Ejercicios Resueltos de Funcion Coseno

Tema: Funciones Trigonometricas

Guía Metodológica Función Coseno

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FunciĂłn Coseno Ejercicio NÂş 6.2.1: de la forma đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚ đ??œđ??¨đ??Ź(đ?’ƒđ?’™ + đ?’„) + đ?’… Trace la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = cos(đ?‘Ľ) y determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • • • • • • • • • •

Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): Cuadrantales de đ?‘“(đ?‘Ľ): o Intersecto con el eje đ?‘Ľ o Intersecto con el eje đ?‘Ś Corrimiento: o Vertical: o Horizontal: Punto MĂĄximo: Punto MĂ­nimo: Amplitud: Periodo: Frecuencia: Ciclo del grĂĄfico: Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del de fase.

Sea la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž cos(đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?) + đ?‘‘ y la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = cos(đ?‘Ľ) vamos a

identificar: đ?‘Ž=1 đ?‘?=1 •

đ?‘?=0 đ?‘‘=0

Amplitud = |đ?’‚|

đ??´đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = |1| = 1 •

Periodo =

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ = •

đ?&#x;?đ??… đ?’ƒ

2đ?œ‹ = 2đ?œ‹ 1

Frecuencia = đ?’ƒ

Frecuencia = 1

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos •

Ciclo del gråfico: •

đ?’™đ?’?+đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’?đ??…

đ?‘Ľđ?‘›+1 = 2đ?‘›đ?œ‹

Punto MĂ­nimo:

Punto Mínimo: •

0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?œ‹

Punto MĂĄximo:

Punto MĂĄximo:

•

đ?&#x;Ž ≤ đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ ≤ đ?&#x;?đ??…

Ciclo del grĂĄfico:

đ?’™đ?’?+đ?&#x;? =

donde đ?’? ∈ ℤ donde đ?‘› ∈ ℤ

đ?&#x;‘đ??… đ?&#x;?

đ?‘Ľđ?‘›+1 = đ?œ‹ + 2đ?‘›đ?œ‹

+ đ?&#x;?đ?’?đ??… donde đ?’? ∈ ℤ donde đ?‘› ∈ ℤ

Corrimientos: o Vertical: đ?’… đ?’„ o Corrimiento horizontal o desfase: −

đ?’ƒ

Corrimientos: • •

Vertical: đ?‘‘ = 0 đ?‘?

0 Corrimiento horizontal o desfase: − đ?‘? = − 1 = 0

•

Cuadrantales: o Intersecto con el eje đ?’š: ⊼đ?’š â „đ?’™ = đ?&#x;Ž o Intersecto con el eje đ?’™: ⊼đ?’™â „đ?’š = đ?&#x;Ž

Cuadrantales: •

Intersecto con el eje �: ⊼� ⠄� = 0

====≍

⊼� = (0,1)

đ?‘“(đ?‘Ľ) = cos(đ?‘Ľ) đ?‘“(0) = cos(0) đ?‘“(0) = 1

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos •

Intersecto con el eje 𝑥: ⊥𝑥 ⁄𝑦 = 0

====≫

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC ⊥𝑥 = (𝑥𝑛+1 = 𝑛𝜋, 0) donde 𝑛 ∈ ℤ

𝑓(𝑥) = cos(𝑥) 𝑦 = cos(𝑥) 0 = cos(𝑥) cos(𝑥) = 0 Sea 𝑥 = 𝜃 El coseno de 𝜃 se hace cero en:

𝑛 0 1 2 3

𝜃𝑛+1

𝜋 𝜃0+1 = 𝜃1 = + 0 ∗ (𝜋) 2 𝜋 𝜃1+1 = 𝜃2 = + 1 ∗ (𝜋) 2 𝜋 𝜃2+1 = 𝜃3 = + 2 ∗ (𝜋) 2 𝜋 𝜃3+1 = 𝜃4 = + 3 ∗ (𝜋) 2

⋮ 𝑛

𝑥𝑛+1 𝑥1 =

𝜋 2

3𝜋 2 5𝜋 𝑥3 = 2 7𝜋 𝑥4 = 2 𝑥2 =

⋮ 𝜃𝑛+1 = 𝜃𝑛+1 =

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𝜋 + 𝑛𝜋 2

⋮ 𝜋 + 𝑛𝜋 2 donde 𝑛 ∈ ℤ

𝑥𝑛+1 =

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GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del de fase de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = cos(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) = cos(đ?‘Ľ)

