mathe by ebook workshop

เอกสารวิชาการ

คณิตศาสตรชาง

กรมอูทหารเรือ (จัดพิมพเมื่อ ตุลาคม ๒๕๔๙)

สารบัญ หนา บทที่ 1 เศษสวน ทศนิยม อัตราสวน เปอรเซ็นต และการแปรผัน - เศษสวนชนิดตาง ๆ และการบวกลบเศษสวน - การคูณหารเศษสวน - ทศนิยมในงานชาง - แบบทดสอบเศษสวนและทศนิยม - อัตราสวนและสัดสวน - เปอรเซ็นต - แบบทดสอบอัตราสวน สัดสวน และเปอรเซ็นต - การแปรผัน การแปรผันตรง การแปรผกผัน การแปรผันตอเนื่อง - แบบทดสอบการแปรผัน - เลขยกกําลัง - รากและกรณฑ บทที่ 2 จํานวนเชิงซอน - จํานวนเชิงซอนสังยุค - จํานวนเชิงซอนในรูปแกนมุมฉาก - จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว - จํานวนเชิงซอนในงานชาง บทที่ 3 เรขาคณิตเบื้องตน - เรขาคณิต ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม วงกลม มุมภายในวงกลม และสี่เหลี่ยมทีบ่ รรจุในวงกลม - การใชเรขาคณิตในงานชาง

1 5 8 13 19 24 26 31

40 44 54 70 74 75 80 84 89 105 112 122

บทที่ 4 พื้นที่และปริมาตร - วิธีคาํ นวณพื้นที่รูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และระนาบเอียง - พื้นที่เซกเตอรและเซกเมนต รูปวงรี การหาพื้นทีแ่ ละปริมาตรของรูปทรงตาง ๆ

125 133 137 140

บทที่ 5 ภาคตัดกรวย

163

บทที่ 6 อสมการและคาสัมบูรณ - อสมการ - คาสัมบูรณ

180 191

บทที่ 7 สมการ การแกสมการ และการแกสมการยกกําลัง - สมการและการแกสมการ - สมการและการแกสมการยกกําลัง

195 204

บทที่ 8 ลอการิทึม

223

บทที่ 9 ตรีโกณมิติ

251

บรรณานุกรม

309

บทที่ 1 เศษสวน ทศนิยม อัตราสวน เปอรเซ็นต เศษสวนชนิดตาง ๆ และการบวกลบ เศษสวน เศษสวน มีความสัมพันธเกี่ยวของกับงานชางมาก ลองพิจารณาดูวา การวัดความยาว ในมาตราอังกฤษ เราใชเครื่องมือวัด เชน ไมบรรทัด ไดแบงสวนของนิ้วหรือเซนติเมตรออกเปนชอง ยอยเล็ก ๆ ใน 1 นิ้ว หรือ 1 เซนติเมตร แบงออกเปนชองยอย 10 ชอง ดังรูป 1 นิ้ว แบงออกเปน 10 ชองยอย

เปน 101 นิ้ว 2 ชองยอย เปน 102 นิ้ว ฯลฯ ในงานดานชางโลหะซึ่งเกี่ยวกับการตัดเหล็กหรือตัดโลหะตาง ๆ ถาตองการตัดทอนโลหะ ออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน ดังนั้น แตละสวนก็จะเปน 15 ของทอนโลหะทั้งหมด ดังนั้น

1 ชองยอย

สําหรับงานดานชางไฟฟาจะพบวา การตอเซลลไฟฟาหรือความตานทานเขาดวยกัน ทั้งแบบ ขนานหรือแบบผสมก็ตาม อาศัยพื้นฐานคณิตศาสตรหรือเศษสวนเขาชวยในการคํานวณหาคาตาง ๆ ตัวอยาง

จากรูป จะเห็นไดวา ความตานทานรวม R หาไดจาก 1 1 1 1 1 R = R1 + R 2 + R 3 + R 4

จากที่กลาวมาทั้งหมด จะเห็นไดวาเรื่องเศษสวนมีสวนสําคัญในการแกปญหางานชางดาน ตาง ๆ ทุกสาขา ซึ่งนักศึกษาจะไดศึกษารายละเอียดใหลึกซึ้งตอไป ความหมายของเศษสวน

เศษสวน หมายถึง สัญลักษณแทนจํานวน ประกอบดวยตัวเลขที่เปนตัวเศษและตัวสวน ชนิดของเศษสวน เศษสวนแบงออกได ดังนี้ 1. เศษสวนแท หมายถึง เศษสวนที่มีตัวเศษนอยกวาตัวสวน หรือเศษสวนที่มีคานอยกวา 99 , 999 ฯลฯ หนึ่ง เชน 14 , 43 , 109 , 100 1,000 2. เศษสวนเกิน หมายถึง เศษสวนที่มีตัวเศษมากกวาตัวสวน หรือเศษสวนที่มีคามากกวา 100 132 หนึ่ง เชน 45 , 109 , 209 , 15 13 , 99 , 113 ฯลฯ 3. เศษสวนคละ หมายถึง เศษสวนที่ประกอบดวยจํานวนเต็มและเศษสวนแทรวมอยู ดวยกัน หรือเกิดจากการแปลงเศษสวนเกินนั้นเอง เชน 1 12 , 3 15 , 10 27 , 100 101 ฯลฯ 4. เศษสวนซอน หมายถึง เศษสวนที่มีตัวเศษเปนเศษสวน และตัวสวนก็เปนเศษสวน เชน 1 1 2 2 , 1 2 , 5 ฯลฯ 2 2 3 3 35 7

การเปลี่ยนเศษสวนเกินเปนเศษสวนคละ และเปลี่ยนเศษสวนคละเปนเศษสวนเกิน การเปลี่ยนเศษสวนเกินเปนเศษสวนคละ ทําไดโดยเอาตัวเศษตั้งแลวหารดวยตัวสวน 11 = 2 1 ; 110 = 36 2 ตัวอยาง 5 5 3 3 15 = 1 2 ; 111 = 22 1 13 13 5 5

การเปลี่ยนเศษสวนคละใหเปนเศษสวนเกิน ทําไดโดยเอาตัวสวนคูณจํานวนเต็มแลวบวกดวย ตัวเศษ สวนตัวสวนคงเดิม การเปลี่ยนเศษคละใหเปนเศษสวนเกิน = ( ตัวสวน × จํานวนเต็ม) + ตัวเศษ ตัวสวน × 12 ) + 1 ( 10 1 121 ตัวอยาง = 10 12 10 = 10 13 23 = (3 × 133 ) + 2 = 41 3 11) + 9 = 119 11 109 = (10 ×10 10 การทอนเศษสวนใหเปนเศษสวนอยางต่ํา การทอนเศษสวนใหเปนเศษสวนอยางต่ํา หมายถึง การนําจํานวนใด ๆ มาหารทั้งตัวเศษและ ตัวสวน ใหตัวเลขลดนอยลงจนหารตอไปไมไดอีกแลว ( ตองหารทั้งตัวเศษและตัวสวนพรอมกัน ) 40 ใหเปนเศษสวนอยางต่ํา ตัวอยาง จงทอน 64 40 = 20 (เอา 2 หาร) วิธีทํา 60 32 520 = 5 (เอา 4 หาร) 832 8 40 5 ตอบ ดังนั้น 64 = 8 การเปรียบเทียบเศษสวน เศษสวนแตละจํานวนอาจมีคาเทากัน มากกวา หรือนอยกวากันได อยางใดอยางหนึ่ง ดังนั้น การเปรียบเทียบเศษสวนอาจกระทําไดโดยทําใหเศษสวนที่นํามาเปรียบเทียบมีสวน เทากันเสียกอน แลวจึงพิจารณาดูที่เศษ

เราใชเครื่องหมายเทากับ ( = ) มากกวา ( > ) และนอยกวา ( < ) แสดงการเปรียบเทียบ ตัวอยาง จงเปรียบเทียบจํานวนเศษสวนแตละคูตอไปนี้

( 12 , 43 ) วิธีทํา

1 2 3 4 3 5 3 6

= 14 = 43 = 18 30 = 15 30

( 35 , 63 ) 1 2

3 4

3 5

3 6

การบวกลบเศษสวน การบวกลบเศษสวน มีหลักการดังนี้ 1. ถาสวนเทากัน ใหเอาเศษบวกลบกันไดเลย 2. ถาสวนไมเทากัน ใหทําสวนใหเทากันโดยการหา ค.ร.น. ของสวน แลวจึงดําเนินการ บวกลบเศษสวน 3+ 2 − 3 ตัวอยาง = ? 4 15 10 วิธีทํา หา ค.ร.น. ของสวน คือ 4, 15, 10 = 60 3+ 2 − 3 = 45 + 8 −18 60 4 15 10 = 35 = 7 60 12 การบวกลบเศษสวนคละ จะมีหลักการ ดังนี้ 1. บวกหรือลบจํานวนเต็มกอน แลวจึงบวกหรือลบเศษสวน หรือ 2. ทําเศษคละใหเปนเศษเกิน แลวจึงดําเนินการบวกลบเศษสวน หมายเหตุ ถามีวงเล็บ ใหทําในวงเล็บกอน ตัวอยาง 2 13 + 1 114 − 3 121 = ? 2 13 + 1 114 − 3 121 = ( 2 + 1 − 3) + 13 + 114 − 121 = 0 + 13 + 114 − 121 48 − 11 = 44 +132 81 = 27 = 132 44

หรือใชวิธีทําใหเปนเศษเกินกอน แลวจึงดําเนินการบวกลบเศษสวน 37 − 2 1 + 1 4 − 3 1 = 73 + 15 11 12 3 11 12 − 407 = 308 + 180 132 81 27 = 132 = 44

การคูณ หาร เศษสวน การคูณเศษสวนแทดวยจํานวนเต็ม การคูณเศษสวนแทดวยจํานวนเต็ม ทําไดโดยเอาจํานวนเต็มคูณเศษสวน ตัวสวนคงเดิม ถา ไดผลคูณเปนเศษสวนเกินใหเปลี่ยนเปนเศษสวนคละ ตัวอยาง จงคูณ 134 ดวย 12 4 × 12 = 4 × 12 = 48 = 3 9 วิธีทํา 13 13 13 13 ตอบ = 3 139 การคูณเศษสวนแทดวยเศษสวนแท การคูณเศษสวนแทดวยเศษสวนแท ทําไดโดยเอาตัวเศษสวนคูณตัวเศษ และเอาตัวสวนคูณ ตัวสวน ตัวอยาง จงคูณ 174 ดวย 121 4 ×1 วิธีทํา 17 2

= 174 ××12 = 172

= 344

= 172

การคูณเศษสวนเกินดวยเศษสวนแท การคูณเศษสวนเกินดวยเศษสวนแท ทําไดโดยเอาตัวเศษคูณกับตัวเศษ และตัวสวนคูณกับ ตัวสวน ถาผลคูณเปนเศษเกินใหทําเปนเศษคละ 13 × 11 = ? ตัวอยาง 2 12 13 × 11 = 143 = 5 23 วิธีทํา 2 × 12 24 24 23 = 5 24

การคูณเศษสวนคละดวยเศษสวนแท การคูณเศษสวนคละดวยเศษสวนแท ทําไดโดยทําเศษสวนคละใหเปนเศษสวนเกินกอน แลวจึงคูณกันเหมือนการคูณเศษสวนเกินกับเศษสวนแท 11 × 1 10 12 ตัวอยาง จงคูณ 4 11 × 1 = 131 × 1 10 12 วิธีทํา 4 12 4 35 = 131 48 = 2 48 การหารดวยเศษสวน การหารดวยเศษสวน แบงออกเปน 2 กรณี คือ 1. การหารจํานวนเต็มดวยเศษสวน ทําไดโดยกลับเศษสวนจากตัวเศษเปนตัวสวน และ ตัวสวนเปนตัวเศษ แลวเปลี่ยนเครื่องหมายหารเปนคูณ ดังนี้ ตัวอยาง จงหาร 10 ดวย 23 10 ÷ 23 วิธีทํา

= 10 × 23 = 302

หมายเหตุ ถาเปนเศษสวนคละ ใหทําเปนเศษสวนเกินกอน ตัวอยาง 11 ÷ 3 14 = ? 11 ÷ 3 14 = 11 ÷ 114 วิธีทํา 44 = 11 × 134 = 13

= 15

= 3 135

1. การหารเศษสวนดวยเศษสวน ทําวิธีเดียวกันคือ นําเศษสวนตัวหารกลับตัวเศษเปน ตัวสวน เปลี่ยนเครื่องหมาย ÷ เปน × แลวคูณกัน ตัวอยาง 1 15 ÷ 5 47 = ? 1 15 ÷ 5 47 = 65 ÷ 397 วิธีทํา 42 = 14 = 65 × 397 = 195 65

การใชเศษสวนในงานชาง การใชเศษสวนในงานชาง สวนมากมักจะเปนการคํานวณ ซึ่งตองอาศัยพื้นฐานการบวก ลบ คูณ หาร เศษสวน ดังนั้น นักเรียนจะตองมีความรูเกี่ยวกับการบวก ลบ คูณ หาร เศษสวน มากอน จึงจะแกปญหาโจทยไดคลองแคลว และแมนยํา ตัวอยาง ในการกออิฐผนังบานหลังหนึ่ง ใชปูนเชื่อมรอยตอหนา 43 เซนติเมตร โดยใชอิฐบล็อก ขนาดกวาง 19 12 เซนติเมตร ยาว 40 เซนติเมตร หนา 7 เซนติเมตร ถาระยะจากเสาทัง้ สองหางกัน 2 12 เมตร และ สูง 3 12 เมตร อยากทราบวาจะตองใชอิฐบล็อกทั้งหมดกีก่ อน

วิธีทํา ให n เปนจํานวนอิฐบล็อกในแตละแถว ในแตละแถวจะมีรอยตอ n + 1 รอย = ( n × 40 ) + ( n + 1) × 43 ซม. ดังนั้น ( n × 40 ) + ( n + 1) × 43 = 25 × 100 ซม. 40 n + 43 n + 43 = 250 163n = 250 − 3 = 997 4 4 4 997 × 4 = 997 ∴n = 4 163 163 997 นั่นคือ ในแตละแถวแนวนอกจะใชอิฐบล็อก 163 กอน และ ในระยะแนวตั้ง สูง 3 12 ม. = 72 × 100 ซม. อิฐในแนวตั้งแตละแถวพรอมรอยเชื่อมกวาง = 19 12 + 43 ซม. ในแนวตั้งตองใชอิฐจํานวน 72 × 100 ÷ 19 12 + 43 แถว = 350 ÷ 81 4 ระยะหางระหวางเสา

(

) (

)

4 = 1,400 แถว = 350 × 81 81 เพราะฉะนั้น จะตองใชจํานวนอิฐบล็อกทั้งหมดเทากับจํานวนอิฐบล็อกในแนวนอนคูณกับ จํานวนอิฐบล็อกในแนวตั้ง 997 × 1,400 = 105 9,485 กอน = 163 81 13,203 ปดเศษของกอนเปน 1 กอน นั่นคือ จะตองใชอิฐบล็อกทั้งหมด จํานวน 106 กอน ตัวอยาง รถคันหนึ่งบรรทุกดินได 6 ลูกบาศกเมตร ถาตองการถมที่กวาง 50 เมตร ยาว 100 เมตร สูง 15 เซนติเมตร รถบรรทุกดินจะขนกี่เที่ยวจึงจะถมที่ตามตองการได วิธีทํา

ปริมาตรของดินที่จะถมที่ = ดานกวาง × ดานยาว × ความสูง 15 = 50 × 100 × 100 ลูกบาศกเมตร = 750 ลูกบาศกเมตร ดินปริมาตร 6 ลูกบาศกเมตร รถบรรทุกดินได 1 เที่ยว ดินปริมาตร 750 ลูกบาศกเมตร รถบรรทุกดินได 1 ×6750 เที่ยว นั่นคือ รถบรรทุกดินจะขนดินไดเทากับ 750 6 = 125 เที่ยว จึงจะถมดินไดตามที่ตองการ ทศนิยมในงานชาง ในการคํานวณงานชางทุกสาขา เชน งานชางไฟฟา ชางกอสราง ชางอุตสาหกรรม หรือ ชางยนต มักจะพบกับเลขทศนิยมบอย ๆ ดังนั้น ปญหาการคูณหารทศนิยมจึงเปนเรื่องสําคัญสําหรับ การคํานวณในงานชาง โดยเฉพาะการวางตําแหนงทศนิยม หากเราวางตําแหนงทศนิยมนั้นผิดเพียง ตําแหนงเดียว จะมีผลตอการคูณหารทศนิยม ทําใหผลลัพธจากการคํานวณผิดพลาดอยางมาก เชน ผลคูณของ 4.52 กับ 8.355 ไดผลลัพธเทากับ 37.7646 แตถาการวางตําแหนงของผลคูณทศนิยมนี้ ผิดไปหนึ่งตําแหนง ดังนี้ 4.52 × 83.55 = 377.646 จะเห็นวา ผลจากการวางตําแหนงผิดไปเพียง

ตําแหนงเดียวทําใหคาที่คํานวณไดผิดพลาดไปถึง 339.8814 ซึ่งจะทําใหเกิดความเสียหายตองานชาง เรามากมหาศาล การบวกลบเลขทศนิยม

การบวกลบเลขทศนิยม มีวิธีการเหมือนกับการบวกลบเลขธรรมดา แตตองตั้งจุดใหตรงกัน และตัวเลขแตละหลักตองตรงหลักกัน ตัวอยาง จงทําใหเปนผลสําเร็จ 3.15 + 0.031 + 0.003 3.15 วิธีทํา + 0.031 + 0.003 3.184 ตอบ 3.184 ตัวอยาง จงทําใหเปนผลสําเร็จ ( 4.0178 − 1.215) + 10.112 − ( 4.015) เทากับเทาใด วิธีทํา

ตอบ

4.0178 1.215 2.8028 + 10.112 12.9148 4.015 8.8998 8.8998

ตัวอยาง จงหาเสนผานศูนยกลางภายนอก ( L ) ของทอ ดังรูป

วิธีทํา ความยาวของเสนผานศูนยกลางภายนอก ( L ) = 0.1876 + 2.35 + 0.1634 ∴

= 2.7010 = 2.701 นิ้ว

การคูณเลขทศนิยม

การคูณเลขทศนิยมสองจํานวนใด ๆ จะไดตําแหนงจุดทศนิยมของผลคูณ เทากับผลบวกของ ตําแหนงจุดทศนิยมของตัวตั้งและตัวคูณรวมกัน ตัวอยาง จงหาผลคูณตอไปนี้ 3) 1.25 × 8 1) 33.005 × 0.01 2) 1.2435 × 0.002 วิธีทํา 1) 33.005 x 0.01 0.33005 2) 1.2435 x 0.002 0.0024870 3) 1.25 x 8 10.0

มีทศนิยม มีทศนิยม มีทศนิยม มีทศนิยม มีทศนิยม มีทศนิยม มีทศนิยม มีทศนิยม มีทศนิยม

3 ตําแหนง 2 ตําแหนง (3+2) = 5 ตําแหนง 4 ตําแหนง 3 ตําแหนง (4+3) = 7 ตําแหนง 2 ตําแหนง 0 ตําแหนง (2+0) = 2 ตําแหนง

การหารเลขทศนิยม

การหารเลขทศนิยม ถาตัวหารเปนเลขทศนิยม ใหแปลงตัวหารเปนเลขจํานวนเต็ม โดยใช วิธีการเลื่อนจุดทศนิยม การเลื่อนจุดทศนิยมตองเลื่อนทั้งตัวตั้งและตัวหาร โดยใหเลื่อนไปเปนจํานวนเทา ๆ กัน แลว จึงหารแบบการหารเลขทศนิยมดวยจํานวนเต็ม คือ เมื่อการหารผานจุดทศนิยมของตัวตั้ง ก็ใหใสจุด ทศนิยมที่ผลลัพธดวย

ตัวอยาง จงหาผลหาร 10.11 ÷ 0.03 วิธีทํา 10.11 ÷ 0.03 = 1011 ÷ 3 ( เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวามือ 2 ตําแหนง ) 3 ) 1011 ตอบ

337 337

ตัวอยาง 2.5550 ÷ 0.25 = ? วิธีทํา 2.2550 ÷ 0.25 = 255.50 ÷ 25 ( เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวามือ 2 ตําแหนง ) 10.22 25 255.50 25 05 00 55 50 50 50 00 ตอบ 10.22 การใชทศนิยมในงานชาง

ในการหาคาตาง ๆ ในงานชางทุกสาขาวิชา มักจะใชความรูเรื่องทศนิยมชวยในการคํานวณ เปนอยางมาก นักศึกษาจะไดพบตอไปนี้ ตัวอยาง ถาแรงดันไฟฟาของเครื่องปงขนมปงเปน 116.5 แอมแปร จงหาความตองการ

โวลต มีกระแสไฟฟาไหลผาน 2.50 R =? I = 2.5 A E = 116.5 V

วิธีทํา จากกฎของโอหม E = IR R = EI .5 = 46.6 โอหม = 116 2.5

ตอบ

ตัวอยาง เครื่องยนตของรถยนตจะวัดขนาดเปน ซี.ซี. หมายถึง ปริมาตรของกระบอกสูบในชวงที่ ลูกสูบชักขึ้นชักลงและรวมกันทุกลูกสูบ ถารถยนตคันหนึ่งมี 4 ลูกสูบ แตละลูกสูบมีเสนผาน ศูนยกลางของลูกสูบขนาด 4.5 เซนติเมตร ระยะชวงชักเปน 8.5 เซนติเมตร จงหาขนาดของ รถยนตคันนี้วามีกี่ ซี.ซี.

วิธีทํา ปริมาตรลูกสูบแตละลูก =

2 πr × h

( )

= 227 × 42.5 2× ( 8.5 ) = 135.2410714 ลบ.ซม. = 135 ลบ.ซม. (ปดเศษ) ปริมาตรลูกสูบ 4 สูบ = 4 × 135 = 540 ลบ.ซม. รถยนตคันนี้มีขนาด = 540 ซี.ซี.

อัตราสวนและเศษสวน ความหมายของอัตราสวน

อัตราสวนเปนการแสดงคาทางคณิตศาสตรระหวางปริมาณตั้งแตสองปริมาณขึ้นไป เพื่อ เปรียบเทียบความสัมพันธระหวางปริมาณนั้น ๆ การเขียนอัตราสวนใชเครื่องหมาย : แทน ดังนี้ ถา a, b เปนปริมาณสองปริมาณ อัตราสวน a ตอ b เขียนไดดังนี้ a : b ( อานวา a ตอ b ) อัตราสวนระหวาง a : b เมื่อ b ≠ 0 เทากับ ab อัตราสวนระหวาง c : d เมื่อ d ≠ 0 เทากับ dc การเขียนอัตราสวน มักจะเขียนในรูปอัตราสวนอยางต่ํา ตัวอยาง อัตราสวนของ 20 : 30 อัตราสวนอยางต่ําคือ 2:3 การทําอัตราสวนใหเปนเศษสวนอยางต่ํา ทําไดโดยหาตัวเลขมาคูณหรือหารทั้งสวนแรก และ สวนหลังของอัตราสวน ใหเปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุด คุณสมบัตขิ องอัตราสวน

อัตราสวนของปริมาณ a และ b เขียนแทนดวย a : b ปริมาณ a เรียกวาพจนที่หนึ่ง หรือ พจนหนา ( Centecedent ) ของอัตราสวน และปริมาณ b เรียกวา พจนที่สองหรือพจนหลัง ( Consequent ) ของอัตราสวน อัตราสวนจะมีคาคงเดิมเมื่อแตละพจนของอัตราสวนเปน ดังนี้ 1. คูณดวยจํานวนคงที่เดียวกัน ak a : b = bk เมื่อ k เปนจํานวนคงที่ และ b, k ≠ 0 2. หารดวยจํานวนคงที่เดียวกัน a:b = a ÷ k:b:k หรือ ab = ka : kb เมื่อ k เปนจํานวนคงที่ และ k, b ≠ 0 ตัวอยาง 1 จงแสดงวา 6 : 9 = 2 : 3 6 : 9 หรือ 69 = 23 ×× 33 = 23 = 2 : 3 วิธีทํา

ตัวอยาง 2 จงแสดงวา 1 12 : 23 = 9 : 4 1 12 1 2 วิธีทํา = 1 2 : 3 หรือ 2 3

3 2 = 3×3 2 2 2 3

= 49

−

9:4

การใชอัตราสวนงานชาง

งานชางทุกประเภทอาศัยความรูเรื่องอัตราสวยในการคํานวณหาคาตาง ๆ เชน ในการสราง บาน ถากําหนดอัตราสวนในการเขียนแบบบานเปน 1 : 200 ก็หมายความวา ถาความสูงของบาน เปน 200 ซม. ก็จะเขียนลงในแบบ 1 ซม. ถาความสูงของบานเปน 400 ซม. ก็จะ เขียนลงในแบบเทากับ 1 200 × 400 = 2 ซม. หรือเขียนในรูปอัตราสวนเปน 200 : 1 = 400 : ความยาวทีใ่ ชในการเขียนแบบ = ความยาวจริง × อัตราสวน

ตัวอยาง กําหนดอัตราสวนในการเขียนแบบเปน 1 : 5 จากรูป จงหาความยาว AB, BC และ CD ที่ ใชในการเขียนแบบ

วิธีทํา อัตราสวนที่ใชในการเขียนแบบ 1 : 50 = 501 จากความยาวที่ใชในการเขียนแบบ = ความยาวจริง × อัตราสวน AB = 1.4 × 100 (ซม.) × 501 = 2.80 ซม. BC = 2.8 × 100 (ซม.) × 501 = 5.6 ซม. CD = 0.8 × 100 (ซม.) × 501 = 1.6 ซม.

อัตราสวนหลาย ๆ อัตราสวน ในงานชางบางประเภท เชน ในการผสมคอนกรีตงานกอสราง มักจะใชความรูเรื่อง อัตราสวนหลาย ๆ อัตราสวนเพื่อหาปริมาณของปูน หิน ทราย ตัวอยาง อัตราสวนระหวางปูน ทราย หิน มีดังนี้ ปูน : ทราย = 1 : 2 ทราย : หิน = 2 : 5 ดังนั้น ปูน : ทราย : หิน = 1 : 2 : 5 ถามีปูนอยู 10 ถัง จะตองหาทรายและหินมาอยางละกี่ถัง 1 : 2 : 5 = 10 : 20 : 50 (เอา 10 คูณทุกพจนของอัตราสวน) ดังนั้น ตองใชทราย 20 ถัง และ หิน 50 ถัง ตอบ อัตราทด

อัตราทด เปนอัตราสวนระหวางความเร็วรอบของลอขับตอความเร็วรอบของลอตาม

N1 N2 เมื่อ i แทน อัตราทด N1 แทน ความเร็วรอบของลอขับ วัดเปนจํานวนรอบตอนาที N2 แทน ความเร็วรอบของลอตาม วัดเปนจํานวนรอบตอนาที ตัวอยาง มอเตอรไฟฟาตัวหนึ่งหมุนดวยความเร็วรอบ 1,200 รอบตอนาที ทําใหแกนสวานหมุนได 480 รอบตอนาที จงหาอัตราทด N วิธีทํา อัตราทด = N 1 2 แทนคา N1 = 1,200 รอบตอนาที N2 = 480 รอบตอนาที ,200 = 5 อัตราทด = 1480 2 ∴ อัตราทด = 5 : 2 ตอบ

อัตราทด (i)

ความหมายของสัดสวน

สัดสวน ( Proportion ) หมายถึง การนําเอาสัดสวนสองอัตราสวนมาเทากัน เมื่อทํา อัตราสวนอยางต่ําแลวจะไดคาเทากัน เชน ถา a:b = c:d a = c จะได b d ตัวอยาง ถา a = 3, b = 4, c = 9, d = 12 3 9 3× 3 3 ∴ 4 = 12 = 3 × 4 = 4 หรือ 3 : 4 = 9 : 12 ตัวอยาง จงพิสูจนใหเห็นจริงวา a : b = c : d เปนสัดสวนตอกัน เมื่อ a = 12, b = 16, c = 24 และ d = 32 วิธีทํา a:b = c:d a = c หรือ b d 12 = 24 แทนคา 16 32 12 3× 4 = 3 ทําเปนเศษสวนอยางต่ํา = 16 4×4 4 24 = 3 × 8 = 3 32 4 ×8 4 12 = 24 ดังนั้น 16 32 นั่นคือ 12 : 16 = 24 : 32 จงหาคา x จากสัดสวนตอไปนี้ ตัวอยาง x:2 = วิธีทํา x:2 = x = 2 คูณไขว 3x =

10 : 3 10 : 3 10 3 20 x = 203 = 6 23

ตอบ

ชนิดของสัดสวน ( สัดสวนตรง )

สัดส วนตรง หมายถึง สัดสวนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณที่มีความสั มพันธกั นไป ในทางเดียวกัน คือ เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่ม อีกปริมาณหนึ่งก็เพิ่มตาม และถาลดปริมาณหนึ่งลง อีก ปริมาณหนึ่งก็จะลดลงดวย เชน น้ํามัน 5 ลิตร ราคา 40 บาท น้ํามัน 10 ลิตร ราคา 80 บาท น้ํามัน 2 ลิตร ราคา 16 บาท คุณสมบัติของสัดสวนตรง ถา a, b, c, d เปนสัดสวนตรง หมายความวา ab = dc แลวจะได 1. ad = bc d = c 2. a b b = d 3. a c 2 6 ตัวอยาง ถา 5 = 15 แลวจะได 1. 2 × 15 = 5 × 6 15 = 6 2. 5 2 5 = 15 3. 2 6 สัดสวนผกผัน

สัดสวนผกผัน หมายถึง สัดสวนที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณที่มีความสัมพันธในทาง ตรงกันขาม คือ เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่ม อีกปริมาณหนึ่งจะลด และถาเมื่อปริมาณหนึ่งลด อีกปริมาณ หนึ่งจะเพิ่ม เชน รถยนตคันหนึ่งแลนไดระยะทาง 30 กม. ในเวลา 1 ชั่วโมง ดังนั้น ความเร็วของ รถยนตคันนี้เปน 30 กม. ตอชั่วโมง ถาเพิ่มความเร็วเปน 60 กม. ตอชั่วโมง รถยนตคันนี้จะแลนได ระยะทาง 30 กม. ในเวลาครึ่งชั่วโมงเทานั้น จะเห็นไดวา ถาเพิ่มความเร็วของรถยนต เวลาในการแลนจะลดลง และถาลดความเร็วของรถยนตเวลาใน การแลนจะนานขึ้น

คุณสมบัติของสัดสวนผกผัน 1 = d c c d ∴ ab = dc ac = bd

ถา a, b, c, d เปนสัดสวนผกผัน จะได

a = b

ตัวอยาง a, b, c, d เปนสัดสวนผกผัน ถา a = 1, b = 3, c = 6 จงหาคา d วิธีทํา a, b, c, d เปนสัดสวนผกผัน a = 1 = d ∴ b c c d 1 = 1 แทนคา 3 6 d 1 = d 3 6

3d = 6 d = 2

เปอรเซ็นต ความหมายของเปอรเซ็นต

คําวา “รอยละ” หรือ “เปอรเซ็นต” หมายถึง อัตราสวนหรือเศษสวนที่มีสวนเปน 100 เรา ใชสัญลักษณ “%” แทนคําวา เปอรเซ็นต เชน 9 100 หมายถึง รอยละ 9 หรือ 9% 60 100 หมายถึง รอยละ 90 หรือ 90% 10 หมายถึง รอยละ 10 หรือ 10% 100 การนําเอารอยละหรือเปอรเซ็นตไปใชในการคํานวณ ตองเปลี่ยนรอยละหรือเปอรเซ็นตให อยูในรูปของเศษสวนหรือทศนิยมกอน เชน 80 หรือ 0.8 รอยละ 80 = 100 60 หรือ 0.6 60% = 100 เมื่อทําใหอยูในรูปเศษสวนหรือทศนิยมแลว จึงนําไปคิดคํานวณตอไป

จงแสดงวิธีทําและหาคําตอบ ตัวอยาง ในโรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนทั้งหมด 600 คน วันนี้มีคนมาสาย 5% จงหาวาวันนี้มีคน มาสายรวมกี่คน วิธีทํา มีคนมาสาย 5 % หมายความวา นักเรียน 100 คน มาสาย 5 คน 5 หรือ 5% = 100 5 ดังนั้น วันนี้มีคนมาสาย 100 × 600 = 30 คน

ตอบ

คน

หลักในการหาเปอรเซ็นต

การทําเศษสวนใหเปนเปอรเซ็นต ก. เศษสวนที่มีสวนเปนจํานวนที่หาร 100 ลงตัว ตัวอยาง จงแปลง 35 ใหเปนเปอรเซ็นต 3 = 3 × 20 = 60 วิธีทํา 5 5 × 20 100 = 60 % หรือ 35 = 35 × 100 = 60 % ข. เศษสวนที่มีสวนเปนจํานวนที่หาร 100 ไมลงตัว การทําทศนิยมใหเปนเปอรเซ็นต การทําทศนิยมใหเปนเปอรเซ็นต ทําไดโดยแปลงทศนิยมใหเปนเศษสวนกอน แลวคูณ ดวย 100 หรือเอาทศนิยมนั้นคูณกับ 100 เลยก็ได ตัวอยาง จงเปลี่ยน 0.2 ใหเปนเปอรเซ็นต วิธีทํา 0.2 = 102 2 = 10 × 100 % หรือ

= 20 % 0.2 = 0.2 × 100 % = 20.0 % = 20 %

ความสัมพันธระหวางเปอรเซ็นต เศษสวน และทศนิยม

เปอรเซ็นต เศษสวน และทศนิยม มีความสัมพันธกันดังตัวอยาง 50 = 0.50 ตัวอยาง 50% = 100 100% = 100 100 = 1.00 10 = 0.10 10% = 100 การใชเปอรเซ็นตในงานชาง

ในงานชางมีปญหาหลายชนิดที่ตองใชความรูเรื่องเปอรเซ็นตไปชวยในการแกปญหา จึงจะ คิดหาคําตอบได ตัวอยาง ในสินแรเหล็กมีเนื้อเหล็กอยู 20% ถาตองการเนื้อเหล็ก 1,500 กิโลกรัม จะตองใช สินแรเหล็กเทาไร วิธีคิด ในสินแรเหล็กมีเนื้อเหล็กอยู 20% หมายความวา ในสินแรเหล็ก 100 กิโลกรัม จะมี เนื้อเหล็กอยู 20 กิโลกรัม วิธีทํา 1 ( ใชวิธีเทียบบัญญัติไตรยางค ) เนื้อเหล็ก 20 กิโลกรัม อยูในสินแรเหล็ก 100 กิโลกรัม เนื้อเหล็ก 1 กิโลกรัม อยูในสินแรเหล็ก 100 20 กิโลกรัม เนื้อเหล็ก 1,500 กิโลกรัม อยูในสินแรเหล็ก 100 20 × 1,500 กิโลกรัม = 7,500 กิโลกรัม

∴ ตองใชสินแรเหล็ก 7,500 กิโลกรัม

วิธีทํา 2 ( ใชเทียบสัดสวน ) ให x แทนสินแรเหล็กที่ตองการทราบคามีเนื้อเหล็ก 20% 20 = 1,500 100 x x = 100 ×201,500 = 7,500 กิโลกรัม ∴ ตองใชสินแรเหล็ก 7,500 กิโลกรัม

ตอบ

การแปรผัน การแปรผันตรง

การแปรผันตรง หมายถึง การที่ปริมาณ 2 สิ่งหรือมากกวา มีความสัมพันธกันโดยที่เมื่อ สิ่งหนึ่งเพิ่ม อีกสิ่งหนึ่งก็เพิ่ม และเมื่อสิ่งหนึ่งลด อีกสิ่งหนึ่งก็จะลดลงอยางไดสัดสวนกัน เราใชสัญลักษณ “ α ” แทนคําวา “แปรผัน” เชน ถา a แปรผันตรงกับ b แลว เขียนไดเปน a α b หรือเขียนในรูปสมการจะได a = kb a = k เมื่อ k เปนคาคงตัว หรือ b เมื่อ a แปรผันตรงกับ b แลว คาของ a และ b ที่สมนัยกัน เมื่อนํามาหารกันเปนคู ๆ จะ มีคาเทากันหมด และเปนคาคงที่ (Constant) เชน ในเวลา 1 ชั่วโมง เดินทางได 4 กม. ∴ 41 = 4 ∴ 82 = 4 ในเวลา 2 ชั่วโมง เดินทางได 8 กม. ในเวลา 3 ชั่วโมง เดินทางได 12 กม. ∴ 123 = 4 ในเวลา 4 ชั่วโมง เดินทางได 16 กม. ∴ 164 = 4 ∴ 12 = 4 ในเวลา 12 ชั่วโมง เดินทางได 2 กม. 2 ดังนั้น เวลาในการเดินทางแปรผันตรงกับระยะทาง เราสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธระหวาง a และ b เพื่อใชในการคํานวณไดดังนี้ เมื่อ a แปรผันตรงกับ b a α b ดังนั้น a = kb a=k หรือ b เราใชสมการนี้คํานวณหาคา a หรือ b ได เมื่อเราทราบคา k คา k หาไดจากการเอาคา a และ b ที่สมการกับคูใดคูหนึ่งแทนลงในสมการนี้

ตัวอยาง ถา a แปรผันตรงกับ b และ a = 40 เมื่อ b = 32 จงหาคา b เมื่อ a = 60 วิธีทํา เมือ่ a แปรผันตรงตาม b a α b ∴ a = kb (เมื่อ k เปนคาคงที่) จากโจทย เมื่อ a = 40 , b = 32 แทนคาในสมการ จะได 40 = k32 40 = 5 k = 32 4 ดังนั้น ความสัมพันธระหวาง a และ b จะอยูในรูป a = 45 b เมื่อ a = 60 จะได 60 = 45 b ∴ b = 60 × 45 = 48 ดังนั้น เมื่อ a = 60 แลว b = 48

ตอบ

โจทยเกี่ยวกับการแปรผันตรง

การทําโจทยเกี่ยวกับการแปรผันตรง ควรกําหนดตัวอักษรแทนปริมาณของสิ่งของกอน แลว เขียนใหอยูในรูปสมการหาคา k เมื่อไดคา k แลว จึงแทนปริมาณตาง ๆ ลงในสมการการแปรผัน และคํานวณหาคําตอบตอไป ตัวอยาง ระยะทางที่วัตถุตกลงมาจะแปรผันตรงกับกําลังสองของเวลา ถาวัตถุตกไดทาง 256 ฟุต ในเวลา 4 วินาที จงหาวาในเวลา 10 วินาที วัตถุจะตกลงมาไดทางเทาใด วิธีทํา ให s เปนระยะทางที่วัตถุตกลงมา มีหนวยเปนฟุต t เปนเวลาที่วัตถุตกลงมา มีหนวยเปนวินาที ∴ ระยะทางที่วัตถุตกลงมาแปรผันตรงกับกําลังสองของเวลา ∴ s α t2 s = kt2 (เมื่อ k เปนคาคงที่) จากโจทย วัตถุตกไดทาง 256 ฟุต ในเวลา 4 วินาที แทนคาในสมการ 2.56 = k(4)2

k = 256 16 = 16 ดังนั้น ความสัมพันธระหวาง s และ t จะอยูในรูป s = 16t2 เมื่อ t = 10 แลว s = 16(10)2 = 16 × 100 = 1,600 ฟุต นั่นคือ ในเวลา 10 วินาที วัตถุจะตกไดทาง 1,600 ฟุต

ตอบ

การแปรผกผัน

การแปรผกผัน หมายถึง การที่ของ 2 สิ่งหรือมากกวามีความสัมพันธกัน โดยที่เมื่อสิ่งหนึ่ง เพิ่ม อีกสิ่งหนึ่งจะลด หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลด อีกสิ่งหนึ่งจะเพิ่ม อยางไดสัดสวนกัน เราใชสัญลักษณ “ α ” แทนการแปรผกผัน โดยกลับเศษสวนอีกจํานวนหนึ่ง เชน ถา a แปรผกผันกับ b ∴ a α 1b เขียนใหอยูในรูปสมการ จะได a = kb (เมื่อ k เปนคาคงที่) หรือ ab = k นั่นคือ เมื่อคา a เพิ่มขึ้น คา b จะลดลง และเมื่อคา a ลดลง คา b จะเพิ่มขึ้น 1 เชน 2x = 1y x = 2y ∴ k = 12 xy = 1 W = 3t

x = 1y k = 3

∴k = 1

การหาคา k ในสมการแปรผกผัน ทําไดโดยเอาคา a และ b ที่สมนัยกันแทนในสมการ a = kb

5x = 1y เมื่อ x = 1, y = 2 แลว จะได ∴ k = 10 5 × 1 = k2 เชน ถา

ตัวอยาง ถา a แปรผกผันกับกําลังสองของ b และ a = 5, b = 6 จงหาคา b เมื่อ a = 10 วิธีทํา Q a แปรผกผันกับกําลังสองของ b a α 12 b เมื่อ a เปนคาคงที่ a = k2 b จากโจทย a = 5, b = 6 แทนคาในสมการ ∴ 5 = k2 ∴ k = 5 × 36 = 180 ( b) ∴ สมการแสดงความสัมพันธระหวาง a และ b คือ a = 1802 b b 2 = 180 หรือ a เมื่อ

ดังนั้น

a = 10 b 2 = 180 10 = 18 3× 3× 2 b = 18 = = 3 2

ตอบ

การทําโจทยปญหาเกี่ยวกับการแปรผกผัน ควรกําหนดตัวอักษรแทนปริมาณสิ่งของที่จะ นํามาเปรียบเทียบกันกอน แลวเขียนใหอยูในรูปสมการหาคา k เมื่อทราบคา k แลว จึงแทนปริมาณ ตาง ๆ ลงในสมการแปรผกผันนั้น แลวคํานวณหาคําตอบ ตัวอยาง เฟองชุดหนึ่งมีเฟองขับ 24 ฟน หมุนดวยความเร็ว 44 รอบตอนาที ถาเฟองตามมีฟน 33 ฟน จะหมุนดวยความเร็วรอบเทาใด เมื่อจํานวนฟนแปรผกผันกับความเร็วรอบของเฟอง วิธีทํา ให t1 แทนจํานวนฟนของเฟองขับ เทากับ 24 ฟน N1 แทนความเร็วรอบของเฟองขับ มีคาเทากับ 44 รอบตอนาที t 2 แทนจํานวนฟนของเฟองตาม มีเทากับ 33 ฟน N 2 แทนความเร็วรอบของเฟองตาม ซึ่งตองการทราบคา เมื่อจํานวนฟนแปรผกผันกับความเร็วรอบของเฟอง t1 α N1 t1 = Nk (เมื่อ k เปนคาคงที่) 1 ∴ t1 N1 = k ………….(1)

และ

N2 t 2 = Nk (เมื่อ k เปนคาคงที่) 2 ∴ t2 N2 = k เมื่อ k เปนคาคงที่ ดังนั้น (1) = (2) ดังนั้น t1 N1 = t 2 N 2 แทนคา t1 , N1 , t 2 และ N 2 24 × 44 = 33 × N 2 × 44 N 2 = 2433 รอบ / นาที = 32 รอบ / นาที นั่นคือ เฟองตามหมุนดวยความเร็ว 32 รอบ / นาที α

………….(2)

การแปรผันตอเนื่อง

การแปรผันตอเนื่อง หมายถึง การแปรผันที่เกิดขึ้นเมื่อปริมาณหนึ่งแปรผัน เกี่ยวเนื่องกับ ปริมาณอื่น ๆ หลาย ๆ จํานวน และปริมาณอื่น ๆ นั้นอยูในรูปผลคูณ เชน มีปริมาณ 3 ปริมาณ คือ a, b, c a แปรผันกับ b เมื่อ c คงที่ ∴ a α b และ a แปรผันกับ c เมื่อ b คงที่ ∴ a α c จะไดวา a แปรผันกับผลคูณของ b และ c เมื่อทั้ง b และ c ตางก็แปรผันทั้งคู ∴ a α bc ดังนั้น a = kbc (เมื่อ k เปนคาคงที่) หรือ ถา a แปรผันกับ b เมื่อ c คงที่ ∴ a α b และ a แปรผกผันกับ c เมื่อ b คงที่ ∴ a α 1c ดังนั้น a α bc เขียนในรูปสมการ a = kbc

(เมื่อ k เปนคาคงที่)

ตัวอยาง ถา a แปรผันกับ b และแปรผกผันกับ c ถา a = 14 เมื่อ b = 10, c = 14 จงหาคา c เมื่อ a = 49, b = 45 วิธีทํา ∴ a α b และ a α 1c ∴ a α bc (เมื่อ kเปนคาคงที่) ………(1) a = kbc จากโจทย a = 14, b = 10, c = 14 แทนคาในสมการ (1) จะได 14 = k1410 × 14 = 985 k = 1410 ∴ a = 985cb ……………(2) เมื่อ a = 49, b = 45 หาคา c โดยการแทนคา a, b ในสมการ (2) 49 = 985 ×× c45 2 9 ×45 9 8 ∴ c = 5 × 49 = 18 นั่นคือ เมื่อ a = 49, b = 45 แลว c = 18 ตอบ โจทยปญหาเกี่ยวกับการแปรผันตอเนื่อง

ตัวอยาง คาจางขุดน้ําแปรผันโดยตรงกับปริมาณของดินที่ขุดขึ้นมา และความลึกที่ขุดลงไป ถา คาจางขุดคูกวาง 1 เมตร ลึก 1.5 เมตร เปนเงิน 50 บาทตอความยาว 1 เมตร จงหาคาจางขุดคู ยาว 150 เมตร กวาง 3 เมตร ลึก 2 เมตร d I วิธีทํา ให M แทนคาจางขุดคู V แทนปริมาณของดินที่ขุดขึ้นมา W แทนความกวางของคู d แทนความลึกของคู

l แทนความยาวของคู เพราะวา M α V M α d M α Vd เขียนในรูปสมการ M = kVd แต V = wdl แทนคา V ใน M = kVd จะได M = kwld2 เมื่อ M = 50 บาท W = 1 เมตร l = 1 เมตร d = 1.5 เมตร แทนคา M, l, W, d จะได 50 = k × 1 × 1 × (1.5 × 1.5) ตองการหา W เมื่อ l = 150 เมตร, W = 3 เมตร, d = 2 เมตร แทนคา M = k × 3 × 150 × ( 2 × 2 ) 50 = k × 1 × 1 × (1.5 × 1.5) (1) ÷ (2) M k × 3 × 150 × ( 2 × 2 ) 50 = 2.25 M 1,800

………. (1) ………. (2)

M = 50 ×2.125,800 = 40,000 บาท ดังนั้น ถาคูยาว 150 เมตร กวาง 3 เมตร ลึก 2 เมตร ตองเสียคาจางขุด เทากับ 40,000 บาท ตอบ บทสรุป

การใชการแปรผันในงานชาง มักจะตองใชสูตรในการคิดคํานวณ สูตรที่สําคัญ ๆ เกี่ยวกับการแปรผัน มีดังนี้ 1. A = πr 2 เมื่อ A แทนพื้นที่ของวงกลม 22 π แทนคาคงที่ = 7 r แทนรัศมีของวงกลม หมายความวา พื้นที่วงกลมแปรผันตรงกับรัศมีของวงกลม

A = 12 bh เมื่อ V แทนพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม b แทนความยาวฐานของรูปสามเหลี่ยม h แทนสวนสูงของรูปสามเหลี่ยม 1 แทนคาคงที่ 2 หมายความวา พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแปรผันตอเนื่องกับความยาวของฐานและ สวนสูงของสามเหลี่ยม 2.

