Proyecto uso didactico de las TIC en el aula by Pontificia Universidad Católica de Chile

Proyecto Uso Didรกctico de las TIC en el Aula

Septimo

Instituciones participantes: Enlaces, Centros de Educación y Tecnología del Ministerio de Educación Pontificia Universidad Católica de Chile, Sede Villarrica y Dirección de Informática. O”Higgins 501. Villarrica Fono: (45) 411667 Autores:

Hernán Rivas Catricheo Sonia Vasquez Garrido Heidy Ringler Arratia Héctor Zúñiga Sandoval

Diseño, ilustraciones y diagramación: Gabriela Cervera Pablo Gutiérrez 1ª Edición Tiraje: 500 copias

Proyecto Uso Didáctico de las TIC en el Aula

Cuadernillo del Alumno Séptimo Año Básico Director de Proyecto:

Hernán Rivas Catricheo

Autores:

Hernán Rivas Catricheo Sonia Vasquez Garrido Heidy Ringler Arratia Héctor Zúñiga Sandoval

Co autores:

Nicsia Retamal Opazo Jorge Huequemán Moreno Rodrigo Montanares Calderón Ariel Araneda Carrasco

Colaboradora:

Ismenia Guzman Retamal

Pontificia Universidad Católica de Chile, Sede Villarrica Villarrica, Chile, diciembre de 2008

INDICE

Presentación

Organización del trabajo en el aula

Guías de trabajo: Guía N° 1 Guía N° 2

: Construcción de un triángulo : Triángulos, características de sus ángulos

Guía N° 3 Guía N° 4

: Postulados de congruencia de triángulo : Clasificación de triángulos según sus lados

Guía N° 5 Guía N° 6 Guía N° 7 Guía N° 8 Guía N° 9 Guía N° 10

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Clasificación de triángulos según sus ángulos Altura y simetral o mediatriz Bisectriz, transversal de gravedad y mediana Área y perímetro de triángulos Grupos de triángulos de igual área Creación de circunferencias y sus elementos

10 18 26 34 42 52 60 68 76 84

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PRESENTACIÓN

Este cuadernillo que te hemos entregado, no es un compendio de definiciones, teoremas o innumerables ejercicios de aplicación. Aunque de alguna forma contenga también esto, lo que busca es facilitarte el acercamiento a algunos tópicos de la geometría a través de situaciones que te permitirán experimentar con dichos contenidos mediante la utilización de recursos tecnológicos y otros materiales presentes en el aula. En cuanto a su estructura, el cuadernillo está conformado por diez secuencias didácticas que contienen diversas actividades de aprendizaje enmarcadas en tres estaciones de trabajo: Uso de TIC, Uso de Material Concreto y Uso de Regla y Compás. A medida que vayas avanzando en el desarrollo de las clases, y a través del uso integrado de los recursos tecnológicos con los instrumentos convencionales de construcción y medición (regla, compás, escuadra y transportador) y material concreto, tendrás la posibilidad de experimentar y descubrir nuevos saberes en el plano de la geometría; particularmente, los referidos al estudio de triángulos, cuadriláteros y círculos. Dado que en las clases se privilegiará el trabajo grupal, es importante que tu participación sea democrática; respetando los espacios de participación de tus compañeros (as) y dando a conocer tus opiniones al grupo en relación a los temas trabajados. La invitación que te hacemos, es a participar activamente; enfrentando, descubriendo y experimentando los desafíos y resolviendo todas las actividades propuestas.

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ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO EN EL AULA TRABAJO EN ESTACIONES Para el desarrollo de las actividades en el aula se plantea una metodología de trabajo en estaciones, en la cual, el curso se divide en grupos de tres o cuatro estudiantes los que deben ir rotando por tres estaciones de trabajo. Las estaciones son las siguientes:

Estación Uso de TIC Etapa de trabajo con Tecnologías de la Información y Comunicación (software Cabri Geometry, Animaciones Virtuales y Plataforma Virtual).

Estación Uso de Material Concreto Etapa de trabajo co n mater ial ta n gi b l e (geoplano,tangrama, rompecabezas de triángulo).

Estación Uso de Regla y Compás Etapa de trabajo con instrumentos de medición y construcción de figuras geométricas (regla, escuadra, transportador y compás).

