Número 04 // Septiembre de 2010
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CREATIVIDAD CON COMPETENCIA MATEMÁTICA
Felipe Pino RESUMEN
ABSTRACT
La creatividad en matemática como una herramienta para la resolución de problemas tiene una relevancia indiscutida. Es por esto que como objetivo de esta investigación, se plantea conocer el fenómeno de la creatividad a través de diversas teorías, y analizar de qué manera las prácticas pedagógicas favorecen el desarrollo del pensamiento matemático creativo en los estudiantes. Para esto se aplicó la Teoría de la Inversión por Sternberg y Lubart y lo que se considera ser matemáticamente competente según Llinares. La diferenciación entre creatividad con o sin competencia matemática es uno de los puntos relevantes e innovadores de esta investigación, la cual se centró en tres contextos socioeconómicos diferentes de Villarrica, en NB4. Para realizar este estudio se utilizó una metodología cualitativa-cuantitativa, a través de observaciones en aula, entrevistas semiestructuradas a los docentes y test de pensamiento divergente aplicado a los alumnos. Lo anterior fue posible ya que se creó una escala de Asertividad (AFF) donde se relacionaron las variables de flexibilidad y fluencia. Además se realizó un “coeficiente de creatividad”, el cual se obtiene de la relación existente entre el porcentaje de originalidad y el grado de asertividad.
Creativity as a tool for problem solving in math has an undisputed importance. Therefore, the objective of this research is to understand the phenomenon of creativity through diverse theories and to analyse the way pedagogical practices favor the development of creative and mathematical thinking in students. The Investment Theory of Creativity by Sternberg and Lubart was applied, as well as the concept of ‘mathematically competent’ by Llinares. One of the main topics of this research is the differentiation between creativity with and without mathematical skills, focused in three different socioeconomic contexts, in BL4 (sixth grade of primary school). The study used a quali-quantitive methodology, including classroom observation, interviews to the teachers, and the application of divergent thinking tests to the students. This was achieved after the development of an Assertiveness Scale relating the flexibility and fluency variables. In adittion, our team determined the creativity quotient by estimating the relation between the originality percentage and the assertiveness degree. Considering the above mentioned, the team was able to determine that the socio-economic factor is not important when measuring creativity, rather, this is influenced by individual and external factors, such as teaching methodologies.
Teniendo en cuenta lo anteriormente señalado se pudo determinar que el factor socioeconómico no es influyente a la hora de medir la creatividad, delegándose a factores individuales y externos, como la metodología docente.
Key words: creativity, fluency, flexibility, originality.
Palabras clave: creatividad, flexibilidad, fluencia, originalidad
01
Introducción
La diferenciación entre creatividad con y sin competencia matemática es un punto clave de la investigación, ya que permite discriminar entre respuestas que pueden ser consideradas creativas, pero que no necesariamente poseen competencia matemática.
Diversas experiencias vividas en el aula de clases1 fueron determinantes a la hora de analizar las dificultades que tienen los educandos al momento de realizar un ejercicio o problema matemático.
¿Qué se entiende por creatividad? Y más aún ¿qué se entiende por creatividad matemática? Para la primera interrogante existen diversas teorías que intentan aproximarse al fenómeno de la creatividad. Estas teorías concuerdan en algunos supuestos fundamentales, estos son, la creatividad es un proceso y por tanto, es factible de desarrollar a través del tiempo; el producto creativo es nuevo y además, es útil.
El principal problema encontrado no es que no puedan llegar a una determinada solución (esto se puede remediar con una entrega de contenidos más eficaz), sino todo lo contrario, es que lleguen a la solución de una manera mecánica, casi programada y algorítmica que no les permite ver otras posibilidades de resolución. La capacidad de ver más allá, de encontrar diferentes maneras de llegar a una solución se relaciona con un pensamiento matemático creativo, en la medida en que el alumno sea capaz de unir diferentes contenidos, muchas veces aprendidos de manera parcelada, para llegar a un resultado correcto. Lo anterior demuestra un dominio de estrategias conceptuales y procedimentales.
Prespectiva de sistema Nakamura y Csikszentmihalyi (2003, en Pino et al. 2009, p. 24) ven a la creatividad como la confluencia de tres sistemas, estos son: la persona, el dominio y el campo. El proceso creativo trasciende las características individuales de cada persona (Gontijo, 2003, p. 25,) siendo necesario incluir o enfocar el sistema de campo como un factor determinante a la hora de analizar un proceso creativo, puesto que es en última instancia el ambiente el que mantiene, anima o rechaza las innovaciones de las personas en un determinado dominio (Nakamura y Csikszentmihalyi, 2003) La interacción de estos tres sistemas propicia la acción creativa. (Pino et al. 2009, p. 24)
El gobierno de Chile pretende, a través del ajuste curricular, desarrollar el pensamiento matemático creativo. Esto queda de manifiesto en el siguiente apartado: Los Objetivos Fundamentales Transversales [ ] deben contribuir significativamente al proceso de crecimiento y auto-afirmación personal; a orientar la forma en que la persona se relaciona con otros seres humanos y con el mundo; a fortalecer y afianzar la formación ético-valorativa; al desarrollo del pensamiento creativo y crítico y al desarrollo de habilidades para el uso responsable de las tecnologías de la información y comunicaciones (MINEDUC, 2009, p. 21 en Pino et al. 2009, p.8).
¿En qué radica la creatividad de acuerdo a esta teoría? La creatividad no debe considerarse como algo que sólo es inherente al cerebro, la mente o la personalidad del individuo por sí solo. Antes bien debe plantearse que la creatividad surge de la interacción de tres modos: el individuo con su propio perfil de capacidad y valores; los ámbitos para estudiar y dominar algo que existe en una cultura; y los juicios emitidos por el campo que se considera como competente dentro de una cultura. En la medida en que el campo acepte las innovaciones, una persona o su obra puede ser considerada creativa; pero si las innovaciones se rechazan, malinterpretan o juzgan poco novedosas, resulta inútil seguir sosteniendo que un producto sea creativo. En el futuro, desde luego, el campo puede optar por modificar sus juicios iniciales.
No obstante lo anterior, en ninguna parte se hace referencia a qué se entiende por pensamiento matemático creativo. Es por esta razón que surge esta investigación, que pretende dar a conocer diversas teorías que dan cuenta del fenómeno creativo, además de medir el nivel de creatividad en función de un test de pensamiento divergente en donde se identifican factores como fluencia, flexibilidad y originalidad, que se verán más adelante. 1 Preinternado pedagógico, observaciones de aula, internado pedagógico
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Teoría de la inversión
tal. Esto tiene directa relación con el proceso creativo visto desde la teoría de la Inversión, puesto que el conocimiento de los contenidos es uno de los recursos que plantea Sternberg y que permite establecer diferentes estrategias al momento de abordar una tarea matemática. La segunda dimensión es El Desarrollo de Destrezas Procedimentales, que se refiere a conocer los procesos matemáticos, cómo y cuándo usarlos correctamente y que implica la capacidad de ser flexible y adaptarlos a las más diversas situaciones.
Esta teoría, propuesta por Sternberg y Lubart (2003) propone que la creatividad surge de la interacción de seis recursos. La mayor o menor utilización de estos seis recursos determina que una persona sea más o menos creativa. Estos recursos son los siguientes: habilidades intelectuales, conocimiento, formas de pensar, motivación, personalidad y ambiente. Dentro de las habilidades intelectuales destacan la capacidad de ver más allá de lo común, y la capacidad de comunicar o vender una idea. El conocimiento es esencial para desarrollar la creatividad, el dominio de contenidos permite tener un mayor bagaje con el cual trabajar. Las decisiones de cómo utilizar el conocimiento se constituyen en las formas de pensar, es una manera característica de pensar. La motivación, personalidad y ambiente son también esenciales a la hora de analizar la creatividad.
La tercera dimensión es la Comunicación, Explicación y Argumentación Matemática, puesto que las capacidades antes mencionadas demuestran dominio en el establecimiento de relaciones entre procesos y nociones matemáticas. La tarea del docente para ayudar a fortalecer esta dimensión radica en la presentación de oportunidades para que los educandos den a conocer sus procedimientos de resolución y así argumentar y explicar sus métodos. De acuerdo a la teoría de la Inversión, la capacidad de vender una idea (habilidad práctico-contextual) se constituye en una habilidad intelectual que tiene directa relación con el desarrollo de la creatividad, ya que el alumno debe fundamentar su manera de abordar un ejercicio y tiene por tanto la posibilidad de persuadir a los demás para que utilicen su método. Es así que los estudiantes desarrollan sus propios procedimientos más que imitar algoritmos previamente presentados para la resolución de problemas.
Creatividad con competencia matemática Hasta aquí hemos visto dos teorías que hablan de la creatividad, sin embargo, son generales y no abarcan el problema del pensamiento matemático creativo. La creatividad en matemática es necesario analizarla desde el punto de vista de lo que se considera ser matemáticamente competente. Llinares (2003) identifica cinco dimensiones, que curiosamente, tienen muchas semejanzas con la teoría de la Inversión.
La cuarta dimensión corresponde al Pensamiento Estratégico, que hace referencia a la capacidad de plantearse, representarse y resolver problemas. De acuerdo a Llinares (2003, p. 94) esta dimensión se manifiesta cuando los educandos son capaces de identificar estructuras generales en situaciones diversas. El pensamiento estratégico es relevante a la hora de analizar por qué es importante la creatividad en matemática, debido a que está relacionado con la generación de flexibilidad en la resolución de problemas no rutinarios. Para Sternberg y Lubart (En Sternberg, 2003) son tres las habilidades intelectuales, a saber, habilidad sintética, analítica y la habilidad prácticocontextual. La que más se relaciona con el pensamiento estratégico es la habilidad sintética, puesto que permite ver él o los problemas de manera distinta a lo habitual, estableciendo relaciones diversas para llegar al resultado correcto.
¿Cómo se define la creatividad? Teoría de la inversión
Competencia matemática
Creatividad con competencia matemática Al relacionar las competencias matemáticas con la teoría de la Inversión, se obtiene la creatividad con competencia matemática, que permite diferenciar respuestas creativas ante un determinado ejercicio o problema que presenten o no competencias matemáticas. Llinares (2003, p.14) identifica cinco dimensiones, siendo la primera de ellas la Comprensión Conceptual, que hace referencia a las diversas representaciones mentales y relaciones que un alumno establece en función de un contenido matemático propiamente
El Desarrollo de Actitudes Positivas Hacia la propia Capacidad Matemática es también una dimensión de lo que se considera al hablar de competencias matemáticas. 03
“La disposición de los estudiantes hacia las matemáticas es un factor importante en la determinación de su éxito educativo” (Llinares, 2003, p. 20).
En el ejercicio planteado queda de manifiesto que el alumno no pudo llegar al resultado debido al desconocimiento de las estrategias de resolución, esto es, a la no asimilación del contenido específico, en este caso, el teorema de Pitágoras, y a los algoritmos existentes para llegar a la respuesta correcta. Es por esto que como primer paso para guiar a los educandos hacia un desarrollo adecuado de su creatividad matemática es preciso, ante todo, lograr que se apropien de los contenidos, es decir, que se hagan garantes de un determinado conocimiento.
Lo anterior se relaciona con la motivación, vista como un recurso en la teoría de Sternberg y Lubart (2003)“Motivation is not something inherent in a person: One decides to be motivated by one thing or another.” La propia actitud de los alumnos se transforma así en un agente de suma relevancia para entender el proceso creativo en matemáticas. Los docentes deben por tanto valorar las aportaciones de los alumnos y presentar problemas o ejercicios abordables de diversas maneras y así, contribuir al desarrollo del pensamiento creativo.
Para lograr lo anterior es necesario, como docentes, aplicar variadas estrategias con el fin de que los alumnos se apropien de un determinado conocimiento o contenido, cum finis est licitus, etiam media sunt licita, (cuando el resultado es lícito lo son también los medios)
Tendemos a creer que las matemáticas son una disciplina cerrada del conocimiento, en donde el trabajo con algoritmos y memorización es pan de cada día. La verdad es, que si queremos desarrollar la creatividad, el primer paso es, ciertamente, la mecanización.
Las observaciones realizadas fueron en torno a dimensiones, estas son: prácticas pedagógicas, destrezas conceptuales y procedimentales, comunicar una idea matemática y comportamiento de los alumnos frente a las estrategias utilizadas.
Uno de los requisitos sine qua non se desarrolla la creatividad, es el conocimiento, y este conocimiento no se refiere a otra cosa más que poseer un adecuado nivel de acervo cultural, de manejo de conceptos, con los cuales se pueda construir una idea matemática creativa. Para que una idea matemática sea considerada creativa debe, en primer lugar, ser correcta, y es aquí donde toma relevancia la diferenciación entre creatividad con o sin competencia matemática.
