Appunti di Tecnica delle Assicurazioni by Ming Jie Wang

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 -

Rischio e assicurazione Una situazione di rischio indica la possibilità che il risultato effettivo risulti diverso da quello previsto (cioè l’aspettativa). Il rischio può portare ad un effetto positivo se il risultato effettivo è migliore di quello previsto (ma in questo caso non sarebbero necessarie operazioni atte a fronteggiarlo), o ad un effetto negativo se il risultato effettivo è peggiore di quello previsto. Nell’ultimo caso si può quindi manifestare una carenza di risorse e quindi una situazione di bisogno e di necessità di denaro. Il rischio viene inteso comunque il senso lato, ossia ci si preoccupa solo della possibilità che le cose vadano peggio di quanto previsto. Assumeremo quindi il punto di vista dell’assicuratore avverso al rischio. Le situazioni di bisogno possono essere coperte in vario modo a seconda della tipologia del rischio: • sostenendo il costo ordinario, ossia trovare le risorse necessarie per coprire il bisogno finanziario. In pratica non si mette in atto nessuna operazione di copertura; si tratta questa necessità come un costo ordinario da mettere in bilancio. Tale scelta può essere sensata quando il costo è basso e il rischio è facile da prevedere, ossia che in passato si è verificato con una frequenza non bassa (la si tratta come un’uscita quasi pianificata). Questa soluzione però rende il risultato dell’esercizio molto volatile e dipendente dalle possibili situazioni di rischio • la costituzione di un fondo rischi diversi, in modo da non assegnare il costo incerto ad un solo esercizio. Si considera tale costo come un costo pluriennale, da registrare esercizio per esercizio. Non si registra tale costo nell’esercizio in cui esso si verifica, ma la si spalma su più esercizi. È fattibile solo per i costi abbastanza prevedibili di cui si può prevedere l’importo • il trasferimento dei rischi, che è attuabile per rischi che hanno una probabilità di accadimento basso, per cui non ha senso costituire un fondo a fronte di un’uscita molto incerta e poco prevedibile. Si trasferiscono rischi che possono comportare un’elevata necessità finanziaria ma che hanno una bassa probabilità di accadimento Per i rischi che possono comportare un importo modesto e frequenza elevata (ma anche bassa) possono essere trattati come costo di esercizio e trovare nel momento le risorse necessarie a fronteggiarlo. Per i rischi di importo più elevato è consigliabile costituire un fondo di accantonamenti per affrontare tali costi, in questo modo non si assegna ad un singolo esercizio l’intero costo, ma lo si spalma su più anni. I rischi trasferiti sono quelli che hanno una frequenza bassa di verificarsi ma che hanno un costo potenziale molto elevato che potrebbe mettere in dubbio la sopravvivenza dell’impresa. Per il trasferimento l’assicurato deve pagare all’assicuratore un premio al momento della stipula del contratto; in caso di sinistro, l’assicuratore risarcisce l’assicurato (l’incasso del premio è certo, ma l’esborso da parte dell’assicuratore non è certo). È ritenuto accettabile pagare un premio certo a fronte di un rimborso futuro incerto quando il premio è coerente con le probabilità di manifestazione del rischio; in questi casi è preferibile pagare un premio per non correre il rischio di affrontare un costo futuro molto più elevato. Il prezzo da pagare all’assicuratore deve essere “piccolo” rispetto all’esborso che l’assicuratore dovrà erogare in caso di sinistro. L’assicuratore si trova in portafoglio dei contratti che hanno una probabilità di accadimento piccola, ma che possono comportare un esborso molto più elevato rispetto al premio incassato. Ciò implica una gestione di questi rischi da parte dell’assicuratore, in quanto si accolla una serie di rischi potenzialmente gravi rispetto al premio che egli incassa. 2

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 I rischi trasferibili all’assicuratore sono ben classificate in quanto l’attività assicurativa è regolata; l’assicuratore infatti incassa il premio in anticipo con la promessa di un rimborso in caso di sinistro. È quindi necessario che l’Autorità vigili e autorizzi un assicuratore a trattare determinati rischi. Inoltre i vari rischi hanno caratteristiche tecniche diverse con modelli di pricing diversi. I rischi che un assicuratore è disposto ad assumere si possono classificare in: • rischi inerenti alla persona o collegati con la durata della vita, come ad esempio un contratto di erogazione di una pensione dal momento in cui si smette di lavorare o relativi alla salute, contro malattie, infortuni e invalidità o altro, come i rischi relativi al nucleo famigliare che includono contratti assicurativi legati a particolari accadimenti (nascita di figli, matrimoni ecc…) • rischi relativi a danni a cose di proprietà o possesso dell’assicurato, inerenti a situazioni di bisogno determinate dalla perdita totale o parziale di beni, a causa di furto, incidente, incendio ecc…) • rischi di responsabilità civile, che possono causare situazioni di bisogno determinate dall’obbligo di risarcire un soggetto danneggiato (per danno procurato) da un comportamento colposo Un’altra classificazione riguarda le modalità con cui sono commisurate le prestazioni patrimoniali a carico dell’assicuratore a beneficio dell’assicurato. L’importo pagato dall’assicuratore può essere • di natura risarcitoria quando il rimborso è commisurato al danno subito o arrecato. Non viene stabilito a priori l’importo che l’assicuratore deve pagare • di natura non risarcitoria (o forfetaria) quando l’importo del beneficio all’assicurato viene deciso al momento della stipula del contratto (il pagamento non è comunque certo in quanto dipende dalla manifestazione del rischio) Poiché l’attività assicurativa è controllata, l’Isvap autorizza le compagnie assicurative ad operare in determinati rami. I rami assicurativi sono: • contro danni • sulla vita Le assicurazioni rami danni (18 rami, cioè tipologie di contratti stipulabili, aggregabili in infortuni e malattia, assicurazione auto, assicurazione marittime trasporti, assicurazioni aeronatioche, incendio e altri danni ai beni, responsabilità civile, credito e cauzione). Ciascuna compagnia può richiedere di operare in determinati rami assicurativi (quelle più grandi possono essere autorizzate ad operare in tutti i rami danni). In questo ramo si trovano tutte le forme assicurative con natura risarcitoria: l’importo del beneficio viene calcolato al momento del danno. Queste sono forme di puro rischio in quanto chi sottoscrive una polizza del ramo danni ha la consapevolezza che il pagamento da parte dell’assicuratore forse non avverrà perché il rischio assicurato non si manifesta. Le assicurazioni rami vita sono forme assicurative legate alla durata della vita, cioè per persone anziane che hanno necessità di avere un’entrata anche in assenza di attività lavorativa per sopraggiunte ragioni di età o persone adulte, in attività lavorativa, che hanno necessità di costituire un capitale che verrà erogato al momento stipulato con cui si potrà acquistare una pensione (pianificazione del reddito nella fase di pensionamento). Per le persone giovani le assicurazioni rami vita sono spesso quelle che coprono il rischio di pre-morienza e della salute (rendite di invalidità, long term care (rendite di invalidità senile pagate a persone in avanzata età che non sono più autosufficienti) , dread disease ecc…).

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 I rami vita sono 6 (assicurazioni sulla durata della vita, nuzialità e natalità, connesse con fondi di investimento, rendite di invalidità, operazioni di capitalizzazione, gestione di fondi pensione), più i danni alla persona in forma complementare. Le assicurazioni rami vita presentano alcune forme di puro rischio (si paga un premio piccolo rispetto all’importo dovuto dall’assicuratore in caso di manifestazione del rischio) e forme di investimento, come la costituzione di un capitale disponibile al momento del pensionamento o la percezione di una rendita pensionistica (l’erogazione del beneficio è certa mentre l’epoca è aleatoria). L’assicuratore assume il ruolo di intermediario finanziario, con tutti i rischi che ne conseguono. Elementi chiave delle diverse coperture assicurative per la loro valutazione •

coperture contro danni o hanno carattere risarcitorio e di puro rischio. All’assicurato non importa come verrà investito il premio, ma solo che esso venga calcolato in maniera equa rispetto alle probabilità di manifestazione del rischio. o hanno durata breve, di circa 1 anno, per cui gli aspetti finanziari sono trascurabili o hanno un’importo del beneficio e un’epoca del pagamento del tutto aleatorio, per cui è necessario uno specifico modello di valutazione e pricing improntato su una struttura statistica – probabilistica

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coperture sulla durata di vita o hanno una durata medio lunga e aspetti finanziari rilevanti, in quanto spesso tali contratti si configurano come contratto assicurativo d’investimento o hanno un importo del beneficio predeterminato, in quanto le coperture sulla durata di vita hanno carattere non risarcitorio. Gli aspetti statistici – probabilistici non sono complessi relativamente all’accadimento dei sinistri; gli aspetti statistici – probabilistici possono diventare rilevanti relativamente alle variabili finanziarie in caso di importi dei benefici determinati in funzione di indicatori finanziari (per es. index linked)

Infine, vi sono ulteriori criteri di classificazione, che trovano ragione sia nella normativa sia nel modo in cui suggeriscono modelli di valutazione per le diverse forme assicurative. Altre classificazioni possono avere una motivazione commerciale (ad es. offrire coperture assicurative complete per la singola persona o per un’intera collettività ecc…).

Il rischio dal punto di vista dell’assicuratore Il rischio che viene trasferito all’assicuratore ha una probabilità di verificarsi bassa ed un’entità monetaria probabilmente elevata. Perché un assicuratore dovrebbe essere disposto ad accettare una serie di rischi che, sebbene abbiano una bassa probabilità di manifestazione, possono avere un elevato impatto monetario? I rischi possono essere quantificati utilizzando modelli matematici – statistici, che ci dicono che un rischio è una variabile aleatoria, ossia una quantità non nota a priori ma su cui possiamo definire i possibili valori assunti, a cui associare una certa probabilità. Il rischio viene quindi indicato come una variabile aleatoria X.

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 Il rischio assicurato è il rischio che l’assicuratore si assume deriva dalla stipula di un contratto di assicurazione, tramite cui avviene il trasferimento del rischio dall’assicurato all’assicuratore. Dal contratto deriva in seguito l’impegno a pagare il beneficio all’assicurato in caso di manifestazione dell’evento assicurato. La selezione dei rischi è la selezione che l’assicuratore fa nella stipula dei contratti di uno stesso tipo, tramite cui determina un premio diverso a seconda delle caratteristiche dell’assicurato. Maggiore è il rischio e la probabilità di sinistro, più alto sarà il premio. Tra i rischi in cui incorre l’assicuratore sono inclusi anche tutti i rischi gestionali: rischi finanziari, rischi operativi ecc… che derivano dalle decisioni di scelta gestionale. Sono le classiche tipologie di rischio in cui incorrono tutte le altre tipologie di impresa. Ad esempio l’assicuratore subisce il rischio di mercato, dovuto ai suoi investimenti, il rischio operativo ecc… Altri rischi sono specifici dell’attività assicurativa, come il rischio di mortalità. L’insieme dei rischi assunti dall’assicuratore possono quindi essere classificati in rischi contrattuali, derivanti dalla stipula di un contratto assicurativo, e rischi operativi gestionali, derivanti dall’attività gestionale. L’assicuratore è disposto ad assumere rischi delle altre controparti, ossia accollarsi dei rischi contrattuali, sulla base è la trasformazione dei rischi: l’assicuratore infatti si assume una serie di rischi individuali che comportano un pagamento di una somma X1, X2,…Xn che è solo aleatorio e non certo. L’assicuratore si impegna a pagare una cifra che nella peggiore delle ipotesi sarà pari a X, dove X è dato dalla somma di tutti gli importi promessi a ciascun assicurato (X1, X2,…,Xn). La variabilità totale del portafoglio, in termini di varianza, in assoluto aumenta rispetto a quella dei rischi individuali (infatti se ad esempio la probabilità di un sinistro è del 5% e l’assicuratore stipula 500 contratti, si può aspettare 1 sinistro), mentre la variabilità relativa per singolo rischio diminuisce, ovviamente sotto rispettive opportune condizioni. L’idea di base dell’assunzione dei rischi in ambito assicurativo è quello di assicurare contratti simili ma indipendenti tra loro; questo significa che se si calcola la varianza di portafoglio è piu elevata delle varianze delle singole posizioni in quanto è la somma delle varianze individuali. La volatilità aumenta quindi in termini assoluti, in quanto si mettono insieme rischi tra loro indipendenti. In termini relativi però la volatilità si riduce: in ambito assicurativo quindi la diversificazione si attua con contratti molto simili ma indipendenti, nel numero maggiore possibile. L’assicuratore attua quindi un pooling dei rischi: la volatilità aumenta ma la diversificazione viene cercata nel numero di contratti, in quanto la volatilità assoluta si “spalma” tra tutti i contratti. L’assicurato trasferisce il rischio all’assicuratore, che è disposto ad accettarlo, in quanto riesce ad effettuare un pooling dei rischi e fare compensazione. Es. ciascun contratto ha una probabilità di sinistro del 5‰. L’assicuratore stipula 1000 contratti, in cui si impegna di rimborsare 1000 a chi denuncia un sinistro. Ci si può aspettare 5 sinistri. Se riceve un premio di 5 da ciascun assicurato, egli ottiene 5000 in totale che userà per rimborsare i 5 assicurati che hanno denunciato il sinistro. L’assicuratore ha fatto quindi compensazione. Le singole esposizioni hanno una probabilità di frequenza bassa. Si cerca di metterne insieme molti e indipendenti tra loro, in modo da riuscire a fare compensazione tra i rischi. L’assicuratore deve quindi trasformare i rischi individuali creando l’effetto pooling (chiamato anche funzione tecnica o assicurativa in senso stretto). L’assicuratore si assume anche un rischio gestionale, ossia che ex post il numero dei sinistri si riveli differente da quello atteso (rischio tecnico). 5

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 L’assicuratore fa anche da intermediazione finanziaria, in quanto vi è un lasso temporale tra il momento di incasso dei premi e il momento di pagamento dei rimborsi. Egli si assume quindi un rischio di investimento. Relativamente ai rischi gestionali (operativi, finanziari, tecnici ecc…), l’assicuratore deve fare una valutazione riguardo le più adeguate operazioni di risk management, cioè deve far fronte a tutti i rischi che egli si assume. Questo si traduce in: • fare un buon pool di contratti, per ridurre il rischio tecnico, in modo che i rischi contrattuali si compensino tra loro • utilizzare altri strumenti di risk management per gestire l’aleatorietà “residua”, come ad esempio i rischi finanziari per gli assicuratori vita. L’aleatorietà residua può essere fronteggiata o allocando capitale proprio, rispettando le norme stabilite dall’Autorità di vigilanza o riassicurare i rischi, ossia trasferire i rischi che non si è riusciti a compensare a pool esterni di maggiore dimensione o hedging naturale o trasferire all’esterno i rischi attraverso strumenti diversi dalla riassicurazione (es. securitization, ART, ecc…)

Operazioni finanziarie aleatorie Il contratto assicurativo comporta un trasferimento aleatorio di risorse finanziarie. Un’operazione finanziaria è uno scambio di flussi monetari contro flussi monetari, che si protrae per epoche temporali diverse. L’operazione può essere certa se al pagamento (o all’incasso) di una somma A all’epoca 0 incasso (o pago) un importo B all’epoca t (si definisce certa poiché si trascura il rischio di controparte). L’operazione finanziaria può essere aleatoria se al pagamento di un importo A al tempo odierno si ottiene un rimborso X al tempo n, con X aleatorio, cioè non certo. Infatti, nel caso dei contratti assicurativi, il rimborso X si ha solo se si verifica l’evento assicurato; in caso di non manifestazione, l’assicuratore non deve effettuare nessuna prestazione patrimoniale. L’aleatorietà può riguardare non solo l’importo, ma anche le epoche in cui avvengono i pagamenti (ad esempio per i contratti assicurativi vita che comportano la prestazione in caso di morte). In questo caso infatti è noto l’importo da pagare ma la durata T della vita è aleatoria, per cui non è possibile stabilire per certo l’epoca in cui verrà erogata la prestazione. Un contratto aleatorio può prevedere il pagamento di una somma x certo al verificarsi di un evento ε. La variabile aleatoria X potrà avere le seguenti determinazioni: x se ε X = 0 se ε L’epoca di accadimento del sinistro, cioè T, è aleatorio ma è compreso nel periodo assicurato. Nel caso di contratti annuali, avremo 0 < T ≤ 1 . Il pagamento del risarcimento può essere contestuale oppure successivo all’epoca del sinistro. Solitamente è prassi assumere, nel calcolo del premio, che il premio verrà pagato all’epoca T e che il sinistro possa verificarsi in T=1/2. Il contratto assicurativo rappresenta un’operazione aleatoria sia per l’assicurato che per l’assicuratore. Il primo paga un premio noto, però non conosce l’importo che gli verrà risarcito; il secondo incassa un premio certo ma ignora l’importo che dovrà risarcire. 6

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 Ipotizziamo la situazione di un individuo con patrimonio K, che ha la facoltà di assicurarsi pagando un premio A con un risarcimento totale pari a X: • se l’individuo decide di non assicurarsi, si troverà in una situazione aleatoria Z, tale che  K − x se ε Z =K−X = se ε  K Infatti in Z è presente la componente aleatoria X • se l’individuo decide di assicurarsi, passerà da una situazione aleatoria ad una situazione certa Z’, tale che Z'= Z − A + X = K − X − A + X = K − A L’assicurato si vedrà ridurre il proprio patrimonio dell’importo A, sia in caso di sinistro (nel caso in cui riceverà il risarcimento) sia in caso di non sinistro. L’aleatorietà dell’operazione viene completamente trasferita all’assicuratore A quanto ammonta il prezzo che l’individuo è disposto a pagare per passare ad una situazione certa? Se calcolato con principio di equità, il premio deve essere uguale al valore atteso del risarcimento X, ossia A = Ε( X ) , da cui avremo anche Z ' = Ε(Z ) . Tuttavia il premio che viene fatto pagare non è mai quello equo, ma viene caricato con un’aliquota detto caricamento di sicurezza; in questo caso avremo A > Ε( X ) e Z ' < Ε(Z ) . L’assicurato sarà comunque disposto a pagare un premio più alto di quello equo perché è avverso al rischio. Negli esempi fatti sopra si sono poste condizioni contrattuali elementari, come ipotizzare al più un sinistro nel periodo di copertura e il pagamento prefissato e contestuale al momento del sinistro. In un contratto assicurativo invece sono previste clausole generali un po’ diverse. Per l’assicurazione contro danni ad esempio è previsto • la durata monoannuale, eventualmente rinnovabile • un numero di sinistri anche maggiore di 1, compreso tra 0 e nmax • un numero di sinistri n osservati • un danno pari a Xj per il j – esimo sinistro, con j=1,2,…,n • un risarcimento per il sinistro j – esimo sinistro pari a Yj, tale che Y j = φ (X j ) e quindi Y j < X j . Il risarcimento può quindi essere inferiore al danno causato dal sinistro, per la

presenza di franchigie o scoperti a carico dell’assicurato Nelle assicurazioni vita invece: • la durata è pluriennale • l’erogazione del beneficio è prevista solo se l’assicurato è in vita a scadenza (anche se viene spesso incluso la clausola di controassicurazione in caso di premorienza)

