Лекция 3

«

я 3. З А :

Г

(

,

А ) LU

я

. я

я.

»

я.

я

З

 

.

.

:

;

  

; . (

A -

Ax  b , , x -

.

Ax  b

Э

A 1 ,

Ax  b

.

А )

я

A

»

: x  0, x  0

cx  c x



x y  x  y (

x

x  0;

; ). ,

.

 

: x 1  x1  x2  ...  xn 2

x 2  x1  x2 x   max xi -

2

 ...  xn



A 0



cA  c A © . .

; 2

(

-

)

(

i

, A 0, A  0

) .

.

.

A

: A  0;

,

;

.

; ,

b.

.

,



я

,b -

x,

-

–

x 0

я

x  A1b . ,

«



;

.

Ч



;

,

«



A B  A  B (



AB  A B .

»

);

,

.

x, Ax  A x .

A

ё

ё A  max Ax .

A

,

.

ё

x,

.

x 1

1.

ё

Ax ,

,

,

x

,

.

ё

: 

n

A 1  max  aik -

;

k i 1



A 2  1 ,

AT A (

1 -

)-



A   max i

(

)

 aik

.

-

k 1

Г

я

А

(CКrХ FrТНОrТМС GКuss) Ax  b

А ,

n,

.

.

,

.

.

А

. х .

. . )

, n

.

ям

. , (

;

n

.

,

а

a11  0 . Э

x1

a11 ,

a a a b x1  12 x2  13 x3  ...  1n xn  1 . a11 a11 a11 a11 , x1 :

a 21 ,

   a  a  a  b  a22  a21 12  x2   a23  a21 13  x3  ...   a2n  a21 1n  xn  b2  a21 1 . a11  a11  a11  a11    , ё . . . x1 © . .

,

.

.

,

,

«

. .

,

»

.

n

,

x2

А

:

,

(1) (1) x1  a12 x 2  a13 x3  ...  a1(1n) xn  b1(1) , ( 2) x 2  a 23 x3  ...  a 2( 2n) x n  b2( 2) , .......

xn  bn( n) . (s) a sk



( s 1) a sk

b ( s 1) , bs( s )  s , s ( s 1) ( s 1) a ss a ss

( 0) , a sk  a sk , a s(0)  a s .

,

: xn  bn(n) , xi  bi(i ) 

n

 aik(i) xk , i  n  1, n  2,...,1 .

k  i 1

( s 1) , a ss

, , ,

. Ч

( s-

,

.

xs

, -

(

я

я

A LU

Ф

.

,  0.

.

А

LUx  b , ,U–

.

.

А

b.

(Up)

: ,

.

A

,

(Low)

© . .

s

.

LU

L–

xs

.

, .

).

. А

)

.Э

,

.



.

,

,

Ax  b

А

,

.

«

»

Ux  y Ly  b

L, U, b LU

Ly  b ,

Ux  y .

.

L

. .

–

:

,

U

: 0  a11 a12 a13 ... a1n   l11 0 a    21 a 22 a 23 ... a 2n  l 21 l 22 0  a31 a32 a33 ... a3n   l31 l32 l33    ... ... ... ...   ... ... ...  ...  a n1 a n 2 a n3 ... a nn  l n1 l n 2 l n3 , a11  l11 , a21  l12 , …, an1  l1n a u12  12 . a12  l11u12 l11

0   1 u12 0   0 1  0 0 0  ...  ... ... l nn   0 0

... ... ... ... ...

... u1n  u 23 ... u 2n  1 ... u3n   ... ... ...  0 ... 1  u13

L. a u13  13 . l11 U. А

a13  l11u13

. ., a22  l21u12  l22 , a32  l31u12  l32 L: l22  a22  l21u12 , l32  a32  l31u12 a23  l21u13  l22u 23 1 U: u 23  a23  l 21u13 . l 22 :

1.

L

U

n

rlir  air 

2.

.

. .

r–

L:

r 1

 lik u kr , i  r,..., n ,

r 1

 lik u kr

r 1

k 1

 0.

k 1

r– U: r  1  1  u ri  a ri   l rk u ki  , i  r  1,..., n .  l rr  k 1  : Ly  b

yi  Ux  y

1 lii

i 1    bi   lik y k  , i  1,2,..., n .   k 1  

: xi  yi 

П

n

 uik xk , i  1,2,..., n .

k  i 1

я А

© . .

,

.

.

.

,

,

.

«

.

,

А ; А ;

  

MatLab



,

MatLab

© . .

,

.

LU

.

»

. .); ).

,

(

, MatLab , ,

( ,

,

, (

. .);