−2đ?œ‹ 3đ?œ‹ − 2 −đ?œ‹ đ?œ‹ − 2 0 đ?œ‹ 2 đ?œ‹ 3đ?œ‹ 2 2đ?œ‹

đ?‘“(−2đ?œ‹) = cos(−2đ?œ‹) = 1 3đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = cos (− ) = 0 2 2 đ?‘“(−đ?œ‹) = cos(−đ?œ‹) = −1 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = cos (− ) = 0 2 2 đ?‘“(0) = cos(0) = 1 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ ( ) = cos ( ) = 0 2 2 đ?‘“(đ?œ‹) = cos(đ?œ‹) = −1 3đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?‘“ ( ) = cos ( ) = 0 2 2 đ?‘“(2đ?œ‹) = cos(2đ?œ‹) = 1

•

Par ordenado (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ObservaciĂłn

(−2đ?œ‹, 1) 3đ?œ‹ (− , 0) 2 (−đ?œ‹, −1) đ?œ‹ (− , 0) 2 (0, 1) đ?œ‹ ( , 0) 2 (đ?œ‹, −1) 3đ?œ‹ ( , 0) 2 (2đ?œ‹, −1)

Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto Desfase Intercepto Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo

Dominio đ?’‡(đ?’™): đ?‘šđ?’†đ?’‚đ?’?đ?’†đ?’”

Dominio đ?‘“(đ?‘Ľ): đ?‘…đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ •

Rango đ?’‡(đ?’™): [−|đ?’‚| + đ?’…, |đ?’‚| + đ?’…]

Rango đ?‘“(đ?‘Ľ): [−|1| + 0, |1| + 0] Rango đ?‘“(đ?‘Ľ): [−1,1]

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos

Ejercicio NÂş 6.2.2: de la forma đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚ đ??œđ??¨đ??Ź(đ?’ƒđ?’™ + đ?’„) +đ?’… đ?œ‹

Trace la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2cos (3đ?‘Ľ + 4 ) −√3 y determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • • • • • • • • • •

Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): Cuadrantales de đ?‘“(đ?‘Ľ): o Intersecto con el eje đ?‘Ľ o Intersecto con el eje đ?‘Ś Corrimiento: o Vertical: o Horizontal: Punto MĂĄximo: Punto MĂ­nimo: Amplitud: Periodo: Frecuencia: Ciclo del grĂĄfico: Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del de fase. đ?œ‹

Sea la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž cos(đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?) +đ?‘‘ y la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2 cos (3đ?‘Ľ + ) −√3 4

vamos a identificar: đ?‘Ž=2 đ?‘?=3 •

đ?œ‹ 4 đ?‘‘ = −√3 đ?‘?=

Amplitud = |đ?’‚|

đ??´đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = |2| = 2 •

Periodo =

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ = •

đ?&#x;?đ??… đ?’ƒ

2đ?œ‹ 3

Frecuencia = đ?’ƒ

Frecuencia = 3 WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos •

𝟎 ≤ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟐𝝅

Ciclo del gráfico:

Ciclo del gráfico:

𝜋

0 ≤ 3𝑥 + 4 ≤ 2𝜋

𝜋 𝜋 ≤ 3𝑥 ≤ 2𝜋 − 4 4 𝜋 7𝜋 − ≤ 3𝑥 ≤ 4 4 𝜋 7𝜋 − ≤𝑥≤ 12 12

0−

•

𝒙𝒏+𝟏 = 𝟐𝒏𝝅

Punto Máximo:

donde 𝒏 ∈ ℤ

Punto Máximo:

𝜋 = 2𝑛𝜋 4 𝜋 3𝑥 = 2𝑛𝜋 − 4 2𝑛𝜋 𝜋 𝑥= − 3 12 3𝑥 +

𝑥𝑛+1 =

2𝑛𝜋 𝜋 − 3 12 donde 𝑛 ∈ ℤ •

Punto Mínimo:

Punto Mínimo: 𝜋 3𝑥 + = 𝜋 + 2𝑛𝜋 4 𝜋 3𝑥 = 𝜋 + 2𝑛𝜋 − 4 4𝜋 − 𝜋 3𝑥 = + 2𝑛𝜋 4 3𝜋 3𝑥 = + 2𝑛𝜋 4 𝜋 2𝑛𝜋 𝑥= + 4 3 𝜋 2𝑛𝜋 𝑥𝑛+1 = + 4 3

𝒙𝒏+𝟏 =

𝟑𝝅 𝟐

+ 𝟐𝒏𝝅 donde 𝒏 ∈ ℤ

donde 𝑛 ∈ ℤ

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos •

Corrimientos: o Vertical: đ?’… đ?’„ o Corrimiento horizontal o desfase: − đ?’ƒ

Corrimientos: •

Vertical: đ?‘‘ = −√3

hacia abajo

•

Corrimiento horizontal o desfase: −

•

Cuadrantales:

đ?‘?

