, (upisuje se ,,autobus',,

,,voz"

ili ,,avion").

Dakle, prvo polje se moze popuniti na 2 nadina (,,autobus,,ili ,,vol,), a drugo polje na 3 nadina (,,autobus", ,,voz" ili ,,avion',). Na osno.\,u prethoalnog pdmjera slijedi da se tabela moze popuniti na 2 3:6 nadina.

Drugim djedima, od grada G, do grada G, Nabrojmo svih

Sest

se moze

putovati na

Sest nadina.

mdina putovanja:

(autobus, autobus), (autobus, voz), (autobus, avion),

(voz, autobus), (voz, voz), (voz, avion).

Prlmier

1.4

l

Tabela s dva polja se popunjava tako Sto se u pwo polje upisuje jedan od brojeva 1, 2, 3, a u drugo polje jedno od slova d, &, c, d Na koliko naiina se moze popuniti tabela?

Rjelenje: U ovom sluiaju tabela

se moze popnniti na 12 nadina:

(1,4), (l, D), (1,c), (l,d), (2, d), (2, b), (2, c) (2, d), (3, d), (3, r), (3,c). (3,d).

I ovdje je broj nadina na koje se moze popuniti

tabela (12 nadina), jednak prcizvodu broja nadina na koje se moze popuniti prvo potie (3 nadina), i broja nadina na koje se moze popuniti drugo polje (4 nnaina).

U opstem sluiaju vazi ovo tvralenje:

Ato

se

tabela, koju dine dva polja, popunjava tako Sto se prvo polje popunjava

rr nadina, a drugo polje na ,r2 nadina, onda se tabela moie popuniti na nr - n, nalina. na

.,Ai'

:..:.:.::..

Ii

Tvriienje koje smo navelinazivamo pravilom mnoienja.

Pravilo mnozmja

se moze iskazati i Da ovaj

naiin:

Ako imamo dvijo grupe predmeta, pri lemu prva grupa ima rr predmet4 a druga grupa ,, Fedmeta, i ako se iz svake gmpe bim po jedan predmet, onda se dva predmeta mogu odabratl na nt . n2aatina.

Marko Zeli da u kladionici uplati tiket na kome ie prognozirati krajnji rezultat na dvije utalcnice.

Pobjeda domaieg tima se na tikefu oznadava sa 1, nerijesen ishod sa.r, a pobjeda gostujuieg tima sa 2.

Na koliko nadina Marko moze popuniti svoj tiket?

Rjesenjâ‚Ź: Tiket sa dvije utakmice mozemo shvatiti kao tabelu s dva polja.

Svako od polja se popunjava na 3 natina (upisuje se I ili 2 ili .n).

U ovom primjeru je rr:3 i n.=3. |,16 6s1o* o.avila mnozenja slijedi dase tiket moZe popuniti na /? j n2:3 3:9 n aina.

Navedimo svih devet nadina na koje Marko moze popuniti tiket:

(1, r), (1, r'), (1,2),

r), (r, 2), (2,1), (2,x), (2,2).

(,I, 1), (r',

Primjor 1.8 Putnik moie preii $adcu na 6 granidnih prclaza, ali se nikada ne vrada istim putem. Na koliko naeina putnik moze da izvede jedno putovanje (odlazak i povlataD? Rjesenje: U tabeli s dva polj a, u prvo polje upisuj emo naziv gmnidnog prelaza preko kojegje putnik prcsao gmnicu, a u drugo polje naziv gmnidnog prelaza preko kojegje u6ao u zemlju.

Tada se prvo polje moze popuniti na }?1=6 nadina (6 gFnidnih prclaza), a drugo polje na rr= 5 nadina (5 granidnih prcl^za,jer se putnik nikada ne uaia

istimputem).

Na osnour pGvila mnoienja slijedi da pumik moze obaviti putovanje na ,r',??-6 5=30 naiina.

Primjer

l.?,

. .,,', :,,

.iiil

:,':. i'1,..'ir:;t r.':- :.,.:.l.:ti;t',,1 r :. "r1'

r"'

Tabelu koju heba popunifi, iine tri polja (slika 1.4).

Pravilom je propisano da se u pwo polje moze upisatijedan od brojeva tr drugo polje jedno od slova a, ,, c, a u treie polje jedna od figula Na koliko nadina se moze popuniti tabela?

^,

1, 2, D

Rjeienjâ‚Ź: Prva dva polja

se mogu

popuniti na

6:2.3

na6ina (vidi primjer

1.2),

(t, a), (t, b), (t,c), (2,a), (2, b), (2,c).

Aho svakom od ovih zapisa dodamo, prvi put a, a drugi put tr, dobijamo 12 nadina na koje se moze popuniti tabela: (1, d, (2, a,

a),

^),

tr), (2, a,D), (1, a,

(1,

,, a),

Q, b.

a),

(2,c,

^). tr), (1, c, n), b,E), (2,c,tr).

