02 matematiques 2 eso by Vr c

ELS TEUS RECURSOS DIGITALS A:

MATEMÀTIQUES 2

www.ecasals.net/alumnes/matematiques2eso

MATEMÀTIQUES 2

Miquel Albertí, Andrés Aragoneses, Antoni Bancells, Albert Bosch, Fernando García, Antonio Hernández, Bartolomé Luque, Ricard A. Rovira, Lluís Sabater, Juan A. Ysern

Mates 2 coberta CAT CS4.indd 1

26/01/11 16:54

MATEMÀTIQUES 2

Miquel Albertí, Andrés Aragoneses, Antoni Bancells, Albert Bosch, Viky Frías, Fernando García, Antonio Hernández, Bartolomé Luque, María Molero, Ricard A. Rovira, Lluís Sabater, Adela Salvador, Juan A. Ysern, Nieves Zuasti Trobaràs els recursos digitals a www.ecasals.net/alumnes/matematiques2eso

Índex

Els nombres enters 1. El conjunt dels nombres enters 2. Operacions bàsiques amb nombres enters 3. Operacions combinades 4. Divisibilitat 5. El màxim comú divisor i el mínim comú múltiple

Els nombres fraccionaris 1. 2. 3. 4. 5.

Els decimals i el sistema sexagesimal 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Els nombres decimals Conversió d’un nombre decimal en fracció Operacions amb nombres decimals Aproximació de nombres El sistema de numeració sexagesimal Expressió complexa i incomplexa del sistema sexagesimal Operacions amb el sistema sexagesimal

Potències i arrels 1. 2. 3. 4.

Els nombres fraccionaris Treballar amb fraccions equivalents Operacions bàsiques amb fraccions Potències i arrels quadrades de fraccions Operacions combinades amb fraccions

Les potències Operacions amb potències La notació científica L’arrel quadrada

Introducció a l’àlgebra 1. El llenguatge algebraic 2. Monomis i operacions bàsiques amb monomis 3. Polinomis i binomis de primer grau 4. Potències de binomis i identitats notables

Les equacions 1. Conceptes bàsics d’àlgebra 2. Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita 3. Introducció als sistemes d’equacions 4. Resolució de problemes mitjançant equacions

4 6 8 10 12 14

24 26 28 30 32 33

44 46 47 48 50 51 52 54

66 68 70 72 74

84 86 88 90 92

102 104 106 108 110

Proporcionalitat numèrica

122

1. Relacions entre magnituds 2. Proporcionalitat directa 3. Proporcionalitat inversa 4. Proporcionalitat composta 5. Percentatges 6. L’interès simple

124 125 128 129 131 133

Les funcions 1. El sistema de coordenades cartesianes 2. Les funcions 3. Característiques generals d’una funció 4. La funció de proporcionalitat directa 5. La funció afí 6. Intersecció de funcions de primer grau 7. La funció de proporcionalitat inversa 8. Introducció a les funcions de segon grau

Figures planes

Proporcionalitat geomètrica

188

Els poliedres

Els cossos de revolució 1. Concepte de cos de revolució 2. El cilindre 3. El con 4. El tronc de con 5. L’esfera

164 166 169 171 174 176

1. Volum, capacitat i densitat 2. Elements de la geometria de l’espai 3. Els poliedres 4. Els poliedres regulars 5. Els prismes 6. Les piràmides 7. Truncament i descomposició de poliedres

144 145 147 148 149 151 152 153

1. Els triangles 2. El teorema de Pitàgores 3. Perímetre i àrea de figures planes 4. Els angles de les figures planes 5. Els mosaics

1. Segments proporcionals 2. Aplicacions del teorema de Tales 3. Semblança de triangles 4. Semblança de polígons 5. Plànols i escales

142

Estadística i probabilitat 1. Conceptes bàsics d’estadística 2. Els gràfics estadístics 3. Els paràmetres estadístics 4. Conceptes bàsics d’atzar i probabilitat 5. Càlcul de probabilitats 6. Àlgebra d’esdeveniments

Activitats TAC Solucionari

190 192 194 198 200

212 214 216 218 220 222 224 226

238 240 241 242 245 246

256 258 260 262 264 266 268

280 295

 Activitat que es pot resoldre mitjançant càlcul mental. Activitat que es pot resoldre mitjançant la calculadora.

 Activitat que es pot resoldre mitjançant una aplicació informàtica.

Unitat

Els nombres enters Menys per menys és més

Si parlem de diners, assignem el signe positiu a una quantitat que algú ens deu; i el signe negatiu, a les quantitats que nosaltres devem a algú. Segons això, la relació entre el signe positiu i el negatiu és oposada. És a dir, el contrari que ens deguin és deure i a l’inrevés.

Així, si dues persones ens deuen 3 €, ens deuen 2 · 3 = 6 €, perquè el doble de tres és sis. En canvi si dos de nosaltres devem 3 € cadascun 2(−3) = −6, vol dir que en devem sis. Però, què significa (−2) · (−3) i quin resultat té? Segons la pauta anterior, el significat de (−2) · (−3) seria el contrari de deure’n sis. En lloc de deure’ls, ens els deuen. Així que (−2) · (−3) = +6, i sembla que la multiplicació de dos nombres negatius ha de tenir com a resultat un nombre positiu: menys per menys dóna més. Però encara hi ha una raó més poderosa que justifica tots aquests resultats. És la raó purament matemàtica. Comencem escrivint una cosa de la qual no tenim cap dubte, i és que el producte de dos nombres positius és un nombre positiu: 2 · 3 = 6 Ara calculem el producte 2(7 − 3) de dues maneres diferents: 2(7 − 3) = 2 · 4 = 8 2(7 − 3) = 2 · 7 + 2(−3) = 14 + 2(−3) Atès que tots dos resultats han de ser iguals, podem assegurar que: 14 + 2(−3) = 8 D’aquesta última expressió podem deduir dues coses. D’una banda, i tenint en compte que 14 − 8 = 6, podem escriure: 6 + 2(−3) = 0 2(−3) = −6

I tenim que més per menys dóna menys. D’altra banda, també podem escriure: 14 + 2(−3) = 8 6 + 2(−3) = 0 6 = −2(−3) I arribem a la mateixa resposta: menys per menys dóna més. Aquestes conclusions no obeeixen les regles de significat del llenguatge quotidià, sinó que es desprenen de les operacions matemàtiques corrents. De les lleis de l’aritmètica pels nombres negatius en deduïm també les propietats de càlcul, malgrat que els resultats contradiguin els nostres prejudicis o esquemes mentals. Si volem donar un sentit realista a les operacions amb nombres negatius, podem fer-ho pensant que + i − són sinònims lingüístics de positiu i negatiu, d’haver i deure, d’original i reflex, de pujar i baixar, d’anar i venir, i de moltes coses més. Així potser ens serà més fàcil pair que el producte de dos negatius és positiu: pensant que el contrari (−) de baixar un esglaó (−1) d’una escala és pujar-lo (+1). És a dir, −(−1) = +1.

Analitza i resol 1. Ets al quinzè esglaó d’una escala de setze esglaons. Si baixes tres cops quatre esglaons, a quin esglaó de l’escala hauràs arribat? Escriu els càlculs necessaris per determinar-ho. 2. Quina és l’expressió lingüística oposada a baixar tres cops quatre esglaons? Si estàs al peu d’una escala i fas l’acció oposada de baixar tres cops quatre esglaons, a quin esglaó de l’escala seràs? Escriu els càlculs per determinar-ho. 3. Indica quines de les expressions següents són correctes i quines no. Justifica les respostes. a) Més per menys dóna menys. b) Menys més menys dóna més. c) Menys menys menys dóna menys. d) Menys per menys dóna més. e) Més més menys dóna menys. 4. Restar a un quadrat de 5 × 5 un quadrat de 2 × 2 té com a efecte l’aparició d’un forat quadrat de 2 × 2 en el quadrat de 5 × 5.

−



a) Què significa restar un forat? b) Quina relació hi ha entre les àrees d’un quadrat de 5 × 5 i la d’un forat de 5 × 5?

Índex

Competències bàsiques

1. El conjunt dels nombres enters

Matemàtica. Operació amb nombres enters.

2. Operacions bàsiques amb nombres enters

Comunicativa lingüística i audiovisual. Expressió de

3. Operacions combinades

les quantitats i les operacions amb nombres enters.

4. Divisibilitat

Tractament de la informació i competència digital.

5. El màxim comú divisor i el mínim comú múltiple

Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Coneixement i interacció amb el món físic. Aplicació dels problemes de càlcul en una situació de l’entorn físic.

Els nombres enters

El conjunt dels nombres enters 1.1 Recorda

Els nombres naturals són els que es fan servir per comptar, és a dir, són els nombres positius sense decimals (1, 2, 3, 4, 5, …).

En restar dos nombres naturals (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) pot passar que el subtrahend sigui més petit que el minuend. En aquest cas, el resultat és més petit que zero, i s’obté un nombre negatiu. Els nombres negatius es representen com els naturals però amb un signe − al davant (−3, −4, −5, …). Són necessaris, per exemple, per identificar deutes, pèrdues, mancances, o magnituds com la temperatura o les cotes topogràfiques, que poden trobar-se per sota d’un nivell de referència zero. Exemples

Els nombres enters estan formats pels nombres naturals, els

1. Uns recaptadors d’impostos de l’antiga Roma visiten en Titus. Li demanen 40 sestercis, i com que només en té 27, li queda un deute de 13 sestercis. 27 − 40 = −13

seus negatius corresponents i el zero (0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5, −5, …).

N ∈ Z

Els nombres negatius

En aquest cas, el signe negatiu fa referència al fet que es tracta d’un deute.

vol dir que el conjunt

2. Una estació meteorològica registra un dia determinat una temperatura màxima de 2 ºC sobre zero i una mínima de 3 ºC sota zero. Aquesta temperatura també es pot indicar −3 ºC. La diferència entre l’una i l’altra és de 5 ºC.

dels nombres naturals està inclòs dins del conjunt dels nombres enters.

1.2

El conjunt dels nombres enters

El conjunt dels nombres enters Z està format pels nombres naturals (1, 2, 3, 4, 5, …), els seus negatius corresponents (−1, −2, −3, −4, −5, …) i el zero (0). Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, −5, …} Els enters positius es poden escriure amb un signe + al davant (2 o bé +2). Hi ha infinits nombres positius i infinits nombres negatius i, per tant, el conjunt de nombres enters consta d’infinits elements. Exemple 3. Tant el conjunt dels nombres naturals N com el conjunt dels nombres enters Z consten d’infinits elements. Però hi ha més nombres enters que naturals, ja que per cada nombre natural, com per exemple el 23, hi ha dos nombres enters: el +23 i el −23.

1.3

El zero

El zero (0) és un nombre que no és ni negatiu ni és positiu. Com que no és positiu no pertany als nombres naturals, però sí que és un nombre enter. Pot fer referència a l’absència de quantitat (tinc 0 germans), a una variació nul·la (entre el poble A i el poble B hi ha un desnivell de 0 m) o bé pot ser posicional (la Puerta del Sol, a Madrid, és el quilòmetre 0 del sistema radial de carreteres). Placa que indica la cota topogràfica 0, a l’Ajuntament d’Alacant. Es tracta d’un 0 posicional.

Per a qualsevol nombre enter a es compleix: a + 0 = a a − 0 = a a · 0 = 0 0 : a = 0 No es pot dividir un nombre entre zero: a : 0 = ?

1.4

Ordenació i representació dels nombres enters

Els nombres enters es representen sobre la recta dels nombres enters, una recta infinita dividida en intervals iguals, en què el zero és al mig. Els enters negatius se situen a l’esquerra del zero en sentit decreixent.

–12

–10

–8

Els enters positius se situen a la dreta del zero en sentit creixent.

–6

–4

–2

+10

mirall

+12

Es pot entendre la recta nu-

Com més a l’esquerra d’aquesta recta sigui un nombre, més petit serà.

mèrica com la reflexió d’una

Exemple

semirecta numèrica respecte

4. Com que a la recta dels nombres enters el −5 és a l’esquerra del +3, es pot afirmar que el −5 és més petit que el +3.

1.5

del seu origen.

Valor absolut i valor oposat d’un nombre enter

El valor absolut d’un nombre enter a és el valor d’aquest nombre prescindint del seu signe. Es representa posant-lo entre dues barres verticals |a|.

Donat un valor absolut diferent del zero, hi ha dos nombres enters, un de positiu i un de negatiu amb aquest valor absolut. Així, es diu que el nombre oposat (Op) d’un nombre enter és l’altre nombre enter amb el qual comparteix el valor absolut però de signe diferent. La suma d’un nombre i el seu oposat dóna 0. Exemples 5. Com que el valor absolut del −15 és |−15| = 15, i el valor absolut del +15 és |+15| = 15, tots dos nombres, positiu i negatiu, tenen el mateix valor absolut. 6. Fixa’t que −6 és més petit que +3, però el valor absolut de −6 és més gran que el de +3: −6 < +3 , però 6 = |−6| > |+3| = 3 7. L’oposat del −7 és el +7, ja que |−7| = |+7| = 7. Sumats donen 0. Op(−7) = +7 → −7 + 7 = 0

Aplica

2 ■ Representa els nombres següents a la recta dels nombres enters:

1 ■ Expressa amb nombres enters els nombres que apareixen a les frases següents: a) L’atleta ha saltat cent vint-i-tres centímetres. b) El congelador de casa manté els aliments a vint graus sota zero. c) El submarí és a cinquanta metres sota el nivell del mar. d) La temperatura és de vint-i-vuit graus centígrads. e) Tinc un deute de deu euros.

−3, +6, −12, +1, +5, 0, −1, +3, −6 i −10. 3 ■ Digues quin és el valor absolut dels nombres següents: a) −7

c) +60

b) −23

d) 0 f) +2

e) −3

Raona 4 ■■ Indica si són veritables o falses les afirmacions següents:

f) La temperatura exterior del refugi de muntanya és de

a) −3 < −5

c) 6 < 7

nou graus sota zero.

b) 9 > −1

d) −12 > −17 f) −89 > −83

e) 0 < −5

Els nombres enters

Operacions bàsiques amb nombres enters 2.1

Alerta

La suma i la resta de dos nombres enters

La suma i la resta de dos nombres enters es poden considerar operacions equivalents, ja que restar dos nombres positius és el mateix que sumar un nombre positiu i un nombre negatiu.

Amb els nombres negatius

9 − 6 = 9 + (−6)

passa el contrari que amb els

• Per sumar o restar dos nombres enters que tenen el mateix signe, se sumen els seus valors absoluts i es posa el signe que duien.

nombres positius; com més gran és el seu valor absolut, més petit és el nombre. Així, per exemple, −1 és més gran

• Per sumar o restar dos nombres enters de signe oposat, es resta al valor absolut més gran el valor absolut més petit, i es posa el signe del valor més gran. Exemples

que −8. −1 > −8

8. Per fer l’operació 3 − 7, com que tenen signes oposats, es resta al valor absolut del més gran (|−7| = 7) el del més petit (|+3| = 3): 7 − 3 = 4 El resultat té signe negatiu, ja que |−7| > |3|, és a dir, −4: 3 − 7 = −4 9. Per fer l’operació −6 − 8, com que tenen el mateix signe s’han de sumar els valors absoluts (|−6| = 6 i |−8| = 8): 6 + 8 = 14

El resultat té el signe comú, negatiu en aquest cas: −6 − 8 = −14

2.2

La suma i la resta amb més de dos nombres enters

Per operar amb més de dos nombres enters es pot procedir de dues maneres: • Sumar o restar els nombres d’un a un, en ordre d’esquerra a dreta. • Sumar tots els nombres positius per una banda, tots els nombres negatius per una altra, i finalment sumar-los. Exemple 10. Fixa’t com s’opera amb −6 + 3 + 5 − 6 + 1 − 3. Fent-ho d’un a un d’esquerra a dreta: −6 + 3 + 5 − 6 + 1 − 3 −3 + 5 − 6 + 1 − 3 +2 − 6 + 1 − 3 −4 + 1 − 3 −3 − 3 −6 Agrupant els positius per una banda i els negatius per una altra: −6 + 3 + 5 − 6 + 1 − 3 = −6 − 6 − 3 + 3 + 5 + 1 = −15 + 9 = −6

2.3

La multiplicació

Per obtenir el producte de dos nombres enters, es multipliquen els valors absoluts tenint en compte les regles dels signes dels factors: Quan es multipliquen dos nombres enters del mateix signe, el resultat és positiu. Quan es multipliquen dos nombres enters de signes oposats, el resultat és negatiu.

(+) · (+) = +

Alerta Quan un nombre multiplica

(−) · (−) = +

elements entre parèntesis, sovint es prescindeix del signe

(+) · (−) = −

de multiplicar.

−

(−) · (+) = −

Per exemple: 4 · (2) = 4(2)

El producte de nombres enters té les propietats següents: • Commutativa: (−3) · 6 = 6(−3 ). • Distributiva respecte a la suma o la resta: −5(5 − 3) = −5 · 5 − (−5) · 3.

Recorda

• Associativa: −5(3 · 6) = (−5 · 3) · 6. • Element neutre (l’1): −7 · 1 = −7.

Quan es multipliquen o dividei-

Per operar amb nombres enters, no es poden escriure dos signes seguits. Quan hagin d’aparèixer dues operacions seguides es farà servir el parèntesi.

xen dos nombres naturals del mateix signe, el resultat és positiu i, si tenen signe diferent,

Exemple

és negatiu.

11. Fixa’t en la multiplicació següent:

−3(−5) = +15 → negatiu per negatiu és positiu.

2.4

La divisió

Anàlogament al producte, per dividir dos nombres enters es divideixen els seus valors absoluts i se segueix el mateix criteri de signes que en el producte. Quan es divideixen dos nombres enters del mateix signe, el resultat és positiu.

(+) : (+) = +

Quan es divideixen dos nombres enters de signes oposats, el resultat és negatiu.

(+) : (−) = −

(−) : (−) = +

−

(−) : (+) = −

Exemple 12. En dividir (−30) : (−2) = +15, ja que 30 : 2 = 15 i (+) : (+) = +.

Aplica

7 ■ Calcula: a) 3 + 5 − 6 + 6 − 9 + 1 b) −5 − 6 − 1 + 13

5 ■ Fes: a) 5 − (−3) + 2 − 5 + (−5)

c) 1 − 4 + 2 − 4 + 6 − 2 + 4 − 3

b) (−5) − (−4) + (−3)

8 ■■ Copia i completa els buits amb el nombre adient: a)

6 ■■ Calcula: a) (−30) : (−4) b) 20 : (−4)

c) (−5 ) · (−2)

e) 4(−3)

d) (−2) : (−2) f) (6) : (−2)

: (−2) = 5

b) 15 : (

c) 45 : (

d) −12(

) = −5 e) ) = −5 f)

) = −36 (−2) · ( ) = +16 −125 : ( ) = +5

Els nombres enters

Operacions combinades 3.1

Amb la calculadora La tecla +/_

serveix per in-

troduir nombres negatius en

Combinació de productes

Per resoldre una combinació de diversos productes, es poden multiplicar ordenadament tots els factors, d’esquerra a dreta, tenint en compte el criteri de signes cada vegada. També es poden multiplicar els valors absoluts dels factors i: • si hi ha un nombre senar de signes negatius, el resultat és negatiu. • si hi ha un nombre parell de signes negatius, el resultat és positiu.

les operacions, o bé per can-

Exemple

viar de signe un resultat. Per

13. Fixa’t com es pot multiplicar (−3) · (2) · (−2) · (−3):

exemple, per fer 5 + (−6) cal

Per multiplicació ordenada:

prémer: 5 + 6 +/_

(−3) · (+2) · (−2) · (−3)

−6(−2) · (−3)

+12(−3)

−36

Multiplicant els valors absoluts s’obté 3 · 2 · 2 · 3 = 36. Com que hi ha tres signes negatius (un nombre senar), el resultat és negatiu:

(−3) · (+2) · (−2) · (−3) = −36

Alerta Si no apliques la regla de prioritat, i calcules primer l’ope-

3.2

Jerarquia de les operacions

ració que hi ha a fora dels parèntesis obtindràs un resultat erroni:

Quan s’han de fer diverses operacions combinades s’ha de seguir el criteri de prioritat següent:

5 − 1 · (4 − 2) = 4 · (4 − 2) =

1. Primer cal resoldre les operacions de dins dels parèntesis. Els claudàtors [ ] es fan servir per a les que inclouen més d’uns parèntesis. Primer es resolen els parèntesis interiors i després els claudàtors.

2. Es fan les multiplicacions i divisions ordenadament, d’esquerra a dreta.

SÍ

3. Es resolen les sumes i restes ordenadament, d’esquerra a dreta.

5 − 1 · (4 − 2) = 5 − 1 · 2 =

Si hi ha un signe negatiu davant d’uns parèntesis, cal tenir en compte que primer cal fer les operacions de dins i després s’ha de canviar el signe al resultat.

=5−2=3

Exemple 14. Fixa’t en els passos que cal seguir per tal de resoldre la següent combinació d’operacions amb enters:

(−4 ⋅ 5)

Es resolen les operacions de dins dels parèntesis.

(3 ⋅ 10) + (4 − 6) ⋅ 5 − (5 ⋅ 5) +   (5 ⋅ 2) .

−20 30 −20 30 + (−2) ⋅ (5 − 25) + = + (−2) ⋅ (−20) + 2 10 2 10

S’efectuen els productes i divisions.

−10 + 40 + 3

Es fan les sumes i restes d’esquerra a dreta.

+30 + 3 = 33

3.3

Aplicar la propietat distributiva del producte respecte de la suma

Quan una xifra multiplica un conjunt de sumes i restes de dins d’uns parèntesis, es pot aplicar la propietat distributiva i multiplicar aquesta xifra per cada un dels termes de dins, i després sumar els resultats. Exemple 15. Fixa’t com es pot resoldre aquesta operació combinada 3(−1 + 5 − 2): Aplicant els criteris de prioritat: 3(2) = 6 Aplicant la propietat distributiva: 3(−1) + 3(5) + 3(−2) = −3 + 15 − 6 = 6 Fixa’t que, en tots dos casos, el resultat és el mateix.

Com aplicar-ho. Resoldre problemes amb operacions combinades Al senyor Joan li han tocat 400 € a la loteria i ha decidit donar a cada un dels seus 4 fills 10 € perquè carreguin el mòbil i 7 € perquè vagin al cine. Amb la meitat del que li sobri es comprà un capritx, i l’altra l’estalviarà. Calcula quants diners donarà als fills i quants diners estalviarà.

Consells Si no apliques les regles de prioritat, i resols primer l’operació que hi ha a fora dels parèntesis, obtindràs el següent:

[400 − 4(10 + 7)] : 2 =  = [396 (17)] : 2 = 3 366

• Primer es planteja la situació: A la quantitat inicial: 400. Se li resta la despesa de cada un dels 4 fills: 400 − 4(10 + 7).

És a dir, al final tindria més diners que els del premi, i això no pot ser.

Del que quedi, se’n fan dues parts: [400 − 4(10 + 7)] : 2. • Es resolen les operacions atenent els criteris de prioritat:

[400 − 4(17)] : 2 = (400 − 68) : 2 = 332 : 2 = 166 €

Vegeu els exercicis 13 i 14 pàg. 11; 39 i 40 pàg. 19.

Per tant, el senyor Joan donarà als fills 68 € i n’estalviarà 166.

Aplica

12 ■■ Calcula: a) 4(−3) + (7 − 3) · 5 − 2 · 5 + 3

9 ■ Calcula: a) (5 · 3) · (−5) b) (4 · 6) : (−2)

c) (−2 − 3) · (−7 + 5) d) (−4) · (−4 + 5)

(−15) (2 ⋅ 5 ⋅3) −3 ⋅ 5 + b) (5 + 2 − 3) ⋅ 2 ⋅3 −   3 15 Resol

10 ■■ Calcula: a) 3 · 5 · (− 6) · 6 · (− 9) · 1

b) (−1) · (−1 ) · (−1 ) · ( −1 ) · (−1)

c) (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · ( −2 ) · (−2) d) (−1) · (−2 ) · (−3 ) ·( −4 ) · (−5)

13 ■ L’Alícia ha collit de l’hort 250 kg de patates. Ha decidit regalar-ne 25 kg a cada una de les seves 3 germanes. Planteja l’operació i digues quants quilograms li quedaran. 14 ■■ En Rubèn té tres papallones de la seda i cada una pon

11 ■■ Calcula aplicant la propietat distributiva: a) 4(3 − 5 + 5)

b) −3(4 −2 − 4)

c) 4 : (8 − 16 + 4)

d) 3 ( 5 − 6 + 2 )  + 2 ( 5 − 6 + 2 )

234 ous. Surten totes les erugues, però a la primera setmana se n’hi moren la meitat. De les que li queden, en regala 10 de les grans i 12 de les petites a cada un dels seus 5 amics. Planteja l’operació i digues quantes erugues li quedaran.

Els nombres enters

Divisibilitat 4.1 Amb la calculadora

Es pot fer servir la calculadora

Múltiples i divisors

Un nombre és divisible entre un altre si en fer la divisió el residu r és zero. En aquest cas es tracta d’una divisió exacta. En aquests casos es diu que el dividend D és divisible entre el divisor d o que D és múltiple de d. També es pot dir que entre tots dos hi ha una relació de divisibilitat. D d q 0

per trobar el residu d’una divisió no exacta. Aquest correspon a la part decimal de la divisió. Agafa la part decimal i multiplica-la pel dividend: 2 0

5 : 4 = 1.25 . 2 5 4 = 1

residu r

D = d · q

Per trobar un múltiple d’un nombre només s’ha de multiplicar aquest nombre per qualsevol nombre natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, …). El conjunt dels múltiples d’un nombre a es representa amb aquest nombre amb un punt a sobre: a = {a ⋅ 1, a ⋅ 2, a ⋅ 3, a ⋅ 4, a ⋅ 5, …}

El residu és 1.

Exemples 16. Entre els nombres 15 i 45 hi ha una relació de divisibilitat. En aquest cas, com que en dividir 45 entre 15 el residu és zero, diem que 15 és divisor de 45 i que 45 és múltiple de 15. 45 15 45 = 15 · 3 3 0 17. Per trobar els múltiples de 15 es multiplica aquest pels nombres naturals:

⋅

15 = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...}

4.2

El nombre de múltiples és infinit.

Els nombres primers, els nombres compostos i l’1

Els nombres primers són els nombres naturals que només tenen divisió exacta per si mateixos i per 1. Els nombres primers més petits són 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Fixa’t que tots són senars, excepte el 2. Els nombres compostos són els que tenen més divisors a part de l’1 i de si mateixos. Es poden escriure com a producte d’altres nombres. El nombre 1 no es considera ni primer ni compost. Només té un divisor, l’1. Exemples 18. El 7 és un nombre primer, ja que només té divisió exacta per 1 i per 7: 7

7 0

3 1

2 1

D(7) = {1, 7} 19. El 12 és un nombre compost, ja que és divisible entre 1 i 12, però també entre 2, 3, 4 i 6. D(12) = {1, 2, 3, 4, 6}

4.3

Criteris de divisibilitat per nombres enters

Hi ha uns criteris que permeten saber si un nombre compost és divisible per un nombre enter petit, sense haver de dividir. • Per 2. Acaba en nombre parell o en 0.

Alerta En els casos de la divisibilitat

• Per 3. Sumant les xifres que el formen dóna un múltiple de 3.

per 3, 7 i 11, si les sumes o

• Per 5. Acaba en 5 o en 0.

diferències donen un nombre

• Per 7. La diferència entre el nombre sense la xifra de les unitats i el doble de la xifra de les unitats és 0 o múltiple de 7.

molt gran i no veus a primer

• Per 10. La darrera xifra és zero.

aquests nombres, torna a fer

• Per 11. Restant a la suma de les xifres que ocupen una posició imparella (1a, 3a, …), la suma de les xifres en posició parella (2a, 4a, …), dóna 0 o múltiple d’11.

l’operació amb el resultat fins

Exemple

cop d’ull si són divisibles per

que sigui evident. Per exemple, 924: Nombre sense la xifra de les unitats: 94.

20. Fixa’t com s’apliquen els criteris de divisibilitat al nombre 210.

Doble de la xifra de les unitats:

Per 2, perquè acaba en zero (210 : 2 = 105).

4 · 2 = 8.

Per 3, perquè en sumar les seves xifres (2 + 1 + 0 = 3) dóna 3 (210 : 3 = 70).

Diferència: 92 − 8 = 84.

Per 5, perquè acaba en zero (210 : 5 = 42).

Continuem amb el 84:

Per 7, perquè el nombre sense la xifra de les unitats és 21. El doble de la xifra de les unitats és 0. La seva diferència (21 − 0 = 21) és múltiple de 7 (7 · 3 = 21). Per tant: 210 : 7 = 30.

Nombre sense la xifra de les unitats: 8. Doble de la xifra de les unitats: 4 · 2 = 8. Diferència: 8 − 8 = 0.

4.4

Descomposició en factors primers

És divisible entre 7.

La descomposició en factors primers consisteix a trobar tots els divisors primers d’un nombre compost. Cal dividir successivament aquest nombre pel nombre primer més petit possible. En la descomposició dels nombres negatius s’ha d’incloure el nombre −1. Exemple 21. Fixa’t com es descompon el nombre 45 45 15 5 1

3 3 5

Com que 4 + 5 = 9, que és múltiple de 3, és divisible entre 3. Com que 1 + 5 = 6, que és múltiple de 3, és divisible entre 3. El 5 només és divisible per si mateix.

Per tant, 45 = 3 · 3 · 5, és a dir 32 · 5. Si fos el −45 seria −1 · 32 · 5.

Aplica

16 ■■ Indica quins són primers i quins són compostos: 3, 5, 10, 30, 31, 40, 41, 47, 50, 51, 61, 71, 81 i 101.

15 ■■ Dels nombres següents: 2, 5, 10, 12, 15, 20, 21, 25, 26, 27, 30, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48 i 50. a) Indica quins són múltiples de 2. b) Indica quins són múltiples de 3. c) Indica quins són múltiples de 5.

17 ■■ Troba el nombre compost corresponent a: a) 3 · 5 · 7

c) 22 · 32 · 52

b) 5 · 7 · 11

d) 13 · 3 · 2

18 ■ Descompon en factors primers: a) 20

b) 120

c) 3 456

Els nombres enters

El màxim comú divisor i el mínim comú múltiple 5.1

Recorda

El màxim comú divisor (m. c. d.)

El màxim comú divisor (m. c. d.) de dos nombres o més és el nombre divisor comú més gran. Per trobar el m. c. d. de diversos nombres, cal:

Quan es descompon un nombre en factors primers, els factors primers repetits cal expressar-los en forma de po-

• descompondre aquests nombres en factors primers, • seleccionar els factors comuns elevats a la potència més petita, i • multiplicar aquests factors entre si.

tència.

Exemple

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 =

22. Per trobar el m. c. d. dels nombres 60, 90 i 150, primer cal descompondre’ls en factors primers:

= 23 · 3 · 5

60 30 15 5 1

2 2 3 5

90 45 15 5 1

150 75 25 5 1

2 3 3 5

2 3 5 5

60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5  → 90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5  150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 

Els factors primers presents en totes tres descomposicions són el 2, el 3 i el 5. Com que la potència més petita amb què apareixen és 1, aleshores: m. c. d. (60, 90, 159) = 2 · 3 · 5 = 30

És a dir, de tots els nombres que són divisors alhora de 60, 90 i 150, el 30 és el més gran.

5.2

El mínim comú múltiple (m. c. m.)

El mínim comú múltiple (m. c. m.) de dos nombres o més és el nombre múltiple comú més petit. Per trobar el m. c. m. de diversos nombres, cal: • descompondre aquests nombres en factors primers, • seleccionar els factors no comuns i els comuns elevats a la potència més alta, i • multiplicar tots aquests factors entre si. Exemple 23. Per trobar el m. c. m. de 120, 180 i 300, primer cal descompondre’ls en factors primers: 120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5

180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

300 150 75 25 5 1

2 2 3 5 5

120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5  → 180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5  300 = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 

Els factors comuns amb la potència més alta són 23, 32 i 52. En aquest cas no hi ha cap factor no comú. m. c. m.(120, 180, 300) = 23 · 32 · 52 = 1 800 No hi ha cap nombre alhora que sigui múltiple de 120, 180 i 300 i que sigui més petit que 1 800.

Com aplicar-ho. Aplicar el m. c. m. en la resolució de problemes En una estació de rodalies de la Renfe, surt un tren de la línia 1 cada 16 min, un de la línia 2 cada 30 min i un de la línia 3 cada 40 min. Si a les 6.00 h s’obre l’estació i surt un tren de cada línia, a quines hores tornaran a coincidir combois de les tres línies? Aquest tipus de problemes de coincidències en el temps es resolen trobant el múltiple dels nombres proposats més proper a l’instant d’inici, o sigui, el m. c. m. • Descomponem cada nombre en factors primers: 16 = 23

30 = 2 · 3 · 5

40 = 23 · 5

• Triem els factors comuns a la màxima potència i els factors no comuns: m. c. m.(16, 30, 40) = 23 · 3 · 5 = 120 Així doncs, com que 120 min = 2 h, tornarem a tenir els tres trens a les 8.00 h, les 10.00 h, les 12.00 h, les 14.00 h, etc., fins que s’acabi el servei.

Com aplicar-ho. Aplicar el m. c. d. en la resolució de problemes Un pastisser té 28 magdalenes i 40 ensaïmades i les ha de repartir en safates amb un nombre equitatiu de cada pasta. Calcula quantes safates iguals es poden fer, i de quantes pastes cada una. Els problemes de repartir elements diversos a parts iguals es resolen trobant un divisor comú o més. El m. c. d. donarà els grups més petits possibles. • Descompon cada nombre en factors primers: 28 = 2  · 7 2

Els problemes que tracten d’objectes que coincideixen en l’espai es resolen igual. Si la situació fos que en una avinguda hi ha un arbre cada 16 m; una jardinera, cada 30, i un fanal, cada 40, per saber quan coincideixen tots tres elements, el mètode que s’ha d’aplicar és el mateix. Vegeu els exercicis 23 pàg. 15; 77, 78 i 79 pàg. 21.

Consells Emprant els altres divisors que no siguin el màxim (en aquest cas, només pot ser el 2), es poden formar altres grups homogenis, però seran més grans. 28 : 2

40 = 2  · 5 3

m. c. d.(28, 40) = 22 = 4 • Divideix cada tipus de pasta pel m. c. d. i obtindràs el nombre de pastes de cada tipus, i el nombre total en cada safata. 40 : 4 = 10 ensaïmades

14 magdalenes

40 : 2 = 20 ensaïmades

• Tria els factors comuns a la potència més petita (m. c. d.). Aquesta xifra és el nombre de grups (en aquest cas, safates) amb el nombre de pastes més petit que es pot formar:

28 : 4 = 14 magdalenes

Consells

→

→ 2 safates de 24 pastes Vegeu l’exercici 80 pàg. 21.

14 + 10 = 24 pastes

Així doncs, es poden preparar 4 safates amb 24 pastes cada una, 14 de les quals seran magdalenes, i 10, ensaïmades.

Aplica

22 ■■ Troba el màxim comú divisor de:

19 ■■ Respon:

a) 40 i 30

d) 12 i 18

g) 50, 60 i 75

b) 6 i 10

e) 25, 20 i 30

h) 100, 80 i 60

c) 25 i 30 f) 12, 14 i 16 i) 30, 70 i 10

a) El 450 és múltiple de 9? b) El 730 és divisible entre 3?

Resol

20 ■■ Indica quins dels nombres següents són múltiples de 7: 23 ■■ Les campanades de dos rellotges de paret marquen les

67, 77, 107, 157, 144, 81, 69 i 171.

dotze. El més antic fa un «dong» cada tres segons, i el més nou el fa cada dos segons. Si la primera campanada de cada un sona

21 ■■ Descompon en factors primers: a) 60

b) 81

c) 21

d) 17

a l’hora, quantes campanades més sonaran simultàniament?

Tot són matemàtiques

Veure els nombres El visualitzador de set segments, tot i que cada cop es fa servir menys, encara és la manera més estesa i barata de mostrar nombres en equips electrònics (calculadores, marcadors esportius, rellotges digitals. Cada visualitzador o display està format per set díodes emissors de llum (LED) en forma de segment. LED en forma de punt. Cada segment s’encén o s’apaga individualment per representar el nombre desitjat. 16

Les matrius de LED estan formades per files i columnes de llumetes. Tenen moltes més possibilitats gràfiques, i, com que els LED actualment són molt més barats, estan desbancant els visualitzadors de set segments.

Un LED és un díode de material semiconductor que emet llum en aplicar una tensió elèctrica. Va ser inventat per Oleg Vladimirovitx Losev el 1927, encara que no es van comercialitzar massivament fins la dècada de 1960, i bàsicament com a indicadors d’encesa i apagada.

Els nombres enters

L’alfabet beghilos i els calculogrames Posant de cap per avall la pantalla de la calculadora, qualsevol xifra es pot llegir com una lletra. Gràcies a això podem crear petites xarades, anomenades calculogrames. La solució s’aconsegueix després d’algunes operacions aritmètiques amb la calculadora. Un exemple clàssic: En un partit de futbol, al minut el marcador anava zero a zero quan el jugador divuit es va escapolir entre dos defenses va xutar i el resultat va ser...

Analitza i investiga 1. Investiga si en català es pot fer servir la paraula led (en minúscules) o bé s’ha d’escriure sempre el nom d’aquest component electrònic segons les sigles en anglès de light emitting diode, LED. Investiga també si es pot emprar la paraula anglesa display per identificar els visualitzadors. 2. Genera una llista de paraules possibles utilitzant l’alfabet beghilos, i inventa’t al-

(Gira el llibre per llegir-ho.)

guns calculogrames. 3. Practica amb els companys l’anomenat joc del teclat: • Establiu un torn de jugada. El primer jugador tecleja a la calculadora un nombre qualsevol. • El jugador següent li resta un nombre d’un sol dígit, que no sigui el zero. • Per torns, cada jugador torna a restar un nombre, però amb la condició que sigui adjacent (ortogonal o diagonal) al nombre teclejat pel jugador anterior. • Perd qui obtingui un resultat negatiu quan faci la resta.

Actualment tenen moltes més prestacions: més intensitat, possibilitat d’emetre llum blanca, baix consum, vida llarga, emissió baixa de calor… i s’estan convertint en una autèntica revolució en els sistemes d’il·luminació.

• Sabries trobar alguna estratègia per guanyar sempre al joc del teclat? 4. Sovint els LED s’utilitzen per indicar si un aparell està encès o en mode d’espera (stand-by). Investiga quin consum suposa per a una llar mitjana deixar els electrodomèstics en espera.

Els nombres enters

Això és bàsic Conjunt dels nombres enters Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, −5, …}.

–5

A la dreta del 0 hi ha els enters positius.

Al mig hi ha el zero (0).

A l’esquerra del 0 hi ha els enters negatius.

–4

–3

Recta numèrica

–2

–1

|–4| = 4

El valor absolut d’un nombre és aquest mateix nombre però sense signe.

|+4| = 4

Op(−4) = +4 → +4 + (−4) = 0

Tot nombre enter, menys el zero, té un nombre oposat, que és el mateix però canviat de signe.

tipus de nombres

definició

exemples

primers

Només són divisibles per l’1 i per si mateix.

compostos

Tenen més divisors a part de l’1 i de si mateix. Es poden descompondre

2, 3, 5, 7, 11, 13, … 4 = 2 · 2 = 22

en factors primers i escriure’s com a producte d’aquests. 1

6 = 2 · 3

Només té un divisor, l’1.

criteris de divisibilitat per nombres primers

per 2

Acaba en nombre parell o en 0.

per 3

La suma de les xifres que el formen dóna un múltiple de 3.

per 5

Acaba en 0 o en 5.

per 7

La diferència entre el nombre sense la xifra de les unitats i el doble de

exemples 4, 6, 8, 10, 12, 46, 564,… 339 → 3 + 3 + 9 = 12 → 1 + 2 = 3 10, 15, 20, 25, 30, 125,… 392 → 39 − 4 = 35 → 3 − 10 = −7

la xifra de les unitats és 0 o múltiple de 7. per 11

Restant a la suma de les xifres que ocupen una posició imparella (1a,

3a, …) la suma de les xifres en posició parella (2a, 4a, …), s’obté 0

2 · 2

2 · 5

9+7 9 372 → 16 − 5 = 11

o múltiple d’11.

3+2

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Resoldre operacions

1. Resol les operacions de dins dels parèntesis. Els claudàtors es fan servir per a les que inclouen més

amb parèntesis

d’uns parèntesis. Primer es resolen els parèntesis interiors i després els claudàtors. 2. Efectua les multiplicacions i divisions ordenadament, d’esquerra a dreta. 3. Resol les sumes i restes ordenadament, d’esquerra a dreta.

Trobar el m. c. d. de

1. Descompon aquests nombres en factors primers.

diversos nombres

2. Selecciona els factors comuns elevats a la potència més petita. 3. Multiplica aquests factors entre si.

Trobar el m. c. m. de

1. Descompon aquests nombres en factors primers.

diversos nombres

2. Selecciona els factors no comuns i els comuns elevats a la potència més alta. 3. Multiplica tots aquests factors entre si.

El conjunt dels nombres enters

Operacions bàsiques amb nombres enters

24 ■ Expressa amb nombres enters:

34 ■

 Calcula:

a) La Marta, bussejant, ha arribat a deu metres de pro-

a) −3 + 5 − 6 + 1

c) 3 − 5 + 6 − 2

funditat.

b) 5 + 6 − 3 − 2

d) −6 − 2 + 1 + 2

b) El satèl·lit Meteosat és a trenta-sis mil quilòmetres

 Calcula:

35 ■

d’altitud. c) En sortir fora del vaixell, els exploradors es van trobar

a) −12 − 2 − 9 + 3 − 1 + 3

a dotze graus sota zero.

b) 7 + 3 − 5 − 5 + 2 − 1 − 1

d) En John viu a Nova York, a la planta quaranta-dues

c) 10 − 4 + 30 − 31 − 6 + 1 − 5

d’un gratacel.

d) 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 +17 + 2

 Calcula:

25 ■ Quants nombres enters hi ha entre:

Els nombres enters

Activitats

36 ■

a) (−3) − (−7)

a) 4 i 10.

b) (−3) + (−5) − (+4)

b) −11 i −7.

c) (+5 ) + (−6)

d) (−1) − (−2) + (−6)

c) −5 i 2. d) −15 i 5.

37 ■

 Calcula:

a) (−1) − (−4) − (+7) − (−6)

b) (−1) − (−2) − (+4) − (−2)

26 ■ Indica si són veritables o falses les afirmacions següents:

c) (−5) − (−2) − (+5) − (−3)

a) −5 < −7

d) (−3) − (+1) − (+3) − (+2)

b) 10 < −12 c) 5 > −5 d) −29 < 3 27 ■

38 ■

 Calcula:

a) (−5) − (−2) − (+7) + (−6)

 Digues quin és el valor absolut de: a) −14

c) 71

b) −29

d) −71 f) −1

e) 0

28 ■ Digues si són veritables o falses: a) |−5| < −3

b) (−7) + (+12) − (+5) + (+1)

c) (−1) + (−4) − (+3) + (−5)

d) (−1) − (+6) + (−7 ) − (− 8)

39 ■■

 Les

accions de borsa d’una empresa fluctuen al

llarg d’un dia. Es produeixen compres per valor de +10 000 €,

b) |−27 | < |−13|

+23 000 € i +12 000 € i es venen les quantitats −27 000 €,

c) 0 < |−1|

7000 € i −11 000 €. Quin és el balanç final?

d) |5| < |7| 29 ■ Representa a la recta numèrica els nombres −4, −7, +5, +3, −1, 0, +1 i +2. 30 ■ La temperatura més baixa a la qual ha estat exposat en Marc és de −8 ºC, mentre que la Maria ha arribat fins als −5 ºC. Quin dels dos ha suportat més fred? 31 ■ Si |a| = 7, quant pot valdre a? 32 ■ És possible que |a| = −3?

40 ■■

 Un tècnic vol comprovar les funcions d’un ascensor

i l’observa. Partint de la planta zero, algú el fa pujar 7 plantes pri33 ■■ Quan es lleva, en Marc comprova que la temperatura és

mer i descendir 9 plantes després. Més tard el fan pujar 7 plantes

de +7 ºC. Abans de sortir de casa ha pujat dos graus. En tornar al

per baixar-ne cinc. Finalment algú el crida de sis plantes més

migdia havia pujat sis graus més; i en sortir a passejar a la tarda

amunt i el fa descendir 8 plantes.

havia baixat dos graus. En tornar a casa a sopar, havia baixat tres

a) A quina planta es troba al final?

graus més. Quina és la darrera lectura de la temperatura que fa

b) Si cada planta fa tres metres, calcula quants metres ha

en Marc?

pujat i quants n’ha baixat.

Els nombres enters

41 ■ Completa la taula següent multiplicant cada nombre de cada columna per cada nombre de cada fila: ·

−1

a) +5

−5 b)

+1 −1

+5 −5 42 ■

43 ■

d) e)

 Calcula:

a) (−2) · (−5) · (−3)

c) (+1) · (−2) · (+4)

b) (−2) · (+3) · (−4)

d) (−2) · (−5) · (−1)

 Calcula:

a) (−15) : (−5)

d) (−20) : (+4)

b) (+30) : (+5)

e) (−50 ) : (−10)

c) (−7) : (−1) f) (+450) : (−45)

( ) · (−6) = −18

d) (−3) · (

) = +21

b) (+50 ) · (

) = −350

c) (−72) : (

) = +12 f) (−120) : ( ) = −6

(−2 ⋅ 5) 2

(−6 ⋅ 5) 3

(−6 ⋅ 2)

(3 ⋅ 5) (5 ⋅ 2) (3 ⋅10)

+ (4 − 3) ⋅ 5 + − 2⋅5+

(5 ⋅ 6) 4 (3 ⋅ 2) (−2 ⋅ 6) (2 ⋅3 ⋅ 5 ⋅ 9) −(5 − 3)·5 − − 2⋅2 + 3 (3 ⋅ 6) (4 − 6) ⋅ 5 − 5 : −3(5 − 3 + 6 − 8)     + (3 − 1) ⋅ 5 − 6 ⋅ 5 +

Divisibilitat 49 ■■ Dels nombres 2, 3, 5, 8, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 25, 28, 30, 35, 37,40, 47, 48 i 50, indica: a) Quins són múltiples de 2? b) Quins són múltiples de 5? c) Quins són múltiples de 10? d) Quins són múltiples de 7?

44 ■■ Omple els buits amb el nombre adient: a)

 Calcula:

48 ■■■

[(−2) · ( ) · (−5)] = −70

e) Quins són nombres primers? 50 ■■ Indica quins dels nombres següents són primers i quins són compostos. 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 71, 101, 103 i 105.

Operacions combinades 45 ■■

51 ■■ Troba el nombre corresponent a les descomposicions següents:

 Calcula:

a) 2 · 3 · 7

d) 23 · 53 e) (−1) · 52 · 72 · 13

a) (20 · 3) : (−15)

d) (6 · 5) : (10)

b) 32 · 5 · 11

b) (−8 · 9) : (−12)

e) (−7 · 15) : (21)

c) 2  · 3  · 5 · 7 f) (−1) · 22 · 72 · 11

c) (15 · 25) : (+3) f) (−6 · 30) : (−12) 46 ■■

 Calcula:

[(−3) · (−4) ] : (2) b) [(−6) · (+4) ] : [(−3) · (−2)] c) [(−10) · (−8) ] : [(−4) · (−5)] d) [(−30) · (−6 ) ] : [(−5) · (−2)] e) [(−12) · (−12 ) ] : [(−2) · (−2)] f) [(−2) · (+9 ) ] : [(+6) · (−3)] a)

 Calcula:

47 ■■■  a)

[(−3) · (+5) · (−6 )] : [(−5) · (−2)] b) [(−3) · (−3) · (−3)] : (−27) c) [(−6) · (−5) · (+8 )] : [(−2) · (−2) · (−3)] d) [(+20) · (+2) · (−9)] : [(−3) · (−5) · (+2)]

52 ■■ Copia i completa les llistes de múltiples següents: a) 11 = 11,

, 33, 44,

b) 12 = 12,

, 36,

, 60,

c) 13 = 13,

, 39,

, 65,

, 91,

d) 15 = 15,

, 60,

, 77,

, 99, 110.

, 96. .

, 105,

53 ■■ És el 461 múltiple de 7? Justifica-ho. 54 ■■ És el 8 136 múltiple de 9? Justifica-ho. 55 ■■ És el 735 múltiple de 3? Justifica-ho. 56 ■■ Indica quins dels nombres següents són múltiples de 4: 2, 5, 8, 42, 48, 122, 124, 126, 450 i 720. 57 ■ Indica quins dels nombres següents són múltiples de 3: 6, 8, 12, 15, 17, 20, 30, 35, 45 i 55.

58 ■■ Troba els múltiples de 3 que siguin, alhora, més grans que 35 i més petits que 46. 59 ■■ Troba els múltiples de −3 entre −10 i +10.

 Troba el màxim comú divisor de:

71 ■■

a) 240, 720 i 900.

c) 840, 560 i 600.

b) 240, 270 i 750.

d) 225, 1 125 i 1 350.

 Troba el mínim comú múltiple de:

72 ■■  60 ■■ Troba tots els múltiples de 5, entre 61 i 99, i d’aquests,

a) 6, 9 i 12.

e) 12, 15 i 18.

indica:

b) 16, 25 i 30.

f) 8, 9 i 72.

a) Quins són múltiples de 10?

c) 150, 350 i 180.

g) 6, 10 i 15.

b) Quins són múltiples de 7?

d) 4, 6 i 8.

h) 39, 24 i 10.

c) Quins són múltiples de 15?

 Completa la taula següent:

73 ■■  61 ■■ Troba un nombre que sigui divisible per 3 i per 5 i que es trobi entre el 33 i el 41.

m. c. d.

Els nombres enters

Activitats

m. c. m.

3, 6 i 9

62 ■■ Troba un nombre més gran que 670 i més petit que 683,

12, 15 i 20

i que sigui divisible entre 4 i entre 3.

14, 20 i 21

63 ■■ El 420 és múltiple de 3 però, ho és també de 9?

15, 20 i 25 12, 36 i 18

64 ■■ El 450 és múltiple de 2 però, ho és també de 4? 74 ■■■ El mínim comú múltiple de dos nombres és 45. Si un 65 ■■ El 3 600 és múltiple de 3 però, ho és també de 9?

és el 15, quin és l’altre, si aquest no és el 45?

66 ■■ Descompon en factors primers els nombres següents:

75 ■■ Troba dos nombres, el mínim comú múltiple dels quals

a) 40

c) 50

e) 72

b) 90

d) 101 f) 150

sigui 24 i el màxim comú divisor dels quals sigui 4. 76 ■■ Quin és el màxim comú divisor de dos nombres primers?

67 ■■■ Descompon en factors primers els nombres següents: a) −600

c) 1 225

e) −900

b) 3 024

d) −3 375

f) 8 100

Raona la resposta. 77 ■■ En una obra teatral de l’escola, en un moment determinat, la Lluïsa ha de colpejar una cassola cada tres segons, mentre

68 ■■■ Fes servir els criteris de divisibilitat i indica en cada cas

que en Martí ho ha de fer cada dos segons. Cada quants segons

quin residu s’obté:

colpejaran alhora?

a) 211 entre 6.

c) 340 entre 10.

b) 780 entre 9.

d) 71 entre 5.

78 ■■ En Joan va al poliesportiu a nedar cada quatre dies, la Marta hi va a jugar a tenis cada sis dies i l’Antoni hi juga a bas-

69 ■■■ En un sorteig, quatre amics tenen els nombres se-

quet cada cinc dies. Amb quina regularitat coincidiran tots tres

güents:

al poliesportiu?

Antoni: 240 Carla: 160 Maria: 225 Albert: 343

79 ■■ En un petit hort urbà, la Clàudia ha plantat tomàquets,

S’atorga un premi de 3 € a cada nombre múltiple de tres,

pebrots, cebes, enciams i albergínies. Un amic li ha dit que ha de

un premi de 4 € a cada nombre múltiple de quatre i 5 €

regar els tomàquets cada dia, els pebrots cada dos dies, les cebes

als múltiples de cinc. Qui té un premi més alt?

i l’enciam cada tres i les albergínies cada quatre. Cada quants dies haurà de regar tot l’hort?

El màxim comú divisor i el mínim comú múltiple 70 ■■

 Troba el màxim comú divisor de:

a) 24, 72 i 90.

c) 90, 60 i 135.

b) 60, 84 i 108.

d) 140, 168 i 56.

80 ■■■ Amb una cartolina, en Juli vol fer un trencaclosques per al seu fill petit. La cartolina fa 20 × 30 cm i ell vol fer un trencaclosques amb el mínim nombre de peces possible, totes de la mateixa mida. a) De quantes peces constarà el trencaclosques? b) Quina mida tindran les peces?

Els nombres enters

Repte 81 ■■■ Una noia s’apunta a l’agenda les activitats que repe-

83 ■■■ Considera el nombre 1aa7.

teix periòdicament: cada deu dies va a la biblioteca a tornar un

a) Calcula quin valor d’a fa que el nombre donat sigui

llibre i a demanar-ne un altre, cada sis compra menjar per als

múltiple de 7.

seus gats; i també té el costum d’anar al cinema.

b) Fes el mateix per a 17 i 19.

Avui han coincidit les tres activitats, i no tornaran a coincidir

c) Enuncia la regla que ha de complir a perquè aquest

fins d’aquí a 60 dies.

nombre sigui múltiple de 3.

Calcula amb quina freqüència va al cinema. (Com que no hi ha una solució i prou, intenta trobar totes les possibilitats.)

84 ■■■ Calcula el nombre més petit que compleixi totes les condicions següents: a) Dividit entre 2 dóna residu 1.

82 ■■■ Un institut d’investigació avançada vol formar el

b) Dividit entre 3 dóna residu 2.

màxim nombre d’equips interdisciplinaris, però que tinguin la

c) Dividit entre 4 dóna residu 3.

mateixa composició. A més, s’ha de fer de manera que, del

d) Dividit entre 5 dóna residu 4.

personal disponible, no quedi ningú fora dels equips. Actual-

e) Dividit entre 6 dóna residu 5.

ment hi ha 23 matemàtics, 50 físics, 48 químics, 42 biòlegs

f) Dividit entre 7 dóna residu 6.

i 30 geòlegs. En aquestes condicions només es pot formar un

g) Dividit entre 8 dóna residu 7.

equip. Afortunadament el pressupost permet contractar més

h) Dividit entre 9 dóna residu 8.

personal investigador. a) Quanta gent caldria contractar per poder formar sis

equips? Indica les especialitats dels contractats.

85 ■■■ Se’t proposa un joc amb les xifres de l’1 al 9. Es tracta

b) Com quedaria la composició de cada equip?

d’obtenir el nombre més gran escrivint tres vegades el 9 sense

c) Repeteix els càlculs per fer vuit equips.

cap signe. Després fes el mateix per al 8, el 7, etc. fins a l’1.

Suposa que en tots dos casos només es contracta el personal

Veuràs que un recurs vàlid per a algunes xifres no ho és per a

imprescindible.

totes.

Autoavaluació Entenc el concepte de nombre enter i de valor ab solut? 1. Indica si són veritables o falses les afirmacions següents: a) −4 < −9

c) −12 < 0

b) |−3| < |−12|

d) |−78| = |78|

d) Quins són múltiples de 7? e) Quins són nombres primers? Sé trobar el m. c. m. i el m. c. d. de dos nombres o més? 4. Completa la taula següent:

Sé fer operacions amb nombres enters? 2. Calcula: a) (−3) · (−2) + (−4) − (+5)

m. c. m. 6 i 10

b) (−6) · 3 − 3 · 5 − (−6 + 3)

8, 12 i 15

c) (−2) ⋅(−5) + (5 + 2 − 3) ⋅ 2 ⋅3   −12) (10 ⋅3) ( d) (9 − 3) ⋅ 2 ⋅3 − +   3 5

8, 16 i 20

Conec els criteris de divisibilitat dels nombres més petits? 3. Fixa’t en els nombres següents: 3, 6, 9, 10, 12, 17, 20, 25, 28, 30, 35, 37,40, 47, 48 i 50. a) Quins són múltiples de 2? b) Quins són múltiples de 4? c) Quins són múltiples de 5?

m. c. d.

18, 24 i 36 Sé interpretar

i resoldre problemes aplicant el

m. c. m. i el m. c. d.? 5. La Paula menja ous un cop cada 7 dies, una poma un cop cada 2 dies, pollastre a la planxa un cop cada 3 dies, peix un cop cada 4 dies, entrepà d’embotit un cop cada 6 dies i xocolata un cop cada 8 dies. Cada quants dies coincidiran, al llarg del dia, ou, poma, pollastre, peix, embotit i xocolata?

Les temperatures El quadre següent mostra les temperatures d’algunes ciutats espanyoles a les 12.00 i a les 15.00 h, un dia qualsevol, i la variació experimentada. temperatura a les

temperatura a les

variació de la

12.00 h (ºC)

15.00 h (ºC)

temperatura (ºC)

Barcelona

Bilbao

−2

La Corunya

−3

Madrid

Sevilla

ciutat

València Tenerife

27 33

Els nombres enters

Competències que sumen

+3 −2

1. La persona que ha construït la taula no ha pensat a calcular la variació de temperatura experimentada a Madrid i a Sevilla. Indica quins són els nombres enters que falten en aquestes dues cel·les.

2. A la taula tampoc hi ha algunes temperatures corresponents a València i a Tenerife. Gràcies a la variació de temperatura, completa les cel·les que falten. 3. Indica quina de les ciutats següents ha experimentat la variació de temperatura més gran: a) Barcelona b) La Corunya c) Sevilla d) Tenerife 4. A la ciutat de València el temps va ser molt inestable i les temperatures van patir diverses pujades i baixades. A les 15.00 h estaven a 27 ºC; durant la tarda, el termòmetre va baixar tres graus; abans del vespre en va pujar un, i durant la nit, en va baixar dos més. Calcula la temperatura que va fer a la nit a València, i indica les operacions. 5. S’ha observat que la temperatura a Bilbao ha baixat 2 ºC cada 3 h, des de les 12.00 h. Explica raonadament la temperatura que farà a les 3.00 h del dia següent. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Els nombres fraccionaris La meitat de la meitat

Imaginem un rectangle. Dividint la seva llargària en tres parts iguals i l’amplària en dues, aconseguim sis cel·les o rectangles més petits idèntics que componen el rectangle original. Si A i B són la longitud i l’amplària respectives del rectangle de partida, la seva àrea és A · B. Per tant, l’àrea de cadascun dels rectangles petits és una sisena part d’aquesta: A ⋅B 6

També podem calcular l’àrea de cada cel·la multipliA cant la seva llargària, és a dir, , per la seva amplària, 3 B que és : 2 A B ⋅ 3 2 De tot plegat deduïm que: A B A ⋅B ⋅ = 3 2 6

Vet aquí com es calcula el producte de dues fraccions. a c En multiplicar per s’obté una fracció que té com b d a numerador el producte dels numeradors, i com a denominador el producte dels denominadors: a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d Tothom és capaç de fer un senzill càlcul mental per saber que la meitat de vint euros són deu euros. De manera semblant, som capaços de deduir que la quarta part de vuitanta passes són vint passes, atès que la meitat de vuitanta són quaranta i que la meitat de quaranta són vint. Parem esment ara en aquests fets i centrem l’atenció en el canvi que pateix una expressió lingüística corrent quan es transforma en una de tipus matemàtic.

Primer fixem-nos en l’expressió la meitat de vint és deu. El càlcul que fem és dividir 20 en dues parts iguals, de manera que 20/2 = 10. La transició de l’expressió lingüística a la matemàtica és la següent: La meitat de vint és deu ↔

1 20 de 20 = 10 ↔ = 10 2 2

La transformació es produeix a causa de la preposició de. Quan passem del llenguatge corrent al matemàtic, aquesta proposició es converteix en un signe de multiplicar: 1 1 20 1⋅ 20 20 ⋅ 20 = ⋅ = = = 10 2 2 1 2 ⋅1 2 D’aquí que la meitat de la meitat d’una quantitat Q sigui el mateix que la quarta part de Q: 1 1 de de Q ↔ 2 2 1 1 Q Q ↔ ⋅ ⋅Q = = 2 2 2⋅2 4

La meitat de la meitat de Q ↔

Analitza i resol 1. Tenim un foli i es plega el costat llarg en cinc parts, i el curt, en quatre. a) Quantes cel·les té la retícula que es crea? b) Quina fracció del full representa cadascuna de les cel·les de la retícula? 2. La fotografia que acompanya el text és una obra de l’artista Piet Mondrian. Identifica quines cel·les de la seva retícula són la meitat d’altres. 3. Escriu l’expressió matemàtica corresponent a les expressions lingüístiques següents i calcula’n la fracció resultant: a) La quarta part de la cinquena part d’una quantitat. b) La meitat del terç d’una quantitat. c) El terç de la meitat d’una quantitat. d) La tercera part de la tercera part d’una quantitat. 4. Escriu l’expressió lingüística corresponent a les expressions matemàtiques següents: a)

1 1 ⋅ ⋅Q 3 4

1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅Q 2 2 2

1 1 ⋅ ⋅Q 2 5

1 1 ⋅ ⋅Q 10 10

5. Tal com s’explica en el text, en quin terme, nombre o símbol matemàtic es transforma la preposició de quan una expressió lingüística referent a fraccions s’escriu en termes matemàtics? 6. Quina fracció representa: a) La desena de la desena de la desena part d’una quantitat. b) La desena part de la centèsima part.

Índex

Competències bàsiques

1. Els nombres fraccionaris

Matemàtica. Operació amb fraccions.

2. Treballar amb fraccions equivalents

Comunicativa lingüística i audiovisual. Expressió oral

3. Operacions bàsiques amb fraccions

i escrita d’operacions amb fraccions.

4. Potències i arrels quadrades de fraccions

Tractament de la informació i competència digital.

5. Operacions combinades amb fraccions

Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Coneixement i la interacció amb el món físic. Aplicació dels procediments de càlcul en una situació de l’entorn físic.

Els nombres fraccionaris

Els nombres fraccionaris 1.1

Una fracció és un nombre real representat com a quocient entre dos nombres enters a i b, el numerador i el denominador.

Recorda Les

fraccions

expressen

Termes d’una fracció

nombre de parts que es consideren d’un tot. Els nombres naturals es poden

a b

numerador denominador

El numerador indica quantes d’aquestes parts s’han de tenir en compte.

El denominador indica en quantes parts iguals s’ha dividit una cosa.

escriure en forma de fracció: 3 3= 1

Exemple

Es llegiria «tres enters».

1. En repartir un premi entre els 4 membres de l’equip, cada membre rep una quarta 1 1 part, , és a dir, un 0,25 del premi total. La fracció equival al nombre real 0,25. 4 4

1.2

• Fraccions pròpies. Són les fraccions que tenen, en valor absolut, el numerador més petit que el denominador (|a| < |b|). En fer la divisió, el resultat és més petit que la unitat, i, per tant, fan referència a un nombre que només té part decimal.

fracció pròpia 1<4

1 = — 4

1 = 0,25 — 4

fracció impròpia 7>4

7 = — 4

7 = 1,75 — 4 1

• Fraccions impròpies. Són les fraccions que tenen, en valor absolut, el numerador més gran que el denominador (|a| > |b|). En fer la divisió, el resultat és més gran que la unitat. • Fraccions iguals a la unitat. Són les fraccions que tenen, en valor absolut, el numerador i el denominador iguals (|a| = |b|).

3 — 4

Exemple

fracció igual a la unitat 4 = — 4

Fraccions pròpies i fraccions impròpies

2. En una gimcana, per arribar a la meta, l’Artur camina sis quarts de quilòmetre mentre que la Laura camina tres quarts de quilòmetre. 6 6 Artur: = 1, 5 km és més d’un quilòmetre. és una fracció impròpia. 4 4 3 3 Laura: = 0, 75 km és menys d’un quilòmetre. és una fracció pròpia. 4 4

4=4 4 =1 — 4

1.3

Els nombres mixtos

Les fraccions impròpies fan referència a un nombre que té part entera i part decimal; per això es poden escriure com un nombre mixt, és a dir, com la suma d’un nombre enter més una fracció pròpia. Exemple 6 2 = 1, 5 km, que és el mateix que 1+ = 1, 5 km. Fixa’t com es 4 4 pot passar de fracció impròpia a nombre mixt dividint la fracció:

3. L’Artur ha caminat

una unitat

6 4 2 1 1+

2 4

D d

D d q r

r d

dues quartes parts

1.4

Fracció d’una quantitat

Trobar la fracció d’una quantitat és multiplicar la fracció per aquesta quantitat. Per ferho es pot considerar:

Alerta

• La fracció com a operador. En aquest cas es multiplica el numerador per la quantitat i després es divideix pel denominador.

Per calcular la fracció d’una quantitat, es multiplica la frac-

• La fracció com a quocient. En aquest cas es fa la divisió corresponent a la fracció i el resultat es multiplica per la quantitat.

ció per aquesta quantitat, i no en contra del que podria semblar, es divideix la quantitat en-

Exemple

tre la fracció.

4. S’ha de repartir un premi de 20 000 € a parts iguals entre 4 persones. Per saber 1 quant percep cada guanyador, s’ha de calcular de 20 000 €: 4 20 000 • Fracció com a operador: 20 000 ⋅ 1= 20 000 → = 5000 € . 4 1 • Fracció com a quocient: ⋅ 20 000 = 0, 25 ⋅ 20 000 = 5000 € . 4

1.5

Així, per exemple, les tres quatres parts de 20 L d’oli són: Correcte: 3 60 ⋅ 20 = = 15 L 4 4 Incorrecte: 3 80 20 : = = 26, 6 L 4 3

Representació a la recta

Per representar una fracció a la recta dels nombres enters, es marquen el 0 i l’1 (o el −1 en cas de fraccions negatives), es divideix la distància entre si en tantes parts com indica el denominador, i finalment, s’agafen tantes parts d’aquestes com indica el numerador. Algunes fraccions poden coincidir amb nombres enters però, en general, no ho fan.

Exemples 3 5. Fixa’t com es representa − : 4 • Sobre la recta numèrica se situen el 0 i el −1. • Es divideix aquest interval en 4 parts.

–1

3 –— 4

• Es marca el tercer senyal començant pel 0. 3 3 6. Fixa’t que les fraccions pròpies i es troben entre el 0 i l’1, mentre que la 5 8 11 fracció impròpia és més enllà de l’1. 7

3 — 5

3 — 8

Aplica 1 ■ Indica quin és el numerador i quin és el denominador de les fraccions següents: 3 a) 5 2 b) 12

7 4 23 d) 6

9 5 −4 f) 11 e)

1 7 −5 h) 3 g)

2 ■ Classifica les fraccions següents en pròpies, impròpies i iguals a la unitat: 3 a) 5

1 56

23 24

5 5

11 — 7

3 ■■ Escriu el nombre mixt corresponent a cada fracció: 9 11 3 a) c) e) 5 7 2 31 −13 5 b) d) f) 5 3 2 4 ■■ Representa a la recta dels nombres les fraccions següents: a)

3 5

6 5

7 3

Resol 5 ■■ Quina edat té en Marc, si té

7 de l’edat de la Judit? 3

Els nombres fraccionaris

Treballar amb fraccions equivalents 2.1

Fraccions equivalents

Dues fraccions equivalents re-

Dues fraccions són equivalents si, tot i escriure’s diferent, es corresponen al mateix a c nombre. = b d Es pot comprovar que dues fraccions són equivalents de les maneres següents:

presenten la mateixa part d’una

• En multiplicar en creu –és a dir, el numerador d’una fracció pel denominador de l’al-

Recorda

quantitat.

tra–, s’obté el mateix resultat: a c = → a ⋅d = c ⋅b b d • En fer les divisions a : b i c : d, s’obté el mateix resultat. Exemple 7. Fixa’t com es comprova que

7 21 equival a : 5 15

7 21 7 ⋅ 15 = 105 → Multiplicant en creu: , Fent les divisions: 5 15 5 ⋅ 21= 105

7  = 1, 4  5  21  = 1, 4 15

Es pot observar que 21 és múltiple de 7 (3 · 7 = 21) i que 15 és múltiple de 5 (3 · 5 = 15), i que la raó de proporció és la mateixa.

28 2.2

Amplificació d’una fracció

Amplificar una fracció és trobar una fracció equivalent en què tant el numerador com el denominador d’aquesta siguin més grans en valor absolut que els originals. Per amplificar una fracció s’han de multiplicar numerador i denominador pel mateix nombre. Es poden trobar infinites fraccions amplificades d’una fracció original. Exemple

12 8. Fixa’t com es troben diverses fraccions amplificades de 5 : 2 2 2 21 ⋅ → 42 ⋅ → 84 ⋅ → 168 ...   →   →   → 120 15 30 60 ⋅2 ⋅2 ⋅2

3 2 21 ⋅ → 63 ⋅ → 126 ...   →   → 90 15 45 ⋅3 ⋅2

42, 84, 168, 63 i 126 són múltiples de 21. 30, 60, 120, 45 i 90 són múltiples de 15.

Aplica 6 ■■ Indica quines de les fraccions següents són equivalents 6 a : 15 12 2 21 12 c) e) g) a) 30 5 15 20 3 30 60 42 b) d) f) h) 5 75 150 65 7 ■ Troba cinc fraccions equivalents de les següents: 21 a) 15

2 b) 5

1 c) 12

3 d) 7

−5 e) 8

8 ■■ Troba cinc fraccions amplificades de les següents: 2 20 3 4 1 a) b) c) d) e) 15 7 5 7 6

Resol 9 ■ Si en Pau ha fet han treballat igual?

7 21 dels deures d’estiu, i la Marta n’ha fet , 9 27

10 ■■ En Joan i la Maria han de pintar cada un una paret de 10 m2. En Joan ha pintat 3,5 m2 de la seva, i la Maria, tres cinquens de la seva. Han pintat el mateix?

2.3

Simplificació d’una fracció

Simplificar una fracció és trobar una fracció equivalent en què tant el numerador com el denominador són més petits que els originals. Per simplificar una fracció s’ha de dividir el numerador i el denominador per un divisor comú. Una fracció irreductible és la que no es pot simplificar més. Per trobar la fracció irreductible equivalent a una altra, cal dividir el numerador i el denominador pel seu màxim comú divisor. Exemple 60 es pot simplificar. Per això t’has d’adonar que 2, 3, 4, 6 48 i 12 són divisors comuns:

9. Fixa’t com la fracció

2 2 3 60 : → 30 : → 15 : → 5 ... →   →   → 4 48 : 24 12 2 :2 :3 12 60 : → 5 . Com que m. c. d. (60, 48) = 12, la fracció irreductible és   → 4 48 :12

2.4

Reducció a comú denominador

Reduir a comú denominador diverses fraccions consisteix a trobar les fraccions equivalents, simplificant o amplificant, que tinguin el mateix denominador. Hi ha infinites possibilitats, però la més pràctica és quan el denominador és el mínim comú múltiple.

29 0

10 — 12

9 — 12

5 — 6

Exemple 6 1 5 , i . 8 4 6 • Es busca el m. c. m. dels denominadors: m. c. m. (8, 4, 6) = 24.

10. Redueix a comú denominador les fraccions

• Es divideix el m. c. m. per cada un dels denominadors. I el resultat, es multiplica pel numerador. 24 : 8 = 3 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4 6 ⋅3 18  → 8 24

2.5

1 ⋅6 6  → 4 24

5 ⋅4 20 →  24 6

Comparació i ordenació de fraccions

Per comparar dues fraccions o més, es redueixen a comú denominador i es comparen els numeradors. Exemple 11. Fixa’t com es comparen

3 5 i . 4 6

 3 9  = 3 5 4 12 m. c. m. (4, 6) = 12 →  . Com que 10 > 9 → > .  5 10 4 6  =  6 12

3 — 4

Els nombres fraccionaris

Operacions bàsiques amb fraccions 3.1

Suma i resta de fraccions amb el mateix denominador

Sumar i restar són operacions equivalents. La resta es pot interpretar com la suma d’un nombre negatiu.

Alerta

Per tant, per sumar o restar fraccions amb el mateix denominador se sumen o resten els numeradors i els denominadors es mantenen.

a quan 1 et trobis amb operacions com Aplica la propietat a =

Exemple

per exemple: 4 −3 2

12. Fixa’t en les operacions següents: 4 5 2 4 + 5−2 7 1 2 12 2 + 12 14 + − = = = =1 + = = 7 7 7 7 7 1 5 5 5 5

És més fàcil si està escrita així: 4 3 − 2 1

Sempre que es pugui reduir el resultat és convenient fer-ho.

3.2

Suma i resta de fraccions amb denominadors diferents

Per sumar i restar fraccions amb denominadors diferents cal reduir les fraccions a comú denominador i després sumar o restar els denominadors. Exemple 13. Fixa’t com s’opera amb denominadors diferents:

4 (30 : 3) 2 (30 : 5) (30 : 2) 40 + 12 − 15 37 4 2 1 + − = + − = = 5 2 30 30 30 30 30 3

m. c. m. (3, 5, 2) = 30

Aquest resultat no es pot reduir.

3.3

Fracció oposada

Donada una fracció, la seva oposada és una fracció que, en sumar-les dóna zero. És la mateixa fracció canviada de signe. a −a → b b Exemple 14. La fracció oposada de

Aplica

13 ■■ Relaciona les fraccions amb les seves oposades: a)

11 ■ Calcula i simplifica: 2 5 + 3 3 5 1 1 b) + + 2 2 2

1 7 − 4 4 4 3 1 d) + − 5 5 5 c)

12 ■■ Fes: a)

 −2  +2 7 −7 −2 és . La fracció oposada de és −  = . 5 5 3 3 3

4 3 2 + − 5 2 3

2 1 7 − + 3 5 4

7 5

7 b) − 5

−5 7

B) −

7 5

5 7

 7 C) −−   5

−5 7

5 7

1 2

e) −

1 2

3.4

Producte de fraccions

Per obtenir el producte de diverses fraccions, es multipliquen tots els numeradors entre si per obtenir el nou numerador, i es multipliquen tots els denominadors entre si per obtenir el nou denominador. a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d

Recorda Multiplicar

dues

fraccions

equival a trobar la fracció d’una fracció:

Exemple 15. Fixa’t com es multipliquen i simplifiquen les fraccions següents: 1r Es multipliquen els numeradors. 2n Es multipliquen els denominadors.

1 — 2

3 10 4 3 ⋅ 10 ⋅ 4 120 :120 1 ⋅ ⋅ = =   →= 5 6 12 5 ⋅ 6 ⋅ 12 360 3 m. c. d. (120, 360) = 120

3.5

1 — 4

1 1 1 — de — = — 2 2 4 1 1 1·1 1 — · — = —— = — 2 2 2·2 4

Divisió de fraccions

Per dividir dues fraccions s’ha de multiplicar en creu el numerador d’una pel denominador de l’altra:

Dividir dues fraccions equival

• El primer numerador pel segon denominador és el nou numerador.

una fracció dins una altra:

a trobar quantes vegades cap

• El primer denominador pel segon numerador és el nou denominador. a c a ⋅d : = b d b ⋅c

1 — 4

1 — 2

1 — 4

Exemple

2 16. Han sobrat 3 d’una pizza i l’endemà la volem dividir en porcions iguals que 1 representin de la pizza original. Quantes porcions es podran fer? 6 2 1 2 ⋅ 6 12 : = = = 4 porcions 3 6 1⋅ 3 3

3.6

1 2 de — 4 1 1 4 —:—=—=2 2 4 2

Fracció inversa

Donada una fracció, la seva inversa és una altra fracció que, en multiplicar-les entre si, el producte és la unitat. Per obtenir la fracció inversa d’una fracció donada, es permuten numerador i denominador.

Fracció inversa de

a b → b a

Exemple 17. La fracció inversa de

3 4 3 4 12 = 1. és , ja que ⋅ = 4 3 4 3 12

Aplica 14 ■■ Relaciona les fraccions amb les seves inverses:

7 5 7 A) − 5

−3 5 7 B) 5 b)

5 7 −5 C) 3 c)

−5 7 5 D) 7 d)

Els nombres fraccionaris

Potències i arrels quadrades de fraccions 4.1 Alerta

En elevar un nombre negatiu

Potenciació d’una fracció

Elevar una fracció a una potència n és elevar el numerador i el denominador a aquesta potència. n  a  a n   = n  b  b

a una potència cal tenir en

Exemple

compte si l’exponent és parell

5  −3  18. Fixa’t com es calculen  2  i   .  3   5 

o senar. Si és parell, el resultat final és

 2 2 2 2 2 2 Com que   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , aleshores 3 3 3 3 3 3

positiu. Si és senar, el resultat final és negatiu.

 −3  (−3) 36 D’altra banda,   = . = 6  5  5 56

(-a) =a n senar (-a) = -a n senar n parell

5  2    = 25 .  3  3

n parell

4.2

Arrel quadrada d’una fracció

L’arrel quadrada d’una fracció és l’arrel quadrada del numerador dividit per l’arrel quadrada del denominador. a a = b b

Exemples

En venda 4/9 Km2

19. Un pagès té un terreny quadrat que fa costat, cal fer l’arrel quadrada de la seva àrea:

4 km2. Per saber la longitud de cada 9

4 4 2 = = km 9 9 3 3

n  125 . 20. Fixa’t com es troba el nombre n que compleixi la igualtat   = 3 27 Com que 33 = 27 ↔ 3 = 3 27 , aleshores n3 = 125 ↔ n = 3 125 = 5.

Aplica

17 ■■ Calcula:

15 ■ Escriu en forma de potències els productes següents: 2 2 2

d) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

7 7 7 7 7 7 b) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9

12 12 12 12 12 12 12 e) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7

1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2

9 9 9 9 ⋅ ⋅ ⋅ 8 8 8 8

16 36

9 49

64 9

 8  b)   3

Resol 18 ■■■ Digues quina fracció té com a arrel quadrada

5 . 8

19 ■■■ En Joan talla un pal de 10 cm en quatre parts iguals i en fa un quadrat. Quina és l’àrea d’aquest quadrat?

16 ■ Escriu sense parèntesis les fraccions següents:  3   a)  7 

81 25

3 3 3 3 3

a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3

 1 c)   5

20 ■■■ Les rajoles quadrades d’una habitació tenen una superfície de mig metre quadrat. Quant fan de llarg i d’ample?

Operacions combinades amb fraccions

Per tal de resoldre correctament operacions amb fraccions en què apareguin diverses operacions combinades (sumes, restes, multiplicacions, divisions, potències i arrels quadrades), s’han de tenir en compte els criteris de prioritat següents: 1. Resoldre les operacions de dins dels parèntesis, de més interiors (parèntesis) a més exteriors si n’hi ha (claudàtors). 2. Fer les potències i les arrels quadrades. 3. Resoldre les multiplicacions i divisions ordenadament d’esquerra a dreta. 4. Fer les sumes i restes ordenadament d’esquerra a dreta. Exemples 21. Fixa’t en els passos seguits per resoldre l’operació combinada següent: 2

 3 2       −  − 1− 1 ⋅  3  + 9  5 3   2   2  4

1r. Es resolen les operacions de dins dels parèntesis. S’ha aplicat a la propietat a = . 1 2n. S’efectuen les potències i arrels.

 3 2  9 10 −1  −  =  5 3  15 − 15 = 15

  1− 1 = 1− 1 = 2 − 1 = 1  2  1 2 2 2 2

→

−1 1  3  9 −   + 15 2  2  4

2  3    = 32 = 9  2  2 4

9 9 3 = = 4 4 2

→

−1 1 9 3 − ⋅ + 15 2 4 2

3r. S’efectuen les multiplicacions.

1 9 1⋅ 9 9 −1 9 3 ⋅ = = → − + 2 4 2⋅4 8 15 8 2

4t. S’efectuen les sumes i restes.

−1 9 3 −16 − 270 + 360 74 − + = = 15 8 2 120 120

74 37 :2 Finalment, és convenient simplificar el resultat: 120  → 60 .

22. Fixa’t com se simplifica

5 5 3 + ⋅ : 2 3 2

5 5 3 Aquí, tot i que no hi hagi parèntesis, l’arrel fa aquesta funció, és a dir,  + ⋅  . 2 3 2 Per això cal resoldre primer el que hi ha dins l’arrel: 5 5 3 5 15 15 + 15 30 + ⋅ = + = = = 5 2 3 2 2 6 6 6

Aplica 21 ■■ Calcula:  2 4  1 3 a)  +  +  +   4 3  3 2 

22 ■■ Calcula: 2  2  5 a)  + 2 −  3  3

 1 5   +   3 9 

3  3 2 1 b)  + −   2 5 3

 2 3 27   + −   5 2 80 

 1  3 5  b) 2 +  −  +   3  2 4 

Resol

 2 3   6 3 3 2 c)  −  +  −  ⋅  +   5 4  4 2  2 5

23 ■■ La Fàtima rep una paga setmanal de 20 €. Cada dia se’n 1 gasta . Quants diners li queden al cap de la setmana? 8

Tot són matemàtiques

Les matemàtiques de la democràcia:

el sistema d’Hondt En les democràcies els ciutadans tenen dret a votar a partir de la majoria d’edat, i triar així els seus representants en els parlaments i altres cambres de poder.

, LA VOTACIÓ A D A B A C A P ? PERÒ, UN CO ELS ESCONS N E IX e T R A P COM ES RE DE TOTA LA IU T A T N E S E R NT? ÉS JUST I REP T REPARTIME S E U Q A T A T SOCIE

Congrés dels Diputats

Segons la Constitució espanyola, està compost per un mínim de 300 diputats i un màxim de 400. El nombre actual és de 350, per determinació de la Llei orgànica de règim electoral general (1985). La Constitució estableix que els diputats seran elegits per províncies, de manera que cada província té com a mínim dos escons, i les ciutats autònomes de Ceuta i Melilla, un. La resta d’escons es reparteix de manera proporcional al nombre d’habitants de cada província.

S’han d’escollir els 8 representants d’una província. El seu cens electoral és d’1 000 000 de persones. S’ordenen de més gran a més petit els vots obtinguts per les candidatures: Candidatura

Vots

Candidatura

Vots

Vots en blanc: 1 000 Vots nuls: 500 Només es consideren els 534 000 vots vàlids.

Per obtenir representació s’ha de treure com a mínim un 3% dels vots. La resta de candidatures són descartades.

descartada descartada

Va ser un matemàtic i jurista belga que va inventar, el 1878, el sistema que s’aplica a Espanya per repartir els escons al Congrés dels Diputats, als parlaments autonòmics, als ajuntaments i al Parlament Europeu.

Els nombres fraccionaris

Victor d’Hondt (1841-1901)

Analitza i investiga 1. Esbrina el resultat en vots dels cinc partits principals en les darreres eleccions al Congrés dels Diputats (350 escons) i calcula quants escons obtindrien si fossin assignats proporcionalment, independentment de la població de cada província. a) El resultat és molt diferent del que s’obté aplicant el sistema d’Hondt?

Es divideixen els vots que ha obtingut cada partit per nombres enters progressius des de l’1 fins al nombre d’escons de la província (en aquest cas, 8), i es fa una taula com la següent: Dividit per

b) Per què creus que com a mínim s’adjudiquen dos diputats per província, encara que tinguin poca població? 2. Argumenta si és raonable que les can-

vots

didatures amb menys d’un 3% dels vots no entrin en el repartiment d’escons. Investiga alguna de les propostes que s’ha candidatura

plantejat al nostre país per reformar el sistema de repartiment d’escons. 3. Accedeix al lloc http://icon.cat/util/eleccions, que conté un simulador del sistema d’Hondt, i comprova els resultats d’unes eleccions qualssevol.

S’adjudica un escó a cadascun dels quocients més alts obtingut en la taula fins a esgotar el nombre d’escons de la província. 4 escons

1 escó

cap

4. Calcula el percentatge d’abstenció de l’exemple, i, si hi hagués un escó més, dedueix quina candidatura el rebria. 5. Formeu grups, amb ajuda del professor

2 escons

1 escó

o professora, i feu un mural o presentació de diapositives per explicar el sistema de

CASOS ESTRANYS! Si els quocients coincideixen, s’atorga l’escó a la formació amb més vots. En cas d’empat a vots, el primer escó s’assigna per sorteig, i els següents, de manera successiva.

càlcul electoral d’un altre país del món que no es regeixi pel sistema d’Hondt. Podeu repartir-vos els països perquè tots siguin diferents.

Els nombres fraccionaris

Això és bàsic Una fracció és un nombre representat amb el quocient entre dos nombres enters: a b

numerador denominador

El numerador indica quantes unitats es consideren (5).

El denominador indica quantes particions de la unitat es fan (7).

conceptes bàsics fracció pròpia

5 7 definició

El numerador és més petit que el denominador (considerats en valor absolut).

fracció impròpia

El numerador és més gran que el denominador (considerats en valor absolut).

fracció igual a la unitat

El numerador és igual al denominador (considerats en valor absolut).

fracció d’una quantitat

exemple a <b →

a <1 b

7 −3 −3 , , , 9 5 −7

a >b →

a >1 b

5 −9 −12 , , , 2 5 −8

a =b →

a =1 b

5 −12 73 , , , 5 12 73

Consisteix a dividir una quantitat en diverses parts i a prendre només unes quantes d’aquestes parts.

fracció equivalent

12 ⋅

Fracció que s’escriu de manera diferent a una altra de donada, però

5 10 25 = = = ... 6 12 30

que es refereix a la mateixa quantitat.

fracció irreductible

De totes les fraccions equivalents a una de donada, és la que té el

25 50 20 5 , , , → 15 30 12 3

numerador i el denominador més petits possibles. fracció inversa a

És la fracció que, en multiplicar-la a la primera, dóna la unitat.

una de donada fracció oposada a

És la fracció que, en sumar-la a la primera, dóna zero.

una de donada

5 12 ⋅ 5 60 = = = 20 3 3 3

7 3 → 3 7 −1⋅

6 −6 → 5 5

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Reduir a comú

1. Troba el màxim comú múltiple (m. c. m.) de tots els

denominador

denominadors. 2. Divideix el m. c. m. pels denominadors. 3. Multiplica el resultat anterior pels numeradors respectius.

Comparar fraccions amb

1. Redueix a comú denominador totes les fraccions.

denominadors diferents

2. Compara els numeradors de les noves fraccions equivalents. La més gran és la que té el numerador més gran.

Calcular la potència

Eleva el numerador i el denominador a la potència.

d’una fracció Calcular l’arrel

Fes l’arrel del numerador i divideix-la per l’arrel del

d’una fracció

denominador.

24 : 8 = 3 6 ⋅3 18  → 8 24

24 : 4 = 6 1 ⋅6 6  → 4 24

24 : 6 = 4 5 ⋅4 20  → 6 24

 3  = 9  4 12 m. c. m. (4, 6) = 12 →   5 10  =  6 12 3 5 Com que 10 > 9 → > 4 6 2

2  7    = 7  3  32

49 = 81

49 7 = 81 9

34 ■■ Escriu el nombre mixt corresponent a les fraccions

Els nombres fraccionaris

següents:

les fraccions següents: 1 d) a) 2 −2 b) e) 11 8 c) f) 21

4 g) 5 3 h) 12 −1 i) 3

7 5 −30 5 1 5

25 ■ Escriu la fracció corresponent a les expressions següents: a) quatre terços

d) cinc mitjos

b) menys vint quarts

e) dotze novens

c) tres setens f) menys dos vuitens 26 ■■ Troba les fraccions irreductibles de: 6 a) 8 1 b) 3 12 c) 20

b) c) d) 28 ■

3 2 12 f) 5

35 ■■ Representa les fraccions següents sobre la recta numèrica: a)

5 2

12 4

3 3

9 2

11 4

36 ■ Indica quins nombres estan representats a les rectes següents: a)

37 ■■ Relaciona i indica les porcions necessàries per a represen-

50 d) 12 15 e) 8 90 f) 75

tar les fraccions següents:

27 ■■ Redueix a comú denominador: a)

7 6 23 d) 5

6 4 10 b) 7

24 ■ Indica quin és el numerador i quin és el denominador de

1 3 5 , i . 12 8 6 6 3 2 , i . 8 15 48 6 7 4 , i . 3 4 5 3 3 2 , i . 7 4 6

5 2

4 9

5 6

3 5 4 e) 6 d)

D) E)

4 dels cromos que té la Marta i aquesta en 6 té 12, quants en té la Júlia? 38 ■■ Si la Júlia té

 Quina fracció d’una hora representen vint minuts?

29 ■

 Quina fracció de l’any representen vuit mesos?

30 ■

 Quina fracció d’una barra de pa de mig quilogram re-

10 d’una autopista, cosa que 12 representa 150 km. Calcula la longitud final de l’autopista.

39 ■■ Una empresa ha construït

presenten cent vint-i-cinc grams de pa? 31 ■■

 Quina fracció del dia representen trenta minuts?

32 ■ Classifica les fraccions següents en pròpies, impròpies i iguals a la unitat: 3 a) 2 4 b) 5 73 c) 73

7 8 9 e) 10 −12 f) −12 d)

3 3 8 h) 7 5 i) 9 g)

33 ■■ Escriu el nombre mixt corresponent a les fraccions impròpies de l’exercici anterior.

Els nombres fraccionaris

Activitats

40 ■■ A l’examen de matemàtiques de la unitat 1, la Teresa ha 3 de la nota que ha tret la Laura. Si la Laura ha tret un 8, tret 4 quina nota ha tret la Teresa?

Els nombres fraccionaris

49â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż

Treballar amb fraccions equivalents 41â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x20AC;Ż

5 2

3 4

7 2

2 9

50â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż

42â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x20AC;ŻTroba tres fraccions amplificades de: 5 1 a) b) 4 2 43â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż

10 3

5 i 7 45 d) 15 c)

ď &#x160;

ď &#x160;â&#x20AC;ŻOmple els buits per tal que les fraccions plantejades

siguin equivalents: a) b)

3 = 2 12

5 2

24 = 15 5 126

b) c)

15 . 21 15 i . 3

44â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż â&#x20AC;ŻIndica quines de les fraccions segĂźents sĂłn equiva15 lents a : 6 45 140 12 30 5 b) c) d) e) a) 18 50 4 12 2 45â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż

60 24 60 d) 14

51â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż

6 14 12 30 6 i 4 7 12

50 12

5 . 16 8 i . 20 5 . 6 1 i . 8

ď&#x20AC;¸â&#x20AC;ŻRedueix a comĂş denominador les fraccions segĂźents:

8 6 , 6 8 1 2 , b) 10 5 1 3 c) , i 6 4 1 5 d) , 4 12 a)

5 . 12 5 i . 6 15 . 8 7 i . 9 i

nador sigui el 15? Raona la resposta.

3 46â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;ŻEn Ramon ha contestat correctament de les pregun4 tes dâ&#x20AC;&#x2122;un examen, mentre que en Pau nâ&#x20AC;&#x2122;ha contestat correcta15 . Qui traurĂ mĂŠs bona nota? ment 20

50 35

52â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x20AC;ŻPot haver-hi una fracciĂł equivalent a

16 21

ď&#x20AC;¸â&#x20AC;ŻRedueix a comĂş denominador:

ď &#x160;â&#x20AC;ŻIndica quines de les parelles de fraccions segĂźents

sĂłn equivalents: 3 12 . a) i 2 3 20 10 i . b) 4 2

8 18 12 b) 140

ď &#x160;â&#x20AC;ŻTroba cinc fraccions equivalents a: a)

ď &#x160;â&#x20AC;ŻSimplifica al mĂ xim les fraccions segĂźents:

7 en quĂ¨ el denomi9

53â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;ŻPot haver-hi una fracciĂł equivalent a minador sigui el 15? Raona la resposta.

12 en quĂ¨ el deno45

54â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;ŻQuina relaciĂł han de tenir numerador i denominador per formar una fracciĂł irreductible? 55â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;ŻCompleta amb el signes <,â&#x20AC;Ż>â&#x20AC;Żo =: 7 5 3 2 c) a) 3 2 8 6 20 15 21 105 b) d) 9 6 16 80 56â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;ŻOrdena les fraccions segĂźents de mĂŠs petita a mĂŠs gran: 6 36 50 15 10 , , , i . 10 12 30 10 12

47â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż

ď &#x160;â&#x20AC;ŻTroba les fraccions irreductibles de:

a) 48â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;Ż

12 4

15 5

45 30

24 90

6 13

121 11

36 12 64 d) 16

58â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;ŻLa meitat dels alumnes dâ&#x20AC;&#x2122;una escola rural ja ha celebrat lâ&#x20AC;&#x2122;aniversari. De la resta, un terĂ§ els farĂ abans dâ&#x20AC;&#x2122;acabar el curs.

ď &#x160;â&#x20AC;ŻTroba les fraccions irreductibles de:

80 50

57â&#x20AC;Żâ&#x2013; â&#x2013; â&#x20AC;ŻOrdena les fraccions segĂźents de mĂŠs gran a mĂŠs petita: 5 6 7 8 10 14 , , , , i . 2 3 4 5 3 8

55 25

a) Calcula quina fracciĂł del total de lâ&#x20AC;&#x2122;escola no haurĂ fet

49 10

b) Si a lâ&#x20AC;&#x2122;escola hi ha 30 alumnes, quants no hauran fet

els anys en acabar el curs. anys en acabar el curs?

Activitats la vol repartir a parts iguals amb l’Enric i els seus altres dos fills. a) Quina fracció correspon a cada germà? b) Si cada germà rep 10 €, de quant era el premi?

64 ■■ Relaciona cada fracció amb la seva oposada: 3 −5 a) A) 5 3 7 5 B) b) − 7 9  7 C) −−   9

5 3 −5 d) 7

−3 D) 5

Els nombres fraccionaris

59 ■■■ La mare de l’Enric ha guanyat un premi. La quarta part,

65 ■ Escriu com a potències els productes següents: 5⋅5⋅5 7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 3⋅3⋅3⋅3 b) 2 ⋅ 2 ⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 3 3 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ c) 2 2 2 2 2 2

Operacions bàsiques amb fraccions 60 ■■



Calcula i simplifica: 5 7 a) + c) 3 3 7 1 2 b) − − d) 3 3 3

61 ■■

 Calcula i simplifica:

3 1 2 + − 4 2 5 1 10 8 b) + − 6 4 3 3 6 7 c) + − 4 5 2 8 4 1 d) − − 2 3 4

62 ■■

 Calcula i simplifica:

6 5 1 3 + − + 5 2 3 6 1 1 1 1 b) − + − 4 5 6 3 3 2 5 3 c) + − − 2 3 3 6 2 3 5 4 d) − + + 3 2 4 6

63 ■■■ Calcula i simplifica: a)

6  5 1 3 − −  + 5  2 3  6

2  2 1 2  − + −  4  5 6 3 

3  3 2  5  c) − −  +  −  6  2 3 3 d)

2  3  5 4  −  −  +  3  2  4 6 

1 7 + 3 3 5 3 1 + + 4 4 4

66 ■

5 5 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5  3 3 3  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2  2 2 2 

 Calcula i simplifica:

3 5 ⋅ 5 2 5 6 b) ⋅ 3 4 7 3 c) ⋅ 9 5 8 2 d) 12 ⋅ 5

67 ■ Fes les multiplicacions següents: 3 2 ⋅ 5 9 1 6 b) ⋅ 3 2

5 21 ⋅ 7 10 7 1 d) ⋅ 5 8 c)

68 ■■ Fes les multiplicacions següents: a)

6 2 2 ⋅ ⋅ 5 3 7

3 5 8 ⋅ ⋅ 4 2 6

16 8 5 ⋅ ⋅ 6 15 4

6 15 7 ⋅ ⋅ 35 8 12

69 ■■ Calcula i simplifica: 3 4 10 ⋅ ⋅ 5 9 6 14 4 3 b) ⋅ ⋅ 10 7 10

70 ■■ Calcula i simplifica: 4 15 9 6 12 15 21 a) ⋅ ⋅ ⋅ c) ⋅ ⋅ ⋅3 3 8 5 4 5 9 10 3 4 10 21 3 14 10 9 b) ⋅ ⋅ ⋅ d) ⋅ ⋅ ⋅ 15 3 7 8 6 6 7 30 71 ■■ Calcula i simplifica: 4 7 : 5 3 12 12 b) : 6 5

24 12 : 7 5 1 1 d) : 5 3

6 10 2 ⋅ ⋅ 8 3 5

Els nombres fraccionaris

72 ■■ Calcula i simplifica: a) b) c) d)

77 ■■ Escriu sense parèntesis:

14 21 : 10 15 4 5 : 5 4 8 7 : 14 6 16 64 : 25 100

7  a)    5 8

 −2  b)    7 

 −1 c)   3

 −3  d)    12 

73 ■■ Divideix i simplifica: 3 2 : 5 7 6 2 b) : 7 3 12 18 c) : 15 3

78 ■■ Troba el valor de n perquè les igualtats siguin certes: 3

n  8 a)   =  5 125 6

n  1 b)   =  2 64

74 ■■ Relaciona les fraccions de la dreta amb les seves inverses: a) b) c)

d) e) f)

7 5 −1 5 5 7 −5 7 1 7 −1 7

7 5 −7 B) 5 A)

C) −5 5 7 −7 E) 1

F) 7

75 ■■■ Troba el valor de n perquè les igualtats següents siguin certes: a)

n 5 4 = − 6 2 3

n  −32 d)   = 3 243 n

3 27 e)   =  4 64 n

 −1 −1 f)   = 3 2 187 79 ■■ Calcula: a)

16 25

144 9

49 36

81 225

3n 7 23 = − 5 2 10

13 1 4 = + n 2 5

80 ■■ Digues quina fracció té com a arrel quadrada

37 1 3 = + +1 2n 4 5

81 ■■ Quina és l’àrea d’una rajola de mig metre d’aresta?

Potències i arrels quadrades de fraccions 76 ■

 −2  32 c)   =  3  243

 Escriu en forma de potència: a) b) c) d) e)

2 2 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 5 5

7 . 6

82 ■■■ La Berta fa vuit trossos iguals d’un pal de 48 cm que ha trobat al pati i en fa dos quadrats. Quina és l’àrea de cada quadrat? 83 ■■■ En Bernat ha fet un dibuix i vol fer-ne una ampliació amb la fotocopiadora. El dibuix és dins un quadrat d’un decíme1 tre de costat. Si vol que el llarg faci la meitat més, és a dir, 1+ , 2 quant farà la seva àrea? 84 ■■■ Al film de ciència ficció Attack of the 50 Foot Woman (1958, EUA), una dona que al principi fa 170 cm passa a tenir una alçada de 15 m. Calcula quantes vegades augmenta l’alçada.

85 ■■■ En un somni, un inventor imagina haver creat una màquina que encongeix els objectes i que hi ficava una rajola quadrada d’un metre de costat. Si la màquina reduïa la longitud en 1 , quina superfície tenia després la rajola? un factor 10 86 ■■■ A la pel·lícula The Incredible Shrinking Man (1957, EUA), al protagonista se li encongeix el cos progressivament. Si supo-

Operacions combinades amb fraccions 89 ■ Calcula: a)

144 121

16 169

225 196

15 625 25

sem que inicialment té una alçada de 180 cm i porta un bitllet a la cartera que fa 8 × 15 cm, quina alçada tindrà i quina serà la superfície del bitllet:

2 ? 5 1 ? b) Quan el factor de reducció sigui de 10 a) Quan el factor de reducció sigui de

90 ■■ Calcula i simplifica: a)

5  5 1 ⋅ +  3  6 3 

4  5  5 4  ⋅  −  +  3  3  2 3 

Els nombres fraccionaris

Activitats

 2 2   1 1 c)  +  ⋅  +   3 5   2 3   8 7  7 3 d)  −  ⋅  −   3 5   2 5  91 ■ Calcula i simplifica:  6 9   3 7  a)  5 + 4  :  2 + 3  b) c)

7  5 5  : −  5  2 3  4 9

 5 5 :  −   2 3

92 ■■■ Calcula i simplifica:

87 ■■■ En un plànol s’indica que l’escala és 1:25, que vol dir que cada centímetre del plànol correspon a 25 centímetres de la realitat.

1 m a la realitat, amb quants centíme2 tres estarà representat al plànol?

 3  1 1 3 a)  ⋅  +  : 4 2 3  5  5 2   3  3  b)  +  :  − 4 ⋅   4 3   2  8  7 5  1  2 3  ⋅ −  −  −  4 4  2  3 5 

a) Si un armari fa

b) Si el plànol indica que una finestra té una amplada de

5     2  4 d)  − 1 : 3 − 1−  ⋅  + 2  4     3 3

3 cm, a quina fracció de metre correspon aquesta distància a la realitat?

3 c) Si un nen fa m d’alçada, amb quants centímetres 2 s’ha de representar al plànol? 88 ■■■ En un laboratori químic hi ha iode-131. Aquesta substància es desintegra de tal manera que, al cap de 8 dies hi ha la meitat del que hi havia. Al cap de 8 dies més, la meitat de la meitat, etc. Quina fracció dels àtoms originals hi haurà al cap de 32 dies?

93 ■■■ Calcula i simplifica: 2 3  6 9   3  7 a)  +  :   +   5 4   2  3  

2 9 5  1  2 3   ⋅ −  −  −   4 4  2  3 5  

2 5     16 2  4 c)  − 1 : 3 − 1−  ⋅  + 2 + 4     3  25 3  

Els nombres fraccionaris

Repte 94 ■■■ La fórmula que es fa servir per passar d’un nombre b a ⋅ c +b , en què c ≠ 0. mixt a una fracció impròpia és a + = c c Demostra que aquest procediment de càlcul és correcte.

• Cada fitxa representa una fracció, en què el numerador és el nombre de punts del quadrat superior, i el denominador, el nombre de punts de l’inferior; per exemple, si la fitxa 2-5 queda amb el 2 amunt i el 5 avall, representa la fracció 2/5. • Qui tingui el doble sis ha de decidir i anunciar si es jugarà «a

95 ■■■ Els ingressos de la família Casademunt són 7/5 dels de la família Casadevall. Els Casademunt estalvien 1/20 del que ingressen, i els Casadevall, 1/25. a) Expressa en forma de fracció la raó entre les despeses dels Casademunt i les dels Casadevall. b) Si els Casadevall estalvien 120 € mensualment, quant estalvien els Casademunt?

la gran» o «a la menuda». • En tots dos casos, cada jugador triarà quatre de les set fraccions de què disposa i escriurà una operació matemàtica en què cadascuna de les quatre fraccions triades aparegui només una vegada. En aquesta operació només podrà fer servir els símbols de la multiplicació, de la divisió i els parèntesis. • Si es juga «a la gran», guanya qui obtingui el resultat més gran, i si és «a la menuda», qui obtingui el més petit. a) Quin és el resultat més gran que es pot obtenir? In-

96 ■■■ Es proposa el joc següent per a tres persones (cal que cada jugador disposi de paper i llapis):

dica diverses maneres d’assolir-lo. b) Suposa que t’han tocat tots els dobles i la fracció

que queden es reparteixen a l’atzar entre els 3 jugadors (7

2/5. Quins són els resultats possibles? 3 6 1 5 3 1 4 c) La teva mà és , , , , , i ; i s’està jugant 4 2 5 4 2 6 4 «a la menuda». Quines fraccions triaràs? Quina operació

a cadascun).

faràs?

• Es retiren d’un joc de dòmino totes les fitxes que tinguin un quadrat blanc (inclosa la doble blanca), i les 21 fitxes

• Cada jugador col·loca les seves fitxes, l’una al costat de l’al-

tra, en posició vertical, i sense que els altres jugadors puguin veure quines són.

Autoavaluació

Sé trobar el nombre mixt d’una fracció impròpia?

1. De les fraccions següents, indica quines són pròpies, quines són impròpies i quines són iguals a la unitat. De les fraccions impròpies escriu-ne el nombre mixt: 12 4 21 b) 21

3 7 13 d) 6

23 23 19 f) 4

Sé trobar la fracció equivalent?

55 56 −1 h) 2 g)

2. Omple els buits per tal d’obtenir fraccions equivalents: 66 42

5 = 7 21

35 = 75 15

d) 8 = 120 135

Sé simplificar una fracció?

3. Redueix a la fracció irreductible: 60 108 d) a) 150 378 15 45 b) e) 18 15 9 15 c) f) 3 6

Sé comparar fraccions?

4. Ordena de més petita a més gran les fraccions següents: 1 , 2 4 b) , 3

2 , 2 4 , 6

−3 4 i . 4 2 4 4 4 , i . 9 10 −3

3 4 9 3 , , , , 4 3 3 9 12 9 5 20 d) , , , i 5 4 3 8 c)

6 3 i . 4 −4 80 . 32

Sé operar amb fraccions?

5. Fes les operacions següents i simplifica’n el resultat: a) 2 ⋅ b)

3  9 1 −  −  4  5 3 

2  1 2  :  +  5  2 3 

 3 1  4 2  c)  +  :  −  7 6   5 3 

 9 1 1 2 d)  −  :  ⋅  5 3  3  5 3

2 3 e)  +   5 2 f)

 4 6 15   ⋅ ⋅   3 3 10 

Sé interpretar i resoldre problemes amb fraccions?

2 dels participants abando15 nen el primer dia. Una quarta part dels que queden abandonen

6. En una competició de tres dies,

el segon dia. Calcula quina fracció dels participants arriba al tercer dia.

Els nombres fraccionaris al jardí botànic La Laura i la Patrícia visiten el jardí botànic de la seva ciutat. A la guia han llegit que la meitat de les flors que hi ha són d’hivernacle, una tercera part són flors d’exterior i la resta són arbres.

1. La Laura i la Patrícia fan un esquema dels tipus de plantes que hi ha al jardí. Utilitzen el color taronja per representar les flors d’hivernacle, el blau per a les flors d’exterior, i el verd per als arbres. Quin dels

Els nombres fraccionaris

Competències que sumen

esquemes següents és el correcte? a)

2. La Laura observa que a la guia del jardí botànic hi apareix la fracció de flors d’hivernacle i la fracció de les flors d’exterior, però no hi apareix la fracció que correspon als arbres. a) Quant sumen les fraccions corresponents a les flors? b) Quina fracció correspon als arbres? 3. La Patrícia ha llegit a la guia que hi ha un total de 1 800 plantes entre flors i arbres. a) Si se sumen les flors d’hivernacle i les flors d’exterior, quantes flors hi ha? b) Quants arbres hi ha al jardí botànic? 4. La cinquena part de les flors que hi ha a l’hivernacle són orquídies. a) Quantes orquídies hi ha al jardí? b) Quina fracció del total de plantes correspon a les orquídies? 5. La Laura i la Patrícia s’han presentat voluntàries per regar les roses que hi ha a l’hivernacle amb un nou sistema de reg per degoteig 3 L. La Laura pensa que amb 90 ampolles n’hi ha amb ampolles de plàstic. En total, s’han de distribuir 120 L d’aigua en ampolles de 4 prou, mentre que la Patrícia creu que no seran suficients i que en faltaran més. Explica qui té raó. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Els decimals i el sistema sexagesimal La mesura del temps

L’ara no existeix. Encalcem l’instant que anomenem ara i no podem captar-lo perquè el mot és massa llarg. Quan diem ara, l’ara ja no hi és o encara no ha arribat. Tampoc el podríem concretar si s’anomenés a, perquè tant el mot com el pensament serien massa extensos. En pronunciar-lo o pensar-lo ja se’ns hauria escapat. Heus aquí la paradoxa. El temps impedeix caçar el temps.

