Estructuras Discretas III
Tema 7
Descripción General Esta semana se tratará álgebras con dos operaciones binarias. El concepto abstracto de grupo tiene su origen en el conjunto de aplicaciones o permutaciones de un conjunto en sí mismo . En contraste, los anillos surgen de otra fuente bastante familiar, el conjunto de los números enteros. Un anillo es completamente diferente de un grupo, ya que es un sistema con dos operaciones binarias. Comúnmente estas operaciones se las identifica como aditiva y multiplicativa respectivamente (ver I. N.
Herstein, Álgebra Moderna, cuarta reimpresión 1979). Definición: Un grupo conmutativo (A, *, -,e) en el que se define una operación •: AxA → A con las siguientes propiedades: • es asociativa en A ∀ a, b, c ∈ M ( a • ( b ∗ c) = (a • b) ∗ (a • c) ) ∀ a, b, c ∈ M( (a ∗ b) • c = (a • c) ∗ (b • c) )
Se define como un anillo Universidad Simón Bolívar
Continuación: Ejemplo: El conjunto ( Z, +, . , - , 0) es un anillo. El conjunto ( R, +, . , - , 0) es un anillo. El conjunto M2x2 (Z) de las matrices de dimensión 2x2 con coeficientes en Z con la suma y multiplicación matricial es un anillo. Lo podemos describir por:
(M2x2(Z), +, . , -, 0) donde 0 denota aquí la matriz idénticamente nula. El grupo (Zp, +p, -, 0) con la operación .p que se describe como el producto módulo p es un anillo.
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Continuación: Este anillo (Zp, +p, .p, -, 0) se convierte en un dominio de integridad finito para p primo. Más aún en esas condiciones se convierte en un campo finito. Es decir es una estructura con idénticas propiedades algebraicas que los números Reales, por ejemplo, con la diferencia que es finito.
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Objetivo Familiarizar al estudiante con algebras con dos operaciones a la vez que depura los argumentos demostrativos utilizados en este contexto teórico. Estrategia de Aprendizaje Durante una semana aproximadamente se ahondará en este contenido para lo cual debe leer el capítulo 7 de las notas de Yriarte. Resolverá la práctica con la asistencia de profesores. Los tópicos de la semana aparecen en la lámina a continuación.
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Anillos Subanillos Homomorfismos de anillos Secciones Semana Dominios de Integridad
Campos
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Evaluaci贸n Esta semana no se tiene previsto una actividad evaluativa.
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