Geometría Analítica: Estudio de Cónicas

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA PARACENTRAL LICENCIATURA EN EDUCACION CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICA INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS FUNCIONES LICDA. MARTA ESTELA MONTANO ESCAMILLA

INTEGRANTES: WILBER ALFREDO GUZMÁN HERRERA JOSE NOE CAÑAS BARDALES ERICK YONATAN VIGIL HERNÁNDEZ CARLOS ERNESTO MARAVILLA AYALA SECCIONES CÓNICAS

LA CIRCUNFERENCIA. Historia.

La esfera y el círculo en la astrología.

A partir del año 700 a. C, se proponen diversas cosmologías elaboradas de acuerdo con mecanismos que intentan dar cuenta de los movimientos celestes, y en ellas la esfera y el círculo son parte esencial.

En la cosmología de Anaximandro (610-547 a.C.), los cielos esféricos encierran la atmósfera de una tierra cilíndrica y existen varias capas de esta envoltura para que ahí se acomoden los otros objetos estelares. el sol es un hueco lleno de fuego, situado en el borde de un gigantesco anillo que gira alrededor de la tierra en una trayectoria circular.

Más adelante, Pitágoras (580 - ¿500? a. C.) plantea que la tierra es una esfera, alrededor de la cual el sol, la luna y los planetas giran en círculos concéntricos, fijo cada uno a una esfera. en su veloz revolución, estos cuerpos producen individualmente un susurro en el aire que, en conjunto, conforma una música celestial: la armonía de las esferas.

El círculo se ha sabido desde antes del comienzo de la historia. se han observado círculos naturales, como la luna, el sol, y un corto tallo de la planta que sopla en el viento en la arena, que forma una forma de círculo en la arena. el círculo es la base de la rueda, que, con invenciones relacionadas, tales como engranajes, hace que gran parte de la maquinaria moderna posible. en matemáticas, el estudio del círculo ha contribuido a la preparación de la geometría, la astronomía y cálculo.

Principios de la ciencia, especialmente la geometría y la astrología y la astronomía, se conecta a la divina para la mayoría de los eruditos medievales, y muchos creyeron que había algo intrínsecamente "divina" o "perfecta" que se podían encontrar en los círculos.

Algunos puntos importantes en la historia del círculo son: ➢ 1700 a. c. - El Papiro Rhind da un método para calcular el área de un campo circular. El Resultado corresponde a 256 /81 (3,16049...) como un valor aproximado de π. ➢ El libro 3 de Euclides “Elementos” ocupa de las propiedades del círculo.

➢ Platón explica el círculo perfecto, y cómo es diferente de cualquier dibujo, es decir, la definición o explicación. ➢ Lindemann demuestra que π es trascendental, estableciÊndose de manera efectiva el problema de miles de aùos de edad, de la cuadratura del círculo; consistía en construir (con la única ayuda de la regla y el compås) un cuadrado de la misma årea que un círculo dado.

La definiciĂłn de Euclides: Un cĂ­rculo es una figura plana delimitada por una lĂ­nea de delimitaciĂłn; denominada circunferencia, y tal que todas las lĂ­neas de la derecha extraĂ­das de un cierto punto dentro de ella, llamado centro de la circunferencia, a la lĂ­nea de delimitaciĂłn, son iguales.

DeducciĂłn de la ecuaciĂłn de la circunferencia.

1. Cuando el centro de la circunferencia estĂĄ en el origen del plano cartesiano.

La ecuaciĂłn de la circunferencia con centro en el origen y un punto en (x, y).

Observamos la siguiente figura 1: y Figura 1

Aplicando el teorema PitĂĄgoras tenemos:

P (x, y) r

đ??ąđ?&#x;? + đ??˛đ?&#x;? = đ??Ťđ?&#x;?

y 0

x

x

de

(1)

Siendo esta la ecuaciĂłn de la circunferencia cuyo centro es el origen.

2. Cuando el centro de la circunferencia estĂĄ fuera del origen del plano cartesiano.

Para deducir la ecuaciĂłn de esta curva, cuyas caracterĂ­sticas geomĂŠtricas

son bien conocidas, supondremos que el centro es el punto (h, k) y que el radio es una constante r, como se muestra en la figura 2.

Sea (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia con centro en (h, k) y radio igual a r.

Por definiciĂłn, el radio es una constante, por lo que la condiciĂłn de movimiento de m es:

y r

M (x, y)

C (h, k)

x

CM = constante = r

Figura 2

Aplicando la fĂłrmula de la distancia entre dos puntos, tenemos: √(đ??ą − đ??Ą)đ?&#x;? + (đ??˛ − đ??¤)đ?&#x;? = đ??‚đ??Œ Sustituimos: √(đ??ą − đ??Ą)đ?&#x;? + (đ??˛ − đ??¤)đ?&#x;? = đ??Ť Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, nos queda: (đ??ą − đ??Ą)đ?&#x;? + (đ??˛ − đ??¤)đ?&#x;? = đ??Ť đ?&#x;?

(2)

Para encontrar la ecuaciĂłn general de la circunferencia, desarrollando los binomios: x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 − r 2 = 0 x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 − r 2 = 0 2 x + y 2 + (−2h)x + (−2k)y + (h2 + k 2 − r 2 ) = 0 La ecuaciĂłn queda de la siguiente manera: DĂłnde:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (2a) D = −2h E = −2k F = h2 + k 2 − r 2

Ejercicios: 1. Encuentre el centro y radio de: 2x đ?&#x;? + 2y đ?&#x;? − 2x − 2y − 4 = đ?&#x;Ž y realice la grĂĄfica.

SoluciĂłn: En este caso, lo primero es conseguir que los coeficientes de x đ?&#x;? y de y đ?&#x;? sean la unidad, para esto, se divide la ecuaciĂłn entre 2 como sigue: 2x đ?&#x;? + 2y đ?&#x;? − 2x − 2y − 4 đ?&#x;Ž = đ?&#x;? đ?&#x;? xđ?&#x;? + yđ?&#x;? − x − y − 2 = đ?&#x;Ž Ordenando tĂŠrminos:

xđ?&#x;? − x + yđ?&#x;? − y = đ?&#x;?