No podem fixar l’ara, però ens hi podem atansar tant com vulguem. Sabem que el passat va existir i que hi haurà un futur. Estrenyent l’interval entre l’un i l’altre encerclem l’ara. Però per curt que sigui aquest interval, com la mil·lèsima de segon que es mesura en les curses de fórmula 1, no n’hi ha prou. L’ara només és virtual i tampoc existeixen ni el passat ni el futur, perquè precisament són passat i futur. Malgrat la seva inexistència material, l’home ha ideat sistemes per mesurar el temps. La geometria d’un rellotge de sorra permet mesurar-lo prenent com a unitat l’estona que la sorra tarda a caure d’un fus cònic de vidre. Els grans s’esmunyen a través d’una cintura ben estreta que, tot i que no els deixa passar d’un en un, sí que els obliga a esperar torn. La força de la gravetat fa la resta de la feina. Però es tracta d’una mesura indirecta, ja que no es pot mesurar com es fa amb la longitud d’una taula o amb la massa d’una fruita. Cada rellotge de sorra determina una unitat de temps, però no es poden apreciar les parts en què es divideix aquesta unitat. La sorra tarda una estona a caure. Però quina és la meitat, el terç o la quarta part d’aquesta estona? Cap rellotge de sorra porta marques per llegir el temps transcorregut. Els rellotges circulars van resoldre aquest problema. En aquests, el temps es representa amb una busca que gira al voltant d’un centre. Quan una volta acaba, en comença una de nova, i apareix així l’aspecte cíclic

del temps: l’alternança dels dies i les nits, de les estacions, dels períodes i de tot el que és viu. La mesura del temps del rellotge és geometria pura: l’angle que ha girat la busca. La fracció de la unitat de temps es correspon amb la fracció del gir.

Analitza i resol

Però resulta que la divisió del gir geomètric no es fa amb les mateixes unitats que el gir temporal. Un gir sencer de la busca llarga equival a una hora, que se subdivideix en seixanta minuts. Cada minut es torna a dividir en seixanta segons. En el gir geomètric, una volta sencera es divideix en 360 graus, cadascun dels quals es divideix també en 60 minuts i aquests últims, en 60 segons. Així funciona l’anomenat sistema sexagesimal en relació amb la mesura del temps i de l’espai circular.

toritza el resultat i justifica per què el nombre obtingut té

Segons els historiadors, l’ús del seixanta com a base del sistema sexagesimal és fruit de combinar la dotzena amb els cinc dits de la mà. En efecte, el producte de 5 per 12 dóna 60. És un nombre gran, però amb una propietat molt pràctica, com és que té fins a 12 divisors, entre d’altres, els sis primers nombres naturals:

1. Explica d’on prové l’ús del seixanta com a base de numeració, segons els historiadors de les matemàtiques. 2. Calcula el nombre de segons que té un any natural. Fac180 divisors. 3. Indica quin angle formen les busques del rellotge a les 03.00 h. I a les 18.30 h? 4. En una cursa de 1 500 m, quina marca de les següents és millor: 3,50 min o 3 min 40 s? 5. Quants cops al llarg d’un dia les agulles del rellotge formen un angle pla, és a dir, de 180º? 6. Quina hora marquen les agulles en aquest rellotge quadrat? Quin angle formen?

D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} El cicle de les estacions es reprodueix cada any. Un any té 360 dies, si fa no fa. Cada dia dura 24 hores, cada hora consta de 60 minuts, i cada minut, de 60 segons. Resulta fàcil calcular els segons de l’any de 360 dies: 31 104 000. Un nombre força gran amb 180 divisors.

Índex

Competències bàsiques

1. Els nombres decimals

Matemàtica. Operació amb decimals i amb el sistema sexagesimal. Comunicativa lingüística i audiovisual. Expressió i lectura d’operacions amb nombres decimals. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Coneixement i interacció amb el món físic. Aplicació dels procediments de càlcul en una situació de l’entorn físic.

2. Conversió d’un nombre decimal en fracció 3. Operacions amb nombres decimals 4. Aproximació de nombres 5. El sistema de numeració sexagesimal 6. Expressió complexa i incomplexa del sistema sexagesimal 7. Operacions amb el sistema sexagesimal

Els decimals i el sistema sexagesimal

Els nombres decimals 1.1 Recorda

Concepte de nombre decimal

Un nombre decimal és el que té una part entera (0, 1, −1, 2, −2, …) i una part decimal (més petita que la unitat) separades per una coma. La part entera s’escriu a l’esquerra de la coma, i la part decimal, a la dreta de la coma.

Els nombres decimals s’anomepart entera

23, 7419

part decimal

nen segons el darrer decimal:

0,1 = 1 dècima

Entre dos nombres decimals sempre hi ha infinits nombres decimals. La diferència entre un nombre decimal i el nombre enter més proper (per exemple, entre 4,1 i 4) és més petita que la unitat.

0,01 = 1 centèsima 0,001 = 1 mil·lèsima 0,0001 = 1 deumil·lèsima

Exemple

0,00001 = 1 centmil·lèsima 0,000001 = 1 milionèsima

1. Entre el nombre enter 2 i el nombre enter 3 no hi ha cap altre nombre enter, però entre el nombre decimal 2,583 i el nombre decimal 2,584 hi ha infinits nombres decimals. 2,583 … 2,5835 … 2,58376 … 2,5839 … 2,584

5,9 = cinc unitats nou dècimes 5,09 = cinc unitats nou centèsimes 5,99 = cinc unitats noranta-nou

1.2

centèsimes

Tipus de nombres decimals

Els nombres decimals poden ser de tres tipus:

Tenen un nombre finit de decimals.

Exactes

Alerta Si s’afegeixen zeros a la dreta del darrer decimal, el nombre continua sent el mateix: 0,1 = 0,10 = 0,100

Periòdics. Tenen un nombre infinit de decimals, i un d’aquests decimals, o més, es repeteix periòdicament.

purs

Les xifres que es repeteixen comencen just darrere de la coma.

3, 5555... = 3, 5

mixtos

Abans de les xifres periòdiques hi ha una xifra no periò dica o més.

4, 1333… = 4, 13

1 dècima = 10 centèsimes =  = 100 mil·lèsimes Generalment es poden eliminar, tot i que generalment els

12,98; 1,2; 3,9786

Nombres irracionals (ni exactes ni periòdics)

Tenen infinits decimals però no hi ha cap xifra que es repeteixi de manera regular.

3, 345345... = 3, 345

5, 3425666 … = 5, 34256

π;

2 ; 0,246810…

preus en euros s’indiquen amb dos decimals.

1.3

Comparació i ordenació de nombres decimals

Si es divideix en deu parts la distància entre dues unitats, cada divisió correspon a una dècima. Si cada dècima es divideix en deu parts, cada nova divisió correspon a una centèsima, i així successivament. Entre dos nombres decimals amb la mateixa part entera, el més gran és el que té la part decimal major. Exemple 2. Fixa’t en la representació següent que mostra clarament que el 2,9355 és més petit que el 2,936.

2,935

2,9355

2,936

Conversió d’un nombre decimal en fracció

Tota fracció es pot expressar com un nombre decimal. En dividir el numerador entre el denominador s’obté el nombre decimal corresponent a la fracció.

Alerta

Els decimals exactes i periòdics (siguin purs o mixtos) sí que es poden escriure com a fracció.

Tota fracció es pot expres-

Els nombres irracionals no es poden escriure com a fracció.

sar com un nombre decimal, però no tots el nombres deci-

Exemples

mals (els irracionals) es poden

3. Conversió de decimal exacte en fracció

expressar com una fracció.

1. Es multiplica el nombre per una potència de 10 amb tants zeros com decimals. Aquest serà el numerador.

2,74 = 2,74 · 100 = 274

2. El denominador és la potència de 10 que s’hagi fet servir.

274 2, 74 = 100

4. Conversió de decimal periòdic pur en fracció 1. Es multiplica el nombre per una potència de 10 amb tants zeros com decimals periòdics.

→ 13, 63 ⋅ 100 = 1363, 63 13, 63

2. Es resta el decimal original al nombre trobat. El resultat és el numerador.

− 13, 63 = 1350 1363, 63

3. El denominador serà un nombre amb tants nous (9) com decimals periòdics hi havia.

= 1350 13, 63 99

5 → 5, 0 2 → 2,5 2 10 2, 5 0 2 → 2, 00 9 20 0, 22 9

→ 0, 2

→ 0, 13 2 → 2, 000 15 50 0, 133 15 50

Alerta Fixa’t en la diferència principal en la conversió de decimals pe-

5. Conversió de decimal periòdic mixt en fracció

riòdics purs i periòdics mixtos:

1. Es multiplica el nombre per una potència de 10 amb tants zeros com decimals no periòdics. D’aquesta manera s’obté un nombre decimal pur.

− 6, 2375 ⋅ 100 = 625, 75 6, 2575

2. Es multiplica el decimal pur per una potència de 10 amb tants zeros com decimals periòdics.

⋅ 100 = 62 575, 75 625, 75

3. Es resten els nombres obtinguts als apartats 2 i 1. El resultat és el numerador.

− 625, 75 = 61950 62 575, 75

4. El denominador estarà format per tants nous (9) com decimals periòdics, seguits de tants zeros com decimals no periòdics.

= 61950 6, 2575 9 900

Aplica

12, 57 =

1245 99

tants 9 com decimals periòdics

7, 325 =

tants 0 com decimals no periòdics

7 252 990

tants 9 com decimals periòdics

3 ■■ Ordena de més petit a més gran els nombres següents: 1,333 1,239 1,9004 1,005 2,001 1, 06 1, 078

1 ■ Classifica els nombres següents en enters, decimals exactes, decimals periòdics purs, decimals periòdics mixtos o irracionals: g) 35 a) 3,555… d) 1, 006 b) 0,005

e) π

h) −2

c) 9,1234… f) 0,07 i) −4 2 ■■ Representa a la recta els nombres següents: a) 5,55

c) 5,5

b) 5,49

d) 5,546 f) 0

4 ■■ Escriu en forma de fracció els nombres següents: g) 1, 0007 a) 9,555… e) 0, 5 b) 40,153 f) 3, 56 h) 0,43333… c) 0,007 g) 4, 9 i) 122,01

Raona

e) 5 5 ■■ Escriu un nombre més gran que 3,754 i més petit que 3,761.

Operacions amb nombres decimals

Els decimals i el sistema sexagesimal

3.1

La suma i la resta

Per sumar o restar nombres decimals cal operar de la manera següent: 1. Es col·loquen els nombres que es volen sumar o restar l’un a sota de l’altre, amb les comes a la mateixa columna, i les xifres del mateix ordre alineades (les unitats, les desenes, les dècimes, les centèsimes, etc.). 2. S’opera (sumar o restar) començant per la dreta, com amb els nombres enters. 3. Al final s’escriu la coma mantenint la seva posició. Exemple 6. Fixa’t en les operacions 45,2 + 1,02 i 37,25 − 12,073:

45,20

+ 1 , 0 2

46,12

37,250

Es poden afegir els zeros que facin falta perquè tots els nombres tinguin el mateix nombre de decimals i sigui més fàcil operar.

− 1 2 , 0 7 3 25,177

3.2

La multiplicació

Per multiplicar dos nombres decimals s’opera com amb els nombres enters. El nombre de decimals del resultat és igual a la suma del nombre de xifres decimals que es multipliquen.

Exemple

Recorda

7. Fixa’t com es multipliquen 25,5 i 7,36:

12,5

crita com un 1 seguit de zeros,

× 7 , 3 1

2 decimals

llavors es mou la coma tantes

91,975

1 + 2 = 3 decimals

Si la potència de 10 està es-

1 decimal

posicions com zeros hi ha. 10 = 101

1 lloc

100 = 102

2 llocs

1 000 = 10

10 000 = 104

3 llocs

3.3

Multiplicació i divisió per potències de 10

4 llocs

Per multiplicar un nombre decimal per una potència de 10 s’ha de moure la coma cap a la dreta tantes posicions com indiqui l’exponent de la potència. Per dividir un nombre decimal per una potència de 10 s’ha de moure la coma cap a l’esquerra tantes posicions com indiqui l’exponent de la potència. Exemples 8. Fixa’t com es multiplica 312,7506 per 103:

312,7506 ⋅ 103 = 312,7506 ⋅ 1 000 = 312 750,6 3

3 espais cap a la dreta

9. Fixa’t com es divideix 125,7 entre 102:

125,7 : 102 = 125,7 : 100 = 1,257 2

2 espais cap a l’esquerra

3.4

Divisió d’un nombre decimal entre un nombre enter

1. Es fa la divisió com si fos una divisió entre dos nombres enters.

Alerta

2. Quan s’ha de baixar el primer decimal del dividend, es posa una coma al quocient. Quan es multiplica o divideix

Exemple

un nombre decimal per una

10. Fixa’t com es divideix 34,75 entre 6: 34,75 4

6 5

potència de 10, en cas que no

34,75 4,7

6 5,

hi hagi prou xifres decimals

34,75 6 4 7 5 , 7 9 55 1

En baixar el 7, es posa la coma al quocient.

a la dreta o a l’esquerra, s’han d’afegir tants zeros com xifres faltin: 21,3 · 10 000 = 213 000 Hi ha 4 zeros, però només 1 de-

3.5

Divisió entre nombres decimals

cimal: s’han de posar 4 − 1 = 3 zeros més a la dreta.

1. Es multipliquen el divisor i el dividend per la mateixa potència de 10 (10, 100, 1 000, …), de tal manera que el divisor passi a ser un nombre enter.

21,3 : 10 000 = 0,00213

2. Es fa la divisió com s’ha estudiat prèviament.

nombres enters: s’han de posar

Hi ha 4 zeros, però només 2 4 − 2 = 2 zeros més a l’esquer-

Exemple

a) 25,77 : 4,5. El divisor (4,5) té un decimal: cal multiplicar dividend i divisor per 10. b) 20,2 : 4,04. El divisor (4,04) té dos decimals: cal multiplicar dividend i divisor per 100.

Practica

ra, la coma, i un zero a la dreta

· 10

11. Efectua les divisions següents:

d’aquesta.

25,77 4,5

257,7 45 327 5,7 12 · 100

20,2 4,04

2020 404 2020 5 0

9 ■■ Completa les divisions següents: a) 12,65 :

6 ■■ Fes les sumes i restes següents:

= 1,265

: 1 000 = 34,963

a) 45,7 + 23,6

c) 1 000 000 :

b) 35,78 − 12,29

d) 93 400,631 :

c) 3,757 + 12, 45 + 9,007

= 100 = 93,400631

Resol

d) 13,56 + 7,5 e) 45,101 − 13,66

10 ■ En Marc ha comprat 3 còmics iguals. Si ha pagat 15,75 € per tots tres, quant val cada un?

7 ■ Fes les divisions següents: a) 467 : 100

d) 10 0598 : 10 000

b) 14,5 : 100

e) 45 : 1 000

c) 2,35 : 1 000 f) 795,273 : 100

11 ■■ Sis amics van d’excursió. El menjar i els estris que han de portar a les motxilles pesen 19,5 kg. Un decideix portar 4 kg. Quant portarà cada un dels altres, si porten el mateix pes?

8 ■■ Fes les divisions següents: a) 9,65 : 2

d) 105,8 : 20

12 ■■■ En un concurs de matemàtiques, un equip de 8 alum-

b) 15,25 : 15

e) 500,6 : 50

nes ha guanyat el primer premi, de 1 000 €, i han d’anar a re-

c) 78, 79 : 7 f) 567,7 : 430

collir-lo a Saragossa. Si en el viatge es gasten 49,50 € per cap, quants diners els quedarà de premi a cada un?

Els decimals i el sistema sexagesimal

Aproximació de nombres 4.1

Truncament

A vegades, un nombre pot presentar una quantitat de xifres més gran del necessari o poc pràctica. En aquests casos se sol fer servir un nombre aproximat.

Alerta Quan es trunca la part deci-

Truncar un nombre fins a un ordre determinat (desenes, unitats, dècimes, centèsimes, …), consisteix a eliminar o a posar zeros en les xifres d’ordres inferiors a aquest ordre donat. Exemples

mal d’un nombre, els nombres truncats s’eliminen; però quan

12. La Terra tarda 365,2564 dies a fer una volta al Sol. És una xifra que només utilitzen els astrònoms per fer càlculs precisos. Fixa’t com es trunca:

es trunca la part entera, cal substituir els nombres truncats per zeros, mai eliminar-los:

Fins a les centèsimes:

365,25 dies

Fins a les unitats:

365 dies

Trunca 365,2 dies fins a les de-

Fins a les dècimes:

365,2 dies

Fins a les desenes:

360 dies

senes. Correcte: 360 dies.

4.2

Incorrecte: 36 dies.

Arrodoniment

Arrodonir fins a un ordre determinat consisteix a eliminar les xifres d’ordres inferiors a aquest, però tenint en compte la xifra situada la dreta de la xifra eliminada: • Si la xifra de l’ordre següent a la dreta és més petita que 5, es trunca. • Si la xifra de l’ordre següent a la dreta és igual o més gran que 5, a la xifra anterior s’hi suma 1.

Exemple 13. Terrassa (Vallès Occidental) tenia, l’any 2009, 210 941 habitants. Fixa’t com s’arrodoneix:

210 941

210941

arrodonit a les centenes de miler

Com que la xifra de les desenes de miler és 1 (210 941), el nombre es trunca.

200 000

arrodonit a les unitats de miler

Com que la xifra de les centenes és un 9 (210 941), a les unitats de miler hi sumem un 1.

211 000

4.3

211000

Errors en les aproximacions

En aproximar un nombre és comet un error. Aquest error és el valor absolut de la diferència entre el nombre exacte i el nombre aproximat. error = |nombre exacte − nombre aproximat| Exemple 14. L’error comès en arrodonir 210 941 a 211 000 és:

|210 941 − 211 000| = |−59| = 59 Aplica

14 ■ Arrodoneix fins a les dècimes:

13 ■ Trunca fins a les dècimes: a) 45,564

b) 2,16

c) 5,009

d) 1,015

a) 45,564

d) 1,015

b) 2,16

e) 21,09

c) 5,009 f) 32,11119

El sistema de numeració sexagesimal

5.1

El sistema sexagesimal i la mesura del temps

El sistema de numeració sexagesimal té com a base el nombre seixanta. Seixanta unitats d’un ordre formen una unitat de l’ordre immediatament superior. Es fa servir per mesurar el temps i els angles.

Recorda Les mesures de temps superi-

Per mesurar unitats de temps més petites que el dia es fan servir les hores (h). Cada hora es divideix en 60 minuts (min), i cada minut, en 60 segons (s).

ors a l’hora no es mesuren en

1 h = 60 min

1 min = 60 s

24 h = 1 dia

60 s = 1 min

60 min = 1 h

365 dies = 1 any

el sistema sexagesimal:

2 anys = 1 bienni

Exemples

3 anys = 1 trienni 5 anys = 1 lustre o quinquenni

15. Fixa’t com s’expressa en segons:

10 anys = 1 dècada

• 15 minuts: com que 1 min té 60 s: 15 · 60 = 900 s. • 1 hora: com que 1 h té 60 min, i 1 min té 60 s: 1 · 60 · 60 = 3 600 s. • 3 hores: com que 1 h conté 3 600 s: 3 · 3 600 = 10 800 s. 16. Fixa’t com s’expressa en hores:

100 anys = 1 segle 1 000 anys = 1 mil·lenni Les unitats de temps inferiors al segon es mesuren en el siste-

• 5 400 segons: com que 3 600 s és 1 h: 5 400 : 3 600 = 1,5 h. • 120 minuts: com que 60 min és 1 h: 120 : 60 = 2 h.

ma decimal: 0,1 s = 1 dècima de segon 0,01 s = 1 centèsima de segon 0,001 s = 1 mil·lèsima de segon

5.2

La mesura dels angles

…

Per mesurar angles es fan servir els graus (º). Cada grau es divideix en 60 minuts d’arc (‘), i cada minut d’arc, en 60 segons d’arc (‘‘). Una volta o angle complet fa 360º.

1º = 60’

1’ = 60”

60” = 1’

60’ = 1º

Exemple 17. Fixa’t com s’expressen en segons: • 45º = 45º · 60 = 2 700’ → 2 700’ · 60 = 2 700” • 1 volta = 360º → 360º · 60 = 21 600’ → 21 600’ · 60 = 1 296 000”

Aplica

18 ■ Quants minuts hi ha en mitja volta?

15 ■ Escriu en segons les quantitats de temps següents: a) 2 hores

19 ■■ Quants segons hi ha en 1 volta, 100’ i 45”? 20 ■■ Quantes voltes són 3 888 000”?

b) 95 minuts c) 5 hores i mitja d) 1 hora, 15 minuts i 40 segons 16 ■■ Digues quantes hores són: a) 18 000 segons

c) 720 minuts

b) 540 minuts

d) 39 600 segons

Raona 21 ■■ Un angle recte té 90º. Escriu-ho en minuts i en segons. 22 ■■ L’esfera d’un rellotge de busques (360º) està dividida en 12 hores. Quants graus recorre la busca de les hores quan passa

17 ■ Quants graus hi ha en 7 voltes?

de les dotze a la una?

Els decimals i el sistema sexagesimal

Expressió complexa i incomplexa del sistema sexagesimal 6.1 Recorda

En aquest llibre, per referir-nos de manera més àgil als minuts

Forma complexa i incomplexa

Una mesura angular o de temps es pot expressar de dues maneres: • Complexa. És purament sexagesimal, i fa servir una combinació ordenada de dues o tres unitats: graus (o hores), minuts i segons. • Incomplexa. S’utilitza només una de les tres unitats, i pot contenir una part decimal.

d’arc i als segons d’arc, si pel

Exemple

context ja es veu que parlem

18. Si un viatge dura tres hores i mitja, pots expressar aquest temps de dues maneres:

de mesures angulars, ens hi referirem abreujadament, com a

Complexa: 3 h 30 min.

minuts i segons.

6.2

Incomplexa: 3,5 h.

Part decimal equivalent a 30 min.

Canviar de forma complexa a incomplexa

Per passar de la forma complexa a incomplexa cal: 1. Passar els minuts a graus (o hores) dividint-los per 60. 2. Passar els segons a minuts dividint-los per 60, i aquest resultat a graus tornant-los a dividir per 60 (o bé, dividir els segons entre 3 600). 3. Sumar tots els graus (o hores).

Exemple 19. Fixa’t com es passa 23º 15’ 40” a la forma incomplexa: 23º 15‘

: 60

40‘‘ : 60

0,25º 0,667‘

En minuts: 23,261º · 60 = 1 395,66’.

: 60

23º + 0,25º + 0,011º

Alerta

En graus: 23,261º.

En segons: 23,261º · 3 600 = 837 340”.

23,261º En l’expressió d’una mesura complexa pot faltar algun dels ordres de magnitud. Tot i que es pot expressar d’aquesta manera, a l’hora de fer els càlculs és convenient substituirla per 0. 56º 56” = 56º 0’ 56”

6.3

Canviar de la forma incomplexa a complexa

Per passar de la forma incomplexa a la complexa cal: 1. Multiplicar per 60 la part decimal dels graus (o hores), per obtenir els minuts. 2. Multiplicar per 60 la part decimal dels minuts per obtenir els segons. 3. Expressar conjuntament els resultats. Exemple 20. Fixa’t com es passa 34,233º a la forma complexa.

34 , 233º

Observa que les fraccions de segon s’han d’expressar en forma decimal (58 segons i 8 dècimes de segon).

⋅ 60 13 , 98‘

⋅ 60

34º 13‘ 58,8‘‘

Com aplicar-ho. Canviar de forma incomplexa a complexa amb la calculadora En una cursa de resistència, el cronòmetre ha donat 375,5 min com a resultat del vencedor. Expressa el resultat en la forma complexa. • Divideix 375,5 entre 60: 3

7 5 : 6 0 = 6.25833…

La part entera són les hores: 6 h. • Es resta, directament a la calculadora, el nombre enter al resultat, i es multiplica per 60. 6.25833…

6 = 0.258333 x

6 0 = 15.5

Consells Per canviar d’una unitat superior a una d’inferior, cal multiplicar. Si la mesura és en graus, les calculadores científiques permeten fer el canvi de manera automàtica. Primer l’has de posar en mode DEG i teclejar: 6

Vegeu els exercicis

• Es resta, directament a la calculadora, el nombre enter al resultat, i es multiplica per 60:

1 5 = 0.5

SHIFT º ‘ ”

La part entera són els minuts: 15 min.

15.5

. 2 5 8 3 3

25 i 26 pàg. 53 i 95 pàg. 62.

6 0 = 30

El resultat són els segons: 30 s. Expressant-ho conjuntament dóna 6 h 15 min 30 s.

Com aplicar-ho. Canviar de forma complexa a incomplexa amb la calculadora Un GPS indica que la latitud on et trobes és 60º 12’ 45” N. Dóna aquesta latitud de forma incomplexa. • Posa la calculadora en mode

DEG

Consells Si faltés cap terme, com per exemple 60º 12’, poses un 0 en el seu lloc:

6 0 º ‘ ”

1 2 º ‘ ” 0 º ‘ ”

• Tecleja la seqüència següent, i obtens el resultat de manera automàtica: 6 0 º ‘ ”

1 2 º ‘ ” 4 5 º ‘ ” 60.2125°

Vegeu els exercicis

La latitud on et trobes és 60,2125º N.

24 i 26 pàg. 53 i 95 pàg. 62.

Amplia

26 ■■ Passa amb la calculadora: a) 45,75º a forma complexa.

23 ■ Indica quins dels angles següents estan escrits en forma

b) 5 h 25 min 45 s a forma incomplexa.

complexa i quins ho estan en forma incomplexa:

c) 275,8º a forma complexa.

a) 23,895º

c) 2º 3’ 55”

d) 45º 35’ 50” a forma incomplexa.

b) 56º 59’ 59”

d) 45,30º

e) 525,75º a forma complexa, tenint en compte que 360º és una volta.

24 ■■ Expressa en forma incomplexa: 27 ■■ Digues quants segons són:

a) 45º 25’ b) 3 h 20 min 45 s

a) 0,25’

c) 24º 15”

b) 0,5’

d) 1 h 30 min 30 s

c) 0,75’

e) 137º 25’ 28 ■■ Digues quants minuts són:

f) 12º 45’ 24”

a) 3,5 h b) 0,75 h

25 ■■ Expressa en forma complexa: a) 15,75º

c) 167,25º

b) 305,50º

d) 3,275” f) 56,15’

e) 52,574º

c) 15,40 h d) 360 s

Els decimals i el sistema sexagesimal

Operacions amb el sistema sexagesimal 7.1 Alerta

No es pot donar mai un resultat en forma complexa si els

Suma en el sistema sexagesimal

Per sumar en el sistema sexagesimal cal procedir de la manera següent: 1. Es disposa cada unitat en una columna i se suma o resta de dreta a esquerra. 2. Comprova si en el resultat hi ha cap quantitat que superi els 60 segons o els 60 minuts. En aquest cas, cal passar tot el que es pugui a la unitat immediatament superior. Exemple

minuts o els segons superen la xifra de 60. Els graus i les hores

21. Fixa’t com se suma 12º 53’ 42” + 23º 55’ 39”:

sí que la poden superar.

12° 53’ 23° 55’ 35° 108’

42” 39” 81”

1’ 35° 109’

21”

1° 36°

1. Resta 60”, passa’ls als minuts i fes la suma: 81” = 60” + 21’ = 1’ + 21”

2. Resta 60’, passa’ls als graus i fes la suma: 49’

21”

109’ = 60’ + 49’ = 1° + 49’

7.2

Resta en el sistema sexagesimal

Per restar dues quantitats expressades en el sistema sexagesimal cal tenir en compte que si els minuts o els segons són més grans en el subtrahend que en el minuend, aleshores s’han de transformar part dels graus (o hores) o dels minuts del minuend a una unitat d’ordre inferior. Exemple 22. Fixa’t com es resta 20º 3’ 10” − 13º 45’ 9”: 1. Col·loca les unitats de manera que quedin aliniades.

20° 3’ 10” − 13° 45’ 9”

19° 63’ 10” − 13° 45’ 9” 6° 18’ 1”

2. Fixa’t que els minuts del subtrahend són més grans que els del minuend (3’ < 45’).

Aplica

20° 3’ 10” − 13° 45’ 9”

20° 3’ = 19° 63’

3. Descompta 1º al minuend i passa’l als minuts (60’). Comprova que la resta és factible i efectua-la.

30 ■■■ Resta: a) 41’ 3” − 28’ 1”

29 ■■ Suma:

b) 20’ 36” − 8’ 41”

a) 24’ + 47’

c) 1 h 30 min 53 s − 1 h 20 min 45 s

b) 120” + 6’

d) 90 h 10 min 13 s − 80 h 18 min 21 s

c) 2º 30’ + 1º 21’ d) 34º 50’ + 17º 51’

Resol

e) 15 h 40 min 23 s + 8 h 28 min 51 s

31 ■■■ En una cursa en Marc ha tardat 45’ 45”, i en Joan,

f) 45º 21’ 43” + 50º 38’ 17”

45,50’. Qui ha guanyat?

7.3

Multiplicació en el sistema sexagesimal

Per multiplicar una quantitat expressada en el sistema sexagesimal per un nombre natural, es procedeix de la manera següent:

Amb la calculadora

1. Es multiplica cada terme pel nombre natural. 2. S’agrupen els resultats. Si els minuts o els segons superen la xifra de 60, cal passar-los a la unitat superior.

Per multiplicar o dividir una expressió sexagesimal amb la calculadora, primer cal introdu-

Exemple

ir la xifra en la forma complexa

23. Fixa’t com es multiplica 45º 30’ 25” per 3:

i després dividir o multiplicar

45º · 3 = 135º 30 · 3 = 90’ 25” · 3 = 75” a) Per reduir els segons, es divideixen per 60. El quocient són els minuts, i el residu, els segons: 75”

15”

1’

b) Per reduir els minuts cal fer el mateix: 90’

30’

1’

pel nombre natural. Per exemple:

135°

90‘

+ 1º 136º

75”

30‘ + 1‘

5 º ‘ ” 3 0 º ‘ ” 2 5 º ‘ ” = 30.754166°

92.262498°

31‘

15”

Per obtenir el resultat de forma complexa, cal la tecla SHIFT.

El resultat final és 136º 31’ 15”.

7.4

45º 30’ 25” · 3

Divisió en el sistema sexagesimal

92.262498° SHIFT º ‘ ” 45°30’25”

Per dividir una quantitat expressada en el sistema sexagesimal per un nombre natural, es procedeix de la manera següent: 1. Es comença dividint per la unitat més gran (graus o hores). 2. El residu d’aquesta primera divisió es passa a la unitat següent (de graus o hores a minuts) i se suma als minuts del dividend. 3. Es repeteix aquest procés de graus o hores a minuts i a segons. Exemple 24. Fixa’t com es divideix 50º 30’ 25” entre 4:

50° 2°

30’

25”

4 12º 37’ 36,25”

2° = 120’

+ 120’ 150’ 2’ 2’ = 120” + 120” 145” 1”

Aplica

residu

33 ■■ Divideix: a) 15º 30’ 12” : 3 b) 50 h 25 min 33 s : 4

32 ■■ Multiplica: a) 25º 35’ 34” · 6

d) 2 h 25’ 30” · 10

34 ■■■ Divideix amb la calculadora i expressa el resultat en

b) 137º 50’ 7” · 14

e) 550º 13’ 22” · 3

forma complexa:

c) 1 h 30 min 2 s · 16 f) 3 h 30 min · 4

a) 365,45º : 5

b) 63,755º : 6

Tot són matemàtiques

Atrapar el temps «Sé molt bé què és, sempre que ningú m’ho pregunti. Però si em pregunten què és, i intento explicar-ho, em desconcerto».

Sant Agustí (354-430) Quan mesurem longituds o masses estem en contacte amb els objectes observats. En canvi, des de l’antiguitat, la insubstancialitat del temps ens ha deixat perplexos. Sabem que el temps passa, observem l’esdevenir del món: els dies, les nits, i les estacions se succeeixen, i envellim sense remei, ja que el temps actua implacable sobre les nostres cèl·lules. Però com podem mesurar el temps?

1 any = 365 dies 1 dia = 24 hores 1 hora = 60 minuts 1 minut = 60 segons

El temps es pot mesurar gràcies a l’observació de fenòmens periòdics. Així, fragmentem l’univers i la vida en funció del temps de rotació del nostre planeta i de translació al voltant del Sol. Per això la mesura del temps sempre ha estat relacionada amb el calendari i amb l’astronomia.

roda de les hores (24 dents)

Les unitats de mesura es fonamenten en la divisió sexagesimal sumèria.

pinyó (6 dents) molla motriu contrapès (dóna corda a la molla)

Els rellotges de sorra i les clepsidres mesuren el pas d’un material d’una cavitat a una altra. La paraula anglesa clock (‘rellotge’) està emparentada amb la francesa cloche, que significa ‘campana’. Des de l’edat mitjana, i durant centenars d’anys, els europeus van viure al ritme de les campanes de les esglésies. Els primers rellotges de campana no tenien ni agulles ni esfera. Encara que hi ha certa controvèrsia, es considera que els primers rellotges de butxaca o «ous de Nuremberg» són obra de Peter Henlein (1502). No tenien minutera.

escapament

volant

Els rellotges mecànics clàssics funcionen mitjançant l’energia elàstica emmagatze mada en una molla enrotllada en espiral. Un sistema anomenat escapament, la transforma en energia cinètica de rotació i la transmet a un sistema d’engranatges complex que té per objectiu que cada busca giri a la velocitat que li correspon. Sempre hem volgut atrapar el temps a la butxaca: tenim rellotges purament mecànics de corda o cinètics, o mecànics amb piles, o digitals electrònics; o portem l’hora al telèfon mòbil. Els horaris ens tenallen cada dia. Potser és el temps el que ens té atrapats a tots?

Analitza i investiga 1. Investiga com ha evolucionat la mesura del temps al llarg de la història i confecciona un eix cronològic en què s’indiqui l’any o època de cada un dels avenços principals en el tema. 2. Formeu grups amb ajuda del professor o professora, i investigueu el funcionament d’algun dels diferents rellotges que ha desenvolupat la humanitat. Confeccioneu un mural o una presentació per explicar el funcionament del rellotge triat, i presenteu-lo oralment a classe. 3. Com t’influeixen els horaris en la vida quotidiana? I en la dels teus pares o tutors? T’agraden els teus horaris o et sents atrapat? Fes una redacció breu en què responguis les preguntes anteriors i explica la importància d’harmonitzar els horaris de la feina i de l’escola amb la vida privada. 4. Què és un astrolabi? Cerca figures que il·lustrin com funciona i de què es

fuga de l’àncora

Els decimals i el sistema sexagesimal

Els rellotges de sol mesuren el temps transcorregut gràcies al moviment solar aparent.

compon. 5. Quins van ser els primers mecanismes amb engranatges coneguts? Investiga en què consisteix el misteriós mecanisme d’Anticítera i intenta explicar per a què servia.

Els decimals i el sistema sexagesimal

Això és bàsic Nombre decimal 2

part entera

2,2

2,3

2,25

part decimal

Tipus de nombres decimals exactes

Exemple de conversió a fracció

Tenen un nombre finit de decimals: 7,53

periòdics (tenen un decimal, o més, que es repe-

7, 53 ⋅100 = 753 → 7, 53 =

Les xifres que es repeteixen comencen just darrere de la coma: 5, 444… = 5, 4

purs

teix indefinidament)

Abans de les xifres periòdiques hi mixtos

irracionals

ha una xifra, o més, no periòdica: 2, 53666… = 2, 536

Tenen un nombre infinit de decimals i no es repe-

753 100

5, 4 ⋅ 10 = 54, 4  49  5, 4 = 9 54, 4 − 5, 4 = 49

Tants 9 com decimals.

2, 536 ⋅100 = 253,6   2536,6 − 253,6 = 2283 2, 536 ⋅1000 = 2536,6 2283 2, 536 = Tants 9 com decimals periòdics i 900 tants 0 com decimals no periòdics. No es pot.

teix cap combinació: π = 3,14159…

Sistema de numeració sexagesimal

· 60 grau

· 3 600 · 60 minut

: 60

segon

: 60 : 3 600

· 60 hora

· 3 600 · 60 minut

: 60

segon

: 60 : 3 600

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Truncar

Les xifres a la dreta de cert ordre es fan zero o, si són decimals,

12,978 a les dècimes → 12,9

s’eliminen.

56 471 als milers → 56 000

Arrodonir

Un cop determinat l’ordre d’arrodoniment: • Si la xifra de l’ordre següent a la dreta és més petita que 5, es trunca. • Si la xifra de l’ordre següent a la dreta és més gran o igual a 5,

54,758 → 54,8 163 → 160

se suma 1 a la xifra anterior. Passar de forma

1. Per passar els minuts a graus (o hores) divideix-los per 60.

complexa a incomplexa

2. Per passar els segons a minuts, i aquest resultat a graus (o hores), divideix-los successivament per 60. 3. Suma totes les mesures en graus obtingudes.

Passar de forma incomplexa

1. Multiplica per 60 la part decimal dels graus (o hores); així obtindràs els minuts que representen.

a forma complexa

2. Multiplica per 60 la part decimal dels minuts; així obtindràs els segons.

40 ■■

Els nombres decimals

 Ordena de més petit a més gran els nombres deci-

mals següents mitjançant el signe <:

35 ■ Indica quins dels nombres següents són enters:

53,456

a) 4,00 e) 3,01 24 2 f) b) 5 5 70 240 g) c) 14 30

52,995

36 ■ Classifica els nombres següents en enters, decimals exactes, decimals periòdics purs, decimals periòdics mixtos o irracionals: a) 7π

e) 12,005555…

b) 3,14159 f)

53,461 17,839

53,5 57,030

41 ■■ Indica el signe adient (< o >):

h) π

d) 5,4

53,901 54,001

i) 3,333… j) 99,99

c) 3,2477777...

g) 25,2525

k) 7,333…

d) 191

h) 1,11…

l) π − 3,14

a) 4,728

4,691 c) 5,0658

5,05

b) 0,021

0,09

11,9916

d) 12,805

42 ■■ Indica en cada cas un nombre que compleixin: < 4, 74 a) decimal exacte: 4, 735 < b) decimal periòdic pur: 4, 735 < < 4, 74 c) decimal periòdic mixt: 4, 735 < < 4, 74

Conversió d’un nombre decimal en fracció

37 ■ Escriu: a) set mil·lèsimes b) vint-i-tres unitats noranta-set centèsimes

43 ■■ Escriu en forma de nombre decimal: 7 70 a) c) e) 5 6 5 12 d) f) b) 2 5

c) setze centèsimes d) quatre mil milionèsimes 38 ■■ Completa la taula següent:

16 4 24 5

44 ■■ Escriu en forma de fracció els nombres decimals següents:

part entera

part decimal

nombre

5 dècimes

1,5

73 centèsimes

4 mil·lèsimes

45 ■■ Escriu un nombre més gran que 7,359 i més petit que

103

251 milmilionèsimes

203

3 dècimes

8 centèsimes

a) 6,311 b) 2, 006

c) 6,232323…

e) 1,8888…

d) 0,007 f) 3,1416

7,361. 46 ■■ Escriu un nombre més petit que 101,00304 i més gran que 101,002953.

39 ■■ Representa a la recta dels nombres reals els decimals següents: a) 12,01

c) 12,1

e) 12,07

b) 11,99

d) 12,0165 f) 12,5

47 ■■ Escriu una fracció que: a) Correspongui a un nombre enter. b) Correspongui a un nombre decimal exacte. c) Correspongui a un nombre decimal periòdic pur. d) Correspongui a un nombre decimal periòdic mixt.

Operacions amb nombres decimals 48 ■■

 Suma:

a) 3,574 + 12,07

c) 34,65 + 12,79

b) 75,04 + 3,005

d) 99,67 + 4,07

 Resta:

49 ■■

a) 7,724 − 2,75

b) 54,5 − 22,439

Els decimals i el sistema sexagesimal

Activitats

Els decimals i el sistema sexagesimal

50 ■■

 Calcula:

 Divideix:

59 ■■■

a) 5,76 − 3,4 + 12,03 b) 512,6 + 30,61 − 152,3

a) 45 : 5,3

c) 19,304 : 0,7

b) 35,5 : 1,36

d) 1,156 : 5,3

c) 0,176 − 0,04 − 0,013

d) 12,57 − 3,07 − 9, 5

60 ■■■

b) 3(3,2 − 1,9) − (2,3 + 4,5)



51 ■

 Calcula:

a) 3,45 − (2,53 + 5,03)

e) 15,73 − 24,12 + 2

c) (1,2 + 2,9) · 2,5 − (1,4 − 3,5)

Calcula:

a) 3,6 · 10

d) −2,4 · 10

b) 52,26 ·100

e) 2,7034 · 100

d) 3,8 − (1,3 + 7,5) − (2,5 − 7,1)

c) 1,0706 · 1 000 f) −19,302503 · 104

61 ■ En pagar l’esmorzar, tres amics reben un canvi d’1,95 € en total. Quant correspon a cada un?

52 ■■

 Copia les multiplicacions i completa la taula: 62 ■■ En un concurs l’Emili ha quedat primer; la Laura, segona, x

1,5

0,5

2,75

3,41

0,1

i en Pau, tercer. Si el premi de cada un és el doble que l’anterior, i si l’Emili ha guanyat 21 €, quant han guanyat la Laura i en Pau?

−100

63 ■ En Quim ha comprat 3,5 kg de taronges, 1,3 kg de pomes, 0,8 kg de peres i 3,5 kg de meló. Quant pesa tota la fruita com-

−2,5

prada per en Quim?

7,5 64 ■■ La Berta i l’Elena són dues nenes que van a P4. La Berta

0,01

60 53 ■■

fa 1,12 m d’alçada, mentre que l’Elena fa 1,21 m. Quant fa més d’alçada l’Elena que la Berta?



Fes les divisions següents:

a) 25,5 : 2,5

d) 19,53 : 6,3

b) 13 : 2,6

e) 20,7 : 5,75

c) 12,65 : 5,06 f) 8,614 : 3,65 54 ■■   Fes les multiplicacions i divisions següents: a) 12,5 · 6,7

d) 5,73 · 2,83

b) 700,25 · 45,12

e) 9,361 · 5,034

c) 13,6708 · 1 000 f) 1350,78 : 100 55 ■■■   Multiplica: a) 0,345 · 0,03

c) 12,04 · 3,87

b) −0,035 · 0,106 d) 11,57(−3,951) 56 ■■   Divideix:

65 ■ La milla és una unitat de longitud que es fa servir als EUA

a) 5,69 : 10

c) 12,98 : 10 000

i al Regne Unit. Si un quilòmetre equival a 0,614 milles, quantes

b) 57,094 : 100

d) 0,07 : 1 000

milles corresponen a 5,5 quilòmetres?

57 ■■   Divideix:

66 ■ La iarda és una unitat de mesura de longituds que es fa ser-

a) 4,75 : 4

c) 12,24 : 3

vir als EUA i al Regne Unit. Si una iarda equival a 0,9144 metres,

b) 75,35 : 3

d) 573 : 24

quantes iardes mesura un arbre de 20,5 metres d’alçada?

 Completa:

58 ■■

a) 23,55 : b) 10 000 : c)

67 ■ Per fer unes vacances de 7 dies tens un pressupost de

= 2,355

142,45 €. Quant et pots gastar cada dia?

= 10

: 10 000 = 5,65377

d) 55400,351 :

= 5,5400351

68 ■ La Lluna s’allunya de la Terra 0,04 m cada any. Calcula quants metres s’ha allunyat en els darrers 13 anys.

69 ■■ Una tanca quadrada fa 3,75 m de costat.

80 ■■■ En fer un experiment repetides vegades, dos investi-

a) Calcula’n el perímetre.

gadors observen que la durada en microsegons d'un fenomen

b) Calcula’n l’àrea.

determinat és:

70 ■■■ Es calcula que l’edat de l’Univers és de 13,7 mil milions d’anys, i que la del sistema solar és de 4,5 mil milions d’anys.

Albert

2,23

2,05

1,95

2,25

2,10

Maria

1,93

2,15

2,07

2,15

2,17

Calcula quantes vegades és més vell l’Univers que el sistema solar

a) Calcula la mitjana de les mesures de tots dos investi-

(dóna el resultat en milers de milions d’anys, fins a les centèsimes).

gadors, arrodonint fins a les centèsimes de microsegon. b) Tenint en compte que un microsegon és la milionèsima part d'un segon, escriu els resultats en segons en notació

Aproximació de nombres

científica.

71 ■■ Trunca les quantitats següents:

crosegons, quin dels dos ha obtingut un resultat més bo?

c) Si el resultat esperat és que el fenomen trigui 2,10 mi-

a) 45,793 fins a les desenes. b) 134,09629 fins a les mil·lèsimes.

81 ■■■ Es calcula que el protó té una massa 1 800 vegades

c) 13 700 fins a les unitats de miler.

més gran que la de l'electró. Si el protó pesa 1,673 · 10−27 kg,

d) 58 102 894 fins a les unitats de milió.

quina és la massa de l'electró? Dóna el resultat en notació científica i arrodoneix fins a les centèsimes.

72 ■ Trunca fins a les centenes: a) 25 945

b) 2 090

c) 3 141

d) 200

El sistema de numeració sexagesimal

73 ■■ Arrodoneix fins a les unitats de miler: a) 105 769

b) 40 105

c) 54 399

Els decimals i el sistema sexagesimal

Activitats

d) 25 956

82 ■■ Escriu en segons les quantitats de temps següents:

74 ■■ Arrodoneix les quantitats següents:

a) 5 h

d) 3,5 h

b) 45 min

e) 1 h 15 min 40 s

c) 3 h 30 min f) 24 h 49 min 55 s

a) 31,0653 fins a les desenes. b) 75,075075 fins a les mil·lèsimes.

c) 4 500 fins a les unitats de miler.

83 ■■ Calcula quants graus hi ha en:

d) 45 936 029 854 fins a les desenes de milió.

a) 2 voltes. b) 15 voltes.

75 ■■ Arrodoneix fins a les centenes i calcula l’error comès: a) 5 730

c) 5 507

b) 12 500

d) 798 f) 123 791

e) 830

84 ■  Quants segons hi ha en 1 volta? 85 ■■ Quantes voltes són 270º, 80’ i 600”?

76 ■■ Arrodoneix 3:

86 ■■ Calcula:

a) Fins a les dècimes. b) Fins a les centèsimes.

a) A quantes voltes són 500º?

c) Fins a les mil·lèsimes.

b) Quantes hores són 480 minuts? c) Quantes hores són 25 200 s?

77 ■ Calcula l’error absolut que es comet en l’exercici anterior.

d) Quants minuts d’arc hi ha en tres quarts de volta? e) Quants graus té un angle de 180º?

78 ■■ En astronomia, com que les distàncies són molt grans, es

f) Quants segons d’arc té un quart de volta?

fa servir com a unitat de mesura l’any llum, que és la distància

g) Quants graus recorre la busca dels minuts d’un rellot-

que recorre la llum en un any (9,46 · 10 km). L’estrella més pro-

ge en un quart d’hora?

pera al Sol és Alfa Centauri, que és a 4,2 anys llum. Si s’arrodo-

h) Quants graus recorre la busca horària d’un rellotge en

neix aquesta distància a 4 · 10 km, calcula quin error es comet.

trenta minuts?

79 ■■ La velocitat del so a 20 ºC és de 1 234,8 km/h. Indica fins

87 ■■ En un rellotge de busques, la busca dels minuts fa una

a on es pot arrodonir si no es vol cometre un error superior a:

volta cada hora:

a) 2 km/h

c) 10 km/h

a) Quants graus recorre en un minut?

b) 5 km/h

d) 35 km/h

b) Quants graus recorre la busca dels segons en 30 s?

Els decimals i el sistema sexagesimal 62

88 ■■ El pèndol d’un rellotge de

96 ■■ Digues quants segons són en total 0,15’; 0,35’ i 1,75’.

paret recorre 20º cada tic-tac. Cal97 ■■ Digues quants minuts són en total 0,5 h, 0,85 h i 2,15 h.

cula quants tic-tac ha de fer per recórrer 360º.

98 ■■ Cada tic-tac d’un rellotge de paret dura 3,5 segons.

20º

Quant de temps haurà passat quan hagi fet 20 000 tic-tacs? Expressa el resultat en forma complexa i en forma incomplexa. tic

tac

99 ■■ En Marc mira primer els peus de la Mireia i després el seu cap. Per fer això, ha mogut el cap un angle de 28,4º. Quants

89 ■■■ Una roda gira a raó de 200 voltes per minut, mentre

minuts ha mogut el cap?

que una altra avança 30º cada segon. Quina gira més ràpid? 90 ■■■ La roda d’un parc d’atraccions té 20 cistelles. a) Vist des del centre, quin angle forma una cistella amb

28,4º

la següent? b) Si, en pujar la Marta i les seves amigues, la seva cistella gira 1 494º, quantes voltes senceres ha fet? c) Si, en pujar en Pep i els seus amics, la seva cistella gira 1 044º, quantes voltes senceres ha fet?

100 ■■ Quan veus una pel·lícula 3D al cinema amb les ulleres

d) Quina cistella es trobarà més amunt, la de la Marta o

especials, s’està aprofitant que cada ull veu els objectes amb un

la d’en Pep?

angle diferent. El perquè d’aquesta diferència es troba en el fet que els nostres ulls estan separats uns 10 cm l’un de l’altre. Per

91 ■■■ Tenint en compte que els anys, 2000, 2004, 2008 i

comprovar-ho allarga el braç i aixeca el polze cap amunt: ara

2012 són anys de traspàs, calcula quants dies has viscut.

tanca l’ull dret i l’esquerre alternativament, tot mirant el polze, i veuràs que cada vegada veus una cosa lleugerament diferent. L’angle que formen els dos ulls, vist des del polze, és la meitat

Expressió complexa i incomplexa del sistema sexagesimal

de 9,462º. Quants graus, minuts i segons d’arc val aquest angle?

92 ■ Indica quins dels angles següents estan escrits en forma

Operacions amb el sistema sexagesimal

complexa i quins ho estan en forma incomplexa: a) 350,5º

c) 45º 19’ 28”

b) 300º 12’

d) 31º 37’ 8,4” f) 45,1928º

e) 31,619º

 Passa les mesures següents a forma complexa:

93 ■■

a) 45,5’

c) 75,5º

e) 3,125 h

b) 301,25º

d) 2,75 h f) 25,75 h

 Passa les mesures següents a forma incomplexa:

101 ■■   Suma: a) 34’ + 57’ b) 20” + 61’ c) 21º 40’ + 3º 14’ d) 31º 51’ + 14º 31’ e) 5 h 31min 33 s + 7 h 18 min 31 s f) 31º 51’ 41” + 51º 35’ 27”

94 ■■

a) 43 h 50 min 30 s

d) 75º 45’ 45”

b) 250º 50’ 35”

e) 1 h 10 min 10 s

c) 3 h 10 min 05 s f) 100º 50’ 12”

102 ■■   Suma: a) 22º 30’ 25’’ + 30º 50’ 15’’ b) 100º 40’ 30’’ + 10º 35’ 29’’ c) 20º 35’ 20’’ + 35º 45’ 55’’

95 ■■   Passa, amb la calculadora:

d) 3º 58’ 15’’ + 5’ 12’’

a) 15,25º a forma complexa. b) 2 h 15 min 35 s a forma incomplexa.

103 ■■   Resta:

c) 25,75º a forma complexa.

a) 1’ 3” − 27’ 1”

d) 43º 25’ 30” a forma incomplexa.

b) 22’ 46” − 8’ 21”

e) 720,73º a forma complexa, tenint en compte que

c) 2 h 20 min 55 s − 1 h 10 min 05 s

360º és una volta.

d) 19 h 13 min − 15 h 28 min 11s

104 ■■ Ordena de més petit a més gran mitjançant el símbol <:

112 ■■   Calcula:

a) 3 h 45 min 50s c) 3 h 65 min

a) 15º 35’ 12” : 4 d) 2º 41’ 35” : 3

b) 3,56 h

b) 23º 45’ 25” · 5 e) 853º 35’ 21” : 2

d) 240 min

c) 31º 51’ 50” · 7 f) 1 073º 15’ 15” · 3 105 ■■■ El rellotge de cert satèl·lit de comunicacions s’avança 38 microsegons cada dia, respecte el rellotge de l’estació terres-

113 ■■■ Un tren fa quatre vegades diàries un trajecte d’1 h

tre que fa el seguiment.

30 min 35 s.

a) Si no es tingués en compte això i no es corregís, quina

a) Quant de temps ha estat viatjant en un dia?

diferència portarien al cap d’un any?

b) Si no tens en compte els segons, quin error es comet?

b) Quant de temps haurà de passar per portin 1 segon de diferència?

114 ■■■ Un altre tren està en funcionament 12 hores 50 mi-

c) Un espia vol aprofitar aquest retard en les comunicaci-

nuts i 10 segons al llarg del dia. Si també ha fet quatre trajectes

ons per enviar un missatge xifrat amb un senyal de llum.

iguals, quant de temps ha dedicat a cada trajecte?

Si la llum recorre 3 · 108 metres per segon, quina distancia haurà recorregut en el temps que duren els retards

115 ■■■ A l’hora de fer un examen, el professor ofereix als

dels apartats anteriors?

alumnes 3 600 segons per fer-lo. Però els alumnes, que consideren que és poc temps, en demanen més. El professor, els deixa

106 ■■ En una cursa, la Júlia ha fet un temps d’1 h 45 min 30 s,

triar entre 3 600 segons, la quarta part de 180 minuts o el doble

mentre que l’Albert ha fet un temps de 6 400 segons. Qui ha

del terç de cinc quarts d’hora.

estat el més ràpid?

Quina opció és la més avantatjosa per als alumnes?

107 ■■ El professor de matemàtiques ha fet una classe de 55

116 ■■■ La Raquel va parlar per telèfon el mes passat 7 h

minuts, mentre que la professora d’història l’ha fet de 3 500 se-

20 min 53 s. Si per les primeres 5 hores ha de pagar 0,03 €/min

gons. Quina classe ha estat més llarga?

i, a partir de llavors, 0,02 €/min, de quant serà la factura?

108 ■■ En un partit de futbol l’equip dels Tigres ha marcat un

117 ■■■ Si el Sol es troba a 15 · 1010 m de la Terra, i la llum

gol quan s’havien jugat 35,7 min. L’equip dels Lleons ho ha fet

viatja a 3 · 108 m/s, quant de temps tarda la llum a arribar del Sol

quan s’havien jugat 0,45 h, i després quan se n’havien jugat 0,73.

a la Terra? Expressa el resultat en hores, minuts i segons.

Calcula en quin ordre s’han marcat els gols. 118 ■■■ Si la llum que ve de la galàxia d’Andròmeda tarda 109 ■■ Indica si són veritables o falses les igualtats següents:

2,56 · 106 anys a arribar a la Terra, a quants km es troba Andròmeda?

a) 357” = 6’ b) 657,25º = 657º 20’ 10” c) 36,978º = 36º 58’ 40,8”

119 ■■■ L’any solar té una duració de 365 dies 6 h 9 min 9,76

d) 25º 9’ 50” = 25,15º

s. Si l’any del calendari té 365 dies justos:

e) 61º 25’ 36” = 61,4267º

a) Quina és la diferència?

f) 4 860 s = 1 h 35 min

b) Quin error es comet? c) Multiplica aquest error per quatre anys. A quants dies

110 ■■ En una competició de fórmula 1, el primer classificat ha

correspon?

fet un temps d’1 h 15 min 23 s. El segon ha tardat 35 s més, i el tercer, 1 min 05 s més. Quin temps han fet el segon i el tercer en

120 ■■■ A les pel·lícules, quan un carro avança, a vegades

acabar la competició?

sembla que les rodes girin en sentit contrari. Aquest efecte es degut a que els films es projecten a 25 imatges per segon. A

111 ■■ Mesurant angles entre estrelles, en Josep ha obtingut

aquesta velocitat, el cervell percep les imatges sense salts.

un angle de 3’ 12”; però el seu company li fa veure que s’ha

a) Calcula durant quant de temps estem veient cada una

equivocat, i que l’angle correcte és una quarta part del que ha

de les 25 imatges o fotogrames.

mesurat. Calcula quant fa l’angle correcte.

b) Si les rodes d’un carro giren a una velocitat de 25 vol-

Terra

alfa

tes per segon, quina fracció de volta hauran girat entre una imatge i la següent? A quin angle correspon? Quina

3’ 12’’

percepció tindrem: que les roden giren cap endavant, cap beta

endarrere o que no giren?

Els decimals i el sistema sexagesimal

Activitats

Els decimals i el sistema sexagesimal

Repte 121 ■■■ Cadascuna de les fraccions següents equival a un 1 1 1 1 1 1 , , i . decimal periòdic: , , 7 9 11 13 17 19 Calcula’ls i troba, en cada cas, el valor de la xifra que ocupa la posició un milió després de la coma. Una calculadora de

123 ■■■ Sembla que els antics sumeris operaven amb el sistema sexagesimal. Suposant un sistema numèric amb 60 xifres, troba quantes operacions caldria memoritzar per aprendre les taules de multiplicar.

butxaca no mostra prou xifres per a les dues darreres fraccions. Fes servir la calculadora que acompanya el sistema operatiu de

124 ■■■ La massa de la Terra és 5,97 quadrilions (un bilió de

l’ordinador o algun programa de càlcul que proporcioni més

bilions) de quilograms. Calcula l’error absolut i relatiu que es

de 30 xifres).

comet si l’aproximem a 6 quadrilions de quilograms. Troba la massa de la Lluna i compara-la amb l’error absolut.

122 ■■■ Visualitza mentalment el moviment de les busques d’un rellotge. A les 12.00 h coincideixen totes dues.

Pots fer-te una idea de les mides respectives entre la Terra i la Lluna observant aquesta imatge.

a) Fins que tornin a trobar-se 12 hores després, quantes vegades coincidiran? Intenta resoldre-ho imaginant-ne el moviment i també matemàticament. b) Calcula en quins moments es produiran les coincidències. Un cop calculat ho pots comprovar mecànicament fent avançar les busques amb el dispositiu que permet ajustar l’hora. c) Calcula, per a cada coincidència, l’angle que fan les busques respecte de la seva posició a les 12.00. En aquest càlcul considera que la marca de les 3.00 és a

90º, i la de les 9.00, a 270º.

Autoavaluació Sé distingir els diferents tipus de nombres decimals? 1. Classifica els nombres següents en decimals exactes, decimals periòdics purs, decimals periòdics mixtos o irracionals:

Sé fer operacions amb decimals? 4. Efectua les operacions següents: a) 34,56 + 67,12

a) 3,14159

e) 5,98333…

b) 12,71 − 11,93

b) 3,5555…

f) 0,0777…

c) 103,71 + 34,6 + 3,83 + 1,71

c) 3π

g) 1,666…

d) 56,8 − 23,067

d) 3,2349

h) 8

e) 12,5 · 100 f) 3,5 · 5,71

Sé passar un nombre decimal a fracció?

2. Escriu en forma de fracció els nombres decimals següents: a) 7, 458 b) 3027,3 c) 101,67 d) 23, 9523

g) 10,57 : 3,1 h) 7,34 : 0,51 Sé aproximar nombres? 5. Un topògraf mesura l’alçada d’un turó en 312,7 m. a) Aproxima aquesta dada a les desenes. b) Aproxima aquesta dada a les unitats.

Sé comparar nombres decimals?

c) Indica quin error es comet en cada cas.

3. Ordena de més petit a més gran els nombres decimals següents mitjançant el símbol <: 5,555; 5,60; 5,549; 5, 5 i 5,538.

Sé passar de forma complexa a forma incomplexa? 6. Si l’Enric resol un exercici de matemàtiques en 3 min 15,5 s, i la Berta ho fa en 190,5 s, qui el resol abans?

La botiga de llaminadures En Xavier té una botiga de llaminadures. Cada mes fa una comanda a la fàbrica de tot allò que necessita. Les llaminadures s’han de demanar per paquets. Depenent del tipus de llaminadura, cada paquet conté un nombre d’unitats diferent. Aquesta és la taula de preus: preu per

nombre d’unitats

paquet (€)

per paquet

piruletes

3,90

200

síndries farcides

5,30

250

xiclets

5,50

300

gominoles

3,90

170

caramels durs

5,90

600

caramels tous

3,70

500

móres

2,45

130

núvols

4,90

concepte

1. En Xavier necessita com a mínim 500 piruletes, 1 000 xiclets i 400 móres. Indica quants paquets de cadascuna d’aquestes llaminadures ha de demanar. a) 3 de piruletes, 3 de xiclets, 4 de móres. b) 4 de piruletes, 4 de xiclets, 3 de móres. c) 4 de piruletes, 3 de xiclets, 4 de móres. d) 3 de piruletes, 4 de xiclets, 4 de móres. 2. En Xavier ha demanat 3 paquets de síndries farcides, 5 de gominoles, 2 de caramels durs, 4 de caramels tous i 5 de núvols. Calcula quant li costarà la comanda i indica’n les operacions. 3. En Xavier ha comprat un paquet de 200 piruletes. Quan li costa cada piruleta? Si les ven a 5 cèntims la unitat, quan guanya amb cada piruleta? 4. En Xavier ven les síndries farcides i els xiclets a 5 cèntims també. Ahir, per a una festa, va vendre 125 síndries, i avui, per a una altra festa, ha venut 100 xiclets. Amb quina de les dues comandes ha guanyat més diners? Raona la resposta. 5. En Xavier, dilluns va vendre tots els núvols d’un paquet. Si va vendre cada núvol a 50 cèntims, quants diners ha guanyat? El dimarts, quan obria un paquet de núvols, li van cauen quatre a terra i els ha de llençar. A quan haurà de vendre cada núvol dels que li queden al paquet para tenir els mateixos beneficis que el dilluns? Raona la resposta. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Els decimals i el sistema sexagesimal

Competències que sumen

Unitat

Potències i arrels Dir molt amb molt poc

Els diagrames de barres són el sistema més usat per codificar la identitat d’un producte, i que aquesta pugui ser descodificada després amb un lector làser. Es tracta d’una codificació unidimensional basada en els diferents gruixos de les barres que la componen.

Actualment també s’utilitzen codificacions bidimensionals com el codi QR (de l’anglès Quick Response). Són quadrats formats per una quadrícula de cel·les blanques i negres. Aquesta codificació té una traducció en bytes i és semblant a una de lineal amb 0 i 1, només que el 0 i l’1 s’han substituït per una cel·la diminuta blanca o negra respectivament. Actualment moltes etiquetes de productes força diversos (i també pàgines web, anuncis…) porten impresa una codificació QR que es pot llegir instantàniament mitjançant, per exemple, alguns telèfons mòbils. Un únic quadrat dóna lloc a 2 codificacions possibles: blanc o negre. Si els costats d’un quadrat es divideixen en dues parts per quadricular-lo en quatre cel·les, tenim setze possibilitats, que són les que es mostren a la figura del final. El nombre de possibilitats creix molt ràpidament perquè cadascuna de les dues possibilitats (blanc o negre) de cada cel·la de la retícula es combina amb dues possibilitats de cadascuna de totes les altres. Això fa que el nombre de possibilitats s’obtingui multiplicant 2 per 2 tants cops com cel·les hi hagi a la retícula. En el cas d’una cel·la única, com en el quadrat, en són només 2. En el cas de quatre cel·les, les produïdes per la divisió dels costats en dues parts, són: 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16 I així successivament. Un aspecte molt valuós d’un sistema de codificació és la capacitat que tingui per emmagatzemar molta

informació en poc espai. Cadascun dels costats del quadrat de la imatge inferior s’ha dividit en 57 parts per formar una quadrícula de 57 · 57 = 572 = 3 249 cel·les. Tenint en compte que cadascuna d’aquestes cel·les pot ser blanca o negra, tenim dues possibilitats de pigmentació per a cadascuna. La quantitat de codificacions diferents que es poden crear prové de la totalitat de combinacions de les 3 249 cel·les pintades de blanc o de negre. Això significa multiplicar 2 per 2 tres mil dues-centes quaranta-nou vegades. Una potència en la qual la base és 2 i l’exponent és 3 249: 2 57 2( ) = 23 249 = 1, 11⋅ 10978

Aquest és un nombre extraordinàriament gran. Té 979 xifres i escriure’l sencer en aquest text ocuparia força espai. S’ha de tenir present que el nombre d’àtoms que conté l’Univers conegut en l’actualitat no passa dels 10300. Per tant, en un espai molt reduït com és el de l’etiquetatge, es pot codificar moltíssima informació.

Analitza i resol 1. Troba quantes línies ocupa un nombre de 979 xifres escrit en un text redactat amb tipografia Times New Roman de 12 punts. 2. Si es divideixen els costats d’un quadrat en tres parts iguals, quantes cel·les tindrà la quadrícula resultant? Quants missatges diferents permetrà codificar? 3. Si, en lloc d’aplicar la divisió anterior a un quadrat, s’aplica a un triangle equilàter, s’obtindran els mateixos resultats? 4. En un segment s’assenyala el seu punt mitjà. En cadascuna de les dues meitats es marquen també els seus punts mitjans. El procés es repeteix vuit cops. Quants punts quedaran marcats en el segment? 5. Si el segment de l’activitat anterior fa 1 m, per quina distància estan separats els punts marcats? 6. En els tornejos de tennis les eliminatòries es decideixen de forma simple. Qui guanya passa de ronda, qui perd queda eliminat de la competició. Si un torneig es juga començant pels setzens de final: a) Quants jugadors participen en la competició? b) Quants partits s’hauran jugat en tot el torneig un cop s’hagi acabat? c) Quants partits haurà disputat el guanyador? 7. Per què creus que no es juguen competicions amb la norma que els jugadors o els equips que empatin un partit queden tots dos eliminats?

Índex

Competències bàsiques

1. Les potències

Matemàtica. Aplicació dels procediments d’obtenció de potències i arrels. Comunicativa lingüística i audiovisual. Expressió i escriptura dels procediments de càlcul amb potències i arrels. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Coneixement i la interacció amb el món físic. Aplicació dels procediments de càlcul en una situació de l’entorn físic.

2. Operacions amb potències 3. La notació científica 4. L’arrel quadrada

PotĂ¨ncies i arrels

Les potĂ¨ncies 1.1 Alerta

Si lâ&#x20AC;&#x2122;exponent ĂŠs parell, no ĂŠs el mateix

(â&#x2C6;&#x2019;2)2 que â&#x2C6;&#x2019;(2)2. Fi-

xaâ&#x20AC;&#x2122;t que:

(â&#x2C6;&#x2019;2)2 = (â&#x2C6;&#x2019;2) Âˇ (â&#x2C6;&#x2019;2) = 4 2 â&#x2C6;&#x2019;(2) = â&#x2C6;&#x2019;(2 Âˇ 2) = â&#x2C6;&#x2019;4 En canvi, si lâ&#x20AC;&#x2122;exponent ĂŠs se-

PotĂ¨ncia de nombres enters

La potenciaciĂł de nombres enters ĂŠs una multiplicaciĂł en quĂ¨ tots els factors sĂłn iguals. Es representa amb una base, que indica el factor que es multiplica, i un exponent, que indica quantes vegades sâ&#x20AC;&#x2122;ha de multiplicar la base.

n vegades

a a a a= a

exponent

base

Com que una potenciaciĂł ĂŠs una multiplicaciĂł iterada, si la base ĂŠs negativa cal tenir en compte les regles dels signes de la multiplicaciĂł:

nar, sĂ.Â Fixaâ&#x20AC;&#x2122;t que:

base

(â&#x2C6;&#x2019;2)3 = (â&#x2C6;&#x2019;2) Âˇ (â&#x2C6;&#x2019;2) Âˇ (â&#x2C6;&#x2019;2) = â&#x2C6;&#x2019;8 3 â&#x2C6;&#x2019;(2) = â&#x2C6;&#x2019;(2 Âˇ 2 Âˇ 2) = â&#x2C6;&#x2019;8

exponent parell

positiva

positiu

negativa

positiu

exponent senar

(+2) â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż+22 (â&#x2C6;&#x2019;2)2â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż+22 2

positiu negatiu

(+2)3â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż+23 (â&#x2C6;&#x2019;2)3â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Żâ&#x2C6;&#x2019;23

Exemples 1. Tres elevat a cinc ĂŠs 35â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż3 Âˇ 3 Âˇ 3 Âˇ 3 Âˇ 3â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż243. La base ĂŠs 3, lâ&#x20AC;&#x2122;exponent 5 i la potĂ¨ncia 243. TambĂŠ es pot llegir ÂŤtres elevat a la cinquena potĂ¨nciaÂť. 2. Fixaâ&#x20AC;&#x2122;t en les potĂ¨ncies segĂźents: Base negativa, exponent parell:

Amb la calculadora

(â&#x2C6;&#x2019;) â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;) = + (â&#x2C6;&#x2019;) â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;) = + â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2039;&#x2026; â&#x2C6;&#x2019; 2 ( ) ( ) ( ) ( ) â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;2) = +24 4

resultat positiu.

Base negativa, exponent senar:

Per calcular potĂ¨ncies amb una

(â&#x2C6;&#x2019;) â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;) = + (â&#x2C6;&#x2019;) â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;) = + (â&#x2C6;&#x2019;) (â&#x2C6;&#x2019;3) = (â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2039;&#x2026;(â&#x2C6;&#x2019;3) = â&#x2C6;&#x2019;35

calculadora que no sigui cien-

tĂfica es fan servir les tecles

resultat negatiu.

i = 32

3 â&#x20AC;&#x2030;

â&#x20AC;&#x2030;

â&#x20AC;&#x2030;= â&#x20AC;&#x2030;9

3 â&#x20AC;&#x2030;

â&#x20AC;&#x2030;

â&#x20AC;&#x2030; = â&#x20AC;&#x2030; = â&#x20AC;&#x2030; 27

3 â&#x20AC;&#x2030;

â&#x20AC;&#x2030;

â&#x20AC;&#x2030;= â&#x20AC;&#x2030;= â&#x20AC;&#x2030;= â&#x20AC;&#x2030;

81 Altres calculadores tenen les te-

1.2

Les potĂ¨ncies dâ&#x20AC;&#x2122;Ăşs mĂŠs quotidiĂ sĂłn el quadrat (elevar a 2) i el cub (elevar a 3). SĂłn dâ&#x20AC;&#x2122;especial utilitat per mesurar Ă rees i volums, respectivament.

cles x2, x3 i xy. 22 23 25

PotĂ¨ncia quadrada i potĂ¨ncia cĂşbica

Exemple

2 â&#x20AC;&#x2030; x 2 â&#x20AC;&#x2030; â&#x20AC;&#x2030;= â&#x20AC;&#x2030; 4 2 â&#x20AC;&#x2030; x 3 â&#x20AC;&#x2030; â&#x20AC;&#x2030;= â&#x20AC;&#x2030; 8

3. Un bloc cĂşbic fa 3 m de llarg, per 3 m dâ&#x20AC;&#x2122;ample, per 3 m dâ&#x20AC;&#x2122;alt.

2 â&#x20AC;&#x2030; x y â&#x20AC;&#x2030; 5 â&#x20AC;&#x2030; â&#x20AC;&#x2030;= â&#x20AC;&#x2030; 32

La seva base tĂŠ una Ă rea de 32â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż3 Âˇ 3â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż9 m2, i un volum de 33â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż3 Âˇ 3 Âˇ 3â&#x20AC;Ż=â&#x20AC;Ż27 m2.

1.3

PotĂ¨ncies dâ&#x20AC;&#x2122;exponent negatiu

Una potĂ¨ncia dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre enter amb lâ&#x20AC;&#x2122;exponent negatiu ĂŠs igual a la unitat dividida per la mateixa potĂ¨ncia, perĂ˛ amb lâ&#x20AC;&#x2122;exponent positiu. a â&#x2C6;&#x2019;n =

1 an

Exemple 4. Fixaâ&#x20AC;&#x2122;t en les equivalĂ¨ncies segĂźents: 2â&#x2C6;&#x2019;2 =

1 1 = = 0, 25 22 4

2â&#x2C6;&#x2019;3 =

1 1 = = 0, 125 23 8

1.4

Potències en base 1 i 0

Les potències en què la base és la unitat (1) o el zero (0) tenen la particularitat que els seus valors són iguals: 1n = 1 · 1 · … · 1 · 1 = 1

Recorda Per a qualsevol nombre real a:

0n = 0 · 0 · … · 0 · 0 = 0

a0 = 1

Si la base, però, és (−1) s’ha de tenir en compte el criteri dels signes:

a1 = a

(−1)n parell = (−1) · (−1) · … · (−1) · (−1) = +1 (−1)n senar = (−1) · (−1) · … · (−1) · (−1) · (−1) = −1

Les potències en base 1 i 0 sempre són iguals. 1n = 1

Exemple

0n = 0

5. Fixa’t en les potències en base 1 i 0 següents: 11 = 1

12 = 1 · 1 = 1

17 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

(−1)1 = −1 (−1)2 = (−1) · (−1) = +1 (−1)3 = (−1) · (−1) · (−1) = −1 01 = 0

02 = 0 · 0 = 0

1.5

Potències en base 10

Una potència en base 10 (10n) és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent n. 101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

…

Exemple 6. Expressa en potències de base 10 els nombres 10 000, 5 000 i 3 500 000: 10 000 = 104 5 000 = 5 · 103 3 500 000 · 35 · 105

Aplica

4 ■■ Indica quines de les igualtats següents són certes i quines són falses: a) (−4)  = −43 3

1 ■ Completa la taula següent amb les potències adients: potència

b) (−15)  = −157 7

resultat numèric

d) (+7)  = −713 13

e) (+3)  = 36 6

base

exponent

−1

−2

a) 25 000 000

c) 50 000

−7

b) 7 800 000

d) 7 300

b) (−5) 2

d) (+5)

a) Es calcula que a la Terra hi ha uns set mil milions de

g) (−2)

e) (−30)

h) (+6)

b) (−1)

−3

c) (−1)

d) (1)

persones. b) La distància de la Terra a la Lluna és d’uns tres-cents

i) −(2)

vuitanta mil quilòmetres.

e) (0)

quatre mil cinc-cents milions d’anys.

−4

e) En un litre d’aigua de mar hi ha mil milions de bacteris.

c) La torre Eiffel fa una alçada de tres-cents metres. d) Es calcula que el sistema solar es va formar fa uns

3 ■■ Indica el resultat de les potències següents: 8

6 ■■ Escriu en forma de potència de 10:

c) (+1) f) (−1)

a) (−1)

5 ■■ Escriu en forma de potència de 10:

2 ■ Indica el signe del resultat de les potències següents: a) (−3)

c) (−11)  = +118 f) (−5)  = −54

(1)

Potències i arrels

Operacions amb potències 2.1 Recorda

En els nombres elevats a 1, no s’acostuma a indicar l’exponent: a1 = a Cal tenir-ho en compte a l’hora de fer les operacions: 2 · 22 = 2(−1 + 2) = 23

Operacions amb potències de la mateixa base

Per multiplicar, dividir o elevar potències amb la mateixa base, tant positiva com negativa, cal seguir els criteris següents: Multiplicació. Es deixa la mateixa base i se sumen els exponents: an · am = a(n + m).

32 · 35 · 3−3 · 3 = 3(2 + 5 − 3 + 1) = 35

Divisió. Es deixa la mateixa base i es resten els exponents: an : am = a(n − m).

28 ⋅ 2−3 = 28 ⋅ 2−3 ⋅ 22 ⋅ 2−4 = 23 2−2 ⋅ 24

Potenciació. Es multipliquen els exponents: m (an ) = an⋅m .

(7−2)6 = 7(-2 · 6) = 7-12

2.2

Potència d’un producte i d’una divisió

Quan un exponent afecta un parèntesi que conté un producte o una divisió de nombres, aleshores aquest exponent afecta cadascun dels termes del producte o divisió: n n  a    = a (a · b)n = an · bn   b  bn Exemple

7. Fixa’t en les equivalències següents: 5

 3 ⋅ 7  35 ⋅ 75 divisió:   = = 35 ⋅ 75 ⋅ 5−5.  5  55

producte: (2 · 3 · 5)  = 26 · 36 · 56. 6

2.3

Potències amb exponent fraccionari

En cas que l’exponent d’una potència sigui un nombre fraccionari es treballa igual que amb els exponents enters. Exemple −2

−6

8. Fixa’t com es multipliquen les potències 32 ⋅ 3 3 ⋅ 3 5 ⋅ 33 : Per multiplicar les potències se sumen els exponents: 3  2   6  4 45 20 36 40 45 − 20 − 36 + 40 29 − + −  + −  + = − + = = 2  3   5  3 30 30 30 30 30 30 La suma dels exponents és 29 , aleshores: 30 3

−2

−6

32 ⋅ 3 3 ⋅ 3 5 ⋅ 33 = 330

Aplica

8 ■■ Fes les operacions següents, deixant el resultat com a potències de nombres primers:

7 ■■ Efectua les operacions següents: a) 35 · 34 · 3 · 3−1 b)

33 ⋅37 ⋅3−2 32 ⋅3−6

c) 22 · 2−3 · 2−3 · 2−3 · 26 · 20 d) (54 · 55)2

a) 32 · 65 · 24 · 143 d) 125 · 25−2 · 53 213 ⋅ 92 32 c) 9−2 · 215

93 32 f) 202 · 153 · 25−3

2.4

Simplificar la potència d’un nombre compost

Qualsevol nombre compost es pot expressar com a producte de nombres primers. Exemple 9. Reescriu (60 · 9) descomponent 60 i 9 en factors primers. 7

60 30 15 5 1

2 2 3 5

9 3 1

3 3

1. Es desenvolupa l’operació: 2 2 14 7 7 14 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 (2 · 3 · 5 · 3 )  = 2 · 3 · 5 · 3 → 9 = 32  2. S’agrupen els termes amb la mateixa base: 7

214 · 37 · 57 · 314 = 214 · 3(7 + 14) · 57 = 214 · 321 · 57

2.5

Operacions combinades amb potències

Per tal d’operar correctament amb productes, divisions i potències combinades de diverses potències, cal seguir els criteris següents:

Alerta Operar amb potències que tenen la mateixa base és molt

1. Descompondre les bases en factors primers, si n’hi ha que són compostes.

senzill, ja que dóna com a re-

2. Resoldre els parèntesis.

sultat una única potència.

3. Passar les potències del denominador al numerador, tot canviant el signe dels exponents.

Si no tenen tots la mateixa

4. Multiplicar totes les potències de la mateixa base, sumant els exponents amb el signe que tinguin.

deixar indicat, encara que l’ex-

base, el resultat només es pot ponent sigui igual: La mateixa base, exponents

Exemple

diferents:

23 ⋅ 62 ⋅ 8−2 10. Fixa’t com se simplifica : 92 ⋅ 2−3 1. Com que 6, 8 i 9 no són nombres primers, cal descompondre’ls:

 52 ⋅ 5  510 ⋅ 55   = =  5  55

6 = 2 ⋅3

8 = 23 2

9=3

2 ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2

(3 ) 2

3. Es pugen els termes del denominador al numerador, canviant el signe dels seus exponents, i es multipliquen les potències amb la mateixa base:

= 510 ⋅ 55 ⋅ 5−5 = 510 Bases

diferents,

⋅ 2−3

)

−2

 3 ⋅ 7  35 ⋅ 75   = = 35 ⋅ 75 ⋅ 5−5  5  55

23 ⋅ 22 ⋅ 32 ⋅ 2−6 2−11 ⋅ 32 = 4 −3 34 ⋅ 2−3 3 ⋅2

2−1 ⋅ 32 2−4 −1 + 3) = 2−1 ⋅ 32 ⋅ 3−4 ⋅ 23 = 2( ⋅ 3( ) = 22 ⋅ 3−2 34 ⋅ 2−3

Aplica

11 ■■ Fes:

9 ■■ Reescriu les expressions següents descomponent els termes en factors primers: a) (4 · 10) 5

b) (10 · 12)

c) (4 · 30)

10 ■■■ Fes: −2 3 3 −1    3 2     a) (22 ⋅ 2) ⋅ 42   b) 2 ⋅4(2 ⋅ 2−2 ) ⋅ 82         

a) 45 · 34 · 6 · 2−1 b)

54 ⋅ 50 ⋅ 125 252 ⋅ 53

122 ⋅ 82 ⋅ 2−1 ⋅ 63 2−2 ⋅33 ⋅12−3 ⋅ 26 ⋅30 f) 2 23 ⋅ 23 ⋅ 64 ⋅ 8 43 (162 ⋅ 65 ) ⋅ 4−1

45 ⋅ 43 ⋅ 8−2 82 ⋅16 3 (52 ⋅ 53 ) d) 3 5 ⋅ 25

exponent

igual: 5

2. Es resolen els parèntesis:

−2

3 3 23 ⋅ 62 ⋅ 8−2 2 ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ (2 ) → = 2 92 ⋅ 2−3 (32 ) ⋅ 2−3

2  g) (22 ·25 )   

−2   h) (3 ⋅3−3 )   

Potències i arrels

La notació científica 3.1 Recorda

Per fer referència tant a nombres molt grans com a nombres molt petits, es fa servir la notació científica. Aquesta notació treballa amb les potències de 10.

coeficient

Els nombres en notació científica s’expressen com el producte d’un nombre real, el coeficient a, per una potència de 10. Aquest coeficient ha de ser igual o més gran que 1 i més petit que 10 (1 ≤ a < 10).

a · 10

Expressió científica de nombres molt grans

potència de 10

Per escriure un nombre molt gran en notació científica es desplaça la coma del nombre cap a l’esquerra fins que només quedi una xifra a l’esquerra d’aquesta. L’exponent de la base 10 és igual al nombre de posicions n que s’ha desplaçat la coma.

1 ≤ a <10

Exemple 11. Els dinosaures es van extingir fa uns seixanta milions d’anys (60 000 000 anys). És una xifra molt llarga i és més pràctic escriure-la en notació científica: La coma es desplaça 7 posicions cap a l’esquerra.

3.2

60 000 000 = 6 · 10 anys 7

El coeficient ha de ser igual o més gran que 1 i més petit que 10.

Expressió científica de nombres molt petits

Per referir-se a nombres molt petits també es fa servir la notació científica. En aquest cas, però, l’exponent és negatiu.

Per escriure un nombre molt petit en notació científica es desplaça la coma del nombre cap a la dreta fins que quedi una xifra diferent de zero a l’esquerra de la coma. L’exponent de la base 10 és igual al nombre de posicions que s’ha desplaçat la coma, però amb signe negatiu −n.

Alerta

Exemple

En notació científica correcta,

12. La massa d’una formiga comuna és de cinc deumil·lèsimes de gram (0,0005 g). Fixa’t com s’escriu en notació científica:

només pot quedar una xifra a l’esquerra de la coma i ha de ser igual o més gran que 1 i

La coma es desplaça 4 posicions cap a la dreta.

més petita que 10. incorrecte

correcte

25 · 10

2,5 · 10

73 · 10−2

7,3 · 10−3

0,99 · 107

9,9 · 106

0,2 · 10−3

2 · 10−2

0,0005 = 5 · 10−4 g

El coeficient ha de ser igual o més gran que 1 i més petit que 10.

Tingues present que, tot i que 0,5 · 10−3 és equivalent, no estaria escrit en notació científica. Fixa’t que, en desplaçar la coma cap a la dreta, el valor absolut de l’exponent es fa més gran.

3.3

Suma i resta de nombres en notació científica

Per sumar o restar nombres en notació científica cal que tots tinguin el mateix exponent i sumar els coeficients respectius. Exemples 13. Un infermer ha d’extreure’t dues mostres de sang de 2 · 10−2 cL i 6 · 10−2 cL. En total ha d’extreure (2 + 6) · 10−2 cL = 8 · 10−2 cL de sang. 14. Un joier fon en un gresol tres palletes d’or de 1,85 · 103 mg, 5 · 103 mg i 4,1 · 103 mg. En total ha obtingut (1,85 + 5 + 4,1) · 103 = 10,95 · 103 mg. Com que només pot quedar una xifra decimal són 10,95 · 103 = 1,095 · 104 mg d’or.

3.4

Producte i divisió de nombres en notació científica Amb la calculadora

• Producte. Es multipliquen els coeficients i se sumen els exponents. • Divisió. Es divideixen els coeficients i es resten els exponents

Per fer arrels que no siguin

Exemple

quadrades, amb la calculadora,

3 ⋅ 106 15. Fixa’t com s’obtenen (3 · 106) · (5 · 103) i : 5 ⋅ 103

1/ y es fa servir la tecla x .

En aquest cas x és el nombre 1. Es divideixen els coeficients.

1. Es multipliquen els coeficients.

 3  = 0, 6 3 ⋅ 10 →  5 → 3  (6−3) 5 ⋅ 10 3 = 10 10 3 → 0, 6 ⋅ 10 = 6 ⋅ 102

3 ⋅ 5 = 15  (3 · 106 ) ⋅(5 · 103 ) →  (6+3) 9 → = 10  10 9 10 → 15 ⋅ 10 = 1, 5 ⋅ 10

tecla

2. Se sumen els exponents.

En una reacció química feta per 5 grups d’estudiants, s’han obtingut 5 mostres. Dos grups han obtingut 2 · 10−3 g, i els altres, 0,0018 g, 1,5 · 10−3 g i 3 mg respectivament. Calcula la massa total. • Cal passar totes les mesures a la mateixa unitat, en aquest cas, a grams. La manera més fàcil és aplicar un factor de conversió: 1g 3 3 mg ⋅ = g = 0, 003 g 1000 mg 1000

2(2 · 10 ) + 1,8 · 10 + 1,5 · 10 + 3 · 10  = 4 · 10 + 1,8 · 10 + + 1,5 · 10−3 + 3 · 10−3 = (4 + 1,8 + 1,5 + 3) · 10−3 = 10,3 · 10−3 g −3

→

x : 5

1 μm = 10−6 m 1 mm = 10−3 m 1 cm = 10−2 m 1 dm = 10−1 m

1 km = 103 m

−3

En el cas del metre, per exemple:

• Es planteja l’operació i es resol atenent els criteris de prioritat: −3

x 1/ y

L’ús de la notació científica és especialment útil en els canvis d’unitat.

−3

Consells

• Cal expressar totes dades que no ho estiguin, en forma de potència i amb el mateix exponent: 0,0018 g = 1,8 · 10−3 g 0,003 g = 3 · 10−3 g −3

→

Algunes calculadores tenen la

2. Es resten els exponents.

Com aplicar-ho. Treballar amb magnituds donades en notació científica

del qual es vol calcular l’arrel, i y és el grau de l’arrel:

1 dam = 10 m 1 hm = 102 m

−3

• Només pot quedar una xifra a l’esquerra de la coma i ha de ser igual o més gran que 1 i més petita que 10: 10,3 · 10−3 g = 1,03 · 10−2 g

Vegeu els exercicis 15 pàg. 73 i 61 pàg. 81.

Aplica

Resol

12 ■■ Escriu en notació científica els nombres següents:

14 ■■ Escriu aquestes quantitats en notació científica:

a) 980 000 000

d) 310 000

a) L’edat de l’Univers és d’uns 13 700 milions d’anys.

b) 0,000006

e) 0,00063

b) La distància de la Terra al Sol és d’uns 150 milions de

c) 17 500 000 f) 0,000725 13 ■■ Escriu en la notació científica correcta els nombres següents: a) 34,5 · 103

e) 0,0037 · 10−5

quilòmetres. c) Un àngstrom (1 Å) és una deumilionèsima de mil·lí metre. 15 ■■■ Un farmacèutic està creant una fórmula magistral for-

b) 15,5 · 10−4 f) 0,5 · 10−7

mada per quatre components en les quantitats següents:

c) 55 · 10

g) 751 · 10

A: 1,05 mg, B: 3,08 · 10−3 g, C: 2 · 10−2 g i D: 1,76 · 10−3 g.

d) 21 · 108

h) 213 · 102

Troba la massa final de la mescla.

4 Potències i arrels

L’arrel quadrada 4.1

Concepte d’arrel quadrada

L’arrel quadrada d’un nombre és l’operació inversa a elevar-lo al quadrat. El nombre del qual es vol calcular l’arrel és el radicand. a2 = b ↔ b = a signe radical

arrel radicand

No existeix l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, ja que en multiplicar un nombre positiu per si mateix s’obté un nombre positiu, i en multiplicar un nombre negatiu per si mateix també s’obté un nombre positiu.

 32 = 9  → 9 = 3 2 −3 (−3) = 9

10 m

Exemples 16. Si 3 al quadrat és 9, l’arrel quadrada de 9 és 3.

100 m2

Però com que −3 al quadrat també és 9, l’arrel quadrada de 9 també pot ser −3. 17. En el cas d’un quadrat d’àrea 100 m2, com que 102 = 100, o bé 100 = 10, aleshores cada costat del quadrat fa 10 m.

4.2

Propietats de les arrels quadrades propietat

exemple

L’arrel quadrada d’un producte és el producte de les arrels quadrades de cada terme.

Alerta

a ⋅b = a ⋅ b

L’arrel quadrada d’un quocient és el quocient de les arrels quadrades de cada terme.

L’arrel quadrada d’una suma no és la suma de cada sumand:

a a = b b

L’arrel quadrada del quadrat d’un nombre o bé el quadrat de l’arrel quadrada d’un nombre és el mateix nombre.

a +b ≠ a + b

a 2 = a

( a)

Observa:

Exemple

9 + 4 = 13 = 3, 6055… 9 + 4 = 3+ 2 = 5

18. Fixa’t en les igualtats següents: Arrel quadrada d’un producte: 9 ⋅ 4 = 36 = 6 Arrel quadrada d’un quocient:

16 = 4=2 4

9 ⋅ 4 = 3⋅2 = 6 16

4 =2 2

4 Arrel quadrada del quadrat d’un nombre i quadrat de l’arrel quadrada: 42 = 16 = 4

( 4)

= 22 = 4

Aplica

Raona

16 ■■ Indica quines de les igualtats següents són veritables:

17 ■■■ És el mateix el quadrat del cub d’una quantitat que el

a) b)

7 ⋅3 = 21

 2  2  d)   =  3  3

7 = 36 6

2 ⋅3 ⋅ 5 ⋅7 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 5 2

cub del quadrat d’aquesta mateixa quantitat? 18 ■■■ És el mateix l’arrel cinquena del quadrat d’un nombre, que el quadrat de l’arrel cinquena?

4.3

Arrel quadrada perfecta

L’arrel quadrada d’un nombre enter pot ser un nombre natural o bé un nombre irracional. Quan l’arrel quadrada d’un nombre natural dóna un altre nombre natural es tracta d’una arrel quadrada perfecta i el radicand es diu quadrat perfecte. Exemple 19. Fixa’t en les arrels quadrades següents: 1 = 1∈

2 = 1, 414213562 … ∉

3 = 1, 7320508 … ∉

4 = 2 ∈

5 = 2, 2360679 … ∉

9 =3∈

4.4

Arrel quadrada entera

Quan l’arrel quadrada d’un nombre natural no dóna un altre nombre natural, sinó un nombre decimal, es tracta d’un decimal irracional, és a dir, té infinites xifres que no són periòdiques. • La part entera del resultat de l’arrel quadrada s’anomena arrel quadrada entera. • La diferència entre el radicand i el quadrat de l’arrel quadrada entera s’anomena residu.

residu = radicand − (arrel quadrada entera)

Exemples 20. Fixa’t que els quadrats de dos nombres consecutius com 5 i 6 són 52 = 25 i 62 = 36. Per tant: 25 = 5

25 quadrats (5 × 5)

36 = 6

Els nombres naturals entre 25 i 36 no tenen arrel quadrada perfecta: 28 = 5, 291502 …

30 = 5, 477225…

33 = 5, 744592 …

Com que la part entera d’aquestes arrels quadrades és 5, aquesta és l’arrel quadrada entera dels nombres 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 i 35.

36 quadrats (6 × 6)

Com que l’arrel quadrada entera de 30 és 5, llavors el residu és: residu = 30 − 52 = 5 21. Es pot construir un quadrat gran amb 25 quadrats petits, però no amb 26, o 27, o 30, o

21 quadrats no fan un quadrat

31, etc.

Aplica

Resol

19 ■ Troba els quadrats perfectes dels primers deu nombres

21 ■■ Calcula la superfície d’un terreny que fa 300 m d’ample

naturals.

per 300 m de llarg.

20 ■■ Calcula les arrels quadrades enteres i els residus dels

22 ■■ Calcula el perímetre del terreny de l’exercici anterior.

nombres següents: a) 30

d) 70

b) 40

e) 75

c) 50

f) 90

Raona 23 ■■ Es pot fer un quadrat gran amb 450 quadrats petits?

Tot són matemàtiques

1000 m

10 m 1m

100 m

10 km

POTÈNCIES DE 10 L’el·lipse representa l’òrbita lunar.

La banda blava delimita quatre dies de l’òrbita de la Terra al voltant del Sol.

És possible apreciar part de les òrbites de Venus (en verd) i Mart (en vermell).

10 000 000 km

1 000 000 km

És possible apreciar el Sol i les òrbites completes dels planetes interiors: Mercuri (gris), Venus, la Terra i Mart, i part de l’òrbita de Saturn (groc).

Som aproximadame a un any llum de la Terra. És possible apreciar les òrbites de tots els planetes del sistema solar.

1 000 000 000 km

100 000 000 km

10 000 000 000 km

ent

Potències i arrels

La Terra: «Un punt blau pàl·lid».

10 000 km

100 km 1000 km

100 000 km

Analitza i investiga 1. Visiona i comenta els vídeos següents que tracten sobre la grandària relativa dels objectes de l’Univers: Powers of ten: http://www.powersof10.com/film Cosmic Zoom: http://www.nfb.ca/film/cosmic_zoom El Sol és una estrella més.

És possible apreciar la perifèria de la Via Làctia, la nostra galàxia.

És possible veure tota la Via Làctia i algunes de les galàxies veïnes que formen el Cúmul Local.

Cosmic Voyage: http://youtu.be/qxXf7AJZ73A 2. Investiga la procedència de l’expressió «Un punt blau pàl·lid». 3. Significa el mateix un bilió als EUA que a Europa? En cas negatiu, indica quina diferència hi ha. 4. Formeu grups, amb ajuda del professor o professora, i dissenyeu amb els com-

1 000 000 anys llum

10 anys llum

panys un pòster gegant, o una presentació de diapositives, sobre la grandària relativa dels objectes de l’Univers, abas-

100 000 anys llum

tant la màxima forquilla de potències de 10 cap amunt (10n) i cap avall (10–n) que pugueu. Després presenteu-la a l’aula. Podeu agafar com a punt de referència la vostra ciutat a partir d’imatges del Google Maps (http://maps.google.es). En aquest cas, fixeu-vos en l’escala que surt a l’angle inferior dret de la pantalla.

Potències i arrels

Això és bàsic Base de nombre real.

arrel quadrada

Exponent de nombre enter.

a −n = n vegades

 a 2 = b  a   → b =  2   (−a) = b  −a

1 an

a = a a a ... a a quadrat: a2

Potència

cub: a3

arrel quadrada perfecta

arrel quadrada entera

(és un nombre enter)

(part entera de l’arrel quan aquesta és un nombre irracional)

49 = 7

 part entera → 7 55 → 7 < 55 < 8 →   residu → 55 − 72 → 6 Potenciació amb exponent positiu exponent parell

exponent senar

base positiva

positiu → (+2)  = + 22

positiu → (+2)  = +23

base negativa

positiu → (−2) = +22

negatiu → (−2)  = −23

Operacions amb potències multiplicació

78 amb la mateixa base

Es deixa la base i se sumen els exponents. 1. Les potències del denominador s’escriuen al numerador

divisió

i es canvia el signe de l’exponent. 2. S’opera com en les multiplicacions.

22 · 23 = 2(2 + 3) = 25 27 (7−3) = 27 ⋅ 2−3 = 2 = 24 23

Es multipliquen els exponents.

(23)4 = 23 · 4 = 212

potència d’un producte

L’exponent afecta cada un dels termes del producte.

(2 · 3)4 = 24 · 34

potència d’una divisió

L’exponent afecta cada un dels termes de la divisió.

potenciació

Potències en base 1, −1 i 0 → 1n = 1, (−1)

4  2    = 2 = 24 ⋅3−4  3  34

= +1, (−1)n senar = −1, 0n = 0.

n parell

Notació científica: a · 10b, en què 1 ≤ a < 10 i b ∈ → 3 750 000 = 3,75 · 106.

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Fer operacions combinades

1. Descompon les bases en factors primers, si n’hi ha que no ho són.

amb potències

2. Eleva cada un dels factors a l’exponent que li pertoca. 3. Passa les potències del denominador al numerador, i canvia el signe dels exponents. 4. Multiplica totes les potències de la mateixa base.

Escriure nombres molt

1. Desplaça la coma del nombre cap a l’esquerra fins que només quedi una xifra a l’esquerra de la

grans en notació científica

coma. 2. L’exponent és igual al nombre de posicions que s’hagi desplaçat.

Escriure nombres molt

1. Desplaça la coma del nombre cap a la dreta fins que només quedi una xifra a l’esquerra de la

petits en notació científica

coma. 2. L’exponent és igual al nombre de posicions que s’hagi desplaçat, però negatiu, −n.

32 ■■ Indica si les igualtats següents són vertaderes o falses:

Les potències 24 ■ Copia i completa la taula següent:

a) 105 = 100 000

d) 24 · 103 = 24 000

b) 3 · 102 = 320

e) 572 · 103 = 572 000

c) 34 · 107 = 3400 000 f) 7 · 100 = 77 base

exponent

resultat

potència

numèric

33 ■■ En quinze anys hi ha 473 000 000 segons. Escriu aquesta xifra en forma de potència de 10.

5 4

Potències i arrels

Activitats

24 37

2 187

25 ■ Indica si les igualtats següents són vertaderes o falses: a) 33 = 27

c) 43 = 74

b) 56 = 3 125

d) 25 = 32

26 ■ Indica el signe de les potències següents: a) (+3)

d) (−3)

g) (−7)

b) (−9)

e) (−1)

i) 10

27 ■■ Indica si les igualtats següents són vertaderes o falses: a) (−2)  = −2 3

b) (+2)  = 25 5

c) (−2)  = −28 8

d) (−7)  = +7 6

e) (+4)  = 26 3

b) (25) 1

−5

51 ⋅ 57 ⋅ 50 33 ⋅ 5−5 d) (53 · 53)3

(−1)−2

29 ■■ Indica si les igualtats següents són vertaderes o falses: a) (0)  = 1 f) (1)  = −1 12

−3

b) (−1)  = −1 31

c) (1)  = 1 −1

g) (0)  = 0 1

h) (5 231)  = 1 0

d) (1)  = 0 i) (−3)  = −3 0

−1

e) (1)  = 1 j) 1 = 0 201

30 ■■ Completa les igualtats següents:

( )7 = −1 d) (27)  = 1 4 3 b) ( )  = 0 e) ( )  = −1 93 c) (−1)  = +1 f) (+1)  =

 Fes les operacions següents:

e) 01

d) (1)

34 ■■

b) 22 · 2−2 · 25 · 23

f) (−12)  = −1250

c) (−1)

Operacions amb potències a) 22 · 2−3 · 24 · 2

28 ■■ Troba el resultat de les potències següents: a) (+1)

c) (−1) f) (−19) 73

h) (−1)

e) 33 · 3−4 · 33 · 3−4 · 34 · 34 · 3 f) 12 · 1−1 · 15 · 14

(−1) ⋅(−1) ⋅(−1) g) 3 3 (−1) ⋅(−1) 1

h) (34 · 32) · 33 · (32) 2

35 ■■

 Reescriu descomponent en factors primers:

e) (8 · 6)

a) 272

c) 163

b) 245

d) (9 · 16) f) (12 · 15)

36 ■■

 Completa les igualtats següents:

( )4 = 81 5 b) ( )  = 243 a)

5 ( )3 = 125 e) ( )  = 32 0 d) (350)  = 1 f) ( )  = 1

37 ■■ Calcula la superfície d’un quadre que fa 35 cm de llarg 31 ■■ Escriu en forma de potència: a) 300 000

d) 660 000

b) 230

e) 7 000 000 000

c) 0,0001 f) 1 000 100 000

per 35 cm d’alt. 38 ■■ Quina és la superfície del botó quadrat d’una jaqueta, si fa 0,015 m d’ample per 0,015 m d’alt?

Potències i arrels

39 ■■ Descompon en factors primers i resol: a) 27 · 9 · 3 2

47 ■■■ Resol i simplifica:

d) 12 · 2 · 4

6 e) 122 · 8 · 32 · 6 83 c) 32 · 16−2 · 83 f) 20 · 83 · 253 · 10

 4  4 ⋅  ⋅   6   3  2

 3      4 

 2 ⋅   1 −2

3 ⋅   2 

−1 1

 4 ⋅   3 

2  3  5   5 2   b)   ⋅     3   3      

40 ■■ Resol i simplifica: 3 a)    2 

 2     3 

6 d)    2 

6 ⋅   2 

48 ■■■ Resol i simplifica:

−7

 5  5 e)   ⋅   2   2  2 −2 5 8 3  1  1   2 2 c)   :   f)   ⋅    5   5   2   2   3 6 b)   ⋅   6   2 

(

)

a) 32 ⋅ 6 3 ⋅ 4 2 ⋅ 2−1 b) (4

2 3

4 3

1 2

⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 10

( (3

)

2 2 3

35 ⋅3 ⋅32 33 ⋅34

6−3 ⋅ 9 ⋅32 b) 6−3 ⋅33

22 ⋅ 8 ⋅ 42 43 ⋅ 82

c) 16 f) 640,3333…

a) La superfície d’una tecla d’un teclat d’ordinador que

a) (22 · 8) · 35 · (9−2 · 6) b) 5 · 6

−1

fa 1 × 1 cm.

· (10 · 15) · 30 3

−2

b) La superfície de 14 tecles iguals.

c) (22 · 3) · 6−5 · (9−2 · 6) · (22 · 5) −1

c) Quina és la superfície més gran que es pot fer amb

⋅ 53 ) ⋅3−2 2

aquestes 14 tecles quadrades?

(10 ⋅3) ⋅(4 ) 2

43 ■■■ Resol i simplifica: 2

a) 2 ⋅ 2 3 ⋅ 43 ⋅ 2 2 1

b) 2 2 ⋅ 4 2 ⋅ 6 2 ⋅3 2

La notació científica

c) 33 ⋅ 4 4 ⋅ 9 3 ⋅ 6 1

d) 5 ⋅ 5 2 ⋅ 53 ⋅ 5 4 ⋅ 5 5

44 ■■■ Resol i simplifica: 2 5

3 2

−1 3

a) 3 ⋅3 ⋅3 b) 2 3 ⋅ 6 2 ⋅33 ⋅ 22

3 5

3 2

c) 2 ⋅ 2 ⋅ 4

(

3 4

 5     2 

notació científica: a) 23 · 105

d) 3,4 · 1012

b) 4,2 · 103

e) 3 · 102

c) 40 · 10 f) 75 · 103

)

d) 33 ⋅ 32 ⋅ 3

 5   15  a)   ⋅   2   6  3

51 ■■ Indica quines expressions estan escrites correctament en

45 ■■ Resol i simplifica: −3

e) 810,75

3 4

50 ■■■ Calcula:

−3

d) 32 5

b) 8 2

25 ⋅(3 ⋅ 5) 122 ⋅ 8 ⋅32 f) 3 4 4 ⋅6 92 ⋅104

a) 9 2

25 ·23 ·2−2 e) 2−3 ·26

42 ■■■ Resol i simplifica:

5 2

49 ■■■   Calcula el valor de les potències següents:

1 2 3

)

⋅ 63 ⋅ 4−2

2 ⋅6 ⋅3

41 ■■ Resol i simplifica: a)

1 2

)

1 −2

c) 92 ⋅ 3 5 ⋅ 6−2 ⋅ 43 ⋅ 2 2

52 ■■ Escriu en notació científica les expressions següents: a) 25 000

e) 0,0000012

b) 0,00005

f) 3 239 000 000

c) 300 000

g) 0,075

d) 9 000 000

h) 0,0000001

−1

 5 ⋅   2 

53 ■■ Escriu en notació científica les expressions següents: a) 25,5 · 104

−4

 5 ⋅   2 

b) 40 · 1010 f) 0,0053 · 105

46 ■■■ Opera les potències amb exponent fraccionari: 2 3

1 2

−1 3

3 2

5 2

7 4

a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2

b) 5 ⋅ 5 ⋅ 5

e) 0,9 · 10−5

5 3

1 3

⋅7

g) 401 · 103

d) 75,5 · 10−3

h) 1 000 000 · 10−7

2 3

3 2

c) 2 ⋅ 6 ⋅3 ⋅ 42 d) (7

c) 30 000 · 102

3 2

⋅ 7)

54 ■■ La distància de la Terra a la Lluna és d’uns 384 000 km. Escriu aquesta distància en notació científica.

55 ■■ La massa del planeta Urà és de 8,7 · 1025 kg. La massa del planeta Neptú és de 1 024 ·1026 g. Quin dels dos té més massa? 56 ■■ La massa d’un protó és de 1672 · 10−24 kg. Escriu-la amb totes les xifres.

63 ■■ Indica si les igualtats següents són veritables o falses: a)

b) 9 + 4 = 3 + 2 c)

25 36

 Calcula

57 ■■ L’àtom d’hidrogen té un radi de 53 picòmetres. Si un

64 ■■

picòmetre són 10−12 metres, escriu aquesta distància en metres

següents:

i en notació científica.

7 ⋅3 = 7 ⋅ 3

d) 15 ⋅17 = 15 ⋅ 17 e)

25 f) 36

   

25 ⋅16 = 5 ⋅ 4 5  5  = 3  3

les arrels quadrades enteres dels nombres

a) 34

c) 110

e) 60

b) 55

d) 45 f) 250

Potències i arrels

Activitats

58 ■■ Ordena de més petita a més gran les quantitats següents: a) 345 · 105

d) 0,00004 · 1010

b) 35 · 10

e) 0,0344 · 10

65 ■■   Calcula els residus de les arrels quadrades següents: a)

b) 95

c) 0,06 · 109 f) 4 · 106

d) 125 f)

25 289

59 ■■ En Marc diu que té 3,5 · 103 cèntims d’euro, mentre que

66 ■■ Escriu tots els nombres de dues xifres amb arrel quadra-

la Laura té 0,0034 · 10 euros. Qui té més diners?

da exacta.

60 ■■ Galileo Galilei va descobrir quatre dels satèl·lits de Júpi-

67 ■■   Troba l’arrel quadrada entera i el residu de:

ter: Ió, Cal·listo, Europa i Ganimedes. Ordena’ls del més gran al

a) 40, sabent que 36 = 6 i 49 = 7.

més petit segons el diàmetre:

b) 85, sabent que 81 = 9 i 100 = 10. c) 17, sabent que 16 = 4 i 25 = 5.

Ió: 3 643 km. Cal·listo: 4,821 · 10 km.

d) 171, sabent que 169 = 13 i 196 = 14.

Europa: 0,031 · 105 km.

e) 450, sabent que 441 = 21 i 484 = 22.

Ganimedes: 5,3 · 106 m. 68 ■■■ L’arrel quadrada d’un nombre és 4 i el seu residu és el màxim possible. Ió

a) Quin és el residu? b) De quin nombre es tracta? 69 ■■■ L’arrel quadrada d’un nombre és 6, i el seu residu, 5. Ganimedes

Júpiter

a) De quin nombre es tracta? b) Quin pot ser el valor màxim del residu d’una arrel quadrada entera? c) I el valor mínim?

Europa

Cal·listo

70 ■■ L’Helena té una habitació que fa 850 cm de llarg per 850 cm d’ample. a) Calcula l’àrea de l’habitació. b) Calcula el perímetre de l’habitació.

61 ■■■ Els embassaments d’un riu determinat tenen les reserves d’aigua següents: del Llac Gran: 2,33 · 108 m3; de Sant Jau-

71 ■■ Si vols fer un quadrat gran amb 130 quadrats petits,

me: 1,513 · 108 m3; del Camí i del Mig: 2 hm3 cada un. Calcula

quants quadrats grans diferents pots formar?

la capacitat total. 72 ■■ L’Isaac vol ver un quadrat amb 90 peces petites. a) De quina mida podrà ser el quadrat més gran que pot

L’arrel quadrada

construir?

62 ■■ Raona si la igualtat següent és veritable:

c) Si se li trenquen 17 peces, quina serà la mida del qua-

 2 3   5 3  (a )  = (a )     

b) Quantes peces li sobraran? drat més gran que podrà formar? d) Quantes peces li sobraran?

