Tic en el Aula

Proyecto Uso Didรกctico de las TIC en el Aula

Instituciones participantes: Enlaces, Centros de Educación y Tecnología del Ministerio de Educación Pontificia Universidad Católica de Chile, Sede Villarrica y Dirección de Informática.

O”Higgins 501. Villarrica Fono: (45) 411667 Equipo investigador:

Hernán Rivas Catricheo Sonia Vasquez Garrido Heidy Ringler Arratia Héctor Zúñiga Sandoval

Diseño, ilustraciones y diagramación: Gabriela Cervera Pablo Gutiérrez 1ª Edición Tiraje: 500 copias

Proyecto Uso Didáctico de las TIC en el Aula

Cuadernillo del alumno Octavo Año Básico Director de Proyecto:

Hernán Rivas Catricheo

Autores:

Hernán Rivas Catricheo Sonia Vasquez Garrido Heidy Ringler Arratia Héctor Zúñiga Sandoval

Co autores:

Nicsia Retamal Opazo Jorge Huequemán Moreno Rodrigo Montanares Calderón Ariel Araneda Carrasco

Colaboradora:

Ismenia Guzman Retamal

Pontificia Universidad Católica de Chile, Sede Villarrica Villarrica, Chile, diciembre de 2008

INDICE

Presentación

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Organización del trabajo en el aula

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Guías de trabajo: Guía N° 1 : Relaciones de ángulos entre rectas Guía N° 2 : Relación entre ángulos interiores y exteriores de

polígonos Guía N° 3 : Triángulo rectángulo y teorema de Pitagoras

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Guía N° 4

: Suma de los ángulos interiores de un polígono”

Guía N° 5 Guía N° 6 Guía N° 7 Guía N° 8 Guía N° 9

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34 42 52 60 68 76 84

Perímetro de figuras geométricas Área de triángulos y cuadriláteros Definición del número π (pi) Perímetro de la circunferencia Área del círculo

Guía N° 10 : Perímetro y área de figuras compuestas

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PRESENTACIÓN

Este cuadernillo que te hemos entregado, no es un compendio de definiciones, teoremas o innumerables ejercicios de aplicación. Aunque de alguna forma contenga también esto, lo que busca es facilitarte el acercamiento a algunos tópicos de la geometría a través de situaciones que te permitirán experimentar con dichos contenidos mediante la utilización de recursos tecnológicos y otros materiales presentes en el aula.

En cuanto a su estructura, el cuadernillo está conformado por diez secuencias didácticas que contienen diversas actividades de aprendizaje enmarcadas en tres estaciones de trabajo: Uso de TIC, Uso de Material Concreto y Uso de Regla y Compás.

A medida que vayas avanzando en el desarrollo de las clases, y a través del uso integrado de los recursos tecnológicos con los instrumentos convencionales de construcción y medición (regla, compás, escuadra y transportador) y material concreto, tendrás la posibilidad de experimentar y descubrir nuevos saberes en el plano de la geometría; particularmente, los referidos al estudio de triángulos, cuadriláteros y círculos.

Dado que en las clases se privilegiará el trabajo grupal, es importante que tu participación sea democrática; respetando los espacios de participación de tus compañeros (as) y dando a conocer tus opiniones al grupo en relación a los temas trabajados.

La invitación que te hacemos, es a participar activamente; enfrentando, descubriendo y experimentando los desafíos y resolviendo todas las actividades propuestas.

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ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO EN EL AULA TRABAJO EN ESTACIONES Para el desarrollo de las actividades en el aula se plantea una metodología de trabajo en estaciones, en la cual, el curso se divide en grupos de tres o cuatro estudiantes los que deben ir rotando por tres estaciones de trabajo.

Las estaciones son las siguientes:

Estación Uso de TIC Etapa donde el alumno trabaja con tecnologías de información y comunicación (software Cabri Geometry, animaciones virtuales y Plataforma Virtual).

Estación Uso de Material Concreto Etapa de trabajo con material tangible (geoplano,tangrama, rompecabezas de triángulo).

Estación Uso de Regla y Compás Etapa donde el alumno trabaja con instrumentos de medición y construcción de figuras geométricas (regla, escuadra, transportador y compás).