Completando cuadrados: 1 2

1 2

1 2

1 2

x đ?&#x;? − x + (2) + y đ?&#x;? − y + (2) = đ?&#x;? + (2) + (2) 1 đ?&#x;?

1 đ?&#x;?

1 đ?&#x;?

1 đ?&#x;?

1

1

(đ??ą − 2) + (đ??˛ − 2) = đ?&#x;? + 4 + 4 5

(đ??ą − 2) + (đ??˛ − 2) = 2 Forma ordinaria: 1 đ?&#x;?

1 đ?&#x;?

5

(đ??ą − 2) + (đ??˛ − 2) = 2 1 1

5

C (2 , 2) ; r = √2 ≈ 1.6

2. Determinar la ecuaciĂłn de la circunferencia que pasa por los puntos A (0,-3) y B (4,9) y cuyo centro se localiza sobre el eje “yâ€?.

SoluciĂłn: Si la circunferencia pasa por los puntos A y B; la recta que une estos dos puntos es una recta secante de la circunferencia, por lo tanto, el centro se localizarĂĄ sobre la mediatriz de la secante AB, esto es:

Punto medio de AB: đ?‘ƒđ?‘€đ??´đ??ľ = (

đ?‘Ľđ??´ + đ?‘Ľđ??ľ đ?‘Śđ??´ + đ?‘Śđ??ľ 0 + 4 −3 + 9 )=( ) = (2,3) , , 2 2 2 2

Pendiente AB: đ?‘€đ??´đ??ľ =

đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ??ľ −3 − 9 = =3 đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ľ 0−4

La pendiente de la mediatriz AB; đ?‘š=−

1 3

EcuaciĂłn de la mediatriz AB: đ?‘Ś − đ?‘Śđ?‘€ = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘€ ) 1 đ?‘Ś − 3 = − (đ?‘Ľ − 2) 3 1 2 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+ +3 3 3 1 11 đ?‘Ś=− đ?‘Ľ+ 3 3 Las coordenadas del centro de la circunferencia se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas formado por la ecuaciĂłn de la mediatriz y la ecuaciĂłn del eje “yâ€? (x=0) como sigue: 1 11 đ?‘Ś=− đ?‘Ľ+ { 3.

3 đ?‘Ľ=0 Sustituyendo x=0 en la primera ecuaciĂłn: 1 11 11 đ?‘Ś = − (0) + = 3 3 3 Por lo tanto, el centro de la circunferencia es: 11 đ??ś(0, ) 3 Calculando la distancia CA o CB se obtiene la magnitud del radio r=CA=CB đ?‘&#x; = đ??śđ??´

đ?‘&#x; = √(đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ś

)2

+ (đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ??ś

)2

= √(0 − 0)2 + (−3 −

11 2 20 2 20 √ ) = (− ) = 3 3 3

La ecuaciĂłn de la circunferencia que pasa por los puntos A y B, con centro sobre el eje “yâ€? es:

11 đ?&#x;?

20 2 (đ??ą − 0) + (đ??˛ − ) = ( ) 3 3 đ?&#x;?

đ??ą đ?&#x;? + (đ??˛ −

11 đ?&#x;? 400 ) = 3 9

3. Obtener la ecuaciĂłn de la circunferencia que pasa por los puntos A (0,2) y B (3,7) cuyo centro se localiza sobre el eje “xâ€?.

SoluciĂłn: Punto medio de AB: đ?‘Ľđ??´ + đ?‘Ľđ??ľ đ?‘Śđ??´ + đ?‘Śđ??ľ 0 + 3 −2 − 7 3 5 )=( )=( , ) đ?‘ƒđ?‘€đ??´đ??ľ = ( , , 2 2 2 2 2 2 Pendiente de AB: đ?‘€đ??´đ??ľ =

đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ??ľ −2 − 7 −9 = = =3 đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ľ 0−3 −3 1

Pendiente de la mediatriz AB: đ?‘š = − 3 EcuaciĂłn de la mediatriz AB: đ?‘Ś − đ?‘Śđ?‘€ = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘€ ) đ?‘Śâˆ’

5 1 3 = − (đ?‘Ľ − ) 2 3 2

1 1 5 đ?‘Ś=− đ?‘Ľ+ + 3 2 2 1 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+3 3 Coordenadas del centro de la circunferencia: 1 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+3 3 { . đ?‘Ś=0

Sustituyendo y=0 en la primera ecuaciĂłn: 1 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+3 3 1 0=− đ?‘Ľ+3 3 1 đ?‘Ľ=3 3 đ?‘Ľ=9

La magnitud del radio: đ?‘&#x; = đ??śđ??´ đ?‘&#x; = √(đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ś )2 + (đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ??ś )2 đ?‘&#x; = √(0 − 9)2 + (−2 − 0)2 đ?‘&#x; = √85

La ecuaciĂłn de la circunferencia que pasa por A y B, con centro sobre el eje “xâ€? es: (đ??ą − 9)đ?&#x;? + (đ??˛ − 0)đ?&#x;? = (√85) (đ??ą − 9)đ?&#x;? + đ??˛ đ?&#x;? = 85

2

4. La rueda de la fortuna. Una rueda de la fortuna tiene un diĂĄmetro de 18 metros y su centro se encuentra a 10 metros sobre el nivel del suelo, indique la altura de las costillas a 3 metros a la izquierdo del centro, indique a que distancia horizontal de la base se puede encontrar una canastilla con una altura de 12 metros.