Potències i arrels

Repte 73 ■■■ En la successió dels cubs perfectes, quin és el terme

76 ■■■ En una competició matemàtica han quedat empata-

posterior a 216 000? Troba la resposta sense fer servir la calcu-

des la Maria i la Laia. Com a desempat, es presenta a cadascuna

ladora ni el full de càlcul.

una llista de nombres naturals de quatre xifres i han de dir, de cada nombre, si la seva arrel quadrada és exacta (és a dir, si és un quadrat perfecte) i han de justificar cada resposta amb càl-

74 ■■■ Quin és el nombre natural més petit que, multiplicat

culs o raonaments. Guanyarà qui obtingui abans les respostes

per 1 125, dóna un quadrat perfecte? Quin és el que dóna un

correctes. No poden fer servir calculadora ni ordinador, només

cub perfecte?

paper i llapis. Aquestes són les llistes: Maria

Laia

6 731

4 762

1 495

2 297

b) Com canvia el nombre si hi afegim una lletra?

2 036

1 778

c) I si després canviem un nombre per una lletra?

4 820

5 883

75 ■■■ Si les matrícules dels cotxes tenen quatre xifres i dues lletres, troba: a) Quantes combinacions possibles hi ha?

Expressa els resultats com a producte de potències i també en

La Maria, quan ha vist les llistes, ha dit que la Laia té un avantat-

forma numèrica.

ge injust. A la Laia li agrada jugar net; s’ha adonat que la Maria té raó i ha proposat un canvi: en comptes de comprovar si són quadrats perfectes, comprovaran si són cubs perfectes. A la Maria li ha semblat bé i els organitzadors han acceptat el canvi. Què ha fet pensar a les competidores que el desempat era injust? Dit d’una altra manera, quin avantatge tenia la Laia?

Per què la proposta de la Laia elimina la injustícia?

Autoavaluació Sé escriure en notació científica?

Entenc el concepte d’arrel?

1. Escriu els nombres següents en notació científica: a) 5 600 0000

d) 0,000000098

b) 2 570 000

e) 0,008

4. Calcula les arrels quadrades enteres i els residus dels nombres següents:

c) 0,000001 f) 125 000 000 000 Sé treballar amb potències en base 1, −1 i 0? 2. Indica quines de les igualtats següents són veritables: a) (−11)  = −1 11

a) 45

c) 15

b) 75

d) 55 f) 131

Sé operar amb potències i arrels? 5. Simplifica les expressions següents: a)

b) 0  = 1 3

( 3) d) ( 4 ⋅16 )

d) 17 = −1 10

Sé operar amb potències de la mateixa base? 3. Resol i simplifica: d)

)

volum de cada dau. Escriu el resultat en notació científica.

7. La velocitat de la llum és de 3 · 105 km/s, i la distància de la Terra al Sol és de 1,5 · 108 km. Calcula quants minuts tarda la

⋅ 42 ) ⋅12 ⋅3 3 2

2 2

−1

4 ⋅3 ⋅ 6 33 ⋅ 9

(3 e)

5 −1 3 b) 3 ⋅3 ⋅3 3 0 3 ⋅3 ⋅3

·5

Sé resoldre problemes amb notació científica? 6. En un joc del parxís els daus fan 0,007 m d’aresta. Calcula el

a) 23 · 25 · 2−3 · 20

c) (5 · 5

e) (−1)  = +1

−2

3 ⋅35 ⋅3

b) 7 ⋅ 5 ⋅73 ⋅ 252

c) 120 = 1

e) 17

llum solar a arribar a la Terra.

8 ⋅ 62

·3 ·3 3

):3

−2

8. Tenim dues mostres per un anàlisi químic de 2 · 10−3 g i 0,2 mg respectivament. Quan grams hi ha en total?

Del byte al terabyte La Rosa i la Teresa volen copiar alguns arxius dels seus ordinadors a un DVD o un llapis de memòria. Estan aprenent les maneres diferents que hi ha de mesurar unitats d’emmagatzematge de memòria. A Internet han trobat aquesta relació entre les mesures de capacitat: 1 KB = 210 bytes 1 MB = 210 KB 1 GB = 210 MB 1 TB = 210 GB

Potències i arrels

Competències que sumen

1. La Teresa llegeix a la taula la relació entre diferents mesures d’emmagatzematge de memòria. Per exemple, 1 GB = 210 MB. Però, quants GB són 1 MB? Tria la resposta correcta: a) 1 MB = 1/10 GB b) 1 MB = 1/20 GB c) 1 MB = (−2) GB 10

d) 1 MB = 2−10 GB 2. La Rosa s’adona que 1 GB són 210 MB, és a dir, que 1 GB són 1 024 MB. Però, quants KB són 1 GB? a) 1 024 KB b) 1 048 576 KB c) 1 073 741 824 KB d) Cap de les respostes anteriors. 3. La Rosa veu que alguns documents del seu ordinador indiquen la seva mida en bytes. Quants bytes caben en un DVD de 4,7 GB? Indica les operacions. 4. La Teresa i la Rosa volen comprar una memòria USB de gran capacitat per emmagatzemar tota la música que els seus amics tenen en MP3. Calculem que deuen tenir unes 10 000 cançons. Han trobat un disc dur portàtil 2 TB (terabytes). Si cada cançó ocupa aproximadament 25 MB, tenen prou espai en aquest disc dur? Raona la resposta. 5. La Teresa té 8 pel·lícules al seu ordinador. Mesuren 650 MB, 790 MB, 800 MB, 820 MB, 850 MB, 870 MB, 900 MB i 1 000 MB. Quantes d’aquestes pel·lícules pot copiar en un DVD de 4,7 GB i ocupar-ne el màxim espai? 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Introducció a l’àlgebra M’estima o no m’estima?

L’àlgebra és cosa de fórmules i, si les fórmules són necessàries, és perquè ens ajuden a resoldre més problemes i més fàcilment. De fet, pràcticament tots els problemes es resolen amb fórmules. El que passa és que en problemes molt senzills la fórmula no s’acostuma a escriure ni a manifestar. No fa falta escriure la fórmula per trobar el preu de dos quilograms de taronges a tres euros el quilo, ja que només es necessita un senzill càlcul mental (2 · 3 = 6 €). Malgrat tot, hom pot escriure’n l’expressió algebraica, la fórmula que el determina. Dient x al pes de les taronges, l’expressió corresponent és 3x. Una expressió algebraica és una fórmula en què, a més de nombres, hi ha alguna lletra que pot prendre un valor numèric. Les margarides són inflorescències compostes per centenars de flors minúscules que es reuneixen en un sol capítol per formar el que aparentment és una única flor. Els pètals de la margarida són en realitat les lígules (una mena de pètal més llarg del normal) de les flors exteriors de l’agrupament. Les margarides s’han usat tradicionalment per fer consultes d’amor. Una consisteix a esbrinar si la persona que estimem ens correspon. Per això hom alterna les expressions «m’estima» i «no m’estima» alhora que arrenca, cada cop, un pètal de la flor. No importa si el pètal no ho és realment. Importen les correspondències, l’amorosa i la de les lígules de la inflorescència, amb les afirmacions que hom exterioritza. Des de la perspectiva matemàtica, aquest joc és molt senzill, ja que hom pot entreveure la resposta. M’estima o no m’estima? L’alternança entre aquestes dues qüestions posa de manifest que el nombre de pètals en determina la resposta. Qualsevol flor amb molts pètals serveix per això. La quantitat de pètals fa menys evident i més incerta la resposta del procés. Si el nombre de pètals és parell, la resposta serà diferent de la inicial. Si és senar, acabarem amb l’afirmació del començament.

Si la resposta és «m’estima», aleshores el nombre de pètals és parell (2x). Si la resposta és «no m’estima», el nombre de pètals és senar (2x + 1). La margarida respon una pregunta matemàtica equivalent a l’amorosa: «ets parell o senar?» Sí, no, sí, no, sí, no, … La clau de la resposta es troba en el nombre parell o senar dels pètals.

Analitza i resol

L’enamorat o enamorada pot fer la consulta a la flor de manera menys radical. En lloc d’alternar el sí i el no, pot buscar una resposta més gradual del tipus «m’estima molt» (i arrencar el primer pètal), «m’estima poc» (en arrencar el segon) i «no m’estima gens» (quan arrenqui el tercer), i així successivament fins que s’acabin totes les lígules de la flor. El caràcter de la resposta rau ara en la diferència que separa el nombre de pètals de la flor d’un múltiple de tres: 3x - 1, 3x i 3x + 1.

llís quatre respostes possibles: «no m’estima gens», «m’es-

M’estima molt → 3x + 0 M’estima poc → 3x + 1 No m’estima → 3x + 2 Dels diferents resultats de la consulta amorosa en deduïm expressions algebraiques diferents sobre la composició de la flor. La lletra x indica el nombre de cops que hem repetit el cicle de la consulta. Que m’estimi molt, m’estimi poc, o no m’estimi gens, es tradueix en què el nombre de pètals sigui una expressió algebraica o una altra.

1. Explica què és una expressió algebraica i indica quines de les següents ho són: a) 4 · 12 - 7

b) 6a + 4

c) x2 + x/4

2. Troba les expressions algebraiques deduïbles d’una consulta amorosa feta arrencant els pètals d’una flor, que recotima una mica», «m’estima», «m’estima molt». 3. Quants pètals té una rosella o paparota? I una flor de cirerer? Escriu les expressions algebraiques corresponents al nombre de pètals de M roselles. Fes el mateix per a N flors de cirerer. 4. En un camp hi ha M roselles, però n’hi ha tres que han perdut un pètal cadascuna. Escriu l’expressió algebraica del nombre de pètals que queden al camp. 5. Un cirerer té N flors. Escriu l’expressió algebraica del nombre de pètals que hi ha a l’arbre després que cinc de les seves flors hagin perdut un pètal cadascuna. 6. Escriu la fórmula del nombre de pètals que queden en un cirerer que tenia N flors, però que n’ha perdut una. La fórmula obtinguda és equivalent a la de l’activitat anterior? 7. Un planta té flors de quatre pètals. Indica quines de les afirmacions següents són veritables i quines són falses: a) Si tallem una flor, el nombre de pètals de tota la planta serà senar. b) Tots els rams fets amb flors d'aquesta planta tindran una quantitat de pètals parell. c) Si traiem un pètal a cada flor de la planta, el nombre de pètals de tota la planta serà senar.

Índex

Competències bàsiques

1. El llenguatge algebraic

Matemàtica. Resolució de problemes mitjançant mèto-

2. Monomis i operacions bàsiques amb monomis

des algebraics.

3. Polinomis i binomis de primer grau

Comunicativa lingüística i audiovisual. Lectura i ex-

4. Potències de binomis i identitats notables

pressió en llenguatge simbòlic d’expressions del llenguatge habitual. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

Introducció a l’àlgebra

El llenguatge algebraic 1.1 Recorda

Expressió algebraica

nombre

Les expressions algebraiques

En una expressió algebraica nombres i lletres (anomenades variables) estan units per signes d’operacions matemàtiques. Les fórmules són expressions algebraiques d’ús habitual que s’utilitzen en la ciència i en la matemàtica per generalitzar propietats dels nombres o per expressar relacions entre els elements d’un problema.

lletra

Exemple

2 ⋅ x

1. Fixa’t en els exemples següents d’expressions algebraiques:

operador aritmètic

situació

exemple

fórmula

Expressar una relació entre magnituds físiques.

La densitat d d’un cos en funció de la seva massa m i el seu volum V.

Relació geomètrica.

L’àrea A d’un quadrat de costat x.

A = x2

Generalitzar propietats dels nombres.

La propietat distributiva del producte respecte de la suma.

Expressar relacions entre els elements d’un problema.

La meva filla té 26 anys menys que jo. Si la meva edat la represento per x, quina és l’edat de la meva filla?

m V

a(b + c) =  = ab + ac 26 - x

86 1.2

Valor numèric d’una expressió algebraica

El valor numèric d’una expressió algebraica és el nombre que s’obté en canviar les variables per valors concrets, i calcular el resultat. Exemples

Alerta

2. El valor numèric de P = x 2 + y 2 quan x = 12 i y = 5 és:

Quan en una expressió alge-

P = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 13

braica un nombre multiplica una lletra, dues lletres es multipliquen entre si, o bé una lletra o un nombre multipliquen els elements entre parèntesis, sovint es prescindeix del signe de multiplicar.

3. Es vol saber per quin valor de x coincideixen els valors numèrics de 3x + 2 i x + 4. Per esbrinar-ho, es pot completar una taula de valors:

3x + 2

x + 4

-1

3(-1) + 2 = -1

-1 + 4 = 3

3 · 0 + 2 = 2

0 + 4 = 4

Els valors numèrics coincideixen per a x = 1.

3 · 1 + 2 = 5

1 + 4 = 5

Per exemple: 4 · x = 4x x · y = xy 4 · (x + 1) = 4(x + 1) x · (x + 1) = x(x + 1)

1.3

Igualtats algebraiques

Una igualtat algebraica és una igualtat que conté expressions algebraiques en els dos membres. Poden ser: • Identitats. Expressen relacions que són certes en general. • Equacions. Únicament són certes per a determinats valors de les variables. Exemple 4. La igualtat a3 · a2 = a5 és una identitat ja que és certa sempre, sigui quin sigui el valor de a. La igualtat 3x + 2 = x + 4 és una equació, ja que només és certa si x = 1.

1.4

Llenguatge algebraic i llenguatge verbal

El llenguatge algebraic s’utilitza sovint per expressar relacions entre els elements o les magnituds que intervenen en un problema que està enunciat en el llenguatge verbal. Per tal de resoldre els problemes correctament cal dominar la traducció d’un llenguatge a l’altre. Exemples 5. Expressa en llenguatge algebraic les expressions següents: a) L’edat de la Gemma fa 2 anys i la que tindrà d’aquí a 5 anys. L’edat que tenia fa 2 anys es calcula restant 2, i la que tindrà d’aquí a 5 anys, sumant 5. Si anomenem x l’edat actual, fa 2 anys tenia x - 2, i d’aquí a 5 anys, x + 5. b) El doble, el triple i el quàdruple d’un nombre. El doble es calcula multiplicant per 2, el triple multiplicant per 3 i el quàdruple multiplicant per 4. Si x és el nombre, les expressions demanades són 2x, 3x i 4x, respectivament. c) Els dos cinquens d’una quantitat. Els dos cinquens d’una quantitat x s’obtenen multiplicant aquesta quantitat 2x 2 2 ⋅ 40 per 2 i dividint-la per 5, és a dir, = 16 . . Per exemple, els de 40 són 5 5 5 d) La distància recorreguda durant cert temps per un cotxe que va a una velocitat mitjana de 110 km/h. Si sabem el temps x que dura el viatge, és molt fàcil trobar la distància; simplement cal multiplicar per 110, és a dir, 110x. e) El sou mensual d’un agent comercial que cobra 900 € fixos al mes i una comissió de 30 € per cada unitat x venuda. El sou es calcula sumant la part fixa, 900 €, amb la part corresponent a la comissió, que s’obté multiplicant per 30 el nombre d’unitats x. Per tant, la fórmula és 900 + 30x. 6. Prens un batut que val x €, i una magdalena que val y €. Si pagues amb un bitllet de 5 €, el canvi que et tornen és de 5 - (x + y) euros.

Aplica

4 ■■ Expressa en llenguatge algebraic: a) L’edat d’un amic fa 10 anys si ara és x.

1 ■ Calcula el valor numèric de E = x2 + 3xy - y2 quan x = -2

b) Les tres quartes parts d’un nombre y.

i y = 3.

c) Tinc un pressupost de 20 € mensuals per al telèfon mòbil, i cada trucada em costa 0,15 €. Quan em quedarà

2 ■■ Estudia, fent una taula de valors, per a quina x coincidei-

al final del mes?

xen els valors numèrics de 4x - 1 i 2x + 3.

d) El 40% d’una quantitat p.

4x - 1

e) El preu d’uns quants kg de pomes, si el preu d’1 kg és 1,35 €. El total de kg el representem amb q. f) Convido uns amics a 3 cafès i 2 infusions, que valen x

2x + 3

i y euros respectivament, i pago amb un bitllet de 10 €. Expressa algebraicament el canvi que em tornaran.

3 ■ Classifica en identitats i equacions les expressions següents: a)

a ⋅b = a ⋅ b

b) 3b = 2a

c) 3x + 1 = 7 d) (x + y)  = x2 + y2 + 2xy 2

g) Un taxi cobra 2 € per aixecar la bandera i 0,50 € per quilòmetre. h) Un nombre imparell quaselvol més el següent.

Introducció a l’àlgebra

Monomis i operacions bàsiques amb monomis 2.1

Un monomi és un tipus d’expressió algebraica en què les operacions que apareixen són multiplicacions d’un nombre per lletres, i potències d’exponent natural.

Recorda

El nombre s’anomena coeficient, i les lletres amb els seus exponents són la part literal. El grau d’un monomi és la suma dels exponents de les lletres que el formen. Si una lletra no té exponent, es considera que aquest val 1.

Si una lletra no té exponent, es considera que aquest val 1: grau: 1+2+3=6

4 ab2c3

Exemple

coeficient part literal

Concepte de monomi

7. L’expressió M = 10 a2b3c2 és un monomi amb tres variables. El coeficient és el 10 i la part literal és a2b3c2. La suma dels exponents (2 + 3 + 2) dóna 7, que és grau.

 monomi

2.2

Suma i resta de monomis

Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal i coeficient diferent. La suma o la resta de dos monomis o més només es pot fer si són semblants. Si és així, se sumen (o resten) els coeficients i es deixa la mateixa part literal. Exemples 8. Els monomis 4x2y i -2x2y són monomis semblants, ja que tots dos tenen la mateixa part literal, que és x2y. En canvi, els monomis 4x3 i -5x no són semblants, ja que les parts literals, encara que tinguin la mateixa variable, no són del mateix grau.

88 Recorda

9. L’operació 6x + 3x té com a resultat 9x, i 5x2 + 2x no es pot fer. 10. Fixa’t en les operacions següents:

En el producte de dues po-

a) 4x2 - (-5x2) = 4x2 + 5x2 = 9x2

tències de la mateixa base,

b) 5x3 - (+2x3) = 5x3 - 2x3 = 3x3

es deixa la base i se sumen els exponents.

2.3

am · an = a(m + n)

Multiplicació de monomis

El producte de dos monomis o més s’obté multiplicant d’una banda els coeficients i la part literal de l’altra. Si hi ha variables repetides, s’han de sumar els exponents. Exemples 11. Si A = 2x3 i B = 5x2, el producte és A · B = 2x3 · 5x2 = (2 · 5)x(3 + 2) = 10x5. 12. Si A = -2xy2, B = 3x2 i C = 5y3, A · B · C = (-2 · 3 · 5)x(1 + 2) · y(2 + 3) = -30x3y5.

Aplica

7 ■ Calcula els productes següents:

5 ■ Indica el coeficient, la part literal i el grau dels monomis

a) 4x3 · 5x2

e) 6a2b3 · 5a2b

b) 2x · 5x2 · 3x

c) (-2x

g) 3x3 · 3x3

) · (-3x)

següents: a) 10x3y4z2

b) ab3

c) -2x2y

d) 2x2y · 7xy3

d) 4x2

6 ■ Calcula, si és possible, les sumes i restes de monomis següents: a) 5x  + 4x 3

b) 3x3 - (-2x3)

c) 2x - (+3x)

e) 6x - 2x 3

d) 5x2 + (-3x2) f) 3x2 + 2x

(-5xy) · 3x2

h) 2x2 · (-2x2)

8 ■ El volum d’un prisma de base quadrada, de costat x, i altura y, es calcula amb la fórmula V = x2y. Troba el volum si x = 4 cm i y = 10 cm.

2.4

Divisió de monomis

Recorda

La divisió de dos monomis s’obté dividint per separat els coeficients (si no dóna exacte, es deixa en forma de fracció) i la part literal. En les variables coincidents, es resten els exponents.

Per dividir dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents

A vegades el resultat no és un monomi tal com l’hem definit, ja que es poden obtenir ex1 ponents negatius. Com que x −n = n , el que s’obté és una fracció algebraica. x Exemples

am : an = am - n Per elevar una potència a una altra potència, es deixa la base i es multipliquen els exponents:

13. Fixa’t en les divisions següents, pas a pas:

(am)n = am · n

a) 30x2 : 5x = (30 : 5)x(2-1) = 6x 15 (4−2) 3 2 b) 15x 4 : 20x 2 = x = x 20 4

Quan un exponent afecta uns parèntesis que contenen un producte o una divisió de nombres, aleshores aquest ex-

c) 16a4b3 : 8a2b2 = (16 : 8)a(4 - 2) · b(3 - 2) = 2a2b

ponent afecta cadascun dels

14. La divisió 10x2 : 5x4 dóna (10 : 5)x(2 - 4) = 2x -2, que és el mateix que la fracció 2 algebraica 2 . x

2.5

termes del producte o divisió:

(a · b)n = an · bn

Potenciació de monomis 89

La potenciació d’un monomi s’obté elevant per separat cadascun dels elements per l’exponent de la potència que s’està calculant. Com aplicar-ho. Resoldre operacions combinades amb monomis Simplifica l’operació amb monomis (15x

) : (10x)

3 2

Consells

- 5x · (2x) . 2

En les operacions combinades amb monomis s’han de tenir en compte les mateixes prioritats que en les operacions aritmètiques: 1. Parèntesis. 2. Potències i arrels. 3. Multiplicacions i divisions.

• Primer es resolen les operacions entre parèntesis:

(15x3)2 : (10x)3 - 5x · (2x)2 = 152x6 : 103x3 - 5x · 22x2 • Seguidament, les potències: 152x6 : 103x3 - 5x · 22x2 = 225x6 : 1 000x3 - 5x · 4x2 • A continuació, les multiplicacions i divisions: 225 (6 − 3) 225 3 225x 6 : 1000x 3 − 5x ⋅ 4x 2 = x − (5 ⋅ 4) x (1 + 2) = x − 20x 3 1000 1000 • Finalment, les sumes i restes: 225 3 225 − 20 000 3 −19 775 3 −791 3 x − 20x 3 = x = x = x 1000 1000 1000 40

Aplica

4. Sumes i restes. Vegeu els exercicis 9, 10 i 11 pàg. 89; 47 i 48 pàg. 98.

11 ■■■ Calcula i simplifica les expressions següents: a) 2x3 + 3x2 · 5x - (2x)  + x3 - (3x2) : x3 3

9 ■ Efectua i simplifica les operacions següents: a) 14x2y3 : 7xy2

d) 18a2b : (-3a)

b) (-10x3) : 5x2

e) (-6x5) : (-3x)

b) (12x2)3 + (5x3) - (13x) · x4 + x6 2

e) (3x) · x4 : (6x)  + x6 : (-2x)  + x · x2

c) (5a2b) · (2b)

b) (3a

) · (4a ) 3 2

d) (4x

e) (5x2y3)

) · (2x) f) (2x)

2 3

f) (5x2) · x2 : (2x) - x2 · (3x) : 4x - (-x)

10 ■■ Efectua i simplifica les operacions següents: 2 3

d) (13x2) : x4 - 10x2 · (-5x4) - (-2x) 2

c) (11x3) : x9 + (-5x) · (4x) - (-2x)

c) 24x3 : (-6x) f) 16a4 : (-8a2)

a) (3x)

g) (2a2b3) : (3a2b4) - (a2b) · (2b) 4

h) (2xy) · (3x) + 2xy 2

Introducció a l’àlgebra

Polinomis i binomis de primer grau 3.1

Concepte de polinomi i de binomi de 1r grau

Un polinomi és una suma de monomis de grau diferent. Cal sumar els monomis semblants (els que tenen la mateixa part literal) i ordenar-los segons el grau, de més gran a més petit. El grau del polinomi coincideix amb el del monomi de més grau.

Recorda

Si el polinomi només té dos termes, s’anomena binomi. Un binomi de 1r grau té la forma ax + b, com per exemple 3x + 5.

Un terme és cadascun dels sumands de l’expressió alge braica.

Exemple

En un polinomi els termes són cadascun dels monomis i el ter-

15. L’expressió 5x2 + 2x - 6 + 8x2 - 4x + 3 és una suma de monomis de grau diferent. Per tenir un polinomi, s’han de sumar els termes del mateix grau:

me independent. L’expressió 13x2 - 2x - 3 té

5x2 + 2x - 6 + 8x2 - 4x + 3

tres termes: 13x2, -2x i -3.

(5x2 + 8x2) + (2x - 4x) + (-6 + 3) = 13x2 - 2x - 3

grau 2

grau 1

3.2

terme independent

Suma i resta de binomis de 1r grau

La suma de diferents binomis de 1r grau es pot efectuar posant-los correlativament l’un darrere l’altre i agrupant els termes semblants.

Alerta 90

Es tracta d’un polinomi de 2n grau.

En el cas de la resta se segueix el mateix procediment tenint en compte que restar és sumar l’oposat, de manera que al binomi que es resta se li han de canviar els signes.

La suma o resta de binomis de 1r grau pot ser un polinomi de

Exemples

grau 0 (sense x), però mai un de 2n grau o superior.

16. Sumes. Donats els polinomis A = 3x + 2, B = 2x - 5 i C = -4x + 3, observa:

(3x + 2) + (-3x + 4) = 6

A + B = (3x + 2) + (2x - 5) = 3x + 2 + 2x - 5 = 5x - 3 A + C = (3x + 2) + (-4x + 3) = 3x + 2 - 4x + 3 = -x + 5 A + B + C = (3x + 2) + (2x - 5) + (-4x + 3) = 3x + 2 + 2x - 5 - 4x + 3 = x 17. Restes. Donats els polinomis A = 4x + 3, B = 7x - 1 i C = -3x + 5, observa: A - B = (4x + 3) - (7x - 1) = 4x + 3 - 7x + 1 = -3x - 4 A - B - C = (4x + 3) - (7x - 1) - (-3x + 5) = 4x + 3 - 7x + 1 + 3x - 5 = -1 18. Comprem un DVD que val x €, un llapis de memòria que és 9 € més car, i una targeta SD que val 10 vegades el que costa un DVD. Quina expressió algebraica dóna el cost d’aquest equip? DVD → x llapis de memòria → x + 9 targeta SD → 10x x + x + 9 + 10x = (1 + 1 + 10)x + 9 = 12x + 9

Aplica

13 ■ Donats els binomis A = 3x - 1, B = 2x + 3, C = 4x + 7 i D = -5x - 3, calcula el resultat de les operacions següents:

12 ■ Agrupa els monomis semblants i indica el grau del poli-

a) A + B + C + D

c) A - B + C - D

nomi resultant:

b) A + B - C - D

d) A - B - C - D

a) 2x + 4 - 5x - 4x - 7 + 12x - 10 b) 6x - 12 + 4x - 19 + 6x - 10 + x

14 ■■ Siguin A = 2x2 + 3x, B = x2 - 2x, C = x2 - 1 i D = x2 - 4,

c) 2x + 6 - 4x + 5x - 12 - 3x + 20

calcula el resultat de les operacions següents:

d) 3x + 6y - 2 + 5x - 3y - 12 + x + y

a) A + B + C

d) A - B - D

e) 3x  + 4x - 6 - 11 + 3x - 10x

b) A + C - D

e) A - B - C

f) x + x  + x - 3x + 5x - 2x + 3

c) A + A - C f) C - D + B

3.3

Producte d’un nombre per un binomi

El producte d’un nombre per un binomi s’obté aplicant la propietat distributiva, és a dir, multiplicant el nombre per cadascun dels termes del binomi.

Recorda La propietat distributiva estableix que multiplicar una suma

Exemples

per un nombre dóna el mateix

19. Fixa’t en les operacions següents:

resultat de multiplicar cada su-

a) 3(2x + 5) = 3 · 2x + 3 · 5 = 6x + 15

c) -(5 - x) = -5 + x

b) -2(4x - 5) = -2 · 4x - 2(-5) = -8x + 10

mand pel nombre i després sumar tots els productes. 4(2 + 3) = 4 · 2 + 4 · 3

20. Per simplificar una combinació de binomis de 1r grau, primer s’han d’eliminar els parèntesis aplicant la propietat distributiva i després agrupar termes semblants: 2(4x - 3) + 5(3x + 2) - (x + 1) = (8x - 6) + (15x + 10) - x - 1 = 22x + 3

3.4

Producte d’un monomi per un binomi de 1r grau

El producte d’un monomi per un binomi s’obté aplicant la propietat distributiva, és a dir, multiplicant el monomi pels dos termes del binomi. El resultat seguirà sent un binomi, però de grau superior. Així, si el monomi que multiplica és de 1r grau, el resultat serà un binomi de 2n grau.

Exemple 21. En l’operació següent, fixa’t com el monomi 5x multiplica el binomi 4x - 1: 5x (4x - 1) = 5x · 4x + 5x · (-1) = 20x2 - 5x

3.5

Producte de binomis de 1r grau

El producte de dos binomis de 1r grau s’obté multiplicant cada monomi del primer binomi pel segon binomi, i agrupant els termes semblants. El resultat serà un trinomi de 2n grau. Exemple 22. Fixa’t en les multiplicacions de binomis de 1r grau següents: a) (x + 1) · (x + 3) = x · (x + 3) + 1 · (x + 3) = x2 + 3x + x + 3 = x2 + 4x + 3 b) (x + 4) · (x - 4) = x · (x - 4) + 4 · (x - 4) = x2 - 4x + 4x - 16 = x2 - 16

Aplica

17 ■■  Efectua les operacions següents: a) (x + 1) · (x + 3)

15 ■ Efectua les operacions següents: a) 5x(4x - 2)

b) -4x(2 - x)

c) -3(6 - 2x)

e) 5(4x + 3)

d) 3x2(2x + 1) f) 6(x + 5)

16 ■■ Efectua les operacions següents: a) 6(2x - 1) - 4(x - 2) - (5 - 3x) b) 3(5x - 4) - 5(x + 2) - (4x - 3)

b) (x + 4) · (x - 5)

i) (x + 2) · (2x - 3) j) (x - 5) · (3x + 1)

c) (3x - 1) · (4x + 2) k) (2x + 4) · (x - 5)

d) (2x + 5) · (3x - 1) l) (3x - 4) · (3x - 6) e) (x - 1) · (x - 6)

m) (x + 1) · (x + 2)

f) (x - 2) · (x + 7) n) (3x - 1) · (x - 1) g) (2x - 3) · (4x - 2) h) (5x + 2) · (7x + 3)

o) (3x - 2) · (x - 2) p) (2x - 1) · (x - 4)

Introducció a l’àlgebra

Potències de binomis i identitats notables 4.1 Alerta

En fer el quadrat d’un monomi de 1r grau se n’obté un de 2n grau:

(4x)2 = 42x2 = 16x2

Quadrat d’un binomi de 1r grau. Les identitats notables

El quadrat d’un binomi de 1r grau es pot obtenir aplicant la definició de potència, és a dir multiplicant el binomi per si mateix. Les identitats notables, o productes notables, són unes fórmules que permeten obtenir de manera directa certs productes de binomis. Les més utilitzades són: • Quadrat d’una suma → (A + B)  = A2 + 2AB + B2. 2

• Quadrat d’una diferència → (A - B)  = A2 - 2AB + B2. 2

• Suma per diferència → (A + B) · (A - B) = A2 - B2. Exemple 23. Fixa’t com es calcula el quadrat d’un binomi: Binomi per binomi.

que el quadrat d’una suma és

Se sumen els termes.

(x + 2)2 = (x + 2) · (x + 2) = x · (x + 2) + 2 · (x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4

Alerta Dos errors freqüents són dir

S’aplica la propietat distributiva.

4.2

Quadrat d’una suma

igual a la suma de quadrats i que el quadrat d’una dife-

rència és una diferència de quadrats.

(a + b)2 ≠ a2 + b2 (a - b)2 ≠ a2 - b2

El quadrat d’una suma és igual al quadrat del primer terme, més el doble producte del primer pel segon terme, més el quadrat del segon terme. Es pot demostrar algebraicament multiplicant un binomi A + B per si mateix:

(A + B)2 = (A + B) · (A + B) = A(A + B) + B(A + B) = A2 + AB + BA + B2 =  = A2 + AB + AB + B2 = A2 + 2AB + B2

L’error és propiciat per dues A

igualtats que sí que són certes i que sovint es confonen:

(a · b)2 = a2 · b2 (a : b)2 = a2 : b2

B B

Es pot demostrar geomètricament dibuixant un quadrat de costat A + B, i, a dins, posar un quadrat de costat A i un altre de costat B, 2 situats en diagonal. L’àrea del quadrat gran és (A + B) , però també és la suma de totes les figures menors que el conformen, que són els dos quadrats i els dos rectangles, és a dir: A2 + B2 + 2AB.

Exemple 24. Fixa’t en el resultat de les operacions següents: a) (x + 4)  = x2 + 2 · x · 4 + 22 = x2 + 8x + 16 2

b) (3x + 4)  = (3x)  + 2 · 3x · 4 + 42 = 9x2 + 24x + 16 2

4.3

Quadrat d’una diferència

El quadrat d’una diferència és igual al quadrat del primer terme, menys el doble producte del primer pel segon terme, més el quadrat del segon terme. Es pot demostrar algebraicament multiplicant el binomi (A - B) per si mateix: (A - B)2 = (A - B) · (A - B) = A(A - B) + B(A - B) = A2 - AB - BA + B2 =  = A2 - AB - AB + B2 = A2 - 2AB + B2 Exemple 25. Fixa’t en el resultat de l’operació següent: a) (4x - 5)2 = (4x)2 - 2 · 4x · 5 + 52 = 16x2 - 40x + 25

4.4

Suma per diferència

El producte d’una suma per la seva diferència és igual al quadrat del primer terme menys el quadrat del segon terme. Es pot demostrar algebraicament multiplicant dos binomis que siguin una suma per la seva diferència, i simplificant els termes iguals i de signe oposat:

(A + B) · (A - B) = A2 - AB + BA - B2 = A2 - AB + AB - B2 = A2 - B2 Exemple 26. Fixa’t en el resultat de les operacions següents: a) (x + 3) · (x - 3) = x · x + x · (-3) + 3 · x + 3 · (-3) =  = x2 - 3x + 3x - 32 = x2 - 32 b) (2x + 5) · (2x - 5) = (2x) - 52 = 4x2 - 25 2

4.5

Operacions combinades amb binomis de 1r grau

Entenem per operació combinada de binomis de 1r grau diverses multiplicacions i quadrats de binomis, sumades o restades. Per simplificar-les, s’ha de tenir en compte que, en una operació combinada, primer es fan les multiplicacions i les divisions, i després les sumes i restes.

Recorda Com que, en fer una operació combinada amb binomis de

Exemples

1r grau, poden aparèixer ter-

27. Simplifica (x + 3) - (x - 1) · (x + 2): 2

mes de 2n grau, cal tenir molt

En primer lloc s’han de calcular el quadrat i les multiplicacions. És millor fer-ho per separat:

present que només es poden

Quadrat d’una suma (es pot aplicar la igualtat notable) → (x + 3)  = x2 + 6x + 9.

semblants.

agrupar els termes que siguin

Producte de dos monomis → (x - 1) · (x + 2) = x(x + 2) - 1(x + 2) = x2 + 2x -x - 2 = x2 + 2x - 2. Es resten les dues expressions, i s’obté el resultat final: (x2 + 6x + 9) - (x2 + 2x - 2) = x2 + 6x + 9 - x2 - 2x + 2 = 4x + 11 28. Simplifica 3(x + 1) · (x - 4) - (x - 2) : 2

En primer lloc es fa el producte de monomis, i després es multiplica el resultat, per 3 → (x + 1) · (x - 4) = x(x - 4) + 1(x - 4) = x2 - 4x + x - 4 = x2 - 3x - 4.

Polinomi de 2n grau per un nombre → 3(x2 - 3x - 4) = 3x2 - 9x - 12.

Quadrat d’una suma (es pot aplicar la igualtat notable) → (x - 2)  = x2 - 4x + 4. 2

Ara es resten les dues expressions, i s’obté el resultat final: (3x2 - 9x - 12) - (x2 - 4x + 4) = 3x2 - 9x - 12 - x2 + 4x - 4 = 2x2 - 5x - 16

Aplica

19 ■■ Calcula el resultat de les operacions combinades següents:

18 ■ Calcula utilitzant les identitats notables: a) (x + 6) f) (x - 2) 2

k) (x + 3) · (x - 3)

b) (3x - 4) 2

c) (2x + 5) 2

d) (4x - 2)

g) (4x + 5)

h) (7x - 4)

e) (5x - 3)

i) (2x + 1)

j) (4x + 8)

l) (x + 4) · (x - 4)

m) (3x + 4) · (3x - 4) n) (6x - 5) · (6x + 5) o) (x + 7) · (x - 7)

a) (x + 4) - (x - 2) · (x + 3) 2

b) 4(x + 2) · (x - 3) + 3(x - 1)

c) (x + 3)2 - (x - 2)

d) 5x(x - 2) - (2x - 3)

e) (x + 5) - (x - 2) 2

f) 3(x + 2) - (x + 2) · (x - 2) 2

Tot són matemàtiques

Demostracions sense paraules En matemàtiques, una demostració gràfica és una prova d’una identitat o d’una expressió matemàtica que es fa evident visualment. Són l’equivalent a les tires còmiques «sense paraules» i, en molts casos, exhibeixen una elegància superior a la dels mètodes formals. En els darrers trenta anys, els matemàtics han mostrat un interès creixent per aquest tipus de demostracions. A continuació en veurem alguns exemples.

Quadrat d’una suma

El diagrama següent demostra que: 2 ( A + B ) − ( A − B ) = 4AB

2 ( A + B ) = A 2 + B 2 + 2AB

A A

B B

94 AA

A =

(A + B ) ⋅(A + B ) A B A

Completant el quadraT

Quadrat d’una diferència 2 ( A − B ) = A 2 + B 2 − 2AB

x x

(A − B ) ⋅(A − B )

+ BB B

A BB

Introducció a l’àlgebra

El teorema de Pitàgores Probablement aquesta és la demostració més simple i elegant del teorema de Pitàgores... anterior a Pitàgores! Es troba en un document xinès datat entre els anys 500 i 300 aC, conegut com a Chou pei suan ching. Només fa ús de translacions de triangles a l’interior d’un quadrat.

C2 A2

Fixa’t que l’àrea en blanc de dins del quadrat sempre és la mateixa, malgrat les translacions de tres dels quatre triangles grisos.

Analitza i investiga 1. Analitza i explica amb paraules cada una de les demostracions de la infografia. 2. Explica quina identitat demostra les figures següents:

de dues dimensions...

Suma per la seva diferència

+ A

A A

A+B =

A · (A + B)

A−B

3. Dibuixa la demostració geomètrica de

(a + b) · (a + c) = a2 + ab + ca + bc.

... a tres dimensions

4. Busca a Internet altres demostracions visuals del teorema de Pitàgores. 5. La major part dels matemàtics consideren que les demostracions visuals no són

= B

«autèntiques» demostracions. Una cosa semblant passa amb les demostracions assistides per ordinador. Investiga què en-

tenen els matemàtics per «demostració» i busca exemples de teoremes famosos demostrats gràcies a l’ajuda dels ordinadors.

Introducció a l’àlgebra

Això és bàsic Un monomi és una expressió algebraica formada per nombres

Un polinomi és una suma de monomis de grau diferent.

i lletres elevades a un exponent natural.

4 abc 2

polinomi de grau 3

4x3 + 5x2

grau

coeficient part literal

terme

Identitats notables Quadrat d’una suma → (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Quadrat d’una diferència → (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 Suma per diferència → (A + B) · (A - B) = A2 - B2

Com es fa?

Procediment

Pas a pas

Calcular un valor

1. Canvia les lletres per valors concrets.

x = 2

numèric

2. Efectua l’operació indicada amb nombres.

2x + 1 → 2 · 2 + 1 = 5

Sumar o restar

1. Suma o resta els coeficients.

monomis semblants

2. Deixa igual la part literal.

(2x + 1) + (3x - 4) = (2x + 3x) + (1 - 4) = 5x - 3

Multiplicar monomis

1. Multiplica els coeficients. 2. Suma els exponents de la part literal.

Dividir monomis

1. Divideix els coeficients. 2. Resta els exponents en la part literal.

Elevar monomis

1. Eleva els coeficients. 2. Multiplica els exponents de la part literal.

Sumar o restar

1. Posa correlativament els binomis, i canvia de sig-

binomis de 1r grau

ne els que resten.

2x2 · 3x3 = (2 · 3) · x2 + 3 = 6x5 2x2 : 6x3 = (2 : 6) · x2 - 3 = 3x-1

(3x2)3 = 33x2 · 3 = 9x6 (3x + 2) + (2x - 5) = 3x + 2 + 2x - 5 = 5x - 3

2. Agrupa els termes semblants. Multiplicar un

1. Multiplica pel monomi cada terme del binomi,

monomi per un

aplicant la propietat distributiva.

binomi de 1r grau

2. Agrupa els termes semblants.

Multiplicar binomis

1. Multiplica cada terme del 1r binomi pel 2n

de 1r grau entre si

binomi. 2. Agrupa els termes semblants.

2x(4x + 5) = 2x · 4x + 2x · 5 = 8x2 + 10x

(x + 1) · (x + 3) = x · (x + 3) + 1 · (x + 3) =  = x2 + 3x + x + 3 = x2 + 4x + 3

Utilitzar les

1. Identifica les expressions de A i B.

identitats notables

2. Aplica la identitat notable adequada i fes les operacions indicades.

(5x + 3)2 → A = 5x i B = 3 (5x + 3)2 = (5x)2 + 2 · 5x · 3 + 32 = 5x2 + 30x + 9

(2x + 7) · (2x - 7) → A = 2x i B = 7 (2x + 7) · (2x - 7) = (2x)2 - 72 = 4x2 - 49

Fer operacions

1. Calcula quadrats i multiplicacions.

combinades amb

2. Fes les sumes o restes indicades.

(x + 3)2 + (x - 1)2 (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 (x - 2)2 = x2 - 2 · x · 2 + 22 = x2 - 4x + 4

binomis de 1r grau

x2 + 6x + 9 + x2 - 4x + 4 = x2 + 2x + 13

28 ■■ Classifica les igualtats algebraiques següents en identi-

El llenguatge algebraic 20 ■

tats o equacions:

 Calcula el valor numèric de A = x + y 2

- 2x - 1 quan

x = 3 i y = -2.

a) a(b + c) = ab + ac b) (a

)  = a

2 3

d) a + 1 = 3 e) a + a + a = 3a

c) 2a = a + 4 f) a + b = b + a

 Troba el valor de l’expressió algebraica següent quan

21 ■

x = 4 i y = 3. E=

tats o equacions:

x 2 + y 2 − (x − y ) y +1

a) 2(a + 3) - 6 = 2a



22 ■■

L’àrea d’un rectangle de perímetre P i base x es pot P ⋅x calcular amb l’expressió algebraica A = − x 2 . Calcula l’àrea 2 d’un rectangle de 70 cm de perímetre i 20 cm de base.

 Si

23 ■■

coneixem la diagonal D d’un rectangle i la

seva base x, la fórmula per calcular-ne el perímetre és P = 2x + D 2 − x 2 . Calcula el valor numèric d’aquesta expressió si x = 80 cm i D = 100 cm. 24 ■■

d) 2p = p + 1

a x2 =x = a2 e) 3 2 a c) 2x = 8 f) (a + b) + c = a + (b + c) b)

30 ■ Expressa en llenguatge algebraic: a) L’edat del meu pare fa 5 anys, si ara és x. b) Els tres setens d’una quantitat q. c) El 20% d’un preu p. d) La distància recorreguda per un cotxe que viatja a 90 km/h, durant un nombre d’hores t.

 El consum C d’un cotxe es mesura en L/100 km, i

depèn de la velocitat v en km/h. Es pot calcular amb l’expressió 2  v − 80   + 5 . Calcula el valor numèric d’aquesta algebraica C =   20  fórmula per a: a) v = 40

29 ■■ Classifica les igualtats algebraiques següents en identi-

b) v = 60

31 ■■ Expressa utilitzant el llenguatge algebraic. a) A un preu p li sumem el 18% d’IVA. b) Represento la meva edat per x. Com serà l’edat del meu pare d’aquí a 2 anys, si ara és el triple que la meva? c) El perímetre i l’àrea d’un quadrat de costat x.

c) v = 80

d) La meva edat és x. L’edat de la meva germana, que té 25 ■■ Un vehicle que va a una velocitat constant v, accelera

9 anys més que jo, fa 4 anys.

a durant un temps t, en el qual recorre una distància d. La fóra ⋅t 2 . Calcula mula que expressa aquesta relació és d = v ⋅ t + 2 el valor numèric d’aquesta expressió quan v = 10 m/s, t = 5 s i a = 2 m/ s2. 26 ■■ Copia i completa la taula següent i estudia per a quins valors de x coincideixen els valors numèrics de 5x + 3 i de 2x + 12. Digues si la igualtat 5x + 3 = 2x + 12 és una identitat o una equació. x 0

32 ■■■ Expressa utilitzant el llenguatge algebraic:

5x + 3

a) L’aigua continguda en un dipòsit que s’ha omplert

2x + 12

amb una aixeta que raja a 10 L/min, i que ha estat oberta durant m minuts.

27 ■■ Copia i completa la taula següent i estudia per a quins

b) El canvi que em tornaran si convido uns amics a 4 re-

valors de x coincideixen els valors numèrics de 2(x + 1) + 1 i de

frescos, que valen x €, i a 3 batuts de xocolata, a un preu

2x + 3. Digues si la igualtat 2(x + 1) + 1 = 2x + 3 és una identi-

de y €, si pago amb un bitllet de 20 €.

tat o una equació.

c) El preu que pagaré per una quantitat indeterminada de quilograms de tomàquets, representada per q, si van a

x 0 2(x + 1) + 1 2x + 3

Introducció a l’àlgebra

Activitats

1,25 € kg. d) El salari que cobrarà aquest mes un agent comercial, si percep 800 € fixos, i 20 € per cada unitat de producte venuda, si aquest mes ha venut q unitats.

Introducció a l’àlgebra

33 ■■ Expressa utilitzant el llenguatge algebraic:

42 ■ Agrupa els termes semblants: a) 3x2 - (-2x2) + (-5x2)

a) A un preu p fem un descompte del 15%. b) La base d’un rectangle, que fa 10 cm menys que l’al-

tura, que és x.

c) 4x3 - (-x3) - 7x3 ab 11 d) 2ab + − ab 3 5

c) El perímetre d’un rectangle, si la base és x i l’altura és y.

Monomis i operacions bàsiques amb monomis

2 2 x 2 11 2 x + − x 5 10 15

43 ■

 Efectua les multiplicacions següents: a) 2x3 · 5x4

d) 5xy · 3y2

b) 4x2 · 6x2 · 5x

e) 2ab2 · (-5a2)

c) (-6x

) · (-2x) f) (-10xy) · 5x

34 ■ Indica el grau dels monomis següents: a) -3x2yz3

c) 9x3

b) 4x y

d) 2px

2 2

44 ■■

 Efectua les multiplicacions següents:

3x 2  −x  4 x 5x e) ⋅ ⋅x   8  9  25 3 −xy 2x 2 2 3a 2 d) ab ⋅ f) ⋅ 5 4 4 5

2 1 2 x⋅ x 3 4 abc a 2 ⋅ b) 3 5 a)

35 ■■ El volum V d’un cilindre, amb radi de la base x i altura y, es calcula amb el monomi V = px2y. a) Indica el grau del monomi. b) Calcula el seu valor numèric quan x = 3 cm i

45 ■■

 Efectua les multiplicacions següents:

a) 9xy3 : (-3xy) g) 8ab3 : (-4a)

y = 12 cm.

c) En quines unitats s’obté el resultat de l’operació? Hi ha

b) (-12x4) : 4x3

alguna relació amb el grau del monomi?

c) 16a b : 8ab 2 2

d) -30y6 : (-5y) 36 ■■ Expressa, utilitzant monomis, la superfície i el volum

e) (-25x

d’un cub d’aresta x, i digues el grau de cadascun.

f) 28x2y3 : 4xy2

37 ■■ La llargada d’una parcel·la és el doble que l’amplada. Si representem aquesta amplada amb x, expressa, utilitzant monomis, el perímetre i l’àrea d’aquesta figura. Indica els graus

46 ■

b) (2x

2 2 ab 3 b) -3ab3

) · (4x)

48 ■■

següents:

e) (4zt)2 · (5z2t)

)

c) x - (-x

a) x2(x3) : (x5)  + 2x · x · (3x) - (2x) · x2

b) (2x) · x3 : (x

)

2 2

-xy2 - 3xy2

 Calcula, si és possible, les sumes i restes de monomis

següents: 3 1 a) x 2 - x 2 4 6 7 5 b) ab - ab 10 4

)

49 ■■

2 x - x2 5 xy +y2 3

- (3x)  + (5x) · 2x2 4

· x - x - (-2x3) : x2 3

) : b2 - (4ab)  + (-2ab)3 : (ab) (12xy)2 - 10x2 · 11y2 + 13x2y2 - (-x2y2) 2

 Simplifica les expressions següents:

a) (4x2) : (6x)  + (5x3) : (3x) - 2x7 : x3 3

b) (5x) : (10x) - (7x) - (3x) : (6x) 4

1 c) x - 2x e) 5 1 d) xy - xy f) 5

2 2

e) 5ab + 7ab

) f)

d) (5ab

 5ab 2c 3   f)   2 

 Simplifica les expressions següents:

c) (3x

d) 6x y - 4x y

b) 6x - (-x

41 ■■

40 ■ Calcula, si és possible, les sumes i restes de monomis

3  d)  x 2 y   4

a) (2ab2)3a4

c) (5a2b) · (ab)

3 3 ab 5 d) µab2

a) 4x - 3x

 Efectua les potències de monomis següents:

c) (10x) : (5x) - (x/2)  + (x/3) : (2x2) 4

d) (8x) : (5x) - 27x3 · x : (3x)  + 48x3 : (6x) 2

e) (4abc) - 3a2b · 5b2c · 2ac2 3

d) (3x) · (5x) f) (-2a2b) 2

e) (3x2y3)

2 3

39 ■ Aparella els monomis que siguin semblants: a)

k) 18x4 : (-3x2)

c) (6x)

 2x  b)    5 

un monomi, quant val la seva àrea.

j) 12a8 : (-3a5) l) 81z5 : (-9z3)

a) (5x)

47 ■■  base petita, i l’altura és igual que la base petita. Expressa, amb

i) (-8x2) : 2x

 Efectua les potències de monomis següents:

respectius. 38 ■■ La base gran d’un trapezi rectangle fa el doble que la

) : 5x

h) 128b4 : 32b2

Polinomis i binomis de primer grau

58 ■

 Calcula el resultat de les multiplicacions següents: a) (x + 4) · (x + 5) f) (x - 2) · (x - 5)

b) (x + 7) · (x - 6) g) (x - 3) · (x + 8)

50 ■ Agrupa els termes semblants i indica el grau del polinomi

c) (3x + 5) · (4x + 2)

resultant.

d) (2x + 5) · (6x-1) i) (8x - 2) · (5x + 4)

a) 2x - 3 - 7x + 5 - 10x + 8 - x + 2x

e) (7x - 2) · (4x - 1) j) (4x - 6) · (2x - 5)

b) 12 + 4x - 11x + 5 - 10x + 7 - 10x c) 2x + 4y - 7 - 11x - 13y - 8 - 22 d) 3x2 - 11x + 4 - 21 - 12x - 6x2 + 1

59 ■■

e) 2x - 5x  + 3x - 6x - 10 + 5x - 5 2x x 2 3 f) − 1+ + 5 − − 3x + 1− 3 2 7 5 2

51 ■

 2x   1 b)  − 4 ⋅5x +    2  5



i D = -x - 1, calcula: c) A - B - C + D

b) D - A - C + B

d) C - D - B - A

x







(x − 9)⋅ 3 − 3

 x 2   3x 5  d)  −  ⋅ +   3 5   2 3 

60 ■■■ Una casa rectangular té una planta de 20 × 15 m. Al seu voltant s’hi fa un parterre d’amplada x que serveix de jardí i que està envoltat per una tanca. Es demana:

 Donats els binomis A = 3x −1, B = 25x − 34 , C = −x + 61

a) Demostra que la longitud d’aquesta tanca es pot cal-

52 ■■  iD=

 Calcula el resultat de les multiplicacions següents:

x  a)  − 4 ⋅( x − 8)  2

Donats els binomis A = 5x - 3, B = -3x + 4, C = x + 3

a) A + B - C + D

h) (7x + 5) · (3x - 2)

Introducció a l’àlgebra

Activitats

−x 2 + , calcula: 3 7 a) C + D - A - B

c) A - D + C - B

b) B + C - D - A

d) C + A - B + D

cular amb el binomi de 1r grau L = 8x + 70. b) Troba la fórmula que permet calcular l’àrea del passadís. 61 ■■■ El triangle de la figura té una base de 8 unitats i una altura de 4. Es demana:

53 ■■ Efectua les operacions següents: a) 6(2x - 3)

d) -3x(x - 4)

2  3x 1  g)  −  5  4 4 

b) -4(x - 5)

e) -2x(-x + 7)

1 x   − 1 5  4 

C x/2 H

2x  3 c) 3(4x - 6) f) 5x(2x - 4) i)  x −  3 4  54 ■

 Simplifica les expressions següents:

a) 4(2x - 3) - 5(x - 2) + 7(3x - 1) - (x + 4)

b) 5(x - 2) + 4(2x + 1) - (x - 3) - 2(x + 4)

a) L’àrea del triangle GCH es pot expressar com un mo-

d) 3(x + 2) - 6(x - 1) + 7(-x + 3) - 2(x + 3)

b) Quant valen els segments FD i DH?

nomi. Troba’l.

c) 2(3x - 1) - 6(x - 5) + 4(2x - 1) - (x + 5)

c) Demostra que l’àrea del trapezi GCDA és 16. d) Troba l’àrea del triangle FDH.

55 ■■ La base d’un rectangle fa 10 cm més que l’altura. Si l’al-

e) Amb l’ajuda de les àrees calculades anteriorment, dex2 mostra que l’àrea del triangle GHF és 4x - . 2

tura és x, expressa’n, amb un binomi de 1r grau, el perímetre. 56 ■

F x

 Simplifica les expressions següents:

a) 2(3x + 2y - 6) - 5(x + y - 2) - x - y - 3

b) 5(x + y - z) + 2(x + 3y) - 4(2x - 5z) 2  x 1 3  −2x 1 1 c)  +  −  +  − ( x − 2) 3  2 4  4  9 6  5 d)

Potències de binomis i identitats notables

 1 3  1 1 3x 2x −  −  − 10 + (−x + 8)  4 4 6  5  2

62 ■

 Fes

les operacions següents utilitzant les identitats

notables: a) (x + 9) f) (4x + 6) 2

57 ■■

 Donats els binomis A = 2x + 3, B = 3x

- 5x, C = 4x -

- x2 i D = -2x + 4, calcula: a) 2xA - 3B + C + 5xD

c) B + 2C - xA - 2xD

b) xA - 2B + 3C + 4xD

d) -xA + 4B - 3C + 2xD

b) (2x + 7) 2

c) (5x - 2)

d) (4x + 8) 2

e) (x - 11)

g) (3x - 10) 2

h) (x + 5) · (x - 5)

i) (x - 6) · (x + 6)

j) (2x + 3) · (2x - 3)

Introducció a l’àlgebra

Repte 63 ■■■ Simplifica les expressions donades fent ús de les iden-

66 ■■■ En un videojoc de fantasia, els jugadors han de crear

titats notables.

personatges seguint unes regles. Disposen de 100 punts que

(x + 1) + (x − 1) 2

a) b)

x −1

( x + 3) · ( x − 3) − 6x + 18

han de repartir entre quatre qualitats: força, intel·ligència, destresa i carisma. El valor mínim de cadascuna és 10. Cada qualitat afecta unes capacitats determinades del personatge; per exemple, la intel·ligència està relacionada amb l’ús de la màgia, i la força amb l’ús d’armes i armadura. Els conjurs mà-

64 ■■■ A continuació es presenten diverses expressions alge-

gics que apareixen en aquest joc estan classificats per nivells

braiques. Cada lletra representa un nombre. Una mateixa lletra

segons el seu poder o la magnitud dels seus efectes. El màxim

representa el mateix nombre en totes les igualtats donades.

nivell dels conjurs que pot fer un personatge el marca la fór-

Quin ha de ser el valor de z per tal que totes aquestes igualtats

mula N = I/3 + 2, en què I és la seva intel·ligència. Els diferents

siguin simultàniament certes?

tipus d’armadura estan classificats segons la capacitat de pro-

• 2x - y + z = 5

tecció. No tothom és prou fort per portar qualsevol armadura.

• 2x - y + 3z = 11

La fórmula P = F/5 + 1 ens indica la màxima protecció que pot

• 2x - y + 5z = 17

portar un personatge en funció de la seva força, F.

• 2x - y + 7z = 23

a) Si es vol crear un mag que pugui fer conjurs de nivell 15, quina podrà ser la protecció màxima de la seva armadura?

100

65 ■■■ En una botiga s’ingressen 120 € cada hora que ober-

b) Un jugador està creant un arquer amb 40 de destre-

ta. Cada dia obre de 10 a 14 i de 16 a 20. Les despeses diàries

sa i 15 de carisma. Quins valors ha d’assignar a la força i

són, en total, 780 €. Escriu una fórmula que permeti calcular els

la intel·ligència perquè pugui portar protecció de nivell

beneficis en funció del temps, comptant aquest en setmanes de

6 i fer conjurs de nivell 8?

6 dies laborables.

Autoavaluació Sé calcular el valor numèric d’una expressió alge braica? 1. Calcula el valor numèric de P = x + y quan x = 2 i y = 7. Sé classificar les igualtats algebraiques? 2. Classifica les igualtats algebraiques següents:

Sé fer operacions amb monomis? 4. Fes les operacions següents: a) 4x2 + 7x2

c) 12x2 : 3x

b) 9x - 13x

d) 5x · 4x3

5. Expressa com un únic monomi (2x) · x3 + (7x3) : x4. 2

a) 2a + 3 = 5

6. Calcula i indica el grau del polinomi resultant de l’operació:

b) a + a + 1 = 2a + 1

4x3 - 6x + 3 - 8x - 10 + x2 - x3 + 2x2 -3x3.

Entenc el llenguatge algebraic? 3. Expressa en llenguatge algebraic els enunciats següents: a) La meva edat és x, i el meu pare té 30 anys més. Quina serà la suma de les nostres edats d’aquí a 3 anys?

7. Aplica la propietat distributiva i simplifica les expressions següents: a) 3(5x -1) + 2(x + 5)

b) 3(x + 2) - 2(x - 1) - (5 - x)

b) Un electrodomèstic valia x €. Quant val ara si fan el

8. Calcula el resultat de les operacions següents amb binomis

12% de descompte?

de 1r grau:

c) La base d’un rectangle fa 5 cm menys que l’altura. Si aquesta és x, amb quina fórmula es pot calcular el perímetre?

a) (x + 6) · (x - 6)

b) (2x + 3)

9. Calcula el resultat de l’operació combinada següent:

(2x + 3) · (x - 2) - 2(x - 1)2.

El cofre del tresor No va ser un, sinó tres, els cofres que els tres pirates més temuts del Carib havien aconseguit. El cofre vermell pertanyia al pirata Barbarossa, el daurat a Barba-neta i el blau a Barba-seca. Parlaven jocosament en una taverna sense sospitar que en Lluc, el mariner, prenia nota de tot allò que deien sense ser observat per poder robar el cofre amb el tresor més gran.

Introducció a l’àlgebra

Competències que sumen

101 1. Va començar a parlar en Barba-rossa: «Heu de saber, amic Barba-neta, que el meu cofre vermell conté 100 monedes més d’or que el vostre cofre daurat». En aquest moment en Lluc va prendre la nota següent: a) x (cofre vermell), x + 100 (cofre daurat) b) x (cofre daurat), x + 100 (cofre vermell) c) x (cofre daurat), x - 100 (cofre vermell) d) x (cofre daurat), 100 (cofre vermell) Quina de les quatre opcions és la correcta? 2. En Barba-neta va contestar: «Però no em puc queixar, perquè en Barba-seca, en el seu cofre blau, té 200 monedes d’or menys que jo». En Lluc de seguida va prendre una nota similar a l’anterior. Què hi va escriure? 3. En Barba-seca va replicar: «Sou uns fanfarrons. Heu de saber que al cofre hi tinc el doble de perles que qualsevol de vosaltres dos». Si en Lluc va anomenar x les perles que tenia el cofre daurat, respon: a) Com va anomenar les perles que tenia el cofre blau? b) I les del cofre vermell? 4. En Barba-seca va continuar explicant: «A més, el meu cofre conté el mateix nombre de maragdes que els vostres dos cofres junts». En Lluc va anomenar x les maragdes del cofre blau, y les del vermell i z les del cofre daurat. a) Quina equació va escriure per relacionar x, y, z? b) Posa un exemple de les maragdes que podrien tenir cadascun dels cofres. 5. Finalment en Lluc va escriure y = x + 2, z = x + 3, en què x eren els lingots del cofre daurat. Redacta una frase d’algun dels pirates que portés en Lluc a escriure aquesta equació. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Les equacions Aïllar la incògnita

El mot àlgebra prové de l’àrab al jabr, que significa ‘reducció’. Va ser el gran matemàtic Al-Khwarizmi qui primer va escriure sobre àlgebra i li va donar aquest nom. Al-Khwarizmi va néixer cap a l’any 780 a l’actual Uzbekistan i va morir a Bagdad (Iraq) cap al 850. A més de ser considerat pare de l’àlgebra va ser un dels introductors del sistema de numeració actual a Europa. La seva obra es va traduir al llatí i es va utilitzar en les universitats europees fins al segle xvi.

102

L’autor del primer llibre d’àlgebra escrit a Europa, i que a més incloïa la resolució completa d'una equació de segon grau, va ser Abraham Bar Hiyya, matemàtic i astrònom jueu nascut a Barcelona cap al 1070 i mort a Narbona (França) cap al 1140. El seu tractat de geometria va ser traduït de l’hebreu al llatí, amb el títol Liber Embadorum, per Plató de Tívoli, amb qui havia col·laborat en altres traduccions. Les equacions constitueixen un mètode per resoldre problemes matemàtics. La solució del problema es representa amb una lletra anomenada incògnita, generalment la x. Primer, s’ha d’escriure la versió algebraica del problema en la qual apareixerà la incògnita x. Fent transformacions lògiques sobre l’equació s’aconsegueix aïllar la incògnita, és a dir, arribar a una expressió algebraica que ens diu quin és el valor de x. El procés d’aïllar la incògnita es basa en dos aspectes fonamentals. Un són les operacions elementals: sumar, restar, multiplicar i dividir. L’altre és l’aplicació de l’axioma principal de l’àlgebra i les matemàtiques: si a dues coses iguals se’ls aplica la mateixa transformació, els resultats obtinguts també són iguals. Tot això es posa de manifest en situacions com la següent. Pensa un nombre. Suma-hi cinc unitats. Duplica’n el resultat. Ara resta-n’hi quatre. Divideix-lo per la meitat. Finalment, resta-hi 3 unitats. Què t’ha donat?

Aquest era el nombre que havies pensat, oi que sí? Els prestidigitadors numèrics acostumen a plantejar qüestions semblants. El públic pensa que és cosa de màgia, però la veritat és que no hi ha cap truc, sinó que l’endevinalla es basa en l’àlgebra d’equacions. El nombre s’endevina perquè els càlculs porten sempre al mateix resultat sigui quina sigui la xifra que s’hagi pensat. S’anomena x el nombre que pensem. Hi sumem cinc unitats i obtenim x + 5. Després, el dupliquem i obtenim 2(x + 5). Tot seguit traiem quatre unitats. El que hem fet fins ara es resumeix en: 2(x + 5) - 4. Tot plegat és equivalent a:

(x + 5)2 - 4 = 2x + 10 - 4 = 2x + 6 = 2(x + 3) El pas següent és trobar-ne la meitat. La meitat de 2(x + 3) és (x + 3). I, finalment, es resten tres unitats. I així, el nombre final és:

(x + 3) - 3 = x Hem tornat al mateix nombre del principi. No hi ha cap màgia. Només es tracta d’efectuar una sèrie d’operacions algebraiques com si fos una equació. Tothom pot inventar-se situacions com aquesta.

Analitza i resol 1. Indica quines de les expressions següents són certes: a) 3(x - 1) = 3x

b) 3(x - 1) = 3x - 1 c) 3(x - 1) = 3x - 3

2. Pensa un nombre. Multiplica’l per 3. És parell o senar? Si és parell, divideix-lo per 2. Si és senar, afegeix-hi una unitat i divideix el resultat per 2. Ara triplica l’últim valor obtingut. Quantes vegades senceres cap el 9 en aquest darrer nombre? Comprova que el nombre al qual has arribat és el doble del que havies pensat (si aquest era parell) o el doble menys la tercera part (si aquest era senar). 3. Tenim un cordill de longitud 1 m i volem tancar un rectangle de llargària doble que l’amplària. Si x representa l’amplària del rectangle, escriu una equació que representi aquest problema. 4. Tenim un quadrat de costat 10 cm. Quina longitud hem d’afegir a cada costat de manera que el perímetre es dupliqui? Expressa-ho mitjançant una equació. 5. Escriu una equació corresponent a cadascuna de les expressions següents especificant en cada cas què representa la x: a) El perímetre d’un triangle equilàter de costat desconegut és 318 cm. b) Tinc 14 anys i d’aquí a 7 anys l’edat de la meva mare duplicarà la meva. 6. Les equacions serveixen per demostrar que certes coses són impossibles. Com ara que sumant a un nombre la seva meitat i el seu terç mai no aconseguirem duplicar-lo. Comprova-ho amb l’equació corresponent.

Índex

Competències bàsiques

1. Conceptes bàsics d’àlgebra

Matemàtica. Resolució de problemes mitjançant mèto-

2. Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita

des matemàtics.

3. Introducció als sistemes d’equacions

Comunicativa lingüística i audiovisual. Lectura i ex-

4. Resolució de problemes mitjançant equacions

pressió en llenguatge simbòlic d’expressions del llenguatge habitual. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

103

Conceptes bàsics d’àlgebra

Les equacions

1.1

Identitats i equacions

Una igualtat algebraica és la que conté expressions algebraiques en els dos membres. Es poden donar dos tipus d’igualtats: • Identitats. Vàlides per a qualsevol valor de les variables. • Equacions. Únicament són vàlides per a certs valors de les variables. Exemple 1. La igualtat x + x + 1 + 5 = 2x + 6 és una igualtat algebraica que és certa sempre, sigui quin sigui el valor de x. Es tracta d’una identitat. En canvi 3x + 2 = x + 4, només és certa per a un valor de x, que és x = 1. Es tracta d’una equació.

Recorda equació 1r terme

2n terme

2 x + 1   =   5 + 6

1.2

Incògnites i tipus d’equacions

Les variables que apareixen en les equacions s’anomenen incògnites. El tipus d’expressió sol ser un polinomi i això permet classificar les equacions segons el grau. Les variables diferents que apareixen classifiquen les equacions segons el nombre d’incògnites.

incògnita

Exemple 2. Fixa’t en la classificació de les equacions següents segons el grau i nombre d’incògnites:

104

variables diferents

nombre d’incògnites

grau

3x - 2 = 10

primer grau amb una incògnita

x  - 3x + 2 = 0

segon grau amb una incògnita

2x + 5y = 10

xiy

primer grau amb dues incògnites

1.3

classificació

Solució d’una equació

Els valors que fan que es compleixi la igualtat són les solucions. Resoldre una equació és el procediment que permet trobar aquestes solucions. Una manera de fer-ho és per tempteig, que consisteix a provar nombres fins que es compleixi la igualtat.

Com aplicar-ho. Resoldre una equació per tempteig Resol per tempteig mitjançant un full de càlcul l’equació 12x + 5 = 7x + 8. • La cel·la B1 es destina a anar posant valors possibles per a x. • A la cel·la A3 es calcularà 12x + 5. Les fórmules d’un full de càlcul comencen per =, I el signe de multiplicar és *. En lloc de x posa B1, que és la cel·la on hi ha el seu valor. La fórmula és =12*B1+5. • A la cel·la B3 has d’escriure el que correspon a 7x + 8, que és =7*B1+8. • Canviant successivament el valor de la cel·la B1, pots anar ajustant el resultat de les cel·les A3 i B3 fins que quedin iguals; en aquest cas, per a x = 0,6.

Consells Amb aquest sistema també es poden resoldre equacions de 2n grau o superior, com per exemple x3 = x + 3. En aquest cas, i utilitzant el mateix full de càlcul, caldria escriure =B1^3 a la cel·la A3 i =B1+3 a la cel·la B3. Variant el valor de B1, trobaràs que x val 1,67. Vegeu l’exercici 25 pàg. 117.

1.4

Equacions equivalents

Les equacions equivalents són les que tenen la mateixa solució. El model de la balança permet fer una interpretació visual. Els dos membres o costats de l’equació equivalen als dos plats de la balança, i el símbol d’igual, a l’agulla que marca l’equilibri. Per mantenir la balança en equilibri cal treure o posar la mateixa quantitat de pes als dos plats. Passa el mateix en el cas de les equacions: la igualtat de l’equació es manté si els dos membres augmenten o disminueixen en la mateixa proporció. Les noves equacions obtingudes així són equivalents a la inicial.

Recorda El model de la balança permet fer una interpretació visual d’una equació. Pots comprovar que la pesa x que equilibra la darrera balança ha de fer 2 kg.

Exemples 2 kg

3. Les equacions x - 2 = 3 i 3x = 15 són equivalents, ja que totes dues tenen la solució x = 5: 5

1 kg

x - 2 = 5 - 2 = 3

3x = 3 · 5 = 15

4. Donada l’equació x - 4 = 1, sumant 2 als dos membres de l’equació s’obté una altra equació equivalent: x - 4 = 1 → x - 4 + 2 = 1 + 2 → x - 2 = 3

2 kg

1 kg

2 + 2 > 1 + 1 2 kg 2 kg

1 kg 1 kg

Pots comprovar que la solució de totes dues és x = 5: 5

2 + 2 = 1 + 1 + x

x - 4 = 5 - 4 = 1

105

x - 2 = 5 - 2 = 3

5. Donades les equacions següents, es vol que en el primer membre només quedi x. a) x - 4 = 2. S’ha de sumar 4 als dos membres: x - 4 = 2 → x - 4 + 4 = 2 + 4 → x = 6 b) x + 3 = 5. Cal restar 3 als dos membres: x + 3 = 5 → x + 3 - 3 = 5 - 3 → x = 2h c) 3x = 6. En aquest cas cal dividir els dos membres per 3: 3x 6 3x = 6 → = →x =2 3 3 x d) = 4 . Cal multiplicar tots dos membres per 3: 3 x x 3x = 4 → ⋅3 = 4 ⋅3 → = 12 → x = 12 3 3 3

Aplica

3 ■■ Resol per tempteig les equacions següents: a) 2x + 4(5 - x) = 16

1 ■ Classifica en identitats i equacions les expressions següents: a) 3x - 2 = x + 2(x - 1) b) x + 4 = 5x c) (A + B)  = A  + 2AB + B 2

b) 2(x + 3) = 3(2x + 1) + 1

c) 5x = 25 d) x3 = 5 - 4x

Resol

4 ■ En les equacions següents, fes una única transformació per 2 ■ Classifica les equacions següents segons el seu grau i el

aconseguir que la incògnita només aparegui en un dels dos

nombre d'incògnites:

membres:

a) x  - 2x + 3 = 0

a) x + 7 = 11

b) 3x - 2y = 6

b) -6x = 90

c) x  - 4x  + 3 = 0

c) x + 5 = -2

d) x2 - xy + y2 = 7

d) 4x = -20

2 Les equacions

Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita 2.1

Resolució d’equacions senzilles per transposició de termes

Fent la mateixa operació als dos membres d’una equació (transposició), es pot simplificar una equació fins a deixar la x aïllada en un dels dos membres. Exemple 6. Fixa’t com s’aïlla la x en el primer membre de l’equació 7x - 4 = 4x + 8: 1. Primer es resta 4x als dos membres: 7x - 4 - 4x = 4x + 8 - 4x → 3x - 4 = 8 2. Fent això s’aconsegueix que les x quedin en el primer membre. Ara se suma 4 als dos membres: 3x - 4 + 4 = 8 + 4 → 3x = 12 3. Finalment, es divideixen els dos membres per 3: 3x 12 = →x=4 3 3

2.2 Recorda 106

Regles de la transposició de termes

El mètode de la transposició es torna més llarg i laboriós a mesura que es compliquen les equacions. Els passos anteriors es poden fer de manera més directa aplicant les anomenades regles de transposició de termes. La taula següent resumeix el procés seguit en l’exemple 6:

Si a l’esquerra està…

… passa a la dreta…

sumant

restant

equació

acció

primer membre

segon membre

restant

sumant

x - 4 = 2

sumar 4

es treu el 4 que resta

es posa el 4 sumant

multiplicant

dividint

x + 3 = 5

restar 3

es treu el 3 que suma

es posa el 3 restant

dividint

multiplicant

3x = 6

dividir per 3

es treu el 3 que multiplica

es posa el 3 dividint

x =4 3

multiplicar per 3

s’elimina el 3 que divideix

es posa el 3 multiplicant

x + 1 = 3 → x = 3 − 1 − x − 1 = 3 → x = 3 + 1 + 6 3x = 6 → x = 3 : x = 6 → x = 6 ·3 3 ⋅

• Quan un terme està sumant en un membre, passa a l’altre restant. • Quan un terme està restant en un membre, passa a l’altre sumant. • Quan un terme està multiplicant en un membre, passa a l’altre dividint. • Quan un terme està dividint en un membre, passa a l’altre multiplicant. Exemple 7. Resol 7x - 4 = 4x + 8 per transposició de termes. 1. Primer passa el 4x del segon terme cap a l’esquerra restant, perquè és positiu: 7x - 4 = 4x + 8 → 7x - 4x - 4 = 8 → 3x - 4 = 8 2. Després passa el -4 al segon terme sumant: 3x - 4 = 8 → 3x = 8 + 4 → 3x = 12 3. Fet això, passa el 3 al segon membre dividint: 3x = 12 → x =

12 =4 3

2.3

Resolució d’equacions amb parèntesis Recorda

Quan una equació té parèntesis, cal eliminar-los aplicant la propietat distributiva i després es resol l’equació resultant aplicant la transposició de termes. Si hi ha un nombre negatiu dins d’uns parèntesis, el signe menys canvia el signe de tots els termes que hi ha dins els parèntesis. Exemple

Quan una equació té parèntesis, cal eliminar-los aplicant la propietat distributiva. 3(x + 2) = 0

8. Fixa’t com es resol l’equació 5(2x + 3) - 4(x - 3) = 22 - (x + 2).

3x + 6 = 0

Primer cal eliminar els parèntesis tenint en compte que el signe menys canvia el signe de tots els termes que hi ha a dins. 5(2x + 3) - 4(x - 3) = 22 - (x + 2) → 10x + 15 - 4x + 12 = 22 - x - 2 Per tenir les x al primer membre, cal passar la -x a l’esquerra sumant, i per tenir els nombres al 2n membre, cal passar +15 i +12 a la dreta restant: 10x - 4x + x = 22 - 2 - 15 - 12 → 7x = -7 Finalment, s’aïlla x, passant el 7, que multiplica la x, a la dreta dividint: −7 7 x = −7 → x = = −1 7

2.4

Equacions amb fraccions

Les equacions amb fraccions s’han de transformar en altres d’equivalents, formades per nombres enters, més senzilles de resoldre. Multiplicant cada terme de l’equació pel mínim comú múltiple dels denominadors, es pot dividir de manera exacta, i quedarà una equació sense fraccions. Exemple x +3 x −2 3 − = . 10 6 2 Els denominadors són 10, 6 i 2. El m. c. m. (10, 6, 2) = 30. Ara cal multiplicar tots els termes per 30. Fixa’t que per multiplicar els binomis es posen entre parèntesis, per tal d’evitar errades en els signes:

9. Fixa’t com es resol l’equació

30 ( x + 3)

30 ( x − 2) 30 ⋅ 3 − = → 3( x + 3) − 5( x − 2) = 15 ⋅ 3 10 6 2 Es treuen els parèntesis i es fan els passos necessaris per aïllar la incògnita: 3x + 9 - 5x + 10 = 45 → 3x - 5x = 45 - 9 - 10 → -2x = 26 → x = 26/-2 = -13

Aplica

6 ■ Resol per transposició de termes les equacions següents: a) 3x - 2 + 7x + 8 - 2x = 6x - 11 - 15x

5 ■■ Resol les equacions amb fraccions següents: x −3 x − 2 x 1 x − + = a) x + = 60 e) 5 4 8 16 2 x + 6 x −3 x x + 3 x −1 x + = −1 f) − = b) 15 6 3 2 3 6 x x x x −1 x + 1 g) + = 3x c) + + = x − 2 2 3 4 2 3 2 x + 1 5x + 1 2 x 3x x = h) + = d) 3 7 10 5 5

b) 5x + 6 + 8x - 10 + 3x = 13 - 20x +19 c) 5x - 1 + 3x - 6 = 4x - 11 + x + 16 7 ■■ Resol les equacions amb parèntesis següents: a) 4(x + 3) + 5(x - 2) = 6(x + 2) - 1 b) 3(x + 4) - 2(x - 1) = 4(x + 1) - 2

c) 2(x + 7) - 4(x - 5) = 20 - (x - 12)

d) 5x + 3(x - 2) - 2(x + 3) = 1 - (x + 4)

107

Introducció als sistemes d’equacions

Les equacions

3.1

Concepte d’equació de 1r grau amb dues incògnites

Una equació de 1r grau amb dues incògnites només conté dues variables, i els termes que hi apareixen són tots de 1r grau. Si es representen les variables amb les lletres x i y, és una igualtat de la forma ax + by = c. S’anomena solució de l’equació el parell ordenat (x, y) que la fa certa. Una equació amb dues incògnites pot tenir més d’una solució, habitualment infinites. Exemples 10. L’equació x + y = 6 és de 1r grau amb dues incògnites. 11. Si ens demanen quin parell de nombres naturals sumen 6, es pot enfocar trobant les solucions que siguin nombres naturals de l’equació x + y = 6. Les possibles solucions es mostren en la taula següent: x

(x, y)

(0, 6)

(1, 5)

(2, 4)

(3, 3)

(4, 2)

(5, 1)

(6, 0)

3.2

108

Concepte de sistema d’equacions de 1r grau

S’anomena sistema d’equacions el conjunt de dues equacions de 1r grau amb dues incògnites. La solució del sistema és la que satisfà simultàniament les dues equacions.

Recorda Un parell de nombres ordenats és un punt en un sistema de coordenades cartesià. Unint només dos punts s’obté una

Exemples

x + y = 10 12. Les equacions  formen un sistema d’equacions. 2x + 3y = 25 13. Ens demanen quins dos nombres naturals sumats donen 6 i restats fan 4. Les equacions que expressem aquestes dues condicions són: x + y = 6 i x - y = 4

recta.

Les possibles solucions de la primera equació són les de l’exemple 11. Les possibles solucions de la segona són infinites. Observa’n algunes: x

…

(x, y)

(4, 0)

(5, 1)

(6, 2)

(7, 3)

(8, 4)

(9, 5)

…

Representant els punts d’aquestes dues taules en uns eixos de coordenades, s’observa que hi ha coincidència per a (x, y) = (5, 1), que és la solució del sistema.

6 5 x+y=6

x–y=4

4 3 2 1 0 0

3.3

Resolució de sistemes d’equacions per substitució

Hi ha diferents mètodes algebraics de resolució d’equacions. En aquest curs s’exposa el de substitució. Per resoldre un sistema d'equacions per substitució has de: 1. Aïllar una incògnita d’una de les equacions. 2. Substituir l’expressió obtinguda en l’altra equació i resoldre l’equació obtinguda. 3. Substituir el valor de la incògnita trobada i fer les operacions. Exemples

x + y = 10 14. Fixa’t com es resol el sistema  : 2x + 3y = 25 S’aïlla x de la 1a equació perquè té coeficient 1 (x = -y + 10).

x + y = 10 → x = −y + 10  2x + 3y = 25

Se substitueix la x de la 2a equació amb el valor de la x de la 1a (x = -y + 10). Es posa entre parèntesis.

2(-y + 10) + 3y = 25

Es resol aquesta equació: primer s’aplica la propietat distributiva per eliminar els parèntesis i després es fa una transposició de termes.

2(10 - y) + 3y = 25 → → 20 - 2y + 3y = 25 → → -2y + 3y = 25 - 20 → → y = 5

El valor de y (y = 5) de la 2a equació s’ha de substituir en la y de la 1a equació.

x = -y + 10 → → x = -5 + 10 → x = 5

Alerta A l’hora de triar una incògnita, és aconsellable seleccionar -ne una que tingui coeficient +1 o -1, així evitem treballar amb denominadors. Així per exemple, en 2x + 3y = 5  4x − y = 3 aïllaríem

La solució del sistema és (x, y) = (5, 5).

tindríem: −3y + 5 2 També és correcte, però comx=

Se substitueix aquest valor de la x en la x de la 2a equació.

 14 − 3y  42 − 9y  + 2y = 11→ + 2y = 11 3  2  2

Es resol l’equació amb denominadors obtinguda: en primer lloc es multipliquen tots els termes per 2, i després se simplifica.

 42 − 9y   + 2 ⋅ 2y = 2 ⋅ 11→ 2   2  → 42 − 9y + 4y = 22 → −9y + 4y = 22 − 42 → −20 → −5y = −20 → y = =4 −5

14 − 3y 2

plicaria els càlculs.

14 − 3 · 4 14 − 3y 2 →x= → x = → x =1 2 2 2

La solució del sistema és (x, y) = (1, 4).

8 ■ Resol per substitució el sistema

9 ■■ Resol els sistemes d’equacions següents: 3x − 2y = 8  −x + 3y = 2

segona

-y = -4x + 3

2x + 3y = 14 → 2x = 14 − 3y → x =

Aplica

Si aïlléssim la y de la primera

No hi ha cap incògnita amb coeficient ±1. Es decideix aïllar la x de la 1a equació.

equació:

2x + 3y = 14 15. Fixa’t com es resol el sistema  : 3x + 2y = 11

Amb la fórmula inicial trobem el valor de l’altra incògnita.

109

x + y = 15 a)  2x + 5y = 51

x − 2y = 2 b)  2x + y = 24

Les equacions

Resolució de problemes mitjançant equacions 4.1

Mètode general

Alguns problemes matemàtics es poden resoldre d’una manera sistemàtica i senzilla utilitzant equacions. Els passos que cal seguir són els següents: 1. Llegir atentament l’enunciat del problema. 2. Decidir quina de les quantitats desconegudes serà la incògnita. 3. Expressar les altres quantitats del problema en funció d’aquesta incògnita. 4. Plantejar i resoldre l’equació. 5. Expressar la solució al problema.

4.2

Problemes de nombres

El nombre que es busca és la incògnita, i s’obté l’equació traduint l’enunciat directament a llenguatge algebraic. Exemple 16. Troba tres nombres consecutius, sabent que la suma del triple del petit més el doble del gran és igual al quàdruple del mitjà més 20. Els tres nombres consecutius són x, x + 1 i x + 2. Traduint directament l’enunciat del problema: el triple del petit és 3x, el doble del gran és 2(x + 2) i el quàdruple del mitjà és 4(x + 1): 3x + 2(x + 2) = 4(x + 1) + 20

110

Traient els parèntesis i fent transposició de termes s’obté: 3x + 2x + 4 = 4x + 4 + 20 → 3x + 2x - 4x = 4 + 20 - 4 → x = 20 Els nombres són 20, 21 i 22.

4.3

Problemes d’edats

S’agafa com a incògnita l’edat actual d’una de les persones, els anys que falten o els que han de passar. Pot ser d’ajuda fer una taula amb les edats de les persones en els diferents anys, i s’obté l’equació traduint l’enunciat directament a llenguatge algebraic. Exemple 17. L’Agustí té 28 anys menys que el seu pare. D’aquí a 2 anys, el seu pare tindrà el triple d’edat que ell. Quines edats tenen pare i fill? Si considerem que l’edat de l’Agustí és x, podem omplir la taula següent:

Agustí Pare de l’Agustí

actualment

d’aquí a dos anys

x + 2

x + 28

x + 28 + 2 = x + 30

D’aquí a 2 anys, l’edat del pare serà el triple que la del fill, i això es pot traduir a l’àlgebra directament: 3(x + 2) = x + 30 → 3x + 6 = x + 30 → 3x - x = 30 - 6 → → 2x = 24 → 24/2 = 12 anys L’edat del fill és 12, i la del pare, 12 + 28 = 40 anys.

4.4

Problemes amb objectes de valors diferents

Es disposa de dues classes diferents d’un mateix tipus d’objecte, i es vol saber quants n’hi ha de cada classe o el preu de cada un. La incògnita s’agafa, habitualment, com la quantitat o el preu d’un dels dos objectes. Encara que no és imprescindible, ajuda molt omplir una taula.

Recorda Els problemes de comptar també es poden resoldre utilit-

Exemples

zant els sistemes d’equacions.

18. En un magatzem hi ha 200 garrafes d’aigua de dues capacitats diferents: de 5 L i de 8 L. Si en total hi ha 1 150 L, quantes garrafes hi ha de cada classe?

Si x i y són el nombre d’ampolles

Considerant x com el nombre de garrafes de 5 L, es pot construir la taula següent:

x + y = 200  5x + 8y = 1 150

garrafes de 5 L

garrafes de 8 L

nombre de garrafes

200 - x

litres

8(200 - x)

de 5 i 8 litres respectivament:

Si x és el preu d’un tallat, i y, el d’un cafè amb llet: y = x + 0, 15  4x + 5y = 9, 30

Sumant els litres totals corresponents als dos tipus de garrafes, es pot plantejar l’equació: 5x + 8(200 - x) = 1 150 Es resol aquesta equació traient parèntesis i fent transposició de termes: 5x + 8(200 - x) = 1 150 → 5x + 1 600 - 8x = 1 150 → → 5x - 8x = 1 150 - 1 600 → -3x = -450 → x = -450/-3 = 150 garrafes Hi ha 150 garrafes de 5 L i 200 - 150 = 50 garrafes de 8 L. 19. Un cafè amb llet costa 15 cèntims més que un tallat. Quatre tallats i cinc cafès amb llet costen en total 9,30 €. Quant val un cafè? I un tallat? Si el preu d’un tallat és x, el d’un cafè amb llet és x + 0,15. Quatre tallats i cinc cafès amb llet valdran 4x + 5(x + 0,15) i això és igual a 9,30 €. Tenim l’equació: 4x + 5(x + 0,15) = 9,30 → 4x + 5x + 0,75 = 9,30 → 4x + 5x = 9,30 - 0,75 → 9x = 8,55 → x = 8,55/9 = 0,95 € El preu del tallat és 0,95 €, i el d’un cafè amb llet és 0,95 + 0,15 = 1,10 €.

Resol

14 ■■ L’Antònia, que ara té 41 anys, té dos fills bessons, en Pau i l’Anna, que ara tenen 8 anys. Quants anys han de passar

10 ■ L’Iris va néixer un any del segle xx que es caracteritza per-

fins que l’edat de la mare sigui el doble que la suma de les edats

què la xifra de les desenes és el nombre següent a la xifra de les

dels fills?

unitats, i la suma de totes les xifres és 27. De quin any es tracta? 15 ■■ Una pel·lícula en DVD costa 5 € més que un CD de mú11 ■■ L’Estefania té 12 anys, i la seva mare, 36. D’aquí a quants

sica. Tres DVD i dos CD costen 65 €. Quant costa cada un?

anys l’edat de la mare serà el doble que la de la filla? 16 ■■ Troba tres nombres consecutius, de manera que el quà12 ■■ En una granja hi ha gallines i porcs. Es fa un recompte

druple del més petit, sumat amb el triple del mitjà, tingui com a

d’animals, i n’hi ha 100. Es compten les potes, i n’hi ha 340.

resultat el quíntuple del gran, sumant-li 17.

Quantes gallines i quants porcs hi ha? 17 ■■ La Irene, la Naima i la Carol es reparteixen un premi de 13 ■■ En Gabriel porta 7 monedes a la butxaca que en total

70 €. A la Naima li toca el triple que a la Irene, i a la Carol, 10 €

fan 2 €. Les monedes són de dues classes: de 20 cèntims i de 50

més que a la Naima. Quants diners toquen a cadascuna?

cèntims. Quantes en porta de cada classe?

111

Les equacions

4.5

Problemes geomètrics

Es tracta de trobar un element geomètric (costat, àrea, angle…) coneguts d’altres elements de la figura i la fórmula geomètrica que els relaciona.

Alerta

Exemples

En els problemes geomètrics és important dibuixar la figura

20. En un trapezoide, un dels angles mitjans fa 15º més que l’angle petit, i l’altre angle mitjà és el quàdruple que l’angle petit. L’angle gran fa tant com els dos mitjans junts. Troba quant fa cada angle si els quatre sumen 360º.

que els representa. D’aquesta manera pots veure com es relacionen els diferents elements.

Si l’angle petit és x, els dos angles mitjans fan x + 15 i 4x respectivament. L’angle gran fa tant com els dos mitjans, que vol dir 5x + 15º x + 15 + 4x, que agrupant dóna 5x + 15. x + 15º La suma dels quatre angles ha de donar 360º. Això permet escriure:

x + (x + 15) + 4x + (5x + 15) = 360 → x + x + 4x + 5x = 360 - 15 - 15 → →11x = 330 → x = 330/11 = 30º L’angle petit fa 30º, els dos mitjans fan 30 + 15 = 45º i 4 · 30 = 120º, i el gran, 5 · 30 = 165º.

112

21. Es pot definir el metre com la deumilionèsima part de l’arc de meridià que va des del pol Nord fins a l’equador. Es demana:

N pol Nord 106 m

a) Suposant que la terra és perfectament esfèrica, quant mesura l’equador? La distància del pol Nord a l’equador és de 10 000 000 m, que equival a 10 000 km. La volta sencera és el quàdruple de la distància anterior, que són 40 000 km.

meridià 0

b) Quant val el radi de la Terra? Si x és el radi de la Terra, la longitud de la volta sencera és 2px, i això coincideix amb 40 000 km. Podem posar: 40 000 20 000 2πx = 40 000 → = 2π π

equador S pol Sud

4.6

Problemes amb fraccions

El plantejament és similar al de les equacions senzilles. En el desenvolupament cal tenir present que la fracció d’una quantitat equival al producte de la fracció per la quantitat, i saber distingir quan l’enunciat parla de fracció del total o fracció del que queda.

Alerta La fracció d’una quantitat s’obté multiplicant la fracció 2 2x per la quantitat: de x =  5 5 2 de 3x 2 ⋅ 3x = 5 7 5 ⋅7

Exemple 22. L’aigua, quan es glaça, augmenta de volum en 1/10. Si un glaçó fa 11 cm3, quin volum tenia l’aigua líquida? L’aigua líquida ocupa un volum desconegut, que representem amb la lletra x. L’augx ment de volum quan es glaça és la dècima part d’aquesta quantitat, és a dir . El 10 volum total és el que teníem al principi més el que ha augmentat, i ha de donar 11: x x+ = 11 10 Com que és una equació amb denominadors, cal multiplicar cada terme per 10 i simplificar: x 110 10 ⋅ x + 10 ⋅ = 10 ⋅ 11→ 10x + x = 110 → 11x = 110 → x = = 10 cm m3 10 11

Consells

Com aplicar-ho. Resoldre problemes de repartiments L’Àngel, la Irene, en Josep i en Pau han anat a la festa d’aniversari de l’Estefania, i els ha regalat una bossa amb caramels. Com que són molt entremaliats, no ha estat possible que se’ls repartissin a parts iguals i ho han fet d’aquesta manera: l’Àngel, que sempre té molta gana, n’ha agafat la tercera part; la Irene, que no vol ser menys que l’Àngel, n’ha pres la meitat del que quedava; en Josep que ja havia menjat molt de pastís, n’ha volgut només un sisè de la resta; i tot i això, per a en Pau han quedat 5 caramels. Quants caramels els havia regalat l’Estefania? Quants n’han tocat a cada nen? • Es decideix que el total de caramels serà la incògnita x. • Es construeix una taula que ajudi a expressar totes les relacions: nen

quantitat

expressió algebraica

Àngel

1/3 del total

x 3

Irene

1/2 de la resta

Josep

1/6 de la resta

Pau

total

1 2x 2x x ⋅ = = 2 3 6 3 1 x x ⋅ = 6 3 18

queden... x−

x 2x = 3 3

2x x x − = 3 3 3

Si total = x: 2 2x del total: 5 5 2 x 3x Queda: x − = 5 5 1 Aleshores, del que queda és: 4 1 3x 1⋅ 3x 3x ⋅ = = 4 5 4 ⋅ 5 20 Quan es resten fraccions, convé recordar la reducció a comú denominador amb el m. c. m.: x x x x− = − 3 1 3 m. c. m.(3, 1) = 3 x x 3x x 2 x − = = = 1 3 3 3 3 Vegeu els exercicis

• Com que la suma del que toca a cadascun dels quatre nens és igual al total de caramels, l’equació és: x x x + + +5= x 3 3 18 • Es resol aquesta equació multiplicant cada terme pel m. c. m. (3, 18) = 18 i simplificant: x x x 18 ⋅ + 18 ⋅ + 18 ⋅ + 18 ⋅ 5 = 18 ⋅ x → 6x + 6x + x + 90 = 18x → 3 3 18 −90 = 18 → 6x + 6x + x − 18x = −90 → x = −5 L’Estefania els ha regalat 18 caramels. A l’Àngel n’hi han tocat 6; a la Irene, 6; a en Josep, 1, i a en Pau, 5.

Resol

Convé distingir si s’està parlant de fracció del total o de la fracció del que queda:

19 i 20 pàg. 113; 63 i 64 pàg. 119.

21 ■■ Troba tres nombres consecutius si la tercera part del més gran, més la setena part del mitjà augmentada en una unitat,

18 ■ En un quadrilàter, si s’ordenen els angles de més petit a

dóna la meitat del més petit.

més gran, cadascun fa 30º més que l’anterior. Calcula quant fa cada angle.

22 ■■■ Un grup d’amics es reparteixen unes monedes d’un euro. En David n’agafa la tercera part, en Dani es queda la quar-

19 ■■ El cafè, quan es torra, perd la cinquena part del seu pes.

ta part del que quedava, en Maties en pren la meitat de la resta,

Si tenim 64 kg de cafè torrefacte, quant pesava el cafè natural?

i per a en Frederic en queden 6. Quantes monedes hi havia en total?

20 ■■ L’amplada d’un camp de futbol és cinc setens de la seva llargada, i el perímetre són 240 m. Calcula les mides d’aquest

23 ■■ La llargada d’un camp de futbol fa 20 m més que la seva

camp.

amplada, i el perímetre és de 360 m. Calcula’n les dimensions.

113

Tot són matemàtiques

Equacions per construir una làmpada Quan es comencen a estudiar les equacions es té la sensació que totes aquestes igualtats matemàtiques són conceptes abstractes allunyats de la realitat. No és cert: enginyers, arquitectes i dissenyadors les utilitzen per construir objectes reals. En aquest cas, les equacions ajuden a dissenyar una làmpada.

114

Un cop has decidit els paràmetres altura h, radi de la base R, i radi superior r pots trobar les generatrius G, g i l’angle θ i dibuixar la pantalla del llum.

Una forma tradicional molt estesa de les pantalles de les làmpades és el tronc de con, una figura que consisteix en un con seccionat per un pla paral·lel a la base. Construir-lo planteja un problema típic en el disseny d’objectes: passar del pla a l’espai, en aquest cas, d’un full de paper o un tros de tela a una forma amb volum.

Les equacions Analitza i investiga 1. Explica què és la generatriu d’un con. 2. Construeix una pantalla petita amb l’ajuda de les equacions vistes en la infografia. Selecciona les mesures inicials adequades (r, R i h) i fes una prova en paper (DIN A4). Opcionalment, completa-la a l’aula-taller de tecnologia amb una estructura de suport per a la bombeta, i un sistema elèctric adequat (casquet de la bombeta, cable amb endoll i interruptor). Pots personalitzar la làmpada com t’agradi: pintar-la, afegir-hi complements, etc. 3. Formeu grups, amb ajuda del professor o professora, i busqueu informació i imatges d’objectes tridimensionals en què el disseny parteixi de figures planes. Confeccioneu un petit treball, mural, o presentació de diapositives sobre aquest tema, expliqueu el procés de disseny d’aquests objectes i indiqueu en quina part del procés intervenen les equacions. Presenteu el treball a classe. 4. Explica com trobaries experimentalment el volum d'un tronc de con. 5. Investiga com es podria calcular el volum del tronc de con de l'activitat 2 i comprova el resultat empíricament.

115

Les equacions

Això és bàsic Igualtats algebraiques

Identitats. Són les que són certes per a qualsevol valor de les

Igualtats que tenen una

variables. Expressen propietats generals: x2 · x3 = x5.

expressió algebraica a cada membre.

Equacions. Són les que només són certes per a alguns valors de les variables, i per aquest motiu s’anomenen incògnites: 2x + 5 = 11. Dues equacions són equivalents quan tenen exactament les mateixes solucions. Resoldre una equació amb una incògnita és transformar-la en altres d’equivalents més senzilles, fins a arribar a x = a.

regles de transposició de termes Un terme que està sumant en un membre passa a l’altre membre restant.

x + 3 = 8 → x = 8 - 3 → x = 5

Un terme que està restant en un membre passa a l’altre sumant.

x - 6 = 10 → x = 10 + 6 → x = 16

Un terme que està multiplicant en un membre passa a l’altre dividint.

2x = 10 → x =

Un terme que està dividint en un membre passa a l’altre multiplicant.

x = 10 → x = 10 ⋅ 2 → x = 20 2

10 →x =5 2

Equació de 1r grau amb dues incògnites: ax + by = c.

116

ax + by = c Sistema d’equacions de 1r grau amb dues incògnites:  . a ′x + b ′y = c ′

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Resoldre una equació de

1. Aplica les regles de transposició per separar incògnites i nombres.

1r grau sense parèntesis

2. En cada membre, agrupa termes semblants. Queda de la forma ax = b. b 3. Aïlla x. La a que multiplica passa dividint, és a dir, x = . a

Resoldre una equació de

1. Aplica la propietat distributiva per eliminar els parèntesis.

1r grau amb parèntesis

2. Resol l’equació sense parèntesis que s’obté.

Resoldre una equació de

1. Calcula el m. c. m. dels denominadors.

1r grau amb fraccions

2. Multiplica tota l’equació, fracció a fracció, pel m. c. m., deixant el factor indicat. 3. Simplifica els denominadors i resol l’equació amb parèntesis que s’obté.

Resoldre un sistema

1. Aïlla una incògnita d’una de les equacions; si és possible, la que tingui com a coeficient +1 o -1.

d’equacions per substitució

2. Substitueix la mateixa incògnita de l’altra equació, per l’expressió obtinguda. 3. Resol l’equació amb una incògnita que s’obté. 4. Substitueix el valor de la incògnita trobada en l’expressió de la incògnita aïllada i fes les operacions.

Resoldre problemes

1. Llegeix atentament l’enunciat del problema.

mitjançant equacions

2. Decideix quina és la incògnita, i expressa les altres dades en funció d’aquesta. 3. Planteja l’equació i resol-la. 4. Presenta la solució del problema.

Resoldre una equació per

1. Posa un valor a la cel·la A1, que serà x.

tempteig amb full de càlcul

2. Posa la fórmula corresponent al 1r membre de l’equació a la cel·la B1. 3. Posa la fórmula del 2n membre de l’equació a la cel·la B2. 4. Canvia per tempteig el valor de la cel·la A1 fins a aconseguir que les cel·les B1 i B2 siguin iguals. Aquest valor és la solució de l’equació.

Conceptes bàsics d’àlgebra

 Troba la solució d’aquestes equacions per transposició, i

30 ■■

simplifica el resultat si és necessari:

24 ■ Indica quines de les igualtats següents són identitats i qui-

a) 2x + 15 - 3x + 11 - 12x = 5 - 11x + 13

nes són equacions:

b) 3x - 11 + 4x - 19 = 5x + 12 + 2x - 17

a) 2(x + 2) + x = 3(x + 1) + 1

c) 8x - 12 -12x - 7 = 7x - 6 + 4x - 10

b) x + (x + 1) + (x + 2) = 150

d) 6x - 12 + 4x - 9 = 12x - 11 + 3x + 12 e) 3x - 11 = 4x - 5 - 6x + 7 - 8x + 9 f) 11 - 10x + 9 = 8x - 7 + 6x - 5 + 4x

25 ■ Classifica les equacions següents segons el grau i el nombre d’incògnites:

 Resol les equacions amb parèntesis següents:

31 ■

a) 3x - 1 = x2

a) 5(x - 2) = 2(x + 1)

b) x3 - 1 = 26

b) 4(x - 5) = 3(x + 2)

c) 2x + 5y = 20

c) 2(x + 4) + 5(x - 1) = 10

d) x2 + y2 = 10

d) 6(x + 2) - 2(x + 1) = 18

26 ■■ Resol per tempteig les equacions següents: a) 5x = x + 4

e) 3(x + 1) - 4(x - 2) - (x - 1) = 12

f) 4(x + 3) - 5(x - 2) = 19 - (x - 3)

b) x3 - 8 = 0

 Resol les equacions amb parèntesis següents, i sim-

c) 6x + 1 = 3x + 7

32 ■■

d) 2x  = 16

plifica el resultat si és necessari: a) 3(2x + 1) + 2(x - 3) = 5x + 3

27 ■■■ En les equacions següents s’indica entre quins dos nombres naturals hi ha les solucions respectives. Aproxima-les per tempteig amb dos decimals: a) 7x - 1 = x + 4 (entre 1 i 2).

b) 4(2x - 3) - 5(3x - 7) = 11 - 2(3 - 4x) c) 5(x + 2) + 3(x + 1) = 10 - 4(x - 3)

d) 6(x + 1) - 4(x - 2) = 10 - 2(x + 5) e) 2(x + 3) - 3(x - 4) = 4 - 5(x + 6) f) 4(x + 2) - 5(x + 1) = 20 - (x + 6)

x −1 x + 2 = (entre 3 i 4). 3 7 c) x3 = 3 - x (entre 1 i 2).

33 ■■

d) 3x = 12 (entre 2 i 3).

següents:

28 ■ En les equacions següents, fes una única transformació per aconseguir que la incògnita només aparegui en un dels dos

 Troba la solució de les equacions amb denominadors

a) x + 7 = 11 f) -6x = 90 b) x + 5 = -2

g) 4x = -20

c) x - 3 = 4

h) -15x = -45

d) x - 4 = -2 i) x + 7 = -1 e) 12x = 144 j) x - 2 = -11

b) c) d) e) f)

Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita

 Troba

la solució de les equacions següents per

transposició: a) 4x - 6 = 5x + 1 b) 6x - 2 + 2x + 8 = 4x + 14 c) 7a + 3 = 2a - 3 + 3a + 10 d) 3x - 1 + 7x + 9 = 4x + 20 e) 12b - 4 + 2b = 10b + 12 f) 4y + 17 - 2y + 3 = 10 - 2y

x = 16 3 x + 2 x −1 = 10 3 x x x + + = x −2 2 4 8 x −1 x + 5 = 3 5 x x x x + − − 13 = 2 3 5 4 x + 2 x −3 x + 1 x + + = +1 10 5 3 2

a) x +

membres:

29 ■

Les equacions

Activitats

117

Les equacions

 Troba la solució de les equacions amb denomina-

34 ■■■

dors següents, i simplifica el resultat si és necessari: a) b) c) d) e) f)

x + 1 x − 2 2x − 1 − = −2 3 4 6 2x − 1 x + 3 x − 2 − + =1 15 10 6 3 − x x + 2 2x − 1 1 + − = 12 10 15 2 3x − 2 x + 3 1− 2x x − + = 10 20 30 15 3x 4 x − 5 6 x − 7 x − + = 4 6 8 10 x 3x − 2 5x + 4 1 x − 1 − + = − 4 5 6 3 4

Resolució de problemes mitjançant equacions 39 ■ Troba tres nombres consecutius de manera que, si se suma el doble del més petit i el triple del mitjà, s’obté el quàdruple del gran més 9. 40 ■ La Gemma va néixer un any del segle xx que es caracteritza pel fet que la xifra de les desenes és el triple que la de les unitats, i la suma de les xifres és 22. De quin any es tracta? 41 ■ La suma de tres nombres parells consecutius és 156. Calcula’ls.

35 ■■■ A l’antic Egipte coneixien les equacions de 1r grau, però no l’àlgebra, i aplicaven el mètode «regula falsi»: es com-

42 ■ Troba tres nombres senars consecutius, de manera que el

provava una solució possible, i si no era la correcta, es correx gia fent una proporció. Així, en l’equació x + = 80 , si provem 3 x = 6 al 1r membre, ens dóna 6 + 6/3 = 8. Per donar 80 s’ha de

quàdruple del més gran, menys la suma dels dos petits, doni

multiplicar per 10, per tant x = 6 · 10 = 60.

43 ■■ L’Andreu té 14 anys, i la seva mare Valèria, 33. Quants

el doble del mitjà augmentat en 10 unitats.

a) Resol l’equació següent, tant aplicant el mètode de

anys han de passar fins que l’edat de la mare sigui el doble de

«regula falsi», com el mètode algebraic:

la del fill?

2x x x x − − − = 10 5 10 4

44 ■■ En Maurici té el triple d’edat que el seu fill Nicolau, però

b) Aplica el mètode «regula falsi» en les equacions

d’aquí a 15 anys només en tindrà el doble. Quina edat tenen

següents

actualment tots dos?

118

x x x + + = 138 3 5 2x x x − − = 20 3 18

45 ■■ La Mònica, que ara ha fet 47 anys, té tres fills: en Dani és el gran, l’Àlex és el mitjà i en Xavi és el petit. Cadascun es porta 6 anys amb el germà anterior. Fa 2 anys, l’edat de la mare era la suma de les edats dels fills. Quines edats tenen ara els germans?

Introducció als sistemes d’equacions 36 ■

 Resol per substitució els sistemes següents: x + y = 12 a)  2x + 5y = 48

x + y = 15 c)  3x + 4y = 51

x − y = 3 b)  4x + 5y = 48

x − 2y = 1 d)  4x + 3y = 15

 Resol per substitució els sistemes següents:

37 ■■

3x + 2y = 11 a)  2x − 5y = 1 4x + 3y = 10 b)  2x + 5y = 12 4x + 2y = 8 c)  2x + 3y = 8 2x + 3y = 9 d)  5x + 2y = 17 38 ■ Troba dos nombres que sumats donin 25 i, si se suma el doble del primer amb el triple del segon, s’obtingui 62.

46 ■■ En el magatzem d’un supermercat hi ha ampolles de llet d’1,5 L i brics d’1 L. En total hi ha 400 recipients de llet que sumen 450 L. Quants recipients hi ha de cada classe? 47 ■■ En Joel porta 14 monedes a la butxaca que fan un total d’1,20 €. N’hi ha de dues classes: les de 5 cèntims i les de 10 cèntims. Quantes en porta de cada classe? 48 ■■ Un escúter val 500 € més que un ciclomotor. En un comerç de venda de motos hi ha dos escúters i tres ciclomotors, que valen, en conjunt, 8 500 €. Quant val cada tipus de moto? 49 ■■ En una granja hi ha gallines i conills. Es fa un recompte dels caps, i n’hi ha 35. Després es compten les potes, i en surten 110. Quants animals de cada classe hi ha? 50 ■■ Un bolígraf costa 15 cèntims més que un llapis. Compro en un quiosc 4 llapis i 3 bolígrafs i em costen 1,50 €. Calcula quant val cada cosa.

