ELEMENTARN'
Pravilo mnoienja U svakodnemom Zivotu se desto $eiemo sa problemima iije deiavanje zahtijeva da se izraiuna broj svih moguiih rasporeda ljudi, predmeta, znakova i slidno,
ili broj naiina
na koje se moze
izvrsiti neka radnja.
Primjor 1.1 Tabela, koju po odrealenom pravilu treba popuniti, saddi dva polja (pmvougaonika) (slika 1.1).
slika
rl
i
Recimo daje pnvilom propisano da se u pr,,o polje moze upisatijedan od brojeva 1, 2, a u drugo polje, jedno od slova .l, ,.
Nakoliko natina
se moze
Rjeienje: U skladu
Slikr
sa
popuniti tabela?
Favilom, tabela
se moZe
popuniti na 4 naiina (slika I .2).
1.2
Pritnior 1.2 U ovom pdmjeru iemo pretpostaviti da se u pwo polje moZe upisati .jedan od brojeva 1, 2, a u dtugo polje, jedno od slova d, ,, c. Na koliko nadina se sada moie popuniti iabela?
Rjesenje; U ovom slulaju tabela
se moze
popuniti na 6 natina:
a), (1, 6), (1, c), (2, a), (2, b), (2,c\. Kako je 6=2-3, vidimo da je broj nadina na koje (1,
popuniti tabela (6 nadina), jednak prcizvodu broj a nadina na koj e se moze popuniti pflo polj e (2 nadina) ibroia nadina na koje se moze popuniii drugo polje (3 nadina). se moze
Primior 1.3 Od grada Gr do grada G, postoje dvije vrste prevoza, autobusom i vozom, a od grada G, do grada Gr, tri lTste prevoza, autobusom. vozom i avionom
(slika
128
1.3.).
G 1.
:
G2.
.
-).
_
\J2.
.. :*!'.r::ai!a*er:s:ra:,'dlt G 3.
Na koliko nadina se moze putovati od gmda Gl do $ada G3, prolazedi I(Ioz glad Cr? Rjesenjei Na izbor nadina putovanja od gmda Gr do grada Gj mozemo gledati kao na tabelu s dva polja, koja se popunjava tako Sto se u plro polje upisuje nadin putovanja od grada Gr do grada Gr, (upisuje se ,,autobus', ili ,,vot,), a u drugo polje, nadin putovanja od gada G, do grada Gr, (upisuje se ,,autobus',,
,,voz"
ili ,,avion").
Dakle, prvo polje se moze popuniti na 2 nadina (,,autobus,,ili ,,vol,), a drugo polje na 3 nadina (,,autobus", ,,voz" ili ,,avion',). Na osno.\,u prethoalnog pdmjera slijedi da se tabela moze popuniti na 2 3:6 nadina. Drugim djedima, od grada G, do grada G, Nabrojmo svih
Sest
se moze
putovati na
Sest nadina.
mdina putovanja:
(autobus, autobus), (autobus, voz), (autobus, avion),
(voz, autobus), (voz, voz), (voz, avion).
Prlmier
1.4
l
Tabela s dva polja se popunjava tako Sto se u pwo polje upisuje jedan od brojeva 1, 2, 3, a u drugo polje jedno od slova d, &, c, d Na koliko naiina se moze popuniti tabela?
Rjelenje: U ovom sluiaju tabela
se moze popnniti na 12 nadina:
(1,4), (l, D), (1,c), (l,d), (2, d), (2, b), (2, c) (2, d), (3, d), (3, r), (3,c). (3,d). I ovdje je broj nadina na koje se moze popuniti
tabela (12 nadina), jednak prcizvodu broja nadina na koje se moze popuniti prvo potie (3 nadina), i broja nadina na koje se moze popuniti drugo polje (4 nnaina).
U opstem sluiaju vazi ovo tvralenje:
Ato
se
tabela, koju dine dva polja, popunjava tako Sto se prvo polje popunjava
rr nadina, a drugo polje na ,r2 nadina, onda se tabela moie popuniti na nr - n, nalina. na
.,Ai'
:..:.:.::..