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DESCRIPCIÓN DEL CUADERNILLO Para facilitar la comprensión de este cuadernillo, encontrarás al inicio de cada página un encabezado con íconos, jerarquías y textos que te entregarán información acerca de la estación, guía y contenido en que te encuentras. En el siguiente ejemplo, el encabezado indica que el alumno se encuentra en la estación Uso de TIC, en la guía número 1 y en el contenido Construcción de un triángulo. Indica la estación en que te encuentras. Indica la guía en que te encuentras. Indica el contenido a trabajar en la clase.

Construcción de un triángulo Estación Uso de TIC Nombre de la estación en que te encuentras.

Después de cada secuencia didáctica encontrarás “hojas de trabajo”, las cuales se encuentran en blanco y dispuestas para el desarrollo de los ejercicios propuestos. El cuadernillo contiene además actividadades de funcionamiento después de la quinta y décima secuencia, las que te permitirán aplicar los contenidos aprendidos en las clases anteriores. Para resolverlas te puedes apoyar en las Animaciones Virtuales. Las actividades de funcionamiento las reconocerás con el siguiente ícono:

Actividad de funcionamiento

Ahora comenzaremos con el trabajo, ¡Buena suerte!

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Construcción de un triángulo Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri Cond_ const_triangulo que se encuentra disponible en la sección Material de clase.

SITUACIÓN INICIAL: Considerando las siguientes medidas intenta construir 3 velas de forma triangular para el siguiente velero. a) b) c)

2 cm., 4 cm. y 5 cm. 2 cm., 3 cm. y 6 cm. 2 cm., 1 cm. y 5 cm.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿En cuál de los casos anteriores se puede construir la vela? ¿En cuáles no?

2. ¿Por qué no se puede construir la vela en algunos casos?

3. ¿Qué relación hay entre la medida de los lados donde se puede construir la vela con aquellos que en donde no se puede construir?

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Construcción de un triángulo Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Varillas de diferentes longitudes.

SITUACIÓN INICIAL: Con las varillas entregadas, arma todas las formas triangulares que se puedan construir. Utiliza sólo tres de ellas para cada figura. Las varillas deben quedar unidas por sus extremos como se muestra a continuación:

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Si se toman tres varillas cualesquiera. ¿Es siempre posible formar un triángulo uniendo las varillas por sus extremos? ¿Qué sucede?

2. ¿Qué condiciones se deben dar entre las medidas de los lados para poder formar un triángulo?

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Construcción de un triángulo Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Lápiz, regla y compás.

SITUACIÓN INICIAL: Un soldador tiene barras de alambre con las medidas y colores que se indican para armar distintas figuras triangulares. ¿Cuántas figuras puedes construir utilizando siempre tres colores distintos y uniendo los alambres por sus extremos?, Dibújalas.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuáles son las longitudes de los alambres con las que se pueden formar triángulos?

2. ¿Con qué alambres no es posible armar una figura triangular? ¿Por qué?

3. ¿Cuáles son las condiciones de las medidas de los lados en cualquier tipo de triángulo?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores

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Triángulos, características de sus ángulos Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad debes acceder a la Plataforma Virtual y abrir el archivo de Cabri Triang_ caract_angulos que se encuentra disponible en la sección Material de Clase.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando las herramientas de Cabri, construyan las partes que faltan para completar el siguiente sobre.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos que permiten completar las formas triangulares?

2. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores en cada forma triangular?

3. Construyan con Cabri un triángulo cualquiera y verifiquen cuál es la suma de la medida de sus ángulos interiores. ¿Se obtendrá siempre el mismo resultado?

4. En el triángulo anterior tracen una recta que pase por un vértice y en forma paralela al lado opuesto, ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos que se formaron en la intersección de la recta con el vértice? ¿Qué relación existe entre la suma de las medidas de los ángulos interiores y los ángulos que se formaron al trazar la paralela?

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Triángulos, caracteristicas de sus ángulos Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Rompecabezas de triángulos y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: Arma distintas regiones triangulares utilizando en cada caso, cuatro piezas de igual forma y tamaño.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de los triángulos formados?

2. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de estos triángulos? ¿Sucederá lo mismo en cualquier tipo de triángulo?