Prezzo dell’operazione assicurativa Il processo di pricing del contratto assicurativo è uno dei più importanti per l’assicuratore, il quale deve valutare la rischiosità, il valore atteso del risarcimento, il numero possibile di sinistri ecc… Solitamente, il criterio utilizzato è quello del valore attuale atteso aggiustato per il rischio. Avremo quindi un valore attuale come per le operazioni finanziarie, ma aggiustato per il rischio in quanto l’operazione assicurativa è aleatoria. Prendiamo come esempio due operazioni finanziarie di investimento:

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l’operazione A: investimento in ZCB di valore nominale 100 tra un anno (è quindi un’operazione certa) • l’operazione B: investimento in ZCB il cui valore nominale tra un anno può essere 50 con probabilità 0,5 o 150 con probabilità 0,5. Il suo valore atteso è 100 (l’operazione è aleatoria) Il tasso di mercato privo di rischio è attestato al 3% annuo. Tra un anno i due investimenti presenteranno i seguenti pay off 100 p=0,5 • XA =  p=0,5 100 p=0,5  50 • XB =  p=0,5 150 Il valore atteso del pay off di A e di B sarà in entrambi casi pari a 100, Ε[ X A ] = Ε[ X B ] = 100 Il prezzo attuale di ZCBA è pari al valore nominale attualizzato al tasso risk free per un anno, ossia PA = 100 ⋅1,03 −1 = 97,09 . Il prezzo di ZCBB deve invece considerare che l’emittente trasferisce del rischio all’investitore; l’investitore richiederà un rendimento più elevato dell’investimento privo di rischio e quindi dovrà essere PB < PA . Il metodo di valutazione che utilizziamo prevede di scontare i flussi futuri, calcolare il valore atteso e fare un aggiustamento per il rischio; possiamo esprimere PB in termini di valore atteso del pay off scontato, ottenendo PB < PA , in 4 diversi modi: 1. PB = Ε[X B ]⋅ (1 + ρ ) , con ρ > r f −1

Questo approccio prevede l’utilizzo di un tasso di sconto più alto del tasso privo di rischio, proprio per evidenziare la maggiore rischiosità dell’operazione. Se poniamo un ρ > r f , ad esempio ρ =5,263% > 3%, otteniamo PB=95. Lo spread tra i due tassi, cioè ρ − rf , è l’aggiustamento per il rischio applicato al tasso di attualizzazione ρ , che verrà chiamato RDR (risk discount rate) −1 2. PB = Ε * [ X B ]⋅ (1 + r f ) L’approccio prevede sempre di attualizzare ad un tasso privo di rischio, ma cambia il valore atteso Ε * [ X B ] < Ε[ X B ] . Infatti questo valore viene calcolato con probabilità ricalibrate (prima erano p1=p2=0,5), dando un maggiore probabilità allo stato del mondo peggiore. Quindi Ε * [ X B ] = 50 ⋅ p1* + 150 ⋅ p2* . Se poniamo p1* = 0,5215 e p2* = 0,4785 , otteniamo Ε * [ X B ]⋅ (1 + rf ) =95. −1

Le nuove probabilità p1* e p2* sono dette probabilità neutrali al rischio (risk neutral) e non sono quindi quelle reali −1 3. PB = Ε' [ X B ]⋅ (1 + ρ ') In questo caso si agisce sia sul valore atteso che sul tasso di attualizzazione. Il valore atteso Ε' [ X B ] e il tasso ρ ' saranno parzialmente aggiustate per il rischio. Inoltre avremo che Ε * [ X B ] ≤ Ε' [ X B ] < Ε[ X B ] e r f < ρ ' ≤ ρ 4. PB = (Ε[ X B ] − αm[ X B ]) ⋅ (1 + ρ ') L’ultimo approccio prevede un aggiustamento esplicito per il rischio, infatti m[ X B ] è una misura di rischio (che può ad esempio essere la varianza), mentre α > 0 rappresenta il parametro che esprime il prezzo unitario per il rischio −1

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 In ambito assicurativo, per le assicurazioni vita si segue l’approccio 3 (in cui l’aggiustamento per il rischio è implicito), mentre per le assicurazioni danni si preferisce l’approccio 4. Inoltre, è necessario chiarire che in un’operazione assicurativa è l’individuo che paga (in questo caso l’assicurato) a trasferire il rischio (e non ad assumerlo) e a cedere flussi in uscita (invece che in entrata), per cui gli aggiustamenti per il rischio saranno in senso contrario rispetto a quanto visto finora, poiché appunto il rischio grava sull’assicuratore. L’aggiustamento per il rischio va quindi a sfavore di chi paga il premio, in quanto è colui che cede il rischio. Di conseguenza, se XB è l’esborso a fine anno per l’assicuratore, avremo che PB > PA. Se guardiamo agli approcci visti prima, avremo −1 • approccio 3: PB = Ε' [ X B ]⋅ (1 + ρ ') , con ρ ' < r f , p1' < 0,5 e p2' > 0,5 •

approccio 4: PB = (Ε[ X B ] + αm[ X B ]) ⋅ (1 + p') 2 , spesso con ρ ' = 0 e attualizzato a metà anno in quanto si assume un pagamento del risarcimento a metà anno −

Vediamo ora alcuni esempi • nel caso di assicurazione sulla durata di vita, la formula per calcolare il premio sarà −n A = C ⋅ p ⋅ (1 + i ) dove p è la probabilità di essere in vita dopo n anni (p è una probabilità caricata, cioè maggiore della probabilità realistica) e i è il tasso tecnico d’interesse usato per l’attualizzazione (i < rendimento previsto per gli investimenti) • nel caso di assicurazioni causa morte a vita intera, che paga in caso di morte dell’assicurato, la formula del premio sarà −1 −2 A = C ⋅ p1 ⋅ (1 + i ) + C ⋅ p2 ⋅ (1 + i ) + ... dove ph è la probabilità caricata di decesso nell’anno (h – 1, h), ossia la probabilità che l’assicuratore debba pagare • nel caso di assicurazioni contro danni, la formula del premio è A = xp + αm[ X ] con i=0 e p come probabilità realistica di manifestazione del sinistro. Se α = 0 , l’aggiustamento per il rischio scompare e il premio è uguale all’esborso atteso, cioè A = xp , per cui il guadagno per l’assicuratore è nullo (G = A – X = 0). Il premio così considerato è detto premio equo, calcolato secondo il principio di equità, mentre se α > 0 e m[ X ] = Var [ X ] , il premio è calcolato secondo il principio della varianza Il concetto di equità è solamente formale, infatti il premio che verrà applicato a ciascun contratto non sarà mai equo. Il premio viene sempre determinato utilizzando delle probabilità caricate maggiori di quelle realistiche, in modo da avere un caricamento o margine di utile atteso. Se il premio fosse equo, nel lungo periodo l’assicuratore avrebbe una probabilità di fallire pari al 100%: l’assicurazione può essere vista come una scommessa e poiché ci sono infiniti scommettitori (il numero degli assicurati è potenzialmente infinito) nel lungo termine si tende a perdere. Con la locuzione pricing basis (o base tecnica del primo ordine) si intende la scelta dei parametri utilizzati per calcolare il prezzo del contratto assicurativo: questo si esplica nella scelta delle probabilità caricate, dei tassi tecnici ecc… da immettere nelle formule di pricing. Con experience basis o scenario basis (base tecnica del secondo ordine) si intende il processo di pricing che utilizza i parametri realistici basati sulla storia e sull’esperienza dell’assicuratore. In questo caso quindi si utilizzano tassi tecnici i pari al rendimento atteso realisticamente dagli investimenti e probabilità p realistiche di pagamento del beneficio. 9

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Rischio e assicurazione - Wang Mingjie - 王明杰 Il premio equo A calcolato secondo la base tecnica del primo ordine risulta a favore dell’assicuratore, in quanto utilizza dati e parametri non realistici ma caricati (l’equità è quindi solo formale). Il premio equo calcolato sulla base tecnica del secondo ordine invece risulterà più contenuto e sarà propriamente detto premio equo. Il caricamento di sicurezza costituisce il guadagno atteso da parte dell’assicuratore. Esso è detto “di sicurezza” perché limita la possibilità che il portafoglio vada in perdita. Inoltre, tale caricamento può essere • implicito, se viene incluso già nei parametri di pricing, come succede ad esempio nelle assicurazioni ramo vita. Il caricamento è implicito quando è conseguenza della base del primo ordine • esplicito, se viene determinato secondo una formula di caricamento e poi sommato al premio equo. Il caricamento è esplicito quando è conseguenza della base del secondo ordine Il premio comprensivo di caricamento di sicurezza è detto premio puro (net premium). Inoltre si definisce come premio equo puro il premio puro in cui il caricamento di sicurezza è implicito nei parametri della formula di equità. Concludendo, per formare il prezzo di un prodotto assicurativo è necessario avere un principio di calcolo, in cui confluiranno una serie di parametri come il tasso tecnico, le spese, il margine di profitto e i dati derivanti dalla base statistica a disposizione. L’output del processo di pricing viene chiamato premio attuariale, ma non corrisponde a quello pagato dagli assicurati. Infatti sul premio attuariale intervengono delle politiche di mercato e commerciali che lo possono modificare. Il premio che verrà fatto pagare, cioè il premio di tariffa, è il prezzo del prodotto assicurativo.

BASE STATISTICA

SPESE

PRINCIPIO DI CALCOLO

TASSO TECNICO

PREMIO ATTUARIALE

PREZZO DEL PRODOTTO ASSICURATIVO

POLITICHE COMMERCIALI

MARGINE PROFITTO

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 -

Dal contratto al portafoglio assicurativo Il risk management, ossia la gestione del rischio, è un processo che viene attuato in svariati ambiti, ad esempio industriale, bancario e assicurativo. Dal punto di vista industriale, il risk management si esplica nelle fasi di individuazione dei vari rischi che possono danneggiare l’attività d’impresa e il processo produttivo, quali incendio, infortunio ecc…, di quantificazione degli stessi e la loro gestione attraverso misure di prevenzione, autoassicurazione e trasferimento del rischio. In ambito bancario, il risk management è indirizzato soprattutto verso la gestione del rischio di credito. A tal proposito si utilizzano modelli matematici che quantificano la rischiosità delle proprie attività, come ad esempio la quantificazione della probabilità di default di una controparte. La funzione di risk management storicamente si trovava soprattutto nel settore assicurativo, in quanto attività che aveva a che fare esplicitamente con i rischi. Tradizionalmente, il risk management assicurativo si preoccupava di gestire soprattutto i rischi tecnici, come il rischio di underwriting, del pricing e della riassicurazione e solo ultimamente è stato codificato come processo di gestione dei rischi. L’attività di risk management in ambito assicurativo è svolto al fine di: • preservare la solvibilità dell’impresa assicuratrice, ossia la capacità di far fronte agli impegni presi con gli assicurati • creare valore per gli azionisti che apportano capitale all’interno dell’impresa assicuratrice Le azioni di risk management hanno quindi un diretto effetto sui due obiettivi; esse possono essere ad esempio: • fissare un livello adeguato del premio • progettare il prodotto assicurativo e fissarne le clausole • la riassicurazione, ossia il trasferimento di alcuni dei rischi assunti verso un altro assicuratore • l’allocazione del capitale, che serve come garanzia ultima della solvibilità Le fasi del processo di risk management sono essenzialmente tre: • l’individuazione dei rischi, che sono prevalentemente o rischio di underwriting (o di sottoscrizione), che nasce dall’aver promesso un pagamento al manifestarsi dell’evento assicurato o rischio di mercato, come il rischio di prezzo e il rischio di tasso di interesse o rischio operativo, derivante dalla gestione dell’impresa di assicurazione • la quantificazione dei rischi, che può essere effettuata tramite o modelli deterministici, come gli stress test e l’analisi di scenario, anche se si tratta di analizzare variabili aleatorie o modelli stocastici, come il VaR, la probabilità di default ecc… che sono più utilizzati per quantificare un rischio che viene identificato tramite una variabile aleatoria • la gestione dei rischi, che viene fatta a livello di portafoglio e non di singolo contratto. La strategia di gestione dei rischi riguarda o il design del prodotto assicurativo che viene offerto al mercato e il pricing del prodotto stesso, in cui vengono fissati, oltre al premio, anche le varie clausole contrattuali che limitano l’esposizione dell’assicuratore o la protezione del portafoglio, finalizzato a prevenire le perdite attraverso un loro costante monitoraggio, un efficace pooling (con annessa compensazione o hedging), 11

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 il trasferimento dei rischi verso esterni (riassicurazione, ART), l’allocazione del capitale proprio ecc…

Il pooling dei rischi Nella trattazione seguente si farà riferimento ad un portafoglio di contratti elementari con le seguenti caratteristiche: • la durata di ciascun contratto è un anno • ogni contratto potrà portare al massimo ad un sinistro (o nessuno) con danno aleatorio noto (pari a xK) • il risarcimento è integrale e non sono previste franchigie a carico dell’assicurato • il tasso di interesse è nullo • i rischi contrattuali assunti sono o qualitativamente omogenei, cioè tutti i contratti hanno la stessa probabilità di denunciare un sinistro o quantitativamente omogenei, cioè tutti i contratti hanno valore assicurato uguale • n rischi ciascuno dei quali ha una probabilità di sinistro realistica pari a p Indichiamo con Xk il pagamento aleatorio per ciascun contratto k – esimo e con xk il valore assicurato. Il pagamento aleatorio può essere visto come una variabile aleatoria Xk del tipo x Xk =  k 0 Xk assumerà la determinazione xk in caso di sinistro (il risarcimento è integrale) o la determinazione 0 se non verrà denunciato nessun sinistro. Per ciascun dei contratti k (con k = 1,2,…,n) si avrà che: • la probabilità di sinistro sarà pari a Ρ[ X k = xk ] = p •

il valore atteso del risarcimento sarà il valore atteso di Xk, cioè Ε[X k ] = xk p

• la varianza del risarcimento sarà di conseguenza VAR[ X k ] = xk2 p (1 − p ) Il premio equo per ciascun contratto sarà pari al valore atteso del risarcimento che quel contratto comporterà all’assicuratore; quindi Pk = Ε[X k ] = xk p . Indicheremo inoltre con p il tasso di premio equo. A livello di portafoglio osserviamo che: •

l’introito dei premi è pari alla somma dei premi incassati da tutti i contratti, P = ∑k =1 Pk

•

l’esborso totale sarà pari alla somma dei pagamenti causati da tutti i contratti sinistrati,

X = ∑k =1 X k . Il valore atteso dell’esborso totale è pari alla somma dei valori attesi degli n

esborsi dei contratti sinistrati, Ε[ X ] = ∑k =1 Ε[ X k ] = ∑k =1 xk p = ∑k =1 Pk = P n

Poiché abbiamo detto che i contratti sono omogenei anche dal punto di vista quantitativo (cioè hanno lo stesso valore assicurato, si ha che Ε[ X ] = nxp , cioè il valore atteso dell’esborso è pari al prodotto tra numero di contratti (n), l’esborso per ciascun contratto sinistrato (x) e la probabilità di sinistro (p). La situazione di equilibrio prevede che il valore atteso dell’esborso sia uguale al totale dei premi incassati. Proviamo ad analizzare l’equilibrio sia a livello di contratto che a livello di portafoglio. 12

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 A livello di singolo contratto si ha l’equilibrio a priori quando l’esborso atteso per il k – esimo contratto è pari al premio incassato per quel contratto, cioè Ε[ X k ] = Pk . Quando viene fissato il premio, possiamo dire di trovarci in equilibrio a priori. Tuttavia, al termine del periodo assicurato, il contratto potrà denunciare un sinistro o non denunciarlo. Di conseguenza, a posteriori, avremo che • se il contratto è sinistrato, si avrà un esborso pari a xk − Pk • se il contratto non denuncia sinistro, si avrà un guadagno pari a Pk Vediamo quindi che a posteriori non si realizzerà mai un equilibrio, poiché il premio pagato dall’assicurato non corrisponderà mai al pagamento promesso in caso di sinistro (e non avrebbe nemmeno senso fissare Pk = xk , in quanto mancherebbe all’assicurato la convenienza dell’assicurazione). A livello di portafoglio, l’equilibrio a priori si realizza quando il livello dei premi raccolti è pari al valore atteso dell’esborso, cioè Ε[X ] = P . A posteriori, l’equilibrio si realizza se

∑x =∑ k

n k =1

Pk , cioè se l’esborso effettivo è pari ai premi

raccolti. Ovviamente l’esborso può essere superiore ai premi (e in tal caso sarà necessario capitale proprio per garantire il pagamento) o inferiore (facendo quindi realizzare utili). A livello di portafoglio possiamo realizzare l’equilibrio, al contrario del singolo contratto, in quanto intervengono dei trasferimenti dagli assicurati non sinistrati agli assicurati sinistrati: i premi pagati dagli assicurati non sinistrati infatti contribuisce a pagare l’esborso corrisposto agli assicurati sinistrati, i quali ricevono una somma pari a xk − Pk . Opera quindi una sorta di compensazione tra i contratti in perdita e i contratti in utile; tale effetto viene definito come mutualità in senso assicurativo o effetto pooling. La mutualità assicurativa è differente dal mutuo soccorso; in quest’ultima ciascun individuo contribuirà a contribuire un fondo pari a C (che non viene calcolato sulla base di una previsione p  C della frequenza f di sinistro). Ciascuno degli nf sinistrati riceverà un importo min  x,  e non  nf  necessariamente l’importo x del sinistro. Se il fondo non è sufficiente, ciascun sinistrato riceverà C una quota pari a . nf In ambito assicurativo l’introito totale dei premi P viene calcolato sulla base di una previsione p di f. Ciascuno degli nf sinistrati riceverà un importo pari a x in cado di sinistro; tale beneficio viene garantito dall’assicuratore con il suo capitale sociale. Per l’assicuratore vi sarà un guadagno se la frequenza effettiva dei sinistri è inferiore alla previsione fatta; in questo caso avremo quindi che n ⋅ px > nf ⋅ x , cioè il premio totale raccolto è maggiore dell’esborso effettivo agli nf sinistrati. In caso contrario, ossia se n ⋅ px < nf ⋅ x , l’assicuratore incorrerà in una perdita. L’assicuratore quindi svolge la funzione di intermediario nel trasferimento di risorse da soggetto e gestisce la mutualità tra gli assicurati. Vediamo ora l’effetto della mutualità nei diversi contratti di assicurazione: • assicurazioni contro i danni; l’assicuratore incassa il premio al tempo 0. Se alla scadenza, in genere t=1, non vi è stato nessun sinistro, il premio costituisce un importo disponibile per compensare le perdite dei contratti sinistrati. Se invece vi è stato un sinistro, l’assicuratore dovrà procedere al risarcimento e prendere gli importi dai contratti non sinistrati • assicurazioni di capitale differito (non controassicurato); tale contratto prevede il pagamento di un premio al momento della stipula e il rimborso di un capitale qualora 13