Ii
Tvriienje koje smo navelinazivamo pravilom mnoienja. Pravilo mnozmja
se moze iskazati i Da ovaj
naiin:
Ako imamo dvijo grupe predmeta, pri lemu prva grupa ima rr predmet4 a druga grupa ,, Fedmeta, i ako se iz svake gmpe bim po jedan predmet, onda se dva predmeta mogu odabratl na nt . n2aatina.
Marko Zeli da u kladionici uplati tiket na kome ie prognozirati krajnji rezultat na dvije utalcnice. Pobjeda domaieg tima se na tikefu oznadava sa 1, nerijesen ishod sa.r, a pobjeda gostujuieg tima sa 2. Na koliko nadina Marko moze popuniti svoj tiket?
Rjesenjâ‚Ź: Tiket sa dvije utakmice mozemo shvatiti kao tabelu s dva polja. Svako od polja se popunjava na 3 natina (upisuje se I ili 2 ili .n). U ovom primjeru je rr:3 i n.=3. |,16 6s1o* o.avila mnozenja slijedi dase tiket moZe popuniti na /? j n2:3 3:9 n aina. Navedimo svih devet nadina na koje Marko moze popuniti tiket:
(1, r), (1, r'), (1,2),
r), (r, 2), (2,1), (2,x), (2,2).
(,I, 1), (r',
Primjor 1.8 Putnik moie preii $adcu na 6 granidnih prclaza, ali se nikada ne vrada istim putem. Na koliko naeina putnik moze da izvede jedno putovanje (odlazak i povlataD? Rjesenje: U tabeli s dva polj a, u prvo polje upisuj emo naziv gmnidnog prelaza preko kojegje putnik prcsao gmnicu, a u drugo polje naziv gmnidnog prelaza preko kojegje u6ao u zemlju. Tada se prvo polje moze popuniti na }?1=6 nadina (6 gFnidnih prclaza), a drugo polje na rr= 5 nadina (5 granidnih prcl^za,jer se putnik nikada ne uaia
istimputem).
Na osnour pGvila mnoienja slijedi da pumik moze obaviti putovanje na ,r',??-6 5=30 naiina.
Primjer
l.?,
. .,,', :,,
.iiil
:,':. i'1,..'ir:;t r.':- :.,.:.l.:ti;t',,1 r :. "r1'
r"'
Tabelu koju heba popunifi, iine tri polja (slika 1.4).
Pravilom je propisano da se u pwo polje moze upisatijedan od brojeva tr drugo polje jedno od slova a, ,, c, a u treie polje jedna od figula Na koliko nadina se moze popuniti tabela?
^,
1, 2, D
Rjeienjâ‚Ź: Prva dva polja
se mogu
popuniti na
6:2.3
na6ina (vidi primjer
1.2),
(t, a), (t, b), (t,c), (2,a), (2, b), (2,c). Aho svakom od ovih zapisa dodamo, prvi put a, a drugi put tr, dobijamo 12 nadina na koje se moze popuniti tabela: (1, d, (2, a,
a),
^),
tr), (2, a,D), (1, a,
(1,
,, a),
Q, b.
a),
(2,c,
^). tr), (1, c, n), b,E), (2,c,tr).
(1, b, (2,
^),
(1, c,
je
12 = 2.3.2, vidimo daje broj nadina na koje se moze popuniti tabela (12 nadina),jednak proizvodu brojeva koji pokazuju na koliko se naiina moZe
Kako
popuniti svako polje pojedinaino (prvo polje na 2 naiina, drugo na 3 i trede na 2 nadina).
Pravilo mnozenja u ovom sludaju glasi:
Ako se tabela koj u dine tri polja popunjava tako Sto se plvo polj e popunj ava na ,r nalina, drugo na /?2 nadina i trede Da rt naiina, onda se tabela moze popuniti na nt.n2.n3natlna.
Drugim rijedima:
Ako imamo tri gupe predmeta, pd demu plva grupa ima rr predmeta, druga grupa , Fedmeta i treia grupa /,: predmeta i ako iz svake grupe bimmo po jedan Fedmet, onda se tri predmeta mogu odabratina 1.n2 \naiila.
Prlmler 1.8 Koliko
se
trocifrenih brojeva moze zapisati koristeii cifte 1,2, 3,4,5:
a) akoje dozvoljeno ponavljanje cifara,
l)
ako nije dozvoljeno ponavljanje cifaru?