A raíz de lo anterior se determinó en la primera dimensión, para los tres colegios que fueron estudiados, que la relación de contenidos desarrollados anteriormente con los a tratar es esencial a la hora de presentar un contenido, considerando el contexto del estudiante.
Al respecto analicemos la siguiente situación:
La utilización de problemas desafiantes para que los alumnos los resuelvan, en donde la docente actúa como una guía del proceso de enseñanza, es también relevante si va acompañado de un trabajo participativo, en el cual se revisen los resultados en conjunto para comprender de mejor manera los algoritmos utilizados. En relación a las destrezas conceptuales y procedimentales, queda claro que el conocimiento del algoritmo es primordial. Es necesario conocer un procedimiento de resolución para realizarlo de manera correcta. Para contextualizar correctamente se debe conocer la mecánica de un contenido. Es así que los alumnos desarrollan ejercicios en la pizarra en donde la profesora valora las diversas formas de resolver un ejercicio y la justificación de estos, dejando que ellos mismos elaboren procedimientos adecuados para resolver los problemas. Se observó también que los errores en ningún caso eran obstáculo para el aprendizaje de las matemáticas, sino como una oportunidad para aprender.
La respuesta que da el alumno ante esta situación es claramente “creativa” y original, en efecto, halló x. Sin embargo es aquí donde es necesario hacer la diferenciación entre creatividad con competencia matemática y sin competencia matemática. Para que una respuesta sea considerada creativa debe estar correcta. 04
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que el gobierno de Chile indica en sus Planes y Programas para sexto año básico.
La tercera dimensión dice relación con la habilidad de comunicar una idea matemática. Lo anterior se manifiesta en cada oportunidad en que los docentes piden a sus alumnos que den a conocer sus propios procedimientos, fortaleciendo de esta forma la capacidad de vender una idea a sus propios compañeros, quienes determinan si es válida o no.
Es así que el primer ejercicio corresponde a la primera unidad denominada “Números naturales en la vida cotidiana”, específicamente al contenido “Criterios de Divisibilidad”. Por otra parte, el segundo ítem se enmarca dentro de la unidad de Geometría, al contenido perímetro. El tercer ítem hace referencia a la unidad denominada “Fracciones y Decimales en la vida Cotidiana, al contenido “Cálculo del 25% como la cuarta parte de una cantidad”. Por último, el cuarto ítem está orientado a la Resolución de problemas.
Lo anterior se fortalece además proponiendo situaciones desafiantes, anecdóticas y llamativas, que incentivan la participación de los educandos en la clase de matemáticas. La cuarta dimensión de observación estuvo enfocada al Comportamiento de los alumnos frente a la estrategia utilizada por el docente. Aquí se presentaron diversas situaciones, pero lo esencial radica en el comportamiento pasivo de los alumnos, como esperando absorber los conocimientos entregados por los profesores. El docente es por tanto, el pilar fundamental de este sistema, encargado de mantener el orden, motivar y entregar contenidos a los educandos.
La selección de ejercicios y problemas toma además como base el estudio realizado por Gontijo (2003) en Brasil, y Angélica Elvira Astorga (2006) en Argentina. Al igual que lo propuesto por Gontijo (2003, p. 151), el proceso de creación del test considera tres situaciones, (a) complejidad de las situaciones presentadas a los alumnos, para evitar la utilización de conocimientos específicos, (b) la familiaridad con las actividades propuestas, (c) el tiempo necesario para la producción de un número significativo de respuestas, evitando así el uso de ítemes que exijan mucho tiempo para su resolución.
Análisis test aplicado Existe bibliografía internacional que avala el hecho de la medición de la creatividad, a través de diversos test de pensamiento divergente enfocado al área de las matemáticas. Es así como Kaufman et al. (2008, p. 18) determinan que son cuatro los aspectos que más se mencionan:
Para que una respuesta sea considerada creativa con competencia matemática debe demostrar la competencia, ya que el dominio de un contenido, es decir, el conocimiento, es esencial puesto que se transforma en un dominio de destrezas conceptuales y procedimentales.
Fluencia: Concebida como el número de respuestas ante un estímulo dado, entendiéndose por esto “el número total de ideas dadas en cualquier ejercicio de pensamiento lateral.