51 ■■■ L’Iris està estudiant les oposicions d’infermeria. L’exa-

60 ■■ En un trapezi rectangle,

men consta de 500 preguntes tipus test, amb tres opcions de

l’altura és el triple que la base pe-

resposta cada pregunta. Si s’encerta una pregunta, se sumen dos

tita, i la base gran té la mateixa

punts, si es deixa una pregunta en blanc o es contesta errònia-

longitud que el costat inclinat,

ment, es resta un punt. Es demana:

i és el quíntuple de la base peti-

a) Quina és la puntuació màxima i quina hauria de cor-

ta. Si el perímetre és de 140 cm,

respondre a l’aprovat?

quant fa cada costat?

b) Quantes preguntes s’han de contestar bé per aprovar? c) Si ens diuen que per aprovar s’ha de treure un 6,5,

61 ■■ Troba tres nombres consecutius, si se sap que la meitat

quantes preguntes s’haurien de contestar bé?

del petit sumada amb la tercera part del mitjà dóna el mateix que

Les equacions

Activitats

el gran reduït en 5 unitats. 52 ■ L’angle mitjà d’un triangle fa 10º més que el petit, i l’angle gran és el triple que el mitjà. Quant fa cadascun dels tres angles?

62 ■■ Troba tres nombres parells consecutius sabent que, si afegim 8 unitats a la suma de la tercera part del petit amb la

53 ■ Si s’ordenen de més petit a més gran els angles d’un quadri-

meitat del mitjà, dóna el nombre més gran.

làter, cadascun és el doble que l’anterior. Quant fa cada angle? 63 ■■ «Un terç, un cinquè i un sisè de flors de lotus van ser 54 ■■ Una casa rectangular fa 20 m de llargada i 15 m d’am-

ofertes a Shiva, a Visnu i al Sol, i una quarta part a Parvati. Els sis

plada. Al voltant s’hi fa un jardí, en forma de passadís d’amplada

lotus que van quedar es van oferir als peus del Mestre. Digues,

uniforme. El perímetre exterior de la propietat és de 110 m. Qui-

preciosa Lilavati, quantes flors de lotus hi havia?»

na amplada té el jardí? 64 ■■ Una barra es talla en tres trossos: el primer té una longitud 55 ■■ En un trapezi isòsceles, la base gran és el doble que ca-

de la meitat de la barra més 3 cm, el segon és la quarta part de la

dascun dels costats iguals, i la base petita fa 10 cm menys que la

barra més 2 cm i el tercer és la vuitena part de la barra més 5 cm.

base gran. Si el perímetre fa 110 cm, quant fa cada costat?

a) Quina longitud té la barra? b) Quant fan els trossos? 65 ■■■ La Gemma, la Kanishka i en Joan Marc s’han repartit uns problemes que havien de fer com a deures: la Gemma ha fet dues cinquenes parts dels que hi havia, la Kanishka ha fet dues terceres parts dels que quedaven, i per a en Joan Marc n’han quedat 5. Quants problemes hi havia?

56 ■■■ Un camp d’esports fa 30 m més de llarg que d’ample. S’hi vol fer una pista d’atletisme de 400 m al voltant, afegint una semicircumferència a cada extrem. Quines mides té el camp d’esports?

66 ■■■ Uns amics es reparteixen caramels: en Nikita n’agafa la tercera part; en Deepak, la quarta part del que quedava; en Nicolau, les dues terceres parts de la resta, i per a l’Agustí n’han quedat 10. Quants caramels hi havia? 57 ■■ Un ciclista fa, en un minut, 600 m. La roda de la seva bicicleta fa, en aquest temps, 382 voltes. Quin radi té?

67 ■■■ En Jordi va sortir de viatge amb el cotxe, amb el dipòsit ple. El primer dia va gastar la tercera part del combustible. El

58 ■ Un nombre més la seva setena part dóna 63. Quin és

segon dia s’ho va agafar amb més calma, i va gastar la cinquena

aquest nombre?

part del que quedava. El tercer dia, que ja tornava, va gastar la meitat de la resta, de manera que quan va arribar a casa encara

59 ■ Si se suma un nombre amb la tercera part del seu valor, s’obté 68. Quin és aquest nombre?

hi havia 16 L al dipòsit. Quina capacitat té el dipòsit?

119

Les equacions

Repte 68 ■■■ Troba quants nombres de tres xifres són alhora múl-

71 ■■■ L’Antologia grega, de Metrodor, és una recopilació

tiples de 2, 5 i 9.

feta cap al 500 dC. Inclou l’epitafi de Diofant d’Alexandria, un matemàtic molt important del període hel·lenístic. Aquesta n’és una traducció lliure:

69 ■■■ En les expressions següents, cada lletra representa

«Caminant, aquesta és la tomba de Diofant. Els nombres et

una xifra. Les lletres diferents no poden equivaldre a la mateixa

mostraran, oh, meravella!, els anys que va viure: la sisena part

xifra. Si hi ha dues lletres adjacents es tracta d’un nombre de

de la seva vida la va ocupar una infància feliç, una dotzena part

dues xifres. Calcula quina xifra correspon a cada lletra.

més va passar fins que la barba li va cobrir les galtes. A partir

AB · C = FBD

d’aquí una setena part va transcórrer amb un matrimoni estèril.

B · C = FD

Va passar, a més, un quinquenni i llavors el va fer feliç el naixe-

C + C = E

ment del seu primogènit, que una vegada assolida la meitat de

E · B = CD

l’edat que va viure el seu pare va faltar per una mort desgraci-

C  = C + C

ada. El seu pare encara el va sobreviure plorant-lo quatre anys

A + D = A

més. Digues, caminant, quants anys va viure Diofant?»

a) Imagina que ets el caminant a qui s’adreça l’epitafi 70 ■■■ Un pare té quatre fills. La suma de les edats dels fills és igual a l’edat del pare. D’aquí a 30 anys, la suma de les edats dels fills serà 2,2 vegades l’edat del pare. Quina és l’edat actual

i fes el càlcul proposat. b) Calcula la durada de la seva infància. c) Calcula quants anys va viure el fill de Diofant.

del pare? El fill gran és tres anys més gran que el segon, que és dos anys més gran que el tercer, que és dos anys més gran que el quart. Quina és l’edat actual de cada fill?

120

Autoavaluació Sé distingir entre identitat i equació? 1. Una d’aquestes igualtats és una equació i l’altra és una identitat. Digues quina és cadascuna: a) 3(x + 2) - 2(x -1) = x + 8

b) 5(x + 3) - 4(x -1) = 12 - (4 - x)

Sé resoldre sistemes d’equacions? 6. Calcula la solució utilitzant el mètode de substitució: x + y = 5  4x − 3y = 6 Sé plantejar i resoldre problemes algebraics?

7. La Maria, que ara té 32 anys, té dos fills: l’Agustí, de 14 anys,

cògnita?

i en Frederic, que en té 12. Quants anys han de passar perquè

2. Resol les equacions següents fent una única transformació als

l’edat de la mare coincideixi amb la suma de les edats dels dos fills?

dos membres de la igualtat:

8. En cert pentàgon irregular, els angles sumen 540º. Si els or-

Sé resoldre equacions de primer grau amb una in-

a) x - 3 = 12

denem de més petit a més gran, cadascun fa 20º més que l’an-

b) x + 2 = 7

terior. Quan fa cada angle?

c) 5x = 15

9. El comandant Klark i els seus homes aterren al planeta Vol-

d) -2x = -8

cano, i es troben amb uns alienígenes humanoides però amb

3. Resol aplicant les regles de transposició l’equació següent: 2x + 5 - 6x - 10 = 4x + 7 - 11 - 12x 4. Resol l’equació amb parèntesis següent: 3(x - 2) - 5(x + 3) = 11 - (2 - 3x) 5. Resol l’equació amb denominadors següent: x −3 x − 2 x + 1 + + =x 4 3 2

quatre braços. Es produeix una lluita entre humans i alienígenes, i un observador des de la nau compta 32 cap i 88 braços. Quants n’hi havia de cada bàndol? 10. En Jordi es va anar a fer un vestit. El primer dia va triar el que li agradava, i va fer una paga i senyal per dos cinquens del seu valor. El següent cop hi va anar per ajustar les mides, i va pagar dues terceres parts del que quedava. Hi va anar un tercer cop per recollir-lo, i va pagar els 240 € que li quedaven. Quan valia el vestit?

Canvi de moneda Molta gent, quan viatja a altres països de moneda diferent de la nostra, abans de marxar va a un banc per fer el canvi de divisa. A la tornada canvia les monedes que li han sobrat en euros. Fixa’t en els canvis que fa l’Alfred, que és banquer, i respon a les preguntes:

Les equacions

Competències que sumen

121

1. En Lluc vol canviar 100 dòlars americans i l’Alfred li dóna 75 €. A quants euros equival 1 dòlar americà? a) 0,75 € b) 1,33 € c) 1 € d) 7,5 € 2. Un matrimoni porta 1 000 pesos mexicans i 40 € i l’Alfred els els canvia per un bitllet de 100 €. A quants euros equival 1 peso mexicà? Indica les operacions. 3. Un nen porta 1 franc suís i 1 lliura esterlina. L’Alfred li ho canvia per 1,93 €. Al dia següent, la seva germana porta 2 francs suïssos i 1 lliura esterlina i l’Alfred li ho canvia per 2,68 €. Quants euros són 1 franc suís? I una lliura esterlina? Raona la resposta. 4. Després d’un viatge pel nord d’Europa una família vol canviar 1 000 corones daneses i 1 500 corones noruegues. L’Alfred els les canvia per 310 €. La setmana següent un dels nens de la família porta al banc 1 corona danesa i 1 corona noruega. L’Alfred li ho canvia per 0,25 €. Planteja un sistema de dues equacions amb dues incògnites per a aquest enunciat i resol-lo. 5. Elabora l’enunciat d’un problema que faci referència al canvi de moneda i que es resolgui amb el sistema següent:

Pots inventar-te el nom de les monedes.

2x + y = 5, 30  x + 3y = 5, 90

6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Proporcionalitat numèrica Mapes fidels

Els mapes i plànols són objectes quotidians que fem servir en ocasions ben diverses. Veiem mapes a la televisió, a la premsa, als bitllets, a les guies de viatge, als cotxes, als centres comercials, als llibres, etc. Hi ha mapes de llocs reals i mapes de llocs imaginaris, com els d’El Senyor dels Anells.

122

Un mapa és la representació d’una realitat geogràfica tridimensional en una superfície plana. Sense posar atenció als aspectes quantitatius, es pot fer un esbós de la situació de diversos indrets sense indicar les distàncies que els separen, només tenint en compte algun aspecte relatiu entre si. Així, es podria representar en un triangle la relació geogràfica que hi ha entre Barcelona, Madrid i València. Però no és aquesta la idea que tenim del que és un bon mapa, perquè un mapa fidel a la realitat ha de reproduir totes les relacions que hi ha entre els indrets reals sobre el terreny, i per tant ha de ser quantitatiu. Això vol dir que les relacions entre els punts han de reflectir la geografia de manera rigorosa. Per exemple, el camí més curt entre dos punts reals s’ha de correspondre amb el camí més curt entre els seus punts homòlegs representats al mapa. Si la distància entre dues ciutats reals A i B és el doble que la que hi ha entre X i Y, en un mapa fidel, la distància entre els punts corresponents a A i B ha de ser també el doble que la que separa els punts corresponents a X i Y. Un altre aspecte que cal tenir present són els angles. Si dues carreteres que parteixen d’un mateix punt ho fan amb angles de 30º, posem per cas, les línies que representen al mapa aquestes carreteres també haurien de formar 30º. De tot plegat sorgeix la qüestió de si és possible que en els mapes es conservin totes les relacions que hi ha entre els llocs que s’hi representen. El primer problema que cal resoldre fa referència a les dimensions

que tindrà el mapa. Si volem fer un mapa d’Europa en un full DIN A4, haurem de tenir present quina és la distància més gran que hi ha entre dos punts d’aquest continent i comparar-la amb les dimensions del full. I si aquesta distància s’ha de reduir a la meitat, al terç, la dècima, la mil·lèsima o la milionèsima part, també s’hauran de reduir totes les altres distàncies reals. Aquí apareix la proporcionalitat en l’escala del mapa. Quan les distàncies d’un mapa són la meitat que les reals, es diu que l’escala és 1:2, és a dir, E 1:2. Quan les distàncies són la mil·lèsima part de les reals, s’expressa amb E 1:1 000. La milionèsima part s’expressaria amb E 1:1 000 000. Per saber quina distància real hi ha entre dos punts que en un mapa a escala 1:1 000 són a 4 cm, només cal multiplicar per 1 000 aquests 4 cm. La proporcionalitat numèrica assegura que la versió reduïda de la realitat en un mapa té semblança geomètrica amb la realitat. Els mapes de la Terra o de qualsevol zona serien del tot perfectes si la superfície fos plana. Malauradament, la curvatura del planeta impedeix conservar els angles, ja que sobre la Terra hi ha triangles amb tres angles rectes.

Analitza i resol 1. Fes un llistat dels llocs on has trobat mapes o dels mapes que hagis fet servir per arribar-hi. 2. Un camp de futbol té 100 m de llargària i 50 m d’amplària. Si n’haguessis de fer una representació fidel en un full DIN A4, quines dimensions li hauries de donar? 3. Dos amics es troben en un lloc i decideixen separar-se per fer un viatge. El primer viatja cap al nord, després cap a l’est i, per acabar, cap al sud. L’altre també comença viatjant cap al nord, però després ho fa cap a l’oest i, finalment, cap al sud. Tots dos es tornen a trobar al mateix punt d’on havien partit. On eren abans i on són ara? 4. En un plànol, un camp de futbol de 102 m × 54 m ocupa un rectangle de dimensions 17 mm × 9 mm. a) Amb quina escala s’ha fet el plànol? b) Calcula l’àrea real del camp de futbol i la del rectangle que el representa en el plànol. c) La relació entre ambdues àrees és l’escala del plànol? 5. En un mapa turístic a escala 1:4 500 000, la distància entre dues poblacions és de 2 cm. Quina distància real hi ha entre les dues viles? 6. Si fas una fotocòpia reduïda al 50% d’un mapa fet a escala 1:100 000, quina escala tindrà el mapa de la fotocòpia?

Madrid

Barcelona

7. Quins tres punts de la Terra determinen un triangle amb tres angles rectes?

València

Índex

Competències bàsiques

1. Relacions entre magnituds

Matemàtica. Aplicació dels procediments de proporcionalitat directa i inversa. Comunicativa lingüística i audiovisual. Expressió de raons i proporcions. Coneixement i interacció amb el món físic. Aplicació dels procediments de càlcul. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

2. Proporcionalitat directa 3. Proporcionalitat inversa 4. Proporcionalitat composta 5. Percentatges 6. L’interès simple

123

Relacions entre magnituds

Proporcionalitat numèrica

1.1

Relació directa i relació inversa

Hi ha una relació directa entre dues magnituds quan augmenten aparellades; és a dir, quan l’una augmenta, l’altra també ho fa. Hi ha una relació inversa quan, en augmentar una de les magnituds, l’altra disminueix. Exemples 1. Un bacteri es reprodueix per bipartició cada minut. Si inicialment n’hi ha 1, al cap d’un minut n’hi haurà 2, al cap de dos minuts 2 · 2 = 4 bacteris, i així successivament. En la taula següent es relacionen els temps amb el nombre de bacteris. Com que les magnituds augmenten aparellades, es tracta d’una relació directa. temps (min)

nombre de bacteris

2. Com més quantitat es produeix d’un article, menys costa produir-lo, i més se’n pot abaratir el preu. Això significa que la relació entre les unitats produïdes i el preu és una relació inversa: nombre de CD

fins a 500

500-1 000

1 000-2 000

més de 2 000

cost unitat (€)

0,50

0,25

124 1.2

Raó i proporció a b

La raó entre dos nombres a (antecedent) i b (consegüent) és el quocient .

Alerta Per resoldre proporcions, és més pràctic començar a mul-

Quatre nombres a, b, c i d formen una proporció si la raó entre a i b té el mateix valor que la raó entre c i d. Els nombres a i d s’anomenen extrems, i els nombres b i c s’anomenen mitjans.

tiplicar per la diagonal que

extrem →

conté la incògnita; així aquesta

mitjà →

a c = b d

← mitjà ← extrem

sempre queda a l’esquerra de l’equació: x 6 = → 12x = 6 ⋅ 8 8 12 4 x = → 8x = 4 ⋅ 12 8 12

En tota proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. a c = → a ⋅d = b ⋅c b d Exemples 3. Comprova si les raons següents formen una proporció: 5 4 i . Com que 5 · 7 = 35 i 6 · 4 = 24, no és una proporció. a) 6 7 2 4 b) i . Com que 2 · 10 = 20 i 5 · 4 = 20, sí que és una proporció. 5 10 3 15 i formin una proporció, cal igua4 x lar el producte dels extrems al producte dels mitjans i resoldre l’equació:

4. Per trobar el valor de x per tal que les raons

3 15 60 = → 3x = 60 → x = = 20 4 x 3

Proporcionalitat directa

2.1

Magnituds directament proporcionals

Dues magnituds són directament proporcionals si, en dividir els valors d’una magnitud pels de l’altra, sempre s’obté el mateix resultat. La raó entre cada parella de valors és constant. Aquesta raó s’anomena raó de proporcionalitat k o constant de proporcionalitat.

Alerta Que una relació sigui directa no vol dir forçosament que si-

magnitud a

…

gui directament proporcional.

magnitud b

…

Així, per exemple, si un bacteri es va dividint per bipartició, el

a1 a2 a = = = n = k b1 b2 bn

ritme de creixement de la colònia no és constant, sinó que

Exemple

cada cop és més ràpid.

5. Si es divideix el preu de l’entrada a un parc aquàtic pel nombre de turistes s’obté sempre 5. Són magnituds directament proporcionals i la raó és 5. preu de l’entrada (€)

nombre de turistes

5 10 15 20 25 = = = = =5 1 2 3 4 5

125 2.2

Mètodes de reducció a la unitat i de la proporció

A partir d’algunes magnituds que estan en proporció directa es pot calcular els valors de magnituds desconegudes que també hi estiguin. • Mètode de reducció a la unitat. Es calcula la quantitat que correspon a la unitat d’una de les magnituds, i després es multiplica aquest valor per qualsevol altra quantitat. • Mètode de la proporció. Es representen les dades disponibles i les quantitats desconegudes en forma de taula, i es plantegen les proporcions necessàries. El valor de les quantitats desconegudes l’obtenim aplicant la propietat fonamental de les proporcions. Exemple 6. Si 17 lliures esterlines (£) equivalen a 20 €, calcula: a) Quantes lliures esterlines són 900 €? Mitjançant el mètode de reducció a la unitat, calcula primer el valor d’1 € en lliures esterlines. Després multiplica aquest valor unitari per 900 €. 17 £ = 0, 85 £/€ → 0, 85 ⋅ 900 = 765 £ 20 € b) Quants euros són 680 £? Amb el mètode de la proporció, es representen les dades en una taula: lliures esterlines

680

euros

Podem escriure i resoldre la proporció: 13 600 17 680 = → 17 x = 13 600 → x = = 800 € 20 x 17

Proporcionalitat numèrica

2.3

Mètode de la regla de tres simple directa

Representem les quantitats conegudes i les desconegudes en una taula posant a la mateixa columna les quantitats que tenen les mateixes unitats.

Recorda Una regla de tres simple direc-

Seguidament es fa un càlcul abreujat consistent a multiplicar en diagonal i dividir en horitzontal. b ⋅c x= a

ta com la següent es llegeix: taps

temps (h)

10 000

2 500

magnitud 1

magnitud 2

dividir

multip

licar

c x

Exemples

«10 000 és a 8 el que 2 500 és a x»

7. Una màquina fabrica 10 000 taps de suro en 8 h. Quant de temps tardarà a produir 2 500 taps? Es tracta d’una situació de proporcionalitat directa perquè per fer més taps cal més temps. Fem la taula i apliquem la regla de tres: taps

temps (h)

10 000

2 500

2 500 ⋅ 8 =2h 10 000

8. L’escala d’un plànol és 1:100 000. Calcula:

126

a) Quina distància real hi ha entre dos punts que en el mapa són a 5 cm? Es tracta d’una relació directa, ja que, com més allunyats es trobin dos punts en la realitat, també ho seran al mapa. Ho expressarem en cm: distància al mapa (cm)

distància a la realitat (cm)

100 000

5 ⋅ 100 000 = 500 000 cm → 5 km 1

b) Dues ciutats són a 20 km l’una de l’altra. Quina distància les separa al mapa? distància al mapa (cm)

distància a la realitat (cm)

100 000

2 000 000 (20 km)

1⋅ 2 000 000 = 20 cm 100 000

Aplica

Resol

1 ■ La taula següent representa una situació de proporcionali-

2 ■■ El canvi està a 10 € per 13 $. Es demana:

tat directa.

a) Tenim 2 000 € per gastar. Quants dòlars ens donaran?

a) Copia-la i completa-la.

b) Ens han sobrat 560 $. Quants euros ens tornaran?

b) Digues quina és la raó de proporcionalitat. consum (L) distància (km)

100

200

3 ■■ Quatre amics han de preparar un tiramisú per a 24 perso-

nes. Han trobat aquesta recepta per a 8 persones: 5 cullerades 600

800

grans de sucre, 24 melindros, 100 g de cacau, 0,2 L de cafè, 3 ous, 0,2 L de nata i 250 g de formatge mascarpone. Calcula quant necessitaran de cada ingredient.

2.4

Repartiments proporcionals

L’anomenada propietat de la suma diu que en tota proporció es compleix la relació següent: x y x +y = = a b a +b x y Si la raó de la proporció és k, es pot dir que = k i que = k . Mitjançant la transposició a b de termes, en la primera equació es pot passar a multiplicant al 2n membre. De la mateixa manera, en la segona equació, es pot passar b: x y = k → x = k ⋅a = k → y = k ⋅b a b Sumant, el 1r membre de la primera equació amb el 1r membre de la segona i el 2n membre de la primera equació amb el 2n de la segona, i traient factor comú, s’obté: x + y = k · a + k · b → x + y = k(a + b) Per aïllar k, es passa (a + b) dividint al 1r membre, i queda: x +y =k a +b Aquesta propietat permet expressar un nombre en diferents sumands que siguin proporcionals a determinats nombres. És el repartiment proporcional. Com aplicar-ho. Repartir els beneficis d’una empresa entre els socis L’Artur i la Mònica van crear una empresa d’estampar samarretes i hi van posar 100 000 € i 150 000 € respectivament. Si al cap d’un temps han obtingut 60 000 € de beneficis, com se’ls han de repartir? • Assigna a cada soci la x i la y. En aquest cas, x és el que ha de cobrar l’Artur i y el que ha de cobrar la Mònica. El que percebin ha de ser directament proporcional al que han posat: x y = 100 000 150 000

Consells El repartiment proporcional s’utilitza habitualment en matemàtica comercial per calcular els beneficis dels socis d’una empresa. S’anomena regla de companyia. Vegeu els exercicis 4 i 5 pàg. 71; 43, 44 i 45 pàg. 81.

• Aplicant la propietat de la suma, i sabent que en total cobren 60 000 €, s’escriu: 60 000 x y x +y 6 = = = = 100 000 150 000 100 000 + 150 000 250 000 25 • Es poden escriure dues proporcions més senzilles: 600 000 x 6 = → 25x = 600 000 → x = = 24 000 € 100 000 25 25 900 000 y 6 = → 25y = = 36 000 € 150 000 25 25 • L’Artur ha de cobrar 24 000 €, i la Mònica, 36 000 €.

Resol

5 ■ En Josep i l’Ester van crear una empresa, i hi van aportar 300 000 € i 200 000 € respectivament. Al cap d’un temps, obte-

4 ■ Es volen fer 100 L de ciment pòrtland per a un enrajolat. En

nen 30 000 € de benefici. Com se’ls han de repartir?

un manual es diu que per cada part en volum de pòrtland s’han de posar 4 parts de sorra. Calcula quant de pòrtland i quanta

6 ■ El gos gros ha de menjar el triple que el gos petit. Reparteix

sorra cal.

proporcionalment 800 g de pinso entre els dos.

127

Proporcionalitat inversa

Proporcionalitat numèrica

3.1

Magnituds inversament proporcionals

Dues magnituds són inversament proporcionals si, quan es multipliquen entre si els valors de cada parella de magnituds, s’obté el mateix resultat. Això implica que, com més gran és el valor d’una magnitud, més petit és l’altre. magnitud a

…

magnitud b

…

a1 · b1 = a2 · b2 = … = an · bn = k Exemple 9. Un cotxe, com més ràpid va, menys temps tarda a recórrer una distància determinada. Per tant, velocitat i temps són dues magnituds inversament proporcionals. velocitat (km/h)

temps (h)

1,66

1,42

1,25

50 · 2 = 60

60 · 1,66 = 70

70 · 1,42 = 80

Fixa’t de quina manera es calcula el temps que tardarà el cotxe que va a 90 km/h; és a partir de multiplicar entre si els valors de cada parella de magnituds: 100 90x = 50 ⋅ 2 = 90x = 100 → x = = 1, 11 h 90

128 Alerta En una regla de tres directa multipliquem en diagonal i di-

80 · 1,25 = 100

3.2

Mètode de la regla de tres simple inversa

vidim en horitzontal. a

b ⋅c a En una regla de tres inversa x=

multipliquem en horitzontal i

Es representen les quantitats conegudes i les desconegudes en forma de taula, i es posen a la mateixa columna les quantitats que tenen les mateixes unitats. Seguidament es fa un càlcul abreujat consistent a multiplicar en horitzontal i dividir en diagonal. magnitud 1

dividim en diagonal. a

x a ⋅c x= b

magnitud 2 multiplicar dividir

a ⋅c b

Exemple 10. Una aixeta que té un cabal de 40 L/min omple un dipòsit en 30 min. Quant de temps tardarà una aixeta que té un cabal de 60 L/min? Com que una aixeta, com més cabal tingui, menys temps tardarà a omplir un dipòsit, es tracta d’una situació de proporcionalitat inversa. L/min

min

40 ⋅ 30 1200 = = 20 min 60 60

Proporcionalitat composta

4.1

La fórmula de la proporcionalitat composta

Es dóna proporcionalitat composta quan una magnitud és proporcional a més d'una magnitud. Aquesta proporcionalitat pot ser tant directa com inversa.

Recorda

Comencem analitzant la proporcionalitat simple: La proporcionalitat es pot re-

Si y és directament proporcional a x, amb constant k, es compleix: y = k → y = kx → La x multiplica la constant. x

presentar amb un triangle:

Si y és inversament proporcional a x, amb constant k, es compleix: k x ⋅ y = k → y = → La x divideix la constant. x

Aquest comportament es pot generalitzar de manera que si una magnitud és directament proporcional a una altra, en aïllar la primera, la segona apareix multiplicant en l’altre membre, i si és inversament proporcional, apareixen dividint. La fórmula de proporcionalitat composta ajuda a expressar de manera matemàtica algunes situacions, principalment algunes lleis científiques, com la de la gravetat en física, o la dels gasos ideals en química, i a calcular valors desconeguts a partir d’altres de coneguts.

La magnitud de dalt dóna el producte de les de sota: V=R∙I Les de sota són el quocient de les altres:

Exemples 11. La resistència elèctrica R d’un cable elèctric és directament proporcional a la seva longitud L i inversament proporcional al quadrat del seu diàmetre D. Expressa amb una fórmula, i calcula la constant de proporcionalitat si R = 10 quan L = 8 i D = 2. Com que hi ha proporcionalitat directa entre R i L, aquesta apareixerà multiplicant, i com que hi ha proporcionalitat inversa entre R i D2, aquesta altra quedarà dividint. Si la constant de proporcionalitat és k, s’obté la fórmula: L R=k 2 D Si substituïm els valors que ens donen en aquesta fórmula, ens queda: 8 10 = k 2 → 2k = 10 → k = 5 2 12. Una magnitud z és directament proporcional a la magnitud x i a la magnitud y, i és inversament proporcional a la magnitud t. Escriu la fórmula corresponent a aquesta situació, i completa la taula que s’adjunta.

Per la proporcionalitat directa amb x i amb y, aquestes z 12 6 12 dues apareixen multiplicant, i com que hi ha proporcionalitat inversa amb t, aquesta ha de dividir. Queda: kxy z= t Si se substitueixen els valors coneguts de la primera, és possible aïllar la k: k ⋅ 2 ⋅3 12 1a columna: 12 = → 6k = 12 → k = =2 1 6 Utilitzant-lo en les altres columnes, és fàcil trobar els altres valors: 2 ⋅ 2 ⋅3 12 2a columna: 6 = → 6T = 12 → T = =2 T 6 2 ⋅ X ⋅3 24 3a columna: 12 = → 6X = 24 → X = =4 2 6 2 ⋅ 4 ⋅Y 48 4a columna: 24 = → 8Y = 48 → Y = =6 2 8

V R

V I

129

Proporcionalitat numèrica

4.2

Fixa’t que en les fórmules per calcular les regles de tres simples, tant directes com inverses, sempre es multiplica el valor conegut de la magnitud que es busca, per una raó dels valors de l’altra magnitud. Taula de la proporció a

La raó dels valors coneguts a és . b

Regla de tres directa b ⋅c b x= = ⋅c a a Es multiplica per la inversa de la raó dels valors de l’altra magnitud.

Regla de tres inversa a ⋅c a x= = ⋅c b b Es multiplica per la raó dels valors de l’altra magnitud.

Generalitzant aquesta idea és molt simple fer una regla de tres composta: es multiplica el valor conegut de la magnitud que es busca per les raons dels valors de les altres magnituds, que es posen invertits en el cas de proporcionalitat directa, i tal com vénen en la taula en el cas de proporcionalitat inversa. Exemple

Alerta

13. Una aixeta que raja 7 500 L/h, omple en 8 h un dipòsit que fa 5 m de llarg per 4 m d’ample. Quant de temps tardarà a omplir un dipòsit de la mateixa fondària que l’anterior, però de 4 m de llarg i 2,5 m d’ample, amb una altra aixeta que raja 7 200 L/h?

També es pot fer...

130

La regla de tres composta

Construir la fórmula: k ⋅ A ⋅L T= C Amb les dades de la 1a fila es

Es posen els valors d’aquestes quatre magnituds en forma de taula:

troba k:

cabal (L/h)

amplada (m)

llargada (m)

temps (h)

7 500

7 200

2,5

k ⋅4⋅5 8= → 7 500 8 ⋅ 7 500 →k = = 3 000 4⋅5 Amb les de la 2a fila només cal

El temps és invers al cabal, i directe a l’amplada i la llargada. Per trobar x s’ha de multiplicar per 8 les raons corresponents: 7500 2, 5 4 x = 8⋅ ⋅ ⋅ = 4, 16 h → 4 h 10 min 7200 4 5

aplicar la fórmula: 3 000 ⋅ 2, 5 ⋅ 4 x =T = = 4, 16 h 7 200

Aplica

9 ■■ La força F d’atracció gravitatòria entre dos cossos és directament proporcional a les seves masses M i m i inversament pro-

7 ■ Comprova si les magnituds següents són inversament proporcionals: velocitat (km/h)

100

temps (h)

7,5

4,5

Resol

porcional al quadrat de la distància d que els separa. Expressa-ho en llenguatge matemàtic. 10 ■ Una persona va comprar 43 L d’oli a 2,40 €/L. Quants litres hauria comprat amb els mateixos diners, si el preu de l’oli hagués estat de 2,15 €? 11 ■ Un fuster fa un armari en 20 dies, treballant 8 hores diàries. Quants dies tardarà si treballa dues hores més cada dia?

8 ■ En 4 dies, 6 tractors iguals llauren un camp sencer. a) En quant de temps el llaurarien 3 tractors?

12 ■■ Amb 14 kg de fil s’ha teixit una peça de tela de 35 m de

b) En quant de temps el llaurarien 2 tractors?

llarg i 0,75 m d’ample. Si es disposés de 24 kg del mateix fil, cal-

c) Quants tractors farien falta per llaurar-lo en 1 dia?

cula quants metres de tela de 0,8 m d’amplada es podrien teixir.

Percentatges

5.1

Concepte i càlcul de percentatges

Un percentatge o tant per cent (%) és una raó la consegüent de la qual és 100.

a% =

a 100

Cent és al percentatge el que el valor d’una magnitud o total és al valor de la seva part. Per tant, es tracta d’una relació de proporcionalitat directa. 100 total = part a

Recorda Expressions com «El 5% dels enquestats fa esport» volen dir que, de cada 100 persones, 5 practica un esport.

Exemples 14. El 35% dels alumnes d’un centre van al menjador. Si el centre té 400 alumnes, quants alumnes fan servir aquest servei? En aquest cas se sap el tant per cent i el total, però no la part:

En canvi, expressions com «Fan descomptes del 5%» volen dir que, de cada 100 € del preu d’un objecte, en resten 5.

% alumnes 100

400

14 000 100 400 = → 100x = 14 000 → x = = 140 alumnes 35 X 100

15. De 350 alumnes, 70 són rossos. Quin tant per cent representen? En aquest se sap el total i la part, però no el tant per cent: % alumnes 100

350

7 000 100 350 = → 350x = 7 000 → x = = 20% x 70 350

5.2

131

Descomptes

Les reduccions de preu dels articles solen expressar-se en forma de percentatge. El preu original de l’article es correspon amb el 100%, i el nou preu es correspon amb el 100% menys el tant per cent de descompte. Exemples 16. Una nevera que valia 700 € ara l’ofereixen amb un descompte del 20%. Quin és el preu actual? El preu actual és el 100% – 20% = 80% del preu original. % preu (€) 100 700 80 x

56 000 100 700 = → 100x = 56 000 → x = = 560 € 80 x 100

17. Un ordinador, amb el 12% de descompte, val 528 €. Quant valia abans? El preu rebaixat és el 100% – 12% = 88% del preu inicial. % preu (€) 88 528 100 x

52 800 88 528 = → 88x = 52 800 → x = = 600 € 100 x 88

18. Un llibre costa 7,75 € i abans costava 8 €. Quin descompte té? Els diners equivalents al descompte són 8 - 7,75 = 0,25 €. % preu (€) x 0, 25 25 x 0,25 = → 8x = 100 ⋅ 0, 25 → 8x = 25 → x = = 3, 12% 100 8 8 100 8

Amb la calculadora Algunes calculadores tenen la tecla % i permeten calcular un percentatge directament. Calcula el 4% de 400: 4 0 0

4 % 16

Sumar el 4% a 400: 4 0 0 + 4 % 416 Restar el 4% a 400: 4 0 0 - 4 % 384

Proporcionalitat numèrica

5.3

Impostos i recàrrecs

Els impostos i recàrrecs suposen un increment del preu que s’expressa en forma de percentatge. El preu original es correspon amb el 100%, i el nou preu es correspon amb el 100% més el tant per cent de recàrrec. Exemple 19. Com que no ha pagat una multa de 150 € quan tocava, han aplicat a l’infractor un recàrrec del 20%. Quant haurà de pagar? Si el cost inicial és el 100%, el preu actual és el 100% + 20% = 120%. % preu (€) 100

150

120

5.4 Alerta Observa que el percentatge

132

equival a un factor plantejant i resolent una proporció: %

quantitat

100

x 100 N = → a x

→ 100x = a ⋅ N → a →x= ⋅N 100

18 000 100 150 = → 100x = 18 000 → x = = 180 € 120 x 100

Els percentatges com a factors

El percentatge d’una quantitat N es pot obtenir d’una manera molt senzilla multiplicant pel a factor en què a és percentatge. El valor numèric d’aquest factor és l’anomenat tant 100 a per u. La fórmula per fer el càlcul és ⋅ N. 100 Quan es tracta d’un increment percentual, també es pot expressar com el producte a per un factor, que en aquest cas és 1+ , ja que si se suma N amb el seu percentatge, i 100  a a  es treu factor comú, resulta N + ⋅ N = N ⋅ 1+ . En la disminució percentual, el  100  100 a factor que es multiplica és 1. 100 Exemple 20. Es disposa de 2 000 €. Calcula quant val l’increment d’un 10% seguit d’una disminució d’un 15%. Primer s’ha de fer un increment percentual, que equival a multiplicar per 10 1+ = 1+ 0, 1= 1, 1, seguit d’una disminució percentual, i el factor que multiplica 100 15 és 1− = 1− 0, 15 = 0, 85. Fem l’operació i ens dóna: 100 1,1 · 0,85 · 2 000 = 0,935 · 2 000 = 1 870€

Aplica

15 ■ Un comerciant reven una nevera de 400 € per 550 €. Quin % de benefici obté?

13 ■ Calcula: a) El 4% de 3 540. b) Un increment del 10% de 4 000. c) Una disminució del 20% de 4 000.

Resol

16 ■■ Un ordinador val 800 €. El venedor fa el 15% de descompte i després hi carrega el 18% d’IVA. Quant s’ha de pagar? 17 ■■ Un article val 1 000 €. Si s’apuja un 10% i després es rebaixa un 10%, quant val finalment? 18 ■■ Unes accions valen 10 000 €. Pugen un 10% el 1r dia, un

14 ■ Dels 3 200 habitants d’un poble amb dret a vot, 2 800 persones van exercir-lo. Quin tant per cent representen?

5% el 2n dia, i baixen un 8% el 3r dia. A quin preu han arribat?

L’interès simple

Quan una caixa d’estalvis o banc fa un préstec, és a dir, deixa uns diners (o capital) que s’han de tornar, se li ha de pagar una mena de lloguer anomenat interès. Semblantment, quan un ciutadà ingressa un capital C en una entitat bancària, aquesta els guarda i els utilitza per a les seves operacions financeres. Per aquest motiu paga a l’estalviador una compensació monetària o interès I en funció del temps t que estiguin ingressats i el rèdit r (o tipus d’interès), que és el percentatge que l’entitat ofereix per cada 100 € de capital.

La fórmula de l’interès simple canvia si el temps està expres-

La fórmula que relaciona C, t, r i I s’obté per reducció a la unitat: • Si 100 € durant un any generen r, 1 € durant el mateix temps dóna • Per saber l’interès de C durant un any s’ha de multiplicar per C:

sat en mesos o en dies.

r . 100

En mesos:

C ⋅r . 100

• Finalment, per obtenir l’interès de C durant t anys, s’ha de multiplicar per aquest factor, i s’obté la fórmula:

C ⋅ r ⋅t I= 100

A partir d’aquesta fórmula és possible aïllar cada 100I C= magnitud en funció de les altres. D’aquesta mar ⋅t nera s’obté: Pel capital

100I C ⋅t

El capital final Cf es calcula fàcilment sumant el capital inicial i l’interès i traient factor comú:

Alerta

Pel rèdit

Cf = C + I = C +

C ⋅ r ⋅t 1200

En dies: I=

100I C ⋅r

C ⋅ r ⋅t 36 000

L’any comercial es considera de 360 dies (12 mesos de 30 dies).

Pel temps

 C ⋅ r ⋅t r ⋅ t  = C 1+   100  100

Exemples 21. Calcula l’interès que generaran 2 400 € col·locats al 4% durant 3 anys. I=

2 400 ⋅ 4 ⋅ 3 = 288 € 100

22. Calcula quin capital necessitem, col·locat al 5%, per obtenir 1 760 € d’interessos en 2 anys. 1760 =

176 000 C ⋅5⋅2 → 1760 ⋅ 100 = 10C → C = = 17 600 € 100 10

23. A quin rèdit va estar col·locat un capital de 20 000 € si durant 4 anys va generar un interès de 6 000 €? 6 000 =

20 000 ⋅ r ⋅ 4 600 000 → 600 000 = 80 000r → r = = 7, 5% 100 80 000

24. Quant de temps va estar col·locat un capital de 36 000 € que al 5% va generar 7 200 €? 7 200 =

36 000 ⋅ 5 ⋅ t 720 000 → 720 000 = 180 000t → t = = 4 anys 100 180 000

Resol

22 ■ Un capital de 6 000 €, amb un rèdit del 3%, ha generat 900 €. Durant quant temps ha estat dipositat?

19 ■ Calcula l’interès i el capital final obtingut a partir de 4 000 €, col·locats a un 2,5% durant 4 anys.

23 ■ L’Eva vol obrir un compte corrent de 288 €. Calcula: a) Quin interès obtindrà al Banc Bonic al cap de 8 me-

20 ■ Quin capital, al 3% durant 3 anys, dóna 360 € d’interès?

sos, si el tipus d’interès és del 9,5%?

21 ■ Un capital de 5 000 €, durant 3 anys, ha donat 600 € d’in-

cap de quant de temps hauria cobrat els mateixos inte-

terès. A quin rèdit estava?

ressos que en el cas anterior?

b) La Caixa Fantàstica li oferia un interès del 7,3%. Al

133

Tot són matemàtiques

Vehicles i trànsit Des de final del segle xx el trànsit rodat s’ha convertit en un problema mediambiental i social difícil de resoldre. Els vehicles de combustió interna emeten gasos contaminants, però tampoc podem oblidar que els elèctrics s’alimenten, en part, de l’energia produïda en centrals tèrmiques i nuclears. Però, a més, els embussos i retencions formen part de la quotidianitat de les grans ciutats i, juntament amb la contaminació acústica, augmenten l’estrès. Recordem que els accidents de trànsit, per desgràcia, són a l’ordre del dia. Les matemàtiques poden explicar una retenció? Poden reduir la contaminació i millorar la seguretat dels vehicles?

134

h = 10 m d = 100 m LES RETENCIONS Els senyals de trànsit tenen formes geomètriques amb significats concrets. Hi ha senyals, com el de pendent pronunciat, en el qual apareixen percentatges. El percentatge indica quants metres ascendim (o descendim) per cada 100 m de la base del pendent. És a dir, un pendent ascendent del 10% implica que, per cada 100 m, en pugem 10.

Una densitat de trànsit important provoca un flux variable de vehicles. Les retencions són un fenomen complex que la «teoria de cues» pretén descriure. La psicologia dels conductors (com, per exemple, en l’anomenat efecte tafaner, en què un incident en el sentit contrari de la marxa fa frenar els conductors per xafardejar) i la tendència que tenen a aproximar-se als vehicles sota circumstàncies concretes fan que les retencions siguin difícils d’analitzar i predir.

La geometria i ubicació idònia dels coixins de seguretat s’analitza amb programes d’ordinador molt sofisticats que apliquen models matemàtics, després d’assajos de xocs (frontals, laterals...), en els quals es prenen imatges amb moltes càmeres. L’objectiu és minimitzar els danys que patirien tant el conductor com els altres Analitza i investiga ocupants del vehicle. 1. Investiga quin és el significat de les

Proporcionalitat numèrica

L’aerodinàmica és una branca de la física en què s’apliquen models matemàtics per optimitzar la forma dels vehicles. L’objectiu és disminuir l’efecte del fregament de l’aire i aconseguir una reducció del consum de carburant i, per tant, de la contaminació.

formes geomètriques que pot tenir un senyal de trànsit. Cerca i dibuixa un exemple de cadascuna. 2. Tenim un senyal de trànsit que indica que el pendent d’una carretera recta és del 5%, i sabem que hem pujat 25 m gràcies a un altímetre. Determina quina distància ha recorregut el vehicle.

3. Formeu grups, amb ajuda del professor o professora, i feu les activitats següents: a) Busqueu informació estadística sobre els accidents de trànsit els darrers anys (nombre d’accidents, nombre de morts i nombre de ferits greus). Analitzeu l’evolució d’aquest fenomen, les causes dels accidents i les edats i sexes dels accidentats. b) Confeccioneu un petit treball, mural, o

Les matemàtiques d’un cotxe

presentació de diapositives, calculant al-

Millorar el rendiment d’un motor implica aconseguir un vehicle més eficient i que contamini menys. El rendiment η% d’un sistema mecànic se sol indicar en tant per cent, i és el quocient entre l’energia útil, Eu , dividida per la consumida, Ec , multiplicat per 100:

guns percentatges amb les dades de què

η% =

100

El rendiment habitual d’un cotxe de combustió interna es troba per sota del 40%. Això significa que més del 60% del combustible consumit es perd, fonamentalment, en forma de calor.

disposeu, i feu un gràfic seguint les indicacions del professor o professora. c) Presenteu el treball oralment a classe. 4. Investigueu quin és el rendiment (o eficiència tèrmica) habitual dels motors Otto, dièsel, elèctrics i híbrids, més habituals. Quines línies de recerca s’estan seguint per millorar aquest rendiment? En què es perd l’energia?

135

Proporcionalitat numèrica

Això és bàsic Proporció numèrica entre quatre nombres a, b, c i d: Propietat fonamental de les proporcions: Propietat de la suma:

x +y x y = = a b a +b

extrem → mitjà →

a c = b d

← mitjà ← extrem

a c = ↔ a ⋅d = c ⋅d b d

Magnituds directament proporcionals Quan augmenta una de les magnituds, l’altra també ho fa.

Magnituds inversament proporcionals Quan augmenta una de les magnituds, l’altra disminueix.

magnitud a

…

magnitud a

…

magnitud b

…

magnitud b

…

a1 a2 a = = ... = n = k b1 b2 bn Fórmula de l’interès simple: I =

a1 ⋅ b1 = a2 ⋅ b2 = ... = an ⋅ bn = k

C ⋅ r ⋅t 100

Com es fa?

136

Procediment

Pas a pas

Trobar la incògnita en una a c = proporció del tipus b x

1. Aplica la propietat fonamental de les proporcions (multiplica en diagonal, posant la x en el primer

Resoldre problemes de

1. Representa les quantitats conegudes i les desconegudes en forma de taula (posa a la mateixa

proporcionalitat amb el

columna les quantitats que tenen les mateixes unitats).

mètode de la regla de tres

terme), i obtindràs una equació del tipus ax = b · c. 2. Resol l’equació elemental plantejada.

2. Multiplica el valor conegut de la magnitud c que es busca per la raó dels valors de l’altra magnitud, o la seva inversa segons correspongui: Taula de la proporció a

b a La raó és . b

Regla de tres directa b ⋅c b x= = ⋅c a a Es multiplica per la inversa de

Regla de tres inversa a ⋅c a = ⋅c b b Es multiplica per la raó. x=

la raó.

Resoldre problemes de

Proporcionalitat inversa. Multiplica el valor conegut de la magnitud que es busca, per les raons.

proporcionalitat amb el

Proporcionalitat directa. Multiplica el valor conegut de la magnitud que es busca per les inverses de

mètode de la regla de tres

les raons.

composta Resoldre problemes de descomptes i recàrrecs percentuals

1. Planteja una relació de proporcionalitat directa en què 100 és al percentatge el que el valor d’una 100 total . = magnitud o total és al valor de la seva part: percentatge part 2. Aplica la propietat fonamental de les proporcions i resol l’equació. • Si és un descompte: percentatge = 100 – descompte. • Si és un recàrrec: percentatge = 100 + recàrrec.

Calcular increments i reduccions en % consecutius

Multiplica la quantitat N per tants factors com variacions en % hi hagi. Si és un increment, el factor a a , i si és una disminució, 1. és 1+ 100 100

36 ■ Al supermercat venen els ous a 2,50 € la dotzena. Quant

Relacions entre magnituds

costaran 100 ous?

24 ■ S’agafa un full de paper de 0,1 mm de gruix i es doblega per la meitat successivament. Completa la taula i indica si la re-

37 ■ Tenim 1 000 $ i volem canviar-los per lliures esterlines.

lació entre el nombre de doblecs i el gruix és directa o inversa.

Si ens donen 17 £ per cada 26 $, quantes lliures esterlines ens

doblec

donaran? 38 ■ Un comerciant ven 120 m de tela, i guanya 84 €. Quants

gruix (mm)

metres hauria de vendre per guanyar 154 €?

 Troba la raó entre les parelles de nombres següents:

25 ■

a) 28 i 7

c) 140 i 20

39 ■ L’enllumenat públic d’un poble costa 72 180 € l’any. Quant

b) 250 i 50

d) 84 i 12

valdrà si s’afegeixen 26 làmpades a les 401 que ja hi ha?

 Comprova si aquestes raons formen proporció:

26  ■

24 20 i . 30 25

12 20 i . 27 36

27 ■■ Calcula el valor que ha de tenir x per tal que es compleixin les proporcions següents: 6 12 = c) a) 15 x x 12 b) = d) 20 30

40 ■■ Les escales de temperatura centígrada (ºC) i Réaumur (ºR) coincideixen en el zero, que és el punt de congelació de l’aigua, i els 100 ºC coincideixen amb els 80 ºR. Tenim un termòmetre antic calibrat segons l’escala Réaumur, i marca 16 ºR. A quina temperatura centígrada equival?

8 x = 12 18 x 15 = 5 25

137

28 ■■ Troba el terme que falta en les proporcions següents: 6, 4 4, 8 16 30 = a) c) = x 6 24 x 7 5 b) 3 = 2 2 x 5

Proporcionalitat numèrica

Activitats

4 x − 1 5x + 2 = 3 4

29 ■■ Dos nombres es troben en la mateixa relació que 2,1

41 ■ Sabem que x + y + z = 1 200 i que

x y z = = . Quant va3 5 4

i 3,5. Si el petit és 18, quin serà el més gran?

len x, y i z?

30 ■■ Troba els valors que han de tenir x, y i z perquè es com-

42 ■■ Volem fer un arròs per 20 persones. Hem trobat els in-

pleixi la proporció següent: x y z 495 = = = 3 5 7 45

ròs, 500 g de cloïsses, 300 g de gambes, 200 g de calamar, 2 to-

gredients necessaris per cuinar-lo si són 6 persones: 600 g d’armàquets, un pebrot, 1 ceba, 2 dents d’all, 150 g de pèsols i 800 g de pollastre. Quines quantitats necessitarem nosaltres?

Proporcionalitat directa 31 ■ Si 42 m de tela costen 136,50 €, quant valen 54 m?

43 ■■ En Jan, en Pau i la Marina van crear un petit negoci i van posar-hi, respectivament, 50 000 €, 30 000 € i 20 000 €. Al cap d’un any han obtingut 30 000 € de benefici. Com se’ls hauran

32 ■ Si de 109 tones de remolatxa s’han tret 16 100 kg de su-

de repartir?

cre, quant de sucre s’hauria extret de 180 tones? 44 ■■ Un tipus d’acer inoxidable determinat està compost de 33 ■ Si 5 L d’oli pesen 4,58 kg, quants litres hi ha en una tona?

ferro, crom i carboni. De cada 100 kg, 86 són de ferro, 13 són de crom i 1 és de carboni. Es volen produir 20 tones d’aquest acer.

34 ■ Una roda fa 2 181 voltes en 12 min. Quantes en farà en

Quantes tones s’han de posar de cada component?

una hora? 45 ■■ Sabent que 8 g d’oxigen es combinen amb 1 g d’hi35 ■ Una aixeta deixa anar 325 L d’aigua cada 6 min. Quant

drogen per donar 9 g d’aigua pura, calcula els grams d’oxigen

tardarà per omplir un dipòsit de 7,8 m3?

i d’hidrogen hi ha en un litre d’aigua pura.

Proporcionalitat numèrica

46 ■■ Les lletres d’una impremta de principi del segle

esta-

56 ■■ En una fortalesa assetjada per les tropes del soldà Sala-

ven fetes d’un aliatge metàl·lic amb la proporció en pes següent:

dí, hi ha 1 200 croats amb queviures per a 80 dies. Arriben 800

86 parts de plom, 12 parts d’antimoni i 2 parts d’estany. Quant

homes més.

s’ha de posar de cadascun d’aquests metalls si es necessiten 5 kg

a) Per a quants dies tindrien menjar si mantinguessin les

d’aquest aliatge?

racions? b) I si les reduïssin a les

47 ■■ Un comerciant s’adona que pot fer una barreja de vi de

3 de les que tenien abans? 4

bona qualitat posant 5 L d’un primer vi, 3 L d’un segon vi, 2 L

57 ■■ Un veler que vorejava la costa de l’Àfrica, amb una tri-

d’un tercer i 4 L d’un quart. Quant haurà de posar de cada classe

pulació de 312 homes, tenia queviures per a 36 dies. Al cap de

per obtenir 294 L de mescla?

30 dies de navegació, van desembarcar 143 homes en un port colonial, i es van duplicar els queviures que quedaven. Un cop es

48 ■■   Entre tres pobles volen construir un pont que costa

va continuar el viatge, per a quants dies va quedar menjar per a

120 000 €. El govern central els subvenciona amb el 15% del

la resta de la tripulació?

valor del pont, l’administració autonòmica fa una aportació que és 4/5 la de l’Estat, i cada poble paga la resta proporcionalment segons el nombre d’habitants, que són 360, 475 i 625. Quants diners haurà de pagar cada ajuntament?

Proporcionalitat composta 58 ■ Dibuixa el triangle de proporcionalitat per a la llei del moviment uniforme, e = v · t, i escriu les dues fórmules que se’n

138

Proporcionalitat inversa

dedueixen.

49 ■ Aquesta taula relaciona el preu que una persona ha de

59 ■■ Una magnitud z és directament proporcional a la mag-

pagar per una excursió amb el nombre de persones que hi

nitud x i a la magnitud y, i inversament proporcional al quadrat

van. Comprova si aquestes dues magnituds són inversament

de la magnitud T.

proporcionals.

a) Escriu aquesta relació en llenguatge matemàtic.

Persones

Preu (€)

100

b) Calcula la constant de proporcionalitat sabent que z = 3 quan x = 2, y = 8 i t = 4. 60 ■■ La potència P d’una bomba hidràulica és directament

50 ■ Si es compren 60 copes de cristall per 2 € cada una, quan-

proporcional a la massa m d’aigua, a l’altura h a la qual es fa

tes se’n podrien comprar a 2,50 € la unitat?

pujar, i inversament proporcional al temps t emprat per fer-ho. a) Si la constant de proporcionalitat és g, escriu la relació

51 ■ Per empaperar una habitació s’han necessitat 18 peces de

en llenguatge matemàtic.

paper de 0,5 m d’ample. Quantes haurien calgut si el paper fes

b) Calcula g si P = 196, m = 7 200, h = 10 i t = 3 600.

0,6 m d’amplada? 61 ■■ La calor Q generada per un component electrònic és 52 ■ Una aixeta dóna 9 hL d’aigua en 1 h 15 min. Quants litres

directament proporcional al quadrat de la intensitat de corrent

raja en 35 s?

I i al temps de funcionament t. La constant de proporcionalitat és R.

53 ■ Un manobre fa una cuina en 15 dies treballant 6 h cada

a) Escriu la fórmula per a Q.

dia. Quants dies tardaria si hi treballés 3 h al dia més?

b) Troba el valor de la constant si Q = 20 quan I = 2 i t = 1.

54 ■ Amb el vi d’una bóta es poden omplir 450 ampolles de 0,6 L. Quantes ampolles es podrien omplir si la capacitat fos

62 ■■ Amb 20 kg de fil s’ha teixit una peça de tela de 45 m de

de 0,75 L?

llarg i 0,9 metres d’ample. Si es disposés de 30 kg del mateix fil, quants metres de tela de 0,7 m d’ample es podrien teixir?

55 ■■ Entre dos paletes han guanyat 4 700 €. D’aquests diners, el primer ha guanyat 2 300 € per 23 jornades de 8 hores cadas-

63 ■■ Una aixeta que raja 4 000 L/h, omple un dipòsit de 5 m

cuna. Sabent que el segon només va treballar 6 hores cada dia,

de llargada i 4 m d’amplada. Quant de temps tardarà a omplir

quants dies va treballar? Se suposa que tots dos cobren el mateix

un dipòsit amb la mateixa fondària que l’anterior, però amb base

per hora de feina.

quadrada de costat 3 m, amb una altra aixeta que raja 2 700 L/h?

64 ■■ Si tres obrers, treballant 8 h diàries, tarden 3 dies per fer una feina, quant tardaran 6 obrers treballant 6 h diàries?

75 ■■ El PIB d’un país en via de desenvolupament ha crescut un 2% durant tres anys consecutius. Si inicialment era de 100 000 milions d’euros, quant val després d’aquests tres anys?

65 ■■ Sis peces de tela de 40 m de llarg i 0,9 m d’ample costen 1728 €. Quant costaran deu peces de 60 m de llarg i 1,2 m

76 ■■ El nombre de turistes que visiten anualment unes illes del

d’ample, si els preus per m2 de cada tipus de tela es troben en

Pacífic ha augmentat un 10% durant 4 anys consecutius. Si ini-

relació de 4 a 3?

cialment les visitaven 1 000 persones, quantes persones les han visitat els anys següents?

Percentatges 66 ■

 Es va fer un expedient de regulació d’ocupació a una

empresa d’automoció i es va acomiadar el 12% de la gent que hi treballava. Com a conseqüència van quedar 1 760 empleats. Quants treballadors hi havia inicialment? 67 ■

Proporcionalitat numèrica

Activitats

 S’ha venut per 13 600 € un cotxe que estava valorat

inicialment en 16 000 €. Quin tant per cent s’ha rebaixat? 68 ■

 Una cooperativa de consum dóna el 3% dels beneficis

als socis en funció del valor de les seves compres. Un soci ha ob-

77 ■■ A començament de setmana, unes accions valien 200 €.

tingut un benefici de 63,15 €. Quant havia comprat aquest soci?

A mesura que han anat passant els dies, el seu valor ha anat evo-

69 ■■

 Un botiguer va comprar 2 000 ous de granja ecolò-

gica a un preu de 15 € la centena. N’ha venut 120 amb un 10% de guany, 250 amb un guany del 8%, 630 amb un guany del 4%, i la resta a preu de cost. Quants diners ha guanyat? 70 ■■

lucionant, segons els percentatges que s’indiquen en la taula (el signe menys significa una disminució). Calcula amb quin valor van tancar divendres. dilluns

dimarts

dimecres

dijous

divendres

+3%

+1,5%

-2%

-1%

+1%

 Un agent comercial d’una casa de pintures guanya

30 000 € anuals, més un 7,5% dels beneficis de l’empresa. El darrer any, l’empresa va facturar 5 milions d’euros, un 12% dels quals eren beneficis nets. Quant cobrarà el comercial?

L’interès simple 78 ■ En Robert té 600 € ingressats al banc, amb un rèdit anu-

 Una ciutat de 100 000 habitants s’abasteix d’aigua

71 ■■■

que prové d’un pantà. Fa uns dies, el pantà es trobava a un 20%

al del 13%. Quant li donaran al cap de 6 mesos en concepte d’interessos?

de la seva capacitat, la qual cosa significava 6 hm . Les darreres 3

pluges han fet pujar el seu nivell fins a un 70%. Suposant que el

79 ■ La Maria tenia 195 € en un banc. Al cap d’un any li han

consum diari per persona és de 30 L, calcula per a quants dies hi

pagat 25 € en concepte d’interessos. Quin rèdit, expressat en

haurà abastiment, tant abans com després de les pluges.

tant per u i en tant per cent, li han aplicat?

72 ■

 El pare d’en Quim va vendre el seu cotxe per 4 000 €.

Per quin preu el va comprar si, per l’ús i el pas del temps, s’ha

80 ■ Calcula quin capital, col·locat durant 6 mesos a un tipus d’interès del 6,5%, produirà 30 € d’interessos.

devaluat fins a un 20% del seu valor? 81 ■ Un capital de 9 000 € ha produït, en un any, uns interessos 73 ■ Per un reajustament dels sous dels treballadors públics, un

de 180 €. Quin tipus d’interès o rèdit s’hi aplicava?

funcionari ha deixat de cobrar un 10% del salari. Si actualment 82 ■ Un capital es va dipositar al 4,5% anual durant 7 mesos i va

percep 2 200 €, quant cobrava abans?

produir 157,50 € d’interessos. Calcula aquest capital. 74 ■■ Un quadrat té una superfície de 4 m . Si el seu costat 2

augmenta en un 25%, en quin percentatge augmenta la seva

83 ■ Quant de temps va estar col·locat un capital de 8 300 €, si

àrea?

va donar 1 660 € al 4%?

139

Proporcionalitat numèrica

Repte 84 ■■■ Un cotxe que circula a 36 km/h recorre una distància

86 ■■■ Els comerciants de la Lliga Hanseàtica (segle

d en un temps t.

acostumaven a associar-se per noliejar vaixells que els perme-

a) A quina velocitat haurà d’anar per recórrer el quíntu-

tessin transportar mercaderies pel mar del Nord i el Bàltic. So-

ple de distància en el quàdruple de temps?

vint el capità del vaixell era un dels socis.

b) Quina velocitat caldrà per recórrer el doble de dis-

Els senyors Orff i Hahn, de Lübeck, s’han associat amb el capi-

tància en la meitat de temps?

tà Prien. El primer ha aportat 2 000 marcs de plata; el segon,

c) Li serà possible fer quatre vegades la distància en la

3 000, i el capità, 1 000. El capità, a més dels beneficis que li

quarta part de temps? Justifica la resposta.

pertoquin, rebrà un sou de 10 marcs diaris. Els sous de la tripulació (sense comptar el capità) sumen un total de 30 marcs

85 ■■■ Se’t proposa un joc de càlcul mental sense límit de jugadors, en què cada un ha de tenir llapis i paper. Algú fa de jutge i apunta totes les operacions. Calen 12 daus de sis cares. Cada torn, un jugador tirarà un dau. A continuació tirarà tants daus com indiqui el resultat de la primera tirada i sumarà els punts obtinguts. Un altre jugador repetirà el procés. Llavors tots han de calcular mentalment quin tant per cent representa

diaris. El viatge dura 30 dies entre l’anada i la tornada. A causa d’un atac pirata, el vaixell pateix desperfectes per valor de 150 marcs. Després de diverses operacions de compra i venda a diverses ciutats, el vaixell torna a Lübeck amb 9 600 marcs. Es paguen els sous, es reparen els desperfectes i, finalment, es reparteixen els beneficis. a) Quants diners rebrà cada soci?

el valor obtingut pel jugador que ha llançat menys daus respec-

b) Quin tant per cent de benefici han assolit?

te del que ha obtingut el que n’ha llançat més. Si han llançat

c) Suposa que tots els viatges tenen els mateixos cos-

el mateix nombre de daus es fa el càlcul del primer respecte

tos i beneficis i que calen 15 dies per preparar un altre

del segon. En el paper no es pot fer cap càlcul; només s’hi

viatge. Quant de temps tardaran els socis a doblar el

pot apuntar el resultat de cada torn. Guanya qui encerti més

140

xii-xv)

capital inicial?

resultats. Calcula els percentatges més gran i més petit que es poden obtenir en aquest joc.

Autoavaluació Sé calcular una incògnita aplicant les relacions de proporcionalitat? 1. Calcula el valor de x en les proporcions següents: a)

12 18 = 26 x

x 36 = 16 24

Sé resoldre problemes aplicant les relacions de pro

6. Un equip de 8 paletes, treballant 6 h diàries, tarden 5 dies per fer una feina. Quant tardarien 15 paletes, si fessin 8 h diàries? Sé resoldre problemes amb percentatges? 7. En Joan s’ha venut el cotxe i n’ha tret 3 000 €. Si, pel pas del temps, s’ha devaluat fins a un 15%, a quin preu el va comprar?

porcionalitat?

8. Un comerciant va comprar 12 000 taronges a 17 € la cen-

2. En 16 g de metà (CH4) hi ha 12 g de carboni per cada 4 g

tena. El 10% de les taronges es va fer malbé, i les despeses pel

d’hidrogen. En un recipient hi ha 100 g de metà. Quants n’hi

transport van ser de 400 €. Si s’hi vol guanyar un 40%, a quin

haurà de cadascun dels seus elements?

preu haurà de vendre la dotzena?

3. Amb una aixeta que raja 20 L/min s’omple un dipòsit deter-

9. Durant tres anys consecutius, el valor d’un edifici s’ha in-

minat en 2 h. Calcula en quant de temps s’omplirà amb una

crementat en un 10%. Si el seu valor inicial era de 6 milions

aixeta que doni 50 L/min.

d’euros, quant val passats aquests tres anys?

4. L’Antoni i en Jordi van crear empresa, i hi van posar 30 000 € i 20 000 € respectivament. Al cap dels anys han obtingut 40 000 € de benefici. Com se’ls han de repartir?

Sé resoldre problemes d’interès simple? 10. Calcula:

5. Segons la llei dels gasos ideals, la pressió p del gas tancat en

a) L’interès produït per un capital de 6 000 € dipositat a un

un recipient és directament proporcional a la temperatura T,

3% durant 4 anys.

i inversament proporcional al volum V. Escriu aquesta relació en

b) El temps que tardaria a generar-se el mateix interès amb

llenguatge matemàtic.

un rèdit del 5%.

Proporcionalitat al mercat Els dissabtes al matí en Pau acompanya el seu pare a fer la compra setmanal al mercat. Avui en Pau s’ha emportat la calculadora i el seu pare el posa a prova.

Proporcionalitat numèrica

Competències que sumen

1. Mira, Pau, els tomàquets valen 1,20 €/kg. Quant costaran 3,5 kg? a) 4,80 €

141

b) 4,20 € c) 3,80 € d) Cap resposta de les anteriors és correcta. 2. A la carnisseria els cobren 4,83 € per un pollastre que pesa 2,100 kg. a) Quin és el preu del quilogram de pollastre? b) Quant costa un pollastre de 2,600 kg? Indica les operacions. 3. A la peixateria ens ofereixen comprar un llobarro sencer per 10 € o pagar-lo segons el pes a 4,5 €/kg. a) Si el llobarro pesa 2,5 kg, què els surt més econòmic: pagar 10 € o pagar-lo segons el pes? b) A partir de quin pes és preferible comprar-lo pel preu de la peça (10 €)? Raona la resposta. 4. Completa la taula següent sobre el preu en euros de les pomes segons el pes: pes (kg) preu (€)

5 2,60

6,50

80 39

5. A la xarcuteria hi ha l’oferta següent: «Per la compra d’1 kg o més de mortadel·la te’n regalem 200 g». Si en Pau i el seu pare volen 2,5 kg de mortadel·la, quina és la millor manera d’aprofitar l’oferta? 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Les funcions Fer el canvi visible

Amb el temps tot canvia. La curiositat humana ens impulsa a investigar per comprendre els canvis. Això vol dir saber quines causes els provoquen, com ens afecten i fer prediccions.

142

Un dels aspectes més importants per conèixer un fenomen és quantificar les diferents variables o aspectes que hi intervenen. Els científics prenen mesures, les anoten, i les representen per obtenir una imatge que reflecteixi l’evolució del fenomen estudiat. D’aquesta evolució en treuen conclusions del passat i fan prediccions. L’estudi els serveix per tenir una idea més acurada i objectiva de la manera com podrien ser les coses. L’objectiu últim és obtenir una funció, és a dir, una relació quantificada entre cada instant de temps i l’estat corresponent del fenomen. Posem per cas, l’estudi de la variació de temperatura al llarg d’un dia. El temps de durada, un dia, està quantificat en hores (h). La temperatura està quantificada en graus centígrads (ºC) mesurables amb un termòmetre. Les temperatures s’anoten amb precisió cada hora, des de les 00.00 h fins a les 24.00 h. Així s’obté una taula de parelles de valors en la qual a cada hora li correspon una temperatura. Cada parell de valors es representa en una gràfica consistent en dos eixos de coordenades, un per al temps i l’altre per a la temperatura. S’obtenen una sèrie de punts que mostren l’evolució del fenomen durant tot el dia. Aquests punts posen de manifest la relació de dependència entre la temperatura i el temps. Es diu que la temperatura és funció del temps, ja que per a cada instant hi ha una temperatura única. Algunes preguntes importants que ens podem fer és veure en quines hores del dia la temperatura puja o baixa, quins són els seus valors màxim i mínim i si algun d’aquests valors extrems es troba per sobre o per sota del que s’esperava. Si això passa, o si les pujades

i baixades són molt sobtades, cal estar a l’aguait perquè potser anuncien un canvi de temps. A gran escala, això és el que està passant al planeta. L’anomenat canvi climàtic s’ha pogut constatar a partir de l’observació que tota una sèrie de dades han canviat força durant un període de temps curt. El fenomen és molt complex perquè hi intervenen moltes variables, però les més importants fan referència a la temperatura, especialment la de l’aigua del mar, i a l’augment o disminució de les precipitacions. Són tants i tan grans els canvis en les dades, que l’home es pregunta quines són les causes que els provoquen. Molts científics pensen que la nostra espècie hi té gran part de responsabilitat i que, per tant, som nosaltres mateixos qui hi hem de posar remei. La fórmula per fer-ho no és gens fàcil de conèixer. A la vida diària ens trobem amb moltes funcions que no són tan complexes com el canvi climàtic. Una de les activitats més corrents és anar a comprar. La relació entre l’import que s’ha de pagar I i el nombre d’ítems x adquirits és ben senzilla. Només cal multiplicar el preu de cada ítem p per la quantitat: I = p · x Aquesta és una altra manera d’expressar una funció: mitjançant una fórmula matemàtica. En aquest cas es tracta d’una funció de proporcionalitat que produeix una gràfica rectilínia. Però no sempre és així ni tan fàcil.

Analitza i resol 1. Fes una cerca a Internet per conèixer les dades de temperatura al llarg d’un dia a la teva ciutat i fes-ne la representació gràfica. 2. De la gràfica que hauràs fet, digues quines són les temperatures màxima i mínima i en quins moments del dia ha pujat o ha baixat la temperatura. 3. Si fessis dues gràfiques de la variació de temperatura a la teva localitat, un d’un dia d’hivern i l’altre d’un dia d’estiu, quines semblances i diferències veuries? 4. Cerca a Internet quins són els factors principals que indiquen que s’està produint un canvi climàtic. 5. Representa en una gràfica la funció que relaciona el temps i la distància del teu centre a casa teva. 6. 1,5 kg de taronges ens ha costat 3,54 €. Escriu la fórmula de la funció que indica l’import I que s’ha de pagar en 3 calcular comprar x quilos de taronges. Fes-la servir per 4 quant ens costaran ¾ kg de taronges. 7. Entre les 10 h i les 12 h d’un dia d’un mes de gener, la temperatura va passar de 12 ºC a 8 ºC. El mateix dia, però entre les dues i les vuit de la tarda, va passar de 6 ºC a 2 ºC. a) Indica en quin dels dos casos la baixada de temperatura va ser més brusca. b) Representa en una gràfica les dades indicades. c) Digues quins aspectes fan visibles la resposta que has donat a la qüestió de l’apartat a anterior.

Índex

Competències bàsiques

1. El sistema de coordenades cartesianes 2. Les funcions 3. Característiques generals d’una funció 4. La funció de proporcionalitat directa 5. La funció afí 6. Intersecció de funcions de primer grau 7. La funció de proporcionalitat inversa 8. Introducció a les funcions de segon grau

Matemàtica. Observació, anàlisi i interpretació dels fenòmens funcionals. Comunicativa lingüística i audiovisual. Representació i interpretació de gràfiques cartesianes. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Social i ciutadana. Observació, anàlisi i representació de fenòmens socials.

143

Les funcions

El sistema de coordenades cartesianes

eix d’ordenades

1.1

abscissa

Y 3

ordenada

1, 2

2, 1

1 0 –3

–2

X 0

–1 –1

origen –2 –3

Representació de punts en un sistema cartesià

eix d’abscisses

El sistema de representació de punts en un sistema cartesià consta de dos eixos perpendiculars graduats o eixos de coordenades: l’horitzontal, que és l’eix X o d’abscisses, i el vertical, que és l’eix Y o d’ordenades. Aquests dos eixos es tallen en els seus orígens O respectius. Per descriure la posició d’un punt es mesuren els desplaçaments horitzontal i vertical d’aquest en relació amb els eixos. Aquests dos nombres reben el nom de coordenades cartesianes, i s’indiquen en forma de parell ordenat (x, y). El primer és l’abscissa, que representa el desplaçament horitzontal, i el segon és l’ordenada, que representa el desplaçament vertical. Sovint es posa una lletra majúscula a davant dels parèntesis per fer referència al punt, com, per exemple, A(x, y). Si el valor d’una de les coordenades és zero, es tracta d’un punt situat en un dels eixos. Si la primera coordenada és zero, és un punt de l’eix abscisses, i si és la segona coordenada, és un punt de l’eix d’ordenades. Si tots dos són zero, es tracta del punt situat a l’origen de coordenades. Exemples 1. Considera el punt A(3, 1): La coordenada x és +3, i representa un desplaçament horitzontal cap a la dreta de tres unitats.

144

La coordenada y és +1, i representa un desplaçament vertical cap amunt d’una unitat.

0 0

2. Fixa’t en la posició dels punts A(2, 0), B(0, 1), C(-1, 0), D(0, -2) i F (0, 0) en el sistema d’eixos de coordenades. Els punts C i A es troben sobre l’abscissa; els punts B i D, sobre l’ordenada, i el punt F, sobre l’origen del sistema de coordenades.

1 B 0 F 0

C –1

–2

A 2

–1 –2

1.2

Criteris de signe

En l’abscissa, un signe positiu vol dir desplaçament cap a la dreta, mentre que un signe negatiu significa desplaçament cap a l’esquerra. En l’ordenada, un signe positiu és un desplaçament cap amunt, i un signe negatiu és un desplaçament cap avall. Els dos eixos de coordenades divideixen el pla en quatre parts anomenades quadrants. El signe de les coordenades depèn del quadrant on es trobi un punt. Exemple 3. Fixa’t en la posició dels punts A(2, 1), B(-1, 2), C(-1, -1) i D(2, -1). Els punts B, C i D tenen almenys una coordenada negativa, la qual cosa implica desplaçaments cap a l’esquerra o cap avall.

B 2n quadrant

1r quadrant

1 0

–3

–2

C 3r quadrant

–1 –1

2 D

4t quadrant

Les funcions

2.1

Concepte de funció

Una funció és una relació entre dues magnituds, de manera que a cada valor de la primera li correspon un únic valor de la segona.

Alerta

Hi ha tres maneres possibles de representar aquesta dependència: en forma de taula, en forma de gràfica, i en alguns casos, fins i tot és possible tenir una fórmula.

Algunes relacions no són funcions. Així, per exemple, si en una relació entre dues magni-

Exemple

tuds, a una li corresponen dos

4. Si un litre d’oli fa 0,88 kg, 2 L faran 1,76 kg, 3 L faran 2,64 kg, etc. La funció que relaciona massa i capacitat és massa = 0,88 · litres.

2.2

valors de l’altra, no es tracta d’una funció.

Taules de valors

En una taula de valors apareix, per a cada valor d’una magnitud, el valor que correspon de l’altra.

0 0

–1

Exemple

–1

força (N) 0 5. La longitud d’una molla, segons la força aplicada, ve donada per la longitud 10 taula. Observa-la i digues per a qui(mm) na força la longitud és de 13 mm i quina és la longitud que correspon a una força de 10 N.

145

De la taula, als 13 mm corresponen 30 N. I als 10 N els correspon una longitud de 11 mm.

2.3

Representació gràfica

Exemple 6. La gràfica mostra el preu de cada unitat, segons el nombre d’unitats produïdes en un taller. Indica quantes unitats cal produir per aconseguir un preu de 60 €/unitat, i el preu per unitat si se’n produeixen 50. Partint del preu de 60 €, ens desplacem horitzontalment fins a la gràfica, i després ens desplacem per llegir 20 unitats. Inversament, partim de 50 unitats, ens desplacem verticalment fins a la gràfica, i després ens desplacem horitzontalment, per llegir 30 €.

Aplica 1 ■ Representa a la llibreta els punts A(2, 4), B(0, 2), C(-2, 1),

D(-1, 0), E(-2, -1), F (0, -4) i G(2, -3).

preu per unitat (€)

En una gràfica, cada eix representa una magnitud. Un punt de la gràfica indica quin valor de la magnitud de l’eix d’ordenades es correspon amb el valor de la magnitud de l’eix d’abscisses. 200

150

100

0 0

20 30

40 50 60 70 80 90 100 unitats produïdes

3 ■ El sou d’un agent comercial depèn de les unitats venudes: vendes

100

200

300

400

500

sou (€)

600

800

1 000

1 200

1 400

1 600

a) Per quin volum de vendes cobra 1 200 €? 2 ■ Representa a la llibreta els punts A(3, 1), B(0, 4), C(-3, 2),

D(-5, 0), E(-4, -3), F (0, -3) i G(4, -2).

b) Quin és el sou base? c) Quant hauria de cobrar per 200 unitats? I per 250?

Les funcions

2.4

Les fórmules

La relació entre dues magnituds pot expressar-se amb una igualtat algebraica que s’anomena fórmula.

Recorda Una funció transforma un nombre x en un altre nombre y. La relació de dependència de y amb x s’expressa y = f (x).

Una de les magnituds, que es representa amb la lletra y, es calcula a partir de l’altra magnitud, que es representa amb la lletra x. Com que y depèn de x, x es diu variable independent i y es diu variable dependent. Les funcions tenen nom, que habitualment és una lletra minúscula, com f, g, h, etc. Si y depèn de x, mitjançant una funció de nom f, s’expressa, de manera genèrica, com: y = f (x) Aquesta expressió es llegeix «y és igual a f de x». A continuació s’escriu la fórmula de la funció concreta. Si es dóna un valor x = a, el valor de y que li correspon, representat per f (a) i calculat amb la fórmula, s’anomena imatge. Exemple 7. Sigui f la funció definida per y = f (x) = x2. Calcula f (3). El que es demana és la imatge de x = 3 mitjançant aquesta funció. Només cal canviar x per 3 en la fórmula. De fet, es tracta de trobar del valor numèric d’un monomi: y = f (3) = 32 = 9

2.5

Si la x pot agafar valors intermedis als de la taula, té sentit unir els punts. En canvi, si han de ser valors enters, no s’ha de fer. Per exemple, el preu d’un bolígraf és 0,6 €. x(u)

y(€)

0,60

1,20

1,80

Com que el nombre de bolígrafs és enter, no té sentit unir

preu (€)

els punts: 1,80

Per fer la gràfica d’una funció cal seguir els passos següents: 1. Construir una taula de valors a partir de les dades de què es disposa, ja sigui a partir de les especificacions d’un enunciat o amb una fórmula. 2. Representar els punts obtinguts. 3. Valorar si té sentit unir els punts. En el cas que es puguin unir, s’obté una funció contínua. En cas contrari, es tracta d’una funció discreta. Exemple 8. Quan es penetra en el subsòl, la temperatura augmenta 3 ºC cada 100 m (gradient geotèrmic). Suposant que la temperatura a la superfície és de 20º C, fes una gràfica que mostri aquesta situació.

40 30

Podem fer una taula de valors de 100 en 0 0 100 100 m, de manera que així només s’han de sumar 3º cada vegada. Com que totes les profunditats intermèdies són possibles, té sentit unir els punts.

1,20

0,60

Com fer les gràfiques: funcions contínues i discretes

temperatura (ºC)

Alerta

146

3 bolígrafs

profunditat (m)

100 200 300 400 500

temperatura (ºC)

Aplica

200

300

400

a) Copia i completa la taula i fes-ne la gràfica. b) Indica la fórmula de la funció.

4 ■■ Per terme general, la temperatura de l’aire disminueix

alçada (m)

0,65 ºC cada 100 m.

temperatura (°C)

100

200

500

profunditat (m)

300

400

500

Característiques generals d’una funció

3.1

Creixement, decreixement, màxims i mínims

Una funció és creixent si, quan augmenta la variable independent, també augmenta la variable dependent. En la gràfica, es pot descriure dient que «la línia puja quan es va d’esquerra a dreta».

1 0 –2

–1

Una funció és decreixent si, quan augmenta la variable independent, la variable dependent disminueix. En la gràfica, es pot descriure dient que «la línia baixa quan es va d’esquerra a dreta».

1 0

Una funció pot ser creixent en uns intervals, i decreixent en uns altres. Els punts en què canvia la tendència s’anomenen extrems, i poden ser de dos tipus:

–2

–1

• Màxims, si es canvia de creixent a decreixent. • Mínims, si es passa de decreixent a creixent. Exemple 9. Fixa’t en la gràfica i indica on és creixent, on és decreixent, i quins són els màxims i els mínims de la funció definida per la gràfica:

És creixent des de x = -1,6 (aproximadament) a x = 0 i a partir de x = 1,6. 1

És decreixent fins a x = -1,6 i entre x = 0 i x =1,6. En el punt (-1,6; -1,2) té un mínim, en el punt (0, 2) té un màxim, i en el punt (1,6; -1,2) té un altre mínim.

3.2

0 –3

–2

–1

147

Punts de tall

Els punts de tall amb els eixos són els punts de la gràfica d’una funció y = f (x) que coincideixen amb els eixos de coordenades. N’hi ha de dos tipus: amb l’eix X, que té l’ordenada igual a zero, i amb l’eix Y, que té l’abscissa igual a zero. Exemples 10. Indica els punts de tall amb els eixos de la gràfica:

Si observes l’eix X, la corba talla en els punts (-1, 0), (1, 0) i (3, 0). En canvi, en l’eix Y hi ha un únic punt tall, el (0; 1,5).

2 1

11. Calcula els punts de tall amb els eixos de la funció y = f (x) = 2x - 4. Tall amb l’eix X. Com que l’ordenada val 0, es pot escriure: 2x - 4 = 0 → 2x = 4 → x = 4/2 = 2. Es tracta del punt (2, 0). Tall amb l’eix Y. Cal trobar la y corresponent a x = 0. Només cal substituir: y = f (0) = 2 · 0 - 4 = -4. Es tracta del punt (0, -4).

Aplica

–1

–1 –2

Resol

5 ■ Fixa’t en la gràfica i indica:

6 ■ La pressió dins l’aigua augmenta una atmosfera (atm) cada

a) On és creixent i on decreixent.

10 m. Així, si la pressió a nivell del mar és 1 atm, a 10 m és

b) Els màxims i els mínims. c) Els punts de tall amb els eixos.

0 –2

1 + 1 = 2 atm. Representa la pressió en atm en l’eix d’ordena-

0 0

–1 –1

des i la profunditat en m en el d’abscisses (la taula de valors és més fàcil de fer de 10 en 10 m).

La funció de proporcionalitat directa 4.1 Alerta

Com més gran és la constant de proporcionalitat en valor absolut, més inclinada és la recta. Per aquest motiu, també s’anomena pendent. Si es comparen les gràfiques de y = 2x (blau) i y = 3x (vermell),

Dues magnituds són directament proporcionals si el seu quocient és constant. Si les magnituds es representen per y i x, i la constant de proporcionalitat és m, la fórmula general és: y = m o bé y = m · x x Aquesta funció s’anomena de proporcionalitat directa. La gràfica és sempre una línia recta que passa per l’origen de coordenades. L’expressió algebraica és un monomi de 1r grau. Per aquest motiu, es diu que és una funció de 1r grau. Exemple

la segona és més inclinada que la primera:

12. Un dipòsit d’aigua, inicialment buit, s’omple amb l’ajuda d’una bomba hidràulica que proporciona 100 L/min. Estudia la relació que hi ha entre la quantitat d’aigua que hi ha al dipòsit i el temps que fa que s’ha posat en marxa la bomba.

És senzill obtenir la taula següent:

temps (min)

capacitat (L)

100 200 300 400 500 y Si y és la capacitat i x el temps, es veu que = 100, x

148

Concepte de funció de proporcionalitat directa

capacitat (L)

Les funcions

600

400

200

o que y = 100x. La gràfica és una línia recta.

Si es comparen les gràfiques de

y = x (vermell) i y = -x (blau),

4 5 temps (min)

la primera és creixent i la segona decreixent, però el pendent

4.2

és el mateix. 2

1 0 0

–1 –1

El valor i el signe de la constant de proporcionalitat

El valor absolut de la constant de proporcionalitat dóna una mesura de la inclinació de la recta, de manera que, com més elevat és, més inclinada és. Per aquest motiu s’anomena pendent. Pel que fa al signe, si és positiu, la funció és creixent; i si és negatiu, la recta és decreixent. Si es disposa de la gràfica d’una funció de proporcionalitat, és possible trobar el pendent, marcant dos punts d’aquesta gràfica, d’esquerra a dreta, i calculant la raó entre l’increment vertical V i l’increment horitzontal H:

V H

Exemple 13. Troba el pendent de les dues rectes que es mostren en la figura. Recta blava. Es marquen dos punts i s’observa que l’increment vertical és 2 i l’horitzontal 1. Per tant, el 2 pendent és m = = 2. 1 Recta vermella. S’observa un increment vertical de -2 i horitzontal de 4, de manera que el pendent és −2 −1 m= = . 4 2

V=2 2 H=1 1 V = –2 –2 F

0 0

–1 –1

H=4

La funció afí

5.1

Concepte de funció afí

Una funció afí s’obté sumant un nombre i una funció de proporcionalitat. La funció obtinguda també és de 1r grau. y = mx + n

Recorda Un increment d’un 18% d’una

nombre

quantitat c és el mateix que

funció de proporcionalitat

Els punts de la seva gràfica segueixen una línia recta que no passa per l’origen de coordenades, com en el cas de les funcions de proporcionalitat.

multiplicar q per 1,18: c+

18 c = c + 0, 18c = 1, 18c 100

Exemple

Considera que x és el temps (min) i y és el cost (€). Per trobar el cost sense IVA, cal multiplicar 0,10 pels minuts, i sumar la quantitat fixa de 15 €. Per afegir el 18% d’IVA, s’ha de multiplicar per 1,18 la quantitat anterior:

y (€)

14. Una empresa telefònica cobra mensualment 15 € en concepte de gestió i 0,10 € per cada minut de conversa. Finalment, s’ha d’afegir el 18% d’IVA. Expressa una fórmula per calcular la factura mensual.

60,00

40,00

20,00

y = 1,18(0,10x + 15) = 0,118x + 17,70

0,00

Per fer la taula de valors, s’ha agafat el temps de 100 en 100 min: x (min) y (€)

80,00

100

200

300

400

17,70

29,50

41,30

53,10

64,90

200

300

400 x (min)

Els punts es poden unir perquè el temps és pràcticament continu. Consells

Com aplicar-ho. Obtenir la gràfica d’una funció afí Representa gràficament la funció y = f (x) = -2x + 4.

Com que la gràfica d’una funció afí és una recta, només cal determinar 2 punts i unir-los.

• Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades. Eix X: y = 0 → -2x + 4 = 0 → -2x = -4 → → x = -4/-2 = 2 → punt (2, 0).

4 B

Eix Y: x = 0 → y = -2 · 0 + 4 = 4 → punt (0, 4).

• Representa els punts obtinguts en uns eixos de coordenades. • Uneix els punts i obtindràs la gràfica de la funció.

Una bona manera de fer-ho és calculant els talls amb els eixos.

1 0 0

–1

A 2

Vegeu els exercicis 3

7 pàg. 149; 66 i 67 pàg. 160.

–1

Aplica

Resol

7 ■ Representa gràficament les funcions afins següents:

8 ■ Un litre de gasoil costa 1,22 €. Estudia la relació que hi ha

a) f (x) = 3x - 3

b) f (x) = 3x + 6

c) f (x) = x - 2

Quines tindran rectes paral·leles?

entre els litres de combustible que es posa al dipòsit del cotxe (x) i el preu en € que s’ha de pagar (y). Per fer-ho, construeix la taula de valors, fes-ne la gràfica i determina la fórmula que les relaciona.

149

Les funcions

5.2

Pendent i ordenada a l’origen

La fórmula general d’una funció afí és y = mx + n. El nombre m que multiplica la x mesura la inclinació de la recta, i per aquest motiu s’anomena pendent. El signe del pendent té una conseqüència immediata en la forma de la gràfica de la funció, ja que si el pendent és positiu, la recta és creixent, i si el pendent és negatiu, la recta és decreixent. El nombre n és un desplaçament vertical de la gràfica de la funció y = mx. Com que coincideix amb el valor que té la funció quan x = 0, se’n diu ordenada a l’origen. Exemple 15. Dibuixa, en uns mateixos eixos de coordenades, les gràfiques de les funcions y = f (x) = 2x + 2, y = g(x) = 2x i y = h(x) = 2x - 1, i comenta el que s’observa.

Recorda

Primer es construeix una taula amb els valors de les funcions:

Hi ha rectes que són paral·leles als eixos de coordenades. Les rectes horitzontals són de la de la forma x = a.

150

x = –2

y=2

-1

S’observa que les rectes són g 0 2 -2 paral·leles, ja que tenen el mah 1 -3 -1 teix pendent. La funció f és un desplaçament cap amunt de la funció g, ja que n’hi suma 2. En canvi, la funció h és un desplaçament cap avall de la funció g, ja que n’hi resta 1.

forma y = a, i les verticals són

x=2

y = 2x

2 y = 2x + 2

y = 2x – 1 1 0 0

–1

0 –2

–1

–1 –2

5.3

Pendent zero

y = –2

És possible que el pendent sigui zero, i s’obté una funció que té com a expressió y = f (x) = n. Aquesta funció s’anomena funció constant perquè els valors de y sempre són els mateixos. La seva gràfica és una recta paral·lela a l’eix d’abscisses.

Com aplicar-ho. Trobar l’equació d’una recta a partir de la gràfica Troba l’equació de la recta que passa pels punts P(2, 2) i Q(4, 3). • Es dibuixen els punts en uns eixos de coordenades i es traça la línia recta. • El valor de n es llegeix directament del punt on la recta talla l’eix Y, que és n = -1, i m s’obté fent V 2 m = = = 2. Per tant, l’equació és y = 2x - 1. H 1

Aquest mètode gràfic és aproximat, però fàcil d’aplicar, i molt útil, sobretot en gràfiques experimentals.

3 2

V=2

Vegeu els exercicis

H=1

0 0

–1

Consells

–1

11 i 12 pàg. 150; 69, 70, 71 i 72 pàg. 160.

Aplica

10 ■ Dibuixa les rectes x = 2, x = -1, y = 3 i y = -2.

9 ■ Dibuixa les gràfiques de les funcions:

11 ■ Troba l’equació de la recta que passa pels punts A(2, 1)

y = 2x - 6, y = -3x + 3, y = -3x - 1 i y = 2x + 4 Digues quines són creixents i quines són decreixents, i per què. Indica també quines són paral·leles i per què.

i B(3, 2).

12 ■■ Troba l’equació de la recta que passa pels punts A(2, -1) i B(-3, 2).

Intersecció de funcions de primer grau

La representació gràfica, en uns mateixos eixos de coordenades, de dues funcions de 1r grau, i el càlcul del punt on es tallen, permet resoldre problemes en els quals s’ha de comparar entre diferents possibilitats. Exemple 16. A un agent comercial li ofereixen dues propostes salarials. La primera li és de 600 € fixos més el 10% de les vendes. En la segona no li ofereixen sou base, però la comissió és més elevada: un 15% de les vendes. Compara gràficament les dues propostes. Representem per x el volum de vendes. La primera opció es calcula amb la fórmula 10x 15x y = f (x ) = + 600, i la segona opció es calcula com a y = g ( x ) = . Es fa una 100 100 taula de valors de les dues funcions, triant uns valors adequats, que en aquest cas han estat de 2 000 en 2 000. x

2 000

4 000

6 000

8 000 10 000 12 000 14 000 16 000

y = f (x)

600

800

1 000

1 200

1 400

1 600

1 800

2 000

2 200

y = g(x)

300

600

900

1 200

1 500

1 800

2 100

2 300

A partir de la gràfica s’observa que les dues propostes s’igualen quan s’efectuen 12 000 € de vendes, i donen un salari de 1 800 €. Per sota dels 12 000 € de vendes, és millor la primera opció (la blava es troba per sota la vermella), i per sobre d’aquest valor és millor la segona opció (la vermella es troba per sobre la blava).

salari (€)

A continuació es representen les dues funcions, de color blau la primera opció i vermella la segona. 3 000

Recorda Les interseccions de funcions de 1r grau ens donen una interpretació gràfica dels sistemes d’equacions. Només cal aïllar y. Per exemple: x + y = 3 El sistema  y − x − 1

és equi-

valent a la intersecció de les 2 500

dues funcions: y = 3 - x i y = x + 1

2 000 1 500 1 000 500

És possible arribar a aquesta mateixa conclusió algebraicament. Efectivament, si 0 0 s’igualen les dues funcions, s’obté l’equació: 10x 15x + 600 = 100 100

5 000

10 000

15 000

20 000 vendes (€)

Es multiplica tota l’equació per 100, se simplifica i es resol per transposició: 100 ⋅ 10x 100 ⋅ 15x + 100 ⋅ 600 = → 10x + 60 000 = 15x 100 100 10x - 15x = -60 000 → -5x = -60 000 → x = 60 000/5 = 12 000 € Per trobar el salari, es pot utilitzar qualsevol de les dues funcions: 10 ⋅ 12 000 + 600 = 1200 + 600 = 1800 € 100

Aplica

Resol

13 ■ Troba el punt on es troben les funcions de 1r grau

15 ■■ Ens ofereixen dos tipus de contracte de telefonia mòbil.

y = 3x - 1 i y = 9 - 2x.

En el primer ens cobren 15 € pel manteniment i 0,15 €/min. En

x + y − 3 . 14 ■ Estudia de manera gràfica la solució del sistema  y − x − 1

el segon, només ens cobren 0,25 €/min. Compara gràficament les dues opcions. Comprova el resultat algebraicament.

151

La funció de proporcionalitat inversa

Les funcions

Dues magnituds x i y són inversament proporcionals si el seu producte és constant: x · y = k La constant k és la constant de proporcionalitat. La funció de proporcionalitat inversa relaciona dues magnituds directament proporcionals. La seva fórmula s’obté fàcilment aïllant y: k y= x

–3

La gràfica no segueix una línia recta sinó una corba que es diu hipèrbola equilàtera. Les seves característiques principals són:

–2

1. La hipèrbola equilàtera consta de dues branques simètriques respecte de l’origen de coordenades.

–1

2. No és possible traçar la gràfica amb un sol traç. Es diu que la gràfica és discontínua.

0 0

3. No té cap punt de tall amb els eixos de coordenades. Les imatges poden no arribar mai a ser zero. • Si x augmenta, les imatges es fan cada cop més petites, però mai zero. k • Si x disminueix fins a x = 0, y = , però és possible dividir per zero. 0 4. Si la constant de proporcionalitat és positiva, la funció és decreixent; si és negativa, la funció és creixent. Exemple

152

17. Representa les gràfiques de les funcions y = f ( x ) =

2 −2 i y = g (x ) = . x x

En primer lloc s’han de fer les seves taules de valors. x

-4

-2

f(x) -0,5 -1 g(x) 0,5

-1 -0,5 0,5

4 3

-2

-4

0,5

-4

-2

-1

-4

Després, en uns mateixos eixos, es representa f (vermell) i g (blau).

2 1 0 –4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4

Aplica

Resol

16 ■ Representa gràficament a la llibreta les funcions 1 −1 y = f (x ) = i y = g (x ) = . Què passa a la gràfica quan canx x via el signe de la constant de proporcionalitat?

18 ■■ La Paula i en Sebastià organitzen una col·lecta per fer un

17 ■ Representa gràficament a la llibreta les funcions 4 8 y = f ( x ) = i y = g ( x ) = . Que passa a la gràfica a mesura x x que augmenta la constant de proporcionalitat?

regal a la seva tutora, que es casa. Entre diverses opcions, han trobat un regal que costa 50 €. Si x és el nombre de companys que col·laboren i y el que paga cadascú, troba la fórmula que relaciona aquestes dues magnituds, fes-ne la taula de valors i la gràfica. 19 ■■ S’han estudiat els temps necessaris per fer un recorregut determinat a velocitats diferents. A 60 km/h s’han tardat 2 h. Troba la fórmula que relaciona les dues magnituds i fes-ne la gràfica.

Introducció a les funcions de segon grau

8.1

Les funcions de segon grau

Una funció polinòmica de 2n grau és la que té un terme de 2n grau. La seva fórmula general és: y = f (x) = ax2 + bx + c (amb a ≠ 0) Els nombres a, b i c representen nombres concrets, i s’anomenen coeficients. Si falta algun coeficient, se li assigna el valor 0. Aquest curs estudiarem només el cas especial en què b = c = 0. Exemple 18. y = x2 - 3x + 2 és una funció de 2n grau en què a = 1, b = -3 i c = 2.

Funcions del tipus f (x) = ax2

8.2

La gràfica d’una funció del tipus f (x) = ax2 consisteix en una corba anomenada paràbola, simètrica respecte de l’eix d’ordenades Y i amb un extrem, anomenat vèrtex, a l’origen del sistema de coordenades (0, 0). Si a és positiva, el vèrtex és un mínim, mentre que si a és negativa, el vèrtex és un màxim.

Una gràfica és còncava entre dos punts si, en unir-los per un segment, la gràfica queda per sota. En cas contrari, quan

Exemple

la gràfica queda per sobre, és

19. Analitza les característiques gràfiques de les funcions f (x) = 2x2 i g(x) = -x2. Primer es construeix una taula de valors per a cada funció:

Recorda

convexa.

-2

-1

f(x)

g(x)

-4

-1

còncava 2

Representant les dues corbes en un mateix sistema de coordenades, de color blau la funció f i de color vermell la funció g, es pot observar que:

3 0

c) El vèrtex correspon a un mínim quan a > 0, i a un màxim quan a < 0. d) Com més petit és el valor absolut de a, el creixement o decreixement és més lent i, en conseqüència, la gràfica és més oberta.

Aplica

–1

convexa –1

a) La paràbola de les dues funcions és simètrica respecte de l’eix d’ordenades. b) El vèrtex és la intersecció de l’eix de simetria i la gràfica. Aquest està situat a l’origen de coordenades.

y = x2

1 y = –x 2

1 0 –2

–2 0

–1

–2

–3

22 ■ Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les gràfiques de les funcions y = f (x) = x2, y = g(x) = x2 + 1 i

20 ■ Dibuixa la gràfica y = f (x) = x2 + 1.

y = h(x) = x2 - 1. Explica què observes.

21 ■ Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les gràfi-

23 ■■ Dibuixa, en uns mateixos eixos de coordenades, les grà-

ques de les funcions y = f (x) = x2, y = g(x) = 2x2 i y = h(x) = 3x2.

fiques de y = f (x) = (x - 1) , y = g(x) = x2 i y = h(x) = (x + 1) .

Explica què observes.

153

Tot són matemàtiques

Les funcions matemàtiques de la música Els audiòfons i implants coclears ajuden les persones amb discapacitats auditives.

La música ens acompanya des que som humans. La percebem a través de les ones sonores que es propaguen per l’aire a una velocitat de 340 m/s. Les ones es poden representar mitjançant funcions matemàtiques i, gràcies a això, reproduir-les i modificar-les amb dispositius digitals com un ordinador o un reproductor portàtil. Gràcies a les matemàtiques escoltes música! còrtex premotor (dorsal)

còrtex motor lòbul temporal superior / còrtex auditiu

còrtex frontal còrtex premotor (ventral)

orella

154

La tasca d’interpretar els impulsos nerviosos de l’orella la fa una regió del còrtex localitzada al lòbul temporal del cervell, més o menys sota les orelles. Podem distingir molt bé la veu dels nostres coneguts pel timbre, i discriminar detalls per diferenciar instruments musicals o sorolls. Els sons audibles per a l’ésser humà són ones mecàniques que tenen entre 20 Hz i 20 kHz de freqüència. A. La forma de l’ona correspon a una funció matemàtica exacta. B. i C. Toquen la mateixa nota i tenen el mateix to, que és una sensació fisiològica directament relacionada amb la freqüència: com més freqüència, més alta és la nota (més aguda). Però la forma de l’ona és diferent, la qual cosa permet distingir qualitativament els dos instruments: és el timbre.

diapasó

violí

violoncel

Les vibracions de les cordes del violí es transmeten pel pont fins al cos de l’instrument. Les vibracions del cos ressonen amb les de les cordes, i així es forma el seu so característic. Durant segles, trobar sèries harmòniques en els instruments va ser fruit de l’habilitat artesana. Actualment, l’anàlisi matemàtica informatitzada, mitjançant tècniques com la interferometria hologràfica, complementa la tasca dels artesans.

So complex format per una barreja d’ones harmòniques. L’anàlisi de Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier, 17681830) consisteix en l’estudi de les ones descomponentles en els harmònics que les constitueixen.

Les funcions

Els instruments musicals es basen en la manera com vibren i produeixen ones mecàniques.

Els harmònics són components sinusoïdals del senyal, i la seva freqüència és un múltiple d’aquesta freqüència fonamental, que és la freqüència més baixa a la qual vibra l’instrument.

Analitza i investiga 1. Què és una ona harmònica o harmònic? Investiga quins paràmetres físics defineixen una ona simple. 2. Busca informació sobre l’anàlisi harmònica o anàlisi de Fourier. Quines utilitats té? 3. Què és un implant coclear? I un audiòfon? Coneixes algú que porti algun d’aquests

elements?

Investiga

com

funcionen. 4. Formeu grups, amb ajuda del professor o professora, i busqueu informació i imat-

Corba de Wegel

ges sobre la interferometria hologràfica

Llindar del dolor. A partir d’aquest llindar, els sons poden danyar les orelles de manera irreparable. La nostra espècie està adaptada especialment bé per sentir les freqüències pròpies de la parla humana.

aplicada a l’estudi d’instruments musicals. Confeccioneu un petit treball, mural o presentació de diapositives sobre el tema, seguint les indicacions del professor o professora, i feu-ne la presentació a classe. 5. Fixa’t en l’esquema sobre percepció

intensitat (dB)

pressió (din/cm2)

auditiva i la corba de Wegel. Respon si són certes o falses les afirmacions següents, suposant que no tenim problemes auditius: a) Un so amb una intensitat de 150 dB sempre ens causarà dolor, independentment de la freqüència. b) Un so de 2 000 Hz de freqüència amb una intensitat de 20 dB és audible, en

freqüència (Hz) Llindar d’audició. La percepció auditiva no és lineal: segons la freqüència, es necessita una intensitat acústica (que es mesura en decibels, dB) mínima per poder sentir el so.

general. c) Un so de 40 Hz de freqüència necessita més intensitat per ser audible que un so de 1 000Hz. d) Un so de 30 kHz no és audible per a la nostra espècie.

155

Les funcions

Això és bàsic Les coordenades cartesianes són un sistema de localització de punts

desplaçament horitzontal x

en el pla basat en dos desplaçaments, un d’horitzontal i un de vertical, mesurats en relació amb dos eixos perpendiculars graduats.

A 2, 3

2n quadrant

punt del pla

desplaçament vertical y

1r quadrant

–x

0 –3

–2

origen

X 0

–1

eix d’abscisses

–y –2

3r quadrant

–3

4t quadrant eix d’ordenades

Funció. Relació entre dues magnituds, de manera que a cada valor de la primera magnitud li correspon un únic valor de la segona. funció de proporcionalitat 8 6

y = 3x x y

-2 -6

-1 -3

funció afí y = mx + n

y = 3x - 2

8 6

directa y = kx

0 0

1 3

4 2 0

–10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 –2 –4

-2

-1

-8

-5

-2

4 2 0

–10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 –2 –4 –6

–6

–8

–10

156 funció de proporcionalitat k inversa y = x 1 y= x

funció de segon grau

y = x2 + bx + c

y = 2x2

5 0

0 5 –15 –10 –5 –5

-2

-1

-0,5

-1

0,5

10 15 20

–10

-2

-1

0 –2

–1

–15

–1 –2

–20

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Representar gràficament

1. Si no n’hi ha, fes una taula de valors aplicant la funció.

una funció qualsevol

2. Dibuixa els punts en uns eixos de coordenades. 3. Decideix, en el context del problema, si s’han d’unir els punts.

Determinar els punts de

1. Amb l’eix d’ordenades (eix Y): substitueix a la funció la incògnita x pel valor 0.

tall d’una gràfica amb els

2. Amb l’eix d’abscisses (eix X): substitueix y = 0 i resol l’equació f (x) = 0.

eixos de coordenades Construir la gràfica

1. Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades.

d’una funció afí

2. Situa els punts obtinguts en uns eixos de coordenades. 3. Uneix els punts per obtenir la gràfica.

Obtenir el pendent

1. Marca dos punts sobre la recta.

m d’una recta

2. Divideix l’increment vertical entre l’increment horitzontal donat per aquests dos punts.

Obtenir l’equació d’una

1. Calcula el pendent m a partir de la gràfica.

recta y = mx + n

2. Troba n observant el punt on la gràfica talla (0, n) l’eix d’ordenades.

32 ■

El sistema de coordenades cartesianes

 La taula següent mostra el valor d’unes accions al llarg

dels dies laborables d’una setmana:

24 ■ Representa en uns eixos de coordenades els punts A(3, 2),

dia

B(0, 3), C(-2, 3), D(-2, 0), E(-4, -3), F (0, -2) i G(1, -4).

valor (€)

25 ■ Representa en uns eixos de coordenades els punts A(2, 2),

250

300

325

305

260

a) A cada mes li correspon un únic nombre de vendes?

B(0, 1), C(-3, 4), D(-5, 0), E(-3, -4), F (0, -3) i G(4, -1).

És una funció?

Les funcions

Activitats

b) Indica quin dia van tenir més valor, i quin, menys. 26 ■ Representa en uns eixos de coordenades els punts se-

c) Representa gràficament aquesta situació. Té sentit

güents: A(2, 3), B(3, -4), C(1, -2), D(-2, -1), E(-3, 2),

unir els punts?

F(0, -2), G(-3, 0), H(0, 1) i I(2, 0).

33 ■■  27 ■ Indica les coordenades dels punts següents:

 S’ha mesurat la densitat de l’aigua a diferents tem-

peratures un xic per sobre del seu punt de congelació. Els resultats obtinguts han estat els següents:

temperatura (ºC)

densitat (kg/m )

999,85 999,93

1 000

999,93 999,85

a) Quina densitat té a 2 ºC? J

b) A quina temperatura la densitat és màxima? c) Representa gràficament aquests valors.

I –4

–3

–1

–2

0 G 0

–1

d) Observa la gràfica i fes una estimació de la temperatu-

ra a la qual la densitat serà de 999,96 kg/m3.

157

34 ■ La gràfica mostra el consum de combustible (L/100 km) –2

d’un model de cotxe determinat a velocitats (km/h) diferents. a) Indica quin és el consum a 60 km/h. b) A quina velocitat consumeix menys?

 Dibuixa els punts de la taula següent i uneix-los: x

-2

-1

Observes cap relació entre els valors de x i els valors de y? 29 ■

 Dibuixa els punts de la taula següent i uneix-los: x

-2

-1

-4

-2

c) A quines velocitats varia més el consum? consum (L/100 km)

28 ■

100

150

200 velocitat (km/h)

Observes cap relació entre els valors de x i els valors de y?

35 ■ Un agent comercial que ven ordinadors cobra 600 € fixos mensuals, i 100 € per cada màquina venuda.

Les funcions

a) Representa gràficament el salari segons el nombre

30 ■ Sigui f la funció definida per y = f( x ) = a) f (-1)

b) f (5)

c) f (1/2)

d) És possible trobar f (0)?

31 ■ Sigui f la funció definida per y = f (x) = x2 - 4. Calcula: a) f (-1)

b) f (0) c) f (3)

d’unitats venudes.

10 . Calcula: x

b) Justifica si té sentit unir els punts obtinguts.

 Donada la funció y = f (x) = 3x - 4:

36 ■

a) Fes una taula de valors. b) Dibuixa la gràfica. 37 ■■ Considera la funció y = f (x) = -5x - 10. Troba el valor de x pel qual f (x) = 0.

guida cap a casa. La gràfica mostra a quina distància es troba de

Característiques generals d’una funció 45 ■■ Tenim la funció g (x) = -2x + 10.

casa seva a cada moment. Es demana: distància (km)

Les funcions

38 ■ La Gemma va a buscar les notes a l’escola, i torna de se-

a) Troba els punts de talls amb els eixos de coordenades.

c) Calcula l’àrea del triangle format pels punts de tall

b) Dibuixa la funció. i l’origen de coordenades. 1

46 ■ Fixa’t en la gràfica adjunta i indica:

a) On és creixent i on és decreixent. 0

temps (min)

b) Els màxims i els mínims. c) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.

a) A quina distància viu de l’escola? b) Quant de temps tarda per arribar-hi?

b) Caminant al mateix ritme, quina distància faria en una hora?

0 –2

–1

158

39 ■

  La pressió atmosfèrica es pot mesurar en mmHg (al-

47 ■ Fixa’t en la gràfica adjunta i indica: a) On és creixent i on és decreixent.

tura en mil·límetres d’una columna de mercuri). A nivell del mar

b) Els màxims i els mínims.

