Induccion completa

Universidad Simón Bolívar.

Departamento de Computación y Tecnología de la Información CI-2526. Trimestre Abril-Julio 13

Inducción (continuación): El principio de inducción completa es una herramienta de demostración semejante a la versión clásica del Principio de Inducción, ya estudiada en este curso. Se describe de la siguiente forma: Dado P un conjunto cualquiera, P N, tal que -

0P

-

 n  N( ( i  N ( 0  i  n) i P)  n+1  P) ()



P=N La instrucción en () indica que, para garantizar que el elemento n+1 pertenece a P (n un elemento cualquiera), se debe cumplir que todos los elementos menores o iguales a n pertenezcan a P.

La versión clásica del principio de inducción se expresa por Dado P un conjunto cualquiera, P N, tal que -

0P

-

 n  N( n  P n+1  P)

()



P=N

La instrucción en () indica que, para garantizar que el elemento n+1 pertenece a P, para un n cualquiera, se debe cumplir que el elemento n pertenezca a P.

Se puede demostrar que ambas versiones son equivalentes (el estudiante interesado puede hacer la demostración como un ejercicio). Esto significa que ambas tienen el mismo alcance demostrativo.

Ocasionalmente puede ser conveniente utilizar el Principio de Inducción completa, como es el caso de la proposición que se enuncia a continuación: Suponga (N,  ) el CPO totalmente ordenado de los números naturales por la tradicional relación . En este curso, como recordarán, se ha definido un número natural como un conjunto y la relación  a partir del operador de inclusión ().

Proposición:  n  N(  S ( S N)( S tiene máximo n  S tiene elemento mínimo) ) Demostración: Utilice el Principio de Inducción completa.

Se define el conjunto P, por: P={ n  N:  S ( S N)( S tiene máximo n  S tiene elemento mínimo)} Paso Base: 0  P

Argumento de demostración: Sea S un subconjunto cualquiera de N, 0 es máximo de S  definición del conjunto de los números naturales y S N  m  S ( m  0)  definición de mínimo en un CPO 0 es mínimo de S  Definición de P 0 P Hipótesis de Inducción: Para n fijo se satisface que  i  N ( 0  i  n  i P) Tesis: (n+1)  P Argumento de demostración:

Sea S un subconjunto cualquiera de N, Suponemos S tiene máximo n+1  SN S´=(S-{n+1})  S´ N  ( p   p  True) S´=  S´  | | | | | | |

S´=  S´=(S-{n+1}) S={n+1}  S es conjunto unitario S tiene elemento mínimo | S´  | negado de axioma de conjunto vacío | |  x ( x  S´)  S´  S () | | | Elección de testigo x0 | | x0  S´  x0 < (n+1) | | | | Definimos S´´={x  S´: x  x0} | |  definición de máximo | | x0 es máximo de S´´ | |  x0  n  HI ( x0  P) | |S´´ tiene elemento mínimo | |  S´´  S  S´´={x  S : x  x0} | |  | | S tiene elemento mínimo () | De () y () | |S tiene elemento mínimo |

 eliminación  S tiene elemento mínimo  Definición de P

n+1  P  PIC P=N  Def de P  n  N(  S ( S N)( S tiene máximo n  S tiene elemento mínimo) ) Proposición: Dado (N, ), CPO totalmente ordenado, se tiene que  S ( S  N) (S  S tiene elemento mínimo) Dem: Sea S un subconjunto de N S  negado de axioma de conjunto vacío |  x ( x  S) () Elección de testigo x0 | | x0  S | | Definimos S´={x  S: x  x0} | |  definición de máximo | | x0 es máximo de S´ | |  Proposición anterior | |S´ tiene elemento mínimo | | | | S tiene elemento mínimo () |  De () y () | S tiene elemento mínimo Definición: Dado (A,R) un CPO totalmente ordenado, se dice que A es un conjunto bien ordenadop por R si y solo si  S ( S A)( S   S tiene elemento mínimo) Corolario: Suponiendo (N, ) entonces N es un conjunto bien ordenado por .

Referencia disponible en el URL: http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/AcetAS/Induccion.pdf