V = 43 πr 3 เมื่อ V แทนปริมาตรของทรงกลม r แทนรัศมีของทรงกลม หมายความวา ปริมาตรของทรงกลมแปรผันตรงกับกําลังสามของรัศมี

I = RE เมื่อ I แทนกระแสไฟฟาในวงจรกระแสตรง E แทนแรงเคลื่อนไฟฟา R แทนความตานทานไฟฟา หมายความวา กระแสไฟฟาในวงจรกระแสตรงแปรผันตรงกับแรงเคลื่อนไฟฟาและ แปรผกผันกับความตานทาน 4.

แรงเคลื่อนไฟฟา 6.

P = IE เมื่อ P แทนกําลังไฟฟา I แทนกระแสไฟฟาในวงจรไฟฟากระแสตรง E แทนแรงเคลื่อนไฟฟา หมายความว า กํ า ลั ง ไฟฟ า แปรผั น ต อ เนื่ อ งกั บ กระแสไฟฟ า ในวงจรและ R = P Al เมื่อ R แทนความตานทานไฟฟาของตัวนํา P แทนคาคงตัว เรียกวา ความตานทานจําเพาะของตัวนํา l แทนความยาวของตัวนํา A แทนพื้นที่หนาตัดของตัวนํา

หมายความวา ความตานทานไฟฟาของตัวนําแปรผันตรงกับความยาวของตัวนําและ แปรผกผันกับพื้นที่หนาตัดของตัวนํา V = πr 2 h เมื่อ V แทนปริมาตรของรูปทรงกระบอก r แทนรัศมีของหนาตัดทรงกระบอก h แทนสวนสูงของทรงกระบอก หมายความวา ปริมาตรของรูปทรงกระบอกแปรผันตอเนื่องกับกําลังสองของรัศมี ของหนาตัดทรงกระบอกและสวนสูงของทรงกระบอก 7.

2 W = bdL เมื่อ W แทนน้ําหนักที่คาน ซึ่งมีจุดรองรับที่ปลายทั้งสองจะรับไดโดยปลอดภัย b แทนความกวางของหนาคาน d แทนความหนาของคาน L แทนความยาวระหวางจุดรองรับทั้งสอง หมายความวา น้ําหนักที่คานซึ่งมีจุดรองรับที่ปลายทั้งสองจะรับไดโดยปลอดภัย แปรผันตรงกับความกวางของหนาคานและกําลังสองของความหนาของคาน และแปรผกผันกับ ความยาวระหวางจุดรองรับทั้งสอง

เลขยกกําลัง 1. ความหมายของเลขยกกําลัง เลขยกกําลัง หมายถึง เลขที่เกิดจากการคูณเลขจํานวนใด ๆ ซ้ํากันหลาย ๆ ครั้ง เชน 53 = 5 × 5 × 5 = 125 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 10 2 = 10 × 10 = 100 เราเขียนเลขยกกําลังใหอยูในรูป an an อานวา เอยกกําลังเอ็น เราเรียก n วาเปนเลขชี้กําลัง (index) เราเรียก a วาเปนฐาน (base) 2. คุณสมบัติของเลขยกกําลัง ถา a, b, m และ n เปนจํานวนจริงใด ๆ แลว จะได a m × a n = am + n 1) 2) (am) n = amn 3) (ab)m = am bm a n an 4) = เมื่อ b ≠ O b bn 5) a- n = 1n a m = am – n 6) เมื่อ a ≠ O am ÷ an = a n a จากคุณสมบัติขอ (6) จะไดวา เมื่อ m = n และ a ≠ O 6.1) a m ÷ a n = 1

()

6.2) a m ÷ a n = am – n 6.3) a m ÷ a n = n −1 m a a° = 1

เมื่อ m > n และ a ≠ O เมื่อ m < n และ a ≠ O เมื่อ a ≠ O

3. การคูณเลขยกกําลัง การคูณเลขยกกําลัง ที่มีฐานเหมือนกัน ทําไดโดยเอากําลังบวกกัน ดังนี้

am × an

am + n

ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณและทําใหอยูในรูปอยางงาย ก) a 3 × a 2 × a ข) 2 × 2 2 × 2 4 ค) 10 2 × 10 3 × 10 4

ง) 25 × 125 × 5 จ) 7 × 49 × 343

วิธีทํา ก) a 3 × a 2 × a ข) 2 × 2 2 × 2 4 ค) 10 2 × 10 3 × 10 4 ง) 25 × 125 × 5 จ) 7 × 49 × 343

= = = = =

a3 + 2 + 1 21 + 2 + 4 102 + 3 + 4 5 2 × 53 × 5 7 × 7 2 × 73

a6 a7 109 52 + 3 + 1 71 + 2 + 3

= 56 = 76

การคูณเลขยกกําลัง ที่อยูในรูปกําลังซอนกัน ทําไดดังนี้ (a3)2 = amn และ (ab)m = am × bm = a6 เชน (a3)2 = a 3× 2 = 26 (22)3 = 2 2 × 3 = 310 (35)2 = 35× 2 (2 × 3)6 = 26 × 36 ตัวอยางที่ 2 จงทําใหอยูในรูปอยางงาย 2n + 1 × 2n – 1 ก. 5

ข.

⎛ 16 y 2 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

วิธีทํา ก)

2n + 1 × 2n – 1

ข)

⎡16 y 2 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

× 2y

= 2n + 1 + n – 1 = 22n

5 × 2y

( 2 4 ) 5 y 10 × 2y 2 5 2

2 20 y 10 × 2 y 2 2 20 + 1 y 10 + 2 = 25 25 = 221 – 5y10 + 2 = 216y12

4. การหารเลขยกกําลัง การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเหมือนกัน ทําไดดังนี้ a6 = a×a×a×a×a×a 2 a×a a a×a×a×a = = a4 6 a6 – 2 = a4 ดังนั้น a 2 = a

จะไดวา

am an

am – n เมื่อ m > n

และถา

a2 a6

a×a a×a×a×a×a×a 1 a×a×a×a 1 a4 1 = 1 6 − 2 a a4

= =

จะไดวา

2 ดังนั้น a 6 a

an am

an − m

หรือ a n − m เมื่อ m < n

ตัวอยางที่ 3 จงทําใหอยูในรูปอยางงาย 12 3 ก) x × x4 × x x 12 3 วิธีทํา ก) x × x4 × x = x12 + 3 + 1 – 4 x = x12 = x16 – 4 ตัวอยางที่ 4 จงทําใหเปนผลสําเร็จ 36 x + 3 × 6 x +7 216 x ( 6 2 ) x + 3 × 6 x +7 36 x + 3 × 6 x +7 วิธีทํา = 216 x (63 ) x 2x +6 x +7 = 62x + 6 + x + 7 – 3x = 6 3×x 6 6

= 63x – 3x + 6 + 7 1. เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนศูนย เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนศูนย เชน

( 1a )

a ° , ( ab )° ,

= 60 + 13

, 4 ฯลฯ

เราสามารถหาคาไดดังนี้ เพราะวา

= a2 – 2

= a2 ÷ a2

= aa ×× aa

= 1

ดังนั้น a° = 1, ตัวอยางที่ 1 จงทําใหเปนผลสําเร็จ (a 2 + b 2 )o ก. 4 × (12,000 )° ข. ( − 1)° a 3 × a 2 × a° ค. a 3 × ( ab )° วิธีทํา ก. (a 2 + b 2 )o = 4 × (12,000 )° = ข. ( − 1)° = a 3 × a 2 × a° = ค. a 3 × (ab)° = = = =

เมือ่ a ≠ 0

1 4 ×1 1 4 a3 × a2 × 1 a3 × 1 a 3+ 2 a3 a5 a3 a5 – 3 a2

2 = a2 a

= 613

2. เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนลบ เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนลบ เขียนไดในรูป 1 1 –1 = 2 , 2 3 1 1 1 = , 2 9 4 3 ตัวอยางที่ 1 จงแสดงวา a– 2 = 12 a –2 วิธีทํา a = a2 – 4 2 = a4 a = 12 a นั่นคือ a– 2 = 12 a ตัวอยางที่ 2 จงหาคาของ 2 วิธีทํา

−5

2 −5 × 2 −2 22

a– n = = =

1 an 3–1 1 2 2

เชน = 2- 2

= a2 ÷ a4 2 = 2a 2 a ×a

× 2−2 22

= (2 −5 × 2 − 2 ) ÷ 2 2 = 2(−5− 2)− 2 = 2- 9

1 29

3. การบวก ลบ เลขยกกําลัง การบวกลบเลขยกกําลังที่มีฐานเหมือนกันและมีเลขชี้กําลังเทากัน ทําไดโดยนําสัมประสิทธิ์ ของเลขยกกําลังมารวมกันไดเลย สวนการบวก ลบ เลขยกกําลังที่มีฐานเหมือนกัน แตเลขชี้กําลังตางกัน ทําไดโดยใชวิธีการ แยกตัวประกอบชวย หมายเหตุ การบวกลบเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังตางกันจะนําสัมประสิทธิ์มารวมกันเลยไมได ตัวอยาง จงทําใหเปนผลสําเร็จ 5− 4 + 5− 2 ก. 5− 3 ข. 9m + 3 + 32m + 3

วิธีทํา

ก.

5− 4 + 5− 2 5− 3

−2 −2 −2 = (5 × 5− 3 ) + 5 5 − − 2 2 = 5 ( 5− 3 + 1) 5 -2–(-3) -2 = 5 (5 + 1) = 5- 2 + 3 (5- 2 + 1) 1 = 5 ⎛⎜ 2 +1 ⎞⎟1 ⎝5 ⎠ 1 + 25 = 5 25 26 = 5 25 = 5 15 = 265

( ) ( )

ข.

9m + 3n + 32m

= (32)m + 3n + 32m + 3 = 32m + 6n + 32m + 3 = 3 2 m × 36 n + 3 2 m × 33 = 32m(36n + 33) = 32m(36n + 27)

4. การคูณ หารเลขยกกําลัง การคูณ หารเลขยกกําลัง ใหใชคุณสมบัติของเลขยกกําลังดังตอไปนี้เปนพื้นฐานในการคูณ

และหาร 1) a m × a n = am + n m = am ÷ an 2) a n a = 1n 3) a- n a m = ambm 4) (ab) 5) a ° = 1

= am – n

ตัวอยาง จงทําใหเปนผลสําเร็จ และอยูในรูปอยางงาย (36) m − 3 × 6 m + 7 ( 216) m (36) m − 3 × 6 m + 7 (6 2 ) m − 3 × 6 m + 7 = วิธีทํา ( 216) m (63 ) m 2 m −6 × 6m +7 = 6 63m = 6(2m – 6) + (m + 7) – (3m) = 6(2m + m – 3m) – 6 + 7 = 6(3m – 3m) + 1 = 61 = 6

แบบฝกหัด 1. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1. ( X 2 + b°) 2

2. ( a 2 − b °) 2 ( a o + b 2 ) 2 2 2 2 3. 3( ab )°(×ab(a)° b ) 3 4 4. 4 + ( 4°2− 4 )° 4 5. ( abc )° + ( a ° + b + c ) 2 2. จงทําใหเลขชี้กําลังเปนบวก 2 1. ( a − 5 )° 1−2 b 2 2 2. (x y z) (xyz)- 2 3. (m2n2)2 (mn)- 2 ( 4 xy ) −5 4. −1 2 x y −3 −2 −1 5. ( m n −3) ( mn )

( )

3. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1. (a3 + a2) ÷ (a + 1) 2. 5x10 + (x2)5 – 4x10

3. (212 + 214) ÷ (21)3 −4 −5 4. (81) −+3 ( 9) 9 4 4 5. n + n ° (2 + n ) 6. (32 – 3- 2) (32+ 3- 2) 7. (x + y)3 ÷ (x + y)- 3 2

2 ⎤ ⎡ 8. ⎢ ( a +1 b ) ⎥ ⎡ ( aa++bb) ⎤ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣

⎡ 4ab 2 ⎤ 9. ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 5a b ⎦⎥

10.

3 ⎡ 3ab 2 ⎤ ÷⎢ 2 ⎥ ⎣ 5ab ⎦

( x + y + z ) −2 × ( x + y + z ) −2 (x + y + z)2

ตั้งแตปญหาโจทยขอที่ 1 – 10 จงเลือกขอที่ถูกที่สุดเพียงขอเดียว x4 หมายถึงขอใด ก. x + x + x + x ข. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ค. x × 4 ง. 4 × x (x2)3 หมายถึงขอใด ก. x2 + x2 + x2 ค. x 2 ⋅ x 2 ⋅ x 2

ข. (x3) + (x3) ง. x 3 ⋅ x 3 ⋅ x 3

8 × 8 × 8 × 8 มีคาเทากับขอใด ก. 212 ค. 84

ข. 46 ง. ถูกทั้ง ก, ข และ ค

9 × 9 × 9 มีคาเทากับขอใด ก. 729 ค. (32)3

ข. 36 ง. ถูกทั้ง ก, ข และ ค

2 n × 2 n × 2 n เขียนไดในรูป ก. 2n3 ค. (2n)3

ข. 32n ง. 6n3

ขอใดไมถูกตอง ก. a0 = 1

ข. a1 = a ง. a- n = 1n a

ค. am × n ในการเขียนในรูป an เรียก a วา ก. เลขชี้กําลัง ค. ตัวตั้ง

ข. ฐาน ง. ถูกทุกขอ

x 3 มีคาเทากับเทาใด x5 ก. x2 ค. x8

ข. x- 2 ง. x- 8

2 x 3 ⋅ 5x 2 มีคาเทากับเทาใด ก. 7x ค. 10x6

ข. 7x5 ง. 10x5

ax ⋅ a 3 x 2 มีคาเทากับเทาใด ก. a3x3 ค. a4x3

ข. a4x2 ง. a3x2

a 0 x 5 ⋅ a 2 x 2 มีคาเทากับเทาใด ก. x7 ค. a2x3

ข. X10 ง. a2x7

( ) มีคาเทากับเทาใด

⎛⎜ x 2 ⎞⎟ ÷ x 3 ab 3 ⎝ y3 ⎠ 3 9 ก. a 5b 6 xy 12 ค. 3 x 9 16 aby

[(x ) ] −3

ก. x- 2 ค. 1x

2 1 3 2

3 6 ข. a b5 xy

ง. ไมมีขอถูกตอง

มีคาเทากับเทาใด 3

ข. x 5 1

ง. x 6

(- x)3 (2x)5 มีคาเทากับเทาใด ก. 2x8 ค. 32x8

ข. – 2x15 ง. – 32x8

(- 12x8)(- 6x32) มีคาเทากับเทาใด ก. – 72x40 ค. – 72x4

ข. 72x256 ง. – 72x256

(2x3)(- 2x5)(3x2) มีคาเทากับเทาใด ก. – 7x10 ค. 12x3

ข. – 12x30 ง. – 12x10

(x2y2)3(- xy2)3 มีคาเทากับเทาใด ก. – x3y4 ค. x9y12

ข. x3y4 ง. – x9y12

( )

⎛⎜ 11x 5 ⎞⎟ × 625y มีคาเทากับเทาใด ⎝ 25y 2 ⎠ 121x 25 x 4 y 25 x 6 y 3 ข. 11 ก. 11 25 x 4 y −1 25 x 4 y ง. 11 ค. 11 ( −5x 0 ) 2 มีคาเทากับเทาใด 20 x 2 ก. − 45x

ค. 5 2 4x

ข. − 1 2 4x ง. − 45x

(3y) × (- 4y9) มีคาเทากับเทาใด ก. – 12y10 ค. – 7y8

ข. 12y9 ง. 12y10

(2x2)(x3)(3x4) มีคาเทากับเทาใด ก. 6x24 ค. 5x9

ข. 5x24 ง. 6x9

(2 × 108 ) (3 × 10 2 ) มีคาเทากับเทาใด ก. 1,1005 ค. 6.106

ข. 1,0005 ง. 6.105

(4y3)(y6)(3y) มีคาเทากับเทาใด ก. – 2a6x7 ค. 12y18

ข. 12y10 ง. 7y10

(a2x)3(- 2x2)2 มีคาเทากับเทาใด ก. – 2a2x7 ค. – 4a6x7

ข. 2a6x7 ง. 4a6x7

x3y5 มีคาเทากับเทาใด xy 2 ก. x2y2

ข. x2y3

ค.

5 2 2 x y

(- 48)(- 2)2 มีคาเทากับเทาใด ก. - 218 ค. 49

ง. x2y- 2 ข. (- 4)9 ง. 2(- 48)

รากและกรณฑ ความหมายของรากและกรณฑ

รากที่ n ของจํานวนจริงใด เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาตั้งแต 2 ขึ้นไป หมายถึง จํานวนจริงที่ยกกําลัง n แลว มีคาเทากับจํานวนจริงนั้น เชน รากที่สองของ 25 คือ 5 และ - 5 เพราะ 52 = 25 และ (– 5)2 = 25 รากที่สามของ 8 คือ 2 เพราะ 23 = 8 รากที่สี่ของ 81 คือ 3 และ – 3 เพราะ 34 = 81 และ (– 3)4 = 81 จากการหารากดัชนีตาง ๆ ของจํานวนจริงขางตน สังเกตไดวารากที่มีดัชนีเปน n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มคูบวก เชน รากที่สอง รากที่สี่ รากที่หก รากที่แปด เปนตน จะมีสองคา คือคาบวก และคาลบ ตัวอยางเชน รากที่สองของ 4 มีคาเปน 2 และ – 2 เขียน 4 แทนรากที่สองของ 4 ที่ เปนบวก นั่นคือ 4 = 2 และ − 4 แทนรากที่สองของ 4 ที่เปนลบ นั่นคือ − 4 = – 2

ใหนักเรียนศึกษาการอานกรณฑ 4 อานวา กรณฑที่สองของสี่ หรือรากที่สองที่เปนบวกของ 4 มีคาเทากับ 2 − 4 อานวา ลบกรณฑที่สองของสี่ หรือรากที่สองที่เปนลบของ 4 มีคาเทากับ – 2 3 64 อานวา กรณฑที่สามของหกสิบสี่ หรือรากที่สามของ 64 มีคาเทากับ 4 เนื่องจากรากที่มีดัชนีเปน n ของจํานวนจริงบวกเมื่อ n เปนจํานวนคูบวก จะมีคาเปนไปได สองคา คาหนึ่งเปนจํานวนบวก อีกคาหนึ่งเปนจํานวนลบ จึงตกลงวา ถาหมายถึงคาที่เปนลบจะตอง เขียนเครื่องหมายลบไวหนากรณฑของจํานวนนั้น ๆ ดวย ถาไมมีเครื่องหมายลบใหหมายถึงรากที่ มีคาเปนบวก ดังนั้น 18 = 3 และ − 18 = – 3 หรือ 2 = 1.414... และ − 2 = – 1.414… ดังนี้เปนตน กรณฑที่มีดัชนีเปนจํานวนคูบวก เชน

,4 ,6 ,8

จํานวนที่อยูภายในเครื่องหมาย

กรณฑจะตองเปนจํานวนบวก จึงจะสามารถหาคาได แตถาดัชนีของกรณฑเปนจํานวนคี่ เชน 3 ,5 ,7 จํานวนที่อยูภายในเครื่องหมายกรณฑจะเปนจํานวนบวกลบก็สามารถหาคาได สวน กรณฑดัชนีใด ๆ ของจํานวนศูนย เชน 0 , 3 0 มีคาเทากับศูนย

3.2 ความสัมพันธระหวางกรณฑกับเลขยกกําลัง การเขียนจํานวนที่มีเครื่องหมายกรณฑใหอยูในรูปของเลขยกกําลัง เขียนไดโดยใหจํานวนที่อยู ภายในเครื่องหมายกรณฑเปนฐานและมีเลขชี้กําลังเปนเศษสวน โดยมีตัวเศษเปนหนึ่งและตัวสวน เทากับดัชนีของกรณฑนั้น และสามารถนํากฎของเลขยกกําลังมาใชกับเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปน เศษสวนได a

1 a2 1 b3

= cn

( )

1 m n c

m cn

= ตัวอยาง 3.1 จงเปลี่ยนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของเลขยกกําลัง เมื่อ a > 0 และ b > 0 ก. 3 a 2 b 2 ค. ( a + b ) 2 ข.

ง.

a2 b3

วิธีทํา 1

ก. 3 a 2 b 2

= (a 2 b 2 ) 3 1

= (a 2 ) 3 ( b 2 ) 3

ข.

a3 3

2 2 a3b3

1 1 3 2 3 (a ) (a )

3 1 2 a a3

ตอบ

3+1 3

= a2 a3

a = a =

ค.

(a + b ) 2 =

9+ 2 6

11 a6

{(a b)2 }2

ตอบ

= a+b ง.

1 ⎫2

= ⎧⎨ 3 ⎬ ⎩b ⎭

a2 b3

1 2 2 (a ) 1

3 2

(b ) a 3 2 b

ตอบ

ตัวอยาง 3.3 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของกรณฑ เมื่อ a > 0 และ b > 0 ก. ข. วิธีทํา

ก.

1 5 3a 2 b 2 3 4 5a 5 4 b 1 5 3a 2 b 2

1 1 5 2 2 3a ( b )

= = 3 a b5 = 3 ab 2 b = 3ab 2 a b

= 3b 2 ab 1

ข.

5a 4 5 4 b

ตอบ

5( a 3 ) 4 1 5 4 (b )

54 a 3 = 4 5 b 54 a 3 = b4 b 5 4 a3 = b b

ตอบ

3.3 การบวกและลบกรณฑ กรณฑที่จะรวมเปนพจนเดียวกันไดนั้น พจนหรือนิพจนภายในเครื่องหมายกรณฑตอง เหมือนกัน และดัชนีของกรณฑตองเทากันดังตัวอยาง ตัวอยาง 3.4 จงทําใหเปนผลสําเร็จ 8 + 18 – 32 วิธีทํา 8 + 18 – 32 = 2× 2× 2 + 2×3×3 – 2× 2× 2× 2× 2 = 2 2+ 3 2– 4 2 = (2 + 3 – 4) 2 = 2 ตอบ ตัวอยาง 3.5

วิธีทํา = = = =

จงทําใหเปนผลสําเร็จ 75 + 147 + 2 125 – 4 20 – 27 75 + 147 + 2 125 – 4 20 – 27 3×5×5 + 3×7×7 + 2 5×5×5 - 4 2× 2×5 - 3×3×3 5 3 + 7 3 + (2 × 5 5 ) - (4 × 2 5 ) - 3 3 (5 + 7 – 3) 3 + (10 – 8) 5 9 3+ 2 5 ตอบ

ตัวอยาง 3.6

จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1 + 1 2 8

วิธีทํา

= =

= = =

1 + 1 2 8 1×2 + 1×8 2 2 8 8 1 2+ 1 8 2 8 1 2 + 1 2×2×2 2 8 1 2+ 2 2 2 8 ( 12 + 14 ) 2 3 4 2

ตอบ

3.3 การคูณและหากรณฑ การคูณและหากรณฑ ทําไดอยางไร ใหศึกษาจากตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยาง 3.10 จงหาผลคูณ 3 7 × 2 6 วิธีทํา 3 7 × 2 6 = 3 × 2 7 × 6 = 6 42 ตัวอยาง 3.11 จงหาผลคูณ วิธีทํา

12 8

= = = =

ตอบ

12 8

1 1 3 (12 ) × (8 ) 2 1× 2 1×3 12 3 2 × 8 2 3 2 3 6 6 12 × 8 6

12 2

= 6 12 2 × 8 3 = 6 2 2 × 2 2 × 32 × 2 3 × 2 3 × 2 3 = 6 2 6 × 2 6 × 2 × 32 = 2 × 26 2 × 32 = 4 6 18

ตอบ

ตัวอยาง 3.12 จงหาผลคูณ วิธีทํา

a ×5 b

a × 5 b เมื่อ a > 0 1

= a2 × b5 5 2 10 10 a ×b 10 5 10 2 a × b 10 5 2

= = ab = ตัวอยาง 3.14 จงหาผลคูณของ ( 2 วิธีทํา ( 2 - 5 ) ( 2 + 5 ) = = =

ตอบ 5 ) และ ( 2 + 5 ) ( 2 ) 2 – 2 5 + 2 5 – ( 5) 2 2–5 –3

ตอบ

ตัวอยาง 3. 15 จงทําใหเศษสวนที่กําหนดใหมีตัวสวนเปนจํานวนเต็ม 3+ 2 3− 2 วิธีทํา

3 + 2 = ( 3 + 2 )(3 + 2 (3 − 2 )(3 + 2 ) 3− 2 2 + (2 × 3 2 ) + ( 2 ) 9 = 9−2 = 9 + 6 72 + 2

= 11 + 76 2

ตอบ

ตัวอยาง 3.16 จงทําใหเศษสวนที่กําหนดใหมีตัวสวนเปนจํานวนเต็ม 2 3−4 3 3+2 วิธีทํา

2 3 − 4 = ( 2 3 − 4 )(3 3 − 2 ) 3 3+2 ( 3 3 + 2 )(3 3 − 2 ) 2 = 6( 3 ) − 12 23 − 4 3 + 8 9( 3 ) − 4 16 3 + 8 = 18 −27 −4 16 3 = 26 −23

ตอบ

2 x+ y ใหอยูในรูปที่ตัวสวนไมมีเครื่องหมายกรณฑ x +2 y เมื่อ x > 0 และ y > 0

ตัวอยาง 3.17 จงเขียน

วิธีทํา

2 x+ y ( 2 x + y )( x − 2 y = x +2 y ( x + 2 y )( x − 2 y 2 x + (1 − 4 ) xy − 2 y = x − 4y 2 x − 2 y − 3 xy = x − 4y

ตอบ

3.4 การแกสมการที่ตัวแปรมีเครื่องหมายกรณฑ การแกสมการในงานชางบางครั้งตัวแปรอาจอยูในเครื่องหมายกรณฑ เชน d = D 2 − 4πA , T = 2 π Lg , r = 3 43Vπ หลักการแกสมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ โดยทั่วไปใชวิธียกกําลังเทากับดัชนีของกรณฑทั้ง สองข า งเพื่ อ ให เ ครื่ อ งหมายกรณฑ ห มดไป การแก ส มการที่ มี เ ครื่ อ งหมายกรณฑ จ ะต อ ง ตรวจสอบคาที่จะใชเปนคําตอบทุกครั้ง เพราะบางครั้งคาที่ไดอาจไมสอดคลองกับสมการ ตัวอยาง 3.18 จงแกสมการ 12 x + 1 − 5 = 0 12 x + 1 − 5 = 0 วิธีทํา 12 x + 1 = 5 ยกกําลังสองทั้งสองขาง 12x + 1 = 25 12x = 25 – 1 x = 2 ตรวจสอบคาของ x แทนคา x = 2 ทางซายของสมการ จะได (12 × 2 ) + 1 − 5

ซึ่งเทากับทางขวาของสมการ นั่นคือ x = 2 ทําใหสมการเปนจริง ดังนั้น x = 2

= 25 − 5 = 5–5 = 0

ตอบ

ตัวอยาง 3.19 จงแกสมการ 3 x + 3 = 4 3 x+3 = 4 วิธีทํา ยกกําลังสามทั้งสองขาง x + 3 = 43 x = 64 – 3 = 61 ตรวจสอบคาของ x แทนคา x = 61 ทางซายของสมการ จะได 3 61 + 3 = 4 ซึ่งเทากับทางขวาของสมการ นั่นคือ x = 61 ทําใหสมการเปนจริง 3.7 การประยุกตในงานชาง

การคํานวณในทางชางบางครั้งตองนําความรูเรื่องกรณฑมาใชดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยาง 3.24 เตาไฟฟามีความตานทาน 75 โอหม ใชกําลังไฟฟา 720 วัตต จงหากระแสไฟฟาที่ตองใช กําหนด P = I2R เมื่อ P แทนกําลังไฟฟาที่เตาไฟฟาใช มีหนวยเปนวัตต R แทนความตานทาน มีหนวยเปนโอหม I แทนกระแสไฟฟา มีหนวยเปนแอมแปร วิธีทํา จาก P = I2R 720 = I2 × 75 I2 = 720 75 = 9.6 I = 9.6 A = 96 × 10 × 10 − 2 A = 10 − 1 10 × 96 A จากตาราง 10 × 96 = 30.98387 I = 30.98387 × 10 − 1 A = 3.10 A ดังนั้น ตองใชกระแสไฟฟา 3.10 แอมแปร

ตอบ

ตัวอยาง 3.26 ในการติดตั้งถังจายน้ํารูปทรงกระบอกในหมูบานจันสรร ปริมาตร 50.00 ลูกบาศกเมตร มีความสูงดังรูป จงหาเสนผานศูนยกลางของถังจายน้ํา

วิธีทํา

V = π4 d 2 h V แทนปริมาตรน้ําในถังเทากับ 50.00 ลูกบาศกเมตร h แทนความสูงของถังเทากับ 4.00 เมตร d แทนเสนผานศูนยกลางของถัง มีหนวยเปนเมตร 2 50 = 3.14 ×4d × 4 d2 = 350 .14 = 15.92 15.9 d =

= 159 × 10 − 2 × 10 m = 10 − 1 10 × 159 m = 39.87 × 10 − 1 m = 3.99 m ดังนั้น เสนผานศูนยกลางของถังจายน้ําเทากับ 3.99 เมตร

ตอบ

ตัวอยาง 3.27 จงหาคาเสนผานศูนยกลางของเพลาตันที่มีโพลารโมเมนตออฟอินเนอรเชีย เทากับ 63.585 (เซนติเมตร)4 4 กําหนดให J = π32d เมื่อ J แทนโพลารโมเมนตออฟอินเนอรเชีย มีหนวยเปน (เซนติเมตร)4 d แทนเสนผานศูนยกลาง มีหนวยเปนเซนติเมตร

วิธีทํา

J = 63.585

= d4 = = d =

πd 4 32 3.14 d 4 32 63.585 × 32 3.14 648 4 648 cm 1

= ( 648 ) 2 d = 25.46 =

cm cm

255 × 10 × 10 − 2

= 10 − 1 10 × 255

cm cm

= 10 − 1 × 50.497 cm = 5.05 cm ดังนั้น เสนผานศูนยกลางของเพลาตันเทากับ 5.05 เซนติเมตร ตั้งแตปญหาโจทยขอที่ จงเลือกขอที่ถูกที่สุดเพียงขอเดียว x − 3 = 2 5 จงหา x มีคาเทาใด ก. 20 ข. 23 ค. 30 ง. 13

ถา x − 7 = 3 จงหา x มีคาเทาใด ก. 4 ค. 16

ข. 10 ง. – 16

ถา 2 x + 1 = 1 จงหาคาของ x ก. 0 ค. 2

ข. 1 ง. 3

ถา 5 3b = 25 จงหา b มีคาเทาใด ก. 15 ค. 53

ข. 253 1 ง. 75

ตอบ

5x = 10 จงหาคาของ x 3

ถา ก. 6 ค. 60

ข. 30 ง. – 60

ถา 4 x − 5 = 3 7 จงหาคาของ x ก. 14 ข. 15 ค. 16 ง. 17 ถา

3x =

81 จงหาคาของ x 3x

ก. 3, – 3 ค. 9, – 9 ถา

ข. 27 ง. 27, – 27

11x − 7 = 5 จงหาคาของ x

ก. 12 11 ค. 12

ข. 32 11 11 ง. 12

ถา x 2 − 9 = x – 3 จงหาคาของ x ก. 4 ข. 9 ค. – 6 ง. – 9 ถา

3x − 1 = จงหาคาของ x 5

ก. 7 ค. 203

ข. 8 ง. 113

50 เขียนใหมในรูป ก. 2 5 ค. 5 2

ข. 4 5 ง. 3 5

27x 2 เขียนเปนรูปอยางงายไดคือ ก. 272 x ค. 3x 3

ข. 3x 2 3 ง. 9x 3

72 เขียนเปนรูปอยางงายไดคือ ก. 3 2 ค. 6 2

ข. 2 3 ง. 2 6

5 3 − 3 3 มีคาเทากับเทาใด ก. 2 ค. 2 9

ข. 2 3 ง. ไมมีขอถูก

6 3 − 4 3 + 7 3 มีคาเทากับเทาใด ข. 9 9 ก. 9 27 ค. 9 3 ง. − 9 3 3 5 − 5 20 มีคาเทากับเทาใด ก. − 2 20 ค. − 7 5

ข. − 2 15 ง. 7 5

63 + 28 มีคาเทากับเทาใด ก. 91 ค. 13 7

ข. 9 ง. 5 7

3 2

−

ก. 63 ค. 33

3 + 3 มีคาเทากับเทาใด 3 6

ข. 23 ง. 5 6 3

20 − 24 + 180 + 54 มีคาเทากับเทาใด ก. 6 + 4 5 ข. ค. 4 5 − 6 ง. 9 2

10 2 ค. 3 2

ก.

1 มีคาเทากับเทาใด 2

ข.

6−4 5 5+ 6

10 2

ง. 2 2

( 7 + 2 ) 2 มีคาเทากับเทาใด ก. 9 ค. 7 7 + 2 2

ข. 2 14 ง. 9 + 2 14

( 7 + 3 )( 7 − 3 ) มีคาเทากับเทาใด ก. 10

ข. 4

ค.

14− 6

ง.

