Guia Metodologica Funcion No Polinomiales

Page 1

Tema: Funciones NO Polinomiales Guía Metodológica Función Valor Absoluto y Función con Radicales

FUNCIONES NO POLINOMIALES

Función Con Valor Absoluto y Función Con Radical Dos

MATEMÁTICA I MM-110 UNAH-CUROC

INTRODUCCIÓN

Se presenta aquí algunos ejercicios realizados en una clase particular para entender los conceptos de Función Valor Absoluto, Función Racional y Función con Radical. Veremos cómo representarlas usando las propiedades. A partir de la definición y de algunas indicaciones, haremos un ejercicio, representando las funciones gráficamente. Todas las imágenes de esta presentación han sido realizadas utilizando el GEOGEBRA. Para más información sobre este programa puede consultarse en https://www.geogebra.org/

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

2

FUNCIONES NO POLINOMIALES

Función Con Valor Absoluto y Función Con Radical Dos

MATEMÁTICA I MM-110 UNAH-CUROC

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Estudiaremos ahora las funciones cuya característica es que la variable se encuentra con Valor Absoluto. Definición: Llamaremos función Valor Absoluto, a la expresión de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑚𝑥 + 𝑏 + 𝑘, donde 𝑚𝑥 + 𝑏 es el argumento del valor absoluto y una expresión algebraica. El dominio de la función de 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑚𝑥 + 𝑏 + 𝑘, donde 𝑚𝑥 + 𝑏 es una expresión algebraica es el conjunto de todos los números reales si 𝑚𝑥 + 𝑏 es un polinomio. En términos generales el dominio de 𝑓 𝑥 son todos los reales.

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

3

FUNCIONES NO POLINOMIALES

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos EJERCICIO NÂş 01:

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

Trazar la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 Determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • Dominio de la đ?‘“ đ?‘Ľ : • Rango de la đ?‘“ đ?‘Ľ : • Cuadrantales: o Intersecto con el eje đ?‘Ľ: o Intersecto con el eje đ?‘Ś: • Corrimiento: o Vertical o Horizontal • VĂŠrtice en el punto â„Ž, đ?‘˜ • Tabla NumĂŠrica (Graficar cinco (5) puntos como mĂ­nimo) • Eje de simetrĂ­a en đ?‘Ľ = â„Ž • Intervalo donde la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ es creciente • Intervalo donde la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ es decreciente • La funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ abre hacia arriba o hacia abajo • Punto mĂĄximo o punto mĂ­nimo en â„Ž, đ?‘˜

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

4

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos DOMINIO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 Para el anĂĄlisis del dominio de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2, debemos recordar la definiciĂłn de valor absoluto tenemos que: đ?‘†đ?‘– đ?‘Ľ ≼ 0 đ?‘’đ?‘™ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ = đ?‘†đ?‘– đ?‘Ľ < 0 đ?‘’đ?‘™ đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ Al aplicar la definiciĂłn de valor absoluto, notamos que tenemos una funciĂłn con dos reglas de correspondencia. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ∈ 0, +∞ đ?‘“ đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ∈ −∞, 0 Por todo lo anterior el dominio de đ?‘“ đ?‘Ľ : es el conjunto de todos los nĂşmeros reales.

RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2

Para el anĂĄlisis del rango esperaremos el comportamiento del grafo.

CUADRANTALES DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 Intercepto con el eje đ?’™: El intercepto con el eje đ?‘Ľ cuando đ?‘Ś = 0 ⊼> / đ?‘Ś = 0 đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 đ?‘Ś = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 0 = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 −2 + 0 = −2 − 2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 −2 = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 0 1 1 −2 = −2 3đ?‘Ľ + 4 −2 −2 −2 −2 3đ?‘Ľ + 4 = −2 −2 1 = 3đ?‘Ľ + 4 WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

5

FUNCIONES NO POLINOMIALES

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

Como la igualdad es positivo del valor absoluto tendremos como mĂĄximo dos intercepto con el eje đ?‘Ľ đ?‘†đ?‘– 3đ?‘Ľ + 4 ≼ 0 đ?‘’đ?‘™ 3đ?‘Ľ + 4 = 3đ?‘Ľ + 4 3đ?‘Ľ + 4 = đ?‘†đ?‘– 3đ?‘Ľ + 4 < 0 đ?‘’đ?‘™ 3đ?‘Ľ + 4 = − 3đ?‘Ľ + 4

Resolvemos: Caso NÂş 2: đ?‘†đ?‘– 3đ?‘Ľ + 4 < 0 Caso NÂş 1: đ?‘†đ?‘– 3đ?‘Ľ + 4 ≼ 0 |3đ?‘Ľ + 4| = 1 −(3đ?‘Ľ + 4) = 1 3đ?‘Ľ + 4 = 1 (−1)[−(3đ?‘Ľ + 4)] 3đ?‘Ľ + 4 − 4 = 1 − 4 = (−1)(1) 3đ?‘Ľ + 0 = −3 3đ?‘Ľ + 4 = −1 3đ?‘Ľ = −3 3đ?‘Ľ + 4 − 4 = −1 − 4 1 1 3đ?‘Ľ + 0 = −5 3đ?‘Ľ = −3 3 3 3đ?‘Ľ = −5 3đ?‘Ľ −3 1 1 = (3đ?‘Ľ ) L M = (−5) L M 3 3 3 3 đ?‘Ľ = −1 3đ?‘Ľ −5 = 3 3 5 đ?‘Ľ=− 3 Por lo tanto, el intercepto con el eje đ?‘Ľ son: C