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 -

•

l’assicurato sia ancora in vita al momento della scadenza (in caso di premorienza non vi sarà nessuna prestazione). La durata è pluriennale. Ogni anno il premio incassato verrà maggiorato degli interessi finanziari e sarà quindi crescente di anno in anno. Tuttavia tale importo sarà minore del capitale che teoricamente dovrà essere rimborsato a scadenza, per cui sarà necessario attingere da altri contratti per fare in modo da avere il capitale necessario a scadenza. La gestione della mutualità viene fatta anno per anno. I contratti non sinistrati (ossia quando l’assicurato muore prima della scadenza) contribuiranno alla mutualità dei contratti “sinistrati” assicurazioni in caso morte; questi contratti prevedono il pagamento di un capitale all’epoca del decesso. Il pagamento del capitale è quindi certo, mentre l’epoca è aleatoria. Ciascun contratto genererà interessi per l’assicurato, che però riceverà la somma solo al momento della morte. Fino ad allora, il contratto contribuirà mutuamente a pagare il capitale dei contratti che via via “denunciano” sinistro”; all’epoca del decesso, il contratto riceverà mutualità dai contratti ancora in essere per pagare il capitale all’assicurato assicurazioni di capitale differito controassicurato; tali contratti prevedono l’incasso di un premio alla stipula e di un pagamento del capitale a scadenza se l’assicurato risulta ancora in vita. A differenza di quanto visto prima, se vi è premorienza dell’assicurato, l’assicuratore garantisce comunque la restituzione del premio. In questi contratti la mutualità è limitata e sono utilizzati soprattutto come forme di investimento e accumulo di risparmio

A posteriori, l’equilibrio si ha se la frequenza dei sinistri è uguale alla previsione. In un portafoglio con xk = x , per k = 1,2,..., n , se p=f, il numero dei sinistri previsti è uguale al numero dei sinistri effettivi, cioè np=nf. Di conseguenza, il valore dell’esborso effettivo è pari all’esborso atteso, X = Ε[ X ] e xnf = xnp . L’equilibrio previsto ex ante si realizza anche ex post. La determinazione effettiva di X può però essere differente dal valore atteso. Si crea quindi un disequilibrio. Nei portafogli quantitativamente omogenei, in caso di disequilibrio, si ha f ≠ p . Lo scostamento di X dal suo valore atteso Ε[ X ] può essere determinato da diverse cause: • scostamenti accidentali • scostamenti sistematici • scostamenti catastrofali

Nei tre grafici sopra vediamo differenti scostamenti di f da p (stimata a priori e rappresentata dalla semiretta p) con il passare del tempo. Il primo grafico rappresenta scostamenti “accidentali” della frequenza di sinistrosità effettiva da quella attesa. I rischi di scostamenti accidentali possono portare comunque a guadagni (se f<p) o a perdite (se f>p) e sono definiti accidentali perché non possono essere spiegati da un trend.

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 Il secondo grafico invece rappresenta scostamenti “sistematici”, le quali avvengono se la valutazione di p non riesce a cogliere perfettamente la natura dei rischi che l’assicuratore assume. Il rischio derivante dagli scostamenti “sistematici” è molto alto, in quanto sistematicamente la frequenza f dei sinistri è superiore alle previsioni p. Questo può succedere quando l’assicuratore non ha dati adeguati e assicura un rischio per la prima volta avvalendosi dell’esperienza di qualche altro assicuratore. Il terzo grafico evidenza scostamenti “catastrofali”, i più gravi, che si verificano quando vi è un aumento improvviso e contingente del numero dei sinistri. L’impatto dei tre tipi di rischio è differente a seconda della grandezza del portafoglio e del numero di contratti. Il rischio relativo degli scostamenti accidentali si riduce con l’aumentare del numero dei contratti presenti nel portafoglio, in quanto si crea l’effetto pooling: i contratti in perdita vengono compensati dai contratti non in perdita. La gravità in termini relativi degli scostamenti sistematici invece non dipende dalla grandezza del portafoglio. Le caratteristiche di questi scostamenti sono: • impossibilità di assorbimento, ossia non vi è compensazione tra i contratti. Infatti, poiché è errata la sinistrosità attesa, l’errore si trasmette a tutto il portafoglio, indipendentemente dalla sua dimensione • scarse possibilità di trasferimento, in quanto l’errata valutazione della sinistrosità si trasmetterebbe anche all’eventuale riassicuratore. L’unica possibilità di trasferimento riguarda il caso in cui si lancia un nuovo prodotto sul mercato per il quale si richiede anche la collaborazione del riassicuratore, il quale offrirà un “pacchetto” completo in cui si potrà beneficiare di un trasferimento in riassicurazione a “sue spese” Gli scarti catastrofali non beneficiano dell’effetto pooling ma presentano più possibilità di assorbimento rispetto agli scostamenti sistematici. Alcuni esempi di tecniche di assorbimento sono la diversificazione geografica dei contratti in portafoglio o il trasferimento dei rischi tramite riassicurazione o ART. Il concetto di effetto pooling è molto simile al concetto di diversificazione visto nella matematica finanziaria. Entrambi fanno riferimento alla riduzione del rischio che è possibile ottenere attraverso la diversificazione e il pooling. Con la diversificazione è possibile ridurre il rischio finanziario ampliando la gamma degli investimenti scegliendo strumenti finanziari correlati negativamente. Con il pooling si realizza la riduzione dei rischi tramite l’ampliamento del numero di posizioni analoghe e indipendenti tra loro (in questo modo si riesce a compensare i contratti in perdita con quelli non sinistrati, creando quindi l’effetto mutualità). Inoltre è possibile ridurre anche il rischio catastrofale, ampliando l’estensione territoriale, ossia stipulare contratti con soggetti distribuiti su una più vasta area. Tuttavia esiste una parte di rischio che non è possibile eliminare né con la diversificazione né con il pooling: la diversificazione non riesce infatti a eliminare il rischio finanziario sistematico mentre il pooling non riesce a cancellare il rischi sistematici e alcuni rischi catastrofali nemmeno attraverso l’aumento dei contratti in portafoglio.

Tariffe standardizzate e tariffe personalizzate Nella trattazione del calcolo del premio faremo riferimento ad un portafoglio di rischi qualitativamente non omogenei, cioè i contratti non hanno la stessa probabilità di denunciare un sinistro. I rischi avranno quindi diverse probabilità di sinistro e da ciò deriva anche una diversa tariffazione del contratto (si può comunque optare anche per dei premi indifferenziati). 15

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 Per semplicità si assumerà che vi siano due differenti probabilità di sinistro, ossia p’ e p’’, con p’<p’’. Otterremo quindi un portafoglio suddiviso in due sottoportafogli. In base alla probabilità di sinistro avremo dei tassi di premio differenziati e quindi anche dei premi di importo diverso: P ' k = xk p ' P ' ' k = xk p ' ' p’ e p’’ rappresentano i tassi di premio. Guardiamo ora al valore atteso dell’esborso dei due sottoportafogli. Assumiamo che il primo sottoportafoglio abbia n’ rischi contrattuali con probabilità p’ mentre il secondo n’’ rischi con probabilità p’’. Il valore atteso dell’esborso per i due portafogli sarà:

Ε[ X '] = ∑k =1 Ε[X k ] = ∑k =1 x k p' = ∑k =1 P' k n'

Ε[ X ' '] = ∑k =n '+1 Ε[ X k ] = ∑k =n ' +1 xk p' ' = ∑k =n '+1 P' 'k n ' + n ''

n ' + n ''

Se in entrambi i sottoportafogli il valore atteso del rimborso è uguale all’introito dei premi incassati, realizzeremo l’equilibrio di portafoglio. Il valore dell’esborso atteso dell’intero portafoglio sarà dato dalla somma dei valori attesi dei rimborsi relativi ai due sottoportafogli mentre il totale dei premi incassati sarà pari alla somma dei premi raccolti dai due sottoportafogli: Ε[ X ] = Ε[X '+ X ' '] = Ε[X '] + Ε[ X ' '] n ' + n ''

P = ∑k =1 P'k + ∑k =n '+1 P' 'k n'

Ε[X ] = P

Invece che utilizzare un metodo di tariffazione dipendente dalla probabilità di sinistro, l’assicuratore potrebbe optare per tassi di premio non differenziati, cioè adottare un unico tasso di premio p invece che tassi di premio differenziati p’ e p’’. L’assicuratore può ricorrere ad una tariffazione standard per tutti i contratti per raggiungere diversi obiettivi, i quali possono essere: • la semplificazione del processo di pricing • contenere il premio a carico dei contratti con maggiore probabilità di sinistro, trasferendone una parte del costo ai contratti con minore probabilità di sinistro (anche se non è equo nei confronti di questi ultimi) • il rispetto delle normative sulla privacy ed evitare la discriminazione tra i vari contratti Intuitivamente si ottiene p’<p<p’’. L’equilibrio di portafoglio si realizza quando il valore atteso dell’esborso è pari all’introito dei premi, ossia

∑

n' k =1

xk p' + ∑k =n '+1 xk p' ' = ∑k =1 xk p = Ε[ X ] n ' + n ''

n ' + n ''

Dalla formula sopra riportata possiamo ricavare p come media aritmetica ponderata di p’ e p’’

∑ p=

n' k =1

n ' + n ''

xk p' + ∑k =n '+1 xk p' '

∑

n ' + n '' k =1

∑ = p'⋅ ∑

k =1 k n ' + n '' k k =1

n ' + n ''

∑ + p' '⋅ ∑

k = n ' +1 n ' + n '' k =1

Solitamente, per sapere il valore che p assumerà nell’intervallo [p’;p’’] bisognerà tenere in considerazione il numero di contratti presenti nei due sottoportafogli: più sarà numeroso un sottoportafoglio, più il tasso di premio p si avvicinerà al tasso di premio di quel sottoportafoglio. Inoltre, quando i premi vengono fissati, i valori di n’ e n’’ vengono stimati. A posteriori, se il numero effettivo dei contratti è differente da quello stimato; quando l’assicuratore decide di praticare una tariffa uniforme a fronte di rischi eterogenei (con diverse probabilità di sinistro) si assume un rischio di gestione, cioè il rischio di trovarsi a posteriori una domanda diversa da quella stimata (ed è normale, in quanto gli assicurati con meno probabilità di sinistro non accetteranno di pagare un premio molto maggiore rispetto a quello equo per la loro categoria). 16

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 La tariffa uniforme può avere un senso quando è prevedibile la domanda di contratti oppure quando il contratto è obbligatorio, come ad esempio l’assicurazione RCAuto. Quando il contratto non è obbligatorio, i soggetti con una bassa propensione al sinistro riterranno il contratto troppo costoso, mentre invece i soggetti con un’alta propensione al sinistro considereranno il premio vantaggioso, in quanto più basso di quello che pagherebbero in caso di tariffazione personalizzata. n ' p '+ n ' ' p ' ' n' n' = p' + p' ' In caso di valori assicurati tutti uguali avremo p = n'+ n' ' n'+ n' ' n'+ n' ' Analizziamo ora un modello generale di tariffazione. Siano p’ e p’’ le probabilità differenziate di sinistro e p(1) e p(2) i rispettivi tassi di premio. Quando p(1)=p’ e p(2)=p’’, avremo il caso della tariffazione differenziata vista poco sopra. Quando p(1)=p(2), avremo invece il caso della tariffazione standard con premi non differenziati. Di seguito analizzeremo cosa succede nel caso p’<p(1)<p(2)<p’’, cioè quando il tasso di premio p(1) è maggiore e p(2) è minore delle rispettive probabilità di sinistro. L’equilibrio di portafoglio richiede sempre che l’esborso atteso sia uguale al totale dei premi raccolti, che si ha quando

∑

n' k =1

n ' + n ''

xk p'+ ∑k =n ' +1 xk p' ' = ∑k =1 xk p (1) + ∑k = n '+1 xk p ( 2) n'

Tale equazione prevede infinite soluzioni per p(1) e p(2), che potranno essere scelte in base a precise esigenze commerciali. n' p (1) + n' ' p ( 2 ) n' p '+ n' ' p ' ' In caso di valori assicurati tutti uguali avremo = n '+ n ' ' n'+ n' '

Classi di rischio e classi di premio Il processo di selezione dei rischi contrattuali è il processo tramite cui si assegna ciascun contratto a determinate classi di rischio e le rispettive classi di premio, a seconda della frequenza di sinistro potenziale del contratto stesso. Il processo prevede una fase di assegnazione delle diverse probabilità di sinistro, in cui si suddivide la collettività potenzialmente assicurata in classi di rischio, a loro volta individuate dalle probabilità di sinistro p(1), p(2),…,p(n). Successivamente verrà attribuito a ciascuna classe di rischio un determinato tasso di premio da applicare nel processo di tariffazione. È possibile che l’assicuratore associ più classi di rischio a un unico tasso di premio, che dovrà essere determinato in modo da raggiungere l’equilibrio tra esborso atteso e premio raccolto. Questo meccanismo comporta un trasferimento di risorse tra assicurati, differente dall’effetto pooling. Questo trasferimento avviene per l’effetto solidarietà tra i contraenti. Osserviamo ad esempio il caso di un tasso di premio p associato a due differenti probabilità di sinistro p’ e p’’. Alla stipulazione, per ogni contratto non vi sarà un saldo nullo tra premio ed esborso atteso, mentre si potrà realizzare l’equilibrio a livello di portafoglio. In termini matematici avremo per l’assicurato con probabilità di sinistro p’ che S 'k = xk p − xk p ' > 0 , cioè Pk − Ε[ X k ] > 0 , mentre per l’assicurato con probabilità p’’ si avrà la situazione S ' 'k = xk p − xk p ' ' < 0 , ossia Pk − Ε[ X k ] < 0 . Un sistema di premi non differenziati per rischi con probabilità di sinistro differenti comporta un trasferimento di risorse tra gli assicurati appartenenti alle diverse classi di rischio (ma alla stessa classe di premio). È il cosiddetto effetto solidarietà e gli importi S 'k e S ' 'k sono detti premi di solidarietà (rispettivamente positivo e negativo). Lo stesso trasferimento si ha anche in sistemi con premi differenziati ma la cui differenziazione non riflette le probabilità di sinistro. 17

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 Una tale politica di tariffazione può portare però a casi di selezione avversa: gli assicurati con minore probabilità di sinistro non vorranno contribuire all’effetto solidarietà mentre gli assicurati con maggiori probabilità di sinistro approfitteranno di tale effetto. L’assicuratore rischia quindi di trovarsi in portafoglio solo contratti con una probabilità di sinistro molto più alta di quella utilizzata per la tariffazione. Il rischio di antiselezione o selezione avversa è definito come il rischio di tariffazione.

L’aleatorietà dell’utile L’obiettivo ora è quantificare l’impatto che gli scarti accidentali possono avere sulla gestione dell’assicuratore e sul livello dell’utile che questi può conseguire, che come tutte le imprese (anzi, a maggior ragione proprio perché è un’impresa assicuratrice) è aleatorio. Per analizzare l’aleatorietà dell’utile utilizzeremo un portafoglio composto da n contratti elementari qualitativamente omogenei (cioè con la stessa probabilità di sinistro), con probabilità di sinistro realistica p e indipendenti tra loro. Prima di dare una definizione dell’utile, analizziamo i vari flussi che l’assicuratore sostiene e incassa per ciascun k – esimo contratto (k=1,2,…,n) e a livello di portafoglio. Dal punto di vista del singolo contratto k – esimo vi sarà: • il premio equo, pari al valore atteso del rimborso, Pk = Ε[X k ] = xk p • il caricamento di sicurezza, mk Il premio puro sarà quindi costituito dal premio equo sommato al caricamento di sicurezza, Π k = Pk + mk . A livello di portafoglio si avranno i seguenti flussi: •

l’esborso totale aleatorio X = ∑k =1 X k n

•

il totale dei premi equi P = ∑k =1 Pk = Ε[ X ]

•

il totale dei caricamenti di sicurezza m = ∑k =1 mk

•

il totale dei premi puri Π = ∑k =1 Π k

La perdita (aleatoria) del portafoglio sarà pari a L = X − Π = X − P − m , che si verifica quando l’importo dell’esborso è superiore alla somma di premi equi e caricamenti di sicurezza. Naturalmente, l’utile sarà pari alla perdita cambiato di segno, cioè G = − L (per ora ragioniamo indicando l’importo positivo come perdita). La condizione di equilibrio ci dice che P = Ε[ X ] ; se il premio venisse determinato secondo questo principio di equità, l’utile atteso sarà ovviamente pari a zero. Invece abbiamo visto che nella determinazione del premio concorrono anche i caricamenti di sicurezza: pertanto, l’utile o guadagno atteso sarà pari Ε[G ] = m , da cui Ε[L ] = − m . Una misura dell’aleatorietà dell’utile può essere la sua varianza o il suo scostamento quadratico medio.