3. ¿Cómo se podría demostrar el siguiente teorema con el material entregado? * Si α, β y γ representan las medidas de los ángulos interiores de un triángulo entonces, la suma de sus medidas es 180º, es decir α + β + γ = 180º

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Triángulos, características de sus ángulos Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Lápiz, regla, transportador, escuadra y compás.

SITUACIÓN INICIAL: Determinen el mayor número de formas triangulares que se pueden observar en la siguiente figura:

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. En la configuración dada, calculen la medida de los ángulos interiores de tres triángulos visualmente diferentes. ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos en cada uno de ellos?

2. Construyan un triángulo cualquiera y tracen una recta que pase por un vértice en forma paralela al lado opuesto, ¿Cuál es la medida de los ángulos que se formaron en la intersección de la recta con el vértice del triángulo? ¿Cuánto miden en total? ¿Cuál es la medida de cada uno de los ángulos interiores del triángulo? ¿Existe alguna relación entre las medidas de los ángulos interiores y los ángulos que se formaron al trazar la paralela?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Postulados de congruencia de triángulos Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri Cong_ triangulos que se encuentra disponible en la sección Material de clase.

SITUACIÓN INICIAL: Usando las herramientas disponibles en Cabri, completa la segunda configuración para obtener una exactamente igual a la primera.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué estrategia siguieron para completar la configuración?

2. ¿Cómo se puede comprobar que ambas configuraciones son exactamente iguales?

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Postulados de congruencia de triángulos Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Rompecabezas de triángulos.

SITUACIÓN INICIAL: Con el material entregado forma la siguiente configuración.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Seleccionen aquellas piezas que son exactamente iguales entre sí. ¿Qué características comunes tienen dichas piezas?

2. ¿Qué elementos considerarían para copiar una de las piezas triangulares de modo que quede exactamente igual a la primera? ¿Será suficiente considerar sólo la medida de los ángulos?

3. Si se considera la medida de dos lados y la del ángulo comprendido entre ellos, ¿Se podrá construir un triángulo exactamente igual a uno dado? ¿Por qué?

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Postulados de congruencia de triángulos Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Lápiz, regla, compás, escuadra y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: El profesor de Tecnología de 7º Año tiene tres tipos de servilleteros con las caras laterales en forma triangular y desea que sus alumnos los construyan. Para ello, les dio la siguiente información: _ Servilletero Nº 1: Lado a =11 cm.; lado b =13 cm.; lado c =15 cm. _ Servilletero Nº 2: Ángulo ABC= 60º; Ángulo BCA= 60º; Ángulo CAB= 60º. _ Servilletero Nº 3: Angulo ABC= 60º; Lado AB= 5 cm; Ángulo BAC= 45º. Intenta construir los tres tipos de servilleteros

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿En cuál o cuáles de los tres tipos de servilleteros se puede asegurar que siempre es posible construir un servilletero exactamente igual al solicitado por el profesor? ¿Porqué?

2. ¿Qué datos faltan para construir el total de servilleteros solicitados por el profesor?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Clasificación de triángulos según sus lados Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri Clasific_ triangulos_lados que se encuentra disponible en la sección Material de clase.

SITUACIÓN INICIAL: En la red de puntos, construyan el máximo de triángulos posibles, donde cada punto pertenezca a un solo triángulo.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Teniendo en cuenta las características comunes entre los triángulos formados, ¿Cuántos grupos de triángulos se pueden formar?

2. ¿Qué elementos consideraron para hacer la clasificación anterior?

3. ¿Conocen el nombre que reciben algunos de estos triángulos? Menciónenlos.

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Clasificación de triángulos según sus lados Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Rompecabeza de triángulo.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando dos piezas del rompecabeza de triángulos en cada caso armen tipos de veleros como el que se muestra en la figura.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Si observan las características comunes entre las formas triangulares que componen estos veleros, ¿Cuántos grupos de triángulos se pueden formar?

2. ¿Qué características tienen los triángulos que conforman cada grupo?

3. ¿Conocen el nombre que reciben estos triángulos? Menciónenlos.

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Clasificación de triángulos según sus lados Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Lápiz y regla.

SITUACIÓN INICIAL: Determina cuántos tipos de triángulos diferentes hay en el siguiente mosaico.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Según la relación entre los lados, ¿Cuántos grupos de triángulos se pueden formar con los triángulos que contiene el mosaico anterior?

