Estructuras Discretas III
Tema 5
Descripción General En este tema se estudian homomorfismos entre estructuras algebraicas y grupos muy particulares como aquellos que poseen un elemento generador, es decir los denominados grupos cíclicos. Un homomorfismo entre dos monoides (M, *, e) y ( M’ , *’, e’) por ejemplo, es por definición una función f: M → M’ que satisface los siguientes planteamientos: 1) ∀x, y ∈ M(f(x * y) = f(x)*' f(y)) 2) f(e) = e' Ejemplo: Suponga los monoides (Z,+, 0) y ({1,-1}, . , 1) donde la operación ‘. ‘ es la multiplicación tradicional. Entonces , Universidad Simón Bolívar
Continuación:
h : Z →{1,−1} ∀n ∈ Z ( h( n) = (−1) n ) Es un homomorfismo entre estos monoides ya que,
∀ m, n ∈ Z (h(m + n) = (− 1) m+ n = (− 1) m .(− 1) n )
h(0) = (−1) 0 = 1
Más aún h es sobreyectiva de Z en {1,-1} de allí que sea denominada epimorfismo.
isomorfismo entre dos estructuras algebraicas es un homomorfismo biyectivo definido Un
entre éstas. Las estructuras algebraicas isomorfas se pueden unificar en una sola estructura abstracta. Universidad Simón Bolívar
Continuación: Dado un grupo (G, *, -, e) y un elemento a en G, se dice que a es generador de si todo elemento en G es expresable como una potencia entera de a. Por lo tanto, un grupo cíclico es aquel que posee un elemento generador. Ejemplo: El grupo (Z, +, -, 0) es un grupo cíclico ya que 1 es un generador de la estructura El grupo (Permut{1,2,3}, •, -, I_{1,2,3}) no es un grupo cíclico ya que se puede verificar de forma sencilla que no posee elemento generador.
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Continuación: Ejemplo: El grupo ( Z n ,+ n ,−,0) es un grupo cíclico, para todo n>= 1, ya que un elemento generador de la estructura es el 1. Un ejercicio rápido consiste en indicar otro posible para este grupo.
Existe un isomorfismo de igual cardinalidad.
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entre
generador
grupos cíclicos
Objetivo Familiarizar al estudiante con el concepto de homomorfismos entre diferentes estructuras algebraicas así como con grupos cíclicos a la vez que se profundiza en el desarrollo de argumentos demostrativos en este contexto teórico Estrategia de Aprendizaje Durante una semana aproximadamente se ahondará en este contenido para el cual el estudiante tendrá que leer las secciones 2.14 en adelante correspondiente al capítulos dos ya colocado en el aula virtual. También puede complementar su aprendizaje con el texto de John D Lipson. Resolverá la práctica con la asistencia de profesores. Los tópicos de la semana aparecen en la lámina a continuación.
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Monomorfismos
Secciones Semana
Homomorfismos de estructuras algebraicas
Epimorfismos
Isomorfismos
Grupos Cíclicos
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Evaluación
Esta semana (semana 5 del trimestre)
se tiene previsto una actividad evaluativa de forma presencial en el aula y
con una duración de 60 minutos, el Parcial I. Es un examen corto donde se evaluará el contenido impartido en las cuatro primeras semanas. Los profesores corregirán la prueba y darán la retroalimentación.
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