2 7 −2 3

( 3 2 + 2 3 )(3 2 − 2 3 มีคาเทากับเทาใด ก. 6 2 − 6 3 ข. 6 6 ค. 6 ง. 5 ( 4 3 − 3 2 )( 4 3 + 3 2 ) มีคาเทากับเทาใด ก. 12 3 − 12 2 ข. 16 6 ค. 7 3 ง. 30 5 − 3 มีคาเทากับเทาใด 5+ 3 ก. 8 + 2 15 8 ค. 4 − 15

ง. ไมมีขอถูก

4 มีคาเทากับเทาใด 5−2 6 ก. 4 ( 5 − 2 6 ) ค. 4 ( 5 − 4 6 )

ข. 4 ( 5 + 2 6 ) ง. 12

3 5 − 3 มีคาเทากับเทาใด 5+ 3 ก. 9 5 −8 2 3 ค. 9 + 2 15

ข. 9 5 +8 2 3 ง. 9 − 2 15

ข. 4 + 15

บทที่ 2 จํานวนเชิงซอน จํานวนเชิงซอน จํานวนเชิงซอน คือ จํานวนที่เขียนอยูในรูปตอไปนี้ คือ

z = x + jy โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ

x เรียกวา “ สวนจริง “ y เรียกวา “ สวนจินตภาพ “ j เรียกวา “ หนวยจินตภาพ “ โดยที่ j = −1 เพื่อความสะดวกเราใชสัญลักษณ สวนจริง

Re z = x

สวนจินตภาพ

Im z = y

ตัวอยางของจํานวนเชิงซอน เชน z1 = 3 + j 2

z2 = - 3 + j 4 z3 = 4 - j 5 z4 = - 6 - j 9 จํานวนจริงทุกจํานวนสามารถเขียนในรูปของจํานวนเชิงซอน x + jy ไดเสมอ เชน

2 = 2 + j0 -3 = -3 + j0 1 2

1= 2

+ j0

จํานวนจินตภาพทุกจํานวนสามารถเขียนในรูปของจํานวนเชิงซอน x + jy ไดเสมอ เชน j3 = 0+j3

-j8 = 0- j8 j 41 = 0 + j 1 4 สรุป จํานวนจริง และจํานวนจินตภาพ คือ จํานวนเชิงซอนนั่นเอง ตัวอยาง

จงหาสวนจริง และสวนจินตภาพของจํานวนตอไปนี้

1. 2 - j3 2. 4 + j5 3. –9 + j2

4. – 6 5. j8 6. 0

วิธีทํา

1. จาก z = 2 – j3 สวนจริงคือ สวนจินตภาพ คือ

Re z = 2 Im z = -3

2. จาก z = 4 + j5 สวนจริงคือ สวนจินตภาพ คือ

Re z = 4 Im z = 5

3. จาก z = -9 + j2 สวนจริงคือ สวนจินตภาพ คือ

Re z = -9 Im z = 2

4. จาก z = - 6 ( - 6 + j0 ) สวนจริงคือ สวนจินตภาพ คือ

Re z = - 6 Im z = 0

5. จาก z = j8 ( 0 + j8 ) สวนจริงคือ สวนจินตภาพ คือ

Re z = 0 Im z = 8

6. จาก z = 0 ( 0 + j0 ) สวนจริงคือ สวนจินตภาพ คือ

Re z = 0 Im z = 0

จํานวนเชิงซอนสังยุค ให z = x + jy เปนจํานวนเชิงซอนใด ๆ จํานวนเชิงซอนสังยุคของ z เขียนแทนดวย สัญลักษณ z ซึ่งหาไดดังนีค้ ือ

z = x + jy ตารางตอไปนีเ้ ปนตัวอยางของจํานวนเชิงซอน

(Z)

และจํานวนเชิงซอนสังยุค

(Z)

5 + j7 4 - j8 -2 + j5 -7 - j12 -3 4 - j3 - j6

5 - j7 3 + j8 -2 - j5 -7 + j12 -3 4 - j3 - j6

หมายเหตุ จํานวนเชิงซอน และจํานวนเชิงซอนสังยุคจะมีสวนจริงเหมือนกัน แตสวนจินตภาพมีคา ตรงขามกัน กราฟของจํานวนเชิงซอน จํานวนเชิงซอนในรูป x + jy สามารถเขียนอยูในรูปไดเสมอ คือ

x + jy = ( x, y )

ดังนั้น เราจึงนําจํานวนเชิงซอนไปเขียนกราฟไดเหมือนกับการเขียนกราฟโดยปกติทั่วไป และเราจะเรียกแกนนอน ( x ) และแกนตั้ง ( y ) ดังนี้ แกนนอน ( x ) เรียกวา “ แกนจริง “ แกนตั้ง ( y ) เรียกวา “ แกนจินตภาพ “ และเราจะเรียกระนาบนีว้ า “ ระนาบเชิงซอน “ หรือ ระนาบ “ อารกองค

จากรูปที่ 1. ความยาวจากจุดกําเนิด ( 0 ) ถึง P เรียกวา “ โมดุลัส “ ซึ่ง โมดุลัส นี้ก็คือ คา สัมบูรณของจํานวนเชิงซอนนั่นเอง หาไดจาก

op =

x2 + y2 = r

2. มุมที่วัดจากแกน x ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาไปยัง op หรือ r เรียกวา “ อารกิว เมนต “ หรือ “ แอมพลิจูด “ ของจํานวนเชิงซอน หาไดจาก

tan

= xy หรือ

arctan xy

2 + j หาโมดุลัส และ อารกิวเมนต 2 + j = ( 2 , 1 ) = ( x, y )

ตัวอยางที่ 1 จงเขียนกราฟของ วิธีทํา

r = x2 + y2

โมดุลัส

จากสูตร

tan

อารกิวเมนต

ตัวอยางที่ 2 จงเขียนกราฟของ -1 + j วิธีทํา

= (2) 2 + 12 = = 2 +1 = xy = 1 2 1 = arctan 2

-1 + j 3 = ( -1,

และหาคาสัมบูรณและแอมพลิจูด

) = ( x, y )

คาสัมบูรณ r =

x2 + y2

= = =

3 หนวย

( −1) 2 + (3) 2 1+3 4 = 2 หนวย

y = x

3 = - 3 −1

จากสูตร tan

tan ∴ แอมพลิจูด

= - tan ( 60 ° ) = tan ( 180 ° - 60 ° ) = 180 ° - 60 ° = 120 °

หมายเหตุ การหาอารกิวเมนนต หรือแอมพลิจูดของจํานวนเชิงซอน ใหยึดหลักดังตอไปนี้

1. จํานวนเชิงซอนในจุลภาคที่ 1 tan θ =

(

P X ,Y

)

y x

∴θ =

tan A

r O

2. จํานวนเชิงซอนในจุลภาคที่ 2 tan θ =

(

P −X ,Y

)

tan θ =

−X

= - tan

tan ( 180

∴θ

−y

A A)

−

= 180 o − A

3. จํานวนเชิงซอนในจุลภาคที่ 3 Y −X

θ O

(

−Y

)

−x

tan θ = ∴θ =

r P −X ,Y

−y

tan θ =

tan A o

tan ( 180

180

+ A)

+ A

4. จํานวนเชิงซอนในจุลภาคที่ 4 Y X

r −Y

tan θ = tan θ = ∴θ =

−y

−tan A

tan ( 360

360

−

จํานวนเชิงซอนในรูปแกนมุมฉาก “ จํานวนเชิงซอนที่เขียนอยูในรูป x + jy เราเรียกวา “ จํานวนเชิงซอนในรูปแกนมุมฉาก “ นั่นเอง ซึ่งในรูปนี้ ถาเรานํามา บวก ลบ หรือ คูณกัน ใหกระทําแบบปกติธรรมดาทั่ว ๆ ไป ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของจํานวนตอไปนี้ ก. ( 3 – j5 ) + ( 4 – j2 ) ข. ( 6 + j2 ) – ( 5 – j4 ) วิธีทํา

ก. ( 3 – j5 ) + ( 4 – j2 )

= 3 – j5 + 4 – j2 = ( 3 + 4 ) + ( - j5 – j2 ) = 7 – j7

ข. ( 6 + j2 ) – ( 5 – j4 )

= 6 + j2 – 5 + j4 = ( 6 – 5 ) + ( j2 + j4 ) = 1 + j6 ตัวอยางที่ 4 จงหาคาของจํานวนตอไปนี้ ก. ( 2 + j3 ) ( 4 – j5 ) ข. ( 6 – j4 ) ( 7 – j2 ) วิธีทํา

ก. ( 2 + j3 ) ( 4 – j5 )

= 8 – j10 + j12 – j215 = 8 + j2 – ( -1 ) 15 = 8 + j2 + 15 = 23 + j2

= 42 – j12 – j28 + j28 = 42 – j40 + ( -1 ) 8 = 42 – j40 – 8 = 34 – j40 สําหรับการหารจํานวนเชิงซอนในรูปแกนมุมฉากใหนําจํานวนเชิงซอนสังยุคของตัวหาร คูณทั้งเศษและสวน ดังนี้ ข. ( 6 – j4 ) ( 7 – j2 )

x1 + jy 1 x 2 + jy 2

( x1 + jy1 ) x ( x1 − jy1 ) ( x2 − jy2 ) ( x 2 + jy2 )

สิ่งที่ควรจําเพื่อประโยชนสําหรับการหาร คือ ผลคูณของจํานวนเชิงซอนกับจํานวน เชิงซอนสังยุค เปนดังนี้คือ ( x + jy ) ( x – jy ) = x2 + y2 ตัวอยางที่ 5 จงหาคาของจํานวนตอไปนี้ ก. วิธีทํา

3 − j4 2 + j3

ข. 4 − j2 2+ j

(3 − j 4) x (2 − j3) (2 + j3) (2 − j3)

ก. 3 − j 4 = 2 + j3

= = = ข.

4 − j2 2+ j

2 6 − j9 − j8 − j 12 22 + 32 6 − j17 −12 4+9 −

−

j17

(4 − j 2) x (2 − j) (2 + j) (2 − j)

8 − j4 − j4 + j 2 2 22 + 12

= =

17 −6 + j 13 13

8 − j4 − j4 + j 2 2 4 +1

6 − j8 5

จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้วเขียนอยูในรูปของ r∠θ หรือ r(cos θ + j sin θ )

6 − j8 5 5

โดยที่ r คือ โมดุลัส หรือ คาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน คือ อารกิวเมนต หรือ แอมพลิจูดของจํานวนเชิงซอน 1. การเปลี่ยนจํานวนเชิงซอนในรูปแกนมุมฉากไปเปนรูปเชิงขั้ว θ

รูปแกนมุมฉาก x + jy หรือเทากับคุลําดับ ( x, y ) นําไปเขียนกราฟได ดังนี้

จากรูปเราจะได x y r tan θ

= r cos θ = r sin θ = x y = y x x + jy = r cos θ + j r sin θ = r ( cos θ + j sin θ )

จาก

ตัวอยางที่ 6 จงเปลี่ยน 1 + j วิธีทํา

เปนรูปเชิงขั้ว 1+ j 3

= (1 , j

r =

1 +

= = =

x y

√3

P(1, √3 ) X O

tan θ ∴θ

จาก x + jy 1+j

3 3

) = ( x, y)

x2 + y2

( 3)

1+ 3

= 60°

r (cos θ + j sine θ )

= 2 ( cos 60º + j sin 60º ) = 2 ∠60º

= tan 60°

= 2

ตัวอยางที่ 7 จงเปลี่ยน วิธีทํา −2

-2√2

เปนรูปเชิงขั้ว

− 2 2 − j2 2

2 − j2 2

Y O

-2√2

2, − 2 2

x2 + y2

(− 2 2 ) + (− 2 2 )

8+8

tan θ =

y x

tan θ = tan 45° ∴ θ

−2 2

= 4

−2 2

= tan ⎛⎜180 ° + 45° ⎞⎟

= 180° + 45°

⎝

⎠

= 225°

x + jy = r (cos θ + j sine θ )

จาก ∴

)= ( x,

= X

(− 2

− 2 2 − j2 2

= 4 ( cos 225° + J sin 225° ) = 4 ∠225°

2 การเปลี่ยนจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้วเปนรูปแกนมุมฉาก การเปลี่ยนรูปเชิงขั้วเปนรูปแกนมุมฉาก เพียงแตเราแทนคาฟงกชั่น sin θ และ cos θ ก็จะเปลี่ยนเปนรูปแกนมุมฉากทันที ตัวอยางที่ 8 จงเปลี่ยน 4 ( cos 30º + j sin 30º ) เปนรูปแกนมุมฉาก วิธีทํา

cos 30° = sin 30° =

3 2 1 2

3 2

3 1 ∴ 4 ( cos 30° + j sin 30° ) = 4 ⎜⎛ 2 + j 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ = 2 3 + j2

ตัวอยางที่ 9 จงเปลี่ยน 2 3 (cos 150° + j sin 150° ) เปนรูปแกนมุมฉาก วิธีทํา cos 150° = cos (180° - 30°) cos 150°

= - cos 30°

−

1 2

3 2

= sin (180° - 30°) = sin 30° ∴

2 3 (cos 150° + j sin 150° )

⎛ 3 1⎞ + j ⎟⎟ 2 3 ⎜⎜ − 2⎠ ⎝ 2 −3+ j 3

การคูณจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว ให z1 = r1(cos θ1 + j sin θ1) = r1 ∠θ1 Z2 = r2(cos θ2 + j sin θ2) = r2 ∠θ2 หรือ

r1 ∠θ1 × r2 ∠θ2 = (r1 r2∠θ1 + θ2 ขอสังเกตุ การคูณจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้วใหนําโมดูลัสคูณกันและนําเอาอากิวเมนตมาบวกกัน ตัวอยางที่ 10 จงหาผลคูณของ วิธีทํา

2 2 (cos 90° + j sin 90° )

⎛⎜ 2 ⎝

กับ

2 (cos 30° + j sin 30° )

2 ⎞⎟⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎪⎨cos ⎜⎜ 90 ° + j sin 30 ° ⎟⎟ + j sin (90 ° + 30 ° )⎪⎬ ⎠⎝

⎧

⎛

⎞

⎫

⎠ ⎪⎩

⎝

⎠

⎪⎭

= 4 ( cos 120° + j sin 120°)

ตัวอยางที่ 11 จงหาผลคูณ 3∠60° วิธีทํา 3∠60° x 2∠70°

กับ

2∠70°

= 3 x 2 ∠60°+70° = 6 ∠130°

การหารจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว กําหนดให Z1 = r1(cos θ1 + j sin θ1) = r1 ∠θ1 Z2 = r2(cos θ2 + j sin θ2) = r2 ∠θ2 z1

r = 1 { cos ( θ1 − r2

) + ( j sin θ1 − θ 2 ) }

หรือ r1 ∠θ r = 1 ∠θ 1 − θ 2 r21 ∠θ r2

6 ( cos 120 ° +

j sin 120 ° ) 4 ( cos 90 ° + j sin 90 ° )

ตัวอยางที่ 12 จงหาคาของ

วิธีทํา 6 ( cos 120

j sin 120 ) 4 ( cos 90 ° + j sin 90 ° ) °

= =

ตัวอยางที่ 13 จงหาคาของ ก. 4∠70° ÷ ข.

2 3

⎧

⎫

⎩ 3 ( cos 30 ° + 2

⎭

6⎪ o o o o ⎪ ⎨cos(120 − 90 ) + j sin (120 − 90 )⎬ 4⎪ ⎪

2∠40°

∠225° ÷

2 3

∠45°

j sin 30° )

วิธีทํา

° 4 ∠ 70 ก. 2∠40 °

ข.

2∠70 ° − 40 °

2∠40 °

2 3 ∠225° 3∠45°

= 2 ∠225° − 45° =

2 ∠180 °

จํานวนเชิงซอนในงานชาง จํานวนเชิงซอนนําไปใชประโยชนในวิชาไฟฟาไดดังนี้คือ

หมายเหตุ คาอิมพีแดนซทั้งหมดที่กลาวมา เขียนอยูในรูปเชิงซอนแกนมุมฉาก ถาตองการ เขียนใหอยูในรูปเชิงซอนเชิงขั้วก็ใหใชหลักและวิธีการเดียวกันกับหัวขอที่เรียน มากอนแลว ตัวอยางที่ 14 ในวงจร RL มีความตานทาน 500 3 โอหม และมีอินดักตีฟรีแอกแตนซ 500 โอหม จงหาหาอิมพีแดนซในรูปเชิงขั้ว

วิธีทํา จากวงจร RL นํามาเขียนกราฟอิมพีแดนซไดดังนี้

จากรูปอิมพีแดนซ

Z = R + jXL = 500 3 + j 500 โอหม เปลี่ยนใหอยูใ นรูปเชิงขั้ว R ∠θ r = (500 3 ) 2 + ( 500 ) 2 = 750,000 + 250,000 = 1,000,000

โมดุลัส

= 1,000 tan

∴θ ดังนั้น

500 = 1 = tan 30° 500 3 3

= 30°

500 3 + j 500 = 1,000 ∠30 ° โอหม

ตัวอยางที่ 15 วงจร RC มีคาอิมพีแดนซเทากับ 950 ∠ − 60 ° จงหาความตานทานและคาปาซิ ตีฟรีแอกแตนซของวงจร

วิธีทํา จากวงจร RC นํามาเขียนกราฟอิมพีแดนซไดดังนี้

R - j XC ……….. 1

จากรูป อิมพีแดนซ

โจทยกําหนดให

= 950 ∠ − 60 °

[

= 950 cos − ( − 60 ° ) + jsin ( − 60 ° ) = 950 ( cos 60 ° - j sin 60 ° )

1 = 2

= 950 ( 2 - j 2 ) = 475 - j 475 3 ………… 2 = 475 - j 475 3 R - jXC ดังนั้นความตานทาน R = 475 โอหม คาปาซิตีฟรีแอกแตนซ XC = 475 3 โอหม

]

บทที่ 3 เรขาคณิตเบื้องตน

งานชางที่เปน งานทางดานอุตสาหกรรมโดยสวนใหญนั้ น ต องเกี่ ย วของกั บรู ปทรง เรขาคณิตเกือบทั้งสิ้น และมีรูปทรงหลายลักษณะตาง ๆ เขามาประกอบรวมกัน เชน การผลิตในงาน กลึง เกี่ยวของกับรูปสี่เหลี่ยมและรูปทรงกลม การผลิตทอน้ําเกี่ยวของกับรูปแบบเสนตรงและรูปมุม ฉาก เปนตน เมื่อรู ปทรงเรขาคณิ ต มีส ว นสํา คั ญ ในงานชางที่ได ก ลา วมา ในรายละเอี ย ดสํ าหรั บ การศึกษาเรื่องเรขาคณิตเบื้องตนนั้นยอมสงผลความเขาใจมากยิ่งขึ้นไปสูในรูปทรงเรขาคณิตที่ดีอีก นับวาเปนสิ่งที่สําคัญที่ตองทําการศึกษาใหเขาใจอยางชัดเจน เพื่อนําไปใชใหเกิดประโยชนกับงานชาง ในแตละชางและแตละสาขาตามรูปแบบงานนั้นที่ตองทําขึ้นมาใชในงานชาง ตัวอยางรูปแบบเรขาคณิตเบื้องตนและรูปทรงเรขาคณิต

รูปที่ 1 แสดงรูปแบบเรขาคณิตเบื้องตน

รูปที่ 2 แสดงรูปทรงเรขาคณิต

สัญลักษณ (Symbols) หรือเครื่องหมายที่นยิ มใชในเรขาคณิตเบื้องตน สัญลักษณ ความหมาย เทากับ, เทากัน = ไมเทากับ, ไมเทากัน   , 2 มุม ฉ มุมฉาก วงกลม S วงกลมหลายกลม cc เสนรอบวง เทากันทุกประการ ;  ขนานกัน, ขนานกับ  ; ไมขนานกัน 

จ

เพราะฉะนัน้ , ดังนั้น เพราะวา สามเหลี่ยม สามเหลี่ยมหลายรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส

ข

สี่เหลี่ยมดานขนาน

ผ

สี่เหลี่ยมผืนผา มากกวา, ใหญกวา นอยกวา, เล็กกวา ตั้งฉากกับ, ตั้งฉากกัน คลายกับ

 s

   

สิ่งที่เห็นจริงและสัจพจน 1. สิ่งที่เห็นจริงแลว (Axioms) คือ ขอความที่ยอมรับกันทั่ว ๆ ไปวาเปนความจริง ไม ตองมีการพิสูจน คือ 1.1 สิ่งของหรือจํานวนที่เทากับสิ่งของ หรือจํานวนเดียวกันยอมเทากัน 300 = 1,000 – 70 ; 250 = 200 + 50 350 - 50 = 300 + 50 ; 2 x 3 = (3-1)(5-2) 3xy = 3x 2 y เมื่อ x  0 x 2 x

1.2 สิ่งของหรือจํานวนที่เทากันเมื่อถูกเพิ่มหรือลดลงดวยจํานวนที่เทากันผลยอมเทากัน ของเดิม; 300 = 1,000 – 700 เพิ่มขึ้น; 300 + 75 = (1,000 - 700) + (3/4 x 100) ลดลง; 300 – 75 = (1,000 – 700) – (3/4 x 100) 1.3 จํานวนที่เทากัน เมื่อคูณดวยจํานวนที่เทากัน ผลลัพธยอมเทากัน ตัวอยางเชน 300 = 1,000 – 700 และ 250 = 300 – 50 ทําให 300(250) = (1,000 – 700)(300 – 50) 75,000 = 7,500 1.4 จํานวนที่เทากัน เมื่อหารดวยจํานวนที่เทากัน ผลลัพธยอมเทากันและยังมีอื่น ๆ อีก ตัวอยางเชน 300 = 1,000 – 700 และ 250 = 300 – 50 ทําให 300 = 2. สัจพจน (Postulates) คือ สิ่งที่ยอมรับในวิชาเรขาคณิตวาเปนความจริง โดยไมตองมี การพิสูจน และนําไปใชอางเมื่อการพิสูจนขอความอื่นวาเปนความจริง คือ 2.1 มีเสนตรงเพียงเสนเดียวเทานั้นที่ลากผานจุดที่กําหนดให 2 จุด ไดสั้นที่สุด

รูปที่ 3 (a) รูปที่ 3 (b) รูปที่ 3 (c) รูปที่ 3 (a) และ (b) มีความยาวเสนมากกวา 2.5 เซนติเมตร รูปที่ 3 (c) มีความยาวเสน (เสนตรง) เทากับ 2.5 เซนติเมตร รูปที่ 3 (a), (b) และ (c) แสดงเสนตรงเพียงเสนเดียวเทานั้นที่สามารถลากผานจุดทีก่ ําหนดให 2 จุด ไดสั้นที่สุด 2.2 เสนตรง 2 เสนตัดกันไดที่จดุ ๆ เดียว เทานั้น

รูปที่ 4 แสดงเสนตรง 2 เสนตัดกันไดที่จุดเดียวเทานั้น

2.3 ปลายทั้ง 2 ขางของเสนตรงยอมตอออกไปไดไมจํากัด ดังแสดงในรูปที่ 5 B. C. E. 3 ซม.

2 ซม.

4 ซม.

G. F.

2 ซม.

1 ซม.

2 ซม.

รูปที่ 5 แสดงปลายทั้ง 2 ขางของเสนตรงยอมตอออกไปไดโดยไมจํากัด

2.4 เมื่อมีจุดหนึ่งเปนจุดศูนยกลาง จะสรางวงกลมที่มคี วามยาวรัศมี ตามทีก่ ําหนดใหได เพียงวงเดียว A  จุดศูนยกลาง

r = 1.5 ซม.

รูปที่ 6 (a)

รูปที่ 6 (b)

รูปที่ 6 (c)

รูปที่ 6 (c) แสดงวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด A มีรัศมี 1.5 เซนติเมตร

2.5

รูปทรงทางเรขาคณิตถือวาเคลื่อนที่ได โดยไมเปลี่ยนแปลง

(a)

(b)

(c)

รูปที่ 7 (a), (b), (c) แสดงรูปทรงเรขาคณิตเคลื่อนที่

2.6 เสนตรงที่กําหนดจะมีจดุ กึ่งกลางไดจดุ เดียว C

เสนตรง AB มีความยาว 4 ซม.

B เสนตรง AO - OB = 2 ซม.

D รูปที่ 8 แสดงเสนตรงที่กําหนดจะมีจุดกึ่งกลางไดจุดเดียว

2.7 มุม ๆ หนึ่ง จะมีเสนแบงครึ่งมุมไดเสนเดียว



มุม ABC = 60o

30 30

มุม ABD = มุม DBC = 30o

รูปที่ 9 แสดงการแบงครึ่งมุม (มุมที่กําหนดให) ไดเพียงเสนเดียว

2.8 ณ จุดทีก่ ําหนดใหบนเสนตรงเสนหนึ่ง จะลากเสนตั้งฉากไดเสนเดียว D 2.8 ซม.

1.5 ซม.

รูปที่ 10 แสดงจุดที่กําหนดใหบนเสนตรงเสนหนึ่ง จะลากเสนตั้งฉากไดเสนเดียว

2.9 มุมรอบจุดศูนยกลางยอมเปน 2 เทาของมุมตรง หรือเปน 4 เทาของมุมฉาก C

360

180

มุม A = 360 มุม ABC = 90 = 1 มุมฉาก มุม DEF = 180 = 2 มุมฉาก รูปที่ 11 แสดงมุมรอบจุดศูนยกลางยอมเปน 2 เทาของมุมตรงหรือเปน 4 เทาของมุมฉาก

2.10

รัศมีของวงกลมที่โตเทากัน ยอมยาวเทากัน

B r1

รูปที่ 12 แสดงวงกลมที่จุด A และ B เปนจุดศูนยกลางที่มีรัศมี = 1.3 เซนติเมตร (แตมีขนาดของรัศมีไมเทากับ วงกลมที่จุด C เปนจุดศูนยกลางของวงกลม)

2.11 จะลากเสนตรงผานวงกลมวงหนึ่งไดเพียง 2 จุด D

A A

C B

F C านวงกลมวงหนึ่งไดเพียง 2 จุด รูปที่ 13 แสดงการลากเสนตรงผ

2.12 มุมฉากทุกมุม มุมตรงทุกมุม ยอมเทากัน C

D C

B มุม ABC = BCD = 90 = 1 มุมฉาก มุม DEF = GHI = 180 = 1 มุมตรง

รูปที่ 14 แสดงมุมฉากทุกมุม มุมตรงทุกมุม ยอมเทากัน

ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม 1. ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสีเ่ หลีย่ มดานขนาน D

AB = CD และ AB  CD AD = BC และ AD  BC B

1 2 3 4



B A D = B C D และ A B C = A D C

มีดานตรงขามยาวเทากันและขนานกัน มีมุมตรงขามเทากัน มีเสนทแยงมุมแตละเสนทําใหเกิดสามเหลี่ยม 2 รูป เทากันทุกประการ มีเสนทแยงมุมแบงครึ่งซึ่งกันและกัน

90 D

รูปที่ 15 (a)

รูปที่ 15 (b)

รูปที่ 15 (c)

จากรูปที่ 15 (a) แสดงความสัมพันธ ABC = ADC จากรูปที่ 15 (b) แสดงความสัมพันธ ABD = BDC จากรูปที่ 15 (c) แสดงความสัมพันธ AO = OC และ BO = OD (ซึ่งผลที่ไดจากเสนทแยงมุม AC ตัดกับ BD ที่จุด O) หมายเหตุ = มีความหมายแทน เทากันทุกประการ

2. ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสีเ่ หลีย่ มผืนผา D C 1 มีมุมทุกมุมเปนมุมฉาก 2 มีดานตรงขามยาวเทากันและขนาน กัน A B 3 มีเสนทแยงมุมทั้ง 2 ยาวเทากัน ตัด แบงครึ่งซึ่งกันและกัน จากรูปที่ 16 C



A = B = C = D = 1 มุมฉาก = 90

O B

รูปที่ 16 แสดงความสัมพันธในขอ AO = OC = BO = OD

AB = CD และ AB  CD AD = BC และ AD  BC AC = BD AO = OC = BO = OD

3 ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสีเ่ หลีย่ มจัตุรัส 1 มีดานทั้ง 4 ยาวเทากัน 2 มีมมุ ทั้ง 4 เปนมุมฉาก 3 เสนทแยงมุมทั้ง 2 ยาวเทากันและตั้ง ฉากซึ่งกันและกัน

91 C

จากรูปที่ 17 AB = BC = CD = DA A = B = C = D = 1 มุมฉาก = 90o

AC = BD และ BO  AOC

หรือ DO  AOC และ B AO  BOD หรือ CO  BO

รูปที่ 17 แสดงลักษณะและคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

3. ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสีเ่ หลีย่ มขนมเปยกปูน D

1 2 3 4

มีดานทั้ง 4 เทากัน ดานตรงขามของแตละคูข นานกัน มุมทั้ง 4 ไมเปนมุมฉาก เสนทแยงมุมไมเทากันและตั้งฉากซึ่ง กันและกัน

จากรูปที่ 18 AB = BC = CD = DA A

AB  CD และ BC  DA     A  B  C  D  90

รูปที่ 18 แสดงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน

AC  BD และ AOC  BOD 5. ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสีเ่ หลีย่ มคางหมู B

รูปที่ 19 แสดงรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

1 มีดาน 2 ดานขนานกัน 2 ดานอีก 2 ดานไมขนานกัน และไม จําเปนตองเทากัน ถาเทากันเรียกวา รูปสี่เหลี่ยมคางหมูทรงหนาจั่ว

จากรูปที่ 19 AB  CD และ AB  CD AD ไมขนาน BC และ AD  BC เรียกวารูป สี่เหลี่ยมคางหมู AD ไมขนาน BC และ AD = BC เรียกวารูปสี่เหลี่ยมคางหมูทรงหนาจั่ว ดังแสดงในรูปที่ 20

รูปที่ 20 แสดงรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทรงหนาจั่ว

A D

6. ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสีเ่ หลีย่ มดานไมเทา 1 มีดานทั้ง 4 ไมเทากัน B 2 มีมุมทั้ง 4 ไมเทากัน แตถามุมตรงขาม เทากัน วงกลมจะลอมรอบได 3 เสนทแยงมุมตัดกัน ไมแบงครึ่งซึ่งกันและ C กัน

รูปที่ 21 แสดงรูปสี่เหลี่ยมดานไมเทา

เสนตั้งฉากและเสนขนาน 1. เสนตั้งฉาก นิยาม เสนตั้งฉากก็คือ เสนตรงที่ตั้งอยูบนเสนตรงอื่นแลวทําใหมีมุมประชิดกัน (อยู สองขางและติดกัน) เทากัน และมุมที่แตละมุมที่เทากันนั้นเรียกวา “มุมฉาก” หรือเทากับ 90 องศา C

2 1 O

D รูปที่ 22 (b )

รูปที่ 22 (a )

รูปที่ 22 (a) รูปที่ 22 (b)

2 1 3 4

1ˆ = 2ˆ 1ˆ = 2ˆ = 3ˆ = 4ˆ

1.1 ลักษณะและคุณสมบัติของเสนตั้งฉาก 2. มีมุมประชิดเทากัน (รูปที่ 22 (a)) จากจุดภายนอกเสนตรง เมื่อลากเสนตรงไปยังเสนตรงนั้น เสนตั้งฉากจะเปนเสนที่สั้นทีสุด C

รูปที่ 23

จากรูป เมื่อลากเสนตรงใด ๆ จากจุด C มายังเสนตรง AB ถาไมอาจลากเสนตรง อื่น ๆ ใหสั้นกวา CO ไดแลว แสดงวา เสนตรง CO สั้นที่สุด ดังนั้น CO ตั้งฉากกับ AB

1.2 การสรางเสนตัง้ ฉาก ในวิชาเรขาคณิต มีวิธกี ารสรางเสนตั้งฉากไดหลายวิธี ถาตองการสรางเสนตรงให ตั้งฉากกับเสนตรง AB ที่จุด O มีวิธีสรางดังนี้ วิธีที่ 1 การสรางเสนตั้งฉากกับเสนตรง AB ที่จุด X วิธีสราง 1. ใช X เปนจุดศูนยกลางรัศมีพอควร O เขียนสวนโคงตัด AB ที่ P และ Q 2. ใช P และ Q เปนจุดศูนยกลาง รัศมี พอควร (ยากกวา PX หรือ QX เขียน สวนโคงตัดกันที่จุด O) A B 3. ลาก OX จะไดเสนตรง OX  AB Q P X ที่จุด O รูปที่ 24 พิสูจน ขอความพิสูจน 1.

OXP =

OXQ ทุกประการ

( ด.ด.ด. ) 



2. \ O X P = O X Q = 90

เหตุผล 1. OX เปนดานรวม

XP = XP ( สราง ) 2. มุมประชิดและเทากัน ซ.ต.พ.

วิธีที่ 2 O

รูปที่ 25

การลากเสนตั้งฉากกับเสนตรง AB ที่จุด X วิธีสราง 1. เลือกจุด C ใด ๆ นอกเสน AB 2. ใช C เปนจุดศูนยกลาง รัศมี CX เขียนวงกลมตัด AB ที่ D อีกจุด หนึ่ง 3. ลาก DC เลยไปตัดเสนรอบวงที่ O 4. ตอ OX 5. ดังนั้น OX  AB ที่ X (\ OXˆD เปนมุมในครึ่งวงกลม ยอมเทากับ 1 มุมฉาก)

พิสูจน ขอความพิสูจน

เหตุผล

1. OD เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม

1. DC , CD เปนเสนตรงเสนเดียวกันตามสราง และ C เปนจุดศูนยกลาง



2. \ O X C =

2. มุม D X O เปนมุมภายในครึ่งวงกลม ที่มี DO เปนเสนผานศูนยกลาง 3. เหตุผลขอ 2

AB ที่ X

3. \ OX วิธีที่ 3



รูปที่ 26

การสรางเสนตั้งฉากกับเสนตรง AB ที่จุด X วิธีสราง 1. ใช X เปนจุดศูนยกลาง รัศมี XM เขียน สวนโคงของวงกลม MNP 2. ใช M เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทาเดิม เขียนสวนโคงตัดสวนโคงวงกลม ที่จุด N และใช N เปนจุดศูนยกลาง รัศมีเทาเดิม เขียนสวนโคงตัดสวนโคงเดิมที่ P (ดังรูป) 3. ใช N และ P เปนจุดศูนยกลาง รัศมีคงเดิม เขียนสวนโคงตัดกันทีจ่ ุด O

4. ลาก OX 5. ดังนัน้ OX แบง NXˆP 6. \OX  AB ที่จุด X พิสูจน ขอความพิสูจน

เหตุผล

1. XM = MN = NX เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา

1. รัศมีวงกลมเดียวกัน ( ด.ด.ด. ) 2. มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมดานเทา



2. M X N = 60 



3. เสนตรง XO แบงครึ่ง N X P

3. N X O = 30





4. M X O = M X N + N X O 5. จากขอ 4 ซ.ต.พ.

4. \ M X O = 90 5. \ OX AB ที่จุด X 

วิธีที่ 4

การสรางเสนตั้งฉากกับเสนตรง AB ที่จุด X วิธีสราง 1. เอา X เปนจุดศูนยกลางเขียนสวนโคงตัด AB ที่ M และ N 2. ใช M, N เปนจุดศูนยกลางเขียนสวนโคงตัด กันที่ O และ Q 3. ลาก OM, ON, QM และ QN 4. ลาก OQ 5. \OQ จะแบงครึ่งและตั้งฉากกับ MN ที่ X

รูปที่ 27 พิสูจน 1. 2. 3. 4.

ขอความพิสูจน MO = NO = NQ OMQN เปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน OQ ผานจุด X \ OX AB ที่ X

1. 2. 3. 4.

เหตุผล เปนรัศมีเดียวกันตามสราง จากขอ 1. เสนทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ยอมแบงครึ่งซึ่งกันและกัน จากขอ 3. ซ.ต.พ.

วิธีที่ 5

รูปที่ 28

การสรางเสนตั้งฉากกับเสนตรง AB ที่จุด X วิธีสราง สรางโดยใชไมฉาก โดยเลื่อนไมฉากแบบเสน ตรง AB (ดังรูป) และลาก XN แลวตอไปยัง \OX  AB ที่ X (เห็นจริงตามรูปภาพแลว)

ตัวอยางการคํานวณโดยใชเรขาคณิตเบื้องตนมาใชในงาน ตัวอยางที่ 1 สมมติวา CD เปนความสูงของเสาอากาศสถานีวิทยุแหงหนึ่ง AC เปนเสนลวดสลิงโยง เสา ถาเราทราบระยะ a1 a2 b1 เรายอมสามารถหาความสูงของเสาอากาศไดโดยไมตองขึน้ ไปวัด

รูปที่ 29 วิธีคํานวณ \ใน ABE, ACD 1. EAˆF = DAˆC 2. FEÂ = DCÂ 3. AFÊ = ADˆC

4. \AEF, ACD เปนรูปสามเหลี่ยม คลาย

เหตุผล

วิธีคํานวณ FE CD 5. AD = AD แทนคา EB, DC, AB, AC จะทําไดดังนี้

6. \ a1 7. \

ผลจากขอ 5

= a 1  a2

b2 = b1 a1  a2  a1

คูณทแยง

(โดยปกติเมื่อเราตองการคํานวณคาใด ๆ เราจะจัดไวซายมือ กรณีนนั้ ถากําหนดให a1 = 10 เมตร, a2 = 30 เมตร และ b1 = 12 เมตร) \ b2 = =

12( 10  30 ) 10 480 10

b2 = 48 เมตร ตอบ ดังนั้น เสาอากาศสงวิทยุสูง 48 เมตร ตัวอยางที่ 2 บานหลังหนึ่งใตถุนบานสูง 2.25 เมตร ถาจะตองสรางบันไดใหบนั ไดแตละขัน้ สูง 15 เซนติเมตร และขั้นบันไดแตละขั้นกวาง 20 เซนติเมตร จงหาวา ก) จะตองใชบันไดกีข่ ั้น ถาเปนบันไดทอดเดียว ข) ราวบันไดยาวเทาใด D B

2.25 ม. A รูปที่ 30

ก) วิธีคํานวณ บานสูง 2.25 เมตร = 225 ซม. บันไดแตละขัน้ มีความสูง = 15 ซม. \จะมีจํานวนขั้นบันได = 225 = 15 ขั้น 15 ตอบ ก) มีบันไดจํานวน 15 ขั้น ข) จะหาความยาวของราวบันได (ราวบันไดจะตองยาวเทากับแมบันได) วิธีคํานวณ \ บันได 1 ขั้นสูง 15 ซม. กวาง 20 ซม. \ บันได 1 ขั้นทอดตามแมบันได (BC) จากรูป PQR โดยอาศัยทฤษฎีบทของ พาธาโกลัส หรือทฤษฏีบทที่ 29 ของฮอล และ สตีเวน เราจะได 20 ซม. PQ2 = RQ2 + RP2 R PQ2 = 152 + 202 P แทนคา AB = 15 ซม. AC = 20 ซม Q 15 ซม. \ PQ = 152  20 2 = 225  400 รูปที่ 31 = 625 = 25 ซม \บันได 1 ขั้นทอดตามแมบนั ไดได = 25 ซม. บันได 15 ขั้นทอดตามแมบันไดได = 25 x 15 = 375 ซม. ตอบ ราวบันไดยาว 3.75 เมตร 2. เสนขนาน (Parallel lines) นิยาม 1 “เสนตรงทั้งหลายซึ่งอยูบนระนาบ (Plane) เดียวกัน จะเรียกวาขนานกันไดก็ ตอเมื่อตอปลายทั้ง 2 ขางออกไปแลวจะไมมีโอกาสพบกัน” นิยาม 2 “เสนตรงขนานกันก็คือเสนตรงที่อยูบนระนาบเดียวกัน และมีทิศทางเดียวกัน” ผลที่เกิดจากเสนตรงขนานกัน “เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนขนานคูหนึ่งแลว (รูปที่ 33) จะทําใหเกิด 1. มุมแยงเทากัน (3 = 5, 4 = 6) 2. มุมภายในและมุมภายนอกขางเดียวกันของเสนตัดเทากัน (1 = 5, 2 = 6) 3. มุมภายในบนขางเดียวกันของเสนตัดรวมกันเทากับ 180o เสมอ (4 + 5 [ 180o, 3 + 6 = 180o)

X B A

1 2 4 3

A D

รูปที่ 32

5 6 8 7 Y

B D

รูปที่ 33

การสรางเสนตรงใหขนานกับเสนตรงที่กําหนดให วิธีที่ 1 สรางเสนตรง PQ ใหขนานกับเสนตรงทีก่ ําหนด AB โดยอาศัยคุณสมบัติ เสนตรง ขนานกันจะมีมุมแยงเทากัน วิธสราง X Q P  1. ลาก AP Y

2. ทํามุม MAˆN = XPˆY โดยใชวงเวียน B 3. Aลาก PYQ

N 

4. ซึ่งจะได PQ  AB

รูปที่ 34

วิธีที่ 2 สรางเสนตรง PQ ใหขนานกับเสนตรงทีก่ ําหนดให AB P

a A

Y รูปที่ 35

วิธีสราง 1. เลือกจุด X, Y ใดๆ บนเสนตรง AB หางกันพอสมควร 2. ใช X และ Y เปนจุดศูนยกลาง รัศมี = a หนวย เขียนสวนโคง 3. ลาก PQ ใหสัมผัสสวนโคงทั้ง 2 ที่MN 4. \ เสนตรง PQ  AB

100

วิธีที่ 3 สรางเสนตรง PQ ใหขนานกับเสนตรงซึ่งกําหนดให AB โดยใชไมฉากเลื่อนซอนกัน N

รูปที่ 36

วิธีสราง ใชไมฉาก 2 อัน ใหอันดานซาย (หรือขวา) อยูกับที่ ดังในภาพ แลวเลื่อนดานซาย แนบขึ้นไปเพื่อลากเสน PQ ตามระยะคูขนานที่ตองการ วิธีที่ 4 การสราง PQ ใหขนานกับแนว AB ในแนวดิ่ง โดยการใชลูกดิ่ง

วิธีสราง 1. เมื่อ AB เปนแนวดิ่งของผนังตึกหรือ อาคาร หรือสิ่งอื่น ๆ 2. จากตําแหนง P ที่ตองการแนวขนาน ใช ลูกดิ่งจับ ณ จุด P จะได PQ แนวดิ่ง ขนานตามตองการ

รูปที่ 37

วิธีที่ 5 การสราง PQ หรือหาแนวขนานกับ AB โดยใชไมทําระดับลูกน้ํา ในวิธีนใี้ นงานชางโดยเฉพาะการกอสรางยอมมีความจําเปนและใชมาก ซึ่งวิธกี ารก็เพียง แตใชไมทําระดับทาบตามแนวทีต่ องการแนวขนานกับแนวใด โดยดูจากจุดลูกน้ําวาอยูในตําแหนง เดียวกับแนวที่เราตองการหรือไม แตสวนมากจะใชในแนวระดับและแนวดิ่ง

101

วิธีที่ 6 การหาแนวขนานหรือแนวระดับ โดยใชระดับน้ําในสายยางใส วิธีนี้อาศัยหลักการของธรรมชาติของน้ํา พืน้ ผิวน้ําจะตองมีระดับเทากันในเมื่ออยูใน แหลงเดียวกันหรือภาชนะเดียวกัน เพราะฉะนั้น ถามีน้ําในสายยาง น้ําจะตองพยายามถายทอดใหมี ระดับเสมอกันเสมอไป เมื่อตองการจะใหจุดใดมีระดับเดียวกันกับตําแหนงที่ตองการก็เอาสายยางไปทาบไว ณ จุดนั้นกับจุดที่ตองการ เลื่อนไปมาจนกวาระดับน้ําดานที่กาํ หนดจะหยุดนิ่งในระดับทีต่ องการ ก็ทํา เครื่องหมายเอาไว (ดังรูปที่ 38)

ตัวอยางที่ 3 จากรูป AB // CD เมื่อกําหนดให BAˆK = 30  , DCˆH = 40  จงหามุม 

รูปที่ 39

รูปที่ 40

102

วิธีคํานวณ ดูรูปที่ 40 วิธีที่ 1 จากรูปเดิม ตอ AO ไปพบสวนตอของ DC ที่ M เพราะวา AB // DC หรือ AB // DM \ KAˆB = OMˆC = 30o DCˆH = OMˆC = 40o (มุมตรงขาม) \  = 180o - 30o - 40o = 110o \ = 180o - 110o = 70o ตอบ มุม  = 70o วิธีที่ 2 จากสิ่งที่กําหนด ลาก OM // AB, OM // CD ดวย ดังนั้น  = 30o o  = 40 \  = + = 30o + 40o = 70o ตอบ มุม AOˆC =  = 70 ตัวอยางที่ 4 จากรูป AB // CD เมื่อกําหนดให APˆO = 120o, OQˆD = 40o, OK แบงครึ่ง POˆQ , OH // AB // CD จงคํานวณหาคามุม 

รูปที่ 42

103

วิธีคํานวณ \ AP // HO; \ มุมภายนอก = มุมภายในตรงขาม \ POˆH = 180o – 20o = 60o \ OH // CD; \ มุมแยมยอมเทากัน \ HOˆQ = OQˆD = 40o \ OK แบงครึ่ง POˆQ \ QOˆK = KOˆP \ HPˆK +  = POK – a 40o +  = 60o – a 2 = 20  = 10 ตอบ มุม  = 10 องศา

การแบงเสนตรงออกเปนหลายสวนเทา ๆ กัน 1 แบงโดยใชไมบรรทัดและไมฉาก โดยอาศัยทฤษฎี “เสนตรงที่ลากจากจุดแบงบนดานใดดานหนึ่งของสามเหลี่ยมออกเปน n สวนเทา ๆ กัน ใหขนานกับดานฐาน เสนขนานเหลานั้นจะไปแบงดานที่สามออกเปน n สวนเทา ๆ กันดวย (เหมาะสําหรับจะแบงเสนตรงหรือชิ้นงานที่ความยาวไมลงตัว) ตัวอยางที่ 5 การแบงเสนตรง AB ออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน

104

วิธีสราง 1. ลาก AC ยาวพอประมาณ ทํามุมใด ๆ กับ AB 2. บน AC เลือกความยาวใด ๆ แบงสวนของ AC เอา 5 สวนเปน AP, PQ, QR, RS และ ST 3. โยง TB แลวลากเสนตรงผานจุด S, R, Q, P โดยใหขนานกับ TB พบเสนตรง AB ที่จุด S1, R1, Q1 และ P1 ตามลําดับ 4. ดังนั้นจุด P1, Q1, R1 และ S1 จะแบง AB ออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน ตัวอยางที่ 6 จงแบงแผนอะลูมิเนียมรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีขนาดกวาง 4 นิ้ว ยาว 8 นิ้ว แบงตามแนวยาว ออกเปน 3 สวนเทา ๆ กัน