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DESCRIPCIÓN DEL CUADERNILLO Para facilitar la comprensión y entendimiento de este cuadernillo, al inicio de cada página encontrarás un encabezado con íconos, jerarquías y textos que te entregarán información acerca de la estación, guía y contenido en que te encuentras.

En el siguiente ejemplo, el encabezado indica que el alumno se encuentra en la estación Uso de TIC, en la guía número 1 y en el contenido construcción de un triángulo.

Indica la estación en que te encuentras.

Indica la guía en que te encuentras.

Indica el contenido a trabajar en la clase.

1

Construcción de un Triángulo Estación Uso de TIC Nombre de la estación en que te encuentras.

Después de cada secuencia didáctica encontrarás “hojas de trabajo”, las cuales se encuentran en blanco y dispuestas para el desarrollo de los ejercicios propuestos.

El cuadernillo contiene además actividadades de funcionamiento después de la quinta y décima secuencia, las que te permitirán aplicar los contenidos aprendidos en las clases anteriores. Para resolverlas te puedes apoyar en las Animaciones Virtuales.

Las actividades de funcionamiento las reconocerás con el siguiente ícono:

Actividad de funcionamiento

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Ahora comenzaremos con el trabajo, ¡Buena suerte!

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Relaciones de ángulos entre rectas Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri Relac_ angulos_rectas que se encuentra disponible en la sección Material de clase.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando las herramientas disponibles en Cabri reproduce la siguiente configuración.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. En la configuración realizada, señalen ángulos que tengan la misma medida ¿Qué relación se observa entre ellos?

2. Si se mueve la configuración desde uno de los puntos de movimiento, ¿Qué sucede con la medida de los ángulos?

3. Tracen dos rectas paralelas intersectadas por una secante. Midan los ángulos que se forman y escriban alguna conclusión respecto a la relación que existe entre los ángulos de igual medida.

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Relaciones de ángulos entre rectas

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Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: Reproduce en el Geoplano la siguiente configuración (ABCD es rectángulo).

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuáles de los ángulos de la configuración consideran que tienen la misma medida?

2. Muevan el vértice K a diferentes puntos del Geoplano por sobre el lado DC del rectángulo ABCD. ¿Se mantiene la relación entre los ángulos EIC y KID y entre KIC y KEB?

3. ¿Se mantendrá la relación entre los ángulos KIC y KEB si el segmento AB no fuera paralelo al segmento DC?

4. Establezcan algunas conjeturas que justifiquen la congruencia de los ángulos encontrados.

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Relaciones de ángulos entre rectas

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Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: Encuentren la mayor cantidad de ángulos congruentes en la siguiente configuración (AB, CD y EF son segmentos paralelos).

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Prolonguen la medida del segmento AB; EF y EB en ambos sentidos formando rectas. ¿Qué pares de ángulos congruentes pueden encontrar en las intersecciones de estas rectas?

2. Si se cambia la inclinación de la recta EB en X°, ¿Qué ocurre con la relación entre los ángulos?

3. ¿Cómo se justifica la relación de congruencia que se da entre los ángulos?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Relación entre ángulos interiores y exteriores de polígonos

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Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben abrir un archivo nuevo de Cabri y guardarlo con el nombre Ang_ cuadr_triang.

SITUACIÓN INICIAL: Reproduce en Cabri la siguiente figura. ABC triángulo equilátero y DEF es escaleno. La recta GH pasa por los puntos D y E.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos CEH y DEC? ¿Se da la misma relación entre la suma de la medida de los ángulos ADG y ADE?

2. Mueve el vértice D del cuadrilatero ADEC sobre el lado AB del triángulo ABC. ¿Se mantiene la relación entre la suma de la medidas de los ángulos?

3. BEH es ángulo exterior del triángulo DBE ¿Qué relación existe entre la medida de los ángulos interiores EDB y EBD del triángulo?

4. Qué se puede concluir en relación a: -Relación que existe entre ángulo interior y un exterior contiguo de un polígono.

-Relación entre la medida de un ángulo exterior de un triángulo y la suma de los ángulos interiores no contiguos a el

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Relación entre ángulos interiores y exteriores de polígonos Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: Reproduce en el geoplano la siguiente configuración.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos ABC y CBJ?

