«
Л
я
5.
я
В
ё
ЛА .
. QR
.
»
.
я
В . . , n! 10^−6 М,
.
—
n×n
, n=20
0.005
,
:
,
.
,
.
,
,
(n-1) n!
,
, LU
-
; ,
,
;
.
, LU , : det A det L det U l11l22 ...lnn . LU .
L
.
.
x A1b
Ax b .
,
,
A 1 .
,
, И
, AX E ,
X A
1
, E -
-
,
x12 1 0 . x22 0 1
a11 a12 x11 a 21 a22 x21
:
© . .
.
:
n=2
,
.
.
,
A
, LU
,
.
«
»
a11 x11 a12 x21 a11 x12 a12 x22 1 0 a x a x . 22 21 a 21 x12 a 22 x22 0 1 21 11 : a11 x11 a12 x21 1 a11 x12 a12 x22 0 , . a 21 x11 a22 x21 0 a 21 x12 a 22 x22 1 A,
. nxn
n j
j
Ax , j 1,..., n , x j - j-
, j - jAx j j
,
. , L
. Э
.
LU U,
,
.
.
-
, ё
.
-
ЛА .
.
в.И
xi , y i
,
y (x) .
, .
(x)
,
y (x)
. Ч
y a11 ( x) a2 2 ( x) ... am m ( x) , , a1 ,..., am -
1 ( x),..., m ( x) -
.
j ( x) x j 1 .
xi , y i ,
n
a1 ,..., am Pa y ,
1 ( x1 ) 2 ( x1 ) ( x ) ( x ) 2 2 P 1 2 ... ... 1 ( xn ) 2 ( xn ) © . .
,
.
.
... m ( x1 ) y1 a1 y ... m ( x2 ) a2 , a , y 2 . ... ... ... ... ... m ( xn ) yn a m ,
,
«
»
.
Pa y
n>m (
),
:
,
,
.
.
,
.
,
)
(
,
К, .
. ,
.
a (a1 ,..., am )T , 2
I y Pa . –
:
PT Pa PT y .
PT P
(
m ).
P
.
Pa y
, P
1 ( x),..., m ( x)
m,
,
,
. .
PT P
.
. я
QR QR
,
я
я .
,
.
,
, Pa y .
Q -
n x n.
QT Pa QT y . s QT y QT Pa QT y Pa QT r s r , , QT Pa QT y .
Q -
Pa y
a (a1 ,..., am )T
,
,
.
r
s . .
И
© . .
ё
Pa y QRa y ,
QR
,
.
.
,
,
ё
:
«
»
QT QRa QT y , Ra QT y . R r11 0 0 0 0 0 ... 0 ,
P, ,
...
r12
r13
r22
r23 ...
0
r33 ...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
...
...
...
0
0
... R
ё
r1m r2m r3m ... rmm 0 ... 0
е
,
c1 c 2 a1 a c3 2 ... . a3 = cm ... c m 1 a m ... c n ,
m е вых
,
P
,
ав е m
Ra QT y . .
я (
)
ё QR
.
.
;
MatLab
MatLab
;
MatLab MatLab
; ; MatLab ;
© . .
,
.
.
,
,
ё
: