Fracciones Algebraicas
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Simplificaci´on de Fracciones Algebraicas Una fracci´on algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´ı, ab es una fracci´on algebraica porque es el cociente indicado de la expresi´on a (dividendo) entre la expresi´on b (divisor). El dividendo a se llama numerador de la fracci´on algebraica, y el divisor b, denominador. El numerador y el denominador son los t´erminos de la fracci´on.
Principio Fundamental de las Fracciones
Si cada miembro de una fracci´on se multiplica o se divide por una misma cantidad diferente de cero, el valor de la fracci´on no se altera.
a b
=
an bn
a b
=
a÷n b÷n
Los Signos En una fracci´on algebraica hay que considerar tres signos: el signo de la fracci´on, el signo del numerador y el signo del denominador. a b
=
−a −b
a = − −a b = − −b
−a b
=
a −b
= − ab
En una fracci´on se puede cambiar simult´aneamente los signos del numerador y del denominador sin alterar el valor de la fracci´on. Sin embargo, si se cambia el signo del numerador o el signo del denominador, se debe cambiar entonces el signo que precede a la fracci´on. Para cambiar el signo al numerador o al denominador -cuando el numerador y/o el denominador de la fracci´on es un polinomio- hay que cambiar el signo, a cada uno de los t´erminos del polinomio.
Ejemplo 1
Ejemplo 2 a−5 5−a = b−4 4−b
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a−5 a−5 5−a =− =− b−4 4−b b−4
Prof. Waldo M´arquez Gonz´alez
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Ejemplo 3
−a + b b−a a−b = = x−y −x + y y−x De acuerdo con lo anterior la fracci´on ientes:
x−2 x−3
puede escribirse de los cuatro modos sigu-
x−2 2−x 2−x x−2 = =− =− x−3 3−x x−3 3−x Nota 1 Las siguientes igualdades pueden ser u´ tiles para cambiar el signo a un n´umero par de factores sin cambiar el signo de la fracci´on:
ab (−a)b (−a)b a(−b) (−a)(−b) ab (−a)(−b) = = = = = = xy (−x)y x(−y) x(−y) xy (−x)(−y) (−x)(−y) Nota 2 Las siguientes igualdades pueden ser u´ tiles para cambiar el signo a un n´umero impar de factores cambiando el signo de la fracci´on: ab (−a)b ab (−a)(−b) (−a)b =− =− =− =− xy xy x(−y) (−x)y (−x)(−y) Fracciones Equivalentes Tanto en aritm´etica como en a´ lgebra una primera fracci´on es equivalente a otra, si la segunda fracci´on puede obtenerse a partir de la primera multiplicando o dividiendo tanto el numerador como el denominador de la primera fracci´on por el mismo n´umero o expresi´on algebraica. Simplificar una expresi´on algebraica es convertirla es una fracci´on equivalente cuyos t´erminos no tengan factores comunes. La fracci´on resultante se conoce como fracci´on irreductible y entonces la fracci´on est´a reducida a su m´as simple expresi´on o a su m´ınima expresi´on.
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Reducci´on a la M´ınima Expresi´on Reducir una fracci´on algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor. Para reducir una fracci´on a su m´ınima expresi´on, se factoriza primero el numerador y el denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que les sea com´un. La aplicaci´on pr´actica de esto u´ ltimo se conoce como la Ley de Cancelaci´on. Recordar que: ((nunca se cancelan t´erminos del numerador y del denominador; solo se cancelan factores)). Ley de Cancelaci´on an a 6 n a = = bn b6n b Errores Comunes
a+b 6a+b b = = a+c 6a+c c a3 + b 6 a3 + b = = a2 + b a 6a 2 − 5x 2− 6 5x 2 − x = = 5a 6 5a a (a − 3b)(4 + 7b) (4 + 7b) = (a − 3b)4 − 7b 4 − 7b
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Ejercicios Instrucciones: reducir a la m´ınima expresi´on los monomios siguientes.
1.
18 48
16.
9x4 3x3
2.
39a 65m
17.
48a3 b5 16a2 b2
3.
a2 a
18.
250x3 y 3 z 7 25x5 y 4 z 7
4.
8x 2y
19.
34a5 b5 c5 85a7 b9 x4
5.
3xy 9x2
20.
23a9 x7 46a4 x4 y 2
6.
12ab 16ab2
21.
7.
12x2 y 3 21x3 y 2
25x8 125x9 y
22.
21mn3 x6 28m4 n2 x2
8.
a2 ab
23.
42a2 c3 n 26a4 c5 m
9.
5a 35a2 b
24.
17x3 y 4 z 6 34x7 y 8 z 10
25.
30x6 y 2 45a3 x4 z 3
10.
x2 y 2 x3 y 3
11.
ax3 4x5 y
26.
a5 b 7 3a8 b9 c
12.
6m2 n3 3m
27.
21a8 b10 c12 63a4 bc2
13.
9x2 y 3 24a2 x3 y 4
28.
54x9 y 11 z 13 63x10 y 12 z 15
14.
6xy 2 z 4 9x2 y 2 z 3
29.
15a12 b15 c20 75a11 b16 c22
15.
a2 b 2 a4 b
30.
75a7 m5 100a3 m12 n3