2. ¿Qué características tienen los triángulos que conforman cada grupo?

3. ¿Conocen el nombre de alguno de los triángulos dibujados? Menciónelos.

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Hojas de trabajo

En caso de que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Clasificación de triángulos según sus ángulos

Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder al Software Cabri y abrir un archivo nuevo. Una vez terminada la actividad guardarlo con el nombre , Clasific_triang_angulos.

SITUACIÓN INICIAL: Reproduzcan en Cabri la siguiente figura sabiendo que ABCD es rectángulo y respetando la condición: G es punto medio del segmento de DC y F es punto medio del segmento AB.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Midan los tres ángulos interiores de los triángulos AED, ABG y BCF. ¿Qué diferencias se observan entre estos tres tipos de triángulos?

2. Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en acutángulo, rectángulo y obtusángulo, ¿Qué características tendrán cada uno de estos triángulos?

3. ¿Es posible construir un triángulo isósceles y que a la vez tenga un ángulo obtuso? ¿Y un triángulo escaleno que tenga un ángulo recto? ¿Por qué?

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Clasificación de triángulos según sus ángulos Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Rompecabezas de triángulos y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: Con el material entregado, armen tres triángulos diferentes utilizando 4 piezas iguales en cada figura.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuántos ángulos agudos, obtusos y rectos tiene cada figura? Anoten sus datos en la tabla. Ángulos agudos

Ángulos obtusos

Ángulos rectos

Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 2. Comenten sobre las características de cada uno de los triángulos construidos en relación a la medida de sus ángulos y anoten sus conclusiones.

3. Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en acutángulo, rectángulo y obtusángulo, ¿Qué características tendrán cada uno de estos triángulos?

4. ¿Es posible armar un triángulo isósceles acutángulo? ¿Y un triángulo equilátero que tenga un ángulo recto?

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Clasificación de triángulos según sus ángulos Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Lápiz, regla, compás y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: Reproduzcan la figura dada en los puntos ubicados a su derecha. Deben respetar las siguientes condiciones: -No pueden pasar dos veces por un mismo segmento. -Pueden cortar los segmentos ya dibujados. -No pueden levantar el lápiz.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuántos ángulos agudos, obtusos y rectos tiene cada uno de los siguientes triángulos? Triángulo ABC Triángulo BCO Triángulo DCE 2. ¿Qué diferencias observan en cada uno de estos triángulos teniendo en cuenta la medida de sus ángulos?

3. ¿Cuáles son las características de un triángulo isósceles rectángulo?

4. ¿Se puede construir un triángulo equilátero obtusángulo? ¿Por qué?

5. Dado un triángulo cualquiera ¿Qué relación existe entre el ángulo de mayor medida y su lado opuesto? ¿Y entre el ángulo de menor medida y su lado opuesto? Muestren con algún ejemplo.

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Hojas de trabajo

En caso de que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Actividades de funcionamiento

Para realizar las actividades planteadas, puedes apoyarte en las animaciones virtuales alojadas en la sección material de clases en la Plataforma Virtual. ACTIVIDADES: 1. Considerando a, b y c como los lados de un triángulo. ¿En cuál de los siguientes casos es posible construir un triángulo? ¿Por qué? Lado a = 3 cm, Lado b = 3 cm, Lado c = 5 cm.

Lado a = 4 cm, Lado b = 2 cm, Lado c = 6 cm.

2. En el triángulo ABC ¿Cuál de las siguientes medidas no podría ser considerada para el lado CB? ¿Por qué? C a) 9 cm b) 11 cm 4 cm c) 7 cm A 6 cm

3. Sin medir con transportador, calcula la medida de X en los siguientes triángulos. C

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60º X = ________

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125º B

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55º

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X X = ________

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4. Supóngase que alguien cortó de un papel el siguiente triángulo. 3 1

Las esquinas del triángulo se cortaron y colocaron juntas tal como se muestra en la figura 2 1

¿Qué se observa acerca de la medida de los ángulos? ¿Es eso cierto para todos los triángulos? Completa la siguiente generalización: La suma de la medida de los ángulos interiores de un triángulo es _______ 5. Copia dos veces el triángulo ABC usando un procedimiento distinto para cada caso. C