Rjâ‚Źiâ‚Źnje: d) Na prvo, drugo i treie mjesto se moze zapisati bilo koja od rr=,?r=rr=5 cifara 1,2,3,4,5. Na ovaj nadin se moze zapisafi trocifrenih brojeva. Na prvo mjesto se moze zapisati bilo koja od /,r:5 cifara 1, 2, 3, 4, 5, na drugo bilo koja od ,r2:4 cilie (ponavljanje cifam nije dozvoljeno) i na kraju, na trede mjesto se moie upisati bilo koja od preostalih r?r = 3 cifte. D)
1:il
Dakle, ako nije dozvoljeno ponavljanje cifara, onda se, koristeii cifte 4
i
1, 2, 3,
5, moze zapisati
n\nz\=s 4 3:60 trocifrenih brojeva. Ponekad.e pravrlo mnozenJa iqLazule
r na
o\aj naain:
Ako pr!,rr stvar mozemo napmviti na ,r nadina, drugu na ,2 naiiiDa i tredu stvar na ,r nadina, onda se sve td stvari mogu napraviii \a nt.n2.\r.atiJ.a.
Primier 1.9 proizvode u 3 mzlidite vetiiine, 6 mzliditih boja i 4 razlidite debljine. Koliko ima lrsta Skolskih svesaka?
Skokke sveske
se
Rjeienje: Prva stvar (velidina) se moZe napraviti na rl=3 nadina, druga stvar (boja) na r?r= 6 naaina i heia stvar (debljina) na n i=4 naiinaNa osnovu pravila mnozenia slijedi da ima
n, nr.nr:3 6.4=12 vrste lkolskih svesaka.
Primior 1.10 Ena imaj abuku, kusku i pomorandzu i heba da ih poj ed€, pojednu uz dorudak,
nrdak i vederu. Kojim sve rcdosljedom Ena moze pojesti svoje voie?
Rjcsenje:
P
a
stvar (izbor voia za doruiak)
dtuga stvar (izbor voia za rutak),
La z=2
se
moze napraviti na,? | = 3 nadina,
naiina (jedno voieje pojedeno za
rr= I nadin. rrr?2,?:-3.2.1=6 nadina.
rueak), i heda stvar (izbor voia za veieru) na
Slijedi da Ena svoje vo6e moze pojesti na Evo tih 6 nadina: JPK, JKP, KJP, KPJ, PJK, PKJ,
gdjejeJ jabuka,i<
kruska i
P
pomorandZa.
Od 76 akcionara jedne kompanije bira se predsjednik, i^rsd direktor i selqetar. Na koliko nadina se moze izvditi ovaj izbor? Rjes€nje: Pwa stvar (izbor predsjednika) se moze napnviti na ,1= 76 nadina, druga stvar (izbor direkrora) na r, = 75 nadina (isto lice ne moie biti Fedsjednik i direktor), i teia stvar (izbor sekretara) na 7l3 = 74 nadina. Slijedi da se izbor F€dsjednika, direklora i seketam moze obaviti na n, n.,. n.='7 6 1 s. 7 4 : 421800
naIin,
Fabrika pmizvodi 4 tipa automobila (Peuo 106, PeZo 206, Pezo 306 i Pezo 406) i svaki od njih sa 3 snage motom (l300cm', l500cn'i 1800cn') i 5 raznih boja karoserija ftijela, cma, crvena, plava i bmon). Koliko mzliiitih automobila proizvodi fabrika? Ovdje smatramo da su dva automobila jednaka ako su istog tipa, iste boje iste snage motora.
1,,,,,,,,
i
Rjeienje: Pwa stvar (tip automobila) se moze napraviti Da ,r : 4 nadina, dhuga stvar (snaga motom) na 12:3 nadina i tleia stvff (boja) na 4:5 nadina. Na osnolu pravila mnozenja slijedi da fabrika proizvodi
\.n2.\=4.3.5:60 razliditih automobila.
.i
\lttt tr'l
ELEMENTARN' KOMBINATORNI ZADACI
A A A
!
!:.:vi!::::i::i:
ilill,'
.