2. ¿En qué otra parte de la configuración se da la relación anterior?

3. ¿Cuánto suma un ángulo interno y el externo contiguo (ángulos adyacentes) en un triángulo y en un cuadrilátero? ¿Sucederá lo mismo en cualquier tipo de polígono?

4. ¿Qué relación se da entre la medida de un ángulo exterior de un triángulo y la suma de los dos ángulos interiores no contiguos a él?

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Relación entre ángulos interiores y exteriores de polígonos Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Compás, regla y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: A partir del punto A construye, usando sólo compás, tres nuevos puntos de manera que se pueda formar un cuadrado.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

. Construyan el cuadrado ABCD que queda determinado por los puntos creados en la situación inicial 1 ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos externos del cuadrilátero?

2. ¿Cuál es la suma de la medida de un ángulo interior y el exterior contiguo en la figura construida?

3. ¿Se da la relación anterior en cualquier tipo de polígono? Justifiquen mediante ejemplos.

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri que se encuentra disponible en la sección Material de clase, Clase 3, Teorema_Pitagoras.

SITUACIÓN INICIAL: Construye un cuadrado sobre cada uno de los lados del triángulo que se encuentra en la animación de Cabri.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué características tiene el triángulo que se encuentra en la figura?

2. ¿Qué relación observan entre el área de los cuadrados construidos?

3. ¿Se dará la relación anterior si se construyen otros polígonos regulares sobre los lados del triángulo rectángulo? Prueben con triángulos equiláteros.

4. ¿Qué conclusión podrían inferir de las experimementaciones realizadas?

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Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: Forma triángulos rectángulos en el geoplano y construye un cuadrado sobre cada uno de sus lados, dibújenlos. ¿Se observa alguna relación entre las áreas de los cuadrados construidos?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. En un triángulo rectángulo, ¿Qué relación observan entre el área de los cuadrados construidos sobre los catetos y el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa?

2. ¿Se da la relación anterior en cualquier tipo de triángulo?

3. Escriban una expresión para la relación que se da entre el área de los cuadrados construidos en el triángulo rectángulo.

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Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla y compás.

SITUACIÓN INICIAL: Construye un triángulo rectángulo y sobre cada uno de sus lados dibujen un semicírculo que tenga como diámetro la longitud del lado.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMUN : •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué relación observan entre el área de los semicírculos construidos sobre los catetos y el área del semicírculo constuido sobre la hipotenusa?

2. ¿Cómo se podría expresar matemáticamente la relación anterior?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Suma de los ángulos interiores de un polígono Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben abrir un archivo nuevo de Cabri y guardarlo con el nombre Suma_ang_int_poligono.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando las herramientas de Cabri construye un mosaico compuesto por al menos tres tipos de polígonos diferentes como el que se muestra en el ejemplo.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar a partir de uno de los vértices en cada tipo de polígono?

Dibújenlas y completen el siguiente cuadro.

Nº de lados

Nº de diagonales que salen de cada vértice

Nº de triángulos en que se subdividió el polígono

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono 2. Si un polígono tiene un número cualquiera de lados que lo podemos expresar con la letra n, ¿Qué expresión representa el número de triángulos que se forman en ese polígono?

3. Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados, ¿Cómo se podría expresar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?

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Suma de los ángulos interiores de un polígono Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: Dos arañas construyen su tela de la forma en que aparece en el recuadro. Reproduce ambas telarañas en el geoplano

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué figuras se observan en ambas telarañas?

2. ¿Cuánto suman los ángulos que se forman en el centro de cada tela?

3. Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º¿Cómo se podría obtener la suma de los ángulos interiores de cada telaraña?

4. ¿Es posible obtener con esta fórmula la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?

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Suma de los ángulos interiores de un polígono Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla, lápiz grafito.

SITUACIÓN INICIAL: En la siguiente red se pide dibujar polígonos convexos de tres, cuatro y cinco lados con vértices en uno de los puntos. ¿Cuál es el máximo de polígonos que puedes dibujar sin que se intersecten en ninguno de los puntos?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuántas diagonales se pueden dibujar con origen en un mismo vértice en los polígonos construidos?

