Estructuras Discretas III
Tema 9
Descripción General
En toda álgebra de Boole existen elementos fundamentales denominados átomos y coátomos. En álgebras de Boole de altura finita todo elemento se puede representar de forma única a partir de átomos (forma canónica disyuntiva) y de coátomos (forma canónica conjuntiva). Pero alcanzar este resultado no es inmediato.
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Continuación: Ejemplo: En el Algebra de Boole de Conjuntos que se muestra en la figura son átomos los elementos {a}, {b},{c} y {d} y son coátomos los elementos {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d} y {b,c,d}
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Continuación: La representación por supremo de átomos de cada elemento del álgebra es la siguiente:
∅
Sup(∅)
{b,d}
Sup{ {b} , {d}}
{a}
Sup{ {a} }
{c,d}
Sup{ {c} , {d} }
{b}
Sup{ {b} }
{a,b,c}
Sup{ {a}, {b} , {c} }
{c}
Sup { {c} }
{a,c,d}
Sup { {a}, {c} , {d} }
{d}
Sup{ {d} }
{a,b,d}
Sup{ {a}, {b}, {d} }
{a,b}
Sup { {a}, {b} }
{b,c,d}
Sup{ {{b}, {c}, {d} }
{a,c}
Sup{ {a}, {c} }
{a,b,c,d}
{a,d}
Sup{ {a},{d} }
{b,c}
Sup{ {b}, {c}}
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Sup { {a}, {b} , {c}, {d} }
Continuación:
La representación por ínfimo de coátomos de cada elemento del álgebra se deja como ejercicio. En un álgebra booleana de funciones los átomos se denominarán mintérminos y los coátomos se denominarán maxtérminos
Ejemplo: Suponga el álgebra de Boole de funciones del conjunto {0,1} en {0,1} la suma y producto de estas funciones está dada por f+g (x)= sup{ f(x), g(x)} y f. g (x) = inf{ f(x), g(x)} Entonces las funciones de esta álgebra son las dos funciones constantes es decir la idénticamente cero y la idénticamente 1 y las dos permutaciones del conjunto {0,1}, es decir una es la identidad y la restante intercambia los valores enviando 0 a 1 y 1 a o. Universidad Simón Bolívar
Continuación: Si identificamos las funciones diremos que : ∧ 0 es la función ∧ 1 es la función
I
idénticamente nula idénticamente uno es la permutación identidad
II es la permutación que intercambia los valores Los átomos corresponden a I y II. Mientras que I, II también son coátomos ∧ 1 Sup{ I, II} ∧ 0 Sup(∅)
I
Sup{ I }
II
Sup(II)
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∧ 1
I
II
∧ 0
Diagrama de Hasse del Algebra
Objetivo Familiarizar al estudiante con formas de representación en álgebras de Boole que serán fundamentales al optimizar circuitos. Se continúa enfatizando en procedimientos demostrativos basados en este contexto teórico.
Estrategia de Aprendizaje Las próximas semanas estarán dedicadas a introducir al estudiante con álgebras de Boole en general y en particular con álgebras de Boole de funciones. Dispondrá de contenido teórico que soporte su aprendizaje.
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Algebras de Boole Reticulares
Secciones Semana
Postulados Que definen un Algebra de Boole
Reticulado asociado a un Algebra de Boole. Elementos Fundamentales en un AB Átomos y Coátomos Universidad Simón Bolívar
Formas Canónicas En algebras de Boole de altura finita
Evaluación Esta semana se tiene previsto el parcial II, actividad evaluativa en aula. Duración 120 minutos. Valor 30 puntos. Tarea 2, la cual debe ser entregada el miércoles de la semana 9. Valor 4 puntos. Los ejercicios deben ser resueltos antes del parcial para una mejor preparación.
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