Hacia la luz. Los hombres se empujan hacia la luz, no
para ver mejor, sino para brillar mejor. Se considera gustosamente como una luz aquel ante quien se brilla.
Universidad Simón Bolívar Departamento de Computación y Tecnología de la Información Estructuras Discretas II CI-2526 Sep-Dic 2014
El viajero y su sombra, Federico Nietzsche.
Cuarta Tarea
NOMBRE
CARNET
NOTA
1. Se de ne la relación ≡k sobre IN como sigue: a ≡k b ⇐⇒ (∃z ∈ IN )(a = b + zk ∨ b = a + zk)
(i) Demuestre que ≡k es una relación de equivalencia sobre IN (ii) ¾Cuántas clases tiene IN / ≡k ? (iii) Muestre las clases si k = 3 y si k = 4 2. Sean A1 , A2 , B1 , B2 conjuntos no vacíos tales que A1 ∩ A2 = ∅ y B1 ∩ B2 = ∅, demuestre que si f1 : A1 → B1 y f2 : A2 → B2 son biyectivas, entonces {
f (x) =
f1 (x), si x ∈ A1 ; f2 (x), si x ∈ A2
3. Muestre una función biyectiva entre el conjunto de los polinomios de grado n con coe cientes enteros, Zn [x], y el conjunto Z n+1 . 4. Dados m, n ∈ IN y X ̸= ∅, si X ω representa al conjunto de tuplas in nitas, esto es, X ω = {(x1 , x2 , x3 , . . .) : xi ∈ X} halle una función: (a) inyectiva fa : X m → X n si m ≤ n. (d) biyectiva fd : X ω × X ω → X ω . (b) biyectiva fb : X m × X n → X m+n .
(e) biyectiva fe : X n × X ω → X ω .
(c) inyectiva fc : X n → X ω .
(f) inyectiva ff : X A → X B si A ⊆ B
5. Dé ejemplos de funciones biyectivas entre los conjuntos indicados f1 : IR → IR + . f6 : { n1 : n ∈ IN ∗ } → { 12 , 13 , 14 , · · ·}. f2 : IR + → IR .
f7 : {1, 21 , 31 , 14 , · · · , 0} → { 12 , 13 , 14 , · · ·}.
f3 : (0, 1) → IR .
f8 : [0, 1] → (0, 1).
f4 : (0, 1) → (a, b).
f9 : IR → IR − {0}.
f5 : (a, b) → (c, d).
6. Dé un ejemplo de dos funciones f, g tales que g ◦ f sea sobreyectiva pero que f no lo sea. ¾Tenéis valor, oh hermanos mios? ¾Estáis resueltos? ¾No el valor ante los testigos, sino el valor de los solitarios, el valor de las águilas, que no tienen ningún dios espectador? Las almas frías, los mulos, los ciegos, los hombres ebrios no tienen lo que yo llamo corazón. Sólo tiene corazón el que conoce el miedo, pero que domina el miedo; el que ve el abismo, pero con altivez . El que ve el abismo, pero con ojos de águila; el que percibe el abismo con garras de águila: ése es el que tiene valor. Así habló Zaratustra. Federico Nietzsche.