En sí misma, la verdad no es una potencia, digan lo que digan los retóricos racionalistas. Por el contrario, necesita ponerse de su parte a la fuerza o ponerse ella del lado de la fuerza, pues de lo contrario perecerá siempre. Es cosa demostrada hasta la saciedad. Aurora, Federico Nietzsche. La verdad necesita del poder.
Universidad Simón Bolívar Departamento de Computación y Tecnología de la Información Estructuras Discretas III CI-2527 Ene-Mar 2015
Tarea 1
NOMBRE
CARNET
1. Demuestre que si
b
es un entero positivo
compuesto,
NOTA
tiene un divisor primo (positivo)
d≤
√
b.
Use
este resultado para escribir un algoritmo e ciente que permita decidir si un entero positivo es primo.
a y b demuestre que si p1 , p2 , . . . , pk es una lista sin repeticiones de todos los β1 β2 βk αk 1 α2 a y b, y a = p α 1 p2 · · · pk y b = p1 p2 · · · pk , con αi ≥ 0 y βi ≥ 0 para toda i, entonces el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de a y b m´ın(α1 ,β1 ) m´ın(α2 ,β2 ) m´ın(αk ,βk ) m´ ax(α1 ,β1 ) m´ ax(α2 ,β2 ) m´ ax(αk ,βk ) son respectivamente: p1 p2 · · · pk y p1 p2 · · · pk . Nótese
2. Dados dos enteros positivos
primos que aparecen en la descomposiciones en primos de
que el algoritmo que usamos desde primaria para determinar el MCD y el mcm entre dos números se basa en este teorema. En aquel entonces deciamos para el MCD: Comunes con su menor exponente ; el primo
pi
es común ssi tanto
3. Dado dos enteros positivo entonces
a|b
αi
a
y
como
βi
son no nulos y el mínimo selecciona el menor de los exponentes.
b,
demuestre que si la descomposición en primos de αk α1 α2 si y sólo si la descomposición en primos de a es p1 p2 · · · pk con 0 ≤
b es pβ1 1 pβ2 2 · · · pβkk , αi ≤ βi .
4. Halle una fórmula que permita calcular el número de divisores positivos de un número entero positivo
n
en base a su descomposición en primos. Indique cada paso con claridad.
5. Demuestre que para todo par de enteros positivos
a
y
b
se cumple que
ab = mcd(a, b) · mcm(a, b).
Ejercicios Complementarios 1. Demuestre que los enteros
n1 , n2 , n3 son primos relativos dos a dos si y sólo si (n1 n2 , n3 ) = (n, n2 n3 ) = 1.
2. Use el principio de buena ordenación para probar que no existe un entero entre CERO y UNO. 3. Demuestre que un número entero positivo de divisores positivos 4. Sea
n
n es un cuadrado perfecto si y sólo si tiene un número impar k tal que n = k 2 .
cuadrado perfecto signi ca que existe
A = {a1 , a2 .a3 .a4 .a5 } un conjunto de enteros positivos, demuestre S de A tal que la suma de sus elementos es múltiplo de CINCO.
que existe un subconjunto no
vacio
5. Demuestre que si
n
es un entero positivo, entonces
n
y
n+1
son coprimos.
6. Demuestre que todo par de números impares consecutivos son coprimos.
d es el máximo común divisor positivo entre a y b, exiten k y k ′ tales que a = dk y b = dk ′ . Demuestre ′ que k y k son coprimos. Use este resultado para escribir un algoritmo que permita hallar la fracción
7. Si
irreducible equivalente de una fracción dada.