2. ¿Qué relación observan entre el número de lados de un polígono y el total de triángulos que se forman al trazar las diagonales con origen en uno de los vértices?

3. Si se expresa como n el número de lados de un polígono, ¿Cómo se podría representar la relación anterior?

4. Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados, ¿Cómo se podría expresar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Perímetro de figuras geométricas

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Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben abrir un archivo nuevo de Cabri y guardarlo con el nombre Perimetro_fig_geom.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando las herramientas de Cabri construye la siguiente configuración compuesta por rectángulos y triángulos:

2 cm

4 cm

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2 cm 1 cm

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es el perímetro de cada polígono que compone la configuración?

2. ¿Cuál es el perímetro de la configuración?

3. ¿Les parece correcta la fórmula a + b + c para calcular el perímetro de un triángulo ABC? ¿Con qué expresión representarían el perímetro de un rectángulo ABCD?

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Perímetro de figuras geométricas

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Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: Reproduce en el geoplano la siguiente configuración:

1 2 3 4 5

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es el perímetro de la configuración? Exprésenlo en unidades de longitud.

2. Si se suma el perímetro de las figuras 1, 2, 3, 4 y 5 ¿Se obtiene el perímetro total de la configuración?

Justifiquen su respuesta.

3. Plantéen una fórmula general para expresar el perímetro de un triángulo equilátero y de un cuadrado.

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Perímetro de figuras geométricas Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla, lápiz grafito.

SITUACIÓN INICIAL: En la siguiente red se han dibujado pentaminós (figuras compuestas por 5 cuadrados). Dibuja cinco nuevos pentaminós de manera de obtener configuraciones diferentes a las ya dibujadas.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es el perímetro de cada nuevo pentaninó? Exprésenlo usando unidades de longitud.

2. ¿Cómo definirían el concepto de perímetro?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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1

Actividades de funcionamiento

Para realizar las actividades planteadas, puedes apoyarte en las animaciones virtuales alojadas en la sección material de clases en la plataforma virtual.

1. En la siguiente figura señale:

a.- Dos pares de ángulos correspondientes

b.- Dos pares de ángulos alternos externos

c.- Dos pares de ángulos alternos internos

d.- Dos pares de ángulo opuestos por el vértice L3

2

1 3 5

L1

4

6

7

L2

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2. _ En la figura m 1 + m  2 + m 3 + m 4 = 298º. Indique m  5 _ Si m  3 = 37º ¿Cuál es la medida del ángulo X? 2 1 X

3

5 4

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3. La medida del tamaño de la pantalla de un notebook se expresa en función de su diagonal.

Si Rodrigo compró un notebook de 6 pulgadas de alto por 8 pulgadas de ancho ¿Cuál es la medida de la pantalla de su notebook?

4. Completa la tabla con la información que falta Figura

Nº de lados

Nº de diagonales que Nº de triángulos que se desprenden de cada se forman al trazar las vértice diagonales desde uno de sus

Suma de los ángulos interiores

5 720º eneágono 0 2 5. Se necesita cercar un terreno de forma pentagonal regular de 15 metros de lado, con tres corridas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para ello? Te puedes ayudar haciendo la figura.

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Área de triángulos y cuadriláteros

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MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri que se encuentra disponible en la sección Material de clase, Clase 6, Area_triang_cuadrilat.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando las herramientas de Cabri construye el segundo carrito de esta configuración de acuerdo a las siguientes condiciones:

_ El segundo carro debe ocupar la misma superficie que el primero.

_ FI es diagonal del cuadrilátero JFGI.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. En el primer carro, ¿Cómo es el área del triángulo ABK, en relación con la suma de las áreas de los triángulos AKD y BCK? ¿Y en relación con el área del rectángulo ABCD?

2. En el segundo carro, ¿Cómo es el área del triángulo JFI en relación a la del rombo JFGI?

3. Expliquen cómo se obtiene el área de un rectángulo, de un triángulo, de un rombo y un romboide.

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Área de triángulos y cuadriláteros Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: El área del cuadrado sombreado es 1. Construye en el geoplano las siguientes figuras:

_ Romboides de área igual a 2 y 3 unidades.

_ Triángulos de área igual a 1, ½ y 2 unidades.