đ?œ‹ 4

đ?œ‹

= − 3 = − 12 đ?‘?

o Intersecto con el eje đ?’š: ⊼đ?’š â „đ?’™ = đ?&#x;Ž o Intersecto con el eje đ?’™: ⊼đ?’™â „đ?’š = đ?&#x;Ž Cuadrantales: •

Intersecto con el eje �: ⊼� ⠄� = 0

====≍

⊼đ?‘Ś = (0,1 − √3)

đ?œ‹ đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2 cos (3đ?‘Ľ + ) −√3 4 đ?œ‹ đ?‘“(0) = 2 cos (3(0) + ) −√3 4 đ?œ‹ đ?‘“(0) = 2 cos ( ) −√3 4 1 đ?‘“(0) = 2 ( ) −√3 2 đ?‘“(0) = 1 −√3 đ?‘“(0) = 1 −√3

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos Intersecto con el eje 𝑥: ⊥𝑥 ⁄𝑦 = 0

•

====≫

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC ⊥𝑥 = (𝑥𝑛+1 = 𝑛𝜋, 0) donde 𝑛 ∈ ℤ

𝜋 𝑓(𝑥) = 2 cos (3𝑥 + ) −√3 4 𝜋 𝑦 = 2 cos (3𝑥 + ) −√3 4 𝜋 0 = 2 cos (3𝑥 + ) −√3 4 𝜋 √3 cos (3𝑥 + ) = 4 2 𝜋

Sea 3𝑥 + 4 = 𝜃 El coseno de 𝛉 sea igual Caso #1 donde cos(𝜃) = 𝒏

√𝟑 𝟐

en:

√3 : 2

𝜽𝒏+𝟏

0

𝜃0+1 = 𝜃1 =

𝜋 + 0 ∗ (2𝜋) 6

1

𝜃1+1 = 𝜃2 =

𝜋 13𝜋 + 1 ∗ (2𝜋) = 6 6

2

𝜃2+1 = 𝜃3 =

𝜋 25𝜋 + 2 ∗ (2𝜋) = 6 6

3

𝜃3+1 = 𝜃4 =

𝜋 37𝜋 + 3 ∗ (2𝜋) = 6 6

⋮ 𝑛

⋮ 𝜃𝑛+1 = 𝜃𝑛+1 =

𝜋 𝜋 + 𝑛 ∗ (2𝜋) = + 2𝑛𝜋 6 6 donde 𝑛 ∈ ℤ

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𝜋

Ahora vamos a trabajar con la ecuación original cos (3𝑥 + ) = 4

𝜋

si 𝜃 = 6 + 2𝑛𝜋: 𝜋 3𝑥 + = 𝜃 4 𝜋 𝜋 3𝑥 + = + 2𝑛𝜋 4 6 𝜋 𝜋 3𝑥 = + 2𝑛𝜋 − 6 4 4𝜋 − 6𝜋 3𝑥 = + 2𝑛𝜋 24 2𝜋 2𝑛𝜋 𝑥= − + 72 3

𝑥𝑛+1 = −

𝜋 36

+

2𝑛𝜋 3

𝒏 0

𝝅 𝟐𝒏𝝅 + 𝟑𝟔 𝟑 𝜋 2𝜋 𝜋 𝑥0+1 = 𝑥1 = − +0( ) = − 36 3 36 𝒙𝒏+𝟏 = −

1

𝑥1+1 = 𝑥2 = −

𝜋 2𝜋 23𝜋 +1∗( ) = 36 3 36

2

𝑥2+1 = 𝑥3 = −

𝜋 2𝜋 47𝜋 +2∗( ) = 36 3 36

3

𝑥3+1 = 𝑥4 = −

𝜋 2𝜋 71𝜋 +3∗( ) = 36 3 36

donde 𝑛 ∈ ℤ

Caso #2 donde cos(𝜃) = 𝒏

√3 : 2

𝜽𝒏+𝟏

0

𝜃0+1 = 𝜃1 =

11𝜋 11𝜋 + 0 ∗ (2𝜋) = 6 6

1

𝜃1+1 = 𝜃2 =

11𝜋 23𝜋 + 1 ∗ (2𝜋) = 6 6

2

𝜃2+1 = 𝜃3 =

11𝜋 25𝜋 + 2 ∗ (2𝜋) = 6 4

3

𝜃3+1 = 𝜃4 =

11𝜋 37𝜋 + 3 ∗ (2𝜋) = 6 6

⋮ 𝑛

√3 2

⋮ 𝜃𝑛+1 = 𝜃𝑛+1 =

11𝜋 11𝜋 + 𝑛 ∗ (2𝜋) = + 2𝑛𝜋 6 6 donde 𝑛 ∈ ℤ

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones Coseno Dos

𝜋

Ahora vamos a trabajar con la ecuación original cos (3𝑥 + ) = 𝜃=

11𝜋 6

4

√3 2

si

+ 2𝑛𝜋:

𝜋

3𝑥 + 4 = 𝜃 𝜋 11𝜋 3𝑥 + = + 2𝑛𝜋 4 6 11𝜋 𝜋 3𝑥 = + 2𝑛𝜋 − 6 4 22𝜋 − 3𝜋 3𝑥 = + 2𝑛𝜋 12 19𝜋 2𝑛𝜋 𝑥= + 36 3 19𝜋 2𝑛𝜋 𝑥𝑛+1 = + 36 3

𝒏 0

𝟏𝟗𝝅 𝟐𝒏𝝅 + 𝟑𝟔 𝟑 19𝜋 2𝜋 19𝜋 𝑥0+1 = 𝑥1 = +0∗( )= 36 3 36 𝒙𝒏+𝟏 =

1

𝑥1+1 = 𝑥2 =

19𝜋 2𝜋 43𝜋 +1∗( )= 36 3 36

2

𝑥2+1 = 𝑥3 =

19𝜋 2𝜋 67𝜋 +2∗( )= 36 3 36

3

𝑥3+1 = 𝑥4 =

19𝜋 2𝜋 91𝜋 +3∗( )= 36 3 36

donde 𝑛 ∈ ℤ

Intersecto con el eje 𝑥: ⊥𝑥 ⁄ 𝑦 = 0

⊥𝑥 = (𝑥𝑛+1 = − ⊥𝑥 = (𝑥𝑛+1 =

𝜋 2𝑛𝜋 + , 0) 36 3

donde 𝑛 ∈ ℤ

19𝜋 2𝑛𝜋 + , 0) 36 3

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Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del de đ?œ‹

fase de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2 cos (3đ?‘Ľ + ) −√3 4

đ?‘Ľ 29đ?œ‹ 36 27đ?œ‹ − 36 25đ?œ‹ − 36 15đ?œ‹ − 36 5đ?œ‹ − 36 3đ?œ‹ − 36 đ?œ‹ − 36 9đ?œ‹ 36 19đ?œ‹ 36 21đ?œ‹ 36 23đ?œ‹ 36 −

đ?œ‹ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2 cos (3(đ?‘Ľ) + ) − √3 4 29đ?œ‹ 29đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = 2 cos (3 (− ) + ) − √3 = 0 36 36 4 27đ?œ‹ 29đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = 2 cos (3 (− ) + ) − √3 = 2 − √3 36 36 4 25đ?œ‹ 29đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = 2 cos (3 (− ) + ) − √3 = 0 36 36 4 15đ?œ‹ 29đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = 2 cos (3 (− ) + ) − √3 = −2 − √3 36 36 4 4đ?œ‹ 29đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = 2 cos (3 (− ) + ) − √3 = 0 24 36 4 3đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = 2 cos (3 (− ) + ) − √3 = 2 − √3 36 36 4 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ (− ) = 2 cos (3 (− ) + ) − √3 = 0 36 36 4 9đ?œ‹ 9đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ ( ) = 2 cos (3 ( ) + ) − √3 = −2 − √3 36 36 4 19đ?œ‹ 19đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“( ) = 2 cos (3 ( ) + ) − √3 = 0 36 36 4 21đ?œ‹ 21đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“( ) = 2 cos (3 ( ) + ) − √3 = 2 − √3 36 36 4 23đ?œ‹ 23đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“( ) = 2 cos (3 ( ) + ) − √3 = 0 36 36 4 •

Par ordenado (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) 29đ?œ‹ , 0) 36 27đ?œ‹ (− , 2 − √3) 36 25đ?œ‹ (− , 0) 36 15đ?œ‹ (− , −2 − √3) 36 4đ?œ‹ (− , 0) 24 3đ?œ‹ (− , 2 − √3) 36 đ?œ‹ (− , 0) 36 9đ?œ‹ ( , −2 − √3) 36 19đ?œ‹ ( , 0) 36 21đ?œ‹ ( , 2 − √3) 36 23đ?œ‹ ( , 0) 36 (−

ObservaciĂłn Intercepto Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto Desfase Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto Punto MĂĄximo Fin del periodo

Dominio đ?’‡(đ?’™): đ?‘šđ?’†đ?’‚đ?’?đ?’†đ?’”

Dominio đ?‘“(đ?‘Ľ): đ?‘…đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ •

Rango đ?’‡(đ?’™): [−|đ?’‚| + đ?’…, |đ?’‚| + đ?’…]

Rango đ?‘“(đ?‘Ľ): [−|2| + (−√3), |2| + (−√3)] Rango đ?‘“(đ?‘Ľ): [−2 − √3, 2 − √3]

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