วิธีหาจุดแบง จะเห็นวาถาเราใชวิธีวัดจะมีเปนเศษสวนทศนิยม ตองกะดวยตาอาจไมถูกตอง วิธีแบง 1. ลาก AX เลือกความยาวที่วดั งาย ๆ อาจใช 2 นิ้ว ทําให AP, PQ, OR เทากันตลอด (2 นิ้ว) 2. โยง RD ลาก QQ1, PP1 ใหขนานกับ RD ตัดดานกวางของแผนโลหะที่ Q1, P1 3. \ P1, Q1 เปนจุดแบงแผนโลหะอะลูมิเนียมออกเปน 3 สวนเทา ๆ กัน 4. จาก P1 ลาก P1M, // AB ลาก Q1N // AB 5. ดังนั้น เสน P1M, Q1N จะแบงแผนอะลูมิเนียมออกเปน 3 ชิ้นเทา ๆ กัน วิธีการนีจ้ ะใชกับชิ้นงานอื่นก็ไดทํานองเดียวกัน

105

2. แบงโดยใชวงเวียน วิธีนี้อาศัยหลักการในทํานองเดียวกับวิธีที่ 1 นั่นเอง

วิธีแบง 1. จาก A ลาก AC ทํามุมพอควร และที่ B ลาก BD ทํามุม ABˆD = BAˆC , \ AC // BD 2. ใชวงเวียนรัศมีพอควรตัด AC ที่จุด P, Q, R และ S และตัด BD ที่จุด S1, R1, Q1 และ P1 3. โยง PP1, QQ1, RR1 และ SS1 ตัดเสนตรง AB ที่จุด P2, Q2, R2 และ S2 ตามลําดับ 4. จุดตัด AB จะแบงเสนตรงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน ขอสังเกต ถาแบงเปน n สวน จุดแบงจะมี n – 1 จุด ลักษณะและคุณสมบัติของรูปสามเหลีย่ ม 1. ลักษณะของรูปสามเหลีย่ ม 1. มีดาน 3 ดาน และมีมุม 3 มุม 2. ถามีดานเทากัน 3 ดานเรียกวารูปสามเหลี่ยมดานเทา 3. ถามีดานเทากัน 2 ดาน (มุมเทากัน 2 มุม) เรียกวารูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 4. ถาไมมีดานใดเทากันเลย เรียกวารูปสามเหลี่ยมดานไมเทา 5. ถามีมุมใดมุมหนึ่งเปนมุมฉาก (กาง 90) เรียกวารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 6. ถาในรูปสามเหลี่ยมมีมุมใดมุมหนึ่งกางเกิน 90 เรียกวารูปสามเหลี่ยมมุมปาน

106

2. คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม 1. รูปสามเหลี่ยมที่มีอัตราสวนของดานเปน 3 : 4 : 5 หนวย จะเปนรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก แตรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปไมจําเปนตองมีอัตราสวนของดานเปน 3 : 4 : 5 เสมอไป 2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉากจะเทากับผลบวกของ จัตุรัสบนดานอีก 2 ดาน 3. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะเทากับผลบวกมุมภายในตรงขามกับมุม นั้น ๆ 4. เสนแบงดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกเปนกี่สวนก็ตามทีล่ ากขนานกับฐาน จะ ไปแบงดานที่เหลือออกเปนสัดสวนเดียวกัน 5. เสนตอจุดกึ่งกลางของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม จะแบงรูปสามเหลี่ยมเดิม ออกเปนรูปสามเหลี่ยม 4 รูปที่คลายกัน และคลายกับรูปสามเหลี่ยมเดิม 6. ถาลากเสนตรงจากมุมยอดไปแบงครึ่งดานตรงขาม เสนแบงครึ่งฐานทั้งสามจะ ตัดกันที่จุด ๆ เดียวเทานั้น เสนทั้งสามนี้เรียกวา เสนมัธยฐาน 7. ผลบวกของดาน 2 ดานตองยาวกวาดานที่สาม ตัวอยางที่ 7 ตองการเลื่อยเปดปกไมซุง (สมมติวากลม) ใหหนาตัดเปนรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัส จากซุงที่มีเสนผาศูนยกลางขนาด 40 นิ้ว จะไดทอนไมที่มีหนากวางเทาใด วิธีคํานวณ จากรูป ACD เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น AD2 + CD2 = AC2 x 2  x 2  40 2 (นิ้ว x นิ้ว)

2 x 2 = 1,600 นิ้ว2 x 2 = 800 นิว้ 2 \ x = 800 นิว้ 2 = 20 2 นิ้ว2 x = 28.28 นิ้ว ตอบ ไมเปดปกแลวกวาง 28.28 นิ้ว

107

ตัวอยางที่ 8 ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีฐานยาว 18 นิ้ว สูง 10 นิ้ว จงคํานวณหาดานที่ เทากัน ยาวดานละเทาไร จากรูป ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ลาก AD  BC \ ใน ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได AB2 = BD2 + AD2 AB2 = 92 + 102 = 81 + 100 นิ้ว2 = 181 นิ้ว AB = 181 นิ้ว AB = 13.45 นิ้ว ตอบ ดานที่เทากันยาวดานละ 13.45 นิ้ว 3. คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย รูปสามเหลี่ยม 2 รูปจะเรียกวาเปนรูปสามเหลี่ยมคลายกันก็ตอเมื่อรูปสามเหลี่ยม 2 รูป นั้นมีมุมทั้งสามเทากัน มุมตอมุม และดานที่ลําดับกันจะไดสัดสวนตอกัน (เปนปฏิภาคตอกัน) ขอสังเกต จะเรียกวาเปนรูปสามเหลี่ยมคลายจะตองมีเงื่อนไข 2 ประการ คือ 1. มีมุมทั้งสามเทากัน มุมตอมุม 2. ดานที่สมนัยกัน (อยูตรงขางมุมที่เทากัน) ไดสัดสวนตอกัน หรือเปนปฏิภาคตอ กัน ตัวอยางแสดงรูปสามเหลี่ยม 2 รูปเปนรูปสามเหลี่ยมคลาย

108

ตัวอยางที่ 9 จงหาผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม วิธีทํา \ ผลรวมของมุมภายใน = (n – 2)  180 องศา ในที่นี้ n = 3, \ มุมภายในรวม = (3 – 2)  180 องศา = 1  180 องศา = 180 องศา ตอบ มุมภายในรวมเทากับ 180 องศา ตัวอยางที่ 10 จงหาผลรวมของมุมภายในของรูปเกาเหลี่ยม วิธีทํา \ ผลรวมของมุมภายใน = (n – 2)  180 องศา ในที่นี้ n = 9 \ มุมภายในรวม = (9 – 2)  180 องศา = 7  180 องศา = 1,260 องศา ตอบ มุมภายในรวมเทากับ 1,260 องศา ขอสังเกต ถาเปนรูปหลายเหลี่ยมดานเทา มุมแตละมุมเทากัน ดังนั้นเมื่อเอาจํานวนดาน ไปหารมุมรวม จะไดคาของมุมแตละมุม

109

การสรางรูปหลายเหลี่ยมดานเทา

จะเทากับ

มีขั้นตอนดําเนินงานดังนี้ 1. คํานวณหาวามุมแตละมุมกางเทาใด โดยใชวามุมภายในแตละมุมของรูป n เหลี่ยม ( n - 2 )  180 องศา n

2. ลากเสนตรงใหมคี วามยาวเทากับดานที่ตองการ 3. สรางมุมกับปลายเสนตรงใหมขี นาดตามที่คํานวณไวในขอ 1 4. แบงครึ่งดานและสรางเสนตั้งฉากไปตัดกับเสนแบงครึ่งมุมที่จุด O 5. ใชจุด O เปนจุดศูนยกลางเขียนวงกลม 6. ใชปลายเสนตรงซึ่งแทนดาน ๆ หนึ่งของรูป n เหลี่ยม รัศมีเทากับดานของรูป เหลี่ยม เขียนสวนโคงตัดเสนรอบวงกลม แลวลากเสนตรงตอระหวางจุดตัดเสนรอบวงกลม จะได รูป n เหลี่ยมตามตองการ ตัวอยางที่ 11 จงสรางรูปหกเหลี่ยมดานเทาใหมดี านยาวดานละ 2 เซนติเมตร วิธีทํา

1. มุมภายในของรูปหกเหลี่ยมแตละมุม =

2. 3. 4. 5. 6.

( 6 - 2 )  180 6

= 720 = 120 องศา 6

องศา

ลาก AB = 2 เซนติเมตร ทํามุม 120 องศา ที่จุด A และลากเสนแบงครึ่งมุม A แบงครึ่งดาน AB ที่จุด D ลาก DO ไปตัดกับเสนแบงครึง่ มุม BAˆF ที่จุด O เอาจุด O เปนจุดศูนยกลาง รัศมี OA (OB) เขียนวงกลม ใชปลายเสนตรง (ที่จุด A) ซึ่งแทนดาน ๆ หนึ่งของรูปหกเหลี่ยมดานเทา รัศมีเทา AB เขียนสวนโคงตัดเสนรอบวงกลมที่จุด F, E, D, C และ B ตามลําดับ 7. โยงเสน AF, ED, DC และ CB จะไดรูปหกเหลี่ยมดานเทาตามตองการ

110

ตัวอยางที่ 12 ถา ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่งดังรูป มีดาน AB // CD จุด E และ F เปนจุดกึ่งกลางดาน AD, BC ตามลําดับ ถา AB = 30 หนวย CD = 22 หนวย จงหาความยาว EF

วิธีคํานวณ ลาก EF ลาก AC ตัด EF ที่จุด O จะทําให COF และ CAB เปน รูปสามเหลี่ยมคลาย \ ดานไดสัดสวนกัน

OF = CF = CO AB CB CA OF = 1 (\ F เปนจุดกึ่งกลาง CB) 30 2 30 \ OF = 2 = 15 หนวย

 

ทํานองเดียวกัน AOE, ACD เปนรูปสามเหลี่ยมคลาย

EO = DC EO = 22 \ EO = \ EF =

AE = AO AD AC 1 2 22 = 11 หนวย 2 EO + OF = 15 + 11 \ EF = 26 หนวย ตอบ ดาน EF ยาว 26 หนวย

 

ขอสังเกต การเรียกชื่อรูปสามเหลี่ยมคลายนั้น จะตองเรียกเรียงตามลําดับของมุมที่ เทากันมุมตอมุม

111

ตัวอยางที่ 13 จากรูปทีก่ ําหนดได จงคํานวณดาน CD

วิธีคํานวณ จากรูปเมื่อ ABˆC = DCˆB แสดงวา AB // CD และ AEˆB = CEˆB (มุม ตรงขาม) เปนรูปสามเหลี่ยมคลายกัน ทําให ABE, DCE

AB DC 15 DC 15 DC \ 15  5

= CE = 12 = 17 - 12

 AE DE 

= 5 = 12  DC 15  5 = 12

= 4 = 6.25 เซนติเมตร ตอบ ดาน DC ยาว 6.25 เซนติเมตร ขอสังเกต - รูปสามเหลี่ยมเทากันทุกประการ นับเปนกรณีหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมคลายกัน แต รูปสามเหลี่ยมคลายกัน ไมจําเปนตองเทากันทุกประการ - ดานที่สมนัยกัน หมายถึง ดานที่อยูตรงขามกับมุมที่เทากัน ซึ่งจะนําไปเขาสัดสวน กันไดเมื่อเปนรูปสามเหลี่ยมคลาย

112

วงกลม มุมภายในวงกลม และสี่เหลี่ยมที่บรรจุในวงกลม กอนที่จะศึกษาตอไป เพื่อเปนการทบทวนในสิ่งที่ไดศึกษามาบางแลว จะไดกลาวถึง นิยามบางประการเกีย่ วกับเรื่องวงกลม และสวนเกี่ยวของ 1 ลักษณะของวงกลม 1. วงกลม (A circle) คือ รูปบนระนาบซึ่งเกิดจากจุดที่เคลือ่ นที่ไป โดยมีระยะหาง จากจุดทีคงที่จดุ หนึ่งมีระยะคงที่โดยตลอด 2. จุดที่คงที่เรียกวา จุดศูนยกลาง (Centre) 3. เสนโคงที่ลอมรอบจุดเรียกวา เสนรอบวงกลม (Circumference) 4. ระยะที่คงที่ระหวางจุดศูนยกลางไปยังเสนรอบวงกลมเรียกวา รัศมี (Radius) 5. เสนตรงที่ลากจากเสนรอบวงระหวางจุด 2 จุดเรียกวา เสนคอรด (Chord) 6. เสนคอรดที่ลากผานจุดศูนยกลางจะเปนเสนคอรดที่ยาวที่สดุ เรียกใหมวา เสนผาน ศูนยกลาง (Diameter) 2 คุณสมบัติของวกลม 1. พื้นที่วงกลม = π r 2 22 เมื่อ r = รัศมี, = คาคงที่ (ประมาณ ) 7 2 หรือพื้นที่วงกลม d = 4 เมื่อ d = เสนผาศูนยกลาง 2. ความยาวของเสนรอบวง = 2π r 3. มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมจะโตเปนสองเทาของมุมที่เสนรอบวงซึ่งอยูบนสวน โคง (Arc) เดียวกัน ดังแสดงในรูป

รูปที่ 37

113

จากรูปที่ 37 (1) และ (2) จะไดวา



= 2d

และรูปที่ 37 (3) จะไดวา มุมกลับ BOˆC = 2 BAˆC 4. มุมในสวนโคงของวงกลมเดียวกันจะเทากัน

รูปที่ 38 จากรูปที่ 38 (1) บนสวนโคง BC \ BAˆC = BPˆC = BQˆC = ………… จากรูปที่ 38 (2) บนสวนโคง BC (ดานลาง) \ BAˆC = BDˆC = …………….. 5. มุมที่อยูในครึ่งวงกลมของวงกลมใด ๆ จะเปนมุมฉาก

รูปที่ 39 จากรูปที่ 39 (1), (2) AB เปนเสนผานศูนยกลาง \ APˆB = AQˆB = 90 องศา

114

6. มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ที่บรรจุภายในวงกลมรวมกันยอมเทากับสองมุมฉาก

รูปที่ 40 จากรูปที่ 40 1ˆ + 3ˆ = 180 องศา และ 2ˆ + 4ˆ = 180 องศา

ขอสังเกต ขอนี้เปนผลสืบเนื่องมาจากเหตุผลที่วามุมที่จดุ ศูนยกลางจะเปน 2 เทาของ มุมที่เสนรอบวง แตเพราะวามุมรอบจุดศูนยกลาง 360 องศา จึงทําใหมุมที่เสนรอบวงเปน 180 องศา 7. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่บรรจุภายในวงกลมจะเทากับผลบวกของมุมภายใน ที่อยูตรงขาม

รูปที่ 41 จากรูป 41 ABˆP เปนมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ABC \ ABˆP = BAˆC + ACˆB หรือ 4ˆ = 1ˆ + 2ˆ

115

8. มุมภายนอกใด ๆ ของรูปสี่เหลี่ยมที่บรรจุภายในวงกลมจะเทากับมุมภายในที่อยูตรง ขาม

จากรูป 42 ABP เปนมุมฉากนอกของรูปสี่เหลี่ยม ABCD \ ABˆP = ADˆC หรือ 2ˆ = 1ˆ ขอสังเกต 2ˆ + 3ˆ = 180 องศา 1ˆ + 3ˆ = 180 องศา

วงกลม เสนสัมผัสวงกลม และการหาจุดศูนยกลางของวงกลม 1 ลักษณะเสนสัมผัสวงกลม คือ เสนตรงที่ลากจากภายนอกวงกลมมาแตะวงกลมวงหนึง่ ๆ เพียงจุดหนึ่งและจุดเดียว เทานั้น เมื่อตอปลายเสนสัมผัสออกไปสักเทาใดก็ตามจะไมมีโอกาสตัดเสนรอบวง 2 คุณสมบัติของเสนสัมผัสวงกลม 1. เสนสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมี 2. เมื่อลากเสนตั้งฉากกับเสนสัมผัส ณ จุดสัมผัส จะผานจุดศูนยกลางของวงกลม 3. จากจุดภายนอกวงกลมจะลากเสนสัมผัสวงกลมวงหนึ่ง ๆ ได 2 เสน 4. เมื่อวงกลม 2 วงสัมผัสกันภายในวงกลม ลากเสนสัมผัสรวมได 1 เสน (รูปที่ 43 (2))

รูปที่ 43 ( 1 )

รูปที่ 43 ( 2 )

รูปที่ 43 ( 3 )

116

5. เมื่อวงกลม 2 วงตัดกัน ลากเสนสัมผัสรวมไดเพียง 2 เสน มีคอรดรวม 1 เสน (รูปที่ 43 (1)) 6. เมื่อวงกลม 2 วงแตะสัมผัสกันภายนอก ลากเสนสัมผัสรวมได 3 เสน (รูปที่ 43 (3) 7. ถาวงกลม 2 วงสัมผัสกันและกันแลว จุดศูนยกลางของวงกลมทั้งสอง และจุด สัมผัสรวมจะอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน

รูปที่ 44 จากรูปที่ 44 O และ Q เปนจุดศูนยกลางของวงกลมทั้งสอง P เปนจุดสัมผัสรวม ดังนั้น P และ Q อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน จากจุดภายนอกวงกลมจุดหนึ่ง ลากเสนตรงไปยังจุดศูนยกลางของวงกลม เสนตรงนีจ้ ะ แบงครึ่งมุมของเสนสัมผัสทั้งสอง

รูปที่ 45

ครึ่ง PAˆQ

จากรูปที่ 45 AP และ AQ สัมผัสวงกลมที่ P และ Q O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม AO แบง \ PAˆO = QAˆO

117

การหาจุดศูนยกลางของวงกลม ในการหาจุดศูนยกลางของวงกลมนัน้ แบงเปน 2 ประการ 1. มีวงกลมอยูแลว จะหาจุดศูนยกลางวงกลมนัน้ 2. ยังไมมีวงกลม และจะสรางวงกลมตามเงื่อนไขบางประการ (จะยังไมกลาวถึง) การหาจุดศูนยกลางของวงกลมเมือ่ มีวงกลม 1. ใชหลักวาเสนแบงครึ่งและตั้งฉากกับคอรด ผานจุดศูนยกลาง

วิธีสราง (รูปที่ 48) 1. ลากเสนคอรด AB และ CD ยาว พอควร 2. แบงครึ่งคอรด AB และ CD ที่จุด P และ Q 3. ลากเสนตั้งฉากที่ P และ Q ตัดกันทีจ่ ุด จุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม (ดังรูปที่ 48)

รูปที่ 48 ขอสังเกต ถาแบงครึ่งวงกลมโดยใชวงเวียน เสนแบงครึ่งจะตั้งฉากกับคอรดดวย ซึ่งไม ตองสรางใหม 2. ใชหลักเกณฑที่วา มุมภายในครึ่งวงกลมเปนมุมฉาก วิธีสราง สรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป บรรจุในวง กลมเดียวกัน ดานตรงขามมุมฉากของรูป สามเหลี่ยมตัดกันที่จุด O เพราะฉะนั้น O เปน จุดศูนยกลางของวงกลมตามตองการ (ดังรูปที่ 49) รูปที่ 49

118

3. การหาจุดศูนยกลางวงกลมโดยอาศัยหลักเสนสัมผัสยอมตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดสัมผัส วิธีสราง 1. ลากเสน AB และ PQ สัมผัสวงกลมที่จุด C P และ R ตามลําดับ (AB ตองไมขนานกับ PQ) R 2. ที่จุด C และ R ลากเสนตั้งฉากไปตัดกัน ที่จุด O O Q \ จุด O เปนจุดศูนยกลางวงกลม (ดังรูปที่ 50) B C

รูปที่ 50 4. การหาจุดศูนยกลางของวงกลม โดยอาศัยหลักที่เสนแบงครึ่งระหวางเสนสัมผัส 2 เสน ที่ลากจากจุดเดียวกัน จะตองผานจุดศูนยกลาง วิธีสราง 1. จากจุดภายนอกวงกลม AP ลากเสนสัมผัส วงกลม 2 คู จาก A สัมผัสวงกลมที่ B และ C จาก P สัมผัสวงกลมที่ O และ Q 2. ลาก AO แบงครึ่ง BAC ลาก PO แบง ครึ่ง PQR เสน AO ตัดกับ PO ที่จุด O ดังนั้น O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม (ดังรูปที่ 51) รูปที่ 51

5. การหาจุดศูนยกลางของวงกลม โดยใชเครื่องมือเฉพาะซึ่งเรียกวา เซนเตอรเฮดคอม มิเนชั่น (Combination sets with Center Head)

รูปที่ 52

119

ตัวอยางที่ 14 วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 10 เซนติเมตร จุด A อยูหางจากวงกลม 20 เซนติเมตร จงหาวา เสนสัมผัสที่ลากจาก A ไปสัมผัสวงกลมยาวเทาใด วิธีคํานวณ จากรูป สมมติวาจุด A อยูหางจากวงกลม 20 เซนติเมตร รัศมี OB = 10 เซนติเมตร \ AB สัมผัสวงกลม \ ABˆO = 90 องศา และ AO = AX + XO รูปที่ 53

= 20 + 10 ซม. = 30 เซนติเมตร

ABO เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

AB2 = AO2 + OB2 = 302 + 102 ซม.2 = 900 + 100 ซม.2 = 1,000 ซม.2 1,000 \ AB ซม. = 10 10 AB = 31.26 ซม. ตอบ เสนสัมผัสยาว 31.26 เซนติเมตร

จะได

ตัวอยางที่ 15

ณ จุด A อยูบนถนนสายหนึ่ง นรินทรเดินทางลัดทุงนาไปในแนวทิศตะวันออกเฉียงเหนือ เปนระยะทาง 120 เมตร สําหรับอินทราเดินไปทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือเปนระยะทาง 85 เมตร จงหาวาขณะนั้นนรินทรและอินทรายืนหางกันกี่เมตร

120

รูปที่ 54

วิธีคํานวณ นรินทรเดินไปทิศตะวันออกเฉียงเหนือ ดังนั้น ทางเดินทํามุม 45o กับทิศเหนือไปที่ B อินทราเดินไปทิศตะวันตกเฉียงเหนือ ดังนั้น ทางเดินทํามุม 45o กับทิศเหนือไปที่ C \ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระยะที่ทั้งสองหางกันคือ BC \ BC2 = AB2 + AC2

BC2 = 1202 + 852 = 14,400 + 7,225 = 21,625 \ BC = 21,625 \ BC = 147.05 ตอบ นรินทรและอินทรายืนหางกัน 147.05 เมตร

ม.2 ม.2 ม.2 ม. ม.

ตัวอยางที่ 16

งานชิ้นหนึ่งตองเจาะรูแผนโลหะเปนวงกลมดังรูป จงหาระยะระหวางจุดศูนยกลางของ วงกลม AC, AB, AE

121

รูปที่ 55 วิธีคํานวณ จากรูปที่ 55

(1)

AC = AD – CD ซม. = 11 – 4 ซม. ซม. \ AC = 7

(2) ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก \ AB2 = AC2 + BC2 = 72 + 52 = 49 + 25 = 74 \ AB = 74 AB = 8.60 (3) AE2 = AD2 + DE2 = 112 + 52 = 121 + 25 = 146 \ AE = 146 = 12.08 ตอบ AC = 7 เซนติเมตร AB = 8.60 เซนติเมตร AE = 12.08 เซนติเมตร

ซม.2 ซม.2 ซม.2 ซม.2 ซม. ซม.2 ซม.2 ซม.2 ซม.

122

การใชเรขาคณิตในงานชาง วิชาเรขาคณิตมีความจําเปนในงานชางเปนอยางมาก ไมวาจะเปนงานดานกอสราง งาน โลหะ งานสํารวจ งานออกแบบ และอื่น ๆ มากมาย ปญหาแตละปญหานี้อาจมีวิธีแกไดหลายแบบ หลายวิธี หรือใชคณิตศาสตรแขนงอื่นเขาชวยดวย เชน พีชคณิต ตรีโกณมิติ เปนตน ทั้งนีก้ ็ตอง แลวแตปญหาแตละปญหา ซึ่งวิธีการก็ตองเลือกใหเหมาะสมกับปญหานั้น ๆ ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 17 เพลากลมอันหนึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 4.9 เซนติเมตร วางไวบนรางรูปตัววี (V-Shape) มีความลึก 3.5 เซนติเมตร จงหาวาตัวเพลาสูงพนจากปากรางขึ้นมากี่เซนติเมตร เมื่อรางเอียง 45 องศากับแนวราบ วิธีคํานวณ ให h = ระยะที่เพลาสูงพนปากราง พิจารณาจากรูปที่ 56 \ h = PR – 3. = (PO + OR) - 3.5 และ OPˆQ = 45o = SPK \ POˆQ = 50o นั่นคือ PQ = OQ = ซม. (เพราะ OPˆQ = 45o )

PQ 2  OQ 2 4.9 2  4.9 2 = 3.46 ซม. = 2 2 4.9 \ h = ( 3.46 + 2 ) - 35 = 2.41 ซม.

\ OP =

 

ตอบ เพลาสูงพนปากรางขึ้นมา 2.41 เซนติเมตร ตัวอยางที่ 18

จากตัวอยางที่ 17 ถารางเอียง 60 องศา จงหาวาจุดศูนยกลางเพลาจะอยูสูงจากกนราง เทาใด และดานบนเพลาสูงจากรางเทาใด

123

รูปที่ 57 วิธีคํานวณ พิจารณา OPQ เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

OQ = 4.9 2 ซม. (รัศมีวงกลม) OPˆQ = 90 - 60 = 30  และ จากตรีโกณมิต;ิ = sin 30 4.9 OQ = 2 \ OP = 1 sin 30  2 \ OP = 4.9 ซม. \ เพลาสูงจากราง h = (OP + OR) - 3.5 4.9 = (4.9 + 2 ) - 3.5 = 3.85 ซม. ตอบ จุดศูนยกลางอยูสูงกวากนราง 4.9 เซนติเมตร เพลาสูงพนรางขึ้นมา 3.85 เซนติเมตร ทราบความยาว

ตัวอยางที่ 19 จากรูปขางลาง สมมติวาเปนแบบหนาตัดดานขางของอาคาร จงหาระยะ CE เมื่อ FE = 1.5 เมตร

รูปที่ 58

124

วิธีคํานวณ จะใชเรขาคณิตหรือตรีโกณมิติชว ยก็ได ในทีน่ ี้ควรเลือกใชวิธีเรขาคณิตจะ ดีกวา

CE = AD = CF AC EF DC CE 1.2 \ 1.5 = 3.0 1.5  1.2 \CE = 3.0 = 0.6 เมตร \ CE

\ ดานสมนัยกันไดสัดสวนกัน คือ

 

ตอบ ดาน CE ยาว 60 เซนติเมตร ขอสังเกต การเขาสัดสวนควรเลือกเอาดานที่เราตองการทราบไวเปนเศษ และอยู ดานซายของสมการ เพื่อสะดวกในการคํานวณ และจะใชในคูที่ทราบคาของมัน 3 ใน 4 จํานวน

125

บทที่ 4 พื้นที่และปริมาตร นิยาม 1. สวนสูงหรือความสูง (The Altitude or Height) ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานคือ ระยะของ เสนตั้งฉากระหวางดานทีก่ ําหนดใหเปนฐานกับดานตรงขาม 2. สวนสูงหรือความสูง (The Altitude or Height) ของรูปสามเหลี่ยมคือ ระยะของเสนตั้ง ฉากที่ลากจากมุมที่อยูตรงขามกับฐาน มาตั้งฉากกับฐานหรือสวนตอของฐาน

รูปที่ 1

จากรูปที่ 1 (1) , (2) รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF อยูระหวางเสนคูขนาน CH และ BF ดังนั้น ADQP เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ AP = DQ 3. พื้นที่ของรูปตาง ๆ หมายถึง พื้นที่ผิวของรูปที่อยูภายในเสนลอมรอบ 4. พื้นที่มีหนวยเปนตารางหนวยของมาตราทีก่ ลาวถึงความยาวนั้น ๆ 5. หนึ่งตารางหนวย (A Square Unit) หมายถึง พื้นที่หนึ่งตารางหนวยที่สรางบนดานที่ยาว หนึ่งหนวยความยาวนั้น ๆ วิธีคํานวณพื้นที่รปู สามเหลี่ยม 1. พื้นที่รูปสามเหลี่ยมดานไมเทา (Oblique Triangles) พื้นที่ = ½ x ฐาน x สูง = ½xbxh เมื่อ b = ความยาวฐาน h = สวนสูง

126 ตามรูปที่ 2 (1), (2) ขอสังเกต การกําหนดดานจะเขียนดวยตัวเขียนเล็ก และอยูตรงขามกับมุม เขียนดาน a จะตอง อยูตรงขามมุม A

รูปที่ 2 2. พื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่ทราบความยาวดานทั้งสาม พื้นที่ A = s ( s  a)( s  b)( s  c) เมื่อ A แทนที่พื้นที่รูปสามเหลี่ยม a, b, c แทนความยาวของดานทั้งสาม (รูปที่ 2)

เทากับ

abc 2

ตัวอยางที่ 1 รูปสามเหลี่ยม ABC มีดานทั้งสามยาว 9, 12 และ 15 เซนติเมตร ตามลําดับ จงคํานวณหา พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC

วิธีคํานวณ 1 ใชสูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม A =

s ( s  a)( s  b)( s  c)

จากโจทย a = 9, b = 12, c = 15, s = 9  12  15 2

= 18

แทนคาในสูตรจะได 18(18  9)(18  12)(18  15) A = = 18 x9 x 6 x3 A = 54 ตารางเซนติเมตร ตอบ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC เทากับ 54 ตารางเซนติเมตร

127 วิธีคํานวณ 2 ถาเราพิจารณาความยาวดานทั้งสามจะเห็นวาเปนสัดสวน 9 : 12 : 15 = 3 : 4 : 5  ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก = ½ x 12 x 9  พื้นที่ A = 54 ตารางเซนติเมตร ตอบ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC เทากับ 54 ตารางเซนติเมตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

1. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส A = s2

เมื่อ A = พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส s = ความยาวของดาน 2. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

รูปที่ 4

A = ab เมื่อ A = พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

a = ความกวาง b = ความยาว

รูปที่ 5

b a

3. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน A = bh, ab sin 



รูปที่ 6

A = พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน a = ความยาวดานขาง b = ความยาวฐาน  = มุมระหวางดาน 2 ดาน

128

4. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู A=

1 h(a  b) 2

เมื่อ A = พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู h = ความสูงระหวางคูขนาน a, b = ความยาวของดานคูข นาน รูปที่ 7 หมายเหตุ รูปสี่เหลี่ยมคางหมูทรงหนาจั่ว มีดานไมขนานกันยาวเทากัน 5. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานไมเทา A=

รูปที่ 8

1 d ( p  q) 2

เมื่อ A = พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานไมเทา d = ความยาวเสนทแยงมุม p, q = ความยาวของเสนกิ่ง

หมายเหตุ เสนทแยงมุมจะใช BD ก็ได ซึ่งก็ตองลากเสนกิง่ ใหม 6. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน 1. A = bh 2. A =

รูปที่ 9

1 d1d 2 2

เมื่อ A = พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน b = ความยาวดาน (ฐาน) h = ความสูง d1 , d 2 = ความยาวเสนทแยงมุมทั้งสอง

หมายเหตุ เสนทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ยอมแบงครึ่งและตั้งไดฉากซึ่งกันและกัน

129 ตัวอยางที่ 2 จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่งมีดานคูขนานยาว 12.3 และ 15.7 เซนติเมตร สูง 11 เซนติเมตร วิธีคํานวณ  พื้นที่ A

1 h(a  b) 2

จากโจทย h = 11, a = 12.3, b = 15.7 แทนคา จะได 1 A = 2  11  (12.3  15.7) 1 = 2  11  28

A = 154 ตารางเซนติเมตร ตอบ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูเทากับ 154 ตารางเซนติเมตร



รูปที่ 10

ตัวอยางที่ 3 รูปสี่เหลี่ยมดานขนานรูปหนึ่งมีพื้นที่ 270 ตารางนิ้ว ถาดานคูขนานคูหนึ่งยาวดานละ 18 นิ้ว จงคาความสูง วิธีคํานวณ พื้นที่ A = bh จากโจทย A = 270 ตารางนิว้ , b = 18 นิ้ว, H=? แทนคาในสูตร จะได 270 = 18 h h รูปที่ 11

270 18

h = 15 นิ้ว ตอบ สวนสูงของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน เทากับ 15 นิ้ว

130

ตัวอยางที่ 4 ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานไมเทา มีดาน AB=12 นิ้ว BC=15 นิ้ว CD=14 นิ้ว DA=10 นิ้ว และเสนทแยงมุม AC = 16 นิ้ว จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD

รูปที่ 12

วิธีคํานวณ แบงพื้นที่เปนรูปสามเหลี่ยม 2 รูป จะได พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD = พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC + พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ACD สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม A = s ( s a )( s  b )( s c ) ใน

 ABC;

s = 1 12  15  16  2 s = 21.5

 พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC

ใน

Δ ACD;

= 21.5(21.5  12)(21.5 15)(21.5 16) = (21.5)(9.5)(6.5)(5.5) = 7,301.9375 = 85.45 ตารางนิว้

1 (16  14  10 2

s = 20  พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ACD

= 20(20  16)(20  14)(20  10) = (20)(4)(6)(10) = 4,800 = 69.28 ตารางนิว้  พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD = 85.45 + 69.28 = 154.73 ตารางนิว้ ตอบ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD เทากับ 154.73 ตารางนิ้ว

131 พื้นที่ระนาบเอียง พื้นที่ระนาบเอียง = พื้นที่ในแนวราบ (พื้นที่แปลน)

cos 

รูปที่ 13

พื้นที่ระนาบเอียง ABCD = A' B' x B' C' cos θ

ตัวอยางที่ 5

รูปที่ 14

วิธีคํานวณ พื้นที่ระนาบเอียงทั้งหมด = พื้นที่ระนาบเอียง ADEF + พื้นที่ระนาบเอียง BCEF  พื้นที่ระนาบเอียง ADEF = พื้นที่ระนาบเอียง BCEF = 2 x พื้นที่ระนาบเอียง ADEF  พื้นที่ทั้งหมด = 2  พื้นที่แปลน  cosθ   = 2  2.5x 80   cos30  



132 = =

40 3 2 80

80 1.732

= 46.19 ตารางเมตร ตอบ พื้นที่ระนาบเอียงทั้งหมดเทากับ 46.19 ตารางเมตร ตัวอยางที่ 6

จงหาพื้นที่หลังคาที่มีจั่วกวาง 9 เมตร อาคารยาว 30 เมตร และมีมุมที่ฐาน 60 องศา

รูปที่ 15

วิธีคํานวณ พื้นที่ระนาบเอียง = พื้นที่ในระนาบ (พื้นที่แปลน) cos θ จากโจทย พื้นระนาบกวาง = 9 เมตร ยาว = 30 เมตร และจั่วทํามุม  = 60 องศา = 9 x30o  พื้นที่หลังคา cos60 = 9 x 30 1 2 = 540 ตารางเมตร ตอบ พื้นที่หลังคาที่อยูในระนาบเอียงเทากับ 540 ตารางเมตร 

133 พื้นที่เซกเตอรและเซกเมนต นิยาม เซกเตอร (Sector) คือ รูปที่ถูกลอมดวยรัศมี 2 เสน และเสนโคงของวงกลมที่อยู ระหวางรัศมีทั้งสองนั้น (ดังรูปที่ 16)

พื้นที่เซกเตอร A=

πr 2 .

360

(360 องศา = π เรเดียน)

เมื่อ A = พื้นที่เซกเตอร r = รัศมีวงกลม A = ความยาวของสวนโคงที่รองรับมุมทีจ่ ุดศูนยกลาง  = มุมที่จุดศูนยกลาง ตัวอยางที่ 7 จงหาพื้นที่เซกเตอรที่จุดศูนยกลางรองรับ 120 องศา และรัศมี 35 เซนติเมตร วิธีคํานวณ 

พื้นที่เซกเตอร = r 2.

v 360

จากโจทย r = 35,  = 120 o แทนคาจะได o 2 120 A = π 35  o 360 = 1  352  3 = 1 1,225  3 1 22 = 3  1,225  7 = 1,283.3 ตารางหนวย ตอบ พื้นที่เซกเตอรเทากับ 1,283.3 ตารางหนวย

134 นิยาม เซกเตอรของวงกลม คือ รูปซึ่งลอมรอบดวยเสนคอรดเสนหนึ่ง และเสนคอรด 1 เสน จะแบงเสนโคงของวงกลมออกเปน 2 สวน ซึ่งมี 2 เซกเมนต ขอสังเกต เสนคอรดของเซกเมนตบางครั้งเรียกวาฐานของเซกเมนต

1 2 r   sin   2

เมื่อ A = พื้นที่ (สวนที่แรเงา) r = รัศมีวงกลม  = มุมที่รองรับเซกเมนต ขอสังเกต 1. เมื่อ  แทนคาโดด ๆ ตองเปลี่ยนองศาเปนหนวยเรเดียน 2. 180 องศา =  เรเดียน หรือ 1 องศา = 0.01745 เรเดียน นิยาม มุม 1 เรเดียน คือ มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมซึ่งรองรับสวนโคง (วัดแนบตามแนว โคง) ที่มีความยาวกับรัศมี ตัวอยางที่ 8 จงหาพื้นที่ของบเซกเมนตหรือสวนของวงกลมที่มีรัศมี 6 เซนติเมตร และมุมที่รองรับสวน โคงที่จุดศูนยกลางเทากับ 85 องศา

135 วิธีคํานวณ จากสูตร

จากโจทย

r 180 องศา

= 6 เซนติเมตร = 85 องศา =  เรเดียน

 85 องศา

x85

22 85 7  180 = 1.48 เรเดียน



เนื่องจาก

แทนคาในสูตร จะได

1 2 r   sin   2

180

1 = 2  6 2 1.48  sin 85o  = 36 1.484  0.996  2

= 18  0.488 = 8.784 ตารางเซนติเมตร ตอบ พื้นที่เซกเมนต (สวนที่แรเงา) เทากับ 8.784 ตารางเซนติเมตร หมายเหตุ 1. ในการหาพื้นที่เซกเมนตนี้ เราอาจจะใชวิธีหาพื้นทีข่ องเซกเตอร (Sector) และหา พื้นที่รูปสามเหลี่ยมนํามาลบกันก็ได 2. ถาจะหาพื้นที่สวนใหญจะตองใชมุมที่รองรับ จากตัวอยางที่ 8 เมื่อหาพื้นที่เซกเมนต ใหญ คา   360 o  85o  275 องศา ความยาวของสวนโคง (Arc Length) การหาความยาวของสวนโคง

a=r (  มีหนวยเปนเรเดียน) เมื่อ a = ความยาวของสวนโคง r = รัศมีวงกลม  = มุมที่รองรับสวนโคง รูปที่ 21

136 หรือจะหาความยาวสวนโคงโดยเทียบจากมุมที่รองรับสวนโคงนั้น ๆ ก็ได กลาวคือ ความยาวเสนรอบวง = 2  r แตเสนรอบวงมีมุมรอบจุดศูนยกลาง = 360 องศา นั้นคือ มุม 360 องศา รับสวนโคง = 2  r 

องศารับสวนโคง = 2  r .

 สวนโคงของวงกลมคือ a =

 360

2  r.

 360

ตัวอยางที่ 9 วงกลมวงหนึ่งรัศมี 14 นิ้ว จงหาความยาวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลาง 115 องศา

1. วิธีคํานวณ จากสูตร ความยาวสวนโคง จากโจทย

แทนคา จะได ความยาวสวนโคง

a = r a=? r = 14 นิ้ว  = 115 องศา = 115 x 0.01745 = 2.007 เรเดียน

a = 2.007 x 14

= 28.098 นิ้ว ตอบ สวนโคงยาวเทากับ 28.098 นิ้ว 2. การคํานวณโดยใชเทียบความยาวเสนรอบวงกลมกับมุมที่รองรับสวนโคง จากสูตร ความยาวสวนโคง จากโจทย r =

a = 2 r.