1.1 Koliko ima ietvorocifrenih brojeva koji poainju sa dvije iste pame cifre, a zalT Savaju sa dvi_ je iste nepame cifie? 1.2
Koliko ima detvorocifrenih brojeva koji podinju
sa
dvije iste nepame cifre, a zavBavaju sa
dvije iste pame cifre?
igri ih je
lL
Trener Zeli da napravi jednu izmjenu. jednog kojeg ie uvesti u igru ijednog Na koliko nadina trenu moze izabmti dva fudbalera, kojcg 6e izvesti iz igre? 1 .4 Marko Zeli da u spo skoj kladionici Dplati tiket na kojem ee ptognozirati kajnji ishod na tri utakmice. On smafta da na dvije utakmice domaii tim nede izgubiti i daje na tredoj utakmici
I
.3 Na
klwi
za rezervc sjedi 5 fudbalem, a u
nogui svaki ishod. Na koliko naiina Marko moze popuniti svoj tiket?
Navedi sve nadine na koje Marko moze popuniti tiket1.5 Putnik ieli da iz N.iujorka, preko Amsterdama, doputuje u Podgoricu. Od Njujorka do Ama\lonom, voTom ili sterdama moze putovati avionom ili brodom, a od'Pali4 do Podgorice' -
a
A*,Ihneo'rc-
mhusom.
Na koliko nadina putnik moze doputovati doPodgorice? Navedi sve nadinc na koje putnik moZe doputovati do Podgorice.
tr
1.6
A tr n
1.9 Na stranama kocke su zapisani brojevi od
Lazarje zaboravio alvije posljednje cifre Markovog broja telelona Ako bi Lazarnasumice bi_ rao dvije posljednje cifre, koliki je maksimalan broj ljudi koji bi mu odgovodli daje okrenuo pogreian brcj? 1.7 Na koliko nadina Marko, Lazar i Ena mogu stali u red pred kasom u samoposluzi? 1.8 Koliko ima trocifrenih brojeva u dijem se dekadnom zapisu ne pojavljuju cifre 0 i 7?
I
do
6
Kocka
se baca
d) dva puta, b) tri puta
uzastopno, i pri svakom bacanju se zapisuje broj koji je pao na njenoj gomjoj st'rni
n
!
tr tr
n
!
tr
n
'70
Koliko moguiih rczultata ima ovaj eksperiment? 1.10 Koliko ima trocifrenih brojeva kojima su pNa i treia cifra pame? 1.l l Koliko ima hociftenih brojeva kojirna su prva i heia cifia nepame? L 12 Koliko se parnih trocifrenih btojeva moze zapisati pomoiu cilara 1,2,3,4'5' ako u zapisu svakog broja dvije susjedne cifre momju biti razlidite? 1.13 Koliko se nepamih trocifrenih brojeva moie zapisati pomoiu cifara 1,2,3,4,5, ako u zapisu svakog broja dvije susjedne cilie moraju biti mzlidite? 1.14 Koliko ima pefocifrenih brojeva kojl se zawsavaju sa dvije devetke'l
Koliko ima petociilenib btojeva koji podinju sa dvije devetke? L l6 Kotiko ima ietvorocifrenih brojeva koji podinju sa dvije iste cifte? L17 Koliko ima ietvorocifrenih brojeva koji za\rsavaju sa dvije iste nepame cilie? 1.15
I
Pravilo mnoienja 4.5:20. 1.2 5.5:25.
1.1
1.3
11.5:55.
1.42.2.3=t2. (
l,
),(1, I,x),(1, 1,2),
1,1
(l r, 1),( I r,Y),(l ;r,2), (r, I,1 ),(r,I J),(n,I,2),
(x,r,l),(x,x,x),(x,x,2). 1.5 (avion,avioD), (avion, voz,), (avion, autobus),
avion), (brcd, voz), (brod, autobus). 1.6 l0. 10 1:99. (brod,
1.7
3.2.1=6.
1.8
8.8.8=512.
6.6:36. b) 6.6.6=216. 1.104.10.5:200. 1.11 5.10.5:250.
1.9 a)
t.tz2.4.4:32. 1.133.4.4:48. 1.14 9. 10. 10= 900. 1.15 10. 10. 10= 1000. 1.16
9 10.l0=900.
1.17
9.10.5:450.