UGLOVI NA TRANSVERZALI ^AVA OGIJI OZNA OJ TERM INOL JN ]A RA OB ZALA U SA RE^ TRANSVER TNE PRAVCE. ARSKE ECA DRUGE PU ES PR JI ^ENE PLAN IN PUT KO ZIVAJU OZNA E NA ST M RI LO KO ZA TRANSVER E. ZNAK KOJI PLAN INARI NTROLNE TA^K KO JU ZU I. VE IC SL STAZE KOJE PO IKAZAN JE NA AWE STAZA PR ZA OBELE@AV ZNATA . KOD NAS JE PO TRANSVERZALA KA RS GO KO FRU[ ICI JE U MATEMAT TRANSVERZALA E AV SE^E DVE PR PRAVA KOJA . IH W E [ IL I VI
1
Izra~unaj ozna~ene uglove na slici. α1 = ............, α2 = ............, α3 = ............, β1 = ............, β2 = ............, β3 = .............
2
β3 β1 β2
SETI SE OSOBINE UPOREDNIH I OSOBINE UNAKRSNIH UGLOVA.
α1 α2 α3
Na crte`u su paralelne prave a i b i α2 = 60°. Izmeri β2. β2 = ............ Izra~unaj ozna~ene uglove na slici. α1 = ............, α3 = ............, α4 = ............,
β1 β2 β4 β3 α1 α2 α4 α3
β1 = ............, β3 = ............, β4 = ............. Koji su uglovi jednaki uglu α1? ................................................................. Koji su uglovi jednaki uglu α2? ................................................................. Koji su uglovi suplementni sa uglom α1? .............................................. Koji su uglovi suplementni sa uglom α2? ..............................................
Prava c na crte`u jeste transverzala za prave a i b. Uglovi ~ije su oblasti osen~ene na slici nazivaju se uglovi na transverzali. Ako je a⏐⏐b, uglovi osen~eni istom bojom me|usobno su jednaki, a uglovi osen~eni razli~itim bojama me|usobno su suplementni. Va`i i obrnuto: ako su jednaki uglovi osen~eni istom bojom, prave su paralelne.
155
3
Izra~unaj uglove ozna~ene lukovima na crte`u i upi{i mere u wihove oblasti ako prave: a) a i b jesu paralelne
4
b) m i n nisu paralelne.
Na crte`u su dva para paralelnih pravih. Zapi{i ih. ......⏐⏐...... i......⏐⏐......
SVI O[TRI UGLOVI NA TRANSVERZALI KOD PARALELNIH PRAVIH SU ME\USOBNO JEDNAKI. I SVI TUPI UGLOVI SU ME\USOBNO JEDNAKI. U TOM SLU^AJU SVAKI O[TAR UGAO JE SUPLEMENTAN SA SVAKIM TUPIM UGLOM.
Obele`i na crte`u sa α sve uglove podudarne uglu ~iji je luk obojen u `uto. Obele`i na crte`u sa β sve uglove podudarne uglu ~iji je luk obojen u plavo.
5
Zaokru`i slovo ispred svakog crte`a na kojem su prave p i q paralelne. a)
6
Ako je t⏐⏐s, izra~unaj mere uglova α i β.
α = ...........
156
b)
β = ...........
v)
7
g)
Ako je p⏐⏐q, izra~unaj meru ugla α.
α = ...........
УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ 1. Две праве се секу тако да један од добијених углова има меру 100°29'17''. Израчунај мере свих добијених углова. 2. Две праве се секу тако да је један од добијених углова за 14° већи од другог. Израчунај мере свих добијених углова. 3. Одреди мере углова α, β, γ, δ ако знаш да је угао α осам пута мањи од збира остала три угла.
4. Праве p,q,s секу се у једној тачки, при чему је p qq, док се праве p и s секу под углом чија је мера 73°12'. Колика је мера оштрог угла α под којим се секу праве q и s?
5. Одреди збир αβγδϕ.
6. Одреди мере свих углова које можеш да уочиш на слици. ABC ____ °,
CBD ____ °,
DBE ____ °,
FBI ____ °,
IBA ____ °,
BIK ____ °,
KIJ ____ °,
BIF ____ °,
BFI ____ °,
BFG ____ °,
GFH ____ °,
HFI ____ °.
7. Нацртај оштар угао aOb и у његовој области изабери тачку S. Нацртај затим угао са теменом у тачки S, крацима паралелним крацима угла aOb који је: 1) једнак углу aOb; 2) суплементан углу aOb.