360 14 นิ้ว,  = 115 องศา,   22 7

แทนคา จะได

22 115 a = 2  7  14  360 = 28.10 นิ้ว ตอบ สวนโคงของวงกลมยาวเทากับ 28.10 นิ้ว

ความยาวสวนโคง

137 หมายเหตุ การคํานวณวิธีที่ 1 และ 2 นี้ เหตุผลที่ไดคําตอบไมเทากัน ก็เพราะในวิธีที่ 2 ใชคาของ 

22 7

ซึ่งเปนคาที่หยาบมาก ถาจะใชคา

 ใหละเอียดยิ่งขึ้น

หรือใช

 ที่มีคาเดียวกัน

ก็จะไดคา

ตอบเหมือนกัน คาของ   22 (เปนคาหยาบ ๆ) และคาจริงของ  = 3.14159265358979323846… 7 รูปวงรี (Ellipse)

รูปที่ 23 นิยาม รูปวงรี คือ รูปที่มีเสนรอบรูปเกิดจากรอยตัดทรงกระบอก หรือกรวยกลมโดยแนวตัด ไมขนานกับแกนหลักใด ๆ ลักษณะวงรี วงรีจะมีแกน 2 แกน เรียกวา แกนยาว (Major Axis) และแกนสั้น (Minor Axis) เสนแกนทั้งสองจะตั้งฉากกัน เมื่อกําหนดใหแกนยาวขอวงรีเทากับ 2a แกนสั้นของวงรีเทากับ 2b และจุด P(x y) เปนพิกัด ใด ๆ บนเสนโคงวงรี แลวสมการทั่วไป ไดแก x2 y2   1 (มีจุดศูนยกลางอยูที่จุดกําเนิดคือ จุด (0, 0)) a2 b2

138 พื้นที่วงรี เมื่อตัดรูปทรงกระบอกในแนวเฉียง (ดังรูปที่ 24) และมองภาพหนาตัด จะเห็นพื้น ผิวหนาตัดเปนรูปวงรี (Ellipse)

รูปที่ 24 ตามที่เราไดศึกษาวิธกี ารหาพื้นที่ระนาบเอียงมาแลว ในที่นี้พื้นที่ของวงรีก็เปนพืน้ ที่ที่อยูใน ระนาบเอียงทํามุม  กับพื้นที่หนาตัดตรงของทรงกระบอกคือพื้นที่รูปวงกลม จากที่มาวา

พื้นที่ในระนาบเอียง =

พื้นที่ในระนาบ

โดยทฤษฎีเดียวกัน จะไดวา พื้นที่รูปวงรี =

(พื้นที่แปลน)

cos θ

พื้นที่วงกลม

cos θ

ถากําหนดให A แทนพื้นที่วงกลมรัศมี a  พื้นที่วงกลม A = a 2 และ

Cos  =

a b

พื้นที่วงกลม

จากสูตร ; พื้นที่รูปวงรี = แทนคา ; รูปที่ 25 ความยาวของเสนรอบวง เมื่อ s แทนความยาวเสนรอบรูปวงรี

a แทนความยาวครึ่งแกนยาว b แทนความยาวครึ่งแกนสั้น

cos θ

พื้นที่วงรี =

a

พื้นที่วงรี =

  a b

a b

139 จะไดวา ความยาวเสนรอบรูปวงรีคือ S=

โดยประมาณ

 2(a 2  b 2 )

หมายเหตุ - สูตรนี้หาไดโดยใชการคํานวณวิชาแคลคูลัสในเรื่องการหาความยาวของสวนโคง - ในหนังสือบางเลม ให a แทนความยาวแกนสั้น และ b แทนความยาวแกนยาว ซึ่งก็จะได สูตรผิดกันไปซึ่งก็ใชไดเชนกัน ตัวอยางที่ 10 กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมีความยาวแกนยาว 6 เซนติเมตร ความยาวแกนสั้น 4 เซนติเมตร จง คํานวณพื้นที่วงรีและเสนรอบรูป

รูปที่ 26

วิธีคํานวณ จากสูตร

พื้นที่วงรี A =

จากโจทย

  a b 6 4  3, b =  2 2 2

แทนคา จะได พื้นที่วงรี A =   3  2 = 6  ตารางเซนติเมตร และเพราะวา ความยาวเสนรอบรูป s =  2(a 2  b 2 ) จากโจทย a = 3, b = 2, s = ? แทนคา จะได  s =  2(9  4) =  2.6 = 5.099  เซนติเมตร ตอบ วงรีพื้นที่เทากับ 6  ตารางเซนติเมตร ความยาวของเสนรอบรูปวงรีเทากับ 5.099  เซนติเมตร

140 ตัวอยางที่ 11 วงรีวงหนึ่งมีเสนแกนยาว 12.6 นิ้ว ถาปรากฏวามีพื้นที่เทากับ 75.6 ตารางนิ้ว จงหาความยาว แกนสั้น วิธีคํานวณ จากสูตร จากโจทย

พืน้ ที่วงรี A =

  a b

A = 75.6 ตารางนิว้ 2a = 12.6 นิ้ว  a = 6.3 นิ้ว

แทนคาในสูตร 75.6 =  (6.3)b b = 75.6 (6.3)4 = 3.82 นิ้ว ตอบ ความยาวแกนสั้นเทากับ 3.82 นิ้ว การหาพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงตาง ๆ การหาพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงตาง ๆ สามารถแบงออกเปนประเภทตาง ๆ ที่สําคัญได ดังตอไปนี้ - ปริซึม - ทรงกระบอก - พีระมิด - พีระมิดทรงยอดตัด - กรวย - กรวยยอดตัด 1. ปริซึม (Prism) นิยาม ปริซึม คือ รูปทรงใด ๆ ที่มีพื้นที่หนาตัดหัวทายเหมือนกัน ขนานกัน และเปน รูปเหลี่ยมเทากันโดยตลอด ถาหนาตัดหัวทายตั้งฉากกับเสนขอบรูปเรียกวา ปริซึมฐานฉาก ถาหนาตัดหัวทายไมตั้งฉากกับขอบเรียกวา ปริซึมฐานเหลีย่ ม แตถากลาววาปริซึมโดย ทั่ว ๆ ไป จะหมายถึง ปริซึมฐานฉาก

141

รูปที่ 27

จากที่ไดศกึ ษามาแลว นักเรียนเคยหาปริมาตรของรูปทรงเหลี่ยมมุมฉาก หรือรูปกลองใส ของตาง ๆ (ดังรูปที่ 28) โดยคํานวณหาปริมาตรเทากับ กวาง x ยาว x สูง เมื่อพิจารณาก็จะเห็นวา กวาง  ยาว ก็คือพื้นที่ฐานนั่นเอง

รูปที่ 28

= กวาง  ยาว  สูง = พื้นที่ฐาน  สูง ดังนั้นจากเหตุผลเดียวกันนี้ ไมวาฐานของปริซึมจะมีรูปรางอยางใดก็ตาม โดยอาศัยนิยามของ ปริซึม เราจะไดวา 

ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน  สูง หรือ V = Ah เมื่อ

V แทนปริมาตรปริซึม A แทนพื้นที่ฐาน h แทนสวนสูง หมายเหตุ สูตรนี้จะใชไดทั้งปริซึมเอียงดวย

142 ตัวอยางที่ 12 จงหาปริมาตรของปายชื่อเปนแทงไมสามเหลี่ยมรูปปริซึม ดานหนาติดทั้ง 2 ดาน มีขนาด 8  8  10 เซนติเมตร ยาว 40 เซนติเมตร

รูปที่ 29

วิธีคํานวณ จากรูปที่ 29 หนาตัดเปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งทราบความยาวดานทั้งสาม จากสูตร พืน้ ที่รูปสามเหลี่ยม = s( s  a)( s  b)(s  c) จากโจทย a = 10, b = 8, c = 8 s 

10  8  8 2

= 13  พื้นที่รูปสามเหลี่ยม

จากสูตร ปริมาตรปริซึม จากโจทย พื้นที่ฐาน แทนคาในสูตรจะได ปริมาตรปริซึม

A = 13(13  10)(13  8)(13  8) = 13x3x5x5 = 5 39  A = 31.22 ตารางเซนติเมตร = พื้นที่ฐาน  สูง = 31.22 ตารางเซนติเมตร, สวนสูง = 40 เซนติเมตร

= 31.22  40 = 1,248.8 ลูกบาศกเซนติเมตร ตอบ ปริมาตรแทงไมสามเหลี่ยมรูปปริซึมเทากับ 1,248.8 ลูกบาศกเซนติเมตร

143

ตัวอยางที่ 13 จงหาปริมาตรรางอาหารสัตว ซึ่งหัวทายเปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหนาจั่ว มีดานทีข่ นานกันยาว 8 นิ้ว และ 12 นิ้ว รางนี้ลึก 7 นิ้ว และยาว 5 ฟุต

รูปที่ 30

วิธีคํานวณ จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน  สูง จากรูปที่ 30 หนาตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู สูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู = จากโจทย a = 8, b = 12, h = 7

1 h( a  b) 2

1 = 2  7(12  8) = 70 ตารางนิ้ว จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน  สูง  ปริมาตรรางอาหารสัตว = พื้นที่ฐาน  ยาว ในที่นี้พนื้ ที่หนาตัด 70 ตารางนิ้ว, ความยาวของราง (สูง) = 5  12 = 60 นิ้ว แทนคาจะได ปริมาตรรางอาหารสัตว = 70  60 = 4,200 ลูกบาศกนวิ้ ตอบ ปริมาตรรางอาหารสัตวเทากับ 4,200 ลูกบาศกนิ้ว

 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู (ฐาน)

144 2. ทรงกระบอก (Cylinder) นิยาม ทรงกระบอก คือ รูปทรงที่มีพื้นที่หนาตัดตรงเปนวงกลมและตั้งฉากกับแกน โดยมีรูปทรงเทากันโดยตลอด หนาตัดทั้งสองขนานกัน เมื่อกําหนดให r แทนรัศมีวงกลมหนาตัด

d h A v

 พื้นที่หนาตัด A

แทนเสนผาศูนยกลางวงกลมหนาตัด แทนความสูงหรือความยาวทรงกระบอก พื้นที่หนาตัด แทนปริมาตรทรงกระบอก

หรือ A =

r 2  4

d2

……….(1) ………(2)

จากแนวความคิด ปริมาตรของรูปทรงสม่ําเสมอจะเทากับพื้นที่ฐาน x ความสูงหรือความยาว



ปริมาตรทรงกระบอก V = Ah หรือ V = r 2  h

……….(3) ………(4)

พื้นที่ผิวทรงกระบอก จะประกอบดวยพืน้ ที่หนาตัด 2 ขาง (เมื่อเปนทรงกระบอกตันหรือมีฝา) รวมกับพืน้ ที่ผิวดานขาง ซึ่งพื้นที่ผวิ ดานขางนั้นถาเราพิจารณายืดแผออกก็คือรูปสี่เหลี่ยมผืนผานั่นเอง  พื้นที่ผิวดานขาง = เสนรอบวงกลม  สูง = 2 r  h ……….. (5)  พื้นที่ผิวทรงกระบอกทั้งหมด = 2 (พื้นที่หนาตัด) + (พื้นทีผ่ ิวดานขาง) (1) 2 + (5) พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2r 2  2r  h 

พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2r (r  h)

145 ตัวอยางที่ 14 ถังเก็บน้ําเปนรูปทรงกระบอกมีเสนผาศูนยกลางภายใน 2.5 เมตร สูง 2.2 เมตร จงหาความจุ ของถังน้ํา วิธีคํานวณ  ปริมาตรทรงกระบอก V =

รูปที่ 32

d 2 4

h

จากโจทย d = 2.5, h = 2.2,  = 3.142 แทนคาในสูตร จะได 3.142 2  ( 2. 5 ) x 2. 2 V = 4 = 10.80 ลูกบาศกเมตร ตอบ ปริมาตรถังน้ํารูปทรงกระบอก เทากับ 10.80 ลูกบาศกเมตร

ตัวอยางที่ 15 ตองการสรางถังเก็บน้ํากลมรูปทรงกระบอก เสนผาศูนยกลางภายใน 3.25 เมตร ใหมีความจุ น้ําไดอยางนอย 20 ลูกบาศกเมตร จะตองสรางถังสูงกี่เมตร วิธีคํานวณ  ปริมาตรทรงกระบอก V =

 4

d2 h

จากโจทย v = 20 ลูกบาศกเมตร,

d = 3.25 เมตร, h = ? แทนคาในสูตร จะได V

3.142 x(3.25) 2 xh 4

= 8.297h

h= รูปที่ 33

20 8.297

= 2.41 เมตร

ตอบ ตองสรางตัวถังใหสูงอยางนอย 2.41 เมตร

ขอสังเกต 1. ถาโจทยกําหนดความยาวรัศมีมาใหเราก็ใชสูตรที่เกีย่ วของกับรัศมี คือ พื้นที่หนาตัด A = r 2

146 ปริมาตร V = r 2 .h 2. หนวยการวัดตองใชหนวยเดียวกัน พื้นที่ผิวและปริมาตรรูปทรงหนาตัดเปนวงรี ถาจะพิจารณาในเรื่องนี้ จะเห็นวาคลายคลึงกับเรื่องรูปทรงกระบอก

รูปที่ 34

เมื่อกําหนดสวนของรูปทรงหนาตัดรูปวงรีดังนี้ แทนความยาวของแกนยาว ให 2a 2b

แทนความยาวของแกนสั้น

แทนความสูงหรือความยาวของรูปทรงวงรี  ab

 พื้นที่หนาตัดวงรี

= เสนรอบรูปวงรี = ดังนั้น พื้นที่ผวิ ดานขาง = =  พื้นที่ผิวดานขาง สมการ (1) x 2 + (3) ;  พื้นที่ผิวรูปวงรีรวม

 2(a 2  b 2

………….(1) ………….(2)

เสนรอบรูป x ความสูง  2(a 2  b 2 ) xh

2ab   2(a 2  b 2  h

และ ปริมาตรรูปทรงวงรี = พื้นที่ฐาน  สูง ปริมาตรรูปทรงหนาตัดวงรี =

abh

………….(3)

147

3. พีระมิด (Pyramid) นิยาม พีระมิด คือ รูปทรงที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยม ดานขางเปนรูปสามเหลี่ยม มียอด แหลมเปนที่รวมของจุดยอดรูปสามเหลี่ยม ถาดานขางทุกดานทํามุมที่ฐานเทากับเรียกวา พีระมิดปกติ ถาทํามุมไมเทากันเรียกวา พีระมิดเอียง ถากลาวถึงพีระมิดลอย ๆ ใหหมายถึง พีระมิดปกติ

รูปที่ 35 นักเรียนศึกษาถึงการหาพื้นทีร่ ูปเหลี่ยมตาง ๆ และปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอกมา แลว สําหรับปริมาตรของพีระมิดจะมีความสัมพันธกับปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเดียวกัน และมีความ สูงเทากัน กลาวคือ จากการใชเครื่องมือทดลองทางวิทยาศาสตร ในการใหวัตถุแทนทีน่ ้ํา ตามวิธกี าร ของยูเรกา จะพบวาปริมาตรของพีระมิดจะเปน 1 ใน 3 ของปริมาตรปริซึมที่มีฐานเหมือนกันและสูง เทากัน (นักเรียนควรหาวิธีทดลองดู โดยใชวิธีเอาแทนที่น้ําตามวิธีทางวิทยาศาสตร) ทั้งนี้ไมวาจะเปน พีระมิดปกติหรือเอียงก็ตาม

148

ตัวอยางที่ 16 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงที่มีหนาตัดเปนรูปวงรีทั้งหัวทายเทากันโดยตลอด ซึ่ง หนาตัดมีแกนยาว 10 นิ้ว และ 8 นิ้ว เปนแทงยาว 35 นิ้ว

รูปที่ 36 วิธีคํานวณ พื้นที่ผิว จากสูตร พื้นที่หนาตัด = ab จากโจทย a = 5, b = 4, h = 35 (ใชคา π  3.142) = 2π  5  4  40  พื้นที่หนาตัด 2 ดาน = 40  3.142 = 125.68 ตารางนิ้ว จากสูตร พืน้ ที่ผิวดานขาง =  2(a 2  b 2 ) x h = 3.142 2( 52  4 2 ) x 35 = 3.142  9.055  35 = 995.80 ตารางนิ้ว  พื้นที่ทั้งหมด = พื้นที่หนาตัด + พื้นที่ผิวขาง = 125.68 + 995.80 = 1,121.48 ตารางนิ้ว ตอบ พื้นที่ผิวภายนอกทั้งหมดเทากับ 1,131.48 ตารางนิว้ วิธีคํานวณ ปริมาตร จากสูตร ปริมาตร = ab  h แทนคา; ปริมาตร = 3.142  5  4  35 = 2,199.4 ลูกบาศกนวิ้ ตอบ ปริมาตรรูปทรงหนาตัดวงรีนี้ 2,199.4 ลูกบาศกนิ้ว

แทนคา; พื้นที่ผิวดานขาง

149 การหาปริมาตรพีระมิด ถาให A h V

แทนพื้นที่ของพีระมิด แทนความสูง แทนปริมาตรพีระมิด 

1 Ah 3

สวนพื้นที่ดานขางของพีระมิดก็จะใชความรูในเรื่องการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมาใช (เมื่อ ทราบความยาวฐานและสวนสูง) หรือถาเราอาจทราบคามุมเอียงได ก็ใชวิธีการหาพื้นทีใ่ นระนาบเอียง มาใชได ถาเปนพีระมิดปกติ การหาพืน้ ที่ผิวขางก็หาพื้นที่รูปเดียว แลวเอาจํานวนรูปคูณ แตถาเปนพีระมิดเอียง จะตองพิจารณาพื้นทีร่ ูปสามเหลี่ยมดานขางทีละรูป เมื่อหาไดครบแลว ก็นํามาบวกกันเขาทุก ๆ สวน ก็จะเปนพืน้ ที่ทั้งหมดได ตัวอยางที่ 17 จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 15 เมตร และสูง 20 เมตร

รูปที่ 37 วิธีคํานวณ หาปริมาตรของพีระมิด จากสูตร ปริมาตรพีระมิด V =

1 Ah 3

จากโจทยและดูรูป ความยาวของฐานดานละ 15 เมตร, พีระมิดสูง 20 เมตร ดังนั้นพื้นฐานของพีระมิด A = 15 2 = 225 ตารางเมตร 1 ปริมาตร = 3  225  20  = 1,500 ลูกบาศกเมตร ตอบ ปริมาตรพีระมิดเทากับ 1,500 ลูกบาศกเมตร

150 วิธีคํานวณ หาพื้นที่พีระมิด  พื้นที่ทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + 4 (พื้นที่ดานขางดานหนึ่ง) จากที่หามาแลว พื้นที่ฐาน = 225 ตารางเมตร พิจารณารูป รูปสามเหลี่ยม PBC มีฐาน = 15 เมตร เพราะวารูปสามเหลี่ยม POQ เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  PQ = PO 2  OQ 2 = (20) 2  (7.5) 2 = 400  56.25 = 356.25 = 21.36 เมตร 

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม PBC =

1  BC  PQ 2

= 1 15  21.36 2 = 160.2 ตารางเมตร พื้นที่ทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + 4 (พื้นที่รูปสามเหลี่ยม PBC) = 225 + 4 ( 160.2) = 865.8 ตารางเมตร ตอบ พื้นที่ทั้งหมดเทากับ 865.8 ตารางเมตร ตัวอยางที่ 18 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 15 เมตร และสูง 20 เมตร เปนพีระมิดเอียง ดังรูป ขางลางนี้ จงหาปริมาตรและพืน้ ที่ผิวทั้งหมด

รูปที่ 38 วิธีคํานวณ ปริมาตรพีระมิด จากสูตร ปริมาตรพีระมิด V =

1 Ah 3

151 จากโจทย ความยาวของฐานดานละ 15 เมตร, พีระมิดสูง 20 เมตร แทนคา ; V = 1 (1515)  20 3 = 1,500 ลูกบาศกเมตร ตอบ ปริมาตรพีระมิด เทากับ 1,500 ลูกบาศกเมตร วิธีคํานวณ หาพื้นที่ผิวทั้งหมด พื้นที่ทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวดานขาง = (พื้นที่ ABCD) + (พื้นที่  OAB) + (พื้นที่  ODC) + (พื้นที่  OAD) + (พื้นที่  OBC) จากรูป  OAB =  ODC ขอสังเกต นักเรียนจะตองดูใหออกวา AO ตั้งฉากกับ AB, AP ตั้งฉากกับ BC เพราะวา  OAQ เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทฤษฎีปทาโกรัส (ทบ.29 Hall & Steven) จะไดวา AO 2 = OQ 2 + AQ 2 = 202 + (7.5)2  AO = 400  56.25 = 21.36 เมตร (1) เพราะวา  OPQ เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทฤษฎีปทาโกรัส (ทบ.29 Hall & Steven) จะไดวา OP2 = OQ 2 + PQ 2 = 202 + 152  AO = 400  225 = 625 = 25 เมตร รูปที่ 39 นําเอาคาที่กําหนดและคํานวณไวแลวมาแทนคา  พื้นที่ผิวพีระมิด = พื้นฐาน + 2(พื้นที่  OAB)+(พื้นที่  OAD) +(พื้นที่  OBC) = (15  15) + 2  1 15 21.36    1 15 20    1 15  25  2  2  2  = 225 + 320.4 + 150 + 187.5 = 882.5 ตารางเมตร ตอบ พื้นที่ผิวทั้งหมดเทากับ 882.5 ตารางเมตร

152 4. พีระมิดทรงยอดตัด (Frustum of Pyramid) นิยาม พีระมิดทรงยอดตัด คือ พีระมิดที่ถูกตัดสวนบนออกโดยระนาบของเสนตัดขนานกับ ฐาน

รูปที่ 40 จากรูป พีระมิดทรงยอดตัดหมายถึง สวนบน A’ B’ C’ D’ จะถูกตัดออกไป ดังนั้น การหาปริมาตรพีระมิดทรงยอดตัดก็คือ การหาปริมาตรเดิมทั้งหมด แลวหาปริมาตร สวนที่ตัดออกนํามาหักออก และการคํานวณโดยละเอียดไดจากสูตร V = 1 h  A1  A2  A1 A2  3 เมื่อ V แทนปริมาตรของพีระมิดทรงยอดตัด A1 , A2 แทนพื้นที่หนาตัดฐานและยอด

h แทนสวนสูงของพีระมิดเมื่อตัดแลว ฉะนั้น การหาพืน้ ที่ฐานก็จะตองใชความรูที่ไดศกึ ษามาแลววาเปนรูปเหลี่ยมชนิดใด (ถา พีระมิดปกติดานขางเปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) พื้นที่ผิดทั้งหมดของพีระมิดยอดตัดจะเทากับพื้นที่ฐานลางรวมกับพืน้ ฐานบน รวมกับพืน้ ที่ ผิวดานขาง อนึ่ง ถาทราบมุมเอียง (  ) อาจใชวิธกี ารหาพื้นทีใ่ นระนาบเอียงมาชวยในการคํานวณได ตัวอยางที่ 19 จงคํานวณหาปริมาตรและพื้นที่ทั้งหมดของพีระมิดทรงยอดตัด มีหนาตัดฐานและยอดเปนรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส ฐานลางยาวดานละ 7 เซนติเมตร หนาตัดบนยาวดานละ 4 เซนติเมตร สูง 5 เซนติเมตร ดานขางทํามุม 77 องศากับฐาน

153

รูปที่ 41 วิธีคํานวณ หาปริมาตรพีระมิดทรงยอดตัด จากสูตร V = 1 h  A1  A2  A1  A2  3 จากโจทย h = 5 เซนติเมตร

A1 = 7  7 = 49 ตารางเซนติเมตร A2 = 4  4 = 16 ตารางเซนติเมตร V = 1  5(49  16  49  16 ) 3 = 5  93 3 = 155 ลูกบาศกเซนติเมตร ตอบ ปริมาตรพีระมิดทรงยอดตัดเทากับ 155 ลูกบาศกเซนติเมตร วิธีคํานวณ หาพื้นที่ทั้งหมดของพีระมิดทรงยอดตัด พื้นที่ดานขางเปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู 4 รูป ซึ่งมีระนาบทํามุม 77 องศา กับฐาน (แปลน) พื้นที่แปลน(ราบ)  พื้นที่ระนาบเอียง = cos θ ในที่นี้พนื้ ที่แปลน (สวนที่เงาของระนาบเอียงทับ) = พื้นที่ฐาน – พื้นที่หนาตัดบน = 49 – 16 = 33 ตารางเซนติเมตร รูปที่ 42  พื้นที่ดานขางทั้ง 4 ดาน = 33  (คา cos 77o = 0.2249) cos77 = 33 0.2249 = 146.73 ตารางเซนติเมตร แทนคา;

154  พื้นที่ผิวทั้งหมด

= 49 + 16 + 146.73 = 211.73 ตารางเซนติเมตร ตอบ พื้นที่ผิวทั้งหมดเทากับ 211.73 ตารางเซนติเมตร หมายเหตุ พื้นที่แปลนไมจําเปนตองเปนพื้นที่ฐาน ขอควรจําก็คือ ใชพื้นที่ที่เปนเงาฉาย (Projection) ของระนาบเอียง 5. กรวย (Cone) นิยาม กรวย คือ รูปทรงมีฐานเปนวงกลมและมียอดแหลม กรวย ปกติจะมีจุดปลายแหลมอยูในแนวแกนตั้งฉากที่ลากจูงจุดศูนยกลาง

รูปที่ 43 ในการคํานวณหาปริมาตรทําไดคลายกับการหาปริมาตรของพีระมิดคือเปน 1 ของปริมาตร 3 ปริซึม กลาวคือ ปริมาตรกรวยกลมก็จะเปน 1 ของทรงกระบอก 3 ถากําหนดให V แทนปริมาตรกรวยกลม r แทนรัศมีของปากกรวย h แทนความสูงในแนวตั้งฉาก  แทนความยาวของแนวเอียง A แทนพื้นที่ดานขาง จะไดวา

พื้นที่ดานขาง; จากรูป

ปริมาตรกรวย V = 1 π r 2  h 3 A OQ 

= r   = PQ 2  OP 2 = r r2  h2

………..(1)

155 A = πr r2  h2

นั่นคือ

……….(2)

สูตรการหาพื้นทีด่ านขางใชไดทั้ง (1) และ (2) แลวแตวากําหนดสวนใดมาใหบาง หรือ แลวแตความสะดวก ตัวอยางที่ 20 จงหาปริมาตรและพื้นที่ของกรวยกลมตันที่มี เสนผาศูนยกลางปากกรวย 11 นิ้ว สูง 9 ½

รูปที่ 44

วิธีคํานวณ หาปริมาตรกรวย V = 1π r 2  h 3 จากโจทย r = 11 , h  19 (ใชคา  = 3.142) 2 2 2 1  11  19 แทนคาจะได V = π   3 2 2 = 1  3.142  121  19 3 4 2 = 300.98 ลูกบาศกนวิ้ ตอบ ปริมาตรกรวยเทากับ 300.98 ลูกบาศกนิ้ว วิธีคํานวณ หาพื้นที่ผิวทั้งหมด ในขอนีโ้ จทยกําหนด h มาให เลือกใชสูตรหาพืน้ ที่ดานขางได A = πr r2  h 2 จากสูตร

= = = = 

2 11  11   19  3.142        2  2   12  17.281  30.25  90.25 17.281  10.98 189.75 ตารางนิ้ว

พื้นที่ดานขางเทากับ 189.75 ตารางนิ้ว พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ดานขาง = r 2  พื้นที่ดานขาง

156 =

3.142   11   189.75 2 2

= 95.05 + 189.75 = 284.80 ตารางนิ้ว ตอบ พื้นที่ผิวทั้งหมดเทากับ 284.80 ตารางนิ้ว

6. กรวยยอดตัด (Frustum of Cone) นิยาม กรวยยอดตัด คือ กรวยที่ถกู ตัดยอดออกในแนวขนานกับฐาน เชนเดียวกับรูปพีระมิด ทรงยอดตัด ปริมาตรของกรวยยอดตัด คือ ผลตางระหวางปริมาตรกรวยรูปเดิมลบดวยปริมาตรกรวยสวน ยอดที่ถูกตัดออก สําหรับสูตรการคํานวณก็ใชสูตรเดียวกับสูตรพีระมิดทรงยอดตัดคือ

V = 1 h  A1  A2  A1  A2  3 เมื่อ A1 , A2 แทนพื้นที่หนาตัดของกรวยดานฐานและบนยอดตามลําดับ

h แทนความสูงกรวยเมื่อตัดยอดแลว V แทนปริมาตรกรวยยอดตัด พื้นที่กรวยยอดตัดประกอบดวยพืน้ ที่หนาตัดสวนฐานและพื้นที่หนาตัดดานบนรวมกับพื้นที่ ผิวดานขาง ซึ่งก็มีวิธีการหาไดเชนเดียวกับการหาพื้นที่ระนาบเอียง หรือจะหาโดยใชสูตร ดังนี้ พื้นที่ผิวขาง = π R  r   เมื่อ R แทนรัศมีฐาน

r แทนรัศมียอด 

แทนความสูงดานเอียง

157 ตัวอยางที่ 21 จงหาปริมาตรทอนเหล็กรูปกรวยตัด ซึ่งมีเสนผาศูนยกลางที่ฐาน 25 เซนติเมตร เสนผาน ศูนยกลางยอด 15 เซนติเมตร สูงตรง 20 เซนติเมตร

รูปที่ 46 วิธีคํานวณ จากสูตร

V = 1 h  A1  A2  A1  A2  3

จากโจทย R = 25 , r  15 , h  20 (ใชคา  = 3.142 ) 2 2 2 A1 = π  25   625 π 4 2  2 225  25  A2 = π    π 4 2 1 625 225 625 225 แทนคาจะได; V = 3  20 4 π  4 π  4 π  4 π    = 2,041.67  = 2,041.67  3.142 = 2,041.67  = 2,041.67  3.142 = 6,414.92 ลูกบาศกเซนติเมตร ตอบ ปริมาตรกรวยยอดตัดเทากับ 6,414.92 ลูกบาศกเซนติเมตร ขอสังเกต การแทนคา  ครั้งสุดทายครั้งเดียวจะทําใหไดคาผิดพลาดนอยกวาแทนแตตน ๆ และปดเศษทิ้ง

158 ปริมาตรและพื้นทีผ่ ิวของทรงกรม (Sphere) นิยาม ทรงกลม คือ รูปทรงตันที่เกิดจาก พื้นที่รูปครึ่งวงกลมหมุนรอบแกนใดแกน หนึ่ง ซึ่งมีเสนผานศูนยกลางเปนแกนหมุน และผิวพื้นระนาบที่เกิดจากการตัดรูปทรง กลมจะเปนรูปวงกลมเสมอ จากการทดลองประกอบการคํานวณใน ทางคณิตศาสตรขั้นสูงหาไดวา ปริมาตรรูป ทรงกลมจะเปน 2 ใน 3 เทาของปริมาตรรูป ทรงกระบอกที่มีเสนผานศูนยกลางและสูง รูปที่ 47 เทากัน พื้นที่ผิวของทรงกลมจะเปน 4 เทาของพื้นที่วงกลมที่มเี สนผานศูนยกลางเทากัน ในการ ทดลองอาจทําไดโดยใชเสนเชือกมาขดใหรอบ ๆ จุดศูนยกลางของวงกลมใหเต็ม แลวลองมาใชหมุด ยึดและพันรอบ ๆ ทรงกลมใหทึบจนมิดทั้งลูก จะปรากฏวา เสนเชือกที่มีขนาดสม่ําเสมอ ที่ใชพันจน มิดลูกทรงกลม จะยาวเปน 4 เทา ของเสนที่พันจนเต็มวงกลม เสนผานศูนยกลางเดียวกัน วิธีคํานวณ ปริมาตรทรงกลม ; V = 4 πr 3 3 หรือ V = 1πd3 6 เมื่อ V แทนปริมาตรลูกทรงกลม r แทนรัศมีของทรงกลม หรือ d แทนเสนผานศูนยกลางวงกลม และจะไดวา พื้นที่ผิวลูกทรงกลม, A = 4πr 2 หรือ = πd2 ตัวอยางที่ 22 ลูกทุมน้ําหนักลูกหนึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 5 นิ้ว จงหาวามีน้ําหนักกี่กโิ ลกรัม ถาวัตถุที่ใชทํา 1 ลูกบาศกนวิ้ หนัก 22.5 กรัม วิธีคํานวณ  ปริมาตรทรงกลม V = 4 πr 3 3

159 จากโจทย รัศมีลูกทุมน้ําหนัก ; r = 5 นิ้ว 2 3 4  5 V = π   ลบ.นิ้ว 3 2 = 4 π 125 ลบ.นิ้ว 3 8 = 125 π ลบ.นิ้ว 6 = 125  3.142 ลบ.นิ้ว 6 = 65.458 ลบ.นิ้ว  1 ลูกบาศกนวิ้ หนัก 22.5 กรัม  ลูกทุมน้ําหนัก = 22.5  65.458 กรัม = 1,472.81 กรัม ตอบ ลูกทุมน้ําหนักทรงกลมหนัก 1,472.81 กรัม ตัวอยางที่ 23 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรลูกเทเบิลเทนนิส (ปงปอง) จํานวน 72 ลูก ถาแตละลูกมีเสนผาน ศูนยกลาง 3.5 เซนติเมตร วิธีคํานวณ  พื้นที่ผิว; A = πd2 ในที่นี้ d = 3.5 เซนติเมตร A = π 3.5 2 ตร.ซม. = (3.142)(3.5)2 ตร.ซม. = 38.4895 ตร.ซม. = 38.4895  72 ตร.ซม.  72 ลูก จะมีพื้นที่ = 2771.244 ตร.ซม. ตอบ พื้นที่ผิวลูกเทเบิลเทนนิส 72 ลูก เปน 2771.24 ตารางเซนติเมตร 4 ปริมาตร v  π r 3 3 3.5 ในที่นี้ r = เซนติเมตร 2  = 3.142 ใช 3 4  3.5  v   3.142    ลบ.ซม. 3  2  = 22.452 ลบ.ซม.

160  รวม 72 ลูก มีปริมาตร

= 22.452  72 ลบ.ซม. = 1,616.56 ลบ.ซม. ตอบ ปริมาตรลูกเทเบิลเทนนิส 72 ลูก 1,616.56 ลูกบาศกเซนติเมตร ปริมาตรและพื้นทีผ่ ิววงแหวนกลม (O – ring) ลักษณะวงแหวนกลมก็ตองนึกถึงภาพนําเสนลวดกลมโต นํามาขดเปนวงกลมอีกที่หนึ่ง นั่นเอง ดังนัน้ ปริมาตรของวงแหวนก็คือ การหาปริมาตรทรงกระบอกที่มีฐานเปนพื้นที่หนาตัดกลม และสวนสูงก็คือ ความยาวของเสนรอบวงกลม ซึ่งตองคิดเฉลี่ยเอากึ่งกลาง เมื่อกําหนดใหวงแหวนกลม มี a แทนรัศมีวงใน

b แทนรัศมีวงนอก v แทนปริมาตรวงแหวน A แทนพื้นที่ผิว

รูปที่ 48

จะได v = 1 π 2 b  a  b  a 2 4 และ A = π 2 b 2  a 2  หรือ A = π 2 b  a  b  a 

ในการคํานวณนี้ถาเรากําหนดให d แทนความหนาของวงแหวน และ D แทนเสนผาน ศูนยกลางเฉลี่ย  b  a  สามารถเขียนเปนสูตรไดใหมคือ  2  ปริมาตร V = 1 π Dd 2 4 และพื้นที่ผิว A = π 2 Dd. ทั้งนี้แลวแตจะเห็นวาวิธีใดสะดวกกวากัน ผลลัพธเทากันทั้งสองวิธี ดังตัวอยางตอไปนี้

หรือโจทยกําหนดมาใหในลักษณะใด

จะได

ตัวอยางที่ 24 ขนมโดนัททําเปนรูปวงแหวนกลมสม่ําเสมอ ถาขนมแตละอันมีเสนผานศูนยกลางใน 1.5 นิ้ว เสนผานศูนยกลางวงนอก 3 นิ้ว จงคํานวณหาปริมาตรขนมโดนัทแตละอัน

161

รูปที่ 49 วิธีคํานวณ

 ปริมาตรวงแหวนในรูป

= 1 π 2 ( b  a)( b  a) 2 4 a = 1.5 นิ้ว = 3 นิ้ว 2 4 b = 3 นิ้ว 2 = 3.14 ใช  2 1 3  3 3 2 3 v   (3.14)         4 2 4 2 4 2 1 9 3 2 =  (3.14)     4 4 4 = 3.12 ลูกบาศกนวิ้ ตอบ ปริมาตรขนมโดนัทแตละอันประมาณ 3.12 ลูกบาศกนิ้ว V

ตัวอยางที่ 25 หวงเหล็กรูปวงแหวนกลม ใชสําหรับรัดหัวเสาสะพานแหงหนึ่ง เสนผานศูนยกลางเฉลี่ย 35 เซนติเมตร หวงเหล็กหนา 4 เซนติเมตร จงหาวาหนักกี่นิวตัน (เนื้อเหล็ก 1 ลูกบาศกเมตร หนัก 72,500 นิวตัน) วิธีคํานวณ + (อาศัยรูปจากตัวอยาง 3.22) 1 v  π 2  D  d 2 4 ในที่นี้ D = 35 ซม. d = 4 ซม.  = 3.14  ใชคา v = 1 π 2 (b  a)(b  a) 2 4 1 2 ลบ.ซม. v   3.14   35  4 2 4

162 = 1380.344 ลบ.ซม. แต 1 ลูกบาศกเมตร = 100  100  100 = 1,000,000 ลบ.ซม.  เหล็ก 1,000,000 ลบ.ซม. หนัก 72,500 นิวตัน 72 ,500  1380.344  เหล็ก 1380.344 ลบ.ซม. หนัก = 1,000 ,000 = 100.07 นิวตัน ตอบ หวงเหล็กหนัก 100.07 นิวตัน -----------------------------------------------------------

163

บทที่ 5 ภาคตัดกรวย วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโบลา เปนเสนโคงทีเ่ กิดจากการตัดกรวยกลมตรงดวย ระนาบ เราจึงเรียกเสนโคงเหลานี้วาภาคตัดกรวย วงกลมที่เกิดจาการที่เรานําเอาพื้นราบตัดกรวยกลมตรง ลักษณะตั้งฉากกับแกนกรวย

พาราโบลาเกิดจากการที่เรานําพื้นราบตัดกรวยกลมตรง ในลักษณะขนานกับแนวดานขางกรวย

วงรีเกิดจากการที่เรานําพื้นราบตัดกรวยกลมตรงเพียงสวนเดียว ในลักษณะไมขนานกับแนวดานขางกรวย และไมตั้งฉากกับ แกนกรวย

ไฮเพอรโบลาเกิดจากการที่เรานําเอาพื้นราบตัดกรวยกลม ทั้งสองสวนของกรวย

164 วงกลมที่เกิดจากการที่เรานําพื้นราบตัดกรวยกลมตรง ในลักษณะทีต่ ั้งฉากกับแกนของกรวย

นิยาม

วงกลม คือ เซตของจุดบนระนาบทุกจุดที่อยูหางจาก จุดคงที่จดุ หนึ่ง เปนระยะทางเทากันเสมอ สมการวงกลมที่มจี ุดศูนยกลางอยูที่จุด ( O, O ) และรัศมีเทากับ r หนวย คือ

x y 2

สมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ จุด ( h, k ) และรัศมีเทากับ r หนวย คือ

(x-h)



y r

( y - k )2  r 2

( h, k ) O

สมการวงกลมทุกสมการเขียนอยูใ นรูปทั่วไปไดคือ

x 2 + y 2 + Ax + By + C

เมื่อ A , B , C เปนคาคงตัว

= 0

P ( x, y )

165 ตัวอยางที่ 1 จงเขียนกราฟและหาสมการวงกลม ที่มีจุดศูนยกลางที่จุด ( O, O ) และรัศมี เทากับ 3 หนวย วิธีทํา สมการวงกลมที่มีจดุ ศูนยกลาง ( O, O ) และรัศมี r หนวย คือ

x2  y2 x2  y2 x2  y2

  

r2 32 9

ตัวอยางที่ 2 จงเขียนกราฟและหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุด ( - 1, 2 ) และ รัศมี เทากับ 2 วิธีทํา วงกลมมีจุดศูนยกลาง ( h, k ) = ( - 1, 2 ) รัศมี r  สมการวงกลม คือ

( x  h ) 2 + ( y  k )2 = r 2 (x + 1) 2 + (x - 2) 2 = 2 2 x 2 2x + 1 + y 2 4 y + 4 = 4 x 2  y 2  2 x  4 y 1  0

(- 1, 2 ) -2

(- 1, 0 ) O

ตัวอยางที่ 3 จงหาจุดศูนยกลาง รัศมี จากสมการวงกลม x 2  y 2  2x - 6y  6  0 x 2  y 2  2x  6y  6  0 วิธีทํา จาก ( x 2  2x )  ( y 2  6y )   6 ( x 2  2 x  1 )  ( y 2  6y  9 )   6  1  9 ( x  1 ) 2 + (y  3 ) 2 = 4 (x  1 ) 2 + ( y  3) 2 = 2 2 เทียบกับสมการ

( x h) 2 + ( y k) 2

= r2

 h = 1. k = 3 และ r = 2 ดังนั้น วงกลมมีจุดศูนยกลาง ( 1, 3 ) มีรัศมีเทากับ 2 หนวย

166 ตัวอยางที่ 4 จงหาสมการวงกลมและเขียนกราฟของวงกลมตามเงื่อนไขที่กําหนดใหดังตอไปนี้ ( ก ) วงกลมมีจดุ ศูนยกลางที่ ( 0, 0 ) และรัศมีเทากับ 2 ( ข ) วงกลมมีจดุ ศูนยกลางที่ ( 0, 2 ) และรัศมีเทากับ 4 ( ค ) วงกลมมีจดุ ศูนยกลางที่ ( - 1, 0 ) และรัศมีเทากับ 3 ( ง ) วงกลมมีจุดศูนยกลางที่ ( - 1, 2 ) และรัศมีเทากับ 4 วิธีทํา (ก) วงกลมมีจดุ ศูนยกลางที่ ( 0, 0 ) และรัศมีเทากับ 2 คือ

x2  y2  r2 x 2  y 2  22 x2  y2  4

วงกลมมีจุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C ( 0, 2 )

(ข)

 h = 0 และ k = 2 วงกลมมีรัศมี r = 4 สมการคือ ( x  h ) 2 + ( y  k ) 2 = r 2 ( x  0 )2 + ( y  2)2 = 4 2

x 2 + y 2  4 y  4 = 16 x 2 + y 2  4 y 12 = 0 (ค)

วงกลมมีจุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C ( - 1, 0 )

 h = - 1 และ k = 0 วงกลมมีรัศมี r

( - 4, 0 ) C (- 1, 0 )

( 2, 0 )

= 3

สมการคือ ( x  h ) 2 + ( y  k ) 2 = r 2 r 2 (x  1) 2 + ( y  0 ) 2 = 3 2

x 2 + 2x  1  y 2 = 9 x 2 + y 2  2x  8 = 0

167 วงกลมมีจุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C ( - 1, 2 )  h = - 1 และ k = 2 วงกลมมีรัศมี r

= 2

สมการคือ ( x  h ) 2 + ( y  k ) 2 = r 2 ( x  1 )2 + ( y  2 ) 2

= 22

x 2 + 2x  1  y 2  4 y  4 = 4 x 2 + y 2  2x  4 y 1 = 0 ตัวอยางที่ 5 จงหาจุดศูนยกลาง รัศมี และเขียนกราฟของวงกลมจากสมการทีก่ ําหนดให ตอไปนี้

x 2 + y 2  4x  4y  1 = 0 จากสมการ x 2 + y 2  2x  4y1 = 0 (x 2  4x ) + ( y 2 4y ) = 1 ( x 2  4x + 4 ) + ( y 2 4y  4 )

= 1+4+4

( x  2) 2 + ( y  2) 2 = 3 2 เทียบกับ

( x - h ) 2 + ( y  k )2 = r 2

 h = - 2, k = 2 และ r = 3 นั่นคือ วงกลมนี้มจี ุดศูนยกลางที่ ( - 2, 2 ) และรัศมีเทากับ 3 วงรีเกิดจากการที่เรานําพื้นราบตัดกรวยกลมตรงเพียงสวนเดียว ในลักษณะไมขนานกับ แนวดานขางกรวย และไมตั้งฉากกับแกนของกรวย

นิยาม

ขอสังเกต

วงรี คือ เซตของจุดบนระนาบทุกจุด ที่ผลบวก ของระยะทางจากจุดเหลานี้ไปยังจุดคงที่ 2 จุด มี คาคงที่เสมอ จากจุดคงนี้เรียกวา “ โฟกัส “ ของวงรี

168

( x - h )2 a2

( ก ) วงรีตามแนวแกน x สมการคือ

1. 2. 3. 4. 5. 6.