đ??źđ?‘ĽB : − ,0 y đ??źđ?‘ĽE : −1 ,0 D

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

6

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos

Intercepto con el eje đ?’š: El intercepto con el eje đ?‘Ś cuando đ?‘Ľ = 0 ⊼O / đ?‘Ľ = 0 đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 đ?‘“ 0 = −2 3 0 + 4 + 2 đ?‘“ 0 = −2 4 + 2 đ?‘“ 0 = −2 4 + 2 đ?‘“ 0 = −8 + 2 đ?‘“ 0 = −6 đ?’š = −đ?&#x;” Por lo tanto, el punto de intercepciĂłn con el eje đ?‘Ś es ⊼O = 0, −6

VÉRTICE DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 EN EL PUNTO đ?‘‰ = â„Ž, đ?‘˜ Obteniendo el vĂŠrtice en el punto đ?‘˝ = đ?’‰, đ?’Œ de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = đ?’‚ đ?’Žđ?’™ + đ?’ƒ + đ?’Œ Determinar el valor de h: â„Ž =====≍ đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? = 0 đ?‘? đ?‘Ľ=− đ?‘š Dada la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 đ?&#x;’ Entonces el valor de: đ?’‰ = − đ?&#x;‘ đ?’Œ = đ?&#x;?

Por todo lo anterior el vĂŠrtice de la funciĂłn es đ?‘˝ =

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

đ?&#x;’ đ?&#x;‘

,đ?&#x;?

7

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos TABLA NUMERICA DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 Los valores que tomemos son a la preferencia de cada estudiante y determinaremos como mĂ­nimo cinco (5) puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico.

Ahora trazaremos los puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico y asĂ­ trazar nuestra funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

8

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos TRAZADO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 Una vez que hemos trazado los puntos vamos a trazar con lĂ­neas continuas el grafo.

RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 Una vez que ya tenemos el grĂĄfico de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ , analizaremos su rango.

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

9

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos INTERVALO DONDE ES CRECIENTE Y DECRECIENTE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ es creciente en el đ?&#x;’

intervalo −∞, − đ?&#x;‘

La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ es decreciente en el đ?&#x;’

intervalo − , +∞ đ?&#x;‘

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

10

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 ABRE HACIA ARRIBA O HACIA ABAJO La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ abre hacia abajo debido a que đ?’‚ < đ?&#x;Ž

CORRIMIENTO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2

Corrimiento vertical: La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ se traslada đ?&#x;? unidades hacia arriba. Corrimiento horizontal: đ?&#x;’ La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ se corriĂł unidades đ?&#x;‘ hacia la izquierda.

Corrimiento horizontal đ?&#x;’ en đ?’‰ = − đ?&#x;‘

Corrimiento vertical en đ?’Œ = đ?&#x;?

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

11

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos EL EJE DE SIMETRIA DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ tiene un eje de simetrĂ­a en đ?’™ = đ?’‰ ` El eje de simetrĂ­a es đ?‘Ľ = − D

PUNTO MĂ XIMO O PUNTO MĂ?NIMO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = −2 3đ?‘Ľ + 4 + 2 `

La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ tiene un punto mĂĄximo en đ?‘ƒđ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ = − , 2 , debido a que đ?’‚ < đ?&#x;Ž D

`

Punto MĂĄximo = c− D , 2d

`

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Eje de simetrĂ­a đ?‘Ľ = − D

12

FUNCIONES NO POLINOMIALES

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

FUNCIĂ“N CON RADICAL

Estudiaremos ahora las funciones cuya caracterĂ­stica es que la variable se encuentra como radicando. DefiniciĂłn: e Llamaremos funciĂłn con radical, a la expresiĂłn de la forma đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? + đ?‘˜, donde đ?‘› es un entero mayor o igual a dos y đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? es el argumento del radical y una expresiĂłn algebraica. El dominio de la funciĂłn de đ?‘“ estĂĄ definido por: đ?‘†đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘™ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ Dominio de đ?‘“ đ?‘Ľ : đ?‘†đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘™ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ľ ∈ â„?: đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? ≼ 0

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

13

FUNCIONES NO POLINOMIALES

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos EJERCICIO NÂş 01

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

Trazar la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 Determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • Dominio de la đ?‘“ đ?‘Ľ : • Rango de la đ?‘“ đ?‘Ľ : • Cuadrantales: o Intersecto con el eje đ?‘Ľ: o Intersecto con el eje đ?‘Ś: • Corrimiento: o Vertical o Horizontal • Punto de Inicio o punto terminal • Tabla NumĂŠrica (Graficar cinco (5) puntos como mĂ­nimo) • Intervalo donde la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ es creciente o decreciente • Concavidad de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