Escala de asertividad entre flexibilidad y fluencia
Originalidad: Las respuestas únicas ante un estímulo dado, es decir, lo inusual.
Para lograr lo anterior se propone la escala de asertividad, que relaciona las respuestas correctas (flexibilidad) sobre el total de respuestas dadas ante un determinado ejercicio (fluencia). Lo anterior corresponde al porcentaje de respuestas correctas, para determinar si existe o no un dominio de contenido.
Flexibilidad: El número de categorías únicas de respuestas ante un determinado estímulo. Elaboración: O la extensión de ideas sin una categoría específica de respuestas ante un estímulo dado.
insatisfactorio
Para la construcción del instrumento de evaluación (test) se tomó como referencia los tres primeros aspectos.
0
La selección de los ejercicios y problemas se enmarca dentro de los Contenidos Mínimos Obligatorios (C.M.O) 05
regular 0.33
satisfactorio 0.66
1
Se interpreta que el establecimiento municipal obtuvo menor promedio de fluencia, con 2,23 respuestas por alumno. Sin embargo la flexibilidad la constituye un promedio cercano a 1,5 respuestas correctas por alumno.
Una persona que obtenga un grado de asertividad cercano a 1 significa que ante un ejercicio, la mayoría de respuestas que dio están correctas, con lo que se demuestra un manejo conceptual. Sin embargo, es preciso además considerar otra variable, la originalidad, entendida como el porcentaje de respuestas con menor frecuencia de aparición del total de respuestas correctas obtenidas en el grupo. La originalidad por tanto, es el componente de comparación del grupo de estudio.
Se determina que el grado de asertividad es de 0,67 lo que se considera en nuestra escala como satisfactorio. En el caso del establecimiento particular subvencionado, se observa que los estudiantes obtuvieron un promedio de 4,5 respuestas por alumno (siendo la mayor entre los tres colegios), la flexibilidad (total de respuestas correctas) por otra parte es de 4,06.
Al ver la cantidad de respuestas originales (con menor frecuencia) del total de respuestas correctas distintas obtenidas, se obtiene un porcentaje de respuestas poco comunes de un total de respuestas en un grupo determinado.
El coeficiente de asertividad en este caso es 0,9, lo que se considera satisfactorio según la escala. Lo anterior significa que el 90% de las respuestas dadas por los alumnos, para este ejercicio, estaba a la vez correcta.
Luego, de entre las respuestas con menor frecuencia de aparición, se analizan cuáles poseen competencia matemática y cuáles no, las cuales se pueden extrapolar a una escala de creatividad.
En último caso, el colegio privado obtuvo un promedio de fluencia (respuestas dadas) de 2,73. La flexibilidad es de 2,27. El coeficiente de asertividad en este caso es de 0,83, lo que se considera satisfactorio según la escala.
Comparación fluencia flexibilidad ejercicio nº 1
La Originalidad para este ejercicio es entendida como las respuestas únicas ante un estímulo dado, es decir, lo inusual, sin embargo es necesario tener algunas consideraciones a la hora de analizar los resultados obtenidos.
El primer ejercicio2 consistió en formar la mayor cantidad de conjuntos con los números naturales del 1 al 10. Se analizaron los criterios de fluencia y flexibilidad para determinar el grado de asertividad o porcentaje de repuestas correctas.
Por ejemplo, una respuesta ante un determinado estímulo puede ser considerada muy original, aunque en realidad no sea competente matemáticamente. De la misma manera, no todas las respuestas que son matemáticamente competentes son originales. Habiendo aclarado lo anterior, se procede a analizar los resultados obtenidos para este ejercicio.
A continuación se presenta un gráfico en el cual se aprecia la comparación entre los promedios de fluencia y flexibilidad para cada colegio.
5,00
Originalidad ejercicio nº 1
4,00 3,00
Colegio particular subvencionado
2,00 1,00 0,00 Municipal
2
Part. Subv.
Del total de conjuntos realizados por los educandos (75), aquellos que se consideran originales (con menor frecuencia) corresponden al 33,3%.
Privado
Dentro de las respuestas que presentaron menor frecuencia (25 en total) se seleccionaron aquellas que efectivamente eran matemáticamente competentes (20) y se realizó el siguiente gráfico:
Sólo se dará a conocer los resultados del ejercicio 1 y 2.