(y - k ) 2

จุดศูนยกลาง C ( h, k ) จุดโฟกัส F (h + c, k) และ F h - c, k) จุดยอด V(h + a, k) และ V(h - a, k) ความยาวของแกนเอก W = 2 a ความยาวของแกนโท BB = 2 b ความยาวของเลตัสเรกตัม AA = DD 2 = 2b

x2 a2

ถาจุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C ( 0, 0 ) แลว สมการคือ

( ข ) วงรีตามแนวแกน y สมการ คือ

y2 b2

(y - k ) 2 ( x - h )2 + a2 b2

1. จุดศูนยกลาง C ( h, k ) 2. จุดโฟกัส F (h + c, k) และ F h - c, k) 3 จุดยอด V(h + a, k) และ V(h - a, k) 4 ความยาวของแกนเอก W = 2 a

2b 2

5. ความยาวของแกนโท BB = 2 b 6. ความยาวของเลตัสเรกตัม AA = DD

ถาจุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C ( 0, 0 ) แลว สมการคือ

ขอควรจําสําหรับวงรีทั้งสองรูป คือ a มีคามากกวา b เสมอ

x2 a2

y2 b2

169

a b c

ระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับจุดยอด

ระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับจุดปลายขางหนึ่งของแกนโท

ระยะหางระหวางจุดศูนยกลางกับจุดโฟกัส

ความสัมพันธระหวาง a, b และ c เปนดังนี้เสมอ คือ

a2  b2  c2 สมการในรูปทั่วไปของวงรี เขียนอยูในรูป Ax 2  By 2  Cx  Dy  F



โดยที่ A, B มีเครื่องหมายเหมือนกัน และ A  B ตัวอยางที่ 6 จงหาจุดโฟกัส จุดยอด ความยาวแกนเอก ความยาวแกนโท ความยาวของ เลตัสเรกตัม และเขียนกราฟของสมการวงรี 25 x 2 + 16 y 2 = 400

วิธีทํา

จากสมการ 25 x 2 + 16 y 2 = 400 นํา 400 หารทั้ง 2 ขางของสมการ

x2 + y2 16 25 2 x + y2

= =

หรือ

y2 + x2 2 2

เทียบกับ

y2 + x2 a 2 b2

 a

5 และ b

จาก



b2 c2



25 C2

= 16 + c 2 = 9

= 3

170

สมการนี้เปนรูปวงรีตามแนวแกน y ซึ่งมีลักษณะดังนี้ 1. จุดโฟกัส F ( 0, 3 ) และ F( 0, - 3 ) 2. จุดยอด V ( 0, 5 ) และ V ( 0, - 5 ) 3. ความยาวของแกนเอก W = 2 a = 10 หนวย 4. ความยาวของแกนโท BB = 2 b = 8 หนวย 5. ความยาวของเลตัสเรกตัม 2 2 2b 2(4) AA = DD = = = 32 หนวย 5 5 a

ตัวอยางที่ 7 จงหาจุดศูนยกลาง จุดโฟกัส จุดยอด ความยาวแกนเอกและโท ความยาวของ เลตัสเรกตัม และเขียนกราฟของสมการวงรี 4 x 2 + 9 y 2  24x  36y  36 = 0 วิธีทํา จากสมการ 4 x 2 + 9 y 2  24x  36y  36 = 0 ( 4x 2  24x ) + ( 9y 2  36y ) = - 36 4( x 2  6x ) + 9( y 2  4y ) = - 36 4( x 2  6x  9 ) + 9( y 2  4y  4) = - 36 + 36 + 36 4( x  3 ) 2 + 9( y  2 ) 2 = - 36 นํา 36 หารตลอดสมการ ( x - 3 )2 + ( y  2 )2 = 1 9 4 2 ( x - 3 ) + ( y  2 )2 = 1 22 32 เทียบกับ

( x - h )2 + ( y  k ) 2 = 1 b2 a2

 h = 3, k = - 2 และ a2 จากความสัมพันธ 9 C2 C

b =2 

b2 c2

= 4 + C2 = 5 = 5

171

สมการนี้เปนรูปวงรีตามแนวแกน x ซึ่งมีลักษณะ ดังนี้ 1. ศูนยกลาง C ( h , k ) และ = C ( 3, - 2 ) 2. จุดโฟกัส F ( h + c, k ) = F ( 3 + 5 , - 2 ) F ( h - c, k ) = F ( 3 - 5 , - 2 ) 3. จุดยอด V ( h + a, k ) = V ( 6 , - 2 ) V ( h - a, k ) = V ( 0 , - 2 ) 4. ความยาวของแกนเอก W = 2 a = 2 ( 3 ) = 6 หนวย 5. ความยาวของแกนโท BB = 2 b = 2 ( 2 ) = 4 หนวย 6. ความยาวของเลตัสเรกตัม 2 2 AA = DD = 2b = 2(2) = 8 หนวย a 3 3 พาราโบลาเกิดจากการที่เรานําพื้นราบตัดกรวย กลมตรง ในลักษณะขนานกับแนวดานขางกรวย นิยาม

พาราโบลา คือ เชตของจุดบนระนาบทุกจุด ที่อยู หางจากจุดคงที่จดุ หนึ่ง และเสนคงที่เสนหนึ่ง เปนระยะทางเทากันเสมอ สมการพาราโบลา สมการพาราโบลา ( y  k ) 2 = 4c ( x  h ) จุดยอดอยูที่ V ( h, k ) จุดโฟกัสอยูที่ F ( h + c, k ) สมการไดเรกตริกซ คือ x = h – c ความยาวของเลตัสเรกตัม AB = 4C แกนของพาราโบลา คือ y = k ถาจุดยอด V ( O, O ) แลว สมการ คือ

172

y 2  4 cx สมการพาราโบลา ( y  k ) 2 = - 4c ( x  h ) จุดยอดอยูที่ V ( h, k ) จุดโฟกัสอยูที่ F ( h - c, k ) สมการไดเรกตริกซ คือ x = h + c ความยาวของเลตัสเรกตัม AB = 4C แกนของพาราโบลา คือ y = k ถาจุดยอด V ( 0, 0 ) แลว สมการ คือ y 2   4 cx สมการพาราโบลา ( x  h ) 2 = - 4c ( y  k ) จุดยอดอยูที่ V ( h, k ) จุดโฟกัสอยูที่ F ( h, k + c ) สมการไดเรกตริกซ คือ y = k - c ความยาวของเลตัสเรกตัม AB = 4c แกนของพาราโบลา คือ x = h ถาจุดยอด V ( O, O ) แลว สมการ คือ



4 cy

สมการพาราโบลา ( x  h ) 2 = -4c ( y  k ) จุดยอดอยูที่ V ( h, k ) จุดโฟกัสอยูที่ F ( h, k- c ) สมการไดเรกตริกซ คือ y = k + c ความยาวของเลตัสเรกตัม AB = 4c แกนของพาราโบลา คือ x = h ถาจุดยอด V ( O, O ) แลว สมการ คือ



4 cx

173

ขอควรจํา 1. ระยะทางระหวางจุดยอด V กับจุดโฟกัส F เทากับระยะทางระหวางจุดยอด V กับเสนไดเรกตริกซเทากับ c เสมอ 2. รูป ก. เรียกวา พาราโบลาเปดขวา รูป ฃ. เรียกวา พาราโบลาเปดซาย รูป ค. เรียกวา พาราโบลาหงาย รูป ง. เรียกวา พาราโบลาคว่ํา 3. รูปทั่วไปของพาราโบลาเปนดังนี้ คือ y 2  Ay  Bx  C รูป ก. ข. x 2  Ax  By  C รูป ค. ง. โดยที่ A, B และ C เปนคาคงตัว

 

O O

ตัวอยางที่ 8 จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ ( O, O ) และจุดโฟกัสที่จุด ( 3, O ) วิธีทํา สมการพาราโบลามีจุดยอด V( O, O ) คือ y 2  4 cx และ c = 3  y2

 

4 (3 )x 12 x

ตัวอยางที่ 9 จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ ( 3, 2 ) และสมการไดเรกตริกซ คือ y = 5 วิธีทํา

จากรูป c = 5 – 2 = 3 จุดยอด V ( h, k ) = V ( 3, 2 )  h = 3 และ k = 2 สมการพาราโบลารูปนี้ คือ (x  h )2 = - 4 c ( y  k )

(x 3 )2 = - 4 ( 3 ) ( y 2 )

x 2 - 6x + 9 = - 12y + 24 x 2 + 12 y - 15 = O

174

ตัวอยางที่ 10 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส ความยาวเลตัสเรกตัม สมการไดเรกตริกซ และแกน พาราโบลาของ x 2 = 6 y วิธีทํา

จาก

x2 = 6 y x 2 = 4 ( 32 ) y

3  c = 2 และจุดยอด คือ V ( O, O ) 3 จุดโฟกัส F ( O, 2 ) ความยาวเลตัสเรกตัม 3 AB = 4 c = 4 ( 2 ) = 6 หนวย 3 สมการไดเรกตริกซ y = - 2

แกนพาราโบลา

y = O

ตัวอยางที่ 11 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส ความยาวเลตัสเรกตัม สมการไดเรกตริกซ และแกน พาราโบลาจากสมการพาราโบลา x 2 - 4 x + 8y - 20 = 0 วิธีทํา

จากสมการ x 2 - 4 x + 8y - 20 = 0

x 2 - 4 x = - 8y + 20 x 2 - 4 x + 4 = - 8y + 20 + 4 ( x  2 ) 2 = - 8y + 24 ( x  2 ) 2 = - 8( y + 3 ) ( x  2 ) 2 = -4 ( 2 ) ( y – 3 ) เทียบกับ ( x  h ) 2 = - 4c ( y – k )  h = 2 และ k = 3 และ c = 2 ดังนั้น จุดยอด คือ V ( h, k ) = V ( 2, 3 ) จุดโฟกัส F ( h, k - c) = F ( 2, 1 ) ความยาวเลตัสเรกตัม AB = 4 c = 4 ( 2 ) = 8 หนวย สมการไดเรกตริกซ y = k + c = 5 แกนพาราโบลา y = h = 2

175

ไฮเพอรโบลา เกิดจากการที่เรานําพื้นราบ ตัดกรวยกลมตรงทั้ง 2 สวนของกรวย นิยาม

ไฮเพอรโบลา คือ เซตของจุดบนระนาบทุกจุดที่ ผลตางของระยะทางจากจุดเหลานี้ไปยังจุดคงที่ 2 จุด มีคาคงที่เสมอ

สมการไฮเพอรโบลา ( ก ) ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน x สมการคือ (x  h )2 a2

(y k )2 b2

= 1

1. จุดศูนยกลาง C ( h, k ) 2. จุดยอด คือ V ( h + a, k ) และ V( h - a, k ) 2. จุดโฟกัส F ( h + c , k) และ F ( h - c , k) 4. ความยาวของแกนตามขวาง W = 2 a หนวย 5. ความยาวของแกนสังขยุค BB = 2 b หนวย 6. ความยาวเลตัสเรกตัม 2 LR = 2 b หนวย

ถาจุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C (0, 0 ) แลวสมการคือ

x2 - y2 = 1 a2 b2

176

( ข ) ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน y สมการคือ (y k )2 a2

2 - ( x  2h ) = 1 b

1. จุดศูนยกลาง C ( h, k ) 2. จุดยอด คือ V ( h, k + a ) และ V( h, k- a ) 3. จุดโฟกัส F ( h, k + c ) และ F ( h, k- c ) 4. ความยาวของแกนตามขวาง W = 2 a หนวย 5. ความยาวของแกนสังยุค BB = 2 b หนวย 6. ความยาวของเลตัสเรกตัม 2 LR = 2 b หนวย

a ถาจุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C (0, 0 ) แลวสมการคือ

y2 - x2 = 1 a2 b2

ขอควรจําสําหรับไฮเพอรโบลาทั้ง 2 รูป คือ

a = ระยะทางระหวางจุดศูนยกลางกับจุดยอด b = ระยะทางระหวางจุดศูนยกลางกับจุดปลายขางหนึ่งของแกนสังยุค c = ระยะทางระหวางจุดศูนยกลางกับจุดโฟกัส ความสัมพันธระหวาง a, b และ c เปนดังนี้เสมอ คือ สมการในรูปทั่วไปเขียนอยูในรูป คือ 1. ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน x

c2 = a2 + b2

177

A x 2 - B y 2 + C x + Dy + F = O 2. ไฮเพอรโบลาตามแนวแกน y

Ay 2 - Bx 2 + Cx + Dy + F = O ตัวอยางที่ 12 จงหาจุดศูนยกลาง จุดยอด จุดโฟกัส ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวของ แกนสังขยุค ความยาวของเรตัสเรกตัม และเขียนกราฟของสมการไฮเพอรโบลา

x2  y2 9 4



x2  y2 9 4 2 2 x y 2 2

วิธีทํา

x2  y2 a2 b2

เทียบกับสมการ 



a = 3, b = 2, h = 0, และ k = 0

c2 = a2+ b2 c 2 = 9 + 4 = 13

จากความสัมพันธ 

c =

สมการนี้เปนรูปไฮเพอรโบลาตามแนวแกน x ซึ่งมีลักษณะ ดังนี้ 1. จุดศูนยกลาง C ( 0, 0 ) 2. จุดยอด V ( h + a, k ) = V ( 3, 0 ) V( h - a, k ) = V( - 3 , 0 ) 3. จุดโฟกัส F ( h + c, k) = F ( 13 , 0 ) F( h - c, k ) = F( - 13 , 0 ) 4. ความยาวของแกนตามขวาง W = 2 a = 2 ( 3 ) = 6 หนวย

178 5. ความยาวของแกนสังขยุค BB = 2 b = 2 ( 2 ) = 4 หนวย 6 ความยาวของเลตัสเรกตัม LR =

2 b2

8 2 ( 2 )2 = = หนวย 3 3

ตัวอยางที่ 13 จงหาจุดศูนยกลาง จุดยอด จุดโฟกัส ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวของ แกนสังขยุค ความยาวของเรตัสเรกตัม และเขียนกราฟของสมการไฮเพอรโบลา

9y 2 - 25 x 2 - 18y - 100x - 316 = 0

9y 2 - 25x 2 - 18y - 100x - 316 = 0

วิธีทํา

( 9y 2 - 18y ) - ( 25 x 2 + 100 x ) = 316 9 ( y 2 - 2y ) - 25 ( x 2 + 4x )

= 316

9 ( y 2 - 2y + 1 ) - 25 ( x 2 + 4x + 4 ) = 316 + 9 – 100

9 (y  1) 2 - 25 (x  2 ) 2 = 225 ( y -1 )2 ( x  2 )2 = 1 9 25 ( y - 1 )2 ( x  2 ) 2 = 1 52 32 ( y - k )2 ( x - h )2 เทียบกับสมการ = 1 -

 a = 5, b = 3, h = - 2 และ k = 1 จากความสัมพันธ

c2 = a2 + b2

= 25 + 9 = 34  c = 34 สมการนี้เปนรูปไฮเพอรโบลาตามแนวแกน y ซึ่ง มีลักษณะดังนี้ 1. จุดศูนยกลาง C ( h, k ) = C ( - 2, 1 ) 2. จุดยอด V ( h, k+ a ) = V ( - 2, 6 )

179 V( h, k- a ) = V( - 2 , - 4 ) 3 จุดโฟกัส F ( h, k+ c) = F (- 2, 1 + 34 ) F( h, k- c ) = F(- 2, 1 - 34 ) 4. ความยาวของแกนตามขวาง W = 2 a = 2 ( 5 ) = 10 หนวย 5. ความยาวของแกนสังขยุค BB = 2 b = 2 ( 3 ) = 6 หนวย 6 ความยาวของเลตัสเรกตัม 2 18 2 ( 3 )2 b 2 LR = = = หนวย 5 3 a

180

บทที่ 6 อสมการและคาสัมบูรณ อสมการ หมายถึงความสัมพันธของสองปริมาณที่ไมใชการเทากัน มีทสี่ ําคัญอยู 4 แบบ คือ นอย กวา, นอยกวาหรือเทากับ, มากกวา, และมากกวาหรือเทากับ กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงใด ๆ จะได 1.1

a นอยกวา b เขียนแทนดวยสัญลักษณ a < b หมายถึง a - b เปนจํานวนลบ หรือ a - b < 0 1 < 2 หมายถึง 1 – 2

เชน

= -1

เปนจํานวนลบ หรือ 1 – 2 < 0

- 4 < -1 หมายถึง - 4 – (-1 ) = - 3 เปนจํานวนลบ หรือ - 4 – (-1 ) < 0

- 2 < 3 หมายถึง - 2 – 3 = - 5 1.2

เปนจํานวนลบ หรือ - 2 – 3 < 0

a นอยกวาหรือเทากับ เขียนแทนดวยสัญลักษณ a < b หมายถึง a < b หรือ a = b

1.3 เชน

a มากกวา b เขียนแทนดวยสัญลักษณ a > b หมายถึง a - b หรือ เปนจํานวนบวก หรือ a - b > 0

3 > 0 หมายถึง 3 – 1 = 2

เปนจํานวนบวก หรือ 3 – 1 > 0

- 2 > - 5 หมายถึง - 2 – ( - 5 ) = 3 เปนจํานวนบวก หรือ - 2 – (- 5 ) > 0 4 > - 2 หมายถึง 4 – ( - 2 ) = 6 เปนจํานวนบวก หรือ 4 – (- 2 ) > 0 1.4

a มากกวาหรือเทากับ b เขียนแทนดวยสัญลักษณ a > b หมายถึง a > b หรือ a = b

181

สมบัติของอสมการ ให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงใดๆ แลวจะไดวา 1. ถา a b แลว a + c 0 แลว ac < bc ถา a bc 3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ถา a b และ b > c แลว a > c 5. ถา a b และ c > d แลว a + c > b + d 6. ให a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน

1 b 1 b

ถา a

a 1 ถา a > b แลว a

7. ถา a b 2 ถา O < a < b แลว a 2 < b 2

ชวงของจํานวนจริง 1 ชวงจํากัด

แบงได 3 ชนิด คือ

1.1 ชวงเปด

(a, b ) = {x l a < x < b} (a, b ) a

182

1.2 ชวงปด [a , b ] = { xl a ≤ x ≤ b} เขียนกราฟของเสนจํานวนจริงแทนได คือ

[a , b ]

1.3 ชวงครึ่งเปด [a , b) = { x l a ≤ x < b } เขียนกราฟของเสนจํานวนจริงแทนได คือ

[a , b) a

(a , b ] = {x l a < x ≤ b } เขียนกราฟของเสนจํานวนจริงแทนได คือ

(a , b ] a

2 ชวงอนันต 2.1 (a, ∞ ) = { x l x

เขียนกราฟของเสนจํานวนจริงแทนได ดังนี้

( a, ∞ ) a

2.2 [a , ∞) = { x l x ≥ a} เขียนกราฟของเสนจํานวนจริงแทนได ดังนี้

[a , ∞) a

( − ∞ , a ) = {x l x < a}

183 2.3

(- ∞ , a ) = {x l x < a } เขียนกราฟของเสนจํานวนจริงแทนได ดังนี้

( − ∞, a, ) b 2.4 (- ∞ , a ] = {x l x ≤ a } เขียนกราฟของเสนจํานวนจริงแทนได ดังนี้

(- ∞ , a ] b ขอสังเกตุ

1. a และ b เรียกวา จุดปลาย ( endpoint ) ของชวง 2. วงกลมโปรงบนกราฟ แสดงวาไมรวมคาที่จุด ๆ นี้ 3. วงกลมทึบบนกราฟ แสดงวารวมคาที่จดุ ๆ นี้

การแกอสมการ การแกสมการ ที่นิยมใชกันทัว่ ๆไป มี 2 วิธี คือ 1. วิธีบวกทั้งสองขางของอสมการ หรือบวกตลอดอสมการดวยจํานวนจริงใด ๆ 2. วิธีคูณทั้งสองขางของอสมการ หรือคูณตลอดอสมการดวยจํานวนบวก ตัวอยางที่ 1 จงแกอสมการ 4x − 5 > 2x + 2 วิธีทํา บวกดวย 5 ทั้งสองขาง จะได 4x > 2x + 7 บวกดวย – 2x ทั้งสองขางจะได 2x > 7 คูณดวย 1 ทั้งสองขาง จะได x

เซตคําตอบของสมการนี้คือ

7 2

⎧ 7⎫ ⎨x l x > 2 ⎬ ⎭ ⎩

หรือ ⎛⎜ 7 , a ⎞⎟ ⎝2 ⎠

184 ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ 13 < 6x + 1 ≤ 19 วิธีทํา บวกดวย - 1 ตลอดจะได 12 < 6x < 18 คูณดวย

1 6

ตลอดจะได 2 < x < 3

เซตคําตอบของอสมการนี้คือ {x l 2 < x ≥ 3} หรือ ( 2 , 3) ตัวอยางที่ 3 จงแกสมการ x 2 + x ≠ 0 วิธีทํา พิจารณาสมการ x 2 − x − 2 = 0 จะได (x − 1) (x + 2 ) = 0 x = 1, 2 นั่นคือ จํานวนจริงที่ทําให x 2 + x − 2 ≠ 0 คือจํานวนจริงทุก ๆ จํานวน ยกเวน 1 และ -2 เซตคําตอบของสมการนี้ คือ {x l x ≠ 1} U {x l x ≠ - 2} ตัวอยางที่ 4 จงแกอสมการ x 2 + x − 2 > 0 ทําไดดังตอไปนี้ จาก x2 + x − 2 > 0 จะได (x − 1) (x + 2 ) = 0 นั่นคือ จํานวนจริงที่เปนคําตอบของอสมการนี้ จะตองเปนจํานวนที่ทาํ ให (x − 1) และ (x + 2 ) เปนจํานวนบวกทั้งคู หรือ ลบทั้งคู กลาวคือ ก.

0 และ x + 2 > 0 จะได x > 1และ x > - 2 x

−1 >

แตจํานวนที่มากกวา 1 และมากกวา 2 ในขณะเดียวกัน คือ จํานวนที่มากกวา 1 ดังนั้น คําตอบของอสมการในกรณีที่ x − 1 และ x + 2 เปนจํานวนบวกทั้งคู คือจํานวนจริงใด ๆ ที่มากกวา 1

0 และ x + 2 < 0 จะได x < 1 และ x < - 2 แตจํานวนทีน่ อ ยกวา 1 และ -2 ในขณะเดียวกัน คือจํานวนทีน่ อยกวา -2 ดังนั้น คําตอบของอสมการในกรณีที x - 1 และ x + 2 เปนจํานวนลบทั้งคู คือจํานวนจริงใด ๆ ที่นอยกวา -2 เมื่อรวมทั้งสองกรณีเขาดวยกัน คําตอบของ อสมการ x 2 + x − 2 > 0 (1, ∞ ) U ( − ∞ , − 2 ) คือ ข.

−1 <

185 จากตัวอยางอาจสรุปไดวาเซตคําตอบของอสมการอยูในรูปชวง ( interval ) ซึ่งแบงออกไดเปน 4 ประเภทใหญ ๆ คือ ชวงเปด ชวงปด ชวงครึ่งเปด หรือชวงครึ่งปด และชวงอนันต ถา a และ b เปนจํานวนจริงใด ๆ โดยที่ a < b แลว จะมีชวงแบบตาง ๆ ที่เกิดขึ้นได ดังตอไปนี้ ชวงเปด ความหมาย

{x l a x b } ความหมาย {x l a x b }

( a, b)

ชวงปด

[ a, b]

≤

ชวงครึง่ เปดหรือชวงครึ่งปด

≤

ความหมาย

{ x la < x ≤ b } { x la ≤ x < b }

( a, b] [ a, b)

{x l a < x

ชวงอนันต

≤

ความหมาย

{ x lx < a } { x lx ≥ a } {{ xx ll xx ≤< aa }}

(a , ∞ ) [- a , ∞ ) (( −∞∞, ,a ]a )

(a , ) ∞

{x l x

≥

[2 , 10]

ตัวอยาง เชน

1 [ 2 , 8] ∪ [ 4 , 10 ] 2. (14 , 18 ) ∪ (10 , 20 ) 3. ( 25, 80 ] ∪ [ 28, 30 ) 4. ( 75, 80 ] ∩ [77, 85) 5. [35, 36 ) ∩ ( 36, 39 )

= = = = =

[ 2 , 10 ] (10 , 20 ) (25, 30 ) [177, 80 ] ∅

สรุป 1. อสมการ หมายถึง ประโยคสัญลักษณที่มีเครือ่ งหมาย < (นอยกวา ) > ( มากกวา ) ≤ ( นอยกวาหรือเทากับ ) ≥ ( มากกวาหรือเทากับ ) และ ≠ ( ไมเทากับ ) 2. สมบัติของอสมการ ให a , b , c เปนจํานวนจริงใด ๆ แลวจะได 1) สมบัติถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2) สมบัติของการบวกหรือลบ ถา a > b แลว a + c > b + c 3) สมบัติของการคูณ

186 ( 1 ) ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ( 2 ) ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 3.

ชวงจํานวนจริง รูปกราฟ

รูปชวง

รูปอสมการ

( −∞, a ) ( −∞, a]

x <a

x≤a

(a , ∞)

x>a

[a , ∞ )

(a, b)

x≥a a<x< b

( a , b]

a<x≤ b

[a , b )

a≤x< b

[a , b]

a≤x≤ b

1. 2. 3. 4.

( a , b ) เรียกวา ชวงเปด [a , b] เรียกวาชวงปด ( a , b] เรียกวาชวงครึ่งเปดครึ่งปด [a , b ) เรียกวาชวงครึ่งปดครึ่งเปด

ขอสังเกตุ

a a

187

เสนจํานวนกับอสมการ เราสามารถใชเสนจํานวนแสดงคาตาง ๆ ของอสมการไดดังนี้ 1) a > b หมายความวา a - b > 0 หรือ a อยูทางขวาของ b บนเสนจํานวน b

-4

-3

-2

-1

2) a < b หมายความวา a - b < 0 หรือ b อยูทางขวาของ a บนเสนจํานวน b

-4

-3

-2

-1

3) a ≥ b หมายความวา a - b ≥ 0 ซึ่งเปนสองกรณี กรณีแรก a อยูทางขวาของ b บนเสนจํานวน หรือ กรณีสอง a และ b อยูในตําแหนงเดียวกัน บนเสนจํานวน 4) a ≤ b หมายความวา a - b ≤ 0 ซึ่งเปนสองกรณี กรณีแรก b อยูทางขวาของ a บนเสนจํานวน หรือ กรณีสอง a และ b อยูในตําแหนงเดียวกัน บนเสนจํานวน 5) a < b < c หมายความวา a < b และ b < c 6) a ≤ b ≤ c หมายความวา a ≤ b และ b ≤ c ตัวอยาง

-4 -4 -1

-3 -2

< -1 เพราะ < 0 เพราะ

1 > -1 เพราะ 3 > -4 เพราะ

-1

-4 อยูทางซายของ -1 -1 อยูทางซายของ 0 1 อยูทางขวาของ -1 3 อยูทางขวาของ -4

188

กราฟของอสมการ 1. กราฟของอสมการเชิงเสนที่มีตัวแปรเดียว คือกราฟของตัวแปรที่สามารถเขียบนเสน จํานวนได ตัวอยางที่ 5 จงเขียนกราฟของ -1 < x ≤ b วิธีทํา กราฟของ -1 < x ≤ 6 หรือ ( -1 , 6 ) คือ

ไมรวมคา -1 -1

รวมคา 6

ตัวอยางที่ 6 จงเขียนกราฟของ x > 3 หรือ x

≤

-2

วิธีทํา กราฟของ x > 3 หรือ x < -2 หรือ ( 3 , ∞ ) ∪ ( − ∞ , − 2] )

รวมคา -2

-2

ไมรวมคา 3

-1

2. กราฟของอสมการเชิงเสนที่มีสองตัวแปร คือกราฟของคูลําดับหรือความสัมพันธ ที่สามารถ เขียนไดบนระนาบหรือระบบแกนมุมฉาก การเขียนกราฟชนิดนีน้ ิยมเขียนกราฟของสมการ ซึ่งเปนประโยคสัญลักษณที่ประกอบดวย เครื่องหมาย “ = “ เสียกอน แลวจึงคอยพิจารณาบริเวณหรือเนื้อทีท่ ี่คาของตัวแปรทั้งสองเปนจริงสําหรับ อสมการนั้น เชน ตัวอยางที่ 7 จงเขียนกราฟของอสมการ y > x + 2 วิธีทํา เขียนกราฟของสมการ y = x + 2 กอน แลวจึงคอยพิจารณาบริเวณหรือ เนื้อที่ ที่คาของ x และ y เปนจริงสําหรับอสมการ y > x + 2

189 จากกราฟของสมการ y = x + 2 ขางตน จะเห็นไดวา บริเวณที่คาของ x และ y เปนจริง สําหรับอสมการ y > x + 2 คือบริเวณที่อยูเหนือเสน y = x + 2 ขึ้นไป ( ไมรวมบริเวณที่อยูบ นเสน y = x + 2 ) ดังจะเห็นไดจากเมื่อ x = 0 , y จะมีคามากกวา 2 หรือเมื่อ x = 1 , y จะมีคามากกวา 3 ตัวอยางที่ 8 จงเขียนกราฟของอสมการ 2x + y ≤ 2

1 2 y ≥ -1 วิธีทํา เขียนกราฟของสมการทั้งสาม คือ 2x + y = 2 , 2x พิจารณาบริเวณที่คาของตัวแปรทั้งสองสอดคลองกับทุกอสมการขางตน x

≥

½ และ y = 1เสียกอน แลวจึง

จากกราฟของสมการทั้งสาม บริเวณที่คาของ x และ y เปนจริงสําหรับอสมการทั้งสาม คือ บริเวณ ที่แรเงาไว ซึ่งรวมทั้งบริเวณที่อยูบนเสน 2x + y = 2 , x = ½ และ y = -1 ดวย 3.

การประยุกตอสมการในเรื่องการกําหนดเชิงเสน การกําหนดเชิงเสน ( linear programming ) เปนวิธีการที่ใชในการจัดสรรทรัพยากรที่มี อยูใหกับกิจกรรมตาง ๆ ที่ตองการ โดยกิจกรรมเหลานั้นใหผลตอบแทนสูงสุด ตัวอยาง เชน โรงงานผลิตเฟอรนิเจอรแหงหนึ่ง ผลิตเฟอรนิเจอร 2 ชนิด คือ ตู และ เตียง ออกมา จําหนาย การผลิตตูและเตียงแตละหนวยจะตองใชคนงาน 2 ประเภท คือชางไมและชางทาสีในการผลิตตู 1 ใบ ชางไมและชางทาสีตองทํางานเปนเวลา 15 ชั่วโมง และ 5 ชั่วโมงลําดับ และการผลิตเตียง 1 เตียง ชางไมและชางทาสีตองทํางานเปนเวลา 10 ชั่วโมง และ 10 ชั่วโมง ตามลําดับ ถาในแตละวันชางไมและชางทาสี ซึ่งมีจํานวนหลายคนสามารถทํางานไดรวมกัน วัน ละ 60 ชั่วโมง และ 40 ชั่วโมงตามลําดับ และกําไรที่โรงงานไดรับจากการขายตู 1 ใบ เทากับ 300 บาท

190 และขายเตียง 1 เตียงเทากับ 400 บาท โรงงานเฟอรนิเจอรแหงนี้ควรจะผลิตตูและเตียงเปนจํานวนวันละ เทาไรจึงจะไดกําไรสูงสุด ถาให x และ y แทนจํานวนตูและจํานวนเตียงที่โรงงานเฟอรนิเจอรแหงนี้ควรจะผลิตในแตละวัน ให P แทนกําไรที่โรงงานเฟอรนิเจอรไดรบั จากการขายตู x ใบ และเตียง y เตียง จะไดสมการจุดประสงค ( objective equation ) ซึ่งเปนสมการแทนกําไรที่โรงงานเฟอรนิเจอรไดรบั เปน P

300 x + 400 y

สําหรับขอจํากัดตาง ๆ ในการผลิตเฟอรนิเจอรทั้ง 2 ชนิด มีดังนี้ 1. ชางไมทํางานไดรวมกันไมเกินวันละ 60 ชั่วโมง 2. ชางทาสีทํางานไดรวมกันไมเกินวันละ 40 ชั่วโมง ซึ่งเมื่อนํามาเขียนใหอยูใ นรูปอสมการขอจํากัด จะได 15 x + 10 y ≤ 60 5 x + 10 y ≤ 40 และเนื่องจากจํานวนตู ( x ) และ จํานวนเตียง ( y ) ที่ผลิตได จะตองมากกวาหรือเทากับ 0 เสมอ ดังนั้น x ≥ 0

y≥0 อสมการทั้ง 4 คือ 15 x + 10 y ≤ 60, 5 x + 10 y ≤ 40, x ≥ 0 และ y ≥ 0 จะเรียกวา เปนอสมการขอจํากัด ( restriction ) การหาคา x และ y ซึ่งเปนคําตอบโดยมีเงื่อนไขขางตน สามารถทําได โดยการเขียนกราฟของแตละอสมการทุก ๆ อสมการ คําตอบที่ตองการคือ จุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่เกิด จากกราฟของอสมการขอจํากัดทั้ง 4 อสมการไดดังนี้

191 จุดตาง ๆ ที่อยูใ นบริเวณแรเงา รวมทั้งจุดทีอ่ ยูบนเสนตรง 5 x + 10 y = 40, 15 x + 10 y = 60,

x = 0 และ y = 0 จะสอดคลองกับอสมการขอจํากัดทั้ง 4 อสมการ จุดมุมของรูปหลายเหลีย่ มทีเ่ กิดจากกราฟของอสมการขอจํากัดคือ ( 0, 0 ), ( 4, 0 ), ( 2, 3 ) และ ( 0, 4 ) เมื่อแทนคาจุดเหลานี้ในสมการจุดประสงค จะไดคา P หรือกําไรที่สอดคลองกับคา x และ y ของ แตละจุดดังนี้ กําไรที่ไดรับ ( P = 300 x + 400 y ) 300 ( 0 ) + 400 ( 0 ) = 0 300 ( 4 ) + 400 ( 0 ) = 1,200 300 ( 2 ) + 400 ( 3 ) = 1,800 300 ( 0 ) + 400 ( 4 ) = 1,600 ใหกําไรสูงสุด ดังนั้นโรงงานเฟอรนิเจอรควรผลิตตูวันละ 2 ใบ และ

จุดมุม ( x, y ) ( 0, 0 ) ( 4, 0 ) ( 2, 3 ) ( 0, 4 ) จุดมุม ( 2, 3 ) เตียงวันละ 3 เตียง

สรุป 1. a > b หมายถึง a อยูทางขวาของ b บนเสนจํานวน หรือ a – b > 0 2. a < b หมายถึง a อยูทางซายของ b บนเสนจํานวน หรือ a – b < 0 3. a < b < c หมายถึง a < b และ b < c 4. กราฟของอสมการเชิงเสนทีม่ ีตัวแปรเดียว คือกราฟของตัวแปรที่สามารถเขียนลงบนเสนจํานวน ได 5. กราฟของ อสมการเชิงเสนที่มี 2 ตัวแปร คือกราฟของคูลําดับหรือความสัมพันธที่เขียนลงบน แกนมุมฉากหรือบนระนาบได 6. การแลเงากราฟของอสมการทําไดโดยจัดสมการใหอยูใ นรูปมาตรฐานแลวแรเงาตามความจริง ของรูปมาตรฐาน

นิยามของคาสัมบูรณ ให x เปนจํานวนจริงใด ๆ คาสัมบูรณของ x เขียนแทนดวย สัญลักษณ x ซึ่งกําหนดคาได ดังนี้

⎧ x ⎪ ⎨ ⎪⎩ − x

ถา x ถา x

≥ <

0 0

192 เชน 2

-2

2 3 =3

0 -3

-3

หมายเหตุ 1. คาสัมบูรณของจํานวนจริงใด ๆ คือระยะทางระหวางคานั้นกับ 0 3. คาสัมบูรณของจํานวนจริงใด ๆ มีคามากกวาหรือเทากับ 0 เสมอ

สมบัติของคาสัมบูรณ ให x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ สมบัติของคาสัมบูรณที่ควรทราบ คือ 1. x = − x เชน

2. x 2

เชน

(− 3)2 3.

= −4 =

1 = 1 2 2

1 3

= −3

1 2

= −

4 2 = 42

= −3

(− 3) 2

(2 )(3)

(− 5)2

x . y

เชน ( 2 ) (3)

−

1= 1 3 3

= =

2 . 3

( 2 )(- 3) = 2 . − 3

(− 2 )(- 3) = − 2 .

(2 )(3) = 6

−3 =

(2 )(3) = 6

5 2= 5 2 = 25 = − 5 2 = (− 5) 2 =

193 4.

x y

7 12 7 − 12

เชน

x−y

เมื่อ y

เชน

7 12 −7 12

= =

≠

7 12 7 12

= =

y−x 5−3 = 3−5 =

5 − (- 3)

(- 3) − 5

(- 5) − (- 3)

(- 3) − (- 5) = 2

x2 เชน

32 = 3 .

(- 3)2

= −3 =

(- 4 )2

= −4 =

อสมการและคาสัมบูรณ ให a เปนจํานวนจริงบวก และ x เปนจํานวนจริง พิจารณาอสมการตอไปนี้ 1. x < a อสมการนี้จะเปนจริงเมื่อ x มีคาอยูระหวาง -a กับ a หรือ -a < x < a เทานั้น

-a < x เชน x

-a <

2 จะได

.≤

-2 < x < 2 -2 < x < 2

-2

อสมการนี้จะเปนจริงเมื่อ x มีคาตั้งแต -a ถึง a หรือ -a < x < a เทานั้น

-a ≤ x ≤ a -a

194 เชน x

≤

2 จะได -2 ≤ x ≤ 2

-2 ≤ x ≤ 2 -2

x >0 อสมการนี้จะเปนจริงเมื่อ x < - a หรือ x > a เทานั้น

x < -a

x >a

เชน x

-a

2 จะได x

-2

หรือ x

x < -2

x >2 0

-2

x ≥ a อสมการนี้จะเปนจริงเมื่อ x x ≥ a

≤

-a

เชน

≤

≥

2 จะได x

- a หรือ x ≥ a 0

≤

2 หรือ x

≥

-2 -2

≥

195

บทที่ 7 สมการ การแกสมการ และการแกสมการเลขยกกําลัง 1. สมการและการแกสมการ ในการศึกษาในชั้นมัธยมศึกษาตอนตนนั้น ไดเคยศึกษาเรื่องการแกสมการบางชนิดมาบางแลว สมการ และการแกสมการทีจ่ ําเปนในงานชางเปนสิ่งสําคัญและตองศึกษาดวยความเขาใจอยางชัดเจน 2 x2 + 3 x = 35

2 x2 + 3 x

รูปที่ 1 1.1 ความหมายของสมการและการแกสมการ 1.1.1 สมการ สมการ หมายถึง การเทากัน การสมดุล ในทางคณิตศาสตรที่เรากลาวถึงในที่นจี้ ะหมายถึง การนําเอาจํานวน 2 จํานวนมาเทากัน ซึ่ง จํานวนทีก่ ลาวถึงจะมีตัวไมทราบคา หรือตัวแปรรวมอยูดว ย โดยใชเครื่องหมายเทากับ ( = ) เปนตัวแบงพวก ใหอยูคนละขาง ฉะนัน้ ในการกระทําใด ๆ ในเรื่องสมการจะตองคํานึงเสมอวา ยังคงอยูใ นสภาวะที่เทากัน หรือไม 1.1.2 การแกสมการ การแกสมการ หมายถึง จะตองคนหาคาของตัวไมทราบคา (ปกติใชตวั x, y, z…) ที่อยูใน สมการ ดังนัน้ การทําโจทยจะตองทําจนกระทั่งไดคาของตัวไมทราบคา หรือหาคาตัวแปรมาใหได หลัก เบื้องตนก็คือเอาตัวไมทราบคาจัดไวดานซายของสนมการ (เพื่อความสะดวก) วิธีการแกสมการก็มีดว ยกัน หลายวิธีแลวแตลักษณะของสมการ

196 1.2 สมการเชิงเสน (ตัวแปรตัวเดียว) และการแกสมการเชิงเสน (ตัวแปรตัวเดียว) 1.2.1 สมการเชิงเสนตัวแปรตัวเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัวและดีกรีสูงสุดของตัวแปรเทากับหนึ่ง เชน 1. 15 (x + 3) = 16x – 11

3x 2 x x - = + 5 3 3 5 3x  5 2x  1 3. = 3 2 1.2.2 การแกสมการเชิงเสน (ตัวแปรตัวเดียว) คือ การหาคาของตัวไมทราบคาที่อยูในสมการ (ตัวแปรตัวเดียว) แลวนําคาที่ได กลับไปแทนคาในสมการไดถูกตอง 2.