14

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos DOMINIO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2

Para el anĂĄlisis del dominio de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2, debemos observa que el Ă­ndice del radical đ?‘› es par y la funciĂłn đ?‘“ estĂĄ restringido por el dominio. Debemos buscar el intervalo donde el radicando es no negativo (mayor que cero), tambiĂŠn debemos recordar el concepto de inecuaciones con radicales para realizar el estudio del argumento 7 − 2đ?‘Ľ ≼ 0 y de esta forma encontraremos resolviendo la inecuaciĂłn: 7 − 2đ?‘Ľ ≼ 0 −đ?&#x;• + 7 −2đ?‘Ľ ≼ −đ?&#x;• + 0 0 −2đ?‘Ľ ≼ −7 −2đ?‘Ľ ≼ −7 B B −2đ?‘Ľ ≼ −7 pE pE pE>

pE

pr

≤ pE

7 �≤ 2

RepresentaciĂłn grĂĄfica del conjunto soluciĂłn de la inecuaciĂłn:

Por lo tanto, el dominio de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ serĂĄ: −∞,

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

đ?&#x;• đ?&#x;?

15

FUNCIONES NO POLINOMIALES

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

Para el anĂĄlisis del rango esperaremos el comportamiento del grafo.

CUADRANTALES DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2

Intercepto con el eje đ?’™: El intercepto con el eje đ?‘Ľ cuando đ?‘Ś = 0 ⊼> / đ?‘Ś = 0 đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 đ?‘Ś = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 0 = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 −2 + 0 = −2 + 7 − 2đ?‘Ľ + 2 −2 = 7 − 2đ?‘Ľ + 0 −2 = 7 − 2đ?‘Ľ

Como la igualdad del radical es negativo; por lo tanto, no existe intercepto con el eje đ?’™ Intercepto con el eje đ?’™: El intercepto con el eje đ?‘Ś cuando đ?‘Ľ = 0 ⊼O / đ?‘Ľ = 0 đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 đ?‘“ 0 = 7 − 2 0 + 2 đ?‘“ 0 = 7 + 2 đ?’š = đ?&#x;• + đ?&#x;? đ?‘Ś ≈ 4.65 valor aproximado Por lo tanto, el punto de intercepciĂłn con el eje đ?’š es ⊼đ?’š = đ?&#x;Ž, đ?&#x;• + đ?&#x;? WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

16

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos PUNTO INICIAL O PUNTO TERMINAL DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2

đ?&#x;•

Como đ?’Ž < đ?&#x;Ž y observamos el dominio de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ es −∞, , obteniendo đ?&#x;?

un punto terminal en đ?‘ˇđ?‘ť = đ?’‰, đ?’Œ de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = đ?’‚ đ?’Žđ?’™ + đ?’ƒ + đ?’Œ Determinar el valor de h: â„Ž =====≍ đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? = 0 đ?‘? đ?‘Ľ=− đ?‘š

Dada la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?&#x;• − đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;? đ?&#x;• Entonces el valor de: đ?’‰ = đ?&#x;? đ?’Œ = đ?&#x;? Por todo lo anterior el punto terminal es đ?‘ˇđ?‘ť =

đ?&#x;• đ?&#x;?

,đ?&#x;?

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

17

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos CORRIMIENTO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 Corrimiento vertical: La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ se traslada đ?&#x;? unidades hacia arriba

Corrimiento horizontal:

đ?&#x;•

La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ se corriĂł unidades hacia la derecha.

đ?&#x;?

Corrimiento vertical en đ?’Œ = đ?&#x;?

Corrimiento horizontal đ?&#x;• en đ?’‰ = đ?&#x;?

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

18

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos TABLA NUMÉRICA DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2

Los valores que tomemos son a la preferencia de cada estudiante y determinaremos como mĂ­nimo cinco (5) puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico.

Ahora trazaremos los puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico y asĂ­ trazar nuestra funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

19

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

FunciĂłn Con Valor Absoluto y FunciĂłn Con Radical Dos TRAZADO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2

Una vez que hemos trazado los puntos vamos a trazar con lĂ­neas continuas el grafo.

RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 Una vez que ya tenemos el grĂĄfico de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ , analizaremos su rango. WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

20

FUNCIONES NO POLINOMIALES

MATEMĂ TICA I MM-110 FunciĂłn Con Valor Absoluto y UNAH-CUROC FunciĂłn Con Radical Dos INTERVALO DONDE ES CRECIENTE O DECRECIENTE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 đ?&#x;•

La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ es decreciente en el intervalo −∞, , debido a que đ?’‚ > đ?&#x;Ž y đ?&#x;? đ?’Ž < đ?&#x;Ž Donde: đ?’‚ = đ?&#x;? đ?’Ž = −đ?&#x;?

CONCAVIDAD DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ đ?‘Ľ = 7 − 2đ?‘Ľ + 2 La funciĂłn đ?’‡ đ?’™ es cĂłncava hacia abajo debido a que đ?’‚ > đ?&#x;Ž WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

21

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.