és de 760 mmHg, i a mesura que ens elevem, es redueix en

c) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.

95 mmHg cada 1 000 m.

a) Copia i completa la taula següent:

altitud (m)

100

200

300

400

500

pressió (mmHg)

1 0 0

–0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

–1

b) Representa gràficament aquesta situació.

–2

c) Justifica si té sentit unir els punts obtinguts.

–3

 Tenim les funció f (x) = 2x + 1 i g(x) = 3x + 2

40 ■

a) Fes una taula de valors per a cada una d’elles b) Dibuixa en els mateixos eixos de coordenades la gràfica corresponent. c) Compara les gràfiques.

48 ■ Fixa’t en la gràfica adjunta i indica: a) On és creixent i on és decreixent. b) Els màxims i els mínims. c) Els punts de tall amb els eixos de coordenades. 3



41 ■

Representa gràficament la funció y = f (x) = 2.

 Tenim la funció y = f (x) = -2x - 4.

42 ■

2 1 0 1,5

2,5

3,5

–2

b) Dibuixa la gràfica.

x pel qual f (x) = 2.

–1

a) Fes una taula de valors.

43 ■■ Considera la funció y = f (x) = 3x - 4. Troba el valor de

0 0,5

–3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5

–3

49 ■ Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció f (x) = 3x - 6.

44 ■■ Considera la funció y = f (x) = x2 - 4. Fes una taula de

50 ■ Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la

valors entre x = -3 i x = 3 i dibuixa'n la gràfica.

funció g(x) = -2x + 8.

La funció de proporcionalitat directa

58 ■

 Un excursionista fa 1 km cada 10 minuts. Es demana: a) La distància recorreguda al cap de mitja hora, de 2 h i

51 ■■ En un comerç, tots els articles estan rebaixats un 20%.

de 5 h.

Es demana:

b) Escriu la fórmula que relaciona la distància recorregu-

a) Quin és el preu rebaixat d’uns articles que costaven

da amb el temps en hores.

10 €, 20 € i 30 € respectivament?

c) Dibuixa la funció.

b) Troba la fórmula que caracteritza aquesta funció, i que

d) Calcula quant de temps tarda per fer una caminada

permet calcular el preu rebaixat a partir del preu original.

de 20 km.

Les funcions

Activitats

c) Dibuixa la funció. d) El preu d’un article rebaixat és 40 €. Quant costava sense el descompte? 52 ■■

La funció afí

 La relació entre dues magnituds x i y està representax

-2

-4

-5

-15

-10

mit. El total d’aquestes dues quantitats constitueix la base imposable, a la qual s’ha d’afegir el 18% d’IVA. Es demana: a) Si una família va consumir 150,2 m3, quin és l’import

Troba la fórmula que les relaciona.

de la factura? b) Escriu la fórmula que relaciona el preu de la factura (y)

53 ■ Un litre de gasolina costa 1,215 €. a) Escriu la fórmula que relaciona el preu que s’ha de pagar amb els litres que s’han posat al dipòsit. b) Si s’han pagat 72,90 €, quants litres s’han posat al dipòsit?

amb els m3 (x) . c) Si una família va pagar 48,06 €, quants m3 va consumir? 60 ■■ Considera la recta definida pels punts (-1, -1) i (1, 3). a) Dibuixa la recta paral·lela a aquesta, que passa pel punt

 Una aixeta raja 1 L cada 4 s.

54 ■

a) Calcula la quantitat d’aigua que ha sortit al cap d’1 s, de 10 s i d’1 min. b) Escriu la funció que relaciona els litres d’aigua amb el temps en segons. c) Quant de temps tardarà a omplir-se un dipòsit de 25 L?

(1, 1). b) Troba l’equació de les dues rectes anteriors. c) Descriu el que observes. 61 ■■ Considera la recta definida pels punts (0, 4) i (2, 0). a) Dibuixa la recta paral·lela a aquesta, que passa pel punt (0, 1).

55 ■ En Jesús ha posat un examen amb 8 preguntes i cadascuna val un punt. Un cop corregides les proves, vol fer que la nota màxima es correspongui amb un 10. Troba la fórmula matemàtica per fer-ho. 56 ■

59 ■■ Una companyia de gas natural cobra 12 € mensuals en concepte de manteniment, i 0,06 € per cada m3 de gas consu-

da per la taula següent:

b) Troba l’equació de les dues rectes anteriors. c) Descriu el que observes. 62 ■■ Un cotxe surt del quilòmetre 15 d’una carretera a una velocitat constant de 80 km/h. Es demana:

 La relació entre dues magnituds x i y està representada

per la taula següent. Indica la fórmula que les relaciona.

a) A quin punt quilomètric es troba al cap de 3 h? b) Escriu la funció que relaciona el quilòmetre de la carretera per on passa el cotxe amb el temps que fa que ha

-2

-4

sortit.

-3

-6

c) Quan passa pel quilòmetre 175, quant de temps fa que circula el cotxe?

57 ■ Troba el pendent de les rectes que es mostren a la figura: b

63 ■■ Un cotxe surt amb el dipòsit de 58 L ple, i gasta una

mitjana de 0,05 L/km.

a) Escriu la funció que relaciona els quilòmetres recorre-

guts amb els litres que queden al dipòsit.

0 –5

–4

–3

–2

–1 –1

b) Dibuixa’n la gràfica. c) Quants quilòmetres pot fer fins que es buidi el dipòsit?

159

Les funcions

64 ■■ Una companyia elèctrica factura mensualment 16 € fixos

71 ■ Troba l’equació de la recta que passa pels punts A(2, 4) i B(3, 5).

més 0,08 € per kilowatt hora (kWh). a) Si una família consumeix 234,26 kWh, quin serà l’im-

72 ■ Troba l’equació de la recta que passa pels punts A(-1, 2)

port de la factura? b) Escriu la fórmula que relaciona el preu de la factura (y)

i B(2, 0).

amb els kilowatts hora (x). c) Una família va pagar 48,06 €. Quants kilowatts hora va consumir?

Intersecció de funcions de primer grau

65 ■■ Un dipòsit buit té una capacitat de 200 L. S’engega una

73 ■ Troba la intersecció de y = 4x - 3 i y = -x + 7.

bomba hidràulica que l’omple a raó de 150 L/min. a) Representa gràficament la quantitat d’aigua que hi ha

a) Troba les equacions de

al dipòsit a mesura que passa el temps.

66 ■

74 ■■ Observa la gràfica adjunta

b) Troba la fórmula corresponent a aquesta situació.

les rectes a i b.

c) Si la capacitat del dipòsit fos de 3 000 L, quant tardaria

b) Indica les coordenades

a omplir-se?

del punt on es tallen.

0 –1

–1

 Representa gràficament les funcions següents i indica

b –2

en cada cas si són paral·leles, creixents o decreixents. a) f (x) = -2x + 8

b) g(x) = 3x - 9

75 ■■ Observa la gràfica adjunta

c) h(x)= -2x - 2

160

a) Troba les equacions de les rectes a i b.

 Representa gràficament les funcions següents i indica

67 ■

b) Calcula el punt del pla-

en cada cas si són paral·leles, creixents o decreixents.

on es tallen.

a) f (x) = -3x + 6

0 0

–1

c) h(x) = -3x - 3

76 ■■ A un agent comercial li ofereixen dues propostes salari-

 Dibuixa les rectes següents:

68 ■

a) x = 3

c) y = 4

b) x = -2

d) y = 1

als. En la primera és de 400 € fixos més el 7% de les vendes. La segona no li ofereixen sou base, però la comissió és més elevada: un 12% de les vendes.

69 ■■ S’ha estudiat la dilatació d’una barra metàl·lica mesurant la longitud a temperatures diferents. Els resultats obtinguts són els següents:

longitud (mm)

–1

b) g(x) = 4x - 8

temperatura (ºC)

a) Compara gràficament les dues propostes. b) Comprova algebraicament el resultat. 77 ■■ Ens ofereixen dos tipus de contracte de telefonia mòbil.

50,0

51,5

52,0

52,5

54,0

En el primer ens cobren 20 € pel manteniment i 0,30 €/min. En el segon, només ens cobren 0,40 €/min. a) Compara gràficament les dues opcions.

a) Representa gràficament aquestes dades.

b) Comprova algebraicament el resultat.

b) Determina la fórmula que les relaciona.

78 ■■ Dos caminants que viuen en dos pobles veïns separats 70 ■■ En un experiment de laboratori, s’ha mesurat la longitud

20 km, surten a la mateixa hora per trobar-se en un punt del

d’una molla sotmesa a forces diferents. La taula següent mostra

camí. El primer camina a 4 km/h, i el segon, que està més en

alguns resultats:

forma, va a 6 km/h.

força (N) longitud (mm)

20,0

21,0

21,5

22,5

a) Troba les funcions que descriuen el moviment dels dos esportistes b) Dibuixa-les.

a) Representa gràficament aquestes dades.

c) Digues a quina distància dels dos pobles es trobaran.

b) Troba la fórmula que les relaciona.

d) Calcula al cap de quant de temps es troben.

79 ■■ En Joan està entrenant per la Marató de Helsinki. Vol fer

84 ■■ S’està fent l’estudi de viabilitat d’una obra, i se sap que

un recorregut de 36 km, i el seu ritme, amb molta regularitat, li

amb 2 treballadors caldran 6 dies per fer-la, però es volen valorar

permet cobrir aquesta distància en 3 hores. Comença a córrer a

altres possibilitats.

les 8 del matí. L’Antoni, que li vol fer d’avituallament, surt amb

a) Troba la funció que relaciona el nombre de treballa-

bicicleta del mateix lloc que en Joan, però, com que no és tant

dors amb els dies, i fes-ne la gràfica.

matiner, surt una hora més tard, però a una velocitat de 24 km/h.

b) Si cada treballador cobra 100 € diaris, digues com

a) Troba les funcions que descriuen el moviment dels

variarà el cost de l’obra segons els treballadors que hi

dos esportistes.

intervinguin.

Les funcions

Activitats

b) Dibuixa-les. c) Indica a quina distància del punt de partida atrapa el ciclista el corredor. d) Troba quant de temps ha passat des que ha sortit el

Introducció a la funció de segon grau 85 ■ Donada la funció f (x) = x2 - 2x:

corredor. 80 ■■ Estudia, de manera gràfica, la solució del sistema: x + y = 7  −2x + y = 1 81 ■■ Per reparar un electrodomèstic en un establiment cobren 20 € pel desplaçament i 30 € per hora de feina. En un altre establiment cobren 12 € pel desplaçament i 32 € per hora de feina. Es demana: a) Per a cada establiment, expressa la funció que relacio-

d) Troba, si es pot, les coordenades del vèrtex. 86 ■ Donada la funció f (x) = -x2 + 4x:

d) Troba quan surt més a compte el primer, i quan, el segon. 82 ■■ Un ajuntament ha de decidir entre dos tipus de làmpades per a l’enllumenat públic. Les halògenes costen 200 €/unitat, i tenen una eficiència energètica del 10%. Les de tipus LED valen 600 €/unitat i tenen una eficiència energètica del 20%. Estudia

c) Indica si la gràfica és còncava o convexa.

b) Dibuixa les funcions anteriors en uns eixos de

establiments s’igualen.

b) Dibuixa la funció.

c) Troba per a quantes hores de feina els costos dels dos

a) Copia i completa la taula de valors.

na el cost de reparació amb el nombre d’hores de feina. coordenades.

-1

a) Copia i completa la taula de valors. b) Dibuixa la funció. c) Indica si la gràfica és còncava o convexa. d) Troba, si es pot, les coordenades del vèrtex. 87 ■ Observa la gràfica adjunta: a) Indica on és creixent, i on, decreixent. b) Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades c) Indica si és còncava o convexa.

les dues possibilitats segons el consum energètic. 2

0 –1

–1

Funció de proporcionalitat inversa 83 ■ Els tutors de 2n d’ESO volen organitzar una sortida que té

88 ■ Donada la funció f (x) = x2

- 2x, copia i completa la taula

un cost total de 800 €.

de valors adjunta i dibuixa-la. Indica si la gràfica és còncava o

a) Troba la fórmula de la funció que relaciona el nombre

convexa. Sabries dir quin és el seu vèrtex? Si és així, digues qui-

de persones que van a la sortida amb el preu que paguen.

nes són les seves coordenades.

b) Fes la taula de valors corresponent i calcula el nombre mínim d’alumnes que hi han d’anar perquè el cost sigui inferior a 20 €/alumne.

x y

-1

161

Les funcions

Repte 89 ■■■ Estudia el creixement i la continuïtat de la funció

91 ■■■ En la faula de la llebre i la tortuga, d’Esop, aquests

f (x) = x - [x].

dos animals s’enfronten en una carrera. La llebre és més ràpida

[x] vol dir la part entera de x, és a dir, el valor enter immediatament inferior a x, com per exemple, [3,14] = 3 o [–3,14] = -4.

però, refiant-se de la seva superioritat, deixa força avantatge a la tortuga. Aquesta va avançant al seu ritme lent, sense aturarse. Quan la llebre intenta posar-hi remei ja és massa tard i la tortuga acaba guanyant.

90 ■■■ Si poses diners al banc, en una imposició a termini fix, t’ingressaran els interessos al final d’aquest termini. Si te’ls ingressen al mateix compte i no els retires, pots renovar la imposició partint d’un capital major. Aquest procés es pot anar repetint. Suposa que el capital inicial és de 2 500 000 €, el termini és un mes i el banc et dóna uns interessos mensuals iguals al 0,25% del capital en dipòsit. a) Escriu la fórmula de la funció que relaciona el capital final (en €) amb el temps transcorregut (en mesos). b) Fes la gràfica de la funció amb l’ajut d’un full de càlcul.

Es pot estudiar matemàticament aquesta carrera imaginària amb la representació de funcions. Suposa que la carrera té 100 m de recorregut. La velocitat de la tortuga és de 0,5 m/s i la de la llebre és de 10 m/s. Se’t proposen dos plantejaments. Primer: La llebre dóna a la tortuga un avantatge de 192 s. Segon: La llebre dóna a la tortuga un avantatge de 96 m. a) En tots dos casos has d’aplicar el mateix procediment: representa el moviment d’ambdós animals en una mateixa gràfica espai-temps. Observa la gràfica per determinar qui guanya. b) Si continuen corrent un cop passada la meta, troba a la gràfica on i quan coincidiran.

c) Quin serà el capital al cap de 10 anys? Fes-ho també amb un full de càlcul. d) Si cada final de mes retires 4 250 € abans de renovar la imposició, quin serà el capital al cap de 10 anys?

162

Compara el resultat amb el de l’apartat c).

Autoavaluació Sé situar un punt en un sistema de coordenades? 3

cada punt: a) A

d) D

g) G

b) B

e) E

h) H

c) C f) F

i) I

3. Un taxista cobra 5,50 € per la baixada de bandera i 0,25 €

2 I H –3

1 0

–2 G

–1

1 E

–1 F

per minut de trajecte.

D 3

Sé distingir les magnituds directament proporcio

y (€)

4. La gràfica següent mostra dos vianants que caminen en a) Quina distància els

-3

-2

-1

7,5

2,5

-2,5

-7,5

-10

-8

-6

-3

-4

5 4 3 2 1 0

separa al principi?

b) Quant de temps tarden a trobar-se? c) Quina distància han recorregut? 4

Conec les característiques

de la funció afí?

5. Dóna la fórmula dels quatre

directament proporcionals i quina correspon a dues mag-

vaixells de la figura:

b) Escriu la fórmula de cada funció.

temps (min)

a) Indica quina de les taules correspon a dues magnituds nituds inversament proporcionals.

b) Troba la fórmula que relaciona x i y.

direccions oposades:

2. Fixa’t en les taules de valors següents:

x (min)

Sé interpretar una gràfica?

–2

nals de les inversament proporcionals? A)

a) Copia i completa la taula:

distància (km)

1. Indica les coordenades de

Sé completar una taula i trobar la funció?

a) a

b) b

c) c

d) d

b d

0 –1

Les funcions

Competències que sumen Mesurant medecines La Mercè té tres fills: en Dídac, que té 15 anys; en Xavier, que en té 3; i la Teresa, que té 2 anys. Avui han anat al pediatre perquè en Xavier té febre. Li han receptat un medicament que s’ha d’administrar en funció del pes del nen. Al prospecte hi diu que s’han de prendre 0,3 cm3 per cada quilogram que pesi el malalt.

1. En Xavier pesa 15 kg. Segons les indicacions del prospecte, quina quantitat de medicament se li ha d’administrar? a) 4,5 cm3

c) 6,5 cm3

b) 5,5 cm

d) Cap de les anteriors.

2. La Teresa també s’ha posat malalta i té febre. La Mercè deixa una nota al seu marit indicant-li que ha de donar a la nena una dosi de 4,2 cm3 del mateix medicament. Quant pesa la Teresa? Indica les operacions. 3. En Dídac vol fer una gràfica per saber quina medicació ha de

pes (kg)

prendre cada germà segons el pes. Abans de fer la gràfica elabora

dosi (cm3)

0,3

20 4,5

una taula de valors. Ajuda’l a completar-la.

4. Utilitzant les dades de la taula anterior, fes la gràfica que relaciona el pes de cada nen (que apareix a l’eix x) amb la dosi que ha de prendre (eix y).

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 2

5. La febre de la Teresa supera els 39 ºC i els seus pares l’han hagut de portar a

39,5

l’hospital. Li han donat medicació dues vegades i li han pres la temperatura cada

dues hores. Aquesta és la gràfica que mostra l’evolució de la temperatura des que va arribar a les 0.00 h fins que va marxar, a les 12.00 h. a) Raona a quina hora li van donar els medicaments. b) Descriu l’evolució de la temperatura.

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

38,5

38 37,5

38 37

37 36,5

36,5

35,5 35 34,5

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

163

Unitat

Figures planes La plomada i el triangle egipci

La perpendicularitat amb què les parets s’aixequen del terra en la majoria dels habitatges no és conseqüència d’un càlcul matemàtic, sinó d’un petit instrument que els treballadors de la construcció anomenen plomada. La plomada es compon d’un fil a l’extrem del qual s’ha lligat un pes prou gran perquè el tensi, però insuficient perquè el trenqui. El fil acostuma a ser sintètic, mentre que el pes és de plom. Per això se’n diu plomada. La plomada determina la vertical, entesa com la línia d’atracció gravitatòria sobre el terra.

164

Que totes les plomades formin una perpendicular amb el terra es deu a la forma del nostre planeta. En un terreny pla i horitzontal, les cases s’edifiquen formant angles rectes amb el terra. En terrenys inclinats, però, no és la perpendicular al terreny la que mana, ja que el punt de gravetat de l’edificació faria que es tombés; la que mana és la plomada. Vist des de fora del planeta, la plomada marca en cada punt de la superfície terrestre el radi que dirigeix la gravetat cap al centre mateix de la Terra. Gràcies a la plomada, els constructors erigeixen habitatges verticals encara que el terreny on treballin tingui un pendent fort. Pel que fa a la perpendicularitat entre les parets d’un mateix habitatge, les coses són diferents. Aquí la plomada ja no serveix. S’empra l’anomenat triangle egipci. Aquest triangle es diu així perquè ja el coneixien i l’usaven els egipcis de fa tres mil anys. És un triangle els costats del qual mesuren 5 m, 4 m i 3 m. La seva importància ve del fet que aquestes mides garanteixen que un dels tres angles, el format pels costats de 3 m i 4 m, és un angle recte. És a dir, el triangle egipci és un triangle rectangle. Passa el mateix amb triangles més grans o més petits que aquest, però que tinguin les mides dels costats proporcionals a 5, 4 i 3. Per exemple, 100 cm, 80 cm i 60 cm.

El triangle egipci s’utilitza arreu del món. La perpendicularitat de dos dels seus costats prové del fet que 52 = 42 + 32; i que això garanteixi la perpendicularitat és conseqüència directa del teorema de Pitàgores. Com que el resultat contrari també és cert, el teorema de Pitàgores estableix una equivalència entre dues afirmacions: Si un triangle de costats a, b, c és rectangle, aleshores c2 = a2 + b2. Si c2 = a2 + b2, aleshores el triangle de costats a, b, c és rectangle. La primera d’aquestes afirmacions és la que es coneix amb el nom de teorema de Pitàgores. La segona s’utilitza per comprovar si l’angle que formen dues parets és realment un angle recte. Per fer-ho, es prenen dos punts a terra que estiguin en cadascuna de les parets. Es mesura la distància entre si (x) i les distàncies que els separen del racó (y, z). Aleshores, si es verifica que x2 = y2 + z2, podem assegurar que l’angle del racó és recte i que les parets són perpendiculars.

Analitza i resol 1. Explica què és un triangle egipci. 2. Dels triangles següents, indica quins són semblants al triangle egipci: a) 30 cm, 40 cm i 50 cm. b) 1 mm, 2 mm i 3 mm. c) 33 cm, 44 cm i 55 cm. d) 39 km, 52 km i 65 km. 3. Diries que les parets de l’aula són perpendiculars? En cas afirmatiu, com pots assegurar-te’n? Redacta un mètode per comprovar la perpendicularitat de les parets d’una casa. 4. Indica quins dels triangles següents tenen un angle recte. Quins costats el formaran? a) a = 2 cm, b = 2 cm i c = 3 cm. b) a = 13 cm, b = 12 cm i c = 5 cm. c) a = 10 m, b = 10 m i c = 100 m. d) a = 119 mm, b = 169 mm i c = 120 mm. 5. Doblega la punta del cantó d’un full i ressegueix amb el llapis el seu perfil damunt la pàgina que has doblegat. Tot seguit obre el plec i marca’l també amb el llapis. Finalment, uneix amb un traç la punta del cantó del full amb la punta homòloga del triangle dibuixat. Quants triangles rectangles has creat? 6. Tenim una taula rectangular i escollim dos punts A i B a l'atzar, un del costat llarg i l’altre del curt. a) Indica quin tipus de triangle formen els punts A i B amb el vèrtex més proper O de la taula. b) Mesura les longituds OA, OB i AB, i comprova que, com en el triangle egipci, es verifica la igualtat OA2 + OB2 = AB2.

Índex

Competències bàsiques

1. Els triangles

Matemàtica. Reconeixement dels elements i propietats

2. El teorema de Pitàgores

dels polígons, figures circulars i mosaics.

3. Perímetre i àrea de figures planes

Artística i cultural. Reconeixement i representació de

4. Els angles de les figures planes

figures geomètriques i mosaics en l’entorn.

5. Els mosaics

Tractament de la informació i competència digital. Utilització de programes informàtics per a la representació de polígons i figures circulars.

165

Figures planes

Els triangles 1.1 Alerta

Propietats dels triangles

Tots els triangles verifiquen les propietats següents:

Els vèrtexs s’indiquen amb lletres majúscules. Els angles s’indiquen amb les mateixes lletres majúscules que el vèrtex corresponent, amb el símbol d’angle (^) a sobre.

• La longitud de cada costat és menor que la suma dels altres dos (propietat de la desigualtat triangular). • El costat més llarg és l’oposat a l’angle més gran i a l’inrevés: al costat més curt sempre se li oposa l’angle més petit. • La suma dels angles d’un triangle equival a un angle pla. És a dir, la suma dels tres angles d’un triangle és de 180º.

Els costats oposats a cada vèr-

Exemple

tex es designen amb les mateixes lletres, però en minúscula.

1. Per a un triangle donat de costats a = 3, b = 4 i c = 5; i angles A  = 36,87º, B  = 53,13º i C  = 90º, és possible comprovar que:

B B

A b

La longitud d’un costat qualsevol és més petita que la suma dels altres dos:

a < b + c → 3 < 4 + 5 c < a + b → 5 < 3 + 4

B = 53,13º

a C = 90º

A = 36,87º

b < a + c → 4 < 3 + 5

Fixa’t que al costat més llarg se li oposa l’angle de més amplitud: a

166

car en:

< B < C

36,87º < 53,13º < 90º

La suma dels tres angles és 36,87º + 53,13º + 90º = 180º.

Recorda Els triangles es poden classifi-

1.2

Construcció de triangles amb regle i compàs

És possible construir triangles amb regle i compàs. En cursos posteriors, podràs, a més, determinar el valor de tots els costats i de tots els angles d’un triangle. Equilàter.

Isòsceles.

Tots els costats

Dos costats

i tots els angles i dos angles són iguals.

són iguals.

Per construir un triangle cal conèixer-ne un mínim de tres elements. Hi ha quatre casos de resolució segons les dades de què es disposi: Els tres costats (a, b i c) 1. Amb un regle es mesura un dels costats i es trasllada sobre el paper. Si es fa amb el costat a, es determinen els vèrtexs C i B. 2. Es mesura el costat c amb el compàs i es traça un arc amb centre a B.

Acutangle.

Rectangle.

Tots els angles Un dels angles són aguts.

és recte.

3. Es mesura el costat b amb el compàs i es traça un arc amb centre a C. 4. La intersecció dels dos arcs determina el vèrtex A que falta. S’uneixen els tres vèrtexs amb un regle. c

Escalè. Tots els Obtusangle.

costats i tots Un dels angles els angles són desiguals.

és obtús.

Dos angles (B i C ) i un costat (a) 1. Es traça el segment a amb un regle. Els extrems són els vèrtexs B i C.

a A

2. Amb el transportador, es dibuixen els angles B i C , a cada un dels vèrtexs corresponents.

B a

C a

3. Es prolonguen els costats dels dos angles. El punt d’intersecció determina el vèrtex A. Dos costats (a i b) i l’angle que formen (C ) 1. Es traça el costat a, els extrems del qual seran els vèrtexs B i C. 2. Amb el transportador, es marca l’angle C i es traça una semirecta.

a b

C C a

C C

3. Amb el compàs centrat a C es marca la semirecta del costat b. El punt d’intersecció és el vèrtex A. 4. Es traça el triangle unint els vèrtexs A, B i C.

Alerta Dos costats (a, b) i l’angle oposat a un dels costats (A ) 1. Es traça el costat b (el que no s’oposa a l’angle A ), els extrems del qual seran els vèrtexs A i C. 2. Amb el transportador es marca l’angle A i es traça la semirecta.

Per poder construir un triangle cal que cada costat compleixi la desigualtat triangular. En aquesta figura pots observar

3. Es pren la mesura del costat a i amb centre a C es traça un arc de circumferència de radi a.

que no es pot dibuixar un trian-

4. La intersecció amb la semirecta determina la solució del problema.

gle en què la suma de dos cos-

La figura mostra els tres casos possibles. Si l’arc talla la semirecta per dos punts, hi ha dos triangles que són solució, si talla només per un punt la solució és única. Si no talla per cap punt, el triangle no és factible.

tats sigui inferior a la del tercer.

a c

problema amb dues solucions

c>a+b

B a

problema amb una solució

problema sense solució

Aplica

Resol

1 ■ Construeix gràficament els triangles següents quan sigui

3 ■ Un dels angles aguts d’un triangle rectangle és de 37º.

possible:

Quant mesura l’altre?

a) a = 7 cm, b = 8 cm i c = 10 cm. b) a = 7 cm, b = 5 cm i c = 12 cm.

4 ■ Un dels angles d’un triangle equilàter fa 60º. Calcula quant

c) a = 4 cm, b = 3 cm i c = 6 cm.

fan els altres dos.

d) a = 7 cm, C  = 45º i B  = 73º.

Raona 2 ■■ Construeix gràficament els triangles següents i analitza en cada cas el nombre de solucions. a) a = 6 cm, b = 7 cm i C  = 48º. b) a = 5 cm, b = 6 cm i A = 40º. c) a = 7 cm, b = 5 cm i A  = 42º.

5 ■ Explica per què no és possible construir un triangle de costats a = 4, b = 5 i c = 10 cm.

167

Figures planes

1.3

Punts i rectes notables d’un triangle

Altures i ortocentre L’altura relativa a un costat és el segment que passa pel vèrtex oposat a aquest costat i que li és perpendicular. Un triangle qualsevol té tres altures ha , hb i hc , relatives respectivament als costats a, b i c. Les tres altures d’un triangle, o les seves prolongacions, es tallen en un punt anomenat ortocentre.

168

i l’ortocentre determinen una que

s’anomena

recta

d’Euler.

La mitjana relativa a un costat és el segment determinat pel punt mitjà d’aquest costat i el seu vèrtex oposat. Un triangle té, doncs, tres mitjanes, que es designen ma, mb i mc. Les mitjanes es tallen en un punt anomenat baricentre.

La mediatriu relativa a un costat és el segment perpendicular a aquest costat que passa pel seu punt mitjà. Les tres mediatrius, designades da, db i dc es tallen en un punt anomenat circumcentre, que és el centre de la circumferència circumscrita al triangle.

dc C

Bisectrius i incentre Les bisectrius divideixen els tres angles per la meitat.

recta d’Euler

Mediatrius i circumcentre

El baricentre, el circumcentre recta

c ma

Recorda

Mitjanes i baricentre

Les bisectrius es tallen en un punt, anomenat incentre, que és el centre de la circumferència inscrita en el triangle.

altures mitjanes mediatrius C

Aplica

8 ■ Dibuixa les altures d’un triangle acutangle, rectangle i obtusangle i comprova que sempre es tallen en un punt.

6 ■ Construeix quatre triangles de costats 5, 6 i 7 i determina en cada cas: a) Altures i ortocentre. b) Mitjanes i baricentre. c) Mediatrius i circumcentre. d) Bisectrius i incentre. 7 ■ Dibuixa un triangle equilàter i troba’n el baricentre, l’ortocentre i el circumcentre. Què tenen en comú?

9 ■ Comprova que, per a qualsevol triangle rectangle, l’ortocentre està situat en el vèrtex corresponent a l’angle recte.

Raona 10 ■ Si tres pobles són equidistants, quin és el millor punt per situar una antena de telefonia mòbil? 11 ■ Donada una circumferència, explica com es determina el seu centre.

El teorema de Pitàgores

2.1

Els triangles rectangles

Els triangles rectangles són els que tenen un angle recte. El vèrtex corresponent a l’angle recte es designa, per convenció, amb la lletra C. El costat oposat c a l’angle recte és la hipotenusa, i els altres dos costats a i b s’anomenen catets. Exemple 2. Com que l’angle C és de 90º i la suma dels angles d’un triangle és de 180º, els angles A i B són complementaris:

La hipotenusa sempre és el costat més llarg del triangle rectangle.

2.2

A  + B  = 90º

Recorda

El teorema de Pitàgores Pitàgores

Els antics egipcis ja havien descobert que, si els costats d’un triangle mesuraven 3, 4 i 5 unitats, aleshores el triangle era rectangle. També coneixien la relació que hi havia entre les dimensions dels costats; el quadrat de la hipotenusa era igual a la suma dels quadrats dels catets, o sigui, que es complia:

Samos

estat associat al teorema de Pità-

B a

gores, tot i que el teorema com a tal és anterior a ell mateix. Quan

c b

era molt jove va viatjar a Mesopotàmia, Egipte i molt possible-

ment a l’Índia. És considerat el

c 2= a 2 + b 2

descobridor de la teoria musical i

L’àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catets

l’inventor de la geometria i l’aritmètica teòrica.

c2 = a2 + b2 Coneixent dos costats d’un triangle rectangle es pot calcular el tercer. Exemple 3. La hipotenusa c d’un triangle rectangle mesura 25 cm i el catet a mesura 7 cm. Quant mesura l’altre catet? • Escriu l’expressió del teorema: c2 = a2 + b2.

7 cm a

• Substitueix les lletres pels seus valors: 252 = 72 + b2.

25 cm

• Aïlla la incògnita, en aquest cas, b2: b2 = 625 - 49 = 576. • Calcula l’arrel quadrada: b = 576 → b = 24 cm .

Resol

(582

i matemàtic grec. El seu nom ha

52 = 32 + 42 La relació anterior, coneguda com el teorema de Pitàgores és vàlida per a tot triangle rectangle i estableix que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets. La seva expressió matemàtica és:

aC - 496 aC) va ser un filòsof

14 ■■ Comprova si els triangles següents són rectangles: a) a = 12 cm, b = 3,5 cm i c = 12,5 cm.

12 ■ La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 10 cm, i un dels

b) a = 4 cm, b = 7,5 cm i c = 8,5 cm.

catets, 6 m. Calcula el catet desconegut.

c) a = 5 cm, b = 11 cm i c = 12 cm. d) a = 12 cm, b = 9 cm i c = 15 cm.

13 ■ Els dos catets d’un triangle rectangle fan 4,5 i 6 cm res-

e) a = 10 cm, b = 7 cm i c = 13 cm.

pectivament. Calcula la hipotenusa.

f) a = 2 cm, b = 4 cm i c = 6 cm.

169

Figures planes

2.3

Aplicacions del teorema de Pitàgores

Moltes figures planes es poden descompondre en triangles rectangles, i, per tant, es pot fer servir el teorema de Pitàgores per trobar algunes de les seves dimensions.

Com aplicar-ho. Calcular de les diagonals d’un rectangle Calcula quant mesuren les diagonals d’un rectangle de base 8 cm i altura 6 cm. • Una diagonal d’un rectangle de base b i altura a el divideix en dos triangles rectangles iguals. La diagonal D és, doncs, la hipotenusa d’un d’aquests triangles: 2

D = a +b

→ D = a +b

És convenient fer un esquema gràfic i situar-hi tots els elements coneguts i desconeguts. D

• Substituint els valors en la fórmula s’obté:

Vegeu els exercicis

D = a 2 + b 2 → D = 82 + 62 → D = 64 + 36 → D = 100 → D = 10 cm

Com aplicar-ho. Calcular l’àrea d’un triangle isòsceles Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles de costats 3, 5 i 5 dm.

170

Consells

• Un triangle isòsceles es pot descompondre en dos triangles rectangles iguals l’altura h dels quals equival a un dels catets.

15 pàg. 170; 59, 60 i 66 pàg. 183.

Consells És convenient fer un esquema gràfic i situar tots els elements coneguts i desconeguts.

• La hipotenusa fa 5 dm i la base del triangle serà 3 : 2 = 1,5 dm. Aplicant el teorema de Pitàgores per calcular l’altura s’obté:

5 dm

52 = 1, 52 + h 2 → h 2 = 25 − 2, 25 → h 2 = 22, 75 → h = 22, 75 → h 2 = 4, 77 dm. • L’àrea serà igual a A =

b ⋅h 3 ⋅ 4, 77 →A= → A = 7, 155 dm2 . 2 2

3 dm

1,5 dm

Vegeu els exercicis 16 pàg. 170; 57 i 63 pàg. 183.

Com aplicar-ho. Calcular l’apotema d’un hexàgon regular Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles de costats 3, 5 i 5 dm. Calcula l’apotema d’un hexàgon regular de costat c = 5 cm. • Un hexàgon regular de costat c es descompon en 6 triangles equilàters. • L’apotema d’un hexàgon regular de costat c = 5 cm és l’altura d’un triangle rectangle d’hipotenusa 5 i de catet 2,5; per tant, tindrem: 52 = a 2 + 2, 52 → 25 = a 2 + 6, 25 → a = 25 − 6, 25 → a = 4, 3 cm

Consells És convenient fer un esquema gràfic i situar tots els elements coneguts i desconeguts. c

a c — 2

Vegeu els exercicis 17 pàg. 170; 64 pàg. 183.

Resol

16 ■ Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles de costats a = 10, b = 10 i c = 6 cm.

15 ■ Calcula la diagonal d’un rectangle de base 6 cm i d’altura 9 cm.

17 ■ Un hexàgon regular té 6 cm de costats. Calcula l’apotema i l’àrea.

Perímetre i àrea de figures planes

3.1

Perímetre i àrea d’un polígon

El perímetre d’un polígon és la suma de les longituds dels seus costats.

Recorda Un polígon és el recinte de-

L’àrea d’un polígon és la mesura de la seva superfície. Les fórmules per calcular l’àrea d’alguns polígons són les següents:

terminat per una línia poligonal tancada. Els elements d’un polígon són costats, vèrtexs,

triangle

rectangle

rombe

diagonals i angles. B

diagonal

b ⋅h A= 2

A = b · h

romboide

trapezi

D⋅ d 2

angle

polígon regular

vèrtex

costat

poligon de vèrtexs ABCDEF b h

a B

A = b · h

(B + b) h

Recorda

P ⋅a 2

Les equivalències principals entre conceptes geomètrics i

Exemples

lletres és el següent:

4. Calcula el perímetre d’un rombe de diagonals D = 8 cm i d = 6 cm.

A: àrea P: perímetre

Es desconeix la longitud d’un costat, però aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle determinat per les dues diagonals es pot trobar, ja que el costat del rombe és la hipotenusa d’aquest triangle:

4 cm

b: base (si només n’hi ha una)

o base menor (si n’hi ha dues)

d = 6 cm D = 8 cm

B: base major

3 cm

h: alçada (la a, generalment s’utilitza per indicar un costat o

c 2 = 42 + 32 → c 2 = 25 → c = 25 → c = 5 cm

l’apotema)

El perímetre és: P = 4 · c → P = 4 · 5 → P = 20 cm. 5. Calcula el perímetre d’un trapezi isòsceles de bases B = 12 cm i b = 8 cm, i altura h = 5 cm.

d: diagonal menor D: diagonal major

L’altura del trapezi sobre la base major determina un triangle rectangle, la hipotenusa b = 8 cm del qual és un dels costats: c 2 = 52 + 22 → c 2 = 29 → c 2 = 29 → c = 5, 4 cm

El perímetre és: P = 12 + 8 + 2 · 5,4 = 30,8 cm. 2 cm

Resol

5 cm

h = 5 cm

B = 12 cm

21 ■■ L’àrea d’un triangle isòsceles és de 24 cm2. Si la base és de 6 cm, calcula’n el perímetre.

18 ■ Calcula el perímetre d’un triangle isòsceles de base 5 cm i d’altura 4 cm.

22 ■■ Un terreny té forma de trapezi rectangle. Les bases del trapezi mesuren 20 i 15 m. L’altura en mesura 10.

19 ■ Calcula el perímetre d’un rombe de diagonals 10 i 12 cm.

a) Quant mesura el costat desconegut? b) Quants metres de tanca calen per envoltar-lo?

20 ■ Calcula el perímetre d’un trapezi isòsceles de bases 10

c) Si el preu de la tanca és de 60 €/m, quant costarà?

i 8 cm i d’altura 6 cm.

d) Quina és l’àrea d'aquest terreny?

171

Figures planes

3.2 A = πr

La circumferència i el cercle

La raó entre la longitud o perímetre L i el diàmetre d (2r) d’una circumferència és el nombre p. Per tant, el perímetre L d’una circumferència és: L = 2πr.

Un cercle es pot considerar com un polígon regular amb un nombre infinit de costats. Per tant l’àrea A del cercle, equival a l’àrea d’un polígon regular de perímetre P = 2πr i d’apoP ⋅a 2⋅π ⋅r ⋅r tema igual al radi r: A = →A= → A = πr 2 . 2 2 Exemple

L = 2πr

6. Calcula el perímetre i l’àrea i d’un cercle de 10 cm de radi. L = 2πr = 2 · 3,1416 · 10 = 125,66 cm

3.3

arc angle

sector

radi

A = πr2 = 3,1416 · 102 = 314,16 cm2

Arc de circumferència i sector circular

Un arc és la part de la circumferència limitada per dos radis que formen un angle a. Tenint en compte que una circumferència es correspon amb un angle de 360º, la fracció de cira cumferència que representa un arc és i, per tant, la longitud L d’un arc és: 360º α · πr α L= ⋅ 2πr → L = 360 180 Un sector circular és la superfície delimitada per l’arc de circumferència i els dos radis que α ⋅ πr el defineixen. Com que la longitud de l’arc ve donada per L = , l’àrea A corresponent és: 180 α α ⋅ πr 2 A= ⋅ πr 2 → A = 360º 360

172

Exemple 7. Calcula l’àrea d’un sector circular de 30 cm de radi i 20º d’amplitud. A=

α ⋅ πr 2 20 ⋅ 3,1416 ⋅ 302 = = 157, 08 cm2 360 360

trapezi circular r1

3.4

Corona circular i trapezi circular

Una corona circular és la superfície delimitada entre dos cercles concèntrics. L’àrea d’una corona circular s’obté restant l’àrea dels dos cercles concèntrics: A = πr12 − πr22 → A = π (r12 − r22 ) Un trapezi circular és la part d’una corona circular limitada per dos radis. L’amplitud del trapezi és l’angle que determinen els dos radis, i la seva àrea s’obté restant les àrees dels dos sectors circulars que la determinen. Exemple

8. Calcula l’àrea d’un trapezi circular d’amplitud 30º i format per dos cercles concèntrics de radis r1 = 20 i r2 = 40 cm respectivament: α ⋅ πr12 α ⋅ πr22 A = A1 − A2 → A = − 360 360 α ⋅π 2 2 Traient factor comú s’obté A = (r − r2 ). Ara només cal substituir els valors cone360 1 30 ⋅ π guts: A = (402 − 202 ) → A = 314,16 cm2. 360

3.5

Resolució de figures complexes

El mètode bàsic per conèixer el perímetre o l’àrea d’una figura complexa consisteix a descompondre-la en figures més senzilles. Com aplicar-ho. Calcular un perímetre per descomposició en triangles rectangles Calcula el perímetre de la figura. • Fixa’t que el costat c1 és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 2 i 4. Per tant:

2 cm

4 cm c2

2 1

c = 20 → c 1 = 20 → c 1 = 4, 5 cm

2 cm

4 cm

• Anàlogament, el costat c2 és la hipotenusa d’un triangle rectangle isòsceles de catet 2; per tant: c 22 = 22 + 22 = 8 → c 2 = 8 2, 8 cm. • El perímetre és, doncs, P = 2 · 4,5 + 2 · 2,8 → P = 14,7 cm.

Tingues en compte que les arrels quadrades no donaran en general nombres enters. Si fas servir la calculadora, fes l’aproximació al final de tots càlculs i no durant els càlculs parcials. Vegeu els exercicis 30 pàg. 173; 70, 71 i 72 pàg. 183.

Consells

Com aplicar-ho. Calcular una àrea per descomposició Calcula l’àrea de la figura adjunta. • Descompon la figura en dos triangles i un semicercle.

Consells

2 cm

• El triangle T1 és un triangle recT tangle de catets 5 i 4 cm. Per tant 5 cm T 5⋅ 4 la seva àrea és T1 = = 10 cm2 . 2 cm 2 • El triangle T2 és un triangle de 5 cm base 5 i altura 1 cm; per tant, la 5 ⋅1 seva àrea és T2 = = 2, 5 cm2. 2 • El semicercle C té un radi de 2 cm, per tant, la seva àrea serà la meitat de la d’un cercle complet: π · 22 πr 2 C= →C = → C = 2π → C = 6, 28 cm2 2 2

Busca sempre la descomposició més senzilla possible. Assaja diferents divisions gràfiques fins que trobis la que et sigui més fàcil de resoldre.

Vegeu els exercicis 28 pàg. 173; 82 pàg. 184.

• L’àrea total és A = T1 + T2 + C → A = 10 + 2,5 + 6,28 → A = 18,78 cm2.

Resol

27 ■■ Calcula l’àrea i el perímetre d’un sector circular de radi 10 cm i d’angle 75º.

23 ■ Calcula el perímetre d’una circumferència de d = 4 dm. 28 ■■ Calcula per triangulació l’àrea de la 24 ■ Calcula l’àrea d’un cercle de 4 dm de diàmetre.

figura següent:

25 ■ Calcula l’àrea d’una corona circular de radis 4 i 7 cm.

29 ■■ El perímetre d’un sector circular de

8 cm

10 cm

3 cm

4 cm

radi 8 cm és de 20 cm. Calcula’n l’angle. 26 ■ Calcula la longitud d’un arc de circumferència de 6 cm de radi i de 45º d’amplitud.

10 cm

30 ■■ Calcula el perímetre de la figura:

4 cm 10 cm

173

Figures planes

Els angles de les figures planes 4.1 Recorda

Un angle és la part del pla limitada per dues semirectes amb

Suma dels angles interiors d’un polígon

Els angles d’un triangle sumen 180º. Tot polígon es pot descompondre en triangles. Per tant, la suma S dels angles d’un polígon qualsevol de n costats s’obté multiplicant 180º pel nombre de triangles en què s’hagi descompost. S = (n - 2)180

un mateix origen. Cada semirecta s’anomena costat i el punt

Exemples

d’origen s’anomena vèrtex.

9. Els valors de la suma dels angles en alguns polígons són els següents:

C costat vèrtex pla

angle A

costat

triangle

quadrilàter

pentàgon

hexàgon

180º

2 · 180 = 360º

3 · 180º = 540º

4 · 180º = 720º T4

T1 T2

10. El polígon adjunt es pot descompondre en quatre triangles. Els angles interiors de cada triangle sumen 180º, i per tant, els angles interiors del polígon sumen 180 · 4 = 720º.

1 2

4 3

174 4.2

Angles d’un polígon regular

En un polígon distingim entre angles interiors i exteriors. En un polígon regular es compleix: • Els angles interiors s’obtenen dividint la suma total pel nombre de costats n. angle interior

angle exterior

• La suma dels angles exteriors és 360º. • Un polígon regular inscrit en una circumferència es pot dividir en tants triangles isòsceles com costats tingui el polígon. L’angle central és l’angle desigual del triangle isòsceles. S’obté dividint 360º pel nombre de costats del polígon. Exemple 11. Fixa’t en els angles interiors i centrals dels polígons següents: triangle equilàter

quadrat

90º 60º

pentàgon regular

hexàgon regular

108º

120º

180 : 30 = 60

360 : 4 = 90

540 : 5 = 108

720 : 6 = 120

triangle equilàter

quadrat

pentàgon regular

hexàgon regular

120º

90º

72º

60º

4.3

Angle inscrit i angle central d’una circumferència

En una circumferència, es distingeixen dos tipus d’angles:

Recorda Es designa:

• Angle inscrit. És qualsevol angle que tingui el vèrtex en un punt qualsevol de la circumferència. Els costats de l’angle són secants a la circumferència.

Una circumferència: C

• Angle central. És qualsevol angle que tingui el seu vèrtex en el centre de la circumferència.

Un radi: r

El centre: O Un diàmetre: d

Exemple

12. La figura mostra un angle inscrit a i un angle central b.

C α

4.4

Teorema de l’angle inscrit

El teorema de l’angle inscrit afirma que, si un angle inscrit a i un angle central b comprenen el mateix arc de circumferència, l’angle central és el doble de l’angle inscrit: b = 2a Aquesta propietat es compleix en qualsevol dels tres casos possibles. β = 2α

175 β = 2α

β = 2α

α β α

Cas 1: els costats de l’angle central són dins de l’angle inscrit.

Cas 2: un dels costats de l’angle central i de l’angle inscrit és un diàmetre.

Cas 3: l’angle central és fora de l’angle inscrit.

Exemple 13. Una conseqüència immediata del teorema de l’angle inscrit és que dos angles inscrits que comprenguin el mateix arc són iguals. En efecte: des del centre de la circumferència dibuixem un angle central amb el mateix arc. Anomenant g aquest angle es complirà g = 2a i g = 2b; d’aquí deduïm 2a = 2b i, per tant, a = b.

Aplica

β α

34 ■■ Dibuixa un pentàgon i els seus angles externs. Mesura’ls amb el transportador i comprova que la seva suma és de 360º.

31 ■ Calcula la mesura dels angles centrals i interiors d’un polígon regular de 7, 8, 9 i 10 costats.

35 ■■ Calcula l’angle que falta en les figures següents: a)

92,15º

32 ■ L’angle interior d’un polígon regular mesura 150º. Quants costats té el polígon?

c) 71,57º

135º

55º 90º

33 ■ Quin és el valor de l’angle central d’un polígon regular de n costats?

315º

Els mosaics

Figures planes

5.1

Introducció als mosaics

Un mosaic o tessel·lació és una divisió del pla de manera que cap de les parts, anomenades tessel·les, se superposi a la següent o quedin buits entremig. Les matemàtiques estudien els mosaics formats per figures geomètriques que es repeteixen seguint una pauta. Exemple 14. Fixa’t en aquests tres mosaics:

El primer és un detall de la decoració del parc Güell (Barcelona), d’Antoni Gaudí, i les dues segones són mostres de la decoració de l’Alhambra de Granada. Fixa’t que hi ha una diferència fonamental entre el primer mosaic i els altres dos: mentre que en la decoració gaudiniana la forma i distribució de les tessel·les no segueix cap patró definit, el disseny dels mosaics andalusins correspon a figures geomètriques que a més es van repetint seguint una pauta.

176 5.2

Mosaics regulars

Un mosaic regular és una divisió del pla obtinguda a partir de polígons regulars. Només és possible recobrir totalment el pla a partir de tres polígons regulars: triangles equilàters, quadrats i hexàgons regulars. La raó és que l’angle del polígon ha de ser divisor de 360º. Exemples 15. Fixa’t que per aconseguir un mosaic regular cal disposar els polígons de manera que els seus angles sumin 360º.

60º 360º

360º

360º 120º

90º

L’enrajolat

modernista

del

Passeig de Gràcia de Barcelona és un exemple de mosaic hexagonal.

16. Si s’intenta generar un mosaic amb pentàgons (figura 1), no es pot completar un angle de 360º i queda un espai buit. Si s’intenta generar amb heptàgons (figura 2), passa de 360º i hi ha una superposició.

108º

128,57º

108º 108º

fig. 1

fig. 2

5.3

Obtenció de mosaics

Per obtenir una tessel·lació a partir d’una figura geomètrica, o més, cal efectuar transformacions en el pla (traslladar-la, rotar-la...) sense variar-ne les dimensions ni l’àrea, i seguir un patró constant. Exemple 17. Fixa’t com s’obté el mosaic de l’Alhambra format per una figura anomenada popularment l’os. La graella suggereix que el patró bàsic és un quadrat. A aquest quadrat se li han extret dos trapezis isòsceles laterals i s’han traslladat als extrems per obtenir una figura que recorda un os petit.

Un exemple de l’ús de mosaics matemàtics el trobem en l’obra de l’artista neerlandès M. C. Escher.

A partir d’aquesta figura es pot cobrir totalment el pla encaixant-la. El polígon de partida, però, és un quadrat.

5.4

177

Mosaics semiregulars

Els mosaics semiregulars es generen a partir de 2 polígons regulars diferents o més amb la condició que a cada vèrtex hi coincideixin el mateix nombre de polígons. Només és possible generar un mosaic semiregular quan la suma dels angles dels polígons que concorren en cada vèrtex és 360º. Exemple 18. El primer mosaic està format per quadrats i octàgons regulars. A cada vèrtex hi conflueixen 3 polígons. L’angle de l’octàgon regular és de 135º i el del quadrat, 90º. Es compleix 2 · 135º + 90º = 360º. El segon mosaic està format per quadrats i triangles equilàters. A cada vèrtex hi concorren 2 quadrats i 3 triangles equilàters, de manera que: 2 · 90º + 3 · 60º = 360º.

Raona

135º 90º 135º

360º

37 ■ Explica per què no és possible obtenir mosaics regulars a partir d’octàgons.

36 ■ Raona que la figura bàsica que ha servit per generar aquest

38 ■■ Construeix un mosaic semiregular a partir de 2 triangles

mosaic s’obté a partir d’un triangle

i de 2 hexàgons.

equilàter. 39 ■■ Investiga altres tipus de mosaics semiregulars.

Tot són matemàtiques

Les figures impossibles són poemes amb faltes d’ortografia “Les figures impossibles (les que es poden dibuixar sobre un paper però que no poden construir-se en el món real de tres dimensions) han ocupat un bon nombre d’investigadors dedicats a l’estudi de la percepció visual, han estat utilitzades per diversos artistes gràfics en les seves creacions i han fascinat generacions de matemàtics i aficionats a les matemàtiques".

Vicente Meavilla Seguí Matemàtic i dissenyador de figures impossibles

178

Escala de Penrose

Triangle de Penrose

Encara que el triangle de Penrose és una figura impossible en tres dimensions, es poden crear sòlids que, quan s’observen des de l’angle apropiat, aparenten ser reals, com passa amb aquesta escultura.

Figures planes

Quan dibuixem un objecte en un full de paper, seguim unes regles determinades per crear la il·lusió de tridimensionalitat. Si infringim aquestes regles, estem creant un objecte bidimensional que no representa cap objecte real, com passa amb el famós triangle de Penrose, dibuixat per primera vegada per l’artista suec Oscar Reutersvärd l’any 1934.

Trident impossible o forquilla del diable

Nus borromeu o Borromini

El cub impossible (dreta) està basat en una il·lusió òptica molt famosa coneguda com el cub de Necker (esquerra), creat el 1832 pel cristal· lògraf suís Louis Albert Necker.

Analitza i investiga 1. Crea les teves pròpies figures impossibles amb ordinador amb els programes de Vlad Alexeev (http://im-possible.info).

Figures impossibles generades, respectivament, amb els programes Impossible Constructor Online, Voxelart Project i Impossible Puzzle, de Vlad Alexeev. Les figures impossibles contravenen les lleis de la perspectiva. En aquest gravat anomenat Falsa perspectiva (1754), William Hogarth recrea, amb sentit de l’humor, una gran col·lecció d’errors en una sola obra.

En el videojoc Echochrome has d’anar passant pantalles jugant amb la perspectiva i evitant que el teu avatar caigui al buit. Et salva la «bona» perspectiva!

Explica per què són impossibles. 2. Explora figures impossibles en l’obra d’artistes com Oscar Reutersvärd, Rob Gonsalves, Jos de Mey, Sandro del Prete, Chema Madoz (fotògraf) o Vicente Meavilla (matemàtic), o en el videojoc Echochrome. Entre tota la classe feu una selecció amb les obres o figures que us semblin més sorprenents i munteu una petita presentació. 3. Dibuixa un trident impossible i intenta pintar de colors diferents les tres columnes. És possible? 4. Analitza i enumera tots els errors de perspectiva i figures impossibles que puguis detectar en el gravat Falsa perspectiva de William Hogarth. 5. Què té d’estrany el nus borromeu? D’on prové el seu nom? Et suggereix cap símbol famós? 6. Analitza el cub de Necker i pensa per què un disseny tan senzill es considera una il·lusió òptica.

179

Figures planes

Això és bàsic Construcció gràfica de triangles A partir de tres costats.

A partir de dos angles i un costat.

C a

45º

A partir de dos costats i l’angle comprès.

45º

60º

A partir de dos costats i l’angle oposat a un costat.

c B2

a b

B1 A

Triangles rectangles

circumferència i cercle

construït

sobre la hipotenusa és sobre

els

catets.

arc i sector circular

c b

A = πr2

corona i trapezi circular

L sector

c2 = a2 + b2

180

corona: A = π (r12 − r22 )

L = 2πr

equivalent als quadrats

Àrees i perímetres de figures circulars

i teorema de Pitàgores quadrat

construïts

60º

b c

α ⋅ πr L= 180 α A= ⋅ πr 2 360

c 2= a 2 + b 2

trapezi circular: A =

α ⋅π 2 (r1 − r22 ) 360

Angles angles de polígons

angles en la circumferència

Suma dels angles d’un polígon

Angle central d’un polígon

L’angle central és el doble de

Els angles que comprenen el

de n costats:

regular:

l’angle inscrit: b = 2a.

mateix arc són iguals.

S = (n - 2)180

α=

3 · 180º = 540º

(n − 2) 180 n 72º

β α

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Calcular el costat desconegut

1. Identifica el costat que es desconeix (catet llarg a, catet curt b o hipotenusa c).

d’un triangle rectangle a

2. Aplica el teorema de Pitàgores (c2 = a2 + b2) i aïlla la incògnita:

partir dels altres dos.

a = c 2 − b2 , b = c 2 − a2 o c = a2 + b2

Calcular l’àrea d’un triangle

1. Descompon el triangle en dos triangles rectangles iguals.

isòsceles coneguts els costats

2. Un catet és l’altura del triangle i l’altre catet és la meitat de la base. Aplica el teorema de Pitàgores per calcular l’altura. 3. Conegudes la base i l’altura, aplica la fórmula per calcular l’àrea d’un

triangle.

c/2

Els triangles 40 ■ Indica quins dels triangles següents són construïbles i per què.

 Amb

46 ■■

l’ajut del professor o professora segueix els

passos següents amb el GeoGebra per treballar el concepte de mediatriu i circumcentre. a) Dibuixa un triangle qualsevol amb l’eina Polígon. Has

a) a = 5 cm, b = 6 cm i c = 10 cm.

de fer clic tres cops, la darrera vegada sobre el punt de

b) a = 7 cm, b = 9 cm i c = 16 cm.

partida per tancar el triangle.

c) a = 8 cm, B  = 45º, b = 9 cm i A  = 50º.

b) Selecciona l’eina Punt mitjà, i clica sobre cada costat.

d) A  = 76º, B = 60º, C = 62º i a = 7 cm.

c) Selecciona l’eina Mediatriu, i clica consecutivament

e) a = 6 cm, b = 8 cm i c = 10 cm.

sobre cada costat. Comprova com aquestes mediatrius

Figures planes

Activitats

passen el punt mitjà que has trobat abans i que es tallen 41 ■ Construeix amb regle i compàs els triangles que siguin fac-

en un punt anomenat circumcentre. Marca’l amb l’eina

tibles. Després, mesura amb un transportador els angles respec-

Intersecció de dos objectes.

tius i indica’n les dimensions.

d) Amb l’eina Circumferència que passa per tres punts, cli-

a) a = 7 cm, b = 6 cm i c = 10 cm.

ca sobre els tres vèrtexs del triangle.

b) a = 6 cm, b = 6 cm i c = 8 cm.

e) Arrossega qualsevol dels vèrtexs del triangle amb l’ei-

c) a = 5 cm, b = 11 cm i c = 13 cm.

na Mou i forma successivament un triangle acutangle,

d) a = 5 cm, b = 8 cm i c = 14 cm.

rectangle i obtusangle. Descriu en cada cas què passa amb el circumcentre.

42 ■ Construeix amb regle i compàs els triangles que siguin

 Segueix els passos següents amb el GeoGebra per

factibles. Després, mesura amb un transportador els costats que

47 ■■

falten i indica’n les dimensions

treballar el concepte d’altura i ortocentre.

a) A  = 60º, B  = 40º i c = 7 cm.

a) Dibuixa un triangle qualsevol amb l’eina Polígon. Has

b) A  = 42º, C  = 36º i b = 8 cm.

de fer clic tres cops, la darrera vegada sobre el punt de

c) A =105º, B  = 40º i b = 6 cm.

partida per tancar el triangle. b) Selecciona l’eina Recta perpendicular, i clica consecuti-

43 ■ Construeix amb regle i compàs els triangles següents :

vament sobre cada vèrtex i el seu costat oposat; obtindràs

a) a = 7 cm, b = 6 cm i C  = 70º.

les tres altures. Fixa’t que es tallen en un punt anomenat

b) c = 6 cm, a = 8 cm i B  = 45º.

ortocentre.

c) a = 8 cm, b = 10 cm i C  = 120º.

c) Arrossega qualsevol dels vèrtexs del triangle amb l’eina Mou i forma successivament un triangle acutangle, rectan-

44 ■■ Construeix amb regle i compàs els triangles següents (es

gle i obtusangle. Digues en quins casos l’ortocentre és:

coneixen dos costats i l’angle oposat a un). Indica el nombre de

• Interior al triangle.

solucions en cada cas.

• Exterior.

a) a = 7 cm, c = 6 cm i A  = 45º. b) a = 8 cm, c = 10 cm i A  = 37º. c) a = 6 cm, c = 10 cm i A  = 60º.

• Està situat en un dels vèrtexs.

 Amb l’ajut del professor o professora segueix els pas-

48 ■■

sos següents amb el GeoGebra per treballar els conceptes de 45 ■■ D’un triangle es coneix A  = 45º i b = 8 cm. Proposa un valor per al costat a de manera que s’obtingui:

mitjana i baricentre. a) Dibuixa un triangle qualsevol amb l’eina Polígon.

a) Una solució.

b) Busca el punt mitjà de cada costat amb l’eina Punt

b) Dues solucions.

mitjà o centre. Només has de seleccionar aquesta eina i fer

c) Cap solució.

clic sobre un costat. c) Uneix cada vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat mitjançant l’eina Segment entre dos punts. Cadascun d’aquests segments és la mitjana. d) Arrossega qualsevol dels vèrtexs del triangle amb l’eina Mou. Fixa’t què passa quan el triangle és acutangle, rectangle o obtusangle. El baricentre, sempre és interior al triangle?

181

Figures planes

49 ■

 Amb l’ajut del professor o professora segueix els pas-

52 ■

 Amb l’ajut del professor o professora segueix els pas-

sos següents amb el GeoGebra per determinar la longitud dels

sos següents amb el GeoGebra per construir un triangle cone-

costats, els angles i l’àrea d’un triangle:

guts els costats a = 6 cm i b = 8 cm i l’angle A  = 45º.

a) Dibuixa un triangle qualsevol amb l’eina Polígon. Has

a) Selecciona l’eina Segment amb longitud donada des

de fer clic tres cops, la darrera vegada sobre el punt de

d’un punt. Clica sobre l’àrea de treball i dóna la longitud

partida per tancar el triangle.

del costat b (8 cm). Els extrems d’aquest segment són els

b) Selecciona l’eina Angle i clica dins del triangle que

vèrtexs A i C del triangle.

acabes de dibuixar. El valor dels angles queda determinat

b) Selecciona l’eina Angle amb una amplitud donada. Cli-

automàticament.

ca sobre C i després sobre A i introdueix el valor de l’angle

c) Selecciona l’eina Longitud i clica sobre cadascun dels

(45º) en sentit antihorari.

costats. Es visualitzaran les longituds dels tres costats.

c) Selecciona l’eina Semirecta que passa per dos punts

d) Selecciona l’eina Àrea, i clica a l’interior del polígon.

i clica sobre A per dibuixar l’altre costat de l’angle.

Veuràs el valor de l’àrea.

d) Selecciona l’eina Circumferència donats el centre i el

 Amb

radi, clica sobre C i dibuixa una circumferència de radi l’ajut del professor o professora segueix els

a = 6. El punt de tall sobre el segon costat de l’angle de-

passos següents amb el GeoGebra per construir un triangle de

termina el vèrtex o vèrtexs que falten del triangle. El resul-

costats a = 5, b = 6 i c = 9 cm:

tat final ha de ser una figura semblant a aquesta:

50 ■■

a) Selecciona l’eina Segment amb longitud donada des d’un punt. Clica sobre l’àrea de treball i dóna la longitud B2

del costat c (9 cm). Anomenem els extrems d’aquest segment A i B.

182

6 cm

radi i clica sobre el punt A. Introdueix un valor del radi igual al costat b (6 cm). Sobre el punt B dibuixa un cercle

3,66 cm

de radi a = 5. c) Selecciona l’eina Intersecció de dos objectes i determi-

6 cm

109,47º

64,47º

45º

25,53º

8 cm

na el vèrtex que falta del triangle. Anomena C el punt d’intersecció.

70,53º

7,66 cm

b) Selecciona l’eina Circumferència donats el centre i el

Fixa’t que el problema proposat té dues solucions.

d) Finalment, selecciona l’eina Polígon i uneix els vèrtexs

 Construeix els triangles següents. Pots emprar el

A, B i C. Determina els angles, els costats i l’àrea. Has d’ob-

53 ■■

tenir una figura semblant a aquesta:

GeoGebra seguint els passos de l’exercici 52. En cada cas, determina’n el perímetre i l’àrea: a) a = 7 cm, b = 6 cm i A  = 37º.

b) a = 7 cm, b = 6 cm i C  = 37º. 109,47º

c) A  = 48º, B  = 52º i c = 7 cm d) a = 7 cm, c = 9 cm i A  = 40º.

b = 6 cm

a = 5 cm

54 ■■ La distància entre les ciutats A i C és de 10 km. Entremig

Àrea ACB = 14,14 A

31,59º

38,94º

c = 9 cm

hi ha un llac, de manera que no és possible unir-les directament amb una carretera. Si es vol enllaçar C amb la carretera que surt de A, indica en quin punt ho faries si ha de tenir una longitud de 8 km.

 Construeix

51 ■■

els triangles següents. Pots emprar el

Geo Gebra seguint els passos de l’exercici 49. En cada cas, determina’n els angles i l’àrea. Indica si els casos c) i d) presenten cap particularitat.

45º

a) a = 9 cm, b = 8 cm i c = 10 cm. b) a = 6 cm, b = 4 cm i c = 8 cm. c) a = 5 cm, b = 12 cm i c = 13 cm. d) a = 5 cm, b = 8 cm i c = 13 cm.

C 10 km

55 ■■

 Un terreny triangular està envoltat per una tanca.

Dos dels costats de la tanca fan 4 km i 6 km, respectivament

66 ■■■ El perímetre d’un rectangle és de 34 cm i la seva diagonal és un nombre enter. Dibuixa el rectangle.

i l’angle que formen aquests dos costats és de 36º. Troba el perímetre del terreny.

67 ■■ Considera un triangle rectangle de costats 3, 4 i 5. Sobre cada costat es dibuixa un triangle equilàter tal com indica la figura.

El teorema de Pitàgores. Perímetre i àrea d’un polígon 56 ■ Completa la taula següent referida

triangles

rectangles

(c designa la hipotenusa).

c 5

20 24

Figures planes

Activitats

26 25

57 ■ Un dels catets d’un triangle rectangle mesura 7 cm i la hipotenusa en mesura 12. Calcula’n: a) L’àrea.

Calcula l’àrea de cada triangle equilàter i comprova si també

b) El perímetre.

compleixen el teorema de Pitàgores, és a dir: si el triangle construït sobre la hipotenusa equival als triangles construïts sobre els

58 ■ Indica quins dels triangles

7,5

12,5

següents són rectangles:

59 ■ Calcula la diagonal d’un quadrat de costat 2 cm.

catets. 68 ■■ Una escala de 10 m de longitud està recolzada sobre una paret vertical. Si el peu de l’escala està separat 2 m de la paret, fins a quina altura arriba l’escala? 69 ■■ Calcula l’àrea i el perímetre de les figures següents. Cada quadre representa 1 cm.

60 ■ Un rectangle té una base de 10 cm i una diagonal de 14 cm. Calcula’n: a) El perímetre.

b) L’àrea.

61 ■ Calcula el perímetre d’un rombe si sabem que les seves diagonals mesuren 5 i 7 cm. 62 ■■ Calcula el perímetre d’un rombe les diagonals del qual sumen 9 cm i una és el doble de l’altra. 70 ■■ Un estel té forma de rombe de diagonals 30 i 70 cm. Els 63 ■■ Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles que té un perímetre

marges i les diagonals de l’estel estan fets amb fusta. Calcula la

de 25 cm i el costat desigual mesura 5 cm.

longitud de llistó que cal per construir-lo.

64 ■■ Calcula l’àrea d’un hexàgon regular que té un perímetre

71 ■■ Calcula

de 48 cm.

d’aquesta figura obtinguda a partir d’un

perímetre

l’àrea

60º

hexàgon regular d’1,73 dm d’apotema. 65 ■■■ Un trapezi isòsceles de bases 12 i 8 cm té un perímetre de 32 cm. Calcula: a) L’àrea.

b = 8 cm

b) Les diagonals.

72 ■■ Una escala de bombers de 10 m de longitud s’ha fixat en un punt del carrer. Si es recolza sobre una de les façanes arriba a 7 m d’alçada i si es recolza sobre l’altra, arriba a 5 m. Quina és B = 12 cm

l’amplada del carrer?

183

Figures planes

73 ■■■ Hi ha moltes demostracions gràfiques del teorema de

80 ■■  Considera un triangle rectangle de costats 5, 12 i 13 cm,

Pitàgores. Una de les més conegudes i fàcils de visualitzar és la

amb un semicercle sobre cada un.

del matemàtic anglès Henry Périgal (1801-1898). a) Dibuixa un triangle rectangle qualsevol i construeix un quadrat sobre cada costat. b) Determina el punt mitjà del quadrat construït sobre el

13 cm 5 cm

catet més gran (intersecció de les dues diagonals). c) Dibuixa, en el quadrat construït sobre el catet més

12 cm

gran, un segment paral·lel a la hipotenusa i un altre segment perpendicular a aquest, que passin pel punt mitjà del quadrat. El quadrat quedarà dividit en quatre quadri-

a) Calcula l’àrea de cada semicercle.

làters iguals.

b) Esbrina si hi ha cap relació matemàtica entre la super-

d) Numera els quatre quadrilàters i el quadrat del catet

fície d’aquests semicercles.

petit, tal com mostra la figura. e) Retalla’ls i comprova que els cinc poliedres resultants encaixen en el quadrat construït sobre la hipotenusa.

81 ■■ Considera un triangle rectangle isòsceles ABC, els catets del qual mesuren 4 cm. a) Calcula l’àrea delimitada pels dos arcs de circumferència construïts sobre la hipotenusa. El primer, amb centre

3 5

en el vèrtex C.

184

en el punt mitjà de la hipotenusa, i el segon, amb centre

4 3

punt mitjà 1 2

segment paral·lel a la hipotenusa

3 1 2

segment perpendicular a la hipotenusa C

b) Comprova que aquesta àrea és igual a l’àrea del triangle isòsceles.

Perímetres i àrees de figures circulars 74 ■ Calcula l’àrea del cercle corresponent a una circumferència

82 ■■ Calcula l’àrea i el perímetre de cada una de les figures

de 12,56 dm.

següents:

75 ■ Calcula l’àrea d’una corona circular si sabem que els radis

b) 4 cm

interior i exterior són, respectivament, 5 i 7 cm.

5 cm

2 cm

76 ■ La longitud d’un arc de circumferència és de 14 cm. Si el

3 cm

radi amb què s’ha traçat és de 4 cm, calcula’n l’angle.

6 cm 3 cm

3 cm

77 ■■ Calcula l’àrea d’una corona circular si la suma dels dos 3 cm

radis és 13 cm i la diferència entre els dos radis és 5 cm. (Recorda la identitat notable (a + b) · (a - b) = a2 - b2. 78 ■■  Calcula l’àrea d’un sector circular si la longitud del seu arc és de 12 cm i el seu radi és de 16 cm.

Els angles de les figures planes 83 ■ L’angle central d’un polígon regular fa 20º. Calcula el nombre de costats d'aquest polígon.

79 ■■ Un terreny té forma de sector circular. El seu radi fa 15 m i que està rodejat per una tanca perimetral de 50 m. Si el preu

84 ■ La suma dels angles d’un polígon regular és 2 340º. Calcu-

del sòl és de 2 000 €/m2, quant val aquest terreny?

la quant mesura un angle d’aquest polígon.

85 ■■ Calcula els angles que falten en aquest pentàgon regular:

90 ■■ Calcula l’àrea i el perímetre del triangle següent:

5 10

Figures planes

Activitats

86 ■ Calcula tots els angles, interiors i exteriors que falten en els polígons següents:

Els mosaics

91 ■ Considera un triangle equilàter. a) Raona per què la figura següent té la mateixa àrea que 71,57º

el triangle equilàter de partida.

56,31º

b) Calcula’n l’àrea tenint en compte que el perímetre del triangle és de 9 cm.

87 ■ Calcula els angles que falten en aquestes circumferències:

185 21,2º 129,25º

92 ■ Agafa la figura del problema anterior com a element bàsic

84,19º

i construeix dos mosaics diferents. 93 ■ Construeix mosaics a partir de les figures següents, obtin-

60,11º

gudes agafant com a base un quadrat.

88 ■ Considera el triangle ABC inscrit en aquesta circumferèn-

cia. El segment AB és un diàmetre. Es traça un segment des de C fins al centre de la circumferència O. C

O A

94 ■■ Fixa’t en aquest mosaic i digues a partir de quina figura bàsica creus que s’ha obtingut.

a) Com són els triangles AOC i BOC? b) Si l’angle B és de 37º, calcula tots els angles dels dos triangles. c) Com és el triangle ABC? 89 ■■ Utilitza el problema anterior per demostrar que, si un dels costats d’un triangle inscrit en una circumferència és un dià-

95 ■■ Agrupa un hexàgon, un quadrat i un triangle equilàter

metre, el triangle és rectangle.

per construir un mosaic semiregular.

Figures planes

Repte 96 ■■■ Calcula

l’àrea

98 ■■■ Els punts de les tres figures corresponen als vèrtexs,

de la figura formada pels

quatre cercles. Tingues punts F, G, H i I.

en compte la posició dels

respectivament, d’un quadrat, d’un pentàgon i d’un hexàgon.

Es poden fer servir per jugar al «triangle assassí», que és un joc e

1 0

–5 –4 –3 –2 –1 H

–1

0 1

per a 2 jugadors, l’un amb un llapis blau i l’altre amb un de 4

vermell. Comença un traçant un segment que uneixi dos dels

vèrtexs; després l’altre traça un altre segment i així successiva-

–2 –3

ment. No es pot dibuixar de nou un segment ja fet. Si es forma

un triangle amb segments d’un mateix color, el jugador que

–4

té aquell color perd la partida. Si ja no es pot traçar cap més 97 ■■■ El rectangle de la figura representa la pantalla d’un televisor panoràmic de 32 polzades. Això vol dir que la diagonal de la pantalla fa 32 polzades de longitud (1 polzada  equival a  2,54 cm). Que la pantalla sigui panoràmica vol dir que la raó

segment i no hi ha cap triangle d’un mateix color, la partida queda en empat. Estudia els casos indicats i proposa estratègies de joc per a cadascun. a)

entre la base i l’altura és 16/9.

a) Calcula les dimensions de la pantalla en cm i la seva

superfície en cm2. b) Escriu una fórmula que doni la super-

fície de la pantalla a

(en cm2) a partir del

d O

nombre de polzades. A

186

C J

Autoavaluació Sé distingir les rectes i punts notables d’un trian gle?

4. Calcula el perímetre i les diagonals d’un trapezi rectangle de

1. Relaciona:

bases 5 i 8 cm si la seva àrea és de 26 cm2.

a) mitjana

A) circumcentre

b) altura

B) ortocentre

c) mediatriu

C) baricentre

Conec les característiques dels angles de les figures B

planes? 5. Observa l’hexàgon regular se-

Sé aplicar el teorema de Pitàgores?

güent:

2. Calcula el perímetre d’un triangle rectangle si sabem que la

a) Indica quin és el valor de

seva base és de 5 cm i la seva àrea és de 30 cm2.

l’angle assenyalat.

3. La distància entre els peus d’una escala és de

b) Classifica el triangle ABC.

1 m i el seu perímetre és 5 m. Calcula fins a quina altura ens podem enfilar. 6. Calcula els angles assenyalats en les figures següents:

b) 107,4º 135º

153,43º

81,3º

Figures planes

Competències que sumen El tangram El tangram o «joc dels 7 elements» és un passatemps molt antic originari de la Xina. El joc consisteix en un mosaic de 7 peces planes que s’han de combinar per formar siluetes. Les peces es poden encaixar formant un quadrat com mostra la il·lustració.

1. El tangram està format per 7 figures: 5 triangles, 1 quadrat, i… com s’anomena l’altra figura? a) Paral·lelogram. b) Ortoedre. c) Rectangle truncat. d) Trapezi. 2. En David s’ha comprat un tangram de fusta. Les peces van en una capsa quadrada com la de la figura adjunta: En David ha observat que els dos triangles grans ocupen la meitat de la capsa. Si el costat de la caixa mesura 30 cm, quant mesura l’àrea de cadascun dels triangles grans? Indica les operacions. 3. En David vol calcular l’àrea del quadrat petit que apareix en el joc. Si sabem que el costat de la capsa mesura 30 cm: a) Calcula la longitud de la diagonal de la capsa. b) Troba l’àrea del quadrat petit. 4. En David vol construir un home que corre i un cigne. La seva germana Sara l’ha ajudat i amb unes línies li ha indicat com col· locar cadascuna de les 7 peces per construir el cigne. Dibuixa unes línies per ajudar en David a construir l’home que corre.

5. En David ha trobat a Internet les figures següents. Explica si és possible construir-les amb el tangram i en cas afirmatiu, com s'haurien de fer.

187

Unitat

Proporcionalitat geomètrica Leonardo i l’home de Vitruvi

Marc Vitruvi Pol·lió va ser un arquitecte i enginyer romà del segle i abans de Crist. De jove va treballar per a Juli Cèsar i és considerat un dels pares de l’arquitectura, ja que el seu tractat De Architectura és el més antic que es conserva. Traduït amb el títol Els deu llibres d’Arquitectura, a més d’explicar les tècniques de construcció vigents a l’època, estableix les mesures i les proporcions de totes les obres arquitectòniques. Vitruvi basava aquestes proporcions en la seva interpretació de les proporcions del cos humà.

188

Segles més tard, un dels genis més grans de tots els temps, el florentí Leonardo da Vinci (1452-1519) es va basar en les indicacions de l’arquitecte per dibuixar el famós Home de Vitruvi. És una il·lustració feta amb llapis i tinta que mesura 34,2 × 24,5 cm. És tant coneguda que ja forma part de la cultura popular i fins i tot apareix en les monedes d’un euro italianes. El text amb què Leonardo acompanya el dibuix és la traducció de les paraules de l’arquitecte: «La natura distribueix les mides del cos humà de la manera següent. Quatre dits fan un palmell, quatre palmells fan un peu, sis palmells fan un colze, quatre colzes fan l’altura de l’home. I quatre colzes fan un pas, i vint-i-quatre palmells fan un home.» Aquestes mesures són les que Vitruvi usava en els seus edificis. «Si separes prou les cames perquè la teva altura disminueixi un catorzè i estires i puges les espatlles fins que els dits es trobin al nivell de l’extrem superior del cap, has de saber que el centre geomètric de les teves extremitats separades estarà situat al teu melic, i que l’espai entre les cames serà un triangle equilàter.» «La longitud dels braços estesos d’un home és igual a la seva altura. Des del naixement dels cabells fins a la punta de la barbeta és la desena part de l’altura d’un home; des de la punta de la barbeta fins a la part superior del cap és un vuitè de la seva estatura; des de

la part superior del pit fins a l’extrem del cap serà un sisè d’un home. Des de la part superior del pit fins al naixement dels cabells serà la setena part de l’home sencer.» «L’amplària major de les espatlles conté en si mateixa la quarta part d’un home. Des del colze fins a la punta de la mà serà la cinquena part de l’home; i des del colze fins a l’angle de l’aixella serà la vuitena part de l’home.» «La mà sencera serà la dècima part de l’home. L’inici de la part inferior del ventre marca la meitat de l’home. El peu és la setena part de l’home. Des de la planta del peu fins a sota del genoll serà la quarta part de l’home. Des de sota del genoll fins al començament de la part inferior del ventre serà la quarta part de l’home. La distància des de la part inferior de la barbeta fins al nas i des del naixement dels cabells fins a les celles és, en cada cas, la mateixa, i, com l’orella, una tercera part del rostre.» De totes maneres, cal dir, per a la teva tranquil·litat, que aquestes proporcions són un cànon de bellesa ideal i que ningú les compleix, o, si més no, no en la seva totalitat. Fes un cop d’ull al teu voltant i ja intuiràs que la diversitat humana es resisteix a la geometria.

Analitza i resol 1. Digues on van viure Marc Vitruvi i Leonardo da Vinci i en quina època. Quin temps els va separar? 2. Indica quines de les proporcions esmentades al paràgraf següent no serien necessàries perquè es poden deduir a partir de les altres. «La natura distribueix les mides del cos humà de la manera següent. Quatre dits fan un palmell, quatre palmells fan un peu, sis palmells fan un colze, quatre colzes fan l’altura de l’home. I quatre colzes fan un pas, i vint-i-quatre palmells fan un home.» 3. Si una altura de 2 m es disminueix en un catorzè, quant farà? 4. La figura destaca el quadrat i el cercle en què s’insereix l’Home de Vitruvi. a) Segons

text,

quin és el punt mitjà d’aquest quadrat i d’aquest cercle? b) Comprova-ho traçant amb llapis a la llibreta les dues diagonals del quadrat i dos diàmetres del cercle. 5. Segons Leonardo da Vinci i Marc Vitruvi, el peu és la setena part de l’estatura de l’home. a) Verifica si es compleix aquesta propietat en el teu cas. b) En cas contrari, a què creus que és degut?

Índex

Competències bàsiques

1. Segments proporcionals

Matemàtica. Reconeixement dels elements i propietats

2. Aplicacions del teorema de Tales

de les figures planes.

3. Semblança de triangles

Artística i cultural. Reconeixement i representació de

4. Semblança de polígons

figures geomètriques en l’entorn.

5. Plànols i escales

Tractament de la informació i competència digital. Utilització de programes informàtics per a la representació de figures i l’obtenció de semblances i escales.

189

Proporcionalitat geomètrica

Segments proporcionals 1.1

Alerta Una fracció és una divisió indicada entre dos nombres enters. 3 és una fracció. 7

4,56 no és una fracció. 3,49

Raó entre dos segments

Considerant dos segments qualssevol AB i CD, la raó entre si és el quocient de les seves AB . longituds: CD Si el resultat de la raó entre dos segments és una fracció, podrem expressar fàcilment la longitud d’un dels segments en funció de la longitud de l’altre. Però com que la longitud d’un segment pot venir donada per un nombre decimal, la raó entre dos segments no s’expressarà en general com una fracció. Exemples 1. La longitud del segment AB és de 6 cm, i la del segment CD, 2 cm. La raó entre els dos segments és

AB 6 = = 3. CD 2

També es pot escriure AB = 3CD. Això significa que la longitud del primer segment és el triple de la del segon. A

AB = 6

CD = 2

AB = 3 CD

2. La longitud del segment PQ és de 3 cm i la del segment RS és de 4 cm. La raó

190

PQ 3 = . 4 RS 3 3 També es pot escriure PQ = RS , és a dir, que la longitud del primer segment és 4 4 de la del segon.

entre els dos segments és

PQ = 3

Recorda Una proporció és una igualtat entre dues raons. En tota proporció es compleix: a b a c = → = c d b d a · d = c · b

RS = 4

1.2

PQ = 3 RS 4 S

Segments proporcionals

Dos segments AB i CD són proporcionals als segments EF i GH si la raó entre els dos primers és igual a la raó entre els dos segons, és a dir, si es verifica: AB EF = CD GH Exemple 3. Els parells de segments de la figura són proporcionals: A C

AB = 10

CD = 14

Fixa’t que es compleix

AB = 10 CD 14 D

EF = 5

GH = 7

AB EF 10 5  10 ⋅ 7 = 70 = → = → . 14 7  5 ⋅ 14 = 70 CD GH

EF = 5 GH 7 H

1.3

El teorema de Tales

El teorema de Tales afirma que els segments determinats per un conjunt de rectes paral· leles que tallen dues rectes secants són proporcionals.

Recorda

AB BC AC = = A ′B ′ B ′C ′ A ′C ′

En dues figures semblants anomenem

Suposa dues rectes secants, r i s, tallades per una sèrie de rectes paral·leles. Les paral· leles determinen una sèrie de segments sobre r i sobre s. Els segments sobre la recta r són AB, BC i CD, i els segments corresponents sobre la recta s són A'B' , B'C' i C'D' . El teorema de Tales permet identificar la relació que hi ha entre els segments corresponents de r i s: AB = BC = CD

A’

C’

D’

56,31º

9,01

33,69º 7,5

90º

33,69º

3,61

56,31º

A’B’ = B’C’ = C’D’ B’

figura a angles iguals.

90º

C A

nents els que s’oposen en cada

D B

costats correspo-

A’

B’ C’

Si els segments determinats sobre la recta r són iguals, aleshores els segments corresponents sobre la recta s també ho són.

Si els segments determinats sobre la recta r són proporcionals, els segments corresponents sobre la recta s verifiquen la mateixa proporció.

191

Exemples 4. Els segments sobre la recta r són AB, BC i CD, i els segments corresponents són A'B' , B'C' i C'D' . Fixa’t que:

AB A ′B ′ AB 2 A ′B ′ 2 = • = i o, el que és el mateix: = ; per tant: BC BC 3 B ′C ′ 3 B ′C ′ AB BC (a) = A ′B ′ B ′C ′ AB A ′B ′ ′ ′ • AB = 2 i A B = 2 ; per tant: o, el que és el mateix: = AC A ′C ′ AC 5 A ′C ′ 5

A’

A’B’ = 6

AB AC (b) = ′ ′ AB A ′C ′

AB = 9

B’

AB BC AC = = • Finalment, combinant (a) i (b), s’obté . A ′B ′ B ′C ′ A ′C ′ 5. Les rectes de la figura adjunta estan tallades per rectes paral·leles. Fixa’t que: 9 6 9 12 AB A ′B ′ AB BC = , o bé: , ja que, , ja que, = . = = 12 8 6 8 BC B ′C ′ ′ ′ ′ ′ AB BC

B’C’ = 8

C’

BC = 12

Els segments corresponents, són, doncs, proporcionals.

Aplica

2 ■ Calcula A'B' i B'C' en la fi-

gura següent. Dades: 1 ■ Dos segments AB i CD mesuren respectivament 3 i 5 cm. Calcula les longituds de dos segments proporcionals a AB i CD.

AB = 4,5; BC = 6; A'C'  = 7

B A A’

B’

C’

Proporcionalitat geomètrica

Aplicacions del teorema de Tales 2.1 Recorda

Divisió d’un segment en parts iguals

Aplicant el teorema de Tales es pot dividir un segment en parts iguals. Exemple

Per traçar un conjunt de rec-

6. Fixa’t en el procediment següent per dividir el segment en tres parts iguals:

tes paral·leles a una altra cal

1. Es traça una semirecta auxiliar al segment AB que passi per A.

seguir els passos següents:

2. Sobre la semirecta auxiliar es marquen amb el compàs tres segments iguals (AP, PQ i QR), no importa de quina mida.

1. Posa l’escaire de manera que el costat A coincideixi amb la recta. 2. Posa el costat A del cartabó en contacte amb el costat B de

3. S’uneix amb una recta la darrera marca R amb l’extrem B del segment, i es tracen rectes paral·leles a aquesta partint dels punts Q i P. R

l’escaire.

3. Fixa el cartabó amb una mà

AP = PQ = QR

i fes lliscar l’escaire. Quan sigui A

a la posició desitjada, aguanta

fort l’escaire i traça la recta.

C D AC = CD = DB

Com que els segments determinats sobre AR són iguals als segments determinats sobre AB (AC, CD i DB), aquests també són iguals entre si. A

192

2.2

Divisió d’un segment en segments proporcionals a dos de donats

Aplicant el teorema de Tales es pot dividir un segment en parts proporcionals. Exemple

A B

7. Fixa’t en el procediment per dividir el segment AB en dos segments proporcionals a dos més de longituds r i s: A A

1. Es dibuixa una semirecta auxiliar al segment AB que passi per A.

s A

2. Sobre la semirecta auxiliar es traslladen amb un compàs els segments r i s, i s’obtenen els punts P i Q.

3. S’uneix amb una recta el punt Q amb l’extrem del segment AB (B). Ara es traça una paral·lela QP partint del punt P. Els segments resultants AC i CB són proporcionals als segments de longituds r i s.

Q r

P s A

C Q

PQ P

s A

Aplica

5 ■  Tenim un segment de 7 cm. a) Divideix-lo en parts proporcionals a 5 i 8.

3 ■ Dibuixa un segment de 10 cm i divideix-lo en 7 parts iguals.

b) Indica la longitud de cada segment.

4 ■ Divideix un segment de 10 cm en parts proporcionals a 3 i

6 ■■ Tenim un segment de 15 cm. Dibuixa’l i divideix-lo en

2. Indica quina longitud tindrà cada segment.

tres segments proporcionals a 2, 3 i 10.

2.3

Representació de nombres racionals sobre la recta numèrica Recorda

Per representar els nombres naturals i enters sobre la recta numèrica es marca sobre aquesta el zero i es defineix el segment unitat. Els nombres enters positius se situen a la dreta del zero, i els nombres enters negatius, a l’esquerra.

Una altra manera de trobar el nombre mixt corresponent a

–3

–2

–1

una fracció impròpia és:

1. Troba el múltiple del denominador més gran possi-

Per representar nombres racionals, que estaran situats entre els nombres enters, es pot aplicar el teorema de Tales.

ble que sigui més petit que el numerador.

Exemples

2. Descompon el numerador

12 : 7 1. Com que es tracta d’una fracció impròpia, cal escriure-la en forma de nombre

en dos nombres; un dels quals,

8. Fixa’t com es representa el nombre

el múltiple trobat. 3. Separa la fracció en dues

12 5 = 1+ . Per tant, el nombre està situat entre els enters 1 i 2. mixt: 7 7 2. Es traça una recta auxiliar que surti del punt 1, i es divideix en 7 parts iguals amb un compàs.

fraccions i simplifica. 19 − 6

19 16 + 3 16 3 3 = = + = 4+ 4 4 4 4 4

3. S’uneix el darrer segment amb el punt 2 i es tracen rectes paral·leles a aquesta partint de les altres marques.

múltiple de 4 més petit que 19

193

5 El punt que fa 5 es correspon al nombre 1+ . 7 −13 . 5  −13 3 S’escriu la fracció en forma de nombre mixt: = −2 + .  5 5 El nombre està situat entre els enters –3 i –2. Cal traçar una recta auxiliar que surti del –2 i vagi cap a l’esquerra. La resta del procediment és com el descrit en l’exemple 8.

9. Fixa’t com es representa el nombre negatiu

–4

–3

–2

12 5 — = 1— 7 7

–1

13 3 – — = –2 — 5 5

Aplica

9 ■ Indica quins són els nombres representats gràficament so-

7 ■ Representa sobre la recta numèrica els nombres següents: 18 7 12 a) b) c) − 7 8 9

bre les rectes numèriques següents: a)

8 ■ Escriu els nombres decimals següents en forma de fracció i representa’ls sobre la recta numèrica: a) 1,25

b) 0,8

–2

c) 3,4

–1

Proporcionalitat geomètrica

Semblança de triangles 3.1

Recorda

Triangles en posició de Tales

Dos triangles estan en posició de Tales si tenen un vèrtex comú, dos costats paral·lels i els altres dos costats estan situats en una mateixa recta. Dos triangles en posició de Tales tenen els angles iguals i els costats proporcionals.

Tales de Milet (630 aC-546 aC), va ser un filòsof grec. Els seus interessos principals eren les matemàtiques, l’astronomia

Exemples 10. Fixa’t en el triangle ABCS’ha traçat un segment paral·lel a la base BC , i s’han obtingut dos triangles ABC i ADE que estan en posició de Tales. Fixa’t que:

i la política. A

No es pot afirmar amb tota certesa que fos l’autor del teorema

E D

que porta el seu nom, però sí que sabem que l’utilitzava per

resoldre problemes quotidians, com calcular l’alçada d’un edifici, la distància d’un vaixell a la costa, etc.

• Els triangles ADE i ABC tenen un vèrtex comú. • Els costats DE i BC són paral·lels. • Els costats AD i AB, d’una banda, i els costats AE i AC , de l’altra, es troben en una mateixa recta.

194

11. Fixa’t que dos triangles en posició de Tales tenen els angles iguals i els costats proporcionals. A E D C B

• Com que els segments DE i BC són paral·lels i A és un vèrtex comú, els dos triangles tenen els mateixos angles: Dˆ = Bˆ i Eˆ = Cˆ . • Els segments AB i AC compleixen les condicions del teorema de Tales; per tant: AD AE = (a). AB AC • Traçant un segment paral·lel al costat AC pel vèrtex D, i aplicant el teorema de Tales, tindrem:

AD FC AD DE = = , però FC  = DE , per tant: (b). Combinant (a) i (b), tenim: AB BC AB BC AD AE DE = = , la qual cosa demostra que els costats dels dos triangles són AB AC BC proporcionals. 12. Es pot obtenir l’altura del triangle rectangle ABC a partir de la proporció:

B’ AC = 4,5 cm

AC’ = 6 cm

AC BC 4, 5 6 36 = → = →x= = 8 cm 6 x 4, 5 AC ′ B ′C ′

BC = 6 cm B’C’ = x

C’

3.2

Figures semblants

Dues figures són semblants si tenen la mateixa forma però una grandària diferent.

Recorda

Els elements que es corresponen de dues figures semblants s’anomenen homòlegs. Exemple

Quan es fa una ampliació o una reducció en una fotocòpia ob-

13. Tant els dos triangles com els dos pentàgons tenen la mateixa forma però una grandària diferent; per tant, són figures semblants. Fixa’t que tenen els mateixos angles. D’

H’

B’ A

A’

C’

tenim dues figures semblants.

E’

F’

G’

Fixa’t en dos triangles: el costat A'C' del gran es correspon al costat AC del petit; el costat A'B' del gran es correspon al costat AB del petit, i finalment el costat B'C' es correspon al costat BC. En el cas dels pentàgons, anàlogament, el costat D'E' del gran es correspon amb el costat DE del petit, i així successivament.

3.3

Triangles semblants

195

Dos triangles semblants es poden col·locar de manera que tinguin els costats paral·lels; més, precisament, es poden col·locar sempre en posició de Tales. Per tant, dos triangles semblants tenen els angles iguals i els costats proporcionals. La raó entre dos costats homòlegs s’anomena raó de semblança k. El valor k expressa la relació que hi ha entre les grandàries respectives dels dos triangles. Així, si k > 1, la grandària del segon triangle és més gran que la del primer, i a l’inrevés, si k < 1, el segon triangle és més petit que el primer. Exemple

14. Els triangles ABC i A’B’C’ són semblants i es poden col·locar, en posició de Tales. Fixa’t en la raó de semblança d’aquests triangles:

AB AC BC = = ′ ′ ′ ′ AB AC B ′C ′

B’

B C

A’

C’

En aquest cas, k < 1.

Aplica

11 ■ Els triangles ABC i ADE són

semblants. 10 ■ Els costats d’un triangle fan 6, 7 i 9 cm. El

a) Indica quins són els

costat més llarg d’un triangle semblant a aquest

seus costats homòlegs.

mesura 27 cm.

b) Calcula la raó de sem

a) Calcula les dimensions dels costats que

blança.

falten.

c) Calcula els costats que

b) Calcula la raó entre els perímetres dels

falten de cada triangle.

dos triangles.

BC = 4,48

AC = 6 DE = 2,24

AE = 2,83 E

Proporcionalitat geomètrica

3.4

Criteris de semblança en triangles

Per determinar si dos triangles són semblants només cal verificar que es compleix algun d’aquests tres criteris:

Alerta

• Criteri 1. Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals. Com que la suma dels angles d’un triangle és de 180º, els dos triangles tindran els tres angles iguals, de manera que es poden situar en posició de Tales.

Per determinar si dos triangles són proporcionals, només cal verificar un dels tres cri-

• Criteri 2. Dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els dos costats que el determinen són proporcionals.

teris. Els altres dos també seran certs de manera automàtica.

• Criteri 3. Dos triangles són semblants si tenen els tres costats proporcionals. Exemples 15. Aquests triangles són semblants, ja que tenen els tres angles iguals.

B’

B B’

A’

C’ A

16. Els dos triangles de la figura AB AC = compleixen Aˆ = Aˆ ′ i , A ′B ′ A ′C ′ per tant, segons el teorema de Ta-

196

les, els costats BC i B'C' han de ser paral·lels. Els dos triangles es poden col·locar en posició de Tales i per tant, són semblants. 17. En aquest cas, si es comAB AC BC = = pleix , els A ′B ′ A ′C ′ B ′C ′ triangles ABC i A’B’C’ es poden col·locar en posició de Tales i, per tant, són semblants.

B’ 1,58 71,57º

A’

C’

3,16

AB AC —– = —– = 2 A’B’ A’C’

B’ 71,57º

71,57º 6

C’

B’

6,5

2,5

C’

AB AC —– = —– = 2 A’B’ A’C’

AC BC AB —– = —– = —– = 2 A’B’ A’C’ B’C’

C’

B A’ B’

A’

Aplica

15 ■■ Identifica com a mínim quatre triangles semblants de la figura i justifica-ho a partir d’algun dels criteris exposats en

12 ■ Si dos triangles rectangles tenen un angle agut igual, són semblants? Raona la resposta.

la unitat. C

13 ■ Explica per què no és possible determinar un triangle si només en coneixem els tres angles. 14 ■ Explica per què els

triangles ABC i AB’C’ són semblants.

C’

16 ■■ Els costats d’un triangle mesuren respectivament 5, 7 i 8 cm. Calcula les dimensions d’un triangle semblant a l’ante rior amb raó de semblança 1,5. B’

3.5

El teorema del catet i el teorema de l’altura

Donat un triangle rectangle ABC, en què Cˆ és l’angle recte, els catets són a i b, i la hipotenusa, c. L’altura relativa a la hipotenusa, CC' , defineix dos triangles nous: CC’B i ACC’. Els triangles ABC i ACC’ són semblants perquè tenen un angle comú (a); i com que són rectangles, tindran els angles desconeguts d i g iguals.

En un triangle rectangle es verifica el teorema de Pitàgores:

Els triangles CC’B i ACC’ són semblants, ja que de la igualtat de d = g es dedueix que a = b; per tant, tenen els tres angles iguals.

α A

Recorda

δ m

C’

Els costats dels triangles semblants són proporcionals. Per tant, mòlegs, tindrem: b m En els triangles ABC i ACC’ es complirà: = → b 2 = c ⋅ m . c b a n En els triangles ABC i BCC’ es complirà: = → a 2 = c ⋅ n . c a h n En els triangles ACC’ i CC’B es complirà: = → h 2 = m ⋅ n . m h

considerant els costats ho-

c b

(a) c2 = a2 + b2

(b) (c)

• Les expressions (a) i (b) constitueixen el teorema del catet: en un triangle rectangle, el quadrat de cada catet és igual al producte de la seva projecció per la hipotenusa. • L’expressió (c) constitueix el teorema de l’altura: en un triangle rectangle, el quadrat de l’altura sobre la hipotenusa és igual al producte de les projeccions dels dos catets sobre aquesta.

Com aplicar-ho. Calcular els elements desconeguts d’un triangle rectangle Calcula l’altura h i els costats a i b del triangle rectangle adjunt. C

16 cm

9 cm

Consells Els catets a i b es poden trobar també aplicant el teorema de Pitàgores. De fet, en general, moltes de les situacions que es resolen amb el teorema del catet i de l’altura també es poden resoldre aplicant Tales i Pitàgores.

Vegeu els exercicis

• Aplicant el teorema de l’altura tenim: 2

h = 9 ⋅ 16 = 144 → h = 144 = 12 cm • Aplicant el teorema del catet als catets a i b tenim:

17, 18 i 19 de la pàg. 197; 50 i 51 pàg. 205; 58, 59 i 60 pàg. 207.

a 2 = 16 ⋅ 25 → a 2 = 400 → a = 400 = 20 cm b 2 = 9 ⋅ 25 → b 2 = 225 → b = 225 = 15 cm

Aplica

18 ■■ Les projeccions sobre la hipotenusa dels catets d’un triangle rectangle són, respectivament, m = 13,5 cm i n = 24 cm.

17 ■ Calcula l’altura i

a) Calcula’n el perímetre.

els elements que falten

b) Calcula’n l’àrea.

CB = 12

del triangle rectangle ABC.

19 ■■ Si la hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 13 cm i A

DB = 11,08

un dels catets mesura 5 cm, calcula l’altre catet.

197

Proporcionalitat geomètrica

Semblança de polígons 4.1

Alerta Les relacions de semblança i de proporcionalitat no són

Semblança i descomposició en triangles

Dos polígons o més són semblants si tenen els angles iguals i els costats proporcionals. El fet que tot polígon es pugui descompondre en triangles permet analitzar fàcilment la semblança entre polígons qualssevol. La raó de semblança entre dos polígons es defineix igual que la raó de semblança entre triangles: és la raó constant entre els costats homòlegs.

una característica privativa de

Exemple

les figures geomètriques. Es poden donar entre qualsevol

18. La figura mostra dos pentàgons amb els angles iguals. Fixa’t que els triC’ B’ angles en què es descomD’ ponen el primer i el segon A’ pentàgon són semblants. E’ Per tant, com que els costats de dos triangles semblants són proporcionals, també ho hauran de ser els costats dels dos polígons.

forma o objecte.

C B D A

La raó de semblança és constant entre els costats homòlegs:

198 4.2

AB BC CD DE EA = = = = A ′B ′ B ′C ′ C ′D ′ D ′E ′ E ′A ′

Relació entre perímetres i àrees de polígons semblants

Donats dos polígons semblants qualssevol, la raó k entre els seus perímetres P i P’ és igual a la raó de semblança (k), mentre que la raó entre les seves àrees A i A’ és igual al quadrat de la semblança (k2). P′ A′ = k = k2 P A Exemples D’

A’

C’

B’

19. Fixa’t que els rectangles ABCD i A’B’C’D’ tenen els costats proporcionals, i que els costats del rectangle A’B’C’D’ són el doble dels costats del rectangle ABCD. Com que són rectangles, els angles són iguals i, per tant, els dos polígons són semblants. La raó de semblança és k = 2. La raó entre perímetres també és 2 i la raó entre àrees és k2 = 22 = 4. 20. Fixa’t que la longitud d’un costat qualsevol del triangle A’B’C’ és tres vegades la d’un costat homòleg en ABC, per tant, la raó de semblança és k = 3. Fixa’t que el perímetre del triangle A’B’C’ és 9, i que el del triangle ABC, 3, per tant: A ′B ′C ′ 9 = =3 ABC 3

B’

L’àrea del triangle A’B’C’ és 9, i la del ABC, 1: A ′B ′C ′ 9 = =9 ABC 1

A’

C’

4.3

Construcció de polígons semblants

Coneixent la raó entre polígons i aplicant les propietats de la semblança de triangles és fàcil construir polígons semblants a un de donat. Com aplicar-ho. Calcular l’altura d’un edifici a partir de la seva ombra A determinada hora del dia, un pal vertical de 3 m projecta una ombra de 2 m. Alhora, l’ombra d’un edifici és de 9 m. Quina és la seva altura? • L’angle que fan els rajos del Sol en projectar l’ombra és el mateix en tots dos casos. Per tant, els triangles ABC i A’B’C’ són triangles semblants. • L’altura de l’edifici es calcularà plantejant la proporció entre els costats hoBC B ′C ′ 3 x 27 mòlegs: = → = → 2x = 3 ⋅ 9 → x = = 13, 5 m. 2 9 2 AC A ′C ′

Com aplicar-ho. Obtenir un polígon a partir d’un altre amb una raó de semblança determinada A partir del quadrilàter ABCD, construeix-ne un altre amb raó de semblança 2. • Marca un punt O qualsevol. Des d’aquest punt traça semirectes que passin per cadascun dels vèrtexs del quadrilàter. • El punt homòleg A’ del punt A es determina construint un segment OA' tal que OA'  = 2OA. Per fer això, traça un arc amb el compàs de longitud 2OA amb centre en O.

D’ C’ D

C A’

A B

B’

• Repeteix-ho per a tots els altres punts –obtindràs B’, C’ i D’– i uneix-los. Aquest quadrilàter és l’homòleg de ABCD.

Consells És convenient que facis un esquema gràfic. B’

2m A

B 3m C

A’

C’

Vegeu els exercicis 23 pàg. 199; 69, 72 i 73 pàg. 208.

Consells Fixa’t que els triangles OAB i OA’B’ són semblants, ja que tenen un angle comú i els dos costats que el determinen són proporcionals. Aplicant el teorema de Tales tindrem: OB ′ A ′B ′ = =2 OB AB Repetint el raonament en les parelles de triangles OAD i OA’D’, ODC i OD’C’ i OBC i OB’C’, arribarem a la proporcionalitat entre els costats dels dos quadrilàters. Vegeu els exercicis 24 pàg. 199; 64 i 65 pàg. 207.

Resol

23 ■ L’ombra d’un pal de 2 m és de 80 cm. A la mateixa hora, un edifici vertical projecta una ombra de 12 m. Quina és l’altura

20 ■ Els perímetres de dos rectangles semblants són 20 i 50 cm respectivament. Si l’altura del més gran és de 12 cm, calcula els

de l’edifici?

costats dels dos rectangles.

Raona

21 ■■ Les àrees de dos rectangles semblants són 32 i 512 cm2

24 ■ Fixa’t en els dos pentàgons de la

respectivament. Si la base del més gran és de 16 cm, calcula les

figura.

altres dimensions desconegudes. 22 ■ Dibuixa a la llibreta dos pentàgons semblants amb raó de

a) Raona per què són semblants. b) Expressa la raó de semblança del

semblança 1,5.

pentàgon groc respecte del verd.

199

Plànols i escales

Proporcionalitat geomètrica

5.1

Plànols, mapes i escales numèriques

Un plànol, un mapa o una maqueta són representacions en el pla o en l’espai (en el cas de les maquetes) de figures reals. En conserven la forma i les proporcions, però no la mida. Són, doncs, figures semblants als objectes reals que representen. L’escala és la raó de semblança entre el dibuix i la realitat que es representa. Una escala numèrica s’expressa de la forma 1:n i significa que cada unitat de la representació equival a n unitats reals. Exemple 21. El plànol d’un habitatge indica que té una escala 1:100. Això es pot escriure tam1 bé de la forma E = . 100 S’ha d’entendre que raó de semblança és 1/100 o, el que és el mateix: cada unitat de longitud sobre el plànol en representa 100 sobre la realitat. De manera pràctica es pot dir que cada centímetre sobre el paper representa 1 m en la realitat.

Recorda L’escala gràfica té l’avantatge que si fas una ampliació o reducció del mapa (fotocòpia, escàner, impressió digital…),

200

E 1:100

sempre mantens una referència clara per tornar-la a calcular, ja que el segment s’amplia o es redueix en la mateixa proporció.

5.2

Escales gràfiques

Sovint en els plànols i mapes apareix dibuixada una escala gràfica. És la representació de l’escala unitat per unitat, en què cada segment mostra la relació entre la longitud de la representació i la de la realitat. Exemple 22. Aquest segment de 4 cm representa 50 km en la realitat. Cada fracció del segment mesura 1 cm.

50 km

L’escala numèrica que correspon a aquesta escala gràfica és: 4 1 = → 1:1250000 5000000 1250000

Com aplicar-ho. Calcular la mida real d’un objecte coneixent l’escala numèrica a la qual està representat Calcula la longitud real d’un cotxe si en tenim una maqueta a escala 1:24. • Mesura la longitud de la maqueta. Veiem que fa 18 cm. • L’escala 1:24 significa que cada centímetre en la maqueta es correspon a 24 cm en la realitat. 1 18 = → L = 18 ⋅ 24 = 432 cm . Per tant, 24 L • Cal fer el canvi d’unitats: 432 cm = 4,32 m.

1:24

18 cm

Consells Tingues en compte que l’escala numèrica expressa una proporció o raó de semblança. Com més gran és el denominador del factor d’escala, menys detall té el mapa o maqueta, i a l’inrevés. Vegeu els exercicis 25, 26, 27, 28, 29, 30 i 32 pàg. 201; 72 pàg. 208; 78 pàg. 209.

Com aplicar-ho. Calcular una distància en un mapa mitjançant l’escala gràfica Calcula la distància real en línia recta entre Palma i Inca a partir de l’escala gràfica.

Pollença

Inca

Artà

Consells Comença sempre per calcular l’escala numèrica. També es pot resoldre aplicant una regla de tres: distància en el paper (cm)

distància en la realitat (km)

1,8

1,6

Valldemossa Palma

Manacor Llucmajor

1,8x = 30 ⋅ 1,6 → x =

Santanyí

30 ⋅ 1,6 → 1,8

→ x = 26,67 km

30 km

• Primer cal passar l’escala gràfica a l’escala numèrica. Mesurant el segment, s’observa que fa 1,8 cm i representa 30 km. Per tant, 1 cm són 16,67 km, és a dir, 1 667 000 cm. L’escala numèrica és, per tant, 1:1 667 000.

Vegeu els exercicis 31 pàg. 201; 79 pàg. 209.

• Mesura amb un regle la distància entre les dues poblacions. Veuràs que és d’1,6 cm. 1 1,6 • Aplica el factor d’escala: = → L = 1,6 ⋅ 1667000 = 2667200 cm. L 1667000 • Finalment, es passen els centímetres a quilòmetres: 2 667 200 cm = 26,67 km.

