«
7. И
А . И
а
а а
,
а а
(
, (
, ,
а а
а а А :
а.
ав
А
,
ав
а
а
»
в (
а
,
)
. )
.
,
Ч ). Э ,
,
,
,
,
,
. ,
. ,
,
d 2u f ( x) , 0 x l , dx u(0) u0 , u (l ) ul .
Э
[0, l ]
,
,
(m ) x0 0 , x1 h , x2 2h , …, xm mh . . :
d 2u ( xi ) dx 2
. h l / m.
u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2
. . :
2
ui 1 2ui ui 1 h f i ,
ui u( xi ) , f i f ( xi ) .
Т=1,2, …,m-1.
.
.
.
):
© . .
,
,
.
.
,
m-1
Т=0
Т=m (
,
Т=0
m-1 Т=m,
«
»
2 1 1 2 1 1 2 1 A ... ... ... 1 2 1 1 2
h 2 f ( x1 ) u 0 h 2 f ( x2 ) 2 h f ( x3 ) . b ... 2 h f ( xm 2 ) h 2 f ( x m 1 ) u m ,
.
. (
:
)
2u 2u f ( x) x y ug . .
[0, l;0, l ] .
С= Х/m xi , y j ,
m=4
. i, j = 0,1, …,m.
:
.Ч
: 2
d u ( xi , y j ) dx 2 © . .
,
.
.
u ( xi 1 , y j ) 2u ( xi , y j ) u ( xi 1 , y j ) h2 ,
,
,
«
d 2 u ( xi , y j ) dy 2
u ( xi , y j 1 ) 2u ( xi , y j ) u ( xi , y j 1 ) h2 ,
(m 1) 2
»
.
uij u( xi , y j ) , f ij f ( xi , y j ) ,
(m 1) 2
:
ui 1, j ui, j 1 4uij ui, j 1 ui 1, j h 2 f ij . .
,
10 000
.
. ,
( ё
, ,
.
m=100, –
ё
я
,
100^3 = 1 000 000
0).
100^2 =
.
,
MATLAB .
,
. . ё
.
И
( ,
,
).
,
.
а
А :
в
Ax b ,
x0 ,
x 0 , x1 , …, x k ,
Ф—
(
A. ). Э
1
x* A b x0 .
.
,
M, N -
Mx
k 1
: k
Nx b , AM N,
,
. (rОsТНuКХ): k
r Ax b .
—
© . .
k
.
,
.
. .
,
,
«
»
: x k 1 x k M 1r k .
.
0
x , x
2
,
x1 .
, 0
. .
x 0.
,
,
0
x ,
. M 1 .
,
. ,
.
.
MATLAB ,
.
.
,
, .
,
,
. ,
,
.
,
, ,
,
И
.
,
а
.
а
а
(L. F. RТМСКrНson)
x k 1 x k r k x k b Ax k ( E A) x k b . , M E , N A.
Э
.
A ,
,
Л, xk
.
x k 1 .
x0 b .
xk
rk
. , ,
. © . .
,
.
.
,
,
r k / bk .
,
xk
«
»
,
A 2. , x
0 1 -
k 1
(
k
:
k
x r ,
).
.
0.25 .
а а , 0.25 а
.
.
в ; ; . .
MКtLКЛ pМР(), . MКtLКЛ biМР(),
© . .
,
.
.
.
,
,