A B ¿Qué postulados de congruencia están presentes en cada procedimiento? Explica cada uno de ellos. 6. Completa la tabla y dibuja los triángulos de acuerdo a los datos registrados. Triángulo ABC DEF GHI

Lado o ángulo a = 8 cm EDF=120º h = 5 cm

Lado o ángulo b= e = 10 cm i = 5 cm

Lado o ángulo e= f = 7 cm IGH = 80º

Tipo de triángulo Tipo de triángulo según sus lados según sus ángulos Equilátero

7. ¿Es posible construir los siguientes triángulos? Explica en cada caso. a.- Equilátero rectángulo b.- Isósceles rectángulo c.- Obtusángulo equilátero

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Altura y simetral o mediatriz Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder al Software Cabri, abrir un archivo nuevo y guardarlo con el nombre Altura_simetral.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando las herramientas de Cabri, construye un triángulo isósceles cuyos vértices sean puntos de una circunferencia.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. En la figura construida, tracen una recta que pase por el centro de la circunferencia y que sea perpendicular a un lado del triángulo. Luego desde uno de los vértices tracen una recta perpendicular al lado opuesto ¿Cúal es la diferencia entre ambas perpendiculares? ¿Cuál de estos elementos corresponde a la altura y cuál a la simetral o mediatriz?

2. Dibujen un triángulo cualquiera y tracen las tres mediatrices y las tres alturas utilizando colores diferentes para cada elemento. ¿Qué sucede con las alturas si mueven el triángulo desde uno de sus vértices? ¿Sucede lo mismo con las mediatrices o simetrales?

3. ¿Es posible trazar una circunferencia circunscrita al triángulo con centro en la intersección de las tres alturas? ¿Y con centro en la intersección de las mediatrices?

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Altura y simetral o mediatriz Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano, regla y escuadra.

SITUACIÓN INICIAL: En el geoplano forma un triángulo isósceles rectángulo, cuyos catetos tengan un número par de unidades de longitud. Dibuja la figura creada.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Determinen el punto medio de los lados y tracen la perpendicular a cada lado que pase por dicho punto. ¿La intersección de estas perpendiculares queda ubicada al interior o fuera del triángulo? ¿Sucederá siempre lo mismo?

2. Desde cada uno de los vértices del triángulo dibujen un segmento perpendicular a su lado opuesto. ¿Dónde se intersecan estas tres perpendiculares? ¿Sucederá lo mismo en cualquier tipo de triángulo?

3. En las actividades anteriores están involucrados los conceptos de altura y simetral o mediatriz, ¿Cómo definirían cada uno de estos conceptos?

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Altura y simetral o mediatriz

Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Lápiz, regla, escuadra y compás.

SITUACIÓN INICIAL: En la parte más alta de una carpa hay una araña, ¿Cómo debe descender para elegir la forma más corta de llegar hasta el suelo? Dibuja el recorrido de la telaraña.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Según la medida de sus ángulos ¿Qué tipos de triángulos se observan en la figura de la carpa?

2. Imaginen que la araña lanza su tela desde los vértices A, D y C en forma perpendicular al lado opuesto, ¿Cómo queda representado el recorrido de la tela? ¿Dondé se intersecan estos tres recorridos? Realicen la misma actividad para el triángulo DEC ¿Dondé se intersecan los tres recorridos en este caso?

3. En el triángulo ABC, determinen el punto medio de los lados y tracen la perpendicular a cada lado que pase por dicho punto. ¿Es posible construir una circunferencia con centro en la intersección de estas tres perpendiculares y que sea circunscrita al triángulo ABC?

4. En las actividades anteriores están involucrados los conceptos de altura y simetral o mediatriz, ¿Con cuáles de estos se elementos relaciona los recorridos de las telas dibujadas?

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Hojas de trabajo

En caso de que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Bisectriz, transversal de gravedad y mediana

Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri Bisectriz_ Mediana_Transversal que se encuentra en la sección Material de clase.

SITUACIÓN INICIAL: En un taller se pide reforzar una rueda (como la de la figura) debiéndose instalar cuatro nuevos rayos. La exigencia planteada, es que los rayos contiguos formen arcos de igual medida. Representa la situación anterior utilizando las herramientas disponibles en Cabri.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Los nuevos rayos dibujados representan el concepto de bisectriz de un ángulo. ¿Qué características posee dicho elemento?¿Cúal es la bisectriz del ángulo AOB?

