Estructuras Discretas III
Tema 6
Descripción General Definimos en el tema anterior un homomorfismo entre dos
monoides cualesquiera (M,*,e) y (M’, *’, e’) como una función f: M → M’ tal que:
∀x, y ∈ M(f(x * y) = f(x)*' f(y)) (I) f(e) = e' (II) Es de interés reforzar un poco más la misma. La clausula (II) no es redundante con la (I) o innecesaria como en el caso de homomorfismos de grupos. Vea el siguiente caso. Universidad Simón Bolívar
Continuación: Ejemplo: Suponga los monoides (N,+, 0) y (Z,.,1) donde la operación ‘. ‘ es la multiplicación tradicional. Si f: N → Z es tal que ∀ n ∈ N ( f(n)=0 ) Es inmediato que,
∀x, y ∈N ( f(x + y) = 0 = 0.0 = f(x).f(y) ) Es decir, f satisface la clausula (I) pero no la (II).
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Continuación: Esta semana se concluirá el tema de grupos cíclicos y se consideran transformaciones. En la Geometría Elemental (aunque sea viejita), se dice que dos figuras son Congruentes si existe una Transformación Rígida que lleve una sobre la otra. Una simetría de una figura plana es un movimiento rígido del plano que hace coincidir dicha figura consigo misma. “Todo movimiento rígido del plano tiene la propiedad de conservar las distancias y por esto se le da el nombre de isometría.” Klein dijo, para hacer geometría es importantísimo estudiar las transformaciones (funciones) del plano en sí mismo
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Continuación:
Definición: Una transformación de A (un conjunto) es una función biyectiva de A en A. Hay que hacer notar que el término “transformación” se usa de diferentes maneras en otros textos y en otros contextos. Pero aquí estaremos enfocándolo a funciones biyectivas de un conjunto en sí mismo. 1. Recuerde que si f : A → B y g : B → C son biyectivas entonces g ◦ f también es biyectiva de A en B. 2. De 1. se concluye que si f y g son transformaciones de un conjunto A entonces (f ◦ g) también es una transformación de A.
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Continuación: Suponga el conjunto {1,2,3} y coloque cada uno de estos elementos en los vértices de un triangulo equilátero (Ver la Figura 1). Considere además las permutaciones de este conjunto en sí mismo. 1
Figura 1
O 3 3
2
El punto O es el centro del triangulo, los tres ángulos internos son de 60 °. El segmento de recta bisectriz de cada ángulo es ortogonal al lado opuesto al ángulo considerado (ver la Figura 1 ). Universidad Simón Bolívar
Continuación: Entonces tenemos lo siguiente: la rotación de ángulo cero que corresponde a la Identidad 1 2 3 1 2 3
permutación
la rotación de 120° que lleva el punto 1 a 3, 2 a 1 y 3 a 2 ( una permutación que no fija ningún punto) 1 2 3
3 1 2
1 2 3 la rotación de 240° o -120° que lleva 1 a 2, 2 a 3 y 3 a 1 2 3 1
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Continuación: El segmento de recta que pasa por el vértice 1 y divide el ángulo en dos ángulos iguales es un eje de simetría que origina una reflexión dejando fijo el vértice 1 1 2 3 1
3
2
El segmento de recta que pasa por el vértice 2 y divide el ángulo en dos ángulos iguales es un eje de simetría que origina una reflexión dejando fijo el vértice 2 1 2 3 3
Análogamente que para considerando el vértice 3
los
dos
casos
1 2
2
1
anteriores 2 1
3 3
pero
El grupo de las permutaciones de tres elementos representan el grupo de las transformaciones o simetrías de un triángulo equilátero. Más aún las rotaciones constituyen un subgrupo de estas simetrías. Universidad Simón Bolívar
Objetivo Familiarizar al estudiante con el concepto de homomorfismos entre diferentes estructuras algebraicas así como con grupos cíclicos y algunas transformaciones, a la vez que se profundiza en el desarrollo de argumentos demostrativos en este contexto teórico Estrategia de Aprendizaje Durante una semana aproximadamente se ahondará en este contenido para el cual el estudiante tendrá que leer las secciones 2.14 en adelante correspondiente al capítulos dos ya colocado en el aula virtual. También puede complementar su aprendizaje con el texto de John D Lipson. Resolverá la práctica con la asistencia de profesores. Los tópicos de la semana aparecen en la lámina a continuación.
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Secciones Semana
Grupos Cíclicos
Transformaciones
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Evaluación Esta semana no se tiene previsto una actividad evaluativa. Se entregará la retroalimentación del parcial I.
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