Magnitud del radio: đ?‘&#x;=

18 =9 2

El centro estĂĄ a 10 metros sobre el suelo: C(0,10) La ecuaciĂłn canĂłnica es: (đ??ą − h)đ?&#x;? + (đ??˛ − k)đ?&#x;? = r 2 (đ??ą − 0)đ?&#x;? + (đ??˛ − 10)đ?&#x;? = 92 đ??ą đ?&#x;? + (đ??˛ − 10)đ?&#x;? = 81

➢ Altura de la costilla a 3 metros a la izquierda del centro: x = - 3 (−đ?&#x;‘)đ?&#x;? + (đ??˛ − 10)đ?&#x;? = 81 (đ??˛ − 10)đ?&#x;? = 81 − 9 đ?‘Ś = Âąâˆš72 + 10 đ?‘Ś1 = −√72 + 10 = 1.5147 đ?‘Ś2 = √72 + 10 = 18.4853 Las dos canastas respectivamente.

estĂĄn

a

una

altura

de

1.5147

y

18.4853

➢ La canastilla a 12 metros de altura. đ??ą đ?&#x;? + (đ??˛ − 10)đ?&#x;? = 81 đ??ą đ?&#x;? + (đ?&#x;?đ?&#x;? − 10)đ?&#x;? = 81 đ??ą đ?&#x;? + đ?&#x;’ = 81 đ??ą đ?&#x;? = 81 − 4 x = Âąâˆš77 x1 = Âą8.7749 A 12 metros de altura las canastillas se encuentran a una distancia horizontal de 8.7749 metros de la base.

LA PARĂ BOLA. Historia La tradiciĂłn reza que las secciones cĂłnicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicaciĂłn del cubo, donde demuestra la existencia de una soluciĂłn mediante el corte de una parĂĄbola con una hipĂŠrbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y EratĂłstenes. Sin embargo, el primero en usar el tĂŠrmino parĂĄbola fue Apolonio de Perge en su tratado CĂłnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemĂĄticas griegas, y donde se desarrolla el estudio

de las tangentes a secciones cĂłnicas. Si un cono es cortado por un plano a travĂŠs de su eje, y tambiĂŠn es cortado por otro plano que corte la base del cono en una lĂ­nea recta perpendicular a la base del triĂĄngulo axial, y si adicionalmente el diĂĄmetro de la secciĂłn es paralelo a un lado del triĂĄngulo axial, entonces cualquier lĂ­nea recta que se dibuje desde la secciĂłn de un cono a su diĂĄmetro paralelo a la secciĂłn comĂşn del plano cortante y una de las bases del cono, serĂĄ igual en cuadrado al rectĂĄngulo contenido por la lĂ­nea recta cortada por ella en el diĂĄmetro que inicia del vĂŠrtice de la secciĂłn y por otra lĂ­nea recta que estĂĄ en razĂłn a la lĂ­nea recta entre el ĂĄngulo del cono y el vĂŠrtice de la secciĂłn que el cuadrado en la base del triĂĄngulo axial tiene al rectĂĄngulo contenido por los dos lados restantes del triĂĄngulo. Y tal secciĂłn serĂĄ llamada una parĂĄbola Apolonio de Perge. Es Apolonio quien menciona que un espejo parabĂłlico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en dĂ­a en las antenas satelitales. La parĂĄbola tambiĂŠn fue estudiada por ArquĂ­medes, nuevamente en la bĂşsqueda de una soluciĂłn para un problema famoso: la cuadratura del cĂ­rculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parĂĄbola. Apolonio demostrĂł que, si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elĂ­ptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabĂłlico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabĂłlico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.

DefiniciĂłn de la parĂĄbola.

ParĂĄbola es un tĂŠrmino que proviene del latĂ­n parĂĄbola y que tiene su origen mĂĄs remoto en un vocablo griego. En el ĂĄmbito de la matemĂĄtica, la parĂĄbola es el espacio geomĂŠtrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar se crea a partir de la acciĂłn de un plano que es paralelo a la generatriz y que disecciona un cono circular.

Dados un punto FF (foco) y una recta r (directriz), se denomina parĂĄbola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.

SimbĂłlicamente: đ?‘ƒ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)} /đ?‘‘ (đ?‘ƒ, đ?‘&#x;) = đ?‘‘ (đ?‘ƒ, đ??š)} Observen que estamos definiendo la parĂĄbola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geomĂŠtrica, no como la grĂĄfica de una funciĂłn cuadrĂĄtica (que es como ustedes la conocĂ­an hasta ahora).

El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetrĂ­a de la parĂĄbola.

El punto de la parĂĄbola que pertenece al eje focal se llama vĂŠrtice.

Figura 3

DeducciĂłn de la fĂłrmula de la parĂĄbola.

1. Cuando el vĂŠrtice estĂĄ en el origen del Plano Cartesiano.

Figura 4: parĂĄbola con vĂŠrtice (0,0) y foco en el eje “yâ€?

Y

Figura 4

F (0, p) P (x, y) V (0, 0)

X

Directriz

đ?‘Ś = −đ?‘?

Para describir una parĂĄbola analĂ­ticamente, supondremos en aras de la discusiĂłn que la directriz Les la recta horizontal đ?‘Ś = −đ?‘? que el foco es F (0, p). Utilizando la definiciĂłn y la figura 4, observamos que d (F, P) y d (P, Q) es la misma que: √đ?‘Ľ 2 + (đ?‘Ś − đ?‘?)2 = đ?‘Ś + đ?‘?

Al elevar al cuadrado ambos lados y simplificar se llega a: đ?‘Ľ 2 = 4đ?‘?đ?‘Ś

(3)

Afirmamos que es la forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn de una parĂĄbola con foco F (0, p) y directriz đ?‘Œ = −đ?‘?. De la misma manera, si la directriz y el foco son, respectivamente, đ?‘‹ = −đ?‘?. y F (p, 0), encontramos que la forma estĂĄndar para la ecuaciĂłn de la parĂĄbola es: đ?‘Ś 2 = 4đ?‘?đ?‘Ľ

(4)

Aunque asumimos que en la figura 4, esto, desde luego, no necesariamente es el caso. Las siguientes figuras resume la informaciĂłn acerca de las ecuaciones. a) đ?‘Ľ 2 = 4đ?‘?đ?‘Ś ; p > 0

(3)

b) đ?‘Ś 2 = 4đ?‘?đ?‘Ľ ; p > 0

(4)

Y

Y Directriz đ?‘Ľ = −đ?‘?