2. Construyan un nuevo triángulo y determinen los puntos medios de cada lado; luego, tracen los segmentos desde cada vértice al punto medio del lado opuesto. Estos segmentos se denominan transversales de gravedad. Con un color distinto al anterior, unan mediante segmentos los puntos medios de cada lado del triángulo. Los segmentos construidos se denominan medianas. ¿Qué relación existe entre los triángulos formados al trazar las medianas?

4. ¿Con centro en la intersección de cúal de los elementos anteriores (bisectrices, transversales de gravedad y medianas) se puede construir una circunferencia inscrita al triángulo?

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Bisectriz, transversal de gravedad y mediana Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Rompecabezas de triángulos.

SITUACIÓN INICIAL: Con el rompecabezas de triángulos, arma todos los triángulos posibles utilizando cuatro piezas de igual forma y tamaño para cada figura. Dibújalos.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Dónde están ubicados los vértices del triángulo que se encuentra al centro de cada figura? ¿Por qué sucede esto?

2. Los segmentos que unen los puntos medios de un triángulo se llaman medianas ¿Qué relación existe entre la mediana y el lado opuesto del triángulo?

3. En una de las piezas triangulares tracen los segmentos desde cada vértice al punto medio del lado opuesto. Estos segmentos se denominan transversales de gravedad. 4. ¿Dónde queda ubicado el punto de intersección de las tranversales de gravedad? ¿Sucederá lo mismo en cualquier tipo de triángulo?

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Bisectriz, transversal de gravedad y mediana Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla, escuadra y compás.

SITUACIÓN INICIAL: A partir de un triángulo equilátero, construyan la mayor cantidad de nuevos triángulos equiláteros generando subdivisiones en su interior como se muestra en la figura.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué se debe considerar para que los triángulos generados sean siempre equiláteros?

2. Dibujen un triángulo cualquiera y construyan geométricamente los segmentos que dividan los ángulos interiores del triángulo en dos partes congruentes, ¿Es posible construir una circunferencia inscrita en el triángulo con centro en la intersección de estos segmentos?

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Hojas de trabajo

En caso de que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Área y perímetro de triángulos Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri Area_ Perimetro que se encuentra disponible en la sección Material de clase.

SITUACIÓN INICIAL: Un vendedor que tiene un carro cuyas caras laterales son de forma rectangular, desea pintar sus lados de dos colores, blanco y verde como se muestra en la figura. ¿De qué color deberá comprar más pintura o deberá comprar la misma cantidad de ambos colores? Utiliza la animación y las herramientas disponibles en Cabri para hacer tus comprobaciones.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es la medida del área de los triángulos que componen la configuración?

2. Sumen las áreas de los triángulos ADE y BCD. ¿Qué relación se observa entre la suma anterior y el área del triángulo ABD?

3. Muevan el punto D sobre el lado EC del rectángulo. ¿Se mantiene la relación anterior?

4. Construyan dos nuevos paralelogramos y tracen una de sus diagonales, ¿Cómo es el área de cada uno de los triángulos que se forman en relación al área del paralelogramo que los contiene?

5. Sabiendo que para calcular el área de un paralelogramo se debe multiplicar su base por la altura, ¿Cuál será la forma para calcular el área de un triángulo ?

6. Calculen la medida del perímetro de cada uno de los triángulos que construyeron. ¿Les parece correcta la fórmula a + b + c para calcular el perímetro del triángulo ABC?

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Área y perímetro de triángulos Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: Construye en el geoplano la siguiente figura. ABCD es rectángulo y E es punto medio del lado AB.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué relación se observa entre el área del triángulo CDE y la del rectángulo ABCD?

2. Construyan en el geoplano dos nuevos paralelogramos y representen una de sus diagonales. ¿Cómo es el área de los triángulos que se forman al interior de cada paralelogramo en relación con el área del paralelogramo que los contiene?

3. Si el área de un paralelogramo es igual a la base por su altura, ¿Cuál será la forma para calcular el área de un triángulo?

4. Representen en el geoplano diferentes tipos de triángulos y calculen aproximadamente su perímetro. ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un triángulo?

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Área y perímetro de triángulos Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla, escuadra y compás.