87
8. Ако је p( A, B )|| p(C , D ) и p(B , C )|| p(D , A) , одреди мере свих углова које можеш да уочиш на слици лево. 24°
120°
9. Краци угла α и β су паралелни. Одреди мере ових углова ако знаш да је мера угла α три пута већа од мере угла β. 10. Ако су краци углова α и β паралелни, одреди мере ових углова ако знаш да је â 30°. 3 αβ 11. Одредити мере непознатих углова са слике
88
1) a || b
2) a || b
3)
4)
5)
6)
Trokut
2.1. Kutovi uz presječnicu Prisjeti se: Koje kutove zovemo susjedni, a koje vršni kutovi? Što vrijedi za njihove veličine?
Važno Presječnica
Neka su a i b usporedni pravci. Za pravac p koji siječe pravce a i b kažemo da je njihova presječnica. Kutovi koje zatvaraju presječnica i usporedni pravci nazivaju se kutovima uz presječnicu.
Pogledaj sliku i prebroji koliko ima kutova uz presječnicu.
Primjer 1. Jednaki kutovi uz presječnicu Nacrtaj usporedne pravce a i b, te njihovu presječnicu p. Označi sve kutove uz presječnicu. Zatim oboji istom bojom sve kutove uz presječnicu koji su jednakih veličina.
Rješenje: Nacrtajmo sliku i pronađimo na njoj kutove uz presječnicu. Lako ćemo prepoznati susjedne i vršne kutove koje čine pravci a i p, a zatim i među pravcima b i p. Iako ih ima osam, primijetimo da se radi o samo dvije vrste kutova. Na slici su jedni označeni plavom, a drugi narančastom bojom: Jednaki kutovi uz presječnicu
64
Ova slika pomoći će nam da dođemo do još nekih važnih zaključaka. Istaknimo na njoj neke kutove i pogledajmo kakvi su međusobno. Označimo li veličinu narančastih kutova s α, vidimo da se uz presječnicu pojavljuju četiri kuta veličine α: dva po dva su vršni kutovi. Označimo li veličinu plavih kutova s β, vidimo da se uz presječnicu pojavljuju četiri kuta veličine β: dva po dva su vršni kutovi.
Trokut Primjer 2.
Docrtajmo dio slike koji nedostaje da nam bude jednostavnije riješiti zadatak.
Jesu li nacrtani kutovi jednake veličine?
Vidimo da se radi o dva, od četiri, jednaka kuta uz presječnicu.
Rješenje: Na ovoj slici su nacrtani kutovi uz presječnicu.
Z a d a c i 1. Pobojaj jednake kutove istom bojom.
3. Matija je rješavao zadatak za domaću zadaću. Crtež treba prikazivati kutove uz presječnicu. Docrtaj dio koji nedostaje i pobojaj jednake kutove istom bojom. 2. Docrtaj dio koji nedostaje i pobojaj jednake kutove istom bojom.
Pogledaj Matijino rješenje ovog zadatka. U čemu je pogriješio?
Primjer 3. Susjedni kutovi uz presječnicu Pogledajmo ponovno sliku sa Susjedni kutovi
svim kutovima uz presječnicu.
uz presječnicu
Pogledamo li jedan par kutova α i β uz pravac a, vidimo da
su to susjedni kutovi. Susjedni kutovi zajedno čine ispruženi kut, pa vrijedi α + β = 180º
Dakle, znamo li veličinu jednog kuta uz presječnicu, znamo i veličine svih ostalih kutova uz nju.
65
n"t
w/..
lroKur - zaca(l
1.
KUTOVI UZ PRESJEENICU USPOREDNIH PRAVACA
P"
1.
Pravci a i b medusobno su usporedni, a pravac kutova na slikama: a)
b2.
3.
je njihova presjednica. Odredi velidinu nepoznatih b)
Pravci aibmedusobnosu usporedni, apravacc je njihova presjednica. Izrattnaj velidinu nepoznatih kutova na slikama. ObrazloLi zakljudke. a)
b
c
b)
Pravci a i b medusobno su usporedni, a pravac c je njihova presjednica. Izra(rnaj velidinu nepoznatih kutova na slikama. ObrazloLi zakljudke. a)
b)
i
I
02. b
4.
5.
..
zadaci
Pravci a i b medasobno su usporedni, a pravac c je njihova presjednica. Izrairtnaj velidinu nepoznatih kutova na slikama. ObrazloLi zakljudke. a)
b,
Trokut
Pravci a i b medusobno su usporedni, poznatih kutova na slikama. a)
b)
a
pravci c i d sa njihove presjednice. Odredi velidinu neb)
c)
1{