_ Trapecios de área igual a 2, 1½ y 6 unidades.

_ Rectángulo de área igual a 8 unidades.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Con qué expresión matemática pueden representar el área de las figuras construidas?

2. ¿Qué relación observan entre el área de un triángulo y la de un paralelógramo?

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Área de triángulos y cuadriláteros

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Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla, compás y transportador.

SITUACIÓN INICIAL: En el recuadro 1, el área del cuadrado A es 1 y el área de las figuras B y C es 1 ½. Con estos datos, encuentra el área del recuadro 2.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Dibujen el triángulo AKJ y el rectángulo LBCD, ¿Cómo son las áreas de estas dos figuras si se comparan entre sí?

2. Dibujen el cuadrilátero IFGH y tracen una de sus diagonales, ¿Qué relación hay entre el área del cuadrilátero y uno de los triángulos que se forman al trazar la diagonal?

3. ¿Con qué expresión representarían el área de un paralelógramo? ¿Y la de un triángulo?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Definición del número π (pi) Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben abrir un archivo nuevo de Cabri y guardarlo con el nombre Numero_pi.

SITUACIÓN INICIAL: Un grupo de estudiantes al visitar dos canchas de fútbol observaron que uno de los círculos centrales ocupaba el doble de la superficie del otro, ¿Cuál podría haber sido la medida del radio en cada uno de los círculos centrales? Ilustra lo anterior mediante un ejemplo utilizando las herramientas de Cabri.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es la razón entre la longitud del perímetro y el diámetro en cada circunferencia? ¿Se obtendrá siempre el mismo resultado?

2. Les parece correcta la siguiente conclusión: Si el cuociente entre el perímetro (p) y el diámetro (d) de la circunferencia se representa por π (pi), entonces P = π * d, explique.

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Definición del número π (pi) Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Tangrama e hilo.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando las piezas del tangrama construye la siguiente figura:

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es el diámetro de la forma circular? ¿Cuál es su perímetro?. Para hacer esta última medición utilicen el hilo.

2. ¿Cuántas veces esta contenido el diámetro de la forma circular en su perímetro?

3. ¿Qué resultado se obtiene al dividir la medida del perímetro por el diámetro?. Si se aumenta al doble el diámetro del disco, ¿Se obtiene el mismo resultado?

4. Les parece correcta la siguiente conclusión: Si el cuociente entre el perímetro (p) y el diámetro (d) de la circunferencia se representa por π (pi), entonces d = p / π, explique.

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Definición del número π (pi) Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla, escuadra, compás e hilo.

SITUACIÓN INICIAL: En una joyería se desea ubicar el centro de una medalla de forma circular. ¿Cómo podrías encontrar el centro de esta medalla?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es la razón entre el perímetro de la medalla y su diámetro? ¿Se obtendrá el mismo resultado en cualquier circunferencia?

2. Si el cuociente entre el perímetro (p) y el diámetro (d) de la circunferencia se representa por π, entonces les parece correcto que: d = p / π , explique.

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Perímetro de la circunferencia Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben acceder a la Plataforma Virtual, y abrir el archivo de Cabri que se encuentra disponible en la sección Material de clase, Clase 8, Perimetro_circunferencia.

SITUACIÓN INICIAL: El diámetro de la rueda de una bicicleta mide 4 cm. ¿Qué distancia recorre el ciclista cuando la rueda ha dado 10 vueltas?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es la distancia recorrida por el ciclista si el diámetro disminuye a la mitad?

2. ¿Qué relación observan entre el diámetro de la rueda, el valor de π (aproxime π = 3) y el perímetro obtenido en cada caso?

3. Intenten establecer una fórmula en función del diámetro para obtener el perímetro. ¿Cúantas veces aproximadamente está contenido el diámetro en el perímetro?

4. Marquen los rayos y el arco que conforman el perímetro de un sector circular en una de las ruedas y calculen su perímetro mediante la fórmula 2π * r * α (r = radio; α = ángulo) 360

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Perímetro de la circunferencia Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Tangrama, regla e hilo.

SITUACIÓN INICIAL: Con las piezas del tangrama reproduce la siguiente configuración:

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Midan con una regla el radio de una de las ruedas. ¿Cuántas veces aproximadamente esta longitud está contenida en el perímetro de la rueda?