SITUACIÓN INICIAL: Dibuja todos los polígonos convexos distintos que se pueden armar con las siguientes piezas. ¿Cuántos de ellos son paralelogramos?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué relación existe entre el área de uno de los triángulos y el área del cuadrado?

2. ¿Se mantendrá la relación establecida anteriormente en cualquier paralelogramo al dividirlo por una de sus diagonales?

3. Si el área de un paralelogramo es igual a la base por su altura, ¿Cuál será la forma para calcular el área de un triángulo?

4. Calculen el perímetro de las figuras construidas. ¿Cómo hicieron para calcular dicho perímetro?

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Hojas de trabajo

En caso de que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Grupos de triángulos de igual área

Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri Triang_ igual_area que se encuentra disponible en la sección Material de clase.

SITUACIÓN INICIAL: En un avión se desean pegar dos lienzos; uno en el ala lateral (representada en el dibujo por el triángulo DEF) y otro en el ala trasera (representada en el dibujo por el triángulo ABC) de modo que los lienzos cubran la superficie total de cada ala. ¿En cuál de las dos alas del avión se ocupa mayor cantidad de tela al momento de confeccionar los lienzos? o ¿Se ocupará la misma cantidad?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Sin usar la herramienta “medida de área”, ¿Cómo se puede comprobar cuál es el área que ocupan ambas alas del avión?

2. ¿Cómo es el área del triángulo ABC en relación al área del triángulo DEF? ¿Qué relación observan entre la base y la altura de estos dos triángulos?

3. ¿Qué sucede con el área y el perímetro del triángulo ABC si se mueve la figura desde el punto C?

4. ¿Es posible construir triángulos que tengan igual área y diferente perímetro?. Muestren algún ejemplo en el computador.

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Grupos de triángulos de igual área Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: Representa en el geoplano dos triángulos de base y altura diferente pero que tengan la misma área. ¿Qué otros casos se pueden encontrar?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN : •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Por qué se da la relación de igualdad entre las áreas de los triángulos construidos en la situación anterior?

2. Representen en el geoplano un triángulo cualquiera y muevan uno de sus vértices en forma paralela al lado opuesto. ¿Cómo es el área de los nuevos triángulos que se forman en relación al área del triángulo original? ¿Por qué se da esta relación entre sus áreas?

3. ¿Qué conclusiones se pueden obtener de las experimentaciones realizadas?

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Grupos de triángulos de igual área Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Escuadran y regla.

SITUACIÓN INICIAL: En la primera de las siguientes redes dibuja todos los triángulos de base igual a tres unidades y altura igual a cuatro unidades. En la segunda red, dibuja el máximo de triángulos cuya base sea cuatro unidades y la altura tres unidades. En ambos casos los vértices deben estar ubicados en uno de los puntos.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cómo es el área de los triángulos dibujados en la primera red si se comparan entre si? ¿Cómo se justifican estos resultados? ¿Tienen todos los triángulos el mismo perímetro?

2. ¿Cómo es el área de los triángulos dibujados en la segunda red si se comparan entre si?

3. ¿Cómo es el área de los triángulos dibujados en la primera red en relación al área de los triángulos dibujados en la segunda red?

4. Escriban algunas conclusiones de las experimentaciones realizadas.

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Hojas de trabajo

En caso de que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Creación de circunferencias y sus elementos Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder al Software Cabri y abrir un archivo nuevo. Una vez terminada la actividad guardarlo con el nombre, Circunferencia_elementos.

SITUACIÓN INICIAL: En una ciudad se está remodelando la plaza y se desea construir una pileta de forma circular con 8 focos en su contorno ubicados a la misma distancia. ¿Cómo harías para representar esta situación utilizando las herramientas de Cabri?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. En la construcción realizada representen los siguientes elementos: un segmento que una dos focos seguidos, el segmento de mayor longitud entre dos focos, un segmento que una el centro de la circunferencia con uno de los focos, una línea curva que contenga tres focos. ¿Con cuáles de los elementos de la circunferencia que se definen a continuación se relacionan las construcciones realizadas? Circunferencia: línea curva cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Centro: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: cuerda que pasa por el centro. Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Círculo: es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia. Segmento circular: porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente Sector circular: porción de círculo limitada por dos radios.

2. ¿Qué relación hay entre la longitud del radio y la longitud del diámetro ?