F (0, p)

Figura 6 VĂŠrtice (0,0)

VĂŠrtice (0,0) Directriz đ?‘Œ = −đ?‘?

X

Figura 5

F (p, 0)

X

a) đ?&#x2018;Ľ 2 = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś ; p < 0 Y

(5)

d) đ?&#x2018;Ś 2 = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ ; p< 0

(6)

Figura 8

Figura 7 Y

Directriz đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

Directriz đ?&#x2018;&#x152; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

VĂŠrtice (0,0) X

VĂŠrtice (0,0)

F (p, 0)

X

F (0, p)

2. Cuando el vĂŠrtice estĂĄ en un punto diferente del origen del Plano Cartesiano.

En general, la forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn de una parĂĄbola con vĂŠrtice (h, k) estĂĄ dada por: (7) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 = 4đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;) (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 = 4đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;) Siendo las respectivas directrices:

(8)

đ?&#x2018;Ś = â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;Ľ = â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?

Las parĂĄbolas definidas por estas ecuaciones son idĂŠnticas en forma a las parĂĄbolas definidas por las ecuaciones (3) y (4) debido a que las ecuaciones (5) y (6) representan transformaciones rĂ­gidas (desplazamientos hacia arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha) de las grĂĄficas de (3) y (4).

Ejercicios: 1. Dada la parĂĄbola (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2)2 = 8(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3), calcular su vĂŠrtice, su foco y la recta directriz.

SoluciĂłn.

Como la parĂĄbola comienza con (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2)2 , la cual es horizontal y su fĂłrmula seria (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 = 4đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;).

Acomodando el ejercicio a la ecuaciĂłn: (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2)2 = 4(2) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3).

VĂŠrtice es: V(đ?&#x;&#x2018;, đ?&#x;?)

Le ecuaciĂłn es: (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2)2 = 4(2) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) đ?&#x2018;Ś 2 + 4đ?&#x2018;Ś + 4 = 8đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 24 đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;24 â&#x2C6;&#x2019; 4 đ??˛ đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2013;đ??ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019;đ??˛ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013; Encontrando p: 4đ?&#x2018;? = 8 8 đ?&#x2018;?= 4 đ?&#x2019;&#x2018;=đ?&#x;?

Encontrando el foco: đ??š(â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ??š(3 + 2, 2) = đ??š(5,2) Encontrando la Directriz: đ?&#x2018;Ľ =â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ =3â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľ=1 2. Encuentra los elementos y grafica la parĂĄbola cuya ecuaciĂłn es đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ = 0 SoluciĂłn.

Vamos a escribir la ecuaciĂłn en la forma canĂłnica, es decir: (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 0)2 = 4đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 0) đ?&#x2018;Ś 2 = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ Despejando đ?&#x2018;Ś 2 tenemos: đ?&#x2018;Ś 2 = 4đ?&#x2018;Ľ

(a)

(b)

Igualando ecuaciĂłn (a) con ecuaciĂłn (b) para encontrar p: 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ = 4đ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?= 4đ?&#x2018;Ľ p=1

VĂŠrtice: đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x17D;) Encontrando el foco: đ??š(â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ??š(0 + 1, 0) = đ??š(1,0) Encontrando el foco la Directriz: đ?&#x2018;Ľ =â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ = 0â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1 Lado Recto: LR = | 4 (1) | = 4 Eje: y = 0 3. Una parĂĄbola cuyo vĂŠrtice estĂĄ en el origen y cuyo eje coincide con el eje â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? pasa por el punto A (3, 6). determinar la ecuaciĂłn de la parĂĄbola, y la de todos sus elementos.

SoluciĂłn.

Si la parĂĄbola coincide con el eje â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? entonces estamos hablando de una parĂĄbola horizontal. Como la curva pasa por el punto A (3, 6), sus coordenadas deben satisfacer dicha ecuaciĂłn de la parĂĄbola, de tal forma que: đ?&#x2018;Ś 2 = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ Sustituyendo x = 3, y = 6 en la ecuaciĂłn, tenemos: (6)2 = 4đ?&#x2018;?(3) 36 = 12đ?&#x2018;?

36 đ?&#x2018;&#x192;= 12 đ?&#x2018;&#x192;=3 Con este dato, podemos avanzar sin problemas. Si p = 3, la ecuaciĂłn de la parĂĄbola es: đ?&#x2018;Ś 2 = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś 2 = 4(3)đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;

VĂŠrtice: V(đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x17D;) Encontrando el foco: đ??š(â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ??š(0 + 3, 0) = đ??š(3,0) Encontrando el foco la Directriz: đ?&#x2018;Ľ =â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ =0â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;3 Lado Recto: LR = | 4 (3) | = 12 Eje: y = 0

4. Un depĂłsito de agua tiene secciĂłn transversal de forma parabĂłlica, si cuando el nivel del agua alcanza una altura de 18m, su ancho mide 24m, cuando el nivel del agua desciende 8m, el nuevo ancho del nivel del agua (en m) es igual a: SoluciĂłn:

Como: (12,18) â&#x2C6;&#x2C6; a la parĂĄbola â&#x2020;&#x2019; 122 = 4p (18) â&#x2020;&#x2019; p = 2 TambiĂŠn: (a,8) â&#x2C6;&#x2C6; a la parĂĄbola â&#x2020;&#x2019; a2 = 4(2)(8) â&#x2020;&#x2019; a = 8 Luego el nuevo ancho serĂĄ: 2 Ă&#x2014; 8 = 16m

LA ELIPSE. Historia.