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En él se puede apreciar que el 50% de las respuestas son consideradas originales y a la vez, matemáticamente competentes. El conjunto que aquí se puede destacar está constituido el siguiente criterio: “números aleatorios”. El 50% restante lo conforma el siguiente conjunto, “números más difíciles”, que si bien podemos considerar bastante original, tampoco se aprecia en ella un criterio que implique una competencia matemática.
20 % Originales pero sin competencia matemática Originales y matemáticamente competentes
Colegio privado
80 %
Del total de frecuencias en que aparecieron los conjuntos realizados por los estudiantes en este colegio (33), aquellos que se consideran originales (con menor frecuencia) corresponden al 15%.
En él se puede apreciar que el 80% de las respuestas son consideradas originales y a la vez, matemáticamente competentes. Los conjuntos que aquí se pueden destacar están constituidos por criterios como el siguiente: “números que sumados con 10 den como resultado un número posible de dividir de manera exacta”, o “números que multiplicados por dos den más que 10”. De acuerdo a la teoría de la Inversión, el conocimiento constituye una herramienta crucial puesto que el manejo de habilidades conceptuales permite la construcción de conjuntos correctamente elaborados.
Entre las respuestas con menor frecuencia (5 del total) se seleccionaron las que efectivamente fueron matemáticamente competentes (2) y con estos datos se realizó el siguiente gráfico:
40 %
El 20% restante lo constituyen conjuntos tales como, “números que se escriben con una sílaba”, o “peores números” que si bien pueden ser consideradas respuestas bastante originales, no se aprecia en ellas un criterio que implique una competencia matemática concreta.
60 %
Del total de frecuencias en que aparecieron los conjuntos realizados por los estudiantes en este colegio (33), aquellos que se consideraron originales (con menor frecuencia) corresponden al 6 %. Dentro de las respuestas que presentaron menor frecuencia (2 en total) se seleccionaron aquellas que efectivamente eran matemáticamente competentes (1) y se realizó el siguiente gráfico.
50 %
Originales y matemáticamente competentes
En este gráfico se puede observar que el 40% de las respuestas son consideradas originales y a la vez, matemáticamente competentes. Entre los conjuntos realizados destacan: “Múltiplos de 3”, y “Múltiplos de 4”. De lo anterior podemos apreciar la importancia del manejo conceptual para la construcción de los conjuntos y que se considera como un recurso en la teoría de la inversión.
Colegio municipal
50 %
Originales pero sin competencia matemática
El 60% restante está conformado por respuestas como las que siguen: “números más divertidos”, o “Números ordenados alfabéticamente”. Nuevamente se puede afirmar que las respuestas antes mencionadas no presentan una competencia matemática concreta, aun cuando pueden ser consideradas originales.
Originales pero sin competencia matemática
Fluencia y flexibilidad ejercicio nº 2
Originales y matemáticamente competentes
Para el segundo ejercicio se consideraron los siguientes criterios para las variables fluencia y flexibilidad. 07
Originalidad ejercicio nº 2
Fluencia: Total de respuestas dadas. (cantidad de polígonos construidos separados entre sí).
La Originalidad es entendida como las respuestas únicas dadas ante un estímulo. Para este ejercicio se debe tener en cuenta que todas las respuestas están dentro de la categoría de lo que se considera matemáticamente competente, puesto que cumplían con el enunciado, como quedó de manifiesto en el punto anterior. Por lo tanto no se hace necesaria una clasificación entre “Originales matemáticamente competentes” y “Originales sin competencia matemática”.
Flexibilidad: Cantidad de respuestas que satisfacen el enunciado, es decir que cumplan con perímetro 14 y que no sean congruentes. El ejercicio consistía en la elaboración de la mayor cantidad de polígonos que cumplieran con la condición de perímetro 14 cm. El total de polígonos distintos construidos entre los tres colegios fue de 51. A continuación se presenta el gráfico que da cuenta de la comparación entre los promedios de fluencia y flexibilidad para el ejercicio nº 2 de cada colegio.
Colegio particular subvencionado Para este ejercicio se consideraron aquellos polígonos que cumplían con la condición del enunciado, es decir que la suma de sus lados sea igual a 14 cm.
10,00 8,00
Fluencia
6,00
21 %
4,00
Polígonos de mayor frecuencia
Flexibilidad
2,00 0,00 Municipal
Part. Subv.