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 Richiamo Data una generica variabile aleatoria Y con determinazioni y1, y2,…,yn e probabilità rispettive p1, p2,…,pn, si ha per varianza

Var [Y ] = Ε[Y − Ε[Y ]]

[

= Ε Y 2 − 2YΕ[Y ] + [E[Y ]]

[ ] = Ε[Y ]− [Ε[Y ]]

]

= Ε Y 2 − 2Ε[Y ]Ε[Y ] + [E[Y ]] 2

La varianza può essere calcolata in due modi: • •

Var [Y ] = ∑h =1 ( yh − Ε[Y ]) ph n

Var [Y ] = ∑h =1 yh2 ph − (Ε[ X ]) n

con

Ε[Y ] = ∑h =1 yh ph

con

∑

n h =1

[ ]

yh2 ph = Ε Y 2

Simboli e terminologia •

µ = y = Ε[Y ]

•

µ (2 ) = y

•

σ 2 = Var [Y ] = µ (2 ) − µ 2 = y − y

(2 )

valore atteso o momento primo

[ ]

=ΕY2

momento secondo (2 )

varianza o momento centrale secondo

Passiamo ora ad analizzare la volatilità dell’utile misurata dalla varianza. La varianza dell’utile sarà pari a Var [G ] = Var [− L] . Poiché nella funzione di perdita L l’unica componente aleatoria è il rimborso X (infatti l’ammontare dei premi puri raccolti Π è noto), per cui sarà Var [− L ] = Var [X ] = σ 2 . Ciascun contratto k – esimo, con valore assicurato pari a xk e probabilità di sinistro p avrà una varianza pari a σ k2 = Var [X k ] = xk2 p (1 − p ) . A livello di portafoglio (in ipotesi di indipendenza tra i vari rischi, cioè la correlazione tra i contratti è nulla), la varianza sarà σ 2 = Var [X ] = ∑k =1σ k2 = p(1 − p )∑k =1 xk2 . Se i contratti non fossero n

indipendenti ma correlati, sarebbe necessario considerare l’effetto della correlazione sulla varianza. La volatilità dell’utile è influenzata dalle caratteristiche e dalla varianza del portafoglio di contratti che l’assicuratore stipula. Per qualunque valore di p, la varianza è proporzionale alla somma secondo della distribuzione dei capitali: x (2 )

σ 2 = np(1 − p )x .

(2 )

∑

n k =1

xk2 e quindi al momento

1 n 2 ∑ xk . La varianza del portafoglio sarà quindi n k =1

1 n ∑ xk , per cui ci aspetteremo un esborso atteso pari a n k =1 Ε[ X ] = np x , ossia uguale al prodotto tra numero atteso di sinistri e l’importo assicurato medio; di

Il valore assicurato medio sarà x =

(2 )

conseguenza la varianza della distribuzione dei capitali assumerà il valore v = x − x . Se sostituiamo questi dati nella formula della varianza del portafoglio, otterremo che essa

(

)

diventerà σ 2 = np (1 − p ) v + x . Ceteris paribus, avremo una varianza σ 2 crescente rispetto alla varianza v dei valori assicurati xk e assumerà il valore minimo quando v = 0 (cioè quando i valori assicurati sono tutti uguali). Le operazioni di risk management dovrebbero portare a comporre un 2

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 portafoglio di contratti qualitativamente omogenei, ad esempio attraverso il controllo dell’underwriting o tramite politiche di riassicurazione. Inoltre si può osservare che σ 2 è crescente al crescere di p (quando p è molto piccola) e di n (in modo lineare). Dalla varianza possiamo ottenere il valore dello scostamento quadratico medio del portafoglio:

σ = n p(1 − p ) v + x

A livello di gestione, l’assicuratore deve intraprendere azioni di risk management finalizzate • a ridurre la varianza dell’esborso (v) in modo da contenere la volatilità dell’utile • ad aumentare il numero di contratti n in modo tale da rafforzare l’effetto mutualità • ridurre l’eterogeneità delle somme assicurate, in modo da avere un portafoglio il più qualitativamente omogeneo possibile • selezionare i rischi da assicurare in modo da trattare posizioni con una probabilità di sinistro p non troppo bassa, anche se ciò può sembrare controintuitivo. Infatti nella formula è presente il fattore p(1 – p), il cui aumentare farebbe incrementare anche la varianza. Una variazione di p ha due effetti di segno opposto sulle due componenti del prodotto; sarà quindi necessario trovare un valore che minimizzi tale prodotto Passiamo all’analisi della distribuzione delle perdite, concentrandoci soprattutto sulla coda destra:

Lo scenario analizzato prevede quindi che L > 0, ossia che l’esborso aleatorio dovuto ai risarcimenti sia maggiore degli introiti dei premi raccolti, X > P + m.  X − P m m La probabilità di avere una perdita sarà misurata da Ρ[X > P + m] = Ρ  >  = 1− F  , σ  σ σ  X −P dove F è la funzione di ripartizione della variabile aleatoria standardizzata .

L’obiettivo è quello di ridurre al massimo la probabilità dell’evento negativo, cioè L > 0, agendo sul caricamento di sicurezza m. Per prima cosa si fissa un livello della probabilità di perdita (ε) che si ritiene accettabile, tale che m 1 − F   = ε . Accettando la distribuzione normale della variabile aleatoria X, possiamo risolvere σ  m l’equazione ponendo prima = µ e poi µ = F −1 (1 − ε ) :

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 -

Poiché abbiamo fissato

= µ , avremo che m = µσ , ossia il caricamento di sicurezza deve essere

fissato in misura proporzionale ( µ ) allo scostamento quadratico medio σ . Il caricamento di sicurezza m sarà tanto più elevato quanto più bassa è la probabilità di perdita accettata. A parità di perdita accettata, m sarà tanto più elevato quanto più elevato è σ . Il caricamento di sicurezza viene spesso rapportato al premio equo, ossia viene considerato per m σ unità di premio equo: = µ . P P La quantità µ

viene definito come indice di fluttuazione del portafoglio che esprime la capacità P del portafoglio di assorbire gli scarti accidentali: maggiore è l’indice e maggiore sarà la capacità di assorbire fluttuazioni della sinistrosità.

viene chiamato indice di rischio del portafoglio: maggiore è l’indice e maggiore sarà la P rischiosità del portafoglio. L’indice di rischio può essere visto anche come coefficiente di variazione Var [ X ] σ di X, poiché = . P Ε[ X ] L’assicuratore può: • mantenere un caricamento per unità di rischio pari ad un certo valore target, cioè m prefissando = µ Inoltre,

•

ridurre il caricamento per unità di premio equo per motivi commerciali. Si può attuare m σ riducendo o oppure P P

Osserviamo ora cosa succede a ρ in caso di un portafoglio omogeneo dal punto di vista quantitativo e un altro eterogeneo. Si consideri il primo portafoglio di n contratti, tutti con valore assicurato x. Il contratto è omogeneo sia dal punto di vista qualitativo che quantitativo. Avremo che: P = Ε[X ] = xnp

σ = Var [X ] = x np(1 − p ) ρ=

1− p 1 p n

L’indice di rischiosità ρ è decrescente • al crescere di n. Tanto più numeroso è il portafoglio, tanto minore è l’aliquota di caricamento, in quanto minore è la rischiosità di portafoglio e maggiore è l’effetto pooling • al crescere della probabilità di sinistro p Si consideri ora il secondo portafoglio di n contratti con diversi valori assicurati (x1,x2,…,xn). Si ha: 21

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 -

P = Ε[ X ] = p∑k =1 xk n

σ = Var [ X ] = p(1 − p )∑k =1 xk2 n

1− p ρ= p

∑ ∑

xk2

1− p 1 = p n x k =1 k

k =1 n

(2 )

x x

A parità di n e di valore assicurato medio x , osserviamo che l’indice di rischio ρ è tanto maggiore (2 )

quanto maggiore è x , cioè la varianza della distribuzione dei valori assicurati. (2 )

1− p 1 x può tendere a 1 e quindi ρ ≅ . Questo può succedere p x n quando una somma assicurata diverge di molto rispetto alla media di portafoglio, annullando in questo caso il beneficio derivante dalla pluralità dei contratti. In generale l’indice di rischio ρ di un portafoglio sarà compreso tra l’indice di rischio del portafoglio perfettamente omogeneo e del portafoglio eterogeneo. In simboli avremo che:

In casi estremi il rapporto

1 1 ≤ n n

(2 )

x x

quindi 1− p 1 1− p ≤ρ< p p n

omogeneità

eterogeneità max

L’indice di rischiosità ρ dipende congiuntamente da n e da p: • a parità di n, un portafoglio con minore p è meno rischioso • a parità di p, un portafoglio con maggiore n è meno rischioso Per confrontare due portafogli caratterizzati da un diverso n e da un diverso p ma uguale numero atteso di sinistri np, è necessario rapportare tra loro i rispettivi indici di rischiosità. Ipotizziamo due portafogli, caratterizzati rispettivamente da n, n’, p e p’ tale che np sia uguale a n’p’. Il rapporto tra i due indici di rischio ci permette di fare un confronto tra la rischiosità dei due portafogli: 1− p np ρ ( p, n ) 1− p = = = R ( p , p ') ρ ( p ' , n') 1 − p' 1 − p' n' p '

L’allocazione del capitale proprio a copertura della possibile perdita L’assicuratore deve allocare del capitale proprio, con la funzione di garanzia per le eventuali perdite. Il capitale proprio M è definito come risk capital o margine di solvibilità ed entra in gioco quando l’ammontare dei premi raccolti non è sufficiente per coprire l’esborso aleatorio X. Il risk capital deve essere fissato in maniera tale da essere sufficientemente alto da limitare le probabilità di default (o di rovina), ma non troppo alto in quanto il capitale ha un suo costo opportunità. 22

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 -

Se l’esborso X • cade nell’intervello [0:P], l’assicuratore consegue un utile migliore del previsto, in quanto l’esborso risulta minore del premio equo incassato, che quindi contribuirà a formare l’utile innsieme al caricamento di sicurezza • supera il valore del premio equo P ma è inferiore al totale dei premi raccolti Π , l’assicuratore conseguirà lo stesso un utile, ma inferiore a quello previsto • supera l’introito dei premi Π ma è inferiore a Π + M, l’assicuratore è in perdita in quanto l’esborso supera l’incasso dei premi; tuttavia egli riesce a garantire i risarcimenti grazie al proprio capitale di rischio • supera Π + M l’assicuratore è in perdita e va in default (o in rovina) in quanto non riesce a far fronte agli impegni di risarcimento promessi agli assicurati L’esborso massimo X è pari alla somma di tutti gli importi assicurati dall’assicuratore nel caso tutti gli assicurati denuncino un sinistro. Tuttavia tale probabilità è praticamente nulla. L’importo M serve per coprire eventuali perdite, per cui deve essere quantificato dopo aver fissato un livello di perdita accettato. L’eventuale default si verifica quando X > P + m + M , cioè la situazione in cui L > M . La  X − P M + m M +m probabilità dell’evento è misurata da Ρ[X > P + m + M ] = Ρ  > = 1− F  , in  σ   σ  σ  X −P cui F è la funzione di ripartizione della variabile aleatoria standardizzata . La distribuzione delle probabilità di

X −P

sarà la seguente

Sia ε ' la probabilità di default ritenuta accettabile per l’evento L>M. Dovrà essere: M +m 1− F  = ε'  σ  23

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 Poniamo ora s =

M +m

. s è detto indice di stabilità relativa ed è tanto più elevato quanto più

piccola è la probabilità di default accettata. Per ottenere la probabilità ε ' deve essere che s = F −1 (1 − ε ') . L’assicuratore deve quindi arrivare ad s operando sulle leve M, m e σ . Nel dettaglio, le operazioni di risk management che possono essere poste in essere per aumentare s sono: • aumentare il caricamento di sicurezza m, ma ciò potrebbe trovare ostacoli dal mercato. Per influenzare m è necessario diminuire ε e aumentare µ • aumentare il capitale di rischio M, ma ciò potrebbe trovare ostacoli dagli azionisti, in quanto il capitale ha un costo opportunità • diminuire σ mediante un efficace underwriting, selezione dei rischi e riassicurazione, in modo da rendere il portafoglio il più omogeneo possibile dal punto di vista qualitativo e quantitativo e quindi minimizzare il rischio per quanto possibile

Rischio e riassicurazione La riassicurazione è il trasferimento di un rischio da un assicuratore cedente ad un altro assicuratore cessionario, che verrà chiamato riassicuratore, dietro il pagamento di un corrispettivo o premio di riassicurazione. L’assicuratore può ricorrere alla riassicurazione per ridurre il rischio del proprio portafoglio, trasferendo rischi che risultano troppo eterogenei con la media del portafoglio. Con la riassicurazione, l’esborso aleatorio verrà diviso in due parti, la prima a carico del cedente (Y) e la seconda a carico del riassicuratore (Z), tale che X = Y + Z . Esistono differenti forme di riassicurazione, che possono essere combinate tra loro per ottenere il miglior risultato possibile per l’assicuratore. Tra le diverse forme riassicurative: • riassicurazione per eccesso di perdita (stop loss), tramite cui si garantisce la copertura riassicurativi dell’evento L>M. L’assicuratore può fissare un limite alla propria perdita massima (H), trasferendo sul riassicuratore il rischio di pagare le somme che superano tale tetto. Il riassicuratore, dietro il pagamento del premio di riassicurazione R, si assume il rischio di far fronte all’eventuale eccesso di perdita oltre un livello prefissato H. Il livello prefissato viene definito priorità globale ed è l’importo massimo a carico dell’assicurato. Solitamente la priorità H viene stabilita in funzione del premio di assicurazione Π , tale che H ≥Π L’esborso del riassicuratore sarà pari a 0 se l’esborso totale è inferiore o uguale alla priorità globale ( Z = 0 se X ≤ H ), mentre sarà pari a X – H se superiore alla priorità globale ( Z = X − H se X > H )

Il contratto di riassicurazione può prevedere anche un limite superiore K dell’importo a carico del riassicuratore. In questo caso

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 o o o

se l’esborso è inferiore alla priorità globale, il riassicuratore non interviene, per cui Z = 0 se

X ≤H se l’esborso è superiore a H ma inferiore al tetto massimo H + K, il riassicuratore pagherà l’importo X – H se l’esborso è superiore al tetto massimo H + K, il riassicuratore limiterà il proprio intervento all’importo K, lasciando all’assicuratore l’onere di far fronte agli impegni che eccedono il limite superiore

In assenza di riassicurazione, la perdita aleatoria per l’assicurazione è pari alla differenza tra l’esborso aleatorio e i premi raccolti, cioè L = X − Π . In caso di riassicurazione, l’assicuratore riesce a ridurre la propria esposizione pagando un premio di riassicurazione R: se X ≤ H  0 L (H ) = L + R −  se X > H X − H

Dal grafico vediamo che ricorrere alla riassicurazione comporta un costo ulteriore (il premio di riassicurazione) ma si limitano le esposizioni a carico dell’assicuratore. L’assicuratore potrebbe decidere di adottare una copertura riassicurativa per l’intero portafoglio, ma questo non risulta agevole in quanto sorgono alcune difficoltà di implementazione. Infatti, l’esposizione del riassicuratore diventa molto aleatoria e ciò richiede un elevato caricamento di sicurezza nel premio di riassicurazione R. Per questi motivi, la stop loss viene utilizzata come riassicurazione di “secondo livello”, ossia quando l’esposizione dell’assicuratore è già stata limitata con altre forme riassicurative. Essa è quindi una delle ultime forme di copertura che vengono prese in considerazione. Solitamente, più che a livello di portafoglio, l’assicuratore adotta modalità di riassicurazione (soprattutto di primo livello) in cui i parametri sono definiti a livello di singolo contratto, con procedura standardizzata per risparmiare sui costi e sui tempi. Di conseguenza si determina una politica riassicurativa in cui vengono fissate delle aliquote di conservazione ak (chiamate anche aliquote di ritenzione) su ciascun k – esimo contratto.

Definendo con a = (a1 , a2 ,..., an ) la politica riassicurativa in quota individuale, avremo che l’esborso aleatorio a carico dell’assicuratore sarà in caso di sinistro a k X k X k (a ) = ak X k =  in assenza di sinistro  0 Di conseguenza

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 • • •

Ε[ X k (a )] = ak Ε[ X k ] = ak Pk ≤ Pk , in quanto una parte del premio viene ceduto insieme all’aliquota di cessione σ k2 (a ) = Var [X k (a )] = ak2σ k2 ≤ σ k2 , in quanto una parte del rischio viene trasferito al riassicuratore se chiamiamo con Π k (a ) e mk (a ) rispettivamente la quota di premio e il caricamento di

sicurezza conservato, avremo che mk (a ) = Π k (a ) − ak Pk . Se è Π k (a ) = ak Π k , allora risulterà che mk (a ) = ak Π k − ak Pk = ak mk ≤ mk , in quanto una parte del caricamento di sicurezza viene ceduto al riassicuratore L’aliquota del caricamento di sicurezza ceduto può essere diverso dall’aliquota di premio ceduta e dipende da contratto a contratto (ad esempio il riassicuratore vuole riconoscere all’assicuratore un compenso per la stipulazione dei contratti) A livello di portafoglio avremo che l’esborso aleatorio sarà pari a:

X (a ) = ∑k =1 X k (a ) n

[

]

mentre il suo valore atteso Ε[ X (a )] = Ε ∑k =1 X k (a ) = ∑k =1 ak Pk rappresenta la quota di premio n

equo rimasto all’assicuratore. La riassicurazione di una parte del contratto prevede quindi che: P(a ) = Ε( X (a )) ≤ Ε( X ) = P

σ (a ) =

∑

n k =1

σ k2 (a ) =

∑

n k =1

ak2σ k2 ≤

∑

n k =1

σ k2 = σ

m(a ) = ∑k =1 mk (a ) ≤ ∑k =1 mk = m n

L’indice di stabilità relativa

M + m(a ) σ (a ) può cambiare in seguito alla riassicurazione, a seconda delle variazioni di m(a ) e σ (a ) . La probabilità di default sarà: Ρ[X (a ) > P(a ) + m(a ) + M ] = 1 − F (s (a )) Due particolari tipologie di riassicurazione di tipo a sono la riassicurazione in quota (quota – share) e per eccedente di somma (surplus). La riassicurazione in quota prevede la definizione di un’aliquota di ritenzione uguale per tutti i contratti, ossia a = (a, a,..., a ) con 0 < a < 1 . Questo comporta la stessa proporzione tra valore assicurato e quota conservata. A livello di portafoglio avremo s (a ) =

P(a ) = Ε[ X (a )] = a ∑k =1 Pk = aP n

σ (a ) =

∑

n k =1

a 2σ k2 = aσ

La riassicurazione per eccedente di somma (surplus) prevede invece la definizione di un importo xcons (pieno di conservazione). Per ciascun contratto con valore assicurato xk, l’assicuratore trattiene a proprio carico l’importo min{xk , x cons }, mentre si cede l’importo max{xk − x cons ,0}. Se l’esborso xk è minore di xcons , l’assicuratore rimborsa xcons mentre il riassicuratore si farà carico di xk – xcons. Se l’esborso invece è inferiore a xcons, il riassicuratore non interviene.  x cons  min xk , x cons = min 1, La politica riassicurativi a è definita da ak = . xk x k  

