No es bastante todavía. No basta demostrar una cosa;
hay que persuadir a los hombres o elevarlos hasta ella. Por eso el iniciado tiene que aprender a decir su sabiduría, y a veces a expresarla de modo que suene a locura. Aurora. Federico Nietzsche. Tercera Tarea
Universidad Simón Bolívar Departamento de Computación y Tecnología de la Información Estructuras Discretas II CI-2526 Sep-Dic 2014 NOMBRE
CARNET
1. Sean
RyS
relaciones sobre
NOTA
A. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
Probar las ciertas y dar un contraejemplo para las falsas.
b R
a)
Si
R
es antisimétrica, entonces
b)
Si
R
y
S
son transitivas, entonces
R∪S
es transitiva.
c)
Si
R
y
S
son transitivas, entonces
R∩S
es transitiva.
d)
Si
R
y
S
son antisimétricas, entonces
R·S
e)
Si
R
y
S
son antisimétricas, entonces
R∪S
2. Demuestre que
R
3. Demuestre que si Sug.: Demuestre que
es antisimétrica.
es un orden total sobre
m, n, p
A
es antisimétrica. es antisimétrica.
si y sólo si
son números naturales, entonces
m ≤ n =⇒ mp ≤ np .
m ≤ n ⇒ m ∗ p ≤ n ∗ p.
4. Demuestre que para toda terna de números naturales 5. El
b =A×A R∪R
m, n, p
se cumple que
m + n = p =⇒ m ≤ p.
principio de buena ordenación de los números naturales establece que todo subconjunto no vacío
de números naturales tiene un elemento mínimo, esto es, que en todo conjunto de naturales existe un elemento que es menor o igual que todos los restantes elementos del conjunto. Demuestre este principio. Sug.: Dado un subconjunto no vacío que
k,
S
de
y demuestre por inducción que si
IN
Sk
defínase un
S≤k
como el conjunto de los elementos de
es un conjunto cuyo máximo es
k,
S
menores o iguales
entonces dicho conjunto tiene mínimo.
Es cierto que no vemos que se derriben todas las casas de una ciudad con el único propósito de reconstruirlas de otra manera y hacer más hermosas las calles; pero no es menos cierto que muchos particulares mandan echar abajo sus viviendas para reedi carlas, y aun vemos que a veces lo hacen obligados cuando hay el peligro de que la casa se caiga o cuando sus cimientos no son muy rmes. Este ejemplo me persuadió de que no era razonable que un particular intentase reformar un Estado cambiándolo todo desde sus fundamentos y derribándolo para levantarlo después; ni tampoco reformar el cuerpo de las ciencias o el orden establecido en las escuelas para su enseñanza; pero que, por lo que toca a las opiniones que había aceptado hasta entonces, lo mejor que podía hacer era acometer, de una vez, la empresa de abandonarlas para sustituirlas por otras mejores o aceptarlas de nuevo cuando las hubiese sometido al juicio de la razón. Y creí rmemente que por este medio lograría dirigir mi vida mucho mejor que si la edi cara sobre añejos cimientos y me apoyara exclusivamente en los principios que me dejé inculcar en mi juventud, sin haber examinado nunca si eran o no ciertos. El Discurso del Método. René Descartes. (1596-1650)