(1, b, (2,

^),

(1, c,

je

12 = 2.3.2, vidimo daje broj nadina na koje se moze popuniti tabela (12 nadina),jednak proizvodu brojeva koji pokazuju na koliko se naiina moZe

Kako

popuniti svako polje pojedinaino (prvo polje na 2 naiina, drugo na 3 i trede na 2 nadina).

Pravilo mnozenja u ovom sludaju glasi:

Ako se tabela koj u dine tri polja popunjava tako Sto se plvo polj e popunj ava na ,r nalina, drugo na /?2 nadina i trede Da rt naiina, onda se tabela moze popuniti na nt.n2.n3natlna.

Drugim rijedima:

Ako imamo tri gupe predmeta, pd demu plva grupa ima rr predmeta, druga grupa , Fedmeta i treia grupa /,: predmeta i ako iz svake grupe bimmo po jedan Fedmet, onda se tri predmeta mogu odabratina 1.n2 \naiila.

Prlmler 1.8 Koliko

se

trocifrenih brojeva moze zapisati koristeii cifte 1,2, 3,4,5:

a) akoje dozvoljeno ponavljanje cifara,

l)

ako nije dozvoljeno ponavljanje cifaru?

Rjâ‚Źiâ‚Źnje: d) Na prvo, drugo i treie mjesto se moze zapisati bilo koja od rr=,?r=rr=5 cifara 1,2,3,4,5. Na ovaj nadin se moze zapisafi trocifrenih brojeva.

Na prvo mjesto se moze zapisati bilo koja od /,r:5 cifara 1, 2, 3, 4, 5, na drugo bilo koja od ,r2:4 cilie (ponavljanje cifam nije dozvoljeno) i na kraju, na trede mjesto se moie upisati bilo koja od preostalih r?r = 3 cifte.

D)

1:il

Dakle, ako nije dozvoljeno ponavljanje cifara, onda se, koristeii cifte 4

i

1, 2, 3,

5, moze zapisati

n\nz\=s 4 3:60 trocifrenih brojeva.

Ponekad.e pravrlo mnozenJa iqLazule

r na

o\aj naain:

Ako pr!,rr stvar mozemo napmviti na ,r nadina, drugu na ,2 naiiiDa i tredu stvar na ,r nadina, onda se sve td stvari mogu napraviii \a nt.n2.\r.atiJ.a.

Primier 1.9 proizvode u 3 mzlidite vetiiine, 6 mzliditih boja i 4 razlidite debljine. Koliko ima lrsta Skolskih svesaka?

Skokke sveske

se

Rjeienje: Prva stvar (velidina) se moZe napraviti na rl=3 nadina, druga stvar (boja) na r?r= 6 naaina i heia stvar (debljina) na n i=4 naiinaNa osnovu pravila mnozenia slijedi da ima

n, nr.nr:3 6.4=12 vrste lkolskih svesaka.

Primior 1.10 Ena imaj abuku, kusku i pomorandzu i heba da ih poj ed€, pojednu uz dorudak,

nrdak i vederu. Kojim sve rcdosljedom Ena moze pojesti svoje voie?

Rjcsenje:

P

a

stvar (izbor voia za doruiak)

dtuga stvar (izbor voia za rutak),

La z=2

se

moze napraviti na,? | = 3 nadina,

naiina (jedno voieje pojedeno za

rr= I nadin. rrr?2,?:-3.2.1=6 nadina.

rueak), i heda stvar (izbor voia za veieru) na

Slijedi da Ena svoje vo6e moze pojesti na Evo tih 6 nadina: JPK, JKP, KJP, KPJ, PJK, PKJ,

gdjejeJ jabuka,i<

kruska i

P

pomorandZa.

Od 76 akcionara jedne kompanije bira se predsjednik, i^rsd direktor i selqetar. Na koliko nadina se moze izvditi ovaj izbor?

Rjes€nje: Pwa stvar (izbor predsjednika) se moze napnviti na ,1= 76 nadina, druga stvar (izbor direkrora) na r, = 75 nadina (isto lice ne moie biti Fedsjednik i direktor), i teia stvar (izbor sekretara) na 7l3 = 74 nadina.

Slijedi da se izbor F€dsjednika, direklora i seketam moze obaviti na n, n.,. n.='7 6 1 s. 7 4 : 421800

naIin,

Fabrika pmizvodi 4 tipa automobila (Peuo 106, PeZo 206, Pezo 306 i Pezo 406) i svaki od njih sa 3 snage motom (l300cm', l500cn'i 1800cn') i 5 raznih boja karoserija ftijela, cma, crvena, plava i bmon). Koliko mzliiitih automobila proizvodi fabrika?

Ovdje smatramo da su dva automobila jednaka ako su istog tipa, iste boje iste snage motora.