{

}

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 Attraverso la riassicurazione per eccedente si ha un livellamento dei valori assicurati e dei rimborsi, per cui si riduce anche l’eterogeneità degli stessi. Inoltre l’assicuratore può combinare la riassicurazione quota – share con quella eccedente. Un rapido confronto tra la riassicurazione quota – share e quella per eccedente ci dimostra che la politica riassicurativa più efficace è quella per eccedente, in quanto riesce a minimizzare il rischio di default per qualunque fissato livello di conservazione di guadagno atteso. Questo permette di risparmiare sul capitale proprio a fronte della rinuncia di una parte dei guadagni. La quota – share viene utilizzato lo stesso in quanto permette all’assicuratore di finanziarsi: infatti, oltre ai premi e alle quote di rimborso, vengono condivise con il riassicuratore anche le spese di gestione, che sono spesso anticipate dal quest’ultimo, permettendo all’assicuratore di utilizzare una sorta di finanziamento. Le modalità di riassicurazione possono essere fissate a livello • di singolo contratto, in cui l’esborso aleatorio Xk di ciascun contratto è l’oggetto della riassicurazione. In questo caso si procede a fissare i parametri della riassicurazione a livello del contratto, definendo ad esempio l’aliquota a o il pieno di conservazione xcons • di portafoglio, in cui oggetto della riassicurazione è l’esborso aleatorio X dell’intero portafoglio. In questo caso si fissano i parametri a livello di portafoglio, ad esempio fissando la priorità globale H Inoltre, le forme riassicurative possono essere di tipo • proporzionale, se è ben definita la quota conservata dall’assicuratore e la quota ceduta al riassicuratore. In caso di sinistro, la ripartizione dell’esborso è nella stessa proporzione e nota sin dalla stipula del contratto di riassicurazione • non proporzionale, se la ripartizione dell’esborso tra assicuratore e riassicuratore non è determinato al momento dell’atto di stipula del contratto di riassicurazione ma viene individuata in seguito al sinistro secondo schemi prefissati La riassicurazione in quota e quella per eccedente erano esempi di riassicurazione proporzionale. Vediamo ora alcuni casi di riassicurazioni non proporzionali: l’excess of loss (XL), per eccesso di perdita (stop – loss) e per eccesso di sinistri (catastrofale). L’excess of loss è una modalità di riassicurazione a livello di contratto. Viene definito innanzitutto una priorità Λ . Sia Xk l’esborso aleatorio per il k – esimo contratto; a carico dell’assicuratore rimarrà il minor valore tra Xk e Λ , cioè min{X k , Λ}, mentre a carico del riassicuratore andrà il massimo valore tra Xk – Λ e 0, ossia max{X k − Λ,0}. Il riassicuratore pagherà l’intera eccedenza oltre la priorità Λ (l’esposizione del riassicuratore può avere anche un tetto massimo). La riassicurazione excess of loss nella forma elementare è di per sé identica alla riassicurazione per eccedente e Λ = x cons . In altre coperture più generali, in cui Xk non assume solo i valori xk e 0, la excess of loss ha un ruolo più specifico. La riassicurazione per eccesso di perdita (stop – loss) è una forma riassicurativa a livello di portafoglio che viene utilizzata come riassicurazione di secondo grado per coprire portafogli già riassicurati. Tramite la stop – loss, l’assicuratore limita l’impatto finanziario derivante da andamenti negativi o da rischi incontrollabili o imprevedibili. Il riassicuratore presta copertura oltre un livello di priorità prefissato ed eventualmente fino ad un tetto massimo convenuto.

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 La riassicurazione per eccesso di sinistri (catastrofale) è una forma di riassicurazione a livello di portafoglio che copre il rischio che un unico evento possa provocare più sinistri nel portafoglio riassicurato. Ad esempio si vogliono limitare i sinistri all’interno di un portafoglio dovuti ad una catastrofe naturale. La definizione di “catastrofe” viene data in termini di numero minimo di sinistri c entro un dato periodo di tempo. Gli scopi della riassicurazione sono molteplici; tra questi possiamo evidenziare i seguenti: • la riduzione del rischio di scarti accidentali (e non quelli sistematici, che abbiamo detto che sono ineliminabili) della sinistrosità, che permetterà una minore allocazione del capitale di rischio M • l’assistenza tecnica che si può ricevere dal riassicuratore, soprattutto dati statistici e aspetti commerciali per nuovi prodotti e aggiustamenti per il portafoglio rischi • il finanziamento; il riassicuratore infatti può partecipare ad una quota delle spese di gestione e lasciare all’assicuratore una quota di caricamento di sicurezza maggiore della quota di conservazione come compenso per la stipula dei contratti

Riassicurazione, coassicurazione e retrocessione Lavoro diretto Riassicurazione passiva Riassicurazione attiva Retrocessione Coassicurazione

l’assicuratore si pone direttamente con l’assicurato e stipula con lo stesso il contratto di assicurazione. l’assicuratore trasferisce una parte o tutto il rischio ad un altro assicuratore. (lavoro indiretto) l’assicuratore accetta di assumere una parte o tutto il rischio che gli viene trasferito da un altro assicuratore. il riassicuratore decide di trasferire una parte o tutto il rischio ad un altro riassicuratore l’assicurato decide di assicurare lo stesso evento presso due o più assicuratori

Il riassicuratore che svolge unicamente la funzione di riassicurazione e lavoro indiretto viene definito “riassicuratore professionale” o “puro”. Il riassicuratore che invece svolge anche lavoro diretto viene detto viene definito come “impresa mista”. Tra l’assicurato e il riassicuratore non vi è alcuna relazione. In caso di insolvenza del riassicuratore, l’assicuratore che ha trasferito il rischio risponde all’assicurato, che si potrà avvalere unicamente sull’assicuratore. Il rapporto di riassicurazione avviene su base: • facoltativa / facoltativa, se l’assicuratore può decidere se trasferire o meno il rischio e il riassicuratore può decidere se accettarlo o meno • obbligatoria / obbligatoria, se l’assicuratore si impegna a trasferire il rischio e il riassicuratore si impegna ad accettarlo • facoltativa / obbligatoria, se l’assicuratore può decidere se trasferire o meno il rischio e il riassicuratore si impegna ad accettarlo La prima tipologia è utilizzata per trasferire singoli rischi mentre la seconda e la terza viene stipulato un trattato per la cessione dei rischi. Il trattato che disciplina gli aspetti del rapporto riassicurativi deve prevedere: • data di inizio e fine del rapporto • la forma riassicurativa 28

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 • •

i limiti di conservazione della cedente e di accettazione del riassicuratore le modalità di calcolo (basi tecniche) e di pagamento dei premi di riassicurazione

I trattati di riassicurazione possono prevedere anche trattati di reciprocità: due imprese assicuratrici concordano la reciproca cessione dei rischi acquisiti sul mercato tramite il lavoro diretto. In questo modo ciascuna impresa può livellare i valori assicurati, aumentando il numero dei rischi e riducendo il rischio di portafoglio. Eventualmente i riassicuratori possono cedere ad un diverso riassicuratore parte dei rischi assunti in riassicurazione. La massima efficacia di questo trattato la si ha quando i due riassicuratori assicurano due eventi che hanno sinistrosità con correlazione negativa.

Forme alternative di trasferimento del rischio Oltre alla riassicurazione, un rischio può essere ceduto tramite altri strumenti (ART) o la cartolarizzazione. La cartolarizzazione (securitization) è un’operazione finanziaria con la quale è possibile smobilizzare crediti che prevedono flussi futuri nel tempo (come ad esempio mutui, credito al consumo, leasing finanziario), ottenendo in questo modo immediata liquidità; gli alternative risk transfer (ART) sono strumenti che consentono il trasferimento dei rischi per mezzo di specifiche strategie di risk finance, realizzabili a un costo inferiore rispetto al costo dei capitale di rischio altrimenti necessario. In ambito assicurativo tali strumenti sono utilizzati per ridurre il rischio e quindi ridurre i requisiti di capitale da allocare, inoltre con la cartolarizzazione, queste posizioni infatti vengono trasferite al mercato dei capitali. Gli strumenti in questione sono gli insurance – linked securities, i CAT bonds, i CAT derivatives, i mortality bonds, i longevity bonds ecc… Come funzionano questi strumenti? Facciamo l’esempio del CAT bond, un titolo risk – linked che trasferisce uno specifico set di rischi da un assicuratore agli investitori (quindi al mercato dei capitali); l’assicuratore costruisce ad esempio un portafoglio rischi che assicura contro i danni provocati da un certo evento atmosferico. Per poter rimanere solvente nel caso si verifichi il sinistro assicurato (rischio catastrofale), l’assicuratore può ricorrere al capitale proprio, alla riassicurazione oppure costruire un CAT bond che trasferisca il rischio agli investitori. Se opterà per l’ultima soluzione, l’assicuratore costituirà una SPV (special purpose entity) che emetterà i CAT bonds da diffondere al mercato. Gli investitori che acquistano il titolo riceveranno cedole di interessi; se non si verifica nessun evento catastrofico, gli investitori rientreranno del loro investimento, mentre se effettivamente l’evento assicurato si verifica con effetti catastrofali, l’assicuratore utilizzerà le somme derivanti dalla vendita dei CAT bonds per il risarcimento. Dal punto di vista dell’assicuratore, gli strumenti alternativi alla riassicurazione permettono di ridurre il rischio cedendolo al mercato e di ottenere liquidità. Dal punto di vista degli investitori, tali strumenti offrono nuove opportunità di impiegare i propri capitali, in quanto offrono dei flussi finanziari non trattati altrimenti sul mercato; di contro, essi assumeranno il rischio dall’assicuratore.

La gestione del portafoglio in ottica on going concern Per on going concern si intende preoccuparsi della gestione del portafoglio nell’ottica di una continuazione dell’attività: avremo quindi un orizzonte temporale pluriennale.

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 L’analisi viene fatta sui flussi in entrata (premi) e in uscita(risarcimenti) al fine di trovare la migliore allocazione del capitale secondo un’ottica pluriennale: all’epoca 0 si prova ad allocare il capitale opportuno che copra il portafoglio con una probabilità di default prefissata. Ad esempio, l’assicuratore vuole quantificare il capitale da allocare con un’ottica di 5 anni, in modo tale che questo capitale riesca a coprire il portafoglio rischi con una probabilità di default fissata allo 1%. Una volta allocato il capitale, l’assicuratore deve monitorare costantemente la situazione e fare un’analisi l’anno successivo sempre con un orizzonte di 5 anni. Analizziamo ora i flussi dei vari anni. Nel primo anno avremo: • n contratti stipulati • un introito di premi puri pari a Π (0 ) incassato al tempo 0 e di importo noto • un numero di sinistri pari a N (1) ≤ n , aleatorio •

dei risarcimenti pari a X (1) = ∑k =1 X k , di importo aleatorio n

Nei successivi anni • i premi incassati da 0 a t saranno aleatori e dipenderanno dal numero di contratti stipulati e in essere al tempo. Π (t ) − Π (t − 1) sarà l’ammontare dei premi incassati all’epoca t – 1 • il numero di sinistri tra 0 a t, cioè N (t ) , sarà aleatorio. N (t ) − N (t − 1) sarà il numero di sinistri nell’epoca t. Inoltre è necessario vedere se esiste una relazione tra il numero di sinistri nei vari anni: nel caso di contratti assicurativi monoannuali, possiamo accettare l’ipotesi di indipendenza tra il numero di sinistri nei vari anni, mentre non è accettabile per i contratti vita o in caso morte • i risarcimenti erogati fino a t, ossia X (t ) , saranno aleatori. X (t ) − X (t − 1) saranno i risarcimenti corrisposti nell’epoca t Inoltre useremo la seguente terminologia: • N (t ) : processo di arrivo dei sinistri (o processo del numero di sinistri o claim arrival process) • X (t ) : processo di danno cumulato (o aggregate claim amount) Il saldo accumulato all’epoca t sarà pari a U (t ) = Π (t ) − X (t ) , senza tenere conto del rendimento degli asset né della necessità di dover costituire riserve tecniche per far fronte ai pagamenti. Se U (t ) è positivo, l’assicuratore ha un surplus, mentre se è negativo, l’assicuratore è in default. Per evitare la situazione di default, sia in termini di frequenza (loss prevention) sia in termini di import (loss reduction) l’assicuratore deve allocare anche capitale proprio, come garanzia degli impegni assunti con gli assicurati. Pertanto, l’asset del portafoglio all’epoca t sarà pari a: M (t ) = M 0 + Π (t ) − X (t )

Nel grafico a sinistra si fa una stima dell’andamento dei sinistri accumulato N (t ) , che sale ogni volta che si verifica un sinistro. Nel grafico a destra invece si ha la stima dell’andamento del danno cumulato X (t ) , che ovviamente sale ogni volta che l’assicuratore deve pagare il risarcimento in

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 seguito al sinistro. Il grafico dei danni non presenta salti uguali in quanto i risarcimenti non sono tutti dello stesso importo.

I due grafici sopra invece evidenziano l’andamento degli asset di portafoglio nel caso non vi sia dotazione di capitale iniziale (ossia si opera unicamente con gli introiti Π (0 ) ) e nel caso vi sia una dotazione iniziale di capitale (si opera quindi con Π (0 ) + M 0 ). È evidente come la dotazione di capitale iniziale protegga l’assicuratore da eventuali default. Il tema della solvibilità dell’assicuratore è molto importante in ambito assicurativo: si aspetta l’applicazione del progetto Solvency 2, che introduce le nuove regole relative al margine di solvibilità delle assicurazioni, alla determinazione delle riserve tecniche e agli investimenti ammessi a copertura delle medesime per istituire un sistema di solvibilità che tenga conto dei rischi che le assicurazioni assumono effettivamente. Nell’accezione comune, il soggetto solvibile è quello che riesce a far fronte agli impegni presi; tuttavia è insensato, in ambito assicurativo, far riferimento alla solvibilità in senso assoluto, perché sarebbe anti – economico obbligare l’assicuratore a detenere il capitale necessario per adempiere a tutti i propri impegni (ossia nel caso dovesse pagare tutti i valori assicurati qualora tutti i contratti denuncino sinistro). Infatti si fa riferimento alla solvibilità in senso probabilistico, cioè la capacità di far fronte, con assegnata probabilità, agli impegni aleatori realisticamente descritti da un modello probabilistico (si guarda ad esempio alle probabilità di sinistri, alle distribuzioni delle probabilità di perdita ecc…). Nell’analisi di solvibilità secondo l’ottica on going concern è necessario specificare: • il valore della probabilità cui l’assicuratore è in grado di far fronte ai propri impegni • la grandezza a cui affidare il compito di quantificare lo stato di solvibilità dell’assicuratore, come ad esempio l’asset di portafoglio M (t ) . Se in t abbiamo M (t ) < 0, il portafoglio è in default • l’intervallo temporale a cui fa riferimento il requisito di solvibilità, solitamente da 1 a 5 anni, salvo business particolari Formalmente queste condizioni vengono trascritte nel seguente modo: T  Ρ  ∧ (M (t ) ≥ 0 ) = 1 − ε t = 1   ossia la probabilità che l’assicuratore è solvente (cioè M (t ) ≥ 0 ) in ogni epoca t (con t = 1,2,..., n ) è pari a 1 − ε . In ogni epoca t l’assicuratore dovrà quindi disporre di un asset capace di coprire tutti gli impegni con una probabilità prefissata pari a 1 − ε . In alternativa l’assicuratore può fissare un requisito meno severo (a parità di ε e T), cioè: Ρ[M (T ) ≥ 0] = 1 − ε In quest’ultimo caso l’assicuratore fissa sempre la probabilità di essere solvente, ma la solvibilità è espressa da un asset di portafoglio maggiore di 0 solo al tempo T e non in ciascun anno; non viene quindi garantita la solvibilità anno per anno. 31

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 -

Né

traiettoria 1 né

traiettoria 2

riguardo

l’andamento di M (t ) rispettano

T  Ρ  ∧ (M (t ) ≥ 0 ) = 1 − ε e solo la traiettoria 1 rispetta invece Ρ[M (T ) ≥ 0] = 1 − ε . Secondo la prima t = 1   condizione, in nessuno dei due casi l’assicuratore sarebbe solvibile, mentre sarebbe solvibile nel primo caso qualora considerassimo la seconda condizione. Nel modello è necessario quindi fissare un livello di solvibilità 1 − ε e un capitale allocato inizialmente pari a M0. Solvency 2 propone l’utilizzo di una formula standard per calcolare il capitale da allocare M(0), che può anche essere calcolato utilizzando un modello interno (autorizzato).

