En sí misma, la verdad no es una potencia, digan lo que digan los retóricos racionalistas. Por el contrario, necesita ponerse de su parte a la fuerza o ponerse ella del lado de la fuerza, pues de lo contrario perecerá siempre. Es cosa demostrada hasta la saciedad. Aurora, Federico Nietzsche. La verdad necesita del poder.
Universidad Simón Bolívar Departamento de Computación y Tecnología de la Información Estructuras Discretas II CI-2526 Sep-Dic 2014
Segunda Tarea
NOMBRE
CARNET
1. Use el axioma de fundamentación para probar que A ⊆ A × A =⇒ A = ∅. conjunto
NOTA Sug.: Aplique el axioma al
A ∪ (∪A)
2. Dada la siguiente matriz de adyacencias de la relación R de nida sobre el conjunto A = {a, b, c, d, e}:
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
0 0 0 1 1
1 0 0 1 1
0 0 1 0 1
a ) Dibuje el digrafo asociado a R y halle R. c2 , R b · R2 y R3 b ) Determine R c ) Si A = {a, d, e} y B = {b, c, e} determine R(A) , R−1 (B), R|A , R|der (B), R2 (B) y R2 |der (B).
3. Dado un conjunto parcialmente ordenado U = ⟨A, ≤⟩ y un par de elementos x, y ∈ A demuestre que x ≤ y ⇐⇒ sup ({x, y}) = y
4. Demuestre que en el conjunto parcialmente ordenado ⟨P(A), ⊆⟩ ´ınf ({M, N }) = M ∩ N . Nota: debe probar que M ∩N es cota inferior de {M, N } y que si L es cota inferior de {M, N }, entonces L ⊆ M ∩N . 5. Dé ejemplo de los siguientes conjuntos a ) Un orden parcial que no tenga elementos maximales b ) Un conjunto no vacío totalmente ordenado en el cual no todo subconjunto tenga mínimo c ) Un conjunto parcialmente ordenado ⟨A, ≤⟩ tal que A sea nito y no vacío, no sea un orden lineal
y no todo subconjunto tenga mínimo d ) Un orden parcial que tenga un único elemento maximal pero no tenga máximo
6. Dado el orden parcial ⟨A, ≤⟩ con A = {a1 , a2 , . . . , an }, se de ne la relación binaria ⊑ sobre A × A como sigue <x , y>⊑<u, v>⇔ x ≤ u ∧ y ≤ v a ) Demuestre que ⟨A × A, ⊑⟩ es un orden parcial b ) Si {M1 , M2 , . . . , Mk } y {m1 , m2 , . . . , ms } son respectivamente los maximales y los minimales de ⟨A, ≤⟩, ¾cuáles son los maximales y los minimales de ⟨A × A, ⊑⟩? c ) ¾Qué condiciones son necesarias para que ⟨A × A, ⊑⟩ tenga máximo y cuál es?