2. ¿Les parece correcto multiplicar el valor de π por la medida del diámetro para obtener el perímetro de una circunferencia? ¿Por qué?

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Perímetro de la circunferencia Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Compás.

SITUACIÓN INICIAL: Un caballo fue amarrado a un poste con una cuerda que le permite alejarse a 7 metros de distancia. ¿Cuántos metros recorre el caballo si da una vuelta alrededor del poste con la cuerda estirada?

Dibuja la situación.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Qué relación hay entre la medida de la cuerda, el valor de π (3,14) y la distancia que recorre el caballo en una vuelta?

2. ¿Cuál sería la distancia recorrida por el caballo en una vuelta si se encuentra atado con una cuerda que mide la mitad?

3. Dibujen dos circunferencias concéntricas y achuren la superficie correspondiente a la corona circular (superficie entre las dos circunferencias). Sabiendo que el perímetro de una circunferencia es 2 * r * π , ¿Cuál es el perímetro de la corona circular? ¿Cómo hicieron para calcularlo?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Área del círculo Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben abrir un archivo nuevo de Cabri y guardarlo con el nombre Area_circulo.

SITUACIÓN INICIAL: En una fábrica se desea saber cuál es la superficie que cubre una tapa de forma circular de tres centímetros de radio. Uno de los encargados plantea que dicho cálculo se puede hacer dividiéndo el círculo en regiones congruentes simulando triángulos.

Utilizando las herramientas disponibles en Cabri divide el círculo en 4, 8, 16, ... triángulos congruentes, ¿Cómo es el área del círculo en relación a la suma de las áreas de los triángulos formados?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Teniendo en cuenta el valor de π y del radio intenten escribir una fórmula que permita obtener el área del círculo.

2. Sabiendo que para calcular el área del círculo (ángulo completo de 360°) se usa la formula π r². ¿Cómo lo harían para calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es de 90°?, ¿Podrían indicar una fórmula general para calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es α? (r = radio; α = medida del ángulo)

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Área del círculo Estación Uso de Material Concreto

MATERIALES: Geoplano.

SITUACIÓN INICIAL: Construye en el geoplano polígonos regulares (lados y ángulos de igual medida) y formen en su interior triángulos congruentes ¿Cómo harían para calcular el área de un polígono regular a través de este procedimiento?

Dibuja la situación.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Si pensamos en la círculo como un polígono de infinitos lados y se descompone a partir de su centro en triángulos muy pequeños de igual forma y tamaño, ¿Qué dato es necesario conocer para obtener su área?

2. ¿Cuál de los elementos de la circunferencia se puede asociar a la altura de cada uno de estos infinitos triángulos?

3. Teniendo en cuenta el valor de π y del radio intenten escribir una fórmula que permita obtener el área del círculo.

4. Sabiendo que para calcular el área del círculo (ángulo completo de 360°) se usa la formula π r², ¿Cómo lo harían para calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es de 45°?, ¿Podrían indicar una fórmula general para calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es α? (r = radio; α = medida del ángulo)

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Área del Círculo Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla y compás.

SITUACIÓN INICIAL: En la entrada de un tubo receptor de agua se ha instalado una malla cuadriculada como la siguiente para impedir el paso de basuras. ¿Cuál es el número aproximado de cuadrados que cubren la entrada del tubo?

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. Considerando el área de un cuadrado como unidad de medida, ¿Cuál es aproximadamente el área del círculo?.

2. Sobre la figura propuesta en la situación inicial, dibujen una circunferencia de radio igual a tres unidades de modo de obtener dos circunferencias concéntricas, ¿Cuál es el área aproximada de la corona circular? (superficie entre las dos circunferencias)

3. Dibujen dos circunferencias concéntricas de radio R y r (R es radio del círculo de mayor área, r es radio del círulo de menor área). Calculen el área de la corona circular.

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas de trabajo para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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Perímetro y área de figuras compuestas.

Estación Uso de TIC

MATERIALES: Para realizar esta actividad deben abrir un archivo nuevo de cabri y guardarlo con el nombre Area_perm_fig_comp.