1,,,,,,,,

i

Rjeienje: Pwa stvar (tip automobila) se moze napraviti Da ,r : 4 nadina, dhuga stvar (snaga motom) na 12:3 nadina i tleia stvff (boja) na 4:5 nadina.

Na osnolu pravila mnozenja slijedi da fabrika proizvodi

\.n2.\=4.3.5:60 razliditih automobila.

.i

\lttt tr'l

ELEMENTARN' KOMBINATORNI ZADACI

A A A

!

!:.:vi!::::i::i:

ilill,'

.

1.1 Koliko ima ietvorocifrenih brojeva koji poainju sa dvije iste pame cifre, a zalT Savaju sa dvi_ je iste nepame cifie?

1.2

Koliko ima detvorocifrenih brojeva koji podinju

sa

dvije iste nepame cifre, a zavBavaju sa

dvije iste pame cifre?

igri ih je

lL

Trener Zeli da napravi jednu izmjenu. jednog kojeg ie uvesti u igru ijednog Na koliko nadina trenu moze izabmti dva fudbalera, kojcg 6e izvesti iz igre?

1 .4 Marko Zeli da u spo skoj kladionici Dplati tiket na kojem ee ptognozirati kajnji ishod na tri utakmice. On smafta da na dvije utakmice domaii tim nede izgubiti i daje na tredoj utakmici

I

.3 Na

klwi

za rezervc sjedi 5 fudbalem, a u

nogui svaki ishod.

Na koliko naiina Marko moze popuniti svoj tiket?

Navedi sve nadine na koje Marko moze popuniti tiket1.5 Putnik ieli da iz N.iujorka, preko Amsterdama, doputuje u Podgoricu. Od Njujorka do Ama\lonom, voTom ili sterdama moze putovati avionom ili brodom, a od'Pali4 do Podgorice' -

a

A*,Ihneo'rc-

mhusom.

Na koliko nadina putnik moze doputovati doPodgorice?

Navedi sve nadinc na koje putnik moZe doputovati do Podgorice.

tr

1.6

A tr n

1.9 Na stranama kocke su zapisani brojevi od

Lazarje zaboravio alvije posljednje cifre Markovog broja telelona Ako bi Lazarnasumice bi_ rao dvije posljednje cifre, koliki je maksimalan broj ljudi koji bi mu odgovodli daje okrenuo pogreian brcj?

1.7 Na koliko nadina Marko, Lazar i Ena mogu stali u red pred kasom u samoposluzi?

1.8 Koliko ima trocifrenih brojeva u dijem se dekadnom zapisu ne pojavljuju cifre 0 i 7?

I

do

6

Kocka

se baca

d) dva puta, b) tri puta

uzastopno, i pri svakom bacanju se zapisuje broj koji je pao na njenoj gomjoj st'rni

n

!

tr tr

n

!

tr

n

'70

Koliko moguiih rczultata ima ovaj eksperiment?

1.10 Koliko ima trocifrenih brojeva kojima su pNa i treia cifra pame?

1.l l Koliko ima hociftenih brojeva kojirna su prva i heia cifia nepame?

L 12 Koliko se parnih trocifrenih btojeva moze zapisati pomoiu cilara 1,2,3,4'5' ako u zapisu svakog broja dvije susjedne cifre momju biti razlidite?

1.13 Koliko se nepamih trocifrenih brojeva moie zapisati pomoiu cifara 1,2,3,4,5, ako u zapisu svakog broja dvije susjedne cilie moraju biti mzlidite?

1.14 Koliko ima pefocifrenih brojeva kojl se zawsavaju sa dvije devetke'l

Koliko ima petociilenib btojeva koji podinju sa dvije devetke?

L l6 Kotiko ima ietvorocifrenih brojeva koji podinju sa dvije iste cifte?

L17 Koliko ima ietvorocifrenih brojeva koji za\rsavaju sa dvije iste nepame cilie?

1.15

I

Pravilo mnoienja 4.5:20.

1.2 5.5:25.

1.1

1.3

11.5:55.

1.42.2.3=t2. (

l,

),(1, I,x),(1, 1,2),

1,1

(l r, 1),( I r,Y),(l ;r,2), (r, I,1 ),(r,I J),(n,I,2),

(x,r,l),(x,x,x),(x,x,2).

1.5 (avion,avioD), (avion, voz,), (avion, autobus),

avion), (brcd, voz), (brod, autobus).

1.6 l0. 10 1:99. (brod,

1.7

3.2.1=6.

1.8

8.8.8=512.

6.6:36. b) 6.6.6=216.

1.104.10.5:200.

1.11 5.10.5:250.

1.9 a)

t.tz2.4.4:32.

1.133.4.4:48.

1.14 9. 10. 10= 900.

1.15 10. 10. 10= 1000.

1.16

9 10.l0=900.

1.17

9.10.5:450.