La elipse, como curva geomĂŠtrica, fue estudiada por Menecmo investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de PĂŠrgamo El foco y la directriz de la secciĂłn cĂłnica de una elipse fueron estudiadas

por Pappus. En 1602, Kepler creĂ­a que la Ăłrbita de Marte era ovalada, aunque mĂĄs tarde descubriĂł que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra ÂŤfocusÂť y publicĂł su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostrĂł que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una Ăłrbita elĂ­ptica alrededor del Sol Muchos aportaron para el descubrimiento de la elipse, fue estudiada como curva geomĂŠtrica, por Menaechmus quien fue discĂ­pulo de PlatĂłn y Eudoxo, mostrĂł que las cĂłnicas se obtienen al cortar un cono por planos no paralelos a la base; tambiĂŠn investigada por Euclides. Pero paso a la historia gracias a Apolonio de Perga, este personaje presento una serie de volĂşmenes de la obra las cĂłnicas, donde en el tercer volumen habla sobre la elipse: "la elipse es el lugar geomĂŠtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F1, es constanteâ&#x20AC;? Pappus estudio el foco y la directriz de la secciĂłn cĂłnica de una elipse.

MĂĄs tarde Kepler propuso algo diferente, y en 1602 creyĂł que la Ăłrbita de marte era ovalada, aunque despuĂŠs descubrirĂ­a que era una elipse con el sol en un foco, el propuso una seria de leyes en las que describe movimiento de los planetas en torno al Sol con respecto a la elipse y sus caracterĂ­sticas.

DefiniciĂłn de la elipse Es el lugar geomĂŠtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, como se muestra en la figura 9.

DeducciĂłn de la ecuaciĂłn de la elipse.

1. Cuando la elipse tiene su centro en el origen del plano cartesiano.

Figura 9

Si P es un punto de la elipse y son las distancias desde los focos hasta P, entonces la definiciĂłn afirma que: đ?&#x2018;&#x2018;1 + đ?&#x2018;&#x2018;2 = đ?&#x2018;&#x2DC; Donde k > 0, es una constante.

Por conveniencia elegiremos k = 2a y pondremos los focos sobre el eje x con coordenadas. De ello se concluye que: â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?)2 + đ?&#x2018;Ś 2 + â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 + đ?&#x2018;Ś 2 = 2đ?&#x2018;&#x17D;

Al elevar al cuadrado, simplificar y elevar al cuadrado otra vez obtenemos: (đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 )2 đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ś 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 )2 En la figura advertimos que los puntos F1, F2 y P forman un triĂĄngulo.

Como la suma de las longitudes de cualesquiera dos lados de un triĂĄngulo es mayor que el lado restante, tenemos 2đ?&#x2018;&#x17D; > 2đ?&#x2018;? Ăł đ?&#x2018;&#x17D; > đ?&#x2018;? En consecuencia, đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 > 0 Cuando dejamos đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 entonces se convierte en: đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ś 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2 Al dividir esta Ăşltima ecuaciĂłn entre đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2 se llega a: đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2

(9)

Si los focos se ubican sobre el eje y, entonces la repeticiĂłn del anĂĄlisis anterior conduce a: đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 (10) đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17D;2 Las ecuaciones (9) y (10) se denominan la forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn de una elipse centrada en (0,0) con focos (-c, 0) y (c, 0), donde c estĂĄ definida por đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 . (11) đ?&#x2018;?

AdemĂĄs, la excentricidad de la elipse estĂĄ dada por la fĂłrmula: đ?&#x2018;&#x2019; = đ?&#x2018;&#x17D; Un resumen de esta informaciĂłn para las ecuaciones (9) y (10) aparece en las figuras (10):

Figura 10

2. Cuando la elipse tiene su centro en un punto diferente del origen del plano cartesiano.

Cuando el centro estĂĄ en (h, k), la forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn de una elipse es: (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 (12) + =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 + =1 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x17D;2

(13)

Las elipses definidas por estas ecuaciones son idĂŠnticas en forma a las elipses definidas por las ecuaciones (9) y (10) puesto que las ecuaciones (12) y (13) representan transformaciones rĂ­gidas de las grĂĄficas de la figura 10 respectivamente.

Los vĂŠrtices para la ecuaciĂłn (12) se encuentran de la forma đ?&#x2018;&#x2030;(â&#x201E;&#x17D; Âą đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) y sus focos en đ??š(â&#x201E;&#x17D; Âą đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2DC;). Mientras que para la ecuaciĂłn (13) los vĂŠrtices se encuentran de la forma đ?&#x2018;&#x2030;(â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC; Âą đ?&#x2018;&#x17D;) y sus focos en đ??š(â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC; Âą đ?&#x2018;?)

Ejercicios: 1. Dada la elipse de ecuaciĂłn 4đ?&#x2018;Ľ 2 + 9đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 48đ?&#x2018;Ľ + 72đ?&#x2018;Ś + 144 = 0, hallar su centro, vĂŠrtices y focos.

SoluciĂłn.

Esta ecuaciĂłn se puede poner en la forma manera siguiente:

(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;)2 đ?&#x2018;&#x17D;2

+

(đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;)2 đ?&#x2018;?2

= 1, de la

4đ?&#x2018;Ľ 2 + 9đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 48đ?&#x2018;Ľ + 72đ?&#x2018;Ś + 144 = 0 4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 48đ?&#x2018;Ľ + 9đ?&#x2018;Ś 2 + 72đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;144 4(đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľ + 36) + 9(đ?&#x2018;Ś 2 + 8đ?&#x2018;Ś + 16) = â&#x2C6;&#x2019;144 + 144 + 144 4(đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľ + 36) + 9(đ?&#x2018;Ś 2 + 8đ?&#x2018;Ś + 16) = 144 4(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6)2 9(đ?&#x2018;Ś + 4)2 144 + = 144 144 144 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6)2 (đ?&#x2018;Ś + 4)2 + =1 36 16 Por tanto, el centro de la elipse es el punto de coordenadas (6, â&#x2C6;&#x2019;4); donde, â&#x201E;&#x17D; = 6 y đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x2C6;&#x2019;4

Encontrando los vĂŠrtices y los focos de la elipse: đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x161;36 = 6 đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;16 = 4 đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? 2 = 62 â&#x2C6;&#x2019; 42 đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;20 đ?&#x2018;? = 2â&#x2C6;&#x161;5 Los vĂŠrtices son los puntos (0, â&#x2C6;&#x2019;4), (12, â&#x2C6;&#x2019;4) y los focos (6 + 2â&#x2C6;&#x161;5,â&#x2C6;&#x2019; 4), (6 â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x161;5,â&#x2C6;&#x2019; 4) 2. Escriba la ecuaciĂłn canĂłnica de la elipse, identifique sus elementos y grafique 9đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ś 2 + 54đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ś + 49 = 0.