ตัวอยางที่ 1 จงคํานวณหาคา x จาก 15 (x + 3) = 16x – 11 15 (x + 3) = 16x – 11

วิธีทํา

15x + (3  15) = 16x – 11 16x – 15x = 45 + 11  x = 56 ตรวจคําตอบ 15 (56 + 3) = 16 (56) – 11 เปนจริง ( = 885 ) ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ

3x 2 x x 5 -3=3+5

วิธีทํา จากโจทยทําสวนใหหมดไปโดยใช ค.ร.น. = 15 คูณตลอดทั้ง 2 ขาง จะได

15

3x 2 x x  = 15 +  3 5 5 3

9x – 10 = 5x + 3x 9x – 8x = 10  x = 10

197 ตรวจคําตอบ

3x 2 x x 5 -3 = 3+5 3(10) 2 10 10 5 -3 = 3 + 5 2 1 6- = 3 +2 3 3 1 1 5 = 5 3 3

ตัวอยางที่ 3 จงแกสมการ

3(x  5) 2

2x  1 3

วิธีทํา จากโจทยทําใหสวนหมดไป โดยเอา ค.ร.น. คูณตลอดทั้ง 2 ขาง  จะได 9 (x + 5) = 2 (2x + 1) 9x + 45 = 4x + 2 เอา 4x ลบออกทั้ง 2 ขาง เพื่อใหดานขวามือไมมี x (ยายขาง) 9x + 45 – 4x = 4x + 2 – 4x 5x + 45 = 2 ยายขาง;

5x = 2 - 45

5x = - 43 - 43 เอา 5 หารตลอด; x = 5

x ตรวจคําตอบ

43 5 2x  1 3 43 2(- )  1 5 3 1 (  86  5 ) 3 5 1 (  86  5 ) 3 5

= -

3(x  5) = 2 43 3(   5) 5 = 2 3 (  43  25 ) = 2 5 3 (  18 ) = 2 5

198

9 1 81 3 (- ) = ( - ) 3 5 5 27 - 275 = - 5 1.3 สมการกําลังสองและการแกสมการกําลังสอง 1. สมการกําลังสอง รูปสมการจะมีกําลังสูงสุดของตัวแปรเปนกําลังสอง มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0; เมื่อ a, b, c เปนคาคงที่ และ a # 0 ตัวอยางเชน 9x2 + 4x – 36 = 4x ; (ใชวิธีแยกตัวประกอบ) - 4x2 + 10x +6

; (ใชวิธีแยกตัวประกอบ)

3x2 - 12x – 2

; (ใชรูปกําลังสองสมบูรณ)

- x2 + 19x = 44 ; (ใชรูปกําลังสองสมบูรณ) 3x2 - 2x – 5 = 0 ; (ใชสูตร) และ x2 + 5x – 3 = 0 ; (ใชสตู ร) เปนตน 2. การแกสมการกําลังสอง การแกสมการกําลังสองสามารถทําไดโดยวิธดี ังตอไปนี้ การแกสมการกําลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําใหเปนรูปกําลังสองสมบูรณ การแกสมการกําลังสองโดยใชสูตร 1.3.1 การแกสมการกําลังสองโดยวิธแี ยกตัวประกอบ เมื่อสมการกําลังสองสามารถแยกตัวประกอบไดกค็ วรใชวธิ ีแยกตัวประกอบเพราะสะดวก และรวดเร็ว ตัวอยางที่ 4

4x x - 9 = 1 4 + x 4x x - 9 วิธีทํา = 1 4 + x จากโจทยทําใหสวนหมดไปโดยเอา ค.ร.น. สวน 4x คูณตลอด (ทั้ง 2 ขาง) ในสมการ  จะได x (4x) + 4(x – 9) = 4x 4x2 + 4x – 36 = 4x

จงแกสมการ

199 ใช 4x ลบทั้ง 2 ขาง 4x2– 36 ใช 4 หารทั้ง 2 ขาง: x2– 9

= 0

แยกตัวประกอบ; x2– 9

= (x + 3) (x – 3)

= 4x

(x + 3) (x – 3)

= 0

ดังนั้น x + 3 = 0 หรือ x – 3 = 0

x = - 3 หรือ x = 3  รากของสมการ คือ x = - 3 หรือ 3 ตรวจคําตอบ

x = - 3 แทนคาใน

4x x - 9 4 + x = 1 4(-3) (-3)-9 4 + -3 = 1 - 3 + 4 = 1 (เปนความจริง)

4x x - 9 x = 3 แทนคาใน 4 + x = 1 4(3) 3 - 9 4 + 3 = 1 3 + (- 2) = 1 (เปนความจริง) ตัวอยางที่ 5 จงแกสมการ

x -1 x  2

= x3

วิธีทํา จากโจทยเอา ค.ร.น. สวน x (x – 1) (x + 2) คูณเพื่อใหสวนหมดไป จะได 4x (x+ 2) – 5x (x – 1) ทําใหเปนรูปอยางงาย;  4x2 + 8x – 5x2 + 5x ยายขางใหขวามือเปนศูนย; - 4x2 + 10x + 6

= 3 (x – 1) (x + 2) = 3x2 + 3x - 6 = 0

200 เอา – 2 หาร เพื่อใหพจนกําลังสองเปนบวกไปพรอมกัน ; = 0  2x2– 5x - 3 แยกตัวประกอบ; (x – 3) (2x + 1) = 0  x –3 = 0 หรือ 2x + 1 = 0 ดังนั้น x = 3 หรือ x = - 12 ตอบ รากของสมการ x = 3 หรือ - 12 ตรวจคําตอบ

x = 3 แทนคาใน

4 5 x -1 x  2 4 5 3 -1 3  2 2–1

= x3 = 33 = 1 (เปนความจริง)

4 5 x = - 2 แทนคาใน x - 1 = x3 x2 4 5 3 = 1 1 - 12 - -1 - 2  2 2 5 4 3 = - 12 -3 3 2 2 5 4 3 3 - 3 = -1 2 2 2 5 4 3  2 -  2 = -1  2 3 -3 8 10 = -6 - 3 3 18 = - 6 (เปนความจริง) 3

201 1.3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทาํ ใหเปนรูปกําลังสองสมบูรณ (Completing The Square) ในกรณีที่สมการกําลังสองไมอาจแยกตัวประกอบไดลงตัวหรือแยกตัวประกอบยากใหใชวิธีนี้จะ สะดวก พิจารณา;

เราจะเห็นวารูปกําลังสองสมบูรณมี + 1 เปนสัมประสิทธิ์ของ x2, เทอมคาคงที่จะเปนกําลัง สองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x เสมอ ดังนั้นการจะแกสมการโดยทําเปนกําลังสองสมบูรณ ทําตาม ขั้นตอนดังนี้ 1. จัดใหเทอม x2 และ x อยูซายมือของสมการแลว ทําใหสัมประสิทธิ์ x2 เปน + 1 2. เอา 2 หารสัมประสิทธิ์ของ x แลวยกกําลังสองผลหาร และบวกเขาทั้ง 2 ขางของ สมการ 3. เขียนดานซายมือของสมการเปนรูปกําลังสองสมบูรณในรูป (x  a)2 เมื่อ a คือ

1 2

(สัมประสิทธิ์ของ x) 4. ดําเนินการหาคา x ตอไป ตามวิธีพีชคณิต * การแกสมการโดยวิธีนี้จะนําไปใชในการเรียนคณิตศาสตรชั้นสูงและมีประโยชนมาก ตัวอยางที่ 6 จงแกสมการ 3x2 - 12x – 2 = 0 วิธีทํา จากโจทยจัดสมการตามขั้นตอน 1 – 4 ที่กลาวแลว  3x2 – 12x = 2 ทําใหสัมประสิทธิ์ x2 เปน + 1 โดยเอา 3 หารตลอด; 2 จะได x2 – 4x = 3 4 = 4 บวกเขาทั้ง 2 ขาง; เอา - 2 2

202 2 +4 3 14 = 3

 (x2 – 4x + 4) = (x – 2)2 หารากที่สองทั้ง 2 ขาง; x–2 x ตอบ รากของสมการคือ

14 3 14 14 + 2; +2 = 3 3 = 14  2 3 ,  14  2 3 3 3



ตัวอยางที่ 7 จงแกสมการ

3x - 8 x-2

-2 = 5x x  5 โดยวิธีกําลังสองสมบูรณ

วิธีทํา จากโจทยทําใหสวนหมดไปโดยเอา ค.ร.น. สว (x – 2) (x + 3) คูณตลอดในสมการ จะได (x + 5) (3x – 8) = (x- 2)(5x – 2) ทําใหเปนรูปอยางงาย; 3x2 + 15x –8x – 40 = 5x2 – 10x – 2x + 4 ยายขาง บวกลบกัน; - x2 + 19x = 44 เอา – 2 หาร; x2 - 19 x = - 22 2 1 = 361 บวกทั้ง 2 ขาง ; เอา  - 19  16 2 2 19 19 361 x2 - x + - 2 = - 22 + 2 4 16 19 9  x - 2 = 4 16 หารากที่สองทั้ง 2 ขาง; 19 3 x =  4 4

203 19 3 19 3 + หรือ x = 4 4 4 4 11 หรือ 4 x = 2 11 ตอบ รากของสมการคือ x = หรือ 4 2

x

1.3.3 การแกสมการกําลังสองโดยใชสตู ร วิธีนี้นําเอาผลสรุปของการใชวิธีแกสมการโดยใชวิธีทําใหเปนกําลังสองสมบูรณมาใชทันที กลาวคือ เมื่อสมการทั่วไปเปน เมื่อ a, b, c เปน แกสมการจะได

ax2 + bx + c = 0

คาคงที่ และ a # 0

สูตร

ตัวอยางที่ 8 จงแกสมการ 3x2 – 2x – 5 วิธีทํา  ถา ax2 + bx + c

= 0 = 0

b 2  4ac 2a จากโจทยเมื่อเทียบกับสมการทัว่ ไป a = 3, b = - 2, c = - 5  (2)  (-2)2  4  3 แทนคาในสูตร; x = 23 = 2  4  60 6 8 2 = 6 5 x = , -1 3 5 หรือ – 1 ตอบ รากของสมการ คือ x = 3

x

= b





(- 5)

204

ตัวอยางที่ 9 จงแกสมการ x2 + 5x – 3 = 0 วิธีทํา

จากโจทยเมื่อเทียบกับสมการทัว่ ไป a = 1, b = 5, c = -3 แทนคาในสูตร; 2 x = 5  (5) 4  1 ( 3) 2 1 =  5  25  12 2 =  5  37 2 = - 5  6.08 2 x = - 5  6.08 หรือ x = - 5  6.08 2 2 x = 0.54 หรือ - 5.54 ตอบ รากของสมการ x = 0.54 หรือ – 5.54 ขอสังเกต ในเวลาอางสูตรทุกครั้งควรอางถึงสมการทัว่ ไปดวย เพื่อทําใหเกิดความเขาใจ และมีความชัดเจน จะเกิดความเขาใจอยางแทจริงอีกดวย 2. สมการยกกําลัง และการแกสมการยกกําลัง 2.1 สมการยกกําลัง ความหมายของสมการยกกําลัง คือ สมการที่มตี ัวแปรเปนเลขยกกําลังหรือเลขชีก้ ําลัง เชน =0 3.2x – 48

= ( 2) =0

3

205 2x+1 + 2x = 3 2.2 การแกสมการยกกําลัง ความหมายของการแกสมการยกกําลัง คือ การหาคาของตัวแปรที่มีอยูในสมการ ในทีน่ ี้เปนสมการเลข ยกกําลัง การแกสมการยกกําลัง สามารถแบงการแกสมการไดตามดังนี้ 1. การแกสมการยกกําลัง 2. การแกสมการยกกําลังเมื่อมีตัวแปรเปนฐาน 2.2.1 การแกสมการยกกําลัง การแกสมการเลขยกกําลังในเบื้องตนเปนสมการอยางงายหรือคอนขางงาย ทําไดโดยพยายาม เปลี่ยนเลขฐานใหเปนฐานเดียวกันทั้งหมด บางกรณีทําตัวกําลังใหเหมือนกัน (เมื่อกําลังเปนตัวเลข) หรือถา เปนสมการที่อยูในรูปบวก ลบ อาศัยหลักการแกสมการเบือ้ งตนมาชวย รวมทั้งการแยกตัวประกอบดวย ทั้งนี้ ใหนักเรียกฝกการสมมติรวบยอดไววาจํานวนที่ยกกําลังเหมือน ๆ กัน เหมือนกับตัวแปรตัวหนึ่งนั่นเอง ให ศึกษาจากตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 10 จงแกสมการ 3x+5 – 92 = 0 วิธีทํา จากโจทย 3x+5 – 92 =0 กรณีนี้ควรทําใหฐานใหเปน 3 เหมือนกัน 3x+5 = 92 3x+5 = (32)2 3x+5 = 34 เมื่อฐานเทากัน แสดงวาเลขยกกําลังตองเทากัน (จะตองมีขางละจํานวนเดียว) x + 5 = 4 x = -1 ตรวจคําตอบ x = -1 แทนคาใน 3x+5- 92 = 3(1)+5 – 92 = 34 – 92 = 4 22 3 – (3 ) = 34 – 34 =

0 0 0 0 0 (เปนความจริง)

206 ตัวอยางที่ 11 จงแกสมการ วิธีทํา

2 3x-4

( 2) 2x+3

จาก

2 3x-4

( 2) 2x+3

พิจารณาแลวควรทําให 2 และ 2 มีฐาน 2 ดวยกัน 1

(2 2 ) 2x+3 2 3x-4 = 2 3x-4 = 2x+3  เลขฐานเดียวกันเทากัน กําลังยอมเทากัน 3  กําลัง 3x – 4 = x + 2 3 +4 3x – x = 2 11 2x = 2 11 x = 4 ตรวจคําตอบ

ตอบ

ใหเช็คคําตอบวาถูกตองหรือไม โดยนําคา x = 11 แทนคาใน 2 3x - 4 = ( 2) 2x + 3 (เปนความจริง) 4

ตัวอยางที่ 12 จงแกสมการ 3 • 2x – 48 = 0 วิธีทํา จากโจทย 3 • 2x – 48 =0 3 • 2x = 48 เอา 3 หาร; 2x = 16 2x = 24  เลขฐานเดียวกันเทากัน กําลังยอมเทากัน x = 4

ตอบ

207 ตรวจคําตอบ

x = 4 แทนคาใน 3 • 2x – 48 3 • 24 – 48 3  16 – 48

=0 =0 = 0 (เปนความจริง)

ตัวอยางที่ 13 จงแกสมการ 2x+1 + 2x = 3 วิธีทํา  2x+1 + 2x = 3 โดยที่ 2x+1 จากโจทย โดยบวกกัน;

= 2x • 21

2x • 21 + 2x

=3 3 • 2x = 3

เอา 3 หาร; 2x = 1 เราไมอาจทําฐาน 2 ใหเปนฐาน 1 ได แตเพราะวา a0 = 1  20 = 1 นั่นคือ 2x = 1 = 20 x

ตอบ

ตรวจคําตอบ แทนคา x = 0 ในสมการ 2x+1 + 2x = 3 2(0+1) + 20 =3 21 + 20 = 3 2 + 1 = 3 (เปนความจริง) 2.2.2 การแกสมการเลขยกกําลังเมือ่ มีตัวแปรเปนฐาน มีขอสังเกตควรยึดไวเปนหลักการก็คือ เราจะแกสมการนัน้ จะหาคาอะไร จะหาคาตัวแปร ฉะนั้น เมื่อโจทยกําหนดใหตวั แปรมีกําลังไมใช 1 เราก็จะตองอาศัยกฎ (am)n = amn ในที่นตี้ องการให mn = 1 เสมอ นั่นคือไมวากําลังจะเปนเทาใด เมื่อถูกยกกําลังซอน สวนกลับของกําลังเดิมก็ยอมจะเปนกําลัง 1 เสมอ (ถากําลังเดิมเปนลบ ตองยกกําลังติดลบดวย)

208 ตัวอยางที่ 14 จงแกสมการ x

2 3

วิธีทํา

4 25

4 25 2 เมื่อจะหาคา x ก็ตองทําให x 3 กลายเปน x (กําลัง 1) เสียกอน 3  จากสมการ (1) ยกกําลัง ทั้ง 2 ขาง ; 2 2 3 4 3 x3 2 = 2 25 2 2 23 = 2  x 5 23 = 3 5 8 x = 125

จากโจทย

2 3

x =

… (1)

ตอบ

ตัวอยางที่ 15 จงแกสมการ วิธีทํา

x x

จาก

3 5

= 27

3 5

= 27

3 5

= 33

5 ยกกําลัง    ทั้ง 2 ขาง; 3

 x

3 5 5 3

= 3 

5 3

= 3-5 =

1 35

1 243

ตอบ

209 ตัวอยางที่ 16 จงแกสมการ วิธีทํา

 x 2 +5 2

จากโจทยยกกําลัง

5 ทั้ง 2 ขาง; 2 2 + 5 5

3 2  x

จะได

2 5

 x 2 + 5 3

x2 + 5

5 (2 ) 2 2

= 25

x2 + 5

= 32

3 x2

ยกกําลัง

5 42

= 27

2 ทั้ง 2 ขาง; 3

x =

2 (27) 3

x =

ตอบ

ตัวอยางที่ 17 จงแกสมการ วิธีทํา

(x + 6)0.75 = 8

พิจารณาวาอะไรคูณกับ 0.75

= 1 นั่นคือ

(x + 6)0.75 75 3 0.75 = = ; 100 4

= 23

จากโจทย

(x + 6) 4 4 ยกกําลัง ; 3

x+6

4 3

= 23 =

4 (2 ) 3 3

2 (3 ) 3 3

= 24

210

x+6

= 16  x = 10

ตอบ

2.3 เลขยกกําลังฐานสิบ นิยาม เลขยกกําลังฐานสิบ หมายถึง เลขที่มีฐานเปน 10 แลมีเลขชี้กําลังเปนเลขจํานวนเต็ม (บวกหรือลบก็ได) ในทางวิชาชาง มีคาตัวเลขตาง ๆ เวลาคํานวณจะมีคามาก ๆ หรือบางทีก็มีคานอย ๆ คือ ทศนิยม หลายตําแหนง คาตัวเลขที่มาก ๆ หรือนอย ๆ นิยมเขียนในรูปของ A  10” โดยที่ 1 A  กลาวคือ A เปน ตัวเลขหลักเดียวนั่นเอง เชน 3 3 มีกระแสไฟฟาไหลผานเสนลวด 0.0003 แอมแปร ซึ่ง 0.0003 = 4 10,000 10  จึงแสดงตัวเลข 0.0003 เปน 3  10-4 ประจุอิเล็กตรอนจํานวน Q = 0.0000000015 คูลอมบ จะเขียนแทนเปน Q = 1.5  10- 9 ความตางศักยไฟฟา 6,000,000 โวลต จะเขียนเปนความตางศักยไฟฟา = 6  106 จํานวนแบคทีเรีย 459,000 ตัว ที่ตรวจพบ .... จะเขียนแทน 459,000 = 4.59  105 ขอสังเกต การใชเลขฐาน 10 เขียนบอกจํานวน 1. ถาเปนเลขจํานวนเต็ม เลขชีก้ ําลังจะนอยกวาจํานวนหลักทัง้ หมดอยูหนึ่ง ถาเปนจํานวนทศนิยม เลขชี้กําลังจะมากกวาเลข 0 ที่นับจากหลังจุดทศนิยมไปอยู 1 มีคาลบ เชน 0.00000549 = 5.49  10- 6 , 0.0025 = 2.5  10- 3 ในการเขียนจํานวนที่มีคามากหรือจํานวนเต็มในรูปแบบ A  10” เมื่อ A เปนเลขจํานวนเต็มหลัก เดียว n เปนเลขจํานวนเต็ม สังเกตเปรียบเทียบในตารางขางลางนี้

211 จํานวนเลขทีก่ ลาวถึง

เมื่อเขียนในรูปแบบ A  10”

จํานวนตําแหนงทศนิยม เลื่อนไปดานซาย

2,531,000 253,100 25,310 2,531 253.1 25.31

2.531  106 2.531  105 2.531  104 2.531  103 2.531  102 2.531  101

6 5 4 3 2 1

แตถาเปนคาตัวเลขที่นอยจะแสดงโดยใชเลขฐาน 10 เชนเดียวกับขางบน คือ A  10n ใหสังเกต ตารางเปรียบเทียบ จํานวนเลขทีก่ ลาวถึง 0.25311 0.02531 0.002531 0.0002531 0.00002531 0.000002531

เมื่อเขียนในรูปแบบ A  10” 2.531 2.531 2.531 2.531 2.531 2.531

-1

 10

-2

 10

-3

 10

-1

 10

-5

 10

-6

 10

จํานวนตําแหนงทศนิยม เลื่อนไปดานซาย 1 2 3 4 5 6

ในทางชางเมื่อเขียนจํานวนที่มีหนวย มักใชคําอุปสรรค (Prefix) นําหนาหนวยแทนเลขยกกําลัง ฐาน 10 ซึ่งเปนที่รูกัน เชน 106 ใชคําอุปสรรคนําหนาหนวยวา เมกะ สัญลักษณ M 103 ใชคําอุปสรรคนําหนาหนวยวา กิโล สัญลักษณ k ใชคําอุปสรรคนําหนาหนวยวา มิลลิ สัญลักษณ m 10- 3 10- 6 ใชคําอุปสรรคนําหนาหนวยวา ไมโคร สัญลักษณ u 10- 9 ใชคําอุปสรรคนําหนาหนวยวา นาโน สัญลักษณ ดังตัวอยางขางลางนี้ ศักยไฟฟา 9.0  106 V หมายถึง ศักยไฟฟา 6.0 MV (เมกะโวลต) กระแสไฟฟา 2.0  10- 3 A หมายถึง กระแสไฟฟา 2 mA (มิลลิแอมแปร)

212 ประจุไฟฟา 5.0  10- 6 F หมายถึง กระแสไฟฟา 5F (ไมโครฟารัด) แรงดัน 1.2  104 N หมายถึง แรงดัน 12 kN (กิโลนิวตัน) ฉะนั้น การเปลี่ยนจํานวนใด ๆ ที่มีหนวยตาง ๆ ใหเปนเลขยกกําลังฐาน 10 จะตองพิจารณาคํา อุปสรรคหรือสัญลักษณทใี่ ชอยูในขณะนั้นควบคูกนั ไปดวย

แบบฝกหัด จงเลือกขอที่ถูกที่สุดเพียงขอเดียว 1. รากของสมการ (คาของ x) x2 – 5x + 4

= 0 ไดแกจํานวนใด

ก. - 4, 1

ข.

4, - 1

ค. - 4, - 1

ง.

4, 1

2. รากของสมการ (คาของ x) 49x2–42x + 9 = 0 เทากับเทาใด 3 3 ก. 7, 3 ข. ,7 7 3 3 7 7 ค. , ง. ,7 7 3 3 2 3. รากของสมการ 4x – 49 = 0 เทากับเทาใด 7 7 2 2 ก. , ข. ,2 2 7 7 7 2 7 7 ค. , ง. - , 2 7 2 2 4. รากของสมการ 10x + 11 =

6 เทากับเทาใด x

2 3 ,5 2 5 2 2 2 ง. - , ค. , 2 3 5 3 2 5. รากของสมการ x – x – 12 = 0 เทากับเทาใด

ก. 5, - 2

ข.

ก. - 4, 3

ข. - 4, - 3

ค. 4, 3

ง. 4, - 3

213 6. รากของสมการ 4x2 – 8x = 0 เทากับเทาใด ก. 2 ข. - 2 ค. 0, - 2 ง. - 2, 0 7. รากของสมการ (5x + 3) x = 0 เทากับเทาใด 3 ก. 0, - 3 ข. 0, 5 5 3 ง. , 0 ค. - , 0 3 5 8. จากสมการ (3x + 1) (3x - 2) = 0 มีรากของสมการคือ

1 2 1 2 , ข. - , 3 3 3 3 3 1 2 ง. 3, ค. - , 2 3 3 9. จากสมการ (2x – 1) (x + 2) = (x + 2) มีรากของ สมการคือ 1 ก. ข. - 1, - 2 2 ค. 2, - 1 ง. 1, - 2 10. จากสมการ x2 – 2x = x + 88 มีรากของสมการคือ ก. 11, - 8 ข. - 11, 8 11 11 8 11 ค. , ง. , 8 8 11 8 11. จากสมการ x2 – 22x + 57 = 0 มีรากของสมการคือ ก. - 3, - 19 ข. 3, - 19 ค. - 3, 19 ง. 3, 19 12. จากสมการ x2 + 22x + 57 = 0 มีรากของสมการคือ ก. -3 , - 19 ข. 3, - 19 ค. - 3, 14 ง. 3, 19 13. จากสมการ x(x – 5) = x มีรากของสมการคือ ก. 6 ข. - 6 ค. 0, - 6 ง. 6, 0 ก.

214 14. จากสมการ 3x2 = 7x มีรากของสมการคือ ก.

7 , 0 3

ข. 0,

7 3 15. จากสมการ x2 = 4 คาของ x คือ ก. 2, 0 ค. 2

ค. 0, -

ง. 0,

3 7

ข. 0, 2 ง. 2, - 2

16. เมื่อ x = 121 ดังนั้นคาของ x คือ ก. 11, - 11 ค. 11

ข.  11 ง. ไมมีขอถูก

17. เมื่อ x = 25 ดังนั้นคาของ x คือ ก.  5 ค. - 5 18. เมื่อ x =

- 4m 2

ข.  5 ง. 0, - 5

คาของ x คือ

ก.

 2m

ข. - 2m

ค.

 2m

ง. หาคา x ไมได

19. จากสมการ (x + 1) (3x – 4) = (x + 1) (2x – 3) จงหาคา x ก. 1, 1 ค. 1, - 1 20. จากสมการ 3 x2 = 75 คาของ x ไดแก ก. 25, - 25 ค.

5 5 , 3 3

4 3 3 ง. - 1, 2 ข. - 1,

ข. 5, - 5 ง.

25 25 , 3 3

215 21. คาของ x จากสมการ 4(x + 1)2 = x2 ไดแก

1 , -2 4 2 ค. - 2, 3

2 3 2 ง. - 2, 3

ข. 2, -

ก.

22. รากของสมการ

11 2 11 ค. - 4, 2

x2 x5 = คือ 3x  8 5x  2

23. รากของสมการ

3 26 3 2 ค. - , 2 3

2x 3x 1 + = ไดแก 3 2 4

ก.

24. รากของสมการ

1 2 1 ค. -2, 2

11 2 11 ง. - 4, 2 ข. 4, -

ก. 4,

26 3 3 8 ง. , 8 3 x-4 7 + = คือ 2x 2 1 ข. - 2, 2 1 ง. 2, 2 10 - = 11 คือ x 6 ข.

x2 x -1

ก. 2,

25. รากของสมการ xx- 10 5 ก. 2, 7

ข. 2, - 7

ค. - 2, 7 ง. - 2, - 7 26. สมการในขอใดมีรากของสมการเปน 1 หรือ 2 ก. x2 + 2x + 1 = 0 ข. x2 + 3x + 1 = 0 ค. x2 - 3x + 2 = 0 ง. x2 - 3x - 2 = 0 27 สมการใดมีรากของสมการเปน 4 หรือ – 3 ก. x2 - x - 12 = 0 ข. x2 - x + 12 = 0 ค. x2 + 3x - 4 = 0

ง. x2 + x - 7 = 0

216 28. สมการใดมีรากของสมการเปน 2 หรือ 3 ข. x2 - 5x - 6 = 0 ก. x2 + 5x + 6 = 0 ค. x2 - x + 5 = 0

ง. x2 - 5x + 6 = 0 2 29. สมการใดมีรากของสมการเปน – 2 หรือ 3

4 ก. x + 4x - = 0 3 2 ค. 3x - 4x - 4 = 0 2

30. สมการใดมีรากของสมการเปน 3 ก. x2 + 6x + 9 = 0 ค. x2 - 6x + 9 = 0

ข. 3x2 + 4x - 4 = 0 ง. 3x - 4x + 4 = 0 ข. x2 + 6x - 9 = 0 ง. x2 - 6x - 9 = 0

31. จากสมการ x2 + 6x + k = 0 จะทําเปนกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. 36 ข. 12 ค. 9 ง. - 9 32. จากสมการ x2 - 6x + k = 0 จะทําเปนกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. 36 ข. 12 ค. - 9 ง. 9 33. จากสมการ x2 + 6x - k = 0 จะทําเปนกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. 36 ข. 6 ค. - 9 ง. 9 34. จากสมการ x2 - 4x + k = 0 จะทําเปนกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. - 4

ข. 4

ค. 16

ง. -16

35 จากสมการ x2 - 4x - k = 0 จะทําเปนกําลังสองสมบูรณได เมื่อ x มีคาเทาใด ก. - 4

ข. 4

ค. 8

ง. - 8

36. จากสมการ 2x2 + 12x + k = 0 จะทําเปนกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. 36 ค. 144

ข. - 36 ง. 9

217 37. จาก x2 + 10x + k = 0 จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. - 5

ข. -

10 2

ค. 50 ง. 25 38. จาก 36x2 - 7x + k = 0 จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด

7 6 ข. 6 7 7 49 ค. ง. 144 36 2 39. จาก 3x + 5x - k = 0 จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด 5 5 ก. ข. 3 6 5 25 ค. ง. 30 36 ก. -

40. จงหาวา 1 และ – 2 เปนรากของสมการใดตอไปนี้ ก. x2 - 3x + 2 ข. x2 - 2x + 4 ค. x2 + x - 2

ง. 2x2 - x - 4

41. จาก 2x2 - 5x + k = 0 จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด

2 5 ข. 5 2 25 25 ค. ง. 16 4 x 2 10x 42. จาก 2 + + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด b b ก. -

ก. 5 ค. 15

ข. 10 ง. 25

218 43. จาก 9x2 + 11x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด

11 11 ข. 2 6 11 121 ค. ง. 36 36 44. จาก 3x2 + 5x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด 5 25 ก. ข. 9 9 25 5 ง. ค. 3 36 2 45. จาก x - x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. - 1 ข. 1 1 1 ค. ง. 4 4 2 46. จาก x + x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก.

ก. 1

ข. 2

1 1 ง. 2 4 2 x 47. จาก + 2 x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด 4 ค.

ก. 1

ข. 2

ค. 4

ง.

1 4

x2 - 2 x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด 48. 4 ก. 1

ข. 2

ค. 4

1 ง. 4

219 49. จาก 9x2 + 11x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด

11 11 ข. 2 6 11 121 ค. ง. 36 36 50. จาก 3x2 + 5x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด 5 25 ก. ข. 9 9 25 5 ง. ค. 3 36 2 51. จาก x - x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก. - 1 ข. 1 1 1 ค. ง. 4 4 2 52. จาก x + x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด ก.

ก. 1 ค.

1 2

ข. 2 ง.

1 4

x2 53. + 2 x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด 4 ก. 1

ข. 2

ค. 4

ง.

1 4

x2 - 2 x + k จะเขียนในรูปกําลังสองสมบูรณได เมื่อ k มีคาเทาใด 54. 4 ก. 1

ข. 2

ค. 4

1 ง. 4

220 55. จาก 36x + 84x + 49 เปนผลที่ไดจากขอใด ก. 6x2 + (7)2

ข. (6x)2 + (7)2

ค. (6x – 7)2

ง. (6x + 7)2

x2 56. + 2x + 1 เปนผลที่ไดจากขอใด 4 x2 2 2 ก. ( ) – (1) 2 x ค. ( 1 )2 2 2 x 2x 57. 2  + 1 เปนผลที่ไดจากขอใด b b x x ก. ( )2 + 2 ( ) + (1) b b x ค. (  1 )2 b

x2 1 2 ) 2 x 1 ง. (  )2 4 2

ข. (

x b x ง. ( b

1 2 1 + )2 2

ข. ( - )

เมื่อกําหนดใหสมการเปน ax2 + bx + c = 0 จะไดสูตรในการแกสมการกําลังสอง

b 2  4ac เปน x = 2a 58. ถาสมการกําหนดให ax2 + bx + c = 0 รากของสมการ (คา x) คือ  b  b 2  4ac b  b 2  4ac ก. x = ข. x = 2a 2a  b  b 2  4ac - b  b 2  4ac ค. x = ง. x = 2a 2a 2 59. เมื่อกําหนดสมการเปน ax + bx + c = 0 จะไดรากของสมการคือ  b  b 2  4ac b  - b 2  4ac x = ก. x = ข. 2a 2a b  b 2  4ac  b  b 2  4ac ง. x = ค. x = 2a 2a b

221 60. ถาสมการกําหนดให ax2 - bx - c = 0 รากของสมการคือ

b  b 2  4ac ก. x = 2a - b  b 2  4ac ค. x = 2a

- b  b 2  4ac ข. x = 2a  b 2  b 2  4ac ง. x = 2a

61. กําหนดใหสมการคือ 5x2 + 2cx – 4c2 = 0 ดังนั้นคา c ที่จะแทนในสูตรการแกสมการคือ ก. - 4c

ข. - 2c

ค. 4c2

ง. - 4c2

62. จากสมการ 5x2 – 7x = 9 จงบอกคา x ที่จะแทนในสูตร ก. 5 ข. 9 ค. 7 ง. - 9 63. จากสมการ kx2 + (k – n) x – n = 0 เฉพาะ b2 – 4ac มีคาเทาใด ก. (k + n)

ข. k – n

ง. k 2  4kn  n 2 ค. k 2  4kn  n 2 64. จากสมการ 2x2 + 3x + 1 เฉพาะ b2 – 4ac มีคาเทาใด ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 4 65. จากสมการ 3x2 - 5x + 1 รากของสมการคือ

- 5  13 - 5  37 ข. 6 6 5  - 37 5  13 ค. ง. 6 6 66. จากสมการ 2x2 + 3x – 1 = 0 รากของสมการคือ 1 1 ก. 1, ข. 1, 2 2 1 1 ค. -1, ง. -1, 2 2 ก.

67 จากสมการ 12k – 8k2 = 2 คาของ k เทากับเทาใด

222

6 5 3 2 ข. 4 8 3 5 3  13 ค. ง. 4 4 จากสมการ 6x – 4x2 = - 2 คาของ x เทากับเทาใด 6 5 3  13 ก. ข. 4 4 - 3  13 -6 5 ค. ง. 4 4 2 จากสมการ 3 = 4x – 5x เ มื่อจัดสมการเพื่อใชสูตรแลว คาของ a, b และ c ตามลําดับคือ ก. 4, - 5, 3 ข. 4, 5, - 3 ค. 4, - 5, - 3 ง. ไมมีขอถูก จงหาคา (k2 + 1) จากสมการ 3(k2 + 1)2 + (k2 + 1) – 2 = 0 3 ก. 1, ข. 1, 0 2 5 ง. ไมมีคําตอบที่ถูก ค. 0, 2 จงหาคา x จากสมการ 3x2 – 3x – 1 = 0 ก. 3.3, 0.3 ข. 3.3, - 0.3 ค. -3.3, 0.3 ง. -3.3, - 0.3 จงหาคา x จากสมการ 2x2 – 4x + 1 = 0 (ทศนิยม 1 ตําแหนง) ก. 1.7, - 0.5 ข. 2.7, - 0.7 4  24 ค. ง. ไมมีขอถูก 4 x2 x 1 จงหาคา x จากสมการ   = 0 (ทศนิยม 1 ตําแหนง) 3 6 2 ก. 1, 1.5 ข. - 1, - 1.5 ค. 1.5, 1 ง. - 1.5, 1 ก.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

223

บทที่ 8 ความหมายของลอการิทึม 1. ความหมายของลอการิทึม จากสมการ x = a y เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 สามารถเขียนไดในรูป y = f (x) ไดคือ y = logax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 ดังนั้น x = ay กับ y = loga x มีความหมายเหมือนกัน โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 สมการเลขยกกําลัง x = ay

ตัวอยาง

สมการลอการิทึม y = loga x

64 = 25

= log2 64

25 = 52

= log5 25

0.01 = 10 - 2

-2 = log10 0.01

2. ฟงกชันลอการิทึม ฟงกชนั ลอการิทึม หมายถึง ฟงกชันที่อยูในรูป y = loga x หรือ f (x) = loga x ตัวอยางที่ 1

ก. ค. วิธีทํา

f( x)

กําหนด

f(1) f(4)

f(1) จาก f ( x ) = = หรือ y หา f ( 1 ) แกน x = 1; y = 2y = ทําเปนเลขยกกําลัง 2y = ดังนั้น y = = . . . f (π)

log2 x จงหาคาของ ข. f ( 2 ) ง. f ( 16 )

ก.

log2 x log2 x log2 1 1 20 0 0

224

f(2) จาก f ( x ) หรือ y

ข.

= log2 x = log2 x

หา f ( 2 ) แทน x = 2; y ทําเปนเลขยกกําลัง ดังนั้น ∴

= log2 2

2y = 2 2y = 21 y = 1 f(2)

f(4) จาก f ( x ) หรือ y หา f ( 4 ) แทน x = 4; y 2y ทําเปนเลขยกกําลัง 2y ดังนั้น y ∴ f(4)

= 1

ค.

= log2 x = log2 x = log2 4 =

= 2 = 2

f ( 16 ) = log2 x จาก f ( x ) = log2 x หรือ y หา f ( 16 ) แทน x = 16; y = log2 16 2y = 16 ทําเปนเลขยกกําลัง 2y = 24 ดังนั้น y = 4 = 4 ∴ f (16 ) ง.

225

3. กฎของลอการิทึม 1. ลอการิทึมของ 1 บนฐานใด ๆ มีคาเทากับศูนย

log a 1

0 เมื่อ a ≠ 0 และ 1

เพราะ 20 = 1

log2 1 = 0 log101 = 0 log 1 1 = 0

เชน

เพราะ 100 = 1 0 เพราะ 1 = 1

(2 )

2. ลอการิทึมของจํานวนทีม่ ีคาเทากับฐานเทากับหนึ่ง

loga a

เมื่อ a ≠ 0 และ1 เพราะ 21 =

log2 2 = 1 log10 10 = 1 log 1 12 = 1

เชน

เพราะ 101 = 10 1 เพราะ 12 =1 2

()

3. ลอการิทึมของผลคูณ

log 8 MN = log 8 M + log 8 N เมื่อ a

log2 2 log2

เชน

≠

0 และ 1

log2 ( 2 × 1 ) = log2 2 + log2 1 = 1 + 0 ( log2 2 = 1, log2 1 = 0

1 1

= 1

4. ลอการิทึมของผลหาร

log a M N เชน

log2 1 2

log a M

−

log a N เมื่อ a ≠ 0 และ 1

= log2 1 - log2 2 = 0–1 = -1

226

5. ลอการิทึมของเลขยกกําลัง

log a M

π log a M เมื่อ a ≠ 0 และ 1

log 2 2 3

เชน

= 3 log 2 2 = 3.1 = 3

6. ลอการิทึมของฐานลอการิทึมยกกําลัง

log a M เชน

log 3 2 3

π log a M = = =

ตัวอยางที่ 4

วิธีทํา

log a N เมื่อ a ≠ 0 และ 1

1 log 3 2 3 1 (1) 2 1 2

จงหาคาของ log 16 2 (ก) log 2 16 (ข)

−

1 log 10 1,000

(ก)

log 2 16

(ข)

1 log 10 1,000

(ค)

log 9 27

(ง)

log 9 27

= log 2 4 2 = 4 log 2 2 = 4(1) = 4 = log 10 10 − 3 = - 3 log 10 = -3

227

log 9 27

(ค)

= log 2 3 3 3 = =

log 125 5

(ช)

วิธีทํา

ตัวอยางที่ 6 วิธีทํา

log 3 5 2

1 10 2 × 35

= ตัวอยางที่ 5

3 log 3 2 3 3 2

กําหนด log10 5 = 0.6990 log10 3 = = = = = = = log10 45 =

1 6 0.4771 จงหาคาของ log10 45

log10 ( 9 ×5 ) log109 + log105 log10 32 + log10 5 2 log103 + log105 2 ( 0.4771 ) + 0.6990 0.9542 + 0.6990 1.6532

จงแสดงวา log105 = 1 - log10 2

()

log105 = log10 102 = log1010 - log10 2 = 1 - log 2 10

()

ตัวอยางที่ 7 กําหนด log a = 1, log b = -1, log c = 2 จงหา log ab และ log abc c วิธีทํา log ab = log a + log b - log c

(c )

= 1+(-1)–2 = 0–2 = -2

228

4. สมการลอการิทึม สมการลอการิทึม หมายถึง สมการที่มีตัวแปรอยูในรูปลอการิทึม เชน = 1 3 log x

log ( 3x + 5) log ( x + 7 ) 3 log x + 2 log x2

log ( x + 3 ) – 2

= 5 การแกสมการลอการิทึม ทําไดโดยใชกฎของลอการิทึม ตัวอยางที่ 1 จงหาคา x จาก สมการ วิธีทํา

∴ ∴ ตัวอยางที่ 2 วิธีทํา จาก

log 2x

3 log x

log x3 x3 x

log 8 log 8 log 23

2 (เลขชี้กําลังเทากัน)

= 3

log 2x log 2x 2x x

= 3 = log 1,000 (Q 1,000 = 103 ) = 1,000 = 500

ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของ t จากสมการ วิธีทํา

log ( t + 6 ) = log ( t + 6 ) = log ( t + 6 ) - log ( t + 2 ) = log ⎛⎜ t + 6 ⎞⎟ = ⎝ t+2⎠ log ⎛ t + 6 ⎞ = ⎜ t+2⎟ ⎝ ⎠

log ( t + 2 ) + 2 log ( t + 2 ) + 2 2 2 log 10 ( Q log 10 = 1 )

log 102

229

t+6 t+2 t+6 t+6 - 99 t

t t

ดังนั้น ตัวอยางที่ 4 จงหาคา y จากสมการ วิธีทํา

102

100 ( t + 2 )

100 t + 200

194

194 = - 1 95 -99 99 95 = -1 99

2 log y + log y2

= 4

2 log y + log y2

= 4 log 10

2 log y + 2 log y = 4 log 10 4 log y = 4 log 10

y = 10

ดังนั้น

แบบฝกหัด 1

1.1

จงเขียนสมการตอไปนี้ในรูปลอการิทึม 22 = 4

1.2

1.3

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11

= 27

(12 )

= 16 = 1

= 1 = 9 = 1 16 − 2 = 0.01 10 ( 20) 1 = 20 9 = 3 10 6 = 1,000,000

2 27 3 2−4

230

จงเขียนสมการตอไปนี้ ในรูปสมการของเลขยกกําลัง 2.1 log10 10 = 1 2.2 log10 100 = 2 2.3 log5 1

= 0

2.4 log2 32

= 5

= 43

2.5 log8 16 2.6 log 1 16

= -4

2.7 logx4

2.8 log 1 9 3 2.9 log2 B

= -2

= 12

2.10 loga A

= 1

จงหาคาตอไปนี้

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

log10 101 log 1 9 3 1 log10 1,000 log10 0.1 loga a4 log.10 0.001 loga loga a loga 1a log 1 125

= = = = = = = = =

( )

5 3.10 log3 loga a3

3.11 log 25 + log 4 = 10 10

⎛ ⎞ 3.12 log 1 ⎜ loga a 2 ⎟ 1

⎝ 2

⎠

231

จงเติมตัวเลขลงในชองวางใหถูกตอง

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 5

log2 33 log3 log7 ( log2 ( log2 107 log3 log10 log2 22 log10 log 4 4

( )

= = ) = ) = = = = = = =

log2 3 + log2 log310 + log3 5 log7 5 + log7 3 log2 5 + log2 7 log2 log38 − log3 4 log1012 - log10 3 log2 2 log10 2 2 log4

กําหนดให f (x) = log3x, g (x) = log2 x , h (x) = log 1 x 2 จงหาคาตอไปนี้ 5.1 f (1) + g (1) + h (1)

5.2 f (9) + g (8) + h(4)

5.3 h ( g (4))

- log2

232

()

5.4

f (27) - g (16) + h 1 2

5.5

[f (19 ).g (161 ).h (18 )]

จงหาคาของ loga a3 วิธีทํา

จงหาคาของ log4 4 4 วิธีทํา

กําหนดให log10 5 = 0.6990 และ log10 7 = 0.8451 จงหาคาของ log10 245 วิธีทํา

233

จงแสดงวา log2 1 = log2 8 – 3 วิธีทํา

จงแสดงวา log4 25 - log4 45 + 5 log4 2 = 0

10 วิธีทํา

กําหนดให log x = 12 log y = 1 log z = 1 4 3 จงหาคาของ ก) log xyz

ข) log z ค) log ( xyz)2 12

กําหนดให log10 5 = 1 - log10 2 จงหาคาของ log10 250 + log10 500

กําหนดให log10 3 = 0.4771 log10 5 = 0.6990 จงหาคาของ ก) log10 450 ข) log10 300

กําหนดให log10 5 = 0.6990 และ log10 7 = 0.8451 จงหาคา ก) log10 175 + log10 25 ข) log10 14 - log 70

234

กําหนดให log10 5 = 0.6990 จงหาคา log10 62.5

จงแกสมการตอไปนี้ 16.1 2 log x – 1 = 0 16.2 log 2x = log 2 + 5 16.3 log ( 2 x - 1 ) = log ( x + 3 ) – 3 16.4 log x = 1 – log ( x - 9 )

4 log x3 - 11 log x = 2

log x5 + log x4 - log x2 = 7

log ( 4 x + 5 ) – log ( x - 3 ) = 2

log ( x – 9 ) + log x = 1

log ( x + 1 ) + log 2 x = log 2 ( x + 2 ) + 2 log x

log x + 2 log 2 x – log 3 x = 5

235

log ( x + 1 ) – log ( x – 3 ) = 2.01

2 log x – 3 log 2 x = 0.58

แบบฝกหัดการบาน 1.