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Creación de circunferencias y sus elementos Uso de Material Concreto

MATERIALES: Tangrama.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando algunas piezas del tangrama representa y dibuja la siguiente situación: La municipalidad piensa hacer una piscina circular para todos los niños de la comuna. Los administradores están pensando que para que los niños ocupen toda la piscina y no se concentren solamente en las orillas, deben instalar trampolines y pasarelas de la siguiente forma: _Tres trampolínes en línea recta que permita recorrer la piscina desde una orilla hasta el centro de la misma. _Una pasarela en línea recta que cruce la piscina y sea la más extensa que se pueda construir dentro de ella.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cómo es la longitud de cada trampolín comparado con la longitud de la pasarela más extensa construida?

2. ¿A cuál de los siguientes elementos de la circunferencia asocian los trampolines y a cuál la pasarela? Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: cuerda que pasa por el centro. Sector circular: porción de círculo limitada por dos radios.

3. Consideren la información anterior y señalen el número de sectores circulares que conforman la figura de la piscina.

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Creación de circunferencias y sus elementos Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla, escuadra, compás y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: En una pista de forma circular hay cuatro banderines; dos de ellos son de color rojo y dos de color amarillo. Los banderines están ubicados por el contorno de la pista, distribuidos de manera alternada (uno rojo, uno amarillo, uno rojo y uno amarillo) y ubicados a una misma distancia. Construye geométricamente el diseño de la pista.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. En el diseño construido representen las siguientes situaciones: _Un recorrido desde un banderín rojo a otro banderín rojo por el contorno de la pista. _Un recorrido desde un banderín amarillo al centro de la pista. _El recorrido más corto y el recorrido más largo entre dos banderines siguiendo una línea recta. _Un recorrido que pase por fuera de la pista intersectando un solo banderín. ¿A cuál de los siguientes elementos de la circunferencia asocian cada uno de los recorridos dibujados? Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: cuerda que pasa por el centro. Tangente: recta que intersecta a la circunferencia exactamente en un punto. Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

2. ¿Cómo es la longitud del recorrido desde un banderín amarillo al centro de la circunferencia en relación con el recorrido más largo entre dos banderines siguiendo en línea recta?

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Hojas de trabajo

En caso de que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Actividades de Funcionamiento

Para realizar las actividades planteadas, puedes apoyarte en las animaciones virtuales alojadas en la sección material de clases en la Plataforma Virtual. 1. Traza las tres alturas en cada uno de los siguientes triángulos indicando el ortocentro. G

2. Explica cada uno de los siguientes conceptos y ejemplifica mediante un dibujo. a.- Mediatriz b.- Bisectriz c.- Transversal de gravedad d.- Mediana 3. Calcula el perímetro del triángulo ADC y el área de triángulo ABC. Sabiendo que D es punto medio del lado AB C

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3 cm D

4 cm

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4. Responde las siguientes preguntas _El área de un triángulo es 24 cm2 y su base mide 8 cm. ¿Cuál es la medida de la altura? _¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 16 cm y 6 cm? 5. Construye cuatro triángulos de distinta forma y de igual área. 6. Construye una circunferencia de radio 5 cm y traza los siguientes elementos; cuerda, diámetro, tangente y secante.

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AGRADECIMIENTOS

Expresamos nuestra gratitud a los sostenedores, equipos directivos, profesoras, profesores y estudiantes que aceptaron el desafío de participar durante proyecto. Escuelas Participantes: _Escuela Luís Cruz Martínez - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Epu Klei - Comuna de Villarrica IX Región _Liceo Libertad - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela San José de Calfutúe - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Araucarias - Comuna de Loncoche IX Región _Escuela Alborada - Comuna de Loncohe IX Región _Escuela Domitila Pinna Parra - Comuna de Loncoche IX Región _Escuela Tierra Esperanza - Comuna de Panguipulli XIV Región _Escuela Padre Enrique Römer - Comuna de Panguipulli XIV Región _Escuela Claudio Arrau León - Comuna de Panguipulli XIV Región _Escuela Alexander Graham Bell - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Valentín Letelier - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Mariano Latorre - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Juan XXIII de Huiscapi - Comuna de Loncoche IX Región _Escuela Voipir de Ñancul - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Claudio Arrau - Comuna de Villarrica IX Región

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