SoluciĂłn.

Para encontrar la ecuaciĂłn canĂłnica se utiliza la completado el cuadrado de binomio perfecto.

9đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ś 2 + 54đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ś + 49 = 0 9(đ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľ ) + 4(đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś) = â&#x2C6;&#x2019;49 9(đ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľ + 9) + 4(đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś + 1) = â&#x2C6;&#x2019;49 + 81 + 4 9(đ?&#x2018;Ľ + 3)2 + 4(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1)2 = 36 9(đ?&#x2018;Ľ + 3)2 4(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1)2 36 + = 36 36 36 (đ?&#x2018;Ľ + 3)2 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + =1 4 9 En este caso đ?&#x2018;&#x17D; = 3 ; đ?&#x2018;? = 2 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;9 â&#x2C6;&#x2019; 4 = â&#x2C6;&#x161;5

Elementos: Centro (h, k) (-3,1) Focos (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC; Âą đ?&#x2018;?) (â&#x2C6;&#x2019;3,1 + â&#x2C6;&#x161;5 ); (â&#x2C6;&#x2019;3,1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;5 ) VĂŠrtices (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC; Âą đ?&#x2018;&#x17D;) (â&#x2C6;&#x2019;3,1 Âą 3) = (â&#x2C6;&#x2019;3, 4 ); (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;2 ) Excentricidad:

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

=

â&#x2C6;&#x161;5 3

â&#x2030;&#x2C6; 0.75

3. Determine la ecuaciĂłn de la elipse con focos (2,1) ;(2,-3) y eje mayor de longitud 10. AdemĂĄs, grafique la elipse.

SoluciĂłn.

El centro corresponde al punto medio entre los focos: 2+2 1â&#x2C6;&#x2019;3 4 â&#x2C6;&#x2019;2 (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) = ( ) = ( , ) = (2, â&#x2C6;&#x2019;1) , 2 2 2 2 Centro (2,-1) La longitud del eje mayor es 10, esto implica que: 2đ?&#x2018;&#x17D; = 10 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; = 5 Encontrando â&#x20AC;&#x153;câ&#x20AC;? teniendo en cuenta que corresponde a la distancia ente el centro y el foco.

Centro (2,-1) y Foco (2,-3) đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;(2 â&#x2C6;&#x2019; 2)2 + (â&#x2C6;&#x2019;3 + 1)2 = â&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;2)2 = â&#x2C6;&#x161;4 = 2 Encontrando â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;? tenemos: đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;52 â&#x2C6;&#x2019; 22 = â&#x2C6;&#x161;25 â&#x2C6;&#x2019; 4 = â&#x2C6;&#x161;21

Por tanto, la ecuaciĂłn canĂłnica de la elipse es: (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 + =1 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2)2 (đ?&#x2018;Ś + 1)2 + =1 21 25 Elementos: Centro (2,-1) Focos (2,1) ;(2,-3) VĂŠrtices (2, 4 ); (2, â&#x2C6;&#x2019;6 ) đ?&#x2018;?

2 Excentricidad: đ?&#x2018;&#x17D; = 5 = 0.4

LA HIPĂ&#x2030;RBOLA. Historia.

No solo la hipĂŠrbola, sino tambiĂŠn las otras secciones cĂłnicas fueron inventadas en la antigua Grecia por el matemĂĄtico Menecmo en su estudio del problema de la duplicaciĂłn del cubo, donde se proponĂ­a hallar, usando solo regla y compĂĄs, el lado de un cubo tal que su volumen fuera el doble del volumen de otro cubo de lado dado. Se ofreciĂł una soluciĂłn aproximada mediante el corte de una parĂĄbola con una hipĂŠrbola, defendida posteriormente por Proclo y EratĂłstenes (en 1837, el geĂłmetra francĂŠs Pierre Wantzel descubriĂł que el problema no tiene soluciĂłn). DespuĂŠs, Apolonio de Perge (265 a.C.-160 a.C.) escribiĂł un tratado llamado "CĂłnicas" donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cĂłnicas y en ĂŠl darĂĄ el nombre que conocemos hoy a la curva. MĂĄs tarde, CopĂŠrnico aportĂł a la ciencia la concepciĂłn geocĂŠntrica (a.1543) del universo, es decir, considerĂł que la Tierra giraba al rededor del Sol y no ocurrĂ­a al revĂŠs.

Tras cien aĂąos, Kepler enunciĂł sus importantes leyes, de las cuales una de ellas trataba las Ăłrbitas celestes como elĂ­pticas y no como circulares (que era lo que se consideraba antiguamente). Gracias a estos dos cientĂ­ficos, se llegĂł a la conclusiĂłn de que las cĂłnicas se ajustaban al movimiento de los cuerpos celestes, con lo que empezaron a estudiarse mĂĄs a fondo dentro de la astronomĂ­a. Fue sobre todo desde este momento cuando los matemĂĄticos empezaron a tener en consideraciĂłn la hipĂŠrbola (asĂ­ como el resto de secciones cĂłnicas) a la hora de plantear y resolver sus problemas y conjeturas. Esto ha provocado una gran evoluciĂłn en la matemĂĄtica y en las ciencias cimentadas en ella.

DefiniciĂłn de la hipĂŠrbola.

Es el lugar geomĂŠtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante como se muestra en la figura 11.

DeducciĂłn de la ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola.