SITUACIÓN INICIAL: En un taller se fabrican radiadores de la forma que se muestra en la figura.

Utilizando las herramientas de Cabri reproduce este modelo de radiador.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es el área total que cubren las piezas circulares? ¿Cuál es su perímetro?

2. ¿Cuál es el área de la figura no sombreada?

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Perímetro y área de figuras compuestas.

Uso de Material Concreto

MATERIALES: Tangrama.

SITUACIÓN INICIAL: Utilizando todas las piezas del tangrama arma la siguiente configuración:

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Respondan las preguntas planteadas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es el área y el perímetro total de la configuración?

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Perímetro y área de figuras compuestas Estación Uso de Regla y Compás

MATERIALES: Regla y compás.

SITUACIÓN INICIAL: Esta figura, corresponde un rectángulo áureo en el cual se ha dibujado una imagen que representa un caracol.

Utilizando el compás, reproduce en el siguiente rectángulo áureo el mismo caracol.

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ACTIVIDADES PARA LA PUESTA EN COMÚN: •

Realicen las actividades propuestas y registren los resultados acordados por el grupo.

1. ¿Cuál es el área que ocupa el caracol (sectores circulares)?

2. ¿Cuánto suman los perímetros de todos los sectores circulares que componen la figura?

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Hojas de trabajo

En caso que sea necesario, ocupa las siguientes hojas para el desarrollo de las situaciones anteriores.

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2

Actividades de funcionamiento

En esta guía se ponen en funcionamiento los aprendizajes logrados en relación a los siguientes contenidos: _ Área de triángulos y cuadriláteros _ Definición del número pi () _ Perímetro de la circunferencia _ Área de la circunferencia _ Perímetro y área de figuras compuestas Para realizar las actividades planteadas, puedes apoyarte en las animaciones virtuales alojadas en la sección material de clases en la plataforma virtual.

1.

Resuelve

a) b) c) d)

Si un triangulo tiene de base 5 cm y de altura 6 cm, calcula su área.

Si un triangulo tiene de área 40 cm2 y su altura mide 10, ¿Cuánto medirá su base?

Calcula el área de un rombo de base 4 cm y altura 7 cm Si el área de un cuadrado es 25 cm2 ¿Cuánto medirá su lado?

2.

Mediante un ejemplo explica como se obtiene pi

3.

Observa la siguientes figuras y calcula B

a) Si el perímetro del circulo A es de 16 cm ¿Cuánto mide su diámetro?

A

b) Si el radio del circulo B es de 6 cm ¿Cuánto mide su perímetro?

C

c) Si el circulo C tiene de perímetro 8 cm ¿Cuánto mide su radio?

4.

El diámetro de una mesa redonda es de 1,5 mt, si la queremos cubrir con un vidrio, ¿Cual es el área del vidrio?

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5.

Calcula el área de las siguientes figuras compuestas

Diámetro de la Circunferencia mayor es de 4 cm.

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El largo del rectángulo es de 7 cm y el ancho es de 2 cm

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El radio de la circunferencia es de 3 cm. Calcula el área de un sector

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AGRADECIMIENTOS

Expresamos nuestra gratitud a los sostenedores, equipos directivos, profesoras, profesores y estudiantes que aceptaron el desafío de participar durante proyecto.

Escuelas Participantes: _Escuela Luís Cruz Martínez - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Epu Klei - Comuna de Villarrica IX Región _Liceo Libertad - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela San José de Calfutúe - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Araucarias - Comuna de Loncoche IX Región _Escuela Alborada - Comuna de Loncohe IX Región _Escuela Domitila Pinna Parra - Comuna de Loncoche IX Región _Escuela Tierra Esperanza - Comuna de Panguipulli XIV Región _Escuela Padre Enrique Römer - Comuna de Panguipulli XIV Región _Escuela Claudio Arrau León - Comuna de Panguipulli XIV Región _Escuela Alexander Graham Bell - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Valentín Letelier - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Mariano Latorre - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Juan XXIII de Huiscapi - Comuna de Loncoche IX Región _Escuela Voipir de Ñancul - Comuna de Villarrica IX Región _Escuela Claudio Arrau - Comuna de Villarrica IX Región

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