Resol

201

30 ■■ Un circuit automobilístic determinat té una longitud de 4 655 m. Se’n vol fer una representació a escala 1:640 per a una

25 ■ Un pis té una superfície de 75 m . Calcula quina superfície 2

de paper es necessita per fer-ne un plànol a escala 1:75.

pista de slot. a) Calcula la longitud de pista que cal. b) Calcula la longitud de pista que es necessita si és vol

26 ■ Una habitació rectangular té unes dimensions en un plànol a escala 1:100 de 3 × 4 cm. Calcula les dimensions reals de l’habitació. 27 ■ Es vol fer una maqueta d’un avió a escala 1:40. Si l’envergadura del model real és de 25 m, troba l’envergadura de la maqueta. 28 ■ Els cotxes de slot acostumen a tenir una escala 1:32. Si un cotxe de fórmula 1 té una longitud de 5 m, quina és la longitud

fer una reproducció a escala 1:320. 31 ■ L’escala gràfica d’un mapa és la que s’indica a la figura:

15 km

a) Troba l’escala numèrica. b) Si la distància entre dos punts en aquest mapa és de 10 cm, quina és la distància real? 32 ■ La distància en un mapa entre dues ciutats és de 8 cm. Si l’escala del mapa és 1:250 000, quina és la distància real?

del seu model a escala?

Raona

29 ■■ Un fuster posarà parquet i un sòcol de fusta al menja-

33 ■ Quina escala et sembla més adient per fer el plànol d’una

dor. Perquè ens calculi el pressupost li hem donat un plànol a escala 1:50. Les dimensions sobre el plànol del menjador són de 6 × 8 cm. El preu del parquet és de 60 €/m2, i el del sòcol,

ciutat: 1:20 000 o bé 1:500 000? Raona la resposta. 34 ■ De les escales 1:50 000 o bé 1:100 000:

de 15 €/m. Si el menjador té dues portes de 70 cm d’amplada

a) Quina escala és més petita? Raona la resposta.

cadascuna, quant costa el material necessari?

b) Quina donarà més detalls? Raona la resposta.

Tot són matemàtiques

La geometria del carboni i les nanomàquines A escala nanoscòpica els objectes són de l’ordre de la milionèsima de mil·límetre (1 nm = 10–6 mm). És el món de les molècules i dels virus. Una de les tecnologies més prometedores del segle xxi és la nanotecnologia: el disseny i construcció d’objectes de mida nanoscòpica. Quines utilitats poden tenir les nanomàquines? Amb quines peces es construiran?

circumferència d’una cèl·lula humana típica

circumferència d’un glòbul vermell

gruix d’una molècula d’ADN 2,5 nm

molècula d’aigua 0,3 nm

circumferència màxima d’un bacteri

202

circumferència màxima d’un virus

virus 20-250 nm bacteri 1 000 nm

gruix d’un cabell 80 000 nm

cèl·lula humana típica 20 000 nm

glòbul vermell 7 000 nm

diamant

grafit

lonsdaleïta

Ful·lerè

Estructura de poliedre convex amb cares pentagonals i hexagonals.

Richard Feynman (1918-1988) Aquest físic va ser el primer, el 1959, que va suggerir la idea de nanomàquina, en una xerrada titulada There’s plenty of room at the bottom (‘Hi ha espai de sobres a la part del fons’), en la qual va parlar d’un mètode per poder manipular àtoms i molècules de manera directa.

C60 (buckminsterful·lerè, buckybola, o molècula pilota de futbol)

carboni amorf

C540

C70

nanotub o buckytub by mstroeck

Els sistemes microelectromecànics o MEMS (de l’anglès MicroElectroMechanical Systems) fan tasques impossibles per a les màquines comunes. Utilitzen la tecnologia desenvolupada per fabricar circuits integrats, basada principalment en silici. Són MEMS el dispositiu que mesura l’acceleració a la qual se sotmet el comandament de la Wii, els sensors dels coixins de seguretat dels vehicles, elements dels marcapassos d’última generació o els capçals de les impressores d’injecció de tinta.

Proporcionalitat geomètrica

Antecedents a les nanomàquines: els MEMS

Les aplicacions biomèdiques són les més esperades: brigades de nanobots potser podran intervenir directament en el cos humà, i defensar l’organisme de tumors o virus, o reparar teixits.

Analitza i investiga 1. Explica què és la nanotecnologia. 2. Investiga alguna de les aplicacions que pot tenir en el futur la nanotecnologia. 3. Formeu grups, amb ajuda del profes-

Peces de carboni

El carboni té vuit estructures fonamentals. Són les peces bàsiques amb les quals es fabricaran les nanomàquines.

sor o professora, i imagineu un nanorobot amb aplicacions mèdiques. Feu els dibuixos i plànols que cregueu oportuns i redacteu un petit treball, mural, o presentació de diapositives per presentar la vostra invenció a l’aula. 4. Investiga sobre els ful·lerens: a) Què són? b) De quants tipus n’hi ha i quin és el més petit? c) Esbrina per què el buckminsterful·lerè s’anomena C60. 5. Per grups, feu un model tridimensional (real o virtual) d’alguna de les varietats

Per construir nanomàquines basades en el carboni caldrà unir diverses estructures bàsiques. Actualment es fan simulacions informàtiques i maquetes tridimensionals. L’energia per moureles la podrien subministrar bacteris o nanopiles elèctriques.

del carboni i presenteu-la a classe. a) Explica quines característiques geomètriques té. b) Digues quants vèrtexs, arestes i cares té i quina forma tenen les cares.

203

Proporcionalitat geomètrica

Això és bàsic Semblança Segments proporcionals. Els

EF = 5

segments AB i CD són proporcio-

GH = 7

nals als segments EF i GH si: AB EF = CD GH

cants B

Triangles en posició de Tales. costats paral·lels i els altres dos

recta s

A A’

B’

C’

angles iguals i els costats corre-

B’

sponents són proporcionals.

costats estan situats en una ma-

Raó de semblança:

teixa recta.

recta r

Triangles semblants. Tenen els

segments

AB BC AC = = A ′B ′ B ′C ′ A ′C ′

Tenen un vèrtex comú, dos

determinen

proporcionals en cadascuna:

AB 10 —– = —– CD 14

CD = 14

paral·leles que tallen rectes se-

AB = 10

Teorema de Tales. Les rectes

EF 5 —– = — GH 7

AB AC BC = = A ′B ′ A ′C ′ B ′C ′ Dos triangles semblants es poden

proporcionals.

C’

Tenen els angles iguals i els costats

situar sempre en posició de Tales. Polígons semblants. Tenen els angles iguals i els costats proporcionals.

Raó de semblança: k (raó entre costats homòlegs)

B’

Raó entre perímetres: k (raó de semblança)

C’

Raó entre àrees: k2

D’

A’

E’ E

204

Criteris de semblança en triangles Tenir dos angles iguals.

Tenir un angle igual, i els

A’

costats que el

B’

determinen, proporcionals.

C’ A

AC AB —– = —– = 2 A’B’ A’C’

Tenir els tres costats proporcionals.

B’

AB AC BC —– = —– = —– = 2 A’B’ A’C’ B’C’

1,58 71,57º

A’

B’

C’

3,16

6,5

2,5

C’

A’

71,57º 6

Escales L’escala d’un plànol o mapa és la raó de semblança entre el di-

Escala numèrica: 1:n

buix i la realitat que es representa.

Escala gràfica:

50 km

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Construir un polígon

1. Pren un punt O qualsevol. Des d’aquest punt traça

semblant amb raó k, a un

semirectes que passin per cadascun dels vèrtexs.

polígon donat

altres punts homòlegs es construeixen igual. 3. Uneix els punts A’, B’, C’, D’. objecte a partir de la longitud de la seva ombra

C’ D

2. El punt homòleg A’ del punt A es determina construint amb el compàs un segment OA’ tal que OA’ = kOA. Els

Calcular l’alçada d’un

D’

C A’

A B

B’

1. Recorda que els triangles rectangles determinats per l’alçada de dos objectes (h i h’) i les seves h h′ ombres respectives (o i o’) són semblants: = o o′ 2. Fes un esquema gràfic per identificar els valors coneguts i desconeguts i aplicar-los en la semblança anterior.

 Amb l’ajuda del professor o professora segueix els pas-

Segments proporcionals

38 ■

35 ■ Considera els segments AB = 5 cm i BC = 8 cm. Troba dos

el teorema de Tales.

sos següents amb el programa GeoGebra per tal de comprovar

segments proporcionals A'B' i B'C', de manera que A'B' = 3AB.

a) Selecciona l’eina Recta que passa per dos punts i traça dues rectes qualssevol.

36 ■ Calcula els segments desconeguts de les figures següents: a)

c) Fixa un punt d’una de les rectes amb l’eina Punt nou.

b) Traça una recta qualssevol que talli les dues. Selecciona l’eina Recta paral·lela i clica primer a la darrera recta que has dibuixat, i després al punt. Marca les interseccions amb l’eina Intersecció de dos objectes i repeteix

l’operació dos cops més. Anomenem els punts A, B , C

A’

B’

i A’, B’, C’.

C’

d) Selecciona l’eina Distància i vés clicant sobre cada segment. Aniran sortint les seves longituds.

e) Calcula el quocient de cada segment pel seu corres-

ponent. Què observes?

Proporcionalitat geomètrica

Activitats

f) Selecciona l’eina Mou i desplaça algun punt. Què passa?

x B 4 A

D’

B’

C’

x D

Aplicacions del teorema de Tales

39 ■ Dibuixa tres segments de 7, 8 i 9 cm, i divideix-los en 5, 6

205

i 7 parts iguals, respectivament.

4,5 x 3 8 y

37 ■■ Dues rectes r i s estan tallades per un seguit de rectes paral·leles de manera que BC = 2AB i CD = 2BC. D

40 ■ Divideix un segment de 13 cm en dos segments proporcionals a 4 i 7 cm.

C B

41 ■ Troba el segment de longitud x que compleix

A A’

B’

C’

D’

Sabent que A'B' = 1,2 cm i que BC = 2,7 cm calcula les longituds dels segments següents: a) AB b) B'C' c) CD d) C'D'

Representa’l gràficament.

4 6 = . 9 x

42 ■■ Donats tres segments de longituds a, b i c, el quart segment proporcional és el segment de longitud x que compleix a c = . b x a) Troba el quart segment proporcional als segments de longituds a = 4 cm, b = 5 cm i c = 6 cm. b) Representa’l a la llibreta gràficament.

Proporcionalitat geomètrica

43 ■ Representa sobre la recta numèrica els nombres següents

47 ■ Demostra que dos triangles rectangles són semblants si te-

aplicant el teorema de Tales. 2 17 b) −3 + a) 9 7

nen els dos catets proporcionals. c) 3, 25

48 ■ Considera un triangle de costats 6, 7 i 8 cm, respectiva-

44 ■■ Un televisor porta la indicació següent: format panoràmic 16:9. Això vol dir que tant la base com l’altura de la pantalla són proporcionals a segments de longituds 16 i 9, respectivament. a) Si l’altura del rectangle mesura 26,15 cm, quant me-

ment. Calcula el perímetre d’un triangle semblant a aquest de raó de semblança 2,5. 49 ■ Els triangles ABC i ADE de la figura són semblants. a) Calcula la raó de semblança.

sura la base?

b) Comprova que la raó entre perímetres és igual a la raó

b) Tenint en compte que una polzada equival a 2,54 cm,

de semblança.

quant mesura la diagonal de la pantalla en polzades?

D DB = 1,61 B

DE = 5,15 16

Semblança de triangles

206

gun dels criteris estudiats i indica els costats homòlegs en cada cas. a) C

29,11º F

50 ■■ Considera un triangle rectangle de catets 5 i 12 cm i com s’observa a la figura:

29,11º

104,5º

CE = 2

d’hipotenusa 13 cm. Es traça l’altura relativa a la hipotenusa tal

AC = 5

45 ■ Justifica la semblança dels triangles següents a partir d’al-

E 46,39º A

3 90º 2

4,8

3,6

90º D

Els triangles ABD, ADC i BCD són semblants. Calcula la raó de semblança entre els triangles: a) ABC i ADC.

b) ADC i BDC.

c) ABC i BCD.

51 ■■ El triangle ABC és rectangle. Troba el perímetre del tri46 ■ Calcula els segments desconeguts de la figura següent:

angle ADC. B

B’E’ = 2,24 AC = 4 BC = 1,54

A B

B’ A’ A’B’ = 2,93

E’

D’ E’E = 2,77 D

CE = 3,4 DE = 1,88

52 ■■ Dos triangles semblants tenen àrees respectives de 6 cm2 i de 54 cm2. Si el perímetre del primer és de 12 cm, quin és el perímetre del segon?

53 ■ Unint punts mitjans dels costats del triangle ABC s’ha ob-

60 ■■ Un dels catets d’un triangle rectangle mesura 24 cm.

tingut el triangle DEF. Explica com són els triangles ABC i DEF.

L’altura relativa a la hipotenusa la divideix en dos segments de longitud 1,96 i 23,04 cm, respectivament.

h A

1,96

54 ■■ Troba en quin punt impactarà finalment la bola de billar.

23,04

a) Calcula el perímetre i l’àrea del triangle aplicant el teorema de Pitàgores.

1,25 m

b) Calcula el perímetre i l’àrea del triangle sense aplicar el teorema de Pitàgores.

61 ■■ El perímetre i l’àrea d’un triangle són 18 cm i 13,5 cm2, respectivament. Un triangle semblant a aquest té una raó de

Proporcionalitat geomètrica

Activitats

semblança de 4/5

a) Calcula’n el perímetre. 55 ■ Dibuixa dos triangles en posició de Tales de manera que la

b) Calcula’n l’àrea.

raó entre dos costats homòlegs sigui 2/3. 62 ■■ Una fotografia té unes dimensions de 10 × 15 cm. Si se’n 56 ■■ Tenim tres pals de 3, 4 i 6 m. Es volen col·locar vertical-

fa una ampliació en resulta una altra de 15 × 22,5 cm. Calcula

ment de manera que els seus extrems superiors formin una línia

la raó de semblança entre una fotografia i l’altra i expressa-la en

recta. Com s’han de situar?

forma de percentatge.

57 ■ Calcula els segments desconeguts en els dos triangles

63 ■■ Quan es fa una fotocòpia d’una figura se n’obté una altra

següents:

de semblant. Si es fa una reducció del 80% d’un triangle rectangle de costats 3,5, 12 i 12,5 cm, respectivament, calcula l’àrea del triangle resultant. 4 3 — 2

9 — 8

Semblança de polígons

64 ■ Un pal vertical de 2 m projecta una ombra d’1,5 m. A la 58 ■ Calcula m, n i h en el triangle rectangle següent: 8

mateixa hora, l’ombra projectada per un altre pal vertical fa 1,8 m. Quina és l’altura de l’altre pal? 65 ■■ L’ombra projectada per una antena és de 16 m. A la ma-

teixa hora, un pal vertical en projecta una altra d’equivalent a 2/5 parts de la seva altura. Quant mesura l’antena?

m 10

59 ■■■ Calcula el perímetre i l’àrea del triangle rectangle de la figura sabent que n = 4m i que el costat AB mesura 10 cm. C

16 m

207

Proporcionalitat geomètrica

 Copia el pentàgon regular següent i, partint del vèrtex

66 ■ El perímetre de l’hexàgon regular verd és de 24 cm. Quant

72 ■

mesura el costat de l’hexàgon regular groc?

A i seguint les diagonals, construeix pentàgons semblants de raó de semblança 1/2 i 3/2.

67 ■■ Dos rectangles tenen una raó de semblança de 2,5.

a) Si la base del rectangle més gran mesura 12 cm, cal-

 Copia en un paper quadriculat el pentàgon següent

cula la base del petit.

73 ■■

b) Si l’àrea del rectangle gran és de 96 cm2, calcula l’àrea

i, partint del punt O, construeix pentàgons semblants de raó de

del rectangle petit.

semblança 1/2 i 3/2.

c) Calcula el perímetre del dos rectangles. 68 ■ Raona: a) Dos quadrats sempre són semblants? b) I dos rombes? O

69 ■

208

 Copia en un paper quadriculat el quadrilàter següent i

a partir del punt O construeix-ne un de semblant de raó 2. 74 ■■ Considera el trapezi rectan-

gle de la figura:

A O

El punt P divideix el segment CD en dues parts de manera que

CP =

1 PD . 2 a) Construeix un trapezi semblant de manera que un dels seus vèrtexs sigui P.

70 ■■ Considera el rectangle següent de diagonal 10 cm. El punt

b) Indica la raó de semblança entre les dues figures.

P divideix la diagonal en dos segments de longituds 2,5 i 7,5 cm. Troba la raó de semblança entre els rectangles ABCD i PFCE.

75 ■■ Fixa’t en els trapezis ABCD i GFED i raona si són semblants.

C F

10 cm

1 cm E

E A

1 cm

71 ■ Construeix a la llibreta, a partir de la diagonal del rectangle

76 ■ Raona si, perquè dos polígons siguin semblants, n’hi ha

ABCD, rectangles semblants a l’anterior amb raons de semblança

prou que tinguin els angles iguals.

1,5; 2 i 3. 5 cm B

Plànols i escales 3 cm

77 ■ En un mapa escala 1:2 500 000, la distància en línia recta entre dues ciutats és de 12 cm. Calcula la distància real entre les dues ciutats.

78 ■■ El plànol de la figura correspon a un habitatge de

81 ■■ Un escarabat està dibuixat en un llibre a escala 3:1. Si

10 × 12 m.

la il·lustració fa 2,7 cm de longitud, quina és la longitud real de

a) Pren les mesures oportunes amb un regle i determina

l’insecte?

l’escala del plànol. b) Calcula la superfície real de l’habitatge.

82 ■■ D’un mapa a escala 1:50 000 se’n fa una fotocòpia reduïda un 80%. a) Calcula l’escala del mapa nou. b) Calcula l’escala si s’amplia un 250%.

79 ■ Observa el mapa i calcula la distància real en línia recta

83 ■■■ Un terreny té forma de trapezi rectangle, amb unes

entre Ciutadella i Maó.

bases de 80 i 40 m i una altura de 30 m. a) Calcula el costat desconegut. b) Representa el terreny en un plànol a escala 1:500. c) Calcula l’àrea i el perímetre del trapezi real i del trape-

Ciutadella de Menorca

zi representat a escala. Ferreries

d) Comprova que la raó entre perímetres es correspon

es Mercadal

amb l’escala i que la raó entre àrees es correspon amb el es Migjorn Gran

quadrat de l’escala.

Alaior Maó es Castell Sant Lluís

84 ■■

 Amb l’ajuda del professor o professora segueix els

passos següents amb el programa GeoGebra per comprovar com la raó entre perímetres és igual a la raó de semblança, i com

20 km

la raó entre àrees és igual al quadrat de la raó de semblança: a) Dibuixa dos triangles semblants de raó 2.

80 ■■ Es vol construir un estel com el de la figura següent, a

b) Selecciona l’eina Distància i fes clic a l’interior de cada

escala 1:12:

polígon. Obtindràs directament el seu perímetre. c) Selecciona l’eina Àrea i fes clic en cada polígon. Obtindràs l’àrea de cadascun.

12 cm

d) Divideix els perímetres i les àrees obtingudes. Què 6 cm

observes? A’

2 cm

C’ A C

El marc està fet de llistons que suporten una tela. a) Calcula quants centímetres de llistó calen. b) Calcula quina superfície de tela es necessitarà.

B’ B

Proporcionalitat geomètrica

Activitats

209

Proporcionalitat geomètrica

Repte 85 ■■■ Calcula la raó de les àrees d’un quadrat circumscrit

87 ■■■ János Bolyai (1802-1863) era un matemàtic honga-

i un d’inscrit respecte d’una circumferència de 3 unitats de radi.

rès. Va demostrar que es pot transformar un polígon en qualsevol altre de la mateixa àrea retallant-lo i unint les peces de la

forma adient.

Prova de fer-ho en els casos proposats següents. Dibuixa en un

2 1

paper els polígons indicats i transforma’ls.

0 –4

–3

–2

–1

a) Transforma un triangle en un paral·lelogram amb la

–1 –2

mateixa base i la meitat d’altura.

–3 –4

86 ■■■ Un pagès disposarà d’aigua de reg durant 2 h aquesta tarda. Ha de repartir aquesta aigua entre els tres camps representats a la figura. Cal que tingui en compte l’àrea de cadascun i les necessitats d’aigua de cada conreu. Les plantes del camp A necessiten la meitat d’aigua per metre quadrat que les del camp B i la tercera part que les del camp C. Calcula quant de temps haurà de regar cada camp.

210

ferent de l’anterior, perquè aquí els angles aguts del paral·lelogram no c) Transforma un paral·lelogram en un altre de la mateixa base i altura.

12 cm

16 cm

i la meitat d’altura. Aquest cas és di-

són iguals a cap angle del triangle.

b) Transforma un triangle en un paral·lelogram amb la mateixa base

12 cm

Autoavaluació Sé reconèixer la proporcionalitat entre segments? 1. Donats els segments se-

AB = 4

güents, indica quins parells de

CD = 7

segments són proporcionals.

E EF = 2 F G

3. Suposa que les àrees de 2 rectangles són, respectivament, de

B D

4. A una hora determinada, un objecte vertical projecta una

KL = 3

ombra equivalent a la cinquena part de la seva altura. Si a la

IJ = 6

mateixa hora un arbre projecta una ombra de 3 m, podem

assegurar que l’altura de l’arbre és de 15 m? Per què?

Sé aplicar el teorema de Tales? 2. Considera els triangles rectangles següents, tots en posició de Tales: a) Calcula la longitud dels segments

D’

següents:

Sé fer càlculs aplicant escales? 5. Un mapa té una escala 1:2 500 000. a) Quina distància en línia recta hi haurà en el mapa entre dues ciutats distants 120 km? b) Si volem que en el mapa aquesta distància sigui de 9,6

• B’C’

cm, quina escala ha de tenir?

C’

• C’D’

6. Volem fer una maqueta d’un avió. L’envergadura real de

B’

• CC’

AB’ = 3,61

• DD’ b) Calcula la raó de semblança entre els

AB = 3

l’aparell és de 30 m. Si l’envergadura de la maqueta ha de ser

B’B = 2 B

BC = 2

de 50 cm, quina és l’escala de la maqueta? C

CD = 4

triangles següents: • AB’B i AC’C.

12 i 108 cm2. La base del primer és de 4 cm i la del segon és de 12. Calcula la raó de semblança.

GH = 3,5

Sé fer càlculs de proporcionalitat?

• AB’B i AD’D.

• AC’C i AD’D.

Proporcionalitat geomètrica

Competències que sumen Una casa nova La Margarida i en Lluís es volen casar. Estan buscant un lloc per viure i han trobat un pis de dos dormitoris. El plànol és el següent:

1. A la part inferior del plànol apareix representada l’escala gràfica, que indica 4 m. Quant mesura en la realitat 1 cm del plànol? a) 1,25 m b) 1 m c) 0,8 m d) 0,5 m 2. La Margarita i en Lluís volen calcular l’àrea del menjador. Fes servir un regle i calcula-la. Després assenyala la resposta que més s’hi aproximi: a) 20,5 m2 b) 27,5 m2 c) 32 m2 d) 19,1 m2 3. La parella està fent càlculs sobre els metres quadrats que té el pis construït (inclosos els armaris). La Margarida diu que no arriba als 85 m2, i en Lluís pensa que passa d’aquesta quantitat. Raona qui té raó. 4. La Margarida i en Lluís es pregunten sobre l’escala numèrica amb què està representat l’habitatge. Explica com es calcula l’escala numèrica a partir de l’escala gràfica i troba’n el valor. 5. Han fet una ampliació del plànol per veure millor els detalls. Totes les longituds mesuren ara el doble que abans. a) L’escala gràfica que indica 4 m, els segueix valent com a referència? b) Explica què ha passat amb l’escala numèrica en ampliar el plànol el doble. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire be.

211

Unitat

Els poliedres Espai i formes urbanes

La imatge mostra un dels dos gratacels negres que formen la Puerta de Europa (Madrid). Són dues torres bessones obra dels arquitectes nord-americans Philip Johnson i John Burgee. Es van inaugurar l’any 1996 i van ser les primeres torres inclinades del món, una característica que revolucionava el patró de totes les edificacions. Es desvien quasi 15º de la vertical i assoleixen una altura de 114 m cadascuna. Les seves bases són quadrades. La inclinació de les torres fa que dues de les seves quatre cares no siguin rectangles, sinó romboides. Una diagonal d’aquests romboides és la que marca la plomada o vertical de cada torre.

212

La imatge posa de manifest que els habitatges a les ciutats són construccions geomètriques. Vivim envoltats d’habitatges la forma dels quals es basa en el paral·lelisme i la perpendicularitat. Estructures de cares paral·leles i perpendiculars entre si i al terra on arrelen. D’aquí sorgeix la forma de capsa, de prisma recte o d’ortoedre de base rectangular o quadrada. El mot ortoedre il·lustra l’ortogonalitat (perpendicularitat) de les cares d’aquest cos tridimensional, que és la forma més universal d’habitatge i d’habitació. Els cossos tridimensionals de cares planes i arestes rectilínies s’anomenen poliedres. La representació plana d’un poliedre se serveix de la perspectiva, que distorsiona els angles per fer veure allò que realment no és. Així veiem com a tridimensional una figura que no ho és realment; veiem com a perpendiculars algunes arestes i algunes cares que no ho són. El cub dibuixat és pura il·lusió. La torre de la fotografia és un poliedre, però no un ortoedre perquè les seves cares no són totes ortogonals. És un prisma

inclinat. Així com els rectangles inclinats s’anomenen romboides, els prismes inclinats són romboedres. Una manera fidel de representar un poliedre en el pla és desfer-lo, és a dir, desplegar-lo com si fos una capsa de cartó. Retallant-ne diverses arestes, el poliedre es pot obrir i estendre’s damunt d’una taula. D’aquesta manera no es modifiquen les longituds de les arestes ni els angles que formen les cares. D’això se’n diu desenvolupament pla del poliedre. D’un cub se’n poden fer fins a onze de diferents. Entre els poliedres més antics fets per l’home destaquen les piràmides d’Egipte, edificacions ingents de base quadrada l’objectiu principal de les quals era el culte als morts, ja que a la sala central hi havia el cadàver embalsamat del faraó.

Analitza i resol 1. Posa exemples d’objectes que siguin poliedres i d’altres que no ho siguin. Justifica la resposta. 2. Quin d’aquests desenvolupaments

creus

que correspon a una de les torres de la Puerta de Europa de Madrid?

3. En el desenvolupament següent d’un poliedre, damunt de quina de les cares assenyalades (X, Y o Z) caurà la cara verda en plegar-lo? De quin poliedre es tracta?

El desenvolupament d’una d’aquestes piràmides és senzill. Només cal desfer el vèrtex del cim i estendre les quatre cares que unia. El resultat és un quadrat amb un triangle isòsceles a cada costat.

213

4. Dibuixa el desenvolupament d’una piràmide de base quadrada obrint-la pel cim. Com han de ser les cares trian gulars perquè el perfil del desenvolupament sigui també quadrat? 5. En les constel·lacions següents es distingeixen cares C, vèrtexs V i arestes A. Comprova que es verifica la igualtat C + V = A + 1. V A C

Índex

Competències bàsiques

1. Volum, capacitat i densitat

Matemàtica. Reconeixement dels elements i propietats dels poliedres. Comunicativa lingüística i audiovisual. Representació i descripció dels elements dels poliedres. Aprendre a aprendre. Aplicació de mètodes de resolució de problemes. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

2. Elements de la geometria de l’espai 3. Els poliedres 4. Els poliedres regulars 5. Els prismes 6. Les piràmides 7. Truncament i descomposició de poliedres

Els poliedres

Volum, capacitat i densitat 1.1

Volum d’un cos

El volum d’un cos és la part de l’espai que ocupa.

Recorda

Exemple Un cub és un cos format per

1. Si submergeixes un objecte en una proveta gradua da plena de líquid, la quantitat de líquid desplaçat equival al volum del cos.

sis cares quadrades iguals. Les arestes són les cares dels quadrats que el formen i els vèrtexs

10 5

5 5 cm3

són els punts en què concorren tres arestes. vèrtex aresta

1.2

Unitats de volum • La unitat de longitud en el sistema mètric decimal és el metre (m).

cara

El volum V d’un ortoedre, com el cub, és el producte d’amplada a, llargada b i altura c:

• La unitat de superfície és el metre quadrat (m2), que equival a l’àrea d’un quadrat d’1 metre de costat.

volum superfície 1 m3

1 m2

longitud 1m

• La unitat de volum és el metre cúbic (m3), que equival al volum d’un cub d’aresta 1 m.

V=a·b·c

214

Els múltiples del metre cúbic són el decàmetre cúbic (1 dam3 = 103 m3), l’hectòmetre cúbic (1 hm3 = 106 m3) i el quilòmetre cúbic (1 km3 = 109 m3).

c=3m b=4m a=3m V = 3 · 4 · 3 = 36 m3

Els submúltiples del metre cúbic són el decímetre cúbic (1 dm3 = 10–3 m3), el centímetre cúbic (1 m3 = 10–6 m3) i el mil·límetre cúbic (1 mm3 = 10–9 m3). Fixa’t que per passar d’una unitat a la següent inferior cal multiplicar per 1 000, i per passar d’una unitat a la immediatament superior, cal dividir per 1 000. ·1000 km3

Recorda

:1000

·1000 hm3

·1000 dam3

:1000

·1000 m3

·1000 dm3

:1000

·1000 cm3

:1000

mm3 :1000

100 = 1 101 = 10 102 = 100

Exemples

....

2. Fixa’t que l’equivalència entre el metre cúbic i el seu submúltiple immediatament inferior s’obté dividint l’aresta del cub en 10 decímetres:

Una mesura es pot expressar en

1 m3 = 1 m · 1m · 1 m = 10 dm · 10 dm · 10 dm = 1 000 dm3.

forma incomplexa o en forma

Per tant, 1 m3 = 1 000 dm3, i la relació inversa: 1 1 dm3 = m3 = 0, 001m3 → 10−3 m3 1 000 3. Expressa en metres cúbics:

103 = 1 000 104 = 10 000

complexa: Forma incomplexa: 23,15 m3 Forma complexa: 23,15 m3 = 23 m3 150 dm3

2,1 dam3 = 2,1 · 103 = 2,1 · 103 m3 40,2 km3 = 40,2 · 109 = 4,02 · 1010 m3 2,1 cm3 = 2,1 · 10–6 = 2,1 · 10–6 m3 300 dm3 = 300 · 10–3 = 0,3 m3

1 dm

1 m = 10 dm

1.3

La capacitat

La capacitat d’un cos es refereix a l’espai que té i que és capaç de contenir una altra substància.

Alerta En el sistema internacional, els

La unitat de capacitat és el litre (L). Un litre equival la capacitat d’un cub que té una aresta d’1 decímetre, és a dir, un decímetre cúbic: 1 L = 1 dm3.

símbols de les unitats s’escri-

Els múltiples del litre són el decalitre (daL), l’hectolitre (hL) i el quilolitre (kL).

del litre però, el símbol L va ser

Els submúltiples són el decilitre (dL), centilitre (cL) i el mil·lilitre (mL).

adoptat el 1979 a la 16a Con-

A diferència de les unitats de volum, les unitats de capacitat van de 10 en 10, és a dir, escriurem 1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL, o també: 1 1 1 1 mL = cL = 0, 1 cL = dL = 0,01 dL = L = 0,001 L 10 100 1 000

ferència General de Pesos i Mesures per tal d’evitar confusions amb el nombre 1. En alguns medicaments, receptes de cuina, per indicar la cilindrada d’un vehicle, etc.,

Exemple

podeu trobar expressat els cm3

4. Tenim un dipòsit ortoèdric de dimensions a = 3 m, b = 4 m i c = 2 m, i se’n vol calcular la capacitat en litres.

com a cc. 2m

En primer lloc, cal calcular el volum: V = a · b · c → V = 3 · 4 · 2 → V = 24 m3

Després, es passen els metres cúbics a decímetres cúbics: 24 m3 ⋅

uen en minúscules. En el cas

1 000 dm3 1 m3

215

= 24 000 dm3 . Com 1 dm3 = 1 L, 24 000 dm3 = 24 000 L.

Recorda Per canviar d’unitat és més

1.4

La densitat

conversió. Un factor de conversió és un trencat el denomi-

La densitat d d’un cos és el quocient entre la seva massa m i el volum V que ocupa: d=

pràctic fer servir els factors de

nador del qual conté la unitat

m V

que es vol simplificar, i el nume-

En el sistema internacional s’expressa en kg/m3, tot i que sovint s’expressa també en g/cm3. Exemple

rador, el valor equivalent en la unitat final o a l’inrevés: 1 000 dm3 300 m3 ⋅ = 1 m3 = 300 000 dm3

5. La densitat d’un fragment de roca de 50 g que ocupa un volum de 25 cm és 50 g d= = 2 g/cm3 . Aquesta densitat expressada en el sistema internacional equi25 cm3 val a: 3

g 3

⋅

1kg 1 000 000 cm ⋅ = 2 000 kg/m3 1 000 g 1m3

Aplica

Si el resultat final és una xifra molt llarga, és convenient expressar-la en forma de notació científica: 300 000 dm3 = 3 · 105 dm3

Resol

1 ■ Expressa en cm3 les quantitats següents: a) 3 dm3

b) 67 mm3

3 ■ Calcula el volum en metres cúbics d’una capsa ortoèdrica de dimensions a = 30 cm, b = 50 cm i c = 40 cm.

c) 43 m3

2 ■ Expressa en forma complexa les quantitats següents: a) 24, 321 m 3

b) 128,34 L

4 ■ Calcula la densitat d’un cos que té una massa de 30 kg i un

c) 3425,67 dm

volum de 0,45 m3.

Els poliedres

Elements de la geometria de l’espai 2.1

Un punt és una posició en l’espai, adimensional, infinitament petita.

Recorda

Donats dos punts, només hi ha un segment que comenci i acabi en aquests punts. Una recta s’obté allargant indefinidament un segment pels extrems. Un dibuix d’una recta només en representa una part, ja que per definició no té principi ni fi.

punts

recta

B A

Punts, rectes i plans

Un pla és una superfície llisa, il·limitada (sense principi ni fi) i sense gruix (només té dues dimensions).

segment

Exemple

pla

Punt: adimensional.

6. Un full de paper, les cares d’un cub, una paret, etc., es poden considerar parts d’un pla que s’estén indefinidament.

Recta, segment: una dimensió. Pla: dues dimensions.

2.2

Posicions relatives de plans i rectes

Els conceptes bàsics que identifiquen les posicions relatives de dos elements geomètrics són: • Paral·lel. No tenen cap punt en comú. • Coincident. Tenen tots els punts en comú. • Secant. Hi ha una coincidència parcial.

216

Exemples 7. Observa en les figures següents les posicions relatives de dos plans a l’espai:

Paral·lels: cap punt en comú.

Secants: determinen una recta.

Coincidents: tenen tots els punts en comú.

8. Observa en les figures següents les posicions relatives de dues rectes: Paral·leles: tenen la mateixa direcció però no tenen cap punt en comú.

Secants: es tallen en un punt. Dues rectes secants determinen un pla.

Coincidents: tenen tots els punts en comú.

Encreuades: ni tenen la mateixa direcció ni cap punt en comú.

9. Observa en les figures següents les posicions relatives d’una recta i un pla:

Recta i pla secants.

Recta i pla paral·lels.

Recta continguda en el pla.

10. En un cub pots visualitzar fàcilment les posicions relatives de dues rectes a l’espai: Les rectes r i s són secants. Les rectes s i t són paral·leles. Les rectes r i t s’encreuen.

2.3

L’angle diedre

Dues rectes secants divideixen el pla en dos parells d’angles iguals dos a dos. De manera semblant, dos plans secants divideixen l’espai en quatre regions iguals dos a dos. Cadascuna d’aquestes regions s’anomena angle diedre. Un diedre és la regió de l’espai determinada per dos semiplans secants.

angle diedre

Alerta

aresta

cares

Dues rectes secants formen quatre angles iguals dos a dos.

94º diedre 86º

Un angle diedre està format per dues cares, que són els dos semiplans que el formen. La recta determinada per les dues cares s’anomena aresta.

86º

94º

Segons l’angle que formin les dues rectes perpendiculars a l’aresta, parlarem de diedres aguts, rectes o obtusos. Exemple 11. Per mesurar un angle diedre, primer considera un punt P qualsevol de la seva aresta. Després, considera dues rectes perpendiculars a l’aresta i contingudes en cada cara que passin per aquest punt. L’angle que formin les rectes es pren com a mesura de l’angle diedre, en aquest cas, 90º. És un diedre recte.

90º P

aresta

angle diedre

217

90º

2.4

L’angle poliedre

Quan tres plans secants o més coincideixen en un punt, determinen una regió en l’espai que s’anomena angle poliedre. El punt comú als semiplans s’anomena vèrtex. Exemple 12. Es pot obtenir un triedre (combinació de tres plans secants) a partir de tres quadrats o rectangles, tal com passa en les parets d’una habitació.

aresta

Recorda

cara

270º 90º

90º vèrtex

Un poliedre és una regió tancada de l’espai limitada per polígons.

2.5

Els poliedres

La combinació de diversos angles poliedres pot donar lloc a una regió de l’espai limitada per polígons que s’anomena poliedre. Exemple 13. La figura mostra un poliedre format per sis rectangles i dos hexàgons regulars. Fixa’t en els angles diedres i poliedres que es formen.

3 Els poliedres

Els poliedres 3.1

Elements d’un poliedre

Un poliedre és un cos geomètric limitat per polígons.

vèrtexs

arestes

Els elements que formen un poliedre són: • Cares. Cadascun dels polígons que el limiten. • Arestes. Cadascun dels segments rectilinis formats per la intersecció de dues cares. • Vèrtexs. Cadascun dels punts en què coincideixen tres arestes o més.

L’ús de formes polièdriques és molt comú en l’arquitectura.

cares

Exemple

Fixa’t en la famosa piràmide

14. Les figures següents són poliedres, perquè les seves cares són poligonals:

del museu del Louvre a París.

En canvi, les figures següents no són poliedres:

218 3.2

Poliedres còncaus i convexos

Un poliedre pot ser: • Convex. No presenta forats i es pot recolzar en un pla damunt de qualsevol de les seves cares. Qualsevol segment entre dos punts interiors queda dins del poliedre. • Còncau. Té cares sobre les quals no es pot recolzar. Es poden trobar segments entre dos punts interiors que queden fora del poliedre. Exemple 15. La figura mostra un poliedre convex i un de còncau. Fixa’t que el còncau té dues cares que no es poden recolzar sobre una superfície plana. poliedre convex

Aplica

6 ■ Classifica els poliedres convexos i còncaus que hi hagi en

5 ■ Indica quines de les figures següents són poliedres: a)

poliedre còncau

l’exercici anterior. 7 ■ Indica el nombre de cares, arestes i els vèrtexs dels poliedres següents:

3.3

El teorema d’Euler

En un poliedre convex, sigui regular o no, hi ha una relació matemàtica entre el nombre de cares C, arestes A i vèrtex V, coneguda com el teorema d’Euler o fórmula d’Euler, que diu: En tot poliedre simple es compleix que la suma del nombre de cares més el nombre de vèrtexs és igual al nombre d’arestes més 2. C+V=A+2 Exemple 16. Les figures següents representen diversos poliedres convexos. Observa en cada cas el nombre de cares, arestes i vèrtexs, i com es verifica C + V = A + 2.

cares: 5 arestes: 8 vèrtexs: 5 5+5=8+2

cares: 6 arestes: 12 vèrtexs: 8 6 + 8 = 12 + 2

cares: 7 arestes: 15 vèrtexs: 10 7 + 10 = 15 + 2

Com aplicar-ho. Trobar el nombre d’arestes d’un poliedre a partir de les cares Troba el nombre d’arestes d’aquest poliedre format per 2 pentàgons i 5 rectangles. • Primer multiplica el nombre de costats de cada rectangle pel nombre de rectangles del poliedre:

219 Consells Abans de calcular, fes-te un esquema amb els tipus de polígons que formen el poliedre. Vegeu els exercicis

5 · 4 = 20

8, 9 i 10 pàg. 219, 47 pàg. 231.

• Fes el mateix amb els pentàgons: 2 · 5 = 10. • Suma el resultat i divideix-lo per 2 per no comptar una mateixa aresta dues vegades: 20 + 10 = 15 arestes 2

Resol

11 ■■  Comprova si es compleix la fórmula d’Euler en el poliedre còncau següent:

8 ■ Un poliedre està format per cinc rectangles i dos pentàgons. Quantes cares, arestes i vèrtexs té?

12 ■ Dibuixa a la llibreta un poliedre còncau qualsevol i verifica si compleix el teorema

9 ■■ Un dodecaedre és un poliedre format per 12 pentàgons

d'Euler.

regulars. Aplica el teorema d’Euler per trobar el nombre de cares, arestes i vèrtexs.

Raona

10 ■■ Un poliedre està format per 4 triangles, 3 quadrats i 1 he-

13 ■ Et diuen que un poliedre convex consta de 8 cares, 12

xàgon. Compta el nombre d’arestes que té.

vèrtexs i 20 arestes. És possible això?

Els poliedres

Els poliedres regulars 4.1 Recorda

Un poliedre regular o sòlid platònic és un poliedre, les cares del qual són polígons regulars iguals i que formen entre si an-

Concepte de poliedre regular

Un poliedre és regulars si: • Les seves cares són polígons regulars iguals. • A cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares. Només hi ha cinc poliedres regulars, que són els següents: tetraedre

cub o hexaedre

octaedre

Té quatre cares iguals, que són triangles equilàters. A cada vèrtex hi concorren tres triangles.

Té sis cares iguals que són quadrats. A cada vèrtex hi concorren tres quadrats.

Té vuit cares iguals, que són triangles equilàters. A cada vèrtex hi concorren quatre triangles.

gles diedres iguals. Així, totes les seves arestes mesuren igual.

dodecaedre

icosaedre

Té dotze cares, que són pentàgons regulars. A cada vèrtex hi concorren tres pentàgons.

Està format per vint cares, que són triangles equilàters. A cada vèrtex hi concorren cinc triangles.

220

Tots els poliedres regulars verifiquen el teorema d’Euler:

A la natura es poden trobar diversos exemples de poliedres regulars, com per exemple aquests cristalls cúbics de sal.

poliedre

cares

arestes

vèrtexs

tetraedre

cub

octaedre

dodecaedre

icosaedre

Exemple 17. Fixa’t que no és possible formar un poliedre regular les cares del qual siguin polígons amb més de cinc costats. En efecte, cal un mínim de tres polígons per formar un angle poliedre. Si disposes de tres hexàgons regulars adjacents, la suma dels seus angles és de 360º, per tant, no es pot formar cap triedre.

360º

120º

4.2

Desenvolupaments plans dels poliedres regulars

El desenvolupament pla d’un poliedre és un dibuix sobre el pla format per polígons units per les arestes. Doblegant les arestes es pot obtenir el poliedre. Exemple

Alerta Qualsevol polígon convex es pot construir mitjançant el

18. El desenvolupament pla dels poliedres regulars és el següent:

seu desenvolupament pla. En molts, la superfície es pot ta-

tetraedre

llar resseguint algunes arestes i desplegar-lo sobre un pla. En alguns casos més complexos, però, cal tallar per l’interior de les cares.

cub

octaedre

221

dodecaedre

icosaedre

Aplica

16 ■ Comprova si els desenvolupaments plans següents corresponen a un tetraedre, un cub i un octaedre respectivament:

14 ■ Copia els desenvolupaments plans dels poliedres regulars

i construeix-los.

Raona 15 ■ Si unim dos tetraedres per la base, obtenim un poliedre de sis cares, totes triangles equilàters. Explica per què el poliedre obtingut no és un poliedre regular.

Els prismes

Els poliedres

5.1

Els prismes. Elements d’un prisma

Un prisma és un poliedre format per dos polígons iguals i paral·lels, que s’anomenen bases, i per cares laterals, que són paral·lelograms. • L’altura és la distància vertical entre les bases. • Les arestes són els costats dels polígons que el formen. En tenim de dos tipus: els costats de les bases s’anomenen arestes bàsiques, i els costats laterals, arestes laterals.

vèrtex

• Els vèrtexs són els punts en què concorren les arestes. Exemple altura

19. Fixa’t en els diferents elements d’aquest prisma.

5.2

base

Tipus de prismes

aresta lateral

aresta bàsica

Els prismes es classifiquen segons diferents criteris. Exemples 20. Si les cares són paral·lelograms, el prisma rep el nom de paral·lelepípede. Si a més, les cares són rectangles i quadrats, el paral·lelepípede s’anomena ortoedre. Un cub és un ortoedre les cares del qual són quadrades.

222

Recorda L’apotema a d’un polígon regular és el segment que va des del centre del polígon al punt mitjà d’un dels seus costats c. L’àrea A d’un polígon regular és igual al producte del perímetre P per l’apotema dividit per 2. c

paral·lelepípede

ortoedre

cub

21. Totes les cares d’un ortoedre són quadrades o rectangulars, i tots els angles fan 90º; per això també s’anomena prisma recte. Si algunes cares estan formades per un altre tipus de paral·lelogram (rombe o romboedre), és un prisma oblic.

prisma recte

prisma oblic

22. Segons el tipus de polígon de les bases es parla de prismes triangulars, quadrangulars, pentagonals, etc.

n = nombre de costats P ⋅a A= 2 P=n·c

prisma triangular

prisma quadrangular

prisma pentagonal

prisma hexagonal

Prisma regular. Base: quadrat.

Prisma irregular. Base: triangle escalè.

23. Segons si les bases d’un prisma recte són polígons regulars o no, es parla de prismes regulars o bé de prismes irregulars.

5.3

Desenvolupament pla i àrea d’un prisma

El desenvolupament pla d’un prisma recte inclou els dos polígons de la base i els rectangles que formen les cares laterals.

Recorda Les fórmules per calcular les

L’àrea total AT s’obté sumant les àrees de les cares que el formen, considerant que:

àrees A dels principals polí-

• L’àrea lateral AL és la suma de les àrees de cada paral·lelogram que formen les cares laterals.

Rectangle: A = b · h.

gons són: Quadrat: A = c2.

• Aleshores, l’àrea del prisma s’obté sumant l’àrea lateral AL i les àrees de les bases AB, és a dir: AT = AL + 2AB, Exemple 24. Calcula l’àrea d’un ortoedre si la base és un rectangle de dimensions a = 7 cm i b = 5 cm, i l’altura h fa 6 cm.

Romboide: A = b · h. D ·d Rombe: A = . 2 b ·h Triangle: A = . 2 P ·a Polígon regular: A = . 2 B · b h ( ) Trapezi: A = . 2 2 Cercle: A = πr .

L’àrea de la base és AB = a · b → AB = 35 cm2. Les cares laterals estan conformades per dos rectangles de bases de 5 × 6 cm, i dos de 7 × 6. Per tant, tindrem:

6 cm

AL = 2(5 · 6) + 2(7 · 6) = 144 cm2

7 cm

L’àrea total és, per tant:

5 cm

AT = AL + 2AB → AT = 144 + 70 = 214 cm2

5.4

Volum d’un prisma

El volum d’un prisma V s’obté multiplicant l’àrea de la base AB per la seva altura h: V = AB · h Exemple 25. Calcula el volum d’un ortoedre si la base és un rectangle de dimensions a = 7 cm i b = 5 cm, i l’altura h fa 6 cm. Només cal aplicar la fórmula directament: V = AB · h → V = (7 · 5)6 = 210 cm3

Aplica

19 ■■  Un prisma hexagonal regular té un volum de 207,8 cm3. Sabent que l’altura és de 20 cm, calcula l’àrea de la base.

17 ■ Indica el nombre de cares, arestes i vèrtexs dels prismes següents: a) Pentagonal b) Hexagonal c) Heptagonal

Resol

20 ■■ L’àrea total d’un ortoedre és de 108 cm2. Si les dimensions de la base són a = 3 i b = 4 cm, calcula’n el volum. 21 ■■■ Calcula el volum d’un prisma regular hexagonal d’aresta bàsica a = 2 cm i d’altura h = 10 cm.

18 ■ Calcula l’àrea total d’un prisma regular quadrangular d’aresta bàsica a = 10 cm i d’altura h = 5 cm.

223

Els poliedres

Les piràmides 6.1

Una piràmide és un poliedre que consta d’una base poligonal i de cares laterals triangulars. Cal distingir-hi els elements següents:

cúspide o vèrtex aresta lateral

cara

Concepte i elements d’una piràmide

• Arestes. Són els costats dels polígons que formen la piràmide. Es distingeix entre les arestes de la base o arestes bàsiques i les de les cares laterals o arestes laterals. altura

• Vèrtex o cúspide. És el punt d’intersecció de totes les arestes laterals. • Altura. És la distància de la cúspide a la base. Si la base d’una piràmide recta és un polígon regular, la piràmide s’anomena regular, en cas contrari la piràmide s’anomena irregular.

aresta bàsica

base

Un element important en una piràmide regular és l’apotema lateral aL, que és l’altura dels triangles que formen les cares laterals. Exemple 26. Fixa’t com l’altura h i l’apotema lateral aL determinen amb l’apotema de la base aB un triangle rectangle. Coneguts dos dels tres elements, és possible calcular el tercer aplicant el teorema de Pitàgores:

apotema lateral = 5 cm altura

h2 = aB2 + aL2 apotema de la base = 3 cm

h = 32 + 52 → h = 34

224 6.2

Tipus de piràmides

Les piràmides es classifiquen segons diferents criteris. Exemples 27. Les cares laterals d’una piràmide recta són triangles isòsceles o equilàters. Les cares laterals d’una piràmide obliqua són triangles escalens.

piràmide recta

piràmide obliqua

28. Segons el polígon de la base es parla de piràmides triangulars, quadrangulars, pentagonals, etc.

Les famoses piràmides d’Egipte són els exemples més coneguts de piràmides regulars. piràmide triangular

piràmide quadrangular

piràmide pentagonal

6.3

Desenvolupament pla. Àrea i volum d’una piràmide

El desenvolupament pla d’una piràmide recta és semblant al d’un prisma. Consta d’un polígon que és la base, i de diversos triangles adjacents, que són les cares laterals. L’àrea total AT d’una piràmide s’obté a partir del desenvolupament pla, en què AB és l’àrea de la base i AL és l’àrea lateral:

Si no s’indica el contrari, s’assumeix que la base d’una piràmide és quadrada. El tetraedre regular, un dels sòlids platònics, és una piràmide

AT = AB + AL El volum V d’una piràmide és equivalent a la tercera part del volum d’un prisma que tingui la mateixa base AB i la mateixa altura h: V=

Alerta

triangular.

1 A ⋅h 3 B

Exemple 29. Fixa’t que una mateixa piràmide, en aquest cas, pentagonal, pot tenir més d’un desenvolupament pla.

cares laterals base

base

Com aplicar-ho. Calcular l’àrea lateral d’una piràmide

Consells

Calcula l’àrea lateral i el volum d’una piràmide regular de base quadrada, d’aresta bàsica 6 cm i d’altura 4 cm. • Primer cal calcular l’apotema lateral mitjançant el teorema de Pitàgores:

altura = 4 cm

apotema

aL2 = aB2 + h 2 → aL2 = 32 + 42 → → aL = 25 → aL = 5 cm

aresta bàsica = 6 cm

• L’àrea de cada cara lateral és l’àrea d’un triangle de base 4 cm i altura 5 cm: A=

cares laterals

Tingues present que molts problemes sobre poliedres es poden resoldre aplicant el teorema de Pitàgores. Cal que en facis un esquema i que visualitzis els triangles rectangles que conté la figura. Vegeu els exercicis 22 pàg. 225; 75, 76 i 77 pàg. 234.

b ⋅h 4⋅5 →A= → A = 10 cm2 2 2

• Com que hi ha quatre cares, l’àrea lateral total és: AL = 4 · 10 → AL = 40 cm2 • Per calcular el volum, només cal aplicar la fórmula: V=

1 1 AB ⋅ h → V = (6 ⋅ 6) 4 → V = 48 cm3 3 3

Resol

24 ■ La gran piràmide de Keops és una piràmide regular quadrada. La base original de la piràmide mesurava 230,40 m i la

22 ■■ Calcula l’àrea total d’una piràmide regular quadrada d’aresta bàsica aB = 12 cm i altura h = 8 cm.

seva altura era de 146,58 m. Calcula’n el volum.

Raona

23 ■■ L’apotema d’una piràmide regular quadrada mesura 25 cm, i la seva altura, 24 cm. Calcula el volum de la piràmide.

25 ■■ Explica per què no hi ha cap piràmide regular hexagonal les cares de la qual siguin triangles equilàters.

225

Truncament i descomposició de poliedres

Els poliedres

7.1

Concepte de truncament

Donat un poliedre qualsevol, el poliedre truncat és el que s’obté seccionant aquest poliedre per un pla o més. Exemples 30. Si se secciona o s’escapça una piràmide per un pla paral·lel a la base, el poliedre truncat que s’obté s’anomena tronc de piràmide. 31. Un brillant es pot considerar el resultat de truncar un poliedre moltes vegades.

7.2

226 Alerta No necessàriament en trucar un poliedre regular s’ha d’obtenir un poliedre semiregular. Cal que les cares del sòlid resultant siguin dos polígons regulars o més i que en tots els seus vèrtexs concorrin el mateixos polígons. Aquesta condició només la compleixen 13

Els poliedres semiregulars

A partir dels poliedres regulars (tetraedre, cub, octaedre, dodecaedre i icosaedre) es poden obtenir molts més poliedres per truncament, com, per exemple, els anomenats poliedres semiregulars. Un poliedre semiregular és el que té polígons regulars de dos o més tipus com a cares, de tal manera que en tots els seus vèrtexs concorren els mateixos polígons. Els poliedres semiregulars van ser estudiats primer per Arquimedes de Siracusa. En honor seu s’anomenen sòlids arquimedians. Exemples 32. Si es trunca un tetraedre pels vèrtexs s’obté un poliedre que s’anomena tetraedre truncat. Consta de 8 cares: 4 triangles equilàters i 4 hexàgons regulars.

sòlids. El més complex és el dodecaedre xato, que consta de 92 cares: 80 triangles i 12 pentàgons.

33. El cubooctaedre s’obté truncant els vuit vèrtexs d’un cub pel punt mitjà de cada aresta. Consta de 14 cares: 6 quadrats i 8 triangles. 34. El cub truncat s’obté truncant els vuit vèrtexs del cub. Consta de 14 cares: 8 triangles i 6 octàgons.

7.3

Descomposició de poliedres

La descomposició de poliedres és un procediment que s’utilitza per trobar l’àrea o el volum d’un cos format per la unió de dos poliedres o més. Exemples 35. El volum d’un octaedre es pot trobar fàcilment descomponent-lo en dues piràmides. El volum de cada piràmide es calcula amb la fórmula: V=

1 A ⋅h 3 B

Com que el costat del quadrat fa 3 cm, i l’alçada de la piràmide, 3,5 cm, fixa’t que: 1 V = (3 ⋅ 3)3, 5 → V = 10, 5 cm3 3 VT = 2 · 10,5 → VT = 21 cm

A la natura podem trobar poliedres compostos, com per exemple aquests cristalls de quars formats per prismes hexagonals i piràmides de base hexagonal.

36. El volum de la figura següent es pot calcular descomponent-la en una piràmide i un ortoedre:

227

3 dm

5 dm

2 dm

4 dm 3 dm

Volum de l’ortoedre: Vo = 3 · 4 · 2 → Vo = 24 dm3. 1 Volum de la piràmide: Vp = (3 ⋅ 4)3 → Vp = 12 dm3. 3 El volum total s’obté sumant el dels dos cossos que componen la figura: VT = Vo + Vp → VT = 24 + 12 → VT = 36 dm3

Aplica

29 ■■ Calcula l’àrea i el volum de la figura següent:

26 ■■ Comprova el teorema d’Euler per a cadascun dels poliedres truncats següents: a) tetraedre truncat

3 dm

c) cub truncat

b) cubooctaedre

2 dm

27 ■■ Descriu un poliedre que es pugui obtenir truncant un

30 ■■ Calcula l’àrea i el volum de la

octaedre pels vèrtexs.

figura següent:

4 dm

0,5 dm

5 dm

Resol 28 ■■ Calcula el volum d’un octaedre d’aresta a = 5 cm.

2 dm

4 dm

Tot són matemàtiques

De Plató a l’animació 3D Sòlids platònics

Un poliedre és regular si les seves cares són polígons regulars. Hi ha 9 poliedres regulars: 5 són els anomenats sòlids platònics (convexos), i 4 són els sòlids estrellats (còncaus) de Kepler-Poinsot. Els sòlids platònics han estat un tema recurrent en l’art. Actualment els programes informàtics de modelatge tridimensional utilitzen els sòlids platònics i altres poliedres per crear figures amb un aspecte cada cop més realista.

tetraedre

cub

octaedre

dodecaedre

228

icosaedre

Sòlids de Kepler-Poinsot Plató va ser un filòsof grec (427-347 aC), alumne de Sòcrates i mestre d’Aristòtil. Va fundar l’Acadèmia d’Atenes, a l’entrada de la qual un cartell deia: «Que no entri el que no sàpiga geometria». Per Plató, la matemàtica havia d’«elevar l’ànima fins al coneixement del bé», i es tractava d’una ciència imprescindible per a tot art o coneixement. Va descriure els poliedres regulars convexos, que, en honor seu, s’anomenen sòlids platònics.

petit dodecaedre estrellat

gran dodecaedre estrellat

gran icosaedre

gran dodecaedre

Els poliedres

Modelatge tridimensional La informàtica gràfica és una àrea multidisciplinària en què s’apliquen models matemàtics per representar objectes. Permet fer videojocs i pel·lícules d’animació tridimensional. La tècnica es basa en unir petits poliedres per modelar els objectes. Com més poliedres (resolució) hi ha, més detall té l’objecte, la sensació de curvatura és més precisa i s’aconsegueix una imatge més versemblant.

Analitza i investiga 1. Explica qui va ser Plató. Què pensava de les matemàtiques? 2. Els sòlids platònics han estat un motiu tractat sovint pels artistes plàstics al llarg de la història. Busca tres exemples d’obres artístiques en les quals apareguin els sòlids platònics, i fes una breu descripció de cadascuna.

El món 3D

3. Amb la informació i imatges recollides

Com s’obtenen aquests poliedres amb milions de cares? Hi ha dues solucions: Crear un model És el que fan programes com el Blender, en què l’habilitat del dibuixant o l’animador és fonamental.

en l’activitat anterior, confecciona una petita presentació titulada «Els sòlids platònics en l’art». 4. Investiga com es construeixen els sòlids de Kepler-Poinsot. Al lloc web http:// www.korthalsaltes.com pots trobar molts models. Fes-ne un amb cartolina, i decora’l com més t’agradi. 5. Proposta de treball en grup: a) Formeu grups, amb ajuda del professor o professora, i busqueu informació i imatges sobre el procés de realització d’un vi-

Copiar un model de la realitat És com funcionen els sistemes d’informació geogràfica (escanejant el terreny amb un radar), o en els estudis científics i artístics (escanejant objectes amb un làser). Per animar les imatges cal superposar-les, filmar-les i muntar-les. Els cinemes 3D tenen projectors i ulleres especials per obtenir la sensació òptima de profunditat.

deojoc o d’una pel·lícula d’animació que us agradi. Sovint en el món del cinema es fan making off, documentals de com es va fer, que us poden ajudar. Confeccioneu una presentació de diapositives explicant el procés de creació de l’obra escollida. b) Completeu el treball amb una breu reflexió sobre les hores que dediqueu setmanalment a les pel·lícules i els videojocs. Compareu-lo amb el que dediqueu a altres activitats quotidianes. c) Presenteu el treball oralment a classe.

229

Els poliedres

Això és bàsic Volum. Porció d’espai que ocupa un cos. 1 m3 = volum d’un cub d’aresta 1 m. Capacitat. Quantitat de matèria que pot contenir un cos. Es mesura en litres L. Densitat. Quocient entre la massa m d’un cos i el seu volum V. m d= V

volum

capacitat

1 km3 = 1 000 hm3 1 hm3 = 1 000 dam3 1 dam3 = 1 000 m3 1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 1 cm3 = 1 000 mm3

1 kL = 1 000 L 1 hL = 100 L 1 daL = 10 L 1 L = 10 dL 1 dL = 10 cL 1 cL = 10 mL

1 dm3 = 1 L → 1 m3 = 1 000 L Poliedre. Regió de l’espai limitada per polígons. vèrtex

Fórmula d’Euler. Relació entre el

Poliedre convex. Tot segment entre

poliedre còncau

nombre de cares C, arestes A i vèr-

dos punts és completament interior. Poliedre còncau. Cas contrari.

texs V d’un poliedre simple, sense forats. cara

C+V=A+2

aresta

poliedre convex

Poliedres regulars. Les seves cares són polígons regulars iguals i a cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares.

230

tetraedre

cub

octaedre

dodecaedre

icosaedre

Prismes. Poliedres formats per dues bases poligonals iguals i ca-

Piràmides. Poliedres formats per una base poligonal i per cares

res laterals rectangulars. Poden ser rectes o oblics.

laterals triangulars. Poden ser rectes o obliqües.

base

base cares laterals

altura

base prisma recte

cúspide

base altura

base paral·lelepípede

altura

A = 2AB + AL V = AB · h

cares laterals

altura

base prisma oblic

A = 2AB + AL 1 V = AB h 3

base

piràmide recta

piràmide obliqua

Desenvolupament pla. Dibuix sobre el pla format per polígons units per les arestes. Poliedre truncat. És el que s’obté seccionant un poliedre per un pla o més. Descomposició de poliedres. Procediment que s’utilitza per trobar l’àrea o el volum d’un cos format per la unió de dos poliedres o més.

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Trobar el nombre

1. Identifica quins tipus de polígon hi ha iguals i en quin nombre (6 rectangles i 2 hexàgons, 6 quadrats…).

d’arestes d’un

2. Multiplica cada tipus de polígon pel seu nombre i pel nombre de cares que té (6 rectangles i 2 hexà-

poliedre a partir

gons: 6 · 4 = 24 i 2 · 6 = 12).

de les cares

3. Suma el resultat i divideix-lo per 2 → (24 + 12) : 2 = 18.

Calcular l’àrea

1. Fes un esquema del desenvolupament pla del poliedre i identifica els diferents polígons que el formen,

d’un poliedre

com també les mesures conegudes i desconegudes. 2. Calcula l’àrea de cada polígon i suma-les. 3. Tingues en compte que si es tracta d’una piràmide, l’altura de cada triangle es correspon amb l’apotema de les cares laterals aL, i estan relacionades amb l’altura de la piràmide h2 i l’apotema de la base aB pel teorema de Pitàgores: aL2 = aB2 + h 2.

Calcular la capacitat

1. Passa el volum del cos a decímetres cúbics.

en litres d’un cos

2. El factor de conversió de decímetres cúbics a litres és

conegut el seu volum

1L . 1 dm3

40 ■ Calcula el volum en m3 d’un dipòsit que té una capacitat

Volum, capacitat i densitat

de 300 hL.

31 ■ Passa a cm les quantitats següents: 3

a) 235 mm3

b) 4,2 dm3

c) 1,23 m3

32 ■ Expressa en forma complexa els volums següents: a) 23145 dm3

c) 42317,5687 m3

b) 452356 cm3

d) 45,5687912 dam3

33 ■ Expressa en forma incomplexa a la unitat menor: a) 3 m3 1,05 dm3 4 cm3

c) 23 L 40 dL 5 cL

b) 2 dm3 3,45 cm3 2 mm3 d) 42 hL 5 daL 40 L 5 dL 34 ■ Expressa en m3 els volums expressats en forma complexa següents:

41 ■ Un cos de 120 g ocupa un volum de 90 cm3. Calcula’n la densitat. 42 ■■ Dos litres d’un oli determinat tenen una massa de 1,89 kg. Calcula’n la densitat en g/cm3.

Els poliedres

Activitats

43 ■■ La densitat del mercuri és 13,6 g/cm3. Calcula la massa de 0,5 L de mercuri. 44 El volum dels embassaments s’acostuma a expressar en hectòmetres cúbics (hm3). L’embassament de Sau pot contenir aigua fins a un volum de 151 hm3. Quants litres d’aigua hi caben?

a) 0,02 dam3 5m3 452 dm3 b) 4 534 dm3 545 cm3 35 ■ Expressa en litres les següents capacitats expressades en forma complexa: a) 43 daL 5 L 46 dL 5 cL

b) 5 hL 4 daL 5 L 2 dL 5 cL

36 ■ Expressa en forma incomplexa les quantitats següents, a

231

la unitat menor: a) 24 m3 34 dm3 5 cm3 b) 50 hL 45 daL 34 L 37 ■ Una capacitat d’un litre es correspon a un volum

capacitat (L)

volum

1 dm3

de 1 dm3. Copia i completa la taula següent:

1 m3

Elements de la geometria de l’espai 45 ■ Compta els angles diedres dels poliedres següents: a)

0,001 100 cm3 38 ■■ Escriu els factors de conversió per convertir en unitats de capacitat, les unitats de volum següents: a) De metres cúbics a litres. b) De litres a centímetres cúbics. 46 ■ Explica per què no és possible construir un poliedre les

c) De metres cúbics a hectolitres.

cares del qual siguin octàgons regulars. 39 ■■ Perquè un cos no s’enfonsi a l’aigua ha de tenir una densitat més petita que aquesta. Una goma d’esborrar fa 3 cm d’am-

47 ■ Un poliedre està format per 18 quadrats i 8 triangles equi-

plada, 3 de longitud i 1,5 cm d’altura. Si té una massa de 14,5 g,

làters. Quantes cares, arestes i vèrtexs té el poliedre?

surarà? (La densitat de l’aigua és d’1 g/cm ). 3

1,5 cm

Els poliedres 48 ■ Considera un cub qualsevol.

3 cm 3 cm

a) Quantes arestes són paral·leles? b) Quantes s’encreuen?

Els poliedres

49 ■■ Un cub té una aresta d’1 m.

52 ■ Et diuen que un poliedre està format per hexàgons i pen-

a) Calcula la longitud de les diagonals CB i AB.

tàgons regulars. És possible això?

b) Calcula l’àrea del triangle rectangle ABC.

Els poliedres regulars

50 ■■ Indica quina de les figures següents no correspon al desenvolupament pla d’un cub. a)

53 ■ Si s’uneixen dos tetraedres per una de les seves bases, quantes cares, arestes i vèrtexs té el poliedre resultant? 54 ■■ Es volen construir models tridimensionals dels poliedres regulars. Les arestes dels models estan fetes amb filferro. Calcula la longitud de filferro que cal per construir cada poliedre regular si l’aresta ha de fer 5 cm. 55 ■■■ L’àrea total d’un cub és de 150 cm2. Calcula: a) La longitud de la diagonal AB. b) La longitud de la diagonal AC. c) El seu volum.

232

56 ■■■ L’octaedre de la figura s’ha obtingut unint els centres de les cares d’un cub.

Si es fa el mateix amb l’octaedre de la figura, quin poliedre regular s’obtindrà? Justifica la resposta. 57 ■■■ Quan s’uneixen els centres de les cares d’un poliedre regular amb segments rectilinis s’obté un altre poliedre regular anomenat poliedre dual. Per exemple, el poliedre dual d’un cub

51 ■ Copia en un paper el següent desenvolupament pla format per triangles equilàters i digues a quin poliedre correspon.

és un octaedre. Quins són els poliedres duals del tetraedre, el dodecaedre i l’icosaedre? 58 ■■ Fes servir el teorema de Pitàgores per calcular la distància entre els punts PQ de l’octaedre de la figura. La seva aresta mesura 10 cm.

59 ■■ Calcula la quantitat mínima de cartolina que es necessita

67 ■■ Calcula la longitud de

per construir un icosaedre d’aresta 20 cm.

la diagonal PQ de la figura se-

güent. (Ajuda’t del teorema de 6 dm

Pitàgores).

Els prismes 60 ■

 Un prisma recte consta de 10 cares, i les bases són dos

polígons regulars. Indica:

Els poliedres

Activitats

a) El seu nombre d’arestes. b) El seu nombre de vèrtexs.

3 dm

61 ■ Descriu el desenvolupament pla d’un prisma hexagonal.

68 ■■ L’àrea total d’un bric en forma de prisma regular quadrangular és de 170 cm2, i l’aresta bàsica fa 5 cm. Calcula la

62 ■ Tenim un prisma de base quadrada amb una aresta bàsica

capacitat en litres del bric.

de 4 dm i una altura de 5 dm. a) Calcula’n l’àrea total. b) Calcula’n el volum. 63 ■ Un dipòsit ortoèdric té les dimensions següents: a = 2 m, b = 3 m i c = 2,5 m. Calcula la capacitat que té en litres. 64 ■■ Un prisma hexagonal regular té una aresta bàsica de 5 cm

3 dm i una altura de 6 dm.

233

a) Calcula’n l’àrea. b) Calcula’n el volum.

6 dm

3 dm

69 ■■ Un prisma pentagonal regular té una aresta lateral de 65 ■ Un bric de suc té forma de prisma regular quadrat. Té un

10 cm, un volum de 68,8 cm3, i una aresta bàsica de 2 cm. Cal-

volum de 330 cm i la seva aresta bàsica fa 5 cm. Calcula la quan-

cula l’apotema de la base.

titat de material que es necessita per fabricar-lo. 70 ■■ Es vol fer una capsa sense tapa amb un quadrat de cartró de 20 cm de costat. Per fer la capsa es retallen quadrats de 5 cm de costat tal com indica la figura:

5 cm

5 cm 20 cm

66 ■■■ Calcula la distància màxima entre dos vèrtexs d’un prisma quadrangular regular de volum V = 2 dm3, si l’altura del

a) Calcula la capacitat de la capsa.

prisma és de 20 cm. (Ajuda’t del teorema de Pitàgores).

b) Calcula’n l’àrea.

Els poliedres

 La figura següent és una piràmide hexagonal regular

71 ■■ Se secciona un ortoedre per un pla diagonal tal com in-

75 ■■

dica la figura. Calcula l’àrea de la figura resultant.

d’aresta bàsica 6 cm i d’aresta lateral 10 cm. a) Calcula’n l’altura.

6 cm

b) Calcula’n l’àrea de la base. c) Calcula’n el volum.

8 cm

aL = 10 cm

4 cm

72 ■■ La diagonal d’un cub és AB = 9 cm. Calcula AC, CB i el seu volum. aB = 6 cm

76 ■■ Calcula l’àrea d’una piràmide quadrangular regular si la

seva aresta bàsica és de 4 cm i les cares laterals són triangles B

equilàters. 77 ■■ Un tetraedre es pot considerar una piràmide regular de

base triangular. Calcula l’àrea d’un tetraedre que té una aresta de 10 cm.

234 Les piràmides

78 ■■ El volum d’una piràmide regular de base quadrada és de 120 cm3, i fa 10 cm d’altura. Calcula:

73 ■ Observa el desenvolupament pla d’una piràmide regular

a) L’aresta bàsica.

pentagonal:

b) L’apotema de cada cara lateral. c) L’aresta lateral.

h = 10 cm

V = 120 cm3

Seguint el patró anterior, dibuixa els desenvolupaments plans de: a) Una piràmide regular quadrangular.

79 ■■ Un tetraedre té una aresta de 10 cm. Calcula’n el volum

b) Una piràmide regular hexagonal.

aplicant el teorema de Pitàgores.

74 ■ Ens diuen que la figura següent correspon a una piràmide regular hexagonal. És possible? a H 2 h 3 a

84 ■■ Si se secciona un tetraedre pel punt mitjà de cada aresta,

Truncament i descomposició de poliedres

quin poliedre s’obté?

80 ■ Fixa’t en el poliedre següent i calcula: a) El seu volum. b) La seva àrea. 3 dm

Els poliedres

Activitats

1 dm 3 dm

2 dm

81 ■■ Les diagonals d’un cub es tallen en un punt que n’és el 85 ■■ Se secciona un cub pel punt mitjà de tres arestes tal com

centre. a) Quantes piràmides se’ns determinen?

pots veure a la figura següent. Si el cub té una aresta de 10 cm,

b) Si l’aresta del cub mesura 6 cm, troba el volum de

quina és l’àrea del triangle ABC?

cada piràmide. c) Si l’aresta del cub és a, troba l’expressió del volum de

cada piràmide en funció de l’altura. A

235 82 ■■ Calcula el volum dels poliedres següents descomponentlos, si cal, en poliedres més senzills: a)

86 ■■ L’octaedre truncat s’obté seccionant els sis vèrtexs d’un octaedre.

c) 2 dm

a = 8 cm 5 cm

a = 8 cm

1 dm 4 dm

8,16 cm 1 dm

Consta de 14 cares, 8 hexàgons i 6 quadrats. a) Indica el nombre d’arestes. 83 ■■■ Un tronc de piràmide s’obté seccionant una piràmide per un pla paral·lel a la base. Tenim una piràmide de base quadrada d’aresta bàsica a = 10 cm i d’altura h = 12 cm. Calcula el volum del tronc de piràmide que s’obté seccionant-la per un pla a la meitat de la seva altura.

h = 12 cm

a = 10 cm

b) Indica el nombre de vèrtexs. 87 ■■ L’icosaedre truncat ens recorda una pilota de futbol. Consta de 32 cares, 20 hexàgons i 12 pentàgons. Compta’n les arestes i els vèrtexs.

Els poliedres

Repte 88 ■■■ Suposa que trunques un cub de manera que obtens

91 ■■■ El cub de soma és un trencaclosques inventat pel danès

un poliedre amb 6 cares octogonals i 8 de triangulars. Compro-

Piet Hein l’any 1936. Consta de 7 cossos que es poden acoblar

va si aquest poliedre compleix la relació d’Euler.

formant un cub de 3 × 3 × 3, com mostra la figura següent:

89 ■■■ Un perfumista encarrega a un artesà un flascó especial per posar-hi un perfum exclusiu. Dóna aquestes instruccions a l’artesà: «Vull que el cos del flascó tingui la forma de dues piràmides quadrangulars truncades unides per la base menor. El volum total d’aquest cos ha de ser 100 cm3. L’aresta de la base major de cada piràmide ha de tenir 5 cm de longitud i la de la base menor només 3 cm». Fes un esquema a la llibreta i calcula quina serà l’altura del cos del flascó. No tinguis en compte el

Pots construir tu mateix les peces a partir de 27 cubs iguals (poden ser daus, per exemple) i cola adhesiva. Amb aquestes peces es poden construir molts cossos diferents. Un és aquest, que podríem anomenar la banyera.

cilindre on s’acobla el tap.

90 ■■■ Calcula la capacitat del flascó del problema anterior considerant que el gruix del vidre és de 2 mm. Com en el problema anterior, no tinguis en compte el cilindre on s’acobla el tap.

Imagina que construeixes el cub i el pintes de color blau i que després separes les peces i fas la banyera. Si totes les cares blaves quedessin a l’exterior, quina proporció de la superfície de la

236

banyera seria blava?

Autoavaluació Sé calcular volums, capacitats i densitats? 1. Calcula la capacitat en litres d’un recipient que té un volum de 300 cm3.

8. Un cub i un tetraedre tenen la mateixa superfície. Si l’aresta del tetraedre fa 10 cm, calcula l’aresta del cub. 9. Tenim un cub d’aresta 20 cm. Calcula l’àrea del triangle ABC.

2. El dipòsit de benzina d’un automòbil té una capacitat de

55 L. Troba el volum d’aquest dipòsit en metres cúbics. 20 cm

3. Tenim una mostra de roca de 14 g i la submergim en una proveta graduada que conté 50 cm d’aigua. En submergir-la, 3

l’aigua ascendeix fins a la marca dels 55,6 cm3. Calcula: a) El volum en cm3 de la mostra de roca.

C B

b) La seva densitat en kg/m3. Reconec les característiques dels poliedres? 4. Pot existir un poliedre amb 9 cares, 21 arestes i 12 vèrtexs? 5. Un poliedre té cinc arestes més que vèrtexs. Quantes cares

10. Un prisma de base quadrada té una aresta bàsica de 4 cm. Si l’àrea total del prisma és de 112 cm2, calcula’n el volum. 11. Calcula el volum del poliedre de la figura:

té? Si una de les cares és un hexàgon i la resta són triangles, calcula el nombre d’arestes i de vèrtexs. 10 cm

Sé calcular àrees i volums de poliedres?

8 cm

6. Calcula l’àrea total d’una piràmide regular quadrada d’aresta bàsica aB = 15 cm i altura h = 20 cm. 7. L’apotema d’una piràmide regular quadrada mesura 50 cm, i la seva altura, 100 cm. Calcula’n el volum.

18 cm 8 cm

Els sòlids platònics Només existeixen cinc poliedres formats per polígons regulars iguals: són els anomenats sòlids platònics. Tenen una gran importància matemàtica i històrica. Van fascinar els grecs antics i Timeu de Locri, al segle

aC, els va fer servir per descriure el món: «El foc està format

tetraedre

cub

per tetraedres; l’aire per octaedres; l’aigua per icosaedres; la terra per cubs i, com que encara és possible una altra forma, Déu ha utilitzat el

Els poliedres

Competències que sumen

dodecaedre

dodecaedre pentagonal perquè serveixi de límit al món».

octaedre

icosaedre

1. A la Sara li han regalat un estoig amb els cinc sòlids platònics. Ha fet una taula per trobar alguna relació entre el nombre de cares C, el nombre de vèrtexs V i el nombre d’arestes A. Ajuda la Sara i completa la taula següent a la llibreta: poliedre

cares C

tetraedre

cub

vèrtexs V

arestes A 6

octaedre

dodecaedre icosaedre

237

2. La Sara creu que ha trobat una relació entre el nombre de cares C, el nombre de vèrtexs V i el nombre d’arestes A: 2C + 2 = V + A De totes maneres, la Clara, la seva amiga, creu que la Sara està equivocada i que la relació correcta és: C+V=A+2 Raona qui té raó. 3. Després de fer moltes comprovacions, la Clara i la Sara han trobat una relació entre cares, arestes i vèrtexs que es verifica per als cinc sòlids platònics. Ara, però, volen provar-ho amb més poliedres. Dibuixa a la llibreta un poliedre diferent dels cinc anteriors i digues quantes cares, arestes i vèrtexs té. 4. La Sara vol construir algun dels sòlids platònics. Ha pensat a fer primer el cub. La Clara li ha dibuixat quatre plantilles o desenvolupaments plans. Indica quina o quines creus que li seran útils per construir un cub, de manera que una vegada tallada la plantilla només s’hagi de doblegar i enganxar. a)

5. Un cop construït el cub, la Sara vol construir un tetraedre. A partir d’un triangle equilàter, descriu com ha de ser el desenvolupament pla. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Els cossos de revolució Tot allò circular gira fàcilment

Quan un punt gira en un pla al voltant d’un altre punt, sempre a la mateixa distància, apareix una corba anomenada circumferència. Aquesta distància que sempre es manté igual es diu radi. La circumferència és una figura rodona, però no totes les figures rodones són circumferències.

238

Quan la circumferència gira al voltant de qualsevol dels seus diàmetres es crea un cos tridimensional: l’esfera. L’esfera és buida, només té superfície i tots els seus punts equidisten del centre. La distància que els separa del centre també es diu radi. En omplir la circumferència s’obté el cercle. En omplir l’esfera s’obté la bola. La diferència entre tots dos cossos és clara. La circumferència és un anell en què tots els punts es troben a la mateixa distància del centre; el cercle és un disc en què tots els punts es troben a una distància igual o inferior al radi. En fer girar un segment al voltant d’un altre, cada punt del segment que gira traça una circumferència al voltant del segment que roman fix. El radi d’aquesta circumferència serà més gran o més petit segons l’angle que formin tots dos segments. Si són paral·lels, el gir crearà un tub de gruix constant anomenat cilindre. El gruix o diàmetre d’aquest cilindre serà el doble de la distància entre els dos segments. Si els segments no són paral·lels, el resultat és un cucurutxo en cas que l’extrem del segment que gira sigui a sobre del fix; un tros de cucurutxo si no es toquen; o un diàbolo si els dos segments es tallen. Però el con no només es pot crear així, fent girar un segment al voltant d’un altre anomenat eix del gir. Imagina que tenim un disc tou i elàstic damunt d’una taula i que n’assenyalem el centre. Aquest disc està enganxat a la taula en tota la seva perifèria, és a dir, la

seva circumferència. Ara pessiguem el disc pel centre i, amb molt de compte l’anem estirant cap amunt. La resta del disc es tensa a mesura que la muntanya guanya altura, però no es desenganxa de la taula. En parar d’estirar cap amunt haurem creat un con, però de manera diferent de com ho havíem fet abans.

Analitza i resol

L’ús del con en el món laboral i industrial és molt corrent. La imatge mostra l’ús fonamental que té un cos de revolució anomenat con truncat en un molí. El cereal es mol fent girar el con truncat al voltant de l’eix de l’enginy. El gir de la peça es produeix sobre un cilindre, ja que el tronc de con que roda sobre la seva generatriu descriu un moviment circular de radi igual a aquesta.

coberta d’un quadern al voltant de les anelles del llom.

1. Explica quina diferència hi ha entre: a) Circumferència i cercle. b) Esfera i bola. 2. Digues quin cos de revolució es genera en fer girar la

3. Posa exemples d’objectes quotidians que siguin cossos de revolució. 4. Relaciona el cos de revolució amb l’empremta que deixa en fer-lo rodar damunt d’una superfície plana:

Un cos de revolució es podria dir també cos rodant, ja que almenys una de les seves cares és circular i es pot fer rodar. Plens o buits, els cossos de revolució principals són tres: el cilindre, el con i l’esfera. Després n’hi ha d’altres, com el tronc de con, que ja has vist, que s’obtenen tallant o combinant aquests o parts seves.

a) semiesfera

A) cercle

b) esfera

B) recta

c) cilindre

C) anell circular

d) con

D) segment

e) tronc de con

E) rectangle

5. En un cos de revolució, considera com a cares i arestes tant les cares circulars com les arestes circulars. Copia i completa la taula següent per tal d’esbrinar si verifiquen la fórmula d’Euler, segons la qual C + V = A + 2. cos de revolució

cares (C)

vèrtex (V)

arestes (A)

semiesfera esfera cilindre con tronc de con

Índex

Competències bàsiques

1. Concepte de cos de revolució

Matemàtica. Reconeixement dels elements i propietats dels cossos de revolució. Comunicativa lingüística i audiovisual. Representació dels elements dels cossos de revolució. Aprendre a aprendre. Aplicació de mètodes de resolució de problemes. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics.

2. El cilindre 3. El con 4. El tronc de con 5. L’esfera

239

Els cossos de revolució

Concepte de cos de revolució 1.1 Recorda

Un cos de revolució s’obté fent girar una figura al voltant d’un

Poliedres i cossos de revolució

Aquesta unitat s’ocupa dels cossos geomètrics que no són poliedres, en particular dels anomenats cossos de revolució. Un cos de revolució és el que s’obté fent girar una figura plana al voltant d’un eix. Els cossos de revolució principals són el cilindre, el con i l’esfera. Exemples

eix.

1. En aquesta il·lustració s’han representat diverses figures geomètriques. Es poden distingir alguns poliedres (figures 1 i 2) i altres cossos geomètrics que genèricament s’anomenen cossos rodons (3, 4, 5 i 6). La figura 3 és un cilindre; la 4, un con, i la 5, una esfera.

fig. 1

240

fig. 3

fig. 2

fig. 4

fig. 5

fig. 6

2. La figura de la dreta s’obté a partir d’un rectangle. Fent girar el rectangle 180º al voltant d’un eix paral·lel a un dels seus costats s’obté mig anell.

eix de rotació

1.2

Plans de simetria en un cos de revolució Tots els cossos de revolució s’obtenen a partir d’una figura plana i d’un eix de rotació. Qualsevol pla que contingui l’eix de rotació és un pla de simetria del cos. Un cos de revolució té, doncs, infinits plans de simetria. Exemple eix de rotació

3. La figura ens mostra alguns plans de simetria d’un cilindre i d’un con.

plans de simetria

El cilindre

2.1

Concepte de cilindre

El cilindre és el cos de revolució que s’obté fent girar 360º un rectangle al voltant d’un dels seus costats.

generatriu eix de rotació

La generatriu és el costat del rectangle paral·lel a l’eix de rotació. Exemple 4. Les imatges següents mostren diferents objectes cilíndrics o gairebé cilíndrics, com ara unes sitges, una llauna de refresc, espelmes o troncs.

2.2

Àrea i volum d’un cilindre eix de rotació

Un cilindre consta de dues bases circulars i d’una cara lateral rectangular, que forma la generatriu quan gira al voltant de l’eix.

base

altura

El radi r del cilindre és el radi de les dues bases i l’altura h és la distància entre les bases. Àrea de cada base

Àrea lateral

AB = πr2

AL = L · h → AL = 2πr · h

radi base

A = 2AB + AL → 2πr2 + 2πr · h → A = 2πr(r + h)

El volum V del cilindre és el producte de l’àrea de la base per l’altura: V = AB · h → V = πr2 · h Exemple

radi

L = 2πr

5. Per calcular l’àrea i el volum d’una espelma amb un radi de 2 cm i 20 cm d’altura, només cal aplicar les fórmules:

altura

L’àrea A és la suma de l’àrea de les dues bases AB i la de l’àrea lateral.

radi

Àrea: A = 2πr(r + h) → A = 2 · 3,14 · 20(20 + 2) → A = 2 763,2 cm2. Volum: V = πr 2 · h → 3,14 · 22 · 20 → V = 251,2 cm2.

Aplica

Resol

1 ■ Indica quines de les figures següents són cossos de revolució.

2 ■ Calcula l’àrea i el volum d’un cilindre de radi r = 5 cm

i d’altura h = 10 cm. 3 ■■ Una llauna de refresc cilíndrica té un volum de 330 cm3 i una altura d’11,5 cm. a) Calcula’n el diàmetre. b) Calcula’n l’àrea.

241

Els cossos de revolució

El con 3.1

Concepte de con

El con és el cos de revolució que s’obté fent girar 360º un triangle rectangle al voltant d’un dels seus catets.

generatriu eix de rotació

La generatriu correspon a la hipotenusa del triangle rectangle. Exemple 6. En les imatges següents hi ha diferents objectes cònics o gairebé cònics, com ara una galeta de gelat, uns cons de senyalització o un tipi.

242

3.2

Desenvolupament pla d’un con

Un con consta d’una base circular i d’una cara lateral, que és un sector circular. Aquest sector equival a la superfície que forma la generatriu en girar al voltant de l’eix. El vèrtex del con és la intersecció entre la generatriu i l’eix de rotació. El radi del con és el radi de la base r i coincideix amb un catet del triangle rectangle.

Alerta

El radi del sector circular és igual a la generatriu del con g.

El con es genera a partir d’un

La longitud de l’arc és igual al perímetre L de la circumferència base.

triangle rectangle. En molts problemes es pot aplicar el teorema vèrtex

de Pitàgores per trobar el radi de la base r, l’alçada h o la ge-

longitud de l’arc: 2πr

generatriu

neratriu g. c2 = a2 + b2

altura radi: r

g=c

h=a

r=b

base

radi

radi del sector circular = generatriu

eix de rotació

g2 = r2 + h2

Exemple 7. Troba la generatriu g i el perímetre L de la base d’un con de radi r = 4,5 cm i altura h = 6 cm. Generatriu: g 2 = r 2 + h 2 → g 2 = 4, 52 + 62 → g 2 = 56, 25 → g = 56, 25 = 7, 5 cm. Perímetre de la base: L = 2πr → L = 2 · 3,14 · 4,5 → L = 28,26 cm.

3.3

Àrea d’un con

L’àrea A d’un con s’obté sumant l’àrea de la base AB i l’àrea lateral AL , és a dir, l’àrea del sector circular AS. Per trobar l’expressió de l’àrea d’un sector circular en funció del seu radi r i de la longitud del seu arc L, cal combinar dues expressions:

i la longitud de l’arc és igual a la circumferència de la base. La manera de calcular la gene-

• Longitud d’un arc d’amplitud α i radi r : α L= πr 180

ratriu segons l’alçada h i el radi

r és:

g = h2 + r 2 L’amplitud α del sector circular

• Combinant les dues expressions, s’obté: AS =

Un sector circular està delimitat per dues generatrius g,

• Àrea d’un sector circular AS d’amplitud α i radi r : α AS = πr 2 360

Recorda

L ⋅r 2

longitud de l’arc: 2πr

és: α = 360

r g

àrea lateral: AL radi: r radi del sector circular = generatriu àrea de la base: AB

243

• L’àrea de la base AB és l’àrea d’un cercle de radi r: AB = πr2. • L’àrea lateral AL és l’àrea d’un sector circular d’arc igual al perímetre de la base i de radi 2 πr ⋅ g igual a la generatriu del con, per tant: AL = = πr ⋅ g . 2 A = AB + AL → A = πr2 + πr · g → A = πr (r + g) Exemple 8. Calcula l’àrea d’un con de radi r = 5 cm i altura h =12 cm. altura h = 12

Primer cal calcular la generatriu aplicant el teorema de Pitàgores: g 2 = r 2 + h 2 → g 2 = 25 + 144 → g 2 = 169 → g = 169 = 13 cm Ara, només cal aplicar la fórmula: A = πr(r + g) → A = 3,14 · 5(5 + 13) → A = 282,6 cm2

radi r = 5

Resol

8 ■ Calcula l’àrea d’un con de r = 3 dm i g = 5 dm.

4 ■ Calcula la generatriu d’un con de 6 cm de radi i 8 cm

9 ■■ L’àrea lateral d’un con que té un radi de 5 cm és de

d’altura.

188,5 cm2. a) Calcula la generatriu.

5 ■ La generatriu d’un con mesura 15 cm i l’altura, 12 cm. Cal-

b) Calcula l’altura.

cula el radi de la base. 10 ■■ Calcula l’àrea total d’un con de generatriu g = 15 cm 6 ■■ L’àrea de la base d’un con és de 28,26 cm2, i la seva altu-

i altura h = 12 cm.

ra, de 4 cm. Calcula la generatriu. 11 ■■ Es vol fer un barret cònic. Si el perímetre de la base és 7 ■ Calcula l’àrea lateral d’un con de radi r = 7 cm i d’altura

de 60 cm i l’altura és de 30 cm, calcula la quantitat de material

h = 24 cm.

que cal.

Els cossos de revolució

Amb la calculadora

3.4

Volum del con

El volum V d’un con de radi r i altura h s’obté aplicant la fórmula V =

1 AB ⋅ h . 3

Com que AB = πr2 és l’àrea de la base, per tant: 1 V = π r2 ·h 3

En la majoria de problemes s’aproxima el nombre p a les

Exemple

dues primeres xifres decimals.

9. Per calcular el volum d’un con de radi r = 5 cm i altura h = 12 cm, només cal aplicar la fórmula: 1 1 1 V = AB ⋅ h → V = π r 2 ⋅ h → V = 3,14 ⋅ 52 ⋅ 12 → 3 3 3 → V = 314 cm3

p = 3,14 Pensa que si fas servir una calculadora amb la tecla p , aquesta pot tenir 6 decimals o més, i el resultat final pot ser di-

h = 12 cm

r = 5 cm

ferent. Fixa’t en aquest cas, en què r = 4 cm.

3.5

AB = πr2 4 x2

⋅

1 4 =

50.24 p = 50.26

4 x 2

Comparació de cilindres i cons amb prismes i piràmides

244

El volum d’un prisma es calcula a partir de la fórmula V = AB · h, i pel que fa al volum 1 d’una piràmide, V = AB ⋅ h . 3 Fixa’t que el volum d’un cilindre es correspon amb el volum d’un prisma, mentre que el volum d’un con es correspon amb el volum d’una piràmide: Poliedre

Cos de revolució

prisma

cilindre

V = AB · h

V = AB · h AB = πr2

altura

base

radi altura

base

piràmide V=

con

1 A ⋅h 3 B

1 A ⋅h 3 B AB = πr2

altura

V= altura base

radi

Resol

base

14 ■■ Calcula el volum d’un con de generatriu g = 5 dm si la seva base té un diàmetre de 6 dm.

12 ■■ Fes: a) Dibuixa el desenvolupament pla d’un con de 5 cm de

15 ■■ Un cilindre té un radi de 6 cm i una altura de 12 cm.

radi i de 8 cm de generatriu.

Calcula l’aresta bàsica d’un prisma de base quadrada d’altura

b) Calcula’n l’àrea lateral.

12 cm que tingui el mateix volum que el cilindre.

c) Calcula’n l’àrea total. d) Calcula’n el volum.

16 ■■ Un con té un radi de 9 cm i una altura de 12 cm. Calcula l’aresta bàsica d’un prisma regular quadrangular que tingui la

13 ■ Calcula el volum d’un con de radi 6 cm i d’altura 8 cm.

mateixa altura i el mateix volum.

El tronc de con

Quan se secciona un con per un pla paral·lel a la seva base s’obté un cos anomenat tronc de con. També es pot considerar que el tronc de con és la figura de revolució que s’obté fent girar 360º un trapezi rectangle al voltant de la seva altura. Els elements que cal considerar en un tronc de con són:

con sobrant

• Dues bases, anomenades major i menor, amb cercles de radis respectius R i r.

base major: 2πR

• L’altura h, que és la distància entre les dues bases.

base menor: 2πr

• La generatriu g, que és el costat oposat a l’altura del trapezi.

• El desenvolupament pla del tronc de con consta R de dos cercles, que són les dues bases. La cara lateral és una figura que s’anomena trapezi circular, que forma la generatriu quan gira al voltant de l’eix.

L’àrea i el volum del tronc de con es calculen restant les àrees i els volums del con total i del con sobrant. Exemple 10. En les imatges següents hi ha diferents objectes en forma de tronc de con, o gairebé, com ara un cubell, vasos, o la pantalla d’una làmpada.

245

Com aplicar-ho. Calcular el volum d’un tronc de con A 4 cm C’ 12 cm

• Primer cal calcular el radi de la base menor r. Tenint en compte que els triangles ABC i AB’C’ són semblants:

B’

8 cm

Calcula el volum del tronc de con que s’obté en seccionar un con d’altura h = 12 cm i de radi de la base R = 6 cm per un pla horitzontal situat a 8 cm de la base.

Consells

6 cm

Recorda que dos triangles rectan gles amb un an gle comú són semblants.

volum con

volum con sobrant

Resol

C’

B’ AC CB AB —– = —– = —– AC’ CB’ AB’

AC BC 12 6 24 = → = → 12r = 24 → r = → r = 2 cm AC ′ B ′C ′ 4 r 12 • L’altura del con sobrant és 12 – 8 = 4 cm. Per tant, el volum del tronc serà: 1 1 1 1 V = πR 2 ⋅ h1 − πr 2 ⋅ h2 → V = π ⋅ 62 · 12 − π ⋅ 22 ⋅ 4 = 435, 41 cm3 3 3 3 3

Vegeu els exercicis 17, 18 i 19 pàg. 245; 53 i 54 pàg. 253.

18 ■ Calcula el volum del tronc de con de dimensions r = 3 m, R = 4,5 m, h1 = 6 m i h2 = 4 m.

17 ■■ Se secciona un con que té un radi R de 7 dm i una altura h de 16 dm per un pla paral·lel a 10 dm de la base.

19 ■■ Calcula el volum del tronc de con que s’obté quan se

a) Calcula l’àrea de la base menor del tronc resultant.

secciona un con de R = 7 cm i d’altura h = 16 cm per un pla

b) Calcula l’àrea del con sobrant.

paral·lel a 10 cm de la base.

c) Calcula el volum del con sobrant. d) Calcula el volum del tronc de con.

Els cossos de revolució

L’esfera 5.1

semicercle

Concepte d’esfera i elements principals L’esfera és el cos de revolució generat per un semicercle quan efectua un gir de 360º al voltant del seu diàmetre.

eix de rotació diàmetre centre

centre

radi

Tots els punts de la superfície d’una esfera equidisten d’un punt anomenat centre. La distància d’un punt qualsevol de la superfície esfèrica al centre és el radi de l’esfera. El segment que uneix dos punts de la superfície passant pel centre és el diàmetre de l’esfera. La longitud del diàmetre és el doble que la longitud del radi. Qualsevol diàmetre de l’esfera es pot considerar com a eix de rotació.

A diferència del cilindre i el con, l’esfera és un cos de revolució que no té desenvolupament pla. Això fa que les fórmules de l’àrea i el volum d’una esfera no es puguin justificar fàcilment. Exemple 11. En les imatges següents pots observar diferents objectes esfèrics, com ara unes bales, una pilota, la Lluna o unes síndries.

246

5.2 Alerta Cal no confondre esfera i superfície esfèrica. Quan es parla d’esfera es fa referència a tot el cos. Quan es parla de superfície esfèrica es fa referència a la superfície que la limita.

Seccions d’una esfera

En seccionar una esfera per un pla s’obté una circumferència i un cercle. Si el pla passa pel centre, el cercle s’anomena cercle màxim, en cas contrari, és un cercle menor. La circumferència corresponent a un cercle màxim s’anomena circumferència màxima. Donat un cercle màxim qualsevol, un diàmetre perpendicular a aquest cercle determina dos punts P i P’ sobre la superfície esfèrica. Aquests punts són els pols corresponents al cercle màxim.

cercle menor

centre cercle màxim

P’

circumferència màxima

Exemple 12. La Terra és gairebé esfèrica. L’eix de rotació de la Terra està lleugerament inclinat. El cercle màxim perpendicular a l’eix de rotació es correspon amb la línia imaginària de l’equador. Els paral·lels són línies imaginàries que es corresponen amb els cercles menors perpendiculars a l’eix de rotació de la Terra. Els meridians són les línies imaginàries corresponents als cercles màxims que contenen l’eix de rotació.

pol Nord

paral·lel

equador

paral·lel meridià

pol Sud

5.3

Figures esfèriques

Seccionant una esfera per un pla o més, s’obtenen diverses figures esfèriques, les més importants de les quals són les següents:

plans secants paral·lels

Recorda zona esfèrica

• Hemisferi. Cadascuna de les parts iguals en què un cercle màxim divideix una esfera.

Els paral·lels principals determinen les zones climàtiques de la Terra, que són zones

• Casquet esfèric. Cadascuna de les parts en què queda dividida una esfera quan se secciona per un pla.

esfèriques.

• Zona esfèrica. Part de la superfície esfèrica compresa entre dos plans paral·lels. Exemple 13. L’equador divideix la Terra en dos hemisferis, l’hemisferi Nord i l’hemisferi Sud.

casquet esfèric pla secant

hemisferis

Els casquets polars de la Terra queden al nord i al sud, respectivament dels cercles polars Àrtic i Antàrtic. Són casquets esfèrics. La zona temperada nord de la Terra és la zona esfèrica limitada pel Tròpic de Càncer i el Cercle Polar Àrtic.

5.4

Àrea i volum d’una esfera

No hi ha un procediment senzill per deduir les fórmules de l’àrea d’una superfície esfèrica, ni tampoc per al volum. Per tant, ens limitarem a donar-ne l’expressió deixant la deducció per a cursos posteriors. Àrea d’una superfície esfèrica: A = 4πr2.

Volum d’una esfera: V =

4 3 πr . 3

Exemple 14. Tenim una pilota el radi de la qual fa 2 dm. Per calcular l’àrea de la superfície esfèrica i el volum que ocupa, només cal aplicar les fórmules: Àrea: A = 4πr2 → A = 4 · 3,14 · 4 → A = 50,24 dm2. 4 4 ⋅ 3, 14 ⋅ 8 → V = 33, 49 dm3 . Volum: V = πr 3 → V = 3 3

Resol

23 ■ Calcula la capacitat en litres d’una esfera de 15 cm de radi.

20 ■ El radi d’una esfera és de 10 cm. Troba el perímetre d’una

24 ■■ Una esfera té una superfície de 450 cm2. Calcula’n el

circumferència màxima d’aquesta esfera.

volum.

21 ■ Calcula l’àrea d’una superfície esfèrica de radi r = 12 cm.

Raona

22 ■ Un dipòsit de gas té forma esfèrica. Si el seu radi és de

25 ■ El radi de la Terra és d’uns 6 400 km. Raona si poden exis-

14 m, calcula’n el volum i la quantitat de material que cal per

tir dos punts sobre la Terra situats a 50 000 km de distància l’un

fabricar-lo.

de l’altre.

247

Tot són matemàtiques

Porta l’hàbit de l’ordre franciscà, en el qual va ingressar el 1472, quan gairebé ja tenia trenta anys.

cioli El retrat enigmàtic de Luca Pa5-1 517),

rica Assenyala una construcció geomèt el it escr ha hi en un pissarrí. Al marge nom «Euclides».

ioli (c. 144 El retrat del matemàtic Luca Pac nal de Capodimonte que es conserva al Museu Nacio reproduït en els llibres (Nàpols, Itàlia), és el quadre més és el primer retrat d’història de la matemàtica, ja que obstant això, tant la d’un matemàtic de prestigi. No jove que acompanya identitat del pintor, com la del Pacioli, són un misteri.

és L’objecte més estrany del quadre un e, un rombicuboctaedre de vidr s, 18 care 26 per at form dià ime sòlid arqu mig quadrats i 8 triangles equilàters. Està pintor ple d’aigua, fet que va permetre al crear un joc de reflexos i refracció.

248

na ProportiEl 1509 Pacioli va publicar De Divi i amb 60 Vinc one, il·lustrada per Leonardo da tment, ren dibuixos de sòlids geomètrics. Apa conedes ra el rombicuboctaedre era una figu dre. qua del guda en el moment de l’execució

Còpia del llibre xiii dels Elements d’Euclides.

Inicials de Luca Pacioli. Se sospita que es tracta de la seva obra Summa di Arithmetica, Geometrica, Proportione et Proportionalita (1494), la primera enciclopèdia de matemàtiques impresa de la història.

Pacioli va ser un mestre itinerant de matemàtiques. Per aquest a condició, alguns crítics d’art, han denominat el jove desconegut l’etern est udiant. Altres crítics opinen que es tra cta del seu senyor de torn: el duc Gu idobaldo da Montefeltro (1472-1508). Pacioli es va relacionar amb grans artistes i matemàtics. Altres autors han suggerit que podria ser el pintor Alb recht Dürer (1471-1528).

Els cossos de revolució

Targeta amb la inscripció «IACO. BAR. VIGENNIS. P. 1495». S’interpreta com la signatura del pintor Jacobo de Barbari (1440-1515), al qual s’associa l’autoria.

Analitza i investiga 1. Investiga per què Luca Pacioli és important en la història de la matemàtica i redacta un petit resum. 2. Investiga què són els sòlids arquimedians i quants n’hi ha. 3. Cerca a Internet les làmines dibuixades per Leonardo da Vinci a De Divina Proportione i fes un mural amb els companys.

El 1496 Pacioli es va traslla dar a Milà, convidat a la cort de Ludovi co Sforza, on va fer amistat amb Leo nardo da Vinci (1452-1519). La tes i més controvertida és que tant el pintor com l’alumne eren una sola per sona: el polifacètic Leonardo.

4. Argumenta la possibilitat que el quadre pugui tenir més d’un autor. 5. Podria ser que la solució de les preguntes següents revelés la identitat secreta del creador i del personatge misteriós del quadre: a) Cerca el significat de la paraula vigennis que surt a la inscripció.

foc

aire

terra

quinta essència

aigua

b) Investiga per què el pintor va dibuixar

Dodecaedre de fusta, el cinquè sòlid platònic, al qual la teoria dels elements assignava la quinta essència o èter, la substància de què els antics creien que estava fet l’Univers.

una mosca sobre l’últim dígit de 1495.

249

Els cossos de revolució

Això és bàsic Un cos de revolució és el que s’obté fent girar una figura plana al voltant d’un eix. Cilindre obtenció

desenvolupament pla

àrea i volum A = 2πr2 + 2πr · h

eix de rotació

generatriu

radi

àrea de les bases

àrea lateral

V = πr2 · h

altura L = 2π r

radi

Con obtenció

desenvolupament pla

àrea i volum

longitud de l’arc: 2πr generatriu

A = πr2 + πr · g àrea de les bases

eix de rotació radi: r

250

àrea lateral

1 V = πr 2 ⋅ h 3

radi del sector circular = generatriu

Esfera obtenció

elements

àrea i volum A = 4πr2

semicercle

centre

eix de rotació

cercle menor

diàmetre

centre radi

radi

generació i elements d’una esfera

4 3 πr 3

centre

radi

cercle màxim

P’ circumferència

màxima

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Calcular l’àrea d’un con

1. Calcula la generatriu aplicant el teorema de Pitàgores: g 2 = h 2 + r 2 → g = h 2 + r 2 . 2. Aplica la fórmula A = πr2 + πr · g.

a partir del radi r i de l’altura h Calcular el volum d’un

1. Escriu la relació entre altura, radi i generatriu aplicant el teorema de Pitàgores: g2 = h2 + r2.

con sabent el radi r i la

2. Aïlla l’altura: h 2 = g 2 − r 2 → h = g 2 − r 2 . 1 3. Aplica la fórmula V = πr 2 ⋅ h . 3

generatriu g

30 ■■ La figura següent, anomenada torus, és un cos de

Concepte de cos de revolució

revolució. a) A partir de quina figura es genera?

26 ■ Indica quins dels cossos següents són cossos de revolució:

b) Identifica l’eix de rotació. a)

El cilindre

31 ■ La base d’un cilindre té un radi de 5 cm, mentre que la

Els cossos de revolució

Activitats

seva altura és de 10 cm. a) Dibuixa’n el desenvolupament pla a la llibreta. b) Construeix el cilindre. 27 ■ Observa i fes: a) Identifica cada cos de revolució amb la figura que el

32 ■ Fixa’t en la figura següent i justifica si es correspon amb el

genera.

desenvolupament pla real d’un cilindre.

r = 3 cm

251

b) Identifica l’eix de rotació de cada figura. 28 ■ Descriu els cossos de revolució generats per: a) Un trapezi rectangle que gira al voltant de la seva altura. b) Una circumferència que gira al voltant d’un diàmetre.

15 cm

33 ■ Es vol construir un cilindre de cartolina. El radi de les bases ha de ser de 6 cm i l’altura de 10 cm. Calcula els decímetres quadrats de cartolina que es necessiten. 34 ■ Calcula l’àrea total d’un cilindre el perímetre de la base del qual fa 12,56 dm, i l’altura, 8 dm.

 Calcula el volum d’una llauna cilíndrica que fa 12 cm

35 ■

d’altura i que té el diàmetre de la base igual que l’altura.

29 ■ Un dipòsit de propà té la forma següent:

Dibuixa a la llibreta la figura que el genera.

Els cossos de revolució

36 ■■ Es doblega una cartolina de 15 × 20 cm fins a formar un

42 ■■ D’un pastís cilíndric se’n volen fer cinc porcions iguals.

tub. Després es tapen les bases fins a obtenir un cilindre. Quin

Calcula el volum de cada part segons les dimensions de la figura.

serà el volum de la figura resultant en aquests dos casos?

30 cm

a) L’altura del cilindre és de 15 cm. b) L’altura del cilindre és de 20 cm. 20 cm

15 cm

10 cm

15 cm

El con 43 ■

 Tenim un con de r = 7 dm i h = 12 dm. Calcula’n: a) La generatriu.

20 cm

b) L’àrea lateral. c) L’àrea de la base.

 L’altura d’un cilindre és el triple que el radi de la

37 ■■

base. El diàmetre de la base és de 8 cm. Calcula’n:

252

d) El volum.

 Calcula l’àrea lateral d’un con que té una generatriu

a) L’àrea.

44 ■

b) El volum.

de 75 cm i una altura de 60 cm.

 Una llauna cilíndrica d’oli ha de tenir una capacitat

38 ■■

45 ■ Calcula la generatriu d'un con que té una altura de 20 cm

d’1 L. El radi de la base fa 5,4 cm. Calcula la quantitat de llautó

i una àrea lateral de 300 cm2.

que es necessita. (Recorda que una capacitat d’1 L equival a un volum d’1 dm3.)