1. Cuyo centro estĂĄ en el origen del plano cartesiano.

Si P es un punto sobre la hipĂŠrbola, entonces: |đ?&#x2018;&#x2018;1 + đ?&#x2018;&#x2018;2 | = đ?&#x2018;&#x2DC; donde đ?&#x2018;&#x2018;1 = (đ??š1 , đ?&#x2018;&#x192;) y đ?&#x2018;&#x2018;2 = (đ??š2 , đ?&#x2018;&#x192;). Al proceder como para la elipse, ubicamos los focos sobre el eje x en đ??š1 (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?, 0) y đ??š2 (đ?&#x2018;?, 0) como se muestra en la figura 12 y se elige la constante k igual a 2a por conveniencia algebraica. Como se ilustra en la figura, la grĂĄfica de una hipĂŠrbola consta de dos ramas.

Si aplica la fĂłrmula de la distancia y el ĂĄlgebra usuales a se obtiene la forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn de una hipĂŠrbola centrada en (0, 0) con focos đ??š1 (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?, 0) y đ??š2 (đ?&#x2018;?, 0) đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2

Figura 11

(14)

Cuando los focos yacen sobre el eje y, la forma estĂĄndar de la ecuaciĂłn de una hipĂŠrbola centrada en (0, 0) con focos đ??š1 (0, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?) y đ??š2 (0, đ?&#x2018;?) es: đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2

Donde c estĂĄ definida por đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 y đ?&#x2018;? > đ?&#x2018;&#x17D;

(15)

(16)

Para la hipĂŠrbola (a diferencia de la elipse) tenga en mente que en las ecuaciones (14) y (15) no hay relaciĂłn entre los tamaĂąos relativos de a y b; en vez de eso, đ?&#x2018;&#x17D;2 siempre es el denominador del tĂŠrmino positivo y la ordenada al origen siempre tiene Âąđ?&#x2018;&#x17D; como una coordenada.

El segmento de recta con puntos frontera sobre la hipĂŠrbola y que yace sobre la recta que pasa por los focos se denomina eje transversal; sus puntos frontera reciben el nombre de vĂŠrtices de la hipĂŠrbola. Para la hipĂŠrbola descrita por la ecuaciĂłn (14), el eje transversal yace sobre el eje x. Por tanto, las coordenadas de los vĂŠrtices son las intersecciones

đ?&#x2018;Ľ2

con el eje x. Si deja đ?&#x2018;Ś = 0 obtiene đ?&#x2018;&#x17D;2 = 1 o đ?&#x2018;Ľ = Âąđ?&#x2018;&#x17D; De tal manera, los vĂŠrtices son (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;, 0) y (đ?&#x2018;&#x17D;, 0), la longitud del eje transversal es 2a. Advierta đ?&#x2018;Ś2

que dejando đ?&#x2018;Ľ = 0 en (1) obtenemos â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 = 1 o đ?&#x2018;Ś 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? 2 , la cual no tiene

soluciones reales. En consecuencia, la grafica de cualquier ecuaciĂłn en esa forma no tiene intersecciones con el eje y. De cualquier modo, los nĂşmeros Âąđ?&#x2018;? son importantes. El segmento de recta que pasa por el centro de la hipĂŠrbola perpendicular al eje transversal y con puntos frontera (0, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?) y (0, đ?&#x2018;?), se llama eje conjugado. De manera similar, la grĂĄfica de una ecuaciĂłn en forma estĂĄndar (15) no tiene intersecciones con el eje x.

El eje conjugado es el segmento de recta con puntos frontera (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?, 0) y (đ?&#x2018;?, 0) Esta informaciĂłn para las ecuaciones (14) y (15) se resume en las siguientes figuras 12 y 13 respectivamente: Figura 13 Figura 12

AsĂ­ntotas. Toda hipĂŠrbola posee un par de asĂ­ntotas inclinadas que pasan por su centro. Estas asĂ­ntotas son indicativas del comportamiento final, y como tales son una ayuda invaluable en el trazado de la grĂĄfica de una hipĂŠrbola. Al resolver (1) con respecto a y en tĂŠrminos de x obtenemos: đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ś = Âą đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ Cuando đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; o cuando đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; entonces

đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ľ2

â&#x2020;&#x2019; 0 Por tanto, para valores

grandes de los puntos sobre la grĂĄfica de la hipĂŠrbola son cercanos a los puntos sobre estas rectas

đ?&#x2018;Ś=

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ś=â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;

(14a)

(14b)

Por un anĂĄlisis similar encontramos que las asĂ­ntotas inclinadas para la ecuaciĂłn (15) son: đ?&#x2018;Ś=

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś=â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?

(15a) (15b)

Cada par de asĂ­ntotas se interseca en el origen, que es el centro de la hipĂŠrbola. Advierta, tambiĂŠn, que las asĂ­ntotas son simplemente las diagonales extendidas de un rectĂĄngulo de ancho 2a (la longitud del eje transversal) y altura 2b (la longitud del eje conjugado) como se muestran en la figura 14.

Figura 14

2. Cuando el centro de la hipĂŠrbola es (h, k) Los anĂĄlogos de la forma estĂĄndar de las ecuaciones (14) y (15) son, a su vez: (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2

(17)

(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2

(18)

El lector puede localizar los vĂŠrtices y focos utilizando el hecho de que a es la distancia del centro a un vĂŠrtice y c es la distancia del centro a un foco. Es posible obtener las asĂ­ntotas inclinadas de la ecuaciĂłn (17) factorizando: (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 â&#x2C6;&#x2019; =0 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2 Como: đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; ( )( )=0 â&#x2C6;&#x2019; + đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?

Las asĂ­ntotas nos quedan de la siguiente manera: đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; =

đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;) đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;) đ?&#x2018;&#x17D;

(17a) (17b)

De manera similar, las asĂ­ntotas de la ecuaciĂłn (18) se obtienen al factorizar: (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 â&#x2C6;&#x2019; =0 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2 Al igualar cada factor a cero y resolver para y en tĂŠrminos de x, quedan de las siguientes maneras: đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; =

đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;) đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;) đ?&#x2018;?