Privado
Polígonos originales
El colegio municipal construyó 27 de los 51 polígonos distintos, correspondientes al 52% del total de polígonos elaborados. A continuación se interpreta que el establecimiento municipal obtuvo menor promedio de fluencia, con 5 respuestas por alumno. Sin embargo la flexibilidad la constituye un promedio de 3,39 de respuestas correctas por alumno.
79 %
Del total de polígonos realizados por los educandos (frecuencia 107), aquellos que se consideran originales (con menor frecuencia) corresponden al 21%. Por el contrario, el 79% restante lo constituyen polígonos con una frecuencia mayor a 1. Esto se debe a que algunos alumnos diferentes realizaron el mismo polígono como respuesta.
De lo anterior se desprende que el grado de asertividad es de 0,67, lo que se considera en la escala AFF como un resultado satisfactorio. En el caso del establecimiento particular subvencionado, se construyeron 43 de los 51 polígonos encontrados, equivalentes al 84,3%. Se observa que los educandos presentaron un promedio de 9,5 respuestas por alumno, la flexibilidad por otra parte corresponde a 4,96. El coeficiente de asertividad en este caso es 0,52, lo que se considera dentro de los estándares de la escala como regular.
Colegio municipal A continuación se presenta el gráfico que da cuenta de las respuestas dadas por los alumnos del establecimiento municipal.
31 %
El colegio privado por su parte obtuvo 14 de los 51 polígonos distintos, correspondientes al 27,4%. La fluencia en este caso fue de 7,3. En el caso de la flexibilidad corresponde a 2,25, siendo el coeficiente de asertividad igual a 0,3, lo que se considera insatisfactorio.
69 %
08
Polígonos de mayor frecuencia Polígonos originales
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creatividad”, el cual se obtiene de la relación existente entre el porcentaje de originalidad y el grado de asertividad. Lo anterior es necesario puesto que no es posible hacer una comparación tomando como base sólo el grado de asertividad, ya que éste hace referencia, como su nombre lo indica, al porcentaje promedio de respuestas correctas por ejercicio, lo que no implica que éstas sean creativas. En definitiva, lo que se logra con este coeficiente de creatividad es determinar el porcentaje de respuestas originales (aquellas con menor frecuencia) del total de respuestas correctas por ejercicio, justificando el postulado que relaciona que las respuestas ante una pregunta o ejercicio para ser consideradas creativas, en el caso de las matemáticas, deben ser correctas.
Del total de polígonos realizados por los educandos en este establecimiento (frecuencia 58), aquellos que se consideran originales (con menor frecuencia) corresponden al 31%. Por el contrario, el 69% restante lo constituyen polígonos con una frecuencia mayor a 1. Esto se debe a que alumnos diferentes realizaron el mismo polígono como respuesta.
Colegio privado A continuación se presenta el gráfico que da cuenta de las respuestas dadas por los alumnos de este establecimiento educacional 23 % Polígonos de mayor frecuencia
Luego de la aplicación del test se pudo constatar que el nivel de creatividad, entendido como la relación existente entre el porcentaje de originalidad y el grado de asertividad, fue mayor en el establecimiento particular subvencionado para los cuatro ejercicios, con un promedio ponderado de 0,286. Le sigue a éste el establecimiento municipal, con un promedio de 0,165. Finalmente el colegio privado presentó un promedio de 0,127.
Polígonos originales
77 %
Del total de polígonos realizados por los educandos en este establecimiento (frecuencia 40), aquellos que se consideran originales (con menor frecuencia) corresponden al 23%. Por el contrario, el 77% restante lo constituyen polígonos con una frecuencia mayor a 1, por lo que no son considerados originales.
Las diferencias entre el nivel de creatividad presentado por los tres establecimientos fue de 0,159, por lo que no representa una diferencia significativa y por tanto, el nivel socioeconómico, representado por el índice de vulnerabilidad, no es un factor determinante a la hora de analizar la creatividad. De esta forma se ha refutado la hipótesis antes planteada.