จงหาคา x จากสมการ ก. log3 243 = x

ข. logx 25 = 1

ค. logx 1 = - 3

343

ง. logx 25 2.

= 1

จงหาคาตอไปนี้ ก. log8 32 ข. log5 125 ค. log10 0.001 ช. log 1 1,000 10

จงแสดงวา log10 5 - 1 + log10 2 = 0

236

ลอการิทึมธรรมชาติ 1. ความหมายลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมธรรมชาติหรือลอการิทึมแบบเนเปยร คือ ลอการิทึมฐาน e โดย e เปนคาคงที่คาหนึ่ง และ e ≈ 2.71828

log e N

ln N

ลอการิทึมฐานe ( ln N ) เมื่อนําไปเทียบกับลอการิทึมสามัญ ( log N ) จะเปนไป ดังสมการตอไปนี้คือ

ln N

log N 0.4343

ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของลอการิทึมตอไปนี้ (ก) ln 3.25 (ข) ln 24.38 (ค) ln 0.05926 วิธีทํา (ก) ln 3.25 = = = (ข) ln 24.38 = = = = (ค) ln 0.05926 = = = =

หรือ

In N

2.3026 log N

2.3026 log 3.25 2.3026 ( 0.5119 ) 1.1787 2.3026 log 24.38 2.3026 ( 1.3856 + 0.0014 ) 2.3026 ( 1.3870 ) 3.1937 2.3026 log 0.05926 2.3026 ( - 3 + 0.7723 + 0.0004 ) 2.3026 ( - 2.2273 ) - 5.1286

237

2. คาลอการิทึมฐาน e จากตาราง การหาคา ln N จากตารางลอการิทึมฐาน e เราจะตองเปลี่ยน ln N ใหอยูในรูป ตอไปนี้

(

)

In N = In N 0 × 10 n ; 1 ≤ N0 < 10 . n = จํานวนเต็ม ตัวอยางที่ 2 ตารางลอการิทึมฐาน e บางสวนมีลักษณะดังนี้ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

7.0. 1.94591 94734 94876 95019 95161 95303 95445 95586 95727 95868 14 28 43 57 71 85 99 114 128 7.1 1.95009 96150 96291 96431 96571 96711 96851 96991 97130 97269 14 28 42 56 70 84 99 112 126 98238 7.2 1.97408 97547 97685 97824 97952 98100 98238 98376 98513 98650 14 28 41 55 69 83 97 110 124 7.3 1.98787 98924 99061 99198 99334 99470 99606 99724 99877 2.00013 14 27 41 54 68 82 95 109 122 7.4 2.00148 00283 00418 00553 00687 00821 00956 01089 01223 01357 13 27 40 54 67 80 94 107 121 7.5 2.0149 01624 01757 01890 02022 02155 02287 02419 02551 02683 13 27 40 53 67 80 93 106 120 7.6 2.02815 02946 03076 03209 03340 03471 03501 03732 03862 03992 13 26 39 52 66 79 92 105 118 7.7 2.04122 04252 04381 04511 04640 04769 04898 05027 05156 05284 13 26 39 52 65 77 90 103 116 7.8 2.05412 05540 05668 05795 05924 06051 06179 06306 06433 06560 13 25 38 51 64 76 89 102 114 7.9 2.06686 06813 06939 07065 07191 07317 07443 07568 07694 07619 13 25 36 50 63 76 88 101 113

ขั้นตอนการใชตารางใหกระทําดังนี้ จาก ln N = ln ( N0 × 10 " ) = =

ln N0 + ln 10" ln N0 + n ln 10

เปดตารางหาคา ln N0 และ ln 10 จากตารางลอการิทึมฐาน e หมายเหตุ ln 10 = 2.3026 ( ควรจําใหไดเพราะในการเปดตารางลอการิทึมฐาน e เราจะตองใช อยูเสมอ ) ตัวอยางที่ 3 จงหาคาลอการิทึมตอไปนี้ (ก) In 70.5 (ข) (ค) (ง)

In 0.0738 In 793.7 In 0.7749

238

In 70.5

วิธีทํา (ก)

= In ( .05 × 10 ) = In 7.05 + In 10

จากตาราง In 7.05

In 10 จาก ( 1) In 70.5 (ข)

In 0.0738

…(1)

= 1.95303 = 2.3026 = 1.95303 + 2.3026 = 4.25563 = In (7.38 × 10-2 ) = In 7.38 + In 10-2

…(1)

= In 7.38 - 2 In 10 จากตาราง In 7.38

In 10 จาก (1) In 0.0738 (ค)

In 793.7

= 1.99877 = 2.302 = 1.99877 – 2 ( 2.3026) = - 2.60643 = In (7.937 × 102) = In 7.937 + In 102 = In 7.937 + In 10

…(1)

จากตาราง In 793.7 = 2.070650 + 0.00088 = 2.07153 In 10 = 2.3026 จาก (1) (ง)

In 793.7 In 0.7749

= 2.07153 + 2 (2.3026) = 6.67673 = In ( 7.749 × 10-1 ) = In 7.749 - 10-1 = In 7.749 - 10

จากตาราง In 7.749

In 10 จาก (1) In 0.7749

= 2.04640 + 0.00116 = 2.04756 = 2.3026 = 2.04756 – 2.3026 = - 0.25504

… (1)

239

3. กราฟลอการิทึม ฟงกชันลอการิทึม เปนอินเวอรสของฟงกชันเอกชโปเนนเชียล จากฟงกชันเอกช โปเนนเชียล f(x) = {(x,y) ∈ R × R+ l y = ax ; a > 0 และ a ≠ 1} อินเวอรสฟงกชันเอกชโปเนเชียล f - 1 (x) = { (x,y)∈ R+ × R l x = ay ; a > 0 และ a

≠

หรือเรียกวา ฟงกชันลอการิทมึ f - 1 (x) = { (x,y)∈ R+ × R l y = loga x , a > 0 และ a กราฟลอการิทึม คือ อินเวอรสของกราฟเอกชโปเนนเชียล

≠

( 12 )

สมการลอการิทึม y = loga x ; a > 0 และ a จากนิยาม a > 0 และ a

≠1

ทําใหเราแบงคา a ออกเปน 2 กลุม กลุมที่ 1

-1

≠

กลุมที่ 2

1 0< a< 1

a >1

การเขียนกราฟสมการลอการิทึมที่ 0 < a < 1 ตัวอยางที่ 1 จงเขียนกราฟจากสมการ y = log x วิธีทํา หาคูลําดับจาก y = log1 x ทําเปนเลขยกกําลังได 2

( ) ( 12 )

x = 12

−2

-2

( 12 )

-1

( 12 )

( 12 )y =

= x

(12 )

1 2

1 4

240

ตัวอยางที่ 2 จงเขียนกราฟ จากสมการ y = log x และ y = log x บนแกน x, y เดียวกัน วิธีทํา หาคูลําดับจาก y = log 1 x

และ y = log 1 x

(4 )

y ทําเปนเลขยกกําลังได 1 = x และ 1

(14 )

(14 ) (14 ) y

-2

(12 )

1 4

-2

-1

()

1 -1 = 4 4

()

11 = 1 4 4

()

1 2= 1 4 16

241

การเขียนกราฟสมการ ลอการิทึมที่ a > 1 ตัวอยางที่ 3 จงเขียนกราฟจากสมการ y = log2 x วิธีทํา หาคูลําดับจาก y = log2 x ทําเปนเลขยกกําลังได 2y = x

−2

-2

1 4

−1

-1

1 2

242

ตัวอยางที่ 4 จงเขียนกราฟจากสมการ y = log2 x และ y = log4 x

y = log2 x และ y = log4 x

วิธีทํา หาคูลําดับ จาก

ทําเปนเลขยกกําลังได 2y = x และ 4y = x

x=4

-2

x=2 y

1 16

-2

-1

1 4

1 2

-1

243

จากกราฟที่เขียนทั้งสี่ตัวอยางมีขอสรุปดังนี้ 1. กรณี 0 < a < 1 ถา x มีคาเพิ่มขึ้นเรือ่ ย ๆ ทําให y มีคาลดลง เราจะเรียกกราฟลักษณะ เชนนี้วา ฟงกชันลด (Decreasing Function) กรณี a > 1 ถา x มีคาเพิ่มขึ้นเรือ่ ย ๆ ทําให y มีคาเพิ่มขึ้น เราจะเรียกกราฟลักษณะ เชนนี้วา ฟงกชันเพิ่ม (Increasing Function) 2. กราฟฟงชันลอการิทึมจะตองผานจุด (1, 0) และ (a, 1) เสมอ จาก y = log2 x ถา y = 0 แลว x = a0 = 1 ไดจุด ( 1, 0 ) และ

ถา y = 1 แลว x = a1 = a ไดจดุ ( a, 1 )

3. ในการเขียนกราฟ y = loga x และ y = logb x เมือ่ a > b > 0 เราสามารถเขียนกราฟทัง้ สองโดยการวิเคราะหดังนี้ 3.1 เสนกราฟ y = loga x และ y = logb x ตองผานจุด ( 1, 0 ) 3.2 ลากเสน y = 1 พิจารณาหาจุด ( 1 , a ) และ (1 , b) 3.3 เขียนกราฟผานจุดระหวาง ( 1, 0 ) กับ ( a, 1 ) และ ( 1, 0 ) กับ (b, 1 )

4. สมการเอกซโปเนนเชียลและสมการลอการิทึมในงานชาง

244

ตัวอยางที่ 1 ความสัมพันธระหวางเวลากับอุณหภูมิในการทําใหโลหะชนิดหนึ่งเย็นลง เปนไป ดังสมการ T = T0 ekt โดยที่ T แทนอุณหภูมิเมื่อเวลา t นาทีใด ๆ มีหนวยเปนองคสเคลวิน

T0 แทนอุณหภูมเิ ริ่มตน มีหนวยเปนอาศาเคลวิน t แทนเวลา มีหนวยเปนนาที k แทนคาคงที่คาหนึ่ง T0

จงหาวาจะตองใชเวลากี่นาทีในการทําใหโลหะชนิดนี้อณ ุ หภูมิลดลง 120 องศาเคลวิน ถา = 167 องศาเคลวิน T = 100 องศาเคลวิน และ t = 1 นาที

วิธีทํา

T = T0 ekt T = 100 °K

จากสมการ

แทนคา

T0 = 167

…..( 1 )

t = 1 นาที 100 = 167 ek 167 ek = 100

∴

In ek = In 167 100 k In e = In 1.67 k = 0.51 (In e = 1) T = T0 e- 0.511

จาก (1)

….(2)

โลหะมีอุณหภูมิ T0 = 167 องศาเคลวิน ตองการทําใหอหุณหภูมิลดลง 120 องศาเค วิน ∴ ตองทําใหโลหะมีอณ ุ หภูมิ จาก ( 2 )

T = 167 - 120 = 47 องศาเคลวิน 47 = 167 e- 0.511

e 0.511 In e- 0.511 0.51 t In e 0.51 t ∴

= 167

47 In 167 47 = In 3.55 = ln 3.55

l n 3.55 0.51

(In e

245

= 1.26695 ดังนั้น ตองใชเวลาทั้งหมด 2.48 นาที

0.51

= 2.48

ตัวอยางที่ 2 ความสัมพันธระหวางคาบของการแกวง และความยาวของลูกตุมนาฬิกาเปนไปดัง สมการ In T = 1 ln L + 0.6982

เมื่อ T แทนคาบของการแกวง มีหนวยเปนวินาที L แทนความยาวของลูกตุมนาฬิกามีหนวยเปนเมตร ถาความยาวของลูกตุมนาฬิกาเทากับ 0.30 เมตร จงหาคาบจองการแกวงของลูกตุม นาฬิกาเรือนนี้ วิธีทํา จากสูตร

In T = 12 l n L + 0.6982 L = 0.30 เมตร ∴

In T = 12 l n 0.30 + 0.6982 = 1 ( −1 + 1.09861 ) + 0.6982 2 = 1 ( − 0.09861 ) + 0.6982 2

= - 0.04930 + 0.6982 = 0.6489 In T = In 1.91 ∴ T = 1.91 วินาที ดังนั้น คาบของการแกวงเทากับ 1.91 วินาที

246

แบบฝกหัด สมการเอกซโปเนเชียลและสมการลอการิทึมในงานชาง 1

ความสัมพันธระหวางจํานวนแบคทีเรียกับเวลา เปนไปดังสมการ q = 2 (3t ) เมื่อ

q t

แทนจํานวนแบคทีเรีย มีหนวยเปนพันตัว

แทนเวลามีหนวยเปนชั่วโมง ถาตองการแบคทีเรีย 2.43 พันตัว จะตองใชเวลานานเทาไร

ความสัมพันธระหวางอุณหภูมิ และเวลาในการทําใหของเหลวชนิดหนึง่ เย็นลงเปนไป ดังสมการ T = Ktn เมื่อ T แทนอุณหภูมิ มีหนวยเปนองศาเซลเซียส t แทนเวลา มีหนวยเปนนาที k,n

แทนคาคงที่

ถา T = 20 องศาเซลเซียส, K = 60 และ t = 11 นาที จงหาวาเมื่อเวลาผานไป 2.70 นาที ของเหลวมีอณ ุ หภูมิเทาไร

247

จากวงจรที่กําหนดให

มีสมการความสัมพันธกันดังนี้ คือ =

และ เมื่อ

i0 i E R

t C

i i0

= =

i0e E R

t RC

แทนกระแสไฟฟาเริ่มตน มีหนวยเปนแอมแปร แทนกระแสไฟฟาเมื่อ t วินาที มีหนวยเปนแอมแปร แทนแรงเคลื่อนไฟฟา มีหนวยเปนโวลต แทนความตานทาน มีหนวยเปนโอหม แทนเวลาตั้งแตเปดสวิตช มีหนวยเปนวินาที แทนความจุไฟฟา มีหนวยเปนฟารัด ≈ 2.718

ถากําหนดให E = 220 โวลต R = 450 โอหม และ C = 30 × 10- 6 ฟารัด จงหาวาใช เวลานานเทาไรหลังจากเปดสวิตช กระแสไฟฟาจะเหลือเพียงครึ่งหนึง่ ของกระแสไฟฟาเริ่มตน 4

งานที่เกิดจากการเปลี่ยนปริมาตรของกาชชนิดหนึ่ง มวล 1 กิโลกรัม เมื่ออุณหภูมิคงที่ เปนไปดัง สมการ W = 8.1 × 104 In V f Vi เมื่อ W แทนงานมีหนวยเปนจูล Vi แทนปริมาตรเดิมของกาซมวล 1 กิโลกรัม Vf แทนปริมาตรครั้งสุดทายของกาซมวล 1 กิโลกรัม ถาเดิมปริมาตรของกาซชนิดนี้เทากับ 2.9 ลิตรตอมวล 1 กิโลกรัม และถาปริมาตรของกาซ เปลี่ยนไปเปน 10 ลิวตร ตอมวล 1 กิโลกรัม จงหางานทีเ่ กิดขึ้นจากการเปลี่ยนปริมาตรของกาซชนิด นี้ 4 5 จากปญหาในขอ 4 ถางานเกิดขึน้ 15 × 10 จูล ปริมาตรของกาซเปลี่ยนไปเปนเทาไร

248

แบบทดสอบ 1. กําหนด log 2 = 0.3010 และ

log 3 = 0.04771 จงหาคา x จาก สมการ 2x = 12 ก. 3.585 ข. 4.385 ค. 5.015 ง. 6.834 2. จากขอ 1 จงหาคา x จากสมการ

( 3x ) ( 22x ) = 8 ก. 0.387 ข. 0.783 ค. 0.837 ง. 0.873 3. จงหาคา x จากสมการ 4 3x = 8 ก. 0.2 ข. 0.3 ค. 0.4 ง. 0.5 4. จงหาคา x จากสมการ 6 3x + 1 = 36 x + 5 ก. 8 ข. 9 ค. 10 ง. 11 5. จงหาคา x จากสมการ

log x + log x 3 + log x 5

ก. 1.0 ข. 0.10 ค. 10 ง. 100 6. จงหาคา x จากสมการ

In 2 x

In x2

ก. 2.718 ข. 2.817 ค. 7.812 ง. 7.128 7. จงหาคา x จากสมการ log (x+8) = log (x – 1) + 1 ก. 0.2 ข. 0.5 ค. 2.0 ง. 2.5

8. จงหาคา จากสมการ x In x4 = In x2 - In x ก. 0.80 ข. 0.75 ค. 0.50 ง. 0.25 9. กําหนดให log 5.49 = 0.7396 จงหาคาของ log 0.00549 ก. 2.2604

ข. -2.2604

ค. -3.7396

ง. 3.7396

10. จากขอ 9 จงหาคาของ log 549 ก. 2.7396 ข. -2.7396 ค. – 3.7396 ง. 3.2604 11. กําหนดให log 999 = 2.9996 จงหาคาของ log 0.0999 ก. -2.9996

ข. -2.9001

ค. -1.9001

ง. -1.9996

12. กําหนดให log 552 = 2.7419

จงหาคา In 5.52 ก. 0.7083 ข. 1.7083 ค. 6.3228 ง. 6.7083 13. กําหนดให In 5.49 = 1.70293 และ In 0 = 2.3026 จงหาคา ของ In 5490 ก. 3.86107 ข. 6.18073 ค. 7.38601 ง. 8.61073

249

14. จากขอ 13 จงหาคาของ In 0.549 ก. – 0.70293 ข. – 0.29307 ค. – 0.59967 ง. – 0.95679 15. จงหาคา x จากสมการ log 1 x = 2 ก. 1

ข. 1

ค. 2 ง 4 16. จงหาคา x จากสมการ

log x + log 25

ก. 20 ข. 30 ค. 40 ง. 50 17. จงหาคา x จากสมการ

log3 ( x + 6 )

ก. 12 ข. 16 ค. 19 ง. 21 18. จงหาคา x จากสมการ 2

log 1 ( x − 9 )

-2

ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6 19. จงหาคา x จากสมการ

log ( log 2 x 4 ) = 2 2

ก. 2 ค. 4

ข. 3 ง. 5

กราฟนี้เปนกราฟของฟงกชันใด ก. y = log2 x ข. y = log 1 x 2

ง. y = log 1 x

ค. y = log3 x

21. จากกราฟขอ 20 ถา x = 4

y มีคาประมาณเทาไร ก. -2 ข. ข. -1 ค. 0 ง. ง. 1 22. จากสมการ y = log 1 x

ถา y = -1 x มีคาเทาไร ก. 0 ข. 5 ค. 25 ง. - 5

250

23.

27 สมการของฟงกชั่นในขอใดเปน Increasing Function ก. y = log 1 x 2

ข.

log 1 x

ค.

log 1 x และ log 5 x

ง.

log 4 x

28. จากสมการ y กราฟนี้เปนกราฟของฟงกชนั ใด ก. y = log2 x ข. y = log3 x ค. y = log 1 x

ง. y = log 1 x

24. จากกราฟขอ 23 ถา x = 1 3 y มีคาประมาณเทาไร ก. 1 ข. 0

ค. -1

ง. –1

25. จากกราฟขอ 23 ถา y = -2

x มีคาประมาณเทาไร ก. 0.5 ข. 0.6 ค. 0.7 ง. 0.8 26 กราฟของฟงกชั่นในขอใด เมื่อวาด ลงบนตารางกราฟลอการิทึมแลว ไมผานจุด ( 0 , 1 ) ก. y = 12 ค. y = 1

ข. y = 1

3 ง. y = 1 9

log 1 x 2

log 1 x และ y

log4 x

เมื่อเขียนกราฟจะตัดกันที่จุดใด ก. ( 0 , 1 ) ข. (1 , 0 ) ง. (−1 , 0 ) ค. ( 0 , −1 ) 29. คา a ของขอใดมีคามากที่สดุ ก. y = log 1 x 3

ข. y

ค. y

ง. y

log x 1.1 log 1 x 6

log1.5 x

30. จากคูลําดับ ( 36 , - 2 ) เปนจุดของ สมการในขอใด ก. y = log 1 x 3

ข. y

ค. y

ง. y

log x 1.1 log 1 x 6

log1.5 x

251

บทที่ 9 บทนําตรีโกณมิติ บทนํา ตรี โ กณมิ ติ เ ป น วิ ช าที่ ว า ด ว ยการวั ด และการหาความสั ม พั น ธ ร ะหว า งด า นกั บ มุ ม ของรู ป สามเหลี่ยม ซึ่งมีประโยชนในการนําไปใชในทางชางทุกสาขา ตัวอยางเชน เราอยากทราบความสูงของประภาคาร เรา จะตองใชความสัมพันธของฟงกชัน ตรีโกณมิติชวยใน การคํานวณ ดังรูป ถาเราทราบคามุม θ และระยะจาก เรื อ ถึ ง ประภาคาร เราก็ จ ะสามารถหา ความสู ง ของ ประภาคารได

หรือถาตองการทราบวา เสาไฟฟาอยูสูง จากพื้นกี่เมตร เราก็อาศัยฟงกชันตรีโกณมิติชวย ในการคํานวณอีกเชนกัน

จากตัวอยางที่ยกมาใหเห็น แสดงวาฟงกชันตรีโกณมิติมีความสําคัญในงานชางมาก ซึ่งเราจะ ไดศึกษากันใหละเอียดตอไป 1. มุมและการวัดมุม มุม เกิดจากเสนตรง 2 เสน ลากมาพบกันที่จุด ๆ หนึ่ง C

จากรูป เสนตรง AO และ BO ลากมา พบกันที่จุด O ทําใหเกิดมุม AOB ขึ้น เรานิยมใสอักษรกรีก เชน α , β, γ, θ กํากับมุมที่เกิดขึ้น

252

การวัดมุม จะเริ่มวัดออกจากเสนเริ่มตน OX

เสนเริ่มตน θ O ( วัดมุมทวนเข็มนาฬิกxา

คาของมุมเปนบวก )

ปกติการวัดมุมจะวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา คาของมุมที่วัดไดในกรณีนี้จะมีเครื่องหมาย เปนบวก (+) แต ใ นทางตรงข า ม ถ า วั ด มุ ม ในทิ ศ ทางตามเข็ ม นาฬิ ก า ค า ของมุ ม ที่ วั ด ได ใ นกรณี นี้ จ ะมี เครื่องหมายเปนลบ ( - ) y

-θ

x เสนเริ่มตน

มุมฉาก เกิดจากเสนตรง 2 เสนตัดกัน ทําใหไดมุม 4 มุมที่มีขนาดเทากันหมด มุมแตละมุมที่ C เกิดขึ้นเรียกวา 1 มุมฉาก จากรูป เสนตรง AB และ CD ตัดกัน ที่จะ O ทําใหเกิดมุมที่เทากัน 4 มุม คือ 2 1 1. มุม COB A B O 3 4 2. มุม AOC 3. มุม AOD 4. มุม BOD แตละมุมเราเรียกวา “มุมฉาก” ซึ่งกางเทากับ 90 องศา D มุมแหลม หมายถึง มุมที่มีขนาดมากกวา 0 องศา แตนอยกวา 90 องศา มุมปาน หมายถึง มุมที่มีขนาดมากกวา 90 องศา แตนอยกวา 180 องศา มุมกลับ หมายถึง มุมที่มีขนาดมากกวา 180 องศา แตนอยกวา 360 องศา

253

มุมแหลม °

มุมกลับ

มุมปาน

(0 < a < 90 )

(90 <

θ <

(180 <

180 )

θ < 360

)

แบบฝกหัด จงบอกวา มุมตอไปนี้เปนมุมแหลม มุมปาน หรือมุมกลับ และใหบอกคาของมุมดวย ตัวอยาง

มุม α มีคาของมุมเปน

เปนมุม บวก

ปาน

มุม มีคาของมุมเปน

เปนมุม

มุม มีคาของมุมเปน

45 o

เปนมุม

มุม มีคาของมุมเปน

เปนมุม

254

มุม มีคาของมุมเปน

เปนมุม

มุม มีคาของมุมเปน

เปนมุม

มุม มีคาของมุมเปน

เปนมุม

มุม มีคาของมุมเปน

เปนมุม

2. หนวยการวัดมุม การวัดมุมเปนองศา (Degree) ถาเราแบงมุมฉากออกเปนมุมยอย ๆ เทากับ 90 มุมยอย มุมยอยแตละมุมที่เกิดขึ้นเรียกวา มุม 1 องศา เราใชสัญลักษณ “ ๐ ” แทนคําวา “ องศา ” เชน 100๐ อานวา หนึ่งรอยองศา 90๐ อานวา เกาสิบองศา 120๐ อานวา หนึ่งรอยยี่สิบองศา มุม 1 องศา ยังแบงยอยออกเปน ลิปดา ( / ) และฟลิปดา ( / / ) ตามลําดับ ดังนี้ 1๐ = 60 / (หกสิบลิปดา) 1/ = 60 / / (หกสิบฟลิปดา)

255

ในงานช า งจะคิ ด มุ มที่ เ ล็ ก กวาหนึ่งองศาเป น ตั วเลขทศนิยมแทนลิ ป ดาและฟลิป ดา เพราะ เครื่องมือวัดมุมสวนมากที่ใชในงานชางมีสเกลของมุมอานเปนองศา การแปลงหนวยวัดมุม สามารถทําไดดวยวิธีบัญญัติไตรยางค ตัวอยาง จงเปลี่ยนมุม 30 ลิปดา 45 ฟลิปดา ใหเปนองศา วิธีทํา 1 องศา เทากับ 60 ลิปดา และ 1 ลิปดา เทากับ 60 ฟลิปดา ∴ 1 องศา = 60 × 60 ฟลิปดา = 3,600 ฟลิปดา หรือ 3,600 ฟลิปดา = 1 องศา 1 ฟลิปดา 45 ฟลิปดา

1 = 3,600

องศา

= จาก

60 ลิปดา

1 ลิปดา

30 ลิปดา

= =

ดังนั้น มุม 30 ลิปดา กับ 45 ฟลิปดา

= =

∴ มุม 30’ 45”

= =

1× 45 3,600 1 80 1

1 60 1× 30 60 1 2 1 +1 2 8 4 +1 = 5 8 8 5 8 0.625

องศา องศา องศา องศา องศา องศา องศา องศา องศา ตอบ

256

แบบฝกหัด ลําดับที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

มุมที่กําหนดให องศา

ลิบดา

ฟลิปดา

30 12 15 30 45

45 30 45 40 54 30 40 48 32

45 45 30 15 48 42 24 30 25

1 2

45 2 1

แปลงเปนองศา 0.625

36 36 40 52 36

การวัดมุมเปนเรเดียน (Radian) มุม 1 เรเดียน หมายถึง มุมที่จุดศูนยกลาง ของวงกลมซึ่งรองรับดวยสวนโคงของวงกลม ที่ยาวเทากับรัศมีของวงกลมนั้น เมื่อ r = รัศมี ∴ 2π r จะได

เสนรอบวง มุมที่จุดศูนยกลาง

O O

= 1 เรเดียล

= เสนรอบวง

รัศมี = 2π r r

= 2π

เรเดียน เรเดียน เรเดียน

257

แตมุมที่จุดศูนยกลางมีคา 360 องศา

2π

เรเดียน

ดังนั้น

180 องศา

เรเดียน

และ

90 องศา

π 2

เรเดียน

ความสัมพันธระหวางหนวยองศากับเรเดียน ถา D = คาของมุม มีหนวยเปนองศา θ = คาของมุม มีหนวยเปนเรเดียน เพราะวา

180๐

ดังนั้น

= D 180

นั่นคือ

π • D เรเดียน 180 D = θ • 180

องศา

การคํานวณเปลี่ยนคามุมจากหนวยองศาเปนหนวยเรเดียน หรือจากเรเดียนเปนองศา ทําไดหลายวิธี ดังนี้ 1. ใชสูตรขางตน 2. โดยการเทียบบัญญัติไตรยางศ 3. อาศัยมุมฉากเปนหลัก ตัวอยาง จงเปลี่ยนมุม 60 องศา ใหมีหนวยเปนเรเดียน วิธีทํา

D 180 60 180

จาก แทนคา

∴θ

ตัวอยาง

จงเปลี่ยนมุม

วิธีทํา

จาก แทนคา

4π 5

= =

π = 60π 180

= π

เรเดียน

เรเดียน ใหมีหนวยเปนองศา

D 180 D 180

∴D

π 4π = 5π = 4 ×180

4 5

144

องศา

258

บทสรุป 1. มุม เกิดจากเสนตรง 2 เสนลากมาพบกันที่จุด ๆ หนึ่ง 2. มุมฉาก เกิดจากเสนตรง 2 เสนตัดกัน ทําใหได 4 มุมที่มีขนาดเทากันหมด มุมแตละมุม เรียกวา มุมฉาก 3. มุมแหลม หมายถึง มุมที่มีขนาดมากกวา 0 องศา แตนอยกวา 90 องศา 4. มุมปาน หมายถึง มุมที่มีขนาดมากกวา 90 องศา แตนอยกวา 180 องศา 5. มุมกลับ หมายถึง มุมที่มีขนาดมากกวา 180 องศา แตนอยกวา 360 องศา 6. มุม 1 เรเดียน หมายถึง มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมซึ่งรองรับดวยสวนโคงของ วงกลมที่ยาวเทากับรัศมีของวงกลมนั้น 7. มุมที่จุดศูนยกลาง = 2π เรเดียน 8. การเปลี่ยนคาจากองศาเปนเรเดียน หรือจากเรเดียนเปนองศา หาไดจากสูตร

D = θ 180° π D

= θ ×180

เมื่อ D = คาของมุมที่เปนองศา θ = คาของมุมที่เปนเรเดียน

องศา

259

1 มุมประกอบหนึ่งมุมฉาก C

รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมภายในมุมใดมุมหนึ่ง y เปนมุมฉาก เราเรียกรูปสามเหลี่ยมนั้นวา “รูป สามเหลี่ยมมุมฉาก” จากรูป สามเหลี่ยม ABC มีมุม B เปนมุม β a ฉาก ดังนั้น มุมที่เหลืออีก 2 มุม คือ α กับ γ จะรวม B A กันได 1 มุมฉาก หรือ 90 องศา จากนิยามของรูปสามเหลี่ยม มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ รวมกันเทากับ 180๐ นั่นคือ α+β+γ = 180๐ แต β = 90๐ ∴ α + 90๐ + γ = 180๐ α+γ = 180๐ - 90๐ = 90๐ α = 90๐ - γ = 90๐ - α หรือ γ เราเรียกมุม α และ γ วา เปนมุมประกอบหนึ่งมุมฉากซึ่งกันและกัน

แบบฝกหัด จงหามุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จากรูป ตัวอยาง 43๐

วิธีทํา มุม α = 90๐ - 43๐ = 47๐ α

260

5 วิธีทํา

วิธีทํา ๐

( α + 30 )

α θ

วิธีทํา

10๐ + β

3 วิธีทํา

วิธีทํา

35๐

4 π 3

วิธีทํา

จงหามุมประกอบหนึ่งมุมฉากของมุมตอไปนี้ ตัวอยาง มุม 40๐, 10๐, 58๐, π , π , π 3 6 12 วิธีทํา มุมประกอบหนึ่งมุมฉากของมุม 40๐ = 90๐ - 40๐ = 50๐ มุมประกอบหนึ่งมุมฉากของมุม 10๐ = 90๐ - 10๐ = 80๐ มุมประกอบหนึ่งมุมฉากของมุม 58๐ = 90๐ - 58๐ = 32๐ มุมประกอบหนึ่งมุมฉากของมุม π เรเดียน = π - π = 3π − 2π 3 2 3 6

261

= π เรเดียน 6 มุมประกอบหนึ่งมุมฉากของมุม π เรเดียน = π - π = 3π −π 6 2 6 6 = 2π = π เรเดียน 6 3 π π 6 π π −π มุมประกอบหนึ่งมุมฉากของมุม เรเดียน = - = 2 12 12 12 π 5 = เรเดียน 12 ในกรณีที่หนวยวัดของมุมเปนเรเดียน จะได มุม 90๐ = π เรเดียน 2 ° มุม 19

มุม 11°

มุม 43°

มุม 75°

o มุม π เรเดียน 4 มุม π o เรเดียน 10 o มุม π เรเดียน 12 o มุม 5π เรเดียน 11 o มุม π เรเดียน 20 o มุม π เรเดียน 13 o มุม 6π เรเดียน 13 o มุม 9π เรเดียน 25

6 7 8 9 10 11 12

262

2. การวัดมุมที่ไดจากการหมุน y

x′

A θ

ถาหมุนรังสี QA ออกจาก QX ไปในทิศ ทางทวนเข็มนาฬิกาเปนมุม θ โดยใหจุด O เปนจุดหมุนดังรูป จะไดมุมที่เกิดขึ้นมีขนาด เทากับ θ และมีเครื่องหมายเปนบวก (+ )

y′ y

แตถาหมุนรังสี OA ออกจาก OX ไปใน ทิศทางตามเข็มนาฬิกาไปเปนมุม θ จะไดมุม ที่เกิดขึ้นมีขนาดเทากับ θ และคาของมุมมี เครื่องหมายเปนลบ ( - )

x′

y′

x A

ตัวอยาง ถารังสี OA หมุนตามเข็มนาฬิกาไปทํามุม 60 องศากับเสนเริ่มตน OX จงหาวามุมทีว่ ัด จากเสนเริ่มตน OX ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา มีคาเทาใด y วิธีทํา รังสี OA หมุนผานควอดรันตมา 3 ควอด รันต ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งคิดเปนมุม x 60๐ รวมทั้งหมด 90๐ + 90๐ + 90๐ = 270 องศา x′ มุมที่รังสี OA หมุนตอไปเมือ่ ผานควอดรันตที่ 3 y′ A อีก 90๐- 60๐ = 30๐ นั่นคือ มุมทั้งหมดที่ OA หมุนไปทิศทางทวนเข็มนาฬิกา = 270๐ + 30๐ = 300๐ ตัวอยาง จงหาคามุม α1 และ α2 จากรูป y วิธีทํา มุม α1 เปนการวัดมุมในทิศทางทวน เข็มนาฬิกา รังสี OA ตกอยูใ นควอดรันตที่ 2 30๐ a1 x ′ ๐ ๐ ๐ ∴ α1 = 90 + (90 - 30 ) a2 O = 90๐ + 60๐ = 150๐ ตอบ y′

ตอบ

263

มุม α2 เปนการวัดมุมตามเข็มนาฬิกา คาที่วัดออกมาไดมีเครื่องหมายเปนลบ ( - ) รังสี OA ตกอยูในควอดรันตที่ 2 ซึ่งผานควอดรันตที่ 4 และ 3 มา ดังนั้น ∴ α2 = -(90๐ + 90๐ + 30๐) = -(180๐+ 30๐) = -210๐ ตอบ

แบบฝกหัด จงหาคามุม θ จากรูป y

วิธีทํา x′

๐

θ O

y′ y

2 วิธีทํา

x′

๐

y′

3 วิธีทํา ๐

x′

y′

264

วิธีทํา x′

O θ ๐

y′

5 วิธีทํา

x′

๐

y′

วิธีทํา x′

๐

y′ y

7 วิธีทํา x′

๐

60 O θ

y′

8 วิธีทํา x′

๐ 45 θ

y′

265

วิธีทํา

จากรูป จงหาคามุม θ, θ1 , θ2 จากชิ้นงาน

266

3. การแบงจตุรภาค ( ควอดรันต ) ถาแบงมุมรอบจุด O ออกเปน 4 สวน เทา ๆ กัน แตละสวนเราเรียกวา ควอดรันต หรือ จตุรภาค จะได 4 ควอดรันต หรือ 4 จตุรภาค ดังรูป ควอดรันตที่ 1 อยูมุมบนขวา ควอดรันตที่ 2 อยูมุมบนซาย ควอดรันตที่ 3 อยูมุมลางซาย ควอดรันตที่ 4 อยูมุมลางขวา ควอดรันตที่ 1 คาของมุมอยูระหวาง 0๐

y ควอดรันตที่ 2

x′

ควอดรันตที่ 1

ควอดรันตที่ 3

ควอดรันตที่ 4

y′ 90๐ หรือ 0 180๐ หรือ π 2 ๐ 270 หรือ π 360๐ หรือ 3π 2

ควอดรันตที่ 2 คาของมุมอยูระหวาง 90๐ ควอดรันตที่ 3 คาของมุมอยูระหวาง 180๐ ควอดรันตที่ 4 คาของมุมอยูระหวาง 270๐

แบบฝกหัด จงบอกวา มุมตอไปนี้อยูในจตุรภาค (ควอดรันต) ใด และเขียนรูปใหดูดว ย ตัวอยาง 1 มุม 220 องศา มีคาอยูระหวาง 90๐ - 180๐ ดังนั้น มุม 220 องศา อยูในจตุรภาคที่ 3 (ดังรูป) y 2 x′

1 ๐ 90๐ 90 40๐

y′ ตอบ มุม 220 องศา อยูในจตุรภาคที่ 3

x 4

เรเดียน 2 π เรเดียน 3π เรเดียน 2 2π เรเดียน

267

ตัวอยางที่ 2 มุม –30 องศา ⎛⎜ − π ⎞⎟ อยูในจตุรภาคที่ 4 ดังรูป ⎝ 6⎠ y O

x′

y′

ตอบ มุม –30 องศา อยูในจตุรภาคที่ 4 1

30°

⎛ 14 π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠

มุม 280 องศา

x′

x y′

ตอบ 2

มุม 540 องศา (3π) y

x′

y y′

ตอบ

268

(

3มุม −220 องศา − 11π 9

)

x′

x y′

ตอบ 4

( )

มุม 390 องศา 13π 6

y O

x′

x y′

ตอบ 3

(

มุม −600 องศา − 10π 3

) y

x′

x y′

ตอบ

บรรณานุกรม วินัย ธรรมศิลป. คณิตศาสตรชาง 1 (เชิงปฏิบัติ) คณ 4101. กรุงเทพ ฯ : สํานักพิมพศูนยสงเสริม วิชาการ. วินัย ธรรมศิลป. หนังสือเรียนหมวดวิชาพื้นฐาน รหัส 151 – 152 คณิตศาสตร 2. กรุงเทพ ฯ : สํานักพิมพศนู ยสง เสริมวิชาการ. วินัย ธรรมศิลป, กมล พุกทอง และ อัครวุฒิ จินดานุรักษ. คณิตศาสตร 4. กรุงเทพ ฯ : สํานักพิมพศนู ยสง เสริมวิชาการ, 2538 ศิโรธ ศิริผล , วิชัย ทิพณีย. 678 หลักการและเทคนิคการแกโจทยทางคณิตศาสตรชาง 2. กรุงเทพ ฯ : 23 บุคเซนเตอร, 2538

บรรณานุกรม กรมพัฒนาการชาง, กรมอูทหารเรือ “ความรูเบื้องตนสําหรับชางตัดเย็บ” กรุงเทพ ฯ อูทหารเรือธนบุรี, กรมอูทหารเรือ “กรรมวิธีการปฏิบัติงาน โรงงานชางเย็บ” กรุงเทพ ฯ เสถียร วิชัยลักษณ , รอยตํารวจโท และ สืบวงศ วิชัยลักษณ, พันตํารวจเอก “พระราชบัญญัติ ธง พ.ศ.๒๕๒๒” อุตสาหกรรม, กระทรวง “มาตรฐานผลิตภัณฑอุตสาหกรรมผาใบ” - ประกาศกระทรวงอุตสาหกรรม ฉบับที่ ๔๕ (พ.ศ.๒๕๑๖) ออกตามความ ในพระราชบัญญัติมาตรฐานผลิตภัณฑ พ.ศ.๒๕๑๑ เรื่อง กําหนด มาตรฐานผลิตภัณฑอตุ สาหกรรมผาใบ - พระราชบัญญัติธง พ.ศ.๒๕๒๒ - กฎกระทรวง (พ.ศ.๒๕๒๔) ออกตามความ ในพระราชบัญญัติธง พ.ศ.๒๕๒๒ - กฎกระทรวง ฉบับที่ ๒ (พ.ศ.๒๕๒๖) ออกตามความ ในพระราชบัญญัติธง พ.ศ.๒๕๒๒ - กฎกระทรวง ฉบับที่ ๓ (พ.ศ.๒๕๓๕) ออกตามความ ในพระราชบัญญัติธง พ.ศ.๒๕๒๒ - แจงความสํานักนายกรัฐมนตรี เรื่อง พระราชทานพระบรม ราชานุญาตประดับแพรแถบเกียรติคุณแกธงชัยเฉลิมพล - ระเบียบสํานักนายกรัฐมนตรี วาดวยการใช การชัก หรือ การแสดงธงชาติและธงของตางประเทศในราชอาณาจักร พ.ศ.๒๕๒๙ - บรรณานุกรม

71 87 88 89 90 91 102