(18a) (18b)

Como una verificaciĂłn de su trabajo, recuerde que (h, k) debe ser un punto que yace en cada asĂ­ntota. Por Ăşltimo, tenemos que la excentricidad de una elipse y una hipĂŠrbola es la misma, siendo la siguiente: đ?&#x2018;&#x2019;=

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

Ejercicios: 1. Determine los principales elementos y grafique la HipĂŠrbola. (đ?&#x2018;Ś + 1)2 (đ?&#x2018;Ľ + 3)2 â&#x2C6;&#x2019; =1 9 25

SoluciĂłn.

La HipĂŠrbola tiene eje transversal vertical. Centro (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) = (2, â&#x2C6;&#x2019;1) Identificando los valores a y b đ?&#x2018;&#x17D;2 = 9 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; = 3 đ?&#x2018;? 2 = 25 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;? = 5 El eje transversal de la hipĂŠrbola es el segmento vertical de la recta que pasa por su centro de longitud 2đ?&#x2018;&#x17D; = 6 . Los extremos del eje transversal son los vĂŠrtices en los puntos: đ?&#x2018;&#x2030;1 = (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;1 + 3) = (â&#x2C6;&#x2019;3, 2 ) đ?&#x2018;&#x2030;2 = (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 3) = (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;4 ) Los focos de la hipĂŠrbola se sitĂşan a ¨c¨ unidades del centro, donde: đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? 2 = 9 + 25 đ?&#x2018;? 2 = 34 đ?&#x2018;? 2 = â&#x2C6;&#x161;34 Por lo tanto, los focos estĂĄn sobre la recta que contiene al eje transversal a una distancia de â&#x2C6;&#x161;34 unidades del centro, es decir en los puntos: đ??š1 = (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2C6;&#x161;34) đ??š2 = (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;34) Para calcular la ecuaciĂłn 1 de las asĂ­ntotas debemos igualar a 0 en la ecuaciĂłn canĂłnica: (đ?&#x2018;Ś + 1)2 (đ?&#x2018;Ľ + 3)2 â&#x2C6;&#x2019; =1 9 25 (đ?&#x2018;Ś + 1)2 (đ?&#x2018;Ľ + 3)2 = 9 25 25(đ?&#x2018;Ś + 1)2 = 9(đ?&#x2018;Ľ + 3)2 â&#x2C6;&#x161;25(đ?&#x2018;Ś + 1)2 = â&#x2C6;&#x161;9(đ?&#x2018;Ľ + 3)2 5(đ?&#x2018;Ś + 1) = Âą3(đ?&#x2018;Ľ + 3) AsĂ­ntotas: 5đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0

â&#x2021;&#x2019;

5đ?&#x2018;Ś + 3đ?&#x2018;Ľ + 14 = 0

Para graficar utilizaremos como apoyo el rectĂĄngulo auxiliar, cuyo centro en (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;1) tiene altura 2đ?&#x2018;&#x17D; = 6 y ancho 2đ?&#x2018;? = 10. Las diagonales corresponden a las asĂ­ntotas de la hipĂŠrbola.

2. Determine la ecuaciĂłn 2 2 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś + 6đ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0.

canĂłnica

de

la

HipĂŠrbola:

SoluciĂłn.

Completando los cuadrados en las variables â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? e â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;? para determinar la ecuaciĂłn canĂłnica.

3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 + 6đ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 + 6đ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ś = 5 3(đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ś) = 5 3(đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 1) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ś + 9) = 5 + 3 â&#x2C6;&#x2019; 9 3(đ?&#x2018;Ľ + 1)2 â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3)2 = â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3)2 â&#x2C6;&#x2019; 3(đ?&#x2018;Ľ + 1)2 = â&#x2C6;&#x2019;1/â&#x2C6;&#x2019;1

(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3)2 â&#x2C6;&#x2019; 3(đ?&#x2018;Ľ + 1)2 = 1 (đ?&#x2018;Ľ + 1)2 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3)2 â&#x2C6;&#x2019; = 1 â&#x2021;&#x2019; đ??¸đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;Ăłđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D; 1 1 3 3. Determine la ecuaciĂłn canĂłnica de la HipĂŠrbola si sus focos se ubican en los puntos (â&#x2C6;&#x2019;1, 3 + â&#x2C6;&#x161;13) (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;34) y pasa por el punto (-1,1).

SoluciĂłn.

Los focos se encuentran alineados de forma vertical, por lo tanto, la HipĂŠrbola tiene eje transversal vertical, con ecuaciĂłn canĂłnica: (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;)2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;)2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2

đ?&#x2018;&#x17D; > 0 ,đ?&#x2018;? > 0

El centro de la HipĂŠrbola es el punto medio entre los focos: â&#x2C6;&#x2019;1 + (â&#x2C6;&#x2019;1 ) (3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;13) + (3 + â&#x2C6;&#x161;13) (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) = ( , ) 2 2 (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) = (â&#x2C6;&#x2019;1, 3 ) Reemplazando

(đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;3)2 đ?&#x2018;&#x17D;2

â&#x2C6;&#x2019;

(đ?&#x2018;Ľ+1)2 đ?&#x2018;?2

=1

El punto (-1,1) pertenece a la HipĂŠrbola, por lo tanto: (1 â&#x2C6;&#x2019; 3)2 (â&#x2C6;&#x2019;1 + 1)2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 â&#x2C6;&#x2019; 0=1 đ?&#x2018;&#x17D;2 4 =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 4 = đ?&#x2018;&#x17D;2 2= đ?&#x2018;&#x17D;

El valor corresponde a la distancia entre los focos y el centro đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2018; ((â&#x2C6;&#x2019;1,3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;13), (â&#x2C6;&#x2019;1,3)) = â&#x2C6;&#x161;(0)2 + (â&#x2C6;&#x161;13) đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;13

2

Reemplazando đ?&#x2018;&#x17D; = 2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;13 en la longitud para obtener â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;?. đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 13 = 4 + đ?&#x2018;? 2 13 â&#x2C6;&#x2019; 4 = đ?&#x2018;? 2 9 = đ?&#x2018;?2 3=đ?&#x2018;?

Por lo tanto, la ecuaciĂłn canĂłnica es: (đ?&#x2019;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018;)đ?&#x;? (đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?)đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; =đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2014;