Conclusiones
Esto puede deberse a diversos factores, entre los que destaca las diferentes prácticas pedagógicas utilizadas por los docentes. Como quedó claro en las observaciones, el trabajo con los conocimientos previos, a través de estrategias como lluvia de ideas, actividades desafiantes, entre otras, se transforman en aspectos importantes de considerar para desarrollar un aprendizaje significativo. Las destrezas conceptuales y procedimentales, que se manifiestan en el conocimiento de algoritmos, se constituyen en un paso importante de considerar al momento de enseñar un contenido matemático en etapas tempranas, donde es fundamental considerar el error como una oportunidad de aprendizaje. Es relevante para desarrollar la creatividad, que el educador conozca diversas formas de abordar un problema matemático, dando la oportunidad para que los alumnos propongan y den a conocer sus propios métodos.
¿Existen diferencias significativas en los alumnos pertenecientes a distintos niveles socioeconómicos en la aplicación de un test de pensamiento divergente? ¿Las prácticas docentes favorecen el pensamiento matemático creativo en los educandos? La primera pregunta de investigación dio cabida a la hipótesis propuesta, que planteaba “El nivel socioeconómico es un factor determinante en el desarrollo del pensamiento matemático creativo por parte de los alumnos”. A partir de los hallazgos en esta investigación y específicamente tras la aplicación del test, se calculó el índice de asertividad promedio (relación entre flexibilidad y fluencia). Cabe destacar que para medir la creatividad y así poder comparar los resultados entre los establecimientos se determinó un “coeficiente de
El educador debe además ser capaz de crear un ambiente 09
relacional cálido, esto fomenta en los alumnos la participación y motivación en matemáticas. Una vez descartadas las diferencias socioeconómicas como variable influyente en el desarrollo de la creatividad, se procede a describir la siguiente hipótesis: Las prácticas docentes tienen una relación directa en el desarrollo de un pensamiento matemático creativo en los alumnos.
este y otros tests a los docentes, como una actividad que favorece la metacognición de los procesos creativos. El desarrollo, por parte del equipo de investigación, de diversos elementos de medición de la creatividad (escala de asertividad AFF, Escala de desarrollo potencial de creatividad, con sus respectivas variables) contribuye a la percepción de la creatividad como una variable medible a través de diversos instrumentos.
Como se pudo ver en lo anteriormente señalado, el colegio particular subvencionado presenta una diferencia sutil, pero no por eso menos importante, con los demás establecimientos. Esta realidad demuestra ciertas características en la metodología de trabajo en el aula, entre las que podemos mencionar: guías personales de aprendizaje con secuenciación de dificultades y logros, definición y ejemplificación del concepto principal y trabajo participativo utilizando diversas maneras para llegar a las respuestas, situación que se repite en el colegio municipal. Estas metodologías favorecen el desarrollo de la creatividad debido a que despiertan el interés de descubrir el por qué de las situaciones. Es preciso señalar también la concepción que las docentes tienen del fenómeno que se suscita entre las matemáticas y la creatividad, ya que a nuestro entender, la percepción que las profesoras poseen en relación a lo anterior es finalmente la forma en que desarrollarán en los alumnos las competencias creativas. Es así que la educadora del colegio particular subvencionado define esta relación como “la creatividad y búsqueda de estrategias exitosas producen satisfacción en cualquier actividad y en el caso de las matemáticas produce una comprensión del trabajo, asociación a las actividades de la vida y éxito, ya que este mundo es matemático”. La preocupación por desarrollar la creatividad está presente casi de manera intuitiva, en los tres casos, aún cuando no exista mayor literatura sobre cómo fortalecer este proceso y menos aún, su relación con las matemáticas. Es por todo lo anterior que se comprueba que las prácticas docentes influyen en el desarrollo de un pensamiento matemático creativo. La escala de asertividad es factible de extrapolar para la medición del grado de creatividad en la medida en que el rango entre 0 y 1 se divida en cinco criterios, entre los que se proponen los siguientes, creatividad baja (entre 0 y 0,20), creatividad aceptable (0,21 y 0,40), creatividad potencial (0,41 y 0,60), creatividad suficiente (0,61 y 0,8), creatividad óptima (entre 0,81 y 1). Como segunda recomendación se plantea la aplicación de 10
Número 04 // Septiembre de 2010
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* Datos del autor: Felipe Pino Conejeros, alumno egresado de la carrera de Educación Básica de la Sede Villarrica de la Universidad Católica de Chile. El trabajo corresponde a una síntesis del Seminario para optar al grado de Licenciado en Educación, del presente año 2010. Correo electrónico: frpino@uc.cl 12