46 ■■ Es retalla un sector circular de cartolina que té un radi de 15 cm i un angle de 45º. Si es doblega el sector per formar un

39 ■ Un bidó cilíndric té una base de radi 60 cm i una altura

cucurutxo cònic, quina capacitat tindrà?

d’1,5 m. a) Calcula la capacitat del bidó en litres.

r = 15 cm

b) Si el preu d’1 m3 d’aigua és d’1,50 €, quant costarà omplir-lo? 40 ■■

45º

 Les llaunes de refresc solen tenir una capacitat de

330 mL i una altura d’11,5 cm. Calcula l’àrea total d’una llauna. 41 ■■



Calcula el volum d’un bidó de 250 cm2 que té un

diàmetre de 8 cm.

47 ■ Un con i un cilindre tenen el mateix volum. Si el radi de la base és el mateix en tots dos casos, quina és la relació entre les seves altures? 48 ■■ Un vas cilíndric té un radi de 10 cm i una altura de 15 cm. Hi posem un embut cònic que té la mateixa base i la mateixa altura. Calcula quin percentatge de volum del vas queda sense ocupar.

r = 10 cm

15 cm

49 ■

 La generatriu d’un con mesura 25 cm i el diàmetre de

la base en mesura 14.

56 ■ Una pilota reglamentària de futbol té una circumferència de 70 cm. Calcula’n:

a) Calcula’n l’àrea.

a) L’àrea.

b) Calcula’n el volum.

b) El volum.

 Les dimensions d’una balisa de

50 ■■

57 ■■ Calcula l’àrea d’una esfera de 500 cm3.

senyalització són de 750 mm d’altura i de 380 mm de diàmetre. Suposant que té for-

58 ■■ La Terra té una forma aproximadament esfèrica. Si el dià

ma de con buit, sense base, calcula:

metre de la Terra és de 12 800 km, calcula:

a) La seva àrea.

a) L’àrea de la superfície de la Terra.

b) El volum.

b) El seu volum. 59 ■ L’equador divideix el globus terraqüi en dues meitats iguals

Els cossos de revolució

Activitats

anomenades hemisferis. Quina és la distància mínima entre el pol Nord i un punt situat en la línia de l’equador? 51 ■ El volum d’un cilindre és de 960 cm3. a) Calcula el volum d’un con que tingui la mateixa base

60 ■ Un llum de sostre ha de tenir forma de semiesfera. Si el dià-

i la mateixa altura.

metre del llum ha de ser de 50 cm, calcula la quantitat necessària

b) Hi ha cap relació entre el volum del con i el del

de material per construir-lo.

cilindre? 61 ■■ Calcula el volum de la figura següent: 52 ■■ El volum d’un cilindre és de 960 cm3 i la seva base té un radi de 10 cm.

253

a) Calcula’n la generatriu.

r = 4 cm

b) Calcula l’àrea del con. 12 cm

El tronc de con 53 ■■ Un vas té forma de tronc de con. Té una altura de 12 cm i els diàmetres són de 10 i 8 cm, respectivament. Calcula la ca62 ■■ Tenim un cub de 600 cm2 d’àrea.

pacitat del vas.

a) Calcula’n el volum d’un. 54 ■■ Calcula la capacitat en litres

20 cm

de l’embut següent:

b) Troba el volum d’una esfera que tingui aquesta mateixa àrea.

16 cm

63 ■ Els dipòsits de gas es construeixen preferentment en forma d’esfera. Per què creus que es fan així en comptes de fer-los cúbics?

10 cm

4 cm

64 ■ Un dipòsit esfèric té una capacitat de 50 000 L. Està fabricat amb una planxa metàl·lica que costa 70 €/m2. Calcula el preu del material necessari per construir-lo.

L’esfera

65 ■■ Tenim una esfera inscrita

55 ■ Una taronja té forma esfèrica. Si

en un cub tal com indica la figura.

té diàmetre de 8 cm, calcula’n la capa-

Si l’aresta del cub és de 10 cm, cal-

citat en litres.

cula el volum del cub que no està ocupat per l’esfera.

Els cossos de revolució

Repte 66 ■■■ Calcula el volum del cos de revolució obtingut fent

68 ■■■ Es fa un concurs de ciències a la teva escola amb el

girar el polígon de la figura al voltant del seu costat més llarg.

tema «Lluitem contra l’escalfament global». Tu t’hi presentes amb un projecte per reduir la quantitat de radiació solar que arriba a la Terra. Es tracta de posar en òrbita miralls la forma dels

5 cm

quals sigui una porció de superfície esfèrica. L’altitud de l’òrbita

4 cm

serà de 3 000 km. Tindran, en total, un 8% de la superfície que

20 cm

8 cm

caldria per tancar completament la Terra dins un mirall esfèric que fos a 6 000 km de la superfície terrestre. a) Quina serà la superfície dels miralls?

3 cm

b) Si els miralls es construeixen amb làmines d’alumini

10 cm

de 2 cm de gruix, quina serà la seva massa total? 67 ■■■ Un torner construeix una peça a partir d’un cilindre d’alumini de 3 cm de radi i 10 cm d’altura. Quan acaba la dóna a un client. Després recorda que hauria hagut de pesar la peça,

69 ■■■ Les bases del concurs de ciències de l’exercici anterior

però, com que ja no la té, s’empesca una manera indirecta de

diuen que has de presentar una maqueta del projecte. Per re-

saber la massa de la peça. Primer recull les restes d’alumini.

presentar la Terra fas una bola de plastilina de 8 cm de radi. Els

Amb una balança comprova que la seva massa és 243 g. La

miralls els fas amb paper d’alumini. Els mantens a la distància

densitat de l’alumini és 2 700 kg/m3.

adient amb bastonets clavats a la plastilina.

254

a) Amb la informació de què disposa, com calcularà

a) A quina distància de la superfície de la bola posaràs

quants grams fa la peça?

els miralls?

b) Quin és el volum de la peça?

b) Quina superfície tindran els miralls de la maqueta?

Autoavaluació Sé identificar els cossos de revolució?

5. El radi de la base d’un con fa 8 cm, i la seva altura, 15 cm.

1. Indica quins cossos de revolució es generaran quan les figu-

El seccionem per un pla paral·lel a la base situat a una altura de

res següents girin 360º al voltant de l’eix que s’indica.

9 cm. Calcula: a) El radi de la base menor del tronc de con resultant. b) L’àrea del tronc de con resultant. c) El volum del tronc de con resultant. 6. Una piloteta fa 12 cm de diàmetre. a) Calcula’n l’àrea. b) Calcula’n el volum.

eix de rotació

c) Troba el perímetre d’una circumferència màxima. 7. Calcula el volum de la figura següent. L’ortoedre té una base

Sé calcular àrees i volums de cossos de revolució?

2. Calcula l’àrea total i el volum d’un cilindre sabent que la seva

quadrada de costat 10 cm i una altura de 6 cm i hi ha un forat esfèric el diàmetre del qual és de 8 cm.

altura és de 30 cm i que el seu diàmetre equival a dues cinquenes parts de la seva altura.

10 cm

3. Una llauna de conserves té forma de cilindre. El perímetre de la seva base és de 37,7 cm i fa 14 cm d’alçada. Calcula: a) La quantitat de material que ha calgut per fabricar-la. b) La seva capacitat en litres. 4. La generatriu d’un con mesura 7,5 cm i el seu radi fa 4,5 cm. Calcula’n: a) L’àrea.

b) El volum.

6 cm

Els cossos de revolució

Competències que sumen La fusteria d’alumini L’Antoni té una empresa que treballa l’alumini. Li han demanat que faci un suport per a un cartell publicitari. El suport ha de ser cilíndric, amb una base circular d’1 m de radi i un cos de 10 m d’altura.

1. L’Antoni ha de fer una estimació del que li costarà i sap que el preu de l’alumini és aproximadament de 25 €/m2. Calcula quant costarà aproximadament el material necessari per construir el suport. a) 1 675 € b) 1 725 € c) 1 775 € d) 1 825 €

2. Per millorar la resistència del suport cal omplir-lo amb un material esponjós que costa uns 20 €/m3. Calcula quant costarà omplir el pal. Indica les operacions.

255

3. L’Antoni va fer un esquema del desenvolupament pla del suport, però no recorda on el va deixar. Després de buscar ha trobat dos esquemes de dos cilindres diferents. Indica quin correspon al projecte que vol fer. Raona la resposta.

4. Una empresa de gelats ha fet una comanda una mica singular a l’Antoni. Volen construir un gelat publicitari d’alumini. El cucurutxo del gelat ha de ser un con. L’Antoni ha fet dos desenvolupaments plans. Explica les diferències entre construir un con utilitzant un desenvolupament o l’altre.

5. L’Antoni ha de construir la bola de gelat en forma esfèrica. Ha intentat fer un esquema en un full, però no ho ha aconseguit. Pots dibuixar un desenvolupament pla per construir una esfera? Raona la resposta. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Unitat

Estadística i probabilitat Una de tantes, un de tants

Si no sabéssim qui som i volguéssim saber-ho, podríem buscar la resposta en les estadístiques. Segons les dades de la United Nations Statistics Division corresponents a l’any 2006, la població mundial aleshores era de 6 593 milions de persones. La majoria eren asià tiques (60 de cada cent) i tenien entre 15 i 64 anys (unes 65 de cada cent). Es pot dir que la meitat eren dones, i l’altra meitat, homes.

256

Vistes les estadístiques, una resposta plausible a la pregunta «qui sóc?» seria, probablement, «asiàtic». Encara és més probable que la meva edat estigui compresa entre els 15 i els 64 anys. Pel que fa al sexe, és tant probable que sigui un home com una dona. Llançant una moneda podria trobar la resposta. Però si realment no sóc així no és perquè les estadístiques menteixin o estiguin equivocades. D’una banda, pensant així atribueixo dades globals a una situació local ben concreta. De l’altra, les dades estadístiques són mitjanes. Si et menges un pollastre i un amic teu ni el tasta, l’estadística dirà que us n’heu menjat la meitat cadascun. Aquesta meitat és una mitjana que no s’ajusta a la realitat de la situació. Tampoc s’ajusta a la realitat dir que 27,98 persones de cada cent tenien menys de 15 anys l’any 2006. No hi ha persones decimals. Quan parlem de xifres cal tenir present el context en què ho fem. Les dades estadístiques permeten elaborar conclusions. Només 28 de cada cent persones tenen menys de quinze anys. Només 12 de cada cent són europees i, d’aquestes, només dues viuen al sud d’Europa. Una és home; i l’altra és dona. Una pots ser tu. I aquesta no és l’única conclusió. Si ets estudiant de segon d’ESO (tens menys de quinze anys) formes part del que és una minoria en el món. Perquè ens fem una idea clara de la situació, les dades estadístiques acostumen a donar-se en proporcions.

És a dir, en fraccions. Però per poder comparar dades convé que les fraccions siguin expressades amb el mateix denominador. Així, dient que en una localitat A, 8 de cada 24 persones van al cinema els caps de setmana, i en una localitat B ho fan 12 de cada 50, no ens fem una idea clara de quina és la situació. Resulta molt més aclaridor saber que a A van al cinema 30 de cada 100 persones i que a B ho fan 24 de cada 100, és a dir, un 30% i un 24% respectivament. D’aquesta manera traiem la conclusió que la gent de la localitat A va més al cinema que la de B. L’estadística transforma aspectes de les persones en nombres que les matemàtiques poden manipular rigorosament. Amb l’estadística sabem què pensa la gent, què li agrada, què necessita, que li falta, quins costums té... I també hi som nosaltres. Som part dels percentatges, formem part d’un 33%, d’un 75%, d’un 50%, etc. Tot plegat serveix per identificar la majoria dels aspectes de les persones. D’aquesta manera sabem a quin grup humà o grups humans pertanyem i si som corrents o extraordinaris. Qui sóc jo? Per a l’estadística la resposta és ben senzilla: sóc una de tantes o un de tants.

Analitza i resol 1. Esbrina quina població tenia el món l’any 2006. D’on era la majoria d’habitants? 2. Explica de quina manera s’acostumen a utilitzar les dades estadístiques per determinar probabilitats. 3. La United Nations Statistics Division posa a l’abast de tothom informacions diverses de tipus econòmic i social sobre la població mundial. Entra al seu lloc web (http://unstats.un.org), obre la taula de dades corresponent a la població i respon les qüestions següents: a) Quina era la població a Europa l’any 2006? b) Quantes persones europees tenien aleshores menys de 15 anys? c) Per què el percentatge de persones europees de menys de 15 anys era del 15,7%? d) A quina zona del món la diferència entre el nombre de dones i el d’homes és més gran? 4. Worldometers (http://www.worldometers.info.es) ofereix informació actualitzada de diverses dades estadístiques referents a la població mundial. Consulta-la i digues quina és la població mundial en aquest instant. 5. Respon les preguntes següents en relació amb els companys de classe: a) Quants de cada cent sou dones o homes? b) Quants de cada cent teniu menys de 15 anys? c) Quants de cada cent sou d’origen asiàtic, europeu, africà, americà o d’Oceania? d) Dibuixa un diagrama de sectors que representi la situació anterior.

Índex

Competències bàsiques

1. Conceptes bàsics d’estadística

Matemàtica. Observació, anàlisi i interpretació de fenòmens estadístics i probabilístics. Comunicativa lingüística i audiovisual. Lectura i expressió de fórmules i diagrames probabilístics i gràfics estadístics. Tractament de la informació i competència digital. Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Social i ciutadana. Observació, anàlisi i representació de fenòmens socials.

2. Els gràfics estadístics 3. Els paràmetres estadístics 4. Conceptes bàsics d’atzar i probabilitat 5. Càlcul de probabilitats 6. Àlgebra d’esdeveniments

257

Estadística i probabilitat

Conceptes bàsics d’estadística 1.1 Recorda

L’estadística descriptiva és la disciplina que s’encarrega de recollir les dades de la població referides a una o més caracte-

Població i variable estadística

En estadística s’anomena població el conjunt d’elements o individus dels quals es vol estudiar una característica determinada. La variable estadística és la característica estudiada, que pot prendre valors diferents segons l’individu, és a dir, és variable. A l’hora de fer un estudi estadístic cal determinar clarament si un individu pertany o no a la població i quin dels possibles valors de la característica li correspon. Exemple

rístiques i després les analitza i interpreta.

1. Si es vol estudiar el nombre d’ocupants dels turismes que passen per un peatge d’una autopista durant un cap de setmana, la població seran els turismes que hi passin aquests dos dies i els possibles valors de la variable estadística «nombre d’ocupants» seran 1, 2, 3, 4 o 5. No pertanyeran a aquest estudi, per exemple, les persones que viatgin en motocicleta.

La tria de la mostra es pot fer de moltes maneres, però s’ha de tenir cura que sigui representativa de tota la població.

1.2

258

Mostra i tipus de mostreig

Sovint, la població que es vol estudiar és molt gran i obtenir les dades de tots i cada un dels individus no és possible. Aleshores s’agafa una mostra, que és una part representativa de la població. A partir dels resultats de la mostra se’n dedueixen (amb un cert marge d’error) els de tota la població. La mida de la mostra N és el nombre d’elements que conté. Les tres maneres més usuals de triar una mostra són: • Mostreig aleatori simple (m. a. s.). Els individus es trien a l’atzar. • Mostreig sistemàtic. Es tria un primer individu i a partir d’aquest s’agafen la resta periòdicament (cada tres, cada cinc...). • Mostreig per estrats. Es divideix la població en grups (estrats) semblants respecte d’alguna característica i després es fa un m. a. s. de cada grup. Exemple 2. En lloc d’agafar les dades de tots els cotxes que passen per un peatge, s’agafen les dades d’un de cada 25. Seria un cas de mostreig sistemàtic.

1.3

Tipus de variables estadístiques

Si la característica objecte d’estudi es defineix amb valors numèrics, es tracta d’una variable estadística quantitativa, mentre que si són valors no numèrics es tracta d’una variable estadística qualitativa. Les variables quantitatives es poden classificar en discretes (quan els valors que pot prendre són aïllats, per exemple, el nombre de germans) o contínues (si poden prendre qualsevol valor dins d’un interval, per exemple, l’estatura dels alumnes d’una classe). Exemple 3. Dels alumnes d’un curs de 2n d’ESO d’un centre se’n poden estudiar característiques com el nombre de germans (variable quantitativa discreta), l’alçada (variable quantitativa contínua) o el color dels cabells (qualitativa).

1.4

Les taules de freqüències

Les taules de freqüències serveixen per recopilar les dades d’un estudi estadístic d’una manera senzilla i clara. Els elements que solen mostrar són:

Recorda

• Freqüència absoluta ni. És el nombre de vegades que es repeteix cada valor (xi).

S’anomena freqüència percen-

• Freqüència relativa fi. És el quocient entre la freqüència absoluta ni i la grandària de la n mostra N: fi = i . Indica el tant per u de cada dada respecte del total; i si es multiplica N per 100, indica el tant per cent.

tual el resultat de multiplicar la freqüència relativa per 100.

Per al càlcul de determinats paràmetres, a les taules de freqüències s’inclou també la columna de les freqüències absolutes acumulades (Ni) i la columna de les freqüències relatives acumulades (Fi): N1 = n1

N2 = n1 + n2

Nn = n1 + n2 +… + nn

F1 = f1

F2 = f1 + f2

Fn = f1 + f2 + … + fn

Exemple 4. S’ha fet una enquesta sobre el nombre de germans que tenen els alumnes d’una classe de 2n d’ESO d’un centre, i s’han obtingut els resultats següents: 2, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 3, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0 i 0. Fixa’t que la darrera cel·la de la columna Ni sempre és la mida de la mostra, i la darrera cel·la de la columna Fi és 1.

0,28

0,40

0,68

0,24

0,92

0,08

Consells

Com aplicar-ho. Triar una mostra La propietària d’una perruqueria amb 5 empleats vol saber el grau de satisfacció dels seus clients, i els demana que puntuïn el servei rebut d’1 (molt dolent) a 5 (molt bo). Indica tres maneres de triar una mostra de 20 clients. • Mostreig aleatori simple. Preguntant als 20 clients que ens sembli, és a dir, aleatòriament, en el moment de sortir de la perruqueria. • Mostreig sistemàtic. Escollir un client qualsevol, i a partir d’ell demanar a cada 4 clients, per exemple, fins a tenir 20 opinions. • Mostreig per estrats. Preguntar a 4 clients de cada un dels 5 empleats, cosa que, a més, permetria saber si hi ha diferents valoracions segons el treballador que els ha atès.

Per eliminar la influència que pugui tenir allò que popularment es coneix com «un mal dia», la tria de la mostra es pot fer en dos caps de setmana: 10 clients cada un. Per establir amb prou seguretat que hi hagi diferents valoracions o no segons l’empleat, la mida de la mostra hauria de ser molt més gran. Vegeu els exercicis 3 pàg. 259; 20, 21, 22 i 23 pàg. 273.

Aplica

Raona

1 ■■ Fes la taula de freqüències corresponent al nombre

3 ■■■ A un centre rural hi van alumnes de quatre poblacions

d’excel·lents en el 1r trimestre d’un grup de 20 alumnes:

(A, B, C i D). El centre té 600 alumnes, 50 dels quals són de A,

3, 2, 5,0, 2, 3, 1, 1, 4, 0, 0, 2, 4, 3, 1, 6, 4, 3, 1 i 1

100 són de B, 150 són de C i 300 són de D. a) Indica dues maneres d’agafar una mostra de mida

2 ■ Classifica les variables estadístiques següents:

N = 60 per fer un estudi de la variable estadística «hores

a) Nombre d’excel·lents del teu curs.

setmanals dedicades a activitats extraescolars».

b) Edat dels veïns d’un poble de 500 habitants.

b) Tenint en compte que a les diferents poblacions hi ha

c) Marca del rellotge dels alumnes d’una classe.

més o menys oferta d’activitats extraescolars, quin tipus

d) Mes de naixement dels alumnes d’un centre.

de mostreig és millor?

259

Estadística i probabilitat

Els gràfics estadístics 2.1

Els pictogrames són una variant dels diagrames de barres que s’utilitzen quan la variable estadística estudiada ofereix opcions fàcils de representar amb un dibuix al·legòric de mida proporcional al valor de la variable.

Recorda diagrama de barres

Exemple

A l’eix vertical hi ha les freqüències absolutes o els %.

5. L’oficina de turisme d’una ciutat costanera ens ha facilitat les dades sobre quin mitjà de transport han utilitzat els turistes durant l’any passat per arribar-hi. L’alçada de la figura és proporcional al nombre de turistes que han arribat amb el mitjà indicat.

15 10 5 0

pèl-roig

ros

morè

Pictogrames

castany

A l’eix horitzontal hi ha les variables.

diagrama de línies i punts

1 500

2 000

4 500

5 000

euros

A l’eix vertical hi ha les freqüències absolutes o els %.

2.2

90,00

Piràmides de població

75,00 60,00 45,00

Una piràmide de població és un gràfic de barres horitzontals doble. Serveix per representar l’estructura segons sexe i edat d’una població.

30,00

260

15,00 0,00

s o n d g f m a m j j a

A l’eix horitzontal hi ha l’escala temporal.

A cada temps li correspon un valor que es marca amb un punt.

• A l’eix vertical (Y) es representen els intervals o grups d’edat. • A l’eix horitzontal (X) es representa el nombre d’individus de cada grup. Exemple 6. En un poble petit, el nombre d’homes i dones repartits per franges d’edats és el que mostra la taula. La piràmide de població d’aquest poble és la següent:

diagrama de sectors Cercle dividit en tants sectors com valors diferents pren la variable estadística. 8%

12%

dones més de 80 de 71 a 80 de 61 a 70 de 51 a 60 de 41 a 50 de 31 a 40 de 21 a 30 d’11 a 20 de 0 a 10

24%

20% 16%

16%

L’àrea (i l’angle) de cada sector és proporcional a la freqüència absoluta. 60 Figura 1

població/km2 1 333

homes

2.3

10 20 30 40 50 60 70

edat en anys

de 0 a 10 anys

d’11 a 20

de 21 a 30

de 31 a 40

de 41 a 50

de 51 a 60

de 61 a 70

de 71 a 80

més de 80

Mapes de coropletes i cartogrames

La representació d’una variable estadística sobre diferents regions cartogràfiques es pot fer donant a cada regió un color segons una escala (mapa de coropletes) i també, si s’escau, distorsionant l’àrea de cada una d’aquestes regions fent-les proporcionals a la freqüència de la variable estadística corresponent (cartograma).

Figura 2

Exemple 7. En la fig. 1, el valor de la densitat de població ve donada per l’escala de color (mapa de coropletes). En el de la fig. 2, a més a més, la superfície de cada país s’ha modificat per fer-la proporcional al valor de la seva densitat (cartograma).

2.4

Histogrames i polígons de freqüències

Els histogrames s’utilitzen per representar variables quantitatives contínues. S’assemblen als diagrames de barres, però amb les barres en contacte l’una amb l’altra. Normalment tots els intervals tenen la mateixa amplada, que és la de les barres, i l’altura d’aquestes és la freqüència absoluta. Unint els punts mitjans de la part superior de cada barra s’obté el polígon de freqüències.

Consells

Com aplicar-ho. Agrupar en intervals i obtenir l’histograma Tenim les edats dels habitants d’un bloc de pisos i es vol construir el gràfic estadístic més adequat: 30, 28, 5, 2, 66, 60, 45, 43, 13, 10, 8, 24, 24, 23, 72, 37, 12, 10, 36, 44, 44, 20, 28, 25, 2, 35, 80, 55, 53, 30, 25, 24, 82, 74, 50 i 40. • Com que hi ha molts valors diferents, agrupem les dades en intervals de 20 anys d’amplada: de 0 a 19, de 20 a 39, de 40 a 59, de 60 a 79 i de 80 anys o més, és a dir, 5 intervals: • Així, tots els intervals tenen la mateixa amplada, i el seu histograma és:

de 0 a 19

de 20 a 39

de 40 a 59

de 60 a 79

≥ 80

En aquest exercici veiem que en total hi ha 36 dades, i per tant el nombre d’intervals més apropiat és N = 36 = 6.

Fi  0,2  0,61  0,83  0,94

En aquest cas, però en s’ha decidit fer intervals de 20 anys d’amplada, que és una xifra més rodona i pràctica i surten 5 intervals, que no és gaire diferent de 6.

Vegeu els exercicis

La línia poligonal que uneix els punts mitjans de la part superior de cada barra dóna el polígon de freqüències.

12 10

• De l’anàlisi del gràfic, es pot afirmar que a l’edifici, el grup més nombrós de persones és el que té entre 20 i 40 anys.

fi  0,2  0,38  0,2  0,1  0,05

Per decidir el nombre d’intervals, en cas de tenir les dades no agrupades, se sol prendre N , en què N és la mida de la mostra.

6 pàg. 261; 35 pàg. 274.

6 4 2 0

100

Aplica

Resol

4 ■ Fixa’t en la taula següent i fes: a) El diagrama de barres.

6 ■■ La taula següent correspon a les dades referides a l’estatub) El diagrama de sectors.

ra en centímetres d’un grup d’alumnes de 2n d’ESO.

vaixell

tren

autocar

avió

cotxe

1,51-1,55

1,56-1,60

1,61-1,65

1,66-1,70

1,71-1,75

1 500

2 000

4 500

5 000

a) Dibuixa a la llibreta o mitjançant un full de càl5 ■■ Representa amb un pictograma l’evolució de la pràctica

cul l’histograma de freqüències. Traça-hi el polígon de

esportiva infantil en un país els darrers 20 anys, a partir de les

freqüències.

dades següents:

b) Fes l’histograma de freqüències considerant que el

1990

1995

2000

2005

2010

primer interval és 1,46-1,55 i el darrer interval és 1,71-

22%

30%

25%

1,80. Dibuixa-hi el polígon de freqüències.

261

Estadística i probabilitat

Els paràmetres estadístics 3.1 Alerta

Paràmetres de centralització

Els paràmetres estadístics són nombres que s’associen al conjunt de valors obtinguts amb la finalitat de donar-ne una informació resumida.

tenir més d’una moda. S’ano-

També serveixen per comparar la mateixa variable estadística estudiada en diferents poblacions o períodes de temps.

mena bimodal si en té dues, és

En aquest curs només estudiaràs les referides a variables discretes.

a dir, si hi ha dos valors xi amb

Els paràmetres de centralització són nombres que indiquen entorn de quins valors se situen les dades. Els principals són els següents:

Una variable estadística pot

la mateixa freqüència absoluta màxima. Així per exemple, en un mateix grup d’alumnes podríem trobar que hi ha el mateix nombre de seguidors de dos estils musicals, que serien majoritaris, i la resta es reparteix entre estils

• Moda Mo. És el valor que apareix més vegades, és a dir, el de més freqüència absoluta (que també és el de més freqüència relativa). • Mediana Me. És el valor que ocupa el lloc central un cop ordenades les dades. Si hi ha un nombre parell de dades, és la mitjana dels 2 valors centrals. • Mitjana aritmètica x . És el valor que s’obté sumant totes les dades i dividint el resultat per la mida de la població N, és a dir, pel nombre total de dades:

més minoritaris.

x1 ⋅ n1 + x 2 ⋅ n2 + x3 ⋅ n3 + ... + xk ⋅ nk N

També es pot obtenir a partir de les freqüències relatives, aplicant la fórmula següent: x = x1 · f1 + x2 · f2 + … + xk · fk La mitjana i la mediana no han de coincidir necessàriament amb cap dels valors de la variable estadística.

262

Exemple 8. Tenim les dades referides al nombre de germans dels alumnes d’una classe de 2n d’ESO d’un centre, que són: 0, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 3, 1, 3, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 2 i 2 Representem aquestes dades en una taula de freqüències:

Recorda La mediana i la mitjana no es calculen en variables qualitatives.

La moda és 1, perquè és el valor amb més freqüència absoluta (ni = 10), Mo = 1.

5 nois rossos i 10 de morens,

La mediana és el valor que ocupa el lloc central un cop ordenades les dades (tant fa si de gran a petit o de petit a gran):

la moda és morè, però no hi ha

0000000111111111122222233

cap mediana, ja que les dades

Com que n’hi ha 25, la dada que ocupa el lloc central és la que està en la posició 13, és a dir, Me = 1.

Així, per exemple, si tenim

no es poden ordenar, ni la mitjana és «castany fosc».

Per trobar la mitjana aritmètica, cal aplicar la fórmula: x=

0 ⋅ 7 + 1⋅ 10 + 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 2 0 + 10 + 12 + 6 28 = = = 1, 12 germans 25 25 25

Fent-ho a partir de les freqüències relatives s’obté el mateix resultat: x = 0 · 0,28 + 1 · 0,40 + 2 · 0,24 + 3 · 0,08 → → x = 0,40 + 0,48 + 0,24 → x = 1,12 germans

3.2

Els paràmetres de dispersió

Els paràmetres de dispersió són nombres que informen sobre el grau d’agrupament de les dades entorn dels valors centrals. • Recorregut o rang Re. És la diferència entre el valor més gran i el valor més petit. Permet tenir una idea sobre si les dades són gaire disperses o no. • Desviació d’un valor xi. És la diferència d’aquest valor respecte de la mitjana x, és a dir, xi - x . • Desviació mitjana Dm. És la mitjana dels valors absoluts de les desviacions: Dm =

Alerta En aquest llibre utilitzem el terme mitjana com a sinònim de mitjana aritmètica. En cursos posteriors aprendràs que n’hi ha de més tipus, com la mitjana

x1 − x ⋅n1 + x 2 − x ⋅ n2 + ... + xk − x ⋅ nk

ponderada, la mitjana geomè-

trica, etc.

Exemple 9. Tens dues assignatures favorites: matemàtiques i anglès. Les notes que has tret en els controls d’aquest trimestre són: Matemàtiques: 4, 5, 6, 6 i 10. → Re = 10 - 4 = 6. Anglès: 5, 5, 6, 6 i 7. → Re = 7 - 5 = 2. El rang dóna una idea que en matemàtiques tens resultat molts variats, mentre que en anglès obtens resultats més constants.

Calcula la desviació mitjana d’un grup de 50 dades referides al nombre d’excel·lents que han tret els alumnes d’un curs de 2n d’ESO. 2, 0, 3, 1, 2, 5, 0, 0, 3, 1, 4, 6, 2, 1, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 2, 6, 3, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 6, 0, 2, 4 i 3. • Primer, cal construir la taula de freqüències absolutes:

A mesura que facis el recompte de les vegades que apareix cada valor, marca’ls i així evitaràs descomptar-te. categoria

||||| ||||| |

||||| ||||| |||

recompte

• Fixa’t que el recorregut és Re = 7 - 0 = 7. • Per calcular la desviació mitjana, primer cal calcular la mitjana: 0 ⋅ 11+ 1⋅ 13 + 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 3 + 7 ⋅ 1 101 = = 2, 02 50 50 • La desviació mitjana és, doncs: X=

Dm =

2, 02 ⋅ 11+ 1, 02 ⋅ 13 + 0, 02 ⋅ 9 + 0, 98·9 + 1, 98·2 + 2, 98 ⋅ 2 + 3, 98 ⋅ 3 + 4, 98 ⋅ 1 = 1, 4264 50

Aplica

263

Consells

Com aplicar-ho. Calcular la desviació mitjana

Per comprovar que no t’has equivocat, suma les freqüències absolutes i fixa’t si coincideix amb la mida de la població. Vegeu els exercicis 7 i 8 pàg. 263; 43 i 44 pàg. 275

8 ■■ A partir dels resultats de l’apartat a) de l’exercici 7, i sense fer cap càlcul, calcula Mo, Me, x, Re i Dm de:

7 ■ Calcula en cada cas, la moda, la mediana, la mitjana, el

8, 10, 4, 8, 16, 4, 12, 4, 8, 10, 14, 8 i 8

recorregut i la desviació mitjana: a) 4, 5, 2, 4, 8, 2, 6, 2, 4, 5, 7, 4 i 4

9 ■ Raona en quin dels dos caos hi haurà probablement més

b) 40, 50, 20, 40, 80, 20, 60, 20, 40, 50, 70, 40 i 40

dispersió respecte de l’alçada: entra la dels teus companys de classe o entre la de tots els alumnes del teu centre.

Estadística i probabilitat

Conceptes bàsics d’atzar i probabilitat 4.1 Recorda

En el cas dels esdeveniments elementals, el fet que se’n doni un impedeix que es donin els

Experiments deterministes i experiments aleatoris

Quan es fa un experiment repetides vegades i amb les mateixes condicions, et pots trobar que cada vegada es repeteixi el mateix resultat o bé que el resultat variï sense que tingui cap relació amb el resultat anterior. Si es pot saber quin resultat s’obtindrà es tracta d’un experiment determinista. Si no es pot predir el resultat, es tracta d’un experiment aleatori.

altres.

Exemple 10. Si es llança un dau en què totes les cares tenen un 2, sabem que sortirà un 2: és un experiment determinista. Si es llança un dau normal, no sabem quin dels sis nombres (1, 2, 3, 4, 5 o 6) sortirà: és un experiment aleatori.

4.2

Alerta 264

Espai mostral i esdeveniment elemental

L’espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori. Se sol representar amb la lletra E o la lletra grega omega Ω. Cada un dels resultats possibles s’anomena esdeveniment o succés elemental. Exemples

La baralla espanyola tradici-

11. En llançar un dau numerat de l’1 al 6, l’espai mostral és E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Els esdeveniments elementals són {1}, {2}, {3}, {4}, {5} i {6}.

onal està formada per quatre colls o pals (oros «O», copes «C», espases «E» i bastos «B»),

12. Si traiem una bola d’una urna que conté 2 boles blanques, 2 de verdes i 3 de negres, l’espai mostral és E = {2 boles blanques, 2 boles verdes, 3 boles negres}. Encara que, si ens fixem només en el color de la bola, també és correcte dir que E = {B, V, N}. Es correspondria a l’experiment «traiem una bola i mirem de quin color és».

i cada coll, per 10 cartes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 –sota–, 9 –cavall– i 10 –rei–). En total són 40 cartes.

13. L’espai mostral corresponent a l’experiment de treure una carta d’una baralla espanyola de 48 cartes és E = {1O, 2O, 3O, 4O, 5O, 6O, 7O, 8O, 9O, 10O, 11O, 12O, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C, 11C, 12C, 1E, 2E, 3E, 4E, 5E, 6E, 7E, 8E, 9E, 10E, 11E, 12E, 1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, 8B, 9B,10B, 11B, 12B}. L’esdeveniment A = «treure el 6 d’oros» és un esdeveniment elemental, però A = «treure una figura» no és un esdeveniment elemental perquè està format per diversos esdeveniments elementals: {10O}, {11O}, {12O}, {10C}, {11C}, {12C}, {10E}, {11E}, {12E}, {10B}, {11B} i {12B}.

També és molt usual la versió extensa formada per 12 cartes per coll (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 –sota–, 11 –cavall– i 12 –rei–). En total són 48 cartes.

4.3

Grau de probabilitat d’un esdeveniment

Conèixer les circumstàncies relacionades amb un experiment aleatori permet assignar a cada esdeveniment un grau de probabilitat que indica fins a quin punt es pot esperar que es produeixi: segur, impossible, poc probable, molt poc probable, quasi segur... Exemple 14. Si una urna conté 19 boles blanques i 1 de negra, és molt poc probable que en treure una bola sigui la negra i en canvi és quasi segur que serà blanca. I és impossible que sigui verda. En canvi si l’urna contingués 10 boles blanques i 10 de negres, és tan probable (equiprobable) que surti negra com que surti blanca.

4.4

Definició experimental de probabilitat

Un esdeveniment impossible és el que no pot donar-se mai i un esdeveniment segur és el que conté tots els esdeveniments elementals i que, per tant, es donarà. La probabilitat d’un succés impossible és 0 i la probabilitat d’un succés segur és 1. Per tant, la probabilitat de qualsevol altre succés serà sempre un nombre entre 0 i 1. Per determinar numèricament la probabilitat d’un esdeveniment es fa servir la llei dels grans nombres, que diu que, en augmentar el nombre de vegades que es repeteix un experiment aleatori N, la freqüència relativa fA d’un esdeveniment A tendeix a estabilitzar-se. Aquest nombre cap al qual tendeix a estabilitzar-se equival a la probabilitat de A: n fA = A N Com aplicar-ho. Determinar l’espai mostral i la probabilitat d’un esdeveniment Explica com s’hauria de calcular experimentalment la probabilitat de treure una bola blanca d’una urna que en conté 3 de blanques, 2 de negres i 3 de verdes. • Primer cal definir l’espai mostral, que és E = {3 boles blanques, 2 boles negres, 3 boles verdes}. Fixant-se només en el color de la bola, també es pot dir que E = {B, V, N}. • Per aplicar la llei dels grans nombres, cal repetir l’experiment de treure una bola de l’urna moltes vegades, i anar anotant el color de la bola cada cop. • Després de fer 100, 200, 300 i 400 extraccions, han sortit respectivament 36, 78, 115 i 149 vegades una bola blanca. n • La successió de les freqüències relatives s’obté aplicant la fórmula fA = A : N 36 78 115 149 = 0, 3600 = 0, 3900 = 0, 3833 = 0, 3725 100 200 300 400

Consells S’ha de tenir present que repetir 400 vegades l’experiment encara són poques per poder aplicar la llei dels grans nombres. Seria bo que completessis tu mateix la resolució de l’activitat fent una simulació virtual de treure una bola d’una urna. Podràs comprovar que el nombre cap al qual sembla que s’estabilitza la freqüència relativa és 0,375. Vegeu els exercicis 11 pàg. 265; 47 i 49 pàg. 275.

• El nombre cap al qual aquesta successió s’estabilitza és el 0,375.

Aplica

Resol

10 ■ Classifica els experiments següents en aleatoris i determi-

11 ■■ Fes:

nistes. Justifica la resposta.

a) Escriu l’espai mostral corresponent a l’experiment

a) Deixar caure un got de vidre des de 2 m d’alçada

«llançar 3 monedes».

i comprovar si es trenca.

b) Indica quins esdeveniments elementals formen el

b) Llançar un dau tetraèdric i mirar la puntuació.

succés A = «surten 2 cares».

c) Llançar dues monedes i comprovar el nombre de

c) Què és més probable: que surtin dues cares o que en

cares.

surti una?

d) Treure una bola d’una caixa que només té boles verdes i mirar-ne el color.

Raona

e) Sotmetre un got d’aigua a una temperatura de -1 ºC i comprovar si es congela.

12 ■■■ Per grups, trobeu experimentalment la probabilitat de

f) Encertar un nombre de l’1 al 10 escrit en un paper

treure un sis llançant un dau 25 vegades cada un dels alumnes

doblegat.

del teu grup de 2n d’ESO i considerant les freqüències relatives obtingudes.

265

5 Estadística i probabilitat

Càlcul de probabilitats 5.1

La regla de Laplace

Quan tots els esdeveniments elementals tenen la mateixa probabilitat de donar-se es diu que són equiprobables. La regla de Laplace s’aplica per calcular la probabilitat d’un esdeveniment A qualsevol en experiments en què els esdeveniments elementals són equiprobables, que diu: P (A) =

nombre de casos favorables a A nombre de casos possibles

Exemple 15. Hi ha una urna amb 8 boles: 3 de blanques, 2 de negres i 3 de verdes. Es vol trobar la probabilitat de treure una bola blanca. Si B = «treure una bola blanca», pots comprovar que hi ha 3 casos favorables a B d’un total de 8 casos possibles, per tant: 3 = 0, 375 8 En aquest cas, s’ha considerat que totes les boles són diferents i per això hi ha vuit casos possibles, tres dels quals són favorables a B. P (B ) =

Però es podia haver fer el raonament erroni de dir que, com que l’espai mostral és 1 E = {B, N, V}, aleshores P (B ) = . L’error és que considera els esdeveniments elemen3 tals B, N i V com equiprobables i no ho són.

266 5.2

Diagrames d’arbre

Els diagrames d’arbre són una eina gràfica que facilita el càlcul de probabilitats en experiments compostos (tirar més d’un dau, o més d’una moneda, o un dau i una moneda, etc.). A cada branca de l’arbre s’hi pot escriure la probabilitat corresponent i, en acabar, per tal de saber la probabilitat global d’un esdeveniment, només cal multiplicar totes les branques que porten fins a aquest esdeveniment i sumar els resultats parcials. Exemple 16. Hi ha una urna amb 8 boles: 3 de blanques, 2 de negres i 3 de verdes. Es treu una bola, es mira el color, es torna a dins, es barregen i es torna treure una bola. Troba la probabilitat que les dues siguin del mateix color. A cada branca de l’arbre s’hi indica la seva probabilitat:

3/8 2/8

P (B ) =

3/8 3/8 3/8 2/8

2/8

3/8 3/8 2/8

P (N ) =

2 8

P (V ) =

3 8

Els casos en què les dues boles són del mateix color són BB, NN i VV. Les probabilitats respectives són el producte de cada branca: 3 3 9 ⋅ = 8 8 64

3/8

3 8

2 2 4 ⋅ = 8 8 64

3 3 9 ⋅ = 8 8 64

La probabilitat que les dues boles siguin del mateix color és la suma de cada una: 9 4 9 22 + + = = 0, 34375 64 64 64 64

Com aplicar-ho. Calcular una probabilitat mitjançant un diagrama d’arbre Si es tiren 3 monedes consecutivament, troba la probabilitat de l’esdeveniment A = «que surtin dues care». • Anomenarem c la cara i × la creu: 1a moneda

2a moneda 1/2

1/2

cara 1/2

1/2 1/2

cara creu cara

creu 1/2

creu

3a moneda

resultat

1/2

cara

ccc

1/2

creu

ccx

1/2

cara

cxc

1/2

creu

cxx

1/2

cara

xcc

1/2

creu

xcx

1/2

cara

xxc

1/2

creu

xxx

Consells Fixa’t que també es pot aplicar la regal de Laplace pel fet que, a cada tirada, els esdeveniments elementals (cara o creu) són equiprobables, i així els casos favorables són 3 entre 8 casos possibles: 3 8 En aquests casos no cal escriure a cada branca la seva probabilitat, ja que totes són iguals. P ( A) =

Vegeu els exercicis 15 pàg. 267; 54, 55, 56 i 57 pàg. 276

• Per calcular la probabilitat de cada cas encerclat (2 cares) només cal multipli1 1 1 1 car les branques que hi porten en cada cas: ⋅ ⋅ = 2 2 2 8 1 1 1 3 • Per tant, la suma de les tres probabilitats és + + = . 8 8 8 8

Com aplicar-ho. Calcular una probabilitat amb una taula de doble entrada Troba la probabilitat que, en tirar dos daus, les puntuacions siguin iguals. • Es construeix una taula de doble entrada dels dos daus, i es marquen les caselles en què els dos daus han tret la mateixa puntuació: • Fixa’t que hi ha 6 caselles (casos) favorables d’un total de 36 caselles possibles, per tant, la probabilitat que els dos daus siguin iguals és:  6 1 = = 0, 16 36 6

267 Consells Tots els problemes de probabilitat en què participen dos daus es poden resoldre amb taules de doble entrada.

Vegeu els exercicis

16 pàg. 267; 54 pàg. 276.

Resol

Si, per exemple, haguessin preguntat quina era la probabilitat que almenys una de els puntuacions fos un 1, hi hauria 11 caselles sobre 36.

15 ■■  Fes un diagrama en arbre per trobar la probabilitat que, en treure dues boles (primer l’una i després l’altra) de l’urna que

13 ■ Una urna conté 2 boles blanques i 3 de negres. Si en trai em una, troba quina probabilitat hi ha que sigui: a) blanca

a) Si no es torna la primera bola a dins.

b) negra

b) Si es torna la primera bola a dins.

14 ■■ Troba la probabilitat que, en tirar dos daus, la suma sigui: a) 6

b) 7

conté 2 boles blanques i 3 de negres, siguin del mateix color:

c) 8

16 ■ Amb una taula de doble entrada, troba la possibilitat que, en llançar dos daus tetraèdrics, les puntuacions siguin diferents.

Estadística i probabilitat

Àlgebra d’esdeveniments 6.1 Recorda

Si E és un esdeveniment segur i ∅ (conjunt buit) és un esdeveniment impossible, E = ∅.

Esdeveniments incompatibles, contraris i independents

• Esdeveniments incompatibles. Quan el fet que es doni un esdeveniment, A, impedeix que se’n realitzi un altre, B. • Esdeveniment contrari de A. És l’esdeveniment format per tots els esdeveniments elementals que no formen part de l’esdeveniment A. S’escriu A. • Esdeveniments independents. Si el fet que s’hagi produït o no l’esdeveniment A no té cap influència en la probabilitat que es produeixi un altre esdeveniment B, es diu que A i B són independents. Exemple 17. Tenim una baralla espanyola de 48 cartes. a) Els esdeveniments A = «treure un nombre més petit que 5» i B = «treure un múltiple de 5» són incompatibles perquè no hi ha cap carta que sigui alhora un nombre més petit que 5 i múltiple de 5. b) L’esdeveniment contrari de A = «treure un nombre més petit que 5» és A = «treure un nombre igual o més gran que 5». c) Els esdeveniments C = «treure un nombre parell» i D = «treure una figura» no són independents perquè hi ha tants nombres parells com imparells en una baralla P(C) = 1/2, mentre que si es treu una carta i és una figura, la probabilitat que sigui un nombre parell és P(C) = 8/12, perquè de les 12 figures, 8 són nombres parells: 10O, 12O,10C, 12C, 10E, 12E, 10B i 12B.

268 6.2

Unió i intersecció d’esdeveniments

Es poden fer diferents operacions entre els esdeveniments. Observa: • Unió. S’escriu A ∪ B i representa el conjunt de tots els resultats que són de A, de B o de tots dos alhora. • Intersecció. S’escriu A ∩ B i representa tots els resultats que són de A i de B alhora. Exemples 18. Tenim un baralla espanyola de 48 cartes i es considera A = «treure un nombre més petit que 5» i B = «treure un múltiple de 5». A = {1O, 2O, 3O, 4O, 1C, 2C, 3C, 4C, 1E, 2E, 3E, 4E, 1B, 2B, 3B, 4B} B = {5O, 10O, 5C, 10C, 5E, 10E, 5B, 10B} • A ∪ B = {1O, 2O, 3O, 4O, 1C, 2C, 3C, 4C, 1E, 2E, 3E, 4E, 1B, 2B, 3B, 4B, 5O, 10O, 5C, 10C, 5E, 10E, 5B, 10B} • A ∩ B = ∅ 19. Tenim un baralla espanyola de 48 cartes i es considera C = «treure un nombre parell» i D = «treure una figura». C =  {2O, 4O, 6O, 8O, 10O, 12O, 2C, 4C, 6C, 8C, 10C, 12C, 2E, 4E, 6E, 8E, 10E, 12E, 2B, 4B, 6B, 8B, 10B, 12B} D = {10O, 11O, 12O, 10C, 11C, 12C, 10E, 11E, 12E, 10B, 11B,12B} • C ∪ D =  {2O, 4O, 6O, 8O, 10O, 12O, 2C, 4C, 6C, 8C, 10C, 12C, 2E, 4E, 6E, 8E, 10E, 12E, 2B, 4B, 6B, 8B, 10B, 12B, 11O, 11C, 11E, 11B} • C ∩ D = {10O, 12O, 10C, 12C, 10E, 12E, 10B, 12B}

6.3

Fórmula de les probabilitats totals E

La fórmula que relaciona les probabilitats de A, B, A ∪ B i A ∩ B és: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) També cal que recordis que:

P( A ) = 1 - P(A) (A contrari de A) A ∪ A = E

A ∩ A = ∅

Com aplicar-ho. Aplicar l’àlgebra de probabilitats gràficament En una reunió d’empresaris, 5 només parlen francès, 4 només parlen alemany, 5 saben parlar tots dos idiomes i 2 no saben parlar ni francès ni alemany. Si s’agafa un empresari a l’atzar, troba la probabilitat que: a) Sàpiga parlar francès. b) No sàpiga parlar francès. c) Sàpiga parlar francès i alemany. d) Sàpiga parlar francès, però no alemany. e) Sàpiga parlar francès, si resulta que sap parlar alemany. • Primer de tot, cal fer un gràfic, en què F representa els empresaris que parlen francès, i A, els que saben parlar alemany: 2

F 5

4 A

a) Es pot observar que en total hi ha 16 empresaris, 10 dels quals saben 10 5 = . parlar francès. Per tant, segons la regla de Laplace, P (F ) = 16 8 5 3 b) Segons les fórmules anteriors, P (F ) = 1− P (F ) = 1− = . 8 8 5 c) Una altra vegada mirant el gràfic, P (F ∩ A) = . 16 5 d) Mirant el gràfic, P (F ∩ A) = . 16 e) Dels 9 que saben parlar alemany, 5 saben parlar francès, i per tant, aplicant Laplace, aquesta probabilitat és

5 . 9

Resol

Consells Fer el gràfic ajuda a entendre la situació, però també es poden aplicar directament les fórmules de l’àlgebra d’esdeveniments. Per exemple, l’apartat c) es pot resoldre així: 10 9 Si P(F ) =  i P(A) =  , alesho16 16 14 res P(F ∪ A) =  (hi ha 14 perso16 nes que saben parlar algun dels dos idiomes com a mínim), i finalment, aplicant la fórmula de les probabilitats totals P(A ∪ B) = P(A) + P(B) -  - P(A ∩ B): 10 9 14 5 P(F ∩ A) =  + − = 16 16 16 16 A l’apartat e), es pot considerar com si tot l’espai mostral E fos el conjunt A, perquè es diu que s’ha agafat un empresari a l’atzar i ha resultat que sap parlar alemany. Aleshores, com que entre els que saben parlar alemany n’hi ha 5 que saben parlar francès, la probabilitat demanada 5 és . 9 Vegeu els exercicis 18 pàg. 269; 61, 62, 64, 65 i 66 pàg. 277.

18 ■■  Amb els conjunts A, B i C de l’exercici anterior:

17 ■ Es llancen dos daus. Escriu els esdeveniments elementals

a) Indica les relacions d’incompatibilitat que tenen.

que formen els successos següents:

b) Troba P(A), P(B) i P(C).

a) A = «la seva suma és 6»

c) Escriu A ∪ B i A ∩ B, i troba les seves probabilitats i

b) B = «el més gran és un 4» (inclou el (4, 4))

comprova la fórmula de les probabilitats totals.

c) C = «tots dos són imparells»

d) Escriu B.

d) D = «tots dos donen el mateix»

e) Calcula P(A ∩ B).

e) E = «la suma és un nombre parell»

f) Calcula P(A ∪ B).

269

Tot són matemàtiques

Si el món fos

NACIONALITAT

un poble de

nord-americans

100

habitants 270

Imagina’t que poguéssim reduir la població de la Terra, mantenint-ne proporcionalment les característiques, a 100 habitants. Aquest món en miniatura seria una cosa així ...

sud-americans i caribenys

GÈNERE dones

persones tenen el 75% dels béns del poble

homes

SANITAT no tenen atenció sanitària bàsica

gaudeixen d’assistència sanitària

RIQUESA

AIGUA no tenen accés a l’aigua potable

tenen accés a l’aigua potable

es reparteixen la resta

ORDINADORS tenen un ordinador, i d’aquests, 8 tenen connexió a Internet

no tenen ordinador

europeus

asiàtics

Estadística i probabilitat

Si tens menjar a la nevera, roba en un armari, un llit per dormir i un sostre sobre el cap, ets més ric que el 75% de la població mundial. Aprecia el que tens i fes tot el que puguis per fer d’aquest món un lloc millor.

Analitza i investiga africans

d’Oceania

1. The Miniature Earth (‘El món en miniatura’) és un vídeo que pots trobar a Internet (http://www.miniature-earth.com).

ALFABETITZACIÓ

POR persones viuen amb por de morir per bombardejos, atacs armats, mines terrestres, violació o segrest.

no saben llegir

a) Mira’l i després redacta una pàgina reflexionant sobre el seu contingut. Eres conscient de les dades que s’hi exposen? Creus que el repartiment de la riquesa al món és just? Tens alguna idea sobre el que es podria fer solucionar les grans desigualtats? b) Debateu i poseu en comú les vostres opinions a classe. 2. Consulta les estadístiques dels pòsters de The World of 100 (‘El món dels 100’) de Toby Ng Kwong To (http://www.toby-

saben llegir

no en tenen

ng.com/graphic-design/the-world-of-100). Tradueix-los, actualitza les dades consul-

EDUCACIÓ ha anat a la universitat

DISCAPACITAT

tant la Viquipèdia, i munteu un mural amb els companys de classe.

tenen alguna discapacitat 3. Explora If the world were a village of 100 (‘Si el món fos un poblet de 100 habitants’) al web animat dels coreans Hye-Bin Park i Jhoo-Young Cha http:// binsworld.com/100. Per què creus que les estadístiques presentades visualment són més impactants?

no han anat a la universitat

no tenen cap discapacitat

271

Estadística i probabilitat

Això és bàsic Mostra. Part representativa de la població que es pren com a base de l’estudi. La grandària de la mostra N és el nombre d’elements que conté (en aquest cas, 7).

Població. Conjunt d’elements o individus sobre els quals es fa l’estudi.

Variable estadística. Característica, que pren valors diferents per a cada element. Pot ser quantitativa o qualitativa.

Freqüència absoluta ni. És el nombre de vegades que es repeteix cada valor (xi). Freqüència relativa fi. És el quocient entre la freqüència absoluta ni i la grandària de la mostra N: fi = Paràmetres estadístics de centralització

mediana Me. Valor que ocupa el lloc central d’una seqüència ordenada de dades.

informen entorn de quins

moda Mo. Valor que apareix més vegades.

valors es concentren les dades

mitjana aritmètica x = de dispersió dispersió de les dades

desviació mitjana Dm =

x1 − x ⋅ n1 + x 2 − x ⋅ n2 + ... + x k − x ⋅ nk

Espai mostral. Conjunt de tots els esdeveniments elementals. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

4 1 3

x1 ⋅ n1 + x 2 ⋅ n2 +  + x k ⋅ nk N

recorregut Re. Diferència entre el valor més gran i el valor més petit.

informen sobre el grau de

272

ni . N

Esdeveniment elemental. Cada un dels resultats possibles. A = «treure el nombre 3» Esdeveniment compost. Combinació de dos esdeveniments elementals o més. B = «treure un 5 o un 6»

N regla de Laplace En el cas d’esdeveniments elementals equiprobables, la probabilitat d’un esdeveniment A qualsevol és: nombre de casos favorables a A P (A) = nombre de casos possibles àlgebra d’esdeveniments unió: A ∪ B, intersecció: A ∩ B i contrari: A P(A) = 1− P( A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Calcular la mitjana

• Suma totes les dades i divideix el resultat per la mida de la població N.

aritmètica de dues maneres

• Si es té la taula de freqüències, multiplica els valors corresponents de les files (o columnes) xi · ni , suma aquests resultats i finalment, divideix per la mida de la població N.

Calcular la desviació

1. Calcula la mitjana x i troba la desviació de cada valor xi : xi - x .

mitjana

2. Multiplica cada desviació per la seva freqüència ni , i suma-ho. 3. Divideix el resultat pel nombre total d’observacions N.

Construir un diagrama

1. Dibuixa tantes branques com esdeveniments elementals

d’arbre i determinar

tingui el primer experiment.

la probabilitat en

2. Fes sortir, de cada una de les branques anteriors, tantes

experiments compostos

branques com esdeveniments elementals tingui el segon ex-

1/2 1/2

deveniment que representa.

1·1 =1 2 2 4

cara 1/2

periment, i així successivament. 3. Escriu, a cada una de les branques, la probabilitat de l’es-

cara

1/2

creu cara

1 2 1 2

·1 = 2 ·1 = 2

1 4 1 4

creu 1/2

creu

1·1 =1 2 2 4

4. Escriu a l’extrem de les branques terminals, el seguit d’esdeveniments que la formen. 5. Efectua el producte de les probabilitats de cada una de les branques que porten fins a aquest esdeveniment, i suma-les.

Conceptes bàsics d’estadística

25 ■■ Copia i completa les afirmacions següents, referides a una taula de freqüències:

19 ■ Donada una població, explica si només permet estudiar un

a) La darrera casella de la columna de les freqüències

tipus de variable estadística. Posa dos exemples per confirmar-ho

____________ és igual a la mida de la mostra.

o refutar-ho.

b) La darrera casella de la columna de les freqüències relatives acumulades és igual a ___.

20 ■ El propietari d’una granja vol fer un estudi de l’efectivitat

c) La columna de les freqüències relatives s’obté dividint

d’una vacuna sobre els conills.

per N la columna de les ___________.

a) Raona què et sembla més adequat: agafar una mostra dels conills i provar la vacuna, o bé provar-la directament

26 ■■

 Copia i completa la taula de freqüències següent:

en tots els conills. b) En el primer cas, quin tipus de mostreig es pot fer?

bles estadístiques següents:

• Edat.

23 2

 Copia i completa la taula de freqüències següent: ni

• Mes de naixement. Per fer-ho, s’agafa una mostra de mida 50. a) Indica en cada cas quin tipus de mostreig és el més

fi 0,10

adequat i per què.

b) Indica quin tipus de variable estadística és cada una.

de 1r d’ESO, 4 de 2n, 4 de 3r, 4 de 4t, 2 de 1r de batxillerat i 2

9 5

27 ■■

• Quin nivell d’estudis tenen els més grans de 18 anys.

22 ■■ Un centre té 200 nois i 300 noies, repartits en 4 grups

• Nombre de membres de cada unitat familiar.

l’Ajuntament.

21 ■■ D’un poble de 800 habitants, es volem estudiar les varia

• Si estan d’acord amb la neteja dels carrers que fa

273

0,40 2

0,38

 Copia i completa la taula de freqüències següent:

28 ■■■

de 2n de batxillerat. Tots els grups són de 25 alumnes (10 nois

i 15 noies). Es vol saber l’estatura mitjana, agafant una mostra

de 50 alumnes.

a) Explica com s’ha d’agafar aquesta mostra.

b) De quin tipus de mostreig es tracta?

15 0,2

23 ■■ Un partit polític ha encarregat a una empresa que faci

0,88

un sondeig a una ciutat per saber la intenció de vot per a les

properes eleccions. Per fer-ho, l’empresa agafa la guia telefònica i pregunta a cada 20 persones a partir d’un abonat determinat. Després s’adona que, per casualitat, quasi totes aquestes perso-

Els gràfics estadístics

nes viuen al mateix barri, per la qual cosa els resultats obtinguts

29 ■

no són prou representatius de tota la ciutat. a) Quin tipus de mostreig ha fet l’empresa? b) Proposa una altra manera de triar la mostra, en aquest

 La

taula següent correspon a la variable estadística

«esport preferit», i s’ha preguntat als socis d’un poliesportiu. a) Copia i completa la taula de freqüències. ni

cas. 24 ■ Les dades següents fan referència al nombre de llibres que s’ha llegit un grup de 20 alumnes en un trimestre: 3, 2, 5, 1, 1, 4, 2, 3, 4, 4, 1, 6, 3, 6, 3, 1, 4, 2, 4 i 5 a) Fes la taula de freqüències absolutes i relatives associada. b) Calcula el percentatge d’aparicions del valor 4.

Estadística i probabilitat

Activitats

futbol

bàsquet

tennis

altres

cap

b) Fes-ne el gràfic de sectors.

Estadística i probabilitat

30 ■

 A la sortida del cinema, hem demanat als espectadors

que valorin la pel·lícula. Les seves respostes queden reflectides a la taula següent: molt bona

bona

regular

dolenta

molt dolenta

Fes-ne el gràfic de barres.

34 ■■ Fixa’t en el mapa de coropletes següent i respon: Estructura dels estudis universitaris a Europa, curs 2009 - 2010 3 anys de grau + 2 de màster 4 anys de grau + 2 de màster 4 anys de grau + 1,5 de màster 4 anys de grau + 1 de màster Estructures mixtes

31 ■■

 Les dades següents es refereixen al mes de naixe-

ment dels nadons d’un hospital. Fes el gràfic de punts i línies per comparar els nens i les nenes.

274

nens

nenes

gener

febrer

març

a) Quins països pertanyen al mateix grup que Espanya?

abril

b) Per què es fan servir diferents tonalitats d’un mateix

maig

color (en aquest cas verd) en lloc de colors diferents?

juny

juliol

agost

setembre

alçada (cm)

nombre d’alumnes

octubre

[1,40; 1,50)

novembre

[1,50; 1,60)

desembre

[1,60; 1,70)

[1,70; 1,80)

[1,80; 1,90)

32 ■ Amb un pictograma, representa les dades següents sobre el preu dels diferents tipus de carn:

35 ■■ Observa les dades associades a l’alçada dels alumnes d’un curs de 2n d’ESO:

carn

preu (€/kg)

xai

vaca

3,50

porc

3,20

gallina

2,75

conill

2,10

33 ■ Fes la piràmide de població relativa a una ciutat representada per les dades següents:

a) Construeix l’histograma. b) Fes la taula de freqüències relatives acumulades. c) Representa l’histograma i el polígon de freqüències acumulades.

Els paràmetres estadístics 36 ■ Copia i completa la taula següent:

edat

homes

dones

0-9

10-19

5, 5, 5, 5, 5, 5 i 5

20-29

0, 5, 5, 5, 5, 5 i 10

30-39

0, 0, 5, 5, 5, 10 i 10

40-49

50-59

60-69

70-79

5, 5, 5, 5, 5, 5 i 5

80-89

0, 5, 5, 5, 5, 5 i 10

90-99

0, 0, 5, 5, 5, 10 i 10

moda

mediana

mitjana

37 ■ Copia i completa la taula següent: recorregut

desviació mitjana

38 ■ Troba els paràmetres de centralització de les notes d’un

44 ■■ Les dades següents són les notes que un grup d’alumnes

examen d’un grup de 25 alumnes:

ha tret en un control d’educació física:

5, 3, 7, 7, 8, 4, 6, 7, 9, 2, 0, 8, 9, 10, 5, 2, 4, 6, 8, 8, 0, 1, 6, 10 i 8

2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9 i 10

a) Moda

a) Representa-les en uns eixos de coordenades.

b) Mediana

b) Dibuixa-hi una recta que marqui la mitjana, com al

c) Mitjana aritmètica

dibuix de mostra, següent, referida només a les dades 3, 3, 4 i 10.

39 ■■ Les notes de Matemàtiques d’un grup de 10 alum-

nes són: 6, 8, 2, 4, 2, 8, 6, 8, 5 i 5. Troba’n els paràmetres de

9 8

centralització:

a) Mitjana aritmètica

b) Moda

c) Mediana

4 3 2

40 ■ Escriu les notes d’un grup de 10 alumnes, que siguin to-

tes diferents de les de l’exercici 39, però que tinguin la mateixa

mitjana aritmètica.

Estadística i probabilitat

Activitats

c) Calcula les distàncies verticals de cada punt a la recta horitzontal, i suma-les. Finalment, divideix el resultat per

41 ■ Respon: a) Com han de ser les dades d’un conjunt de nombres

10 (nombre de dades). Comprova que aquest resultat és igual a la desviació mitjana.

perquè la desviació mitjana sigui 0? b) En aquest cas, com serà el recorregut?

45 ■■ Per a l’assignatura de Llengua, l’Anna ha d’escriure 8 redaccions que es puntuen de 2 a 5 punts cadascuna. Quan ja ha

42 ■■ Un alumne aspira a tenir un 7 de nota mitjana a l’assig-

escrit 6 redaccions, té una mitjana de 3,8 punts. Calcula quina

natura de llengua estrangera.

hauria de ser la mitjana de les dues redaccions que encara ha de

a) Si només es fan 2 exàmens i al primer ha tret un 6,5,

fer per tal que la mitjana final global fos de 4 punts.

quina nota ha de treure al segon examen? b) Si es fan 3 exàmens i als dos primers ha tret un 6 i un

46 ■■■ Les 2/3 parts d’una classe han aprovat amb una mitja-

6,5, quina nota ha de treure al tercer?

na de 6,3. De la resta, la meitat tenia una mitjana de 4,2, i l’altra meitat, de 2,4. Calcula la mitjana de la classe.

43 ■■ La desviació mitjana no depèn només del nombre de dades, sinó també de la seva concentració envers un valor central. Comprova-ho calculant la desviació mitjana dels grups de dades següents: a) 0 i 10

Conceptes bàsics d’atzar i probabilitat 47 ■ Escriu l’espai mostral dels experiments aleatoris següents:

b) 3, 4, 4 i 5

a) Tirar dos daus tetraèdrics (de 4 cares, numerades de

c) 3, 4, 5, 6 i 7

l’1 al 4). b) Tirar 2 daus tetraèdrics i sumar-los. c) Tirar 2 daus tetraèdrics i restar el més petit al més gran (si són iguals, la resta és 0). 48 ■ En els tres experiments anteriors, digues si els esdeveniments elementals són equiprobables o no, i explica per què. 49 ■■ D’una urna que conté 10 boles numerades de l’1 al 10, n’hem de treure dues a la vegada. Escriu l’espai mostral. A continuació, escriu els esdeveniments elementals que formen els esdeveniments compostos següents: a) A = «totes dues són nombres parells» b) B = «la més gran és múltiple de 3» c) C = «la seva suma és 6»

275

Estadística i probabilitat

50 ■ Assigna un grau de probabilitat (impossible, molt poc pro-

54 ■ Es tiren dos daus tetraèdrics. Fes una taula de doble entra-

bable, poc probable, probable, molt probable, quasi segur i se-

da i calcula la probabilitat que:

gur) a cada un dels esdeveniments següents:

a) La seva suma sigui 5.

a) Tirar una moneda que quedi de cantó.

b) Un, com a mínim, sigui un 3.

b) Tirar un dau i que surti un nombre parell.

c) El més gran sigui un 3.

c) Tirar un ou a terra i que es trenqui. d) Tirar un ou a terra i que reboti fins a la mateixa altura.

55 ■ Tirem 4 monedes. Fes un diagrama en arbre i calcula la

e) Que li toqui la loteria de Nadal a una persona que no

probabilitat d’obtenir:

hi juga.

a) 3 cares i 1 creu.

b) 2 cares i 2 creus.

f) Que li toqui la loteria de Nadal a una persona que només ha comprat un número.

56 ■■ La Sílvia té a l’armari de la seva habitació 3 samarretes

g) Treure una bola blanca d’una urna que conté 14 boles

(una de blanca, una de verda i una de negra), 2 pantalons (uns

blanques i 1 de negra.

de blancs i uns de negres) i 3 parells de sabates (unes de blanques, unes de verdes i unes de negres). Si agafa a l’atzar una peça de cada, troba la probabilitat que surti: a) Tot del mateix color.

Càlcul de probabilitats

b) De cap color repetit. c) Samarreta i pantalons del mateix color.

51 ■ Traiem una carta d’una baralla espanyola de 48 naips. Troba la probabilitat de treure: a) Un múltiple de 4. b) Un múltiple de 5.

276

c) Una figura o un as. d) Una figura i una espasa.

57 ■■ Copia i completa els diagrames en arbre següents i contesta: a) Traiem dues boles amb reemplaçament d’una urna que conté 2 boles verdes i 4 de negres. Quina probabilitat hi ha que les dues boles siguin del mateix color?

52 ■■ Troba la probabilitat que, en tirar un dard, caigui dins el

1/3

P(V

V) = 1 · 1 = 1 3 3 9

cercle del gràfic, en els casos següents: (Se suposa que el dard pot anar a qualsevol punt del quadrat amb la mateixa probabilitat.) a) Costat del quadrat c = 4 m.

1/3

b) Costat del quadrat c = 10 m. Quina conclusió se’n pot treure?

b) Traiem dues boles sense reemplaçament d’una urna que conté 2 boles verdes i 4 de negres. Quina probabilitat 53 ■■ Troba la probabilitat que, en tirar un dard, caigui dins la

hi ha que siguin totes dues del mateix color?

corona circular, en els casos següents:

1/5

a) R = 6 cm i r = 4 cm. b) R = 3 cm i r = 2 cm. c) R = 6 m i r = 4 m. Quina conclusió en se’n pot treure?

1/3

P(V

V) = 1 · 1 = 1 3 5 15

58 ■■■ D’un grup de 3 homes (Joan, David i Lluís) i 3 dones

63 ■■ Tirem dos daus. Escriu els esdeveniments elementals que

(Sílvia, Isabel i Rosa), triem dues persones a l’atzar de la manera

formen els esdeveniments següents:

següent:

a) A = «la seva suma és 6»

Primer en triem una, i si és un home, a continuació triem una de

b) B = «la resta del més gran amb el més petit és 2»

les dones, però si la primera triada és una dona, a continuació

c) C = «el més gran és un 3»

triem una persona qualsevol de les 5 restants.

d) D = «tots dos són nombres parells»

Fes un diagrama en arbre per trobar la probabilitat que:

e) A ∩ B

a) Una de les persones triades sigui la Sílvia.

f) C ∩ D

b) Una de les persones triades sigui en Lluís.

g) B ∪ C h) (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) 64 ■■ Fixa’t en l’esquema següent i troba:

Àlgebra d’esdeveniments 59 ■ Si P (A) = 0,4, troba P (A).

a) P(A)

c) P(A ∪ B)

b) P(B)

d) P (A ∩ B)

60 ■ Si P (A) = 0,4 i P (B) = 0,5 i P(A ∪ B) = 0,6, troba P(A ∩ B).

Estadística i probabilitat

Activitats

E B A

61 ■ A partir de l’esquema següent, troba: a) P (A)

c) P(B)

b) P (A)

e) P (A ∩ B)

d) P (A ∩ B)

0,1

0,3

f) P(A ∪ B) E

0,2

A 5

277

65 ■■ Si l’esquema anterior correspongués a un grup de 20 persones que saben parlar francès (A) o anglès (B). 5

Comprova la fórmula de les probabilitats totals. 62 ■■ Tenim la situació següent: «D’un grup de 12 nois, a 8 els agrada el futbol i a 6 els agrada el bàsquet, i són 4 els que els agrada el futbol i el bàsquet». a) Fes un esquema d’aquesta situació (anomena F el con-

a) Quants saben parlar francès? b) Quants saben parlar anglès? c) Quants saben parlar tots dos idiomes? d) Quants no parlen cap dels dos idiomes? 66 ■■■ Un examen té 3 preguntes (A, B i C). La probabilitat que un alumne les sàpiga contestar queda reflectida en aquest esquema:

junt dels que agrada el futbol, i B, el conjunt dels que els

agrada el bàsquet).

0,10

b) A quants no els agrada ni el futbol ni el bàsquet? c) A quants dels que els agrada el bàsquet no els agrada 0,15

el futbol? A 0,10

0,10

0,20 0,15

0,10

Troba la probabilitat que: a) Sàpiga contestar la A i la B, però no la C. b) Les sàpiga contestar totes tres. c) En sàpiga contestar una com a molt. d) En sàpiga contestar dues. e) No en sàpiga contestar cap.

Estadística i probabilitat

Repte 67 ■■■ El gerent d’una sabateria ha fet un estudi de les ven-

69 ■■■ Fes un estudi estadístic (taula de freqüències, mitjana

des d’un model determinat de sabata segons la talla. Les talles

aritmètica, moda i un gràfic de barres de les freqüències abso-

disponibles són 41-45. A causa d’un error informàtic ha perdut

lutes) del joc que se’t proposa a continuació.

les freqüències absolutes, però potser encara es pot aprofitar el

Es juga per torns amb un dau corrent de sis cares. A cada torn,

que resta.

els jugadors tiren el dau i anoten els punts obtinguts. Si treuen

a) Copia i completa la taula de manera que les freqüèn-

2, 3, 4, 5 o 6 poden tornar a tirar el dau i seguir anotant. Quan

cies absolutes que posis siguin coherents amb les fre-

vulguin, deixen de tirar, sumen els punts als obtinguts als torns

qüències relatives indicades.

anteriors i esperen el torn següent. El jugador que en alguna

tirada tregui 1 deixa de tirar, perd els punts d’aquest torn i ha

0,2

0,1

0,3

0,1

d’esperar el torn següent. Guanya el jugador que arriba primer a 100 punts (o més). Si en el mateix torn, ho aconsegueixen dos jugadors o més, comparteixen la victòria. Prova-ho aplicant aquestes condicions: hi haurà quatre jugadors; el primer farà un màxim de 2 tirades per torn; el segon,

b) Troba un altre valor per a cadascuna de les freqüències absolutes que també sigui una solució correcta de l’exercici. c) Quina condició han de complir aquests valors?

un màxim de 3; el tercer, un màxim de 4, i el quart, un màxim de 5. Els valors de la variable aleatòria són els nombres màxims de tirades per torn dels jugadors (2, 3, 4, 5). La freqüència absoluta de cada valor és el nombre de partides que cada jugador ha guanyat.

278

68 ■■■ Calcula la mediana, la moda i la mitjana aritmètica

Aquest estudi et permetrà determinar quina de les quatre es-

per a les dues solucions de l’exercici anterior.

tratègies és preferible. Com més partides facis més fiable serà la

Compara els valors obtinguts en cada cas.

conclusió que en treguis.

Autoavaluació Sé classificar les variables estadístiques i triar una

Sé trobar paràmetres estadístics?

mostra?

4. Fixa’t en el conjunt de dades següents referit al nombre

1. Classifica les variables estadístiques següents:

d’hores que han dedicat uns alumnes a estudiar durant el dar-

a) En un bloc de pisos, el nombre d’habitants de cada pis.

rer cap de setmana, i calcula:

b) La nacionalitat dels clients d’un restaurant de la costa,

5, 3, 4, 5, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 5, 1, 3, 2, 1, 3 i 3

durant l’estiu.

a) La moda.

d) El recorregut.

c) La massa en quilograms de cada una de les 5 000 ove-

b) La mediana.

e) La desviació mitjana.

lles d’una granja.

c) La mitjana aritmètica.

2. De cada una de les variables de l’exercici anterior, digues: Entenc el concepte de probabilitat i el sé calcular?

a) Quina és la població? b) Quin tipus de mostreig és el més adequat?

5. Es treu una carta d’una baralla espanyola de 48 cartes. Considera els successos A = «treure un múltiple de 4» i B = «treure

Sé interpretar gràfics estadístics?

un as o un rei».

3. El gràfic següent correspon a la piràmide de població d’una

a) Escriu els esdeveniments elementals que formen el suc-

ciutat. Calcula quants habitants té.

cés A.

8 000

6 000

4 000

2 000

4 000

80 60

b) Escriu els esdeveniments elementals que formen el suc-

d) Troba P(A).

e) Troba P(B).

40 30

f) Troba P (A).

edat

8 000

c) Digues si A i B són incompatibles o no.

6 000

cés B.

dones

homes

Estadística i probabilitat

Competències que sumen Les notes de classe A la classe d’en Gabriel hi ha 20 alumnes. Les notes que han tret d’Educació física han estat les següents: 8

1. En Gabriel vol calcular la nota mitjana que han obtingut els companys de la classe. Indica la resposta correcta: a) 7,15

b) 7,3

c) 7,5

d) Cap de les anteriors.

2. En Gabriel vol ordenar les dades amb una taula de freqüències. En aquesta taula ha d’escriure el nombre de vegades que apareix cada resultat (freqüència absoluta). Copia i completa la taula i indica la moda. nota

freqüència absoluta

10 2

279

3. Un amic d’en Gabriel, que és de l’altra classe, li comenta que al seu grup va suspendre un 5% dels alumnes i va treure un excel·lent (9 o 10), un 15%. Quina comparació pot fer en Gabriel entre els que suspenen i els que treuen excel·lent de les dues classes? 4. En Gabriel vol fer un histograma per representar les freqüències absolutes. Per això dibuixa uns eixos de coordenades i indica, a

l’eix X, les notes que han obtingut els alumnes: 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10.

Explica com s’acaba l’histograma i dibuixa’l a la llibreta.

4 3 2 1 0

5. La professora d’en Gabriel els ha presentat un gràfic que agrupa els resultats en: insuficient (menys de 5), suficient (un 5), bé (un 6), notable (7 o 8) i excel·lent (9 o 10). Dels dos gràfics que es presenten a continuació, raona quin és el correcte: a)

5% 20%

10%

15%

10%

Insuficient Suficient 20%

20%

Bé Notable Excel·lent

45%

50%

Activitats TAC

Unitat 1 Operacions amb nombres enters i divisibilitat amb la calculadora WIRIS Unitat 2 Simplificar i reduir fraccions a denominador comú amb un programa de gestió de fulls de càlcul Unitat 3 Nombres decimals i el sistema sexagesimal amb la calculadora WIRIS Unitat 4 Algoritme de l’arrel quadrada amb un programa de gestió de fulls de càlcul Unitat 5 Monomis i polinomis amb la calculadora WIRIS Unitat 6 Resoldre equacions amb la calculadora WIRIS Unitat 7 Percentatges, descomptes i augments amb un programa de gestió de fulls de càlcul Unitat 8 Representació de funcions mitjançant el GeoGebra Unitat 9 Àrees i perímetres de figures planes mitjançant el GeoGebra Unitat 10 Homotècies i construcció de polígons semblants mitjançant el GeoGebra Unitat 11 Dibuixar poliedres mitjançant la calculadora WIRIS Unitat 12 Àrees i volums de cossos de revolució mitjançant un programa de gestió de fulls de càlcul Unitat 13 Estadística mitjançant un programa de gestió de fulls de càlcul

TAC

Unitat 1

Operacions amb nombres enters i divisibilitat amb la calculadora WIRIS

1. Vés al lloc web de la calculadora WIRIS (http://www.wiris.net/demo/wiris/ca/index.html) i observa els elements que la formen:

2. Efectua les operacions següents per tal d’observar com WIRIS

6. Escriu l’ordre següent per fer operacions combinades, en les

obté el valor absolut d’un nombre enter:

quals es barregen sumes, restes, multiplicacions i divisions. Des-

a) Escriu l’ordre absolut(nombre) a la finestra de treball o bé utilitza la icona de la barra d’eines.

No t’oblidis de posar tots els parèntesis o apareixerà un missatge d’error.

b) A continuació, escriu els nombres entre els parèntesis de l’ordre o bé en el requadre verd de la icona. c) Fes clic a la icona

per obtenir el resultat.

prés, fes clic a la icona

de la pestanya Operacions

o prem les tecles Ctrl + Retorn

per obtenir el resultat:

Exercicis proposats 1. Fes les operacions següents amb la calculadora WIRIS:

282

a) -4

c) -12

e) -(- 34)

b) 16

d) -(-4)

f) −(-9)

2. Fes les operacions següents. Després, troba el valor absolut de cada resultat:

3. Escriu les ordres següents i observa com WIRIS permet sumar,

a) (6 + 2 − 7 + 3 − 4)

c) (-4 − 5 − 6 − 2 − 3)

restar i multiplicar nombres enters. Tecleja els parèntesis a la fines-

b) -(-7 + 2 − 5 + 3 − 2)

d) (-4 − 5 + 8 − 2 − 5)

tra de treball o fes servir la icona

. Fes clic a la icona

per

obtenir els resultats: No oblidis posar entre parèntesis els nombres negatius.

3. Fes les multiplicacions següents: a) (+3) · (+10) · (-4) · (+5)

d) (+7) · (-5) · (-2) · (-3)

b) (-3) · (-8) · (+5) · (-4)

e) (-6) · (+4) · (+5) · (-3)

c) (+2) · (-7) · (+8) · (+12) f) (-8) · (+4) · (-5) · (+3) 4. Fes les divisions següents. Indica quin és el valor del dividend, del divisor, del quocient i del residu:

4. Calcula el valor de l’operació 43 : (-3). Per fer-ho, fes clic a la icona

i escriu 43 a la posició del dividend i -3 a la del

divisor. També es pot fer escrivint les ordres quocient(43,-3) i residu(43,-3). Fes clic a la icona

per obtenir els valors del

quocient i del residu:

a) (-0,8) : ( -2)

c) (+12) : (+12)

b) (35) : (-5)

d) (-7) : (+7)

5. Calcula el m. c. d. i el m. c. m. dels grups de nombres següents: a) (15, 25)

c) (15, 9, 30)

e) (20, 30, 45)

b) (34, 80)

d) (145, 72, 54) f) (34, 72, 26)

6. Calcula les operacions combinades següents fent servir una línia d’ordres única: a) [(-1 + 3 − 7) : (+5 − 6)] − [(+3) · (-2 − 1)] b) [(+32) : (-14 − 2) + (-4)] + (+3 − 7) · (-1) + (3 − 1)]

5. Escriu mcm(4,12) per obtenir el mínim comú múltiple de 4 i 12. Després, escriu mcd(3,4,6) per calcular el màxim comú divisor de 3, 4 i 6:

c) [(-3 − 5 -2) : (+5 − 3)] · [(+5) + (+5 + 6 − 7) · (-2 − 9)] d) (-2) · 3 + 5 · [(+5) − (-1)] e) [(-4) · 5 + 2] : [(-4 + 3 − 2) · (3 · 2)] f) [(-7) · (-3 + 5 − 1 + 7)] · 7 + 4 Fes els exercicis 45, 46, 47 i 48 pàg. 20; 70, 71, 72 i 73 pàg. 21.

TAC

Unitat 2

Simplificar i reduir fraccions a denominador comú amb un programa de gestió de fulls de càlcul

1. Obre un programa de gestió de fulls de càlcul, com ara el Calc del paquet d’ofimàtica OpenOffice.org (o qualsevol altre programa de gestió de fulls de càlcul) i crea un document.

2. Escriu el text Fraccions a la cel·la A1, el text Numerador a la

8. Introdueix els textos següents i dóna’ls el format de la imatge:

B1 i el text Denominador a la B2. A continuació, introdueix els numeradors de les fraccions de la cel·la C1 a la G1, i els numeradors de la C2 a la G2. Les fraccions són 3/4, 3/5, 1/2, 2/5 i 1/3:

9. Escriu el numerador de la fracció que es vol simplificar a la Dóna format a les cel·les. Pinta les cel·les A1, B1 i B2 amb la icona Color de la barra d’eines. Per posar una línia entre el numerador de fons dins i el denominador, selecciona les cel·les B1 a G1 i escull l’opció . de la icona de menú Vores

cel·la B10 i el denominador a la B11. Per calcular el màxim comú divisor (m. c. d.) dels dos nombres de la fracció, escriu la fórmula =MCD(B10;B11) a la cel·la C13. 10. Escriu la fórmula =B10/C13 a la cel·la D10 i la fórmula

3. Escriu el text m. c. m.= a la cel·la B4. Després, escriu la fórmula

=B11/C13 a la cel·la D11.

=MCM(C2:G2) a la cel·la C4. Amb el m. c. m. dels denominadors s’obté el valor del denominador comú.

11. Escriu la fórmula =SI(C13=1;”Fracció irreductible”;””) a la cel·la A12. Quan no es pugui simplificar la funció, és a dir, quan el m. c. d. entre el numerador i el denominador sigui 1, apareix el

4. Escriu Fraccions a la cel·la B6 i equivalents a la B7.

text Fracció irreductible:

5. Escriu la fórmula =$C$4 a la cel·la C7 i arrossega-la fins a la cel·la G7. 6. Escriu la fórmula =$C$4*C1/C2 a la cel·la C6 i arrossega-la fins a la cel·la G6.

Exercicis proposats

Aquesta acció multiplica els numeradors pel mateix nombre pel qual s’ha multiplicat el denominador de cada fracció.

7. Comprova el resultat reduint a denominador comú 3 fraccions. En les fraccions que no interessi reduir a denominador comú, posa 1 al numerador i 1 al denominador de les cel·les corresponents. No cal tenir en compte les fraccions equivalents relacionades amb aquestes:

1. Simplifica a la fracció irreductible les fraccions següents: 12 11 a) f) 32 121 3 3 b) g) 4 12 2 15 c) h) 20 60 47 5 d) j) 12 10 20 22 e) i) 100 44 2. Redueix les fraccions següents a denominador comú: 12 3 2 5 2 2 3 2 7 , , , i . c) , , i . a) 32 4 20 12 12 3 4 20 12 1 3 2 7 2 2 3 14 b) , , , i . d) , i . 3 4 20 12 10 3 5 30 Fes els exercicis 50 i 51 pàg. 38.

Ombreja i separa els grups de cel·les amb la icona

283

TAC

Unitat 3

Nombres decimals i el sistema sexagesimal amb la calculadora WIRIS

1. Vés al lloc web de la calculadora WIRIS: (http://www.wiris.net/ demo/wiris/ca/index.html) Després de la coma, cal indicar amb quina unitat vols obtenir el resultat.

2. Escriu a la finestra de treball les operacions amb nombres decimals següents:

9. Fes les operacions següents i fixa’t com es fan sumes, restes, multiplicacions i divisions de nombres sexagesimals:

La part entera se separa de la decimal amb un punt.

3. Escriu la fracció següent i fes Calcular per tal d’obtenir la fracció irreductible equivalent. També pots obtenir l’expressió decimal de la fracció: Cal posar el numerador o el denominador en forma decimal. Si és un nombre enter, s’ha de posar un punt a la seva dreta.

bre) pels nombres decimals igual que amb els enters.

Exercicis proposats

4. Per comparar dos nombres decimals, escriu entre ells els símbols

284

Pots fer servir les ordres quocient (nombre) i residu (nom-

=, < i > i un interrogant al final. Escriu les operacions següents:

1. Troba l’expressió decimal de les fraccions següents: a) 4 b) 6 c) 2 d) 7 5 13 15 24 2. Ordena els nombres decimals següents de més petit a més

gran: 0,23; 0,64; 1,311; 1,31; 1,40; 1,99; 2,02 i 1,56

5. Fes servir l’ordre ordena{a,b,c,d,e,......} per ordenar una llista de nombres de més petit a més gran.

3. Calcula el resultat de les operacions següents: a) 1,2 + 3,4 − 3,54 − 5,71 − 9,6 + 8,6 + 2,3 b) (3,61 · 2,31) + (6,20 · 2,3) − 3,4 c) 76,12 : 3,2 d) 1,9999 + 0,0001 − 2,5

6. Escriu les expressions següents i fixa’t com es fan operacions combinades amb nombres decimals:

4. Fes les conversions d’unitats següents: a) 3o 45’ 40” a minuts b) 1o 12’ 44” a graus c) 13o 5’ 54” a segons d) 23o 15’ 10” a graus e) 6o 4’ 4” a segons

7. Obre la pestanya Unitats de la barra d’eines. Trobaràs les icones de les unitats angulars: nuts)

(segons); i les de temps:

(hores),

f) 23o 41’ 50” a minuts

(graus),

(mi-

(minuts) i

(segons).

5. Fes les conversions d’unitats següents: a) 12 h 30 min 45 s a minuts b) 2 h 3 min 4 s a segons

8. Utilitza l'ordre convertir per transformar les expressions com-

c) 22 h 34 min 5 s a hores

plexes en incomplexes:

d) 32 h 54 min 54 s a hores e) 10 h 30 min 5 s a minuts f) 1 h 36 min 54 s a segons Fes els exercicis 40 pàg. 59; 50, 53, 59 i 60 pàg. 60; 93 i 94 pàg. 62.

TAC

Unitat 4

Algoritme de l’arrel quadrada amb un programa de gestió de fulls de càlcul

1. Obre un programa de gestió de fulls de càlcul, com ara el Calc

10. Ara has de baixar la tercera parella de xifres. Fes-ho de la

del paquet d’ofimàtica OpenOffice.org (o qualsevol altre progra-

mateixa manera que el punt 7, i escriu a la cel·la D7 la fórmula

ma de gestió de fulls de càlcul) i crea un document.

=(C7*100)+D2.

2. En aquest exercici crearàs un full de càlcul per obtenir l’arrel quadrada d’un nombre de 6 xifres a partir de l’algoritme per calcular-la. Quan acabis, només hauràs d’introduir els nombres de les cel·les blaves i obtindràs l’arrel.

11. Repeteix el que has fet en el punt 8, però amb les primeres dues xifres de l’arrel. Escriu a la cel·la F5 la fórmula =F2*10+G2*2, i per a les altres, el mateix que has fet per a les de la fila 4; a la cel·la I5 escriu =G5, i a la K5, =((F5*10)+G5)*I5. 12. Repeteix el procediment del punt 9: posa a la cel·la G5 una xifra que l’operació de la cel·la K5 s’acosti el màxim possible a la

3. Primer cal donar format a la taula perquè s’entenguin millor

D7. Això ho veuràs si escrius a la cel·la D8 la fórmula =–K5, i a la

els diferents apartats. Ombreja les cel·les segons el model següent

D9 =D7*D8. Per al nostre exemple has de posar 1 a la G5.

amb la icona

de la barra d’eines . Després posa les vores a

les cel·les que correspongui amb la icona

Ara ja tens l’arrel quadrada del nombre 123 456, que és 351 amb un residu de 255.

285

4. Insereix a la cel·la A2 l’operador matemàtic que representa l’arrel quadrada, i que trobaràs en el menú Insereix/Caràcter especial.

13. Pots utilitzar aquest full per calcular arrels quadrades de nom-

5. Ara introdueix el nombre del qual calcularàs l’arrel quadrada

per exemple:

bres d’una xifra fins a sis, alguna de les quals pot ser decimal, com

en les cel·les B2, C2 i D2, posant 2 xifres a cadascuna, començant

Fes l’arrel quadrada de 13,4, que és 3,61 amb 79 de

per la dreta. Per exemple, el nombre 123 456 l’has d’escriure: 12,

residu, seguint el model següent:

34 i 56, per calcular l'arrel de 123 456. 6. A la cel·la F2 escriu un nombre el quadrat del qual s’acosti tant com sigui possible al valor de B2 (en aquest cas, 3, doncs 32 = 9), i després fes la resta; així ja tens la primera xifra de l’arrel. Escriu les fórmules =–(F2^2) a la cel·la B3 i =B2+B3 a la B4. 7. Ara s’ha de baixar la segona parella de xifres del nombre i afegir-les a les de la cel·la B4. Escriu a C5 la fórmula =(B4*100)+C2. 8. A sota de l’arrel, a la cel·la F5, escriu el doble de la xifra de l’arrel que acabes de trobar, amb la fórmula =F2*2. Prepara les

Exercicis proposats 1. Repeteix el procés descrit en l’exemple i calcula l’arrel quadrada dels nombres 121 i 351.

cel·les del costat per al pas següent de l’algoritme: a la I4 escriu

2. Calcula les arrels quadrades dels nombres següents i indica’n el

=G4, i a la K4, =((F4*10)+G4)*I4.

residu. a) 987 654

d) 111 111

g) 100,01

9. Escriu a la cel·la G4 una xifra que l’operació de la cel·la K4

b) 456 189

e) 22 222

h) 45,45

s’acosti tant com sigui possible a la C5; això ho veuràs si poses a

c) 144 f) 100 000 i) 45,6789

la cel·la C6 la fórmula =–K4, i a la C7, =C5+C6. En aquest cas, has d’escriure 5.

Fes els exercicis 64 i 65 pàg. 81.

TAC

Unitat 5

Monomis i polinomis amb la calculadora WIRIS

1. Vés al lloc web de la calculadora WIRIS (http://www.wiris.net/

7. Per fer operacions amb polinomis, primer defineix-los amb una

demo/wiris/ca/index.html).

lletra i després escriu les operacions que vols realitzar. Recorda que cal fer-ho en el mateix problema.

2. Escriu les ordres següents i observa com es calcula el valor numèric d’una expressió algèbrica. Fes clic a la tecla Retorn per passar d’una línia a una altra. Al final, fes clic a la icona

o prem

les tecles Ctrl + Retorn per obtenir el resultat:

Exercicis proposats Per calcular el valor numèric de l’expressió per a uns altres valors de les variables a i b, només has de canviar el nombres i tornar a fer Calcular. 3. Escriu les operacions següents i comprova que la suma i la resta de monomis es fa de la mateixa manera que la suma i resta de nombres enters. Fes clic a la icona

1. Copia i completa la taula següent calculant el valor numèric de les expressions algebraiques per als diferents valors de la variable: x=0

x=1

x = -1

x=2

x = -2

6x2 + 3x − 2 2x2 − 2x 3 x + x2 + 3x 5x − 3

per obtenir el resultat: 2. Troba el valor numèric de l’expressió algèbrica a2 + ab + 4b − 3a per als valors següents de les variables:

286 Si apareixen errors, posa el símbol de producte entre el coeficient i la part literal de cada monomi.

4. Escriu les operacions següents per calcular el producte de monomis. Fes clic a la icona

per obtenir el resultat:

a) a = 1 i b = 0.

d) a = -3 i b = -1.

b) a = 1 i b = 4.

e) a = 2 i b = 0.

c) a = -1 i b = 0.

f) a = 1 i b = 2.

3. Redueix les expressions algebraiques següents: a) 6x2 + 4x − 2x2 − x b) 5x2 − 2x + 3x2 − 2x c) 2ab − ab + 7ab + 4ab − 2ab d) 3ab3 − 3ab + 4ab3 − ab + 5ab e) -10xy − 5xy + 3xy + 5x − 7y + 2y + 2x f) 3ab − 6ab + 5ab + 2ab − 3ab

Posa els monomis entre parèntesis per evitar errors.

5. Escriu les operacions següents per calcular la divisió de monomis. Fes clic a la icona

per obtenir el resultat:

4. Fes les multiplicacions de monomis següents: a) 4a · 2a

c) 3x2 · 5x2

b) -2x(-25x)

d) 3x (-3x 2

e) 5a2 · 3ab

)

f) 2ab · 5b2

5. Fes les divisions de monomis següents: a) 6x3 : 2x b) (-2x

d) 2a4 : a2

) : (-2x )

c) 25m4 : 15m3

e) (-16y4) : (-2y2) f) (-24z5) : 4z4

6. Introdueix les identitats notables següents. En fer Calcular, la WIRIS les desenvolupa:

6. Desenvolupa les identitats notables següents: a) (ab + 1)

d) (2a + 4)

b) (1 − b)

e) (2ab − 3)

c) (a − 2) · (a + 2)

f) (2b + 4) · (2b − 4)

Fes els exercicis 21, 22, 23 i 24 pàg. 97; 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48 i 49 pàg. 98; 51, 54, 56; 57, 58, 59 i 62 pàg. 99.

TAC

Unitat 6

Resoldre equacions amb la calculadora WIRIS

1. Vés al lloc web de la calculadora WIRIS (http://www.wiris.net/

7. Fes clic a l’opció Resol sistema de la pestanya Operacions de la

demo/wiris/ca/index.html).

barra d’eines. Quan pregunti el nombre d’equacions, escriu un 2:

2. Fes clic a l’eina Resol equació de la pestanya Operacions de la barra d’eines: o Ctrl + Retorn

8. Introdueix les equacions següents i fes clic a per obtenir els valors de les dues variables: 3. Introdueix l’equació 4 − 2x = 3x − 1 escrivint-ne els termes o introduint resol(4 − 2x = 3x − 1) a la finestra de treball. Fes clic o Ctrl + Retorn per obtenir el resultat.

El primer membre de l’equació s’introdueix al quadre verd situat a l’esquerra de la igualtat, i el segon membre, al quadre de la dreta de la igualtat.

4. Fes servir l’ordre resol(expressió) per identificar si una expressió és una identitat o una equació.

Exercicis proposats 1. Indica si les igualtats següents són identitats o equacions: a) 3(2x + 2) = 6 + 6x

d) x2 · x4 = x6

b) x + 6 = 2x − 15

e) 3x + 2 = 11 f) x = 8 3

c) x + x + x = 3x 2. Resol les equacions següents:

El resultat {{x=x}} significa que qualsevol valor de la variable és solució de l’expressió (és a dir, és una identitat). Si s’obté un valor concret, l’expressió és una equació.

a) 2x + 2 = 6 + 6x

d) 2x + 3x = 24 + x

b) x + 6 = 2x − 15

e) 3x + 2 = 11

c) 5 + 2x + x = 3x + 5

f) x + 3 = 8 + 2x

3. Treu els parèntesis de les expressions següents:

5. Escriu les ordres següents per treure els parèntesis de l’expressió 3 (3x + 1) − (x − 1) = 6 (x + 10), sense resoldre les equacions:

a) 2(x + 5) = 3(x + 1) -3 b) 3(x − 3) = 5(x − 1) − 6x c) 3x + 8 − 5(x − 1) = 2(x + 6) − 7x d) 3(3x + 1) − (x − 1) = 6(x + 10 ) e) 3(x + 2) + 4(2x + 1) = 11x − 2(x + 6)

S’obté una expressió més fàcil de resoldre:

f) 5(x − 4) + 30 = 4(x + 6) 4. Treu els denominadors de les equacions següents: a)

6. Es poden treure els denominadors de les equacions abans de resoldre-les. Introdueix l’ordre mcm{nombre,nombre} per obtenir el m. c. m. dels denominadors:

x −2 x −3 = 4+ 4 2  x x c) 2  + 5 = 4 +  4 3 b) 5 ⋅

Fixa’t que s’obté una una equació sense denominadors, però que la solució és la mateixa:

x − 4 x +3 x −6 x −7 + − = 1+ 2 6 3 2

3( x + 5) −7 ( x + 3) + =4 2 10

5. Troba la solució de les equacions dels exercicis 3 i 4. 6. Resol els sistemes d’equacions següents:

Observa que la resolució de l'equació no varia amb aquesta ope-

x + y = 5 a)  x − 2y = 2

x + y = 30 b)  x − y = 10

2x − y = −1 c)  3x + y = 11

ració. Fes els exercicis 29, 30, 31, 32, 33 pàg. 117; 34, 36 i 37 pàg. 118.

287

TAC

Unitat 7

Percentatges, descomptes i augments amb un programa de gestió de fulls de càlcul

1. Obre un programa de gestió de fulls de càlcul, com ara el Calc

7. Fes el mateix procés per al concepte de Lloguer d’equips,

del paquet d’ofimàtica OpenOffice.org i crea un document.

que és proporcional als dies. Escriu 30 a la cel·la B15 i el preu, per

2. Fes servir el full de càlcul per comprovar la factura de la llum. En primer lloc, introdueix els textos següents:

exemple 0,017753 €/dia, a la cel·la C15. A continuació, introdueix la fórmula =B15*D15 a la cel·la D15. 8. Cal sumar tots els imports. Per fer-ho, escriu la fórmula =D8+D11+D12+D15 a la cel·la D17:

Prem el botó dret del ratolí i vés al menú Formata les cel·les... i fes clic a la pestanya nombres. Tria la categoria de Moneda

288

Dóna format a les cel·les. per alinear el text. Utilitza les icones de la barra d’eines. Acoloreix-les amb la icona Color de fons Després, afegeix les vores a les cel·les que correspongui amb la icona de . les Vores

3. Introdueix a la cel·la B3 la lectura de la factura de la llum del mes anterior, per exemple 13 205. Escriu la darrera lectura de la

i el format EUR €.

9. Per calcular l’IVA, que és del 18 %, escriu 18 a la cel·la B18 i la fórmula =D17*(B18/100) a la cel·la D18. 10. Fes la suma de l’import total i de l’IVA escrivint la fórmula =D17+D18 a la cel·la D19.

factura a la cel·la B4. A continuació, tecleja la fórmula =B4-B3

11. Selecciona les cel·les A17:D19, copia i enganxa-les a la cel·la

a la cel·la B5.

A22.

4. Introdueix la potència contractada de la factura de la llum a la

12. Canvia la fórmula que hi ha a la cel·la D23 per la fórmula

cel·la B8, per exemple 4,4 kW. Després, introdueix el preu del ki-

=D22*(B23/100).

lowatt elèctric, per exemple 1,695870 €/kW, a la cel·la C8. Escriu la fórmula =B8*C8 a la cel·la D8.

13. Introdueix l’import 14 € a la cel·la D22, i a la cel·la D23 apareix l’import amb l’IVA.

Exercicis proposats Prem el botó dret del ratolí i vés al menú Formata les cel·les... i fes clic

1. Calcula la factura de la llum dels mesos indicats en la taula següent.

a la pestanya Nombres i tria 6 a l’opció Nombre de decimals.

S’hi mostra la lectura de cada mes i la producció de les plaques solars fotovoltaiques. A principi de l’any el comptador marcava 32 431 kWh.

5. Escriu la fórmula =B5 a la cel·la B11. Després, posa el preu,

Aplica-hi un IVA del 18%:

per exemple 0,140069 €/kWh, a la cel·la C11 i formata-la amb 6 decimals. Escriu la fórmula =B11*C11 a la cel·la D11. 6. Cal introduir les dades de sistemes de generació elèctrica propis, com per exemple, plaques solars fotovoltaiques situades a la teulada, que cal descomptar de la factura. Introdueix la producció de les plaques, per exemple 230, a la cel·la B12, i el preu de l’electricitat, per exemple –0,140069 €/kWh, a la C12. Escriu la fórmula =B12*C12 a la cel·la D12.

lectura (kWh) producció

gener 32 732 125

febrer 32 965 112

març 33 790 234

abril 34 032 317

maig 34 934 453

2. Calcula l’import final d’una factura de 42 €, de la que s’ha de cobrar també el 18% d’IVA. Fes els exercicis 66, 67, 68, 69, 70, 71 i 72 pàg. 83.

TAC

Unitat 8

Representació de funcions mitjançant el GeoGebra

1. Vés al lloc web del programa GeoGebra (http://www.geogebra.

9. Fes clic Clica amb el botó dret sobre la recta a de la zona al-

org/cms/ca/download) i clica a la icona WebStart. Això instal·larà

gebraica i escull l’opció Equació y=ax+b per escriure l’equació de

el programa en cas que encara no el tinguis a l’ordinador. També

la recta:

el pots fer servir al navegador web fent clic a la icona Applet Start de la pàgina anterior o bé escrivint l’adreça http://www.geogebra.

a: –2x + y = 0 Recta llista1 (1, 2), a(2, 4), (3, 6),

org/webstart/geogebra.html.

Equació y = a x + b Forma paramètrica

2. Mostra la graella fent clic amb el botó dret del ratolí sobre

la Zona gràfica i marcant l’opció Graella del diàleg desplegable. També ho pots fer des del menú Visualitza.

Mostra objecte Mostra etiqueta Activa el traç Copia a la Línia d’Entrada

ab Canvia de nom Esborra

3. Obre el menú Visualitza i tria l’opció Full de càlcul.

Propietats ...

4. Introdueix el text Pendent a la cel·la A1, i el valor 2 a la cel·la B1.

10. Canvia el valor de la cel·la B1 pel valor –0,5.

5. Escriu la fórmula =$B$1*A3 a la cel·la B3. Després, arrossega-

la fins a la cel·la B8.

6. Escriu els valors 1, 2, 3, –1, –2 i –3 de la cel·la A3 a la A8: 1

Pendent

–1

–2

–4

–3

–6

Apareixen automàticament els valors proporcionals als de la primera columna.

ratolí i selecciona l’opció Crea llista de punts per dibuixar els punts

0 0

–2

P4 P5 P6

–1

–1,5

–1

0,5

–2

–3

1,5

–0,5

289

11. Varia el valor del pendent o els valors dels punts a la columna A i observa el canvis en la recta.

1. Escriu una funció que tingui pendent -3. Representa-la i anomena’n sis punts diferents. 2. Representa la funció y = 4x. Anomena sis punts que compleixin

a la zona gràfica:

–4

–2

Exercicis proposats

7. Selecciona les cel·les de la A3 a la B8. Clica al botó dret del

–6

–4

P4 0

–6

–0,5

Pendent

–2

–2 –4 –6

8. Selecciona la icona

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A Pendent 1 2 3 –1 –2 –3

aquesta relació funcional.

B 2 2 4 6 –2 –4 –6

(Recta que passa per dos punts) i fes clic

a dos dels punts per dibuixar la recta a.

3. Troba la funció que passa pels punts (0, 0) i (2, 3). Representa-la amb el GeoGebra. 4. Troba l’equació de la funció representada a la figura adjunta. Busca el valor

del pendent i anomena’n quatre punts. 0

–5

Fes els exercicis 28, 29, 32, 33 i 36 pàg. 157; 39, 40, 41 i 42 pàg. 158; 51, 53, 55 i 57 pàg. 159, 65, 66 i 67 pàg. 160.

TAC

Unitat 9

Àrees i perímetres de figures planes mitjançant el GeoGebra

1. Vés al lloc web de GeoGebra (http://www.geogebra.org/cms/ca/download) i clica a la

6. Desplaça els punts A i B amb la icona

icona WebStart. Això instal·larà el programa en cas que encara no el tinguis a l’ordinador.

(Mou). Fixa’t que el valor de l’àrea i del

També pots fer servir el navegador web fent clic a la icona Applet Start de la pàgina ante-

perímetre es modifica automàticament.

rior o bé escrivint l’adreça http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html. 7. Repeteix tot el procediment amb un 2. En executar el programa pots veure els elements que el formen:

polígon irregular, per exemple, de 9 vèr(Polígon) i mar-

texs. Fes clic a la icona

ca els punts que vols que siguin els vèrtexs del polígon i acaba amb el primer que has marcat. Calcula’n l’àrea i el perímetre:

Barra d’eines. Les eines estan agrupades en diversos grups, que pots desplegar fent clic al triangle petit que té cada icona a la part inferior dreta.

Finestra algebraica. Aquí 3 C apareixen les coordenades c dels punts, les equacions de 2 rectes i corbes i l’expressió algebraica de les funcions.

E = (1, 4) F = (0, 3) G = (–2, 3) H = (–3, 1) Objectes dependents Perímetre = 17,95 a=3 b = 2.83 c = 2.24 d=2 e = 1.41 f=2 g = 2.24 h = 2.24 polígon1 = 19.5

x d

e f

c C

Àrea ABCDEFGHV = 19,5 b

H h A

290

Aquestes fletxes etlliures Objectes A = (–1, 0) permeten fer i desB = (2, 0) C = (4, 2) fer les accions. D = (3, 4)

Exercicis proposats

0 0

1. Calcula l’àrea i el perímetre d’un triangle, un quadrat, un hexàgon i un octàgon regulars de costat 5 unitats fent servir el Geo

Línia d’entrada. Aquí pots introduir les expressions algebraiques de les funcions que vols representar. També pots introduir les ordres, que pots triar del desplegable de la dreta.

Zona gràfica. Aquí apareixen les figures geomètriques, les corbes i les gràfiques de les funcions. Per defecte hi ha uns eixos de coordenades. Si situes el ratolí dins d’aquesta zona i fas clic amb el botó dret, accedeixes a un menú que et permet treure i posar els eixos i fer visible o invisible la graella. També és possible

Gebra. 2. Calcula el perímetre i l’àrea de les figures següents: A

B a

realitzar aquestes accions amb l’opció corresponent del menú Visualitza.

b C

3. Amaga els eixos amb l’opció Mostrar o amagar els eixos del menú Visualitza.

D c

4. Tria la icona

(Polígon regular) de la barra d’eines. Marca dos punts per definir la

llargada del costat, per exemple amb 3 quadres de llargada. Després tria el nombre de costats del polígon, per exemple 5. x

B a

Els punts A i B apareixen com a objectes

D d

e F

lliures a la Finestra algebraica. Es poden

modificar amb la icona

(Mou). Tam-

bé apareixen els costats del pentàgon

D c

amb la llargada que tenen. Finalment,

8 e

apareix la línia polígon1=15.48, que és l’àrea del pentàgon; l’àrea també es pot

B a

calcular amb la icona

(Àrea) i fent clic

e F

sobre la figura.

5. Calcula el perímetre de la figura escrivint la fórmula perímetre1=a+b+c+d+e. El resultat apareix a la finestra algebraica.

Fes els exercicis 46, 47 i 48 pàg. 181; 49, 50, 51, 52 i 53 pàg. 182; 55 pàg. 183.

TAC

Unitat 10

Homotècies i construcció de polígons semblants mitjançant el GeoGebra

1. Vés al lloc web del programa GeoGebra (http://www.geogebra.

7. Observa a la finestra algebraica que la proporció entre els cos-

org/cms/ca/download) i clica a la icona WebStart. Això instal·larà

tats del polígon 1 i el polígon 1’ és igual a 2 i que la proporció

el programa en cas que encara no el tinguis a l’ordinador. També

entres les àrees és 22 = 4.

el pots fer servir al navegador web clicant a la icona Applet Start

Comprova-ho escribint a la línia d’entrada de comandes l’ordre

de la pàgina anterior o bé escrivint l’adreça http://www.geogebra.

rcostat=a’/a. I també l’ordre rarees=polígon1’/polígon1

org/webstart/geogebra.html. B’

C’ b’

2. Amaga els eixos de coordenades clicant amb el botó dret del

a’

ratolí sobre la zona gràfica i desmarcant l’opció Eixos. Mostra la

graella amb el mateix procediment i escollint l’opció Graella.

c’

A’

d’

(1, 3), (3, 3) i (2, 1). També es poden introduir escrivint-los en la Línia d’entrada.