Il progetto di Solvency 2 prevede che T=1, per cui le due condizioni fissate sopra sono uguali. In alcuni casi comunque T > 1 e questo porta a modifiche anche nelle due condizioni sopra. Un valore degli asset del portafoglio è ammissibile solo in presenza di mezzi propri “esterni” al portafoglio. Garantire la solvibilità è nell’interesse di tutti i soggetti che “girano” attorno all’assicuratore: • gli investitori e il mercato dei capitali, che si preoccupano della remunerazione del loro investimento, che ovviamente non vi sarà se l’impresa è in perdita • gli assicurati, che vogliono il rispetto degli impegni presi dall’assicuratore e quindi il risarcimento in caso di sinistro • l’autorità di controllo, che vogliono il rispetto delle regole affinché l’assicuratore riesca a far fronte agli impegni presi • l’impresa di assicurazione stessa, che vorrà operare con continuità

La policy design Il “design” di una polizza assicurativa prevede: • la decisione dell’insieme di garanzie ed opzioni incluse nei benefici da pagare, che ovviamente rappresentano un rischio per l’assicuratore. Ad esempio le polizze possono prevedere un coefficiente di conversione che permette di convertire il capitale accumulato in una pensione e la possibilità di esercitare l’opzione • un metodo di pricing • aspetti relativi all’ambito commerciale e non tecnico Inoltre per ciascuna tipologia di contratto si deve stabilire le modalità di pricing e di calcolo del premio di tariffa, il quale deve includere • il premio equo, determinato su base statistica (probabilità di sinistri) • il caricamento di sicurezza • il caricamento per spese 32

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 La base statistica su cui viene calcolato il premio equo deve essere costantemente aggiornato e deve tenere conto anche dell’esperienza del portafoglio (experience rating “collettivo”), cioè della sua sinistrosità nel tempo. In più, il premio per ciascun assicurato deve essere aggiornato sulla base dell’esperienza di sinistrosità del singolo contratto (experience rating “individuale”), in modo da avere quindi una specie di personalizzazione che tenga conto della maggiore o minore rischiosità del singolo contratto (es. bonus – malus nella RCAuto). Una volta costruito il proprio portafoglio di contratti, l’assicuratore deve fare un’attenta valutazione dei rischi che gravano su esso: • rischi di mercato e di investimento, che gravano sugli impieghi dei premi raccolti • rischi tecnici collegati alla sinistrosità dei contratti • rischi di spese gestionali, che possono rivelarsi superiori a quelle attese • ecc… I rischi possono essere ridotti (o aumentati inconsapevolmente) agendo su diversi fattori, come la numerosità del portafoglio, l’omogeneità dei contratti (in termini di valori assicurati, massimali ecc…), la diversificazione degli investimenti ecc… Dopo aver individuato i rischi, l’assicuratore deve quantificarli, utilizzando ad esempio degli indici patrimoniali, di liquidità ecc… ed evitare che assumino valori indesiderati. Deve quindi fare degli stress test o analisi di scenari che spieghino le possibili evoluzioni del portafoglio di contratti nei casi peggiori. Dopo la quantificazione è il momento di porre in atto le operazioni di risk management volte a ridurre il rischio del portafoglio e a garantire la solvibilità; tali operazioni possono essere ad esempio l’allocazione di capitale proprio, la determinazione di adeguati caricamenti di sicurezza, la riassicurazione, la securitization ecc…. Poiché l’assicuratore è in una posizione di debito (infatti la sua è una promessa di pagamento futuro) deve costituire delle riserve tecniche che vadano a garanzia dei suoi impegni. Le riserve tecniche non sono costituite da capitale proprio, ma dai premi che vengono incassati anticipatamente. Le riserve quindi rappresentano delle passività per l’assicuratore e devono essere coperte da impieghi e asset non troppo rischiosi e abbastanza liquidi. Le riserve nei rami vita vengono definite riserve matematiche, mentre le riserve nei rami danni includono le riserve premi, le riserve sinistri, le riserve IBNR (per i sinistri verificati ma non ancora registrati) ecc… I premi che vengono incassati, anche per contratti pluriennali, costituiscono un ricavo; il premio viene investito ma deve essere coperto da accantonamenti nelle riserve tecniche, che rappresentano un costo. In questo modo è possibile definire il reddito periodale o di esercizio e calcolare anche la redditività attraverso indici come ROE e ROI e il valore creato. L’assicuratore deve, come già detto, allocare del capitale proprio come garanzia per la propria solvibilità. Tale capitale sarà considerato come capitale di funzionamento e altresì come risk bearing capital, ossia capitale a supporto di un’attività rischiosa. Le normative che regolamentano l’attività assicurativa impongono un capitale di funzionamento minimo per garantire un adeguato margine di solvibilità. Il capitale può essere determinato tramite un modello interno autorizzato o attraverso una procedura stabilita dall’Autorità di vigilanza (e nel prossimo futuro da Solvency 2).

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Dal contratto al portafoglio assicurativo - Wang Mingjie - 王明杰 L’assicuratore deve inoltre stabilire un’appropriata politica di investimenti, tenendo conto dello sfasamento temporale tra l’introito dei premi e il pagamento delle prestazioni. Vi è quindi un problema di asset liability management, cioè una gestione degli asset fatta nel rispetto delle liability che coprono. Inoltre gli investimenti sono diversificati a seconda si parli di assicurazioni vita e di assicurazioni danni. Il valore di un portafoglio e di un’impresa di assicurazioni può essere stimata o dall’embedded value (EV) o dall’appraisal value (AV). L’EV è dato dalla somma del valore di portafoglio e l’ANAV (adjusted net value asset), cioè il valore delle attività al netto delle liability, mentre l’AV è ricavato dall’EV sommato al valore della produzione futura (value of future new business).

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni contro i danni - Wang Mingjie - 王明杰 -

Premi, riserve e utili per assicurazioni contro i danni Un contratto di assicurazione contro danni ha per oggetto il risarcimento, entro i limiti convenuti, dei danni provocati all’assicurato da un sinistro. Al momento della stipulazione non è noto l’importo del risarcimento, che viene quantificato in seguito al sinistro secondo le clausole contrattuali. L’assicuratore decide di stipulare il contratto dietro pagamento di un premio da parte dell’assicurato; il premio solitamente viene pagato al momento della stipula del contratto in un'unica soluzione (premio unico). Nella valutazione del premio, l’assicuratore dovrà descrivere e quantificare l’incertezza derivante dall’evento assicurato, definendo le opportune variabili aleatorie, come ad esempio il numero di sinistri, l’importo aleatorio dei risarcimenti ecc… L’assicurazione danni inoltre, vista la durata breve del contratto, ha degli effetti finanziari trascurabili per l’assicurato. Il premio dell’assicurazione contro danni è costituito nel seguente modo: • premio equo, che corrisponde al valore atteso (con probabilità realistiche) del totale dei risarcimenti aleatori a carico dell’assicuratore nel periodo assicurato • premio puro (net premium), che corrisponde al premio equo maggiorato dei caricamenti di sicurezza • premio di tariffa (o premio commerciale, office premium), che è l’importo richiesto dall’assicuratore per stipulare il contratto e corrisponde al premio puro caricato delle spese di gestione e di liquidazione dei sinistri Facciamo ora riferimento ad un singolo contratto. Per ogni contratto potremo avere: • un numero aleatorio N di sinistri nell’anno, con N = 0,1,2…,nmax , anche se un numero alto di sinistri per uno stesso contratto è poco probabile • ciascun sinistro provoca un danno aleatorio nell’importo pari a Xj . Nei contratti assicurativi contro danni a cose di proprietà viene inoltre individuato anche un valore V del bene all’epoca del sinistro, che corrisponderà al massimo danno possibile che il sinistro potrà causare alla cosa. Sempre più spesso però si fa riferimento non tanto a V quanto a MPL, cioè il massimo danno probabile, cioè il massimo importo cagionabile dal sinistro con una certa probabilità positiva. Nelle assicurazioni di responsabilità civile invece non è possibile determinare un danno massimo possibile. Se il valore assicurato è inferiore rispetto al valore della cosa (cioè se V’ < V), avremo il caso della sottoassicurazione • a fronte di un danno Xj, l’assicuratore risarcirà un importo Yj che sarà funzione del danno (cioè Y j = φ (X j ) ). In ogni caso comunque il risarcimento non potrà superare l’ammontare del danno, ossia Y j ≤ X j La funzione di risarcimento φ è specificata nelle clausole contrattuali; questa funzione stabilisce l’ammontare del rimborso in funzione del danno e può variare a seconda dei sinistri già subiti in precedenza dal contratto. Vediamo alcuni esempi di funzioni di risarcimento: • risarcimento a valore intero (danni a cose di proprietà) o a garanzia illimitata (danni da responsabilità civile). L’assicuratore risarcirà tutto il danno causato dal sinistro, cioè Y j = X j . L’esposizione dell’assicuratore nel caso della responsabilità civile è potenzialmente infinito, per cui tale funzione di risarcimento non viene quasi mai usata 35

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•

risarcimento con aliquota di scoperto θ , con 0 < θ < 1 . In questo caso il risarcimento non è pari al danno, ma solo ad una sola quota. Infatti Y j = θX j . L’importo (1 − θ ) X j rimane a carico dell’assicurato. In caso di sottoassicurazione, si avrà che θ =

•

V' V

risarcimento a primo rischio assoluto (danni a cose di proprietà) o con massimale assoluto (responsabilità civile), che limita l’esposizione dell’assicuratore a Y j = min{X j ; M } . M rappresenta l’importo massimo a carico dell’assicuratore

•

risarcimento a primo rischio relativo (nel caso di assicurazione contro danni a cose di proprietà e in caso di sottoassicurazione), commisurato al valore V’ dichiarato se V ' ≥ V  min{X j , M } dall’assicurato. Il risarcimento sarà Y j =  se V ' < V min{θX j , M }

•

risarcimento con franchigia assoluta (deductible), in cui il risarcimento è dato da Y j = max{0, X j − f } . Se il danno subito dall’assicurato è inferiore alla franchigia, l’assicuratore non interviene. Se il danno è maggiore, l’assicuratore interviene per l’importo che supera la franchigia, che rimane sempre a carico dell’assicurato

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•

risarcimento con franchigia relativa, in cui l’assicuratore interviene solo se il danno supera la franchigia. L’assicurato risponde solo nel caso il danno risulti inferiore alla franchigia, 0 se X j ≤ f mentre non risponderà di niente se il danno è superiore. Quindi Y j =  se X j > f X j

La presenza di una franchigia limita l’esposizione dell’assicuratore, pertanto il premio dovrà tenere conto di questo minore rischio

Il premio equo Il premio definito come equo è dato dal valore atteso dell’esborso a carico dell’assicuratore. Facendo riferimento ad un singolo contratto monoannuale, possiamo avere il seguente esborso globale a carico dell’assicuratore, cioè S, a seconda del numero di sinistri osservati N: se N = 0 0   se N = 1 S = Y1 Y + Y + ... se N > 1 1 2

Il premio equo deve essere P = Ε[S ] . Tale valore atteso è calcolato utilizzando probabilità realistiche, ma vi sono problemi tecnici di calcolo, in quanto è necessario stimare il numero di sinistri, che è aleatorio. Lo stesso importo S è dato dai risarcimenti, che sono anch’essi valori aleatori. Ipotizziamo che vi possa essere al massimo un sinistro per contratto. Se tale sinistro si verifica, comporta un esborso per l’assicuratore noto e pari a y: se N = 0 0 S = se N = 1 y Il valore atteso, che è il premio equo, è dato da Ε[S ] = P = y ⋅ Ρ[N = 1]. Il valore del risarcimento può anche essere aleatorio e non noto. In questo caso: 0 se N = 0 S = se N = 1 Y

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni contro i danni - Wang Mingjie - 王明杰 L’assicuratore, in quanto il risarcimento non è noto, dovrà anche assegnare una probabilità che si verifichi il sinistro e l’ammontare atteso del risarcimento. Il valore atteso e il premio equo sarà P = Ε[S ] = Ε[Y ]⋅ Ρ[N = 1] . In generale, per qualunque numero n di sinistri, se gli importi Y1, Y2,…,Yn dei risarcimenti hanno distribuzione uguale e indipendente, si ha che Ε[S ] = Ε[Y ]⋅ Ε[N ] , cioè il valore atteso del risarcimento globale è pari al risarcimento atteso per il numero atteso di sinistri. Questo è vero se si ipotizza Nj e Yj indipendenti con distribuzione uguale. Inoltre è bene osservare che è difficile che tutti i sinistri abbiamo lo stesso importo in termini di danni causati, poiché è più probabile che i sinistri successivi provochino danni via via inferiori.

Base tecnica per il calcolo del premio equo Per base tecnica si intendono tutti i dati numerici utilizzati per calcolare il premio equo. L’assicuratore deve scegliere stimare determinati parametri, come il numero atteso di sinistri e il risarcimento atteso per sinistro. Questi dati vengono stimati a partire dalle osservazioni statistiche fatte su una data collettività e derivano quindi dall’esperienza nel portafoglio in un dato periodo. Gli indici utilizzati per calcolare il premio sono: risarcimento _ complessivo • la quota danni, , che ci evidenza il risarcimento medio per numero _ contratti ciascun contratto e può essere impiegato per calcolare il valore atteso di S risarcimento _ complessivo • il risarcimento medio per sinistro, , cioè il risarcimento medio numero _ sin istri per ciascun sinistro occorso e può essere impiegato per esprimere il valore di Ε[Y ] numero _ sin istri • indice di sinistrosità, , che ci dice quanti contratti denunciano sinistri e numero _ contratti può essere impiegato per stimare Ε[N ] Possiamo quindi dedurre che Ε[S ] = Ε[Y ]⋅ Ε[N ] è uguale a “quota danni = risarcimento medio per sinistro x indice di sinistrosità”, cioè risarcimento _ complessivo risarcimento _ complessivo numero _ sin istri = ⋅ numero _ contratti numero _ sin istri numero _ contratti Indici che possono essere impiegati per la verifica empirica delle semplificazioni adottate per il calcolo viste sopra sono numero _ sin istri • indice di ripetibilità, , che se pari a 1 indica che ciascun sinistro è n _ contratti _ sin istrati stato denunciato da un contratto diverso (quindi i contratti sono indipendenti). Più elevato è l’indice, più elevata sarà la concentrazione di sinistri n _ contratti _ sin istrati • frequenza di almeno un sinistro, , che indica la concentrazione dei numero _ contratti sinistri sui contratti L’indice di sinistrosità è dato dal prodotto tra l’indice di ripetibilità con l’indice di frequenza di almeno un sinistro. Altri indici per il calcolo del premio, facendo riferimento a portafogli con esposizioni omogenee, sono:

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni contro i danni - Wang Mingjie - 王明杰 risarcimento _ complessivo , che indica il risarcimento medio per esposizione _ complessiva unità monetaria di esposizione risarcimento _ medio _ per _ sin istro • grado medio di danno (o di risarcimento), , che indica esposizione _ media _ per _ sin istro l’intensità media del danno derivante da un sinistro Il tasso di premio statistico è dato anche dal prodotto tra il grado medio di danno e l’indice di sinistrosità: ris _ com ris _ medio _ per _ sin n _ sin istri = ⋅ esp _ com esp _ media _ per _ sin n _ contratti •

tasso di premio statistico,

Il premio puro Il premio puro è costituito dal premio equo al quale viene aggiunto il caricamento di sicurezza. Nelle assicurazioni contro danni, il caricamento di sicurezza viene calcolato in maniera esplicita, in quanto nel principio di calcolo del premio è presente un parametro che indica la maggiorazione del premio equo dovuto al caricamento di sicurezza. Alcuni esempi di calcolo del premio puro sono: • principio di calcolo del valore atteso Π = (1 + α ) ⋅ Ε[S ] dove α > 0 e rappresenta il caricamento di sicurezza come una quota del valore atteso • principio di calcolo della varianza Π = Ε[S ] + λVar [S ] dove λ > 0 e λVar [S ] rappresenta il caricamento di sicurezza, proporzionale alla misura di volatilità del risarcimento (espresso dalla varianza), da aggiungere al premio equo • principio di calcolo dello scostamento quadratico medio Π = Ε[S ] + βσ [S ] dove β > 0 e βσ [S ] rappresenta il caricamento di sicurezza, proporzionale alla misura di volatilità del risarcimento (espresso dallo scarto quadratico medio), da aggiungere al premio equo • principio di calcolo del percentile Π t.c. Ρ[S > Π ] = ε che utilizza una regola del tipo VaR per calcolare i premi da cedere nei contratti riassicurativi. Tale principio prevede di calcolare il premio accettando una probabilità pari a ε che il rimborso superi il premio puro raccolto

Il premio di tariffa Se si aggiungono i caricamenti per le spese al premio puro, si ottiene il premio di tariffa. L’assicuratore può imputare al contratto una serie di caricamenti per le spese gestionali come le spese di acquisizione e incasso premi (gli importi possono essere maggiori, uguali o minori delle somme effettivamente sostenute) e le spese amministrative (che solitamente sono imputate per un importo forfetario). Le spese possono essere imputate per un importo fisso oppure proporzionalmente al premio o al numero atteso di sinistri. La formula per il premio di tariffa diventa: 1 , con 0 < e < 1 Π T = Π + eΠ T ⇒ Π T = Π 1− e 39

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Analisi dell’esperienza di un sinistro Vediamo ora un esempio di come analizzare alcuni dati sui risultati di un portafoglio di coperture contro danni, cercando di trarre utili informazioni sui risultati conseguiti. 1° livello I dati sulla claim ratio:

risarcimenti _ complessivi . Se > 1, si ha utile, se < 1, si premi

ha perdita. Vediamo che nel corso degli anni la claim ratio ha subito molte variazioni. La volatilità è dovuta all’ammontare dei premi raccolti e dei risarcimenti pagati.

2° livello Osserviamo ora i dati sui premi raccolti e sui risarcimenti pagati. I premi, nel corso degli anni, sono stati in continuo aumento. Ciò può indicare un maggior numero di contratti stipulati o un maggior premio pagato dagli assicurati. I risarcimenti invece sono stati crescenti tranne nel primo anno. Si può sospettare che il primo anno sia stato un anno particolare in cui è avvenuto un evento eccezionale

3° livello

Infatti vediamo che il primo anno vi è stato un evento eccezionale che ha comportato un risarcimento effettivo sopra quello atteso.

4° livello

Facciamo il confronto tra i dati sui risarcimenti e valori assicurati, trascurando i sinistri eccezionali. Notiamo che nel terzo anno l’ammontare del valore assicurato è diminuito, ma al contempo si è assistito ad un aumento del tasso di premio (premi / valore assicurato) e al rapporto risarcimenti / valore assicurato. Questo indica un aumento della sinistrosità causato dall’entrata di nuovi contratti all’interno del portafoglio.

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni contro i danni - Wang Mingjie - 王明杰 5° livello

Al quinto livello di analisi vediamo i dati riguardo la frequenza di sinistro e il risarcimento medio per contratto, che sono in continuo aumento. Dagli altri dati si può osservare come il portafoglio stia diventando via via più rischioso e in futuro ci si può aspettare un decremento degli utili.

Experience rating Qualunque sia il metodo di calcolo utilizzato per calcolare il premio, è necessario integrarlo con l’effettiva esperienza di sinistrosità del portafoglio dei contratti. Si parla più precisamente di: • experience rating collettivo, quando si vuole valutare il premio per nuovi prodotti utilizzando la base statistica e l’esperienza di altri assicuratori • experience rating individuale, quando si vuole personalizzare il premio relativo a ciascun contratto osservano la specifica storia del contratto (è ad esempio il caso bonus – malus nei contratti RCAuto) Di regola quindi al momento della stipulazione del contratto, cioè al primo anno, il premio Π viene calcolato con un assegnato principio. Nell’anno k il premio sarà Π k = Π ⋅ γ k , dove γ k è un fattore che corregge il premio a seconda della storia del contratto (cioè lo aumenterà nel caso il contratto denunci sinistri nei precedenti k − 1 anni, lo diminuirà in caso contrario).

