Estructuras Discretas III
Tema 4
Descripción General En este tema se consideran relaciones de equivalencia en un grupo (G, *, -, e) inducida por un subgrupo (H,*,-,e), el teorema de Lagrange, los subgrupos normales y grupos cociente. Dado un grupo (G, *, -, e) y un subgrupo de éste digamos (H, *, -, e) . Es posible definir una relación de equivalencia inducida por H ( que denotamos ≡H ). Esto se ampliará en la teoría. Las clases de equivalencia por esta relación coinciden con las clases laterales derechas de los elementos en G por el subgrupo H. Si el subgrupo (H, *, -, e) es denominado normal ( para todo elemento x en G son iguales las correspondientes clase lateral derecha y clase lateral izquierda de G x, por H), entonces se puede definir para el conjunto cociente ≡ una operación binaria. H
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Continuación: Ejemplo: Sea el grupo (Z, +, -, 0) y H es el conjunto formado por los números enteros pares. Entonces, (H,+,-,0) es un subgrupo normal de (Z,+,-,0).
En el conjunto cociente Z
Z ={[0] ≡H , [1] ≡H } es posible definir ≡H
Z
Z
la operación ⊕ : × → ≡H ≡H ≡H tabla
como se indica en la siguiente
⊕
[0] ≡ H
[0] ≡ H [1] ≡ H
[0] ≡ H
[1] ≡ H [1] ≡ H
[1] ≡ H
[0] ≡ H
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Continuación:
De esta forma se obtiene una estructura de grupo. Comprobar la propiedad asociativa se deja como ejercicio. Se asocia a esta estructura su firma, esto es la 4-upla
Z ( ,⊕ ,−, [0] ≡ H ) ≡H Es necesario agregar que éste es un grupo diferente al grupo
( Z 2 ,+ 2 ,−,0)
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Continuación:
De esta forma se obtiene una estructura de grupo. Comprobar la propiedad asociativa se deja como ejercicio. Se asocia a esta estructura su firma, esto es la 4-upla
Z ( ,⊕ ,−, [0] ≡ H ) ≡H Es necesario agregar que éste es un grupo diferente al grupo
( Z 2 ,+ 2 ,−,0)
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Objetivo Familiarizar al estudiante con el concepto de grupo en estructuras como conjuntos cocientes a la vez que se profundiza en el desarrollo de argumentos demostrativos en este contexto teórico Estrategia de Aprendizaje Durante una semana aproximadamente se ahondará en este contenido para el cual el estudiante tendrá que leer el contenido teórico colocado en el aula virtual. También puede complementar su aprendizaje con el texto de John D Lipson. Resolverá la práctica con la asistencia de profesores. Los tópicos de la semana aparecen en la lámina a continuación.
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Secciones Semana
Relaci贸n de equivalencia Definida en un grupo mediante un subgrupo
Clases Laterales. Teorema de Lagrange
Sub grupos Normales
Grupo Cociente Universidad Sim贸n Bol铆var
Evaluación
- Entregar la Tarea1 para ser corregida -Los profesores corregirán cada ejercicio (no complementario) de la misma y darán la retroalimentación. -Es imprescindible que los ejercicios complementarios también sean resueltos para una adecuada preparación para el parcial I.
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