D’

Objectes lliures

A = (1, 2) 4. Crea un polígon irregular amb B = (1, 3)

vèrtexs als

(Punt nou) i marca els punts (1, 2),

3. Selecciona la icona

C b

C = (3,anteriors 3) punts D = (2, 1)

8. Dibuixa un polígon semblant al polígon 1 a partir d’una homo-

fent ser-

B b

(Polígon) i marca tots vir la icona Objectes dependents a = 1 gràfica. També es els punts a la zona b=2 c = 2.24 algebraica. Has pot fer a la finestra d = 1.41 d’obtenir unapolígon1 figura= semblant a la 2.5

tècia amb centre al punt E i raó –1. Observa les proporcions entre els costats i les àrees.

291

A d

D’

b a

següent:

A la finestra algebraica han aparegut els segments del polígon

d’

a’ D

amb la seva llargada: a = 1.41, b = 2, c = 2.24, d = 1.41, i

A’

c’ b’ C’

B’

l’àrea del polígon: polígon1 = 2.5. Aquestes dades et serviran més endavant. 5. Crea el punt (6, 2). A continuació, fes servir la icona

(Recta

que passa per dos punts) entre aquest punt i cadascun dels vèrtexs del polígon per dibuixar les diferents rectes que passen per dos punts, marca el punt E i el vèrtex corresponent:

Exercicis proposats 1. Dibuixa un polígon semblant al de l’exemple a partir d’una homotècia amb centre al punt E i raó 0,5. Fixa’t en les proporcions entre els costats i les àrees.

2. Explica les diferències entre homotècies amb el centre dins i fora de

C b

la figura. I entre raó positiva i negativa?

3. Dibuixa un quadrat amb vèrtexs en els punts (0, 0), (0, 2), (2, 0) i (2, 2). Marca el punt (1, 1) com a centre d’homotècia i introdueix

una raó igual a 2. Comprova les raons de proporció dels costats i de

l’àrea. 4. Dibuixa un octàgon irregular. Tria un punt interior pel centre d’ho-

6. Fes servir la icona

(Homotècia) per dibuixar un polígon

semblant al primer. Selecciona el primer polígon (l’objecte del

motècia i fes homotècies diferents de raons 2, 3, 4 i 5. A què et recorda aquesta figura? L’has vist mai a la naturalesa?

qual es dibuixa un de semblant), el punt E (el centre d’homotècia) i introdueix 2 com a raó d’homotècia.

Fes els exercicis 69, 72 i 73 pàg. 208; 84 pàg. 209.

TAC

Unitat 11

Dibuixar poliedres mitjançant la calculadora WIRIS

1. Vés al lloc web de la calculadora WIRIS (http://www.wiris.net/ demo/wiris/ca/index.html)) i clica a la pestanya Geometria:

6. Fes servir les icones i

de la barra d’eines o els signes

de la finestra de gràfics 3D per fer més gran o més petita la

figura. Prem el botó

per tornar a la mida original o clica amb

el botó dret del ratolí sobre la zona gràfica i selecciona Zoom o ampliar, reduir i restaurar al menú desplegable. 7. Gira el prisma fent servir les icones (Dreta),

(Esquerra),

(Amunt),

(Sentit horari ) i

(Avall),

(Sentit antihora-

2. Crea un problema per dibuixar un prisma de base quadrada.

ri ). També ho pots fer clicant amb el botó dret del ratolí sobre la

Pots definir les bases amb l’ordre:

figura i mantenint el botó clicat mentre es mou el ratolí.

poli=polígon(punt(0,-3,-2),punt(3,0,-2), 8. Introdueix les ordres següents per dibuixar una piràmide:

punt(0,3,-2),punt(-3,0,-2)) o bé amb la icona

(Polígon) de la barra d’eines.

3. Escriu l’ordre pris=prisma(poli,8) a la línia següent per definir el polígon com un prisma d’altura 8. També ho pots fer amb la icona

292

de la barra d’eines:

Fixa’t que has d’indicar el polígon de la base i el punt del vèrtex per definir la piràmide:

La icona fa aparèixer un desplegable que permet triar poliedres diferents, com per exemple el prisma, demanant el tipus de polígon i l’altura.

9. Fes clic a la icona

o prem Ctrl + Retorn per obtenir la pirà-

mide al tauler1.

4. Introdueix l’ordre dibuixa3d(pris) a la línia següent del problema i fes clic a la icona

o prem Ctrl + Retorn.

5. Amaga els eixos amb la icona la icona

(Mostra eixos) i la malla amb

(Mostrar malla) de la barra d’eines. També ho pots fer

amb el botó dret del ratolí sobre la zona gràfica i seleccionar Eixos o Malla al menú desplegable:

Exercicis proposats 1. Dibuixa un prisma que tingui per base un hexàgon amb els vèrtexs als punts (4, 0, 0), (2; 3,464; 0), (-2; 3,464; 0), (-4, 0, 0), (-2; -3,464; 0) i (2; -3,464; 0) i una altura de 8. 2. Dibuixa una piràmide que tingui per base l’hexàgon de l’exercici anterior i vèrtex al punt (0, 0, 8). Fes els exercicis 60 pàg. 233; 75 pàg. 234.

TAC

Unitat 12

Àrees i volums de cossos de revolució mitjançant un programa de gestió de fulls de càlcul

1. Obre el programa Calc del paquet ofimàtic OpenOffice.org

11. Fes el mateix per a una esfera de 5 cm de radi. Escriu la

(o qualsevol altre programa de gestió de fulls de càlcul) i crea un

fórmula =4*PI()*POTENCIA(A11;2) a la cel·la B11 per calcular

document.

l’àrea i la fórmula =4*PI()*POTENCIA(A11;3)/3 a la C11 per al volum.

2. Introdueix els textos de les dues primeres files i dóna format a les cel·les per obtenir una taula com aquesta:

3. Escriu la fórmula =PI()*POTENCIA(A3;2) a la cel·la C3 per obtenir l’àrea de la base. Després, introdueix la fórmula =2*C3 a la cel·la D3 per obtenir l’àrea de les dues bases.

Exercicis proposats 1. Calcula els valors que falten d’una sèrie de cilindres fent servir un full de càlcul i copia i completa la taula següent:

4. Escriu la fórmula =2*PI()*A3*A4 a la cel·la E3 per calcular l’àrea lateral. Introdueix la fórmula =D3+E3 a la cel·la F3 per ob-

radi

altura

tenir l’àrea total.

4,5

2,3

6,2

1,3

5. Escriu la fórmula =C3*B3 a la cel·la G3 per obtenir el volum.

àrea lateral

àrea total

volum

293

6. Selecciona les cel·les C3 a G3 i fes clic al botó dret del ratolí. Del menú desplegable escull l’opció Formata les cel·les.... Tria

2. Copia i completa la taula següent amb la generatriu, les àrees late-

l’opció Nombre de decimals de la pestanya Nombres i escriu un 2.

rals i el volum d’una sèrie de cons:

7. Introdueix les dades d’un cilindre de radi 3 cm i altura 8 cm a

radi

altura

la cel·la A3 i B3, respectivament:

3,3

6,28

2,1

5,2

8. Repeteix el procediment per a un con. Introdueix el radi -per exemple, 2 cm- a la cel·la A7, i l’altura –per exemple 10 cm– a la cel·la B7. Escriu la fórmula de l’àrea de la base,

generatriu

àrea lateral

àrea total

volum

3. Copia i completa la taula següent amb l’àrea i el volum d’una sèrie d’esferes:

=PI()*POTENCIA(A7;2), a la cel·la C7. Després, introdueix la

radi

fórmula de l’àrea total, =C7+E7, a la cel·la F7.

3,2

àrea

volum

6,4 1 2

9. Per calcular la generatriu del con escriu la fórmula =ARRELQ (POTENCIA(A7;2)+POTENCIA(B7;2)) a la cel·la D7. 10. Escriu la fórmula =PI()*A7*D7 a la cel·la E7 per calcular l’àrea lateral. Després, introdueix la fórmula =C7*B7/3 a la cel·la G7 per calcular el volum.

4. Calcula el volum total d’un gelat format per un con de 15 cm d’altura i una bola de 5 cm de diàmetre. 5. Calcula el volum del tronc de con que obtenim de tallar els 15 cm de la punta d’un con de 20 cm de diàmetre i 30 cm d’altura. Fes els exercicis 37, 38, 40, 41, 43 i 44 pàg. 252; 49 i 50 pàg. 253.

TAC

Unitat 13

Estadística mitjançant un programa de gestió de fulls de càlcul

1. Obre el programa Calc del paquet ofi-

6. Repeteix el procés

màtic OpenOffice.org (o qualsevol altre

anterior amb l’opció

programa de gestió de fulls de càlcul) i

Diagrames de sectors.

crea un document.

Has d'obtenir una fi-

2. Per analitzar un experiment consistent a llançar 20 vegades seguides un dau (que

gura semblant a l’anterior.

té com a resultats 4, 3, 6, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 1, 4, 5, 1, 6, 4, 5, 3, 1, 2, i 6), escriu Resultat a la cel·la A1 i el text Freqüència absoluta a la B1. 3. Després, introdueix els valors possibles del resultat (1, 2, 3, 4, 5 i 6) a la primera

7. Escriu SUMA a la cel·la A8, i la fórmula =SUMA(B2:B7) a la B8. Arrossega aquesta fórmula fins a la cel·la G8. 8. Escriu el text Freqüència relativa a la cel·la C1, i la fórmula =B2/$B$8 a la cel·la C2. Arrossega la fórmula fins a la cel·la C7.

columna. Al costat, a la columna B, escriu

9. Escriu el text % a la cel·la D1, i la fórmula =C2*100 a la cel·la D2. Arrossega la fórmula

el nombre de vegades que ha sortit el va-

fins a la cel·la D7.

lor corresponent en l’experiment:

10. Escriu el text A*B a la cel·la E1, i la fórmula =A2*B2 a la cel·la E2. Arrossega-la fins a la cel·la E7. 11. Escriu el text Mitjana = a la cel·la C10, i la fórmula =E8/B8 a la cel·la D10.

294

12. Escriu el text |A-Mitjana| a la cel·la F1, i la fórmula =ABS(A2-$D$10) a la cel·la F2. Arrossega la fórmula fins a la cel·la F7. 4. Selecciona les dues columnes amb els títols inclosos i fes clic a la icona

(Di-

13. Escriu el text F*B a la cel·la G1, i la fórmula =F2*B2 a la cel·la G2, i arrossega-la fins a la cel·la G7.

agrama de la barra d’eines). Escull l’opció

14. Introdueix el text Desviació mitjana = a la cel·la C11, i la fórmula =G8/B8 a la

Columnes, marca la casella Aparença 3D

cel·la D11. El resultat final ha de ser com el de la imatge següent:

i rem Següent. 5. A continuació marca les caselles Primera fila com a etiquetes, Primera columna com a etiquetes i Finalitzar. Has d’obtenir una figura semblant a la següent:

Exercicis proposats 1. Calcula la mitjana i la desviació mitjana del conjunt de notes de l’últim control de matemàtiques d’un grup d’alumnes de 2n d’ESO: nota alumnes

1 1

2 1

3 2

4 3

5 6

6 2

7 3

8 3

9 2

10 1

2. Representa les notes de l’exercici anterior en un diagrama de barres i en un diagrama de sectors. Fes els exercicis 26, 27, 28 i 29 pàg. 273; 30 i 31 pàg 274.

Solucionari Unitat 1 Els nombres enters d) 28 ˚C

b) -20 ˚C

e) -10 €

b) 81 = 34 c) 21 = 3 · 7 d) 17 és primer.

c) -50 m f) -9 ˚C 2

–10

–3

Solucionari

1 a) 123 cm

21 a) 60 = 22 · 3 · 5

22 a) 2

d) 6

g) 5

b) 2

e) 5

h) 10

c) 5 f) 2 i) 10

23 La primera, la quarta, la setena i la desena. –12

–1 +1 +3

–6

3 a) 7

d) 0

b) 23

e) 3

AUTOAVALUACIÓ 1 a) Fals. b) Cert.

c) 60 f) 2

c) Cert.

4 a) Falsa.

d) Cert.

b) Veritable.

2 a) -3

c) Falsa.

b) -30

d) Veritable.

d) 46

3 a) 6, 10, 12, 20, 28, 30, 40, 48, 50.

e) Veritable.

b) 12, 20, 28, 40, 48.

f) Falsa. 5 a) 0

b) -4

6 a) 7,5

d) 1 e) -12

b) -5

c) 34

c) 10, 20, 25, 30, 35, 40, 50. d) 28, 35. e) 3, 17, 37, 47. 4

m. c. m.

m. c. d.

6 i 10

b) 1

8, 12 i 15

120

c) -48

8, 16 i 20

18, 24 i 36

c) 10 f) -3 7 a) 0

8 a) -10

d) +3 e) -825

b) -3

c) -9 f) -25 9 a) -45

c) 10

b) -12

d) -4

10 a) 4 860

c) 256 d) -120

b) -1

c) -1

11 a) 12

5 Cada 468 dies.

Unitat 2 Els nombres fraccionaris 1

d) 5

b) 6 12 a) 1

b) 16

13 175 kg. 14 7 erugues. 15 a) 2, 10, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 40, 42, 48 i 50. b) 12, 15, 21, 30, 33, 36, 48 i 45. c) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 i 50. 16 a) Primers: 3, 5, 31, 41, 47, 21, 61, 71 i 101. b) Compostos: 10, 30, 40, 50 i 81. 17 a) 105

c) 900

b) 385

d) 78

18 a) 20 = 2 · 5 2

b) 120 = 23 · 3 · 5 c) 3 456 = 27 · 33 19 a) Sí. b) No. 20 77.

295

fracció

3 5

2 12

7 4

23 6

9 5

-4 11

1 7

-5 3

numerador

-4

-5

denominador

2 a) pròpia

c) pròpia

b) pròpia

d) unitat

1 1 3 a) 1+ d) 6 + 2 5 1 4 b) 2 + e) 1+ 2 7 4 1 c) 1+ f) -4 5 3 3/5 4 a)

1 6/5

Solucionari

7/3

5 L’edat d’en Marc serà la mateixa que la de la Judit, però multiplicada per 7 i dividida per 3. 6 a), c), d), f). 21 7 14 28 70 35 = = = = = = ... 15 5 10 20 50 25 2 4 6 10 20 12 b) = = = = = = ... 5 10 15 25 50 30 1 2 3 4 5 6 c) = = = = = = ... 12 24 36 28 60 72 3 6 9 12 15 18 d) = = = = = = ... 7 14 21 28 35 42 −5 −10 −15 −20 −25 −30 e) = = = = = = ... 8 16 24 32 40 48 2 4 6 8 10 20 8 a) = = = = = = ... 15 30 45 60 75 150 20 40 60 80 100 120 b) = = = = = = ... 7 14 21 28 35 42 3 6 12 30 15 18 c) = = = = = = ... 5 10 20 50 25 30 4 8 12 16 20 24 d) = = = = = = ... 7 14 21 28 35 42 1 2 3 4 5 6 e) = = = = = = ... 6 12 18 24 30 36 9 Sí, són fraccions equivalents. 7 a)

296

35 75 811 b) 11 3 19 c) 9 5 9 17 a) 5 4 b) 6 3 c) 7 8 d) 3 25 18 64 100 19 cm2 16 1 20 cm 2 11 21 a) 3 5 b) 12 -7 c) 20 16 a)

10 No, la Maria ha pintat més. 7 3 7 b) 2 −6 −3 = c) 4 2

11 a)

1 9 3  47  b)    30 

22 a)

8 3 5 d) 4 23 2,5 € c)

6 5 49 12 a) 30 133 b) 60 13 a) B) d)

AUTOAVALUACIÓ 12 =3 4 b) Igual a la unitat.

1 a) Impròpia.

c) Pròpia.

b) C)

1 6 e) Igual a la unitat. d) Impròpia. 2 +

c) A) d) D) e) E) 14 a) D) 3

2 15 a)    3  6

7  b)    9  5

b) C)

c) B)

19 3 = 4+ 4 4

h) Pròpia. 7

 12  e)    7  4

f) Impròpia. g) Pròpia.

3 d)    5 

 1  9 c)   f)     8   2

d) A)

2 a) 15 b) 7 2 3 a) 3 5 b) 6

c) 11 d) 9 3 e) 3 1 2 5 f) d) 7 2 c)

321 90 f) 5 e)

9007 9000 39 h) 90 12201 i) 100 5 3,759. g)

Solucionari

−3 1 2 4 < < = 2 2 2 4 4 4 4 4 4 < < < < b) −3 10 9 6 3 3 3 3 4 6 9 c) < < < < < −4 9 4 3 4 3 5 9 12 20 80 d) < < < = 3 4 5 8 32 1 26 5 a) d) 30 25 6859 12 e) b) 25 1000 125 c) f) 2 28 13 6 Queden dels participants. 20 4 a)

6 a) 69,3 b) 23,49 c) 25,214 d) 21,06 e) 31,441 7 a) 4,67 b) 0,145

Unitat 3 Els decimals i el sistema sexagesimal 1 Enters: 35, -2, -4 Decimals exactes: 0,005; 0,07

c) 0,00235 d) 10,0598 e) 0,045 f) 7,95273 8 a) 4,825.

Decimals periòdics purs: 3,555...

b) 1,01666..

Decimals periòdics mixtos: 1,00666...

c) 11,2557...

Irracionals: p; 9,1234...

d) 5,29

2 a)

e) 10,012

5,55

f) 1,32023...

5,5

5,6

5,49

9 a) 10 b) 34 963 c) 10 000

5,40

5,50

d) 1 000 10 5,25 €.

5,5

11 3,1 kg.

12 75,5 €. 13 a) 45,5

5,546

b) 2,1

5,54

5,55

c) 5,0 d) 1,0

14 a) 45,6

b) 2,2 c) 5,0

d) 1,0

−5

3 1,001 < 1,005 < 1,0666... < 1,0788... < 1,239 < < 1,333 < 1,9004 < 2,001 86 4 a) 9 40183 b) 100 7 c) 1000 5 d) 9

e) 21,1 f) 32,1 15 a) 7 200’’ b) 5 700’’ c) 19 800’’ d) 4 540’’ 16 a) 0,5 b) 9 c) 12 d) 11

297

Solucionari

17 2 520˚ 18 10 800’ 19 1 302 045’’ 20 3 voltes 21 5 400’ = 324 000’’

b) 10˚ 37’ 33’’ AUTOAVALUACIÓ 1 Decimals exactes: a), d).

22 30˚

Decimals periòdics purs: b), g).

23 Complexa: b), c).

Decimals periòdics mixtos: e), f).

Incomplexa: a), d). 24 a) 45,41666…˚ b) 12 045 min c) 24,25˚ d) 5 430 min e) 137,41666…˚ f) 12,75666…˚ 25 a) 14˚ 45’ b) 305˚ 30’ c) 176˚ 15’ d) 3˚ 16’ 30’’ e) 52˚ 34’ 26,4’’ f) 56˚ 9’ 26 a) 45˚ 45’ b) 19 545 min

298

34 a) 73˚ 5’ 24’’

c) 275˚ 48’ d) 45,597222…˚ e) 1 volta 165˚ 45’ 27 a) 15’’ b) 30’’ c) 45’’ 28 a) 210 min b) 45 min

Irracionals: c), h). 6713 900 27246 b) 9 10 167 c) 100 215571 d) 9000 3 5, 538 < 5, 549 < 5, 555 < 5, 5 < 5,60 2 a)

4 a) 101,68 b) 1,41 c) 143,85 d) 33,733 e) 1250 f) 19,985 g) 32,767 h) 3,7434 5 a) 312 m b) 313 m c) L’error en el primer cas és de 0,7 m. L’error en el segon cas és de 0,3 m. 6 La Berta.

c) 924 min d) 6 min 29 a) 1’ 11’’ b) 8’ c) 3˚ 51’ d) 52˚ 41’ e) 24 h 9 min 14 s

Unitat 4 Potències i arrels 1 enters: 36, -2, -4 exponent

potència

-1

-2

(-1)

-7

(-7)

-40 353 607

121

f) 96˚ 30 a) 13’ 2’’ b) 11’55’’ c) 10 min 8 s d) 9 h 51 min 52 s 31 En Joan. 32 a) 153˚ 33’ 24’’ b) 5 voltes 129˚ 41’ 38’’ c) 24 h 32 min d) 24 h 15 min e) 4 voltes 210˚ 40’ 6’’ f) 14 h 33 a) 5˚ 10’ 4’’ b) 12 h 36 min 13,25’ s

resultat

base

27 625

4 -2 9

2 a) -

d) +

g) -

b) +

e) +

h) +

c) + f) - i) 3 a) +1 b) -1 4 a) Certa. b) Certa. 5 a) 25 · 106

c) -1

e) 0

d) +1 f) 1 c) Certa.

e) Certa.

d) Falsa. f) Falsa. c) 5 · 104

numèric

21 9 · 104 m2

d) 73 · 102

6 a) 7 · 10 persones.

22 1,2· 103 m

23 No, sobren peces. Es pot fer un quadrat de 21 × 21 i en so-

b) 38 · 104 km. c) 3 · 10 m.

brarien 9.

d) 45 · 108 anys.

AUTOAVALUACIÓ

e) 109 bacteris.

1 a) 5,6 · 107

7 a) 39 b) 3

b) 2,57 · 106

c) 2-1

c) 10-6

d) 5

d) 9,8 · 10-8

8 a) 312 · 73 · 212

e) 8 · 10-3

b) 7 · 3 3

f) 1,25 · 1011

2 a) Veritable.

c) 3 · 75 d) 5

b) Fals.

e) 3-4 f) 5

-1

Solucionari

b) 78 · 105

c) Veritable. ·4 ·3 2

d) Fals.

9 a) 215 · 55

e) Veritable. 3 a) 25

b) 5 · 2 · 3 2

c) 212 · 34 · 54

b) 33

10 a) 2

c) 56

-78

b) 2-15

d) 213 · 3-6

11 a) 2 · 3 10

c) 1

b) 2-15 · 3-4

e) 1

d) 519 f) 2-22 · 3-5

g) 2

e) 25 ·38

h) 316

f) 3-2

12 a) 9,8 · 10

299

4 a) Arrel 6, residu 9.

b) 6 · 10-6

b) Arrel 8, residu 11.

c) 1,75 · 10

c) Arrel 9, residu 6.

d) 3,1 · 105

d) Arrel 7, residu 6.

e) 6,3 · 10

e) Arrel 4, residu 1.

f) 7,25 · 10-4

f) Arrel 11, residu 10.

-4

13 a) 3,45 · 104

5 a) 3 2

b) 1,55 · 10-3

c) 5,5· 1013

b) 5 2 · 7 2

d) 2,1 · 109

c) 3

e) 3,7 · 10

d) 23

-8

f) 5 · 10-8

6 3,43 · 10-7 m3

g) 7,51 · 107

7 8 min 20 s

h) 2,13 · 104

8 2,2 · 10-3 g

14 a) 1,37 · 1010 b) 1,5 · 108

Unitat 5 Introducció a l’àlgebra

c) 10-7 mm = 10-10 m 15 25,89 mg = 2,589 · 10-2 g 16 a) No

b) Sí

c) Sí

17 Sí

d) Sí

1 E = (−2)2 + 3(−2) · 3 − 32 = 4 − 18 − 9 = −23 2

4x − 1

2x + 3

19. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

4·1−1=3

2·1+3=5

20 a) 5 i 5.

4·2−1=7

2·2+3=7

b) 6 i 4.

4 · 3 − 1 = 11

2·3+3=9

4 · 4 − 1 = 15

2 · 4 + 3 = 11

18. Sí

c) 7 i 1. d) 8 i 6. e) 8 i 11. f) 9 i 9.

Els valors coincideixen per a x = 2. 3 a) Identitat. b) Equació.

Solucionari

c) Equació.

c) 14 641x3 − 80 x3 + 8 x3 = 14 569 x3

d) Identitat.

d) 371 293x6 + 50 x6 − 64 x6 = 371 279x6

4 a) x − 10 b) 3y/4 c) Si n és el nombre de trucades, gasto 0,15n i em queda 20 − 0,15n. d) 40p/100 e) 1,35q 10 − (3x + 2y) = 10 − 3x − 2y. g) Si x és el nombre de quilòmetres, s’ha de pagar 2 + 0,50x. h) Un nombre imparell es pot expressar com a 2x + 1. El seu nombre següent s’obté sumant-li dues unitats, que és 2x + 1 + 2 = 2x + 3. La suma de tots dos és 2x + 1 + 2x + + 3 = 4x + 4

300

25x 3 9x 3 25x 3 18x 3 8x 3 15x 3 − + x3 = − + = 8 4 8 8 8 8 4 4 16 a b 7a 4b 4 − a 4b 4 = g) 16a8b12 : 9a4b8 − a4b2 · 4b2 = 9 9 h) 4x2y2 · 27x3 + 2xy = 108x5y2 + 2xy

f) Els tres cafès i les dues infusions valen 3x + 2y. El canvi és

9x 3 x 3 − + x3 = 216 8 x3 x3 x 3 3x 3 24x 3 22x 3 11x 3 = − + x3 = − + = = 24 8 24 24 24 24 12 f) 25x4 · x2 : 8x3 − x2 · 9x2 : 4x + x3 = e) 9x2 · x4 : 216x3 + x6 : (−8x3) + x3 =

12 a) 2x − 5x − 4x + 12x + 4 − 7 − 10 = 5x − 13 b) 6x + 4x + 6x + x − 12 − 19 − 10 = 17x − 41 c) 2x − 4x + 5x − 3x + 6 − 12 + 20 = 14 d) 3x + 5x + x + 6y − 3y + y − 2- 12 = 9x + 4y − 14 e) 3x2 − 10x2 + 4x + 3x − 6 − 11 = −7 x2 + 7x − 17

Monomi

Coeficient

Part literal

Grau

10x3y4z2

x3y4z2

3+4+2=9

ab3

1+3=4

+ 2x + 3 + 4x + 7 − 5x − 3 = 3x + 2x + 4x − 5x −

–2x2y

–2

x2y

2+1=3

− 1 + 3 + 7 − 3 = 4x + 6

4x2

6 a) 9x3

f) x3 + x2 + 5x2 + x − 3x − 2x + 3 = x3+ 6x2 − 4x + 3 13 a) (3x − 1) + (2x + 3) + (4x + 7) + (−5x − 3) = 3x − 1 +

b) (3x − 1) + (2x + 3) − (4x + 7) − (−5x − 3) = 3x − 1 + + 2x + 3 − 4x − 7 + 5x + 3 = 3x + 2x − 4x + 5x − 1 + 3 − − 7 + 3 = 6x − 2

b) 5x3

c) (3x − 1) − (2x + 3) + (4x + 7) − (−5x − 3) = 3x − 1 − 2x −

c) −x

− 3 + 4x + 7 + 5x + 3= 3x − 2x + 4x + 5x − 1- 3 + 7 + 3 =

d) 2x2

= 10x + 6

e) 4x3

d) (3x − 1) − (2x + 3) − (4x + 7) − (−5x − 3) = 3x − 1 − 2x −

f) No és possible.

− 3 − 4x − 7 + 5x + 3 = 3x − 2x − 4x + 5x − 1 − 3 − 7 +

7 a) 20x5

+ 3 = 2x − 8

b) 30x4

14 a) (2x2 + 3x) + (x2 − 2x) + (x2 − 1) = 2x2 + 3x + x2 − 2x +

c) 6x4

+ x2 − 1 = 2x2 + x2 + x2 + 3x − 2x − 1 = 4x2 + x − 1

d) 14x y

b) (2x2 + 3x) + (x2 − 1) − (x2 − 4) = 2x2 + 3x + x2 − 1 − x2 +

e) 30 a b

+ 4 = 2x2 + x2 − x2 + 3x − 1 + 4 = 2x2 + 3x + 3

f) −15x y

c) (2x2 + 3x) + (2x2 + 3x) − (x2 − 1) = 2x2 + 3x + 2x2 + 3x −

g) 9x

− x2 + 1 = 2x2 + 2x2 − x2 + 3x + 3x + 1 = 3x2 − 6x + 1

3 4 4 4 3

h) −4x

d) (2x2 + 3x) − (x2 − 2x) − (x2 − 4) = 2x2 + 3x − x2 + 2x −

8 V = 4 · 10 = 16 · 10 = 160 cm

− x2 + 4 = 2x2 − x2 − x2 + 3x + 2x + 4 = 5x + 4

9 a) 2xy

e) (2x2 + 3x) − (x2 − 2x) −(x2 − 1) = 2x2 + 3x − x2 + 2x − x2 +

b) −2x

+ 1 = 2x2 − x2 −x2 + 3x + 2x + 1 = 5x + 1

c) −4x

f) (x2 − 1) − ( x2 − 4) + (x2 − 2x) = x2 − 1 − x2 + 4 + x2 + 2x =

d) −6ab

= x2 − x2 + x2 + 2x − 1 + 4 = x2 + 2x + 3

e) 2x

15 a) 5x · 4x + 5x · (−2) = 20x2 − 10x

f) −2 a

b) −4x · 2 − 4x · (−x) = −8x + 4x2

10 a) 9x

c) −3 · 6 − 3 · (−2x)= −18 + 6x

b) 27a6 · 16a6 = 432a12

d) 3x2 · 2x + 3x2 · 1 = 6x3 + 3x2

c) 125a b · 4b = 500a b 6 3

6 5

d) 64x6 · 32x5 = 2048 x11 e) 625x8y12 f) 8x3 11 a) 2x3 + 15x3 − 8x3 + x3 − 27x3 = −17x3 b) 144x6 + 25x6 − 169x6 + x6 = x6

e) 5 · 4x + 5 · 3 = 20x + 15 f) 6 · x + 6 · 5 = 6x + 30 16 a) 12x − 6 − 4x + 8 − 5 + 3x = 12x − 4x + 3x − 6 + 8 − 5 = = 11x − 3 b) 15x − 12 − 5x − 10 − 4x + 3 = 15x − 5x − 4x − 12 - 10 + 3 = 6x − 19

b) x(x − 5) + 4(x − 5) = x − 5x + 4x − 20 = x − x − 20 2

c) 3x(4x + 2) − 1(4x + 2) = 12x2 + 6x − 4x − 2 =12x2 + 2x − 2 d) 2x(3x − 1) + 5(3x − 1) = 6x2 − 2x + 15x − 5 = = 6x2 + 13x − 5 e) x(x − 6) − 1 · (x − 6) = x − 6x − x + 6 = x − 7x + 6 2

f) x(x + 7) − 2(x + 7) = x2 + 7x − 2x − 14 = x2 + 5x − 14 g) 2x(4x − 2) − 3 · (4x − 2) = 8x2 − 4x − 12x + 6 = = 8x2 − 16x + 6 h) 5x(7x + 3) + 2 · (7x + 3) = 35x2 + 15x + 14x + 6 = = 35x2 + 29x + 6 i) x(2x − 3) + 2(2x − 3) = 2x2 − 3x + 4x − 6 = 2x2 + x − 6 j) x(3x + 1) − 5(3x + 1) = 3x2 + x − 15x − 5 = 3 x2 − 14x − 5 k) 2x(x − 5) + 4(x − 5) = 2x2 − 10x + 4x − 20 = 2x2 − 6x − 20 l) 3x(3x − 6) − 4(3x − 6) = 9x2 − 18x − 12x + 24 =

2 a) Fem una taula amb diferents valors per a a, del primer membre de la igualtat: a

2a + 3

La igualtat és certa només per a = 1. Es tracta d’una equació. b) Fem una taula de valors dels dos membres i observem què passa: a

a+a+1

2a + 1

Veiem que coincideixen per a tots els valors de a. Es tracta d’una identitat. 3 a) Actualment, la meva edat és x, i la del meu pare, x + 30.

= 9x − 30x + 24 2

m) x(x + 2) + 1 · (x + 2) = x2 + 2x + x +2 = x2 + 3x + 2

D’aquí a 3 anys, la meva edat serà x + 3, i la del meu pare

n) 3x(x − 1) −1 · (x − 1) = 3x − 3x − x + 1 = 3x − 4x + 1

serà x + 30 + 3 = x + 33. La suma de les nostres edats serà:

o) 3x(x − 2) − 2 (x − 2) = 3x2 − 6x − 2x + 4 = 3x2 − 8x + 4

x + 3 + x + 33 = 2x + 36.

p) 2x(x − 4) − 1 · (x − 4) = 2x − 8x − x + 4 = 2x − 9x + 4

b) El 12% de descompte es calcula multiplicant per 12 i di-

18 a) x2 + 2 · x · 6 + 62 = x2 + 12x + 36

vidint per 100. Si un article val x, serà 12x/100. Com que es

b) (3x) − 2· 3x · 4 + 4 = 9x − 24x + 16

tracta d’un descompte, això s’ha de restar a x:

c) (2x)2 + 2 · 2x · 5 + 52 = 4x2 + 20x + 25

12x 100x 12x 88x = − = 100 100 100 100 c) La base del rectangle fa x − 5. Per trobar el perímetre s’hi

d) (4x) − 2 · 4x · 2 + 2 = 16x − 16x + 4 2

e) (5x)2 − 2 · 5x · 3 + 32 = 25x2 − 30x + 9 f) x2 − 2 · x · 2 + 22 = x2 − 4x + 4 g) (4x)2 + 2 · 4x · 5 + 52 = 16x2 + 40x + 25 h) (7x)2 − 2 · 7x · 4 + 42 = 49x2 − 56x + 16 i) (2x)2 + 2 · 2x · 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1 j) (4x)2 + 2 · 4x · 8 + 82 = 16x2 + 64x + 64 k) x2 − 32 = x2 − 9 l) x2 − 42 = x2 − 16 m) (3x)2 − 42 = 9x2 − 16 n) (6x)2 − 52 = 36x2 − 25 o) x2 − 72 = x2 − 49 19 a) (x2 + 2 · x · 4 + 42) − (x2 + 3x − 2x − 6) = x2 + 8x + 16 − − x2 − 3x + 2x + 6 = 7x + 22 b) 4(x2 − 3x + 2x − 6) + 3(x2 − 2x + 1) = 4x2 − 12x + 8x −

x−

ha de sumar dues vegades la base i dues vegades l’altura: x − 5 + x − 5 + x + x = 4x − 10 4 a) 11x ; b) −4x; c)4x; d)10x4 2

5 4x2 · x3 + 343x9 : x4 = 4x5 + 343x5 = 347x5 6 4x3 − 6x + 3 − 8x − 10 + x2 − x3 + 2x2 − 3x3 = 4x3 − x3 − 3x3 + + x2 + 2x2 − 6x − 8x + 3 − 10 = 3x2 − 14x − 7. És un polinomi de 2n grau. 7 a) 15x − 3 + 2x + 10 = 17x + 7 b) 3x + 6 − 2x + 2 − 5 + x = 3 8 a) x2 − 62 = x2 − 36 b) (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 9 (2x2 − 4x + 3x − 6) − 2(x2 − 2x + 1) = 2x2 − x − 6 − 2x2 + + 4x − 2 = 2x2 − 2x2 − x + 4x − 6- 2 = 3x − 8

− 24 + 3x2 − 6x + 3 = 7x2 − 10x − 21 c) x2 + 6x + 9 − (x2 − 4x + 4) = x2 + 6x + 9 − x2 + 4x − 4 = d) 5x2 − 10x − (4x2 − 12x + 9) = 5x2 − 10x − 4x2 + 12x − 9 =

Unitat 6 Les equacions

= x2 + 2x − 9

1 a) Si transformem el segon membre tenim x + 2(x − 1) =

= 10x + 5

e) (x2 + 10x + 25) − (x2 − 4x + 4) = x2 + 10x + 25 − x2 +

= x + 2x − 2 = 3x − 2, que coincideix amb el primer mem-

+ 4x − 4 = 14x + 21

bre. Es tracta, per tant, d’una identitat.

f) 3(x2 + 4x + 4) − (x2 − 4) = 3x2 + 12x + 12 − x2 + 4 =

b) Aquesta igualtat només és certa si x = 1. És una equació.

= 2x2 + 12x + 16

c) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 és una identitat notable.

AUTOAVALUACIÓ 1 P = 2 + 7 = 9 = 3

Solucionari

17 a) x(x + 3) + 1(x + 3) = x2 + 3x + x + 3 = x2 + 4x + 3

2 a) 2n grau amb una incògnita. b) 1r grau amb dues incògnites. c) 4t grau amb una incògnita. d) 2n grau amb dues incògnites.

301

Solucionari

2x + 4(5 − x)

Només dóna 16 en x = 2. Aquesta és la solució. b) Fem una taula de valors dels dos membres. Prenem els valors de x de 0,5 a 0,5. x

0,5

1,5

2(x + 3)

3(2x + 1) + 1

Els dos membres de l’equació coincideixen en x = 0,5. Aques-

21(2x + 1)

→ −x = −4 → x = 4

16( x − 3)

16( x − 2)

16x 16 + = → 4 8 16 2 → 4(x − 3) − 2(x − 2) + x = 8 → 4x − 12 − 2x + 4 + x = 8 →

e) m. c. m. = 16 →

−

→ 4x − 2x + x = 8 + 12 − 4 → 3x = 16 → x = 16/3 6( x + 3) 6( x − 1) 6x f) m. c. m. = 6 → − = → 3(x + 3) − 2 3 6 − 2(x − 1) = x → 3x + 9 − 2x + 2 = x → 3x − 2x − x = =−9 − 2 → 0 = −11 → No té solució. 6( x − 1) 6( x + 1) g) m. c. m. = 6 → + = 6 ⋅3x → 3(x − 1) + 2 3 + 2(x + 1) = 18x → 3x − 3 + 2x + 2 = 18x → 3x + 2x −

ta és la solució.

− 18x = 3 − 2 → −13x = 1 → x = −1/13

c) Fem una taula de valors del primer membre:

10 ⋅ 2x 10 ⋅3x 10 ⋅ x → 2x + 6x = + = 10 5 5 = 2x → 2x + 6x − 2x = 0 → 6x = 0 → x = 0/6 = 0

125

625

h) m. c. m. = 10 →

6 a) 3x + 7x − 2x − 6x + 15x = − 11+ 2 − 8 → 17x = −17 → → x = −17/17 = −1

Només dóna 25 en x = 2. Aquesta és la solució de l’equació. d) Fem una taula de valors dels dos membres.

302

21(5x + 1) = → 7(2x + 1) = 3 7 = 3(5x + 1) → 14x + 7 = 15x + 3 → 14x − 15x = 3 − 7 → d) m. c. m. = 21 →

3 a) Fem una taula de valors del primer membre:

5 − 4x

−3

−7

−11

Els dos membres coincideixen en x = 1. Aquest nombre és la solució de l’equació. 4 a) S’ha de restar 7 als dos membres → x + 7 − 7 = 11 − 7 → →x=4 b) S’han de dividir per −6 els dos membres → −6x/−6 = = 90/−6 → x = −15 c) S’ha de restar 5 als dos membres → x + 5 − 5 = −2 − 5 → → x = −7 d) S’han de dividir per 4 els dos membres → 4x/4 = = −20/4 → x = −5 5x 5 a) m. c. m. = 5 → 5x + = 5 ⋅ 60 → 5x + x = 300 → 6x = 5 = 300 → x = 300/6 = 50 30( x + 6) 30( x − 3) 30x b) m. c. m. = 30 → + = − 30 → 15 6 3 → 2(x + 6) + 5(x − 3) = 10x − 30 → 2x + 12 + 5x − 15 = = 10x − 30 → 2x + 5x − 10x = −30 − 12 + 15 → −3x =

b) 5x + 8x + 3x + 20x = 13 + 19 − 6 + 10 → 36x = 36 → → x = 36/36 = 1 c) 5x + 3x − 4x − x = −11 + 16 + 1 + 6 → 3x = 12 → → x = 12/3 = 4 7 a) 4x + 12 + 5x − 10 = 6x + 12 − 1 → 4x + 5x − 6x = = 12 − 1 − 12 + 10 → 3x = 9 → x = 9/3 = 3 b) 3x + 12 − 2x + 2 = 4x + 4 − 2 → → 3x − 2x − 4x = 4 − 2 − 12 − 2 → −3x = −12 → → x = −12/−3 = 4 c) 2x + 14 − 4x + 20 = 20 − x + 12 → 2x − 4x + x = = 20 + 12 − 14 − 20 → −x = −2 → x = 2 d) 5x + 3x − 6 − 2x − 6 = 1 − x − 4 → 5x + 3x − 2x + x = = 1 − 4 + 6 + 6 → 6x = 9 → x = 9/6 = 3/2 8 Aïllem x de la segona equació: x = 3y – 2. Canviem x en la primera equació per (3y − 2) i resolem: 3(3y − 2)− 2y = 8 → 9y − 6 − 2y = 8 → 9y − 2y = = 8 + 6 → 7y = 14 → y = 14/7 = 2 Substituïm y per 2 en la primera equació: x = 3 · 2 − 2 = 4 La solució és (x,y) = (4,2). 9 a) Aïllem y de la primera equació: y = 15 − x Canviem y en la segona equació per (15 − x) i resolem: 2x + 5(15 − x) = 51 → 2x + 75 − 5x = 51 → 2x − 5x = = 51 − 75 → −3x = −24 → x = −24/−3 = 8 Substituïm x per 8 en la primera equació: y = 15 − 8 = 7

= −27 → x = −27/−3 = 9

La solució és (x,y) = (8,7).

12x 12x 12x + + = 12x − 12 ⋅ 2 → 2 3 4 → 6x + 4x + 3x = 12x − 24 → 6x + 4x + 3x − 12x =

Canviem x en la segona equació per (2 + 2y) i resolem:

c) m. c. m. = 12 →

= −24 → x = − 24

b) Aïllem x de la primera equació: x = 2 + 2y 2(2 + 2y) + y = 24 → 4 + 4y + y = 24 → 4y + y = 24 − 4 → → 5y = 20 → y = 20/5 = 4 Substituïm y per 4 en la primera equació: x = 2 + 2 · 4 = 10 La solució és (x,y) = (10,4).

14 Els anys que han de passar són x. Completem la taula següent:

les centenes és 9 i la de les unitats de miler és 1 perquè és un

Edat actual

Edat d’aquí a x anys

Antònia

41 + x

Pau

8+x

Anna

8+x

any del segle xx. La suma de les xifres és 27: 1 + 9 + x + 1 + x = 27 → x + x = 27 − 1 − 9 − 1 → → 2x =1 6 → x = 16/2 = 8 L’Iris va néixer l’any 1998. 11 Els anys que han de passar són x. Completem la taula següent: Edat actual

Edat d’aquí a x anys

Estefania

12 + x

Mare de l’Estefania

36 + x

fills: 41 + x = 2(x + 8 + x + 8) 41 + x = 2(2x + 16) → 41 + x = 4x + 32 → x − 4x = = 32 − 41 → −3x = −9 → x = −9/−3 = 3 Han de passar 3 anys. 2 CD i 3 DVD costen 65, però algebraicament això és:

36 + x = 2(12 + x)

3(x + 5) + 2x = 65 → 3x + 15 + 2x = 65 → 3x + 2x =

Resolem aquesta equació: 36 + x = 2(12 + x) → 36 + x = 24 + 2x → x − 2 x = 24 − 36 → → −x = −12 → x = 12

= 65 − 15 → 5x = 50 → x = 50/5 = 10 Els CD costen 10 €, i els DVD, 15 €. 16 Els tres nombres consecutius són x, x + 1 i x + 2.

Han de passar 12 anys. 12 Sigui x el nombre de gallines. Completem la taula: Nombre d’animals

Nombre de potes

Porc

100 − x

4(100 − x)

Total

100

340

Gallina

L’edat de la mare serà el doble que la suma de les edats dels

15 Sigui x el preu d’un CD de música. El preu d’un DVD és x + 5.

L’edat de la mare serà el doble que la de la filla:

Animal

Podem traduir directament l’enunciat. Recordem que el quàdruple del més petit (4x) , sumat al triple del mitjà (3(x + 1)) dóna el quíntuple del més gran (5(x + 2)), més 17: 4x + 3(x + 1) = 5(x + 2) + 17 → 4x + 3x + 3 = = 5x + 10 + 17 → 4x + 3x − 5x = 10 + 17 − 3 → → 2x = 24 → x = 24/2 = 12 17 Si a la Irene li toquen x €, a la Naima n’hi toquen 3x. En total són, recordant els 10 € de la Carol:

El total de potes és, algebraicament, 2x + 4(100 − x) i, nu-

x + 3x + 10 = 70 → x + 3x = 70 − 10 → 4x = 60 →

mèricament, 340. Només cal igualar-ho per obtenir l’equació

→ x = 60/4 = 15 A la Irene li corresponen 15 € i a la Naima 45 €.

del problema: 2x + 4(100 − x) = 340 → 2x + 400 − 4x = 340 → 2x − 4x =

18 Els angles fan x, x + 30°, x + 60° i x + 90°. En total sumen

= 340 − 400 → −2x = −60 → x = −60/−2 = 30

360°. Podem escriure-ho:

En total hi ha 30 gallines i 70 porcs.

x + x + 30 + x + 60 + x + 90 = 360 → x + x + x + x = = 360 − 30 − 60 − 90 → 4x = 180 → x = 180/4 = 45

13 Siguin x les monedes de 20 cèntims:

Els angles són 45°, 75°, 105° i 135°. Tipus de moneda

Nombre de monedes

Quantitat d’euros

20 cèntims

0,20x

50 cèntims

7−x

0,50(7 − x)

2€

Total

En total hi ha 0,20x + 0,50(7 − x), que són 2 €. Plantegem l’equació i la resolem:

19 Si tenim x grams de cafè sense torrar, la seva pèrdua de pes és de x/5. Si restem al pes original la seva pèrdua, obtindrem el pes final. Ja tindrem plantejada l’equació i només caldrà resoldre-la: x 5x = 64 → m. c. m. = 5 → 5x − = 5 ⋅ 64 → 5 5 → 5x − x = 320 → 4x = 320 → x = 320/4 = 80 x−

El cafè natural pesava 80 kg. 20 Si la llargada és x, l’amplada és 5x/7. Per tenir el perímetre,

0,20x + 0,50(7 − x) = 2 → 0,2x + 3,5 − 0,5x = 2 → 0,2x −

que són 240 m, caldrà sumar dos cops la llargada i dos cops

0,5x = 2 − 3,5 → −0,3x = −1,5 → x = −1,5/−0,3 = 5

l’amplada, i ja podrem resoldre l’equació plantejada:

En Gabriel porta 5 monedes de 20 cèntims i 2 monedes de

5x 5x 7 ⋅ 5x 7 ⋅ 5x + = 240 → 7 x + 7 x + + = 7 ⋅ 240 → 7 7 7 7 → 7x + 7x + 5x + 5x = 1 680 → 24x = 1 680 →

50 cèntims.

Solucionari

10 Si la xifra de les unitats és x, la de les desenes és x + 1. La de

x+x+

→ x = 1 680/24 = 70 La llargada és 70 m i l’amplada és 5 · 70/7 = 50 m.

303

Solucionari

21 Els nombres són x, x + 1 y x + 2.

b) Desenvolupem per separat els dos membres i observem si

x +2 . 3 La setena part del mitjà augmentada en una unitat: La tercera part del més gran:

x +1 +1 7

b) x + 2 − 2 = 7 − 2 → x = 5

→ -x = -76 → x = 76

c) 5x/5 = 15/5 → x = 3 d) −2x/−2 = −8/−2 → x = 4 3 2x − 6x − 4x + 12x = 7 − 11 − 5 + 10 → 4x = 1 → x = 1/4 4 3x − 6 − 5x − 15 = 11 − 2 + 3x → 3x − 5x − 3x = 11 − 2 + 6 + 15 → −5x = 30 → x = 30/−5 = −6 12( x − 3) 12( x − 2) 12( x + 1) 5 m. c. m. = 12 → + + = 12x → 4 3 2 → 3(x − 3) + 4(x − 2) + 6(x + 1) = 12x → → 3x − 9 + 4x − 8 + 6x + 6 = 12x → 3x + 4x + 6x − 12x =

Els nombres són 76, 77 i 78.

= 9 + 8 − 6 → x = 11

22 El total de monedes és x. Construïm la taula: Nen

Fracció

Expressió algebraica

David

1/3 del total

x 3

1/4 de la resta

12 − (4 − x) = 12 − 4 + x = x + 8 2 a) x − 3 + 3 = 12 + 3 → x = 15

x + 2 x +1 x + + 1= 3 7 2 x + 2 x +1 x + + 1= → m. c. m. = 42 → 3 7 2 42 ( x + 2) 42 ( x + 1) 42x → → 14(x + 2) + + + 42 = 3 7 2 + 6(x + 1) + 42 = 21x → 14x + 28 + 6x + 6 + 42 = 21x →

Dani

5(x + 3) − 4(x − 1) = 5x + 15 − 4x + 4 = x + 19 Com que són diferents, es tracta d’una equació.

x La meitat del més petit: . Podem escriure: 2

304

coincideixen:

1 2x 2x x ⋅ = = 4 3 12 6

Maties

1/2 de la resta

1 x x ⋅ = 2 2 4

Frederic

Total

6 Aïllem y de la primera equació: y = 5 − x Queden x−

x 2x = 3 3

2x x 4x x − = − = 3 6 6 6 3x x = = 6 2

La suma del que toca a cada nen és el total de monedes:

Canviem la y de la segona equació per (5 − x), i resolem l’equació que surt: 4x − 3(5 − x) = 6 → 4x − 15 + 3x = 6 → 4x + 3x = = 6 + 15 → 7x = 21 → x = 21/7 = 3 Substituïm la x per 3 en la primera equació: y=5−x=5−3=2 La solució és (x,y) = (3,2) 7 Els anys que han de passar són x. Completem aquesta taula perquè ens ajudarà: Edat actual

Edat d’aquí a x anys

Maria

32 + x

Agustí

14 + x

Frederic

12 + x

12x 12x 12x x x x + + + 6 = x → m. c. m. = 12 → + + + 3 6 4 3 6 4 + 12 · 6 = 12x → 4x + 2x + 3x + 72 = 12x → 4x + 2x + 3x

L’edat de la mare coincidirà amb la suma de les edats dels

− 12x = −72 → −3x = −72 → x = −72/−3 = 24

→ −x = −6 → x = 6

En total hi havia 24 monedes. 23 Si l’amplada és x, la llargada és x + 20. El perímetre, que és

fills: 32 + x = 14 + x + 12 + x → x − x − x = 14 + 12 − 32 → Han de passar 6 anys. 8 Si l’angle més petit és x, els altres són x + 20, x + 40, x + 60

360, es pot expressar:

i x + 80. La suma de tots cinc és 540°. Per tant, podem

x + x + x + 20 + x + 20 = 360 → x + x + x + x = 360 − 20 −

escriure:

− 20 → 4x = 320 → x = 320/4 = 80

x + x + 20 + x + 40 + x + 60 + x + 80 = 540 →

La llargada és 100 m i l’amplada 80 m.

→ x + x + x + x + x = 540 − 20 − 40 − 60 − 80 → → 5x = 340 → x = 340/5 = 68

AUTOAVALUACIÓ 1 a) Si realitzem les operacions algebraiques del primer

Els angles fan 68°, 88°, 108°, 128° i 148°. 9 Sigui x el nombre de caps:

membre: 3(x + 2) − 2(x − 1) = 3x + 6 − 2x + 2 = 3x − 2x + 6 + 2 = =x+8 Com que coincideix amb el primer membre, es tracta d’una identitat.

Humans Alienígenes Total

Caps

Braços

32 − x

4(32 − x)

4 Sigui x la quantitat en L de pòrtland que s’ha de posar, i y la

+ 4(32 − x), i numèricament és 88. Podem escriure:

quantitat de sorra. De cada 5 parts, una és de pòrtland i 4 de

2x + 4(32 − x) = 88 → 2x + 128 − 4x = 88 → 2x − 4x = 88

sorra. Podem escriure:

− 128 → −2x = −40 → x = −40/−2 = 20

x y x + y 500 = = = 1 4 5 5 Podem escriure les proporcions de manera més senzilles:

En total hi ha 12 humans i 12 alienígenes. 10 Representem per x el preu del vestit. Dia

Expressió

Fracció

Queden

algebraica 2x 5

2/5 del total

2/3 de la resta

2 3x 6 x 2 x ⋅ = = 3 5 15 5

240

Total

x−

2 x 3x = 5 5

3x 2 x x − = 5 5 5

Si sumem cadascuna de les pagues tindrem el preu del vestit: 2x 2x + + 240 = x → m. c. m. = 5 → 5 5 5 ⋅ 2x 5 ⋅ 2x + + 5 ⋅ 240 = 5x →2x + 2x + 1200 = 5x → 5 5 → 2x + 2x − 5x = −1 200 → −x = −1 200 → x = 1 200 El vestit valia 1 200 €.

x 500 → 5x = 500 → x = 500/5 = 100 L de pòrtland. = 1 5 y 500 → 5y = 4 · 500 = 2000 → = 4 5 → y = 2000/5 = 400 L de sorra. 5 Siguin x els beneficis que li toquen a en Josep i y els beneficis que li corresponen a l’Ester. Han de ser proporcionals a 300 000 € i 200 000 € respectivament. Podem escriure: y x +y 30000 x = = = 300000 200000 500000 500000 Podem escriure les proporcions més senzilles, eliminant zeros abans de solucionar-les: 30000 x = → 500 000x = 300 000 · 30 000 → 5x = 300000 500000 = 90 000 → x = 90 000/5 = 18 000 y 30000 → 500 000y = 200 000 · 30 000 → 5y = = 200000 500000 = 60 000 → y = 60 000/5 = 12 000 6 Es representa per x el pinso que menja el gos gros i per y el que menja el gos petit. De cada 4 parts, el gos gros en menja

Unitat 7 Proporcionalitat numèrica 1 a)

Consum (L)

Distància (km)

100

200

20 · 20 = 400

600 : 20 = 30

600

800 : 20 = 40

800

b) La raó de proporcionalitat entre consum i distància és 1/20. La raó entre la distància i el consum és 20. 2 a) Si per 10 € donen 13 $, per 1 € donaran 1,30 $. Si tenim

3 i el petit, una. Podem escriure: x y x + y 800 = = = 3 1 4 4 Podem escriure les proporcions més senzilles, i eliminar zeros abans de solucionar-les: x 800 = → 4x = 2 400 → x = 2 400/4 = 600 g 3 4 y 800 = → 4y = 800 → 4y = 800 → y = 800/4 = 200 g 1 4 7 Si es multiplica cada velocitat pel seu temps corresponent, ens surt cada vegada 450. Per tant, sí que són magnituds inversament proporcionals. 8 Els dies que tarden uns tractors a llaurar un camp sencer són inversament proporcionals, ja que com més tractors hi ha menys es tarda.

2 000 € per gastar, aquests equivalen a 2 000 · 1,30 = 2 600 $.

a) Si s’utilitza la meitat de tractors, el temps es duplica. Seri-

b) Podem plantejar-ho en forma de proporció:

en, per tant, 8 dies.

Dòlars

Euros

560

b) Si s’utilitza la tercera part de tractors, es triplica el temps i 13 10 = → 13x = 5 600 → 560 x → x = 5 600/3 = 436,77 €

serien 12 dies. c) 1 dia és la quarta part de temps. Per tant, el nombre de tractors s’hauria de multiplicar per 4, i serien 24 tractors. 9 Com que F és directament proporcional a M i a m, aquestes

3 Si disposem de les quantitats per a 8 persones, i s’ha de calcu-

dues magnituds apareixeran multiplicant en la fórmula; men-

lar les quantitats per a 24 persones, que és el triple, s’hauran

tre que en ser F inversament proporcional al quadrat de d,

de multiplicar totes les quantitats donades per 3: 15 cullera-

apareixerà d 2 dividint. Per a la constant de proporcionalitat

des grans de sucre, 72 melindros, 300 g de cacau, 0,6 L de

podem posar qualsevol lletra, per exemple G. La fórmula serà: G ⋅M ⋅m F= d2

cafè, 9 ous, 0,6 L de nata i 750 g de formatge mascarpone.

Solucionari

El total de braços es pot expressar, algebraicament, com a 2x

305

Solucionari

10 Amb una quantitat donada de diners, la quantitat de litres que es poden comprar és inversament proporcional al preu

15 El benefici és 550 − 400 = 150 €. Als 400 €, en ser el preu inicial, els correspon el 100%. Podem plantejar:

de cada litre, ja que amb un preu més petit es poden comprar més litres. Podem plantejar la regla de tres: Preu del litre (€)

Litres

2,40

2,15

2,15x = 2,40 · 43 → → x = 2,40 · 43/2,15 = 48 L

11 Si treballa més hores cada dia, tarda menys dies. Es tracta de dues magnituds inversament proporcionals. Podem plantejar: Hores diàries

Dies

10x = 8 · 20 → x = 8 · 20/10 = = 16 dies

€

400

100

150

400 100 = → 400x = 150 · 100 → 150 x → x = 15 000/400 = 37,5%

16 El 15% de descompte equival a multiplicar pel factor 1 − − 0,15 = 0,85. Carregar un 18% d’IVA equival a multiplicarho per 1 + 0,18 = 1,18. S’ha de pagar: 400 · 0,85 · 1,18 = 401,20 € 17 La pujada d’un 10% equival a multiplicar per 1 + 0,10 = = 1,10, i fer una rebaixa del 10% equival a multiplicar per

12 Tenim tres magnituds: llargada, amplada i pes del teixit obtingut. Per a un pes de teixit donat, com més ample sigui la peça de roba, menys llarga serà. Per tant, la llargada és in-

1 − 0,10 = 0,90. S’ha de pagar: 1 000 · 1,10 · 0,90 = 990 € 18 La pujada del 10% del primer dia equival a multiplicar per

versament proporcional a l’amplada. Fixada l’amplada, com

1 + 0,10 = 1,10. La pujada del 5% del segon dia consisteix a

més pes hi hagi, més llargada. Per tant, la llargada és directa-

multiplicar per 1 + 0,05 = 1,05. La baixada d’un 8% és mul-

ment proporcional al pes.

tiplicar per 1 − 0,08 = 0,92. El preu de les accions arriba a:

Una primera manera de resoldre el problema és escriure la

10 000 · 1,10 · 1,05 · 0,92 = 10 626 €.

fórmula de la llargada (L) en funció del pes (P) i de l’amplada (W), que seria:

306

kP W

Quan P = 14, W = 0,75 i L = 35 tenim 35 =

k ⋅14 → 0,75

35 ⋅ 0,75 = 1, 875 14 Ara que sabem la constant, podem calcular-ho en el cas de

→ k=

P = 24 i W = 0,80: 1, 875 ⋅ 24 = 56,25 m 0, 80 També podem plantejar la taula següent, i aplicar la regla de L=

tres composta: Amplada (m)

Llargada (m)

0,75

0,80

Pes (kg)

0,75 24 ⋅ = 0, 80 14 = 56,25 m x = 35 ⋅

13 a) 4% de 3 540 = 0,04 · 3 540 = 141,6 b) Increment del 10% de 4 000 = (1 + 0,1) · 4 000 = = 1,1 · 4 000 = 4 400. c) Disminució del 20% de 4 000 = (1 − 0,2) · 4 000 = = 0,8 · 4 000 = 3 200 14 Els 3 200 habitants representen el 100%. Podem plantejar: Persones

3 200

100

2 800

3200 100 → 3 200x = = 2800 x = 2 800 · 100 → x = 2 800/32 = 7,5%

4000 ⋅ 2, 5 ⋅ 4 = 400 € ; Cf = 4 000 + 400 = 4 400 € 100 C ⋅3 ⋅3 20 360 = → 9C = 36 000 → C = 36 000/9 = 40 000 € 100 5000 ⋅ r ⋅3 21 600 = → 15 000r = 60 000 → r = 100 = 60 000/15 000 = 4% 19 I =

6000 ⋅3 ⋅t →18 000t = 90 000 → t = 90 000/15 000 = 100 = 6 anys

22 900 =

288 ⋅ 9, 5 ⋅ 8 = 18,24 € 1200 288 ⋅7,3 ⋅t → 2 102,4t = 65 664 → b) 18, 24 = 3600 → t = 65 664/2 102,4 = 31 dies

23 a) I =

AUTOAVALUACIÓ 1 a) 12x = 26 · 18 → 12x = 468 → x = 468/12 = 39 b) 24x = 16 · 36 → 24x = 576 → x = 576/24 = 24 2 En 100 g de CH4 hi ha x g de C i y g de H, que han de ser proporcionals a 12 i a 4 respectivament. Podem plantejar: y x + y 100 x = = = 12 4 16 16 Resolem les proporcions per separat: x 100 = → 16x = 12 · 100 → 16x = 1200 → 12 16 → x = 1200/16 = 75 g y 100 → 16x = 4 · 100 → 16x = 400 → = 4 16 → x = 400/16 = 25 g

9 Un increment del 10% equival a multiplicar per 1,1. Durant tres anys consecutius, equival a multiplicar per 1,13 = 1,331.

plantejar: L/min

Els 6 milions d’euros es converteixen en 7,986 milions

min

120

20 · 120 = 50x → 50x = 2400 → → x = 2400/50 = 48 min

d’euros. 10 a) I =

6000 ⋅ 4 ⋅ 3 = 720 € 100

6000 ⋅ 5 ⋅t → 30 000t = 72 000 → t = 100 = 72 000/30 000 = 2,4 anys

b) 720 =

4 Se’ls han de repartir en unes quantitats directament proporcionals al que van posar inicialment. Si l’Antoni cobra x i en

Considerant l’any comercial de 360 dies, els 0,4 anys són

Jordi y, podem posar: y x +y 40000 x = = = 30000 20000 50000 50000 Resolem les proporcions per separat: 40000 x = → 50 000x = 1 200 000 000 → 30000 50000 → x = 120 000/5 = 24 000 €

0,4 · 360 = 144 dies. Per tant, en total són 2 anys i 144 dies.

UNITAT 8 Les funcions 1

y 40000 = → 50 000y = 800 000 000 → 20000 50000 → x = 80 000/5 = 16 000 €

3 2 C

–5

jar la taula següent, i aplicar la regla de tres composta: Hores

Dies

100

–2

–1

8 3 x = 3 ⋅ ⋅ = 2 dies 6 6

–4

2 040 €. Com que es gasta 400 € en transport, el cost de les

de taronges afegint-hi un 40% de benefici. Per tant, hem de

5 4

3 C

2 A

1 0

D –5

– 4 –3

–2

–1

0 1

–3

–2

multiplicar per 1,4: 2 400 · 1,4 = 3 416 €. Però unes quan-

–4

tes taronges s’han fet malbé, que són 0,1 · 12 000 = 1 200

–5

i en queden 12 000 − 1 200 = 10 800. Podem plantejar la proporció:

taronges és 2 040 + 400 = 2 440 €. S’ha de vendre el conjunt

0 1

–5

€

8 12 000 taronges són 120 centenes, que a 17 € cadascuna són

10 800

–1

–3

3000 15 = → 15x = 300 000 → 3 000 100 x → x = 20 000€ x

taronges

–2

7 El preu de compra és el 100%. Podem plantejar:

– 4 –3

1 D

letes com al nombre d’hores diàries de feina. Podem plante-

Paletes

k ⋅T 5 p = V 6 Els dies són inversament proporcionals tant al nombre de pa-

Solucionari

3 Les dues magnituds són inversament proporcionals. Podem

3 a) Observant la taula, per 300 unitats venudes. € 3 416 x

b) El sou base és el que s’obté per 0 unitats, que llegint-ho a

10800 3416 → 10 800x = = 12 x = 12 · 3 416 = 40 992 →

la taula són 600 €.

→ x = 40 992/10 800 =

1 000 €. Per 250 unitats, no és a la taula, però és just a la

= 3,80 € la dotzena

meitat de 200 i 300, per tant, el sou també estarà just a la

c) Per 200 unitats es llegeix directament a la taula, i és de

meitat, que són 1 100 €.

307

Solucionari

4 a) Per completar la taula n’hi ha prou amb restar 0,65º cada

100 m: alçada (m)

100

200

300

400

500

temperatura (ºC) 20 19,35 18,70 18,05 17,40 16,75 4

11 10

9 8

7 6 5

4 3

–3

1 0 0

–2

–1

c) 100

200

300

400

500

600

b) La disminució de temperatura per cada metre és:

0,65/100 = 0,0065 La fórmula és: temperatura = 20 − 0,0065 · alçada.

5 a) És creixent fins a x = 1. És decreixent a partir de x = 1. b) Té un màxim, que és el punt de coordenades (1,2).

0 –3

c) Els talls amb l’eix X són els punts (-1, 0) i (3, 0), i el tall

308

–2

–1

amb l’eix Y és (0, 3/2). 6

–1

Profunditat (m)

Pressió (atm)

–2

–3

Tenen rectes paral·leles a i b. 8 És una funció de proporcionalitat directa. Fem-ne la taula de

valors: 4 3

x (L)

y (€)

1,22

2,44

3,66

4,88

En calcular la taula, s’ha observat que per obtenir el preu

s’han de multiplicar els litres per 1,22. La fórmula és, doncs, 1 0

y = 1,22x. 0

7 a)

1 2

0 –3

–2

–1

–1 0

–2 –3

Solucionari

9 Calculem els talls amb els eixos de les quatre funcions i en

fem la gràfica: y = 2x − 6

x = 0 → y = 2 · 0 − 6 = −6 → (0, −6) y = 0 → 2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3 → (3, 0)

El pendent (2) és positiu, per tant, és creixent. y = −3x + 3

V=1

H=1

x = 0 → y = 2 · 0 − 6 = −6 → (0, −6)

y = 0 → 2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3 → (3, 0)

–2

–1

El pendent (-3) és negatiu, per tant, és decreixent.

–1

y = −3x − 1 x = 0 → y = 2 · 0 − 6 = −6 → (0, −6)

–2

y = 0 → 2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3 → (3, 0) El pendent (-3) és negatiu, per tant, és decreixent.

El valor de n es llegeix directament de la gràfica: el punt on la

y = 2x + 4

recta talla l’eix Y; per tant, n = −1.

x = 0 → y = 2 · 0 + 4 = 4 → (0, 4)

El valor de m es troba calculant: m =

y = 0 → 2x + 4 = 0 → 2x = −4 → x = −2 → (−2, 0)

L’equació de la recta és y = x − 1.

El pendent (2) és positiu, per tant, és creixent. Són rectes paral·leles, y = 2x − 6 i y = 2x + 4, ja que tenen

el mateix pendent (2). També són paral·leles y = − 3x + 3 i

y = −3x − 1 (pendent de les dues = −3).

–3x – 1

V = –3 –3x + 3

0 –4

–3

–2

–1 0

–1

(0; 0,2) 0

–1

0 –3

309

–4

V 1 = = 1. H 1

V=5

–1

2x – 6

–2

2x + 3

–3

–4

El valor de n es llegeix directament de la gràfica: el punt on la

x = –1

recta talla l’eix Y; per tant, n = 6.

x=2

El valor de m es troba calculant: m =

y=3

V −2 = = −2 . H 1

L’equació de la recta és y = −2x + 6.

13 Fem la taula de valors de les dues funcions i les dibuixem en 1

els mateixos eixos de coordenades:

0 –3

–2

–1 –1

y = –2

–2

–3

y = 3x − 1

-1

y = 9 − 2x

Solucionari

9 – 2x

(2, 5)

(150; 37,5) 3

2 20 1

0,15x + 15 10

0 –2

–1 –1

3x – 1

Les dues rectes es troben al punt (x, y) = (2, 5).

100

150

200

Si parlen menys de 150 minuts, l’opció més econòmica serà

14 Si s’aïlla y en les dues equacions obtenim dues funcions. x+y=3→y=3−x

la segona, mentre que si parlen més de 150 minuts, la més econòmica serà la primera.

y−x=1→y=x+1

16 En primer lloc s’han de fer les taules de valors corresponents:

Fem la taula de valors de totes dues i les dibuixem en els mateixos eixos de coordenades:

310

0,25x

y=3−x

-1

y=x+1

-4

-2

-1 -0,5 0,5

y = f(x) -0,25 -0,5 -1 y = g(x)

0,25

0,5

-2

0,5

0,25

-2 -1 -0,5 -0,25

4 4 3 2

3–x

–1/x –4

–2

–1

1/x

(1, 2)

0 –3

–1 –2

x+1

–3 –4

0 0

Quan el signe de la constant de proporcionalitat és positiu, la gràfica ocupa el primer i el tercer quadrant, mentre que si és negativa ocupa els quadrants segon i quart.

Les dues rectes es troben al punt (x, y) = (1, 2). 15 Representem amb x el temps en minuts de conversa. El primer tipus de contracte es calcula amb la fórmula

17 En primer lloc s’han de fer les taules de valors corresponents: x

-4

-2

-1

-0,5

0,5

com a y = g(x) = 0,25x.

y = f (x)

-1

-2

-4

-8

Fem una taula de valors de totes dues, prenent valors de x de

y = g(x)

-2

-4

-8

-16

y = f(x) = 0,15x + 15, i el segon tipus de contracte es calcula

50 en 50, i les dibuixem en els mateixos eixos de coordenades. x

100

150

200

y = f(x)

22,50

37,50

y = g(x)

12,50

37,50

Solucionari

4 8

7 2

0 –4

–3

–2

–1

4/x

–1

8/x

–2

–3

–4

0 10

A mesura que augmenta la constant de proporcionalitat,

les dues branques de la hipèrbola se separen de l’origen de coordenades. 18 Cada company ha de pagar la part que li toca dels 50 €, que es pot calcular dividint aquesta quantitat pel nombre de companys. Podem escriure la fórmula: 50 y= x Fem la taula de valors corresponent:

f (x)

–2

–1

–3

–2

–1

–2

12,50

2,50

f (x)

g(x)

h(x)

–2

–1

311

–3

0 –4

–1

30 25

2x2 3x2

5 4

15 3

10 5 0

A 0

15 20 25 30

35 40 45 50 1

19 Si x representa la velocitat i y representa el temps, com que les dues magnituds són inversament proporcionals, podem escriure y = k/x. Com que si la x = 60, resulta y = 2, la constant és k = 60 · 2 = 120. La fórmula és, doncs: 120 y= x Fem la taula de valors corresponent:

0 –4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

120

2,4

1,5

S’observa que la paràbola és més tancada a mesura que x2 es multiplica per un nombre més gran

Solucionari

f(x)

g(x)

h(x)

–2

–1

AUTOAVALUACIÓ 1 A(0, 3), B(1, 2), C(2, 1), D(3, 0), E(1, −1), F(-1, −2), G(-2, −1), H(-3, 0), I(-1, 1). 2 a) En totes dues taules provem de multiplicar i dividir y per x, per veure si alguna de les dues possibilitats dóna constant. S’observa que a la taula A y/x = −2,5, i per tant són magnituds directament proporcionals. En canvi, a la taula B es compleix x · y = 24, així que són inversament proporcionals. b) La fórmula de la taula A és y = −2,5x i la de la taula B és y = 24/x.

x2 – 1

x2 + 1

3 a)

6,25

6,50

6,75

b) Es troben al cap de 30 min. c) El vianant “blau” ha fet 3 km, i el vianant “vermell” n’ha

fet 1.

0 0

–1

4 a) 4 km

–2

y (€) 5,75 b) y = 0,25x + 5,50

–3

x (min)

5 a) y = x + 2

b) y = x + 1

c) y = 2 − x

d) y = 4 − x

–1

Unitat 9 Figures planes

–2

312

Les tres gràfiques tenen la mateixa forma, però desplaçada verticalment. 23

1 a) C

f(x)

g(x)

h(x)

–2

–1

b) No es pot construir el triangle perquè no es verifica la de-

sigualtat triangular.

a=7

b=8

c) 5

(x + 1)2

c = 10

(x – 1)2 4

a=4

b=3 3

0 –4

–3

–2

–1

c=6

62º

–1 –2 –3

Les tres gràfiques tenen la mateixa forma, però desplaçada lateralment.

73º

45º a=7

12 Apliquem Pitàgores: el catet que falta fa 8 cm. 13 La hipotenusa mesura: 7,5 cm.

14 a) sí; b) sí; c) no; d) sí; e) no; f) no 15 10,82 cm 16 Àrea: 28,62 cm2 17 Apotema: 5,2 cm; àrea: 93,53 cm2

a=6

18 Considerem A 48º

Solucionari

2 a) 2 costats i l’angle comprès. Solució única.

la figura:

b=7

C 4 cm

b) 2 costats i l’angle oposat a un dels costats. Dues solucions. B2

2,5 cm 2

a=5

l 2 = (2,5) + 42 → l = 22,25 ≈ 4,72 → → P = 2 ⋅ 4,72 + 5 → P = 14,43 cm

B1 A

Tenim: l 2 = (2,5) + 42 → l = 22,25 ≈ 4,72 2

a=5

19 Considerem la figura: C

40º

b=6 6 cm

c) 2 costats i l’angle oposat a un dels costats. Solució única.

313

5 cm B

a=7

Tenim: l 2 = 52 + 62 → l 2 = 61 → → l ≈ 7,81 → P = 4 ⋅ l → P ≈ 31,24 cm2 20 Considerem la figura:

42º

b=5

C 8 cm

3 L’altre mesura 90 − 37 = 53°. 4 Cada angle igual fa: (180 − 60)/2 = 60°

6 cm

5 Perquè no verifica la desigualtat triangular. 6 Resposta gràfica oberta. És un bon exercici per treballar a l’aula d’informàtica fent ús de programes com ara el Geo-

2 cm

Gebra o el Cabrigéometre. En qualsevol cas, cal notar que

10 cm

només existeix un triangle amb aquestes dades. 7 Resposta gràfica oberta. El baricentre, l’ortocentre i el circumcentre tenen el punt en comú. 8 Resposta gràfica oberta, cal observar que en un triangle acu-

Tenim: L2 = 22 + 62 → L2 = 40 → L ≈ 6,32 cm 21 Considerem la figura:

tangle les altures es tallen en un punt interior, en un triangle rectangle en el vèrtex corresponent a l’angle recte i en un triangle obtusangle en un punt exterior al triangle.

9 Resposta gràfica oberta.

8 cm

10 En el punt on es tallen les mediatrius del triangle que formen els tres pobles. 11 Marquem tres punts qualssevol. Dibuixem les mediatrius del triangle que formen. El punt on es tallen les mediatrius és el centre de la circumferència.

3 cm

L’àrea és de 24 cm i la base és de 6 cm, per tant: b ⋅h 6 ⋅h S= → 24 = → h = 8 cm 2 2

Solucionari

Aleshores, el perímetre serà: 2

El perímetre serà:

L = 3 + 8 → L ≈ 8, 54 cm → P = 6 + 2L → P = 23, 08 cm 22 Considerem la figura:

P = L1 + L2 + L3 + L4 → L = 36,17 cm 31

15 m

10 m

Costats

Angle central

Angle interior

51,43

128,57

135

140

144

10 m

20 m

a) El costat que falta es calcula per Pitàgores: L2 = 102 + 52 → L ≈ 11,18 m

32 12 costats.

b) El perímetre del trapezi és de 20 + 10 + 15 + 11,18 =

33 360/n

= 56,18 m.

34 Resposta oberta. Aquesta activitat també es pot resoldre amb

c) La tanca costarà 56,18 m · 60 €/m = 3370,82 €. d) L’àrea del terreny és: S =

(B + b)⋅ h 2

→ S = 175 m2

23 P = 12,57 dm

el GeoGebra. 35 a) 27,5°; b) 31,59° i 60,56°; c) 45°, 225° i 108,43° 36 S’obté construint un arc de circumferència amb extrems tal com s’indica en la figura:

24 A = 12,57 dm

25 A = 103,67 cm2 26 L = 4,71 dm 27 Àrea = 65,45 cm2. Perímetre = 33,09 cm 28 L’àrea correspon a dos triangles de base 3 cm i d’altures 2 i 8 cm,

314

3⋅8 3⋅2 + → A = 15 cm2 2 2 29 Si el perímetre és 20 i el radi és 8, aleshores la longitud de respectivament. Per tant, tenim: A =

l’arc és de 4 cm. Per calcular l’angle fem:

37 Perquè l’angle d’un octàgon regular és de 135° i 3 × 135° >

α α 90 L= πr → 4 = π ⋅8 → α = → α ≈ 28,65º 180 180 π 30 Descomponem la figura de la forma següent: L1

360°. 38 Resposta gràfica oberta. 39 Resposta oberta. Autoavaluació 1 a) C; b) B; c) A 2 Si la base és 5 cm i l’àrea és de 30 cm2, aleshores l’altura és de 12 cm. Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular la hipotenu-

4 cm

sa. Tenim: c 2 = a 2 + b 2 → c 2 = 52 + 122 → c 2 = 169 → c = 13 (a, b són els catets i c la hipotenusa). Per tant, el perímetre és de 30 cm.

6 cm

3 Considerem la figura següent. L4

2 cm

10 cm

4 cm L3 8 cm

L1 és el perímetre d’una semicircumferència de radi 4 cm; per tant: L1 = pr → L1 ≈ 12,57 cm L2, L3 i L4 es calculen aplicant-hi el teorema de Pitàgores: L2 : → L22 = 22 + 62 → L2 = 40 ≈ 6,32 cm L3 : → L32 = 22 + 42 → L3 = 20 ≈ 4,47 cm 2 4

L4 : → L = 8 + 10 → L = 164 ≈ 12,81 cm

0,5 m 1m

fins on podem arribar és el catet que ens falta. Tenim:

Solucionari

L’escala queda representada per un triangle isòsceles. L’altura

22 = 0, 52 + b 2 → b = 3,75 ≈ 1, 94 m Ens podem enfilar fins a una altura de 1,94 m. 4 L’àrea d’un trapezi ve donada per: (B + b)⋅ h 13 ⋅ h S= → substituint dades → 26 = → h = 4 cm 2 2 Per tant, el trapezi serà el següent:

107,4º

81,3º

5 cm

4 cm

107, 4º = 53,7º (Ja que ha de ser la meitat de l’angle 2 central.) α=

8 cm

El costat que hi falta es calcula amb el teorema de Pitàgores:

D’altra banda: γ = 81,3º

5 cm

4 cm

Pel mateix motiu: α = δ = 53,7º Finalment, els angles b i e es calculen a partir dels triangles que es formen. Tindrem: α + 81,3º + β = 180º → β = 45º γ + δ + ε = 180º → ε = 45º

4 cm

315 Unitat 10 Proporcionalitat geomètrica

3 cm 8 cm

Anomenant c el costat que falta, tindrem: c 2 = 32 + 42 → c = 5

1 Dos segments que mesurin 6 i 10 cm, respectivament.

Per tant, el perímetre és: P = 5 + 8 + 5 + 4 → P = 22 cm

2 A 'B ' = 3 ; B 'C ' = 4

Per calcular les diagonals tornarem a aplicar el teorema de

3 Resposta gràfica oberta.

Pitàgores. Tindrem:

4 Resposta gràfica oberta. Les parts mesuren respectivament 4 i 6 cm.

5 cm

5 a) C 4 cm

4 cm

BC = 8 d

D 3 cm

8 cm 2

AB = 5

D = 8 + 4 = 80 → D = 80 ≈ 8, 94 cm B’C’ = 4,31

d 2 = 42 + 52 = 41→ d = 41 ≈ 6, 40 cm 5 L’angle A és la meitat de l’angle B (60°). Per tant, l’angle C ha de ser de 90°. El triangle ABC és rectangle. 6 a) Suplementari de 135º → α = 180º −135º = 45º. Suplementari de 153,43º → β = 180º −153,43º = 26,57º. L’angle que falta del triangle és: γ = 180º −(α + β) → γ = 108,43º. Finalment, calculem el suplementari d’aquest darrer angle: δ = 180º −108,43º → δ = 71,57º

B’ AB’ = 2,69

C’ AC’ = 7

b) Les parts proporcionals mesuren respectivament: 35 56 ≈ 2,69 i ≈ 4,31 cm 13 13 6 Resposta gràfica oberta.

Solucionari

7 Resposta gràfica oberta. Una resposta possible seria:

7 1 8

4 3,4 = 3 +

3 12 1 =1+ =1+ 9 9 3

2 5

9 Els nombres representats són: 4 10 5 =− =− 6 6 3 3 13 b) 2 + = 5 5 10 a) Els costats que falten fan 18 i 21 cm. a) −1−

b) La raó entre els perímetres és 3 (igual a la raó de semblança). 11 a) El costat homòleg al costat BC és DE ; el costat homòleg al costat AC és AD; el costat homòleg al costat AB és AE. 4, 48 = =2 DE 2, 24 c) Per tant: AD = 3 → AB = 5,66 b)

316

–3

–2 –

12 Són semblants perquè tenen dos angles iguals (l’agut i el recte, ja que són rectangles).

18 4 = –2 – 7 7

13 Perquè hi ha una infinitat de triangles amb els mateixos

8 Resposta gràfica oberta. Una resposta possible seria: a)

angles. 14 Perquè tenen un angle comú i els costats oposats a aquest angle són paral·lels, per tant, tenen els tres angles iguals. 15 Resposta oberta. Hi ha més de 4 parells de triangles semblants; per exemple: a) Els triangles ABC i BDE són semblants perquè estan en posició de Tales. b) Els triangles ACD i ABC són semblants perquè són rectan-

c) Els triangles ADE i ADB són semblants perquè són rectan-

1 5 =1+ 4 4

gles i tenen un angle agut igual (l’angle C). gles i tenen un angle agut igual (l’angle A). d) Els triangles ABC i ADB són semblants perquè són rectan-

gles i tenen un angle agut igual (l’angle A). 16 Multipliquem cada costat per la raó de semblança: 5 · 1,5 = 7,5; 7 · 1,5 = 10,5; 8 · 1,5 = 12,5 cm. 17 Altura: CD = 4,62 ; projecció AD = 1, 92 ; costat AC = 5 18 a) Perímetre: 90 cm; b) àrea: 337 cm2. 19 Apliquem el teorema de Pitàgores: 0

1 0,8 =

4 5

132 = 52 + c 2 → 169 = 25 + c 2 → c 2 = 144 → c = 12 cm 20 Rectangle 1; base: 12 cm, altura: 13 cm; rectangle 2: base: 4,8; altura: 5,2 cm 21 L’altura del rectangle més gran fa 32 cm. La base del rectangle petit mesura 5 cm i l’altura, 8 cm. 22 Resposta gràfica oberta. 23 L’altura de l’edifici és de 30 m.

respon a 25 km en la realitat. Plantegem, doncs, la proporció

es descomponen en triangles semblants.

següent:

b) La raó és 1/4.

1 cm x cm = → x = 4, 8 cm 25 km 120 km b) Si la distància sobre el mapa és de 9,6 tindrem:

25 Es necessita una superfície mínima de 133,33 cm2. 26 Les dimensions reals són 3 x 4 metres. 27 La maqueta ha de tenir una envergadura de 62,5 cm. 28 El cotxe ha de mesurar 15,63 cm de longitud. 29 Superfície real: 12 m2; perímetre menjador: 14 m; amplada de cada porta: 70 cm = 0,7 m. Per tant: es necessiten 12 m2 de parquet i 14 − 1,40 m de sòcol. El preu total és:

1 cm 9,6 cm 120 = →x= → 12, 5 km x km 120 km 9, 6 1 cm en el mapa ha de representar 12,5 km en realitat; per

Solucionari

24 a) Són semblants perquè tenen els mateixos angles. Per tant,

tant, l’escala és 1:1 250 000. 6 30 m són 3 000 cm; per tant, l’escala de la maqueta són: 50:3 000; reduint: 1:60

P = 60 x 12 + 15 x 12,6 = 909 euros. 30 a) Es necessiten 7,27 metres de pista. b) Se’n necessiten 14,55 (observem que és el doble). 31 a) La longitud del segment és de 2 cm; per tant, l’escala és

UNITAT 11 Els poliedres

2:1 500 000; reduint: 1:750 000. b) La distància real és de 75 km.

1 a) 3 000 cm3, b) 0,067 cm3, c) 43 000 000 cm3

32 La distància és de 20 km.

2 a) 24 m3 321 dm3

33 L’escala 1:20 000 és més gran i per tant, ens dóna més detall; amb la qual cosa, és millor que l’altra. 34 a) L’escala més petita és 1:100 000. més detall. Autoavaluació

AB 2 a)

AC AB

GH CD

6 a) i d) són convexos; c) i e) són còncaus. 7 a) 5 cares, 5 vèrtexs, 8 arestes. b) 8 cares, 12 vèrtexs, 18 arestes. c) 6 cares, 8 vèrtexs, 12 arestes. 8 7 cares, 15 arestes i 10 vèrtexs.

BB '

→ B 'C ' = 2, 41

AC ' = AB ' + B 'C ' → CC '

30 kg m →d = → d = 66,67 kg/m3 V 0,45 m 5 a), c), d) i e) són poliedres. b) no és un poliedre perquè la 4 d =

base no és un polígon; d) és un cub.

1 Tenim les relacions de proporcionalitat següents:

B 'C '

c) 3 m3 245 dm3 670 cm3 3 V = a · b · c , per tant: V = 60 000 cm = 0,06 m3

b) L’escala més gran és 1:50 000; és aquesta la que ens dóna

AB '

b) 1 hL 2 daL 8 L 3 dL 4 cL

AC ' AC

C 'D ' CD

→ C 'D ' = 4, 81

12 Resposta gràfica oberta.

DD '

AD = → DD ' = 6 BB ' AB b) La raó de semblança és el quocient entre dos costats homòlegs. Per tant:

Entre AB’B i AD’D és r =

10 15 arestes. 11 Es compleix perquè tenim: cares, 8; vèrtexs, 12; arestes, 18.

→ CC ' = 3,33

Entre AB’B i AC’C és r =

9 Tenim 12 cares, 30 arestes i 20 vèrtexs.

13 No perquè no compleix la relació d’Euler. 14 Resposta oberta 15 No és un poliedre regular perquè no compleix la segona condició: en cada vèrtex hi concorren el mateix nombre de cares.

AB AC AB AD

16 És cert en els tres casos.

3 5

3 1 = 9 3

17 a) 7 cares, 10 vèrtexs, 15 arestes.

5 Finalment entre AC’C i AD’D és r = = 9 AD 3 La raó de semblança és 3. La raó entre àrees és 9. Fixem-nos que la raó entre àrees és la raó de semblança al quadrat. 4 Podem assegurar-ho perquè la relació entre l’altura de l’arbre i la seva ombra és la mateixa que en l’objecte vertical. 5 a) L’escala 1:2 500 000 significa que 1 cm en el mapa correspon a 2 500 000 cm en realitat; per tant 1 cm en el mapa cor-

b) 8 cares, 12 vèrtexs, 18 arestes. c) 9 cares, 14 vèrtexs, 21 arestes. 18 L’àrea de cada base és de 100 cm2. L’àrea de cada rectangle és de 50 cm2. L’àrea total és de 400 cm2. 19 L’àrea de la base és de 10,39 cm2. 20 L’aresta que falta fa 6 cm, el volum és, per tant, V = 72 cm3. 21 L’àrea de la base (hexàgon regular de costat 2) és de 10,39 cm2. El volum és, per tant, de 103,9 cm3. 22 L’apotema de cada cara és de 10 cm, per tant, l’àrea de cada cara serà de 30 cm2. L’àrea lateral és, doncs, de 120 cm2 i l’àrea total, de 220 cm2.

317

Solucionari

23 L’aresta bàsica fa 14 cm (si hi apliquem Pitàgores). Per tant, el volum és V = 1568 cm . 24 El volum de la piràmide és V = 2 593 692,0576 m3. 25 Perquè no seria possible formar la cúspide de la piràmide atès que l’angle d’un triangle equilàter és de 60º. 26 a) Tetraedre truncat C = 8, A = 18, V = 12 b) Cuboctaedre: C = 14, A = 24, V = 12 c) Cub truncat: C = 14, A = 36, V = 24 27 Tindrem un poliedre format per quadrats (6) i hexàgons regulars (8). 28 Un octaedre es descompon en dues piràmides amb aresta de 5 cm. L’altura de cada piràmide és de 3,54 cm (Pitàgores), per tant, el volum de cada piràmide és de V = 29,46 cm3. El volum de l’ortoedre és de 58,93 cm3. 29 Es tracta d’un ortoedre més un prisma triangular. El volum total és de 36 dm3 (24 l’ortoedre i 12 el prisma). 30 És un ortoedre menys un prisma. El volum de la figura és: V = 57 dm3

a = 28, 87 ≈ 5,37 cm 9 La base del triangle és la diagonal d’un quadrat de costat 20 cm. L’altura del triangle és l’aresta del cub. Per tant: Base: B = 202 + 202 = 800 ≈ 28, 28 cm B ⋅h → S = 282, 84 cm2 2 10 L’àrea de cada base és de 16 cm2. Tenim: Àrea: S =

2Ab + AL = 112 → 32 + AL = 112 → AL = 90 Cadascuna de les cares tindrà una àrea de 22,5 cm2. Si l’aresta bàsica és de 4 cm, aleshores l’altura haurà de ser: 22, 5 = 4 ⋅ h → h = 5,625 Per tant, el volum és V = 16 · 5,625 = 90 cm3. 11 Es tracta d’un ortoedre més un prisma de base triangular. Tenim: Volum de l’ortoedre: V = 8 · 18 · 8 = 1 152 cm3. Per calcular l’altura del prisma necessitem calcular l’àrea del triangle que fa de base. Si apliquem Pitàgores al triangle ABC

Autoavaluació

que es determina trobem BC = 9,17 cm.

1 300 cm3 equivalen a una capacitat de 0,3 L.

Per tant, l’àrea de la base del prisma és 36,68 cm2 i el volum

2 55 L equivalen a 55 dm3, ho dividim per 1 000, i equival a un

318

L’àrea del cub és la mateixa, per tant, l’àrea de cada quadrat és: A = 173,20/6 = 28,87 cm2. L’aresta de cada quadrat serà:

volum de 0,055 m3.

del prisma serà V = 36,68 · 18 = 660,24 cm3. El volum total de la figura és de V = 1 812,24 cm3.

3 a) El volum és de 55,6 − 50 = 5,6 cm3. 14 g = 2, 5 g/cm3 = 2500 kg/m3 . 5,6 cm3 4 No pot existir perquè no verifica la relació d’Euler b) La densitat és: d =

Unitat 12 Els cossos de revolució

C + V = A + 2 (9 + 12 = 21), hauria de ser 23. 5 Apliquem la relació d’Euler: C + V = A + 2 → tenim: A = V + 5 → → substituïm → C + V = V + 7 → C = 7 Si una cara és un hexàgon i la resta són triangles, el nombre de vèrtexs és 7 i, per tant, tindrem 12 arestes. Fixem-nos que C + V = A + 2 (7 + 7 = 12 + 2). 6 L’aresta bàsica és de 15 cm; per tant, l’àrea de la base és de 152 = 225 cm2. Per calcular l’àrea lateral ens cal l’apotema de cada cara. Si apliquem Pitàgores, tenim: a 2 = 7, 52 + 202 → a ≈ 21,36 cm . Per tant, l’àrea de cada 15 ⋅ 21,36 cara és: S = ≈ 160, 20 cm2 . L’àrea lateral és, doncs: 2 AL = 4S → AL = 640, 80 cm2 i finalment, l’àrea total és: A = 225 + 640,80 = 865,80 cm2 7 Hem de calcular l’aresta bàsica, que serà el doble de l’apotema (atenció: s’entén l’apotema de la base perquè l’apotema de cada cara no pot ser més petita que l’altura). 1 1⋅1 1 3 = m Aleshores: V = Ab ⋅ h → V = 3 3 3 8 L’aresta del tetraedre és 10; per tant, l’àrea de cada triangle és de 43,30: L’àrea del tetraedre és, doncs: A = 4 · 43,30 = 173,20 cm2.

1 c) i d) 2 Àrea de la base: 78,54 cm2. Altura: 10 cm. Volum, V = 785,4 cm3 3 a) Diàmetre: 6,04 cm. b) Àrea del cilindre: 2 · 28,70 + 218, 38 = 275,78 cm2 4 g = 10 cm 5 g = 9 cm 6 Radi base 3 cm. g = 5 cm 7 La generatriu mesura 25 cm, per tant, l’àrea lateral és de A = πrg → A = 549,78 cm2 . 8 L’àrea del con és S = πr 2 + πrg → S = 9π + 15π = 24π → S = 75, 40 dm2 9 a) La generatriu fa 12 cm. b) L’altura mesura 10,91 cm. 10 El radi mesura 9 cm, l’àrea de la base és de 254, 47 cm2. L’àrea lateral és de 424,12 cm2. L’àrea total fa A = 678,59 cm2. 11 El radi de la base és de 4,37 cm; la generatriu és de 30,32 cm i l’àrea lateral (material que es necessita) és de 411,45 cm2. 12 a) L’angle del sector és de 225,03 graus. Per tant, el desenvolupament pla ha de ser semblant a aquest:

radi = 5 cm

1 En el primer dels casos es genera un tronc de con. En el segon es genera el cos següent:

Solucionari

Autoavaluació

225,03º

generatriu = 8 cm

b) L’àrea lateral és de 125,66 cm2. c) L’àrea total és de 204,20 cm2. d) El volum serà, per tant: V = 163,49 cm3. 13 V = 301,59 cm3 14 Radi base: 3 dm, altura: 4 dm; V = 37,70 cm3 15 L’àrea de la base del cilindre és A = 113,10 cm2, l’aresta bàsica ha de fer, doncs: a = 10,63 cm. 16 El volum del con és de 1 017,88 cm3. L’altura del prisma és de 12 cm, per tant, l’àrea de la base del prisma serà de 84,82 cm2. L’aresta bàsica ha de ser, doncs, a = 9,21 cm. 17 a) Si apliquem la semblança de triangles, el radi de la base menor és de 2,63 cm. Per tant, l’àrea de la base menor és de 21,65 cm2. b) La generatriu del con sobrant s’obté aplicant Pitàgores i és de 6,55 dm. L’àrea lateral del con sobrant és de 54,01 dm2. c) L’altura del con sobrant és de 6 dm, l’àrea de la base és de 21,65 dm2, per tant, el volum del con sobrant és 43,30 dm3. d) L’àrea lateral del tronc de con és de 384,06 − 54,01 = = 330,05. L’àrea de les bases és 153,94 (la gran) i 21,65 (la petita). L’àrea del tronc de con és de 505,64 dm2.

2 L’altura és de 30 cm, el diàmetre és de 12 cm. Per tant, el volum és V = πr 2h → (r = 6, h = 30) → V = 3392,92 cm3 . L’àrea total és: A = 2πr 2 + 2πrh → (r = 6,h = 30) → A = 1357,17 cm2 3 a) El radi és de 6 cm; per tant, l’àrea serà: A = 2πr 2 + 2πrh → (r = 6, h = 14) → A = 753, 98 cm2 Es necessiten, doncs, 753,98 cm2 de material. b) El volum de la llauna és de: V = πr 2h → (r = 6, h = 14) → V = 1583,36 cm3, que correspon a una capacitat de 1,583 L (aproximadament). 4 a) Calculem prèviament l’altura amb el teorema de Pitàgores. El resultat és h = 6 cm. Aleshores l’àrea serà: A = πr 2 + πrg → (r = 4,5; g = 7,5) → → A = 63,62 + 106,03 = 169,65 cm2 b) El volum és: 1 V = πr 2h → (r = 4,5; g = 7,5) → V = 127,23 cm3 3 5 a) El radi de la base més petita del tronc resultant es calcula

1 1 18 V = πR 2h1 − πr 2h2 → V = 127,23 − 37,70 = 89,53 m3 3 3 19 L’altura del con és de 16 cm i la del con sobrant, de 6 cm. El

b) La generatriu del con és de 17 cm (Pitàgores). La gene-

radi de la base major és de 7 cm; el radi de la base menor es

i resulta de 6,8 cm. Per tant, l’àrea lateral del con sobrant

calcula per semblança de triangles. Tenim:

serà: AL = 68,36 cm2. L’àrea lateral del con original és de

16 7 1 1 = → r = 2,625 cm ⇒ V = πR 2h1 − πr 2h2 → r 6 3 3 → V = 821,00 − 43,30 = 777,70 cm3 20 P = 62,83 cm 21 A = 1 809,56 cm2 22 Volum: V = 11 494,04 m3 Àrea: A = 2 463 m2 23 El volum és de 14 137,17 cm3. La capacitat és de 14,137 L. 24 El radi és de 5,98 cm. El volum és de 897,62 cm3. 25 És impossible perquè el perímetre de la Terra és de 40 000 km (aproximadament). La distància màxima seria de 20 000 km.

per semblança de triangles. El resultat és r = 3,2 cm. ratriu del con sobrant es calcula per semblança de triangles

AL= 427,257 cm2. L’àrea lateral del tronc de con serà, doncs: AL = 427,257 − 68,36 = 358,90. L’àrea de les bases és de 201,06 cm2 (base major) i de 32,17 cm2 (base menor). Per tant, l’àrea total del tronc de con és: A = 358,90 + 201,06 + 32,17 = 592,13 cm2. c) El volum del tronc de con és el volum del con total menys el del con sobrant. Per tant: V = 1005,31 − 64,34 = 940,97 cm3. 6 a) El radi de la pilota és de 6 cm. Per tant, l’àrea és de A = 452,39 cm2. b) El volum és: V = 904,78 cm3. c) El perímetre d’una circumferència màxima és P = 37,70 cm. 7 El volum serà el de l’ortoedre menys el de la semiesfera de radi 4 cm. Tindrem, doncs: V = 600 − 134,04 = 465,96 cm3.

319

Solucionari

El percentatge i l’angle de cada sector es calculen amb regles

Unitat 13 Estadística i probabilitat 1

de tres: Vaixell:

0,15

0,25

0,40

0,15

0,55

1500 x = x = 10,34 % 14500 100 1500 x = x = 37,24º 14500 360 Un cop fet el del vaixell, el del tren és igual i el de l’avió, en

0,20

0,75

canvi, és el triple. Després es fa l’autobús, i finalment el cot-

0,15

0,90

xe no cal fer-lo així sinó que es pot fer restant fins arribar al

0,05

0,95

100% o als 360°.

0,05

N = 20

30%

Suma = 1

25%

22%

2 a) Quantitativa discreta. b) Quantitativa contínua (es poden fer agrupacions per fer intervals).

c) Qualitativa. d) Qualitativa. 3 a) Hi ha moltes maneres de prendre la mostra (de mida N = 60): 1) cada 10 alumnes de l’ordre alfabètic de la matriculació; 2) aleatòriament, fent estrats per pobles: 5 del poble

1990

1995

2000

6 a)

2010

A, 10 del B, 15 del C i 30 del D; 3) fent estrats per cursos

320

2005

d’ESO i batxillerat (com en el cas anterior, dividint per 10 el 4

nombre d’alumnes de cada curs, i després triant-ne aleatòriament. I si no surt un nombre exacte, arrodonint-ho. b) La millor manera és la tercera ja que segons l’enunciat a cada poble hi ha una oferta diferent (de quantitat i de qualitat) d’activitats extraescolars. 4 a)

1,50

1,55

1,60

1,65

1,70

1,75

b) Si les amplades dels intervals són diferents, recordem que la seva àrea ha de ser proporcional a la freqüència absoluta:

5000

4000 6

3000 4 2000

1000 1,45 0

cotxe

avió

autobús

vaixell

tren

b) vaixell 10% tren 10%

autobús 14%

avió 31%

1,60

1,65

1,70

1,80

7 a) 2 2 2 4 4 4 4 4 5 5 6 7 8 Mo = 4; Me = 4; Re = 6; x =

mitjà de transport turístic

cotxe 35%

1,55

57 18,14 = 4,38 ; Dm = = 1,395 13 13

xi · ni

xi - x

x i − x ⋅ ni

2,38

7,14

0,38

1,90

0,62

1,24

1,62

2,62

3,62

N = 13

Suma = 57

Suma = 18,14

b) Amb reposició:

des per 10 i sense fer-hi cap càlcul, els resultats han de ser:

2 2 4 ⋅ = = 0,16 5 5 25 3 3 9 P (N ∩ N ) = ⋅ = = 0,36 5 5 25 i, per tant, la probabilitat que siguin del mateix color és de

Mo = 40; Me = 40; Re = 60; x = 43, 8 ; Dm = 13, 95 . 8 Són les mateixes dades un altre cop, multiplicades per 2. Per tant: Mo = 8; Me = 8; Re = 12; x = 8,76 ; Dm = 27, 9 . 9 La dispersió de la variable alçada serà més gran en el cas que sigui de tots els alumnes de l’Institut, ja que comprendrà des d’alumnes de primer d’ESO fins a segon de batxillerat, mentre que si només prenem els alumnes de la nostra classe (per

P (B ∩ B ) =

0,16 + 0,36 = 0,52. 16 Dos daus tetraèdrics (s’entén que numerats de l’1 al 4) donen la taula de resultats següent:

exemple, tots de segon d’ESO) hi haurà menys diferències. 10 a) Determinista: segur que es trencarà.

1 1

b) Aleatori: no podem predir el resultat. c) Aleatori: no podem predir el resultat.

d) Determinista: sortirà de color verd.

e) determinista: segur que es congelarà.

f) aleatori: no sabem quin nombre hi ha escrit al paper. 11 a) E = {CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX, XXX} b) A = {CCX, CXC, XCC} c) És tan probable que surtin dues cares com que en surti una.

Solucionari

b) Són les mateixes que les dades de a), però multiplica-

X X X X

Veiem que hi ha quatre casos que donen el mateix resultat, dels setze casos possibles i, per tant, la probabilitat d’obtenir el mateix resultat als dos daus és de: 4 1 = = 0,25 16 4 17 a) A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} P(mateix resultat) =

12 S’ha de fer a classe: després dels 25 llançaments de cada un, es van calculant les freqüències relatives de la manera següent: Si el primer alumne ha tret n1 vegades el 6, el segon l’ha tret n2 vegades, el tercer n3 vegades..., per tant, les freqüències relatives successives seran: n + n2 + n3 n1 n + n2 ... f2 = 1 f3 = 1 25 50 75 i el valor que surti al final de tot serà, aproximadament, la f1 =

probabilitat de treure un 6.

b) B = {(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (4,1), (4,2), (4,3)} c) C = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} d) D = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} e) E = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} 18 a) A i C no són incompatibles: (1,5) és a tots dos conjunts. A i B no són incompatibles: (2,4) és a tots dos conjunts.

2 3 b) P (N ) = 5 5 14 Podem construir una taula com ara:

13 a) P (B ) =

B i C són incompatibles: no tenen cap element en comú.

5 7 9 P (B ) = P (C ) = 36 36 36 c) A ∪ B = {(1,4), (1,5), (2,4), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3),

(4,4),(5,1)}

5 a) P (6) = 36

b) P ( A ) =

6 5 b) P (7) = c) P (8) = 36 36 2 1 2 15 a) Sense reposició: P (B ∩ B ) = ⋅ = = 0,10 5 4 20 3 2 6 P (N ∩ N ) = ⋅ = = 0,30 5 4 20 i, per tant, la probabilitat que siguin del mateix color és de 0,10 + 0,30 = 0,40.

A ∩ B = {(2,4), (4,2)} P(A ∪B ) =

10 36

P(A ∩B ) =

2 36

10 5 7 2 = + − 36 36 36 36 d) B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), Fórmula de les probabilitats totals:

(2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} e) A ∩ B ={(1,5), (3,3), (5,1)} 3 36 f) A ∪ B ={ tots els de B i, a més, (2,4) i (4,2)} P(A ∩B ) =

P(A ∪B ) =

31 36

321

Solucionari

5 a) A = {4O, 8O, 12O,4C, 8C, 12C, 4E, 8E, 12E, 4B,8B, 12B}

Autoavaluació

b) B = {1O, 1C, 1E, 1B, 12O, 12C, 12E, 12B}

1 a) Quantitativa discreta.

c) No són incompatibles perquè A ∩ B ≠ ∅.

b) Qualitativa. c) Quantitativa contínua (perquè hi haurà molta varietat de resultats). 2 a) Població = pisos del bloc No cal agafar una mostra (un bloc de pisos sol tenir com a molt 50 pisos). b) població = clients del restaurant Sí que és millor agafar una mostra. Per exemple, els clients 10è, 20è... Si s’agafés la mostra per intervals d’hores, potser no aniria bé perquè en un cert moment podrien anar-hi un grup d’una mateixa nacionalitat i això influiria molt en el resultat. c) població = ovelles de la granja Sí, és millor agafar una mostra, que es prendria segons els criteris que hi hagués d’agrupació de les ovelles: si un pavelló té les joves, i són un 25% del total, si la mostra la volem de mida N = 100 n’agafarem 20, i si un altre pavelló té les més velles i són un 15% del total, n’agafarem 15... 3 S’observa que les proporcions són molt semblants fins als 60 anys, però a partir d’aleshores hi ha molta més disminució

322

d’homes que de dones. Aquesta ciutat té aproximadament 82 000 habitants. 4 Encara que no cal, podem construir primer la taula de freqüències: xi

xi · ni

xi - x

x i − x ⋅ ni

1,95

5,85

0,95

4,75

0,05

0,30

1,05

2,10

2,05

8,20

N = 20

Suma = 59

Suma = 21,20

a) Mo = 3 b) Me = 3 (és la mitjana dels valors centrals un cop ordenades les dades: 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5. 59 = 2,95 20 d) Re = 5 − 1 = 4 c) x =

e) Dm =

21,20 = 1,06 20

12 1 = = 0,25 48 4 8 1 e) P (B ) = = = 0,1 6 48 6 f) P ( A ) = 1− P ( A ) = 0,75 d) P ( A ) =

Editorial Casals, fundada el 1870 Llibre adaptat als continguts que prescriu el Decret 143/2007, de 26 de juny de 2007, pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’Educació Secundària Obligatòria.

Les activitats d’aquest llibre es proposen com a models d’exercicis que cada alumne/a ha de resoldre a la llibreta o quadern. En cap cas no s’han de fer al llibre mateix.

Aquest llibre té una versió digital a www.ecasals.net l’ISBN de la qual és 978-84-218-4703-9.

Coordinació editorial: Isaac Camps Col·laboració: Rosa Comabella i Maria Camps Disseny de coberta: BPMO Edigrup Disseny interior i maquetació: Eclipse Gráfica Creativa Il·lustració: Farrés/il·lustració editorial, NükStudio.com i Òscar Julve Fotografia: Aci, Age fotostock i Getty image Les reproduccions s’han fet segons l’article 32 de la Llei de propietat intel·lectual. © Miquel Albertí, Andrés Aragoneses, Antoni Bancells, Albert Bosch, Viky Frías, Fernando García, Antonio Hernández, Bartolomé Luque, María Molero, Ricard A. Rovira, Lluís Sabater, Adela Salvador, Juan A. Ysern, Nieves Zuasti © Editorial Casals, S. A. Casp, 79 – 08013 Barcelona Tel.: 902 107 007 Fax: 93 265 68 95 http://www.editorialcasals.com http://www.ecasals.net Primera edició: febrer de 2012 ISBN: 978-84-218-4399-4 Dipòsit legal: Printed in Spain Imprès a Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només pot ser realitzada amb l’autorització dels seus titulars, llevat d’excepció prevista per la llei. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar fragments d’aquesta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 45). No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió en cap forma o per qualsevol mitjà ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per enregistrament o per altres mètodes sense el permís previ i per escrit dels titulars del copyright.

ELS TEUS RECURSOS DIGITALS A:

MATEMÀTIQUES 2

www.ecasals.net/alumnes/matematiques2eso

MATEMÀTIQUES 2

Miquel Albertí, Andrés Aragoneses, Antoni Bancells, Albert Bosch, Fernando García, Antonio Hernández, Bartolomé Luque, Ricard A. Rovira, Lluís Sabater, Juan A. Ysern

Mates 2 coberta CAT CS4.indd 1

26/01/11 16:54