La gestione del premio, le riserve tecniche e l’utile Prendiamo a riferimento un portafoglio di contratti annuali, analoghi. Siano: • Π T il totale dei premi di tariffa incassati all’epoca 0 • αΠ T le spese di acquisizione e incasso dei premi all’epoca 0 • β Π T le spese di gestione totali nell’anno. Le spese di gestione si ipotizzano sostenute progressivamente nell’anno, in modo uniforme e continuo, tale che l’importo sostenuto fino all’epoca t (interno all’anno) sia pari a β Π T t , con 0 < t < 1 • S (t ) i risarcimenti pagati fino all’epoca t • trascurabili gli aspetti finanziari Avremo dunque Π T = Π + αΠ T + β Π T . Il premio al netto delle spese sostenute fino a t è pari a Π (t ) = Π T (1 − α − β t ) . Graficamente: Il premio puro in 0, Π (0 ) , è ovviamente inferiore al premio di tariffa incassato Π T . Con il passare del tempo t vediamo che la semiretta Π (t ) diminuisce con l’aumentare delle spese Π T (α + β t ) . Quindi Π (t ) = Π T (1 − α − β t ) 41

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Gli asset disponibili al momento t saranno pari a A(t ) = Π (t ) − S (t ) . Se ipotizziamo che i risarcimenti siano uniformemente distribuiti nell’anno, avremo un andamento simile a quello indicato nel grafico. Se alla fine dell’anno l’asset disponibile è maggiore di 0, l’assicuratore consegue utile: A(1) > 0 utile

Nel grafico vediamo l’andamento crescente dei risarcimenti se ipotizziamo che siano uniformemente distribuiti nell’anno. S (1) indicherà i risarcimenti pagati alla fine dell’anno

Se i risarcimenti non sono uniformemente distribuiti nell’anno, ma variamente distribuiti, possiamo ipotizzare un andamento simile a quello indicato nei grafici Gli asset A(t ) non sono liberamente utilizzabili dall’assicuratore, poiché devono essere utilizzati per far fronte: • al sostenimento delle spese nel periodo [t ,1] • ai risarcimenti nel periodo [t ,1] Una parte degli asset inoltre deve essere vincolata alla costituzione di alcune voci tra le passività, cioè le riserve tecniche: • riserva sinistri RS (t ) , in cui accantonare le risorse necessarie per far fronte ai sinistri già denunciati ma non ancora liquidati

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riserva premi RΠ (t ) , in cui accantonare le risorse necessarie per far fronte ai sinistri che potrebbero essere denunciati in futuro. La riserva premi viene calcolata in modo forfetario in funzione del tempo a scadenza, ad esempio RΠ (t ) = Π (0)(1 − t )

•

riserva IBNR (incurred but not reported), in cui accantonare le riserve necessarie per far fronte ai sinistri accaduti nel periodo assicurato ma non ancora denunciati a fine anno riserva IBNER (incurred but not enough reported) ecc...

•

Il calcolo delle riserve ci è utile poi per determinare l’utile di competenza del periodo, al netto di tutti i costi di competenza. L’utile sarà quindi pari a G (t ) = A(t ) − RΠ (t ) − RS (t ) .

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni sulla durata di vita - Wang Mingjie - 王明杰 -

Premi, riserve e utili per assicurazioni sulla durata di vita Un contratto di assicurazione sulla durata di vita ha per oggetto il pagamento di somme prefissate o determinabili in modo prefissato (secondo le clausole contrattuali) al verificarsi di eventi relativi alla sopravvivenza (quindi durata di vita) di uno o più individui. Il contratto di assicurazione viene stipulato dietro pagamento di un premio di assicurazione, da pagare in un’unica soluzione (premio unico) o rateizzato (premio periodico). I soggetti di un contratto assicurativo sulla durata di vita sono, oltre all’assicuratore: • l’assicurato, sulla cui durata di vita (aleatoria) si riferiscono gli eventi oggetto di assicurazione • il contraente, che paga il premio e stipula il contratto • il beneficiario, che è colui che riceverà la prestazione erogata dall’assicuratore L’assicurato, il contraente e il beneficiario possono essere la stessa persona. Le assicurazioni sulla durata di vita si distinguono in 3 categorie principali: • assicurazioni in caso di vista, che vengono stipulate per avere una disponibilità finanziaria differita in un prossimo futuro (sono ad esempio di questo tipo le assicurazioni contratte per acquisire una pensione). Il beneficio ricevuto è sotto forma di capitale in un’unica soluzione oppure una serie di rendite • assicurazioni in caso morte, che vengono stipulate per coprire il rischio di una morte prematura e le relative conseguenze finanziarie. Il beneficio ricevuto è spesso sotto forma di capitale in un’unica soluzione ma talvolta anche sotto forma di rendita • assicurazioni miste, che rappresentano delle combinazioni delle due tipologie viste sopra e che prevedono l’erogazione in un capitale. Il pagamento è certo ma non si conosce l’epoca in cui essa avverrà

Valutazioni a fini di pricing, riserva e utile Ai fini del pricing si utilizzano i valori attuariali, cioè i valori attuali attesi, secondo il principio “esborso atteso = introito premio”. Inoltre, viste le caratteristiche del contratto, è necessario tenere conto del differimento temporale tra l’incasso del premio e l’erogazione del beneficio: a tal fine l’assicuratore deve disporre di una opportuna struttura dei tassi di interesse. Altri parametri riguardano l’incertezza del contratto assicurativo: questi parametri sono variabili aleatorie che denotino appunto l’incertezza e possono essere ad esempio indici di tipo demografico e finanziario. Infine, si fissano per convenzione: • prestazioni e controprestazioni (premi) su base annua • una struttura finanziaria deterministica • un modello demografico discreto (quindi non continuo), con età e durate intere La base tecnica su cui calcolare il premio equo è caratterizzato da due aspetti: • un aspetto demografico. Le assicurazioni vita devono stimare la sopravvivenza degli assicurati e ciò può essere fatta tramite opportune tabelle o tavole di sopravvivenza • un aspetto finanziario. Nelle assicurazioni contro danni l’aspetto finanziario è trascurabile, mentre invece è importante nelle assicurazioni vita. L’assicuratore necessita della struttura dei tassi di interesse La notazione che viene usata per la base tecnica è la seguente: 44

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(i, q ) , dove i è il tasso (costante) di interesse, mentre q è la tavola delle probabilità qx

1 è il fattore annuo di attualizzazione 1+ i I parametri della base tecnica vengono scelti a seconda dell’obiettivo che si vuole raggiungere con la valutazione e quindi cambia a seconda volessimo calcolare i premi, gli utili attesi ecc…

•

Il principio di equità nelle assicurazioni vita per il calcolo del premio (puro, in quanto l’equità è solo formale e il caricamento di sicurezza è implicito nel calcolo) è il seguente: premio unico = valore attuale atteso delle prestazioni valore attuale atteso premi annui = premio unico

Gli aspetti demografici L’assicuratore operante nel ramo vita è interessato a conoscere la sopravvivenza e la durata di vita stimata per le persone. Egli potrà ricorrere alle tavole di sopravvivenza o di mortalità per quantificare la durata di vita dell’assicurato (che è aleatoria). Ecco un esempio di tavola:

x è età dell’individuo l x è numero di superstiti ad età x tra gli l0 iniziali d x = l x − l x +1 è il numero di decessi tra l’età x e x + 1 q x è la probabilità di decesso entro 1 anno per una persona di età x w è l’età estrema (nell’esempio pari a 109) I decessi all’età x saranno pari a d x = l x ⋅ q x

Una tavola di sopravvivenza si costruisce nel seguente modo: 1. si fa un rilevamento statistico della sequenza dei superstiti per ciascuna età, cioè l0 , l1 ,..., l x ,..., lw . L’osservazione è di tipo “longitudinale” e sono necessari w anni Sono quindi tavole generazionali, che forniscono i dati di sopravvivenza di una data generazione 2. si fa un rilevamento statistico delle probabilità di decesso entro 1 anno per ciascuna età, cioè q0 , q1 ,..., q x ,..., qw . L’osservazione è di tipo “trasversale” e ci forniscono, in un dato anno, le probabilità di decesso. Per stime più affidabili è bene utilizzare un orizzonte temporale di 2 – 3 anni. La tavola è chiamata “tavola dei contemporanei” in quanto non si utilizzano dati relativi ad una data generazione, bensì dati relativi alle persone di tutte le età; si calcolano quindi le probabilità di decesso per ciascuna età e le si assumono stabili nel tempo (tale ipotesi è accettabile per intervalli non molto ampi di età) 3. si costruisce la tavola {l x }x =0,1,...,w , con lx che indica il numero atteso di persone in vita con età x in una generazione (virtuale) di iniziali l0 individui. Si pone per esempio l0 = 100 000 come radice della tavola e si procede a calcolare i successivi valori nel seguente modo: l x +1 = l x (1 − q x ) , con x = 0,1,…,w – 1.

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni sulla durata di vita - Wang Mingjie - 王明杰 Ecco degli esempi di tavole: Tavola di sopravvivenza

{l x } , 2002

Questa tavola ci indica il numero di superstiti all’età x, cioè lx. La tavola è bloccata ad età 110 anni, l’età estrema è 109 anni (w=109). L’asse delle ascisse evidenzia il numero di persone vive (su base iniziale di 100 000) ad ogni età. Le donne hanno una curva più spostata a destra perché vivono più a lungo Curve dei decessi

{d x } , 2002

La tavola indica il numero di decessi per ogni età. Vediamo che la mortalità maschile è più elevata rispetto a quella femminile intorno ai 18 – 30 anni e verso i 50 anni. L’età in cui si concentra la maggior parte dei decessi è 86 anni per gli uomini e 88 anni per le donne (tali punti sono detti punti di Lewis)

Tassi di mortalità

{qx }, 2002

Il grafico mostra le probabilità che ciascuna persona di età x deceda entro 1 anno. Le curve, sia quella dei maschi che quella delle femmine, è crescente con l’aumentare dell’età x considerata Tavole di sopravvivenza {l x }, vari anni Queste curve mostrano come i tassi di sopravvivenza non siano statici, ma dinamici. Con il passare del tempo, grazie alle innovazioni in campo medico e alle migliori condizioni di vita, il numero di persone che raggiungono età elevate è aumentata Curva dei decessi

{d x } , vari anni

Queste curve mostrano che il miglioramento delle aspettative di vita ha portato ad una maggiore mortalità e quindi un maggior numero di decessi alle età più avanzate, soprattutto se confrontate alle curve delle generazioni più vecchie

Tassi di mortalità

{qx }, vari anni

Cosi come i tassi di sopravvivenza, anche i tassi di mortalità sono cambiati nel corso del tempo. Ora si può assistere ad una maggiore mortalità alle età più lontane, dovuto proprio ad un miglioramento delle aspettative di vita

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni sulla durata di vita - Wang Mingjie - 王明杰 L’assicuratore è interessato anche alla possibile evoluzione della mortalità; infatti le aspettative di vita migliorano e si assiste ad uno spostamento in avanti dell’età di massima mortalità ad età anziane e della vita estrema, ossia ad un’espansione della curva {l x }. Il punto di Lewis, cioè il punto in cui si concentra il massimo numero di decessi, si porta sempre più avanti. Inoltre vi è una riduzione dei tassi di mortalità. A partire dalla tavola {l x } si ricavano tutte le altre probabilità, riferite sempre ad una persona in vita ad età x. Ricordando che si opera nel discreto, ossia con età e durate intere, avremo che la probabilità: l • di essere in vita ad età x+1 è p x = 1 − q x = x +1 . Il tasso di sopravvivenza nell’anno lx successivo è pari al complemento ad 1 del tasso di mortalità {q x } l • di essere in vita ad età x+h è h p x = p x p x +1... p x + h −1 = x + h , con 0 p x = 1 e 1 p x = p x lx l −l l −l d • di decesso entro l’età x+h è h q x = 1− h p x = x x + h , con 0 q x = 0 e 1 q x = q x = x x +1 = x lx lx lx (tasso di mortalità) l −l d • di decesso tra le età x+h e x+h+1 è h /1 q x = x + h x + h +1 = x + h lx lx Da queste probabilità possiamo costruire un modello probabilistico (discreto) per la durata aleatoria di vita. Indicheremo con Tx la durata aleatoria di vista residua per una persona di età x (con Tx + x età del decesso), cioè gli anni che ancora saranno vissuti a partire dall’età x; ovviamente le prospettive di durata di vita di una persona di 60 anni sono ben diverse, in media, di quelle di una persona di 20 anni. Alcuni esempi di probabilità relative a Tx sono: Ρ[Tx > h ]= h p x ; Ρ[Tx ≤ h ]= h q x ; Ρ[h < Tx ≤ h + 1]= h /1 q x

Eterogeneità nelle popolazioni Ovviamente, all’interno di una popolazione, è difficile riscontrare le stesse probabilità di sopravvivenza per tutti gli individui. Infatti vi è una certa eterogeneità negli individui che compongono la popolazione e le aspettative di vita cambiano a seconda delle proprie caratteristiche. Il grafico mostra tre curve: • la ELT, che indica i tassi di mortalità osservati in Inghilterra e Galles • la TM, che indica la mortalità per le assicurazioni temporanea caso morte • la IM, che indica la mortalità per le assicurazioni rendita immediata Si osserva che la curva ELT ha una mortalità più elevata della TM e della IM. Ciò viene spiegato dal fatto che la prima curva include i tassi di mortalità per tutta la popolazione (sia quelli in buona salute che quelli in cattiva salute), mentre le altre due includono i tassi di mortalità del portafoglio assicurativo (il che vuol dire che vi è una selezione degli assicurati). 47

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni sulla durata di vita - Wang Mingjie - 王明杰 Nelle assicurazioni caso morte si fa riferimento alla mortalità espressa dalla curva TM; se una persona ha un profilo di mortalità peggiore rispetto a quello disegnato dalla curva (che indicherà una mortalità normale), l’assicuratore richiederà un premio più alto, proprio in ragione del maggior rischio di dover erogare il beneficio in caso di morte dell’assicurato. Nelle assicurazioni che prevedono una rendita in caso di sopravvivenza le cose cambiano un po’: l’individuo che intende assicurarsi per ottenere una certa rendita nel futuro sa di essere in buone condizioni di salute e quindi ha una maggiore probabilità di sopravvivere. La curva di mortalità per questi portafogli sarà quindi intermedia (IM) tra la mortalità della popolazione e la mortalità dei portafogli assicurativi caso morte. In questo caso la selezione non la fa l’assicuratore ma si assiste ad un’auto - selezione da parte degli assicurati: quelli che sono in cattivo stato di salute non avranno nessun incentivo a stipulare un contratto assicurativo caso vita. All’interno di una popolazione vi sono diversi fattori di eterogeneità, che non fanno altro che aumentare il rischio nelle assicurazioni vita. Questi fattori di eterogeneità sono quindi visti come fattori di rischio e possono essere classificati in: • fattori “normali” come età e sesso • fattori “biologici” di natura fisiologica o patologica, legati alle abitudini degli individui • fattori “occupazionali”, legati a determinate professioni o attività svolte • fattori “ambientali”, legati alle condizioni dell’ambiente in cui si vive (contesto socio – economico, caratteristiche climatiche ecc…) Tutti questi fattori di rischio vengono ricondotte a specifiche classi di rischio, che diventano i criteri con i quali si determinano le classi di premio da utilizzare per la determinazione del premio. Tali classi di rischio comprendono età, sesso, stato di salute, professione, abitudini alimentari ecc… Ciascun potenziale assicurato viene quindi valutato a seconda di questi fattori di rischio; una volta fatta la valutazione, l’assicuratore collocherà l’assicurato in una determinata classe di premio, a seconda se il rischio derivante sia: • un rischio normale, cioè non è ravvisabile un significativo livello di aggravamento del rischio di mortalità dovuto a stato di salute o a rischi professionali • un rischio aggravato (o tarato), in cui si ravvisa un significativo aggravamento del rischio di mortalità che porta all’adozione di probabilità di decesso più elevate rispetto allo standard In riferimento alle assicurazioni che prevedono una rendita a scadenza se l’assicurato risulta ancora in vita, è necessario che l’assicuratore utilizzi delle tavole di mortalità proiettate nel futuro. Infatti i tassi di mortalità e di sopravvivenza non sono statici, bensì dinamici, per cui si sta assistendo ad un aumento della vita attesa sia alla nascita sia ad età avanzate; la curva {l x } si sta espandendo verso destra e vi è una rettangolarizzazione della stessa curva presso il punto di Lewis. Gli individui vivono di più, le probabilità di sopravvivenza fino ad una certa età avanzata sono aumentate e le probabilità di decesso diminuite. L’assicuratore non può valutare le probabilità future di decesso con le tavole di sopravvivenza attuali e quindi deve costruire tavole prospettiche che includano delle previsioni sui trend futuri di mortalità.

Il premio unico puro Il principio di calcolo del premio puro prende in considerazione il valore attuariale delle prestazioni (spese escluse) che l’assicuratore si impegna ad erogare; i valori sono riferiti alla data di stipulazione del contratto. Si farà inoltre riferimento a forme assicurative a prestazione prestabilita. Il metodo di calcolo prevede modifiche a seconda del tipo di assicurazione: 48

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assicurazione di capitale differito (non controassicurato), che prevede la prestazione di un capitale S all’epoca prefissata n se l’assicurato (di età iniziale x) risulta in vita. Il valore attuale è aleatorio e potrà avere le seguenti determinazioni se Tx > n (in vita dopo n anni) Sv n Y = se Tx < n (decesso prima della scadenza)  0 Il valore del premio unico U deve essere pari al valore atteso di Y, cioè U = Ε[Y ] Un portafoglio di lx contratti omogenei, emessi all’epoca 0, di cui lx+n previsti in vita a l scadenza, sarà in equilibrio se l xU = l x + n Sv n ⇒ U = Sv n x + n = Sv n n p x . lx Se annotiamo v n n p x = n E x , avremo che il premio unico è pari a U = S nE x . Il simbolo E indica “pure endowment” (capitale differito). L’assicurazione di capitale differito senza controassicurazione non è una forma assicurativa molto diffusa, in quanto la prestazione avviene solo in caso l’assicurato risulti in vita a scadenza. Per questo motivo molto più diffuse sono le forme assicurative di capitale differito con controassicurazione, che prevede la restituzione del premio in caso di decesso prima della scadenza n. Alcuni esempi

Capitale differito S = 1 000 Base tecnica (0.03, qSIM92)

Capitale certo S = 1 000

Capitale differito assicurato

Il tasso di interesse ρ x tale che (1 + ρ x ) = (1 + i ) 10 p x =10 E x , è definito come il tasso “equivalente”, comprensivo degli “interessi da mortalità”. −10

•

−10

Tassi equivalenti

rendite vitalizie anticipate o rendita illimitata (pensione), che prevede il pagamento di una rata prefissata R all’inizio di ogni anno, fino a che l’assicurato è in vita. Ponendo R = 1, il valore attuale aleatorio è Y = v 0 + v1 + ... + v K x = a&&K x +1 , dove Kx è il numero di anni trascorsi dal momento della valutazione e il decesso. Ogni rata viene scontata e moltiplicata per la probabilità di pagamento Il valore attuariale è Ε[Y ] = Ε a&&K x +1 = 0 E x +1 E x + ...+ h E x + ..

