Estructuras Discretas III
Tema 3
Descripción General En este tema se profundiza en estructuras denominadas grupos. Se especifican las condiciones para identificar subgrupos de éstos y se definirá una relación de equivalencia inducida por un subgrupo en un grupo. De allí se planteará, entre otros, un teorema importante para grupos finitos el Teorema de Lagrange. Ejemplos: El conjunto Z de los números enteros y la operación +: Z × Z → Z M n× n (Z ) el conjunto de las matrices cuadradas a coeficientes en Z y la operación + : M n× n ( Z ) × M n× n ( Z ) → M n× n ( Z )
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Continuación Ejemplo: Suponga que A es un conjunto de n-elementos y Permut(A) es el conjunto de las permutaciones del conjunto A. La operación •, en este caso representa la composición de funciones. Entonces (Permut(A), •) es un grupo. Recordemos que la composición de funciones es asociativa Específicamente si A={1,2,3}. Entonces los elementos en Permut(A) son seis 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2
1 2 3 3 2 1
1 2 3 2 1 3
1 2 3 2 3 1
1 2 3 3 1 2
Cada matriz representa una biyección o permutación del conjunto A Universidad Simón Bolívar
Continuación Elemento en Permut(A) 1 2 3 1 2 3
Permutación Identidad de A. Elemento neutro para •
1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3 1 2 3 2 3 1 Universidad Simón Bolívar
Elemento inverso 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2
Continuación Considere un Alfabeto no vacío
∑
* ∑ Si es el conjunto de las palabras de longitud finita formadas con
elementos de este alfabeto y + representa la operación de * ∑ concatenación de palabras en y
Λ
es la palabra vacía
Es decir, * Si xyw y wrpu son dos palabras en ∑
xyw + wrpu = xywwrpu * ∀ x∈ ∑ (x+
Λ= Λ +
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x
= x)
entonces
Continuación * Cuales son las propiedades de la estructura ( ∑, + )
Es un semigrupo? Es un monoide? Es un grupo?
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Objetivo Familiarizar al estudiante con el concepto de grupo, a la vez que profundiza en el desarrollo de argumentos demostrativos en este contexto teórico
Estrategia de Aprendizaje Durante una semana aproximadamente se ahondará en este contenido para el cual el estudiante tendrá que leer el contenido teórico colocado en el aula virtual. También puede complementar su aprendizaje con el texto de John D Lipson. Resolverá la práctica con la asistencia de profesores. Los tópicos de la semana aparecen en la lámina a continuación.
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Secciones Semana
Grupos
Subgrupos
Caracterizaciones
Congruencia M贸dulo un subgrupo
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Teorema de Lagrange
Evaluación -Tarea1 (evaluación extra-aula) - Valor: 3 puntos Debe ser entregada para el día miércoles de la semana 3, los profesores corregirán cada ejercicio (no complementario) de la misma.
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