[

]

a&&x

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Premi, riserve e utili per assicurazioni sulla durata di vita - Wang Mingjie - 王明杰 Una rendita non è altro che la somma di una serie di capitali differiti; indicheremo con a l’annuity, cioè la rendita. o rendita temporanea, che prevede il pagamento della rata all’inizio di ciascun anno, per un massimo di m anni e finché l’assicurato è in vita. Il valore attuariale di una rendita di questo tipo è a&&x:m ] = 0 E x +1 E x + ...+ m−1 E x . L’ultima rendita verrà pagata all’epoca m – 1, mentre il contratto si chiude in m • rendite illimitate posticipate, il cui meccanismo è uguale a quello delle rendite illimitate anticipate con l’unica differenza che le rate vengono pagate a fine anno. Di conseguenza, il valore attuariale è pari a a x = a&&x − 1 , dove 1 è il valore della prima rata che nella rendita anticipata viene pagata in t = 0 • assicurazione temporanea caso morte, che prevede l’erogazione di un capitale C alla fine dell’anno di decesso dell’assicurato, se avviene entro la durata contrattuale, cioè all’epoca n. Il valore attuale aleatorio è dato dalla variabile aleatoria Y con le seguenti determinazioni: se decesso nel primo anno: Tx < 1 Cv1  2 se decesso nel secondo anno: Tx < 2 Cv Y =  ... Cv n se decesso nell’ultimo anno: n – 1 <Tx < n  se l’assicurato risulta ancora in vita a scadenza  0 Il premio unico è pari al valore atteso, U = Ε[Y ] . Un portafoglio di lx contratti omogenei, emessi all’epoca 0, sarà in equilibrio se l xU = d x Cv1 + d x +1Cv 2 + ... + d x + n−1Cv n d d d di conseguenza, U = x Cv1 + x +1 Cv 2 + ... + x + n−1 Cv n lx lx lx ⇒ U = q x Cv1 +1/1q x Cv 2 + ...+ n −1/ n q x Cv n

Come notazione, porremo che n Ax = vq x + v 2 1/1 q x + ... + v n n−1/ n q x , e A assurance (assicurazione caso morte) Più realisticamente, il pagamento del capitale avviene a metà anno di decesso, per cui A x = (1+ i )2 n Ax . L’assicurazione caso morte è molto diffusa e ha una durata di 5 – 10 anni; viene usata soprattutto a supporto di mutui, con capitale assicurato decrescente, pari al debito residuo) e per capitali elevati viene fatto un accertamento sanitario • assicurazione “a vita intera” tradizionale, che prevede l’erogazione di un capitale C prefissato alla fine dell’anno di decesso dell’assicurato. A differenza della temporanea caso morte, in questa forma assicurativa non è prevista una scadenza entro cui deve decedere l’assicurato per ricevere la prestazione. La probabilità di ricevere la prestazione è 1 ma è aleatoria l’epoca in cui essa avverrà. Il premio unico puro sarà U = Cvq x + Cv 2 2 /1 q x + ... e la notazione che useremo è 1

Ax = q x + v 2 2 /1 q x + ... Più realisticamente, ai fini di pricing viene ipotizzato un pagamento a metà anno del

decesso: A x = (1+ i )2 Ax . L’assicurazione a “vita intera” viene usata come una forma assicurativa “ereditaria” ed è prevista l’opzione di riscattare il capitale 1

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assicurazione di capitale differito controassicurato, che prevede l’erogazione di un capitale differito se alla scadenza l’assicurato è ancora in vita oppure la restituzione del premio se l’assicurato decede prima della scadenza. Il premio unico sarà dato da U = S nE x +U nAx , che combina il beneficio ricevuto se in vita

( S nE x ) e il beneficio ricevuto se deceduto ( U nAx ) Le ultime due forme assicurative sono dette assicurazioni miste, il cui obiettivo è la certezza della prestazione. Queste assicurazioni infatti combinano una prestazione in caso di vita e un’altra in caso di morte, in modo da avere la possibilità di ricevere diversi capitali nel caso l’assicurato rimanga in vita a scadenza o nel caso deceda prematuramente. L’assicurato può quindi ricorrere alle forme assicurative miste per coprirsi dai rischi (di premorienza) e per formare un capitale a scadenza. Un’assicurazione mista di tipo ordinario prevede quindi la combinazione di un captale differito ed una temporanea caso morte con uguale capitale assicurato S ed uguale scadenza n. L’assicuratore pagherà prima della scadenza n in caso di premorienza dell’assicurato oppure alla scadenza n erogherà il capitale promesso. Il valore attuariale sarà Ε[Y ] = S ( n Ax + n E x ) = S ⋅ Ax ,n ] . L’assicurazione mista è anche come un’assicurazione con prestazione certa in n con “beneficio di anticipazione” in caso di premorienza (entro n – 1); avremo quindi Ε[Y ] = Sv n + S n −1Ax . Più realisticamente, si può assumere che il pagamento avviene in media a metà anno di decesso: A x ,n ] = n A x + n E x . La base tecnica che viene scelta per calcolare il premio deve includere anche il caricamento di sicurezza e non può essere modificata nel corso del contratto, e non a fini interni. Il tasso tecnico i utilizzato per attualizzare i valori è inferiore al tasso privo di rischio di medio – lungo periodo. I dati sulla mortalità devono essere scelti a seconda della forma assicurativa: • temporanea caso morte: q > q* tavola di popolazione • capitale differito (non controassicurato): p > p* q < q* • mista: q > q* tavola di popolazione • vita intera tradizionale: q > q* tavola di popolazione • capitale differito controassicurato: converrebbe che q > q*, ma la mortalità non è molto rilevante e si utilizzano comunque tavole recenti di popolazione • rendita: p > p*, se su orizzonte in cui la mortalità può cambiare si utilizzano le tavole proiettate

Valori attuariali Per valore attuariale si intende il valore attuale atteso dei flussi futuri derivanti dai benefici pagati e premi incassati. All’epoca 0: • n E x = v n n p x , è il valore attuariale di 1 euro pagato all’epoca n se l’assicurato, di età x, risulta ancora in vita • n Ax = vq x + v 2 1/1 q x + ... + v n n −1/1 q x , è il valore attuariale di 1 euro pagato alla fine dell’anno di decesso, se questo avviene entro l’epoca n, per un assicurato oggi di età x Nelle epoche successive: 51

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la valutazione delle prestazioni relative ala durata residua del contratto avviene all’epoca (intera, in quanto operiamo nel discreto) t o il tempo t è detto antidurata del contratto o si ipotizza che l’assicurato sia in vita all’epoca t e abbia un’età pari a x + t. Le probabilità diventano quindi qx+t, hpx+t ecc… o i valori attuariali diventano n −t E x + t = v n − t n −t p x + t

n −t

Ax + t =v1 q x + t + ... + v n −t n −t −1/1 q x +t

I premi periodici Nel caso di un’assicurazione temporanea caso morte, con n = 5 e capitale C = 1, il premio è pari al valore atteso del valore attuale aleatorio della prestazione: se Tx < 1 v v 2 se 1 ≤ Tx < 2  Y =  ... v 5 se 4 ≤ Tx < 5  se in vita alla scadenza n = 5  0

Il premio unico è quindi U = Ε[Y ]= 5 Ax . Passiamo al caso di rateizzazione dell’importo del premio in due rate, l’assicurato pagherà un premio P’ all’epoca 0 e un altro premio P’’ (che terrà conto degli interessi in quanto è un premio differito) all’epoca 1, se risulterà in vita. Entra quindi in gioco un altro fattore aleatorio, ossia il pagamento o meno del secondo premio. Poiché si rateizza il premio, deve essere P’ + P’’ > U. Il valore attuale aleatorio dei premi sarà:

 P' ' v se Tx > 1 X = P'+   0 se in vita dopo 1 Il valore attuariale dei premi sarà Ε[ X ] = P '+ P' 'v1 p x = P'+ P''1 E x . (La probabilità di incassare P’ è 1, mentre l’incasso di P’’ dipende dalla sopravvivenza dell’assicurato). Secondo il principio di equità, il valore attuariale dei premi deve essere uguale al valore attuariale delle prestazioni, per cui Ε[ X ] = Ε[Y ] , cioè P'+ P''1 E x = 5 Ax . Questa equazione ha infinite soluzioni per P’ e P’’; consideriamo le soluzioni estreme, cioè: • P'= 5 Ax P' ' = 0 A • P' = 0 P' ' = 5 x 1 Ex La prima soluzione è ammissibile e corrisponde al premio puro pagato in un’unica soluzione; la seconda soluzione invece non è ammissibile, in quanto l’assicurato potrebbe stipulare il contratto pagando 0 il premio iniziale P’ e poi abbandonare il contratto prima di pagare P’’, godendo così di 1 anno di copertura gratuita e senza contribuire alla mutualità del portafoglio. Inoltre P’ deve essere maggiore o almeno uguale al costo atteso (valore attuariale) della prestazione del primo anno, in quanto deve coprire l’effetto mutualità che non ci sarebbe in caso di ipotetico abbandono da parte dell’assicurato. L’abbandono dell’assicurato al termine del secondo anno infatti comprometterebbe l’equilibrio di portafoglio nel caso non gli si facesse pagare un premio maggiorato che tenga conto di questo. I costi attesi all’inizio di ciascun anno, se l’assicurato è in vita, sono 52

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al primo anno: vq x

• •

al secondo anno: vq x +1 …

Ipotizziamo un’ulteriore rateizzazione dei premi in P0, P1,…,P4 pagabili alle epoche 0, 1, …,4 (sono quindi premi anticipati), con Ph = vq x + h e h = 0,1,…,4. vq x + h rappresenta il costo annuo atteso con base tecnica di primo ordine. Questi premi, detti premi naturali, permettono che non vi siano crediti o debiti alle epoche 1,2,3 e 4. Usualmente, poiché q x < q x +1 < ... , per cui i premi rateizzati sono crescenti. Se vogliamo rateizzare il premio unico in premi costanti P pagabili alle epoche 0,1,…,4 dobbiamo porre l’equazione che rispetti il principio di equità, ossia P + Pv1 p x + ... + Pv 4 4 p x = 5 Ax . Quindi Pa&&x:5] = 5 Ax . Il risultato quindi che otteniamo è che il premio costante annuo pagabile per tutta la durata contrattuale è pari alla media aritmetica ponderata dei costi annui attesi. Confrontiamo i premi annui costanti con i premi naturali: I premi naturali crescono con il tempo in quanto crescono anche i costi annui attesi (rispecchiano l’aumento dei tassi di mortalità nel tempo). I premi annui costanti saranno maggiori dei premi naturali nei primi anni e inferiore negli ultimi anni del contratto. La differenza nei primi anni va a costituire la riserva dell’assicuratore, che dovrà coprire in futuro la porzione dei costi annui attesi che non saranno coperti dai premi incassati Con i premi annui costanti pagabili per m anni per un contratto con durata n (tale che m ≤ n ), si ha U quindi che P = a&&x:m ]

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Riserve matematiche e la formazione dell’utile Le riserve matematiche In ambito assicurativo vi è un differimento temporale tra il momento in cui si incassano i premi e il momento in cui si pagano i benefici. L’assicuratore quindi raccoglie prima i premi dagli assicurati e solo successivamente eroga le prestazioni, per cui si trova in una posizione debitoria. La riserva matematica viene quindi calcolata per tenere conto del fatto che l’assicuratore è in debito nei confronti dell’assicurato. La riserva matematica viene iscritta in bilancio e quindi valutata alla data del 31 dicembre. Tale riserva (liability) deve essere sempre coperta da asset, soprattutto se l’assicuratore si impegna a erogare benefici prefissati. L’asset a copertura delle liability deve essere facilmente liquidabile (in maniera da poter pagare gli assicurati) e poco rischioso; l’asset deve essere gestito in maniera coerente con le caratteristiche delle passività di cui è copertura. La riserva evidenzia quindi due aspetti • liability, cioè come debito dell’assicuratore nei confronti degli assicurati • asset, cioè come investimento dei premi di riserva La riserva viene calcolata come valore attuariale, utilizzando però una base tecnica prudenziale. Infatti deve includere un certo margine di prudenzialità (ottica prudenziale), per dare una maggiore garanzia agli assicurati a cui si è promesso il beneficio. L’organo di controllo in ambito assicurativo, l’ISVAP, è il soggetto a cui è assegnato il compito di vigilare e controllare le riserve tecniche delle assicurazioni; la normativa sul controllo delle riserve è in corso di revisione, infatti Solvency 2 introduce nuove regole, tra cui quella che richiede che la riserva sia calcolata come valore attuariale con base tecnica realistica più un margine di rischio esplicito. Calcolo delle riserve matematiche Facciamo ad un contratto assicurativo con durata n e premi annui o premio unico. La notazione utilizzata è la seguente: • t’ e t’’ interi (anniversari del contratto), tale che 0 ≤ t ' < t ' ' ≤ n • prest [t ' , t ' '] è il valore attuariale in t’ delle prestazioni relative all’intervallo [t ' , t ' '] • premi[t ' , t ' '] è il valore attuariale in t’ dei premi relativi all’intervallo [t ' , t ' '] Per il principio di equità, con base tecnica di primo ordine, si ha premi[0, n] = prest [0, n] , ma tale equilibrio è riferita all’intera durata del contratto. Solitamente, per ogni sottointervallo, possiamo avere premi[0, t ] > prest [0, t ] e premi[t , n] < prest [t , n] , che però si dovranno compensare. Inizialmente infatti il valore attuariale dei premi è superiore al valore attuariale delle prestazioni da erogare nell’intervallo [0, t ] e questo tiene conto della funzione di finanziamento. Facendo riferimento all’intervallo [t, n] , il valore attuariale dei premi è inferiore al valore attuariale delle prestazioni e questo esprime il debito dell’assicuratore in quanto, per i contratti già stipulati, l’assicuratore dovrà pagare più di quello che incasserà. In relazione all’intervallo [t, n] sia premi[t , n ] + Vt ( p ) = prest [t , n ] , dove Vt ( p ) è il fattore che realizza l’equilibrio all’epoca t secondo la base tecnica di primo ordine. Tale fattore viene chiamato riserva matematica prospettica ed è pari a Vt ( p ) = prest [t , n ] − premi[t , n] e Vt ( p ) ≥ 0 (per indicare che l’assicuratore è in condizioni di debito).

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Riserve matematiche e la formazione dell’utile - Wang Mingjie - 王明杰 La riserva matematica non è costante e stabile nel tempo, ma è dinamica. Possiamo analizzare il profilo temporale della riserva, vedendo Vt ( p ) come funzione di t. Ipotizziamo che in t l’assicurato sia ancora in vita; all’epoca 0 avremo che V0( p ) = prest [0, n] − premi[0, n] = 0 .

Assicurazioni temporanee caso morte

Premio unico, x = 40 Se faccio una riserva premio unico, questa viene calcolata all’epoca 0 appena dopo aver incassato il premio. Successivamente l’assicuratore pagherà costi annui crescenti, ma non avrà più entrate derivanti dai premi. Questo comporta quindi una curva della riserva decrescente Premio annuo, x = 40 Inizialmente la riserva è nulla in quanto, secondo il principio di equità, si stabilisce premi = prestazioni. Nei periodi successivi, poiché i premi incassati sono maggiori delle prestazioni, si alimenta la riserva, che comincerà a ridursi non appena inizierà l’effetto compensazione

Premio annuo, varie età

Premio annuo, varie durate

10 − h 1000 , x = 40) 10 Nel caso di premi pagati per 7 anni, l’andamento della curva assume un andamento strano, ma è ancora accettabile. Nel caso di m = 8 invece la riserva diventa negativa e questo non è accettabile

Ass. temporale caso morte capitale decrescente aritmeticamente ( Ch +1 =

Premio unico

Premio annuo, m = 8

Premio annuo, m = 7

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Riserve matematiche e la formazione dell’utile - Wang Mingjie - 王明杰 Capitale differito (C = 1 000, x = 40)

Ass. mista ordinaria (C = 1 000, x = 40)

Premio unico

Premio annuo

Le due forme di assicurazione qui sopra hanno la stessa somma assicurata, la stessa età e la stessa base tecnica. Hanno però un andamento della riserva tecnica diversa. La riserva parte da 0 per poi essere sempre crescente fino al massimo al momento della scadenza, in cui viene erogato il beneficio all’assicurato, se risulta ancora in vita. Il premio unico incassato dovrà invece necessariamente servire a costituire una riserva matematica iniziale. Specificatamente al caso delle assicurazioni miste, con il premio annuo, se l’assicurato decede alla scadenza del contratto, ho già accumulato in riserva tutte le risorse per erogare il beneficio. Se invece decede prima, l’assicuratore deve prendere mutualità da altri contratti. Assicurazione a vita intera (C= 1 000, x = 40)

Al momento della stipulazione viene pagato un premio unico. La riserva comincia ad accumulare valore per poi azzerarsi al momento del pagamento, che sarà certo.

Rendita vitalizia immediata anticipata (R = 100, x = 65) La rendita ha una riserva decrescente, in quanto anno per anno l’assicuratore deve pagare una rata che viene attinta dalla riserva. L’orizzonte temporale è elevato e la riserva iniziale deve essere elevata (circa 14/15 volte la rata). Deve necessariamente essere a premio unico, dato che con il premio annuo si avrebbe un esborso superiore alle entrate

Appunti di Tecnica delle Assicurazioni – Riserve matematiche e la formazione dell’utile - Wang Mingjie - 王明杰 -

La formazione dell’utile Le voci che vanno a incidere sull’utile sono: • i premi, che concorreranno positivamente alla costituzione dell’utile • i benefici pagati, che apporteranno un contributo negativo all’utile • gli interessi incassati dagli investimenti dei premi raccolti • le spese, soprattutto gestionali, che devono essere sostenute e che incidono negativamente sull’utile • la riserva, che compensa le carenze di premio futuro e raccoglie le carenze di premio passate. La riserva rappresenta un ricavo pluriennale e quindi vi sarà una parte della riserva che costituisce utile differito e quindi deve essere sottratto all’utile corrente. Considerano l’intervallo [t , t + 1] o la riserva a inizio anno Vt costituisce ricavo per il periodo [t, n] o la riserva a fine anno Vt+1 costituisce ricavo per il periodo [t + 1, n] La variazione che la riserva subisce nell’anno [t , t + 1] deve essere detratta dai ricavi, in quanto utile differito: ∆Vt +1 = Vt +1 − Vt L’utile annuo sarà quindi dato da: premi + interessi – benefici pagati – variazione della riserva + …